Автор: Дубяго А.Д.  

Теги: физика   астрономия   небесная механика  

Год: 1949

Похожие

Введение в теоретическую астрономию

Введения в теоретическую астрономию

Астрономия на персональном компьютере (+CD)

Карл Фридрих Гаусс

Текст
                    Л.2).2)убя^о
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ОРБИТ

А. Д. ДУБЯГО
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ОРБИТ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1 9 4 9 ЛЕНИНГРАД

14-5-4
Редактор Д. В, /Варкое.	Техн, редактор М. Д» Суховцева.
Подписано к печати 8/IX 1949 г. 27,75 печ. л. 34,05 уч.-изд. л. 49120 тип. зн.
в печ. листе. А-09694ь Тираж 2000 экз. Цена книги 20 р, 50 к. Переплёт 2 р.
Заказ № 1490.
16-я типография Главполиграфиздата при Совете Министров СССР.
Москва, Трёхпрудный пер., 9.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ...................................................... 8
Глава первая. Задача определения орбит и её история . ...	11
§	1.	Орбиты малых планет, комет и метеоров....... 11
§	2.	Первые попытки определения орбит комет до Ньютона.	.	14
§	3.	Эпоха Ньютона и Галлея...................... 16
§	4.	Работы Эйлера, Ламберта, Лагранжа и Лапласа	.....	18
§	5.	Способы Ольберса и Гаусса................... 21
§	6.	Дальнейшее развитие теории определения орбит ....	22
Глава вторая. Задача двух тел.............................. 30
§	7.	Закон всемирного тяготения.................. 30
§	8.	Уравнения относительного движения........... 31
§	9.	Интегралы площадей и первый закон Кеплера... 32
§	10.	Интеграл живой силы и второй закон Кеплера	....	34
§	И.	Третий закоп Кеплера и постоянная Гаусса.... 36
§ 12.	Определение формы орбиты . ......................	38
§ 13.	Расположение орбиты в пространстве..................... 39
§	14.	Элементы	орбиты................................ 41
§	15.	Движение	по	эллипсу и кругу.................... 42
§	16.	Движение	по	параболе........................... 46
§	17.	Движение	по	гиперболе........................   48
§ 18.	Определение гелиоцентрических координат тела . .	50
Глава третья. Геоцентрическое движение........................... 54
§ 19.	Связь между гелиоцентрическими и геоцентрическими
координатами............................................. 54
§ 29.	О влиянии прецессии на элементы орбиты и векторные
элементы................................................. 59
§ 21.	Вычисление гелиоцентрических координат для эллиптиче-
ской и круговой орбит ................................... 61
§ 22.	Вычисление гелиоцентринческих координат для парабо-
лической орбиты........................................   65
§ 23.	Вычисление гелиоцентрических координат для орбит,
близких к параболе....................................... 67
1*

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 24.	Нахождение отдельных геоцентрических положений
и вычисление эфемерид..................................... 73
§ 25.	Получение эфемериды методом численного интегрирования 83
§ 26.	Видимое движение малых планет и комет................................................. 93
Глава четвёртая. Редукция наблюдённых положений малых
планет и комет. Сравнение с эфемеридой. Нормальные места 97
§ 27. Обозначения малых планет и комет и позиционные на-
блюдения над ними............................................................................... 97
§ 28.	Моменты наблюдений.................................................................... 99
§ 29.	Наблюдённые координаты и их поправки за прецессию,
нутацию и аберрацию неподвижных звёзд, а также за
улучшение положений опорных звёзд........................ 109
§	30.	Учёт влияния планетной аберрации. 103
§	31.	Учёт параллакса........................................................ 106
§ 32.	Преобразование экваториальных координат в эклипти-
ка л ьные ............................................... 108
§	33.	Сравнение эфемериды с наблюдениями . . ............................................. 100
§	34.	Выбор наблюдений и их контроль.......................... 116
Глава пятая. Общая задача определения орбиты по трём на-
блюдениям ...................................................................................   119
g 35. Постановка задачи ...................................................................  119
§ 36.	Уравнения плоскости.................................................................. 122
§ 37.	Выражение площадей треугольников через время ....	124
§ 38.	Первое приближение для гелиоцентрических координат .	127
§ 39.	Анализ основных уравнений и теорема Ламберта о кри-
визне видимой орбиты................................................................. 130
§	40.	Улучшение результатов первого приближения.... 135
§	М.	Отношение площади сектора к площади	треугольника . .	136
§	42.	Второе и дальнейшие приближения........................ 142
§	43.	Определение элементов........................................... 143
§	44.	Сводка формул............................................................ 147
§	45.	Пример........................................... 155
Глава шестая. Определение орбиты по четырём наблюдениям 160
§ 46. Об использовании четырёх наблюдений для определения
орбиты.................................................. .	.	160
g 47. Основные уравнения .................................................................. 161
§ 48.	Сводка формул.......................•............................................... 165
§ 49.	Пример.............................................................................. 17э
1 лава седьмая. Определение орбиты по двум наблюдениям
и вопрос об отождествлении малых планет и комет................................................ 173
§ 50.	Сущность задачи..................................................................... 173
§ 51.	Определение круговой орбиты ........................................................ 174
§ 52.	Сводка формул для вычисления круговой орбиты и при-
мер 	..................................... 176

ОГЛАВЛЕНИЕ	О
§	53.	Критерий Тисссрана возможности круговой орбиты	...	179-
g	5rt.	Определение эллиптической орбиты.............................................. 182
§	55.	Сводка формул и пример............................................ 185
§	56.	Признаки принадлежности наблюдений	к	орбите	.	.	.	188
Глава восьмая. Определение параболической орбиты	191
§ 57.	Общие замечания о вычислении кометных орбит ....	191
§ 58.	Уравнение Ольберса........................................................................... 192
§ 59.	Формула Эйлера............................................................................... 197
§ 60.	Определение геоцентрических расстояний ....	200
§ 61.	Второе приближение................................................................ .	202
§ 62.	Определение элементов........................................................................ 205
§ 63.	Представление среднего места и улучшение орбиты . . .	204
§ 64.	Исключительный случай при определении параболичес-
кой орбиты................................................ 207
§ 65.	Сводка формул................................................................................ 208
§ 66.	Пример....................................................................................... 213
§ 67.	Способ Ольберса в эклиптикальных координатах ....	215
§	68.	Сводка формул................................................................................ 224
§	69.	Пример................................................................................. 228
Глава девятая. Численные спосэбы учёта возмущений . . .	234
§	70.	Введение............................................................................. 234
§	71.	Способ Коуэлла................................................................. 23G
§	72.	Сводка формул для	способа Коуэлла................................... 240
§	73.	Пример................................................................................. 243
§	74.	Способ Бонда-Энке.........................................................  .249
§ 75.	Сводка формул для способа Бонда-Энке	. . .	253
§	76.	Пример.......................................... 25(4
§	77.	Способ вариации элементов........................................... 259
§	78.	Сводка формул для	способа вариации элементов ....	27)
§	79.	Пример...................................................................................... 274
Глава десятая. Предварительное улучшение орбиты........................................................ 278
§	80.	Способы улучшения орбит............................................... 278
§	81.	Исправление средней аномалии..................................... 280
§	82.	Вариация геоцентрических расстояний....................... 281
§ 83.	Сводка формул для способа вариации геоцентрических
расстояний............................................... 284
§	84.	Вариация отношения геоцентрических	расстояний .	.	285
§	85.	Пример........... 287
Глава одп п н а д ц а т а я. О л роде ген ие окончательной орбиты .	289
§	86.	Понятие окончательной орбиты..... 289
§	87.	Основные уравнения для исправления элементов	....	291
§ 88.	Способ исправления орбиты, основанный на применении
прямоугольных координат.................................. 293

6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§	89.	Сводка формул.......................... 301
§	90.	Пример........................................ 306
§ 91.	Способ исправления орбиты при использовании коорди-
нат, отнесённых	к плоскости орбиты............... 307
§ 92.	Сводка формул..................•................... 313
§ 93.	Приближённое исправление орбиты .	•................ 315
§ 94.	Пример............................................. 317
Глава двенадцатая. Определение орбит метеоров................ 326
§ 95.	Введение........................................... 326
§ 96.	Вычисление пути метеора в атмосфере................ 327
§ 97.	Влияние притяжения Земли и её	движения............. 332
§ 98.	Определение элементов орбиты........................ 340
§ 99.	Сводка формул...................................... 343
§ 100.	Пример ............................................ 349
§ 101.	Вычисление координат радианта	но	элементам орбиты .	351
§ 102.	Пример............................................. 361
Таблицы...................................................... 365
Описание таблиц........................................  .	367
Таблица	I. Число дней от начала юлианского периода: .	371
Таблица	II. Обращение часов, минут и секунд в доли суток 372
Таблица	III. Обращение десятичных долей градуса в минуты
и секунды и обратно................. 374
Таблица	IV. Обращение градусов и минут в секунды
и обратно........................... 375
Таблица	V. Обращение среднего солнечного времени
в звёздное врОхМЯ................... 377
Таблица	VI. Синусы и косинусы углов, выраженных во
времени............................. 378
Таблица	VII. Координаты обсерваторий и постоянные для
вычисления параллакса............... 379
Таблица	VIII. Среднее наклонение эклиптики к экватору
и прецессионные элементы............ 381
Таблица	IX. Годовая прецессия по прямому восхождению
и склонению.............................. 382
Таблица	X. Редукция за прецессию прямоугольных ко-
ординат 1950,0 	 384
Таблица	XI. Разность между эксцентрической и средней
аномалиями ................................. 385
Таблица	XII. Движение по параболе . . •..... 388
Таблица	XIII. Истинная аномалия для параболы... 404
Таблица	XIV. Истинная аномалия для орбит, близких	к пара-
боле 	 416
Таблица	XV. Истинная аномалия для орбит, близких	к пара-
боле 	 417

ОГЛАВЛЕНИЕ
7
Т аблица ХМ. Истинная аномалия для орбит, близких к пара-
боле ..................................................... 418
Таблица XVII. Время прохождения через перигелий для ор-
бит, близких к параболе................................... 419
Таблица ХМИ. Отношение площадей сектора и треугольника. 422
Таблица XIX. Отношение площадей сектора и треугольника.
с> в единицах 6-го знака ................................. 423
Таблица XX. Решение уравнения Эйлера.....................  424
Таблица XXI. Решение уравнения Эйлера. 1g ц в единицах
5-го знака................................................ 426
Т а б л н ц а XXII. Переход от г2 к г"3 или от г к г 3^2.. 427
Т а б л и ц а XXIII. К вычислению возмущений прямоугольных ко-
ординат .................................................. 441
Таблица XXIV. Математические и астрономические постоянные 442
Таблица XXV. Массы больших планет (включая массы спутни-
ков) и зависящие от них множители......................... 443
Литература. . ................ . .	. .	. .	. .	443

ПРЕДИСЛОВИЕ
В этой книге я ставлю своей целью дать руководство для
решения основной задачи теоретической астрономии — задачи
определения орбит небесных тел, движущихся вокруг Солнца:
малых планет, комет и метеоров.
Для определения первоначальных орбит предложено много
способов, но в практическом применении ко всё увеличиваю-
щемуся числу малых планет и комет постепенно выкристаллизо-
вались в законченные вычислительные схемы и часто приме-
няются астрономами лишь немногие действительно оправдавшие
себя способы, а остальные — как некоторые из них пи интересны
с теоретической стороны — остаются почти без употребления.
При вычислении орбит по трём наблюдениям почти всегда можно
ограничиться классическими способами Гаусса и Ольберса; пред-
ставлялось естественным поэтому изложить эти способы в совре-
менной форме, характеризуемой введением прямоугольных эква-
ториальных координат и приспособленной для вычислений с ариф-
мометром: только в этой форме перед изучающим отчётливо
вскрывается весь ход решения задачи, не говоря о том, что полу-
чаются некоторые выгоды чисто практического свойства, напри-
мер, в отношении учёта параллакса.
Но я не склонен считать, что следует вовсе отказаться от лога-
рифмов при вычислении орбит, и должен добавить, что некото-
рые опытные вычислители находят, что вычисления с логариф-
мами менее утомительны, чем со счётной машиной. Неоднократно
проделанные мной параллельные вычисления показали, что пара-
болическая орбита заметно быстрее вычисляется с логарифмами,
чем с арифмометром, поэтому я счёл необходимым изложить
и логарифмическую форму способа Ольберса, и вообще посвятить
определению параболической орбиты то внимание, которого эта
проблема заслуживает по своей важности. Наоборот, в случае
эллиптической орбиты вычисления с арифмометром быстрее
ведут к цели, чем с логарифмами. Руководствуясь этим, я нашёл
возможным совсем не излагать способа Гаусса в той хорошо
известной форме, которую ему придал Энке и которая имеет
теперь только историческое значение. Зато мне представлялось

ПРЕДИСЛОВИЕ
9
целесообразным остановиться на способах вычисления орбит
в так называемых исключительных случаях, когда эллиптическая
орбита не может быть вычислена по трём наблюдениям, или когда
параболическая орбита не должна определяться по способу
Ольберса. Так же я выделил главу для определения орбиты
по двум наблюдениям и в связи с этим коснулся вопроса об отож-
дествлении малых планет и комет. В свою очередь опущена тео-
рема Ламберта, дающая связь между двумя радиусами-векторами
светила, замыкающей их хордой и большой полуосью орбиты,
с одной стороны, и промежутком времени — с другой. Ещё Гаусс
полагал, что применение этой теоремы нс упрощает решения
задачи определения орбит, и это остаётся верным до сих пор,
если не считать некоторых (достаточно редких) случаев вычи-
сления орбит долгопериодических комет.
Вычисление возмущений при помощи численного интегриро-
вания и получение улучшенных и окончательных орбит рас-
смотрено во второй части книги. Здесь, в частности, предпола-
гается, что читатель знаком с численными методами интегриро-
вания дифференциальных уравнений и со способом наименьших
квадратов; изложение этих математических вопросов не могло
входить в план моей книги. Из методов, предложенных для вычи-
сления возмущённого движения, и методов исправления пред-
варительных орбит мной рассмотрены лишь немногие, действи-
тельно оправдавшие себя на практике.
Я считал своим долгом отнестись со всей тщательностью
к выбору материала, отбирая лишь то, что в конечном итоге
имеет существенное значение для вычисления орбит, памятуя,
при этом, что изучение вопросов, не имеющих полезного приме-
нения, всегда обременительно, если речь идёт о решении прак-
тических задач, к числу которых принадлежит и определе-
ние орбит.
Овладение техникой вычисления орбит даётся не так легко
и требует известного времени. По видимому, так происходит
потому, что у начинающих заниматься этим предметом нет ещё
навыка в производстве длинных астрономических вычислений,
для успешного выполнения которых прежде всего нужны систе-
матичность в работе и терпение. С течением времени приобре-
таются и систематичность, и вычислительные навыки, и способ-
ность наглядно представлять геометрическую сторону отдель-
ных этапов определения орбиты; последнее позволяет вычислять
более уверенно и избегать грубых просчётов. Необходимо также
уметь вкладывать вычисления в ясную и удобную схему (однако
педантизм при этом излишен). Каждый вычислитель, приобретя
известный опыт, делает выбор схемы, сообразуясь со своими
вкусами и привычками и не полагаясь целиком на чужие ука-
зания. Однако, имея в виду начинающих изучать теоретическую

10
ПРЕДИСЛОВИЕ
астрономию, я счёл своей обязанностью дать достаточное число
сводок рабочих формул и вычислительных примеров. Некоторые
примеры (на обработку и подготовку наблюдений, на вычисление
окончательной орбиты) даны с большой подробностью и касаются
не столь простых вещей, как в большинстве существующих
руководств.
Заключительная глава посвящена определению орбит метео-
ров; она включена согласно пожеланию рецензента проф.
Н. И. Идельсона. Пользуюсь случаем выразить ему мою бла-
годарность за ряд ценных советов по многим разделам моего
труда.
В качестве введения предлагается краткий очерк истории
учения об определении орбит.
Приложенные в конце таблицы отвечают почти всем потреб-
ностям, которые могут встретиться при вычислении орбит и эфе-
мерид по изложенным здесь методам.
Хотелось бы надеяться, что эта книга не только окажется
полезной для студентов государственных университетов, изучаю-
щих теоретическую астрономию, но и представит интерес для
астрономов-специалистов, которые, в частности, смогут заме-
тить, что способ, данный мной для исправления орбит, близких
к параболе, при использовании прямоугольных координат,
является новым.
Казань, Гос. университет.	Л. Дубяго
Октябрь 1948 г.

ГЛАВА ПЕРВАЯ
ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТ И ЕЁ ИСТОРИЯ
§ 1. Орбиты малых планеты, комет и метеоров
Изучение движений небесных тел, а также их фигур является
предметом небесной механики. Среди многочисленных и трудных
проблем, входящих в эту область науки, задача определения
орбит малых планет, комет и метеоров принадлежит к числу
наиболее простых, и её решение может быть доведено до конца.
Её практическое значение для астрономии обусловлено тем,
что ежегодно обнаруживаются десятки новых астероидов и откры-
ваются новые кометы и, чтобы успешно следить за ними, необхо-
димо уметь определять их орбиты. Столь же очевидна необхо-
димость вычисления орбит метеоров.
Сила, под влиянием которой совершается движение тел сол-
нечной системы, есть сила всемирного тяготения, действующая
по закону Ньютона. Сами тела могут быть приняты за материаль-
ные точки.
Нет сомнения, что эти оба положения отображают действи-
тельность лишь приближённо. Законно ли ограничиваться только
силой ньютонианского тяготения? Те поправки, которые выте-
кают для закона Ньютона из теории относительности, очень малы
и почти во всех интересующих нас случаях не имеют значения.
Поэтому мы можем не касаться здесь затруднительного вопроса,
насколько обосновано введение в гравитационный закон реля-
тивистских поправок в той или иной форме. Однако, помимо
силы тяготения, на движение, в частности, комет, влияют и дру-
гие силы, имеющие своим источником Солнце, в первую очередь
сила светового давления. Кроме того, усиленное нагревание
комет при их приближении к Солнцу вызывает истечение газов
из их ядер, и масса комет должна постепенно убывать за счёт
выброса газообразных, а заодно и твёрдых частиц: идёт распад
кометы.
По этим, а, может быть, и другим, ещё неизвестным причи-
нам движение многих комет заметно, а иногда и значительно
уклоняется от теории, построенной только на основе закона

12
ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТ И ЕЁ ИСТОРИЯ
[Гл. I
несмирного тяготения. Изучение таких уклонений, из которых
широко известно и упоминается во всех курсах астрономии веко-
вое ускорение кометы Энке,—интересная задача и небесной
механики, и астрофизики.
Но, кроме того, фигура, внутреннее строение и вращение
небесных тел непосредственно сказываются на их поступатель-
ном движении по орбитам. Строго говоря, только для тел, имею-
щих шаровую форму и однородных, или построенных правиль-
ными концентрическими сферическими слоями различной плот-
ности, мы имеем право допускать, что вся их масса сосредото-
чена в центре и что они притягивают друг друга, как материаль-
ные точки. Быть может, тот факт, что кометы иногда отнюдь
не обладают шаровой симметрией (достаточно вспомнить случаи
деления комет), до некоторой степени сказывается в неправиль-
ностях их движения.
Однако расстояния между телами солнечной системы почти
всегда очень велики сравнительно с их размерами и мы всё-таки
обычно имеем право принимать малые планеты и кометы за мате-
риальные точки. В первом приближении допускается, что они
движутся под влиянием притяжения только Солнца, не подвер-
гаясь никаким воздействиям со стороны больших планет. Заме-
тим, что силой взаимного тяготения между самими малыми пла-
нетами или кометами вследствие малости их масс можно всегда
пренебречь. Точно так же неощутимо притяжение звёзд вслед-
ствие их огромных расстояний. При более тщательном исследо-
вании орбит необходимо принимать во внимание те возмущения,
которые вызываются притягивающим действием больших планет.
Возмущения эти в огромном большинстве случаев малы, так как
масса самой крупной планеты — Юпитера в 1047 раз меньше сол-
нечной. В этом подавляющем перевесе центрального светила
над совокупной массой всех остальных тел — залог устойчивости
солнечной системы, которая при иных условиях (например,
если бы вместо Солнца была двойная звезда со значительным
расстоянием между компонентами) едва ли могла бы вообще
существовать в её теперешнем виде. Конечно, устойчивость
солнечной системы, как и всякая устойчивость, относительна,
и, действительно, иногда отдельные кометы подходят так близко
к Юпитеру, что его притяжение начинает доминировать над
солнечным и вызывает коренные изменения в характере комет-
ных орбит; однако это бывает очень редко.
После того как установлен общий характер проблемы опре-
деления орбит, перечислим постепенные этапы её решения.
1)	Нахождение элементов предварительной орбиты без учёта
возмущений, иначе говоря, решение задачи двух тел. Для этой
цели берутся три или изредка четыре наблюдения исследуемого
светила, охватывающих промежуток в несколько дней или недель

§ 1]	ОРБИТЫ МАЛЫХ ПЛАНЕТ, КОМЕТ II МЕТЕОРОВ	13
п только при особых обстоятельствах — в несколько месяцев.
Предварительную орбиту только что открытой планеты или
кометы желательно получить как можно скорее, чтобы иметь
возможность следить за её движением по небу в ближайшее время.
2)	Улучшение предварительной орбиты, которое произво-
дится, когда накопится более длительный ряд наблюдений.
В большинстве случаев при вычислении улучшенной орбиты
можно также пренебречь возмущениями.
3)	Вывод окончательной орбиты. Под окончательной пони-
мается такая орбита, которая наивероятнейшим образом согла-
суется со всей совокупностью произведённых наблюдений. Это,
в частности, относится к кометам, для которых после окончания
периода видимости можно собрать все наблюдения, сделанные
на различных обсерваториях мира. При определении окончатель-
ной орбиты почти всегда надо учитывать возмущения, хотя бы
от главнейших больших планет.
Если орбита небесного тела найдена, то не представляет осо-
бого труда вычислить его эфемериду, т. е. дать положения этого
тела на геоцентрической небесной сфере для ряда равноотстоя-
щих моментов. Эфемерида может быть вычислена на ряд лет
вперёд, обеспечивая в будущем возможность отыскания какой-
либо малой планеты или периодической кометы. В последнем
случае обычно нужно учитывать планетные возмущения.
Дифференциальные уравнения возмущённого движения, соот-
ветствующие задаче трёх и более тел, не допускают, в отличие
от проблемы двух тел, решения в конечном виде. Эти уравнения
решаются приближённо или при помощи рядов, или численным
интегрированием. Решение в виде рядов, дающих аналитическое
выражение возмущений, создаёт полное представление о харак-
тере движения тела в течение достаточно длительного времени,
но применение аналитического метода к большинству малых
планет и почти ко всем кометам довольно затруднительно. Числен-
ные способы учёта возмущений просты и надёжны; они имеют
единственный но важный недостаток: величины возмущений могут
быть найдены лишь внутри охваченного нашими вычислениями
промежутка времени и, если требуется найти возмущения за ряд
лет, работа может стать крайне обременительной. Несмотря
на.это, численные методы учёта возмущений составляют важную
часть теории движения малых планет и комет. *
В отношении метеоров, наблюдения которых всегда произво-
дятся лишь в течение короткого времени их полёта в атмосфере
Земли, не может быть речи об улучшенных орбитах. Орбиты,
вычисляемые для индивидуальных метеоров или для метеорных
потоков, не отличаются большой точностью из-за существенных
ошибок, которым подвержены визуальные наблюдения. Большей
точности (всё же несравнимой с точностью орбит комет и планет)

14
ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТ И ЕЕ ИСТОРИЯ
[Гл. I
можно ожидать от орбит, вычисленных по фотографическим
наблюдениям метеоров, но таких орбит пока ещё немного.
Мы встречаемся в астрономии с задачей определения орбит
и других небесных тел. Так, например, для больших планет,
многих спутников и в первую очередь для Луны мы располагаем
чрезвычайно длительными рядами наблюдений, которые должны
быть по возможности точно представлены теорией. Именно здесь—
главное поле приложения аналитических методов небесной меха-
ники; но этих вопросов мы рассматривать не будем, так как они
выходят за пределы намеченной нами области. Задачи нахожде-
ния орбит вновь открытых спутников планет или двойных звёзд—
визуальных, спектральных и фотометрических—имеют, правда,
то сходство с определением орбит комет и астероидов, что во всех
этих случаях мы встречаемся с проблемой двух тел. Тем не менее
ход решения в каждой из этих задач слишком разнообразен,
и теперь их принято рассматривать особо. Таким образом, мы
ограничимся телами, движущимися вокруг Солнца: малыми пла-
нетами, кометами и метеорами.
§ 2. Первые попытки определения орбит комет до Ньютона
Взгляды древних на природу комет были достаточно смутны
и противоречивы. Надолго укрепилось только мнение Аристо-
теля, что кометы не относятся к числу небесных светил, а пред-
ставляют собой возникшие из земных испарений и воспламенив-
шиеся в воздухе массы. Укажем, как на исключение, на римского
философа Сенеку, который был убеждён, что кометы — небесные
тела, но отличаются от планет характером своих орбит; они
бывают видимы лишь тогда, когда приближаются к Земле.
В сущности не следует удивляться, что Аристотель и Птоле-
мей не относили изучение комет к области астрономии. Простым
глазом могут наблюдаться только яркие кометы, которые
появляются сравнительно редко и бывают видны недолго — в луч-
шем случае несколько месяцев. В движениях комет по небесному
своду отсутствуют правильность и периодичность, столь оче-
видно вскрывающиеся из наблюдений больших планет. Но основ-
ными свойствами небесных тел греки считали неизменность и веч-
ность, а также круговую форму путей; именно этих качеств
кометы лишены самым очевидным образом.
Только в эпоху Возрождения незадолго до открытия Копер-
ника нюрнбергский астроном Региомонтан впервые поставил
своей задачей показать, что кометы—настоящие светила. Он
наблюдал комету 1472 г. с целью отыскать её суточный параллакс
и тем самым определить её расстояние до Земли. Так как на-
блюдения убедили его, что параллакс кометы незаметен, Региомо-
нтан заключил, что кометы должны быть дальше Луны, которая

§ 2] ПЕРВЫЕ ПОПЫТКИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТ КОМЕТ ДО НЬЮТОНА 15
имеет параллакс около 1°. Этот вывод получил своё оконча-
тельное подтверждение спустя сто лет, когда Тихо Браге на основе
своих более точных наблюдений убедился, что комета 1577 г. не
имела ощутимого параллакса.
Тихо был настолько уверен в своих наблюдениях, что сделал
первую в истории астрономии попытку найти орбиту этой кометы.
Сначала он предположил, что комета двигалась вокруг Земли,
и вычислил для неё геоцентрическую орбиту, но не удовлетво-
рился этим и стал далее отыскивать гелиоцентрическую орбиту.
Эти вычисления велись им, повидимому, в духе птолемеевой тео-
рии эпициклов, которую применить к кометам не так-то легко
(из-за того, что кометы наблюдаются лишь непродолжительное
время), и неудивительно, что работа Тихо Браге об орбите кометы
1577 г. не дала приемлемого решения.
Тем не менее любопытно высказанное Тихо убеждение, что
кругов, описываемых кометами, на самом деле на небе нет, что
эти круги—только мысленное пособие для вычислений. Более
того, он мимоходом говорит, что комета, может быть, описывает
около Солнца не круговой, а вытянутый путь яйцевидной формы.
Эта смелая по тому времени мысль — порвать с привычной круго-
вой формой орбит небесных тел, конечно, не могла быть дока-
зана Тихо Браге и осталась непроверенным предположением.
Успехи, достигнутые Коперником и Кеплером в объяснении
истинного характера движений планет, в частности, три закона
Кеплера, должны были рано или поздно привести к открытию
формы кометных орбит, но это случилось далеко не сразу. Так,
например, сам Кеплер полагал, что траектории комет—прямые
линии. С точки зрения Кеплера это было логичным заключением,
ибо Кеплер считал, что кометы не возвращаются периодически,
а из всех видов орбит небесных тел он знал только эллипсы,
являющиеся замкнутыми кривыми. Позднее Борелли и Гевелип
дошли до мысли, что кометы движутся по параболам и гипербо-
лам, но ещё никто не догадался поместить Солнце в фокусе орбит.
Наконец, уже совсем незадолго до опубликования «Начал»
Ньютона появилось сочинение Дёрфеля о комете 1680 г., в кото-
ром впервые высказано предположение (только предположение!),
что траектория кометы является параболой с фокусом в Солнце.
Несомненно, что Дёрфель здесь мог руководствоваться аналогией
со вторым законом Кеплера, но тем не менее ему было не так
просто убедиться в этом.
Действительно, в чём главная трудность задачи нахождения
орбит тел солнечной системы? Если бы мы, наблюдая направле-
ния на светила и для наглядности отмечая их точками на небес-
ной сфере, одновременно узнавали расстояния этих тел до Земли,
тогда, конечно, было бы легко построить истинные орбиты в про-
странстве и найти их форму. Однако расстояний до комет мы

16	ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТ II ЕЕ ИСТОРИЯ	[Гл. I
не знаем, а на самом деле наблюдатель на Земле, помещающий
себя в центр небесной сферы, движется вместе с Землёй
вокруг Солнца, так что видимое перемещение светила на небе
слагается из движения самого светила и движения Земли в про-
странстве. Поэтому Дёрфель должен был, не пользуясь вычи-
слениями, вообразить в пространстве чертёж наблюдённых им
направлений на комету и из него обнаружить её параболическую
траекторию.
Лишь после того как законы движения материальных тел
были отчётливо поняты и когда в результате открытия Ньютоном
закона всемирного тяготения были осмыслены и приобрели окон-
чательную формулировку законы Кеплера, можно было изо-
брести правила для определения орбит комет по немногим наблю-
дениям, охватывающим небольшой срок. Кропотливые методы,
при помощи которых Кеплер установил законы движения планет,
опирались на многочисленные и долголетние наблюдения, позво-
лявшие вывести с большой точностью периоды обращений пла-
нет. Для орбит комет эти методы были неприменимы, и только
с Ньютона начинается теоретическая астрономия, или, точнее
говоря, теория определения орбит комет и, позже, малых планет.
§ 3. Эпоха Ньютона и Галлея
В «Математических началах натуральной философии» Ньютон
говорит о задаче определения кометной орбиты, что она чрезвы-
чайно трудна, и её решение было им отыскано не сразу.
Первоначальный способ Ньютона, обрисованный им самим
только в самых общих чертах и, кажется, практически им пи разу
не проверенный, был неудачен. В основу было положено всё
то же кеплерово предположение, что за время наблюдений комета
движется по отрезку прямой линии с постоянной скоростью.
Более того, если проанализировать ход рассуждений Ньютона,
то оказывается, что он принимал такое же движение и для Земли.
Правда, он рассматривает перемещения кометы и Земли только
на протяжении двух часов времени, но это ведёт лишь к новым
ошибкам.
Повидимому, от Ньютона не остались скрытыми недостатки
его первого способа, ио он не остановился перед трудностями
и, исходя из совершенно иных предпосылок, разработал и изло-
жил в третьей книге «Начал» другой, вполне надёжный способ
определения кометных орбит по трём наблюдениям. Прежде
всего отметим, что у Ньютона главная часть решения по этому
методу выполнялась при помощи графических построений. Точ-
ность найденных таким путём элементов орбиты была обычно
достаточной, если вспомнить, что тогда измерения, определяющие1
положения комет, были довольно грубыми, и не так редко встреча-

§ В]	ЭПОХА НЬЮТОНА И ГАЛЛЕЯ	17
лись ошибки в координатах до 15' и даже более. Впрочем, позднее
Ньютон указал, как надо поступать, чтобы уточнить при помощи
вычислений элементы орбиты, полученные графически и тем
самым достигнуть любой требуемой точности.
Три наблюдения кометы определяют три направления на неё,
проведённые из трёх положений Земли в моменты наблюдений.
Строя на чертеже проекции этих направлений на плоскость
эклиптики, Ньютон выбирает, сначала произвольно, некоторое
положение кометы на среднем из направлений. Рассматривая
в проекции на эклиптику радиус-вектор кометы в момент второго
наблюдения и хорду между первым и третьим положениями кометы,
Ньютон сначала считает, что хорда делится радиусом-вектором
на отрезки, пропорциональные промежуткам времени между
первым и вторым и соответственно между вторым и третьим
наблюдениями. To-есть, этим как бы предполагается, что точка
пересечения радиуса-вектора и хорды движется по последней
с постоянной скоростью, что не совершенно точно соответствует
действительности, но, во всяком случае, гораздо лучше, чем
допущение, что сама комета движется прямолинейно и равно-
мерно. Ньютон, однако, не удовлетворился этим и с большим
искусством нашёл новую точку хорды, в которой деление пропор-
ционально промежуткам времени осуществляется ещё много
точнее, чем по первому предположению. Кроме того, длина
хорды должна отвечать динамическому условию, вытекающему
из того, что комета движется по параболе. Выполнения этих
требований можно достигнуть путём проб, варьируя положение
кометы на втором наблюдённом направлении. После этого
построение самой орбиты и определение её элементов не встре-
чают особых затруднений. В качестве примера Ньютон даёт
(очень кратко) главные этапы отыскания орбиты яркой кометы
1680 г., той самой, которую наблюдал и Дёрфель.
Акад. А. Н. Крылов подробно разобрал метод Ньютона,
как он изложен в «Началах» [8]; он показал, как можно переве-
сти геометрические рассуждения Ньютона на язык формул,
и вычислением нескольких орбит установил, что способ Ньютона
даёт хорошее согласие с наблюдениями. А. Н. Крылов разъяснил
слишком сжатые рассуждения Ньютона, которые в своё время
были настолько трудны для понимания, что из всех современни-
ков Ньютона только Галлей смог полностью освоить ньютонов
метод и применить его к вычислению орбит тех комет, над кото-
рыми было произведено достаточное количество наблюдений.
Первый список 24 комет, наблюдавшихся между 1337 и 1698 гг.,
был опубликован Галлеем в 1705 г. Огромный труд, затраченный
дм на эти вычисления в связи с несовершенством вычислительной
техники той эпохи, был вознаграждён открытием первой перио-
дической кометы, которой позднее было присвоено его имя.
2 А. Д. Дубяго

18	ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТ И ЕЁ ИСТОРИЯ	[Гл. I
Сравнивая элементы орбит комет 1531, 1607 и 1682 гг., Гал-
лей не мог не заметить их сходства и отсюда заключил, что в эти
годы появлялась одна и та же комета, движущаяся вокруг
Солнца по замкнутой эллиптической орбите с периодом около
75 лет. Позднее он же обнаружил, что эта комета появлялась
и в 1456 г., а в наше время в результате исследований Коуэлла
и Кроммелина и М. А. Вильева обнаружен в старинных, преиму-
щественно китайских, хрониках целый ряд более ранних появле-
ний кометы Галлея. В своей замечательной работе, посвящён-
ной древнейшим появлениям кометы Галлея, М, А. Вильев указы-
вает, что комета, наблюдавшаяся в Китае в 467 г. до н. э., была,
вероятно, кометой Галлея, и тогда это—древнейшее её появление,
которое нам известно [3]. Галлей был настолько уверен в своих
результатах, что решился предсказать следующее появление ко-
меты на конец 1758 г. Это предсказание, подтверждённое и уточ-
нённое исследованиями Клеро, который вычислил возмущения
кометы от Юпитера и Сатурна, оправдалось блестящим образом
и явилось в глазах современников подлинным триумфом закона
всемирного тяготения, ярким подтверждением правильности мате-
риалистического взгляда на мир.
§ 4.	Работы Эйлера, Ламберта, Лагранжа и Лапласа
Первый чисто аналитический способ вычисления кометных
орбит был предложен Эйлером в 1744 г. Однако сам Эйлер вскоре
убедился, что этот способ страдает рядом недостатков: в нём
используется целых четыре наблюдения, т. е. большее число,
чем требуется сущностью задачи, а вычисления длинны и уто-
мительны.
Гораздо важнее, что Эйлеру принадлежит открытие уравне-
ния, связывающего два радиуса-вектора и опирающуюся на них
хорду параболы с промежутком времени, в течение которого
комета описывает соответствующую дугу. Знать для этого эле-
менты орбиты не нужно. Правда, Ньютону было известно гео-
метрическое соотношение, совершенно равносильное уравнению
Эйлера, которое он применил в своём методе, но только в форму-
лировке Эйлера эта теорема стала действительно плодотворной
для теории определения параболических орбит; подробное изло-
жение истории этой замечательной теоремы дал А. Н. Крылов.
Ламберт в своих работах 1761 и 1771 гг. установил ряд поло-
жений, которые в дальнейшем существенно облегчили задачу
кометных орбит, рельефно выделяя её главнейшие принципиаль-
ные моменты.
Он утверждал, что самое главное — свести задачу к одной,
какой угодно, неизвестной, для которой можно быстро найти
приближённое значение, а затем —дать способ исправления этого

s 4] РАБОТЫ ЭЙЛЕРА, ЛАМБЕРТА, ЛАГРАНЖА И ЛАПЛАСА	19
приближённого значения. Он указал, что гораздо выгоднее про-
ектировать параболическую орбиту не на плоскость эклиптики,
как это делал Ньютон, а на другую плоскость, перпендикуляр-
ную к радиусу-вектору в момент второго наблюдения.
Ламберт дал обобщённую формулировку теоремы Эйлера
для случая эллиптических и гиперболических орбит и он же уста-
новил интересную теорему о кривизне видимых траекторий тел
солнечной системы на небесной сфере. Эта теорема указывает
(в принципе) прямой путь для нахождения расстояний светил
от Солнца.
Однако Ламберту не удалось сочетать результаты своих изы-
сканий в единое целое и он не создал законченного способа опре-
деления кометных орбит. Ламберт был прежде всего геометром,
и аналитическая разработка метода не соответствовала его склон-
ностям, однако только она и могла привести к успеху, который
достался последователям Ламберта.
Исследования Лагранжа, опубликованные в 1778 и 1783 гг.,
уже после смерти ‘Ламберта, подготовили решение общей про-
блемы: определить орбиту небесного тела, не задаваясь заранее
какими-либо предположениями об её эксцентриситете. Лагранж,
как и Ламберт, не сумел приспособить свои методы к требова-
ниям практики вычисления орбит, но тем не менее, его выводы
имеют фундаментальное значение для теоретической астрономии.
Лагранж подверг общую задачу определения орбит аналитиче-
ской трактовке, и его анализ глубок и изящен. Лагранж исходил
из условия, что все три наблюдённые положения светила лежат
в одной плоскости с Солнцем; разрешив получившиеся урав-
нения, он дал разложение по степеням времени для площадей
треугольников, образованных тремя радиусами-векторами и за-
мыкающими их хордами орбиты. Наконец, Лагранж свёл зада-
чу нахождения радиуса-вектора в момент второго наблюдения
к решению уравнения восьмой степени.
Результаты, полученные Лагранжем в его первом мемуаре,
приобрели законченную форму в способе Гаусса. Во втором
мемуаре Лагранж подходит к задаче по-иному, используя коор-
динаты и компоненты скорости тела в момент второго наблюде-
ния в качестве искомых констант в интегралах дифференциаль-
ных уравнений движения. Ряд авторов, из которых первым был
И. А. Востоков [5], пробовали сделать второй метод Лагранжа
пригодным для практических вычислений; это им в значитель-
ной степени удалось, но всё же большого распространения этот
метод не получил.
С другой стороны, Лагранж занимался вопросом отыскания
возмущений, которым подвергаются кометы от больших планет.
Правда, до него эту задачу изучал Клеро; более того, уже
Эйлер использовал для этой цели способ вариации произвольных
2*

20
ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТ И ЕЕ ИСТОРИЯ
[Гл. I
постоянных. Но лишь Лагранж сумел выявить все возможности
этого способа, почему он и носит его имя.
Если рассматривать только задачу двух тел, то дифферен-
циальные уравнения относительного движения (например, кометы
вокруг Солнца) решаются в конечном виде, и в решении будут
фигурировать шесть произвольных постоянных; таковыми могут
быть, в частности, обычные элементы орбиты. Если мы будем
учитывать действие третьего тела, то в правые части дифферен-
циальных уравнений войдут дополнительные члены, и движение
уже не будет совершаться по законам Кеплера. Но можно попреж-
нему удовлетворить уравнениям движения общими формулами
невозмущённого движения, если полагать, что элементы орбиты
не постоянны, а сами изменяются со временем. Производные
от элементов по времени могут быть вычислены для любого
момента, после чего можно путём численного* интегрирования
найти значения элементов для любой эпохи, что и решает задачу.
Способ вариации элементов орбиты был в XIX веке разработан
со всей подробностью и нашёл широкое распространение.
Начиная с Ньютона, проблема определения орбит всегда ста-
вилась так, что её целью являлось отыскание системы элементов,
возможно точно удовлетворяющих трём должным образом выбран-
ным наблюдениям светила. Это—самая естественная постановка
вопроса, и она себя вполне оправдала и в дальнейшем.
Совершенно из других предпосылок исходил Лаплас. В его
методе, предложенном в 1780 г., число используемых наблюде-
ний не ограничено, и из их совокупности определяются для некото-
рого момента (обычно для момента одного из наблюдений) коор-
динаты светила на небесной сфере и их первые и вторые произ-
водные по времени. Лаплас показал, как из этих шести величин
можно простым и строгим образом вывести все элементы орбиты
для любого вида конического сечения, описываемого небесным
телом вокруг Солнца.
С точки зрения анализа едва ли можно найти более совершен-
ное решение, чем полученное Лапласом. Однако многократно
подчёркивалось, что задача определения орбит вовсе не отно-
сится только к области анализа, но что это—прежде всего прак-
тическая задача, и практические соображения о точности резуль-
татов и удобства вычислительного процесса имеют решающее
значение. Метод Лапласа не оправдал себя на практике потому,
что очень трудно, почти невозможно, вывести из наблюдений
с достаточной точностью первые и вторые производные от пря-
мых восхождений и склонений светила. Основная мысль этого
метода настолько заманчива, что её неоднократно пытались видо-
изменить и приспособить к практике. Особенно много усилий
приложил в этом направлении Лейшнер. В конце концов ему
удалось добиться согласия с наблюдениями, но лишь путём длин-

СПОСОБЫ ОЛЬБЕРСА И ГАУССА
21
§ 5]
ного и запутанного процесса улучшения элементов, полученных
прямым решением (которое, как правило, плохо удовлетворяет
наблюдениям). Так, способ Лапласа и не привился в практике
астрономов.
§ 5.	Способы Ольберса и Гаусса
Трудами Ламберта и Лагранжа была полностью подготовлена
почва для успешного решения задачи определения параболиче-
ских орбит. В 1797 г. было опубликовано сочинение Ольберса
под заглавием: «О простейшем и удобнейшем методе для вычисле-
ния орбиты кометы». Способ Ольберса и до сих пор оправдывает
это название. С течением времени в него было внесено немало
изменений, однако они не затронули основной идеи метода.
Допуская, что хорда между первым и третьим положениями
кометы на орбите делится средним радиусом-вектором в отно-
шении промежутков времени между наблюдениями, как это
делал и Ньютон в своём первом приближении, Ольберс получает
уравнение, связывающее первое и третье геоцентрические рас-
стояния кометы; второе необходимое соотношение между ними
даётся уравнением Эйлера. В этом и заключается сущность реше-
ния, так как после нахождения расстояний светила от Земли
вычислить самые элементы орбиты уже не представляет труда.
Ольберс пишет, что он внимательно изучил работы своих
предшественников и из их числа он несомненно более всех обя-
зан Ламберту, но Ольберс осуществил то, что Ламберт только
наметил, — он дал практически удобный способ решения уравне-
ний для геоцентрических расстояний путём проб. В способе
Ольберса хорошо найдена нужная грань точности. Удобство
способа Ольберса в значительной мере зависит от того, что он
не вполне точен; но дело в том, что погрешность основного допу-
щения Ольберса в большинстве случаев даёт эффект, не превы-
шающий влияния ошибок наблюдений; кроме того, всегда имеется
возможность исправить орбиту и получить, если нужно, лучшее
согласие с наблюдениями.
Киевский астроном Фабрициус показал, что метод, в сущно-
сти идентичный с методом Ольберса, содержится уже в работе
Дю Сежура 1779 г., но сам Дю Сежур не придал своим выводам
большого значения, а Ольберс, хотя и читал мемуар Дю Сежура,
но вряд ли слишком внимательно, так как в своей книге говорит
о нём мимоходом.
Стимулом к решению общей задачи определения орбит послу-
жили открытия новых планет. Найденное Тициусом эмпириче-
ское правило для расстояний планет от Солнца указывало на явный
пробел между Марсом и Юпитером. Открытие Урана Гершелем
п 1781 г. расширило число известных с незапамятной древности

22
ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТ И ЕЁ ИСТОРИЯ
[Гл. I
планет и заодно явилось хорошим подтверждением правила
Тициуса. Многие астрономы не сомневались, что между Марсом
и Юпитером движется ещё одна необнаруженная планета, и осенью
1800 г. по инициативе Цаха было решено начать её поиски, поде-
лив область эклиптики на 24 участка и поручив каждый из них
одному из участников плана Цаха.
В числе их был намечен Пиацци, но прежде чем он успел полу-
чить об этом уведомление, он уже открыл 1 января 1801 г. новую
планету. Пиацци наблюдал её до середины февраля, а когда све-
дения о ней дошли до других обсерваторий, планета уже исчезла
в лучах Солнца. Она должна была стать снова видимой осенью
того же года, но поиски её были бы очень затруднены, если бы
за вычисление её орбиты не взялся Гаусс, который нашёл систе-
му .эллиптических элементов, удовлетворяющих наблюдениям
Пиацци, и дал эфемериду планеты. По этой эфемериде Ольберс
отыскал её снова, ровно через год после открытия, 1 января
1802 г., и Пиацци дал новой планете имя Цереры.
Исследования Гаусса, озаглавленные «Теория движения небес-
ных тел, обращающихся вокруг Солнца по коническим сечениям»,
были изданы в 1809 г. В них главное содержание составляет выра-
ботанный Гауссом способ определения эллиптических орбит,
в котором Гаусс во многом дополнил и развил идеи Лагранжа
и довёл решение до практической законченности. Он показал,
что крайне трудно свести задачу к отысканию одной неизвестной,
а гораздо удобнее отыскивать значения двух неизвестных. Ему
удалось придать основному лагранжеву уравнению восьмой
степени простую и изящную тригонометрическую форму. Он дал
способ для отыскания с любой точностью отношения площади
сектора конического сечения между двумя радиусами-векторами
к треугольнику, образованному ими же и хордой. Очень большое
значение имело, что Гаусс был не только теоретиком, но и вычисли-
телем-практиком, тщательно и глубоко изучившим технику вычи-
слительного процесса и впервые создавшим её рациональные
основы; его книга содержит много поучительного также и с этой
стороны.
§ 6.	Дальнейшее развитие теории определения орбит
После Ольберса и Гаусса учение об определении орбит при-
обрело известную законченность, но не остановилось в своём
развитии. Трудами ряда крупнейших математиков той эпохи —
все они одновременно были и астрономами — были установлены
основные принципы, но разрабатывать их можно было в самых
разнообразных направлениях. Новых способов для определения
орбит (однако основанных на уже известных принципах) было
предложено очень много, но они не только не вытеснили способов
Ольберса и Гаусса, но можно сказать, что новые способы не

§ 6J ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТ 23
выдержали сравнения с ними на практике. Так, например, дела-
лись попытки повысить точность первого приближения против той,
которую даёт способ Гаусса; это оказалось возможным и привело
в некоторых случаях к меньшему количеству приближений срав-
нительно со способом Гаусса, но формулы настолько услож-
нились, что в итоге получилась не экономия, а потеря рабочего
времени. Однако нельзя отрицать, что были найдены отдельные
очень интересные результаты, вроде изящных выражений Джиббса,
дающих отношения площадей треугольников между радиусами-
векторами с высокой степенью точности. На основе этих формул
был выработан Фабрициусом оригинальный способ вычисления
орбит [16].
• Способ Гаусса имеет то достоинство, что он позволяет без
особого труда сколь угодно повысить точность первого прибли-
жения и тем самым достичь полного согласия с положенными
в основу вычисления орбиты наблюдениями. Тысячи орбит малых
планет и комет, вычисленные по способу Гаусса, подтвердили его
удобство и эффективность.
Наряду с этим следует отметить, что М. Ф. Субботин провёл
глубокое исследование теоремы Эйлера-Ламберта, представляю-
щей обобщение формулы Эйлера для параболы на случай любого
эксцентриситета, и показал, что исходя из неё может быть создан
новый метод определения орбит, принципиально отличающийся
от гауссова.
Несколько меньше внимания уделялось теории параболиче-
ских орбит. При решении этой задачи может встретиться случай,
когда положения кометы на небесной сфере располагаются таким
образом, что способ Ольберса не даёт надёжных результатов.
Определение орбиты возможно и в этом случае, но в основу вычи-
сления должно быть положено иное, чем у Ольберса, уравнение
между геоцентрическими расстояниями. Этим вопросом зани-
мался и Гаусс, и более подробно Оппольцер.
Подобный исключительный случай в расположении наблюде-
ний может иметь место и для эллипса. Теоретически, он насту-
пает тогда, когда орбита лежит в плоскости эклиптики. Однако
орбита вычисляется ненадёжно, если её наклон к эклиптике мал,
не будучи строго равен нулю. При малом наклонении трёх
наблюдений недостаточно для определения орбиты и надо брать
четыре наблюдения. Это было ясно ещё Гауссу, и он дал соот-
ветствующие формулы для вывода орбиты по четырём наблю-
дениям.
Ему же принадлежит метод определения круговой орбиты.
Разумеется, точно круговых орбит не бывает, но в таком предполо-
жении производятся вычисления, если сделано всего два наблю-
дения над малой планетой, чего достаточно для нахождения
четырёх элементов, характеризующих круговую орбиту, но,

24
ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТ И ЕЁ ИСТОРИЯ
[Гл. I
конечно, недостаточно для эллипса. Задача эта довольно проста
и решалась в различной форме до Гаусса и после него.
Проблема определения орбиты не всегда имеет одно решение,
хотя кратные решения встречаются на практике почти исключи-
тельно при вычислении орбит комет, находящихся на небольших
расстояниях от Солнца.
А. А. Яковкин исследовал изящным геометрическим методом
возможность кратных решений для параболической орбиты [17].
При определении параболической орбиты нужно найти только
пять элементов, так как эксцентриситет принимается равным
единице. Поэтому второе наблюдение входит в вычисление не пол-
ностью; для построения основного соотношения между геоцен-
трическими расстояниями достаточно взять некоторый большой
круг, проходящий через второе наблюдённое место кометы.
В способе Ольберса этот круг проводится также через второе
положение Солнца на геоцентрической небесной сфере. Считая
заданными только первое и третье положения кометы, А. А. Яков-
кин рассматривал все возможные положения, которые может
занимать комета, движущаяся по параболической орбите, в момент
второго наблюдения. Эти положения лежат на некоторой кривой,
которую А. А. Яковкин назвал изохроной. Если изохрона пере-
секает в какой-то точке основной круг способа Ольберса, мы
будем иметь орбиту, удовлетворяющую исходным условиям.
Таких пересечений может быть одно или три; столько же реше-
ний будет иметь проблема определения орбиты по способу Оль-
берса. Ещё более интересно, что в исключительном случае, когда
способ Ольберса непригоден, и приходится иным образом прово-
дить большой круг через второе положение кометы, решений
может быть пять. Исследуя изохрону подробнее, А. А. Яковкин
сделал важные выводы о точности вычисления параболических
элементов орбиты.
Много обещает предложенная А. А. Яковкиным идея, приме-
нить для отыскания площади эллиптического сектора между
двумя радиусами-векторами планиметр оригинальной конструк-
ции; тем самым намечается возможность заменить трудоёмкий
процесс вычисления отношения площади сектора к площади тре-
угольника, играющий существенную роль в определении эллип-
тической орбиты, несложными механическими измерениями.
Исследования Скиапарелли, опубликованные в 1866 г., уста-
новили связь между метеорными потоками и кометами. Этим
не только был сделан крупный шаг вперёд в познании космиче-
ской природы метеоров, на которой настаивал Э. Ф. Хладный ещё
в 1794 г., но и дан толчок развитию методов определения орбит
метеоров. При вычислении орбит метеоров принципиальное упро-
щение возникает из-за того, что положение метеоров в простран-
стве может считаться известным (совпадающим с положением

§ 6] ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАС ВИТКЕ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТ 25
Земли), и орбита будет получена, если наблюдения дадут ско-
рость метеоров по величине и направлению. Впрочем, значение
скорости часто можно считать равным параболической скорости
на расстоянии Земли от Солнца.
Ф. А. Бредихин, создавший теорию происхождения метеор-
ных потоков, изучал также их орбиты, и, в частности, его работы
пролили свет на тот факт, что метеоры одного потока могут быть
наблюдаемы несколько дней подряд: они движутся не по одной
орбите, а по пучку орбит, пересекающихся в одной точке [21].
Исследованиями возмущений, испытываемых важнейшими метеор-
ными потоками, занимался Г. А. Шайн [35]. К. П. Станюкович
и И. С. Астапович дали методы вычисления траектории метеора
в атмосфере на основании наблюдений из двух различных пунк-
тов земной поверхности. Задача эта прежде обычно решалась
на основе упрощённых и неудовлетворительных предпосылок, и
практические результаты получались невысокого качества.
За последние десятилетия значительно изменилась вся тех-
ника вычислений. Прежде астрономические вычисления произво-
дились при помощи логарифмов, что, в частности, требовало при-
ведения рабочих формул к виду, удобному для логарифмирова-
ния, иногда путём довольно искусственных преобразований,
преимущественно тригонометрических, сквозь которые нелегко
было следить за развитием основной идеи того или иного метода.
В связи с этим обычно применялись эклиптикальные координаты,
имеющие то преимущество, что одной из координат (широтой
Солнца) можно пренебрегать по её малости.
В наше время приобрели распространение быстро и надёжно
работающие счётные машины, которые во многих вычислениях,
в том числе и в определении орбит, начали вытеснять логарифмы.
При пользовании арифмометром оказалось выгодным сохранить
экваториальные координаты, как они получаются из наблюде-
ний. Тем самым отпала необходимость преобразования коорди-
нат к эклиптической системе, облегчился учёт параллакса,
а основные формулы вычисления орбит, благодаря применению
прямоугольных координат и упразднению тригонометрических
преобразований, приобрели простой и понятный вид.
Все эти преимущества не подлежат сомнению, тем не менее
существуют задачи, например, задача определения параболиче-
ской орбиты, при решении которых логарифмы все-таки быстрее
приводят к цели.
В разработке методов учёта возмущений также были дости-
гнуты существенные успехи. Помимо способа вариации постоян-
ных, который даёт возмущения элементов орбиты, были созданы
способы вычисления возмущений координат светил. Метод, пред-
ложенный Ганзеном для вычисления возмущений полярных коор-
динат, предназначался главным образом для периодических

26
ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТ И ЕЁ ИСТОРИЯ
[Гл. I
комет, движущихся по орбитам со значительным эксцентрисите-
том; впрочем, он применялся не так часто. Для небольших про-
межутков времени оказалось очень выгодным вычислять возму-
щения в прямоугольных координатах. Вместо шести элементов
фигурируют только три координаты, и сами формулы, почти
одновременно опубликованные Бондом в 1849 г. и Энке в 1851 г.,
просты и особенно легко применяются в вычислениях с помощью
счётной машины.
В 1909 г. Коуэлл и Кроммелин дали метод, в котором путём
численного интегрирования получаются не возмущения коорди-
нат, то-есть разности между возмущёнными и невозмущёнными
координатами, а сами возмущённые координаты. Этот метод ос-
нован на почти непосредственном использовании дифференци-
альных уравнений движения, написанных в их простейшей
форме — в прямоугольных координатах; он хорошо оправдал
себя на деле.
Определение уточнённых и окончательных орбит было пред-
метом многочисленных работ, появившихся в XIX и XX веках.
Укажем на замечательные идеи М. А. Ковальского, связанные
с изобретением способа исправления орбиты в координатах,
отнесённых не к экватору или эклиптике, а к плоскости самой
исправляемой орбиты [28]. Подобный метод, впоследствии усо-
вершенствованный, нашёл широкое применение в области опре-
деления орбит малых планет и оказался очень простым на прак-
тике. Важные результаты по теории исправления кометных
орбит получил С. А. Казаков [26].
Но наши учёные не только сыграли выдающуюся роль в раз-
витии учения об определении орбит; им принадлежат фундамен-
тальные работы, посвящённые детальному изучению движения
отдельных планет и комет, представляющие глубокий интерес.
Мы уже видели выше, что Эйлер, который был академиком
Петербургской Академии Наук, разработал первый аналитиче-
ский способ определения орбит, и с его именем связана знамени-
тая формула, лежащая в основе определения параболической
орбиты. Под его руководством другой петербургский академик
Лексель провёл исследования и вычисления над эллиптической
орбитой кометы 1770 г. и определил её период. Эта комета оказа-
лась первой короткопериодической кометой, ибо до того была
известна единственная периодическая комета Галлея, имеющая
гораздо более длинный период. После исследований Лекселя
показалось удивительным, что его комета не наблюдалась ни до,
ни после 1770 г., хотя период её составляет всего 5% лет. Лаплас
разъяснил, почему не удалось найти комету в её последующих
возвращениях: комета в 1767 г. сильно приблизилась к Юпитеру,
который своим притяжением настолько изменил её орбиту, что
комета стала двигаться по эллипсу с коротким периодом, но такой

§ 6] ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТ 27
путь она описывала только до 1779 г., когда новое сближение
с Юпитером ещё раз коренным образом изменило её орбиту, так
что комета перестала быть доступной для наблюдений. Комета
Лекселя, названная так по имени её первого исследователя,
наподобие комет Галлея и Энке, также открытых другими лицами,
замечательна ещё и тем, что в своём появлении в 1770 г. она
подходила к Земле ближе, чем любое другое тело солнечной
системы, за исключением Луны, крошечных астероидов Адониса
и Гермеса и метеоров.
Кроме того, Лексель вычислил орбиту открытого в 1781 г.
Урана и подтвердил, что он является новой планетой, движу-
щейся далеко за Сатурном. Уклонение движения Урана от своих
вычислений он пробовал объяснить воздействием неизвестной
планеты, находящейся на огромном расстоянии от Солнца. Разу-
меется, данные, которыми располагал Лексель, были совер-
шенно недостаточны для обоснования его гипотезы, тем не менее
именно уклонения Урана от теории, построенной только с учё-
том действия известных планет, привели много позднее к откры-
тию Нептуна.
Коснувшись открытия Нептуна, нельзя не отметить, что его
движение тщательно исследовал М. А. Ковальский, построивший
первые таблицы этой планеты, которыми пользовались ряд лет
для вычисления эфемерид, даваемых в астрономических ежегод-
никах.
Из многочисленных работ, посвящённых изучению движения
отдельных малых планет, следует выделить исследование орбиты
планеты 122 Герда, выполненное А. А. Ивановым и опирающееся
на наблюдения, произведённые в течение многих десятков лет.
Глубокие теоретические изыскания М. А. Вильева затраги-
вают самые разнообразные вопросы, связанные с определением
орбит. Вильев любил и умел вычислять, не ограничиваясь
теорией, он вычислил множество орбит малых планет и комет и
его эфемериды оказали неоценимые услуги наблюдателям.
После безвременной смерти Вильева его работы были про-
должены коллективом астрономов Государственного вычислитель-
ного института, основанного в 1920 г. в Ленинграде и позднее
преобразованного в Астрономический институт, а в 1943 г. — в
Институт теоретической астрономии.
Одной из основных задач этого института являлось вычисление
и издание «Астрономического ежегодника СССР», выходившего без
перерыва с 1922 г. Этот ежегодник непрерывно совершенствовался;
особенно много сделал в этом отношении Н. И. Идельсон, при-
давший ему в 1941 г. его современную форму. «Астрономический
ежегодник СССР» является необходимым пособием для всех
советских астрономов, занимающихся вычислениями орбит и
эфемерид.

28
ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТ И ЕЕ ИСТОРИЯ
[Гл. I
В Институте теоретической астрономии широко развернулись
работы над малыми планетами. Помимо вычисления абсолютных
возмущений для ряда планет, для многих планет возмущения
отыскивались в особых координатах численным методом, спе-
циально разработанным в этом институте для малых планет.
Этот метод, носивший прежде название метода экстраполирования,
может представлять известные выгоды при условии пользования
обширными вспомогательными таблицами, составленными спе-
циально для этой цели, и если вычисления ведутся в массовом
порядке.
В последние годы Институт теоретической астрономии под
руководством М. Ф. Субботина стал международным центром
работ над малыми планетами, обеспечивая с 1946 г. частично,
а с 1948 г. полностью вычисление и издание эфемерид для розысков
малых планет. Эти эфемериды для большинства планет вычисля-
ются без возмущений, но для многих малых планет учитываются
абсолютные возмущения, или же находятся численные значе-
ния возмущений. Обширные работы, проведённые в Институте по
абсолютным возмущениям малых планет, выходят за рамки
нашей темы.
Там же были выполнены интересные исследования над дви-
жением периодических комет, из которых мы отметим работу
Н. И. Идельсона и М. М. Мусселиуса над кометой Мешена-
Туттля.
Определением окончательных орбит комет занимались мно-
гие наши астрономы: М. А. Вильев, С. А. Казаков, А. А. Ми-
хайлов, И. Ф. Полак и другие. Зачастую эти исследова-
ния отличаются большой тщательностью и стремлением к воз-
можному повышению точности результатов: учитываются самым
тщательным образом возмущения, выводятся наивероятнейшие
положения звёзд сравнения по многим каталогам, с учётом
их систематических поправок для приведения к фундаментальной
системе, внимательно изучаются сами наблюдения кометы. Осо-
бый интерес представляют работы Г. Н. Неуймина о движении
второй из открытых им периодических комет.
Но самые обширные и глубокие по замыслу исследования были
проведены в Пулковской обсерватории над кометой Энке, обла-
дающей наиболее коротким периодом обращения вокруг Солнца.
В результате долголетних вычислений и теоретических изыска-
ний Э. Астена, О. А. Баклунда, Л. Л. Маткевича и Н. И. Идель-
сона тщательнейшим образом изучено движение этой кометы
за огромный отрезок времени, начиная с 1819 г., когда эта комета
была открыта Понсом и когда Энке установил её периодичность.
Детальное исследование векового ускорения кометы Энке было
выполнено Баклундом, который показал, что это ускорение было
более или менее постоянным с 1819 г. по 1858 г., а затем резко

$ 6] ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТ 29
уменьшилось, причём его значение испытывает частые колебания
от одного оборота кометы к другому.
Изучение движения малых планет и комет требует методич-
ности и терпения при проведении длинных, однообразных и кро-
потливых вычислений. Подобным изысканиям посвятили многие
крупные теоретики десятилетия напряжённого труда. Эти усилия
не пропали даром: как пример мы можем ещё раз взять исследо-
вание векового ускорения кометы Энке, столь явно показавшее,
что не все движения в нашей солнечной системе целиком упра-
вляются законом всемирного тяготения. Со времени открытия этого
явления прошло более ста лет, комета Энке десятки раз возвраща-
лась к Солнцу, но причина её векового ускорения так и не полу-
чила удовлетворительного объяснения. Один этот факт показывает,
что хотя методы теоретической астрономии достигли известной
законченности, но практическое приложение их к телам солнеч-
ной системы обещает в будущем много интересных открытий,
которые будут иметь значение и для космогонии.
С другой стороны, непрерывно совершенствуется вычисли-
тельная техника. Применение новейших счётно-аналитических
машин может чрезвычайно сократить наиболее трудоёмкие про-
цессы интересующих нас вычислений, как например, численное
определение возмущений в прямоугольных координатах и вычи-
сление эфемерид. В последние годы в этом отношении достигнуты
крупные успехи, и уже в настоящее время все ’невозмущённые
эфемериды малых планет вычисляются в Институте теоретической
астрономии при помощи счётно-аналитических машин. Несом-
ненно, что это только первые шаги, и в недалёком будущем новая
техника позволит решать в области вычисления орбит такие задачи,
которые по своему объёму были до сих пор просто не под силу.
В нашей стране созданы все условия для расцвета наук. Совет-
ская астрономия быстро развивается, и можно с уверенностью
сказать, что в рассматриваемой нами области она скоро займёт
первое место в мире.

ГЛАВА ВТОРАЯ
ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
§ 7.	Закон всемирного тяготения
Ньютонов закон всемирного тяготения формулируется сле-
дующим образом.
Всякие две материальные частицы притягивают друг друга
с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и об-
ратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.
Иначе говоря, величина силы притяжения выражается
формулой
F = k2"^,	(2.1)
где F—сила притяжения, тг и ти2—массы обеих частиц, г—рас-
стояние между ними и к2—множитель пропорциональности (по-
стоянная всемирного тяготения).
По закону равенства действия и противодействия сила, с кото-
рой первая частица притягивает вторую, равна по величине
и противоположна по направлению силе, с которой вторая частица
притягивает первую. Обе эти силы действуют по прямой, соеди-
няющей данные частицы.
Множитель пропорциональности, очевидно, численно равен
величине силы притяжения двух частиц с массами, равными
единице, находящихся одна от другой на расстоянии единицы.
Выбор единиц измерения зависит от нас. Применяемая в физике
система сантиметр-грамм-секунда неудобна при изучении дви-
жений астрономических тел, для которых массы и расстояния
выражаются в этих единицах огромными числами.
Гаусс предложил принять за единицу длины большую полуось
земной орбиты, за единицу массы — массу Солнца и за единицу
времени — средние солнечные сутки. Тем самым определяется
числовое значение постоянной тяготения к2 (которую в физике
вследствие другого выбора единиц принято обозначать иначе).
В теории потенциала показывается, каким образом притяги-
вают друг друга тела конечных размеров. Выводимые там формулы
находят применение в теоретической астрономии в случаях, когда

§ 8]
УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
31
приходится рассматривать движение тел при непосредственном
их сближении (например, периодической кометы Брукса при её
приближении к Юпитеру в 1886 г.), но подобные случаи встре-
чаются редко.
Вообще же можно считать, что тела солнечной системы взаимно
притягиваются, как материальные точки. Выше уже было у по -
мянуто, что это оправдано при двух допущениях: либо если при-
тягивающиеся тела имеют шаровую форму и состоят из концен-
трических шаровых слоёв различной плотности, либо если рас-
стояния между телами во много раз превосходят их размеры.
Для Солнца и планет эти условия соблюдаются в достаточной
мере. 'Некоторые планеты имеют спутников, но это мало меняет
дело: даже Луна имеет малую массу сравнительно с Землёй,
и мы можем их вместе считать одной точечной массой, располо-
женной в их общем центре инерции. В ещё большей степени это
позволительно в отношении остальных планет с их спутниками.
§ 8.	Уравнения относительного движения F
Движения планет и комет в солнечной системе наблюдаются
нами как относительные движения: мы относим их к центру Солнца,
т. е. к такой точке, положение которой может быть нами в любой
момент непосредственно отмечено. Поступать таким образом есте-
ственно и удобно ещё и потому, что видимое движение Солнца опре-
деляет расположение одной из основных плоскостей в астрономии,
именно плоскости эклиптики, а через это — точку весеннего равно-
денствия, начало счёта небесных долгот и прямых восхождений.
Кроме того, изучать движение малой планеты или кометы относи-
тельно общего центра инерции её и Солнца на деле не имеет
никакого смысла, так как мы волей-неволей должны прене-
бречь её относительно ничтожной (и неизвестной к тому же)
массой. Поэтому задачу двух тел мы будем здесь рассматри-
вать, полагая начало координат в центре Солнца.
Массу Солнца S примем за единицу, а массу второго тела Р
(планеты или кометы) в долях солнечной массы обозначим через т.
Допуская, что оба тела являются материальными точками и пола-
гая в формуле (2.1)тт?1 = 1 и zzz2 = zzz, мы получаем путём деле-
ния величины силы на соответственную массу ускорение тела Р
•
71 - г2
и ускорение Солнца S
i — к*-
Здесь г, как и прежде, обозначает расстояние SP или, иначе,
радиус-вектор точки Р. Ускорение каждого тела направлено
к другому телу, следовательно, ускорение тела Р относительно

32	ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ	[Гл. II
Солнца изобразится суммой обоих ускорений.
/ = /1 + /2 = Аг1-^-ге..	(2.2)
Если декартовы координаты точки Р мы обозначим через
х., у, z, то проекции ускорения у на оси координат будут
+'»)$,	(2.3)
£ = -'‘’(1 + ^. ]
Последние выражения получены умножением величины уско-
рения (2.2) на его направляющие косинусы:
cos (/, х) = — cos (г, х) = — у ,
cos (/, у) = — cos (г, у) = —	,
cos (/, z) = — cos (г, z) = — у. .
В предположении, что г не обращается в нуль, система диф-
ференциальных уравнений (2.3) допускает строгое решение,
в результате которого координаты тела Р представляются
в виде функций времени и произвольных постоянных; число
последних будет равно порядку системы, т. е. шести. Произ-
вольные постоянные должны быть в каждом конкретном слу-
чае определены из наблюдений, что может быть сделано раз-
личными способами, поэтому и выборлтостоянных будет различен.
§ 9.	Интегралы площадей и первый закон Кеплера
Обычный путь интегрирования системы уравнений (2.3) та-
ков. Умножая эти уравнения соответственно на следующие
группы множителей:		
0	+ z	— y
— z	0	+ x
+ y	— X	0
и складывая их почленно, мы получим
d2z d2y ~
y^~zd^=°’
d2x d2z n
zdif-xdt=Q’
d2y d2x n
X	у J75 = O,
dt2 J dt2

§ 9]
ИНТЕГРАЛЫ ПЛОЩАДЕЙ II ПЕРВЫЙ ЗАКОН КЕПЛЕРА
33
откуда, выполнив преобразование
d*z d*y  d / dz dy\
У dt*	Z dt* dt \ У dt 2 dt )
и аналогичные преобразования левых частей двух других
уравнений, получаем первые интегралы дифференциальных
уравнений (2.3):
dz
У<Г
dx
zdt~x
du
Z £ = c
dt
dz
dt=C'
(2.4)
dt У dt~C-
где с2 и с3 — произвольные постоянные. Умножим далее пер-
вое из уравнений (2.4) на х, второе — на у, третье —на z и
сложим их. Мы найдём
С1Х + С2у + c3z = 0,	<245) •
что, как известно, является уравнением плоскости, проходящей
через начало координат. Эта плоскость, как проходящая через
определённую точку пространства, вполне определяется двумя
параметрами. В самом деле, разделив почленно уравнение (2.5)
на тот из коэффициентов,
который не равен нулю,
предположим, на с1? по-
лучим
Ж +	+ ф = 0, (2.6)
где с' = с2 / с2 и < = с3 /с3.
Возвращаясь к уравне-
ниям (2.4), выясним их
смысл. Умножая их по-
членно на dt, получим
у dz — z dy =с± dt,
zdx — xdz = с2 dt,
xdy — ydx ~c3 dt.
Фиг. 1.
Пусть движущееся те-
ло в момент t находится
в точке Р с координатами х, у, z, а в момент t 4- dt — в точке Р‘
с координатами x-\-dx, y + dy, z + dz (фиг. 1). Тогда xdy — у dx
выражает удвоенную площадь треугольника SQQ', являющегося
проекцией треугольника SPP' на плоскость xSy. Таким обра-
зом, площадь SQQ' равна площади SPP', умноженной на коси-
нус угла между плоскостью движения тела ASA' и плоскостью
3 А. д. Дубяго

34
ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
[Гл. II
xSy. Этот угол равен углу (n, z) между нормалями к обеим
плоскостям, а площадь треугольника SPP' может считаться
равной площади da элементарного сектора SPP' траектории.
Отсюда получаем
xdy — ydx=2 cos (n, z) de — c3 dt,
и аналогично:
у dz — zdy = 2 cos (n, x) de = c1dt,
zdx — xdz^=2 cos (n, y) de = c2 dt,
и далее:
2 cos (n, x) = Cj, 1
2 cos (n, y) J = c2, J>	(2.7)
2 cos (n, z) = c3, J
откуда
2Й=/С1 + С2+Сз = е,	(2.8)
что после интегрирования даёт
2e = d + c,.	(2.9)
Мы пришли к первому закону Кеплера:
Каждое тело, обращающееся вокруг Солнца, движется в пло-
скости, проходящей через центр Солнца, причём площадь, описан-
ная радиусом-вектором тела, изменяется пропорционально времени.
§ 10. Интеграл живой силы и второй закон Кеплера
Возвратимся к уравнениям движения (2.3). Пользуясь тем,
что движение тела Р—плоское, совместим координатную пло-
скость xSy с плоскостью этого движения. Тогда координата z
и её производные будут равны нулю, и у нас останутся только
два первых уравнения (2.3):

(2.10)
Они опять дают интеграл площадей
dy dx с. da	,(У , ..
Я —(2.11)
dt dt dt	х '
где с, конечно, имеет прежнее значение (ибо cos (п, з) в по-
следнем равенстве (2.7) теперь равен единице).

§10] ИНТЕГРАЛ ЖИВОЙ СИЛЫ И ВТОРОЙ ЗАКОН КЕПЛЕРА	35
Для отыскания дальнейших интегралов умножим первое
равенство (2.10) на 2	, второе на 2^ и сложим:
2 (S S + 5 2) = - 2*’ (1 + ») 7 (*£+ У S') •
Так как
Т* = х2 + у\
то
_ -1	— 4-	_ 1 Ё7* _ d С 1У\
гЛс dt^ У dt)~ г2 dt~~dt\r ) •
Преобразуя также и левую часть, мы получаем
Проинтегрировав, мы найдём
(2.,2)
Это соотношение называется интегралом живой силы. Слева
оно содержит квадрат скорости тела V2, величину от выбора
осей координат не зависящую, поэтому и постоянная с3 от
координатной системы зависеть не будет.
Переходя к полярным координатам путём подстановки
х = г cos и,	у = r sin и,
мы преобразуем уравнения (2.11) и (2.12) к виду:
,,* = 2^,г	(2-13)
(2.U)
Подставляя в (2.14)
du_________________ с dr_____ dr du	с dr
dt	г1	1 dt	du dt	r2 du	’
получаем
c2/'dr\2 . c2 2k2(l + m) ,
^Tu) Ъ =--------------------------r-----+C-^
Таким образом, мы исключили время и нашли дифферен-
циальное уравнение траектории тела. Проделав следующие не-
сложные преобразования:
Z_c_ dr\2 __ Г d_ -] 2 __ № (1 ч- т]2	__ Г± _ U + m) 1 2
\r2 du) [ V > J с2	L r с J
и вводя для сокращения обозначения
с к2 (1 + т)к1 (1 + т)2 .
3*

36
ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
Г Гл. II
что даёт
(= А1 2 * - Л2, du = ± z ,	(2.15)
\duj	. у .42 _ /га
мы отыскиваем последний интеграл
и = ± arc cos — +с6,
или
h ~ A cos (и — с6).	(2.16)
Подставляя сюда h и Л, имеем
с /с2(1+?п)	/ /с4 * * * *(1 + т)2	Z .
---------------—------- = у ci + С6 cos (к - св)
и
с2
Г =------ '	(9.i7)
1+ V 1+ w^c0S(“"C6)
Это — уравнение конического сечения с фокусом в начале
координат, уравнение, которое обычно пишется в виде
1 + е cos v 9
(2.18)
где р — параметр, е — эксцентриситет и v— угол между ради-
усом-вектором г и полярной осью, направленной по большой
оси в сторону перигелия, причём в данном случае
Р = /с2(1+пг) ’ е =	+ /с4(1 + тп)2 ’ V = U — Ct. (2.19)
Таким образом мы пришли к обобщённой форме второго
закона Кеплера:
Тела, движущиеся вокруг Солнца, описывают конические се-
чения, в одном из фокусов которых находится Солнце.
§ 11. Третий закон Кеплера и постоянная Гаусса
При интегрировании уравнений движения мы ввели шесть
произвольных постоянных, смысл которых теперь следует
установить.
Из первого уравнения (2.19) мы находим
с = / с* + с2+ с2 = 7«/ 1 + тУр.	(2.20)
Подставим это выражение для с в уравнение (2.9):
2а = /с|/1 + т р t + с4.	(2.21)

§ 11]	ТРЕТИЙ ЗАКОН КЕПЛЕРА И ПОСТОЯННАЯ ГАУССА	37
Допустим, что движение совершается по. эллипсу; тогда, по
истечении периода обращения Р тело вернётся в исходную точку,
причём за это время радиус-вектор опишет всю площадь эл-
липса, т. е. для момента t-^P мы будем иметь
2(а+ка6)=А \/~1-\-т]/'р (t + P) + c^
где anb— полуоси эллипса. Вычитая отсюда (2.21), получаем
2каЬ = к У1 + т V рр-
Но из геометрических свойств эллипса вытекает, что
6 = «|/"1 — е2, р = а (1 — е2);
подставляя это, имеем
2^3/2 = * уТ+ТпР.
(2.22)
Это уравнение применимо к любой планете и периодической
комете в солнечной системе. Поэтому его можно переписать
в таком виде:
4тс2д3 ___	4и2а?	__ _______ , 2	<9
+	p2(l + mi) —	— К
где	Р, Plf ... , т, т19 ... относятся ко всем телам,
обращающимся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам.
Отсюда получается в обобщённом виде третий закон
Кеплера:
Р2 (1 +тп) = а3	9ZX
Для тел солнечной системы квадраты времён обращения,
умноженные на сумму масс каждого тела и Солнца, относятся
как кубы больших полуосей орбит.
Однако если пренебречь массами планет сравнительно с мас-
сой Солнца, мы получим обычную, упрощённую формулировку
третьего закона Кеплера.
Этот закон позволяет найти числовое значение постоянной
тяготения: достаточно знать для какой-либо планеты массу,
период обращения и большую полуось орбиты. Гаусс принял
для Земли /п = 7354710, длину звёздного года Р = .365,2563835
средних суток, а = 1 и по вытекающей из (2.23) формуле
вычислил
Р Y1 + т
А = 0,01720209895,
1g А = 8,2355814414.
(2.25)
Принятые Гауссом значения для Р, и особенно для т, не-
точны. Однако теперь менять значение гауссовой постоянной

38
ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
[Гл. II
было бы очень неудобно (достаточно сказать, что потребова-
лось бы перевычислить все вспомогательные таблицы, в кото-
рые так или иначе входит значение этой постоянной).
Впрочем, в изменении к нет прямой необходимости, так как
можно отказаться от допущения, что полуось земной орбиты
строго равна единице, и определять её, считая к заданным, из
той же формулы (2.23), именно:
а = р/-1. + /пР
(2.26)
Таким образом, значение основной единицы длины в сол-
нечной системе — так называемой астрономической единицы —
определяется через г стоянную Гаусса: на расстоянии астроно-
мической единицы обращалась бы (по круговой орбите) вокруг
Солнца планета, имеющая массу и период обращения, приня-
тые Гауссом для Земли.
Согласно Ньюкому сумма масс Земли и Луны т —
Р = 365,25636042 средних суток (для 1900 г.), откуда 1g а =
= 0,000000013, т. е. разнится от нуля только в восьмом знаке.
§ 12. Определение формы орбиты
Из уравнений (2.19) может быть отыскана постоянная с5:
(1. -е2)А’4(1 + /п)2 _	(1-<?2) А’2 (1 + т) _	/с2(1 + т)
с2	р	а	'
Внеся это значение в (2.12), мы получим
V'2 = *2(l + ?n) (4~4) •
(2.28)
Последнее уравнение позволяет судить о форме орбиты по вели-
чине скорости в данном положении. Действительно, из уравнения
(2.28) видно, что большая полуось орбиты определяется при
известной или принимаемой за нуль массе т тела и заданном
значении радиуса-вектора г тела только значением скорости
в соответствующем положении. Поэтому имеем:
при V2 < 2к +	, а > 0 (орбита —эллипс),
» у2 __ 2/с- (1 +	, а==со ( » —парабола),
I
» JZ2 >	, а <0 ( » — гипербола). J
(2.29)
Частный случай эллипса есть круг; для него всегда
г = а7
у2 = к2 (1 +
а
(2.30)

13.1
РАСПОЛОЖЕНИЕ ОРБИТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
39
Итак, две постоянные с и с5 позволяют при помощи уравне-
ний (2.19) и (2.27) найти а и е, т. е. определить форму и
размеры орбиты.
§ 13. Расположение орбиты в пространстве
Фиг. 2.
Чтобы определить при помощи уравнений (2.7) положение плос-
кости орбиты, следует сделать выбор координатной системы я, у, z.
Ось х обычно направляют в точку весеннего равноденствия
Т, а плоскость х Sy совмещают с плоскостью эклиптики. Вместо
последней может быть взята плоскость небесного экватора, что,
впрочем, не отразится на дальнейших рассуждениях. Описав
вокруг Солнца S небесную сферу (фиг. 2), отметим на ней следы
осой х, у, z и нормали
п к плоскости орбиты
АА'; кроме того, про-
ведём прямую S&1, по
которой эта плоскость
пересекается с плос-
костью эклйптики. Пря-
мая SQ называется ли-
нией узлов, а следы её
на сфере — узлами орби-
ты; тот из них, в котором
тело пересекает эклип-
тику, переходя из юж-
ного полушария небес-
ной сферы в северное,
носит название восходя-
щего узла и обозначает-
ся знаком <Q,, другой —
называется нисходящим
узлом и имеет знак
Угол xS£l, обозначаемый тем же символом «Q,, называется дол-
готой восходящего узла*, он равен дуге Tft, отсчитываемой в на-
правлении счёта долгот от 0° до 360°. Вторым элементом, опре-
деляющим плоскость орбиты, является наклонение её к эклиптике
г, равное углу E'QA' или (n, z). Если i < 90°, то тело движется
так называемым прямым движением, т. е. в направлении движе-
ния планет вокруг Солнца и счёта долгот на небе; если i > 90°,
то движение называется обратным. Наклонение не может пре-
вышать 180°, иначе, восходящий узел потеряет свой смысл.
Рассмотрим сферический треугольник	в котором
Ti<Q = 90o,	=	n = 90° — Z; из него находим
cos (n, x) — sin i sin Q.

40
ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
[Гл. II
Обращаясь к треугольнику пу£1, в котором г/ft =90° —Q.
i/ft п = 90° + имеем
cos (п, у) = — sin i cos ft.
Наконец, так как (n, z) = i,
cos (п, z) = cosZ.
После этого уравнения (2.4), (2.7) и (2.8) в связи с (2.20)
дадут нам:
у — z ~~ = с sin i sin ft = Л 1/" 1 + 1/ Р sin i sin ft,	1
ai	аъ	।
z — x~ = —c sin i cos ft = - A /1 + ml/ p sin i cos ft,,
Cv V	Of U	।
x lit ~ У SF = c cos 1' ~	i + p cos i.	J
Эта форма интеграла
координатами тела Р
И
(2.31)
площадей устанавливает связь между
их Производными, с одной стороны, и
величинами р, Z, ft,
заменившими наши
прежние интеграци-
онные постоянные
с.у, с3 (а также и с, рав-
ное у ci + с- + с*) —-
с другой стороны.
Остаётся опреде-
лить ориентировку
оси орбиты в её пло-
скости. Во введённой
в § 10 координатной
системе, в которой
плоскость ху совпа-
дает с плоскостью
орбиты, направление
оси х оставалось про-
извольным. Совме-
стим её (фиг. 2) с ли-
нией 5ft и отметим на проекции орбиты на небесную сферу А А'
точки П —в направлении на перигелий орбиты и Р — в направ-
лении на тело. ’
Тогда в последнем уравнении (2.19) и обозначает угол QSP,
v обозначает угол П5Р, что же касается угла с6, то он, очевид-
но, равен углу ft5n. Принято называть и аргументом широты
тела, v — истинной аномалией его, а с6 — аргументом перигелия

§ MJ
ЭЛЕМЕНТЫ О1НЗИТЫ
41
и обозначать буквой cd. Вместо указанного уравнения мы, сле-
довательно, будем писать
v = u—оз.	(2.32)
На фиг. 3 орбита вместе с новой системой координат пред-
ставлена в плоскости чертежа. Легко видеть, что со может
принимать любые значения от 0° до 360° в направлении дви-
жения тела и, конечно, не только для эллиптической орбиты,
изображённой на чертеже, но и для других видов конических
сечений.
Если за основную плоскость принять небесный экватор,
то долготу узла, наклонение орбиты и аргумент перигелия
можно обозначить , i', о/.
§ 14. Элементы орбиты
Последняя постоянная, которую нам осталось ещё рас-
смотреть, есть с4. В уравнении (2.9) а представляет площадь,
описанную радиусом-вектором, начиная от какого-то исходного
положения. Проще всего принять за исходное то положение,
в котором радиус-вектор направлен на перигелий орбиты.
Обозначим момент прохождения тела через перигелий через Т,
тогда в этот момент сг = О и, следовательно,
с4 = — сТ,	(2.33)
а вместо (2.9) будет
2s = с (t - Т) = к /Ур (t-T).	(2.34)
Шесть постоянных интегрирования теперь выражены через
шесть других постоянных — элементов орбиты. Эти новые по-
стоянные следующие:
i— наклонение орбиты к эклиптике,
Q —долгота восходящего узла,
со — аргумент перигелия (угловое расстояние перигелия от вос-
ходящего узла).
Эти три элемента дают расположение плоскости орбиты
в пространстве и направление большой оси орбиты; они зависят
от выбора координатной системы. Если эти элементы относятся
к плоскости экватора, их обозначают Z',	, со'.
« — большая полуось,
е — эксцентриситет.
При помощи этих элементов определяются размеры и форма
орбиты.
Т — момент прохождения через перигелий.
Он фиксирует положение тела на орбите в определённый
момент.

42	ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ	[Гл. II
Некоторые из перечисленных элементов могут быть заменены
другими. Так, в параболе большая ось обращается в беско-
нечность и вместо а вводят q — перигелийное расстояние, иными
словами, расстоян е от вершины параболы до Солнца. Эту
замену удобно производить и для орбит, близк х к параболе.
Для эллипса также можно вместо а, е и Т ввести другие
элементы. Упомянем далее, что в число определяемых элемен-
тов орбиты тела должна была бы, собственно говоря, войти
седьмая величина — масса тела. Но существенную роль играют
только массы больших планет, массами же остальных тел
солнечной системы можно пренебречь сравнительно с массой
Солнца.
§ 15. Движение по эллипсу и кругу
Конические сечения обладают многими интересными гео-
метрическими свойствами, однако для изучения движений не-
бесных тел требуется только общее уравнение этих линий,
которое, впрочем, может быть задано в различном виде, на-
пример, в полярных координатах с началом в фокусе:
Г ==	-----=	- •	(2.35)
1	+ е cos v	1 + е cos v	v 7
К этому уравнению мы присоединим интеграл площадей
(2.13), но предварительно заменим в нём du через do на осно-
вании (2.19) к подставим значение с из (2.20)
r2^-=c = k]/‘ 1 + т р =к ]/* 1 т а (1 — е2).	(2.36)
Очевидно, уравнений (2.35) и (2.36) достаточно, чтобы
получить зависимость координат г и и от времени, однако
удобнее будет решение для каждого вида конических сечений
отыскивать особо. Мы начнём с эллипса и в этом случае введём
для облегчения интегрирования вспомогательную переменную £*,
определяемую следующим образом.
Воспользуемся системой декартовых координат с и^, оси ко-
торой направлены по главным осям эллипса (фиг. 4), тогда вместо
(2.35) мы будем иметь уравнение
S-+S-1-	<2-37)
Приведём это уравнение к параметрическому виду, полагая
c^rzcoSuE7, т) = 6sin/?.	(2.38)
Перенося начало координат из центра О в фокус 5 при сохране-
нии направления осей и обозначая новые координаты через жиг/,

15]
ДВИЖЕНИЕ ПО ЭЛЛИПСУ И КРУГУ
43
мы будем иметь следующие формулы преобразования координат:
х — z — ае = a (cos Е — е),	у = т) = 6 sin Е.
Переходя теперь опять к полярным координатам г и г,
найдём
т cos v = a (cosjE — е),	1
\	_____ .	(2.39)
г sin v = b sin Е = а у 1 — е~ sin Е, J
Возводя эти равенства в квадрат, складывая их, а затем
извлекая корень, получаем
г — а (1 — е cos Е),	(2.40)
Геометрическое значение Е следующее (фиг. 4). Опишем
около центра эллипса О окружность радиусом ОП = а. Тогда
v = Z.nSP, Е =
= /J\OP', где точка Р'
лежит на пересечении пер-
пендикуляра к большой
оси, проходящего через Р,
с окружностью. Из черте-
жа также видно, что
т cos и = SK = ОК — OS =
= а cosE — ае =
= a (cos Е — е).
Если в уравнении (2.37)
положить
то полученное уравнение
Фиг. 4.
будет уравнением описанной вокруг эллипса окружности. Это
выражает одно из хорошо известных свойств эллипса, именно,
что все его ординаты относятся к соответственным ординатам
описанного круга как Ь к а:
КР ОВ Ъ л/--л-------<,
КР'=ОС=^ = \Н~е~-
Но, так как КР = r sin у, КР' = а sin Е, то мы имеем за-
висимость
г sin v = а — е2 sin Е.
Дополним уравнения (2.39) и (2.40) некоторыми вытекающими
из них соотношениями между г, и и Е, которые могут оказаться

44
ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
[Гл. II
полезными в известных случаях. Складывая и вычитая почленно
уравнение (2.40) и первое из уравнений (2.39), получаем
т (1 + cos и) = а (1 — е) (1 + cos Е),
т (1 — cos и) = а (1 + е) (1 — cos Е),
или же, извлекая корень,
1 г~----------------------------	1 л
т cos —и = ]/ а (1 — е) cos — Е, ]
г sin — v=]/ а (1 + е) sin — Е, J
и далее
tgLv=^^is^E,	(2.42)
Теперь можно приступить к интегрированию уравнения (2.36),
Дифференцируя (2.42), находим
dv /Л +е (LE
Г*- у	’
cos2 — v	cos2 — Е
откуда, пользуясь первым из уравнений (2.41), получаем
dv = ^}/I^dE.
Подставляя это выражение, а также выражение (2.40) для г
в уравнение (2.36), имеем
г2 = а2 j/1 — е2 (1 — е cos Е) ~ =к	1 +т?г У а (1 — е2)
или
(1-е cos Е) dE = k^l + m dt,
а '2
откуда после интегрирования следует
Е - е sin Е = —-У— (t - Т),	(2.43)
а /2
где Т — произвольная постоянная, которая равна времени про-
хождения тела через перигелий, так как в перигелии Е = 0.
Если мы теперь подставим в (2.43) значение к из (2.23), мы
получим уравнение
2? —esin E = ^(t-T) = p(t-T),	(2.44)
называемое уравнением Кеплера. В нём р- обозначает среднее
суточное движение тела, или угол, описываемый в средние

§ 15]
ДВИЖЕНИЕ ПО ЭЛЛИПСУ И КРУГУ
45
сутки воображаемой точкой, движущейся вокруг Солнца с по-
стоянной скоростью по окружности и совершающей полный
оборот в Р суток—период обращения тела.
Но тогда, очевидно, jx (t — Т) есть угол, описанный нашей
воображаемой точкой с момента нахождения в перигелии; его
принято обозначать буквой М и называть средней аномалией.
Что же касается угла Е, то он получил наименование эксцен-
трической аномалии. Мы можем написать уравнение Кеплера
ещё в форме
Е - е sin Е =	— Т) =М Л70 + jx (I — Zo), (2.45)
где t0 обозначает некоторую исходную эпоху и, следовательно,,
M„ = V(t0-T)
есть значение средней аномалии в эпоху £0. Величина М9 может,
таким образом, заменить Т в качестве элемента эллиптической
орбиты. Точно так же вместо а может служить элементом
ибо из сопоставления (2.43) и (2.44) следует, что
k V1 + Ш
11	-
(2.46)
откуда, наоборот,
l + m.yla
(2.47)
Наконец, вместо эксцентриситета е часто вводят угол эксцен-
триситета <р, определяемый равенством
sin<p = e.	(2.48)
Как нетрудно проверить по фиг. 4, ф есть угол, под
которым из точки В, лежащей в конце малой полуоси 6, виден
отрезок OS = ae. Действительно, ввиду того, что 6 =	— е2,
SB — 1/"б2 + а2е2 = at	sin у = ^- = 6.
*	OD
В соответствии с этим мы можем заменить в формулах для
радиуса-вектора и истинной аномалии (2.39), (2.40), (2.41)
и (2.42) J/41 — е2 через cos ср, 1 4- е через 2 sin (^45О -f- ф^ ,
— е через cos	и рЛчерез tg (^45° + ср^ ,
что иногда бывает удобным.
Уравнение Кеплера является трансцендентным; некоторые
способы его решения будут указаны далее. Докажем, что
уравнение Кеплера всегда имеет один корень. Напишем его
в форме
/ (Я) = £ — е sin £— 7И = 0,

46
ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
[Гл. И
тогда, очевидно, /(— оо)= — ос, /(4-со)=4-оо. Вместе
с тем производная
df(E) ,	г.
1	= 1 — е cos Е
dE
< 1; следовательно, функция f(E)
монотонно возрастает и, таким
образом, имеет один корень.
Частным случаем эллипса при
е = 0 является круг. Из уравне-
ния (2.35) в этом случае следует,
что г = р = а. В свою очередь
уравнение Кеплера (2.45) и урав-
нение (2.42) дают v = Е = М. Дви-
жение совершается с постоянной
угловой скоростью и вследствие
того, что направление большой
оси не может быть установленог
начало отсчёта углов по орбите
остаётся произвольным. Можно, в
частности, взять за начало точку
узла <0, и ввести, таким образом, вместо у, аргумент широты и
(фиг. 5). Уравнение Кеплера (2.45) получит вид
гг = и04-р.(г — ta),
где у. даётся попрежнему уравнением (2.46).
(2.49}
§ 16. Движение по параболе
Эксцентриситет параболы е равен единице, а большая
полуось а — бесконечности. Вследствие этого, как показывают
уравнения (2.46) и (2.45), среднее суточное движение р.,
средняя аномалия М и эксцентрическая аномалия Е обраща-
ются в нуль. Однако здесь вовсе нет надобности вводить эти
величины, так как задача решается прямым интегрированием.
Из уравнения (2.35) следует, что
r==__L_ = _2__=	?
1	-Г cos V п 9 1	-1	’
2	cos2 — v cos2 — v
где q есть перигелийное расстояние, равное , ибо при и = 0
r = q. Радиус-вектор для параболы при v = ± 180° обращается
в бесконечность, ветви параболы не замыкаются в афелии и по-
этому истинная аномалия отсчитывается от —180° до 4-180°.
Уравнение (2.36) примет вид
(2.50)

§ 16]
ДВИЖЕНИЕ ПО ПАРАБОЛЕ
47
и на основании (2.50) мы найдём
С dv ________________________	2 к 1 + т
COS4 — V	J
Левая часть этого уравнения может
и это непосредственно даёт
/2 А 1	, 1+ з 1 А
= Ц^--=Л. (2.51)
В данном случае 7 —опять момент
прохождений через перигелий, для
которого обе части уравнения обраща-
ются в нуль. По аналогии с эллипсом,
пропор-
t-T
величина —.
/'2
циональная времени, протекшему с момента прохождения
q через перигелий, также обозначается через 71/, хотя, конечно,
имеет теперь совершенно другой смысл. Уравнение (2.51),
кубическое в отношении tgy может быть решено прямым пу-
тём. Так же, как и уравнение Кеплера, оно даёт для любого
t одно решение. Написав
<p(w) = -^=x ftg 4»+ AAA А ’
Т V 7 к /Ц-тп	3	2 '	7 13
мы видим, что • <? (— 180°) = — ос , а ф (+ 180°) == + со ; про-
изводная же
dv (v)___	1
dv ~~ у 2 к У
(2.52)
что и доказывает наше утверждение.
На фиг. 6 5П = ?, SP = r, ZnSP = v.

48
ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
[Гл. II
§ 17. Движение по гиперболе
Для гиперболы из формулы р = а('\. — е2) следует, что а
отрицательно, так как е>1; большая ось лежит от фокуса
по другую сторону кривой и заключена между вершинами обеих
ветвей гиперболы (фиг. 7). Разумеется, под действием притяже-
ния Солнца тело описывает только одну из ветвей —ту, которая
обращена вогнутостью к Солн-
цу. ДРУГУЮ ветвь гиперболы
могла бы описывать точка, от-
талкиваемая Солнцем по закону
обратной пропорциональности
квадрату расстояния, — случай,
который нас не будет здесь
интересовать.
Из уравнения (2.35)
1 + е cos v
можно видеть, что г обращает-
ся в бесконечность для
v = arccos —;
обозначая arccos — через Ф, мы
заключаем, что при движении
по гиперболе истинная анома-
лия изменяется между преде-
лами — (180° — ф) и 180° — ф.
Для значений и, лежащих вне
этих границ, мы получаем отрицательный радиус-вектор. В этом
случае продолженный в обратную сторону от Солнца радиус-
вектор пересечёт вторую ветвь гиперболы, что, разумеется,
уже не будет отвечать действительному движению.
Чтобы получить зависимость г и v времени, мы можем при-
менить тот же метод, что и для эллипса, потому что все
уравнения § 15 сохраняют свою форму и для гиперболы, и точно
так же может быть введён параметр Е, являвшийся в случае
эллипса эксцентрической аномалией.
Вместо уравнения (2.37) у нас будет
С2	~2
2________L = 1-
а2	Ь2 ’
(2.53)
расположение осей показано на фиг. 7. Но удобнее сохранить
без изменения уравнение (2.37), считая в нём b мнимым числом

§ 17]
ДВИЖЕНИЕ ПО ГИПЕРБОЛЕ
49
и определяя малую полуось по той же формуле, что и
для эллипса	_____
Ь = а ]/" 1 — е\ •
Тогда из параметрических уравнений (2.38) вытекает, что
и sin Е — мнимая величина, так как т) должно оставаться
действительным. Однако сохранять мнимые величины в оконча-
тельных формулах нельзя, иначе эти формулы будут не пригод-
ны для вычислений. Поэтому воспользуемся гиперболическими
функциями, вводя новый действительный аргумент Н:
H=iE, sh Н ==i sin Е, ch Н — cos 2?	(2.54)
и абсолютное значение большой полуоси | а | . Провести эту
замену нетрудно во всех формулах эллиптического движения;
для гиперболы последовательно получается:
т cos v = a (ch Н — е) = | а | (е — ch Н),
г sin v = a ]/r 1 — е2 sh Н — | а | У е2 — 1 sh Я, j (2-55)
г = а (1 - е ch Н) = | а | (е сЬЯ - 1),	(2.56)
(2.57)
Вместо уравнения Кеплера мы теперь найдём
Н е sh 77 kf/1 + m . т\
eshH-H=l^(t-T) = v(t-T) = N,	(2.58)
причём v определяется равенством
По аналогии с эллипсом v также иногда называется средним
суточным движением, N — средней аномалией для гиперболы,
хотя, конечно, эти величины теперь никак не могут быть
связаны с периодом обращения, которого не существует для
разомкнутых гиперболических орбит. Заметим, кстати, что
формулы (2.43) и (2.44) дают для отрицательных а мнимые Р и ft.
Обратимся ещё раз к фиг. 7. Обозначая координаты с началом
в фокусе опять через х и у, мы замечаем, что для перехода
от $ и т) к х и у необходимо перенести начало координат влево
по оси абсцисс на длину ае. Отсюда мы имеем
я = г cos и = 5 — ае = a cos Е — ае = \а\(е — ch Н),
У = r sin v =?] = b sin Е = аУ 1 — е2 sin Е = \а\У е2 — 1 sh Я
А. Д. Дубяго

50
ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
[Гл. II
в согласии с уравнениями (2.55), причём следует помни! ь, что
здесь мы пользуемся теми же уравнениями (2.38) для с и т;,
что и в случае эллипса. На чертеже, кроме того, г = 5Р, пери-
гелийное расстояние ^ = 5П = а(1 —-е) = | а | (е — 1),	=
Мы не останавливаемся более подробно на гиперболическом
движении. Уравнения (2.55) — (2.59) дают всё необходимое для
вычислений; при желании из них или из формул для эллипса
могут быть выведены и другие выражения для г и и. Довольно
просто ввести также вместо гиперболических функций тригоно-
метрические, зависящие от некоторого параметра, однако фор-
мулы становятся от этого менее удобными.
По гиперболам, весьма близким к параболам, движутся
вблизи Солнца некоторые кометы. Случаи кометных орбит,
близких к параболе, — будут ли то эллипсы или гиперболы —
требуют особого рассмотрения. Гиперболические орбиты
с эксцентриситетом, заметно отличающимся от единицы, встре-
чаются в солнечной системе чрезвычайно редко, а именно, если
какая-нибудь периодическая комета настолько приближается
к Юпитеру, что его притяжение начинает доминировать над
солнечным. Такие кометы описывают вокруг Юпитера гипербо-
лические траектории. При вычислении координат кометы здесь
бывает иногда необходимо применять выведенные нами формулы.
§ 18. Определение гелиоцентрических координат тела
Теперь остаётся выразить гелиоцентрические координаты
тела через интеграционные постоянные, т. е. через элементы
( z а >	орбиты, и тем самым за-
,	вершить решение задачи
двух тел.
На фиг. 8 за начало
координат взят центр
Солнца, ось х направлена
в точку весеннего равно-
денствия ф, ось у — в
точку эклиптики с дол-
готой 90°, ось z — в полюс
эклиптики. АА'— орбита,
Р — положение тела, оп-
ределяемое радиусом-век-
тором г и углом w. Вве-
дём сначала вспомога-
Фиг. 8.	тельные оси xlt у„ 21,
направив ось хг по ли-
нии узлов и поместив соответственным образом в плоскости
эклиптики ось у*. Пусть, далее, сферические координаты тела

§ 18] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕЛИОЦЕНТРИЧЕСКИХ КООРДИНАТ ТЕЛА 51
будут обозначены г, Z, 6, где I — гелиоцентрическая долгота,
считаемая от 0° до 360°, а b — гелиоцентрическая широта тела,
считаемая от —90° до +90°. Тогда долгота тела, отсчитанная
от линии узлов 5ft, будет Z—ft, и по обычным формулам
преобразования координат мы получим
= rcos Ь cos (Z — ft),
yr =r cos b sin (Z—ft),
z± =r sin b.
Но эти же самые величины могут быть выражены при
помощи г и и. Отметим на небесной сфере (фиг. 9) следы
осей х (точка Т), г/, z, направлений 5ft и SP (точки ft, Р)
Фиг. 9.
и сечение сферы плоскостью орбиты (большой круг АА').
Опустим сферический перпендикуляр РК, на эклиптику ЕЕ'.
Тогда из сферического треугольника SltPK, в котором ftP = 6/,
ft/f = Z— ft, PK = b, zlKSlP = Z, находим
cos и = cos b cos (Z — ft),
sin и cosZ = cos b sin (Z— ft),
sin и sin i = sin 6,
следовательно,
rCi = r cos b cos (I — ft,) =r cos w,
y1=rcos 6sin(Z—ft,) =r sin и cos Z,
z1 = rsin6	=r sin a sin Z. .
(2.60)

52
ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
[Гл. П
Повернём теперь систему координат xlf у1У z1 вокруг оси z
на угол ft, т. е. приведём её к совпадению с системой х, у, z,
тогда у нас будет
х = г cos Ь cos l = xt cos ft — 2Л sin ft =
= r(cos wcos ft—sin и cos i sin ft),
у =zr cos b sin l = xY sin ft + yY cos ft =
= r (cos и sin ft + sin и tvsi cos ft),
z = r sin b = zr = r sin и sin i.
(2.61)
Совершенно так же напишутся эти уравнения и для эква-
ториальной системы координат, если ввести элементы Z', ft',
отнесённые к экватору, и отсчитывать аргумент широты а'
от экватора (однако в такой форме они малоупотреби-
тельны).
Соберём в заключение все формулы, дающие решение задачи
двух тел:
1. Эллипс		
к V1 + т		(2.46)
	г “ а’/з ’	
Е —	 е sin Е = MQ + pt (t —10) = М,	(2.45)
	г sin v = а )/* 1 — е2 sin Е, 1 г cos v = a (cos Е — е),	J	(2.39)
	U = d+ ш.	(2.32)
	2. Круг	
	к У1 -|- т	(2.46)
	а8/а	
	n = w0 + K* — U-	(2.49)
	3. Парабола	
	OQ ЬО I н* С + <w| t-h СКЗ ы ч- II ч>-з II й	(2.51)
А 1 4- w		
	2 1 г = gsec2-^-y,	(2.50)
	и = v + и>.	(2.32)

§ 18] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕЛИОЦЕНТРИЧЕСКИХ КООРДИНАТ ТИЛА
53
4. Гипербола
(2.55)
eshH — H = v(t — T)=N,	(2.58)
г sin v = | а | ]/ е2 — 1 sh Н,
rcosD = |a | (е— ch Я),
и = и + <о.	(2.32)
♦
и для всех конических сечений
х = г (cos и cos ft — sin и cos i sin ft), |
у = г (cos и sin ft + sin и cos i cos ft),	(2.61)
z = rsin rzsin/.	J
Знания гелиоцентрических координат достаточно, чтобы
найти геоцентрическое положение светила на небесной сфере,
что представляет главный интерес. Но решение этого вопроса
уже не относится к задаче двух тел.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
§ 19. Связь между гелиоцентрическими и геоцентрическими
координатами
Наблюдаемые движения планет и комет слагаются из их
движения вокруг Солнца и такого же движения Земли. При
этом не требуется учитывать движения всей солнечной системы
в межзвёздном пространстве, так как оно совершенно не сказы-
вается на изучаемых нами относительных движениях внутри
этой системы. Нам также не понадобится строить общую
теорию геоцентрического движения; достаточно будет устано-
вить некоторые его главнейшие свойства.
Выясним, прежде всего, связь, существующую между
гелиоцентрическими и геоцентрическими координатами.
Пусть будут х, у, z — прямоугольные координаты тела,
X, У, Z —координаты Земли, те и другие относительно центра
Солнца; направление осей может быть взято любое. Проведём
через центр Земли оси, параллельные предыдущим, и обо-
значим буквами $, т], Z соответствующие координаты тела,
тогда
Г!=У-У,	(3.1)
C = z-Z, J
Теперь допустим, что наши оси ориентированы по главным
направлениям эклиптикальной системы координат, как это
было сделано в § 18.
Мы имели (2.61):
х = г cos Ь cos Z,
г/= г cos fe sin Z,	(3.2)
z — г sin b. J
Обозначая аналогичные координаты Земли относительно
Солнца через /?, L, В и тела относительно Земли через

§ 19] СВЯЗЬ МЕЖДУ ГЕЛИО- И ГЕОЦЕНТРИЧЕСКИМИ КООРДИНАТАМИ 55
р, X, р, получим:
X = R cos В cos £, j
Y = R cos В sin £, [>	(3.3)
Z = /?sinB,	J
£ = pcospcosk, "j
V] = p cos p sink, [>	(3.4)
s = psinp, J
Подставляя (3.2), (3.3) и (3.4) в уравнения (3.1), полу-
чим:
р cos р cos к = г cos b cos I — R cos В cos £,
р cos р sin к = г cos b sin I — R cos В sin £,	I	(3.5)
р sin р = г sin b ~R sin В,	J
Такие уравнения имеют место при любом выборе	начала счёта
долгот; если за начало счёта долгот взять точку узла, то урав-
нения (3.5) принимают вид:
р cos р cos (X — Q) = г cos b cos (Z — <Q) — R cos В cos (£ — Q),
р cos р sin (X — Q) = r cos b sin (Z — Q) — R cos В sin (L — Q),
p sin p = r sin b — R sin B.
(3-6)
Это можно проверить так: умножим первое и втррое урав-
нения (3.5) на +cosQ, соответственно, на + sin Q и сложим,
а затем проделаем то же самое, взяв множителями — sin
и + cos Q.
На основании уравнений (2.60) получаем из уравнений
(3.6):
р cos р cos (к — <Q) = г cos u — R cos В cos (£—Q)»	]
р cos р sin (к — Q) =rsin и cos i~R cos В sin (£ — Q), I (3.7)
p sin p = r sin и sin l~R sin B.	J
Если считать долготы от точки с долготой £, уравнения (3.5)
дают:
г cos b cos (Z — £) = р cos Р cos (к £) + R cos В,
г cos b sin (Z — £) = p cos p sin (k — £),
r sin b = p sin p + R sin B.
(3.8)
Широты Земли относительно эклиптики очень малы, вслед-
ствие этого всегда можно положить cos 5 = 1, а часто и вовсе

56
ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
[Гл. III
пренебречь широтой В\ в последнем случае вместо (3.7) и (3.8)
будет:
р cos р cos (к — <0,) = т cos и — R cos (Z. — Q),	1
р cos Р sin (к— <Q) = г sin и cos i — R sin (£ — Q),	У	(3.9)
p sin p = r sin и sin Z;	I
r cos b cos (Z — L) = p cos p cos (k — Q) + R,	)
r cos b sin (Z — L) = p cos p sin (k — <Q>),	I	(3.10)
rsin b = psin p.	I
Именно эти две формы уравнений, связывающих гелиоцент-
рические и геоцентрические координаты в эклиптикальной
системе, наиболее употребительны на практике.
В экваториальной системе координатами служат: прямое восхо-
ждение а, которое отсчитывается от 0° до 360° или от О71 до 24h
и склонение 5, изменяющееся от 0° до ± 90°. В этой системе мы
направим ось х' к точке весеннего равноденствия (фиг. 8), ось
у' — к точке а = 90°, 8 = 0°, ось zf — к северному полюсу экватора.
Новых обозначений для гелиоцентрических и геоцентриче-
ских экваториальных прямолинейных координат мы не вводим,
сохранив за ними те же буквы х, у, z и 5, т], С, чтобы избе-
жать цисания многочисленных букв с индексами. Кроме того,,
вместо координат Земли введём, как это обычно принято, гео-
центрические координаты Солнца X, Y, Z, равные по величине
и противоположные по знаку гелиоцентрическим координатам
Земли. Итак, у нас будет:
5 = х + X — р cos о cos a, "J
т] = у + Y — р cos о sin а, I	(3.11)
С— z + Z = psin8, j
где а и о —координаты тела на геоцентрической небесной
сфере. Эти уравнения применяются при вычислении эфемерид.
Экваториальная система осей получается, если повернуть
эклиптикальную систему вокруг оси х на угол s, называемый
наклонением эклиптики к экватору (фиг. 8). Обозначив временно
эклиптикальные гелиоцентрические координаты тела через (я),,
(у), (z), мы можем следовательно написать:
х = (ж),
У ~ (У) cos s “ (2) sin е>
z = (у) sin s + (z) cos е.
Подставим сюда вместо (х), (?/), (z) правые части уравнений
(2.61); получим:
х == г (cos и cos — 8*п 11 cos * sin
y~r [cos и sin cos е + sin и (cos i cos cos г — sin Z sin e)],
(3.12)
z = r [cos и sin sin s + sin и (cos Z cos sin e + sin Z cos e)]. t

§Д9] СВЯЗЬ МЕЖДУ ГЁЛИО- И ГЕОЦЕНТРИЧЕСКИМИ КООРДИНАТАМИ 57
Положим далее:
п sin N= sin i,
n cos N = cos i cos ,
sin a sin A = cos Q,
sin a cos A = — cos i sin Q,
sin b sin В = sin <Q, cos e,
sin b cos В = cos i cos Q cos e—sin i sin s = n cos(7V+e),
sin c sin C = sin Q sin s,
sin c cos C == cos i cos Q sin s^-sin i cos s = n sin (AT4~e)-
Величины a, b, с, А, В, С называются постоянными Гаусса. Они
выражаются только через элементы орбиты Z, <Q, и угол е, по-
этому от времени явно не зависят. Всегда можно считать п,
sin a, sin b, sin с положительными, поэтому знаки sin Л, cos Л
и т. д. совпадают со знаками правых частей (3.13), и углы N, Л,
В, С могут быть определены однозначно.
Легко видеть, что постояньте Гаусса не все являются незави-
симыми. Не останавливаясь на отыскании их геометрического
смысла, что, вцрочем, представляет любопытную и не очень
трудную задачу, укажем лишь, что между ними имеются [сле-
дующие соотношения, которые могут служить контрольными
формулами при вычислениях:
sin2« + sin26 + sin2c = 2,	(3.14)
х . sin Ъ sin с sin (В — С)
— tgt = ------------.	(3.151
&	sin a cos А	' z
Первое из этих равенств получается просто, а вторая, более
важная формула, контролирующая вычисление всех шести по-
стоянных, выводится из (3.13) так:
sin b sin с sin(B — С) = sin b sin В sin с cos С—sin b cos В sin с sin С =
= sin Q [n sin (N + е) cos е — п cos (/V + s) sin е] =
= sin Q п sin N — sin / sin
откуда, после деления на уравнение для sin a cos Л, приходим
к равенству (3.15).
Пользуясь (3.13), мы можем написать вместо (3.12):
х = г sin a sin (Л 4- и) = г sin a sin (Л + w + и), л
у = r sin b sin (В + и) = г sin b sin (В + w + и), >	(3.16}
z = т sin с sin (С + и) — г sin с sin (С + ю + *?). J

.58
ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
[Гл. III
Сравнивая (3.16) и (3.11), имеем окончательно:
р cos 8 cos а == г sin a sin (Л + оз + и) + X, '
р cos о sin а — г sin Ъ sin (В + °) + ) + Y,
р sin 8 = г sin с sin (С + со + и) + Z. .
(3.17)
Для вычислений с логарифмами это особенно удобная форма,
но для работы с арифмометром рациональнее её преобразовать
далее. Очевидно, вместо (3.16) можно писать в развёрнутом
виде
х = sin a sin (Л + со) г cos v + sin a cos (Л 4- со) г sin v,
у = sin b sin [В + cd) r cos v -I- sin b cos (B + co) r sin u,
z = sin c sin (C -f- co) r cos v + sin c cos (C + cd) r sin u,
или же
x = Pxr cos и + Qxr sin u, 1
y = Pgr cosu + <?yr sinu, ?	(3.18)
z == Pzr cos v + Qzr sin u, J
Эти выражения для x, у, z могут быть подставлены в уравне-
ния (3.11):
pcos8cosa = ArrcosD+()xrsinu + X,
р cos 8 sin a = Руг cos v + Qyr sin v + Y,	(3.19)
p sin 6 = Pzr cos v + Qzr sin v + Z. J
Все эти формы уравнений часто применяются. Далее мы
находим при помощи (3.13):
Рх = sin a sin (Л + w) = cos со cos Q — sin a) cos i sin ,
Py = sin b sin (B + co) —
= (cos co sin + sin co cos i cos Q) cos г — sin a) sin i sin s,
Pz — sin c sin (C + co) =
= (cos a) sin Q + sin cd cos i cos Q) sin а + sin cd sin i cos a,
Qx = sin a cos (A + <») = — sin cos Q — cos cd cosZ sin Q, (3.20)
Qy = sin b cos (B + a>) =
= (— sin eosin Q + coso)cos i cos Q) cos a — cos co sin i sin e,
Qz = sin c cos (C + co) =
= (— sin cosin Q + cos co cos i cos Q) sin a + cos co sin i cos a.,
Геометрический смысл величин P и Q, вытекает из равенств
(3.18). Вообразим гелиоцентрическую координатную систему с,
С, в которой ось £ направлена в точку перигелия, ось — в точ-

§ 20]	О ВЛИЯНИИ ПРЕЦЕССИИ НА ЭЛЕМЕНТЫ ОРБИТЫ	59
ну орбиты с истинной аномалией и = 90°, ось. £ —по нормали
к плоскости орбиты; тогда
5 = г cos и, т) = г sin v, Z - 0,
а уравнения (3.18) дают преобразование координат с, в х,
у, z, следовательно,
Рх = cos (с, х),	Qx = cos (у, х),
Ру = cos (;, у),	Qy = cos (т), у),
Pz = COS (с, z),	Qz = COS (iq, z).
P„Py,Pz, Qx> Qu ’Qz называются также векторными элементами,
так как они, очевидно, являются компонентами в системе х, у, z
единичных векторов, направленных по осям с и тр Для них
справедливы три соотношения
Рх + P'i + Pl = l,Ql + Q2y + Qz = 1, PXQX + PyQy + PZQZ = 0, (3.21)
которые (особенно третье) полезны для контроля вычислений.
Мы видим, что шесть величин Р и Q выражаются только
через три независимых угла <о, Q и /.
§ 20. О влиянии прецессии на элементы орбиты
и векторные элементы
Из-за перемещения основных координатных плоскостей
в пространстве вследствие прецессии и нутации необходимо
указать, к какому равноденствию относятся элементы орбиты ш,
<0, и i, определяющие её пространственное расположение,
а также зависящие от них гауссовы постоянные, или векторные
элементы. Разумеется, к тому же самому равноденствию долж-
ны относиться координаты Земли L,B, X, У,7, и при вычисле-
ниях следует обращать внимание, не нарушено ли это условие.
В настоящее время в проблемах теоретической астрономии
координатная система всегда относится либо к среднему равно-
денствию начала года, в котором произведены наблюдения над
светилом, либо к нормальному равноденствию, т. е. 1925,0 до
1937 г. включительно, а позднее —1950,0. Поэтому нет надоб-
ности считаться с нутацией и важно лишь рассмотреть влия-
ние прецессии на интересующие нас элементы, если возникает
потребность переноса элементов орбиты с равноденствия одной
эпохи на другую. Основные определения и вывод последующих
формул даются в сферической астрономии, а здесь их достаточно
привести в том виде, как они применяются в наших задачах.
Пусть элементы орбиты <о, относятся к эпохе t; те
же элементы, отнесённые к эпохе tQ и —у (*+ *<>)»• отметим

60
ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
[Гл. III
индексами 0 и 1. Тогда для эклиптикальных элементов фор-
мулы прецессии будут:
со = (оо Д-тт cosec Zi sin (II— ftj (t —10),
^=^0 + [p —« Ctgi, sin(n—^,1)] (t — t0),	
t = i0 — ft cos (П — Qi) (/— ?0),
(3.22)
и для экваториальных элементов:
со' = со' + п cosec Z' cos ftj (Z — Zo), )
Q'= Qo + (^ — nctg^cos^) (t - Zo), }	(3.23)
/' = V — n sin Qi (Z — Zo);	J
При этом p обозначает годовую общую прецессию по долготе,
тс—годовое изменение наклонения эклиптики относительно
эклиптики основной эпохи (1850,0), II — долготу восходящего
узла эклиптики относительно эклиптики 1850, 0, т и п —годо-
вую прецессию по прямому восхождению и соответственно по
склонению. Промежуток времени t —10 выражается в тропиче-
ских годах; величины р, тг, П, zzz, /г обычно берутся из таблиц
([13, 19, 32] и табл. VIII этой книги), причём аргументом слу-
жит Сначала ft^,^ неизвестны, и мы в первом приближе-
нии берём со1 = соо, Q!=Qo, Z = Zo; затем, вычислив <d, ft,г,
делаем второе приближение, полагая
1
®1 = Y(и + шо)> ^.1 = у(^ + Ю, г’1= 2 (* + *<•)•
Отметим, что М. Ф. Субботин даёт таблицу приближённых
годовых изменений эклиптикальных элементов орбиты [13], а в
курсе А. Я. Орлова и Б. А. Орлова имеются специальные таблицы
для редукции от эпохи к нормальной эпохе 1950,0 и обратно;
эти таблицы могут несколько сократить вычисления [10].
Перенос векторных элементов от одной эпохи к другой есть
частный случай преобразования прямоугольных координат.
Напишем соответствующие формулы:
%	^о-^х “Ь X +	1
у = xaXlJ + y0Yu + z0Z!l,	(3.24)
z xQXz y0Yz -|- z^Zz,
Очевидно, величины Хх, Yх, Zx являются косинусами углов,
образованных осью х с осями х0, yQ1 z0 и т. д. В нашем слу-
чае система х, у, z есть экваториальная система осей эпохи t,
система xQ,y^zQ. относится к эпохе tQ. Уравнения (3.24) могут
служить для переноса от равноденствия эпохи t0 к равноденст-
вию эпохи t как прямоугольных гелиоцентрических или геоцен-

21] ГЕЛИОЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧ. ОРБИТЫ 61.
трических экваториальных координат, так и векторных элемен-
тов Px,Pij,Pz И Qx, Qy, Q,.
Для обратного перехода от эпохи t к эпохе t0 будут иметь
место уравнения:
^0	У^У ”i" ^^2» 1
y0 = xYx + yYv+zYz,	(3.25)
z0 = xZx + yZ.j + zZz. J
Значения Xx, ... даются в упомянутых нами таблицах для
равноденствий t0 = 1925,0 и /0 = 1950, 0 (см. также табл. X).
Пример. Элементы кометы Брукса
«0 = 195’40'56",70, ]
= 1774,2'23",63, 1 1950,0
г0= 5’32'47",28. I
перевести на равноденствие 1939,0, пользуясь таблицами М. Ф. Суббо-
тина.
рш= — 0°, 00008 о>!= 195’40',9 cosec i, 1,0148 р = +50",2663
Табл. IX Pq =+0°>01404	ctg ч 1,0128
?i=-0°, 00013
5’32',8 sin (П-Q^ 8,7564n р ~ =
° G
+ 0",2767
+ 50",5430
i1 = 1944,5	те
to= 5,5	cos(fl <0,г)
«^-(,>0= +0°,0004 = 0',0 . те = 0",4708 t-tQ-
-0°,0772 =-4,6 11 = 174°, 358
i1- i0 = + 0°,0007 =0,0 П = 174°21' ,5
9,6728	рш = —0",2780
9,9993	pi = — O",47OO
11 <Q-<Qo=-9'15"’97
O) — <D0 = +3",06
i- i0= +5",17
о = 195°40'59",76 >
Q = 177°33' 7",66 I 1939j0
i= 5°32'52".45 '
Здесь, как и далее при логарифмических вычислениях, рядом с ве-
личинами, где не написаны знаки равенства, фигурируют не числа,
а логарифмы.
§ 21. Вычисление гелиоцентрических координат
для эллиптической и круговой орбит
Формулы, дающие решение этой задачи, а именно, формулы
(2.46), (2.45) и (2.39), были нами уже получены; они сведены
в конце § 20. Необходимо, однако, дать некоторые практи-
ческие указания к вычислениям по ним.
Массы малых планет и комет нечувствительны в сравне-
нии с массой Солнца. Самый крупный астероид, Церера,
имеет, по оценке Рёсселла, массу около 4 • 10-10 массы Солнца;
таким образом, при современной точностй наблюдений и теории
(и, вероятно, ещё надолго) мы должны всегда вместо 1±т

62
ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
[Гл. Ill
брать просто 1. Величины рь и к в уравнении (2.46) обе имеют
смысл углового перемещения по орбите за сутки: первая
из них по определению, а вторая на основании уравнения (2.25).
Если мы в нём положим zn = O, то к явится средним суточным
движением планеты (фиктивной) с бесконечно малой массой
и полуосью орбиты, равной астрономической единице. Чтобы
получить pt не в отвлечённой мере, а в секундах или в гра-
дусах, следует и к выразить в этих же единицах, что даст
Л" = Л:агс 1" = 3548",187607 =[3,5500066],
к° = к : аге 1° = 0°,9856076686 = [9,9937041],
где числа в прямых скобках обозначают логарифмы соответ-
ственных чисел. Заметим, что к" лишь на 0",005 меньше сред-
него суточного движения Земли. Таким образом, вместо (2.46)
мы примем
„ к"
или	(3.26)
в зависимости от того, какими таблицами мы намерены поль-
зоваться при дальнейших вычислениях — дающими тригоно-
метрические функции для секунд или для долей градуса.
После этого в уравнении Кеплера М получится в той же
мере, поэтому слева в члене е sin Е нужно брать эксцентриси-
тет в секундах или градусах
е" =-- 206264",81 е = [5,3144251] е
е = [1,7581226]
Решение уравнения Кеплера
Я-е sin £ =	(3.27)
поскольку оно является в отношении Е трансцендентным,
должно идти путём последовательных приближений. Для оты-
скания первого приближения лучше всего воспользоваться
таблицами, дающими Е (или иногда Е — М) по аргументам
е и М. Таких таблиц существует довольно много ([10, 13, 15,
18, 19] и табл. XI); они прилагаются к ряду курсов теорети-
ческой астрономии. Наиболее подробны и удобны специаль-
ные таблицы Остранда. Можно пользоваться для этой цели
и графиками, но последние имеют заметно меньшую точность.
С достаточно высокой точностью (особенно при небольших
эксцентриситетах) решение кеплерова уравнения может быть
также получено путём его замены приближёнными соотноше-

§ 21] ГЕЛИОЦЕНТРИЧЕСКИЕ координаты для эллишич. орбиты 63-
ниями, которые решаются прямо. Подобных способов также
имеется много, и наиболее употребительные из них излага-
ются в сочинениях по теоретической астрономии, но здесь
мы их не будем рассматривать, так как, невидимому, ими
почти никогда не приходится пользоваться на деле, а особого
теоретического интереса они не представляют. В тех редких слу-
чаях, когда под руками может не оказаться таблиц, проще
всего начинать приближения с любого значения Е, взятого
на-глаз, или, при отсутствии навыка, положить Е—М.
Значениям средней аномалии 360° — М, или — М соответ-
ствуют 360°—Е, или —поэтому любые таблицы или графики
могут быть ограничены пределами 0° и 180° для М и Е.
Исправление приближённого Е облегчается применением
dE
производной P = Пусть в первом приближении было при-
нято значение Ег\ с ним вычисляется по уравнению Кеплера М1У
так что
Е1 — esin Е1 = М1.
Тогда, пренебрегая высшими порядками М — М^ мы будем
иметь	Л = Е1 + Р(М-М1),	(3.28).
где, очевидно,	^Y-JcosE •	(З-29)
Полученное значение Е снова подставляется в уравнение
Кеплера, и если оно не удовлетворяется, приём повторяется.
Вычислять F по формуле (3.29) не стоит: во-первых, и она мо-
жет быть табулирована [19], во-вторых, её легко взять из таблиц,
дающих Е по аргументу М, так как разность последовательных
значений Е, делённая на интервал аргумента, как раз равна F.
Пример. Даны е = 0,627411, М = 296° 18' 40",6.
Приближённое значение Е отыскиваем по таблице М. Ф. Субботина
[13]. При интерполировании и других вспомогательных расчётах удоб-
но пользоваться логарифмической линейкой. Так как таблица даёт не Е,
а Е — М, то для нахождения F здесь необходимо брать разность со-
седних значений Е<—М, увеличенную на единицу. Мы вычисляем сначала
с помощью арифмометра 206264,81 е = 129412",8.-
Находим Е = — 35°,47 = — 35°28', F = 0,91. Дальнейшая схема решения
с лед^ющая:
i
Ei
sin Ei
e" sin Ei
Ei-Mi
Mt
M — Mt
F (M — Mi)
1
260°51'
-0,987275
-127766",0
— 35°29'23",0
296°20'26",0
-1'45",4
-1'36",0
2
260°49'24",0
-0,987201
-127756",4
— 35°29'16",4
296°18'40",4
+0",2
+0",2
3
260°49'24",2
-0,987201
-35э2 )'16",4
296°18'40",6
0
Величина E3 и будет искомым значением эксцентрической аномалии

64
ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
[Гл III
Пример на вычисление с логарифмами. Даны = 26°Э'5",47,
М = 36°40'19,,,71.
sin ?	9,6441883
1 : arc 1"	5,3144251
е"	4,9536139
Е	58°8'
sin Я	9,9290504
е" sin Е	4,8876643
Е—М = 21°26'48",36
(М)= 36°4Г11",64
М-(М)=	-51",93
F[M — (M)] =	—68",О
е = 0,441
Е-М= 4-21°,47 = 4-2Г23'
F = l,31
58°6'52",0	53°6'52",30
9,9289616	9,9289617
4,8875752	4,8875756
21°26'32",52 2Г26'32",59
36°40'19",48 Збэ40'19",71
4-0",23	0
4-0",30
Из всех формул для вычисления г и v обычно удобно пользо-
ваться выражениями (2.39):
г sin v = a cos ср sin Е = а}/' 1 — е2 sin Е, )
г cosu = а (cos 7? — sin ср) = a (cos 2? — е), j	\ )
а затем отыскивать гелиоцентрические координаты по (3.16)
и (3.18), причём в правые части (3.18) можно подставить (3.30),
что даст:
х = аРх (cos Е — е) + a cos <р Qx sin Е,
у =. аРу (cos Е — е) + a cos <р Qy sin Е,
z = aPz (cos Е — е) + a cos ср Qz sin Е.
Обозначая
Ах = аРх, Bx = acos<?Qx1
Aj^aPy, Bg=acos4>Qyi
Az = aPz, Bz = a cos Qz, ,
мы можем написать:
x = Ax (cos E — e) + Bx sin E, 1
у = Ay (cos E — e) + By sin E,
z-Az{cosE — e)A-Bz sinE. ,
(3.31)
(3.32)
(3.33)
Для вычисления с логарифмами в свою. очередь можно
вывести подобные . формулы вместо (3.16) и тем самым заменить
г и v через Е, но употреблять их значительно менее удобно,
чем (3.33).
Если не требуется большой точности, а также эксцентри-
ситет орбиты не очень велик, вычисление гелиоцентрических
координат может быть несколько сокращено за счёт примене-
ния специальных таблиц, дающих прямо по аргументам М и е
(или ср) некоторые выражения, зависящие от г и v.
Для вычислений со счётной машиной можно пользоваться
таблицами Иннеса, содержащими пятизначные значения

§ 22] ГЕЛИОЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧ. ОРБИТЫ 65
~ cos v и у sin (обозначенные через X и Y) для всех значе-
ний е от 0,01 до 1,00 [25]. Таблица Штраке даёт эти же вели-
чины с четырьмя знаками, но лишь до ср = 25°. Для вычисле-
ний с четырёхзначными логарифмами предназначены таблицы
Петерса, дающие v — М и 1g до <р=24° ([31,38]; см. также
таблицы Штраке с тремя знаками [37]).
Пользуясь величинами
С — cos и; 5 = у sin и,	(3.34)
можно на основании (3.30) переписать (3.31) в таком виде:
х = АХС BXS,
y = AyC + B'yS, У	(3.35)
+ J
где
АХ =Z Х>	aQx> 1
Ау = аРу, By = aQy, У	(3.36)
Az = aPz, B'z = aQz. I
Не следует переоценивать экономию времени, которая может
быть достигнута с помощью этих таблиц, так как интерполя-
ция в них довольно неприятна.
Что касается круговых орбит, то они, как правило, служат для
вычисления положений лишь с ограниченной точностью. Фор-
мулы (2.46) и (2.49) позволяют найти и, В уравнениях (3.16)
нужно, конечно, заменить г через а. В формулах (3.18) и (3.20)
угол со не определяется, и этим произволом можно восполь-
зоваться в дальнейшем для удобного получения векторных
элементов; считая тогда условно и от некоторой точки II, мы
будем иметь:
х = аРх cos v aQx sin и,
у = аРу cos и + aQy sin и, ?	(3.37)
z = aPz cos v + aQz sin r. J
§ 22. Вычисление гелиоцентрических координат
для параболической орбиты
Уравнение (2.51)
lC5(lgA„ + llg-4c)=^=«	(3.38)
4.	1
может, конечно, решаться в отношении tg у и и алгебраическим
5 А. Д. Дубяго

66
ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
[Гл* III
путём, но гораздо проще применять таблицы, дающие и по аргу-
менту 71/, или, иногда, наоборот. Наиболее подробна и удобна
для пользования, в особенности если вычисления ведутся с по-
вышенной точностью, таблица Оипольцера [30], дающая 7J/ или
lg М для значений и от 0° до 176° через 10". Имеется много
других таблиц, но менее подробных; они входят во все сбор-
ники таблиц по теоретической астрономии и иногда называются
таблицами Баркера, потому что одна из первых таблиц для
параболического движения была опубликована в 1757 г. Бар-
кером (табл. XIII).
Радиус-вектор отыскивается по формуле (2.50)
r = q sec2 1 v = у tg2 ,	(3.39)
после чего можно пользоваться уравнениями (3.16). Впрочем,
удобнее, не вычисляя г,^написать их в виде
2=gsin6fstn(A + o) + u)sec2 -i-u, 1
1 ।
7/ = £Stn6sin(B + a) + D) sec2 — v, J>	(3.40)
I
z = q sin c sin (С + о + v) sec2 — v,
причём величины q sin а и т. д. находятся для данной орбиты
раз навсегда.
Для вычислений с арифмометром лучше употреблять tg
вместо и.
Обозначая
°=tg 4v	(з-41)
и обращаясь к (3.39), мы видим, что
г cos v = q sec2 у u c°s2 у v ~	= ® ~ °2)’
1.1 1
г sin d = 2q sec2 —d sin — v cos у v= 2q<s,
следовательно, вместо (3.18) будет:
x = ax (1 — <зг) + Ьх<з,
y = ay (1 — <52)4-6ya, >
z=az (1 — a2) + bjs,
^Х = 4^bx=2qQx,
ay = qPy > by = 2qQy,
az=qPz, t»2 = 2qQ;. .
(3.42)
(3.43)

§ 23] ГЕЛЛОЦЕНТРИЧ. КООРД. ДЛЯ ОРБИТ, БЛИЗКИХ К ПАРАБОЛЕ 67
Величина о даётся по аргументу М в таблицах, приложен-
ных к курсам М. Ф. Субботина и А. Я. Орлова [10,13],
и в других собраниях таблиц. Заметим, что М обозначается
у М. Ф. Субботина через В. В конце этой книги даны таблицы
М по аргументу о (табл. XII); такое устройство таблиц позво-
ляет дать их с достаточной (семизначной) точностью на всём
протяжении аргумента. Третья разность, как вйдно из формы
уравнения (3.38), постоянна и её не приходится учитывать при
употреблении таблицы. Ближе к концу таблицы можно нахо-
дить М или обратно а более, чем с семью знаками. Такие
случаи встретятся для комет с малым расстоянием перигелия;
множители ах, Ьх и т. д. будут малы, напротив, а и особенно
1 — а2 — велики. Для отыскания координат х, у1 z с семизначной
точностью потребуется знать о точнее, чем до семи знаков:
этому требованию и отвечает таблица.
Если и приближается к 180°, любые таблицы, дающие связь
между v и М, становятся неудобными потому, что М начинает
при этом очень быстро возрастать, а для v = 180° М = со.
Предлагались простые способы обойти это затруднение, но едва
ли стоит на них останавливаться, так как подобные случаи
могут встретиться крайне редко.
§ 23. Вычисление гелиоцентрических координат
для орбит, близких к параболе
Многие кометы движутся по эллиптическим или гиперболи-
ческим орбитам с эксцентриситетом, незначительно отлича-
ющимся от единицы. Формулы, выведенные нами для нахож-
дения гиг, становятся неудобными в их обычном вйде. Дейст-
вительно, если в уравнении Кеплера (2.43):
Е — е sin Е =	(£ — 71) = М
а 12
е стремится к единице, а — к бесконечности, левая часть ста-
новится малой разностью двух близких величин, что всегда
невыгодно для решения уравнений.
Брунс показал {18], что это неудобство можно обойти,
представив уравнение Кеплера в виде
М = Е — sin Е + (1 — е) sin Е.
Если иметь средства для быстрого и точного нахождения
Е — sin Л*, потери точности не произойдёт, ибо (1 — e)sin2?
всегда мало и может быть вычислено вполне надёжно. Тем
не менее, едва ли удастся избегнуть при этом кропотливых
выкладок.
5*

68
ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
[Гл. Ш
Почти все другие существующие способы дают непосред-
1
ственно v или tg у v, что достаточно и для нахождения г.
Таков классический способ Гаусса, излагаемый, в частности,
в курсе А. Я. Орлова и Б. А. Орлова [10], остроумный способ
М. А. Вильева для эллипсов, близких к параболе [2], а также
способ, предложенный М. Ф. Субботиным [13,14]. Эти способы
идут путём последовательных приближений, правда быстро
сходящихся. В других способах истинная аномалия получается
прямым вычислением, но зато не всегда обеспечивается нужная
точность. Вполне точен и удобен для вычислений прямой спо-
соб Оппольцера. Он требует довольно обширных таблиц [30];
в конце этой книги они даются в сокращённом виде. Вывод
необходимых формул у Оппольцера достаточно длинен, и мы
изложим здесь лишь его принципиальные моменты.
Из уравнений (2.35) и (2.36)
14-е cos v ’
г2 dv = к\^р dt
следует
(1 + е cos и)2 ’	(Ъ&к)
причём справа надлежит ещё подразумевать постоянную инте-
грирования.
Полагая, как и прежде, s — tg — v, мы будем иметь
,	dv 1 4- а2 ,
da =  ----j— = -у- dv,
2 cos2 — v
Вводя о вместо v в качестве переменной интегрирования, мы
получим (3.44) в виде
kt _ С (1 + a2) d<s
~~' [1 + « + (!-«)?Г2 ’
Далее заменим р через q — перигелийное расстояние:
р = а(1-е2) = ?(1-|-е)	(3.45)
и введём для сокращения обозначение
е =	(3-46)

§ 23] ГЕЛИОЦЕНТР. КООРДИНАТЫ ДЛЯ ОРБИТ, БЛИЗКИХ К ПАРАБОЛЕ 69
После умножения обеих частей на (14-е)2 предыдущий интеграл
запишется так:
/ft j/* 1 -|“ в	Г б/с . Г G2 б/с	/0 / rj.
= J (14-ea2)2± J (1 + gG2)2 •	1	>
Интегрирование этого выражения можно провести в конеч-
ном виде, и это дало бы нам формулы движения по эллипсу
и гиперболе, но сейчас они не нужны. Если же положить
е = 0, т. е. е=1, немедленно получится обычное кубическое
уравнение для а в параболическом движении. Так как пара-
бола может теперь рассматриваться как частный случай, то мы
будем интегрировать (3.47), разлагая под интегральные выраже-
ния в ряды по степеням ее2, что даст
+	(3.48)
Постоянную интеграции считаем равной нулю, при этом t будет
отсчитываться от момента прохождения через перигелий, когда,
очевидно, з = 0.
Для удобного решения этого уравнения относительно з
Оппольцер вводит две новых неизвестных х и f, определяемых
двумя произвольными условиями. Во-первых, они удовлетво-
ряют уравнению
- /1+е = х + 1	(3.49)
Если умножить обе части этого уравнения на /, оно будет
иметь форму обычного параболического уравнения (3.38), только
вместо tg-|-u войдёт /ж и вместо М войдёт "4“1/ и если
72
/ будет известно, можно для нахождения fx применить таблицу
Баркера.
Во-вторых, должно существовать следующее соотношение
между а и х:
а = х (1 4- А^х2 4- Л2е2#4 4- ...),	(3.50)
в котором Alf А2, ... являются функциями только от е.
Заменяя левую часть (3.48) при помощи условия (3.49)
и подставляя справа вместо о его выражение через х, даваемое
условием (3.50), мы найдём
+ 1>{(Ч-2Л, + |)е!+(л,(3.51;

70
ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
[Гл. III
откуда при помощи способа неопределённых коэффициентов
получим
/2 = 1 + Зе	,	(3.52)
и тем же путём после обширных и сложных выкладок, которые
Оппольцер подробно излагает, могут быть найдены коэффициенты
Лп Л2,-... в виде рядов по степеням е:
л _ 2	2	52
5	175®	7875S
А 37	128
~ 175	7875 s
(3.53)
Тем самым в основном задача решена, так как теперь при
помощи (3.52) и (3.53) величина / может быть табулирована
как функция от а, затем, как мы уже видели выше, fx нахо-
дится по таблице Баркера, после чего остаётся, пользуясь
1
уравнением (3.50), получить a = tgyU по найденному х, чего,
впрочем, прямо сделать нельзя, так как на практике это
потребовало бы слишком обширных таблиц с двумя входами:
по х и е. Этот этап решения задачи требует дополнительных
преобразований.
Пользуясь выражениями (3.53), перепишем уравнение (3.50)
в следующем виде:
g = х (1 + Агех2 + А2е2х* + . . .) =
причём здесь мы отбросим для простоты все члены сг3 и выше.
Положим
п 5 л л 1 ~	26
°	35 е 1575
n = Dex2.
(3.55)
тогда (3.54) даст нам с той же точностью
о = а:(1+тп+^п2+-") ’
или, если положить
G=l + |n + ^n’+...,	(3.56)
где коэффициенты, кроме первого — свободные члены разложе-
ний (3.53), то можно написать
c = xG,	(3.57)

§ 23] ГЕЛИОЦЕНТР.ЦКООРДИНАТЫ ДЛЯ ОРБИТ, БЛИЗКИХ К ПАРАБОЛЕ 71
причём G есть функция только от п. Удобство полученного
сейчас выражения состоит в том, что оно с очень большой
степенью приближения определяет значение о и для большин-
ства реальных случаев даёт верный до семи знаков результат.
Но если положить для полной строгости
g=xGH,	(3.58)
где Н является функцией от х и s — обеих переменных, вхо-
дящих в исходное уравнение (3.50), или же, что безразлично,
от п и е, то Н будет очень мало отличаться от единицы.
Найти явное выражение для Н довольно трудно, и Опполь-
цер предпочитает получать Н из (3.58) путём сравнения мно-
гих значений о, вычисленных, с одной стороны, по форму-
ле (3.57), а с другой стороны, по точному уравнению (3.50).
В конце этой книги приложены таблицы; дающие / и D по
аргументу е (табл. XIV), G по аргументу п (табл. XV) и Я по
аргументам е и п (табл. XVI), причём последняя величина выра-
жена в седьмом знаке логарифма. Таблицы эти охватывают
все случаи, в которых нельзя с удобством пользоваться обыч-
ными формулами для вычисления и; они заимствованы у Опполь-
цера и сокращены в объёме: именно, пределы по е взяты
от —0,03 (е=1,10) до + 0,15 (е = 0,74) и по пот — 0,15до + 0,15.
Полагая приближённо G, Я, D равными единице, мы видим, что
n = Dsxz^ stg2yU = tg2y£',
откуда следует, что взятому нами верхнему пределу соответ-
ствует
tg2yJe = 0,15,	£ = ±42°,
то-есть,
Р__	*1___ 1	%: 3 8
— 1 — е cos Е ~~ 1 — cos Е ~~ ’ 1
но при этих условиях уже можно пользоваться без больших
затруднений уравнением Кеплера в его обычной форме. Глав-
ная трудность в его решении возникает из-за слишком больших
значений F, создающих неуверенность в отыскании точного зна-
чения Е по заданному М, трудность, которая, если не прибе-
гать к таблицам с большим числом знаков, могла бы быть
устранена только искусственными преобразованиями. Мы только
что видели, что эта трудность отпадает для таких значений Е,
при которых cos Е заметно меньше единицы, но не лишним
будет заметить, что для орбит, весьма близких к параболе,
это могло бы иметь место лишь для момента, очень далеко
отстоящего от даты перигелия.

