/
Автор: Гильберт Д. Бернайс П.
Теги: анализ математика математическая логика арифметика теория доказательств
Год: 1982
Текст
Оглавление
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЛОГИКА
И ОСНОВАНИЯ
МАТЕМАТИКИ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1982
ОСНОВАНИЯ
МАТЕМАТИКИ
ТЕОРИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ
Д. ГИЛЬБЕРТ
П. БЕРНАЙС
Перевод с немецкого
Н. М НАГОРНОГО
Под редакцией
С. И. АДЯНА
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1982
32.12
Г 47
УДК 517.11
D. Hilbert und P. Bernays
GRUNDLAGEN
DER MATHEMATIK. II
Zweite Auflage
Springer-Verlag
Berlin — Heidelberg — New York
1970
r J702020000—078
053 @2)-82 54'82
© Перевод на русский язык
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-
математической литературы,
1S82
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора русского перевода .... 9
Предисловия авторов к первому изданию 11
Предисловие ко второму изданию 15
Глава I. Метод исключения связанных переменных при помощи
гильбертова е-символа 17
§ 1. Процедура символьного решения экзистенциальных формул 17
§ 2. Гильбертов 8-символ и s-формула 27
§ 3, Доказательство первой s-теоремы 37
а) Подготовка 37
б) Гильберювский подход 40
в) Типы комбинирования е-символов; степень и ранг е-терма 43
г) Устранение критических формул в общем случае 47
д) Обобщение результата 51
§ 4 Доказательства непротиворечивости 55
а) Одна общая теорема о непротиворечивости 55
б) Приложение к геометрии 61
Глава П. Исследование арифметики при помощи связанных
с е-символом методов теории доказательств 74
§ 1 Применение нп-теоремы к арифметике 74
§ 2. Распространение первой е-теоремы на общую аксиому равенства 82
а) Подготовительные соображения; основной тип; формулы
е-равенства 82
б) Совместное устранение критических формул и формул е-ра-
е-равенства 93
в) Усиленный вариант первой е-теоремы и нп-теоремы 109
§ 3. Причины, препятствующие распространению процедуры устра-
устранения е-символов на неограниченную схему индукции. Форма-
Формализация принципа индукции с помощью второй формулы для
е-символа. Переход к первоначальному гильбертовскому подходу ИЗ
§ 4. Первоначальный гильбертовский подход к проблеме исключения
е-символов и его дальнейшее развитие 124
g ОГЛАВЛЕНИЕ
а) Простейшие частные случаи 124
б) Подготовка к рассмотрению общего случая 129
в) Реализации гильбертовского подхода в случае е-термов
ранга 1 140
г) Построение последовательности общих замен в общем случае 146
д) Построение резольвенты в случае, когда все критические
формулы являются формулами первого рода . . . . 150
е) Несостоятельность рассмотренного метода в случае критиче-
критических формул второго рода с произвольным рангом. Дополнение
к предыдущему результату 156
ж) Использование полученного результата в нп-теореме .... 161
Глава III. Использование е-символа в изучении логического
формализма 167
§ 1. Вторая е-теорема 167
§ 2. Распространение второй е-теоремы на общую аксиому равен-
равенства Смежные проблемы 176
§ 3. Теорема Эрбрана 189
§ 4. Критерии опровержимости в чистом исчислении предикатов 212
§ 5. Применение полученных критериев к проблеме разрешимости 230
а) Общие сведения о выполнимости. Теоретико-модельная ско-
лемовская нормальная форма 230
б) Теорема Лёвенгейма и теорема Геделя о полноте 235
в) Учет требований финитной точки зрения 245
г) Один пример 248
д) Теоретико-модельные нормальные формы 259
Глава IV. Метод арифметизации метаматематики в применении
к исчислению предикатов 265
§ 1. Арифметичация метаматематики исчисления предикатов и одна
ее конкретная реализация 265
а) Нумерация 2G5
б) Вспомогательные средства рекурсивной арифметики 271
в) Арифмстизация понятия формулы . 276
г) Арифметизация распределений истинностных значений . . . 282
д) Арифметизация понятия вывода 287
§ 2. Применение метода арифметизации к теореме Гёделя о полноте 297
а) Формализация доказательства теоремы о полноте 297
б) Усиление выполнимости до выводимости 308
Глава V. Причины, вызывающие необходимость расширения
методических рамок теории доказательств 321
§ 1. Границы изобразимости и выводимости в дедуктивных форма-
формализмах 321
а) Антиномия лжеца; теорема Тарского о понятии истинности,
парадокс Ришара 321
б) Первая теорема Геделя о неполноте 337
в) Вторая теорема Гёделя о неполноте 352
§ 2. Формализованная метаматематика арифметического формализма 362
а) Описание одного арифметического формализма 362
б) Построение нумерации формализма (Z^) 367
ОГЛАВЛЕНИЕ '
в) Проверка условия б2) для формализма (Zp) и построенной
для него нумерации 370
г) Проверка условий на выводимость 381
д) Распространение второй теоремы Гёделя о неполноте на
формализм (Z). —Формулировка определения истинности для
этого формализма 401
§ 3. Выход ча рамки рассматривавшейся до сих пор методической
установки теории доказательств.—Доказательства непротиво-
непротиворечивости формализма арифметики 418
а) Рассмотрение вопроса о формализуемости проводившихся до
сих пор метаматематических рассуждений 418
б) Устранимость принципа «tertium поп datur» при исследова-
исследовании непротиворечивости системы (Z) 426
в) Трансфинигная индукция одного частного вида и ее приме-
применение в генценовском доказательстве непротиворечивости
системы (Z) 430
Приложение I. Сведения об исчислении предикатов и примыкающих
к нему формализмах 467
§ 1. Чистое исчисление предикатов 457
§ 2. Применение исчисления предикатов к формализованным систе-
системам аксиом, i-правило. Арифметические формализмы 462
§ 3 Теоремы об исчислении предикатов 471
§ 4. Исчисление предикатов без правила подстановки 473
Приложение II. Уточнение понятия вычислимой функции и теорема
Чёрча о проблеме разрешимости 477
§ 1. Понятие регулярно вычислимой функции. Вычисление в фор-
формализме B°) 477
§ 2. Общерекурсивные и регулярно вычислимые функции. Нормаль-
Нормальное представление. Вычисление в формализме (Zoo). Применение
кангоровской диагональной процедуры 489
§ 3. Невозможность общего решения проблемы разрешимости для
исчисления предикатов 505
Приложение III. О некоторых фрагментах исчисления высказываний
и их дедуктивном описании с помощью схем 512
§ 1. Позитивно тождественные импликативные формулы 512
§ 2. Позитивно тождественные 1-К-формулы 520
§ 3. Тождественные 1-K-N-формулы 532
Приложение IV. Формализмы для дедуктивного построения анализа 546
§ 1. Описание одного формализма 546
§ 2. Построение арифметики 551
§ 3. Теория положительных действительных чисел 556
§ 4. Теория действительных чисел. Замечания по поводу дальнейшей
формализации анализа 568
§ 5. Теория вполне упорядоченных множеств целых чисел 573
§ 6. Модификации рассмотренного формализма. Исключение е-сии-
вола 579
§ 7. Использование связанных офрмульных переменных 688
8 ОГЛАВЛЕНИЕ
Приложение V. Доказательства непротиворечивости арифметического
формализма 598
§ 1. Доказательство Кальмара 598
§ 2. Доказательство Аккермана 624
Алфавитный указатель 647
РАСШИФРОВКА ОТСЫЛОК ИЗ Т. I
1. с. 505 и далее (см. т. 1, с. 172).
2. с. 206, сноска 1 (см. т. I, с. 187).
3. с. 109 и далее (см. т. 1, с. 202).
4. с 233—235 (см. т. I, с. 203).
5. с 489 (см. т. I, с. 390).
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА
Настоящая книга представляет собой перевод второго тома
известной двухтомной монографии Д. Гильберта и П. Бернай-
са «Основания математики». Перевод выполнен со второго не-
немецкого издания, вышедшего в 1970 г. Второй том написан как
продолжение первого. Однако его можно читать независимо,
так как в Приложении I приводится конспективное изложение
содержащихся в первом томе понятий и результатов, исполь-
используемых во втором томе. Читатель, не знакомый с первым то-
томом, должен начать чтение книги с Приложения I. Перевод
первого тома опубликован издательством «Наука» в 1979 г.
с подзаголовком «Логические исчисления и формализация ариф-
арифметики».
О достоинствах монографии Гильберта и Бернайса и о ее
роли в развитии идей и методов математической логики уже
говорилось в моем предисловии к русскому изданию первого
тома. Все, что было сказано о книге в этом предисловии, от-
относится в полной мере и ко второму тому. По предложению из-
издательства для второго тома был введен подзаголовок «Теория
доказательств», который полностью соответствует содержанию
тома.
Во втором томе подробно излагаются и обсуждаются резуль-
результаты теории доказательств, относящиеся к логическим исчисле-
исчислениям и к формализованной арифметике. Это известная теорема
Эрбрана, дающая важный критерий выводимости формул в ис-
исчислении предикатов, теорема Чёрча о невозможности алгорит-
алгоритма, распознающего выводимые формулы исчисления предика-
предикатов, теорема Гёделя о неполноте арифметических исчислений
и различные доказательства непротиворечивости формализован-
формализованной арифметики. Особую ценность представляет подробное об-
обсуждение используемых при доказательстве непротиворечиво-
непротиворечивости арифметики средств, выходящих за рамки первоначальной
финитной точки зрения Гильберта. В книге проводится мысль,
что привлечение новых достаточно надежных средств для до-
доказательства непротиворечивости формализованной арифмети-
арифметики следует рассматривать не как отказ от первоначальных ме-
10 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА
тодических установок Гильберта, а как их расширение и уточ-
уточнение.
В Приложении IV приводятся дедуктивные системы, в рам-
рамках которых можно выполнить дедуктивное построение матема-
математического анализа, но вопрос о непротиворечивости анализа в
книге не рассматривается. «Впрочем, окончательный приговор
судьбе теории доказательств может вынести лишь решение за-
задачи установления непротиворечивости анализа»,— писал
П. Бернайс в своем предисловии к первому изданию второго
тома. Действительно, важнейшей задачей теории доказательств
в рамках оснований математики является достаточно эффек-
эффективное доказательство непротиворечивости анализа. Однако
Бернайс в этом своем высказывании явно сузил роль гильбер-
товской теории доказательств рамками оснований математики.
Развитие математической логики за последние десятилетия уже
показало, что роль теории доказательств этим не ограничивает-
ограничивается. В настоящее время идеи теории доказательств не только
влияют на развитие математики, но и глубоко проникают в
различные ее разделы. Особенно велико ее влияние на развитие
алгебры. Так, например, многие конкретные исследования, свя-
связанные с доказательством невозможности вывода тех или иных
соотношений в различных алгебраических системах, заданных с
помощью тождественных или определяющих соотношений, мож-
можно рассматривать как фрагменты теории доказательств, раз-
развитой для алгебраических систем данного класса. Нет сомне-
сомнений в том, что влияние идей теории доказательств на развитие
математической науки будет расширяться и в будущем.
Для широкого круга читателей, интересующихся вопросами
оснований математики, книга Гильберта и Бернайса «Основа-
«Основания математики» привлекательна тем, что в ней основополага-
основополагающие идеи теории доказательств излагаются более обстоятель-
обстоятельно и менее формализованно, чем где-либо в другом месте. Мож-
Можно думать, что выход в свет книги Гильберта и Бернайса на
русском языке будет с удовлетворением встречен в нашей стра-
стране не только специалистами по математической логике, но так-
также и всеми квалифицированными математиками, которые в той
или иной мере интересуются вопросами оснований математики,
ролью математики в современной науке, глубокими проблема-
проблемами, стоящими перед математикой и математиками независимо
от их узкой специальности.
Москва, январь 1981 г.
С. Адян
ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящий том завершает изложение теории доказательств,
начатое мною совместно с П. Бернайсом несколько лет тому
назад. По моему желанию П. Бернайс снова взял на себя на-
написание текста. Я благодарю его за тщательность и точность,
с которой он воспроизвел мои взгляды, в разработке которых
он самым активным образом участвовал на протяжении многих
лет. Без его содействия было бы невозможно довести работу
над этой книгой до конца.
Господам В. Аккерману, Г. Генцену, А. Шмидту и Г. Шоль-
цу я благодарен за их дружеское участие в чтении корректур.
Гильберт
Гёттинген, март 1939 г.
В настоящей книге дается детальное изложение современ-
современного состояния теории доказательств. Хотя достижения этой тео-
теории на сегодняшний день и очень скромны по сравнению с це-
целями, которые она перед собой ставит, тем не менее в ней
содержится много ярких результатов, точек зрения и идей, без-
безусловно заслуживающих того, чтобы их довести до сведения
читателей.
В соответствии с этим мы выбрали для настоящего второго
тома две основные темы. Именно, мы решили подробно изло-
изложить важнейшие идеи Гильберта в теории доказательств, свя-
связанные с е-символом, и фактическую реализацию этих идей.
Значительная часть излагаемых здесь исследований публи-
публиковалась лишь в виде набросков. Поэтому, независимо от ре-
реального интереса этих исследований, у гильбертовской школы
имеется научный долг подтвердить сделанные в различных ме-
местах сообщения о существовании тех или иных доказательств
фактическим их изложением. В данном случае эта потребность
тем более неотложна, что первое время (во всяком случае, до
1930 г.) имелись различные заблуждения относительно границ
12 ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
применимости доказательств Аккермана и фон Неймана, осно-*
ванных на одной из упомянутых идей Гильберта. Эти до сих
пор не публиковавшиеся доказательства подробно излагаются
в главах I и II; при этом четко указывается ограничение, кото-
которое здесь требуется наложить на арифметический формализм
для установления его непротиворечивости.
С помощью одного из изложенных здесь методов получается
также некоторый подход к целому ряду теорем, удачно завер-
завершающих исследование исчисления предикатов средствами тео-
теории доказательств и имеющих замечательные приложения в об-
области аксиоматического метода. В центре этих рассмотрений
стоит одна впервые сформулированная и доказанная Ж- Эрбра-
ном теорема математической логики, для которой на указанном
пути получается естественное и простое доказательство. Разбор
приложений этой теоремы дает удобный повод рассмотреть ряд
вопросов, связанных с проблемой разрешимости. На этой осно-
основе в гл. IV мы доказываем одно сформулированное уже в т. I
усиление теоремы Гёделя о полноте исчисления предикатов, вы-
выдержанное в духе теории доказательств.
Вторая основная тема — это критический анализ обстоя-
обстоятельств, вызывающих необходимость расширения (по сравне-
сравнению с описанной ранее «финитной точкой зрения») способов
содержательных рассуждений, которые допускаются при рас-
рассмотрении теории доказательств. Здесь в центре внимания на-
находится обнаруженный Гёделем факт дедуктивной неполноты
любых четко очерченных и обладающих достаточными вырази-
выразительными возможностями формализмов. Мы подробно разби-
разбираем обе выражающие этот факт теоремы Гёделя как с точки
зрения их связи с семантическими парадоксами, так и с точки
зрения анализа условий их применимости. Мы приводим также
их доказательства (доказательство второй из этих теорем Гс-
дель только наметил) и рассматриваем вопрос о их применимо-
применимости к формализму арифметики.
Дискуссия по поводу расширения финитной точки зрения
заканчивается рассмотрением генценовского доказательства не-
непротиворечивости арифметического формализма. Правда, из
этого доказательства детально излагается и разбирается лишь
то, что составляет методическое нововведение Генцена, а имен-
именно использование некоторого частного типа канторовской
«трансфинитной индукции».
Тот факт, что это доказательство излагается в неполном
виде, вызван главным образом внешней причиной, заключаю-
заключающейся в том, что к моменту подготовки данного тома к печати
новое, по-настоящему прозрачное изложение генценовского до-
доказательства еще не было опубликовано. Впрочем, генценов-
ское доказательство не имеет прямого отношения к формализ-
ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
13
мам рассматриваемого в данной книге типа. Но недавно
Л. Кальмару удалось модифицировать это доказательство так,
что оно стало непосредственно приложимо к арифметическому
формализму, рассматриваемому в нашей книге (гл. VIII т. I).
При этом оказалось возможным получить еще и некоторые уп-
упрощения.
В настоящее время В. Аккерман намеревается применить
трансфинитную индукцию в виде, использованном Генценом,
для распространения своего прежнего, изложенного в гл. II на-
настоящего тома доказательства на весь арифметический форма-
формализм.
Если это удастся — а рассчитывать на это имеются все ос-
основания,— то первоначальный замысел Гильберта в части, ка-
касающейся его эффективности, будет реабилитирован. Однако,
учитывая генценовское доказательство, можно высказать убеж-
убеждение, что временная неудача теории доказательств имела
место лишь из-за того, что к этой теории предъявлялись слиш-
слишком высокие методические требования. Впрочем, окончательный
приговор судьбе теории доказательств может вынести лишь
решение задачи установления непротиворечивости анализа.
К развиваемому в гл. I—V настоящего тома кругу идей
добавлен в виде «Приложений» ряд обособленных рассмотре-
рассмотрений. Два Приложения дополняют материал, изложенный в
гл. V: в Приложении II рассматривается уточнение понятия вы-
вычислимой функции, полученное в последнее время различными
способами, и приводятся те относящиеся к этому кругу вопро-
вопросов факты, которые легко могут быть изложены на основе
материала, содержащегося в данной книге. В частности, приво-
приводится теорема А. Чёрча о невозможности общего решения про-
проблемы разрешимости для исчисления предикатов. В Приложе-
Приложении III рассматриваются некоторые вопросы дедуктивной логи-
логики высказываний. Оно содержит также ряд дополнений к
изложенной в гл. III т. I «позитивной логике».
В Приложении IV приведены различные дедуктивные фор-
формализмы для анализа и показано, как с помощью этих форма-
формализмов можно изложить теорию действительных чисел и тео-
теорию чисел второго числового класса.
Приложение I содержит обзор правил исчисления предика-
предикатов, а также применений этого исчисления к вопросам форма-
формализации систем аксиом. Кроме того, в нем содержится ряд
замечаний, касающихся возможности некоторых модификаций
исчисления предикатов. Проводится также конспективное из-
изложение различных понятий и результатов, содержащихся
в т. I.
К сожалению, из-за сильно разросшегося объема книги мы
не смогли коснуться в ней ряда тем, относящихся к теории
14 ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
доказательств. В частности, нерассмотренным осталось мно-
многосортное исчисление предикатов, впервые появившееся в дис-
диссертации Эрбрана и недавно более подробно исследованное
Арнольдом Шмидтом (см. Math. Ann., 115).
В книге не изложены также и некоторые вопросы, затра-
затрагивавшиеся в лекциях Гильберта и обсуждавшиеся в беседах
с ним, но либо оставшиеся в разрозненных заметках, либо во-
вообще пока не разобранные. Таковы, например, наброски опреде-
определений чисел второго числового класса с помощью обычных
(т. е. не трансфинитных) рекурсий, а также наброски, каса-
касающиеся использования символов для видов (Gattungssym-
bole) — в частности, символов, вводимых при помощи явных
или рекурсивных определений.
Настоящий том написан как продолжение первого. Много-
Многочисленные отсылки к тем или иным страницам первого тома
еще более усиливают связь с ним. С другой стороны, приведен-
приведенная в Приложении I подборка содержащихся в т. I терминов
и результатов, равно как и различные повторения, включенные
нами в п. б) § 1 гл. IV, направлены на то, чтобы чтение дан-
данного тома сделать в значительной степени независимым от
знакомства с т. I. Во всяком случае, читатель, уже имеющий
некоторое представление о логической формализации и о по-
постановке задач в области теории доказательств, сможет понять
материал данного тома и без знакомства с т. I.
Читателю настоящего тома было бы целесообразно перед
чтением гл. I ознакомиться с Приложением I, а отсылками к
отдельным страницам т. I он может пользоваться лишь тогда,
когда у него будет возникать действительная потребность в
этом.
К сделанному в гл. II указанию на возможность некоторо-
некоторого пропуска при чтении мы добавим, что довольно утомитель-
утомительный § 2 гл. IV также может быть пропущен.
Что касается упоминаний глав, то номера I—V, если спе-
специально не оговорено противное, будут относиться к данному
т. II, а номера VI—VIII будут упоминаться только в связи
с т. I.
Пауль Бернайс
Цюрих, февраль 1939 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
В дополнение к сказанному в предисловии к первому изда-
изданию хотелось бы заметить следующее.
Ввиду плодотворного развития теории доказательств, имев-
имевшего место за время, истекшее после первого издания, настоя-
настоящая книга, разумеется, уже не может претендовать на всесто-
всесторонний охват современного состояния данной теории. Об этом
специально говорилось в предисловии ко второму изданию
первого тома.
Нам остается лишь вкратце указать, чем второе издание
второго тома отличается от первого его издания. Наиболее
существенным добавлением является Приложение V, в кото-
котором приводятся упомянутые в предисловии к первому изданию
доказательства Л. Кальмара и В. Аккермана. В качестве
нефинитного средства, используемого в этих доказатель-
доказательствах, фигурирует лишь некоторая обобщенная индукция, от-
относящаяся к так называемым «О-оа-фигурам», которые со-
составляют допускающий финитное описание начальный отрезок
канторовского второго числового класса. Применимость этого
обобщенного принципа индукции устанавливается при помощи
специального арифметического перевода [см. гл. V, § 3, п. в)].
В большинстве своих применений — в том числе и в обоих упо-
упомянутых доказательствах — этот обобщенный принцип индук-
индукции может быть заменен эквивалентным ему в рамках канто-
ровской теории множеств предложением о том, что всякая убы-
убывающая последовательность О-со-фигур после конечного чис-
числа шагов обрывается. В Приложении V дается также прямое
и относительно простое доказательство этого утверждения.
Из числа вставок и изменений особого упоминания заслу-
заслуживают следующие:
1. В § 3 гл. III наряду с доказательством теоремы Эрбрана,
использующим некоторое обобщение первой е-теоремы, при-
приводится другое ее доказательство, которое вместо этой е-теоремы
использует лишь так называемую «теорему об элементар-
элементарном выводе», в формулировке которой упоминания об е-сим-
воле отсутствуют вообще. На это более простое для запоми-
запоминания рассуждение мое внимание впервые обратил Эрик Сте-
ниус.
'6 ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
2. При обсуждении следствий из теоремы Эрбрана более
подробно рассматривается то из них, которое касается вопроса
о заменимости обычного исчисления предикатов некоторым ис-
исчислением специального вида. Обсуждается также одно обоб-
обобщение этой теоремы, не рассматривавшееся в первом издании.
3. При доказательстве теоремы Гёделя о полноте мы опи-
опираемся на некоторый «критерий неопровержимости», получен-
полученный ранее с помощью довольно длинного рассуждения. В спе-
специальной вставке мы показываем, к£к упомянутую ссылку на
этот критерий можно заменить более прямым рассуждением.
4. В п. а) § 1 гл. V мы упростили одно доказательство, от-
относящееся к парадоксу Ришара.
5. В комментариях ко второй теореме Гёделя мы добавили
одно принадлежащее Г. Крайзелу рассуждение, показывающее
необходимость соблюдения так называемых «условий на вы-
выводимость» (с. 355), без чего теорема перестает быть верной.
6. Способ введения различия чисел, применяемый в п. б)
§ 3 гл. V, где строится бескванторный арифметический форма-
формализм, не содержащий принципа «tertium поп darur», как это
видно из критики П. Лоренцена, ранее производил впечатле-
впечатление какой-то хитрости, несмотря на отчетливое указание,
что речь идет о формализации некоторого специального пред-
предположения. Теперь это введение различия видоизменено таким
образом, что упомянутого недоразумения можно больше не
бояться.
7. В § 7 Приложения IV, где рассматривается логика вто-
второй ступени с применением связанных формульных перемен-
переменных, один из выводов заменен более простым. Кроме того, све-
сведение рекурсивного определения к явному, выполненное в пер-
первом издании методом Дедекинда, видоизменено по указанному
П. Лоренценом способу. При этом, как ни странно, оказалось,
что в данном формализованном изложении требуется произве-
произвести лишь одно незначительное изменение. Последнее объясня-
объясняется тем, что в рассматриваемой формальной системе высказы-
высказывания о функциях переводимы в высказывания о предикатах.
Я снова хотел бы выразить мою сердечную благодарность
господам Герту Мюллеру и Дирку Зифкесу за их активное
участие в чтении корректур и за внесение дополнений в пред-
предметный указатель. Равным образом я хотел бы поблагодарить
господина Дитера Рёддинга за составление именного указа-
указателя. Господину Л. Кальмару я сердечно благодарен за то, что
он уже много лет тому назад предоставил мне для опублико-
опубликования свое прекрасное доказательство непротиворечивости.
Господина Г. Крайзела я сердечно благодарю за его вклад в
дискуссию по поводу второй теоремы Гёделя.
Цюрих, март 1970 г. Пауль Бернайс
ГЛАВА 1
МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
ПРИ ПОМОЩИ ГИЛЬБЕРТОВА е-СИМВОЛА
§ 1. Процедура символьного решения экзистенциальных формул
Исследование логико-математического формализма, проведен-
проведенное нами в т. I, укладывается в рамки так называемой логики
первой ступени, т.е. в рамки таких способов умозаключе-
умозаключений, при формализации которых можно обойтись связанными
переменными одного-единственного типа, а именно — связанными
индивидными переменными г).
В качестве логического исчисления для умозаключений этого
типа в т. I было развито —по образцу того, как это было сде-
сделано Фреге и Расселом, — так называемое исчисление пре-
предикатов, которое в дальнейшем было пополнено аксиомами
равенства, представляющими собой формализацию понятия инден-
тичности, а также i-правилом 2), представляющим собой формали-
формализацию понятия «тот, который» 3).
Мы детально рассмотрели это исчисление и способы его исполь-
использования при дедуктивном изложении аксиоматических теорий.
Однако ряд принципиальных вопросов все еще не доведен нами
до конца. Так, в частности, мы пока не доказали непротиворе-
непротиворечивость формализма системы аксиом (Z) *), посредством которой
в рамках исчисления предикатов формализуется арифметика с
включением принципа tertium поп datur для целых чисел. Кроме
того, мы пока не ответили на вопрос о том, можно ли, вводя
соответствующие функциональные и индивидные символы, обхо-
обходиться без экзистенциальных аксиом. Этот вопрос мы разберем в
первую очередь, так как рассмотрение его одновременно приве-
приведет нас и к тем методам, с помощью которых Гильберт начал
J) Говоря о системах аксиом, термин первая ступень целесообразно
употреблять в узком смысле этого слова, а именно — называть, как это и
Делалось в гл. IV т. I (см. с. 199), системо.1 аксиом первой ступени такую
систему, аксиомы которой изображаются формулами без формульных перемен-
переменных и, следовательно, являются собственными аксиомами (см. т. I,
гл. VIII, с. 511).
*) См. т. I, с. 467 и Приложение I, с. 464.
3) Символика и правила вывода этого формализма в конспективном виде
приведены в Приложении I (см. с. 457 и далее).
4) См. т. I, с. 454.
18 ИСКЛЮЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ПЕРИМЕННЫХ fIVI. I
наступление на проблему доказательства непротиворечивости
арифметического формализма.
Чтобы отчетливо уяснить себе постановку этой проблемы, мы
сначала рассмотрим один частный случай, для которого ответ
на наш вопрос уже был получен ранее.
Итак, пусть в какой-либо системе аксиом <2> с аксиомами
равенства имеется экзистенциальная аксиома
3x21 (а, .... k, х),
не содержащая никаких других свободных переменных, кроме
а,..., k. Пусть из аксиом системы @ может быть выведена
формула
VxVt/f?J(a, ..., k, x)&31 (а, .... k, y)-4-x = y)
{например, эта формула может являться одной из аксиом рас-
рассматриваемой нами системы).
Тогда по i-правилу мы можем ввести терм
1Л21 (а, ..., k, х)
и использовать формулу
Ш(а, ..., k,ixW(a, ..., к, x))
в качестве исходной. Если мы теперь при помощи явного опре-
определения
Г (я k) = \.Jl(a, .... k, x)
введем функциональный знак f (a, ..., k), то получим формулу
Я (а, .... к, На, .... к)).
Эта формула может заменить собой нашу экзистенциальную
аксиому
ЭхШ(а, ..., к, х)
Действительно, воспользовавшись основной формулой (Ь) исчи-
исчисления предикатов, мы немедленно выведем из этой формулы
упомянутую аксиому 3x31 (а, .... k, x). Так мы приходим к
некоторой новой системе аксиом @', отличающейся от прежней
системы @ тем, что в ней появился функциональный знак \ (а, .. ,k),
а вместо формулы Зд$(а, ..., k, x) в качестве аксиомы взята
формула
Я (а, .... к, \{а, .... к)).
Этот переход от системы @ к системе @' мы осуществляем с
использованием i-правила. Пользуясь нашим общим методом устра-
$ !] СИМВОЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ЭКЗИСТЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМУЛ 19
нения 1-символов'), мы можем произвести и обратный переход
от @' к @. Таким образом, получается, что системы @ и ©'
равнозначны в следующем точном смысле:
Всякая формула, построенная в формализме системы <2>', с
помощью аксиом этой системы переводима в некоторую другую
формулу, не содержадую функционального знака f и, следова-
следовательно, принадлежащую формализму системы @. Любая формула»
не содержащая функционального знака f и выводимая средствами
системы <2>', выводима также и средствами системы <i2.
Вследствие сказанного можно говорить о заменимости экзи-
экзистенциальной аксиомы
Зле?!(а, ..., k, x)
аксиомой
«(а ft, f(fl ft)).
Таким образом, в результате введения функционального знака
f (а,..., k) указанная экзистенциальная аксиома становится ненуж-
ненужной.
Рассмотренный метод, позволяющий получить этот результат
непосредственно, связан с одной особенностью нашего формализма.
Именно, возможность применения i-правила в данном случае
была основана на том, что в нашем формализме в качестве акси-
аксиомы или в качестве выводимой формулы имелась формула
k, х)&Я(а k, y)-+x = y).
Теперь естественно возникает вопрос о том, нельзя ли полу-
получить аналогичный результат и без использования этого предпо-
предположения.
Для экзистенциального высказывания без параметров, кото-
которому соответствует формула
без свободных переменных, положительный ответ на этот вопрос
был получен раньше при помощи рассуждения, которое в гл. IV
т. I приводилось в качестве примера использования дедукцион-
ной теоремы2). В этом примере мы рассматривали способ умо-
умозаключений, состоящий в том, что после доказательства теоремы
существования типа «Существует объект х, для которого имеет
место 31 (*)» вводится специальный индивидный символ б и далее
проводится рассуждение: «Пусть 8 — объект, обладающий свой-
1) См. т. I, гл. VIII, с. 510—532. Так как это рассуждение носит всего
лишь подготовительный характер, не будет большой беды, если отдельные
Детали приведенного здесь доказательства покажутся читателю недостаточно
полными.
а) См. т. I, гл. IV, с. 201—202.
20 ИСКЛЮЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. I
ством Я; тогда ...». С формальной точки зрения этот прием
сводится к добавлению формулы 91C) к числу исходных.
Для формул, не содержащих символа 9, этот способ умоза-
умозаключений — в чем мы убедились с помощью дедукционной теоремы—
не открывает никаких новых возможностей в части, касающейся
доказательств: любая формула без символа в, выводимая с
использованием данного символа и формулы 51 (б), будет выво-
выводиться и без использования этого символа. Кроме того, для лю-
любой формулы 33F), выводимой с помощью формулы 31F), можно
будет без использования символа в вывести формулу
Я (с)-8 (с)
со свободной переменной с, не входящей в формулу 23 ($). При
этом искомый вывод будет получаться из вывода формулы 33 (б), если
мы символ в всюду заменим переменной с, затем к каждой формуле
импликативно присоединим посылку Я (с), а потом добавим неболь-
небольшие фрагменты доказательства, необходимые для сохранения струк-
структуры вывода (как это делалось при доказательстве дедукционной
теоремы1)).
Таким образом, в силу выводимости формулы Э^З! (£) имеет
место полный параллелизм между выводами, производящимися
с использованием формулы 31 (й), и сопоставленными им выводами,
не использующими символа б; при этом каждой строке вывода,
представляющей собой формулу 33 (б), сопоставляется некоторая
(однозначно определенная —с точностью до выбора не входящей
в 23 (б) свободной переменной с) формула
Я (с)-»-8 (с),
а каждой строке вывода, представляющей собой не содержащую
символа в формулу 23, сопоставляется сама эта формула.
Хотя формула Я (с)-»-23 (с), вообще говоря, дедуктивно и
не равна формуле 23 (б), даже если пользоваться формулой Я (в),
тем не менее из нее и из 51 (б) путем соответствующей подста-
подстановки и применения схемы заключения мы сразу получим 33F).
Этот результат немедленно распространяется и на формулы
с несколькими кванторами существования
3s, ... 3£c5J(£l £с),
не содержащие свободных переменных (но содержащие, быть
может, какие-нибудь другие связанные переменные, отличные от
?х» ■ • •» £с).
Если формула такого рода уже будет иметься в качестве
исходной или в качестве выведенной формулы и если мы затем
I) См. т. I, гл. IV, с. 194—196.
s 15 СИМВОЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ЭКЗИСТЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМУЛ 21
введем новые индивидные символы $1? ..., вс и возьмем формулу
*(«! «г)
в качестве исходной, то это не приведет к существенному рас-
расширению нашего формализма. В самом деле, каждой выводимой
с помощью формулы s<M(<?t, ..., &Л формуле
»(\ Ч>
где 3„ , ..., йп суть какие-либо из символов Sv ..., Sv будет
соответствовать выводимая без использования символов $1?..., $с
формула
где с, ..., с,. —какие-либо не встречающиеся в 93F„ , ..., в„ \
свободные переменные; при этом вывод данной формулы будет
протекать параллельно выводу формулы 93 ^йП , ..., $-\. Далее,
если с помощью формулы 31 (iv ,.., 6Л будет выводиться неко-
некоторая формула 33, не содержащая символов $v ..., бс, то ее
можно будет вывести и без применения этой формулы (а значит,
и без использования символов й1? ..., вЛ
Проведенное рассмотрение теперь можно применить к системе
аксиом такой, что среди ее формул имеется формула вида 3s3l E)
или ЗЕх ... Зе,.?Л (Ех, ..., £с), не содержащая свободных перемен-
переменных. В результате получается, что если, введя индивидный сим-
символ в, мы заменим формулу 3j3l(j) формулой 31 (в), или соответ-
соответственно введя индивидные символы й , ..., йс, заменим формулу
3Sj ... 3sl.?l(s1 st.) формулой 31 (йг, .... вс), то никакого су-
существенного усиления рассматриваемой системы не произойдет.
В частности, запас выводимых формул, не содержащих ни
одного из введенных индивидных символов, для первоначальной
и для модифицированной системы аксиом будет одним и
тем же, а отсюда, в частности, вытекает, что в отношении непро-
непротиворечивости обе эти системы одинаковы.
Чтобы проиллюстрировать рассмотренный метод модификации
аксиоматических систем, мы возьмем в качестве примера систему,
состоящую из следующих трех аксиом:
a<.b&.b<c->-a<.c,
22 ИСКЛЮЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ ГГЛ Т
Если мы введем индивидные символы а и $ и заменим аксиому
ЭхЗу(х<у) формулой а<р, то получим систему, состоящую из
следующих аксиом без связанных переменных:
С одной стороны, из этой системы аксиом мы можем полу-
получить первоначальную систему, воспользовавшись формулой (t)').
С другой стороны, новая система аксиом не является существенно
более сильной, чем старая. В самом деле, всякой выводимой
средствами новой системы формуле g (а, Р) соответствует выводи-
выводимая средствами старой системы формула
а<Ь-*8(а, Ь),
где о и Ь —какие-либо свободные переменные, не входящие
в g (a, P). Например, формуле
выводимой средствами нашей модифицированной системы, соот-
соответствует формула
выводимая средствами первоначальной системы.
Пока на этот метод исключения экзистенциальных аксиом
наложено ограничение, заключающееся в том, что он применяется
лишь к аксиомам без свободных переменных. Чтобы освободиться
от этого ограничения, мы должны будем распространить наше
рассуждение на формулы вида
3s*(fl К S),
где о, ..., f —полный список свободных переменных, входящих
в эту формулу. В этом случае вместо индивидного символа б нам
придется ввести некоторый функциональный знак f (а, ..., k) и
подобно тому, как в предыдущем случае мы брали в качестве
исходной формулу ЗД(е), сейчас нам придется взять в качестве
исходной формулу
Я (а f, f(a f)).
Формализуемый таким образом способ умозаключений состоит
в том, что, доказав какую-либо теорему существования, «Для
всякого набора объектов а, ..., t существует объект I, обладаю-
См. Приложение I, с. 461.
5 ц СИМВОЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ЭКЗИСТЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМУЛ 23
щий свойством Я (а, .... f, ()», мы продолжаем далее рассуждать
следующим образом: «Пусть теперь f (о, ..., k) — какая-либо
функция, сопоставляющая каждому набору а f такое зна-
значение I, что для него выполняется Я (а, ..., f, I), ит. д.».
Обратим внимание на то, что в этом рассуждении исполь-
используется принцип выбора. И в самом деле, нам приходится пред-
предполагать, что всякий раз, когда для каждого набора значений
а, .... f существует некоторое значение!, обладающее определен-
определенным свойством, существует и функция f, которая для каждого
набора значений а, ..., f, так сказать, «выбирает» в качестве
значения f(a, .... f) одно из значений I, обладающих этим свой-
свойством 1).
Переход от формулы
Зе«(« I S)
к формуле
«(a f, f(a f))
с новым функциональным знаком f, равно как и переход от фор-
формулы 3j?l (£) без свободных переменных к формуле Я (б) с новым
индивидным символом 3, мы будем называть символьным
решением этих экзистенциальных формул.
Эта операция, совместно с операцией замены связанных пере-
переменных свободными8), дает нам способ, позволяющий перейти от
произвольной предваренной формулы3) %, не содержащей фор-
формульных переменных, к некоторой формуле без связанных пере-
переменных, из которой формулу § можно получить обратно сред-
средствами исчисления предикатов. В самом деле, всякая такая фор-
формула $ представляет собой формулу одного из следующих двух
видов:
Заменив в формуле VeSt (£) связанную переменную £ свободной
переменной а, мы получим формулу & (а), дедуктивно равную
формуле VtfMs).
В результате символьного решения формулы
3s8i(S)
мы получим некоторую формулу ^ (t), где терм t в том случае,
когда Si (Б) не содержит свободных переменных, предстаьляег
собой вновь вводимый индивидный символ, а в противном случае
х) Общую формулировку принципа выбора см в т I, гл. II, с. 69.
В рассматриваемом случае в качестве Gt следует взять совокупность всевоз-
всевозможных значений а, ..., f, а в качестве Gt—совокупность всевозможных
значений I
z) См. Приложение I, с. 472.
3) О понятии предваренной формулы см. т. I, гл. IV, с. 182 и далее.
24 ИСКЛЮЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ Р"Л I
является вновь вводимым функциональным знаком с аргументами,
фигурирующими в 8i(£) в качестве свободных переменных. От
формулы 3i (t) применением основной формулы (Ь) мы можем
возвратиться к формуле 3^ (£).
Теперь, если формула Щх (а) (соответственно $i (t)) будет фор-
формулой без связанных переменных, то поставленная нами цель
будет достигнута; в противном случае данная формула будет
предваренной и мы сможем еще раз применить к ней тот же
самый прием, который перед этим был применен к %. Продол-
Продолжая таким образом, мы придем — после числа шагов, равного
числу кванторов в кванторной приставке формулы 3, — к неко-
некоторой формуле без связанных переменных, от которой средствами
исчисления предикатов можно вновь возвратиться к %. Эта фор-
формула без связанных переменных отличается от исходной фор-
формулы $ следующим: 1) у нее отсутствуют кванторы; 2) на месте
каждой переменной формулы ft, связанной квантором всеобщно-
всеобщности, у нее стоит некоторая ранее не встречавшаяся свободная
переменная; 3) на месте каждой переменной, связанной в 5 кван-
квантором существования 3j, у нее стоит новый индивидный символ,
если 5 не содержит свободных переменных и если этому кван-
квантору 3j в g не предшествует никакой квантор всеобщности, а во
всех остальных случаях вместо такой переменной £ стоит новый
функциональный знак с теми свободными переменными в качестве
аргументов, которые либо встречаются уже в %, либо стоят на
месте какой-либо переменной, связанной каким-нибудь предшест-
предшествующим квантору 3j квантором всеобщности.
Рассмотренный метод мы можем применить к любой наперед
заданной предваренной формуле, и результат его применения
всегда будет определен однозначно с точностью до выбора соот-
соответствующих свободных переменных и вводимых символов.
Пусть, например, $ имеет вид
ЗхЧуЗгШ(х, у, г),
и пусть в эту формулу входят только переменные х, у и г. Тогда,
исходя из 8, в результате символьного решения и замены свя-
связанной переменной у свободной переменной а мы получим неко-
некоторую формулу
Я (в, а, На)),
где й —ранее не встречавшийся индивидный символ, a f —ранее
не встречавшийся функциональный знак с одним аргументом.
Аналогичным образом, исходя из формулы
, у, г, и, v, а, Ь),
в которой не встречаются никакие переменные, кроме указанных,
$ 1] СИМВОЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ЭКЗИСТЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМУЛ 25
мы получим формулу
c, f(a, b, с), 9 (a, b, c), d, f)(a, b, c, d), a, b),
где f, g и () — отличные друг от друга, ранее не встречавшиеся
функциональные знаки, причем f и g зависят от трех аргумен-
аргументов, а 1) —от четырех.
Этот способ перехода от предваренных формул к формулам
без связанных переменных мы можем применить, в частности,
к формулам, составляющим некоторую систему аксиом, если эти
аксиомы являются собственными аксиомами1). Как известно,
каждая гакая формула, если она содержит связанные переменные
и сама еще не является предваренной формулой, может быть
переведена в некоторую предваренную формулу2), после чего
к полученным формулам мы можем применить операцию замены
связанных переменных свободными и операцию символьного
решения.
Например, применив этот способ к приведенным в гл. I пер-
первого тома геометрическим аксиомам соединения и порядка3), мы
получим следующие однозначно определенные (если отвлечься от
выбора соответствующих свободных переменных, индивидных сим-
символов и функциональных знаков) аксиомы:
I. 1. Gr(a, a, b).
2. Gr(a, b, c)->Gr(fc, a, c)&Gr(a, с, b).
3. Gr(o, b, c)&Gr(a, b, d)&a^b-+Gr(a, c, d).
4. lGr(a, p, v).
II. 1. Zw(a, b, c)->Gr(a, b, c).
2. lZw(a, b, b).
3. Zw(a, b, c)-»Zw(a, c, 6)&lZwF, a, c).
4. a^6-»-Zw(a, b, cp(a, b)).
5. "lGr(a, b,c)&Zw(p,a,b)&-]Gr(q,a,b)&-]Gr(c,p,q)^
Gr(p, q, г]) (a, b, c, p, q))&
(Zw(^(a, b, c, p, q), a, c)\JZw(ty(a, b, c, p, q), b, c).
Такую систему, состоящую из собственных аксиом, в которых
все кванторы существования устранены в результате применения
операции символьного решения, а все входящие в них перемен-
переменные являются свободными индивидными, мы будем называть систе-
системой аксиом в разрешенном виде.
По любой системе собственных аксиом (S) со связанными
переменными с помощью операций символьного решения и замены
связанных переменных свободными мы можем построить соответ-
соответствующую ей систему (S') в разрешенном виде. При этом фор-
формулы системы (S) будут выводимы средствами исчисления пре-
:) См т. I, с 511 или Приложение 1, с. 463.
г) См т I, с. 182 и далее.
3) См. т. 1, с. 28.
26 ИСКЛЮЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ I
дикатов из формул системы (S'). Отсюда, в частности, вытекает,
что если будет доказана непротиворечивость системы (S'), то тем
самым будет установлена и непротиворечивость системы (S).
Кроме того, мы убедились, что если при переходе от (S) к (S')
вводятся одни лишь индивидные символы, то системы (S) .и (S')
в некотором смысле равнозначны, а именно: каждая принадле-
принадлежащая формализму системы (S) формула, выводимая средствами
системы (S'), будет выводима и средствами (S). Отсюда, в част-
частности, следует, что в этом случае непротиворечивость (S) совпа-
совпадает с непротиворечивостью (S').
В дальнейшем мы получим аналогичный результат для общего
случая, когда при переходе от (S) к (S') быть может вводились
и какие-либо новые функциональные знаки.
В результате проведенного нами рассмотрения наряду с этой
проблемой возникает и еще один вопрос, а именно вопрос о том,
нельзя ли исключение связанных переменных, производимое при
переходе от какой-либо системы аксиом к системе аксиом в раз-
разрешенном виде, распространить и на сами выводы в случае,
когда речь идет о выводах формул без связанных переменных.
Этот вопрос имеет большое значение для изучения различных
проблем, связанных с непротиворечивостью. Дейсшительно, для
установления непротиворечивости того или иного формализма,
включающего в себя обычное исчисление высказываний, доста-
достаточно, как мы знаем, установить невыводимость какой-нибудь
конкретной формулы. Ввиду этого обстоятельства непротиворе-
непротиворечивость тех формализмов, которые включают в себя символ 0 и
первую аксиому равенства, мы могли бы охарактеризовать как
невыводимость в них формулы 0=^=0. В случае произвольного
формализма вместо формулы 0=^=0 мы можем взять какую-нибудь
формулу вида 91&ПЭД. причем в качестве Й мы можем выбрать
формулу без свободных переменных. Тем самым исследование
непротиворечивости какого-либо формализма сводится к выясне-
выяснению вопроса о том, является ли выводимой конкретная формула
без связанных переменных.
Допустим теперь, что нам удалось показать, что вывод любой
выводимой формулы без связанных переменных из системы аксиом
в разрешенном виде может быть осуществлен без использования
связанных переменных. Тогда исследование непротиворечивости
такой системы аксиом упростится коренным образом. Действи-
Действительно, вместо формализма, состоящего из этой системы аксиом,
взятой в сочетании с исчислением предикатов, у нас появится
гораздо более ограниченный формализм, состоящий из объедине-
объединения этой системы аксиом g элементарным исчислением со сво-
свободными переменными').
1) См. т. I, с. 360 или Приложение 1, с. 462.
§ 2] ГИЛЬБЕРТОВ е СИМВОЛ И е ФОРМУЛА 27
Весьма удобным средством для рассмотрения этих вопросов
оказывается гильбертов е-символ, к введению которого мы теперь
и перейдем.
§ 2. Гильбертов е-символ и е-формула
К гильбертову е-символу и к характеризующей этот символ
формуле нас приводит рассмотрение уже упоминавшейся выше
операции символьного решения экзистенциальных формул.
Введение какого-либо функционального знака \ (а, ..., k)
в результате символьного решения некоторой экзистенциальной
формулы
Эх?!(а, .... k, х)
отличается от введения подобного функционального знака на
основе i-правила лишь тем, что в первом случае опускается усло-
условие выводимости формулы
ЧхЧу(Я(а, .... k, х)&Ш(а, .... k, у)-+х = у).
Поэтому сама собой напрашивается мысль реализовать сим-
символьное решение в общем виде посредством такой модификации
i-правила, которая получится, если мы опустим в нем играющую
роль посылки вторую формулу единственности. Если мы для
четкого различения случаев возьмем вместо буквы i букву т], то
это модифицированное i-правило будет выглядеть следующим
образом: если формула Э»?1 (х>) либо выведена, либо является
аксиомой, то выражение туЛ(\>) может быть введено в качестве
терма, а формула
может бьпь взята в качестве исходной.
При этом по аналогии с записью результирующей формулы
схемы для i-символа в записи >Д (r^Sl (t>)) подразумевается, что во
внутреннем выражении ЧЛ (х>) в целях избежания коллизий между
связанными переменными нам, может быть, придется переимено-
переименовать некоторое количество связанных переменныхJ).
Замечание. Это т]-правило по сравнению с рассмотрен-
рассмотренным выше методом символьного решения обладает двумя особен-
особенностями. Во-первых, оно распространяется и на тот случай,
когда в формуле Э»ЧЛ (») имеются формульные переменные. Во-вто-
Во-вторых, благодаря записи %?l(v) здесь соотнесение вводимого сим-
1) См относящиеся к этому кругу вопросов замечания к i-правилу в т. I,
с. 4G9 —470, а также изложение i-правила в Приложении I, с. 464.—Нам
не сюит рассматривать формализм Ti-символа более подробно, так как т|-сим-
вол будет служить лишь для перехода к е-символу.
28 ИСКЛЮЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ I
вола самой формуле 21 (•) становится явным, откуда, в частности,
следует согласованность между функциями, возникающими в ре-
результате подстановок из разных введенных по отдельности
Т)-СИМВОЛОВ.
Пусть, например, "i\(a, b, с) —формула, для которой можно
вывести обе формулы
ЭхЙ@, Ь, х)
и
Эх2((я, 1, х),
хотя, может быть, и нельзя вывести формулу
3x21 (а, Ь, х).
Тогда с помощью т)-правила мы можем ввести символы
T],3t(O, Ь, х)
и
цх%(а, 1, х).
Если в первом из них мы подставим 1 вместо Ь, а во втором О
вместо а, то в обоих случаях у нас получится
ти«@, I, х).
Если же вместо т)*21 (О, Ь, х) ввести функциональный знак f (b) и
формулу 31@, b, f (b)), а вместо T)*2l(a, 1, ^—функциональный
знак g (а) и формулу Щ(а, 1, д(а)), то вместо одного выражения
цхШ@, 1, х) мы получим два различных выражения f(l) и g@),
причем может оказаться, что не удастся вывести равенство
В самом деле, формула
не обязана быть выводимой, хотя обе формулы
21@, 1, f(l))
21@, 1, q@))
и имеются в нашем распоряжении.
В формулировке rj-правила требуется, чтобы образование
терма r\J\ (x>), подобно образованию терма 1^21 (»), связывалось
с выполнением еще одного условия, касающегося выводимости
некоторой формулы, а именно —формулы 3v2J(»). От этого огра-
ограничения можно будет освободиться следующим образом.
«21
ГИЛЬБЕРТОВ е-СИМВОЛ И е-ФОРМУЛА 29
Из выводимой формулы
13уА(у)\/ЗхА(х)
преобразованиями исчисления предикатов мы получим формулу
Зх(ЗуА(у)-+А(х)).
Опираясь на выводимость этой формулы, мы можем, в соответ-
соответствии с г)-правилом, ввести терм
цх(ЗуА(у)-+А(х))
и взять формулу
ЗуА (у) -> А (цх (ЗуА (у) -» А (х)))
в качестве исходной.
Теперь мы явно определим символ е.хА (х) посредством равенства
ехА (х) = цх (ЗуА (у) ->■ А (х)).
Тогда из предыдущей формулы в результате переименования
стоящей в посылке импликации переменной у в х получится
формула
ЗхА(х)-+А(гхА(х)). (*)
Благодаря этой формуле, в которой связанную переменную х как
в посылке, так и в заключении мы можем переименовать в любую
другую, всякое дальнейшее использование т]-символа становится
излишним. Действительно, в случае выводимости какой-нибудь
формулы
мы, используя формулу (*), о помощью подстановких) и схемы
заключения получим формулу
31 (euS
Поэтому напрашивается идея полностью исключить т]-правило и
вместо него в формализм ввести в качестве основного знака сим-
символ евЛ (») в сочетании с формулой
Ы ЗхА (х) -*■ А (&хА (х)).
Эта формула, если отвлечься от обозначения вводимого сим-
символа, совпадает с формулой (цх) для символа \ххА(хJ). Фор-
МУЛУ (Hi) мы вывели, опираясь на явное определение символа
№хА (х) при помощи некоторого i-терма. Отсюда мы усматриваем,
L) О точных правилах обращения со связанными переменными, которые
надлежит при этом соблюдать, мы вскоре поговорим более подробно.
а) См. т. I, гл. VIII, с. 482 или Приложение I, с. 469.
30 ИСКЛЮЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ |ТЛ I
что для формализма арифметики способы умозаключений, форма-
формализуемые с помощью е-символа и формулы (е0), не дают ничего
нового: их применение сводится к применению обычного i-правила.
Это обстоятельство находит простое объяснение и с содержа-
содержательной точки зрения. Формула (е0) равнозначна т)-правилу,
а это правило сильнее i-правила лишь в том отношении, что
из-за отсутствия второй формулы единственности оно включает
в себя применение принципа выбора. Но в арифметике без прин-
принципа выбора можно обойтись, потому что — ввиду справедливости
принципа наименьшего числа —во всякой непустой числовой
совокупности некоторое число может быть указано и без прин-
принципа выбора: например, наименьшее. Эта взаимосвязь находит
свое отражение также и в том, что при введении i-терма, с по-
помощью которого определяется символ \i,xA (х), существенным
образом используется формула, выражающая принцип наимень-
наименьшего числа.
Таким образом, е-символ представляет собой определенного
рода обобщение ц-символа на случай произвольной (не обяза-
обязательно числовой) индивидной области. По форме он представляет
собой функцию от переменного предиката, который кроме того
аргумента, к которому относится указанная в данном е-символе
связанная переменная, может содержать в качестве аргументов
(«параметров») и какие-нибудь другие свободные переменные.
Значением этой функции для любого конкретного предиката 31
(при фиксации параметров) будет один из объектов индивидной
области, причем в соответствии с содержательным переводом фор-
формулы (е0) предикат 3J будет выполняться для этого объекта, если
этот предикат выполняется вообще хотя бы для одного объекта
из данной индивидной области.
Предположение о наличии такого универсального соотнесения
объектов предикатам выглядит как очень сильное допущение.
Однако надо иметь в виду, что в формализме первой ступени,
где, как известно, связанных формульных переменных нет, такое
соотнесение приводит лишь к весьма ограниченному эффекту,
так как переменная А, входящая в состав символа чхА (х), может
быть исключена только в результате какой-либо подстановки.
Конечно, это рассуждение еще не устраняет того впечатления
чего-то возмутительного с точки зрения логической систематики,
которое на нас производит введение t-символа и относя-
относящейся к нему формулы (е0). Действительно, введение в логиче-
логический формализм символа, имеющего вид некоторой универсаль-
универсальной функции от предиката, в то время как никакого логического
определения такого рода функции не имеется, выглядит каким-то
несоответствием.
Однако на это возражение имеется простой ответ. Он состоит
в том, что на самом деле не существует никакой необходимости
g 2] ГИЛЬБЕРТОВ е-СИМВОЛ И е ФОРМУЛА 31
включать e-символ в окончательный дедуктивный вариант нашего
логико-математического формализма. Наоборот, вводимое нами
исчисление с е-символом можно рассматривать как чисто вспо-
вспомогательное исчисление, которое всего-навсего по ряду метама-
метаматематических соображений обладает определенными преиму-
преимуществами.
С учетом будущих метаматематических рассмотрений наш
способ введения «-символа оказывается целесообразным подверг-
подвергнуть небольшой модификации: именно, в качестве аксиомы для
е-символа вместо формулы (е0)
ЗхА (х) -*■ А (ехА (х))
мы возьмем дедуктивно равную ей формулу
А(а)-+А(вяА(х)),
не содержащую квантора существования. Эту последнюю формулу
мы будем кратко называть &-формулой.
С введением е-формулы в качестве исходной мы связываем
следующие соглашения:
1 Если *Л (а) — какая-либо формула, не содержащая связан-
связанной переменной £, то выражение еЕ91 (£) будет считаться термом.
Термы такого вида мы будем называть е-термами.
2. В отношении связанных переменных, входящих в состав
е-символов, будет действовать правило переименования. Однако
оно должно подчиняться ограничивающему его применение усло-
условию не допускать коллизий между связанными пере-
переменными. Это условие здесь можно сформулировать точно
так же, как мы ранее формулировали его для i-символа1): именно,
следует не допускать того, чтобы в область действия какого-
нибудь квантора Vj, 3j или ^-символа ву попадал другой кван-
квантор или e-символ с той же самой связанной переменной £.
3. На подстановки вместо свободных индивидных и формуль-
формульных переменных тоже должны быть наложены ограничения,
обеспечивающие отсутствие коллизий. Однако чтобы из-за всего
этого не возникало слишком сильных осложнений, мы разрешим
выполнять вместе с подстановкой переименование любого коли-
количества связанных переменных.
В самом деле, требование отсутствия коллизий мешало бы
нам производить подстановку в е-формулу вместо именной формы
А (с) фигурирующей в ней формульной переменной какой-нибудь
Другой формулы *Л(с), v которой переменная с стоит в области
Действия какого-либо квантора или е-символа. Эта трудность
Устраняется разрешением переименования связанных переменных
*) См. т. 1, гл. VIII, с. 469—471 или Приложение 1, с. 4Ь4.
32 ИСКЛЮЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. I
при такой подстановке, так что в рассматриваемом случае мы
получим формулу вида
где Я* (я) отличается от *Д (я) переименованием в ней одной или
нескольких связанных переменных1).
Например, если 5й(с) представляет собой формулу
Зу (с = у),
то ее подстановку в е-формулу в сочетании с переименованием
связанных переменных можно выполнить следующим образом:.
Сначала вместо терма гхА (х) у нас появится терм
ехCу(х = у)),
который мы будем сокращенно записывать в виде
гх3у(х = у),
отбросив ненужные внешние скобки *).
Теперь мы переименуем у в г, так что получится
гх3г(х = г).
Вместо формулы А {гхА (х)) мы получим формулу
Зу(ех3г(х = г) = у),
а вместо формулы А (а) — формулу
Зу(а = у),
так что в целом у нас получится формула
(а = у) ->- Зу (ех3г (х = г) = у).
Аналогичным образом, с помощью подходящих переименова-
переименований переменных, всегда сможем предохранить себя от каких бы
то ни было коллизий между связанными переменными. Произво-
Производимые в этих целях переименования мы будем упоминать не
всегда. Мы позволим себе также пользоваться одинаковыми обозна-
обозначениями для формул, отличающихся друг от друга лишь обозна-
обозначениями связанных переменных.
Далее, всюду, где мы будем говорить об одинаковых или
различных термах, их равенство и различие будут пониматься
о точностью до обозначений связанных переменных, если не будет
четко оговорено противное.
*) Об определении Я* (х) см. также т. I, с. 469.
2) Вообще, мы условимся, что при написании формул с кванторами и
8-символами мы будем всюду, где это не будет вызывать разночтений, опу-
опускать скобки, как мы это уже делали раньше.
§ 21 ГИЛЬБЕРТОВ е СИМВОЛ И Е ФОРМУЛА 33
Преимущества, доставляемые введением е-символа и е-фор-
мулы, проявятся немедленно, как только мы уясним себе их бли-
ближайшие дедуктивные последствия.
Сначала от е-формулы мы с помощью схемы (Р)х) вернемся
к формуле (е0), которая совместно с формулой
А(ехА(х))-+ЭхА(х),
получающейся подстановкой из основной формулы (Ь) исчисления
предикатов, даст нам эквивалентность
(ех) ЗхА(х)~А(ехА(х)).
Если в эту формулу вместо именной формы А (а) подставить фор-
формулу ~]А(а), а затем от обеих частей получившейся таким обра-
образом эквивалентности взять отрицание, то получится формула
-\Эх-\А(х)~-\-\А(гх-\А(х)),
из которой затем легко выводится формула
(е2) ЧхА(х)~А(гх-\АОс)).
Вид формул (ег) и (е2) наводит нас на мысль о том, что эти
эквивалентности можно взять в качестве явных определений для
кванторов всеобщности и существования и сделать таким обра-
образом ненужными как основные формулы (а) и Из), так и схемы (а)
и ф) исчисления предикатов1).
Действительно, такая возможность реально существует. Во-пер-
Во-первых, е-формула, взятая совместно с (ej), средствами исчисления
высказываний дает нам формулу (Ь)
А(а)-*-ЗхА(х).
Если же мы теперь подставим в е-формулу вместо именной
формы А (с) формулу ~| А (с), то сначала получим формулу
1А(а)-+-\А(гх1А(х)),
из которой затем путем контрапозиции получится формула
А(гх-\А(х))-+А(а),
а последняя в сочетании с формулой (е2) дает нам формулу (а)
ЧхА(х)-*-А(а).
Теперь осталось рассмотреть схемы (а) и (Р). Но они с помощью
эквивалентностей (ех) и (е2) могут быть сведены просто к
') См. Приложение I, с. 460—461.
34 ИСКЛЮЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ I
подстановкам. Действительно, из формулы
такой, что переменная а встречается в ней только там, где она
указана в качестве аргумента, ах не входит в S3 (а), в резуль-
результате подстановки мы получим формулу
которая вместе с формулой
Ух8(х)~8(
получающейся подстановкой из (г^), дает нам формулу
9l-*Vx33(x).
Аналогичным образом из формулы
8(а)-»-«
такой, что а встречается в ней только там, где она указана
в качестве аргумента, а х не входит в 33 (а), в результате под-
подстановки мы получим формулу
8 (8,8 (ж))-»-И,
которая вместе с формулой
получающейся подстановкой из (е2), дает нам формулу
3*8 («)-»■«.
Таким образом, формализм, который получается из элементар-
элементарного исчисления со свободными переменными в результате при-
присоединения к нему е-формулы и определений (е^ и (е2), полно-
полностью включает в себя все исчисление предикатов в целом.
Еще одно преимущество введения е-символа заключается в том,
что в результате присоединения к исчислению предикатов е-сим-
е-символа и е-формулы становится ненужным i-правило: е-символ пол-
полностью берет на себя ту роль, которую играет i-символ. Дей-
Действительно, для любой формулы 81 (с) такой, что выводимы отно-
относящиеся к ней формулы единственности, выводима, в частности,
формула ЗхШ (х). С другой стороны, из формулы (е0) подстановкой
мы получаем формулу
а следовательно, и формулу
« 2] ГИЛЬБЕРТОВ е СИМВОЛ И 8-ФОРМУЛА 35
т е. ту формулу, которая получается из результирующей фор-
формулы i-схемы, примененной к формуле й(с), после замены вхо-
входящего в нее i-символа соответствующим е-символом').
Однако, в то время как i-символ приложим лишь к таким
формулам, для которых выведены соответствующие формулы един-
единственности, 8-символ может быть определен для произвольной
формулы, содержащей свободную переменную.
В заключение мы получим, используя е-символ и е-формулу,
некоторую общую формализацию операции символьного решения2).
Именно, если мы хотим применить эту операцию к формуле
Э*Я(а, .... f, «),
где а, ..., f — фигурирующие в ней свободные переменные, то
нам достаточно лишь воспользоваться (выводимой с помощью
е-формулы) формулой (е0)
ЭхА(х)-*-А(вхА(х)),
из которой подстановкой (и, возможно, переименованием перемен-
переменных) мы получим формулу
(а f, »)).
Эта последняя после введения явного определения
f(a, .... &) = eB2l(a, ..., k, to)
совместно с формулой 3t»3l(a, ..., f, v) даст нам формулу
Sl(a, .... f, f(a f)).
Замечание. Чтобы формально воспользоваться этим явным
определением f(a, ..., k), нам нужно обратиться к аксиомам
равенства. В том случае, если в рассматриваемом формализме
аксиом равенства в нашем распоряжении нет, это явное опре-
определение мы можем воспринимать как некоторое правило замены,
согласно которому выражения eB2l (a, ..., f, t>) и f (a, ..., f) всюду
могут быть заменены друг другом.
Вообще, следует обратить внимание на тот факт, что если
явное определение имеет вид некоторого правила замены, то
х) Эта роль е-символа становится очевидной, если принять во внимание
его содержательный смысл. В самом деле, в случае предиката 81 (с), выпол-
выполняющегося хотя бы для одного объекта из его индивидной области, е-терм
8j5l(s) представляет собой объект, для которого этот предикат выполняется,
а значит, для предиката 91 (с), выполняющегося для одного-единственного
объекта, данный терм будет изображать именно этот объект; но этот же самый
объект изображается и i-термом i£9l (s).
») См. с. 23.
36 ИСКЛЮЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ I
независимо от того, является это определение равенством или
эквивалентностью, введенный этим определением символ всегда
можно исключить из любого доказательства, в заключительной
формуле которого этого символа нет. При этом предпола1ается, что
выполнено условие, имеющее место в отношении всех явных опре-
определений; а именно, что фигурирующие в определяемом выражении
переменные и только они являются аргументами определяемого
символа1).
Таким образом, мы видим, что е-символ в силу своей харак-
теризации посредством к-формулы позволяет добиться троякого
эффекта: во-первых, он вместе с определениями (ег) и (е2) достав-
доставляет в наше распоряжение соответствующие формулы и схемы
для кванторов; во-вторых, он заменяет собой i-символ и, в-третьих,
он сводит символьные решения к явным определениям.
Эти свойства е-символа, из-за которых он и был введен Гиль-
Гильбертом в теорию доказательств, мы теперь используем для целей
намеченной нами программы исследований2). С одной стороны,
мы убедимся, что если в основу рассмотрения положить исчисле-
исчисление предикатов, то переход от какой-либо системы собственных
аксиом (S) к соответствующей системе аксиом в разрешенном
виде (S') представляет собой консервативный способ расширения
этого формализма в том смысле, что любая формула исходного
формализма, выводимая средствами системы (S ), будет выводиться
также и из аксиом системы (S). С другой стороны, мы покажем,
что всякая формула, выводимая средствами исчисления
предикатов из некоторой, заданной в разрешенном виде
системы аксиом и не содержащая связанных переменных, может
быть выведена и без использования связанных переменных.
Ввиду того, что с помощью е-формулы может быть осущест-
осуществлено любое символьное решение, задачи эти сводятся к доказа-
доказательству двух теорем об е-символах, которые мы формулируем
ниже. Доказывая эти теоремы, порядок упомянутых проблем
целесообразно поменять местами. Теоремы эти в измененном таким
образом порядке мы будем называть первой и второй е-теоремами.
Обе эти теоремы будут относиться к любому формализму F,
который получается из исчисления предикатов в результате
добавления к его символам е-символа и некоторых дополнитель-
дополнительных индивидных, предикатных и функциональных символов,
а к числу исходных формул е-формулы и ряда не содержащих
е-символа собственных аксиом $х, ,.,, Щ. Для всякого такого
формализма F эти теоремы формулируются следующим об-
образом.
1) См т 1, гл VII, с. 357 — 358 или Приложение 1, с. 465 и далее.
2) См с. 25 и далее.
§ 3] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПЕРВОЙ е ТЕОРЕМЫ 37
Теорема 1 (первая е-теорема). Пусть Ф — выводимая в F
формула, не содержащая связанных переменных, и пусть аксиомы
*рх, . • •. ^f также не содержат связанных переменных. Тогда фор-
формула (£ может быть выведена из аксиом фь ..., ф{ без исполь-
использования связанных переменных, т. е. средствами одного только
элементарного исчисления со свободными переменными.
Теорема 2 (вторая е-теорема). Пусть (£ — выводимая в F
формула, не содержащая г-символов. Тогда (£ может быть выведена
из аксиом ^lt ..., ф{ без использования г-шмвола средствами
одного только исчисления предикатов.
В качестве следствия из первой е-теоремы мы получаем сле-
следующую, совершенно не связанную с е-символом теорему —ее мы
будем называть теоремой об элементарном выводе.
Теорема 3. Если из системы собственных аксиом, не содср
жащих связанных переменных, средствами исчисления предикатов
выводима некоторая формула (£, также не содержащая связанных
переменных, то этот вывод может быть осуществлен средставми
одного только элементарного исчисления со свободными перемен
ними1).
Мы займемся пока доказательством первой е-теоремы. Вторая
е-теорема получится затем в качестве следствия из примыкающих
к этому доказательству рассуждений?).
§ 3. Доказательство первой е-теоремы
а) Подготовка. Доказательство первой е-теоремы мы начнем
с нескольких подготовительных редукций. В формулировке этой
теоремы предполагается, что заключительная формула (£ рассмат-
рассматриваемого вывода не содержит связанных переменных. Не ограни-
ограничивая общности, можно считать, что она не содержит также и
свободных переменных.
Действительно, что касается формульных переменных без
аргументов, то любая формула с входящей в нее формульной
переменной 23 без аргументов дедуктивно равна всякой другой
формуле, получающейся из нее в результате повсеместной замены
переменной 23 формулой 2В(а), где №(■) — любая ранее не встре-
встречавшаяся формульная переменная с одним аргументом, а а —про-
—произвольный терм, причем, если рассматриваемая формула не содер-
содержит связанных переменных, то это дедуктивное равенство может
х) Эта теорема является также частным случаем одной более общей тео-
теоремы об исчислении предикатов, которую Эрик Стениус установил в своей
работе: Stenius E. Uber das Interpretationsproblem der formalisierten
Zahlentheorie. —Acta Academiae Aboensis Math, et Phys., 1952, 18, № 3.
s) См. с 167 и далее.
38 ИСКЛЮЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ I
быть установлено уже в рамках одного только исчисления
высказыванийх).
Пусть теперь из формулы (S в результате замен указанного
типа, произведенных для каждой встречающейся в ней формуль-
формульной переменной без аргументов, получается формула G^; пусть,
далее, (£2 —формула, получающаяся из (£г в результате замены
каждой встречающейся в (£х индивидной переменной каким-либо
вновь введенным индивидным символом и каждой формульной
переменной с аргументами каким-либо новым предикатным сим-
символом с тем же числом аргументов.
Тогда формулу (£2 можно будет получить из (£ь а эту послед-
последнюю — из (£ в результате ряда подстановок. Таким образом, по
выводу формулы (? в формализме F мы получим некоторый вывод
формулы (£2. Новая заключительная формула (£2 уже не будет
содержать свободных переменных. Поэтому, если первая е-теорема
будет верна для случая, когда в заключительной формуле вывода
нет свободных переменных, то по данному выводу формулы (£а
мы получим такой ее вывод, который будет осуществляться сред-
средствами одного только элементарного исчисления со свободными
переменными. Тогда, не нарушая структуры этого вывода, мы
можем заменить в нем вновь введенные индивидные и предикат-
предикатные символы, для которых никаких специальных аксиом не фор-
формулировалось, подходящими свободными индивидными и формуль-
формульными переменными; в результате этого мы получим вывод средствами
элементарного исчисления со свободными переменными некоторой
формулы (£3, из которой в результате некоторых подстановок
может быть получена формула (i:x. Но от (^ мы можем перейти
к (£ средствами исчисления высказываний. Тем самым связанные
переменные можно будет исключить и из вывода форму-
формулы (£.
Поэтому для доказательства первой е-теоремы достаточно рас-
рассмотреть случай, когда заключительная формула вывода (£ не
содержит свободных переменных. Это предположение относительно
(£ и будет лежать в основе наших дальнейших рассуждений.
Второй шаг нашей подготовки будет состоять в исключении
кванторов всеобщности и существования. Как было показано
г) Если 5 (S3) —рассматриваемая в данном случае формула, а $ BВ (а))—
формула, получающаяся из нее в результате указанной подстановки, то,
с одной стороны, й (Ш (а)) получается в результате подстановки из 5 (S3);
а с другой стороны, мы можем из S1 (ЗВ (»)) сначала получить подстановкой
формулу 3 (~) SB (a)), a затем с помощью формулы
которая получается подстановкой из тождественной формулы
(А
получить формулу $ ($1).
j ц ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПЕРВОЙ е-ТЕОРЕМЫ 89
в предыдущем параграфе, с помощью е-формулы и явных опре-
определений (ех) и (е2) можно устранить применения основных формул
(а) и (Ь) и схем (а) и (р) исчисления предикатов1).
Итак, пусть нам дан вывод формулы (g, не использующий
основных формул (а) и (Ь), а также схем (а) и ((S). Б этом выводе
каждое выражение Vt>2J(t>) мы заменим выражением SI (Sj) I SI (»)),
а каждое выражение Э»31(и) выражением 91 (еу91 {»)). Эти подста-
подстановки переведут (ех) и (е2) в формулы, получаемые подстановкой
из формулы А ~ А. В результате кванторы исключатся полностью,
так что в дальнейшем связанные переменные будут встречаться
исключительно в связи с г-символом, а в доказательстве будут
употребляться только повторения, подстановки, переименования
связанных переменных и схема заключения.
К преобразованному таким образом выводу мы теперь приме-
применим операции разложения доказательства на нити и возвратного
переноса подстановок в исходные формулы2), а затем исключим
еще оставшиеся свободные переменные, заменив все индивидные
переменные одним и тем же (произвольно взятым) индивидным
символом, все формульные переменные с одинаковым числом
аргументов одним и тем же предикатным символом с тем же
самым числом аргументов, а все формульные переменные без
аргументов одной и той же формулой без переменных.
Все эти преобразования, производимые над рассматриваемым
выводом, не затрагивают заключительной формулы (£, так как
она по условию не содержит ни кванторов, ни свободных пере-
переменных и остается неизменной при разложении вывода и переносе
подстановок.
Таким образом мы получаем некоторый вывод формулы S
(термин «вывод» употребляется здесь в несколько обобщенном
смысле слова3)) со следующими свойствами: все встречающиеся
в этом выводе формулы построены из индивидных символов,
предикатных символов, функциональных символов, е-символа
(с соответствующими связанными переменными) и символов исчис-
исчисления высказываний. Каждая исходная формула представляет со-
собой либо формулу, получающуюся в результате подстановки из
какой-либо тождественно истинной формулы исчисления выска-
высказываний, либо одну из аксиом $х> ••■> ^Pf> либо формулу, полу-
получающуюся из одной из этих аксиом в результате подстановки,
либо формулу, получающуюся в результате подстановки из
е-формулы. Взаимосвязь формул доказательства при этом осно-
основывается лишь на повторениях формул, переименованиях связан-
связанных переменных и схемах заключения. Такого рода вывод, обла-
J) См. с. 33.
•) См т. I, гл VI, с. 275 — 280 или Приложение 1, с. 473 и далее,
в) См. т. I, с. 283.
40 ИСКЛЮЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ I
дающий указанными свойствами, мы будем называть нормиро-
нормированным доказательством
Если в полученном нами нормированном доказательстве фор-
формулы (£ не будет исходных формул, получающихся (в результате
подстановки) из е-формулы, то мы сможем обойтись в нем совер-
совершенно без использования е-символов. Действительно, структура
нашего нормированного доказательства полностью сохранится,
если мы заменим в нем каждый е-терм переменной а, причем,
очевидным образом, подстановки достаточно будет производить
вместо тех е-термов, которые не являются составными частями
каких-либо других е-термов. В результате такой замены мы
получим некоторый вывод формулы € из аксиом $ь ..., Щг
который осуществляется средствами одного только элементарного
исчисления со свободными переменными; при этом мы получим
вывод и в первоначальном смысле этого слова, так как для
каждой исходной формулы, получающейся в результате подста-
подстановки из тождественной формулы исчисления высказываний или
из одной из аксиом *}Зг %, мы можем дополнительно дописать
ее вывод из соответствующей формулы. Итак, утверждение первой
е-теоремы в отмеченном выше случае доказано, и, следовательно,
нам достаточно показать, что из любого нормированного доказа-
доказательства произвольной формулы (£ могут быть устранены те
исходные формулы, которые получаются в результате подстановки
в е-формулу.
Мы будем называть такие исходные формулы критическими
формулами, причем формулу
мы будем называть критической формулой, связанной с е-
термом вв*Д(к>). (При этом е-терм, с которым связана данная
критическая формула, мы будем указывать лишь с точностью до
обозначения входящих в него связанных переменных.)
б) Гильбертовский подход. Теперь доказательство первой «-тео-
«-теоремы свелось к тому, чтобы показать, что из любого нормирован-
нормированного доказательства могут быть устранены все критические
формулы. Метод, которым мы проведем это устранение, восходит
к Гильберту. Для изложения этого метода мы сначала рассмотрим
частный случай, когда все критические формулы доказательства
связаны с одним и тем же е-термом. Пусть эти формулы имеют видJ)
« (f „) - « (8s« (S)),
2) Здесь явно используется тот факт, что не может быть двух таких раз-
различных формул 91 (с) и 58 (с), для которых ь Я (е) и е 'Ъ (s) были бы одинако-
С С
. ,j ДОКАЗАТЕЛЬСТВО П(?Р(ЮЙ е-ТЕОРЁМЫ 41
где fb •••» ^п означают некоторые термы, которые также могут
содержать е-символы. Наша процедура исключения будет основы-
основываться на том, что если терм еЕ21(£) всюду, где он встречается
в рассматриваемом выводе, заменить некоторым вполне опреде-
определенным термом t, то всякая исходная формула, которая до этой
замены получалась в результате подстановки из какой-либо
тождественно истинной формулы исчисления высказываний или из
одной из формул *рь ..., Щ, будет получаться из той же формулы
в результате некоторой подстановки и после указанной замены.
При этом взаимосвязь формул вывода также сохранится.
Замечание. Здесь следует еще раз подчеркнуть, что термы,
отличающиеся друг от друга лишь обозначениями связанных
переменных, мы считаем одинаковыми. В частности, это должно
учитываться и при выполнении указанных замен.
Теперь заменим терм es3l(s) всюду термом f,. В результате
этого вместо критических формул ($) появятся формулы вида
Все они выводятся из формулы 21 (ft) при помощи тождественно
истинной формулы
А->(В-+А).
Поэтому, если мы добавим формулу 81 (ft) к числу исходных фор-
формул, то получим некоторый вывод формулы (£, в котором крити-
критические формулы будут устранены, т. е. будут фигурировать в нем
не в качестве исходных, а в качестве выведенных формул. Таким
образом, у нас получается некоторый вывод формулы (£ из аксиом
$i, .... Щ и формулы 31 (У средствами элементарного исчисления
со свободными переменными.
Так как формула Ш (ft) не содержит никаких свободных пере-
переменных, то, согласно дедукционной теореме1), которая верна и
в случае добавления к исчислению предикатов е-формулы, по
этому выводу можно построить вывед формулы
Я (f О-*®,
в котором 81 (ft) более не используется в качестве исходной фор-
формулы, и, следовательно, кроме средств элементарного исчисления
выми е-термами. Такая возможность была исключена нашим соглашением
о недопущении коллизий между связанными переменными.
*) См. т. I, с. 193 — 199. Приведенное там доказательство годится и для
рассматриваемого нами формализма, Впрочем, см, также следующее ниже
замечание.
42 ИСКЛЮЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ ГГЛ I
со свободными переменными, в нем используются только аксиомы
$!, ..., *#(. Заметим, что применение дедукционной теоремы здесь
оказывается особенно элементарным, так как в рассматриваемом
выводе формулы <§. ни разу не встречаются ни схемы (а) и (Р),
ни подстановки; таким образом, он опирается исключительно на
исчисление высказываний.
Совершенно аналогично тому, как мы пришли к выводу фор-
формулы
мы получим также выводы формул
Я (f«)-»-«,
21 (f „)-><£;
для этих выводов тоже потребуются лишь аксиомы *ръ ..., *pf и
элементарное исчисление со свободными переменными. Формулы
взятые совместно, с помощью исчисления высказываний дают нам
формулу
Я (f.)V..-V *?»)->«•
С другой стороны, мы можем следующим образом получить вывод
формулы
Будем снова исходить из нормированного доказательства формулы
(£, в котором в качестве исходных формул используются формулы
($). Любая из этих формул с помощью исчисления высказываний
выводима из формулы
так как формула
для г = 1, ..., п выводима из 121 (fc) с использованием тождест-
тождественно истинной формулы
Следовательно, если в нормированном доказательстве формулы (£
вместо каждой из формул (К) мы вставим ее вывод из формулы
, 3]
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПЕРВОЙ е ТЕОРЕМЫ 43
то получим доказательство формулы (£, в котором ни одна кри-
критическая формула не фигурирует в качестве исходной. Но из
этого доказательства по дедукционной теореме мы можем полу-
получить вывод формулы
в котором формула
Я &) &...&"] 91 (fn)
уже не используется в качестве исходной, так что в этом выводе,
кроме средств элементарного исчисления со свободными перемен-
переменными, используются только аксиомы фь ..., S43f.
Теперь формула
которая может быть преобразована в
I (а (У V-.-V *('»))-
вместе с полученной перед этим формулой
2l(f1)V-.-V
позволяет нам получить средствами исчисления высказываний
формулу (£. Таким образом, в итоге мы получаем вывод фор-
формулы (£ без использования формул (Щ в качестве исходных
и без добавления каких бы то ни было новых исходных формул.
Значит, действительно, из нашего нормированного доказательства
формулы (£ удается устранить применение всех упомянутых кри-
критических формул в качестве исходных.
в) Типы комбинирования е-символов; степень и ранг е-терма.
Теперь речь пойдет о том, чтобы описанный нами метод, который
в рассмотренном частном случае ведет к устранению всех крити-
критических формул, распространить и на общий случай.
С этой целью мы более детально остановимся на вопросе
о возможных способах комбинирования е-сиадволов. Способы,
с помощью которых образуются эти символы, совершенно анало-
аналогичны способам, которые применялись при комбинировании i-сим-
волов, и для их характеризации мы снова будем пользоваться
понятиями вложения и подчинения1). Мы будем говорить, что
один е-терм вложен в другой, если он является составной
частью последнего. Что же касается отношения подчинения, то
оно, вообще говоря, будет касаться е-выражений, т. е. выра-
выражений, либо являющихся е-термами, либо получающихся из
е-термов в результате превращения их свободных индивидных
Ч См. t. I, с. 472.
44 ИСКЛЮЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ (ГЛ I
переменных в связанные переменные, не входившие в эти тер-
термы1).
Мы будем говорить, что одно е-выражение а подчинено
другому е-выражению ер© (»), если оно является составной частью
этого выражения и содержит переменную х>; в этом случае мы
будем также говорить, что выражение ес93 (t>) подчиняет вы-
выражение а.
Замечание. В соответствии с данными определениями е-вы-
е-выражение л, являющееся составной частью е-терма г, может и
не быть вложенным в t или подчиненным этому терму.
Пусть, например, t — терм вида
Тогда е-выражение e^g (у, }) не вложено в терм t, так как оно
не является термом; но оно также и не подчинено терму t, так
как не содержит переменной j.
Некоторые примеры комбинаций отношений включения и под-
подчинения мы получаем, в частности, производя устранение кван-
кванторов всеобщности и существования.
Рассмотрим, например, устранение кванторов существования
из выражения
не содержащего никаких других кванторов, кроме указанных 3j
и 3$.
Прежде всего здесь следует заменить 3ty21 (j, ty) выражением
Я (s, е,ЯE, i?)).
Если мы сокращенно обозначим это выражение через S (j), то
3j3»5l(j, ty) надо будет заменить на 3j33(j). Вместо этого выра-
выражения надо будет написать
причем в связи с подстановкой еЕ© (?) в S3 (•) во избежание кол-
коллизий между связанными переменными в подставляемом выраже-
выражении должна быть переименована связанная переменная \). Так
мы получим выражение
Я (e^(s, е,ЯE, 0), VKej«(s, е,ЯE> 3)), V)),
т. е. выражение вида
21 (а, 6),
)
между
Различие между е-термами и в-выражениями аналогично различию
i-термами и i-выражениями, См. т. 1, с. 473.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПЕРВОЙ е-ТЕОРЕМЫ 45
где а —выражение е^Л(£, e^Sl (£, s)), a b —выражение ep9J(a, \)).
В частности, если 31 (а, Ь) представляет собой формулу, то а и b
будут термами; при этом а вложен в Ь, в то время как е-выра-
жение е?21 (е, 3)» из которого b получается в результате замены
переменной £ термом а с переименованием \ в 9, подчинено
терму а.
Аналогичным образом можно убедиться, что в результате
устранения с помощью е-символа кванторов в выражениях
мы получим формулы вида
Я(а, Ь),
где д и b — надлежащим образом выбранные е-выражения.
Совершенно аналогично можно также показать, что любая
формула
3s13s,...3Ef«(s1, .... si),
не содержащая никаких связанных переменных, кроме j , ..., £f,
в результате устранения из нее с помощью е-символа кванторов
существования перейдет в формулу вида
Я(аг .... а,),
где а , ..., Д( — некоторые конкретные термы.
Отношения включения и подчинения е-термов позволяют
устроить некоторую классификацию этих термов по степеням,
с одной стороны, и по рангам, с другой.
Степень г-терма t определяется следующим образом. Мы рас-
рассматриваем всевозможные последовательности е-термов, начинаю-
начинающиеся термом t и такие, что за каждым их термом, в который
вложен хотя бы один другой е-терм, следует один из вложенных
в него е-термов.
Может существовать только ограниченное число таких после-
последовательностей, и в каждой из них количество е-термов ограни-
ограничено общим числом е-термов, входящих в t (считая и сам терм t).
Число термов в максимальной по длине из этих последова-
последовательностей мы будем называть степенью терма t.
Это определение степени, как легко убедиться, равносильно
следующему рекурсивному определению. Любой е-терм, не содер-
содержащий ни одного вложенного в него е-терма, имеет степень,
равную 1. Данный е-терм имеет степень f+1, если любой вло-
вложенный в него е-терм имеет степень, не превосходящую f, и по
крайней мере один вложенный в него е-терм имеет степень, рав-
равную f. Согласно этому определению всякий е-терм имеет большую
степень, чем любой вложенный в него е-терм.
46 ИСКЛЮЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ {ГЛ I
Подобно тому, как отношение вложения ведет к понятию
степени для е-термов, отношение подчинения ведет к понятию
ранга для е-выражений. Пусть t — е-выражение Мы рассмотрим
последовательности е-выражений, начинающиеся выражением t и
такие, что за каждым их е-выражением, подчиняющим себе хотя
бы одно отличное от него е-выражение, следует одно из подчи-
подчиненных ему е-выражений.
Существует только ограниченное число таких последователь-
последовательностей, и внутри каждой из них имеется только ограниченное
число следующих друг за другом е-выражений. Число е-выраже-
е-выражений в максимальной по длине из этих последовательностей мы
будем называть рангом е-выражения t.
Определению ранга также можно придать рекурсивный харак-
характер. Какое-либо е-выражение мы будем называть е-выражением
ранга 1, если ему не подчинено никакое е-выражение; мы будем
говорить, что данное е-выражение имеет ранг f-fl, если всякое
подчиненное ему е-выражение имеет ранг, не превосходящий f,
и если по меньшей мере одно подчиненное ему е-выражение имеет
ранг, равный f.
Прежде всего, из данного определения получается, что любое
е-выражение имеет ранг, больший, чем любое подчиненное ему
е-выражение, а также что любое е-выражение, получающееся из
какого-либо е-терма в результате превращения одной или не-
нескольких свободных переменных в связанные1), имеет тот же
самый ранг, что и исходный е-терм, рассматриваемый как е-вы-
е-выражение. Очевидно, что на ранг данного е-выражения не оказы-
оказывают никакого влияния ни входящие в него в качестве составных
частей е-термы, ни подчиненные таким е-термам е-выражения;
в самом деле, е-терм вообще не может быть подчинен никакому
е-выражению, и если какой-нибудь е-терм является составной
частью какого-либо е-выражения а, которому подчинено другое
е-выражение Ь, то либо этот е-терм фигурирует внутри а только
в качестве составной части Ь, либо он лежит совершенно вне Ь, так
как он не может содержать никакой переменной, которая связы-
связывалась бы каким-нибудь стоящим вне его е-символом. Таким
образом, ранг е-выражения не изменится, если находящийся
внутри него е-терм (в одном или нескольких местах, где он
встречается) заменить каким-нибудь другим е-термом.
В качестве примера на вычисление степени, а также ранга
рассмотрим построенный из арифметических символов е-терм
е, {[е, @' = е, (г < у")) = гу(х< у)] V
[О < е„ ((ег (г < и') < и) &
*) Особо отметим, что речь идет о тех из них, которые не вхоляг в данный
е-терм (см. с. 44).
3) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПЕРВОЙ е-ТЕОРЕМЫ
47
который мы обозначим буквой t. Этот терм содержит в качестве
вложенного е-терма только терм
который, со своей стороны, вложенных е-термов больше уже на
содержит; тем самым t имеет степень 2.
Терму t подчинены е-выражения
и е„ ((ег(г< «')<«) &«<*)>
из которых первое больше не содержит никаких е-выражений и
тем самым имеет ранг 1, в то время как второе, которому под-
подчинено е-выражение
ег(г<ы'),
имеет ранг 2. Тем самым t имеет ранг 3.
В качестве еще одного примера возьмем е-терм
еу [ех (х <ег(х< г)) < у],
к которому нас приводит процесс устранения с помощью е-сим-
вола кванторов существования из формулы
ЗхЗу(х<у).
Этот е-терм не содержит ни одного подчиненного ему е-выра-
е-выражения и, значит, ранг его равен 1. В качестве вложенного
е-терма этот терм содержит е-терм
вх(х<&г(х<г)).
Так как последний уже не содержит вложенных в него е-термов
и, значит, имеет степень 1, то весь рассматриваемый терм имеет
степень 2.
На этом примере мы видим, что е-терм может иметь меньший
ранг, чем другой е-терм, вложенный в него. Действительно, рас-
рассматриваемый е-терм имеет ранг 1, а вложенный в него е-терм
имеет ранг 2.
Ниже мы используем понятия степени и ранга для того,
чтобы установить устранимость из нормированных доказательств
всех входящих в них критических формул.
г) Устранение критических формул в общем случае. Теперь
речь пойдет о том, чтобы гильбертовскую процедуру устранения
критических формул из нормированных доказательств, рассмот-
рассмотренную выше для случая, когда все критические формулы были
связаны с одним и тем же е-термом1), распространить на общий
*) См. п. б), с. 40—43.
48
ИСКЛЮЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ I
случай. Как мы уже знаем, этот метод состоит в том, что по
данному нам нормированному доказательству формулы (£. с кри-
критическими формулами
сначала строятся выводы формул
3l(fnj^'(fi
а затем вывод формулы
который вместе с указанными п формулами средствами исчисле-
исчисления высказываний дает нам вывод формулы S. Построение этих
п+1 частичных доказательств по заданному нормиро-
нормированному доказательству происходит на основе дедукционной
теоремы путем импликативного добавления соответствующих по-
посылок и включения необходимых фрагментов доказательства,
состоящих в надлежащем применении исчисления высказываний.
Но, кроме этого, для получения вывода формулы Ш (f с)->-(£
(г = 1, ..., п) терм 8Е31 E) всюду, где он встречается в данном
нормированном доказательстве, мы должны заменить на fr.
Теперь мы будем пытаться применить сходный метод и в том
случае, когда в рассматриваемом доказательстве кроме крити-
критических формул (Ш), относящихся к данному терму е?91(Е), встре-
встречаются другие критические формулы.
Здесь мы сталкиваемся со следующими двумя трудностями.
Во-первых, может случиться, что при заменах, которые мы будем
выполнять в ходе исключения формул ($), другие критические
формулы перестанут быть формулами, получающимися в резуль-
результате подстановки в е-формулу; в этом случае данный метод может
вообще не дать никакого вывода формулы (£. Но даже если этого
и не случится, мы все равно должны будем считаться с тем, что
вследствие производимых замен могут возникать новые критиче-
критические формулы, и это делает совершенно не очевидным тот факт,
что рассматриваемая процедура исключения критических формул
после конечного числа шагов оборвется.
Следовательно, нам необходимо более детально заняться рас-
рассмотрением тех изменений, которым может подвергнуться крити-
критическая формула
$ 3] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПЕРВОЙ е ТЕОРЕМЫ 49
вследствие замены какого-то отличного от еЕ 31 (е) е-терма t каким-
либо другим термом t*. Здесь имеются следующие возможности:
1. Терм t входит в рассматриваемую критическую формулу
только внутри терма f. (Мы включаем сюда и случай, когда f
совпадает с t.) Тогда и после выполнения указанной замены эта
формула будет по-прежнему критической формулой, связанной
с е-термом еЕ31 (е).
2. Терм t входит в формулу 31 (с), а, кроме того, может быть,
и в f, но ни один из термов f и еЕ91 (е) не является составной
частью t. Тогда наша критическая формула может быть более
подробно записана в виде
si(f(t), t)-*a(e5a(£, t), t).
В этом случае терм t является составной частью е-терма еЕ91 (е, г),
с которым связана данная критическая формула, и потому сте-
степень t меньше степени этого терма. В данном случае замена
терма t приводит к тому, что эта критическая формула переходит
в другую критическую формулу, связанную с термом
который в силу замечания о ранге е-выражений1), имеет тот же
самый ранг, что и терм еЕ21 (е, г).
3. Один из термов f и еЕ21 (е) содержится в t в качестве со-
составной части. Тогда t имеет вид б (f) или соответственно ё{в,.21(г)),
а формула Si (с) имеет вид 33 (б (с)), где S (с) — вполне определенный
е-терм, который имеет тот же самый ранг, что и t.
Терм еЕ31(Е), с которым связана рассматриваемая критическая
формула, в этом случае записывается в виде
Значит, он подчиняет себе е-выражение ё(Е), и потому его ранг
выше ранга этого выражения. Но ё (е) имеет тот же самый ранг,
что и ё (с), а ранг ё (с), как мы только что установили, равен
рангу t. Следовательно, ранг терма еЕ31 (£) больше ранга терма t.
Ввиду этого, если условиться в первую очередь производить
замены тех связанных с критическими формулами е-термов, кото-
которые имеют ранг, наибольший из числа встречающихся, то можно
будет исключить разбор случая 3.
Если мы будем придерживаться такого порядка замен, то
У нас будут встречаться только случаи 1 и 2. Это говорит, во-
первых, о том, что любая критическая формула, если она вообще
будет претерпевать какие-либо изменения, будет снова переходить
*) См. с. 46.
§0 ИСКЛЮЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ fffl I
в некоторую критическую формулу, причем эта последняя будет
связана либо с тем же самым е-термом, что и начальная крити-
критическая формула (случай 1), либо с некоторым новым е-термом,
имеющим тот же самый ранг. Далее заметим, что при любой
замене е-терма t всякая критическая формула, связанная с каким-
либо е-термом а, имеющим степень, не большую степени терма t,
снова переходит в некоторую критическую формулу, связанную
с а. В самом деле, случай 2, как мы знаем, может иметь место
лишь тогда, когда степень е-терма, с которым связана изменен-
измененная в результате замены терма t критическая формула, больше
степени терма t. А в случае 1 е-терм, с которым связана данная
критическая формула, остается без изменений.
Это рассуждение дает нам возможность следующим образом
устранить из любого наперед заданного нормированного доказа-
доказательства какой-либо формулы (£ все его критические формулы.
Среди чисел, являющихся рангами термов, с которыми связаны
какие-либо критические формулы, имеется наибольшее. Ранг того
е-терма, с которым связана какая-либо критическая формула, мы
для краткости будем называть рангом этой формулы, а степень
этого е-терма мы будем называть степенью этой критической фор-
формулы. Пусть m — наибольший из рангов критических формул,
фигурирующих в данном доказательстве, и пусть п —наибольшая
из степеней критических формул, имеющих ранг т. Пусть t —
один из тех е-термов, имеющих ранг m и степень п, с которыми
связаны какие-либо критические формулы. Если мы применим
нашу процедуру к связанным с термом t критическим формулам,
то вследствие произведенных при процедуре исключения замен
в пребразованном доказательстве формулы (£ вместо одной не
исключенной критической формулы может появиться несколько
различающихся между собой формул; однако все они также
будут критическими формулами (т. е. формулами, получающимися
в результате подстановки из е-формулы); более того, все они
будут связаны с одним и тем же е-термом.
Таким образом, в результате устранения связанных с термом t
критических формул количество различных е-термов ранга т,
с которыми связаны какие-либо критические формулы, умень-
уменьшится на единицу, причем никаких критических формул с новыми
рангами не появится. Следовательно, если в начальный момент
у нас было f различных е-термов ранга т, с которыми были
связаны какие-либо критические формулы, то f-кратное примене-
применение нашей процедуры приведет к тому, что все критические фор-
формулы, имеющие ранг т, будут исключены, причем не появится
никаких критических формул с новыми рангами. Таким образом,
у нас имеется способ, позволяющий уменьшать количество раз-
различных фигурирующих в нашем рассмотрении рангов критических
формул. Повторив его нужное число раз, мы полностью исклю-
§ 3) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПЕРВОЙ в-ТЕОРЕМЫ 61
ним все критические формулы, входящие в рассматриваемое до-
доказательство.
Это рассуждение и доказывает нашу первую е-теорему. Рас-
Рассмотрение общего случая с помощью понятия ранга восходит
к Вильгельму Аккерману.
д) Обобщение результата. Метод, примененный в только что
изложенном доказательстве, дает еще один важный для примене-
применений результат.
Результат этот мы получим, применив рассмотренную проце-
процедуру исключения к выводу формулы (£ вида
Эе1...ЭЕгЯ(е1, .... Ег),
не содержащей никаких других кванторов, кроме стоящих в ее
начале кванторов существования 3?^, ..., Зег, а также не содер-
содержащей и е-термов. При этом предположения относительно фор-
формализма F и аксиом tyv ..., ^Pf будут прежними. Не ограничивая
общности, мы снова можем считать, что формула (£ не содержит
свободных переменных. Мы опять начнем с подготовительных
операций* устранения кванторов с помощью в-символа, разложе-
разложения вывода на нити, возвратного переноса подстановок в исход-
исходные формулы и исключения оставшихся свободных переменных1).
В результате устранения кванторов заключительная формула (£
т. е. формула
перейдет в формулу вида
где а1, ..., аг —некоторые термы2). Заметим, что термы эти не
будут содержать свободных переменных, так как сама формула (£
их не содержит, а при замене любого выражения Зе$8 (j) выра-
выражением 53 (е£33 (е)) никаких новых свободных переменных появиться
не может.
Остальные подготовительные опеоации из числа упомянутых
выше оставят формулу 21 (аг ..., аг) без изменений. Внутри этой
формулы е-символы будут встречаться только в термах а1, ..., аг,
так как по условию выражение 21 (giv.., £г) е-символов не содержит.
Теперь у нас будет нормированное доказательство3) формулы
21 (av ..., avy Конечно, мы не сможем применить к нему нашу
х) См п. а), с. 37 и далее
2) См рассуждение на с. 44—45, где мы произвели это устранение для
случая г = 2
3) См. с' 39—40.
52 ИСКЛЮЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ I
процедуру устранения критических формул описанным выше спо-
способом, так как в ней существенным образом используется то
обстоятельство, что заключительная формула рассматриваемого
нормированного доказательства не содержит е-символов. Однако
эту процедуру легко модифицировать таким образом, чтобы она
давала результат и в том случае, когда в заключительной фор-
формуле содержатся е-термы. В этом можно убедиться путем следую-
следующего рассуждения. Пусть дано нормированное доказательство
с заключительной формулой @. Пусть среди е-термов, с которыми
в этом доказательстве связаны какие-либо критические формулы,
терм es23 (s) является термом с максимальным рангом, и пусть
среди термов, обладающих этим свойством, он имеет наибольшую
степень. Пусть с этим е-термом связаны критические формулы
(Я)
Действуя совершенно аналогично предыдущему,' мы можем при-
применить гильбертовский метод для получения п+1 «частичного
доказательства»1). Но в данном случае эти доказательства, вообще
говоря, уже могут и не оканчиваться формулами вида
Действительно, в каждом из первых и частичных доказательств
происходит некоторая замена терма еЕ33 (£), а именно, в с-м
частичном доказательстве терм еЕ33(£) заменяется термом fc.
Вследствие этих замен формула E, которая, может быть, содер-
содержит заменяемый терм efS3(s), может подвергнуться каким-либо
изменениям. Лишь относительно (п+1)-го частичного доказатель-
доказательства, которое проводится без каких бы то ни было замен, мы
можем быть уверены, что формула E останется в нем без изме-
изменений.