72
ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
[Гл. III
Итак, у нас будут следующие окончательные формулы.
Даны е, q, t; находим
-ф.	₽=•*>	<з-59>
Эти величины для данной орбиты постоянны. Для каждого
положения вычисляем
M = at	(3.60)
и по таблице Баркера берём и, обозначая его го, так как оно
здесь не представляет истинной аномалии. Затем
x=^ = tg-^-zo, п = $х2,
f ;	(3.6i)
a —tgy v — xGH.
Для радиуса-вектора мы будем иметь согласно (3.45) и (3.46)
г = д(1 + в) д(1+е) = д (1 + С2)
i + е cos v 1 — с2 1 + sc2
1+е Г+Т2
Можно также найти
(3.62)
г cos v
: <? (1 - °8)
1 4- EG2
г sin о =
2q<3
1 + EG2 ’
(3.63)
Вычисление прямоугольных координат х, у, z по г и и про-
исходит при помощи постоянных Гаусса, так же как и для
эллипса. Для вычисления с арифмометром служат формулы (3.63)
и основные уравнения (3.18).
Пример.	Комета 1942 f	Тевзадзе 2.		Даны		
е = 0,992172,	1g д = 0,131499,		t =	=	90,28133.		
1-е	7,893651		t	1,955598	G	9,790995
1 + е	0,299327	Табл.	м	1,756814	V	63Q25'58"2
£	7,594324	Баркера	w	63°19'17",0	G2	9,581990
£= •	4- 0,0039294		w	9,790050	EG2	7,176314
табл.I | р	9,999316		X	9,790734	1 4- G2	0,140488
	9,999951		X2	9,581468	1 4- EG2	0,000651
1 : д*	9,802752		n	7,175743	r	0,271336
1/1 + е V 2	9,999148		n -	= + 0,0014988		
а	9,801216		G	0,000261		
	7,594275		H	0		
Обратная задача —найти время прохождения через периге-
лий, зная е, q и v — решается много проще. Перепишем уравне-

§ 24]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭФЕМЕРИД
73
ние (3.48) в следующем виде:
I /1 + е __ £ С1	3_ g2(j4 _ . .
3
92
аУ-
j3+
,.)C»=Pl6 + P3a». (3.64)
Здесь Pi и Р3 являются функциями ез2 и могут быть табу-
лированы по этому аргументу, что и сделано в табл. XVII,
также заимствованной у Оппольцера. Если теперь t считать
не от момента прохождения через перигелий Ф, а в обычном
смысле, то в левой части (3.64) вместо t будет фигурировать
£ — Т и мы можем легко найти Z:

(3.65)
причём, очевидно, надо до этого вычислить во2.
Для только что приведённого примера
Даются е= 0,992172, lg q = 0,131499,
вычисления расположатся так:
и = 63°25'58" ,2
£ 7,594324
___0,1972'18
0,149664
q* : У" 1 +	0,047584
g 9,790995
с2 9,581990
с3 9,372985
so2	7,176314
£G2 = + 0,0015008
Табл.	Г Рг	2,065014
XVII	| Р3	1,587546
PiG	1,856099
P3g3	0,960531
3	1,908014
t-T 1,955598
£-Т = 90,28140
§ 24. Нахождение отдельных геоцентрических положений
и вычисление эфемерид
В предыдущих параграфах уже содержится почти всё необ-
ходимое для вычисления геоцентрических положений малых
планет и комет. В зависимости от задачи, которую мы себе
ставим, речь может идти о вычислении отдельных положений
светила или целой последовательности таких положений, отде-
лённых равными промежутками времени, так называемой эфеме-
риды, причём, однако, существенной разницы в вычислениях
не будет.
Ниже даётся сводка формул и некоторые практические ука-
зания, которые могут быть полезны при вычислении эфемерид
или изолированных положений.
Если не даны постоянные Гаусса или векторные элементы,
их следует предварительно найти по элементам орбиты со, г;
эта операция проделывается для данной орбиты один раз
вне зависимости от того, сколько положений надо вычислить.
Вычисления эти требуют известного времени и должны быть

ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ	[Гл. Ill
хорошо проконтролированы. Если надо найти не более трёх-
четырёх положений светила, можно вовсе не вычислять посто-
янных Гаусса, применив эклиптикальные координаты и фор-
мулы (3.8).
При вычислении отдельных положений контроль отсутствует;
ввиду этого следует тщательно проверить все вычисления
и убедиться в их правильности. Вычисляя эфемериду, мы можем
провести контроль на любом этапе, следя по разностям,
насколько правильно меняются от одного момента к другому
все входящие в вычисление величины.
Отдельные геоцентрические положения и эфемериды вычис-
ляются либо с целью сравнения их с наблюдениями, либо для
того, чтобы заранее указать наблюдателям видимый путь све-
тила на будущее время и этим облегчить его отыскание (разы-
скные эфемериды). В первом случае точность должна приспо-
собляться к точности наблюдений, т. е. по большей части
необходимо вести вычисления с шестью или семью знаками;
во втором случае достаточно четырёх или, в крайнем случае,
пяти знаков, что будет соответствовать примерно 1' на небес-
ной сфере.
Приступая к вычислению эфемериды, следует обратить вни-
мание на выбор интервала между отдельными датами. При
точных (шестизначных) вычислениях для малых планет берутся
четырёхдневные интервалы, для комет интервал обычно должен
быть уменьшен до двух дней, но иногда — при быстром геоцен-
трическом движении, или приближении к полюсу — приходится
вычислять с гораздо более короткими интервалами. При про-
межутках свыше 4 дней начинает заметно сказываться коротко-
периодическое лунное неравенство в долготе Земли, нарушая
плавный ход эфемеридных геоцентрических координат. Для
объектов, близко подходящих к Земле, или если требуется
повышенная точность (окончательная орбита), вычисления
ведутся с семью знаками. Для разыскных эфемерид, дающих
небольшую точность, интервал часто может быть увеличен до
8 дней (как правило, для малых планет) и даже до 16 дней;
впрочем, и здесь для комет иногда приходится брать малые
интервалы:
А. Вспомогательные величины. Для вычислений с арифмо-
метром векторные элементы обычно заимствуются из вычисле-
ния орбиты. Если предполагают вести вычисления с помощью
таблиц Иннеса или Штраке, нужны величины А и В'\ для
параболической орбиты —а и Ь. Векторные элементы, равно
как и (о, i и координаты Солнца X, У, Z относятся к одной
системе координат, привязанной или к среднему равноденствию
начала года наблюдений, или к нормальному равноденствию
1925,0 (до 1937 г.) и 1950,0 (с 1938 г).

§ 24]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭФЕМЕРИД
75
Если эти величины не даны, они вычисляются по следую-
щим формулам:
04 = sin ft sin cd,	Рх = р2 — ах cos /,
а2 = sin ft cosco,	Ру = (а2 + pi cos/) cose —уг sin a,
= cos ft sin	Pz = (а2 + Pi cos 0 sin 3 + Yi cos e>
P2 = cos ft cosco, Qx= — Pi — a2 cos/,
Yx = sin i sin co,	Qy = (— ax + P2 cos i) cos e — y2 sin e,
y2 = sin i cos co,	Qz = (— cq + p2 cos i) sin a + y2 cos e,
Ax — aPx"> Bx = a cos cp^T, Bx = aQx, dx = qPx, bx = 2qQxl
Ay = aPy, By^acos^Qy, B'y = aQy, ay=qPy, blJ=2qQyi
Az = aPz, Bz = a cos yQz, B'z = aQz, az = qPz, bz = 2qQz.
(I)
Контроль:
Ql+Q* 2y + Q\=^.
PxQx+P,Qy+PzQz = ^^
Ar + ^ + ^z = fl2’
Bl + B2v + B^ = a2 cos2?,
B^ + B'J + B^a2,
AxBx + AliB. + AzBz = 01
AxB'x + AyBfy + AzB; = Q.
al + % + ^ =q\
+ b2y +bi = iq\
axbx + ayby + azbz = (),
Об учёте прецессии см. § 20, причём данные там фор-
мулы применяются без изменений для любой тройки векторных
элементов.
При пользовании логарифмами вычисляются постоянные
Гаусса
п sin N = sin i
п cos N = cos i cos ft,
sin asin?l== cos ft,
sin a cos4 = —cos / sin ft,
Л' = 4 + со, Br =
sin b sin В = sin ft cos a
sin b cos В = n cos (TV + a),
sin c sin C = sin ft sin a,
sin c cos C = n sin (TV + e),
jB-f-CO, C' = C-f-CD.
1
I
Jz (la)
)

76	ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ	[Гл. Ill
Контроль:
sin Ъ sin с sin (В — С)
----=----Ч------------ = “- tg I,
sin a cos А-----°
sin2 а + sin2 b + sin2 с = 2.
В. Эллиптические орбиты. Эфемерида дает п положений
Mi — М * + р.	Zo),	]
Mk = Mt + (k-l)wy.	(k= 1, 2, ..., п). j (И)
Контроль:
Mn=M0 + ^(tn — tQ).
Последующие значения М получаются из предыдущих
путём прибавления шр, где w — интервал эфемериды в сутках.
Последнее Мп вычисляется сверх того непосредственно.
£-esin£ = A/,	(III)
е° = 57,29578е = [1,7581226] е, е" = 206264,81е = [5,3144251] е.
Для двух-трёх ] первых дат приближённые значения Ех
берутся из таблиц Остранда; за неимением их — из любых дру-
гих таблиц, дающих Е по аргументам М и е. Исправленное
значение Е\
M^E^esinE, E~E1 = F (M-MJ. .
О нахождении F см. § 21. Если нужно, приближения повто-
ряются, пока уравнение Кеплера не удовлетворится в точ-
ности. Для третьего, четвёртого и последующих моментов зна-
чения Е приближённо даются экстраполяцией уже полученных
значений с учётом высших разностей; плавный ход этих раз-
ностей даёт контроль вычисления Е.
При вычислении с арифмометром
р cos В cos а = Ах (cos Е — е) + Вх sin Е + X,	1
р cos 3 sin а = Aif (cos Е — е) + Ву sin Е + Y,	z	(IV)
р sin 8 = Az (cos Е — е) 4- Bz sin Е + Z.	J
Если пользуются таблицами Иннеса или Штраке, эксцент-
рической аномалии отыскивать не надо. По аргументам е или
и М таблицы дают С и S, после чего применяют формулы:
р cos о cos а = АХС + B'XS + X,
р cos 8 sin а = Ау С + B'yS + У, ’
р sin о = AZC 4“ ВZS	Z.
(IV')

§ 24]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭФЕМЕРИД
77
При вычислении с логарифмами
г sin и = a cos ф sin Е, 1
( х	(IVa)
г cos и == a (cos Е —е); J
р cos 8 cos a =rsin a sin (Ar -j-и) + Х, 1
р cos 8 sin а = г sin b sin (В' + и) + Y, ?	(Va)
p sin 8 = r sin c sin (C' + v) + Z. J
Если имеются таблицы Петерса, берём v — М и	1g	у по
аргументам	М и ср и находим и = Л/(и — М) и г = а	, не	вы-
числяя эксцентрической аномалии.
Полученные а и 8 контролируются разностями. Часто
полезно знать значение р, которое отыскивается не более чем
с тремя-четырьмя знаками. Если придётся сравнивать эфеме-
риду с очень многочисленными наблюдениями, можно последо-
вательным применением формул интерполяции на половину
найти а и 8 на каждые сутки, что облегчает сравнение, однако
прямой надобности в этом нет.
С- Круговые орбиты. Точность —4 знака, интервал —8 дней;
эфемерида может быть полезной лишь ненадолго после откры-
тия новой планеты, пока отклонение от истинной орбиты не
слишком заметно. О вычислении векторных элементов см. § 19.
В гауссовых постоянных полагается <о = О
«=«о + н(* —М,	У + (* — *<>)•	(П)
При вычислении с арифмометром
р cos 8 cos а = Ах cos и + В'х sin v -|- X, 'j
р cos 8 sin а = Ay cos v + B'y sin v + Y, !	(III)
p sin 8 = Az cos v + B'z sin v + Z. J
Вычисляя с логарифмами, имеем:
p cos 8 cos a = a sin a sin (A + и) + X,
p cos 8 cos a = a sin b sin (B + u) -f- Y,	z	(Illa)
p sin 8 — a sin c sin (C + u) -f- Z.	J
D. Параболические орбиты
По аргументу М выбирается из таблиц Баркера и, или же
используются таблицы, дающие a = tgyU.

78
ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
[Гл. III
При вычислении с арифмометром
р cos 3 cos а = ах (1 — а2) + Ьх<з + X,
р cos 3 sin а = ау (1 — о2) + 6уз +У,
р sin 8 = az (1 — а2) + bz<s + Z.
При вычислении с логарифмами
2 1
r = q sec2 — v,
р cos 8 cos а = г sin a sin (А' + v) + X =
= q sin a sin (А' + v) sec2 у v + X,
p cos 8 sin a = r sin b sin (B' + u) + Y =
= q sin b sin (Bf + r) sec2 у v + Y,
p sin 8 = r sin c sin (C" + v) + Z =
1
= q sin c sin (C' + ») sec2 — v + Z.
(HI)
(lib)
(IVa)
Правые члены употребляются, если не нужно радиуса-
вектора; gsina, t/sinft, #sinc вычисляются заранее. Контроль а
и 8 по разностям.
Е. Орбиты, близкие к параболе. Вычисление сначала ведётся
с логарифмами. Дополнительные вспомогательные величины
По таблицам Оппольцера или табл. XIV берутся / и D
по аргументу е.
Р=еР-	<1а>
Для каждого положения
=	(Па)
по таблице Баркера берётся и, обозначаемое здесь через w.
rr = tgyw, п = $х2.	(Illa)
Таблица XII даёт прямо х. По таблицам XV и XVI (или по
таблицам Оппольцера) отыскиваются G (по аргументу п) и Н
(по аргументам п и е)
а = tg v xGH.	(IVa)

§ 24]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭФЕМЕРИД
79
Продолжая вычисление с арифмометром, имеем:
q I - о2
г cos V =	---г2- ,
1 + еа2
2qa
Г siny— Т+^72 •
р cos о cos а = Рхт cos и + Qxr sin v 4- X, '
р cos о sin а = Руг cos v + Qyr sin v 4- Y,
p sin 3 = Pzr cos v + Qzr sin v + Z. ,
При вычислении с логарифмами
9 (! + °2)
1 + £G2	1
(IV)
(V)
(IVa)
p cos 8 cos a = r sin a sin (A' + v) + X, ]
p cos 8 sin a= r sin 6sin (j?'-|-d) + У,	(Va)
p sin 8 = r sin c sin (6" + v) + Z. J
Контроль a и 8 по разностям.
Сделаем ещё некоторые замечания, которые могут быть
полезными. При вычислении отдельных положений с целью
сравнения с наблюдениями требуется отыскивать координаты
Солнца для моментов наблюдений. При интерполировании X,
У. Z с шестью знаками можно применять любую интерполя-
ционную формулу; в тех редких случаях, когда нужно иметь
семь знаков, лучше пользоваться формулой Бесселя, ибо при
этом третьи разности не окажут влияния на результат. Для
контроля координат Солнца (операция, требующая большого
внимания, так как ошибки при интерполировании нередки) можно
проинтерполировать и радиус-вектор и воспользоваться формулой
Х2 + У2 + 22 = 7?2.
Можно также применить приём интерполирования Уиллиса,
изложенный у М. Ф. Субботина [14]. Однако существенной эко-
номии времени он не даёт, если при обычном интерполировании
пользоваться таблицей готовых поправок за вторую разность.
При сравнении эфемериды с наблюдениями необходимо учесть
влияние аберрации и параллакса, о чём будет сказано в сле-
дующей главе. Там же будут приведены соображения, кото-
рыми приходится руководствоваться при определении протяже-
ния эфемерид, предназначенных для поисков комет и малых
планет; что же касается точной эфемериды, имеющей целью
сравнение орбиты с наблюдениями, то она, конечно, должна
охватывать весь период наблюдений с добавлением одного-двух
запасных интервалов в начале и конце эфемериды, чтобы

80	ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ	[Гл. III
последующая интерполяция эфемеридных данных на моменты
первых и последних наблюдений не оказалась ненадёжной.
Если наблюдения сделаны с большими перерывами, то и в эфеме-
риде могут быть соответственные пропуски.
Разыскные эфемериды не всегда вычисляются со вполне
надёжными элементами и часто не сразу приводят к отыска-
нию объекта (не говоря о том, когда поиски вообще не увенчи-
ваются успехом). Наиболее сомнительный фактор — положение
светила на орбите, так как ошибка в определении р- влияет
на него пропорционально времени. Чтобы несколько облегчить
задачу наблюдателей и сделать более уверенным идентифи-
цирование какого-нибудь подозрительного объекта, вычисляется
так называемая вариация.
Варьируется средняя аномалия для малых планет или
время прохождения через перигелий для комет. Если коорди-
наты тела	zk^_lf относящиеся к моменту соединить
с координатами Солнца Хк, Yk, Zk для даты tk, это будет рав-
носильно изменению Т на + и\ где w — интервал эфемериды,
причём следует довести вычисление до конца — до получения а
и о. Обозначая а7. и Ък координаты светила для момента tk,
а изменённые его координаты через % и8у мы получим (для комет)
var а = ——— ,	var о = ——-- ,	(3.66)
w	w	v '
вариации а и о, соответствующие изменению Т на + 1 сутки.
Эти вариации вычисляются через равные интервалы для всего
протяжения эфемериды.
Для малых планет вариация вычисляется иначе. Её обозна-
чают и формула для неё
Смысл этой вариации в том, что она даёт изменение 8,
соответствующее изменению а на + Её вычисляют для
начала и конца эфемериды или даже только для её середины.
Разыскные эфемериды часто снабжаются указаниями на ожи-
даемую яркость объекта. Для малых планет, отражающих сол-
нечный свет, яркость J изменяется обратно пропорционально
квадратам расстояний от Солнца и Земли, т. е.
(3.68)
Следовательно, при г = 1 и р=1 яркость планеты равна Jo;
обозначая соответственную звёздную величину через gt имеем
по закону Погсона
1g А = 0,4 (m-g),	(3.69)

§ 24]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭФЕМЕРИД
81
где звёздная величина т соответствует яркости J. На основа-
нии (3.68) мы можем писать
lg (rV) = 0,4(w —g),
w = g + 5(lgr + lgp).	(3.70)
Для определения g привлекаются наблюдения яркости малых
планет (обычно это грубые оценки); каждое наблюдение даёт
т, a g находится по уравнению (3.70). Из всех определений
берётся среднее. Если g известно, уравнение (3.70) служит для
предвычисления т. Для общей характеристики яркости плане-
ты вводится т0 —- величина её вт ак называемой средней оппо-
зиции, для которой г = а, р = а —1. Это даёт
m0 = g + 5[lga + lg(6z— 1)]. .	(3.71)
Изменение яркости комет не подчиняется общему закону.
Далеко не всегда максимум яркости, редуцированной за изменение
расстояния до Земли, совпадает с перигелием. Часто прини-
мают, что яркость кометы изменяется приблизительно по закону;
т = g + п 1g г + 5 1g р,	(3.72)
где п совместно с g выводится из наблюдений для каждой
кометы отдельно. Среднее значение п по Бобровникову равно
8,3, по С. К. Всехсвятскому—около 9,0, однако отдельные
значения весьма разнообразны, и среди них можно найти отри-
цательные, что показывает, что яркость кометы убывала с при-
ближением к -перигелию. Кроме того, у Комет наблюдаются
и другие изменения блеска. Для периодических комет g заметно
увеличивается (яркость ослабевает) на протяжении ряда обраще-
ний и многие из комет со временем стали совершенно невидимыми
для нас. Предсказывать яркость кометы на будущее появле-
ние-дело ненадёжное и лучше ограничиться указанием г и р.
Пример. Вычисление эфемериды малой планеты с помощью таблиц
Штраке. Планета 1933 NA.
Элементы 1933 Вс. вр. VII, 27,0 VIII, 4,0 VIII, 12,0 VIII,20,0VIII, 28,0
£0= 1933 июля	27,0 Вс. вр. М 13’9',2 15°31',2			17°53',3	20’15',3 22’37',3	
МО = 13°9',2		С + 8071	+ 7929	+ 7766	+•7581	+ 7375
<р = 8°59',4		6’ + 2648	+ 3108	+ 3558	+ 3998	+ 4427
Н=1065лг,252		X - 5604	-6675	-7625	-8437	- 9095
Ах = + 0,2775 4 А,.= - 2,0788		У + 7769	+ 7008	+ 6121	+ 5122	+ 4030
		Z + 3370	+ ^040	+ 2655	+ 2222	+ 1748
= -0,7590		Р cos 5 cos а + 2487	+ 2393	+ 2392	+ 2500	+ 2733
	>1933,0					
Вх= +2,2096		р cos d sin а — 8432	-8798	-9248 -	- 9767	- 1,0337
Bv = +0,2178		р sin 5 — 2197	- 2322	- 2488 -	- 2688	- 2915
Bs = +0,2112 )		р cos $ + 8791	+ 9117	+ 9552 +1,0082		+ 1,0693
	Г а	286°26	285°13'	284’30'	284’22'			284°49'
1933,0 ]	а	19/z5w,7	19й0™,9	18*58’”, 0	18*57’", 5			18л59™,3
	1 $	—14°2'	—14°17'	—14°36'	-14°	56'	-	15°15'
	р	0,906	0,941	0,987	1		,044	1,108
0 а. Д. Дубяго

82
ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
[Гл. Ш
Пример. Комета 1946 Ь Пайдушаковой-Ротбарта.
Элементы
Т = 1946 мая 11,41722 Вс.
ш =22° 15'36',8 1
Q = 301 16 28 ,6 >1946,0
i = 169 33 32 ,8 ‘
7 = 1,018122
q 0,007799
q~ 0,003900
0,011699
sin i =
е = 23°26'46", 7
sine 9,599762
cos 8 9,962574
sin «Q 9,931808n
cos (Q 9,715285
cos i 9,992749л
л sin N 9,258209
лсозТУ 9,708034л
N=160°27'26",5
7V+e = 183 54 13 ,2
sin b sin В 9,894382л
sin b cos В 9,732793л
B = 235°25'16",9
sin & 9,978799
sin c sin С 9,531570л
sin c cos С 8,566816 л
С =263°48'36",8
sin с 9,534110
sin & sin с 9,512909
sin (2V+e) 8,833014л
л 9,733802
cos (2V+e) 9,998991л
Sin a sin А 9,715285
sin a cos А$,92Ь557п
Л = 148°17'57",4
sin а 9,994727
sin (В—С) 9,677108л
sin a cos А %92'i^n
tgic 9,265460
tg 9,265460
sin2 а = 0,976010
sin2 Ь = 0,906980
sin2 с = 0,117009
3 = 1,999999
z=[0,,002526] sin (170’33'44",2 + v) sec2 у v
y=[9,986598] sin (257’40'53", 7+ v) sec2y v '
z= [9,541909] sin (286’413",6 + ®) sec2 у v
£ = 1946 июня 15,0		х~ - 0,633490
£-T =	38,58278	+0,118613
»	1,538860	v= —0,964642
M	1,527161	Г= +0,925532
V	42’35'9",0	z= -0,208674
1 sec2 — v	0,061414	Z= +0,401400
sin (A' + v)	9,737800	рCOS 6 COS а	9,711704га
q sin a sec2 — v	0,063940	р cos 8 sin а	8,592288га
sin (B'+ v)	9,936554га*	рsin S	9,284940
q sin b sec2 у v	0,048012	рcos 6	9,721954
sin (O' + v)	9,716146га	г а= 184’20'37",8
. 1 q sin c sec2 — v	9 603323	1946,0{ а= 12/,17’п22®,52
2		( 6= + 20’28'3",0 р = 9,7413
Так же вычисляются все остальные		положения эфемериды.

§ 25J ПОЛУЧЕНИЕ ЭФЕМЕРИДЫ МЕТОДОМ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВ. 83
§ 25. Получение эфемериды методом численного интегрирования
Метод численного интегрирования может быть применён
не только для решения задачи возмущённого движения, как
о том говорилось выше, но и для построения невозмущённой
эфемериды, где, впрочем, его значение не так велико. Для
последней цели им стали пользоваться лишь в текущем сто-
летии (хотя некоторые частные приёмы были указаны и ранее),
несмотря на то, что основная идея метода численного инте-
грирования давно известна и его теория была разработана Гаус-
сом с достаточной полнотой. Формулы Гаусса наиболее точны
и употребляются теперь чуаще всего, но существуют и другие
способы численного интегрирования, из числа которых можно
упомянуть о первоначальном способе Коуэлла.
Обоснование метода численного интегрирования можно найти
у ряда авторов, в частности, у М. Ф. Субботина [14], здесь
будут приведены только окончательные формулы.
Нашей задачей является решение дифференциальных урав-
нений проблемы двух тел. Положим в них лг^=О; это даст
вместо (2.2)
d2#	7 •
dt=~k
У_
dt? — к г*
X
г3 ’
(3.73)
= — А-2 —
dt2	г* * J
Прежде чем приступить к решению этой системы диффе-
ренциальных уравнений, дадим сводку необходимых обозначе-
ний и формул. Пусть / (t) есть непрерывная функция времени
и пусть известны её значения для ряда равноотстоящих мо-
ментов: . . ., a — 2w, а — w, a,a + w,a +2w, . . . Составим таблицу,
изображённую на стр. 84.
Таблица эта может быть по мере надобности продолжена
вверх, вниз и вправо. Каждая из величин, входящая в таблицу,
равна разности между двумя величинами, стоящимй в ближай-
шем левом столбце непосредственно ниже и выше этой вели-
чины. Так, например,
1f(a—	=
f(a) =
и т. д. По заданным значениям функции f(t) могут быть непо-
средственно заполнены все столбцы, содержащие разности раз-
личных порядков, для отыскания же значений сумм должны
быть известны значения одной из первых сумм и одной из вто-
рых сумм. Таблица может быть дополнена, причём на пустые
6*

Аргумент	Вторая сумма	Первая сумма	Функция	Первая разность	Вторая разность	Третья разность	
. . .	• . .	. . .		• • •	1	’ *		
а — 2w	11 / (a — 2w)		/ (a — 2w)		/п (a — 2w)		
		I/	|		"T4 co |<м Г		/in(a-4w)	
а — w	11 / (а - w)		/(a-w)		/II(a—w)		
		1 ч-< |<?4 1		/(«-4 w)		/iv	
а	п/ («)		/(“)		/П (a)		
		^(a+lw)		/(a+lw)		/Ш(“ + т№)	
a + w	п/ (a + w)		Z(« + w)		fn (a + w)		
		^(a+lw)				/in(a+|w)	
a +2w	11 f (а + 2w)		/ (a + 2w)	. . .	/п (a+2w)	. . .	
	1	1	1			г	1 •••

§ 25] ПОЛУЧЕНИЕ ЭФЕМЕРИДЫ МЕТОДОМ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВ. 85
места таблицы вписывают полусуммы величин, стоящих в том
же столбце в непосредственном соседстве с заполняемым мес-
том, полагая
/(a + 4w) =у + +	]
4	2 У 2	> (3.75)
/I(a + w)=4: /I(« + 4W)+/I(a + 4W)]’ J
И Т. д.
Пусть требуется решить дифференциальное уравнение
S=/W’
причём данными являются значения функции х и её произ-
водной х', соответствующие моменту времени t = a. Обозначим
эти значения соответственно через х (а) и х'(а).
Нашей задачей является нахождение значений функции х (а)
для ряда равноудалённых значений аргумента. Начнем с со-
ставления дополненной таблицы (3.74).
Как уже сказано, для заполнения двух первых столбцов
этой таблицы нужно знать значение одной из первых сумм
и одной из вторых сумм. Для нахождения таких значений по
данным х (а) и х' (а) могут служить формулы:
j
= W ± 4 / («) + i / («) - М + Jgj /т (я) — ... J- (3.76)
W =*(«)- i №)+ Йо /п <“) - оИо f” <“)+•
Если в качестве начальных данных мы имеем х (а — у
и	то формулы (3.76) могут быть заменены следу-
ющими:
+ 44 /ш(а -4 - ет /v(a + • • •
n/(a-4w)=a:(a-4w)+4^a-w)-
“44 [2/n(a-w) + /n(a)] +
+ 9S0 [ 3/IV (a - + 2/IV ] - ’ • ’

(3.77)

86
ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
[Гл. III
После того как составлена таблица (3.74), мы можем вычи-
слить ряд значений искомой функции х (Z), пользуясь формулами:
х {а + kw) = w2	(a+kw) + ^f(a + kiv) —
- f" (« + '•») +	/IV (“ + М -    ] .
х [a + (jc + -0w J =
= w2{n/[a + (yc + -0wj— а + (к + ~^w j +
+ т5я/П1', + (4+Е>"]-
Заметим, что в том случае, когда известны значения п/
для двух последовательных моментов, нет надобности вычис-
лять первую сумму по формулам, ибо она находится как раз-
ность значений uf.~
Решение дифференциального уравнения первого порядка
находится по формулам:
х(а-\- kw) = w[ If(a + kw) — ^fI (a + kw) +
+ ^/ш(« + М-6-^-0Л(« + ^)+... ],
х [ а + ( к +	j = w | V [ a + (к +	j +
+ 21 f1 [ a + (* + T>] ~3^0 /ш [a + 0 + £>] +
+ =/v[«+G+4>]---
(3.79)
Для нахождения х/ можно воспользоваться первой из формул
(3.76) или (3.77), где в этом случае вместо х' (а) нужно писать х (а).
При решении системы (3.73) интегрирование всех трёх урав-
нений идёт параллельно. В качестве начальных данных могут
быть взяты
х(а), y(a)f z(d) и х(а — w),	y(a — w), z(a — w)\
вместо трёх последних величин можно взять х'(а), у' (a), z'(а).
Если координаты для избранных нами моментов не были опре-
делены ранее, их можно вычислить по формулам (3.18):
ж = РяГсози + ^гэти	(3.80)

§ 25] ПОЛУЧЕНИЕ ЭФЕМЕРИДЫ МЕТОДОМ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВ. 87
и т. д., что, например, для случая эллиптической орбиты даёт
х = аРх (cos Е — е) + a cos <р Qx sin Е	(3.81)
и т. д. Для отыскания значений х', у' и z' напишем сначала
на основании (2.18) и (2.36)
1 ___ 1 + е COS V _ dv ________ kYР
г	р	И dt г2 *
откуда вытекает
1 dr ___ е sin v dv
г2 dt р dt 1
d (г cos v) __ke sin v cos v
dt	у p
dr __ke sin v
dt	y4 P *
/с p sin v__ к sin v
r ~ ~ Vp
('•sin p) __feesin2t) pC0Srl
dt	у p	r
к	к
= [e — e cos2 v + (1 + e cosu) cos u] — (e + cosy).
Подставляя эти выражения в уравнения, полученные из урав-
нений (3.80) дифференцированием по времени, находим:
к
= ~7=[—Pxsinv + Qx(cosv + e)],
у'=-^=[—Pysinv + Qy(cosv + e)], >
У р
z' =	[ — P,sinv + Q2 (cos v 4-е)].
VP
(3.82)
В случае эллиптической орбиты это даёт при помощи (2.39)
к
х' = —— ( — а Рд. sin Z? + a cos <р (Z,. cos £),.
г у а
к	т-i
у' = —— (— а Ру sin Е + a cos ср Qy cos Е),
гу а
z' = —т= (— a Pz sin Е + a cos ср Qz cos Е)
гу а
(3.83)
— уравнения, которые нетрудно вывести из (3.81) и непосред-
ственно. Для парабЬлы, соответственно, воспользуемся заменами

88
ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
[Гл. III
p — 2q, e = tg у , г = sec2 у и мы найдём после простых преоб-
разований:
х> _ _^к
/д(1+ о2)
,	]/"2к
V = ~7=------
,	/2/с
Z = 7=-------
/д(1 + а2)
(-Pya + Qy)=k-^(-Pva + Qy), 
(-P^ + Qz) = kJ^(-P^ + Q^
(3.84)
Для проверки вычислений в случае эллиптической орбиты
может служить следующее соотношение:
dr г ।	/ । /	йег sin v	г— „
г и=хх +уу +zz = =кеУ asinE- (3-85)
Вычисление эфемериды может идти двояким путём. Можно,
в первом варианте, вычислить координаты х, у, z для двух
моментов а и a + w, воспользовавшись обычными формулами
для вычисления эфемерид, скажем, уравнениями (3.81). Если
взять за единицу времени интервал эфемериды w, то вместо к
мы можем положить wk, а вместо к2 соответственно w2k2, Найдя
х, у, z1 вычисляем для тех же моментов
Г2 = я2+ ?/2 + z2,
а также
fx = — w2k2xr~\ "j
/у = -w*k2yr~\ >	(3.86)
fz— — w2k2zr~\ I
При сделанном выборе единицы времени формулы (3.78)
не будут содержать множителя W2. Существуют таблицы, даю-
щие г'3 [10, 32] или прямо w2k2r~3 по аргументу г2, например,
таблица М. Ф. Субботина [13] для интервала w = 8 дням.
Вычисления часто ведутся в единицах седьмого знака, тогда
npnw = 2d 107w2 к2 = 11836,49,
» w = 4d 107 w2 й2 — 47345,95,
» w = 8d 107w2 k2 = 189383,81.
Затем определяются согласно (3.76) 11 / (а) и п/ (a + )w, при-
чём в первом приближении нужно взять /п (а) и /n(a + w) рав-
ными нулю. Чтобы вычислять далее, надо найти, пользуясь (3.77),
х(а + 2w) = п/ (а + 2w) +	/ (а + 2w) — ...

§ 25] ^ПОЛУЧЕНИЕ ЭФЕМЕРИДЫ МЕТОДОМ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВ. 89
Второй член справа содержит /(a-J-2w). Эту величину можно
найти, линейно экстраполируя / (а) и /(а-f-w), ;т. е. полагая
/ (а + 2w) = 2/ (а + w) — /	= f (а + w) + [/(« + w) — / (а)].
По найденным x(a-\-2w), y(a + 2w), z(a-\-2w) вычисляются
(3.86), и с более точным значением j(a-\-2w) повторяется оты-
скание x(a-]-2w) ит. д., а затем уточняются исходные члены
рядов сумм с учётом влияния второй разности; этот процесс
повторяется, пока приближение не станет достаточным. После
этого подобным же образом вычисления распространяются на
последующие моменты. Необходимые при этом значения f(t)
находят путём экстраполяции, что по отыскании нескольких зна-
чений этой величины производится достаточно уверенно, по край-
ней мере при обычных условиях. Но не следует забывать следить
за тем, сходятся ли в достаточной мере экстраполированные зна-
чения / (Z) с теми, которые получаются по окончании вы-
числений для каждого интервала, и убеждаться, что воз-
можное отклонение не вызывает необходимости повторения вы-
числения.
Процесс приближений можно сократить, если вычислить
в качестве исходных координаты не для двух, а сразу для не-
скольких моментов. Это позволит найти разности высших порядков
и окончательно определить исходные члены сумм, а также
даст контроль исходных координат по разностям. Однако здесь
заметно увеличивается работа.
При вычислении каждая ошибка в определении значения / (t)
входит в первые суммы, а во вторые суммы она входит уже
умноженной на число членов ряда первых сумм; следовательно,
её влияние быстро возрастает по мере удаления от исходного
момента. Самые простые соображения на основании теории
ошибок показывают, что в ряде первых сумм ошибка нарастает
пропорционально п* , где п —число интервалов эфемериды. Но
в ряде вторых сумм это нарастание будет идти уже пропорцио-
нально . Поэтому вычисление желательно вести с двумя-тремя
запасными знаками по сравнению с числом знаков, точность
которых необходимо обеспечить в окончательном результате.
По крайней мере один запасной знак необходим в любом случае.
О накоплении ошибок при интегрировании см. работу Броуэра [22].
Следовательно, если вычисляется точная эфемерида (требу-
ются 6 или 7 знаков), вычисления необходимо вести с 8 — 9 зна-
ками. Если нет под руками многозначных таблиц, то затрудни-
тельно обеспечить эту (впрочем, чисто формальную) точность
исходных координат. В таком случае удобнее обратиться к дру-
гому варианту начальных данных, при котором для одного
исходного момента отыскиваются х (а), у (a), z (а) и х' (а), у' (а),

90	ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ	[Гл. Ill
2'(а), причём значения производных — с большим числом зна-
ков, чем значения координат, например, с 8 знаками.
Это достижимо и при пользовании таблицами с меньшим
числом знаков, так как скорости выражаются небольшими чис-
лами. Вычисление начинается так. После того как получены
исходные значения координат и их производных, вычисляют / (а)
по формулам (3.86), а затем (а + jW^j-no формулам (3.76),
пренебрегая членами с f1 (а), и п/(а). Теперь можно найти
uf(a + w) и п/(а— w). После этого вычисляются x(a±w),
у (а ± га), z(a ±w)y принимая f(a ± w)=f(d). Во втором при-
ближении вычисляются сначала f(a^w) и находятся уточнён-
ные значения Qz+^-ги^ и п/ (а) по уравнениям (3.76). Если
интервал взят не слишком большой, мы получим, вычислив
во втором приближении x(a±w) и т. д., настолько точные
значения /(£), что новое приближение не даст никаких изме-
нений, и можно будет начать вычисление дальнейших интерва-
лов, всякий раз экстраполируя / (t), как об этом говорилось выше.
Непрерывный контроль вычислений обеспечивается наблю-
дением за правильным ходом разностей высших порядков.
Всякая ошибка в определении f(t) скажется скачками в ходе
разностей и поэтому её будет легко обнаружить. Ошибки могут’
возникнуть и в сложениях при образовании первых и вторых
сумм; за этим надо следить при помощи обычных поверок
этого действия. Для заключительного контроля вычисляются
непосредственно по элементам координаты для крайних момен-
тов эфемериды, что обнаружит также величину ошибки
в определении координат, которая накопилась из-за неизбеж-
ных погрешностей при вычислении значений f(t). Для смяг-
чения влияния указанных ошибок следует помещать исход-
ный момент в середине эфемериды, что не осложнит работы,
ибо вычисление ведётся с одинаковой лёгкостью в обе стороны
по времени.
Начало интеграционного процесса довольно утомительно
из-за необходимости отыскивать опорные координаты, а, может
быть, и скорости, и тщательно контролировать их найденные
значения. Кроме того, неприятен процесс приближений. Однако
когда вычисления сдвинулись с первых моментов, они продол-
жаются уже с лёгкостью. Отсюда очевидно, что метод числен-
ного интегрирования может оказаться выгодным при вычисле-
нии длинных эфемерид, но при условии, что вычислитель сле-
дит за накоплением ошибок. Помня, что это накопление идёт
пропорционально тг‘ , и обнаружив, что контрольные координаты
дали некоторые невязки на краях эфемериды, можно несколько
улучшить результаты при помощи разноса невязки по всем

§ 25] ПОЛУЧЕНИЕ ЭФЕМЕРИДЫ МЕТОДОМ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВ. 91
моментам. Если число интервалов от начального до контроль-
ного момента есть п, то для А-го интервала поправка будет
где А — обнаруженная невязка в данной координате.
Ещё заметим, что при обычном вычислении эфемериды наи-
более трудоёмкая часть — отыскание эксцентрической и истин-
ной аномалии. Там, где это вычисление наиболее затрудни-
тельно, а именно, в случае орбиты, близкой к параболе, способ
численного интегрирования может быть особенно рекомендован.
Пример. Комета 1942 f Тевзадзе 2. Требуется найти для эфемериды
координаты кометы с 25 февраля по 16 мая 1943 г. с точностью до 6 знаков.
Элементы
Т = 1943 февраля 6,71867 Вс. вр. (см. § 28)
ш = 39° 49' 10", 1 1
ft =100 1 22, 7 >	1943,0
i = 19 42 50, 5 J
q = 1,353628
e = 0,992172
Отыскиваем векторные элементы по формулам § 24.
sin ft+ 0,984738	ai	+ 0,630597	Рх	—0,727313
cosft- 0,174043	ai	+ 0,756344	Ру	+0,511686
sin i + 0,337325		- 0,111452	Р3	+ 0,457376
cos i + 0,941388	?2	-0,133677	Qx	— 0,600561
sin <u + 0,640370	Yi	+ 0,216013	Qy	-0,797071
cos + 0,768066	Ъ	+ 0,259088	Q3	— 0.063289
sin e + 0,397896	а2	+ ^cosi +0,651424	
cose + 0,917431	~а1	+ p2 cos i — 0, 756439	
По формулам того	же т	тараграфа вычисляются г и	v. Необходимые
вспомогательные величины заимствуются из примера в § 23. Вычисления
идут с логарифмами.
t	1943, II, 25, 0	V, 16, 0
t-T	=	15,28133	98,28133
t-T	1,262008	1,992401
м	1,063224	1,793887
м	= 11,56708	—
w	= 15°54'55",6	66°52'53",0
L 1 tgy w	9,115471	9,819806
X	9,146155	9,820490
r 2	8,292310	9,6*40980
71	5,885950	7.234620
n	= + 0,0000769	+ 0,0017164
G	0,000013	0,000298

92
ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
[Гл. III
н	0	0
G	9,146168	9,820788
О	= + 0,140013	4- 0,661893
1.+ о2	=	1.019604	1,438102
1 4- ео2	=	1,000077	1,001721
г	=	1,380058	1,943311
V	= 15О56'26".4	67°О'2,,,О
Затем вычисляются координаты и скорости, причём для контроля
используется (3.85); w —4+ Седьмые знаки значений координат ж, у, z
приняты равными нулю.
t sin v	1943,11,25,0 4- 0,274642	V,16,0 4- 0,920519	p = g( l 4-e)	2,696660 1,642151
cos V	4- 0,961547	4- 0,390722	wk'. У p	0,0419014
			wk	
cos V	4- e 4- 1,953719	। —	—	sm V	- 0,0115079
			Vp	
r sin v	+ 0,379022	+ 1,788835		
r cos V	4- 1,326991	+ 0,759294	+ (cos v + e)	+ 0,0818636
X	- 1,1927640	- 1,626549	V P	
У	4- 0,3768950	- 1,037308		
z	- 0,5829460	+ 0,234069		
xr	- 0,0407942			
у’	-0,0711395		wker sin v j/’p	+ 0,0157572
zf	-0,0104445		яя' 4- yy' 4- zzf	+ 0,0157572
Численное интегрирование всех трёх координат удобно вести парал-
лельно на одном большом листе (или на трёх разных листах). Первое
приближение, а также экстраполированные значения /(£) могут быть
вписаны карандашом. Для экономии места мы приводим вычисления
только для четырёх первых моментов.
х
1943	r2 107w2/c2r~3		ж	Ily	If	f t1	fn /ш
II 21	1,87646	18419	— 1,150899	-1,1510762	4-21198	
				- 418668	4-289	
25	1,90456	18014	— 1,192764	- 1,1929430	4-21487	-172
				- 397181	4-117	+ 16
III 1	1,93946	17529	— 1,232481	-1,2326611	+ 21604	-156
				-375577	- 39	
5	1,98110	16980	-1,270039	— 1,2702188	4-21565	
У
1943	У	п/	4	/	f1	/п /ш
II 21	4-0,447671	+ 0,4477396		— 8246		
			- 707880		+ 1457	
25	+ 0,376895	+ 0,3769516		-6789		-22
		-•г	- 714669		+ 1435	-23
III 1	4-0,305440	+ 0,3054847		- 5354		-45
			- 720023		+ 1390	
5	+ 0,233449	+ 0,2334824		-3964		

§ 26]
ВИДИМОЕ ДВИЖЕНИЕ МАЛЫХ ПЛАНЕТ И КОМЕТ
93
1943	z	п/	Z	f	У1	/п	
1121 +0,592858	+ 0,5929491		-10920			
		-99156		+ 419		
25 +0,582946	+ 0,5830335		- 10501		+ 56	
		- 109657		+ 475		- 10
III 1 +0,571984	+ 0,5720678		- 10026		+ 46	
		- 119683		+ 517		
5 +0,560020	+ 0,5600995		-9509			
Таким путём эфемерида гелиоцентрических координат была доведена
до 16 мая 1943 г. и для этой даты были получены
х = —1,626543,
у = - 1,037312,
+ 0,234070.
Сравнивая их с прежде найденными контрольными значениями, мы
обнаруживаем невязки
Дж=-б, Ду=+4, Дг=-1.
Так как эфемерида содержит 20 интервалов, то у нас пЛ = 89
и накопившиеся невязки могут быть признаны законными,
несмотря на то, что вычисления велись с семью знаками. Невязки
можно разнести по всем промежуточным значениям координат
и для этого удобно воспользоваться верхними шкалами логариф-
мической линейки. Полученным координатам тогда можно было бы
доверять в пределах одной-двух единиц шестого знака. Для полу-
чения большей точности нужно было бы вести вычисления с восемью
знаками
§ 26. Видимое движение малых планет и комет
Для определения условий видимости и возможности наблю-
дений малых планет и комет большую роль играет их положение
относительно Солнца и Земли.
Малые планеты движутся только прямым движением по своим
орбитам, которые, как правило, не слишком уклоняются от кру-
гов. За самыми редкими исключениями они всегда находятся
от Солнца дальше, чем Земля.
Мы различаем для них два главных видимых положения отно-
сительно Солнца. Первое из них—противостояние (оппозиция)
по долготе, когда долгота планеты отличается от долготы Солнца
на 180°; вместо этого можно также говорить о противостоянии
по прямому восхождению, когда разность прямого восхождения
Солнца и планеты составляет 12/г. Вблизи противостояния обычно
(теоретически это необязательно и, действительно, для некоторых

94	ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ	[Гл. III
планет с малыми значениями больших полуосей и значительными
эксцентриситетами это не соблюдается) планета движется попят-
ным движением, в остальное время движение планеты прямое.
Таким образом, на протяжении значительного времени видимый
путь планеты образует петли, форма которых зависит от элемен-
тов орбиты и положения планеты на орбите. Обычно петли за-
мкнуты, но нетрудно видеть, что если планета за время движения
по петле пересекла эклиптику, то петля окажется незамкнутой.
В самом деле, когда планета пройдёт петлю полностью и вернётся
к исходной долготе на видимой небесной сфере, она уже будет
находиться в другом полушарии относительно эклиптики и её
видимая траектория не сможет иметь точку пересечения. Своё
второе главное видимое положение планета занимает, когда её
долгота равна долготе Солнца. Говорят, что она находится в со-
единении с Солнцем и, за исключением тех весьма редких случаев,
когда планета проникает внутрь земной орбиты, у малых планет
могут быть только верхние соединения, т. е. такие, при которых
Солнце находится между Землёй и планетой.
 В противостоянии планета находится всего ближе к Земле,
или, точнее, момент наибольшего приближения недалёк от момента
оппозиции. Очевидно, когда планета находится в противостоянии
по прямому восхождению с Солнцем, она кульминирует в полночь;
это время, следовательно, наиболее благоприятно для её наблю-
дений, особенно, если оппозиция происходит, когда планета
недалека от перигелия своей орбиты. Средний срок, в течение
которого наблюдаются малые планеты, большей частью не пре-
восходит одного-двух месяцев, а слабые планеты часто не
удаётся найти после первого наблюдения, при котором они были
обнаружены.
Разыскные эфемериды малых планет обычно вычисляются для
срока продолжительностью в 40 дней вблизи оппозиции, кроме
особенно интересных планет, для которых даются более обширные
и более точные эфемериды. Интервал эфемериды, как правило,
берётся равным 8 дням, причём оппозиция должна попадать в тре-
тий по порядку интервал.
Синодический период планеты, или срок между её противо-
стояниями с Солнцем находится по простой формуле
где = 3548" есть среднее суточное движение Земли. Сино-
дические периоды могут быть взяты с грубым приближением
из таблички, заимствованной у Штраке [36] и помещённой на
следующей странице.
Эти цифры являются лишь средними промежутками времени
между противостояниями и в действительности могут давать тем

§ 26]	ВИДИМОЕ ДВИЖЕНИЕ МАЛЫХ ПЛАНЕТ И КОМЕТ	95
большую погрешность, чем значительнее эксцентриситет орбиты.
Для определения более точной даты оппозиции можно вычислить
геоцентрическое положение планеты за 30 дней до момента оппо-
зиции и через 30 дней после этого момента и линейной обратной
и	ра		И	р»	
200"	12,7	месяца	990"	16,1 16,8	месяца
300"	13,1	»	1000"		»
400"	13,6	»	1100"	17,5	»
500"	14,0	»	1200"	18,2	»
600"	14,5	»	1300"	19,0	»
700"	15,0 15,5	»	1400"	19,9	»
800"		»	1500"	20,9	»
интерполяцией найти момент, когда разность прямых восхожде-
ний Солнца и планеты обратится в 12h. Можно поступить проще
и найти для этих же дат истинную аномалию, а по ней определить
гелиоцентрические долготы планеты по формулам:
tg (К— Q) = tg Ui cos i,
tg (Z2“ Q) = tg u2 wsi’
которые следуют из уравнений (2.60). Моментом противостояния
по долготе явится та дата, для которой разность долготы плане-
ты и геоцентрической долготы Солнца будет равна 180°. Точную
дату оппозиции по прямому восхождению мы найдём, применяя
вышеприведённый приём к эфемеридным прямым восхождени-
ям планеты.
Орбиты комет в огромном большинстве случаев значительно
более эксцентричны, чем орбиты малых планет, и многие кометы
имеют перигелии орбит внутри орбиты Земли, в том числе почти
все яркие кометы. Для комет могут иметь место и верхние, и ниж-
ние соединения с Солнцем, и противостояния, но последние
не играют столь важной роли, как для малых планет. Наивыгод-
нейшим временем для наблюдений комет является не момент
противостояния, а эпоха наибольшего блеска, совпадающая
с наибольшим приближением кометы к Солнцу и Земле; впрочем,
при этом угловое расстояние кометы от Солнца должно быть
не слишком малым, иначе комета будет скрыта в солнечных лучах.
В зависимости от относительного расположения кометы и Солнца
на небе некоторые кометы могут преимущественно и даже исклю-
чительно наблюдаться только на обсерваториях северного полу-
шария или, наоборот, южного. Некоторые кометы удаётся наблю-
дать лишь очень недолго, но в большинстве случаев они наблю-

96	ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ	[Гл. Ц1
даются дольше,чем малые планеты,—несколько месяцев, изредка
свыше года. Упомянем, как исключение из общего правила,
периодическую комету 1925 II Швассмана-Вахмана, орбита кото-
рой почти кругообразна и которая наблюдается ежегодно, как
планеты.
Для всякого тела солнечной системы соблюдается теорема
Ламберта о кривизне видимой траектории. Последняя обращена
выпуклостью к видимому положению Солнца, если r>R и све-
тило дальше от Солнца, чем Земля; если же r<R, путь тела обра-
щён к Солнцу своей вогнутостью. Доказательство этой теоремы
будет дано в § 39.

ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ
РЕДУКЦИЯ НАБЛЮДЁННЫХ ПОЛОЖЕНИЙ
МАЛЫХ ПЛАНЕТ И КОМЕТ.
СРАВНЕНИЕ С ЭФЕМЕРИДОЙ. НОРМАЛЬНЫЕ МЕСТА
§ 2 7 Л Обозначения малых планет и комет
и позиционные наблюдения над ними
Исходными данными, на которые опирается всякое исследова-
ние движения малых планет и комет, являются определения их по-
ложений на небесной сфере из наблюдений. Подобного рода данные
сообщаются в астрономических журналах и циркулярах, а также
в изданиях астрономических обсерваторий, и хотя теория этих на-
блюдений относится к астрометрии, результаты их, в том виде, как
они публикуются, требуют некоторых дополнительных редукций,
прежде чем они могут быть использованы для вычисления орбит.
Каждое опубликованное наблюдение, или ряд наблюдений,
содержит общепринятое обозначение объекта, к которому оно
относится, за исключением телеграфных сообщений, в которых
указывается только характер объекта—комета или малая пла-
нета. Впрочем, теперь телеграфные сообщения делаются только
о тех вновь открываемых малых планетах, для которых необыч-
ный характер движения по небу заставляет предполагать особенно
интересную орбиту.
Вплоть до последнего десятилетия девятнадцатого века откры-
тия малых планет производились визуально и число открытий
за год было невелико. Каждая планета непосредственно после
открытия получала порядковый номер и имя. Сперва эти имена
заимствовались из античной мифологии, позднее их выбор стал
произвольным. Эта система обозначений сохранилась и теперь,
но она применяется лишь к тем планетам, для которых уже вычи-
слены достаточно надёжные орбиты. Сначала же планета получает
обозначение, указывающее год её открытия и две буквы латин-
ского алфавита. До 1925 г. буквы давались в таком порядке:
А, В,..., Z, АА, АВ,..., ZZ, после чего повторялись снова, но
в 1925 г. эта система была заменена другой, в которой название
содержит указание времени открытия планеты: первая буква
7 А. Д. Дубяго

98
редукция наблюдённых положений
[ГЛ. IV
даёт момент открытия в пределах полумесяца (А—от 1 до 15 января,
В—от 16 до 31 января и т. д.), вторая буква обозначает порядок
регистрации в данном полумесячном интервале (АА—первая,
AZ—25-я, AAj—26-я планета и т. д.).
Вновь открываемые кометы обозначаются годом открытия
и латинской буквой по порядку открытий, кроме того, именем
открывшего (за исключением периодических комет, которые при
новых появлениях сохраняют прежнее своё обозначение). Если
комета открывается почти одновременно двумя или более наблю-
дателями, как это нередко случается, приоритет получает тот,
чьё сообщение первым пришло в Центральное астрономическое
бюро. Однако обычно присоединяются и фамилии других наблю-
дателей, открывших комету независимо. Порядок открытия комет
далеко не всегда совпадает с порядком их прохождения через
перигелий. По истечении нескольких лет каждая комета получает
вместо предварительного обозначения окончательное, в котором
буква заменяется римской цифрой, указывающей на порядок
прохождения через перигелий в данном году.
Позиционные наблюдения планет и комет производятся
в настоящее время либо визуально, путём определения разности
прямых восхождений и склонений наблюдаемого объекта и звезды
с известными координатами, либо фотографически, причём поло-
жение объекта относительно двух, трёх и более опорных звёзд
определяется путём измерения на пластинке. Для каждого наблю-
дения указывается момент, в который оно произведено и к кото-
рому относятся наблюдённые координаты а и о светила.
Точность, с которой определяются а и о малых планет и комет,
различна в зависимости от размера и качества инструмента и труд-
ности наблюдения объекта. К этому присоединяются ошибки поло-
жений опорных звёзд, за исключением тех достаточно редких
случаев, когда положения объекта наблюдаются на меридианном
круге. Для малых планет приходится обычно встречаться с погреш-
ностями порядка от 0", 5 до 2", для комет ошибки могут дости-
гать 5—10" в случае размытых изображений объектов и даже
более, если инструмент не отличается оптической силой. Сообразно
с правилом запасного знака а и о обычно публикуются с точностью
до 0s,01 и 0", 1; если же наблюдения не обладают достаточной
точностью, координаты даются с точностью до 0т,1 и Г.
Ввиду большого числа малых планет далеко не все пластинки
измеряются с полной точностью. Чаще всего публикуются при-
ближённые координаты малых планет с точностью до 0т,1 и 1';
то же относится иногда и к первым наблюдениям комет, если наблю-
датель, открывший комету, не располагал возможностью точного
определения координат.
Момент наблюдения достаточно давать с точностью до 0d, 00001
(или до Is), так как это обеспечивает точность до 0", 1 даже для

§ 28]	МОМЕНТЫ НАБЛЮДЕНИЙ	99
быстро движущихся комет; для малых планет часто можно огра-
ничиться точностью момента в 10. раз меньшей. .
Наблюдения над малой планетой в каждое противостояние
насчитываются единицами и производятся через значительные
промежутки времени, за исключением особенно интересных
объектов. Кометы наблюдаются гораздо активнее, чем малые пла-
неты, и наблюдения, особенно вскоре после открытия, накапли-
ваются в большом числе. Для некоторых комет удавалось получить
в течение одного появления сотни наблюдений (иногда свыше
тысячи, хотя в наше время этого уже не бывает). Обычно каждая
комета наблюдается не менее нескольких десятков раз, кроме
тех случаев, когда по каким-либо обстоятельствам наблюдений
бывает сделано очень мало, так что их иногда даже нехватает
для вычисления орбиты.
В заключение заметим, что публикуемые результаты наблюде-
ний не всегда бывают свободны от грубых ошибок. Особенно это
относится к первым наблюдениям новых объектов, когда наблю-
датели не успевают должным образом контролировать свои ре-
дукционные вычисления. Поэтому слепо доверять наблюдениям
нельзя.
§ 28. Моменты наблюдений
В настоящее время моменты наблюдений указываются во все-
мирном времени, которое мы сокращённо обозначаем «Вс. вр.»
и которое есть в сущности гринвичское гражданское в время.
До 1924 г. включительно применялось среднее астрономическое
время, которое, как известно, считается с полудня. Прежний
обычай — давать время по местному меридиану — теперь ввиду его
нецелесообразности оставлен. Разница между всемирным и гринвич-
ским средним астрономическим временем составляет 12л; таким
1 образом, 12л гринвичского среднего астрономического времени
! 31 декабря 1924 г. совпадает с 0h всемирного времени 1 января
1925 г. Координаты Солнца и планет в ежегодниках относятся
к всемирному времени.
Однако и теперь при вычислении параллакса может потребо-
ваться местное звёздное время с точностью, не превышающей 0w, 1.
Преобразование всемирного в местное звёздное время совершается
особенно удобно с помощью специальных таблиц ([10] и табл. V).
Необходимые для этой цели долготы обсерваторий от Гринвича
иногда указываются самими наблюдателями при публикации
наблюдений; кроме того, они содержатся как в астрономиче-
ских ежегодниках, так и в таблицах по теоретической астро-
номии (табл. VII). Иногда в опубликованных наблюдениях
даются (сверх всемирного времени) моменты наблюдений по мест-
ному звёздному времени. В таком случае не следует упускать
7*

100
РЕДУКЦИЯ НАБЛЮДЁННЫХ ПОЛОЖЕНИЙ
[Гл. IV
возможности проконтролировать превращение времени, так как это
может вскрыть ошибки при первичной обработке.
Вообще говоря, проверить моменты наблюдений трудно,
но в случае, если имеется много наблюдений, путём их сопоставле-
ния можно изредка обнаружить, что данное наблюдение укло-
няется от остальных на величину перемещения светила на небе,
допустим, за 1 час времени (такая ошибка встречается при про-
счёте хронометра и т. д.). Соответственную поправку можно
внести, и наблюдение сохранит свою пригодность.
§ 29. Наблюдённые координаты и их поправки за прецессию,
нутацию и аберрацию неподвижных звёзд, а также за улучшение
положений опорных звёзд
В течение последних десятилетий постепенно установилось
правило, утверждённое впоследствии Международным астроно-
мическим союзом,—относить наблюдённые координаты малых
планет и комет только к среднему равноденствию начала того
года, в котором произведены эти наблюдения, или же к нормаль-
ному равноденствию 1950,0 (до 1937 г. включительно—1925,0).
К этим же координатным системам относятся даваемые в ежегод-
никах координаты Солнца L, В и X, У, Z.
Наблюдатели, определяющие положение светила визуаль-
ным путём, обычно дают, помимо а и о самого светила, разно-
сти Да и До между координатами объекта и звезды сравнения, а
также а* и 3* звёзд сравнения, отнесённые к тому же равноден-
ствию, что и координаты наблюдавшегося светила. Очевидно, что
а = а* + Да? ^=о* + До;	|(4.1)
впрочем, этот контроль даёт немного.
Если встретится необходимость пользоваться наблюдениями,
сделанными давно, надо учесть, что раньше давались видймые
положения, и для отыскания средних мест необходимо при-
бавить приведение с видимого места на среднее
amed ^арр=	1
= — { / + g sin (G + a) tg 3 4- -Ё h sin (Я + a) see 8 } , J> (4.2)
8med —3app= — {g cos ((?+ a) 4- h cos (H + a) sin 8 + l cos 8}, ]
где /, g, G заключают эффект прецессии и нутации, а hf Hr I —
аберрации неподвижных звёзд. Эти величины являются функ-
циями времени и табулируются в астрономических ежегодниках
на каждый день.
При обычной обработке положений малых планет и комет
наблюдённые разности прямых восхождений и склонений
должны быть исправлены не только за рефракцию (что всегда

§ 29]	НАБЛЮДЕННЫЕ КООРДИНАТЫ И ИХ ПОПРАВКИ	Ю1
делает сам наблюдатель), но, так как эти разности получаются
на инструменте в отношении видимых координат, ещё и за диф-
ференциальную прецессию, нутацию и аберрацию, прежде чем
их можно прибавлять к средним координатам опорных звёзд.
В случае приведения к началу года наблюдений (но не к нор-
мальному равноденствию!) указанные редукции в большин-
стве случаев нечувствительны, например, если разности коор-
динат не превосходят 2т по а и 10' по 3, притом светило
не слишком близко к полюсу мира. Вообще же, необходимые
редукционные величины даются в некоторых ежегодниках.
Фотографические наблюдения, которые всегда относятся
к среднему равноденствию по самому способу их обработки,
конечно, не дают разностей координат; зато часто публикуются
факторы зависимости координат объекта от координат опорных
звёзд (так называемые dependences). Иногда даются и сами
положения опорных звёзд, но чаще ограничиваются указанием
источников, откуда они заимствованы.
При переносе средних положений с одного равноденствия
на другое прецессия учитывается по формулам:
а = а0 + (т + п sin а1 tg 8J (t — Zo),
о = О0 + п cos (I — го),
где, как и в § 22, величины без индексов относятся к эпохе Z,
с индексом 0 — к эпохе t0 и с индексом 1—к эпохе =	— ,
и для этой же последней эпохи берутся из таблиц прецессион-
ные величины тип. В тех весьма редких случаях, когда
перенос должен быть сделан для очень большой разности эпох,
предыдущие формулы, учитывающие члены второго порядка
в разложении прецессии по степеням времени, будут недоста-
точны, и необходимо обратиться к более точным выражениям.
Если, напротив, разность эпох очень мала, как это бывает,
если наблюдения светила производились в течение двух после-
довательных лет и наблюдения одного года надо отнести
к равноденствию другого года, тогда вместо (4.3) можно напи-
сать сразу
а — а0 + (3s,073 + Is,336 sin а tg g) (t — tQ),
g = g0 + 20",04 cos a (t — t0).
Готовые значения поправок за прецессию даются в некоторых
таблицах ([13, 34] и табл. IX), и они сильно упрощают вычис-
ления, если представляется возможность ими воспользоваться.
Для приведения к нормальному равноденствию более удобны
формулы, данные впервые Ристенпартом:
а0 = а 4- А + Д tg g + Atg2 g ,
Go — G + Z) + D1 tg G.
(4.3)
(4.4)
(4.5)

(4.6)
(4.7)
102	РЕДУКЦИЯ НАБЛЮДЁННЫХ ПОЛОЖЕНИИ-	[Гл. IV
Вспомогательные величины Л, Л' и т. д. приводятся в астро-
номических ежегодниках и таблицах [32, 34].
Иногда может встретиться потребность в учёте прецессии для
эклиптикальных координат. Этой цели служат следующие
формулы (смысл индексов прежний):
= Ч + 1> + * Pi cos (п —	— zo) >
Р = Ро + sin (П - 'я) (* —U-
Определение величин р, к, 11 дано в § 20. Эти же формулы,
конечно, применимы и к координатам Солнца, но так как
широта Солнца В мала, они приобретают упрощённый вид:
L =	+
В = #0 + к sin (II — LJ (£ —10).
Широты Солнца, отнесённые к равноденствию начала года,
настолько малы, что ими часто можно бывает вовсе пренебречь,
но они же в системе нормального равноденствия достигают
нескольких секунд — весьма чувствительных величин.
Кроме поверхностного контроля, о котором говорилось выше,
редко удаётся подвергнуть результаты наблюдений более глу-
бокой проверке. Можно, конечно, проконтролировать положе-
ния звёзд сравнения, если они даны, вычислив их заново
по данным каталога.
Так как при окончательном определении орбит (если име-
ются основания ожидать от результатов значительной точности)
желательно сделать всё возможное для уменьшения ошибок
наблюдённых координат, иногда предпринимается улучшение
положений звёзд сравнения. К выводу их прямых восхождений
и склонений привлекается несколько звёздных каталогов (или
даже все доступные каталоги звёзд, по крайней мере новей-
шие). При этом звёздные положения, даваемые различными
каталогами, надлежит привести к одной и той же фундаментальной
системе, ибо при большом числе наблюдений приобретают важ-
ность уже не случайные, а систематические ошибки координат
опорных звёзд. К сожалению, здесь нет возможности более или
менее подробно осветить этот важный вопрос астрометрии,
достаточно полного изложения которого, повидимому, не су-
ществует в современных учебниках и который поэтому прихо-
дится изучать по специальной литературе, и мы сделаем лишь
беглые замечания.
Существуют указатели положений звёзд [24, 33], которые
помогают ориентироваться в многообразии звёздных каталогов;
тем не менее, просмотр каталогов и выписка из них положений
звёзд остаётся довольно трудоёмкой работой. Выписанные поло-
жения звёзд приводятся путём поправок за прецессию к равно-

§ 30]
УЧЕТ ВЛИЯНИЯ ПЛАНЕТНОЙ АБЕРРАЦИИ
103
действию начала года наблюдений или к избранному нормаль-
ному равноденствию. Здесь очень полезны специальные таб-
лицы прецессии [34]. В качестве фундаментальной системы
может быть рекомендована система «Генерального каталога
Босса» [20], так как она распространяется на слабые звёзды,
которые обычно служат в качестве опорных в наблюдениях
планет и комет. Для редукции каталожных положений при-
меняются таблицы систематических поправок меридианных
каталогов (например, приложенные к каталогу Босса, сокра-
щённо обозначаемому GC). Из этих же таблиц берутся веса
каталогов, и наивероятнейшие положения звёзд выводятся
с учётом этих весов по способу наименьших квадратов. Часто
приходится пользоваться каталогами, для которых нет готовых
систематических поправок (фотографические каталоги). Для
них иногда приходится определять систематические поправки
самому вычислителю, что требует умелого подхода. При доста-
точном количестве каталожных положений могут быть полу-
чены и собственные движения звёзд, и выведенные положения
могут быть, следовательно, приведены не только к избранному
равноденствию, но и к эпохе наблюдений вычисляемого объекта.
Для ориентировки в этих вопросах может служить статья
Б. И. Рака [И], правда, уже несколько устаревшая.
Если мы вносим какие-то поправки da и do в координаты
опорных звёзд, то в случае витальных наблюдений коорди-
наты наблюдавшегося объекта получат, разумеется, те же са-
мые приращения dz и d8. В случае фотографических наблю-
дений, каждое положение объекта опирается на несколько
звёзд. Пусть все они получили поправки daz- и doz-, тогда поправка
положения объекта будет ^Dida^ и	rfte Di — факторы
зависимости, причём сумма берётся по всем опорным звёздам.
Полезно заметить, что ^Di=i.
§ 30. Учёт влияния планетной аберрации
Движение наблюдателя вместе с Землёй и движение наблю-
даемого небесного тела приводят к двоякому влиянию аберра-
ции: вследствие первого движения все светила смещаются на гео-
центрической небесной сфере на некоторый угол, считая от-гео-
метрического направления на них в сторону апекса движения
Земли (аберрация неподвижных звёзд, или годичная аберрация),
вследствие второго движения мы видим светило не в том
направлении, в котором оно находится в настоящий момент,
а *в том, в котором оно находилось, когда из него вышел
наблюдаемый нами луч света (планетная аберрация).
Мы уже привели формулы, позволяющие учесть влияние
годичной аберрации; в них не получил своего отражения

104
РЕДУКЦИЯ НАБЛЮДЁННЫХ ПОЛОЖЕНИЙ
[Гл. IV
небольшой член, зависящий от эксцентриситета земной орбиты.
Он является функцией координат светила и для данной звезды
почти постоянен, поэтому его принято включать в координаты
звёзд и нет надобности как-либо иначе принимать его во внимание.
Обращаясь к планетной аберрации, заметим, что свет про-
ходит одну астрономическую единицу в 498s,72 или 0й,005772.
При выводе этой величины, которую мы обозначим через А,
мы принимаем следующие постоянные: экваториальная полуось
Земли а = 6378,388 км, параллакс Солнца />о=8",80, скорость
света в пустоте с = 299 776 км/сек. Но, если принять определе-
ние солнечного параллакса Спенсер Джонса по наблюде-
ниям Эроса в 1931г., именно, /?э=8",79, то получится
А = 499s,29 = 0d,005779. Можно также получить А через абер-
рационную постоянную и элементы орбиты Земли, но такое
вычисление едва ли даст более на-
дёжный результат.
’*’—Если обозначить t° момент,
когда наблюдаемый нами луч света
покинул светило, то
/	t° = t-A? = t — 0d,005772?,	(4.8)
/	/	где t — момент наблюдения и А^—
/	[	время хода светового луча от све-
______Т /_______/	тила до наблюдателя.
/ /П/ То Для малых планет и комет это
//J	время редко превосходит полчаса,
О ‘ ZZ	однако не только для такого интер-
Фиг. 10.	вала, но даже на протяжении не-
скольких часов мы можем счи-
тать их движение прямолинейным равномерным и допустить то
же самое для движения Земли.
Пусть светило движется по прямой PJP и находится в Рй
в момент t° выхода луча света (фиг. 10); в этот момент объектив
трубы наблюдателя находится в точке То и движется прямо-
линейно вместе с Землёй по направлению TQT. Луч света
упадёт на объектив в момент tr, когда объектив находится
в точке Тг, а окуляр и глаз наблюдателя—в точке наконец,
когда луч света придёт в окуляр в момент t, последний нахо-
дится в О, а объектив — в Т. Угол ОД'хО, как известно из
сферической астрономии, называется аберрацией неподвиж-
ных звёзд и ОТ± есть истинное направление на светило, О1Т1 —
видимое.
Р Т
Отношение отрезков луча света, очевидно, равно от-
t —— (
ношению ~—— соответствующих промежутков времени; вслед-
t г.

§ 30]
УЧЕТ влияния планетной аберрации
105
ствие принятой равномерности движения Земли отношение
Т Т
? тр- путей, пройденных Землёй, равно отношению тех же
промежутков времени; отсюда
г»1- 1 _ О1 1
Т\О Т\Т ’
и треугольники РйТД'1 и Т^ОТ подобны, имея по равному
углу, заключённому между пропорциональными сторонами.
Следовательно, прямые ОТ и TQPQ параллельны; первая
из них даёт видимое направление на светило в момент Z, а вто-
рая— истинное направление на светило в момент tQ.
Для отчётливого понимания вытекающих отсюда правил
учёта планетной аберрации следует иметь в виду, что коорди-
наты опорных звёзд, к которым относятся наблюдения подвиж-
ных объектов солнечной системы, берутся теперь для среднего
равноденствия (см. § 29), следовательно, они уже исправлены
за аберрацию неподвижных звёзд. Мы можем сказать, что, дей-
ствуя подобным образом, мы получаем истинные направления
«на планету как на неподвижную звезду»; такие координаты
планеты или кометы иногда называются астрографическими,
и к ним приписывается номер года, указывающий равноденствие.
После этого мы устанавливаем первое правило: если исполь-
зуется среднее (астрографическое) положение светила, т. е. уже
исправленное за аберрацию неподвижных звёзд, мы получим
истинное направление на светило, считая, что Земля находится
в положении, относящемся к моменту Z, но положение светила
относится к моменту t°.
Второе правило: если к среднему (астрографическому) поло-
жению светила придать аберрацию неподвижных звёзд, мы
получим видимое направление на светило; это направление
вместе с тем есть истинное геометрическое для момента z°,
к которому относятся положения и Земли и светила.
Чтобы найти £°, необходимо знать р. Эта величина даётся
в эфемеридах, и при сравнении наблюдения с эфемеридой удоб-
нее применять второе правило. В этом случае надо к среднему
(астрографическому) положению малой планеты или кометы
придать с её знаком аберрацию неподвижных звёзд, а затем
взять из эфемериды координаты для момента t° = t— Лр.
В случае сколько-нибудь значительного числа наблюдений
удобнее равносильная процедура: не вводить в наблюдённые
координаты аберрацию неподвижных звёзд, зато ввести её
с обратным знаком во все эфемеридные положения. Для этой
цели достаточно вычислить аберрацию через каждые 8 дней
(для быстро движущихся объектов — через меньший интервал,

106	РЕДУКЦИЯ НАБЛЮДЁННЫХ ПОЛОЖЕНИЙ	[Гл. IV
для движущихся медленно — через 16 дней), причём результаты
вычислений могут быть проконтролированы по разностям.
При вычислении орбиты р сначала не известно. Поэтому
здесь следует пользоваться первым правилом: координаты
Земли вычисляются для момента t и берётся среднее (астро-
графическое) место светила, как оно опубликовано наблюдате-
лем. Когда в процессе вычислений расстояние р становится
известным, моменты наблюдений исправляются на величину
Ао и в дальнейшем также координаты светила будут считаться
относящимися к моменту = t — но координаты Земли
(относящиеся к моменту t) уже более не меняются.
§ 3L Учёт параллакса
Для того чтобы уравнения преобразования гелиоцентриче-
ских координат в геоцентрические (3.11) имели место, должно
соблюдаться очевидное требование, чтобы наблюдённые поло-
жения светила и координаты Солнца относились к одному
и тому же началу координат. Однако наблюдения фактически
производятся не из центра Земли, к которому относятся коор-
динаты Солнца, даваемые астрономическими ежегодниками,
а с её поверхности. Чтобы устранить это обстоятельство, можно
поступать двояко: либо получить геоцентрические координаты
светила, исправив его наблюдённое положение на небесной
сфере за влияние параллакса, либо оставить это положение
без изменений, но брать топоцентрические, т. е. отнесённые
к месту наблюдения координаты Солнца.
Ясно, что по первому пути всегда приходится идти при
сравнении наблюдений с эфемеридой, дающей геоцентрические
координаты объекта. В сферической астрономии выводятся
следующие формулы для поправок за параллакс по а и В:
1
1. Ро/Лэ / •	/ X
рл = -трг--------cos <р sin ($ — а) sec о,
? (4'9’
pz =  0— [sin ср' cos о — cos <р' sin о cos ($ — а)], |
где р0 — геоцентрический радиус-вектор, <р'— геоцентрическая
широта места наблюдения, pG—параллакс Солнца, s — звёздное
время, а и 3 — координаты светила; при этом рл получается
в секундах времени, а р?, в секундах дуги. Обычно р заранее
неизвестно, поэтому вычисляют несколько иначе. Вместо самого
влияния параллакса отыскиваются так называемые параллак-
тические множители по следующим формулам, приспособлен-

s 31]
УЧЁТ ПАРАЛЛАКСА
107
ним для логарифмического вычисления:
tg у = tg </see (s — a),	у < 180°,
Р^ = ^ ?оРо cos? sin(s — a)sec8, р<,= — ,	(4jQ)
I
Z’ap = роРо sin *Р sin (у — о) cosec у, />s = —, j
что, очевидно, эквивалентно (4.9). Величины tg<p', popQ cos <р',
Ро/708Шф' постоянны для данной точки на земной поверхности,
п они даются в списках обсерватории в астрономических еже-
годниках и во всех сборниках таблиц по теоретической астро-
номии (табл. VIJ). Имеются таблицы и более, пожалуй, удобные
(но и более обширные) [39], где те же формулы используются
несколько иначе. Понятно, что сами ра и находятся уже
тогда, когда р становится известным.
Если р вообще неизвестно, привести наблюдённые коорди-
наты светила к центру Земли нельзя, но можно зато отнести
X, Y, Z Солнца к месту наблюдения. В экваториальной си-
стеме координат положение места наблюдения определяется
величинами р0, ср' и звёздным временем s, показывающим угол
между плоскостью ‘местного меридиана и плоскостью колюра
весеннего равноденствия. Координаты места наблюдения
В = ро cos <р' cos s, 'q — р0 cos ср'sin s, £ = posincp',
взятые с обратным знаком, будут поправками к координатам
Солнца X/ У, Z. Выразим эти поправки в астрономических
единицах, тогда
АХ = — pQ	arc Г'с = — p0/?o	arc	1" cos<p' cos s = AXIZcos s,	’
АУ = — pQ	arc = — pop0	arc	1" cos cp' sin 5 = kxy sin s,
AZ = — p^	arc 1"C = — po/?©	arc	1" sin
(4.11)
Величины Дху и AZ для данной обсерватории постоянны
и тоже даются в упомянутых таблицах.
При вычислениях орбит с логарифмами обычно применяется
эклиптикальная система координат и тогда, если возможно,
следует сперва исправить за параллакс экваториальные коор-
динаты. При неизвестных расстояниях до светила этого сделать
нельзя, но по идее Гаусса можно, тем не менее, полностью
учесть параллакс, продолжив луч зрения на светило до пере-
сечения с плоскостью эклиптики; точка пересечения называется
фиктивным местом Земли (locus fictus). Одновременно выпол-
няется условие, что широты Солнца строго равны нулю, что
полезно при вычислении орбит. Однако введение locus fictus

108
РЕДУКЦИЯ НАБЛЮДЁННЫХ ПОЛОЖЕНИЙ
[Гл. IV
производится не так просто и лучше его изоегнуть, идя даже
на то, чтобы вовсе пренебречь параллаксом.
Если параллакс в а и о учтён и наблюдённые координаты
отнесены к центру Земли, нетрудно достичь того, чтобы широта
Земли точно равнялась нулю, опуская перпендикуляр ТТ0 из
центра Земли Т (фиг. 11) на плоскость эклиптики. На чертеже
угол T0ST есть широта Земли, или широта Солнца (даваемая
(4.12)
в ежегодниках), с обратным знаком (— В), и легко видеть, что
так как и В—очень малые углы, то приближённо
.о  В В. cos 3	в cos 3
' ““	?	7 р
Эта поправка вводится, как уже сказано, если наблюдения
исправлены за параллакс, следовательно, р известно, в против-
ном случае она отбрасывается. Конечно, при исправлении за
широту Солнца R и L Земли остаются без изменений.
§ 32. Преобразование экваториальных координат
в эклиптикальные
Такой переход встречается при вычислении орбиты с лога-
рифмами, где обычно вместо наблюдённых а и о светила упо-
требляются а и р. Сферическая астрономия даёт для этой цели
следующие формулы:
cos р cos X = cos о cos а,
cos р sin X = cos 3 sin a cos s + sin о sin s,
sin p = — cos о sin a sin г + sin о cos г, ,
(4.13)
но их удобнее применять не прямо в этом виде, пользуясь лога-
рифмами сложения и вычитания, а ввести вспомогательный
угол. Именно, положим
m sin М = sin о,
m cos М — cos о sin а,
(4.14)

§ 33]
СРАВНЕНИЕ ЭФЕМЕРИДЫ С НАБЛЮДЕНИЯМИ
109
тогда будет:
cos р cos X = cos о cos а,
cos [3 sin X = т cos (М — е),
sin р = т sin (М — s).
(4.15)
Хороший контроль полученных а и о достигается вычисле-
нием следующих уравнений, которые выводятся из (4.14) и
(4.15),
sin (X — а) = 2 cos а sec £ т sin sin (М —	),
“	4	(4.16)
sin 1 <8 - И = sec (8 + (3) т sin cos (м — -|Л .
Но, кроме того, возможность простого и часто полезного кон-
троля вытекает из того, что полученные sin р и cosp должны
соответствовать одному углу. При внимательном отношении
к знакам тригонометрических функций этой проверкой часто
можно и ограничиться, если угол р не мал (и не близок к 90°),
так как в противном случае cosp (sinp) меняется медленно,
и могут быть обнаружены только сравнительно грубые ошибки
в вычислении угла.
§ 33. Сравнение эфемериды с наблюдениями
При сравнении эфемериды малой планеты или кометы с на-
блюдениями необходимо получить эфемеридные места для момен-
тов наблюдений и учесть при этом влияние прецессии, нутации,
аберрации и параллакса.
1.	Если наблюдения дают видимые координаты, что может
встретиться только при пользовании старыми наблюдениями, их
необходимо редуцировать к началу года и получить средние
координаты по формулам (4.2), однако за исключением абер-
рационных членов:
Sa= — [/ + jtgsin(G + a)tgoJ ,
oj= — geos (G-j-a).
(4.17)
Если эфемерида относится к другому (нормальному) равно-
денствию, наблюдённые координаты должны быть ещё редуци-
рованы за прецессию к этому равноденствию по формулам (4.3)
или (4.4), или (4.5).
2.	Наблюдённые а и о должны быть исправлены за парал-
лакс. Для этой цели интерполируются р из эфемериды для

110
РЕДУКЦИЯ НАБЛЮДЕННЫХ ПОЛОЖЕНИИ
[Гл. IV
моментов наблюдений (достаточно трёх знаков) и вычисляются
(4.18)
где рар и обычно даются наблюдателями [но их, во всяком
случае, рекомендуется проверить по формулам (4.10)].
3.	Если тем или иным путём получены более точные поло-
жения звёзд сравнения, чем те, которыми пользовался наблю-
датель, наблюдения исправляются за разность между улучшен-
ными и принятыми наблюдателем положениями звёзд сравне-
ния; см. § 23.
4.	В случаях, когда наблюдения редуцированы согласно (4.17),
они непосредственно сравнимы с эфемеридой, если же, как
это теперь принято, они относятся к среднему равноденствию
и, следовательно, исправлены за аберрацию неподвижных звёзд,
то эту аберрацию с обратным знаком лучше всего заранее внести
в эфемеридные положения.
5.	Из моментов наблюдений вычитается Лр = 0d,005772p и из
эфемериды интерполируются на исправленные моменты координа-
ты светила, обозначаемые через ас и 8С. В зависимости от интервала
эфемериды и величины разностей интерполяция производится
со вторыми, третьими и даже четвёртыми разностями. Могут
служить любые интерполяционные формулы, но при пользова-
нии арифмометром проще всего взять формулу Ньютона (обозна-
чения даны в § 25)
/ (« ± nw) = f(a)± nf1 (а ± у w)+-П^~^ /п (а ± w) ±
п (п — 1) (п — 2) ,ттт /	3 \ .	1Г ....
± - - t . 2 . 3 ' f V ± Т W) + • ’ •	(4Л9)
или же формулу Бесселя
/ (а ± nw) = f(a) ±nf* (а ± 1 w') +	fu(a ± у±
± "—Г-2 .3	/1П Са ± 2 W) + • • • ’(4-2°)
которая особенно удобна, если четвёртые разности нечувстви-
тельны, а третьи разности, не превосходят 60 единиц последнего
знака, ибо тогда в формуле Бесселя можно ограничиться тремя
первыми членами. Полезно выписать заранее все интерполяци-
онные коэффициенты, причём они могут быть взяты для второй
и высших разностей из таблиц по аргументу дроби интервала

§ 33]	СРАВНЕНИЕ ЭФЕМЕРИДЫ С НАБЛЮДЕНИЯМИ	Ш
n = (£° — £0) : w, где t°— момент наблюдения, исправленный за
аберрационное время, t0 — предшествующий эфемеридный момент,
w — интервал эфемериды.
6.	Обозначим через а0 и о0 наблюдённые координаты светила
после всех необходимых редукций и образуем разности
Да = а0 — ас, До = о0 — ос.
Желательно, а если светило наблюдалось вблизи небесного
полюса, необходимо выразить Да в дуге большого круга
Да cos о = (а0 — ас) cos о.	(4.21)
Величины Да cos о и До, взятые в том смысле, как здесь
указано, являются поправками эфемериды, хотя не следует забы-
вать, что они обременены неизбежными ошибками наблюдений.
Если наблюдений много, что бывает лишь у комет, то из со-
гласия между индивидуальными поправками можно получить
суждение о точности наблюдений и далее по методу наименьших
квадратов определить поправку эфемериды как функцию вре-
мени хотя бы по формулам
Да cos о = а + bt + ct2,
Дб = а' + b't + c't2,
где t берётся, исходя от какой-либо эфемеридной даты (со зна-
ками плюс и минус — соответственно вперёд и назад!по времени)
и не должно превышать такого промежутка времени, для кото-
рого формулы (4.22) дают достаточное приближение к действи-
тельному ходу поправки. Проще, но и менее точно, можно
достигнуть того же самого построением графиков, в которых по
оси абсцисс откладываются t, а по оси ординат Да cos 6 или Д8.
Определяя отклонения отдельных Да cos о и До от значений,
даваемых выражениями (4.22), и обозначая их через и, мы отыщем
по правилам элементарной теории ошибок средние ошибки одного
наблюдения (отдельно по а и по о):
(4.22)
где п — число наблюдений, а к — число взятых констант в фор-
муле (4.22); при этом заодно выявятся наблюдения с грубыми
ошибками. Не представляет труда при большом количестве
наблюдений на различных обсерваториях исследовать по отдель-
ности точность рядов наблюдений на каждой обсерватории, но
ввиду возможности систематических ошибок при наблюдениях
комет результаты не будут слишком убедительными.
Согласно (4.22) поправка эфемериды для исходной даты
выразится:
Да cos о = а, До = л'.

112	РЕДУКЦИЯ НАБЛЮДЕННЫХ ПОЛОЖЕНИЙ	[Гл. IV
Все этапы вычислений, ведущих к получению поправок эфеме-
риды, подлежат тщательнейшей проверке и их, вообще говоря,
следует проводить в две руки. В особенности надо пытаться
найти объяснение отдельным уклонениям, превышающим воз-
можные случайные ошибки наблюдений, и в отношении таких
случаев, если возможно, запрашивать наблюдателей письменно
с просьбой проверить обработку наблюдений.
Во всяком случае, ошибочные наблюдения не должны при-
ниматься во внимание. Где поставить грань допустимых ошибок
и какие наблюдения исключать из рассмотрения —дело опыта
и умения. В отношении комет необходимо иметь некоторый
собственный навык наблюдателя, чтобы судить в зависимости
от описания вида кометы — наличия или отсутствия ядра, яркости,
размытости, высоты над горизонтом во время наблюдения, при-
сутствия Луны на небе и прочих условий — какие наблюдения
следует признать обременёнными ошибками во время их произ-
водства или при обработке. Как некоторый приблизительный
критерий можно обычно принять в качестве пределов допустимых
ошибок для комет Is по а и 10" по 3, но иногда эти пределы
нужно бывает заметно расширить.
Придавая найденные Да и До к числам эфемериды, мы полу-
чим так называемые нормальные места. Они заменят индиви-
дуальные наблюдения и будут значительно точнее их. Таким'
образом, большое количество наблюдений, произведённых над
кометой за время её видимости, сведётся к небольшому числу
нормальных мест, каждое из которых представляет совокуп-
ность наблюдений на протяжении отдельного отрезка эфемериды.
Чем вернее элементы, положенные в основу вычисления
эфемериды, тем длиннее можно взять отрезки, на протяжении
каждого из которых будут действительны формулы (4.22), тем
меньше будет нормальных мест и тем легче будет сравнивать
их с теорией. Если эфемерида хорошо согласуется с наблю-
дениями, коэффициенты 6, Ь' и тем более с, с' очень малы.
В таком случае можно их вовсе не определять, а прямо взять
среднее из отдельных Да и AS и придать их к эфемеридным
координатам для ближайшей даты.
Если наблюдения сравниваются с приближённой эфемеридой,
дающей положения, допустим, до 0т,1 и 1', нет смысла вводить
поправки за аберрационное время и за параллакс и достаточно
убедиться, что наблюдения и эфемеридные данные относятся
к одному и тому же равноденствию. После этого эфемеридные места
интерполируются на моменты наблюдений, причём обычно доста-
точно ограничиться приближённой оценкой влияния вторых разно-
стей, и сравниваются с наблюдёнными координатами, что и даёт
поправку эфемериды Да и Д8.. Эта поправка может служить для бо-
лее уверенного отыскания объекта по той же эфемериде в будущем.

§ 33J	СРАВНЕНИЕ ЭФЕМЕРИДЫ С НАБЛЮДЕНИЯМИ	ИЗ
Пример. Наблюдение периодической кометы Брукса 1911 I, сделан-
ное 28 сентября 1910 г. на Ликской обсерватории Эйткеном и Вильсоном,
нужно было сравнить с эфемеридой. Ввиду того, что в этом появлении
кометы никаких дальнейших наблюдений получить не удалось, вычисления
производились с возможной тщательностью, чтобы обеспечить надёжность
нормального места, опирающегося на это единственное наблюдение.
Так как выдвигались сомнения, что это наблюдение относится к комете
Брукса, для редукционных вычислений была использована полная копия
подлинных записей наблюдателей у телескопа. К подобной процедуре при-
ходится прибегать лишь в исключительных случаях, да она и не всегда
возможна.
Сперва были заново выведены и исправлены за рефракцию разности
координат кометы и звёзды сравнения и при помощи известного из
эфемериды движения кометы по а среднее из разностей Да, наблюдав-
шихся отдельно от Дх, приведено к среднему моменту наблюдения по-
следних. Эти разности, являющиеся видимыми, можно было с полным
правом считать относящимися к равноденствию 1910,0, так как диф-
ференциальное приведение к началу года ввиду малости Да и Да ничего
не даёт. Исправленный за поправку хронометра момент наблюдения по
местному звёздному времени был использован для вычисления парал-
лактических множителей, а затем превращён в среднее берлинское
время. Приводим эти вычисления:
Дх	+ Г',478	Да	— 4+817	Хрон.	21й	45w	26 s
да	+ 14", 64	да	-47",7	Попр.			+ 15,5
1g Да	1,1656	Рефракц.	— 0",1	S	21	45	41,5
]g 15 cos а	1,1215	Хрон.	2146^28®	L	9	0	9,8
Да	+ 1М1	Движ.	-0",4	$(берл.)	6	45	51,3
Рефракц.	0,00	да	= —0,48", 2	so	12	25	22,9
Хрон.	21л45ш26®	Дх	= +07И1®,11		18	20	28,4
						-3	0,3
				t	18	17	28,1
t сент. 28, 76213
. 1 Л = 15р“-	poCOSf	9,669
В = РоРа	sin ср'	0,725
s — а	1й57™,8	
а	- 28°8'	tg ср' 9,880	В	0,725
А	9,669	sec (s — а) 0,060 sin (у — a) 9,971
sin (s — а)	9,692	tg у 9,940 cosecy 0,183
sec а	0,055	Tf	41°3'	0,879
РаР	0,416	f-6	69 11
Таким образом были получены следующие результаты:
Моунт Гамильтон 36-дюйм, рефрактор. Вильсон и Эйткен
Ср. берлин. вр.	Да Да сравн. lg pj? lg prf	*
1910 сент. 28,76213 + 0™1®,И - 0'48",2	8,8	9,416 0,879	2
В такой форме обычно приводятся результаты обработки всех
наблюдений данного объекта при вычислении окончательной орбиты.
В столбце «сравн.» показано число микрометрических сравнений кометы
8 А. Д. Дубяго

114
РЕДУКЦИЯ НАБЛЮДЁННЫХ ПОЛОЖЕНИИ
[Гл. IV
и звезды (сравнения по а и по 5); в столбце * дан номер звезды
сравнения по общему списку звёзд для данной работы.
Звезда сравнения № 2, к которой непосредственно привязывалась ко-
мета., слаба (около 14-й величины) и в звёздных каталогах не содержится.
Поэтому она была немедленно привязана наблюдателями к соседней
звезде, которую мы обозначим № 1. Эта микрометрическая привязка,
обработанная наподобие наблюдения самой кометы, дала разности Да
и До между обеими звёздами, отнесённые к 1910,0 (подробностей вычис-
ления здесь приводить не стоит). Для определения положения звезды № 1
был просмотрен ряй звёздных каталогов и координаты её были найдены
в зонном каталоге Гульда, каталоге В обсерватории в Кордобе и в астро-
графическом каталоге той же обсерватории; для сокращения эти каталоги
соответственно обозначаются GZ, Cord В, CG Cord в согласии с между-
народными условными обозначениями каталогов [24, 27]. К взятым из
каталогов положениям были приданы систематические поправки для
приведения на систему Босса и редукции за прецессию от равноденствий
каталогов к 1910,0 при помощи таблиц Шорра [34]. Для вывода соб-
ственного движения данных недостаточно и поэтому окончательные коор-
динаты звезды № 1 были получены, как весовое среднее из отдельных
результатов, пользуясь весами каталогов согласно Боссу. Прибавлением
наблюдённых разностей Да и Дд были найдены координаты звезды № 2.
Однако для неё было получено и непосредственное определение положе-
ния Джефферсом по фотопластинке, снятой с рефлектором Кросслея
на Ликской обсерватории; из обоих результатов взято простое среднее.
Приводим кратко ход этих вычислений (он довольно типичен) опуская
преобразование прямоугольных координат, даваемых в фотографическом
каталоге зоны Кордобы, в экваториальные координаты. С достаточно
близким к истине положением звезды для 1910,0 были вычислены
прецессия (годичная), её вековое изменение и третий член прецессии:
N “1910,0 Рг’ V‘ S’ 111	^1910,0 РГ. V. S. Ill
1 197i47Tn47s,15 + 3s,7070 -0s,0138 -0s,009 -28°2'25",4+9",084+0",478-0",15
Затем были проведены вычисления над каталожными данными:
№ 1
Каталог	Равн. п а
CZ 19п.19О4 1875,0 1 19л45”г37®, 32
Cord В 13052	1900,0 2 19;,47OT10s, 07
СС Cord —28°,52403 1900,0 2 19А47’в10®, 04
-29, 51864
Сист.
попр. Прец.
+ 1 +2m9s,83
+ 2 +0 37,08
-1 +0 37,08
п 5
1 —28°7'40",4 -1 +5'15",0
2-28 3 57, 3 —2 +1 30, 6
2-28 3 57, 6 —1 +1 30, 6
№ 2 а
Микром. 197/47w47s ,99
Фотогр.	47,	94
19 47 47. 96
а	Р	t
19Z/47W47S,16	0,2	1873,7
47 ,17	0,3	1896,0
47 ,11	1,0	1913,6
197{47m47s 13		
§
—28°2'25",5 0,2 1873,7
26 ,9 0,4 1896,0
27 ,1 1,0 1913,6
^28	2 26.9
§	t
—28э7'51",1	1910,7
49, 2	1935,9
-28 7 50, 2

§ 33]
СРАВНЕНИЕ ЭФЕМЕРИДЫ С НАБЛЮДЕНИЯМИ
115
Здесь после указания номера звезды в данном каталоге даны равно-
денствие каталога, число наблюдений звезды, а каталога, её системати-
ческая поправка и приведение за прецессию к 1910,0, затем прямое
восхождение для 1910,0, вес положения, зависящий для данного катало-
га от числа наблюдений звезды, наконец, средняя эпоха наблюдений,
как она дана в каталоге. Ниже приведены такие же вычисления для
склонения. Пользуясь полученными результатами для звезды № 1, были
найдены находящиеся в первой строке координаты звезды № 2 и под
ними приписаны координаты по определению Джефферса (без каких-либо
изменений). Окончательные положения звёзд сравнения даются в следу-
ющей форме (если бы определялось собственное движение тех или иных
звёзд, оно должно также быть здесь приведено и его влияние было бы
учтено в координатах звёзд сравнения, которые, естественно, должны
относиться к эпохе наблюдения интересующего пас объекта):
N	а1910,0	^1910,0
1 CoD —28°,16250 19Zz47’n47s,13 -28°2'26",9
2 Anonyma 19 47 47 ,96 —28 7 50 ,2
Источник
G-Z, Cord В, СС Cord
Среднее из микром.
привязки к № 1 Моу нт
Гамильтон (1910 сент. 28)
и фотогр. полож. по пласт.
рефлект. Кросслея (1935
нояб. 14)
Из эфемериды кометы заимствуются следующие положения:
Ср. берл. вр. a vera	a vera	1-ГР
1910 сент. 25,5 19Z'45W5S,18	-28°29'11",5	0,1966
+45s,80	-4-6'5",9
26,5	45 50,93	4-ls,86 +47,66	28 23	5,6	+ 4",9 + 6 10,8
27,5	46 38,24	. +1,85	28 16	54,8	+4,9
	+ 49.51			+6 15,7
28,5	47 28,15	+1,84	28 10	39,1	+4,9
	+ 51,35			+ 6 20,6
29,5	48 19,50	+1,84	28 4	18,5	+ 4,8	0,2046
	+ 53,19			+ 6 25,4
30,5	49 12,69 .	-27 57	53,1	
Взяв сначала р для момента наблюдения (не исправленного за
аберрацию), отыскиваем аберрационное время и поправки координат
кометы за параллакс, а затем интерполируем по формуле Бесселя (так
как третьи разности незаметны, можно пользоваться любой интерполя-
ционной формулой) эфемеридные а и 5. Наблюдённые координаты приво-
дятся на видимое место, которое в данном случае непосредственно
сравнимо с истинным эфемеридным местом.
р 0,2031 ра + 0s,16 Лр О'7,00921
A 7,7618^s+ 4",7
Интерп. коэфф.
J	U	ао
Сент. 28,75292	0,25292 -0,0944 19Z/47m38s,60 -28°9'0",8 19Zz 47”49’,23
- 23э8'33" ,7
О - С
Ах + 10 s,63
Д5 4- 27",1
8*

116
РЕДУКЦИЯ НАБЛЮДЁННЫХ ПОЛОЖЕНИЙ
[Гл. IV
ас vera 19Zj47w40s,96
Sc vera 28°9'3",3
G	326°16'	sec <5	0,0547	f	4- 21",68	
а	29655	sin (H-f-а)	9,5596		4-	6,03
Н	84 21	h	1,2740	1ПЯ	4-	7,73
	263 11	cos(Н 4- а)	9,9694		+	35,44
Я-Н	21 16	sin 5	9,6737га		4-	2s,36
tgb	9,7284м	шо	0,8883	1о	—	1",33
sin (G + а)	9,9969м		0,9171n	н8	—	8,26
g	1,0552	i	0,9091	nis	+	7,15
cos (G 4- а)	9,0744м	cos 5	9,9453	До1	—	2,5
И,	0,7805	Ша	0,8544			
Ц	0,1296м					
Теперь находим нормальное место для ближайшей эфемеридной
даты 1910 сент. 28, 5. Поправку эфемериды можно с полным основанием
предположить неизменной за короткий промежуток между наблюдением
и эфемеридной датой; впрочем, об её изменении и судить невозможно.
Истинные координаты переводятся опять в средние, относящиеся к 1910,0.
Кроме самих а и даются их средние ошибки, слагающиеся из ошибок
микрометрических наводок, найденных по их внутреннему согласию,
и из ошибок координат звезды сравнения.
t 1910 сент. 28,5
ас vera	19Zz4 7w28s,15	5С vera	— 28°10'39",'
Да	+ 10,63	А*}	4-27,
vera	19 47 38,78	vera	-28 10 12,0
а	296°55'		0,7804
G	326 14		0,1313 м
G 4- л	263 9	/	4-21",65
	9,7287м	па	4-6,03
sin (G 4~ а)	9,9969м	Да	4-27,68
£	1,0548	Да	4-ls,85
cos (G 4" <^)	9,0765м	Д6	-1",4
Нормальное место кометы Брукса в появлении 1910 г.
Ср. берл. вр. ai9io,o	^i9if,0 eacos$ es
1910 сент. 28,5	296°54'14",0	-28°10'10",6	±1",27	±1",27
В заключение отметим, что ввиду крайней трудности наблюдений
(комета была очень слаба) микрометрические наводки «скачут», тем
не менее они показывают явственный ход со временем, согласный по
обеим координатам по знаку (и не слишком уклоняющийся по величине)
с действительным движением кометы, что свидетельствует, что объект
несомненно реален (не говоря о том, что его видели два наблюдателя)
и есть именно комета Брукса.
§ 34.	Выбор наблюдений и их контроль
Проверка наблюдений путем их сравнения с хорошей эфе-
меридой позволит уверенно обнаружить ошибочные наблюдения
только тогда, когда наблюдений имеется много. В противном
случае останется неясным, чему обязано большое уклонение —

§ 34]
ВЫБОР НАБЛЮДЕНИЙ И ИХ КОНТРОЛЬ
117
ошибке наблюдения или погрешности эфемериды. Если же мы
имеем дело с новым объектом, для которого зачастую эфемери-
ды и вовсе нет, задача становится весьма затруднительной.
А между тем при первом определении орбиты особенно важно,
чтобы взятые наблюдения не содержали ошибки. Поэтому
полезно опираться на наблюдения, сделанные известными наблю-
дателями и с хорошими инструментами, но и это не даёт гаран-
тии. Те немногие способы контроля, о которых говорилось
выше, далеко не всегда оправдывают себя на практике.
Хорошо, если имеются наблюдения, отделённые небольши-
ми промежутками времени, порядка 0,1 суток или меньше.
В таком случае можно посмотреть, как согласуется разность
наблюдённых координат с движением объекта за данный интер-
вал времени, что почти всегда можно подсчитать.
Если имеется хотя бы не очень большой, но более или
менее равномерно распределённый по времени ряд наблюдений,
наличие в них грубых ошибок можно обнаружить, рассматривая
ход разделённых разностей, как это рекомендует Штраке [36],
Сперва образуются первые разности моментов и координат,
обозначаемые через ft, f'a_, fz. Разделённые разности
Да =ДЗ = /<:/!	(4.23)
относятся к моментам tm, представляющим средние арифмети-
ческие между соответственными t.
Процесс повторяется в отношении Да и До, так что
Да = /да:Дт, До = fдз: /tm*	(^•2^)
На этом можно остановиться и посмотреть, насколько
плавно меняются Да' и До'; если в них имеются скачки, эти
скачки указывают на ошибки в наблюдениях, и нетрудьо
выяснить, какое именно наблюдение ошибочно.
Пример. Даны наблюдения планеты 1933 NA:
N t		а 1933,0	/;
1 1933	июля 1,96012	19^28,w2s,28	15,895
2	17,85511	13 18,25	6,991
3	23,81569	8 9,09	4,027
4	27,87299	5 6, 00	2,018
5	29,89118	19 3 43, 85	18,951
6	48,85264	18 57 21, 35	9,989
7	53,84208	18 59 13,03	

118	РЕДУКЦИЯ НАБЛЮДЁННЫХ ПОЛОЖЕНИИ	[Гл. IV
/а	tm.	ftin	Да	/ Да	aa'
- 884s,03	9,908		-55s,62		
		10,942	_L_	4s,01	-h 0s,37
-309, 16	29,850		-51,61		
		5,009	+	6,14	+ 1, 22
- 183,09	25,859		- 45, 47		
		3,023	j_	4,76	4- 1, 58
- 82, 15	28,882		-40, 71		
		10,490		20,54	+ 1, 96
- 382, 49	39,372		-20, 17		
		14,475		31,35	+ 2, 16
4- 111, 72	53,847		+ 11, 18		
Здесь приведена только одна координата — прямое восхожде-
ние. Просмотр хода разделённых разностей показывает, что
он не совсем плавен, но всё-таки чувствительных скачков
не заметно. После вычисления орбиты обнаружилось, что
ошибки наблюдений заметно меньше 0s,5.
Наблюдения, выбранные для вычисления орбиты, должны,
помимо достаточной точности и отсутствия грубых ошибок,
удовлетворять и другим требованиям, вытекающим из теории
определения орбит, о которых будет речь в своём месте.

ГЛАВА ПЯТАЯ
ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРБИТЫ
ПО ТРЁМ НАБЛЮДЕНИЯМ
§ 35.	Постановка задачи
Движение планеты или кометы вокруг Солнца в первом
приближении, т. е. без учёта притяжения других тел сол-
нечной системы, определяется посредством шести постоян-
ных величин, входящих в решение дифференциальных уравне-
ний задачи двух тел. Нагляднее и часто всего удобнее брать
в качестве этих постоянных элементы орбиты, но, разумеется,
этот выбор не единственный: так, например, вместо трёх эле-
ментов о),	, г, определяющих расположение плоскости орбиты
в пространстве и линии апсид в этой плоскости, могут быть введены
гауссовы постоянные А, В, С, а, Ь, с или векторные элементы
Р и Q, которые представляют собой, в силу существующих
между ними тождественных соотношений, только три незави-
симые величины; или же можно заменить все кеплеровы эле-
менты орбиты тремя прямоугольными координатами в избран-
ный момент и тремя соответственными скоростями.
Такое решение может удовлетворительно представлять дей-
ствительное движение планеты или кометы лишь на протяже-
нии не очень большого промежутка времени, пока можно пре-
небречь действием других планет. Поэтому способы определения
первоначальных орбит строятся в предположении, что имеется
немного наблюдений, отделённых небольшими интервалами вре-
мени.
В дальнейших выводах предполагается, что величина эксцен-
триситета определяемой орбиты не подвергается никаким огра-
ничениям, и излагаемый ниже общий способ в одинаковой мере
применим к орбитам любой формы (если не говорить о деталях).
Но практически приходится иметь дело с орбитами, эксцентри-
ситет которых не слишком велик, примерно не больше 0,7
(для периодических комет), так как в случае сильно эксцен-
трических кометных орбит первоначальное вычисление всегда
ведётся в допущении, что они являются параболами.

120 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ТРЁМ НАБЛЮДЕНИЯМ [Гл. V
Решение поставленной нами задачи распадается на ряд эта-
пов, которые мы рассмотрим в той последовательности, в кото-
рой они возникают. Во многих руководствах некоторые из
относящихся сюда вопросов выделяются и рассматриваются
заранее, но это, во всяком случае, приводит к тому, что ход
выводов становится менее естественным.
Нетрудно убедиться, что трёх наблюдений, произведённых
в моменты t±, t2, t3, теоретически совершенно достаточно для
нахождения шести элементов орбиты. Эти три наблюдения дают
шесть независимых величин — геоцентрических сферических
координат тела сд, о1? а2, 62, а3, о3.
Геоцентрические и гелиоцентрические координаты тела свя-
заны между собой девятью уравнениями (3.11):
р£ cos of cos = Xi + Xi '
cos sin = yi + Yi ►
pf sin 8f = Zi + Zi ,
(Z=l, 2, 3),
(5-1)
в которых и ог- известны из наблюдений, а А^-, У/, Zf. могут
быть взяты из ежегодников, где они даются по таблицам дви-
жения Земли. У нас начало координат лежит либо в центре
Земли (если наблюдения исправлены за параллакс), либо
в точке, где находился наблюдатель (если а и о — непосред-
ственно наблюдённые величины, а X, Y и Z путём введения
соответственной поправки приводятся к месту наблюдения).
Таким образом, мы будем употреблять геоцентрическую или
топоцентрическую систему координат, но ввиду того, что это
различие не имеет принципиального значения для теории
вопроса, мы можем для простоты говорить лишь о геоцентри-
ческих координатах, где это не может вызвать путаницы.
Уравнения (5.1) содержат в числе неизвестных pf, а затем
Xi, yi, Zi, но девять последних величин выражаются через
шесть элементов орбиты а, е, У, id, i и известные моменты
наблюдений ti, так что независимых неизвестных будет столько
же, сколько и уравнений —девять. Исключая путём деления рг-
из уравнений (5.1), мы, очевидно, получим шесть уравнений
с шестью неизвестными.
Геометрически это сводится к тому, что мы должны из трёх
заданных точек — положений Земли (определяемых относительно
центра Солнца координатами Xi, Yi, Zi с обратным знаком)
провести три направления, соответствующих наблюдённым az- и Of,
а затем пересечь их плоскостью, проходящей через центр
Солнца, причём так, что если провести через точки пересече-
ния коническое сечение (задача вполне определённая, ибо
коническое сечение, вообще говоря, может быть однозначно

§ 35]
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
121
найдено по трём своим точкам и положению фокуса), то удвоен-
ные площади секторов между первым и вторым радиусом-век-
тором (tv2) и, соответственно, между вторым и третьим радиу-
сом-вектором (г2г3) должны в согласии с первым и третьим
законом Кеплера равняться
(г17-2) = Л'/?(г2-М1 1	,,
г-	Г	р.^)
Эти два уравнения являются теми условиями, при помощи
которых может быть определено положение плоскости орбиты,
ибо оно вполне характеризуется двумя параметрами, напри-
мер, наклонением к основной плоскости и долготой узла. Как
только это будет сделано, определятся и точки пересечения
наблюдённых направлений на светило с плоскостью его орбиты,
т. е. найдутся координаты Xz, Kz, Zz в уравнениях (5.1) и вместе
с тем pz.
Первая часть решения состоит в том, чтобы, удовлетворяя
(5.2), найти из (5.1) значения pz. Это может быть сделано путём
последовательных приближений. В уравнениях (5.2) параметр
орбиты р неизвестен, и мы не можем найти стоящие слева
удвоенные площади секторов (г±г2) и (г2г3). Обозначим удвоен-
ные площади треугольников между радиусами-векторами и хор-
дами орбиты через [Г1Г2] и [г2г3]. Предполагая pz известными,
мы можем получить из (5.1) гелиоцентрические координаты
тела Xi, yi, Zi, а стало быть и [гхг2] и [г2г3]. Пусть, далее,
у есть отношение площади сектора к площади соответствующего
треугольника; зная его, мы можем, очевидно, получить и необ-
ходимые нам площади секторов. Введение у в теорию определе-
ния орбит оказалось особенно плодотворным потому, что для
этой величины заранее может быть дано приближённое значе-
ние; более того, Гаусс показал, что можно отыскать у по задан-
ным положениям тела и промежуткам времени с любой точ-
ностью без знания элементов орбиты и, в частности, без знания
р. Таким образом, взяв для у некоторое приближённое значе-
ние, можно из уравнений (5.1) и (5.2) найти затем с ними
получить гелиоцентрические координаты тела и при их помощи
отыскать улучшенные значения у. Повторяя этот процесс,
можно добиться того, что в конце концов (обычно это насту-
пает быстро) исходные и конечные значения у совпадут между
собой; это покажет, что полученные значения [>z удовлетворяют
условиям задачи. В этом и лежит основная трудность задачи
определения эллиптической орбиты, и метод, основанный на идее
последовательного уточнения у, не без основания носит назва-
ние метода Гаусса.

122
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ТРЕМ НАБЛЮДЕНИЯМ
[Гл. V
Вторая часть задачи состоит в том, чтобы по найденным
гелиоцентрическим координатам светила и отношениям площадей
секторов к площадям треугольников получить элементы орбиты,
и она не содержит никаких принципиальных трудностей.
В практической разработке способ Гаусса был целиком при-
способлен к особенностям логарифмического вычисления. В связи
с этим вместо наблюдённых экваториальных координат тела
вводились эклиптикальные, так как система, в которой основ-
ной плоскостью является эклиптика и в которой третья коор-
дината Солнца —широта —может быть положена равной нулю,
имела здесь некоторые преимущества. При вычислении с ариф-
мометром эти преимущества теряют своё значение, и оказывается
более выгодным сохранить экваториальную систему и широко
применять прямоугольные координаты, что приводит к упроще-
нию формул и к сокращению вычислительного процесса. Посте-
пенно счётная машина полностью вытеснила логарифмы при
решении данной задачи, и в наше время едва ли кто-либо
станет вычислять эллиптическую орбиту целиком с помощью
логарифмов. Может быть, рационально поступать, как это рекомен-
дует Мертон в работе [29], посвящённой модификации метода
Гаусса, в прилогкении к арифмометрическим вычислениям,
а именно, для выполнения отдельных этапов работы прибегать
к помощи логарифмов, но такой образ действий, кажется,
не получил широкого признания. Мы ограничимся здесь рас-
смотрением способа Гаусса в его современной форме.
§ 36.	Уравнения плоскости
Пусть будет
Ах 4- By + Cz = 0	(5.3)
уравнение плоскости, проходящей через начало гелиоцентриче-
ских координат —центр Солнца, причём хотя бы один из коэф-
фициентов Л, В, С не равен нулю. Подставляя в (5.3) координаты
xi9 yi9 Zi (/=1,2,3) трёх положений тела, мы будем иметь:
Ах± + Вуг + Cz± = 0, \
Ах2 + Ву2 + Cz2 = 0, >	(5.4)
Ля3 + Ву3 + Cz3 = 0. J
Условие существования плоскости заключается в том, что
эти уравнения дают нетривиальное решение в отношении
А, В, С\ как известно, для этого определитель из коэффициентов
должен быть равен нулю:
*1,
У1’
Уз’
Z2
Z3
= 0,
(5.5)

§ 36]
УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ
123
Разлагая определитель по элементам столбцов, мы получим
уравнение (5.5) в трёх видах:
A [y2z3 — z2y3] — х2 [y3z3 — zxy3] + х3 [y3z2 — z^] = О,
Уз [z2x3 — x2z3] — y2 [Z1T3 — ZiZj + y3 [z^, — x,z2] = 0,
Zl [A2/3 — 2/2^3] — z2 [хзУ3 — У1Х3] + Z3 1Х1Уз — У1Хз1 =• 0- -
(5.6)
которые отличаются одно от другого циклической перестанов-
кой букв. Введём вместо выражений, стоящих в скобках, пло-
щади треугольников, пользуясь соотношениями типа
y2z3 — Z2y3 = [r2r3] cos (п, т),
где (п, х) — угол между нормалью к плоскости орбиты и осью х;
по сокращении на направляющие косинусы нормали получим:
[AAJa — [Г1Г3]яг3 + [Г1Г2]х3 = 0, 'I
[АА] У1 - lAA] У2 + [АА] У3 = о, ?	(5.7)
[V,] zi — [АА] z2 + [АА] z3 = 0. J
Разделим эти уравнения на [rxr3] и положим
это даст
п1х1 — х2 + п3х3 = 0,
п1у1 — у2 + п3у3 = 0,
n1z1 — z2 + n3z3 = 0. ,
(5.8)
(5.9)
Если мы теперь в уравнениях (5.9) будем считать п1 и п3
известными, что мы можем сделать только, воспользовавшись
условиями, связанными с промежутками времени между наблю-
дениями, то выражения (5.9) явятся уже независимыми уравне-
ниями между Xi, yi, Zi.
В уравнениях (5.1) обозначим для сокращения направля-
ющие косинусы луча зрения на светило через
ai = cos 8t- cos af, "J
dz= cosfifsin af, /	(5.10)
= sin 8Z I
и выразим через них Xi, yi и zz:
Xi,
yi = b^t — Yi, 
Z[ = Cipi %i*
(5.11)

124
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ТРЁМ НАБЛЮДЕНИЯМ
[ГЛ. V
После подстановки в (5.9) мы будем иметь:
^1^1Р1	^2?2	«3^3	-^2
^2?2 “Ь 63П3?3 =	^2 “Ь ^3^3?
^2р2 “Ь ^з^зРз ~	^2 “Г ^з‘
(5.12)
Здесь содержится пять неизвестных — 721? n3, pf. Очевидно,
что если уравнения (5.12) разрешить в отношении pz, то рг- выра-
зятся через известные величины и пх и п3. Если взять для
и п3 приближённые значения, мы найдём приближённые pf,
и при дальнейшем уточнении	и п3 будут уточняться и pz.
Для определения р2, например, выгоднее исключить из (5.12)
не рх и рд, а сразу и п3р3, что даст
— Р?2 = d,
где
(5.13)
Хг,
У !,
На практике решение ведётся не при помощи определителей,
а численной элиминацией и п3р3.
Отметим, между прочим, что определитель D выражает
шестикратный объём четырёхгранника с вершинами в начале
координат и в наблюдённых положениях тела на геоцентри-
ческой небесной сфере с радиусом, равным единице. Чтобы пойти
далее, необходимо ввести приближённые значения для п1 и и3.
§ 37.	Выражения площадей треугольников через время
Предположим для простоты, что плоскость координат ху
совпадает с плоскостью орбиты. Тогда уравнения движения
(3.73) примут вид:
__ _ L.2 £_	__ _ 7-2 У_
dt* ~ гз ’ dt* " Г3 *
(5.15)

£ 37] ВЫРАЖЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ЧЕРЕЗ ВРЕМЯ 125
В дальнейшем удобно избрать единицу времени так, чтобы
сделать	к	равным	единице,	вводя вместо	t	новую	переменную
x = kt.	(5.16)
Итак,	наша	новая	единица времени	будет	—=58,134087
средних суток и уравнения (5.15) заменятся следующими:
d2x	х
г3 ’ >	(5.17)
dx2	г3 * J
Пусть в исходный момент, когда т = 0, тело имеет коорди-
наты х и у и радиус-вектор г, а в момент т соответствующие
величины пусть будут ж', у', г'. Требуется определить площадь
треугольника между радиусами-векторами г, г' и замыкающей
их хордой орбиты, считая известными г и его производные по
времени.
Предполагается, что г не обращается в нуль, поэтому для
не слишком больших промежутков времени координаты тела
могут быть разложены в сходящиеся ряды Тейлора но степе-
ням т:
dx , 1 d2x 9 , 1 d3x -
^ + 2Т^ +з!
т 4- —	-2 4- — Z -3
dx "Г 2! dx2 v ф 3! dx3 Х
(5.18)
Дифференцируя уравнения (5.17) по т, мы можем получить
выражения для высших производных х (и у), которые содержат
кроме г и его производных только х и Пили соответственно
У и так как производные второго и высших порядков от х
могут быть исключены при помощи (5.17), именно,
d3x	За: dr	1 dx	>
dx3	г4 dx	г3 dx ’
d4x Г 1	4_ 6 dx
dx4 L г6 г5 J * г4 dx2 J r4 dx dx '
Введя эти выражения в (5.18), найдём
z'=Fx+G^, '
y' = Fy + Gd£,
(5.19)
(&.20)

126
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ТРЕМ НАБЛЮДЕНИЯМ
[Гл. V
где
I г3 + *2 г4 d<z
1т3 t 1 т4 c?r
6 rA 1 4 r4 dz
3 d*r
r4 dt*
(5.21)
G =
Следовательно, мы можем из (5.20) определить искомую
удвоенную площадь треугольника:
[rr'] = xy'- ух' =g(x^ —(5.22)
Но скобка справа есть удвоенная секторная скорость,
как это видно из (2.11), и ввиду того, что у нас & = 1, она
будет согласно (2.20) равняться ]/'р, что даст
[rr']=G\fp.	(5.23)
Применим этот результат к трём положениям тела с коор-
динатами xif yit zt и радиусами-векторами rt (Z = l, 2, 3). Проме-
жутки времени обозначим, как это обычно делают,
Т1 — (^з	Т2 — к (^3	^1)> Т3 = (^2	(5.24)
причём индекс у т соответствует индексу, недостающему справа.
Полагая в (5.20) х = х2 и заменяя х соответственно на х± и х%
(также у), мы должны подставить в (5.21) вместо т соответ-
ственно —т3 и Tj, что нам даст F1? GT, F3, G3. После этого мы
будем иметь вместо (5.22)
x^F^G^, x3^Fzx2 + Gz(*£), )
и отсюда	[ Z-! г 2 ] = хху2 — yiX2 = —G1}/rp, [r2r3] = ^Уз — Уз^з = G3 V Р’ [ Г1Г3 ] = %1Уз	У 1^3 = X^z	Р '	1 1 J	(5.26)
где	С —	~ -L 1 Тз Д. 1	-J- ^--з + ттг+т TfW2+ •••’		
	г	1 т» 1 г* /dr\ . G3 = ^-T +T7fUA+---’	.	1	(5.27)
	1	r-2	4	^3		
	7	>l CO	M II	II to I b* to| ► u"w|w + I to| н» ю| H to*	' + +		

§ 38] ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛИ ГЕЛИОЦЕНТРИЧ. КООРДИНАТ 127
Следовательно, удвоенные площади треугольников опреде-
лятся уравнениями:
причём в последней строке вместо + т3 подставлено т2.
Что же касается отношений площадей треугольников, ранее
обозначенных нами пг и тг3, то они выражаются так:

Эти формулы верны для любых конических сечений с фоку-
сом в центре Солнца, как это явствует из их вывода.
§ 38.	Первое приближение для гелиоцентрических
координат
Только что полученные выражения для п± и п3 являются
приближёнными, и возникает вопрос, какие члены в них не-
обходимо сохранить при вычислении орбиты.
Отыщем при помощи выражений (5.28) площадь треуголь-
ника с вершинами в концах радиусов-векторов гх, г2 и г3:
[Г.г2] + [Г2г3] - [гхг3] = /р (1 + . ..).	(5.30)
Очевидно, если мы пренебрежём в (5.29) членами, содержа-
щими г* в знаменателе, выражение (5.30) даст нуль для
площади указанного треугольника, что в точности имеет место
лишь при движении по прямой линии. Этого, конечно, нельзя
допускать даже в качестве исходного предположения при
определении орбиты и, следовательно, члены с надо со-
хранить. Дальнейшие члены с	ПРИ нахождении
приближения неизвестны и ими приходится пренебречь.
первого
Таким

128
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ТРЁМ НАБЛЮДЕНИЯМ
[Гл. V
образом, мы положим
, г + г	- t г + ?
Л~’ Пз = 7Г-+ у	(5-31)
Т2 О	Г9	О	Г2
Если, однако, итти другим путём и взять в качестве
основных неизвестных не р2, или, что то же самое, г2, а рх
и р3, как предлагал Оппольцер, или все три геоцентрических
расстояния, как в методе Джиббса, точность первого прибли-
жения значительно повысится, но за счёт существенного
усложнения формул, поэтому на практике преимущество оста-
нется всё же за способом Гаусса.
Формулы (5.31) были даны Энке, и они точнее тех, кото-
рыми пользовался сам Гаусс. Положим в них
-j-^з (! + <) = Л,
g” V, (1 4“ «,) = ^з>
(5.32)
и мы будем иметь
"1 = ^+3- »з = «з + ^’-	(5‘33)
Эти выражения могут быть подставлены в (5.14) и (5.13),
что даст
=	+	+	(5-34)
' 2
ИЛИ
Ь =	(5.35)
где
—	4~^3V3	(5 36)
Тем самым мы выразили р2 не через две неизвестные
и п3, а только через одну неизвестную г2. Но между р2 и г2
существует, кроме того, очень простое геометрическое соотно-
шение, вытекающее из рассмотрения треугольника между
Солнцем 5, Землёй Т и телом Р (фиг. 12). Если внешний угол
при вершине Т обозначить через 62, то
r22 = R; + 2R2 cos 02р2 + р22,	(5.37)
причём
Rl=Xl + Yz2 + Z22f /?2cos62 = -(6z2X2 + 62¥2 + c2Z2). (5.38)

§ 38] ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛЯ ГЕЛИОЦЕНТРИЧ. КООРДИНАТ 129
Последнее равенство может легко быть уяснено: если раз-
делить его почленно на Т?2, тогда правая часть представит произве-
дение направляющих косинусов векторов TS и ТР, взятое
с обратным знаком. Если возвести уравнения (5.11) в квадрат
и сложить, мы получилМ (5.37) и (5.38), что может заменить
геометрическое рассуждение.
Уравнения (5.35) и (5.37) позволяют найти р2 и г2. Если
исключить одно из этих неизвестных, для другого получится
уравнение восьмой степени. Конечно, делать этого не следует;
вместо этого оба уравнения решаются последовательными при-
ближениями, что особенно удобно при наличии таблицы,
1	л
дающей — по аргументу г .
Гаусс показал, что уравнения (5.35) и (5.37) могут быть
сведены к одному трансцендентному уравнению, легко разре-
шаемому при пользовании логарифмами. Это уравнение играло
большую роль в классической форме способа Гаусса; М. А. Вильев
посвятил важный мемуар его исследованию [4], а Т. А. Бана-
хевич [1] дал таблицы, позволяющие находить его решение
почти без вычислений. При вычислении с арифмометром удоб-
нее пользоваться непреобразованными уравнениями (5.35)
и (5.37), тем не менее, рас-
смотрим здесь вывод урав-	2
нения Гаусса.
Из треугольника STP
на фиг. 12, в котором угол	/
при вершине Р обозначен	Ург
через z2, находим	/
р2 _ г2 __ Д,	__________
sin (02-z2) — sin 02 — sin z2 *	$	T
Если подставить в урав-	фиг
нение (5.35) значения р2 иг2,
найденные из этих соотношений, можно не пользоваться уравне-
нием (5.37), так как геометрическая зависимость между р2 и г2
уже введена. После небольших преобразований мы найдём:
R2sin(02-z2)	Zosin3z2
<in;2	0	K3sin*02’
— sin 62 cos z2 + (T?2 cos 62 + k0) sin z2 =	•
Положим здесь
p-sin 7 = Z?2 sin 02. у cos q = R2 cos 62 + &0, m =	s? 3 Q- ,
и у нас будет
sin (z2 — q) = m sin4 z2.
Это и есть уравнение Гаусса.
9 А. Д. Дубяго

130	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ТРЁМ НАБЛЮДЕНИЯМ [Гл. V
§ 39. Анализ основных уравнений и теорема Ламберта
о кривизне видимой орбиты
Поставим важный вопрос: всегда ли система уравнений
(5.35) и (5.37) имеет решение, сколько этих решений и все ли
они пригодны для нахождения орбиты. Возвращаясь к (5.12)
и (5.15), мы видим, что единственным исключительным слу-
чаем, требующим особого рассмотрения, будет тот, когда
D = Q. Считая направляющие косинусы aif bi7 Ci за координаты
точки на небесной сфере радиуса 1, мы находим, что равен-
ство нулю определителя D служит условием того, что все три
положения лежат в одной плоскости, проходящей через начало
координат, совершенно аналогично, например, условию (5.5),
найденному раньше. При этом видимые положения светила
будут лежать на одном большом круге. В этом единственном
исключительном случае, если р2 не бесконечно велико, должно
быть и d = Q, откуда следует, что либо по меньшей мере два
из определителей dly d2, d3 не равны нулю, либо все три опре-
делителя равны нулю (так как, если два из них равны нулю,
то, очевидно, равен нулю и третий).
В первом случае мы имеем право допустить, что хоть одна
из величин dr и с?3 не равна нулю, после чего, написав на
основании (5.34)
+	+	3 = 0,	(5.39)
Г2
мы получаем возможность определить г2, азатем при посредстве
(5.37) найти р9. Однако это определение будет очень ненадёжным
вследствие малости коэффициента при — . Если один из опре-
делителей dt равен нулю, можно заключить по аналогии
с предыдущим выводом, что соответственное положение Солнца
лежит в одной плоскости с положениями тела и центром Земли,
иначе говоря, на том же большом круге небесной сферы. При
этом, если, в частности, d2 =0 (второе место Солнца лежит на том
же большом круге, что и соответствующие положения тела);
кроме того, если т1 = т3, у нас будет ri^ = n° и v1==v3 и вместо
(5.39) получится
(d1 + d3)(n“ + ^-) = 0,	(5.40)
что влечёт за собой dT + d3 =0, так как и vx положительны..Срав-
нение для г2 обращается в тождество 0=0и найти г2 невозможно.
Обратимся ко второму случаю, в котором d± = d.2 = d3 = 0,
и сначала допустим, что ни одно из положений светила не*
совпадает с другим на небесной сфере. Тогда все три положе-
ния светила лежат на одном большом круге, и на нём же

39] АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ И ТЕОРЕМА ЛАМБЕРТА 131
расположатся все три положения Солнца, как это вытекает из
написанных условий. Следовательно, этот большой круг есть
эклиптика. Уравнение (5.39) обращается в тождество 0 = 0
и определить г2 опять невозможно.
В числе исключительных случаев могут быть такие, когда
два из трёх или все три положения тела совпадают между
собой (первое может случиться, если светило за время наблю-
дений описало петлю, второе — лишь при особых обстоятель-
стах, которые при действительном вычислении орбиты не будут
иметь места). Если совпадают первое и третье места, все три
определителя с?2, d3 обращаются в нуль и остаётся в силе
наш предыдущий вывод о невозможности вычисления орбиты,
но уже на другом основании.
Заметим сперва для полноты, что сюда же относится тот
случай, когда указанные два положения диаметрально противо-
положны на небесной сфере, чему соответствует =—а3,
Ьг = —Ь3, сг = —с3. Обращаясь к исходной системе уравнений
(5.12), мы видим, что нельзя отыскать отдельно и м3р3
из-за того, что коэффициенты у них численно равны (с тем
же или противоположным знаком), поэтому из уравнений
может быть получена только их комбинация + ^г3?3- Что же
касается р2, то оно может быть найдено, ибо для этого в дан-
ном случае будет достаточно взять два из трёх уравнений
(5.12).
На деле едва ли . придётся встретиться с наблюдениями
малой планеты или кометы, строго подходящими под один из
рассмотренных исключительных случаев. Но ясно, что если
какие-либо из перечисленных условий соблюдаются хотя бы
приблизительно, это приведёт к тому, что орбита найдётся
с большой неуверенностью.
Чтобы избегнуть невыгодных условий для определения
орбиты, надо заменить неудачно выбранные нами наблюдения
другими (если другие наблюдения имеются). Однако, если все
три наблюдённых места тела лежат на эклиптике, таким путём
устранить исключительные обстоятельства не удастся. Плоскости
орбит Земли и светила совпадают, и мы никогда не сможем
вычислить орбиту по трём наблюдениям. Действительно, из числа
элементов орбиты два отпадают, ибо i = 0, а теряет смысл. Оста-
ющиеся элементы 71, тг, а и е не могут быть найдены при помощи
трёх оставшихся независимых наблюдательных данных, т. е. /4,
а2, Х3. Чтобы решить задачу, надо привлечь четвёртую долготу,
и поэтому орбиту, мало наклонённую к эклиптике, следует
вычислять по четырём наблюдениям.
Покажем теперь, как из полученных нами результатов
может быть выведена теорема Ламберта о кривизне видимой
орбиты.
9*

132	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ТРЕМ НАБЛЮДЕНИЯМ [Гл. V
Если бы наблюдатель перемещался в пространстве строго по
законам Кеплера, то р2 = 0 должно было бы удовлетворять
уравнениям (5.35) и (5.37), ибо орбита Земли удовлетворяла бы
всем требованиям проблемы (если отвлечься от возмущений
и пренебречь массой Земли). В действительности, эти условия
не соблюдаются в точности, ио уклонения невелики. Поэтому,
положив р2 = 0, мы найдём из (5.37) r2=R2 (что очевидно),
а из (5.35) получим
К =	(5.41)
служить для приближённого кон-
троля вычисления к0 и Zo. Вместо
(5.35) теперь можно написать
(А А <5-42>
Уравнение (5.42) содержит в
скрытом виде теорему Ламбер-
та: если светило в момент на-
блюдения находится дальше от
— уравнение, которое может
фиг	Солнца, чем Земля, то его види-
мая траектория на небе обра-
щена к Солнцу своей выпуклостью, если же светило ближе
к Солнцу, чем Земля, то — вогнутостью. Действительно, если
г2>7?2, из уравнения (5.42) следует, что Zo> 0, так как р2 > 0;
если же г2 < Д2, будет Zo < 0. Пользуясь выражением (5.36)
для Zo и (5.14), мы будем иметь
Г =	+ d^3
°	D
аг, v3X3, a3
^Y1 + bY3, b3
Сц vJZ14-v3Z3, c3
6?i, a2, a3
Ьц b2, b3
Cl, C2, c3\
(5.43)
Предположим, что наблюдения отделены элементарно малыми
промежутками времени (см. фиг. 13, где 52, 53 — геоцентри-
ческие положения Солнца, Plt Р2, Р3— светила).Тогда мы
получим:
V1^1 + V3X3 = (v: + V3) j
*1У1 + *3У3 = А+*3)У0.	(5.44)
VjZi + v3 Z3 = (vj 4- v3) Zo, J
Xl + Yl + Z'a = Rl,
I A • Rq > @3
^> = (vi + v3) Ro A, yo-.ro, b3
' r . R3 j C3
a2f a3
b2, b3
Cl> C2’ C3 ।
(5.45)
(5.46)

§ 39] АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ И ТЕОРЕМА ЛАМБЕРТА 133
В пределе точки и 53 стремятся слиться с точкой 50,
представляющей проекцию на сферу точки с координатами Хо,
Уо, Zo. Определитель, стоящий множителем в выражении (5.46),
выражает шестикратный объём элементарного тетраэдра ОР^Р^
определитель же, служащий делителем, даёт шестикратный
объём тетраэдра ОРТР2Р3. Если знаки определителей одинаковы,
то периметры оснований тетраэдров обходятся по порядку
написанных нами букв в одинаковом направлении и точка Р2
лежит внутри сферического треугольника PYS^P3 и видимый
путь светила обращён к Солнцу выпуклостью; но в этом
случае, очевидно, Zo > 0, так как v1? v3 и 7?0 положительны.
Следовательно, г2 > Л2, и мы получаем первую часть теоремы
Ламберта. Если знаки определителей различны, периметры
обходятся в противоположном направлении (как это показано
на фиг. 13), откуда следует, что видимый путь светила обращён
к Солнцу вогнутостью. При этом 10 < 0 и r2 < R2, что даёт
вторую часть теоремы Ламберта. Когда в движении светила г2
переходит через значение, равное /?2, видимая орбита имеет
точку перегиба (7) = 0).
Теорема Ламберта говорит, что рассмотренный выше исклю-
чительный случай имеет место как раз тогда, когда г2 стано-
вится равным Т?2, если, впроч.ем, светило не движется в пло-
скости эклиптики.
Теперь возьмём уравнение (5.42) и присоединим к нему (5.37):
= ] (5#47)
т\ = R; + 2R2 cos 02р2 + р;. )
Положим r2:R2 = x, [>2:R2 = y, ln'R* = l и cos62 = c. Вместо
(5.47) будет
J =	<3-48)
х2 — 1 + 2су + у2,	#	(5.49)
х > 0, у > 0, —1<с<1.
Исключая из этих уравнений у, имеем
2 Л . о 7	, 72	2Z2 , Z2
X — 1 4“	-----3 Ь ----3  б" 7
1	X3 1	ж3 ’ хь
ИЛИ
/ (х) = х8 - (1 + 2cl + Z2) х9 + 2Z (с + Z) х3 - Z2 - 0.	(5.50)
Это есть так называемое уравнение Лагранжа для г2, на ко-
торое опирается исследование кратных решений нашей задачи.
Степень уравнения сразу может быть понижена до седьмой,
если исключить корень х = 1, отвечающий земной орбите

134
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ТРЁМ НАБЛЮДЕНИЯМ
[Гл. V
(г2=/?2). Второй коэффициент всегда отрицателен, ибо
1 + 2cl + Z2 = (1 - с2) + (с +1)\
выражение, в котором оба члена положительны. Третий коэф-
фициент всегда положителен, в чём убедиться несколько труд-
нее. Рассмотрим следующие случаи.
Пусть I > 0, тогда, согласно (5.48), 1—> 0, т. е. х > 1
и у<1. Если с> 0, то Z (с-р-Z) > 0; если с < 0 и, скажем,
е=—с', то из х2 = 1 — 2с'у -г у2 следует, что, для того чтобы
было я>1, должно быть у2 > 2с'у, или 2/^>2с'. Но тогда и
Z > 2с', тем более Z > с', то-есть с + Z > 0, а также Z (с + Z) > 0.
Если Z < 0, то согласно (5.48) 1— р < 0, или х < 1, откуда
из (5.49) следует, что у2 + 2су < 0, т. е. с < 0, что даёт
Z (с 4- Z) > 9.
Это приводит к выводу, что в (5.50) имеется три перемены
знака, следовательно, число положительных корней может быть
либо 1, либо 3. Однако один из корней соответствует орбите
Земли и, стало быть, помимо него для каждого действительно
наблюдавшегося светила имеется два годных корня основного
уравнения орбиты для г2. Но это ещё не значит, что они оба
представляют искомое решение.
Необходимо соблюсти также условие р2 > 0, выражающее,
что наблюдённые положения лежат на луче зрения, а не на
его продолжении назад. Мы получим два пригодных решения
только в том случае, если оба корня для г2 одновременно
больше или одновременно меньше единицы. Если же один
корень больше единицы, а другой меньше единицы, то один
из них даёт согласно (5.48) у < 0, так как при переходе х че-
рез 1 при заданном Z знак у меняется.
Чтобы уяснить, какие условия определяют двойное реше-
ние, исключим из (5.50) корень я = 1, представляя /(ж) в та-
ком виде:
/(л?) = (□? —1) gr (ж),	(5.51)
причём g(x) имеет два положительных корня. Из этого урав-
нения видно, что
g (0) = — / (0) = Z2,
т. е.
g (0) > 0.
Найдём g(l). Дифференцируя (5.51), находим

§40]
УЛУЧШЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
135
откуда
После небольшого подсчёта получаем из уравнения (5.50)
g (1) = 2 (1 - 3cZ).	(5.52)
Если g(l) >0, то между 0 и 1 лежат либо оба корня g(x),
либо ни одного; следовательно, корни g(x), во всяком случае,
одновременно либо больше, либо меньше единицы, и мы имеем
двойное решение для орбиты. Если g(l)<0, то между 0 и 1
лежит один корень g(z), а другой больше единицы и орбита
определяется однозначно. Мы получаем, таким образом, на
основании (5.52), что двойное решение возможно, если
1 — 3cZ > 0,
или
3cose2Z0</?*	(5.53)
— критерий, найденный впервые Оппольцером. Если суще-
ствуют два решения, удовлетворяющих данным трём наблюде-
ниям, каждое из них даст свою систему элементов орбиты и
только дальнейшие наблюдения смогут указать, какая орбита—
истинная.
Имеются таблицы [13], облегчающие решение вопроса о кор-
нях уравнения Лагранжа, если заданы необходимые исходные
величины.
§ 40. Улучшение результатов первого приближения
Как только г2 станет известно, уравнения. (5.33) дадут нам
и п3 и, возвращаясь к уравнениям (5.12), мы получим рг и р3
проще всего из равенств, вытекающих в процессе исключения
неизвестных. Затем легко найти из уравнений (5.11) гелиоцен-
трические координаты х„ iji, Zt и
ri = xi + yi + z2lt г\ = х\ + у\ + ^.	(5.54)
Вместо этого могут быть использованы уравнения, вытека-
ющие из треугольников, аналогичных изображённому на фиг. 12,
^я’ + г^созй^ + р*, )
г:=я:+2я3со3бгРз+р:, J
где
R^XX + Yi + Z},
+ +
R3 cos &i = — (яЛ +	+ CjZj),
R3 cos 93 = — (a3X3 + bsY3 + c3Z3).

136	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ТРЕМ НАБЛЮДЕНИЯМ [Гл. V
Зная р2 и р3, мы можем принять во внимание не учтён-
ное нами влияние планетной аберрации на моменты наблюде-
ний. Исправленные моменты на основании (4.8) будут
^i — ^i ^Pi> ^2= ^2	(5.56)
и они должны быть подставлены вместо первоначальных при
вычислении формул во втором приближении.
Теперь можно без затруднений вычислить высшие члены
в разложениях п± и п3 по степеням времени. Но такой путь
приближения, идея которого восходит ещё к Лагранжу, до-
вольно громоздок. Гаусс показал, как можно найти вполне
строгие значения для этих величин.
Пусть (г1г2), (г2г3), (г1гз) будут удвоенные площади секторов
Между соответственными радиусами-векторами тела. Обозначим,
как выше, через yi отношение площади сектора к площади
соответствующего ему треугольника, иначе говоря, положим
- -(ГгГз) - JV,) ~ _(£1Г2>	57j
Тогда
п _Дг2г3]__ (r2r3) у, п _ [ту,] _ (гтг2) у2
[Г1Гз] (г^з) У! ’	3 IГ1Гз]	(rLr3) у3
Из первого закона Кеплера следует, что площади секторов
относятся как промежутки времени между наблюдениями, и
отсюда вытекает, что
П1=^	=	;	(5.58)
У1 У1	"2 Уз У1
здесь мы, конечно, должны взять пользуясь моментами на-
блюдений, исправленными за аберрационное время.
Как* только мы найдём з/г-, очень просто будет получить и
улучшенные значения пг и п3. Нахождение yi есть особая за-
дача, решённая также Гауссом.
§ 41. Отношение площади сектора к площади
треугольника
Следуя пути, указанному Гауссом, можно получить отношение
площади сектора к площади треугольника, зная два гелиоцентри-
ческих положения тела и время, в течение которого тело перешло
из первого положения во второе, т. е., зная радиусы-векторы г
и г', угол между ними и' — и, который мы обозначим так:
V' — V = 2/,	(5.59)
и промежуток времени — t.

§ 41] ОТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДИ СЕКТОРА К ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА 137
По определению
у=gq = *	=	,	(5.60)
°	[7Т ] гг'sin (г — v) rr'sin2/	х 7
если положить
т = к (tf — t).
Дальнейший вывод можно провести для эллипса и ги-
перболы одновременно, пользуясь тем, что формулы движе-
ния по этим кривым одни и те же, как мы это видели во вто-
рой главе, и лишь некоторые величины становятся мнимыми
для гиперболы. Этим смущаться не следует, ибо в конечном
результате мнимых величин не останется и выводы, в частно-
сти, будут годны для круга и параболы.
Чтобы найти у, нужно из уравнений (5.60) исключить
Это может быть достигнуто при помощи уравнений эллиптиче-
ского движения.
Напишем, пользуясь (2.41) и (2.43),
г cos у и = У а (1 “ е) cos у Е,
]/ г sin —V = у а (1 -f- е) sin — Е,
У г' cos у и' = а (1 — е) cos у £',
t г_____________________ i	(5.61)
у т' sin — v' = у а (1 + е) sin — Е',
„	. „ k(t-T)
Е — е sin Е = —— ,
а*
• гр/ k(t'-T)
Е —е sin Е =-------s.
а-
Уравнения (5.59), (5.60) и (5.61) содержат девять неизвест-
ных у, а, е, р, Т, и, г', Е, Е'. Все они, кроме у, нас не
интересуют и должны быть исключены.
Обозначим для сокращения записей
v'+» = 2F, E' — E = 2g, E' + E = 2G,	(Ь.&2);
после чего получим из (5.61) путём несложных преобразований
rr cos f = a cos g — a e cos G, )
У rr' sin / = j/ a y/~p sing,	/	(5.63)
r + r' == 2a — 2a e cos g cos G.	J
Третье из этих уравнений может быть также выведено из
формулы (2.40). Из выражений (5.63) легко исключить ecosG,

138
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ТРЁМ НАБЛЮДЕНИЯМ
[Гл. V
что даст вместо первой и третьей формул
г + г — 2 ]/”rr cos / cos g = 2а sin2 g.	(5.64)
Далее из двух последних уравнений (5.61) мы находим
(t ~~ t}- = -4- — 2g — 2е sin g cos G.
a* ai
Исключим и отсюда ecosG при помощи (5.63), и у нас будет
-г- = 2g — sin 2g + 2-^ -- sin g cos /.	(5.65)
a1	a
В уравнение (5.60) для у подставим )/"р из второго урав-
нения (5.63):
у = - z-	•	(5.66)
2 V а V rr' cos / sin g
Задача теперь свелась к решению трёх уравнений (5.64),
(5.65) и (5.66), в которых в качестве неизвестных фигурируют
у, а и g. Исключим а, подставляя его из (5.66) в два других
уравнения:
г + г' — 2 1/ rr' cos / (1 — 2 sin2 -i- g^) = —— - ,	1
V	2 У 2y2rr'cos2/
8?3 (/rr')3 cos3 / sin3 g 	>	67)
= 2g — sin 2g +	(/rr')3 cos3 / sin3 g
Положим здесь	,
f / 6	-	- %	v ’ y- -- ci ?	\	• VJLJ I
(2 у rr' cos /)3	4 у rr' cos f	*
я уравнения (5.67) могут быть приведены к форме
У- =----- У’ -? =		<5-в9)
I + sin2 у g
Исключение g из уравнений (5.69) невозможно. Эти уравне-
ния могут решаться в случае эллипса способом последователь-
ных приближений. Однако удобнее, вместе с Гауссом, приме-
нить для второго уравнения (5.69) разложение в ряд по степеням
a: = sin2yg,	(5.70)
что допустимо, так как при определении первоначальной ор-
биты разность эксцентрических аномалий — малая величина и,

§ 41] ОТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДИ СЕКТОРА К ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА 139
(5-71)
следовательно, х может считаться малой второго порядка. От-
метим, что для гиперболы х < 0, для параболы х~0.
Начнём с того, что продифференцируем выражение
_ 2g-sin 2g
sin3 g
Это даст
3X sin2 g cos g + sin3 g = 2 — 2 cos 2g = 4 sin2 g.
Затем напишем, пользуясь (5.70),
dx __ dX_ dx __ 1 . dx
dg dx dg 2 Sin dx ’
и мы найдём из предыдущих уравнений
dX___ 8 — ЬХ cos g_ 4 — (3 — 6г2) X	^2)
dx sin2 g	2х —2г2	’	\ •	7
Допустим, что интегралом этого дифференциального урав-
нения является ряд
Х= (1 + аж + рж2 + уж3 + ...),
О
и тогда у нас получится тождество
1 {аж + (23 —а) ж2 + (Зу- 2£) ж3 + ...} =
= (8 —4а) х + (8а — 4^) х2 + (83 —4у) х* + ...
Отсюда определяются коэффициенты
и, следовательно,
<5-73’
Гаусс принимает
что даёт
1-|(ж-$) = |х-1 = 1- 4*+^*2+ ^з+ ••• -
ИЛИ	*

140
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ТРЕМ НАБЛЮДЕНИЯМ
[Гл. V
Величина с может быть табулирована по аргументу х, и соответ-
ствующие таблицы даются у ряда авторов, начиная с Гаусса
(табл. XVIII). В результате уравнения (5.69) приводятся к виду
у* — у2 = тХ =
Положим
т
F7
h
тогда из (5.76) следует
- -
Уг-Уг= ----Тг
1--—
У‘
или
(5.75)
(5.76)
(5.77)
(5.78)
У3~ У2 — hy— у h = 0.
Вместо того чтобы решать это кубическое уравнение, име-
ющее лишь один положительный корень (так как h > 0, если
2/< 180°, как это следует из выражений для т и Z), проще
воспользоваться таблицами, дающими у (или 1g?/2) по аргу-
менту h. Итак, решение идёт следующим путём. По формулам
(5.68) отыскиваются т и Z, а затем (5.77) даёт h. Сперва при
этом полагается с = 0, ибо из (5.74) следует, что Ъ— величина
четвёртого порядка малости. Найдя по (5.78) или из соответ-
ствующих таблиц у, отыскиваем согласно (5.75) х, который
позволяет при помощи (5.74) вычислите» $ или же опять вос-
пользоваться для этой цели таблицами (табл. XIX).
Затем повторяется вычисление Л, и с новым значением у
отыскиваются х и В, пока приближения не сойдутся. Как пра-
вило, дальше второго приближения идти не приходится.
При небольших h также удобен способ Ганзена, не нужда-
ющийся в таблицах и состоящий в следующем.
Определим h из уравнения (5.78)
, (у - 1) у2
- 1
и положим здесь

§ 41] ОТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДИ СЕКТОРА К ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА 141
что даст
ИЛИ
9	9
10 2
(5.79)
Но ввиду того, что
Z“.
“ + 9

из (5.79) следует
Z
z3
10 L
9
Го3
Последний член слева очень мал и
жутках времени может быть откинут; тогда мы получим
10 ,	10 7
- .	Уh
z У	1 и	1 ( 
1+io2
при небольших проме-
(5.80)
Это и есть цепная дробь Ганзена, которая очень легко вычи-
сляется как с арифмометром, так и с логарифмами. При этом
можно также пренебречь в уравнении (5.77) величиной $, сле-
довательно, положить
h
(5.81)
6
Оппольцер показал, допуская, что эксцентриситет орбиты
мал, что ошибка формул Ганзена меньше
одной единицы	седьмого	знака	при	2/ < 18°
»	»	шестого	»	»	2/	<	27°
»	»	пятого	»	»	2/	<	39°,
поэтому способ Ганзена вполне пригоден для первоначального
определения планетных орбит, так как здесь 2/ обычно значи-
тельно меньше этих пределов.
Энке, Титьен и другие авторы также дали свои варианты
формул для нахождения отношения площади сектора к площади
треугольника.

142	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ТРЕМ НАБЛЮДЕНИЯМ [Гл. V
Заметим, что это отношение в случаях параболической и кру-
говой орбит не играет такой важной роли, как для эллипса.
Остаётся показать, каким образом ввести в вычисления
прямоугольные координаты светила. Пусть для моментов t и t'
даны х, у, z и х', у', z'. Исходя из
rr' cos 2/ = хх' + уу' + zz'
и вводя обозначение
•х2 = 2 (rr' 4- хх' + уу' + zz') = krr' cos2 /,	(5.82)
мы найдём из (5.68) и (5.81)
—$	‘-тАтт-у <5-83>
♦
При определении орбиты вводят согласно (5.57) yt (i = 1, 2, 3).
Соответственно мы будем иметь xz, mz, Zz-, /zz; в каждую из этих
величин войдут координаты тела и радиусы-векторы с двумя
индексами, не равными взятому значению /.
§ 42. Второе и дальнейшие приближения
Пользуясь величинами yh можно привести уравнения для
определения к той же форме, что и прежде. Именно, поло-
жим в (5.58)
(5.84)
(5.85)
Таким образом, уравнения (5.35) и (5.37) остаются по форме
неизменными и решаются снова, причём из основных уравнений
опять получаются и п3р3, а затем и р3, и по формулам (5.11)
вычисляются гелиоцентрические координаты. Можно проверить
и, если надо, исправить аберрационные времена (если pz были
заметно ошибочны). После этого снова вычисляются yi9 Процесс
приближений продолжается, пока значения п1 и п3 не будут
совпадать в двух последовательных приближениях, после чего
можно перейти к определению элементов орбиты.

§4 3]	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ	143
Так как п± и п3 теперь известны, можно найти из уравне-
ний (5.9)
х2 =ЛП1Х1 + п3х3,
У 2 = п1У1 -tn3y3,
z2 =	+ Tb3z3
и затем, пользуясь (5.10) и (5.11), получить из уравнений:
р2 cos g2 cos а2 = Х2 + Х2, )
?2coso2sina2=y3+?/2, У	(5.86)
р2 sin о2 = Z2 +z2 J
координаты светила а2 и о2 и сравнить их с наблюдёнными,
что даст контроль вычислений.
§ 43. Определение элементов
Результаты, полученные в последнем приближении, должны
послужить для нахождения элементов орбиты. Из уравнений (5.60)
получается для параметра
7‘1гз sin(r3- гО ~ = гд-з sin (гэ — г>2)	= rj., sinfa-^) - .
"	Т1	Т3
Из этих трёх уравнений обычно достаточно воспользоваться
одним первым, которое даст наибольшую точность, так как
в нём числитель и знаменатель не столь малые величины, как
в двух последующих.
Чтобы вычислить синус разности истинных аномалий, можно
было бы воспользоваться зависимостью
гхг3 sin (е3-с1)=ул(у^—z^y + (z^-x^y + (х^-у^у. (5.88)
Действительно, квадрат удвоенной площади треугольника^
заключённого между т\ и г3, равен сумме квадратов площадей
его проекций на координатные плоскости. Точно так же
r,r3 cos (о3 —1\) = х,х3 + yiy3 + Zrz3.	(5.89)
Из (5.88) и (5.89) отыскиваем sin(t?3 —ъ\) и cos (о3 — ь\). Они
должны соответствовать одному и тому же углу.
Однако формула (5.88) довольно неудобна для вычислений.
Поэтому был рекомендован иной путь для нахождения
sin (”3-ь\).
Положим
_я А + У1Уз + 2Х23 г 1r3 cos (г3 — гг)  гз cos (ул — 14)
“ F;	г* “ гг

(5.91)
144	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ТРЁМ НАБЛЮДЕНИЯМ [Гл. V
а также введём обозначения:
*0 = ^3“Уо = У3 — аУ1* z0 = z3 — az1,
^ = ^о + ?/о + го-
Отсюда вытекает
4 = 4 — 2а (^з + У^Уз + 212з) + °Ч2 =
= А — ar\ = г2 sin2 (а3 — kJ
и далее
^^sin(u3 —у1)=г1г0.	(5.92)
Если вычислять по уравнению (5.92), можно воспользоваться
формулой (5.88) для контроля.
Для определения истинных аномалий обратимся к урав-
нениям
г =____________________Р г =____________Р___
1	1 + е cos ’	3	14-е cos ’
из которых следует
ecos^ = —— 1 =7i и е cos и = — — 1 = q .	(5.93)
Г1	~	гз
Последнее уравнение может быть представлено в виде
е cos v± cos (у3 — vj — e sin sin (y3 — uj = q3,
•откуда
esinv1 = ga~?1.--^-37ri).	(5.94)
1 sin(v3— Vj)	'	'
Уравнения (5.93) и (5.94) позволяют найти е и г\, следова-
тельно, получается и у3 = и14-(г;3 — их). Затем вычисляем ср и а
по формулам
sin©=e, а = р sec2 <р =	,,	(5.95)
или, если орбита близка к параболе,
Ч = -Л~е-	(5-96)
Для эллиптических орбит с умеренным эксцентриситетом
отыскиваем эксцентрические аномалии по формулам (2.42)
4.	1 г» ./1 — е. 1	1	/1 — е 1	/г
tgy^i= г ir^tgTU1’. tgT^= V	<4 5-97)
а затем применяем уравнение Кеплера, дающее средние аномалии,
= Ех — е sin Et, М3 = Е3 —е sin Е3,	(5.98)

§ 43]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
145
где Е выражено в градусах или в секундах дуги. Для частичного
контроля вычислений может служить второе уравнение (5.63)
a cos ? sin у (Е3 — £\) =	sin у (v3 - vj. (5.99)
Вычисление среднего суточного движения ведётся двояко:
(5.100)
к° к"
(5.101)
оба значения р. должны совпадать в пределах точности вы-
числений.
Если орбита близка к параболе, мы разыскиваем Т по 7, е,
и г3 при помощи формул и указаний § 24. При определении
орбиты в общем случае на практике не приходится считаться
с возможностью получения параболы или круга, поэтому мы
на этих случаях не останавливаемся. Для них существуют осо-
бые способы вычисления орбит.
Остаётся получить векторные элементы, а также, если не-
обходимо, обычные эклиптикальные элементы Z, и
Исходя из выражений для гелиоцентрических координат
Xi =- Pji COS + <2^! sin v1;
cos v3 4- Qxr3 sin v3,
мы находим
p __3 sin r3 sin "Uj	__*£3^1 cos L"|	^1^3 cos 1)3	/r 4
x" rp-3 sin (v3 - 7^)	’	~~ г^з sin (r3-Vj) ’	'
При определении первоначальных орбит угол г3 — почти
всегда невелик, и числители и знаменатель в этих выраже-
ниях—малые величины. Мы определяем векторные элементы
по двум близким гелиоцентрическим положениям, поэтому не-
точность по самому существу неустранима. Так как повысить
точность, с которой вычисляются векторные элементы, нельзя,
то, казалось бы, естественнее всего вычислять их по непре-
образованным формулам (5.102). Но в таком случае мы лишаемся
возможности уверенно контролировать результаты по форму-
лам (3.21), которые выражают условие, что векторные элементы
представляют систему направляющих косинусов для двух орто-
гональных векторов. Если желательно точно соблюсти эти соот-
ношения, ОСТаётСЯ ДОПУСТИТЬ, ЧТО КООрдИНаТЫ 2/1,^, %3, г/3, 23
совершенно точны, и в этом допущении производить вычисления,
взяв, если нужно, добавочный десятичный знак. Однако лучше
это сделать несколько иначе, применяя уже введённые выше
вспомогательные величины z0, у0, z0. Уравнения (5.102) дадут
А. Д. Дубяго

146
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ТРЁМ НАБЛЮДЕНИЯМ
[Гл. V
после подстановки и3 = + (у3 — г^) и небольшого преобразования:
р cos Г __ хтг3 cos (г3 - rj 1 sin
** — X1 Г1 LХз ri J гз sin (v3 - <) ’
л — v sin гл ,	xxr3 cos (у3 - Vi) 1 cos
" 1 т\ "т" L 3	J гз sin (r3 - Vi) ’
т. e. в обозначениях выражений (5.90), (5.91) и (5.92)
	COS Vi		sin V,	гь	sin ^1 ,	COS vt
PJ. = X1		xo r ’ ro	<2x=a:i -Г1 1 xo		 , 1 r° 1
Ру — У1	cos ъ\ rl —	sin Уо-г- , 1 0	 sin 1?! . Qy = Vi riJ И Уо	—S } (5.104) ro
	cos	sin v,	sin Vi ,	COS Г, 1
	7*1	zo	, ' 0	Q: = ti ri-l + z0	-7Г - J
Согласно сказанному мы должны обеспечить при вычисле-
нии х0, yQ1 z0 достаточное число значащих цифр. Так как эти
величины вычисляются по формулам (5.91) тоже как разности
малых величин, то (предполагая, что гелиоцентрические коор-
динаты совершенно точны) мы должны знать а с повышенной
точностью, а следовательно, это же относится и к ядя, + ?Л*/3 4-
+ z±z3 и г3. При этих вычислениях нет надобности обращаться
к тригонометрическим таблицам, и всё уточнение сведётся к спи-
сыванию с лишними знаками результатов, полученных на ариф-
мометре, что не представляет труда.
Вычислив далее
Ах = аРх1 В = a cos ф Qx и т. д.,
мы можем сразу проконтролировать результаты по формулам
А2Х + Ay + А2 = а2, Вх + Ву + B2z==a2 cos2 ср = а2 (1 — е2),
+ AZBZ = 0.
В нахождении эклиптикальных элементов нет прямой необ-
ходимости, но они обычно всё-таки вычисляются ввиду их
наглядности и пользы при отождествлениях различных объектов.
Из формул (3.20) вытекает
sin i sin <*) = Р, cos s — Py sin г,
sin i cos co = Qz cos г — Qy sin г,
sin ft = [Pu cos co — Qy sin co) sec e,	(5.105)
cos ft — Px cos cd — Qx sin co,
cos i -- — [Px sin cd -p Qx cos co) cosec ft.
Применяя все написанные уравнения, мы достаточно контро-
лируем вычисление трёх величин Z, ft, со. Очевидно, что sin ft
и cos ft должны соответствовать одному и тому же углу, и то же
самое относится и к sinZ и cos/.

§44]
СВОДКА ФОРМУЛ
147
§ 44.	Сводка формул
В общем случае при вычислении орбит используются наблю-
дения, дающие координаты с формальной точностью до 0",1.
Соответственно этому применяются при вычислении шестизнач-
ные тригонометрические таблицы. Вычисления ведутся с по-
мощью арифмометра, но некоторые этапы опытный вычислитель
мог бы с выгодой выполнить с логарифмами. Далеко не все
части вычислений контролируются контрольными формулами;
ясное представление о том, насколько это имеет место, суще-
ственно важно при вычислении орбиты. Кроме того, контроль
может сходиться, в то время как в вычислении входящих в него
величин имеются ошибки (лишь нечувствительно влияющие на
результат контрольной формулы); с другой стороны, вычисление
может быть верным, а контроль согласуется не совсем хорошо,
особенно, если входят малые величины.
А.	Исходные данные
Ими являются
ai>	i>
^2 > ^2’ ^2’ -^2’ ^2» ^2>	(I)
%, а , 8 , Х3, У3, Z3.
Если орбита тела уже предварительно известна, моменты
наблюдений, выраженные во всемирном времени, исправляются
за аберрационное время путём вычитания величин (i=l, 2, 3),
где A = 0d, 005772. Координаты светила az и oz относятся
к тому же равноденствию, что и Xit Y i, т. е. к началу
года, в котором произведены наблюдения, или же к нормаль-
ному равноденствию. Х£, Kz, Zz берутся для моментов, не испра-
вленных за аберрационное время. az и ог- исправляются за па-
раллакс по формулам (4.10). Если вычисляется первоначальная
орбита, поправок за аберрационное время не вводится и, вместо
исправления наблюдений за параллакс, вводятся поправки
ДХ = &ху cos $,
ДУ = Дху sin 5,
дг
в прямоугольные координаты Солнца. При выборе наблюдений
надлежит считаться с возможностью исключительных случаев,
перечисленных в § 39. С этой целью полезно предварительно
нанести наблюдения на график и грубо оценить площадь сфери-
ческого треугольника между местами, взятыми для вычисления
орбиты, —она пропорциональна величине коэффициента D в (5.13)
и характеризует точность, с которой получаются геоцентриче-
ские расстояния и сама орбита. Из имеющихся наблюдений
ю*

148
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ТРЁМ НАБЛЮДЕНИЯМ
[Гл. V
берутся наблюдения, отделённые наибольшими промежутками
времени. Равенство промежутков желательно, но не обязательно.
Если неудачный выбор наблюдений не будет сразу замечен, это
обстоятельство всё равно проявится позже, в частности, при
получении р2. Очень близкие по времени наблюдения полезно
объединить в средние.
Всякая существенная ошибка в величинах (I) опасна, ибо
она не будет обнаружена до конца вычислений. Поэтому исход-
ные данные должны быть подвергнуты самой тщательной
проверке.
В.	Вспомогательные величины
= cos cos az,
bt = cos sin aif г (/ = 1,2,3).	(II)
cz = sin8.. J
Контроль: a'i + bj + c* = 1,
at — Ci sin az- = cos (az- + ),	1
bt -f-c, cos a, = sin (a, + 8,- ),	I
cosO; =	+ У/ -j- e,Zf ), j" ( ’
К on троль:
{Xi - ai )2 + {Yt - bt У + (Z,- - Ci Y = Rl + 2R cos 6,- + 1.
diZiip! — a2p2 + a3zi3p3 =	—	X2 + n3X3, '
MiPi — 62p2 + 63n3p3 =	—	У2 + n3Y3,	>
WX ~ C2P2 + сзизРз = W1Z1 ~ Z2 + rt3Z3- .
(IV)
Из этих уравнений последовательно исключаются и
гс3р3. В результате получается уравнение для р2 в форме:
-^р2 —1 d^Tii	d2 d 2п3,
где величины D, d19 d2, d3 могут отличаться от их значений,
выведенных выше, некоторым множителем (обычно обратным
во величине одному из миноров определителя D).
С.	Первое приближение
Ь^^з —	,'2=А(^— #1)> T3 = /l'(Z2 ~	(V)
4=0,01720210.
Контроль: 7^ + п3 = 1.
а=4	*3=| хз (1+«зэ)-

§ 44]
СВОДКА ФОРМУЛ
Контроль: vj+v3 = vt1t3.
Ь __““	7	+ ^8V3	/\/ । v
^0-- _D ,	l0- Jj •
Контроль: k0=l0: R* (грубо приближённо).
Рг = К -	, Г = R3 + 2Я2 cos озр2 + р“. (VII)
Последние два уравнения решаются путём последователь-
ных приближений. В первом приближении для малых планет
можно взять о2 = £о и подставить во второе уравнение, что
даст r2. С этим г2 снова получается р2 из первого уравнения
и т. д. Для ускорения можно прибегнуть к интерполяции.
Пусть исходное значение р2 в первом приближении есть р'
и конечное р2=р' + Др'. Во втором приближении соответственно
будет р2 и р2 + Др". Если Др2 линейно зависит от р2 и истинное
значение есть р2, то
Ы 0	, ,	(Д?Р2
р2-р'~ Др'’ Н2 —Р2-Г Др'__Др* ’
что может быть принято для третьего приближения.
Для малых планет вероятность двойного решения, особен-
но вблизи противостояния, мала. Для комет можно порекомен-
довать начертить приближённый график кривой / (р2) == р2—к0 +
+ ^|- по ряду точек для разных значений р2. Это покажет воз-
можность двойных решений и даст приближённое значение
корней. Для этой же цели могут служить таблицы [13].
Обычно р2 и г2 определяются с небольшой точностью вви-
ду малости D. Поэтому последние знаки р2 будут фиктивными,
но можно посоветовать их сохранить, ибо это обеспечит
единообразие с последующими вычислениями.
При наличии предварительной орбиты вместо и v8 вы-
числяются тг- и Vi , а затем
-	Va cos ср
Vi———----------г и т. д.
ад sin (и3-г>2)
или отыскиваются xt, yi, Zf и по ним
z________________________1 т - -------------- п т. д.,
/ (ад)2 - (ад + УъУз + 2223)2
которые дадут vx и v3 по формулам (XII).
п3 = п°з + %.	(VIII)
Г2	*2
Уравнения (IV) и те, которые получились :в процессе эли-
минации неизвестных, дадут и т?3р3. Контроль состоит

150	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ТРЁМ НАБЛЮДЕНИЯМ [Гл. V
в подстановке р2, и3р3 во все уравнения (IV).
Р1 = ^Ь, Рз = ^3,
= Я^ + 2Я3 cos 01Р14-р3,	r| = fl* + 2fl3cos63ps + p|;	(IX)
Xi = at pi —Xi,
УI = bi pi	Xf,
i = Ci p;	Zt.
Контроль: Xi + т/f + Zi = r?,
xi = n1x1 4 n3x3,
У2 = ^1У1 + п3у3,
z2 = n1z14-R3z3.
D.	Улучшение результатов первого приближения.
Если планетная аберрация ещё не была учтена, находятся
исправленные моменты
t°i = ti - A?t, А =0/005772.
Если же это исправление было сделано вначале, проверяются
результаты и, в случае необходимости, вносятся поправки.
С исправленными моментами наблюдений снова вычисляются
согласно (V) значения т, и П] и п3.
Х1 = 2 (Г2Г3 + Ж2^3 + УгУз + г22з).
4 = 2 (г1г3 4- хгх3 4- У1У, + z1z3),
*ls = 2(r1r!S + x1x2 + y1y2 + z1z2). .
(X)
Значения у, (или lg yf) берутся из таблиц по аргументам:
Если таблиц нет, пользуются разложением
У!
и,
1 , 10 9
U 1+^i
!- =0,909091,	- = 1,222222.
11	’	9

§ 44]
СВОДКА ФОРМУЛ
151
Если промежуток времени между наблюдениями велик, так
что светило прошло дугу примерно свыше 30° по орбите (при
вычислении с шестью знаками), а также в случае кометной
орбиты, применяются формулы Гаусса:
= —* ,
причём можно пользоваться таблицами для получения — по х*
(табл. XXII) [10, 15, 32] и вычислять , как х2 ;
Ы	=	---li ,
l + ^i+Si • yi
1 = 0,833333.
б
yi (или 1g у]) — из таблиц по аргументам hi ;	—из таблиц по
аргументам х^
П1=П^, п3 = п°3^.	(XI)
У1	Уз
Если эти и п3 согласуются (в пределах 3—5 единиц
последнего знака) с теми, которые были найдены в (VIII),
как часто бывает при вычислении орбит малых планет по
наблюдениям, охватывающим не свыше месяца, можно при-
ступить прямо к определению элементов, исходя из исправлен-
ных моментов и и координат х1У ylt zlt х3, у3, z3. Если
же нет согласия, вычисляются
V1 =	- f) У3 = <	- 1V	(XII)
<У1	'	^Уз 7
и повторяются уже пройденные этапы с (VI) по (XI) с новыми
значениями входящих в них величин.
Процесс приближений продолжается, пока исходные и конеч-
ные значения пг и п3 не сойдутся. Обычно редко приходится
делать более двух приближений, если тело не успело пройти
большую дугу по орбите. Если наблюдения отделены очень
большими интервалами времени или же вычисляется орбита
кометы, причём радиусы-векторы малы, приближения могут
сходиться плохо, и в таком случае приходится прибегать

152
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ НО ТРЁМ НАБЛЮДЕНИЯМ
[Гл. V
к интерполяции, чтобы получить п1 и п3, с которыми вычисляются
У1 = ( П1 — п1) г°г >	уз = («3 — "з) Л •
Когда приближения закончены, вычисляются для контроля
?/2=«l?/l + «3?/3>	(ХШ)
z2 = «Jz1 + n3z3. J
Е. Определение элементов
g  гггз + ?/|Уз Z1Z3 (	(XIV)
х3 = х3 — ах1г
Уо=Уз— оУг,
z0=z3 — azlt
^o=^ + ?/o + Zu-
Величины rlt ^i^‘3 + 2/12/3 + а вычисляются с повышен-
ным числом знаков, так чтобы х0, у0, z0 получились с полным
числом значащих цифр (с шестью знаками).
Контроль (он может быть опущен):
(ГЛ)2 = (t/jZ3 — г1Уз)2 + (21жз — ж1’г)2 + (*1Уз — г/х^з)2-
sin (»3 —»i)=7
cos (г3
Контроль:
му углу.
= W + У,.Уз +
Г3	Г1Г3
синус и косинус должны
принадлежать
(XV)
одно-
V Р=~У*>
и3
У1 = — — 1, q3 = -— 1»
г. 7 43
е cos v1 = q11
COS (Го — Г.) — q2
е sin v- = —---------ц—12.

(XVI)
sill (v3
Контр о ль:
ecosr3 = ?3.
e=sin?, а =	)
tg 4	tg Д vx = ctg (45° + Д ? ) tg	} (XVII)
tg 4 ^’з =	tg 4 v3 = ctg (45° + 4 ? ) tg 4J

§ 44|
СВОДКА ФОРМУЛ
153
1.	/ __ 1
Контроль: a cos р si п — (Е3 — Ег) = у r1r3 sin — (», — v,).
Мг = Ех — е sin Е1У М3 —Е3 — е sin Е3, 4
е° = 57,29578е,	е" =	206 264,81е,	|
_М3-М1_	к	t
t3-K	А ’	I
а~	|
*° = 0,985608, к" = 3548,188.	J
(Will)
Контроль: оба значения р. должны согласоваться. Для
избранной эпохи tQ
Мо = М, + Q = М3 +	- О-
Если е близко к единице, после (XVI) вычисляют
?
9=1—
и, если желательно,
з
а = £77^2 j Р а z (период в годах),	(XVlla)
Oi = tg4Vi’	°3 = t'g4u3’ г=гК’	(XVIIIa)
3	3
n 2	~2
T=- Vf=r (а».+ел - с -	+/>,=:).
г ”T*	V JL -Г C
PY и P3 из таблиц по аргументам га* и so* и е.
Контроль: оба значения Т должны согласоваться.
п • cos Vi sin vt	sin v, . cos vx ч
Лг = ^1 -^ -Xo -- ’ Qx = ^l~l + xt — ,
”1	fQ	Г±	Г 0
cos V.	sin V!	sin v, . cos vx
— ~Уо — > Q>j=yi—r +Уо-^~ >
’1	ro	rl	ro
n	COS Vi	sm Vi	sin Vi , cos vx		
1',=^^-	-^0 -r - ’ ro	=	+Z«-FT ’	।	(XIX)
	= aPXJ Bx	= Л COS<p(>T,		
	— aP у > Bu	= a cos <p Qy,		
	= aPz, Bz	= a cos ф Qz.		

154
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ТРЁМ НАБЛЮДЕНИЯМ
[Гл. V
Контроль:
Лх + Ajj + A- = a2, Bx + By + Bi = a2 cos2 <р,
+ ^z^z == О-
sin i sin оз = Pz cos s — Py sin s,
sin i cos оз — Qz cos г — Qu sin г,
sin Q = (Py cos оз — Qy sin оз) secs,
cos ft = Px cos оз — Qx sin co,
cos i = — (Px sin co + Qx cos оз) cosec ft.
(XX)
К о н т p о л ь: sin ft, и cos ft должны принадлежать одному
углу и то же самое — sinZ и cosZ.
F. Представление наблюдений элементами.
Момент второго наблюдения или моменты всех неиспользо-
ванных наблюдений, если их несколько, исправляются за абер-
рационное время, которое проще всего находится интерполяцией
между значениями, найденными е D, а затем для всех наблюде-
ний, кроме первого и третьего опорного, вычисляется.
J/ = < + u(Z°-;0),	}
Е~—е sin Е= М,	|
р cos о cos а = Ах (cos Е — e)-j-Bxsin Е + X,	(XXI)
р cos о sin а = Ау (cos Е — е) + By sin Е + У,
р sin о = Az (cos Е — е) + Bz sin Е + Z. .
Координаты Солнца берутся для неисправленных за аберра-
ционное время моментов наблюдений и редуцируются за па-
раллакс согласно (4.11). Или же вместо этого наблюдённые
координаты светила исправляются за параллакс при помощи
параллактических множителей, для чего нужно найти р интер-
поляцией между известными значениями.
Для орбит, близких к параболе (см. § 23),
7- г 2
По таблице Баркера берётся и, обозначаемое здесь через щ.
± 1
у ™
х = —j—, п = $х2, a = tg — = xGH,
rCOSD= 4+£сЛ rSinD^-^,
р cos 8 cos а = Pxr cos v + Qxr sin v + X,
P cos о sin а = Pyr cos v + Qf)r sin v + Y,
p sin 8 = Pzr cos v + Qp' sin v + Z.
(XXIa)

ПРИМЕР
155
О-С
§ 45]
Представить желательно все имеющиеся наблюдения, кроме
первого и третьего, из числа участвовавших в вычислении орбиты.
Представление второго опорного наблюдения даёт контроль
правильности работы: разности
cos ВАа — (а0 — ас) cos о
—°C,
взятые в смысле: наблюдения минус вычисления, не должны
заметно превосходить 1" при шестизначном вычислении. Осталь-
ные наблюдения (если они есть) должны представиться в пре-
делах их возможных ошибок, что будет критерием того, что
орбита недалека от истины. Если такого согласия нет, надо
думать, что либо эти, либо опорные наблюдения ошибочны.
В последнем случае, если уклонения велики, может оказаться
необходимым выбросить некототорые из опорных наблюдений
и вычислить орбиту снова, выбрав для этой цели вместо исполь-
зованных ошибочных новые наблюдения.
§ 45. Пример
Для планеты 1933 NA имеются следующие наблюдения, полученные
Г. II. Неуйминым в Симеизе:
№	Вс. вр.	а1933,0				^1933,0
1* 1933 июля	1 237i3?n,0 июля	1,96042	19/j28w2s,28			— 13°52'7 3
о	17 20 31,4	17,85514	19	13	18,25	— 13 50 7 ,0
0	23 20 17,8	23,84569	19	8	9,09	— 13 57 7 ,5
4	27 20 57,1	27,87299	19	5	6.00	— 14 3 25 ,3
	29 21 23,3	29,89118	19	3	4'3,85	—14 7 8 ,5
6	авг.	17 20 37.8	• 48,85264	18	57	21,36	— 14 50 34 ,0
7*	27 20 12,6	58,84204	18	59	13,08	— 15 14 38 ,2
Наблюдения, отмеченные звёздочками, выбраны как опорные для
вычисления первоначальной орбиты; в дальнейшем эти наблюдения полу-
чили индексы 1, 2, 3.
	1	2	3
	- 0,169694	- 0,600413	-0,908350
(Г;	+ 0,919683	+ 0,750990	+ 0.495198
(Z)	+ 0,398895	+ 0,325727	+ 0,175746
As	23й 6W,8	21z,26w,8	20Л15™,9
So	18 34 4	20 24 ,8	22 19 ,1
L	2 6 ,0		
s	19 57 ,2	20 7 ,6	20 51 ,0
AZ	- 15	-16	-21
АГ	+ 27	+ 26	+ 22
AZ	-30	-30	-30
X	-0,169709	- 0,600429	- 0,908371
Y	+ 0,919710	+ 0,751016	+ 0,405220
z	+ 0,398865	+ 0,325697	— 0,175716

156
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ТРЁМ НАБЛЮДЕНИЯМ
[Гл. \
	1		2	3
II	• COS a	+ 0,374670	+ 0,274509	+ 0,255522
	COS 5	+ 0,970847	+ 0.969791	+ 0,964815
	sin a	-0,927121	- 0,961585	- 0,966804
	a	+ 0,363335	+ 0,266216	+ 0,246531
	b	-0,900093	-0,935836	-0,932787
	c	- 0.239697	-0,243937	- 0,262930
III	COS (a + d)	+ 0,141606	+ 0,031650	-0,007670
	sin (a + fl)	+ 0,989923	- 0.999499	- 0,999971
2Лсоз0 +1,970355 +1,879286 +1,296523
	R2	1,033761	+.1,030619	1,020217	
niPi	?2	пз?з	ni		n8
IV +0,363835	- 0,266216	+ 0,246531 = - 0,169709	+ 0,600429	-0,908371
-0,900093	+ 0,932536	- 0,932787= +0,919710	-0,751016	+ 0,405220
- 0,239697	- 0,243937	- 0,262930= +0,398865	- 0,385697	+ 0,175116
- 0,363835	+ 0,376949	- 0,377050= + 0,371764	- 0,303575	+ 0,163798
+ 0,239697	-0,248336	+ 0,248403 = -0,244921	+ 0,199997	- 0,107911
	+ 0,110733	- 0,130519 = + 0,202055	+ 0,296894	— 0,744573
	- 0,004399	-0,014527= + 0,153949	- 0,125700	+ 0,067805
	-0,012325	+ 0,014527= - 0,022489	- 0,033040	+ 0,082872
	— 0,016724	= +0,131455	- 0,158740	+ 0,150677
1	2	3
V	t'-t 18,95090	56,88166	23,93076
т	0,498016	0,978484	0,480468
п?	0,508967 ^^3	0,039880 п° 0,491033
Vj 0,060178	v3 0,059462
VI	р2 =1,067110 -1,008745-,
rf =1,030619 +1,879286 p’ +р|
VII
p2	1	0,936633
r|	3,909905	3,668102
1 : r|	0,129346	0,142344
p2	0,935633	0,923531
A'
A"
0,920100 0,919735 0,919733
3,606334 3,604977 3,604969
0,146017 0,146999 0,146109
0,019816 0,919733
- 63367
-13112
VIII
IX
ni 0,517759 n3 0,499720
zijpi 0,457965 n3p3 0,555115
p! 0,885414	?3	1,110852
12	3
p	0,884514	0,919733	1,110852
r3	3,558933	3,604969	3,694154
x	+0,491516	+0,8i5276	+1,182230
у	- 1,725855	—1,608700	-1,441408
z	- 0,610889	-0,550054	-0,457792
r	1,886513	- 1,898676	1,922018

§ 45]
ПРИМЕР
157
		1	2	
X		0,00511	0,03531	0,00641
	(°	1,95531	29,88587	58,83567
	t°'- t”	27,94980	56,88036	27,93056
	г	0,497997	0,978462	0,480464
	п1	0,503949	^3	0,491040
	X2	14,44941	13,93204	14,19833
	1 : и3	0,0182064	0,0192300	0,0186915
	1 : z	0,263071	0,267913	0,265388
	<“2	0,248001	0,957338	0,230846
	т	0,0045152	0.0184106	0,043149
	1	0,002557	0,010178	0,002272
	Ji	0,0054017	0,021862	0,051638
	У	1,005963	1,023637	1,005702
	У2		1,047833	
	X		0,007394	
	5		0,000003	
	h		0,0218261	
	У		1,023636	
XI	Уз • Ух	1,017568	Ух ' Уз	1,017832
	”i	0,517909	"з	0,499796
XII		0,061198		0,059932
Из вычислений второго и третьего приближения по формулам с VI
по XII даны главнейшие результаты.
VI	?2	= 1,067111	— 1,029997 - г,
	г2 'г	= 1,030619	+ 1,879286 р2“ + ?2
VII	р2	0,917497	г2 3,596325
VIII	Р1	0,517932 0,882382	п3 0,499828 р3 1,107361
IX	X У г	1 + 0,490750 — 1,713936 - 0,610369 1,884400	2	3 + 0,844657	+1,181370 - 1,606531	- 1,438152 - 0,549487	- 0,466874 1,896398	1,918824
X	у	1,005989	1,023738	1,095727
XI		0,517939	п3 0,499834
XII		0,061245	v3 0,059976
VI	?2 Г2 г2	1,067111 1,030619	-1,021763 1 +1,879286 +
VII	р2	0,917258	г| 3,595771
VIII	Р1	0,517941 0,882234	п3 0,499836 р, 1,107153

158
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ТРЁМ НАБЛЮДЕНИЯМ
[Гл. V
	1		2	3
IX	X	+ 0,490697	+ 0,844618	+ 1,181319
	Y	-1,713803	- 1,606392	— 1,437958
	Z	- 0,610334	- 0,549450	0,466820
	г	1,884400	1,896252	1,9186346
X	У	1,005990	1,023738	1,005728
XI	"1	0,517941		п3 0,499836
XIII п1х1 + п 3#3 + 0,844618	+ п3у3 — 1,606392	+ п3з3 — 0,549450
XIV	G	0,9376271 XV	sin(v3 —-yj +0,389975	
	х0 +0,7212282		cos(v3 —+0,920825	
	у„ +0,1689501		tg (v3 — i?i) +0,423506	
	з0 +0,1054457		V'-v, 22°57'10",7	
	го	0,5598330		
	го	0,7482199		
	Г1?0	1,4098363		
XVI	Ур	1,475082	Vi	7Э57'36",8
	Р	2,175867	e	0,159269
	е cos V1 = q1	+ 0,154763	V3	30°54'47",5
	Чз	+ 0,134070	e cos v3	0,134070
	е sin ?+	+ 0,021641		8°59'25",4
XVII	1-е2	0,975580	ctg^45°+ f	)	0,854225
	а	2,230332		
		+ 0,069578		+ 0,276509
	° 2	+ 0,059435		+ 0,236201
		6°48'9",8	E3	26°34'46",2
	cos ?	0,987715	- (v3 — Г1)	11O28'35Z',4
	a cos <?	2,202932	Sm ^-Ui)	0,198466
	5(E3-Ei)	9°53'18",2	/55	1,901367
	sin (Е3—Е,)	0,171729		
а	cos <р sin | (E3 — Ег) 0,378307		/ '•л sm 2	- fi) 0,378307
XVIII	sin E1	+ 0,118451	sin E3 +0A	47439
	e sin Et	Г 3'38",0	e sin Еъ	X"	0'22",2
	мг	5 44 31 ,8	M3	22 34 24 ,0	
	м3 — м1	16 49 52 ,2	V a	1,4' 3	93430
		60592",2	a"	3,330845	
	H	1065,257	H	106	5",252
	го	27,0		
	to-tl	25,04469	tn-tl	29,88036	
	Mn	13°9'10",7	Mo	13°	9'11",0

§ 45]
ПРИМЕР
XIX	cos Vi	4-0,990364 sin	4-0,138486	
XX	cos^xirj +0,525600 sin 1?! : r0 + 0,073496 — sin : тд — 0,185087	cos ъ\ : r0 + 1,323627 Px	+0,124420	Qx	+0,990701 - 0,932045	Qy	+0,097669 P0	- 0,340308	Q„	— 0,094714 A-,	+ 0,277498	Bx	+2,182447 Ay	- 2,078770	By	+0,215158 A*	- 0,759000	Bz	+0,208649 sin i sin co + 0,058671 sin^	- 0,725910	
XXI	sin i cos cd	+ 0,048029	cosQ	—	0,687788 sin i +0,075826 <d	50°41'45",4 cos i	+0,997121	226	32	40,7 sin cd	+ 0,773796	t	4	20	55 ,3 cos cd	+ 0,633435 Элементы Эпоха 1933 июля 27,0 Вс. вр. Мо 13° 9'10",8 cd 50 41 45 ,4 х ft 226 32 40,7	1933,0 i	4	20	55	,3 ) 'f	8	59	25	,4 u 1065",252 Ах	+0,277498	В.с	+2,182447 Ау	-2,078770	Ву	+0,215158 А	-0,759000	Bz	+0,298649 2	3	4	5	6
Лр	0,00518	0,00524	0,00529	0,90511	0,0059)
t°	17,84996	23,84045	27,86770	29,88587	48,84674
м	10’26'43",7	12’13'5",0 13’24'35",1 ' 14° 0'24',9	19°37'3",0
Е	12 21 44 ,5	14 27 9 ,7 15 51 21 ,8 16 33 31 ,2 '	23 8 7 ,5
sin Е	+ 0,214094 + 0,249581 + 0,273321 + 0,284997	+ 0,392906
cos Е	+ 0,976813 + 0,968354 + 0,961591 + 0,958528	+ 0,919579
cos Е — е	+ 0,820544 + 0,812985 + 0,805682 + 0,802259	+ 0,763310
? cos 5 cos а	+ 0,269284 + 0,254756 + 0,247204 + 0,244187	+ 0,2459)5
р cos 5 sin а	- 0,812961 - 0,831245 - 0,846716 - 0,855377	- 0,961125
р sin §	- 0,210921 - 0,215958 - 0,220867 - 0,223753	- 0,263159
р cos 5	+ 0,856399 + 0,869409 + 0,882064 + 0,889549	+ 0,993953
а	288’19'36",8 287’ 2'20",4 226’16'31",7 285’55'57",4	284э20'13",3
a	-13 50 9 ,2—13 57 1 ,3—14 3 27 ,7—14 7 8 ,4-	-14 50 32 ,0
0 __ Г J	- 3 ,0	- 4 ,0	- 1 ,7	+0 ,4	+ 7 ,1
° ь i да	+ 2 ,2	- 2 ,2	+ 2 ,4	-0,1	-2 ,0
Разности О —С между наблюдёнными и вычисленными’координатами
достигают довольно заметных величин. Ход их заставляет предполагать,
что по крайней мере два из использованных для вычисления орбиты наб-
людений обременены ошибками, несколько большими обычных. Поэтому по-
лученные элементы не будут обладать всей точностью, на которую можно
было бы рассчитывать заранее; тем не менее, из имеющегося материала
едва ли можно получить более точную орбиту. При помощи найденных
элементов орбиты можно вычислить эфемериду для следующего проти-
востояния планеты и вести её поиски со значительными шансами на успех.

ГЛАВА ШЕСТАЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ЧЕТЫРЁМ НАБЛЮДЕНИЯМ
§ 46. Об использовании четырёх наблюдений
для определения орбиты
Рассматривая основные уравнения определения орбит, мы
обнаружили, что точность, с которой отыскивается р2, суще-
ственно зависит от определителя D — величины, связанной с кри-
визной видимой траектории светила на небе. Исключительный
случай при определении орбит возникает, когда D близко к нулю.
Иногда при этом можно заменить три выбранных наблюдения
другими, которые приведут к более выгодным условиям для опре-
деления орбиты, но по большей части выбор наблюдений не так-
велик и приходится вообще отказаться от вычисления орбиты
по трём наблюдениям и вычислять её по четырём наблюдениям.
В частности, это необходимо, если орбита мало наклонена
к эклиптике; в таком случае никакой выбор трёх наблюдений
не приведёт к надёжным элементам. В самом деле, если орбита
совпадает с эклиптикой, мы будем иметь для нахождения
четырёх элементов MQ1 к = Q +<», а и в только три наблюдён-
ные долготы тела, чего недостаточно, и, естественно, напраши-
вается привлечение четвёртого наблюдения. При решении основ-
ных уравнений такое положение вещей выявится в том, что
не получится надёжного уравнения для отыскания одного
геоцентрического расстояния и вместо этого придётся составлять
уравнения для двух геоцентрических расстояний.
Изложенный ниже метод основан на этой идее, принадле-
жащей Гауссу, но в ходе решения имеются значительные
отступления от Гаусса. Гаусс, имея четыре наблюдённые долготы,
строит уравнения, позволяющие найти второе и третье геоцен-
трические расстояния; согласно с этим для вывода элементов
берутся второе и третье наблюдённые положения светила.
Выгоднее применять для этих целей первое и четвёртое наблю-
дения, как это делается теперь. В такой форме метод опре-
деления орбиты по четырём наблюдениям был разработан
Баушингером в применении к логарифмическим вычислениям

§ 47]	ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ	161
и Фейтеном— для арифмометра. Фейтен сохранил эклиптические
координаты, которыми пользовался и Баушингер, в то время,
как М. Ф. Субботин пользуется экваториальными координа-
тами [14]; довольно трудно сказать, что выгоднее.
При определении орбиты по четырём наблюдениям получа-
ются более сложные уравнения, чем в случае трёх наблюдений,
поэтому было бы нелегко уточнять последовательными прибли-
жениями значения отношений площадей треугольников, в чём
заключается основная мысль метода Гаусса, и приходится
довольствоваться точностью первого приближения. Соответству-
ющие формулы Баушингера достаточно точны для большинства
малых планет, если промежутки времени между наблюдениями
не слишком велики. Однако нередко случается, что при их
помощи нельзя получить удовлетворительного решения. Если
с этим придётся встретиться, лучше всего прибегнуть к изло-
женным ниже способам улучшения предварительных орбит.
§ 47. Основные уравнения
Мы предположим, что координатная система отнесена к пло-
скости экватора. Исходные уравнения строятся так же, как и
в способе вычисления орбит по трём наблюдениям, и обозначения
будут совершенно аналогичными, только мы будем иметь ещё
одно наблюдение для момента £4, следовательно, у нас будет
/ = 1, 2, 3, 4.
Вместо основных уравнений (5.12) мы напишем две системы,
комбинируя наблюдения 1,2, 4 и 1, 3, 4. Вводя обозначения:
получим:
Р1 ^2 ?2	®4 ^4 ?4 ”	-^2	^4 ^4» 1
—	62 р2 + 64	^4Р4 = п1У1-У2 + п4У4,	>
^1	Р1	^2 ?2 “Ь ^4	^4 ?4 =	^2 "t” ^4 ^4>	J
«1	Pi —	а3 р3 + а4	< Р4 = < Хг — Х6 +	Х4,	'
^1 pl	С3 Рз + ^4	^4 р4 = ^1	^*3 4~ ^4 ^4*
(6.2)
(6.3)
Из числа этих уравнений нам достаточно выбрать по два
из каждой группы, и мы сумеем исключить р2 и соответственно р3.
Если (что, как правило, имеет место) орбита мало наклонена
к эклиптике, выгоднее всего брать два первых уравнения
в каждой группе. Вообще же следует стремиться к наибольшей
А. Д. Дубяго

162
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ЧЕТЫРЕМ НАБЛЮДЕНИЯМ [Гл. VI
точности при отыскании р4, т. е. следует взять те уравнения,
которые дадут наибольший соответственный минор: <я264— Ь2а^,
или 62с4 —с264, или с2л4 —а2с4 и подобным образом для си-
стемы (6.3).
В результате мы будем иметь уравнения вида
Р1==Л ^P1 + 5^ + cA + Z), 1
4	4	4	I	(6 4)
р4 = л'-^р1+в'^ + сА+1г,
где
А =(а1Ь2 — Ь1а2)	5 = - (62 X, - «2 Ух): А,	1
С = (62Х2-«2У2):Д, D = - (62 Х4 - а2 У2) : А,
Д = а2 64 Ь2 с?4,
Л' = (Мз-М3):А',
С = (Ь3 Х3 - а3 У3) : Д', D' = - (b2 X, - а3 У4) : Д',
Д == «3 ^4	^4*
Уравнения (6.4) проще всего получить численно, исключая
из (6.2) и (6.3) р2, соответственно, р3.
Кроме того, необходимо выразить отношения площадей тре-
угольников пх, п4, п\ через известные величины. Это до-
стигается в данном случае посредством следующих приближён-
ных формул, которые впервые были применены для вычисле-
ния орбит (по трём наблюдениям) Оппольцером. Возьмём урав-
нения (5.29) для отношений площадей треугольников между
радиусами-векторами и применим их к гх, г2, г4, а также
к гх, г3, г4. В формулах (5.29) фигурируют средний радиус-
dr	у
вектор и ; эти формулы точны до величин третьего порядка
включительно в отношении т. Сохраняя в дальнейшем этот
порядок точности, обозначим
^1=А;(£4	Z2), т2 = &(£4	£х), т4 = к (t2 tj), |
}	(6.6)
тх = A (Z4	t3),	т4 _ к (t3 Zx). I
Заметим прежде всего, что с точностью до первого порядка
включительно можно положить
dr ,	dr
г1=г2-т4^ + ... Г4=г2 + ^ —+ ...
и с точностью до нулевого порядка

§ 47]
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
163
соответственно чему
г __ Г1 + _1_ - Х1 ЛГ , _ '1 + .
2 + 2	-----+^Г(4 1Н ’
1 _	8_____(Х4~ х1) (Г«~ Г1)
Т1 ОЧ + Га)3 M'-i + 'i)4	+•••’
i dr 16(гл—гт)
r‘ dt	т2 (74 +r4)4
Всё это после подстановки в (5.29) даёт
или, на основании равенства та = т1-]-т4,
A.	1 A2l_2i_ г<| Г1 I
3 (гг + г,)’ Ч- т2 (г1 + г4)^'Г •••
(6.7)
Подобное же выражение получится для п4, если мы под-
ставим написанные выше выражения во второе уравнение (5.29).
Результат будет аналогичен (6.7), если в нём поменять местами
тх и т4, а также т\ и г4, именно,
(6.8)
В формулах для т\, r3, rt будут фигурировать п', и4, т' и -с';
других изменений не будет.
Радиусы-векторы т\ и г4 определятся при помощи (5.55)
r\ =	+ 2Л4 cos 04 р4 + pj, 1
г4 =+ 27?4 cos 64р4 + р4, )
(6.9)
где
R*=X* + Yl+Zl, Rl = Xl + Yl + Zl, 1
7?1cos61= — (a1X1 + b1Y1 + c1Z1),	?	(6.10)
T?4cos64= — (a4X4 + 64Y4 + c4Z4).	J
Положим
и _	1	„ _n
c	Pi + '•J3 ’	1 fi + rt ’
(6.11)
11*

164
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ЧЕТЫРЕМ НАБЛЮДЕНИЯМ [Гл. VI
Тогда из уравнений (6.7) и (6.8) и соответственных уравне-
ний для второй группы треугольников мы будем иметь:
т?4 Т4 <5 и4
7- = 7-—	(ч + ч)£+4ч Ч
т4 б с4
(ч-чК+4<^>
"ч ^4 О “4
—4 ^^-(ч + ч)« + 4V*b).
П4	-4	О v4
(6.12)
Вставляя это в (6.4), получаем
р4 = (С + Я$ + Д71) ?1 + Я + « +Afq = 2>Р14-<2,
р4 = (G' + H'l + I’i-q) Рх 4- К’ + L'c + МЪ\ = P'fa + <?',
где
Е = Ч = Ч>
F = у ЧЧ-
G = AE,
H = F(A-G),
I = 4t* A,
K = E(B + C) + C + D,
L = F (В — C — D — K),
M = i(ts1B + t1 т4С),
E' = ^:^,
G' = A' E',
H' = F' (A' — G'),
Г = 4т',2 A’,
К’ =E' (B' + C') + C'+D',
L' = F' (B'-C'-D'-K'),
ля=4 (т'2 я-h't'cz).
(6.14)
Четыре уравнения (6.9) и (6.13) содержат в качестве неиз-
вестных рп р4, т\ и г4 и решаются путём последовательных
приближений. Если наблюдения малой планеты отделены не-
большими промежутками времени, члены с т] очень малы и
часто могут быть вовсе отброшены. Если нет никаких указаний
на значения геоцентрических расстояний (для комет следует
воспользоваться результатами, полученными при вычислении
параболической орбиты), то в первом приближении для малых
планет можно взять г1 = г4 = 2,7, т. е. с = 0,006, т) = 0.
Как только процесс решения даст значения рг и р4, можно
приступить к вычислению элементов, которое ведётся совер-
шенно так, как в способе Гаусса, изложенном выше.

§ 48J
СЕОДКА ФОРМУЛ
165
§ 48. Сводка формул
А. Исходные данные
^i,	а1».	и	Xlf	Ух,	Z19
^2»	а2>	°2>	Х2>	5^2»	^2’
*з>	аз»	°3>	^3>	^3>
^4,	а4	б4,	Х4,	У4,	Z4.
(I)
силе замечания,
В отношении
сделанные в § 44.
В. Неизменные
этих величин остаются в
вспомогательные величины
at = cos of cos af,	'J
bi = cos Zi sin aif	(П)
cf = sin£i	(i = 1, 2, 3, 4). J
Контроль:
a} + b} + c2i = i9
at — Ci sin a£ = cos (a; + 3J,
bi + Ci cos az = sin (af + 8f).
2^008 9,= —2{a1 X± + b1Y1 + c1 ZJ, ’
2/?4cosG4= — 2(a4X4+64K4 + c4Z4), >
/?21==XJ+y2+Z2,	J
^=xi+y:+zj.
Контроль:
(X1 - й1)2 + (Ух - 6J2 + (Zx - c.y = R[ + 2R1 cos 6X + 1,
(X4 - я4)2 + (У4 - 64)2 + (Z4 - e4)2 = Д24 + 2Д4 cos 64 + 1.
«1 n, px — a2 p2 + «4 ^4 p4 = Хг — X2 + n4 X4,
6i пг pi — b2 p2 + 64 n4 P4 = Wi У1 — У2 + nJ,,
C1 ni Pl C2 P2 H- c4 ^4 p4 — n±Zi Z2 + w4 Z4,	.
Pl ^3 Рз ^4 ^4 p4 ~ ^1 X^x X3 -|- 724 Xif
bx px — 63 P3 + 64 < ?4 = n'x Y! — y3 + n\ Y4,
C1 ftl Pl С3 Рз "Ь ^1 P* — ^1^1 Yf3 + ft4 Z4.
# Из эих уравнений численным путём исключаются р2 и р .
Из обеих групп выбираются по два уравнения, в которых коэф-
фициенты при рх и р4 показывают наибольшие изменения. Обычно
таковыми оказываются два первых уравнения в каждой группе.

166
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ЧЕТЫРЕМ НАБЛЮДЕНИЯМ [Гл. VI
В результате получаются два уравнения вида
Л4	'*4	'*4
?< = А'пЁ?1 + В'£+С' ± + D',
где коэффициенты А, ..., D' отыскиваются численно.
— к (£4 £2) ?	х2 — к (ti	,	^4	(^2	^1)
Т1 —	(^4	^3)>	* = 0,01720210.	<=*(«»—«1)
Контроль:
Ъ = Т1+Т4 = < + <•
Е = хг: т4,	*ч tq II II W|	
G = AE,	G'= A'E',	
H = F(A-G), I = i^A, K = E(B + C) + C + D, L = F(B-C-D-K), М=^^В + ^Х4 С),	H' = F' (A' — G'), Г = ^А’, K'=E' (B' + C') + C' + D', L' = F'(B'~C'—D' — K'),	 (VI)
В случае малых планет, при небольших интервалах времени
и умеренном эксцентриситете, можно не вычислять величины
I, М и М'.
Контроль:
G + H = A{E + F)-FG, G' + Н' = А' (Е' + F')-F' G',
АМ — В1 = ЬАС^ т4,	А'М' - В'Г = 4Л'С'< <,
L = F [5 (1 - Е) - С (2 + £)], L' = F' [5' (!-£') — С" (2 + £')].
Эти уравнения довольно поверхностно контролируют вычи-
сление группы (VI). Небесполезно проверить результаты как-либо
иначе, например, вычислив величины (VI) во вторую руку.
е С. Определение геоцентрических расстояний
(^i + r4)3 ’	гх + г4
Р =	+ Р' =G' +Я'£ + Пт),
=к' + ге+тт|,
pi = -р Zp’- ’	=ppi + Q=+ *?'•

§ 48]
СВОДКА ФОРМУЛ
167
В случае малых планет, при небольших промежутках вре-
мени и умеренном эксцентриситете, т) может не вычисляться:
г; = Щ + 22?х cos р, + р;, I
r;=7?’ + 27?4cos04p4 + p;. /
Если имеется предварительная орбита, из неё можно заим-
ствовать значения радиусов-векторов для моментов наблюдений
и с ними найти исходные $ и тр Для совершенно неизвестных
орбит малых планет в первом приближении берётся $ = 0,006,
vj = 0, а затем из (VIII) отыскиваются рг и р4, а из (IX) — и г4.
Из уравнений (VII) получаются $ и тр и описанный процесс
повторяется, пока не будут найдены окончательные $ и тр Для
третьего приближения можно прибегнуть к приёму интерпо-
ляции, приведённому в § 44, раздел С, и взять
5 — 5	।	___
^Д^- Д<2 ’
где $! — исходное значение первого приближения, а Д^ и Д$2—
разности исходных и конечных значений $ в первом и втором
приближении. Для т] можно поступать подобным же образом.
D. Вывод элементов
^1 — Pi	^4~^4р4	Х4,
У1 — Р1 1,	У1 = ^4 ?4 ^4>	(X)
Zi^Cipi —Zi,	Z4 = С4 р4	Z4. J
Контроль: х\ + у\ +	+ у} + z\ = г;.
Если аберрационное время не было учтено,
^ = ^-АР1, /4° = ^-Лр4, А-0,005772,
"4 = 2 (rx r4 +x±Xi + у г у* + z4),
(XI)
у2 отыскивается по таблицам или вычисляется по формуле
у = 1,222222,	= 0,909091.

168
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ЧЕТЫРЁМ НАБЛЮДЕНИЯМ [Гл. VI
_Х1	+ y4 + ZiZ4
г?
a:0 = x4— ах,
Уо^Уь — °У>
z0 = z4-cz,
r20 = xl + y20+z;t.
(ХП1)
Контроль:
(tvJ2 = (У^ — Ц/,)1 + (Z1x4 — ZjZ4)2 + (Xj?/4 — y^j*.
sin (d4 — v1) = ^ ,
'4
/	\ СГ1 ^1^4	+ -212л
cos (vA —V.) = — = - - ' 1У4 —— .
v 4	17 r.	r.rA
Контроль: синус и косинус должны принадлежать одному
углу.
У 2’
(XIV)
Г1	'4
е cosUj =?i,
esinc.-?1C0S^-B1)~^
sin (ч?4 — t’j)
Контроль: ecosr4 = <74.
p
e = sin cp, a = - r ,
k	1 — e2
tg | Er = j/tg i-u, = ctg (45’ + J ?) tg у v
tg 4 E* e	4 = ctg (^5° + у tg | v
Контроль:
•	1.	г--	1
a cos © sin у (Et —	= у sin —	—
e" = 206264,8e, e° = 57,29578 e,
M1 = El — esix\E1, Mt = Et —e sin Et,
_Mi — Mr   к	>
“-"^F = 7’	I
k" = 3548,188, A° = 0,985608.	|
(XV)
(XVI)
(XVII)

4 8]
СВОДКА ФОРМУЛ
169
л/0 = м1 + ^(^0-О = ^4 + ^(^0-О,
р. cos и, sin ~ sin и, . cosi^
Px = X1 --- — Хъ --- > Qx = X1--' + X0 —:  ’
x 1 rL 0 r0 ’	1 r, 0 r0
~	cos t\	sin v1	z-»	sin	,	cos v-.
p" = ^ —+	j (XVIii)
n	cos 1?!	sin Vi	~	sin	,	cos гд
Л = ^—'-Zo—*, (?г = г1 —!+z0 —l,
rl	' 0	' 1	ro
Ax=aPx, Ay = aPy, Az=aPz,
Bx = acosyQx, By = acos^Qy, Bz = acos<pQz.
Контроль:
Ax2 + Ay2 + Az2 = a2, Bx2 + By2 + Bz2 = a2 cos2 <?.
ЛХВХ + Ay В у + 4A = 0.
sin i sin co = Pz cos з — Py sin г,
sin i cos a) = Qz cos e —- Qy sin e,
sin Q = (Py cos o) — Qy sin <o) sec г,
cos Q = Px cos <o — Qx sin co,
cos i = — (Px sin co + Qx cos co) cosec Q.
(XIX)
Контроль: sin Q и cos Q должны соответствовать друг
другу, точно также sinZ и cosZ.
Е. Представление наблюдений
t° — t — Ар,
где Ар находится интерполяцией между значениями Арх и Ар4.
Е — esin Е = М,
р cos 6 cos а = Ах (cos Е — е) + Вх sin Е + X, >
р cos 8 sin а = Ау (cos Е — е) + Ву sin Е + Y,
р sin о = Az (cos Е — е) + Bz sin Е + Z.
(XX)
По поводу представления второго и третьего наблюдений,
участвовавших в вычислении орбиты, надо заметить, что пол-
ного согласия может и не получиться. Если, например, для
вывода уравнений (V) были использованы первые два сотношения
в каждой группе уравнений (IV), то должны точно представиться
прямые восхождения, а в склонениях могут быть расхождения
порядка ошибок наблюдений. Если прямые восхождения пред-
ставляются в пределах вычислительной точности, можно заклю-
чить, что в вычислениях нет ошибок и ряды для отношений

170 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ЧЕТЫРЕМ НАБЛЮДЕНИЯМ [Гл. VI
площадей треугольников дали достаточную точность. Если одно-
временно достигается согласие по склонениям, это говорит
о надёжности наблюдений и самой орбиты, так как склонения
участвовали в вычислениях только косвенно, через cos о. При
этом обычно удовлетворительно представляются и наблюдения,
не входившие в определение орбиты (если в них нет ошибок).
Если склонения представляются плохо, то либо в наблюдениях,
либо в вычислениях имеются ошибки. Если к тому же неудовле-
творительно представляются и прямые восхождения, то это,
помимо ошибок в наблюдениях, может свидетельствовать о том,
что основы метода — разложения в ряды — недостаточно точны
для данного случая. Тогда необходимо прибегнуть к способам
улучшения первоначальных орбит, изложенным ниже.
§ 49. Пример
Для планеты 1934 TF имеются следующие наблюдения, произведён-
ные Г. Н. Неуйминым в Симеизе:
№		Вс. вр.	а 1934 ,0	5 1934,0
1*	1934 окт. 5	20*15™,6	0*46w58s,08	+ 5°32' 8",8
2	9	22 44 ,1	0 43 31 ,38	+ 5 23 51 ,1
3*	14	22 8 ,7	0 39 24 ,98	+ 5 13 57 ,5
4*	29	18 54 ,5	0 28 36 ,03	+ 4 50 14 ,3
5*	нояб. 7	17 54 ,5	0 23 48 ,46	+ 4 43 43 ,8
Наблюдения, отмеченные звёздочками, послужили для вычисления
орбиты; в дальнейшем они получили индексы 1, 2, 3, 4. Опуская редук-
ционные вычисления, приводим их результаты:
t	а	в	X	Y	Z
5,84416	11°44'31",2	+ 5°32' 8",8	- 0,978311	-0,188890	-0,081959
9,94729	10 52 50 ,7	+ 5 23 51 ,1	-0,960178	-0,251566	-0,109135
14,92271	9 51 14 ,7	4-5 13 57 ,5	-0,931736	— 0,325802	—0,141333
29,78784	7 9 0 ,4	4 50 14 ,3	- 0,806858	-0,531040	-0,230357
38,74618	5 57 6,9	4 43 43 ,8 1	-0,705076 2	- 0,638580	-0,277005 3	4
II	cos а	 4-0,979074	4-0,985247	4-0,992224 4-0,994610
	cos §	4-0,995336	4-0,995833	4-0,996438 4-0,996596
	sin а	4-0,203504	4-0,171140	4-0,124469 4-0,103694
	а	4-0,974508	4-0,981141	4-0,988690 4-0,991224
	Ь	4-0,202555	4-0,170427	4-0,124026 4-0,103341
	с	4-0,096467	4-0,091200	4-0,084327 4-0,082440
	cos (а + 5)	4-0,954876	4-0,965533	4-0,978193 4-0,982675
	sin (а + d)	4-0,297005	4-0,260280	4-0,207697 4-0,185376
HI	R2 +0,999489
+ 0,981648
+ 1,57543?
214 cos 0	+ 1,999078

§ 49]
ПРИМЕР
171
IV ;г1Р1	Р2	'<4?4
+ 0,974508 -0,981141 +0,991124 =
+ 0,202555 -0,170427 +0,103341 =
-0,169275 +0,170427 -0,172179 =
+ 0,033280	-0,068838 =
^iPi	Рз	п^р4
+ 0,974508 - 0,988690 +0,991224 =
-0,202555 -0,124026 +0,103341 =
-0,122247 +0,124026 +0,124344 =
+ 0,080308	-0,021003 =
«1	'Ч
-0,978311 +0,931736 -0,705076
-0,18889 +0,325802 -0,638580
+ 0,16993° -0,161845 +0,122474
-0,01895 +0,163957 -0,516106
^4
-0,978311 +0,806858 -0,705076
-0,188890 +0,531040 -0,638580
+ 0,122724 - 0,101216 +0,088448
-0,066166 +0,429824 -0,550132
V	Р4 = Р4 =	+ 0,483454 — п4 + 3,822645 ’Ц ГЧ	Pi + 0,275342	- п4 р4+ 3,150312	= «4	1 2,381780 — + 7,497400- П4 20,464888 Л + 26,193022 П4		
VI		0,409814	0,565984 -Л	0,154102 г?	0,167948 Е +2,624153 F +0,309264 G +1,268657 Н -0,242835 I +0,324780 К -0,411996 L +3,267844 М -0,424772		Е' F' G' Н' I' К' L' 'М'	0,156170 0,411882 0,023747 + 0,374141 + 0,116292 + 1,430582 + 0,278294 + 0,363200 -0,749959 + 5,879512 -4,896548	
VII	с л р Р' Q Q'	0,006000 0 0 + 1,267200 + 1,432252 -0,392389 -0,714682	0,0049081 -0,003446 - 0,0000169 + 1,267460 + 1,431952 - 0,395950 -0,721019		0,0047851 -0,002961 - 0,0000142 + 1,267490 + 1,431908 - 0,396353 - 0,721755	0,0047689 -0,002894 -0,0000138 + 1,267194 + 1,431904 -0,396412 -0,721853
VIII	Pi р4 Г1 Г1	1,952676 2,082042 8,715984 8,596662	+ 1,976320 2,108957 8,856148 8,751866		+ 1,979114 2,112154 8,872794 8,770398	+ 1,979448 2,112526 8,874774 8,772753
IX Г1	+ Г4	2,952285 2,932006 5,88429 0,0049081 - 0,003446	2,975928 2,958355 5,93428 0,0047851 -0,002961 Д^. - 1230 Дтд2 — 485	ДСг Ди]2	2,978722 2,961486 5,94021 0,0047708 - 0,002902 -143 - 59	2,979056 2,961850 5,94091 0,0047691 -0,002896
X			1	4		
		р	1,979448	2,112526 х	+2,907299	+2,799062 у	+0,589837	+0,856891 z	+0,272910	+0,451162 г2	8,8747750	8,7725574 г	2,9790561	2,9618503				

172 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ЧЕТЫРЕМ НАБЛЮДЕНИЯМ [Гл. VI
XI
Др - 0,01143
е	5,83273
tl-t°	32,90126 г2
- 0,01219
38,73399
0,565971
0,320323
XII
X* 35,17956	Знам.	174,0519
х2 5,93124	Л 2	0,0018404
у + —4,94753	У'2	' 1,002049
В дальнейшем ходе вычислений нет никаких существенных отличий
от примера в § 45, и можно привести только элементы орбиты и пред-
ставление наблюдённых положений.
Элементы
Эпоха 1934 окт. 10,0 Вс. вр.
Me 323q 5'13",4
45	42 32	,1 1
Q	10	51 36	,3 >1934,0
i	9	59 31	,8 J
?	4	45 20	,0
|i 626', 074
Ах +1,757681 Вх -2,637486
Ау +2,249097 Bv +1,421793
Аг +1,398742 Вг +1,028144
2	3	4
Г [Да +1',5 —0",5 -О',4
° 1 Д6 -0,7 -0,7 -О ,4
Здесь даны представления элементами орбиты всех вышеприведён-
ных наблюдений планеты 1934 TF, за исключением опорных—первого
и последнего. Согласие наблюдённых и вычисленных координат не остав-
ляет желать ничего лучшего и говорит о том, что ни в наблюдениях,
ни в вычислениях нет серьёзных ошибок. Тем не менее, элементы орбиты
опираются на небольшую дугу, пройдённую планетой за срок, немного
больший месяца, и их нельзя считать особенно надёжными.
В данном случае планета находилась во время наблюдений вблизи
своего узла, и вычислять орбиту по трём наблюдениям было бы трудно
вследствие малости геоцентрических широт (не говоря о неблагоприят-
ном распределении наблюдений по времени); сама же по себе наклон-
ность не так мала —около 10Q.

ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ДВУМ НАБЛЮДЕНИЯМ
И ВОПРОС ОБ ОТОЖДЕСТВЛЕНИИ МАЛЫХ ПЛАНЕТ И КОМЕТ
§ 50.	Сущность задачи
На основании двух наблюдений небесного тела нельзя найти
все шесть элементов его орбиты, и если приходится вычислять
орбиту по двум наблюдениям, нужно заранее вводить какие-то
предположения о движении тела вместо недостающих наблюда-
тельных данных. Правильность этих предположений не может
быть проверена, пока не будут получены дополнительные наблю-
дения; таким образом, всякая орбита, вычисленная по двум
наблюдениям, должна заведомо уклоняться от действительности
и, может быть, даже в сильной степени.
Тем не менее, решать подобную задачу иногда вполне целе-
сообразно, а в случае, если дальнейших наблюдений получить
не удалось, вообще ничего другого сделать нельзя. Каковы же
те допущения, которые приходится делать взамен недостающего
третьего наблюдения?
Допуская, например, что орбита малой планеты есть круг
(для комет, за редчайшими исключениями, это не годится), мы
можем не определять двух элементов — эксцентриситета е и аргу-
мента перигелия о>, а остающиеся элементы: a, Q, i и w0 —
аргумент широты планеты для избранной эпохи — могут быть
вычислены по двум наблюдениям. Такая орбита, не соотвествуя
в точности действительному движению, обычно неплохо харак-
теризует положение плоскости орбиты, что может быть впо-
следствии полезно при отождествлении, если удастся снова наблю-
дать эту же планету в какой-либо другой оппозиции. С другой
стороны, для вновь открытой планеты не сразу можно вычислять
эллиптическую орбиту. Если взять три наблюдения, отделённых
слишкОхМ малыми промежутками времени, то по этим наблюде-
ниям орбита получится очень неточно. Между тем, круговая
орбита вычисляется быстро и может служить для получения
эфемериды планеты на ближайшие недели. Кроме того, круго-
вая орбита даёт приближённое представление о расстоянии пла-

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ДВУМ НАБЛЮДЕНИЯМ
[Гл. VII
не ты от Земли, тем самым позволяя исправить с удовлетвори-
тельной точностью наблюдения за аберрационное время и парал-
лакс, при последующем вычислении эллиптической орбиты.
Не всегда двум наблюдениям малой планеты можно удовле-
творить круговой орбитой; в некоторых случаях её не суще-
ствует. Зато возможно, исходя из двух наблюдений, получить
эллиптическую орбиту малой планеты, но два элемента в ней
останутся неопределёнными и их придётся задать по произволу,
чем, между прочим, можно воспользоваться для упрощения
выкладок. Такая эллиптическая орбита может служить примерно
тем же целям, что и круговая орбита.
§ 51.	Определение круговой орбиты
Наблюдения, произведённые в моменты t± и £2, дают два
направления на светило, и если через них проходит круговая
орбита, радиус этой орбиты определяет значения геоцентри-
ческих расстояний pi и р2 для моментов обоих наблюдений.
Но радиус орбиты должен быть таков, чтобы дуга, пройдённая
планетой по орбите, соответствовала законам Кеплера. Соблю-
дение этого условия может быть достигнуто путём проб, если
варьировать радиус орбиты а. Зная а, нетрудно найти pj и р2
и гелиоцентрические координаты планеты, после чего опреде-
ляются остальные элементы орбиты.
Имея для моментов tr и t2 наблюдённые координаты ах, ох
и а2, о2, полагаем, как обычно,
= cos о£ cos а£,
6£ = cos 8f sin а£, (/=1, 2);
Ci = sin 8£
(7-1)
далее имеем
= a^i — Xi,
zi = Ci2i — Zi. ,
Если радиус орбиты равен а, из уравнений (7.2), или при
помощи фиг. 12, в применении к обоим положениям планеты,
находим
а2 = R2 + 2Ri cos б£?£ + pt,	(7.3)
i де
+ n +
д. cos6£= -~(aiXi + 6£y, + c£Z£).

§ 51]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ
Отыскивая из (7.3), получаем
— Rj sin2 О- — Ri cos 6f.	(7.5)
Обозначим по аналогии с эллипсом гелиоцентрическую дугу
между обоими местами планеты через и2 — и1 = 2/, причём для
круга начало отсчёта v может быть взято в произвольной точке
орбиты. Мы будем иметь очевидное соотношение
sin2 f = ^2{(x1-x2)2 + (y1~y!1)2 + (zi-z2)2},	(7.6)
вытекающее из того, что 2а sin / есть длина хорды между
гелиоцентрическими положениями планеты.
Кроме написанного уравнения должен соблюдаться третий
закон Кеплера, который даёт для равномерного кругового
движения
2/ = И (tz — t1)=ka~^ (^-^).	<7-7)
Задача решается путём подбора величины а, причём должны
удовлетворяться уравнения (7.2), (7.3), (7.6) и (7.7), содержащие,
кроме а, ещё девять неизвестных — шесть координат тела, два
его геоцентрических расстояния и дугу /.
Отыскав а, получаем
(1 = Ла-2=2/:(<2-г1)	<7-8)
и экваториальные гелиоцентрические координаты по (7.2),
если они не были получены прежде.
Что касается определения векторных элементов, то здесь
всего удобнее воспользоваться тем, что начало отсчёта и про-
извольно, и положить его в точке орбиты, лежащей посредине
между местами тела в моменты t± и t2. Таким образом,
V1 = ~f, vt = f.
Из уравнений (3.18) для данного случая имеем
%! = Рха cos f — Qxa sin /,
х2 = Рх a cos7+ Qxa sin / и т. д.,
следовательно,
= Y (^ + ^2)sec/,
аЛ/=4 (?/i + У2) sec/>
«Л = 4 (2i + z2)sec/,
I
aQx = у («2 — zj cosec /,
aQu =y (У2 —?/i)cosec/> (7.9)
«<?z=4 (z2 —zi) cosec/>

176	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ДВУМ НАБЛЮДЕНИЯМ [Гл. VII
и вообще
х = аРх cos v + aQx sin и,
у = аРу cos v + aQy sin и,
z = aPz cos v + aQz sin u,
(7.10)
где
v =	*0 = y(^ + ^).	(7.11)
§ 52.	Сводка формул для вычисления круговой
орбиты и пример
А. Исходные данные

«1,
а2>
8i,
82,
22,
(I)
az, Xi, Yi, Zi относятся к одному и тому же равноденствию.
Вычисление ведётся с пятью или даже с четырьмя знаками,
поэтому влиянием аберрации и параллакса можно пренебречь.
В.	Постоянные величины
(ц = cos oz cos az,
bi = cos 6Z sin az, (Z = l, 2).
Ci = sin Of	I
Контроль:	a2i + b2 + c2 = 1.
di — Ci sin az = cos (at- + 8Z),
6Z + cz cos az = sin (az + Bz-),
Rt cos 6Z = — (diXi -j- biYi + CiZi)
Rl = X2i + Y2i + Z2t,
(Ri sin 6Z)2 = R} — (Ri cos 6Z)2.
C.	HdxowdeHue pdduycu орбиты
— R\ sin2 6Z — Bi cos 6Z
Xi = di\>i Xi,
Уг =	— У)',
zi = ciPi — 2,,
sin2 tg =4^ {(^i-^2)2 +
1 --
(II)
(III)
(IV)
(V)
1

§ 52] СВОДКА ФОРМУЛ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ 177
Величина а варьируется, пока геометрическое значение
дуги /, обозначаемое /д, не станет равным её динамическому
значению fd. В первом приближении можно взять а = 2,7,
гг2==5,29, а ]/Уг = 4,4366. Для второго прйближения можно,
в зависимости от величины fd— fg, изменить а в ту или иную
сторону на величину’ порядка 0,2 —0,3, а дальше прибегнуть
к интерполяции.
D.	Вывод элементов
у. = ка 2|	(VI)
Л° = 0,98561, к" = 3548,19, J
Л-j — (Zip, -V£, |
|	(VII)
Z, = С/р, Zi. J
Контроль: + ?/i + г? = ^ + + z!= °2-
Ax = aPx=~ (xt + x2) sec f, Bx =	{x2 — xt) cosec /, ]
i	i	i
4/ = aPu = 7 ft/i + У2)sec /> By = aQy = 7 (y2 — У1) cosec Л J” (VIII)
Д =aPz=r (Zj + zJsec/, Bz = aQz = у (z2 — zj cosec /. j
Контроль: A2X + Ay + A2Z = B2X + B2y -J- B2Z = d2,
Ax&x +	= 0*
sin i sin (i) = PZ cos г — Py sin e,
sin i cos o) = Qz cos e — Qy sin e,
sin £1 = (Py cos (d — Qy sin (o) sec e,
cos'ft =Pxc,os(o — (>3. sinai,
cos i = — (Px sin cd + Qx cos o) cosec ft,
<0=^0’
E.	Представление наблюдений
^0 ~ у (^2 ~A1)> У — Iх ~ ^0) »
p cos 8 cos a = Ид. cos u + Z^sinu+X, ,
p cos 3 sin a = Ay cos u + By sin и + У, |
psino = Azcosu + T^ sin^ + Z. J
42 А. Д. Дубяго

1,78	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ДВУМ НАБЛЮДЕНИЯМ [Гл. VII
Вообще говоря, круговая орбита представляет наблюдения
тем хуже, чем дальше эти наблюдения отстоят от опорных
и чем больше эксцентриситет действительной орбиты. Поэтому
можно ограничиться представлением обоих опорных наблюдений.
Расхождения должны лежать в пределах точности вычислений.
В качестве примера на вычисление круговой орбиты возьмём опять
планету 1934 TF и воспользуемся двумя первыми из приведённых в § 49
наблюдений, именно,
Вс. вр.	“1934,0	®1934,0
I 1934 окт. 5 20л15’”,6 окт. 5., 844	0а46’м 58s,08 -'г 5О32'8",8
9 22 44 ,1	9,947	0 43 31 ,38 +5 25 57,1
		1	2
	X	- 0,9783	-0,9602
	Y	-0,1889	-0,2515
	Z	-0,0819	-0,1091
II	COS а	+ 0,9791	+ 0,9820
	cos д	+ 0,9953	+ 0,9956
	sin а	+ 0,2035	+ 0,1887
	а	+ 0,9745	+ 0,9777
	b	+ 0,2025	+ 0,1879
	с	+ 0,0964	+ 0,0941
	COS (а + 5)	+ 0,954)8	+ 0,9599
1	sin (* + $)	+ 0,2970	+ 0,2803
III
Я2
R cos О
R2 sin2 0
0,9995
+ 0,9995
+ 0,0905
0,9971
+ 0,9963
+ 0,0045
IV	а	2,7000	3,0000	3,1420
	а2	7,2900	9,0000	9,8722
	Pi	1,7004	2,0004	2,1425
	Р2	1,7028	2,0029	2,1450
	Х1	+ 2,6353	+ 2,9277	+ 3,0662
	У1	+ 0,5332	+ 0,5940	+ 0,6228
	Z1	+ 0,2457	+ 0,2747	+ 0,2884
	х2	+ 2,6250	+ 2,9184	+ 3,0574
	У2	+ 0,5715	+ 0,6278	+ 0,6545
		+ 0,2693	+ 0,2976	+0,3109
V	Sin2 fg	0,0000730	0,0090487	0,0000402
	sin/?	0,00854	0,00698	0,00634
		29',35	24',00	21',80
	1 — к (t& tj)	121',4		
	1 : a’	0 ,2254	0 ,1924	0 ,1796
	ii	27',36	23',36	21',80
	fg-fi	r+1 >99	+0 ,64	0
VI	(1	637",		

§ 53] КРИТЕРИЙ ТИССЕРАНА ВОЗМОЖНОСТИ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ
179
МП	1 Tsec/	0,5000	1	cosec/	78,84
		+ 3,0618	Bx	— 0,6938
	1 '*у	+ 0,6386	By	+ 2,4982
	Az	+ 0,2996	Be	+ 1,7739
	Рх	+ 0,9745	Qx	- 0,2208
	Ру	+ 0,2032	Qv	+ 0,7954
	Pz	+ 0,0954	Qz	+ 0,5646
IX	sin i sin	<o +0,0067	sin i	+ 0,2016
	sin i cos o> +0,2015		cos i	+ 0,9779
	sin	<>	+0,0333		1°54',3
	cos	o> +0,9995	Q	11°5',7
	sin	£1	+0,1925	i	ll°39',0
	cos	Q +0,9814		
Элементы
Эпоха 1934 окт. 7,896 Вс.			вр.
	Г	э54 ।	
	Q 11	6 11934,0	
	i	11	39 J	
	pi 637	",l	
X	1	2	5
t	5,844	9,947	38,746
V	—0°21',8	+ 0°21',8	+ 5°,27',6
COS V	+ 1,0000	+ 1,0000	+ 0,9955
sin v	-0,0064	+ 0,0064	+ 0,0952
pCOS d COS a	+ 2,0879	+ 2,0972	+ 2,2769
p COS $ sin a	+ 0,4337	+ 0,4031	+ 0,2351
p sin 5	+ 0,2063	+ 0,2019 + 2,1356	+ 0,1901
p cos d	+ 2,1324		+ 2,2890
a	ll°4t',0	10°52',7	5°54',0
$	+ 5 31,3	+ 5 24 ,0	+4 44 ,7	
°-c{«	+ 0,5 + 0,8	+ 0,1 -0,1	+ 3,1 - 1,0
Кроме двух наблюдений, участвовавших в определении орбиты,
с элементами сравнено последнее из приведённых в § 49 положений,
отстоящее примерно на месяц. В то время как два первых наблюдения
согласуются с элементами в пределах точности четырёхзначного вычи-
сления, последнее наблюдение уклоняется от них, впрочем, столь незна-
чительно, что это отнюдь не помешало бы отысканию планеты даже
визуальным путём. Отсюда очевидна та польза, которую можно извлечь
из круговой орбиты.
§ 53. Критерий Тиссерана возможности круговой орбиты
Не всегда существует такое вещественное значение а, при
котором соблюдается равенство f(J = fdn, таким образом, не всяким
двум наблюдениям * планеты можно удовлетворить круговой
орбитой. Полный анализ этого вопроса был бы довольно сложен,
но он едва ли требуется, та!к как проблема определения кру-
говой орбиты не имеет особенной важности.
12*

180	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ДВУМ НАБЛЮДЕНИЯМ [Гл. VII
Данный Тиссераном критерий возможности круговой орбиты
выводится из упрощённых предположений, что Земля движется
по кругу радиуса 1, а планета в момент первого наблюдения
находится точно в противостоянии с Солнцем, следовательно,
также и в узле своей орбиты. Для вывода правила Тиссерана
возьмём уравнения (3.9) и будем вести рассуждение в эклипти-
ческих координатах: здесь это будет естественнее.
В момент первого наблюдения, согласно сказанному,
\ = L = &1, [3 = 0, u = Q, г = а ий=1.
Можно также положить X = L = 180°4-<Q, но это ничего
не изменит в результате. Первое уравнение (3.9) даёт
Р = а — 1,
что, впрочем, и так очевидно. Мы будем принимать t2 —
за малую величину и в течение этого интервала считать, что
координаты планеты изменяются линейно по времени. В таком
случае искомое условие возможности круговой орбиты мы най-
дём, дифференцируя уравнения (3.9) и заменяя затем коорди-
наты планеты их вышеприведёнными значениями. Это даст
/ л \ dfa	• du dl_i	, р..
(я-1) dt = acosldt~dt ’ ?	<7-12)
/ л \ 3	•	• du	।
.(«_!) _-.= aSinlTt. J
Но
= =	<£ = к.	(7.13)
Отсюда имеем
'vr=(a-1)S+/c-1
W = (a-1)^’ J
или, исключая z,
“ (“ - v [ Сё)’+(2)’ ]+24 (»- *) 2+к' - *)=°-
Корень а = 1 соответствует орбите Земли, поэтому мы можем
сократить на а—1, что даст
« [(2УЧ2Л +. [«ё-ф'-во'] <MS>

§ 53] КРИТЕРИЙ ТИССЕРАНА ВОЗМОЖНОСТИ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ
181
Чтобы а было вещественным, необходимо, чтобы дискрими-
нант этого уравнения не был отрицательным, т. е. должно быть
В противостоянии движение малой планеты по круговой
орбите всегда обратное. Это видно, в частности, и из равенств
(7.14), ибо при а > 1
£ =	(7-17)
В движении по действительной орбите прямое движение
вблизи противостояния может иметь место у отдельных планет,
например, у (433) Эроса, когда он близок к перигелию. Это
объясняется тем, что скорость тела на эллиптической орбите
в перигелии больше, чем на круговой орбите, преходящей через
ту же точку пространства, как это можно видеть из уравнений
(2.28), и не противоречит тому, что круговая орбита невоз-
можна при прямом движении планеты вблизи противостоя-
ния.
Развернув неравенство (7.16), найдем
®‘+2 [ Ш-24Й -
Многочлен в левой части обращается в нуль для
<^У = 2Л2 + 2А	±2к 1/к2 + 2к^..
\dt J	* dt \dt J	г 1 dt
Легко видеть, что вне пределов, заданных этими обоими
значениями корней, многочлен левой части (7.18) положителен.
Следовательно, критерий возможности круговой орбиты выра-
зится неравенствами:
<^У>2Л2 + 2А:^-<^У + 2Л |/ к* + 2к^.,	(7.19)
\ydtу ’	dt \dty	r	dt x '
ИЛИ
®’<2i’+24S-Ca)’-2z‘ /P+2‘ S ' (M0>
Первый случай очень мало вероятен, так как при столь
большом движении планеты по широте она должна быть весьма
близка к Земле. Таким образом, на практике достаточно при-
менять неравенство (7.20). Однако, если—у, оба значе-

182
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ДВУМ НАБЛЮДЕНИЯМ
[Гл. VII
л -
ния корня сливаются, а если—	> у действительного корня
dX к	-
не существует; таким образом при—> — круговая орбита
возможна при любом .
Мы уже видели, что наше исследование не носит строгого
характера, и полностью полагаться на выведенные неравенства
нельзя. Впрочем, в случае сомнений, решение основных урав-
нений круговой орбиты всегда покажет, существует ли такая
орбита, удовлетворяющая имеющимся наблюдениям. Как пока-
зал опыт, она нередко оказывается невозможной.
§ 54. Определение эллиптической орбиты
Имея только два наблюдения, можно получить эллиптиче-
скую орбиту, очевидно, лишь в том случае, если два из числа
параметров, определяющих решение проблемы, заданы произ-
вольно. Такая орбита не будет иметь никаких преимуществ
перед круговой в том смысле, что она не даст представления
об истинной траектории тела. Следовательно, эллиптическую
орбиту стоит вычислять либо если круговую орбиту найти
невозможно, либо если вычисление эллиптической орбиты
не труднее, а, наоборот, легче, чем вычисление круговой
орбиты.
В качестве произвольно заданных параметров можно, напри-
мер, принять оба геоцентрических расстояния планеты. Это
сразу даст гелиоцентрические координаты для моментов наблю-
дений, после чего вычисление элементов орбиты может произ-
водиться по уже известным нам правилам.
Вместо р! и р2 можно задаться заранее величиной эксцентри-
ситета и положением перигелия и при помощи этих допущений
вывести остальные элементы орбиты.
Проще всего решать задачу, вероятно, способом, предложен-
ным Вейселе1). Он предполагает, что планета в один из момен-
тов наблюдений (второй из них) находилась в перигелии, что
кажется вполне правдоподобным, так как в наше время откры-
ваются преимущественно слабые планеты, более доступные для
наблюдений именно вблизи перигелиев своих орбит. В качестве
второго произвольного условия служит то, что геоцентрическое
расстояние планеты в момент второго наблюдения берётся более
или менее наугад и взятое значение, обычно без каких-либо
изменений, применяется для вычисления элементов орбиты.
х) Изложение его имеется и в книге А. Я. Орлова и Б. А. Ор-
лова [10].

§ 54]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
183
Итак, сохраняя наши прежние обозначения,
Д2=р2со8 32. Взяв некоторое значение Д2, мы найдём:
х2 = Д2 cos а2 — Х2, \
?/2 = A2sina3 —У2,
z2 = A2 tg32 —Z2, I
A = A + У\ + А. '
положим
(7.21)
Воспользуемся выражениями (5.25) для отыскания координат
планеты в момент первого наблюдения через посредство х21 у2, z2.
Мы можем написать

(7.22)
Величины F и G определяются формулами (5.21), в которых
мы можем откинуть члены с , ибо в момент второго наблю-
дения тело находилось в перигелии, где =0. Отсюда мы
получаем с точностью до т3 включительно
=	(7.23)
где x = k(t1 —t2), а геоцентрические координаты планеты в свою
очередь будут
— Дх cos 0&J — Fi x2 4“ Gr
i)1 = A1sina1 = F1?/2 + G1^^+yi, >
S. = Mg ^F.z. + G^^ + Z,,
(7-24)
где Д1 = р1соз31. Отсюда после умножения уравнений соответ-
ственно на х2, у2 и ъ2 и сложения выводим
Д   ^2 г2 4~ Х2 4~ Уг 4- ^1 Z2	/у
х2 cos ax 4- у2 sin 4- tg ’	\ • /
потому что в перигелии

184
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ДВУМ НАБЛЮДЕНИЯМ
[Гл. VII
Теперь уравнения (7.24) позволяют найти скорости
S'dxX __Дх COS ax —	— Хг ]
/2	I
/Ч'А _ Ax sin at - Fx у, - Ух !
Ua '--------------------->	(7-26)
_______ ^1 ^1 ~~
vAA"- Gi
Уравнение (2.28) даёт возможность вычислить большую
полуось а. Замечая, что dx = kdt и, конечно, пренебрегая мас-
сой т, пишем
И
1	2
-=r|-V“.	(7.28)
Для определения эксцентриситета можно воспользоваться
тем обстоятельством, что в перигелии r2 = а (1 — е), следовательно,
* = !-?•	(7.29)
Время прохождения через перигелий Т = t2 по нашему основ-
ному допущению. Вычислять векторные элементы нет необхо-
димости, так как эфемерида на ближайшее время может быть
вычислена и без них по формулам
р cosocosa = Fz2-f-G +Х,
( cos о sin a = F т/2G +	}	(7.30)
PsinS = K2, + G Q. + Z'
где выражения для F и G даны в (7.23).
Впрочем, векторные элементы нетрудно найти. Так как г =
-£=0в момент второго наблюдения, то из (3.18) следует, что
Лг = Я2*Г2, РУ=У^Г2^ Pz = Z2\r21	1
<MG.: v-	J (7'31’
Последние три уравнения можно получить и из того сообра-
жения, что если в перигелии скорость перпендикулярна к радиу-
су-вектору, то она должна совпадать по направлению с век-

СЕОДКА ФОРМУЛ И ПРИМЕР
185
§ 55]
тором Q. Эклиптикальные элементы о),	, i находятся, как
обычно, причём узел и наклонение, как и при вычислении круго-
вой орбиты, не должны сильно отличаться от истины.
§ 55. Сводка формул и пример
А. Исходные данные
Хц У"х, |
Z2, а2, 82, Х2, Y21 Z2. J	( ’
а, 8, X, Y, Z относятся к одному и тому же равноденствию.
Вычисление можно вести с пятью или четырьмя знаками, пре-
небрегая параллаксом и аберрацией.
В. Отыскание координат и скоростей
Берётся произвольно Д2 (обычно от 1,0 до 2,0, в зависимости
от того, велико или мало видимое суточное движение планеты)
и с ним вычисляется
x, = A2cosx2 — Х2,
?/2 = Д2 sin а2 —У2,
з2 = Д2 tg 82 —Z2, j-
Т\ +у\ +z2. J
А=±,	В—^А',
X/2	о
т = k(tx —12),
F1 = 1-At\ G1 = x~Bx3,
д = Fl г* + ДГ1 а?2 + I'l у2 + Zi z2
1	x2 cos «1 + У-2 sin “i + tg 8 ’
rc'= (Aj cos aj —Fj z2 — JQiGi,
*4 = (Aisinai — Fxy„ — Yi) :Glt
z2 = (Д1 tg 8i Fj z2 Zj) : Gx.
(П)
(III)
(IV)
Контроль:
x2 а^ + Уг + z'=0.
С. Вывод элементов
V* = x'3 +y’*	|
l-r,	j
V2 =
i
a
(V)
Контроль:
е = гаУ2 —1.

186
определение орбиты по двум наблюдениям
[Гл. VII
Если а немного больше г2, например, 0<а — г2<0,5, орбита
пригодна; в противном случае надо в нужном смысле изменить Д2
и повторить проделанные вычисления.
Рх = х2-.г2,	Pg = y2:ra,	Ps = z2:r2) 1
Qx = x'2:V,	Qu = y'2-V>	(?z = z'3:V. J
Контроль: PI +Py +P% = 1, Q2x + Qy+Qz=i.
sin i sin co = P2 cos s — Py sin e,
sin i cos co = Qz cos e — Qy sin s,
sin Q = (Py cos co — Qy sin co) sec s,
cos Q = Px cos co — Qx sin co,
cos i = (Px sin co + Qx cos co) cosecQ.
(VI)
(VII)
Контроль: sin Q и cos Q должны принадлежать одному уг-
лу, и то же самое должно выполняться в отношении sin/ и cos/.
D, Вычисление эфемериды
x=k(t — /2)	к — 0,017202
F-1-Лт2	G = *-B^
р cos 8 cos а = F х2 + G х'2 + X
р cos 8 sin а = F у2 + Gy2 + Y
р sin 8 = F z2 + Gz2 + Z.
Эфемерида может простираться на срок в 1 — 1 у месяца
от опорных наблюдений и даже более.
В заключение вычислим дли примера орбиту планеты 1934 TF по тем
же наблюдениям, что и в § 52.
Вс- ВР-	а1934,0	$1934,0
1934 окт. 5 207j15w,6 окт. 5,844 0л4б™588,08 4-5° 32'8?',8
9 22 44	,1	9,947	0,43	31,38 +5 23 51,1
	1		2
X	-0,9783		-0,9602
У	-0,1889		-0,2515
Z	— 0,0819'		-0,1091
Д	1,6972		1,7
cos а	+ 0,9791		+0,9820
Sin а	+ 0,2035		+0,1887
tg $	+ 0,0969		+0,0945
*2	+ 2,6296	rl	7,3151
Уъ	+ 0,5723	7*2	2,7046
Z2 	+ 0,2697	А	0,02527
		В	0,00842

§ 55]
СВОДКА ФОРМУЛ И ПРИМЕР
187
III	т т2 т3	- 0,7058 4- 0,0498 — 0,0035	<4 Числ. Дх Знам.	+ 0,9999 - 0,07058 + 4,6116 + 2,7172
IV	Gi х2	4- 0,01069	^2	- 0,1515
	У 2	- 0,03796	3/2	+ 0,5378
	Gi z'2	-0,02331	Z2	+ 0,3303
V	F2	0,4213	е	 0,1394
	1 : а *	0,3182	V	0,6940
	а	3,1427		
Так как а — г лежит в допустимых пределах, можно на этом пре-
кратить дальнейшее вычисление и написать формулы для вычисления
эфемериды:
^ = 0,017202 (? —окт. 9,947),
F = 1 — 0,002527 т2, G = т -0,00842 т3,
о cos d cos а = 4- 2,6296 F—0,1515 G 4~ АГ,
р cos 5 sin а = 4- 0,5723 F4-0,5378 G 4-
р sin 5 = 4- 0,2697 F4-0,3303 G 4- Z.
Вычислим по. этим формулам представление тех же наблюдений, что
и в § 52.
	1	2	5
t	5,844	9,947	38,746
т	- 0,07058	0	4- 0,49510
т2	4- 0,00498	0	4- 0,24542
т3	- 0,00035	0	4- 0,12158
F	4- 0,9999	1,0000	4- 0,9938
G	- 0,0706	0	4- 0,4944
р COS § COS а	4-’1,6617	4- 1,6694	4- 1,8494
р cos d sin а	4- 0,3454	4- 0,3208	4- 0,1960
р sin d	4- 0,1645	4- 0,1606	4- 0,1543
р cos $	4- 1,6973	4- 1,7000	4- 1,8598
а	11°44',7	10°52',7	6°3',0
a	4- 5 3,0	4- 5 24 ,0	+ 4 44 ,7
о - С [ Al	-	0,2	4? 0 ,1	- 5,9
i as	+	0,1	-0, 1	- i,o
Хотя результат для последнего наблюдения несколько менее удо-
влетворителен, чем тот, который дала круговая орбита, всё же откло-
нение достаточно мало.
Вычисление элементов, проведённое по формулам (V), (VI) и (VII),
дало следующие их значения:
Элементы
Т 1934 окт. 9,947 Вс. вр.
3°2',7 А
Q 10°30',7	1934>0
i 7Э51',7 ]
636",9
е 0,139t

188	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ДВУМ НАБЛЮДЕНИЯМ [Гл. уц
Рх + 0,9722 Qx - 0,2334
Ру + 0,2116	+ 0,8286
Pz + 0,0997 Qs + 0,5089.
Сопоставляя эту систему элементов и круговую орбиту, вычисленную
в § 52, с элементами, выведенными в § 49 по четырём наблюдениям,
мы видим, что только что полученная эллиптическая орбита и круговая
орбита уклоняются от элементов § 49 не слишком сильно и приблизи-
тельно в одинаковой мере. Во всяком случае столь характерные эле-
менты, как |л, Q и I получились с точностью, вполне достаточной для
идентификации планеты 1934 TF с каким-нибудь впоследствии открытым
объектом, если бы возник подобный вопрос.
Сравнивая оба метода —вычисления круговой орбиты и метод
Вейселе, можно отдать преимущество последнему, если речь
идёт об экономии времени вычислителя и если не требуется
самих элементов, а надо только вычислить эфемериду планеты.
В противном случае затрата труда станет почти одинаковой,
а также и элементы, полученные обоими способами, будут,
вероятно, приблизительно равноценны по своей надёжности.
§ 56. Признаки принадлежности наблюдений
к орбите
Для решения вопроса, принадлежит ли отдельное наблюде-
ние малой планеты или кометы такому телу, для которого из
предыдущих появлений уже известна орбита, можно установить
критерий, опираясь на то, что наблюдённое направление на све-
тило должно пересекать плоскость орбиты вблизи самой линии
орбиты. Большего требовать не надо, так как вычисленное
положение ранее наблюдавшегося тела на его орбите может
быть для данного момента очень ненадёжным, особенно если
орбита относится к давно прошедшей эпохе. Итак, для полу-
чения искомого критерия обратимся к уравнениям
х = Р£ + Qxr\ — р cos о cos а — X,
у =	= р cosSsina — Y, }	(7.32)
z = Р,< 4- Cz7l = Р sin 8 — Z,	J
в которых векторные элементы, координаты Солнца и наблю-
дённые координаты светила известны (и должны относиться
к одному и тому же равноденствию). Что касается величин с
и т] —они, как известно, являются прямоугольными гелиоцен-
трическими координатами тела относительно осей в плоскости
орбиты, причём ось £ направлена в точку перигелия.
Ясно, что из уравнений (7.32) можно найти все три неиз-
вестных 5, Y] ир при помощи определителей, а проще — численно.
Впрочем, для наших целей достаточно получить только

§56]-
ПРИЗНАКИ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ НАБЛЮДЕНИЙ К ОРБИТЕ 189
- = r cosu = a (cos/? — е) и т) = г sin v — a cos <? sin Е, после чего
следует
cos Е — — 4- е,
а 1	’
sin/?
a cos я
(7.33)
Если cos/? и sin/? принадлежат одному и тому же углу, тело
находится на орбите и, решая далее уравнение Кеплера, можно
получить среднюю анома-
лию тела и время прохож-
дения через перигелий. Ко-
нечно, нельзя требовать
слишком точного соблюде-
ния этого критерия, потому
что элементы орбиты с те-
чением времени меняются
вследствие возмущений, и
на практике нужна изве-
стная осторожность.
Удобнее применять по-
добный критерий в эклипти-
кальных координатах. Для
Фиг. 14.
этой цели сначала следует обратить наблюдённые а ио в к и р.
На гелиоцентрической небесной сфере (фиг. 14) отмечено на-
блюдённое геоцентрическое положение светила Р' по координа-
там к и р и место Земли Т, опре-
Дуга ТР' равна углу О,
деляемое её долготой L. На
фиг. 15 изображены Солнце 5,
Земля Т и светило Р.
Направлениям ST и SP' на
фиг. 15 соответствуют на фиг. 14
точки Т и Р'. Гелиоцентрическое
направление SP на светило лежит
в плоскости орбиты и, очевидно,
также в плоскости TSP', т. е. в
точке Р пересечения больших кру-
гов ТР' и проекции орбиты
(фиг. 14).
и мы имеем
sin 0 sin 1= sin р,
sin 6 cos I = cos p sin (k — L),	(7.34)
cos 0 = cos p cos (k — L).
Обозначим угол при планете Р через z (фиг. 15); мы заме-
чаем, что гелиоцентрическая дуга ТР = / TSP = 6—z. Треуголь-

190
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТЫ ПО ДВУМ НАБЛЮДЕНИЯМ
[Гл. VII
ник QPT решается при помощи аналогий Непера:
.	1	sin-(/+/)
tg Т [и + (0 — z)] = tg V (L — ft)-i---- >
sin - (/ - i)
COS 1 (I + i)
tgA[M_(0_z)] = tg4(L-ft)	.
cos у (I -i)
(7.35)
Найдя и и 6 — z, получаем z и из фиг. 15 убеждаемся, что
R sin 0
sin z
(7.36)
Но, с другой стороны,
1 + е cos V 1 + е cos (и — со)	' ’	'
Так как р, е и со известны из элементов, оба значения г
(7.36) и (7.37) могут быть вычислены и должны совпадать.
Напомним, однако, сделанные выше оговорки относительно при-
менения этого критерия на практике.
В том случае, если предполагается, что наблюдение кометы
относится к некоторой прежде наблюдавшейся комете, для кото-
рой существует только параболическая орбита, и надо проверить
вопрос об идентификации, следует в (7.37) положить d = l, что
даёт
r — q sec2 у (гг — со),	(7.38)
а уравнение (7.36), разумеется, остаётся в силе. Однако в этом
случае необходимо проводить отождествление с ещё большей
осторожностью.

ГЛАВА ВОСЬМАЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
•
§ 57.	Общие замечания о вычислении кометных орбит
Орбиты комет могут иметь самую разнообразную форму.
Большинство комет движется по параболам, но многие кометы
периодически возвращаются к Солнцу, описывая более или
менее вытянутые эллипсы. В некоторых, очень редких, случаях
кометные орбиты оказались близкими к кругам.
Быстрое движение комет вблизи перигелия, где они чаще
всего открываются, изменения их яркости и вида могут затруд-
нять работу наблюдателей, если у них под руками не будет
эфемериды; следовательно, вычисление первоначальных комет-
ных орбит и эфемерид обычно должно выполняться без промед-
ления.
Хорошим первым приближением для кометных орбит всегда
может служить парабола. Зачастую можно вычислить вполне
удовлетворительную параболическую орбиту из наблюдений,
отделённых немногими днями, или даже только суточными
интервалами. Имея в виду, что обычно быстрота вычислений
играет большую роль, чем достижение всей возможной точно-
сти, следует признать, что способ Ольберса в подавляющем
большинстве случаев не оставляет желать ничего лучшего.
Он по меньшей мере столь же удобен при вычислении с лога-
рифмами, как и при работе с арифмометром.
Ход рассуждений при определении параболической орбиты
вкратце следующий. Параболическая орбита определяется только
пятью элементами, так как эксцентриситет равен единице; это
ограничение получает своё отражение в том, что существует
соотношение между двумя радиусами-векторами кометы и замы-
кающей их хордой, с одной стороны, и промежутком времени,
в течение которого комета переместилась из первого положе-
ния во второе, с другой стороны, — соотношение, выражающее
содержание так называемой теоремы Эйлера. Если мы имеем
три наблюдения над кометой, это даёт нам уравнение, связываю-
щее первое геоцентрическое расстояние с третьим.