В соответствии со сказанным, заключительные формулы этих
частичных доказательств в общем случае будем иметь вид
-133(f1)&...&-]33(
См с. 48.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПЕРВОЙ в ТЕОРЕМЫ
53
причем формулы (sb ..., (Sn, возможно, будут отличаться от S
тем, что в G>c (r=l, ..., п) вместо e533(j) будет стоять соответ-
соответственно терм ft.
Хотя из этих п+1 формул формула (S, вообще говоря, и
не выводится, но средствами исчисления высказываний из них
можно вывести формулу
Действительно, обозначим эту дизъюнкцию посредством Ф. Тогда
формулы
будут выводимы средствами исчисления высказываний. Поэтому
из заключительных формул указанных п +1 частичных доказа-
доказательств при помощи исчисления высказываний мы получим формулы
(!„)-+Ф,
которые, будучи взяты совместно друг с другом, дадут нам фор-
формулу Ф.
На этом пути мы получаем некоторую простую модификацию
нашей процедуры исключения критических формул. Единственное
различие по сравнению со случаем, когда заключительная фор-
формула не содержала е-символов, заключается в том, что здесь
на каждом шаге процесса исключения, приводящем к исключению
критической формулы, связанной с каким-либо определенным
е-термом, может происходить некоторое дизъюнктивное расщепле-
расщепление заключительной формулы; именно, на каждом таком шаге
вместо данной заключительной формулы IS может появиться
некоторая дизъюнкция S V @i V • • • V ®п, гАе каждый ее член &с
получается из 6 в результате некоторой замены одного из
входящих в & е-термов (всюду, где этот последний входит в S).
Если теперь эту модифицированную процедуру применить
к рассматриваемому нами нормированному доказательству фор-
формулы 9J(ab ..., ас), то у нас получится вывод некоторой фор-
формулы (£*, не содержащий вхождений критических формул. Если
в результате применения нашей процедуры формула 91 (ai, ...
•■•, ас) будет подвергаться каким-либо изменениям, то формула
<£* будет получаться из 91 (ль .... ас) в результате одного или
нескольких расщеплений на дизъюнкции.
5* ИСКЛЮЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ I
Рассмотрим более детально вопрос о виде этой формулы.
В результате однократного расщепления на дизъюнкции у нас
получается заключительная формула
где Яо представляет собой формулу SI(alt ..., аЛ, а остальные
члены дизъюнкции могут отличаться от нее лишь тем, что вместо
термов alt ..., at в них стоят какие-нибудь другие термы. В са-
самом деле, как мы знаем, в формуле 21(alt ..., ас) вне термов
аь ..., ас никаких е-символов не встречается. Тем самым фор-
формула 210 \/ Шх V ... V ЭДр представляет собой дизъюнкцию членов
вида
*(Ьь ...,ЬГ),
где Ьь ..., Ьс суть некоторые термы. Это свойство заключительной
формулы будет сохраняться и при всех дальнейших расщепле-
расщеплениях; действительно, из дизъюнктивного члена, имеющего вид
2J(bb ..., Ьс)( в результате замены одного входящего в него е-
терма другим может снова получиться только член
с некоторыми термами с1? ..., cCi а дизъюнкция таких дизъюнк-
дизъюнкций сама является дизъюнкцией, состоящей из таких членов.
Указанное свойство заключительной формулы сохранится и
в том случае, если мы после устранения всех критических фор-
формул заменим каждый из оставшихся е-термов конкретной пере-
переменной а, за исключением тех из них, которые являются состав-
составными частями каких-либо объемлющих их е-термов.
Таким образом, мы получим вывод некоторой формулы вида
), .... ^>)V--.V
где ti1', ..., 4'\ ..., № суть некоторые термы; причем этот
вывод будет производиться, исходя из аксиом ^?1? ..., ^, сред-
средствами элементарного исчисления, т. е. с использованием под-
подстановок вместо свободных переменных, входящих в ф1? ..., ^f>
и с применением средств исчисления высказываний.
Тем самым мы получаем следующее обобщение первой е-теоремы:
Пусть нам дан вывод некоторой формулы
не содержащей, кроме j1( ..., $,,, никаких других связанных пере-
ф fl ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ 85
менных. Пусть этот вывод производится, исходя из некоторых
аксиом ^!1. •••. ^Pf. средствами исчисления предикатов и, быть
может, с использованием г-формулы. Тогда можно построить
такой вывод некоторой формулы
где t',", ..., te", ..., t® суть термы без е-символов, в котором
используются только аксиомы *plf ..., *$f и средства элементар-
элементарного исчисления со свободными переменными.
Заслуживает внимания тот факт, что от этой заключительной
формулы к первоначальной заключительной формуле
можно без труда вернуться с использованием основной формулы
(Ь) исчисления предикатов и средств исчисления высказываний.
§ 4. Доказательства непротиворечивости
а) Одна общая теорема о непротиворечивости. Мы при 1еним
теперь нашу первую е-теорему к исследованию проблематики,
связанной с непротиворечивостью. Ради этих применений мы и
занялись доказательством нашей теоремы1). Как мы уже знаем,
теорема эта сводит вопрос о непротиворечивости какой-либо
системы собственных аксиом без связанных переменных, осно-
основывающейся на исчислении предикатов и е-аксиоме, к вопросу
о непротиворечивости той же самой системы, основывающейся
на элементарном исчислении со свободными переменными.
Возможность использования этого сведения нам хотелось бы
сначала пояснить на каком-либо простом примере. С этой целью
мы вернемся к одному формализму, подробно рассмотренному
нами в гл. VI первого тома2). Мы имеем в виду формализм,
который получается в результате добавления к исчислению пре-
предикатов двух предикатных символов = и <. индивидного сим-
символа 0 и штрих-символа в качестве функционального знака,
а также следующих аксиом:
аксиомы равенства:
(i)
(J2) а=*Ь-
аксиомы порядка:
Иска),
&Ь<с-+
а<а'
!) См. с. 25—26.
») См. т. I, с. 273 и далее.
5E ИСКЛЮЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ (ГЛ. I
и аксиомы Пеано:
(Pi) а' Ф О,
(Р2) а' = Ь'->а = Ь.
Доказательство непротиворечивости этой системы —мы обозна-
обозначим ее посредством (S) — было проведено в два этапа: сначала
мы рассмотрели выводы, обходящиеся без использования связан-
связанных переменных, а затем перешли к общему случаю, основанному
на использовании всего исчисления предикатов в целом. Это
разбиение доказательства на две части в то время носило только
эвристический характер. Но теперь, применяя нашу е-теорему,
рассмотрение упомянутого частного случая можно будет достро-
достроить до нового доказательства непротиворечивости. Доказательство
это легко получается с учетом следующих фактов:
1. Утверждение о непротиворечивости системы (S) нам уда-
удалось усилить до позитивного утверждения об истинности всякой
выводимой в (S) нумерической формулы. При этом нумерической
формулой мы назвали формулу, которая либо является равен-
равенством цифр, либо неравенством1) между цифрами, либо стро-
строится из формул этого рода с помощью связок исчисления
высказываний, а разбиение нумерических формул на истинные и
ложные мы произвели в соответствии с арифметическим пони-
пониманием нумерических элементарных формул и с пониманием
связок исчисления высказываний как истинностных функций2).
2. Аксиомы системы (S) не содержат связанных переменных.
Все они, за исключением аксиомы (J2), являются собственными
аксиомами, а аксиома равенства (J2), как было показано в гл. VII
первого тома3), может быть заменена следующими собственными
аксиомами:
a = Ь -> (a < с -»- Ь < с),
а = Ъ -> (с < а -+ с < Ь).
Получающуюся из (S) в результате этой замены систему аксиом
мы обозначим посредством (S*). Она равносильна системе (S).
После этого искомое доказательство сводится к тому, чтобы
показать, что всякая выводимая в системе (S*) нумерическая
формула является истинной. Так как все аксиомы системы (S*)
являются собственными аксиомами без связанных переменных,
!) Неравенствами мы назвали формулы вида в < t; см. т. I, с, 283.
2) См т. I, с 283-284.
3) См т. I, с. 456-459.
§ 41 ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ 57
то, согласно нашей е-теореме, из вывода любой нумерической
формулы, проводимого в рамках системы (S*), связанные пере-
переменные могут быть исключены, и поэтому нам достаточно пока-
показать, что всякая нумерическая формула, выводимая из аксиом
системы (S*) средствами элементарного исчисления со свободными
переменными, является истинной 1).
Тем самым сведение общего случая к случаю, когда вывод
осуществляется средствами элементарного исчисления, закончено.
Остающееся утверждение о том, что всякая нумерическая фор-
формула, выводимая из аксиом системы (S*) средствами элементар-
элементарного исчисления со свободными переменными, является истинной,
получается просто (аналогично рассуждению из гл. VI т. I)
с учеюм следующих фактов:
1. К любому конкретному выводу нумерической формулы
из аксиом системы (S*), проводимому средствами элементарного
исчисления, могут быть применены операции разложения фигуры
доказательства на нити, возвратного переноса подстановок в ис-
исходные формулы и исключения всех свободных переменных;
в результате этого мы получим некоторую фигуру доказатель-
доказательства (в обобщенном смысле), в которой всякая исходная формула
получается в результате подстановки либо из некоторой тож-
тождественно истинной формулы исчисления высказываний, либо
из одной из аксиом системы (S*). В этой новой фигуре дока-
доказательства всякая формула будет нумерической и взаимосвязь
между формулами доказательства будет основываться исключи-
исключительно на повторениях и на схемах заключения.
2 Всякая нумерическая формула, получающаяся в резуль-
результате подстановки из тождественно истинной формулы, является
истинной Всякая нумерическая формула, получающаяся из какой-
либо аксиомы системы (S*) в результате подстановки цифр
вместо свободных переменных, является истинной. Если 31 и
21 -^Ъ являются истинными нумерическими формулами, то 33
также является истинной формулой.
Этот метод доказательства непротиворечивости системы (S*),
а тем самым также и (S), имеет существенное преимущество
по сравнению с методом редукции, который мы использовали
при доказательстве непротиворечивости (S) в гл. VII т. I. Преи-
Преимущество это заключается в том, что применимость его носит
более универсальный характер. Действительно, метод редукции
существенным образом использует то обстоятельство, что каждое
арифметическое отношение, выразимое в (S) с помощью связан-
связанных индивидных переменных (но все-таки без использования
формульных переменных), выразимо и без связанных переменных;
2) Это применение е-теоремы соответствует геореме об элементарном вцводе;
см с. 37,
58 ИСКЛЮЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ (ГЛ. I
например, отношение
Зх(а<х&х<Ь)
выразимо в виде
а'<Ь,
а отношение
Чх(а<х\/ x<b V* = c)
в виде
(a<b) V (a = b&a = c).
Такая возможность исключения связанных переменных имеется
только у очень специальных систем, в то время как устранимость
связанных переменных из вывода любой формулы, не содержащей
связанных переменных, согласно нашей е-теореме, имеет место
для всякой формализованной средствами исчисления предикатов
системы, содержащей только собственные аксиомы без связанных
переменных.
В качестве специального (т. е. касающегося не только типов
встречающихся переменных) свойства аксиом систем (S*) в пос-
последнем доказательстве использовалось лишь то, что каждая из
этих аксиом при произвольной замене свободных переменных
цифрами переходит в истинную нумерическую формулу, т. е.
то, что аксиомы эти, как мы говорим для краткости, являются
верифицируемыми формулами1).
Это понятие верифицируемости тоже пока еще обременено
ненужными ограничениями. В самом деле, оно определено в
расчете на такой формализм, в котором каждый терм,
не содержащий свободных переменных,— или, как мы будем для
кратности говорить, постоянный*) т е р м — является цифрой.
Некоторое обобщение этого понятия, учитывающее появление
функциональных знаков для рекурсивных функций, мы уже
произвели в гл. VII т. 12). Но, вэобде говоря, мы не обязаны
ограничиваться рассмотрением только арифметических формализ-
формализмов, в которых имеется символ 0 и штрих-символ (или какие-
нибудь другие аналогичные символы вместо них) в их специ-
специфической роли. Более того, можно дать общее определение поня-
понятия верифицируемосги, годящееся для любого формализма,
содержащего постоянные термы. Такое определение будет опи-
опираться на распределение истинностных значений постоянных
элементарных формул, причем под распределением значений мы
*) См. т. I, гл. VI, с. 294.—Этот термин выбран с учетом того, что при
содержательном истолковании рассматриваемых формул им соответствуют име-
имеющие характер всеобщности математические предложения, которые могут
быть верифицированы (подтверждены) в каждом отдельном случае, хотя обща»
значимость их может быть и не верифицирована
*) Авторы употребляют термин «variablenlos». — Прим перев.
*) См. т. 1, гл. VII. с. 363.
§ fl ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ 69
будем понимать некоторый способ, позволяющий каждой
конкретно заданной постоянной элементарной формуле рассматри-
рассматриваемого формализма однозначно сопоставлять одно из двух зна-
значений «истина» или «ложь».
Всякое гакое распределение истинностных значений для посто-
постоянных элементарных формул, если связки исчисления высказываний
истолковывать как истинностные функции, естественным образом
порождает распределение и для любых постоянных формул. При
этом всякая постоянная формула однозначным образом оказы-
оказывается либо истинной, либо ложной, а всякая постоянная фор-
формула, являющаяся результатом подстановки в тождественно
истинную формулу исчисления высказываний, оказывается ис-
истинной.
Формулу, не содержащую никаких других переменных, кроме
свободных индивидных, мы будем называть верифицируем ой,
если при любой замене этих переменных постоянными термами
она оказывается истинной.
С помощью этого понятия мы можем сформулировать сле-
следующую общую теорему о непротиворечивости («нп-теорему»):
Пусть F — формализм, получающийся из исчисления предика-
предикатов путем добавления к нему некоторых индивидных, предикат-
предикатных и функциональных символов, а также некоторых собственных
аксиом. Пусть имеется способ, позволяющий однозначно соотнести
истинностные значения постоянным элементарным формулам.
Пусть аксиомы не содержат связанных переменных и пусть при
данном распределении истинностных значений они являются
верифицируемыми формулами. Тогда формализм F непротиворечив
в том сильном смысле, что любая выводимая в нем постоянная
формула является истинной.
Доказательство этой теоремы получается совершенно анало-
аналогично доказательству непротиворечивости системы (S*), проведен-
проведенному нами с использованием первой е-теоремы.
Заслуживают внимания следующие добавления:
1. Всякая выводимая в формализме F формула, не содержащая
других переменных, кроме свободных индивидных, является вери-
верифицируемой.
В самом деле, любая замена в формуле такого рода свобод-
свободных переменных какими-либо постоянными термами может рас-
рассматриваться как подстановка, и поэтому она дает нам формулу,
выводимую в F; согласно утверждению нашей теоремы эта фор-
формула является истинной.
2. По выводу всякой выводимой в F формулы вида
•••, Sr),
не содержащей других переменных, кроме jx £ti можно найти
60 ИСКЛЮЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ I
такие постоянные термы t1( .... t,., для которых формула
«(ti tr)
будет истинной.
Это выгекает из доказанного нами обобщения первой е-тео-
ремы. Будучи применено к нашему случаю, оно утверждает, что,
исходя из вывода формулы
с помощью нашей процедуры исключения связанных переменных
можно получить некоторую формулу
f^1') V ••- V 2i
которая выводится из аксиом формализма F средствами элемен-
элементарного исчисления и в которой П", ..., № суть термы, не со-
содержащие е-символа и, следовательно, построенные из одних
только свободных переменных, индивидных символов и функци-
функциональных знаков формализма F.
Если вместо всех встречающихся в этой формуле свободных
индивидных переменных мы подставим один и тот же индивид-
индивидный символ, то у нас снова получится выводимая в F формула,
которая теперь будет постоянной, а потому и истинной. Значит,
по крайней мере один из членов нашей дизъюнкции будет истин-
истинной формулой и эта формула будет иметь вид
Я(*1 'г),
где t1( ..., ^ — некоторые постоянные термы.
3. Если какая-нибудь формула вида
не содержащая никаких переменных, кроме £ь .... £„, ^ь ... , tyr>
выводима в F, то по выводу этой формулы для всякой системы
постоянных термов ли ..., ап можно будет найти такие посто-
постоянные термы bi, ..., bt., для которых формула
2J («1 а„, Ьь ..., br)
является истинной.
Это следует из добавления 2 с учетом того, что для каждой
системы термов а1( ... , ап из формулы
с помощью основной формулы (а) исчисления предикатов может
быть выведена формула
Bih... 3t>r?J (ax ftn, 9i %).
^ 41 ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ 61
4. Утверждение сформулированной нами теоремы о непротиво-
непротиворечивости вместе с добавлениями 1, 2 и 3 останется верным и
в том случае, ест мы к формализму F добавим г-символ и
е-формулу.
В самом деле, при доказательстве первой е-теоремы мы с са-
самого начала с целью исключения кванторов добавили к рас-
рассматриваемому формализму 8-символ и е-формулу.
Это замечание является очень важным, так как с помощью
е-формулы мы можем дать общую формализацию всех способов
определения, объединяемых i-правилом, и операции символьного
решения экзистенциальных высказываний1).
Доказанную нами теорему о непротиворечивости, включая
добавления 1 — 4, мы для краткости будем называть «нп-теоремой».
б) Приложение к геометрии. Установленная выше нп-теорема
дает нам метод, позволяющий доказывать непротиворечивость
различных аксиоматических теорий, формализованных средствами
исчисления предикатов, при условии, что для их аксиом мы
располагаем каким-либо финитным арифметическим истолкова-
истолкованием. При этом непротиворечивость получается и в том случае,
когда к числу аксиом добавляется е-формула.
Конечно, одного финитного истолкования какой-либо системы
аксиом еще недостаточно для того, чтобы финитно убедиться
в непротиворечивости этой системы, так как это истолкование
не распространяется на доказательства. Формализованные пос-
посредством исчисления предикатов способы умозаключений вносят
в финитную интерпретацию некоторый нефинитный элемент.
Однако с помощью нп-теоремы можно убедиться в приемлемости
этих способов умозаключений.
Все сказанное мы детально продемонстрируем на примере
аксиоматики элементарной геометрии. Пример этот интересен и
сам по себе. Под элементарной мы будем понимать здесь
геометрию, основанную на аксиомах соединения, порядка, кон-
конгруэнтности и на аксиоме о параллельных (аксиомы непрерыв-
непрерывности мы исключаем).
Ради простоты мы ограничимся геометрией плоскости. Пере-
Перенос рассматриваемого метода на случай пространства никаких
принципиальных трудностей не вызывает.
Для того чтобы иметь возможность непосредственно восполь-
воспользоваться нашей нп-теоремой, мы должны будем выписать рас-
рассматриваемую систему аксиом в разрешенном виде. Аксиомы
соединения и порядка в том уже разрешенном виде, как они
получаются на основе редакции, приведенной в гл. I т. I, мы
собрали в § 1 настоящей главы в аксиомы 1—4 группы I и акси-
аксиомы 1—5 группы II (см. с. 25).
*) См. с. 23.
62 ИСКЛЮЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ ГГП I
Аксиомы конгруэнтности целесообразно взять в редакции
Р. Л. Мура1), который для случая линейной конгруэнтности
в основном берет аксиомы Гильберта, но не пользуется понятием
конгруэнтности углов. Для конгруэнтности отрезков как отно-
отношения между четырьмя точками, рассматриваемыми как две пары
точек, мы используем символ
ab E=cd
(читается: шЬ конгруэнтно cd»).
Формально это отношение конгруэнтности характеризуется
следующими аксиомами:
a = bb,
pq &cd = pq->ab = cd,
Gr (a, b, c)&lZw(a, b,
Zvj(b, a, c)&Zw(<7, p, r)&ab = pq&bc = qr-*-ac = pr,
~lGr(a, b, c)&lGr(p, q, r)&Zw(b, a, d)&Zw(q, p, s)&
ab== pq&bc=3qr&ac=3pr&bd = qs-*-cd = rs.
Первая из этих аксиом выражает независимость длины отрезка
от порядка его концов и конгруэнтность несобственных отрезков
(двойных точекJ). Вторая аксиома выражает тот факт, что два
отрезка, конгруэнтные некоторому третьему, конгруэнтны и между
собой (аксиома III.2 в «Основаниях геометрии» Гильберта).
Третья аксиома выражает возможность откладывать отрезок
(аксиома III. 1 у Гильберта). Четвертая аксиома выражает одно-
однозначность откладывания отрезка (которая в гильбертовской системе
аксиом следует из однозначности откладывания углов). Пятая
аксиома выражает аддитивность отрезков (аксиома III.3 у Гиль-
Гильберта) и последняя аксиома представляет собой следующее пред-
предложение о конгруэнтности треугольников:
Если у двух треугольников совпадают длины соответствующих
сторон и если соответствующие стороны продолжены за соответст-
соответствующие вершины на равные отрезки, то отрезки, соединяющие
образовавшиеся при этом свободные концы с вершинами, лежа-
лежащими против продолжаемых сторон, равны между собой.
Тот факт, что этой аксиомы о конгруэнтности треугольников
достаточно для того, чтобы в сочетании о предшествующими
М См. его работу. Moore R. L. Sets of metrical hypotheses for geo-
geometry.—Trans. Amer. Math Soc, 1908, 9, p. 487 — 512.
2) Аксиома о конгруэнтности всех двойных точек добавляется здесь в целях
формальной полноты.
j 4j ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ 63
аксиомами линейной конгруэнтности и на основе подходящим
образом сформулированного определения конгруэнтности углов,
понятий больше и меньше для отрезков и углов, а также
понятий п рямог о, острого и т у п о г о угла получить обыч-
обычные теоремы элементарной геометрии, не зависящие от аксиомы
о параллельных, впервые полностью показал Дорро1).
Благодаря наличию в этой системе третьей, экзистенциальной
аксиомы, аксиома П.4, которая выражает возможность продол-
продолжения любого отрезка, становится ненужной. Поэтому мы ее
опустим, чем заодно будет исключен и функциональный знак
Ф(а, Ь).
Аксиома о параллельных в гильбертовской редакции гласит
(если ограничиться плоской геометрией): «Через точку, лежащую
вне прямой а, проходит, самое большее, одна прямая, не пере-
пересекающая а». Иначе это можно сформулировать так: «Из двух
различных прямых, проходящих через точку Р, лежащую вне
прямой а, по крайней мере одна имеет с прямой а общую точку».
В последней формулировке мы можем опустить условие, требую-
требующее, чтобы точка Р лежала вне прямой а.
Тогда с помощью отношения Gr эта аксиома запишется
следующим образом:
Ют (а, Ъ, c)-+3x(Gr(d, e, x)&(Gr(a, b, x)\JGr(a, с, х))).
(Пояснение. Прямая, проходящая через due,— это заданная
прямая2); а —это та произвольная точка, через которую проходят
две различные прямые,—одна через Ь, другая через с; утвер-
утверждается, что по крайней мере одна из этих двух прямых имеет
общую точку х с прямой, проходящей через d и е.)
г) См.: Do r r oh J. L. Concerning a set of metrical hypotheses for geo-
geometry — Ann. Math., 2 Ser., 1928, 29, p. 229 — 231. Мур показал достаточность
сформулированных им аксиом конгруэнтности только при условии добавления
к ним одной аксиомы непрерывности, вместо которой, как он показал, доста-
достаточно взять предложение о том, что каждый отрезок имеет среднюю точку.
В работе Дорро это предложение было доказано на основе аксиом конгруэнт-
конгруэнтности Мура.
2) Это геометрическое истолкование является осмысленным, лишь когда
d ¥= е; однако вследствие аксиомы Gr (а, а, Ь) данрая импликация выполняется
И при 4 = е.
64 ИСКЛЮЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ ГГЛ I
Наконец, мы еще должны добавить в виде собственных аксиом
аксиомы равенства. Прежде всего мы возьмем аксиомы
а = а
Затем нужно взять аксиомы равенства, связанные с основными
предикатами Gr, Zw и =. С учетом числа аргументов этих
предикатов здесь надо было бы написать десять формул. Однако
вследствие аксиомы 1.1
Gr(a, b, c)->-Gr(b, a, c)&Gr(a, с, b)
и непосредственно получающейся из II.3 формулы
Zw (а, Ь, с) ->■ Zw (а, с, Ь)
нам нужно взять для Gr и Zw лишь формулы1)
a = b-+(Gr(a, с, d)-+Gr(b, с, d)),
a = b-*-(Zw(a, с, d)-*-Zw(b, с, d)),
a = b-*(Zw(c, d, a)-+Zw(c, d, b)),
вторая из которых снова оказывается излишней ввиду аксиомы II. 1
Zw(fl, b, c)-^Gr(a, b, с)
и выводимости формул
Zw(a, b, с)-+афЬ&
и
Gr(a, b, с)&афЬ&
Zw(a, b, с) V Zw(b, а, с) \J Zw (с, a, b).
Ввиду аксиом
b b
pq->-ab = cd,
для предиката = достаточно взять одну следующую формулу
равенства:
Теперь мы должны привести к разрешенному виду две появив-
появившиеся экзистенциальные аксиомы. Вместо аксиомы
a=£b&c^d-+3x(Zw{c, d, x)&ab = cx),
См. т. I, гл. VII, с. 464.
4,
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ 65
введя функциональный знак ф (а, Ь, с, d), мы получим формулу
афЬ&сфA->-2ч/(с, d, ф(а, Ь, с, d)) & ab = су (а, Ь, с, d).
Для того чтобы привести к разрешенному виду формулу, выра-
выражающую аксиому о параллельных, нам нужно было бы, согласно
общему методу, ввести функциональный знак с пятью аргумен-
аргументами. Но здесь можно будет добиться некоторых упрощений.
Мы воспользуемся тем обстоятельством, что с помощью е-символа
и явного определения может быть произведено символьное реше-
решение любой экзистенциальной формулы.
Для символьного решения формулы, выражающей аксиому
о параллельных, нам в соответствии с общим методом нужно
было бы ввести е-символ
e,(Gr(d, e, *)&(Gr(a, Ь, x)\fGr(a, о, *))).
Однако с равным успехом вместо него здесь может быть введен
е-символ
ex(Gr(a, b, x)&Gr(c, d, х)).
Действительно, если ввести явное определение
\(а, Ь, с, d) = Bx(Gr(a, b, x)&Gr(c, d, x)),
то из нашей формулы для аксиомы о параллельных, взятой
в сочетании с формулой
Эх А (х) -*- А (е.хА (х)),
легко получится формула
Юг (а, Ь, c)-+(Gr(d, е, |(а, Ь, d, e))&Gr(a, b, |(a, b, d, e)))
V (Gr(d, e, I (a, c, d, e))&Gr(a, с, |(а, с, d, e)))f
от которой с помощью средств исчисления предикатов можно
снова вернуться к нашей формуле, выражающей аксиому о парал-
параллельных.
Геометрически | (a, b, с, d) изображает некоторую общую
точку прямых ab и cd (если таковая существует); в частности,
в том случае, когда ab и cd суть две отличные друг от друга
пересекающиеся прямые, | (а, Ь, с, d) изображает точку пересече-
пересечения этих прямых.
Эта геометрическая интерпретация заодно показывает, что
с помощью функции | (a, b, с, d) можно также осуществить сим-
символьное решение пятой аксиомы порядка, что позволит сэкономить
функциональный знак i|)(a, b, с, d, ё). Эта аксиома утверждает,
что если какая-либо прямая пересекает сторону ab треуголь-
треугольника abc в какой-нибудь точке, лежащей между а и Ь, то тогда
она проходит через какую-нибудь точку стороны (т. е. отрезка) сю
66 ИСКЛЮЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ ГГЛ. j
или через какую-нибудь точку стороны be. Это утверждение можно
сформулировать еще и следующим образом: «Если точки a, b и о
не лежат на одной прямой, точка р лежит между а и Ь, а пря-
прямая pq отлична от прямой ab и не проходит через с, то сущест-
существует либо точка пересечения прямых, pq и ас, лежащая между
а и с, либо точка пересечения прямых pq и be, лежащая между
Ь и с».
С помощью нашей символики это высказывание запишется
посредством формулы
(У -|Gr(a, b, c)&Zw(p, a, b)&lQr(q, a, b)&-\Gr(c, p, q)
-+ (Gr (p, q, I (p, q, а, с)) & Zw (I (p, q, а, с), а, с)) V
(Gr (p, q, %(р, q, b, с)) &Zw (£(/?, q, b, c), b, с)).
Формула (ti) дедуктивно равна первоначальной формуле для
аксиомы II.5. Для установления этого факта надо воспользоваться
e-формулой и определением функционального знака I (a, b, с, d).
Действительно, если мы в первоначальной формуле
(*, У, z)&Zw(a, x, */)&-|Gr(t>, x, у)&
-|Gr(z, u, v) -»- Зш (Gr (a, v, w)&(Zw(w, x, z)\/Zw(w, у, г)))}
заменим связанные переменные х, у, z, u, v свободными и произ-
произведем некоторые преобразования по правилам исчисления преди-
предикатов, то она перейдет в формулу
TGr(a, b, c)&Zw(p, a, b)&~\Gr(q, a, b)&-[Gr(c, p, q)
-*~ Зад (Gr (p, q, ад) & Zw (ад, а, с)) V Зад (Gr (p, q, ад) & Zw (ад, Ь, с)),
а эта последняя может быть легко выведена из формулы (£г)
средствами исчисления предикатов. С другой стороны, формула (£х)
может быть выведена из нее с помощью формулы
3a>(Gr(p, q, ay)&Zw(oy, d, c))&~[Gr(c, p, q)
->Gr(p, q, l{p, q, d, c))&Zw(|(p, q, d, c), d, c),
которая, в свою очередь, получается на основе определения сим-
символа %(а, Ь, с, d) с использованием аксиом 1.1,2,3, II. 1, 2, 3,
аксиом равенства и е-формулы.
Таким образом, при разрешении экзистенциальных аксиом
нашей системы аксиом геометрии мы можек. обойтись введением
индивидных символов а, р и у и функциональных знаков
<р(а, Ь, с, d) и l(a, b, с, d). В результате получается следующая
система, состоящая из аксиом в разрешенном виде:
§ 4] ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ 67
Аксиомы равенства
а = а,
а = b -»- (а = с-*- b = с),
a = fc->(Gr(a, с, d)-+Gr(b, с, d)),
a = ft-v(Zw(c, d, a)->-Zw(c, d, £>)),
a = fc ->■ ac = fee.
Аксиомы соединения
Gr (a, a, b),
Gr(a, 6, c)-»-Gr(fc, a, c)&Gr(a, с, fc),
Gr(a, 6, c)&Gr(a, 6, d) & а Ф b ->- Gr (a, c, d),
-lGr(a, p, y).
Аксиомы порядка
Zw(a, fc, c)->-Gr(a, b, c),
-lZw(a, 6, 6),
Zw(a, fc, c)-^-Zw(a, c, b)&"lZw(b, a, c),
-lGr(a, 6, c)&Zw(p, a, £>)&-lGr(?, a, fc)&1Gr(c, p, ?)->
(Gr(p, ?, |(p, 7, a, c))&Zw(g(p, 9, а, с)), а, с)) V
(Gr(p, <7, |(p, q, b, c))&Zw(g(p, <7, 6, с), Ь, с)).
Л/ссиолы конгруэнтности
ab = ba & aa = bb,
ab = pq & cd = pq -*■ ab = cd,
c^=d-^-Zw(c, d, q>(a, &, c, d))&afc = 9(a, &, c, d),
Gr(a, 6, c)&"lZw(a, b,
, a, c)&Zw(^, p, r)&ab
lGr(a, b, c)&-]QT{p, q, r)&Zw(fc, a, d)&Zw(q, p, s)&
Аксиома о параллельных
lGr(a, b, c)->(Gr(d, e, |(a, fr, d, e))&Gr(a, 6, \{a, b, d, e)))
V (Gr(d, e, | (a, c, d, e))&Gr(a, с, |(а, с, d, e))).
Замечание. Нам нет надобности формулировать аксиомы
равенства для функциональных знаков q> (a, b, с, d) и | (a, b, с, d),
так как символьным решением соответствующих экзистенциальных
аксиом мы будем пользоваться лишь как вспомогательным
средством для установления непротиворечивости рассматриваемой
системы геометрических аксиом в ее первоначальном виде при
условии использования рассуждений, формализуемых с помощью
средств исчисления предикатов и е-аксиомы. Но для этого доста-
fli ИСКЛЮЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 1ГЛ. I
точно рассматривать введенную нами систему аксиом, так как
все аксиомы нашей первоначальной системых) могут быть выведены
из нее средствами исчисления предикатов.
Теперь, для того чтобы извлечь из нп-теоремы непротиворе-
непротиворечивость сформулированной системы аксиом, нам достаточно задать
истинностные значения для постоянных элементарных формул
таким образом, чтобы наши аксиомы оказались при этом верифи-
верифицируемыми. Нужное определение нам дает аналитическая гео-
геометрия.
В качестве числовой области для наших целей достаточно
будет взять совокупность чисел, получающихся из единицы
в результате применения четырех элементарных арифметических
действий и операции извлечения квадратного корня из положи-
положительного числа. Действия над числами из этой области, которую
мы обозначим посредством Q, выполняются финитным образом.
Используя комплексные числа, мы можем разработать некото-
некоторый сокращенный способ записи различных отношений аналити-
аналитической геометрии. Для этого координаты а и b данной точки
плоскости мы будем объединять в комплексное число a + bi.
Таким образом, в дальнейшем мы будем иметь дело только
с такими комплексными числами a-f-bi, у которых а и b суть
числа из Q. Область этих комплексных чисел мы обозначим
посредством Q*.
В дальнейшем мы будем применять ряд общеупотребительных
обозначений, связанных с комплексными числами. Если с —число
a + bt, то 3(с) будет обозначать число b (мнимую часть с),
|с| будет обозначать число j/V + b2 (абоолютную вели-
величину с), ас будет обозначать сопряженное б с число a — bt;
число с будет называться действительным, если Ь = 0, и
положительным, если 6 = 0 и а положительно.
Определяя истинностные значения постоянных элементарных
формул, мы должны помнить, что каждая постоянная элементар-
элементарная формула имеет один из следующих четырех видов:
a = b, Gr(a, b, с), Zw(a, b, с), аЬзасЬ,
где a, b, с и Ь —постоянные термы, и что каждый постоянный
х) Впрочем, добавление восьми аксиом равенства, соответствующих восьми
аргументам функциональных знаков ф (а, Ь, с, d) и £ (а, Ь, с, d), в том духе,
как формула
а = 6-»-ф(а, р, q, r) = y(b, р, q, г)
соответствует первому аргументу ф (а, Ь, с, d), не составило бы никакого
труда. В самом деле, легко видеть, что арифметическое истолкование, с помощью
которого мы проводим наше доказательство, дает для термов ф (а, Ь, с, Ь) и
£ (а, Ь, с, Ь) с постоянными аргументами некоторое однозначное определение
их истинностных значений. См. далее с. 69.
§<)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ 69
терм либо совпадает с одним из индивидных символов а, р и у,
либо строится из них с помощью функциональных знаков ф и |.
В соответствии со сказанным, мы получим распределение истин-
истинностных значений для постоянных элементарных формул, указав
способ сопоставления каждому постоянному терму некоторого
числа из области Q*, а также указав для каждой из элементар-
элементарных формул
а = 6, Gr(a, b, с), Zw(a, b, с), abs=cb
некоторое арифметическое высказывание, истинность или ложность
которого для чисел из Q*, сопоставляемых данным термам
а, Ь, с и Ь, будет определять, какое истинностное значение —
«истина» или «ложь» — получает рассматриваемая элементарная
формула.
Символам a, p и у мы сопоставим комплексные числа 0, 1 и i,
а функции ф и 1 для любых значений аргументов f, I, m и п из Q*
определим следующим образом:
f m + , ~ | • (m — п), если m Ф n,
<p(f, I, m, n)=»{ ^|m-n| у » т-
{ m, если m = n;
3(f-T)-(m —n) —3(m-n)-(f —I)
. , „ . если (f — I) • (m — n) не является
t (r, l, m, n) = <
e v ' действительным числом,
m, если f = I, тфп,
f в остальных случаях.
Пояснения. При тфп терм фA, I, m, п) изображает
собой точку, которая лежит на продолжении отрезка, ведущего
от п к т, на расстоянии \t —1\ от точки т.
Если число (f — I) ■ (т — п) не является действительным, то
fФI, тфп и направление отрезка, ведущего от t к I, не совпа-
совпадает ни с направлением отрезка, ведущего от m к п, ни с направ-
направлением противоположного ему отрезка. В этом случае 1 (t, I, m, n)
изображает точку пересечения прямой, проходящей через f и I,
и прямой, проходящей через тип.
Далее, каждому постоянному терму мы однозначно сопоставим
некоторое число из Q*, Для чего сначала каждый встречающийся
в данном терме индивидный символ мы заменим соответствующим
ему комплексным числом, а затем функциональные знаки, аргу-
аргументами которых уже оказались комплексные числа, будем заме-
заменять приписанными им для этих значений аргументов значениями
70 ИСКЛЮЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ I
из Q* до тех пор, пока не будут удалены все функциональные
знаки и не останется результирующее значение из Q*.
Теперь мы сопоставим элементарным формулам
a = b, Gr(a, b, с), Zw(a, b, с), ab=scb
соответствующие им арифметические высказывания. Пусть f, I, m
и п суть комплексные числа, соотнесенные термам a, b, с и Ь
соответственно в силу предыдущих соглашений. Тогда:
Формула a = b будет считаться истинной или ложной в зави-
зависимости от того, имеет или не имеет место арифметическое
равенство f = I между числами f и I из Q*.
Формула Gr (a, b, с) будет считаться истинной или ложной
в зависимости от того, является или не является действительным
комплексное число (f — I)-(m — n).
Формула Zw(a, b, с) будет считаться истинной или ложной
в зависимости от того, является или не является положительным
число (f — I)-(m — n).
Формула ab = cb будет считаться истинной или ложной в зави-
зависимости от того, верно или не верно равенство |f — [| = |m — n|.
Теперь с помощью элементарных арифметических рассуждений
можно убедиться, что в соответствии с принятыми определениями
каждая из наших аксиом оказывается верифицируемой, т. е.
дает истинную (в смысле нашего определения) формулу, если
каждую входящую в нее свободную переменную всюду, где она
встречается, заменить каким-либо постоянным термом. Тем самым,
опираясь на нашу нп-теорему, мы получаем искомое доказатель-
доказательство непротиворечивости для сформулированных выше геометри-
геометрических аксиом соединения, порядка, конгруэнтности и аксиомы
о параллельных.
Примененный здесь метод доказательства равным образом
может быть применен и для установления непротиворечивости
неевклидовой геометрии (опять-таки без аксиом непрерывности).
Если мы снова ограничимся случаем плоской геометрии,
то в качестве системы аксиом для неевклидовой геометрии можно
будет взять систему, получающуюся из рассмотренной нами сис-
системы аксиом евклидовой геометрии в результате замены аксиомы
о параллельных следующей аксиомой'):
«Для всякой точки а, лежащей вне прямой, определенной
двумя отличными друг от друга точками b и с, существуют точки
р и <7, не лежащие с а на одной прямой и расположенные так,
что ни прямая ар, ни прямая aq не имеют общей точки с пря-
*) См. «Основания геометрии» Гильберта, Добавление III, акиома IV,
с. 162 7-го издания (с. 232 русск, перев.).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ
71
мой be, в то время как для любой точки d, расположенной
между Р и q, прямая ad пересекает прямую be».
Эта аксиома изображается формулой
-|Gr(a, b, c)-+3x3y{-\Gr(a, х, у) & 1 Эг(Gr (a, x, г)&
Gr(b, с, z))&-|3z(Gr(a, у, z)&Gr(b, с, г))&
Vu(Zw(u, х, y)-+3v(Gr(a, и, v)&Gr(b, с, v)))}.
Ее символьное решение может быть дано с помощью ранее ис-
использованного функционального знака £ (a, b, с, d) и нового
функционального знака % (а, Ь, с). Сопоставив кванторам существо-
существования Зх и Эг/ функции %(а, Ь, с) и %(а, с, Ь) и несколько
усилив рассматриваемую аксиому, мы получим следующий ее
разрешенный вид:
iGr(a, b, c)^lGr(a, % (a, b, с), %(а, с, Ь))&
(lGr(a, % {а, Ь, с), d)\J^Gr{b, с, d))&
(Zw(e, %(a, b, с), %(а, с, b))-+Gr(a, е, ?(о, е, Ь, с))&
Gr(b, с, Ца, е, Ъ, с))).
[Обратим внимание на то, что конъюнктивный член, который
сначала появляется вместо ~| Эг (Gr (a, у, г) & Gr (b, с, г)), затем
оказывается ненужным1).]
Если мы возьмем данную аксиому вместо прежде рассматри-
рассматривавшейся аксиомы о параллельных, то получим систему аксиом
плоской неевклидовой геометрии (без аксиом непрерывности).
Теперь мы получим финитное доказательство непротиворечи-
непротиворечивости этой системы, воспользовавшись восходящей к Феликсу
Клейну проективной моделью. Для этого в нашем предыдущем
распределении значений термов достаточно произвести следующие
модификации и дополнения:
1. а) Вместо области Q* комплексных чисел a + bt, у которых
а и b принадлежат Q, мы возьмем те числа из Q*, абсолютная
величина которых меньше единицы. (Обозначим эту область
через Q?.)
б) Символам а, р и у сопоставим числа 0, . и t соответственно.
в) Определение арифметических функций ограничим аргумен-
аргументами из области Q*.
1) Впрочем, как заметил Арнольд Шмидт, конъюнктивный член
] Gr a, зс (a, b, с), х (а, с, Ь)) в последней формуле можно заменить более простым
членом х(а, Ь, с)Фх(а> с> ^)- Действительно, модифицированная таким обра-
образом формула дедуктивно равна указанной в силу аксиом соединения, порядка
и аксиом равенства, а также экзистенциальной (третьей) аксиомы конгруэнт-
конгруэнтности, из которой, в частности, выводится формула
х, а, Ь).
72 ИСКЛЮЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ ГГЛ. I
г) В определение функции |(f, I, m, n) внесем следующее
изменение: для тех четверок чисел f, I, m и п из Q*, для которых
согласно предыдущему определению значение g(f, I, m, n) имело
абсолютную величину ^ 1, значением | (f, I, m, n) мы теперь
будем считать число f.
2. Мы добавим определение функции х(*> U ш), которую
с использованием вспомогательной функции
-3(f.Q-(l-l) , l-l
f, если f = T,
определим равенством
X(f, m, n)=i-(f + T(m, n)).
Пояснение: При f ФI x(f, f) изображает точку пересечения
луча, идущего в направлении от I к f, с окружностью единичного
радиуса с центром в нулевой точке, а х (f> m> n) — середину
отрезка, идущего из t в т(т, п). Заметим, что хотя значение
r(f, I) и не принадлежит Q*, значение %(t, m, n) принадлежит
этой области.
3. Сопоставление постоянным элементарным формулам соответ-
соответствующих им арифметических высказываний изменится только
в части, касающейся формулы ab =з cb. Именно, если термам а,
Ь, с и b соотнесены числа t, I, m и п из Q*, то формула abs=cb
будет считаться истинной или ложной в зависимости от того,
истинно или ложно равенство
(f-T(l, f))-(l-T(f, l))_(m-T(n, m))(n-T(m, n))
(f-T(f. I))-(t-i(t. I))"*" (m-T(m, п)).(п-т(п, «.))*
Что же касается установления верифицируемое™ этих аксиом
на основе данного определения, то у всех аксиом, за исключе-
исключением последней из группы аксиом конгруэнтности, оно получается
прямой проверкой, а для рассмотрения оставшейся аксиомы
конгруэнтности целесообразно воспользоваться некоторыми со-
соображениями из области проективной аналитической геометрии.
Эти соображения будут иметь финитный характер, так как нам
придется иметь дело лишь с точками, координаты которых суть
числа из Q.
Намеченные здесь доказательства непротиворечивости систем
геометрических аксиом показывают, что мы вполне можем поль-
пользоваться идеями обычных доказательств непротиворечивости, про-
производимых путем сведения к арифметике. Добавляется лишь
одно финитное усиление, состоящее в том, что при рассмотрении
данной арифметической модели мы ограничиваемся финитно-ариф-
финитно-арифметическими рассуждениями (в наших примерах — рассуждениями,
5 4J ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ 73
касающимися числовой области Q). При этом поначалу в доказа-
доказательстве непротиворечивости возникает некоторый пробел, связан-
связанный с тем, что наша финитно-арифметическая модель дает при-
приемлемую интерпретацию только для аксиом теории, но не для
рассуждений, участвующих в доказательствах. Устранение этого
пробела в дальнейшем как раз и достигается с помощью нашей
нп-теоремы.
Этот прием был бы излишним, если бы мы располагали
каким-либо финитным доказательством непротиворечивости для
всей системы анализа в целом. В рассмотренных нами случаях
систем геометрических аксиом хватило бы даже финитного дока-
доказательства непротиворечивости для теории числовой области Q
с включением в эту теорию принципа tertium non datur. Однако
проводившиеся нами до сих пор рассмотрения не содержат в себе
такого доказательства даже для формализма аксиоматической
арифметики1). В самом деле, вопрос о непротиворечивости этого
формализма нашей нп-теоремой пока еще не решается Имеющие
здесь место связи мы в дальнейшем рассмотрим самым присталь-
пристальным образом.
См. т. I, гл. VII, с. 434 или же Приложение I.
ГЛАВА II
ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ СВЯЗАННЫХ
С е-СИМВОЛОМ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ
§ 1. Применение нп-теоремы к арифметике
В главах VII и VIII т. I мы рассмотрели два различных
формализма арифметики: рекурсивную арифметику и формализм
системы (Z) с добавлением к нему функции \ixA (х).
Логический формализм, лежащий в основе рекурсивной ариф-
арифметики, представляет собой элементарное исчисление со свобод-
свободными переменными. К нему в качестве исходных формул добав-
добавляются аксиомы равенства и формула О' Ф О, а в качестве схем —
схема индукции и схема примитивной рекурсии. Средств этого
формализма уже достаточно для того, чтобы с их помощью мо-
можно было изобразить различные понятия, утверждения и дока-
доказательства элементарной арифметики. С другой стороны, этот
формализм еще допускает определенное финитное истолкование.
Но и без прямого обращения к этому истолкованию мы легко
смогли доказать непротиворечивость этого формализма и даже
установить, что всякая выводимая в нем формула, не содержа-
содержащая формульных переменных, при любой замене входящих в
нее свободных индивидных переменных цифрами после вычисле-
вычисления значений соответствующих функций переходит в истинную
формулу.
Никаких трудностей в доказательстве не возникает и в том
случае, если мы дополним данный формализм некоторыми есте-
естественными обобщениями схем индукции и рекурсии в том виде,
как они были рассмотрены нами в гл. VII т.11).
Другой формализм арифметики, рассмотренный нами в гл. VIII
т. I, был получен в результате объединения исчисления преди-
предикатов с аксиомами равенства (J2) и (J2), аксиомами Пеано2) и
принимаемыми в качестве аксиом рекурсивными равенствами для
сложения и умножения3). Получившуюся таким образом систему
аксиом мы в свое время назвали системой (Z). К этому логи-
логическому формализму мы затем присоединили i-правило. С помощью
i-символа можно, как мы это установили*), явно определить
1) См. т. I, с. 400 — 427.
*) См. т. I, с. 272 — 273 и 325.
») Тем самым аксиома (Ji) становится ненужной.
*) См, т. I, с. 481 и далее.
5 1] ПРИМЕНЕНИЕ НП-ТЕОРЕМЫ К АРИФМЕТИКЕ
функцию \ахА {х), характеризующуюся формулами
Ы ЗхА(х)-*-А(цхА(х)),
(На) А(а)-
Мы показали, что с помощью этой функции могут быть изобра-
изображены все те арифметические конструкции, которые опираются
на понятие наименьшего числа, обладающего заданным свойством.
Оказалось также, что если взять за основу функции сложения
и умножения и воспользоваться функцией цхА (х), то схему
примитивной рекурсии можно свести к явным определениям,
причем таким образом, что на базе этих определений первоначаль-
первоначальные рекурсивные равенства становятся выводимыми формулами1).
То же самое верно и в отношении перекрестной рекурсии2).
Что касается вопроса о непротиворечивости этого формализма,
то из теоремы об устранимости i-правила8) вытекает, что для
его решения достаточно рассмотреть данный формализм без i-npa-
вила, т. е. просто формализм системы (Z).
В гл. VII т. I4) мы осуществили другую редукцию, восполь-
воспользовавшись теоремами о возможности замены общей аксиомы ра-
равенства (J2) соответствующими специальными аксиомами равенства
и о заменимости аксиомы индукции соответствующей схемой. На
этом пути мы пришли к системе аксиом
а = а,
а = Ь-*~(а = с-> Ь = с),
а'ФО,
а — Ь^а' = &',
которая дополняется схемой индукции
31@)
SI (a) ->-3t (a')
«(а)
1) См. т. I, с. 499 и далее.
2) См. т. I, с. 509 — 510. Идею упоминаемого здесь доказательства, при-
принадлежащего фон Нейману, Р. Петер недавно неформальным образом приме-
применила к общему случаю многократных рекурсий, т. е. рекурсий, ведущихся
по нескольким аргументам одновременно (см. ее работу: Peter R. Ober die
mehrfache Rekursion. — Math. Ann., 1936, 113, № 4, § 5) Это рассуждение
Петер может быть полностью воспроизведено на языке теории доказательств.
3) См. т. I, с. 510 и далее.
«) С
«) См. т. I, гл. VII, С 461-462.
76 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ е СИМВОЛА [ГЛ II
(условие применимости этой схемы заключается в том, что пере-
переменная а должна встречаться в формуле 31 (а) лишь на местах,
указанных в качестве аргумента). Если в основу нашего рас-
рассмотрения положить исчисление предикатов, .то эта система аксиом,
которую мы назовем системой (Z'), в отношении выводимости
формул без формульных переменных (а значит, и в отношении
арифметических выводов), а также в отношении непротиворечи-
непротиворечивости оказывается равносильной системе (Z).
Если мы теперь зададимся вопросом о том, может ли система
(Z') служить объектом применения нашей нп-теоремы, то обнару-
обнаружим, что из-за наличия в (Z') схемы индукции применение этой
теоремы (во всяком случае, прямое) оказывается невозможным.
(Аксиома индукции, естественно, приводит к тем же самым труд-
трудностям, так как она не является собственной аксиомой.)
Если же схему индукции опустить, то, как легко убедиться,
нп-теорема становится применимой. Действительно, постоянные
элементарные формулы системы (Z') представляют собой равен-
равенства между постоянными термами. Но эти термы либо сами
являются цифрами, либо строятся из цифр с помощью знаков
сложения и умножения. Как известно, для таких термов имеется
процедура рекурсивного вычисления их значений (она основы-
основывается на использовании рекурсивных равенств для сложения и
умножения в качестве финитно понимаемых инструкций для
выполнения соответствующих действий) и эта процедура всегда
дает в качестве значения такого терма некоторую цифру. Таким
образом, любое равенство между постоянными термами после
вычисления значений этих термов переходит в некоторое равенство
между цифрами и такое равенство б = t мы объявляем, как это
делалось и раньше, истинным или ложным в зависимости от того,
совпадает или не совпадает цифра ё с цифрой t.
При таком распределении истинностных значений постоянных
элементарных формул все аксиомы системы (Z'), как легко убе-
убедиться1), оказываются верифицируемыми формулами. Поэтому
для системы (Z') при условии исключения из нее схемы индукции
будут справедливы все утверждения нашей нп-теоремы и, в част-
частности, утверждение о том, что всякая выводимая формула, не содержа-
содержащая ни связанных индивидных, ни формульных переменных, является
верифицируемой. Все эти утверждения остаются в силе и в том
случае, если к аксиомам системы (Z') добавить в качестве исход-
исходных формул какие-либо новые верифицируемые формулы этой
формальной системы, т. е. такие формулы этого формализма, не
содержащие никаких других переменных, кроме свободных ин-
индивидных, которые при только что рассмотренном определении
!) В связи с рекурсивными равенствами см. рассуждение в гл. VII т. I,
с. 359.
I ц ПРИМЕНЕНИЕ НП-ТЕОРЕМЫ К АРИФМЕТИКЕ 77
истинностных значений постоянных элементарных формул при
любой замене свободных переменных цифрами переходят в истин-
истинные формулы. Действительно, при добавлении такого рода формул
в качестве исходных условия применимости нп-теоремы продол-
продолжают оставаться выполненными.
Это обстоятельство позволяет включить в наш результат схему
индукции —по крайней мере частично, а именно при условии,
что эта схема будет применяться лишь к формулам без связан-
связанных переменных. В самом деле, чтобы убедиться в этом, нам
достаточно повторить рассуждение, проведенное в гл. VII т. I
при установлении непротиворечивости рекурсивной арифметики1).
Из этого рассуждения получается, что у любого проведенного
средствами системы (Z') доказательства такого, что ехема индукции
31@)
«(а)-*Я (а')
применяется в нем только к формулам 51 (с) без связанных
переменных, заключительная формула всякого вхождения схемы
индукции оказывается верифицируемой2). Следовательно, при-
применение схемы индукции во всяком таком доказательстве рав-
равносильно добавлению к аксиомам системы (Z') некоторого числа
верифицируемых формул. Отсюда, согласно сделанному выше
замечанию, получается, что если в рассматриваемый формализм
включить аксиому индукции, применяемую к формулам без свя-
связанных переменных, то условия применимости нп-теоремы к этому
формализму будут выполнены.
В точности так же условия применимости нп-теоремы будут
выполняться и в том случае, если мы добавим к формализму
системы (Z') схему примитивной рекурсии. В самом деле, любой
паре рекурсивных равенств, имеющей вид примитивной рекурсии,
соответствует —в смысле содержательно-финитного истолкования
примитивной рекурсии3) — некоторая вычислительная процедура,
посредством которой каждому терму, представляющему собой
функциональный знак с аргументами в виде цифр, сопоставляется
в качестве его значения вполне определенная цифра. Для по-
постоянных термов, получающихся в результате введения каких-
либо новых функциональных знаков, это дает определенное рас-
распределение значений этих термов. Эти значения являются цифрами и,
в соответствии с данным распределением, упомянутые рекурсив-
рекурсивные равенства оказываются верифицируемыми формулами, потому
что при любой замене свободных переменных цифрами с после-
1) См. т. I, с. 364-365.
«) См. т. I, с. 364.
») См. т. I, с. 51—53.
78 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ 8 СИМВОЛА [ГЛ It
дующим вычислением значений термов равенства эти переходят
в равенства вида
То же самое справедливо и в отношении схемы перекрестной
рекурсии. И, вообще, не нарушая условий применимости нашей
нп-теоремы, мы можем допустить введение (при помощи соответ-
соответствующих систем равенств) любого числа новых функциональных
знаков или —еще более общо — введение новых аксиом, если при
этом: 1) рассматриваемые аксиомы являются собственными акси-
аксиомами без связанных переменных и 2) указывается какой-либо
способ, который каждому из добавляемых постоянных термов
сопоставляет в качестве его значения вполне определенную цифру
и на основе которого эти новые аксиомы оказываются верифици-
верифицируемыми формулами1).
При таком введении функциональных знаков в соответствии
с упомянутыми условиями всегда можно брать в качестве аксиом
связанные с этими знаками (или соответственно с их аргументами)
формулы равенства2)
bf()
Действительно, в силу указанного распределения значений по-
постоянных термов любая такая формула является верифицируемой,
потому что если вместо входящих в эту формулу переменных
подставить какие-либо цифры, а затем заменить получившиеся
постоянные термы их значениями, то в том случае, когда пере-
переменные а и Ь заменяются равными цифрами, у нас получится
формула вида
где б — цифра, являющаяся значением терма f (£); а в том случае,
когда а и Ь будут заменены отличными друг от друга цифрами g
!) Один общий способ введения новых функциональных знаков при помощи
аксиом был использован Эрбраном в его работе: Н е г b r a n d J. Sur la non-
noncontradiction de l'Arithmetique.— J. reine angew. Math., 1931, 166 («Groupe C»).
Этот способ является несколько более частным, чем способ, примененный здесь,
поскольку Эрбран требует, чтобы процедура нахождения значений, как и
в схемах рекурсивных определений, получалась финитным истолкованием
аксиом.—Относительно понятия общерекурсивиой функции в том
виде как его, следуя Эрбрану, излагают Гёдель и Клнни, а также относительно
других примыкающих к нему понятий см. гл. V, с. 421 и Приложение II,
с. 477 и 489.
а) Запись такой формулы, как это уже делалось нами в гл. VII т. I
(см. с. 458), всегда понимается таким образом, что у рассматриваемого функ-
функционального знака f, кроме указанных аргументов, допускается наличие
каких-нибудь других, которые в этом случае в обеих частях равенства иа
одинаковых местах должны быть соответственно одинаковыми, отличными
от в, от Ь и друг от друга свободными индивидными переменными,
j I) ПРИМЕНЕНИЕ НП-ТЕОРЕМЫ К АРИФМЕТИКЕ 79
и х), у нас получится формула вида
Но обе эти формулы истинны: первая потому, что истинно ее
заключение 6 = 6, а вторая потому, что ложна ее посылка j = ty.
Рассмотренные в гл. VII т. I обобщения схемы индукции,
дающие частичную компенсацию за ограничения, наложенные
на эту схему, тоже согласуются с нашей нп-теоремой, потому
что они, как мы уже установили1), сводятся при помощи прими-
примитивных рекурсий к обычной схеме индукции нашей рекурсивной
арифметики.
Теперь подведем итог проведенным нами рассмотрениям. Во-
первых, мы установили, что нп-теорема непосредственно приме-
применима к формализму, получающемуся в результате объединения
исчисления предикатов с аксиомами системы (Z') (без схемы
индукции). Далее, мы выяснили, что к этому формализму, не
нарушая применимости нп-теоремы, можно добавить: 1) схему
индукции для формул без связанных переменных, 2) схемы
рекурсий рекурсивной арифметики и 3) аксиомы равенства для
любой вновь вводимой функции. Тем самым в рассмотрение
включается вся рекурсивная арифметика — с тем лишь ограниче-
ограничением, что вместо общей аксиомы равенства
у нас будут фигурировать некоторые ее частные случаи.
Другое обобщение этого результата подсказывается самой фор-
формулировкой нп-теоремы, которая недвусмысленным образом до-
допускает включение в рассматриваемый формализм е-символа и
е-формулы. Как мы уже знаем, при введении е-формулы i-правило
(т. е. правило с «е» вместо «i») становится производным. Поэтому
получается, что i-правило тоже может быть включено в наш
результат, причем без ссылки на теорему об устранимости i-npa-
вила из гл. VIII т. I.
Формализм, к которому мы таким образом приходим, содержит
следующие компоненты:
1. Формализм исчисления предикатов.
2. Формализм е-символа и е-формулы.
3. Предикатный символ =, индивидный символ 0 и штрих-
символ (функциональный знак) вместе с относящимися
к ним аксиомами
*) См. т. I. с.419-427.
80 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ е-СИМВОЛА (ГЛ. II
4. Схему индукции рекурсивной арифметики (при этом при-
применять ее допускается лишь к формулам без связанных
переменных).
5. Схемы для введения функциональных знаков при помощи
таких рекурсивных равенств (или соответственно таких
собственных аксиом без связанных переменных), которые
при финитном распределении значений добавляющихся при
этом постоянных термов оказываются верифицируемыми
формулами.
6. Аксиомы равенства
а — Ь -*■ ((а) =» ((Ь),
соответствующие различным аргументам всех вновь вводи-
вводимых функциональных знаков (если они не являются выво-
выводимыми уже сами по себе).
Замечание. Рекурсивные равенства для сложения и умно-
умножения, фигурирующие среди аксиом системы (Z'), можно специ-
специально и не вводить, так как они включаются в п. 5, а аксиомы
а'фО
с помощью схемы примитивной рекурсии могут быть выведены
из формулы 0'^=0, как было показано ранее1).
Для описанного таким образом формализма мы имеем способ
нахождения истинностных значений его постоянных формул. Этот
способ состоит в последовательном вычислении истинностных зна-
значений формул по значениям их составных частей и он слагается из:
а) истолкования связок исчисления высказываний как истин-
истинностных функций;
б) распределения истинностных значений для равенств между
цифрами; при этом равенство такого рода считается истинным,
если обе его части одинаковы, и ложным, если они различны;
в) процедуры вычисления значений функциональных знаков
с аргументами в виде цифр, связанной с введением этих знаков
по схемам, упомянутым в п. 5.
С учетом этого распределения истинностных значений, для
описанного нами формализма оказываются верными (ввиду спра-
справедливости нп-теоремы) следующие утверждения:
1. Всякая выводимая постоянная формула этого формализма
является истинной. Отсюда, в частности, следует, что формула
О' = О невыводима и что не могут оказаться одновременно выво-
выводимыми какие-либо две формулы 81 и St.
См. т. I, гл. VII, с. 368-369.
$ 1J ПРИМЕНЕНИЕ НП ТЕОРЕМЫ К АРИФМЕТИКИ 81
2. Всякая выводимая формула, не содержащая ни формуль-
формульных переменных, ни связанных индивидных переменных, является
верифицируемой.
3. Если выводима какая-либо формула вида
з^... a^sifo 5»),
не содержащая никаких переменных, кроме jlt ..., £„, то по ее
выводу могут быть найдены такие цифры j1( ..., jn, что будет
истинной формула
® (
4. Если выводима какая-либо формула вида
не содержащая никаких переменных, кроме указанных явно, то
для любой системы цифр г , ..., rm можно указать такие цифры
*v ..., $„, что будет истинной формула
«(Ч «т. «х «»)•
Если мы примем во внимание, что во всех утверждениях 1—4
речь идет о выводимости формул без формульных переменных,
то у нас получится еще один результат, касающийся сферы дей-
действия этих утверждений. В самом деле, замену общей аксиомы
равенства (J2) соответствующими специальными аксиомами при
переходе от системы (Z) к системе (Z') мы с самого начала произ-
произвели с учетом того, что при исследовании вопроса о непротиво-
непротиворечивости эта замена не накладывает на результат никаких огра-
ограничений, так как по отношению к выводимости формул без фор-
формульных переменных общие аксиомы равенства равносильны
этим специальным.
В связи с вопросом о том, будет ли эта равносильность
оставаться в силе в случае расширенного формализма, мы, прежде
всего, заметим, что специальные аксиомы равенства для функ-
функциональных знаков, добавившихся из-за включения соответствую-
соответствующих схем по п. 5, включены в наш формализм по п. 6.
Что же касается логической части формализма, то мы должны
принять во внимание, что доказанная в гл. VII т. I теорема
о равнозначности общей аксиомы равенства соответствующим спе-
специальным аксиомамх) справедлива для теорий, формализованных
с помощью исчисления предикатов, в то время как в нашем фор-
формализме содержится еще и е-символ с относящейся к нему е-фор-
мулой. Для таких формализмов соответствующая теорема о рав-
равносильности не только не доказана, но и вообще, как это можно
См. т. I, с 458.
82 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ е-СИМВОЛА {ГЛ II
показать1), не имеет места. Но в гл. VIII т. I было показано,
что при добавлении i-правила общая аксиома равенства продол-
продолжает оставаться равносильной специальным аксиомам*); а с дру-
другой стороны, как уже упоминалось, при использовании е-формулы
i-правило является производным и, значит, содержится в рас-
рассматриваемом формализме.
Таким образом, утверждения 1—4 сохранятся, если мы изме-
изменим ограничения на наш формализм, условившись, что он со-
содержит:
1) исчисление предикатов;
2) i-правило;
3) символы = , 0 и штрих-символ, а также аксиомы
4) схему индукции рекурсивной арифметики (как прежде);
5) схемы для введения функциональных знаков (как прежде).
Следует еще раз подчеркнуть, что в данной ситуации добав-
добавление i-правила не опирается на приведенное в гл. VIII т. I
доказательство устранимости i-правила. Мы используем здесь
лишь возможность замены общей аксиомы равенства (J2) (или
соответственно общей схемы для равенства), а также сводимость
i-правила к е-формуле.
Известным недостатком нашего подхода может показаться то
обстоятельство, что общая аксиома равенства (J2) вновь вовле-
вовлекается нами в рассмотрение окольным путем, в то время как
первая е-теорема пока что доказана без учета этой аксиомы.
В этом заключается также и причина того, что в последней вер-
версии нашего результата е-формализм пришлось сократить до i-фор-
мализма.
Но на самом деле имеется возможность доказать первую
е-теорему — а также и ее обобщение — с включением аксиомы (J2),
в чем мы вскоре убедимся.
§ 2. Распространение первой е-теоремы на общую
аксиому равенства
а) Подготовительные соображения; основной тип; формулы
е-равенства. Напомним формулировку первой е-теоремы8). В ней
речь идет о произвольном формализме F, получающемся из фор-
!) В дальнейшем доказательство этого факта мы еще приведем. См. при»
мечание на с. 87—88.
2) См. т. I, Добавление, с. 547.
») См. с. 36.
§ 2] ВКЛЮЧЕНИЕ АКСИОМЫ Ш В ПЕРВУЮ 8 ТЕОРЕМУ 83
мализма исчисления предикатов в результате добавления к нему
в качестве символов каких-либо индивидных, функциональных и
предикатных символов, а также е-символа, а в качестве исходных
формул — е-формулы и каких-либо собственных аксиом $ ..., Щ,
не содержащих связанных переменных. Утверждение этой е-тео-
ремы гласит, что из любого осуществляемого средствами форма-
формализма F вывода формулы §, не содержащей связанных перемен-
переменных, использование связанных переменных может быть полностью
исключено.
ВпоследствииL) мы обобщили эту теорему до утверждения
о том, что по любому осуществляемому средствами формализма F
выводу какой-либо формулы (£ вида
не содержащей никаких связанных переменных, кроме £х, ..., jr,
можно получить осуществляемый без использования связанных
переменных вывод некоторой формулы (£г вида
где tf\ ..., № (t=l, ..., в) суть какие-либо термы, построен-
построенные из свободных переменных, индивидных символов и функцио-
функциональных знаков.
Теперь мы должны доказать эти теоремы и для того случая,
когда рассматриваемый формализм F содержит общие аксиомы
равенства
(J0 а = а
и
(J,) a = b-*(A(a)-*A(b)),
вторая из которых не является собственной.
Для доказательства мы снова воспользуемся рассуждением,
с помощью которого в гл. VII т. I в применении к рассмотрен-
рассмотренному там формализму мы показали2), что в выводе любой формулы,
не содержащей формульных переменных, аксиома (J2) может быть
заменена рядом собственных аксиом.
Из этого рассуждения получается, что для любой бескван-
бескванторной формулы 91 (а), элементарные подформулы которой строятся
из индивидных переменных, а также индивидных, функциональ-
функциональных и предикатных символов, вывод формулы
из аксиомы (Jt) и фигурирующих вместо аксиомы (J8) собствен-
г) См. с. 54.
*) См. т. I, с. 456—45?.
84 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ е-СИМВОЛА [ГЛ I!
ных аксиом можно получить без использования кванторов, а зна-
значит, в рамках элементарного исчисления со свободными пере-
переменными.
Однако сказанное нельзя немедленно применить к рассматри-
рассматриваемому здесь формализму F, поскольку в этом формализме
присутствует е-символ. Чтобы уяснить себе, какую модификацию
нашего утверждения придется произвести из-за появления е-тер-
мов, мы проведем сейчас некоторое вспомогательное рассмотрение,
касающееся структуры е-термов. В этом рассмотрении речь будет
идти только о термах, не содержащих формульных переменных,
причем иногда это обстоятельство мы не будем оговаривать явно.
Как правило, е-терм содержит в качестве составных частей
другие термы. Составную часть е-терма е, которая является тер-
термом, но не находится внутри какого-нибудь другого терма, являю-
являющегося составной частью е, мы будем называть прямым под-
подтермом е-терма е*).
Пусть е —какой-либо е-терм, у которого число всех прямых
подтермов (рассматриваемых с учетом не только их вида, но и
расположения в е) равно f. Тогда основным типом1) е-терма с
с аргументными переменными к>1, ..., к>{ мы будем называть терм,
который получается из е, если вместо прямых подтермов этого
терма подставить в порядке их очередности слева направо сво-
свободные переменные к>1, ..., *>f. Основным типом е-терма с, не со-
содержащего в качестве составных частей никаких других термов,
будет считаться сам этот терм с.
Из сказанного ясно, что основной тип данного е-терма опре-
определяется однозначно с точностью до обозначений аргументных пере-
переменных, причем степень основного типа всегда равна единице,
так как в нем не содержится никаких вложенных в него е-тер-
е-термов. С другой стороны, основной тип е-терма с имеет тот же
самый ранг, что и е, так как в том случае, когда он не совпа-
совпадает с с, он получается из е путем замены определенных термов,
фигурирующих в качестве составных частей терма с, некоторыми
другими термами2).
Среди прочих е-термов основные типы могут быть охаракте-
охарактеризованы как такие е-термы, у которых в качестве составных
частей нет никаких других термов, кроме свободных индивидных
переменных, и в которых ни одна свободная переменная не встре-
*) Здесь полезно обратить внимание читателя на то, что прямые под-
подтермы е-терма могут не быть е-термами.—Прим. ред.
!) Понятие основного типа е-терма восходит к одному аналогичному поня-
понятию, введенному Дж. фон Нейманом в работе: Neumann J. v. Zur Hilbert-
schen Beweistheorie. — Math. Z., 1927, 26, S. 28.
*) Иногда, отвлекаясь от обозначений аргументных переменных, мы будем
говорить об основном типе данного е-терма, имея в виду какой-нибудь его
основной тип.
f 2! ВКЛЮЧЕНИЕ АКСИОМЫ Ш В ПЕРВУЮ е-ТЕОРЕМУ 85
чается дважды. Два отличных друг от друга е-терма имеют оди-
одинаковые основные типы тогда и только тогда, когда один из этих
термов получается из другого в результате замены некоторых
термов, фигурирующих в нем в качестве составных частей,
какими-либо другими термами.
Процесс построения основных типов е-термов мы поясним на
следующем примере. Основным типом е-терма
с аргументными переменными а и Ъ является е-терм
ех(а = еу(Ь<у&у<х)).
Из двух вложенных в исходный терм е-термов
первый в качестве основного типа имеет е-терм еу (а = ez (y-\- Ъ <z))
с аргументными переменными а и Ь, а второй сам является своим
собственным основным типом.
Если с помощью явных определений мы введем какие-либо
сокращающие символы для основных типов всех е-термов задан-
заданной формулы, а именно, индивидные символы для основных типов
без аргументов и функциональные знаки с аргументами ю1,..., »f
для основных типов с этими аргументами, то с использованием
этих символов каждый входящий в данную формулу е-терм изо-
изобразится как некоторое выражение, построенное из свободных
переменных, индивидных символов и функциональных знаков.
Например, е-терм, только что рассмотренный нами в качестве
примера, с использованием явных определений
Ф(а, Ь)^ех(а =
-tip (а, Ь) = гу(а = ег(у+Ь<г)),
а = ez (z + е„ (и = z)< z")
изобразится выражением
Ф(Ч>(с + 2, 1), а).
Общее доказательство высказанного утверждения легко полу-
получается финитной индукцией по степени рассматриваемого е-терма.
Можно также убедиться, что в выражении, получающемся из
какого-либо е-терма е в результате использования сокращающих
символов для основных типов, встречаются те же самые термы
без е-символа, которые входят в качестве составных частей
в терм е.
86 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ е-СИМВОЛА [ГЛ. It
Рассмотрим, в частности, формулу вида
а = Ь^(Ш (а) ->
которая не содержит формульных переменных, но, быть может,
содержит е-термы. Если для основных типов входящих в нее
е-термов мы введем сокращающие их символы, то вместо рас-
рассматриваемой формулы мы получим некоторую новую формулу
а = Ь->-C1*(а)->31*(&)),
в которой е-символов уже больше не будет (зато в ней появятся
ранее не встречавшиеся индивидные и функциональные символы).
Эта формула может быть выведена средствами исчисления
предикатов (а если формула 31 (а), а значит, и 31* (а), не содер-
содержит кванторов, то уже средствами одного только элементарного
исчисления со свободными переменными) из формул
(Ji) a = a,
и формул вида
а = Ь-
а = Ь-
(в этих формулах Q всюду представляет собой некоторый вхо-
входящий в формулу 31* (а значит, и в 31) предикатный символ,
a f —некоторый входящий в 31* функциональный знак, т. е. или
функциональный знак, входящий в 31, или знак, введенный
в качестве сокращающего символа для основного типа какого-
либо е-терма; при этом имеющиеся, но явно не указанные места
для аргументов предикатных и функциональных символов запол-
заполняются свободными индивидными переменными, отличными друг
от друга и от переменных а и Ь).
Теперь, чтобы из вывода формулы
получить вывод формулы
достаточно всюду заменить введенные нами сокращающие сим-
символы определяющими их е-термами. При этом вместо формулы
где f(-) представляет собой вводимый для некоторого основного
типа сокращающий символ, получится формула
§ 2] ВКЛЮЧЕНИЕ АКСИОМЫ (Jj) В МЕРВУЮ е-ТЕОРЕМУ 87
в которой фигурирующий в ней е-терм ео59 (ч>, а) будет основным
типом.
Таким образом, всякая формула вида
где 31 (а) — формула, не содержащая формульных переменных,
которая, кроме символов исчисления предикатов, может содер-
содержать еще индивидные, функциональные и предикатные символы,
всегда может быть выведена из:
1) формул (Jx) и (i),
2) специальных аксиом равенства, имеющих указанный ранее
вид и связанных с предикатными символами и функциональными
знаками, входящими в'формулу 31 (а), и
3) формул вида
а) = ео59(», Ь),
где е^ЗЗ(t>, а) — какой-либо основной тип.
Этот вывод осуществляется средствами исчисления предикатов
или, если формула 81 (а) не содержит кванторов, средствами эле-
элементарного исчисления со свободными переменными. При этом
могут также добавиться подстановки е-термов вместо свободных
индивидных переменных.
Замечание. Отметим, что каждая формула вида
а = 6-»ео59(», а) = 6,8A», Ь)
получается в результате подстановки (и, быть может, переиме-
переименования связанных переменных) из формулы
а = Ь-+&хА(х, а) = &хА(х, Ь),
которая в свою очередь выводится из формул (Jx) и (J2) совер-
совершенно таким же образом, каким для функционального знака f (•)
выводится формула
b
г) См. т. I, с. 237—238.—Здесь представляется удобный случай привести
обоснование высказанного ранее (см. с. 82) утверждения о том, что равно-
равносильность общей аксиомы равенства (J2) соответствующим специальным аксио-
аксиомам равенства применительно к выводам формул без формульных переменных,
установленная нами для аксиоматических теорий, формализованных средствами
исчисления предикатов, перестает иметь место при добавлении к этим тео-
теориям е-символа и е-формулы.
В самом деле, доказательство этого факта с использованием только что
отмеченной выводимости формул вида
а=й->еоа3(», а) = ео33(», Ь)
из аксиом (Jj) и (J2) может быть получено следующим образом.
Мы рассматриваем формализм, состоящий из исчисления предикатов с до-
добавлением к нему е-символа, е-формулы, а также символов и аксиом
системы (Z), но с опущенной аксиомой индукции.
В этом формализме выводится формула
88 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ е-СИМВОЛА ГГЛ II
Полученный результат мы теперь используем для намеченного
нами1) распространения первой е-теоремы на формализм F,
содержащий аксиомы равенства (Ji) и (Ja).
а =- b -*■ гх (х Ф а) = ех (х Ф Ь),
из которой с помощью аксиомы а+0=а выводится формула
[8] гх(х
Если бы в этом формализме тоже имелась возможность замены в выво-
выводах формул без формульных переменных аксиомы (J2) соответствующими спе-
специальными аксиомами равенства, то в выводе формулы [г] аксиому (J2)
можно было бы заменить этими специальными аксиомами. В результате этой
замены вместо аксиом системы (Z) у нас появились бы аксиомы системы (Z').
Поэтому из аксиом системы (Z') и из е-формулы средствами исчисления пре-
предикатов должна была бы выводиться формула [е].
Но формула [г], взятая совместно с формулами
1 J \чх(хф0+0) = (
и аксиомами системы (Z'), ведет к противоречию. Поэтому формализм Ръ со-
состоящий из исчисления предикатов, символов и аксиом системы (Z'). 8-сим-
вола, взятого вместе с 8-формулой, и двух принимаемых в качестве аксиом
формул [е*], был бы противоречивым. Однако это не так: в непротиворечивости
формализма Ft можно убедиться при помощи процедуры устранения 8-симво-
лов. Необходимо только, принимая во внимание наличие аксиом [е*], моди-
модифицировать эту процедуру следующим образом.
При устранении критических формул из какого-либо доказательства те
критические формулы, которые относятся к термам гх(хФ0) и ех(хф0+0),
процедуре исключения не подвергаются. Так как эти формулы имеют ранг 1
и степень 1, то при заменах, прои»водимых для устранения остальных крити-
критических формул, онн останутся без изменений. Когда все эти критические
формулы будут полностью устранены, терм гх(хф0) надо будет заменить
термом 0', а терм гх (хФ0+0)—термом О". Тогда связанные с этими е-тер-
мами критические формулы перейдут в формулы вида
и формулы [s*J перейдут в формулы
0' = 0' и С—О".
Но все эти формулы выводимы из аксиом системы (Z') средствами элемен-
элементарного исчисления со свободными переменными.
Таким образом, по нормированному доказательству любой нумерическоЙ
формулы Ш, осуществляемому средствами формализма Flt мы получаем вывод
этой формулы из аксиом системы (Z') средствами элементарного исчисления
со свободными переменными. Так как аксиомы системы (Z') являются вери-
верифицируемыми формулами, отсюда следует, что формула @ является истинной.
Следовательно, формализм Ft непротиворечив, и, значит, формула [е]
не может быть выведена из аксиом системы (Z') с помощью исчисления пре-
предикатов и е-формулы.
*) См. с. 83.
§ 2] ВКЛЮЧЕНИЕ АКСИОМЫ (Ji) В ПЕРВУЮ 8-ТЕОРЕМУ 89
И в том случае, когда заключительная формула вывода не со-
содержит связанных переменных, и в том случае, когда она начи-
начинается кванторами существования, но не содержит ни других
кванторов, ни е-символов, мы начнем наше доказательство со-
совершенно так же, как и раньше. Сначала мы покажем, что,
не ограничивая общности, заключительную формулу (f можно
считать формулой без свободных переменных. Затем мы исклю-
исключим из вывода кванторы, заменяя изнутри каждое выражение
вида 3»g(») выражением g(e8g(»)) и каждое выражение вида
Vt>5 (») — выражением g (е0 ~1 5 (»)). При этом во избежание кол-
коллизий между связанными переменными мы должны будем произ-
произвести необходимые переименования. В процессе этих преобразо-
преобразований применения схем (а) и (Р) переходят, как мы уже знаем,
в некоторые подстановки, основная формула (Ь) переходит в ё-
формулу, а основная формула (а) переходит в некоторую фор-
формулу, выводимую из е-формулы с помощью подстановки и
контрапозиции. Мы добавляем вывод этой формулы к рассмат-
рассматриваемому выводу.
В вопросе о влиянии этой операции исключения кванторов
на заключительную формулу € мы должны различать наши два
случая: случай, когда эта формула не содержит связанных пере-
переменных, и случай, когда она имеет вид
В первом случае формула (Е остается без изменений; во втором
случае вместо нее появляется формула вида
Ц*г, .... ас),
где а1( ..., ас — некоторые е-термы1).
Далее с помощью разложения доказательства на нити мы
произведем возвратный перенос подстановок в исходные формулы,
а после этого исключим свободные переменные2). При этом
на месте исходных формул первоначального вывода формулы (£,
содержащих свободные переменные, окажутся некоторые фор-
формулы, получающиеся из них в результате соответствующих
подстановок. В частности, вместо аксиомы (J2), фигурирующей
в качестве исходной формулы, мы получим исходные формулы
вида
которые не будут содержать никаких свободных (и, в частности,
формульных) переменных, а также не будут содержать и кван-
х) См с. 43, 45.
•) См. с. 39.
90 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ 8 СИМВОЛА [Г Л II
торов. Любая формула этого вида получается в результате под-
подстановки из соответствующей формулы
а-6-* (И (а)-*-Я F)),
а эта последняя, как мы отметили выше, выводится из формулы
(Jj), специальных аксиом равенства и формул вида
a = &-*-e9<8(t>, o) = e9«8(t>, b),
причем этот вывод осуществляется средствами элементарного
исчисления с допущением подстановок е-термов вместо свободных
индивидных переменных.
Специальные аксиомы равенства, которыми нам придется
пользоваться, принадлежат некоторому определяемому форма-
формализмом F конечному запасу формул, а именно совокупности тех
формул равенства, имеющих вид
которые соответствуют предикатным символам и функциональным
знакам из F (точнее, их различным аргументам). [Формула (i),
т. е. формула
а = Ь -»- (а = с -*■ Ъ = с),
содержится в их числе.] Мы будем кратко называть эти фор-
формулы формулами (ip). Все они не содержат никаких пере-
переменных, кроме свободных индивидных, и могут быть выведены
из аксиом (Ji) и (J2) без использования связанных переменных:
формулы, относящиеся к предикатным символам, — непосредствен-
непосредственной подстановкой из (J2), а формулы, относящиеся к функцио-
функциональным знакам, — с использованием аксиомы (Jx).
С нашим преобразованным таким образом доказательством
формулы (И мы теперь поступим следующим образом. Над всякой
встречающейся в нем исходной формулой
а = Ь-*-(Я(а)-*-Я(Ь))
мы надстроим вывод, который получается из вывода соответ-
соответствующих формул
a-6-ЦЯ («)-►* F)),
подстановкой в его заключительную формулу термов а и Ь
§2]
ВКЛЮЧЕНИЕ АКСИОМЫ (J2) В ПЕРВУЮ е-ТЕОРЕМУ 91
вместо переменных а и Ь\ при этом вывод формулы
а = &-*-(« (а)-*-«(&))
производится с использованием формул (J^, (iF) и формул вида
а = Ь-* 8,33A», а) = 8,58^, Ь),
где всякий раз ем23 (», а) представляет собой некоторый основной
тип.
К этим достроенным выводам мы снова применим операции
возвратного переноса подстановок в исходные формулы и исклю-
исключения свободных переменных. При этом на месте любой формулы
а = Ь-*-г&(ч>, а) = 8,23(ю, Ъ)
с основным типом 8М35 (v, а), использованной в качестве исход-
исходной, окажется формула
где 8U33* (», а) и е„33* (», Ь) суть термы с основным типом
еи39 (», а), в которых место аргумента этого основного типа,
которое в ев33 (v, а) занято переменной а, заполнено термами а
и Ь соответственно.
Полученная таким образом фигура может быть рассматрива-
рассматриваема как вывод в рамках того формализма F*, который полу-
получится из F, если мы опустим аксиому (J2), заменив ее форму-
формулами (t/r), и включим в число исходных формул формулы вида
0о, Ь),
у которых термы а и b в термах е„33 (», а) и е„33 (», Ь) стоят
на месте некоторого аргумента общего основного типа этих
термовх).
Конечно, получающийся здесь вывод является выводом лишь
в обобщенном смысле этого слова, так как в качестве исходных
формул в нем фигурируют такие формулы, которые не являются
непосредственно формулами формализма F*, а только получаются
из них в результате некоторых подстановок2).
Итак, все аксиомы формализма F* являются собственными
аксиомами без связанных переменных и тем самым единственное
отличие от ситуации, которая у нас имелась в гл. I при дока-
доказательстве первой е-теоремы, заключается в наличии исходных
J) Заметим, что терм д, входящий в состав какого-либо е-терма, не обя-
обязательно стоит на месте какого-нибудь аргумента основного типа этого е-терма;
он может быть составной частью некоторого объемлющего его терма, нахо-
находящегося внутри указанного е-терма.
aj Аналогичная ситуация имела месю в гл. 1, с. 39.
92 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ 8-СИМВОЛА [ГЛ. II
формул
а = Ь-*еюЗЗ(», а) = ею33(», Ь),
которые представляют собой, так сказать, критические формулы
нового вида. Формулу этого вида, у которой заданные термы а
и b стоят в термах ею23 (», а) и ею23 (», 6) на месте некоторого
аргумента общего основного типа этих термов (как это всегда
имеет место у исходных формул этого вида), мы будем называть
формулой е-равенства, связанной с е-термами ео33 (», а) и
ев33(», Ь). Общий ранг обоих этих е-термов мы будем считать
рангом этой формулы е-равенства, а общий основной тип обоих
этих е-термов мы будем называть основным типом этой формулы
е-равенства (или же связанным с нею основным типом,
а точнее, основным типом, с которым связана данная формула
е-равенства).
Замечание. В нашем определении формулы е-равен-
е-равенства мы не требуем, чтобы рассматриваемые нами термы а и
b обязательно были различными. Мы вполне могли бы наложить
это ограничение, так как любая формула вида
а = а *->• ею23 (», а) = ею23(», а)
с использованием подстановки может быть выведена средствами
исчисления высказываний и поэтому в качестве исходной фор-
формулы оказывается излишней. Но чтобы избежать необязатель-
необязательного разбора частных случаев, мы допустим и такие формулы
в качестве формул е-равенства. Там, где будет важно их свое-
своеобразие, мы будем называть такие формулы вырожденными.
Теперь допустим, что из какого-либо вывода рассматриваемого
вида нам удалось устранить все формулы е-равенства и крити-
критические формулы, так что, как в проведенном в гл. I доказатель-
доказательстве нашей е-теоремы1), после замены остающихся термов пере-
переменной а получается вывод, совершенно не использующий свя-
связанные переменные, причем если заключительная формула (£
первоначального вывода является формулой без связанных пере-
переменных, то у нас снова получается вывод формулы (Е, а если B
имеет вид
где 8l(jjlt ..., sc) не содержит других связанных переменных,
отличных от £х,..., £t, то получается вывод некоторой дизъюнкции
9i(t{'\ .... t
Тогда для тех исходных формул, которые возникли в результате
См, с. 47 и далее,
- j] ВКЛЮЧЕНИЕ АКСИОМЫ (J.) В ПЕРВУЮ е-ТЕОРЕМУ 93
подстановок из добавленных аксиом (iF), мы можем достроить
их выводы из аксиом (Jx) и (J2) и таким образом прийти к выводу
рассматриваемой нами заключительной формулы, укладываю-
укладывающемуся в рамки формализма F и протекающему без использова-
использования связанных переменных.
Тем самым наше доказательство сводится к тому, чтобы процедуру
устранения критических формул надлежащим образом перестроить
в процедуру совместного исключения критических формул и фор-
формул е-равенства.
б) Совместное устранение критических формул и формул
е-равенства. Методика, с помощью которой гильбертовскую про-
процедуру устранения е-символов удается распространить и на фор-
формулы е-равенства, была найдена и в основных своих чертах
изложена В. Аккерманом в связи с предпринятой им реализацией
гильбертовского подхода, при котором включение общей аксиомы
равенства (J2) было запланировано заранее.
Применяя данную методику к какому-либо конкретному дока-
доказательству, из которого будут устраняться е-символы, мы будем
пользоваться следующими его свойствами:
1. Каждая исходная формула рассматриваемого доказательства
либо получается в результате подстановки из какой-либо тождест-
тождественно истинной формулы исчисления высказываний или из соб-
собственной аксиомы, не содержащей кванторов, либо является кри-
критической формулой или формулой е-равенства.
2. В нем отсутствуют кванторы, и дедуктивная взаимосвязь
составляющих его формул основывается исключительно на при-
применении схемы заключения, на повторении уже имеющихся фор-
формул и на переименованиях связанных переменных.
Доказательства такого рода мы будем называть нормиро-
нормированными доказательствами (на этот раз в обобщенном
смысле1), так как в качестве исходных формул мы теперь допу-
допускаем и формулы е-равенства).
Далее, мы воспользуемся тем обстоятельством, что форма-
формализм F*, в рамках которого осуществляется рассматриваемое
нормированное доказательство, содержит аксиомы (Jx) и (iP). Как
мы уже видели, с помощью этих аксиом, добавляя формулы
е-равенства, можно вывести любую принадлежащую формализму
F* формулу вида
не содержащую формульных переменных. При этом соответствую-
соответствующие формулы е-равенства получаются в результате подстановки
из формул вида
о»6-*е,Й(», а) = ь^Ь {ч>, Ь),
1) См. с. 40.
94 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ е СИМВОЛА [ГЛ II
где е„2) (я, а) представляет собой основной тип некоторого е-терма
встречающегося в формуле Я (с); поэтому ранг любой из исполь-
используемых формул е-равенства равен рангу некоторого встречаю-
встречающегося в Щ (с) е-терма.
Помимо указанных свойств исходного нормированного доказа-
доказательства и рассматриваемого нами формализма мы еще должны
четко представлять себе, что заключительная формула доказа-
доказательства должна обладать определенными свойствами. Нашу про-
процедуру устранения мы будем строить с таким расчетом, чтобы
она охватывала оба рассматриваемых случая е-теоремы: и случай,
когда заключительная формула (£ не содержит связанных пере-
переменных, и случай, когда заключительная формула имеет вид
и не содержит никаких связанных переменных, кроме £х, ...,£г.
Любая формула такого вида при исключении из нее кванторов
с помощью е-символа, как известно, переходит в формулу вида
где а1Э ..., ас — некоторые термы, вне которых не содержится
ни одного е-символа этой формулы. Поэтому наша задача, с одной
стороны, заключается в том, чтобы по любому нормированному
доказательству с заключительной формулой €, не содержащей
е-термов, построить какое-либо нормированное доказательство
этой формулы, не содержащее ни критических формул, ни фор-
формул е-равенства, а с другой стороны, в том, чтобы по любому
нормированному доказательству с заключительной формулой €
вида %(av .... as), где аг,..., ав — некоторые термы, включающие
в себя все е-термы этой формулы, построить какое-либо норми-
нормированное доказательство, не содержащее ни критических формул,
ни формул е-равенства, для некоторой формулы
где каждый из дизъюнктивных членов (£t (t = l б) имеет вид
с какими-либо термами ц\ ..., t^ .
Решение первой задачи содержится в решении второй, по-
поскольку мы допускаем, чтобы с, т. е. число аргументов формулы
31 (av ..., at), равнялось нулю. В этом случае каждый член
дизъюнкции
3 2] ВКЛЮЧЕНИЕ АКСИОМЫ (Jj) В ПЕРВУЮ е-ТЕОРЕМУ 96
должен совпадать с (£, а из дизъюнкции
<£V..-V®
формула (£ может быть получена по правилам исчисления выска-
высказываний. Поэтому первую задачу можно отдельно и не рас-
рассматривать.
Связь дизъюнкции (£XV ••• V^e c формулой S заключается
в том, что каждый из ее членов либо совпадает с (£, либо полу-
получается из (£ в результате замены одного или нескольких входящих
в (£ е-термов некоторыми другими термами (которые тоже могут —
но не обязаны — быть е-термами). Переход от формулы (£ к такой
дизъюнкции (£х\/ ••• V®« мы в свое время назвали дизъюнк-
дизъюнктивным расщеплением этой формулы1). Как уже было
отмечено ранее1), последовательное выполнение дизъюнктивных
расщеплений снова дает дизъюнктивное расщепление, так что
если ©1 получается в результате дизъюнктивного расщепления
из (£, а (£2 из (£х, то (£2 тоже получается в результате дизъюнк-
дизъюнктивного расщепления формулы (£.
С учетом сказанного, совместное устранение из какого-либо
нормированного доказательства и критических формул, и фор-
формул е-равенства может быть сведено к ряду отдельных шагов,
на каждом из которых устраняется одна из этих формул. При
этом поскольку каждый из этих шагов либо оставляет заключи-
заключительную формулу без изменений, либо дизъюнктивно расщепляет
ее, последовательное выполнение всех этих шагов тоже приведет
самое большее к дизъюнктивному расщеплению заключительной
формулы.
В дальнейшем, когда будет говориться об устранении
критических формул или об устранении формул е-равенства,
всегда будет иметься в виду устранение такого типа, при кото-
котором заключительная формула рассматриваемого нормированного
доказательства либо остается без изменений вообще, либо под-
подвергается одному только дизъюнктивному расщеплению.
Подобно нашей прежней процедуре устранения критических
формул2), подготавливаемая процедура будет использовать сле-
следующие две вспомогательные операции: операцию импликативного
Добавления посылки и операцию замены е-термов.
Операция импликативного добавления формулы 33 заключается
в том, что сначала к каждой формуле рассматриваемого норми-
нормированного доказательства приписывается в качестве посылки фор-
формула 33, и затем 1) над каждой формулой 33-»-$, стоящей на
месте первоначальной формулы ty, надстраивается (если сама эта
формула не является допустимой исходной формулой) ее вывод
[) См. с. 53.
2) См. с. 37, 47 и далее.
96 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ е-СИМВОЛА {ГЛ II
из формулы ф средствами исчисления высказываний и 2) вместо
каждой последовательности формул
33-v@
стоящей на месте какой-либо прежней схемы заключения, поме-
помещается (тоже осуществляемый средствами исчисления высказыва-
высказываний) вывод третьей из этих формул из первых двух.
Импликативное добавление какой-либо формулы 33, не содер-
содержащей ни формульных переменных, ни кванторов, переводит
нормированное доказательство формулы (Е в нормированное дока-
доказательство формулы 33->-(£.
Операция замены какого-либо е-терма е термом f заключается
в том, что е-терм е всюду, где он встречается в рассматриваемом
нами нормированном доказательстве, заменяется термом f.
Ранее1) мы установили, что в результате замены какого-либо
е-терма е новым термом критическая формула, не связанная с е,
может подвергнуться изменениям лишь тогда, когда ее ранг или
ее степень превосходит ранг или соответственно степень терма е;
а критическая формула, не связанная с е, ранг которой не пре-
превосходит ранга терма е, в результате этой замены всегда пере-
переходит в новую критическую формулу, ранг которой равен рангу
первоначальной формулы.
Теперь рассмотрим вопрос о том, какому изменению в резуль-
результате замены е-терма е подвергается формула е-равенства
a) = es33(t>, Ь),
не связанная с термом е.
Как известно, эта формула обладает тем свойством, что терм а
в е-терме ео23 (», а) и терм b в е-терме ев33 (», Ь) стоят на месте
некоторого аргумента общего основного типа этих е-термов; с дру-
другой стороны, терм е, если он входит в эту формулу, может стоять
только на месте одного или нескольких аргументов соответствую-
соответствующего основного типа или же в посылке а = Ь. Поэтому данная
формула е-равенства, если в результате этой замены она вообще
подвергается каким-либо изменениям, переходит в некоторую
формулу вида
t), b*),
где ео331(», с) имеет тот же самый основной тип, что и ео93(», с).
Таким образом, получается, что при замене какого-либо
е-терма е любая не связанная с этим е-термом формула е-равен-
») См. с. 49—51.
^ 2] ВКЛЮЧЕНИЕ АКСИОМЫ (Jj) В ПЕРВУЮ е-ТЕОРЕМУ 97
ства, если она вообще подвергается каким-либо изменениям, снова
переходит в формулу е-равенства, а ее основной тип —а тем
самым и ранг —остается без изменений.
Теперь, на основе всех этих замечаний относительно влияния
замен на критические формулы и на формулы е-равенства, мы
произведем устранение этих формул по этапам, путем последова-
последовательного понижения наибольшего из рангов этих формул, подобно
тому, как это делалось в прежнем доказательстве нашей е-тео-
ремы. Действительно, нам будет достаточно разработать метод,
позволяющий исключать из нормированных доказательств те кри-
критические формулы и формулы е-равенства, которые имеют ранг,
наибольший из числа встречающихся. Не будет большой беды,
если при этом будут возникать новые критические формулы или
формулы е-равенства, лишь бы только они имели более низкий
ранг.
В случае, когда в заданном нормированном доказательстве
наибольший ранг m имеют только критические формулы, а формул
е-равенства с этим рангом нет, мы можем применить нашу преж-
прежнюю процедуру исключения критических формул. Она состоит,
как мы помним, в том, что шаг за шагом последовательно умень-
уменьшается количество е-термов ранга т, связанных с какими-либо
критическими формулами. Чтобы убедиться, что в рассматривае-
рассматриваемой сейчас ситуации эта процедура тоже дает нужный результат,
мы напомним, как при ее реализации производится текущий
шаг устранения.
Среди е-термов ранга т, связанных в рассматриваемом норми-
нормированном доказательсте с какими-либо критическими формулами,
мы берем какой-либо один с максимальной степенью. Пусть свя-
связанные с этим термом критические формулы имеют вид
Мы строим п частичных доказательств, r-е из которых
(г=1, ..., п) получается из рассматриваемого нормированного
доказательства в результате замены терма ев33 (») термом ft и
последующего импликативного добавления посылки 33 (fc). Эти
частичные доказательства являются нормированными, потому что
в результате замены терма ев33 (») критические формулы, не свя-
связанные с этим е-термом, снова переходят в критические формулы,
так как их ранг не превосходит т, а формулы е-равенства пере-
переходят опять в некоторые формулы е-равенства, так как они не
связаны с этим е-термом.
98 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ е-СИМВОЛА [ГЛ II
Затем из первоначального нормированного доказательства путем
импликативного добавления формулы
мы получаем еще одно, (п+1)-е частичное доказательство.
Если заключительной формулой исходного нормированного
доказательства была формула S, то t-e (с=1, ..., п) частичное
доказательство будет оканчиваться формулой
где Sr получается из 2 в результате указанной замены терма
es23(»); а (п+1)-е частичное доказательство будет иметь заклю-
заключительную формулу
Из этих п +1 заключительных формул, взятых вместе, по пра-
правилам исчисления высказываний выводится формула
Таким образом, первоначальная формула (£ подвергается
дизъюнктивному расщеплению. (Повторения членов, возможно,
имеющиеся в полученной дизъюнкции, могут быть устранены
средствами исчисления высказываний.) В каждом из этих частич-
частичных доказательств на месте критических формул, связанных с е-
термом е„23(»), будут находиться формулы, получающиеся из тож-
тождественно истинных формул исчисления высказываний в резуль-
результате некоторой подстановки. Значит, эти критические формулы
больше не будут использоваться в качестве исходных. Правда,
в результате произведенных замен могут добавиться новые кри-
критические формулы и формулы е-равенства, но все они будут иметь
ранг, меньший т. Действительно, в результате замены терма
вуЗЗ (») и у критических формул, и у формул е-равенства, не свя-
связанных с этим е-термом, повышения ранга произойти не может,
а критические формулы ранга т, не связанные с термом ев58 (»),
если таковые имеются, в результате этих замен вообще не изме-
изменяются, так как они имеют степень, не превосходящую степени
терма ев33(»).
Таким образом, указанный прием действительно ведет к исклю-
исключению связанных с термом es23 (t>) критических формул, а коли-
количество е-термов ранга т, к которым относятся какие-либо крити-
критические формулы, уменьшается на единицу. Повторяя эту проце-
процедуру нужное число раз, мы придем к исключению всех критиче-
критических формул ранга т.
§ 2] ВКЛЮЧЕНИЕ АКСИОМЫ (J2) В ПЕРВУЮ е ТЕОРЕМУ 99
После этого наша задача сводится к тому, чтобы научиться
устранять из любого нормированного доказательства, у которого
наибольший ранг критических формул и формул е-равенства
равен т, формулы е-равенства ранга т. При этом можно даже
допустить, чтобы в процессе этого исключения добавлялись новые
формулы е-равенства ранга, меньшего т, и критические формулы
ранга, не превосходящего т. Действительно, если будут исклю-
исключены все формулы е-равенства ранга т, то только что описанным
способом мы сможем исключить и критические формулы ранга т.