192	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ	[Гл. VIII
Второе уравнение между этими величинами Ольберс выво-
дит из уравнений плоскости, исключая среднее геоцентрическое
расстояние. Отыскание рх и р3 из указанных основных соотно-
шений производится не прямым путём, а с помощью проб.
В результате становятся известными гелиоцентрические коорди-
наты кометы, откуда можно определить элементы её орбиты.
Мы видим, что наблюдённые координаты не входят полностью
в решение задачи, ибо по шести данным наблюдений надо полу-
чить только пять элементов орбиты. После мы убедимся, что
две координаты для среднего места кометы дают только одно
условие, а не. два. Кроме того, можно заметить, что ход реше-
ния принципиально отличается от рассуждений, проведённых
нами для эллипса. В то время, как там путём последователь-
ных приближений отыскиваются значения двух основных пара-
метров и п3), здесь всё сводится к одному параметру: отно-
шению крайних геоцентрических расстояний.
§ 58.	Уравнение Ольберса
Мы будем употреблять те же основные обозначения, что
и в случае эллиптической орбиты, и, как и там, воспользуемся
экваториальной системой координат. Пусть для трёх моментов
наблюдений ti (i = 1, 2, 3) даны наблюдённые координаты кометы’
az- и oz- и координаты Солнца Xf, Уг, Zz. Уравнения (5.11) и (5.12)
перепишутся без изменений:
(ц — cos Of cos az-,
bi = cos 8f sin ar-,	(8.1)
Ci= sin Of,	J
Xi = dipt — Xi,
y^b^-Yi, >	(8.2)
Zj = Crfi Zit J
+ ^З^ЗрЗ =	^-2	^3^3’	)
M1P1 — 62Р2 + МзРз=и1Г1 — E + изУз> }	(8.3)
^l^lPl C2p2 H” СзПзРз = ^1^1	^2 "Ь «А» J
Нам надлежит исключить из этих уравнений р2 и получить
два уравнения, связывающих рх и р3. Ясно, что это исключе-
ние может быть сделано различными способами; например, можно
умножить уравнения (8.3) соответственно на три множителя
А, В, С, пока произвольных, но удовлетворяющих условию
Ла2 + 562 + Се2 = 0,	(8.4)
и сложить.

§ 58]
УРАВНЕНИЕ ОЛЬБЕРСА
193
Введём обозначения:
Aa^Bbi+Cci	(/ = 1,3),	|
AXi + BYi+CZ^ Qi (/ = 1,2,3),)	1 '0)
и у нас будет вместо (8.3)
/ ЛР1 + />эрз = ©/«! - 0-2 +03«3,	(8.6)
причём мы можем впоследствии подвергнуть Л, 5, С ещё какому-
либо условию, кроме (8.4). Конечно, сверх этого, мы можем
умножить эти три величины на любой множитель, но это
нисколько не повлияет на уравнение (8.G). Из этого уравнения
мы можем найти р3 в такой форме:
где
?а = Мр1 + т,
(8-7)
(8.8)
В эти уравнения надлежит в первую очередь ввести отно-
шения площадей треугольников. Сперва, конечно, мы должны
ограничиться их приближёнными выражениями. Наиболее удобны
здесь формулы (6.12), в которых надо лишь заменить индекс
4 на 3; они дадут при помощи (6.11):
П1	_ г1	I	T1T2 (Т3 ~ Tl)	I	Z _2 Г3 ~~ Г1	1
"з	“	т3	3	73 (Г1 + Г3)3	-Г	1 (Г1 + гзу ’
__	г2 _ Т1Х2 (~2 + Тз)	.	/	_ гз — г1
3	т3(г1 + г3)3	1^з(Г1	+ Гз)4 >
где
xv = k{t3 —1„), z2 = k(t3 — t1),	^3 = k(t2 — /J.	(8.10)
Последние члены в (8.9) обычно незначительны (если не
очень малы радиусы-векторы). Во всяком случае, в первом
приближении они должны быть отброшены из-за незнания
Г3-Г1.
Точность определения орбиты существенно зависит от того,
с какой точностью мы будем знать величины М и т. Но точ-
ность, с которой отыскивается М и т, в свою очередь зависит
-	1	пг	1	~
от точности отношении , -тт- , — и — . Остановимся сна-
/'з (Гз пз	”з
чала на и . Мы можем рассматривать Л, В, С как ком-
3 <г з
поненты некоторого вектора, который, согласно (8.4), перпенди-
13 А. Д. Дубяго

194
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
[Гл. vnt
кулярен ко второму наблюдённому направлению на комету
и, следовательно, направлен на полюс одного из больших кру-
гов небесной сферы, проходящих через второе геоцентрическое
положение кометы. Выбор этого круга играет важную роль
в теории определения параболической орбиты, и мы назовём
его основным кругом.
На фиг. 16 К1У К2, К3 — наблюдённые положения кометы,
Р — полюс основного круга, L1? L2, L3— гелиоцентрические места
Земли, определяемые её долготе
мест Солнца). Если мы соединим
й (антиподы геоцентрических
дугами больших кругов и
с Р, то величины
<^i и 3 будут пропорцио-
нальны косинусам дуг РКг
и РК3 или синусам сфериче-
ских перпендикуляров K1Q1
и K3Q3, опущенных из первого
и третьего положений кометы
на основной круг. Подобно
этому 0П 02, 03 будут про-
порциональны синусам сфе-
рических перпендикуляров к
основному кругу L2M2 и
L3/V3, умноженным соответ-
ственно на Т?2, R3, где
R, = / XI + YI + Zj.
Ясно, что, располагая допол-
С, мы всегда можем провести
нительным условием для Л, В,
основной круг наивыгоднейшим образом для определения М и т,
а это будет, когда г и 3 приобретут максимальную величину.
В таком случае, как легко видеть, точка Р лежит на боль-
шом круге, проходящем через Кг и К3, а основной круг перпен-
дикулярен к этому кругу. Очевидно также, что нельзя распо-
лагать основной круг так, чтобы он проходил поблизости от
точек Кг и К.Л7 так как тогда в М войдёт плохо определяющийся
. ... 1
множитель , а в т —большой множитель .
Что касается величин и п3, то они в процессе последо-
вательных приближений могут быть найдены с любой точно-
стью, аналогично тому, как это делается при вычислении эллип-
тической орбиты; правда, здесь это несколько труднее. Крайне
желательно упростить этот процесс и по возможности сразу
ввести достаточно точные значения п1 и п3. При первоначаль-
ном вычислении кометной орбиты промежутки времени между
наблюдениями обычно малы, поэтому в первом приближении
мы можем воспользоваться малостью и т3. Малыми будут

§58j
Уравнение ольберса
195
обычно и соответствующие перемещения кометы по небу, и дуги
KxQr и K2Q2 (если комета не очень близка к Земле, что может
привести к быстрому видимому движению кометы).
Пренебрегая последними членами в (8.9), мы получаем вели-
чину —
П3
с точностью до третьего порядка малости, если мы её
заменим через Tj.-Tg, — при условии, что	Если же
только близко к т3, погрешность будет второго порядка, но
во всяком случае она будет невелика. В знаменателе выраже-
ния для т стоит малая величина первого порядка 3 и погреш-
ность т определяется в первую очередь погрешностью множи-
теля —, стоящего в скобках. Если мы примем — = —
пз	пз тз *
погрешность т будет первого порядка, и она не исчезнет при
любом отношении промежутков времени. Однако подходящим
выбором основного круга мы можем совсем удалить величину т
из уравнения для р3. Именно, введём в дополнение к (8.4)
условие
02 - АХ2 + BY2 + CZ2 = 0,	(8.11)
при котором основной круг пройдёт через второе геоцентри-
ческое место Солнца (или, что то же самое, через второе гелио-
центрическое место Земли). Тогда уравнение для т будет
Если мы обратимся к уравнению (8.7), то заметим, что оно
имеет место для всякого тела, движущегося в плоскости,
проходящей через центр Солнца, в частности и для Земли, или,
строго говоря, для центра инерции Земли и Луны. Итак, поло-
жим р! = р3 = 0, и мы получим из (8.7) и (8.12)
где Nr и N3 — отношения площадей треугольника между ради-
усами-векторами Земли в моменты наблюдений. Вычитая это
соотношение из (8.12), получаем
^3>'
Если мы применим к движению Земли уравнения (8.9),
у нас будет
<8ЛЗ)
13*

196
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
[Гл. VIII
Это выражение для т особенно удобно. Теперь у нас
как можно видеть на фиг. 17, является малой величиной того
же порядка, что и ^3, и следовательно, само т — малая вели-
чина второго порядка, которая к тому же при равных проме-
жутках времени обращается в нуль. Поэтому, если мы примем
Е
Фиг. 17. .
(8Л4)
отбрасывая в первом при-
ближении величины второго
порядка, то совершенно с
тем же правом можем от-
бросить и т и написать
вместо (8.7)
Р3=МР1.	(8.15)
Этот выбор основного кру-
га, при котором он проходит
через вторые места кометы
и Солнца, сделан Ольберсом:
ввиду этого основной круг
часто называют ольберсовым
кругом. Только что дости-
гнутое упрощение очень вы-
годно, и лишь в том случае,
если основной круг проходит вблизи точек Кг и К3, от такого
выбора, как мы видели выше, надо отказаться. Для такого исклю-
чительного случая требуется особая трактовка.
Добавим здесь, что из того факта, что г и 3 пропор-
циональны синусам сферических перпендикуляров KXQY и K3Q3,
вытекает также, что
г__ sin A’iQi _ sin KYQ
~~	~ sin KSQ ’
ибо (см. фиг. 17)
sin ______ sin x sin K^Q
sin K3Q3 sin / sin K^Q ’
а поэтому
sin KrQ
t3 sin K3Q ‘
(8.16)

Кроме того, следует обратить внимание, что второе наблю-
дение входит в вычисление орбиты лишь постольку, поскольку
должно соблюдаться уравнение (8.4). Следовательно, исполь-
зуется лишь то условие, что второе место кометы должно лежать
на основном круге, иначе говоря, отстоять на 90° от его полюса.

ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА
197
§ 59]
Остаётся найти коэффициенты Л, 5, С в явном виде и выра-
зить через них и Q, а также М и т. Из уравнений (8.4)
и (8.11) получаются отношения величин Л, В и С:
А _ b2Z2 — a2Y2 В _ с2Х2 - a2Z2
С ~~ a.,Y2 — b2X2 ’ С~~ a2Y2-b2X2 ’
Так как любой общий множитель в этих величинах для нас
не играет роли, можно написать просто
A = b2Z2-a2Y2,
B = c2X2-a2Z2,	»	(8.17)
C = a2Y2 — b2X2,
а затем
м = -- 't’iZMr'1 -	(8-18)
п3 Аа3 + ВЬа + Сс3’	v 7
или, в первом приближении, на основании (8.14)
д/ _ _	~ ^2 Ааг + Bbr + Cci	/о
М ~ t.-^Aa^ABb^Cc.^
Для in аналогично будет
„=-^4^ +-’Л,	(8.20)
Ла3 + #&3 + Сс8 \и3 N3J	'	'
или, в первом приближении, т = 0.
§ 59.	Формула Эйлера
Если мы имеем два положения небесного тела для момен-
тов i и f, заданных, например, двумя радиусами-векторами г
и г' и углом между ними 2/ (или, что равносильно, хордой
орбиты $), то, как мы видели раньше, этих данных достаточно
для определения элементов орбиты, не связанных с её распо-
ложением в пространстве.
Однако, если один из этих1 элементов задан, например,
эксцентриситет или большая полуось, тогда не все величины г,
r',s и t' — t могут иметь произвольные значения, но между
ними должно существовать соотношение, при помощи которого
можно выразить одну из величин через остальные.
Таким соотношением является формула Ламберта, дающая
t' — t, если известны три стороны треугольника, образованного
радиусами-векторами и хордой орбиты, и большая полуось по-
следней; этой формуле должны удовлетворять гелиоцентрические
координаты светила, получаемые в процессе вычисления орби-
ты. Из формулы Ламберта получается, как частный случай,
формула Эйлера для параболы, если положить а=оо.

198	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ	[Гл. V111
Несмотря на её теоретическое значение, формула Ламберта
применяется при вычислении орбит редко. Ещё Гаусс справед-
ливо указал, что она не упрощает вычисления по сравнению
с обычном путём, основанным на использовании отношения сек-
тора к треугольнику. Поэтому мы её выводить не будем.
Зато формула Эйлера играет важнейшую роль в определении
параболической орбиты. Акад. А. Н. Крылов подробно описал
судьбу этой замечательной теоремы, указав, что история её
восходит ещё к Ньютону [9]. А. Н. Крылов показал, как формула
Эйлера может ^ыть выведена из X леммы способа Ньютона для
определения параболической орбиты, проанализировал ориги-
нальный вывод самого Эйлера и в заключение привёл самый
простой и краткий вывод формулы Эйлера, принадлежащий
А. Н. Савичу. Этому выводу мы в общих чертах и последуем;
он (как и вывод Эйлера) основан на свойствах параболического
движения.
Из уравнения (3.38) мы имеем для моментов t и Z'
/V ra3\ t-T /2/ , , а'3\ t'-T
1 1
где а —tgyU и а'= tgy и'. Отсюда, полагая z = k(t' — t), нахо-
дим
3(8'_a) + a'»_s= = Jl	(8.21)
V 2 г
Кроме того, уравнение (3.39) даёт
r=^(l+a2), г' = q (1 + а'2).
Введём хорду орбиты $ и выразим через неё и радиусы-век-
торы угол г/ —г, заключённый между радиусами-векторами.
Обозначим
р _ Г + г' 4- S
L 2
и мы получим по формулам плоской тригонометрии
1 , , х . ./S (S-s)
cos у (и -у) = ± у •
Знак минус возникает, если г' — и > 180°, и в таком слу-
чае этот угол является дополнением до 360° внутреннего угла
треугольника, образованного г, г' и 5.
Разложим косинус разности углов при помощи (8.21):
1	/ , х	1 + аа'	д(1 + сс')
cos (и — и) = г------ Z7=z = —z •	(о.22)
2	v ’ у 1 + а2 /14- а' Угг

§ 59]
ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА
199
Сопоставляя два последних выражения, имеем
l+aa'= ±	(8.23)
Уравнение (8.21) может быть преобразовано к следующему
виду:
3 (©' — с) + с'3 — <J3 = (s' — s) (3 + о2 4- g'2 + gg') =
- /1 + с*+1 + а'2-2(1+аб') (1 + з2 + 1 + fl'2 + 1 + ос') =	.
У 2 q2
Но, так как г + г' = Х + (Е— s), это сводится к уравнению
4Кг-Ьг'т2/£(Е — s) [г + г' ± j/i (2 — s)] =
9i
= 4 (/** /2 -S) [2 + (2-s) ± /2 (2-7)] =	,
Ч	у 2 q*
ЧЕ-’Н-
Подставим сюда E и одновременно умножим на 21/ 2:
(г + г' + $)* =F (г + т’ — $)’ = 6т.	(8.24)
Здесь берётся верхний знак, если и' — и < 180°, и нижний,
если i/' — t; > 180°. Это и есть формула Эйлера1).
Формула Эйлера даёт связь между суммой радиусов-векто-
ров, хордой и временем, но в обычных случаях вычисления
параболических орбит она не особенно удобна вследствие того,
что небольшая величина s определяется как разность двух
близких по своему значению членов левой части.
Но не представляет затруднений видоизменить формулу
Эйлера для небольших $ так, чтобы это неудобство отпало.
Полагая, как это всегда будет на практике (в противном слу-
чае в преобразовании формулы нет надобности), что у' — и < 180°,
и поэтому взяв в уравнении (8.23) только знак минус, займёмся
решением этого уравнения относительно хорды, что может быть
проделано разными способами.
Ограничимся одним из них и напишем разложение, данное
Ламбертом:
6’=<'+'•')• [С1	=
___________	(8.25)
4 Отметим, что весьма интересный вывод той же формулы дан
и Н. Е. Жуковским: «О новом доказательстве теоремы Ламберта». (Полное
собрание сочинений, т. IX, стр. 97, Москва, 1937.)

200
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
[Гл. VIII
ИЛИ
ч=- А, (А0‘ - AAA (А>)’    <8-26)
Обозначение т] введено для сокращения. Отсюда можно найти
обратное разложение для ——, по степеням тк Полагая
г + г
7^p = ’l + M3 + «?ls+ •••
и подставляя это в (8.26), имеем
Ъ =4 + А7)3 + «з7!5 + •••
~ 128 71 + • • •
•, • • • 9
откуда найдутся коэффициенты и ряд для г^-убудет таков:
5	.	1 q 5	< ,
^F=71+2471 +38i7> +'•• ’
или
+	(8.27)
где
|*“1+А + зА‘+---	<8-28)
может быть табулировано по аргументу tq [19, 36]. В некоторых
таблицах сразу даётся р], обозначаемое'а [10], (см. также табл.
XX и XXI).
Очень просто решить уравнение (8.24) и без помощи рядов
и таблиц, но в этом едва ли может встретиться практическая
необходимость.
§ 60. Определение геоцентрических расстояний
Задача состоит в том, чтобы подыскать такое значение
чтобы, выведя из него посредством (8.15) р3, а затем оба ра-
диуса-вектора и хорду, получить в правой стороне уравнения
Эйлера (8.24) значение т, совпадающее с наблюдённым.
Напишем уравнения (8.2) при помощи (8.15) в таком виде:
жг- — ^iPi
yi = &1Р1 —
= C1P1
#3 —	X3,
2/з = 6зМР1“-Уз’
2. = ^^ —Z,.
(8.29)

§ 60]	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОЦЕНТРИЧЕСКИХ РАССТОЯНИЙ	201
Отсюда найдём
r'i =	+ 2R1 cos 0lP1 4- Pl, I	(8 30
г: = /?:+27?3сой93Л/р1 + '1/2рЬ j
где
Ri = X2 + У1 + Zi, Rl = Xi + Yi + Z\, A
2#1cos61 = -2(a1X1 + 6iyi + cIZ1), J (8.31)
27?3 cos 63 = - 2 (a3X3 + b3Y3 + c3Z3). J
Далее
«2 = (*» — «1Г + (уа — УгУ + (z3 — zj2,
или, по подстановке выражений (8.29),
s2 = g2 + 2g/i cos/pi4-/г’рп	(8.32)
где
g2 = (X3 - X3)2 + (Ух - У3)2 + (Zx - Z3)2,
2?ЛСо5Х = 2{(а82И-а1)(Х1-Х8) +
+ (бЛ-й1)(У1.-у3) + (Сзм-С1)(г1-г3)],
Л2 = (a3M - Й1)2 + (b3M - bj* + (c3 M - cry. J
Введённые нами величины имеют интересное геометри-
ческое истолкование, но мы этим заниматься не будем. Отме-
тим, что не стоит пытаться подставлять эти выражения в фор-
мулу Эйлера. На практике мы задаёмся некоторым значением рх
и с ним определяем по написанным выше уравнениям гп г3
и s, обозначая найденное этим (геометрическим) способом зна-
чение хорды s через sg. Вычислив по (8.25) tq, найдём по нему р.
и из (8.27) — хорду, которую обозначим sd, так как опа полу-
чена из динамических условий, выражаемых теоремой Эйлера.
Значения рх должны варьироваться до тех пор, пока не будет
получено равенство sg = sd, что может потребовать вычисления
нескольких попыток, или, как их иногда называют, гипотез.
Упростив несколько уравнения задачи, Банахевич дал приём,
при помощи которого можно приближённо найти значение рп
удовлетворяющее поставленным условиям, а также выявить
кратные решения для рх, если они существуют. Не останавли-
ваясь на полном изложении этого вопроса, которому посвя-
щено немало исследований, укажем, что в способе Ольберса
может быть три решения, хотя и в редких случаях. Однако
не все эти решения дадут точное, или даже приближённое
согласие наблюдённых и вычисленных координат второго места,
так как это место входит в определение орбиты не полностью;
поэтому решения, не соответствующие действительному дви-
жению кометы, иногда могут быть отделены от верного
решения, правда, после затраты большого труда на ненужные

202	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ	[Гл. V11.
для окончательного результата вычисления. При особых обстоя-
тельствах (среднее место кометы находится точно в противо-
стоянии с Солнцем) все три решения могут дать точное пред-
ставление среднего места, как это показал Банахевич на
фиктивном примере.
Не следует упускать из виду, что благодаря сделанным
упрощениям все эти рассуждения, строго говоря, верны лишь
для бесконечно малых промежутков времени между наблюде-
ниями.
§ 61. Второе приближение
Если интервалы между наблюдениями невелики и к тому
же близки к равенству, а радиусы-векторы не слишком малы,
то обычно во втором приближении нет нужды. Если же усло-
вия для определения орбиты складываются в этом смысле
неблагоприятно, полезно, не доводя вычисления до конца,
улучшить принятые значения отношений площадей треуголь-
ников.
Приступая к этой задаче, можно сначала исправить моменты
наблюдений за аберрационное время, причём поправка для сред-
него момента получается интерполяцией между её значениями
для крайних моментов. Вслед за этим вычисляются и — по
формулам (8.9), не требующим знания среднего радиуса-вектора.
ть 1
С новыми —1 и — отыскиваются М и тп посредством строгих
выражений (8.7) и (8.8), не содержащих в себе предпосылки
о плоском движении Земли вокруг Солнца, на основании чего
выводилась формула (8.13).
Напишем
P3 = ^Pi + m = (^ + ^)pi = Wh)	(8.34)
где рх, стоящее в скобках, берётся из результатов предыду-
щего приближения, и мы придём формально к тому же урав-
нению (8.15), вследствие чего выражения (8.32) и (8.33) оста-
ются в силе, и нужно лишь перевычислить с новым значением (7И)
величины 2 g/г cos х и Л2.
Подготовив исходные величины, можно снова заняться
отысканием и р3.
Если вычисляется не первоначальная орбита, а уже имеют-
ся, хотя бы и не очень точные, элементы кометы, по ним мо-
гут быть вычислены перед началом работы геоцентрические
расстояния и радиусы-векторы для моментов наблюдений, и вы-
числение орбиты может быть сразу начато по приведённым
уточнённым формулам.

§62]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
203
Другой способ улучшения основан на представлении сред-
него места кометы, когда будут получены элементы орбиты,
и он будет вкратце изложен ниже.
§ 62. Определение элементов
Ход определения параболических элементов не отличается
в принципе от соответствующего вывода для эллипса.
Пользуясь значениями р1? р3, т\ и г3, находим гелиоцентри-
ческие координаты, а затем вычисляем согласно (5.90) и (5.91)
о, жо,уо^о и го- По формулам (5.92) определяем
sin 2/ = sin (d3 — uj = - ,	cos (v3 — uj = —1.	(8.35)
гз	r3
Для вывода истинных аномалий обратимся к уравнению (3.39),
которое даёт
rx = ^sec2	r3 = ^sec2y и3.
Отсюда следует
cos-^ ,	j
cos у v3 = COS (у I?! +/)=	}>	(8.36)
1	i	1	 t	!
= COSy 0xC0s/ — Sin — Vi sin/ = у у • J
l/ -	/-
01=tg у i>! = ctg /-J—-----= ctg / — у cosec /. (8.37)
cos— V]_ sin/	J
После этого имеем
4’’»=7”i + A °3 = tgy«3.	(8.38)
(8-39>
По (Si и a3 отыскиваются и Мг при помощи таблиц
Баркера.
Из уравнения (3.38) получаем
Т - tl — Mi & = % — M3q*.	(8.40)
В заключение обычным путём определяются векторные эле-
менты и по ним ш, Q и i.

204	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ	[Гл. УЩ
§ 63. Представление среднего места
и улучшение орбиты
Получив элементы орбиты, можно с ними представить
среднее место (а также и другие наблюдения, если они есть)
по формулам:
_ т
М =	(8.41)
Г
а — по таблице Баркера. Согласно (3.42) и (3.43)
р cos 3 cos а = ах (1 — g2) + bxQ + X,
р cos S sin а — аи (1— а2) 4-6^0 +У,	(8.42)
р sin о = az (1 — о2) + Ь2з + Z. J
Однако, в отличие от эллиптической орбиты, не всегда
можно требовать, чтобы параболические элементы представ-
ляли точно (в пределах, ошибок вычисления) наблюдённые
координаты второго места кометы. Расхождения могут возник-
нуть по ряду причин.
Прежде всего, второе наблюдение входит в вычисление
орбиты только посредством условия, что наблюдённое место
должно лежать на основном круге. Чтобы проверить, выпол-
няется ли это требование, следует подставить в уравнение
(8.4) значения а2, 62, с2, получающиеся из вычисленных но
элементам координат а2 и 32. Если получится согласие, вычис-
ление орбиты в порядке, а если уклонения Да и Д8 не пре-
восходят ошибок наблюдений, результаты могут считаться
удовлетворительными. Действительно, если комета движется
точно по параболе и наблюдения не подвержены никаким
погрешностям, вычисленное второе положение должно совпа-
дать с наблюдённым. Но так как наблюдения не совершенно
точны, возникающее расхождение может быть следствием
ошибок наблюдения. Если же представление показало, как это
нередко бывает, значительное расхождение наблюдённых и вы-
численных координат, то это может быть по трём причинам:
заметные погрешности использованных наблюдений, суще-
ственное отклонение действительной орбиты кометы от параболы
или теоретически невыгодные условия для вывода орбиты из
взятых для этой цели наблюдений.
Если, сверх того, уравнение (8.4) не удовлетворяется
с достаточной точностью, это может свидетельствовать, помимо
вычислительных ошибок, о том, что принятые значения и —
были недостаточно точны.

§ 63] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СРЕДНЕГО МЕСТА Й УЛУЧШЁНЙЕ ОРБИТЫ 205
Чтобы уяснить причины и характер расхождений в представ-
лении второго положения кометы, обратимся к следующим
соображениям, высказанным А. А. Яковкиным [17].
Мы будем считать, что нам заданы первое и третье поло-
жения кометы, и мы будем полагать координаты ап 8П а3, о3
неизменными. Второе наблюдение применяется, как мы видели,
только для отыскания значения М= — . Следовательно,
Pi
крайние положения кометы
и зная М, мы можем вычи-
слить орбиту, по которой
найдётся положение кометы
в момент среднего наблюде-
ния. Совокупность таких по-
ложений, вычисленных для
всевозможных значений М,
представит некоторую кри-
вую на небесной сфере, ко-
торую А. А. Яковкин назы-
вает изохроной, и на какой-
то точке этой кривой должно
находиться второе положе-
ние кометы. Между тем, при
определении орбиты вместо
второго положения употреб-
имея
ляется проходящий через	Фиг. 18.
него большой круг и если,
вследствие ошибок наблюдений, или уклонения орбиты от пара-
болы, второе наблюдение не в точности падает на изохрону
(фиг. 18, на которой L1? L2, L3— положения Земли, Кг, К2, К3—
положения кометы, кривая К1К2К2К3— изохрона), мы получим
вместо наблюдённых координат точки К2 вычисленные коорди-
наты точки К2, лежащей на пересечении основного круга L2K2
и изохроны. Если основной круг пересекается с изохроной под
острым углом, ка'к это показано на фиг. 18, уклонения наблюдён-
ных координат от вычисленных, характеризующиеся отрезком
К2К21 могут быть довольно значительными, что, однако, говорит
лишь о том, что основной круг расположен невыгодно для опре-
деления орбиты. Очевидно, наилучшее представление второго
наблюдения кометы даст орбита, которой соответствует точка К"2
изохроны, лежащая на кратчайшем расстоянии от К2, т. е. в
конце отрезка К2К', перпендикулярного к изохроне.
Получить точное представление о виде изохроны в каждом
конкретном случае не так-то легко, поэтому удобнейший способ
исправления параболической орбиты по трём заданным наблюде-
ниям состоит просто в том, чтобы эмпирически варьировать М,

206	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТ’Ы [Гл. Vltj
Именно, вычислим, помимо уже полученной орбиты, другую
систему элементов, в которой исходные данные те же самые
по несколько изменено значение М, например, на величину
порядка 0,001. Пусть будут Да' и Д8' уклонения наблюдённых
от вычисленных координат второго места в случае первой
орбиты, полученной со значением М = MV а для второй орбиты,
при вычислении которой было принято М = М2, пусть эти
уклонения будут соответственно Да" и До". Тогда, считая, что
эти величины изменяются линейно с изменением М, мы найдём
наивероятнейшее значение М =Мг+х при помощи уравнений
cos 8 (Да' — Да") - х =cos 8Да',
lEt 2 1VL j
Если оба уравнения разрешить по методу наименьших
квадратов, они дадут
х COS2 а (Да' - Да") Да' + Д<Г (Д$' - ДГ)	‘ ,
М2-Мг ~ COS2 а (Да'- Да")2 + (М'- ДГ)2 ’ ДоАо)
Теперь вычислим орбиту со значением М =М1-\-х\ вычис-
ленное второе место будет соответствовать точке К"2 при условии,
что х невелико и наше допущение о линейности изменений
оправдывается. В таком случае можно утверждать, что пара-
болическая гипотеза вообще не в состоянии дать лучшего пред-
ставления второго места, чем полученное.
Следовательно, если и после этого остаются большие укло-
нения в координатах второго положения кометы, они могут
быть лишь следствием ошибок наблюдений или действительно-
го уклонения орбиты от параболы. Проверить это можно
путём привлечения других наблюдений и определения орбиты
заново.
Анализ вида изохроны был выполнен А. А. Яковкин&м,
и он получил для комет, отстоящих от Солнца менее чем на
90° на небесной сфере., линию, подобную изображённой на
фиг. 18. Кроме того, в некоторых случаях изохрона может
иметь изолированный овал, при определённых условиях вырож-
дающийся в петлю основной кривой. Число решений в способе
Ольберса определяется точками пересечения основного круга
с изохроной, так как все эти точки удовлетворяют условиям
задачи. Следовательно, как видно из фиг. 17, может быть одно
или три решения, в зависимости от того, существует ли изоли-
рованный овал Q у изохроны и пересекается ли он с основным
кругом. Разумеется, в случае трёх решений каждый корень
даст свои значения отклонений от наблюдённых координат
второго места и для корней, не соответствующих действитель-

§ 64] ИСКЛЮЧИТЕЛЕН. СЛУЧАЙ ПРИ ОПРЁДЕЛ. ПАРАБОЛ. ОРБИТЫ 207
ной орбите, эти уклонения могут быть весьма значительными.
Впрочем, как упоминалось выше, даже все три решения могут
дать точное представление второго места — конечно, при исклю-
чительных обстоятельствах.
А. А. Яковкин получил впервые тот интересный результат,
что если провести основной круг не так, как это делал
Ольберс и как это изображено на фиг. 17, т. е. через второе
положение Солнца (и Земли), а как-либо иначе, например,
перпендикулярно к указанному направлению, то может быть
получено и пять решений для комет, которые в перигелии
близко подходят к Солнцу.
§ 64. Исключительный случай при определении
параболической орбиты
В исключительном случае определение орбиты по способу
Ольберса становится ненадёжным из-за того, что не удаётся
определить с достаточной точностью значения отношений
J/s 1
и -г- . Выше было показано, что основной круг проходит при
& 3	& 3
этом вблизи первого и третьего положений кометы.
Легко установить на основании изложенного в § 63 анализа
А. А. Яковкина, что наивыгоднейшее расположение основного
круга получается, если он пересекает изохрону под прямым
углом, и это условие могло бы быть нами выполнено заранее,
если бы вид изохроны был известен. В большинстве случаев
изохрона не слишком отклоняется от большого круга, прохо-
дящего через первое и третье место кометы, откуда вытекает,
что этот большой круг должен пересекаться с основным кругом
под углом, по возможности близким к прямому и, во всяком
случае, не под слишком острым углом. Изохрона может иметь,
как показал А. А. Яковкин, довольно сложное течение, но это
будет иметь место для близких к Солнцу комет, для которых,
вследствие малости радиусов-векторов, определение орбиты
вообще представляет нелёгкую задачу, и проведённый нами
анализ, основанный на разложениях в ряды выражений для
— и — , не будет достаточно строгим.
На практике можно удовлетвориться тем, что выбрать
коэффициенты в уравнении (8.4) так, чтобы величины и 3
получились не слишком малыми. Проще всего для этого написать
уравнения (8.3) в численном виде, а затем исключить из них р2,
выбрав такую пару уравнений, чтобы коэффициент у р3 после
исключения р2 был наибольшим.
Таким образом мы найдём уравнение (8.6), а из него по-
лучим делением на коэффициент при р3 уравнение (8.7) тоже

208	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ [Гл. VIII
в численной форме, за исключением величин — и — .
т	"з
можно принять в первом приближении
П1 _ ^3	^2	_ ^3
Airj	- t 1	TZjJ ^2 —~
Для них
(8.44)
после чего вычисляются значения М и т, входящие в урав-
нение (8.7).
Для радиусов-векторов кометы мы будем иметь вместо (8.29):
^ = #i + 27?1coseipl + ^,	,5
г: = 7?; + 2/?3со803(21/р + 7п) + (7ИР1 + 7п)\	1 ' }
Далее
=	—	ж3 = аа/17р14-а3т —Х3,	)
Уг = Ъ1р1 — Х1,	у3 = Ь3М?1 + Ь3т — У3,	)>	(8.46)
2! = ^ —Zlr	z3 = c3Mp1 + c3m — Z3.	J
Коэффициенты формулы (8.32) для $ даются следующими
выражениями:
g2=(а3тп + Хх — Х3)2 + (b3m +— F3)2 + (с3т + Zx — Z,)2,!
2ghcosx = 2[(a3M—a1)(a3m + X1—X3) +	! -8 47
+ (b3M - bj (b3m + Y, - F3) + (c3M - C1) (c3m + Zx- Z3)], f ' ' <
/г2 - (a3M - ax)2 + (b3M - bj + (c3M - C1)2.	'
Решение гипотез для рг и определение элементов не пред-
ставляют ничего нового. Однако можно порекомендовать
в большинстве случаев проделать второе приближение, как
изложено в § 61. Действительно, т содержит в знаменателе
малую величину первого порядка 3, выражающуюся через
синус сферического перпендикуляра из третьего положения
кометы на основной круг, а формулы (8.44) имеют по сравне-
нию с (8.9) погрешность второго порядка. Таким образом, »при
употреблении (8.44) могла бы остаться ошибка первого порядка
в геоцентрических расстояниях, а это могло бы привести к за-
метно неверным элементам орбиты.
§ 65. Сводка формул
А. Исходные данные
Т1, ZA,
^2? а2,	Х2, Уо, Z2,	>
^3>a3>83^3^y3?Z3-	>
(I)
Координаты кометы и Солнца должны относиться к одному
равноденствию. Если элементы орбиты уже известны, следует

§ 65]
СВОДКА ФОРМУЛ
209
исправить моменты наблюдений за аберрационное время, а коор-
динаты кометы — за параллакс. Если вычисляется первоначаль-
ная орбита, параллактические поправки вводятся в X, У, Z
только в том случае, если предполагается вычислить второе
п. 1
приближение для — и —, иначе можно не учитывать парал-
лакса. Параболическая орбита обычно вычисляется с пятью
знаками, и лишь в редких случаях берётся и шестой знак.
Довольно часто приходится пользоваться наблюдениями огра-
ниченной точности, при этом иногда можно ограничиться
четырьмя знаками.
В. Постоянные величины
az-= cos of cos аг-, "j
bi = cos 8f sin az, (^’=1, 2, 3).	л..	(Ц)
Ci = sin 3f	J
Контроль:
«1 + fef + C? = 1,
a,i — Ci sin af = cos (az- + Of),
a,i + d cos af = sin (af + oz).
Я2 = Х2 + ^ + ^,	i
/?23 = Х23 + У2з + 223,
2flIcos91 = -2(a1X1 + b1Y1 + c1Z1),	1 7
2R cos 9 = — 2 {a X3 + by 3 + c Z3).
Контроль:
+ 2Rt cos 9, + 1 = (Xx - ax)3 + (Ух - 6X)2 + (Zx - cy,
Rl + 2R3 cos 93 + 1 = (X. - a3)2 + (Y3 - by + (Z3 - c,)2.
С. Первое приближение
A = b2Z2 — c2Y2, |
B = c2X2-a2Z2, }	(IV)
C = a2Y2 — b2X2. j
Контроль:
Aa2 + Bb2 + Cc2 = 0, AX2 + BY2 + CZ2^0.
M_____t3 — t2 Aar -f- Bbr 4- Ссг	A
^2 —	+ Bb3 + Cc3 ’	I
g2 = (X1-X3)2 + (yi-K3)2 + (Z1-Z3)2,	I
2g/icosy = 2[(a,M-ai)(X1-X3) + (63M-61)(yi-K3)+ <
+ (c3M-c1)(Z1-Z3)],
Л2 = (a3M - й1)2 + (63Jf - b^ + {c3M - cy.	->
А. Д. Дубяго

210
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
[Гл. VIII
Контроль:
g2 + 2gh cos z + Л2 = [(Xx - Х3) + (а3М - aj]2 +
+ [(Л - У,) + (Ь3м - 60Г + [(Z, - z3) + (с3м - С1)]\
Задавшись некоторым значением рх наугад (причём при
известном опыте можно ориентироваться по величине суточно-
го движения кометы по небу) или взяв рг из предшествовавшей
орбиты, вычисляем
Рз=-^Р1
г3 = /?| +2/?3 cos 63р3+ р|,	|
*$1 = g2 + 2gh cos y.Pj + р;,	} (VI)
7) = 4(<з-у. , Sd = {ri + r } 2Л = 0,0344042,
0-1+ r3)2	J
где fi берётся из таблиц ([10, 19, 36] и табл. XX).
Значения рх варьируются, пока не будет Sg = Sd.
После второй гипотезы можно прибегнуть к приёму интерпо-
ляции.
Са. Исключительный случай
Если числитель и знаменатель М очень малы, пишутся
в численном виде уравнения
Wil/l — а2р2 + <73П3р3 = ntX3 — Хг + п3Х3, ]
М1Р1 — b2?3 + b3n3p3 = n1Y1 — Y2 + n3Y3, }	(IVa)
Wi — c2p2 + c3n3p3 = nIZ1 — Z2 + n3Z3.	J
Из двух уравнений этой группы исключается р2, что даёт
^Ipl + зПзРз = О1«1 — ©2 + ©з«з,
М _ _	{3~{2
<^3«2-Ч ’
Рз = М?1 + т.
ga = (а3т + X, - Х3)2 + (Ь3т + У, - У 3)2 + (с3т + Z, - Z3)2, ’
2g/i cos х = 2 [(а32И — aj (a3m +Xj — X3)+
+{b3M-b1)(b3m+Y~Y3)+(c3M-c1)(c3m+Z-Z3)],	< >
h2 = (a3M - aj2 + (b3M - bj2 + (c3M - cj2.
Контроль:
g3 + 2gh + h2 = (a3M — a, + a3m +	— X3)2 +
+ (b3M — b3 + b3m-\- Y\ — У3)2 + {c3M сг 4- c3m 4- Z2 — .Z3)2.

§ 651
СВОДКА ФОРМУЛ
211
j?. Второе приближение
В обычных случаях можно обойтись без второго приближе-
ния, если промежутки времени невелики и близки к равенству,
а также гг и г3 не очень малы. Если нужно второе приближе-
ние, то вычисляются:
t° лР1, t°=t2- лр2, е3=t3 - лРз, л=о<*,005772,
где Лр2 находится интерполированием между Лр! и Лр3.
^-2 (5з - ^i). ,	(г3 - гх) ч
3 *з(г1 + гз)3 ('•14-Гз)4 ’ I
4 -3^2 (т2 4- т3) , 4Tfc3 (г3 - гх) |
(VII)
'3
(VIII)
(IX)
ni
П3
1
n3 ~ Ъ ~ 3 t3 (rx + r3)3 “r (rx + r3)“	’ J
д»  лх	4~Bb34-Ccx
n3 Aa3 + Bb3 + Cc3 ’
M= Л„ + ВЬ, + Со^АХ-+В^+С^Т,+ ЛХ‘+ BY‘+ CZ1)
В исключительном случае и подставляются в формулы
для М и т группы Са.
р3з=:(Л/)р1, (М) = М + — (рх — из первого приближения).
Pi
Затем снова вычисляют (VI) — (VII), принимая (М) вместо Л/.
Е. Определение элементов
или p3=^/pi + ^
(/ = 1,3).
(X)
Vi — frfpz Yi,
Z i —- C i p i	Z i j
x2i + y2i + z2i^rl
Контроль: значения т\ и г3 должны согласоваться с резуль-
татами последней гипотезы.
g 	4- УзУз 4- ZiZ3
Г1
х0=х3 — azn
Уо = Уз-°У1>
Zo = Z3 —°Z1’
^0 = ®o + ?/o + Z0-
sin 2/ = ^.
гз
Контроль: cos2/ = —
гв
(XI)

212
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
[Гл. VII
=	у cosec/, I
4из = у”1 + /-
<’3 = tgyu3>
4 1 + Оз 1 + < J
(XII)
Контроль: оба значения должны согласоваться.
По аргументам и о3 (или и и3) из таблиц берутся
Мг и 7И3.
T=t°-Miq*=ea-Mrf,
ч cos Vi sin Vi z-к sin vx . cos vr
= ^1-7--^0-7-^ ,	=	+
ro	ri	ro
sin V, хч sin V, . cos
1, Qy = У1 ~ + 2/3-7-
‘ 1	ro
sin Vi , cos Vi
<?z = 2i-—1 + Z0—-1
ri	' 0
&z = Q^z <
^=2^.
n COS V-t Sin V,
РН = У1—-Уо-г-1,
rl	r0
p ~ cos Vl 7 sin ”1
^z —	"7 zo ~7	’
rl	r0
ax = qPx, au=qPy,
bx — ^qQxi by = 2qQy,
(XIII)
Контроль: < + + =	+ + =
axbx + ayby + azb2 = 0.
sin i sin cd =PZ cos e — Py sin e,	'j
sin i cos co = Qz cos e — Qy sin e,	|
sin Q = (Py cosco — Qy sin cd) sec e,J’	> (XIV)
cos Q = PX cos cd — Qx sin co,
cos i = — (Px sin co + Qx cos co) cosec ft.
Контроль: sin ft и cos ft должны принадлежать одному
углу и то же самое для sinZ и cosZ.
F. Представление среднего места
= a2 = tgAv2.	(XV)
в2 (или v2) — из таблиц по аргументу М2
р2 cos 32 cos а2 = ах (1 — с22) 4- bxs2 + Х2,
р2 cos32 sin а2 = ау (1 — а2) + 6ss2 + У2, 
(XVI)
р2 sin S2 = а2 (1 — а2) + bza2 + Z2. .
Относительно разностей между наблюдёнными и вычислен-
ными координатами см. § 63.

§ 66]
ПРИМЕР
213
§ 66. Пример
Для кометы 1946d Пайдушаковой-Ротбарта имеются следующие наблю-
дения:
I
№	Вс. вр. ’
1 1946 июня 6,87526 “
2	8,87999
3	10,86193
1946’0	1946’0
13^31m10s, 75	+ 33°56'41",9
12 58 30 ,93 +28 47 34 ,3
12 39 16 ,66 +23 11 26 ,6
произведённые 6 и 10 июня А. Д. Дубяго в Казани и 8 июня Д. Я. Мар-
тыновым в Астрономической обсерватории им. Энгельгардта. Вычисле-
ние поправок координат Солнца за параллакс здесь опущено, приво-
дятся лишь сами исправленные координаты.
		1	2	3
	X	+ 0,253601	+ 0,220628	+ 0,187794
	Y	+ 0,901602	+ 0,909093	+ 0,915485
	Z	+ 0,390979	+ 0,394228	+ 0,396999
II	COS а	— 0,921899	-0,967582	-0,985350
	COS&	+ 0,829574	+ 0,876367	+ 0,904286
	sin а	— 0,387431	-0,252557	-0,170544
	а	-0,764784	-0,847957	-0,891639
	Ъ	+ 0,321403	-0,221333	— 0,154325
	с	+ 0,558397	+ 0,481644	+ 0,425633
	COS (а — д)	-0,981123	-0,969600	-0,964228
	sin (а — £)	+ 0,193381	+ 0,244697	+ 0,265073
III	RI	1,030064	R23	1,030988,
	2R± cos 0г	+ 0,530812	2R3 cos 03	+ 0,279502
IV	А	+ 0,525115	£3 — ^2	1,98194
	В	-0,440552	i2 —	2,00473
	С	+ 0,722040	T1 • T3	0,988632
	Числ.	+ 0,143180	M	1,523690
	Знам.	-0,092901		
V	Д-|	-0,593797	Xt-X3	+ 0,065807
	М*-&х	+ 0,086260	Yt-Y3	-0,013883
	с3М — сг	+ 0,090136	Zt-Z3	-0,006020
	в2.	+ 0,0045595	t3 — tx	3,98667
	2gh cos X	-0,0816323	2^ (^з	^i)	0,137158
	А2	+ 0,3681602		*
Так как второго приближения делать не предполагалосьЛпоправка
за аберрационное время введена в процессе вычисления гипотез, после
второй гипотезы, когда значение определилось с достаточной точностью.
VI	Pi Pi	0,250000 0,062500	0,260000 0,067600	0,261178 0,0682139	0,261149 0,0681988
	si	0,0071614	0,0082227	0,0083526	0,0083494
	ri	1,255267	1,235675	1,236914	1,236884
	Рз	0,380922	0,396159	0,397954	0,397910
	Г3	1,282558	1,298657	1,300584	1,300537
	Г1	1,106918	1,111609	1,112166	1,112153
	r3	1,132501	1,139586	1,140431	1,140411
	ri + r3	2,239419	2,251195	2,252597	2,252564
	(ri + r3) ’	0,298398	0,296060	0,295784	0,295790

214
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
[Гл. VIII
VII		0,040928	0,040607	0,040561	0,040562
		0,040931	0,040610	0,040564	0,040565
	sd	0,091662	0,091421	0,091374	0,091375
	sa	0,084625	0,090679	0,091393	0,091375
	sg-sd	- 7037	-742	+ 19	0
		10000 •	742	4 4 no		
				— 1178		
		6295			
	Pi	0,261	Рз	0,398	
		0,00151	^4p3	0,00230	
		6,87375	«3	10,85963	
	is ix	3,98588	2Л (i3 — tx)	0,137131	
X		1		3	
	X	— 0,453324		-0,542586	
	У	-0,985537		-0,976892	
	z	-0,245154		-0,227635	
	r*	1,2368863		1,300535	
	r	1,112154		1,140410	
XI	<3	1,0223544	sin (v3 — vx)	+ 0,077102	
	Xq	-0,0791282	cos (v3 — Vx)	+ 0,997023	
	Уо	+ 0,0306761	V3-Vi	4°25'19",2	
	zo	+ 0,0229993	/	2 12 39 ,6	
	ro	0,00773126			
	?0	0,0879276			
XII	_£i £з	0,975220	1 T”1	16°54'14",5	
	/г	0,987532	1 г V3	19° 6'54",1	
	ctg/	25,9011	C3	+ 0,346575	
	cosec/1/ — r3	- 25,5972	у	1,018125	
	C1	+ 0,303900	У	1,018120	
XIII		25,7533	У	1,018122	
	M3	29,6333	№	1,009020	
	г°-Т	26,45649	q2/2	1,027305	
	i°3-T	30,44244	T	11,41726	
			T	11,41719	
				T	мая 11,41722
XIV	COS Vj	+ 0,850907	sin	+ 0,556412	
	tfos : rx	+ 0,747115	sin v± : rx	+ 0,500301	
	— sin V!: rQ	-6,328070	cos V}: r0	+ 9,449900	
	Px	+ 0,162044	Qx	- 0,974552	
	pv	-0,930430	Qy	-0,203179	
	pi	-0,328699	Qs	+ 0,094690	
	ax	+ 0,164981	ьх	- 1,984426	
	O'!!	-0,947291	ъу	-0,413722	
	a.	-0,334656	bz	+ 0,192812	
XV	sin i sin o>	+ 0,068649	sin Ц	-0,854690	
	sin i cos	+ 0,167715	cos	+ 0,519141	
	sin a»	+ 0,378814	u>	22°15'36",8	
	cos <0	+ 0,925473		301 16 28 ,6	
	sin i	+ 0,181121	I	169 33 32 ,8	
	cos i	-0,983441			

§ 67]
СПОСОБ ОЛЬБЕРСА В ЭКЛИПТИКАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
215
Элементы,
XVI
Т 1946 мая 11,41722 Вс. вр.
ш 22О15'36",8 )			
	ч 301 16 28 ,6	| 1946,0	
	i 169 33 32 ,8 q 1,018122		
-4?2	0,00190 p2cosd2cosa2		-0,277787
	39,87809 р9 cos sin a9		- 0,072500
t’-T	+ 28,46087	p2 sin 02	+ 0,157786
М2	+ 27,7044	p2 cos d2	+ 0,287092"
С.,	+ 0,325493	a2	194’37'38,7
1-4	+ 0,894054	г2	+ 28 47 35,7
О-С
J Да
{да
+ 5\3
- 1",4.
Уклонения не превосходят ошибок наблюдений, возможных в слу-
чае быстро движущихся и размытых объектов, каким и была эта комета.
Дальнейшее улучшение орбиты могло бы быть только формальным. Эти
же элементы представляют другие наблюдения, сделанные в соседние
даты, с ошибками того же порядка и орбиту надлежит считать надёж-
ной. Для поверки орбиты было подсчитано, насколько точно вычислен-
ное место кометы лежит на основном круге; получившееся разногласие
не выходит за пределы возможной погрешности вычислений:
cos а2с—0,967589 ас — 0,847959
cos а2с + 0,876363 Ъс - 0,221310
sin а^ — 0,252532 сс+0,481651
Аас + ВЪС + Ссс - 0,000006.
§ 67. Способ Ольберса в эклиптикальных координатах
При вычислении параболической орбиты введение эквато-
риальных прямоугольных координат и связанная с этим работа
со счётной машиной в большинстве случаев не приносят тех
выгод, как при вычислении эллиптической орбиты. Формулы
остаются довольно громоздкими и вряд ли их можно удачно
преобразовать. В то же время именно при определении пара-
болической орбиты имеет большой смысл ввести эклиптикаль-
ные координаты и пользоваться логарифмами, что почти всегда
явится быстрейшим путём к цели. Поэтому следует изучить
способ Ольберса в эклиптикальных координатах, т. е. в той
форме, в которой он применялся на протяжении всего девят-
надцатого века. С принципиальной стороны метод не отличается
от изложенного выше; ввиду этого можно ссылаться во многом
на предыдущие выводы.
Исходными данными здесь являются моменты наблюдений
=	2, 3), и pf, получающиеся по формулам преобразова-
ния координат из наблюдённых аг- и о,, Li — долготы Земли

216
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
[1\ь VIII
и Hi — радиусы-векторы Солнца (в вычислении фигурируют их
логарифмы).
Мы прямо воспользуемся основными уравнениями Ольберса
(8.14) и (8.15), которые дают связь между pj и р3 в форме
Р3=7ИР1,	(8.48)
где (см. фиг. 17)
М     ^3 ^2	1     ^3 ^2 COS РК х   t3 i2 sin KjQi /Q r g.
*2—*1^3	*2 — 4 cosPK3 ~~ t2 — t± sin K3Q3 *	' ’ '
Но в треугольниках PEK± и PEK3 между полюсом основ-
ного круга Р, полюсом эклиптики Е и соответственными местами
кометы Кг и К3 имеем РЕ = 1, ^^ = 90° — ^, ЕК3 = 90° — р3,
/ РЕКг = 90° + х — L2, / РЕК3 = 90° + л3 — Л2, следовательно,
1 _ cos РКХ_sin cos 1 — cos ?x sin I sin (Ях — L2)
cosPK3 sin ?8 cos I — cos p3 sin I sin (Л3 — L2) ’	' ‘
Из треугольника L2K2q2, в котором K2q2 = $21 Lq2 = \2 — L2,
для угла q2L2K2 = I получается
После подстановки (8.50) и (8.51) уравнение (8.49) приобре-
тает вид
д/ _ *3-g2 Sin ctg I - cos sin (Лг — Га)	? .
i3 —ticos ?3 sin (Л3—Z,2) —sin ?3ctg / ’	\ • /
Это — основное уравнение способа Ольберса; оно может
быть написано и в более изящной форме, но менее удобной
для вычислений.
В исключительном случае числитель и знаменатель выраже-
ния М становятся очень малыми. Чтобы избежать возника-
ющей отсюда неточности, придётся прибегнуть к строгим
уравнениям (8.7) и (8.8):
Рз=Л/Р1 + 7П-	)
J (8.53)
Вычисление по этим формулам при помощи логарифмов уже
менее удобно, чем вычисление с арифмометром, поэтому, если
до начала работы видно, что имеет место исключительный
случай, полезно сразу начать вычислять с арифмометром
в экваториальных координатах. Чтобы решить этот вопрос,
обычно достаточно нанести первое и третье места кометы на

§ 67]
СПОСОБ ОЛЬБЕРСА В ЭКЛИПТИКАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
217
звёздную карту и там же пометить второе положение Земли
или Солнца (по экваториальным координатам, взятым из астро-
номического ежегодника), смотря, что ближе к положениям
кометы. Если первое и третье положения кометы лежат при-
близительно на одном большом круге с Солнцем (или Землёй),
значит, мы встретились с исключительным случаем; если этого
нет — можно спокойно вычислять по методу Ольберса. Как
сказано, в исключительном случае лучше вычислять с ариф-
мометром (что будет предпочтительнее, особенно при исправлении
отношений и i во втором приближении), но прямой необ-
ходимости в этом нет, и здесь будет дан вариант вычислений,
рассчитанный на пользование логарифмами.
В выражениях (8.53) символы х и 3 представляют собой
величины, пропорциональные синусам сферических перпенди-
куляров из соответственных мест кометы на основной круг.
Сделаем теперь множитель пропорциональности равным единице.
Обращаясь к основным уравнениям (8.5), мы замечаем, что
для этого необходимо, чтобы А, В и С представляли собой
направляющие косинусы вектора, проходящего через полюс
основного круга. Вторая формула (8.5) показывает, что Qi явятся
синусами сферических перпендикуляров из положений Земли
на основной круг, умноженными на соответственные
R, =/л + П + 2Г
Выбор основного круг
<^i и стали возможно
показано в § 58, что этого
можно достигнуть, когда
основной круг распола-
гается перпендикулярно
к большому кругу, про-
ведённому через первое
и третье места кометы.
Пусть (фиг. 19) основной
круг, проведённый ука-
занным способом через
второе положение кометы
К2, пересекает эклиптику
в точке П. Нет нужды
особенно точно придержи-
ваться указанного выбора
этой точки, ибо некоторое смещение её не вызовет заметного
понижения точности определения <^>1 и ^3. Вместо того чтобы
брать основной круг перпендикулярным к большому кругу,
проходящему через первое и третье положения кометы, можно
должен быть сделан так, чтобы
большими по величине. Уже было

218
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
[Гл. VIII
с тем же успехом провести основной круг перпендикулярно
к ольберсову кругу, проходящему через вторые места кометы
и Земли, что в исключительном случае сводится почти к одному
и тому же. Тогда при помощи фиг. 19 мы находим:
tg	= tg (k2 — L2) sec/, ]
tg(II — L2) = tg 52/T2 sec/,	(8.54)
tg(II —L2)=tg(k2 —L2) sec2/. J
Если наличие исключительного случая не было замечено
до начала вычисления орбиты, оно всё равно выявится при
отыскании отношения : ^3 — числитель и знаменатель
получатся очень малыми. Тогда мы находим I по фор-
муле (8.51) и вычисляем П согласно (8.54). Для получения
J и М служат уравнения, совершенно аналогичные (8.50)
и (8.51), только вместо второго положения Земли будет
фигурировать точка II, следовательно, будет
tgJ= 	,	(8.55)
6	Sin(Z2 —11) ’	'	'
м _ 21 sin Pi ctg J—cos рх sin (At-П)	R
п3 cos рз sin (Л3 — И) — sin рз ctg J *	\ •	7
Но столь же очевидно, что в данном случае (см. фиг. '19)
02 = Т?2 sin L2K2 = R2 sin (П — L2) sin J, 1
0i = sin L1a1 = R± sin (П — LJ sin J, >	(8.57)
03 = 7?3sinL3G3 = 7?3 sin (Л—L3) sin 7, J
откуда имеем
m = Г R1 sin (II—LJ -1 - /?, sin (П - L„) - +RS sin (П - L3) 1 =
3 L	n-l	n3	J
cos 3xsin (Л3 —II) —sin [i3ctg	S*n (И n2
-7?2sin(n-L2)A+7?3sin(n-L3)1 .	(8.58)
n3	J
Конечно, уравнения (8.56), (8.57) и (8.58) при замене J = 1
и П = L2 дадут основные уравнения способа Ольберса; второй
член в скобках в выражении т при этом отпадает, как мы
это видели раньше в § 58.
В первом приближении в исключительном случае может
быть взято, как и в уравнении Ольберса,
=	/8 59)
«3 ех ’
после чего можно найти М.

§ 67] СПОСОБ ОЛЬБЕРСА В ЭКЛИПТИКАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
219
Что же касается т, то нетрудно показать, что оно является
малой величиной первого порядка. Рассуждая так же, как
и при выводе уравнения (8.13), мы будем иметь для Земли
0=^ [flxsinfn-LJ^-^sinCn-LjA-i-^sin^-Lj] .
Вычтя это из (8.58), получаем
m - $7 [sin <п -	- si- (и - 41,- £) ] •
(8.60)
Разности площадей треугольников, стоящие в скобках,—
малые величины второго порядка, как явствует из выраже-
ний (8.9), в то время как в знаменателе находится ^3 —вели-
чина первого порядка в отношении промежутков времени, что
и доказывает наше утверждение.
Из уравнений (8.49) можно заключить, что первое и третье
места кометы лежат по разные стороны от основного круга,
иначе М получилось бы отрицательным. Если основной круг,
проходящий в методе Ольберса через второе место кометы
и Земли, в исключительном случае близок к кругу, соединя-
ющему первое и третье места кометы, то отсюда можно сделать
вывод, что кривизна видимого пути кометы должна быть мала
и тем меньше, чем точнее наступает исключительный случай.
Но из теоремы Ламберта о кривизне видимого пути кометы сле-
дует, что это происходит, когда г2 близко к 2?2, поэтому чис-
ленное значение т должно ещё уменьшиться, как вытекает из
выражений (8.9). Действительно, если в них приравнять г2 и Т?2,
останутся лишь члены с разностью радиусов-векторов, которые
в большинстве случаев заведомо малы. Таким образом, можно
откинуть т в первом приближении. Однако во втором прибли-
жении т должно быть учтено.
Мы возвращаемся сейчас к способу Ольберса и переходим
к вычислению вспомогательных величин. Для этой цели соста-
вим сперва выражения для прямоугольных эклиптикальных
координат кометы, пользуясь формулами (3.5) и полагая в них
£=0. Таким образом, в способе Ольберса предполагается, что
Земля движется строго в плоскости эклиптики избранного рав-
ноденствия, что не создаст погрешности, выходящей за пределы
ошибок наблюдений комет, впрочем, лишь при условии, что
берётся равноденствие начала года наблюдений. Так обычно
и бывает; если же координатная система относится к нормаль-
ному равноденствию и оно отстоит далеко от года наблюдений,
надо помнить, что широты Земли могут достигнуть чувстви-

220
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
[Гл. VIII
тельной величины, что может привести к неточности резуль-
татов вычисления орбиты. Итак, мы получаем
= pi cos pi cos kj + Rr cos Lj,
У1 = Pi cos Pi sin + Ri sin
Zj = p! sin Pi,	>
= J/px cos P3 cos X3-f-cosL3,
y3 = cos p3 sin X3 + R3 sin L3,
z3=j/px sinp3.
Отсюда легко вывести
г* = Ri + 2R± cos 61p1 + Pi,
r>^ + 27?3cos O^px + ^PL
где
cos 6j = cos pi cos (Xx — Lx),
cos 03 = cos p3 cos (X3 — L3).
(8.61)
(8.63)
если учесть, что и
&3 — углы
Эти формулы очевидны,
Фиг. 20.
между продолжениями радиу-
сов-векторов Земли и соответ-
ственными геоцентрическими
направлениями на комету. По
cos 0! и cos 03 можно найти
принадлежащие этим углам
синусы. Если, однако, косину-
сы близки к единице, синусы
определятся ненадёжно и луч-
ше обратиться к следующим
формулам, вытекающим из фиг. 20, где обозначения понятны:
sin б, sin Wi =sin pz,
sin 0Z- cos Wi = cos pz sin (X/ — Li)
(1 = 1, 3).
(8.64)
Заметим, что эти уравнения можно получить и не обра-
щаясь к чертежу. Если из выражений (8.64) исключить пара-
метр w, возводя уравнения в квадрат и складывая, результат
явится простым следствием уравнений (8.63). Но углы w нам и
не нужны.

§ 67]
СПОСОБ ОЛЬБЕРСА В ЭКЛИПТИКАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
221
Для определения хорды возьмём разности гелиоцентрических
координат кометы согласно уравнениям (8.61) и, положив
Afpx COS рз COS k3 — pi COS COS kx = Zzpi COS c COS H,
cos p3 sin k3 — pi cos Pi sin kx = 7?px cos Z sin H,
sin ^3 —pi sin px = Api sins,
R3 cos L3 — R± cos Lr = g cos G,
R3 sin L3 — Rr sin Lx — g sin G,
J- (8.65)
получим, как и прежде,
s2 = g2 + 2gh cos C cos (Я - G) px + Л2р2,	(8.66)
а для вспомогательных величин выведем формулы более удоб-
ные, чем (8.65), именно
h COS s COS (Я — kJ = M COS Рз cos (k3 — kJ — COS P
h cos C sin (Я — kJ = 71/ cosp3 sin(k3 — kJ,
h sin С = M sin ps — sin pn
g cos (G — L J = R3 cos (L3 — L J — Rv
g sin (G — L J = R3 sin (L3 — L J,
(8.67)
Положим в заключение
cos x = cos C cos (Я — G),	(8.68)
а также
sin x sin w = sin sin у cos w = cos Z sin (Я — G) (8.69)
и у нас будет
s2 — g2 + 2gh cos xPi +	(8.70)
Далее заменим (8.62) и (8.70) такими выражениями:
г2 = (рх + Ях cos 6 J2 + Я2 sin2 6Х = (рх + /J2 + Z2,
rl = (М?1 + Я3 cos 6J* + Я2 sin2 63 = М [Р1 + /3)2 + Z2],
*2 = (Л?1 + g cos х)2 + g2 sin2 х = h [(рг + /)2 + Z2],
где
fl1cos61 = /1,	fi1sin61 = Z1, 1
§cos63 = /3,	§sine3=Z3, I	(871)
fcosZ = /. f Sin Z=--Z, j
и введём вспомогательные углы
=	tg%=^(	(8.72)

222
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ	[Гл. VIII
тогда, очевидно, будет
r1 = l1 sec r3 = Ml3 sec Ф3, s = 7zZsecd). (8.73)
Получившиеся в результате наших преобразований формулы
особенно удобны для логарифмических вычислений.
Определение pj ведётся путём гипотез так же, как и в § 60:
взяв значение р1? вычисляем т\, г3 и sg — геометрическое значе-
ние хорды, кроме этого, согласно (8.26) и (8.27) имеем
<8-74)
что даёт динамическое значение хорды. Должно быть найдено
такое pi, при котором sg=sd.
Если необходимо сделать второе приближение, улучшив отно-
шения площадей треугольников и введя m (если оно ещё не
было введено), эту процедуру следует выполнить по указа-
ниям § 62; если решено не делать второго приближения, можно
прямо вычислять элементы орбиты.
Зная Pi, находим р3 по одной из формул
р3 = 71/pi или р3 = Л/pi + т\	(8.75)
затем на основании уравнений (3.10) пишем
rt cos bt cos (lt — Lf) = pz cos cos (kf — Lt) +	1
rzcos6z-sin(Zz —Lz) = pz cosp/sin(kf —Z.J, I (i = l, 3). (8.76)
плоскости орбиты прежде
всего замечаем, что ес-
ли 13 —0, наклонение
i < 90°, если 13 — li < 0,
i > 90°.
Из уравнений (2.60)
следует:
tgZsin(Z1-Q) = tg61,
tgZsin(Z3 — ^) = tg b3.
(8.77)
Эти уравнения можно
Фиг. 21	получить и из рассмотре-
ния треугольника на ге-
лиоцентрической небесной сфере (фиг. 21) между положением
кометы К, узлом орбиты Q и точкой Q.

223
СПОСОБ ОЛЬБЕРСА В ЭКЛИПТИКАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
§ 67]
Разлагая во втором равенстве (8.77) Z3 —-ft=(Z3— 4)+ 4—ft,
имеем
tg = tg i sin (Z3 — ft)' cos (Z3 — Zt) + tg i cos (Zj — ft) sin (Z3 — ZJ =
= tg by cos (Z3 — ZJ + tg i cos (Zj — ft) sin (Z3 — Z3).
Отсюда вытекает
tgi COS (Z,- ft) = -3~ХиСО8г(!3~г1) •	<8-78>
bill (C3 — LjJ
Уравнения (8.77) и (8.78) дают i и ft. Те же формулы (2.60)
или фиг. 21 позволяют написать
tg u-l = tg (Zi — ft) sec i = r	,
® 1	°7	cos (Zi—ft) sin i ’
tgw3 = tg (Z3— ft)secZ = —/y tg .
03	3	cos (Z3— ft) sin i
Из формул
2	1	2	1
r1 = ^sec2yr1 и r3 = gsec2yV3
находим
cos4^= 1
Уч	УУ.
cos|d3_ t
Уч ~ УУ ~
1	1 ,	x -	1	.	1 /
cos — v-! cos — (r3 — Vi) — sm — vx sin — (v3 — vx)
V ч
1 1
Но, так как — (v3 — ux) = у(w3 — zzx),
. 1
sin —	i
—7^ = -7^ctg-(a3 — u1) — -7= cosec - (n3 —wj;	(8.81)
V <? Vry 2	yr3 2 
по уравнениям (8.80) и (8.81) вычисляем ux и q. Затем имеем
(1) = ^! — гх,	v3 = u3~ cd.	(8.82)
Зная и и3, берём Мг и М3 из таблицы Баркера и по (8.40)
отыскиваем Т\ тем самым определение орбиты заканчивается.
Для вычисления представления среднего наблюдения кометы
найденными элементами применяем уравнения (2.51), (2.50),
(2.32) и (3.10).

224	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ	[Гл. VIII
По поводу представления среднего места сохраняют силу заме-
чания § 63; к ним добавим ещё следующее.
Если среднее место представляется не вполне удовлетвори-
тельно, можно, обозначая вычисленные значения координат ко-
меты Х20 Ргс, найти
и сравнить 1С со значением /, вычисленным согласно (8.51).
В случае заметного расхождения можно применить приём эмпи-
рического исправления М, указанный Карлини, именно, поло-
жить в основу вычисления исправленной орбиты значение М,
которое найдётся, если изменить lg tgl в сторону, противопо-
ложную получившемуся расхождению, на величину этого рас-
хождения:
lg tg = lg tg I + (lg tg I — lg tg Ic).	(8.84)
Пользуясь Z#, вычислим M по приведённым выше выраже-
ниям, сохраняя не зависящие от М величины без изменений.
Если уклонение в I получилось за счёт неточности приближе-
ний в способе Ольберса (а не вследствие вычислительных оши-
бок), приём Карлини может в некоторых случаях значительно
уменьшить расхождение в Z и вообще покажет, куда надо изме-
нять М при улучшении орбиты. Однако напомним, что если
даже вычисленное второе место кометы ляжет строго на основ-
ной круг, это ещё не гарантирует безупречного согласия наблю-
дённых и вычисленных координат или особой точности элемен-
тов орбиты. О последнем следует судить только по представлению
наблюдений, не входивших в вычисление орбиты.
§ 68.	Сводка формул
А. Исходные величины
М? Pi,	]
^2» ?2’ ^2> ^2>	(I)
*3>	?з> ^3, ^Зе J
Координаты кометы и Земли должны относиться к одному
и тому же равноденствию, предпочтительно к началу года на-
блюдений, а не к нормальному равноденствию. Если из предва-
рительной орбиты известны расстояния кометы от Земли, можно
исправить моменты наблюдений за аберрационное время и коор-
динаты кометы за параллакс по указаниям § 31. По форму-
лам § 32 а и 8 заменяются через X и р. В широты кометы вво-
дится поправка за широту Солнца по формуле (4.12). Если

§ 68]
СВОДКА ФОРМУЛ
225
вычисляется первоначальная орбита, всеми этими поправками
можно пренебречь. О точности вычислений см. § 65.
В. Вспомогательные величины
cos = cos cos (kj — Lj), cos 63 = cos [33 cos (k3 — L3), (II)
< 180° и 63 < 180°.
Если значения cos6j и cosG3 близки к единице, вычисляем
по формулам:
sin Gj sin = sin p,	sin 63 sin w3 = sin p3,
sin 6i cos Wi = cos Pi sin (kx — Lx),	sin 63 cos w3 = cos p3 sin (k3 — L3).
Углы w не нужны.
Контроль: sin 6 и cos 6 должны соответствовать одному
углу.
gcos(G — L1) = 7?3cos(L3 — LJ — Rlt I
gsin (G —LJ =/?3sin (L3 —Z,j),	(Ш)
g>0,
•tg/=-.	(IV)
& sm(Z2— L2)	v 7
С. Первое приближение
м = *з~ *2 Sin ctg I - cos {*! sin (Ях - L2)
t2 — ZL cos (S3 sin (Z3 — L2) — sin ^3 ctg I *	' '
Если налицо исключительный случай (числитель и знаме-
натель тригонометрической части М очень малы), вычисляем
tg (П — L2) = tg (Х2 — L2) sec21.
Можно взять любое из двух значений II.
tg/= .	,	(IVa)
& sin (Л2 — П)	'	7
м = sir‘ Pl ctg J - cos Pl sin (*i - n)	/V	x
t2 — cos й3 sin (Z3— II) — sin P3 ctg J ’	'	'
h cos C cos (H — kJ = M cos рз cos (k3 — kJ — cos	]
h cos C sin (H — kJ = M cos p3 sin (k3 — kJ,	|
Л sin s = M sin (33 — sin	V (VI)
cos у = cos C, cos (H — G),	|
h >0, C < 180° и у < 180°.	J
Если cosx близок к 1, вычисляют no формулам:
sin х sin w = sin
sin x cos w = cos C sin (H — G).
15 А. Д. Дубяго

226
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
[Гл. VIII
Контроль: sin/ и cos^ должны соответствовать одному
углу.
/1 = 7?1cos61,	/3 = §cos63,	/ = 4cosz, 1
R	g	(VI1)
Z1 = 7?1sin61, Z.^^sinOg, Z = -|-siny.
1	1	1 ’	8 M 8	h A /
Первое значение pj берётся наугад, затем вычисляется
tg^^-1 >
к
1* — ___х -
1 cos фх *
_	(£3 — *i)
(Гх + Гз)1
tg^-s^3,
63
Z3M
Гз “ cos ф3 '
,	»<1 = (',1 + Гз)7)Н>
tg ф=,	)
th	[
s* = -^’	>	(VIII)
1g 2А = 8,536611.
рь по аргументу т] берётся из таблиц ([2, 10, 13] и табл. XXI);
pi варьируется с применением приёмов интерполяции, пока не
будет sg = sd.
Рз = ^Р1.	(IX)
D. Второе приближение
Если промежутки времени невелики, а гх и г3 не очень
малы, можно обойтись без второго приближения. Если же оно
необходимо, вычисляются
= -4pi, t2 = t2 Лр2, t3 = t8 Лр3,
A=Qd,005772 1g Л-7,7614. J	}
Лр2 получается линейной интерполяцией по времени между
Лр1 и Лр3.
т2==Л^-ф t3=A(Z2°-O
= 21 1 4	(тз-,ч) ।	(г3 — гг)
”з Ъ^3 ^(rj + rg)3"1- (Г1 + Г3)4
В исключительном случае вычисляется также
__ 4	(^2	+ т3)	4x^3 (Гз-rJ
пз	тз 3 тз (Г14” гз)3	(г1 + гз)4
__ 21 sin	Pl ctg	I — cos px sin (Ях —L2)	\
n3 cos	p3 sin	(Я3 — L2) — sin p3 ctg I 1	।
m cos 03 sin (Я3 —L2) — sin 0з ctg / [ n3S^n
— 7Z3sin (L3 — L2) ] .
(XI)
(Xia)
(XII)

§ 68]
СВОДКА ФОРМУЛ
227
В исключительном случае
М___пг sin Pi ctg J — cos sin (Zi— П)
n3 cos p3 sin (Л3 — П) — sin p3 ctg J ’
m =  □ . ..—1----- B t = Г R, sin (П - Л) - > (XUa)
cos p3 sin (Л3 — П) — sin P3 ctg J L пз 1	'	7	|
-^fl3sin(n-L2) + 7?3sin(n-La)]. J
Во втором приближении вместо M берётся (2lf) = Jf+^ ,
где р! есть результат предшествовавшего приближения, затем
вычисляются (VI) —(IX).
Е. Вывод элементов
rf cos bt cos (Zz —	= pz- cos pf sin (a£ — Lf) + 7?f, j
rf cos bi sin (li —	= pf cos £z- sin (kz- —Lt), (Z = 1, 3).
Tf sin bt = pf sin pf	J
Контроль: Значения rx и r3 должны совпадать
зультатами последней гипотезы.
tgZsin (Zx — ^)=tgfe1,	)
,	•	/7	tg Ьо — tg Ъг cos (Ь3—L) >
tg i cos (lt - Q) =	^(4-i.zJ3 V • j
Контроль: tg Z sin (Z3 — <Q) = tg b3.
Если Z3 —Zx > 0, i < 90°, если Z3 —Zx < 0, i > 90°.
tg Ui = tg (Il - Q) sec i = 1п(с^1 _Q-j 0 = 1,3).
SU1 ъ COS — d f. I
(XIII)
с ре-
(XIV)
(XV)
Можно пользоваться той или другой формулой, смотря по тому,
что больше по абсолютному значению — cosZ или sinZ. Если b > 0,
0 < и < 180°, если Ъ < 0, 180° < и < 360°.
Контроль: S = -| (ri + r3 + s),
t 1 / v _/ (2-г,) (2-r3)
tg 2 (“3 Mi)~ V 3(2-s) ’
ИЛИ
.	1 7	,	,/ (2-Г!)(2-Г3)
sin y («3 - «>) = |/ --------------•
®1П TГ1 1	.	1 7	>	1	1 7	ч
~	= -7= Ctg — (и3 — u3) — -7= cosec - (и3 — wj,
c (XVI)
V 4. V rv ’
«) = иг — ux,
V3=-U3 — 0).
15*

228	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ	[Гл. VIII
1
cos —	t
Контроль: -------
/ Гз
По аргументам иг и из таблиц Баркера берутсяЧ[М1
- M3qK	(XVII)
Контроль: Оба значения Т должны согласоваться в пре-
делах точности вычислений.
F. Представление среднего места
По аргументу М2 берётся г2 из таблиц Баркера.
r2 = ?sec21»2,	и2 = г2 + <о,	)
р2 COS Р2 cos (k2— SI) = r2 cos u2 —R2 cos (b2-ft),	j- (XVIII)
p2 cos p2 sin (X3—ft) =r2 sin u2 cost — T?2 sin (L2 —ft),	|
p2 sin (3 = r2 sin u2 sin г.	J
Относительно расхождений между наблюдёнными и вычислен-
ными координатами см. § 63, а также о приёме Карлини для
улучшения орбиты — в § 67.
§ 69. Пример
Даны следующие наблюдения кометы 1921
А. Д. Дубяго в Казани:
I Дубяго, полученные
I №	Ср.гр.вр.	а1921>0	®1921,0
1 1921 апр.	24,32957	б'‘22’и188,58	+ 45° 4' 2",7
2	29,32123	6 49 14 ,37	+ 45 7 ’12,9
3	мая	3,28454	7 11 38 ,83	+ 44 52 15,2
Поправки за аберрационное время, за параллакс и за широту Солнца				
не вводились.	1	2	3	
а =	= 95°34'29"	101°18'36"	107°54'42"	е=23э26'58"
	= 4-45 4 3	+45 7 13	4- 44 52 15	i е= 11 43 29
sin а	9,99794	9,98990	9,97842	sin 1- е 9,30795
COS 5	9,84897	9,84857	9,85046	
COS а	8,98763/1	9,32879п	9,48791п	
га sin М	9,85000	9,85040	9,84850	
т, cos М	9,84691	9,83847	9,82888	

ПРИМЕР
229
§ 69]
M=	= 45°12'14"	45°47'12"	46°17'38"
М-г=	= 21 45 16	22 20 14	22 50 40
sin (M — e)	9,56894	9,57985	9,58909
m	9,99897	9,99503	9,98942
cos (M — e)	9,96792	9,96613	9,96453
cos p sin Л	9,96689	9,96116	9,95395
cospcos Л	8,81660л	9,17736л	9,33837л
sin 3	9,56791	9,57488	9,57851
cos p	9,96808	9,96696	9,96634
M — J e =	33°28'45"	34°3'23"	34°34'9"
2 COS a	9,28866л	9,62982n	9,78894л
sec 3	0,03192	0,03304	0,03366
sin	9,74165	9,74826	9,75389
.	17 m sin — e	9,30692	9,30298	9,29737
cos(m —	9,92121	9,91825	9,91564
sec -1 (d+p)	0,07831	0,07937	• 0,07924
sin (Л — a)	8,36915л	8,71410л	8,87386л
sin 4-($-₽)	9,30644	9,30060	9,29225
Л — a =	+ 1° 20'26"	- 2°58' 4"	- 4°17'21"
4 («-?) =	+11 41 1	+ 11 31 31	+ 11 18 10
л=	94 14 12	99 20 32	103 37 20
p=	+ 21 42 0	+22 4 10	+ 22 15 55
L=	214	4 23	218 55 29	222 46 ’ 9
R	0,00267	0,00324	0,00368
и	1	з
cos₽	9,96808	9,96634
cos (Я — £) 9,69681га 9,68758га
cos 0	9,66489га	9,65392га
sinO	9,94780	9,95068
III cos (£3—£,) 9,99497
sin(£3—Li) 9,17954
R3 cos4L3 — £x) 9,99865
gcos(G- Lj)
gsin (G — L-j
G-Lx
7,9Ь7Ып
9,18322
93°28'57"
IV	tg 9,60792 G	307 33 20
sin (Я2 — £)3 9,93934zt g	9,18402
tg£ 9,66858
V	t3-t2 0,59805	TiZtg 9,89981
0,69824
sin Pj 9,56790 sin(Ax—£.) 9,91501
sin 83 9,57852 sin (Л3-L3) 9,95620
I	9,89932га	III	9,92254л
11	9,88309	IV	9,90994.
Числит.	8,46376га	Знам.	8,37894л

230
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
[Гл. VIII
Чтобы судить о возможности применения способа Ольберса, получим
из этих величин, являющихся числителем и знаменателем тригонометри-
ческой части М в формуле (8.52), величины г и 3, равные синусам
сферических перпендикуляров, опущенных из первого и третьего мест
кометы на основной круг. Из сравнения с выражением (8.50) видно, что
найденные числитель и знаменатель должны быть умножены на sin I.
sin! 9,62588
8,08961м	8,00482м
arc sin x — 0°42'25" arc sin— 0°34'46/r.
Эти величины приблизительно в семь раз меньше соответственных
перемещений кометы по небу, считая по дуге большого круга, т. е.
основной круг образует с кругом, проходящим через первое и третье
места кометы, угол порядка 8°. Следовательно, от способа Ольберса
лучше отказаться.
Чэ (^2 ~~	0,24590	sin (Л2 — П)	8,90246
cos2/	9,91458	tg!	0,70546
П-!2	= 64°59'58"		
П	=283 55 47		
sin	9,56790	sin (Л, — П)	9,22601
sin £з	9,57852	sin (л3 — П)	7,72180
I	8,86244	III	7,66814
II	9,19409п	IV	8,87306л
Числит.	8,92166л	Знам.	8,84372л
М	9,97775	sin J	9,99173
1	8,91359л	3	8,83545л
arc sin i=	-4°4Г,56"	arc sin 3=	- 3°55'32"
Значительно большие величины & х и у 3, полученные сейчас, позво-
ляют надеяться, что ошибки наблюдений не слишком вредно повлияют
Eda положение основного круга и, стало быть, на определение М.
VI	cos (Л3 — Лх)	9,99415	h sin £	7,98944м
	М cos р3	9,94409	h sin £	9,19337
	sin (Л3 —	9,21239	cos $	9,99915
	М sin [53	9,55627	h	9,19422
	М cos рз cos (Л3 — Лх)	9,93824	H-G =	-100q2'13"
	h cos £ cos (Н — Ях)	8,79024м	cos(H-G)	9,24125м
	h cos £ sin (Я —Лх)	9,15648	cos/	9,24040m
	Я-Лх =	113°16'55"	sinx	9,99333
	Я=	207 31 7		
VII	Я3:М	0,02593	g : h	9,98980
	/1	9,66756м	/3	f	9,23020м
	h	9,95047	13	9,97661	I	9,98313
	fi<=	-0,46511	/3=		f=	-0,16990
		1,М	9,95436 Ih	9,17735
	t3 —	0,95207	( ^3	^1)	9,48868
VIII	р,=		1,00000	1,10000	1,09928
	Р1+/1	9,72826	9,80270	9,80221
	Р1 + /3	9,71728	9,79346	9,79296
	Р1+/	9,9191’3	9,96853	9,96819
	cos фх	9,93332	9,91104	9,91120
	cos ф3	9,94254	9,92229	9,92245
	COS ф	9,87913	9,85666	9,85682

§ 69]
ПРИМЕР
231
	7*1	0,01715	0,03943		0,03927
	гз	0,01182	0,03207		0,03191
	Sg	9,29822	9,32069		9,32053
	Г1 + г3	0,31553	0,33679		0,33663
	('Т + ГзР	0,47329	0,50519		0,50495
		9,01539	8,98349		8,98373
	U	0,00019	0,00017		0,00017
	$d	9,33111	9,32045		9,32053
	sg~~sd	-3289	+24		0
IX	Pi	0,04111		Рз	0,01886
X	.4pi=	-0,00635	Лт2= -0,00617	Лр3=	-0,00603
		24,32322	t;= 29,31506	t3=	33,27851
	*3-f2	0,59807	0,95208		0,69826
	*4	8,83365	т2	9,18766	T3	8,93384
XI		9,08747	1 : (г!+гз;	I4	8,65348
	1 : (г1 + гз)3	8,99011	'з-'Т		8,26491м
		8,24775	г!		7,66730
	Т2+Т3	9,38006	^3		7,76749
	4 з"	0,12494	4		0,60206
	I	9,89981	I		0,25382
	II	6,45027	II		Z, 58258м
	X}	9,89996	2		0,25289
	III	5,18775м	III		5,28794м
	: п3	9,89995	1 : м3		0,25289
XII		0,07794	I		9,87519
	М	9,97789	III		9,94615
	sin (П —	9,97257	a		0,21315
	sin (П —L2)	9,95728	и		0,21341м
	sin (П —L3)	9,94247	i+ii+iii		6,98815m
	т	8,14443	Знам.		8,84372m
	т : pi	8,10332			
	(М)	9,98365			
С этим значением (М) было вычислено второе приближение, кото-
рое дало следующие результаты:
H =	203°9'47zr	2Л (t3 tj)	9,48869
h	9,18673	7*1	0,05574
cos C,	9,99979	Г3	0,05054
/з =	-0,47201	s	9,31175
h	9,97071	Pi	0,06812
	— 0,24690	Рз	0,05177
I	9,98346		
Довольно значительное расхождение в р и г между результатами
первого и второго приближения делает желательным третье прибли-
жение. Третье приближение дало:
^Pi= - 0,00675
t?=	24,32282
Ч 8,83365
+р2	- - 0,00661
t°	=	29,31462
т2	9,18766
Лр,= - 0,00650
t°=	33,27804
т3 =	8,93383

232
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ
[Гл. VIII
пг : п3	9,89995	/,= _о,4697О	
1 : п3	0,25301	13	9,96858
М	9,97789	f =	- 0,27536
т	8^30943	I	9,98212
: рх	8,24131	(^з — ^1)	9,48869
(М)	9,98578		0,06186
	201°32'32,/		0,05763
h	9,18472	s	9,30843
cos С	9,99991	Pl	0,07757
		Рз	0,06335
третьего приближения
можно
приступить к вычи-
С результатами
слению элементов.
1
XIII	sin (Л—Л)	9,93825/1	9,94120n
p COS p	0,04565	0,02969
cos (Л — L)	9,69681/1	9,68758.n
p cos p cos (Л — L)	9,74146/1	9,71727//
r cos b cos (Z — L)	9,65657	9,68752
r cos b sin (Z — L)	9,98390//	9,97089/'
l-L =	- 64°47'51"	-62O29'31"
r sin b	9,64547	9,64187
r cos b	0,02734	0,02299
tg &	9,61813	9,61888
r	0,06186	0,05762
V~r	0,03093	0,02881
1 =	149°16'32"	160o16'38"
XIV	Z3-Z1 =	11 0 6	Zi-^l	83 59 57
sin(Z3-Zj)	9,28066	tg i	9,62053
cos (Z3 Zj)	9,99195	i	22°39'17"
cos(Z3—Zt)	9,61008	sin i	9,58566
Числит.	7,92108	cos i	•9,96513
tg <8111(1,- Ц)	9,61813	Q	65°17'5" ’
tgi cos(Z1 — Q)	8,64042		94 59 33
tgGi-Q)	0,97771	sin (Z3 -	9,99835
XV
tg(Z3 —	l,05871n	s =	1,24920
tg	1,01258	S-r,	8,98281
tg U3	1,09358/1	2- r3	9,03064
U1	84°27'5"		0,09663
^3	94 36 32	S — s	0,01943
2-(u3- ux) =	5 4 44		9,00672
?! =	1,15308	/S(3-s)	0,05803
?3 =	1,14189	tgy (“з- «1)	8,94869
s =	0,20344	1 / 9 (M3 — Ml) —	5°4'40#
rl + r3 + S =	2,49841		

§ 09]
ПРИМЕР
233
XVI	1 , tgy («з-«1)	8,94879	1’1 =	- 11°21'20"
	sin (и3	и,)	8,94708		0,02879
	“ I	1,02029	<1	0,05758
	II	1,02411		0,08637
	sin у V, :	8,95654п	«3 =	- 1°11'53"
	cos у Ui: / <7	9,96907	CD =	95 48 25
XVII	М,	0,91384	м3	9,93430
		1,00021	м34	0,02067
10,0049	1,0487
	Т = мая 4,3277			Т = мая 4,3272 Ср. гр. вр. е менты 4,3272 Ср. гр. вр.			
	T =	T O) ft i lg?	4,3267 Эл 1921 мая				
				95°48'25" 65 17 5 22 39 17 0,05758	1921,0		
XVIII			0,70006		cos (L2 - £#		9,95232*?
	м2		0,6136971		R,		0,00324
	V2		- 5О43'2'		sin (£. - Q)		9,6473971
sec	2 — V 2		0,00108	р2 cos	?2cos(A2-Q)		9,95470
			0,05866	р2 COS	p2 sin (Л2-Ц)		9,78460
	u2 		90°5'23"		^-ft	=	34°3'21"
	sin u>		0,00000		P2 Sin p2		9,64432
	cos u2		7, 1947871		P2 COS j$2		0,03641
7*2	sin u2		0,05866		Л2	=	MW"
Г 2	cos u2		7,25344тг		32	= 4-22 4 8	
— R2 cos (L2 г2 sin и	о cos i		9,95556 0,02379		°-c{ др	=	+6 + 2
— R, sin (L2	-ft)		9,65063тг				
Эти уклонения вычисленных и наблюдённых координат второго
положения кометы не превосходят ошибок наблюдений. Для сравнения
можно привести, что элементы, вычисленные после второго приближе-
ния, дали следующие отклонения: ДЛ=4-4Э", Д^=4-4" и достигнутая
точность была бы недостаточна. Элементы, полученные из более про-
должительного срока наблюдений, показали, что орбита кометы—эллипс
с периодом около 67 лет, но на небольшом промежутке времени, на
который опирается данная орбита, отклонение от параболы незаметно.
Три проделанных приближения представляют значительную вычи-
слительную работу. Если бы определение орбиты велось по методу
Ольберса, первое приближение, вероятно, не дало бы вполне удовлетво-
рительных результатов и, возможно, по окончании вычисления элемен-
тов пришлось бы варьировать М, а затем определять его вероятнейшее
значение. Затраченный на это труд был бы больше, чем вычисление
по изложенному выше способу.

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
ЧИСЛЕННЫЕ СПОСОБЫ УЧЁТА ВОЗМУЩЕНИЙ
§ 70. Введение
Орбиты малых планет и комет, вычисленные по изложен-
ным выше способам, не могут полностью согласоваться с даль-
нейшими наблюдениями по двум причинам: во-первых, ввиду
того, что эти орбиты опираются на наблюдения, обладающие
лишь ограниченной точностью, а поэтому полученные элементы
будут уклоняться от истины, причём разногласие с поздней-
шими наблюдениями будет с течением времени нарастать, и
во-вторых, вследствие возмущений от больших планет, кото-
рыми обычно можно пренебречь на протяжении небольшого
промежутка времени, охватываемого наблюдениями, входящими
в вычисление первоначальной орбиты, но в дальнейшем воз-
мущения увеличиваются всё более и более. Ввиду сказанного
нельзя рассчитывать, что после нескольких лет вообще удастся
найти на небе данное светило, если не позаботиться об испра-
влении его первоначальной орбиты и об учёте возмущений.
Точное вычисление возмущений возможно только в том
случае, если орбита достаточно хорошо известна, так как воз-
мущения зависят от расстояний между возмущающими планетами
и возмущаемым телом; обратно, получение точной орбиты
невозможно без знания возмущений. Так естественно наме-
чается путь приближений. Сначала вычисляется невозмущён-
ная орбита по наблюдениям сравнительно немногочисленным,
затем учитываются возмущения, после этого орбита улучшается
при помощи большего числа наблюдений, что позволяет снова
и точнее учесть возмущения, и т. д. Конечным этапом, так
сказать, завершением этого процесса является построение теории
движения данного тела, где возмущения представлены в виде
аналитических выражений, зависящих от времени или связан-
ных с временем аргументов. Однако вычисление возмущений
аналитическим способом, так называемых абсолютных возмуще-
ний, сопряжено для малых планет и комет со значительными

§70]
ВВЕДЕНИЕ
235
трудностями из-за того, что эксцентриситеты и наклонения,
по степеням которых разлагаются выражения возмущений, для
этих тел обычно нельзя считать малыми.
Другой способ учёта возмущений — численный, или так
называемый способ частных возмущений,—требует численного
интегрирования дифференциальных уравнений движения, или
дифференциальных уравнений возмущений, на протяжении всего
изучаемого периода времени, что может стать делом крайне
утомительным, если изучается движение небесного тела за
много лет. Зато этот способ прост, применим (в том или ином
виде) к любой орбите и, пользуясь им, очень легко достичь
всей желаемой точности. Если исследуется не слишком боль-
шой промежуток времени, вычисления не представляют чрез-
мерного труда. Динамика нашей солнечной системы может
быть полностью понята только ша основе абсолютных возму-
щений, но частные возмущения совершенно необходимы на прак-
тике. Только они дают нужную точность одновременно
с быстротой вычислений, и поэтому мы коснёмся только их
в теории определения орбит.
Частные возмущения могут быть получены различными
способами. Можно прибегнуть к интегрированию дифферен-
циальных уравнений движения в прямоугольных координатах
и определять сами возмущённые координаты, как это впервые
сделали Коуэлл и Кроммелин. Можно заменить обычные прямо-
угольные координаты, специальными координатами, что поз-
воляет в случае малых планет увеличить интервал времени,
положенный в основу процесса интегрирования; способ этот
был разработан (в 1920-х годах) и широко применялся в Ин-
ституте теоретической астрономии в Ленинграде.
Затем можно вычислять отклонения возмущённых пряхмо-
угольных координат от тех же величин в невозмущённом дви-
жении— так называемый метод возмущений прямоугольных
координат, предложенный Энке и Бондом. Можно прибегнуть
с этой целью и к полярным координатам, как это особенно
рекомендовал Ганзен; впрочем, его метод теперь почти не при-
меняется на практике. Наконец, можно интегрировать диф-
ференциальные уравнения возмущённого движения способом
вариации произвольных постоянных Лагранжа. При возмущён-
ном движении элементы кеплеровой орбиты, характеризующие
решение задачи двух тел, уже не будут постоянными величи-
нами, но будут зависеть от времени. Эти элементы, взятые
для некоторого определённого момента времени, будут харак-
теризовать так называемую оскулирующую орбиту, т. е. такую
орбиту, которая даёт координаты и скорости для эпохи оску-
ляции те же самые, что и координаты и скорости, соответству-
ющие действительной орбите. Слово «оскуляция» обозначает

236
ЧИСЛЕННЫЕ СПОСОБЫ УЧЁТА ВОЗМУЩЕНИЙ
[Гл.IX
соприкасание, и мы можем утверждать, что в каждый момент
оскулирующая орбита соприкасается с действительной, причём
элементы оскулирующей орбиты непрерывно меняются с тече-
нием времени.
§ 71. Способ Коуэлла
Из всех численных способов интегрирования дифференци-
альных уравнений возмущённого движения наибольшее распро-
странение получил в наше время способ интегрирования в пря-
моугольных координатах, обыкновенно называемый способом
Коуэлла, хотя уже Гаусс дал те формулы численного инте-
грирования, которые положены в основу второго и более точного
варианта метода Коуэлла. Мы будем рассматривать способ
Коуэлла только в этом виде.
Дифференциальные уравнения движения в прямоугольных
координатах были нами написаны для задачи двух тел, и нам
предстоит обобщить эти уравнения, данные в § 8, на случай
нескользких тел. Допустим, что кроме Солнца и рассматрива-
емого нами тела имеется ещё планета, которую мы назовём
возмущающей. Пусть масса этой планеты будет ти/, её рас-
стояние от Солнца —т\ и от тела—р1? прямоугольные коорди-
наты— xlf ylf Рассуждая, как в § 8, мы будем иметь уско-.
рения от возмущающей планеты для Солнца и для тела
ri
—2^- . Для получения дифференциальных уравнений относитель-
Pi
ного движения тела (относительно Солнца) следует добавить
к правым частям уравнений (2.2) соответствующие члены. На-
правляющие косинусы упомянутых ускорений:
Li	и х!~х Ут-v zi-z
?! ’ ?! ’ ?!	’ Fl ’ Pl
так как
Л = ^ + yl + z2lt =	—a;)2+ (?/! —y)2 + (Zi — z)a, (9.1)
где x, у, z— координаты возмущаемого тела.
Мы получаем новые дифференциальные уравнения в виде
£? = - (! + ”>> 7. + *•». (V1 -'
g	,„,Д !	>	(9.2)
^ = _4.(1 + т)£+4.га1^_^, J
причём движение тела рассматривается относительно центра
Солнца. Очевидно, если мы имеем несколько возмущающих

§ 71]
СПОСОБ КОУЭЛЛА
237
планет, каждая из них даст в (9.2) дополнительный член,
подобный последнему справа.
Интегрирование численным путём уравнений (9.2) не пред-
ставляет трудностей и может быть проведено, как было ука-
зано в § 25. Разумеется, массой т малой планеты или кометы
пренебрегают. Что касается членов — —* и им аналогичных, то
ri
они, очевидно, не зависят от координат возмущаемого тела
и могут быть табулированы для избранных дат, идущих через
промежутки в 10 дней и больше, вместе с самими координа-
тами yr, возмущающих больших планет. Эти данные
содержатся в специальных таблицах [32] для всех планет,
кроме Меркурия; они относятся к экваториальной системе
координат нормального равноденствия 1950,0. Кроме того, те же
самые данные (в том числе и для Меркурия) публикуются
на каждый год в «Астрономическом ежегоднике СССР».
Интервал интегрирования должен быть таков, чтобы раз-
ности высших порядков убывали достаточно быстро. При этом
можно придерживаться правила, что шестые разности табули-
руемых функций не должны превосходить 100 единиц послед-
него знака (т. е. выражаться в этих единицах двузначным
числом). Вообще говоря, интервал будет зависеть от расстоя-
ния тела до Солнца (что может иметь особое значение для
комет) и до возмущающей планеты и выбирать интервал сле-
дует с осторожностью, особенно следя, чтобы он не был слиш-
ком большим. В процессе вычислений, охватывающих длитель-
ный период движения тела, интервал приходится менять,
то удваивая его, то деля пополам. Основной интервал, приня-
тый в «Planetary Coordinates» и в «Астрономическом ежегод-
нике», равен 40 дням, и по международному соглашению
выбираются те даты, для которых целая часть юлианской даты
в 0h Вс. вр. делится на 40. Этих дат, конечно, и следует при-
держиваться в вычислениях возмущений малых планет и комет,
чтобы избегнуть ненужных интерполяций данных, относящихся
к большим планетам; естественно, что всего удобнее к ним же
относить эпохи оскуляций (последнее теоретически не обяза-
тельно и, в частности, эпоха оскуляции может падать посре-
дине между двумя табличными датами).
Недостатком метода Коуэлла является то, что для периоди-
ческих комет, подходящих сравнительно близко к Солнцу,
он мало удобен. Если, г становится .меньше, приблизительно,
2 астр, ед., интервал интегрирования должен быть 10 дней,
а если г <1,5 астр, ед., интервал нужно ещё уменьшить, что
уже не только неудобно, но и ведёт к ущербу точности.
В самом деле, количество вычисляемых интервалов при этом
значительно возрастает; что вызывает значительное накопление

238	ЧИСЛЕННЫЕ СПОСОБЫ УЧЁТА ВОЗМУЩЕНИЙ	[Гл. IX
ошибок, связанных с самим процессом интегрирования. В этом
случае следует переходить вблизи перигелия орбиты на способ
Энке.
Подробнее с применением способа Коуэлла на практике
и особенно с устройством таблиц координат больших планет
следует ознакомиться по введению к этим таблицам [32], а вывод
относящихся сюда формул не составляет большого труда.
Получение исходных координат и, если необходимо, скоро-
стей тела, а также и выполнение самого процесса интегриро-
вания происходят так, как и в § 25, только выражения (3.86)
для и т. д. заменятся на основании (9.2) следующими фор-
мулами:
/х = w2 g= -wV ^+2 w'khn,	(9.3)
и аналогично для у и z. Здесь индексы i относятся к различ-
ным возмущающим планетам.
При удвоении интервала никаких трудностей не возникает
и необходимо лишь установить новые значения членов ряда
вторых сумм (для первых сумм этого не надо делать, так как
они могут быть получены как разности соответственных вторых
сумм). Если написать формулу численного интегрирования (3.78)
для одной координаты ж, полагая в данном случае интервал
интегрирования w равным единице:
a=-n/+n/-^/n+i5i£»/’V + ---
то она одинаково применима и к двойному интервалу, для
которого мы обозначим соответственные величины заглавными
буквами, причём	следовательно, можно получить, вычи-
тая одно выражение из другого,
"F -	(/ - П - (/" - ₽-) + и (/'’ - ?>’) + • •,
Но из выражений производных функции через её разности
(формулы эти, между прочим, применяются при выводе способа
численного интегрирования, где их и можно найти), следует:
откуда мы будем иметь
Fn-lFiv+... = 16(/n-±/iv+..^t
Fiv + ... = 64/IV;

§ 71]
СПОСОБ КОУЭЛЛА
239
поэтому
/п = 1 рп_____3__Z7IV 4.
'	16	12-64	’
и мы находим требуемое выражение в таком виде:
nF="/-sF+AFn-eF,v+---	<9-4)
Обычно приходится, доведя вычисления до конца, получить
значения оскулирующих элементов для новой эпохи оскуляции.
Покажем, как это делается.
По формулам для вторых и первых интегралов находим для
новой эпохи оскуляции х, у, z, х', у', z' и из них вычисляем
r2 = x2 + y2 + z2,	1
г2' = хх' + уу' + zz', У	(9.5)
V2= x'2 + y'2 + z'2. J
При этом в качестве единицы времени при определении проек-
ции скорости удобнее взять у суток, после чего можно в даль-
нейшем положить к=1.
Из уравнения (2.28) мы будем иметь
1 =	(9.6)
Из формулы (2.40)
г = а (1 — е cos Е)	(9.7)
следует
Применяя (3.85), получаем
esin£*=^.	(9.8)
Уравнения (9.6) и (9.7) дают
е cos Е = rV2 — 1.	(9.9)
Для контроля может служить соотношение, вытекающее
из (9.6), (9.8) и (9.9):
а(1 — е2) = r2V2 — (rr')2.	(9.10)

240
ЧИСЛЕННЫЕ СПОСОБЫ УЧЁТА ВОЗМУЩЕНИИ
[Гл. IX
Отыскав Е и е, находим М, затем по формулам (3.31), (3.83)
и (9.7) определяем
Ах = аРх = — cos Е — cfix' sin Е,	1
Г ах	,	>	(9.11)
Вх = a cos^x = — sin Е+ (cos 2? — е) J
и т. д. Из этих величин получаются, как обычно, ш, и i.
§ 72. Сводка формул для способа Коуэлла
А. Исходные данные
Ими являются или координаты тела х, у, z для двух дат,
обычно — а и a~\-w, или координаты и проекции скорости х',
у', z' для одной даты а, или элементы орбиты. В последнем
случае вычисляем:
М = Мо + р. (t —10) = Е — е sin Е,
е" = 206264,80625 • е, е° = 57,29577951 • е,
г2 = х2 + 2/2 + Z2, Р? = (Xi — х)2 + (Уг — у)2 + (Zz — Z)2,
х = Ах (cos Е — е) + Вх sin Е,
у = Ау (cos Е — е) + Ву sin Е,
z = Az (cos Е — е) + Bz sin Е,
х' = (Z?x cos Е — ^sin^),
г у а
у' =	cos £ _ sin .
г у а
zf = -wk cos В — А^ sin E),
г V a.	j
k = 0,01720209895.
Контроль: rr' = xx' + yy' + zz' = wke a sin 7?.
В. Основные уравнения
fx = w^=-wW^ + X,
х=2№2^«(^г-гз)’
i
(»>+
+hf'. w«<»)+•-
i2 = 0,0002959122083
и аналогично для у и z.
(I)
(II)
(III)

S 72]	СВОДКА ФОРМУЛ ДЛЯ СПОСОБА КОУЭЛЛА	241
Координаты возмущающих планет, компоненты их действия
на Солнце и множители, связанные с их массами (и сами
массы), берутся из «Planetary coordinates» [32] или из «Астро-
номического ежегодника СССР».
В первом приближении вычисления производятся для не-
скольких дат, симметрично расположенных относительно даты
оскуляции, причём входящие в (II) величины берутся по фор-
мулам (I) для невозмущённых координат. Вычисления проде-
лываются снова с величинами х, у, ъ, полученными из (V),
затем этот процесс повторяется, пока не будут найдены окон-
чательные значения. Дальнейшие интервалы вычисляются, при-
нимая во внимание указания § 25. Вычисления могут вестись
безразлично вперёд или назад по времени.
В случае, если заданы координаты тела для двух моментов
или координаты и скорости для одного момента, образование
рядов сумм затруднено незнанием высших разностей в /т, /у, fz.
Процесс приближения остаётся тем же самым, но может
оказаться более длительным (см. § 25).
При удвоении интервала или при делении его пополам
пусть F относится к двойному интервалу, а / — к ординарному
интервалу; таким образом,	При удвоении
nF =п/_£г + —Fn_________*- FIV+..., (IV)
Г 7	16^^256	2048 Г -г-’*’	Vlv/
при делении пополам
и f __ Up I J_ p_L у?114. _J_ 7?IV — .
1 ~~	^16	256	^2048
и из двух значений, полученных по этой формуле, вычисляется
V (а + 4	= т [П/ (« + 2w) —п/ (a) — f (a + w)].
С. Получение возмущённых координат и скоростей
х = nfx(a + iw) + /х(а + iw) —
-A/IxI(a + ^) + 6-^-0/IxV(« + ^)...	]
х' = (a + iu>) ~^fx(a + iw) 4-
+^An(«+^)-64g-0/I(a+^)+...
Скорости выражены в единице времени, равной w суток,
и их следует разделить *на wk перед выводом элементов.
16 А. Д. Дубяго

[Гл. IX
242	ЧИСЛЕННЫЕ СПОСОБЫ УЧЁТА ВОЗМУЩЕНИЙ
D. Вывод элементов
r2 = x2 + y2 + z2,
rr' = XX' + уу' + Zz'9 ’
V2 = x'2 + y'2 + z'2. ,
Контроль:
г2 + 2rr' + V2 = (х + х')2 + (у + уУ + (z + z')2.
— — — — у2
а г ’
е sinE =	,
/а ?
е cos E = rV2~ 1, I
sin? = £.	/
Контроль:
а (1 — е2) = a cos2 ср = г272 — (rr')2.
М = Е — е sin Е,	1
е° = 57,29578, е" = 206264,81. J
Ах = аРх = х-^~ cos Е — х'а* sin Е,
Ау =аРу =у у- cos Е — у'а^ sin Е,
Az = aPz — z cos Е — z'cfi sin E,
Bx = acos <pQx = x-y sinE + x'a* (cosE — e)f
By —acoscpQy = y^ sin E + y'cfi (cosE — e),
Bz~a cos <pQz = sinjE* + z'a* (cos E — e).
(VI)
(VII)
(VIII)
(IX)
Контроль:
Л2„ + А2 + А2 = а2,
B2x + B; + B2=a2 cos2?,
+ Ay By + AZBZ = 0.

S 73]
ПРИМЕР
243
sin i sin о — Pz cos г — Pu sin e;
sin i cos o) = Qz cos a — Qy sin a,
sin <Q, = (Py cos w — Qy sin оз) sec a, >	(X)
cos Si = Px cos оз — Qx sin co,
cos i = — (Px sin co + Qx cos cd) cosec <Q.
Контроль: sin Z и cosi должны принадлежать одному
углу, то же самое для sin Si и cos^.
Число знаков, с которым вычисляются /ж, /у, fz и ряды
сумм и разностей, следует брать на два или три больше, чем
число знаков, которое должно быть получено в окончательном
результате. При вычислениях, охватывающих движение тела за
ряд лет, падение точности рядов сумм весьма значительно из-за
накопления ошибок при суммировании. Для приближённых
вычислений, опирающихся на не совсем надёжные элементы
орбиты, или предназначенных для получения разыскной эфеме-
риды светила, можно рекомендовать 6—7 знаков. В таких
случаях, как правило, достаточно ограничиться вычислением
возмущений от Юпитера и, может быть, от Сатурна. Точные
вычисления, при которых учитываются все планеты, оказыва-
ющие заметное действие на тело, следует вести с девятью
знаками; в случае пониженных требований можно взять на один
знак меньше.
§ 73. Пример
Для периодической кометы Брукса даны следующие исходные эле-
менты орбиты:
Эпоха и оскуляция 1939 г. сент. 24,0 Вс. вр.
м0	1°13' 2",76	
О)	195 41 2 ,18	
i	177 42 16 ,12 5 32 45 ,78	•1950,0
	29 4 55 ,49 >	
у.	510",63170	
Должны быть вычислены точные возмущения от Венеры, Земли,
Марса, Юпитера и Сатурна вплоть до следующего появления кометы
Прежде всего были вычислены, как и в § 25, векторные элементы.
Вычисления велись с девятью знаками. Для отыскания тригонометриче-
ских функций применялись фундаментальные таблицы Андуайэ. Это дало
Ах	+3,542231497
А	+0,807179987
Az	+0,246366781
Вх -0,737437500
В	+2,944871076
Bz	+0,954403606
Далее приводим вычисления координат и компонент скорости
кометы для эпохи оскуляции; кроме того, были вычислены координаты
16*

244
ЧИСЛЕННЫЕ СПОСОБЫ УЧЁТА ВОЗМУЩЕНИИ
[Гл. IX
для шести дат, симметрично расположенных относительно э^гой эпохи.			
М Е	1939 сент. 24,0 1°13'2",7600 2 22 5 ,5047	а sin ?	3,641378874 0,486062081
sin Е	+ 0,041621045	cos	0,873924283
cosE	+ 0,999145921	е"	100257,5010
cos Е — е	+ 0,513083840	a cos <р	3,182289422
X	+ 1,78699050	а	1,908239732
У Z	+ 0,535836158 + 0,165843768	г У а wk	3,574045899
х'	- 0,0425078129		0,0481306045
У'	+ 0,1400120441	г У а	
zf	+ 0,0454068136	хх' + уу'_ + zz'	+ 0,0065929141
		wke У a sin Е	+ 0,0065929140
Вс. вр	.	х	У	Z
1939 авг.	25,0	+18775329,42	+ 1077997,41	+ 271891,03
сент.	4,0	+18556525,50	+ 2518625,79	+ 738090,69
	14,0	+18254379,04	+ 3947215,71	+ 1200972,71
	24,0	+17869900,50	+ 5358361,58	+ 1658437,68
окт.	4,0	+17405011,04 14,0	+16862490,73	+ 6745402,38	+ 2108442,12
		+ 8102371,05	+ 2549046,91
	24,0	+16245892,03	+ 9423766,99	. +2978460,51
Координаты приводим в единицах седьмого знака, имея в виду, что
в тех же единицах даются компоненты возмущающих сил в таблицах
планетных координат. Прямой необходимости в вычислении скоростей
не было, так как сами координаты получены с достаточной точностью
для отыскания скоростей численным дифференцированием по времени.
Это и было выполнено (см. ниже) и вместе с контролем, приведённым
раньше, дало достаточную проверку вычислений.
Величины /х, fz были вычислены в первом приближении, поль-
зуясь невозмущёнными координатами кометы, что позволило найти
начальные члены рядов сумм. На стр. 245 помещена провизорная интегра-
ционная табличка по одной координате х вместе с вычислением началь-
ных членов рядов сумм.
Приводим определение входящих в эту таблицу начальных членов			
рядов сумм:			
а: (а)	+ 1,7869900,50	х' (а)	- 425078,13
	+ 6705,52	+ 4 4(0	- 40233,15
+ 24(+	+ 3,59	+ 120	+ 196,30
	+ 0,02	ди (в) 720 'х V 7	+ 1,06
	+ 17876609,63	. 191 /V / \ +60480	+ 0,02
			- 465113,90
После этого были вычислены с целью контроля компоненты скорости
для эпохи оскуляции по формуле численного дифференцирования:
W (тД-а = (а) - I <*) +	“ ЙО ?V“ (в) + • ’ •

Вс. вр.	И/ JX				/П 1X	уШ 1 X		/v	
1939 авг. 26,0			-83485,81	+ 83,79					
Сент. 4,0			-83402,02		+ 927,18				
-				+ 1010,97		-13,40			
14,0			- 82391,5	+ 1924,75	+ 913,78	— 52,19	-38,79	+3,99	
24,0	+17876609,63	—465113,90	-80466,30	+2786,34	+ 861,59	— 86,99	-34,80	+6,76	+ 2,77
Окт. 4,0	+17411495,73	— 542793,86	' -77679,96	+ 3560,94	+ 774,60	-115,03	— 28,04		
14,0	+16868701,87	-616912,88	— 74119,02	+ 4220,51	+659,57				
/ 2‘-°	+ 16251783,99		—69898,51						

246
ЧИСЛЕННЫЕ СПОСОБЫ УЧЁТА ВОЗМУЩЕНИЙ
[Гл. IX
Входящие в неё значения разностей не все могут быть получены
из таблиц разностей невозмущённых координат. Седьмая разность
координат была принята равной пятой разности величин /х, fyi что
можно было сделать без чувствительной погрешности вследствие
малости численного коэффициента при этой разности. Результаты таковы:
(“)	х' -424684,00	у' + 1399083,34	z' +453734,70
	, -391,77	+ 1022,34	+331,88
+го?»	-2,31	+ 4,70	+ 1,53
хг, у', zr	-0,04 -425078,12	+ 0,06 + 1400120,44	+ 0,02 +454068,13
и они хорошо согласуются с х', у', zf, вычисленными выше.
Во втором приближении величины /х, fy, fz вычисляли интервал
за интервалом, начиная с эпохи оскуляции 1939 сент. 24,0, отыскивая
ж, т/, z по формуле (V), в которую подставлялись значения п/, выве-
денные из полученных в первом приближении начальных членов.
Входящие в формулу (V) /ж, fy, fz и их разности взяты тоже из первого
приближения. При этом обнаружилось, что в дальнейших приближениях
нет необходимости, ибо полученные в первом приближении исходные
члены рядов сумм не изменились. Ниже приводятся: начало интеграци-
онной схемы для х и вычисление ускорений для одной даты.
Вычисление ускорений велось на больших листах, так что каждая
дата занимала один столбец. Для координат планет и солнечных членов
были использованы данные «Planetary coordinates» и вспомогательные
таблицы, приложенные к этому сборнику. Работа происходила при
помощи счётной машины, таблицы квадратов и логарифмической линейки
для планетных членов. Кроме общего контроля по разностям на инте-
грационных листах, ускорения от планет контролировались по разностям
на отдельных листках. После нескольких первых интервалов планетные
члены (кроме Венеры) вычислялись через два интервала и интерполи-
ровались на каждую дату. Значительное внимание уделялось правиль-
ному образованию суммовых рядов: примерно через каждые десять
интервалов проверялось сложение при помощи арифмометра по сле-
дующей простой формуле:
п/ [а + (& + о w] = п/ (а + кш) + т/ £ а + (к + w J +
+ (Z^l)/[a + (/c + l)w] +
+ (Z - 2) f [а + (к + 2) w] + • • • + 1 • / [а + (к + I - 1) w],
которая одновременно гарантирует правильность первых сумм.
Вс. вр.	п/ж lfx fx	/?	У"1
1939 сент. 24;0 +17876609,63	-80466,30
-465113,90	+2786,40
окт. 4,0 +17411495,73	-77679,90	+774,64
-542793,80	+3561,04	-115,07
14,0 +16868701,93	-74118,86	+659,57
-616912,66	' +4220,61	-133,81
24,0 +16251789,27	-69898,25	+525,76
-686810,91	+746, 37	-142,96

§ 73]
ПРИМЕР
247
нояб. 3,0 +15564978,36	-65151,88	+382,80
-751962,79	+5129,17	-142,21
13,0 +14813015,57	-60022,71	+240,59
-811985,50	+5369,76	-W
23,0 +14001030,07	-54652,95	+108
-866638,45	+5478
дек. 3,0 +13134391,62	-49175	0
Курсивом вписаны экстраполированные значения разностей и /х,
необходимые для нахождения х. Можно было бы посоветовать пред-
варительно, до замены их окончательными значениями, вписывать их
карандашом, но в данном случае вычисления эти делались в уме, причём
записывались уже готовые значения координат. Эта экстраполяция всегда
давала окончательный результат и второго приближения не требовалось.
Дата		1939 дек. 3,0	X I	1 0	-0,06 -0,60
	X	+ 13130294	0 7 0	x i ~~ x	1	
	У	. +14265033	w2k2mL ——— 0?	V	0,00
	Z	+4555206	‘ г	21	+ 21,26
	г2	3,9664569		(я	+1,39
	1 : г3	0,12658898	II	fl и	-0,75
	w2k2 : г3	37459,225			-0,32
$	хг — X	-0,92	— w2k2mb ~		-0,04
	У1-У	-1,97	ri		-11,35
	Zj — Z	-0,73		u	-0,85
	pf	5,26			
	w2k2mr: р3	0,061	w2A2 4 Г3	0	-49185,06
	х2 — х	-0,98		fx	-49176,38
	У2-У	— 0,58			
	Z., — Z	-0,09	У	(?	-0,12
	Р2	-1,31		и	-0,36
	w2k2m.2 : р3 хз~~х	0,61	I		-0,10
<5		0,00		?	-3,56
	Уз~ У	-0,92		vfi.	+ 0,60
	z3- z	-0,26		r?	+ 1,03
	Pi	0,91		r < <5	-0,80
	w2k2m3 : p| я4 — X	0,11 + 3,561	II		-0,02 -1,94
	у± — у	-0,595		и	-0,46
	2 4 — z	-0,218		0	-53435,71
	Pi	13,082		fv	-53441,43
	W2k2m^ : p3	5,971	z		-0,04
я	x5 — x	+ 6,77		h {s	-0,05
	У 5 —У	+2,92	I		-0,03
	z5 — z	+ 0,99			-1,30
	W2k2m5 : p j	55,3 0,205	II	u p <6 U	+ 0,20 + 0,51 -0,34 -0,01 -0,56
				u	-0,15
				0	-17063,45
				A	-17065,22
В течение того времени, когда комета находилась на расстоянии от
нца, превышающем 3,5 астр, ед., вычисления велись с 20-дневными

248
ЧИСЛЕННЫЕ СПОСОБЫ УЧЁТА ВОЗМУЩЕНИЙ
[Гл. IX
промежутками времени. Нет необходимости приводить здесь переходы
с одного интервала на другой, так как они не представляют затруд-
нений. Возмущения были доведены до 1946 сент. 27,0 и затем были
вычислены координаты и компоненты скорости для новой оскуля-
ционной эпохи 1946 авг. 28,0, что дало возможность определить
элементы орбиты. Покажем, как вычислялись элементы орбиты.
X	+1,820603519	е	0,4846414
У	+0,443917934		28°59'20",33
Z	+0,136052980	cos ?	0,8747129
х'	-0,214771303	COS2 Ср	0,7651227
у'	+0,820516946	a cos2 9	2,7893190
z'	+0,266059381	е"	99964,46
г2	3,530170719	М	0° 18'2",98
гг'	+ 0,009426969	cos Е — е	+ 0,5153067
V2	+0,790162365	cos Е : г	+0,5322058
г	+ 1,878874855	— V a sin Е	-0,0194516
1 : а	0,274304486	sin Е : г cos ©	+0,0061988
а	3,645583835	a (cos Е — е) : cos у	+ 1,1248220
/а	1,909341204	Рх	+0,9731134
а:-	6,960663429	Ру	+0,2202953
Н	509",748481	Р.	+ 0,0672329
е sin Е	+0,0049373	Qx	-0,2302939
ecos Е	+0,4846162	Qv	+ 0,9256872
Е sin Е cos Е	0°35'1",38 +0,0101876 +0,9999481	Qs	+ 0,3001129
Отсюда были найдены to, Q и i, и в результате получена следующая
система элементов орбиты:
Эпоха и оскуляция 1946 авг. 28,0 Вс. вр.
Мо	0°18' 2",98
со	195	36	19	,00 >
Q	177	41	54	,46 I 1950,0
i	5	32	23	,35 J
©	28	59	20	,33
ц	509,74848
Вычисления по способу Коуэлла представляются наиболее простыми
по сравнению с другими методами, и единственная, правда, довольно
серьёзная трудность состоит в необходимости непрерывно контролиро-
вать многочисленные отдельные умножения и особенно суммирования
посредством хода разностей результирующих величин. Этот способ
требует меньших интервалов, чем другие способы, что, впрочем, в более
чем достаточной мере искупается простотой вычислений. При этом, если
светило далеко отошло от Солнца, интервалы могут быть увеличены.
Но особенные преимущества имеет способ Коуэлла при сильном прибли-
жении тела к одной из возмущающих планет. Для других методов
подобный случай (который нередко встречается у комет) создаёт особые
затруднения в связи с ростом возмущений и неправильным ходом их
разностей, что требует уменьшения интервалов. Между тем, способ
Коуэлла, который не оперирует с возмущениями, позволяет вести
вычисления столь же просто и естественно, как обычно. Лишь в крайне
редких случаях, как, например, приближение кометы Брукса к Юпитеру
в июле 1886 г., когда расстояние между этими телами достигло 0,00096
астр, ед., приходилось от этого способа отказываться по той же причине,
что указана выше. Именно, как и при приближении кометы к периге-

СПОСОБ БОНДА-ЭНКЕ
249
§ 74]
лию, компоненты притяжения начинали сильно возрастать, и обычные
интервалы становились негодными.
Способ Коуэлла, как, впрочем, и всякий другой, способен дать
любую требуемую точность результатов, но практически граница ста-
вится погрешностями наших сведений о планетных массах и едва ли
имеет смысл вести вычисления больше чем с девятью знаками, за
исключением, может быть, задач специального характера.
§ 74. Способ Бонда-Энке
Способ вычисления возмущений в прямоугольных коорди-
натах обычно называется способом Энке, несмотря на то, что
он был предложен Бондом в 1849 г., на два года раньше Энке.
Он отличается от способа Коуэлла тем, что здесь путём числен-
ного интегрирования получаются не сами возмущённые прямо-
угольные координаты, а их уклонения от невозмущённых коор-
динат, так называемые возмущения прямоугольных координат.
Любопытно заметить, что хотя идея метода Коуэлла проще, чем
метода Бонда-Энке, тем не менее он появился на полвека позже.
Приступая к выводу необходимых нам уравнений, обозначим
через z0, ?/0, z0 невозмущённые координаты тела, х, у, z— его
возмущённые координаты и В = я — я0,	= —у0, C = z — z0 —
возмущения прямоугольных координат. Пренебрегая в формулах
(9.2) массой тела т, напишем уравнения возмущённого движе-
ния в виде
Й=(9-12)
dt2	г3	\ ?i ri J	х 7
и аналогично для у и z; в дальнейшем мы будем писать уравне-
ния лишь для одной координаты х. Для невозмущённых коор-
динат согласно (3.73) будет
d^X^     У 2 ^0
~а^~	г*'
следовательно, дифференциальные уравнения для возмущений
примут вид
(9ЛЗ)
d2x d^x
ибо ~ = —— -j-т* В этих уравнениях тг — масса возмущающей
яс at* at*
планеты, далее
г2 = х2, у* + Z2,
^ = ^ + Уо+2о>
= + +
=	Я)2+(?/! — У)2 + (2! — 2)2- ,
(9.14)

250
ЧИСЛЕННЫЕ СПОСОБЫ УЧЁТА ВОЗМУЩЕНИЙ
[Гл. IX
Первый член в правой части равенств (9.13) тот же, что
и в уравнениях при способе Коуэлла; в него входят возмущён-
ные координаты х, у, z, но, как и там, они умножаются
на малые множители планетных масс, стало быть, в него в пер^
вом приближении могут быть введены невозмущённые коорди-
наты xQ, yQ, z0. Второй член представляет собой разность двух
больших величин, отличающихся друг от друга лишь на вели-
чину порядка малости самих возмущений, как это нетрудно
видеть. Для вычисления этого члена необходимо знать значения
возмущений. Чтобы привести его к более удобному виду,
напишем выражение в скобках в такой форме:
(9Л6)
Так как
= (+> + £)г + (у0 + Ч)2 + (Zo + С)2 =
= г2 + 2 [(^о+4 0< +(у* + т \)+	’
то можно положить
J = 1+2(7,	(9.16)
' о
где
(х<>+4 0 ^+(уо+4 4) 4+(zo+4-c') с
<7 = ^--,	(9.17)
' о
следовательно
1 = (1 + 23)"L 1 - 3q +	q2 - 44+| g3 + ... = 1 - fq, (9.18)
причём
/ = 3-|—^^f^3-...,	(9.19)
и эта величина может быть табулирована по аргументу q
(табл. XXIII).
На основании формул (9.15) и (9.18) уравнения (9.13) при-
мут вид:
+	(9.20)
Для численного интегрирования удобнее произвести умноже-
ние на гр2, где w~ интервал интегрирования; результат, напи-
санный для всех возмущающих планет, действие которых учи-

СПОСОБ БОНДА-ЭНКЕ
251
=5 74]
тыкается, будет таков:
/х=2 w^mi ~^)+h {fqx ~$) ’	(9>21)
i
где
Л =	(9.22)
' о
При вычислении возмущений по этому методу сперва отыски-
ваются при помощи известных формул невозмущённые коорди-
наты тела х0, yQ, z0, и с ними вычисляются первые члены урав-
нений (9.21). Вблизи эпохи оскуляции в первом приближении
возмущениями можно пренебречь, так как они здесь всегда
невелики. Для х^ yi, z^------——3,----------- опять лучше всего
ri	ri	ri
воспользоваться данными «Planetary coordinates» или «Астроно-
мического ежегодника СССР». Если почему-либо этих данных
нет (например, при вычислениях, относящихся к давнишнему
времени), будет удобнее работать не в экваториальных,
а в эклиптикальных координатах, получая координаты планет
из очевидных выражений:
Xi = Ti cos bi cos li, j
yi = n cos bi sin Ц,	(9.23)
Zi = ri sin bi	J
при помощи даваемых в астрономических ежегодниках гелио-
центрических координат больших планет г, Z, Ь. Эти вычисле-
ния проделывают для дат а — 2w, а — w, a, a + w, a-\-2w, рас-
положенных симметрично относительно эпохи оскуляции а, затем
на отдельном листе провизорно интегрируют по тем же фор-
мулам, что и в способе Коуэлла, уравнения (9.21), пренебрегая
вторыми членами, что даёт значения возмущений для упомяну-
тых дат; при этом в формулах для исходных членов рядов сумм
вместо х, х' и т. д. появятся 'Ъ, и т. д., и они будут, конечно,
Для эпохи оскуляции равняться нулю.
С найденными 5, т), С вычисляют во втором приближении
формулы (9.21) уже со вторыми членами и повторяют интегра-
цию, что обычно приводит к окончательному результату, и даль-
нейших приближений не требуется. После этого можно один
за Другим вычислять последующие (или предшествующие) интер-
валы, причём необходимые для получения вторых членов (9.21)
У, С всякий раз экстраполируются.
Оппольцер предложил приём, при помощи которого можно
устранить экстраполирование В, iq, С и свести вычисление почти
к прямому процессу, однако этот способ заметно удлиняет

252	ЧИСЛЕННОЕ СПОСОБЫ УЧЁТА ВОЗМУЩЕНИЙ	[Гл. IX
работу и в обычных случаях не может быть рекомендован
на том простом основании, что он имеет смысл, если экстра-
полирование $, т], Z становится ненадёжным, однако именно
этого следует всячески избегать. Действительно, если величины
возмущений экстраполируются неуверенно, это значит, что их
разности изменяются неправильно, чего не следует допускать,
ибо плавный ход разностей* составляет надёжнейшую гарантию
правильности вычислений.
Если вычисления охватывают значительный промежуток вре-
мени, возмущения начинают сильно нарастать, и с ними — вто-
рые члены в (9.21). Рано или поздно возникает необходимость
перехода к оскулирующим элементам для некоторой новой
эпохи, что требует затраты труда и вызывает разрыв в вычи-
слениях, способствующий появлению ошибок. Поэтому способ
Бонда-Энке может быть рекомендован лишь для не слишком
длительного вычисления, например, для одного появления
кометы, где он может оказаться самым удобным на практике,
так как вычисления возмущений могут при той же абсолютной
точности вестись с гораздо меньшим числом знаков, чем вычи-
сления самих возмущённых координат в способе Коуэлла. Этот
последний способ также неудобен, если он применяется к перио-
дической комете, значительно приближающейся к Солнцу (ближе
чем на 1,5 астр. ёд.). При приближении кометы к перигелию
полезно оставить способ Коуэлла и заменить его вычислением
возмущений прямоугольных координат, для чего требуется сде-
лать переход к оскулирующим элементам.
Обычно полученные по методу Бонда-Энке возмущения В, т]
и Z вводятся в виде поправок к невозмущённым прямоугольным
координатам, даваемым эфемеридой, после чего эфемерида
может сравниваться с наблюдениями. Если угодно, можно
определить влияние, которое окажут возмущения непосред-
ственно на геоцентрические координаты а и 8. По известным
формулам для геоцентрических координат (3.11), в которых
?, И ч имеют смысл, отличный от того, который им придан
в этом параграфе, получаем
р cos о cos а = хь + X +с, р0 cos о0 cos а0 =	+ X,
р cos 8 sin а = у0 + У 4-т], р0 cos оо sin а0 = у0 4-У, }> (9.24)
р sin 8 =z0 + Z + С, Ро sin 80 = z0 + Z, J
где а0 и 30 — невозмущённые, а а и 3 — возмущённые координаты.
Отсюда найдём
р cos о cos с< — р0 cos о0 cos а0 = $,
Р cos о sin а — р0 cos 30 sin а0 = т/,
psinS—-posin3w	= £.
— sin а
4- cos а
О
— sin о cos а
— sin о sin а
4- coso.

g 75]	СВОДКА ФОРМУЛ ДЛЯ СПОСОБА БОНДА-ЭНКЕ	253
Умножая на множители, написанные справа, складывая
и полагая da=a— a0, = o — оо, причём эти величины могут
рассматриваться обычно как дифференциалы, будем иметь
р0 cos оо sin da == — £ sin a + у cos a,
p0 (cos oo sin о cos da — sin oo cos o) =
= posindo= —sin о cos a —T] sin о sin +£coso,
или, с достаточной точностью,
Л 7 „ — £ sin a + 7] COS a
cos 0 ал = —--------- ,
parcl	!
?	(9 25)
sin $ cos a —7) sin $ sin a+ £ cos fl f v • /
°	p arc 1"	' J
Если вычисления велись в эклиптикальных координатах,
возмущения следует перевести в экваториальную систему по
очевидным формулам
)
т] = cose —С sins,	(9.26)
; = 7]' sin е + У cose, J
где т]', С' — возмущения эклиптикальных координат.
В тех случаях, когда необходимо вычислить новые оскули-
рующие элементы, это может быть сделано так же, как и в соот-
ветственном разделе способа Коуэлла, причём
х = х0 + 1, x' = x'Q + V	(9.27)
и т. д. Невозмущённые координаты и скорости получаются
по исходным элементам при помощи обычных формул, а
ъ,	С' находятся по формулам численного интегрирования.
Вычисления по способу Бонда-Энке выгоднее вести с ариф-
мометром, хотя возможно вычислять и с логарифмами. Различие
будет лишь в выражениях, используемых для получения х0, yQ, z0;
здесь достаточно сослаться на § 24, где даны все необходимые
указания.
§ 75. Сводка формул для способа Бонда-Энке
А. Исходные величины	'
Ими, как правило, являются элементы орбиты; впрочем,
могут быть и непосредственно заданы невозмущённые коорди-
наты я0, г/0, Zq, если намеченный промежуток времени был охва-

254
ЧИСЛЕННЫЕ СПОСОБЫ УЧЕТА ВОЗМУЩЕНИЙ
[Гл. IX
чен вычислением невозмущённой эфемериды. Вычисления почти
всегда достаточно вести с пятью и даже с четырьмя знаками.
Интервал для малых планет обычно равен 40 дням, для комет—
20 дням и лишь в редких случаях (особенная близость к Солнцу
или к одной из возмущающих планет) —короче.
Для эллипса:
М =	+ [1 (t — Zo) Е — е sin Е,
е" = 206265 • е, е° = 57,2958 • е,
xQ = Ах (cos Е — е) + Вх sin Е,	>
2/0 = ATJ (cos Е — е) + Ву sin Е,	I
z0 = Az (cos E — e) + Bz sin E.	j
Для параболы:
,, t — T i 1
M = —— , tg—u =
о берётся по аргументу M из таблиц.
ж0 = a? (1 — О2) + bxs, 'I
=	+ j>
z„ =a.(l — g2) + 62o. )
(I)
(la)
Для орбит, близких к параболе, см. указания § 24.
^ = ^o + ?/2o+Z2u.
Контроль (для параболы): г0 = q (1 + с2).
г2=ж2 + у2 + г2,
Pi = (%i — Ж)2 + (у г — у)2 + (zt — z)2.
В. Основные уравнения
fx=^S=x+h^x-^’
х = 2 wVmi	_ ф ,	(II)
t
k = ^, Л2 = 0,000295912,
Г?
(яе + у Г) 5 + (г/о + у ’Q Л + (z0 + 4	?
Q	г2	1
' и

S 75]
СВОДКА ФОРМУЛ ДЛЯ СПОСОБА БОНДА-ЭНКЕ
255
/ по аргументу q из таблиц ([13, 15, 19, 30, 36] и табл. XXIII)
“А («) = - й /. W + ,4-„ ff («) -	ff W +  •.. '
v. (» + !»)=	} (mi
1 e z 4 . 1 Д / x 11 ДП z x ,	191 ,v z \	I
— у/x(tt) +720(a)+ 60480/я (<2)"“ •• • J
В первом приближении сюда подставляются xQ вместо х
и т. д., и эти вычисления производятся для дат а — 2w, а — w,
a. a-\-w, a + 2w, пренебрегая вторыми членами /ж. Во втором
(и обычно окончательном) приближении найденные по (IV)
тц С позволяют вычислить вторые члены /ж, fy, fz и присту-
пить к окончательному построению интеграционных схем
по тем же правилам, что и в способе Коуэлла. Первоначальная
интеграция делается на отдельном листе. Необходимые для
вычисления дальнейших дат значения с, £ находятся экстра-
полированием.
С. Возмущения координат и скоростей
i = nfx(a + kw) + ^2fx(a + kw) —
- i /х (« +	(а + A w) - ...,
V = ifx (а + few)+ kw) +
+ AU (« + kw) -	ft (a +kw)+...
Если вычисления велись в эклиптикальных координатах
и перехода к оскулирующей орбите делать не предполагается,
вычисляются
м',	)
7] = 7)' COS e — sin е, }
£ = 7]'sin е + С cos е, J
(V)
гДе т)', г/ обозначают возмущения в эклиптикальных коорди-
натах.