Для устранения формул е-равенства ранга m достаточно умень-
уменьшить число различных основных типов ранга m таких, что в рас-
рассматриваемом нормированном доказательстве имеются связанные
с ними формулы е-равенства. Допустим, что выбран один из этих
основных типов, — например тот, с которым связана первая встре-
встречающаяся в данном нормированном доказательстве формула е-ра-
е-равенства ранга т. Проблема заключается в том, чтобы устранить
все связанные с этим основным типом —мы обозначим его бук-
буквой t — исходные формулы е-равенства.
Это делается очень просто, если в рассматриваемом нормиро-
нормированном доказательстве среди е-термов с основным типом t нет ни
одного такого терма, с которым были бы связаны одновременно
хотя бы одна формула е-равенства и хотя бы одна критическая
формула. В самом деле, если это условие будет выполнено и если
мы заменим переменной а каждый из тех е-термов с основным
типом t, с которым в рассматриваемом нормированном доказа-
доказательстве связаны какие-либо формулы е-равенства, то каждая
формула е-равенства, имеющая ранг т, перейдет в формулу вида
которая может быть выведена из формулы (Лг) средствами исчис-
исчисления высказываний. Вместо заключительной формулы (если она
вообще подвергнется каким-нибудь изменениям) будет стоять фор-
формула, получающаяся из нее в результате произведенных замен.
Формулы е-равенства, имеющие ранг, меньший т, перейдут в но-
новые формулы е-равенства без изменения ранга. Формулы е-равенства
ранга т, не связанные с основным типом t, опять перейдут
в формулы этого рода, с сохранением их основного типа. А кри-
критические формулы, которые имеют ранг, не превосходящий т,
тоже останутся критическими формулами и сохранят свой ранг.
Тем самым в результате указанных замен будут устранены все
связанные с основным типом t формулы е-равенства.
Этот прием оказывается неприменимым в том случае, когда
с одним из тех е-термов основного типа t, с которыми связаны
какие-либо формулы е-равенства, связаны также и какие-нибудь
критические формулы, потому что эти формулы при замене рас-
рассматриваемого е-терма переменной а теряют свой характеристи-
100 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ е-СИМВОЛА [ГЛ. II
ческий вид. В этом случае мы должны будем прибегнуть к другой
процедуре, которая тоже состоит в последовательном исключе-
исключении связанных с основным типом t формул е-равенства, но явля-
является более сложной. К изложению этой процедуры мы сейчас и пе-
перейдем.
В порядке подготовки мы сначала исключим все имеющиеся
вырожденные формулы е-равенства, что без труда может быть
сделано при помощи аксиомы (Jx). Совокупность всех имеющихся
в нашем нормированном доказательстве формул е-равенства
с основным типом t мы обозначим посредством G. Пусть среди
е-термов, с которыми связаны какие-либо формулы из G, е-терм [
имеет максимальную степень.
Сначала мы предположим, что терм [ можно выбрать таким
образом, чтобы в нашем нормированном доказательстве с ним
была связана только одна формула е-равенства. Обозначим эту
формулу буквой g. Эта формула будет иметь вид
или соответственно
a = b-*-l = f.
Второй из этих случаев мы можем легко свести к первому, так
как формула
a = b-M = f
может быть выведена из формулы
b = a->f = r,
также являющейся формулой е-равенства, с помощью формулы
а = Ь -*- b = a,
которая получается из (J^ и (i).
Формула
b
может быть более подробно записана в виде
a)=eo©(», 6),
где ев33(», а) и ев2Э(», Ь) суть термы f и (.
Ввиду условия, наложенного нами на степень терма I, этот
последний не может быть составной частью никакого другого
е-терма из числа тех, с которыми связана какая-либо формула
из G. Он не может быть также составной частью какого-либо из
термов, встречающихся в посылках формул из G.
Теперь мы заменим [ термом f. Этой заменой все отличные
от % формулы е-равенства, входящие в наше нормированное дока-
доказательство, — если они подвергнутся каким-либо изменениям
вообще —будут переведены в формулы того же самого основного
§ 2] ВКЛЮЧЕНИЕ АКСИОМЫ (J2) В ПЕРВУЮ е ТЕОРЕМУ 101
типа, а тем самым и того же самого ранга. Равным образом при
этой замене сохранят свой характеристический вид, а также и
ранг, критические формулы, не связанные с I, так как все они
имеют, самое большее, тот же самый ранг т, что и терм I. Свя-
Связанные с основным типом t и отличные от g формулы е-равен-
ства, которые, согласно нашему предположению, все не связаны
с I, в результате этой замены не подвергнутся никаким измене-
изменениям, так как [ в них не содержится в качестве составной части
какого-либо терма. Сама формула % при этом перейдет в формулу
которая выводится из аксиомы (Зг).
Теперь остается еще рассмотреть критические формулы, свя-
связанные с [. Эти последние в результате данной замены перестают
быть критическими формулами. В самом деле, любая такая фор-
формула, как мы знаем, записывается в виде
93 (с, Ь)-+Ъ(г,Ъ(ъ, b), b),
где eo33(i», b) представляет собой терм Г. В результате рассмат-
рассматриваемой замены эта формула перейдет в формулу1)
33 (b, b)->33(es$(t>, a), b),
которая более не является критической формулой.
Здесь мы выйдем из положения импликативным добавлением
формулы a = b. В результате этого вместо каждой модифициро-
модифицированной данной заменой критической формулы, связанной с тер-
термом I, мы получим формулу вида
b)->93(eo93(t>, о), Ь)).
Но любая такая формула при помощи исчисления высказываний
может быть выведена из формул
b, b)->33(b, a)),
83 (b, a)->33(eB58(t>, a), a),
(t>, a), a)->93(es93(», a), b)).
Первая из этих формул выводится из формул (Зг) и (i). Третья
является критической формулой ранга т. Вторая и четвертая
г) Заметим, что формула S3 (с, Ь), если она вообще содержит терм (, может
содержать его только в качестве составной части терма с или в качестве
самого с, так как в любом другом случае получалось бы противоречие: терм
е»*8 (»• Ь) превосходил бы в ранге или степени терм I, т. е. самого себя.
102 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ е-СИМВОЛА [ГЛ Ц
получаются в результате подстановок из формулы
A) а = Ь-+(Ъ(г, а)->-»(/■, Ь)).
Если е„3?0 (х>, с) представляет собой основной тип терма eD33 (v, с),
то формула A) либо совпадает с формулой
B) а = Ь-+(%о(г,а)-+%о(г,Ь)),
либо получается из нее в результате подстановки, причем вывод
формулы B) может быть осуществлен с помощью формул (Jx),
(if) и, возможно, некоторых формул вида
а = Ь-*е№£(п>, a) = e№£(w, b),
где всякий раз терм е№$ (ю, с) является основным типом какого-
нибудь входящего в формулу 33О (г, с) е-терма.
Так как eD230 (», с) является основным типом, то в 33О (г, с)
могут входить только такие е-термы, которые получаются из неко-
некоторого подчиненного терму evSB0 (*>, с) е-выражения, когда вместо
связанной переменной v подставляется свободная переменная г.
Тем самым эти термы имеют ранг, меньший ранга ев330(ю, с), и,
значит, ранг соответствующего терма ей$ (», с) всегда меньше т.
Если теперь в выводах формул
b = a->B3(b, b)-»-53(b, a))
a = b ->C3 (eB33 (», a), a) -* 33 (e0 (v>, a), b))
мы перенесем все подстановки в исходные формулы, то вместо
исходных формул вида
a = 6->e№$(tt>, a) = e№&(», b),
у которых е-термы, как мы установили, имеют ранг, меньший т,
появятся формулы е-равенства
b = a->e№£1(», Ь) = вй)й1(П), а),
а = b-> e^g (», a) = e№^2(w, Ь),
которые также будут иметь ранг, меньший т.
Таким образом, в итоге получается вывод формулы
a = b->C3(b, b)^23(eB33(», a), b)),
в котором, кроме формул, получающихся в результате подстано-
подстановок из тождественно истинных формул и аксиом формализма F* 1),
J) См. с. 91.
ВКЛЮЧЕНИЕ АКСИОМЫ Ш В ПЕРВУЮ Е ТЕОРЕМУ
103
используется формула
33 (Ь, а)-+33(еи23(», а), а),
т. е. критическая формула ранга т, и, возможно, некоторые фор-
формулы р-равенства, имеющие ранг, меньший т.
Если теперь для каждой из формул
a), b)),
которые получатся вместо связанных с термом [ критических фор-
формул данного нам вывода в результате произведенной замены и
импликативного добавления формулы a = b, добавить описанный
зыше вывод, то получится некоторое нормированное доказатель-
доказательство с заключительной формулой
где Si — формула, которая получается в результате этой замены
из <£.
С другой стороны, из первоначального нормированного дока-
доказательства путем импликативного добавления формулы лфЬ мы
получим некоторое нормированное доказательство формулы
в котором вместо формулы % фигурирует формула
a=5fcb-*-(a = b-*-f = l),
получающаяся подстановкой из тождественно истинной формулы
Заключительные формулы
обоих «частичных доказательств», взятые вместе, дают по прави-
правилам исчисления высказываний формулу
а в том случае, когда (£2 совпадает с (£, — формулу (Е.
Так с помощью метода частичных доказательств мы снова
приходим к некоторому нормированному доказательству, в кото-
котором формула 8 больше не используется в качестве исходной.
Вполне возможно, что при этом добавятся новые критические
формулы и формулы е-равенства, но все они будут иметь старые
ранги, т. е. формул с новыми рангами не появится. Кроме того,
у формул е-равенства, имеющих ранг т, не появится новых основ-
основных типов и новых связанных с основным типом t формул. Тем
самым число формул е-равенства, связанных с основным типом г,
уменьшится на единицу, а в случае, когда это число было равно
104 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ е СИМВОЛА [Г Л II
единице, уменьшится количество имеющихся основных типов фор-
формул е-равенства ранга т. Заключительная формула может под-
подвергнуться только дизъюнктивному расщеплению.
Сказанного уже было бы достаточно для постепенного исклю-
исключения всех формул е-равенства ранга т, если бы мы не были
ограничены предположением о том, что с термом I связана одна-
единственная формула е-равенства1). Для устранения этого огра-
ограничения нам потребуется некоторое дополнительное рассмотрение
Именно, если с термом I, замена которого производится, связано
более одной формулы е-равенства, то при замене I на f переста-
перестанут быть формулами е-равенства все те встречающиеся в нашем
нормированном доказательстве формулы е-равенства, которые свя-
связаны с I, но не связаны с f.
Чтобы более тщательно обсудить имеющиеся здесь возможно-
возможности, мы, во-первых, заметим, что, не ограничивая общности,
можно считать, — как это уже делалось ранее, когда у нас име-
имелась единственная формула %, — что у всех связанных с термом I
формул из G посылки имеют вид
так что I всегда стоит в правой части соответствующего равен-
равенства2).
Далее, введем понятие выделенного аргумента. В фор-
формуле е-равенства
общий основной тип термов <>у£) (», г) и е^ф (», 3) имеет, вообще
говоря, несколько аргументов. Тот аргумент этого основного
типа, при замещении которого отличными друг от друга термами с
и в мы получаем различные е-термы г^$ (х>, г) и ейф (t>, в), мы
будем называть выделенным в этой формуле аргу-
аргументом соответствующего основного типа.
Если © — любая связанная с I и отличная от % формула е-ра-
е-равенства, то мыслимы следующие две возможности: выделенный
в формуле © аргумент основного типа t может совпадать с выде-
выделенным аргументом в формуле % и может отличаться от него.
В первом случае, если терм ( записать в виде eB33(t>, b), фор-
формулы IS и © запишутся следующим образом:
a = b->es$(t>, a) = es$(t>, b),
< = b-*e^(t>, с) = f-V© (t>, b).
i) См. е. 100.
*) См. е. 100.
5 2] ВКЛЮЧЕНИЕ АКСИОМЫ (JO В ПЕРВУЮ Е ТЕОРЕМУ 105
Формула ® в результате замены перейдет в формулу
8 >, a).
Эта последняя уже не является формулой е-равенства. Во вто-
втором случае формулы % и @ с явно указанными обоими выделен-
выделенными аргументами запишутся в виде
, a, 6) = es53(t), b, в)
, b, r) = es33(t>, b, 6).
Производимая нами замена в этом случае представляет собой
замену терма es33(t>, b, б) термом es33(t>, a, б), и в результате
этого вместо формулы @ появится формула
>, b, 6) = es33(t>, a, б),
которая не является формулой е-равенства.
Теперь легко видеть, что в обоих случаях формула, которая
получается из формулы © в результате замены, при импликатив-
ном добавлении формулы a = b, производимом после этой замены
в первом из образуемых нами частичных доказательств, перехо-
переходит в формулу, которая выводится из аксиом (Jx), (i) и формул
е-равенства.
Действительно, в первом случае из © в результате подста-
подстановки и импликативного добавления формулы a = b получается
формула
a = b-*(c = f>~*eB33(t>, c) = es93(t>, a));
эта последняя с помощью формулы
а = b ->- (с = b ->- с = а),
которая может быть получена из (Jt) и (i), выводится из формулы
с = a -*■ es33 {а, c) = es33(», a).
Во втором случае формула, получающаяся из © в результате
подстановки и импликативного добавления посылки a = b, запи-
записывается в виде
(«, b, r) = es93(t>, a, б)),
а эта последняя получается с помощью выводимых из (Jx) и (i)
формул
a = b -*■ b = a,
«, b, r)-es33(t), a, r)&es33(t), о, г) = е„33(», a, «)-*
(t), b, t) = es33(t>, a,
106 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ Е СИМВОЛА [ГЛ. II
и следующих формул е-равенства:
Ь = а-^е„чз(», Ь, г)=в„8(», а, г),
v = e-+eJ8(v, «. 0 = 8»55(». л, в).
Но сказанное еще не устраняет всех трудностей. Правда, при
построении первого частичного доказательства мы можем после
выполнения замены I на ? и импликативного добавления посылки
л — b вставить только что указанные выводы для формул, полу-
получающихся вместо отличных от 8 связанных с I формул е-равен-
е-равенства, — точно так же, как мы должны были включить выводы
для формул, получающихся вместо связанных с I критических
формул, — и таким образом придем к некоторому нормированному
доказательству формулы
а = Ь->-<£ь
где ®i — формула, получающаяся из (£ в результате замены.
Однако используемые при этом формулы е-равенства
с) = е„93(», а)
или соответственно
Ь = а->е„8(», Ь, г) = е„93(», а, г)
и
c = e-^esS(», а, г) = е„8(», а, «),
которые, как мы знаем, имеют основной тип t, вовсе не обязаны
принадлежать совокупности G1). Таким образом, вместо устра-
устраненной формулы % могут появиться новые формулы е-равенства
с основным типом t, и, следовательно, число формул е-равенства,
связанных с основным типом t, в результате устранения фор-
формулы % может и не уменьшиться.
Теперь наша задача заключается в том, чтобы показать, что
каждый такой шаг процедуры устранения, направленный на
исключение какой-либо формулы е-равенства с основным типом t,
при подходящем выборе этой формулы непременно будет осу-
осуществлять некоторую редукцию нашей проблемы, так что после
наперед оцениваемого числа шагов все формулы е-равенства
с рассматриваемым основным типом будут устранены, и тем самым
число имеющихся основных типов формул е-равенства ранга m
уменьшится.
С этой целью мы рассмотрим совокупность 5 всех тех е-тер-
мов, с которыми связаны какие-либо формулы из G, или, точнее,
с которыми в заданном нормированном доказательстве (после
1) См. с. 100.
§ 2] ВКЛЮЧЕНИЕ АКСИОМЫ (JO В ПЕРВУЮ е-ТЕОРЕМУ '07
исключения имеющихся несобственных формул е-равенства с основ-
основным типом t) связаны какие-либо формулы е-равенства, имеющие
основной тип t.
Эта совокупность Ф определяет собой совокупность 5* тех
е-термов, которые получаются из основного типа t в результате
замены каждого из его аргументов каким-либо из тех термов,
которые заменяют тот же самый аргумент в каком-либо терме
совокупности 5. Согласно этому определению Ф является частью <£*.
Совокупность 5* может быть явным образом построена по сово-
совокупности '$.. Мы можем также легко указать оценку для коли-
количества элементов в §:*. В самом деле, если п — число аргумен-
аргументов основного типа t, a } —число всех термов, которые по край-
крайней мере в одном из термов совокупности "S заменяют некоторый
аргумент у основного типа t (эти термы мы будем кратко назы-
называть аргументными термами в <$), то §;*, как легко убе-
убедиться, содержит не более л" элементов.
Теперь мы установим для термов из 5* некоторую очеред-
очередность. С этой целью мы выберем какую-либо очередность для
аргументных термов в 5, подчиненную единственному условию,
что из двух й-термов различной степени терм с меньшей степенью
предшествует терму с большей степенью и что термы, не являю-
являющиеся е-термами (термы нулевой степени), предшествуют
всем е-термам. Затем мы зафиксируем какую-нибудь очередность
аргументов в t. Элементы совокупности *£* мы упорядочим по
возрастающей степени, а в остальном —лексикографически, т. е.
так, чтобы для двух термов одинаковой степени предшествование
определялось по аргументным термам, подставляемым в первый
из аргументов основного типа t, в результате замещения которого
эти термы становятся отличными друг от друга.
В нашей процедуре теперь в качестве терма I, замена кото-
которого будет производиться, мы будем брать тот из е-термов, при-
принадлежащих совокупности $, который в установленной нами оче-
очередности термов из *£* является самым последним, т. е. не пред-
предшествует никакому другому. В соответствии с этим выбором
терм I среди е-термов, о которыми связаны какие-либо формулы
из G, будет иметь ранг, максимальный из числа имеющихся.
Пусть теперь % — та из числа связанных с термом ( формул из G,
которую мы должны устранять первой. Для устранения % мы
произведем замену ( посредством t и импликативно добавим фор-
формулу а = Ь. Чтобы получить таким образом нормированное дока-
доказательство (первое «частичное доказательство»), нам
может быть придется, как только что было установлено, ввести
в качестве исходных новые, т. е. не содержащиеся в совокупно-
совокупности G, формулы е-равенства с основным типом t. Присоединение
такого рода вспомогательных формул приведет к тому, что после
произведенного устранения формулы g совокупность Gt исполь-
108 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ «СИМВОЛА [ГЛ II
зуемых теперь в качестве исходных формул е-равенства с основ-
основным типом t не будет являться частью совокупности G и что
тем самым и совокупность ^ тех е-термов, с которыми связаны
какие-либо формулы из <3Ь не обязательно будет являться частью
совокупности &. Однако мы можем легко убедиться, что переход
от Q к £] в определенном смысле слова является редукцией.
Для этого нужно отдельно рассмотреть два случая, которые
мы различали1), когда принимали во внимание возможность того,
что формула е-равенства ® в результате замены терма [ переста-
перестанет быть формулой е-равенства. Этим случаям соответствуют
выводы двух типов, с помощью которых, вводя одну или соот-
соответственно две формулы е-равенства в качестве исходных, мы
получаем формулу, возникающую в результате этой замены и
импликативного добавления посылки а = Ь.
Эти два случая в терминах е-термов, с которыми связаны фор-
формулы %, © и формулы е-равенства, добавляемые в качестве вспо-
вспомогательных, будут выглядеть следующим образом:
Первый случай. Если термы ! и !, с которыми связана фор-
формула g, записать в виде ев53 (», а) и ев53 (*>, Ь), то формула ®
будет связана с термом I и с некоторым термом ев33(*>, с). В этом
случае нам будет нужно ввести в качестве вспомогательной фор-
формулы только одну формулу е-равенства, причем она будет свя-
связана с термами ев33(», с) и ец53 (w, й). Значит, в этом случае
к совокупности ^ не добавляется ни одного нового терма. Между
тем терм I в этой совокупности уже встречаться не будет.
Второй случай. Если термы f и I записать в виде ев23 (*>, а, б)
и ев53 (», Ь, б), то формула © будет связана с I и с некоторым
термом eB33(t>, b, г). В этом случае нам нужно будет ввести
в качестве вспомогательных формул две формулы е-равенства, из
которых одна связана с термами ев33(\>, Ь, г) и е»33(», а, г),
а другая —с термами ев33(», а, г) и ев33(*>, а, б). Значит, по
сравнению с? в ^ добавляется терм ев33(», а, г), в то время
как терм I выбрасывается.
Но терм ев23(», а, г) непременно принадлежит к *&*, потому
что в этом терме все аргументы терма t, в том числе и унасле-
унаследованные от терма а, замещены в точности так же, как и в терме
ев33(», Ь, г) из §:, а терм а стоит в терме ев53(», а, е), также
принадлежащем §, на месте того же самого аргумента, что и
в терме вв53(», а, г).
Кроме того, можно доказать, что терм г^8 (», а, г) в очеред-
очередности термов из *£* предшествует терму [. Действительно, терм I,
1) См. с. 104.
5 2J ВКЛЮЧЕНИЕ АКСИОМЫ (Js) В ПЕРВУЮ «-ТЕОРЕМУ 109
т. е. ев33(», Ь, б), по определению в очередности элементов сово-
совокупности £* расположен позже содержащихся в £ термов
е^8(ч>, а, б) и еи23(», Ь„ г). Отсюда прежде всего вытекает, что
терм е^ЗЗ (ю, Ь, б) имеет степень, не меньшую степени каждого из
этих двух термов. Далее, если степень терма ев33(ю, Ь, б) совпа-
совпадает со степенью терма ев33 (ю, а, в), то терм а в очередности
аргументных термов из £ должен находиться раньше Ь; с дру-
другой стороны, если eB33 (», Ь, б) имеет более высокую степень, чем
е„93(», а, 3), то b должен иметь степень более высокую, чем а,
и тем самым а в очередности аргументных термов из $ должен
находиться раньше Ь. Таким образом, терм а в очередности
аргументных термов из *& находится раньше терма b и потому
имеет степень, не превосходящую степени терма Ь. Поэтому сте-
степень терма евЗЭ (», а, г) тоже не превосходит степени терма
ев33(ю, Ь, г) и, значит, в очередности термов, входящих в сово-
совокупность £*, терм ев33(», а, г) располагается раньше терма
8033 (ю, Ь, г). Так как этот терм опять-таки располагается раньше I,
то ео9Э (ю, а, г) располагается раньше I, что и утверждалось.
Таким образом, разбор обоих этих случаев показывает, что
в первом из них совокупность ^ получается из ^ исключением
терма I. Во втором случае вместо терма ( из S в ?j допол-
дополнительно появляется некоторый терм из £*, который в очеред-
очередности элементов из ^* располагается раньше [. Согласно ска-
сказанному, шаг нашей процедуры, устраняющий формулу § из
числа исходных, приводит к тому, что в очередности термов из §*
уменьшается номер самого последнего из этих термов, принадле-
принадлежавшего к ^. Если максимальный номер терма, входящего в ^,
вначале был равен р, то не позже чем через р шагов нашей
процедуры все формулы е-равенства, связанные с основным
типом t, окажутся исключенными.
Тем самым возможность совместного устранения критических
формул и формул е-равенства доказана.
в) Усиленный вариант первой е-теоремы и нп-теоремы. Теперь
мы извлечем следствие из полученных нами результатов. Если мы
вспомним рассуждения, которые привели нас к созданию нашей
обобщенной процедуры, то убедимся, что благодаря возможности
совместного устранения из нормированных доказательств критиче-
критических формул и формул е-равенства первая е-теорема продолжает
оставаться справедливой и в случае таких формализмов, которые
включают в себя общую аксиому равенства (Js) и г-формулу.
Поэтому имеет место следующая
Теорема. Пусть F — формализм, получающийся из исчисле-
исчисления предикатов в результате добавления к нему
ПО ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ е СИМВОЛА [ГЛ. II
1) е-символа и е-формулы,
2) знака равенства и аксиом (<1г) и (J2),
3) некоторого числа индивидных, функциональных и предикат-
предикатных символоз и ряда содержащих эти символы собственных аксиом
Фх, ..., tyf без связанных переменных.
Если средствами этого формализма выводима формула (£, не
содержащая связанных переменных, то по любому ее выводу мы
сможем построить такой вывод этой формулы, в котором будут
отсутствовать связанные переменные, так что этот вывод будет
укладываться в рамки элементарного исчисления со свободными
переменными.
Далее, если средствами формализма F выводима формула
3?! ... 3£„21 (£Ь .... £„),
где £г, ..., £п — все входящие в эту формулу связанные переменные,
то по любому выводу этой формулы мы сможем получить, не при-
прибегая к использованию связанных переменных, вывод некоторой
ди ъюнкции формул, имеющих вид
где ti, ..., tn — некоторые не содержащие е-символа термы.
Кроме того, можно доказать, что в обоих этих случаях при-
применение аксиомы (J2) может быть заменено применением специаль-
специальных формул равенства вида
а = 6-»-(О (а)-»-О F))
относящихся к предикатным и функциональным символам фор-
формализма F. В число этих формул, в частности, должна быть
включена формула
(i) a = fr-»-(a = c-»-b = c).
На самом деле этот дополнительный результат получается
прямо из процедуры устранения, в которой указанная замена
осуществляется по ходу дела.
Пусть теперь Fo обозначает формализм, который получается
из F в результате замены аксиомы (J2), указанной выше, спе-
специальными формулами равенства. Тогда, согласно сказанному,
всякая не содержащая переменных формула, выводимая средст-
средствами формализма F, будет выводима и средствами формализма Fo,
и для всякой выводимой средствами F формулы
§ 2] ВКЛЮЧЕНИЕ АКСИОМЫ Ш В ПЕРВУЮ 8 ТЕОРЕМУ '''
такой, что никакие связанные переменные, кроме £ь ..., £„,
в эту формулу не входят, мы можем указать некоторую выводи-
выводимую средствами формализма Fo дизъюнкцию, состоящую из чле-
членов вида 91 (ti, ..., tn) с но содержащими е-символа термами tlt ...
.... tn.
Но к формализму Fo можно применить доказанную нами
в гл. I нп-теорему1), и тогда получается, что для формализма F
нп-теорема справедлива в следующей формулировке:
Пусть для элементарных формул без переменных формализма F
имеется такое распределение истинностных значений, в силу ко-
которого формулы фь ..., *Pf, (Ji), а также специальные аксиомы
равенства для предикатных и функциональных символов из F ве-
верифицируемы. Тогда всякая выводимая средствами формализма F
формула без переменных будет истинной, всякая выводимая сред-
средствами F формула, не содержащая никаких переменных, кроме
свободных индивидных, будет верифицируемой и для всякой выво-
выводимой средствами F формулы вида
Vi-i-.-Vsm3t)i...3t)n2lEi, ..-, Sm, Vi, -.., %),
где £lt ..., £„„ t)i, ..., V)n суть все входящие в эту формулу пере-
переменные2), для любых фиксированных термов #и ..., 8т без пере-
переменных можно будет указать такие термы tlf ..., tn без пере-
переменных, что формула %($г, ..., $т, гь ..., tn) будет истинной.
Эту усиленную нп-теорему мы можем применить к рассмот-
рассмотренным в гл. I системам аксиом элементарной евклидовой и эле-
элементарной неевклидовой геометрии3). Здесь роль специальных,
аксиом равенства, которые нужно взять вместо аксиомы (J2),
играют формула (i), аксиомы равенства, сформулированные для
предикатных символов Gr, Zw и = (из этих аксиом могут быть
выведены остальные относящиеся к этим предикатным символам
формулы равенства), и, кроме того, формулы равенства, относя-
относящиеся к вводимым при символьном решении функциональным
знакам ц>(а, Ь, с, d) и \(а, Ь, с, d), а в случае неевклидовой
геометрии — еще и к %(а, Ь, с).
Можно без труда показать, что при том распределении истин-
истинностных значений постоянных элементарных формул, которое мы
рассмотрели в гл. I, все эти специальные аксиомы равенства
являются верифицируемыми формулами, а потому наше доказа-
доказательство непротиворечивости обеих этих систем аксиом геометрии
х) См. с. 59 и далее.
а) Сюда включается и тот случай, когда число m кванторов всеобщности
в приставке равно нулю.
з) См. с. 61 и далее,
112 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ 8 СИМВОЛА [ГЛ II
распространяется также и на те формализмы, которые получаются
из них, если на место прежних аксиом равенства поставить
аксиомы (Ji) и (J2); при этом существенно обратить внимание на
то, что в логическом формализме, лежащем здесь в основе нашего
рассмотрения, допустимыми являются также е-символ и е-фор-
мула1).
Фигурирующее в этой усиленной нп-теореме предположение
о верифицируемое™ специальных аксиом равенства выполняет-
выполняется, в частности, всегда, когда распределение значений для ра-
равенств, не содержащих переменных,—мы будем называть его
выделенным распределением значений для равен-
равенства—таково, что при этом распределении равенство
где ё и t —термы без переменных, принимает значение «истина»
или «ложь» в зависимости от того, совпадает или не совпадает
значение в со значением t.
Таким образом, для любого формализма F, получающегося
из исчисления предикатов добавлением к нему е-символа и е-фор-
мулы, аксиом равенства (J^ и (J2), а также некоторых индивид-
индивидных, функциональных и предикатных символов и формулируемых
с помощью этих символов собственных аксиом фь • ■ •» Фь не
содержащих связанных переменных, утверждения нп-теоремы ока-
оказываются справедливыми при любом распределении значений эле-
элементарных формул без переменных, при котором аксиомы *рх,...
..., Щ являются верифицируемыми формулами, а соответствую-
соответствующее распределение истинностных значений равенств является вы-
выделенным.
Впрочем, для того чтобы усмотреть этот факт, нам не обяза-
обязательно вводить формализм FQ. Более того, для перехода от е-тео-
ремы к нп-теореме достаточно установить, что всякая формула,
выводимая средствами формализма F без использования связан-
связанных переменных, является истинной. Но это может быть дока-
доказано рассуждением, совершенно аналогичным тому, с помощью
которого в гл. I мы доказали нашу нп-теорему2), причем мы
должны будем воспользоваться тем обстоятельством, что при рас-
рассматриваемом распределении значений элементарных формул без
переменных аксиомы *рь ..., ф; предполагаются верифицируе-
верифицируемыми и что каждая формула без переменных
► а @),
х) Для случая, когда в основе рассмотрения лежит одно только исчисле-
исчисление предикатов, наш результат не дает ничего нового, так как в этом слу-
случае мы имеем в своем распоряжении теорему из гл. VII т. 1 о возможности
замены аксиомы равенства (J2) собственными аксиомами.
») См. с. 55-59.
§31 е СИМВОЛ И ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРИНЦИПА ИНДУКЦИИ ИЗ
получающаяся подстановкой в аксиому (J2), при выделенном
распределении истинностных значений для равенства является
истинной, так как либо ее посылка является ложной (если ё и t
имеют различные значения), либо (если значение ё совпадает со
значением t) истинностное значение 91 (ё) совпадает с истинност-
истинностным значением 31 (t), и, тем самым, заключение ЭД(ё)->21(г) этой
формулы является истинным.
Тем же самым способом с применением рассуждений, прове-
проведенных нами в § 1 данной главы1), можно показать, что утвер-
утверждения нашей нп-теоремы остаются в силе и для формализма,
который получается из рекурсивной арифметики в результате
присоединения к ней формул и схем для кванторов, а также
е-символа и е-формулы2), поскольку в качестве распределения
значений для элементарных формул без переменных (в данном
случае это будут одни только равенства) мы берем такое распре-
распределение, которое индуцируется выделенной оценкой истинност-
истинностных значений для равенства и процедурой вычисления значений
рекурсивных функций.
§ 3. Причины, препятствующие распространению процедуры
устранения е-символов на неограниченную схему индукции.
Формализация принципа индукции с помощью второй формулы
для е-символа. Переход к первоначальному
гильбертовскому подходу
Распространив доказанные нами е-теорему и нп-теорему на
общую аксиому равенства, мы в известной мере ликвидировали
некоторое имевшееся до сих пор несовершенство наших резуль-
результатов. И все же серьезным их недостатком остается то обстоя-
обстоятельство, что результаты, касающиеся арифметического форма-
формализма, относятся лишь к схеме индукции в ограниченном виде,
а именно, — к схеме индукции, применяемой к формулам без свя-
связанных переменных3). Из-за этого, в частности, до сих пор не
доказана непротиворечивость формализма системы (Z).
Возникает естественный вопрос о том, можно ли нашу про-
процедуру устранения е-символов, с помощью которой сначала была
доказана первая е-теорема, а затем, с использованием этой тео-
теоремы, и нп-теорема, модифицировать таким образом, чтобы видо-
видоизмененная процедура была применимой и при добавлении к фор-
формализму неограниченной схемы индукции. Если продумать этот
х) См. с. 75—79.
2) Заметим, что этот формализм, в отличие от формализма, рассмотрен-
рассмотренного выше на с. 79—80, включает в себя аксиому равенства (J2).
3) См. с. 77.
114 ИССЛГДОВЛНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ е СИМВОЛА [ГЛ II
вопрос детально, то оказывается, что перспектив в этом направ-
направлении не имеется.
Во-первых, при добавлении схемы индукции возникают труд-
трудности с выполнением одной из операций, подготавливающих про-
процедуру устранения е-символов. Именно, после возвратного пере-
переноса подстановок в исходные формулы нельзя будет произвести
полное исключение свободных переменных, так как в результате
этой операции схемы индукции теряют свой вид.
Напомним, что в результате операции возвратного переноса
подстановок, а также необходимых для этой операции мероприя-
мероприятий х) схема индукции
91@)
SJ (а) -> 31 (о')
переходит в схему вида
31@)
31 (а)-+ 31 (а')
Щ '
где t —какой-либо терм, а а —свободная переменная («выде-
(«выделенная» переменная модифицированной схемы).
При замене выделенной переменной каким-либо постоянным
термом схема индукции в любом случае теряет свой вид. Поэтому
исключение свободных переменных с сохранением структуры до-
доказательства может быть произведено только в отношении фор-
формульных, но никак не индивидных переменных.
Само по себе это обстоятельство могло бы и не быть сущест-
существенной помехой для процедуры устранения критических формул.
Но если мы попытаемся произвести устранение прежним спо-
способом, то обнаружим, что на пути к этому имеется два серьез-
серьезных препятствия.
Первое из них связано с применением дедукционнои теоремы.
В нашей процедуре устранения мы использовали тот факт, что
если из некоторых формул ЭЗЬ ..., S3,., получающихся в резуль-
результате подстановки либо из собственных аксиом, либо из е-фор-
мулы, при добавлении формулы ф можно средствами исчисления
высказываний вывести некоторую формулу (£, то из формул
ЭЗь ..., $8С с помощью средств исчисления высказываний можно
будет вывести формулу ф->-<£2).
Если мы теперь попытаемся распространить эту теорему на
тот случай, когда в дедуктивный аппарат формализма наряду
1) См. т. I, с. 328.
») См. с. 40-47.
5 3] е-СИМВОЛ И ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРИНЦИПА ИНДУКЦИИ 115
с исчислением высказываний включается и схема индукции, то
нам придется наложить на формулу ф ограничение, потребовав,
чтобы она не содержала выделенных переменных каких-либо
схем индукции. Действительно, последовательность формул, по-
получающихся из какой-либо схемы
31@)
я (О
в результате импликативного добавления посылки ^3, только
тогда можно по общему рецепту, используя выводимость формулы
(«Р-». Я (а))-*-($-*-Я (а'))
из формулы
$->(Я(а)->Я(а')),
дополнить до перехода, производимого при помощи схемы индук-
индукции, когда *Р не содержит переменной а, ибо только при этом
условии последовательность формул
имеет вид схемы индукцииJ).
При применении дедукционнои теоремы в процессе устранения
критических формул посылка 33 (f) любой исключаемой на неко-
некотором шаге процедуры критической формулы становится одной
из добавляемых исходных формул2). Совершенно не ясно, как
в этом случае добиться того, чтобы ни одна из посылок крити-
критических формул —в том виде, как они будут выглядеть после
выполнения операции возвратного переноса подстановок, — не со-
содержала выделенной переменной какой-либо из схем индукции.
Вторая помеха заключается в том, что в результате произво-
производимых замен е-термов какая-либо из схем индукции может поте-
х) Простые примеры показывают, что способ рассуждений, отвечающий
схеме
¥ (а)-*«(*)
нельзя считать имеющим общую применимость. Например, в качестве 91 (с)
можно взять формулу с=0, в качестве $ (с) — формулу с ф 0, а в качест-
качестве t — терм 0'.
а) См. с. 40—47.
116 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ е-СИМВОЛА [ГЛ. II
рять свой вид. Если, например, схема индукции имеет вид
»(е, 0)
33 (е, а)->33(е, а')
33 (е, О
где е — некоторый е-терм, не содержащий выделенной перемен-
переменной а этой схемы, и если е заменить термом ё (а), в котором а
фигурирует в качестве составной части, то получающаяся при
этом последовательность формул
33 (б (а), 0)
33 (ё (а), а)->33(ё(а), а')
33 (ё (а), t)
теряет вид схемы индукции. В самом деле, ко всякой схеме ин-
индукции
21@)
Я (а)-*Я (а')
предъявляется требование, чтобы она содержала выделенную пе-
переменную а только там, где эта переменная указана в качестве
аргумента1).
Мы можем теперь попытаться избежать этих трудностей, свя-
связанных с видом схемы индукции, взяв в целях распространения
первой е-теоремы и нп-теоремы на арифметический формализм
вместо схемы индукции аксиому индукции или какую-нибудь дру-
другую формализацию принципа полной индукции. Аксиома индук-
индукции, если мы при помощи е-символа устраним из нее квантор
всеобщности, как это полагается делать по нашей процедуре
исключения кванторов, приводит к формуле, совершенно неудоб-
неудобной в обращении. Но поскольку арифметический формализм со-
содержит аксиому равенства (J2), вместо этой формулы можно взять
другую, более простую формулу
А (а) -> ехА (х) Ф а'
в сочетании с аксиомой
а#0->6(а)' = а.
Формула
афО-+6(а') = а,
как мы знаем, с использованием схемы индукции выводится из
См. т. I, с. 325.
J3] е-СИМВОЛ И ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРИНЦИПА ИНДУКЦИИ 117
рекурсивного определения
б @) = 0, б (а') = а
и формулы
Ее можно рассматривать как разрешенную форму аксиомы
В доказательстве обобщенной е-теоремы или соответственно
нп-теоремы она не вызывает никаких осложнений, так как со-
содержит единственную свободную индивидную переменную а и при
распределении значений для термов без переменных б (а), полу-
получающемся с учетом содержательного истолкования рекурсивного
определения функции б, она является верифицируемой формулой.
Тот факт, что в результате добавления в качестве аксиом
двух формул
А()А()'
схема индукции действительно оказывается производным прави-
правилом [или соответственно аксиома индукции — выводимой форму-
формулой *)], устанавливается следующим образом.
Нам нужно показать, что из двух формул
21@) и 21 (а) -»21 (а'),
первая из которых не содержит переменной а, с помощью формул
А (а) ->■ вхА (х) Ф а!
может быть выведена формула 91 (а). Кроме четырех указанных
формул, для вывода формулы 21 (а) мы будем использовать только
средства исчисления высказываний, е-формулу и аксиому равен-
равенства (J2), из которой, как мы уже знаем, выводятся формулы2)
а = Ъ ->■ Ъ = а.
Не ограничивая общности, мы можем считать, что формула
91 (а) не содержит переменной х, так как в противном случае мы
смогли бы удалить эту переменную в исходных формулах путем
!) Относительно вывода аксиомы индукции с помощью схемы индукции
см. т I, с 327.
г) См. т. I, с. 212 и 214.
118 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ 8 СИМВОЛА ГГЛ II
переименования, а затем снова ввести ее в заключительную
формулу.
Мы начнем с формулы
Она может быть преобразована в формулу
а = 0\/ 8(а') = а,
откуда мы в результате подстановки получим формулу
A) вх
Пользуясь формулами 31 @) и а = b -*■ (А (Ь) -> А (а)), мы полу-
получим формулу
B) в,-|Я(х) = 0-*Я(в,-|Я(х)).
Из формулы
А (а)-*-гхА (х)Фа',
произведя подстановку вместо переменной а, мы сначала полу-
получим формулу
А (б (в, 1«(х))) -> гхА (х) Ф б (в, 131 (х))'.
Из этой формулы, которая, если терм б (гх ~| 31 (х)) обозначить
через Ь, сокращенно запишется в виде
А(Ъ)-+гхА{х)фЪ',
совершив подстановку вместо формульной переменной, мы полу-
получим формулу
31(Ь)91(
а отсюда, произведя контр апозицию и воспользовавшись фор-
формулой
а = b -*■ Ь = а,
получим формулу
C) b' = e*-|31(*)-^3l(b).
С другой стороны, из формулы 31 (а) -> 31 (а1) подстановкой полу-
получается формула
D)
а в результате использования (J2) получается формула
E) Ъ' = гх 1Ш (х) -> (Я (Ь') -> 31 (в, 131 (х))).
Формулы C), D) и E), взятые совместно друг с другом, по пра-
правилам исчисления высказываний дают формулу
§ Ч] е СИМВОЛ И ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРИНЦИПА ИНДУКЦИИ "Э
F) ' 6 (в, "| И (*))' = в, "| Я (*)-»-Я (в, "| «(*))•
Но из формул A), B) и F) средствами исчисления высказыва-
высказываний получается формула
а эта последняя при помощи е-формулы и с использованием
средств исчисления высказываний1) дает нам искомую форму-
формулу Ш (а).
Таким образом, формула
взятая в сочетании с е-формулой и аксиомой
а#0-»-6(а)' = а,
действительно дает формализацию принципа полной индукции.
Формуле
Л(а) + М(х)#а',
взятой совместно с е-формулой, содержательно соответствует
принцип, гласящий, что «для любого числового предиката 9$,
выполняющегося по крайней мере для одного числа, существует
такое число, что для него предикат ty выполняется, а для его
предшественника, если таковой существует (т. е. если это число
отлично от нуля), предикат *Р не выполняется».
Очевидно, что данный принцип является следствием принципа
наименьшего числа. По сравнению с этим в содержательном от-
отношении более выразительным принципом он обладает тем пре-
преимуществом, что структурно он более прост, так как может быть
сформулирован без использования понятия «меньше»2).
!) См. с. 33.
2) Формально связь между этими двумя принципами отчетливее всего
может быть обрисована при помощи той формализации, которая для принципа
наименьшего числа дается с помощью (х-функции посредством формул
(Hi) 1xA (х) -* А (цхА (х))
и
(щ) А (а) ->- \1ХА (х) ==£ а
(см. т. I, с. 482). Первая из этих двух формул дедуктивно равна формуле
А {а)-* А (\1ХА (х)),
а из второй с помощью формул
а' Фа и 1 (а' < а)
получается формула
А (а)-+рхА (х) ф а'.
120 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ е СИМВОЛА [ГЛ II
Благодаря указанной новой формализации принципа полной
индукции наш подход к исключению связанных переменных при
условии включения полной индукции становится совершенно ана-
аналогичным предыдущему. Теперь снова после исключения кванто-
кванторов и возвратного переноса подстановок в исходные формулы
можно провести исключение свободных переменных, и у нас
опять получится некоторое «нормированное доказательство»,
в котором дедуктивная взаимосвязь формул будет основываться
лишь на схемах заключения, на повторениях формул и переиме-
переименованиях связанных переменных. Отличие от нормированных
доказательств, рассматривавшихся до сих пор1), теперь будет
заключаться в том, что в качестве исходных формул, содержащих
8-символ, помимо критических формул
и формул е-равенства2) будут допускаться еще и такие формулы,
которые получаются путем подстановки из формулы
так что мы должны будем допустить в качестве критических
формул второго рода исходные формулы вида
Однако несмотря на это формальное сходство со случаями,
рассмотренными ранее, у нас нет никаких перспектив распростра-
распространения нашей процедуры исключения е-символов на случай, рас-
рассматриваемый сейчас. Действительно, если бы нам удалось про-
произвести соответствующее обобщение, то тем самым мы получили
бы способ, который позволял бы исключить из вывода любой
формулы, не содержащей связанных переменных, не только свя-
связанные переменные, но и применения схемы индукции. В самом
деле, как было показано выше4), применение схемы индукции
всегда может быть заменено соответствующими применениями
е-формулы, формулы А (а)-+гхА (х) -фа', аксиомы равенства (J2)
и формулы аф0-»-6(а)' = а. Если бы мы смогли устранить еще
и связанные переменные, а значит, и те исходные формулы,
которые содержат е-символ, то тем самым применение схемы
индукции было бы вообще сведено к надлежащему использова-
использованию формул (J2) и аф0-»-б(а)' = а. Но возможности такого
!) См. с. 40 и 93.
2) См. с. 92.
3) При этом мы опять разрешаем при подстановке вместо формульной
переменной А (а) переименовывать связанную переменную к (см. об этом с. 31).
*) См. с. 117 и далее.
§ ЗТ в СИМВОЛ И ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРИНЦИПА ИНДУКЦИИ 121
рода устранения схемы индукции, разумеется, быть не мо-
может1).
Так как распространение первой е-теоремы на арифметический
формализм оказывается невозможным, то перед нами встает задача
установления непротиворечивости арифметического формализма
без использования этой теоремы.
Прежде всего, посмотрим, в какой мере мы можем воспользо-
воспользоваться здесь нашими прежними идеями. Формализм, с которым
мы имеем дело, состоит из исчисления предикатов с добавлением
к нему е-символа и е-формулы, а также системы аксиом (Z),
в которой в качестве индивидного символа фигурирует один
только символ 0, в качестве предикатного символа —один только
знак равенства, а в качестве функциональных знаков — штрих-
символ и символы для суммы и произведения. Аксиома индукции,
как мы только что установили, может быть заменена формулами
1) В этом можно убедиться на простых примерах. Возьмем две аксиомы
Пеано а' Ф 0 и a' = b' -*-a = b. Из них с помощью элементарного исчисления
со свободными переменными и схемы индукции можно вывести формулу а' Ф а.
Теперь допустим, что из этого вывода можно так устранить применение схемы
индукции, что вместо нее всякий раз будут применяться только формулы (J2)
и а Ф 0 -*■ 8 (а)' = а Тогда мы получим вывод формулы й'Фа из указанных
двух аксиом Пеано в рамках одного только элементарного исчисления со сво-
свободными переменными. Применение аксиомы равенства (J2) в этом выводе мы
могли бы заменить применением специальных аксиом равенства, и так как при
этом в качестве предикатного символа выступал бы один только знак равен-
равенства, а в качестве функциональных знаков —штрих-символ и символ б, то
для замены аксиомы (J2) было бы достаточно формул (Jj), (i), a=b-*-a' = b' и
a=6->S(a) = 8F).
Тем самым из аксиом
а = а, a = 6->-(a = c->-6 = c), a = b~ а' =Ь',
а'фа, a = 6->8(a)=8F),
средствами элементарного исчисления со свободными переменными была бы
выведена формула а' Ф а. Но тогда, добавив индивидный символ со вместе
с аксиомой
а = а> -*-а' = со,
из которой с помощью формулы <в = сй выводится формула <в' = сй, мы полу-
получили бы противоречие, так что была бы выводима и формула 0'=0 Однако
в том, что это не так, можно убедиться с помощью следующего распределения
вначений для равенств без переменных: равенство g = t будем считать истин-
истинным тогда, когда оба терма в и t содержат символ со, а также тогда, когда g
и t не содержат символа со и совпадают либо непосредственно, либо после
вычисления (обычным способом) встречающихся в этих термах значений функ-
функции б; во всех остальных случаях равенство g = t будем считать ложным.
При таком распределении все перечисленные аксиомы, в том числе и добавлен-
добавленная нами аксиома a = co->-a' = u>, являются верифицируемыми, а поэтому
всякая формула без переменных, выводимая из них средствами элементарного
исчисления со свободными переменными, должна быть истинной, В то же самое
время формула О' = О является ложной.
122 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ е СИМВОЛА [ГЛ II
А {а)-+кхА (х) ф а',
так что мы и возьмем их вместо нее в качестве исходных формул.
Для нашего доказательства непротиворечивости достаточно
показать, что каждая выводимая формула без переменных при
«естественном» распределении истинностных значений, складываю-
складывающемся из выделенного распределения истинностных значений для
равенства, рекурсивной процедуры вычисления постоянных сумм
и произведений и из истолкования связок исчисления высказы-
высказываний как истинностных функций, является истинной. Поэтому
для нашего доказательства достаючно будет рассматривать только
выводы формул без переменных.
К каждому такому выводу мы можем применить операции
исключения кванторов, возвратного переноса подстановок в исход-
исходные формулы и исключения свободных переменных. Мы можем,
далее, заменить применения аксиомы (Jo) применением специаль-
специальных аксиом равенства вместе с допущением формул е-равенства
в качестве исходных. При этом будут использоваться те специ-
специальные аксиомы равенства, которые соответствуют содержащимся
в нашем формализме предикатным символам1).
В итоге мы получим некоторое «нормированное доказатель-
доказательство». Под этим термином мы теперь будем понимать последова-
последовательность формул, обладающую следующими свойствами:
1. Каждая формула этой последовательности строится из
символов =, 0, ', +, •, б, символов исчисления высказываний и
е-символа с соответствующими связанными переменными.
2. Каждая из ее формул является либо исходной формулой,
либо повторением некоторой предшествующей ей формулы (воз-
(возможно, объединенным с переименованием какого-либо числа свя-
связанных переменных), либо результирующей формулой какой-либо
схемы заключения.
3. Каждая исходная формула или получается в результате
подстановки либо из некоторой тождественно истинной формулы
исчисления высказываний, либо из некоторой собственной аксиомы
х) Из этих формул равенства соответствующие формулы для символов
суммы и произведения выводятся, как мы знаем, из рекурсивных равенств для
суммы и произведения и формул (Jx), (i) и a = b->-a' =b' (см т. I с. 461).
Тем не менее отсюда не следует, что эти формулы равенства являются излиш-
излишними в качестве исходных формул, так как после замены схемы индукция
формулами
афО-*6(а)'=а и А (а) -*-ъхА (х) Фа'
мы имеем в своем распоряжении схему индукции только в качестве производ-
производного правила и всякий раз вывод этой схемы требует использования аксиомы
равенства (Jj).
§ 3] е СИМВОЛ И ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРИНЦИПА ИНДУКЦИИ 123
этого формализма, либо из одной из формул
А{а)->А{гхА(х)),
А(а)-*гхА{х)фа',
или же является формулой е-равенства.
Формулы вида
получающиеся в результате подстановки из двух только что
упомянутых формул, мы будем называть критическими фор-
формулами первого и соответственно второго рода, свя-
связанными с е-термом е£9((£).
Собственные аксиомы формализма (в том числе и специальные
аксиомы равенства), а также тождественно истинные формулы
исчисления высказываний обладают тем свойством, что любые
получающиеся из них в результате подстановки формулы без
переменных при естественном распределении истинностных зна-
значений являются истинными формулами. Отсюда привычным рас-
рассуждением мы получаем, что заключительная формула любого
нормированного доказательства, если в ней не встречаются е-сим-
волы, при естественном распределении истинностных значений
тоже является истинной формулой.
Рассматриваемый нами подход нацелен на получение возмож-
возможности преобразовывать любое нормированное доказательство фор-
формулы без переменных в такое нормированное доказательство той
же самой формулы, которое уже не содержит е-символов. Однако
для нашей цели вовсе не обязательно производить исключение
е-символов так, чтобы получающееся при этом доказательство
снова было нормированным; было бы вполне достаточно, если бы
все встречающиеся в этом доказательстве е-термы мы смогли так
заменить цифрами, чтобы каждая исходная формула стала при
этом истинной (при естественном распределении истинностных
значений). Действительно, такие замены сохранили бы все схемы
заключения и потому в итоге у нас получилась бы некоторая
последовательность формул, каждая формула которой (а значит,
и заключительная) являлась бы истинной.
Если мы теперь заметим, что все исходные формулы, полу-
получающиеся в результате подстановки из какой-либо собственной
аксиомы или из тождественно истинной формулы исчисления
высказываний, при любой замене е-термов цифрами переходят
в истинные формулы, то станет ясно, что задача искомого нами
доказательства сводится к тому, чтобы для е-термов, фигурирую-
124 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ 8-СИМВОЛА [ГЛ II
щих в данном нормированном доказательстве, найти такие замены
их цифрами, при которых все критические формулы первого и
второго рода, равно как и формулы е-равенства, перейдут
в истинные формулы.
Учитывая это, Гильберт в первую очередь взялся за задачу
исключения е-символовJ) задолго до того, как он придумал веду-
ведущий к е-теореме общий метод устранения е-символов. Рассмотрев
сначала простые случаи нормированных доказательств, он указал
метод, позволяющий находить для встречающихся в этих доказа-
доказательствах е-термов цифровые замены, обладающие нужными свой-
свойствами.
Этот метод в общих чертах дает подход к исключению е-тер-
е-термов, и поначалу казалось, что этим методом удастся без принци-
принципиальных затруднений доказать непротиворечивость не только
арифметического формализма, но даже и формализма анализа.
Однако, когда были предприняты попытки решить эту задачу,
неожиданно обнаружились значительные трудности, так что
наиболее продвинутые реализации упомянутого гильбертовского
подхода, восходящие к В. Аккерману и Дж. фон Нейману, по
их результатам лишь несущественным образом превзошли нп-тео-
рему, которая достаточно просто получается с помощью е-теоремы.
Тем не менее имеет смысл рассмотреть этот подход более под-
подробно, так как получаемый при этом подходе метод оказывается
важным для целого ряда применений и так как пока еще остается
открытым вопрос о возможности дальнейшего развития этого
подхода.
§ 4. Первоначальный гильбертовский подход к проблеме
исключения е-символов и его дальнейшее развитие2)
а) Простейшие частные случаи. Для того чтобы дать пред-
представление о гильбертовской процедуре замены, мы поначалу
рассмотрим нормированные доказательства одного совсем простого
типа. Именно, будем предполагать, что для любого из рассмат-
рассматриваемых нами нормированных доказательств может быть указан
такой е-терм es3l(j), что все критические формулы первого рода
этого доказательства связаны с этим термом и что других е-тер-
е-термов в этом доказательстве нет.
х) См. т. I, с. 419—423. Применение приведенной на с. 419 обобщенной
схемы индукции может быть сведено к двум применениям обычной схемы ин-
индукции.
2) Читатель, желающий познакомиться лишь с основыми идеями этого
гильбертовского подхода, может прочитать одии только п. а) настоящего параг-
параграфа, а затем перейти либо к п. д), либо прямо к гл, III.
§ 4] ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЙ ГИЛЬБЕРТОВСКИЙ ПОДХОД 125
Мы будем также предполагать, что в рассматриваемом нами
случае отсутствуют критические формулы второго рода и формулы
е-равенства.
Речь будет идти о том, чтобы в рассматриваемом доказатель-
доказательстве е-терм eEs.H(}:) заменить какой-нибудь цифрой так, чтобы все
критические формулы этого доказательства после замены оказа-
оказались истинными. Рассматриваемые критические формулы имеют
вид
При этом терм еЕ51(£) не может входить в формулу 51 (с), потому
что в противном случае он был бы вложен в самого себя; но он
может входить в f.
Сначала мы попробуем заменить терм еЕ21(£) цифрой 0. В ре-
результате этой замены все критические формулы перейдут в фор-
формулы без переменных. Истинностное значение любой такой фор-
формулы вполне определяется нашим способом вычисления функцио-
функциональных выражений, строящихся с помощью знаков -f, •, и б,
на основе выделенного распределения истинностных значений для
равенства, а также нашей трактовки связок исчисления высказы-
высказываний как истинностных функций.
Если в результате этой замены все критические формулы
данного доказательства получат значение «истина», то поставлен-
поставленная цель уже будет достигнута. В противном случае мы возьмем
первую из тех критических формул, которые принимают значение
«ложь». После замены е-терма еЕ$ (g) цифрой 0 эта формула будет
иметь вид
И@-»-И@),
где [ — некоторый терм без переменных. Пусть теперь 5 —цифра,
получающаяся в результате вычисления терма (. Согласно нашему
распределению истинностных значений для формул без перемен-
переменных, 21 (j) имеет то же самое значение, что и SI (С); тем самым
формула
принимает значение «ложь». Но это означает, что Ш (?) — истинная
формула, а 21@) —ложная.
Теперь произведем новую замену, а именно, заменим терм
es^fe) цифрой J. Тогда каждая из рассматриваемых критических
формул перейдет в формулу вида
Я (t)-*«(»).
не содержащую переменных. Но эта формула всегда будет истин-
126 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ Е СИМВОЛА [ГЛ It
ной, так как истинно ее заключение ЧЛ(?). Итак, замена терма
ег'Л(Е) цифрой з дает желаемый результат.
Таким образом, не позже чем через два шага мы получаем
замену, в результате которой все критические формулы стано-
становятся истинными: либо желаемый эффект дает уже замена терма
ef3l (j) цифрой 0 (мы будем называть эту замену О-з а м е н о й),
либо с помощью 0-замены мы найдем некоторый пример такой
цифры 3, что формула 51(?) будет истинной и тогда замена терма
ef2lE) этой цифрой (мы будем называть эту замену экземпляр-
н о й) будет заменой с нужными свойствами.
Не представляет никакого труда модифицировать этот способ
так, чтобы он вел нас к цели и в том случае, когда имеются
также и критические формулы второго рода.
Любая связанная с е-термом еЕ5Я (j) критическая формула
второго рода имеет вид
где терм t может содержать в себе и терм ег91(£). При 0-замене
такая формула всегда превратится в истинную. Значит, если
в результате 0-замены все критические формулы первого рода
окажутся истинными, то поставленная нами цель уже будет до-
достигнута. В противном случае, как известно, для терма еЕчЛ (j)
найдется экземплярная замена, т. е. замена такой цифрой з, что
формула Ш(з) является истинной. Но эта замена может и не
перевести все критические формулы второго рода в истинные.
Действительно, при этой замене произвольная формула второго
рода перейдет в формулу вида
которая имеет то же самое истинностное значение, что и формула
где г —цифра, получающаяся в результате вычисления терма без
переменных б. Эта формула может на самом деле оказаться
ложной: например, в том случае, когда 3 совпадает с г', а фор-
формула ЭД(г) является истинной. Но тогда г является цифрой, мень-
меньшей j и такой, что формула >Д (г) является истинной.
Эту возможность мы теперь с самого начала исключим сле-
следующим приемом. После того как будет найден соответствующий
пример 3, мы найдем истинностные значения формул
Я@), «(О'), 31@"), ..., Я(8).
Относительно первой из них мы уже знаем, что она является
I 4) ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЙ ГИЛЬБЕРТОВСКИЙ ПОДХОД 127
ложной, относительно последней,—что она является истинной.
Пусть 21 (т) — первая формула в этой последовательности, являю-
являющаяся истинной. Тогда мы произведем еще одну замену, замещая
терм ef21 E) цифрой т. В результате этой замены все критические
формулы первого рода станут истинными, так как 91 (т) является
истинной формулой. Но и критические формулы второго рода
тоже окажутся истинными. Действительно, если бы одна из наших
критических формул второго рода перешла в ложную формулу,
то, согласно замеченному выше, мы нашли бы некоторую цифру с,
меньшую т, для которой формула Й(г) являлась бы истинной,
что противоречило бы выбору т. Таким образом, в результате
замены терма eK31(j) цифрой m все критические формулы стано-
становятся истинными.
Итак, мы приходим к следующей альтернативе: либо желае-
желаемый результат нам дает уже сама 0-замена, либо мы оказываемся
в состоянии построить пример некоторой отличной от нуля
цифры J такой, что формула 91 (■) является истинной (экземпляр-
ная замена). Если мы затем среди тех цифр п из ряда от 0 до 3,
для которых 81 (п) является истинной формулой, возьмем наимень-
наименьшую и обозначим ее буквой т, то замена терма ef5l E) цифрой m
переведет все критические формулы рассматриваемого доказа-
доказательства в истинные. Эту замену мы для краткости будем назы-
называть минимальной.
Тем самым для рассматриваемого частного типа нормированных
доказательств найден искомый способ исключения е-термов.
Теперь возникает задача развить этот метод так, чтобы его
можно было применить к любому нормированному доказательству
нашего арифметического формализма.
Прежде всего мы сделаем одно общее упрощающее замечание.
Оно состоит в том, что нам всегда будет достаточно позаботиться
лишь о тех е-термах рассматриваемого нормированного доказа-
доказательства, которые фигурируют в каких-либо критических форму-
формулах или формулах е-равенства. Действительно, если мы для этих
термов укажем такие цифровые замены, в результате которых
критические формулы и формулы е-равенства перейдут в истин-
истинные формулы, то оставшиеся е-термы мы сможем заменить циф-
цифрой 0 и при этом сохранятся схемы заключения и повторения
формул.
Поэтому можно вообще отвлечься от рассмотрения нормиро-
нормированных доказательств как таковых, и наша задача попросту
сводится к тому, чтобы для любой конкретно заданной совокуп-
совокупности критических формул и формул е-равенства, принадлежа-
принадлежащих рассматриваемому нами арифметическому формализму, найти
такие замены для фигурирующих в них е-термов, в результате
которых эти формулы стали бы истинными. Набор таких замен
128 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ е СИМВОЛА [ГЛ II
мы будем называть резольвентой данной рассматриваемой
совокупности критических формул и формул е-равенства.
В разобранном частном случае мы имели дело только с кри-
критическими формулами, причем предполагалось, что в этих фор-
формулах встречается всего лишь один е-терм. Из рассмотрения
этого случая мы теперь извлечем способ, позволяющий строить
резольвенты и для таких совокупностей критических формул,
что все входящие в них формулы имеют степень 1 и ранг 1, и
ни один из тех е-термов, с которыми связаны эти критические
формулы, не содержит вложенных в него е-термов или подчинен-
подчиненных ему е-выражений.
В самом деле, если при указанном условии
или соответственно
является одной из данных критических формул, то в формулу 21 (с)
не могут входить никакие е-термы, и поэтому любой е-терм,
отличный от терма еЕ21 (£), может встречаться в рассматриваемой
формуле только внутри терма f.
Отсюда вытекает, что ни одна критическая формула не поте-
потеряет своего вида, если мы заменим в них цифрой 0 те е-термы,
с которыми не связаны никакие критические формулы. Этот
прием сводит дело к рассмотрению случая, когда, кроме е-термов,
с которыми связаны какие-либо критические формулы,—мы обо-
обозначим их буквами Сх, ..., е^, зафиксировав какой-либо порядок
для них, — у нас вообще не будет встречаться никаких других
е-термов.
Мы должны теперь найти подходящие замены для термов сь ...
..., tj,. Набор, состоящий из каких-либо цифровых замен для
термов еь ..., е^,, мы будем называть общей заменой.
Мы начнем с общей замены, состоящей из 0-замен для каждого
из термов еь ..., ср. Если в результате этой 0-замены все кри-
критические формулы станут истинными, то она и будет искомой
резольвентой. В противном случае для каких-либо термов из числа
сь ..., ср мы найдем экземплярные замены, а по ним определятся
и минимальные. Мы построим теперь новую общую замену, взяв
вместо 0-замены минимальную для тех термов ес, для которых
она будет найдена. Тогда все связанные с этими е-термами
критические формулы станут истинными. Если окажется, что и
все остальные критические формулы стали истинными, то мы
получим искомую резольвенту. В противном случае мы найдем
минимальные замены для некоторых других термов из числа tu ...
§ 4] ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЙ ГИЛЬБЕРТОВСКИЙ ПОДХОД '29
.., е^ и затем построим новую общую замену, взяв найденные
минимальные замены вместо 0-замен.
Мы можем продолжать двигаться таким образом и дальше.
Но этот процесс не позже чем после р-кратного изменения общей
замены должен будет оборваться, так как на каждом шаге не
менее чем для одного терма, входящего в список съ .... ер, опре-
определяется минимальная замена и, найденная однажды, минималь-
минимальная замена остается без изменений. Поэтому, если резольвента
еще не была получена раньше, то после р-й общей замены для
каждого из термов е1( .... ер будет найдена минимальная замена,
а в результате (р+1)-й общей замены, в которой будут исполь-
использоваться все эти минимальные замены, все критические формулы
станут истинными.
Таким образом, следуя этому точно сформулированному пред-
предписанию, мы не позже чем через р + 1 шаг придем к построению
искомой резольвенты.
Замечание. Отметим, что переход от экземплярной замены
к минимальной необходим только для тех термов ес, с которыми
связаны какие-либо критические формулы второго рода; для
остальных термов мы можем сохранить их экземплярные заме-
замены.
б) Подготовка к рассмотрению общего случая. Рассмотренный
нами случай является пока очень частным, и мы теперь должны
будем освободиться от ограничений, наложенных на степени и на
ранги критических формул. Кроме того, нам нужно будет при-
принять во внимание еще и тот факт, что в совокупности формул,
для которой будет строиться резольвента, наряду с критическими
формулами могут также содержаться и формулы е-равенства.
В порядке подготовки к этому нам будет целесообразно соста-
составить более подробно представление о том, как на нашей про-
процедуре замены могут сказаться вложенность и подчиненность
е-термов. Дело в том, что при рассмотрении самого общего слу-
случая некоторые существенные осложнения возникают именно из-за
того, что свойство цифры з быть экземплярной или минимальной
заменой для терма es9l(£), вообще говоря, зависит от замен тех
е-термов, которые входят в *Л (}) или соответственно в 31 @),
Й(О'), ..., *Д($). Наличие же таких е-термов обусловливается сте-
степенью и рангом терма е5ЗД (£), т. е. имеющими место в этом терме
случаями вложений и подчинений.
С отношениями вложенности и подчиненности мы уже позна-
познакомились раньше'). Здесь мы отметим, в частности, следующие
факты:
См. с. 43—44.
130 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ £ СИМВОЛА [ГЛ I!
1. Каждый е-терм, вложенный в терм еЕ?1(£), входит в фор-
мулу Ш(с), причем таким образом, что переменная с им не охва-
тывается. И обратно, каждый входящий таким образом в фор-
формулу 21 (с) е-терм вложен в терм eE2l (£) и тем самым имеет более
низкую степень, чем этот последний.
2. Каждому е-выражению, подчиненному е-терму еЕ21 (£), в фор-
формуле 21 (с) соответствует некоторый е-терм, охватывающий пере-
переменную с и получающийся из этого выражения в результат
замены переменной £ переменной с. И обратно, каждому входя-
входящему в формулу 21 (с) и охватывающему переменную с е-терму
соответствует некоторое е-выражение, которое подчинено терму
еЕ21 (£) и из которого этот е-терм получается в результате замены
переменной £ переменной с; таким образом, этот е-терм имеет
ранг, меньший ранга терма еЕ21 (£).
Согласно утверждению 1 мы можем заключить, что в случае
е-терма, имеющего ранг, равный единице, ситуация, связанная
с заменами, является достаточно простой. Действительно, в этом
случае истинностное значение, получающееся для формулы 21 ($),
где $'— некоторая цифра, при какой-либо общей замене, зависит
только от замен тех е-термов, которые вложены в терм еЕ21 (£).
Таким образом, хотя экземплярная или минимальная замена для
терма еЕ21 (£) и может перестать быть таковой, тем не менее это
может случиться только тогда, когда будет найдена некоторая
экземплярная замена для некоторого вложенного в еЕ21 (£) е-терма
(т. е. для терма, имеющего степень, меньшую степени терма
еЕ21(£)). Если, в частности, степень терма еЕ21(£) равна единице,
то найденная для этого терма экземплярная (соответственно мини-
минимальная) замена как таковая является окончательной.
На этом пути мы получаем некоторый спуск, который, как
мы увидим позжех), в том случае, когда имеются только крити-
критические формулы ранга 1, позволяет достаточно простым способом
получить (после наперед оцениваемого числа общих замен) неко-
некоторую резольвенту.
Однако прежде чем проводить это рассуждение, будет полезно
еще более детально познакомиться с тем, как мы предполагаем
организовать нашу процедуру замены в случае критических фор-
формул высоких рангов, потому что рассмотрение критических фор-
формул, имеющих ранг, больший единицы, показывает, что наша
процедура замены в ее нынешнем виде является неудовлетвори-
неудовлетворительной. Мы сталкиваемся в ней со следующими трудностями.
Если терм еЕ21 (£) имеет ранг, не меньший двух, то, согласно
утверждению 2, переменная с находится в формуле 21 (с) внутри
См. п. в), с. 140-146,
$ 4] ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЙ ГИЛЬБЁРТОВСКЙЙ ПОДХОД 131
некоторого е-терма е„33 (с, \>), т. е. *Я (с) имеет вид $ (с, ев33 (с, -о))х).
Поэтому любая связанная с е-термом еЕ21 (£) критическая формула
первого рода имеет вид
Допустим теперь, что, отправляясь от этой формулы, мы нашли —
при помощи некоторой общей замены, при которой эта формула
становится ложной,— какую-либо экземплярную замену для терма
еЕЭД (£), т. е. указали соответствующую цифру }, получающуюся
из f на основе этих замен и значений некоторых постоянных
термов. Тогда замена, которую при этой общей замене получит
терм es33(?, »), должна быть получена по некоторой замене для
терма ев33(з, »). Действительно, в противном случае мы никак не
смогли бы заключить, что в результате рассматриваемой общей
замены формула 21 (<) оказывается истинной. Между тем терм
eB5B (j, ») с самого начала мог и не встречаться в заданной нам
совокупности формул.
Таким образом, мы не можем обойтись заменами для е-термов,
непосредственно фигурирующих в заданной нам совокупности
формул. Тем не менее можно без труда указать путь, позволяю-
позволяющий удовлетворить перечисленным выше требованиям: выход
будет заключаться в том, что необходимые замены для е-термов
мы будем осуществлять в виде некоторой производимой изнутри
шагооб разной редукции.
Рассмотрим следующий пример, поясняющий наш замысел.
Пусть нам требуется найти замену для е-терма
е,«(дс, еуЪ(у, еД(г) + 3)-5, 2-1),
в который не входят никакие е-символы, кроме явно указанных.
Пусть в нем также не встречается в качестве составной части
ни один терм, кроме указанных явно. Тогда наша замена «изну-
«изнутри» будет происходить следующим образом. Сначала заменяется
своим значением, т. е. цифрой 0", постоянный терм 2 1. Затем
в качестве замены для ег($ (г) берется некоторая цифра с и вместо
появившегося на месте терма егE (г) + 3 терма с + 3 пишется его
значение, т. е. цифра с". Затем в качестве замены для терма
еуЪ (у, с'") берется некоторая цифра b и вместо терма b • 5 пишется
его значение в виде некоторой цифры п. И наконец, берется неко-
некоторая цифра, являющаяся заменой для терма елЭД (х, п, О").
1) Запись Ж (с, 8у5Э (с, »)) следует понимать таким образом, что перемен-
переменная с, возможно (но не обязательно), встречается также и вне выражения
53( )
132 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ в СИМВОЛА (ГЛ П
Идея такого способа заключается в том, что сначала назна-
назначается замена для некоторого е-терма, а после этого каждый
терм, фигурирующий в качестве составной части и не являю-
являющийся цифрой с самого начала, превращается в некоторую цифру
предшествующими заменами и вычислениями значений постоян-
постоянных термов. Тем самым непосредственные замены производятся
только для таких е-термов, которые не содержат никаких других
термов, кроме цифр
Этот метод приносит, с одной стороны, некоторые упрощения,
а с другой стороны, известные осложнения: упрощения — постольку,
поскольку при этом непосредственные замены нужно производить
только для е-термов степени 1; осложнения —постольку, поскольку
совокупность е-термов степени 1, для которой нужно брать непо-
непосредственные замены, не вполне определяется е-термами, имею-
имеющимися в заданном списке формул, а зависит еще и от выбран-
выбранных замен.
Этим разложением замен в последовательные редукции «изнутри»
мы, прежде всего, добиваемся того, что гильбертовский метод
нахождения экземплярных замен по критическим формулам ока-
оказывается применимым и в случае критических формул ранга выше 1.
Но, кроме сказанного, этим способом мы добиваемся еще и
того, что в результате этих замен все формулы е-равенства тоже
переходят в истинные формулы. Действительно, если мы имеем
формулу
b3l( ) Д(*, Ь),
где термы а и b при некоторой общей замене получают одно и
то же значение, то в процессе нашей последовательной замены
изнутри термы евШ (ю, а) и ео31 (», Ь) должны будут получить замены,
представляющие собой одну и ту же цифру.
Несмотря на все преимущества, которыми обладает метод замен
путем последовательных редукций, он все-таки не вполне при-
пригоден для рассмотрения критических формул ранга выше 1.
Как мы уже отмечали, всякая критическая формула ранга
выше 1 имеет вид
8 (f, ею23 (f, »)) -* S3 (e
Здесь еЕЭД (£) представляет собой тот е-терм es$ (£, ев33 (£, v)), g кото-
которым связана указанная формула. Нахождение какой-либо экземп-
лярной замены j для этого терма с помощью данной критической
формулы происходит тогда, когда при некоторой общей замене
эта формула оказывается истинной, a f получает значение < либо
непосредственно, либо в силу этой замены.
[Наша процедура последовательной редукции обеспечивает
совпадение при рассматриваемой общей замене истинностного
^ 4] ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЙ ГИЛЬБЕРТОВСКИЙ ПОДХОД 133
значения посылки
с истинностным значением, получаемым при этой общей замене
формулой 21E), т. е.
« ]
При этом ситуацию несколько осложняет то обстоятельство,
что истинностное значение формулы
зависит от замены, которой в рамках рассматриваемой общей
замены подвергается терм ев8(», »). Таким образом, экземпляр-
ная замена для терма е£21(£), содержащего подчиненное ему е-выра-
жение e0S9 (£, »), как таковая (т. е. в качестве экземплярной
замены) зависит от замены для терма ев53 C, ю), получающегося
из упомянутого подчиненного е-выражения ев33 (£, ю) в резуль-
результате замены переменной £ цифрой j. Этот терм ею93 (Я, ») — в кото-
котором цифра ?, быть может, определяется только общей заменой —
имеет тот же самый ранг, что и е-выражение в„33 (£, »). Следова-
Следовательно, этот ранг меньше ранга терма еЕ'Л (£).
То обстоятельство, что экземплярные замены для термов ранга
{+1 зависят от замен для термов ранга f и ниже, ведет к неко-
некоторому спуску, которым можно воспользоваться для того, чтобы
показать, что процедура нахождения экземплярных замен в конце
концов обрывается.
Чтобы придать этому спуску по рангу обозримый характер,
мы будем стремиться составлять замены е-термов ранга выше 1
из замен для термов ранга 1 способом, аналогичным тому,
с помощью которого, используя процедуру последовательных
редукций, мы строили замены для термов более высоких степе-
степеней из замен для термов первой степени.
Чтобы объяснить, как следует пользоваться этой аналогией,
мы сопоставим друг с другом ряд простых примеров. Возьмем,
с одной стороны, терм
е*£ (х, eyi (у)),
имеющий степень 2, и, с другой стороны, терм
вдЖ (Чу& (X, У)),
имеющий ранг 2.
Будем считать, что в обоих термах не встречается никаких
других е-символов, кроме явно указанных. Замена для первого
134 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ е СИМВОЛА ГГП Ц
из этих термов производится, согласно процедуре последователь-
последовательной редукции, таким образом, что сначала &yi (у) заменяется
некоторой цифрой j, а после этого е,х$ (х, ?) тоже заменяется
некоторой цифрой. При этом роль цифры t, является двойствен-
двойственной: с одной стороны, она помещается в наш е-терм степени 2
на место терма е,,8 (у), вследствие чего этот е-терм переходит
в е-терм степени 1; с другой стороны, всюду, где терм гу$ (у)
выступает в роли самого себя (т. е. не в качестве составной части
какого-либо объемлющего его е-терма), эта цифра играет роль
значения терма ец4 (у). Таким образом, цифра j в одном случае
играет роль терма, а в другом — значения терма.
Если мы теперь будем искать аналогичный способ выполне-
выполнения замены для терма гх$ (гу% (х, у)), то цифровой замене j для
терма ву$ (у) при этом может не соответствовать никакая цифро-
цифровая замена для ев8(х, у), что видно хотя бы уже из того, что,
когда i является цифрой, выражение еД (з) термом вообще не
является. Более того, в качестве замены для терма &у^ (х, у) нужно
обязательно брать такое выражение, которое содержит связывае-
связываемую извне переменную х. Следующую отправную точку для пра-
правильного выбора замены дает наше стремление сохранить двой-
двойную роль замены: терму ву$ (у) «самому по себе» (из первого
примера), т. е. рассматриваемому независимо от его вложенности
в какой-либо другой терм, в данном случае соответствует терм
вида еа2 (а, у), где а — терм. Если замена для выражения еа2 (х, у)
должна определять значение любого из термов ву£(а, у), то это
значит, что она должна давать значение этого терма всякий раз,
когда известно значение терма а; это значит, что каждой кон-
конкретной цифре ё она должна соотносить (в виде цифры) опреде-
определенное значение терма гу%(в, у).
С учетом этого требования мы приходим к следующей про-
процедуре функциональной замены: сначала, исходя из выра-
выражения гу%.(х, у), мы строим некоторую именную форму
гу% (с, у), заменяя в упомянутом выражении связанную перемен-
переменную х какой-либо свободной индивидной переменной, например с.
Затем для этой именной формы мы указываем замену в виде
функционального знака { с аргументом с вместе с инструкцией,
однозначно соотносящей каждой конкретной цифре ё значение
(в виде цифры) f (б).
Каждый вводимый таким образом функциональный знак мы
будем мыслить себе добавленным к лежащему в основе нашего
рассмотрения арифметическому формализму. Так как для этих
функциональных знаков не формулируется никаких специальных
аксиом и так как, с другой стороны, задается инструкция по
вычислению построенных с участием этих знаков термов без пере-
переменных, то их добавление может быть произведено безо всяких
других изменений в структуре нашего доказательства.
§ 4] ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЙ ГИЛЬБЕРТОВСКИЙ ПОДХОД '35
Что же касается задания значений вводимых функций, то мы
всюду будем обходиться такими функциями, которые имеют отлич-
отличные от нуля значения только при конечном числе значений (соот-
(соответственно систем значений) аргументов и для которых поэтому
пробег значений может быть задан путем прямого перечисления
этих значений (соответственно систем значений) аргументов и
отвечающих им значений функций.
Внесение функциональной замены f (с), заданной для некото-
некоторой именной формы еу8 (с, у), заключается в том, что вместо
каждого вхождения е-терма или е-выражения ев§ (а, »), у кото-
которого связанная переменная v не входит в терм а, подставляется
соответствующее выражение f (а). В частности, из терма ех§. (ей8 (х> у))
таким образом получается терм ех$ (f (х)), ранг которого равен
единице; а замена терма &х§. (гу% (х, у)) после этого заключается
втом, что сначала для eyi(c,y) задается функциональная замена f (с),
а затем для терма ех& (f (x)) берется замена в виде некоторой
цифры.
Любая критическая формула
£(ee8(f, y))-+&(ey*(t, у)),
связанная с термом ех& (еу8 (*, у)), который мы для краткости
обозначим буквой е, после замены терма ей8 (с, у) через f (с) пере-
переходит в критическую формулу
ранг которой равен единице.
Описанную процедуру функциональной замены можно без
особого труда применять в ситуациях с произвольными подчине-
подчинениями е-термов. Разве что в качестве функций, используемых
для замен, придется брать и функции с несколькими аргументами.
Пусть, например, нам задан терм
8*81 (*, ву%(х, у, еД(г), ег$ (у, г), ег@ (х, у, г)))
ранга 3, и пусть в этот терм не входят никакие другие е-термы,
кроме явно указанных. Тогда применение процедуры функцио-
функциональной замены произойдет следующим образом. Сначала мы
составляем список е-выражений ранга 1:
, г), ez®(x, у, z).
Берем для еД (г) замену в виде некоторой цифры с; для двух
Других е-выражений мы образуем какие-нибудь соответствующие
им именные формы, например
е$(а, г) и ег®(а, Ь, г)
и берем для них функциональные замены \(а) и g (a, b). В
136 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ в СИМВОЛА (ГЛ. II
результате внесения этих замен заданный t-терм перейдет в е-терм
еуЪ(х, у, с, f(y), g(x, у))),
имеющий ранг 2. Теперь для входящего в этот терм е-выражения
ранга 1
ъуЪ{х, у, с, f(y), §(х, у)),
содержащего связанную извне переменную х, мы образуем имен-
именную форму
ъуЪ(а, у, с, \{у), g (а, у))
и берем для нее замену f>(«); внесение этой замены в предыду-
предыдущий е-терм ранга 2 теперь дает нам терм ранга 1
гх%(х, {,(*)),
для которого мы затем берем замену в виде некоторой цифры.
Такой способ производства замен дает желаемое обобщение
метода последовательных редукций, распространяющееся теперь
не только на случаи вложения, но и на случаи подчинения е-термов.
Но в этой процедуре кроется и еще одно неблагоприятное
обстоятельство, которое ведет нас к очередной — последней — мо-
модификации операции замены. В самом деле, при комбинирован-
комбинированном применении нескольких функциональных замен мы встречаемся
с трудностью, заключающейся в том, что один и тот же е-терм
может происходить от различных именных форм и что вследст-
вследствие этого замена такого терма оказывается неоднозначной. Напри-
Например, если в рамках некоторой общей замены мы, с одной сто-
стороны, должны будем произвести функциональную замену f (с)
для именной формы 6*33@, с, х), а с другой стороны — функцио-
функциональную замену д(а) для именной формы гхЪ{а, 0', х), то для
терма ехЪ @, 0', х) получаются две замены f(O') и $@), которые
согласуются между собой только тогда, когда значение f для
аргумента 0' совпадает со значением $ для аргумента 0. Поэтому
между значениями различных функций, входящих в состав какой-
либо замены, могут иметь место определенные соотношения в виде
равенств, выражающих те или иные условия, и эти равенства
должны нами учитываться при подборе соответствующих функций.
Это очень неприятное осложнение, и мы будем стремиться
освободиться от него. Мы могли бы найти здесь следующий выход:
в случае, подобном упомянутому, вместо двух именных форм
e*23(O, с, х) и ъхЪ(а, 0', х) ввести одну именную форму с двумя
переменными zjd (а, с, х), а затем взять для нее функциональ-
функциональную замену I) (а, с). И все же мы сможем указать некоторую
единую процедуру, если обратим внимание на то, что случай,
когда один и тот же терм получается из двух различных имен-
именных форм, может встретиться лишь тогда, когда обе эти имен-
ф 41 ПИРВОНАЧАЛЬНЫЙ ГИШ.БРРТОВСКИЙ ПОДХОД 137
ные формы имеют один и тот же основной типх). В самом деле,
каждый терм, получающийся из какой-либо именной формы
в результате подстановки некоторых термов вместо одной или
нескольких входящих в нее переменных, имеет тот же самый основ-
основной тип, что и данная именная форма.
Поэтому указанную трудность можно устранить с самого
начала, прослеживая происхождение именных форм от их основ-
основных типов и беря функциональные замены для этих последних.
Любой основной тип как терм с определенным образом обозна-
обозначенными аргументными переменными может играть роль именной
формы, и заменяющая функция для такого терма может быть
задана в виде функционального знака, аргументы которого сов-
совпадают с аргументными переменными этого основного типа.
В соответствии с этим функциональная замена для терма eyi (а, у),
если этот терм имеет вид
eA(q, r (a), t(fl), у),
a ey%i(b, с, d, у) является основным типом ранга 1, произво-
производится, например, следующим образом. Для основного типа
гу%1 (Ь, с, d, у) берется функциональная замена \ (Ь, с, d),
а в качестве замены для терма е„2(а, у) берется терм f(q, t(a),
t (а)); тогда заменой для etfS (х, у) будет выражение f (q, r (x), t (.r)).
Впрочем, в этой процедуре построенная вначале именная
форма является излишней. От любого е-выражения мы можем
перейти прямо к «его» основному типу. В самом деле, не только
любому е-терму, но и любому е-выражению, не являющемуся
термом, можно однозначно — с точностью до обозначений аргумент-
аргументных переменных — сопоставить некоторый основной тип, а именно —
общий основной тип всех тех е-термов, которые получаются из
данного е-выражения, если связываемые извне переменные (т. е.
связанные переменные, которые не относятся ни к какому вхо-
входящему в это е-выражение е-символу) заменить свободными пере-
переменными. В этом смысле можно говорить об основном типе любого
е-выражения вообще.
Если теперь основные типы указанным образом использовать
для функциональных замен, то, чтобы быть последовательными,
мы должны вообще все замены е-термов и е-выражений произво-
производить с помощью замен для основных типов так, чтобы каждая
непосредственная замена производилась только для основных
типов ранга 1. То, что это всегда может быть сделано, устанав-
устанавливается следующим образом.
1. Пусть е — произвольный е-терм без свободных переменных
(именно такие е-термы и фигурируют в критических формулах
и формулах е-равенства). Пусть для основного типа терма е —
») См. с. 84.
138 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ е СИМВОЛА [ГЛ II
в зависимости от того, имеет этот основной тип какие-нибудь
аргументы или нет, — задана функциональная или цифровая замена,
и пусть для каждого вложенного в е е-терма задана некоторая
замена в виде цифры. Тогда, пользуясь определением значений
термов без переменных, мы найдем некоторую цифру, являю-
являющуюся значением е.
Действительно, если основной тип терма е аргументов не имеет,
то этим основным типом является сам терм с, а его цифровой
заменой будет цифровая замена для е. Если же этот основной
тип имеет аргументы, то при выполнении указанных условий
для аргументов этого основного типа, фигурирующих в терме е,
мы получаем (либо непосредственно, либо в результате соответст-
соответствующих вычислений) некоторые цифровые значения, а функцио-
функциональная замена для основного типа терма е сопоставляет этим
значениям аргументов некоторую новую цифру, являющуюся
значением этой функции.
2. Пусть а — произвольный основной тип ранга f + 1. Если
задать функциональные замены для основных типов ранга 1,
подчиненных терму д, и если задать функциональную или цифро-
цифровую замену для основного типа ранга f, получающегося из g
в результате внесения этих функциональных замен, то для g
получится функциональная или цифровая замена.
Тот факт, что из терма g ранга f+1 в результате внесения
функциональных замен для основных типов е-выражений ранга 1
действительно получается е-терм ранга f, легко следует из опреде-
определения ранга1); а то, что этот е-терм ранга f снова является
основным типом, вытекает из того, что в результате указанных
функциональных замен заполнение (имеющихся в данном случае)
аргументных мест терма g переменными остается прежним и что
в результате этого никаких новых термов в качестве составных
частей не добавляется.
Теперь утверждение 1 дает нам метод, позволяющий сводить
нахождение цифровых замен для в-термов любого заданного списка
формул к заменам для основных типов, а утверждение 2 дает
метод, позволяющий сводить замены для основных типов ранга
выше 1 к заменам для основных типов ранга 1.
При этом способе получения цифровых замен для е-термов
необходимо отличать мбщую замену» как совокупность непосредст-
непосредственных цифровых и функциональных замен для основных типов
от совокупности «эффективных» замен для входящих в заданные
формулы е-термов. По общей замене можно определить и эффек-
эффективные замены, но, вообще говоря, не наоборот Основные типы,
для которых мы должны указать замены,— это, во-первых, основ-
основные типы всех е-выражений ранга 1, входящих в заданный список
х) См. с. 46.
§ 4] ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЙ ГИЛЬБЕРТОВСКИЙ ПОДХОД '39
формул, и, во-вторых, основные типы ранга 1, получающиеся
из основных типов е-выражений более высоких рангов в резуль-
результате внесения функциональных замен для подчиненных им е-выра-
е-выражений, причем эти внесения производятся последовательно шаг
за шагом «изнутри», так что всегда замену получают только
основные типы ранга 1.
В качестве примера рассмотрим построение замены для терма
е, {б (х) + еу[гг (y-y = (z-(z- г))') + ег(D 5) • (х + у) = г■ г) =
Эют терм, который мы обозначим через е, имеет основной тип
е ,{ Ь (х) + еу[ гг(у ■ у = (г • (г ■ г))') +
который мы обозначим через q. Цифровая замена для е, согласно
нашей процедуре, определяется по функциональной замене
(Ч (а, Ь, с) для основного типа q и цифровой замене j для терма
e/(z-{-z=£z). Именно по ^(а, Ь, с) и j мы получаем для терма е
замену
вх D-5, 5, О""),
для которой можно получить конкретное цифровое значение, опи-
опираясь на определение значений для функции с1(а, Ь, с). Однако
замена с^ (а, Ь, с) для основного типа g, ранг которого равен
трем, выбирается не непосредственно, а с помощью замен для
основных типов ранга 1. С этой целью мы составим полный
список е-выражений ранга 1, входящих в терм g:
Эти выражения имеют основные типы
ег(с=B B z))') и гг(с = г г).
Если мы возьмем для них функциональные замены f2 (с) и f8 (с)
"и внесем эти замены в д, то получится основный тип ранга 2
(а (х + у)) =х + Ь■ у'] =
Входящее в него е-выражение ранга 1
имеет основной тип
Если для этого основного типа взять функциональную замену
140 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ 8 СИМВОЛА [ГЛ. И
\){а, Ъ, с, d) и внести ее в д, то получится основный тип
e,{6(x) + f>K Ъ, х, х) = с}.
Теперь для этого основного типа ранга 1 мы возьмем некоторую
функциональную замену, которая и будет заменой gi(a, b, с)
для основного типа д.
При этом способе нахождения цифровой замены для терма е
пяти различным входящим в е е-выражениям (считая и сам терм е)
соответствуют пять непосредственных замен для основных типов,
а именно для основных типов трех явно входящих в е е-выраже-
ний ранга 1
чУ(УУ = (г-(г-г)У), ег(D-5)-(х + у) = г г)
и
а также для тех основных типов ранга 1, которые получаются
из основных типов двух е-выражений ранга 3 в результате после-
последовательного внесения функциональных замен для подчиненных
им е-выражений.
Относительно выбора символов для функций замены мы усло-
условимся, что для замены различных основных типов всегда будут
браться различные функциональные знаки (в том числе и тогда,
когда пробеги значений функций замены совпадают). Эта мера
имеет своей целью предохранить нас от возникновения в резуль-
результате символьного внесения функций замены осложняющих дело
совпадений между е-термами, совпадений того же рода, что и те,
которых мы хотели избежать путем введения основных типов.
Что же касается применяемых при этом функциональных
знаков, то для любого списка формул можно с самого начала,
независимо от выбора заменяющих функций заготовить некоторую
последовательность знаков. Целесообразно использовать функцио-
функциональные знаки с индексамих), быть может даже с двойными.
Мы надеемся всякий раз добиться на этот счет соответствующих
соглашений, не оговаривая этого специально.
в) Реализации гильбертовского подхода в случае е-термов
ранга 1. Теперь мы имеем метод производства замен, приспособ-
приспособленный к потребностям общего случая нашей задачиа) построения
резольвенты для произвольно заданного списка критических фор-
формул и формул е-равенства. Посмотрим, как будет выглядеть
поиск резольвенты с помощью этого нового метода.
Прежде всего, заметим, что в методе замен при помощи основ-
основных типов, так же как и в процедуре последовательных замен,
1) Эти числа должны рассматриваться не как термы, а как составные
части самих функциональных знаков.
') См. с. 128.
5 41 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЙ ГИЛЬБЕРТОВСКИЙ ПОДХОД 141
после выполнения каждой общей замены формулы е-равенства
становятся истинными. Именно, в случае формулы е-равенства
Ь)
для обоих термов е„Ш (», а) и ей'Д (», Ь), которые, как мы знаем,
имеют один и тот же основной тип, замены находятся по функ-
функциональной замене для этого основного типа и по цифровым
заменам, получаемым вложенными е-термами, если таковые имеются.
Поэтому, если при некоторой общей замене термы а и b получат
одно и то же значение, то термы е„?1 (», а) и е„21 (», Ь) при этой
замене получат одну и ту же цифровую замену, и тем самым
заключение этой формулы е-равенства превратится в истинную
формулу; если же а и b при какой-либо общей замене получат
различные значения, то тогда посылка этой импликации окажется
ложной формулой. Значит, наша формула е-равенства в любом
случае перейдет в истинную формулу. Учитывая это обстоя-
обстоятельство, мы должны будем при поиске резольвенты обращать
внимание на одни лишь критические формулы.
Чтобы рассмотреть метод последовательного построения общих
замен, мы сначала обсудим случай, когда в заданной последо-
последовательности формул встречаются только е-термы ранга 1. В этом
случае общая замена, в соответствии с нашим новым способом
замены, будет задаваться назначением замен для основных типов
фигурирующих в данном рассмотрении е-термов. Мы всегда будем
начинать с такой замены, у которой для каждого основного типа
без аргументов выбирается 0-замена, а для каждого основного
типа, имеющего аргументы, в качестве замены берется функция
с этими аргументами, которая всюду принимает значение 0.
Эту общую замену мы для краткости будем называть общей заме-
заменой со сплошными 0-значениями.
Нахождение какой-нибудь экземплярной замены по критичес-
критической формуле
и использование этой замены происходит следующим образом.
Пусть e£SB(s, av ..., an) — основной тип терма еЕ21(£), и пусть
в терме ef9I(j) в качестве значений аргументов av ..., ап фигу-
фигурируют термы tt, .... tn. Тогда наша критическая формула запи-
запишется в виде
tlt ..., tn)-33F^E, tx tn), tlt .... tn).
Если по этой формуле мы ищем какую-либо экземплярную замену,
то это означает, что общая замена, при которой терм es2tE) был
заменен цифрой 0, переводит данную критическую формулу
142 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ е СИМВОЛА [ГЛ II
в формулу, являющуюся ложной1). Пусть 5, J1, .... $„ суть цифры,
являющиеся значениями термов f, t tn при этой общей
замене. Тогда функция замены, которая при этой общей замене
берется для основного типа es33(e, av ..., ап), на наборе значе-
значений аргументов ^ ,?„ принимает значение 0; при этом фор-
формула 33@, ?х ..., Sn) должна быть ложной, а формула 23 (fl, tv ...
..., »„) — истинной. Цифра г, дает нам экземплярную замену в том
смысле, что при всякой общей замене, при которой термы tb ...
...,tB получают значения ?г ..,5„ и при которой функция
замены для основного типа es33(£, av ..., аЛ сопоставляет набору
lv ..., 5„ значений аргументов цифру j в качестве значения, рас-
рассматриваемая критическая формула переходит в формулу, являю-
являющуюся истинной. В том же самом смысле число т —наименьшее
из тех чисел г, принадлежащих ряду от 0' до ft, для которых
формула 23 (г, bv ..., 5„) является истинной, представляет собой
минимальную замену. Использование найденной минимальной
замены m состоит в том, что в любой новой общей замене вместо
функции замены для основного типа es33(x, av ..., а„) мы берем
некоторую новую функцию, которая по своему пробегу значений
отличается от прежней функции лишь тем, что набору t,v ..., «„
значений аргументов она ставит в соответствие вместо значения 0
значение т. Это значение впоследствии сохраняется во всех
дальнейших общих заменах.
С помощью одной общей замены могут быть найдены, вообще
говоря, многие экземплярные замены. По экземплярным заменам
могут быть найдены минимальные, а затем эти минимальные
замены все вместе используются для построения очередной общей
замены. Но если не считать этого использования экземплярных
или минимальных замен, мы не подвергаем общие замены ника-
никаким дальнейшим изменениям. Поэтому и каждая функция замены
модифицируется только для конечного числа значений (или соот-
соответственно систем значений) ее аргументов; и так как мы исхо-
исходим из общей замены со сплошными 0-значениями, то, согласно
сказанному, у нас будут встречаться только такие функции замены,
которые будут иметь отличное от 0 значение лишь для конеч-
конечного числа систем значений их аргументов.
Переходя от экземплярных замен к минимальным, мы доби-
добиваемся того, что при каждой общей замене все критические фор-
формулы второго рода переходят в истинные формулы. В самом деле,
критическая формула второго рода, связанная с каким-нибудь
е-термом, имеющим основной тип е£23(Е, а%, ..., а„), выглядит
См. с. 125- 126.
$ 41 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЙ ГИЛЬБЁРТОВСКИЙ ПОДХОД 1*3
следующим образом:
Эта формула при любой общей замене, при которой терм
ef33 (s, fr ..., fn) имеет эффективную замену 0, переходит в истин-
истинную формулу; но если этот терм при какой-либо общей замене
имеет другую эффективную замену г и если при этой общей
замене термы flt .. , fn получают значения tv ..., 5„, то в этой
общей замене функция замены для основного типа eES3(g, av ...
..., а„) должна быть определена так, чтобы для значений аргу-
аргументов *v ..., jn она принимала в качестве значения цифру г.
Но тогда, согласно нашему способу определения общих замен,
цифра г должна быть минимальной заменой для терма е£33(£, ^, ...
..., 5„) и тем самым формула
в которую при данной общей замене переходит рассматриваемая
критическая формула второго рода (здесь ё обозначает цифровое
значение, которое в этой ситуации принимает терм I), должна
быть истинной формулой.
Так как теперь при каждой общей замене все формулы
е-равенства и все критические формулы второго рода из задан-
заданного списка оказываются истинными, то в результате любой
общей замены, еще не являющейся резольвентой, по крайней
мере одна критическая формула первого рода должна оказаться
ложной и потому в результате этой общей замены должна
найтись по крайней мере одна экземплярная замена, на основе
которой будет строиться очередная общая замена.
Теперь мы убедимся, что процесс последовательного построе-
построения общих замен после некоторого, заранее оцениваемого числа
шагов оборвется и, значит, приведет нас к некоторой резольвенте.
Для этого заметим следующее:
1. Изменение функции замены какого-либо основного типа
может заключаться лишь в том, что одной или нескольким
системам значений аргументов, которым первоначально в качестве
значения функции была сопоставлена цифра 0, в новой замене
сопоставляется цифра, отличная от 0. Следовательно, значение
функции, отличное от 0, при всех изменениях сохраняется и
в дальнейшем могут добавляться только значения, отличные от 0.
Аналогично, модификация какой-либо замены для основного типа
без аргументов может заключаться только в том, что вместо
0-замены появится замена некоторой цифрой, отличной от 0.
144 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ е СИМВОЛА [ГЛ II
2. Эффективная замена для какого-либо е-терма с, определен-
определенная по некоторой общей замене1), при очередной общей замене
может измениться только тогда, когда либо эта эффективная
замена является 0-заменой, на смену которой приходит какая-ни-
какая-нибудь другая цифровая замена, либо когда эта эффективная замена
изменяется для какого-нибудь вложенного в с е-терма.
Это утверждение вытекает из предшествующего утверждения 1,
если дополнительно учесть, что эффективная замена для с опреде-
определяется по замене для основного типа терма е и, быть может,
по эффективным заменам для каких-либо вложенных в е е-термов.
В качестве следствия из утверждения 2 получается утверждение
3. Если какая-либо общая замена отличается от другой, пред-
предшествующей ей общей замены теми или иными эффективными
заменами, то для тех е-термов наименьшей степени, эффективные
замены которых подвергаются каким-либо изменениям, эти изме-
изменения заключаются в замещении 0-замены какой-нибудь другой
цифровой заменой.
Это можно уточнить следующим образом. Условимся сопостав-
сопоставлять каждой общей замене в качестве ее индекса последова-
последовательность, состоящую из р чисел,, такую, что р представляет
собой максимум степеней е-термов, встречающихся в заданном
списке формул, а q-й член последовательности (при q=l, ..., р)
указывает число тех е-термов степени q, для которых при данной
общей замене эффективная замена отлична от 0-замены. Пусть
даны два различных индекса. Более высоким из них мы
будем называть тот индекс, у которого на первом слева разли-
различающем месте стоит большее число. Тогда утверждению 3 можно
будет придать следующий вид:
4. Из двух общих замен, которым соответствуют различные
эффективные замены, более поздняя имеет более высокий индекс.
5. Пусть nq (q = l, ..., V) обозначает число различных е-тер-
е-термов степени q, входящих в рассматриваемый нами список формул.
Тогда число различных возможных индексов общих замен равно
(„1+!).....(„„+1).
В самом деле, каково бы ни было q, число е-термов q-й степени,
имеющих отличную от 0-замены эффективную замену, равняется
одному из чисел 0, ..., nq.
6. При переходе от одной общей замены к другой, происхо-
происходящем ввиду отыскания одной или нескольких новых экземпляр-
ных замен, эффективная замена модифицируется по крайней мере
для одного из е-термов.
») См. с. 138.
5 41 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЙ ГИЛЬБЕРТОВСКИП ПОДХОД 145
В самом деле, пусть еЕ23(Е, tv ..., tn) —e-терм, с которым
связана одна из критических формул, дающих какую-либо экземп-
лярную замену при построении новой общей замены по старой.
Пусть, далее, еЕ33(£, av ..., а„) — основной тип этого е-терма, и
пусть «1, ..., jn — значения термов ^, ..., tn в момент построения
этой экземплярной замены,
Если при новой общей замене термы tv ..., tn снова получают
значения ?х, ..., jn, то в эффективной замене терма еЕ33 (е, tx, ...
..., tn) используется новое значение функции, которое функция
замены для терма еЕ33(Е, av ..., ап) принимает —в соответствии
с модификацией функциональной замены для этого основного
типа,— когда ее аргументы принимают значения »х, ..., ^п. Следо-
Следовательно, в этом случае при переходе к новой общей замене
модифицируется эффективная замена для терма еЕ33(£, tv ..., tn).
Если же при новой общей замене по крайней мере один
из термов tv .... tn получает значение, отличное от предыдущего,
то должна быть модифицирована эффективная замена хотя бы для
одного из встречающихся в этих термах е-термов.
В силу утверждений 4 и 6 это означает, что при нашем спо-
способе построения общих замен за каждой общей заменой, не являю-
являющейся резольвентой, следует очередная общая замена, имеющая
более высокий индекс, откуда в силу утверждения 5 мы получаем,
что не позже чем через (пх+ 1)-...-(пр+1) шагов очередная
общая замена окажется резольвентой.
Таким образом мы получим способ построения резольвенты
в том случае, когда все е-термы, фигурирующие в заданном
списке формул, имеют ранг 1. По оценке, найденной для числа
требующихся при этом общих замен, мы можем получить еще
одну, более простую (хотя и менее точную) оценку, которая
имеет то преимущество, что зависит только от общего количества
е-термов, встречающихся в заданном нам списке формул.
Так как для любого числа 5 выполняется соотношение
J+K2».
то
Таким образом, если п — число различных, встречающихся в задан-
146 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ еСИМВОЛА [ГЛ II
ном списке формул е-термов, то количество необходимых общих
замен не будет превосходить числа 2П.
Для получения этого результата метод функциональных замен
с помощью основных типов нами не использовался, хотя в дан-
данном случае он и способствовал бы упрощению рассмотрения.
Существенное применение этот метод найдет лишь в общем случае,
когда нам придется иметь дело с е-термами и критическими
формулами, имеющими ранг выше единицы.
г) Построение писледовательности общих замен в общем случае.
Для подготовки к рассмотрению общего случая мы будем стре-
стремиться описать такой процесс построения последовательности
общих замен, который будет обрываться только тогда, когда оче-
очередная полученная общая замена оказывается резольвентой.
С учетом нашего способа построения замен, при котором замена
для основных типов ранга выше 1 сводится к заменам для основ-
основных типов ранга 1, естественно требовать, чтобы получение общих
замен происходило рекурсивным образом, т. е. так, чтобы рас-
рассмотрение совокупности формул, у которой максимальный ранг
е-термов равен m +1, всегда сводилось к рассмотрению совокуп-
совокупности, имеющей максимальный ранг е-термов, не превосходящий т.
Максимальный ранг е-термов, встречающихся в данном списке
критических формул и формул е-равенства, мы будем для крат-
краткости называть рангом этого списка. В том случае, когда
ранг списка равен 1, мы уже располагаем способом, позволяющим,
исходя из общей замены со сплошными О-значениями, строить
новые общие замены до тех пор, пока не будет получена резоль-
резольвента. При этом возникают только такие функции замены, значе-
значения которых отличаются от 0 лишь для конечного числа систем
значений их аргументов1). Чтобы от этого, уже известного нам
способа перейти к способу, дающему аналогичный результат для
списков формул, имеющих ранг, больший 1, мы воспользуемся
тем, что если для заданного списка формул, имеющего произволь-
произвольный ранг, выбрать замены для основных типов встречающихся
в нем е-выражений ранга 1 и если эти замены (с использованием
символов, выбранных для функций замены) символьно внести
в критические формулы и формулы е-равенства ранга выше 1,
то эти формулы снова перейдут в формулы того же самого типа,
причем ранг их понизится на единицу.
В самом деле, стабильность вида критических формул и фор-
формул е-равенства вытекает из того, что при заменах для основных
типов их аргументы (если таковые имеются) сохраняются, и из
того, что между наличием е-выражений в некотором е-терме
2l(), с одной стороны, и в соответствующей формуле 81 (с),
См. с. 141 — 142, 149—150.
$ 41 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЙ ГИЛЬБЕРТОВСКИЙ ПОДХОД 147
с другой, имеется определенная, рассмотренная нами ранее связь ')•
А то обстоятельство, что ранг е-термов ранга 2 и выше в резуль-
результате внесения замен для основных типов ранга 1 понижается на
единицу, легко усматривается из определения ранга8).
Таким образом, если ранг заданного списка формул равен
т+1, то по этим критическим формулам и формулам е-равен-
ства, имеющим ранг выше 1, в результате символьного внесения
замен для основных типов ранга 1 мы получим некоторый список
критических формул и формул е-равенства, имеющих ранг, не
превосходящий т.
Теперь допустим, что нам известен способ, позволяющий для
любого списка формул ранга г, исходя из общей замены со сплош-
сплошными 0-значениями, строить новые общие замены до тех пор,
пока не будет построена резольвента. Располагая таким способом,
мы получим интересующую нас процедуру для списков формул 3t
ранга in-f-1 следующим образом.
Сначала мы берем для основных типов ранга 1 замену со
сплошными О-значениями. Эту замену мы символьно еносим
в критические формулы и формулы е-равенства ранга выше 1.
В результате этого мы получаем некоторый список формул ЗЧ1(
имеющий ранг т. Теперь к этому списку мы применяем процедуру
построения п< следовательности общих замен. Каждая общая замена
для основных типов списка 3tx вместе с заменами для основных
типов ранга 1 списка 3ft дает нам некоторую общую замену для 3t.
Действительно, для каждого основного типа ранга 2 или выше
эта замена получается из замены для соответствующего основного
типа в Ши который получен из исходного основного типа
в результате внесения замен для подчиненных ему е-выражений.
Так мы приходим к некоторой последовательности общих замен
■^1,1» -^1, 2. •••
для списка 9R. Возможно, что эта последовательность замен обо-
оборвется. Однако это случится лишь в том случае, если в процессе
построения общих замен для списка ?RX мы дойдем до резольвенты.
Если при этом соответствующая замена для 9t тоже окажется
резольвентой, то на этом вся процедура заканчивается. Если же
этого не произойдет, то по крайней мере одна критическая фор-
формула, принадлежащая списку 9R, при соответствующей общей
замене Et, f должна будет превратиться в ложную формулу,
причем эта критическая формула будет формулой ранга 1, потому
что общая замена Et, f получается из некоторой резольвенты для
списка 3ftx и, значит, в результате этой замены критические фор-
формулы, имеющие ранг выше 1, превратятся в истинные формулы.
1) См. утверждения 1 и 2 на с. 130,
а) См. с. 46.
148 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ S-СИМВОЛА [ГЛ II
С другой стороны, ни одна критическая формула второго рода,
имеющая ранг 1, не может оказаться ложной, потому что замены
для основных типов ранга 1 являются заменами со сплошными
О-значениями. Таким образом, в результате общей замены Еи fj
по крайней мере одна критическая формула
первого рода превратится в ложную формулу. При вычислении
значений этой формулы, вообще говоря, необходимо пользоваться
заменами для основных типов ранга 2 и выше. Но так как сама
эта критическая формула является формулой ранга 1, то эти
замены сказываются лишь на вычислении значений некоторых
е-термов, входящих в формулу 21 (с). Следовательно, как и в слу-
случае, когда имеются только е-термы ранга 1, по каждой крити-
критической формуле ранга 1, становящейся при общей замене Elt f
ложной, мы получаем некоторую экземплярную, а затем по ней
и минимальную замену. Эту минимальную замену мы потом сможем
использовать для построения новой замены для основного типа
того е-терма, с которым связана рассматриваемая формула.
Мы построим теперь новые замены для основных типов ранга 1,
изменив замены со сплошными 0-значениями теми цифровыми и
функциональными значениями, которые получаются из найденных
минимальных замен. Эти измененные замены мы затем внесем
в критические формулы и формулы е-равенства ранга выше 1 и
в результате по этим формулам получим список формул 3ft2,
имеющий ранг т. К ЗЧ2 можно будет снова применить процедуру
построения последовательности общих замен, и всякая получен-
полученная таким образом общая замена для Ш2 дает нам вместе с заме-
заменами для основных типов ранга 1 некоторую общую замену для
списка формул 3d. Итак, мы получаем некоторую последователь-
последовательность общих замен для 3d:
2,2>
Эта последовательность может оборваться только тогда, когда мы
получим резольвенту для списка 3d2- Если соответствующая общая
замена окажется резольвентой для 3d, то выполнение всей нашей
процедуры заканчивается. В противном случае в результате рас-
рассматриваемой общей замены Fit f хота бы одна критическая фор-
формула ранга 1 станет ложной, причем эта формула будет крити-
критической формулой первого рода. Действительно, в случае критиче-
критической формулы второго рода
терм е5И(Е) в результате этой общей замены получит либо
$ 4] ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЙ ГИЛЬБЕРТОВСКИЙ ПОДХОД 149
значение 0, либо такое цифровое значение, которое представляет
собой минимальную замену [либо для самого терма es21 E), если
он является основным типом, либо — в противном случае — для
терма, в который переходит терм eESJ(j) после внесения вместо
встречающихся в нем аргументов его основного типа значений,
получающихся из этой общей замены]. Тем самым любая крити-
критическая формула второго рода в результате этой общей замены
перейдет в истинную формулу. Поэтому снова по крайней мере
одна критическая формула первого рода, имеющая ранг 1,
в результате этой общей замены должна будет стать ложной
формулой, и, значит, мы получим одну или несколько экземпляр-
ных замен, а по ним — минимальные замены, которые для замен
основных типов ранга 1 дадут новые отличные от 0 цифровые
значения и значения функций.
Поставив эти новые цифровые значения и значения функций
на место прежних О-значений, мы получим новые замены для
основных типов ранга 1. В результате внесения этих замен
в критические формулы и формулы е-равенства ранга выше 1 мы
получим по этим формулам некоторый список формул 2RS. имею-
имеющий ранг т. К нему можно снова применить процедуру построения
поеледовательности общих замен. Каждая из. получаемых при
этом общих замен для Ш3 дает некоторую замену для 2R, и мы
получаем таким образом последовательность общих замен для 91
Эта последовательность может оборваться лишь в том случае,
когда мы получим некоторую резольвенту для списка 2R3- Либо
соответствующая общая замена списка 2R является резольвентой
для 2R, и тогда вся наша процедура заканчивается, либо при
рассматриваемой общей замене должна оказаться ложной какая-
либо критическая формула ранга 1, причем это будет формула
первого рода. Тогда снова получатся экземплярные и минималь-
минимальные замены, которые ведут к новым заменам для основных типов
ранга 1.
Действуя таким образом, мы можем неограниченно продолжать
эту процедуру до тех пор, пока на некотором этапе не будет
получена резольвента. Тем самым по обладающей указанными
свойствами процедуре построения общих замен для списков формул
ранга m можно на самом деле получить процедуру, которая будет
аналогичным образом работать над списками ранга m + 1, а отсюда
рекурсивно получится аналогичная процедура для списков с про-
произвольным рангом.
Эта процедура устроена, в частности, таким образом, что при
каждом переходе от одной общей замены к другой модификация
этой замены заключается только в том, что либо вместо 0-замены
150 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ 8 СИМВОЛА [ГЛ II
появляется некоторая другая цифровая замена, либо (в случае
функциональной замены) функция замены для некоторых (в конеч-
конечном числе) систем значений аргументов вместо старого значения,
равного 0, приобретает некоторое новое значение. Отсюда также
следует, что все фигурирующие в рассмотрении функции замены
получают отличные от 0 значения лишь для конечного числа
значений (или соответственно систем значений) аргументов.
Замечание. Если исходный список формул 34 имеет ранг 2,
то списки ЭЧх, 9Ч2, ... суть списки ранга 1. Поэтому при получе-
получении резольвент для этих списков можно обойтись без метода
функциональных замен, т. е. можно ограничиться одними цифровыми
заменами. Значит, в этом случае, не меняя нашей процедуры
в прочих отношениях, можно ограничить применение основных
типов для замен выражениями ранга 1. Такая процедура целесо-
целесообразна, в частности, тогда, когда все имеющиеся е-термы ранга 2
имеют степень, равную единице; в этом случае построение резоль-
резольвент для списков Шх, Ш2, ... удается осуществить рассмотренным
вначале прямым способом.
д) Построение резольвенты в случае, когда все критические
формулы являются формулами первого рода. Описанный метод
построения общих замен пока еще не приводит нас к поставлен-
поставленной цели. Все еще остается нерешенной существенная задача —
показать, что применение указанного метода всегда приводит
к обрыву процесса. Такое доказательство удается получить лишь
для случая, когда все критические формулы второго рода, вхо-
входящие в рассматриваемый список, имеют ранг 1.
Прежде чем проводить доказательство при этом предположении,
целесообразно сначала рассмотреть случай, когда выполняется
еще более сильное предположение; а именно, мы потребуем,
чтобы в рассматриваемом списке формул все критические формулы
были формулами первого рода. Тогда ситуация упростится в том
смысле, что при построении общих замен можно будет не пере-
переходить от экземплярных замен к минимальным, а всякий раз для
построения новой общей замены непосредственно использовать
экземплярные замены. Для такой упрощенной процедуры построе-
построения общих замен действительно удается показать, что после
некоторого, заранее оцениваемого сверху числа шагов всегда
получается резольвента.
Эта оценка строится рекурсивным образом. Как мы уже знаемх),
для любого списка формул, имеющего ранг 1, количество общих
замен, требующихся для построения резольвенты, не превышает 2",
где п —число различных е-термов, входящих в данный список
формул.
См. с. 145 и далее.
? 4] ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЙ ГИЛЫ5ЕРТОВСКИП ПОДХОД '51
Предположим теперь, что для любого конкретного числа га
нам известна оценка сверху if (n) для наибольшего числа общих
замен, требующихся для построения резольвенты с помощью нашей
упрощенной процедуры (т. е. путем прямого использования
экземплярных замен) для любого списка формул, имеющего ранг га,
состоящего только из критических формул первого рода и формул
е-равенства и содержащего не более п различных е-термов. При
этом предположении мы найдем соответствующую оценку для
списков, имеющих ранг т+1.
Пусть SR — такого рода список ранга т + 1, состоящий из кри-
критических формул первого рода и формул е-равенства и содержа-
содержащий не более п попарно различных е-термов. Для этого списка
ранее описанным способом можно построить общие замены
С1, 1) С1. 2) • • • I Cl, fx,
в которых отсутствует переход от экземплярных замен к мини-
минимальным
Любая из этих общих замен EPiV (r=l, •••. f») строится из
двух частичных замен: одной, состоящей из замен для основ-
основных типов из списка 5R, имеющих ранг 1, и другой, состоящей
из замен для остальных основных типов. Первая частичная замена
£р — одна и та же для всех частичных замен Ev, ь £„, 3,..., £р> f .
В результате внесения частичной замены Ev в критические фор-
формулы и формулы е-равенства ранга выше 1 список Ы переходит
в список №р, имеющий ранг т. Вторая часть замены £р> с, состоя-
состоящая из замен для основных типов более высокого ранга,—мы
обозначим ее через £^ с — определяется по некоторой общей замене
для основных типов списка 9Rp, обозначаемой нами далее посред-
посредством £рс.
Общие замены E'v< i, E'v, а, ... получаются применением нашей
процедуры построения общих замен к списку формул ЗЧр. Так
как этот список имеет ранг m и так как число различных вхо-
входящих в него е-термов не превосходит числа различных е-термов,
входящих в список Ш (а значит, оно не превосходит п), то,
согласно нашему предположению, последовательность этих общих
замен должна завершиться получением резольвенты не позднее,
чем на шаге с номером г|э (п). Поэтому имеет место оценка
Теперь, чтобы получить искомую оценку для общего числа
требующихся замен, достаточно найти верхнюю оценку для числа
152 исследование арифметики при помощи е символа [гл и
частичных замен Ev (p = l, 2, ...). Для этого мы напомним сле-
следующие факты:
1. Если в критические формулы и формулы е-равенства списка
8R символьно внести частичную замену Е^ с, то получатся формулы
того же самого вида, которые будут содержать е-термы только
ранга 1. Значит, эти формулы будут образовывать список ранга 1.
Обозначим этот список посредством 5Й„>Г. Тогда частичная за-
замена Ер будет представлять собой общую замену для списка
2. Если совпадают частичные замены Е*^ с и E*t с, то совпадают
и списки формул JR))> с и 9t4> с. Отсюда, в частности, получается,—
так как частичные замены Е*,, (р = 1, 2, ...) являются заменами
со сплошными О-значениями, — что все списки Шр ( (р = 1, 2, ...)
совпадают со списком ЭЧ1р ж.
3. Частичная замена Ег представляет собой замену со сплош-
сплошными О-значениями. Если Ер является резольвентой для списка
9^ f , то общая замена £Pi f будет резольвентой для списка 91.
В противном случае может быть построена отличная от Ер частич-
частичная замена Ev + l, которая отличается от Ех, тем, что некоторые
0-значения, фигурирующие в Ер в качестве цифровых замен или
в качестве значений функций замены, заменяются какими-нибудь
другими значениями.
4. Для списка формул Ш„ с частичная замена Ev, согласно
утверждению 1, представляет собой общую замену. Подобно тому
как мы делали это раньше1), определим индекс£р относительно
3ftSc как последовательность чисел, которые для каждого числа,
являющегося рангом каких-либо е-термов в SR))j c> указывают
количество тех е-термов этого ранга, которые получают замену,
отличную от 0-замены.
Если список 31р( с совпадает со списком 9^ t и p<q, то либо
эффективные замены, дающие для этих списков замены Ер и £qj
совпадают, либо индекс замены £q относительно этого списка
формул больше индекса замены Ер. Этот факт вытекает из второй
части утверждения 3. Необходимое здесь рассуждение совершенно
аналогично рассуждению, проведенному ранее1) для списков,
имеющих ранг 1.
5. Если частичные замены £р1>г, £*2>с, .... £Jg>t совпадают,
то среди общих замен Ер г, £„ с, .... Ev t имеется не более 2"
различающихся по отношению к эффективным заменам е-термов.
1) См. с 144.
5 41 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЙ ГИЛЬБЕРТОВСКИЙ ПОДХОД 153
Действительно, пусть справедлива посылка нашего утвержде-
утверждения. Тогда списки vRPi>i;, 9^,2il., .... SrtrgC совпадают друг с другом.
Для этих списков, которые содержат не более п отличных друг
от друга е-термов, замены Ер ,..., £„ являются общими заменами.
Среди индексов этих замен может быть не более 2" различных;
поэтому, согласно утверждению 4, среди эффективных замен для
списка 9^г>1.. доставляемых заменами EVi, ..., Ер, может быть
самое большее 2" различных. Но отсюда и вытекает справедли-
справедливость нашего утверждения, так как эффективные замены, которые
получаются из какой-либо общей замены £))) с для е-термов из
списка Ш, однозначно определяются частичной заменой Е^ t и
теми эффективными заменами, которые замена £„ дает для списка
формул Ш^ t.
6. Пусть общие замены Ер< с и £q> r совпадают относительно
эффективных замен и относительно частичных замен £* 1 и Е^ v.
Если r<f,,, то г <fq. и в этом случае совпадают также замены
Е* с+1 и E*t r + 1;> если же г совпадает с fp, то г совпадает и с fq.
В самом деле, рассмотрим какие-либо две критические формулы
из Шр и 9\v получающиеся в результате частичных замен £р и ЕА
из одной и той же формулы
я (9-*-и (e
пусть эти формулы записываются в виде
«2 (f2)-" Я, (85
Так как по условию общие замены £",,_ с и £qj r совпадают отно-
относительно этих эффективных замен, то истинностное значение,
которое первая из этих формул получает в результате замены
E'v c, должно совпасть с истинностным значением, которое полу-
получает вторая формула в результате замены Е' с. Точно так же
значение, которое в результате замены E'v< r получает терм flt
должно совпасть с тем значением, которое в результате замены
Е' с получает терм f2. Если основной тип терма e£3li E) имеет
аргументы, то основной тип терма е£912 (£) имеет то же самое
количество аргументов, и в результате замены E'v c каждый
аргумент первого основного типа получает то же самое значение,
которое получает соответствующий аргумент второго основного
154 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ Е СИМВОЛА [ГЛ II
типа в результате замены Е' г. Поэтому, если первая из этих
двух формул с помощью общей замены E'Vtt дает нам некоторую
экземплярную замену, то вторая из них с помощью общей замены
Е^ t дает ту же самую экземплярную замену.
Так как эти соотношения имеют место для любой пары кри-
критических формул, соответствующих друг другу указанным образом,
то отсюда следует, что E'v t является резольвентой для ER^ тогда
и только тогда, когда Е^ с является резольвентой для 3ftq. Далее,
в том случае, когда E'Vit и E'^<t не являются резольвентами,
получается, что при переходе от E'Vtt к Е'р<х + 1 новые отличные
от 0 значения в цифровых и функциональных заменах оказываются
теми же самыми, что и при переходе от Е'^к к E'q<t+l, а отсюда
следует, — так как по предположению Ер с совпадает с E*t v, —■
что в рассматриваемом случае EptV+l совпадает с £*>с + 1.
7. Если какая-либо частичная замена Е*^ { совпадает с заменой
E*t f и р < q, то общие замены EVi« и Е„ « не могут совпадать
относительно всех эффективных замен. Действительно, в частичной
замене £q (при q >р) ислользуются те экземплярные замены,
которые при общей замене £^ { получились из критических фор-
формул ранга 1; и так как вследствие нашего предположения список
Ша> f совпадает со списком ЭЯ^ { , то в процессе применения
к этой последовательности замены Е~ использование упомянутых
экземплярных замен (которые были найдены при применении Ер
к 3ftp t \ в эффективных заменах должно как-нибудь проявиться
либо прямо в заменах для е-термов, для которых найдены
экземплярные замены, либо в модифицированных заменах для
некоторых аргументных термов этих е-термов 1).
Мы теперь используем утверждения 1 — 7 для того, чтобы
оценить число различных частичных замен Ер, а тем самым и
число общих замен EVi r Нам будет удобно пользоваться следую-
следующей терминологией.
Рассматривая наше упорядочение общих замен, мы будем
говорить о строках замен и столбцах замен, считая, что
строка замен с номером р состоит из общих замен £„, ,, Е$, 2, ...,
а столбец замен с номером г состоит из замен EUt, Eiv, ...
Далее, общие замены, дающие одни и те же эффективны^ замены,
мы будем называть эффективно равными. Общие замены,
отличающиеся друг от друга какими-либо эффективными заменами,
мы будем называть эффективно различными.
1) См. аналогичное рассуждение на с. 145,
4 41 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЙ ГИЛЬБЕРТОВСКИЙ ПОДХОД 155
Две строки замен, имеющие номера р и q, мы будем называть
r-кратно однородными, если либо для любой цифры $ от
1 до г совпадают частичные замены Е^ g и E*t g и эффективно
равны общие замены Ег, g и £д $, либо обе эти строки замен
обрываются еще до столбца с номером $.
Теперь представим себе, что построение строк замен произве-
произведено до строки с номером [ включительно. Тогда в нашем списке
общих замен каждый столбец будет содержать не более I, а каж-
каждая строка —не более ч|з (п) общих замен.
Теперь оценка для I может быть получена следующим образом.
Так как частичные замены £* ь E*t ь ..., Е* \ совпадают, то,
согласно 4 и 5, в первом столбце замен имеется не более 2п
эффективно различных общих замен и в последовательности общих
замен £lt ь Е2, i, ..., Elt j между двумя эффективно равными
общими заменами не может стоять эффективно отличная от них
общая замена. Следовательно, первый столбец замен разлагается
не более чем на 2" идущих друг за другом отрезков, в каждом
из которых любые две общие замены эффективно равны. Заметим
также, что если замены £р. , и £q, j эффективно равны между
собой, то строки замен с номерами р и q 1-кратно однородны.
Отсюда получается, что последовательность строк замен разла-
разлагается не более чем на 2" отрезков таким образом, что внутри
каждого из них строки замен 1-кратно однородны.
Далее, из утверждения 6 вытекает, что если строки замен
с р-й по q-ю включительно (p<q) r-кратно однородны, то либо
все эти строки обрываются еще до появления (r-f-l)-ro столбца,
а значит, и (г+1)-кратно однородны, либо частичные замены
£s,t+i совпадают для всех б от р до q включительно, а значит,
совпадают и соответствующие списки формул 8Rg с+1.
Но отсюда вытекает (снова ввиду утверждений 4 и 5), что
любая последовательность строк замен, являющихся г-кратно
однородными, либо обрывается еще до появления (г+ 1)-го столбца
[и, значит, образует последовательность (г+1)-кратно однородных
строк замен], либо распадается не более чем на 2" отрезков,
в каждом из которых строки (г+1)-кратно однородны.
А теперь можно рассудить следующим образом. Как мы уже
установили, последовательность, состоящая из этих I строк замен,
распадается не более чем на 2" различных отрезков таких, что
в каждом из них строки 1-кратно однородны; каждый из этих
отрезков в свою очередь распадается не более чем на 2" отрезков,
внутри которых строки 2-кратно однородны; каждый из них снова
распадается не более чем на 2" отрезков, внутри которых строки
3-кратно однородны.
156 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ е-СИМВОЛА [ГЛ II
Продолжая это рассуждение и далее, мы получим, что рас-
рассматриваемая последовательность строк распадется не более чем
на BП)*(П) таких отрезков, внутри которых строки замен будут
г|э (п)-кратно однородными. Однако двух различных гр (п)-кратно
однородных строк замен быть не может. Действительно, пусть
р и q —номера различных строк, и пусть y<q. Тогда, согласно
утверждению 7, строка с номером р не может быть fp-кратно
однородна со строкой с номером q и, следовательно, эти строки
не могут быть гр (п)-кратно однородны друг с другом, так как
Поэтому в рассмотренной нами последовательности строк замен
может быть не более BП)*^ строк, т. е. всякий раз
а значит, в результате применения нашей процедуры построения
общих замен может появиться не более
общих замен. Таким образом, не позже чем через 2n'*(n)-ip(n)
шагов построенная общая замена окажется резольвентой.
Если мы будем знать, что -ф (п) является верхней оценкой
для любого списка формул, имеющего ранг т, то приведенная
оценка будет годиться для любого списка формул, имеющего
ранг m-f-1- Для списков ранга 1 у нас имеется оценка 2П. По-
Поэтому, если положить
гр(т+1, п) = 2" • * 'т< ") • -ф (in, n),
то у нас получится рекурсивное определение некоторой оценки
ip(m, n) для количества общих замен, необходимых для получе-
получения резольвенты в случае списка формул, имеющего ранг m и
состоящего из критических формул первого рода и формул
е-равенства с не более чем п различными имеющимися в них
е-термами. Эти рекурсивные равенства имеют вид примитивной
рекурсии.
е) Несостоятельность рассмотренного метода в случае крити-
критических формул второго рода с произвольным рангом. Дополнение
к предыдущему результату. Приведенное в предыдущем пункте
доказательство показывает возможность построения резольвенты
для любого наперед заданного списка критических формул пер-
первого рода и формул е-равенства. Как мы убедились, для рас-
рассмотрения списков формул, имеющих ранг, больший 1, к основ-
основной идее гильбертовского подхода должны быть добавлены новые
5 41 ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЙ ГИЛЬБЕРТОВСКИИ ПОЛКОД 15"
соображения. Метод доказательства, используемый здесь, берег
свое начало от В. Аккермана'). Другим, но тоже исходящим из
гильбертовского подхода путем той же самой цели достиг
Дж. фон Нейман2).
Сначала складывалось впечатление, что методы этих доказа-
доказательств позволят без особых трудностей включить в рассмотрение
и критические формулы второго рода. На самом же деле связан-
связанные с этим затруднения оказались скрытыми глубоко.
Что касается приведенного здесь доказательства, то процедура
построения общих замен была задумана таким образом, чтобы
она охватывала и критические формулы второго рода. Предполо-
Предположение, что рассматриваемый список формул не содержит крити-
критических формул второго рода, нам потребовалось ввести только
для доказательства того факта, что применение нашей процедуры
завершается а). Это предположение позволило нам при построении
общей замены обойтись без перехода от экземплярных замен
к минимальным.
Теперь посмотрим, где же это упрощение проявляется в нашем
доказательстве. Способ получения общих замен в доказательстве
учитывается в утверждениях 1—7. При этом утверждения 1—5
и 7 абсолютно не зависят от того, прямо ли мы используем
экземплярные замены или же через посредство минимальных.
Для утверждений 1—3 это усматривается без труда. Утвержде-
Утверждения же 4, 5 и 7 получаются из рассмотрения общих замен для
списков формул ранга 1 совершенно аналогично тому, как это
уже делалось раньше при добавлении критических формул вто-
второго рода*).
Единственным местом, где различие между экземплярными и
минимальными заменами становится существенным, является обо-
обоснование утверждения 6. Здесь используется следующее рас-
рассуждение. Если у нас имеются две критические формулы, кото-
которые получаются из одной и той же критической формулы ранга,
большего единицы, в результате внесения двух различных частич-
частичных замен £р и Е^ и если результирующая для замен Ev и Е[у< с
общая замена эффективно равна результирующей для замен Eq
1) Это доказательство представляющее собой некоторое уточнение и упро-
упрощение доказательства, содержащегося в его диссертации' Ackermann W.
Begrundung des 'tertium поп datur' mittels der Hilbertschen Theorie der Wider-
spruchsfreiheit.—Math. Ann., 1924, 93 Аккерман изложил только в одном из
своих писем.
*) См.. Neumann J. v. Zur Hilbertschen Beweistheorie. — Math Z., 1927,
26 По времени это доказательство предшествует изложенному нами доказа-
доказательству Аккермана. Как об этом уже упоминалось в этой работе было
впервые введено понятие основного типа, используемое нами (с незначитель-
незначительными отклонениями в определении).
») См. с. 116.
*) На соответствующие места были сделаны ссылки.
158 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ е СИМВОЛА [ГЛ If
и E'qt c общей замене £q c, то каждой экземплярной замене, кото-
которая находится из первой критической формулы в результате
общей замены E'v с, соответствует некоторая экземплярная замена
с тем же самым цифровым значением, которая находится из вто-
второй критической формулы в результате общей замены Е'^ г
При этом совпадение упомянутых цифровых значений осно-
основывается на эффективном равенстве общих замен Ех^ с и £qj c.
Однако из этого еще нельзя заключить, что связанные с рас-
рассматриваемыми экземплярными заменами минимальные замены
имеют одно и то же цифровое значение. Напротив, может слу-
случиться, что при двух различных эффективно равных общих заме-
заменах некоторая экземплярная замена j для одного и того же
е-терма приведет к различным минимальным заменам, хотя их
количество и не может превышать j.
Поэтому в случае, когда имеются критические формулы вто-
второго рода, мы не можем сделать вывод, что любая последова-
последовательность r-кратно однородных последовательностей замен распа-
распадается не более чем на 2" отрезков, состоящих из (г+1)-кратно
однородных последовательностей замен. Напротив, число таких
отрезков может зависеть от тех цифровых значений экземпляр-
ных замен, которые используются при переходе от общей замены
с номером г к общей замене с номером г +1.
Эта ситуация может быть пояснена на следующем примере,
принадлежащем фон Нейману. Пусть j — какая-либо отличная
от 0 и от 0' цифра, пусть E (а) — формула
и пусть е — е-терм ех($ (х), т. е.
(этот терм имеет ранг 2). Пусть список формул, который мы
будем рассматривать, состоит из формул
-G(e,G(*)),
A)
B)
C)
т. е.
A)
B)
C)
EF(8
вЛ(х) =
из формул
(By (}' = у) --
(в» (S (с)'
G(J)
Л (x)))
*Л (х)
'=У)=*
е = е
е = е -»- е = еу (е = г/).
§ 4] ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЙ ГИЛЬБЕРТОВСКИЙ ПОДХОД 159
Формула A) представляет собой связанную с термом е кри-
критическую формулу первого рода, формула B) — связанную с е
критическую формулу второго рода, а формула C) — связанную
с е-термом ранга 1 ъу{г = у) критическую формулу первого рода.
Кроме терма е, здесь фигурируют только е-термы, имеющие основ-
основной тип гу(с = у). В качестве символов, играющих роль функ-
функциональных замен для этого основного типа, мы будем брать
функциональные знаки q>i(c), <p2(c), ...
Применяя к данному списку формул нашу процедуру построе-
построения общих замен, мы должны будем начать с замены основного
типа ву(с = у) такой функцией cpi(c), которая всегда принимает
значение 0. Если мы внесем эту замену Е^ в формулы A) и B),
то получим формулы
A*) foi(a') = o-H.j = j)-H.(q>1(e1') = o-H»e1 = $),
B*) (ф1 (б (ex)') = 0 + 6 (tl) - j) -> tx Ф б (ei)\
где ei обозначает е-терм eje(<pi(x') = 0-»-x = 3) ранга 1.
Для этой пары формул, в которой содержится единственный
е-терм еь мы получим резольвенту в два шага Е\л и Е[я. Функцио-
Функциональные замены проводить здесь не нужно, так как основной тип
в* (ф1 (*') = о. -*■ х = Ь) терма ег повсюду фигурирует только с аргу-
аргументами 0 и J.
Сначала мы заменим терм ех цифрой 0. В результате этого
формула B*) станет истинной, а формула A*) —ложной. ИзA*)
мы находим для ех экземплярную замену j, которая одновременно
является и минимальной. Эта замена ех цифрой * является резоль-
резольвентой формул A*) и B*). Однако общая замена Л]>2, получаю-
получающаяся из этой замены Е[л и замены Еъ не является резоль-
резольвентой для формул A), B) и C). Действительно, в результате
этой общей замены терм е переходит в цифру j, терм еу(е = у)
переходит в цифру 0, и потому формула C) оказывается ложной.
А теперь из формулы C) мы для терма гу (} = у) получим экземп-
экземплярную замену j, которая в то же время является и минимальной.
Таким образом, мы должны теперь взять для терма ъу(с = у) но-
новую функцию замены ф2 (с), принимающую значение j в точке » и
значение 0 в остальных точках. В результате внесения этой заме-
замены Е2 в формулы A) и B) мы получим формулы
A**) (q>,(O = 0-H = a)-»-(q>2(eS) = 0-'-e, = 8),
B**) (Ф2 (б (е2)') = 0-^6 (е2) = ;) -^е2 ^ б (е2)',
где е2 обозначает терм е.х((р2(х') = 0-+х = j).
Терм е2 опять является единственным фигурирующим в этих
формулах е-термом. Поэтому с помощью цифровых замен для е2
мы в два шага Е'1Л и Е'1Л получим резольвенту. Сначала, при
замене терма с2 цифрой 0, формула B**) станет истинной, а фор-
160 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ е-СИМВОЛА (ГЛ II
мула A**) —ложной. А затем из A**) мы получим для е2 экземп-
лярную замену j.
Если бы мы не должны были заботиться о критической фор-
формуле второго рода B), то резольвента тем самым уже была бы
получена Но экземплярная замена з Для терма е2 не является
минимальной, и это проявляется в том, что при замене терма е2
цифрой з формула B**) переходит в ложную формулу. Мини-
Минимальную замену для е2дает предшествующая цифре ; цифра j — 1.
[В самом деле, формула <p2((j — 1)') = 0, как мы знаем, является
ложной, и поэтому при замене е2 цифрой з — 1 заключение импли-
импликации A**) становится истинным, в то время как при замене е2
цифрой, меньшей чем $— 1, формула A**) становится ложной.]
Таким образом мы должны теперь заменить терм е2 цифрой
J—1 и эта замена Е'^л является резольвентой для формул A**)
и B**). Однако при получающейся из замен Е'^^ и Ег общей
замене £22 для формул A), B) и C) формула C) становится
ложной, так как терм е получает значение J—1, а терм
е,у ($ — 1 = у) — значение 0. Теперь из формулы C) для терма
&у(%— \=у) мы получаем экземплярную замену 5—1, которая
вместе с тем является и минимальной. В соответствии с этим
мы должны построить для основного типа еу(с = у) новую функ-
функциональную замену ф3 (с), которая для аргумента j принимает
значение ?, для аргумента з—1— значение J—1, а для прочих
аргументов — значение 0.
Таким образом, перед нами случай, когда экземплярная
замена, получающаяся при двух различных, но эффективно рав-
равных заменах из одной и той же критической формулы, ведет
к двум различным минимальным заменам. Действительно, обе
общие замены Е1г и £21 дают для термов е, ъуA' = у), гу(е' =у),
гуф(()' = у) и еу(( = у) значение 0 и, следовательно, они эффек-
эффективно равны; обе они по формуле A) дают для терма е экземп-
экземплярную замену {; однако они дают различные минимальные
замены. Действительно, в то время как при замене Ец в качестве
минимальной замены для е получается цифра г, при замене £2 j
в качестве минимальной замены для е получается j — 1.
Если теперь проследить процедуру построения общих замен
для формул A), B) и C), то обнаружится, что она завершается
только на (j+l)-ft строке замен. В каждой из первых j строк
будут стоять по две общие замены. В последней строке будет
стоять только одна. Общие замены £р> j и Ef> 2 (Р = 2, • • •, О
устроены таким образом, что основной тип гу(с = у) заменяется
в них функцией Фр (с), принимающей для 5 значение j, для j — 1
значение *— 1, ..., для } — (р — 2) значение j — (p — 2), а в про-
прочих случаях значение 0, и что е-терм с при замене Ev \ заме-
заменяется цифрой 0, а при £■«,» — цифрой j — ()?— 1;; при общей
$ 4] ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЙ ГИЛЬБЕРТОВСКИЙ ПОДХОД 161
заме.не £, + j,i основной тип еу(с = у) получает замену в виде
такой функции, которая для любой цифры г, удовлетворяющей
условию O'sSrsgj, принимает значение г, а при прочих значе-
значениях аргумента — значение 0. Эта функциональная замена, взя-
взятая совместно с 0-заменой для терма с, и- представляет собой
резольвенту для списка формул A), B), C).
Число 2-J+1, равное числу общих замен, необходимых для
получения резольвенты по нашей общей процедуре, нельзя оце-
оценить никаким выражением, зависящим только от рангов фигу-
фигурирующих в данном примере е-термов и от их количества, так
как оно определяется цифрой j, которая при задании списка
формул A), B), C) выбирается произвольным образом.
Тем самым выясняется, что в нашем утверждении об осущест-
осуществимости резольвенты (с помощью процедуры построения общих
замен) условие, требующее, чтобы все критические формулы были
формулами первого рода1), не может быть опущено. Но наше
рассмотрение этого вопроса все-таки показывает, что критические
формулы второго рода могут быть — хотя бы частично — вклю-
включены в наш результат. В самом деле, мы обнаружили, что не-
необходимость перехода от экземплярных замен к минимальным,
вследствие которой наличие критических формул второго рода
сказывается на нашей процедуре, мешает лишь обоснованию
утверждения б2), а в остальных отношениях наше доказательство,
оценивающее число требующихся общих замен, остается в силе.
Однако в этом рассуждении речь идет исключительно о таких
экземплярных заменах, которые находятся по критическим фор-
формулам, имеющим ранг, больший единицы.
Согласно сказанному обоснование утверждения 6 остается
в силе, если при заменах для основных типов ранга выше 1
можно будет использовать экземплярные замены непосредственно,
т. е. если все критические формулы второго рода будут форму-
формулами ранга 1. Таким образом, оценка г|)(т, п) необходимого числа
общих замен справедлива для любого списка формул, у которого
все входящие в него критические формулы второго рода имеют
ранг 1.
ж). Использование полученного результата в нп-теореме.
Теперь вернемся к тому ходу идей, который привел нас к задаче
построения резольвенты для заданного списка формул. Мы пред-
предприняли атаку на эту задачу, учитывая, что с ее решением было
бы получено и доказательство непротиворечивости арифметиче-
арифметического формализма. Однако ввиду того, что нам пришлось огра-
ограничить рассмотрение критических формул второго рода формулами
ранга 1, поставленная нами цель не достигнута.
*) См. с. 150.
•) См. с. 153 и далее.
162 ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ В-СИМВОЛА [ГЛ II
Возникает естественный вопрос: насколько широк арифмети-
арифметический формализм, получающийся в результате наложения этого
ограничения? Критические формулы второго рода появляются
в нормированных доказательствах из-за того, что мы свели исполь-
использование схемы индукции к использованию формулы
А(а)-*гхА{х)фа'
в сочетаний с е-формулой, аксиомой равенства (J2), формулой
а=£0-*8(а)' = а и средствами исчисления высказываний1).
Это сведение обладает той особенностью, что при замене при-
применяемой к какой-либо формуле 21 (с) схемы индукции выводом
формулы Ш(а) из формул 91 @) и 31 (а)-»- >Д (а'), в том виде, как
этот вывод получается 2) с использованием только что перечис-
перечисленных формул, в соответствующем фрагменте нормированного
доказательства появляется единственная критическая формула
второго рода, имеющая вид
Эта критическая формула имеет ранг 1 тогда и только тогда,
когда соответствующий терм еЕТД(£) не содержит никаких под-
подчиненных ему е-термов, т. е. когда в Я (с) переменная с не попа-
попадает в область действия каких-либо е-символов.
Сказанное относится к формулам, получающимся после исклю-
исключения кванторов (о помощью е-символа). Для интересующего нас
арифметического формализма, содержащего кванторы, это сводится
к требовании), чтобы переменная с в формуле 'Я (с) не попадала
в область действия каких-либо кванторов или е-символов.
Тем самым установлена непротиворечивость той части форма-
формализма (Z), которая получается путем ограничения схемы индукции
такими формулами Ш(с), в которых переменная с не попадает
в область действия каких-либо кванторов или е символов. Это
условие является несколько менее ограничительным, чем условие
полного исключения связанных переменных, которое имелось
в рассматривавшейся нами «ограниченной схеме индукции»3).
Но для упомянутой части арифметического формализма мы
получаем не только доказательство непротиворечивости, но и всю
нашу нп-теорему4) в полном ее объеме.
В самом деле, непротиворечивость эта доказана нами в том
смысле, что установлена истинность любой выводимой формулы
без переменных. Что же касается выводимых формул вида
х) См. с. 116 и далее.
2) См. с. 117—119.
3) См. с. V и далее.
4) См. с. 59 и далее.
§ 4] ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЙ ГИЛЬБЕРТОВСКИЙ ПОДХОД 163
у которых единственными входящими в них переменными являются
£j, ...,£,., то любая такая формула в результате операции исклю-
исключения переменных переходит в формулу вида
«(V -.«г).
где tv .... ес — некоторые е-термы, такую, что вне этих термов
она не содержит никаких переменных, а внутри этих термов
не содержит свободных переменных. Для формулы 21 (t, ..., (Л
мы можем получить нормированное доказательство. А для вхо-
входящих в нее критических формул и формул Б-равенства мы мо-
можем построить резольвенту. Если извлекаемые из этой резоль-
резольвенты эффективные замены мы внесем в упомянутое нормированное
доказательство, а затем заменим все оставшиеся е-термы цифрой О,
то исходные формулы, а тем самым и все остальные формулы
этого нормированного доказательства перейдут в истинные фор-
формулы. Следовательно, и формула
«в k).
получающаяся из заключительной формулы 91 (tv ..., ес) в резуль-
результате внесения цифровых замен ?х, ..., jc вместо е-термов с, ..., сс>
является истинной формулой.
Таким образом, для каждой формулы
обладающей указанными свойствами, мы можем найти такие
цифры ?1, ..., }с, для которых формула SI(вх. .... ас) является
истинной.
Тем самым для рассматриваемого формализма выполняются
все утверждения нашей нп-теоремы.
Этот метод доказательства нп-теоремы сохраняет силу и при
некоторых расширениях рассмотренного арифметического форма-
формализма. Так, во-первых, можно, не меняя доказательства, расши-
расширить наш формализм путем добавления функциональных знаков,
для которых задан способ вычисления их значений для цифро-
цифровых значений их аргументов, а также путем добавления собствен-
собственных аксиом без связанных переменных при условии, что эти
аксиомы являются верифицируемыми. Так снова получается
непротиворечивость тех арифметических формализмов, которые
мы рассматривали в § 1 этой главы1).
Рассмотренное доказательство сохранит свою силу и в том
случае, если мы присоединим к нашему формализму ^.-символ и
См. с. 74—82.
164 ИССПРЛОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ е СИМВОЛА [ГЛ. II
формулы (ЦХ),
(fh) ЗхА(х)->А(цхА(х)),
Ы А(а)->цхА(х)^а,
(Из) VxlA(x)^yixA(x) = O
при условии, что в формулу (ц2) вместо именной формы А (с)
будут подставляться только такие формулы Я (с), у кото[ых
переменная с не будет попадать в область действия какого-либо
квантора или е-символа1).
В самом деле, формула (\is) с помощью формулы (Цх) и средств
исчисления предикатов может быть переведена в формулу
04) -М(М(*))-*ММ = о.
а формула ((гг) дедуктивно равна формуле
04)
если пользоваться средствами исчисления предикатов. Поэтому
добавление формул (цх), (fi2) и (Me) равносильно добавлению
формул (ц!) Ы и ((.4).
А эти формулы можно без особого труда включить в проце-
процедуру построения резольвенты. Действительно, если каждое вы-
выражение щЯ (») заменить выражением е„91 (»), то формула (ц\)
совпадет с е-формулой. Формулы (fi2) и (\х.'а) хоть и приведут
(после исключения кванторов и свободных переменных) к кри-
критическим формулам нового типа, а именно к формулам вида
но эти формулы не требуют каких-либо новых способов их рас-
рассмотрения; действительно, формула
переходит в истинную формулу в результате любой общей замены,
при которой е-терм в8Я($) или соответственно появляющийся
вместо него (в результате подстановок вместо вложенных е-термов)
е-терм получает 0-замену или какую-нибудь экземплярную за-
замену, а формула
«(f)
г) Это ограничение должно распространяться и на все те промежуточные
подстановки в формулу (ц2)> которые будут производиться при возвратной
переносе подстановок в исходные формулы.
§ 4] ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЙ ГИЛЬБЕРТОВСКИЙ ПОДХОД 165
переходит в истинную формулу в результате любой общей замены,
при которой е-терм еЕ21 (£) или соответственно появляющийся
вместо него е-терм получает 0-замену или минимальную замену.
Мы знаем1), что наша процедура построения резольвенты
всегда приводит к цели, если минимальные замены требуются
только для е-термов ранга 1.
Но в данном случае для выполнения этого условия доста-
достаточно, чтобы переменная с не попадала в область действия
какого-либо квантора или ц-символа ни в одной из тех формул
Ш (с), которые при возвратном переносе подстановок в исходные
формулы будут подставляться вместо именной формы А (с) фор-
формульной переменной в формуле (|и2). Действительно, нетрудно
убедиться, что вследствие этого ограничения любая критическая
формула, получающаяся из формулы (ц2), будет иметь ранг 1.
Таким образом, при указанном ограничении на применение
формулы (ц2) наши формулы (цх), (ц2) и (ц3) действительно могут
быть включены в доказательство нп-теоремы, которое получается
применением метода резольвент.
Указанный метод может быть применен и к другим форма-
формализмам, отличным от формализма арифметики. На самом деле
специфическая роль, которую в процедуре построения резольвен-
резольвенты играют цифры, проявляется лишь в связи с рассмотрением
критических формул второго рода, а эти формулы появляются
лишь в связи с формализацией принципа полной индукции.
Если будут отсутствовать критические формулы второго рода, —
а значит, и возникающие из-за них минимальные замены, — то
в доказательстве можно будет заменять е-термы не цифрами,
а какими-либо термами без переменных; в частности, роль цифры О
при этом может быть отдана какому-нибудь специально выделен-
выделенному для этой цели индивидному символу.
Так с помощью метода резольвент мы убеждаемся, что нп-
теорема справедлива для любого формализма, состоящего из
исчисления предикатов, е-формулы, общей аксиомы равенства и
тех или иных собственных аксиом без связанных переменных,
которые становятся верифицируемыми при каком-либо распреде-
распределении истинностных значений для элементарных формул без пере-
переменных, причем для равенств без переменных это распределение
должно представлять собой выделенную оценку для равенства3).
Последнее условие может быть заменено другим, более слабым.
Именно его можно заменить условием, что любая элементарная
формула без переменных сохраняет свое истинностное значение,
!) СМ. С. 160.
2) На универсальный характер этого предположения с самого начала
обратил внимание Дж. фон Нейман в своем уже цитировавшемся выше дока-
доказательстве непротиворечивости (Math. Z.; 26).
166 ИССЛРДОВАНИЕ АРИФМЕТИКИ ПРИ ПОМОЩИ е СИМВОЛА [ГЛ II
если некоторый входящий в нее терм без переменных а заменить
в одном или нескольких местах, где он встречается, каким-либо
термом Ь, «равносильным» ему, т. е. таким, что равенство а = Ь
является истинной формулой. В этом несколько более общем
случае, когда наличие выделенной оценки для равенства не пред-
предполагается, процедуру построения резольвенты придется немного
модифицировать, так как при построении функций замены нужно
будет следить за тем, чтобы значения этих функций при одина-
одинаковых значениях аргументов также были одинаковыми.
Однако основная цель, которой должна была послужить про-
процедура построения резольвенты, все-таки остается недостигнутой:
непротиворечивость арифметического формализма в его полном
объеме на этом пути остается недоказанной. Но прежде чем
продолжать рассмотрение этой проблемы, нам будет уместно
довести до конца начатый в гл. I ход мыслей: мы все еще не
привели обещанного доказательства1) второй е-теоремы.
») См. с. 37.
ГЛАВА III
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ f СИМВОЛА В ИЗУЧЕНИИ
ЛОГИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА
§ 1. Вторая е-теорема
Результаты предыдущих глав группируются вокруг одной из
двух задач, поставленных нами в связи с введением е-символа,
а именно — вокруг задачи, касающейся возможности исключения
связанных переменных из выводов, осуществляемых средствами
исчисления предикатов (возможно, с применением е-формулы),
при условии, что используемые в этих выводах аксиомы, а также
результирующие формулы выводов не содержат связанных пере-
переменных. Эта возможность устанавливается первой е-теоремойг).
Теперь остается вторая задача, относящаяся к символьному ре-
решению экзистенциальных формул2). Мы намеревались показать,
что применение этой операции в рамках формализма какой-либо
системы аксиом <3 первой ступени не подвергает расширению
совокупность выводимых формул, построенных из символов
системы ©.
Мы воспользовались е-символом и е-формулой, дающими общую
формализацию операции символьного решения экзистенциальных
формул, и задачу установления этого факта свели к задаче
установления второй е-теоремы, которая содержит в себе только
что упомянутую теорему о символьном решении и является ее
обобщением3).
Напомним формулировку второй е-теоремы. В этой теореме
речь идет о формализме F, получающемся из исчисления преди-
предикатов в результате добавления к нему е-формулы, а также не-
некоторого числа собственных аксиом, не содержащих вхождений
е-символа. (Разумеется, к символам исчисления предикатов дол-
должны быть добавлены входящие в эти аксиомы индивидные, функ-
функциональные и предикатные символы.) Утверждается, что любая
выводимая средствами формализма F формула (£, не содержащая
вхождений е-символа, может быть выведена в F и без использо-
использования е-символа.
Доказательство мы начнем с двух предварительных упрощений.
Во-первых, мы заметим, что без ограничения общности можно
*) См. с. 26.
*) См. с. 23 и 25.
з) См. с. 35 и дэлее,
168 е символ и логический формализм [ гл ш
считать, что в выводе формулы (£ аксиомы не используются.
Действительно, допустим, что такой частный случай второй е-тео-
ремы уже доказан. Пусть (£ — какая-нибудь формула, не содержа-
содержащая вхождений е-символа, и пусть нам дан вывод этой формулы
средствами формализма F, использующий аксиомы
Согласно предположению, сделанному относительно формализма F,
эти аксиомы являются собственными, и если мы заменим входя-
входящие в них свободные индивидные переменные связанными')
(соответствующие кванторы всеобщности проставляются при
этом в начале формул), то получим некоторые формулы
я? Щ
без свободных переменных, дедуктивно равные соответственно фор-
формулам 5МЬ ..., 91(. Эти формулы Щ, ..., Щ, кроме того, не
содержат б-символов. Согласно дедукционной теореме средствами
формализма F может быть получен вывод формулы
не использующий аксиом3). Так как формула
не содержит вхождений е-символа, то, согласно нашему допуще-
допущению, е-символ из этого вывода, не использующего аксиом, может
быть исключен, так что получится вывод этой формулы, исполь-
использующий средства одного только исчисления предикатов. А из
этого вывода мы получим вывод формулы (£, осуществляемый
средствами исчисления предикатов, с использованием аксиом 21Ь...
..., 81[ и без использования е-символа. Следовательно, нам
достаточно рассмотреть случай, когда формула (£ выводится без
применения аксиом, т. е. средствами одного только исчисления
предикатов с использованием е-формулы.
Еще одно упрощение может быть получено с учетом того
обстоятельства, что в доказательстве нашей теоремы формула (£
всегда может быть заменена любой формулой (£ь дедуктивно ей
равной относительно исчисления предикатов. Действительно,
в этом случае формула (£г тоже будет выводиться средствами
формализма F, и если из вывода формулы (£г применение е-сим-
е-символа можно будет исключить, то с помощью осуществляемого
средствами исчисления предикатов вывода формулы (£ из фор-
J-) См Приложение 1, с. 471.
*) См. рассуждение в т. I, с. 199.
?П ВТОРАЯETFOPEMA 169
мулы (?! мы получим вывод формулы <£, осуществляемый без
использования е-символа.
Поэтому, не ограничивая общности, можно, например, считать,
что формула (£ имеет вид сколемовской нормальной формых)
где £i, ..., £г, *>!. • • •. % — полный список связанных переменных
этой формулы. При этом можно считать, что по крайней мере
один квантор существования имеется на самом деле. Действи-
Действительно, если $ —произвольная формула, 33 (•) —формульная пере-
переменная, с одним аргументом, а £ — связанная переменная, не вхо-
входящая в %, то формула
и формула % переводимы друг в друга2).
Таким образом, наша задача сводится к тому, чтобы показать,
что е-символм могут быть исключены из любого вывода формулы
(£ вида
где £ь ..., £r, \)i, ..., % — полный список связанных переменных
этой формулы и г Ф О, осуществляемого средствами исчисления
предикатов с использованием е-формулы.
Для случая, когда число кванторов всеобщности в приставке
формулы (£ равно нулю, это утверждение получается в качестве
почти что непосредственного следствия из обобщенной первой е-
теоремы. Действительно, в этом случае формула (£ имеет вид
и по выводу этой формулы, осуществляемому средствами исчисле-
исчисления предикатов с использованием е-формулы, согласно первой
е-теореме можно построить осуществляемый средствами одного
только исчисления предикатов вывод некоторой дизъюнкции чле-
членов вида
») См. I, с. 203.
!) Впрочем, случай, когда формула Ш имеет вид
где рХ) ..., Hg —полный список связанных переменных этой формулы, может
быть рассмотрен уже с помощью первой е-теоремы, так как из формулы
такого вила путем замены связанных переменных свободными всегда может
быть получена дедуктивно ей равная формула, не содержащая связанных
переменных.
170 е символ и логический формализм Г гл ш
где Г], ..., гс — термы без связанных переменных. Но от любой
такой дизъюнкции мы можем с помощью средств исчисления пре-
предикатов перейти к формуле (£, так что в общем и целом у нас
получится вывод этой формулы средствами одного только исчис-
исчисления предикатов.
Общее доказательство мы проведем по аналогии с рассмотрен-
рассмотренным частным случаем. Мы будем исходить из выводимой в исчис-
исчислении предикатов формулы
A) У^... V%A (аг at, Vi ),)-+■ А (% at, &x 6e)f
которая получается применением основной формулы (а) (вместе
с необходимыми переименованиями связанных переменных) и
правила силлогизма. Мы введем в новых функциональных знаков
с г аргументами
Используя эти знаки, мы из формулы A) подстановкой получим
формулу
Vih...V%A(aj at, fc ?«)->
-*A{ai at, h(a! at) fe(ax av))t
а из нее, применяя нужное число раз правило FI) и производя
подстановку, получим формулу
i St> )())
которая вместе с формулой (S по схеме заключения дает формулу
B) 3si...3st8(& Sc, U{Si 5t). • • • fe(Ei k))-
Таким образом, для формулы B) у нас имеется вывод с помощью
средств исчисления предикатов и е-формулы. Согласно обобщен-
обобщенной первой е-теоремег) по этому выводу можно построить вывод
без связанных переменных для некоторой дизъюнкции
C) *(tiu С
где t',11 t^ —некоторые термы, не содержащие вхождений
е-символа. Этот вывод можно осуществить средствами одного
См. т. I, с. 146.
См. с. 54.
§ 1] ВТОРАЯ е-ТЕОРЕМА 171
только элементарного исчисления со свободными переменными.
Процедура исключения, с помощью которой мы получаем этот
вывод, дает нам вывод в такой модификации, что подстановки
оказываются перенесенными в исходные формулы, так что резуль-
результирующая формула C) получается из исходных формул примене-
применением одних только схем заключения (и повторений); при этом
исходные формулы получаются из тождественно истинных формул
исчисления высказываний в результате подстановок.
Если теперь в этом выводе мы заменим каждую элементарную
формулу некоторой формульной переменной, причем так, чтобы
графически совпадающие элементарные формулы заменялись оди-
одинаковыми переменными, а графически различные —различными,
то схемы заключений снова перейдут в схемы заключений,
а исходные формулы перейдут в тождественно истинные формулы
исчисления высказываний. Поэтому и формула, которая получится
на месте формулы C), тоже должна быть тождественно истинной.
С другой стороны, формула C) получается из этой формулы
в результате подстановок, так как в только что произведенной
нами замене совпадающим формульным переменным соответство-
соответствовали совпадающие элементарные формулы.
Следовательно, формула C) получается в результате подста-
подстановки из некоторой тождественно истинной формулы исчисления
высказываний, а потому это должно быть справедливо и в отно-
отношении любой из тех формул, которые получаются из формулы
C) путем замены термов
f»(t</), ..., f), p~l, .... в; t=l,\.., m,
какими-либо свободными индивидными переменными, если при
этом графически совпадающие аргументы элементарных формул
заменяются одинаковыми переменными.
Чтобы выполнить такого рода замену, мы прежде всего заме-
заметим, следующее. Если рассматривать термы fpM , ••-. t[l') — кото-
которые мы для краткости обозначим посредством !' (р = 1, ..., б;
t=l, .... m), — интересуясь тем, как часто в каждом из них
встречаются функциональные знаки из списка fb ..., fg (причем
каждый из них считается с учетом его кратности), то эта «крат-
«кратность» для всех термов
i fi
будет одной и той же, и, значит, она может быть однозначно
сопоставлена числу », которое является номером некоторого члена
дизъюнкции C).
172 Е СИМВОЛ И ЛОГИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ [ ГЛ III
Члены дизъюнкции C) можно расположить в таком порядке,
чтобы соответствующие им «кратности» при возрастании номеров
дизъюнктивных членов не убывали (этого можно достичь, исполь-
используя средства исчисления высказываний). Можно также считать,
что в дизъюнкции C) нет повторяющихся членов, потому что
в противном случае эти повторения тоже можно было бы устра-
устранить с помощью средств исчисления высказываний.
При соблюдении этих условий будут выполняться следующие
два утверждения о термах, входящих в формулу C):
1. Если р отлично от q или t отлично от j, то термы?1 и f*
графически различны.
Действительно, графическое совпадение термов f' и f' может
иметь место только тогда, когда совпадают р и q; кроме того,
для совпадения f' с f' требуется, чтобы терм t},',' совпадал с тер-
термом t™ при всех т=1, ..., г. Но при выполнении этих условий
термы f1,, ..., fg совпадают с термами f}, ..., f', а ьто может
иметь место лишь тогда, когда число t совпадает с числом j.
2. Терм t может совпадать с одним из термов ц", ..., tj1'
или быть его составной частью лишь тогда, когда t меньше \.
Действительно, если f' совпадает с одним из термов t}'', ...
..., г^ или является составной частью одного из них, то крат-
кратность, сопоставленная числу t, меньше кратности, сопоставлен-
сопоставленной |, и следовательно, t меньше j.
Возьмем теперь набор ранее не встречавшихся занумерован-
занумерованных свободных индивидных переменных
и заменим в формуле C) каждый из термов fp(p=l, ..., й;
t=l, ..., т) переменной ct/j_]).g_|_l,1), причем эту замену мы
произведем всюду, где терм f^ входит в формулу C), но не
является составной частью какого-либо другого терма f' Тогда
ввиду утверждения 1 мы снова получим формулу, являющуюся
результатом подстановки в тождественно истинную формулу исчи-
исчисления высказываний.
!) Обозначения m • в, (i — 1)-в-|-Р и другие им подобные здесь и в даль-
дальнейшем следует понимать как обозначения цифр, получающихся в результате
вычисления соответствующих арифметических выражений.
§ 1] ВТОРАЯ г ТЕОРЕМА 173
В получившейся таким образом формуле
C*) Я(Ц», ..., l»\ fll ag)V
', ...,l\>, a(m_,H + 1 am.eJ
переменные
согласно утверждению 2, не встречаются ни в одном из первых
i — 1 членов дизъюнкции, а также ни в одном из термов if), ,..
• • • > 1с •
Это обстоятельство позволяет вывести средствами исчисления
предикатов из формулы C*) формулу C). Для изложения этого
вывода к ранее сформулированным производным правилам1)
(V) — Ш исчисления предикатов целесообразно добавить два новых.
Правило ((х): Если какая-либо формула имеет вид дизъюнк-
дизъюнкции, то в любом ее члене любой терм можно заменить какой-
либо связанной переменной, связав этц переменную квантором
существования, проставленным в начале этого дизъюнктивного
члена.
Правило (v): Если какая-либо формула имеет вид дизъюнк-
дизъюнкции и если один из ее членов содержит какую-либо свободную ин-
индивидную переменную, не входящую в другие члены этой дизъюнк-
дизъюнкции, то эту свободную переменную внутри рассматриваемого
члена можно всюду заменить какой-нибудь связанной переменной
и проставить в начале этого члена соответствующий квантор все-
всеобщности.
Выбирая связанные переменные, необходимо всякий раз сле-
следить за тем, чтобы между ними не возникало коллизий.
Правило (fx) получается с использованием основной формулы
(Ь) и средств исчисления высказываний. Так как средства исчис-
исчисления высказываний позволяют производить различные переста-
перестановки и группировки членов дизъюнкции, то можно считать, что
рассматриваемая дизъюнкция имеет вид
а V зэ (t),
где t — терм, который должен быть заменен связанной перемен-
переменной. Таким образом, задача заключается в том, чтобы формулу
Ш V 39 (t) перевести в формулу вида
?1 V Эе© (s),
где £ обозначает какую-либо связанную переменную, не входя-
См. т. 1, с. 145—147 и 174—182.
174 8 СИМВОЛ И ЛОГИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ [ ГЛ III
щую в 33 (а). Эта формула выводится из заданной формулы и
формулы
получающейся путем подстановки из основной формулы (Ь).
Заметим, что здесь допускается, чтобы терм t входил в формулу
91 V 33 (г) и на местах, отличных от указанных (в частности, он
может входить и в формулу Щ.
В правиле (v) мы сделали более сильное предположение.
Здесь заменяемый терм должен быть свободной индивидной пере-
переменной, и он может встречаться только внутри модифицируемого
члена дизъюнкции.
Как и при обосновании правила (ц), здесь можно считать, что
заданная формула имеет вид
91 V © (с),
где с — свободная индивидная переменная, которая встречается
только в указанном месте. Задача заключается в том, чтобы эту
формулу перевести в формулу вида
31 V V£93 (£),
где j — некоторая связанная переменная, не входящая в 23 (с).
Этот переход мы выполним следующим образом: сначала пре-
преобразуем формулу
21 V 23 (с)
в формулу
191^33@),
потом из этой формулы с помощью схемы (а)г) [а также, воз-
возможно, некоторых подстановок и переименований] получим фор-
формулу
33
а затем уже с помощью элементарного преобразования получим
формулу
9l
Между прочим, пользуясь основной формулой (а), можно про-
провести этот переход и в обратном направлении, так что модифи-
модификация формулы по правилу (v) всегда представляет собой обра-
обратимую операцию, в результате которой первоначальная формула
переходит в формулу, дедуктивно ей равную. Модификация же
формулы по правилу (ft), как легко убедиться, вообще говоря, не
является обратимой.
См. т. I, с. 142.
« 11 ВТОРАЯ е TFOPEMA 175
Теперь с помощью правил (ц) и (v) мы произведем обратный
переход от формулы C*) к формуле (£.
Во-первых, к каждой из переменных
а(т — 1) е-ь 1» а(га —1
входящих только в последний член дизъюнкции C*) и не вхо-
входящих в термы Ij , ..., [J , мы можем применить правило (v)
и в результате 3-кратного применения этого правила (в качестве
связанных переменных мы берем ty1( .... ty$) вместо этого послед-
последнего члена получится член
а в результате r-кратного применения правила (ц) (в качестве
связанных переменных мы берем е1( ..., Et.) вместо этого члена
получится член
3?1...3stV9i...V9e8lE1 £с, Vi %)•
Переменные
фигурируют только в предпоследнем члене дизъюнкции, причем
они не входят в термы
так что с предпоследним членом мы можем поступить в точности
так же, как перед этим поступили с последним, и вместо него
опять в результате б-кратного применения правила (v) и после-
последующего r-кратного применения правила (ц) получится член
3si...3srVi>1...Vi>e«(E1 %).
Этот процесс может быть продолжен и далее, и в результате мы
получим дизъюнкцию, у которой каждый член имеет вид
т. е. совпадает о формулой (£. Разумеется, эта дизъюнкция с по-
помощью средств исчисления высказываний может быть преобра-
преобразована в (£. Таким образом, действительно, с помощью средств
исчисления предикатов от формулы C*) можно вернуться к фор-
формуле (L
Тем самым доказательство второй е-теоремы закончено. Поль-
Пользуясь методом, примененным в этом доказательстве, мы получим
некоторые дальнейшие результаты.
176 е символ и логический формализм |гл in
§ 2. Распространение второй е-теоремы на общую
аксиому равенства. Смежные проблемы
Наше доказательство второй е-теоремы существенным образом
опиралось на обобщенную первую е-теорему, благодаря которой,
как мы помним, оказывался возможным переход от формулы B)
Зех ... Эег81 (£Ь .... Ес, fi (Ег, ••-, Ес) fg (Ei Er))
к дизъюнкции C), состоящей из членов вида
Поэтому представляется правдоподобным, что и вторую е-теоре-
е-теорему, подобно первой, можно будет распространить на тот слу-
случай, когда в рассматриваемом формализме F, кроме собственных
аксиом, имеется общая аксиома равенства (J2).
Действительно, этого удается достичь путем небольшой моди-
модификации нашего предыдущего доказательства.
Наша задача заключается в том, чтобы по любому осуществ-
осуществляемому в рамках формализма F выводу какой-либо не содер-
содержащей е-символа формулы (? получить такой вывод этой фор-
формулы, в котором е-символ не участвовал бы. В данном случае
можно вновь произвести те упрощения, которые были произве-
произведены нами ранее1), т. е. можно считать, что в исходном выводе
формулы (Е не используются собственные аксиомы, а также что
формула (Е имеет вид сколемовской нормальной формы, содержа-
содержащей в кванторной приставке хотя бы один квантор существова-
существования. Тем самым наша задача сводится к следующей. Пусть дана
формула (Е вида
построенная из символов исчисления предикатов и, возможно,
некоторых индивидных, функциональных и предикатных симво-
символов; пусть £ь ..., ес, \)i, ..., ^ — полный список входящих в нее
связанных переменных, и пусть задан вывод этой формулы сред-
средствами исчисления предикатов с использованием аксиомы равен-
равенства (J2) и е-формулы; требуется построить такой вывод этой
формулы, который использовал бы только средства исчисления
предикатов и аксиому равенства (J2).
Для этого мы, как и раньше, сначала из формулы <Е средст-
средствами исчисления предикатов выведем соответствующую форму-
формулу (gj
ЭЕ1...Эе,Я(е1 Et, fi(Ei Ес) fe(Ei Er)).
См. рассуждение на с. 170—175.
« 21 ВКЛЮЧЕНИЕ АКСИОМЫ (J,) ВО ВТОРУЮ 8 TFOPFMY 177
гак что в htoi e получится вывод этой формулы, использующий
средства исчисления предикатов, аксиому равенства (J2) и е-фор-
мулу. Из этого вывода по усиленной первой е-теореме1) полу-
чаечся вывод некоторой дизъюнкции Т, состоящей из членов
вида
(i=l, ..., m), где термы t\ , .... tj не содержат вхождений
е-символа, причем этот вывод осуществляется средствами элемен-
элементарного исчисления со свободными переменными с использова-
использованием ряда специальных аксиом равенства. Процедура исключе-
исключения, с помощью которой получается этот вывод, дает нам его
в модифицированном виде, где подстановки уже перенесены
в исходные формулы, так что эти исходные формулы получаются
в результате подстановок частично из тождественно истинных
формул исчисления высказываний, а частично из специальных
аксиом равенства; результирующая же формула вывода 1) при
этом получается из исходных формул в результате применения
одних только схем заключения (и повторений).
При этом следует обратить особое внимание на то, что ни
одна из применяющихся специальных аксиом равенства не яв-
является аксиомой равенства для какого-либо аргумента какого-либо
из функциональных знаков flt ..., fg. Действительно, эти знаки
появляются в выводе формулы (£г только в результате подстановок
вместо индивидных переменных2) и они не входят ни в одну из
формул вида
которые в этом выводе формулы (£i получаются в результате под-
подстановки в аксиому (Ja).
Пусть теперь ©г, ..., ©f —те из исходных формул, которые
получаются путем подстановки из специальных аксиом равенства.
Тогда по дедукционной теореме формула
может быть выведена средствами одного только элементарного
исчисления со свободными переменными?) без использования
аксиом. Следовательно, эта формула должна получаться в резуль-
результате подстановки из тождественно истинной формулы исчисления
высказываний и то же самое должно быть верно и для любой
формулы, получающейся из нее в результате перестановок дизъ-
Ц См с. 109 и далее.
2) См вывод формулы B) из формулы @ на с. 170.
') См. т. 1, с. 199 и далее
) См вывод формулы B)
') См. т. 1, с. 199 и далее.
178 е символ и логический формализм гпттт
юнктивных членов, вычеркивания внутри формулы 2) повторяю-
повторяющихся дизъюнктивных членов или же таких замен некоторых тер-
термов другими термами, при которых совпадающие аргументы
элементарных формул снова переходят в совпадающие.
В результате этих операций, как было показано выше, мы
можем добиться того, чтобы вместо дизъюнкции Ф у нас полу-
получилась дизъюнкция 2)*, имеющая вид
... V*Wm) (im). %-iM+i О.
где аь ..., аП1.4 —вновь введенные занумерованные свободные
индивидные переменные, причем переменные fl« —i).j + i, ..., Л;.з
не встречаются ни в одном из термов [} , ..., [•" 0 = 1, ..., i).
Вместе с тем, в результате произведенных замен формулы
©1, .... ©f перейдут в формулы ©*, ..., @(, так что вместо фор-
формулы
у нас появится формула
из которой с помощью элементарного преобразования мы полу-
получим дизъюнкцию
~|@? V-.-Vl©f V$>*-
Значит, и эта дизъюнкция получается в результате подстановок
из тождественно истинной формулы исчисления высказываний.
Любая из формул ©*, ..., @{ имеет, как и соответствующие
формулы из числа ©х, ..., @f, один из двух видов
a-b->(f(a)-f(b)),
где D —какой-либо предикатный символ, а f — функциональный
знак, отличный от знаков fx, ..., f4 (кроме указанных аргумен-
аргументов эти символы и знаки могут иметь и какие-нибудь другие;
отметим также, что Q может быть и знаком равенства).
К дизъюнкции
©Г V ■ • • V "I ®? V ®*
мы применим правила (|л) и (v)l). Применив нужное число раз
1) См. с 173.
§ 2] ВКЛЮЧЕНИЕ АКСИОМЫ Ш ВО ВТОРУЮ е ТЕОРЕМУ I79
правило (fi) к дизъюнктивному члену ~| Щ (где j является одним
из чисел 1, ..., f), мы получим вместо него такой дизъюнктив-
дизъюнктивный член ^j, который получается из отрицания некоторой спе-
специальной аксиомы равенства в результате замены входящих в него
свободных индивидных переменных переменными, связанными
кванторами существования, стоящими в начале этого дизъюнк-
дизъюнктивного члена.
Отрицание ~| .§)( любого такого члена можно перевести в такую
формулу, которая получается из некоторой специальной аксиомы
равенства в результате замены свободных индивидных перемен-
переменных связанными и потому выводима из формулы (J2) с помощью
исчисления предикатов.
В результате применения правила (ц) к дизъюнктивным чле-
членам 1©*, ..., ~]Щ из формулы
получится формула
Так как входящие в нее формулы $lt ..., §f не содержат сво-
свободных переменных, то применение правил (v) и (fi) к дизъюнк-
дизъюнктивным членам Т* может быть произведено таким образом, как
если бы формула £* стояла отдельно; как было показано ранее,
мы можем таким образом преобразовать каждый. дизъюнктивный
член формулы £* в формулу (£, так что в итоге получится
формула
$Vv$Vevv«
которую затем можно будет преобразовать в формулу
Таким образом, эта формула выводима средствами исчисления
предикатов. Но так как формулы ~| фь ..., ~\ £>{, как уже отме-
отмечалось выше, выводимы из (J2) с помощью исчисления предика-
предикатов, то мы получаем вывод формулы £ из формулы (J2), осуще-
осуществляемый средствами одного только исчисления предикатов.
Тем самым показано, что вторая е-теорема остается справед-
справедливой и в том случае, если в рассматриваемый формализм F
будет включена аксиома равенства (J2).
В частности, отсюда получается следующая.
Теорема. Пусть F — расширенный логический формализм,
получающийся из исчисления предикатов путем добавления к нему
знака равенства, аксиом равенства (Jx) и (J2), е-символа и г-фор-
мулы. Тогда всякая выводимая в формализме F формула, не содер-
'80 8 СИМВОЛ И ЛОГИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ [ГЛ Ш
жащпя вхождений в-символа, будет выводима в F и без использо-
использования е-символа.
Следовательно, если какая-либо формула, построенная из сим-
символов и переменных исчисления предикатов и знака равенства,
может быть выведена с использованием, кроме правил исчисле-
исчисления предикатов и аксиом равенства (J^ и (J2), еще и символь-
символьных решений некоторых экзистенциальных формул, то эти сим-
символьные решения из данного вывода могут быть устранены.
Более того, из доказанного следует, что если какая-либо фор-
формула d выведена с помощью исчисления предикатов, аксиом
равенства и каких-либо собственных аксиом, а также с привле-
привлечением операции символьного решения экзистенциальных формул
и если ни один из введенных при этом символов в формуле (£
не встречается, то эти символьные решения из вывода (£ могут
быть устранены.
Вместе с тем метод, с помощью которого нашу вторую е-тео-
рему мы распространили на аксиому (J2), позволяет также дока-
доказать следующее утверждение:
Если формула (£, построенная из символов и переменных исчис-
исчисления предикатов и каких-либо индивидных, функциональных и
предикатных символов, но не содержащая знака равенства, выво-
выводима с помощью средств исчисления предикатов, е-формулы и
аксиом равенства, то она выводима и средствами одного только
исчисления предикатов.
Из этого утверждения, в частности, следует, что из вывода
любой формулы (£, обладающей указанными свойствами, произ-
производимого с помощью средств исчисления предикатов и аксиом
равенства (J^, (J2), применение аксиом равенства может быть
устранено.
Эту теорему мы в свое время доказали для случая, когда
формула £ представляет собой формулу исчисления предикатов1).
Приведенное там доказательство немедленно распространяется на
случай формулы Or, содержащей индивидные или предикатные сим-
символы, но оно не может быть распространено на случай, когда
в dt встречаются функциональные символы.
Доказательство мы снова начнем с замечания о том, что без
ограничения общности можно считать, что формула (£ имеет вид
сколемовской нормальной формы. Далее, в точности так же, как
раньше, получается, что, используя вывод формулы Ф, можно
найти некоторую формулу
обладающую следующими свойствами:
1) См. т. I, с. 462—466.
§ 21 ВКЛЮЧЕНИЕ АКСИОМЫ Ш ВО ВТОРУЮ е-ТЕОРЕМУ 181
1. Эта фсрмула получается в результате подстановки из неко-
некоторой тождественно истинной формулы исчисления высказываний.
2. Каждая из формул ©*, ..., Щ имеет один из двух видов
где D — некоторый предикатный, а f — некоторый функциональ-
функциональный символ; эти символы, кроме указанного аргумента, могут
содержать и какие-нибудь другие, причем последние в Q (а) и
в D (Ь) и соответственно в f (а) и в f (b) должны быть совпадаю-
совпадающими.
3. От формулы X* можно вернуться к формуле (£ с помощью
средств одного только исчисления предикатов.
Из связи, существующей между формулой Ф* и формулой (£,
которая, по предположению, не содержит знака равенства, кроме
того, вытекает, что формула 2)* тоже не содержит знака равен-
равенства. Действительно, формула (£, как мы знаем, имеет вид
а 2>* представляет собой дизъюнкцию, члены которой получаются
из формулы
«(Si. ■■-,%)
в результате замены связанных переменных £ь ...,% некоторыми
термами.
Свойство 1 сохранится и в том случае, если в формуле
мы заменим формулой A \J ~\А каждое встречающееся в ней ра-
равенство с одинаковыми термами в левой и правой частях и фор-
формулой А&~\А — любое другое равенство. Действительно, совпа-
совпадающие элементарные формулы при этом всюду будут заменены
одинаковым образом.
В результате этой замены всякая формула
a = b -^ (Q (a) -^ Q (b))
или соответственно
a = b-v(f(a) = f(b))
перейдет, если терм л отличается по внешнему виду от терма Ь,
в некоторую формулу
а если а совпадает с Ь, — в некоторую формулу
А У 1А->({&-+$.)
182 е символ и логический формализм [ гл ш
или соответственно в формулу
А у-\А^А\/1А.
Таким сбразом, в результате указанной замены каждая формула
®* (j = l, ..., f) перейдет в такую формулу Щ, которая может
быть получена подстановкой из некоторой тождественно истинной
формулы исчисления высказываний, между тем как формула 3)*
при этом останется без изменений.
А теперь, так как формула
и каждая из формул ®ь ..., (% получаются подстановкой из не-
некоторой тождественно истинной формулы исчисления высказы-
высказываний, то же самое можно будет сказать и относительно фор-
формулы 3>*. Но из D* с помощью исчисления предикатов может
быть получена формула (L Таким образом, как и утверждалось,
формула (£ может быть выведена средствами одного только исчис-
исчисления предикатов.
Доказанная теорема немедленно может быть обобщена сле-
следующим образом:
Если из какой-либо системы аксиом, состоящей из аксиом ра-
равенства (Jx), (J2) и каких-либо собственных аксиом, не содержа-
содержащих знака равенства, с помощью исчисления предикатов выведена
некоторая формула (£, не содержащая знака равенства, то при-
применение аксиом равенства из ее вывода может быть исключено.
Эта усиленная вторая е-теорема позволяет нам получить новое
доказательство теоремы об устранимости i-правилах), так как
с введением е-формулы i-правило становится производньш, а е-сим-
вол берет на себя роль i-символа2). Но это доказательство устра-
устранимости i-правила распространяется только на такие формализмы,
которые получаются из исчисления предикатов с i-правилом путем
добавления каких-либо собственных аксиом и, может быть, акси-
аксиомы равенства (J2), в то время как прежняя теорема была дока-
доказана с включением аксиомы полной продукции.
Наоборот, для формализма системы (Z), содержащего и акси-
аксиому индукции, справедливость утверждения второй е-теоремы
можно вывести из теоремы об устранимости i-правила. Действи-
Действительно, как было показано ранее3), в этом формализме при до-
добавлении i-правила можно определить символ \ixA (x), для кото-
которого с помощью i-правила выводится формула
!) СМ. Т. 1, С. 511.
а) См. с. 34
») См. т. I, с. 479—482 или Приложение I.
§ 2] ВКЛЮЧЕНИЕ АКСИОМЫ Ш ВО ВТОРУЮ е-ТЕОРЕМУ 183
Поэтому, если вывод некоторой формулы (£, принадлежащей
формализму системы (Z), производится с помощью исчисления
предикатов и аксиом системы (Z) с добавлением е-символа и е-фор-
мулы, то применения е-символа и е-формулы в этом выводе могут
быть заменены соответствующими применениями i-правила. Но
в силу упомянутой теоремы об устранимости i-правила эти при-
применения i-правила могут быть исключены, так как в формуле (£
отсутствуют вхождения i-символа, и, таким образом, мы прихо-
приходим к некоторому выводу формулы E из аксиом системы (Z),
осуществляемому средствами одного только исчисления предика-
предикатов1).
В тех случаях, когда устранимость i-правила может быть
выведена из второй е-теоремы, конечно, можно иметь дело прямо
с е-символом и е-формулой, а не с i-правилом. В качестве при-
примера мы рассмотрим вопрос о замене функциональных знаков пре-
предикатными символами. В свое время этот вопрос мы подвергали
анализу с помощью теоремы об устранимости i-правила2). Идущее
далее рассуждение имеет менее общий характер, поскольку оно
не охватывает полной индукции; но, с другой стороны, нынеш-
нынешний результат, в отличие от прежнего, будет относиться не только
к таким формализмам, которые включают в себя аксиомы ра-
равенства.
Мы будем исходить из формализма F, получающегося из ис-
исчисления предикатов добавлением знака равенства, аксиом равен-
равенства (Jx) и (J2), а также некоторых дополнительных символов:
индивидных, функциональных и предикатных, вместе с какими-
либо собственными аксиомами 9Jb .... Шп. К числу этих симво-
символов могут принадлежать и некоторые функциональные знаки.
Пусть эти функциональные знаки будут
Мы построим по F некоторый расширенный формализм Flt
сопоставив указанным функциональным знакам предикатные сим-
символы
ЩЬ, av ....
и сформулировав для этих символов следующие явные опреде-
определения:
{1} ЦЬ,аг «ft) — *eft(«i a4) (i=1 m>-
Это расширение формализма F до FL является несущественным,
!) В связи с этим см. замечание Hi с, 29 -30.
») См, т. I, с 541—543.
'84 е символ и логический формализм Г гл ш
потому что оно состоит всего лишь в добавлении явно опреде-
определенных символов. Если формализм F непротиворечив, то непре-
непременно будет непротиворечивым и Fv Из формул {1} с помощью
аксиом равенства могут быть выведены формулы
t() (i=l m).
а также эквивалентности
{3} А (п (аг flfl)) ~ Vx (^ (х, аг щ.) -*
(•=1 т).
С помощью эквивалентностей {3} каждая формула 6 из форма-
формализма Fx может быть переведена в некоторую формулу 4*. не
содержадую функциональных знаков.
В частности, аксиомы i\v ..., 3ln могут быть переведены
в некоторые формулы 31*, ..., $*, в которых функциональные
знаки уже фигурировать не будут. Мы будем считать такого
рода формулы Щ, ..., Щ построенными. Пусть теперь (£ —
какая-либо формула, выводимая в формализме Fu и пусть 6* —
формула без функциональных знаков, в которую переводится
формула (L Тогда &* с помощью исчисления предикатов и аксиом
равенства может быть выведена из формул 31*, ..., 31* и формул
{1}. В любом таком выводе, вообще говоря, встречаются функци-
функциональные знаки. Однако мы покажем, что эти функциональные
знаки могут быть устранены, если в качестве аксиом ввести
(выводимые в формализме Ft) формулы {2}.
В самом деле, пусть К*— какая-либо формула формализма Fx,
не содержащая функциональных знаков, и пусть нам дан какой-
либо вывод этой формулы из формул Щ, ..., 31*. и {1}, исполь-
использующий средства исчисления предикатов и аксиомы равенства (Jt)
и (J2). Тогда функциональные знаки fx, ..., fm можно будет устра-
устранить введением е-символа и е-формулы и заменой каждого выра-
выражения
выражением
или
соответственно (при этом мы пользуемся свободой выбора связан-
связанных переменных для предотвращения коллизий между ними).
i 2] ВКЛЮЧЕНИЕ АКСИОМЙ Ш 80 ВТОРУЮ е-ТЕОРЕМУ 185
Тогда формулы {1} перейдут в формулы
{4} %(Ь, аи ..., at.j~Ь = &3\(х, ах af.) (t=l m),
которые выводимы из формул {2} с помощью исчисления преди-
предикатов, е-формулы и аксиомы равенства (J2).
Тем самым мы получаем некоторый вывод формулы 6* из
формул 21* Я*, {2} и аксиом равенства с помощью исчисле-
исчисления предикатов и е-формулы. А так как формулы {2}, равно как
и формулы Щ 21*, не содержат ни формульных переменных,
ни е-символа, то по второй е-теореме из этого вывода е-символ
можно исключить, так что у нас получится вывод формулы (S*
из формул 21*, ..., 21*, (Jx), (J2) и {2} с помощью средств исчис-
исчисления предикатов.
Обозначим посредством F* формализм, который получится
из F, если мы возьмем формулы 21* 21*. вместо формул
21Х й„, а формулы {2} в качестве аксиом и исключим функ-
функциональные знаки [аксиомы равенства (Jx) и (J2) сохраняются].
Тогда в силу вышеизложенного будет верна следующая
Теорема. По всякой формуле (S формализма F можно по-
построить некоторую формулу (S* формализма F*, переводимую в(§,
с помощью эквивалентностей {3}, т. е. внутри Ft. При этом,
если формула 6 будет выводима в F, то всякая формула 6*, нахо-
находящаяся к d в указанном отношении, тоже будет выводима в F*.
Верно и обратное:
Если формула S* выводима в F*, то 6 тоже можно будет
вывести в F.
Действительно, пусть нам дан некоторый вывод формулы I*,*
в формализме F*. Заменим в этом выводе каждое выражение
ЩЬ. а, а,,)
равенством
Ь = f i (аж а,.),
вследствие чего вместо предикатных символов $х $т снова
появятся функциональные знаки flt ..., fm. Тогда у нас полу-
получится некоторая последовательность формул, которую можно
будет дополнить до вывода формулы 6 в формализме F. В самом
деле, в результате указанной замены формула 6* перейдет в не-
некоторую формулу 6**, каждая из аксиом 21* перейдет в некото-
некоторую формулу 21**, аксиомы равенства останутся без изменений,
а из формул {2} получатся такие формулы, которые можно будет
вывести с помощью аксиом равенства (Jj) и (Jo). Тем самым мы
получим вывод формулы (£** из формул Щ*, ..., Я** средствами
186 е символ и логический формализм Г гл ш
исчисления предикатов, а кроме того из формул {3} средствами
исчисления предикатов можно будет вывести эквивалентности
g~ (S*. Яг~«Г ЯП~Я*.
Если в выводах этих эквивалентностей выражения %(Ъ, аь ..., аЛ
всюду заменить соответствующими им равенствами b=fj/a1(..., а?.\,
то результирующие формулы этих выводов перейдут в эквива-
эквивалентности
Я!~аг а„~а;*,
а из формул {3} получатся такие формулы, которые можно будет
вывести из аксиом равенства. Поэтому у нас получатся выводы
формул
использующие средства исчисления предикатов и аксиомы равен-
равенства (Ji) и (J2), а эти выводы в сочетании с ранее полученным
выводом формулы &** из формул Яр Щ*, (J,), (J2) дадут
вывод формулы E из аксиом Я1( ..., Я„, (Jx), (J2) средствами
исчисления предикатов, т. е. вывод (S в формализме F.
Таким образом, имеет место определенный параллелизм между
выводами в формализме F и выводами в формализме F*:
Во-первых, всякая формула формализма F с помощью явных
определений {1} и аксиом равенства переводима в некоторую
формулу формализма F*, и обратно, всякая формула формализма F*
при замене всех входящих в нее выражений $t(b, a1( ..., о^
соответствующими им равенствами b = f;/a1, ..., п(Л переходит
в некоторую формулу формализма F, в которую она переводима
с помощью формул {1} и аксиом равенства; во-вторых, если
какие-либо две формулы g из F и (£* из F* переводимы друг
в друга с помощью формул {1} и аксиом равенства, то по лю-
любому выводу (£ в формализме F мы получим некоторый вывод (S.*
в формализме F* и наоборот.
Тем самым исследование выводимостей в формализме F сво-
сводится к исследованию выводимостей в F*. Но формализм F*
является более узким, поскольку он не содержит функциональ-
функциональных знаков.
Так что мы вновь приходим к заключению, что теоретико-
доказательственное исследование формализованных систем аксиом
первой ступени, содержащих аксиомы равенства (Jx) и (J2), всегда
может быть сведено к исследованию систем без функциональных
Энзков,
§ 2] ВКЛЮЧЕНИЕ АКСИОМЫ Ш ВО ВТОРУЮ г ТЕОРЕМУ 187
Недостатком сформулированного результата является ограни-
ограничивающее его предположение о том, что рассматриваемый фор-
формализм должен обязательно содержать аксиомы равенства (Jt) и
(J2). Но с помощью доказанной ранее теоремы об исключении
аксиом равенства1) можно получить соответствующий результат
и для тех случаев, когда заданный формализм либо вообще не
содержит знака равенства, либо хотя и содержит его, но имеет
только собственные аксиомы и, следовательно, не включает в себя
аксиому (J2).
Рассмотрим сначала первый случай. Пусть нам дан форма-
формализм Fo, получающийся из исчисления предикатов добавлением
некоторых символов (индивидных, функциональных и предикат-
предикатных) и некоторых собственных аксиом 2llt ..., 2ln. Пусть знак
равенства в число перечисленных символов не входит. Так как
по условию в Fo могут содержаться некоторые функциональные
знаки
(i=l, .... m),
то путем добавления знака равенства и аксиом (Jx) и (J2) можно
будет расширить этот формализм Fo до некоторого формализма F
только что рассмотренного типа, а от F описанным выше спосо-
способом можно будет перейти к формализму F*, не содержащему
функциональных знаков.
Каждая формула S формализма Fo — как формула форма-
формализма F —с использованием эквивалентностей {3} может быть
переведена в некоторую формулу g* формализма F* и по вы-
выводу g в Fo мы получим некоторый вывод (S* в F*. Но верно и
обратное. Действительно, по выводу S* в F* мы сначала получим
вывод S в F, т. е. вывод S из аксиом *ДЬ ..., \ с помощью
исчисления предикатов и аксиом равенства (Jx) и (J2). Но так
как ни формула E, ни аксиомы 9^, ..., ЭДП (которые все принад-
принадлежат Fo) знака равенства не содержат, то по ранее доказанному
из этого вывода можно исключить применение аксиом равенства,
и тогда мы получим вывод формулы E в формализме Fo.
Таким образом, исследование выводимостей в Fo может быть
сведено к исследованию некоторых выводимостей в формализме F*,
не содержащем функциональных знаков.
Остается еще рассмотреть случай, когда в формализме хотя
и присутствует знак равенства, но для него имеются только
собственные аксиомы, и, значит, нет аксиомы (J2). Этот случай
можно свести к только что рассмотренному, взяв вместо знака
равенства какой-нибудь другой символ, например Id (a, b). Так
1) См. с. 180—182.
188 е символ и логический формализм [ гл ш
как для этого символа будут иметься только собственные ак-
аксиомы, он может быть полностью уравнен с остальными преди-
предикатными символами, и тогда мы получим некий формализм Fo
без знака равенства. В соответствующем формализме F* будут
содержаться одновременно два символа: = и Id. Для символа -■=
у нас будут иметься аксиомы (Jx) и (J2), а для символа Id — не-
некоторые собственные аксиомы, которые будут внесены в список
аксиом Щ, ..., sflj.
Поэтому и в случае таких формализованных систем аксиом
с функциональными знаками, когда равенство либо вообще отсут-
отсутствует, либо фигурирует в сочетании с одними лишь собствен-
собственными аксиомами, исследование выводимости формул сводится
к исследованию выводимости в некоторых специальных системах
аксиом без функциональных знаков1).
Рассмотренное здесь сведение теоретико-доказательственного
исследования систем аксиом с функциональными знаками к иссле-
исследованию систем без функциональных знаков имеет большое прин-
принципиальное значение, так как для систем аксиом первой ступени
без функциональных знаков исследование выводимости какой-
либо формулы, как мы уже знаем, сводится к выяснению вопроса
о выводимости некоторой формулы в чистом исчислении предика-
предикатов. Еще раз вкратце напомним, как происходит это сведение.
Во-первых, исследование выводимости произвольной формулы из
формализма рассматриваемой системы аксиом сводится к иссле-
исследованию выводимости некоторой формулы без формульных пере-
переменных3). В выводе формулы такого рода аксиома равенства (J8)
может быть заменена некоторыми собственными аксиомами, так
что мы должны будем иметь дело с выводимостью формулы
только из собственных аксиом (средствами исчисления предикатов).
А теперь пусть % — подлежащая выводу формула, и пусть
Six,..., 21„ — формулы, получающиеся из наших собственных аксиом
путем замены свободных переменных связанными. Тогда исследуе-
исследуемая нами выводимость будет равносильна выводимости формулы
средствами одного только исчисления предикатов. В силу нашего
предположения в этой формуле не встречаются никакие другие
символы, кроме индивидных и предикатных, и поэтому ее выво-
выводимость равносильна выводимости формулы чистого исчисления
предикатов, которая получается из нее в результате замены упо-
*) Разумеется, здесь мы не учитываем случай, когда система аксиом содер-
содержит аксиому (J2), ио не содержит аксиомы (JJ, и в ней невозможно вывести
эту аксиому. Однако в применениях теоретической логики этот случай едва
ли интересен.
•) См. относящиеся к этому вопросу замечания на с. 37—38 и в т. I, с. 465.
§ 31 ТЕОРЕМА ЭРБРАНА 189
мянутых индивидных символов какими-либо ранее не встречав-
встречавшимися свободными индивидными переменными, а предикатных
символов — формульными переменными.
Аналогичным образом можно показать, что непротиворечивость
этой системы аксиом (в рамках способов рассуждений, формали-
формализуемых средствами исчисления предикатов) равносильна невыво-
невыводимости формулы, получающейся из отрицания формулы
81i &... & »Д„
в результате упомянутых замен индивидных и предикатных сим-
символов соответствующими свободными переменными.
Теперь, благодаря теореме о возможности замены функцио-
функциональных знаков предикатными символами, эта редукция вопросов
о выводимости тех или иных формул в различных аксиоматических
системах и о непротиворечивости этих систем к вопросам о вы-
выводимости соответствующих формул в чистом исчислении преди-
дикатов распространяется и на системы аксиом с функциональ-
функциональными знаками.
Но, с другой стороны, все-таки следует подчеркнуть, что при
исследовании той или иной выводимости исключение функцио-
функциональных знаков отнюдь не всегда бывает выгодным. Наоборот,
исследуя выводимость в чистом исчислении предикатов, мы иногда
бываем вынуждены ввести какие-либо функциональные знаки.
После этих вводных рассуждений мы теперь возвратимся
в основное русло нашего изложения.
§ 3. Теорема Эрбрана
Формулировка второй е-теоремы не исчерпывает всего содер-
содержания приведенного нами доказательства этой теоремы. И дейст-
действительно, с помощью этого доказательства мы не только убедились
в возможности исключать — при выполнении предположений, при-
приведенных в формулировке второй е-теоремы, — е-символы из выво-
выводов любых не содержащих вхождений е-символа формул, но при
этом мы выявили еще и некоторый специальный тип выводимости,
и это имеет большое значение вне зависимости от того, что может
дать нам оперирование с е-символом.
Чтобы этому материалу, изложенному в доказательстве, при-
придать форму, удобную для применений, целесообразно освободить
рассуждение, с помощью которого мы доказывали вторую е-тео-
рему 1), от использования сколемовской нормальной формыа).
х) См. с. 169 и далее.
*) Вместо этого мы могли бы отказаться от получения в конечном резуль-
результате сколемовской нормальной формы для рассматриваемой формулы. Однако
его не привело бы нас к сколько-нибудь заметному упрощению.
190 е символ и логический формализм [гл ш
С этой целью мы должны будем еще раз вкратце повторить это
рассуждение, причем вместо формулы (£ специального вида
35l...35tV»?1...V»e8lEl,...,ve)
мы теперь возьмем произвольную предваренную формулу. Чтобы
понять требующиеся в связи с этим модификации, нам будет
достаточно рассмотреть какой-нибудь типичный пример. В качестве
такового мы возьмем формулу (£, имеющую вид
3<VjcVz/3u3aVz3w2l(<, х, у, и, v, z, w).
Условимся, что в € не входят никакие связанные переменные,
кроме указанных, но будем считать, что, кроме переменных и
логических символов, в нее могут входить еще и какие-нибудь
дополнительные индивидные, функциональные и предикатные
символы. Пусть эта формула <£ выведена средствами исчисления
предикатов, причем имеется вывод, в котором не используются
никакие аксиомы, но, может быть, используются дополнительные
индивидные, функциональные или предикатные символы. Будем
предполагать, что в € не входят функциональные знаки ф, "ф и х-
Мы выведем сначала формулу
(£-+3t3u3v3w%(t, ф@, Ч>@, и, v, х(<, и, v), w).
Это может быть сделано следующим образом.
Будем исходить из выводимых формул
A) 3tVxVyA(t, х, y) + 3tA(t, Ф@, Ч>(/))
и
B) 3t3u3vVzA(t, и, v, Z)^3t3u3vA(t, и, v, %(t, и, v)),
которые получаются использованием основной формулы (а) исчисле-
исчисления предикатов вместе с подстановками и применениями правила (£)г).
Если в формулу A) вместо именной формулы Л (а, Ъ, с), где а,
Ъ и с —три различные, не входящие в формулу € свободные пере-
переменные, подставить формулу
3u3vVz3wW (а, Ь, с, и, v, z, w),
то получится формула
C) <£-»-3f3u30Vz3aM(f, q,(fl, y(t), и, v, z, w).
С другой стороны, если мы в формулу B) подставим формулу
ЭдаЯ(а, ф(а), -ф (а), Ь, с, Ь, w)
вместо именной формы А (а, Ь, с, Ь), где Ь — какая-либо отличная
от а, Ъ и с и не входящая в формулу S свободная переменная,
J) См. т. I, с. 176.