256
ЧИСЛЕННЫЕ СПОСОБЫ УЧЁТА ВОЗМУЩЕНИИ
[Гл. IX
7). Вывод элементов
Обычно оскулирующие элементы не вычисляются, но если
они нужны, они могут быть найдены таким путем:
х'о = wk (Вх cos Е — Ах sin Е),
г0 у а
у'^-^^{Ву COS^-zlySin ff), [
Го У а
z' = -wk - (Bz cos E — Az sin E). I
Го У a	J
(VI)
Эти величины вычисляются по исходным элементам; поль-
зуясь ими, находим
x = xQ + Z,
У = Уо + г1,
х' =Х'О + с',
у'^у'о + ч',
z' =z' + C.
Скорости выражены в единице времени, равной w суток,
и они должны быть разделены на wk перед определением эле-
ментов, которое выполняется по формулам (VI) — (X), приведён-
ным в § 72. Если были вычислены возмущения эклиптикаль-
ных координат, в указанных формулах надо положить s = 0,
причём векторные элементы будут относиться к эклиптике.
Впрочем, здесь могут быть использованы и формулы, приспо-
собленные к логарифмическим вычислениям, в которые вектор-
ные элементы не входят; ввиду редкости подобного случая
мы его рассматривать не будем.
Е. Возмущения геоцентрических координат
cosa<7a"=-gsi4nn; + Vzosa,
р • 107 arc 1"
? sin $ cos а — y] sin £ sin а + £ cos 5
аб ~	р • 107arc 1"
(VII)
107 • аге 1" = 48,4814,
если возмущения, как обычно, даны в единицах седьмого знака.
§ 76. Пример
Для периодической кометы Брукса необходимо вычислить возмуще-
ния прямоугольных координат за период видимости кометы с 6 июня
1939 г. по 1 февраля 1940 г., учитывая действие Венеры, Земли, Марса,
Юпитера и Сатурна. В качестве оскулирующей орбиты взята следу-
ющая система элементов:

ПРИМЕР
257
§ 76J
Эпоха и оскуляция 1939 сент. 24,0 Вс. вр.
Мо 1°12',21
<р 29 4,97
р.	8,5100
Ах	+3,5424	Вх	—0,7375]
Ау	+0,8072	Ву	+2,9450	1950,0
А3	+0,2464	В2	+0,9544 J
е 0,4861
е' 1671,0
Невозмущённые координаты кометы были сразу вычислены через 20
дней для всего требуемого промежутка времени. Здесь будут даны
вычисления только для пяти дат. Заметим, что лишь для наиболее
удалённых от эпохи оскуляции дат возмущения влияют на одну единицу
последнего, четвёртого, знака координат, и поэтому в дальнейших вы-
числениях, как это часто возможно в подобных случаях, вместо возму-
щённых координат в первой части формулы для fx могли фигурировать
невозмущённые координаты. Сначала были, как указано выше, про-
интегрированы возмущения для четырёх дат a —2w, а—w, а, а + w,
причём для определения начальных членов рядов сумм были взяты
выражения (3,77), так как эпоха оскуляции падает на а — у w. Затем
были получены вторые члены fx для этих дат и вычисления продол-
жены на предшествующие и следующие интервалы.
I	Дата 1939 авг. 25,0 Сент. 14,0			Окт.' 4,0 Окт. 24,0 Нояб. 130,0		
М	— 3°3',09	— 0°12',89	2°37',31	5°27',51	8°17',71
Е	- 5 55,9	- 0 25,3	5 5,7	10 33,8	15 56,7
sin Е	-0,1034	- 0,0074	+ 0,0888	+ 0,1833	+ 0,2747
cos Е	+ 0,9946	+ 1,0000	+ 0,9960	+ 0,9830	+ 0,9615
cos Е — е	+ 0,5085	+ 0,5139	+ 0,5099	+ 0,4969	+ 0,4754
	+ 1,8776	+ 1,8259	+ 1,7408	+ 1,6250	+ 1,4815
Уо	+ 0,1059	+ 0,3930	+ 0,6731	+ 0,9409	+ 1,1927
	+ 0,0266	+ 0,1196	+ 0,2104	+ 0,2974	+ 0,3793
го	3,5373	3,5027	3,5277	3,6144	3,7612
И	1 : 4	0,15031	0,15255	0,15093	0,14553	0., 13709
h	0,01779	0,01806	0,01786	0,01772	0,01623
	+ 145,3	+ 14,8	+ 13,0	+ 98,2	+ 220,2'
q	+ 41,08	+ 4,23	+ 3,69	+ 27,17	+ 58,54
f	3,0000	3,0000	3,0000	3,0000	3,0000
	+123,2	+ 12,7	+ H,1	+ 81,5	+ 175,6
fqxQ—	+ 153	+ 15	+ 11	+ 62	+ 74
h (Jqxo—&	+ 2,72	+ 0,27	+ 0 ,20	+ 1,10	+ 1,20
X	+ 73,03	+ 69,60	+ 62,26	+ 52,95	+43,51
fx	+ 75,75	+ 69,87	+ 62,46	+ 54,05	+44,71
	+ 22	+ 6	+ 9	+ 91	+250
h и^Уо—'п)	+ 0,39	+ 0,11	+ 0,16	+ 1,61	+ 4,06
У	-2,29	- 7,98	- 12,77	- 16,44	-19,62
fy	- 1,90	-7,87	-12,61	- 14,83	-15,56
	+ 9	+ 3	+ 3	+ 30	+ 83
h Uqzq—^	+ 0,16	+ 0,05	+ 0,05	+ 0,53	+ 1,35
Z	-4,30	-5,28	-5,76	-5,97	-6,31
fz	-4,14	-5,23	-5,74	-5,44	-4,96
17 А. Д. Дубяго					

258
ЧИСЛЕННЫЕ СПОСОБЫ УЧЁТА ВОЗМУЩЕНИЙ
[Гл. IX
Для этих дат даём вычисления		возмущений от i		Венеры:	
II	хг — X	-2,45	-2,54	-2,38	-1,99	-1,46
Ут,-У	+ 0,27	-0,36	-1,00	-1,52	-1,85
z1 — Z	+ 0,18	^-0,06	-0,32	-0,54	-0,68
Pi	6,1	6,6	6,7	6,6	6,8 0,20
w2k2mr : Pl	0,19	0,17	0,17	0,Д7	
Ху — X					
w2k‘‘m, —j— 1 ?i	-0,47	-0,43	— 0,41	— 0/,34	-0,29
— W2/^^ 1 Г J	+4,52	+5,6p	+4,92	+2,76	-0,16
X	+4,05	+ 5,17	+4,51	-2,42	-0,45
w2№mx У1 У Pi	+ 0,05	-0,06	-0,17	-0,26	-0,37
— w2k2m,y ~ г i	-2,96	-0,24	+2,48	+4,44	+5,00
Y	-2,91	-0,30	+2,31	+4,18	+4,63
w2k2my Z1 - — pi	+0,03	-0,01	-0,05	-0,09	-0,14
— w2k2m-, T.	-1,64	-0,48	+ 0,80	+ 1,84	+ 2,28
' i Z	-1,61	-0,49	+ 0,75	+ 1,75	+2,14
Эти вычисления также могли быть выполнены для всех планет
и для всего рассматриваемого промежутка времени сразу же после
получения невозмущённых координат кометы. Приведём ещё интегра-
ционную схему для х и вычисление возмущений в геоцентрических
а и d для одной даты.
Ш-IV	1939-1940			5	П / JX			fx			J X
	июня	6,0	+ 1146		+ 1139,19			+ 75,86			
							-388,46		+	4,89	
		26,0	+	757	+	750,73	-307,71	+ 80,7'5	+	1,41	-3,48
	июля	16,0	+	450	+	443,02	-225,55	+ 82,16		1,92	-3,33
	авг.	5,0	+	224	+	217,47	-145,31	+ 80,24			4,49	-2,55
		25,0	+	78	+	72,16	- 69,56	+ 75,75			5,88	-1,43
	сент.	14,0	+	8	+	2,60 2,91	+ 0,31	+69,87	—	7,41	-1,53
	окт.	4,0	+	8	+		+ 62,77	+62,46			8,41	-1,00
											
		24,0	+	70	+	65,68	+ 116,82	+54,05	—	9,34	-0,93
	нояб.	13,0	+	186	+	182,50	+ 161,53	+44,71		10,36	— 1,02
	дек.	3,0	+	347	+	344,03	+ 195,88	+ 34,35		10,18	+ 0,18
		23,0	+	542	+	539,91	+220, Оэ	+ 24,17			8,83	+ 1,35
	янв.	12,0	+	761	+	759,96	+ 235,39	+ 15,34 .	__	6,36	+2,47
	фев.	1,х0	+	996	+	995,35		+ 8,98			

СПОСОБ ВАРИАЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ
259
VII	1940 янв. 43		,0	
	С	+672	P	1,5118
		-19)	числит.	-544
	£	- 71	знам.	73,3
	sin а	+ 0,5794	cos 5 di	-7",42
	COS а	+0,8149	dj.	-7 ,47
	sin 5	+ 0,1186	числит.	-122
	cos §	+0,9929	знам.	73,3
	sin § cos а sin d sin а	+ 0,0966 +0,0687	dd	-Г',66
di и могут быть прибавлены к а0 и §0, даваемым точной эфемери-
дой, после чего может производиться сравнение вычисленных возмущён-
ных мест с наблюдениями, что и является обычной целью вычислений
возмущений по методу Бонда-Энке. В данном примере ход разностей
недостаточно правилен; это связано с величиной интервала, который
немного длинен для двух внутренних планет. Однако меньший интер-
вал брать не стоило, имея в виду, что возмущения отыскивались
на срок короче года. Точность вычислений в 0,01 от единицы седьмого
знака выдерживалась не везде полностью; иногда допускалась погреш-
ность, в два-три раза большая, как в этом можно убедиться при ана-
лизе чисел примера. Преследовать полную точность не имело большого
смысла, так как ошибки округления при суммировании многочисленных
величин, входящих в fx и т. д., могут дать почти такую же результи-
рующую погрешность; всё это для поставленной задачи не имело зна-
чения.
§ 77. Способ вариации элементов
Изучая решение задачи двух тел, мы видели, что движение
какого-либо тела относительно центра Солнца определяется
при помощи шести произвольных постоянных, которыми,
в частности, могут быть элементы кеплеровой орбиты. В любой
момент времени элементы орбиты однозначно определяют
координаты тела и компоненты его скорости и, обратно,
элементы орбиты могут быть найдены, если известны коорди-
наты тела и компоненты скорости для некоторого момента.
Если, помимо действия Солнца, принять во внимание при-
тяжение планет солнечной системы, движение тела не будет
более совершаться по законам Кеплера; тем не менее можно
считать, что тело движется по орбите, являющейся кониче-
ским сечением, элементы которого непрерывно изменяются
с течением времени. В любой определённый момент (момент
оскуляции) мы будем иметь систему элементов, определяющих
оскулирующую орбиту, для которой координаты тела и компо-
ненты скорости получатся в рассматриваемый момент теми же
самыми, что и в действительном движении. Таким образом,
можно сказать, что оскулирующая орбита соприкасается в мо-
мент оскуляции с истинной траекторией тела. Предложенный
'Иагранжем способ вариации элементов состоит в том, чтобы,
17*

260	ЧИСЛЕННЫЕ СПОСОБЫ УЧЁТА ВОЗМУЩЕНИЙ	[Гл. IX
полагая их переменными величинами, удовлетворить диффе-
ренциальным уравнениям возмущённого движения тела. Раз-
ности между значениями элементов орбиты для двух различ-
ных эпох оскуляции могут быть названы возмущениями
элементов.
Если допустить, что, начиная с момента оскуляции, возму-
щающие силы перестали действовать на тело, его движение
будет совершаться по оскулирующей орбите. Так как коорди-
наты тела и составляющие скорости в возмущённом движении
имеют в момент оскуляции те же значения, которые вытекают
для оскулирующей орбиты, то, очевидно, всякое соотношение
между координатами тела, компонентами скорости и эле-
ментами невозмущённой орбиты, являющееся следствием реше-
ния задачи двух тел, будет иметь место и для возмущённого
движения.
Какой-либо элемент орбиты (вообще любая постоянная
в решении задачи двух тел) есть функция от координат тела
и их производных по времени для некоторого момента, напри-
мер
а = а (х, у, z, х', у', z').	(9.28)
В возмущённом движении на основании этого равенства
будет
da да t , да да г . да dx' , да dy' , да dz'
Tt=rxx+д-уУ+dizTt 	<9-29)
Обозначая x0,y01z0 координаты тела в невозмущённом дви-
жении по оскулирующей орбите, мы получаем из (9.28), так
как а постоянно,
л да f । да f да / да dx^\ да dyn , да dzn	о/л\
0 = • (9-3°)
По определению оскулирующей орбиты xQ = x и т. д.
= и т. д., затем
(9.31)
где jx — проекция возмущающего ускорения на ось х, и соот-
ветственно для у и z; поэтому, вычитая (9.30) из (9.29),
найдём
d±__d±_:
dtдх'1х + ду'1у + dz'	(9-32)
Отсюда видно, что при отыскании изменений элементов
орбиты, вызываемых возмущающими ускорениями, следует счи-

§77]
СПОСОБ ВАРИАЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ
261
тать координаты тела x,y,z неизменными, и дифференцировать
по ним не нужно.
Ориентируем нашу систему прямоугольных координат сле-
дующим образом. Ось х направим по радиусу-вектору тела
в момент оскуляции t, ось у — в плоскости оскулирующей
орбиты в направлении движения тела, ось z —к северному
полюсу оскулирующей орбиты.
Обратимся теперь к интегралам площадей (2.31) и положим
в них массу тела т равной нулю, а также обозначим через о
наклонение возмущённой орбиты к плоскости орбиты, оскули-
рующей в момент t, и через П — долготу узла возмущённой
орбиты на оскулирующей орбите, считаемую от направления
оси х. Мы будем иметь
У —	= р sin a sin П,
а ъ сьъ	*
dx dz	у /_ •	т~г
z -j-—x-j-=c9 = —к 1/ р sin a cos П,
dt dt 2	г r
du dx	7 „ /•“-
x^-y dt = c3 = kVPcosa-
1
I
(9.33)
Продифференцируем эти равенства, а затем положим, как
это вытекает из наших определений, x = r, y = z==O, <з = 0,
11 = 0. Это даст
dci _ л
dt ’
^С2___К	__ _ Гу s
dt — KVPdt ]х’ (
dc3  к dp  .	I
dt ~ 2Ур dt^rP>'	j
(9.34)
Введём обозначения
(9.35)
Тогда на основании второго уравнения (9.34) найдём
da
dt

(9.36)
Мы видим, что вследствие возмущающего ускорения, перпен-
дикулярного к плоскости орбиты, эта плоскость вращается
вокруг радиуса-вектора. На фиг. 22, изображающей гелиоцен-
трическую небесную сферу, Р — положение тела, —эклип-
тика, — проекция орбиты, ds —угол поворота возмущённой

262
ЧИСЛЕННЫЕ СПОСОБЫ УЧЁТА ВОЗМУЩЕНИЙ
[Гл. IX
орбиты, —аргумент широты тела « = ^ + <0. Вследствие
поворота плоскости орбиты узел сместится в. точку SI/', таким
образом, SISI'=dSl, кроме того, / ^^'/> = 180°—(Z + c?Z),
Sl'P = u + du. Из треугольника SISl'P выводим
sin (Z + dZ) sind<Q = sin и sinc?o,
cos (Z + di) = cos Z cos — sin Z cos и sin da,
cos (u + du) = cos и cos dSl + cos Z sin и sin dSi,
или, после упрощения,
dSl = sin и cosec Z da,
di = cos и da,
du= — cos Z dSl = — sin и ctg Z da.
Подставляя сюда (9.36), получим
dS)	*1
= r sin и cosec Z ,	I
^ = rcosttT71,	(9.37)
I
du dv d®	. A . ттг
й = й + 2Г = -Г81Пис^1ТУ1- J
Третье уравнение (9.34) даёт в связи с (9.35)
d£ = 2prT1.	(9.3Н
Теперь воспользуемся интегралом живой силы (2.28):
1,1=4’ (4-0-

СПОСОБ ВАРИАЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ
263
§ 77]
ИЗ которого .следует
Lw +W +W J '
Будем дифференцировать это уравнение, после чего положим
на основании (9.33) ^ = А;1/гр,^ = О, а на основании (3.85)
СЬЪ	' Ль
dx dr	к sin ср sin v	/п
dt “ dt “
Имея ещё в виду (9.35), мы найдём
= 2а2 (sin <р sin vSr + — гЛ .	(9.40)
at	г у
Отсюда получается, вследствие того, что
__ к	dp  Зк da
а% ’ dt	2а& dt ’
такая формула:
g=_^^sin?sinD51 + ^ri).	(9.41)
Но, так как р = acos2 <р, то
dp о da о	dv
= cos ср j- — 2а sin ср cos ср .
dt	rdt	т т dt
Определяя отсюда , имеем при помощи (9.38) и (9.40)
4? = а Г cos ср sin V)S1 + (— ctg ср-2 —рг-Тг 1.
dt L	кr &	a2 sin ср cos ср/ 1J
Воспользовавшись соотношениями
у = 1 + sin ср cos v, у=1 — sin ср cos Е, (9.42)
находим
= a cos ср [sin vSi + (cos v + cos E) 7\].	(9.43)
или
Из первого уравнения (9.42) следует
1 dp	dv .	. dv
-^^coscpcosy^-snKpsiiiD^ ,
dv .	. dv	1 dp
dt & ‘	° dt rsincpsinv dt
dv p f a 2 — cos2 v — cos v cos E
-jT = -r— COS v5i-----------------1
at sin <p <	sin v
(9.44)

264
ЧИСЛЕННЫЕ СПОСОБЫ УЧЁТА ВОЗМУЩЕНИЙ
[Гл. IX
Для упрощения применим первое уравнение (9.42) и
г cos v = a (cos Е — sin <р)
== —(cos Е — sin ф);
это даст
л	Г, л Г COS2 ср cos2 V
1 — cos V COS Е = 1 — -------1--------Sin ф cos V =
р	r
=	(1 + sin ср cos v) (1 — sin ср cos v) — cos2 cp cos2 v | = — sin2 v,
после чего вместо (9.44) будем иметь
/7-11	4
di= cos vSi~(r + P)sin v	(9-45)
Применяя последнее уравнение (9.37), находим
cos v Si + sin и Тг — г ctg i sin и W\. (9.46)
dt sin <p 1 sin <p 1 ь	i \	/
Наконец, возьмём уравнения
M = MQ + F (t — £0) = E — sin <p sin E,
r = a(l — sin <pcos E),
где t0 — начальная эпоха для отсчёта средней аномалии (вообще
говоря, не совпадающая с моментом оскуляции t), и будем
дифференцировать их, считая координаты тела постоянными
так же, как и явно входящее время t. Мы найдём
/ dM\ dM0 . dp. , ч г f dE\	• cty Л
( -у- ) = -у-2 + (t — Zo) = — ( j- ) — COS ср Sin Е ,
\dt J dt * dt '	°' a \dt J T dt ’ ,
n r da .	. jrfdE'X	-it	(9-47)
° = T di + a Sin ? Sln E UF J-«cos?coSjE^ , )
/'dMy /dEy ,
где ) и (fa ) обозначают производные по времени, входя-
щему лишь через посредство элементов орбиты, изменяющихся
в результате действия возмущающих сил. Исключим 9
а затем при помощи (9.40), (9.42), (9.43) и уравнений
г sin v = a cos ср sin Е,
г cos и = a (cos Е — sin ср)

СПОСОБ ВАРИАЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ
265
§ 77]
проделаем дальнейшие преобразования:
/dM\ = (JL ctg <р ctg Е — sin ср sin£ ---—.——=, =
\dt /	ого	т у dt a3 sin ? sm Е dt
= Ctg ? (Ctg Е - sin ср cos Е ctg Е - sin ср sin Е)	=
cos Е — sin у dy	г ctg у da
—	sin Е dt	a2 sin v dF
. dy r ctg у da
= ctg Ф cos <P ctg V -----? r J- =
& T ‘ ° dt	a2sin?; dt
= — (2r cos 9 — p ctg cp cos v) S,. —	(2 — cos2 v — cos у cos E)
Заменим здесь снова
1 — cos v cos E = — sin2 u,
P
после чего найдём
= — (2r cos у — p ctg <p cos v) Sj — (p + r) ctg <p sin v T. (9.48)
Полная производная от M по времени составляет
dM dM0 ,dh. ... ZdM\ .
Интегрируя это выражение, мы найдём значение М для
любого момента t:
t	t
м = ма+ $ dt + $ и dt.	(9.49)
*0	fo
Сюда надлежит ввести выражение для р-, которое даётся
подобной же формулой:
*0
вследствие чего будет
t	t t
M = M0 + ^(t-t0) + ^(^')dt+\i \d£dt*.	(9.50)
to	to to
В то время как все остальные элементы найдутся простой
интеграцией полученных выше выражений, в М войдёт двой-
ной интеграл, зависящий от возмущений р.. Мы можем рассматри-
вать входящий в (9.50) простой интеграл, как член, определя-
ющий возмущения средней аномалии эпохи (так ка(к он не от-

266	ЧИСЛЕННЫЕ СПОСОБЫ УЧЁТА ВОЗМУЩЕНИЙ	[Гл. IX
ражает в себе явную зависимость М от времени), и в согласии
с этим писать
t t
M = M0 + ^(t-t0) + bMQ+\^dt*, (9.51)
tQ *0
г	/л /O\	ZdM\	dMQ
а также в формуле (9.48) вместо (	\ читать просто .
Эта формула неудобна при малых эксцентриситетах, вслед-
ствие чего полезно вместо М вычислять возмущения средней
долготы E=zM -}-тс и в согласии с этим ввести возмущения
тс = со 4-^.Мы сначала найдём из (9.37) и (9.46)
du	л
— = — cosec <р cos vS1 +
I
+ (r + P) cosec cp sin v Tr + r tg — i sin и (9.52)
а потом из (9.48) и (9.52)
^r = —(2r cos<p + jPtgy<?cosu^S1 +
+ (r + P) tg y <P sin v Ti -f- r tg у i sin u W\. (9.53)
В этом выражении вместо ctg<p вошёл tgycp, который при
<р < 60° будет уменьшать влияние соответственного члена;
подобным же образом изменился последний член в , и здесь
*	/э г\о	dm
тоже при i < 60 мы получим выгоду по сравнению с .
Однако члены с cosec ср в (9.52) остались. Их можно устранить,
вычисляя возмущения для величин sin <р sinco и sin ср cose»,
или sin ср sin тс и sin ср cos тс. Соответствующее преобразование
сделать нетрудно, но применение получающихся при этом
формул менее удобно; поэтому к устранению ср и тс (или со)
рекомендуется прибегать лишь в случае очень малого эксцен-
триситета, и мы на этой операции останавливаться не станем.
Точно так же нет надобности выводить формулы для возму-
щений элементов д, е, Т, которыми пользуются для орбит,
близких к параболе, так как для комет, движущихся по подоб-
ным орбитам, гораздо выгоднее вычислять возмущения в коор-
динатах.
Покажем, как найти составляющие возмущающих ускорений
jx, jyy Jz* В нашей системе координат х, у, z координаты
возмущаемого тела будут г, 0, 0; координаты возмущающих

77]	СПОСОБ ВАРИАЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ	267
планет (их может быть несколько) обозначим тц, Тогда
на основании уравнений (9.13) мы может написать
40,
i
I
/г = *2 2 mi C “ r0'
(9.54)
Для вычисления т)г-, Cz могут
координаты больших планет rf, L,
служить гелиоцентрические
bi, относящиеся к эклипти-
ке и к нормальному рав-
ноденствию; они даются
в астрономических еже-
годниках и в «Planetary
coordinates». Пусть Li, Bi
будут соответственные по-
лярные координаты, отне-
сённые к плоскости орби-
ты тела, причём долгота Lz
отсчитывается от восходя-
щего узла этой орбиты на
эклиптике.
Обратимся к фиг. 23,
на которой Pi изображает
положение одной из воз-
мущающих планет, Tft —
эклиптику, QK — про-
екцию орбиты тела, Р—
полюс эклиптики, Q —
полюс орбиты. Мы находим, рассматривая треугольник PQPi'
cos Bi cos Li = cos bi cos (Zi —* ft),
cos Bi sin Li == sinZ sin bt + cosZ cos bi sin (Ц — ft), J> (9.55)
sin Bi = cos Z sin bi — sin Z cos 6Z sin (Zf — ft), j
Полярные координаты возмущающей планеты в системе
У у z будут Lt — и, Bi, следовательно,
= ri cos Bi cos {Li — u),
= n cos Bi sin {Li — u),
Cz = ?i sin Bi,	J
(9.56)

268
ЧИСЛЕННЫЕ СПОСОБЫ УЧЁТА ВОЗМУЩЕНИЙ
[Гл. IX
Расстояние рг- может быть вычислено по формуле
Р? = Gz - Г)2 + + С! = г2 + г} - 2г^	(9.57)
удобной при употреблении арифмометра; если же
логарифмами, можно решить следующую систему:
пользоваться
cos cos 9Z- = Sf — r,
pf cos &z sin 9Z = T]Z, }>
р, sin &, = C1, J.
(9.58)
причём углы & и 9 в дальнейшем не потребуются.
В окончательных формулах принимаются для сокращения
письма следующие обозначения:
(9.59)
О   W	__ W	•
° -	131 -*/parcl" ]х’
гр   №	гр______W_____ •
-аге Г J1-ky parcl"'H’
W = агсТW1 ----------ГТ/» ’
агс 1 к у р arc 1
(9.60)
..	IV
причем множитель агс вводят, имея в виду вычисление воз-
мущений, через промежуток w дней, с тем, чтобы получить
значения возмущений элементов в секундах дуги.
При помощи уравнений (9.54) и (9.59) находим (так как
V Р *
W = ^y.miZiKt.
(9.61)
Множители wk"mi для больших планет даются в ряде
таблиц ([13, 15, 19, 32] и табл. XXV).
При интегрировании возмущений применяются формулы для
первых и вторых интегралов, приведённые в § 25. В начале
работы вычисляются при помощи невозмущённых элементов
значения возмущений для нескольких (обычно четырёх) момеп-

269
СПОСОБ ВАРИАЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ
(9.62)
§ 77]
тов, окружающих эпоху оскуляции. Вблизи неё возмущения
невелики, и почти никогда не возникает необходимость во вто-
ром приближении. В дальнейшем значения возмущений Дг
и т. Дм отыскиваемые по формулам численного интегрирования,
придаются к исходным оскулирующим элементам и таким обра-
зом получаются возмущённые элементы для всех последователь-
ных моментов. Приступая к вычислениям для очередного момен-
та, необходимо заранее знать возмущённые элементы; при обыч-
ных обстоятельствах (не слишком большое сближение с возму-
щающим телом) элементы легко могут быть экстраполированы
не только на один, но и на два-три интервала без всякого
ущерба для надёжности результатов. Остаётся заметить, что для
вычисления L применяется формула
L = Lo + Р- — ^о) +	Р- ^2-
Так вычисляются возмущения по методу вариации элементов,
если требуется получить возможно большую точность. Однако
способ вариации элементов столь же эффективен в приближён-
ных вычислениях возмущений, применяющихся при массовых
работах над малыми планетами или для предвычисления по-
явлений периодических комет. Помимо некоторых упрощений
в формулах, в этих случаях можно, что особенно существенно,
пользоваться в течение длительного времени неизменными
элементами. Такой путь приведёт к накоплению ошибок второ-
го порядка в отношении возмущающих масс. При повышенных
требованиях к точности следовало бы менять элементы на про-
тяжении вычислений всякий раз, как возмущения дойдут
до заметных величин, например, каждый год. Это вызывает
скачки в ходе разностей, крайне вредно сказывающиеся на
контроле вычислений по разностям. Щтраке [36] советует
поступать так: сперва вычислить приближённо возмущения от
важнейших планет (Юпитера, в крайнем случае ещё Сатурна)
и воспользоваться полученными возмущениями для того, чтобы
вести точные вычисления для всего требуемого промежутка
времени сразу, вычисляя отдельные величины по строкам, как
Это делается при вычислении эфемериды, что гораздо удобнее,
чем вычислять один интервал за другим. Кроме того, двукрат-
ное вычисление возмущений является некоторым контролем
в отношении более крупных ошибок.
Есть и иные пути к облегчению вычислений по методу ва-
риации элементов. Можно ввести в качестве независимой пе-
ременной вместо времени какую-нибудь другую величину, на-
пример, эксцентрическою аномалию, заменив соответственным
образом выражения для производных от элементов орбиты.
4 тим достигается более равномерное распределение положений

270
ЧИСЛЕННЫЕ СПОСОБЫ УЧЁТА ВОЗМУЩЕНИЙ
[Гл.
тела по его орбите, что важно для сильно эксцентрических
орбит периодических комет, для которых при равных проме-
жутках времени положения вблизи перигелия далеко отстоят
друг от друга, вследствие чего возмущения изменяются недоста-
точно правильно; наоборот, вблизи афелия последовательные
положения располагаются слишком густо, что ведёт к излишней
работе. Кроме того, при таком выборе независимой переменной
могут быть табулированы для круглых значений Е отдельные
коэффициенты в выражениях возмущений элементов, зависящие
от положения тела на его орбите. Такая табуляция может бытх,
сделана специально для каждого объекта; существуют и общие
таблицы для некоторых коэффициентов по аргументам средней
аномалии и эксцентриситета. При пользовании Е или М в каче-
стве независимой переменной положения планет понадобятся
не для тех дат, для которых они даны в эфемеридах, и необ-
ходимость интерполяции заметно уменьшает выгоду от табули-
рования коэффициентов.
Прежде иногда рекомендовалось вычислять возмущения от
каждой возмущающей планеты отдельно, т. е. находить отдель-
но для каждой планеты Si, Ei, Wi, а не суммировать их.
Мотивировалось это тем, что при такой методике можно
впоследствии исправить принятые значения планетных масс,
если окажется, что принятые массы недостаточно точны. Для
этого достаточно умножить полученные возмущения на отноше-
ние новой массы возмущающей планеты к принятой массе.
Также можно пытаться искать поправки планетных масс из
сравнения длительных рядов наблюдений тела с вычислениями
возмущённого его движения. В настоящее время массы больших
планет известны гораздо надёжнее, чем в прошлом веке (хотя
и не со всей желательной точностью), и искать их поправки,
исходя из возмущений комет, практически бесполезно. Что же
касается малых планет, то они могут служить для этой цели
только в специальных случаях: если орбита такова, что воз-
мущения значительны, если имеется много хороших наблюдений
и т. д. Эта задача выходит за рамки нашего предмета.
Способ вариации элементов может применяться почти
в одинаковой форме как при вычислениях с арифмометром,
так и с логарифмами, но характер формул таков, что их легче
вычислять с логарифмами.
§ 78.	Сводка формул для способа вариации элементов
А.	Исходные данные
Исходные оскулирующие элементы орбиты должны быть
приведены к нормальному равноденствию, для которого даются
координаты ri, fa, bi возмущающих планет в ежегодниках и в

§ 78J СВОДКА ФОРМУЛ ДЛЯ СПОСОБА ВАРИАЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ 271
«Planetary coordinates». Даты должны совпадать с теми, кото-
рые приняты в этих эфемеридах, т. е. целая, часть юлианской
даты должна делиться на 10, 20, 40 —в зависимости от интер-
вала вычислений. Рекомендуется брать для эпох оскуляции
юлианские даты, нацело делящиеся на 40. При точных вычис-
лениях значения возмущений отыскиваются с точностью
до 0",001 для всех элементов, кроме р., для которого возмуще-
ния находятся с точностью до 0",0001. Производные от элемен-
тов и возмущающие ускорения от Юпитера вычисляются
с пятью знаками, для остальных планет, имея в виду точность,
с которой известны их массы, достаточно 4 знаков (за исклю-
чением случаев особенного сближения с возмущающей плане-
той). Для малых планет обычно достаточно ограничиться вы-
числением возмущений от Юпитера и Сатурна, если не пресле-
дуется наивысшая точность и если планета не имеет особенно
эксцентрической орбиты. При этом можно брать 40-дневные
интервалы. Если учитывается действие внутренних планет,
что, в частности, можно посоветовать для комет, интервал
должен быть сокращён до 20 дней и меньше. Действие Мерку-
рия, а также Урана и Нептуна в большинстве случаев мало
заметно. В приближённых вычислениях достаточно четырёх
и даже трёх знаков, и учитываются только возмущения
от Юпитера, или от Юпитера и Сатурна. Обычно вычисления
ведутся с логарифмами:
М =L—п=Ьл—7i + p.(Z—1„),
Ее sin Е = М,
е" = 206265-е, е° = 57,2958-е,
е" = [5,314425] sin?,  е° = [1,758123] sin?,
2
а =	IgA = 3,550007,
г sin v = a cos ср sin Е,
rcosu = a(cos Е—sin9),
и = v + со = о + тг— ft,
р = а cos2 ср.
(1)
При вычислении Е, v и г можно пользоваться таблицами
([10, 13, 15, 18, 19, 25, 31, 37, 38] и табл. XI).
В.	Возмущающие ускорения
cos Bi cos Li = cos bi cos (Zz — ft),
cos Bi sin Li = sin i sin bi + cos i cos bi sin (Zz — ft),
sin Bi — cos i sin bi—sin i cos bi sin (Zz — ft).
(II)

272
ЧИСЛЕННЫЕ СПОСОБЫ УЧЁТА ВОЗМУЩЕНИЙ
[Гл. IX
Д = 1,
В приближённых (трёхзначных) вычислениях можно полагать
cos6i = l, а если i невелико (меньше 8°) и cos
т. е. —
pi cos ft z cos — ri cos Bi cos (Li — u) — r = Qi~r,
pi cos Bi sin Of = n cos Bi sin (Li — u) = rji,
pi sin Qi = sin Bi = Ci,
ИЛИ
pi = r2 + rE 2rli,
K._±_______L
1 Pf r? ’
VP
W = ^y m&iKt.
Vp	J
С. Вычисление производных no времени от элементов
d i	txt
w -J- =r cos и • РИ,
at
dv
w = r sin и cosec i • W,
at
w = a cos у sin vS + a cos <j> (cos v 4- cos E)  T,
= — p cosec <p cos vS + (г+ P) cosec <ps inn T-f-
1
4-r tgyl sm« • W,
w = — (2r cos <p + p tg у <p cos n^5 +
+ (r + p) tg J <P sin V T + Г tg 1 i sin и  W,
2 du>	3ZlW •	* о	3A:w p rp
w*-£- =------r— sm ф sin vS----= — T,
dt	у a T	У a r
w = 20d lg3kw= 0,013733,
w = 40d lg3&w = 0,314763.
(III)
(IV)
В приближённых вычислениях часто можно пренебрегать
последним членом справа в формулах для w и w
ЛЪ	CLi

§ 78]
СВОДКА ФОРМУЛ ДЛЯ СПОСОБА ВАРИАЦИИ ЭЛЕМЕНТОВ
273
По этим формулам производятся вычисления для четырёх
пат: б/ —2w, a — w, a,	окружающих эпоху оскуляции. Обо-
di	rfp
значая вообще	, .. . , w общим символом функции /,
имеем, если а —эпоха оскуляции:
/ (< - 4 w~)=-4 < <“>+4 fl <») - s fu'
/и-
Если же эпоха оскуляции есть а — — w,
(V)
п/ («)=i/	- тйо [ 2/п - ^) + /п («)] + •••
Для всех последовательных моментов вычисляются (I) — (IV)
и возмущения по нижеследующим формулам, которые служат
также для нахождения новых оскулирующих элементов при
окончании работы. В процессе вычислений значения возму-
щений должны экстраполироваться вперёд на один интервал,
что в обычных условиях совершается достаточно уверенно.
Можно даже экстраполировать возмущения на 2 — 4 интервала,
что позволяет вычислять несколько дат совместно.
Если новая эпоха оскуляции есть а + nw.
М. AQ, Д<р, А-гс, AL0, wAp. =
= I/(a + nw) —A/i (a + nw) + ^/ni (a + nw)— ...
\<\)-^-dt,t==Uf(a + nw) + -^-f(a + nw) — ^)f11 (a + nw)+ ...
Если новая эпоха оскуляции есть а + (п + гс,
Ы, Д<р, Атт, AL0, wAp.=
= 1/ [я + (п+	[<z + (n + y)w | -
- 5^0 /Ш [«+(« +	+
d*i=nde+(n+£M~i4aXn+T)w]+
+ -Щ0	+
18 А. Д. Дубяго

ЧИСЛЕННЫЕ СПОСОБЫ УЧЁТА ВОЗМУЩЕНИЙ	[Гл. IX
Если исходные элементы обозначить Zo, <Q0, <р0, тс0, £0, р0,
» = 10 + Дг,
£ = Ьо + 1ло(«_у + Д£о+	=
=	+ Р'О (* “ Zo) + ^0 +	>
M = L — тс, о)=тс—
Вычисления контролируются по ходу разностей. Можно
посоветовать проверять разности не только для производных
от элементов, но и для ряда других величин, в частности, для
г и Lt — и. Следует остерегаться ошибок в постоянных и мало
изменяющихся множителях, входящих во все интервалы, а так-
же нужно тщательно проверить исходные элементы, множители,
зависящие от масс планет, и все вычисления, связанные с оты-
сканием начальных членов рядов сумм, с интеграцией возму-
щений и определением новых оскулирующих элементов.
§ 79. Пример
Для кометы Брукса по тем же исходным элементам, что и в при-
мере § 73, требовалось вычислить возмущения за тот же период времени,
т. е. с 1939 сент. 24,0 Вс. вр. до 1946 авг. 28,0 Вс. вр., учитывая дейст-
вие Юпитера и Сатурна. Целью работы было предвычисление появления
кометы в 1946 г., поэтому вычисления велись с четырьмя знаками
и сообразно с этим возмущения получались с точностью до 0*,01,
du
а для w — с точностью до 0^,001; других отступлений отточной схемы
не было. Интервал —40 дней.
Исходные элементы
Эпоха и оскуляция 1939 сент. 24,0 Вс. вр.
м0	1°	13'	2"	,76
со	195	41	2	Д8
	177	42	16	,12
1	5	32	45	,78
<р	29	4	55	,49
р	510",63170
1950,0
Вычисление производных от элементов велось на отдельных листах,
точно так же вычисление возмущающих компонент от каждой планеты
и интегрирование возмущений велись на соответственно обозначенных
листах. Приводим вычисления для одной даты.

ПРИМЕР
275
§ 79]
			
	1939,IX,24/)	г sin и	0,0222
н	510",6	sin 1	8,9852
L	18°31',5	cos v+cos Е	0,2865
те	13 22,9	r+p	0,6706
ft	177 42,3	р COS U	0,4227
i	5 32,8	(г+р) sin v	0,1588
? н	29 4,7 2,7081	ft-	8,6852
к" : н	0,8419	1	
/а	0,2806	tg ¥ <р	9,4139
а	0,5613	2г сов ©	0,5217
cos у sin <р	9,9415 9,6866	L 1 Р cos и tg — Р	9,8366
е'	3,2229	sin р sin v	9,1748
М Е sin Е	5°28',6 10 35,8 9, 2646	—3kw : У а Р ' г (» : W) (ft: w)	0,0342n 0,1651 0,1998n
a cos ср cos Е	0, 5028 9, 9925		1,0370ft
cos Е — sin р г sin v г cos V cos V sin v	9, 6963 9, 7674 0, 2576 9, 9784 9, 4882	(?:5) (Т:Т) (” : Д’) (*:Т) О: w)	9,9910 0,7893 0,7361 0,4722 8,7074
V	1755, 4	(I- 	0,6032/г
(1)	19 и	21	540,6 336,0	(L-.T)	9,5727
cos и	9,9206 az	(И: S)	9,2090ft
sin и	9,7430ft	(И : Т)	0,1993ft
г	0,2792	Vp	
Р	0,4443		0,2222
	4		
li	6Q18,5	L1 — u	-24 54,7
ft	177 42,3	sin (L1 — u)	9,6245ft
bl	-1 18,3	rx cos В	0,69i8
il-ft	188 36,2	COS (Lt-u)	9,9576
sin («1 - ф	9,1749га	e 31	0,6524
cos	-1	r	0,2792
cos^-Q)	9,9951		0,3193ft
sin i	8,9852		0,4132
sin bt	8,3574га	Ci	8,6093ft
cos i	9,9980	px cos	0,5218
sin i sin	7,3426га	l:Pi	9,4782
cos i cos 6X sin (Zj— Q)	9,1728га	1 • ',s 1 • ei	8,4346
cos sin Ьг	9,1792га ’	1 : r|	7,9156
cos cos Lx	9,9950га	%i	8,2780
cos i sin Ъ-l	8,3554га	SiKi	8,9304
sinicosbiSin^-Q)	8,1600	— r : p3	8,7138ft
sin Bt	7,9145га	5iArx-r:P3	8,5245
7*1	0,6948	’ll *i	8,5973ft
cos B.	0,0000 188°41',3		6,8873
			 wkm^.l/ p	1,9098
18*

276
ЧИСЛЕННЫЕ СПОСОБЫ УЧЁТА ВОЗМУЩЕНИЙ
[Гл. IX
		0,4343		— 19)88
	5.»	9,2049	w dv : dt	-17,06
	S	0,4590		-15,67
	Л	0,5071n		- 9,58
	T.,	8,1857n		0,00
	T	0,5093n	w diz : dt	— 25,25
		8,7971n		-11,54
	w.	7,1929		- 1,21
	w	8,7862n	w dL0 : dt	— 12,75
го dt:	dt	4-0",10		— 0,466
w d^l	•dt	4-0 ,67		4- 5,112
		4-2 ,82	w dp : dt	4- 4,646
Вычисления компонент для Сатурна выполнены по той же схеме,
что и для Юпитера, и здесь приведены только результаты в виде S2, Т2, W2.
На соответственных листах каждая дата занимала один длинный стол-
бец. Приводим ещё начало интеграционных схем для р и L (интегриро-
вание возмущений остальных элементов проще) и элементы для новой
эпохи интеграции. В данном примере исходная оскуляционная эпоха
упала на а —— w (случай редкий) и для определения исходных членов
рядов сумм пришлось прибегнуть к коэффициентам, табулированным для
подобных надобностей в «Planetary coordinates».
Дата			п/	ъ f	f1	/П	W&p	Дн
1939	IX	14,0	—O'7,137	4-2",672				0",0
				4- 0",820	+1",974			
	X	24,0	4- 0,683	+4 ,646		-Г',818		0,0
				4- 5 ,466	+ 0 ,156			
	XII	3,0	4- 6,149	4-4 ,802		-1 ,020		+ 0,1
				+ 10 ,268	-0 ,864			
1940	I	12,0	4-16,417	+3 ,938		-0 ,247		+0,2
				+14 ,206	-1 ,111			
	II	21,0	4-30,623	+2 ,827		+0 ,101	+16"	+0,4
				+ 17 ,033	-1 ,010			
	IV	1,0	4-47,656	+ 1 ,817		+o ,242	+18	+ 0,4
				+18 ,850	-0 ,768			
	V	11,0	4-66,506	+1 ,049			+ 20	+0,5
L
Дата
V f f1 /П ДГ0 я I0+p0(t-t0)L
1939 IX 14,0	-19",38	H-О',1 0',0 13°11',2 13°11',3
-4",51	+6",63
X	24,0	-12	,75	+0,64	-0	,2	0	,0	18	51	,7	18	51	,5
-17,26	+7	,27
XII	3,0	-	5	,48	—1,42	—0	,3	+0	,1	24	32	,1	24	31	,9
-22,74	+5	,85
1940 I	12,0	+	0	,37	-1,76	-0	,4	+0	,3	30	12	,5	30	12	,4
— 22,37	+4	,09
II	2i;o	+	4	,46	-1,44	-0	,3	+0	,5	35	52	,9	35	53	,1
-17,91	+2	,65
IV	1,0	+	7	,11	-1,03	-0	,2	+0	,8	41	33	,4	41	34	,"
-10,80	+1	,62
V 11,0	4- 8 ,73	-0 ,1 +1 ,2 47 13 ,8 47 14 ,9

ПРИМЕР
277
§ 79]
Эпоха и оскуляция 1946 аве. 28,0 Вс. вр.
Мо 0°17' 6",3
со 195 35 17 ,8
Q 177 41 56 ,4 >
ъ 5 32 23 ,4
<?	28	59	19	,3
р	509",7538
1959,0
Эти числа незначительно отклоняются от результатов примера § 73,
что в первую очередь зависит от неучтённых возмущений внутренних
планет. Полученная точность достаточна для обеспечения поисков
кометы.

ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ УЛУЧШЕНИЕ ОРБИТЫ
§ 80.	Способы улучшения орбит
В рассмотренных нами методах определения первоначаль-
ных орбит по трём или четырём наблюдениям предполагалось,
что эти наблюдения отделены небольшими промежутками вре-
мени, ибо в противном случае процесс приближения, лежащий
в основе получения отношений площадей треугольников между
радиусами-векторами тела, был бы затруднён или вовсе неосуще-
ствим. Вследствие малых промежутков времени первоначальные
орбиты могут вычисляться без учёта возмущений. Как уже ука-
зывалось в § 70, обычно не удаётся сразу провести окончатель-
ное улучшение первоначальной орбиты, так как для вычисле-
ния окончательной орбиты необходимо знание возмущений,
точные же возмущения могут быть найдены в большинстве
случаев только при помощи достаточно надёжной орбиты. Лишь
в тех случаях, когда все имеющиеся наблюдения укладываются
в немногие недели или месяцы, например, если мы имеем дело
с недолго наблюдавшейся непериодической кометой, влияние
возмущений может быть столь мало, что его можно либо вовсе
не учитывать, либо достаточно надёжно найти, пользуясь перво-
начальными элементами орбиты.
С другой стороны, промежуточный этап между вычис-
лением первоначальной и окончательной орбит часто необходим
ввиду того, что окончательное улучшение элементов произ-
водится путём отыскания дифференциальных поправок к при-
ближённым значениям; законность этого процесса может быть
обоснована в свою очередь, только если искомые поправки
малы, т. е. исправляемые элементы уже достаточно близки
к истине.
Поэтому естественно отнести методы дифференциального
исправления элементов к задаче определения* окончательной
орбиты (хотя можно производить таким путём и приближённое
улучшение орбиты), а сперва рассмотреть вопрос о предвари-
тельном исправлении первоначальной орбиты.

СПОСОБЫ УЛУЧШЕНИЯ ОРБИТ]
279
S SO]
Чю касается наблюдений, которые могут быть использованы
для предварительного улучшения орбиты, то в этом отно-
шении имеется существенная разница между малыми планетами
и кометами. Для новой малой планеты наблюдения на протя-
жении первой оппозиции обычно весьма немногочисленны и
редко тянутся дольше двух-трёх месяцев. Не представляет
труда сравнить первоначальную орбиту со всеми имеющимися
наблюдениями, причём, если возникнут разногласия, можно
допытаться их устранить, вычислив новую орбиту с другими
опорными наблюдениями. Если удастся найти планету в одной
из последующих оппозиций, можно прибегнуть к улучшению
орбиты по способу вариации геоцентрических расстояний, из-
ложенному ниже, а Когда планета будет пронаблюдена мини-
мум в четырёх оппозициях, можно заняться отысканием диф-
ференциальных поправок к элементам, учитывая возмущения,
в первую очередь, от Юпитера.
Для комет почти всегда вычисляется не одна, а целый
ряд предварительных орбит, охватывающих всё большие интер-
валы времени по мере накопления наблюдений после открытия.
Часто при этом обнаруживается, что предположение о парабо-
лическом движении не совсем оправдывается. Если наблюдений
много, можно объединить группы наблюдений, близких одно
к другому по времени, в нормальные места и оперировать
с нормальными местами, как с наблюдениями повышенной на-
дёжности и точности. Для вывода улучшенной орбиты можно
использовать способ вариации геоцентрических расстояний,
который в должных случаях укажет на отклонение эксцен-
триситета орбиты от единицы. Обычно по окончании перио-
да видимости кометы вычисляется окончательная (или полу-
окончательная, учитывающая не все, но большинство наблю-
дений) орбита по методу дифференциального исправления эле-
ментов. Для непериодической кометы этим дело и заканчи-
вается, а для кометы периодической такая орбита . поможет
вычислить возмущения до следующего приближения к Солнцу
и дать элементы и разыскную эфемериду. Каждое новое появ-
ление периодической кометы даёт дальнейший материал для
исправления орбиты, но это очень нелёгкая задача, так как
Движение комет, как правило, не согласуется полностью с гра-
витационной теорией, а обнаруживающиеся уклонения дости-
гают значительной величины и не носят вполне правильного
характера. Причина подобных аномалий и до сих пор не ясна.
Нередко оказывается, что новая малая планета тождественна
с какой-либо ранее открытой планетой. Если между этими от-
крытиями протекло значительное время, нельзя рассчитывать, что
элементы орбиты для одной из отождествляемых планет пред-
<тавпт удовлетворительно наблюдения другой. Для достижения

280	ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ УЛУЧШЕНИЕ ОРБИТЫ	[Гл. X
согласия и, тем самым, решения вопроса об идентификации
достаточно исправить лишь наиболее ненадёжный элемент-—
среднюю аномалию, содержащую член, пропорциональный
времени. Если, исправляя М, удаётся представить обе коор-
динаты, хотя бы для одного наблюдения другой планеты, тем
более для нескольких наблюдений, тождественность можно счи-
тать установленной, а эмпирическая поправка, введённая
в М для достижения согласия с наблюдениями, позволит соот-
ветственным образом исправить и среднее суточное движение р,.
Для комет подобная ситуация тоже возможна, но возникает
значительно реже, так как давно не наблюдавшиеся периоди-
ческие кометы, повидимому, зашли в своём распаде столь да-
леко, что не приходится рассчитывать на их открытие вновь,
и речь может идти лишь об отдельных случаях, связанных
с особым стечением обстоятельств, вроде неблагоприятных
условий видимости при промежуточных приближениях кометы
к Солнцу.
Число способов, предложенных для исправления предвари-
тельных орбит, очень велико. Но из них в настоящее время
далеко не все следует считать равноценными с точки зрения
их эффективности. Ниже будут разобраны лишь те методы,
которые наиболее часто применяются и наиболее зарекомендо-
вали себя на практике.
§ 81.	Исправление средней аномалии
Пусть имеются элементы орбиты малой планеты, выведен-
ные из наблюдений, полученных на протяжении одной оппо-
зиции. В одну из следующих (или предшествовавших — если
речь идёт о ранее наблюдавшемся объекте) оппозиций получе-
ны одно или несколько наблюдений, дающих координаты
планеты а,, и 80, в то время как элементы орбиты дают для
моментов этих наблюдений вычисленные координаты ас и ос.
В зависимости от величины расхождений а0— ас и 80— ос при-
дадим к М большее или меньшее приращение ДМ, после чего
получим с изменённым М для тех же моментов новые значе-
ния а'. и $с.
Предполагая, что разности координат и вариация ДМ не очень
велики, так что связь между ними имеет линейный характер,
найдём
(а' — ас) х = ad — ас, (8' — ос) а’ = 80 — 8,	(10.1)
причём М + х^М представляет то значение М, которое должно
дать согласие с наблюдениями. Если было сделано п наблю-
дений, мы будем иметь 2п уравнений (10.1) для определения
х, которые можно разрешить тем или иным способом, в част-

g 82]	ВАРИАЦИЯ ГЕОЦЕНТРИЧЕСКИХ РАССТОЯНИИ	281
ности, взять простое среднее между различными значениями
Полного согласия ожидать не следует, так как неточность
остальных элементов орбиты и неучтённые возмущения могут
вызвать некоторое остаточное расхождение; поэтому идентифи-
кация по одному наблюдению всегда остаётся не совсем
достоверной. Но, если имеется хотя бы два наблюдения, оста-
точные расхождения по а должны согласоваться между со-
бой и то же самое относится к расхождению по 3. В таком
случае идентификация становится гораздо надёжнее. Далее
можно найти поправку среднего суточного движения по фор-
муле
(10.2)
где t — момент наблюдения, a t0~ эпоха элементов.
Если понадобится, можно применить такую же методику
для периодических комет, причём, если вместо М даётся Т —
момент прохождения через перигелий, то варьировать надо
эту величину. Подобные вычисления делаются обычно не при
отождествлениях комет, а при открытии ожидающейся перио-
дической кометы: уже первое наблюдение даёт поправку Т и
тем самым представляется возможность улучшить данные ра-
зыскной эфемериды. Имея это в виду, в разыскных эфемеридах
часто даются готовые значения изменения координат для изме-
нения Т7, допустим на 1 сутки, как это уже указывалось в § 24.
§ 82.	Вариация геоцентрических расстояний
Гаусс показал, что задача определения орбиты не может
быть сведена к отысканию одной неизвестной, зато введение
двух рабочих неизвестных приводит к сравнительно неслож-
ному ходу решения. Для первоначальной орбиты такими неиз-
вестными являются пг и тг3, а при улучшении орбит едва ли
можно сделать лучший выбор, чем взяв два геоцентрических
расстояния.
Способ вариации геоцентрических расстояний широко приме-
няется и к малым планетам, и к кометам, причём наблюдения,
используемые для улучшения орбиты, могут быть значительно
Удалены друг от друга. Следовательно, в нужных случаях
Должны учитываться возмущения координат или элементов
орбиты. Однако, если наблюдения охватывают не слишком боль-
шой промежуток времени, возмущениями можно пренебречь.
В способе вариации геоцентрических расстояний сна-
чала выбираются два вполне надёжных наблюдения, или,
лучше, два нормальных места, не лежащих слишком
близко друг к другу, но и не слишком удалённых —
т* о. принадлежащих одной оппозиции малой планеты или

282	ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ УЛУЧШЕНИЕ ОРБИТЫ	[Гл, Х
одному появлению кометы. Задача состоит в том, чтобы подо-
брать к этим наблюдениям такие значения геоцентрических
расстояний, которые вместе с наблюдёнными координатами
определили бы систему элементов орбиты, наилучшим возмож-
ным образом согласующуюся с остальными наблюдениями. Что
касается этих последних, то не стоит брать все имеющиеся
наблюдения, если их много, так как решение всё равно не
будет иметь окончательного характера ввиду того, что опор-
ные положения должны быть представлены точно, хотя бы
и в ущерб остальным местам.
Наблюдения, относящиеся к другой оппозиции, обычно до-
статочно брать с ограниченной точностью из-за того, что воз-
мущения, вычисленные с предварительными элементами, всё
равно будут не вполне соответствовать истине.
Вычислив для моментов обоих опорных наблюдений £х и Z2
по предварительным элементам орбиты геоцентрические расстоя-
ния (рх) и (р2) или взяв их из эфемериды, отыщем при помощи
их и наблюдённых координат ах, ох, а2, 82 систему элементов ор-
биты £1, которая точно представит оба опорных наблюдения;
для остальных же наблюдений, вообще говоря, полного согла-
сия не получится. Кроме того, вычислим ещё две системы
элементов £11 и £Ш, пользуясь теми же опорными координа-
тами и геоцентрическими расстояниями (р) + Дрх и (р2), соответ-
ственно, (рх) и (р2) + Др2. Основное допущение метода состоит
в том, что связь между приращениями геоцентрических рас-
стояний и изменениями координат носит линейный характер,
поэтому ДрхиДр2но должны быть слишком большими, но они не
должны быть и чересчур малыми, ибо тогда может оказаться,
что найденные в конце вычислений поправки (рх) и (р2) будут
в несколько раз больше Дрх и Др2. В обычных случаях для
вариаций Дрх и Др2 всего удобнее принять 0,001.
С тремя системами элементов £1, £11, £111 вычисляются
для моментов используемых наблюдений ti координаты
aj, op а*1, 8р, ар1, ор1. В нужных случаях следует учесть воз-
мущения. Обозначая через (рх) + яДрх и (р2) + такие значе-
ния геоцентрических расстояний, для которых получается со-
гласие вычисленных с наблюдёнными координатами и 8f, мы
можем написать
(an_ai)x + (alii_ai)y = a._aj, 1
(Sn-Si^ + CSin-Si) y==S.-8i. j	’’
Из этой системы уравнений могут быть найдены наиверо-
ятнейшие значения х и у по методу наименьших квадратов,
а затем при помощи (рх) + я;Дрх и (р2) + У^р2 улучшенные эле-
менты орбиты £, которые дадут отклонения наблюдённых от

283
ВАРИАЦИЯ ГЕОЦЕНТРИЧЕСКИХ РАССТОЯНИЙ
£82]
вычисленных координат, равные невязкам уравнений (10.3) после
подстановки в них значений х и у.
Если такого согласия нет, это может быть вызвано двумя
причинами. Во-первых, принятые вариации Др2 и Др2 илй полу-
чившиеся поправки геоцентрических расстояний были слиш-
ком велики. Тогда можно прибегнуть к приёму, который
часто используется при подобных осложнениях в применении
способа наименьших квадратов, а именно, заключительную
систему элементов Е следует поставить на место исходной
системы jEI, т. е. полученные для системы Е отклонения наблю-
дённых от вычисленных координат поместить в правые части
уравнений (10.3), после чего новое решение этих уравнений
даст поправки к значениям геоцентрических расстояний си-
стемы Е так же, как сначала были получены эти поправки
для исходной системы Е1. При этом нового определения коэф-
фициентов в левых частях (10.S) и, следовательно, перевычис-
ления элементов El, EI1, 2?Ш обычно не потребуется.
Во-вторых, в вычисление элементов El, ЕП,	или
в представление элементами наблюдений могли вкрасться ошиб-
ки. Хороший контроль всего вычислительного процесса полу-
чается, если найти’ ещё одну систему элементов £TV, положив
в её основу (pj + Др2 и (р2) + Др2. Тогда, вычислив для неё
a*v и 8*v, мы будем иметь, предполагая, что изменения гео-
центрических расстояний связаны линейно с изменениями коор-
динат az- и 8f,
aiv_ ain = aii _ ai, i
giv_gni =SII_§I (	(10.4)
i i	i i* J
и подобные же равенства будут существовать для любой про-
межуточной величины, фигурирующей в вычислениях, тац
что ошибку будет легко обнаружить. Если нет уверенности
в результатах вычислений, стоит вычислить систему £IV ещё
До решения уравнений (10.3).
Если исправляется параболическая орбита кометы, способ
вариации геоцентрических расстояний даст вероятнейшее зна-
чение эксцентриситета; следовательно, если орбита окажется
эллипсом, будут получены соответственные значения и боль-
шой полуоси, и периода обращения. Иногда рекомендуется
совершать переход от параболы к орбите, близкой к параболе,
варьируя отношение геоцентрических расстояний М =
и вводя в качестве второго определяемого неизвестного вели-
ЧинУ, обратную большой полуоси 1:а. Связанные с этим вы-
числения неудобны и довольно трудоёмки, между тем, резуль-
Тат не может получиться иной, чем по методу вариации гео-
центрических расстояний, так как имеющимся наблюдениям

284	ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ УЛУЧШЕНИЕ ОРБИТЫ	[Гл. х
удовлетворяет в смысле требований способа наименьших квад-
ратов лишь одна орбита, а как её отыскивать — безразлично.
Поэтому мнение, что введение 1 : а в качестве рабочей
неизвестной даёт какой-то выигрыш в точности, основано на
недоразумении.
§ 83.	Сводка формул для способа вариации
геоцентрических расстояний
А.	Исходные данные
^1; а1,	Х1} Zx,
Z2, а2, о2, х2, У2, Z2. J	(1)
В отношении, редукции этих величин см. § 44.
== cos Gfjcos az-,
bi = cos8z sin v.i,	(/ = 1,2). (II)
Ci = sin 6Z	J
Контроль: а2+Ь2-\-с2=Л,
at — Cj sin az = cos (az + 8Z),
bt + Ci cos az = sin (az + oz).
В.	Вывод элементов
Пользуясь исходными величинами, следует вычислить эле-
менты
£1 с (Р1) и (р2),
с (р1)4-Ар1 и (р2),
£111 с (Р1) и (р2) + Др2
и, если угодно, элементы
£1V с (Р1) + Api и (р2) + Др2
по формулам (IX), (X), (XIV), (XV), (XVI), (XVII), (XVIII),
(XIX) и представление наблюдений (кроме опорных) по форму-
лам (XXI) § 44.
Если были вычислены элементы Z?IV, можно проконтроли-
ровать результаты, взяв разности вычисленных координат, для
которых должно соблюдаться
aIV_aIII = aII_aI
i г i	1
3iv_3iii = 8ii__gi> /
Подобные же равенства имеют место для любой из проме-
жуточных величин в вычислении систем элементов.
(XXII)

ВАРИАЦИЯ ОТНОШЕНИЯ ГЕОЦЕНТРИЧЕСКИХ РАССТОЯНИЙ 285
§
С. Определение геоцентрических .расстояний и вывод улуч~
гиенных элементов
(а*1 — а?) х + (а*п — а*) у = а, — а*, 1
(8H_8i)a: + (8ni__8i)2/ = 8.-8*. ]
(XXIII)
Из этих уравнений определяются х и у по способу наимень-
ших квадратов.
Pl = (pi) +
(XXIV)
С (?i)4"^P и (?2)+?/Ар2 снова вычисляются элементы ор-
биты и представление наблюдений по формулам с (IX) по (XXI)
§ 44.
Контроль: уклонения наблюдённых от вычисленных коор-
динат должны равняться невязкам уравнений (XXIII) с по под-
становке х и у.
Если согласия не получится, см. § 82; если при наличии
согласия невязки остаются значительными и имеют система-
тический ход, это может указывать на незамеченную ошибку
в одном из опорных наблюдений или на недостаточно хороший
учёт возмущений.
§ 84.	Вариация отношения геоцентрических расстояний
При вычислении параболической орбиты кометы в силу условий
задачи и свойств метода Ольберса не всегда можно ожидать пол-
ного согласия в представлении элементами орбиты второго места,
поэтому в § 63 было показано, как улучшить элементы орбиты
и добиться возможно хорошего представления второго места
кометы путём вариации отношения геоцентрических расстояний,
обозначаемого через М. Очевидно, что подобно способу вариации
геоцентрических расстояний вариация их отношения может
быть применена также при наличии не трёх, но большего ряда
наблюдений. Ход рассуждений здесь настолько похож на выше-
изложенный (за исключением того, что варьируется одна,
а не две величины), что нет надобности развивать его подробно,
11 достаточно привести сводку формул, предварительно сослав-
шись на §§ 63 и 82.
-4. Исходные данные
Ввиду того, что количество используемых наблюдений может
ныть значительным, можно посоветовать вести вычисления
в экваториальной системе, чтобы избежать перехода от наблю-
денных координат к X и р. Вычисления ведутся с шестью

286
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ УЛУЧШЕНИЕ ОРБИТЫ
[ГЛ. X
знаками, поправки за параллакс и аберрацию вносятся заранее.
h, Xlf Ylf
Л>, а2, 82> Х2, Y2,
«z-= cos о/cos аг-,
bi = cos 8/ sin a£,
cz=sinoz-
z2. J
(/=1,2).
(I)
Контроль: a\ 4- b] + c} = 1,
at — Ci sin a£ = cos (otz- + 3£),
bi + Ci cos a/ = sin (af + o£).
= + +
2R( cos бг- = — 2 faiXi + b^Yi + cz-Zf).
(II)
Контроль:
RI + 2Ri cos ef + 1 = (X£ - atf + (У, - btf + (Zf - cf)2.
В. Вывод элементов
Пользуясь этими величинами, следует вычислить элементы:
Е\ с (М)
ЕН с (М) + ^М,
где ДМ может быть взято порядка 0,001, по формулам (V), (VI),
(X), (XI), (XII), (XIII), (XIV), а также выполнить представле-
ние наблюдений (кроме опорных) по формулам (XVI) § 65.
С. Определение отношения геоцентрических расстояний
и вывод улучшенных элементов
— aj)^ = a£— aj, 1
п_81)ж = а,--§1. J
Из этих уравнений определяется х по способу наименьших
квадратов.
М=(М)+х№.	(XVIII)
С М снова вычисляются элементы орбиты и выполняется пред-
ставление наблюдений по формулам с (V) по (XVI) § 65.
Контроль: уклонения наблюдённых координат от вычис-
ленных должны равняться невязкам уравнений при подстановке
в них значения х.
Если такого согласия не получится/ можно заподозрить
ошибку в вычислениях элементов или в представлениях поло-

287
ПРИМЕР
§ 85]
♦Кении кометы, а в некоторых случаях нелинейную зависимость
координат от М\ если при наличии согласия уклонения наблю-
яхнных от вычисленных положений остаются значительными
и имеют систематический ход, можно предположить ошибку
в одном из опорных наблюдений, или заметное уклонение орбиты
от параболы.
В последнем случае можно посоветовать такой приём: взять
две из трёх полученных систем элементов и, приняв значение рх,
подучившееся для одной из этих систем, и значение р2, полу-
чившееся для другой системы, вычислить с ними новую орбиту
(не параболическую) по указаниям § 83. Тогда можно рассма-
тривать эти три системы элементов как элементы £1, £41
и £111 § 83, ибо, как и там, мы будем иметь всего четыре
различных значения для рх и р2 и, считая последнюю получен-
ную систему за £1, найдём путём сравнения с двумя другими
системами, с какими значениями Дра и Др2 мы оперируем. Таким
образом, открывается возможность вычислить улучшенную
орбиту, пользуясь указаниями § 83 (раздел С).
§ 85. Пример
Для кометы 1946 аТиммерса имеются следующие наблюдения, из кото-
рых два первых произведены Д. Я. Мартыновым в Астрономической
обсерватории им. Энгельгардта, а остальные —А. Д. Дубяго в Казани:
I	№	Вс. вр.	а1946.0	° 1946,0
	1	1946 февр.	10,08530	9лЗЗ™2*,06	+ 51о21'10",1
	2		11,02559	9 29 59,64	+ 52 20 42 ,8
	3		26,73977	8 40 35,07	+ 65 57 14 ,6
	4	марта	1,69453	8 28 53,86	+ 67 48 21 ,7
	5		2,88070	8 24 2,05	+ 68 29 9 ,8
	6		4,71347	8 16 23,57	+ 69 28 5 ,4
	7		5,68343	8 12 17,44	+ 69 57 18 ,3
	8		7,80111	8 3 15,74	+ 70 56 49 ,3
Эти моменты наблюдений уже исправлены за аберрационное время
по провизорным элементам. Координаты Солнца были отысканы для
неисправленных моментов, как это удобнее делать, если не пользоваться
нормальными местами. В качестве опорных были взяты крайние наблю-
дения и со значениями (М) = 1,189436 и (7И) + ДМ=(7И) —0,00^800 = 1,188636
были вычислены системы элементов
Е1	Е\\
Т 1946 апр. 13,23378	; 13,49454 Вс. вр.
q	1,724115	' 1,722788
ах *	- 0,953379	- 0,951105
ау	- 0,052073	-0,056890
а3	+ 1,435591.	+ 1,435325
Ьх	+1,295979	+ 1,390439
— 3,106066	-3,194975
Ъг	+0,748656	+0,738666

288
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ УЛУЧШЕНИЕ ОРБИТЫ
[Гл. X
и соответствующие представления		мест	2, 3, 4, 5, 6 и 7, из		которых
следуют уравнения (брались Да cos <5		ввиду	близости	кометы к	полюсу):
а	V				
+ 1,7ж =—5,5	— 5",3	-0,6я	= +0,1	0",0	
+ б,7х = —9,8	-9 ,1	- 7,8ж	= -5,2	-6 ,0	
+ 5,5х =+0г8	+ 1 ,з	— 4,9я	= +0,8	+ 0 ,3	
+ 4,7я =+4,3	+.4 ,8	— 4, Зж	= +0,9	+ 0,5	
+ 3,2х = +0,2	+ 0 ,5	— 2,9я	= +3,6	+ 3 ,3	
2 + 2,2ж = —2,1	- 1 ,9	— 2,0ж	= -4,6	-4 ,4	
Составляем отсюда нормальное уравнение:
*	231,Зя = -22,91,
решение которого даёт
х = — 0,099.
С этим значением х были получены невязки, помещённые в столбце г
рядом с условными уравнениями. Сопоставляя эти невязки с правыми
частями уравнений, мы видим, что вычисление третьей системы элемен-
тов излишне, так как при шестизначной точности оно не дало бы ника-
кого реального улучшения представлений*!!, таким образом, система Е1
случайно оказалась столь близкой к наивероятнейшей орбите, что на
ней можно остановиться. Вычислив для неё по формулам (XV) § ббэклип-
тикальные элементы w, Q и i, Мы будем иметь следующую орбиту:
Т = 1946 апр. 13,23378 Вс. вр.
со = 54°17'53",3 ]
Q = 128 54 45 ,5 У 1946,0
i = 72 59 29 ,2 J
5 = 1,724115
Уклонения наблюдённых координат от вычисленных довольно зна-
чительны (по крайней мере — некоторые), что находит своё объяснение
в расплывчатом виде кометы. Тем не менее, элементы орбиты достаточно
близки к истине и с расхождениями того же порядка представляют
наблюдения за пределами опорных, начиная с 5 февр. по 1 апр. 1946 г.,
как показали вычисления, сделанные позже.

ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОКОНЧАТЕЛЬНОЙ ОРБИТЫ
§ 86.	Понятие окончательной орбиты
Орбита небесного тела может быть вычислена тем точнее,
чем большее количество наблюдений используется для этой
цели, чем длительнее промежуток времени, на который про-
стираются наблюдения, и, конечно, чем точнее сами наблюде-
ния. Окончательная орбита является завершением процесса
приближений, связанного с определением орбиты малой пла-
неты или кометы; такая орбита должна основываться на всей
совокупности сделанных наблюдений и при её вычислении
должны быть приняты во внимание точные возмущения от тех
больших планет, которые отказывают сколь-нибудь заметное
действие на движение изучаемого тела. Очевидно, что каждая
новая оппозиция малой планеты или каждое новое появление
периодической кометы может дать дополнительный наблюда-
тельный материал для улучшения орбиты; следовательно,
в таких случаях понятие окончательной орбиты относительно.
Но даже если нельзя рассчитывать на наблюдения в будущем,
как, например, для непериодических комет или периодических
комет, которые в результате распада перестали быть видимы,
часто остаётся возможность для дальнейшего улучшения окон-
чательной орбиты в связи с новой дискуссией и редукцией
наблюдений, более точным выводом положений звёзд сравнения
при помощи новейших звёздных каталогов, новыми вычисле-
ниями возмущений с уточнёнными значениями планетных масс
и т- Д. Таким образом, окончательные орбиты некоторых комет,
вычисленные в первой половине прошлого века, были признаны
Устаревшими и переопределены заново.
Нет нужды смущаться этими соображениями. В области
°пределения орбит возможностей для работы над мало исследо-
ванными объектами так много, что всякое тщательное вычисле-
Ние Движения малой планеты или кометы представляет интерес
Ценность, если цель работы продумана.
Д. Дубяго

290
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОКОНЧАТЕЛЬНОЙ ОРБИТЫ
[Гл. М
Окончательная орбита может быть также названа наиболее
достоверной орбитой в том смысле, что она должна представ-
лять наблюдения, как этого требует принцип наименьших ква-
дратов. Если обозначить уклонения наблюдённых от вычислен-
ных геоцентрических координат через Да и АЗ, должно быть
2 (cosSAa)2 + 2 (До)2 =min.	(1'1.1)
Это равносильно тому, что сумма квадратов расстояний на-
блюдённых положений от вычисленных должна быть наименьшей.
Если величины cosSAa и Ао столь малы, что их можно объяс-
нить случайными ошибками наблюдений, полученная орбита
считается удовлетворительной. Однако это бывает не всегда:
часто отклонения наблюдений от теории заметно превосходят
те величины, которые получаются для них по формулам теории
ошибок на основании случайных погрешностей наблюдений,
откуда следует, что предпосылки, служившие для исправления
орбиты, недостаточны. Дискуссия этого вопроса может дать
весьма интересные результаты, но и представить большие затруд-
нения, ибо причины разногласий могут быть весьма разнооб-
разны: недостаточный учёт возмущений, в частности, если тело
подходило очень близко к возмущающей планете, или если воз-
мущения вычислялись с не совсем хорошими элементами, ошибки
в координатах Земли, которые могут стать заметными, если
тело приближалось к Земле, систематические ошибки наблюде-
ний комет, зависящие от их вида и наличия или отсутствия
ядра, отклонения движения комет от чистой гравитационной
теории, вызываемые силами, природа и механизм действия кото-
рых ещё не ясны, и т. д.
Так как зависимость между элементами и геоцентрическими
координатами не линейна, условие применимости способа наи-
меньших квадратов состоит в том, что отыскиваемые поправки
к улучшаемым элементам должны быть столь малы, что их квад-
ратами и высшими степенями можно пренебречь. В тех слу-
чаях, когда улучшаемая орбита не удовлетворяет этому тре-
бованию, получить окончательные элементы орбиты в один приём
не удастся.
Применять условие (11.1) ко всем отдельным наблюдениям
целесообразно только, если наблюдений немного. В противном
случае объём вычислений будет чрезмерно велик. Решение
задачи облегчается, если использовать вместо наблюдений нор-
мальные места, для чего наблюдения должны быть сравнены
с эфемеридой, вычисленной при помощи элементов, уже доста-
точно близких к истине. Образование нормальных мест рассмот-
рено нами в § 33 и к тому, что там сказано, остаётся прибавить
немногое. Во-первых, очевидно, что число нормальных мест

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ИСПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ 291
§ 87]
должно быть не менее трёх. Во-вторых, однако, это число для
облегчения вычислений не следует делать чересчур большим,
строя нормальные места очень близко друг к другу. Обычно
наблюдения комет (вопрос о нормальных местах имеет значе-
ние только для комет) группируются по лунациям, отделяясь
промежутками без наблюдений вблизи полнолуния. Желательно,
если комета наблюдалась более или менее долго, иметь столь
плавный ход поправок эфемериды, чтобы существовала возмож-
ность соединять наблюдения на протяжении одной лунации
в одно нормальное место. Наконец, в-третьих, остаётся вопрос
о весах нормальных мест. Теоретически нетрудно вычислить
вес каждого места, зная среднюю квадратичную ошибку одного
наблюдения и число наблюдений, входящих в данное нормаль-
ное место. Однако выше уже указывалось, что во многих слу-
чаях уклонения наблюдений от окончательной орбиты не могут
быть объяснены только случайными ошибками наблюдений и зна-
чительно превосходят их возможные пределы. Поэтому можно
посоветовать, как наиболее правильный и всё чаще теперь при-
меняющийся, самый простой путь — считать все cosSAa и До
одного веса, не обращая внимания на число наблюдений в каждом
нормальном месте.
Для отыскания вероятнейших поправок элементов по пра-
вилам уравнивания необходимо установить, каковы будут измене-
ния геоцентрических координат в зависимости от изменений
элементов орбиты. Подход к этой задаче может быть самый
разнообразный, и мы рассмотрим лишь те способы, которые
достаточно часто применяются и оправдали себя на практике.
§ 87.	Основные уравнения для исправления элементов
Пусть у нас имеется система элементов орбиты Elf Е2, ..., Е6,
которую надлежит использовать для получения улучшенной
орбиты при помощи ряда нормальных мест, дающих наблюдён-
ные координаты тела а0 и 80. Места, вычисленные по элементам
улучшаемой орбиты, пусть будут иметь координаты ас и 8С.
Мы допустим, что разности координат я0 — ас и 80— 8С, равно
к^к искомые поправки элементов, столь малы, что их квадраты
Уже не играют роли. Тогда, ограничиваясь первыми степенями
в разложении в ряд Тейлора, мы можем написать следующее
выражение для приращений геоцентрических координат в зави-
симости от изменений элементов орбиты:
!4”=ет14^ + ---+Й-,А£.	(“-2)
и аналогично для склонений. Согласно с этим каждая отдель-
ная наблюдённая координата даст своё уравнение для поправок
19*

292
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОКОНЧАТЕЛЬНОЙ ОРБИТЫ
[Гл. X!
элементов в одной из двух форм:
cos 8	Д£\ + .. . + cos о	XEQ = (а0 — ас) cos 8, ]
(1М
дЕ,	’ + ЭЕ6 °0	°с‘	J
Если у нас имеется три нормальных места, таких уравнений
будет всего шесть, и из них найду!ся поправки элементов
Д^, ...,Д£6. Гораздо чаще бывает, что число нормальных мест
больше трёх, тогда уравнения (11.3) образуют избыточную
систему и должны решаться по способу наименьших квадратов.
Теоретически не представляет труда найти выражения для
коэффициентов уравнений (11.3), являющихся производными
от координат по элементам, к чему, в сущности, и сводится
вся задача, ибо, что касается правых частей, то отклонения
наблюдённых координат от вычисленных получаются при обра-
зовании нормальных мест, а решение уравнений протекает
по хорошо разработанным схемам. Тем не менее, вычисление
коэффициентов — немалая работа, в особенности, если нормаль-
ных мест много, поэтому желательно, по возможности, упро-
стить окончательные рабочие формулы. Достигнуть этого можно
целесообразным выбором параметров, при помощи которых
выражаются эти коэффициенты, а также часто имеет смысл
перейти от экваториальной системы координат к системе, свя-
занной с плоскостью орбиты.
Обратимся теперь к общим уравнениям (3.11)
р coso cosa = х-\- X,
р cos о sin а = у + У, У	(11.4)
р sin 8 — z +Z, I
являющимся формулами преобразования прямоугольных гелио-
центрических координат в полярные геоцентрические. Из них
следует
cos 5 cos a dp — р cos 8 sin а da — р sin 8 cos a d8 = dx,
cos 8 sin a dp + p cos 8 cos a da — p sin 8 sin a d8 = dy,
sin 8 dp + p cos 8 d8 = dz.
При этом дифференцировании мы, конечно, должны были
считать время (заданное моментами нормальных мест) постоян-
ным. Далее получаем
ъ 7	— sin a dx 4- cos cl dy
cos 8 da =---------!------- ,
P
__ — sin 8 cos cl dx— sin 8 sin a rfi/4-cos d dz	5)

§ 88] ИСПРАВЛЕНИЕ ОРБИТЫ В ЭКВАТОРИАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 293
Аналогичная формула для нам не нужна, так как d>
повлияет только на аберрационное время и параллакс, причём,
за исключением особенных случаев, эффект будет ничтожный.
В уравнение (11.5) должны быть подставлены dx, dy, dz, вы-
раженные через изменения элементов орбиты, что даст, в част-
ности, для dx
dx = ^- dEt + ... dEs и т. д.	(11.6)
(/£>1	£'£'6
Экерт и Броуэр показали, что входящие сюда производные
от координат х, у, z по элементам орбиты особенно просто выра-
жаются через эти координаты, если ещё ввести производные от
координат по времени, т. е. компоненты скорости [23].
§ 88.	Способ исправления орбиты, основанный
на применении прямоугольных координат
С целью всемерно упростить вычисление дифференциальных
коэффициентов в уравнении (11.6) и в двух, ему аналогичных,
можно использовать, между прочим, то обстоятельство, что не
обязательно вводить в качестве неизвестных поправки згклипти-
кальных элементов о), но можно заменить их тремя дру-
гими величинами, из которых однозначно найдутся поправки со,
Хотя, конечно, для. вывода безразлично, к какой системе
относятся x,y,z, мы будем считать, что они являются эквато-
риальными координатами, как это всегда бывает на практике.
Всякое изменение ориентировки орбиты в пространстве в резуль-
тате того, что наклонение, долгота узла и аргумент перигелия
получили каКие-то приращения, может быть представлено как
следствие трёх поворотов на углы d^)x, dbz вокруг осей
x,y,z. Эти элементарные вращения мы и будем рассматривать
как искомые неизвестные; им будут соответствовать, как нетрудно
убедиться, элементарные приращения координат:
dx = zdby— у d^z, ]
dy = xd^z — zd<bx, }	(И.7)
dz = ydtyx— xd^y, J
откуда сразу же находим
dx	гх	дх	dx	Л
5Т- = °>	vr- = z’	vr=—!
дфд.	дф,.
_	^L = 0	)
д^х- Z’	f
dz	dz	dz n j
тт- = у, 7T =	=
(11.8)

294	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОКОНЧАТЕЛЬНОЙ ОРБИТЫ	[Гл. Х[
В формулах (11.7) можно вместо х, у, z читать Рх,Ри,р
а также Qx, Qy,Qz\ следовательно, после того, как будут оты-
сканы dtyx, dtyy, d^z, мы можем получить изменения направляющих
косинусов. Для определения приращений обычных элементов da),
сЩ, di экваториальных или эклиптикальных всего проще прибег-
путь к проектированию углов элементарных вращений на соответ-
ственные оси, поскольку из кинематики известно, что бесконечно
малые вращения преобразуются так же, как проекции векто-
ров [12, 14]. Но, пожалуй, столь же легко достигнуть того же
самого следующим путём. Дифференцируя две первые формулы
(5.105), имеем при помощи (11.7):
sin i cos со do) + cos i sin (o di = cos e dPz — sin s dPy =
= (Py cos s -j- Pz sin г) dbx — Px (cos 2	4- sin s d^)z), cos o> sin
—	sinZ sin (d do)+cosZ coswcfr ^cosed^—sin zdQy =
—	(Qy cos £ + Qz sin £) <tyx — Qx (cos 2 dby 4- sin e dtyz). — sin (D cos (d
Проделывая несложные преобразования и пользуясь теми же
уравнениями (5.105), а также (3.20), мы отыщем •
sin i day = sin Q, dtyx — cos Q (cos г dtyy + sine dbz), 1	.
di = cos Si d^x + sin (cos e dby + sins dtyz). j '
Дифференцирование четвёртого уравнения (5.105) даст нам
—	sin i d SI = — (Px sin co 4- Qx cos cd) day 4- cos cd dPx — sin co dQx =
= cos i sin .Q, day 4- (Pz cos ay — Qz sin <o) dby — (Py cos ay —Qy sin co) dbz
откуда следует
dSl = —cos i day — sin г dtyy + cos sdbz.	(11.10)
Формулы (11.9) и (11.10) выражают изменения эклиптикаль-
ных элементов, что обыкновенно и требуется; изменения эква-
ториальных элементов можно найти отсюда же, если положить
cos 2 = 1, sin е=0.
Для определения производных от координат по остальным
элементам орбиты напишем выражение для компоненты ско-
рости по координате х. Формулы для двух других координат
получаются путём простой замены букв. Именно у нас будет
, dx дх dM
Х = di=dM~dt ’
ибо можно положить х = х(М, а, е, оу, Sl,i), следовательно, $
зависит от времени только через посредство М, которое в свою
очередь определяется по формуле
= + (11.11)

ИСПРАВЛЕНИЕ ОРБИТЫ В ЭКВАТОРИАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 295
§ 88]
Таким образом, мы находим
дх х'
дМ
Поэтому для частной производной от х по MQ будет иметь
место формула
дх дх дМ дх х'
дМо"" йй дМ0 =z'dM = ~>.
Далее, известное выражение (3.31) для прямоугольных гелио-
центрических координат
х = аРх (cos Е — е) + а1 — е2 Qx sin Е
(11.13)
(11.14)
даёт
дх  х дх дЕ х дх дМ дЕ  х дх дМ
да а *" дЕ да а ’ дМ дЕ да а дМ да
На основании (11.11) будет
дМ дМ dp. 	3 р. , х
да	др. da	2 а '	°'*
(11.15)
так как
, о I dp. 3 da
r	’ ц 2 a
Воспользовавшись ещё формулой (11.12), мы будем иметь
окончательно
дх
х~^х' (*—*»)•
(11.16)
и
(11.12)
(11.17)
Для вывода частных производных по эксцентриситету сна-
чала продифференцируем (11.14) по времени:
— = — ( — аРх sin Е + а У1 — е2 Qx cos Е).
|А Г
Здесь исключено при помощи уравнения
именно,
Кеплера,
j-,,_dE__дЕ dM____ |i 
dt дМ dt	1 — ecosE
Далее, из (11.14) получается
дх	~ ае
-т- = — аРх---г-----
де	х /1-^
(11.18)
дх дЕ
дЕ де

296
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОКОНЧАТЕЛЬНОЙ ОРБИТЫ
[Гл. X!
Привлекая опять уравнение Кеплера и (11.12), находим
дх	дх дМ____ х' г дЕ___ дМ л ЭМ__a sin Е
ЭЕ	дМ дЕ	[1 а	’ де	де ' дЕ г	'
(11.19)
следовательно,
дх	тч	ае	• r-j . х • у—т
— аРх_________QT sin Е 4— sin Е.
де	х	и
Это равенство вполне пригодно для вычислений, если имеется
(как обычно) эфемерида, вычисленная по исправляемым элемен-
там, т. е. если sin/?, а также Р и Q известны. Тем не менее,
все эти величины можно исключить. Для этой цели сперва
исключим Р и Q при помощи уравнений (11.14) и (11.17); у нас
будет
х cos Е — ~~ si*1 Е = аРх [(cos Е — е) cos Е + sin2 Е] = аРх,
а |/" 1 — е2 Qx sin Е = х — — cos Е (cos Е — е) 4- — sin Е (cos Е —• е),
г	Р*
дх ха	. г, хе , хае cos Е (cos Е — е}
-г =------cos Е + 2 — sinЕ —;----Н--------.. 	-- —
де г	«л	1 — е2	г(1— е2)
х'е sin Е (cos Е — е)  — a cos Е (1 — е2) — er 4- ае cos Е (cos Е — е)	(
“ ' ц (1 - е2)	г (1 — е2)	Х +.
f г (1 — е2) sin Е — е sin Е (cos Е — е) ,
+	H(l-e2)	Х -
cos Е 4- е , 2 — е2 — е cos Е =	*4				*	771 Х sin к — . 11
Но так как	cos£’ = ^-^,	р=а(1 — е2),	(11.20)
то можно написать		
	=	+ Кх', дх	(11.21)
где	гг	г 4- /> —2д	&	т + р sin Е ~~	ер	’	~~ р	Р-	(11.22)
Исключение	sinjE может быть достигнуто, если	продиффе-
ренцировать первое уравнение (11.20) и применить (11.18):		
	sinEE' = — ,	sin£'=-X-; ае	ра е	
таким образом,	К	г 4- р гг' __ r + p агг' е р р.2а2	е р	к2 ’	(11.23)
	rr' = XX 4- У у' + 2Z'.	

§88]
ИСПРАВЛЕНИЕ ОРБИТЫ В ЭКВАТОРИАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 297
Этим решается задача отыскания производных от координат
п0 элементам для эллиптических орбит. Но нетрудно видеть,
что уравнения (11.21), (11.22) и (11.23) не дают определённого
решения, если исправляемая орбита —парабола; да и для орбит,
близких к параболе, результат будет ненадёжен из-за множи-
теля л, стоящего в числителях Н и К. Формально полученные
уравнения остаются в силе и для гиперболы, однако на прак-
тике все исправляемые гиперболические орбиты столь близки
к параболам, что пользоваться формулами (11.21), (11.22)
и (11.23) в этом случае не приходится. Устранение а из этих
формул, а также исключение его из числа улучшаемых элемен-
тов, составляет в общем случае не очень лёгкую задачу, к реше-
нию которой мы и переходим.
Для орбит, близких к параболе, употребляются элементы Т, q
и е. Из формулы
М = u(Z-Z)	(11.24)
мы находим, как и выше, при помощи (11.12)
дх дх дМ х'	,	/л л Q -\
дТ = дМЭТ = -у = - х ’
уравнение, справедливое для любого эксцентриситета. Вводя
вместо а величину q = a(\—е), а также полагая в согласии
с (11.24) tQ = T, мы будем иметь
дх__дх да _ а Г х 3 х' ,	1
dq да dq q |_ а 2 а	’
ИЛИ
-7Ц- = Ж-|^(^-Т1).	(11.26)
Для отыскания производной по е мы можем воспользоваться
формулой (11.21), но при этом следует помнить, что теперь
У нас а зависит от е; таким образом, обозначая полученное по
формуле (11.21) через , мы будем иметь для требуемой
производной следующее выражение:
дх__ /даА дх да
де \деJ да де ’
Замечая, что при постоянном q
да q а
= (1 — е)3 — 1 — е ’
и обращаясь к уравнениям (11.16), (11.21) и (11.22), найдём
ие \ ер 1 1— е) ' р ц 2 1 — еу
(11.27)

298	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОКОНЧАТЕЛЬНОЙ ОРБИТЫ	[Гл. Xj
Коэффициент R приводится к следующему простому выра,
жению:
г>г + р-2а + ае + ае* __ r-q __	2g2
ер	ер (i + <?)2(i+ec2) ’
если ввести, как в формулах (3.59), (3.61) и (3.62),
г = Г+7’ с =	г = ?ГТ^-	<И-29)
В коэффициенте S выразим все входящие в него величины
через а,е и Е, пользуясь при этом уравнением Кеплера и соот-
ношениями
г = а (1 — е cos Е),	р=а(\—е2), р = ка-31*.
Мы получим
al
S = 2k 11	(2 (1 — е cos Е) sin Е +
4- 2 (1 — е2) sin Е — 3 (14- е) (2? — е sin £)] =
al
= о-т-г;—[(^ + Зё 4- е2) sin Е — 3 (1 4- е) Е — 2е sin Е cos /?].
~К и — е )
Введём сюда е и о и положим для сокращения т = га2.- Мы
можем написать
tg2y Е = х = еаг,
_Е= 2arctgj/x = 2 /т(1~4-Ьу-7 + --- ), (Н.ЗО)
• Г. 2	г- 1 -
sin Е= уфг,	cosЕ = — .
После этого остаётся выполнить следующие преобразования:
5-1-Д(Т^[<4+3'+'‘><| + Ч-2'11-Ч-
-3(i + e)(i + ,r(i-f+ |,-|‘+  )] =
[(1	(!-«)--3(1 + е)х
СО
Х 5 ( — Х)П Сзп+1 — 2п + 3 2п + 5 )] =
п=0
_	° Г 4 -2 24с* у	(~ec2)n	1 ,и 31)
(I + 6g2)2 L	(2n + 1) (2п + 3) (2п + 5) J •
417	п=0

88] ИСПРАВЛЕНИЕ ОРБИТЫ В ЭКВАТОРИАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 299
Стоящий в скобках ряд принадлежит к числу гипергеометри-
ческих, как это легко обнаружить, представляя его в несколько
ином виде. Он может быть записан в форме гипергеометриче-
ской функции и, таким образом, наше решение сведено к отьь
сканию значения этой трансцендентной функции:
- (^£сУ
2j (2^+ 1)(2^ + 3)(2п4-5)
- п\ ±
S-7^
п=1	~ • "у
3
1 1
" 8 j_ _3	2_
Т ’ 2 ’ 2
1,-^
-ХЧ4. —О-
Окончательно будем иметь для производной по эксцентри-
ситету для орбит, близких к параболе, такое выражение:
д/ =Rx + Sx' = r-^ Х+	77-^c/l-o2-.-. (11.32)
де	1	ер 1 7с.(1 + е)! (1 + ес2)2 V	14-е / у 7
Здесь Ф = -^Р (jU у , у , — еа2^ и значения Ф даны ниже
в табличке для тех аргументов га2, которые могут встретиться
на практике при исправлении рассматриваемых орбит; взятые
»лы ес2 — те же самые, что и в таблице XVII (см								. §23)
еа2	ф		6G2	Ф		ес2	ф	
-0,15	1,63613	253	-0,05	1,61163	236	+0,05	1,58876	221
-0,14	,63360	251	— 0,04	,60927	234	+0,06	,58655	219
-0,13	,63109	250	-0,03	,60693	233	+0,07	,58436	217
-0,12	,62859	247	-0,02	,60460	230	+0,08	,58219	217
-0,11	,62612	246	-0,01	,69230	230	+0,09	,58002	214
-0,10	1,62366	244	0,00	1,60000	228	+0,10	1,57788	214
-0,09	,62122	242	4-0,01	,59772	226	+0,11	,57574	212
-0,08	,61880	241	4-0,02	,59546	225	+0,12	,57362	212
-0,07	,61639	239	4-0,03	,59331	223	+0,13	,57150	209
-0,06	,61400	237	4-0,04	,59098	222	+ 0,14	,56941	209
-0,05	1,61163		4-0,05	1,58876		+0,15	1,56732	
При пользовании
с эксцентриситетом,
дх	г
этой таоличкои вычисление для ороит
близким к единице, не окажется слишком

300	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОКОНЧАТЕЛЬНОЙ ОРБИТЫ	[Гл. Xj
затруднительным. Однако чаще придётся иметь дело с частиц^
случаем рассмотренной нами задачи, именно с исправление^
исходных параболических элементов, причём de представив
собой отклонение эксцентриситета окончательной орбиты от
единицы. Тогда формулы (11.31) и (11.32) упростятся.
Положим е = 1, е = 0, p^2q, г = <?(! +о2). Ряд в уравнении
(11.31) принимает при этом значение , сводясь к одному пер-
вому члену, а гипергеометрическая функция F становится рав-
ной единице. В итоге мы находим
g = Rx + Sx' = 1 W + а (1 - а2 -1	. (11.33)
Необходимыми данными для вычисления по этому методу
являются прямоугольные гелиоцентрические координаты тела
и их производные по времени. При их отыскании мы можем
встретиться с тремя случаями.
Во-первых, пусть имеется точная эфемерида для периода
наблюдений. В таком случае проще всего заранее выбрать моменты
нормальных мест так, чтобы они совпадали с эфемеридными
датами, после чего вовсе не придётся интерполировать коорди-
наты, а скорости найдутся применением простой формулы чис-
ленного дифференцирования
wf (а) = /I (а) - 4 /ш (а) + /V (а) - ...	(11.34)
Во-вторых, допустим, что моменты нормальных мест по той
или иной причине не могли быть отнесены 'к датам, для кото-
рых имеются готовые координаты тела, например, если эти
координаты были получены численным интегрированием диф-
ференциальных уравнений движения со сравнительно большими
интервалами. Тогда координаты могут быть проинтерполированы
по той формуле, которая покажется удобнее, а для скоростей
послужит формула
wf (а + nw) = f (а + 4 w^ 4-
+(»-19/4“Hw)+G’-T+iD/,n(‘,+TK’) +
+(т-т-й+п)<"(*+4«’)+- •
причём коэффициенты (так же, как и для интерполяционных
формул) можно взять из таблиц [13, 19]. Н. С. Самойлова-Яхон-
това в своей работе, посвящённой рассматриваемому нами спо-
собу, указывает формулу, пользуясь которой можно не строить
разностей координат, если координаты были вычислены чпс-

СВОДКА ФОРМУЛ
301
§ 89]
пеННым интегрированием дифференциальных уравнений движе-
ния, а вместо того воспользоваться непосредственно разностями
усКорений fx и т. д., которые обычно имеются в готовом виде [12].
Наконец, в-третьих, предположим, что предстоит сравнить
изолированные наблюдения с координатами, вычисленными
По элементам улучшаемой орбиты, причём эфемериды вычислять
не нужно. Тогда для определения компонент скорости можно
применить уравнения (3.82) или (3.83).
Вследствие того, что уклонения наблюдённых положений
от вычисленных, фигурирующие в Уравнениях для поправок
элементов, выражены либо в секундах дуги, либо в градусах,
поправки элементов получатся в этих же единицах, и для
а, е, q и Т их надо помножить соответственно на аге 1* или
на агс!°. При этом предполагается, что у-, входящее в уравне-
ние (11.13), выражено в отвлечённой мере, что достигается умно-
жением на указанные множители.
§ 89. Сводка формул
А. Исходные данные
Для ряда наблюдений или нормальных мест имеются
t, а, о, р (а0 — ас) cos о, 60 — ос.	(I)
При точных вычислениях а0 — ас и Во — 8С должны быть полу-
чены с учётом возмущений. Элементы орбиты должны отно-
ситься к тому же равноденствию, что и а, 8.
Если нормальные места относятся к круглым эфемеридным
датам, х, у, z берутся из эфемериды, далее (w — интервал эфе-
мериды):
t = a, x = f(a), z'=A —	+	.
При необходимости интерполяции пользуются формулами*
« = /(а) + п/1 (а + у ги) +	/п (« +
+----i~2 • з	(а + у w) + ...г
X'^w [/* (а + Т№) + (П ~т)/П(а + Tw) +
+ (?-т+Ю/ш(а+» +••• ]•

302
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОКОНЧАТЕЛЬНОЙ ОРБИТЫ
[Гл.
Коэффициенты формул могут быть взяты из таблиц [13, 19].
При отсутствии эфемериды:
х == аРх (cos Е — е) + a j/" 1 — е2 Qx sin Е,
х'= —^( — аРт sin £ + a]/r^72QT cos£), к = 0,0172021,
гу а
параболы:
, 1
= tgTu,
х =	<52) ±2qQxc,
r/ = ^(-Pxa + Qx),
Г
для орбит, близких к параболе:
х = Pxr cos и 4- Qxr sin v,
х' = у=- [ — Рх sin v + Qx (cos V + е)].
В. Производные от координат по элементам
Для эллипса:
= - , и=484814.10-11и."=0,0174533 и.0,
дМ0 |i г
-4^- = ® — 4 (t~	р = аО — е*), r2 = x2 + y + z\
\а )
rr9 = хх' + уу' + zz',
д-?- = Нх + Кх’, H^r + P^a-, K=r_+JL^=:’-±par^
де	ер 1	р ц ер к2
^ = 3379,38.
А*2
Для параболы:
дх	f дх	3 /, /рч /
~=Rx+Sx', R=±-a\ 5 = ХтС°Г1-сг--^а4\
де '	7	2	’ 4А V	о }
^ = 20,5529.
АА 7

§89]
СВОДКА ФОРМУЛ
303
Значения Ф даются в таблице § 88.
Выражения для у и z получаются соответственной заменой
букв.
Для всех видов орбит:
’ аф3 у' афх .	’ <?ФУ 5ф,
dz	dz	dz	м
^Г=У,	5-г=0-
5фх	5фу	5фг
Контроль: если имеются направляющие косинусы.
dx	у»	ае	• у. . х • у,
— = — аРх-------. ..Qx sin Е Н— sin Е
de	х у	р.
и аналогично для других координат.
С. Связь вариаций гелиоцентрических и геоцентрических коор-
динат
dx^dE^ ...+^Е,Ят. Д.,
+	}>	(Ш)
sin 5 cos a 7 sin 5 sin a 7	. cos ft 7	*	*
--------- dx---------dy-\--—d^ — ^o — ^c- j
D, Определение поправок элементов
Уравнения (III) умножаются на корни квадратные из весов
наблюдений или нормальных мест (однако в большинстве случаев
введение весов едва ли целесообразно — см. § 86, и лучше считать
все веса равными единице). Затем для однородности уравнений
вводятся новые неизвестные
zz = |2J/z.|dEz (Z = l, 2,!... ,г6),
гДе Л/.— наибольший по абсолютному значению коэффициент
при данном неизвестном, а вместо правых частей берутся
I = COS В (a0 — ас): | L | и I = (80 — ос): | L |,
— наибольшая по абсолютному значению из величин
c°so(ao — ac) и 80— ос; после этого наибольший коэффициент

304	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОКОНЧАТЕЛЬНОЙ ОРБИТЫ	[Гл. XI
в каждом столбце уравнений и наибольший из свободных чле-
нов становятся равными единице, следовательно, дальше можно
вести вычисления с одним и тем же числом знаков для всех
неизвестных. Проще ограничиться тем, что привести уравне-
ния лишь к приблизительной однородности, взяв для указанной
цели вместо \Mt\ и \L\ ближайшие к ним по численному зна-
чению целые степени от 10. Так получаются условные урав-
нения
+ bkx2 + ... + fkx& = 1к (к = 1, 2, ... , 2m),
где т — число нормальных мест.
Нормальные уравнения, полученные из условных уравнений
по правилам способа наименьших квадратов, решаются путём
последовательного исключения неизвестных с применением надле-
жащих контрольных формул (суммовое уравнение). В результате
получаются значения неизвестных .. . , х* и их обратных
весов Q±1, ... , <2бв —последние по приёму Н. И. Идельсона [7].
Неизвестные подставляются в условные уравнения и отыс-
киваются невязки. Сумма квадратов невязок с учётом весов
2 т
уравнений 2 Pkvi< должна равняться значению, вытекающему
к = 1
для неё из схемы исключения неизвестных по формуле Гаусса.
Средняя ошибка единицы веса будет
е = Й S Pkvl:	— п) ,
где 2т— число уравнений, а п — число неизвестных.
Первоначальные неизвестные получатся по формуле
dF — -Щ- т-
1 ~ \ML | z’
а их средние ошибки выразятся так:
Если наблюдения, служащие для исправления орбиты, охва-
тывают не особенно большой промежуток времени, может ока-
заться, что нормальные уравнения дадут значения неизвестных
с большой неточностью. При этом коэффициенты некоторых
неизвестных в условных уравнениях образуют между собой
линейные комбинации по столбцам; обычно это можно заметить
по тому, что коэффициенты при двух (или трёх) неизвестных
будут почти пропорциональны друг другу. Вследствие этого

§ 89]
СВОДКА ФОРМУЛ
305
и в системе нормальных уравнений одно или два уравнения
будут зависеть линейным образом от остальных и в результате
при соответствующих неизвестных появятся очень малые коэф-
фициенты. Повысить точность решения без привлечения новых
условных уравнений невозможно и остаётся действовать по
одному из способов, указанных ниже.
Прежде всего надо поместить ненадёжные неизвестные так,
чтобы они определялись в последнюю очередь. Дойдя до них
в схеме исключения, можно выразить предыдущие неизвестные
через оставшиеся, ненадёжные, и подставить в условные урав-
нения, которые теперь будут содержать одни лишь ненадёжные
неизвестные, затем опять разрешить эти уравнения по методу
наименьших квадратов. Следует заметить, что если ненадёж-
ность решения можно предвидеть ещё до образования нормаль-
ных уравнений, то совершенно то же результаты получаются
путём вычисления коэффициентов нормальных уравнений
со значительно повышенным числом знаков, например, с восемью
знаками, когда в условных уравнениях имелось четыре знака,
п так довести решение до конца. Наконец, можно воспользоваться
выражениями надёжных неизвестных через ненадёжные для того,
чтобы, придавая последним различные положительные и отрица-
тельные значения, проследить, как меняется характер невязок,
п отсюда попытаться установить пределы, в которых могуть ле-
жать допустимые с точки зрения согласия с наблюдениями зна-
чения ненадёжных неизвестных.
Поправки a, д, е и Т должны быть умножены на 484 814 • 10'11,
если свободные члены были выражены в секундах дуги, или же
па 0,0174533, если они выражались в градусах.
Е. Поправки эклиптикальных элементов
sin i du = sin Q dtyx — cos Q (cos s dby + sin e cfrbj, \
di = cos «Q, dbx + sin (cos e с?Фу + sin s , I	(IV)
dQ=—cos i dw — sin e dtyn + cos э dbz. j
Придав полученные поправки к исходным элементам, мы
получим улучшенную орбиту, с которой вычисляются представ-
ления наблюдённых мест тела. Получившиеся уклонения cos В Да
и До должны быть равны в пределах точности вычислений невяз-
кам условных уравнений после подстановки в них значений
неизвестных. Если те и другие согласуются приблизительно
До 1" при шестизначном вычислении, или до 0",1 при семизнач-
ном, можно считать, что все проделанные вычисления основа-
тельно проконтролированы. Отдельные разногласия, если они
получатся, будут указывать на ошибки вычислений, но если
cos а Да и До систематически и заметно отличаются от соответ-
“0 А. Д. Дубяго

306	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОКОНЧАТЕЛЬНОЙ ОРБИТЫ	[Гл. XI
ствующих невязок, следует допустить, что поправки элементов
столь велики, что связь их с изменениями геоцентрических а
и 8 нельзя считать линейной.
В таком случае остаётся подставить найденные из непосред-
ственного сравнения с наблюдениями cos о Да и До в условные
уравнения и провести всё решение снова до конца, что, впрочем,
обычно потребует лишь перевычисления столбца с Z в нор-
мальных уравнениях и в схеме исключения неизвестных. Разу-
меется, следует также перевычислить (кроме значений неизвест-
ных) среднюю ошибку единицы веса и найти новые средние
ошибки поправок элементов, но веса их при этом могут не
переопределяться. Новые поправки, прибавленные к эле-
ментам, полученным в результате предыдущего решения,
почти всегда приведут к согласию между вытекающими из
условных уравнений и непосредственно найденными значениями
cos В Да и ДЗ.
Можно посоветовать вести все вычисления с 4 или 5 зна-
ками (это не касается, разумеется, представления нормальных
мест элементами; также см. оговорку выше по поводу опреде-
ления ненадёжных неизвестных). Вычислять производные с боль-
шим числом знаков не имеет смысла. Действительно, для того,
чтобы найти их с точностью, скажем, до четырёх знаков, нужно,
чтобы прогрешность х, у, z была не выше порядка единицы
четвёртого знака. Следовательно, если приращения dx, . . .
оказались порядка единицы четвёртого знака, при указанной
точности производных в левых частях уравнений (III) могут
возникнуть ошибки порядка восьмого знака (если р не слишком
мало), что совершенно нечувствительно отразится на правых
частях этих равенств, от которых зависит единственный кри-
терий качества работы—согласие с наблюдениями.
Однако любая вычислительная ошибка в сравнении наблю-
дений с исправляемыми элементами, или с вычисленной по ним
эфемеридой, в образовании нормальных мест, в вычислении про-
изводных от координат по элементам орбиты, или на каком-либо
последующем этапе решения, может исказить, или свести
на-нет весь результат работы по улучшению орбиты. Поэтому
необходимо вести все вычисления тщательно и, как правило,
в две руки (кроме хорошо контролируемых разделов — образо-
вания нормальных уравнений и исключения неизвестных).
§ 90. Пример
В качестве примера рассмотрим вычисление производных от коор-
динат ио элементам орбиты для кометы 1942 f Тевзадзе 2, пользуясь
в основном данными, приведёнными в §§ 23 и 25. Вычисления произво-
дятся для 1943 мая 16,0 Вс. вр.

§ 91] ИСПРАВЛЕНИЕ ОРБИТЫ В КООРДИНАТАХ В ПЛОСК. ОРБИТЫ 307
Т 1947 февр. 6,719 Вс. вр.
	7	1,3536	<7 : (1 + е)		0,6794
t-	е Р ер °	4- С2 С4 -т	0,9922 2,6967 2,6757 0,6619 0,4381 0,1919 98,281	[<7 •	(1 + <0]3/2 к-1 [..]3/з £ SG2 (1+8G2)2	, □4:(1 + е)	0,5600 32,55 +0,0039 + 0,0017 , 1,0034 0,0963
-4<-	Т)	147,42			
	г R	1,9433 0,2204		Ф 1 — G2	1,5996 + 0,5619
	S	+ 8,757		— Ф 1 г е	-0,1541
				сумма	+ 0,4078
	X -0,006758		У —0,065928		-0,021153
__ 1 /1П 6 7	4-10		0		-4
х' X	-0,001687 -1,6265		—0,016482 —1,03,73		-0,005289 + 0,2341
дх : дфд дх : дх : d\z дх : дТ	0 4-0,2341 + 1,0373 + 0,001687		—0,2341 0 —1,6265 +0,016482		-1,0373 + 1,6265 0 + 0,005289
дх : —	— 1,3778		+ 1,3925		+ 1,0138
дх : де	— 0,1733		—0,3730		+ 0,0053
а Р 1 : р (а, х) («> у)	195°20',8 + 27 33 ,2 1,2119 0,8252 + 0,2183 — 0,7956	sin а COS а sin 5 cos 5 (Й.х) (5, У> («, 2)	-0,2646 -0,9643 + 0,4626 + 0,8866 + 0,3681 4-0,1010 + 0,7315	sin £ sin а sin о cos а	-0,1224 -0,4461
dT dq : q de ^Фх +	cos о dj.  -0,012745 -1,4086 +0,2153 + 0,1861 + 0,0511 + 1,5205		d§ +0,006155 +0,3751 -0,1712 — 0,7824 + 1,2760 +0,2176		
§ 91. Способ исправления орбиты при использовании координат,
отнесённых к плоскости орбиты
Выбор системы координат имеет существенное значение при
исправлении орбиты. Экваториальная система обладает тем пре-
имуществом, что к ней относятся непосредственные данные
наблюдений: а и о светила. Однако, если вместо экваториальных
координат взять такие координаты, для которых основной пло-
20*

308
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОКОНЧАТЕЛЬНОЙ ОРБИТЫ
[Гл. Xi
скостыо служит плоскость исправляемой орбиты, уравнения,
связывающие изменения координат с изменениями элементов,
приобретают более простую и выгодную с точки зрения теории
форму, и это может оправдать затрату труда на преобразование
координат к новой системе.
Исходя из этих соображений, М. А. Ковальский предложил
способ улучшения орбит, в котором применяются координаты,
связанные с положением тела на его орбите и с плоскостью
орбиты, благодаря чему получение поправок элементов заметно
упрощается [28]. Другой способ, вытекающий из той же основ-
ной идеи, но отличающийся как по выводу, так и в конечных
формулах, был разработан Титьеном и часто применялся на
практике; он излагается и в курсах определения орбит [14, 36].
Способ, который будет дан ниже, считается иногда вариантом
метода Титьена, но без
достаточных основании,
так как он не содер-
жит характерного для
метода Титьена получе-
ния исправленных эле-
ментов в два этапа.
Обозначим через
х, у, z прямоугольные
гелиоцентрические ко-
ординаты тела, отнесён-
ные к системе, в кото-
рой ось х направлена в
точку восходящего узла
исправляемой орбиты
ось у — в точку орбиты
с аргументом широты
фиг- 24-	' а =90°, ось z — в север-
ный полюс орбиты. Обо-
значим далее G и g полярные геоцентрические координаты тела
в системе осей, параллельных предыдущим, причём эти коорди-
наты явятся в отношении плоскости ху тем же самым, что X
и р в отношении эклиптики или а и о в отношении экватора.
Мы будем иметь прежде всего
р cosg cos G= х + Х, 'j
Р cos g sin G=y + У, }-
psing = z + Z, j
(11.36)
где X, Y, Z— координаты Солнца в той же системе.
Координаты G и g должны быть получены из прямых вос-
хождений и склонений светила. Нафиг. 24 Q— полюс экватора,

§ 91] ИСПРАВЛЕНИЕ ОРБИТЫ В КООРДИНАТАХ В ПЛОСК. ОРБИТЫ 309
yV —полюс орбиты, Р — геоцентрическое положение тела,
с = а)' —со дуга между точками Q' и Q. Из треугольника PQN
находим, полагая G' = G + o,
cos g cos G' = cos 6 cos (a— Q'),	.	j
cos g sin G' = sin if sin 8 cos 1 cos 8 sin (a — <Q'),	(11.37)
sin g = cos i' sin 8 — sin i' cos 6 sin (a — f£/), j
а для отыскания Z', Q' и <з в большинстве случаев придётся
воспользоваться формулами
11 11
cos — Г sin— (Qz +a)=sin -Qccs —(г —г),
cos i' cos 1	+ a) = cos cos (« + ®).
;	;	;	;	(н.зв)
sin — 1' sm y (£?,' — -)=sin - Qsiny(i-:).
sin — i' cos у (<$7/— a) = cos у <Q, sin (/4-s).
Эти равенства получаются, если к треугольнику q при-
менить формулы Гаусса. Иногда можно вычислить i', <Q/ и о
по векторным элементам; для отыскания а понадобится о, кото-
рое, если оно не дано непосредственно, можно также найти
по векторным элементам (что уже не очень удобно).
Продифференцировав равенства (11,36), найдём
cosgdG— — ------dx-\-----dy,	|
•	?	> (11.39)
, sin ? cos G , sin ? sin G ,	, cos g ,	!
dg =-----------dx------------dy+—^dz. J
Левые части этих уравнений могут быть выражены через
dj, и do, проще всего следующим образом. Пусть на фиг. 25 Ро —
наблюдённое, Р — вычисленное гео-
центрическое место светила на не-
бесной сфере. Рассматривая элемент
поверхности сферы, мы можем счи-
тать cos 8 da и d8 за координаты
точки Ро в системе ; Prif в которой
точка Р служит началом, ось $ на-
правлена по небесной параллели в
сторону возрастающих прямых вос-
хождений, а ось 7)— к северному
полюсу экватора. Точно так же
cos gdG и dg явятся координатами
чающейся от предыдущей лишь направлением осей, а именно,
ось т)' направлена к северному полюсу орбиты. Угол между

310
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОКОНЧАТЕЛЬНОЙ ОРБИТЫ
[ГЛ. XI
направлениями Рг\ и Рт\', очевидно, равен углу F на фиг. 24 и.
применяя обычные формулы для поворота осей, мы будем иметь
cos g dG = cos F cos 8 dx -|- sin F do,
dg = — sin F cos 8 dx + cos F do.
(11.40)
Для определения F обратимся опять к треугольнику PQN
(фиг. 24), из которого найдётся
cos g sin F = sinZ' cos (a — ft'),
cos g cos F = cos I' coso + sin i' sin 8 sin (a — Q')«
(11.41).
Выразим входящие в уравнения (11.36) х, у, z через поляр-
ные гелиоцентрические координаты
г, и, В, отнесённые к топ
же основной плоскости;
у нас будет
х —г cos В cos и,
у =^г cos В sin и, j. (11.42)
z = r sin В. J
Имея в виду, что в
левой части уравнений
(11.39) стоят уклонения
наблюдённых от вычислен-
ных координат светила,
мы должны считать, что
х, у, z относятся к вычи-
сленному положению све-
тила, т. е. в выражениях
(11.42)	следует положить В = 0, после чего получится:
# = rcosw, dx = cos и dr— г sin и da,
y = rsinu, dy — sin и dr + г cos и du, j>
z —0, dz = rdB.	J
(11.43)
Пусть исправленная орбита наклонена к плоскости исправ-
ляемой орбиты ху под углом I, далее, пусть на фиг. 26, изо-
бражающей часть гелиоцентрической небесной сферы, Р есть
гелиоцентрическое положение тела (согласно наблюдению),
РР' — перпендикуляр, опущенный из Р на плоскость ху, п
К — точка пересечения исправленной орбиты с этой плоскостью.
Положим F^K = V и KP' = U, следовательно, и = V + U. Из эле-
ментарного треугольника КРР' находим
dB = Is\nU, dz = rl sin (а — Tz).
(11.44)

§ 91] ИСПРАВЛЕНИЕ ОРБИТЫ В КООРДИНАТАХ В ПЛОСК. ОРБИТЫ 311
Очевидно также будет КР = КР' = U и, если мы желаем
брать аргумент широты по исправленной орбите, мы должны
сго отсчитывать не от точки как следовало бы, но от точки
являющейся основанием перпендикуляра, опущенного из Q
на исправленную орбиту, ибо тогда будет (^)K=^K = V и
Uz=zV + U. Соответственно напишем м = и+ (*)!> где отсчиты-
вается от точки (<QJ до перигелия. Нам придётся учесть это
при определении поправки аргумента перигелия d<o. Та:к как
dco слагается из дёух различных приращений, зависящих как
от изменения положения точки перигелия, так и точки узла,
мы будем иметь
do) = do>i—(Q)	= da>i — cosZ dQ.	(11.45)
Последнее равенство следует из элементарного треугольника
(<Q) Qi (фиг. 26). Наконец, из элементарного треугольника
К будем иметь после небольших упрощений
I sin V = Q (<0,) = sin i d£l,	1
7 cos V = sin/cos 7 = dZ,	<-	(11.46)
dz = г sin и di — r cos и sin i dQ. I
Введём теперь результаты (11.43) и (11.46) в уравнения
(11.39); это даёт
1
cos gdG = — [ — sin(G — и) dr + г cos (G — и) du],
?
dg = — [cos (G — u) dr + r sin (G — u) du] +
-j- ^in и di — cos и sin i d<Q).
(11.47)
Здесь следует положить
d^=^dMo + tdV- + d^d(¥ + dWl- J
Необходимо выразить входящие сюда частные производные
в явном виде, что мы проделаем только для случая эллипса,
пользуясь известными формулами эллиптического движения:
Е — sinosin Е = Мо + уф — tQ),
r = a(i- sin ф cos Е) = r+-^^v

312
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОКОНЧАТЕЛЬНОЙ ОРБИТЫ
[Гл. XI
tgy v = tg (45°+ у <p^)tgIff,
г sin v = a cos <р sin Е,
г cos v = a (cos Е — sin ф) .
Дифференцируя по порядку четыре первые формулы (пер-
вую и последнюю из них — логарифмически), найдём
da	2 dti
а	3	’
(1 — sin 9 cos E) dE — cos о sinEdv= dMQ + (t —10) dp,
dr = — da+ a sin © sin E dE — a cos © ccs E dv,
a	*	‘	‘
dv  dv ( dE
sin v cos ® sin E
и отсюда
dE = у dMQ + — (t — £0) dp + sin v dv,
(t — £0) a tgosinu— du —
— acoscpcosb'cfo,
r dv =----dv 4- a cos v dE =
COS (p 1	1
a2 cos <p 7	. Zjt . X a2 cos э 7	.
=-----+ (t - to) -----------da +
+ (P + r)sec ? sin v d<?-
Положим
1
(11.49)

= a tg © sin v = M, sin Af,,
OMo ° 1	1	2
= (t — Z0)«tg©sino — ^=Pi sin p.2,
dr
= — a cos <p cos v — v1 sin <p2,
= mMv
a2 cos co
--— Pl C0S P:
dv ____a2 cos о
dMQ = r
r
d [J.	u/
dv z । x
r -- = (p 4- r) sec q sin v = <px cos y.2,
Al T c os (G — и -4 Л/2) = Mc,
u^cos (G— ^ + p2)=pc,
©i cos (G — и + ©2) = фс ,
г cos (G — u) =a)e,
Mr sin (G — и 4- Л/2) = M,
u^sin (G —^ + [i2) =us,
<p1sin(G — + <p2) =
r sin (G — a) = <J\.

§ 92]
СВОДКА ФОРМУЛ
313
После этого условные уравнения для поправок
примут следующий вид:
А- (Мс dMQ + р.,. du 4- с?е de? + сос d coj = cos g dG,
—	dMv + ^sd^ + <?s d? + o)s dcoj +
+ (r sin и di — r cos a sin i dQ) = dg.
элементов
(11.50)
I
J
Подобные уравнения должны быть построены для всех нор
мальных мест и решены по методу наименьших квадратов;
об этом уже были сделаны некоторые замечания в § 89. Но
решение данным способом будет проще.
Во-первых, уравнения для zosgdG вовсе не содержат неиз-
вестных di и dQ,; таким образом, решение нормальных уравне-
ний соответственно упрощается. Во-вторых, четыре остальных
неизвестных входят в уравнения для dg с коэффициентом sing,
который не
R . .
превышает ySint,
где R
радиус-вектор Земли.
В самом деле, из формул (11.36) и (11.43) следует, что sing= Д ,
но так как — Z есть координата Земли, соответствующая оси,
перпендикулярной к плоскости орбиты тела, она, очевидно,
не может быть больше 7?sinZ. Поэтому уравнения для dg не
окажут существенного влияния на определение четырёх первых
(не связанных с плоскостью орбиты) элементов из-за малости
коэффициентов, если, как это будет в большинстве случаев,
наклонение .орбиты невелико. Уравнения для cos g dG могут
быть решены отдельно для отыскания dMQ, du, d? и du^, после
чего найденные значения этих неизвестных подставляются
в уравнения для dg, которые послужат для определения di
и dQ. Таким образом, вместо системы 2т условных уравнений
с шестью неизвестными нам придётся решить две системы по т
уравнений с четырьмя, соответственно, с двумя неизвестными.
Изложенный способ может с успехом применяться к боль-
шинству малых планет и периодических комет. Кометы, дви-
жущиеся по орбитам, близким к параболе, часто обладают зна-
чительным наклонением. Для них главное преимущество изло-.
женного способа теряется, и поэтому мы не будем разбирать
формул, относящихся к употребляемым для этих орбит элемен-
там: Т, q и е.
§ 92. Сводка формул
И. Исходные данные
Для ряда наблюдений или нормальных мест имеются
t, а, 8, cos о (ао—ас), 8О — 8С.	(I)
При точных вычислениях ао — ас и 80 —о. должны быть полу-

314	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОКОНЧАТЕЛЬНОЙ ОРБИТЫ
[Гл. NJ
чены с учётом возмущений. Элементы исправляемой орбиты
должны относиться к тому же равноденствию, что и а и о.
Вычисления ведутся с четырьмя или пятью знаками.
В. Переход к экваториальным элементам
11	1 1	}
cos у i’ sin у Щ + с) = sin - cos у (i — г),
11	11
cos— I cos у (Q' + о) = cos у Q cos— (i + г),
sin у i' sin у (Q' — о) = sin sin у (i — e),
sin-li'cos у (££' — c)= cos ~ sin у (i 4-e). ,
С. Преобразование координат
G'-G + a,
cos g cos G' = cos 8 cos (a — <Q'),
cos g sin G' = sin if sin 8 + cosZ' cos 8 sin (a — <Q/),
sing = cosZ' sin 8 — sin i' cos 8 sin (a — ЭД')>
cosgsin F = sinZ' cos (a — Qz),
cos g cos F = cosZ' cos 8 + sin i sin 8 sin (a— Qz),
zosgdG = cos F cos 8 dx 4- sin F d%,
dg~ — sin F cos 8 dx + cos F d8.
D. Производные от координат no элементам
Мг sin М2 = a tg ср sin и,
л/	71 г	Cl2 COS Ф
MY cos Л/о = ----- ,
г
•	/	ч	2г
sin р.2 = (t — tQ)a tg ср cos v —уу
z,	ч a2 cos а
Hl cos [X2 = (t — t0) -,
sin cp2 = — a cos cp cos v,
<$>! cos = (p 4- r) sec <p sin v,
Mc = cos (G — и + Л/2),
p.c = p.icos (G~ и + р2),
?c = ?i c°s (G — m + ?2),
oc —r cos (G— u),
g2-= [1,58203]: p.0 =
Ms = sin (G — и + M,
fi, = Uj sin (G — и + p,2)
?s = <Pisin (G —a + <p3)
ws = r sin (G — u),
[5,13833] :<x".