S 3] ТЕОРЕМА ЭРБРАНА 191
то получим формулу
3t3u3vVz3wW(t, <р(/), гр(О. ы, v, г, w)
-+3t3u3v3w%(t, Ф(/), i|j(/), и, у, %(t, и, v), w),
которая вместе с формулой C) по правилу силлогизма дает иско-
искомую формулу
D) <£-+3t3u3v3w*(t, ф(/), $(t), и, v, х(/, и, v), w).
Вывод этой формулы D) совместно с заданным выводом формулы (£
даст нам вывод формулы
E) 3t3u3v3w%(t, Ф@, $(t), и, v, %(t, и, v), w)
средствами исчисления предикатов.
А теперь из этого вывода формулы E) по обобщенной первой
е-теоремех) мы получим вывод некоторой дизъюнкции, состоящей
из членов вида
Я (q, <p(q), i|>(q), r- 6- *(q, t, 6), t),
где q, г, б и t —некоторые термы, построенные из свободных
переменных, индивидных символов и функциональных знаков,
причем этот вывод будет производиться средствами элементарного
исчисления со свободными переменными без использования ка-
каких бы то ни было аксиом. Поэтому данная дизъюнкция должна
получаться подстановкой из некоторой тождественно истинной
формулы исчисления высказываний, и, значит, она будет истинной
в логике высказыванийг).
К этому же самому результату можно прийти и путем следую-
следующего, в эвристическом отношении более привлекательного рас-
рассуждения 3).
Какова бы ни была формула U, по выводу формулы (£ всегда
можно построить вывод импликации
Возьмем в качестве U какую-нибудь бескванторную формулу,
отрицание которой является истинным в логике высказываний,
т. е. получается подстановкой из некоторой тождественно истин-
истинной формулы исчисления высказываний2), — например, формулу
вида ф & П Ф» где ф —какая-либо элементарная формула.
Сначала мы предположим, что формула <$. не содержит сво-
свободных переменных.
Отрицание формулы (£ может быть преобразовано в формулу
21 (t, х, у, и, v, г, w),
х) См. с. 54 и далее.
8) См. Приложение I, с. 462.
s) Идея этого рассуждения восходит к Эрику Стениусу,
192
е СИМВОЛ И ЛОГИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ [ГЛ III
которую мы обозначим через (£г. Из этой формулы выводима
формула U. К формуле (£х мы применим процедуру символьного
решения1). Эта процедура — после того как будут выбраны
какие-нибудь отличные друг от друга свободные переменные,
например а, Ь, с и d, а также какие-нибудь одноместные функцио-
функциональные знаки ф и г|з и трехместный функциональный знак %
(функциональные знаки берутся из числа тех, которые в S не
встречаются), — даст нам бескванторную формулу
Т<Я(а, ф(а), гИа), Ь, с, х(а, Ь, с), d),
которую мы обозначим через (£2. От этой формулы можно средст-
средствами исчисления предикатов вернуться к формуле (£ь а потому
из нее выводима и формула U.
В этом выводе формулы U из формулы (£2 ни исходные фор»
мулы, ни сама результирующая формула не содержат связанных
переменных. Поэтому применение теоремы об элементарном выводе,
которую мы в свое время получили из первой в-теоремы2), позво-
позволяет нам заключить, что формула U может быть выведена из (£2
средствами одного только элементарного исчисления со свободными
переменными Кроме того, в таком выводе, разложив фигуру
доказательства на нити, можно перенести подстановки в исходные
формулы3). Тогда на месте исходной формулы (£2 появятся «при-
«примеры» этой формулы, т. е. формулы, получающиеся из £2 в ре-
результате подстановок термов вместо свободных переменных. Они
имеют вид
(i = l, .... n). Мы сокращенно обозначим их через ~\Ч\Х, .... ~1^п-
Формула U выводима из этих формул средствами одного только
исчисления высказываний, и поэтому в силу дедукционной теоремы
формула
выводима без использования аксиом, средствами одного только
исчисления высказываний, а тем самым она истинна в логике
высказываний.
Значит, то же самое верно и в отношении формулы
а так как формула 1U тоже истинна в логике высказываний,
1) См. с. 23 — 25.
2) См. с. 36-37
*) См. с. 39. Исключать все переменные в рассматриваемом случае не тре-
требуется.
i 3] ТЕОРЕМА ЭРБРАНА 193
то в логике высказываний истинна дизъюнкция
где 3lj(i=l, ..., п) представляет собой формулу
2»(qf, Ф(Ч|). t(qi). «i. «i. X (qj. «i. «i). tj).
Следовательно, эта дизъюнкция получается подстановкой из неко-
некоторой тождественно истинной формулы исчисления высказываний.
Теперь мы можем освободиться от предположения о том, что
формула (£ не содержит свободных переменных. Действительно,
формула (£, в которую входят свободные переменные, дедуктивно
равна некоторой формуле С?*, получающейся из нее в резуль-
результате замены индивидных переменных индивидными символами,
а формульных переменных предикатными символами (такую замену
мы уже делали при доказательстве первой е-теоремы1)). Тогда
в связанной с формулой (И* дизъюнкции ^у... у 81П введенные
нами индивидные и предикатные символы можно будет снова
заменить соответствующими переменными. Дизъюнкция, получаю-
получающаяся в результате этой замены, тоже будет получаться подста-
подстановкой из некоторой тождественно истинной формулы.
Для установленной таким образом взаимосвязи между выво-
выводимой средствами исчисления предикатов формулой S и получае-
получаемой по ней истинной в логике высказываний дизъюнкции имеет
также место следующее ее обращение:
Если дизъюнкция 2), имеющая вид
5>(qi, фМ. $Ы. «ь «it x(qi. «ь «i). WV-
...V«(q«. ф(ч«). *(ч«). *п. $п. х(ч». ч> «Л). tB).
получается подстановкой из какой-либо тождественно истинной
формулы исчисления высказываний, то формула (£ может быть
выведена средствами исчисления предикатов.
Действительно, определим для термов, входящих в дизъюнк-
дизъюнкцию Ф, их кратность —число, которое указывает, сколько раз
в терм такого рода входят функциональные знаки ф, ty или %.
Затем мы расположим термы
Ф(Я|). *(Чс> XDi. ti. «О 0 = 1, .... п)
(опустив, быть может, встречающиеся здесь повторения) в неко-
некоторую последовательность
См. с. 37 — 38.
194 е символ и логический формализм [гл. ш
так, чтобы при возрастании индексов термов их кратность
не убывала.
А теперь возьмем какие-либо занумерованные свободные пере-
переменные av ..., ctp так, чтобы они не входили в формулу 2). Заме-
Заменим в этой формуле терм fx переменной alt терм f8 переменной a-it ...,
терм fj, переменной а^ таким образом, чтобы замена терма f, пере-
переменной flj, производилась всюду, где этот терм входит в 2),
за исключением тех мест, где он входит в качестве составной
части какого-либо другого из числа термов lv ..., tp. При этом
формула 2> перейдет в некоторую формулу 2)ь которая тоже
является истинной в логике высказываний. Действительно, при
указанной замене совпадение элементарных формул по внешнему
виду будет сохраняться.
Дизъюнкция £>! имеет вид
V %* ci> \> V
... V И(Ь„, %, <\, с„, Ь„, ah, е„).
Здесь номера ^ \, f1, .... ln, lv ..., jn суть числа из ряда
1, ..., р, для которых выполняются следующие нумерацион-
нумерационные условия:
1. Пусть t —любое из чисел 1, ..., р. Если переменная щ входит
в какой-либо терм bj, то числа fy, fj, ц превосходят число i;
если переменная щ входит в Ci или bj, то число jj превосходит
число i.
2. Все числа ^х. •••» 9ц отличны от каждого из чисел 1; и
j( (i=l, .... п); точно так же каждое из чисел 1Ь ..., fn отлично
от каждого из чисел J(.
3. Число fy совпадает с числом ^j, а число f( совпадает с li
тогда и только тогда, когда терм bj совпадает с термом Ь;
число Jj совпадает с числом Ц тогда и только тогда, когда bi
совпадает с Ъ., q совпадает с Cj, a bf совпадает с bj.
Действительно,
Условие 1 получается следующим образом: если ах входит
в bj, то в формуле £> терм f,- входит в qj и, следовательно,
является составной частью терма ф(Я)). а также термов ip(c|j) и
X(qj, tj, 6j), т. е. fj является составной частью термоз fp,, ft, и
f,.; поэтому кратность терма fj меньше кратностей термов
fv,, f(. и f^, а тем самым числа Ц, 1у и ц превосходят число t.
Далее, если а, входит в С: или в bj, то fj входит в формулу 2)
§ 3] ТЕОРЕМА ЭРБРАНА 195
в качестве составной части терма (у; поэтому терм F( имеет
меньшую кратность, чем f^., и, значит, число ц превосходит
число t.
Условие 2 следует из того, что терм ер(я() всегда отличен
от термов ф(<1}) и X(qj, fj, бЛ; равным образом и терм ^(с\Л отли-
отличен от терма %(<lj> ц, ё-^.
Условие 3 получается следующим образом: число ty совпадает
с числом tyj тогда и только тогда, когда в формуле 2) термы <р (qj)
и cp(qj) совпадают, т. е. когда qt совпадает с qj. Но это имеет
место тогда и только тогда, когда терм Ь{ совпадает с 6j. Числа
Ij и lj совпадают тогда и только тогда, когда совпадают термы
i|j(qi) и i|)(qj); необходимым и достаточным условием для этого
является опять-таки совпадение термов Ъ{ и Ь-.. Числа jj и Ц
совпадают тогда и только тогда, когда совпадают термы
%(<\i, t\, &i) и %(<\у tj, 6j). Необходимым и достаточным условием
для этого является совпадение q; с q:, а также ij с ь и <| с &{
а это снова имеет место тогда и только тогда, когда 6f совпадав!
с Ь., С; совпадает с с;, a bj совпадает с Ь;.
На основе этих свойств дизъюнкции 2)а, применяя правила
(ц.) и (v)x) и устраняя встречающиеся повторения среди членов
этой дизъюнкции, мы можем перейти от этой формулы обратно
к формуле (£. Это может быть сделано следующим образом.
Сначала, применяя правило (|х), каждый дизъюнктивный член
SI (bj, aw, a,, q, bj, а$., et)
мы преобразуем в соответствующую формулу
Эда21(Ь„ а9., atj, q, bt, flji, w}.
Если при этом некоторые члены дизъюнкции совпадут, то возни-
возникающие повторения мы опустим.
В получившейся в результате этого дизъюнкции 2)а все встре-
встречающиеся в ней числа J, будут отличными друг от друга. Дейст-
Действительно, при совпадении jj с jj вследствие условия 3 должны
будут совпасть Ь{ с 6j, q с Cj, b, с bj, а потому также и t| с tj и
I с Ц. Тогда совпадут t-й и i-й члены дизъюнкции.
Условимся для краткости термы bj, q и Ь( называть Ь-, с- и
£>-термами. Рассмотрим те переменные из числа ах, ..., dp, кото-
>) См. с. 173.
196 е-СИМВОЛ И ЛОГИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ ГГЛ Ш
рые входят в какие-либо из этих термов, и пусть среди рассмат-
рассматриваемых переменных переменная ат имеет наибольший номер.
Если в i-м члене дизъюнкции ат входит в b(, Cj или Ь;, то,
согласно условию 1, число \ больше т, а потому и больше номе-
номеров всех тех переменных, которые входят в какие-либо из Ь-, с-
или b-термов. По условию 2 это число не может совпадать
ни с одним из чисел fy, lj, а согласно сделанному ранее замеча-
замечанию, оно не совпадает также ни с одним из чисел jj при \ Ф \.
Поэтому переменная а^ входит в дизъюнкцию 2>а только один раз,
и мы можем применить к i-му члену дизъюнкции и к перемен-
переменной а, правило (v). В итоге, заменив переменную а,, связанной
переменной z, мы получим вместо этого члена дизъюнкции новый
член
Vz3ay2J(bt, aVi, al[t cit bit г, да).
Дважды применив правило (\i), мы преобразуем этот член в фор-
формулу
3u3uVz3ay2l fbit a^., ai[t и, v, г, w\.
Аналогичным образом мы поступим и со всеми остальными чле-
членами дизъюнкции, внутри которых переменная ат встречается
в каком-либо из Ь-, с- или Ь-термов. Если при этом будут воз-
возникать повторяющиеся члены дизъюнкции, то повторения мы
будем вычеркивать. Так мы придем к некоторой дизъюнкции 2)8.
В этой дизъюнкции уже не будет с- или b-термов, содержащих
переменную ат, но переменная ат может входить в ней в какой-
нибудь из b-термов. Член этой дизъюнкции, в котором имеется
один из таких содержащих переменную ат Ь-термов, является
одним из тех членов, которые с помощью правил (ц) и (v) пре-
преобразовались в формулу вида
3u3»Vz3tw9l(bi, ah, a(j, ы, о, г, да).
Встречающиеся в нем номера переменных fy и Ij, согласно усло-
условию 1, больше числа m (поскольку Ь, содержит переменную ат\
и, тем самым, больше номеров всех тех переменных aj, которые
входят в какой-либо из еще имеющихся в 5K Ь-, с- или Ь-термов.
Рассматриваемое нами число t>( не может также совпадать
ни с одним из встречающихся в Ф8 чисел Vj при \Ф\. Действи-
Действительно, в противном случае, в соответствии с условием 3, терм Ь{
должен был бы совпадать с bj, а число 1( — с (j; тогда терм Ь\
содержал бы переменную ат и, значит, j-й член дизъюнкции
§ 31 ТЕОРЕМА ЭРБРАНА 197
имел бы вид
(bj, air, ац, и, v, г, шЛ,
а потому, согласно только что сделанному замечанию, совпадал бы
с членом
3u3vУгЭдо21 (Ь{, а^., а1(, и, у, г, да),
между тем как члены дизъюнкции 2K не повторяются. Таким
образом, число fy отлично от всех встречающихся в 2K чисел ц
при j=#=i. Наконец, ввиду условия 2 число ty отлично и от всех
чисел Ij и 8j.
Следовательно, переменная а„. в дизъюнкции 2K встречается
только на одном месте. То же самое верно и в отношении пере-
переменной щ.. Поэтому к t-му члену дизъюнкции можно применить
правило (v) — сначала по отношению к переменной а1(, а затем
по отношению к переменной а„, —и если при этом в качестве
вводимых связанных переменных взять переменные х и у, то
вместо рассматриваемого члена дизъюнкции у нас получится
формула
Ъ{, х, у, и, v, z, до).
Применяя правило (у), эту формулу можно затем преобразовать
в формулу
3tVxVy3u3vУгЭдоЭ! (t, х, у, и, v, г, w),
т. е. в формулу (£.
Описанную процедуру мы применим к каждому из тех членов
дизъюнкции 3K, у которых переменная ат встречается в Ь-терме.
Если при этом возникнут повторения каких-либо членов дизъюнк-
дизъюнкции, то лишние члены мы вычеркнем.
Так мы придем к некоторой дизъюнкции Ф4, которая, вообще
говоря, будет содержать члены трех типов: во-первых, члены вида
Эдо21(Ь(, ащ, al{, q, bit ai{, до),
которые мы будем называть дизъюнктивными членами
первого рода, во-вторых, члены вида
3u3vVz3wiA(bi, ащ, a(i, и, v, z, ш),
которые мы будем называть дизъюнктивными членами
второго рода, и, в-третьих, член, представляющий собой
формулу S.
198 е-СИМВОЛ И ЛОГИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ ГГЛ III
Переходя от дизъюнкции £i к дизъюнкции £4> мы добиваемся
того, что внутри этой последней переменная ат не встречается
ни в каком Ь-, с- или b-терме. Пусть переменная ат* имеет номер,
наибольший среди номеров переменных а^ встречающихся в ка-
какой-либо из еще имеющихся в 2L Ь-, с- или b-термов. Из нумера-
нумерационных условий и из того обстоятельства, что в дизъюнкции 2L
ни один и ее членов не повторяется дважды, снова получается,
что если переменная ат* содержится в дизъюнкции Ф4 внутри
дизъюнктивного члена первого рода
в одном из термов bi( ci( bi( то переменная а, входит в ф4 только
в одном-единственном месте; значит, применением правила (v)
к переменной а^ и последующим двукратным применением пра-
правила (ц) рассматриваемый член этой дизъюнкции может быть
преобразован в дизъюнктивный член второго рода.
А теперь такое же преобразование мы произведем над всеми
дизъюнктивными членами первого рода, обладающими указанным
свойством, и устраним все возникающие в результате этих пре-
преобразований повторения среди членов дизъюнкции. В получив-
получившейся таким образом дизъюнкции 2M переменная о^,* больше уже
не может входить ни в с-, ни в b-термы, но она еще может встре-
встречаться в b-термах — однако только внутри дизъюнктивных членов
второго рода. Встречающиеся в каком-либо таком дизъюнктивном
члене
ЗнЗиУгЗдоЗ! (bj, а9(, ац, и, v, г, w\
переменные а9. и а{. не могут встречаться в Ф5 в каких-либо
других местах — это опять следует из нумерационных условий и
из того факта, что в 2M нет повторяющихся дизъюнктивных чле-
членов. Поэтому рассматриваемый дизъюнктивный член применением
правила (v) —сначала к переменной а^., а затем к переменной
av — и последующим применением правила (}х) может быть пре-
преобразован в формулу (L
Применив эту процедуру к каждому дизъюнктивному члену
второго рода дизъюнкции 2>5, содержащему переменную ат* вну-
внутри какого-либо b-терма и устранив появившиеся повторения
дизъюнктивных членов, мы получим некоторую дизъюнкцию Т>„,
в которой переменная ат* больше уже не будет встречаться ни
в одном из Ь-, с-, Ь-термов.
Продолжая этот процесс и преобразовывая дизъюнктивные
члены первого рода в члены второго рода, члены второго рода —
$ 3] ТЕОРЕМА ЭРБРАНА 199
в формулу (£ и вычеркивая возникающие при этом повторения чле-
членов дизъюнкции, мы последовательно удалим все те Ь-, с- и Ь-тер-
мы, в которые входят какие-либо из пронумерованных перемен-
переменных а\, причем эти переменные мы будем перебирать по очереди,
в порядке убывания их номеров.
После не более чем (р— 1)-кратного повторения описанной
процедуры мы придем, наконец, к дизъюнкции, каждый член кото-
которой будет являться либо дизъюнктивным членом первого рода,
либо дизъюнктивным членом второго рода, либо формулой (£.
Кроме того, ни один из членов этой дизъюнкции не будет повто-
повторяться дважды и ни один из входящих в нее Ь-, с- или Ь-термов
не будет содержать переменных из списка аъ ..., av.
Все члены первого рода такой дизъюнкции, согласно нумера-
нумерационным условиям, с помощью правил (ц) и (v) можно преобра-
преобразовать в члены второго рода, а после того как это будет сделано
и все возникшие повторения дизъюнктивных членов будут устра-
устранены, все члены второго рода можно будет преобразовать в фор-
формулу £. Но тогда —если еще раз устранить образовавшиеся повто-
повторения дизъюнктивных членов —у нас получится формула (£.
Так может быть осуществлен вывод формулы (£ из дизъюнк-
дизъюнкции 3V А так как формула 2}х получается подстановкой из
некоторой тождественно истинной формулы исчисления высказы-
высказываний, то мы получим вывод формулы (£ средствами исчисления
предикатов.
В итоге мы получаем доказательство следующего утверждения:
Формула (£
/, х, у, и, и, г, w)
выводима тогда и только тогда, когда выводима формула
E) 3t3u3v3w$l(t, Ф@, ♦(/), и, v, %(t, и, v), w),
построенная с помощью ранее еще не встречавшихся функциональ-
функциональных знаков ф, if> и %, или (что согласно первой в-теореме сводится
к тому же самому) когда некоторая дизъюнкция 2), состоящая
из членов вида
31 (q, <p(q), 4>(q), г, б, %(<Ь г, б), г),
где q, г, б и t — термы, построенные из одних только свободных
переменных, индивидных символов и функциональных знаков, полу-
получается подстановкой из некоторой тождественно истинной фор-
формулы исчисления высказываний.
(Эта дизъюнкция 2) находится по выводу формулы E) приме
нением процедуры исключения связанных переменных с помощью
введения и последующего исключения е-символа.)
Кроме того, получается еще и следующая
200 е-СИМВОЛ И ЛОГИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ (ГЛ HI
Теорема. По выводу формулы S вида
3tVx\/y3u3vVz3w%(t, х, у, и, v, z, w)
всегда можно найти некоторую дизъюнкцию 2>ь состоящую из
членов вида
81 (q, а, Ь, г, 6, с, г),
где а, Ь, с — свободные переменные, a q, г, 3, t — некоторые термы,
причем 4}г получается подстановкой из некоторой тождественно
истинной формулы исчисления высказываний, а формула (х может
быть получена из нее применением правил (ц) и (v) и вычеркива-
вычеркиванием повторяющихся дизъюнктивных членов.
Полученные результаты немедленно могут быть усилены сле-
следующим образом.
Искомую дизъюнкцию 3) можно всегда указать таким образом,
чтобы, кроме функциональных знаков ф, ty и %. она содержала
только такие внелогические символы, которые входят в (£. Это
требование равносильно условию, чтобы в термы q, с, ё и г, фигу-
фигурирующие в членах дизъюнкции 2), входили только такие инди-
индивидные символы и только такие отличные от ф, if и % функцио-
функциональные знаки, которые входят в (£. Действительно, добиться
выполнения этого условия нетрудно. Именно, если в термах q,
с, ё и t первоначально будут иметься какие-либо не входящие
в (£ и отличные от символов <р, if и % индивидные или функцио-
функциональные символы, то достаточно будет всюду заменить каждый
такой индивидный символ и функциональный знак переменной а.
Получающаяся в результате этого дизъюнкция снова будет состоять
из членов вида
«(q. <P(q). 4>(q). *. «. X(q, t, ё), t),
но только термы q, г, ё, t будут теперь другими. Сохранится и
свойство дизъюнкции быть результатом подстановки в тождест-
тождественно истинную формулу исчисления высказываний, потому что
производимые замены сохраняют совпадение термов, а потому и
элементарных формул.
Точно так же можно добиться, чтобы дизъюнкция ^содержала
только такие внелогические символы, которые содержатся в (L
(По отношению к формуле 3^ функциональные знаки <р, if и %
перестают занимать особое положение.)
Метод доказательства, с помощью которого мы получили пере-
перечисленные результаты, как нетрудно видеть, абсолютно не зави-
зависит от того, что взятая нами формула (£ имела некоторый спе-
специально выбранный частный вид. Совершенно аналогичным обра-
образом этот метод может быть применен и к любой наперед задан-
заданной предваренной формуле. При этом имеются в виду (что в даль-
дальнейших формулировках иногда и не будет специально оговариваться)
«j 31 ТЕОРЕМА ЭРПРАНА 201
такие формулы, которые строятся из переменных и символов
исчисления предикатов, и, быть может, из некоторых индивидных,
функциональных и предикатных символов.
Чтобы сформулировать наш результат для произвольной фор-
формулы (£ такого типа, мы заметим, что для связанных переменных,
входящих в (£, порядок следования их в кванторной приставке
устанавливает некоторую их очередность. Переменные, связанные
кванторами всеобщности, мы будем кратно называть V-nepe-
менными, переменные, связанные кванторами существования,
будем называть 3-пвременными; кроме того, учитывая упо-
упоминавшуюся нами очередность связанных переменных, мы будем
говорить об 3-переменных, предшествующих некоторой
V-переменной.
Заметим также, что в случае, когда формула ® начинается
квантором всеобщности, всем V-переменным, которым не предше-
предшествуют никакие 3-переменные, согласно нашей процедуре должны
быть сопоставлены некоторые индивидные символы (так сказать,
нульместные функциональные знаки). Если бы, например, в рас-
рассматриваемой нами формуле (£ не было квантора существования 3^
и аргументной переменной t, то в начале нашего рассуждения
на месте выводимой формулы A) оказалась бы формула
4xVyA(x, у)-+А(а, Р),
в которой индивидные символы аир (как ранее ф и г|з) надо
было бы взять такими, чтобы они не фигурировали в самой фор-
формуле (£.
При рассуждении с помощью символьного решения на месте
тех V-переменных формулы (£, которым не предшествуют никакие
3-переменные, тоже появляются индивидные символы, потому
что процедура символьного решения в этом случае должна при-
применяться к таким формулам, которые получаются приведением
формулы IS к предваренному виду. А при этом преобразовании
упомянутые V-переменные переходят в Э-переменные без предше-
предшествующих им V-переменных.
При обратном переходе от дизъюнкции, истинной в логике
высказываний, к формуле B в список термов
кроме тех термов, которые начинаются вновь вводимыми функ-
функциональными знаками, должны быть включены в качестве термов
кратности 0 еще и вновь вводимые индивидные символы.
С учетом всех этих предварительных замечаний наш результат
может быть сформулирован в виде следующих двух предложений:
а) Любая данная предваренная формула (£ выводима'средствами
исчисления предикатов тогда и только тогда, когда может быть
указана некоторая дизъюнкция, истинная в логике высказываний
202 «-СИМВОЛ И ЛОГИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ [ГЛ. III
и такая, что каждый ее член получается из формулы (Е отбра-
отбрасыванием кванторов и заменой связанных переменных некоторыми
термами так, что при этом выполняются следующие структур-
структурные условия:
1. Термы, заменяющие связанные переменные, образуются из
индивидных переменных, из символов, входящих в формулу (£,
а также из некоторых вновь вводимых, взаимно однозначно сопо-
сопоставленных V'-переменным формулы (Е индивидных символов и функ-
функциональных знаков; это сопоставление обладает тем свойством,
что любой У-переменной, которой не предшествуют никакие
3-переменные, соответствует некоторая индивидная переменная,
а любой V-переменной, которой предшествуют f 3-переменных,
соответствует некоторый функциональный знак с t аргументами.
2. Любая V-переменная, которой не предшествует ни одна 3-пере-
менная, в каждом члене этой дизъюнкции заменяется соответст-
соответствующим ей индивидным символом; любая V'-переменная, которой
предшествует одна или большее число 3-переменных, заменяется
сопоставленным ей функциональным знаком, у которого в качестве
аргументов фигурируют термы, стоящие на месте предшествую-
предшествующих 3-переменных, причем они располагаются в порядке следова-
следования этих 3-переменных. {Термы, стоящие на месте 3-переменных,
могут быть произвольным образом построены из входящих в фор-
формулу (Е свободных индивидных переменных, индивидных символов
и функциональных знаков, а также вновь вводимых символов.)
б) По любой выводимой средствами исчисления предикатов
предваренной формуле (Е можно указать такую дизъюнкцию, что
каждый член ее получается из (£ отбрасыванием кванторов, заме-
заменой V'-переменных некоторыми свободными индивидными перемен-
переменными и заменой 3-переменных некоторыми термами, построен-
построенными из некоторых свободных индивидных переменных и входящих
в формулу (Е индивидных символов и функциональных знаков, при-
причем эта дизъюнкция получается подстановкой из некоторой тожде-
тождественно истинной формулы исчисления высказываний, а сама фор-
формула B может быть получена из нее. путем применения правил (ц)
и (v)*) и вычеркивания повторяющихся дизъюнктивных членов.
Эти два утверждения, взятые совместно, и составляют содер-
содержание теоремы, которая была провозглашена (правда, в несколько
иной формулировке) Ж. Эрбраном в качестве основной теоремы тео-
теоретической логики и которую мы поэтому называем теоремой
Эрбрана2).
!) См. с. 173.
2) Она была доказана в его диссертации1 Herbrand J. Recherches sur
la theorie de la demonstration.—These de 1'Univ. de Paris, 1930. Опубликована
в Travaux de la Soc. des Sci. et Let. de Varsovie, 1930. См. также вторую
работу Эрбрана: Herbrand J. Sur le probleme fondamental de la logique
mathematique. —C. r, Soc. Sci. Varsovie, 1931, 24, Cl. HI. Доказательство
§ 3) ТЕОРЕМА ЭРБРАНА 203
Суть теоремы Эрбрана мы поясним сначала на одном простом
примере. Возьмем две формулы
ЧхЗу (х < ф (ф (у))) -»- УхЗг/ (х < ф (у))
УхЗу (х < ф (у)) ->- УхЭг/ (* < ф (ф (г/))).
Выводимость первой из них легко устанавливается непосредственно.
Относительно второй ясно, что при арифметическом ее истолкова-
истолковании она истинна не всегда. Чтобы применить к этим формулам
предложения а) и б), мы сначала должны будем привести их
к предваренному виду. Это может быть сделано различными спо-
способами. Например, первая формула переводима в формулу
(A))
а вторая — в формулу
(B)) ЧхЗуЧг П (У < Ф (г)) V * «Р (ф (</)))•
Согласно предложению а), необходимое и достаточное условие
выводимости формулы ((!)) заключается в возможности указать
Эрбрана трудно для чтения и требует некоторых исправлений, как было
недавно показано Б Дребеном [см Dreben В, Andrews A., Aanderaa
St. False Lemmas in Herbrand. — Bull Amer. Math Soc , 1963, 69, p. 699—706.
Более простое доказательство этой теоремы было дано уже Г Генценом в его
работе' Gentzen G Untersuchungen fiber das logische SchlieSen.—Math.
Z , 1934, 39, № 2, 3, см., в частности, IV. Abschnitt, § 2 (русский перевод
этой работы. Ген цен Г Исследование логических выводов —В кн: Матема-
Математическая теория логического вывода М., Физматгиз, 1967, с. 9—74.—Прим.
перев.). Это доказательство получается с помощью одной еще более общей тео-
теоремы, применимой также к некоторым подформализмам исчисления предика-
предикатов Новые доказательства этой более общей теоремы предложены Куртом
Шютте: Schfitte К. SchluSweisenkalkule der Pradikatenlogik. — Math Ann.,
1950, 122, S. 47—65, Хаскеллом Б. Карри Curry H. В. A Theory of For-
Formal Deducibility — Notre Dame Mathematical Lectures, № 6, 1950 и Стефеном
К- Клини: К 1 е е n e Stephen С. Introduction to Metamathematics. — Amsterdam,
1952, § 78 (имеется русский перевод этой книги' Клини Слефен К. Введе-
Введение в метаматематику.—М- ИЛ, 1957. — Прим. перев.). Как мы видели,
теорема Эрбрана получается из теоремы об элементарном выводе (см. с. 37).
Последняя была получена нами из первой 8-теоремы и является, кроме того,
частным случаем одной теоремы об исчислении предикатов, доказанной Эриком
Стениусом (см. сноску 1 на с. 37). Доказательства Шютте и Стениуса отно-
относятся непосредственно к логическому исчислению рассмотренного нами типа,
в то время как доказательства Генцена, Карри и Клини относятся к некото-
некоторому исчислению секвенций. Наконец, теорему Эрбрана можно также полу-
получить с помощью метода семантических таблиц Э. В. Бета. Об этом см. его
труд' Beth E W The Foundations of Mathematics.—Amsterdam, 1959, sec.
90—92. Следует также упомянуть теоретико-множественные доказательства
теорем Генцена и Эрбрана, данные Стигом Кангером: К anger Stig. Prova-
bility in Logic. Uppsala, 1957, P Сикорским: Sikorski R. On Herbrand's
Theorem. —Colloq Math., 1958, 6, p. 55—58 и Е Расёвой и Р. Сикорским:
Rasiowa H., Sikorski R. On the Gentzen Theorem. —Fundam. math.,
1960, 48, p. 57—69.
204 е-символ и логический формализм [гл ш
некоторую дизъюнкцию, состоящую из членов вида
с некоторыми термами f, построенными из переменных и из сим-
символов ф и ф, и получающуюся подстановкой из некоторой тожде-
тождественно истинной формулы исчисления высказываний. Такой
дизъюнкцией является, например, формула
V A (Ф (ф (а)) < Ф (Ф (ф (Ф (ф (а)))))) V а < Ф (Ф (Ф (а)))).
Следовательно, формула (A)) выводима.
Если бы выводимой была и формула (B)), то можно было бы
соответственно найти некоторую дизъюнкцию, состоящую из чле-
членов вида
П (f <ф (* @)) V « <ф (ф (f)),
которая получалась бы подстановкой из некоторой тождественно
истинной формулы. Но для этого потребовалось бы, чтобы неко-
некоторая из фигурирующих под знаком отрицания формул f < ф (ф (f))
по внешнему виду совпала с какой-либо формулой а<ф(ф(г)),
что невозможно, так как терм ф(г) не может совпадать с термом
). Тем самым мы убеждаемся, что формула (B)) невыводима.
Теперь воспользуемся предложением б). Для формулы (A)),
выводимость которой нами установлена, оно утверждает, что най:
дется некоторая дизъюнкция, состоящая из членов вида
1(Г<Ф(ф(а)))\/Ь<ф(Г)
с переменными а и Ь и с некоторыми, составленными из перемен-
переменных и функционального символа ф термами f, причем эта дизъ-
дизъюнкция получается подстановкой из некоторой тождественно истин-
истинной формулы исчисления высказываний, а формулу (A)) можно
получить из нее с помощью правил (ц) и (v) и вычеркивания
повторяющихся членов дизьюнкции.
В качестве дизъюнкции, обладающей этим свойством, можно,
например, взять формулу
Действительно, эта формула, с одной стороны, получается под-
подстановкой из тождественно истинной формулы
CM v я) Vпсу Л),
а с другой стороны, от нее можно прийти к формуле (A)) сле-
следующим образом: сначала применением правила (v) к переменной о
и последующим применением правила (ц) мы получаем формулу
A (а< ф (ф (&))) \/ а< Ф (а)) V 3r/Vz A (у < ф (ф (г))) V Ж Ф Ш,
$ 3) ТЕОРЕМА ЭРБРАНА 205
а затем применением правила (v) к переменной Ь и применением
правила (ц) получим формулу
ЪуЧг П (у < ф (ф (г))) V а«Р (у)) V Зг/Уг A (у< Ф (Ф (г))) V Ж <р (у)).
А теперь вычеркнем один из двух повторяющихся членов этой
дизъюнкции. Применив еще раз правило (v), мы получим требую-
требующуюся формулу
ЧхЗуЧг A (у < ф (Ф (г))) V * < Ф (у))-
Если у какой-либо предваренной формулы £ выражение,
стоящее за кванторной приставкой, имеет вид дизъюнкции
21Х V •••^1-. члены которой Шь ..., 9lt. представляют собой выраже-
выражения без логических знаков или отрицания таких выражений, то
с помощью предложения а) можно решить вопрос о выводимости (Е.
Действительно, согласно этому предложению, для выводимости <£
необходимо и достаточно, чтобы можно было указать получаю-
получающуюся подстановкой из некоторой тождественно истинной формулы
исчисления высказываний дизъюнкцию i\ V • • • Щ> каждый член
которой получается из формулы B вычеркиванием кванторов и
заменой связанных переменных некоторыми термами так, что при
этом соблюдаются некоторые структурные условия. При этом каж-
каждая из формул 33, (t = 1, ..., f) имеет вид некоторой дизъюнкции
ЭД(') V • ■ • V ^> каждый член которой является либо элементарной
формулой, либо отрицанием элементарной формулы. Для того
чтобы формула S3] V • • • V ®f получалась подстановкой из какой-
либо тождественно истинной формулы исчисления высказываний,
необходимо и достаточно, чтобы среди f • t членов этой дизъюнк-
дизъюнкции имелось по меньшей мере два таких члена, один из которых
представлял бы собой отрицание другого.
Таким образом, данное в предложении а) необходимое и доста-
достаточное условие выводимости формулы S сводится к тому, что
среди выражений Ш,, ..., 21С должны найтись два таких выраже-
выражения Sip и Щ, для которых — после сопоставления V-переменным
формулы (£ новых переменных и функциональных знаков — можно
указать две такие замены для 3-переменных формулы (£, что —
с учетом замен для V-переменных формулы (£, которые получа-
получаются из этих замен в соответствии с указанными структурными
условиями, — формула, в которую в результате первой замены
переходит формула Шр, совпадает с отрицанием той формулы,
в которую в результате второй замены переходит формула Slq.
Как легко видеть, могут быть явным образом сформулированы
условия для возможности построения двух таких замен; так как
206 е-СИМВОЛ И ЛОГИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ 1ГЛ III
при этом количество входящих в рассмотрение пар выражений
2lv, 8lq конечно, то это в конце концов дает нам решение вопроса
о выводимости (£1).
Причиной того, что не может быть решен аналогичным обра-
образом вопрос о выводимости произвольной заданной предваренной
формулы, является то обстоятельство, что совершенно невозможно
указать какую-либо оценку для числа дизъюнктивных членов
ЗЗх, ..., SBf. В рассмотренном частном случае эту дизъюнкцию
можно было считать двучленной с самого начала. Действительно,
если в процессе построения этой дизъюнкции, состоящей из f-r
членов, 21^ и 9lW являются теми двумя членами, один из кото-
которых совпадает с отрицанием другого, то уже дизъюнкция 33; V Щ
будет получаться подстановкой из некоторой тождественно истин-
истинной формулы исчисления высказываний.
Формулировка и доказательство теоремы Эрбрана, приведен-
приведенные выше, относятся к предваренным формулам. Но приведенный
нами метод доказательства с использованием символьного решения
и теоремы об элементарном выводе позволяет дать более общую
формулировку этой теоремы, относящуюся ко всем таким форму-
формулам, у которых ни один квантор не стоит ни в области действия
какого-либо знака отрицания, ни в каком-либо члене импликации
или эквивалентности, или, выражаясь позитивно, относящуюся
ко всем таким формулам, которые могут быть построены из пред-
предваренных формул с помощью конъюнкций, дизъюнкций и кван-
кванторов. Такого рода формулы мы будем для краткости называть
квазипредваренными. От любой формулы исчисления пре-
предикатов с помощью правил 2 и 4 исчисления высказываний2)
и правила (Я) исчисления предикатов3) можно перейти к квази-
предваренной формуле. Если, пользуясь этими правилами, обра-
образовать отрицание какой-либо квазипредваренной формулы, то при
этом получится новая квазипредваренная формула, у которой
кванторы существования и всеобщности, а также и конъюнкции
и дизъюнкции поменяются друг с другом местами, а отрицание
*) Этот разрешимый случай общей проблемы разрешимости отмечался уже
Эрбраном в его цитировавшейся выше диссертации. В своей работе «Sur le
probleme fondamental de la logique mathematique» Эрбран добавляет замечание
о том, что критерию выводимости для этого случая можно легко придать
следующий вид- для любой заданной формулы рассматриваемого типа можно
указать такое число f, что эта формула будет выводима тогда и только тогда,
когца она будет f-тождественна (см цит. соч , с. 34). Это утверждение, дока-
доказательства которого Эрбран не сообщил, ввиду его обманчивой правдоподоб-
правдоподобности было отмечено без всяких комментариев в т. I «Оснований математики»
[с. 143 внизу (см. с 186—188 русск. перевода)] На то, что справедливость
этого утверждения совершенно не очевидна, указал К. Шютте.
а) См. т. I, с. 79.
») См. I. I, с. 181.
§ 31 ТЕОРЕМА ЭРБРАНА 207
будет перенесено на выражения, стоящие за кванторами, — совер-
совершенно аналогично тому, как это происходит при образовании
отрицаний предваренных формул по правилу (I).
Возможность распространения теоремы Эрбрана на квазипред-
варенные формулы вытекает из того обстоятельства, что процедура
символьного решения способом, сходным со способом применения
ее к предваренным формулам, может быть применена и к квази-
предваренным формулам.
Поясним эту мысль на примере, воспользовавшись методом
формализации символьного решения с помощью е-символа1).
Пусть формула %, которую мы будем рассматривать, имеет вид
Vx(Vy3t*(x, у, г) V ЗуУгЗЗ (х, у, г)).
Эта формула дедуктивно равна формуле
Vy3z?J(a, у, z)\J3uVv%(a, и, v),
а также ввиду правила (v)] формуле
Зг31 (а, Ь, г) V ЗиУуЗЗ (а, и, v).
С учетом эквивалентностей
ЗгШ(а, Ь, г)~Ш(а, Ь, ггШ(а, Ь, г))
и
ЗиУуЗЗ(о, и, у)~УуЗЗ(я, еиУвуЗЗ(а, и, w), v)
эта формула может быть преобразована в формулу
31 (а, Ь, егШ(а, b, z))\/Vy33(a, еиУаK3(а, и, w), v).
Если мы теперь, пользуясь явными определениями
Ф(а, Ь) = вгШ(а, Ь, г)
и
т|з (а) = еиУаK3 (а, и, w),
введем функции ф(а, Ь) и 'ф(а), то из предыдущей формулы
получим формулу
31 (а, Ь, Ф(а, &))VVy$(a, у (a), v),
которая в свою очередь дедуктивно равна формуле
91 (а, Ь, Ф(а, 6))V«(a. ^(«). ^)-
Эта формула уже не содержит связанных переменных, и из нее
с помощью исчисления предикатов мы можем вновь получить
формулу %. Тем самым нами получено символьное решение фор-
формулы 5-
Си. гл. I, с 35.
208 е-СИМВОЛ И ЛОГИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ [ГЛ Ш
А теперь, с учетом этого обобщения символьного решения,
рассуждение, примененное на с. 191 — 193-к выводимой средствами
исчисления предикатов предваренной формуле (£, с равным успе-
успехом может быть применено и к выводимой квазипредваренной
формуле (£. В результате этого может быть построена такая
дизъюнкция (?i V ••• V ®е» что: 1) она является формулой, истин-
истинной в логике высказываний, и 2) каждый ее член получается из
формулы (£ в результате вычеркивания всех ее кванторов и
выполнения следующих замен связанных переменных: каждая
3-переменная заменяется некоторым термом; любая V-переменная,
не попадающая в область действия ни одного квантора существо-
существования, заменяется некоторым сопоставленным ей индивидным
символом; любая V-переменная, попадающая в область действия
каких-либо t кванторов существования, заменяется некоторым
функциональным термом с сопоставленным этой V-переменной
f-местным функциональным знаком, причем в качестве его аргу-
аргументов стоят те же термы, которые появились на месте Э-пере-
менных, связанных упомянутыми f кванторами существования.
(При выборе порядка этих аргументов следует руководствоваться
очередностью появления соответствующих кванторов существова-
существования.)
При этом термы, появляющиеся на месте 3-переменных, могут
быть произвольным образом построены из фигурирующих в фор-
формуле (Е свободных индивидных переменных, индивидных символов
и функциональных знаков, а также из сопоставленных V-nepe-
менным вновь вводимых индивидных символов и функциональных
знаков.
С другой стороны, если некоторая дизъюнкция (^ V • • • V ^с>
обладающая перечисленными свойствами, истинна в логике выска-
высказываний, то формула (Е выводима средствами исчисления преди-
предикатов. Действительно, вместе с этой дизъюнкцией истинна в логике
высказываний и дизъюнкция (£[ \J ... \/ Щ, получающаяся из нее
в результате замены каждого из входящих в нее термов, начи-
начинающихся одним из сопоставленных некоторой V-переменной
функциональных знаков или состоящих просто из некоторого
сопоставленного одной из V-переменных индивидного символа,
какой-нибудь (вновь вводимой) свободной индивидной переменной.
А от этой дизъюнкции <£[ V ... V Щ можно средствами исчисления
предикатов возвратиться к формуле (Е.
Этот обратный переход может быть осуществлен специальным
образом, а именно применением правил (\х*) и (v*), которые мы
сейчас сформулируем, и вычеркиванием повторяющихся членов
дизъюнкции.
Правила (ц*) и (v*) являются обобщениями уже имеющихся
у нас правил (jx) и (v).
i 31 ТЕОРЕМА ЭРБРАНА 209
Правило (fi*): Если формула составлена с помощью конъ-
конъюнкций и дизъюнкций из некоторых составных частей (членов),
то в любом из этих членов любой фигурирующий в нем терм
можно заменить какой-либо связанной переменной, проставив перед
этим членом соответствующий квантор существования.
Правило (v*): Если формула составлена с помощью конъ-
конъюнкций и дизъюнкций из некоторых составных частей (членов) и
если один из этих членов содержит какую-нибудь свободную инди-
индивидную переменную, не входящую ни в один из остальных членов,
то эту свободную переменную можно заменить связанной, проста-
проставив перед этим членом соответствующий квантор всеобщности').
К числу квазипредваренных формул относятся, в частности,
дизъюнкции предваренных формул. К рассмотрению таких дизъ-
дизъюнкций нас приводит исследование выводимости одних предварен-
предваренных формул из других предваренных формул (аксиом). Действи-
Действительно, любая такая выводимость изображается импликацией
вида Щ&...&Щ->33, где Щ, ..., Щ и 33 — предваренные формулы.
Эта импликация элементарным преобразованием может быть
переведена в формулу ~\% У ... У 1Щ У %, а формулы 1 Шь ...
..., ~19If по правилу (XJ) можно преобразовать в предваренные
формулы, так что в результате получится дизъюнкция предва-
предваренных формул. Разумеется, в этом случае с помощью правила (iK)
можно все кванторы вынести наружу и, таким образом, получить
одну-единственную предваренную формулу. Но этот прием в случае
применения теоремы Эрбрана в форме предложения а) обладает
тем недостатком, что вводимые при этом функциональные знаки
получают аргументов больше, чем это необходимо. Это обстоя-
обстоятельство связано с тем, что у дизъюнкции, построенной из пред-
предваренных формул, отчетливо проявляются некоторые характерные
различия между формулами, а при сведении их в единую пред-
предваренную формулу эти различия оказываются замаскированными.
Например, любая дизъюнкция вида
ЭхЧуЯ (х, у) V ЗхЗуЗгЪ (х, у, z)
может быть преобразована в предваренную формулу, имеющую
вид
3x3y3zVuQi (x, у, z, и),
но предваренная формула этого вида не всегда может быть рас-
расщеплена в дизъюнкцию указанного выше вида. Так и в вопросах,
г) При применении правил (ц*) и (v*) следует учитывать, что, вообще
говоря, одна и та же формула может быть различными способами представлена
в виде составных частей, соединенных знаками конъюнкции и дизъюнкции.
2) См. т. I, с. 181.
?) См. т. I, с. 179.
210 е-символ и логический формализм ггл ш
связанных с проблемой разрешимости, мы часто бываем вынуждены
для характеристики типов формул привлекать к рассмотрению
дизъюнкции предваренных формул, если речь идет о выводимости,
а если речь идет о двойственных вопросах непротиворечивости
(неопровеижимости) или о соответствующих неформальных вопро-
вопросах «выполнимости», — конъюнкции предваренных формул.
В качестве следствия из предложения б) и его обобщения
получается, что осуществляемый средствами исчисления предикатов
вывод любой квазипредваренной формулы, построенной из пере-
переменных и символов исчисления предикатов и, быть может, неко-
некоторых дополнительных индивидных, функциональных и предикат-
предикатных символов, всегда может быть проведен следующим образом.
Мы начинаем с некоторой истинной в логике высказываний
бескванторной формулы, которая не содержит никаких других
символов логики высказываний, кроме встречающихся в заданной
формуле, а затем подходящим образом применяем правила (ц*)
и (v*) в сочетании с правилом вычеркивания повторений дизъ-
дизъюнктивных членов. Вывод любой не квазипредваренной формулы %
теперь может быть проделан следующим образом. Сначала мы
строим некоторую квазипредваренную формулу %ъ переводимую
в %. Эту формулу только что описанным способом выводим из
некоторой истинной в логике высказываний бескванторной фор-
формулы (£х, а затем надлежащими преобразованиями возвращаемся
от 5i к 5- Формула %i в свою очередь может быть получена пре-
преобразованиями из некоторой построенной из элементарных фор-
формул конъюнктивной нормальной формы, которая тоже является
истинной в логике высказываний.
Если проанализировать шаги, на которые может быть разло-
разложено получение формулы % в соответствии со сказанным выше,
то можно убедиться, что вполне достаточно пользоваться следую-
следующими правилами вывода:
а) Правила ассоциативности и коммутативности для конъюнк-
конъюнкции и дизъюнкции.
б) В качестве исходных формул разрешается брать формулы вида
$V~l$V&iV-.-V&r (г 23:0)
или конъюнкции таких формул; здесь ^ — элементарная
формула, а каждое Ог (f=l, ..., г) —либо элементарная
формула, либо отрицание элементарной формулы.
в) Выражение 91 & C3 V Щ может быть заменено выражением
Сй&8) v(«&6)
Сй&8) v(«&6);
выражение (Я V Щ & (Я V 6) - выражением 31 V (® & 6).
г) Выражение 91 может быть заменено выражением ~] ~) 81;
выражение ~) 31 & ~| 93 — выражением (Ж V Щ>
выражение 31 у ~\ 93 — выражением C4 & 33).
S3] ТЕОРЕМА ЭРБРАНА 211
д) Разрешается вычеркивать повторяющиеся члены дизъюнкции.
е) Выражение ~| 31 V 33 может быть заменено выражением 91-+-33;
выражение ( 31V 23) & C1 V 33) — выражением 31 ~ 33.
ж) Выражение Vj П ^ (е) может быть заменено выражением
Э«()
к(к)
выражение Эе ~| 81 (е) — выражением ~| VjSI (е).
3) Если формула 33 не содержит переменной е. то можно
выполнить следующие замены:
выражение Vj C1 E) & 33) может быть заменено выражением
Vfl33
E(E)
выражение Эе (81 (е) V 33) — выражением Э&81 (е) V 53'•
выражение Vg (81 E) \/ 33) — выражением Vj8l E) V 33;
выражение Эе C1 (е)& 33) —выражением 3j8l(s)&33.
и) Действуют следующие две схемы:
81 (t) 31(»)
(здесь t — терм, а V — свободная переменная, не входящая
в выражение 31 (е); в первой схеме t может входить
в 81 (£); в обеих схемах переменная е не должна входить
в верхнюю формулу).
к) Разрешается производить переименования связанных пе-
переменных, если при этом не возникает коллизий между
ними.
В правилах в), г), е), ж) и з) замена производится только
в указанном направлении. Эти правила могут применяться не
только к целым формулам, но в равной мере и к составным
частям формул. Эти части не обязаны быть формулами, но в этом
случае они должны быть выражениями, получающимися из фор-
формул в результате замены свободных переменных связанными.
В отношении выводимости формул описанное этими правилами
ограниченное исчисление предикатов*) — в силу ранее проведен-
проведенного нами рассуждения, связанного с теоремой Эрбрана, — равно-
равносильно обычному исчислению предикатов. Но эта равносильность
не распространяется на выводы формул из других формул. Дейст-
Действительно, в обычном исчислении предикатов выводимость фор-
формулы 33 из формулы 81, если 81 не содержит свободных перемен-
переменных, равносильна выводимости импликации 81-»-33. В нашем
ограниченном исчислении это утверждение уже неверно, потому
что среди его правил нет схемы . В отличие от этой
-с.
*) Это исчисление очень близко к исчислению К2, построенному Куртом
Шклте в его работе Schutte К. SchluBweisenkalkiile der Pradikatenlogik.—
Math. Ann., 1950, 122, S. 47—65. Однако оно немного уже исчисления Кц-
212 t-СИМВОЛ И ЛОГИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ [ГЛ III
схемы, правила описанного нами ограниченного исчисления пре-
предикатов устроены так, что они не дают возможности исключать
какие-либо формулы1).
Замечание. Формулировка теоремы Эрбрана, не ограни-
ограничивающаяся квазипредваренными формулами, приведена в работе
«False Lemmas in Herbrand» (см. сноску на с. 203). Эта форму-
формулировка содержалась уже в диссертации Эрбрана, хотя и не
в очень явном виде. Однако в его доказательство потребовалось
внести существенное исправление, в результате чего лемму из
раздела 3.3 пятой главы диссертации Эрбрана пришлось заменить
более слабым и более сложным утверждением. Доказательство
этой модифицированной леммы дано в работе Б. Дребена и
Дж. Дентона: Dreben В., Denton J. —A. Supplement to Herb-
Herbrand. — J. Symbolic Logic, 1966, 31, p. 393—398.
Впрочем, эта общая формулировка теоремы Эрбрана несущест-
несущественно превосходит ее формулировку для случая квазипредварен-
ных формул. Даваемый ею критерий выводимости формулы экви-
эквивалентен критерию, получающемуся преобразованием формулы
произвольного вида в квазипредваренную формулу2) и примене-
применением к этой последней теоремы Эрбрана для квазипредваренных
формул.
§ 4. Критерии опровержимости в чистом исчислении предикатов
Наряду с формулировкой, содержащейся в предложениях а)
и бK), теорема Эрбрана допускает еще одну формулировку, кото-
которая более тесно примыкает к содержательному истолкованию
формул и которой сам Эрбран отдавал предпочтение. В общем
случае эта формулировка оказывается несколько усложненной,
но, если ограничиться случаем чистого исчисления предикатов,
она приобретает прозрачный характер.
Для того чтобы подойти к этой формулировке, мы сначала
рассмотрим случай, когда формула € имеет вид сколемовской
нормальной формы
J) Систематическое изучение такого рода ограниченных, задаваемых пра-
правилами форм исчисления предикатов, дающих ту же самую совокупность вы-
выводимых формул, но не содержащих правил, позволяющих исключать какие-
либо формулы, бьию впервые осуществлено Г. Генценом в его трактате «Unter-
suchungen fiber das logische Schliefien» (см. сноску 2 на с. 202). Рассуждения
Генцена относятся к некоторому специальному исчислению —исчислению сек-
секвенций. То, что его рассмотрения равным образом могут быть осуществлены
и средствами нашего исчисления формул, было показано К. Шютте в его уже
упоминавшейся работе «Schlufiweisenkalkule der Pradikatenlogik».
z) Заметим, что это преобразование не использует тех правил преобразо-
преобразования (regies de passage), которые создают определенные трудности в доказа-
доказательстве Дребена и Дентона.
з) См. с. 201—202,
§ 4] КРИТЕРИИ ОПРОВЕРЖИМОСТИ 213
с следующими свойствами 1) в кванторной приставке этой фор-
формулы содержится по крайней мере один квантор существования
и по крайней мере один квантор всеобщности; 2) она не содер-
содержит свободных индивидных переменных, а также и никаких свя-
связанных переменных, кроме еь .... £,., t)x, ..., %г). Если формула (£
является выводимой, то, согласно предложению а), для нее может
быть указана некоторая дизъюнкция
*№» 4°. ч*«1}..... О..... фЛй1». .... 4°))v...
истинная в логике высказываний, т. е. выводимая средствами
одного только исчисления высказываний. Здесь t\l), .... tj.1', ...
.... t{m\ .... t^ —термы, построенные из свободных индивидных
переменных и r-местных функциональных знаков фх, .... фё.
Если теперь эти термы заменить какими-либо другими тер-
термами таким образом, чтобы совпадающие элементарные формулы
снова оказались совпадающими, то эта дизъюнкция перейдет
в формулу, которую тоже можно будет вывести средствами исчис-
исчисления высказываний. Замены такого рода можно производить,
в частности, следующим образом: сначала каждый из термов
ti", .... 4", .... t(m), .... Ит), не совпадающий ни с одним из
термов cpjfrp, ...-, tWj (t=l, .... б; j=l, .... m), заменяется
цифрой 0 всюду, где он фигурирует либо сам по себе, либо
в качестве аргумента какой-либо из функций фх, ..., фё. В полу-
полученной таким образом дизъюнкции 3) каждый из встречающихся
в ней термов оказывается построенным из цифры 0 и из функцио-
функциональных знаков фь ..., фё.
Затем функциональные знаки фх, ..., cpg мы истолковываем
как символы для некоторых вычислимых арифметических функ-
функций, зависящих от г аргументов, являющихся цифрами. В резуль-
результате этого для термов, входящих в дизъюнкцию Ф, получается
некоторое распределение их значений, и если каждый из этих
термов заменить цифрой, являющейся его значением, то у нас
получится некоторая выводимая средствами исчисления высказы-
высказываний дизъюнкция Фь состоящая из членов вида
31 (пь .... nr, fi, .... tg),
1) Случаи с = 0 и g = 0 могут быть разобраны непосредственно на основе
рассмотренных ранее элементарных соображений, см. т. I, с. 239—243.
21* е СИМВОЛ И ЛОГИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ [ГЛ ш
где Пх, ..., пс —цифры, a ft (при i=l, ..., б) представляет собой
значение функции ф( (пь ..., пс).
Пусть теперь р —наибольшая среди цифр пг, ..., пс, стоящих
в членах дизьюнкции S^ на местах 3-переменных формулы (£.
Тогда 2>! будет поддизъюнкцией дизъюнкции, состоящей из (р+ 1)с
членов вида
a(ni.j nci- fi,j f«,i).
где номер j члена этой дизъюнкции пробегает значения от 0 до
(р+1)г—1 включительно, цифры ft> j (при i=l, ..., б) являются
значениями функций ф, (nl j, ..., nC) j), а список
содержит в каком-либо порядке все r-членные наборы цифр, не
превосходящих р.
Порядок этот мы выберем так, чтобы из двух наборов, разли-
различающихся максимальными входящими в них цифрами, предшест-
предшествующим считался тот, максимальная цифра которого меньше;
а для наборов с одинаковыми максимальными цифрами мы будем
считать этот порядок лексикографическим, так что из двух таких
наборов предшествующим является тот, у которого цифра, стоящая
на первом месте, где эти наборы различаются, является меньшей.
Построенную таким образом дизъюнкцию мы обозначим через
р). Она тоже может быть выведена средствами исчисления вы-
высказываний, так как дизъюнкция Фх содержится в ней в качестве
поддизъюнкции.
Для любой цифры q и для любой системы т|з, состоящей из б
r-местных арифметических функций -фх» • • ■. %< значения которых
можно вычислить — а в случае конечной области определения,
состоящей из r-членных наборов цифр, не превосходящих q, даже
задать путем прямого перечисления,— мы обозначим через (?'*'
дизъюнкцию, состоящую из членов
a(ni.j nr,i- fi.i h,i)
где tij :, ..., nc i — всевозможные г-членные наборы цифр, не
превосходящих q, взятые в указанном выше порядке [число этих
наборов равно (q+l)c, а цифры fjj (при i=l, ..., б) являются
значениями функций г|з( (nt j, ..., пГ) j)].
Для любой такой дизъюнкции можно непосредственно выяс-
выяснить, выводима ли она средствами исчисления высказываний.
« 4] КРИТЕРИИ ОПРОВЕРЖИМОСТИ 215
С этой целью достаточно заменить различные входящие в нее
элементарные формулы различными функциональными перемен-
переменными без аргументов и проверить, является ли полученная таким
образом формула исчисления высказываний тождественно истинной.
Если цифра f меньше q, то дизъюнкция 0Ф> является под-
дизъюнкцией дизъюнкции (£,ф>. Поэтому, если 0Ф> окажется вы-
выводимой средствами исчисления высказываний, то же самое
можно будет сказать и относительно (£,ф>-
Итог наших рассуждений сводится к тому, что по любому
выводу формулы (£ в исчислении предикатов, произвольным об-
образом выбрав вычислимые арифметические функции <plt ..., <рв
от г аргументов, можно указать такую цифру р, что формула ©рф>
будет выводима средствами исчисления высказываний. Эта теорема
допускает и еще одну, несколько более общую формулировку
ввиду того, что нам совершенно несущественно иметь дело с функ-
функциями, задаваемыми законами, имеющими арифметическую при-
природу. Более того, будет достаточно, если значения выражений
<р((пъ ..., пЛ (i = 1, ..., ё) будут определяться постепенно, путем
последовательного выбора, причем, расширяя те числовые об-
области, из элементов которых будут строиться соответствующие
r-членные наборы, мы будем продвигаться до тех пор, пока,
используя значения, выбранные для выражений <Р((П!, ..., пс),
мы не натолкнемся на дизъюнкцию (£{,ф>, которая будет выводима
средствами исчисления высказываний.
То, что описанным путем мы всегда придем к некоторой выво-
выводимой средствами исчисления высказываний дизъюнкции (£рф>,
вытекает из предшествующего рассуждения. Действительно,
цифра р, о которой идет речь в нашем предложении, была, как
мы знаем, получена как наибольшая среди цифр, являющихся
(при данном распределении значений) значениями тех выражений,
которые в членах дизъюнкции 2) находятся на местах 3-перемен-
ных формулы (£. Это распределение значений производилось в ре-
результате истолкования функциональных знаков ц>г, ..., щ как
символов для определенных арифметических функций. Но это
распределение можно произвести и иначе, а именно — сначала
каждому из термов <pf @ 0) (t = 1 ё) мы припишем зна-
значение в виде некоторой цифры и внесем эти значения вместо
соответствующих выражений; затем для вновь полученных термов
<р( (tti пс) с цифрами пь ..., пс мы выберем значения в виде
некоторых новых цифр, которые мы опять-таки внесем на соот-
соответствующие места, и будем это продолжать до тех пор, пока
все термы, входящие в формулу 3), не получат некоторые значе-
21Й t символ и логичрскии формализм ггл m
ния, причем мы должны будем обращать внимание на то, чтобы
при этом равным выражениям q>j (пь ..., пг) всегда приписывались
равные же значения.
Если р — наибольшая из цифр, которые при этой процедуре
становятся значениями термов, находящихся на местах 3-пере-
менных формулы (£ (в членах дизъюнкции Т), и если мы прида-
придадим какие-либо значения всем тем выражениям ср, (пх пс), у ко-
которых п1( ..., пс суть цифры из ряда от 0 до р и которые пока
еще не получили значений, то функции cp1( .... ipe будут опре-
определены в области цифр 0, ..., р (возможно, они окажутся опре-
определенными уже и для некоторых других наборов значений аргу-
аргументов) и мы сможем с их помощью построить дизъюнкцию (Sp40.
Эта дизъюнкция будет содержать в качестве поддизъюнкции дизъ-
дизъюнкцию 2>ь которая получается из 2) в результате замены тер-
термов их значениями в виде цифр, и поэтому она, как и 35, будет
выводиться средствами исчисления высказываний.
При выполнении этой процедуры на значения функций фь ...
.... % в области от 0 до р не накладывается никаких ограниче-
ограничений (кроме условия однозначной определенности этих значений
значениями аргументов). Таким образом, получается, что если
в выбранном нами порядке очередности порождать эти г-членные
наборы цифр и для каждого из этих наборов произвольным
образом устанавливать значения функций фь ..., cpg (в виде не-
некоторых цифр), а затем с помощью этих значений последовательно
строить формулы &v\ (£<ф) то в конце концов мы придем
к некоторой формуле б|,ф), получающейся подстановкой из неко-
некоторой тождественно истинной формулы исчисления высказываний.
(При этом цифра » зависит от выбора значений указанных
функций; характер этой зависимости можно проследить с помощью
вида дизъюнкции 2>.)
Неограниченную последовательность значений, определяемую
путем произвольного выбора, Брауэр называет свободно ста-
становящейся последовательностью. Рассмотренное нами
развертывающееся определение функций фх фг представляет
собой пример такой свободно становящейся последовательно-
последовательности.
Для полученного нами критерия выводимости имеет место
следующее его обращение:
Если для некоторой цифры р и для некоторых г-местных
арифметических функций фь ..., фг, определенных в области зна-
значений аргументов от 0 до V, формула (£[,ф) выводима средствами
исчисления высказываний и если функции <рь ,.., фв в указанной
$ 4] КРИТЕРИИ ОПРОВЕРЖИМОСТИ 817
области удовлетворяют условиям:
{2} фДшь ..., т^^ф^П! п,.), кроме случая, когда
t = f, m1 = n1 тс -= пе,
то можно построить вывод формулы £ в исчислении предикатов.
Действительно, средствами исчисления высказываний, так же
как и формула (£[ф>, выводима дизъюнкция (£рф>, которая полу-
получается из й[,ф> в результате замены каждой цифры 5, фигурирую-
фигурирующей в каком-либо из членов дизъюнкции (£|,ф> (на месте некото-
некоторой связанной переменной формулы (Е), соответствующей ей
нумерованной переменной а^. А теперь из этой дизъюнкции,
состоящей из членов
где
и являющейся формулой чистого исчисления предикатов, ввиду
наложенных на функции фь ..., ц>$ условий {1} и {2} можно —
аналогично тому, как это делалось в доказательстве второй
е-теоремых) по отношению к формуле C*), — с помощью правил (fi)
и (v) получить некоторую дизъюнкцию, каждый член которой
совпадает с (£ и которая, следовательно, может быть преобразо-
преобразована в £ средствами исчисления высказываний. Этот вывод фор-
формулы (£ из (£рф> вместе с выводом формулы (£|,ф> подстановкой из
некоторой тождественно истинной формулы исчисления высказы-
высказываний дает нам вывод формулы £ в исчислении предикатов.
Условия {1} и {2} могут быть удовлетворены различными
системами функций Ф1О11 пс), ..., ф^Ои пс) не только
в конечной, но и в бесконечной числовой области. Такого рода
система функций характеризуется тем, что значение каждой вхо-
входящей в нее функции всегда больше любого из значений аргумен-
аргументов, а также тем, что любое значение принимается не более чем
одной функцией и только для одной-единственной системы значе-
значений аргументов. Систему функций, обладающую этим свойством,
мы в дальнейшем будем называть разделяющей.
См. с. 172—175.
218 Е СИМВОЛ И ЛОГИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ [ГЛ. III
Один из способов, позволяющих получать такого рода системы
функций, заключается в следующем. Мы исходим из какой-либо
функции ф(пь ..., пс), сопоставляющей любому r-членному на-
набору цифр пь ..., пс некоторую цифру таким образом, что раз-
различным наборам сопоставляются различные цифры, а значение
функции всегда не меньше любого из значений своих аргументов.
Положив
<Pl(ni. ••-, nr) = $• q>(пь .... nc) + t (t=l, ..., $),
мы получим по такой функции ф некоторую систему функций,
которая является разделяющей.
Только что указанным свойством обладает, в частности, функ-
функция, сопоставляющая каждому r-членному набору цифр тот но-
номер j, который ему приписан в перечислении всех г-членных
наборов цифр
tC)i
0 = °' Ь ■••)
согласно используемому нами принципу упорядочения (т. е. при
упорядочении, производящемся по наибольшей цифре набора,
а затем лексикографически).
Таким образом, в силу нашей нумерации r-членных наборов
цифр, равенства
задают некоторую разделяющую систему функций.
Замечание. В качестве особенно простых в арифметическом
отношении разделяющих систем r-местных функций упомянем
следующие две:
1. Функция
Ф (пь .... п.) = tt! -
как нетрудно показать, представляет собой номер набора пь ...
..., пс в некотором перечислении всех r-членных наборов цифр,
причем этот номер всегда не меньше любой из цифр набора.
Следовательно, из функции ф(пь ..., пс) получается разделяющая
система функций
Ф,(«1. •••, пг) = б ф(пь .... nt.) + i (i=l, .... $),
$ 41 КРИТЕРИИ ОПРОВЕРЖИМОСТИ 219
2. Пусть f0, ръ ..., рг, ... — последовательность простых чи-
чисел. Тогда функции
как легко убедиться, образуют разделяющую систему функций.
А теперь, резюмируя сказанное, мы можем сформулировать
наш результат следующим образом:
Для того, чтобы формула (£ была выводима в исчислении пре-
предикатов, необходимо и достаточно, чтобы можно было указать
такую цифру р и такую разделяющую систему функций фь ..., cpg,
что дизъюнкция (EJ,4" выводима средствами исчисления высказыва-
высказываний1).
В том случае, когда формула (£ выводима, для произвольной
системы ф1, ..., % вычислимых функций всегда можно указать
такую цифру р. что дизъюнкция (?£ф) будет выводима средствами
исчисления высказываний. Разумеется, в этом случае и для вся-
всякой большей цифры q формула €1Ф) при тех же самых функциях
фь • • •. Щ будет выводима средствами исчисления высказываний.
И для любой системы функций фь ..., фг, заданной посредством
развертывающегося *) определения, тоже можно получить цифру р,
для которой формула ®£ф) будет выводима средствами исчисления
высказываний.
В этом виде наш результат еще не вполне удобен. Однако
небольшой трансформацией и переходом к содержательному истол-
истолкованию мы получим некоторую более прозрачную его редакцию.
Эта трансформация будет заключаться в том, что от вопроса
о выводимости формул рассматриваемого нами специального вида
*) Следующий пример показывает, что в этой формулировке нельзя отбро-
отбросить условие, требующее, чтобы система функций <рг, ..., <р$ была разделяю-
разделяющей; иными словами, существование какой-либо произвольной системы функций
фъ ..., q>g и какой-либо цифры р, для которых формула <S$ выводима сред-
средствами исчисления высказываний, еще не всегда указывает на выводимость
формулы @.
Пусть @ представляет собой формулу
■3xVyC\A(x, х) У А(х, у)).
Здесь сиг равны 1. Пусть ф означает функцию, тождественно равную 0.
Тогда @[,ф) представляет собой формулу
1 А @, 0) V А @, 0),
которая выводима средствами исчисления высказываний. Между тем формула в
невыводима, что, например, следует хотя бы из того, что она не является
2- тождественн ой.
•) См. с. 216. — Прим. перев.
220 е символ и логический формализм ггл пт
мы перейдем к вопросу об опровержимости формул двойственного
вида. Согласно ранее данному определению*) под опровержиш-
стью формулы исчисления предикатов мы будем понимать выво-
выводимость ее отрицания
Формула d исчисления предикатов, имеющая вид
A) ЭЕ1...Э£СУ1;,... V»6?<(Si, ..-,%),
где 5Ь ..., jt, i)!, ..., ^—полный список входящих в нее инди-
индивидных переменных, может быть преобразована в отрицание фор-
формулы
B) Vsl.. Vsc391..
где 33(Si, ...,%) — отрицание выражения 21 (£ь...,%) или резуль-
результат какого-либо преобразования этого отрицания. И обратно, если
мы будем исходить из какой-либо формулы g исчисления преди-
предикатов, имеющей вид
C) Vsl.. Vse3fc...3$e33(Sb .... %),
то ее опровержимость будет равносильна выводимости формулы
D) 35! ... 3seVfc ... 4% 1 23 El %).
Если Si,..., sr, t?i, ..., tyg — полный список входящих в формулу g
индивидных переменных и если хфО и 6=^0, то формула D)
удовлетворяет всем предположениям, сформулированным нами
относительно формулы <£ в проведенном выше рассмотрении.
Поэтому к формуле D) можно применить итог этого рассмотре-
рассмотрения. При этом вместо дизъюнкций (£рф) можно ввести соответ-
соответствующие конъюнкции, пользуясь тем, что дизъюнкция членов
вида
f .... ttc, fb ..., fg)
средствами исчисления высказываний может быть преобразована
в отрицание конъюнкции соответствующих членов
©(Ль ..., tic, fb ..., fg).
Пусть g — формула исчисления предикатов, имеющая вид
VSi ... Vst3^ ... 39,99E! %) (t, б ф 0)
и не содержащая индивидных переменных, отличных от £ь ..., %(у
t)lt ..., %. Пусть р —некоторая цифра, а ср — система вычисли-
вычислимых r-местных арифметических функций фь ..., щ. Под gp(p> мы
») См. т. I, с 168.
$ 4] КРИТЕРИИ ОПРОВЕРЖИМОСТИ 221
будем понимать конъюнкцию, состоящую из членов
£(пм nc,j. fM, .... h,\)
| = 0,..., (р + 1)с-1; f(i j = ер, (n,. j nr>() для 1 = 1, .... e)t
где набор it() j, ..., nc ; пробегает (j)+l)r различных г-членных
наборов, состоящих из цифр, не превосходящих р (эти наборы
упорядочены по наибольшей встречающейся в них цифре, а затем
лексикографически).
Тогда в применении к формуле g наш предыдущий результат
изобразится следующим образом.
Если формула % опровержима в исчислении предикатов, то
на основе ее опровержения можно для любой системы ф вычис-
вычислимых арифметических функций щ фй от г аргументов ука-
указать такую цифру }>, что конъюнкция 8(рф) будет опровержима
средствами исчисления высказываний, т. е. будет получаться под-
подстановкой из отрицания некоторой тождественно истинной фор-
формулы исчисления высказываний. Такая цифра и получится и
в том случае, если заданная система функций будет определяться
с помощью свободно становящейся последовательности1). С дру-
другой стороны, если для некоторой цифры р и некоторой разде-
разделяющей системы ф функций ц>г ц>9 формул а 3^<ф> будет опро-
опровержима средствами исчисления высказываний, то, пользуясь этой
опровержимостью, мы сможем получить опровержение g в исчис-
исчислении предикатов.
Теперь попытаемся разобраться в том, что означает опровер-
жимость формулы 8рф) средствами исчисления высказываний. Во-
первых, она выражает тот факт, что эта формула получается
подстановкой из отрицания некоторой тождественно истинной
формулы исчисления высказываний; и так как формула §{,ф) не
содержит связанных переменных, то это в свою очередь означает,
что при любом распределении истинностных значений между вхо-
входящими в §|,ф> элементарными формулами вся формула в целом
всегда будет принимать значение «ложь» (если связки исчисления
высказываний понимать как истинностные функции).
Далее, если мы учтем, что формула §|,ф) представляет собой
конъюнкцию, состоящую из членов
5В(пм, ..., nC)j, fM, ..., fM) (i-0, ..., (p+l)c-l),
где fjj при i=l,..., ё является значением выражения q>j(n1(j, ...
..., nC)j), и что ©(n^j, ..., ntfj, fi.j, ..., fg>j) не содержит ника-
1) См. с. 216.
222 е символ и логический формализм (гл ш
ких переменных, кроме формульных переменных формулы 8, и
никаких других термов, кроме цифр tti.j, ..., ncj, tu j, ..., tt^t
то получится, что опровержимость 8рф> средствами исчисления
высказываний равносильна тому, что если формульные перемен-
переменные формулы g заменить логическими функциями с тем же самым
числом аргументов, определенными для цифр, фигурирующих
в формуле 5рФ). а формульные переменные без аргументов — истин-
истинностными значениями1), то (при данных пробегах логических
функций и при интерпретировании связок исчисления высказы-
высказываний как истинностных функций) формула 5рф) будет всегда
принимать значение «ложь».
В противоположность этому, неопровержимость фор-
формулы gp4* средствами исчисления высказываний
заключается в том, что среди возможных замен формульных
переменных в % логическими функциями найдется по крайней
мере одна такая, в результате выполнения которой формула ^ф)
примет значения «истина» (так как в §|>ф> входит лишь конечное
число цифр, мы можем ограничиться рассмотрением лишь конеч-
конечного числа систем пробегов их значений). Другими словами,
неопровержимость формулы 8рф> средствами исчисления высказы-
высказываний означает, что можно выбрать такие логические функции
для замены формульных переменных в формуле %, что каждая
из формул
33(, ..., nc f f)
nc>i,
для i = 0, ....
где fjj представляет собой значение выражения ф((п!, j, ..., пс Л
примет значение «истина».
Возможность построения таких логических функций мы можем
кратко выразить, сказав, что при рассматриваемых арифметиче-
арифметических функциях <рь ..., щ формулы
nc>i, <pi(nlfi, ..., nc>i), .... q>g(n4, .... nc>i))
совместно выполнимы.
Выполнимость при этом понимается как выполнимость с помо-
помощью логических функций, которые подставляются вместо фор-
формульных переменных формулы % (каждая логическая функция
берется с тем же самым числом аргументов, что и соответствую-
соответствующая ей формульная переменная, а вместо формульных перемен-
х) Эти истинностные значения можно рассматривать как нульместные
логические функции.
5 4J КРИТЕРИИ ОПРОВЕРЖИМОСТИ 223
ных без аргументов подставляются просто истинностные значе-
значения); эти функции определены на конечной индивидной области
встречающихся у нас цифр (или, если угодно, на области цифр
от 0 до наибольшей из числа встречающихся). Ввиду того, что
область эта ограничена, высказывание о совместной выполнимо-
выполнимости упомянутых формул имеет финитный смысл.
В итоге для установленных нами критериев опровержимости
формул g исчисления предикатов, имеющих вид
где с, ё Ф 0, а £ь ..., £с, Vii • • •, % — полный список входящих
в эту формулу индивидных переменных, мы получаем следующие
более прозрачные формулировки, в которых также используется
ранее уже применявшаяся нумерация с-членных наборов цифр
ni.j. •••. «c.j 0 = 0. 1. •••):
1. Если формула % опровержима в исчислении предикатов, то
для всякой системы вычислимых t-местных арифметических функ-
функций фъ .... щ формулы
33(пч ntii, q>i(nltj пс>!), ...
не являются совместно выполнимыми, начиная с некоторой цифры р,
определяемой для данной системы функций на основе опроверже-
опровержения формулы %.
2. Если формула % опровержима в исчислении предикатов, то
для любой свободно становящейся последовательности $-членных
наборов цифр
f4 Гв>1 0 = 0, 1, ...)
формулы
S3(f f)
начиная с некоторой цифры р (получающейся в ходе построения
этой последовательности с помощью опровержения формулы §),
не являются совместно выполнимымих).
х) Можно было бы пытаться заменить этот критерий более простым, утверж-
утверждающим, что в случае опровержимости формулы 3, начиная с некоторой
цифры t>, будет невозможно указать такие e-членные наборы
для которых формулы
224 «символ и логический формализм [гл ш
3. Если для любой цифры р и для любой разделяющей системы*)
вычислимых арифметических функций q>lf ..., щ формулы
33(пч, .... nrjj, Фх(п,,!, .... nti), ....
1 = 0
не являются совместно выполнимыми, то из невыполнимости этого
списка формул следует опровержимость формулы % в исчисле-
исчислении предикатов.
Первое из этих трех утверждений является непосредственным
следствием второго. Действительно, упомянутые в нем г-местные
вычислимые функции <рь ..., фй можно использовать для порож-
порождения свободно становящейся последовательности, беря всякий
раз в качестве fi, j, ..., fe> j значения функций q>lf ..., q>g на
наборе пи j, ..., ntj j.
Критерии 1 и 2 дают необходимое условие опровержимости.
Критерий 3 дает достаточное условие. Так как это достаточное
условие слабее, чем упомянутые необходимые, то каждое из этих
условий является одновременно и необходимым и достаточным
условием опровержимости формулы 8 в исчислении предикатов.
Из критериев 1—3 можно извлечь следующие важные пра-
правила, касающиеся установления неопровержимости формул вида
с отличными от нуля г и б и g единственными индивидными
переменными £х, .... £t, ft. .... %:
I*. Для того чтобы установить неопровержимость формулы §
в исчислении предикатов, достаточно указать такую систему
вычислимых r-местных арифметических функций <рь ..., <рг, при
которой формулы
совместно выполнимы при произвольном выборе цифры р.
не являются совместно выполнимыми. В таком случае понятие свободно ста-
становящейся последовательности здесь было бы излишным.
Однако в действительности упомянутое более простое условие выполняется
вовсе не для каждой опровержимой формулы рассматриваемого вида Это
обнаруживается уже на примере формулы
которая, разумеется, опровержима, в то время как формулы
АA)&1А(Г>+\), /=0, .... р,
совместно выполнимы при любой цифре р.
I) См. с. 217. ^
§ 4] КРИТЕРИИ ОПРОВЕРЖИМОСТИ 225
2*. Для того чтобы установить неопровержимость формулы g
в исчислении предикатов, достаточно показать, что какая-либо
свободно становящаяся последовательность б-членных наборов цифр
fi.j h,i 0 = 0, 1, ...)
может быть неограниченно продолжена таким образом, что вся-
всякий раз, когда эта последовательность построена до места с номе-
номером j = (p+ l)r— 1, формулы
1 = 0
оказываются совместно выполнимыми.
3*. Если формула % неопровержима в исчислении предикатов,
то формулы
*(ПМ nr,i» 4>i(ni.i "с,0' •••' 4>«(nbj» •••» nci))
совместно выполнимы для любой разделяющей системы1) вычис-
вычислимых r-местных арифметических функций фъ ..., <рв и для
любой цифры р.
Такая формулировка этих критериев имеет определенные пре-
преимущества для использования их в вопросах непротиворечивости
формализованных систем аксиом первой ступени; эти вопросы,
как мы знаем, сводятся к вопросам о неопровержимости тех или
иных формул исчисления предикатов.
Однако следует отметить, что этот вариант формулировки дан-
данных критериев, — отвлекаясь от того, что он облечен не в форму
теорем, а всего лишь в форму правил для неформального вывода, —
при финитном рассмотрении не полностью воспроизводит содержа-
содержание критериев 1 — 3.
Мы кратко поясним эту мысль на примере критерия 1. Кри-
Критерий этот утверждает, что из существования какого-либо опро-
опровержения формулы 5 вытекает, что для всякой системы вычис-
вычислимых функций фь ..., <pg существует некоторая цифра р, обла-
обладающая некоюрым конкретным, непосредственно устанавливаемым
свойством О(р, <Pi <рА
Отсюда мы сделали заключение, что построение какой-либо
системы вычислимых арифметических функций cpi, ..., cpg, для
которой можно доказать, что всякая цифра р обладает свойством
~)Q.(p, фг фй), вместе с тем доказывает, что формула $
неопровержима. Это и составляет содержание критерия I*. Но
!) См. с. 217.
226 е СИМВОЛ И ЛОГИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ [ГЛ III
из него, если дано некоторое опровержение формулы $, можно
лишь заключить, что невозможно найти такую систему вычисли-
вычислимых функций фх, ..., <pg, для которой удастся доказать, что для
всех цифр р имеет место отношение ~lQ(p, <pi, ..., <pg); или,
другими словами, что какую бы систему вычислимых функций
Фь ..., фз мы ни взяли, нельзя будет доказать, что для всех
цифр р имеет место отношение ~lO(p, <plf ..., фг).
Но это еще не говорит о том, что для любой системы вычис-
вычислимых функций фх % можно найти какую-либо цифру р,
для которой имеет место отношение D(p, ф1( ..., уЛ
Аналогичным образом обстоит дело и с критериями 2 и 2*,
а также с критериями 3 и 3*.
Таким образом, с финитной точки зрения критерии опровер-
жимости 1—3 сильнее, чем критерии неопровержимости 1*—3*,
получающиеся из них путем неформального применения контра-
позиции.
Следует также заметить, что все эти критерии, относящиеся
непосредственно лишь к формулам рассмотренного нами специаль-
специального вида
где £lf ..., ес, tyi> • • •. 9g — полный список индивидных перемен-
переменных, а г и в отличны от нуля, могут быть также применены и
к исследованию опровержимости (соответственно неопровержимости)
произвольных формул исчисления предикатов. Действительно,
пусть (Е — какая-либо формула исчисления предикатов. Тогда для
формулы S можно построить некоторую дедуктивно равную ей
сколемовскую нормальную форму, причем эту форму можно выбрать
так, чтобы она не содержала свободных индивидных переменных.
Тогда отрицание этой формулы будет переводимо в некоторую
формулу g вида
Vsl.. Vst3fc... 3^53E! %),
где Elf ..., £с, i>i, ..., tyg —полный список входящих в нее инди-
индивидных переменных. Так как формула 1S дедуктивно равна фор-
формуле IS, то по опровержению 4 можно будет получить опро-
опровержение g, и наоборот; таким образом, исследование неопровер-
неопровержимости формулы S равносильно исследованию неопровержимо-
неопровержимости %. Если в кванторной приставке этой формулы имеются
только кванторы всеобщности или только кванторы существова-
существования, то вопрос о том, является эта формула опровержимой или
нет, можно разрешить элементарным образом1). Если же в кван-
См. уже цитировавшееся недавно место т. I, с. 239 — 243.
§ 4] КРИТЕРИИ ОПРОВЕРЖИМОСТИ 227
торной приставке имеются и кванторы всеобщности, и кванторы
существования, то можно воспользоваться только что сформули-
сформулированными критериями неопровержимости.
Но можно и прямо получить обобщения критериев 1 — 3 на
случай произвольных предваренных формул исчисления предика-
предикатов, а также на случай формул, являющихся конъюнкциями
предваренных. Первым шагом на пути к этому обобщению
является допущение в формуле % свободных индивидных пере-
переменных. Модификация этих критериев на случай, когда в фор-
формуле % содержатся свободные переменные, заключается в том,
что свободные переменные этой формулы надо будет заменить
отличными друг от друга цифрами и что, кроме того, в крите-
критерии 3 к условию, требующему, чтобы система функций (fi, ..., %
была разделяющей, надо будет добавить еще одно условие, тре-
требующее, чтобы значения этих функций были отличны от цифр,
подставленных вместо свободных переменных формулы g.
Обоснование этих модифицированных критериев вытекает из
того простого факта, что формула Q£lt получающаяся из какой-
либо формулы (£ исчисления предикатов при замене свободных
индивидных переменных какими-либо отличными друг от друга
цифрами, выводима средствами исчисления предикатов тогда и
только тогда, когда то же самое можно сказать относительно
самой формулы (£.
В остальном доказательство протекает совершенно так же,
как и раньше; только теперь в дизъюнкции*)
термы ti1', ..., tj.1' t[m\ ..., t(m) сами могут быть цифрами
или же могут содержать их, и, в соответствии с этим, переход
к дизъюнкции 1) должен быть видоизменен так, чтобы цифрой О
заменялись только те из термов ti1', ..., t*1', ..., t[m\ ..., №\
которые еще не являются цифрами и не совпадают ни с каким
из термов <p,(t(i\ .... t*p) (i=l, ..., б; j = l, .... m). Добавле-
Добавление упомянутого выше условия, налагаемого на систему функций
Фъ • • •» ф$> необходимо для того, чтобы сохранялась возможность
вывода формулы (Е из дизъюнкции S^'2).
1) См. с. 213.
2) См. с. 215—217.
228 е-СИМВОЛ И ЛОГИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ [ГЛ III
С точки зрения исследования опровержимое™ рассмотрение
формул со свободными переменными равносильно рассмотрению
формул, начинающихся кванторами существования.
Действительно, ведь опровержимость какой-либо формулы
исчисления предикатов
где аг й( — полный список входящих в нее свободных инди-
индивидных переменных, означает выводимость формулы
«г).
Но эта формула дедуктивно равна формуле
V?1... VEf-l®(Sx 5f),
получающейся из нее в результате замены свободных переменных
связанными. Тем самым опровержимость формулы 33(аг, ..., лЛ
равносильна опровержимости формулы
Таким образом, мы всегда можем избежать вхождений свободных
индивидных переменных в формулы, опровержимостью которых
мы будем интересоваться, если вместо формул со йвободными
переменными рассматривать формулы, начинающиеся кванторами
существования. И наоборот, для применения этих критериев мы
будем устранять кванторы существования, заменяя связанные
переменные свободными; эти свободные переменные надо будет
заменить затем цифрами. Обычно цифры берутся подряд, начи-
начиная с 0 или с 1.
А теперь мы укажем обобщение критериев 1—3 на случай
произвольных предваренных формул % без свободных индивидных
переменных. Для этого нет необходимости формулировать эти
критерии заново, так как вносимые при этом изменения будут
незначительными; они заключаются в следующем:
1. Сопоставление функциональных знаков (рх, ..., ср3 3-пере-
менным формулы g в критериях 1 и 3 мы теперь возьмем таким,
чтобы каждой 3-переменной 9i» которой предшествует хотя бы
одна V-переменная, снова соответствовал некоторый функциональ-
функциональный знак ф[, однако только в качестве аргументов мы будем
брать те цифры ttJti, ..., ttt «, которые стоят на местах каких-
либо V-переменных формулы 8, предшествующих переменной i\.
Аналогичным образом в критерии 2 при выборе цифр Ц^, кото-
которые в различных, подлежащих совместному выполнению выра-
§ 4) КРИТЕРИИ ОПРОВЕРЖИМОСТИ 229
жениях фигурируют вместо переменной ^ формулы g, необходимо
следить за тем, чтобы в том случае, когда два набора nt :,..., nr j
и iti. j*, ..., пС) j* совпадают относительно цифр, стоящих на местах
каких-либо V-переменных, предшествующих в формуле g перемен-
переменной % совпадали также и цифры fjj и f()j*.
2. Если формула % содержит такие 3-переменные, которым
не предшествует ни одна V-переменная, то в подлежащих совмест-
совместному выполнению выражениях следует подставлять вместо этих
переменных какие-либо отличные друг от друга цифры. В этом
случае на функции <р ..., фй должно быть наложено дополни-
дополнительное условие, требующее, чтсбы все значения этих функций
отличались от этих цифр, берущихся для замены 3-переменных
без предшествующих им V-переменных.
Замечание. В формулировке этих критериев можно избе-
избежать особого положения, занимаемого 3-переменными без пред-
предшествующих им V-переменных, разрешив иметь среди функцио-
функциональных знаков <р1, ..., фй знаки без аргументов, соответствующие
3-переменным без предшествующих им V-переменных. Их значе-
значения суть цифры, которые надлежит подставлять вместо соответ-
соответствующих им 3-переменных. В этом случае в критерии 3 не надо
будет налагать никаких дополнительных ограничений на фигури-
фигурирующую там разделяющую систему функций.
Указанных модификаций достаточно и для того случая, когда
формула g представляет собой конъюнкщю предваренных формул.
В этом случае надо только под «предшествованием» какой-либо
V-переменной соответствующей 3-переменной всякий раз пони-
понимать предшествование в том конъюнктивном члене, в который вхо-
входит эта 3-переменная. При этом связанные переменные, фигури-
фигурирующие в различных членах конъюнкции, следует рассматривать
как различные, даже в том случае, если они имеют одинаковые
обозначения.
Чтобы проиллюстрировать эти модификации наших критериев,
мы рассмотрим случай формулы g, имеющей вид
Vx3y3zVu3y2l (х, у, г, и, v) & ЗхЗуVz39 (*, у, г).
В этом случае наши критерии формулируются следующим обра-
образом. (Во всех приводимых ниже предложениях 1, 2 и 3 под
ni,j> iia.j, na, j следует понимать тройку цифр с номером j в нуме-
нумерации троек по величине наибольшей цифры, а при равных наи-
наибольших цифрах —в лексикографическом порядке.)
1. Если формула g опровержима, то для всякой пары цифр
к? fa и для всякой тройки вычислимых арифметических функций
44. Фг> Фз на основе опровержения формулы g можно найти такую
230 е символ и логический формализм [гл ш
цифру р, для которой формулы
, j, Ф1 (П,, j), <pa(ni,j), n2lj) Фз(П1,}, nM))&33(?i, 5а, «з.})
не являются совместно выполнимыми.
2. Если формула % опровержима, то на основе ее опровер-
опровержения для любой пары цифр ?х, к и для любой свободно стано-
становящейся последовательности троек цифр fj.j, f2ij, f3ij, связанных
с тройками tti.j, na,j, «з, j следующими условиями:
а) если Hi, j совпадает с пь j*, то f,,j совпадает с tu j* и fa, j
совпадает с f8, j*>
б) если Ttji совпадает с пь :* и щ : совпадает с па, ;*, то f3,:
совпадает с f3, j*;
можно построить такую цифру р, что формулы
не являются совместно выполнимыми.
3. Если для некоторой цифры р, некоторой пары цифр ?1( ?2
и некоторой тройки вычислимых арифметических функций фх, ф2
(от одного аргумента) и ф3 (от двух аргументов), образующих
разделяющую систему функций, значения которых всегда отличны
от цифр ?х и j2, формулы
, ф1(Пц), Ф»(П1,{)' "г.)' Фз(«1.}» ««.}))& 53 (Зь За, Щ.[)
не являются совместно выполнимыми, то может быть построено
опровержение формулы % в исчислении предикатов.
Доказательство того, что сформулированные обобщения кри-
критериев 1—3 имеют место, не требует никаких новых идей. Чита-
Читатель может без труда провести его сам, используя доказательство
для рассмотренного частного случая и наше доказательство тео-
теоремы Эрбрана1).
§ 5. Применение полученных критериев
к проблеме разрешимости
а) Общие сведения о выполнимости. Теоретико-модельная
сколемовская нормальная форма. Полученные нами критерии
опровержимости дают формулировку теоремы Эрбрана для чистого
исчисления предикатов, основанную на содержательном истолко-
истолковании формул этого исчисления.
i) См., в частности, с. 190—199.
§ 5] ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОБЛЕМЕ РАЗРЕШИМОСТИ 231
Эта формулировка особенно приспособлена для применений
теоремы Эрбрана к проблеме разрешимости.
Рассмотрение этих применений дает нам повод вернуться
к рассмотрению вопросов, связанных с выполнимостью и опро-
вержимостью логических формул. Этих вопросов мы уже касались
в гл. IV т. I, и нами было высказано обещание обсудить их
более подробно1).
Мы изложим здесь некоторые вопросы, связанные с теоретико-
множественной трактовкой проблемы разрешимости. При этом мы
сознательным образом откажемся от выполнения требований
финитной точки зрения.
Напомним, что мы понимаем под выполнимостью какой-
либо формулы 3 чистого исчисления предикатов в теоретико-мно-
теоретико-множественной логике предикатов2). Выполнимость формулы g озна-
означает, что можно выбрать такую индивидную область J и такие
замены свободных индивидных переменных формул g индивидами
из J, формульных переменных без аргументов истинностными
значениями и формульных переменных с аргументами логическими
функциями с тем же самым числом аргументов, пробегающих
область J, что при этих заменах формула § примет значение
«истина». При этом вычисление значения § производится с учетом
истинностных значений элементарных формул на основе понима-
понимания связок исчисления высказываний как истинностных функций
и следующего толкования кванторов: формула
при указанных заменах принимает значение «истина», если для
каждого индивида а из рассматриваемой индивидной области
формула 21 (а) имеет значение «истина», и значение «ложь» в про-
противном случае; а формула
при этих заменах принимает значение «истина», если по крайней
мере для одного индивида а рассматриваемой индивидной области
формула Ш (а) имеет значение «истина», и значение «ложь» в про-
противном случае.
Систему замен, которая в указанном смысле сообщает фор-
формуле 3 значение «истина», мы назовем моделью*) формулы §
с областью J, а логические функции, используемые з каче-
качестве замен, будем называть выполняющими логическими
функциями.
Тот факт, что выполнимая формула не может быть опровер-
опровержимой, с использованием теоретико-множественных рассуждений
J) См. т. I, с. 169.
г) См. т. I, с. 164 и далее.
*) Авторы употребляют термин «die Erfiillung».—Прии. перев.
232 е-символ и логический формализм ггл ш
немедленно вытекает из теоремы о том, что всякая выводимая
формула исчисления предикатов является общезначимойх), т. е.
из того, что она принимает значение «истина» при любой замене
свободных индивидных переменных элементами индивидной обла-
области J, формульных переменных без аргументов истинностными
значениями, а формульных переменных с аргументами логическими
функциями, аргументы которых пробегают J.
В качестве следствия этой теоремы получается, что любые две
переводимые друг в друга формулы либо обе выполнимы, либо
обе невыполнимы. Следовательно, проблема изучения выполни-
выполнимости произвольных формул исчисления предикатов сводится
к проблеме изучения выполнимости предваренных формул, по-
поскольку любая формула исчисления предикатов переводима
в некоторую предваренную формулу.
Заметим также, что при изучении выполнимости формул
исчисления предикатов формульные переменные без аргументов
могут быть исключены. Действительно, легко убедиться, что
формула ft исчисления предикатов, содержащая формульную
переменную 53 без аргументов, может быть преобразована в неко-
некоторую формулу вида
не содержащую никаких других формульных переменных без
аргументов, кроме тех, которые входят в ft, и такую, что ftx и
8г уже не содержат переменной 53. Эта формула выполнима или
невыполнима одновременно с формулой ft; но, с другой стороны,
она выполнима тогда и только тогда, когда выполнима формула
которая переменной 53 уже не содержит. Эту процедуру исклю-
исключения формульной переменной без аргументов можно применить
нужное число раз, и в результате у нас получится формула,
не содержащая формульных переменных без аргументов и выпол-
выполнимая или невыполнимая одновременно с формулой ft.
При изучении вопроса о выполнимости какой-либо формулы
свободные индивидные переменные тоже могут быть исключены,
так как формула ft со свободными индивидными переменными
в отношении выполнимости ведет себя в точности так же, как
любая из формул, получающихся из нее в результате замены
свободных переменных связанными переменными с проставлением
соответствующих кванторов существования в начале формулы.
Поэтому, изучая выполнимость, мы можем ограничиться рас-
рассмотрением таких предваренных формул, которые не содержат
См. т. I, с. 168.
§ 5] ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОБЛЕМЕ РАЗРЕШИМОСТИ 233
ни формульных переменных без аргументов, ни свободных инди-
индивидных переменных.
Дальнейшее сведение подобного рода заключается в построе-
построении такой нормальной формы из числа форм, найденных Сколе-
мом, которая представляет собой двойственный эквивалент нор-
нормальной формы, названной нами сколемовской. Эта тео-
теоретико-модельная1) сколемовская нормальная форма —как
мы ее будем называть в отличие от теоретико-доказатель-
ственной сколемовской нормальной формы2) — представляет
собой такую предваренную формулу, у которой все кванторы
всеобщности предшествуют всем кванторам существования.
Процедура построения такой нормальной формы для заданной
предваренной формулы и доказательство того, что в отношении
выполнимости эти две формулы одинаковы, аналогичны дедуктив-
дедуктивному переходу от предваренной формулы к дедуктивно равной
ей сколемовской нормальной форме и доказательству этого дедук-
дедуктивного равенства. В случае выполнимости это рассмотрение
оказывается еще более простым, поскольку мы можем пользо-
пользоваться рассуждениями, допустимыми с теоретико-множественной
точки зрения.
Мы проведем это рассмотрение на каком-либо типичном при-
примере. Для этого мы возьмем формулу g вида
VxSuiaWaVt/iVt/aVi/gSuVZiVZaSI^, ць ц2, уи y2j ySt v, zlt z2).
Для простоты будем считать, что в эту формулу не входят ни
свободные индивидные переменные, ни формульные переменные
без аргументов.
Пусть эта формула % выполнима в какой-либо индивидной
области /. Введем для выполняющих логических функций какие-
либо символы (например, занумерованные функциональные знаки
Фъ Ф2, ...). Пусть в результате замены в выражении
31 (х, иъ и,, уъ уг, уз, v, гъ гг)
формульных переменных символами соответствующих логических
функций получается выражение
%{Х, UU Ut, yu ylt уя, V, »!, 22).
Если мы обозначим через Ф(а, Ъ, с, k, I, m, п) логическую
функцию, которая для любой системы значений аргументов из J
имеет то же самое истинностное значение, что и формула
zjSl (а, Ь, с, k, I, т, п, zlt z2),
ое теоретнкомоде
') См. т. I, с. 203.
*) В тех случаях, когда мы не будем опасаться недоразумений, прилага-
прилагательное «теоретнко-модельныи» мы будем опускать.
') См т I с 203
234 е СИМВОЛ И ЛОГИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ [ГЛ Ш
а через V (a, Ь, с) — логическую функцию, которая для любой
системы значений аргументов из J имеет то же самое истинност-
истинностное значение, что и формула
z2'S (а, Ь, с, уи у2, у3, v, ги z2),
то следующие три формулы:
г/аУг/з^^УСФСх, ии ы2, ух, у2, у3, »)
-*■ VzjVzJi (х, ult и2, уи у2, уз, v, гъ z.2)),
, ии ы2)-*■ VyxV^Vi/sByCD (х, ыь ы2, «/ь «/г, Уз. у))
и
VxBuiBu^ (x, ult u2)
относительно индивидной области J будут иметь значение
«истина», и поэтому, если U и 23 суть формульные переменные,
не входящие в формулу 3, то формула
A) VxVuxVuaV^Vi/aVi/sVy (U (х, ии щ, уи у2, у3, у)->
VZiVz^x, ыь ы2> уъ у2, уз, v, гь г2)) & ^х^и^иг
B3 (х, ыь и2) -+■ VytVyiVysBvU (х, ии ы2> уъ у2, у3, v))&
УхЗигЗи2Ъ (х, иъ и2)
будет выполнима в области /.
С другой стороны, если эта формула выполнима, то — вслед-
вследствие истинности второго и третьего членов конъюнкции — для
любой системы выполняющих логических функций выражение
(х, ии и2, уъ уъ у3, v)
принимает значение «истина», а тогда вследствие истинности
первого члена конъюнкции и формула g принимает значение
«истина».
Таким образом, всякая модель формулы § дает нам некоторую
модель формулы A) с той же самой индивидной областью и
наоборот.
Но формулу A) легко можно преобразовать (и даже различными
способами) в какую-либо теоретико-модельную сколемовскую нор-
нормальную форму, например, в формулу
B)
{(U(x, ии и2, уи у2, у3, ь)-*-Ш(х, «ь и2, ylt уъ у3, v, 2Ь z2))&
№(x,Ui,u2)-*-\l(x, uu u2, ylt yit уз, ол))&9В(х, w2, w3)}.
Тем самым мы совершили искомый переход от формулы g
к некоторой равносильной ей по выполнимости сколемовской
нормальной форме.
5 5] ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОБЛЕМЕ РАЗРЕШИМОСТИ 235
Заметим, что в рассмотренном случае равносильность (относи-
(относительно выполнимости) произвольной формулы S исчисления пре-
предикатов некоторой сколемовской нормальной форме 9} мы уста-
установили в том сильном смысле, что по каждой модели формулы g
была построена соответствующая модель формулы 91 с той же
самой индивидной областью, и наоборот. Такую равносильность
двух формул мы будем кратко называть их модельным равен-
равенством1).
Наряду с этим обнаруживается следующее соотношение двой-
двойственности между теоретико-модельной и теоретико-доказатель-
теоретико-доказательственной сколемовскими нормальными формами: если мы возьмем
отрицание формулы B) и заменим введенные для получения этой
нормальной формы формульные переменные U и 23 их отрица-
отрицаниями—что будет означать переход к дедуктивно равной фор-
формуле, —то получится формула, которую можно будет преобразо-
преобразовать в теоретико-доказательственную сколемовскую нормальную
форму формулы "IS- Отсюда на основании ранее доказанной
теоремы о теоретико-доказательственной сколемовской нормаль-
нормальной форме, в частности, вытекает, что отрицание формулы B)
дедуктивно равно отрицанию формулы S- И, вообще, этим спо-
способом получается, что отрицание любой теоретико-модельной
сколемовской нормальной формы Ш какой-либо формулы S исчис-
исчисления предикатов дедуктивно равно отрицанию S- Поэтому любая
такая нормальная форма 9} формулы S не только модельно равна S,
но и равносильна ей в отношении опровержимости.
б) Теорема Лёвенгейма и теорема Гёделя о полноте. Теорети-
Теоретико-модельная сколемовская нормальная форма может быть, в част-
частности, использована— и в этих целях ею пользовался, в част-
частности, сам Сколем2)—для того, чтобы достаточно простым спосо-
способом доказать теорему о том, что всякая выполнимая формула
выполнима также и в области натуральных чисел. Ввиду того,
что каждая формула исчисления предикатов модельно равна
некоторой сколемовской нормальной форме, эту теорему, которая,
как уже упоминалось ранее, была найдена и впервые доказана
Лёвенгеймом3), достаточно доказать только для этих нормальных
форм. Кроме того, согласно сделанным ранее замечаниям, при
этом можно ограничиться рассмотрением только таких формул,
которые не содержат ни формульных переменных без аргументов,
ни свободных индивидных переменных. Можно также считать,
*) В терминологии Генриха Шольца две формулы, находящиеся в этом
отношении, называются связанными по выполнимости.
2) Skolem Th. Logisch-kombinatorische Untersuchungen fiber die Erfflll-
barkeit oder Beweisbarkeit mathematischer atze nebst einem Theorem iiber
dichte Mengen, —Vid.-Selsk. Skr. Kristiania, I Mat.-Nat. Kl., 1920, № 4.
3) Lowenheim L. Ober Moglichkeiten im Relativkalkul. —Math. Ann.,
1915, 76.
236 е СИМВОЛ И ЛОГИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ ГГЛ III
что в кванторной приставке всегда имеется по крайней мере один
квантор всеобщности и один квантор существования. Действи-
Действительно, для предваренной формулы исчисления предикатов, не
содержащей либо кванторов всеобщности, либо кванторов суще-
существования, справедливость этого утверждения немедленно вытекает
из того, что модель любой такой формулы, если она возможна
вообще, может быть построена и в конечной индивидной областиг).
Итак, рассмотрим формулу g вида
St, 9i %),
где £ъ .... £с, 9i> ••-, tyg —полный список входящих в нее инди-
индивидных переменных (гиб отличны от нуля). Будем считать, что
в g нет формульных переменных без аргументов. Пусть эта
формула выполнима в какой-либо индивидной области J. Тре-
Требуется показать, что тогда она выполнима и в области натураль-
натуральных чисел.
По предположению, для формулы g существует система вы-
выполняющих ее логических функций, аргументы которых прини-
принимают значения в области J. Пусть 58 (£i, ..., tyA обозначает
выражение, которое получается из 58 (£i %) в результате
замены формульных переменных сопоставленными им выполняю-
выполняющими логическими функциями. Тогда формула
V£1...V£r3t>1...3t>g$(£1, .... St, 9i> ..-, %)
будет истинной в области J.
Поэтому на основании принципа выбора существуют такие
математические функции %lt ..., х« от г аргументов, пробегающих
область J, что формула
истинна в этой области. Таким сбразом, если аь ..., а,. — какие-
либо символы или выражения, обозначающие элементы области J,
то формула
является истинной.
А теперь выделим в области J какой-либо элемент и возьмем
в качестве обозначения для него символ а. Затем устроим пере-
перечисление всех термов, построенных из символов a, %lt ..., %g,
устанавливая порядок этих термов в первую очередь по их
х) См. рассуждения, проведенные в т. I на с. 239 — 243. Эти рассуждения
без труда могут быть переложены с языка теории доказательств на язык
теории моделей.
§ 5] ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОБЛЕМЕ РАЗРЕШИМОСТИ 237
кратности относительно символов Xi. •••» Хз> т- е. по числу
входящих в данный терм функциональных знаков, считаемых
с учетом их кратности, а при одинаковой кратности —лексико-
—лексикографически.
В этом перечислении каждому числу п однозначно (и даже
взаимно однозначно) соответствует некоторый построенный из
символов а, %!,..., Хв терм, имеющий п в качестве номера. По
смыслу указанных символов этот терм изображает некоторый
элемент области J. Поэтому, сопоставив числу п значение того
построенного из символов а, Хь •••» Х« терма, который в нашем
перечислении имеет номер п, мы получим некоторую функцию
I (п) от натурального аргумента со значениями из области /.
Пусть i —какое-либо из чисел 1, ..., ё. Каковы бы ни были
числа «1, ..., nt, значение выражения Xi(£(«i)> •••» £(гас))> являю-
являющееся элементом области /, тоже изображается выражением,
построенным из символов a, Xi, •. •. Х«- Номер этого выражения
в его зависимости от чисел п1у ..., nt и индекса i мы обозначим
через г|з, (гаь ..., пс). Тогда функции
Ь{п1 «г) %{ni> • •. «с)
будут арифметическими, и значение £(г|з((nlt ..., гас)) при i =*
= 1, ..., б всегда будет совпадать со значением
Xi(H«l) ЦП,)).
А теперь мы сопоставим каждой входящей в выражение
S (Sii • • •. %) логической функции ф(а1у ..., ар) с аргументами,
пробегающими область /, соответствующую ей логическую функ-
функцию Ф(i («i), •••, Ъ(пр)) с натуральными аргументами п1у ..., гар.
Обозначим через 33*(jcly .... t)e) выражение, получающееся из
33 (Si, ..., %) в результате замены входящих в него символов
логических функций, заданных в области /, символами сопостав-
сопоставленных им логических функций с натуральными аргументами.
Тогда с учетом произведенного сопоставления и с учетом равен-
равенства значений выражений Xi(£(«i). •••> l(nt)) и l(tyi(ni> ■■■> nt))
значение выражения
33*(«1, .... nt, th(ftb ..., nt), .... %(п1г ..., я,.))
при произвольных числах гаь ..., nt будет равно значению
выражения
238 е-символ и логический формализм [гл ш
т. е. значению «истина». Таким образом, формула
V^.-.V^*^! 5,, 1^E! st) ifofc sr)),
а потому и формула
истинна в области натуральных чисел, и, значит, формула 5
выполнима в области натуральных чисел.
В силу доказанной таким образом теоремы Лёвенгейма общее
понятие выполнимости формул исчисления предикатов может быть
заменено в математическом отношении весьма удобным понятием
выполнимости в области натуральных чисел.
Одно еще более серьезное упрощение теоретико-множественной
проблемы разрешимости получается из гёделевской теоремы о пол-
полноте1), которая утверждает, что всякая неопровержимая формула
является выполнимой.
В доказательстве этой теоремы опять можно ограничиться
рассмотрением формул вида
C) Vs1...Vst3Vi...3veS(Si, .... Sr. fc %),
где £ь ..., 5t., tyi, ..., i;g — полный список входящих в нее инди-
индивидных переменных. Действительно, если @ — какая-нибудь фор-
формула исчисления предикатов, а 91 — теоретико-модельная сколе-
мовская нормальная форма этой формулы, то, во-первых, 9J
является формулой указанного частного вида, а во-вторых,
в отношении опровержимости формулы 5J и К равносильны.
Следовательно, если формула & неопровержима, то неопровержима
и формула 9t. С другой стороны, если W выполнима, то выпол-
выполнима и d. Поэтому, если мы сможем из неопровержимости 9i
заключить о ее выполнимости, то то же самое будет верно и
относительно (£.
l) Go del К. Die Vollstandigkeit der Axiome des logischen Funktionenkal-
kiils.—Monatsh. Math. Phys., 37, № 2.
В этой работе Гёдель показал также, что теорема о полноте верна и
в некоторой усиленной форме — а именно, что всякая счетная последователь-
последовательность формул, из которой нельзя вывести противоречия, выполнима. Гёдель
получил это усиление, показав, что если выполнима любая конечная под-
подпоследовательность какой-либо счетной последовательности формул, то выпол-
выполнима и сама эта последовательность. Одно очень прозрачное доказательство
этой усиленной теоремы о полноте дано Л. Генкиным в его работе: Henkin L.
The Completeness oi the First Order Functional Calculus. — J. Symbolic Logic,
1949, 14, p. 159 — 166. Затем это доказательство было упрощено Г. Хазенъ-
егером в его работе- Hasen jaeger G. Eine Bemerkung zu Henkins Beweis
fur die Vollstandigkeit des Pradikatenkalkiils erster Stufe. — J. Symbolic Logic,
1953, 18, p. 42 — 48. С тех пор с помошью различных методов были получены
и другие доказательства теоремы о полноте.
§ 5] ПРИМРНЕНИЕ К ПРОБЛЕМЕ РАЗРЕШИМОСТИ 239
Далее, можно снова считать, что рассматриваемая нами фор-
формула C) содержит по крайней мере один квантор всеобщности
и по крайней мере один квантор существования. Для обоснова-
обоснования этого утверждения нам не нужны рассуждения, с помощью
которых мы ранее разобрали случаи 6 = 0 и соответственно г = 0.
Просто мы можем воспользоваться тем обстоятельством, что
любая формула
Vsl.-Vs^G?! st)
переводима в формулу
VEl... VEl3; B3 (El Et) & (A ft) V ~1A {$))),
а формула
3tv--3^(91, .... %)
переводима в формулу
Ve3Vi • • • 3% ((A (e) V 1 A (£)) & 23 (fc %))
и что указанные преобразования не меняют выполнимости рас-
рассматриваемых формул.
Итак, пусть % — неопровержимая формула вида C), где г и б
отличны от нуля, a £i, ..., £,., t?i, ..., % суть все входящие
в эту формулу индивидные переменные. Применим к этой формуле
критерий неопровержимости 3*х), взяв в качестве qu .... фй
систему функций, которая на основе нашей нумерации г-членных
наборов цифр2) определяется равенствами
Как было отмечено2), эти функции образуют разделяющую сис-
систему функций.
Упомянутый критерий позволяет утверждать, что для любой
цифры р формулы
33(nM nc<i, M+1, .... *•! + «)
1 = 0 (р+1I-1
являются совместно выполнимыми.
Это утверждение можно обосновать еще и следующим образом.
Если бы для какой-нибудь цифры р указанные формулы не были
совместно выполнимыми, то для этой цифры р при любом рас-
*) См. с. 225. Для читателя, желающего избежать ссылки на упомянутый
критерий, вскоре будет дано более прямое рассуждение.
») См. с. 218.
240 е символ и логический формализм [гл m
пределении истинностных значений между входящими в упомя-
упомянутые формулы элементарными формулами по меньшей мере одна
из этих формул получила бы значение «ложь», и, значит, дизъ-
дизъюнкция, составленная из отрицаний этих формул, была бы истин-
истинной в логике высказываний, т. е. получалась бы подстановкой
из некоторой тождественно истинной формулы исчисления выска-
высказываний. Но из этой дизъюнкции, применяя производные правила
(ц) и (v) исчисления предикатов1), с помощью того же самого
приема, который использовался для доказательства второй е-тео-
ремы, можно было бы получить формулу
Тогда было бы выводимо отрицание формулы %, что противоречит
нашему предположению.
Полученному результату можно придать следующий вид:
Если обозначить для краткости формулу
через 33|, то для любого числа F конъюнкция
будет выполнимой. Эту конъюнкцию, определенную формулой %
и числом f, мы обозначим через ${.
Каждая из формул $o,3i. $2, ... является подконъюнкцией
всех формул gj, следующих за ней. Мы покажем, что пользуясь
моделями формул %0, %lt ga, ..., можно построить некоторую об-
общую модель для всех этих формул, а тем самым и модель фор-
формулы g.
С этой целью мы рассмотрим структуру формул 59j (j = 0, 1,...).
Эти формулы составлены из элементарных формул с помощью
связок исчисления высказываний. Пусть фх фг —элементар-
—элементарные формулы, входящие в формулу 33О и расположенные в по-
порядке их первого появления; пусть фс , ,, ..., ФС1 — элементарные
формулы, входящие в 93lf но не входящие в 23О и расположен-
расположенные в порядке их первого появления; ... И вообще, пусть
Фг + к • • ■ > Фг + i —элементарные формулы, впервые появляющиеся
в 33; + 1 и расположенные в порядке их первого появления.
Тогда каждой модели какой-либо конъюнкции gt будет соответ-
соответствовать некоторое приписывание истинностных значений элемен-
элементарным формулам
$ь Ф %■
1) См. с. 173.
I 5] ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОБЛЕМЕ РАЗРЕШИМОСТИ 241
Имеется 2Ц различных возможных распределений истинностных
значений для этих элементарных формул, и мы можем изобра-
изобразить эти распределения числами, беря для изображения значений
«истина» и «ложь» цифры 0 и 1 соответственно и представляя
полный список щ mCf истинностных значений, сопоставлен-
сопоставленных элементарным формулам фь ..., tyCf, числом
2Cf~' •m1+2r'~'-mi + ... + 2- mC(_, + mt(,
которое в двоичной системе счисления задается написанными друг
за другом цифрами ть ..., тс,. Таким образом, 2е' различным
распределениям истинностных значений между элементарными
формулами фь ..., ф,.( в определенном порядке будут приписаны
числа от 0 до 2е' — 1. Если [ > f, то всякое распределение истин-
истинностных значений между элементарными формулами фь ..., ф^
содержит в себе распределение истинностных значений между
формулами фь ..., ф,.{. Из одного и того же распределения
истинностных значений для фь ..., фс, могут получиться раз-
различные распределения для фх фсг Но вследствие принятого
нами способа изображения распределений истинностных значений
числами можно утверждать, что если б и t — числа, изображаю-
изображающие два распределения истинностных значений для формул фь ...
..., ф„, а й* и t* — числа, изображающие содержащиеся в этих
распределениях распределения для формул фь ..., ф,.(, то если
6*<t*, то и e<t.
Распределение истинностных значений для элементарных фор-
формул фь ..., ф,.., при котором формула gf принимает значение
«истина», мы будем называть выполняющим распределе-
распределением ДЛЯ %f.
Для каждого числа f имеется по крайней мере одно выпол-
выполняющее распределение для §г. а с другой стороны, их имеется
только конечное число (не больше 2Cf). Если f<I, то всякое вы-
выполняющее распределение для %i содержит в себе некоторое вы*
полняющее распределение для %(, так как %t является подконъ-
юнкцией конъюнкции %f, это выполняющее распределение для gt
мы для краткости будем называть f-компонентой этого рас-
распределения для gt. Если какое-либо выполняющее распределение
для gt является f-компонентой некоторого выполняющего распре-
242 e СИМВОЛ И ЛОГИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ 1ГЛ III
деления для $q и если число I заключено между f и q, то это
распределение будет также и f-компонентой того выполняющего
распределения для §{, которое представляет собой [-компоненту
упомянутого выше выполняющего распределения для gq. Поэтому
среди выполняющих распределений для gf должно иметься по
крайней мере одно такое, что для каждого числа [, большего f,
оно является f-компонентой некоторого выполняющего распреде-
распределения для gj. При этом среди тех выполняющих распределений
для gf, которые обладают указанным свойством, однозначным
образом выделяется то, которое изображается наименьшим числом.
Таким образом для каждого числа f определяется некоторое
выделенное распределение истинностных значений между эле-
элементарными формулами *Рх %f как первое (по числовому
представлению) из таких выполняющих распределений для gf?
которые для всякого числа [, большего f, представляют собой
f-компоненту некоторого выполняющего распределения для gj.
Из этого определения выделенного для числа f распределения
истинностных значений вытекает, что для любых двух чисел f
и I, если f < I, то выделенное для f распределение является f-ком-
f-компонентой выделенного для I распределения. Действительно, если
nt и щ — числа, изображающие выделенные для чисел f и I рас-
распределения, и если т — число, изображающее f-компоненту распре-
распределения, изображенного числом щ, то, во-первых, на основании
определения щ число т не может быть меньше щ. С другой сто-
стороны, если бы т было больше nf, то по определению щ должно
было бы существовать такое выполняющее распределение для gft
которое содержит распределение, изображенное числом щ, в ка-
качестве f-компоненты и которое для любого числа q, большего I,
представляет собой (-компоненту некоторого выполняющего рас-
распределения для gq. Далее, так как п{<т, то число, изображаю-
изображающее это распределение, в силу ранее упомянутого свойства на-
нашего изображения распределений истинностных значений числами,
должно было бы быть меньше nj. Таким образом, т должно сов-
совпадать с щ, и, значит, распределение, изображенное числом nf?
является f-компонентой распределения, изображенного числом щщ
Итак, получается, что все соответствующие различным числам
выделенные распределения объединяются в единое, однозначно
определенное распределение истинностных значений между эле-
элементарными формулами tyi, *р2, ...
А теперь это распределение истинностных значений мы можем
без труда дополнить до некоторой модели формулы %. Действи-
Действительно, элементарные формулы фг, фг, ... образуются из фор-
§ 5] nPHMFHEHHE К ПРОБЛЕМЕ РАЗРЕШИМОСТИ 243
мульных переменных с цифрами в качестве аргументов и, быть
может, еще из формульных переменных без аргументов, причем
все входящие в % формульные переменные, вообще говоря, встре-
встречаются здесь не со всеми возможными наборами значений аргу-
аргументов, но со всеми теми наборами, которые встречаются в какой-
либо из формул 5f- Итак, этим распределением истинностных
значений между элементарными формулами *J3b ^2. • • •, во-пер-
во-первых, устанавливаются истинностные значения для всех входящих
в 8 элементарных формул без аргументов и, во-вторых, опреде-
определяются подставляемые на место формульных переменных с аргу-
аргументами логические функции как функции, заданные в области
натуральных чисел для тех набарэв значений аргументов, кото-
которые фигурируют в формулах 5f- Для прочих наборов значений
аргументов истинностные значения этих функций можно опреде-
определить произвольно, взяв, например, всюду значение «истина». Так
мы получим некоторую совместную модель формул
в виде логических функций, определенных в области натураль-
натуральных чисел, а также некоторых истинностных значений, играющих
роль замен для формульных переменных без аргументов. Но так
как теперь среди наборов nlf j, ..., пг> j (j = О, 1,...) встречаются
все возможные r-членные наборы цифр, то мы получаем модель
формулы
в области натуральных чисел.
Это доказательство гёделевской теоремы о полноте заодно дает
нам и новое доказательство теоремы Лёвенгейма о том, что вся-
всякая выполнимая формула выполнима в области натуральных
чисел. Действительно, из неопровержимости формулы % мы сде-
сделали вывод не только о ее выполнимости вообще, но и о выпол-
выполнимости в области натуральных чисел; с другой стороны, из вы-
выполнимости формулы, как мы знаем, вытекает ее неопровержи-
неопровержимость.
Замечание 1. В этом втором доказательстве теоремы Лёвен-
Лёвенгейма х) применение принципа выбора, которым начинается первое
!) Упоминание об исчислении предикатов из этого доказательства можно
устранить, так что у нас получится чисто теоретико-модельное доказатель-
доказательство. Доказательство такого рода, основанное на соображении о том, что из
выполнимости формулы 5 вида C) следует выполнимость каждой из формул
S?f, было дано Сколемом в его работе: Skol em Th. Ober einige Grundlagen-
fragen der Mathematik. — Skr. norske Vid.-Akad., Oslo, I Mat.-Nat. Kb, 1929,
№ 4. См. упоминание об этом в т. I на с. 168 (сноска 3).
244 t символ и логический формализм [гл ш
доказательство1), оказывается излишним. С другой стороны,
в новом доказательстве требуется применять (при построении вы-
выделенного для числа f распределения истинностных значений)
принцип «tertium non datur» для целых чисел2). Поэтому и новое
доказательство, несмотря на то, что принцип выбора в нем не
применяется, тоже не является вполне финитным.
Замечание 2. В рассуждении, с помощью которого мы из
выполнимости конъюнкций fto> 5?ь 82, -■ • сделали вывод о сов-
совместной выполнимости формул ©о, Si, ©2. • • • 1 а тем самым и
о выполнимости формулы %, никак не используется вид элемен-
элементарных формул ^!, ф2, • • •. входящих в формулы 33О, Si, ©2.
В нем идет речь лишь о присвоении этим элементарным форму-
формулам тех или иных истинностных значений. Поэтому в этом рас-
рассуждении указанные элементарные формулы можно заменить пе-
переменными для высказываний и тогда получится следующий,
относящийся чисто к логике высказываний результат:
Если формулы (Уь (?2, 6з. • ■ • построены из переменных для
высказываний Аъ Аъ А3, ... с помощью связок логики выска-
высказываний и если для любого f формулы 6Ь ..., St совместно вы-
выполнимы, то совместно выполнимы и все эти формулы Q>i, (§2,
6», ...
Этому утверждению равносильно следующее:
Если выполнимо 'каждое конечное подмножество данной по-
последовательности формул, то и все формулы этой последователь-
последовательности тоже являются совместно выполнимыми.
Проведенное рассуждение может быть применено и к крите-
критериям опровержимости, которые мы сформулировали3) в общем виде
для случая формулы % вида
V*3t/3zVu3u91 (х, у, 2, и, v) & ЭлгЭг/VzS (х, у, г).
Если мы, отказавшись от финитного характера наших рассу-
рассуждений, применим здесь контрапозицию и воспользуемся только
что упомянутым рассмотрением, относящимся к исчислению вы-
высказываний, то у нас получится следующий результат: если фор-
формула g неопровержима, то для произвольных цифр fa и ;а и для
любой тройки вычислимых арифметических функций фь ср2 и ср3
(ф1 и ф2 — одноместные, ф3 — двуместная), образующих разделяю-
разделяющую систему функций, формула
VxVu91(jc, ф!(л:), ф2(л:), ы, <?3(х, и)) & Vz93 (h, ja, г)
выполнима; с другой стороны, если эта формула выполнима для
!) См. с. 236.
') См. т. I, с. 62
«) См. с. 229—230, критерии 1 и 3.
§ 5) ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОБЛЕМЕ РАЗРЕШИМОСТИ 245
произвольных цифр it и j2 и для любой тройки вычислимых функ-
функций фь ф2 и фз указанного типа, то формула % неопровержима.
Кроме того, в силу теоремы о полноте в обоих этих утвер-
утверждениях можно вместо неопровержимости формул говорить о их
выполнимости.
Разумеется, во всех этих рассуждениях границы финитных
рассмотрений оказались нарушенными.
в) Учет требований финитной точки зрения. Гёделевская тео-
теорема о полноте значительно упрощает постановку задач, связан-
связанных с проблемой разрешимости, потому что на первый взгляд
не связанные друг с другом вопросы выводимости (соответственно
опровержимости) и выполнимости формул исчисления предикатов
оказываются тесно связанными в том смысле, что установление
выполнимости какой-либо формулы равносильно установлению ее
неопровержимости, т. е. невыводимости ее отрицания, а установ-
установление общезначимости формулы — установлению ее выводимости.
К этому добавляется еще и равносильность выполнимости вообще
выполнимости в области натуральных чисел.
Эти прозрачные по своему характеру результаты относятся
к понятиям теоретико-множественной логики предикатов, и мы
не можем перенести их в сферу финитного обсуждения проблемы
разрешимости уже по той простой причине, что понятие выпол-
выполнимости в том виде, как оно было нами определено, непригодно
для рассмотрения с финитной точки зрения.
В самом деле, истинностное значение логической функции для
заданной системы значений аргументов, вообще говоря, не яв-
является чем-то финитно заданным, так как в определении этой
логической функции могут, например, участвовать кванторы все-
всеобщности и существования. Что же касается этих кванторов, то
хотя их и можно, как известно1), интерпретировать финитно, но
при этой интерпретации отсутствует альтернатива между истин-
истинностью и ложностью всеобщих и экзистенциальных высказыва-
высказываний. Кроме того, термин «модель» в финитном смысле слова мо-
может относиться только к какому-либо наглядным образом задан-
заданному виду объектов, а не к произвольной чисто гипотетической
индивидной области.
И все же существует возможность усилить понятие выполни-
выполнимости до финитного понятия эффективной выполнимо-
выполнимости. Для этого необходимо: 1) выполнимость с самого начала
определять как выполнимость в области цифр, 2) от определений
логических функций требовать, чтобы они давали способ факти-
фактического вычисления истинностных значений этих функций при
заданных значениях аргументов и 3) применять финитную интер-
интерпретацию кванторов.
См. т. I, с. 59.
246 е-символ и логический формализм [гл ш
Таким образом мы получим определение эффективной выпол-
выполнимости по меньшей мере для всех тех формул исчисления пре-
предикатов, у которых кванторы не встречаются ни под знаком отри-
отрицания, ни в посылке какой-либо импликации и ни в одном из
членов какой-либо эквивалентности; этим условиям удовлетворяют,
в частности, предваренные формулы и их конъюнкции. Формулу
указанного вида мы будем называть эффективно выполни-
выполнимой в области цифр, если вместо ее свободных индивидных
переменных можно подставить такие цифры, вместо формульных
переменных без аргументов — такие истинностные значения,
а вместо формульных переменных с аргументами — такие вычис-
вычислимым образом определенные логические функции, что эта фор-
формула примет значение «истина» (при вычислении этого значения,
естественно, используются истинностные значения элементарных
формул, истолкование связок исчисления высказываний как истин-
истинностных функций и такое понимание кванторов, при котором
формула Vj2(E) принимает значение «истина» в том случае, если
имеется эффективный способ, позволяющий доказать, что для
каждой конкретно предъявленной цифры ? формула 81E) прини-
принимает значение «истина», а формула 3j2l (j) принимает значение
«истина» тогда, когда имеется эффективный способ, позволяющий
указать некоторую цифру }, для которой 21 (?) принимает значе-
значение «истина»).
Конечно, это понятие эффективной выполнимости ни в коей
мере не является удовлетворительным эквивалентом обычного
понятия выполнимости, так как для формул тех типов, к кото-
которым применимо понятие эффективной выполнимости, мы не в со-
состоянии доказать, что их эффективная выполнимость совпадает
с неопровержимостью. Правда, с помощью нашего критерия 2*
удается показать *), что каждая эффективно выполнимая формула
неопровержима.
Поясним сказанное на примере формулы вида
VsL.-Vs^k.-.a^feb ..., Sr, fc. ■••- %, &i aq),
где Ji, ..., £r, Vi. •••> V« — полный список связанных, а аъ ...
.... ач — полный список свободных индивидных переменных этой
формулы. Для простоты мы будем считать, что она не содержит
формульных переменных без аргументов. Для формулы такого
рода эффективная выполнимость означает, что переменные аъ ...
..., ач могут быть заменены такими цифрами ти .... mq, а фор-
формульные переменные — такими определенными на цифрах вычис-
вычислимыми логическими функциями, что для каждого г-членного
См. с. 225.
§ 5] ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОБЛЕМЕ РАЗРЕШИМОСТИ 247
набора цифр пь ..., пс можно указать такой ё-членный набор
fx fit что формула
©(ttx, .... nc, fx fit mb .... mq)
с учетом истинностных значений элементарных формул и пони-
понимания связок исчисления высказываний как истинностных функ-
функций принимает значение «истина». Но с помощью такой системы
логических функций, продвигаясь сколь угодно далеко в после-
последовательности занумерованных с-членных набороз цифр
it, j, .... ncj (j = 0, 1, ...),
можно для каждого из них указать такой набор
Ч, j h, j>
что формулы
до любого, сколь угодно далекого места будут совместно выпол-
выполнимыми (в элементарном смысле этого слова, который имеется
в виду в наших критериях опровержимости и неопровержимости).
Поэтому, согласно критерию 2*, рассматриваемая формула
неопровержима. И вообще, отсюда получается, что любая эффек-
эффективно выполнимая предваренная формула, а также любая эффек-
эффективно выполнимая конъюнкция предваренных формул являются
неопровержимыми.
Но мы, однако, не в состоянии доказать, что всякая неопро-
неопровержимая предваренная формула эффективно выполнима. Дело
здесь не только в том, что к такому доказательству, т. е. к фи-
финитному усилению гёделевского доказательства полноты, у нас
нет никакого подхода, но и в том, что, вообще говоря, в случае
произвольной неопровержимой предваренной формулы может не
быть никакой модели с вычислимыми логическими функциями.
Но мы можем найти другой финитный вариант для имеющей
с теоретико-множественной точки зрения место равносильности
неопровержимости и выполнимости; в самом деле, подобного рода
равносильность обнаруживается в наших критериях опровержи-
опровержимости и неопровержимости.
Гёделевская теорема о полноте получается применением кри-
критерия З*1). В этом критерии формулируется, так сказать, финит-
финитная часть теоремы Гёделя. С другой стороны, теорему о том, что
всякая эффективно выполнимая формула является неопровержи-
неопровержимой (она, как мы только установили, является следствием кри-
критерия 2*), можно рассматривать как финитную часть теоремы
1) См. с. 225.
248 е символ и логический формализм ггл m
о неопровержимости любой выполнимой формулы, которая пред-
представляет собой обращение гегелевской теоремы о полноте.
Поэтому представляется правдоподобным, что многие рассуж-
рассуждения, относящиеся к теории выполнимости, результаты которых
ввиду совпадения выполнимости и неопровержимости могут быть
сформулированы и в виде теорем о неопровержимости, т. е. в виде
теорем теории доказательств (что, конечно, еще не доказывает
этих теорем с финитной точки зрения), с помощью наших крите-
критериев опровержимости и неопровержимости могут быть непосред-
непосредственно переведены в те или иные финитные рассмотрения теории
дока°ательств.
г) Один пример. С помощью доказанной им основной теоремы
Эрбран выполнил такого рода перевод для всех имевшихся в его
время теоретико-модельных доказательств1). С тех пор в теории
выполнимости было получено много новых замечательных резуль-
результатов2). Мы не будем здесь заниматься переводом всех этих
исследований на язык финитной теории доказательств, хотя такой
перевод и мог бы быть осуществлен во всех этих случаях. Мы
ограничимся изложением методики этого перевода на примере
одной теоремы, недавно доказанной Й. Пепишем3). Теорема эта
утверждает, что для любой формулы % исчисления предикатов
можно указать равнозначную ей по выполнимости формулу, имею-
имеющую вид
A) ЧхЧуЗгА (х, у, г) & Vua... Vum6 (ux um),
где х, у, г, иь ..., um — полный список входящих в нее инди-
индивидных переменных.
Пепиш доказывает это следующим образом4). Прежде всего,
можно считать, что рассматриваемая формула g исчисления пре-
предикатов имеет вид8)
х) См. уже цитированную выше работу Эрбрана «Sur le probleme fonda-
mental de la logique mathematique», ch. II, III.
*) См. обзор, приведенный на с. 259—262.
3) Р е р i s Jozef. Untersuchungen liber das Entscheidungsproblem der ma-
thematischen Logik. — Fundam. math., 1938, 30. Эта работа представляет собой
продолжение другого, более раннего исследования Пепиша: Pep is J. Bei-
trage zur Reduktionstheorie des logischen Entscheidungsproblems — Acta Sci
Math Szeged, 1936/37, 8.
4) Изложение, приведенное здесь, отличается от изложения Пепиша лишь
несущественными деталями.
6) Впрочем, как показал Пепиш в его работе. Pep is J. Ein Verfahren
der mathematischen Logik.—J. Symbolic Logic, 1938, 3, этого подготавливаю-
подготавливающего дальнейшие изложения использования теоретико-модельной сколемовской
нормальной формы здесь можно было бы и избежать. Тем самым мы доби-
добились бы некоторого усиления результата.
§ 5] ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОБЛЕМЕ РАЗРЕШИМОСТИ 249
где Ех jt, i;x щ — полный список входящих в нее инди-
индивидных переменных, а г и ё отличны от нуля. Будем также счи-
считать, что g не содержит формульных переменных без аргументов.
Как мы знаем, любая формула исчисления предикатов эквива-
эквивалентна по выполнимости некоторой такой формуле. Конечно, эту
формулу мы можем выбрать еще и так, чтобы она не содержала
формульной переменной А (с аргументами).
Пусть нам дана модель этой формулы g с какой-либо инди-
индивидной областью Jх), и пусть для выполняющих логических функ-
функций выбраны какие-нибудь символы. Пусть в результате внесе-
внесения этих символов в формулу § вместо ее формульных перемен-
переменных выражение
переходит в выражение
Наше рассуждение мы начинаем так же, как начиналось доказа-
доказательство теоремы Лёвенгейма. Прежде всего, с помощью принципа
выбора мы получаем, что при некоторых, надлежащим образом
выбранных r-местных функциях ул Xg, заданных в области J,
формула
отнесенная к области J, является истинной. Опять выделим
какой-нибудь элемент из У и возьмем в качестве обозначающего
его символа букву а. Мы опять будем рассматривать выражения,
построенные из символов а, ул Xg- Но, вместо того чтобы
прямо перечислять их, мы применим следующее, несколько более
общее вспомогательное рассуждение. Пусть <рх cpg — арифме-
арифметические функции от г аргументов, образующие разделяющую
систему функций. Пусть Зо обозначает совокупность тех чисел
(цифрJ), которые не являются значениями ни одной из функций
Фх ф6. Тогда каждое число будет одним и только одним
способом представляться с помощью терма, построенного из функ-
функциональных знаков фх фз и чисел, принадлежащих Зо-
Это утверждение может быть доказано с помощью полной
индукции. Покажем, что оно выполняется для числа 0. Действи-
Действительно, 0 принадлежит Зо, потому что значения функций ф1( ...
..., фз всегда превосходят значения своих аргументов, и, значит,
х) Мы могли бы воспользоваться здесь теоремой Лёвенгейма, но это не
привело бы нас ни к каким упрощениям.
2) Числа здесь следует образно представлять в виде цифр. Заметим,
кстати, что это наше рассуждение не претендует на то, чтобы быть финитным.
250 е символ и логический формализм ггл in
они больше нуля. Теперь покажем, что если это утверждение
выполняется для всех чисел, меньших п, то оно выполняется и
для п. Действительно, п либо принадлежит р0, либо является
значением одной из функций q>1; ..., срг. В последнем случае —
поскольку эти функции представляют собой разделяющую систему
функций — число п однозначно определяет ту функцию и ту
систему аргументов, для которой эта функция принимает значе-
значение п. Значения всех этих аргументов меньше п, так что к ним
может быть применено наше индуктивное предположение. Итак,
каждое число п единственным способом изображается функцио-
функциональным выражением, построенным с помощью функциональных
знаков щ, ..., фе, в котором самыми внутренними аргументами
являются числа из Зо-
А теперь, если в изображении числа п с помощью функцио-
функциональных знаков ср1; ..., сре и чисел из Зо заменить всякое число
из Зо символом а, а всякий функциональный знак cpj (t=l, ...
..., ё) — соответствующим знаком %{, то у нас получится некоторое
отображение, переводящее натуральные числа в элементы области J.
Значение полученного таким образом выражения, являющееся
элементом из У и однозначно определенное числом п, мы обозна-
обозначим через т] (п).
Тогда для произвольных чисел пъ ..., nt и для t=l, ..., $
значение выражения т](q>j (nlt ..., nv)) будет совпадать со значе-
значением выражения XiOl(ni)» •••, f\(nt))- Кроме того, любая фигу-
фигурирующая в SB(Ei, ..., Ес, fa, ..., %) логическая функция
^?(fli, ..., flf), заданная в области J, определяет некоторую задан-
заданную на натуральных числах логическую функцию ^{у\{п^), ...
• ••. Л (nt))' и если мы обозначим через S3* (е1; .... ес, fa, ..., %)
выражение, получающееся из 58(е1; ..., £с, fa, .... %) в резуль-
результате замены символов логических функций, заданных в области J,
символами соответствующих им (только что указанным способом)
логических функций, заданных на натуральных числах, то
формула
будет истинной в области натуральных чисел.
Итог этого вспомогательного рассмотрения теперь может быть
выражен в виде следующего усиления теоремы Лёвенгейма *):
1) Метод доказательства этого вспомогательного утверждения позаимствован
нами из работы В, Аккермана: Ackermann W. Beitrage zum Entscheidungs-
problem der mathematischen Logik.—Math. Ann., 1936, 112, № 3, к которой
примыкает и изложение Пепиша.
§ 5] ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОБЛЕМЕ РАЗРЕШИМОСТИ 251
Если формула рассматриваемого нами вида
выполнима, то формула
V?!... Vjr95 (Si sr, 9i(ji sr) 9e(Si sr))
выполнима в области натуральных чисел для любой разделяющей
системы функций
Итак, для любой разделяющей системы функций cplf ..., фв
мы получаем некоторую формулу
Vsi...Vsr99*(Si sc, Ф1(?1 sr), .... фв(£1 st.))>
истинную в области натуральных чисел.
Теперь речь будет идти о том, чтобы найти m возможности
более простую разделяющую систему функций. Мы рассмотрим
систему, определяемую итерацией только одной функции г|э от
двух аргументов. Эту функцию можно взять достаточно произ-
произвольным образом. От нее лишь требуется, чтобы для любых
чисел а и Ь выполнялись неравенства
i|>(af Ь)>а и 1|>(а, Ь)>Ь,
а также чтобы каждое ее значение принималось только при
единственном наборе значений аргументов.
Такой функцией является, например, функция
i|>(a, 6) = 2"B6+1).
А теперь для любого заданного числа f, отличного от нуля,
под i|)f(ai af+i) мы будем понимать функцию от f+1 аргу-
аргумента, определяемую выражением
в котором функциональный знак г|э фигурирует t раз. Из пере-
перечисленных свойств функции г|э(а, Ъ) легко вытекают аналогичные
свойства и для функции %(аг Of+i). a именно, что значения
этой функции при f Ф 0 всегда превосходят любой из ее аргу-
аргументов и что эта функция каждое из своих значений принимает
только при единственной системе значений ее аргументов.
Далее, при f Ф 0 мы под ^ (а) будем понимать функцию
одного аргумента, получающуюся из функции iff(alt ..., aj+i)
отождествлением аргументов. Эту функцию можно также
252 g СИМВОЛ И ЛОГИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ [ГЛ III
определить рекурсивно, при помощи равенств
$<» (а) = у (а, а),
Как нетрудно убедиться, функция эта удовлетворяет соотношениям
$М {а)>а и ^ +') (а) > ^ (а),
а также условию, что равенство
^ (а) = ф (Ь)
может иметь место только при f = [ и а = Ь.
А теперь для i = 1, ..., б положим
Эти функции, как можно усмотреть из перечисленных выше
свойств функций %(аъ ..., af.fi) и i|/f)(a), образуют разделяющую
систему функций.
Поэтому формула
B) Vel.-V^S"^ ..., sc, xxto sc), .... xe(jb ..., Jc))
истинна в области натуральных чисел.
Теперь речь пойдет о том, чтобы математические функции
Xl ..., щ заменить логическими. Так как все функции х1( ..., xg
получаются итерированием функции if (а, Ь), то будет достаточно
ввести одну-единственную логическую функцию от трех натураль-
натуральных аргументов, которая для любой тройки чисел a, b и с будет
принимать значение «истина» или «ложь» в зависимости от того,
выполняется или не выполняется равенство
я|з(а, Ь) = с.
Для обозначения этой логической функции мы возьмем какой-
нибудь символ из числа не встречающихся в формуле B), напри-
например W (а, Ъ, с).
Для того чтобы с использованием этого символа исключить
функциональные знаки хь ..., xg, мы на время введем знак
равенства (вместе с выделенным распределением истинностных
значений для равенства), который впоследствии опять исключим.
Тогда из формулы B) мы сначала получим истинную формулу
C) VSl...VslVfc...V
Отношение
§ 5] ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОБЛЕМЕ РАЗРЕШИМОСТИ 253
теперь с помощью логической функции W (а, Ь, с) можно выра-
выразить следующим образом:
[В случае, когда г=1, вместо этой формулы надо будет взять
формулу
Т(Ль Ль /l)&T(nlf /l, /,)&•• •&1Р(П1. ^г ^)].
Внесем это выражение в формулу C) и заметим, что любое
выражение вида
Эих.-.Э^КО»! »t_,)-»-8,
где 8 не содержит переменных »ь ..., »с t, может быть преоб-
преобразовано1) в выражение
Vux.-.V^.,^^! »,_,)->-8)
и что в предваренной формуле можно произвольным образом
поменять порядок следования кванторов всеобщности, не разде-
разделенных кванторами существования. Тогда, поместив кванторы
всеобщности Vn>b ..., Vul._1 непосредственно вслед за квантором
Vj,. и переименовав2) переменные к>ь ■•-. »c_i в jlI+1, ..., jac_1>
мы получим формулу
D) VE1...VEc...V£ff_iV9i...V
-►S3* (Ei, .... Ec. 9i %)},
которая, таким образом, оказывается истинной в области цифр.
При этом логическая функция Чг(а, Ь, с) удовлетворяет формулам
единственности по аргументу с. Покажем, что здесь достаточно
воспользоваться первой из этих формул. Для этого мы добавим
к формуле D) истинную в области натуральных чисел формулу
E) VxVy3zV(x, у, г).
!) Заметим, что в результате преобразования, производимого по правилам
исчисления предикатов, из истинной формулы всегда получается формула,
также являющаяся истинной.
2) Этим переименованием мы избавляемся от необходимости делать какие-
либо дополнительные замечания для случая с = 1.
254 е СИМВОЛ И ЛОГИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ [ГЛ III
Если формулы D) и E) связать знаком конъюнкции и заме-
заменить в получившейся формуле выражение 33* (jx £с, t>i, . ■., %)
выражением 23 (£ь ..., jc, рь ..., tye), а трехместный символ ¥
формульной переменной А с тремя аргументами, то построенная
таким образом формула © будет выполнимой и будет иметь вид A).
Этот результат мы получили в качестве следствия из предпо-
предположения о выполнимости формулы g. А теперь, наоборот, пред-
предположим, что выполнима формула ©. Ее выполнимость означает,
что в формулах D) и E) предикатные символы можно так интер-
интерпретировать как символы для логических функций, определенных
в какой-нибудь индивидной области Jlt что при этом истолкова-
истолковании обе эти формулы окажутся истинными.
Из истинности формулы D) следует истинность формулы
, s
r+1,
Посылка этой импликации является истинной формулой ввиду
истинности формулы E) [она даже формально выводима из E)].
Значит, заключение ее тоже является истинным. Но оно полу-
получается из 8 путем замены формульных переменных символами
конкретных логических функций, так что в результате у нас
получается некоторая модель формулы % с областью Jlt
Таким образом, с точки зрения выполнимости формула ©
равносильна формуле %, что и требовалось доказать.
Заметим, что формула © может быть преобразована в сколе-
мовскую нормальную форму
F) Ух1...\/хаЗуШ(х1 хп, у),
а также в формулу вида
G) Чх^ЧхьЗуУхз... V*n21 (хъ ..., хп, у).
Таким образом, для каждой формулы исчисления предикатов
может быть указана равносильная ей по выполнимости формула
вида F) или G).
А теперь от теоретико-модельного рассмотрения мы перейдем
к финитному теоретико-доказательственному. С точки зрения
теоретико-множественной логики предикатов теорема Пепиша,
ввиду совпадения выполнимости и неопровержимости, равносильна
утверждению о том, что для всякой формулы % исчисления пре-
§ 5] ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОБЛЕМЕ РАЗРЕШИМОСТИ 255
дмкатов может быть указана некоторая формула вида A), равно-
равносильная формуле g относительно опровержимости.
Доказательство этого утверждения, получающееся из пред-
предшествующего рассуждения в сочетании с гёделевской теоремой
о полноте и с теоремой о неопровержимости выполнимых формул,
является нефинитным. Однако, используя наши критерии опро-
опровержимости 1), это доказательство можно перевести в некоторое
финитное. Действительно, это может быть проделано следующим
образом.
Во-первых, для каждой формулы §1 исчисления предикатов
может быть указана такая формула g вида
где Еь ..., jr, &i, • ••> % — полный список входящих в нее инди-
индивидных переменных, а с и ё отличны от нуля, что в нее не входят
никакие формульные переменные без аргументов, а также фор-
формульная переменная А с аргументами и что ее отрицание дедук-
дедуктивно равно отрицанию формулы Ш, так что формулы % и Ш
равносильны относительно опровержимости. Поэтому наше утвер-
утверждение достаточно доказать для формулы g.
Для этого мы снова воспользуемся формулой ©, записываемой
следующим образом:
(х, у, г) & VEl... VEc... Vj^Vt^... Щв
Е2> sv Ег+1)&Л(Еа, Ег+1, Ес+г)&Л(Е4> El42, Er+8)&...
Обозначим через Щ (slt s2, ..., e&_v \)v .... %) выражение
фигурирующее в ней в качестве посылки импликации, и через
т —цифру 2с4-3—1. С помощью критериев 1 и 3 мы покажем,
что формула g опровержима в исчислении предикатов тогда и
только тогда, когда опровержима ©. С этой целью мы снова
воспользуемся выделенной системой функций хь ..., ив, которая
была нами определена2) с помощью функции г|э(а, Ь) = 2аBЬ+ 1),
причем теперь будет важно и то, что функции хи ..., xg являются
вычислимыми.
!) См. с. 223 и далее.
я) См. с. 251 и далее.
256 е-СИМВОЛ И ЛОГИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ [ГЛ III
Допустим сначала, что опровержима формула g. Тогда, сог-
согласно критерию 1, можно указать такую цифру р, что формулы
S3(ni.i nC)j. Mni.j nc,j) ««(ni.i nc,i))
1 = 0 (»+l)c-l
не являются совместно выполнимыми.
Пусть q означает наибольшее из значений выражений
х((пЬ| ncj) при i=l б; i = 0 (р+1)с—1. [Нетрудно,
впрочем, убедиться, что это число равно xg(p p), но нам это
не понадобится.] Тогда при любой замене формульных перемен-
переменных из g какими-либо логическими функциями, определенными
для цифр, изменяющихся в пределах от 0 до q, по крайней мере
одна из формул
S3(nbi, ..., nci, Xi(nM nci) xe(nbl nCji))
1 = 0 (»+l)c-l
будет ложной.
Но отсюда следует, что при любой замене формульных пере-
переменных из © логическими функциями, определенными для цифр,
изменяющихся в пределах от 0 до i|)(q, qI), будет ложной по
крайней мере одна из формул
(8) A(lu U, $(llt
где lv l2, пх nac_a, fx fe независимо друг от друга про-
пробегают цифры от 0 до q. Действительно, любая замена формуль-
формульных переменных в формуле ® логическими функциями слагается
из некоторой замены для формульной переменной Л и из замен
для формульных переменных формулы %. А теперь представим
себе, что мы каким-либо определенным образом произвели эти
замены формульной переменной А и формульных переменных
формулы 8 соответствующими логическими функциями, определен-
определенными для цифр, не превосходящих ij)(q, q). Если в результате
этих замен одна из формул A(llt l2, ^(h, !«)), где lt и f2 —цифры,
не превосходящие q, получит значение «ложь», то будет ложной
по крайней мере одна из формул (8) с цифрами fx fg, лежа-
лежащими в пределах от 0 до q. Если же в результате этих замен
все эти (q+1J формул АA1г 12, гр^, 12)) окажутся истинными,
то во всех тех формулах (8), в которых пх пс^р и
г) Для простоты мы пользуемся тем, что функция т|) (а, Ь) возрастает как
при возрастании а, так и при возрастании Ь.
5 5} ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОБЛЕМЕ РАЗРЕШИМОСТИ
выполнены равенства
(9)
ni-+3:
OW "tr-i),
из которых следуют соотношения
1, .... пс), .... fe<M"i. .... пс),
формула ^P(Hj, ..., Njr-i» fx» •••• f«) примет значение «истина»;
тем самым каждая из таких (Р+О1 формул примет то же самое
истинностное значение, что и соответствующая формула
33(пь ..., nr, XiOh nt) xf(nb ..., nv)).
Но среди этих формул, как мы знаем, находится по крайней
мере одна такая, которая в результате рассматриваемых замен
принимает значение «ложь».
Таким образом, действительно, при любой замене формульных
переменных логическими функциями, определенными для цифр,
лежащих в пределах от 0 до o|)(q, q), по крайней мере одна из
формул (8) оказывается ложной. Но функция о|э всегда имеет
значение, большее, чем ее аргументы, и всякое значение, кото-
которое она принимает, принимается ею только один раз. Следова-
Следовательно, функция г|5 образует разделяющую систему функций, и
потому, согласно нашему критерию 3, формула © опровержима
в исчислении предикатов.
Теперь предположим, что опровержима формула ©. Тогда,
согласно критерию 1, начиная с некоторой цифры V. среди тех
формул (8), в которых iv B, it ..., n2r_i, f1, .., ^изменяются
в пределах от 0 до р, при любой замене формульных переменных
формулы © логическими функциями должна найтись по крайней
мере одна ложная.
В частности, это справедливо и для всех тех замен, при кото-
которых вместо формульной переменной А (а, Ь, с) подставляется
логическая функция, которая для любой тройки цифр л, Ь, с
принимает значение «истина» или «ложь» в зависимости от того,
является или не является с (вычислимым) значением функции
♦ (а, Ь).
258 е-СИМВОЛ И ЛОГИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ [ГЛ III
Если мы теперь возьмем для рассматриваемой цифры у какие-
нибудь замены формульных переменных, входящих в выражение
33(j1, ..., »з), т. е. формульных переменных, входящих в фор-
мулу R, какими-либо логическими функциями, определенными
для цифр, лежащих в пределах от 0 до т|)(р, р) [другие цифры
не входят в формулы (8) в качестве аргументов], и объединим
эти замены с только что упоминавшейся заменой для формуль-
формульной переменной А (а, Ь, с), то в упомянутых формулах (8) все
конъюнктивные члены A (U, 'г, ^Оь 'г)) окажутся истинными.
Поэтому значение «ложь» могут принять только те из этих фор-
формул, у которых Ч$(нг •••. п2г-1' К' •••• ^«) принимает значение
«истина», а Ъ^п%, ..., nr, tv ..., ^ — значение «ложь». Но если
этот случай будет иметь место, то вследствие выбора логической
функции, заменяющей формульную переменную А, цифры
л1, ..., niV_v fv ■■-, f« (принадлежащие ряду от 0 до \>) должны
удовлетворять равенствам (9), в соответствии с которыми f; при
i = l, ..., £ является значением xi(n1, .... пс), и потому при
рассматриваемых цифрах nv ..., nt формула
8(nlt .... nc, %1(nv ..., nr), ..., щ{пу nt))
должна принять значение «ложь». [При этом значения функций
и( (п1, .... пс) должны не превосходить р.]
И так как это верно для произвольных замен формульных пере-
переменных формулы g логическими функциями, определенными для
цифр, не превосходящих ty(\\ p), то формулы
не могут быть совместно выполнимыми. [Получается, что совместно
выполнимыми не являются даже те из этих формул, в которых
все значения функций xi(nb j, ..., nC)j), ..., xg(tii, j nx^
не превосходят \\] Поэтому из критерия 3 вытекает, что фор-
формула 5 опровержима.
Тем самым установлено, что формулы 8 и @ равносильны
относительно опровержимости их в исчислении предикатов. Но
для всякой формулы g рассматриваемого специального вида соот-
соответствующую формулу (В можно указать непосредственно, и эта
формула имеет вид A). Следовательно, для любой формулы §
рассматриваемого вида, а потому, вследствие сделанного ранее
замечания, и для произвольной формулы исчисления предикатов,
можно построить равносильную ей с точки зрения опровержи-
опровержимости формулу вида A).
ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОБЛЕМЕ РАЗРЕШИМОСТИ
259
Таким образом, мы нашли финитное доказательство теоремы
Пепиша в ее теоретико-доказательственной формулировке. Как
мы убедились, для того чтобы придать этому доказательству
финитный характер, не требуется никаких новых соображений.
Напротив, наши критерии опровержимости позволяют нам ско-
скопировать идеи теоретико-модельного рассуждения и ограничить
при этом рассуждения, касающиеся логических функций, конеч-
конечными индивидными областями. Конечно, перевод теоретико-модель-
теоретико-модельных рассуждений в финитные теоретико-доказательственные не
всегда бывает таким простым, как в только что рассмотренном
случае; иногда, вместо того чтобы пользоваться критериями опро-
опровержимости, оказывается более предпочтительным применять
какие-нибудь прямые способы.
Такого рода случай имеет место, например, с теоремой Лёвен-
гейма о равносильности (в отношении выполнимости) любой фор-
формулы исчисления предикатов некоторой «бинарной» формуле, т. е.
формуле, все формульные переменные которой являются дву-
двуместными.
Теоретико-доказательственным двойником этой теоремы
является утверждение о том, что всякая формула исчисления
предикатов в отношении выводимости равносильна некоторой
бинарной формуле. Для доказательства этой теоремы можно, как
это и сделал Эрбран, преобразовать с помощью критериев опро-
опровержимости доказательство теоремы Лёвенгейма в финитное дока-
доказательство соответствующей теоремы теории доказательств.
И тем не менее это доказательство, как показал Л. Каль-
Кальмар х), можно получить заметно проще некоторым прямым спо-
способом.
д) Теоретико-модельные нормальные формы. Мы изложим здесь
некоторые новые важные результаты, которые касаются равно-
равносильности формул по отношению к выполнимости. Эти результаты
также могут быть усилены до соответствующих финитных утвер-
утверждений, касающихся равносильности формул по отношению
к опровержимости. Чтобы иметь возможность кратко формулиро-
формулировать эти результаты, мы введем понятия теоретико-модель-
теоретико-модельной нормальной формы. Так мы будем называть некото-
некоторый специальный вид формул, если будет иметься соответствующая
процедура, позволяющая преобразовывать формулы исчисления
предикатов в формулы рассматриваемого специального вида, рав-
равносильные исходным формулам по выполнимости.
Теоретико-модельными нормальными формами, в частности,
являются:
х) К alma г Laszl6. Ober einen Lowenheimschen Satz. — Acta Sci. Math.
Szeged, 1934, 7, № 2.
260 t СИМВОЛ И ЛОГИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ [ГЛ III
1. Нормальная форма Гёделя
VxVi/3u (А (х, у) к В {у, и)) & VxVi/VzSl (x, у, г)&
Vx3fj ... 3»„®(дс, vv ..., t»K),
использующая только двуместные формульные переменные1).
2. Нормальная форма Кальмара
VxVy3a(x, у, г)&
Зиг... Зы,,^... VoB»(ult .... um, vv .... pn),
использующая только одну (двуместную) формульную пере-
переменную1).
3. Нормальная форма Пепиша
ЧхЧуЗгА(х, у, z)&Vwx ... Vu,,®^, .... un).
4. Нормальная форма Аккермана3)
ЧхЗуА(х, y)&3z4Ul ... Vun»(z, ых ыв).
Все эти нормальные формы мыслятся как формулы беи сво-
Цондых индивидных переменных.
Замечания. В нормальной форме Пепиша первый член
ЧхЗуЗгА(х, у, г)
может быть заменен членом
ЧхЧуЗг(А(х, г) к В {у, г))*).
х) См. Go del К. Zum Entscheidungsproblem des logischen Funktionenkal-
kuls. — Monatsh. Math. Phys., 1933, 40, № 2. Очень похожая теоретико-
модельная нормальная форма была указана Т. Сколемом в его работе: S k о-
lem Th. Ein Satz liber Zahlausdrucke.—Acta Sci. Math. Szeged, 1935, 7, №4.
Она имеет следующий вид:
(х, у, и) & VxVyJv® (x, у, v) &
, у,
и тоже содержит только двуместные формульные переменные. Доказательство
Сколема заодно дает и новое доказательство теоремы Лёвенгейма о том что
любая формула исчисления предикатов равносильна по выполнимости некото-
некоторой бинарной формуле.
2) К а 1 m a r L. Zuruckf flhrung des Entscheidungsproblems auf den Fall von
Formeln mit einer einzigen, binaren Funktionsvariablen,— Compositio math.,
1936, 4, № 1.
3)Ackermann W. Beitrage zum Entscheidungsproblem der mathemati-
schen Logik.—Math. Ann., 1936, 112, № 3.
4) Пепиш заметил, что при доказательстве возможности построения его
теоретико-модельной нормальной формы (№ 3 в нашем списке) отношение
ф (а, Ь)=с может быть представлено с помощью двух двуместных логических
функций в виде Ч^ (а, с) & Yj F, с), где УР1 (а, с) истинно тогда и только
тогда, когда 2а является наибольшей степенью числа 2, делящей с, а Ч^ (о, с)
истинно тогда и только тогда, когда 26+1 является наибольшим нечетным
числом, делящим с.
§ 5] nPIIMCHFHHE К ПРОБЛЕМЕ РАЗРЕШИМОСТИ 261
Кроме того, как показал Пепиш, можно добиться, чтобы в этой
нормальной форме кроме двуместных формульных переменных А
и В встречалась только одна одноместная формульная перемен-
переменная. Отсюда в свою очередь можно заключить, что в нормальной
форме Кальмара в качестве m можно взять число 3, так что
в приставке второго члена этой конъюнкции будет стоять только
три квантора существования х).
В нормальных формах Гёделя и Аккермана, как тоже было
показано Пепишем*), можно обойтись тремя двуместными и одной
одноместной формульными переменными. Кальмар показал, что
в нормальной форме Аккермана, приведенной к предваренному
виду, можно обойтись всего лишь одной-единственной бинарной
формульной переменной3).
Из нормальных форм 1—4 после приведения фигурирующих
там конъюнкций к предваренному виду получаются новые нагляд-
наглядные нормальные формы. В частности, из гёделевской нормальной
формы получается некоторая специальная сколемовская нормаль-
нормальная форма, содержащая три квантора всеобщности, а из нормаль-
нормальной формы Пепиша — сколемовская нормальная форма с одним
только квантором существования.
Нормальная форма Кальмара переводима в предваренную
формулу вида
Змх ... 3um\/x\/y3zWv1 ... VfttS(uv ..., ит, х, у, г, vlt ..., vn)t
а нормальная форма Аккермана —в формулу вида
ЗгЧхЗуЧ^ ... Vunt« (х, у, z, uv ..., ип).
Все упомянутые нормальные формы являются заодно и нор-
нормальными формами для исследования опровержимости формул
в исчислении предикатов. Конечно, для того чтобы они оказа-
оказались таковыми в финитном смысле, требуется финитный перевод
соответствующих теоретико-модельных доказательств. Путь для
такого перевода указывают наши критерии опровержимости 1
и 3, как это было продемонстрировано нами в случае нормаль-
нормальной формы Пепиша.
х) На это обстоятельство указал А. Линденбаум в своем реферате цити-
цитировавшейся выше статьи Кальмара. См. Zbl. Math., 1937, 15.
2) См. упоминавшуюся на с. 248 работу Пепиша: Pep is J. Untersuchun-
gen uber das Entscheidungsproblem der mathematischen Logik. —Fundam. math.
1938, 30
■*) Cm. Kalmar L. On the Reduction of the Decision Problem. First
Paper.— J. Symbolic Logic, 1939, 4, p. 1—9.
Позднее Л. Кальмар и Я. Шураньи опубликовали аналогичное доказа-
доказательство для нормальных форм Гёделя и Пепиша, приведенных к предварен
ному виду. См. J. Symbolic Logic, 1947, 12, р 65—73, и 1950, 15, р. 161—173
262 е символ и логический формализм [гл ш
В последнее время было получено несколько глубоких резуль-
результатов1); касающихся теоретико-модельных нормальных форм.
В качестве особенно яркого из них мы упомянем нормальную
форму Шураньи
VxV^Vzi»(х, у, г)&ЧхЧуЗиЪ(х, у, и),
в которой фигурируют только одна двуместная формульная пере-
переменная, а остальные формульные переменные являются одномест-
одноместными 2). В отношении распределения кванторов эта нормальная
форма является почти оптимальной. Оптимум был достигнут
в работе А. С. Кара, Э. Ф. Мура и Хао Вана3), где было уста-
установлено, что форма
Ч (х, у, г)
с двуместными формульными переменными тоже является теоре-
теоретико-модельной нормальной формой.
Значение теоретико-модельных нормальных форм становится
особенно ясным, если рассмотреть связь, существующую между
формулами исчисления предикатов и различными аксиоматическими
системами.
При анализе этой связи можно ограничиться рассмотрением
формул, не содержащих ни свободных индивидных переменных,
ни формульных переменных без аргументов. Неопровержимость
такой формулы исчисления предикатов равносильна непротиво-
непротиворечивости той аксиомы (соответственно той системы аксиом),
которая изображается формулой, получающейся из рассматривае-
рассматриваемой формулы в результате замены ее формульных переменных
предикатными символами с тем же самым числом аргументов.
Если рассматриваемая формула имеет вид конъюнкции предва-
предваренных формул, то после замены формульных переменных пре-
предикатными символами мы берем каждый ее конъюнктивный член
в качестве отдельной аксиомы. От полученной таким образом
системы аксиом, аксиомы которой изображаются предваренными
формулами без свободных индивидных переменных, мы затем
можем перейти к системе аксиом в разрешенном виде, в которой
каждому квантору существования без предшествующих ему кван-
кванторов всеобщности соответствует некоторый индивидный символ,
а каждому квантору существования с предшествующими f кван-
х) По поводу литературы см Ackermann W. Solvable Cases of the
Decision Problem.—Amsterdam, 1954; Suranyi J. Reduktionstheorie des
Entscheidungsproblems im PradikatenKalkul der ersten Stufe. — Budapest, 1959.
z) См теорему Х в упомянутой книге Шураньи, с. 72.
3) К ah r A. S., Moore E. F. Wang Hao Entscheidungsproblem reduced
to the V3V case.—Proc. Nat. Acad. Sci, 1962, 48, p. 365—377. Авторы ссы-
ссылаются на рассуждения Дж. Р. Бюхи (J. R. Biichi).
§ 5] ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОБЛЕМЕ РАЗРЕШИМОСТИ 263
торами всеобщности соответствует некоторый функциональный
знак с f аргументами. В отношении непротиворечивости эта
система аксиом в разрешенном виде равносильна прежней системе
аксиом.
Таким образом, если две формулы исчисления предикатов
(не содержащие свободных индивидных переменных и формуль-
формульных переменных без аргументов) равносильны в смысле опровер-
жимости, то и соответствующие им системы аксиом в разрешен-
разрешенном виде будут равносильными в отношении непротиворечивости.
Поэтому каждая нормальная форма, приспособленная для
исследования опровержимости формул исчисления предикатов,
дает нам некоторую нормальную форму, приспособленную для
исследования непротиворечивости символьно разрешенных систем
аксиом, так что для каждой символьно разрешенной системы
аксиом можно указать такую систему аксиом специального вида,
которая эквивалентна исходной в отношении непротиворечивости.
Таким образом, нормальным формам 1—4, а также двум нор-
нормальным формам, приведенным после них, соответствуют (с уче-
учетом упомянутых выше дополнительных уточнений) следующие
нормальные формы, приспособленные для исследования непроти-
непротиворечивости символьно разрешенных систем аксиом:
1. Система аксиом с тремя различными индивидными перемен-
переменными, с одним двуместным и остальными одноместными функцио-
функциональными знаками и четырьмя предикатными символами — тремя
двуместными и одним одноместным.
2. Система аксиом с единственным (двуместным) функциональ-
функциональным знаком, единственным (двуместным) предикатным символом
и тремя индивидными символами.
3. Система аксиом без индивидных символов, с единственным
(двуместным) функциональным знаком и тремя предикатными
символами — двумя двуместными и одним одноместным.
4. Система аксиом с единственным индивидным символом,
единственным (одноместным) функциональным знаком и единст-
единственным (двуместным) предикатным символом.
(В нормальных формах 2—4 количество индивидных перемен-
переменных не ограничивается.)
5. Система аксиом без индивидных символов, с тремя различ-
различными индивидными переменными, с единственным (двуместным)
функциональным знаком и с одним двуместным и еще некоторыми
одноместными предикатными символами.
6. Система аксиом без индивидных символов с двумя различ-
различными индивидными переменными, с единственным (одноместным)
функциональным знаком и некоторым числом двуместных преди-
предикатных символов.
Конечно, при исследовании непротиворечивости систем аксиом
первой ступени наши критерии опровержимости могут быть
264 е символ и логический формализм [гл щ
использованы и непосредственно. В частности, критерий 2* пока-
показывает, что для установления непротиворечивости какой-либо
з? ,энной в символьно разрешенном виде системы аксиом пергой
ступени вместо выполнения ее с помощью какой-либо финитной
арифметической модели достаточно выполнения в некотором
несобственном смысле; это выполнение состоит в том, что после-
последовательно определяются расширяющиеся математические и логи-
логические функции, которые в подходящей конечной числовой области
(до некоторого числа включительно) определены таким образом,
что рассматриваемые аксиомы принимают значение «истина» на
всех системах значений свободных индивидных переменных, при
которых значения всех встречающихся в этих аксиомах термов
также лежат в рассматриваемой числовой области, а при переходе
от одной числовой области к другой, более широкой, области
математические функции определяются как продолжения, а логи-
логические могут быть изменены произвольно. Если удастся убедиться,
что этот процесс последовательно расширяющегося выполнения
может быть продолжен неограниченно, то тем самым будет дока-
доказана непротиворечивость рассматриваемой системы.
При этом непротиворечивость здесь следует понимать как
невозможность вывести противоречие с помощью таких умозаклю-
умозаключений, которые формализуются исчислением предикатов.
С точки зрения теоретико-множественной логики предикатов
такого рода непротиворечивость ввиду теоремы Гёделя о полноте
совпадает с выполнимостью рассматриваемой системы аксиом при
помощи некоторой арифметической (разумеется, не обязательно
финитной) модели, а уже эта непротиворечивость, связанная
с исчислением предикатов, гарантирует и непротиворечивость
в неограниченном, содержательном смысле этого слова.
Для такого использования теоремы Гёделя о полноте тоже
имеется некоторый финитный эквивалент. Именно, можно пока-
показать, что всякая неопровержимая формула исчисления предикатов
неопровержима и в рамках любого «арифметически непротиворе-
непротиворечивого» формализма, т. е. такого формализма, который, во-пер-
во-первых, непротиворечив и, во-вторых, остается непротиворечивым
при добавлении арифметического формализма (если этот послед-
последний еще не содержится в нем) и каких-нибудь других верифи-
верифицируемых формул рекурсивной арифметики (также добавляемых
в качестве аксиом).
Но для того, чтобы получить этот результат, требуется неко-
некоторый шаг, который до сих пор еще не совершен, а именно
нужна формализация рассуждений, проводимых в теории дока-
доказательств. К этому методу, который позволяет значительно про-
продвинуться в различных направлениях, мы теперь и перейдем.
ГЛАВА IV
МЕТОД АРИФМЕТИЗАЦИИ МЕТАМАТЕМАТИКИ
В ПРИМЕНЕНИИ К ИСЧИСЛЕНИЮ ПРЕДИКАТОВ
§ 1. Арифметизация метаматематики исчисления предикатов
и одна ее конкретная реализация
а) Нумерации. В предыдущих трех главах мы имели дело
с методами, разработка которых была обусловлена введением
гильбертовского е-символа. В частности, с помощью метода устра-
устранения связанных переменных нам удалось получить удовлетвори-
удовлетворительное решение проблемы символьного решения экзистенциальных
аксиом; затем мы доказали одну весьма общую теорему («нп-тео-
рему»), применяя которую, можно с помощью финитных арифме-
арифметических моделей устанавливать непротиворечивость систем аксиом
первой ступени, не пользуясь предположением о непротиворечи-
непротиворечивости формального анализа.
Кроме того, этот метод позволил нам получить одно естест-
естественное доказательство теоремы Эрбрана, являющейся сильным
математическим средством для изучения предикатов, а также
для финитного рассмотрения различных проблем разрешимости.
Однако в части, касающейся арифметического формализма, при-
применение е-символа привело нас лишь к частичному результату,
так как на этом пути удалось доказатьг) непроворечивость только
некоторой части системы (Z), а не всего этого формализма2).
Теперь мы перейдем к рассмотрению еще одного метода тео-
теории доказательств, разработанного Куртом Гёделем3), а именно
метода арифметизации метаматематики.
Что касается принципиальной стороны дела, то арифметизация
метаматематики возможна в той же самой мере, в какой возможна
арифметизация других теорий: арифметика достаточно богата для
того, чтобы с ее помощью можно было строить модели различных
метаматематических понятий и связей, существующих между
!) См. с. 162.
2) См Приложение I, с. 468.
3) Это было сделано в его новаторской работе Q 6 d e 1 К Ober formal
unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. —
Monatsh. Math. Phys., 1931, 38, S. 173—198.
26в МЕТОД АРИФМЕТИЗАЦИИ МТТЛМЛТГМАТИКИ [ГЛ IV
ними х). Это утверждение справедливо даже независимо от того,
что метаматематика по своему характеру является финитной.
Но для финитной метаматематики ее арифметическую модель
можно, кроме того, построить в виде финитно-арифметической
модели.
Эги принципиальные соображения сами по себе, конечно, еще
не дают никакого конкретного способа арифметизации. Но глав-
главная трудность заключается в том, что вообще заранее нельзя
предвидеть, удастся ли математические соотношения, имеющие
место в данной арифметической модели метаматематики, просле-
проследить настолько эффективно, насколько это требуется для наших
применений; к тому же с этой арифметизацией мы должны связать
еще и формализацию метаматематики.
Гёдель показал, что средств рекурсивной арифметики вполне
достаточно для математического построения такой модели и для
ее формализации. Используемый им метод арифметизации состоит
в арифметическом имитировании линейного расположения знаков
в формулах формализованной математики. Действительно, логи-
логическую и математическую символику мы всегда можем выбрать
таким образом, чтобы расположение символов и переменных
в формулах было строго линейным. Если теперь каждому символу,
каждой переменной, а также скобкам и запятой сопоставить
некоторые цифры (номера данных знаков), то всякой формуле
будет взаимно однозначно сопоставлена некоторая цепочка
цифр*).
Затем, пользуясь однозначностью разложения чисел на про-
простые множители, каждой (конечной) последовательности цифр
можно, как было показано ранее8), взаимно однозначным образом
поставить в соответствие некоторую цифру: а именно, последова-
1) Такую модель можно рассматривать и как модель, выполняющую некото-
некоторую систему аксиом, потому что метаматематика любого дедуктивного формализма
всегда может быть аксиоматизирована. На такую возможность впервые указал
А. Тарский (A. Tarski) в своих работах: Einige Betrachtungen fiber die
Begriffe der w-Widerspruchsfreiheit und der ш-Vollstindigkeit. — Monatsh. Math.
Phys., 1933, 40, и Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen. — Trav.
Soc. Sci. Varsovie, 1933, немецкий перевод в Studia philos., 1935, в которых он,
кроме того, дал аксиоматическое определение понятия выражения для
некоторых дедуктивных формализмов. Общий подход к аксиоматизации мета-
метаматематики дедуктивных формализмов кратко обрисован Г. Гермесом в его
докладе: Hermes H. Em Axiomensystem fur die Syntax des (klassisclien)
Logikkalkuls. —Trav. du IX congr. de philos., Paris, 1937, № 6.
2) Идея такого изображения формульных выражений последовательностями
цифр и, тем самым, перевода правил построения формальных выражений и
приведения формальных доказательств к арифметическим правилам была
высказана Гильбертом уже в процессе его размышлений над канторовской
проблемой континуума. Но в то время реализация этой идеи казалась слишком
сложной
») См. т. I, с. 394 — 395.
§ 1] ЛРИФМЕТИЗАЦИЯ ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ 267
тельности
ставится в соответствие цифра
где j°e, Pi, ..., j°r_i — первые г простых чисел. Таким образом
каждая формула изобразится присвоенным ей номером. Применив
аналогичный прием еще раз, можно с помощью номеров охарак-
охарактеризовать и конечные списки формул. При этом списку, состоя-
состоящему из формул с номерами нь .... пг, будет сопоставлен номер
Таким образом, мы будем иметь дело с тремя типами нумераций
объектов теории доказательств: во-первых, с нумерацией знаков,
являющихся составными частями формул; во-вторых, с нумерацией
формул и, в-третьих, с нумерацией списков формул, в частности
доказательств.
С помощью этих нумераций структурные свойства формул и
списков формул, а также отношения между ними изобразятся
некоторыми арифметическими свойствами и отношениями.
Однако арифметизацию можно осуществить и несколько иным
способом: вместо того чтобы воспроизводить способ записи формул,
мы можем пройми/пировать их грамматическую структуру. Отли-
Отличительной чертой этого способа будет то, что предикатам, симво-
символам и функциональным знакам, а также знакам логических
операций мы сопоставим не номера, а некоторые арифметические
функции. Для начала мы изложим этот способ в применении
к исчислению предикатов.
Формулы исчисления предикатов строятся из свободных и
связанных индивидных переменных, формульных переменных
с аргументами и без них1), а также из символов исчисления
высказываний и кванторов всеобщности и существования. В ка-
качестве номеров для связанных переменных мы возьмем простые
числа*), отличные от чисел 2, 3 и 5, а в качестве номеров для
свободных индивидных переменных — числа вида 2 • р, где р —
простое число, большее 5. В качестве номеров для формульных
1) Здесь мы предполагаем, что порождение переменных любого типа,
в том числе и формульных переменных с любым числом аргументов произ-
производится в виде некоторой неограниченной последовательности, подобной нату-
натуральному ряду.
2) Так как эта арифметизация производится в рамках содержательной
арифметики, мы говорим здесь о «числах», а не о «цифрах».
268 МЕТОД АРИФМЕТИЗАЦИИ MtTAMATFMATMKH ГГЧ IV
переменных без аргументов мы возьмем числа вида 10 р, где
р — простое число, большее 5. Формульные переменные с f аргу-
аргументами мы будем изображать f-местными функциями вида
где с?!, ..., qf —простые числа, большие 5 и такие, что
при l=s£t<f. Это представление формульной переменной нужно
понимать следующим образом: выражение, состоящее из формуль-
формульной переменной с аргументами, номера которых (расположенные
в порядке следования аргументов) суть пи ..., щ, в качестве
номера получает число
Это сопоставление номеров и функций выбирается таким образом,
чтобы соответствие между всеми простыми числами, большими 5,
и всеми связанными переменными, между всеми числами этого
рода, умноженными на 2, и всеми свободными индивидными
переменными, между всеми числами этого рода, умноженными
на 10, и всеми формульными переменными без аргументов, а также
(при любом f) между упорядоченными по возрастанию всеми
f-членными наборами простых чисел, больших 5, и всеми фор-
формульными переменными с f аргументами было взаимно однознач-
однозначным1). Для логических операций мы возьмем следующие их
изображения:
для отрицания — умножение на 3,
для конъюнкции — функцию 20 7е-11*,
для дизъюнкции — функцию 40-7° 11*,
для импликации — функцию 80 ■ 7" ■ 11 *,
для эквивалентности — функцию 160 • 7а ■ 11ь.
Квантор всеобщности мы изобразим функцией 50-(ja, а квантор
существования —функцией 100 qa, где в обоих случаях q пред-
представляет собой номер связанной переменной, стоящей за квантором,
а вместо а подставляется номер выражения, представляющего
собой область действия этого квантора.
Для арифметизации рассмотрений, связанных с проблемой
разрешимости, нам еще потребуется какое-либо изображение цифр
и функциональных знаков2). В качестве номера для цифры п
х) Сопоставление f-местных формульных переменных упорядоченным по
возрастанию f-членным наборам, состоящим из простых чисел, ббльших 5,
может быть получено на основе перечислимости этих наборов из какого-либо
перечисления f-местных формульных переменных.
5) Мы считаем, что для любого f может быть произведено неограниченное
порождение f-местных функциональных знаков.
S 1] АРИФМЕТИЗАЦИЯ ИСЧИСЛЕНИЯ ПРРДИКАТОВ 269
мы возьмем число 2 3", а всякий f-местный функциональный
знак мы изобразим какой-либо функцией
где crlt ..., q; — упорядоченные по возрастанию простые числа,
большие 5.
Выбранная таким образом нумерация не зависит от тех или
иных соглашений, касающихся конкретного способа записи фор-
формул. Способ записи цифр с помощью нуля и штрих-символа
тоже оказывается при этом несущественным. Если же мы теперь
захотим произвести нумерацию каких-либо конкретно написан-
написанных формул, то нам нужно будет дополнительно условиться
относительно нумерации конкретных букв, изображающих те или
иные переменные. Например, в полном соответствии с нашими
определениями можно условиться, что номерами переменных х,
у и г будут считаться числа 7, 11 и 13, номерами переменных
a, b и с —числа 14, 22 и 26, номерами формульных переменных
А, В и С без аргументов — числа 70, ПО и 130 и что формульные
переменные А, В к С с одним аргументом будут изображаться
соответственно функциями
10-7а, 1011" и 10-13»,
а формульная переменная А с двумя аргументами — функцией
10-7а-11».
При этом формула
А&В-+В&А
получит в качестве номера число
80.7B0-Т10<Т-П10 "). ЦBО710 Ч П10 Л
точнее говоря, число, являющееся результатом вычисления зна-
значения этого арифметического выражения), формула
ЧхЛ(х)-+А(с)
получит номер
80.7*50-7*10'7'* -11(">-7«>,
а формула
13x4 у А (х, y)\/Vx3yA(y, х)
получит номер
40
Основное требование, которому должна удовлетворять эта нуме-
270 МЕТОД АРИФМЕТИЗАЦИИ МЕТАМАТЕМАТИКИ [ГЛ IV
рация, заключается в том, что различные выражения должны
иметь различные номера. Выполнение этого условия в нашей
нумерации обеспечивается тем, что различные типы переменных
и символов отличаются друг от друга степенями простых чисел
2, 3 и 5, входящих в качестве множителей в номера, представ-
представляющие те или иные выражения или соответственно функции.
Так, выражение, состоящее из какой-либо формульной перемен-
переменной с аргументами или без них, характеризуется тем, что номер
его делится на 10, но не делится ни на 20, ни на 25, ни на 30;
выражения, являющиеся отрицаниями каких-либо других выра-
выражений, и только такие выражения имеют номера, делящиеся
на 30; выражение, являющееся конъюнкцией двух других выра-
выражений, всегда имеет номер, делящийся на 4 и на 5, но не деля-
делящийся ни на какую более высокую степень чисел 2 и 5, а также
на число 3; выражение, начинающееся квантором всеобщности,
область действия которого распространяется на все это выраже-
выражение, имеет номер, делящийся на 50, но не делящийся ни на 4,
ни на 3. Аналогичным образом характеризуются дизъюнкции,
импликации и эквивалентности, а также выражения, начинаю-
начинающиеся квантором существования.
Функциональный знак с аргументами имеет номер, делящийся
на 5, но не делящийся ни на 2, ни на 3. Номера цифр харак-
характеризуются тем, что они не имеют простых делителей, больших
3. Количество аргументов выражения, состоящего из функцио-
функционального знака или формульной переменной с одним или несколь-
несколькими аргументами, может быть охарактеризовано как число тех
простых множителей, которые входят в номер этого выражения
в степени, большей единицы. (Номер формульной переменной без
аргументов не содержит ни одного простого множителя в степени,
большей единицы.)
У любых двух различных свободных или соответственно свя-
связанных индивидных переменных, а также у любых двух различ-
различных формульных переменных с одним и тем же числом аргументов
и у любых двух функциональных знаков с одним и тем же
числом аргументов номера отличаются набором входящих в них
простых множителей. В номера различных цифр множитель 3
всегда входит в различных степенях.
Из сказанного вытекает, что два выражения рассматриваемого
формализма, отличающиеся друг от друга знаком внешней опе-
операции, всегда имеют различные номера; отсюда индукцией по
числу знаков, содержащихся в рассматриваемом выражении,
получается, что два любых различных выражения имеют различ-
различные номера. При этом надо учесть то обстоятельство, что все
арифметические функции, которые, согласно нашим определениям,
соответствуют составным формальным выражениям, устроены
таким образом, что их значения оказываются больше значений
$ I] АРИФМЕТИЗАЦИЯ ИСЧИСЛЕНИЯ ПРИДИКАТОВ 271
их аргументов и что различным значениям аргументов или соот-
соответственно систем аргументов всегда отвечают различные значе-
значения функций.
Замечание. Все арифметические функции, сопоставленные
составным формальным выражениям, монотонно возрастают по
каждому из своих аргументов (при сохранении значений осталь-
остальных аргументов).
б) Вспомогательные средства рекурсивной арифметики. Теперь
мы посмотрим, как структурные свойства выражений исчисления
предикатов и отношения между этими выражениями переводятся
в арифметические отношения между изображающими эти выраже-
выражения номерами. В частности, мы увидим, что для непосредственно
определяемых свойств выражений исчисления предикатов и отно-
отношений между этими выражениями арифметический перевод дается
рекурсивными функциями и предикатами. При этом под рекурсив-
рекурсивной функцией мы, как и раньше1), понимаем функцию, опреде-
определяемую с помощью примитивных рекурсий и подстановок, a f-
местный числовой предикат мы называем рекурсивным в том
случае, если для него можно указать такую рекурсивную функ-
функцию f (аъ ..., af) от f аргументов, что для любой наперед задан-
заданной системы значений аргументов nlt.... nf значение f (nlf .... nr)
равно 0 тогда и только тогда, когда для системы Hi, .... nt этот
предикат истинен.
В формализме рекурсивной арифметики любая рекурсивная
функция изображается некоторым рекурсивным термом2),
причем различные входящие в него свободные переменные вза-
взаимно однозначно соответствуют аргументам этой функции, а лю-
любой рекурсивный предикат изображается некоторым равенством
t = 0,
где t — рекурсивный терм, а различные входящие в t свободные
переменные взаимно однозначно соответствуют аргументам (субъ-
(субъектам) этого предиката. И обратно, любое такое равенство, в ко-
котором имеется хотя бы одна свободная переменная, изображает
некоторый рекурсивный предикат.
Теперь мы воспользуемся нашими прежними знаниями3) из
области рекурсивной арифметики: сведениями о рекурсивное™
тех или иных функций, а также о переводимости формул в ра-
равенства вида
') См т. I, с 352. 353, с. 390 внизу и с. 400, 401.
*) См. т. I, с. 390
*) См. т. I, с 38! -401"»
272
МЕТОД АРИФМЕТИЗАЦИИ МЕТАМАТЕМАТИКИ
П"Л TV
[называемые рекурсивными формулами]1). Нам потре-
потребуются, в частности, следующие факты:
1. Рекурсивными являются:
функции а-\-Ь, а-Ъ и аъ;
функция sgn п, которая равна 0 при л = 0 и 1 в остальных
случаях;
функция sgn п, которая равна 1 при п = 0 и 0 в остальных
случаях;
функция а~Ь, равная 0 при а^Ь, а при а>Ь удовлетворя-
удовлетворяющая равенству
функция 6 (л), совпадающая с п — Г,
функции я (а, Ь) и р (а, Ь), которые при b Ф 0 дают неполное
частное и остаток от деления а на b и характеризуются условиями
а = л(а, b)b + p(a, b), р(а, Ь)<Ь (при ЬфЩ,
я (а, 0)«0;
функция fn, которая дает n-е (п^О) простое число в нуме-
нумерации простых чисел по их величине;
функция v (т, к), значение которой при т Ф 0 равно показа-
показателю степени, с которым число Vu входит в разложение т на
простые множители, а при /п = 0 равно 0;
функция А(ш), значение которой при т > 1 равно номеру
наибольшего простого делителя числа т, а в остальных случаях
равно т.
Кроме того, с помощью рекурсивной функции а (о, Ь) и ее
обращений ог (п) и о2 (п) мы получаем такую [начинающуюся
с пары @, 0)] нумерацию числовых пар, при которой паре @, с)
предшествуют те и только те пары, у которых оба члена являются
числами, меньшими с2).
J) Это употребление термина «рекурсивная формула», которого мы в даль-
дальнейшем и будем придерживаться, является несколько более узким, чем упо-
употребление его в смысле определения, приведенного в гл. VII т. I из с. 390.
2) См. т. I, с. 395. Вместо использованного здесь способа нумерации
можно взять и такой, при котором порядок будет устанавливаться сначала по
наибольшему из чисел, входящих в пару, а затем лексикографически. При
этом способе паре @, с) также предшествуют все те пары (а, Ь), у которых
оба числа а и b меньше с Функция о* (а, Ь), которая описывает эту нуме-
нумерацию, и ее обращения of (n) и о| (п) могут быть определены с помощью
функции []^п], ставящей числу п в соответствие наибольшее из чисел, квадрат
которых не превосходит п (рекурсивное определение этой функции см. в т. I
§ И АРИФМ1ТИЗАЦИЯ ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ 273
В результате комбинирования рекурсивных функций всегда
получаются функции, являющиеся рекурсивными.
2. Если t (а) — рекурсивный терм, то л-членная сумма £ t (х)
х< п
и л-членное произведение JJ Х(х), равно как и £ t(x) и
х<_ п х^п
YI Нх)> могут быть изображены некоторыми рекурсивными
термами.
Вследствие сказанного рекурсивной является, например, функ-
функция, принимающая при я = 0 значение 0, а при п Ф 0 — значение,
равное числу различных простых множителей, входящих в раз-
разложение п, так как она может быть представлена выражением
£ sgn(v(n, х)).
х<п
Эту функцию мы будем обозначать через х(п).
3. Рекурсивными являются:
предикат а = Ь, который изображается равенством (а -*- Ь) -}-
4- (Ь - а) = 0;
предиката<Ь, который изображается равенством sgn(b~a) = 0;
предикат а^Ь, который изображается равенством а — Ъ-= 0;
предикат я делится на Ь или соответственно Ь делит а,
который изображается равенством р (а, Ь) = 0;
предикат число п является простым, который изобра-
изображается равенством B —п) +(л— #>*,(„)) = ().
Мы будем сокращенно записывать формулу р (а, й) = 0 в виде
bio1), a формулу B— п) + (п —&,,„)) = 0 в виДе Рг(п).
4. Из рекурсивных предикатов в результате применения к ним
операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и
эквивалентности получаются предикаты,снова являющиеся рекурси-
рекурсивными. В частности, отрицание предиката, изображаемого равен-
равенством t=0, изображается равенством sgn t == 0, конъюнкция двух пре-
предикатов, изображаемых равенствами ё = 0 и t = 0, изображается
на с. 396), и следующих рекурсий;
а*(а, b)=(a + b2).sgn(fe " а) + (сР + а + Ъ) • sin (Ъ -=-о),
«т* (Я) = (n - [Vnf) ■ sgn (([/Я]2 + [F п]) -• п) +
a* (n) = [/n] • sgn (([Vnf + [Vn]) -n) +
(n •- ([Kn]2 + f l^n])) ■ sgH (([/n]2 + [/n]) -n).
x) Символ а\Ь в этом же самом его понимании мы уже употребляли
раньше (см. т. I, с. 490), хотя он вводился там с помощью другого определения.
274 МЕТОД АРИФМРТИЗАЦИИ МЕТАМАТЕМАТИКИ [ГЛ IV
равенством 9 -j-1 =» 0, а их дизъюнкция изображается равенством
et = o.
5. Если Щ (а) — рекурсивный предикат (который, кроме а,
может зависеть и от каких-нибудь других аргументов), то выска-
высказывания «для всех чисел х, меньших п, имеет место $ (*)» и
«существует число х, меньшее п и такое, что имеет место $4? (х)»
представляют собой рекурсивные предикаты от входящих в них
свободных параметров. То же самое будет верно и в том случае,
если в рассматриваемых высказываниях заменить требование:
«х меньше я» требованием: «х не превосходит п».
Замечание. Отметим, что в обоих только что приведенных
высказываниях переменная х не является параметром, тогда как
переменная п входит как параметр.
Далее, для любого рекурсивного предиката ty (а) можно ука-
указать такой рекурсивный терм, который изображает функцию
Мш$(л;), т. е. функцию, значение которой (для любой системы
значений фигурирующих в *$ (а) параметров) равно наименьшему
из чисел х, не превосходящих п и таких, что ty (х) имеет место,
а в случае, когда таких чисел нет, это значение равно 0.
6. Если в выражении для рекурсивного предиката (заданном
словесно или с помощью какой-либо формулы) мы заменим один
или несколько его аргументов рекурсивными функциями, аргу-
аргументы которых частично или полностью могут быть идентифици-
идентифицированы с аргументами этого предиката, то получившийся при
этом предикат тоже будет рекурсивным.
7. Если рекурсивный предикат изображается равенством t = 0
с рекурсивным термом t, то он изображается и равенством
sgnt = 0, причем терм sgn t для тех систем значений аргументов
(свободных переменных), для которых этот предикат выполняется,
принимает значение 0, а для прочих — значение 1.
Терм sgn t изображает арифметическую функцию своих аргу-
аргументов, однозначно определенную рассматриваемым рекурсивным
предикатом, в то время как в изображении этого предиката
равенством t = 0 арифметическая функция, изображаемая термом t,
определяется этим предикатом не однозначно.
8. Если $ь ..., *Pj — взаимоисключающие друг друга рекур-
рекурсивные предикаты, т. е. если никакие два из них не выполняются
одновременно ни для одного набора значений аргументов, и если
«*!, ..., б,., в — какие-либо рекурсивные термы, то функция, зави-
зависящая от аргументов, фигурирующих в tylf ...,% и Зх «*,,«,
и определяемая условием, что для любой системы значений своих
аргументов, для которой имеет место tyi, ее значение равно зна-
значению терма $i, для любой системы значений аргументов, для
которой имеет место ч^2, ее значение равно значению терма й2. • • •,
для любой системы значений аргументов, для которой имеет
$ 11 АГИФМГТИЗЛЦИЯ ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ 275
место Я',-, ее значение равно значению терма tt, а в остальных
случаях ее значение равно значению терма £, рекурсивна.
Действительно, рекурсивные предикаты ЯЧ. •••, % изобра-
изображаются некоторыми равенствами
с рекурсивными термами tlt ..., t,., из которых, по предположе-
предположению, никакие два не принимают значения 0 для одной и той же
системы значений аргументов; а потому функция, удовлетворяю-
удовлетворяющая приведенному выше условию, изображается выражением
и, значит, является рекурсивной.
9. Любую рекурсию пробега1), т. е. любое рекурсивное
определение вида
f(ab .... af, 0) = a(fl1, ..., af),
Uai, •••. «f- "')="
"b^, .... af, n, f(ab .... af, ^(я)), .... f(ab ..., at, tt(n)),
где f(- • ■) —вводимый функциональный знак с f-f-1 аргументом,
а(аъ ..., flt) и Ь(ох of, cx с,)
— рекурсивные термы, а гх(п), ..., tr(п) — рекурсивные термы,
удовлетворяющие соотношениям
ti («)-'- п tr (и)<",
можно свести к примитивным рекурсиям.
Рекурсия пробега может быть сформулирована также и в сле-
следующей форме:
f(nb ..., /if, 0) = a(a! or),
пфО-*-Ца1г ..., щ, п) = Ь(аь .... af, «),
f(ai flf.
где (рекурсивные) термы fi(n), ..., Pr(n) при n=^0 должны
удовлетворять условиям
Замечание. Утверждения 1 — 9 формулируются нами не как
сугубо формальные теоремы рекурсивной арифметики, а с исполь-
См. т. I, с. 402.
276 МЕТОД АРИФМЕТИЗАЦИИ МЕТАМАТЕМАТИКИ ГГЛ IV
зованием содержательной финитной арифметики, которая, как мы
знаем, может быть формализована в рекурсивной арифметике1).
Так, мы говорим о функциях и о их значениях, о предикатах
и о том, что они имеют место, и т. п. Этот способ выражаться
здесь оказывается пригодным потому, что в настоящем рассмот-
рассмотрении нам важно с помощью наших нумераций перевести в ариф-
арифметический формализм содержательно устанавливаемые метамате-
метаматематические отношения.
в) Арифметизация понятия формулы. После проведенных при-
приготовлений мы возьмем какое-нибудь метаматематическое понятие,
и, пользуясь им как примером, продемонстрируем наш способ пере-
перевода на язык рекурсивной арифметики. Остановимся на понятии
формулы исчисления высказываний. Этому понятию соответствует
свойство числа быть (на основании нашей нумерации) номером
некоторой формулы исчисления высказываний. Этот числовой
предикат «число п является (в соответствии с нашей нумерацией)
номером некоторой формулы исчисления высказываний» вне
зависимости от способа нумерации мы можем определить следую-
следующим образом' «число п является либо номером какой-либо фор-
формульной переменной без аргументов, либо номером отрицания
какой-либо формулы исчисления высказываний, либо номером
конъюнкции или дизъюнкции, или импликации, или эквивалент-
эквивалентности каких-либо двух формул исчисления высказываний».
Правда, сказанное еще не дает нам явного определения, так как
определяемое понятие номера формулы исчисления
высказываний входит в определяющее выражение. Но при
этом мы все-таки получаем некоторое рекурсивное определение.
Действительно, арифметический перевод сформулированного опре-
определения выглядит следующим образом:
«Число п является номером формулы исчисления высказываний,
если оно либо имеет вид Юр, где р — простое число, большее 5,
либо имеет вид 3 k, где 6 —отличное от 0 число, являющееся
номером некоторой формулы исчисления высказываний, либо имеет
вид / ■ 7а ■ 11*, где / — одно из чисел 40, 80 и 160, а а и Ъ являются
номерами некоторых формул исчисления высказываний».
Если определяемый нами числовой предикат обозначить через
Ф(я), то это определение можно будет изобразить следующей
эквивалентностью:
A0|л&Рг(я(л, 10))&A(/z)s?3) V
C1п&Ф(л(я, 3))&пфО)\/
(v(n, 0)>l&v(/z, 0)<;5&v(/z, l) = 0&
v(n, 2)=1&Ф^(п, 3))&O(v(n, 4))&K(n)-4).
1) См. т. I, с. 400.
4 1] АРИФ^ШТИЗАЦИЯ ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ 277
Эту эквивалентность можно легко превратить в рекурсию пробега
для некоторой функции f (/г), с помощью которой предикат Ф(/г)
изобразится в виде
Действительно, сначала из этой эквивалентности получится (дедук-
(дедуктивно или содержательно) 1Ф@), а тем самым и
ф @) ~ 1 = 0.
Следовательно, мы можем положить
f@)=l.
Если теперь мы добавим к указанной эквивалентности в каче-
качестве посылки формулу пфО и опустим во втором дизъюнктивном
члене ее правой части условие пфО, заменим каждое выраже-
выражение Ф (а) равенством f (а) = 0 и затем переведем всю стоящую
в правой части эквивалентности формулу в формулу вида t = 0,
то в результате получится следующая формула:
0~[р(я, 10) +(я(я, Ю
[р(я, 3) + f(jt(n, 3))]-[B-v(tt,
у(я, l) + (v(n, 2)- 1) + A = v(n, 2)) + f(v(n, 3))
f(v(n,
После этого предикат Ф(/г) можно выразить в виде ф(/г) = О
с помощью функции ф (/г), определяемой следующей рекурсией:
Ф@)=1,
^ф(я) = [р(я, 10) + (я(я, 10)-^рМя(я.1в))) +
C-^(/г))]-[р(/г, 3) + ф(я(я, 3))] ■ [B--v (/г, 0)) +
(у(я, 0)-«-5) + у(я, l) + (v(n, 2)---
Ф(у(я,
Но эти две формулы представляют собой рекурсию пробега.
Действительно, вторая из них имеет вид
я#0-»-ф(я) = Ь(л, ф(я(я, 3)), Ф(у(я, 3)), Ф(у(я, 4))),
где b(n, a, b, с), л (п, 3), v(n, 3) и v(n, 4) суть рекурсивные
функции и для пфО выполняются неравенства
п(п, 3)<гс, v(n, 3)</г и v(n, 4)</г.
Таким образом, для понятия формула исчисления
высказываний арифметическая формализация (на основе нашей
нумерации) может быть произведена с помощью некоторого рекур-
278 МЕТОД АРИФМЕТИЗАПИИ МЕТАМАТЕМАТИКИ [ГЛ IV
сивного определения. Используемый здесь вид рекурсии — рекур-
рекурсия пробега —не является самым общим из числа тех, с которыми
нам придется иметь дело при арифметизации метаматематических
понятий. Однако и все те более общие типы рекурсий, которые
здесь будут встречаться, аналогично рекурсии пробега могут
быть сведены к примитивной рекурсии.
В качестве примера, иллюстрирующего эту мысль, мы раз-
разберем арифметизацию понятия терм, причем это понятие мы
■пределим для того формализма, для которого была введена наша
нумерация, т. е. для исчисления предикатов с добавлением цифр
и функциональных знаков.
Выражение этого формализма является термом, если оно либо
является свободной индивидной переменной или цифрой, либо
представляет собой функциональный знак с термами в качестве
аргументов.
Замечание. Под выражением формализма здесь
понимается такая построенная из символов и переменных фор-
формализма фигура, которая является либо формулой, либо такой
составной частью формулы, у которой каждый знак, снабженный
местами для аргументов, содержит соответствующие аргументы,
а каждый логический символ содержится вместе с областью или
с областями, на которые простирается его действие. В соответст-
соответствии со сказанным выражение рассматриваемого нами формализма
либо является термом или формулой, либо получается из терма
или из формулы в результате замены некоторых свободных пере-
переменных связанными.