315
ПРИБЛИЖЁННОЕ ИСПРАВЛЕНИЕ ОРБИТЫ
S 03]
Контроль: tg Мг = tg <р sin E
<j.c = Mc	^sin(G-w), ps = /¥s(i! — Z„) — ^cos(G-u),
о ==a [sin E cos (G — u) + cos <p sin (G —<d)],
o = a[sin E sin (G — u) — cos ф cos (G — cd)].
^dM0 + ^d^+	+	'
^&2^-MsdM0	[bsda-
? s ° p'S'
. rcos^ .
+----- sin и di —
?
- da^ = cos g dG,
sin ?	sin *	7
—p <Ps --------+
7* COS °"
——- cos и sin i dF^~dg.
(V)
E. Определение поправок элементов
Решение уравнений (V) производится в согласии с указа-
ниями в § 89 и в конце § 91. После отыскания den и dQ
вычисляется
dco = dcDi — cos i dQ.	(VI)
По исправленным элементам вычисляются геоцентрические
положения светила для моментов нормальных мест. Найден-
ные уклонения cosoda и do должны равняться в пределах
точности вычислений величинам
cos о da = cos F cos g dG — sin F dg,
db = sin F cos gdG+ cos F dg,
где cos dG и dg —невязки условных уравнений после подста-
новки значений неизвестных. В остальном см. § 89.
§ 93. Приближённое исправление орбиты
Если при исправлении орбиты не требуется большой точ-
ности, вычисления могут быть значительно упрощены.
Число малых планет столь велико, что нет возможности
следить с полной точностью за движением всех планет, даже
если бы имелось достаточное количество наблюдений. Однако,
если пользоваться предварительной орбитой, расхождения эфе-
мериды с наблюдениями уже через пару лет могут достигнуть
таких величин, что планета может быть потеряна, как это
часто и бывает на самом деле. Изложенный цыше способ можно
применить для быстрого исправления орбит малых планет,
причём получаются настолько надёжные элементы, что они
могут обеспечить уверенное вычисление возмущений и отыска-
ние планеты на ряд лет вперёд.
В момент оппозиции, если считать её в отношении плос-
кости орбиты, G = u. Если наклонение невелико, это будет

316
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОКОНЧАТЕЛЬНОЙ ОРБИТЫ
[Гл. X!
почти справедливо и для оппозиции по прямому восхождению.
Выбирая из наблюдений, принадлежащих различным оппози-
циям (образование нормальных мест в подобном, случае не имеет
смысла), такие, которые ближе всего к моментам оппозиций,
мы можем положить G = u. Кроме того, при умеренных накло-
нениях можно считать cosg=l. Почти всегда можно ограни-
читься только уравнениями для cosgdG, а уравнения для c/g
не составлять, так как обычно в исправлении i и Q нет необ-
ходимости.
Действительно, если бы эти элементы оказались обременён-
ными значительными погрешностями, вряд ли удалось бы на-
блюдать планету в четырёх различных оппозициях (для исправ-
ления орбиты, очевидно, требуются наблюдения не менее, чем
в четырёх оппозициях).
Вследствие сделанных упрощений оказывается возможным
табулировать многие из необходимых величин,. что и было
выполнено М. Ф. Субботиным [13]. Предполагается, что вычис-
ление проводится с помощью этих таблиц; впрочем, и при
их отсутствии оно не представит затруднений.
Значения экваториальных элементов i' и Q'. могут быть
взяты из таблиц по аргументам i и <Q; здесь достаточно точ-
ности до 1°. Полагая cosg = l, мы видим, что sin F в первом
уравнении (11.40) определяется только через посредство
na—Q', что позволяет табулировать sin F и cos F по этим аргу-
ментам. В большинстве случаев можно поступать ещё проще:
принять cosF=l, вследствие чего можно взять вместо cos g <7(7
прямо cosBrfa, и необходимость отыскания экваториальных
элементов и угла F отпадает.
Коэффициенты условных уравнений также упрощаются
и вычисляются по следующим формулам (неизвестные и правые
части выражаются в градусах):
М.
Р
7
a2 cos ? а ,	<?е р +г
=--------- =	'----sec ср sin v =
рГ	р 'м р р	т
a f л , г \	. а ,
=	+ - J COS ® Sin
__* х Мс сос   г   а г   а
— (^~^о) р > р	у ~ у'7 “ 7
(11.51)

Функции /Л1, и /<о зависят только от двух аргументов,
и таблицы М. Ф. Субботина дают их по аргументам М и
Составив условные' уравнения вида
M±dM<)+ dp. +	+ <2(0 = 003gdG, (11.52)
решают их по способу наименьших квадратов. Если для ис-
правления орбиты привлекаются четыре оппозиции, уравнения
(11.52) решаются непосредственно. Такой способ исправления

§ зд
ПРИМЕР
317
( рбпты по четырём оппозициям часто применяется на практике.
Для контроля вычисляются с четырьмя знаками места планеты
для моментов использованных наблюдений. Если а представ-
ляются удовлетворительно, это же обычно относится и к о.
При больших уклонениях по а (если они не обязаны промахам
в наблюдениях) можно попробовать улучшить результат вто-
ричной подстановкой получившихся уклонений в условные
уравнения и новым их решением. Если при удовлетворительном
представлении по а остаются заметные разногласия по 8, необ-
ходимо улучшить I и Q. Для этого можно прибегнуть к фор-
мулам для dg, выведенным выше, или перейти на способ вари-
ации геоцентрических расстояний, однако подобную работу
вряд ли часто придётся делать.
Для вычисления коэффициентов (11.51) больше трёх знаков
не требуется.
§ 94. Пример
Для периодической кометы Брукса было получено 34 позиционных
наблюдения в сё появлении в 1925 г., 52 наблюдения—в появлении
в 1932 — 1933 гг. и 31 наблюдение — в появлении в 1939 — 1940 гг. При
определении окончательной орбиты из этого материала все наблюдения
были по возможности заново обработаны. Помимо контроля редукцион-
ных вычислений (параллактические множители), были заново выведены
положения и собственные движения • звёзд сравнения в системе «General
Catalogue» [20] с использованием для этой цели всех доступных каталогов
звёзд. Фотографические наблюдения были по большей части опублико-
ваны без указания координат звёзд сравнения; в таких случаях были
внесены систематические поправки использованных наблюдателями звезд-
ных каталогов и, в частности, для некоторых фотографических ката-
логов Карты неба поправки к системе GC были найдены непосред-
ственным сравнением положений ряда звёзд в этих каталогах и в GC,
что было сделано специально для данной цели. Все наблюдения, произ-
ведённые в разные появления, были сравнены с точными эфемеридами
я в итоге были образованы следующие нормальные места:
№	О7*	Вс. вр.	а	$	Равпод.
1	1925	сент. 23	349°40'14",10	- 3°48' 3",36	1925,0
2		окт. 13	348 58 33 ,85	— 6 3 35 ,60	
3		нояб. 12	353 3 17 ,43	- 6 27 43 ,58	
4		дек. 10	1 57 13 ,50	- 3 38 25 ,82	
5	1932	окт. 1	И 3 38 ,57	+ 2 6 29 ,05	
6		окт. 27	9 30 33 ,74	- 0 51 30 ,92	
7		дек. 8	14 46 22 ,79	+ 0 3 15 ,48	
8	1933	янв. 20	29 22 0 ,06	4- 6 7 56 ,96	
9		март 22	56 40 55 ,54	4-15 50 46 ,43	
10	1939	июнь 20	3 14 8 ,96	4- 3 59 3 ,81	1950,0
11		авг. 19	27 32 31 ,39	4-10 52 32 ,31	
12		сент. 14	33 30 3 ,92	4-10 35 52 ,20	
13		окт. 12	33 51 21 ,22	4- 7 50 30 ,12	
14		нояб. 5	31 21 49 ,91	4- 5 8 49 ,06	
15		дек. 11	31 12 59 ,24	4- 4 43 42 ,77	
16	1940	янв. 4	35 35 27 ,87	4- 6 51 57 ,59	

318
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОКОНЧАТЕЛЬНОЙ ОРБИТЫ
[Гл. XI
№	Возмущ.		cos	dd
	а	£		
1	-0",71	—0",23	+ 0",57	- 0",49
2	-0 ,23	-0 ,09	- 0 ,22	- 0 ,45
3	-0 ,00	0 ,00	+ 0 ,66	+ 0 ,94
4	-0 ,11	-0 ,06	- 2 ,56	+ 0 ,31
5	0 ,00	0 ,00	- 0 ,74	- 1 ,52
6	-0 ,27	-0 ,11	+ 0 ,03	+ 0 ,26
7	-1 ,50	-0 ,60	+ 1 ,09	+ 1 ,67
8	— 2 ,86	-1 ,07	+ 1 ,57	+ 0 ,49
9	-3 ,94	-0 ,94	- 0 ,02	- 2 ,75
10	-0 ,75	-1 ,15	+ 147 ,26	+ 42 ,72
11	-1 ,13	-0 ,47	+ 222 ,54	+ 57 ,52
12	-0 ,11	-0 ,04	+ 273 ,46	+ 70 ,91
13	-0 ,48	-0 ,14	+ 316 ,34	+ 87 ,06
14	— 2 ,10	-0 ,46	+ 305 ,69	+ 86 ,46
15	-5 ,26	-1 ,13	+ 226 ,65	+60 ,73
16	— 7 ,48	-1 ,67	+ 178 ,26	+ 48 ,84
При сравнении наблюдений с эфемеридой, разумеется, учитывали
параллакс и аберрацию; последнюю следующим образом: из моментов
наблюдений вычитали аберрационное время, после чего наблюдения
сравнивали с эфемеридными координатами, от которых предварительно
была отнята аберрация неподвижных звёзд (см. § 30). Наблюдённые а
и 5 нормальных мест были приведены за прецессию к нормальным равно-
денствиям. В таблице даны значения возмущений координат от бли-
жайшей оскуляционной эпохи до моментов нормальных мест, вычислен-
ные в прямоугольных координатах с промежутками в 20 дней для каж-
дого соответственного периода видимости кометы, причём было принято
во внимание действие Венеры, Земли, Марса, Юпитера и Сатурна. Поль-
зуясь этими значениями возмущений, наблюдённые координаты сравнили
с вычисленными по оскулирующим исправляемым элементам; результаты
сравнения также даны в таблице нормальных мест. Исправляемые эле-
менты таковы:
Элементы I
Эпоха и оскуляция Вс. вр.
	1925 нояб. 9,0	1932 окт. 3,0	1939 сент. 24,0
Mo	1° 1'26",88	359° 4'24",60	1°12'12",59
(1)	195 42 14 ,71	195 49 52 ,30	195 40 56 ,70
Q	177 25 10 ,11	177 20 55 ,33	177 42 23 ,63
i	5 33 11 ,51	5 32 54 ,73	5 32 47 ,28
<P	29 9 47 ,71	29 5 5 .27	29. 4 58 ,42
И	512",80814	511,16517	510",60277
Равиод.	1925,0	1925,0	1950,0
Эти элементы представляют собой одну и ту же систему и отлича-
ются на значения возмущений между соответственными эпохами оску-
ляции. Возмущения были вычислены по способу вариации элементов
с теми же интервалами и от тех же планет, что и выше. Приведём
ещё прецессию эклиптикальных	элементов от равноденствия 1925,0
до 1950,0
Дсо	_	б", 85
AQ	+21'3", 45
Ai	- 11",75

§ 94]	ПРИМЕР	319
Производные от координат по элементам орбиты вычислялись с неко-
торыми отклонениями от выведенных нами формул. Вместо поправок
эклиптикальных элементов, определяющих расположение орбиты в про-
странстве, отыскивались повороты орбиты dp, dq, ds около осей, напра-
вленных соответственно в перигелий исправляемой орбиты, в точку
орбиты, где v = 90°, и в полюс орбиты. Легко видеть, что ds = da>1', далее
допустим, что на фиг. 26 точка К совпадает с перигелием, тогда мы
можем положить в формулах (11.46) I = dp, 7 = о>, что даст
dp sin со = sin i dQ, dp cos <o = di.
Полагая затем, что в точке К истинная аномалия равна 90°, найдём
dq cos со = sin i dQ, — dq sin co = di.
Полное изменение эклиптикальных элементов i и Q сложится из
влияния обоих поворотов dp и dq\ окончательно будет
di = dp cos со — dq sin со,
sin i dQ = dp sin co + dq cos co,	(11.53)
d<o = ds — cos i dQ.
Если подставить выражения (11.53) в последние члены уравнения
для dg (11.50), эти члены преобразуются к следующему виду:
л
dg= ... + —(г sin v dp — г cos v dq).	(11.54)
Определив dp, dq, ds, мы можем найти при помощи (11.53) значе-
ния di, dQ, dm.
Эта замена переменных (которая применяется нередко) имеет почти
только формальный характер и гораздо существеннее другое дополне-
ние к обычным формулам. Элементы I получены из появлений кометы
в 1925 и 1932— 1933 гг. и за этот период времени удовлетворительно
представляют наблюдения. Однако они значительно отклоняются от
наблюдений в 1939 — 1940 гг., и бесполезно искать такую систему из
шести элементов, которая могла бы представить все три появления ко-
меты. Этим подтверждается уже ранее установленный факт, что комета
Брукса имеет вековое Ускорение движения (как и комета Энке). По-
этому в качестве первого приближения к неизвестному закону движе-
ния кометы было принято, что среднее суточное движение и угол
эксцентриситета изменяются пропорционально времени, вследствие чего
будут иметь место уравнения
<Р = ?о+	*о)>
М = Мо 4- н0 (г - г0) + н' (t - г0)2.
Первое уравнение (11.59) может быть теперь написано так:
cosgdG = cosgQ—dM0 + ^-<0+—+ —d?0 +-,-f + ..J =
Г dG	, fdG da dpi , dG dM\ , ,
C°*? {dModM° + \J>a dy- dv0+dM d|J° +
('dG da dv dG dM\ dG dv , dG d’f . , ,	1
\da dp. dp.' dM d^J do d?0 d? do' ?	’ * J

320
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОКОНЧАТЕЛЬНОЙ ОРБИТЫ	[Гл. Х(
Из предыдущих уравнений можно подставить значении некоторых
частных производных, после чего получится
f 3G	[ 0G да z ч dG "I ,
cos^G = cosg j^M0 + [^ ^ +	^о +
Г z х dG да z	dG 1 ,
dG 7	dG
1

Сопоставляя оба выражения для cosg’dG, мы легко находим про-
стую формулу, позволяющую вычислить новые коэффициенты через
уже известные:
,	dG j	dG ,
COS gdG = cos g dMQ + cos g — dy.o +
Г	Cz	$ (j ”1
+ (t — to) I 2cosSj]T - C - Jo) cos s эм J / +
5G ,	,	_ DG ,
+ cos J-(*-*<>) cosg — /+ ...
Аналогичное выражение найдётся для d%. Приведём вычисление						
коэффициентов условных уравнений для одного из нормальных мест. Некоторые исходные величины были заимствованы из вычислений эфе- мериды. Исходная дата £О = 1932, окт. 3,0 Вс. вр. Вычисления велись в две руки, поэтому контрольные формулы (которые лишь поверхностно контролируют вычисления) LHe вычислялись.						
е	= 23°26',7	in., cos — I 21 I . COS — I	’jsin — (Q' + «)	9,99'46	sin V	9,4875
i	= 5 32 ,8		' COS у (SI' +c)	8/2871	cos i'	9,9875
SI	= 177 42 ,4	Sin у I	' sin 2- (SI' — c)	9,1918/z	a	0,5613
О)	= 195 49 ,9	sin 1 i'	cos 2- (SI’ -a)	7,6997	cos <p	9,9415
sin yfi	9,9999		J (^' + °)= »	88°52',6	tg?	9,7452
cos 2- SI	8,3912			- 88 9',3	a cos <p	0,5028
sin у (i + e)	9,3185		G =	177 Г,9	a tg<p	0,3065
cos	e)	9,9859		• 1 •/ sin у I	9,1920	P	0,4443
. 1 ,. . sin - (t- e)	9,1919 n		cos	9,9947		2,7081
1 /•	4 cos — (t — e)	9,9947		i' = Sl' = (o' =	17°54',0 0 43,3 12 42,8	2 3jx	2,4302
Эти вычисления делаются один раз для всех нормальных мест,
относящихся к данному появлению; дальнейшие вычислен^ проводятся
для каждого нормального места в отдельности; они велись для всех
мест одновременно параллельными столбцами на нескольких листах по
порядку.

§ 94J
ПРИМЕР
321
t	1940 яив. 4,0	(t— t0) Mi sin M2	3,6091
	2649,0	2r	
— to r sin v r cos V	3,4230 0,1925 0, 1479	3ц Hi sin p2	2,752In 3,5336
v = r a = $ =	47°56',3 0,3219 35’35',5 6 52 ,0	Hi cos |i2 Hz = H2 + G’ — u' = cos(|i2 + G' — u')	4,1652 13° 8',8 -12 12 ,3 9,9901
P *-Q'=	0,1795 34’52',2	Hi sin (pt2 + G' — u')	4,1767 9,3252га
sin 5	9,0776	He	4,1668
cos 5	9,9969	Hs	3,5019га
sin G-Q')	9,7571	P+r	0,6884
COs(a-Q')	9,9141	9i sin <?2	0,3288га
I	8,5652	9i cos <p2	0,6175
II	9,7325	92 =	- 27’13', 3
cos g sin G' cosg cos G'	9,7611 9,9110	92 + G' — uf =	-52 34 ,4
G' =	35’18',0	cos (?2+G' ~ uf)	9,7837
III	9,0561	9i	0,6685
IV	9,2416га	sin (?2+G' - u') 9c	9,8999га 0,4522
sin g	8,7827га	9 s	0,5684га
cos g V	9,9992 9,9754	cos (Gf — u')	9,9560
VI	8,3223	sin (G' — u')	9,6316га
cos g sin F	9,4017	“>c	0,2779
cos g cosF	9,9849	0>s	9,9535га
sin F	.9,4925	cos g dG : dM0	0,5714
cos F cos 5 dx	9,9852 + 178",26	cos g dG : dy.o	3,9873
dd	+ 48 ,84	2 cos gdG: dp.o	4,2883
cos 5 dx	2,2510	cos g dG : dM0	3,9944п
d$	1,6888		3,9800
VII	2,2367	cos gdG : dy.’	7,4930
VIII	1,0913	cos gdG'. d?0	0,2727
cos g dG IX	2,2667 1,6535га	cosgdG'. dt/	3,6957
X	1,6745	cos gdG : ds	0,0984
dg	0,3485	- sin g: p	8,6932
a : r	0,23946	dg : dMQ	8,6059га
sin v cos V	9,870 9,8269	dg : dp.Q	2,1051га
u' =	60’39', 1	2dg: dp,0	2,496U
G' — u' =	-25 21 ,1	-(t- t^dg' dM0	2,0289
MY sin M2	0,1771	S	2,1698га
Мг cosM2	0,7422	dg : d/	5,5928га
M2 =	15’13',6 ,	d'g : d'Po	9.1716п
M% ~b G' — u' =	-10 7 ,5	dg : dy'	2,5946га
COS (M. + G'-u')	9,9932 0,7577	dg: ds,	8,5567га
Sin(Af2 + G' — u')	9,2450га	cos g: p	9,8197
	0,7509	dg-.dp	0,0122
M8 21 А. Д. Дубяго	0,0027га	dg : dq	9,9676га

322
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОКОНЧАТЕЛЬНОЙ ОРБИТЫ
[Гл. Xi
Так вычислили коэффициенты всех 32 условных уравнений, затем,
принимая для всех уравнений одинаковый вес, ввели новые переменные
я правые части путём замен: 0^== [0,86] dM0, я2 = [4,24] dp.o, х3 = [7,651 ц'
я4= [0,35] dp0, х5 = [3,76] <р', xQ = [0,34] dst х7 = [0.02] dp, х3 = [0,34fdg’
/ = [2,52] 1*, после чего мы имеем следующие уравнения, приведённые
к численной однородности:
Хг	Х%	#3
+0,9196 -0,9872 +0,9890
+0,8)03 —0,9114 +0,9114
+ 0,6781 -0,7228 +0,7188
+ 0,5453 -0,5761 +0,5679
+0,9790 +0,0003 0,0000
+0,9057 +(У,0022 0,0000
+0,6237 +0,0067 -0,0001
+0,4259 +0,0110 +0,0001
+0,2716 +0,0145 +0,0006
+0,4155 +0,4330 +0,4209
+0,6382 +0,6797 +0,6755
+0,7820 +0,8377 +0,8375
+ 0,9122 +0,9802 +0,9828
+0,8890 +0,9565 +0,9603
+0,6598 +0,7132 +0,7191
+0,5145 +0,5589 +0,5663
-0,0007 +0,0006 -0,0005
-0,0112 +0,0108 -0,0096
-0,0208 +0,0202 -0,0185
-0,0165 +0,0159 -0,0143
+0,0002 -0,0006 0,0000
-0,0096 —0,0020 0,0000
-0,0144 -0,0019 -0,0001
-0,0047 -0,0009 -0,0001
0,0900 0,0000 0,0000
-0,0069 -0,0062 -0,0052
-0,0127 -0,0124 -0,0112
—0,0038 -0,0037 -0,0034
+0,0076 +0,0070 +0,0058
+0,0026 +0,0006 -0,0016
-0,0075 -0,0100 -0,0121
-0,0056 -0,0073 -0,0088
#4	Х&	Х9
-0,9865 +0,9852
-0,8021 +0,7947
-0,3966 +0,3884
-0,0336 +0,0325
-0,1340 +0,0091
+ 0,0263 +0,9002
+ 0,3371 +0,0387
+0,5857 +0,0248
+ 0,7435 +0,0492
-0,4226 -0,4039
+ 0,1680 +0,1642
+0,5905 +0,4940
+ 0,7894 +0,7876
+ 0,8776 +0,8839
+0,8502 +0,8684
+0,8371 +0,8626
-0,0054 +0,0054
-0,0494 +0,0489
-0,0781 +0,0764
-0,0723 +0,0700
-0,0318 0,0000
-0,0946 -0,9039
—0,0931 -0,0024
-0,0419 -0,0918
+0,0012 +0,0001
+ 0,0488 +0,0466
+0,0527 +0,0515
+ 0,0160 +0,0158
-0,0521 -0,0519
-0,1038 -0,1046
-0,0998 -0,1020
-0,0663 -0,0683
+ 0,9587
+ 0,8686
+ 0,6633
+ 0,5296
+ 0,9806
+ 9,9)39
+ 0,6240
+0,4580
+0,3658
+ 0,4291
+0,6242
+0,7812
+0,9374
+ 0,9275
+0,7069
+ 0,5733
-0,0004
-0,0095
-0,0229
-0,0206
+ 0,0007
-0,0122
-0,0226
-0,0109
+ 0,0003
-0,0139
-0,0149
-0,0039
+ 0,0053
-0,0059
-0,0206
-0,0165
-0,6426
-0,3966
+ 0,13)8
+0,3924
-0,1431
+0,2750
+ 0,6645
+ 0,7670
+0,7482
-0,6501
-0,3305
-0,0218
+ 0,4241
+ 0,7670
+ 0,9822
+0,9822
^7
+0,0012
-0,0010
+ 0,0028
-0,0071
-0,0035
+0,0003
+0,0046
+ 0,0050
-0,0015
+ 0,4628
+ 0,6940
+ 0,8531
+0,9910
+ 0,9594
+ 0,7086
+ 0,5581
-0,9128 -0,0019
— 0,8915 -0,0011
-0,7428 +0,0021
-0,5822 +0,0033
-0,9788 -0,0037
— 0,9143 +0,0007
-0,6173 +0,0938
-0,3679 +0,0001
-0,1599 -0,0082
-0,3842 -0,0140
-0,6939 -0,0175
-0,8433 -0,0070
-0,9258 +0,0080
-0,8535 +0,0071
- 0,5891 -0,0050
-0,4242 +0,0067
Из этих условных уравнений были получены обычным способом нор-
мальные уравнения; поверка производилась при помощи суммового урав-
нения (оно здесь не приведено). Для первых 16 условных уравнений
соответствующие нормальные уравнения будут:
xi
+8,2627
-"з
+ 1,2994
+6,7079
хз
+6,2586
+ 1,4995
+6,7087
+ 1,4927
+ 5,0683
+ 1,0484
+6,0774
+4,7371
+ 1,^745
+ 5,^871
+ 1,5925
+ 5,)904
+8,4522
+ 1,3856
+6,4226
+ 1,667)
+4,9286
+ 8,6620
I
+ 3,8136
+4,^949
+4,0972
+3,0445
+ 3,07'5
+3,9377

§94]
ПРИМЕР
323
Из них были найдены значения неизвестных и обратных весов
X1	-0,06199	Qu	105,086
X g	+0,51511	Q22	0,54332
X3	+0,52295	Q33	1,28299
Xl	-0,01402	Qu	0,74697
X5	-0,02500	Q55	1,16455
x$	+0,06186	Qee	103,093
Неизвес1ные были подставлены во все условные уравнения; для
первых 16 уравнений сумма квадратов остаточных уклонений будет
[до] = 0,000241, для сравнения приведём ещё [И] = 4,139840 и [ZZ6] = 0,000236,
последняя величина согласуется с [w] в пределах точности вычислен
ний. В результате подстановки неизвестных во вторую группу из 16
уравнений получились условные уравнения для х7 и х8, для которых
достаточно привести правые части, так как коэффициенты их уже даны
выше. Эти новые правые части будут (по столбцам):
—0,0019	—0,0038	—0,0082	—0,0004
—0,0913	—0,0006	—0,0058	4-0,0041
+ 0,0023	+0,0040	—0,0031	+0,0033
+ 0,0037	+0,0005	—0,0027	+0,0132
Выпишем решение	нормальных	уравнений	для я7 и х8, которое
было проделано по полной (так называемой «астрономической») схеме.
	xi	X3	I	(xt)	(^e)
	+ 5,5937	-1,9342	+0,0250 I	+ 1,0000 I	
E	+ 1,09000	-0,34578	+ 0,00447	+ 0,17877 1	
	-1,9342	+8,3075	-0,0032	0,0000	
	— 1,9342	+ 0,6688	-0,0086	-0,3458	
S	+ 3,6595	+6,3733	+ 0,0218	+ 1,0000	
	+ 3,6595	— 1,2654	+ 0,0164	+ 0,6542	
		+ 7,6387	+ 0,0054 I	+ 0,3458 I	+1,00001
	E	+ 1,00000	+ 0,00071 |	+ 0,04527 1	+0,1309 1
	S	+ 7,6387	+ 0,0054	+ 0,3458	+1,0000'
		+ 7,6387	+ 0,0054	+ 0,3458	+1,0000
Мы	получаем:	*			
	X,	+0,00472 Q„		0,19442	[ll ]	0,000375	
	+0,	00071	Q38	0,13091	[ZZ8]	0,000258	
				[1ГО]	0,000258	
были
вычислены
Весовые коэффициенты	л „	____
сона [7]; перемножаемые величины в столбцах (х7) и (я8) отчёркнуты
справа. Возвращаясь к прежним неизвестным и к секундам дуги, нахо-
дим поправки элементов и их средние ошибки. Для получения средних
ошибок необходимо знать среднюю ошибку единицы веса, она равна
+ 1Д.499 и вывод её приводится далее. Для получения средних ошибок
i служат формулы
по правилу Н. И. Идель-
ef = COS2 + sin2(D8g,
£2q = cosec2 i (sin2 o)8p+ cos2 <oe|),
8 J, = si + cos2 is2 q
21*

324
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОКОНЧАТЕЛЬНОЙ ОРБИТЫ
[Гл. XI
Мы имеем
<Ш0	-2",83	± 2",18	ds	+ 9",36	±6",96
+0,00932	± 0 ,00306 dp	+ 1 ,50	±0 ,63
И'	+3878 • 10-9	±38 • 10-»	dq	+0 .,10	±0 ,25
dfo	-2,09	± 0 ,58	do>	+14 ,55	±7 ,59
f'	-1439 • 10-»	±281 • 10-» dQ - 5 ,22	±3 ,04
di	- 1 ,41	±0 ,60
После этого могут быть даны исправленные элементы орбиты
кометы Брукса
Элементы II
Эпоха и оскуляция Вс. вр.
Г	925 нояб. 9,0	1932 окт. 3,0	1939 сент. 24,0
Мо	1° 1'23",93	359э 4'21",77	1°12'59",93
U)	195 42 29 ,26	195 50 6 ,85	195 41 И ,25
Q	177 25 4 ,89	177 20 50 ,31	177 42 18 ,41
i	5 33 10 ,10	5 32 53 ,32	5 32 45 ,87
<?	29 9 49 ,27	29 5 3 ,20	29 4 52 ,68
Н	512",79841	511",17499	510",63234
н' <р' Равнод.	1925,0	-г3878" • 10-9 —1439 • 10"6 1925,0	1950,0
Окончательным контролем вычислений является представление нор-
мальных мест исправленными элементами. При вычислении представле-
ний следовало иметь в виду, что теперь у нас не обычная кеплеррва
орбита, но что |1 и подвержены вековым изменениям. Для момента
каждого нормального места должны быть вычислены М, ц (а) и ®
но формулам, которые даны выше. Поэтому было удобнее не вычислять
для каждого места Ах, ... , Ве, а пользоваться величинами Р и Q, умно-
жая их на a(cosZ£ —е), соответственно на a cos ? sin Е. Остаточные
уклонения условных уравнений после подстановки значений неизвест-
ных были превращены в секунды дуги и приведены к экваториальным
координатам. В итоге имеем представление нормальных мест по услов-
ным уравнениям и непосредственно элементами орбиты, причём в послед-
нем случае, конечно, были приняты во внимание приведённые выше
возмущения координат.
Нормальные места	По условным cos о dj.	уравнениям d§	По*окончательным элементам	
			cos о da	da
1	+ 0"ч, 15	4-0",63	4-0",22	4-0",69
2	-0 ,23	+ 0 ,17	-0 ,19	+ 0 ,26
3	+ 1 ,04	+ 1 ,ю	4-0 ,93	+ 1 ,04
4	— 2 ,12	+ 0 ,08	-2 ,16	+0 ,03
5	-1 ,53	-1 ,32	-1 ,53	-1 ,34
6	-0 ,06	-0 ,05	4-0 ,04	-0 ,07
7	+ 1 >87	+ 1 ,04	4-1 ,76	+ 0 ,99
8	+2 ,22	-0 ,39	4-2 ,13	-0 ,46
9	-0 ,48	-3 ,98	-0 ,54	-4 ,01
10	+ 1 ,19	-0 ,44	4-1 ,07		Э ,58
И	-0 ,50	-0 ,56	-0 ,52	-0 ,67
12	+ 1 ,20	-0 ,38	4-1 ,09	-0 ,59
13	+ 0 ,60	-0 ,47	4-0 ,56	-0 ,71
14	-1 ,19	+ 0 ,05	-1 ,17	-0 ,15
15	-1 ,23	-0 ,65	-1 ,11	-0 ,65
16	+ 0 ,47	4-3 ,17	4-0 ,48	+3 ,07

g 94]	ПРИМЕР	325
Сумма квадратов непосредственно полученных уклонений состав-
ляет 53",92, откуда по формуле е0=	’ где т-число уравне-
нений, а т -- число неизвестных, следует значение средней ошибки
единицы веса, которое уже было использовано выше. Между обоими
рядами уклонений нет полного согласия, однако обнаруживающаяся
систематическая разность по склонению в третьем появлении кометы
хотя и несомненно реальна, но так незначительна, что дальнейшее
исправление элементов не имеет смысла и полученную орбиту можно
считать окончательной. Причина указанного расхождения очевидна:
уклонения исправляемой орбиты от наблюдений в третьем появлении
кометы были слишком велики, вследствие чего связь поправок элементов
и изменений координат не была в достаточной мере линейной. Кроме
того, правые части условных уравнений (исходные разности координат)
следовало бы, собственно говоря, также привести к нормальным равно-
денствиям, так как сравнения наблюдений с эфемеридами производились
в координатах, относящихся к равноденствиям годов наблюдений.
Можно утверждать, что орбита удовлетворительно согласуется
с наблюдёнными местами, о чём говорит и небольшая средняя ошибка
единицы веса, т. е. одной нормальной координаты, так как все нор-
мальные места входили с весом, равным единице. Более заметные раз-
ности по склонению для 9-го и 16-го нормальных мест находят своё
объяснение в том, что эти места были образованы в каждом случае
только по двум наблюдениям одной и той же обсерватории, причём они
падают на самый конец наблюдательного периода, когда комета была
около 16-й величины. Другая причина может быть в том, что принятая
нами зависимость элементов |i и tp от времени несомненно лишь весьма
грубо отражает действительность, и погрешность наших допущений
наиболее скажется для крайних по времени (в данном появлении) мест.
Здесь можно повторить замечание, сделанное Н. И. Идельсоном в 1934 г.
по поводу кометы Энке [6], а именно, что, вводя вековое ускорение,
мы, собственно говоря, не можем утверждать, что невозмущённое дви-
жение. совершается по законам Кеплера, следовательно, пользуясь тем
не менее формулами эллиптического движения в их обычном виде, мы
поступаем не совсем логично. Конечно, это происходит по необходимо-
сти, так как закон действия силы, вызывающей отклонения движения
кометы от гравитационной теории, нам неизвестен. Однако можно
далее показать, что, какова бы ни была эта неизвестная сила, если она
действует вблизи перигелия орбиты (что весьма вероятно), то между
значениями р/ и <?' существует определённая зависимость, которая
достаточно хорошо удовлетворяется найденными нами числами. Но мт
здесь не будем исследовать этот вопрос.

ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ МЕТЕОРОВ
§ 95. Введение
В настоящее время стало весьма вероятным, что подавляю-
щее большинство наблюдаемых нами метеоров принадлежит
солнечной системе. Определение орбит, которые метеоры, а
также болиды, описывают вокруг Солнца, опирается на наблю-
дения небольшой части их траектории, которую они пробегают
в нашей атмосфере, перед тем как закончить своё существо-
вание в качестве самостоятельных небесных тел. Метеор на-
блюдается нами в течение очень короткого времени, причём
соответствующий отрезок его пути может рассматриваться как
прямолинейный. Если мы сможем получить из наблюдений
скорость метеора по величине и направлению, задача отыска-
ния его орбиты будет решена, ибо координаты метеора отно-
сительно Солнца известны: они определяются положением
Земли в момент наблюдения. Направление движения метеора
относительно Земли может быть задано координатами точки
радианта на небесной сфере. Именно, радиант представит пе-
ресечение с небесной сферой продолженного назад прямоли-
нейного пути метеора. Если наблюдался поток метеоров, ра-
диант отыскивается как точка пересечения продолженных на-
зад видимых путей отдельных метеоров. Точка радианта мо-
жет быть найдена и в том случае, когда наблюдался всего
один метеор, но из двух различных мест на земной поверх-
ности, так как тогда искомую точку даёт пересечение обеих
видимых траекторий. Определение из визуальных наблюдений
сколько-нибудь надёжных значений для скорости метеоров
крайне затруднительно (если не сказать — невозможно) из-за
систематических ошибок, свойственных этому роду наблюдений,
и лишь фотографические наблюдения со специальными приспо-
соблениями для регистрации скоростей дают достоверные ре-
зультаты.
Благодаря притяжению Земли невозмущённая траектория
метеора искривляется по направлению к центру Земли, и в

§96]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПУТИ МЕТЕОРА В АТМОСФЕРЕ
327
координаты радианта должна быть внесена соответственная
поправка. С другой стороны, вследствие сопротивления воздуха
должно замедляться движение метеора, и определяемая скорость
его окажется меньшей, чем она была до вступления метеора
в земную атмосферу. Учёт этой поправки затруднителен из-за
недостаточности надёжных наблюдений скорости и теоретиче-
ской сложности вопроса. По некоторым данным, полученным
из фотографических наблюдений, можно полагать, что влияние
торможения метеоров в воздухе на определение первоначаль-
ной скорости довольно значительно.
Если наблюдения не позволяют найти скорость метеоров,
орбита их все-таки может быть вычислена. Действительно, ес-
ли считать полуось орбиты заданной заранее, нет необходи-
мости знать абсолютное значение скорости. Полуось орбиты
может считаться известной, когда метеорный поток связан
с той или иной периодической кометой. При отсутствии подоб-
ных данных можно принять орбиту за параболу.
§ 96. Вычисление пути метеора в атмосфере
Для отыскания траектории отдельного метеора или болида
в земной атмосфере можно воспользоваться наблюдениями его
видимого пути из двух или нескольких пунктов. Точные ре-
зультаты могут быть получены только из фотографических
наблюдений, а визуальные определения гораздо менее надёжны
и часто обременены большими систематическими ошибками.
Критерием тождественности метеора, наблюдавшегося из раз-
личных пунктов земной поверхности, является одновременность
наблюдений. Если пункты недалеки друг от друга, видимые
пути метеора не будут слишком отличаться; кроме того, для
отождествления метеора могут пригодиться и другие признаки,
как яркость, цвет, наличие следа и т. д.
В большинстве случаев трудно установить, какие точки
видимых путей метеора, наблюдавшихся из двух пунктов, со-
ответствуют друг другу, или, иначе говоря, являются одно-
временными. Поэтому способ определения истинной траектории
Должен быть построен тай, чтобы не было необходимости опи-
раться на одновременные точки видимых траекторий.
Пусть	41 и ?2, т)2, С2 будут геоцентрические прямо-
угольные координаты пунктов Р1Г иР2, в которых наблюдался
метеор, в экваториальной системе, в которой ось $ направ-
лена по гринвичскому меридиану. Мы можем написать
51 = р01 cos cosLj
*11 = Poi cos 4isinL
Ci = p0iSin <?;,
£2 = P02COS?2COSL2> )
*12=Po2COS?2SinL2’ |	(I2*1)
£2 = p02 sin<p2, '

328
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ МЕТЕОРОВ
[Гл. XII
где р01> и Ро2’ ?2 — геоцентрические радиусы-векторы и гсчэ-
центрические широты пунктов и Р2, a Lr и Lz — их долго-
ты. Эти координаты для данных пунктов, конечно, постоянны
и могут быть вычислены раз навсегда. Выберем на видимом
пути метеора, наблюдённом из первого пункта, две точки (по
возможности удалённые друг от друга; в остальном их выбор
для определения траектории безразличен) с координатами а1х,
Зхх и а12’ ^12* Сделаем подобный выбор на видимом пути ме-
теора, наблюдённом из второго пункта, и Координаты выбранных
точек обозначим через а2х,• 821 и а22, 822. Заметим для ясности,
что таким путём мы берём, вообще говоря, четыре различных
точки на истинной траектории метеора. Направляющие коси-
нусы всех взятых нами точек небесной сферы выразятся урав-
нениями:
aik = cos cos (S — a,ik),
bik = cos §ik sin (5 — a.ik),
cik= sin 8^,
i, A = 1,2,
(12.2)
где S — звёздное гринвичское время наблюдения метеора.
Пусть радиант метеора имеет координаты на небесной сфе-
ре Л и Р, которым соответствуют направляющие косинусы
а = cos D cos (S — А),
Ь = cos D sin (S — A),
c = sinZ>.
(12.3)
Будем считать движение метеора за время наблюдения пря-
молинейным. Тогда два направления, наблюдённых на видимом
пути метеора из первого пункта, и направление на радиант
должны лежать в одной плоскости, проходящей через пункт
наблюдения и траекторию метеора. Такое же заключение дол-
жно быть сделано и для наблюдений во втором пункте.
Аналитически это может быть записано так:
а ,	6,	С		а,	6,	С	
	^11,	С11	= 0	«21 >	^21>	С21	= 0
«12 >	^12>	С12		«22 >	&22»	С22	
Отсюда вытекают уравнения
Zi«-f-ni6 + пхс = 0,
Z2a + n26 4-n2c = 0,
(12.4)

где
	Ьш Ь±2 j	C11 C12	,	mi
z2 =	^21>	^21	
	^22>	C22	, m2 =
C11 >	«11	,	П! =
^12’	«12	
C21’	«21	, n2 =
C22>	«22	
«11 >	b.i	1
«12> «211	Ь12 ^21	Н12.5)
	^22	
Из этих уравнений могут быть отысканы, проще всего чис-
ченным путём, отношения двух неизвестных к третьей, на-
пример, а'=~ и Ь' = у . Решение невозможно, если траектория
метеора лежит в плоскости, проходящей через оба пункта
наблюдений. Это очевидно геометрически, ибо большие круги,
изображающие на небесной сфере путь метеора, как он
представлялся из обоих пунктов, совпадут, в то время как их
пересечение должно давать точку радианта (именно так —гра-
фически на карте в гномонической проекции — всего рацио-
нальнее отыскивать координаты радианта для визуальных
наблюдений, обладающих не столь большой точностью). При
численном решении совпадение плоскостей выразится в про-
порциональности коэффициентов уравнений (12.4), т. е. в про-
порциональности обозначенных одинаковыми буквами миноров
(12.5).
Из условия, что a, Ь, с являются направляющими косину-
сами, находим
а = г а’______, b =	____, с = ——1	, (12.6)
/а'2 + Ь'2 + 1	/а'2+ &'* + !	/а'2 + у2 + 1
откуда, если нужно, можем вычислить прямое восхождение
А и склонение D радианта. Не следует забывать, что все пре-
дыдущие уравнения относятся и к антирадианту, поэтому по-
лезно внимательно посмотреть, чтобы координаты радианта
соответствовали той полусфере неба, откуда двигался метеор.
Выражение прямолинейной траектории метеора в парамет-
рической форме будет
Е = Ео ~ as^
t=^-cs,
гДе параметр $ есть путь, пройденный метеором по траектории.
Для всех четырёх наблюдённых направлений подобные форму-
лы можно написать в следующем виде, если ещё положить

330
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ МЕТЕОРОВ
[Гл. Хц
5 = 0 для первого наблюдения
от пунктов до метеора
£ы = £14“
Т]ц = ^14" ^11^11
Сц = ч»1 4~ ^ii^ii
£12 = £1 4“ й12^13 = '11	^$12’
7112 — ^1 4“ ^12^12 = ^11	^$12’
S12 == 41 4” ^12^12 = '’ll £$12’
Решение этих основных
величины
^11> ^12’ ^21’ ^22’ £11’
и обозначить через d расстояния
£21—^2 4-^21^21 = ^11 '	^$21’
*^21 = ^2 4“ ^21^21 = ^lll	^$21 ’
Ч21 = ч2 4“ ^21^21 = ^11	£$21’
£22 = £2 4“ ^22^22 = “’ll	^$22’
^22 = ^2 4“ ^£2^22 = ^Qll	^$22’
^»22 = ч2 4“ ^22^22 = £11	£$22*
(12.7)
уравнений даёт все неизвестные
111 £11» $12’ $21’ $22’	£’
если прибавить условие а2 + Ь2 + с2 = 1. Убедимся, что урав-
нения (12.4) следуют из (12.7). Исключая из левой группы
уравнений (12.7) $ы, т^ц, Сп, получаем
$12^ = ^11^11	^12^12’
$12^ = ^11^11 ^12^12’
$12С = £11^11 £12^12*
Умножая эти уравнения соответственно на Zn т1 п±1 и скла-
дывая, находим первое уравнение (12.4), ибо коэффициенты
при dir и d12 являются определителями, у которых две стро-
ки одинаковы, — оба эти определителя, следовательно, равны
нулю. Аналогичным путём из правой группы уравнений (12.7)
можно получить второе уравнение (12.4).
Итак, мы считаем теперь а, Ь, с известными и для оты-
скания остальных неизвестных комбинируем левую верхнюю
группу уравнений (12.7) с какой-либо группой из трёх урав-
нений справа. Из шести уравнений сперва исключаем £1Х, т]х1,
С1Х, затем численно решаем остающиеся три уравнения, опре-
деляя dxx, d21, s2X или dlly d22, s22. После этого легко находим
£ц, £ii простой подстановкой значения dxx. Левая нижняя
группа из трёх уравнений (12.7) послужит для отыскания d12
и s12, для чего, собственно говоря, достаточно взять только
два уравнения, третье должно удовлетворяться тождественно
(как следствие того, что мы ввели известные значения a, b, с,
которые должны удовлетворять нашей системе уравнений),
что даст хорошее средство контроля вычислений. Точно так же
последняя неиспользованная группа уравнений справа
даст d22 и s22 или d21 и $21 и также одно из уравнений будет
служить для контроля.
На этом задачу определения траектории метеора можно
считать решённой. Если бы наблюдения производились не

ч 96J.	ВЫЧИСЛЕНИЕ ПУТИ МЕТЕОРА В АТМОСФЕРЕ	331
из двух, а И3 трёх или более пунктов, как это часто бывает
в случае болидов, или если бы на видимых путях метеора
было получено не по две, а большее число точек, предыдущие
рассуждения следовало бы лишь немного дополнить. Именно,
вычисления по формулам (12.1) и (12.2) нужно будет сделать
для всех пунктов и для всех наблюдённых точек. Для опре-
деления радианта, теоретически, можно составить столько
пар уравнений типа (12.4), сколько пар точек на видимых пу-
тях метеора можно взять для всех пунктов, где наблюдался
метеор. Однако это было бы довольно громоздко, и проще
ограничиться получением координат радианта по нескольким
наиболее надёжным точкам, за исключением, может быть, ка-
ких-нибудь особых случаев. Уравнения (12.7) должны быть
написаны для всех наблюдённых направлений (это относится
и к тому случаю, когда наблюдения производились в двух
пунктах); каждое дополнительное направление даст новую
тройку уравнений, из которых отыщутся соответственные
dik и Sik, но контроль, вообще говоря, уже не будет согласо-
ваться в точности.
Таким образом, можно найти для любой точки видимого
пути метеора, характеризуемой некоторым значением $, гео-
центрические координаты В, т), С, после чего, возвращаясь к
(12.1), мы можем определить геоцентрическую широту у' и
радиус-вектор р этой точки, а также её долготу L. Высоту
над уровнем моря получим из уравнения
h = (р — ро) cos(<p—?'),
где р — геоцентрический радиус-вектор точки на земном эл-
липсоиде с координатами ср' и L. Множитель cos (9 — <р') воз-
никает из-за того, что разность р — р0 должна быть спроекти-
рована на направление отвесной линии, образующей с геоцен-
трическим радиусом-вектором угол ср— ср', но так как ср— <р'< 12',
этот множитель может быть отброшен и убудет просто
h = f — р0.	(12.8)
Если высота получилась неправдоподобно большой (слиш-
ком малые высоты иногда тоже могут оказаться сомнительны-
ми), это само по себе ставит под подозрение результаты вы-
числений или наблюдательные данные.
Для отыскания той точки, где траектория метеора пере-
текает земную поверхность, напишем уравнение этой траектории
С —-	CIS,
7] = — Ь8,
Г=^~С8.

332	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ МЕТЕОРОВ	[Гл.
Отсюда выводим
s* - 2 (а;и + + <£„) s -I-	+ С^) — р« = 0, (12.9)
где р0 — геоцентрический радиус-вектор земного эллипсоида
в искомой точке пересечения. Его значение заранее неизвест-
но и, в сущности, задача должна была бы решаться после-
довательными приближениями. Однако р0 меняется не так силь-
но с широтой и для него нетрудно сразу принять доста-
точно верное значение, если приблизительно прикинуть ши-
роту точки пересечения, причём ошибка в несколько минут
не будет играть роли. Из уравнения (12.9) получится два
решения. Надлежит брать меньший корень для $; второй
корень соответствует выходу продолженной траектории мете-
ора из-под поверхности Земли и реального смысла не имеет.
Если наблюдения сопровождаются точными отметками вре-
мени, например, если след метеора на пластинке прерывался
во время экспозиции через известные интервалы времени и
для измерений были использованы концы отдельных отрезков
штриха, тогда может быть вычислена скорость метеора. В на-
шем способе это производится совершенно просто. Именно,
пусть, например, промежуток времени между точками траек-
тории со значениями $, равными и есть tn — tik. Тогда
скорость
S; j — S-r,
W=-~--— .	(12.10)
Zil~ ik
Такие вычисления скорости могут быть быстро сделаны
для каких угодно отдельных отрезков пути метеора, и резуль-
таты дадут картину изменения его скорости вследствие сопро-
тивления воздуха.
§ 97. Влияние притяжения Земли и её движения
Возмущения, вызываемые притяжением Земли, заметно изме-
няют движение метеора, когда он приближается к её поверх-
ности, и они должны быть приняты во внимание уже при пер-
воначальном определении орбиты (которое для метеоров обыч-
но бывает и окончательным). В непосредственном соседстве
с Землёй движение метеора принято рассматривать как прямо-
линейное и равномерное, что упрощает задачу. Действуя так
и полагая Землю неподвижной, мы не учитываем притяженья
Солнца, но это не вызовет существенной погрешности, так как
движение метеора рассматривается в течение короткого вре-
мени; кроме того, эффект притяжения Земли, который мы ищем,
невелик, и поэтому может отыскиваться независимо от движе~
ния метеора вокруг Солнца.

< 97]
ВЛИЯНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ ЗЕМЛИ И ЕЁ ДВИЖЕНИЯ 333
Фиг. 27.
Исходя из этого, мы заключаем, что метеор ‘опишет вокруг
Земли коническое сечение, именно, гиперболу, так как он
приходит из бесконечности (имея на бесконечном расстоянии
конечную скорость). Обратимся к фиг. 27, на которой О —
центр Земли, Р — наблюдатель, ВМПС — гиперболическая траек-
тория метеора, причём М — конец его видимого пути, П — точка
перигелия (находящаяся внутри Земли). Для простоты мы
предполагаем, что метеор наблюдался в зените наблюдателя;
вели это не так, следует точку Р соответственно переместить
по земной поверхности, что не
окажет влияния на наши даль-
нейшие рассуждения ввиду мало-
сти расстояния между точками
Р и М сравнительно с размерами
Земли. Мы видим метеор дви-
жущимся по направлению ка-
сательной к гиперболе ТМ, обра-
зующей с направлением на зе-
нит PZ угол z — видимое зенит-
ное расстояние радианта метеора.
В бесконечности метеор двигался
по ветви гиперболы параллельно
её асимптоте в направлении DO,
образующем с направлением на
зенит угол £ — истинное зенитное
расстояние радианта. Очевидно,
что z меньше С; их разность Ф
представит собой так называемое
зенитное притяжение Земли (этот
угол, так как движение метеора
вокруг Земли плоское, лежит в плоскости чертежа, являющейся
одновременно вертикальной плоскостью для наблюдателя). Чтобы
получить положение радианта, исправленное за притяжение
Земли, следует к наблюдённому зенитному расстоянию послед-
него прибавить зенитное притяжение, выражаемое углом Ф.
Кроме того, притяжение Земли изменит скорость метеора.
Возьмём уравнение (2.28), в котором положим массу Земли
равной ш и пренебрежём массой метеора:

Но так как ускорение притяжения Земли (которую мы здесь
свободно можем считать за шар) выражается формулой
к2т
(12.11)

334
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ МЕТЕОРОВ
[Гл. хц
то мы можем написать вместо предыдущего
»’ = » (!-£)	(12.12)
Здесь очевидно р = р0 + h — расстояние метеора от центра
Земли, которое приблизительно можно считать равным 6470 км,
принимая для среднего радиуса Земли ро = 637О км и для
высоты метеоров h = 100 км. Обычно поправка за притяжение
Земли вычисляется, исходя .из того, что метеор касается
её поверхности, между тем это, конечно, неверно, поэтому
существующие таблицы поправок за зенитное притяжение
нуждаются в некотором исправлении.
Принимая движение метеора, невозмущаемое Землёй, за пря-
молинейное и равномерное, положим его скорость в этом пред-
положении равной U, что вместе с тем, очевидно, будет соот-
ветствовать правой части (12.12), если мы там положим р = оо.
Это даст нам
иг=—	(12.13)
{а — отрицательно) и
PJZ2 = С72 + 2gp.	(12.14)
Взяв для g значение 0,00952 кмсек~2, мы найдём для
принятого нами расстояния метеора от центра Земли
2gp = 123,2 км2 сек~2. Пользуясь этим, мы можем вычислить
U, если из наблюдений получено значение IV; результат выра-
жается в тех единицах, которыми пользуются наблюдатели
метеоров, однако, когда значение U будет использовано для
вычисления гелиоцентрической орбиты метеора или потока,
потребуется сделать переход к астр. ед. и суткам.
Для нахождения зенитного притяжения обратимся сначала
к интегралу площадей (2.36):
р2	= & j/Тп |/р — к \/гт	а(1 — е2).	(12.15)
Но так как р	то
‘ at
k]f р = pJ¥ sin z,
откуда при помощи (12.11) следует
Ж2 sin2 z
(12.16)
(12.17)
р g
к этому добавим на основании (12.13)
а____
“ V1
(12.18)

§97]
ВЛИЯНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ ЗЕМЛИ И ЕЁ ДВИЖЕНИЯ	335
Обозначим на фиг. 27 через (180° —ф) угол MOD между
большой осью и асимптотой гиперболы в согласии с § 17,
тогда мы будем иметь
Ф= 180° —ф—-24-и,	(12.19)
где	^OD =—и, ибо движение метеоров заканчивается до
перигея.
Из уравнения конического сечения
1 __1 + е cos v
Р ~ Р
мы имеем
1 7 е sin v dv
_<ZP=---------- .	(12.20)
Кроме того, пользуясь фиг. 27, нетрудно убедиться, что
-dp
ctg 2 = —.
& lP dv
Положим ещё для сокращения
(12.21)
тогда мы можем написать на основании предыдущего и § 17
e cos и = — — 1 =77 sin2 z— 1,
- P
e sin v = — у ctg z = — H sin z cos 2,
есозф = 1,
,11 — 1/ ^
р U II '
l EL sin z.
a W
Согласно (12.19) отыщем:
tgy (180° -<|> + «)-tg у 2
ф= ________________________f____
1 + tg у (180° - ф + V) tg у 2
(12.22)
(12.23)
‘si
Но (12.22) даёт
.	1 tAC)f\Q . . x ,	1 /, x COS Ф 4- COS V
tg у (180° - Ф + V) = ctg у (ф - V) = sin4,_siny =
H sin2 z _ W sin z
= “	7U~	tZ4-V7cosz ’ (12.24)
/7 sin z ( — 4-coszJ

336	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ МЕТЕОРОВ	[Гл.
после чего имеем
1
W sin z — (U + W cos z) tg — 2
j =
U + W cos z + W sin z tg — z
1
V7 sin z ctg— z — U — PF cos z
=----------------------— tg у Z,
U + W cos z + W sin z tg — z
или, упрощая,
1 w — TT 1
tg у Ф = jyyy- tg у2-	(12.25)
Эта формула, которая обычно выводится несколько иначе,
на основании геометрических свойств гиперболы даёт поправ-
ку, которая должна быть прибавлена к наблюдённому зенит-
ному расстоянию радианта. Для её практического применения
необходимо найти из наблюдений W, а затем по (12.14) опре-
делить U. Если из наблюдений нельзя вывести скорости мете-
оров, можно допустить, что они движутся вокруг Солнца
с параболической скоростью, что позволит затем вычислить
геоцентрические скорости U и W.
2/с2
Интеграл живых сил даёт для параболы V2 = — . Принимая
1 астр. ед. = 149680000 км, экваториальную полуось Земли
а =6378,4 км, мы находим для параболической скорости такое
выражение:
V = км[сек,	(12.26)
где R — радиус-вектор Земли, или, что то же самое, метеора.
При наблюдениях метеорных потоков обычно отыскиваются
экваториальные координаты радиантов. Для того чтобы вве-
сти в них поправку за зенитное притяжение, необходимо или
пользоваться дифференциальными формулами, связывающими
изменения горизонтальных и экваториальных координат, или
же (если поправка велика) дважды производить преобразо-
вание координат. Крайне желательно, при массовых вычисле-
ниях, как-то упростить эти процедуры. Так как большой
точности при этом не требуется, можно с выгодой использо-
вать таблицы или номограммы, построенные для широты
наблюдателя.
Далее необходимо учесть влияние движения Земли, ибо
Получаемые из наблюдений скорости метеоров являются отно-
сительными. Вращение Земли создаёт эффект, совершенно

§97J
ВЛИЯНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ ЗЕМЛИ И ЕЁ ДВИЖЕНИЯ
337
сходный с суточной аберрацией светил, и мы можем применить
известные из сферической астрономии формулы:
360° р0 I	/ Ч • 26°,62	, х
cos оД* = - -^4 pjz cos Ф cos (s - а) =----cos ? cos (s - а),
360°р0 1	. ,	...
Д'- = - -§6164 W G0S ? Sln “ а) 81П ° =
26°,62	. .	. . .
=------—cos ср sin (<$• — a) sin о,	(12.2/)
в которых вместо скорости света входит скорость метеора W,
а результат получается в градусах. Поправка эта может ока-
(12.28)
заться довольно чувствительной, и при более точных паблю»
дениях её следует принимать во внимание.
Обозначим скорость метеора по отношению к Солнцу через
У, скорость Земли —через Vo, угол между ними —через
180° —7V, а угол между U и Vo~ через 180°—/г; тогда мы полу-
чим согласно фиг. 28
U sin п = V sin TV,
Vo sin n = V sin (N — n).
Пусть точки A, R' и R (фиг. 29) представят на небесной
бфере следы направлений Vo, U и V. Три упомянутых точки
;1ожат на одном большом круге, так как три соответственных
направления лежат в одной плоскости. Точка Л, к которой
направлено орбитальное движение Земли, называется апексом\-
°на находится па эклиптике, и мы можем найти её гелиоцен-
трическую долготу Lo. Если L и R обозначают гелиоцентри-
ческую долготу Земли и её радиус-вектор, 0 = 180° 4- L —
Долготу Солнца, даваемую в ежегодниках, тогда компоненты
22	\ а гг -
Д. Дуояго

338
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ МЕТЕОРОВ
[Гл. XII
скорости Земли найдутся по формулам
Vo cos Lo = (R cos L) = — cos + 7? sin 0^ ,
sin L9~t(R sin L) = - sin 0	— R cos 0	,
откуда следует
Fosin (L<)-Q)=-Rd-g,
70cos (Lo_0)=_^,
ctg (Lo — 0) = д jQ •
Затем мы имеем
д= а (1. -е2)	I — е3
1 + е cos (L — те) 1 — е cos (© — те) ’
где е — эксцентриситет и tz—долгота перигелия земной орбиты.
Вследствие малости е можно пренебречь его квадратом, после
чего мы получим
R = 1 4- е cos (0 — к),
dR	• try \
_ = _esln(0_TC),
ctg (А>~О) = — е sin (0 —it),
ИЛИ
tg (90° + Lo - ©) = е sin (0-0-
Заменяя тангенс углом, находим окончательно:
^ = 0-90° + ^, sin(0-к),	(12.29)
где можно положить (для равноденствия начала года наблю-
дений)
Тс = 102°5' + Г,03 (t — 1950)	^, = 57',5.
Обозначим эклиптикальные координаты точки R' через а
и Р', точки Я —через а и р, наклон большого круга AR'R
к эклиптике — через у. Из треугольника ABR’ (фиг. 29)
получаем
sin п sin у = sin р',
sin п cos у = cos р' sin (а' — Lo),	(12.30)
cos п = cos р' cos (V — Lo). J

j ВЛИЯНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ ЗЕМЛИ И ЕЁ ДВИЖЕНИЯ	339
Соответственно треугольник ACR даёт
cos р cos (k — Lo) = cos TV, ]
cos {3 sin (к — L0) = sin TV cos у,	(12.31)
sin p = sin N sin y. J
Для использования этих формул необходимо вычислить N
при помощи уравнения
sin (TV — ri) = р sin п,	(12.32)
Условимся считать 180°, т. е. sin2V>0; что возможно,
если у принимает любые значения от 0° до 360°.
Для определения V применим формулу, вытекающую из
фиг. 28
V2 = и2 + V2 - 2иFo cos п.	(12.33)
Итак, если из наблюдений получено значение скорости
метеора, мы вычисляем п и у по уравнениям (12.30), после
чего формулы (12.33), (12.32) и (12.31) дают координаты истин-
ного радианта. Если скорость метеора неизвестна, надлежит
поступать иначе.
Возьмём выражения для скорости Земли и метеора
г* = (	
из которых следует	(12.34)
Уравнение (12.34) требует знания я, а эта величина может
быть найдена только в том случае, если время обращения
метеорного потока известно из наблюдений над интенсивностью
потока в различные годы или из соображений о связи с какой-
нибудь периодической кометой. Тогда можно применить урав-
нение
а =	(12.35)
где Р —период обращения в годах. В остальных случаях
приходится предполагать, что орбита — парабола, хотя это
Допущение, как показывают вычисления по фотографическим
наблюдениям, едва ли обосновано, так как часто встречаются
Потоки с очень короткими периодами. В случае параболы

340	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ МЕТЕОРОВ	[Гл. Хц
уравнение (12.34) становится проще:
у~ —	1	(12.36)
Зная координаты истинного радианта и гелиоцентрическую
скорость метеора, мы можем приступить к определению его
орбиты.
§ 98. Определение элементов орбиты
В пределах точности, с какой могут вычисляться орбиты
метеоров, следует считать, что наблюдатель и метеор нахо-
дились во время наблюдений в плоскости эклиптики и что их
положение даётся координатами центра Земли. Эти коорди-
наты таковы:
х = R cos L= —R cos 0,
у = R sin L = — R sin Q,
z = 0.
Радиант указывает нам на ту точку небесной сферы, откуда
движется метеор, поэтому компоненты скорости
относительно Солнца будут:
V cosP cos k,
V cos p sin k,
£=-Psinp.
Применяя формулы (2.31), мы найдём
ж —	— cosZ =RV cosp sin (k — 0),
x^ — z — = /sin i cos Q = RV sin p cos 0,
CL C	CLL
y^ — z = P sin i sin	= -R7 sin p sin 0.
Два последних уравнения дают (ибо sinZ > 0)
^ = 0,	sinP>0, |
Q = 18O° + 0, sin p < 0. J
Если радиант находится'к северу от эклиптики,
ходит в момент наблюдения нисходящий узел орбиты метеора
если же , радиант лежит к югу от эклиптики, Земля проходи?
восходящий узел.
последнего
dx___
dt
dy __
dt
(12.37)
(12.38)
Земля пр0'

g 981
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТЫ
341
Подставляя (12.38) в (12.37), получаем
к ]/ р cos/ = RV cosp sin (a — ©),
к \/ p sin i = ± RV sin p,
(12.39)
где знак плюс в последнем уравнении берётся, если sinp>0,
знак минус соответствует случаю sin р < 0. Отсюда определяем i
и |/р. Для нахождения а (если оно не было взято заранее)
пользуемся уравнением, вытекающим'из интеграладшвой сиды:
1 —
a R к2
1(12.40)
после чего переходим к
На основании (12.20)
отысканию е и v.
мы можем написать
о dv .	dr
r dleSinv = Pai-
Отсюда
» dr V"p f dx , du ,	dz\
e sin V - г -г =	+	=
kr dt	kR \ dt 1 J dt 1	dtJ
= ^FcosPcos (a-0).	(12.41)
Таким образом, мы получаем при помощи (12.39)
e sin = ctg (k — 0) cost, 1
" „ <12'42'
eCOsr = -^ — l,	‘
ri	,	J
q = a(l — e).	(12.43)
Если метеор находился в восходящем узле орбиты, и = 0°,
если —в нисходящем, zz = 180°; следовательно, в согласии
с замечанием, сделанным выше,
о) .= и — v = 180° — о, р > 0,
со = — v,	р < 0.
(12.44)
В случае эллиптической орбиты мы найдём время прохожде-
ния через перигелий (что, впрочем, обычно интереса не пред-
ставляет и может быть опущено) при помощи известных фор-
мул:
Sin? = e, tg±E = /^tglu = tg(45o-|T)tglr, (12.45)
E-esinE = M = ^(t-T).	(12.46)

342	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ МЕТЕОРОВ	[Гл. Хц
Для гиперболы аналогичные формулы могут быть заимство-
ваны из § 17:
1	Zp — 1	1
th	—itgy0,	(12.47)
eshtf-Г).	(12.48)
Если эксцентриситет близок к единице, следует пользоваться
формулами § 23. Уравнение (3.65) даёт
Т^-у^Р^ + Р^),	(12.49)
o = tglv.	(12.50)
Если определяется параболическая орбита, формулы, при-
ведённые выше, допускают существенные упрощения. Прежде
всего возьмём очевидные соотношения:
9 = ^ = 7?cos2 Id, У = Л|/-2.	(12.51)
Подставляя эти выражения в (12.39), находим
cos у у cos i — cos р sin (а — 0), ]
i	f	(12.52)
cos у usinZ = | sinp | ,	J
откуда однозначно определяется Z, так как cos у и > 0. Знак г
может быть получен при помощи уравнения (12.41), согласно
которому sin и имеет тот же знак, что и cos (А— 0) (ибо все
остальные величины положительны). Отсюда правило:
» v > 0,	если — 90° < а — 0< 90°,
и < 0,	если 90° < к —0< 270°.
т-,	1
Если —V находится по косинусу недостаточно надежно,
пользуемся первой формулой (12.42), которая в данном случае
даёт:
sin v = 2 cos2 у v ctg (а — 0) cos Z,
или
tgy = ctg (X-0) cost.	(12.53)
В заключение можем определить Т:
+ = (12-5^
К	Ь	О	& у	дъ

S99J
СВОДКА ФОРМУЛ
343
§ 99. Сводка формул
Вследствие небольшой точности, с которой наблюдаются
метеоры, вычисление их орбит ведётся не более, чем с четырьмя
или пятью знаками, даже если в основу кладутся фотографи-
ческие наблюдения. Для визуальных наблюдений часто можно
ограничиться тремя знаками. Поэтому сплошное использование
арифмометра едва ли будет выгодно, и более рационально соче
тать арифмометрические вычисления с логарифмическими. При
массовых вычислениях орбит метеоров или метеорных потоков
следует по возможности облегчить работу, используя вспомога-
тельные таблицы для отдельных этапов вычислений, однако
этот вопрос здесь не будет рассматриваться.
А. Геоцентрический путь отдельного метеора
Вычисление пути отдельного метеора может быть выполнено,
если имеются его наблюдения из двух пунктов Рг и Р2. Эти
наблюдения должны давать координаты двух или большего
числа произвольных, но по возможности удалённых друг
от друга точек на видимом пути метеора, как он наблюдался
из первого пункта. Такие же наблюдения должны быть сделаны
на втором пункте, причём точки видимого пути могут быть
другие. Кроме того, желательно иметь точно фиксированные
отметки времени для каждой измеренной точки пути метеора.
Исходными данными, следовательно, являются:
Рц Pol’	^1’ ^11* а11» °11> ^12> а12> °12 •••»'!
S	г (1а)
Рое ’	^2’ ^21> а21’ °21> ^22> а22» °22 * * *
Отметки времени t могут считаться от условного начала.
cos cos Li, 1
тр = pc/cos sin Lt-, >
Ц = pofsin<F-.	)
(Па)
Если наблюдения производились ещё из других пунктов,
для них должны быть сделаны такие же вычисления. Значения
геоцентрических радиусов-векторов должны включать высоты
пунктов над уровнем моря; эти величины удобнее выражать
п километрах. Вычисления следует вести с повышенным числом
знаков (6—7 знаков), особенно для фотографических наблюде-
ний, ибо координаты пунктов по своим численным значениям
гораздо больше, чем определяемые расстояния и высоты метеоров.

344
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ МЕТЕОРОВ
[Гл. XII
Вычисление координат для данных пунктов производится раз
навсегда.
aik = cos c>ik cos (5 — v.ik), ]
bik = cosS/fcsin(S — v.tk), }> i, k = A, 2 ...
cik = sin 81/c.	. J
(Ша)
Контроль: a'ik + bjk + cjk = 1.
^1 = ^11^12	^12^11’	^2 = ^21^22	^22^*21’	|
^12^11’	^2 = ^21^22	^22^21»	•	(1 V	ft)
Tlj -- ^11^12	^12^11’	^2   ^21^22	^22^21’	J
+	+ 71^ = 0,
l2a 4- m2b 4- тг2с = 0.
(Va)
Эти уравнения решаются численно и из них отыскиваются
отношения двух неизвестных к третьей, например, а1 — и 6' —
Ъ ъ	..
= — . Если путь метеора лежит в одной плоскости с пунктами
наблюдений, решение невозможно; коэффициенты уравнений (Va)
при этом пропорциональны. В таком случае продолжать вычи-
сления можно только, если положение радианта известно из дру-
гих соображений.
а =  21______, b =  .. Ъ'^	,	с = —^2	, (Via)
уа'2+Ь'2 + 1	у а'2 + Ь'2 + 1	/а'ЧЬ'Ч!
а = cos Deos (S — A), b = cosD sin (S — A), c = sin D. (Vila)
Из этих уравнений могут быть определены А и D радианта;
следует убедиться, что радиант падает на ту полусферу неба,
откуда движется метеор, в противном случае надо изменить
знаки у а, b и с.
— $14"	С21	= ?2 + ^21^21	-- ^11	as 21,
^11 = ^1 + 611^11,	^21	= ^2 + 621^21	= ^11	bs2i,
= £i + с11^11,	£21	— £2 + ^21^21	= £и	C$21 >
$12 = $1 4" ^12^12 = ^11	Я$12 ’	^22	= ? 2 + ^22^22	= $11	— as22, }> (Villa)
^12 =	+ 612^12 = ^11	6S12,	^22	= ^2 + ^22^22	= 411	^S22«
£12 = £1 + С12^12 = £11	£$12>	^22	= £2 + С22^22	__ г	CS22f

§ У9]	СВОДКА ФОРМУЛ	345
. JU лЭтих уравнений отыскиваются dlly d12, d21, d22, <j11?
r i, <<?i2’ 52i’ s22’ ••• Относительно хода решения н контроля
см. § 96.
Для всякой наблюдённой точки с координатами tik, ум, С/л-
можно найти pi7o y'ik, Lik из уравнений
iik = ?ik COS <p'ik cos Lik, j
7lz7c = pzkC0s<p-/csin Lik, z	(IXa)
^ik =Pz7cSin <p'ik	J
и высоту над уровнем моря
hik = ркс — р0 ik,	(Ха)
где р0 ik должно быть взято для земного эллипсоида по аргу-
менту 4>'ik.
Определение точки пересечения продолженного пути метеора
с поверхностью Земли производится по формуле
*2 - 2 (^31 + Ьг^ -г сг11} s _г д. +	О, (Х1а)
где р6 берётся для приближённо оценённой (с ошибкой
до нескольких минут) широты искомой точки пересечения;
из двух корней уравнения следует брать меньший:
с = ;п — as = р0 cos ср' cos L, 4
-"''hi — fe = p0cos<p'sin L,	(ХПа)
: = :п -’^ = posin<p'. J
Для вычисления скорости служит формула
1У = Д—Д.	(ХШа)
Вычисление скорости полезно сделать для всех отдельных
отрезков пути метеора.
В. Исходные данные для вычисления орбиты
Этими данными являются широта наблюдателя ср, местное
звёздное время .$• и всемирное время t наблюдения, экваториаль-
ные координаты радианта и геоцентрическая скорость метеора
(или потока); если последняя неизвестна, см. ниже.
<р, z, s, A, D, W, R, ©.	(I)
Координаты Солнца должны относиться к тому же равно-
денствию, что и А и D радианта; целесообразно пользоваться
нормальным равноденствием.

346
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ МЕТЕОРОВ
[Гл. Хц
С. Поправка за притяжение Земли и суточную аберрацию
U2 = w2 - 2gp, 2gp = 123,2 км2/сек2;
cos z = sin <p sin D 4- cos <p cos D cos (s — Л),
sin z cos a = — cos <p sin D + sin cos D cos (s — Л),
sin z sin a = cos D sin (s - A);
sin D' = sin ф cos C — cos ф sin C cos a,
cos D' cos (s — Л') = cos <p cos Z 4- sin <p sin C cos a, ’
cos D' sin (s — A') = sin £ sin a;
t^A A 360°po 1	/A\
cos D&A = —	, == cos 9 cos (s — Л),
8blbt W T v 7’
д^= _sy°^cos?sin(s_ Л)8Й18’ I
S=26°’62‘'o <Po-B KM>-	J
(П)
(Ш)
OV)
(V)
(VI)
Поправки эти могут в случае умеренной точности наблюде-
ний не учитываться. Поправка за зенитное притяжение более
чувствительна для медленно движущихся метеоров (в области
антиапекса) и если радиант далёк от зенита. Преобразования
координат желательно облегчить при помощи каких-либо вспо-
могательных средств (таблиц, графиков, дифференциальных фор-
мул). Координаты радианта, исправленные за суточную абер-
рацию, сохраняют прежнее обозначение. Формулы преобразова-
ния координат содержат контроль по сходимости sinz и cosz,
sin D' и cosZ)'.
D. Координаты истинного радианта
cos р' cos X' = cos D' cos A',	)
cos pz sin X' = sin e sin Z>' -j- cos s cos D' sin A', ?	(VII)
sin P' = cos a sin D' — sin a cos D' sin A'. J
Контроль: sinP' и cosp' должны согласоваться. Полезно
убедиться в верности этих вычислений более надёжным способом.
Л, = 0-90°+ ^8111(0- к),
~ = 102°5'+ Г,03(£—1950), -^-, = 57',5, ^=0°,96;
sin nsin y = sinp',	1
sin n cos у — cos 3' sin (X' — Zo), I
cos n — cos p' cos (X' — Lo),
sin n > 0.	j
(VIII)

§ 99]
СВОДКА ФОРМУЛ
&7
Контроль: sinn и cosn должны согласоваться.
V2 = U2 + VI- 2UVB cosn,	'	(X)
^.=?£g«ffbi/?:7i=29'8o/F7i-2-¥-0’ <xI>
sin (TV — n) = ~ sin n.	(XII)
Контроль: £7sinn= FsinTV.
cos р cos (k — Lo) = cos N,	
cos p sin (a — Lo) = sin N cos y, sinp	= sin Nsin y.	(ХШ)
Контроль: sinp и cos p должны согласоваться.
Если скорость метеора не получена из наблюдений с доста-
точной точностью, но известен период обращения потока, вычи-
сления начинаются после отыскания исходных данных с опре-
деления скорости
a=pi> T°=l/~	(ПЬ)
'	2а
Если период обращения неизвестен, орбита принимается
за параболу:
(Пс)
Если желательно ввести поправки за суточную аберрацию
и притяжение Земли (что не может быть сделано без знания
скорости метеоров), вычисляется Fo при помощи (XI), а затем
(VIII) и
cos Do cos Ао = cos Lo,
cos Do sin Ao = cos a sin Lo,
sin Do = sin e sin Lo,
cos n =- sin D sin DQ + cos D cos Do cos (A — Ao).
После этого вычисляется (XII) и
U2 = V2 + V20 + 2VVq cos TV
и последовательно вычисляются формулы (II) — (VII) и (IX).
Однако формулу (X) вычислять не нужно, а для V должно
быть принято уже найденное значение. Затем вычисляются
(XII) и (XIII).

348
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ МЕТЕОРОВ
[Гл. ХЦ
Если поправки за притяжение Земли и за суточную абер-
рацию вводиться не будут, после (ПЬ) или (Пс) вычисляются
(VII)-(IX), (XII), (XIII).
Е. Определение элементов
' Для эллиптической или гиперболической ор-
биты.
Скорость должна быть выражена в единицах, производных
от астрономической единицы и от единицы времени, равной
у суток, для чего значение V, выраженное в километрах
в секунду, умножается на у  86400^^*^ =0,03356 [8,5258]
при сохранении прежнего обозначения V.
Q = O,	если р>0, 1
Q = 180° + O, если р<0, )
1/ р cos i = RV cos В sin (X — 0), ]
/-	'	(XV)
у p sin i = RV | sin p | ,	J
(XVI)
если а не было принято заранее известным
esinu у- ctg (X — 0) cos i; )
е cos и = 2т — 1.
К о н т р о ль: р = а (1 — е2) = Л2Т/2 {1 — cos2 р cos2 (X — 0)}.
7 = я(1-е),	\
со =180° -г, если р>0, I	(XVIII)
со = —V, если р < 0. J
Если требуется найти Т для эллипса, вычисляются
sin<p = e,	1
I	।	, I (XIX)
tg = у r-ZtgTt; = tg(45o-y?.)tg7v. )
Контроль: e cosE = RVz — 1.
£-esinJ£’ = -3(f-7’).	(XX)
a'1

§ 100]
ПРИМЕР
349
Для гиперболы Т найдётся по формуле

Контроль: е ch Н = RV2 — 1.
eshH — H=~
| а Г*
(XIXa)
(XXa)
Для параболической орбиты
£?,=©, если р>0, 1
Q, = 180° +©, если ₽<0. J
cos — v cosi = cos p sin (Z — Q),
I
cos—о sin i = | sin p I,
tg у v = ctg (a — 0) cos i.
(XIV)
(XVa)
Г»	11
Контроль: tg'у и и cos — v должны соответствовать одному
углу.
о 2 1	1
q=R cos2 — ч,
о —180° — ъ, если р > 0,
(о=—и, если р < 0. ,
(XVla):
Для вычисления Т служит формула

и заменяющие её таблицы.
§ 100. Пример
Телескопические метеоры потока Скорпионид наблюдались А. М. Ва-
харевым в Сталинабаде в течение пяти вечеров между 12 и 22 июня 1947 г.;
получено несколько радиантов, достаточно хорошо согласующихся между
собой, и из них взято среднее. Всемирное время наблюдения относится
к среднему моменту всех наблюдений, но звёздное время взято как
среднее арифметическое из звёздных моментов для каждых суток,
т. е. безотносительно к календарным датам; таким 'образом, оно не
Должно согласоваться со всемирным временем. Предполагается, что

350
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ МЕТЕОРОВ
[Гл. хп
орбита является параболой. Исходными данными служат:
I ср	i 38°, 6 1947 июня 16,17		s	x 16h39m 251’	1947,0] § ,4 -18°	11 lg It © ,7 1,016 0,007 84’,2		
Пс i-y-R 9,692 XI V 9,846 ШЬ	cosLo	9,998 ] sin Lo	9,026 coss	9,963 sine	9,600 cosD0cosA0	9,998 cosZ)0sinA0	8,989/г sin Dq	8,626n cosZ)0	0,000 Ao= -5°,6 Dq= -2 ,4		2-R 9,993 29,80 1,474 V. 1,467 [Vb	sin D cos D cos (A - Ao) I II cos n n	VIII e arc 1° 9,5 06/г 9,976 9,352/г 8,132 9,3287г 9,299 = 101°, 5	e arc 1° sin (©- tl) sin(0- u)= - 0-90°= - = “ XII	sin n sin (N — тг) N =		9,982 9,485/г 0°,3 5 ,8 6 ,1 9,991 9,837 = 144°, 9
Vb	V cos N 2FV0 cos N = — 72 =	1,621 3,389 9,913 2004 1746	III	sin у COS <p s — A = sin (5 — A) cos (s—A)	‘9,795 9,893 - 1°,6 8,446?? 0,000	IV	w = U = w-u W+-U частное	= 26,9 = 24,5 . 0,380 1,71 Г 8,669
72 = v о —	859	I	9,399		tg T z	9,737
t72 =	601	II	9,771		to* — Ф 2	8,406
II	FP = V	sin Q cos C sin a cos a I II III IV cos D' sin (5— A') cos Df cos (s— A') sin Dr cos Df s— l' = A' = =	724 9,938 8,696 8,497n 0,000 9,589 9,733 9,491 9,831n 8,435/г 9,968 9,566n 9,968 - 1°,7 251,5 - 21,6	III IV sin z sin a sin z cos a cos z sin z a = - VI cos(s — A) sin (s — A) 26,62 W 2b,b2/W ДА = bD-- испр. | д/	9,3017/ 9,869 8,422т? 9,925 9,732 9,925 57°,3 - 1,8 0,000 8,446/i 1,425 1,430 9,995 = -0°,8 = 0,0 = 250,7 = - 21,6	MI ! COS COS	Ф = cos A' sin A' I II III IV 8 cos Л' В sin Л' sin [i' COS	= 2°,9 = 60,2 9,519т? 9,975/? 9,166/г 9,906r? 9,529У? 9,543 9,487/г 9,979тг 8,044 0,000 252°,1 4-0,6

§ 101]
ВЫЧИСЛ. КООРДИНАТ РАДИАНТА ПО ЭЛЕМЕНТАМ ОРБИТЫ 351
IX	Z'-LO=258°,2	XII	9,846	XIII	sin N	9,756
	sia(A'-Lo) 9>991“	sin/г 9,991	cos 8 cos (Z — Lo)	9,914n
	cos(Z'-£0) 9,31 In	sin (TV — /г) 9,837	cos p sin (Z —Lo)	9,756/2
	sin п sin у 8,04k sin n cosy 9,991n cos n 9,31In sin n 9,991 sin у 8,053 cosy 0,0007i	•V=145°,2	sin p cos [1 Z-£o = A —	7,809 0,000 214°,8 2 08,7 +	0,4
XIV	^=8i°>2	XVIa v= — 69°,0	Элементы	
XVa	sin(Z —Q) 9,916	«)= 249,0	ш 249°,O	
	ctg(Z-Q) 9,837/2 1 cos — v cos i 9,916/г 1 cos — v sin i 7,8)9 cos v 9,916 i=0°,4 cos i 0,00') 1 tg — v 9,837/2	q	9,839	££= 84,2 i= 0,4 lg</= 9,839	j 1947,0
Радиант расположен очень близко к эклиптике, поэтому наклонение
орбиты получилось очень малым, а элементы Q и о> определяются весьма
неточно (хотя эта неточность не заметна при выполнении вычислений).
Более или менее уверенным можно быть только по отношению к % = со 4- Q,
i и q. Отсюда понятно, далее, что поток Скорпионид наблюдается еже-
годно довольно долго, не давая резкого максимума числа метеоров: они
движутся почти параллельно эклиптике и могут встречаться с Землёй
на протяжении значительного отрезка её орбиты. Конечно, при этом
придётся предположить, что метеоры, встречаемые Землёй, движутся
не по одной орбите, а по пучку орбит, до некоторой степени отличных
друг от друга, но лежащих приблизительно в одной плоскости, в дан-
ном случае почти совпадающей с плоскостью эклиптики; при этом не тре-
буется допускать, что ноток имеет значительное протяжение в направле-
нии, перпендикулярном к плоскости орбиты.
Вычисления, приведённые выше, могут быть значительно сокращены
за счёт применения специальных вспомогательных таблиц или графиков.
Заметим ещё, что логарифмы, неоднократно участвующие в вычисле-
ниях, выписывались на полоску бумаги, чтобы избегнуть сложений
и вычитаний величин, стоящих далеко друг от друга, или частого их
переписывания. Большое упрощение получается также, если не учиты-
вать поправок за зенитное притяжение и суточную аберрацию, но это
можно делать только в отношении грубо определённых радиантов.
§ 101. Вычисление координат радианта по элементам орбиты
Мы можем наблюдать только те метеоры, которые сталкива-
ются с Землёй, и следовательно, орбиты которых пересекаются
с орбитой Земли. Таким образом, радиус-вектор орбиты потока
(или отдельного метеора) должен в одном из узлов принимать

352
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ МЕТЕОРОВ
[Гл. ХЦ
значение, равное радиусу-вектору Земли в той же самой точке.
Если это требование выполнено, вычисление радианта может
быть проведено без затруднений при помощи уже полученных
нами формул.
Имея элементы орбиты, отнесённые к нужному равноден-
ствию, и зная, в каком узле будет наблюдаться поток (некото-
рые потоки могут наблюдаться в обоих узлах, и тогда вычисле-
ния для каждого узла надо вести отдельно), определяем дол-
готу Солнца Q по (XIV), где для восходящего узла будет
8 < 0, для нисходящего £ > 0. По ежегоднику находим соот-
ветствующее всемирное время и R. Формула (XVIII) даёт до,
причём знак р уже известен. Пользуясь первым уравне-
нием (XVII), находим ctg (л — 0). Во второе уравнение (XVII)
входят только известные величины; оно даёт критерий пересе-
чения орбиты потока с орбитой Земли, и следует убедиться,
что это уравнение удовлетворяется. По формулам (XV) находим
V и [3, кроме того, первая формула (XV) указывает знак
sin (л — 0). что позволяет найти л. На этом определение коор-
динат истинного радианта заканчивается и можно произвести
контроль при помощи уравнения (XVI), которое должно удо-
влетворяться.
После этого находим £0 по формуле (VIII) и вычисляем
по уравнениям (ХШ) величины N и у. Отыскиваем у при по-
мощи (11b) или (Пс); кроме того, Vo — по (XI); вместе с прежде
найденным значением V это даст контроль вычислений. По урав-
нению (Vb) отыскивается U; контрольное уравнение (XII) даёт п.
Наоборот, основное уравнение (XII) служит теперь для контроля.
Из уравнений (IX) определяем // и р'. Наконец, преобразуем
эклиптические координаты видимого радианта в экваториальные,
для чего служат хорошо известные формулы сферической
астрономии.
Однако ясно, что на практике задача будет не столь проста.
Как правило, орбита рассматриваемой кометы не пересекается
в точности с орбитой Земли. Тем не менее, метеоры могут
наблюдаться, ибо поток метеоров имеет не только значительное1
протяжение вдоль орбиты, часто растягиваясь по всей орбите,
но и заметную ширину в плоскости орбиты, так что радиусы-
векторы внутренних и внешних метеоров потока чувствительно
различаются. Имеют ли метеорные потоки соответственную тол-
щину перпендикулярно к плоскости орбиты, ещё не выяснено
окончательно, но представляется, но крайней мере для некоторых
потоков, сомнительным. Максимальное расстояние между орби-
тами Земли и кометы, при котором метеоры связанного с не и
потока ещё могут наблюдаться, зависит от структуры потока
от степени его рассеяния в пространстве. Для потоков, которые

g r, 1 ] ВЫЧИСЛ. КООРДИНАТ РАДИАНТА ПО ЭЛЕМЕНТАМ ОРБИТЫ 353
существуют уже давно, рассеяние (главным образом вследствие
планетных возмущений) могло зайти очень далеко. Поэтому
имеются радианты, связанные с кометами, орбиты которых про-
ходят на значительном расстоянии от орбиты Земли. В таких
случаях невозможно без добавочных допущений фиксировать то
положение Земли на её орбите, когда будет наблюдаться макси-
мум метеорного потока.
Действительно, элементы орбиты наблюдаемого нами метеор-
ного потока должны отличаться от элементов кометы, которую
мы на том или ином основании ассоциируем с этим потоком,
но как именно отличаться, — этого нельзя сказать с достаточной
точностью, пока мы не будем знать гораздо больше, чем теперь,
о структуре метеорных потоков и о процессе их образования.
Конечно, задача упрощается, если комета в своём узле под-
ходит очень близко к земной орбите. Изменения элементов её
орбиты, необходимые для наблюдаемости потока, будут невелики
сравнительно с ошибкой визуального определения радианта,
и он может вычисляться с неизменёнными элементами орбиты
кометы.
Если дело обстоит не так просто, можно для определённости
задачи сделать одно из двух следующих предположений.
Во-первых, можно допустить, что поток имеет заметное про-
тяжение только в плоскости своей орбиты. Тогда следует счи-
тать, что радиант будет наблюдаться, когда Земля проходит
линию узлов рассматриваемой нами кометы. Следовательно, мы
принимаем, что поток имеет те же самые i и что и комета;
кроме того, можно допустить, что сохраняется и направление
большой оси, определяемое элементом со (в противном случае
задача будет слишком неопределённой). Критерием пересечения
орбит Земли и потока будут уравнения:
R (1 4- е cos cd) = а (1 — е2) для восходящего узла,
/? (1 — е cos со) = я (1— е2) для нисходящего узла. I ^““^)
Для выполнения этого единственного критерия можно варьи-
ровать а или е, или оба эти элемента. Довольно трудно сказать,
как лучше поступать в каждом конкретном случае. Если период
потока известен (например, тот же самый, что и для кометы),
это даст значение а, и тогда е найдётся из (12.55) решением
квадратного уравнения.
Во-вторых, заметим, что для кометных орбит, мало накло-
нённых к эклиптике (в том числе и с обратным движением),
наибольшее сближение с земной орбитой может иметь место
Довольно далеко от узла. Если Земля находится в точке наи-
большего сближения орбит, мы наблюдаем метеоры, движущиеся
кне плоскости орбиты кометы, но на небольшом расстоянии
А. Д. Дубяго

354	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ МЕТЕОРОВ	[Г;1.
от неё. Поток может быть при этих обстоятельствах значительно
более интенсивным, чем в узле. Решение задачи о минималь-
ных расстояниях между двумя коническими сечениями, хотя
и элементарно по существу, представляет немалые практиче-
ские осложнения и может быть доведено до конца только путём
последовательных приближений. Приведём в заключение один
из возможных вариантов такого решения.
Если орбита какого-нибудь тела, движущегося вокруг Солнца,
известна, положение этого тела на орбите, или вообще любая
точка орбиты, вполне определяется при помощи одного пара-
метра (им может быть, например, средняя, истинная, или экс-
центрическая аномалия). Для двух точек, расположенных на
двух орбитах, мы будем иметь два независимых параметра,
и задача сводится к отысканию пар значений этих параметров,
соответствующих условию минимума расстояния между точками
обеих орбит.
Применим обычные обозначения для гелиоцентрических
координат в пространстве и элементов орбиты первого тела;
для второго тела все обозначения возьмём со штрихами. Если
р— расстояние между точками, лежащими на орбитах, у нас будет
р* = (х — я/)2 + (У — у'У + (z — z')2 =
= г2 + г'2 — 2 (хх' + уу' + zz').	(12.56)
Наиболее простое решение получается при пользовании экс-
центрической аномалией в качестве независимого параметра.
Имея в виду, что орбиты комет часто имеют большой эксцен-
триситет, а в некоторых случаях придётся рассматривать пара-
болические кометы, надёжнее взять истинную аномалию; такое
решение будет пригодно’всегда.
Для отыскания минимальных (и максимальных)' расстояний
служат условия
dp2	dr	f,dx	, dy	f dz\ n
"~dv ~~Г ~dv ~~~ V d,v~^^ dv +Z dv)~ 9
dp2 , dr'	f dx'	dy'	dz'\	n I
•	= r -j—. — ( X , + у -/-t + Z -j—/ )	=0.
dv	dv	\ dv	v dv	dv J
Пользуясь известными формулами
_ p___________g (1 + ^) _ « (1- g2)
1 + e cos v 1 + e cos v 1 + e cos v ’
x — Pxr cos и + Q.cr sin и, II T. Д.,
находим
1 dr_ e sin v
r2 dv p 1
-^^ = -PxSinv4-Cx(cos»+-e) и г. д.

g 10l] ВЫЧИСЛ. КООРДИНАТ РАДИАНТА ПО ЭЛЕМЕНТАМ ОРБИТЫ 355
д2
Умножая первое уравнение (12.57) на , получаем после
несложных выкладок
-г-,	sin и (14-е' cosd') 4- РР' sin v cos d' 4-
r3r' dv p* v 1	71
4- ePP' sin 2u cos v' — (14- e2) QP' cos v cos v' —
1	3
— — eQP' cos 2d cos d' —eQP' cos v' +
4- PQ' sin v sin d' 4- у ePQ’ sin 2d sin d' —
—	(14- e2) QQ' cos d cos d' — у eQQf cos 2d sin d' —
—	-j- eQQ' sin d' = 0,
где
PP'=PxP'x + PyPy + PzP', QP'=QxPx + QyP'y + QzP', }
PQ' = PxQ'x + PvQ'y + PzQ', QQ' = QxQ'x + QyQy + QzQ^ J ( 2,58)
Вводя обозн ачения:
a=—, e,	P = ae'4-PP',
p
г =-(1 + OCP', s=-^eQP',
4 = PQ',	b = LePQ',
^=-^eQQ',	и=-|е^',
1	> (12.59)
	
имеем
a sin d 4- (p sin d 4- у sin 2d 4- 8 cos d 4- s cos 2d 4- £) cos d' 4-
4- (^ sin d 4- 6 sin 2d 4- x cos d 4- a cos 2d 4- p.) sin d' = 0.	(12.60)
Совершенно таким же образом найдётся
a' sinD' 4- (P'sinD' 4- у' sin 2d' 4- o' cosd' 4-e' cos 2d' 4- C) cosd 4-
-r (Y sin d' 4- 6' sin 2d' 4- x' cos d' 4- cos 2d' 4- p/) sin d = 0,	(12.61)
где a' = — e', P g'=	+	^=a'e+PP, Y = ^-PP> ^' = -^e'PQ',	7= -^e'PQ',
-n' = QP',	V = ±e'QP',	v/^-(i + e'^QQ't
}'=~^e'QQ',	P-'= —-f-e'CC'-	(12.62)

356
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ МЕТЕОРОВ
[Гл. хц
Уравнения (12.60) и (12.61) решаются в отношении v и г/
последовательными приближениями.
В применении к орбитам некоторой кометы и Земли всего
удобнее взять за основу систему эклиптикальных гелиоцентри-
ческих координат. Выражения РР' и т. д. имеют простой, смысл,
который вытекает из определения векторных элементов (§ 19).
Именно, если на гелиоцентрической небесной сфере отметить
точки Р и Р' в направлении на перигелии орбит кометы и Земли,
кроме того, Q и Q'— в направлении на точки этих орбит, где
v ^90°, соответственно и' = 90°, тогда РР' и т. д. представят
Фиг. 30.
собой косинусы дуг между указанными точками. Вместо того,
чтобы применять уравнения (3.20), полагая в них е = 0 и при-
нимая для Земли Z' = 0, <Q/ = 0,	— долготе перигелия
земной орбиты, можно рассмотреть фиг. 30, на которой пока-
зано взаимное расположение орбит кометы и Земли на гелио-
центрической небесной сфере и из которой легко выводятся
следующие формулы:
РР' = cosco cos (к — <Q,) + sin со cosZ sin (tz— <QJ,
QP' = — sin co cos (тс — <Q,) -}- cosco cosZ sin (тс — Ц),
PQ' = — cos cd sin (тс — <П>) + sin co cos Z cos (тс — Q),
QQ' =sin co sin (тс — Q)-|- cos cd cos Z cos (тс — <Q).
> (12.63)
I
J
Из этих уравнений вытекают контрольные соотношения:
PP'i + QP'2 + PQ’* + QQ’i = l + cosii, 1
1-	(12.64)
PP'QQ'-QP’  PQ’= cos i.	I

§ 101]
ВЫЧИСЛ. КООРДИНАТ РАДИАНТА ПО ЭЛЕМЕНТАМ ОРБИТЫ 357
Для Земли мы имеем далее:
u'=L— т:	(В —долгота Земли),
а = 1,
е' =0,01673 — 0,00000042 (t — 1950),
тг= 102° 4',84- Г, 032(2 — 1950) (включая
прецессию).
Начиная вычисления, мы будем иметь в виду, что наимень-
шие расстояния между орбитами встретятся вблизи узлов. В пер-
вом приближении мы берём для Земли L= Q (или L = 180° + Q,
если сближение происходит около нисходящего узла) и вычис-
ляем коэффициенты А', В' и С' уравнения
А1 + В' cos v + С' sin v = 0,	(12.66)
которое есть не что иное, как уравнение (12.61). Благодаря
малости эксцентриситета земной орбиты выгодно воспользоваться
этим уравнением, а не (12.60), так как а' и А' будут малы.
Конечно, можно решить (12.66) относительно и прямым путём,
но быстрее поступать так: переписать это уравнение в виде
+	В' А’
t О’ и —-----------
°	О'	С' cos v ’
если С' > В', или в виде
,	С'	А'
ciSv—	В'	B'sinv
(12.67)
(12.68)
если С" < В', затем решать последовательными приближениями:
отбрасывая сначала второй член справа, найти и, затем, вычис-
лив отброшенный член, повторить отыскание v и т. д. Больше
двух приближений, которые очень легко вычисляются, едва
ли потребуется.
Подобно этому, можно написать уравнение (12.60) в виде:
Л + В cost/ + С sini/ = 0.	(12.69)
С принятым значением и' и только что найденным значением v
это уравнение обычно даёт некоторую невязку, которая устра-
няется варьированием и'.
Чтобы вычислить значение р— кратчайшего расстояния, най-
дём сперва:
L = v' 4-тг,
о	I
14-е' cos v' 7	(12.70)

358	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ МЕТЕОРОВ	[Гл. ХЦ
По «Астрономическому ежегоднику» можно проверить, соот-
ветствует ли вычисленное значение R долготе Земли L (кото-
рая равна долготе Солнца ± 180°).
Вместо (12.56) можно написать
р2 = R2 г2 — 2Rr cos 6,	(12.71)
где 9 —дуга между положениями Земли Т и комета К на
фиг. 30. Эти положения соответствуют кратчайшему расстоянию
между орбитами. Мы выводим из чертежа
cos b= cos (L— <Q) cos (i; + w) 4- sin (L~~ Q) sin (y 4- cd) cost. (12.72)
Однако, если прямо воспользоваться уравнениями (12.71)
и (12.72), мы встретимся с определением малой величины р2 по
разности больших величин. Гораздо лучше преобразовать ука-
занные формулы к следующему виду:
p2 = (7?-r)2 + 4Rrsin210,	(12.73)
sin2 у 6 = sin2 (L — Q — v — со) +
+ sin (L — sin (и 4-co) sin2 г, (12.74)
если движение кометы прямое (i < 90°) или
sin2 0 = sin2 (L —	4- г 4- оз) —
• — sin (L — <Q) sin (и 4-о) cos2-^-Z, (12.75)
если движение кометы обратное (/>90°). Вывод уравнения
(12.73), (12.74) и (12.75) из предшествующих выражений доста-
точно прост. Так как при прямом движении L — SI и u = d4-u)
имеют для рассматриваемых нами ближайших точек орбит
одинаковые знаки, а при обратном движении —различные, две
последние формулы при указанном выше выборе служат для
вычисления sin2 у 6 по сумме, а не по разности, что даёт наи-
более надёжный результат.
Решение поставленной нами задачи, собственно говоря, дове-
дено до конца, однако небезынтересно точнее определить поло-
жение Земли в наибольшем сближении, рассматривая его отно-
сительно орбиты кометы. Взяв теперь за основу плоскость
орбиты кометы и пользуясь последним уравнением (2.61), в кото-
ром вместо аргумента широты войдёт L — Q, мы будем иметь
z = — 7?sin(L — ^)sint	(i <90°), 1
z = 7? sin (L — Q) sin i	(j > 90°). J	V

g Ю1] ВЬхЧИСЛ. КООРДИНАТ РАДИАНТА ПО ЭЛЕМЕНТАМ ОРБИТЫ 359
Двоякий знак в этих формулах объясняется следующим обра-
зом. Восходящий узел кометной орбиты относительно эклиптики
одновременно является нисходящим узлом эклиптики по отно-
шению к кометной орбите, что соответствует
нию (12.76), причём z>0 означает
от плоскости орбиты
кометы. Если наклоне-
ние орбиты кометы
больше 90°, мы должны
были бы, ориентируясь
по орбите кометы, счи-
тать её северный полюс
в южном полушарии
неба по отношению к
эклиптике. Удобнее, ко-
нечно, и в этом случае
брать направление к се-
веру в обычном смысле,
но тогда узел эклиптики на орбите
как легко убедиться по фиг. 31, и
написано.
Легко видеть из (12.56), что условие экстремальных рассто-
яний может быть вместо (12.57) написано и в таком виде:
положение
первому уравне-
Земли к ^северу
орбита
Фиг. 31.
восходящим,
кометы станет
знак (12.76) изменится, как
(я/ — х) dx -4- (у' -y)dy-\- (z' — z)dz = 0,
(х — х') dx' + {у — у') dy' 4- (z — z') dz’ = 0.
Первое из этих уравнений, если считать в нём х', у', z' теку-
щими координатами, есть уравнение плоскости, проходящей
через точку х, у, z орбиты кометы и перпендикулярной к эле-
менту дуги этой орбиты dx, dy, dz. Второе уравнение имеет тот
же смысл в применении к орбите Земли. Следовательно, про-
ведя через находящиеся на минимальном расстоянии точки обеих
орбит х, у, z и х', у', z' плоскости, ортогональные к этим орби-
там, мы можем сказать, что точка х', у', z' земной орбиты лежит
в ортогональной плоскости к орбите кометы и аналогичное
утверждение справедливо по отношению к точке х, у, z комет-
ной орбиты. Иначе говоря, указанные ортогональные плоско-
сти пересекаются по прямой, соединяющей точки орбит, нахо-
дящиеся на минимальном расстоянии; длина этой прямой есть р.
Пусть на фиг. 32 S — Солнце, КК'— элемент дуги орбиты
кометы, КТ = р — минимальное расстояние между орбитами
кометы и Земли, лежащее в ортогональной плоскости а к орбите
кометы, Т' -—проекция точки Т земной орбиты на плоскость
орбиты кометы. КТ и КТ' согласно сказанному лежат в пло-
скости и, следовательно, оба эти отрезка перпендикулярны

360	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ МЕТЕОРОВ	[Гл.
к КК', Если обозначить угол между КТ' и КТ через Ф, у нас
будет
sinO = Y,	(12.77)
ибо TT' = z. Остаётся ещё определить, куда направлен отре-
зок КТ по отношению к орбите кометы — наружу, как на дан-
(12.78)
ном чертеже, или внутрь, и следовательно, в какой четверти
лежит угол Ф. Очевидно, соответственные условия будут
ST' >SK и ST' < SK, или
ST' = у/'R2, — z2 > г, KT' направлено наружу,
ST' = R*—^<.г, KT' направлено внутрь.
В первом из этих случаев Ф лежит в первой четверти (смотря
в сторону движения Земли по её орбите) при z > 0 и в четвёр-
той четверти при z < 0; во втором случае Ф —во второй четверти
при z > 0 и в третьей четверти при z < 0. Конечно, если
имеет место неравенство R < г, это может служить достаточ-
ным условием вместо второго неравенства (12.78).
Отыскание z и Ф может оказаться интересным в связи
с соображениями о структуре наблюдаемого нами метеорного
потока.
Если бы поток, грубо говоря, напоминал своей формой
цилиндр с осью вдоль орбиты кометы, или, точнее, в сечении
любой плоскостью, ортогональной к орбите кометы, получалось
бы распределение числа метеоров, зависящее только от расстоя-
ния от точки пересечения кометной орбиты с указанной пло-
скостью (т. е. имеющее центр симметрии на орбите кометы),
тогда максимум интенсивности потока должен был бы падать
на момент, в который Земля находится на минимальном рас-
стоянии от орбиты кометы. Едва ли можно утверждать, что
метеорные потоки — даже старые —имеют такую структуру,

ПРИМЕР
361
§ 102]
но в случае другой структуры, поток может давать максимум
числа метеоров не при минимальном расстоянии между земной
и кометной орбитами. Многие периодические кометы имеют
небольшое наклонение к эклиптике, и мы уже заметили, что
для таких орбит наибольшее сближение с земной орбитой будет
не в узле, но ближе к той точке орбиты кометы, где её радиус-
вектор становится равным радиусу-вектору Земли. При этом
линия кратчайшего расстояния будет направлена почти перпен-
дикулярно к орбитам кометы и Земли (Ф близко к 90°).
Расчёт, хотя бы приблизительный, элементов метеорного
потока по элементам орбиты кометы становится ещё более не-
определённым, чем он был для случая потока, наблюдаемого
в узле кометной орбиты.
Обозначим элементы орбиты кометы для отличия от элемен-
тов метеорного потока индексом к. Прежде всего у нас, оче-
видно, будет <57, = L, где L — долгота Земли в момент наиболь-
шей близости к кометной орбите. Так как (без наблюдений)
никаких указаний на отличие наклонения орбиты потока от
наклонения кометы получить нельзя, проще всего положить
i = ik. Если наклонение кометы невелико, i близко к 0°, мы
можем положить со = со7.— <Q -j- причём направление большой
оси орбиты кометы приблизительно сохранится; при Z. близком
к 180°, соответственно можно считать со = со/с+ Q — Труднее
выяснить вопрос о величине со при значительном наклонении
орбиты кометы к эклиптике. Можно лишь сказать, что при г,
не сильно отличающемся от 90°, проще всего брать w —
После того 1?ак *тем или иным способом выбраны значения
элементов, определяющих расположение орбиты потока в про-
странстве, полуось орбиты и эксцентриситет могут быть най-
дены при помощи уравнений (12.55). Отыскание координат
радианта по элементам потока проведено выше и принципиаль-
ных затруднений не содержит.
§ 102. Пример
Комета Галлея связана с двумя метеорными потоками: майских
^кварид и октябрьских Орионид. наблюдавшимися вблизи нисходящего
и восходящего узлов её орбиты. Расстояние Земли от кометной орбиты,
особенно у восходящего узла, довольно значительно, тем не менее эти
потоки наблюдаются регулярно, а поток Лкварид, как показали наблю-
дения в последние годы, очень интенсивен.
Из наблюдений кометы Галлея в её последнем появлении в 19Юг.
получены следующие элементы её орбиты, причём здесь они приводятся
Уже отнесёнными к нормальному равноденствию 1959,0:
со	Шэ43',2	]	Р	76,03
<Q	57 50,6	I	1959,0	1g?	9,7688
I	162 12,8	J

362
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ МЕТЕОРОВ
[Гл. ХЦ
Вспомогательные величины:
		Комета	Земля		COS CO	0,3701	
	Jgp	1,8810 n	102°4',8		sin co	+	9290
		0,6270			cos i	—	9522
	Iga	1,2540		COS 0) cos i		+	3524
	lg(l -*)	8,5148		sin co cos i		—	8846
	e	0,9673 e'	0,0167	sin (%		+	6976
	<1	0,5873		COS (к	-ft)	+	7165
а ( 1 — е'-	') = {/( I +*)	1,1552	0,9997		PP'	—	8823
	1 + e*	1,9357	1,0003		QP’	—	4198
					PQ'	—	3756
					QQ	+	9006
CL	+ 1,1177	a' + 0,0145	7] -	3756		4198	
	- 8636	- 8683	0 -	1817	—	35	
V	- 4267	-	74	z —	1,7433	—	9009	
5	+	8126	+ 3757	A —	4356	—	75	
Е	+ 2030	+	31	Iх “	1,3067	—	225	
с	+ 6091	+	94					
Для восходящего узла исходим из даты максимума Орионид, около
19 октября и берём соответственно v' = — 77°,
v'	- 77°O',O	— 7l°0',0	- 72°2',8	- 72°1',6
sin v'	- 0,9744	- 0,9455	-0,9513	-0,9512
sin 2v'	- 4384	- 6157	-	5865	'- 5870
cos v'	+ 2250	+ 3256	+ 3082	+ 3086
cos 2v'	-	8988	-	7880	-	8100	- 8096
A'	-	141	137	-	138	-	138
B'	+ 9405	+ 9548	+ 9530	+ 9531
C'	+	1921	+	892	+ 1073	+	1069
ctg V	- 2043	—	934	- 1126	—	1122
— A'fB' sin v	153	-	144	-	146	-	146
ctg V	- 2196	- 1078	-	1276	•- 1268
V	- 77°36',9	— 83°50',8	— 82°45',1	— 82°46',4
sin v	- 9767	- 9942	- 9920	- 9921
sin 2v	-	4190	- 2131	- 2503	- 2496
cos V	+ 2145	+	1072	+ 1262	+ 1258
cos 2v	-	9080	- 9970	- 9682	- 9684
A	- 1,0916	- 1,1112	- 1,1088	- 1,1089
В	+ 1,6213	+ 1,4774	+ 1,4786	- 1,4780
C	-	8491	- 6559	- 6869	- 6862
Невязка v'	+	937 - 72°1',6 30 3 ,2 9 9945 24,050 (1950) — 82°46',4 1,0299 — 27°47',4 28 56 ,8 -4662 + 4840 + 202 + 1546	-	198	+	4 cos2 1/2 i	-	1 0,023901
L R Дата Вс. вр. окт. V г V + CO (L~ ft) sin (V + co) sin (£,— ^Z + 'v+co) cos l/‘2f		sin2 (L	- ft + V + a>)	, 000408 sin2 1/2 6	,005800 4Rr	4,0969 4Rrsin2^-fl	,023762 (R-r)2	,001253 p2	,025015 p	0,1582 sini	0,3055 z	—0,1416 ф	-бЗ’З!' (внутрь, III четверть)	

§ 1°21
ПРИМЕР
363
Такое же вычисление, проведённое
слеДУ1014*16 результаты:
для нисходящего узла, дал >
vf	124°47',6	г	0,9857
L	226 52 ,4	р	0,0668
R	1,0093	z	+0,0587
Дата	Вс. вр. мая 8,034 (1950)	у	+61°29'
v 79°45',4	(наружу, I четверть)
Календарные даты, соответствующие долготам Земли, взяты из
«Астрономического ежегодника» на 1950 год. Далее следует вычисление
радиантов, которое мы приводим полностью также только для Орионид:
Iff а
83°, 9
30 ,1
162 ,2
1950,0
I ,254

Здесь а и i приняты теми же, что и для кометы, значение со получено
по правилу для комет с обратным движением. Эксцентриситет отыски-
вается путём проб подстановкой значений в формулу
R __ cos2cp
а 1 + sin э cos со
R	9,998				
R а COS2 (р sin <р Знам. R а е XVII	р	8,744 = 75°0' 8,826 9,985 0,042 8,784 9,986 0,041n	76°0' 8,767 9,987 0,043 8,724 О = 210э, I XV	Vp	cos co 9,026 75°4O' 8,787 9,986 0,042 8,745 окт. 24,05(1950) 0,020	XVI	9 ~R	0,30$
cos i	9,979a	cos i	9,979/»		0,290
R	9,978n	sin i	9,485	1	8,769
р cos i v= sinv e sin v ctg (A-©) Л-О = sin (A-©) A=	-83°,9 9,998n 9,984n 9,962 227 °,5 9,868n 77°,6	У p cos i Y psin i R sin (Л— ©) V cos p V |sin p| V km »	9,999a 9,505 9,866n 0,133 9,507 p= - 13°, 3 V	0,145 jceK	1,619 ==	41,6	a	

364
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ МЕТЕОРОВ
ХИ
Последний контроль при больших значениях а не может давать
хорошего согласия.
VII	I	е°	9,982	XIII	t-L0	= — 43°, 4	lib -	9-697
	0 — =	=102°,0		sin (A—Lo)	9,837n		R 2a
	sin (0 —  Поправка=	тс) 9,978 = +0°,9		cos (A—Lo) COS fJ	9,861 9, 988	Числ. 9,7(Д Знам. 9,988	
	Ц	,= 121,0	sin g	= sin N sin у	9,362/г		7 9,856
				sin N cos у cos N sin y cos y sin N N	9,825?! 9,849 9,503/г 9,976n 9,849 = 45°,0		Vo 1-475
XI Vb	V. 72 V‘b WQ 2 cos N	1,475 XV V sin TV 3,238	sin n 2,950	n 3,094	TV-tz 0,150 sin (TV — n)		1.468 IX 9,648 = 26°.4 = 18,6 9,504	cos 8' cos (A' cos p' sin (A' A	~ Lo) ~~ Lo) sin + cos 8' '-i0	9,952 9,624 9. [61 9, 995 = -25°,2
	^2 + V- 2FF0 cos zV U*	3,418 3,244 3,641	V — sin n "o	9, 504		A' 3'	= 95 ,8 = -8 ,3
coss 9,963	III	9,593
sin s 9,600	IV	9,124»
cos A' 9,005	cos Dcos A	9,000/г
cos 3' 9,995	cos D sin A	9,983
sin A' 9,998	sin D	9,413
sin jJ' 9,161n	cos D	9,985
I 9,956	A=-	95°, 9
II 8,761	D=	+ 15,0
Итак, координаты радианта Орионид получаются для 24,05 октября
1950 Вс. вр. Л19б0 = 95°,9, L)1950 = + 15°,0. Совершенно тем же путём для
Акварид было найдено: 8,03 мая 1950 Вс. вр. Л19б0 = 338°, 1, L1950 = 4- 0э, 1.
Эти результаты, в частности для Орионид, не могут претендовать на
большую точность, так как расстояния наблюдаемых с Земли метеоров
от орбиты кометы довольно значительны и элементу: орбит этих метеоров
остаются несколько неопределёнными.

ТАБЛИЦЫ
(I—XXV)



ОПИСАНИЕ ТАБЛИЦ
Таблица I даёт число дней, протекших от начала юлианского периода,
т. е. от 1 января 4713 г. до н._ э.; с её помощью можно выразить боль-
шие промежутки времени в сутках. Таблица построена так, что полу-
чение юлианской даты для XX века достигается сложением чисел второй
и третьей части таблицы. Для других столетий необходимо алгебраически
прибавить числа первой части таблицы. Юлианские сутки в согласии
с прежним астрономическим счётом времени начинаются в полдень, по-
этому для дат после 1 января 1925 г. юлианская дата будет начинаться
в 12* по всемирному времени соответствующего календарного числа.
Примеры:
11 мая—1188 г. (юлиан. кал.)		28 февраля 1900 г. (григ. кал.)	1 июня 1946 г. (григ. кал.)
Часть I	- 1132262	—	—
Часть II	2419403	2415020	2431821
Часть III	131	59	152
I. D.	1287272	2415079	2431973
Таблица II служит для превращения часов, минут и секунд в доли
суток. Она пригодна и для обратного перехода, который встречается
гораздо реже. Употребление этой таблицы достаточно просто.
Таблица III даёт возможность превращать десятичные доли градуса
в минуты и секунды или обратно. Следует заметить, что если не
требуется большой точности (например, если вычисление ведётся до
целых секунд или до десятых долей минуты), расчёт может быть сделан
в уме столь же быстро, или быстрее, чем при пользовании таблицей.
Таблица IV позволяет обращать градусы и минуты в секунды.
Обратный переход может понадобиться, например, при вычислении
эксцентрической аномалии по таблицам с делением на минуты и секунды.
Таблица V предназначена для вычисления поправок за параллакс
Для координат Солнца или для нахождения параллактических множи-
телей. С её помощью момент наблюдения, выраженный во всемирном вре-
мени, легко превращается в интервал звёздного времени As.
Таблица VI даёт натуральные значения синусов и косинусов углов,
выраженных во времени, и служит той же цели, что и таблица V.
Таблица VII содержит координаты обсерваторий и вспомогательные
величины для вычисления параллакса. При помощи этих трёх таблиц
вычислены, например, поправки координат Солнца в § 45. Значение
“враллакса Солнца принято, как обычно, р0 = 8,/,8О.	i
Таблица VIII даёт среднее наклонение эклиптики к экватору, а
вкже эклиптикальные и экваториальные элементы прецессии. Мож-
0 Указать на пример в § 20, вычисленный при помощи аналогичной

368
ОПИСАНИЕ ТАБЛИЦ
таблице»! М. Ф. Субботина. В качестве другого примера перенесём
динаты кометы
= 3z*5’B50®,64	о'1946,„ = + 8’3'0",6
КОор,
к равноденствию 1950,0:
/71 = 3X073 77 = 1 ,336 /7 = 20X04 1 прибл.	X — X — t = f0 t ~ 2 прибл.	1948,(1 2	= 3/'5’ИГ>7« 5,= - 8°3',5	
			1 прибл.	2 прибл.
п*	(>,1258 sin jc	9,8602	0,1258 9,86 )4	п"	1,3019 COS а	9,8382		1,3019 9,8379
9,1505 11= + 0\137 777 =	3 ,073 рга= + 3,210 а1950»0 ==	9,1510 + 0X137 3,073 + 3,210 37/6шЗХ48	°1948»0	ргъ = + 13", 80 = + 8’3'55",8.	+13",79
В данном случае было бы вполне достаточно одного приближения.
Таблица IX позволяет сразу найти годовую прецессию по прямому
в обхождению и склонению и может служить для переноса средних ко-
ординат на один год вперёд или назад, как это часто требуется, если
наблюдения объекта падают по обе стороны от начала координатного
года. Кроме того, она может употребляться для приближённых расчётов
на более продолжительные промежутки времени. Рекомендуется обра-
щать внимание на знак прецессии по склонению.
Таблица X даёт коэффициенты для переноса прямоугольных коорди-
нат или векторных элементов к нормальному равноденствию 1950,0,.или
от этого равноденствия к одной из эпох в интервале между 1920 и
1960 гг. Вычисления производятся по формулам § 20 столь просто, что
иллюстраций не требуют.
Таблица XI служит для отыскания приближённых значений эксцен-
трической аномалии при решении уравнения Кеплера. При интерполи-
ровании но эксцентриситету заметное влияние окажут вторые и высшие
разности, которые можно учесть грубо приближённо (или вовсе не
учитывать), имея в виду, что результат достаточно иметь с ограничен-
ной точностью; см. § 21.
Таблица XII содержит значения М по аргументу c=tg-^-v в пара-
болическом движении; кроме того, в ней даны для облегчения интерпо-
ляция первая и половина второй производной от М по с. Третья произ-
водная постоянна и в первой части таблицы, где интервал с равен
0,001 (до а=1,5), её влияние нечувствительно. Начиная от g = 1,5, интер-
вал взят в 0,01 (подобные значения с реже встретятся на практике);
здесь третья производная составляет 16 единиц последнего знака^М-
В этой части таблицы f" подправлено таким образом, чтобы прибли-
жённо учесть влияние третьей производной; таким образом, в таблице
даётся 4" (/") = 4" (f" + 4 • 4- /"'4 = 4-/" + (ибо — п2 аппроксимирУеТ
2	2 X	() о /	2	X 6
функцию /г3 в интервале от 0 до 1^. Остаточная погрешность вычисле-
ния при этом не превысит 0,3 единицы последнего знака, слеД°^а'
телыю, не окажет влияния на результат. Если нужно найти М- °е'
рётся формула
М = Мв + п р' + п (у/')] ,

ОПИСАНИЕ ТАБЛИЦ
369
где Мо соответствует ближайшему меньшему табличному значению %,
а п есть а—с0, выраженное в долях табличного интервала. Обратная
задача решается путём последовательных приближений. Берём сначала
М — Мо
п =-----—- :
во втором, и дальнейших приближениях полагаем
М-Мо______________________________
/,+reGr) ’
где п в правой части подставляется из предыдущего приближения.				
Очевидно, что чения п. Пример: М MQ	получение а сводится к отысканию окончательного зна- 8657,4П66 8642,86788	6,66			
M-MQ	14,54378	/' 37,28760	2 (Г)	5478
	0,39004	Г +	(Г)	37,30897	
п2 П3 а	0,3898199 0,3898201 6,663898201	/' + П2|(Г)	37,30895	
Мы видим, что при точности до восьмого знака (большая точность
едва ли потребуется) можно ограничиться двумя приближениями.
Если вычисления ведутся с шестью знаками, в первой части таб-
лицы достаточна простая прямая или обратная интерполяция.
Все табличные значения были вычислены заново с 12 знаками.
Таблица XIII содержит v по аргументу М или lg М. Так как ло-
гарифмические вычисления орбит и эфемерид, для которых предназна-
чена эта таблица, целесообразно вести только при небольшом числе
знаков, точность табличных данных ограничена.
Таблицы XIV, XV, XVI и XVII служат для определения истинной
аномалии и радиуса-вектора для орбит, близких к параболе, или же,
наоборот, для нахождения времени прохождения через перигелий. Их
употребление изложено вместе с призерами в § 23.
Таблицы XVIII и XIX предназначены для отыскания отношения
площади сектора эллиптической или гиперболической орбиты к пло-
щади треугольника по способу Гаусса (см. §§ 41 и 45).
Таблица XX употребляется при решении уравнения Эйлера для
параболической орбиты, если вычисления ведутся с арифмометром. Она
Даёт значения тдл по аргументу т].
Таблица XXI служит той же цели при вычислении с логарифмами.
В ней даются значения 1g [х с пятью знаками (при вычислении орбиты
с шестью знаками предпочтительнее пользоваться арифмометром).
Таблица XXII содержит как функцию г2. Такой переход, или
аналогичный — от г к г"8^2, встречается в ряде вопросов определения
орбит (решение уравнений Лагранжа при вычислении орбиты по трём наб-
людениям, отыскание путём проб значений геоцентрических расстояний
А» Д. Дубяго

370
ОПИСАНИЕ ТАБЛИЦ
при вычислении параболической орбиты, вычисление составляющих
возмущающих сил, переход от а к а“3/з или от q к д“3/2 и т. д.). При
увеличении аргумента против табличного значения в 10 раз значения
функции должны быть умножены на 10“8^2 или на 0,031622777, при уве-
личении в 100 раз — на 10“3 = 0,001; если аргумент уменьшается
в 10(100) раз, функция увеличивается в Ю8^2 = 31,622777 (103= 1000) раз
и т. д. Следовательно, пользуясь данной таблицей, можно найти г~з
для любого возможного случая.
Пример. Для кометы 1880 I дано д= 0,00548881.
Для аргумента в 1000 раз большего находим табличное число
0,0777647. Умножая на 31622,777, получаем д“3^2 = 2459,136. Исходное q дано
с шестью значащими цифрами, поэтому в результате третий знак после
запятой ненадёжен на несколько единиц.
Таблица XXIII применяется при вычислении возмущений по спо-
собу Бонда-Энке. В ней даются значения функции / по аргументу q
с такой точностью, которая достаточна для большинства практических
целей. Возмущения по способу Бонда-Энке, как правило, вычисляются
для не слишком продолжительных промежутков времени и не успевают
нарастать до крупных величин, поэтому необходимые значения q едва ли
выйдут за пределы аргумента таблицы.
Таблица XXIV содержит значения математических и астрономи-
ческих постоянных, встречающихся в вопросах определения орбит.
Таблица XXV даёт принятые в настоящее время в «Астрономиче-
ском ежегоднике СССР» массы больших планет и зависящие от них
множители, входящие в вычисления возмущений прямоугольных коор-
динат и элементов орбиты.