Поэтому на основе произведенной нами нумерации полу-
получается, что число является номером какого-либо терма тогда и
только тогда, когда оно является либо умноженным на 2 простым
числом, большим 5; либо умноженной на 2 степенью числа 3;
ли о умноженным на 5 произведением степеней простых чисел,
больших или равных 7, причем показатели этих степеней суть
номера каких-либо термов. Если перевести эту содержательную
формулировку в формализм рекурсивной арифметики, то для
предиката «число л является номером некоторого терма», который
мы будем обозначать символом Тт (л), получится следующая
эквивалентность:
Тт (п) ~ B1 л & Рг (л (л, 2)) & Я (л) 5s 3) V
(v(n, 0)=1&Я(п)^1) V
(v(n, 0) = 0&v(n, l) = O&v(n, 2)=
Vx(x<n-+v(n, ^) = 0\/J
[В качестве посылки импликации, стоящей в области действия
квантора V*, вместо х<Сп можно было бы взять Я()]
* И АРИФМГ.ТИЗАИИЯ ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ 279
На основании этой эквивалентности, предикат 1'пцп) может быть
изображен в виде t (п) = 0 с помощью функции t (n), удовлетво-
удовлетворяющей следующим условиям:
t@)=l,
/г) =
(р(п, 2) + (я(п, 2)-^
((v(n, 0)^-l) + (l^-
v(n, l) + (v(n, 2)^-
Эти условия дают нам для t(n) рекурсивное определение
некоторого специального типа, а именно рекурсию вида
t@)=l,
n + 0-+t(n)-a(n)-(b(n)+ 2 с (п. Jf)-t(v(a, л:))),
где а'(п), Ь(«) и с (я, а) — рекурсивные термы. И хотя эта рекур-
рекурсия не является ни примитивной рекурсией, ни рекурсией про-
пробега, ее можно (тем же самым приемом, что и рекурсию пробега)
свести к примитивной рекурсии. Действительно, из формул,
описывающих t(n), получается следующая рекурсия:
НО) = 2,
Р(п')-(*(л')+ Б с(«'. x)-v(tj(n), v(n, *)))
Ь (я') =■&(*)• ft,- x<"'
для функции
[При этом используется, то что при х<«' имеет место равенство
t(v(n', jc))=»v(^(n), v(/i', х)), так как v(«', ^)sj/j и при f=ssn
имеет место равенство t(f)«-v(l>(n), f).]
Эта рекурсия, описывающая ^(п), является примитивной,
так как функция
2 с (я', x).v(c, v(n'. х))
рекурсивна.
Но t(n) определяется по \)(п) равенством t(n) = v(f)(n), n).
Тем самым предикат «число п является (в нашей нумерации)
номером некоторого терма» получает чисто рекурсивное опреде-
определение.
280 МЕТОД АРИФМЕТИЗАЦИИ МЕТАМАТЕМАТИКИ [ГЛ IV
Совершенно аналогично предикату «число п является номером
некоторого терма» может быть определен и предикат «число п
является номером некоторого квазитерма», причем под квази-
квазитермом здесь понимается такое выражение, которое либо
является термом, либо получается из какого-либо терма заменой
одной или нескольких свободных индивидных переменных связан-
связанными. Поправка в определении по сравнению с определением
предиката Тт (п) будет состоять лишь в том, что в определяемой
эквивалентности добавится еще один дизъюнктивный член, кото-
который будет выражать возможность того, что п является номером
какой-либо связанной переменной, т. е. например, дизъюнктивный
член Pr (n) & n ^s 7. В рекурсивном определении изображающего
терма этому добавлению будет соответствовать появление в выра-
выражении л (п) соответствующего множителя, причем в качестве
этого множителя можно будет взять выражение (п — Рх i«>) -f
+ G-n).
На этих двух примерах мы исчерпывающим образом изложили
метод перевода финитных метаматематических понятий на язык
формальных рекурсивных определений. Поэтому при разборе
дальнейших переводов метаматематических понятий в формализм
рекурсивной арифметики мы, как правило, будем довольствоваться
указанием эскиза определения, доведенного до стадии содержа-
содержательной арифметической формулировки.
Рассмотрение этих двух примеров пока еще не показывает,
как далеко можно пойти в рекурсивно-арифметическом переводе
метаматематических понятий. В дальнейшем мы убедимся, что
для рассматриваемого нами формализма исчисления предикатов
с добавлением цифр и функциональных знаков общее понятие
формулы и общее понятие формального доказатель-
доказательства (вывода) в нашей нумерации также получают рекурсивные
определения.
Для этого в качестве вспомогательного средства мы введем
арифметическую функцию двух аргументов st (т, Щ, значением
которой в том случае, когда k есть простое число и &s=7,
а т есть номер какого-либо выражения 31 рассматриваемого
формализма, является номер выражения (не обязательно принад-
принадлежащего нашему формализму), которое получается из !й в резуль-
результате замены переменной с номером k всюду — за исключением
тех мест, где она является составной частью какого-либо кван-
торного комплекса, — цифрой 0; так что, в частности, если пере-
переменная с номером k не входит в *Л, то значение функции st (m, k)
будет равно т.
Функцию st (m, k) мы определим с помощью следующего
разбора случаев:
«Если m = k и k есть простое число ^7, то st (m, k) = 2;
если m = 2a-3*-5c-rt, причем с>0 и п не делится ни на одно
§ Ц АРИФМЕТИЗАЦИЯ ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ 281
из чисел 2, 3 и 5, то st (m, ft) = 2"-3й-5е- [[ ?sxHV{n- *>• fc>; если
ни один из перечисленных двух случаев не имеет места, то
st (m, ft) = т».
Если положить
t! (m, k) = (m^-k) + {k~ m) + (ft-^f\w) + C - к (ft)),
t2(m, ft) = p(m, 5) + sgnm,
то условия, характеризующие эти три случая, изобразятся в виде
ti(m, ft) = 0, t2(m, ft) = 0 и tx (m, ft)-tg(m, ft)=^=O. После этого для
функции st (m, ft) получается следующее представление:
st(m, ft)-2-spit1(m> ft) +
слп t ^m £Л . I I pv(m, *).sgnC — jc) 4-st (v (m, *), fc)-ssn C — x)
-1-m-sgn (^(m, ft)-t2(m, ft)),
которое показывает, что функция st (m, ft) является рекурсивной.
Из определения st (m, ft) мы также получаем, что для любых т
и ft имеет место неравенство st (m, ft)s£m.
Теперь мы имеем в своем распоряжении все необходимые
вспомогательные средства для того, чтобы с помощью нашей нуме-
нумерации дать рекурсивно-арифметическое определение понятия
формулы.
Любая формула нашего формализма либо является формуль-
формульной переменной без аргументов или формульной переменной
с одним или несколькими термами в качестве аргументов, либо
является отрицанием некоторой другой формулы или конъюнкцией,
дизъюнкцией, импликацией или эквивалентностью двух других
формул, либо же она имеет один из видов Vj9lE), 3^21 (£), где
£ — связанная переменная, а 91 (£) — выражение, которое содержит
переменную £, но не содержит кванторов, относящихся к пере-
переменной £, и которое при замене £ цифрой 0 переходит в некото-
некоторую формулу.
Это последнее условие, налагаемое на91(£), равносильно тому
что данное выражение при замене в нем £ цифрой 0, если эта
замена производится на всех местах, за исключением кванторных
комплексов Vj или 3£, переходит в некоторую отличную от него
формулу.
Затем мы вводим следующее арифметическое определение:
«число т является номером некоторой формулы (нашего форма-
формализма) тогда и только тогда, когда имеет место один из следую-
следующих случаев: т получается умножением на 10 некоторого про-
простого числа, большего или равного 7, или умножением на 10
некоторого произведения степеней простых чисел, больших или
равных 7, каждый из показателей которых является номером
282 МЕТОД АРИФМПТИЗАЦИИ МЕТАМАТЕМАТИКИ |ГЛ ГУ
некоторого терма, либо т получается умножением на 3 некото-
некоторого отличного от 0 числа, являющегося номером некоторой фор-
формулы, или умножением на 20, или на 40, или на 80, или иа 160
некоторого числа вида 7а11*, где а и Ь суть номера некоторых
формул, или т получается умножением на 50 или на 100 неко-
некоторой степени ра, где р — простое число, большее или равное 7,
st(а, р)Фа и st(а, р) является номером некоторой формулы».
Так как для любого простого р выполняются неравенства
st (а, p)*=ga<p°, то это определение дает рекурсию пробега для
некоторой функции f(n), с помощью которой предикат «число т
является номером некоторой формулы» может быть изображен
в виде f (m) = 0.
Если у дизъюнкции, с помощью которой мы определили этот
предикат, отбросить все члены, за исключением первых двух, то
полученная новая дизъюнкция даст определение для предиката
«число т является номером элементарной формулы»; если же мы
отбросим у этой дизъюнкции только последний ее член, то при-
придем к определению понятия «число т является номером формулы
без связанных переменных, т. е. бескванторной формулы». Таким
образом, оба эти понятия тоже могут быть определены с помощью
примитивной рекурсии.
г) Арифметизация распределений истинностных значений.
Теперь, прежде чем перейти к арифметизации понятия вывода,
мы рассмотрим вопрос о том, как с помощью арифметического
перевода может быть оформлена процедура вычисления тех истин-
истинностных значений бескванторных формул, которые получаются
в результате произвольного приписывания каждой элементарной
формуле одного из значений «истина» или «ложь» и истолкова-
истолкования связок исчисления высказываний как истинностных функций.
Возможные распределения истинностных значений по элемен-
элементарным формулам бескванторной формулы нам пришлось арифме-
тизироватьJ) уже при доказательстве гёделевской теоремы о пол-
полноте. Мы установили, что если S4'i. •••. Фг — элементарные под-
подформулы рассматриваемой формулы, упорядоченные по их первому
появлению, то распределение истинностных значений по этим
формулам удобно изображать посредством числа
2 • вц + * bu + . . . + z • Bit — 1 + bi.
с,
где т( (при t = 1, ..., г) равно 0 или 1 в зависимости от того,
какое значение принимает формула ф( —«истина» или «ложь».
Для проводившегося там рассуждения такое представление
было особенно удобно тем, что при этом величина числа, пред-
См, с. 239 и далее.
f Ц АРИФМЕТИЗАЦИЯ ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ 283
ставляющего распределение истинностных значений, зависит в пер-
первую очередь от значения ть затем от значения т2 и т. д.
Но будет еще проще, если при тех же самых значениях mlt ...
..., mc в качестве числа, представляющего распределение истин-
истинностных значений, мы возьмем
Если это число обозначить буквой т, то для {=1 г будет
выполняться равенетво
т(«р(я(т, 2х-'), 2).
Согласно этим последним формулам, при замене числа т другим,
отличающимся от него на некоторое кратное числа 2е, для
ть ..., тс получатся те же самые значения. Функцию р (л (т, 2*), 2)
мы будем обозначать через у(т, k). Значение у(т, k) представ-
представляет собой ту цифру @ или 1), которая в двоичном разложении
числа га стоит на \k-\- 1)-м [считая справа налево] месте.
Для арифметизации внесения истинностных значений в эти
формулы мы добавим к нашему формализму новый символ V,
который будем считать несобственной элементарной формулой.
Мы припишем этому символу в качестве номера число 10. Каждая
формула в прежнем смысле (в том числе и элементарная) будет
называться собственной формулой или соответственно собственной
элементарной формулой. Обобщение арифметических определений
понятий элементарная формула, а также формула на
случай добавления символа V производится простым добавлением
к дизъюнкции, определяющей предикат «число т является фор-
формулой» или соответственно «число т является элементарной фор-
формулой», члена т— 10. Символом V мы будем изображать значение
«истина», а его отрицанием "IV — значение «ложь».
А теперь мы возьмем некоторую бескванторную формулу и
представленное двоичным разложением числа п распределение
истинностных значений по ее собственным подформулам. Внесе-
Внесение этого распределения в рассматриваемую формулу может быть
произведено следующим образом: сначала первая входящая в рас-
рассматриваемую формулу элементарная подформула всюду, где она
встречается, заменяется либо символом V, либо его отрицанием
~}V в зависимости от того, какое значение, 0 или 1, принимает
■у(я, 0); затем в полученной таким образом формуле первая встре-
встречающаяся в ней элементарная подформула всюду, где она встре-
встречается, заменяется либо символом V, либо его отрицанием V
в зависимости оттого, какое значение, 0 или 1, принимает у(п, I),
и т. д.; этот процесс повторяется столько раз, сколько различных
элементарных формул входит в заданную формулу, так что в конце
концов мы приходим к формуле, построенной из одного только сим-
284 МЕТОД АРИФМЕТИЗАЦИИ МЕТАМАТЕМАТИКИ СЛ IV
вола У с помощью связок исчисления высказываний. А истинно-
истинностное значение этой формулы вычисляется в соответствии с нашим
пониманием связок исчисления высказываний как истинностных
функций. Для того чтобы с помощью нашей нумерации изобра-
изобразить в рамках рекурсивной арифметики эту процедуру внесения
истинностных значений, а также и последующее вычисление резуль-
результирующего значения, введем некоторые вспомогательные понятия.
Во-первых, мы определим предикат «число т является номе-
номером бескванторной формулы, содержащей некоторую собственную
элементарную формулу». Определение этого предиката, который
мы обозначим посредством <t>i(m), может быть дано следующей
альтернативной:
«Либо т является номером некоторой собственной элементар-
элементарной формулы1), либо ш = 3л, где п — отличное от 0 число такое,
что имеет место Фг(п), либо m = 20q-7a ■ 11*, где q является
делителем числа 8, числа а и b являются номерами некоторых
бескванторных формул и имеет место по крайней мере одно из
высказываний Ф1(а) и Фх(Ь)».
Затем мы определим функцию q>, (m), устроенную таким обра-
образом, что номеру любой бескванторной формулы, содержащей
какую-либо собственную элементарную формулу, она сопоставляет
номер первой входящей в нее элементарной формулы, а любому
другому числу— значение 0.
Неформальное определение функции q>i (m) выглядит следую-
следующим образом:
«Если Ф\(т) не имеет места, то q>i(m) = 0;
если т является номером какой-либо собственной элементар-
элементарной формулы, то q>i(m) = m;
если $>\{т) имеет место и т — Ъ-п, где п. отлично от нуля,
то (Mm) = q>i(n);
если CDi(rri) имеет место и т — к-1а-\\ь, где k — одно из
чисел 20, 40, 80 или 160, то в том случае, когда <I>i(a) имеет
место, ф1(т) = ф1(а); в противном случае ф1(т) = ф1(Ь)».
Далее мы определим функцию щ(т, k, l), значением которой
в случае, когда т является номером некоторой бескванторной
формулы ft, k является номером какой-либо входящей в g собст-
собственной элементарной формулы ty, а / — номером какого-либо выра-
выражения 91, будем считать номер того выражения, которое получается
из этой формулы g заменой элементарной формулы ф всюду, где
она встречается, выражением ?1, а в том случае, когда k не
является номером никакой элементарной формулы (и, значит,
в частности, при k — О), а также если k является номером эле-
:) Рекурсивную представимость этого предиката мы отметили выше, см.
с. 282, где об «элементарных формулах» говорилось как о «собственных эле-
элементарных формулах».
* И АРИФМЕТИЗАЦИЯ ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ 285
ментарной формулы, не входящей в формулу % с номером т,
то положим по определению щ (т, k, I) = т.
Рекурсивное определение функции q>2 (m, k, l) может быть
дано следующим образом:
«если т = k и к является номером какой-либо собственной
»лементарной формулы, то ф2(т, k, /) = /;
при пфО
ф2C0п, k, /) = 3-<p4A0-n, k, I),
для <7= 1, 2, 4 и 8
ф2D-20-7". 11", k, /) = ^.20-7<Р«<а-*>"-11^<»-*-');
для любых т, k, l, не подпадающих ни под один из пере-
перечисленных выше случаев,
Фа(т, k, I) = m».
С помощью фх (т) и ф2 (т, А;, /) мы получаем функцию
Ф2(т, Фх(т), /),
которая в дальнейшем будет обозначаться через ф3 (т, /). В том
случае, когда т является номером бескванторной формулы %,
содержащей какую-либо элементарную формулу, а /—номером
какого-либо выражения Ш, значение ф3(т, /) представляет собой
номер того выражения, которое получается из % заменой первой
входящей в g собственной элементарной формулы (всюду, где
она входит в %) выражением 5Я, а в том случае, когда т является
номером формулы, не содержащей собственных элементарных
формул, оно равняется т. [Действительно, сказанное вытекает
из того, что если <J>i(m) не имеет места, то ф1(т) = 0, и из равен-
равенства ф2(т, 0, /) = т.]
А теперь процедура последовательного внесения истинностных
значений, распределенных по элементарным формулам какой-либо
собственной бескванторной формулы % с номером т — если это
распределение характеризуется числом п — может быть представ-
представлена следующим образом. Сначала разыскивается первая входя-
входящая в % элементарная формула; она является собственной эле-
элементарной формулой и имеет номер ^(т). Затем эта формула
всюду, где она встречается в %, заменяется на V или на ~| V
в зависимости от того, равно у(п, 0) нулю или единице, т. е. она
заменяется формулой с номером 10+ 20-у(я, 0). В результате
этой замены мы получаем формулу с номером фг(т, q>i(m),
Ю-f 20-v(«, 0)), т. е. с номером щ(т, 10 + 20-у(«, 0)). Обозна-
Обозначим эту формулу посредством gb и пусть т1 — ее номер. Если
формула gx содержит еще какие-нибудь собственные элементар-
элементарные формулы, то мы снова разыскиваем первую из них; ее номе-
номером будет число ф1(тх). Мы заменим эту формулу всюду, где
286 МЕТОД АРИФМЕТИЗАЦИИ МЕТАМАТЕМАТИКИ [ГЛ IV
она входит в %г, формулой с номером 10 + 20-у(п, 1), и в резуль-
результате этого из формулы %i получится формула с номером q>a(tnu
10 + 20у(п, 1)). Если же формула %г не содержит собственных
элементарных формул, то она дальше не изменяется и тогда
m1 = f3(/ni. 10-j-20■ y(«, 1))- Пусть в любом из этих случаев $2
обозначает формулу с номером q>3(/ni, 10-|-20-y(«, 1)). С этой
формулой мы поступим совершение так же, как перед этим по-
поступали с $ь с тем лишь различием, что теперь вместо числа
у(п, 1) мы возьмем число у(п, 2). Будем продолжать этот про-
процесс и далее. Не позже чем через т шагов мы получим формулу,
которая больше уже не будет содержать собственных элементар-
элементарных формул; в самом деле, число отличных друг от друга эле-
элементарных формул, входящих в формулу % с номером т, во
всяком случае меньше т, а в результате каждого шага замены
одна из этих формул исключается.
Если мы теперь обозначим посредством щ{т, п, k) номер
формулы, получающейся после fe-ro шага процесса, начинающе-
начинающегося бескванторной формулой с номером т, то процедура после-
последовательного внесения истинностных значений изобразится сле-
следующей примитивной рекурсией:
Ф4(/п, п, 0) = т,
ф4(т, n, £') = ф3(ф4(т, п, k), 10+ 20-у (л, k)).
Указанная интерпретация функции ф4(т, п, k) будет годиться
для любого числа т, являющегося номером какой-либо бескван-
бескванторной формулы g. Для формулы такого рода функция ф4 (т, п, т)
изображает номер той построенной из символа V и связок исчис-
исчисления высказываний формулы, которая получается из % внесе-
внесением характеризуемого числом п распределения истинностных
значений по собственным элементарным подформулам, входящим
в формулу %.
А теперь мы определим функцию Ф5(/и), которая в том слу-
случае, когда т является номером формулы, построенной из символа V
с помощью связок исчисления высказываний, принимает значе-
значение 0 или 1 в зависимости от того, чему равно (V или V)
истинностное значение этой формулы, получающееся в результате
естественного истолкования связок исчисления высказываний как
истинностных функций.
Определение функции ffb{m) может быть дано следующим
образом:
«ф5A0) = 0.
При пфО
1, если ф6(п) = 0,
О, если ф5(/г)=1,
2, если <рь(п)ф0, 1.
* Г] АРИФМЕТИ34ЦИЯ ИСЧИСЛГНМЯ ПРГДИКЛТОВ 287
Ьсли каждое из чисел Ф5(а), ЧьФ) равно 0 или. 1, то
ф5(80-7" ll") = 4,.3(b
Фб A60 • 7" ■ 11») = sgn (ф5 (Ь) ■ sgn ф5 (а) + ф5 (а) ■ sgn <р, (Ь)).
Во всех остальных случаях ф5(т) = 2».
Теперь мы можем задать такой рекурсивный предикат, кото-
который для любого числа т, являющегося номером какой-либо бескван-
бескванторной формулы, будет выполняться тогда и только тогда, когда
эта формула является результатом какой-нибудь подстановки
в некоторую тождественно истинную формулу исчисления выска-
высказываний.
Действительно, для любого т, обладающего указанным свой-
свойством, это условие равносильно тому, что для любого, описывае-
описываемого каким-либо числом п распределения истинностных значений
будет иметь место равенство
Ч>ЛЧ>*(т, я, т)) = 0.
Если теперь еще заметить, что в формулу с номером m может
входить разве лишь т—\ различных собственных элементарных
формул и что любое распределение истинностных значений по
этим элементарным формулам может быть охарактеризовано чис-
числом, меньшим 2т, то легко убедиться, что рассматриваемый пре-
предикат допускает представление в виде
2 Ф5(Ф4(т, п, т)) = 0.
л<2т
Этот предикат, который очевидным образом рекурсивен, мы
будем обозначать посредством Ф2(/п). Из этого определения немед-
немедленно получается и определение для понятия тождественно
истинной формулы исчисления высказываний. Дей-
Действительно, m является номером тождественно истинной формулы
исчисления высказываний тогда и только тогда, когда т является
номером некоторой формулы исчисления высказываний — что мы
уже выразили рекурсивно — и когда, кроме того, имеет место Ф2 (т.).
д) Арифметизация понятия вывода. Теперь мы обратимся
к понятию вывода. Для того чтобы дать арифметическое опре-
определение этого понятия, нам прежде всего потребуется арифмети-
арифметизация правил подстановки и переименования связанных перемен-
переменных.
Замечание. В основу дальнейших определений мы положим
понятие формулы в его узком смысле, так что термин формула
будет пониматься нами в том смысле, в каком выше говорилось
о собственных формулах.
288 МЕТОД ЛРИФМЕТИЗАЦИИ МЕТАМАТЕМАТИКИ [ГЛ IV
Арифметизацню подстановки вместо формульных переменных
без аргументов и вместо свободных индивидных переменных
можно без особого труда произвести с помощью некоторой рекур-
рекурсивной функции sti(tn, k, I), значение которой в случае, когда т
и / являются номерами некоторых выражений нашего формализма,
a k — номером какой-либо свободной индивидной переменной
или же формульной переменной без аргументов, представляет
собой номер того (возможно уже не принадлежащего нашему
формализму) выражения, которое получается из выражения с но-
номером т в результате замены переменной с номером k всюду,
где она встречается, выражением с номером /. Имея в виду также
и арифметизацию переименования связанных переменных, мы
определим функцию sti(/n, k, I) так, чтобы в том случае, когда т
является номером какого-либо выражения нашего формализма,
a k и / — номерами связанных переменных, значение функции
sti(/n, k, I) представляло собой номер того выражения, которое
получается из выражения с номером т в результате замены пере-
переменной с номером k всюду, где она встречается, переменной
с номером /.
Функцию sti(/n, k, I), подобно функции st(m, ftI), мы опре-
определим следующим образом:
«Если m = k и k = qp, причем q=l, или <7 = 2, или <7=*10,
а р — простое число, большее или равное 7, то
st1(m, k, /) = /;
если т = 2а-5-п, причем п не делится ни на одно из чисел 2,
3 и 5 и не является простым, то
sMm, k, /) = 2a-5- П Kll(vin-x)-k-l);
если m — q50-g't, q=l или q = 2, a p — простое число,
большее или равное 7, то
sMm, k, /) = </• 50-(sti(p, k, /))*.<«. *• '>;
если т — 3-п, а пфО и делится на 10, то
sti(/n, k, /) = 3-sti(/i, k, I);
в остальных случаях
stx (m, k, I) = mt>.
Теперь с помощью функции sti (m, k, l) можно рекурсивно
выразить отношение, связывающее две формулы, одна из кото-
которых получается из другой в результате подстановки вместо сво-
свободной индивидной переменной или соответственно вместо формуль-
См. с. 280 и далее.
S U АРИФМЕТИЗАЦИЯ ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ 289
ной переменной без аргументов. Именно, мы введем следующее
определение: «Формула с номером п получается из другой,
отличной от нее формулы с номером т в результате подстановки
вместо свободной индивидной переменной тогда и только тогда,
когда тип являются номерами формул, т-фп и существуют
число k, не превосходящее т и являющееся номером некоторой
свободной индивидной переменной, и число /, не превосходящее п
и являющееся номером некоторого терма, такие, что имеет место
равенство stx (m, k, I) = m>.
Совершенно аналогично выглядит определение предиката «фор-
«формула с номером п получается из отличной от нее формулы
с номером т в результате подстановки вместо формульной пере-
переменной без аргументов». Это определение отличается от преды-
предыдущего лишь тем, что в отношении stx (m, k, I) = n число k
в данном случае должно быть номером какой-нибудь формульной
переменной без аргументов, а число / — номером какой-либо
формулы.
Далее, с помощью функции stx (m, k, l) можно рекурсивно
выразить условие, необходимое и достаточное для того, чтобы
индивидная переменная с номером k входила в выражение
с номером т. Действительно, это условие может быть изображено
формулой
stx(m, k, 2)Фт.
Тем не менее функции stj (m, к, I) еще недостаточно для того,
чтобы непосредственно выразить то обстоятельство, что одна из
двух данных формул получается из другой в результате переиме-
переименования некоторой связанной переменной. Причина этого заклю-
заключается в том, что переименование связанной переменной должно
производится не всюду, где рассматриваемая связанная перемен-
переменная встречается, а только в области действия соответствующего
квантора.
Однако с помощью еще одного рекурсивного определения
можно добиться, чтобы было учтено и это обстоятельство. Этого
можно достичь с помощью функции а (а, Ь) и ее обращений
о1 (п) и а2 (пI), если удастся сформулировать рекурсивное опре-
определение для некоторого предиката Wx (s), который для числа s
такого, что ах (s) и а2 (s) суть номера некоторых формул, выполня-
выполняется тогда и только тогда, когда вторая из этих формул полу-
получается из первой в результате переименования какой-либо связан-
связанной переменной (производимого в области действия соответствую-
соответствующего квантора).
Определение предиката Ч^ (s) дается следующей альтернативой:
См. сноску 2 на с. 272.
290 МЕТОД АРИФМЕТИЗАЦИИ МЕТАМАТЕМАТИКИ [ГЛ IV
«Либо <Tx(s) является числом вида 50-q-p", o2(s) является
числом вида 50-q-l", где q=\ или q = 2, рф1 — простые числа,
большие или равные 7, и имеет место равенство
sti(o1(s), р, /) = Ois(s);
либо
ах(s) = 3 т, а2 (s) = 3 • л, /я, пфО и Ч^(а(/л, «));
либо
ai(s) = 5O-<7-pa и <т2(s) = 50• q■ р\
где <7=1 или 9 = 2, р —простое число, большее или равное 7.
и 4\(a(a, 6));
либо
a1(s) = 20.(?-7a-lli и a2(s) = 2O-q-7c ■ W,
где ^ — делитель числа 8 и
b, d)) или 6 = d&¥1(a(a, с))».
Определенный таким образом предикат W1(a(m, п)) для чисел
тип, являющихся номерами некоторых двух формул, изобра-
изображает условие, необходимое и достаточное для того, чтобы вторая
из этих формул получалась из первой в результате переименова-
переименования некоторой связанной переменной.
Теперь необходимо еще построить рекурсивное выражение
для того факта, что одна из двух заданных формул получается
из другой в результате некоторой подстановки вместо формуль-
формульной переменной с аргументами.
Сначала напомним, что для выполнения такой подстановки
мы должны взять какую-либо именную форму х)той формуль-
формульной переменной, вместо которой будет производиться подстановка.
Все свободные индивидные переменные, являющиеся аргументами
этой именной формы, отличны друг от друга; кроме того, иногда
бывает нужно, чтобы они отличались еще и от некоторых инди-
индивидных переменных той формулы, в которую производится подста-
подстановка. Например, если мы хотим из формулы
получить подстановкой формулу
а = Ь ->- (а = а -*■ Ь = а),
то в качестве именной формы мы не можем взять А (а), так как
при подстановке вместо А (а) формулы а = а получилась бы
См. Приложение J, с, 460.
§ 1] АРИФМЕТИЗАЦИЯ ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ 291
не требующаяся нам формула, а формула
а = Ь -*■ (а — а -*- Ь — Ь).
Таким образом, в этом случае в качестве аргументной перемен-
переменной нужно взять какую-нибудь индивидную переменную, отличную
от а. Такого рода требованиям мы удовлетворим с запасом, если
в качестве аргументных переменных именной формы будем брать
такие, которые вообще не входят в формулу %, в которую произ-
производится подстановка. Если т — номер этой формулы, то в любом
случае в нее не входят переменные, имеющие номера 2-fk, где
k^m. С другой стороны, число аргументов у формульной пере-
переменной, вместо которой будет производиться подстановка, всегда
меньше т, так как эта переменная входит в формулу с номером т.
Таким образом, в качестве переменных именной формы можно
брать переменные с номерами из списка
Теперь подстановка производится следующим образом. Сначала
указывается формула, которая будет подставляться вместо имен-
именной формы; эта формула —мы будем кратко называть ее заме-
заменителем—должна содержать аргументы именной формы. Затем
отыскиваются все вхождения в формулу g таких выражений,
которые либо совпадают с именной формой, либо отличаются
от нее тем, что вместо некоторых из аргументов именной формы
или вместо каждого из них в качестве аргументов стоят другие
квазитермы; выражения такого рода мы будем кратко называть
вариантами этой именной формы. Вместо каждого варианта U
рассматриваемой именной формы подставляется выражение, кото-
которое получается из заменителя в результате тех же самых замен
аргументных переменных именной формы, в результате которых
из именной формы получается Ц.
А теперь это описание операции подстановки необходимо
перевести, пользуясь нашей нумерацией, на язык арифметики.
Сначала мы должны будем дать арифметические определения
понятиям именная форма, заменитель и вариант, что
без особого труда может быть сделано на основе следующих
утверждений:
«Число k является номером какой-либо именной формы тогда
и только тогда, когда k=lO-n, где я — число, большее 1 и не
делящееся ни на одно из чисел 2, 3 и 5 и такое, что каждое
из отличных от 0 чисел v(n, х) (x<k) имеет вид 2-р, где
р —простое число, не меньшее 7, и что для x<y<.k либо
v(n, х)Ф\(п, у), либо числа v(n, x) и v(n, у) оба равны О»
«Число / является номером некоторого заменителя именной
формы с номером k тогда и только тогда, когда k является номе
ром некоторой именной формы, / является номером некоторой
292 МЕТОД АРИФМЕТИЗАЦИИ МЕТАМАТЕМАТИКИ [ГЛ IV
формулы и когда для всех чисел х таких, что 3^x<^k и
v(k, х)Ф0, свободные переменные с номерами v(k, x) входят
в формулу с номером I» х).
Пусть i|)i(m) обозначает рекурсивную функцию
ТТ j
gn v <«• *)
Тогда «число t является номером некоторого варианта именной
формы с номером k тогда и только тогда, когда k является номе-
номером некоторой именной формы, % (t) — % (k), v(t, 0) = 1, v(t, 2) = 1
и когда для каждого числа х такого, что 3^x<Ct, число v(t, x)
либо равно 0, либо является номером некоторого квазитерма».
Теперь мы определим функцию st2(m, k, t), значение которой,
когда т является номером некоторого выражения 91 рассматри-
рассматриваемого нами формализма, k является номером некоторой имен-
именной формы, а 7 —номером некоторого варианта 5 этой именной
формы, равняется номеру того выражения, которое получается
из *Л в результате замены каждой входящей в 31 аргументной
переменной данной именной формы всюду, где она входит в Ж,
тем квазитермом, который стоит в ^ вместо этой аргументной
переменной данной именной формы.
Определение функции st2(m, k, t) дается следующей альтер-
альтернативой:
«Если /п = 2р, где р — простое число, большее или равное 7,
и если существует число х такое, что 3 <:*•<& и v(k, x) = m,
то sta(m, k, t) = v(t, x);
если tn = 2a-3b ■5c-n, c>0, a n не делится ни на одно из
чисел 2, 3 и 5, то
st,(m, k, t) = 2°. 3й -5е
во всех остальных случаях st2(m, k, t) = tn».
А теперь с помощью функции st2 (m, k, t) легко определить
функцию st3(m, k, I), значение которой в том случае, когда т
является номером некоторой формулы g, & —номером некоторой
именной формы 53, / — номером некоторого заменителя @ для этой
именной формы, равняется номеру той формулы, которая полу-
получается из % в результате выполнения подстановки формулы @
вместо именной формы 93. В самом деле, определение этой функ-
функции дается следующей альтернативой:
«Еели k является номером некоторой именной формы, am —
номером некоторого варианта этой именной формы, то
st3(m, k, l) = sU(l, k, m)\
Относительно представления последнего из этих условий см. с. 289.
§ 1] АРИФМЕТИЗАЦИЯ ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ 293
если т = 2>-п, п отлично от 0 и делится на 10, то
st3(m, k, l) — 3-st3(n, k, I);
если m = 2a-bb -п, a-\-b>2 и п не делится ни на одно из
чисел 2, 3 и 5, то
st3(m, k, 0 = 2a-5*- JJ pst»<v<n. до.*,/);
дг< т
во всех остальных случаях st3(/n, k, l) — m».
Итак, арифметическое определение подстановки вместо фор-
формульной переменной почти завершено; и все же, для того чтобы
выразить тот факт, что формула с номером п получается из фор-
формулы с номером т в результате подстановки заменителя с номе-
номером I вместо именной формы с номером k, требуется (чтобы
представление было рекурсивным) некоторая оценка для k и /
через т и п. Действительно, нельзя быть уверенным, что к
меньше т, так как наша именная форма может содержать пере-
переменные, которые не входят в формулу с номером ш, и по той
же самой причине нельзя быть уверенным, что I меньше п.
Мы воспользуемся здесь тем ранее отмеченным обстоятель-
обстоятельством, что при подстановке в формулу с номером т аргументные
переменные именной формы могут быть выбраны из числа пере-
переменных с номерами 2fm, 2pm+1, ..., 2p2(m-n, так что номера всех
этих аргументных переменных будут меньше 2pim. Далее, мы
воспользуемся тем, что фактически подстановка в формулу R"
с номером т вместо именной формы с номером k будет произво-
производиться только тогда, когда формула g содержит в качестве состав-
составной части какой-либо вариант этой именной формы или же она
сама является ее вариантом. Если в каком-либо входящем в фор-
формулу g варианте этой именной формы каждую (свободную или
связанную) индивидную переменную и каждую цифру заменить
переменной с номером 2jf>2m, то рассматриваемая формульная
переменная будет иметь только такие аргументы, номера которых
не меньше 2pim и, следовательно, больше номеров аргументов
именной формы. Поэтому, заменив в формуле g каждую индивид-
индивидную переменную и каждую цифру переменной с номером 2|э2^,, мы
получим выражение, номер которого будет больше k; таким обра-
образом, номер этого выражения (которое, впрочем, не обязано при-
принадлежать рассматриваемому нами формализму) дает нам некото-
некоторую оценку для k. Эту оценку можно выразить рекурсивно, вос-
воспользовавшись функцией st4 (m, /), определяемой с помощью сле-
следующей альтернативы:
«Если т = р или т = 2р, где р — простое число, большее или
равное 3, или если m — 2-2>k, то
294 МЕТОД АРИФМЕТИЗАЦИИ МЕТАМАТЕМАТИКИ ГГП IV
если m = 2a-3b-5c-n, c>0, a n не делится ни на одно из
чисел 2, 3 и 5, то
st4 (m, /) = 2а ■ 3" • 5е • П Ки <v <n> **• ";
х< т
если ни один из перечисленных двух случаев места не име-
имеет, то
st4(m, [) = m».
числа т и / являются номерами выражений нашего
формализма, то st4(m, /) представляет собой номер того (не обя-
обязательно принадлежащего нашему формализму) выражения, кото-
которое получается из выражения с номером т в результате замены
каждой индивидной переменной и каждой цифры этого выраже-
выражения выражением с номером Л
Таким образом, найденная нами оценка для k изо ражается
неравенством
£<st4(m,
Аналогичную оценку мы получим и для номера заменителя. Дей-
Действительно, если © — формула с номером я, т. е. формула, полу-
получающаяся подстановкой из формулы 8, то в & входит по край-
крайней мере одно такое выражение, которое отличается от замени-
заменителя только тем, что вместо аргументных переменных именной
формы в нем стоят некоторые квазитермы. Если в такого рода
выражении все индивидные переменные и все цифры заменить
переменной с номером 2#>2т, то получится выражение, номер кото-
которой превосходит число /. Если же указанную замену произве-
произвести в ($3 повсюду, то и подавно получится выражение с номером,
большим /, так как вне подставляемых выражений в формуле ©
фигурируют только такие переменные и цифры, которые встре-
встречаются и в §. Таким образом,
/<st4(n, 2f2m).
А теперь уже можно сформулировать следующее определение:
«Формула с номером п получается из другой, отличной от нее
формулы с номером т в результате некоторой подстановки вместо
формульной переменной с аргументами тогда и только тогда,
когда тип являются номерами формул (тфп) и существуют
числа k и / [k — номер некоторой именной формы, а / — номер
соответствующего заменителя] такие, что k < st4 (m, 2|a2m).
/<st4(n, 2P2m) и st3(m, k, /)».
Таким образом, теперь мы уже выразили на языке рекурсив-
рекурсивной арифметики все глаьные понятия, необходимые для опреде-
определения вывода.
§ 1] АРИФМИТИЗАЦИЯ ИСЧИСЛГНИЯ ПРЕДИКАТОВ 295
Осталось только дать следующие вспомогательные определения:
«Формула с номером п получается из формулы с номером т
по схеме (а) тогда и только тогда, когда т имеет вид 80 - 7а -IIй,
где а —номер формулы, не содержащей переменной с номером 14,
b — номер формулы, содержащей переменную с номером 14, но не
содержащей переменной с номером 7, и
Я =80 7" ■ H50 7St. (b, 14,7)^
«Формула с номером п получается из формулы с номером т
по схеме (р) тогда и только тогда, когда т имеет вид 80-7а 11",
где а —номер формулы, содержащей переменную с номером 14,
но не содержащей переменной с номером 7, b — номер формулы,
не содержащей переменной с номером 14, и
n = 80-7100-7Stl(o'14-7)-ll&».
«Формула с номером s получается из формул с номерами т
и п по схеме заключения тогда и только тогда, когда т, п и s
являются номерами формул и
п = 80 • 7т • 1 И».
Номера следующих двух формул:
Ух А (х) -> А (а) и А(а)-^ Эх А (х),
т. е. числа
80-7E°-7<|0'7'^ • 11(|0-714) и 80-7<|0-7">- и(юо.7(i°'7'))t
мы обозначим через пг и п2.
Пользуясь тем, что последовательность формул с номерами
mlr ..., тс может быть изображена числом
' о • • • a z— 1'
мы приходим к следующему определению:
«Мы говорим, что число т представляет список формул, являю-
являющийся выводом формулы с номером п, если выполняются следую-
следующие условия:
1) для всякого числа х^к(т) число \(т, х) является номе-
номером некоторой формулы;
2) v(m, l(m)) = n\
3) для каждого из чисел х^Х(т) выполняется следующая
альтернатива.
а) v (т, х) является номером какой-либо тождественно истин-
истинной формулы исчисления высказываний или равняется одному из
чисел пх и п2; либо
б) хфО и формула с номером v(tn, x) получается из фор-
формулы с номером v (т, х—1) в результате подстановки вместо
какой-либо формульной переменной без аргумента, или вместо
296 МЕТОД АРИФМЕТИЗАЦИИ МЕТАМАТЕМАТИКИ [ГЛ IV
свободной индивидной переменной, или вместо формульной пере-
переменной с одним или несколькими аргументами, или в результате
переименования какой-либо связанной переменной, или же по
одной кз схем (а) и ф); либо
в) х > 1 и формула с номером v (т, х) получается из формул
с номерами v(m, х— 1) и v(m, * — 2) по схеме заключения; либо
г) существует число у<х такое, что v(m, y) = v(m, x)».
Тем самым построен некоторый рекурсивный предикат — обо-
обозначим его Dd (m, n) (Dd будет напоминать нам о дедукции), —
который для чисел тип выполняется тогда и только тогда,
когда числа
v(m, 0) v(m, X(m))
являются номерами таких формул нашего формализма, которые
в указанном порядке образуют вывод последней из этих формул
(по правилам нашего формализма), причем эта последняя формула
имеет номер «. Короче, можно сказать, что высказывание: «Пред-
«Представленный числом т список формул является выводом формулы
с номером я» может быть изображено с помощью некоторого
рекурсивного предиката Dd (m, п).
Метод получения этого результата отчетливо показывает, что
возможность построения рекурсивного предиката, который
с помощью нашей нумерации характеризовал бы данный список
формул как вывод некоторой формулы, основывается вовсе не на
осо ой структуре рассматриваемого конкретного формализма,
т. е. исчисления предикатов с добавлением цифр и функциональ-
функциональных знаков, а только на том, что характер нашего оперирования
с объектами этого формализма является строго формальным и
одновременно наглядно элементарным.
Мы провели это рассмотрение весьма обстоятельно и не стали
облегчать свою задачу различными редукциями формализма (можно
было бы, например, с помощью соответствующих определений
свести одни логические знаки к другим, а также устранить
с помощью формульных схем правило подстановки вместо фор-
формульных переменных). Это было сделано, с одной стороны, для
того, чтобы подробно проиллюстрировать практику использова-
использования нумераций для получения рекурсивных определений метаматема-
метаматематических понятий и показать, как можно устранить различные
возникающие при этом трудности, а с другой стороны, еще и
потому, что доказанный нами факт рекурсивной определимости
характеристических свойств вывода в исчислении предикатов
может рассматриваться как некоторое подтверждение того,
что правила нашего исчисления предикатов носят точный ха-
характер.
Кроме того, мы более детально рассмотрели рекурсивное опи-
описание распределений истинностных значений по элементарным
§ 2] АРИФМЕТИЗАЦИЯ ТЕОРЕМЫ ГЕДЕЛЯ О ПОЛНОТЕ 297
подформулам бескванторных формул и связанные с этим рекур-
рекурсивные определения в расчете на дальнейшее их использование:
впоследствии они помогут нам получить обещанное в конце пре-
предыдущей главы финитное усиление теоремы Гёделя о полноте.
§ 2. Применение метода арифметизации
к теореме Гёделя о полноте
а) Формализация доказательства теоормы о полноте. Мы
теперь возвратимся к доказательству теоремы Гёделя, утверждаю-
утверждающей, что всякая неопровержимая формула исчисления предикатов
является выполнимойх). Доказывая эту теорему, мы исходили из
замечания о том, что для любой формулы исчисления предикатов
можно указать такую теоретико-модельную сколемовскую нормаль-
нормальную форму, что и в отношении опровержимости, и в отношении
выполнимости она будет равносильна исходной формуле. Ввиду
этого обстоятельства теорему Гёделя достаточно было доказать
только для формул специального вида
у которых переменные £ь ..., £t., i?i, ..., Ч)ё представляют собой
полный список входящих в эту формулу индивидных переменных
(при этом можно считать, что г и б отличны от нуля).
Затем мы воспользовались тем обстоятельством, что для любой
формулы 5 исчисления предикатов, имеющей рассматриваемый
вид, из доказательства ее неопровержимости можно заключить
о совместной выполнимости формул
(j = 0, ..., f) для любого f, так что если формулу
кратко обозначить через S3j, то для любого t будет выполнима
конъюнкция
аз0 & • • • & ©f
(мы обозначим ее посредством %Л. При этом мы пользовались
такай нумерацией пь j, ..., nr> j (j = 0, 1, .. ) r-членных наборов
цифр, при которой порядок наборов устанавливается по наиболь-
наибольшему из чисел, входящих в данный набор, а при совпадении наи-
наибольших чисел — лексикографически.
После этого оставшаяся часть доказательства свелась к тому,
чтобы из выполнимости бескванторных формул %t (f = 0, 1, .. )
заключить о выполнимости формулы 3. и это удалось сделать
») См. с. 238-245.
298 МЕТОД АРИФМЕТИЗАЦИИ МЕТАМАТЕМАТИКИ [ГЛ IV
благодаря тому, что модели формул gf слились в одну общую
модель этих формул.
Теперь наша задача заключается в том, чтобы убедиться, что для
каждой отдельно взятой формулы Щ эта процедура может быть
формализована в рамках арифметического формализма (правда,
при этом нам не удастся обойтись формализмом одной только
рекурсивной арифметики).
Первым шагом в этом направлении будет представление исполь-
использованного нами перечисления t-членных наборов натуральных
чисел с помощью рекурсивных функций.
Действительно, для любого t можно определить такие рекур-
рекурсивные функции
что для любого ) будут выполняться равенства
T)i(i) = ni.j. ••■, Лс0) = пг, f
и для произвольных п1( ..., nr значение т)(пь ..., пЛ будет
равно номеру набора пх п,.1). При с = 2 рекурсивные опре-
определения этих функций были приведены непосредственно2).
Рекурсивное определение этих функций, вообще говоря, может
быть получено следующим образом: сначала для функций t\i(n),...
,.,, т)с (п) формулируется какая-нибудь одновременная рекурсия,
а затем эта последняя с помощью способа, указанного в гл. VII
т. 13), сводится к примитивным рекурсиям. Тогда на основе
рекурсивного определения функций гц(п), .... \(п) получится
и рекурсивное определение для функции т)^ аЛ. Напри-
Например, в качестве т) (Oi ar) можно взять4) функцию
Min (%(*) = a1&...&T)c(x) = a1.).
С помощью функций т]х т),. номер формулы 33; в его зави-
зависимости от ) может быть изображен некоторой рекурсивной функ-
функцией b(&)i а номер формулы gf в его зависимости от f — некото-
некоторой рекурсивной функцией f(&).
J) Весьма употребительны следующие обозначения этих функций (при
переменном i). rd?) (п), ., wv' In), tr1' la., .., ae)
1 V \ I ^/
2) См с 272, сноску 2
8) См т 1, с. 403^405.
*) См т. 1, с 389.
§ 2] АРИФМЕТИЗАЦИЯ ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ О ПОЛНОТЕ 299
Действительно, в формуле 33, в качестве аргументов формуль-
формульных переменных фигурируют цифры
«i.j, ■••. пС)), в-i+l, •••, в-i + e.
Их участие в построении номера j формулы 33: проявляется
в том, что числа
2-3n'-i 2-3"Ч 2-3H + I 2-3*-' + ё
фигурируют в качестве показателей степеней соответствующих
простых чисел, так что этот номер с помощью некоторой рекур-
рекурсивной функции
B0(alt .... av ос+1, .... av+i)
изображается термом
во(п1>{, .... nt>J, в-i+l, .... 6-1 + 6).
Если мы теперь заменим в нем цифры nt j, ..., nc j выражениями
г)!(j), ..., т]г()'), то получим некоторый терм, зависимость значе-
значения которого от числа j выражается явным образом, и поэтому
определенная равенством
l 6-k + 6)
рекурсивная функция b при любом j имеет значение, равное но-
номеру формулы 93j.
Что же касается функции f (k), то она может быть определена
следующей примитивной рекурсией:
f(O) = b(O),
= 20 - 7f«*> • 11*'*'>.
Модель (бескванторной) формулы gf представляет собой некоторое
распределение истинностных значений по различным элементар-
элементарным подформулам, которые мы —в порядке первого их появле-
появления—обозначили посредством tylt ..., *4?с . Распределения истин-
истинностных значений по этим формулам мы изображали соответ-
соответствующими двоичными числами
где m( A=1, .... tf) равняется 0 или 1 в зависимости от того,
какое значение — «истина» или «ложь» —принимает в данном
распределении элементарная формула ф;. Если рассматриваемое
300 МЕТОД АРИФМЕТИЗАЦИИ МЕТАМАТЕМАТИКИ [ГЛ IV
двоичное число равно т, то при i = l tf и m<2f
т; = р(я(т, 2^'). 2).
С другой стороны, если выполнены эти условия, то
m = 2Cf~1-rn1+ +2m +m
Поэтому всякое число, меньшее 2 f, однозначно изображает неко-
некоторое распределение истинностных значений по элементарным
подформулам формулы 5f( и обратно: со всяким таким распреде-
распределением истинностных значений однозначно связывается некоторое
изображающее его число, меньшее 2 f"
Необходимое и достаточное условие для того, чтобы число m
представляло такое распределение истинностных значений по
элементарным подформулам формулы g(, которое является «f-ком-
понентой» некоторого представленного числом п распределения
истинностных значений по элементарным подформулам формулы g^,
состоит в том, что
fsg;l, n<21 и я(п, 2' V —т-
(Целесообразно включить сюда и случай f=H.)
Теперь задача заключается в том, чтобы с помощью некото-
некоторого рекурсивного предиката от m и f выразить отношение
«число m изображает выполняющее распределение истинностных
значений по элементарным подформулам формулы fy». Для stofo
мы начнем с рассмотрений, проведенных в предыдущем параграфе
при арифметической формализации процедуры внесения распре-
распределений истинностных значений. К формализму, нумерацию
которого мы осуществляем, мы добавим символ V с номером 10,
который будет считаться несобственной элементарной фор-
формулой, в отличие от остальных, собственных элементарных
формул1). Кроме того, мы воспользуемся рекурсивными функ-
функциями (pi(m) и (рг(т, а, Ь), которые были определены таким
образом2), что если т является номером какой-либо бесквантор-
бескванторной формулы (S (которая, быть может, содержит и символ V),
то (pi (m) равняется номеру первой входящей в S собственной
элементарной формулы и нулю, если в (S нет таких формул,
ф2(т, а, Ь) в том случае, когда а является номером какой-либо
входящей в E собственной элементарной формулы $, а Ъ — номе-
номером какого-либо выражения Я, принимает в качестве значения
J) См с. 283.
2) См. с. 284.
§ 21 АРИФМЕТИЗАЦИЯ ТЕОРЕМЫ ГЕДЕЛЯ О ПОЛНОТЕ 301
номер той формулы, которая получается из it в результате
замены элементарной формулы ty всюду, где она встречается,
выражением 91, а в том случае, когда а не является номером
никакой собственной элементарной формулы или является но-
номером собственной элементарной формулы, не входящей в (£,
значение ф2(т, а, Ь) равняется т.
С помощью этих функций фх и ср2 прежде всего мы получим
представление числа rf в виде рекурсивной функции от f.
Действительно, если с помощью примитивной рекурсии
Xi(m, O = 92(Xi(m, I), <Pi(Xi(m, I)), 10)
ввести функцию /i (m, /), то для любого числа т, являющегося
номером какой-либо бескванторной формулы 6, и для любого
числа /, не превосходящего числа различных входящих в ($ соб-
собственных элементарных формул, Xi(m> 0 будет изображать номер
той формулы, которая получается из g в результате замены
первых / отличных друг от друга элементарных формул (в по-
порядке их первого появления) символом V; а в том случае, когда
число / не меньше числа различных входящих в S собственных
элементарных формул, значение Xi(m> '') совпадает со значением
%i{m, l) (между тем как в противном случае Xi(m> 0>Xi(m> ^'))«
Отсюда получается, что функция
— x1(m, х'))
х<.т
для любого числа т, являющегося номером какой-либо бескван-
бескванторной формулы, изображает число различных входящих в нее
собственных элементарных формул, и поэтому изображение
числа ff в его зависимости от t дается функцией
Кроме того, функция Xi(^. 0 в сочетании с функцией фх
дает нам изображение номера формулы ^ как рекурсивной функ-
функции индекса i. Действительно, функция щ{ъ.{т, I)) для любого
числа т, являющегося номером какой-либо бескванторной формулы
0', и для любого числа /, меньшего %2 (т), представляет номер (/ -f 1)-й
из различных собственных элементарных формул, входящих в 6.
Поэтому для /<е(£) значение функции
является числом, которое в силу нашей нумерации представляет
собой номер формулы ^Зм.
302 МЕТОД АРИФМЕТИЗАЦИИ МЕТАМАТЕМАТИКИ [ГЛ IV
Для любого k справедливо неравенство k<Zc(k), так как
у каждой формулы 53; в качестве нового аргумента добавляется
по крайней мере одна цифра, а именно б-j + l, а значит, и одна
новая, т. е. еще не встречавшаяся в конъюнкции 33О&.. . &33j_b
элементарная формула.
Поэтому для любого / функция
изображает (в рассматриваемой нумерации) номер элементарной
формулы $г+1.
Далее, используя функцию ((к), можно представить распреде-
распределения истинностных значений по элементарным подформулам
формулы §{ с помощью рекурсивной функции
Vl(m, к, /) = р(я(/п, 2е<*>-«+')), 2),
значение которой для любых чисел т, к, I, удовлетворяющих
условиям m<2e(ft) и l<i((k), равно 0 или 1 в зависимости от
того, какое значение — «истина» или «ложь» — принимает элемен-
элементарная формула ф;+] при том распределении истинностных значе-
значений по элементарным подформулам формулы gft, которое
представляется числом т1).
Теперь мы сравнительно легко получим рекурсивное изобра-
изображение понятия выполняющего распределения истинностных зна-
значений. Мы определим функцию %э(т> л> К 0 примитивной
рекурсией:
%3(т, п, к, 0) = /и,
%а(т, п, к, /') =
= Ф«(&(»*. п, к, I), Чг{ъ(т, п, к, I), 10 + 20-vi(п, к, /))).
Если положить по определению
n) = Xs(f(*), n, к, ((к)),
то для любого значения к и для любого n<c2t<ft) функция q(k, n)
будет изображать номер той построенной из символа V с помощью
связок исчисления высказываний формулы, которая получается
из формулы %k в результате внесения того распределения истин-
истинностных значений по элементарным подформулам, которое пред-
представляется числом п.
х) Отметим, что мы здесь используем представление распределений истин-
истинностных значений, отличное от того, которым мы пользовались в предыдущем
параграфе (см с. 282—283). Этим, в частности, вызвано и то, что вместо
употреблявшейся там функции у (т, I) мы вынуждены здесь ввести функцию
7, (m, k, I).
§ 2] АРИФМЕТИЗАЦИЯ ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ О ПОЛНОТЕ 303
Результат вычисления этой формулы можно выразить с по-
помощью введенной в предыдущем параграфе функции ^(тI),
которая при любом т, являющемся номером какой-либо формулы,
построенной из символа V с помощью связок исчисления выска-
высказываний, принимает значение 0, если вычисление этой формулы
приводит к значению «истина», и значение 1, если это вычисле-
вычисление дает значение «ложь».
Действительно, каковы бы ни были k и п, предикат
выполняется тогда и только тогда, когда число п представляет
такое распределение истинностных значений по элементарным
формулам фь .... ^e(ft), при котором формула gft принимает зна-
значение «истина». Следовательно, этот рекурсивный предикат, кото-
который мы будет обозначать посредством D (k, n), изображает
условие, необходимое и достаточное для того, чтобы число п
представляло выполняющее распределение истинностных значе-
значений по элементарным подформулам формулы %ь.
Заодно мы получаем, что выполнимость формулы %к, которая,
как мы знаем, утверждает, что среди чисел, меньших 2е<*\ сущест-
существует число х, для которого имеет место D (k, х), может быть
выражена в виде
A) ч(/г) = О,
где q (n) — некоторая рекурсивная функция. Далее, предположе-
предположение о том, что для каждого числа k формула %k должна быть
выполнимой (из которого исходит проводимое в данный момент
рассмотрение), оказывается равносильным верифицируемости фор-
формулы A). А теперь мы можем арифметически изобразить и поня-
понятие выделенного распределения истинностных значений
(правда, уже не в рамках рекурсивной арифметики, а с исполь-
использованием кванторов и ц-символа).
Тем самым мы попадаем в сферу действия того арифметиче-
арифметического формализма, который получается из рекурсивной арифме-
арифметики в результате присоединения исчисления предикатов (в пол-
полном объеме), а также распространения на расширенную область
формул схемы индукции и добавления ц-символа с относящимися
к нему формулами (^х), (\i2) и (ц.3J)- Этот формализм равносилен
рассмотренному в гл. VIII т. I формализму арифметики, который
получается из формализма системы (Z) в результате присоеди-
присоединения ц-символа и формул ((хг), (ц2) и (\i3). Действительно, как
мы показали, в этом формализме с помощью ji-символа можно
х) См. с. 286.
2) См. с. 74—75.
304 МЕТОД АРИФМЕТИЗАЦИИ МЕТАМАТЕМАТИКИ [ГЛ IV
дать явные определения рекурсивных функций, и в силу эгих
определений рекурсивные равенства для них станут выводимыми
формуламих). С другой стороны, аксиомы системы (Z) выводятся
в упомянутом ранее формализме2), получающемся расширением
рекурсивной арифметики.
Как было показано ранее, вместо того чтобы вводить (х-символ
вместе с формулами (\ii), (fi2) и (ц3) прямо в формализм, можно
было бы поступить иначе: а именно, можно было бы добавить
к формализму системы (Z) i-правило, с помощью которого fi-сим-
волу можно дать явное определение, в результате чего формулы
(jLtx), (ц2) и (u3) окажутся выводимыми3).
Искомое представление понятия выделенного распределения
мы без труда получим с помощью предшествующих рекурсивных
определений из содержательного определения этого понятия.
Выделенное распределение истинностных значений по элементар-
элементарным подформулам формулы gf — это такое выполняющее распре-
распределение истинностных значений, которое для любого числа (,
большего f, представляет собой f-компоненту некоторого выпол-
выполняющего распределения истинностных значений по элементарным
подформулам формулы g(j а среди этих последних оно характе-
характеризуется тем, что число, представляющее его, является наимень-
наименьшим.
А теперь высказывание «т является числом, представляющим
^-компоненту некоторого, представленного числом п выполняю-
выполняющего распределения истинностных значений по элементарным
подформулам формулы %р изобразится формулой
которую мы будем кратко обозначать посредством •£>(&, т, I, п).
После этого представляющее число выделенного распределения
истинностных значений по элементарным подформулам формулы (\f
может быть охарактеризовано как наименьшее среди таких
чисел т (меньших 2е^), что для каждого числа /, большего или
равного f, существует число п, меньшее 2е(/), для которого имеет
место .§>(?, т, I, п). Таким образом, оно изображается (в зави-
зависимости от f) следующей, определенной с помгщью ц-символа,
функцией:
V3k, х, у, z)).
Конечно, соответствие между этим формальным определением и
') См. г. I, с. 499—5Ю.
2) См. т. I, с. 368—369.
3) См. Приложение I, с. 468 и далее.
§ 2] АРИФМЕТИЗАЦИЯ ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ О ПОЛНОТЕ 305
понятием числа, представляющего выделенное распределение
истинностных значений, пока усматривается только на основе
содержательного смысла ц-символа. Чтобы убедиться, что в ариф-
арифметическом формализме это определение может быть использовано
аналогично соответствующему содержательному понятию, мы
должны проверить, что в арифметическом формализме выводима
формула
B) 3xVy(k*s:y-+-3z$(k, x, у, г)).
из которой затем на основании определения функции a(k) и фор-
формул (fii) и (цг) могут быть получены формулы
C) 4y(kt£:y-+3z%(k, a(k), у, г))
и
D) 4y(k^y-+3z$(k, m, у, z))-4~a(k)^m.
В самом деле, вывод формулы B) с использованием формулы A)
в качестве исходной может быть осуществлен следующим образом.
Сначала из формулы A) на основании рекурсивного опреде-
определения функции q (k) получается формула
3zu(k, г),
из которой далее —если для краткости обозначить выражение
л (я, 2c(fc)~c(n) через е^/г, /, £) —получается формула
k*s:l-+3z$(k, ?!(?, /, k), I, г),
а из нее, в сочетании с легко выводимой формулой
$(k, m, I, n)->m<2cw,
— формула
E) Vv(k^v-+3u(u<2'lk)&3z$(k, и, v, z))).
Затем, с помощью полной индукции по г, может быть выведена
формула
F) ЧиВуА(и, у) & VuVyV^ (А (и, v)&v<w-+A(u, w))
->3r/Vu(u<r->^(u, у)).
Эта формула после подстановки формулы
4x(b<x-+4zl$(k, а, х, г))
вместо именной формулы А (а, Ь) и терма 2({k) вместо переменной
г —ввиду выводимости формулы, которая получается в результате
такой же подстановки в формулу
-rA(u, w)),
306 МЕТОД АРИФМЕТИЗАЦИИ МЕТАМАТЕМАТИКИ [ГЛ IV
— вместе с формулой E) и формулой
средствами исчисления предикатов дает формулу
3uVy3v(y<v&3z$(k, и, v, г)),
а от нее можно прийти к искомой формуле B) с помощью фор-
формулы
G) k=s^s&s<l&$(k, т, I, л)-*-£(£, т, s, h(n, I, s)),
которая получается на основании выражения, задающего формулу
<£> (k, т, I, л), и рекурсивного определения предиката D,(k, n)
с использованием вывода формулы
C) s</&Q(/, n)->Q(s, ех(я, /, s)).
[Формула (8) выражает тот факт, что если б меньше I, то
выполняющее распределение истинностных значений по элемен-
элементарным подформулам формулы g( включает в себя некоторое
выполняющее распределение по элементарным подформулам фор-
формулы $й. — Правда, фактическое осуществление вывода формулы (8)
является делом весьма утомительным.]
Как уже отмечалось выше1), после вывода формулы B) могут
быть получены и выводы формул C) и D). Из формулы C) мы
получаем формулу
(9) u(k,
которая выражает тот факт, что для каждого k значение a (k)
представляет выполняющее распределение истинностных значений
ДЛЯ ftk-
Затем мы получаем формулу
A0) k<l^$(k, а (к), I, а@)
следующим образом. Из формулы C) получаем
k<l-+Vv(l^v^3z$(k, a(k), v, г)),
а потом, используя формулу G) и выражение для -£>(&, т, I п),
получаем формулу
k<l^Vv[l<v-*3z3u($(k, а (к), I, п)&$A, и, v, г))\,
которая может быть преобразована в формулу
k<l^*Vv[l<v-+3u(u<2Hl)&;$(k, а (к), I, и)&
Эгф (/, и, v, г))].
1) См. с. 305.
§ 2] АРИФМЕТИЗАЦВД ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ О ПОЛНОТЕ 307
А теперь из этой формулы — снова с помощью формулы F), в ко-
которую на этот раз вместо именной формы А (а, Ь) подставляется
формула
Vx(b<x&$(k, a(k), I, а)-*-Vz 1 £ (/, a, х, г)),
а вместо переменной г терм 2е и), — сначала получается формула
k<l-+3uVy3v(y<v&$(k, a(k), I, u)&3z$(l, u, v, г)),
а из нее с помощью G) формула
k<l-+3x($(k, a(k), I, x)&Vy(l^y-+3z$(l, x, у, г)).
Если теперь терм
М£(*. «W. I, x)&Vy(l^y-+3z$(l, х, у, г))]
мы обозначим через с (k, l), то получим формулу
, a(k), I, c(k, l))&Vy(l^y-+3z$(l, c(k, I), y, z)).
Из этой формулы, используя выражение для ф(/г, т, I, п), по-
получаем формулу
-> а (*) = е,(<(*, /), I, k)
и, кроме того, используя D), мы получаем формулу
А из этих двух формул, взятых совместно, с помощью легко вы-
выводимой формулы
r^s-t-t^r, I, £)=s£ei(s, /, k)
получается формула
A1) fe k
С другой стороны, формула C), если в ней подставить / вместо-
k, в сочетании с легко выводимой формулой
, r, 1), I, fe) = c1(ra, r, k)
и с использованием выражения для ф (k, m, I, п) дает нам фор-
формулу
, (l(a(l), I, k), y, z)),
а затем с помощью G) формулу
k<l-+Vy(k^y-+3z$(k, (!(a(l), I, k), у, г)),
из которой на основе D) получается формула
A2) *</-►«(*)<?!(«(/), I, k).
308 МЕТОД АРИФМЕТИЗАЦИИ МЕТАМАТЕМАТИКИ [ГЛ IV
Формулы A1) и A2), взятые совместно, дают формулу
которая в сочетании с формулой О (/, а (/)), получающейся под-
подстановкой из (9), приводит нас к искомой формуле A0)
а {к), I, а@)
Формула A0) выражает тот факт, что если число k меньше числа /,
то выделенное распределение истинностных значений для фор-
формулы 8ft является fe-компонентой выделенного распределения для
формулы $[, а формулы (9) и A0), взятые друг с другом, выра-
выражают то обстоятельство, что выделенные распределения для фор-
формул Sfc (fe = 0, 1, ...) объединяются в некоторую модель нашей
исходной формулы {?•
Разумеется, это истолкование формул (9) и A0) как формул,
выражающих некоторую модель формулы 5. представляет собой
некий неформальный комментарий. Мы вывели не формулу, пред-
представляющую собой какую-либо формализацию утверждения о вы-
выполнимости %, а только некоторые арифметические формулы,
интерпретация которых — если взять за основу неформальное по-
понятие выполнимости — позволяет заключить о выполнимости фор-
формулы %.
Однако, используя только что построенные нами формальные
выводы, утверждение о выполнимости % можно усилить до уста-
установления некоторого дедуктивного факта, касающегося арифме-
арифметического формализма. Именно, мы установим выводимость неко-
некоторой формулы, получающейся из % подстановкой вместо фор-
формульных переменных, причем эта выводимость будет иметь место
в арифметическом формализме с добавлением новой исходной
формулы
которая, как мы знаем, изображает некоторое арифметическое
следствие, вытекающее из нашего допущения о неопровержимо-
неопровержимости g.
б) Усиление выполнимости до выводимости. Для того чтобы
установить указанную нами выводимость, мы сначала построим
такие подстановки вместо формульных переменных формулы #,
которые будут подходить для модели формулы %, образованной
выделенными распределениями истинностных значений.
Рассмотрим какую-нибудь формульную переменную с произ-
произвольным числом р аргументов. В качестве аргументных перемен-
переменных ее именной формы можно взять переменные аг а„. Пусть
93(Й1, ..., ар) — эта именная форма. В формулах 33| формульная
переменная 93 всегда входит с какими-нибудь цифрами в каче-
АРИФМЕТИЗАЦИЯ ТЕОРЕМЫ ГЕДЕЛЯ О ПОЛНОТЕ
309
стве аргументов. Если пь ..., щ — какие-либо цифры и элемен-
элементарная формула 53 (пь ..., п„) встречается в одной из формул 33j,
то она является одной из элементарных формул ^?ь ..., ^с/п,
и, значит, тогда формула 23 (j»i nv) совпадает с некоторой
формулой ^; + 1 (i<e(j)), имеющей в нашей нумерации номер
f)(iI). Номером элементарной формулы 93(пь ..., п&) является
число
10. ,(-»•>..-...qp^
где цъ ..., ct(, суть отличные друг от друга простые числа. Это
число, в его зависимости от пь ..., п„, с помощью рекурсивной
функции
t(alf .... a,,)=10-qJ^ai)-....qpi')
изображается термом г(пь ..., п„).
Поэтому число t, при котором элементарная формула ^ {_, ,
совпадает с 93 (пх, ..., п„), арифметически может быть изображено
термом2)
Hx(l)(x) = t(nu ..., п„)),
а если воспользоваться определениями
f(flb .... flp) = I)i(t(аь .... flp)),
то и термом f (tii, •••. пр)- Благодаря тому, что выполнено нера-
неравенство k<.((k), в формулу g(, в которую входят элементарные
формулы ^ь ..., фе((), входит и формула % + 1. Поэтому в слу-
случае совпадения формулы 93(пь ..., п„) с формулой % + 1 истин-
истинностное значение, получаемое формулой 23 (пь ..., п„) при выпол-
выполнении % с помощью выделенных распределений истинностных
значений, можно охарактеризовать как то значение, которое в вы-
выделенном распределении истинностных значений для gj принимает
формула ^j + il условие, что это значение представляет собой
значение «истина», изображается равенством
YiHO. •'. 0 = 0,
1) См. с. 302.
2) Этот терм не является термом рекурсивной арифметики. Число i в его
зависимости от п,, ..., пр можно было бы изобразить и рекурсивным термом.
Но для этого надо было бы указать какую-нибудь оценку для i; однако по-
получение гакой оценки в данном случае себя не оправдывает.
310 МЕТОД АРИФМЕТИЗАЦИИ МЕТАМАТЕМАТИКИ [ГЛ IV
а потому и —в зависимости от чисел пь ..., пр —формулой
Yi(a(f("i, .... Пр)), f("i. •••» V» f("i' •••» np)) = 0-
Поэтому формула
представляет собой заменитель для формульной переменной
33 (аь ..., а,,), подходящий для модели формулы g, построенной
с помощью выделенных распределений истинностных значений.
Этим способом мы для каждой формульной переменной с аргу-
аргументами и без них получим некоторый сопоставленный ей заме-
заменитель, который мы будем кратко называть соответствую-
соответствующим ей заменителем.
Представим себе формульные переменные формулы ft выписан-
выписанными в порядке их первого появления в Щ, и пусть число
этих переменных равно j. Пусть 23; lai, ..., ар\ — именная форма
формульной переменной, стоящей в этом упорядочении на i-м
месте, причем число Р[ может быть равно и нулю. Номер, соот-
соответствующий в нашей нумерации формуле 23(п1( ..., пр\ с циф-
цифрами пь ..., Пр в качестве аргументов, изображается, если ^
равно нулю, некоторой цифрой t;, а в противном случае —с по-
помощью некоторой рекурсивной функции ^(аъ ..., av\ термом
Г; (ttii • • •» п$.)> при этом заменителем, соответствующим формуль-
формульной переменной 33!аи ..., аЛ, будет формула
где f[falt ..., cip\ определяется равенством
fj(fll flpj = ^ (tj (О! fl
Этот заменитель, соответствующий переменной Щ 1аи ..., аЛ,
мы будем сокращенно записывать в виде
«i («1. •-., 0^ = 0,
обозначив через в( (с^, .... аЛ терм
§21 АРИФМЕТИЗАЦИЯ TFOPEMbI ГЁДЕЛЯ О ПОЛНОТЕ 311
для которого лерко может быть выведена формула
Замечание. Для правильного понимания встречающихся
здесь термов надо обратить внимание на роль, которую играют
свободные индивидные переменные. В то время как терм
tj Ли, .... nsV где пь ..., пр — цифры, имеет своим значением
номер формулы 33; Ли, ..-, п,А терм ^!аи ..., аЛ не изобра-
изображает никакого определенного номера, а значит, в частности, и
номера формулы 23 (аг аЛ. Номер этой формулы не изобра-
жается и тем термом, который получается из терма iJax av\
если в нем вместо свободных переменных подставить номера, со-
сопоставленные в нашей нумерации переменным аг а^. Так,
например, номер формулы А (п) в его зависимости от цифры п изо-
изображается термом 10-7'2'3"'; роль t(a) здесь играет функция
10.7B-3°), а номером переменной а является число 14. Однако
номером формулы А (а) является не число 10-7123, а число
10 • 714.
Формулу, получающуюся из % в результате подстановки вме-
вместо формульных переменных соответствующих им заменителей,
мы будем обозначать посредством %*. Она имеет гид
где выражение 33* (£ь .... %) получается из 93(ji %) в ре-
результате указанных подстановок.
Далее, формулу
33(ах ас, ё-г\(аи .... at)+l, .... в-г\(аи .... at) + e)
мы обозначим посредством §, а получающуюся из нее в резуль-
результате указанных подстановок формулу
23* {аъ .... at, б-т)^, .... av)+l, ..., 8-i\(alt .... ас
посредством 'л*.
Мы покажем, что формула 8* может быть выведена в форма-
формализме арифметики с добавлением верифицируемой формулы
q(£) = 0 в качестве исходной. Для этого достаточно показать,
что в указанном формализме выводима формула §*, так как от
формулы 8* можно легко перейти к формуле g* средствами ис-
исчисления предикатов.
Мы разобьем это рассуждение на несколько этапов.
312 МЕТОД АРИФМЕТИЗАЦИИ МЕТАМАТЕМАТИКИ [ГЛ IV
1. Функция b(k) была определена1) выражением
%Шк) i\t(k), 6-k+l, ..., e-k + ё),
где функция б0 обладает тем свойством, что для любых чисел
"i, ••-, пс + й значение выражения
во Oh »с. "r + i пг+«)
равно номеру формулы
©(it!, ..., nt, nt. + 1, ..., nr+e).
Имеют место равенства
r]i(T](fli, ..., at)) = alt ..., т)г (т) (ох, ..., at))=ar,
которые могут быть выведены на основании рекурсивных опре-
определений функций т), т]1, ..., т)г Из них мы получаем равенство
Ь(т)(а1, ..., ас)) =
= ео(а1, ..., at, e-T)(fli, ..., at)+1, ... , + ё • r\(au ..., ac)
а заодно получается, что для любого r-членного набора ци4р
itj, ..., пс терм Ь(т)(п1, ..., nt)) изображает номер той формулы
33 (пи ..., nc, fb ..., (й), у которой цифры 1Х,..., [в представляют
собой значения термов
2. Мы можем определить функцию qx (s, n, й), которая для
любой тройки чисел s, n и k, удовлетворяющих условиям s^k,
n<z2C{k), в качестве значения принимает номер той формулы,
которая получается из формулы 33, в результате внесения в нее
представленного числом п распределения истинностных значений
по элементарным подформулам формулы %k, так что для любоу
тройки чисел s, n, k упомянутого вида значение функции
q>5(a,i(s, n, k)) равно 0 или 1 в зависимости от того, какое зна-
значение—«истина» или «ложь» — принимает формула 33, при пред-
представленном числом п распределении истинностных значений для
формулы gft.
Действительно, сначала мы положим
Ь(а, k)= Min ($(*) = a).
Если к — какое-либо число, а а —номер какой-либо входящей
в %k элементарной формулы % +, (в смысле нашей нумерации),
то значение функции fJ (я, k) равно t. Связь между рекурсивной
J) См. с. 299 и далее.
§ 2] АРИФМЕТИЗАЦИЯ ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ О ПОЛНОТЕ 313
функцией Ь2 (а, k) и функцией V;1 (а) (которая определена не ре-
рекурсивно1)) выражается выводимостью формулы
A3) 3x(b(x) = a&x^e(k))-+K(a, k) = i}1(a).
Затем, аналогично тому, как мы ранее определили функцию
Хз{гп, п, k, l), определим рекурсивную функцию co(s, n, k, I)
с помощью рекурсивных равенств
?0(s, л, к, 0) = Ь (*),
oo{s, п, к, Г) = Фа (во (s, п, к, /), <pi(go(s, n, k, /)), 10 +
+ 20 - Yi (л, *, ^а (<Рг (во (s, п, к, /))).
Искомую функцию g1(s, n, k) мы теперь определим с помощью
функции ро (s, n, k, l) равенством
8i (s. и, fe) = go(s, n, fe, b(s)).
Заодно для произвольных чисел s, n, k, l, удовлетворяющих
условиям ss^&, п<.2е(к) и t<i((k), функция 9i(qo(s, n, k, I))
выражает номер (в смысле нашей нумерации) (Z-f 1)-й из входя-
входящих 35, элементарных подформул, упорядоченных по их первому
появлению в этой формуле.
Из рекурсивных определений функции gx(s, n, k) и предиката
D (к, п) выводится следующая формула2):
A4) u(k, n)-^(s^fe-^95(qi(s, n, k)) = Q).
3. Как было показано ранее3), с помощью формулы g(А) = 0
может быть выведена формула &(k, u(k)), которая вместе с фор-
формулой A4) дает нам
A5) 8<ft-»-9»(a1(s> a(k), k)) = Q.
Затем из формулы A0)
k<l-+Sj(k, а (к), I, а@),
которая, как мы установили3), выводится с помощью формулы
q (k) = 0, на основе определений формулы 4? и функции -yi по-
получаем
A6) a<t(k)&k^l-^y1(a(k), k, a) = Yi(o@, /, a).
4. Мы сложим термы fj (аь ..., а„), сопоставленные различным
входящим в формулу 5 формульным переменным4), и к полу-
') См. с 309.
г) Вывод формулы A4) является, впрочем, довольно длинным.
3) См с. 306 и далее.
4) См. с. 309 и далее.
314 МЕТОД АРИФМЕТИЗАИИИ МЕТАМАТЕМАТИКИ ГГЛ IV
чившейся сумме прибавим терм ц(аи ..., atI). Построенный
таким образом терм, который не содержит никаких свободных
переменных, отличных от аъ ..., at, мы обозначим посредством
m(аъ ..., at). Из способа построения этого терма непосредственно
получаются формулы
lti(alt .... av)^m(alt .... at) (i=l, ..., j),
A7) {
[ T)(fllt ..., acXm(a1( .... at).
Формулы A7), взятые совместно с формулой A6) и формулой
k<.t(k), дают равенства
Yi (л (Fj («1, ..., ар)), fj^, .... о,,.), f (аъ ..., ap)) =
= y1(a(m(a1, ..., at)), m(a1( .... яс), f^^ ap.)),
т. e.
A8) <M«i \) = Yi(« (m (fli, ■••. flt)), m(fllt ..., a,.),
fi (alt .... a^)) (i = i a).
С другой стороны, из формулы A5) в сочетании с последней из
формул A7) мы получаем равенство
A9) фв(8i(П(яь •••. ai)> «(«Ч«ь •••, «с)). •"(%, •••. йс))) = 0.
5. Теперь наша задача сводится к тому, чтобы с помощью
формул A3), A7)—A9) вывести формулу $*.
С этой целью мы рассмотрим определение функции gL (s, n, k),
как оно было дано g помощью рекурсивных равенств для
g0 (s, n, к, I). Если мы подставим в эти равенства вместо пере-
переменных s, п и k соответственно термы т) (яь ..., at), a (m (at at))
и т(аъ ..., ас), то для функции
аг). я(т(аь ..., at)), m(alt .... at), I),
которую мы обозначим посредством g2(Oi. •••. ^t, /), получим
следующие рекурсивные равенства:
8г(аь .... ас, /') = Фг(8а(а1 «с О, Ф1 (ва («ь •••. «с, 0),
10 + 20.Yi(a(m(fl1, .... ас)), т(а1; .... а,),
l;2WiCaDx, ■••. яР 0). '"(«г. •••. at)))).
i) См. с. 298.
§ 2] АРИФМЕТИЗАЦИЯ ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ О ПОЛНОТЕ 315
Теперь с помощью этих равенств можно вывести формулу
Ф1 (9г (аи .... ас, /)) = 0 V
Эдс(М*) = ф1(й2(а1, •••• Ос, 1))&х^е(т(аи .... а,.))),
из которой пвиду формулы A3) получается формула
Ф1 (8а (Оь • • •. ov, /)) = 0 V
1J(ф1 (йа(«1. •••, ас> 0), «п(аь .... а,)) = f)i(Ф1 (д2(«ь .... ас, /)))■
С помощью этой формулы и равенства ф2(т, 0, г) = т, выводи-
выводимого из рекурсивного определениях) функции q>2 (m, a, b), мы из
рекурсивных равенств для g2 (#i. • • •» яс» 0 получаем формулы
д2(аь ..., аг, 0) = Ь(г\(а1, ..., аг)),
82(аь .... ас, /') = Фг(д2(аь .... ас, 0,
«rne^fli, .... От, 0), 10 + 20-Yi(a(m(ai, .... ас)),
«n(fli at). ^i(9i(8t(ei. •••• аи. 0)))).
Вторая из этих формул о использованием равенства q>2 (m, 0, г) = т
дает формулу
B1) фхЫаь -.., at, 0) = °-^8*(«1. ....о,.,/') = g2(a1( ....a,,/);
B0)
кроме того, с использованием равенств, определяющих функции
f, (аи ..., av) (i = l, ..., 0» и равенств A8) получаются фор-
формулы
B2) <
, .... ак, /')=Ф2(д2(аь •••, ас, /). M^i, ••-. а„),
10 + 20.в((а1 a,.)) (i = l, ..., ?).
Далее, на основании определений функций gx (s, re, ^) и
8s(аь ..., av l) формула A9) может быть переведена в формулу
B3) ф6 fa» (аи ..., at, Ь (ц (аи ..., ас)))) = 0.
6. Пусть Ь* (ц(аи ..., rtc)) обозначает терм, получающийся из
b(т](аи ..., at)) в результате замены каждого из термов
t, {av av), связанных с элементарными подформулами
33 (ai av) формулы g, соответствующим ему термом 10 -f-
Ч-20-ё, (аъ ..., ар.). Тогда из формул B0)—B2) с помощью вы-
Ч См. с. 285.
316 МЕТОД АРИФМЕТИЗАЦИИ МЕТАМАТЕМАТИКИ [ГЛ IV
ражения для g, т. е. для
33(аь .... аг, б.т)(аь .... а,)+1 б• Л («i at) + $),
по правилу дизъюнкции, которое, будучи истолковано содержа-
содержательно, сводится к разбору различных возможностей, касающихся
графических совпадений и различий между элементарными под-
подформулами данной формулы
33 (Hi V ^ ■ л ("i "t)+l <M("i 'Ч) + $),
получается равенство
B4) g2 (ох, ..., ах, Ь (т) {аъ .... at))) = Ь* (ri (а„ ..., at)).
Это рассуждение мы вскоре поясним с помощью одного примера.
Формулы B3) и B4), взятые друг с другом, дают равенство
из которого в силу определения функции ф5, применяя уже упо-
упоминавшиеся ранее выводимые формулы
О,
мы получаем искомую формулу §*, которая получается из §
в результате замены каждой из элементарных формул Щ(лг а„.\
соответствующим равенством $i(alt ..., арЛ = О.
Пункт 6 приведенного формального вывода мы поясним на
примере. Пусть % — формула
{A{x, y)-*-\A(y, х))&А(х, г)).
Тогда формула § запишется в виде
(A(alt а,)-♦- Л (a,, a^D&Afa, ц(аи а,
В данном случае у нас имеется только одна формульная пере-
переменная и поэтому нам не нужно нумеровать формульные пере-
переменные и соответствующие им функции tt /at а„ ). Достаточно
взять одну двуместную функцию t (аг, 0%), которая для любой
пары чисел пь п2 изображает номер формулы А (пь п2). Эта
функция определяется равенством
t(alt а2)=10.72-за'-112-за'.
С помощью этой функции номер формулы
(А(пх, па)-*-\А(щ, п,))&Л(пь ц(щ, п2)+ 1)
— в которой вместо выражения i](nt, n2)+1 надо иидиаситьего
§ 2] АРИФМЕТИЗАЦИЯ ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ О ПОЛНОТЕ 317
значение — изобразится значением выражения
20 • 7^80-7* *П1> "*)• и3'* (> п^). 11' («1. ч Oh. п2) + О
В соответствии с этим в качестве b (s) мы должны взять функцию
20 • 7(80-7'(tu (s)" Л1 (s)>--*(tb <s)> Th (s)). 11* <ii (s). s+1)
и у нас получится
b (т) (аь а,)) = 20 • 7<80'7*(а" °j) 1|М (°!1 Ol)) • 11*(а" ч(а'- а'> + »>.
Теперь, используя первое из равенств B0), а также определения
функций фх и ф2 и формулы B2), мы получим сначала равенство
ai, 02, 0)) = 1(йь аг),
а затем формулы
a1#aa->g2(a1, a2, 1) =
20. 7(80-710 + 2°'Иа" аг) И3'* (а" а»> . 1 \t (au тЦа,, аг)+П
И
Аналогично мы получим формулы
1, a2> 2) =
а из них формулы
(ab a2, 2)) = t(ab tj (alf
и
а1 = а2->ф1(^(а1, a2, 2)) = 0.
Теперь формулы B1) и B2) с использованием альтернативы
ai Ф (h V ai — °2 дают равенства
^(«i. Яг, 3) =
20 • 7(8°-7l0 + 2°'*(ai' Ol)-H3 A0 + 20-«(a.. a,)) j |(ю+ 20-«(а„ тЦа,, а,)+ 1)))
И
q>i(e*(ai. fl2, 3» = o.
Из последнего с помощью формулы B1) получается импликация
1, as, s) = g2(ab a2, 3),
318 МЕТОД АРИФМЕТИЗАЦИИ МЕТАМАТЕМАТИКИ [ГЛ IV
а затем, с использованием формулы 3<b(s), непосредственно
вытекающей из определения функции Ь (s), — равенство
9г (аь <h, Ь(т)(аь а2))) = д2(а1> а2, 3),
из которого с помощью B3) получается равенство ф5(о2(яъ «2. 3))=0.
Это равенство в сочетании с выражением для g2 (аь а2, 3) и
в силу определения ф5 сначала дает равенство
-A0 +20^@8
а затем с помощью формулы б (а, 6) = 0\/б (а, Ь) = 1 дает равенство
sgnF(a1( a2))-sgn(g(a2, а1)) + б(аь т](аь
Из последнего равенства мы получим формулу
(в(оь a^^Oyeiat, а1)ф0)&е(а1, г\(аъ
а из нее преобразованием —формулу
(ё(%, а2) = 0^е(о2, oi) =7^ 0) & 6 (аи x\(alt a2) + l) = 0.
Но это и есть та формула, которая из формулы %, т. е. из
(А(аъ й,)^-1Л(о2, Oi^&Aith, r\(alt as) + l),
получается в результате подстановки равенства g (а, Ь) = 0 вместо
формульной переменной Л (а, 6), т. е. это и есть искомая фор-
формула %*. —
Тем самым мы получили дедуктивный аналог теоремы Гёделя
о полноте. Именно, мы показали, что для всякой формулы %
исчисления предикатов, имеющей вид
где Ei, ..., g,., >'i, ..., tyg —полный список входящих в эту фор-
формулу индивидных переменных, а г и в отличны от нуля, можно
указать такую рекурсивную функцию q (k), что для каждого
числа f значение q (f) равно нулю или отлично от нуля в зави-
зависимости от того, выполнима или не выполнима бескванторная
формула %f, так что для любого f значение q (f) отлично от нуля
тогда и только тогда, когда отрицание формулы %t выводимо
средствами исчисления высказываний.
Как мы ранее показали, выводимость средствами исчисления
высказываний формулы ~] gf для какого-либо числа f уже является
достаточным условием опровержимости формулы % в исчислении
предикатов.
Таким образом, из неопровержимости формулы 8 следует, что
функция q (k) равна 0 при любом значении аргумента, так что
§ 2] АРИФМЕТИЗАЦИЯ ТЕОРЕМЫ ГЕДЕЛЯ О ПОЛНОТЕ 3'9
формула q (k) = О, у которой k является единственной входящей
в нее переменной, верифицируема. Мы также показали, что при
помощи арифметического формализма, состоящего из формализма
системы (Z) вместе с (х-символом, формулами (fxx), (ц2) и (ц3) и
дополнительной исходной формулой q (&) = 0, выводима некоторая
формула %*, получающаяся из g в результате подстановок вместо
формульных переменных.
Из установленных фактов мы немедленно получаем доказа-
доказательство сформулированной в конце предыдущей главы теоремы
о том, что любая неопровержимая формула исчисления предика-
предикатов неопровержима и в любом арифметически непротиворечивом
формализме, т. е. в любом таком формализме, который непроти-
непротиворечив сам, а также остается непротиворечивым после добавле-
добавления к нему арифметического формализма (если этот последний
в него еще не включен) и, быть может, сверх того каких-нибудь
верифицируемых формул в качестве исходных.
В самом деле, пусть 81 — какая-либо формула исчисления пре-
предикатов, относительно которой установлено, что она неопровер-
неопровержима в исчислении предикатов, т. е. что ее отрицание ~| 81
невыводимо в исчислении предикатов. Формула 131 дедуктивно
равна некоторой сколемовской нормальной форме Щ, которая
может быть преобразована в отрицание ~] % некоторой формулы g
рассмотренного нами специального вида. Эта формула, так же
как и 91, неопровержима в исчислении предикатов, и для нее,
по доказанному, можно указать такую рекурсивную функцию q (&),
что формула q (k) = О будет верифицируемой и с помощью ариф-
арифметического формализма с добавлением этой формулы к числу
исходных будет выводима некоторая формула %*, которая полу-
получается из § в результате подстановок вместо формульных
переменных.
Если формула 81 опровергается в некотором формализме F,
то она и подавно будет опровергаться в формализме G, который
получается в результате объединения F с арифметическим форма-
формализмом и добавления к числу исходных формул верифицируемой
формулы q (k) = 0. Значит, в этом формализме G выводима фор-
формула ~| 81; и так как этот формализм включает в себя исчисление
предикатов и символы арифметического формализма, то в G выво-
выводима и дедуктивно равная формуле 81 формула ~\%, а также
получающаяся из нее в результате подстановок формула ~|g*.
Но так как формализм G содержит арифметический формализм
и исходную формулу q(&) = 0, то в нем выводима формула $*•
Следовательно, формализм G противоречив, т. е. объединение
формализма F с арифметическим формализмом при добавлении
некоторой верифицируемой исходной формулы ведет к противо-
противоречию. Поэтому вывод формулы ~|91 в арифметически непротиво-
непротиворечивом формализме невозможен.
320 МЕТОД АРИФМЕТИЗАЦИИ МЕТАМАТЕМАТИКИ [ГЛ IV
Полученному результату можно также придать и другую фор-
формулировку, приняв во внимание связь, имеющую место между
формулами логики предикатов и системами аксиом. Непротиво-
Непротиворечивость какой-либо системы аксиом, представленной с помощью
конечного числа формул без функциональных знаков, равносильна
неопровержимости формулы g логики предикатов, которая полу-
получается из этой системы, если входящие в ее состав формализо-
формализованные аксиомы связать знаком конъюнкции, а затем заменить
все входящие в них символы основных предикатов формульными
переменными с соответствующим числом мест для аргументов,
а все индивидные символы — индивидными переменными, связы-
связываемыми проставленными в начале формул кванторами существо-
существования. Переход от формулы % с помощью соответствующих
арифметических подстановок к формуле g* по смыслу представ-
представляет собой построение арифметической модели рассматриваемой
системы аксиом, так как формулы, изображающие эти аксиомы,
при замене символов для основных предикатов арифметическими
выражениями, подставляемыми вместо соответствующих формуль-
формульных переменных, переходят в доказуемые арифметические фор-
формулы (доказуемые, конечно, только при добавлении некоторой
верифицируемой исходной формулы q(fe) = 0, которая выражает
непротиворечивость этой системы аксиом в математической фор-
формализации и которая сама по себе не обязана быть выводимой
в формализме арифметики).
Таким образом, существование арифметической модели для
непротиворечивой системы аксиом рассматриваемого нами типа
имеет место в некотором дедуктивном смысле.
Разумеется, доказанная теорема имеет смысл теоремы о пол-
полноте, т. е. выражает некоторую дедуктивную завершенность
исчисления предикатов, только в предположении непротиворечи-
непротиворечивости этого арифметического формализма, ибо если этот форма-
формализм противоречив, то никакого арифметически непротиворечивого
формализма не будет вообще.
Это соображение указывает нам на то, что задача установле-
установления непротиворечивости всего арифметического формализма в целом
в наших исследованиях пока что остается нерешенной проблемой.
На самом деле, все рассмотренные нами до сих пор методы уста-
установления непротиворечивости оказываются неприменимыми для
решения этой задачи. Это обстоятельство, которое может нас
озадачить, находит принципиальное объяснение в одной теореме
Гёделя о дедуктивных формализмах, первым объектом применения
которой является формализм арифметики. Выводы, которые вле-
влечет за собой эта теорема, вынуждают нас расширить область
допустимых неформальных рассуждений, употребляемых в теории
доказательств, по сравнению с тем, что до сих пор допускалось
при фактической реализации нашей финитной точки зрения.
ГЛАВА V
ПРИЧИНЫ, ВЫЗЫВАЮЩИЕ НЕОБХОДИМОСТЬ
РАСШИРЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИХ РАМОК
ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ
§ 1. Границы изобразимости и выводимости
в дедуктивных формализмах
Метод арифметизации метаматематики был разработан Гёделем
в целях доказательства двух весьма общих теорем, выражающих
тот факт, что всякий логико-математический формализм, с одной
стороны, четко очерченный, а с другой стороны, не слишком
узкий, является дедуктивно незавершенным.
Основная идея гёделевского доказательства этих теорем заодно
доставляет нам и метод, позволяющий произвести математическое
уточнение некоторых логических и теоретико-множественных
парадоксов, из числа тех, в которых существенную роль играет
соотношение между обозначением и обозначаемым и для которых
в последнее время получило права гражданства название се-
семантических парадоксов, или же семантических
антиномий.
Принципиальная сторона гёделевского метода в наиболее
простой форме проступает именно тогда, когда мы начинаем при-
прилагать этот метод к упомянутым антиномиям, и потому мы в пер-
первую очередь займемся рассмотрением этих приложений.
а) Антиномия лжеца; теорема Тарского о понятии истинности;
парадокс Ришара. Одним из простейших семантических парадок-
парадоксов является парадокс лжеца. Парадокс этот был известен уже
древним грекам. Суть его заключается в том, что из высказыва-
высказывания, утверждающего свою собственную ложность, вытекает про-
противоречие. Если некто говорит: «сейчас я лгу» или, более по-
подробно, «я высказываю сейчас утверждение, которое является
ложным», то в силу языковой формы, в которую облечено это
высказывание, оно носит характер некоторого утверждения.
Предположение, что это утверждение является истинным, ввиду
содержания этого высказывания немедленно приводит нас к заклю-
заключению, что оно является ложным. Поэтому, согласно принципу
reductio ad absurdum, это утверждение является ложным. Но это
означает, что в тот момент времени, когда это высказывание
произносится, то, о чем в нем говорится, верно. Следовательно,
данное высказывание выражает истинное утверждение. Тем самым
322 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
мы пришли к противоречию. (Заметим, кстати, что закон исклю-
исключенного третьего при этом не использовался.)
Мы не хотели бы вдаваться здесь в философскую дискуссию
по поводу этой антиномии, о которой уже много говорилось и
писалось*).
Во всяком случае, в обиходном языке парадокс этот вызывает
определенную трудность, так как он показывает, что оперирова-
оперирование с грамматически правильно построенным предложением по
обычным правилам умозаключений иногда может привести
к противоречию.
Решение этого парадокса сводится к объяснению причин, по
которым требуется наложить определенные ограничения на
употребление схем тех или иных грамматических форм и правил
умозаключения. Но нас будет интересовать не эта постановка
вопроса, а то, может ли в формализованных языках сложиться
положение вещей, аналогичное парадоксу лжеца, и при каких
условиях это может быть. Вспомогательным средством, подходя-
подходящим для обсуждения этого вопроса, оказывается метод арифме-
тизации метаматематики.
Представим себе, что некоторая часть нашего языка уточнена
до некоторого дедуктивного формализма F, и предположим, что
для выражений этого формализма установлена определенная
нумерация, так что каждому выражению из F взаимно однознач-
однозначным образом сопоставлено число, считающееся его номером.
Допустим, что формализм F и рассматриваемая нумерадия
удовлетворяют следующим условиям:
а) Функции, отношения, предложения и способы умозаключе-
умозаключений рекурсивной арифметики (включая и соответствующие средства
исчисления высказываний) изобразимы в F.
б) С помощью рассматриваемой нумерации свойства выраже-
выражений формализма F и отношения между ними, формулируемые
в терминах внешнего вида этих выражений, изображаются рекур-
рекурсивными предикатами, а выполняемые над этими выражениями
формальные операции изображаются рекурсивными функциями.
в) Имеются переменные некоторого специального вида, назы-
называемые числовыми переменными. Некоторые из выраже-
выражений формализма F выделены в качестве термов. К термам,
в частности, относятся числовые переменные и цифры. Всякая
рекурсивная функция изображается в F некоторым термом,
*) Из литературы по этому вопросу см., в частности, дискуссию между
П. Финслером и X. Липпсом: Finsler P., Lipps H. Ober die Losung von
Paradoxien. — Philos. Anzeiger, II Jg., 1927, N° 2, работу Р. Карнапа: Car-
nap R. Die Antinomien und die Unvollstandigkeit der Mathematik. — Monatsh.
Math. Phys., 1934, 41 № 2, а также работу Э. Стениуса- Stenius E. Das
Problem der logischen Antinomien (диссертация, Хельсинки, 1949, Commenta-
tiones Physico Mathematicae XIV 11 Soc. Scient, Fennica).
§ И ГРАНИЦЫ ИЗОБРАЗИМОСТИ И ВЫВОДИМОСТИ 323
а аргументы этих функций изображаются числовыми переменными.
Если в терме, содержащем какую-либо числовую переменную, ее
заменить каким-либо термом, то при этом снова получается неко-
некоторый терм (разумеется, при условии отсутствия коллизий между
связанными переменными).
Некоторые из выражений формализма F выделены в качестве
формул. Равенство любых двух термов является формулой, и
потому любое рекурсивное отношение изобразимо в F некоторой
формулой.
При замене в формуле входящей в нее числовой переменной
каким-либо термом — если при этом не возникает коллизий между
связанными переменными — снова получается некоторая формула.
Отрицание любой формулы является формулой. Любое выводи-
выводимое выражение является формулой.
Замечание. Характеризуя определенные выражения из F
в качестве термов или формул, мы будем предполагать, что
имеется способ, который для каждого выражения, принадлежа-
принадлежащего F, проверял бы, является ли оно термом (или соответственно
формулой).
Что касается этих подготовительных предположений, то они
носят довольно общий характер. Они выражают примерно ту
мысль, что формализм F обладает некоторым минимальным запа-
запасом изобразительных и дедуктивных возможностей, что обращение
с символьными выражениями в F определено достаточно строго
и что этот формализм обнаруживает определенное сходство с рас-
рассматривавшимся нами до сих пор формализмом арифметики.
Разумеется, в ряде отношений эти предположения могли бы
быть ослаблены. Однако мы здесь этого делать не будем, так как
эти предположения позволят нам выводить противоречия в рам-
рамках хорошо известных дедуктивных методов. С этой точки зрения
мы добавим еще одно (очевидным образом несущественное) пред-
предположение о том, что в качестве символов для связок исчисления
высказываний, символа равенства, символа арифметической функ-
функции следования (штрих-символа) и букв для числовых переменных
будут браться те же самые символы, которыми мы пользовались
ранее.
Для формального моделирования данного парадокса нам потре-
потребуется еще одно допущение, касающееся формализуемости свой-
свойства высказываний быть истинным. Это допущение может
быть сформулировано следующим образом:
г) Имеется формула Ш (а) с числовой переменной а в качестве
единственной свободной переменной, обладающая тем свойством,
что если н представляет собой номер некоторой формулы 31 без
свободных переменных, то в F выводимы импликации
и Я-»-ЭЛ(п).
324 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ 1ГЛ V
На основе предположений а) —г) мы получаем следующий
аналог парадокса лжеца:
Сначала из предположений б) и в) мы заключаем, что сущест-
существует рекурсивная функция, зависящая от двух аргументов, кото-
которая номеру всякого выражения & из F и всякой цифре I ставит
в соответствие номер выражения, получающегося из к в резуль-
результате замены переменной а всюду, где она входит в это выраже-
выражение, цифрой I.
Затем, согласно допущениям а) и в), функцию эту можно
изобразить некоторым термом б (k, l), обладающим тем свойством,
что если f является номером некоторого выражения & из F,
[ — некоторой цифрой, а т —номером выражения, получающегося
из & в результате повсеместной замены переменной а цифрой [,
то в F выводимо равенство
Кроме того, терм б (k, l) может быть выбран таким образом,
чтобы в нем не встречалось никаких связанных переменных, вхо-
входящих в формулу Ш(а), так что выражение Ш($(а, а)) и его
отрицание П ЭЛ (б (а, а)) будут формулами. Номер формулы
~| Ш (б (а, о)) мы обозначим буквой р.