Таблица I
Число дней от начала юлианского периода
——'	 Год			Год	1 | Год			Месяц	Про- стой год	Висо- кос- ный год	j Дни) !	
-—2000		—1424462	1900	2415020	1950	2433282	Январь	0	1	0
—1900	о	—1387937	1901	2415385	1951	2433647		10	11	10
—1800	S	—1351412	1902	2415750	1952*	2434013		20	21	20
—1700		—1314887	1903	2416115	1953	2434378		30	31	30
— 1600	я о	—1278362	1904*	2416481	1954	2434743	Февраль	9	10	40
—1500	S	—1241837	1905	2416846	1955	2435108		19	20	50
—1400	о о	—1205312	1906	2417211	1956*	2435474	Март	1	1	60
—1300	ф	—1168787	1907	2417576	1957	2435839		11	11	70
— 1200	я	—1132262	1908*	2417942	1958	2436204		21	21	80
— 1100	ф	—1095737	1909	2418307	1959	2436569	Апрель	31	31	90
— 1000	и	—1059212	1910	2418672	I960*	2436935		10	10	100
— 900	о ф	—1022687	1911	2419037	1961	2437300		20	20	110
— 800	я S	— 986162	1912*	2419403	1962	2437665	Май	30	30	120
— 700	S	— 949637	1913	2419768	1963	2438030		10	10	130
— 600	И	— 913112	1914	2420133	1964*	2438396		20	20	140
— 500	о Он	— 876587	1915	2420498	1965	2438761	Июнь	30	30	150
— 400		— 840062	1916*	2420864	1966	2439126		9	9	160
— 300		— 803537	1917	2421229	1967	2439491		19	19	170
— 200		— 767012	1918	2421594	1968*	2439857	Июль	29	29	180
— 100		— 730487	1919	2421959	1969	2440222		9	9	190
0|		— 693962	1920*	2422325	1970	2440587		19	19	200
100		— 657137	1921	2422690	1971	2440952	Август	29	29	210
200		— 620912	1922	2423055	1972*	2441318		8	8	220
300		— 584387	1923	2423420	1973	2441683		18	18	230
400		— 5478’62	1924*	2423786	1974	2442048	Сентябрь	28	28	240
500	,д	— 511337	1925	2424151	1975	2442413		7	7	250
600	Он	— 474812	1926	2424516	1976*	2442779		17	17	260
700	сб W	— 438287	1927	2424881	1977	2443144	Октябрь	27	27	270
800	Я ф	— 411762	1928*	2425247	1978	2443509		7	7	280
900	я сб	— 365237	1929	2425612	1979	2443874		17	17	290
1000	Я	— 328712	1930	2425977	1980*	2444240	Ноябрь	27	27	300
1100	5S	— 292187	1931	2426342,	1981	2444605		6	6	310
1200	S к	— 255662	1932*	2426708	1982	2444970		16	16	320
1300	о	— 219137	1933	2427073	1983	2445335	Декабрь	26	26	330
1400	сб	— 182612	1934	2427438	1984*	2445701		6	6	340
1500	Я Я	— 146087	1935	2427803	1985	2446066		16	16	350
1600	2	— 109562	1936*	2428169	1986	2446431		26	26	360
1700		— 73037	1937	2428534	1937	2446796				
1800		— 36512	1938	2428899	1988*	2447162				
1900		+	13	1939	2429264	1989	2447527				
1500		— 146097	1940*	2429630	1990	2447892				
1600		— 109572	1941	2429995	1991	2448257				
1700	К ” Q.	— 73048	1942	2430360	1992*	2448623				
1800	и S	— 36524	1943	2430725	1993	2448988				
1900	g я	0	1944*	2431091	1994	2449353				
2000	oLg	+ 36525	1945	2431456	1995	2449718				
2100		4- 73049	1946	2431821	1996*	2450084				
2200	Я *	+ Ю9573	1947	2432186	1997	2450449				
2300	&	+ 146097	1948*	2432552	1998	2450814				
2400		+ 182622	1949	2432917	1999	2451179				
iQn?HcOjKOCHIie годы обозначены ♦.					В григорианском календаре годы 1700, 1800.					
		2100,	2200. 2300 не являются			високосными.					
24*

Таблица II
Обращение часов, минут и секунд в доли суток
	0*	1Л	2»	зл	4Л	5*		
СЛСЛФСЛ СЛСЛСЛСЛСЛ СЛ^фьфь^	ф» ф> ^WWWW СО W СО СО СО СОЮЮЮЮ Ю Ю Ю Ю Ю ЮИНЧи ННЧНМ ь—1
ФОО^Ф СЛ COLO ф ФООКЮ) СЛ^СОЮ^ ФФОО^ЗФ СЛ^СОЮМ ф Ф00«Ф СЛ	СО Ю I—1 ФФООМФ СП rfbWto ФФО0<1Ф СП rfk СОЮ
ОШ
1
0?00000	0^04167	0^08333	0^12500	0^16667	0^20833
00069	04236	08403	12569	16736	20903
00139	04306	08472	12639	16806	20972
00208	04375	08542	12708	16875	21042
00278	04444	08611	12778	16944	21111
0,00347	0,04514	0,08681	0,12847	0,17014	0,21181
00417	04583	08750	12917	17083	21250
00486	04653	08819	12986	17153	21319
00556	04722	08889	13056	17222	21389
00625	04792	08958	13125	17292	21458
0,00694	0,04861	0,09028	0,13194	0,17361	0,21528
00764	04931	09097	13264	17431	21597
00833	05000	09167	13333	17500	21667
00903	05069	09236	13403	17569	21736
00972	05139	09306	13472	17639	21806
0,01042	0,05208	0,09375	0,13542	0,17708	0,21875
01111	05278	09444	13611	17778	21944
01181	05347	09514	13681	17847	22014
01250	05417	09583	13750	17917	22083
01319	05486	09653	13819	17986	22153
0,01389	0,05556	0,09722	0,13889	0,18056	0,22222
01458	05625	09792	13958	18125	22292
01528	05694	09861	14028	18194	22361
01597	05764	09931	14097	18264	22431
01667	05833	10000	14167	18333	22500
0,01736	0,05903	0,10069	0,14236	0,18403	0,22569
01806	05972	10139	14306	18472	22639
01875	06042	10208	14375	18542	22708
01944	06111	10278	14444	18611	22778
02014	06181	10347	14514	18681	22847
0,02083	0,06250	0,10417	0,14583	0,18750	0,22917
02153	06319	10486	14653	18819	22986
02222	06389	10556	14722	18889	23056
02292	06458	1062 5	14792	18958	23125
02361	06528	10694	14861	19028	23194
0,02431	0,06597	0,10764	0,14931	0,19097	0,23264
02500	06667	10833	15000	19167	23333
02569	06736	10903	15069	19236	23403
02639	06806	10972	15139	19306	23472
02708	06875	11042	15208	19375	23542
0,02778	0,06944	0,11111	0,15278	0,19444	0,23611
02847	07014	11181	15347	19514	23681
02917	07083	11250	15417	19583	23750
02986	07153	11319	15486	19653	23819
03056	07222	11389	15556	19722	23889
0,03125	0,07292	0,11458	0,15625	0,19792	0,23958
03194	07361	11528	15694	19861	24028
03264	07431	11597	15764	19931	24097
03333	07500	11667	15833	20000	24167
03403	07569	11736	15903	20069	24236
0,03472	0,07639	0,11806	0,15972	0,20139	0,24306
03542	07708	11875	16042	20208	24375
03611	07778	11944	16111	20278	24444
03681	07847	12014	16181	20347	24514
03750	07917	12083	16250	20417	24583
0,03819	0,07986	0,12153	0,16319	0,20486	0,24653
03889	08056	12222	16389	20556	24722
03958	08125	12292	16458	20625	24792
04028	08194	12361	16528	20694	24861
0,04097	0,08264	0,12431	0,16597	0,20764	0,24931
Ов
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
°?00000
00001
00002
00003
00007
00008
00009
00010
0,00012
00013
00014
00015
00016
0,00017
00019
00020
00021
00022
0,00023
00024
00025
00027
00028
0,00029
00030
00031
00032
00034
0,00035
00036
00037
00038
00039
0,00041
00042
00043
00044
00045
0,00046
00047
00049
00050
00051
0,00052
00053
00054
0005g
00057
0,00053
00059
ОООбО
00061
00062
0,00064
00065
00066
оО°б7
0,0006»

Таблица II
П родолмсеиие
Обращение часов, минут и секунд в доли суток
	6»	7Л	8*	9*	10»	11*		1
0™	0,25000	0^29167	0,33333	О6? 37500	0^41667	0^45833	0«	0^00000
1	2506 9	29236	33403	37569	41736	45903	1	00001
2	25139	29306	33472	37639	41806	45972	2	00002
3	25208	29375	33542	37708	41875	46042	3	00003
4	25278	29444	33611	37778	41944	46111	4	00005
5	0,25347	0,29514	0,33681	0,37847	0,42014	0,46181	5	0,00006
6	25417	29583	33750	37917	42083	46250	6	00007
у	25486	29653	33819	37986	42153	46319	7	00008
8	25556	29722	33889	38056	42222	46389	8	00009
9	25625	29792	33958	38125	42292	46458	9	00010
10	0,25694	0,29861	0,34028	0,38194	0,42361	0,46528	10	0,00012
11	25764	29931	34097	38264	42431	46597	11	00013
12	25833	30000	34167	38333	42500	46667	12	00014
13	25903	30069	34236	38403	42569	46736	13	00015
14	25972	30139	34306	38472	42639	46806	14	00016
15	0,26042	0,30208	0,34375	0,38542	0,42708	0,46875	15	0,00017
16	26111	30278	34444	38611	42778	46944	16	00019
17	26181	30347	34514	38681	42847	47014	17	00020
18	26250	30417	34583	38750	42917	47083	18	00021
19	26319	30486	34653	38819	42986	47153	19	00022
20	0,26389	0,30556	0,34722	0,38889	0,43056	0,47222	20	0,00023
21	26458	30625	34792	38958	43125	47292	21	00024
22	26528	30694	34861	39028	43194	47361	22	00025
23	26597	30764	34931	39097	43264	47431	23	00027
24	26667	30833	35000	39167	43333	47500	24	00028
25	0,26736	0,30903	0 ,35069	0,39236	0,43403	0,47569	25	0,00029
26	26806	30972	35139	39306	43472	47639	26	00030
27	26875	31042	35208	39375	43542	47708	27	00031
28	26944	31111	35278	39444	43611	47778	28	00032
29	27014	31181	35347	39514	43681	47847	29	00034
30	0,27083	0,31250	0,35417	0,39583	0,43750	0,47917	30	0,00035
31	27153	31319	35486	39653	43819	47986	31	00036
32	27222	31389	35556	39722	43889	48056	32	00037
33	27292	31458	35625	39792	43958	48125	33	00038
34	27361	31528	35694	39861	44028	48194	34	00039
35	0,27431	0,31597	0,35764	0,39931	0,44097	0,48264	35	0,00041
36	27500	31667	35833	40000	44167	48333	36	00042
37	27569	31736	35903	40069	44236	48403	37	00043
38	27639	31806	35972	40139	44306	48472	38	00044
39	27708	31875	36042	40208	44375	48542	39	00045
40	0,27778	0,31944	0,36111	0,40278	0,44444	0,48611	40	0,00046
41	27847	32014	36181	40347	44514	48681	41	00047
42	27917	32083	36250	40417	44583	48750	42	00049
43	27986	32153	36319	40486	44653	48819	43	00050
44	28056	32222	36389	40556	44722	48889	44	00051
45	0,28125	0,32292	0,36458	0,40625	0,44792	0,48958	45	0,00052
46	28194	32361	36528	40694	44861	49028	46	00053
47	28264	32431	36597	40764	44931	49097	47	00054
48	28333	32500	36667	40833	45000	49167	48	00056
49	28403	32569	36736	40903	45069	49236	49	00057
50	0,28472	0,32639	0,36806	0,40972	0,45139	0,49306	50	0,00058
51	28542	32708	36875	41042	45208	49375	51	00059
52	28611	32778	36944	41111	45278	49444	52	00060
53	28681	32847	37014	41181	45347	49514	53	00061
54	28750	32917	37083	41250	45417	49583	54	00062
55	0,28819	0,32986	0,37153	0,41319	0,45486	0,49653	55	0,90064
56	28889	33056	37222	41389	45556	49722	56	00065
57	28958	33125	37292	41458	45625	49792	57	00066
58	29028	33194	37361	41528	45694	49861	58	00067
59	0,29097	0,33264	0,37431	0,41597	0,45764	0.49931	59	0,00068

ООООООООООО w W W vC W w W ^0 W К ю to [<; ю ю to Р р А	_ з Q о О о о О о о С О СО 4J ФО1	w Ь5 1- О О X <1'0 JI	vj к» г- ОФХ4ФФХХЬЗ.-ОФХ4'ФХ4>Х1<ХОФХ4ФФ||!*С0ЬЗ,-О	Доли градуса
to ЬС № ЬЗ IO to Ю ЬС W to W № ti' IO to Н	Н Н н-*	Н R	- R Р Ф X X 4 4 ф X X X X X S3 X — О О О СОХ 4 0 О осл й> W W to 1О r-О' О' О О х Ч] ч] О ОО О' W W to Р R о о ю 4> со ю й> Н* СО to hp>'r— ОО ЬЭЙ>:-^СО Ю :— СО Ю й> н» СО tO 4> W № i-л СО Ю 4> СО Ю Н* W |₽'ХЬЭФО£*ХЬЗФОХХ1'-ЗФОХХЬЭфОХХ1ч)ФОХХЮФОХХЬЭФОй>ХЬ5ФО£>ХЬЗФС>||>ХЬЭФО	Минуты и секун- ды
ООООООООООО 41	~	~	~	ч.	ч.	Ч.	ч.	- 0 Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф X X X X X X X X X X 4 4 4 4	4 ч 4 4 4 Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф X X X X X X X X X X О X 4J О О rf> X to — О О X 4J O сл rf> W to R О Ф Х ч] О о и> W to г; ф GO ЧТО Ol W to Р О О X ч] О О й> X to Р О	Доли градуса
СЛФ\СЛС;ЛО^СЛФЛФДСДСЛСПСЛСЛСЛСПСД|₽'^>Й>-Й>1₽'. h₽'rf>»₽*f₽>rf>rf>4>>p>^rf>rf>>₽*COCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCO Ф X X 4 4J о X X |j> X to X Н Г- О ф ф х X 4J 0 '0 0 X О X X to to R О О Ф ф X ч] ч] О О О' #> й> X X to R R Ф О to rf> Р- СО Ю н* со to О -» X Ю	СО ЬО Р“ СО ЬО й> Н* СО ЬЭ rf> t-i СО to rf> Н* СО to £> р“ СО Ю й> р“ со XX[COON>XtOOORl'XtOOC£'XtOXO£'XtOOOi^XtOOOrOXtOOO£'XtOOO#'XtOOO’£'XtOOO	Минуты и секун- ды
070000 0Q01 0002 0003 0004 0,0005 0006 0007 0008 0009 0,0010 ООН 0012 0013 0014 0,0015 0016 0017 0018 0019 0,0020 0021 0022 0023 0024 0,0025 0026 0027 0028 0029 0,0030 0031 0032 0033 0034 0,0035 0036 0037 0038 0039 0,0040 0041 0042 0043 0044 0,0045 0046 0047 0048 0,0049	Доли градуса
4 4	Ф	Ф	Ф	Х X X	X	X	X	X	X	К)	X)	R X	Н	О	О	ф	О	-Ф	ф даХ	4 4	4 Ф	Ф	Ф Х	X	X	#>	X	X	X	X	ЬЭ	КЗ	1чЗ	R	R	X	О	Ф	С' О> to	ф	X	tc	X 4> и-	4	4>	о	ф	X	Ф X	tc	X СЛ	—	X	С'	4	X	О Ф IC	ф х	№ X	X	R 4	О	X	Ф	ф	to	X	С^	И	X	h>	О	4	X	О' х х	to	Ф	о	х х ф	ф	о	х	х	ф	ф ф	х	х ьз	ф	о х	х	и	ф	с х х	х ф	ф х	х	to ф	с	х	х	ьз	Ф	о	х	х	to	ф	с	х	х	to	ф	о	Секунды
О О О О О О О О 0.0 о V. Ч. Ч. ч. Ч. Ч. Ч. ч. Ч. Ч. 4*0 ОООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООО оооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооо ф Ф ф Ф ф> ф ф ф ф ф X X X X X X X X X X 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф X X XXX X X X X X ф X 4 Ф X X W Ю — 0 ф> X 4 Ф X X X Ю — О Ф Х 4 Ф O' X СО Ф .— 0 Ф X 4 Ф> О' X W Ю г- Q ф X 4 Ф O' X СО tO Н Ф	Доли градуса
СОСЛСОСАЭС0САЗСОС«СССОСФСОСОСОСОСХ>К)К>ЬфЬЭ1ФЬО1ФЬ21<>ЬФьЭ1ФК>1ФЬО1Ф1ФЬЭЬФК>ЬОЬФЬЭЬФЬОЬФЬФЬОРк*-;‘1-ЛР>>Ь^Н‘‘ О' X 4>	X1	X	X	X to	(<;	Ф	Г-	R	X	о	о	ф	Ф ф	X	X	X 4	4 4	СП	o	x X	X.	rX X	X	X X	X	to	to X	г-	О	О	ф' Ф	Ф	Ф X	X	X О to Ф	X	t o	x	R 4	О	X	X	Ф	Ф	to	X	X	X	X	О 4	X О	Ф	1О	ф ол	to	X X	R	4	О	Ф	X Ф	'ф	to	X	X	R X	О 4	X	О и> X Ю	О	0	х	X	(О Ф	о	х	ю	СП	о	й>	х	Ю Ф	О	С'	X Ю	Ф О	X	X	Ю Ф	С	»f> X	Ю	Ф О	X	to Ф	О	X	to	Ф О	X to	Ф	о	Секунды
о?ооооо 00001 00002 00003 00004 0,00005 00006 00007 00008 00009	Доли градуса
07000 030 072 108 144 0,180 216 252 288 324	Секунды
Таблица III
Обращение десятичных долей градуса в минуты и секунды и обратно

Табл и ц а IV
Обращение градусов и минут в секунды и обратно
Гра- дусы	Секунды	Г ра- дусы	Секунды	Гра- дусы	Секунды	Мину- ты	Се- кунды
0°	0"	60^	216000*	120°	432000*	0'	0°
1	3600	61	219600	121	435600	1	60
2	7200	62	223200	122	439200	2	120
3	10800	63	226800	123	442800	3	180
4	14400	64	230400	124	446400	4	240
5	18000	65	234000	125	450000	5	300
6	21600	66	237600	126	453600	6	360
7	25200	67	241200	127	457200		420
8	28800	68	244800	128	460800	8	480
9	32400	69	248400	129	464400	9	540
10	36000	70	252000	130	468000	Ю	600
11	39600	71	255600	131	471600	11	660
12	43200	72	259200	132	475200	12	720
13	46800	73	262800	133	478800	13	780
14	50400	74	266400	134	482400	14	840
15	54000	75	270000	135	486000	15	900
16	57600	76	273600	136	489600	16	960
17	61200	77	277200	137	493200	17	1020
18	64800	78	280800	138	496800	18	1080
19	68400	79	284400	139	500400	19	1140
20	72000 '	80	288000	140	504000	20	1200
21	75600	81	291600	141	507600	21	1260
22	79200	82	295200	142	511200	22	1320
23	82800	83	298800	143	514800	23	1380
24	86400	84	302400	144	518400	24	1440
25	90000	1	85	306000	145	522000	25	1500
26	93600	86	309600	146	525600	26	1560
27	97200	87	313200	147	529200	27	1620
28	100800	88	316800	148	532800	28	1680
29	104400	89	320400	149	536400	29	1740
30	108000.	90	324000	150	540000	30	1800
31	111600	91	327600	151	543600	31	1860
32	115200	92	331200	152	547200	32	1920
33	118800	93	334800	153	550800	33	1980
34	122400	94	338Ю0	154	554400	34	2040
35	126000	95	342000	155	558000	35	2Ю0
36	129600	96	345600	156	561600	36	2160
37	133200	97	349200	157	565200	37	2220
38	136800	98	352800	158	568800	38	2280
39	140400	99	356400	159	572400	39	2340
40	144000	100	360000	160	576000	40	2400
41	147600	101	363600	161	579600	41	2460
42	151200	102	367200	162	583200	42	2520
43	154800	103	370800	163	586800	43	2580
44	158400	104	374400	164	590400	44	2640
45	162000	105	378000	165	594000	45	2700
46	165600	106	381600	166	597600	4б	2760
47	169200	107	385200	167	601200	47	2820
48	172800	108	388800	168	604800	48	2880
49	176400	109	392400	169	608400	49	2940
50	180000	110	396000	170	612000	50	3000
51	183600	111	399600	171	615600	51	3060
52	187200	112	403200	172	619200	52	3120
53	190800	113	406800	173	622800	53	3180
54	194400	114	410400	174	626400	54	3240
55	198000	115	414000	175	630000	55	3300
5б	201600	116	417600	176	633600	56	3360
57	205200	117	421200	177	637200	57	3420
58	208800	118	424800	178	640800	58	3480
59	212400	119	428400	179	644400	59	3540
60	216000 !	'	120	432000	180	648000	60 |	3600

Таблица IV
П родолжение
Гра- дусы	Секунды	Гра- дусы	Секунды	Гра- дусы	Секунды	Мину- ты	Се- кунды
180°	648000"	240J	864000"	300°	1080000"	0'	0*
181	651600	241	867600	301	1083600	1	60
182	655200	242	8/1200	302	1087200	2	120
183	658800	243	874800	303	1090800	3	180
184	662400	244	878400	304	1094400	4	240
185	666000	245	882000	305	1098000	5	300
186	669600	246	885600	306	1101600	6	360
187	673200	247	889200	307	1105200	7	420
188	676800	248	892800	308	1108800	8	480
189	680400	249	896400	309	1112400	9	540
190	684000	250	900000	310	1116000	10	600
191	687600	251	903600	311	1119600	11	660
192	691200	252	907200	312	1123200	12	720
193	694800	253	910800	313	1126800	13	780
194	698400	254	914400	314	1130400	14	840
195	702000	255	918000	315	1134000	15	900
196	705600	256	921600	316	1137600	16	960
197	709200	257	925200	317	1141200	17	1020
198	712800	258	928800	318	1144800	18	1080
199	716400	259	932400	319	1148400	19	1140
200	720000	260	936000	320	1152000	20	1200
201	723600	261	939600	321	1155600	21	1260
202	727200	262	943200	322	1159200	22	1320
203	730800	263	946800	323	1162800	23	1380
204	734400	264	950400	324	1166400	24	1440
205	738000	265	954000	325	1170000	25	1500
206	741600	266	957600	326	1173600	26	1560
207	745200	267	961200	327	1177200	27	1620
208	748800	268	964800	328	1180800	28	1680
209	752400	269	968400	329	1184400	29	1740
210	756000	270	972000	330	1188000	30	1800
211	759600	271	975600	331	1191600	31	1860
212	763200	272	979200	332	1195200	32	1920
213	766800	273	982800	333	1198800	33	±980
214	770400	274	986400	334	1202400	34	2040
215	774000	275	990000	335	1206000	35	2100
216	777600	276	993600	336	1209600	36	2160
217	781200	277	997200	337	1213200	37	2220
218	784800	278	1000800	338	1216800	38	2280
219	788400	279	1004400	339	1220400	39	2340
220	792000	280	1008000	340	1224000	40	2400
221	795600	281	1011600	341	1227600	41	2460
222	799200	282	1015200	342	1231200	42	2520
223	802800	283	1018800	343	1234800	43	2580
224	806400	284	1022400	344	1238400	44	2640
225	8Ю000	285	1026000	345	1242000	45	2700
226	813600	286	1029600	346	1245600	46	2760
227	817200	287	1033200	347	1249200	47	2820
228	820800	288	1036800	348	1252800	48	2880
229	824400	289	1040400	349	1256400	49	2940
230	828000	290	1041000	350	1260000	50	3000
231	831600	291	1047600	351	1263600	51	3060
232	835200	292	1051200	352	1267200	52	3120
233	838800	293	1054800	353	1270800	53	3180
234	842400	294	1058400	354	1274400	54	3240
235	846000 .	295	1062000	355	1278000	55	3300
236	849600	296	1065600	356	1281600	56	3360
237	853200	297	1069200	357	1285200	57	3420
238	856800	298	1072800	358	1288800	1	58	3480
239	860400	299	1076400	359	1292400 I	59	3540
240	864000	300	1080000	360	1296000	: i	;	60	3600

Таблица V
Обращение среднего солнечного времени в звёздное время
—											1
0 оо ’01 02 03 04 0,05 06 07 08 09 о,ю 11 12 13 14 0,15 16 17 18 19 0,20 21 22 23 24 0,25 26 27 28 29 0,30 31 32 33 34 0,35 36 37 38 39 0,40 41 42 43 44 0,45 46 47 48 49	0Л 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 Ю 10 Ю 10 11 И 11 11	ото 14,4 28,9 43,3 57,8 12,2 26,6 41,1 55,5 10,0 24,4 38,8 53,3 7,7 22,2 36,6 51,0 5,5 19,9 34,3 48,8 3,2 17,7 32,1 46,5 1,0 15,4 29,9 44,3 58,7 13,2 27,6 42,1 56,5 10,9 25,4 39,8 54,3 8,7 23,1 37,6 52,0 6,5 20,9 35,3 49,8 4,2 18,7 33,1 47,5	0 50 ’51 52 53 54 0,55 56 57 58 59 0,60 61 62 63 64 0,65 66 67 68 69 0,70 71 72 73 74 0,75 76 77 78 79 0,80 81 82 83 84 0,85 86 87 88 89 0,90 91 92 93 94 0,95 96 97 98 99	12/l 12 12 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 15 16 16 16 16 17 17 17 17 18 18 18 18 19 19 19 19 19 20 20 20 20 21 21 21 21 22 22 22 22 23 23 23 23	2™0 16,4 30,9 45,3 59,7 14,2 28,6 43,0 57,5 11,9 26,4 40,8 55,2 9,7 24,1 38,6 53,0 7,4 21,9 36,3 50,8 5,2 19,6 34,1 48,5 3,0 17,4 31,8 46,3 0,7 15,2 29,6 44,0 58,5 12,9 27,4 41,8 56,2 10,7 25,1 39,5 54,0 8,4 22,9 37,3 51,7 6,2 20,6 35,1 40,5	0*00000 ’00003 00010 00017 00024 00031 00038 00045 00051 00058 00065 00072 00079 00086 00093 00100 00107 00114 00121 00128 00135 00141 00148 00155 00162 00169 00176 00183 00190 00197 00204 00211 00218 00225 00232 00238 00245 00252 00259 00266 00273 00280 00287 00294 00301 00308 00315 00322 00328 00335	0™0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1, 1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1. 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 I	0d00328 ’00335 00342 00349 00356 00363 00370 00377 00384 00391 00398 00405 00412 00418 00425 00432 00439 00446 00453 00460 00467 00474 00481 00488 00495 00502 00509 00515 00522 00529 00536 00543 00550 00557 00564 00571 00578 00585 00592 00599 00605 00612 00619 00626 00633 00640 00647 00654 00661 00668	4m8 4,9 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 6,9 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9 8,0 8,1 8,2 8,3 8,4 8,5 8,6 8,7 8,8 8,9 9,0' 9,1 9,2 9,3 9,4 9,5 9,6	0dJ0668 ’00675 00682 00689 00696 00702 00709 00716 00723 00730 00737 00744 00751 00758 00765 00772 00779 00786 00792 00799 00806 00813 00820 00827 00834 00841 00848 00855 00862 00869 00876 00882 00889 00896 00903 00910 00917 00924 00931 00938 00945 00952 00959 00966 00973 00979 00986 00993 01000	9m7 9,8 9,9 10,0 10,1 10,2 10,3 10,4 10,5 10,6 10,7 10,8 10,9 11,0 11,1 11,2 11,3 11,4 11,5 11,6 11,7 11,8 11,9 12,0 12,1 12,2 12,3 12,4 12,5 12,6 12,7 12,8 12,9 13,0 13,1 13,2 13,3 13,4 13,5 13,6 13,7 13,8 13,9 14,0 14,1 14,2 14,3 14,4
В критических случаях брать верхнее значение

Таблица VI
Синусы и косинусы углов, выраженных во времени
т	0*		1Л		2Л		
	sin	cos	sin	cos	sin	cos	
0	0,000	1,000	0,259	0,966	0,500	0,866	60
1	004	1,000	26 3	965	504	864	59
2	009 ,	1,000	26 7	964	508	862	58
3	013	1 ,000	271	962	511	859	57
4	017	1,000	276	961	515	857	56
5	0,022	1,000	0,280	0,960	0,519	i 0,855	55
6	026	1,000	284	959	522	853	54
7	031	1,000	288	958	526	850	53
8	035	1 ,999	292	956	530	848	52
9	039	999	297	955	534	846	51
10	0.044	0,999	0,301	0,954	0,537	0,843	50
11	048	999	305	952	541	841	49
12	052	999	309	951	545	839	48
13	057	998	313	950	548	836	47
14	061	998	317	948	552	834	46
15	0,065	0,998	0,321	0,947	0,556	0 ,831	45
16	070	998	326	946	559	829	44
17	074	997	330	944	563	827	43
18	078	997	334	943	566	824	42
19	083	997	338	941	570	i л 822	41
20	0,087	0,996	0,342	0,940	0,574	0,819	40
21	092	996	346	938	577	817	39
22	096	995	350	937	581	814	38
23	100	995	З54	935	584	812	37
24	Л 105	995	358	934	588	809	36
25	0>109	0,994	0,362	0,932	0,591	0,806	35
26	ИЗ	994	367	930	595	804	34
27	118	993	371	929	598	801	33
28	122	993	375	927	602	799	32
29	126	992	379	926	605	л 796	31
30	0,131	O.99I	0,383	0,924	0,б09	0,793	30
31	135	991	387	922	612	791	29
32	139	990	391	921	616	788	28
33	143	990	395	919	619	785	27
34	148	9g9	399	917	623	Л 783	26
35	0,152	0,988	0,403	0,915	0,626	°. 780	25
36	156	988	407	914	629	777	24
37	161	987	411	912	633	774	23
38	165	986	415	910	636	772	22
39	169	986	419	908	639	769	21
40	0.174	0,985	0,423	0,906	0,643	0,766	20
41	178	984	427	904	646	763	19
42	।	182	983	431	903	649	760	18
43 1	187	982	434	901	653	758	17
44	191	982	л 438	899	656	755	16
45	0,195	0,981	0,442	0,897	0,659	0,752	15
46	199	980	446	895	663	749	14
47	204	979	450	893	666	746	13
48	208	978	454	891	669	743	12
49	212	977	458	889	672	740	11
50	0,216	0,976	0,462	0,887	0,676	0,737	10
51	221	975	466	885	679	734	9
52	225	974	469	883	682	731	8
53	229	973	473	881	685	728	7
54	233	972	477	879	688	725	6
55	0,238	0,971	0,481	0,877	0,692	0,722	5
56	242	970	485	875	695	719	4
57	246	969	489	872	698	716	3
58	250	968	492	870	701	713	2
59	255	967	496	868	704	710	1
60	0,259	0,966	0,500	0,866	0,707	0,707	0
	cos |	sin	cos |	sin	cos	sin	
							/П
	5J	Ь	4 Л		3Л		

Таблица VII
Координаты обсерваторий и постоянные для вычисления параллакса
Обсерватория	—L	я			Логарифмы		
					tg Г	^РоР0х х cos <p'	Ро Po sin
Абастумани, Грузинская ССР . .	2*51Тз	+ 41°45'	-319	-282	9,948	9,641	0,765
Ашхабад, Туркменская ССР . . .	3 53,5	+ 37 57	-336	-261	9,889	9,666	0,731
Вильнюс, Литовская ССР ....	1 41,0	+ 54 41	-247	-347	0,147	9,531	0,854
Иркутск, РСФСР		6 57,4	+ 52 17	- 262	-336	0,109	9,556	.0,841
Казань, РСФСР (Обе.им. Эи- гельгардта) 		3 15,3	+ 55 50	-240	-351	0,165	9,519	0,860
Казань, РСФСР (Унив. обе.) . .	3 16,5	+ 55 47	-240	-351	0,165	9,519	0,860
Каунас, Литовская ССР		1 35,5	+ 54 54	-246	-347	0,150	9,529	0,855
Киев, УССР		2 2,0	+ 50 27	—272	-327	0,080	9,573	0,830
Китаб, Узбекская ССР		4 27,5	+ 39 8	-331	-268	9,908	9,659	0,742
Ленинград, РСФСР (Унив. обе.)				2 1,2	+ 59 57	-214	-368	0,235	9,469	0,880
Львов, УССР (Унив. обе.) . . .	1 36,1	+ 49 50	-276	-324	0,071	9,579	0,826
Москва, СССР (ГАИТИ)		2 30,3	+ 55 45	-241	j	-351	0,164	9,520	0,860
Николаев, УССР		2 7.9	+ 46 58	-292	—310	0,027	9,603	0,806
Одесса, УССР		2 3,0	+ 46 29	-294	-308	0,019	9,607	0,803
Пулково, РСФСР		2 1,3	+ 59 46	-215	-367	0,232	9,471	0,879
Рига, Латвийская ССР ....	1 36 5	+ 56 5 7	-233	-357	0,184	9,506	0,866
Симеиз, РСФСР		2 16,0	+ 44 24	-305	-297	9,988	9,623	0,787
Сталинабад, Таджикская ССР . .	4 35,1	+ 38 34	-334	-265	9,899	9,662.	0,737
Тарту, Эстонская ССР		1 46,9	+ 58 23	-224	-362	0,208	9,489*	0,873
Ташкент, Узбекская ССР ....	4 37,2	+41 20	-321	-280	9,941	9,645	0,762
Томск, РСФСР		5 39,8	+ 56 28	-236	-354	0,176	9,512	0,864
Алжир, Алжир		0 12,1	+ 36 28	-342	-254	9,871	9,672	0,720
Афины, Греция 		1 34,9	+ 37 58	-337	-261	9,889	9,666	0,731
Белград, Югославия		1 22,1	+ 44 48	-303	-299	9,994	9,620	0,790

Таблица VII
Продолжение
Обсерватория	—L				1g г	Логарифмы ^РоРэх X COS Ъ'	Ро Pqsin ф
Берлин—Бабельсберг, Германия	0Л527,П4	+ 52°24'	I -261	-336	0,111	9,555	0,841
Будапешт, Венгрия		1 15, 9	4-47 30	!	-289	-312	0,035	9.599	0,810
Бухарест, Румыния		1 44, 4	4-44 25	-305	-297	9,988	9,623	0,787
Вашингтон, США		18 51, 7	4-38 55	-332	-267	9,904	9,660	0,740
Вена, Австрия		1 5,4	4-48 14 j	-285	-317	0,046	9,593	0,815
Вильямсбай, США	 Гамбург—Бергедорф, Герма-	18 5, 8	4-42 34	-315	-287	9,960	9,636	0,773
ния				0 41, 0	4-53 29	-254	-341	0,128	9,544	0,848
Гейдельберг, Германия		0 34, 9	4-49 24	-278	-322	0,064	9,523	0,823
Гринвич, Англия		0 0,0	4-51 29	-266	-332	0,096	9,564	0,836
Зоннеберг, Германия	 Иоганнесбург, Южная лфрн-	0 44, 8	4-50 23	-273	-327	0,079	9,574	0,829
на	•	•	1 52, 3	-26 11	-383	±187	9,689п	9,722	0,587п
Копенгаген, Дания		0 50, 3	4-55 41 -31 2 5	1	-241	-351	0,16’3	9,520	0,860
Кордоба, Аргентина ... ....	19 43, 2		-364	+ 221	9,783п	9,700	0,659п
Краков, Польша		1 10, 8	+ 50 4	1	— 274	-326	0,074	9,577	0,827
Ла-Плата, Аргентина		20 8,3	-34 55	1	— 350	+ 243	9,841п	9,683	0,700п
Милан, Италия		0 36, 8	+ 45 28	-300	-303	0,004	9,615	0,795
Моупт Вильсон, США		16 7,8	4 34 13 I	-353	-239	9,830	9,686	0,692
Моунт Гамильтон, США	 Мыс Доброй Надежды, Юж-	15 53, 4	+ 37 20 j	-340	-257	9,880	9,669	0,725
ная Африка		1 13, 9	-33 56	!	— 354	+ 237	9,825п	9,688	0,689п
Ницца, Франция		0 29, 2	+ 43 43	! + 42 30 I	— 309	-293	9,978	9,628	0,782
Ок-Ридж, США	  .	19 13, 8		— 315	-287	9,959	9,637	0,772
Париж, Франция		0	9,3	+ 48 50	।	-281	-320	0,055	9,588	0,819
Познань, Польша	 Рим, Кастель Гаыдрльфо, Ита-	1 7,5	452 24 i	— 261	-336	0,110	9,555	0,841
ЛИЯ		0 50, 6	±41 45	1	— 319	-283	9,948	9,642	0,766
Сант-Яго, Чили	 Скальнаге Плеео, Чехослова-	19 17, 2	-33 34 j	— 356	+ 235	9,819п	9,690	0,685п
кия 		1 20, 9	+ 49 12	—279	-321	0,061	9,585	0,822
Токио, Япония		9 18, 2	+ 35 40	— 347	-247	9,853	9,679	0,708
Турин, Италия . 			0 31, 1	+ 45 2	— 302	-300	9,998	9,618	0,792
Турку, Финляндия		1 28, 9	+ 60 27	— 211 -349	-370	0,244	9,462	0,882
Флагстэф, США		16 33, 3	+ 35 13		-245	9,846	9,681	0,703
Форт Девис, США		17 3, 9	+ 30 40	— 367	-216	9,770	9,70’3	0,650
Юкль, Бельгия		0 17.4	+ 50 48	—270	-329	0,086	9,570	0,832

Таблица VIII
Среднее наклонение эклиптики к экватору и прецессионные элементы
Тро- пиче- ский год	е	Р	п	II	т	п
1730	23О28'18",51	50''2231	074721	172°34'9	46''0432 3?06955	20*0596 1*33731
1760	28 13,83	2253	4720	172 40,4	0459	06973	0588	33725
1770	28 9,15	2276	4720	172 45,9	0487	06991	0579	33719
1780	28 4,47	2298	4719	172 51,4	0515	07010	0571	33714
1790	27 59,79	2320	4718	172 56,8	0543	07029	0562	33708
1800	23 27 55,10	50,2342	0,4718	173 2,3	46,0571 3,07047	20,0554 1,33703
1810	27 50,42	2364	4717	173 7,8	0599	07066	0545	33697
1820	27 45,73	2386	4716	173 13,3	0627	07085	0537	33691
1830	27 41,05	2409	4715	173 18,7	0655	07103	0528	33685
1840	27 36,36	2431	4715	173 24,2	1 0683	07122	0520	33680
1850	27 31,68	50,2454	0,4714	173 29,7	46,0711 3,07141	20,0511 1,33674
1860	23 27 27,00	2475	4713	173 35,2	0739	07159	0503	33669
1870	27 22,32	2497	4713	173 40,6	0766	07177	0494	33663
1880	27 17,63	2520	4712	173 46,1	0795	07196	0486	33657
1890	27 12,94	2541	4711	173 51,6	0822	07215	0477	33651
1900	23 27 8,26	50,2564	0,4711	173 57,1	46,0851 3,07234	20,0468	33646
1910	27 3,58	2586	4710	174 2,5	0879	07252	0460	33640
1920	26 58,89	2609	4709	174 8,0	0906	07271	0451	33634
1930	26 54,21	2631	4709	174 13,5	0934	07289	0443	33629
1940	26 49,52	2653	4708	174 19,0	0962	07308	0434	33623
1950	23 26 44,84	50,2675	0,4707	174 24,4	46,0990 3,07327	20,0426 1,33617
1960	26 40,15	2697	4707	174 29,9	1018	07345	0417	33611
1970	26 35,47	2719	4706	174 35,4	1046	07364	0409	33606
1930	26 30,78	2742	4705	174 40,9	1074	07383	0400	33500
1993	26 26,10	2764	4705	174 45,4	1101	07401	0392	33595
2000	26 21,41	50,2786	0,4704	174 51,8	46,1129 3,07420	20,0383 1,33589

Таблица IX
Годовая прецессия по прямому восхождению и склонению
+	—		Ра	‘										Ро		
* а		—40°	—30°	—20°	—10°	0°	4-10°	+ 20°	4-30°	4-40°			
0* от 0 10 0 20 0 30 0 40 0 50 1 0 1 10 1 20 1 30 1 40 1 50 2 0 2 10 2 20 2 30 2 40 2 50 3 0	12* О’” 11 50 11 40 11 30 11 20 11 10 11 0 10 50 10 40 10 30 10 20 10 10 10 0 9 50 9 40 9 30 9 20 9 10 9 0	3?07 3,02 2,98 2,93 2,88 2,83 2,78 2,74 2,69 2,64 2,60 2,56 2,51 2,47 2,43 2,39 2,35 2,32 2,28	3?07 3,04 3,01 2,97 2,9* 2,90 2,87 2,84 2,81 2,78 2,75 2,72 2,69 2,66 2,63 2,60 2,58 2,55 2,53	3*07 3,05 3,03 3,01 2,99 2,97 2,95 2,93 2,91 2,89 2,87 2,85 2,83 2,81 2,79 2,78 2,76 2,74 2,73	3*07 3,06 3,05 3,04 3,03 3,02 3,01 3,00 2,99 2,98 2.,97 2,96 2,95 2,95 2,94 2,93 2,92 2,91 2,91	3f07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07	3*97 3,08 3,09 3,10 3,11 3,12 3,13 3,14 3,15 3,16 3,17 3,18 3,19 3,20 3,21. 3,22 3,22 3,23 3,24	3*07 3,09 3,12 3,14 3,16 3,18 3,20 3,22< 3,24 3,26 3,28 3.,30 3,32 3,33 3,35 3,37 3,39 3,49 3,42	3*07 3,11 3,14 3,17 3,21 3,24 3,27 3,30 3,34 3,37 3,40 3,43 3,46 3,49 3,52 3,54 3,57 3,59 3,62	3*07 3,12 3,17 3,22 3,27 3,32 3,36 3,41 3,46 3,50 3,55 3,59 3,63 3,68 3,72 3,75 3,79 3,83 3,87	2о;о 20,0 20,0 19,9 19,7 19,6 19,4 19,1 18,8 18,5 18,2- 17,8 17,4 16,9 16,4 15,9 15,4 14,8 14,2	12Л 12 10 12 20 12 30 12 40 12 50 13 0 13 10 13 20 13 30 13 40 13 50 14 0 14 10 14 20 14 30 14 40 14 50 15 0 !	247< О’” 23 50 23 49 23 39 23 20 23 10 23 0 22 50 22 40 22 39 22 20 22 10 22 0 21 50 21 40 21 30 21 20 21 10 21 0
		+ 40°	+ 39°	4-20°	+ю°	0°	—10°	—20°	—30°	—40°	Рб		
		Ра											

Таблица IX
П родолмсение
+	—	А?									Pi		
а а		—40°	—30°	—20°	— 10°	0°	4-10°	4-20°	+30°	+ 40°			
37‘ О’” 3 10 3 20 3 30 3 40 3 59 4 0 4 10 4 20 4 39 4 40 4 50 5 0 5 10 5 20 5 30 5 40 5 50 6 0	9Л 0w 8 50 8 40 8 30 8 20 8 10 8 0 7 50 7 40 7 30 7 20 7 10 7 0 6 50 6 40 6 30 6 20 6 10 6 0	2*28 2,25 2,21 2,18 2,15 2,13 2,10 2,08 2,06 2,04 2,02 2,00 1,99 1,98 1,97 1,96 1,96 1,95 1,95	2*53 2,50 2,48 2,46 2,44 2,42 2,40 2,39 2,37 2,36 2,35 2,34 2,33 2,32 2,31 2,31 2,30 2,30 2,30	2*73 2,71 2,70 2,69 2,67 2,66 2,65 2,64 2,63 2,62 2,62 2,61 2,60 2,60 2,59 2,59 2,59 2,59 2,59	2’91 2,90 2,89 2,89 2,88 2,87 2,87 2,86 2,86 2?86 2,85 2,85 2,85 2,84 2,84 2,84 2,84 2,84 2,84	3*07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07 3,07	3*24 3,25 3,25 3,26 3,27 3,27 3,28 3,28 - 3,29 3,29 3,29 3,30 3,30 3,30 3,31 3,31 3,31 3,31 3,31	3*42 3,43 3,45 3,46 3,47 3,48 3,49 3,50 3,54 3,52 3,53 3,54 3,54 3,55 3,55 3,55 3,55 3,56 3,56	3*62 3,64 3,66 3,68 3,70 3,72 3,74 3,75 3,77 3,79 3,80 3,81 3,82 3,83 3,83 3,84 3,84 3,84 3,84	3*87 3,90 3,93 3,95 3,93 4,02 4,04 4,07 4,09 4,11 4,13 4,14 4,16 4,17 4,18 4,18 4,19 4,19 4,19	1472 13,5 12,9 12,2 11,5 10,8 10,0 9,3 8,5 7,7 6,9 6,0 5,2 4,3 3,5 2,6 1,8 0,9 0,0	15/{ 01П 15 10 15 20 15 30 15 40 15 50 16 0 16 10 16 20 16 30 16 40 16 50 17 0 17 10 17 20 17 30 17 40 17 50 18 0	21л 0ш 20 50 20 40 20 30 20 20 20 10 20 0 19 50 19 40 19 30 19 20 19 10 19 0 18 50 18 40 18 30 18 20 18 10 18 0
		+ 40°	4-зо°	+20°	+ 10°	1	0° 1	—10°	—20°	—30°	—40°	Р<>		
		Ра										—	Lt.
Знак	всегда^4-.
Знак р* поставлен в’столбцах с аргументом^,

Таблица X
Редукция за прецессию прямоугольных координат 1950,0
Тропиче- ский год	хх	-Xv	Zx=-X,		Z,,=y8	z>
1920	+0,9999733	+0,0067042	+0,0029152	+0,9999775	-0,0000098	+0,9999958
1921	9999750	0064807	0028180	9999790	0000091	9999960
1922	9999767	0062573	0027209	9999804	0000085	9999963
1923	9999784	0060338	0026237	9999818	0000079	9999966
1924	9999799	0058104	0025265	9999831	0000073	9999968
1925	+0,9999814	+0,0055869	+0,0024293	+0,9999844	-0,0000068	+0,9999970
1926	9999829	0053634	0023322	9999856	0000062	9999973
1927	9999843	0051400	0022350	9999868	0000057	9999975
1928	9999856	0049165	0021378	9999879	0000053	9999977
1929	9999869	0046931	0020406	9999890	0000048	9999979
1930	+0,9999881	+0,0044696	+0,0019435	+0,9999900	-0,0000043	+0,9999981
1931	9999893	0042461	0018463	9999910	0000039	9999983
1932	9999904	0040227	0017491	9999919	0000035	9999985
1933	9999914	0037992	0016519	9999928	0000031	9999986
1934	9999924	0035757	0015548	9999936	0000028	9999988
1935	+0,9999933	+0,0033522	+0,0014576	+0,9999944	—0,0000024	+0,9999989
1936	9999942	0031288	0013604	9999951	0000021	9999991
1937	9999950	0029 >53	0012632	9999958	0000018	9999992
1938	9999957	0026818	0011661	9999964	0000016	9999993
1939	9999964	0024584	0010689	9999970	0000013	9999994
1940	+0,9999970	+0,0022349	+0,0009717	+0 9999975	-0,0009011	+0,9999995
1941	9999976	0020114	0008745	9999980	0000009	9999996
1942	9999981	0017879	0007774	9999984	0000007	9999997
1943	9999986	0015644	0006802	9999988	0000005	9999998
1944	9999989	0013409	0005830	9999991	0000004	9999998
1945	+0,9999993	+0,0011175	+0,0004858	+0,9999994	-0,0000003	+0,9999999
1946	9999995	0008940	0003887	9999996	0000002	0,9999999
1947	9999997	0006705	0002915	9999998	0000001	1,0090000
1948	9999999	0004470	0001943	9999999	0000000	1,0000900
1949	1,0000000	0002235	0000972	1,0009000	0000000	1,0009000
1950	+ 1,0000000	0,0000000	0,0000000	+1,0000000	0,0000000	+ 1,0000000
1951	1,0009000	— 0002235	— 0000972	1,0000000	00'90000	1,0090000
1952	0,9999999	0004470	0001943	0,9999999	0000000	1,0900000
1953	9999997	0006705	0002915	9999998	- 0000001	1,0000000
1954	9999995	0008940	0003887	9999996	0000002	0,9999999
1955	+0,9999993	—0,0011175	—0,0004858	+0,9999994	— 0,0090003	+0,9999999
1956	9999989	0013410	0005839	9999991	0000004	9999998
1957	9999985	0015645	0006802	9999988	0000005	9999998
1958	9999981	0017880	0007773	9999984	0000007	9999997
1959	9999976	002)115	0008745	9999980	0000009	9999996
I960	+0,9999970	-0,0022350	-0,0009717	+0,9999975	-0,0000011	+0,9999995 		_

Таблица XI
Разность между эксцентрической и средней аномалиями
\ е м\	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6
о	о?оо	0?00	0?00	0?00	0?00	0?00
	0,11	0,25	0,43	0,67	1,00	1 > 50
2	0,22	0,50	0,86	1,33	2,00	2,99
3	0,33	0,75	1,28	2,00	2,99	4*47
4	0,44	1,00	1,71	2,66	3,97	5,93
5	0,55	1,25	2,14	3,31	4,95	7,36
Q	0,66	1,49	2,56	3,97	5,91	8,76
7	0,77	1,74	2,98	4,61	6,86	10,12
з	0,88	1,99	3,40	5,25	7,80	11,44
9	0,99	2,23	3,81	5,89	8,72	12,72
10	1,10	2,47	4,22	6,52	9,62	13,96
11	1,21	2,72	4,63	7,13	10,50	15,15
12	1,32	2,96	5,04	7,74	11,36	16,30
13	1,43	3,20	5,44	8,34	12,20	17,39
14	1,53	3,43	5,83	8,93	13,01	18,44
15	1,64	3,67	6,22	9,51	13,80	19,44
16	1,75	3,90	6,61	10,07	14,57	20,40
17	1,85	4,13	6,99	10,63	15,31	21,31
18	1,95	4,36	7,36	11,17	16,03	22,18
19	2,06	4,58	7,73	11,70	16 ,73	23,01
20	2,16	4,81	8,10	12,22	17,40	23,79
21	2,26	5,03	8,45	12,72	18,05	24,53
22	2,36	5,25	8,80	13,22	18,67	25,24
23	2,46	5,46	9,15	13,69	19,27	25,91
24	2,56	5,67	9,48	14,16	19,84	26,54
25	2,66	5,88	9,81	14,61	20,40	27,14
26	2,76	6,09	Ю,14	15,05	20,93	27,71
27	2,85	6,29	10,45	15,48	21,43	28,24
28	2,95	6,49	Ю,76	15,89	21,92	28,75
29	3,04	6,68	И,06	16,29	22,38	29,22
30	3,13	6,88	11,36	16,67	22,83	29,67
31	3,22	7,06	11,64	17,04	23,25	30,09
32	3,31	7,25	11,92	17,40	23,65	30,49
33	3,40	7,43	12,20	17,75	24,04	30,86
34	3,49	7,61	12,46	18,08	24,40	31,21
35	3,57	7,78	12,72	18,40	24,75	31,53
36	3,66	7,95	12,97	18,71	25,07	31,84
37	3,74	8,12	13,21	19,00	25,38	32,12
38	3,82	8,28	13,44	19,28	25,68	32,38
39	3,90	8,44	13,67	19,55	25,95	32,62
40	3,98	8,60	13,89	19,81	26,22	32,85
41	4,06	8,75	14,10	20,06	26,46	33.06
42	4,13	8,89	14,30	20,29	26,69	33,24
43	4,20	9,03	14,50	20,51	26 ,90	33,42
44	4,48	9,17	14,69	20,72	27,10	33,57
45	4,35	9,31	14,87	20,92	27,29	33,71
46	4,42	9,44	15,04	21,11	27,46	33,84
47	4,48	9,56	15,21	21,29	27,62	33,95
48	4,55	9,68	15,37	21,46	27.77	34,05
49	4,61	9,80	15,52	21,62	27,90	34,13
50	4,68	9,91	15,66	21,77	28,02	34,20
51	4,74	10,02	15.80	21,91	28,13	34,26
52	4,79	10,13	15,93	22,03	28,23	34,31
53	4,85	10.23	16,05	22,15	28,32	34,34
54	4,91	10,33	16,17	22,26	28,40	34,36
55	4,96	10,42	16,28	22,36	28.46	34,38
56	5,01	10,51	16,38	22,45	28,52	34,38
57	5,06	10,59	16,48	‘22,54	28,56	34,37
58	5,11	10,67	16.57	22,61	28,60	34,35
59	5,16	10,75	16,65	22,68	28,62	34,32
60	5,20	10,82	16,73	22,73	28,64	34,28
0,7	0,8	0,9	1,0	е / у/м
0?00	0?00	0?00	0?00	360
2,33	3,97	8,60.	26,11	359
4,63	7,81	15,54	32,23	358
6,89	11,40	20,85	36,26	357
9,07	14,68	25,00	39,28	356
11,17	17,66	28,34	41,69	355
13,17	20,33	31,12	43,69	354
15,07	22,7*3	33,47	45,39	353
16,86	24,89	35,49	46,84	352
18,55	26,84	37,25	48,11	351
20,14	28,59	38,80	49,23	350
21,62	30,18	40,17	50,22	349
23,01	31,62	41,40	51,09	348
24,31	32,94	42,49	51,.87	347
25,52	34,14	43,48	52,57	346
26,66	35,23	44,37	53,20	345
27,72	36,24	45,18	53,76	344
28,71	37,16	45,91	54,26	343
29,63	38,00	46,57	54,70	342
30,50	38,78	47.17	55,10	341
31,30	39,49	47,71	55,46	340
32,05	40,15	48,21	55,78	339
32,76	40,75	48,65	56,06	338
33,41	41,30	49,06	56,30	337
34,02	41,81	49,42	56,51	336
34,59	42,28	49,75	56,69	335
35,12	42,71	50,04	56,85	334
35,61	43,10	50,31	56,98	ззз
36,07	43,46	50,54	57,08	332
36,49	43,78	50,74	57,17	331
36,89	44,08	50,92	57,23	330
37,25	44,35	51,07	57,27	329
37,59	44,59	51,20	57,29	328
37,90	44,80	51,31	57,29	327
38,18	44,99	51,40	57,28	326
38,44	45,16	51,47	57,25	325
38,68	45,31	51,52	57,21	324
38,90	45,44	51,55	57,15	323
39,09	45,55	51,56	57,07	322
39,27	45,64	51,56	56,98	321
39,43	45,71	51,55	56,88	320
39,56	45,76	51,52	56,77	319
39,68	45,80	51,47	56,64	318
39 ,79	45,83	51,41	56,51	317
39,88	45,84	51,34	56,36	316
39,95	45,83	51,26	56,20	315
40,01	45,81	51,16	56,04	314
40,05	45,78	51,06	55,86	313
40,08	45,74	50,94	55,67	312
40,10	45,68	50,81	55,48	311
40,11	45,62	50,67	55,27	310
40,10	45,54	50,53	55,06	309
40,08	45,45	50,37	54,84	308
40,05	45,35	50,20	54,61	307
40,01	45,24	50,03	54,37	306
39,96	45,12	49,85	54,13	305
39,90	44,99	49,65	53,88	304
39,82	44,86	49,45	53,62	303
39,74	44,71	49,25	53,36	302
39 ,65	44,56	49,03	53,09	301
39,55	44,40	48,81	52,81	300
Для значений М между 180° и 360° табличные величины отрицательны.
25
А. Д. Дубяго

Таблица XI
Продолжение
Разность между эксцентрической и средней аномалиями
\ е М	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1 ,о	е / / М
60	5?20	10?82	16?73	22?73	28°64	34?28	39?55	44?40	48°81	52?81	300 299 298 297 296 295 294
61	5,24	10,89	16,80	22,78	28>65	34,23	39,44	44,23	48 >58	52,53	
62	5,28	10,95	16,87	22,83	28,65	34,18	39,33	44,05	48 >35	52,24	
63	5 ,32	11,02	16,92	22,86	28,64	'34,11	39,20	43,86 43,67	48,11	51,95	
64	5,36	11,07	16.98	22,88	28,62	34,04	39,07		47,86	51 ,65	
65	5,40	11,12	17,02	22,90	28,59	33,96	38,93	43,47	47,60	51,34	
66	5,43	11,17 11,22	17,06	22,91	28,56	33,87	38,78	43,27	47,34	51,03	
67	5,46		17,10	22,92	28,51	33,77	*38,62	43,06	47,08	50,72	293
63	5,49	11,26	17,13	22,91	28,47	33,67	38 ,46	42,84	46 >81	50,40	292
69	5,52	11,29	17,15	22,90	28,41	33,56	38,29	42,61	46,53	50,08	291 290 289 288
70	5,55	11,33	17,17	22,89	28,34	33,44	38,12	42,38	46,25	49 -75	
71	5,57	11,36	17,18	22,87	28,27	33,31	37,94	42,15	45,96	49,41	
72	5,60	11,38	17,19	22,84	28,20	33,18	37,75	41,90	45,67	49,07	
73	5,62	11,40	17,19	22,80	28,11	33,04	37,55	41,66	45,37	48.73	287
74	5,64	11 ,42	17,19	22,76	28,02	32,89	37,35	41,40	45,07	48,38	286
75	5 ,65	11,44	17,18	22,71	27,92	32,74	37,15	41,15	44,76	48,03	285
76	5,67	11,45	17,16	22,66	27,82	32,58	36,94	40,88	44,45	47,68	284
77	5,68	11,45	17,14	22,60	27,71	32,42	36,72	40,61	44,14	47,32	283
78	5,69	11,46	17,12	22,53	27,59	32,25	36,50	40,34	43,82	46,96	282
79	5,70	11,46	17,09	22,46	27,47	32,08	36,27	40,06	43,49	46,59	281
80	5,71	11,46	17,06	22,39	27,34	31,90	36,04	39.78	43,17	46,22	280
81	5,72	11,45	17,02	22,30	27,21	31,71	35,80	39,50	42,83	45,85	279
82	5,72	11,44	16,98	22,22	27,07	31,52	35,56	39,20	42,50	45,47	278
83	5,73	11,42	16,93	22,12	26,93	31,33	35,31	38,91	42,16	45,09	277
84	5,73	11,41 11,39	16,88	22,03	26,78	31,12	35,06	38,61	41,81	44,71	276
85	5,73		16,82	21,93	26,63	30,92	34,80	38,31	41,47	44,32	275
86	5,73	11,36	16,76	21,82	26,47	30,71	34,54	38,00	41,12	43,93	274
87	5,72	11,34	16,70	21,71	26,31	30,49	34,28	37,69	40,76	43,54	273
88	5,72	11,31	16,63	21,59	26,14	30,28	34,01	37,37	40,41	43,15	272
89	5,71	11,27	16,56	21,47	25,97	30,05	33,74	37,06	40,05	42,75	271
90	5,70	11,24	16,48	21,35	25,79	29,82	33,46	36,73	39,68	42,35	270
91	5,69	11,20	16,40	21,22	25,61	29,59	33,18	36,41	39,32	41,94	269
92	5,68	11,16	16,32	21,08	25,43	29,36	32,90	36,08	38,95	41,54	268
93	5,67	11,11	16,23	20,95	25,24	29,12	32,61	35,75	38,58	41,13	267
94	5,65	11,06	16,14	20,80	25,05	28,87	32,32	35,41	38,20	40,71	266
95	5,63	11,01	16,04	20,66	24,85	28,62	32,02	35,07	37,82	40,30	265
96	5,61	10,96	15,94	20,51	24,65	28,37	31,72	34,73	37,44	39,88	264
97	5,59	10.90	15,84	20,35	24,44	28,12	31,42	34,39	37,06	39,46	263
98	5 > 57	10,84	15,73	20,20	24,23	27,86	31,12	34,04	36,67	39,04	262
99	5,55	10,78	15,63	20,04	24,02	27,60	30,81	33,69	36,28	38,62	261
100	5,52	10,72	15,51	19,87	23.80	27,33	30,50	33,34	35,89	38,19	260
101	5,49	10,65	15,40	19,70	23,59	27,07	30,18	32,98	35,50	37,77	259
102	5,46	10,58	15,28	19,53	23,36	26,79	29,87	32,62	35,10	37,34	258
103	5,43	10,51	15,15	19,36	23,14	26,52	29,55	32,26	34,70	36,90	257
104	5,40	10,43	15,03	19,18	22,91	26,24	29,22	31,90	34,30	36,47	256
105	5,37	10,36	14,90	19,00	22,67	25,96	28,90	31,53	33,90	36,03	255
106	5,34	10,28 10,19	14,77	18,82	22,44	25,68	28,57	31,16	33,49	35,59	254
107	5,30		14,63	18,63	22,20	25,39	28,24	30,79	33,09	35,15	253
108	5,26	10,11	14,50	18,44	21,96	25,10	27,91	30,42	32,68	34,71	252
109	5,23	10,02	14,36	18,24	21,71	24,81	27,57	30,04	32,26	34,27	251
110	5 ,19	9,93	14,21	18,05	21,47	24,51	27,23	29,67	31 ,85	33,82	250
111	5,14	9,84	14,07	17,85	21.22	24,22	26,89	29,29	31,44	33,37	249
112	5,10	9,74	13,92	17 ,65	20,96	23,92	26,55	28,90	31,02	32,92	248
113	5,06	9,65	13 77	17,44	20,71	23,61	26,20	28,52	30,60	32,47	247
114	5,01	9,55	13 ,61	17,23	20,45	23,31	25,86	28,13	30,18	32,02	246
115	4,96	9,45	13,46	17,02	20,19	23,00	25,51	27,75	29,76	31,57	245
116	4,92	9,35	13,30	16,81	19,93	22,69	25,16	27,36	29,33	31,11	244
117	4,87	9,24	13,14	16,60	19,66	22,38	24,80	26,96	28,91	30,65	243
118	4,81	9,13	12,98	16,38	19,39	22,07	24,45	26,57	28,48	30,20	242
119	4,76	9,03	12,81	16,16	19,12	21,75	24,09	26,17	28,05	29 ,74	241
120	4,71	8,92	12,64	15,94	18,85	21,43	23,73	25,78	27,62	29,27	240
Для значений М между 180° и 360® табличные величины отрицательны.

Таблица XI	Продолжение
Разность между эксцентрической и средней аномалиями
е М \	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0 6	0,7	0,8	0,9	1,0	е / /М
120	4?71	8?92	12?64	15?94	18?85	21?43	23?73	25?78	27?62	29?27	240
121	4,66	8,80	12,47	15,71	18,58	21,11	23,37	25,38	27,18	‘-•8,81	239
122	4,60	8,69	12,30	15,49	18,30	20,79	23,00	24,98	26,75	28,35	238
123	4,54	8,57	12,13	15,26	18,02	20,47	22,64	24,58	26,31	27,88	237
124	4,49	8,45	11,95	15,03	17,74	20,14	22.27	24,17	25,88	27,41	236
125	4,43	8,33	11,77	14,79	17,46	19,81	21,90	23,77	25,44	26,95	235
126	4,37	8,21	11,59	14,56	17,17	19,48	21,53	23,36	25,00	26,48	234
127	4,30	8,09	11,41	14,32	16,88	19,15	21,16	^2,95	24,56	26,01	233
128	4,24	7,97	11,23	14,08	16,60	18,82	20,79	22,54	24,12	25,53	232
129	4,18	7,84	11,04	13,84	16,31	18,48	20,41	22,13	23,67	25,06	231
130	4,11	7,71	10,85	13,60	16,01 15,72	18,14	20,03	21,72	23,23	24,59	230
131	4,05	7,58	10,66	13,35		17,81	19,65	21,30	22,78	24,11	229
132	3,98	7,45	10,47	13,11	15,42	17,47	19,27	20,89	22,33	23,64	228
133	3,91	7,32	10,28	12,86	15,13	17,12	28,89	20,47	21,89	23,16	227
134	3,84	7,18	10,08	12,61	14,83	16,78	18,51	20,05	21,43	22,68	226
135	3,77	7,05	9,89	12,36	14,53	16,44	18,13	19 ,63	20,99	22,20	225
136	3,7 и	6,91	9,69	12,11 11,85	14,23	16,09	17,74	19,21	20,53	21,72	224
137	3,63	6,77	9,49		13,92	15,74	17,36	18,79	20,08	21,24	223
138	3,56	6,63	9,29	11,60	13,62	15,40	16,97	18,37	19,63	20,76	222
139	3,49	6,49	9,09	11,34	13,31	15,05	16,58	17,95	19,17	20,27	221
140	3,41	6,35	8,88	11,08	13,00	14,70	16,19	17,52	18,72	19,79	220
141	3,34	6 > 21	8,68	10,82	12,69	14,34	15,80	17,10	18,26	19,31	219
142	3.27	6,06	8,47	10,56	12,38	13,99	15,41	16,67	17,80	18,82	218
143	3,19	5,92	8,2б	10,30	12,07	13,63	15,01	16,24	17,35	18,34	217
144	3,11	5,77	8,05	10,03	11,76	13,28	14,62	15,82	16,89	17,85	216
145	3,03	5,62	7,85	9,77	11,45	12,92	14,23	15,39	16,43	17,36	215
146	2,96	5,47	7.63	9., 50	11,13	12,56	13,83	14,96	15,97	16,87	214
147	2,88	5,32	7,42	9,24	10,82	12,20	13,43	14,52	15,50	16,38	213
148	2,80	5 17	7,21	8,97	10,50	11,84	13,03	14,09	15,04	15,89	212
149	2,72	5,02 4,87	6,99	8,70	10,18	11,48	12,64	13,66	14,58	15,40	211
150	2,64		6 ,78	8,43	9,86	11,12	12,24	13,23	14,11	14,91	210
151	2,55	4,71	6,56	8,16	9,54	10,76	11,84	12,79	13,65	14,42	209
152	2,47	4,56	6,34	7,88	9,22	10,40	11,43	12,36	13,18	13,93	208
153	2,39	4,40	6,12	7,61	8,90	10,03	11 ,03	11,92	12,72	13,44	207
154	2,30	4,25	5,91	7,34	8,58	9,67	10,63	11,49	12,25	12,94	206
155	2,22	4,09	5.69	7,06	8,25	9,30	10,23	11,05	11,79	12,45	205
156	2,13	3,95	5,46	6,78	7,93	8,93	9,82	10 ,61	11,32	11,96	204
157	2,05	3,77	5,24	6,51	7,61	8,57	9,42	10,17	10,85	11,46	203
158	1,96	3,61	5,02	6,23	7,28	8,20 7,83	9,01	9,74	10,38	10.97	202
159	1 ,88	3,45	4,80	5,95	6,95		8,61	9,30	9,91	10,47	201
160	1,79	3,29	4.57	5,67	6,63	7,46	8,20	8,86	9 ,45	9,97	200
161	1,70	3,13	4,35	5,39	6,30	7,09	7,79	8,42	8,98	9,48	199
162	1,62	2,97	4,12	5,11	5,97	6,72	7,39	7,98	8,51	8,98	198
163	1,53	2,81	3,90	4,83	5,64	6,35	6,98	7,54	8,04	8,48	197
164	1,44	2,65	3,67	4,55	5,31	5,98	6,57	7,09	7,56	7,99	196
165	1,35	2,48	3,44	4,27	4,98	5,61	6,16	6,65	7,09	7,49	195
166	1,26	2,32	3,22	3,98	4,65	5,24	5,75	6,21	6,62	6,99	194
167	1,17	2,16	2,99	3,70	4,32	4,86	5,34	5,77	6,15	6,49	193
168	1,08	1,99	2,76	3,41	3.99	4,49	4,93	5,33	5,68	5,99	192
169	1,00	1,83	2,53	3,14	3.66	4,12	4,52	4,88	5,21	5,50	191
170	0,91	1,66	2,30	2,85	3,33	3,75	4,11	4,44	4,73	5,00	190
171	0,82	1,50	2,07	2,57 2,28	3,00	3,37	3,70	4,00	4,26	4,50	189
172	0,73	1,33	1,84		2,66	3,00	3,29	3,55	3,79	4,00	188
173	0,64	1,16	1,61	2,00	2,33	2,62	2,88	3,11	3,31	3,50	187
174	0,54	1,00	1,38	1,71	2,00	2,25	2,47	2,67	2,84	3,00	186
175	0,45	0,83	1,15	1,43	1,67	1 ,87	2,06	2,22	2,37	2,50	185
176	0,36	0,67	0,92	1,14	1 ,34	1,50	1 ,63	1,78	1,90	2,00	184
177	0,27	0,50	0,69	0.86	1,00	1,12	1,24	1,33	1,42	1,50	183
178	0,18	0,33	0,46	0,57	0,67	0,75	0,82	0,89	0,95	1,00	182
179	0,09	0,17	0,23	0-29	0,33	0,37	0,41	0,44	0.47	0.50	181
180	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0.00	0,00	0,00	180
Для значений М между 180® и 360° табличные величины отрицательны.
2 5*

Таблица XII
Движение по параболе
> С	М	/'	— г 2 '	G	м	/'	2 ’	G	М	/'	1 — f" 2 7
0,000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 0,010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 0,020 021 022 023 024 025 026 027 028 029 0,030 031 032 033 034 035 036 037 038 039 0,040 041 042 043 044 045 046 047 048 049 0,050	0,00000 0,08221 0,16442 0,24664 0,32885 0,41106 0,49328 0,57549 0,65771 0,73993 0,82214 0,90437 0,98659 1,06881 1,15104 1,23327 1,31550 1,39773 1,47997 1,56221 1,69445 1,72670 1,80895 1,89120 1,97346 2,05572 2,13799 2,22025 2,30253 2,38481 2,46709 2,54938 2,63167 2,71397 2,79627 2 87858 2,96090 3,04322 3,12555 3,20788 3,29022 3,37257 3,45492 3,53728 3,61965 3,70202 3,78440 3,86679 3,94919 4,03160 4,11401 1	8221 8221 8221 8221 8221 8221 8221 8222 8222 8222 8222 8222 8222 8223 8223 8223 8223 8224 8224 8224 8224 8225 8225 8226 8226 8226 8227 8227 8228 8228 8229 8229 8230 8230 8231 8231 8232 8232 8233 8234 8234 8235 8236 8236 8237 8238 8239 8239 8240 8241 8242	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0	0,050 051 052 053 054 055 056 057 058 059 0,060 061 062 063 064 065 066 067 068 069 0,070 071 072 073 074 075 076 077 078 079 0,080 081 082 083 084 085 086 087 088 089 0,090 091 092 093 094 095 096 097 098 099 0,100	4,11401 4,19643 4,27886 4,36130 4,44375 4,52620 4,60867 4,69114 4,77362 4,85612 4,93862 5,02113 5,10366 5,18619 5,26873 5,35129 5,43385 5,51642 5,55901 5,68161 5,76422 5,84684 5,92947 6,01211 6,09477 6,17744 6,26012 6,34281 6,42552 6,50823 6,59097 6,67371 6,75647 6,83924 6,92202 7,00482 7,08764 7,17046 7,25330 7,33616 7,41903 7,50191 7,58481 7,66773 7,75066 7,83361 7,91657 7,99954 8,08254 8,16555 8,24857	8242 8243 8243 8244 8245 8246 8247 8248 8249 8250 8251 8252 8253 8254 8255 8256 8257 8258 8259 8260 8261 8263 8264 8265 8266 8267 8269 8270 8271 8272 8274 8275 8276 8278 8279 8281 8282 8283 8285 8286 8288 8289 8291 8292 8294 8295 8297 8299 8300 8302 8303	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1	0,100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 0,110 111 112 ИЗ 114 115 116 117 118 119 0,120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 0,130 131 132 133 134 135 135 137 138 139 0,140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 .0,150	8,24857 8,33161 8,41467 8,49775 8,58084 8,66395 8,74708 8,83022 8,91338 8,99656 9,07976 9,16298 9,24621 9,32946 9,41273 9,49602 9„57933 9,66266 9,74600 9,82937 9,91276 9,99616 10,07959 10,16303 10,24650 10,32998 10,41349 10,49702 10,58057 10,66414 1.0,74773 10,83134 10,91497 10,99863 11,08230 11,16600 11,24972 11,33347 11,41723 11,50102 11,58483 11,66867 11,75152 11,83641 11,92031 12,00424 12,08819 12,17217 12,25617 12,34019 12,42424	8303 8305 8307 8308 8310 8312 8314 8315 8317 8319 8321 8322 8324 8326 8328 8330 8332 8334 8336 8338 8340 8342 8344 8346 8348 8350 8352 8354 8356 8358 8360 8362 8364 8367 8369 8371 8373 8375 8378 8380 8382 8385 8387 8389 8392 8394 8396 8399 8401 8404 8406	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 1 1 1

Таблица XII
Движение по параболе
П р одолжение
с	М	)'	т'-	G	м		—г 2 '	с	м		— г 2 7
0,150	12,42424	8406	1	0,200	16,66157	8550	2	0,250	20,98111	8735	2
151	12,50831	8408	1	201	16,74709	8553	2	251	21,06848	8739	2
152	12,59241	8411	1	202	16,83263	8557	2	252	21,15589	8743	2
153	12,67654	8414	1	203	16,91822	856 ч	2	253	21,24334	8747	2
154	12,76069	8416	1	204	17,00383	8563	2	254	21,33084	8752	2
155	12,84486	8419	1	205	17,08948	8567	2	255	21,41837	8756	2
156	12,92906	8421	1	206	17,17517	8570	2	256	21,50595	8760	2
157	13,01328	8424	1	207	17,26088	8573	2	257	21,59357	8764	о
158	13,09754	8426	1	208	17,34664	8577	2	258	21,68124	8768	2
159	13,18181	8429	1	209	17,43242	8580	о	259	21,76894	8773	2
0,160	13,26612	8431	1	0,210	17,51814	8584	2	0,260	21,85669	8777	2
161	13,35045	8434	1	211	17,60410	8587	2	261	21,94448	8781	2
162	13,43480	8437	1	212	17,68999	8591	2	262	22,03231	8786	2
163	13,51918	8440	1	213	17,77591	8594	2	263	22,12019	8790	2
164	13,60359	8442	1	214	17,86187	8598	2	264	22,20811	8794	2
165	13,68803	8445	1	215	17,94786	8601	2	265	22,29607	8799	2
166	13,77249	8448	1	216	18,03389	8605	2	266	22,38408	8803	2
167	13,85698	8450	1	217	18,11996	8608	2	267	22,47213	8807	2
168	13,94150	8453	1	218	18,20606	8612	2	268	22,56022	8812	2
169	14,02605	8456	1	219	18,29219	8615	2	269	22,64836	8816	2
0,170	14,11062	8459	1	0,220	18,37837	8619	2	0,270	22,73655	8820	2
171	14,19522	8462	1	221	18,46458	8623	2	271	22,82477	8825	2
172	14,27985	8464	1	222	18,55082	8626	2	272	22,91305	8829	2
173	14,36451	8467	1	223	18,63710	8630	2	273	23,00136	8834	2
174	14,44920	8470	1	224	18,72342	8634	2	• 274	23,08972	8838	2
175	14,53391	8473	1	-225	18,80978	8637	2	275	23,17813	8843	2
176	14,61886	8476	1	226	18,89617	8641	9	276	23,26658	8847	2
177	14,70343	8479	1	227	18,98260	8645	2	277	23,35508	8852	2
178	14,78823	8482	1	228	19,09607	8649	2	278	23,44362	8857	2
179	14,87306	8485	1	229	19,15557	8652	2	279	23,53221	8861	2
0,180	14,95702	8488	1	0,230	19,24211	8656	2	0,280	23,62081	8866	2
181	15,04281	8491	1	231	19,32869	8660	2	281	23,70952	8870	2
182	15,12773	8493	1	232	19,41531	8664	2	282	23,79825	8875	2
183	15,21268	8496	2	233	19,50196	8667	2	283	23,88702	8880	2
184	15,29766	8500	2	234	19,58866	8671	2	284	23,97584	8884	2
185	15,38267	8503	2	235	19,67539	8675	2	285	24,06471	8889	2
186	15,48771	8506	2	236	19,76217	8679	2	286	24,15362	8894	2
187	15,55278	8509	2	237	19,84897	8683	2	287	24,24258	8898	2
188	15,63789	8512	2	238	19,93582	8687	2	288	24,33159	8903	2
189	15,72392	8515	2	239	20,02271	8691	2	289	24,42064	8908	2
0,190	15,80818	8518	2	i0,240	20,10964	8695	2	3,290	24,50974	8913	2
191	15,89338	8521	2	! 241	20,19660	8699	2	291	24,59889	8917	2
192	15,97861	8524	2 !	j 242	20,28361	8703	2	292	24,68809	8922	2
193	16,06386	8527	2 i	i 243	20,37066	8707	2	293	24,77734	8927	2
194	16,14915	8531	2	1 244	20,45774	8711	2	294	24,86663	8932	2
195	16,23448	8534	2	245	20,54487	8715	2	295	24,95597	8937	2
196	16,31983	8537	2	246	20,63203	8719	2	296	25,04536	8941	2
197	16,40522	8540	2 ;	247	20,71924	8723	2	297	25,13480	8946	2
.198	16,49064	8543	2	248	20,80649	8727	2	298	25,22429	8951	2
199	16,57608	8547	2	249,20,89370		8731	2	299	25,31382	8956	2
0,200	16,66157	8550	2	0,250	20,98111 i	8735	2	0,300	25,40341	8961	2

Таблица XII
Движение по параболе
П родолжение
G	М	]'	1 ’ 2 1	G	। М	1 г	- )" 2 '	G	М		1 2 ‘
0,300	25,40341	8961	2	0,350	29,94903	9228	3	0,400	31,63852	9537	3
301	25,49305	8966	2	351	30,04134	9234	3	401	34,73392	9543	3
302	25,58273	8971	2	352	30,13371	9240	3	402	34,82939	9550	
393	25,67247	8976	2	353	30,22614	9246	3	403	34,92492	9556	3
304	25,76225	8981	2	354	30,31862	9251	3	404	35,02051	9563	3
305	25,85208	8986	3	355	30,41117	9257	3	405	35,11618	9570	3
306	25,94197	8991	3	356	30,50377	9263	3	406	35,21191	9576	3
307	26,03190	8996	3	357	30,59643	9269	3	407	35,30770	9583	3
308	26,12189	9001	3	358	30,68915	9275	3	408	35,40357	9590	
309	26,21193	9006	3	359	30,78193	9281	3	409	35,49950	9595	О
0,310	26,30201	9011	3	0,360	30,87476	9287	3	0,410	35,59550	9603	3
311	26,39215	9016	3	361	30,96766	9293	3	411	35,69156	9610	3
312	26,48234	9021	3	362	31,05061	9299	3	412	35,78769	9617	3
313	26,57258	9027	3	363	31,15353	9304	3	413	35,88389	9623	3
314	26,66287	9032	3	364	31,24670	9310	3	414	35,98016	9630	3
315	26,75321	9037	3	365	31,33984	9316	3	415	36,07650	9637	3
316	26,84361	9042	3	366	31,43303	9322	3	416	36,17290	9644	3
317	26,93406	9047	3	367	31,52629	9328	3	417	36,26938	9651	3
318	27,02456	9053	3	368	31,61960	9335	3	418	36,36592	9658	3
319	27,11511	9058	3	1 369	31,71298	9341	3	419	36,46253	9664	3
0,320	27,20571	9063	3	0,370	31,80641	9347	3	0,420	36,55921	9671	3
321	27,29636	9068	3	371	31,89991	9353	3	421	36,65596	9678	3
322	27,38708	9074	3	372	31,99347	9359	3	4 22	36,75277	9685	3
323	27,48784	9079	3	373	32,08709	9365	3	423	36,84966	9692	3
324	27,56865	9084	3	374	32,18077	9371	3	424	36,94662	9699	3
325	27,69552	9090	3	375	32,27451	9377	3	425	37,04364	9706	3
326	27,75044	9095	3	376	32,36831	9383	3	426	37,14074	9713	4
327	27,84142	9100	3	377	32,46218	9390	3	427	37,23791	9721	4
328	27,93245	9106	3	378	32,55611	9396	3	428	37,33514	9727	4
329	28,02353	9111	3	379	32,65010	9402	3	429	37,43245	9734	4
0,330	28,11467	9116	3	0,380	32,74415	9408	3	0,430	37,52983	9741	4
331	28,20586	9122	3	381	32,83826	9415	3	431	37,62727	9748	4
332	28,29711	9127	3	382	32,93244	9421	3	432	37,72479	9755	4
333	28,38841	9133	3	383	33,02668	9427	3	433	37,82238	9763	4
334	28,47976	9138	3	384	33,12098	9433	3	434	37,92004	9770	4
335	28,57117	9144	3	385	33,21535	9449	3	435	38,01778	9777	4
336	28,66264	9149	3	386	33,30978	9446	3	436	38,11558	9784	4
337	28,75416	9155	3	387	33,40427	9452	3	437	38,21346	9791	4
338	28,84574	9160	3	388	33,49883	9459	3	438	38,31140	9798	4
339	28,93737	9166	3	389	33,59345	9465	3	439	38,40942	9806	4
0,340	29,02906	9172	3	0,390	33,68813	9472	о	0,440	38,50752	9813	4
341	29,12080	9177	3	391	33,78288	9478	3	441	38,60568	9820	4
342	29,21260	9183	3	392	33,87769	9484	3	442	38,70392	9827	4
343	29,30445	9188	3	393	33,97257	9491	3	443	38 ,‘80223	9835	4
344	29,39637	9194	3	394	34,06751	9497	3	444	38,90061	9842	4
345	29,48834	9200	3	395	34,16251	9504	3	445	38,99906	9849	4
346	29,58036	9205	3	396	34,25759	9510	3	446	39,09759	9856	4
347	29,67244	9211	3	397	34,35272	9517	3	447	39,19619	9864	4
348	29,76458	9217	3	398	34,44792	9523	3	448	39,29487	9871	4
349	29,85678	9223	3	399	34,54319	9530	3	449	39,39362	9879	4
9,350	29,94903	9228	3	0,400	34,63852	9537	3	0,450	39,49244	9886	4

Таблица XII
Движение по параболе
Продолжение
а
М
с
М
0,450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
0,450
461
462
463
464
465
466
467
468
469
0,470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
0,480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
0,490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
0,500
39,49244
39,59134
39,69031
39,78935
39,88847
39,98766
40,08693
40,18628
40,28570
40,38519
40,48476
40,58441
40,68413
40,78393
40,88380
40,98375
41,08377
41,18388
41,28405
41,38431
41,48465
41,58506
41,68555
41,78611
41,88676
41,98748
42,08828
42,18916
42,29011
42,39115
42,49226
42,59345
42,69473
42,79608
42,89751
42,99902
43,10061
43,20228
43,30403
43,40586
43,50777
43,60976
43,71183
43,81398
43,91622
44,01853
44,12093
44,22341
44,32597
44,42861
44,53133
9886
9894
9900
9908
9916
9923
9931
9938
9946
9953
9961
9968
9976
9984
9991
9999
10006
10014
10022
10030
10037
10045
10053
10060
10068
10076
10084
10092
10100
10107
10Ц5
10123
10131
10139
10147
10155
10163
10171
10179
10187
10195
10203
10211
10219
10227
10236
10243
10252
10260
10268
10276
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
0,500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
0,510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
0-520
521
522
523
524
. 525
526
527
528
529
0,530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
0,540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
0,550
44,53133
44’63414
44-73702
44-83999
44-94305
45-04618
45-14940
45-25271
45-35609
45-45916
45-56311
45-66675
45-77047
45-87428
45-97817
46-08214
46-18620
46-29034
46-39457
46,49888
46-60328
46-70777
46-81234
46-91699
47-02174
47-12656
47-23148
47-33648
47,44157
47-54674
47-65200
47,75735
47-86279
47,96831
48,07392
48,17962
48,28541
48,39128
48,49725
48,60330
48,70944
48,81567
48,92198
49,02839
49,13489
49,24147
49,34815
49,45491
49,56177
49,66872
49,77575
10276
10285
10293
10301
10309
10318
10326
10334
10343
10351
10359
10368
10376
10385
10393
10402
10410
10419
10427
10436
10444
10453
10461
10470
10479
10487
10 496
10504
10513
10522
10530
10534
10548
10557
10566
10574
10583
10592
10601
10610
10618
10627
10636
10645
10654
10663
10672
10681
10690
10699
10708
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
0,550
551
552
553
55-
555
556
557
558
559
0,560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
0,570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
0,580
581
582
583
'584
585
586
587
588
589
0,590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
0,600
49>77575
49’88288
49-99009
50-09740
50,20480
50-31229
50-41987
50’52754
50,63530
50,74316
50,85111
50,95915
51,06728
51,17550
51,28382
51,39223
51,50073
51,60933
51,71801
51,82680
51,93567
52,04464
52,15370
52,26286
52,37211
52,48146
52,59090
52,70043
52,81006
52,91979
53,02961
53,13952
53,24953
53,35964
53,46984
53,58014
53,69054
53,80103
53,91161
54,02230
54,13308
54,24396
54,35493
54,46601
54,57718
54,68844
54,79981
54,91127
55,02283
55,13449
55,24625
10708
10717
10726
10735
10744
10753
10763
10772
10781
10790
10799
10809
10818
10827
10836
10846
10855
10864
10874
J0883
10892
10902
10911
10920
10930
10939
10949
10958
10968
10977
10987
10996
11006
11015
11025
11035
11044
11054
11064
11073
11083
11093
11102
11112
11122
11132
11141
11151
11161
11171
11181
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5

Продолжение
Таблица XII
Движение по параболе
G	М	Г	-/" 2 '	G	М		— 1" 2 1	G	М	/	1
0 ;600	55,24625	11181	5	0,650	60,96339	11695	5	0,700	66,94772	12250	6
601	55,35811	11191	5	651	61,08039	11705	5	701	67,07027	12261	6
602	55,47007	11201	5	652	61,19750	11716	5	702.	67,19294	12273	6
603	55,58212	11210	5	653	61,31471	11727	5	703	67,31572	12284	6
604	55,69428	11220	5	654	61,43203	11737	5	70'£	67,43862	12293	6
605	55,80653	11230	5	655	61,5*916	11748	5	705	67,56164	12307	6
606	55,91888	11240	5	656	61,66700	11759	5	706	67,68477	12319	6
607	56,03133	11250	5	657	61,78464	11770	5	707	67,80801	12331	6
608	56,14389	11260	5	658	61,90239	11781	5	708	67,93138	12342	6
609	56,25654	11270	5	659	62,02025	11791	5	709	68,05486	12354	6
0,610	56;36929	11280	5	0,660	62,13822	11802	5	0,710	68817845	12365	6
611	56,48215	11290	5	661	62,25630	11813	5	711	68,30217	12377	6
612	56,59510	11300	5	662	62,37449	11824	5	712	68,42600	12389	6
613	56,70815	11310	5	663	62,49278	11835	5	713	68,54994	12401	6
614	56,82131	11321	5	664	62,61119	11846	5	714	68,67401	12412	6
615	56,93456	11331	5	665	62,72970	11857	5	715	68,79819	12424	6
616	57,04792	11341	5	666	62,84932	11868	5	716	68,92249	12436	6
617	57,16138	11351	5	667	62,96705	11879	5	717	69,04690	12448	6
618	57,27494	11361	5	668	63,08589	11890	5	718	69,17144	12459	6
619	57;38860	11371	5	669	63,20485	11901	5	719	69,29609	12471	6
0,620	57,50326	11381	5	0,670	63,32391	11912	6	0,720	69,42086	12483	6
621	57,61613	11392	5	671	63,44308	11923	6	721	69,54575	12495	6
622	57,73019	11402	5	672	63,56236	11934	6	722	69,67076	12507	6
623	57,84456	11412	5	673	63,68175	11945	6	723	69,79589	12519	6
624	57,95843	11422	5	674	63,80126	11956	6	724	69,92113	12531	6
625	58,07271	11433	5	675	63,92087	11967	6	725	70,04650	12542	6
626	58,18709	11443	5	676	64,04059	11978	6	726	70,17198	12554	6
627	58,30157	11453	5	677	64,16043	11989	6	727	70,29758	12566	6
628	58,41615	11463	5	678	64,28038	12000	6	728	70,42331	12578	6
629	58,53083	11474	5	679	64,40044	12011	6	729	70,54915	12590	6
0,630	58,64562	11484	5	0,680	64,52061	12023	6	0,730	70,67511	12602	6
631	58,76052	11495	5	681	64,64089	12034	6 .	731	70,80119	12614	6
632	58,87551	11505	5	682	64,76128	12045	6	732	70,92740	12626	6
633	58,99062	11515	5	683	64,88179	12056	6	733	71,05372	12638	6
634	59,10582	11526	5	684	65,00241	12067	6	734	71,18016	12350	6
635	59,22113	11536	5	685	65,12314	12079	6	735	71,30673	12662	6
636	59,33654	11547	5	686	65,24398	12090	6	736	71,43341	12675	6
637	59,45206	11557	5	687	65,36494	12101	6	737	71,56022	12687	6
638	59,56769	11568	5	688	65,48601	12113	6	738	71,68715	12699	6
639	59,68341	11578	5	689	65,60719	12124	6	739	71,81419	12711	6
0,640	59,79925	11589	5	0,693	65,72849	12135	6	0,740	71,94136	12723	6
641	59,91518	11599	5	691	65,84990	12147	6	741	72,06866	12735	6
642	60,03123	11610	5	692	65,97142	12158	6	742	72,19607	12747	6
643	60,14738	11620	5	693	66,09306	12169	6	743	72,32360	12760	6
644	60,26363	11631	5	694	66,21481	12181	6	744	72,45126	12772	6
645	60,37999	11641	5	695	66,33667	12192	6	745	72,57904	12784	6
646	60,49646	11652	5	696	66,45865	12204	6	746	72,70694	12796	6
647	60,61303	11663	5	697	66,58075	12215	6	747	72,83497	12809	6
648	60,72971	11673	5	698	66,70296	12227	6	748	72,96312	12821	6
649	60,84650	11684	5	699	66,82528	12238	6	749	73,09139	12933	6
О',650	60,96339	11695	5	0,700	66,94772	12250	6	0,750	73,21978	12846	6
												-

Таблица XII
Движение по параболе
Продолжение
а	м	!'	1 2'	G	М		1 2'”	о	М	Г	L г!"
0,750	73,21978	12846	6	0,800	79,80014	13483	7	0,850	86,70935	14161	7
751	73,34830	12858	6	801	79,93504	13496	7	851	86,85103	14175	7
752	73,43694	12870	6	802	80,07006	13509	7	852	86,99285	14189	7
753	73,60571	12883	6	803	80,20522	13522	7	853	87,13481	14203	7
754	73,73459	12895	6	804	80,34051	13535	7	854	87,27691	14217	7
755	73,86361	12907	6	805	80,47593	13549	7	855	87,41915	14231	7
756	73,99274	12920	6	806	80,61148	13562	7	856	87,56153	14245	7
757	74,12200	12932	6	807	80,74717	13575	7	857	87,70405	14259	7
758	74,25139	12945	6	808	80,88298	13588	7	858	87,84671	14273	7
759	74,38090	12957	6	809	81,01894	13602	7	859	87,98952	14287	7
0,760	74,51053	12970	6	0,810	81,15502	13615	7	0,860	88,13246	14302	7
761	74,64029	12982	6	811	81,29124	73628	7	861	88,27555	14316	7
762	74,77018	12995	6	812	81,42759	13642	7	862	88,41878	14330	7
763	74,90019	13007	6	813	81,56407	13655	7	863	88,56215	14344	7
764	75,03032	13020	6	814	81,70069	13668	7	864	88,70566	14358	7
765	75,16059	13632	6	815	81,83744	13682	7	865	88,84931	14372	7
766	75,29097	13045	6	816	81,97433	13695	’7	866	88,99311	14387	7
767	75,42149	13058	6	817	82,11135	13709	7	867	89,13704	14401	7
768	75,55212	13070	6	818	82,24850	13722	7	868	89,28112	14415	7
769	75,68289	13083	6	819	82,38579	13736	7	869	89,42535	14429	7
0,770	75,81378	13095	6	0,820	82,52321	13749	7	0,870	89,56971	14444	7
771	75,94480	13108	6	821	82,66077	13763	7	871	89,71422	14458	7
772	76,07594	13121	6	822	82,79847	13776	7	872	89,85888	14472	7
773	76,20722	13134	6	823	82,93629	13790	7	873	93,00367	14487	7
774	76,33862	13146	6	824	83,07426	13803	7	874	90,14861	14501	7
775	76,47014	13159	6	825	.83,21236	13817	7	875	93,29369	14516	7
776	76,60180	13172	6	826	83,35059	13830	7	876	90,43892	14530	7
777	76,73358	13185	6	827	83,48896	13844	7	877	90,58429	14541	7
778	76,86549	13197	6	828	83,62747	13857	7	878	90,72981	14559	7
779	76,99752	13210	6	829	83,76611	12871	7	879	90,87547	14573	7
0,780	77,12969	13223	6	0,830	83,90489	13885	7	0,880	91,02127	14588	7
781	77,26198	13236	6	831	84,04381	13898	7	881	91,16722	14602	7
782	77,39440	13249	6	832	84,18286	13912	7	882	91,31331	14617	7
783	77,52695	13261	6	833	84,32205	13926	7	883	91,45955	14631	7
784	77,65963	13274	6	834	84,46137	13939	7	884	91,60594	14646	7
785	77,79244	13287	6	835	84,60084	13953	7	885	91,75247	14660	7
786	77,92538	13300	6	836	84,74044	13967	7	886	91,89914	14675	7
787	78,05845	13313	6	837	84,88017	13981	7	887	92,04596	14689	7
788	78,19164	13326	6	838	85,02005	13994	7	888	92,19293	14704	7
789	78,32497	13339	6	839	85,16006	14008	7	889	92,34004	14719	7
0,790	78,45842	13352	6	0,840	85,30021	14022	7	0,890	92,48730	14733	7
791	78,59201	13365	7	841	85,44050	14036	7	891	92,63470	14748	7
792	78,72572	13378	7	842	85,58093	14050	7	892	92,78225	14762	7
793	78,85957	13391	7	843	85,72150	14064	7	893	92,92995	14777	7
794	78,99354	13404	7	844	85,86220	14077	7	894	93,07780	14792	7
795	79,12765	13417	7	845	86,00305	14091	7	895	93,22579	14807	7
796	79,, 26189	ШЗО	7	846	86,14403	14105	7	896	93,37393	14821	7
797	79,39625	13443	7	847	86,28515	14119	7	897	93,52221	14836	7
798	79,53075	13456	7	848	86,42641	14133	7	898	93,67065	14851	7
г. 799	79,66538	13470	7	849	86,56781	14147	7	899	93,81923	14866	7
° >800	79,80014	13483	7	0,850	86,70935	14161	7	0,900	93,96796	14880	7

Таблица XU	Продолжи^
Движение ио параболе
а	м		Ч	G	М		1 F"	G	М	J	1~~
0,900	93,96796	14880	7	0,950	101,59652	15641	8	1,000	109,61558	16t42	3
901	94,11683	14895	7	951	101,75300	15656	8	001	109,78009	16459	8
902	94,26586	14910	7	952	101,90965	15672	8	002	109,94476	16475	8
903	94,41503	14925	7	953	102,06644	15688	8	003	110,10959	16492	8
904	94,56435	14940	7	954	102,22340	15703	8	004	110,27159	16508	8
905	94,71383	14955	7	955	102,38051	15719	8	005	110,43976	16525	8
905	94,86345	14969	7	956	102,53778	15735	8	006	110,60509	16541	8
907	95,01321	14984	7	957	102,69521	15751	8	007	110,77058	16558	8
908	95,16313	14999	7	958	102,85279	15766	8	008	110,93624	16574	8
909	95,31320	15014	7	959	1(13,01053	15782	8	009	111,10207	16591	8
0,910	95,46342	15029	7	0,960	103,16843	15798	8	1,010	111,26806	16608	8
911	95,61378	15044	7	961	103,32649	15814	8	011	111,43422	16624	8
912	95,76430	15059	7	962	103,48470	15829	8	012	111,60055	16641	8
913	95,91496	15074	8	963	103,64308	15845	8	013	111,76704	16657	8
914	96,06578	15089	8	964	103,80161	15861	8	014	111,93370	16674	8
915	96,21675	15104	8	965	103,96030	15877	8	015	112,10052	16691	8
916	96,36786	15119	8	966	104,11915	15893	8	016	112,26751	16708	8
917	96,51913	15134	8	967	104,27815	15909	8	017	112,43467	16724	8
918	96,67055	15149	8	968	104,43732	15925	8	018	112,60200	16741	8
919	96,82212	15164	8	969	104,59665	15941	8	019	112,76949	16758	8
0,920	96,97384	15180	8	0,970	104,75613	15956	8	1,020	112,93715	16774	8
921	97,12571	15195	8	971	104,91578	15972	8	021	113,10498	16791	8
922	97,27773	15210	8	972	105,07558	15988	8	022	113,27298	16808	8
923	97,42990	15225	8	973	105,23554	16004	8	023	113,44114	16825	8
924	97,58223	15240	8	974	105,39567	16020	8	024	113,60948	16842	8
925	97,73471	15255	8	975	105,55595	16036	8	025	113,77798	16859	8
926	97,88734	15271	8	976	105,71640	16052	8	026	113,94665	16875	8
927	98,04012	15285	8	977	105,87700	16068	8	027	114,11548	16892	8
928	98,19306	15301	8	978	106,03777	16085	8	028	114,28449	16909	8
929	98,34614	15316	8	979	106,19869	16101	8	029	114,45367	16926	8
0,93о	98,49938	15332	8	°>980	106,35978	16117	8	1,030	114,62301	16943	8
931	98,65278	15347	8	981	106,52103	16133	8	031	114,79253	16960	8
932	98,80632	15362	8	982	106,68244	16149	8	032	114,96221	16977	8
933	98,96002	15378	8	983	106,84401	16165	8	033	115,13207	16994'	8
934	99,11387	15393	8	984	107,00574	16181	8	034	115,3)209	17011	9
935	99,26788	15408	8	985	107,16764	16198	8	035	115,47228	17028	9
936	99,42204	15424	8	986	107,32969	16214	8	036	115,64265	17045	9
937	99,57636	15439	8	987	107,49191	16230	8	037	115,81318	17062	9
938	99,73082	15455	8	988	107,65429	16246	8	038	115,98389	17079	9
939	99,88545	15470	8	989	107/, 81684	16262	8	039	116,15476	17096	9
0,949	100,04922	15485	8	0,990	107,97954	16279	8	1,040	116,32581	17113	9
941	100,19515	15501	8	991	108х14241	16295	8	041	116,49703	17130	9
942	100,35024	15516	8	992	108,30544	16311	8	042	116,66842	17147	9
943	100,50548	15532	8	993	108,46864	16328	8	043	116,83997	17165	9
944	100,66088	15547	8	994	108,63200	16344	8	044	117,01171	17182	9
945	100,81643	15563	8	995	108,79552	16360	8	045	117,18361	17199	9
946	100,97213	15578	8	996	108,95920	16377	8	046	117,35568	17216	9
947	101,12800	15594	8	997	109,12305	16393	8	0i7	117,52793	17233	9
948	101,28401	15610	8	998	109,28706	16409	8	048	117,70035	17251	9
949	101,44919	15625	8	999	109,45124	16426	8	049	117,87294	1726-8	9
0,950	101,59652	15641	8	1,000	109,61558	16442	8	1,050	118,04571	17285	9 ..—'

Tia блица XII
Движение по параболе
П родолжение
с	Л/	7'
1,050	118,04571	17285
051	118,21864	17392
052	118,39175	17320
053	118,56503	17337
054	118,73849	17354
055	118,41212	17372
056	119,08592	17389
057	119,25989	17406
058	119,43404	17424
059	119,60837	17441
1,060	119,78287	17458
061	119,95754	17476
062	120,13238	17493
063	120,30740	17511
064	120,48260	17528
065	120,65797	17546
066	120,83352	17563
067	121,00924	17581
068	121,18513	17598
069	121,36121	17616
1,070	121,53745	17634
071	121,71388	17651
072	121,89048	17669
073	122,06725	17686
074	122,24421	17704
075	122,42134	17722
076	122,59864	17739
077	122,77613	17757
078	122,95379	17775
079	123,13162	17793
1,080	123,30964	17810
081	123,48783	17828
082	123,66620	17846
083	123,84475	17864
084	124,02347	17882
085	124,20238	17899
086	124,38146	17917
087	124,56072	17935
088	124,74016	17953
089	124,91978	17971
1,090	125,09958	17989
091	125,27955	18007
092	125,45971	18025
093	125,64005	18043
094	125,82056	18061
095	126,00126	18079
096	126,18213	18097
097	126,36319	18115
098	126,54443	18133
099	126,72584	18151
1,100	126,90744	18169
1 2 7	а	м	1'	к	а	М	j'	1 У"
9	1,100	126,90744	18169	9	1,150	136,22134	19094	9
9	101	127,08922	18187	9	151	136,41237	19113	9
9	102	127,27117	18205	9	152	136,60359	19132	9
9	103	127,45332	18223	9	153	136,79500	19150	9
9	104	127,63564	18241	9	154	136,98660	19169	9
9	105	127,81814	18259	9	155	137,17839	19188	9
9	106	128,00083	18278	9	156	137,37037	19207	10
9	107	128,18370	18296	9	157	137,56254	19226	10
9	108	128,36674	18314	9	158	137,75490	19245	10
9	109	128,54998	18332	9	159	137,94745	19265	10
9	1,110	128,73339	18350	9	1,160	138,14019	19284	10
9	111	128,41698	18369	9	161	138,33312	19303	10
9	112	129,10076	18387	9	162	138,52624	19322	10
9	113	129,28472	18405	9	163	138,71955	19341	10
9	114	129,46887	18424	9	164	138,91306	19360	10
9	115	129,65320	18442	9	165	139,10675	19379	10
9	116	129,83771	18460	9	166	139,30064	19398	10
9	117	130,02240	18479	9	167	139,49472	19417	10
9	118	130,20728	18497	9	168	139,68899	19437	10
9	119	130,39234	18515	9	169	139,88345	19456	10
9	1,120	130,57759	18534	9	1,170	140,07811	19475	10
9	121	130,76302	18552	9	171	140,27296	19494	10
9	122	130,94863	18571	9	172	140:, 46800	19514	10
9	123	131,13443	18589	9	173	140,66323	19533	10
9	124	131,32042	18608	9	174	140,85865	19552	10
9	125	131,50658	18626	9	175	141,05427	19572	10
9	126	131,69294	18645	9	176	141,25008	19591	10
9	127	131,87948	18663	9	177	141,44609	19610	10
9	128	132,06620	18682	9	178	141,64229	19630	10
9	129	132,25311	18700	9	179	141,83868	19649	10
9	1,130	132,44020	18719	9	1,180	142,03527	19668	10
9	131	132,62748	18737	9	181	142,23205	19688	10
9	132	132,81495	18756	9	182	142,42902	19707	10
9	133	133,00260	18775	9	183	142,62619	19727	10
9	134	133,19044	18793	9	184	142,82355	19746	10
9	135	133,37847	18812	9	185	143,02111	19766	10
9	136	133,56668	18831	9	186	143,21886	19785	10
9	137	133,75508	18849	9	187	143,41681	19805	10
9	138	133,94367	18868	9	188	143,61496	19824	10
9	139	134,13244	18887	9	189	143,81329	19844	10
9	1,140	134,32140	18905	9	Ь190	144 01183	19863	10
9	141	134,51055	18924	9	191	144,21056	19883	10
9	142	134,69988	18943	9	192	144 40948	19902	10
9	143	134,88941	18962	9	193	144’60860	19922	10
9	144	135,07912	18981	9	194	144,80792	19942	10
9	145	135,26902	18999	9	195	145,00744	19961	10
9	146	135,45910	19018	9	196	145,20715	19981	10
9	147	135,64938	19037	9	197	145,40705	20001	10
9	148	135,83984	19056	9	198	145,60716	20020	10
9	149	136,03050	19075	9	199	145,80746	20040	10
9	1,150	136,22 34	19094	9	1,200	146,00795	20060	10

Продолжение
Таблица XII
Движение по параболе
1,200	146,00795	20060	10	1,2'0	156,28784	21067	10	1,300	167,08155	22115	11
201	146,20865	20079	10	251	156,49861	21087	10	301	167,30281	22136	11
202	146,40954	20099	10	252	156,70959	21108	10	302	167,52428	22158	11
203	146,61063	20119	10	253	156,92077	21128	10	303	167,74596	22179	11
204	146,81192	20139	10	254	157,13216	21149	10	304	167,96786	22201	11
205	147,01341	20159	10	255	157,34375	21170	10	305	168,18997	22222	11
206	147,21509	20178	10	256	157,55555	21190	10	306	168,41230	22243	11
207	147,41697	20198	10	257	157,76756	21211	10	307	168,63484	22265	11
208	147,61905	20218	10	258	157,97977	21232	10	308	168,85760	22286	11
209	147,82133	20238	10	259	158,19219	21252	10	309	169,08057	22308	11
1,210	148,02381	20258	10	1,260	158,49482	21273	10	1,310	169,30376	22330	и
211	148,22649	20278	10	261	158,61765	21294	10	311	169,52716	22351	11
212	148,42937	20298	1Q	262	158,83070	21315	10	312	169,75078	22373	11
213	148,63244	20318	10	263	159,04395	21335	10	313	169.97462	22394	11
214	148,83572	20337	10	264	159,25740	21356	10	314	170,19867	22416	11
215	149,03919	20357	10	265	159,4710.7	21377	10	315	170,42293	22437	11
216	149,24287	20377	10	266	159,68494	21398	10	316	170,64341	22459	11
217	149,44674	20397	10	267	159,89902	21419	10	317	170,81211	22481	11
218	149,65082	20417	10	268	160,11331	21439	10	318	171,09703	22502	11
219	149,85509	20438	10	269	160,32781	21460	10	319	171,32216	22524	11
1,220	150,05957	20458	10	1,270	160,54252	21481	10	1,320	171,54751	22546	11
221	150,26424	20478	10	271	160,75743	21502	10	321	171,77307	22567	11
222	150,46912	20498	10	272	160,97255	21523	10	322	171,99886	22589	•11
223	150,67420	20518	10	273	161,18789	21544	10	323	172,22486	22611	11
224	150,87947	20538	10	274	161,40343	21565	10	324	172,451.08	22633	11
225	151,08495	20558	10	275	161,61918	21586	10	325	172,67751	22654	11
226	151,29064	20578	10	276	161,83515	21607	10	326	172,90417	22676	11
227	151,49652	20598	10	277	162,05132	21628	10	327	173,13104	22698	11
228	151,70260	20619	10	278	162,26770	21649	11	328	173,35813	22720	11
229	151,90889	20639	10	279	162,48429	21670	11	329	173,58543	22742	1L
1,230	152,11538	20659	10	1,280	162,70109	21691	11	1,330	173,81296	22764	11
231	152,32207	20679	10	281	162,91811	21712	11	331	174,04071	22785	11
232	152,52896	20699	10	282	163,13533	21733	11	332	174,26867	22807	11
233	152,73606	20720	10	283	163,35276	21754	11	333	174,49685	22829	11
234	152,94336	20740	10	284	163,57041	21775	11	334	174,72526	22851	П
235	153,15086	20760	10	285	163,78826	21796	11	335	174,95388	22873	11
236	153,35856	20781	10	286	164,09633	21817	11	336	175,18272	22895	11
237	153,56647	20801	10	287	164,22461	21838	11	337	175,41178	22917	11
238	153,77458	20821	10	288	164,44310	21860	11	338	175,64106	22939	11
239	153,98290	20842	10	289	164,66180	21881	11	339	175,87056	22961	11
1,240	154,19142	20862	10	1,290	164,88072	21902	11	1,340	176,10028	22983	11 '
241	154,40014	20882	10	291	165,09984	21923	11	341	176,33022	23005	И !
242	154,60906	20903	10	292	165,31918	21944	11	342	176,56038	23127	11
243	154,81820	20923	10	293	165,53873	21966	11	343	176,79077	23049	11
244	155,02753	20944	10	294	165,75850	21987	11	344	177,02137	23971	11
245	155,23707	20964	10	295	165,97847	22008	11	345	177,25219	23993	11
246	155,44681	20985	10	29'3	166,19866	22030	11	345	177,48324	23116	11 ;
247	155,65676	21005	10	297	166,41906	22051	11	347	177,71451	23138	И:
248	155,86692	21026	10	298	166,63968	22072	11	348	177,94599	23160	1; :
249	156,07728	21046	10	299	166,86051	22094	и	349	178,11770	23182	11
1,250	156,28784	21067	10	1,300	167,08155	22115	11	1,350	178,40964	23204	11 
												

Таблица XII
Движение по параболе
П родолжениэ
с
М
/' {г ’
м

м

1,350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
1,360
361
362
363
364
365
366
367
' 358
369
1,370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
1,383
381
382
383
384
385
386
387
388
389
1,390
391
392
393
394
395
396
397
398
. 399
т, 400
178,40964
178,6 И79
178,87416
179,10676
179,33958
179,57262
179,80589
180,03938
180,27309
180,50703
180,74119
180,97557
181,21017
181,44500
181,68006
181,91534
182,15084
182,38657
182,62252
182,85870
183,09510
183,33173
183,56858
183,80565
184,04295
184,280 19
184,51825
184,75623
184,99444
185,23288
185,47154
185,71043
185,94954
186,18889
186,12486
186,66826
186,90828
187,14854
187,38902
187,62973
187,87067
188,11183
188,35323
188,59485
188,83571
189,07879
189,32110
189,56365
189,80642
190,01942
190,29265
23204
23226
23249
232*71
23293
23315
23338
23360
23382
23405
23127
23449
23472
23494
23517
23539
23562
23584
23505
23629
23651
23674
23697
23719
23742
23764
23787
23810
23832
23855
23878
23900
23923
23946
23968
23991
24011
24037
24060
24082
24105
24128
24151
24174
24197
24220
24243
24266
24289
24312
21335
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
12
12
1,400
401
402
403
404
190,29265
190,53611
190,77980
191,02373
191,25788
405 191,51226
406 191,75688
407
408
409
1,410
411
412
413
414
415
416
417
4T8
419
t,420
421
422
423
424
425
426
192,00173
192,24680
192,49211
192,73765
192,98343
193,22943
193,47567
193,72214
193,95884
194,21577
194,46294
194,71034
194,95797
195,20584
195,45394
195,70227
195,95084
196,19964
196,44868
196,69795
427 196,94745
428 197,19719
429
1,430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
197,44717
197,69737
197,94782
198,19850
198,44941
198,70056
198,95195
199,20357
199,45543
199 ,.70752
199,95985
I, *40 2)0,21.242
44j. 209,46523
442 200,71827
443
444
4 45
446
447
448
449
1,450'202,75115
200,97155
201,22506
201,47881
201,73280
201,98703
202,21150
202,49620
24335
24358
24381
24404
24127
24450
24473
24496
24519
24542
24566
24589
24612
24635
24659
24682
24705
24728
24752
24775
24798
24822
24845
24868
24892
24915
24939
24962
24986
25009
25033
25056
25080
25103
25127
25150
25174
25198
25221
25245
25269
25292
25316
25340
25353
25387
25411
25435
25459
25482
25506
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
1,450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
1,460
461
462
463
464
465
466
457
468
469
1,470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
1,480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
1,490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
1,500
202,75115
203,00633
203,26175
203,51740
203,77370
204,02944
204,28581
204,54243
204,79928
205,05638
205,31371
205,57129
205,82910
206,08715
206,31545
206,60399
206,86276
207,12178
207,38104
207,64054
207,90028
208,16027
208,42049
208,68096
208,94167
209,20262
209,46382
209,72525
209,98693
210,24886
210,51102
210,77343
211,03509
211,29898
211,56213
211,82551
212,08914
212,35301
212,61713
212,88149
213,14610
213,31095
>13,57605
213,84139
214,10698
214,37282
214,63890
214,90522
215,17179
215,43861
215,80568
25506
25530
25554
25578
25602
25626
25650
25673
25697
25721
25745
25769
25793
25818
25842
25866
25890
25914
25938
25962
25986
26010
26035
26059
26083
26107
26132
26156
26180
26204
26'229
26253
26278
26392
26326
26351
26375
26400
26424
26449
26473
26497
26522
26547
26571
26596
26620
26645
26670
26694
26719
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12

Таблица XII
Движение по параболе
Продолжение
а	М	V	1 (/")	а	м	Г	4 (/';
1,50	215,80568	2,67188	1235	2,00	383,65454	4,11058	1647
51	218,48992	2,69663	1244	01	387,78159	4,14355	1655
52	221,19898	2,72154	1252	02	391,94169	4,17668	1663
53	223,93304	2,74661	1260	03	396,13501	’ 4,20998	1671
54	226,69226	2,77185	1268	04	400,36170	4,24314	1679
55	229,47679	2,79725	1277	05	404,62194	4,27706	1688
56	232,28682	2,82282	1285	06	408,91589	4,31085	1696
57	235,12249	2,84855	1293	07	413,24370	4,34481	1704
58	237,98398	2,87445	1301	08	417,69555	4,37892	1712
59	240,87144	2,90051	13)9	09	422,00160	4,41321	1721
1,60	243,78505	2,92674	1318	2,10	426,43202	4,44765	1729
61	246,72497	2,95313	1326	11	430,89696	4,48226	1737
62	249,69136	2,97968	1334	12	435,39660	4,51704	1745
63	252,68439	3,00640	1342	13	439,93109	4,55198	1753
64	255,70421	3,03328	1351	14	445,50061	4,58708	1762
65	258,75101	3,06033	1359	15	449,10531	4,62235	1770
66	261,82493	3,08754	1367	16	453,74537	4,65779	1778
67	264,92615	3,11492	1375	17	458,42094	4,69338	1786
68	268,05482	3,14246	1383	18	463,13219	4,72915	1795
69	271,21112	3,17016	1392	19	467,87929	4,76507	1803
1,70	274,39540	3,19803	1400	2,20	472,66239	4,80116	1811
71	277,60724	3,22607	1408	21	477,48166	4,83742	1819
72	280,84740	3,25427	1416	22	482,33728	4,87384	1827
73	284,11583	3,28263	1425	23	487,22939	4,91042	1836
74	287,41271	3,31116	1433	24	492,15818	4,94717	1844
75	290,73820	3,33985	1441	25	497,12379	4,98408	1852
76	294,09217	3,36871	1449	. 26	502,12640	5,02116	1860
77	297,47567	3,39773	1457	27	507,16617	5,05840	1869
78	3)0,88798	3,42691	1465	28	512,24326	5,09581	1877
79	3)4,32955	3,45626	1474	29	517,35784	5,13338	1885
1,80	3)7,80055	3,48578	1482	2,30	522,51007	5,17112	1893
81	311,30115	3,51545	1490	31	527,70013	5,20901	1901
82	314,83152	3,54533	1499	32	532,92816	5,24708	1910
83	318,39180	3,57530	1507	33	538,19134	5,28531	1918
84	321,98218	3,60548	1515	34	543,49883	5,32370	1926
85	325,60281	3,63581	1523	35	548,84179	5,36226	1934
86	329,25386	3,66631	1531	36	554,22340	5,40098	1942
87	332,93549	3,69698	1540	37	559,64380	5,43987	195 J
88	336,64787	3,72781	1548	38	565,10318	5,47892	1959
89	340,39116	3,75880	1556	39	570,60169	5,51813	1967
1,90	344,16552	3,78996	1564	2,40	576,13950	5,55751	1975
91	347,97113	3,82128	1573	41	581,71677	5,59705	1984
92	351,80814	3,85277	1581	42	587,33366	5,63676	1992
93	355,67672	3,88442	1589	43	592,99034	5,67663	2000
94	359,5770i	3,91624	1597	44	598,68698	5,71667	2008
95	363,50925	3,91822	1605	45	604,42374	5,75687	2016
96	367,47352	3,98036	1614	46	610,20079	5,79724	2025
97	371,47002	4,01267	1622	47	616,01828	5,83777	2033
98	375,49892	4,04514	1630	48	621,87638	5,87846	2041
99	379,56037	4,07778	1638	49	627,77526	5,91932	2049
2,00	383,65454	4,11058	1647	2,50	633,71508	5,96035	2058

Таблица XII
Движение по параболе
П родолжение
с	М		5	с	м		(Г)
2,50	633,71508	5,96035	2058	3,00	986,54024	8,22117	2469
51	639,69601	6,00154	2066	01	994,78609	8/,27058	2477
52	645,71821	6^04289	2074	02	1003,08145	8,32015	2485
53	651,78184	6,08440	2082	03	1011,42645	8,36989	2493
54 55	657,88707 664,03407	6,12609 6,16793	2090 2099	04 05	1019,82128 1026,26609	8,41979 8,46986	2502 2510
56	670,22299	6,20994	2107	06	1036,76105	8,52009	2518
57	676,45401	6,25212	2115	07	1045,30633	8,57049	2526
58	682,72728	6,29946	2123	08	1053,90208	8,62105	2534
59	689,04297	6,33696	2132	09	1062,54847	8,67177	2543
2,60	695,40125	6,37963	2140	3,10	1071,24568	8,72266	2551
61	701,80228	6,42246	2148	И	1079,99385	8,77371	2559
62	708,24622	6,46546	2156	12	1088,79316	8,82493	2567
63	714,73325	6,50862	2164	13	1097,64377	8,87631	2576
64	721,26351	6,55194	2173	14	1106,54584	8,92786	2584
65	727,83719	6,59543	2181	15	1115,49954	8,97957	2592
66	734,45443	6,63909	2189	16	1124,50504	9,03145	2600
67	741,11541	6,68291	2197	17	1133,56249	9,08349	2608
68	747,82030	6,72689	2206	18	1142,67207	9,13569	2617
69	754,56925	6,77104	2214	19	1151,83393	9,18806	2625
2i 70	761,36243	6,81535	2222	3,20	1161,04824	9,24059	2633
71	768,20000	6,85983	2230	21	1170,31517	9,29329	2641
72	775,08213	6,90447	2238	22	1179,63488	9,35615	2650
73	782,00899	6,94927	2247	23	1189,00753	9,39918	2658
74	788,98073	6,99424	2255	24	1198,43329	9,45237	2666
75	795,99753	7,03938	2263	25	1207,91233	9,50573	2674
76	803,05954	7,08467	2271	26	1217,44480	9,55925	2682
77	810,16693	7,13014	2280	27	1227,03088	9,61293	2691
78	817,31987	7,17576	2288	28	1235,67072	9,66778	2699
79	825,51851	7,22156	2296	29	1246,36449	9,72079	2707
2,80	831,76393	7,2675'1	2304	3,30	1256,11235	9,77497	2715
81	839,05359	7,31363	2312	31	1265,91448	9,82931	2724
82	846,39036	7,35992	2321	32	1275,77103	9,88382	2732
83	853,77349	7,40637	2329	33	1285,68217	9,93849	2740
84	861,20315	7,45298	2337	34	1295,64806	9,99332	2748
85	868,67951	7,49976	2345	35	1305,66887	10,04832	2756
86	876,20273	7,54670	2354	36	1315,74477	10,10349	2765
87	883,77297	7,59381	2362	37	1325,87590	10,15882	2773
88	891,39040	7,64108	2370	38	1336,06245	10,21431	2781
89	899,05519	7,68852	2378	39	1346,30458	10,26997	2789
2,90	906,76750	7,73612	2386	3,40	1356,60244	10,32579	2797
91	914,52748	7,78388	2395	41	1366,95621	10,38177	2806
92	922,33522	7,83181	2403	42	1377,36604	10,43792	2814
93	930,19117	7,87991	2411	43	1387,83211	10,49424	2822
94	938,09519	7,92817	2419	44	1398,35458	10,55772	2830
95	946,04755	7>97659	2428	45	1408,93360	10,60736	2839
96	954,04842	8,02518	2436	46	1419,56936	10,66417	2847
97	962,09796	8,07393	2444	47	1430,26200	10,72114	2855
98	970,19633	8,12284	2452	48	1441,01170	10,77828	2863
99	978,34370	8,17192	2460	49	1451,81862	10,83558	2871
3,00	986,54024	8,22117	2469	3,50	1462,68292	10,89305	2880

Таблица XII
Движение по параболе
П родолжение
а	М			G	М	Г	1 , 2
3,50	1462,68292	10,89305	2880	4,00	2082,69605	13,97599	3291
51	1473,60477	10,95068	2888	01	2096,70495	14,04184	3299
52	1484,58433	11,00847	2896	02	2110,77978	14,10785	3307
53	1495,62177	11,06643	2904	03	2124,92071	14,17403	3315
54	1506,71725	11,12456	2913	04	2139,12791	14,24038	3324
55	1517,87094	11,18284	2921	05	2153,40153	14,30689	3332
56	1529,08390	11,24130	2929	06	2167,74174	14,37356	3340
57	1540,35359	11,29991	2937	07	2182,14871	14,44040	3348
58	1551,68288	11,35870	2945	08	2196,62260	14,50740	3357
59	1563,07103	11,41764	2954	09	2211,16357	14,57457	3365
3,60	1574,51^22	11,47675	2962	4,10	2225,77179	14,64190	3373
61	1586,02459	11,53603	2970	11	2240,44743	14,70940	3381
62	1597,59032	11,59547	2978	12	2255,19064	14,77706	3389
63	1609,21558	11,65507	2987	13	2270,00160	14,84483	3398
64	1620,90051	11,71484	2995	14	2284,88046	14,91287	3406
65	1632,64530	11,77477	3003	15	2299,82739	14,93102	3414
66	1644,45011	11,83487	зон	16	2314,84256	15,04934	3422
67	1656,31509	11,89513	3019	17	2329,92613	15,11782	3431
68	1668,24042	11,95555	3028	18	2345,07827	15,18647	3439
69	1680,22625	12,01614	3036	19	2360,29913	15,25528	3447
3,70	1692,27275	12,07690	3044	4,20	2375,58889	15,32426	3455
71	1704,38010	12,13782	3052	21	2390,94770.	15,39340	3463
72	1716,54844	12,19890	3051	22	2406,37574	15,46270	3472
73	1728,77795	12,26015	3069	23	2421,87316	15,53217	3480 '
74	1741,06879	12,32156	3077	24	2437,44014	15,60180	3488
75	1753,42112	12,38314	3085	25	2453,07683	15,67160	3496
76	1765,83511	12,44488'	3093	26	2468,78340	15,74156	3505
77	1778,31093	12,50678	3102	27	2484,56001	15,81169	3513
78	1799,84873	12,56885	3110	28	2500,40683	15,88198	3521
79	1803,44869	12,63109	ЗЦ8	29	2516,32403	15,95244	3529
3,80	1816,11096	12,69348	3126	4,39	2532,31176	16,02306	3537
81	1828,83571	12,75605	3135	31	2548,37020	16,09384	3546
82	1841,62311	12,81877	3143	32	2564,49950	16,16479	3554
83	1854,47331	12,88167	3151	33	2580,69981	16,23590	3562
84	1867,38650	12,94472	3159	34	2596,97137	16,33718	3570
85	1880,35282	13,00794	3167	35	2613,31425	16,37862	3579
86	1893,40244	13,07133	3176	36	2529,72867	16,45023	3587
87	1906,50553	13,13488	3184	37	2646,21477	16,52200	3595
88	1919,67225	13,19859	3192	38	2662,77272	16,59394	3503
89	1932,90277	13,26247	3200	39	2679,40269	16,66604	3611
3,90	1946,19725	13,32651	3209	4,40	2596,10485	16,73839	3520
91	195-9,55585	13,39072	3217	41	2712,87935	16,81073	3528
92	1972,97875	13,45509	32’5	42	2729,72636	16,88332	3635
93	1936,45610	13,51963	3233	43	2746,64604	16,95608	3644
9t	2000,01806	13,58433	3241	44	2763,63857	17,029)0	3652
95	2013,63481	13,64920	3250	45	2780,70410	17,10209	3661
96	2027,31651	13,71422	3’58	46	2793,84280	17,17534	3669
97	2041,06331	13,77942	3266	47	2815,05483	17,24875	3677
98	2054,87540	13,81478	3274	48	2832,34035	17,32233	3585
99	2068,75292	13,91030	3283	49	2849,69954	17,39608	3594
4,00	2082,69605	13,97599	3291	4,50	2867,13256	17,46993	3702

П род олжение
Таблица XII
Движение по параболе
а	М		^(Г)	а	М	i Г	5|/-|
4,50	2867,13256	17,46998	3702	5,00	3836,54536	21,37504	4113
51.	2884,63957	17,54406	3710	01.	3857,96153	21,45733	4121
52	2902,22073	17,61829	3718	02	3379,46008	21,53979	4129
53	2919,87621	17,69269	3726	03	3901,04117	21,62241	4133
54	2937,60617	17,76726	3735	04	3922,70496	21,70520	4146
55	2955,41078	17,84199	3743	05	3944,45162	21,78815	4154
56	2973,29021	17,91689	3751	06	3966,28132	21,87127	4162
57	2991,24461	17,99195	3759	07	3988,19421	21,95455	4170
58	3009,27415	18,06717	3768	08	4910,19047	22,03799	4179’
59	3927,37900	18,14256	3776	09	4032,27026	22,12160	4187
'1,60	3045,55932	18,21811	3784	5,10	4054,43373	22,20538	4195
61	3)63,81528	18,29383	3792	11.	4076,68106	22,28931	4203
62	3082,14703	18,35971	3300	12	4099,01242	22,37342	4212
63	3190,55475	18,44575	3899	13	4121,42795	22,45768	4220
64	3119,03859	18,52196	3817	14	4113,92784	22,5 4212	4228'
65	3)37,59873	18,59834	3825	15	4166,51224	22,62671	4236
66	3156,23533	18,67488	3833	16	4189,18132	22,71147	4244
67	317 1,94854	18,75158	3342	17	4211,93524	22,79640	4253
68	3193,73354	18,82845	3850	18	4234,77416	22,88149	4261
69	3212,60549	18,90548	3358	19	4257,68926	22,93674	4269
4,70	3231,54956	18,98268	3866	5,20	4280,70770	23,05216	4277
71	3250,57091	19,06004	3874	21	4393,81263	23,13774	4286
72	3269,66969	19,13757	3883	22	4326,98323	23,22349	4294
73	3288,84609	19,21526	3391	23	4350,24966	23,309 40	4302
74	3308,10026	19,29311	3399	24	4373,60208	23,39547	4310
75	3327,43237	19,37113	3907	25	4397,0 4066	23,48171	4318
76	3346,84257	19,44931	3916	26	4420,56556	23,56812	4327
77	3366,33104	19,52766	3924	27	4444,17695	23,65469	4335
78	3385,89795	19,60617	3932	28	4467,87 4 99	23,74142	4343
79	3405,54344	19,68485	3940	29	4491,65984	23,82832	4351
4,80	3425,26770	19,76369	3948	5,30	4515,53168	23,91533	4350
81	3445,07088	19,84269	3957	31	4539,49966	24,00261	4368
82	3464,95314	19,92186	3965	32	4563,53694	24,09000	4376
83	3484,91466	20,00120	3973	33	4587,67071	24,17755	4334
84	3504,95559	20,08070	3981	34	4611,89210	24,26527	4392
85	3525,07611	20,16036	3990	35	4636,20131	24,35316	4401
86	3545,27637	20,24019	3998	36	4660,59847	24,44121	4409
87	3565,55654	20,32018	4006	37	4685,08377	24,52942	4417
88	3585,91679	20,40034	4014	38	4709,65736	24,61780	4425
89	3606,35727	20,48066	4022	39	4734,31942	24,70634	4434
4,90	3626,87816	20,56114	4031	5,40	4759,07010	24,79504	4 ь42
91	3647,47951	20,64179	4039	41	4783,90956	24,88392	4450
92	3568,16180	20,72261	4047	42	4808,83798	24,97295	"*458
93	3688,92488	20,80359	4055	43	4833,85552	25,06215	4466
94	3709,76902	20,88473	4064	44	4858,96234	25,15151	4475
95	3730,69439	20,96604	4072	45	4884,15860	25,24104	4483
96	3751,70115	21,04751	4080	46	4909,44448	25,33074	4491
97	3772,78946	21,12914	4038	47	4934,82013	25,42059	4499
98	3793,95949	21,21094	4096	48	4960,28572	25,51062	4508
99	3815,21140	21,29291	4105	49	4985,84141	25,60080	4516
5,00	3835,5*536	21,37504	4113	5,50	5011,48733	25,69115	4524
А. д. Дубяго

Пръд олжение
Таблица XII
Движение по параболе
а	М		4 (Г)	G	м		т <п
5,50	5011,48738	25,69115	4524	6,00	6'112,51153	30,41832	4935
51	5037,22377	25,78167	4532	01	6442,97921	30,51706	4943
52	5063,05077	25,87235	4540	02	6473,54571	30,61596	4951
53	5088,96852	25,96319	4549	03	6504,21119	30,71503	4960
54	5114,97720	26,05420	4557	04	6534,97581	30,81426	4968
55	5141,07697	26,14537	4565	05	6565,83975	30,91365	4976
56	5167,26800	26,23671	4573	06	6596,80317	31,01321	4984
57	5193,55044	26,32821	4581	07	6627,86622	31,11293	4993
58	5219,92447	26,41988	4590	08	6659,02908	31,21282	5001
59	5246 39025	26,51171	4598	09	6690,29191	31,31287	5009
5,60	5272,94794	26,60370	4606	6,Ю	6721,65487	31,41309	5017
61	5299,59771	26,69586	4614	11	6753,11814	31,51347	5025
62	5326,33972	26,78818	4623	12	6784,68186	31,61401	5034
63	5353,17413	26,88067	^631	13	6816,34621	31,71472	5042
64	5380,10112	26,97333	4639	14	6848,11136	31,81559	5050
65	5407,12084	27,06614	4647	15	6879,97746	31,91663	5058
66	5434,23346	27,15912	4655	16	6911,94467	32,01783	5067
67	5461,43914	27,25227	4664	17	6944,01318	32,11920	5075
68	5488,73805	27,34558	4672	18	6976,18313	32,22073	5083
69	5516,13036	27,43905	4680	19	7008,45470	32,32243	5091
5,70	5543,61622	27,53269	4688	6,20	7040,82804	32,42429	5099
71	5571,19580	27,62650	4697	21	7073,30333	32,52631	5108
72	5598,86927	27,72047	4705	22	7105,88073	32,62850	51 i 6
73	5626,63679	27,81460	4713	23	7138,56039	32,73086	517 4
74	5654,49852	27,90889	1721	24	7171,34249	32,83337	5132
, 75	5682,45463	28,00336	4729	25	7204,22720	32,93606	51.41
76	5710,50528	28,09798	4738	26	7237,21466	33,03890	51. -9
77	5738,65065	28,19277	4746	27	7270,30506	33,14191	5157
78	5766,89088	28,28773	4754	28	7303,49855	33,24509	5165
79	5795,22615	28,38284	4762	29	7336,79529	33,34843	5173
5,80	5823,65663	28,47813	4771	6,30	7370,19546	33,45194	5182
81	5852,18246	28,57358	4779	31	7403,69922	' 33,55560	5190
82	5880,80333	28,66919	4787	32	7437,30673	33,65944	5198
83	5909,52089	28,76496	4795	33	7471,01815	33,76344	5206
84	5938,33382	28,86091	4803	34	7504,83365	33,85760	5215
85	5967,24276	28,95701	4812	35	7538,75340	33,97192	5223
86	5996,24789	29,05398	4820	36	7572,77756	34,07642	5231.
87	6025,34938	29,14972	4828	37	7606,90528	34,18107	5239
88	6054,54738	29,24631	4836	38	7641,13975	34,28589	5247
89	6083,84206	29,34308	4845	39	7675,47812	34,39087	5256
5,90	6113,23359	29,44000	4853	6,40	7709,92156	34,19602	526 t
91	6142,72213	29,53710	4861	41	7744,47022	34,60134	5272
92	6172,30784	29,63435	4869	42	7779,12428	34,70681	5280
93	6201,99089	29,73177	4877	43	7813,88391	34,81246	5289
94	6231,77144	29,82936	4886	24	7848,74925	34,91826	5297
95	6261,64966	29,92711	4894	45	7883,72049	35,02423	5305
96	6291,62571	30,02502	4902	46	7918,79777	35,13037	5313
97	6321,69976	30,12310	4910	47	7953,98128	35,23667	5321
98	6351,87197	30,22134	4919	48	7989,27117	35,34313	5330
99	6382,14251	30,31975	4927	49	8024,66760	35,44976	5338
6,00	6412,51153	30,41832	4935	6,50	8060,17074	35,55655	5346
							

Таблица XII	Продолжение
Движение по параболе
а	М	Г	у(/")	а	М	г	| (/")
6,50	8060,17074	35,55655	5346	6,75	8982,91128	1 38,27982	5552
51	8095,78076	35,66351	535'*	76	9021,24662	38,39088	5560
52	8132,49782	35,77063	5353	77	9059,69311	38,50212	5568
53	8167,32208	35,87792	5371	78	9098,25091	38,61351	5576
5*	8203,25372	35,98537	5379	79	9136,92019	38,72507	5584
55	8239,29288	36,09299	5387	6,80	9175,70111	38,83680	5593
56	8275,43974	36,20077	5395	81	9214,59385	38,94869	5601
57	8311,69447	36,30871	5404	82	9253,59855	39,06075	5609
58	8318,05721	36,41632	5412	83	9292,71539	39,17296	5617
59	8384,52815	36,52509	5420	84	9331,94453	39,28535	5626
6,60	8421,10745	36,63353	5428	85	9371,28614	39,39790	5634
61	8457,79526	36,74213	5436	86	9410,74038	39,51061	5642
62	8494,59176	36,85090	5445	87	9450,30741	39,62348	5650
63	8531,4971!	36,95983	5453	88	9489,98740	39,73643	5658
64	8568,51147	37,06892	5461	89	9529,78052	39,84973	5667
65	8605,63501	37,17818	5469	6,90	9569,68692	39,96310	5675
66	8642,86788	37,28760	5478	91	9609,70677	40,07664	5683
67	8680,21027	37,39719	5486	92	9649,84024	40,19033	5691
68	8717,66232	37,50694	5494	93	9690,08750	40,30420	5700
69	8755,22421	37,61686	5502	94	9730,44869	40,41822	5708
6,70	8792,89610	37,72694	5510	95	9770,92400	40,53242	5716
71	8830,67815	37,83719	5519	96	9811,51358	40,64677	5724
72	8868,57053	37,94760	5527	97	9852,21760	40,76129	5732
73	8906,57340	38,05817	5535	98	9893,03622	40,87598	5741
74	8944,68693	38,16891	5543	99	9933,96961	40,99083	5749
75	8982,91128	38,27982	5552	7,00	9975,01794	41,10584	5757
26*

Таблица XIII
Истинная аномалия для параболы
м	0,0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8				. 0,9
0	0?000	0?139	0?279	0?418	0?558	0?697	О?835	0?976	17115	1,254
1	1,394	1,533	1,672	1,812	1,951	2,090	2,230	2,369	2,508	2,6 V}
2	2,787	2,926	3,065	3,204	3,343	3,483	3,622	3,761	3,900	4,039
3	4,178	4,317	4,456	4,595	4,734	4,873	5,011 6,398	5,150	5,289	5,428
4	5,567	5,705	5,844	5,983	6,121	6,260		6,537	6,675	6,814
5	6,952	7,091	7,229	7,367	7,505	7,643	7,782	7,920	8,058	8,196
6	8,334	8,472	8,609	8,747	8,885	9,023	9,160	9,298	9,435	9,573
7	9,710	9,848	9,985	10,122	10,259	10,397	10,534	10,671	10,808	10,945
8	11,081	11,218	11,355	11,491	11,628	11,765	11,901	12,037	12,174	12,310
9	12,446	12,582	12,718	12,854	12,990	13,126	13,262	13,397	13,533	13,668
10	13,804	13,939	14,074	14,210	14,345	14,480	14,615	14,749	14,884	15,019
И	15,154	15,288	15,423	15,557	15,691	15,825	15,960	16,094	16,228	16,361
12	16,495	16,629	16,762	16,896	17,029	17,163	17,296	17,429	17,562	17,695
13	17,828	17,960	18,093	18,225	18,358	18,490	18,622	18,755	18,887	19,019
14	19,150	19,282	19,414	19,545	19,677	19,808	19,939	20,070	20,201 21,505	20,332
15	29,463	29,594	20,724	20,855	20,985	21,115	21,245	21,375		21,635
16	21,765	21,894	22,024	22,153	22,282	22,412	22,540	22,669	22,798	22,927
17	23,055	23,184	23,312	23,440	23,568	23,696	23,824	23,952	24,079	24,207 24,575
18	24,334	24,461	24,588	24,715	24,842	24,969	25,096	25,222	25,348	
19	25,601	25,727	25,853	25,978	26,104	26,229	26,355	26,480	26,605	26,730
20	26,855	26,979	27,104	27,228	27,353	27,477	27,601	27,725	27,849	27,972
	140	139	138	137	136	135	134	133 ’	132	131
1	14,0	13,9	13,8	13,7	13,6	13,5	13,4	13,3	13,2	13,1
2	28,0	27,8	27,6	27,4	27,2	27,0 40,5	26,8	26,6	26,4	26,2 39,3
3	42,0	41,7	41,4	41,1	40,8		40,2	39,9	39,6	
4	56,0	55,6	55,2	54,8	54,4	54,0	53,6	53,2	52,8	52,4
5	70,0	69,5	69,0	68,5	68,0	67,5	67,0	66,5	66,0	65,5
6	84,0	83,4	82,8	82,2	81,6	81,0	80,4	79,8	79,2	78,6
7	98,0	97,3	96,6	95,9	95,2	91,5	93,8	93,1	92,4 105,6	91,7
8	112,0	111,2	110,4	109,6	108,8	108,0	107,2	106,4		104,8
9	126,0	125,1	124,2	123,3	122,4	121,5	120,6	119,7	118,8	117,9
	130	129	128	127	126	125	124	123
1	13,0	12,9	12,8	12,7	12,6	12,5	12,4	12,3
2	26,0	25,8	25,6	25,4	25,2	25,0	24,8	24,6
3	39,0	38,7	38,4	38,1	37,8	37,5	37,2	35,9
4	52,0	51,6	51,2	50,8	50,4	50,0	49,6	49,2
5	65,0	61,5	64,0	63,5	63,0	62,5	62,0	61,5
6	78,0	77,4	76,8	76,2	75,6	75,0	74,4	73,8
7	91,0	90,3	89,6	88,9	88,2	87,5	86,8	86,1
8	104,0	103,2	102Л	101,6	100,8	100,0	99,2	98,4
9	117,0	116,1	115,2	114,3	113,4	112,5	111,6	110,7

Таблица XIII	Продолжение
Истинная аномалия для параболы
1g м	0	1	2	3	4	1 5	6	7	8	9
1,30	267796	853	911	968	♦026	♦084	♦ 142	*200	♦258	♦316
31	27,374	433	491	550	609	668	727	785	845	904
32	934	♦023	♦083	,142	♦202	♦262	♦322	♦ 382	♦ *43	♦503
33	28,564	624	685	746	806	867	929	990	♦051	♦112
3*	29,174	235	297	359	421	483	546	608	670	733
35	795	858	921	984	♦047	♦110	♦ 173	♦237	♦300	♦364
36	30,427	491	555	619	683	747	812	876	941	*005
37	31,070	135	200	265	330	396	461	527	592	658
38	724	790	856	922	989	♦055	♦121	♦188	♦255	♦322
39	32,389	456	523	590	657	725	793	860	928	996
1,40	33,064	132	200	269	337	406	475	543	612	681
41	750	819	889	958	♦028	♦098	♦ 167	♦237	♦307	*377
42	34,448	518	588	659	730	800	871	942	♦013	♦084
43	35,156	227	299	370	442	514	586	658	730	802
44	875	947	♦020	♦092	♦165	♦238	♦311	♦384	♦ 457	♦531
45	36,604	678	751	825	899	973	♦047	♦121	♦196	♦210
46	37,344	419	494	569	644	719	794	869	944	♦020
47	38,095	171	247	323	399	475	551	627	704	780
48	857	933	♦010	♦087	♦164	♦241	♦319	♦396	♦473	♦551
49	39,629	706	784	862	940	♦018	♦097	♦ 175	♦253	♦ 332
1,50	40,411	489	568	647	726	806	885	964	♦044	*123
	57	58	59	60	61	62	63	64	65	66	1 67 1	68
1	5,7	5,8	5,9	6,0	6,1	6,2	6,3	6,4	6,5	6,6	6,7	6,8
2	11,4	11,6	11,8	12,0	12,2	12,4	12,6	12,8	13,0	13,2	13,4	13,6
3	17,1	17,4	17,7	18,0	18,3	18,6	18,9	19,2	19,5	19,8	20,1	20,4
4	22,8	23,2	23,6	24,0	24,4	24,8	25,2	25,6	26,0	26,4	26,8	27,2
5	28,5	29,0	29,5	30,0	30,5	31,0	31,5	32,0	32,5	33,0	33,5	34,0
6	34,2	34,8	35,4	36,0	36,6	37,2	37,8	38,4	39,0	39,6	40,2	40,8
7	39,9	40,6	41,3	42,0	42,7	43,4	44,1	44,8	45,5	46,2	46,9	47,6
8	45,6	46,4	47,2	48,0	48,8	49,6	50,4	51,2	52,0	52,8	53,6	54,4
9	51,3	52,2	53,1	54,0	54,9	55,8	56,7	57,6	58,5	59,4	60,3	61,2
	69	70	71	72	73	74	75	76	77	| 78	79	80
1	6,9	7,0	7,1	7,2	7,3	7,4	7,5	7,6	7,7	7,8	7,9	8,0
2	13,8	14,0	14,2	14,4	14,6	14,8	15,0	15,2	15,4	15,6	15,8	16,0
3	20,7	21,0	21,3	21,6	21,9	22,2	22,5	22,8	23,1	23,4	23,7	24,0
4	27,6	28,0	28,4	28,8	29,2	29,6	30,0	30,4	30,8	31,2	31,6	32,0
5	34,5	35,0	35,5	35,0	36,5	37,0	37,5	38,0	38,5	39,0	39,5	40,0
6	41,4	42,0	42,6	43,2	43,8	44,4	45,0	45,6	46,2	45,8	47,4	48,0
7	48,3	49,0	49,7	50,4	51,1	51,8	52,5	53,2	53,9	54,6	55,3	56,0
8	55,2	56,0	56,8	57,6	58,4	59,2	60,0	60,8	61,6	62,4	63,2	64,0
9	62,1	63,0	63,9	64,8	65,7	66,6	67,5	68,4	69,3	70,2	71,1	i 72,0

Таблица XIII	Продолжение
Истинная аномалия для параболы
1g м	0	1	2	3	4	5	6	7 1	8	9
1,50	40?411	489	568	647	726	805	885	964	*044	*123
51	41,203	283	363	443	523	603	683	764	844	925
52.	42,005	086	167	248	329	410	491	573	654	736
53	817	899	981	*063	*145	*227	*309	*392	♦ *74	»557
54	43,639	722	805	888	971	*054	*137	*220	*304	*387
55	44,471	551	638	722	806	890	974	*058	*142	*227
56	45,311	396	480	565	650	735	820	905	990	*075
57	46,161	246	332	417	503	589	675	761	847	933
58	47,019	105	192	278	365	452	538	625	712	799
59	886	973	*061	*148	*235	*323	*410	*498	*586	*674
1,60	48,762	850	938	*026	*114	*202	*291	*379	*468	*556
61	49,645	734	822	911	*ооо	*089	*179	*268	*357	*446
62	50,536	625	715	805	894	984	*074	*165	*254	*344
63	51,434	525	615	705	796	886	976	*068	*158	*249
64	52,340	431	522	613	704	795	887	978	*069	*161
65	53,252	344	435	527	619	711	803	895	987	*079
66	51,171	263	355	448	549	633	725	818	910	*003
67	55,096	188	281	374	467	560	653	746	840	933
68	56,026	119	213	306	400	493	587	681	774	868
69	962	*056	*150	*244	*338	*432	*526	*620	*714	*808
1,70	57,903	997	*091	*186	*280	*375	*469	*564	*658	*753
	78	79	80	81	82	83	84	85	оо
1	7,8	7,9	8,0	8,1	8,2	8,3	8,4	8,5 17,0	8,6
2	15,6	15,8	16,0	16,2	16,4	16,6	16,8		17,2
3	23,4	23,7	24,0	24,3	24,6	24,9	25,2	25,5	25,8
4	31,2	31,6	32,0	32,4	32,8	33,2	33,6	34,0	34,4
5	39,0 46,8	39,5	40,0	40,5	41,0	41,5	42,0	42,5	43,0
6		47,4	48,0	48,6	49,2	49,8	50,4	51,0	51,6
7	54,6	55,3	56,0	56,7	57,4	58,1	58,8	59,5	60,2
8	62,4	63,2	64,0	64,8	65,6	66,4	67,2	68,0	68,8
9	70,2	71,1	72,0	72,9	73,8	74,7	75,6	76,5	77,4
	87	88	89	90	91	92	93	94	95
1	8,7	8,8	8,9	9,0	9,1	9,2	9,3	9,4	9,5
2	17,4	17,6	17,8	18,0	18,2	18,4	18,6	18,8	19,0
3	26,1	26,4	26,7	27,0	27,3	27,6	27,9	28,2	28,5
4	34,8	35,2	35,6	36,0	36,4	36,8	37,2	37,6	38,0
5	43,5	44,0	44,5	45,0	45,5	46,0	46,5	47,0	47,5
6	52,2	52,8	53,4	54,0	54,6	55,2	55,8	56,4	57,0
7	60,9	61,6	62,3	63,0	63,7	64,4	65,1	65,8	66,5
8	69,6	70,4	71,2	72,0	72,8	73,6	74,4	75,2	76,0
9	78,3	79,2	80,1	81,0	81,9	82,8	83,7	84,6	85,5

Таблица XIII	Продолжение
Истинная аномалия для параболы
1g М	0	1	2	3	4	1 51	6	7	8	9
1,70	57°903	997	*091	*186	*280	*375 |	*469	*564	*6э8	*753
71	58,848	943	*037	*132	*227	*322 !	*417	*512	*607	*702
72	59,797	892	988	*083	*178	*273	*369	*464	*559	*655
73	60,750	846	941	*037	*133	*228	*324	«420	*515	*611
74	61,707	803	898	994	*090	,186	*282	*378	*474	*570
75	62,666	662	858	955	*051	*U7	*243	*339	*436	*532
76	63,628	724	821	917	*013	*ио	*206	*392	*399	*496
77	64,592	689	785	882	978	*075	*171	*268	*364	*461
78	65,558	654	751	848	944	*041	*138	*234	*331	*428
79	66,525	621.	718	815	912	*008	*Ю5	*202	*299	*396
1,80	67,492	589	686	783	880	976	*073	*170	*267	*364
81.	68,461	557	654	751.	848	945	*042	*138	*235	*332
82	69,429	526	622	719	816	913	*010	*Ю6	*203	«300
83	70,397	493	590	687	784	880	977	*074	*170	*267
84	71,364	460	557	654	750	847	943	*040	*137	*233
85	72,330	426	523	619	716	812	909	*005	*101	*198
86	73,294	390	487	583	679	776	872	968	*°04	*160
87	74,257	353	449	545	641	737.	833	929	*025	*121
88	75,217	313	408	504	600	696	792	887	983	*078
89	76,174	270	365	461	556	652	747	843	938	*033
1,90	77,129	224	31.9	414	5Ю	605	700	795	890	985
91	78,080	175	270	365	459	554	649	744	838	933
92	79,027	122	217	311	405	500	594	688	783	877
93	971	*065	*159	*253	*347	*441	*535	*629	*723	*817
94	80,910	*005	*098	*191	*285	*378	*472	*565	*659	*752
95	81,845	938	*032	*125	*21.8	*311	*404	*497	*589	*683
96	82,775	868	960	*053	*146	*238	*331	*423	*515	«608
97	83,700	792	884	976	*068	*160	*252	*344	*436	*528
98	84,619	711	803	894	986	*077	*168	*260	*351	*442
99	85,533	624	715	806	897	988	*079	*169	*260	*351
2,00	86,441	532	622	713	803	893	983	*073	*163	*253
	97	96	95	94	93	92	91	90
1	9,7	9,6	9,5	9,4	9,3	9,2	9,1	9,0
2	19,4	19,2	19,0	18,8	18,6	18,4	18,2	18,0
3	29,1	28,8	28,5	28,2	27,9	27,6	27,3	27,0
4	38,8	38,4	38,0	37,6	37,2	36,8	36,4	36,0
5	48,5	48,0	47,5	47,0	46,5	46,0	45,5	45,0
6	58,2	57,6	57,0	56,4	55,8	55,2	54,6	54,0
7	67,9	67,2	66,5	65,8	65,1	64,4	63,7	63,0
8	77,6	76,8	76,0	75,2	74,4	73,6	72,8	72,0
9	87,3	86,4	85,5	84,6	83,7	82,8	81,9	81,0

Таблица XIII	II р одолжение
Истинная аномалия для параболы
1g м	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2,00	86°441	532	622	713	893	893	983	*073	„163	*253
01	87,343	433	523	613	702	792	882	971	„060	*150
02	88,239	328	417	507	596	685	773	862	951	«040
03	89,128	217	306	394	482	571	659	747	835	923
04	90,011	099	187	275	362	. 450	538	625	713	800
05	887	974	„062	*149	*236	*323	*410	*496	*583	*670
06	91,756	843	929	*016	*102	*188	*275	*361	.447	«533
07	92,619	704	790	876	961	*047	*132	*218	1 „303	*388
08	93,473	559	644	728	813	898	983	*068	' *152	*237
09	94,321	405	490	574	658	742	826	910	: 994	*078
2,10	95,161	245	328	412	495	579	662	745	828	911
11	994	*077	*160	*243	*32э	*408	*490	*573	„655	*737
12	96,819	902	984	*066	* 14 7	*229	*311	*393	.474	*556
13	97,637	718	800	881	962	*043	*124	*205	.286	*366
14	98,447	528	608	688	769	849	929	*009	। .089	*169
15	99,249	329	409	488	568	647	727	806	' 885	965
16	100,044	123	202	280	359	438	517	595	674	752
17	830	908	987	*065	*143	*221	*298	«376	: .454	*532
18	101,609	686	764	841	918	995	*073	*149	; ,226	*303
19	102,380	457	533	610	686	762	839	915	991	*067
2,20	103,143	219	295	370	446	522	597	672	718	823
	92	91	90	89	88	87	86	85	84
1	9,2 18,4	9,1	9,0	8,9	8,8	8,7	8,6	8,5	8,4
2		18,2	18,0	17,8	17,6	17,4	17,2	17,0	16,8
3	27,6	27,3	27,0	26,7	26,4	26,1	25,8	25,5	25,2
4	36,8	36,4	36,0	35,6	35,2	34,8	34,4	34,0	33,6
5	46,0	45,5	45,0	44,5	44,0	43,5	43,0	42,5	42,0
6	55,2	54,6	54,0	53,4	52,8	52,2	51,6	51,0	50,;
7	64,4	63,7	63,0	62,3	61,6	60,9	60,2	59,5	58,8
8	73,6	72,8	72,0	71,2	70,4	69,6	68,8	68,0	67,2
9	82,8	81,9	81,0	80,1	79,2	78,3 |	77., 4	76,5	75,6
	83	82	81	80	79	78	77	76	75
1	8,3	8,2	8,1	8,0	7,9	7,8	7,7	7,6	7,5
2	16,6	16,4	16,2	16,0	15,8	15,6	15,4	15,2	15,0
3	24,9	24,6	24,3	24,0	23,7	23,4	23,1	22,8	22,5
4	33,2	32,8	32,4	32,0	31,6	31,2	30,8	30,4	30,0
5	41,5	41,0	40,5	40,0	39,5	39,0	38,5	38,0	37,5
6	49,8	49,2	48,6 56,7	48,0	47,4	46,8	46,2	45,6	45,0
7	58,1	57,4		56,0	55,3	54,6	53,9	53,2	52,5
8	66,4	65,6	64,8	64,0	63,2	62,4	61,6	60,8	60,0
9	74,7	73,8	72,9	72,0	71,1	70,2	69,3	68,4	67,5

Таблица XIII	Продолмсение
Истинная аномалия для параболы
1g м	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2,20	103/143	21.9	295	370	446	522	597	672	748	823
21	898	973	*048	*123	*198	*273	*347	*122	*497	*571
22	104,645	720	794	868	942	*016	*091)	*164	*238	*311
23	105,335	458	532	605	678	752	825	898	971	*044
24	106,116	189	262	334	407	479	5а2	.624	695	768
. 25	840	912	984	*056	*128	*199	*271	*342	*414	*485
26	107,556	627	698	770	840	911	982	*053	*123	*194
27	108,264	335	405	475	546	616	686	756	825	895
28	965	*035	*104	*174	*243	*312	*382	*451	*520	*589
29	109,658	727	795	864	933	*001	*070	*133	*206	*275
2,30	110,343	411	479	517	615	683	750	818	885	953
31	111,020	088	155	222	289	356	423	490	557	624
32	690	757	823	890	956	*023	*089	*155	*221	*287
33	112,353	419	484	550	616	681	747	812	877	943
34	113,008	073	138	203	268	333	398	462	527	591
35	656	720	784	848	913	977	*041	*105	*168	*232
36	114,296	360	423	487	550	614	677	740	803	866
37	929	992	*055	*118	*180	*243	*305	*3б8	*430	*493
38	115,555	617	679	741	803	865	927	989	*050	*112
39	116,174	235	297	358	419	480	542	603	664	725
2,40	785	846	9)7	968	*028	*089	*149	*209	*270	*330
	76	75	74	73	72	71	70	69	68
1	7,6	7,5	7,4	7,3	7,2	7,1	7,0	6,9	6,8
2	15,2	15,0	14,8	14,6	14,4	14,2	14,0	13,8	13,6
3	22,8	22,5	22,2	21,9	21,6	21,3	21,0	20,7	20,4
4	30,4	30,0	29,6	29,2	28,8	28,4	28,0	27,6 ’	> 27,2
5	38,0	37,5	37,0	36,5	36,0	35,5	35,0	34,5	: 34,о
6	45,6	45,0	44,4	43,8	43,2	42,6	42,0	41,4 !	40,8
7	53,2	52,5	51,8	51,1	50,4	49,7	49,0	48,3	47,6
8	60,8	60,0	59,2	58,4	57,6	56,8	56,0	55,2	54,4
9	68,4	67,5	66,6	65,7	64,8	63,9	63,0	62,1 j	61,2
	67	66	65	64	63	62	61	60
1	6,7	6,6	6,5	6,4	6,3	6,2	6,1	6,0
2	13,4	13,2	13,0	12,8	12,6	12,4	12,2	12,0
3	20,1	19,8	19,5	19,2	18,9	18,6	18,3	18,0
4	26,8	26,4	26,0	25,6	25,2	24,8	24,4	24,0
5	33,5	33,0	32,5	32,0	31,5	31,0	30,5	30,0
6	40,2	39,6	39,0	38,4	37,8	37,2	36,6	36,0
7	46,9	46,2	45,5	44,8	44,1	43,4	42,7	42,0
8	53,6	52,8	52,0	51,2	50,4	49,6	48,8	48,0
9	60,3	59,4	58,5	57,6	56,7	55,8	54,9	54,0

Таблица XIII
Истинная аномалия для параболы
П родолмсение
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2, 49	116?785	846	907	968	*028	*089	*149	*209	*270	*330
41	117,390	450	510	570	630	690	750	809	869	929
42	988	*047	*107	*166	*225	*284	*343	*492	**61	*520
43	113,579	638	696	755	814	872	930	989	*047	*105
'it	11.9,163	221	279	337	395	453	511.	568	626	683
45	741	798	856	913	970	*027	*084	*141	*198	*255
46	120,312	369	425	482	533	595	651	708	764	820
47	876	932	988	*044	*100	*156	*212	*257	*323	*379
48	121,434	490	545	609	656	711	766	821	876	931
49	986	*041	*095	*150	*205	*259	*314	*368	*423	*477
2,50	122,531	585	639	693	747	801	855	909	963	*016
51	123,070	124	177	231	28 к	337	391	444	497	550
|	52	603	656	709	762	814	867	920	972	*025	*077
!	53	124,130	182	234	287	339	391	443	495	547	599
54	651	702	754	806	857	909	960	*01.2	*063	*114
55	125,166	217	268	319	370	421	472	522	573	624
56	675	725	776	826	877	927	977	*027	*078	*1.28
57	126,178	228	278	328	378	427	477	527	576	626
58	675	725	774	824	873	922	971	*020	*069	*118
59	127,167	216	265	314	363	411	460	508	• 557	605
2,60	654	702	750	793	847	895	943	991	*039	*087
i 61 1		60	59	58	57	56	55
1	6,1	6,0	5,9	5,8	i '	5,7	5,6	5,5
2	12,2	12,0	11,8	11,6	11,4	11,2	11,0
3	18,3	18,0	17,7	17,4	17,1	16,8	16,5
4	24 4	24,0	23,6	23,2	22,8	22,4	22,0
5	30,5	30,0	29,5	29,0	28,5	28,0	27,5
6	36,6	36,0	35,4	34,8	34,2	33,6	33,0
7	42,7	42,0	41,3	40,6	39,9	39,2	38,5
8	48,8	48,0	47,2	46,4	45,6	44;8	44,0
9	54,9	54,0	53,1	52,2	51,3	50,4	49,5
	54	53	52	51	50	49	48
1	5,4	5,3	5,2	5,1	5,0	4,9	4,8
2	10,8	10,6	10,4	10,2	10,0	9,8	9,6
3	16,2	15,9	15,6	15,3	15,0	14 7	' 14,4
4	21,6	21,2	20,8	20,4	20,0	19,6	19,2
5	27,0	26,5	26,0	25,5	25,0	24,5	24,0
6	32,4	31,8	31,2	30,6	30,0	29,4	28,8
7	37,8	37,1	36,4	35,7	35,0	34,3	33,6
8	43,2	42,4	41,6	40,8	40,0	39,2	38,4
9	48,6	47,7	46,8	45,9	45,0	44,1	43,2

Таблица XIII	Продолжение
Истинная аномалия для параболы
1g м	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2,60	1277654	702	750	799	847	895	943	991	*039	*087
61	128,135	182	230	278	325	373	421	468	515	563
62	610	658	705	752	799	8t6	893	940	987	*034
63	129,080	127	174	220	267	313	360	406	453	499
6i	545	591	638	684	730	776	822	868	913	959
65	130,005	051	096	142	187	233	278	324	369	414
66	460	505	550	595	640	685	729	775	820	864
67	909	954	998	*043	*088	*132	*176	*221	*265	*309
68	131,354	398	442	ч86	530	574	618	662	706	750
69	132,793	837	881	924	968	*011	*055	*098	*142	*185
2,70	22’3	271	315	358	401	4i4	487	530	573	615
71	658	701	744	786	829	871	914	956	999	*041
72	133,084	126	168	210	252	294	337	378	420	462
73	504	546	588	630	671	713	754	796	837	879
74	920	962	*003	*044	*085	*127	*168	*209	*250	*291
75	134,332	373	414	454	195	536	577	617	658	698
76	739	779	820	860	901	941	981	*021	*061	*102
77	135,112	182	222	262	301	341	381	421	461	500
78	540	580	619	659	698	737	777	816	856	895
79	934	973	*012	*051	*090	*129	*168	*207	*246	*285
2,80	136,324	353	401	440	479	517	556	594	633	*671
	49	48	47	46	45	44
1	4,9	4,8	4,7	4,6	4,5	4,4
2	9,8	9,6	9,4	9,2	9,0	8,8
3	14,7	14,4	14,1	13,8	13,5	13,2
4	19,6	19,2	18,8	18,4	18,0	17,6
5	24,5	24,0 28,8	23,5	23,0	22,5	22,0
6	29,4		28,2	27,6	27,0	26,4
7	34,3	33,6	1	32,9	32,2	31,5	30,8 ,
8	39,2	38,4	37,6	36,8	36,0	35,2
9	44,1	43,2	42,3	41,4	40,5	39,6
	43	42	41	40	39	38
1	4,3	4,2	4,1	4,0	3,9	3,8
2	8,6	8,4	'	8,2	8,0	7,8	7,6
3	12,9	12,6	12,3	12,0	11,7	11,4
4	17,2	16,8	16,4	16,0	15,6	15,2
5	21,5	21,0	20,5	20,0	19,5	19,0
6	25,8	25,2	24,6	24,0	23,4	22,8
7	30,1	29,4	28,7	28,0	27,3	26,6
8	34,4	33,6	32,8	32,0	31,2	30,4
9	38,7	37,8	36,9	36,0	35,1	34,2

Т а б л и ца ХШ
П родолмсенце
Истинная аномалия для параболы
1g м	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2,80	136°324	363	401	440	479	517	556	594	633	671
81	709	748	786	824	863	901	939	977	*015	*053
82	137,091	129	176	205	243	280	318	356	393	431
83	469	506	54'*	581	618	656	693	730	768	805
84	842	879	916	953	990	*027	*064	*101	*138	*175
85	138,212	248	285	322	358	395	431	468	504	541
86	577	614	650	686	722	759	795	831	867	903
87	939	975	*011	*047	*083	*И9	*154	*190	*226	*261
88	139,297	333	368	404	439	475	510	545	581	616
89	651	687	722	757	792	827	862	897	932	967
2,90	140,002	037	072	106	141	176	211	245	280	314
91	349	383	418	452	487	521	555	590	624	658
92	692	727	761	795	829	863	897	931	965	998
93	141,032	066	100	133	167	201	234	268	302	335
94	369	402	435	469	502	535	569	602	635	668
95	701	735	768	801	834	867	900	932	965	998
96	142,031	064	096	129	162	194	227	260	292	325
97	357	390	422	454	487	519	551	583	616	648
98	680	712	744	776	808	840	872	904	936	968
99	143,000	031	063	095	126	158	190	221	253	284
3,00	316	347	379	410	442	473	504	535	567	598
01	629	660	691	722	753	784	815	846	877	908
02	939	970	*001	*031	*062	*093	*124	*154	*185	*215
03	144,246	277	307	337	368	398	429	459	489	520
04	550	580	610	640	671	701	731	761	791	821
05	851	881	910	940	970	*000	*030	*060	*089	*119
06	145,149	178	208	237	267	296	326	355	385	414
07	443	473	502	531	561	590	619	648	677	706
08	735	765	794	822	851	880	909	938	967	996
09	146,025	053	082	111	139	168	197	225	254	282
3,10	311	339	368	396	425	453	481	510	538	566
	39	38	37	36	35	34	33	32	31	30	29	28
1	3,9	3,8	3,7	3,6	3,5	3,4	3,3	3,2	3,1	3,0	2,9	2,8
2	7,8	7,6	7,4	7,2	7,0	6,8	6,6	6,4	6,2	6,0	5,8	5,6
3	11,7	11,4	11,1	10,8	10,5	10,2	9,9	9,6	9,3	9,0	8,7	8,4
4	15,6	15,2	14,8	14,4	14,0	13,6	13,2	12,8	12,4	12,0	11,6	11,2
5	19,5	19,0	18,5	18,0	17,5	17,0	16,5	16,0	15,5	15,0	14,5	14,0
6	23,4	22,8	22,2	21,6	21,0	20,4	19,8	19,2	18,6	18,0	17,4	16,8
7	27,3	26,6	25,9	25,2	24,5	23,8	23,1	22,4	21,7	21,0	20,3	19,6
8	31,2	30,4	29,6	28,8	28,0	27,2	26,4	25,6	24,8	24,0	23,2	22,4
9	35,1	34,2	33,3	32,4	31,5	30,6	29,7	28,8	27,9	27,и	26,1	25,2

Таблица XIII	Продолженм
Истинная аномалия для параболы
1g М	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
3,10	146°311	339	368	396	425	453	481	510	538	566
11	594	623	651	679	707	735	763	791	819	846
12	875	903	931	959	986	*014	*042	*070	*098	*125
13	147,153	181	208	236	264	291	319	346	374	401
14	428	456	183	511	538	565	592	620	647	674
15	701	728	755	782	809	835	853	890	917	944
16	971	998	*025	*052	*078	*105	*132	*159	*185	*212
17	118,239	265	292	318	345	371	398	424	451	477
. 18	503	530	556	582	609	635	661	687	714	740
19	766	792	818	844	870	896	922	948	974	*000
3,20	149,026	051	077	103	129	155	180	206	232	257
21	283	309	334	360	385	411	436	462	487	513
22	538	563	589	614	639	664	690	715	7 40	765
23	790	816	841	866	891	916	941	966	991	*016
24	150,041	065	090	115	.140	165	190	214	239	264
25	288	313	338	362	387	411	436	460	485	509
26	534	558	583	607	631	656	680	704	729	753
27	777	801	825	850	874	898	922	9 46	970	994
28	151,018	042	066	ООО	114	138	161	185	209	233
29	257	280	304	328	351	375	399	422	446	469
3,30	493	516	540	563	587	610	634	657	681	704
31	727	751	774	797	820	844	867	890	913	936
32	959	982	*005	*028	*052	*075	*097	*120	*143	*166
33	152,189	212	235	258	281	303	326	319	372	394
34	417	440	462	495	508	530	553	575	598	620
35	643	665	688	710	732	755	777	800	822	844
36	866	889	911	933	955	977	*000	*022	*044	*066
37	153,088	110	132	154	176	198	220	242	264	286
38	308	330	351	373	395	417	433	460	482	504
39	525	547	568	590	612	633	655	676	698	719
3,40	741	762	784	805	827	848	869	891	912	933
	29	28	27	26	25	24	23	22	21
1	2,9	2,8	2,7	2,6	2,5	2,4	2,3	2,2	2,1
2	5,8	5,6	5,4	5,2	5,0	4,8	4,6	4,4	4,2
3	8,7	8,4	8,1	7,8	7,5	7,2	6,9	6,6	6,3
4	11,6	11,2	10,8	10,4	10,0	9,6	9,2	8,8	8,4
5	14,5	14,0	13,5	13,0	12,5	12,0	11,5	11,0	10,5
6	17,4	16,8	16,2	15,6	15,0	14,4	13,8	13,2	12,6
7	20,3	19,6	18,9	18,2	17,5	16,8	16,1	15,4	14,7
8	23,2	22,4	21,6	20,8	20,0	19,2	18,4	17,6	16,8
9	26,1	25,2	24,3	23,4	22,5	21,6	20,7	19,8	18,9

Таблица XIII	Продолжение
Истинная аномалия для параболы
1g М	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
3,40	153?741	762	784	805	827	848	869	891	912	933
41	955	976	997	*018	*039	*061	*082	«юз	*124	*145
42	154,166	187	208	229	250	271	292	313	334	355
43	376	397	418	439	459	480	501	522	543	563
44	58 i	605	625	646	667	687	708	728	749	770
45	790	811	831	852	872	892	913	933	954	974
46	991	*015	*035	«055	«076	*096	*116	«136	*156	«177
47	155,197	217	237	257	277	297	317	337	357	377
48	397	417	437	457	477	497	517	537	557	576
49	596	616	636	655	675	695	715	734	754	774
3,50	793	813	832	852	872	891	911	930	950	969
51	989	*008	«027	«047	«066	*086	«105	*124	*143	«163
52	156,182	201.	221	240	259	278	297	317	336	355
53	374	393	412	431	450	469	488	507	526	545
54	564	583	602	621	640	659	677	696	715	734
55	753	771	790	809	828	846	865	884	902	921
56	939	958	977	995	*014	«032	*051	«069	*087	*106
57	157,125	143	162	180	198	217	235	253	272	290
58	308	327	345	363	381	399	418	436	454	472
59	490	508	526	545	563	581	599	617	635	653
3,60	671	689	707	724	742	760	778	796	814	832
61	849	867	885	903	921	938	956	974	991	*009
62	158,027	044	062	080	097	115	132	150	167	185
63	202	220	237	255	272	290	307	325	342	359
64	377	394	411	429	446	463	480	498	515	532
65	549	567	584	601	61.8	635	652	669	686	701
66	721	738	755	772	789	806	823	840	856	873
67	890	907	924	941	958	975	991	*008	«025	«042
68	159,059	075	092	109	126	142	159	176	192	209
69	225	242	259	275	292	308	325	341	358	374
3,70	39!	407	424	440	457	473	489	506	522	539
		22	21	20	19	18	17 ’	16
	1	2,2	2,1	2,0	1,9	1,8	1,7	1,6
	2	4,4	4,2	4,0	3,8	3,6	3,4	3,2
	3	6,6	6,3	6,0	5,7	5,4	5,1	4,8
	4	8,8	8,4	8,0	7,6	7,2	6,8	6,4
	5	11,0	10,5	10,0	9,5	9,0	8,5	8,0
	6	13,2	12,6	12,0	11,4	10,8	10,2	9,6
	7	15,4	14,7	14,0	13,3	12,6	11,9	11,2
	8	17,6	16,8	16,0	15,2	14,4	13,6	12,8
	9	19,8	18,9	18,0	17,1	16,2	15,3	14,4

Таблица ХШ
П родолжение
Истинная аномалия для параболы
1g м	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
3,70	159?391	407	424	440	457	473	489	506	522	539
71	555	571	587	604	620	636	653	669	685	701
72	717	734	750	766	782	798	814	830	847	863
73	879	895	911	927	943	959	975	991	Л007	*023
74	160,038	054	070	086	1.02	118	134	150	‘ 165	181
75	197	213	228	244	260	276	291	307	323	338
76	354 	370	385	401	416	432	448	463	479	494
77	510	525	541	556	572	587	603	618	634	649
78	654	680	695	710	726	741	756	772	787	802
79	818	833	848	863	878	894	909	924	939	954
3,80	9.69	984	*000	*01.5	*030	«045	*060	*075	*090	*105
81	* 161,120	135	150	165	180	‘195	210	225	240	254
82	269	284	299	31.4	329	343	358	373	388	403
83	417	432	447	462	476	491	506	520	535	550
84	564	579	593	608	623	637	652	666	681	695
85	710	724	739	753	768	782	797	811	825	840
86	854	869	883	897	912	926	940	955	969	983
87	997	*012	*026	*040	*054	«068	*083	*097	*111	*125
88	162,139	153	168	182	196	210	224	238	252	266
89	280	294	308	322	336	350	364	378	392	406
3,90	420	434	447	461	475	489	503	517	531	544
91	558	572	586	599	613	627	641	654	668	682
92	695	709	723	736	759	764	777	791	804	818
93	832	845	859	872	886	899	913	926	940	953
94	967	980	994	*007	*020	..034	*017	*060	*074	*087
95	163,101	114	127	111	154	‘ 167	180	194	207	220
96	233	247	260	273	286	299	313	326	339	352
97	365	378	391	404	417	431	444	457	470	483
98	496	509	522	535	548	561	574	586	599	612
99	625	638	651	664	677	690	702	715	728	741
4,00 1	754	766	779	792	805	818	830 •	843	856	868
	17	16	15	14	13	12
1	1,7	1,6	1,5	1,4	1,3	1,2
2	3,4 •	3,2	3,0	2,8	2,6	2,4
3	5,1	4,8	4,5	4,2	3,9	3,6
4	6,8	6,4	6,0	5,6	5,2	4,8.
5	8,5	8,0	7,5	7,0	6,5	6,0
6	1.0,2	9,6	9,0	8,4	7,8	7,2
7	11,9	11,2	10,5	9,8	9,1	8,4
8	13,6	12,8	12,0	11,2	10,4	9,6
9	15,3	14,4	13,5	12,6	11,7	10,8

Таблица XIV
Истинная аномалия для орбит, близких к параболе
е	1g/									
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
-0,03	0,0051435	53127	54817	56506	58193	59879	61563	63246	64927	66607
-0,02	34440	36146	37851	39554	41256	42956	44655	46352	48048	49742
-0,01	17295	19017	20736	22454	24171	25886	27600	29312	31023	32732
-0,00	00000	01736	03471	05205	06936	08667	10395	12123	13848	15573
+0,00	0,0000900	*98262	*95523	*94782	*93039	*91295	*89549	*87802	*86053	*84303|
+ 0,01	9,9982551	80797	79042	77286	75527	73768	72006	70243	68479	66713!
;+о,о2	649i5	63176	61405	59632	57858	56082	54305	52526	50745	48963!
+0,03	47179	45394	43607	41818	40028	38236	36442	34647	32850	31051!
+ 0,04	29251	27449	25645	23 340	22033	20225	18414	16602	14789	12973'
! +0,05	11156	09338	07517	05695	03872	02046	00219	*93390	*95559	*94727
+0,06	9,9892893	91057	89220	87381	85540	83697	81852	80006	78158	76309!
+ 0,07	74457	72604	70749	68892	67034	65173	63311	61447	59582	57714
+0,08	55845	53974	52101	50227	48350	46472	44592	42710	40827	38941
+0,09	37054	35165	33274	31381	29486	27590	25692	23791	21889	19985
+ 0,10	18080	16172	14262	0 2351	10438	08523	06606	04687	02766	00843
+0,11	9,9798918	96992	95063	93133	91201	89266	87330	85392	83452	81510
+0,12	79566	77621	75673	73723	71771	69818	67862	65904	63945	61933
+0,13	60020	58054	56087	54117	52146	59172	48196	46219	.44239	42258
+0,14	40274	38288	36301	34311	32319	30325	23329	26331	24331	22329
+ 0,15	20325	18319	16311	14300	12288	10273	08257	06238	04217	02194
6	lg D									
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
-0,03	0,0003658	3777	3897	4017	4136	4255	4374	4493	4612	4730
-0,02	2453	2574	2695	2816	2936	3057	3177	3298	3418	3538
-0,01	1234	1356	1479	1601	1723	1845	1957	2088	2210	2331
-0,00	0000	0124	0248	0372	0495	0519	0742	0865	0988	1111
+0,00	0,0000000	*9876	*9752	*9527	*9502	*9378	*9253	*9128	*9003	*8877
+0,01	9,9998752	8626	8500	8374	8248	8122-	7995	7869	7742	7616
+0,02	7489	7351	7234	7107	6979	6851	6723	6595	6467	6339
+0,03	6310	6081	5952	5823	5695	5565	5435	5305	5176	5046
+0,04	4916	4786	4655	4524	4394	4263	4132	4000	3859	3737
+0,05	3606	3474	3342	3209	3077	2944	2812	2679	2546	2413
+0,05	2279	2146	2012	1878	1744	1610	1475	1341	1206	1071
+0,07	0935	0801	0565	0530	0394	0258	0122 ’	*9985	*9849	*9713
+0,08	9,9989576	9439	9302	9164	9027	8889	8751	8613	8475	8337
+0,09	8198	8050	7921	7782	7642	7503	7353	7223	7083	6943
+0,10	6803	6662	6522	6381	6240	6098	5957	5815	5674	5532
+0,11	5389	5247	5104	49 >2	4819	4676	4532	4389	4245	4101
+0,12	3957	3813	3568	3524	3379	3234	3089	2943	2798	2652
+0,13	2506	2350	2213	2057	1920	1773	1626	1479	1331	1183
+0,14	1035	0887	0739	0590	0441	0292	0143	*9994	*9844	*9595
+0,15	9,9979545	9394	9214	9093	8943	8792	8640	8489	8337	8186

Таблица XV
Истинная аномалия для орбит, близких к параболе
п	lg G									
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
—0,15	9,9751529	49950	48371	46793	1 45216	43639	। 42064	: 40490	• 38917	37345
—0,14	67381	65792	64203	62615	. 61029	59443	57859	» 56275	. 54692	: 53110
—0,13	83330	81730	80132	78535	76939	75343	73749	72155	> 70563	; 68972
—0,12	99376	97767	96159	94552	92946	91341	89736	88133	: 86531	84930
—0,11	9,9815522	13903	12285	10667	09051	07436	05822	04209	02597	00986
—0,10	31767	30138	28510	26883	25257	23632	22008	20385	18763	17142
—0,09	48114	46475	44837	43199	41563	39928	38294	36661	35028	33397
—0,08	64564	62914	61266	59618	57972	56326	54682	53038	51396	49755
—0,07	81117	79457	77798	76140	74483	72827	71173	69519	67866	66214
—0,06	97775	96105	94435	’92767	91099	89433	87768	86103	84440	82778
—0,05	*1.4540	*12858	*11178	*09499	*07821	*06144	*04468	*02793	*01120	99447
—0,04	9,9931412	2*9719	28028	26339	24650	22962	21275	19590	17905	16222
—0,03	48392	46689	44987	43286	41587	39888	38191	36494	34799	33105
—0,02	65483	63769	62056	60344	58633	56924	55215	53508	51801	50096
—0,01	82685	80960	79236	77513	75791	74070	72350	70632	68914	67198
—0,00	*60000	98263	96528	94794	93060	91328	89597	87868	86139	84411
+0,00	0,0000000	01738	03477	05217	06958	08700	10444	12188	13934	15681
+ 0,01	17429	19178	20929	22680	24433	26187	27942	29698	31455	33214
+0,02’	34974	36735	38497	40260	42024	43790	45557	47325	49094	50864
+0,03	52635	54408	56182	57957	59733	61511	63289	65069	66850	68632
+0,04	70416	72200	73986	75773	77561	79350	81141	82933	84726	86520
+ 0,05	88316	90112	91910	93709	95510	97311	99114	*00918	*02723	*04529
+0,06	0,0106337	08146	09956	11768	13580	15394	17209	19025	20843	22662
+0,07	24482	26303	28126	29949	31774	33601	35428	37257	39087	40918
+ 0,08	42751	44585	46420	48256	50094	51933	53773	55614	57457	59301
+0,09	61146	62993	64840	66690	68540	70392	72245	74099	75954	77811
+0,10	79669	81729	83389	85251	87115	88979	90845	92712	94581	96451
+0,11	98322	*00194	*02068	*03943	*05819 ;	*07697	*09576	*11456	*13338	*15221
+0,12i	0,0217105	18991	20878	22766	24656	26547	28439	30333	32228	34124
+0ДЗ	36022	37921	39822	41723	43626	45531	47437	49344	51252	53162
+ 0,14	55073	56986	58900	60815	62732	64650	66769	68490	70412	72336
+0,15	74261	76187	78115	80044	81975	83907	85840	87774	89711	91648
27 а, д. Дубяго

Таблица XVI
Иотинная аномалия для орбит, близких к параболе.
Гипербола, lg Н в единицах 7-го знака
п в X.	0,00	-0,01	-0,02	-0,03	-0,04	-0,05	-0,06	-0,07	-0,08
0,00	0	0	0	0	0	0	0	0	0
-0,01	0	0	0	0	0	0	+1	4-1	4-1
—0,02	0	0	0	0	+ 1	+1	4-1	4-2	4-2
-0,03	0	0	0	0	+ 1	+1	4-2	4-2	4-3
^Х. п									
8 X.	-0,08	-0,09	-0,10	-0,11	-0,12	-0,13	-0,14	-0,15	
0,00	0	0	0	0	0	0	0	0	
-0,01	+1	+ 1	+ 2	+ 2	4-2	+з	4-3	+ 4	
—0,02	+ 2	+ 3	+з	+ 4	+ 5	- +5	4-6	+ 6	
-0,03	+ 3	+4	+ 5	+ 6	+ 7	+ 8	4-9	+ю	
Эллино. Igjff в единицах 7-го знака
^Х. п 6	0,00	+ 0,01	+ 0,02		+0,03		+0,04		+0,05		+0,06		+0,07	+0,08
0,00 +0,01 +0,02 +0,03 +0,04 +0,05 +0,06 +0,07 + 0,08 +0,09 +0,10 4-0,11 4-0,12 +0,13 4-0,14 +0,15	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0 0 - L -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 — 1		1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 WWtCh5t0tOtOt->^<-^b- г- о о о		с О г-| г-1 Г-4 ?1	71 со со СО Г?	1Л Л lllllilllll.il!		о осч сч ео СО 4<	<£> со t> t> 00 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 II 1 1		0 - 1 - 1 - 3 - 4 - 4 - 5 - 6 - 7 - 7 - 8 - 9 -10 -10 -11		0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 -10 -11 -12 -13 -14 -16	0 - 1 - 3 - 4 - 5 - 6 - 8 - 9 -10 -12 -13 -15 -16 -18 -19 -20
п в	+ 0,08	+0,09		+ 0,10		+0,11		+ 0,12		+0,13		+0,14		+ 0,15
0,00 4-0,01 +0,02 +0,03 +0,04 +0,05 +0,06 +0,07 +0,08 +0,09 4-0,10 4-0,11 +0,12 +0,13 4-0,14 +0,15	0 - 1 - 3 - 4 - 5 — 6 - 8 - 9 -Ю -12 -13 -15 -16 -18 -19 -20	0 - 2 - 3 - 5 - 7 - 8 -10 -12 -13 -15 -17 -19 -21 -22 -24 -26		0 - 4 - 6 - 8 -10 -12 -15 -17 -19 -21 -23 -2б -28 -30 -33		0 - 7 -10 -13 -15 -18 -20 -23 -26 -29 -31 -34 -37 -40		0 - 3 - 6 - 9 *12 -15 -18 -21 -25 -28 -’31 -34 -38 -41 -45 -48		0 - 4 - 7 -11 -14 -18 -22 -25 -29 -33 -37 -41 -45 -49 -53 -57		0 - 4 - 8 -12 -17 -21 -25 -30 -34 -39 -43 -48 -52 -57 -62 -67		0 - 5 -10 -14 -19 -24 -29 -35 -40 -45 — 50 -55 -61 -66 -72 -77

Таблица XVli
Время прохождения через перигелий для орбит/ близких к параболе
8С2	1(?Р1									
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
—0,15	2,1130187	33671	37159	40653	44150	47653	51160	54672	58188	61710
—0,14	*95604	«99042	02481	05931	0 9382	12838	16299	19764	23234	26708
—0,13	2,1061474	64867	68264	71666	75072	78483	81898	85318	88742	92171
—0,12	27786	31135	34489	37847	41209	44576	47946	51322	54701	58085
—0,11	«94530	*97837	01147	04462	07782	11105	14433	17765	21101	24441
—0,10	2,0961&95	64960	68229	71502	74780	78061	81346	84636	87930	91228
—0,09	29272	32496	35725	38957	42193	45433	48678	51926	55178	58435
—0,08	*97251	00435	03623	06816	10012	13212	16416	19624	22836	26052
—0,07	2,0865622	68767	71916	75070	78227	81388	84552	87721	90894	94070
—0,06	31376	37483	40595	43710	46829	49951	53078	56208	59342	62480
—0,05	03505	06575	096419	12727	15809	18894	21983	25075	28172	31272
—0,04	«73000	«76034	*79072	«82113	*85158	*88207	*91259	*94315	*97375	00438
—0,03	2,0742854	45852	48855	51860	54870	57882	60899	63919	66942	69969
—0,02	13057	16021	18989	21960	24934	27912	30893	33878	36866	39858
—0,01	«83604	*86534	*89467	*92404	*95345	*98288	01235	04186	07139	10097
—0,00	2,0654486	57382	60283	63186	66093	69003	71917	74833	77754	80677
4-0,00	54486	51592	. 48702	45814	42931	40050	37173	34298	31428	28560
+0,01	25695	22834	19976	17121	14270	11421	08576	05734	02895	00059
+0,02	2,0597227	94397	91571	88748	85928	83111	80297	77486	74678	71874
+0,03	69072	66274	63479	60686	57897	55111	52328	49548	46771	43997
+0,04	41226	38458	35693	32931	30172	27416	24663	21913	19166	16422
+0,05	13681	10943	08208	05476	02746	00020	*97297	*94576	*91859	*89144
+ 0,06	2,0486432	83723	81017	78314	75614	72916	70222	67530	64842	62156
+0,07	59472	56792	54115	51440	48768	46099	43433	40770	38109	35452
+0,08	32797	30144	27495	24848	22205	19563	16925	14289	11657	09026
+0,09	06399	03774	01152	*98533	*95917	*93303	*90692	*88083	*85478	*82875
+0,10	2,0380274	77676	75081	72489	6^899	67312	64728	62146	59567	56991
+0,11	54417	51845	49277	46711	44147	41587	39028	36473	33920	31339
+0,12	28822	26276	23734	21193	18656	16121	13588	11058	08531	06006
+0,13	03484	00964	*98447	*95932	*93419	*90910	*88402	*85898	*83395	*80896
+0,14	2,0278398	75903	73411	70921	68434	65949	63466	60986	58508	56033
+0,15	53561	51090	48622	46157	43694	41233	38775	36319	33866	31414
27*

Таблица XVII	Продолжение
Время прохождения через перигелий для орбит, близких к параболе______________
ее2	1g р3									
	0	1	О	3 1 4		5	6	7	8	9
—0,15	1,6726329	732407	738491	744583	750681	756786	762898	769017	775142	781275
—0,14	665917	671928	677946	683970	690002	696039	702084	708135	714193	720257
—0,13	606164	612110	618062	624021	629987	635959	641937	647922	653914	659912
—0,12	547055	552937	558826	564721	570622	576530	582444	588364	594291	600224
—0,11	488576	494396	500222	506055	511893	517738	523589	529446	535309	541179
—0,10	430714	436473	442238	448009	453786	459569	465358	471154	476955	482763
—0,09	373455	379154	384859	390570	396287	402010	407739	413474	419214	424961
—0,08	316786	322427	328073	333725	339383	345047	350717	356393	362074	367762
—0,07	260695	266278	271867	277462	283063	288669	294281	299898	305522	311151
—0,06	205169	210697	216230	221768	227312	232862	238417	243978	249545	255117
—0,05	150198	155671	161149	166632	172121	177615	183115	188621	194131	199648
—0,04	095770	101189	106613	112042	117477	122917	128363	133813	139270	144731
—0,03	041874	047240	052611	057988	063369	068756	074149	079546	084949	090357
—0,02	*988499	*993814	*999133	004458	009787	015122	020162	025807	031158	036513
—0,01	1,5935636	940899	946168	951442	956720	962004	957293	972587	977886	983190
—0,00 5		883273	888487	893706	898930	904159	909392	914631	919875	925123	930377

Таблица XVII
Продолжение
£G2	lg р3									
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
+0,00	1,5883273	878064	872860	867660	862466	857277	852092	846912	841737	836567
+0,01	831402	826241	821086	815935	810789	805647	800511	795379	790252	785130
+0,02	780013	774900	769792	764688	759590	754496	749407	744322	739242	734167
+0,03	729096	724030	718969	713912	708860	703812	698770	693731	688697	683668
+0,04	678644	673624	668608	663597	658591	653589	648591	643598	638610	633626
+0,05	628647	623672	618701	613735	608773	603816	598863	593915	588971	584032
+0,06	579096	574166	569239	564317	559400	554486	549577	544673	539773	534877
+0,07	529985	525098	520215	515336	510462	505591	500726	495864	491007	486153
+0,08	481305	476460	471619	466783	461951	457123	452300	447480	442665	437854
+0,09	433047	428244	423446	418651	413861	409075	404293	399515	394741	389971
+0,10	385205	380444	375686	370933	366183	361438	356697	351960	347226	342497
4-0,11	337772	333051	328334	323621	318911	314206	309505	304808	300115	295425
+0,12	290740	286058	281381	276707	272038	267372	262710	258052	253398	248748
+0,13	244102	239460	234821	230186	225556	220929	216306	211686	207071	202459
+0,14	197851	193248	188647	184051	179458	174870	170285	165703	161126	156552
4-0,15	151982	147416	142853	• 138295	133739	129188	124641	120097	115556	111020

Таблица XVIII
Отношение площадей сектора и треугольника
h					, У					—
	0	1	2	3	‘ \	5	6 1	1 7 1	8	9
0,00	1,000000	OHIO	02217	03321	04423	05522	06618	07712	08804	09892
01	10978	12062	13143	14222	15298	16372	17443	18512	19578	206 42
02	21704	22763	23820	24875	25927	26977	28025	29070	30113	31154
03	32193	33230	34264	35296	36326	37354	38379	39403	40424	41443
04	42460	43476	44489	45500	46509	47516	48520	49523	50524	51523
05	52520	53515	54508	55499	56488	57476	58461	59444	60426	61406
06	62384	63360	64334	65306	66276	67245	68212	69177	70141	71102
07	72062	73020	73976	74931	75884	76835	77785	78732	79678	80623
08	81566	82507	83446	84284	85320	86255	87188	88119	89049	89977
09	90903	91828	92752	93674	94594	95513	96430	97346	98260	99172
0,10	1,100084	00993	01901	02808	03713	04617	05519	06420	07320	08218
11	09114	10009	10903	11794	12686	13575	14463	15350	16235	1711Э
12	18002	18883	19763	20641	21518	22394	23268	24142	25014	25884
13	26753	27621	28488	29353	30217	31080	31941	32801	33660	34518
14	35374	36230	37084	37936	38788	39538	40487	41335	42182	43027
15	43871	44714	45556	46397	47237	48075	48912	49748	50583	51417
16	52249	53080	53911	54740	55568	56395	57220	58045	58868	59591
17	60512	61332	62151	62970	63786	64602	65417	66231	67043	67855
18	68665	69475	70283	71091	71897	72702	73507	743L0	75112	75913
19	76713	77512	78310	79108	79904	80699	81493	82286	83078	83869
0,20	84659	85448	86237	87024	87810	88595	89380	90163	90945	91727
21	92507	93287	94066	9 4843	95620	96396	97171	97945	98718	99490
22	1,200261	01032	01801	02570	03337	04104	04870	05635	06399	07162
23	07924	08686	09446	10206	10965	11723	12480	13236	13991	14745
24	15499	16252	17004	17755	18505	19254	20003	20751	21498	22244
25	22989	23733	24477	25220	25962	26703	27443	28183	28922	29560
26	30397	31133	31868	32603	33337	34970	34803	35535	36265	35996
27	37725	38454	39181	39908	40634	41360	42085	42809	43532	44254
28	44976	45697	46417	47137	47885	48574	49291	50007	50723	51438
29	52153	52866	53579	54291	55003	55713	56424	57133	57841	58550
0,30	59257	59963	60669	61374	62078	62782	63485	64188	64889	65590
31	66291	66990	67689	68387	69085	69782	70478	71173	71868	72562
32	73256	73949	74641	75333	76024	76714	77404	78092	78781	79468
33	80155	80842	81527	82212	82897	83581	84264	84946	85628	86309
34	86990	87670	88350	89028	89707	90384	91061	91737	92413	99088
35	93762	94436	95110	95782	96454	97125	97796	98466	99136	93805
36	1,300473	01141	01809	02475	03141	03807	04472	05136	05800	06463
37	07126	07787	08449	09110	09770	10430	11089	11747	12405	13063
38	13720	11376	15031	15687	16341	16995	17649	18302	18954	19606
39	20257	20907	21558	22208	22857	23505.	24153	24801	25448	26094
0,40	26740	27385	28030	28674	29318	29961	30604	31246	31888	32529
41	33169	33809	34449	35088	35726	36364	37002	37633	38275	38911
42	39546	40181	40815	41449	42082	42715	43348	43979	44611	45242
43	45872	46502	47131	47760	48388	49016	49644	50270	50897	51523
44	52148	52773	53397	54021	54645	55268	55890	56512	57134	57755
45	58375	58996	59615	60234	60853	61472	62089	62706	63323	639 40
46	64555	65171	65786	66430	67014	67628	682 il	68854	69466	70078
47	70689	71300	71910	72520	73129	73739	74347	74955	75563	76170
48	76777	77383	77989	78595	79290	79804	80408	81012	81615	82218
49	82820	83422	84024	84625	85226	85826	86426	87025	87624	88223
0,50	88821	89418	90016	90612	91208	91805	92430	92995	93590	94184

Таблица XIX
Отношение площадей сектора и треугольника. § в единицах в-го знака
X	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
—0,25	3124	3148	3172	3195	3219	3243	3267	3290	3315	3339
—0,24	2894	2917	2939	2952	2985	3008	3031	3054	3078	3101
—0,23	2671	2693	2715	2737	2759	2782	2804	2826	2849	2871
—0,22	2456	2477	2499	2520	2541	2563	2584	2606	2628	2649
—0,21	2249	2270	2290	2311	2331	2352	2372	2393	2414	2435
—0,20	2051	2070	2090	2109	2129	2149	2169	2189	2209	2229
—0,19	I860	1879	1898	1916	1935	1954	1974	1993	2012	2031
—0,18	1678	1696	1714	1732	1750	1768	1786	1805	1823	1842
—0,17	1505	1522	1539	1555	1573	1590	1608	1625	1643	1660
—0,16	1340	1356	1372	1388	1404	1421	1438	1454	1471	1488
—0,15	1184	1199	1214	1230	1245	1261	1276	1292	1308	1324
—0,14	1037	1051	1065	1080	1094	1109	1124	1139	1154	1169
—0,13	899	912	926	939	953	956	980	994	1008	1022
—0,12	770	782	795	807	820	833	846	859	872	885
—0,11	650	662	673	685	697	709	721	733	745	757
—0,10	540	551	562	572	583	594	605	616	628	639
—0,09	440	450	459	469	479	489	499	509	520	530
—0,08	350	358	357	376	385	394	403	412	421	431
—0,07	269	277	284	292	300	308	316	324	333	341
—0,06	199	205	212	219	226	233	240	217	254	262
—0,05	139	144	150	156	162	168	174	180	186	192
—0,04	89	94	98	103	108	113	118	123	128	133
—0,03	51	54	58	61	65	69	73	77	81	85
—0,02	23	25	27	30	32	35	38	41	44	47
—0,01	6	7	8	10	11	13	14	16	18	20
—0,00	0	0	0	0	1	1	2	3	4	5
+0,00	0	0	0	0	1	1	2	3	4	5
+0,01	6	7	8	10	11	13	15	17	19	21
+0,02	23	26	28	31	33	36	39	42	46	49
+ 0,03	52	56	60	63	67	71	76	80	84	89
+0,04	94	98	103	108	114	119	124	130	135	141
+ 0,05	147	153	159	166	172	178	185	192	199	206
+ 0,06	213	220	228	235	243	251	259	267	275	283
+ 0,07	292	300	309	318	327	336	345	355	364	374
+0,08	384	393	403	414	424	434	445	456	466	477
+0,09	488	500	511	522	534	546	558	570	582	594
+ 0,10	607	619	632	645	658	671	684	698	711	725
+0,11	739	753	767	781	795	810	824	839	854	869
+ 0,12	884	900	915	931	947	963	979	995	1012	1028
+ 0,13	1045	1062	1078	1095	1113	ИЗО	1118	1165	1183	1201
+ 0,14	1219	1238	1256	1274	1293	1312	1331	1350	1370	1389
+ 0,15	1409	1428	1448	1468	1489	1509	1530	1550	1571	1592
+0,16	1613	1634	1656	1678	1699	1721	1743	1765	1788	1810
+ 0,17	1833	1856	1879	1902	1925	1949	1972	1996	2020	2044
+0,18	2068	2093	2118	2142	2167	2192	2217	2243	2268	2294
+0,19	2320	2346	2372	2398	2425	2152	2179	2506	2533	2560
+ 0,20	2588	2615	2643	2671	2700	2728	2756	2785	2814	2813
+ 0,21	2872	2902	2931	2961	2991	3021	3051	3081	3112	3143
+ 0,22	3174	3205	3235	3237	3299	3331	33)3	3395	3427	3460
+о;гз	3492	3525	3558	3591	3)25	3558	3)92	3726	3760	3794
+0,24	3829	3864	3898	3933	3968	4004	4039	4075	4111	4147
+0,25	4184	4220	4257	4293	4330	4358	4405	4443	4480	4518

Таблица XX
Решение уравнения Эйлера
												
	0 1	1 1	2	3	4 1	5 1	6 1	7 1	8 1	9
0,00	0,000000	01000	02000	03000	04000	05000	06000	07000	* 08000	09000
01	10000	11000	12000	13000	14000	15000	16000	17000	18000	19000
02	20000	21000	22000	23001	24001	25001	26001	27001	28001	29001
03	30001	31001	32001	33001	34002	35002	36002	37002	38002	39002
04	40003	41003	42003	43003	44004	45004	46004	47004	48005	49005
05	50005	51006	52006	53006	54007	55007	56007	57008	58008	59009
06	60009	61009	62010	63010	64011	65011	66012	67013	68013	69014
07	70014	71015	72016	73016	74017	75018	76018	77019	78020	79021
08	80021	81022	82023	83024	84025	85026	86027	87028	88028	89029
09	90030	91031	92032	93034	94035	95036	96037	97038	98039	99041
0,10	0,100042	01043	02044	03046	04047	05048	06050	07051	08053	09054
11	10056	11057	12059	13060	14062	15064	16065	17067	18069	19071
12	20072	21074	22076	23078	24080	25082	26084	27086	28088	29090
13	30092	31094	32096	33099	34101	35103	36105	37108	38110	39113
14	40115	41118	42120	43123	44125	45128	46131	47133	48136	49139
15	50142	51144	52147	53150	54153	55156	56159	57163	58166	59169
16	60172	61175	62179	63182	64185	65189	66192	67196	68199	69203
17	70207	71210	72214	73218	74222	75225	76229	77233	78237	79241
18	80245	81250	82254	83258	84262	85267	86271	87276	88280	89284
19	90289	91294	92298	93303	94308	95313	96318	97322	98327	99332
0,20	0,200338	01343	02348	03353	04358	05364	06369	07375	08380	09386
21	10391	11397	12403	13408	14414	15420	16426	17432	18438	19444
22	20451	21457	22463	23469	24476	25482	26489	27495	28502	29509
23	30516	31522	32529	33536	34543	35550	36557	37565	38572	39579
24	40587	41594	42602	43609	44617	45625	46632	47640	48648	49656
25	50664	51672	52680	53689	54697	55705	56714	57722	58731	59740
26	60748	61757	62766	63775	64784	65793	66802	67811	68821	69830
27	70840	71849	72859	73868	74878	75888	76898	77908	78918	79928
28	80938	81948	82959	83969	84980	85990	87001	88011	89022	90033
29	91044	92055	93066	94077	95089	96100	97112	98123	99135	*00146
0,30	0,301158	02170	03182	04194	05206	06218	07230	08243	09255	10268
31	11280	12293	13306	14319	15332	13645	17358	18371	19384	20398
32	21411	22425	23439	24452	25466	26480	27494	28508	29522	30537
33	31551	32566	33580	34595	35610	36625	37640	38655	39670	40685
34	41700	42716	43731	44747	45763	46779	47995	48811	49827	50843
35	51859	52876	53892	54909	55926	56943	57959	58976	59994	61011
36	62028	63046	64063	65081	66099	67116	68134	69153	70171	71189
37	72208	73226	74245	75263	76282	77301	78320	79339	80359	81378
38	82398	83417	84437	85457	86477	87497	88517	89537	90558	91578
39	92599	93620	94640	95661	96682	97704	98725	99747	*00768	*01790
0,40	0,402812	03834	04856	05878	06900	07923	08945	09968	10990	12013

Продолжение
Таблица XX
Решение уравнения Эйлера
										
	0	1	2	3 1	4 1	5	1 6 1	’ 1	8 1	9
0,40	0,402812	03834	04856	05878	06900	07923	08945	09968	10990	12013
41	13036	14060	15083	16106	17130	18154	19177	20201	21225	22249
42	23274	24298	25323	26347	27372	28397	29422	30448	31473	32498
43	33524	34550	35576	36602	37628	38654	39680	40707	41733	42760
44	43787	44814	45842	46869	47896	48924	49952	50980	52008	53036
45	51065	55093	56122	57150	58179	59208	60238	61267	62296	63326
46	64356	65386	66416	67446	68477	69507	70538	71569	72600	73631
47	74662	75694	76725	77757	78789	79821	80853	81886	82918	83951
48	84984	86017	87050	88083	89117	90150	91184	92218	93252	94286
49	95321	96355	97390	98425	99460	*00496	*01531	*02567	*03602	*04638
0,50	0,505674	06711	07747	08784	09821	10858	11895	12932	13969	15007
51	16045	17083	18121	19160	20198	21237	22276	23315	24354	25393
52	26433	27473	28513	29553	30593	31634	32674	33715	34756	35798
53	36839	37880	38922	39964	41007	42049	43092	44134	'45177	46220
54	47264	48307	49351	50395	51439	52483	53528	54572	55617	56663
55	57708	58753	59799	60845	61891	62937	63984	65031	66078	67125
56	68172	69220	70267	71315	72364	73412	74461	75509	76558	77608
57	78657	79707	80757	81807	82857	83908	84958	86009	87060	88112
58	89164	90215	91268	92320	93372	94425	95478	96531	97585	98638
59	99692	*00747	*01801	*02655	*03910	*04965	*06021	*07076	*08132	*09188
0,60	0,610244	11301	12358	13415	14472	15529	46587	17645	18703	19762
61	20820	21879	22938	23998	25058	26117	27178	28238	29299	30360
62	31421	32483	33544	34606	35669	36731	37794	38857	39920	40984
63	42048	43112	44176	45241	46306	47371	48437	49502	50568	51635
64	52701	53768	54835	55903	56971	58039	59107	60175	61244	62313
65	63383	64452	65522	66593	67663	68734	69805	70877	71949	73021
66	74093	75166	76239	77312	78386	79460	80534	81608	82683	83758
67	84834	85910	86986	88062	89139	90216	91293	92371	93449	94527
68	95606	96685	97764	98844	99924	*01004	*02085	*03166	*04247	*05329
69	0,706411	07493	08576	09659	10792	11826	12910	13994	15079	16164
0,70	17250	18336	19422	20508	21595	22682	23770	24858	25947	27035
71	28124	29214	30304	31394	32485	33576	34667	35759	36851	37944
72	39037	40130	41224	42318	43413	44508	45603	46699	47795	48891
73	49988	51085	52183	53282	54380	55479	56578	57679	58779	59880
7i	60981	62082	63184	64287	65390	66493	67597	68701	69806	70911
75	72016	73122	74229	75336	76443	77551	78659	79768	80877	81987
76	83097	84208	85319	86431	87543	88656	89769	90883	91997	93111
77	94226	95342	96458	97575	98692	99810	*00928	*02047	*03166	*04286
78	0,805406	06527	07648	08770	09893	11016	12139	13263	14388	15513
79	16639	17765	18892	20020	21148	22277	23406	24536	25667	26798
0,80	27929	29062	30195	31328	32462	33597	34732	35868	37005	38142

Таблица XXI
Решение уравнения Эйлера. 1g р в единицах 5-го знака
V	0	1	2	3	4	5*	6	7	8	9
0,0	0	0	1	2	3	5	7	9	12	15
0,1	18	22	26	31	36	41	47	53	59	66
0,2	73	81	89	97	106	115	125	135	145	156
0,3	167	179	191	204	217	230	244	258	273	288
0,4	304	320	337	354	372	390	409	429	449	469
0,5	490	512	534	557	580	604	629	655	681	708
0,6	735	764	793	823	853	885	918	951	985	1021
0,7	1057	1095	1133	1173	1214	1257	1300	1345	1392	1440
0,3	1490	1542	1596	1652	1710	1771	1835	1902	1972	2046

Таблица XXII
Переход от г2 б г“3 или от г к
г2			 Г“3												
	0	1	2	3 1	4	5	1 6	7	1 8	1 9
1,00	1,000000	«98502	*97007	*95517	*94030	*92547	*91067	*89591	*88119	*86650
01	0,985185	83724	82266	80812	79362	77915	76471	75031	73595	72162
02	70733	69307	67885	66466	65051	63339	62230	60825	59423	58025
03	56630	55239	53851	52466	51085	49707	48332	46961	45592	44228
04	42866	41508	40153	38801	37452	33107	34765	33426	32090	30758
05	29429	28102	26779	25460	24143	22829	21519	20211	18907	17606
06	16307	15012	13720	12431	11145	09862	08582	07305	06031	04760
07	03492	02227	00965	*99706	*98449	*97196	*95945	*9 4698	*93453	*92212
08	0,890973	89737	88503	87273	86046	84821	83599	82380	81164	79950
09	78740	77532	76327	75124	73925	72728	71534	70342	69154	67957
1,10	66784	65604	64426	.63250	62078	60908	597i0	58576	57414	56254
11	55097	53943	52791	51642	50496	49352	48211	47072	45936	44802
12	43671	42542	41416	40292	39171	38052	36936	35823	34711	33503
13	32496	31392	30291	29192	28095	27001	25909	24820	23733	22648
14	21566	20486	19409	18334	17261	16191	15123	14057	12994	11933
15	10874	09817	08763	07711	06661	05614	04569	03526	02485	01447
16	00411	*99377	*98345	*97316	*96289	*95264	*94241	*93220	*92202	*91185
17	0,790171	89159	|88149	87142	86136	85133	84132	83133	82135	81141
18	80148	79157	78169	77182	76198	75216	74235	73257	72281	71307
19	70335	69365	68397	67431	• 66467	65505	64545	63587	62632	61678
1,20	60726	59776	58828	57882	56938	55996	55056	54118	53181	52247
21	51315	50384	49456	48529	47605	46682	45761	44842	43925	43010
22	42096	41185	40275	39367	38462	37557	36655	35755	34856	33950
23	33065	32172	31280	30391	29503	28617	27733	26851	23971	25092
24	24215	23340	22466	21595	20725	19857	18990	18125	17262	16401
25	15542	14684	13828	12974	12121	11270	10421	09573	08727	07883
26	07040	06199	05360	04523	03687	02853	02020	01189	00350	*99532
27	0,698706	97881	97059	96237	95418	94600	93784	92959	92156	91344
28	90534	89726	88919	88113	87310	86508	85707	84908	84110	83314
29	82520	81727	80936	80146	79358	78571	77786	77002	76220	75439
1,30	74660	73882	73106	72331	71558	70786	70016	69247	68480	67714
31	66950	66187	65425	64665	63906	63149	62394	61639	60887	60135
32	59385	58636	57889	57144	56399	55956	54915	54175	53436	52698
33	51962	51228	50495	49763	49032	48303	47575	46849	46124	45400
34	44678	43957	43237	42519	41802	41086	40372	39659	38947	38237
35	37528	36820	36114	35409	34705	34003	33391	32602	31903	31206
36	30510	29815	29121	28429	27738	27048	26360	25672	24987	24302
37	23619	22937	22256	21576	20897	20220	19544	18870	18196	17524
38	16853	16183	15514	14847	14180	13515	12851	12189	11527	10867
39	10208	09550	08893	08238	07583	06930	06278	05627	04978	04329
1,40	03682	03035	02390	01746	01,104	00 462	*99821	*99182	*98544	*97907
. 41	0,597271	96636	96002	95370	94738	94108	93479	92851	92224	91598
42	90973	90349	89726	89105	88484	87865	87247	86630	86014	85399
43	84785	84172	83560	82949	82340	81731	81123	80517	79911	79307
44	78704	78102	77500	76900	76301	75703	75106	74509	73914	73320
45	72727	72135	71545	70955	70366	69778	69191	68605	68020	67436
46	66853	66271	65691	65111	64532	63954	63377	62801	62226	61652
47	61079	60507	59936	59366	58797	58228	57661	57095	56530	55965
48	55402	54840	54278	53718	53158	52599	52042	51485	50929	50374
49	49820	49267	48715	48164	47613	47064	46516	45968	45422	44876
1>50	44331	43787	43244	42702	42161	41621	41081	40543	40005	39469

Таблица XXII
П родолмсение
Переход от г2 к г'3 или от г в г”3^2
г2	г-з									-
	0	1	2	3 1	4	5 1	1 6 1	7 1	8 1	
1,50	0,544331	43787	43244	42702	42161	41621	41081	40543	40005	39469
51	38933	38398	37864	37331	36798	36267	35736	35207	34678	34150
52	33523	33097	32572	32047	31524	31001	30479	29958	29438	28919
53	28400	27882	27366	26850	26335	25820	25307	24794	24283	23772
54	23262	22752	22244	21736	21230	20724	20218	19714	19211	18708
55	18206	17705	17205	16705	16207	15709	15212	14715	14220	13725
56	13231	12738	12246	11754	11264	10774	10284	09796	09308	08822
57	08336	07850	07366	06882	06399	05917	05435	04955	04475	03996
58	03517	03040	02563	02087	01611	01137	00663	00190	*99717	*99245
59	0,498775	98304	97835	97366	96898	96431	95965	95499	95034	94569
1,60	94106	93643	93181	92719	92259	91799	91340	90881	90423	89966
61	89510	89054	88599	88145	87691	87238	86786	86334	85884	85433
62	84984	84535	84087	83640	83193	• 82747	82302	81858	81414	80970
63	80528	80086	79645	79204	78764	78325	77887	77449	77012	76575
64	76140	75704	75270	74836	74403	73970	73538	73107	72677	72247
65	71818	71389	70961	70534	70107	69681	69256	68831	68407	67983
66	67561	67138	66717	66296	65876	65456	65037	64619	64201	63784
67	63367	62951	62536	62121	61707	61294	60881	60469	60057	59646
68	59236	58826	58417	58009	57601	57194	56787	56381	55975	55570
69	55166	54762	54359	53957	53555	53154	52753	52353	51953	51554
1,70	51156	50758	50361	49954	49568	49173	48778	48384	47990	47597
71	47204	46812	46421	46030	45640	45250	44861	44472	44084	43697
72	43310	42923	42538	42152	41768	41384	41000	40617	40235	39853
73	39472	39091	38711	38331	37952	37573	37195	36818	36441	36064
74	35689	35313	34938	34564	34190	33817	33445	33073	32701	32330
75	31959	31589	31220	30851	30483	30115	29747	29381	29014	28648
76	28283	27918	27554	27190	26827	26465	26102	25741	25380	25019
77	24659	24299	23940	23581	23223	22866	22509	22152	21796	21440
78	21085	20731	20377	20023	19670	19317	18935	18613	18262	17912
79	17562	17212	16863	16514	16166	15818	15471	15124	14778	14432
1,80	14087	13742	13397	13054	12710	12367	12025	11623	11341	11000
81	10660	10320	09980	09641	09302	08964	08626	08289	07952	07616
82	07280	06944	06609	06275	05941	05607	05274	04941	04609	04277
83	03946	03615	03285	02955	02625	02296	01968	01639	01312	00984
84	00657	00331	00005	*99680	*99355	*99030	*98706	*98382	*98059	*97736
85	0,397413	97091	96770	95449	96128	95808	95488	95168	94849	94531
86	94213	93895	93578	93261	92944	92628	92313	91998	91683	91369
87	91055	90741	90428	90116	89803	89492	89180	88869	88559	88249
88	87939	87629	87321	87012	86704	86396	86089	85782	85476	85170
89	84864	84559	84254	83949	83645	83342	83039	82736	82433	82131
1,90	81830	81528	81228	80927	80627	80327	80028	79729	79431	79133
91	78835	78538	78241	77944	77648	77352	77057	76762	76467	7617.3
92	75879	75586	75293	75000	74708	74416	74124	73833	73542	73252
93	72962	72672	72383	72094	71805	71517	71229	70942	70655	70368
94	70082	69796	69510	69225	68940	68655	68371	68088	67804	67521
95	67238	66956	66674	66393	66111	65830	65550	65270	6499'0	64711
93	64431	64153	63874	63596	63310	63041	62764	62488	62212	61936
97	61660	61385	61110	60836	60561	60288	60014	59741	59468	59196
98	58924	58652	58381	58110	57839	57568	57298	57029	56759	56490
99	56222	55953	55685	55418	55150	54883	54617	54350	54084	53819
2,00	53553	53288	53023	52759	52495	52232	51968	51705	51443	51180

Таблица XXII
Продолжение
Переход от г2 к г~~3 или от г к г~3^2
г2		г 3									
	0	1	2	з ;	1 1	5 1	6 1	7	8	9
2,00	0,3535534	32884	30237	27594	24954	22317	19683	47053	14426	11803
01	09182	06565	03951	01340	*98733	*96129	*93528	*90930	*88336	*85744
02	0,3483156	80571	77990	75411	72836	70264	67695	65129	62566	60007
03	57450	54897	52347	49800	47256	44716	42178	39644	37112	34584
04	32059	29537	27018	24502	21989	19480	16973	14469	11969	09471
05	06977	04486	01997	*99512	*97030	*94550	*92074	*89601	*87131	*84663
Об	0,3382199	79738	77280	74824	72372	69923	67476	65033	62592	60155
07	57720	55288	52860	50434	48011	45591	43174	40760	38349	35940
08	33535	31132	28733	26336	23942	21551	19163	16778	14395	12015
09	09639	07265	04894	02525	00160	*97797	*95438	*93080	*90726	*88375
2,10	0,3286026	83681	81338	78998	76660	74325	71994	69665	67338	65015
11	62694	60376	58060	55748	53438	51131	48826	46525	44226	41929
12	39636	37345	35057	32772	30489	28209	25931	23657	21384	19115
13	16848	14584	12323	10064	07808	05555	03304	01056	*98810	*96567
14	0,3194327	92089	89854	87621	85392	83164	80940	78718	76498	74281
15	72067	69855	67646	65439	63235	61033	58834	56638	54444	52253
16	50064	47878	45694	43513	41334	39158	36984	34813	32644	30478
17	28314	26153	23995	21838	19685	17533	15385	13238	11094	08953
18	06814	04678	02544	00412	*98283	*96156	*94032	*91910	*89790	*87673
19	0,3085559	83447	81337	79229	77124	75022	72922	70824	68729	66635
2,20	64545	62457	60371	58287	56206	54127	52051	49977	47905	45835
21	43768	41704	39641	37581	35523	33468	31415	29364	27316	25269
22	23225	21184	19145	17108	15073	13041	11010	08983	06957	04934
23	02912	00894	*98877	*96863	*94851	*92841	*90834	*88829	*86826	*84825
24	0,2982826	80830	78836	76844	74854	74867	70882	68899	66918	64939
25	62963	60989	59017	57047	55079	53114	51150	49189	47230	45274
26	43319	41367	39416	37468	35522	33578	31637	29697	27760	25824
27	23891	21960	20031	18105	16180	14257	12337	10419	08502	06588
28	04676	02766	00858	*98953	*97049	*95147	*93248	*91351	*89455	*87562
29	0,2885671	83782	81895	80009	78127	76246	74367	72490	70615	68742
2,30	68872	65003	63136	61272	59409	57548	55690	53833	51979	50126
31	48276	46427	44581	42736	40894	39053	37214	35378	33543	31711
32	29880	28051	26225	24400	22577	20756	18937	17121	15306	13493
33	11681	09872	08065	06260	04457	02655	00856	*99058	*97263	*95469
34	0,2793677	91887	90099	88313	86529	84747	82967	81188	79412	77637
35	75864	74093	72324	70557	68792	67029	65267	63507	61750	59994
36	58240	56487	54737	52989	51242	49497	47754	46013	44274	42536
37	40801	39067	37335	35605	33877	32150	30426	28703	26982	25262
38	23545	21829	20116	18404	16693	14985	13278	11573	09870	08169
39	06470	04772	03076	01382	*99689	*97999	*96310	*94623	*92937	*91254
2,40	0,2689572	87892	86213	84537	82862	81189	79517	77848	76180	74514
41	. 72849	71186	69525	67866	66208	64553	62898	61246	59595	57946
42	56299	54653	53009	51367	49727	48088	46451	44815	43181	41549
43	39919	38290	36663	35038	33414	31792	30172	28553	26936	25320
44	23707	22094	20484	18875	17268	15662	14059	12456	10856	09257
45	07659	06064	04470	02877	01286	*99697	*98110	*96524	*94939	*93356
46	0,2591775	90196	88618	87041	85467	83894	82322	80752	79184	77617
47	76052	74488	72926	71366	69807	68249	66694	65140	63587	62036
48	60486	58939	57392	55847	54304	52762	51222	49684	48147	46611
49	45077	43545	42014	40485	38957	37431	35906	34383	32861	31341
2,50	29822	28305	26789	25275	23763	22252	20742	19234	17727	16222

Таблица XXII
Продолжение
Переход от га к г"3 или от г к г-3^2
г2		г-3	 										
	0	1	2	3 1	( 4	5 1	6 1	1 7 1	8	9
2,50	0,2529822	28305	26789	25275	23763	22252	20742	19234	17727	16222
51	14719	13217	11716	10217	08719	07223	05729	04236	02744	01254
52	0,2499765	98278	95792	95308	93825	92344	90864	89385	87908	86433
53	84959	83486	82015	80546	79077	77611	76145	74681	73219	71758
54	70298	68840	67384	65928	64475	63022	61571	60122	58674	57227
55	55782	54338	52895	51454	50015	48576	47139	45704	44270	42837
56	41406	39976	38548	37121	35695	34271	32848	31427	30007	28588
57	27171	25755	24340	22927	21515	20105	18696	17288	15882	14477
58	13073	11671	10270	08870	07472	06075	04680	03285	01893	00501
59	0,2399111	97722	96335	94949	93564	92181	90798	89418	88038	86660
2,60	85283	83908	82534	81161	79789	78419	77050	75683	74317	72952
61	71588	70226	68865	67505	66146	64789	63434	62079	60726	59374
62	58023	56674	55326	53979	52633	51289	49946	48605	47264	45925
63	44587	43251	41'915	40581	39248	37917	36587	35258	33930	32603
64	31278	29954	28632	27310	25990	24671	23353	22037	20722	19408
65	18095	16783	15473	14164	12856	11550	10244	08940	07637	06336
66	05035	03736	02438	01141	*99846	*98551	*97258	*95966	*94675	*93386
67	0,2292098	90811	89525	88240	86956	85674	84393	83113	81834	80557
68	79281	78006	76732	75459	74187	72917	71648	70380	69113	67847
69	66583	65319	64057	62796	61537	60278	59020	57764	56509	55255
2,70	54002	52751	51500	50251	49003	47756	46510	45265	44021	42779
71	41538	40298	39058	37821	36584	35349	34114	32881	31649	30418
72	29188	27959	26731	25505	24279	23055	21832	20610	19389	18169
73	16951	15733	14517	13301	12087	10874	09662	08451	07241	06033
74	04825	03619	02413	01209	00006	*98804	*97603	*96403	*95204	*94006
75	0,2192810	91614	90420	89226	88034	86843	85653	84464	83276	82089
76	80903	79718	78535	77352	76171	74990	73811	72632	71455	70279
77	69104	67930	66757	65585	64414	63244	62075	60908	59741	58575
78	57411	56247	55085	53923	52763	51603	50445	49288	48131	46976
79	45822	44669	43517	42366	41216	40067	.38919	37772	36626	35481
2,80	34337	33194	32052	30911	29771	28633	27495	26358	25222	24087
81	22954	21821	20689	19558	18429	17300	16172	15046	13920	12795
82	11671	10549	09427	08306	07186	06068	04950	03833	02717	01603
83	00489	*99376	*98264	*97153	*96043	*94934	*93826	♦92719	*91613	*90508
84	0,2089404	88301	87199	86098	84998	83899	82800	81703	80607	79511
85	78417	77324	76231	75140	74049	72950	71871	70783	69696	68611
86	67526	66442	65359	64277	63196	62116	61037	59958	58881	57805
87	56729	55655	54581	53509	52437	51366	50297	49228	48160	47093
88	46027	44961	43897	42834	41771	40710	39649	38590	37531	36473
89	35416	34360	33305	32251	31198	30145	29094	28043	26994	25945
2,90	24897	23850	22804	21759	20715	19672	18629	17588	16547	15507
91	14469	13431	12394	11358	10322	09288	08254	07222	06190	05159
92	04129	03100	02072	01045	00018	*98993	*97968	*96914	*95921	,94899
93	0,1993878	92858	91838	90820	89802	88785	87769	86754	85740	84726
94	83714	82702	81691	80681	79572	78664	77657	76650	75644	74640
95	.73636	72633	71630	70629	69628	68629	67630	66632	65634	64638
96	63643	62648	61654	60661	59369	58678	57687	56697	55709	54721
97	53734	52747	51762	50777	49793	48810	47828	46847	45866	44886
98	43908	42929	41952	40976	40000	39025	38051	37078	36106	35134
99	34164	33194	32225	31256	30289	29322	28356	27391	26427	25464
2,00	24501	23539	22578	21618	20658	19700	18742	17785	16828	15873

Таблица XXII
Продолжение
Переход от г2 к г~3 или от г к г~8^2
г-	0 1	1 1	2	з	4	5 1	1 6	7	8 1	1 9
3,00	0,1924501	23539	22578	21618	20658	19700	18742	17785	16828	15873
01	14918	13964	13011	12059	11108	10157	09207	08258	07309	06362
02	05415	04469	03524	02579	01636	.00693	*99751	*98809	*97869	*96929
03	0,1895990	95052	94114	93178	92242	91307	90372	89439	88506	87574
04	86643	85712	84782	83853	82925	81998	81071	80145	79220	78295
05	' 77372	76449	75527	74605	73684	72765	71845	70927	70009	69092
06	68176	67261	66346	65432	64519	63607	62695	61784	60874	59965
07	59056	58148	57241	56334	55428	54523	53619	52716	51813	50911
08	50009	49109	48209	47310	46411	45514	44617	43720	42825	41930
09	41036	40143	39250	38358	37467	36576	35687	34798	33909	33022
3;10	32135	31249	30363	29479	28595	27711	26829	25947	25066	24185
11	23305	22426	21548	20670	19793	18917	18042	17167	16293	15419
12	14547	13675	12803	11933	11063	10193	09325	08457	07590	06723
13	05858	04992	04128	03264	02401	01539	00677	*99816	*98956	*98097
14	0,1797238	96380	95522	94665	93809	92953	92099	91245	93391	89538
15	88686	87835	86984	86134	85285	84436	83588	82740	81894	81048
16	80202	79358	78514	77670	76828	75986	75144	74303	73463	72624
17	71785	70947	70110	69273	68437	67602	66767	65933	65099	64267
18	63434	62603	61772	60942	60112	59284	58455	57628	56801	55975
19	55149	54324	53500	52676	51853	51030	50209	49388	48567	47747
3,20	46928	46110	45292	44474	43658	42842	42026	41212	40398	39584
21	38771	37959	37148	36337	35526	34717	33908	33099	32291	31484
22	30678	29872	29066	28262	27458	26654	25852	25049	24248	23447
23	22647	21847	21048	20250	19452	18654	17858	17062	16267	15472
24	14678	13884	13091	12299	11507	10716	09926	09136	08347	07558
25	06770	05982	05196	04409	03624	02839	02054	01270	00487	*99705
26	0,1698923	98141	97360	96580	95801	95022	94243	93465	92688	91911
27	91135	90360	89585	88811	88037	87264	86492	85720	84948	84178
28 1	83407	82638	81869	81100	80333	79565	78799	78033	77267	76502
29	75738	74974	74211	73449	72687	71925	71164	70404	69645	68885
3,30	68127	67369	66612	65855	65099	64343	63588	62833	62079	61326
31	60573	59821	59069	58318	57568	56818	56068	55319	54571	53823
32	53076	52330	51584	50838	50093	49349	48605	47862	47119	46377
33	45636	44895	44154	43414	42675	41936	41198	40460	39723	38986
34	38250	37515	36780	36046	35312	34579	33846	33114	34382	31651
” 35	30920	30190	29461	28732	28004	27276	26549	25922	25096	24370
36	23645	22920	22195	21473	20750	20028	19306	18584	17863	17143
37	16423	15704	14986	14267	13550	12833	12116	11400	10685	09970
38	09255	08541	07828	07115	06403	05691	04980	04269	03559	02849
39	02140	01431	00723	00016	*99308	*98602	*97896	*97190	*96485	*95781
3,40	0,1595077	94373	93671	92968	92266	91565	90864	90164	89464	88764
41	88066	87367	86669	85972	85275	84579	83883	83188	82493	81799
42	81105	80412	79720	79027	78336	77644	76954	76264	75574	74885
43	74196	73508	72820	72133	71446	70760	70075	69389	68705	68020
44	67337	66654	65971	65289	64607	63926	63245	62565	61885	61206
45	60527	59849	59171	58494	57817	57141	56465	55790	55115	54441
46	53767	53093	52421	51748	51076	50405	49734	49064	48394	47724
47	47055	46387	45719	45051	44384	43717	43051	42386	41720	41056
48	40391	39728	39065	38402	37740	37078	36416	35755	35095	34435
49	33776	33116	32458	31800	31143	30486	29829	29173	28517	27862
3,50	27207	26553	25899	25246	24593	23940	23288	22637	21986	21335

Таблица XXII
Продолжение
Переход от г2 к г-3 или от г кг 3^2
г2	г“3									
	0	1 1	1 2	3	1 4	1 &	1 6	1 7	8	1 9
3,50	0,1527207	26553	25899	25246	24593	23940	23288	22637	21986	21335
51	20685	20036	19386	18738	18089	17442	16794	16147	15501	14855
52	14209	13565	12920	12276	11632	10989	10346	09704	09062	08421
53	07780	07139	06499	05860	05221	04582	03944	03306	02669	02032
54	01395	00760	00124	*99489	*98854	*98220	*97586	*96953	*96320	*95688
55	0,1495056	94425	93793	93163	92533	91903	91274	90645	90017	89389
56	88761	88134	87507	86881	86255	85630	85005	94381	83757	83133
57	82510	81887	81265	80643	80022	79401	78781	78160	77541	76922
58	76303	75685	75067	74449	73832	73215	72599	71983	71368	70753
59	70139	69525	689И	68298	67688	67073	66461	65849	65238	64628
3,60	64017	63408	62798	62189	61581	60973	60365	59758	59151	58544
61	57938	57333	56728	56123	55519	54915	54311	53708	53106	52503
62	51901	51300	50699	50098	49498	48899	48299	47700	47101	46504
63	45906	45309	44712	44115	43519	42924	42329	41734	41139	40545
64	39952	39359	38766	38173	37581	36990	36399	35808	35218	34628
65	34038	33449	32860	32272	31684	31097	30509	29923	29336	28750
66	28165	27580	26995	26411	25827	25243	24660	24078	23495	22913
67	22332	21751	21170	20590	20010	19430	18851	18272	17694	17116
68	16538	15961	15384	14808	14232	13656	13081	12506	11932	11357
69	10784	10210	09638	09065	08493	07921	07350	06779	06208	05638
3,70	05068	04499	03930	03361	02793	02225	01657	01090	00533	*99957
71	0,1399391	98826	98260	97696	97131	96567	96003	95440	94877	94314
72	93752	93190	92629	92068	91507	90947	94387	89828	89268	88710
' 73	88151	87593	87035	86478	85921	85365	84808	84253	83697	83142
74	82587	82033	81479	80926	80372	79819	79267	78715	78163	77612
75	77061	76510	75960	75410	74860	74311	73762	73214	72666	72118
76	71571	71024	70477	69931	69385	68840	68294	67750	67205	66661
77	66117	65574	65031	64488	63946	63404	62862	62321	61780	61240
78	60700	60160	59621	59081	58543	58004	57466	56929	56391	55855
79	55318	54782	54246	53710	53175	52640	52106	51572	51038	50505
3,80	49972	49439	48906	48374	47843	47311	46781	46250	45720	45190
81	44660	44131	43602	43074	42545	42018	41490	40963	40436	39910
82	39384	38858	38332	37807	37283	36758	36234	35710	35187	34664
83	34141	33619	33097	32575	32054	31533	31012	30492	29972	29453
84	28933	28414	27896	27377	26859	26342	25825	25308	24791	24275
85	23759	23243	22728	22213	21699	21184	20670	20157	19644	19131
86	18618	18106	17594	17082	16571	16060	15550	15039	14529	14020
87	13511	13002	12493	11985	11477	10969	10462	09955	09448	08942
88	08436	07930	07425	06920	06415	05911	05407	04903	04399	03896
89	03394	02891	02389	01887	01386	00885	00384	*99883	*99383	*98833
3,90	0,1298384	97885	97386	96887	96389	95891	95393	94896	94399	93902
91	93406	92910	92414	91919	91424	90929	90435	89940	89447	88953
92	88460	87967	87474	86982	86490	85999	85507	85016	84526	84035
93	83545	83055	82566	82077	81588	81100	80611	80124	79636	79149
94	78662	78175	77689	77203	76717	76232	75746	75262	74777	74293
95	73809	73326	72842	72359	71877	71394	70912	70431	69949	69468
96	68987	68507	68026	67546	67067	66588	66109	65630	65151	64673
97	64195	63718	63241	62764	62287	61811	61335	60859	60384	59909
98	59434	58959	58485	58011	57538	57064	56591	56119	55646	55174
99	54702	54231	53759	53288	52818	52347	51877	51408	50938	50469
4,00	50000	49531	49063	48595	48127	47660	47193	46726	46259	45793

Таблица XXII
П родолжение
Переход от г2 к г~3 или от г к г 8^2
г2	Г3									
	°	1	.2	3	|	4	|		1 1	6 1	i 7	8 1	1 9
4,00	0,1250000	49531	49063	48595	48127	47660	47193	46726	46259	45793
01	45327	44861	44396	43931	43466	43002	42537	42073	41610	41146
02	40683	40220	39758	39296	38834	38372	37911	37450	36989	36528
03	36068	35608	35149	34689	34230	33771	33313	33855	32397	31939
04	31482	31025	30568	30111	29655	29199	28743	28288	27833	27378
05	• 26923	26469	26015	25561	25108	24655	24202	23749	23297	22845
06	22393	21942	21491	21040	20589	20139	19689	19239	18789	18340
07	17891	17442	16994	16546	16098	15650	15203	14756	14309	13862
08	13416	12970	12524	12079	11634	11189	10744	10300	09856	09412
09	08969	08525	08082	07640	07197	06755	06313	05872	05430	04989
\ ,10	04548	04108	03667	03227	02788	02348	01909	01470	01031	00593
и	00155	*99717	*99279	*98842	*98405	*97968	*97532	*97095	*96659	♦96223
12	0,1195788	95353	94918	94483	94049	’93614	93181	92747	92314	91880
13	91448	91015	90583	90151	89719	89287	88856	88425	87994	87564
14	87133	86703	86274	85844	85415	84986	84557	84129	83701	83273
15	82845	82418	81990	81564	81137	80711	80284	79859	79433	79008
16	78583	78158	77733	77309	76885	76461	76037	75614	75191	74768
17	74346	73923	73501	73079	72658	72237	71816	71395	70974	70554
18	70134	69714	69295	68875	68456	68038	67619	67201	66783	66365
19	65947	65530	65133	64696	64280	63833	63447	63032	62616	62201
4,20	61786	61371	60956	60542	60128	59714	59301	58887	58474	58061
21	57649	57237	56824	56413	56001	55590	55178	54768	54357	53947
22	53536	53127	52717	52307	51898	51489	51081	50672	50264	49856
23	49448	49041	48634	48227	47820	47413	47007	46601	46195	45790
24	45384	44979	44574	44170	43765	43361	42957	42554	42150	41747
i 25	41344	40941	40539	401-37	39735	39333	38931	38530	38129	37728
26	37328	36927	36527	36127	35728	35328	34929	34530	34131	33733
27	33335	32937	32539	32141	31744	31347	30950	30554	30157	29761
28	29365	28969	28574	28179	27784	27389	26994	26600	26206	25812
29	25419	25025	24632	24239	23846	23454	23062	22670	22278	21886
4,30	21495	21104	20713	20322	19932	19542	19152	18762	18372	17983
31	17594	17205	16817	16428	16040	15652	15264	14877	14490	14103
32	13716	13329	12943	12557	12171	11785	11400	11014	10629	10244
33	09860	09476	09091	08707	08324	07940	07557.	07174	06791	06409
34	06026	05644	05262	04880	04499	04118	03737	03356	02975	02595
35	02214	01835	01455	01075	00696	00317	*99938	*99559	*99181	♦98803
36	0,1098424	98047	97669	97292	96915	96538	96161	95785	95408	95032
37	94656	94281	93905	93530	93155	92780	92406	92032	91657	91283
38	90910	90536	90163	89790	89417	89044	88672	88300	87928	87556
39	87184	86813	86442	86071	85700	85330	84959	84589	84219	83850
4,40	83480	83111	82742	82373	82004	81636	81268	80900	80532	80164
41	79797	79430	79063	78696	78330	77963	77597	77231	76865	76500
42	76135	75770	75405	75040	74675	74311	73947	73583	73220	72856
43	72493	72130	71767	71404	71042	70680	70318	69956	69594	69233
	68872	68511	68150	67789	67429	67069	66709	G6349	65989	65630
4 5	65271	64912	64553	64194	63836	63478	63120	62762	62405	62047
46	61690	6 1333	60976	60620	60263	59907	59551	59195	58840	58484
47	58129	57774	57419	57065	56711	56356	56002	55649	55295	54942
48	54588	54235	53883	53530	53178	52825	52473	52122	51770	51418
49	51067	50716	50365	50015	49664	49314	48964	48614	48264	47915
4,50	47566	47217	46868	46519	46170	45822	45474	45126	44778	44431
28 а. Д. Дубяго

Г а б л и и а XXII
П родолмеение
Переход от г2 к г 3 или от г к г
г
Г	n 1	1	2 1	* 1	4 1	5 1	* 1	7	8 1	9 !
4,50 С	,1047566	*7217	46868	46519	46170	45822	45474	45126	1 44778	4443L
51	4 4083	*3736	43389	43042	42696	42350	42003	4 1657	41311	40966
52	40620	40275	39930	39585	39241	38896	38552	38208	37864	37520
55	37177	36833	36490	36147	35804	35462	35119	34777	34435	3409.:
54	33752	33410	330 >9	32728	32387	32046	31706	31365	31.025	30685
55	30346	30006	29667	29327	28988	28650	28311	27972	27634	27296
<И>	‘26958	26620	26283	25946	25608	25271	24935	24598	24262	23925'
57	23589	23253	2291.8	22582	22247	21.912	21577	21242	20907	20573
58	20239	19905	19571	19237	18904	18570	18237	1.7904	17571	17239
59	169)6	1.6574	16242	15910	15579	15247	14916	14585	14254	1392:6
4,60	13592	13262	12932	12601	1.2272	1.1942	11612	11283	1.0954	10625
С>1	10296	09967	09639	09311.	08982	08655	08327	07999	07672	07345
62	07018	06691	06364	0603'7	05711	05385	05059	04733	04408	04082
63	03757	03432	031.07	02782	02457	02133	01809	01485	01161	00837
64	00514	00190 I	*99867	,99544	*99221	*98899	*98576	*98254	*97932	*97610
65	0,09*97288	96966	96645	'96324	96003	95682	95361	95040	94720	94400
66	94080	93760	93440	931.20	92801	92482	92163	91844	91525	91207
67	90888	90570	90252	89934	89617	89299	88982	88665	88348	88031
68	87714	87398	87081	86765	86449	86133	85818	85502	85187	84872
69	84557	84242	83927	83613	83298	82984	82670	82357	82043	81729
\ ,70	81.416	81.103	80790	80477	80165	79852	79540	79228	78916	78604
7[	78293	77981.	77670	77358	' 77047	76737	76426	761.15	75805	75495
72	751.85	74875	;74565	74256	73947	73637	73328	73020	72711	72402
73	72094	71.786	71.478	71.1.70	70862	70555	70247	69940	69633	69326
74	69019	68713	68406	68100	67794	67488	67 18-2	66877	66571	66266
’75	65961.	65656	65351	65047	64742	64438	64134	63830	63526	63222
76	1)291.9	<>2615	6231.2	62009	61706	61.403	61101	60798	60496	60194
77	5 9892	59590	59289	58987	58686	58385	58084	57783	57482	571.82
78	56881.	56581	56281	55981	55682	55382	55083	54783	54484	54185
79	53887	53588	53289	52991	52693	52395	52097	51799	51502	51204
•4,80	50907	50610	5031.3	50016	49720	49423	49127	48831	48535	48239
81	47943	47648	473-52	47057	46762	46467	46172	45878	45583	45289
• 82	44995	44701	44407	44113	43820	43526	43233	42940	42647	42354
83	42062	) 41769	41477	41185	,40893	40601	40309	' 40017	39726	39435
84	39144	38853	38562	38271	. 37980	37690	37400	37110	36820	36530
i 85	362 40	35951.	35662	35371	! 35083	34795	34506	34217	33929	33640
I 86	33352	: 33064	32776	32489	1 32201	31914	31627	31339	31052	30766
87	30479	। 30192	29916	29620	1 29334	29048	28762	28476	28191	27906
88	27620	27335	27050	26760	• 26481	. 261.97	25912	: 25628	25344	25060
• 89	24776	. 24493	24209	23920	> 23643	; 23360	23077	22794	1 22512	22229
4,9.)	21.947	' 21665	21383	: 21.101	. 20819	। 20537	20256	> 1.9975	19694	1941::
91	19132	! 18851.	18570	। 18290	1 1801(1	1 17730	। 17450	। 171.70	16890	16610
92	16331	. 16052	1.5772	: 1.549?	1 1521?	) 14936	> 14657	1 14379	1410 1	13822
93	13544	: 13266	12989	। 1.2711	1243i	12156	, 11879	) 11602	11325	11048
 9;	10772	! 10495	1121'.’	। 099 43	1 09667	’ 09391	0911?	. 08839	08564	08289
95	08013	1 07738	07463	: 071.83	1 06914	05639	| 06365	> 06091	05816	05542
96	0526£	1 04995	01721	. 04443	* 04 1.77	> 03902	: 03629	) 03356	03083	02810
97	0253Е	1 02266	01.993	! 01721	1. 01449	> ОН 78	: 00906	> 00634	00363	00092
98	0,0899821	. 99550	99273	! 9900S	J 9873?	1 98467	' 98197	' 97927	97657	97387
99	97113	’ 96848	96573	! 96309	) 9604С	> 95771	. 95502	* 95233	94964	94695
5,00	94424	’ 94159	93891	. 9362!	1 93357	> 93087	' 92821	1 92552	, 92285	92018

Таблица XX1I	Продолжение
Переход от г2 к г-3 или от г к г 3/з
	г-3													
Г2	0	1 1	2	3 1	4	1 5 1	6	1 7 1	8	1 9
5,00	0,0894427	94159	93891	93623	93355	93087	92820	92552	92285	92018
01	91751	91484	91217	90950	90684	90417	90151	89885	89619	89353
02	89087	88822	88556	88291	88026	87761	87496	87231	86966	86702
03	86437	86173	85909	85645	85381	85117	84854	84590	84327	84064
04	83800	83537	83275	83012	82749	82487	82225	81962	81700	81438
05	81177	80915	80653	80392	80131	79869	79608	79348	79087	78826
Об	78566	78305	78045	77785	77525	77265	77005	76746	76486	76227
07	75968	75709	75450	75191	74932	74673	74415	74157	73898	73640
08	73382	73125	72867	72609	72352	72095	71837	71580	71323	71067
09	70810	70553	70297	70041	69781:	69528	69272	69017	68761	68505
5,10	68250	67995	67739	67483	67229	66975	66720	66465	66211	65957
11	65702	65448	65194	6 4941	64687	64433	64180	63927	63673	63420
12	63167	62915	62662	62409	62157	61905	61652	61400	61148	60897
13	60645	60393	60142	59890	59639	59388	59137	58886	58636	58385
14	58134	57884	57634	57384	57134	56884	56634	56384	56135	55885
15	55636	55387	55138	54889	54640	54392	54143	53895	53646	53398
16	53150	52902	52654	52*07	52159	51912	51664	51417	51170	50923
17	50676	50429	50183	49936	49690	49443	49197	48951	48705	48460
18	48214	47968	47723	47478	47232	46987	46742	46497	46253	46008
19	45764	45519	45275	45031	44787	44543	44299	44055	43812	43568
5,20	43325	43082	42839	42595	42353	42110	41868	41625	41383	4Ц40
21	40898	40656	40414	40172	39931	39689	39448	39206	38965	38724
22	38483	38242	38001	37761	37520	37280	37039	36799	36559	36319
23	36079	35840	35600	35360	35121	34882	34643	34404	34165	33926
24	33687	33448	33210	32972	32733	32495	32257	32019	31782	31544
25	31306	31069	30831	30594	30357	30120	29883	29546	29410	29173
26	28937	28700	28454	28228	27992	27756	27520	27285	27049	26814
27	26578	26343	26108	25873	25638	25i03	25169	24934	24700	24466
28	24231	23997	23763	23529	23296	23062	22828	22595	22362	22128
29	21895	21662	21429	21197	20964	20731	20499	20267	20034	19802
5,30	19570	19338	19107	18875	18643	18112	18181	17949	17718	17487
31	17256	17025	16795	16564	16334	16103	15873	15643	15413	15183
32	14953	14723	14494	14264	14035	13805	13576	13347	13118	12889
33	12661	12432	12203	11975	11747	11518	11290	11062	10834	10607
34	10379	10151	09924	09696	0 9469	09212	09015	08788	08561	08334
35	08108	07881	07655	07429	07202	06976	05750	06524	06299	06073
35	05847	05622	05397	05171	04946	04721	01496	04271	04047	03822
37	03597	03373	03149	02925	02700	02476	02253	02029	01805	01581
38	01358	01135	00911	00688	00465	00242	00019	*99797	*99574	*99351
39	0,0799129	98907	93584	98462	98240	98018	97796	97575	97353	97132
5,40	96910	96689	95468	96247	96026	95805	95584	95363	95143	94922
41	9'1702	91481	94261	94041	93821	93601	93381	93162	92942	92723
42	92503	92284	92065	91846	91627	91408	91189	99970	90752	90533
43	90315	90097	89879	89661	89443	89225	89007	88789	88571	88354
44	88137	87920	87702	87485	87268	87052	86835	86618	86402	86185
45	85969	85752	85536	85320	85104	84888	84673	84457	84241	84026
46	83810	83595	83380	83165	82950	82735	82520	82306	82091	81876
47	81662	81448	81234	81019	80805	80591	80378	80164	79950	79737
48	79523	79310	79097	78884	78671	78458	78245	78032	77820	77607
49	77395	77182	76970	76758	76546	76334	76122	75910	75698	75487
5,50	75275	75064	74853	74641	74430	74219	74008	73798	73587	73376
28*

Таблица XXII	Продолжение
Переход от г2 к г~3 или от г в г-3/а
Г2	г-з									
	0	1	2	3	4 1	1 5	6	7	8	9
5,50	0,0775275	75064	74853	74641	74430	74219	74008	73798	73587	73376
51	73166	72955	72745	72535	72325	72115	71905	71695	71485	71275
52	71066	70856	70647	70438	70228	70019	69810	69601	69392	69184
53	68975	68767	68558	68350	68142	67933	67725	67517	67309	67102
54	66894	66686	66479	66272	66064	65857	65650	65443	65236	65029
55	64822	64616	64409	64203	63996	63790	63584	63378	63172	62966
56	62760	62554	62348	62143	61937	61732	61527	61322	61117	60912
57	60707	60502	60297	60092	59888	59683	59479	59275	59071	58867
58	58663	58459	58255	58051	57848	57644	57441	57237	57034	56831
59	56628	56425	56222	56019	55816	55614	55411	55209	55006	54804
5,60	54602	54400	54198	53996	53794	53593	53391	53189	52988	52787
61	52585	52384	52183	51982	51781	51580	51381	51179	50978	50577
62	50577	50377	50177	49977	49777	49577	49377	49177	48978	48778
63	48579	48379	48180	47981	47782	47582	47384	47185	46986	46787
54	46589	46390	46192	45993	45795	45597	45399	45201	45003	44805
65	44607	44410	44212	44015	43817	43620	43423	43226	43029	42832
66	42635	42438	42241	42045	41848	41652	41456	41259	41063	40867
67	40671	40475	40279	40084	39888	39692	39497	39302	39106	38911
68	38716	38521	38326	38131	37936	37742	37547	37353	37158	36964
69	36769	36575	36381	36187	35993	35799	35606	35412	35218	35025
5,70	34831	34638	34445	34252	34059	33866	33673	33480	33287	33094
71	32902	32709	32517	32325	32132	31940	31748	31556	31364	31173
72	30981	30789	30598	30406	30215	30023	29832	29641	29450	29259
73	29068	28877	28687	28496	28305	28115	27924	27734	27544	27354
74	27164	26974	26784	26594	26404	26215	26025	25834	25646	25457
75	25268	25078	24889	24700	24511	24323	24134	23945	23757	23568
76	23380	23191	23003	22815	22627	22439	22251	22063	21875	21688
77	21500	21312	21125	20937	20750	20563	20376	20189	20002	19815
78	19628	49442	19255	19068	18882	18696	18509	18323	18137	17951
• 79	17765	17579	17393	17207	17022	16836	16651	16465	16280	16094
’5,80	15909	15724	15539	15354	15169	14985	14800	14615	14431	14246
: 81	14062	13877	13693	13509	13325	13141	12957	12773	12590	12406
• 82	12222	12039	11855	11672	11489	11305	11122	10939	10756	10573
83	10391	10208	10025	09843	09660	09478	09295	09113	08931	08749
84	08567	08385	08203	08021	07839	07658	07476	07295	07113	06932
85	06751	06569	06388	06207	06026	05846	05665	05484	05403	05123
86	04942	04762	04582	04401	04221	04041	03861	03681	03501	03321
87	03142	02962	02782	02603	02424	02244	02065	01886	01707	01528
88	01349	01170	00991	00812	00634	00455	00277	00098	*99920	*99742
89	0,0699563	99385	99207	99029	98851	98674	98496	98318	98141	97963
5,90	97786	97608	97431	97254	97077	96899	96723	96546	96369	96192
91	96015	95839	95662	95486	95309	95133	94957	94781	94604	94428
92	94252	94077	93901	93725	93549	93374	93198	93023	92848	92672
93	92497	92322	92147	91972	91797	91622	91447	91273	91098	90924
94	90749	90575	90400	90226	90052	89878	89703	89530	89356	89182
95	89008	88835	88661	88488	88314	88141	87968	87794	87621	87448
96	87275	87102	86929	86757	86584	86411	86239	86066	85894	85721
97	85549	85377	85205	85033	84861	84689	84517	84345	84173	84002
98	83830	83659	83487	83316	83145	82973	82802	82631	82460	82289
99	82118	81948	81777	81606	81436	81265	81095	80924	80754	80584
6,03	80414	80244	80074	79904	79734	79564	79394	79225	79055	78886

Таблица XXII	Продолжение
Переход от г2 к г"3 или от г в г-3/2
г2	г-з									
	0	1	2	3	4	5	1 *	1 7	1 8	9
6,00	0,0680414	86244	80074	79904	79734	79564	79394	79225	79055	78886
01	78716	78547	78378	78208	780391	77870	77701	77532	77363	77195
02	77026	76857	76689	76520	76352	76183	76015	75847	75679	75510
03	75342	75174	75007	74839	74671	74503	74336	74168	74001	73833
04	73666	73499	73331	73164	72997	72830,	72663	72497	72330	72163
05	71996	71830	71663	71497	71330	71164	70998	70832	70666	70500
06	70334	70168	70002	69836	69671	69505	69339	69174	69009	68843
07	68678	68513	68348	68182	68017	67853	67688	67523	67358	67193
08	67029	66864	66700	66535	66371	66207	66043	65879	65715	65551
09	65387	65223	65059	64895	64732	64568	64404	64241	64078	63914
6,1о	63751	63588	63425	63262	63099	62936	62773	62610	62447	62285
11	62122	61960	61797	61635	61473	61310	61148	60986	60824	60662
12	60500	60338	60176	60015	59853	59691	59530	59368	59207	59046
13	58884	58723	58562	58401	58240	58079	57918	57758	57597	57436
14	57275	57115	56954	56794	56634	56474	56313	56153	55993	55833
15	55673	55513	55353	55194	55034	54874	54715	54555	54396	54236
16	54077	53918	53759	53600	53441	53282	53123	52964	52805	52646
17	52488	52329	52170	52012	51854	51695	51537	51379	51221	51063
18	50905	50747	50589	50431	50273	50115	49958	49800	49643	49485
19	49328	49171	49013	48856	48699	48542	48385	48228	48071	47914
6,20	47758	47601	47444	47288	47131	46975	46818	46662	46506	46350
21	46194	46037	45881	45726	45570	45414	45258	45102	44947	44791
22	44636	44480	44325	44170	44014	43859	43704	43549	43394	43239
23	43084	42930	42775	42620	42465	42311	42156	42002	41848	41693
24	41539	41385	41231	41077	40923	40769	40615	40461	40307	40154
25	40000	39846	39693	39539	39386	39233	39080	38926	38773	38620
26	38467	38314'	38161	38008	37856	37703	37550	37398	37245	37093
27	36940	36788	36636	36483	36331	36179	36027	35875	35723	35571
28	35419	35268	35116	34964	34813	34661	34510	34359	34207	34056
29	33905	33754	33603	33451	33301	33150	32999	32848	32697	32547
6,30	32396	32246	32095	31945	31794	31644	31494	31344	31193	31043
31	30893	30743	30594	30444	30294	30144	29995	29845	29695	29546
32	29397	29247	29098	28949	28800	28650	28501	28352	28203	28055
33	27906	27757	2760&	27460	27311	27162	27014	26866	26717	26569
34	26421	26273	26124	25976	25828	25680	25533	25385	25237	25089
35	24942	24794	24646	24499	24352	24204	24057	23910	23762	23615
36	23468	23321	23174	23027	22881	22734	22587	22440	22294	22147
37	22001	21854	21708	21562	21415	21269	21123	20977	20831	20685
38	20539	20393	20247	20101	19956	19810	19665	19519	19374	19228
39	19083	18937	18792	18647	18502	18357	18212	18057	17922	17777
6,40	17632	17488	17343	17198	17054	16909	16765	16620	16476	16332
41	16188	16043	15899	15755	15611	15467	15323	15180	15036	14892
42	14748	14605	14461	14318	14174	14031	13888	13744	13601	13458
43	13315	13172	13029	12886	12743	12600	12457	12315	12172	12030
44	11887	11744	11602	11460	11317	11175	11033	10891	10749	10607
45	10465	10323	10181	10039	09897	09755	09614	09472	09331	09189
46	09048	08906	08765	08624	08482	08341	08200	08059	07918	07777
47	07636	07495	07354	07214	07073	06932	06792	06651	06511	06370
48	03230	06090	05950	05809	05669	05529	05389	05249	05109	04969
49	04829	04690	04550	04410	04271	04131	03992	03852	03713	03574
6,50	03434	03295	03156	03017	02878	02739	02600	02461	02322	02183

Таблица XXII
П род о лжет сие
Переход от г2 к т~2 или от г к г 2
г3	г-з									—
	0	1	2	з	4	5	6	7 1	8	1 9
6,50	0,0603434	03295	03156	03017	02878	02739	02600	02461	02322	02183
51	02041	01906	01767	01628	01490	01351	01213	01075	00936	00798
52	00660	00522	00384	00246	00108	*99970	*99832	*99694	*99556	*99418
53	0,0599281	99143	99005	93868	98730	98593	98456	,98318	98181	98044
5i	97907	97770	97632	97495	97359	97222	97085	96948	96811	95675
55	96538	96401	96265	96128	95992	95856	95719	95583	95447	95311
56	95174	95038	94902	94766	94630	94195	94359	94223	94087	93952
57	93816	93681	93545	93410	93274	93139	93004	92868	 92733	92598
58	92463	92328	92193	92058	91923	91788	91653	91519	91384	91249
59	91115	90980	90846	90711	90577	90443	90308	90174	90040	89906
6,60	89772	89638	89504	89370	89235	89102	88969	88835	88701	88568
61	88134	88301	88167	88034	87901.	87767	87634	87501	87367	87234
62	87101	86968	86835	86702	86570	86437	86304	86171	86039	85906
63	85773	85611	85509	85376	85244	85111	84979	8'1817	84715	84583
6'1	84i51	84319	8И87	84055	83923	83791	83659	83528	83396	83264
65	83133	83001	82870	82739	82607	82476	82345	82213	• 82082	81951
66	81820	81689	81558	81427	81296	81165	81035	8090i	80773	80643
67	80512	80382	80251	80121	79990	79860	79730	79599	79469	79339
68	79209	79079	78949	78819	78689	78559	78430	78300	78170	78040
69	77911	77781	77652	77522	77393	77264	77134	77005	76876	76747
6,70	76617	76188	76359	76230	76101	75973	75844	75715	75586	75458
71	75329	75200	75072	74943	74815	7 4686	74558	74130	74302	74173
72	74015	73917	73789	73661	73533	73405	73277	73149	73022	72894
73	72766	72639	72511	72383	72256	72129	72001	71874	71746	71619
74	71192	71365	71238	71111	70984	70857	70730	70603	70476	70349
75	70222	70096	69959	69843	69716	69589	69463	69337	69210	69084
76	68958	68831	68705	68579	68453	68327	68201	68075	67949	67823
77	67698	67572	67446	67320	67195	67069	66944	66818	66693	66567
78	66412	66317	66192	66066	65941	65816	65691	65566	65441	65316
79	65191	65066	64942	64817	64692	64567	64443	6'1318	64194	64069
6,80	63915	63820	63695	63572	63448	63323	63199	63075	62951	62827
81	62703	62579	62456	62332	62208	62084	61960	61837	61713	61589
82	61166	61343	61219	61096	60972	60819	60726	60603	60479	60356
83	60233	60110	59987	59864	59742	59619	59496	59373	59250	59128
84	59005	58883	58760	58638	58515	58393	59270	58148	58026	57904
85	57782	57659	57537	57415	57293	57171	57049	56928	56806	56684
86	56562	55441	56319	55198	56076	55954	55833	55712	55590	55 469
87	55318	55226	55105	54984	54863	54742	54621	51500	54379	54258
88	54137	51016	53893	53775	53654	53534	53413	53293	53172	53052
89	52931	52811	52691	52570	52450	52330	52210	52090	51970	51850
6,90	51730	51610	51490	51370	51250	51131	51011	50891	50772	50652:
91	50532	50413	5029 4	50174	50055	49935	49816	49697	49578	49459
92	49339	49220	49101	48983	48864	48745	48626	48507	48388	48270
93	48151	48032	47914	47795	47677	47558	47 440	47321	47203	47085
94	46967	46818	46730	45612	46494	46376	46258	46140	46022	45904
95	45786	45669	45551	45433	45316	45198	45080	41963	44845	44728
95	41611	44493	44376	44259	44142	44024	43907	43790	43673	43556
97	43139	43322	43205	43088	42972	42855	42738	42621	42595	42388
98	42272	42155	42039	41922	41806	41689	41573	41457	41341	41224
99	41108	40992	40876	40760	40644	40528	40412	40297	40181	40065
7,00	39949	39331	39718	39602	39 487	39371	39256	39140	39925	33910

Таблица XXII
П родолжение
Переход от г2 к г~3 или от г к г 3^2
г2			 г-3									
	0	1	*	3 1	1	5	1 6 1	7	1 8	1 9
7,00	0,0539919	39834	39718	39602	39487	39371	39256	39140	39025	38910
01	38794	38679	38564	38449	38333	38218	38103	37988	37873	37758
02	37643	37529	37414	37299	37184	37070	36955	36840	36726	36611
03	36497	36382	36268	36153	36039	35925	35811	35696	35582	35468
0 4	35354	35240	35126	35012	34898	34784	34670	34556	34443	34329
05	34215	34102	33988	33874	33761	33647	33534	33421	33307	33194
06	33081	32967	32854	32741	32628	32515	32402	32289	32176	32063
07	31950	31837	31724	31612	31499	31386	31274	31161	31048	30936
08	30823	30711	39599	30486	30374	30262	30149	30037	29925	29813
09	29701	29589	29477	29365	29253	29141	29029	28917	28806	28694
7,10	28582	28470	28359	28247	28136	28024	27913	27801	27690	27579
11	27467	27356	27245	27134	27023	26911	26800	26689	26578	26467
12	26357	262*6	26135	26024	25913	25803	25692	25581	25471	25360
13	25250	25139	25029	24918	24808	24698	24587	24477	24367	24257
14	24146	24035	23926	23816	23706	23596	23486	23377	23267	23157
15	23017	22938	22828	22718	22609	22499	22390	22280	22171	22061
16	21952	21843	21733	21624	21515	214Q6	21296	21187	21078	20969
17	20860	20751	20642	20534	20425	20316	20207	20098	19990	19881
18	19773	19664	19555	19447	19338	19230	19122	19013	18905	18797
19	18689	18580	18472	18364	18256	18148	18040	17932	17824	17716
7,20	17608	17501	17393	17285	17177	17070	16962	16854	16747	16639
21	16532	16424	16317	16210	16102	15995	15888	15781	15673	15566
22	45459	15352	15245	15138	15031	14924	14817	14710	14604	14497
23	14390	14283	14177	14070	13963	13857	13750	13644	13537	13431
24	13325	13218	13112	13006	12900	12793	12687	12581	12475	12369
25	12263	12157	12051	11945	11839	11734	11628	11522	11416	11311
26	11205	11099	10994	10888	10783	10677	10572	10467	10361	10256
27	10151	10045	09940	09835	09730	09625	09520	09415	09310	09205
28	09100	08995	08890	08785	08681	08576	08471	08366	08262	08157
29	08053	07948	07844	07739	07635	07530	07426	07322	07217	07113
7,30	07009	06905	06801	06697	06593	06489	06385	06281	06177	06073
31	05969	05865	05761	05658	05454	05450	05347	05243	05140	05036
32	0i933	04829	04726	04622	04519	04416	04312	04209	04106	04003
33	03900	03797	03693	03590	03487	03384	03282	03179	03076	02973
34	02870	02767	02665	02562	02459	02357	02254	02152	02049	01947
- 35	01814	01742	01640	01537	01435	01333	01230	01128	01026	00924
36	00822	00720	09618	09516	00414	00312	00210	00108	00006	„99905
37	0,0499803	99701	99600	99498	99396	99295	99193	99092	93990	9'8889
38	98787	98686	98585	98483	98382	98281	98180	98079	97977	97876
39	97775	97674	97573	97472	97371	97271	97170	97069	96968	95867
7,40	96767	95666	93565	96465	96364	95264	96163	96063	95932	95862
41	95761	95661	95561	95460	95360	95260	95160	95060	94960	94860
42	94760	9*659	94559	94460	94360	94260	94160	94060	93960	93861
43	93761	93661	93552	93462	93363	93263	93164	93064	92965	92865
44	92766	92667	92567	92468	92369	92270	92170	92071	91972	91873
45	91774	91675	91576	91477	91378	91279	91181	91082	90983	90884
46	90786	90687	90588	90490	90391	90293	90194	90096	89997	89899
47	89800	89702	89604	89505	89407	89309	89211	89113	89015	88917
48	88818	88720	88622	88525	88427	88329	88231	88133	88035	87938
49	878 40	877 42	87545	87547	87449	87352	87254	87157	87059	86962
7,50	85864	86767	86670	86573	86475	85378	86281	86184	86087	85989

Таблица XXII
Продолжение
Переход от г2 к г-3 или от г кг 8^2
г2	г“3									
	0 1	1 1	2 1	3 1	4 1	5 1	6 1	7 1	8 |	9
7,5	0,0486854	85892	84924	83958	82995	82036	81080	80127	79177	78231
6	77287	76317	75409	74475	73544	72515	71690	70768	69849	68933
7	68019	67109	66202	65298	64396	63498	62602	61709	60819	59932
8	59048	58167	57288	56412	55539	54669	53802	52937	52075	51216
9	'50360	49536	48655	47806	46961	46118	45277	44439	43604	42772
8,0	41942	Ш14	40290	39167	38648	37831	37016	36204	35395	34587
1	33783	32931	32181	31384	30589	29797	29007	28220	27435	26652
2	25872	25391	24319	23546	22775	22006	21240	20477	19715	18956
3	18199	17444	15692,	15942	15194	14448	13705	12964	12225	11488
4	10753	10321	09291	08563	07837	07113	06391	05672	04954	04239
5	03526	02815	02106	01399	03694	*99992	*99291	*98592	*97896	*97201
6	0,0395508	95818	95129	94443	93758	93075	92395	91716	91039	90365
7	89592	89021	88352	87685	87020	86356	85695	85035	84378	83722
8	83068	82416	81766	81118	80471	79826	79183	78542	77933	77266
9	76633	75995	75364	74734	74105	73478	72853	72230	71608	70989
9,0	70370	69754	69139	68526	67915	67305	66697	66091	65486	64883
1	64282	63683	63085	62488	61893	61300	60709	60119	59531	58944
2	58359	57775	5719А	56613	56034	55457	54882	54308	53735	53164
.3	52595	52027	51460	50895	50332	49770	49210	48651	48093	47537
4	46933	46433	45879	45329	44780	44233	43587	43143	42600	42059
5	41519	40980	40443	39907	39373	38840	38339	37779	37250	35722
6	35195	35572	35119	34627	31106	33587	33059	' 32553	32037	31524
7	31011	30500	29993	29481	28974	28468	27963	27460	26958	26457
8	25957	25459	24962	24466	23972 &	23479	• 22987	22496	22006	21518
9	21331	23545	20051	19577	19395	18614	18135	17656	17179	16703
10,0	16228	1 15754	15281	148Ю	14340	13871	13403	; 12936	12471	12006

Таблица XXIII
К вычислению возмущении прямоугольных йоординат
<?	/									
	0	1	2	3 1	* 1	5	1 6	1 7	1 8	1 9
-0,020	3,1573	1582	1589	1598	1606	1615	1623	1631	1639	1648
-0,019	1491	1499	1507	1516	1524	1532	1540	1549	1557	1565
-0,018	1409	1417	1425	1434	1442	1450	1458	1466	1475	1483
-0,017	1328	1336	1344	1352	1360	1368	1376	1385	1393	1401
-0,016	1247	1255	1263	1271	1279	1287	1295	1303	1311	1319
-0,015	1166	1174	1182	1190	1198	1206	1214	1222	1230	1238
-0,014	1085	1093	1101	1109	1118	1126	1134	1142	1150	1158
-0,013	1006	1013	1021	1029	1037	1045	1053	1061	1069	1077
-0,012	0926	0934	0942	0950	0958	0966	0974	0982	0990	0997
-0,011	0847	0855	0863	0870	0878	0886	0894	0902	0910	0918
— 0,010	0768	0776	0784	0792	0799	0807	0815	0823	0831	0839
-0,009	0689	0697	0705	0713	0721	0729	0736	0744	0752	0760
-0,008	0611	0619	0627	0635	0643	0650	0658t	0666	0674	0682
-0,007	0534	0541	0549	0557	0565	0573	0580	0588	0596	0604
— 0,006	0456	0464	0472	0480	0487	0495	0502	0510	0518	0526
— 0,005	0379	0387	0395	0402	0410	0418	0426	0433	0441	0449
-0,004	0303	0310	0318	0326	0333	0341	0349	0356	0364	0372
-0,003	0227	0234	0242	0249	0257	0265	0272	0280	0288	0295
-0,002	0151	0158	0166	0173	0181	0189	0196	0204	0211	0219
-0,001	0075	0083	0090	0098	0105	0113	0120	0128	0136	0143
-0,000	0000	0008	0015	0023	0030	0038	0045	0053	0060	0068
+0,000	0000	*9993	*9985	*9978	*9970	*9963	*9955	*9948	*9940	*9933
+0,001	2,9925	9918	9910	9903	9895	9888	9880	9873	9866	9858
+0,002	9851	9843	9836	9828	9821	9814	9806	9799	9791	9784
+ 0,003	9777	9769	9762	9754	9747	9740	9732	9725	9718	9710
+ 0,004	9703	9595	9588	9681	9673	9366	9659	9651	9644	9637
+0,005	9529	9522	9615	9607	9600	9593	9585	9578	9571	9564
+ 0,006	9556	9549	9542	9534	9527	9520	9513	9505	9498	9491
+0,007	9483	9476	9469	9462	9454	9447	9440	9433	9425	9418
+ 0,008	9411	9404	9397	9389	9382	9375	9368	9360	9353	9346
+0,009	9339	9332	9325	9317	9310	9303	9296	9289	9281	9274
+0,010	9267	9260	9253	9246	9238	9231	9224	9217	9210	9203
+0,011	9196	9189	9181	9174	9167	9160	9153	9146	9139	9132
+0,012	9125	9117	9110	9103	9096	9089	9082	9075	9068	9061
+0,013	9054	9047	9040	9033	9026	9018	9011	9004	8997	8990
+0,014	8983	8976	8969	8962	8955	8948	8941	8934	8927	8920
+0,015	8913	8906	8899	8892	8885	8878	8871	8864	8857	8850
+0,016	8843	8836	8829	8822	8815	8808	8801	8794	8788	8781
+0,017	8774	8767	8760	8753	8746	8739	8732	8725	8718	8711
+0,018	8704	8698	8691	8684	8677	8670	8663	8656	8649	8642
+ 0,019	8636	8629	8622	8615	8608	8601	8594	8588	8581	8574
+0,020	8567	8560	8553	8546	8540	8533	8526	8519	8512	8506

Таблица XXIV
Математические и астрономические постоянные
	Число	1 | Логарифм
е—основание натуральных логарифмов М—модуль десятичных логарифмов . . Число градусов в окружности	 Число минут в окружности	 Число секунд в окружности	 Радиус круга в градусах 	 Радиус круга в минутах	 Радиус круга в секундах 	 к—отношение длины окружности к диа- метру 	 аге 1° 		 аге 1'	.	. . <	 аге 1"			 р—годовая прецессия ио долготе (1959) р©—параллакс Солнца (значение, приня- тое в астрономических ежегодниках) Р©—параллакс Солнца (по определению Спенсер Джонса)	 а—экваториальная полуось земного сфе- роида по Хейфорду 	 b—полярная полуось земного сфероида по Хейфорду 	 а—сжатие земного сфероида по Хейфорду а—экваториальная полуось земного сфе- роида по Ф. Н. Красовскому .... Ъ—полярная полуось земного сфероида по Ф. Н. Красовскому	 а —сжатие земного сфероида по Ф. Н. Красовскому	 Среднее расстояние Земли от Солнца (значение параллакса Солнца взято по Спенсер Джонсу)	 А—аберрационное время в секундах . А—аберрационное время в долях суток к—постоянная Гаусса	 И—постоянная Гаусса в секундах дуги к°—постоянная Гаусса в градусах . . . /—постоянная всемирного тяготения в системе сантиметр-грамм-секунда . . Масса Земли в граммах	 Масса Солнца в граммах	 Число секунд в сутках 	 Длина юлианского года в средних сут- ках 	 Длина звёздного года в средних сутках (19Э0)	 Длина тропического года в средних сут- ках (1900) 	 Средние сутки в долях звёздных суток Звёздные сутки в долях средних суток	2,718281828 0,4312944819 360 21 600 1296000 57,29577951 3137,746771 206261,8062 3,141592651 0,01745329252 0,0002903882087 0,000004848136811 5072675 8z;80 8'790 6378,388 км 6356,912 км 1/297,0 6378,245 км 6356,833 км 1/298,3 119 670 000 км .	499,29 V 0,0057788 0,^01720209895 3518,187607 0,9856076686 6,670.10-8 5,9765-Ю27 1,9927-1038 86 400 365,25 365,25636012 355,21219879 1,00273791 0,99726957	0,4342945— 9,6377843—10 2,5563025 + 4,3344538 6,1126059 1,7581225 3,5362739 5,3144251 0,4971499 8,2418774—10 6,4637261—10 4,6855749—10 1,7012873 0,94448 0,94399 3,8917109 3,8032462 7,5272436—10 3,8047012 3,8032429 7,5253467—10 8,17515 2,69835 7,76184—10 8,2355814—10 3,5500066 9,9937041—10 2,82413—10 27,77645 33,29945 4,9365137 2,5625902 2,5625978 2,5625809 0,0011874 9,9988126—10

Табл и ц а XXV
Массы больших планет (включая массы спутников)
и завися(цие от них множители
	1///2 7 000 ООО 406 000 330 000 3 093 500 1 047,35 3 500 22 869 । 1.931.4 1	1g [5&" т\		lg[10A"m]	Ig[20A"m]	1g [40А’"/и]	l.g [80А" т]
Мерку- рий Венера Земля Марс Юпп тер Сатурн Уран ! Нептун ।		7,4039—10 8,6 404—10 8,7305—10 7,7585—Ю 1,228885 0,70491. 9,8897—1.0 9,9)31—10		7,7049—10 8,9415—10 9,0315—10 8,0596—10 1,52991.5 1. ,00594 0,19 )8 0,2641	77 1	40 L0 <£)	С	20 —	кС 1	ем м О	с с со	оо	со	,0 04 С0 СО	-	* -	_~ ст- ст. ос '	1	1	<	°	1 1	1	CTJ	о	ос-	<м I	|	С	0	ОС	(N	0 I	1	сс	-г--	сс-	а	ст-	-г СО	С0	—<	-40	rs	ос- 20	20	~ ОС ’	“	8,9626—10 2,433005 1,90933 1,0938 1,1672
| 1. О.7 •			: ! ! 107 • 10‘2/i2m	107- 20Ч,2ш	1.07-402А2ш |	107-80йА2ш				
Мерку- рии Венера Земля Марс Юпитер Сатурн Уран Нептун	0,01057 I 0,1822	' |	0,2242 |	0,02391. : 70,6336 ’ 21,137 *	3,235 !	3,83(1		0,07227 |	•	-	| 0,7288	2,915	.1	—	! 0,8967	3,587	I	14,35	' 0,09566	0,3826	1	1,530 j 282,534	1130,14	|	4520,55	| 84,546	1	338,19	1	1352,7 12,94	51,76	I	207,о 15,32	61,28	245,1	। 		।			!	i				(М 1	1 I -0? -СМ т- ас- — ао -- см ао о ос dr
ЛИТЕРАТУРА1)
1.	Г. А. Банахевич, Об уравнении Гаусса. Основные таблицы для
решения уравнении Гаусса, Труды астр. обе. Юрьевского унив.,т. 24,
часть 2, 191.7.
•2. М. А. Вильев, Вычисление истинной аномалии в эллиптических
орбитах, близких к параболе. Из в. Главн. астр, обе., т. VII, 3, 1916.
2.	М. А. II и лье в, Исследовании но теории движения кометы Галлея,
Изв. Русек, общ. любителей мироведенил, т. б, 215, 1917.
rk. М. А. Вильев, Исследования но теории уравнения Гаусса, Вестник
Веерос<’. астр, союза, выв. 3, 1923.
5.	И. А. В о с т о к о в, Об определении орбит по трём наблюдениям, 18Я&.
с,. Н. Идель сон, Комета Энке в .1924- 1934 гг., Изв. Главн. астр,
обе. в Пулкове, т. XV, 1, 1935.
7.	II. И. И дельсо и, Способ наименьших квадратов и теория мате-
матической обработки наблюдений, 194-7.
8.	А. II. Крылов, Беседы о способах определения орбит планет
и комет по малому числу наблюдений, 1911: также — Собр. трудов;
т. 6, 1936.
9.	А. И. К р ы л о в, Судьба одной знаменитой теоремы, Собр. трудов,
т. 6, 1936.	'	*
10.	А. Я. Орлов и В. А. О р л о в, Куре теоретической астрономии; 1940.
В списке литературы приведены только те книги и статьи, на кото-
рые имеются ссылки в тексте,

444
ЛИТЕРАТУРА
1L Б. И. Рак, О нормальных системах звёздных положений, Труды астр,
обе. Петроградского унив., т. 1, 1916.
12.	Н. Самойлов а-Я х о н т о в а, Исправление эллиптических орбит.
Бюлл. Астр. инет. Ан СССР, № 53. 1944.
13.	М. Ф. Субботин, Вспомогательные таблицы для вычисления орбит
и эфемерид, приложение к «Курсу небесной механики», 1941.
14.	М. Ф. С у б б о т и н, Курс небесной механики,т. I (2-е изд.),1941, т. 2,1937.
15.	М. Ф. Субботин, Формулы и таблицы для вычисления орбит и эфе-
мерид, 1929.
16,	В. И. Фабрициус, Начало Джибса и его применение в теоретиче-
ской астрономии, 1893.
17.	А. А. Яков кин, О кратных решениях и о точности вычисления пара-
болической орбиты, Вестник Всеросс. астр, союза, вып. I, 1918.
18.	J. J. A str and, Hillfstafeln zur leichten und genauen Anflosung des
Kepler’schen Problems, 1890.
19.	J. Bausch in ger, Tafeln zur theoretischen Astronomie, 1901, 2 Au fl.
neubearb. von G. Stracke, 1934.
20.	В. В о s s, General catalogue of33342 stars for the epoch 1950, vol. I—V,1937.
21.	Th. Bre dichi n, Sur Vorigine des etoiles filantes, 1889.
22.	D. Brouwer, On the accumulation of errors in numerical integration,
Astr. Journ., vol. 46, 149, 1937.
23.	W. J. Eckert and D. Brouwer, The use of rectangular coordinates
in the differential correction of orbits, Astr. Journ., vol. 46,125, 1937.
24.	Geschichte des Fixsternhimmels, Bd. I — . . . , 1922 . . .
25.	R. T. A. Innes, Tables of X and Y. Elliptic rectangular coordinates,
Append, to Union obs. circ., № 71, 1927.
26.	S. К a s a k о w, Sur ]a rectification des orbites comet aires, Bull. Astr., 31.
328, 1914.
27.	А. К о p f f, Abgekiirzle Bezeichnungen fiir die Slernkataloge, Aslr.Nachr.,
248, 333, 1934.
28.	M. Kowalski, Sur le calcul de 1’orbile elliptique on parabolique
d’aprfcs un grand nombre d’observations, 1859.
29.	G. Merton, A modification of Gauss’s method for the determination
of orbits, Month. Not., 85, 693, 1925.
3i)	. Th. О p p о 1 z e r, Lehrbuch zur Bahnbestimmung der Planeten und Rome-
• ten, т. I, 1882, т. II, 1880.
31.	J. Peters, Tafeln zur Berechnung der Mil lelpunkl sgleichung und des
Radiusvektors fiir elliptische Bahnen fiir Exzentrizitatswinkel von 0°
bis 24°, Veroff. d. astr. Rech. Inst. Berlin, № 41, 1912, 2 Aufl. 1933.
32.	Planetary coordinates for the years 1800—1940, 1933, . . . for the years
1940—1960, 1939.
33.	R. Schorr, Index der Sternorter 1900—1925, Nord, ... Slid, 1928.
34.	R. Schorr, Prazessionstafeln 1.925.0, 1927.
35.	G. Shajn, The disturbing action of the Earth on meteoric showers,
Month. Not. 83, 341, 1923.
36.	G. Stracke, Bahnbestimmung der Planeten und Kometen, 1929.
37.	G. Stracke, Genaherte Storungsrechnung und Bahnverbesserung,
Veroff. d. astr. Rech. Inst. Berlin, № 44, 1924.
r
38.	G. Stracke, Tafeln der elliptischen Koordinalen cosuund
S = Г sin v fiir Exzenlrizilatswinke Ivon 0° bis 25°, VerOff. d. astr. Rech.
a
Inst. Berlin, № 46, 1928.
39.	VV. Valentiner, Handworterbuch der Astronomie, Bd. IV, 1902,