Если I — цифра, являющаяся номером выражения &, то зна-
значение б (f, t) представляет собой номер того выражения, которое
получается из & в результате повсеместной замены переменной а
цифрой f. Поэтому значение терма б (р, р) представляет собой
номер формулы
Пусть q —этот номер, тогда вследствие упоминавшегося выше
свойства терма б(й, I) в F будет выводимо равенство
Отсюда [по предположению а)] получаются импликации
ал (q)-* an («ft, p)) и 2R(«ft, »)-*an(q).
С другой стороны, [согласно допущению г)], так как q является
номером формулы ЯН(б(р, р)), не содержащей свободных пере-
переменных, то в' F выводимы импликации
яя to)-* паи (в ft, p)) и пап (в ft, й)-*ап(Ч).
Теперь мы легко получаем противоречие. Действительно,
импликации
*))-»-an (я) и ан(я)-*па
§ 1] ГРАНИЦЫ ИЗОБРАЗИМОСТИ И ВЫВОДИМОСТИ 325
взятые друг с другом, дают формулу
из которой затем получается формула
С другой стороны, эта формула, взятая вместе с импликациями
im(*(p, »>))-*-аи (q) и аи м-»-аи («о,, »»,
дает нам формулу
SOT (в (|». »)).
Тем самым мы получили формализацию антиномии лжеца. При
этом высказыванию, утверждающему свою собственную ложность,
соответствует формула
Действительно, для любого числа п, являющегося номером какой-
либо формулы 21 без свободных переменных, формула 2JJ (п) изо-
изображает утверждение об истинности 81, и потому 1Ш (п) изобра-
изображает утверждение о том, что 91 ложно. Так как ё(р, p) = q, a q
является номером формулы ~1 SDi (б (^, \>)), то формула 3ЭТ(ё(р, р))
изображает утверждение о том, что "iaifi(e(p, ^)) ложно.
То обстоятельство, что эту антиномию можно изложить совер-
совершенно формально, отчетливо показывает, что она не имеет ника-
никакого отношения к вопросу о реальной истине как гносеологиче-
гносеологической проблеме. Более того, в данной ситуации от понятия истин-
истинности данного высказывания для получения противоречия нам
потребовалось лишь то, что было формализовано в предположе-
предположении г) и что в обиходном языке может быть сформулировано при-
примерно следующим образом: «Любое предложение вида „высказы-
„высказывание 91 истинно" само является высказыванием; из этого выска-
высказывания следует высказывание 21, и обратно: это предложение
следует из высказывания 21».
Но перечисляя явным образом предположения, сделанные отно-
относительно рассматриваемого дедуктивного формализма, и формали-
формализуя эту антиномию, мы добиваемся в первую очередь не пара-
парадокса. У нас получается некоторый общий факт, относящийся
к дедуктивным формализмам вообще. Именно, обнаруженное про-
противоречие показывает, что для любого непротиворечивого форма-
формализма F, удовлетворяющего условиям а) — г), если имеется взаимно
однозначная нумерация его выражений, обладающая указанными
в допущении б) свойствами, то невозможна такая формализация
в рамках самого F числового предиката «я является номером
некоторой формулы из формализма F, изображающей истинное
утверждение», которая удовлетворяла бы условию г).
326 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
Как уже упоминалось, сделанные нами предположения в неко-
некоторых отношениях могут быть ослаблены. В этой связи заметим,
в частности, следующее:
1. Не обязательно требовать, чтобы в формализме F имелись
свободные переменные. В самом деле, в нашем выводе противоре-
противоречия свободная переменная а фигурирует лишь постольку, поскольку,
с одной стороны, в определении рекурсивной функции, представ-
представленной термом $ (k, l), используется ссылка на замену перемен-
переменной а некоторой цифрой и, с другой стороны, цифра р опреде-
определяется как номер выражения Ш (8 (а, а)). Но для этого вовсе не
требуется, чтобы переменная а принадлежала формализму F,
а нужно лишь, чтобы она была включена в нашу нумерацию.
Аналогичным образом в формулировке наших предположений
свободные переменные могут быть использованы для указания
мест аргументов также без того, чтобы включать их в сам фор-
формализм F.
2. Не обязательно требовать, чтобы в формализме F содер-
содержались цифры. Вместо цифр в F могут фигурировать какие-нибудь
более сложные термы (быть может, содержащие и переменные),
относительно которых нужно только предположить, что имеется
некоторое отображение, устанавливающее взаимно однозначное
соответствие между этими термами и цифрами; эти термы можно
будет также использовать вместо цифр в качестве номеров выражений
из F в нашей нумерации.
3. Нет необходимости требовать, чтобы каждая рекурсивная
функция была изобразит в формализме F. Достаточно потребо-
потребовать, чтобы в F была представима в некотором смысле одна
такая функция при условии, что формализм F по меньшей мере
содержит квантор всеобщности вместе с соответствующим образом
обобщенным понятием формулы, а также связанные с кванто-
квантором всеобщности способы умозаключения, формализованные
каким-то образом. Характер требуемой при этом представимости
проще всего выяснить на примере разобранного нами случая,
проанализировав роль, которую при выводе данного противоре-
противоречия начинает играть предположение об изобразимости в F рекур-
рекурсивных функций. Фактически это предположение использовалось
в выводе только один раз, а именно когда мы изображали одну
рекурсивную функцию с помощью терма 8(k, l). Рассматриваемая
при этом функция —мы обозначим ее sb (k, /) —сопоставляет
номеру f какого-либо выражения & и цифре [ номер sb (f, I) выра-
выражения, получающегося из t в результате замены переменной а
цифрой [.
Для формализации рассматриваемой антиномии вместо того,
чтобы изображать функцию sb (k, I) термом 8 (k, I), нам доста-
достаточно изобразить трехместный предикат sb (ft, l) — m такой фор-
формулой © (k, /, т) из F, не содержащей отличных от k, I tf m
§ 1] ГРАНИЦЫ ИЗОБРАЗИМОСТИ И ВЫВОДИМОСТИ 327
свободных переменных, чтобы для произвольных цифр f, l и т,
удовлетворяющих равенству
sb(f, f) = m,
в F была выводима формула © (f, I, m) и чтобы, кроме того, в F
выводилась формула
A) VxVyVuVu (© (х, у, «)&©(*, у, v)-+u = v).
Действительно, пусть р — номер формулы
Vx(@(a, а, х)-*--\Ш(х)),
a q —цифра, являющаяся значением sb (p, р). Тогда q является
номером формулы
Так как эта формула не содержит свободных переменных, то,
согласно предположению г), в F выводимы формулы
B) ЗЛ (q) -v Ух (© (», р, х) -> 1 ЗН (х))
C) Vx(©(^, p, x)-»-ian(x))-»-a)i(q).
Далее, так как справедливо равенство
sbO>, p) = q,
то в F выводима формула
D) ©(», р, q).
Из формул B) и D) можно получить формулу
an(q)-»-iaW(q),
а из нее —формулу
П ЗОТ (q).
Эта формула, взятая вместе с формулами D) и A), на основании
общей аксиомы равенства дает формулу
V*(€>(», h x)-*--\fDl(x)),
которая в сочетании с C) дает формулу
так что мы снова получаем противоречие.
Замечание. В этом рассуждении мы пользовались предпо-
предположением, что формализм F удовлетворяет условию в). Однако
совершенно аналогичным образом можно рассуждать и в том слу-
случае, когда формализм F не содержит свободных переменных.
В этом случае выражение © (k, I, m) не будет принадлежать фор-
328 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
мализму F, а будет играть роль именной формы. Зато для произ-
произвольных rf, f-и m выражение @(f, t, m), а также выражение A)
будут формулами из F. Переменная а будет учтена в нумерации
выражений, входящих в F, так что метаматематический смысл
функции sb (k, I) сохранится и выражение
Vx(@(a, а, х)^~\Ж(х))
получит некоторый номер, хотя оно и не будет принадлежать
формализму F.
Это рассуждение равным образом может быть распространено
и на случай такого формализма F, в котором роль цифр играют
какие-нибудь другие, более сложным образом устроенные термы.
На основе всех наших замечаний относительно возможности
ослабления предположений а) — г) мы могли бы сформулировать
какую-нибудь модифицированную версию этих предположений.
Однако такая версия, по-видимому, была бы довольно громоздкой
и снова содержала бы ненужные ограничения на формализм F.
Окончательная общность в этом направлении едва ли может быть
достигнута.
Но эти замечания о возможности ослабления наших предпо-
предположений показывают, что обстоятельство, которое было отмечено
в связи с формализацией антиномии лжеца и для которого доста-
достаточно предположений а), б) и в), имеет место и в формализмах
гораздо более общей структуры. Это обстоятельство состоит в том,
что в формализмах указанного типа при условии их непротиво-
непротиворечивости понятие истинности данного высказывания не может
быть изображено способом, соответствующим основным формаль-
формальным свойствам этого понятия.
Тот факт, что такая невозможность имеет место во всех ариф-
арифметически достаточно выразительных формализмах, а также
в достаточно формально описанных дедуктивных формализмах,
удовлетворяющих определенным, весьма общим условиям, был
обнаружен Альфредом Тарским в его работе «Der Wahrheitsbe-
griff in den formalisierten Sprachen» и высказан в виде теоремы1),
причем Тарский подчеркнул, что аналогичная ситуация имеет
место и по отношению к другим семантическим понятиям, отлич-
отличным от понятия истинности данного высказывания. И действи-
действительно, при условиях, аналогичных указанным выше, формально-
дедуктивное изображение различных понятий, относящихся
к связи между обозначением и обозначаемым, также оказывается
невозможным.
х) Указанное сочинение Тарского сначало появилось на польском языке
в Travaux de la soc. des sciences ... de Varsovie в Варшаве в 1933 г. после
анонса: Der Wahrheitsbegriff in den Sprachen der deduktiven Disziplinen — Akad.
d. Wissensch. Wien, Anzeiger, 1932, 69. Немецкий перевод этого сочинения
опубликован, с послесловием, в Studia philosophica, 1935, 1,
§ 1] ГРАНИЦЫ ИЗОБРАЗИМОСТИ И ВЫВОДИМОСТИ 329
Замечательным фактом этого рода является невозможность
изобразить понятие «значения выражения, определяющего неко-
некоторое число», которая также может быть установлена при весьма
общих предположениях относительно рассматриваемого дедуктив-
дедуктивного формализма. Мы даже могли бы извлечь ее непосредственно
из нашего предыдущего результата, касающегося формализации
понятия истинного высказывания, если бы наложили на рассмат-
рассматриваемые формализмы некоторое дополнительное условие.
При этом мы, как и прежде, ограничимся рассмотрением таких
дедуктивных формализмов, которые удовлетворяют предположе-
предположениям а), б) и в).
Добавляемое к этим предположениям дополнительное условие
заключается в том, что мы требуем, чтобы для каждой формулы 21
формализма F, не содержащей свободных переменных, можно
было указать такой терм 1)B1) без свободных переменных, что
формула 21 переводима в равенство
причем это сопоставление формуле 21 терма 1) B1) должно произво-
производиться таким образом, чтобы номер терма I) B1) был рекурсивной
функцией номера формулы 21.
Это дополнительное предположение, которое мы обозначим
посредством в^, выполняется всякий раз, когда формализм F
содержит кванторы, i-символ и относящиеся к ним правила и
формулы (или схемы формул).
Действительно, в каком случае в качестве 1) B1) можно взять
i-терм
1Ж («-*-*-= 0 &"| «-*-*= 1),
который мы в гл. VIII т. I обозначали посредством со B1) и для
которого может быть выведена эквивалентность
21^0) B1) = О1).
Совершенно аналогичным образом допущение вг) выполняется
и тогда, когда в F содержится е-символ вместе с е-формулой или
вместо них ц-символ и квантор существования вместе с формулой
(Hi) и основной формулой (Ь), причем упомянутые формулы могут
быть заменены соответствующими схемами формул.
Вместо условия г) теперь вводится следующее условие:
гх) Существует терм е(а) с числовой переменной а в качестве
единственной входящей в него свободной переменной, обладаю-
обладающий тем свойством, что если п является номером некоторого
терма t, не содержащего свободных переменных, то в F выводимо
х) См. т. I, с. 478 — 479.
330 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
равенство
e(n) = t.
Чтобы убедиться, что это допущение гх) в сочетании с предполо-
предположениями а), б), в) и Bx) ведет к противоречию, достаточно пока-
показать, что в случае совместного выполнения условий а), б), в),
ва) и гх) будет выполняться и утверждение г). Это может быть
сделано следующим образом:
По предположению вг), для любой формулы 51 из F, не
содержащей свободных переменных, номер терма ^ (91) изобра-
изображается (в его зависимости от номера формулы Щ с помощью
некоторой рекурсивной функции, а эта функция в свою очередь
изображается в F с помощью некоторого терма Ь(а). Зто озна-
означает, что если п является номером формулы 51, не содержащей
свободных переменных, а I является номером терма 1)(Щ, то в F
выводимо равенство
b(n) = L
В тех же обозначениях в силу допущения гх) в F выводимо
равенство
@)
так как f)(Sl) является термом без свободных переменных.
Равенства
b(n) = I и еA)
взятые друг с другом, с помощью общей аксиомы равенства (J2)
дают формулу
e(b(n)) = $(*).
с помощью которой равенство
е(Ь(п)) = О
переводимо в равенство
Но это равенство, согласно предположению вх), переводимо в фор-
формулу Я. Тем самым в F выводимы формулы
= 0.
Эти выводимости имеют место всякий раз, когда 51 является
формулой из F без свободных переменных, а п является номером
этой формулы. Следовательно, формула е (Ь (а)) = 0 обладает свой-
свойством, которое в условии г) требуется от формулы ЭЯ (а).
Таким образом, выполнение условия г) действительно является
следствием выполнения предположений а), б), в), в{) и гх). Но,
согласно замеченному ранее, отсюда следует, что в случае непро-
^ 1} ГРАНИЦЫ ИЗОБРАЗИМОСТИ И ВЫВОДИМОСТИ 331
тиворечнвого дедуктивного формализма, удовлетворяющего усло-
условиям а), б), в) и В]), условие гг) выполняться не может.
Невозможность выполнения— при указанных предположе-
предположениях—условия гх) означает, что дедуктивный формализм F, удов-
удовлетворяющий этим предположениям, не может содержать такое
функциональное выражение, которое формализовало бы некую
нумерацию, при которой каждому числу, являющемуся номером
терма без свободных переменных (т. е. некоторого определяю-
определяющего число выражения из F), сопоставляется значение
этого выражения.
Было бы соблазнительно интерпретировать это обстоятельство
проще. Однако надо заметить, что в условии гх) отнюдь не тре-
требуется, чтобы было возможно эффективное вычисление значения
любого терма t, не содержащего свободных переменных. Действи-
Действительно, если п — номер терма t, то требуется только выводимость
равенства
e(n) = t,
а не выводимость равенства
е (n) = m,
где т — цифра, являющаяся значением этого терма t. Таким обра-
образом, допущение гх) требует формализуемости только понятия
значения, а не какого-либо формально-дедуктивного вычисления
в рамках F.
Ситуация, обнаруженная нами в связи с условием г^, нахо-
находится в тесной взаимосвязи с теми семантическими антиномиями,
которые обычно объединяются под общим названием парадокса
Ришара1). Эту взаимосвязь мы изложим здесь на примере одного
особенно известного частного случая парадокса Ришара. Речь
пойдет о следующем рассуждении:
Рассмотрим совокупность тех арифметических функций (т. е.
функций, сопоставляющих каждому натуральному значению аргу-
аргумента натуральное же значение функции), которые могут быть
определены с помощью некоторых текстов на русском*) языке2).
!) Ж- Ришар является первооткрывателем некоторых из этих антиномий.
См. его работу: Richard Jules. Les principes des mathematiques et le prob-
leme des ensembles.— Rev. generate sci. pur. appl. 1905, 16, и в дополнение
к этому Acta math., 1906, 8. Впрочем, см. также работу Ю. Кёнига: Konig
Julius. Ober die Grundlagen der Mengenlehre und das Kontinuumproblem.—
Math. Ann. 1905, 61.
*) В подлиннике, естественно, речь идет о немецком языке. —Прим.
черев.
2) Понятие «текста на русском языке» здесь следует понимать достаточно
широко —так, чтобы в качестве принадлежащих русскому языку рассматри-
рассматривались и различные общеупотребительные научные термины, — например такие,
как «функция». Разумеется, эти термины можно было бы заменить соответ-
соответствующими русскими словами.
332 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ. V
Ввиду перечислимости всех конечных последовательностей, состоя-
состоящих из букв русского алфавита и знаков препинания, можно
построить перечисление и для указанных функций. При этом мы
можем ограничиться одним только русским алфавитом, а в каче-
качестве знаков препинания можно будет взять только точку, запя-
запятую, точку с запятой, кавычки, скобки (левую и правую) и знак
пробела между словами.
Нумерацию этих последовательностей можно произвести сле-
следующим образом: сначала устанавливается определенная очеред-
очередность для отдельных знаков (например, сначала пишутся буквы
алфавита, а затем только что перечисленные знаки препинания —
в указанном порядке), а потом устанавливается очередность после-
последовательностей, составленных из знаков: в первую очередь по
количеству знаков в последовательности, а при равном количе-
количестве — лексикографически.
Среди занумерованных таким образом последовательностей
содержатся, в частности, все те, которые представляют собой рус-
русские тексты определений каких-либо арифметических функций.
Каждый такой текст получает при этом определенный номер и
тем самым получается некоторое перечисление, — правда, с пов-
повторениями — арифметических функций, определяемых по крайней
мере одним из таких текстов: г|H («), % (п)> ■ ■ ■
Теперь к этой последовательности функций мы можем приме-
применить канторовскую диагональную процедуру, состоящую в построе-
построении функции (■фл («))'. Эта функция тоже является арифметиче-
арифметической, но она отличается от всех функций последовательности
■фо(я)> tyi(n), ..., потому что если бы для какого-нибудь номера f
выполнялось равенство
4>г(п)-(*«(*))'.
то у нас получилось бы ложное равенство
Значит, функция (i|5n(n))' не может встречаться в последова-
последовательности г|H(л), %(«), ••• Но, о другой стороны, эту функцию
можно определить с помощью некоторого русского текста. Дей-
Действительно, описание нашего способа перечисления (с повторе-
повторениями) арифметических функций, определимых с помощью рус-
русских текстов, было сформулировано на русском языке, а после-
последующее символическое построение функции (г|з„ («))' может быть
заменено следующим определением, записанным на русском языке:
«Та самая арифметическая функция, которая для каждого дан-
данного натурального числа принимает значение, на единицу боль-
большее числа, являющегося значением той функции, номер которой
в полученной последовательности арифметических функций равен
данному числу»,
5 И ГРАНИЦЫ ИЗОБРАЗИМОСТИ И ВЫВОДИМОСТИ 333
Следовательно, функция (%(п))' должна встречаться в нашей
последовательности ^0(«). ^i(«). ••• Таким образом, мы приходим
к противоречию.
При анализе этой антиномии в первую очередь бросается
в глаза то, что понятие определения арифметической
функции при помощи текста на русском языке
является довольно неточным, и поэтому выделение тех текстов,
которые определяли бы арифметические функции, представляется
проблематичным. Однако такая точка зрения еще не дает пол-
полного объяснения парадокса. В самом деле, при формализации
этой антиномии мы могли бы исключить указанную трудность,
ограничившись рассмотрением лишь таких дедуктивных форма-
формализмов, в которых выражения, изображающие арифметические
функции, выделяются среди прочих выражений своей формальной
структурой.
Действуя в духе этого ограничения, добавим к нашим допу-
допущениям1) а) —в) относительно формализма F, которые мы опять
положим в основу формализации рассматриваемой антиномии2),
следующее дополнительное ограничение:
в*) Среди выражений формализма F термы распознаются по
своему внешнему виду, так что (с учетом произведенной нуме-
нумерации) свойство числа «быть номером какого-либо терма» пред-
представляет собой рекурсивный предикат. Далее, каждый терм, не
содержащий свободных переменных, изображает некоторое, одно-
однозначно определенное число. Однако это определение может быть
всего лишь описательным, т. е. без указания эффективного
построения соответствующего числа.
При соответствующем выборе определений условие в*) будет
выполняться для формализма арифметики, а также для форма-
формализма анализа и объемлющих их формализмов3).
Мы теперь покажем, что из предположений а) —в) и в*) отно-
относительно формализма F и рассматриваемой нами нумерации
в сочетании с допущением тг) следует выводимость в F некото-
некоторого противоречия.
Действительно, из предположений б), в) и в*) получается,
что свойство числа m «быть номером некоторого терма с число-
*) См. с. 322 и далее.
2) Для простоты мы снова предполагаем, что числовые переменные,
а также символы для предиката равенства и для арифметической функции
следования совпадают с употреблявшимися ранее. Кроме того, мы предпола-
предполагаем, что номер терма t всегда меньше номера терма t'. Эти несущественные
Добавки к допущениям а) —в) в дальнейшем специально оговариваться не
будут.
8) Например, оно выполняется для формализма, описанного в книге
Р. Карнапа: Carnap R. Logische Syntax der Sprache. —Wien, 1934 под наз-
названием «Sprache II». Этот формализм представляет собой теорию типов
о включением аксиом Пеано и формализации понятия наименьшего числа.
334 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
вой переменной а в качестве единственной свободной переменной»
является рекурсивным предикатом. Обозначим его через $(т).
Рассмотрим номера термов а, а' dv\ Все эти номера обла-
обладают свойством g и являются попарно различными. Номер терма а^
в его зависимости от г изображается некоторой рекурсивной
функцией t>(n). Для этой функции выполняются неравенства
Ж» (я) и v> (n) <»(«')•
Кроме того, имеет место
Последовательность цифр, обладающих свойством %, можно изо-
изобразить—в порядке их возрастания — с помощью некоторой рекур-
рекурсивной функции t(n). Именно, t(n) можно определить рекурсив-
рекурсивными равенствами 4)
t@)= Min %(x),
х < »@)
t(n')= Min
Для этой функции справедливы следующие (выводимые в рекур-
рекурсивной арифметике) формулы:
), t(n)<t(n'), n<t(»), 8(t(n)).
Согласно предположению а) функция t(rt) изображается в F неко-
некоторым термом f (n) таким, что единственной его свободной пере-
переменной является числовая переменная п.
Последовательность значений термов f@), f(O'), f@"), ..,
представляет собой перечисление номеров всех тех термов в F,
которые имеют а в качестве единственной свободной переменной.
Таким образом, последовательности f@), f(O'), f@"), ... соответ-
соответствует некоторое перечисление (с повторениями) ^{а), ^(а), ...
всех арифметических функций, представимых в F с помощью
каких-либо термов с единственной свободной переменной а. При
этом для всякой цифры п значение терма f(n) является номером
некоторого терма fn (а) в F2), изображающего функцию ■>}>„ с аргу-
аргументом а. Если в этот терм вместо а подставить цифру п, то
номер получающегося при этом терма будет [в силу характери-
характеристического свойства функции $(k, /)8)] значением терма 6(f (п), п).
Поэтому на основании свойства функции е (п) [допущение гг)]4),
х) Относительно функции Min см. с. 274 и далее
2) Индекс п в fn указывает только на зависимость рассматриваемого
терма от п.
а) См с. 324.
*) См. с. 329 и далее,
§ 1] ГРАНИЦЫ ИЗОБРАЗИМОСТИ И ВЫВОДИМОСТИ 335
получается, что в F выводимо равенство
e(«(f(n), n)) = fn(n).
Следовательно, функция (\|з„ (л))' может быть представлена в F
посредством терма (e(e(f(a), a)))'.
Номер этого терма должен встречаться в списке термов
f@), f(O'), f@"), ... Пусть, например, это будет f(p). Если
т —номер терма
), p)))',
то на основе характеристического свойства функции $ (k, l) в F
выводимо равенство
откуда с помощью аксиом равенства выводится формула
С другой стороны, в силу характеристического свойства функ-
функции е(л), в F выводимо равенство
Но два последних равенства, взятые друг с другом, дают
e(«<f(p), p)) = (e(e(fft>), р)))',
в то время как в силу предположения а) в F выводима формула
). Р)))'.
Таким образом, формализм F содержит противоречие.
Тем самым мы доказали, что никакой непротиворечивый фор-
формализм, удовлетворяющий условиям а) —в) и в*), не может удов-
удовлетворять еще и условию riI).
Способ усиления парадокса Ришара, сходный с изложенным
нами, приведен Клини и Россером, — правда, для формализмов
несколько другого типа2). В их рассмотрении вместо нашего
допущения в) взяты некоторые другие предположения, а допу-
допущение в*) заменено более слабым. Результат этого рассуждения
авторы применяют к построенным А. Чёрчем и X. Б. Карри
системам логистики и на этом пути устанавливают непротиворе-
непротиворечивость указанных систем.
х) Это доказательство можно было бы получить несколько проще. Именно,
вместо терма e(«(f(a), a)))' достаточно было бы рассматривать терм (е(й(а, а)))'.
Но мы хотели здесь прояснить связь между полученным результатом и уси-
усиленным парадоксом Ришара.
2) См. Kleene S. С, Rosser J. В. The inconsistency of certain formal
logics. —Ann. Math., 1935, 36, 3. См. также Curry H. B. The Paradox of
Kleene and Rosser. — Trans. Amer. Math. Soc, 1941, 50, p. 454—516.
336 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
Прежде чем закончить это изложение семантических парадок-
парадоксов и их формальное усиление, мы хотели бы подчеркнуть еще
одно обстоятельство. Результаты, касающиеся невозможности
формального изображения понятия истинного высказывания и
понятия значения выражения, определяющего число, в формали-
формализованных языках (дедуктивных формализмах), были получены
при некоторых общих предположениях относительно этих форма-
формализмов. Они справедливы лишь в том смысле, что эти понятия,
будучи отнесены к рассматриваемым формализованным языкам,
не могут быть изображены внутри самих этих языков. Между
тем они никоим образом не исключают возможности изображения
этих понятий в рамках каких-либо объемлющих формализованных
языков. Более того, такая возможность имеется, по всей види-
видимости, в самом общем смысле. И, действительно, формальное
изображение этих понятий может быть осуществлено, с одной
стороны, аксиоматическим путем, а с другой, —с помощью соот-
соответствующих явных определений.
Что касается формализации понятия истинного высказывания
при помощи явных определений (определений истинно-
истинности), то такие определения для различных систем исчисления
классов и исчисления предикатов (включая и исчисления второй
ступени) были проведены Тарскимг). Для одного формализма
теории типов с включением арифметических аксиом Р. Карнап?)
дал набросок определения истинности, изложенный на естествен-
естественном языке. Это определение может быть формализовано в рамках
некоторой логистической системы, обладающей достаточными
изобразительными возможностями.
В предыдущих главах мы уже познакомились с различными
примерами определений истинности, сформулированных на естест-
естественном языке. Такими определениями являются определения
верифицируемости3), сформулированные нами для ряда
формализмов. Встречающиеся при рассмотрении проблемы раз-
разрешимости определения понятий общезначимости и выпол-
выполнимости также можно рассматривать (со ссылкой на какой-
либо формализм, в рамках которого могут быть формально
изображены общезначимость и выполнимость формул исчисления
предикатов) как определения истинности или же фрагменты таких
определений. В дальнейшем мы рассмотрим пример одного такого
формализованного определения истинности*).
х) В его уже цитированном сочинении: «Der Wahrheitsbegriff in den forma-
lisierten Sprachen».
a) Car nap R. Ein Gultigkeitskriterium fur die Satze der klassischen
Mathematik.—Monatsh. Math. Phys , 1935, 42, № 1.
3) Cm. t. I, c. 294, 305, 307, 336, 339, 343, 360, 363, 441, 449.
*) См. с. 406—411.
§ 1] ГРАНИЦЫ ИЗОБРАЗИМОСТИ И ВЫВОДИМОСТИ 337
Замечание. Термин определение истинности сам
по себе не должен вводить нас в соблазн. Мы не должны ожи-
ожидать от такого определения философского объяснения понятия
истины. Напротив, в большинстве случаев речь здесь идет лишь
о некотором уточнении того понимания формул, которое и без
того лежит в основе обычного использования формализма, и
задача такого определения заключается в том, чтобы выразить
это понимание в общем виде, в его зависимости от структуры
рассматриваемой формулы.
Впрочем, определения истинности, как правило, не допускают
какого-либо финитного истолкования.
б) Первая теорема Гёделя о неполноте. От антиномии лжеца
к упоминавшимся в начале этой главы теоремам Гёделя нас при-
приводит рассмотрение одной модификации этой антиномии и при-
применение к ней метода формального уточнения.
Эта модификация заключается в том, что мы рассматриваем
высказывание, выражающее свою собственную недоказуемость.
Если некто произносит фразу: «предложение, которое я сейчас
произношу, не может быть получено в результате какого-либо
доказательства», то предположение о том, что это предложение
может получиться в результате некоторого доказательства, ведет
к противоречию. Таким образом, это предположение должно быть
отвергнуто. Но тогда получается, что имеет место именно то,
о чем говорится в этом предложении и, значит, это предложение
получается в результате некоторого доказательства.
Поначалу складывается впечатление, что мы добавили к анти-
антиномии лжеца лишь ненужное осложнение. Но для формального
уточнения произведенная нами модификация оказывается очень
существенной, так как относительно дедуктивного формализма
понятие результата доказательства имеет более элемен-
элементарный характер, чем понятие истинного высказывания.
Для формализма исчисления предикатов мы в свое время
показали, что с помощью соответствующей нумерации отношение
между списком формул и формулой 81, указывающее, что этот
список является выводом формулы 81, изображается рекурсивным
отношением Dd(/n, n) между номером этого списка и номером
формулы 81 х).
Способ, с помощью которого мы получили это изображение,
показывает, что возможность такого рекурсивного изображения
отношения между числом т, являющимся номером какого-либо
списка формул, представляющего собой некоторый вывод, и
числом п, являющимся номером заключительной формулы этого
вывода, не обусловлена какими-то специфическими особенностями
исчисления предикатов, а имеет место для любого достаточно
См. с, 296.
338 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
четко очерченного дедуктивного формализма. Позже мы еще убе-
убедимся в рекурсивной изобразимости этого отношения специально
в применении к арифметическому формализму.
Гёдель установил рекурсивную изобразимость упомянутого
отношения для одного формализма, получающегося из системы,
изложенной в Principia mathematica, в результате отказа от
различения ступеней, замены аксиомы бесконечности аксиомами
Пеано, а также некоторых упрощений. Системы аксиоматической
теории множеств при их формализации приводят нас к дедуктив-
дедуктивным формализмам, для которых —при подходящей нумерации —
отношение номера списка формул, являющегося выводом, к но-
номеру его заключительной формулы также выражается рекурсивным
образом ').
Поэтому при формализации модифицированной антиномии
лжеца не может быть речи о том, чтобы при определенных общих
предположениях относительно дедуктивного формализма, включая
и предположение о его непротиворечивости, доказывать невозмож-
невозможность формализации понятия результата доказательства.
Напротив, мы с самого начала положим в основу нашего рас-
рассмотрения обратное предположение, что при нашей нумерации
отношение «число т является номером некоторого вывода формулы
с номером п» допускает определенное рекурсивное изображение.
Это предположение является усилением нашего прежнего допуще-
допущения относительно рассматриваемого дедуктивного формализма F.
Кроме того, мы введем еще одно (правда, лишь незначительное)
усиление наших предположений а), б) и в) 2): в то время как до
сих пор только предполагалось, что в формализме F имеются
некоторые изображения для функциональных выражений рекур-
рекурсивной арифметики, теперь мы будем предполагать, что в F
содержатся и сами символы для рекурсивных функций. Это
предположение выполняется всякий раз уже тогда, когда выпол-
выполнено условие а) и допускается введение функциональных знаков
при помощи явных определений.
Замечание. Собственно говоря, мы могли бы обойтись и
без этого предположения, но, с одной стороны, оно облегчает
наше рассмотрение, а с другой стороны, его добавление не накла-
накладывает на наш результат никаких существенных ограничений.
Далее, приняв ранее уже использованное предположение, что
в формализме F символы для связок исчисления высказываний,
а также штрих-символ и символ равенства совпадают с симво-
1) Один очень прозрачный формализм этого рода, продолжающий набросок
У. В. Куайна (см. Quine W. V. Set-theoretic foundations for logic:— J. Sym-
Symbolic Logic, 1936, 1; в особенности см. с. 45, 46) и существенно использующий
е-символ, построен Аккерманом в его работе Ackermann W. Mengentheoretische
Eegriindung der Logik. —Math. Ann., 1937, 115, № 1.
а) См. с. 322 и далее.
§ !] ГРАНИЦЫ ИЗОБРАЗИМОСТИ И ВЫВОДИМОСТИ 339
лами, которые мы обычно используем для них, и распространив это
предположение на символы О, <С и sg;, мы приходим к тому,
что вместо допущений а) и в) можно рзять следующее допущение:
ах) Формализм F содержит термы и формулы рекурсивной
арифметиких), не считая, быть может, тех, в которых содержатся
формульные переменные. Каждая формула без формульных пере-
переменных, выводимая в рекурсивной арифметике, выводима ив/7,
и каждый выполнимый средствами рекурсивной арифметики пере-
переход от одной формулы из F к другой выполним ив/7.
Допущение б) — после того, как в предшествующих рассмотре-
рассмотрениях мы познакомились со способами его использования, — мы
сформулируем несколько уже, а кроме того, мы присоединим
к нему новое предположение о рекурсивной изобразимости отно-
отношения «число т является номером некоторого вывода формулы
с номером я». В итоге мы приходим к следующей формулировке.
б]} Существует взаимно однозначная нумерация выражений
формализма F натуральными числами, обладающая следующими
свойствами:
1. Номер выражения, получающегося из выражения К с номе-
номером f в результате повсеместной замены числовой переменной а
цифрой I, изображается — в его зависимости от f и I — значением
некоторой двуместной рекурсивной функции б (k, l) при значе-
значениях ее аргументов, равных f и I.
2. Высказывание «число т является номером некоторой после-
последовательности выражений из F, являющейся выводом выражения
с номером т с помощью нумерации конечных последовательно-
последовательностей выражений из F, получающейся из нумерации выражений
из F путем использования разложения целых чисел 5=2 на про-
простые множители, изображается двуместным рекурсивным преди-
предикатом и, тем самым, в формализме рекурсивной арифметики оно
выражается некоторой рекурсивной формулой2) 23(т, п), у кото-
которой тип суть единственные входящие в нее переменные.
А теперь, чтобы на основе предположений aj) и бх) получить
формализацию нашей модифицированной антиномии лжеца, до-
достаточно установить, что в F имеется такая формула, которая
изображает утверждение о своей собственной невыводимости
(в формализме F); т. е. если q является номером этой формулы,
то она изображает высказывание: «каково бы ни было число т,
оно не является номером какого-либо списка формул, представ-
представляющего собой вывод формулы с номером q».
Так как мы не предполагали, что формализм F содержит кван-
квантор всеобщности, то для только что приведенного высказывания,
являющегося предложением типа всеобщности, мы возьмем такое
J) См. с. 271 и далее,
а) См. с. 272.
340 ВЫХОД SA РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ. V
его изображение, в котором всеобщность будет формализоваться
с помощью свободной числовой переменной.
При этом мы будем опираться на восходящий к Гёделю и
ранее уже применявшийся метод использования функции ё (k, I).
Мы строим формулу
33(т, ё(а, а)),
которая, согласно предположению aj, является формулой фор-
формализма F. Пусть эта формула имеет номер \\ Ввиду характе-
характеристического свойства функции ё (k, l) значение с (р, р) является
номером формулы
33(т, ё(р, р)).
Если этот номер равен q, то равенство
выводимо в F, и поэтому формула ~l33(m, б(}>, }>)) переводима
в формулу ~\ 23 (m, q).
Формула ~| 23 (т, q) представляет собой формализацию выска-
высказывания «каково бы ни было число т, оно не является номером
вывода формулы с номером q» или, короче, «формула с номером q
невыводима». Терм $(\\ р) является выражением, определяющим
цифру q. Следовательно, только что упомянутое высказывание
формализуется и формулой
Так как, с другой стороны, эта формула имеет номер q, то она
является искомой формулой, формализующей утверждение о своей
собственной невыводимости.
А теперь уже можно рассуждать следующим образом. Допу-
Допустим, что формула ~\ 23 (т, q) выводима в F. Тогда выводима и
формула ~1ЭЗ(т, б(р, $)), т. е. формула с номером q. Следова-
Следовательно, можно указать список формул, являющийся выводом
формулы с номером q. Если I является номером некоторого такого
списка, то имеет место отношение 33A, q), которое является ну-
мерически устанавливаемым равенством (или соответственно может
быть преобразовано в такое равенство), и тогда формула 33 (I, q)
выводима в F. Так как, с другой стороны, согласно сделанному
предположению, выводима формула 133 (т, q), то, согласно пред-
предположению ai), выводима и формула 33A, q). Тем самым в фор-
формализме F появляется противоречие.
То же самое следствие получается и из предположения, что
отношение S3 (I, q) имеет место для какой-либо цифры I. Действи-
Действительно, если это отношение выполняется, то, с одной стороны,
в F выводима формула 33A, q). С другой стороны, в этом случае f
является номером некоторого списка формул, представляющего
§ 1] ГРАНИЦЫ ИЗОБРАЗИМОСТИ И ВЫВОДИМОСТИ 341
собой вывод формулы с номером q, т. е. формулы 133(т, ё(£, )>)).
Следовательно, эта формула выводима в F, а значит, выводима
и формула I33(m, q), из которой выводима формула 133A, q).
Если мы теперь еще заметим, что, согласно предположению ах),
для любой цифры I выводима либо формула §8A, q), которая
является нумерической, либо ее отрицание 1 33 (I, q) и что одно-
одновременно с выводимостью формулы 33A, q) имеет место отноше-
отношение 33A, q), а одновременно с выводимостью формулы 33A, q)
имеет место отношение 1 33 (I, q), то получим следующий резуль-
результат: если формализм F непротиворечив, то для любой цифры I
имеет место отношение 133A, q) и формула 133A, q) выводима
в F, между тем как формула ~|33(m, q) в F невыводима. То, что
отношение 133A, q) имеет место для любой цифры I, означает,
что формула I33(m, q) верифицируема. Будучи рекурсивной, эта
формула переводима в некоторое равенство f(m) = 0, где f — ре-
рекурсивно введенный функциональный знак с одним аргументом.
Тем самым получается следующая
Теорема. Для любого непротиворечивого дедуктивного фор-
формализма F, удовлетворяющего условиям ах) и 6$, можно указать
такую одноместную рекурсивную функцию f, что формула
f(m) = 0
невыводима в F, хотя она и является верифицируемой, так что
для каждой цифры I в F выводимо равенство
f @ = 0.
Эту теорему, которую Гёдель получил указанным здесь спосо-
способом, мы будем называть первой теоремой Гёделя о неполноте.
В гёделевской формулировке фигурирует не сама эта теорема,
а некоторое извлекаемое из нее следствие, которое говорит о су-
существовании таких арифметических предложений, которые в рас-
рассматриваемом формализме F являются формально неразре-
неразрешимыми. При этом под формально неразрешимым в F предло-
предложением понимается такое предложение, которое изображается
в F некоторой формулой без свободных переменных, причем ни
сама эта формула, ни ее отрицание невыводимы в F1).
I) Содержащееся в этом определении требование ограничиваться формулами
без свободных переменных является обязательным, потому что при изображе-
изображении предложений типа всеобщности с помощью формул с одной или несколь-
несколькими свободными переменными отрицание такого предложения не изображается
отрицанием соответствующей формулы. Формула со свободными переменными,
невыводимая в данном формализме Вместе со своим отрицанием, еще может и
не изображать формально неразрешимое в этом формализме предложение. Так,
например, в формализме арифметики {если он непротиворечив) невыводимы ни
формула а = 0, ни формула афО. Формулу а = 0 можно считать изображением
342 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
Для получения упомянутого следствия мы должны дополни-
дополнительно предположить, что формализм F содержит квантор всеобщ-
всеобщности вместе с относящимися к нему формальными способами
умозаключений, так что если 31 (а) является формулой из F, не
содержащей связанной переменной £, то VrSl (e) также является
формулой из F, а кроме того, схема формул Vj:9I ($) ->- Ш(а)
является основной или выводимой, а схема (а) —основной или
производной схемой в F.
В этом случае из невыводимости формулы
f(m) = 0
получается, что невыводима также и формула
Сделаем теперь относительно F некоторое дополнительное
допущение, представляющее собой усиление требования непротиво-
непротиворечивости этого формализма, а именно, будем считать, что если
для каждой цифры п формула 31 (п) выводима в F, то формула
~1 Vj8l (e) невыводима в F.
Тогда из того, что в F для каждой цифры I выводимо равенство
f @ = о,
будет вытекать невыводимость в F формулы
Если мы, следуя Гёделю, назовем непротиворечивый дедук-
дедуктивный формализм, удовлетворяющий этому дополнительному
условию, «-непротиворечивым, то получим следующую
теорему:
Для всякого формализма F, удовлетворяющего условиям ах) и
6i), содержащего кванпгпо eceobi [чости (вместе с относящимися
к нему формальными способами умозаключений) и, кроме того,
(^-непротиворечивого, можно указать такую формулу без свободных
переменных, что ни сама она, ни се отрицание не будут выво-
выводимы в F.
Однако, как недавно показал Баркли Россерх), предположение
об «-непротиворечивости F из формулировки этой теоремы может
быть исключено, т. е. вместо «-непротиворечивости F мы, как
(ложного) предложения «каждое число равно нулю». Но отрицание этого пред-
предложения изображается не формулой а Ф О, а формулой ~] V* (х = 0), которая
в действительности выводима в арифметическом формализме. Таким образом,
упомянутое предложение не является формально неразрешимым в формализме
арифметики.
!) См. Rosser J. В. Extensions of some theorems of Godel and Church.—
J. Symbolic Logic, 1936, 1, № 3.
§ II ГРАНИЦЫ ИЗОБРАЗИМОСТИ И ВЫВОДИМОСТИ 343
и раньше, можем говорить о непротиворечивости F в обычном
смысле этого слова.
Для доказательства этого усиления теоремы Гёделя целесооб-
целесообразно ввести предположение, что, кроме квантора всеобщности,
формализм F содержит еще и квантор существования вместе
с относящимися к нему формальными способами умозаключений.
Потом можно будет снять это предположение. Впрочем, по-преж-
по-прежнему должны быть выполнены предположения ax) и бх) и, кроме
того, еще одно предположение 61): имеется такая рекурсивная
функция с (и), которая номеру любой формулы формализма F
ставит в соответствие номер отрицания этой формулы.
Вместо фигурирующей в гёделевском доказательстве формулы
123 (т, б (а, а)) мы рассмотрим формулу
V*{23(*, б (а, а))->Эу (*/<*& 23 (у, е(*(а, а))))}.
Пусть р является номером этой формулы, a q является номе-
номером формулы
, е(в(р,
которую мы для краткости обозначим буквой (£. Тогда в F будет
выводимо равенство
а потому формула К будет переводима в формулу
(y, e
которую мы обозначим Q>i.
Предположим, что (£ выводима в F. Тогда для некоторой
цифры I, являющейся номером вывода формулы (£, будет иметь
место отношение 33A, q). А тогда в F будет выводима и формула
Ъ({, q), а также и формула (£г. Из 6Х и 33A, q) получается
формула
которая с помощью выводимой средствами рекурсивной арифме-
арифметики формулы
с<1~с = 0 V--- VC==I
и с использованием аксиом равенства переводима в дизъюнкцию
23@, e(q)) V •■■ V «О. <(Я))-
Эта дизъюнкция является формулой без переменных. Поэтому,
вычисляя соответствующие рекурсивные функции и интерпретируя
связки исчисления высказываний как истинностные функции,
можно найти ее истинностное значение.
344 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
Если эта дизъюнкция является истинной, то истинна по край-
крайней мере одна из формул
33@, e(q)) 33 (f, e(q)),
и тогда по крайней мере одна из цифр от 0 до [ является номе-
номером некоторого вывода формулы "]@, номер которой равен зна-
значению e(q). Следовательно, в этом случае формула 6 выводима
в F. Но по нашему предположению в F выводима и формула (L
Значит, в этом случае формализм F противоречив.
Если же дизъюнкция
33@, e(q))V...V®0. е(Ч))
является ложной, то ее отрицание истинно, а значит, и выводимо
в F, между тем как, с другой стороны, в F выводима и сама
эта дизъюнкция. Тем самым формализм F опять оказывается про-
противоречивым.
Предположим теперь, что в F выводима формула ~] @. Тогда
для некоторой конкретной цифры I имеет место отношение
93([, c(q)), а тогда в F выводима также и формула 33A, e(q)). Из
этой формулы мы получаем формулу
а из нее
С другой стороны, предположенная выводимой формула S пере-
переводима в ~1@1( а эта в свою очередь —в формулу
Эта формула, взятая вместе с только что выведенной из 93 (I, e (q))
формулой, дает
Зх(Ъ{х,
а эта формула с помощью ранее уже упоминавшейся эквивалент-
эквивалентности
С£с[~с = 0 V---\/с = Г
переводима в дизъюнкцию
33@, q)V...V»fl. Я)-
А теперь мы можем опять произвести соответствующий разбор
случаев. Указанная дизъюнкция является либо истинной, либо
ложной. Если она истинна, то истинен один из ее членов, и
тогда формула с номером q, т. е. формула @, выводима в F,
между тем как, с другой стороны, по предположению выводима
формула "IS; значит, в этом случае формализм F противоречив.
5 I] ГРАНИЦЫ ИЗОБРАЗИМОСТИ И ВЫВОДИМОСТИ 345
Если же эта дизъюнкция ложна, то истинно ее отрицание, и
тогда это отрицание выводимо в F, между тем как, с другой
стороны, выводима сама эта дизъюнкция. Значит, и в этом случае
формализм F тоже противоречив.
Таким образом, в целом получается, что и в том случае, когда
в F выводима формула 6, ив том случае, когда в F выводима 1(£,
этот формализм оказывается противоречивым, так что если фор-
формализм F непротиворечив, то формула S изображает некоторое
формально неразрешимое в F предложение.
Впрочем, формула S может быть переведена в некоторую фор-
формулу вида
V*(f(*) = O),
где f (•) —рекурсивно определенный функциональный знак, так
как формула
93(т, 8(р, $))^3у[у^т&%(у, е(в(р, *)))]
задает некоторый рекурсивный предикат $Р(/л).
Наше рассуждение также показывает, что если формализм F
непротиворечив, то для любой цифры I формула 93 (I, q) ложна,
и потому всякая нумерическая формула, получающаяся преобра-
преобразованием формулы
33(Г, Н\\ \>))-+Зу(у^1&%(у, е(в(*, р)))).
является истинной, а потому и выводимой в F формулой. (Тем
самым в F выводима и сама указанная формула.)
Как уже отмечалось, из этого рассмотрения можно исключить
предположение о наличии в формализме F квантора существова-
существования. Для этого достаточно всюду заменить выражения вида
З^Щх) соответствующими им выражениями Vj^(E) и восполь-
воспользоваться тем, что любая формула вида
где I —цифра, может быть переведена сначала в формулу
а затем с помощью формулы
c=s:l~ c = 0 \/...Vc = l
в формулу
-|ПЙ@)&...&-1ЯA)).
Упомянем еще одно замечание, которое Россер делает в его
уже цитированной работе в связи с гёделевским доказательством
первой теоремы о неполноте1), а также в связи со своей моди-
') Это замечание относится, впрочем, и ко второй геореме Гёделя о не-
неполноте,
346 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ. V
фикацией этого доказательства. В этих доказательствах предпо-
предположение о том, что формула 33 (т, п) является рекурсивным изо-
изображением отношения «число т является номером некоторого вы-
вывода в F формулы с номером я», используется не в полном объеме.
Из свойств формулы 23 (т, ft), кроме того, что она является ре-
рекурсивной формулой, не содержащей отличных от т и п пере-
переменных, используется только то, что цифра п является номером
некоторой выводимой в F формулы тогда и только тогда, когда
для некоторой конкретной цифры m имеет место отношение
33 (т, п).
Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы сущест-
существовала рекурсивная формула 23 (т, ft), обладающая указанным
свойством, заключается в том, что номера формул, выводимых
в F, должны образовывать область значений некоторой одномест-
одноместной рекурсивной функции b (ft), так что последовательность зна-
значений этой функции
b@), b(O'), Ь@"), ...
будет представлять собой пересчет (может быть, с повторениями)
номеров выводимых в F формул.
Действительно, если это условие выполняется, то равенство
b (m) = ft
представляет собой рекурсивную формулу, обладающую указан-
указанным свойством.
Но указанное условие является также и необходимым. Дейст-
Действительно, как это показал Клини1), для всякой рекурсивной
формулы 33 (m, ft), для которой известна по крайней мере одна
пара чисел тип такая, что формула 33 (т, п) является истин-
истинной, можно указать одноместную рекурсивную функцию Ь(п)
такую, что для всякой пары чисел гиб такой, что б является
значением Ь(с), можно указать цифру q, для которой формула
33 (q, б) истинна, и для всякой пары чисел q и в такой, что фор-
формула 33 (q, в) истинна, можно указать цифру г такую, что б яв-
является значением Ь(с). В самом деле, такую функцию b (ft) можно
получить следующим образом: будучи рекурсивной, формула
S3 (т, ft) допускает перевод в равенство
t(m, n) = 0,
где t(m, ft) —некоторый рекурсивный терм. Пусть ох(п) и а2(п) —
введенные в гл. VII т. I рекурсивные функции, обращающие
рекурсивную функцию а (а, Ь), которая дает взаимно однознач-
J) Kleene S. С. General recursive functions of natural numbers,—Math.
Ann., 1936, 112, № 5, теорема 111,
§ 1J ГРАНИЦЫ ИЗОБРАЗИМОСТИ И ВЫВОДИМОСТИ 347
ное отображение числовых пар на числа1). Возьмем цифру и,
входящую в какую-нибудь такую цифровую пару m и п, что
формула 33 (т, п) оказывается истинной. Тогда выражение
п • sgn (t (ox (n), oa(n))) + o2(n)-i^i(t(o1(n), ot(n))),
как легко убедиться, задает некоторую функцию Ь(п), обладаю-
обладающую искомым свойством2).
Таким образом, в допущении бг) условие, относящееся к фор-
формуле 33 (т, п), может быть заменено более слабым требованием,
чтобы номера выводимых в F формул образовывали область зна-
значений какой-либо одноместной рекурсивной функции3).
Итоговое допущение, которое таким образом появляется на
месте предположения б{), мы обозначим через б*). Введя вместо
6i) это допущение б*) и объединив утверждение о существовании
формально неразрешимых предположений с нашей формулиров-
формулировкой первой теоремы Гёделя о неполноте, мы получаем следующий
усиленный вариант этой теоремы:
1. Для всякого непротиворечивого дедуктивного формализма F,
удовлетворяющего условиям аг) и б*), можно указать такую ре-
рекурсивную функцию \(т), что равенство
f(m) = 0
невыводимо в F, в то время как для любой цифры I равенство
f @ = о
является истинной и выводимой в F формулой.
2. Для всякого непротиворечивого дедуктивного формализма F,
удовлетворяющего условиям аг), б*) и б[) и содержащего квантор
*■) См. т. I, с. 395 и далее.
2) В данном частном случае, когда рекурсивная формула Я) (т, л) изо-
изображает отношение доказуемости, искомую функцию b (л) можно получить
несколько более простым способом. В этом случае формула Я) (т, л) имеет вид
^(mJ&CvCm, X(m)) = n),
где ©! (т) — некоторый рекурсивный предикат, т. е. предикат, представимый
некоторым равенством Ь1(т) = 0, где bj (m) —рекурсивная функция. Поэтому,
если п является номером какой-либо доказуемой формулы, то рекурсивный
терм
п • sgn (bj. (m)) + v (т, X (т)) ■ sgn (Ьг (т))
со свободной переменной т дает- пересчет (с повторениями) номеров выводи-
выводимых в F формул.
3) Например, это требование будет выполнено, если можно указать такую
рекурсивную формулу 0> (/, т, л), не содержащую отличных от /, т и л пе
ременных, что цифра m является номером некоторого вывода формулы с но
мером п тогда и только тогда, когда отношение S (I, m, п) имеет место для
некоторой цифры I. В этом можно убедиться, воспользовавшись кместо только
что использованного пересчета числовых пар рекурсивным пересчетом число-
числовых троек.
348 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ. V
всеобщности вместе с относящимися к нему формальными спосо-
способами умозаключений, мооюно указать такую рекурсивную функ-
функцию \(т), что ни формула
ни ее отрицание не будут выводимы в F.
[Из невыводимости формулы ~| Vx(f (x) = 0), в частности, сле-
следует, что для любой цифры [ формула f ([) = 0 является истинной
и выводимой в F.]
Поэтому каждый обладающий достаточными изобразительными
возможностями и достаточно четко очерченный формализм яв-
является дедуктивно незавершенным; точнее говоря, существуют
предложения, причем даже предложения рекурсивной арифметики,
которые формулируемы в нем, но дедуктивно неразрешимы. Если
же удастся доказать непротиворечивость этого формализма F, то
найдется такое предложение рекурсивной арифметики, ко-
которое хотя и будет доказуемым, но не будет формально доказуе-
доказуемым в F. Действительно, если формализм F непротиворечив, то
предложение, изображаемое рассматриваемым нами равенством
f(m) = 0, в силу доказанной теоремы о неполноте будет истинным.
Поэтому любой дедуктивный формализм, для которого удается
провести доказательство его непротиворечивости, не может содер-
содержать в себе запас всех возможных доказательств арифметических
предложений.
Если даже отвлечься от трудностей, связанных с проблемой
установления непротиворечивости, то и тогда —уже в силу кон-
констатированной нами дедуктивной незавершенности любого обла-
обладающего достаточными изобразительными возможностями и доста-
достаточно четко очерченного дедуктивного формализма — идея харак-
теризации математики как дедуктивного формализма, время от
времени выдвигавшаяся различными логистическими системами,
представляется бесперспективной *).
Излагая наше представление об исходной проблематике и
о целевой установке теории доказательств, мы с самого начала
избегали введения идеи о какой-либо всеобъемлющей системе ма-
математики в каком-либо философски принципиальном смысле слова.
Более того, мы удовольствуемся тем, что реально существующую
систематику анализа и теории множеств мы охарактеризуем как
дающую нам подходящие рамки для упорядочения геометрических
и физических дисциплин. Этой цели может служить и такой
формализм, который не является дедуктивно вполне завершенным.
Наша точка зрения, согласно которой при построении системы
анализа и теории множеств на основе содержательной установки
речь идет об образовании идей, экстраполирующих действитель-
*) У авторов «unsachgemaB» — Прим, перев.
§ 1J ГРАНИЦЫ ИЗОБРАЗИМОСТИ И ВЫВОДИМОСТИ 349
ность, тоже хорошо согласуется с незавершенностью этой системы:
способы умозаключений этой системы ориентированы в сторону
представления о завершенной, окончательно определенной дейст-
действительности и представляют собой формальное выражение этого
представления. Но отсюда вовсе не следует, что порождаемая
этими способами умозаключений дедуктивная (метаматематически
оформленная) структура должна обладать свойством абсолютной
завершенности. Разумеется, в известной степени она наверняка
обладает методической завершенностью, а именно той завершен-
завершенностью, в силу которой мы при обычных способах рассуждений,
применяемых в анализе и теории множеств, так сказать, сами
по себе остаемся в области этого формализма, и такой степени
завершенности вполне хватает для той цели, которой служит
этот дедуктивный формализм.
И все же возникает некоторая другая проблематика, если
принять во внимание то вытекающее из теоремы Гёделя сообра-
соображение, что финитное доказательство непротиворечивости форма-
формализма анализа и теории множеств позволило бы нам получить
финитное доказательство некоторого арифметического предложе-
предложения, невыводимого в указанном формализме. Выглядит несколько
парадоксальным, что при доказательстве арифметических предло-
предложений методы финитной теории доказательств в определенном
отношении превосходят методы анализа и теории множеств.
Это приводит нас к проблеме выяснения границ применимо-
применимости финитных методов и одновременно с этим к проблеме разум-
разумного ограничения методической установки теории доказательств.
В дальнейшем мы более подробно займемся этими вопросами. —
С результатом Гёделя связана еще одна точка зрения, кото-
которую П. Финслер в своей работе «Формальные доказательства и
разрешимость»*) высказал за несколько лет до гёделевского иссле-
исследования формально неразрешимых предложений. Интересно, что
уже в этой работе Финслер высказал тезис о том, что в любом
четко определенном и обладающем достаточными изобразитель-
изобразительными возможностями формализованном языке могут быть сфор-
сформулированы такие предложения, которые в этом формализме
дедуктивно неразрешимы, между тем как с содержательной точки
зрения они являются истинными.
Разумеется, аргументация, с помощью которой Финслер
обосновывает свое утверждение (она представляет собой некото-
некоторую модификацию парадокса Ришара), не может быть использо-
использована в теории доказательств2) и само это утверждение является
!) Finsler P. Formale Beweise und Entscheidbarkeit. — Math. Z., 1926,
25.
a) Формализмы, которые рассматривает Финслер, обладают такими боль-
большими семантическими изобразительными возможностями, что в них может
быть получен обыкновенный парадокс Ришара. Финслер не считает этот па-
350 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
лишь некоторым аналогом теоремы Гёделя, так как оно форму-
формулируется в совсем других предположениях.
Но во всяком случае заслуживает серьезного внимания та
имеющая принципиальное значение мысль, которую Финслер —
со ссылкой на существование в достаточно богатых выразитель-
выразительными возможностями формализованных языках дедуктивно не-
неразрешимых предложений — выдвинул здесь на первый план, свя-
связав ее с вопросом о непротиворечивости. Он подчеркнул, что
доказательство непротиворечивости какого-либо формализма
в обычном смысле этого слова еще не дает -никаких гарантий от
противоречий, потому что противоречие может заключаться в фор-
формальной выводимости отрицания некоторого выразимого в данном
формализме, но не выводимого предложения, которое, однако,
с содержательной точки зрения может быть признано истинным.
Теорема Гёделя показывает, что это соображение применимо
и к формализмам, рассматриваемым в теории доказательств, при-
причем даже в том случае, когда в основу рассмотрения кладется
финитная точка зрения. Действительно, возьмем какой-либо фор-
формализм F, удовлетворяющий условиям а^ и б*) и содержащий
квантор всеобщности, и на основании этой теоремы построим
такую одноместную рекурсивную функцию \{т), для которой
в случае непротиворечивости этого формализма равенство f (I) = 0
истинно при любой цифре [ и невыводима формула Vx(f (х) = 0).
Если к исходным формулам этого формализма добавить формулу
~] Vx(f (х) = 0), то полученный формализм Fx — b предположении,
что в исходном формализме F действует дедукционная теоре-
теорема х) — будет обладать тем свойством, что с доказательством не
противоречивости F будет получаться и его непротиворечивость.
Несмотря на непротиворечивость Ft, выводимая в Fx формула
1 Vx (f (x) = 0) в данном случае будет изображать отрицание истин-
истинного высказывания, и эта непротиворечивость формализма Ft
будет утрачена, если мы добавим к Ft в качестве формальной
аксиомы изображение некоторого истинного высказывания, ко-
которое дается формулой Vx(f (х) = 0).
радокс возникающим в таком формализме с необходимостью, а рассматривает
его лишь как противоречие, возникающее вследствие недоразумения. При
этом под формализмом Финслер понимает нечто совсем отличное от того,
что под этим понимается в теории доказательств; а именно, формализм пони-
понимается им всего лишь как придание словам, грамматическим формам и со-
составным конструкциям определенных значений, на основе которых для любого
конкретно предъявленного текста с помощью надлежащего разбора можно
решить вопрос о том, выражает ли он какое-либо содержание (или, соответ-
соответственно, что именно он выражает).—Из рассуждений Финслера совершенно
не вытекает, что формально неразрешимые предложения могут возникать и
в формализмах, рассматриваемых в теории доказательств.
!) См. т. I, с. 194—199.
§ II ГРАНИЦЫ ИЗОБРАЗИМОСТИ И ВЫВОДИМОСТИ 351
Но от непротиворечивого в полном смысле этого слова дедук-
дедуктивного формализма арифметики мы будем требовать, чтобы ни-
никакая выводимая в нем формула не была отрицанием формулы,
изображающей какой-либо факт, устанавливаемый финитно.
Sfro требование мы будем называть условием внешней не-
непротиворечивости. Мы указывали на него уже при нашем
первоначальном изложении теории доказательств1). Правда, фигу-
фигурирующее здесь понятие финитно устанавливаемого факта яв-
является неточным, В качестве более точного минимального требо-
требования внешней непротиворечивости для арифметических форма-
формализмов можно выдвинуть следующее: непротиворечивость форма-
формализма должна сохраняться при добавлении к нему каких угодно
верифицируемых формул в качестве исходных; причем эти фор-
формулы могут строиться как из символов рассматриваемого форма-
формализма, так и из каких-нибудь вновь вводимых функциональных
или предикатных символов (в последнем случае верифицируемость
формул должна устанавливаться на основе специально добавляе-
добавляемой процедуры нахождения истинностных значений элементарных
формул, построенных из этих символов и цифр).
Замечание. В случае выполнения этого условия непроти-
непротиворечивость формализма будет сохраняться и при добавлении
таких исходных формул, которые могут быть выведены из фор-
формул, верифицируемых в только что указанном широком смысле
этого слова. Пусть, например, у нас имеется формула
Vjc3«/Vu3t/S.» (х, у, и, v),
изображающая высказывание, которое с помощью введения двух
вычислимых функций f (а) и g (a, Ь) может быть в финитном
смысле усилено до утверждения: «для любых чисел f и I имеет место
отношение Ш (f, f (f), I, g (f, I))». Тогда формула
Ща, f(u), b, 8(fl, b))
верифицируема, а формула
(x, у, и, v)
выводится из этой формулы. Если, теперь, какой-либо арифмети-
арифметический формализм будет удовлетворять сформулированному выше
минимальному требованию внешней непротиворечивости, то его
непротиворечивость не нарушится ни при добавлении в качестве
исходной формулы верифицируемой формулы
ЯМ (а), Ь, в (а. Ь)),
х) См. т. I, с. 72.— Что касается соотношения между оо-непротиворечи-
востью и внешней непротиворечивостью, то безусловно можно считать, что ни
первая из них не следует из второй, ни вторая из первой.
352 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
ни при добавлении формулы
ЧхЭуЧиЗхМ (х, у, и, V).
Мы упомянем также следующие, касающиеся внешней непро-
непротиворечивости результаты, которые могут быть извлечены из
наших предшествующих доказательств:
1. Из теоремы, полученной нами в результате формального
усиления теоремы Гёделя о полноте1), вытекает, что если неко-
некоторая система аксиом первой ступени непротиворечива в рамках
исчисления предикатов, то она останется непротиворечивой также
и после формализации в ней какого-либо содержательно правиль-
правильного рассуждения, по крайней мере если эта формализация воз-
возможна в каком-нибудь арифметически непротиворечивом форма-
формализме.
2. Параллельно с тем доказательством непротиворечивости,
которое мы в начале гл. II провели с помощью нп-теоремы для
рассматривавшегося там ограниченного формализма арифметики2),
была установлена и внешняя непротиворечивость этого форма-
формализма (в смысле сформулированного нами минимального требова-
требования). Действительно, мы установили, что полученное доказатель-
доказательство непротиворечивости остается в силе и в случае присоедине-
присоединения к этому формализму правила, позволяющего добавлять
верифицируемые исходные формулы, а также вводить с помощью
верифицируемых аксиом новые функциональные знаки.
Впрочем, этот дополнительный результат получается, как
легко заметить, и с помощью другого, изложенного в гл. II,
метода доказательства непротиворечивости, использующего про-
процедуру цифровых замен.
в) Вторая теорема Гёделя о неполноте. В рассуждении, с по-
помощью которого была получена первая теорема Гёделя о непол-
неполноте3), формализация модифицированной антиномии лжеца произ-
произведена не полностью. Правда, предложение, говорящее о своей
собственной недоказуемости, изображается в нем некоторой фор-
формулой, а именно формулой 123 (т, ё (р, р)) или соответственно
переводимой в нее формулой ~133(т, q). Но затем следует нефор-
неформальное доказательство, с помощью которого мы убеждаемся,
что в рассматриваемом нами формализме F — к которому отно-
относятся предположенные свойства формулы 33 (т, п) и рекурсивной
функции e(k, l), а также задание цифр р и q — формула I23(m, q)
невыводима, если этот формализм непротиворечив, и что, с дру-
другой стороны, при выполнении этого условия для любой цифры m
отношение ~| S3 (m, q) выполняется и формула 1 S3 (m, q) выво-
выводима в F.
!) См. с. 264 и 318—319.
2) См. с. 79 и далее.
f) См. с. 339 и далее.
$ I] ГРАНИЦЫ ИЗОБРАЗИМОСТИ И ВЫВОДИМОСТИ 353
Однако формальное имитирование этой антиномии может быть
продвинуто дальше. И это тоже было сделано Гёделем.
Действительно, рассуждение, показывающее, что в случае не-
непротиворечивости формализма F для каждой цифры m имеет
место отношение IS(m. q). при известных предположениях, ко-
которые мы в дальнейшем укажем1), может быть формализовано
с помощью некоторого вывода в F: именно, формула ~\Ъ(т, q)
(с переменной т) может быть выведена из формулы 6, выражаю-
выражающей утверждение о непротиворечивости F в следующей его ре-
редакции: «Никакая формула формализма F не может быть выве-
выведена в этом формализме вместе со своим отрицанием».
А теперь на основе этого вывода, который вскоре будет рас-
рассмотрен более подробно, получается, что в случае непротиворе-
непротиворечивости формализма F не может существовать формализованного
в F доказательства этой непротиворечивости, т. е. вывода в F
уже упоминавшейся нами формулы (S.
Действительно, из такого вывода в сочетании с выводом, упо-
упомянутым ранее, получилось бы, что выводима формула ~\ 53 (m, q),
а относительно нее мы ранее убедились, что в случае непротиво-
непротиворечивости F она не может быть выведена в этом формализме.
Этим доказательством, показывающим, что в случае непроти-
непротиворечивости F формула (£, выражающая эту непротиворечивость,
не будет выводима в F, формализация модифицированной анти-
антиномии лжеца достигает своего полного завершения. В самом деле,
эта невыводимость как раз и представляет собой то, что в четко
очерченных дедуктивных формализмах соответствует противоре-
противоречию, получающемуся при изложении данной антиномии в рамках
естественного языка. Возможность избежать этого противоречия,
которая ввиду указанной невыводимости имеется в дедуктивных
математических формализмах, в обиходном языке отсутствует по-
потому, что в нем правила логического следования не являются
абсолютно установленными, а мыслятся как обосновываемые с по-
помощью разумных соглашений. Тем самым заранее исключено,
чтобы корректно проводимые доказательства при отсутствии лож-
ложных посылок давали противоречие. Поэтому при рассуждении
в рамках естественного языка всякое допущение, приводящее нас
к заключению о доказуемости некоторого предложения вместе
с его отрицанием, тем самым оказывается ложным, в то время
как при формальных рассуждениях в рамках какого-либо мате-
математического формализма соответствующее рассуждение еще тре-
требует добавления посылки, которая выражала бы предположение
о непротиворечивости этого формализма.
Замечание. Заметим, что преодоление противоречия при
формализации модифицированной антиномии лжеца происходит
Допущения а2) и б2) и условия на выводимость (см. с. 354—355).
354 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
существенно иначе, чем при формализации первоначальной анти-
антиномии. В то время как при формальном имитировании первона-
первоначальной антиномии противоречие устраняется тем, что опреде-
определенное словосочетание нашего языка оказывается непереводимым
на язык формализма, в случае модифицированной антиномии все
входящие в рассмотрение языковые термины допускают соответ-
соответствующее изображение в формализме, и здесь устранение проти-
противоречия основывается на том, что некоторый способ рассужде-
рассуждения, допустимый при аргументации в рамках естественного языка,
становится недопустимым после того, как мы переведем его на
язык формализма.
Теперь речь пойдет о том, чтобы убедиться, что при опреде-
определенных предположениях вывод формулы 1 33 (m, q) из формулы S,
формализующей утверждение о непротиворечивости формализма F,
оказывается осуществимым в F.
Что касается формулировки этих предположений, то мы сна-
сначала обобщим допущение а^1), добавив предположение, что фор-
формализм F содержит кванторы вместе с соответствующими им фор-
формальными способами умозаключений. Так, вместо допущения а2)
у нас появится следующее более сильное допущение:
а2) Формализм F содержит символы и переменные рекурсив-
рекурсивной арифметики и исчисления предикатов, за исключением, быть
может, формульных переменных; каждая формула, выводимая
средствами рекурсивной арифметики и не содержащая формуль-
формульных переменных, выводима также и в F, а каждый производи-
производимый средствами исчисления предикатов переход от одной формулы
формализма F к другой производим также и в F.
Условие б*J), которое неявно использовалось уже при по-
построении формулы 23 (т, q), теперь будет заменено следующим,
более общим требованием:
б2) Имеется нумерация выражений формализма F, обладающая
следующими свойствами:
Номер отрицания формулы с номером п изображается в его
зависимости от п некоторой рекурсивной функцией t(n).
Номер формулы, получающейся из формулы с номером f
в результате повсеместной замены переменной а цифрой I, изо-
изображается в его зависимости от f и I некоторой рекурсивной
функцией 8(k, I).
Существует рекурсивная формула Ъ(т, п), не содержащая
отличных от т и п переменных и обладающая тем свойством,
что цифра п является номером некоторой выводимой в F формулы
тогда и только тогда, когда можно указать цифру m такую, что
имеет место отношение 23 (т, п).
1) См. с. 339.
*) См. о. 347.
§ II ГРАНИЦЫ ИЗОБРАЗИМОСТИ И ВЫВОДИМОСТИ 355
Наконец, мы еще добавим следующие условия на выво-
выводимость:
1. Если в F можно указать вывод формулы с номером I из
формулы с номером f, то в F выводима формула
ЗхЪ(х, 1)->ЭхЪ(х, I).
2. Формула
ЭхЪ(х, t(k))->~3x%(x, е (в (Л, /)))
выводима в F.
3. Если f (m) — рекурсивный терм, не содержащий переменных,
отличных от переменной т, а г — номер равенства f (а) = 0, то
формула
f(m) = O->-3jc59(je, «(г, т))
выводима в F.
Замечание. Формула, упомянутая в условии 2, представ-
представляет собой формализацию следующего высказывания: «если в F
выводимо отрицание формулы *Л (с номером f), то для любой
цифры I в F выводимо и отрицание формулы, получающейся из
91 в результате подстановки цифры I вместо переменной а».
Теперь, после того как мы перечислили наши предположения
относительно F, мы должны еще выбрать в качестве формулы g
одну из формализации утверждения о непротиворечивости F.
Формализация этого утверждения может быть произведена при
помощи формулы
1, п)&Ъ(т,
где е (•) —фигурирующая в предположении б2) рекурсивная функ-
функция, которая номеру всякой формулы из F сопоставляет номер
ее отрицания.
Этой формуле дедуктивно равна следующая, в дедуктивном
отношении более удобная формула
ЗхЪ(х, п) ->• 1 ЭлЯЗ (х, е(п)).
Эту формулу мы и возьмем в качестве формулы @, из которой
должна быть выведена формула ~133 (т, q).
Напомним, что q определяется как номер формулы
ар — как номер формулы
-|©(т, ё(а, а)),
откуда, на основании предположенного нами свойства рекурсив-
рекурсивной функции б(&, /), следует справедливость равенства
в{\\ p)-=q
и выводимость этого равенства в F.
356 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
Номер формулы 33 (a, q) мы обозначим через г, и пусть гх
обозначает номер формулы 133 (a, q). Тогда будет иметь место
равенство
После этих приготовлений вывод формулы ~l33(m, q) из фор-
формулы (£ может быть получен следующим образом.
Вследствие выводимости равенства й (р, р) = q формула I33(m, q)
выводима из формулы 133(т, 6(р, р)). Далее, формула 133 (a, q)
получается из ~\Ъ(т, ц) в результате подстановки. Поэтому
33 (a, q), т. е. формула с номером гх выводима в F из формулы
~]23(т, б(р, р)), имеющей номер q. Поэтому, согласно условию 1,
формула
ЭхЗЗ (х, q)»3x33(x, tx)
выводима в F. Эта формула, взятая вместе с формулой
33 (m, q)^3*33(x, q),
выводимой средствами исчисления предикатов, дает формулу
33 (т, q)-*3*33(x, хг),
а затем на основании выводимого в F равенства
е (г) = гх
— формулу
8 )
Эта формула вместе о формулой
3x33 (х, е (£))-> 3x33 (х, г (в (ft, /))),
которая выводима в F согласно условию 2 и в которой вместо
переменной k можно подставить цифру (, а вместо переменной /
переменную т, дает формулу
e(*(r, т))),
откуда путем контрапозиции получается формула
13хЗЗ(х, n(«(t, m)))-*1®(m, q).
С другой стороны, формула 33 (m, q) имеет вид Ь(т, q) = 0,
где Ь(т, q) — рекурсивный терм, содержащий единственную пере-
переменную т. Номером равенства b (a, q) = 0, т. е. формулы 33 (a, q),
является число г. Поэтому в F, согласно условию 3, выводима
формула
Ь(т, q) = 0->3x33(x, «(r, т)),
т. е. формула
25(ш, ч)^ЭхЗЗ(х, «(г, т)).
§ 1] ГРАНИЦЫ ИЗОБРАЗИМОСТИ И ВЫВОДИМОСТИ 357
А теперь воспользуемся формулой (S. Эта формула в резуль-
результате подстановки терма б(г, т) вместо переменной п дает формулу
3x23 (х, в (г, т))-+-]ЗхЪ(х, e(«(t m))>,
которая вместе с только что полученной формулой
53(т, ч)-+ЗхЪ(х, Цх, т))
и ранее выведенной формулой
-13х«(х, в (в (г, т)))-*-8(т, q)
с помощью двукратного применения правила силлогизма дает
формулу
53 (т, q)^33(m, q),
которая с помощью элементарного преобразования позволяет
получить искомую формулу 1 33 (т, q).
Таким образом, мы установили, что в формализме F может
быть осуществлен вывод формулы ~133 (т, q) из формулы {£.
В случае выводимости в F формулы S в F будет выводима и
формула 133 (m, q), а отсюда, согласно предыдущему, будет сле-
следовать противоречивость формализма F.
Итак, оказывается справедливой следующая
Теорема. В непротиворечивом формализме F, удовлетворяю-
удовлетворяющем условиям а2) и б2), а также трем сформулированным выше
«.условиям на выводимость», не может быть выведена формула
ЗхЪ(х, п)^-]3х%(х, е(я)),
представляющая собой формализацию утверждения о непротиворе-
непротиворечивости F.
Это утверждение составляет содержание второй теоремы Гёделя
о неполноте в применении к формализмам, удовлетворяющим
условию а2), т. е. к таким формализмам, в которых выводимы
все выводимые формулы рекурсивной арифметики, не содержащие
формульных переменных, и в которых могут быть воспроизведены
все умозаключения исчисления предикатов.
Эта теорема может быть распространена и на формализмы
несколько иного типа. Мы не обязательно должны требовать,
чтобы формализм F содержал в себе формулы арифметического
формализма непосредственно; вполне достаточно, чтобы соотноше-
соотношения рекурсивной арифметики как-то были выражены в нем
с помощью соответствующих выводимых формул.
Так, в частности, можно получить все те обобщения, возмож-
возможность которых мы отметили при формализации первоначальной
антиномии лжеца:
358 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
1. Не требуется, чтобы формализм F содержал какие-либо
свободные переменные. (Достаточно, чтобы переменная а включа-
включалась в нумерацию.)
2. Если с помощью какого-либо выражения 3(*) в формализме
F может быть изображен предикат «объект х является числом»,
то не обязательно, чтобы в F имелся специально выделенный
сорт числовых переменных. Вместо цифр тоже могут фигуриро-
фигурировать какие-либо соответствующие им более сложные выражения.
3. Можно не требовать, чтобы рекурсивные функции были
непосредственно изобразимы в F. Достаточно требовать некоторой
заменимости этих функций, наподобие того, как это было сделано
при замене функциональных знаков соответствующими предикат-
предикатными символами или при замене в формализме (Z) равенств
рекурсивной арифметики соответствующими формулами.
Случай 3 имеет, в частности, место в модифицированном фор-
формализме Principia Mathematica, на основе которого Гёдель изло-
изложил свои теоремы о неполноте.
Каждое из перечисленных обобщений требует определенной
модификации предположений этой теоремы (в частности, условий
на выводимость), а также модификации формулы @, формализую-
формализующей утверждение о непротиворечивости F, и той формулы, кото-
которая изображает утверждение о своей собственной невыводимости.
В случае второй теоремы Гёделя необходимо тщательно следить
за выполнением условий ее применимости к дедуктивному фор-
формализму. На это обстоятельство указал Г. Крайзел1), построивший
в связи с этим следующий пример.
Будем исходить из формализма F, удовлетворяющего усло-
условиям аг) и бг)г). Будем считать, что имеется нумерация формул
и списков формул, обладающая перечисленными в предположе-
предположении б2) свойствами.
Следующее предположение не повлечет за собой никаких
ограничений на формализм F, а на нумерацию наложит только
некоторое несущественное ограничение: мы предположим, что
номер формулы, в которую входит цифра т, равен по меньшей
мере т, так что для любой цифры с, являющейся номером какой-
либо формулы, содержащей переменную а, и для любой цифры m
значение б (г, т) равно по меньшей мере т, и что соответственно
этому формула
т *s б (г, т.)
с переменной т выводима в рекурсивной арифметике, а тем
самым ив/7.
!) Kreisel G. A survey of proof theory.—J. Symbolic Logic, 1968, 33,
см, подстрочную сноску на с. 331, 332 и раздел «Mathematical Logic» в книге:
Saati Т. L. Lectures on Modern Mathematics III. —N. Y.; London; Sydney:
John Wiley & Sons. Inc., 1965, p. 154—155.
а) См. с 354.
§ 1] ГРАНИЦЫ ИЗОБРАЗИМОСТИ И ВЫВОДИМОСТИ 359
Кроме того, будем считать, что формализм F удовлетворяет
трем нашим условиям на выводимость 1), так что по второй тео-
теореме Гёделя о неполноте формула
которая в силу нумерации для F изображает непротиворечивость
этого формализма, невыводима в F, если формализм F действи-
действительно непротиворечив2).
Перейдем к рассмотрению некоторого модифицированного фор-
формализма F*, отличающегося от F только следующим усилением
условия формальной доказуемости: список формул с номером m
называется выводом формулы Ш в F*, если он является выводом
этой формулы в F и если, кроме того, ни у каких двух списков
формул, являющихся выводами в F и имеющих номера, не пре-
превосходящие т, их заключительные формулы не совпадают (это
свойство всегда может быть непосредственно проверено путем
перебора всех выводов с номерами, не превосходящими т).
Как мы уже знаем, в формализме F высказывание о том, что
список формул с номером m является выводом формулы с номе-
номером п, в силу свойств нумерации формул и списков формул
изображается при помощи рекурсивного предиката 33 (т, п)
формулой 33 (т, п). В формализме F* роль рекурсивного преди-
предиката 23 (т, п) будет играть предикат
23(т, п) & У/иУ/v VwVz (u^m&v^m&Ъ(u,w)&?b(v,z)-*-zфt (w)),
который мы сокращенно будем обозначать посредством 33* (т, п).
Этот предикат ввиду соотношения 23 (т., п) -*■ п < т тоже является
рекурсивным.
Так как выводимость в F* определялась как выводимость
в F при некоторых дополнительных условиях, то всякая формула,
выводимая в F*, будет выводимой ив/7.
Однако если F не содержит противоречия, то будет верно и
обратное. Действительно, пусть нам дан вывод в F с номером m
формулы с номером п. Если бы условие 33* (т, п) было не
выполнено, то для некоторых цифр г и$, являющихся номерами
заключительных формул каких-либо двух выводов в F с номерами,
не превосходящими т, имело бы место равенство б = е (г), т. е.
в F были бы выводимы две формулы, одна из которых является
отрицанием другой, т. е. формализм F был бы противоречив.
С другой стороны, формализм F* непротиворечив всегда, т. е.
независимо от того, непротиворечив ли F. Действительно, если
1) См. с 355.
а) Все требования, предъявляемые здесь к формализму F и к нумерации
для него, в следующем параграфе окажутся выполненными для приводимого
там арифметического формализма (Zjj) и для некоторой нумерации этого
формализма.
360 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ГГЛ V
бы две формулы, одна из которых является отрицанием другой
[и которые, следовательно, имеют номера д и е (?,)], обе были
выводимы в F*, то для некоторых двух чисел f и Г, являющихся
номерами соответствующих доказательств, имели бы место отно-
отношения 53* (f, j) и 33*((, е(М- Однако по определению выражения
S3* эти условия не могут выполняться ни при f<(, ни при (<f.
Это чрезвычайно элементарное доказательство непротиворечи-
непротиворечивости F* может быть формализовано в F выводом формулы
и поскольку F не содержит в себе противоречия, то отсюда, как
уже отмечалось выше, следует, что может быть получен вывод
этой формулы ив/7*. Таким образом, если F представляет собой
непротиворечивый формализм, удовлетворяющий условиям а2) и
б2), то в соответствующем формализме F* может быть доказана
его собственная непротиворечивость.
Но это вовсе не означает какого-либо опровержения второй
теоремы Гёделя. Действительно, эта теорема, как мы помним,
содержит в качестве посылок условия 1, 2 и 3, наложенные на
понятие выводимости, и мы не показали, что эти условия в F*
выполнены. При ближайшем рассмотрении условие 1 для F* ока-
оказывается вообще неопределенным, так как в F* не определена
выводимость одной формулы из другой.
Этот недостаток можно было бы устранить. Но в данном слу-
случае нам не нужно заниматься этим, так как можно показать, что
условие 3 для F* не будет выполняться, если допустить, что
формализм F непротиворечив. Действительно, условие 3 для F*
утверждает, что если \(т) — какой-либо рекурсивный терм, а г —
номер равенства f (a) — 0, то формула
f(m) = 0-*.3*S*(*,«(r, т))
выводима в F*. Тем более эта формула должна выводиться в F.
Если, в частности, в роли f(m) взять терм т — т, то равенство
f (m) = 0 будет выводимо в рекурсивной арифметике, а потому и
в F, так как этот формализм должен удовлетворять условию а2).
Поэтому в F должна быть выводимой и формула
(х, e(t, т)).
В подробной записи эта формула имеет вид
Зх[Ъ(х, б (г, m))&VuVyVa>Vz
(и ==£.*:&у ==£*&$(«, да)&$(о, z)->гфе (да))].
Из нее и из доказуемой формулы
35 (пг, п) ->■ п < т
$ lj ГРАНИЦЫ ИЗОБРАЗИМОСТИ И ВЫВОДИМОСТИ 361
получается формула
Отсюда (на основании формул для ^ и <) следует формула
(Г,
и из нее в результате перехода от связанных переменных к сво-
свободным получается формула
Следовательно, последняя формула тоже должна быть выводимой
в F. Между тем, согласно нашему предположению о нумерации,
в F выводима формула
/л*^е(г, т).
Значит, в F выводима и формула
Из этой формулы подстановкой терма k-\-l вместо переменной т
получается импликация
k^k + l&l^k + l^(%(k, р)&ЪA, q)
а тем самым и формула
Из этой формулы, подставив е(/?) вместо q и воспользовавшись
формулой а = а, мы средствами исчисления высказываний полу-
получим формулу
Итак, эта формула выводима в F. Но на основе наших предпо-
предположений относительно формализма F и нумерации для него, было
установлено, что в случае непротиворечивости F эта формула
в формализме F невыводима.
Таким образом, если формализм F непротиворечив, и если
для него и для соответствующей нумерации выполняются сфор-
сформулированные нами условия, то соответствующий формализм F*
удовлетворять условию 3 не может.
В дальнейшем речь пойдет о том, чтобы от условной форму-
формулировки теорем Гёделя перейти к установлению того факта, что
невыводимости, утверждаемые в этих теоремах для дедуктивных
формализмов определенных типов, имеют место и в случае фор-
формализма арифметики, состоящего из системы (Z), аксиом (fix), (ft2)
362 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
и (ц3) для |д,-символа и явных определений, а также для более
широких формализмов арифметики. С этой целью мы рассмотрим
соответствующие формализмы на предмет выяснения того, выпол-
выполняются ли для них предположения этих теорем, т. е. допуще-
допущения а2) и б2), содержащие в себе более ранние допущения аг)
и б*I), и условия на выводимость. Тем самым мы возвращаемся
к рассмотрению арифметизации метаматематики.
§ 2. Формализованная метаматематика
арифметического формализма
а) Описание одного арифметического формализма. Как мы
знаем, уже формализм системы (Z) дает формализацию арифме-
арифметики с включением принципа «tertium non datur». Однако в этом
формализме рекурсивные функции (за исключением тех из них,
которые могут быть построены с помощью сложения и умноже-
умножения) непосредственно не изобразимы, а только могут быть пред-
представлены в некотором смысле этого слова. Этот недостаток можно
устранить, добавив к системе (Z) i-правило. В этом случае можно,
как было показано в гл. VIII т. I2), явно определить |д,-символ
таким образом, чтобы формулы (^х), (jx2) и (а3) оказались выво-
выводимыми с помощью аксиомы индукции; в результате этого мы
придем к изображению не только рекурсивных, но и вообще всех
тех арифметических функций, которые могут быть определены
с помощью принципа наименьшего числа. Изображение рекур-
рекурсивных функций при этом таково, что соответствующие рекур-
рекурсивные равенства являются выводимыми формулами.
С дедуктивной точки зрения этот формализм вполне удовлет-
удовлетворителен. Однако арифметизация его метаматематики оказывается
довольно неудобной, потому что в соответствии с i-правилом
свойство выражения iESl(j) быть термом зависит от выводимости
связанных с формулой Ш(с) формул единственности3), так что
определение понятия терм оказывается переплетенным с опре-
определением выводимости.
Этого осложнения можно избежать путем введения вместо
i-правила е-формулы, опираясь на которую, е-символ, как известно,
может взять на себя роль i-символа *), так что, в частности,
с помощью е-символа можно будет дать явное определение ц-сим-
вола. Кроме того, в этом случае, как было показано в гл. II6),
возникает возможность устранить аксиому индукции путем добав-
1) См. с. 339, 347.
2) См. т. I, с. 481.
») См. т I, с. 468.
*) См. с. 34.
5) См. с. 116—119.
5 2] ФОРМАЛИЗАЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 363
ления к формуле
А(а)-+А(гхА(х))
формулы
А (а) ->■ гхА (х) Ф а'
в качестве второй аксиомы для е-символа и взятия в качестве
аксиомы формулы
афО-+6(а)' = а
или же, вместо нее, формулы
Однако этот формализм по сравнению с формализмом i-сим-
вола имеет тот недостаток, что не каждый его терм без перемен-
переменных представляет собой формализацию определения какого-либо
числа. Именно, если наряду с е-символом ввести еще один сим-
символ г%Ш(х) с соответствующими двумя формальными аксиомами,
то нам не удастся вывести равенство
по крайней мере, если рассматриваемый арифметический форма-
формализм (без е*-символа) непротиворечив2).
Тем не менее арифметизация метаматематики арифметического
формализма позволит нам доказать одно наше (сделанное при
обсуждении парадокса Ришара) замечание3) относительно того,
что условие, обозначенное нами посредством в*), в случае ариф-
арифметического формализма может быть удовлетворено. Это условие
утверждает, во-первых, что при подходящей нумерации свойство
*) То, что здесь формула
может быть заменена формулой
а
проще всего получается из того, что при введении символа б (а) посредством
явного определения
б(а)=ег(г'=а)
формула
афО->-8 (а)'=а
выводится из формулы
афО-+Зх(х'=а)
с помощью е-формулы и схемы (Р).
2) Например, в предположении непротиворечивости рассматриваемого
арифметического формализма можно довольно просто показать, что добавление
к аксиомам для е-символа и е*-символа равенств
ех1у (х = 2у) = (Г и t*ly (x = 2- у) = (У"
не приводит к противоречию.
8) См. с. 333.
364 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
числа т быть номером какого-либо терма изображается с помощью
некоторого рекурсивного предиката и, во-вторых, что каждый
терм, не содержащий свободных переменных, однозначно (хотя,
может быть, и не эффективно) определяет некоторое число.
Доказательство того, что при подходящем выборе арифмети-
арифметического формализма оба эти требования могут быть удовлетво-
удовлетворены совместно, будет проведено с использованием некоторого
рекурсивно-арифметического изображения понятия терма (на
основе соответствующей нумерации), поскольку наш формализм
мы выберем таким образом, чтобы каждый не содержащий аргу-
аргументов терм представлял собой формализацию однозначного опре-
определения некоторого числа.
Последнему из этих требований удовлетворяет формализм
i-правила и не удовлетворяет, как мы только что установили,
формализм е-символа. С другой стороны, формализм е-символа
дает возможность рекурсивно изобразить понятие терма, в то
время как в формализме i-правила этому мешает переплетение
понятия терма с условиями на выводимость.
Обоим содержащимся в условии в*) требованиям можно удов-
удовлетворить, вводя ^-символ не с помощью явного определения,
а непосредственно, в качестве основного символа с формулами
(Hi), (m) и (jj-з), принимаемыми в качестве аксиом, Кроме того,
мы должны еще условиться, что, помимо штрих-символа и сим-
символов для операций сложения и умножения, будут допускаться
только такие функциональные знаки, которые вводятся с помощью
каких-либо явных определений.
С точки зрения аксиоматики здесь желательна еще одна моди-
модификация, В самом деле, в результате введения формулы (|ыг)
в качестве аксиомы схема (Р) становится производной. Но если
эту схему опустить, то исчезнет двойственная симметрия исчис-
исчисления предикатов.
Этой трудности не будет, если мы заменим формулу (цг)
дедуктивно ей равной и аналогичной е-формуле формулой г)
(НО A(a)-+AhixA(x)).
1) В результате этого появится возможность, пользуясь (i-символом, явно
определить кванторы, как это было сделано в формализме е-символа, и при
этом основные формулы (а) и (Ь) станут выводимыми, а схемы (а) и (Р) про-
производными. Однако мы не будем здесь этим заниматься —Вместо того чтобы
трансформировать формулу (щ) в (ц,), можно было бы также добавить в ка-
качестве новой аксиомы формулу
A(\ix-\A(x))-+VxA(x)
и опустить схемы (а) и (Р). Тогда формулы
A(\ix-\A (х)) -* VxA (x)
и
■ЗхА ,х) -* A (\ixA (х))
§ 21 ФОРМАЛИЗАЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 365
В этом случае будет логично исключить квантор и в формуле (ц3),
взяв в качестве аксиомы вместо этой формулы переводимую в нее
формулу
Аксиомы для ц-символа, если взять в качестве аксиомы
формулу
и ввести надлежащее определение для символа «S или <;, позво-
позволяют не брать в качестве исходной формулы аксиому индукции.
При этом целесообразно слегка изменить и формулу (ц2), взяв
вместо нее переводимую в нее формулу
(ИЭ A(a)-4-\ixA(x)<a'.
Выводимость аксиомы индукции вытекает из того ранее уже
отмечавшегося факта, что схема индукции, а потому и аксиома
индукции, выводима средствами исчисления предикатов из двух
аксиом для в-символа, формулы а Ф 0 -> Эх (х' = а) и аксиомы
равенства (J2). В этом выводе аксиомы для е-символа могут быть
заменены аналогичными им формулами для ^-символа, т. е. фор-
формулой (ц!) и
Но последняя из этих формул с помощью аксиомы равенства (Ja)
и формулы (а < а) выводится из формулы (ц£), а формула
~\(a<Za) получается из первого рекурсивного равенства для сло-
сложения а + 0 = а, если предикатный символ < определить с по-
помощью эквивалентности
а<Ь~Ух(Ь-{-хфа),
которая выводится из эквивалентностей
а ^ b ~ Зх (а + х = Ъ).
Формализм, к которому мы таким образом приходим, содер-
содержит переменные, символы, исходные формулы и правила исчис-
исчисления предикатов; кроме того, к ним добавляются следующие
символы и аксиомы:
выступали бы в качестве обращений формул
VxA (х) -*-А(а) и А (а) -> "ЭхА (ж).
Эти две пары формул соответствуют формулам «т-группы» из работы Дж. фон
Неймана: von Neumann J. Zur Hilbertschen Beweistheorie, — Math. Z.,
1927, 26, S. 16.
366 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ. V
знак равенства с аксиомой (J2)
индивидный символ 0 и штрих-символ с числовыми
аксиомами
а'^0, a' = b'-+a = b и а=£0-+Зх(х' = а),
символы для сложения и умножения с рекурсивными ра-
равенствами
символы а^Ь и а<Ь с эквивалентностями
a^b^->3x(a+x = b) и a<b^ V
и (i-символ с аксиомами
А(а)-+А(цхА(х)),
Ala)-+iixA(x)<a'
Кроме того, с помощью явных определений могут быть допол-
дополнительно введены какие-либо новые функциональные знаки и
предикатные символы. Эти определения при введении функцио-
функциональных знаков представляют собой некоторые равенства, а в слу-
случае введения предикатных символов —эквивалентности. При этом
в качестве переменных для аргументов вводимые символы должны
иметь только индивидные переменные. Ввиду соглашений относи-
относительно общего вида явных определений1), выражения, стоящие
в правых частях определяющих равенств или эквивалентностей,
не должны иметь никаких других свободных переменных, кроме
аргументов определяемых символов.
Описанный таким образом арифметический формализм — в даль-
дальнейшем он будет обозначаться посредством (Z^) — мы теперь рас-
рассмотрим более подробно и убедимся, что для него выполняются
все предположения обеих теорем Гёделя о неполноте2).
х) См т. I, с. 357 или Приложение I, с. 465 и далее.
2) Мы могли бы взять несколько более узкий формализм, воспользовав-
воспользовавшись тем обстоятельством, что при рассмотрении вопроса о непротиворечи-
непротиворечивости формализма (Z^) формульные переменные могут быть исключены (мето-
(методом, изложенным в гл. VI т. I; см. с. 275—283, 286—288). Однако в нашем
случае когда мы опираемся на уже имеющуюся арифметизацию метаматема-
метаматематики исчисления предикатов, это едва ли привело бы к каким-нибудь
упрощениям.
§ 2] ФОРМАЛИЗАЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 367
Предположение а2)') для этого формализма выполняется, так
как он содержит в себе исчисление предикатов, а также аксиомы
равенства и аксиому я'^О и так как в нем явно определены
рекурсивные функции, для которых соответствующие рекурсивные
равенства являются выводимыми формулами. Таким образом, нам
остается проверить выполнение условия б2), а также трех усло-
условий 1—3 на выводимость2).
Для этого в первую очередь требуется ввести подходящую
нумерацию нашего формализма.
б) Построение нумерации формализма (Z^). Чтобы получить
нумерацию этого формализма, мы начнем с имеющейся у нас
нумерации исчисления предикатов, которая в свое время была
распространена также на цифры и на функциональные знаки3).
Приведем краткую сводку основных фактов, касающихся этой
нумерации.
В качестве номеров для связанных индивидных переменных
мы взяли простые числа, большие или равные 7; в качестве
номеров для свободных индивидных переменных — те же числа,
умноженные на 2; в качестве номеров для формульных перемен-
переменных без аргументов — те же числа, умноженные на 10; в качестве
номера для цифры f — число 2 • 3f.
Функциональный знак с г аргументами мы изобразили функ-
функцией 5 ■ q^1 •... • q°c, а формульную переменную с г аргументами —
функцией 10-q°'-...-q°c, где qb ..., qc —попарно различные про-
простые числа, большие или равные 7, а вместо переменных
ах at должны подставляться номера аргументов.
Логические связки мы изобразили следующим образом: отри-
отрицание—умножением на 3; конъюнкцию —функцией \-20-7а\\ь;
дизъюнкцию — функцией 2 • 20 • 7" • 116; импликацию — функцией
4-20 7а-И*; эквивалентность — функцией 8-20-7а- 11й; кванторы
всеобщности и существования с переменной £ — функциями 50 • qa
и 100 - q" соответственно (здесь q —номер переменной £, а вместо
переменной а должен подставляться номер того выражения, на
которое распространяется изображаемый квантор).
Чтобы из этой нумерации получить нумерацию для си-
системы (Z^), мы сопоставим ^-символу с переменной £ функцию
25 • qa, в которой q — номер переменной £, а вместо переменной а
должен подставляться номер того выражения, на которое рас-
распространяется изображаемый ^-символ. Для изображения суммы
1) См. с. 354.
2) См, с. 355 и далее,
3) См. с. 267 и далее.
368 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
и произведения мы возьмем функции 5 11° 13* и 5-11°• 17й, что
соответствует нашему прежнему соглашению об изображении
функциональных знаков, а для изображения предикатных симво-
символов = , < и < мы возьмем функции 70 11° -13*. 70 11а - 17* и
70 • 1 За • 17* соответственно.
Отметим, что такое изображение данных трех предикатных
символов не вступает в коллизию с нашим способом изображения
формульных переменных. Действительно, наименьшим числом,
которое по нашим соглашениям может быть номером какого-либо
выражения, является число 2 (номер цифры 0). Если f и I суть
номера каких-либо выражений, то значение любого из выраже-
выражений 70-11'-13', 70 11'17' и 70 -1 Зг«171 не может быть номером
какой-либо формульной переменной без аргументов; но оно
не может быть и номером формульной переменной с аргументами,
потому что в этом случае оно должно было бы делиться на 7",
где п — число, являющееся номером некоторого выражения и
поэтому большее 1.
Что касается изображения штрих-символа, то мы должны учи-
учитывать то обстоятельство, что любая цифра в арифметическом
формализме представляет собой либо символ 0, либо выражение,
получающееся из символа 0 в результате (однократного или
многократного) применения к нему штрих-символа. Учитывая
имеющуюся уже нумерацию цифр, мы будем изображать приме-
применение штрих-символа к какому-либо квазитерму умножением
номера этого квазитерма на 3. При этом для нумерации цифр
достаточно будет приписать символу 0 номер 2.
Это изображение штрих-символа не вступает в коллизию
с изображением отрицания, так как отрицание применяется только
к таким выражениям, которые либо сами являются формулами,
либо получаются из формул в результате замены свободных инди-
индивидных переменных связанными. Эти выражения, которые мы
будем называть квазиформулами, в нашей нумерации харак-
характеризуются тем, что их номера делятся на 10. Поэтому умноже-
умножение на 3, примененное к номеру какого-либо выражения, изобра-
изображает или отрицание или применение штрих-символа в зависимости
от того, делится этот номер на 10 или же нет.
Для полного задания нумерации теперь нам недостает только
соглашения относительно способа описания символов, вводимых
явными определениями [как мы помним, в формализме (Z^) до-
допускаются только такие (не считая основных) функциональные
знаки и предикатные символы, которые вводятся с помощью
явных определений]. Это обстоятельство доставляет нам известные
трудности, поскольку мы хотели бы иметь возможность изобра-
изобразить свойство числа быть номером терма или соответственно фор-
формулы с помощью рекурсивного предиката. Но эти трудности мы
можем устранить, сделав номер символа, вводимого посредством
§ 2] ФОРМАЛИЗАЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 369
явного определения, зависящим от номера определяющего его
выражения1).
С этой целью мы условимся, что во всяком явном определении
в качестве аргументов определяемого t-местного символа всегда
будут браться переменные с номерами 2-jf>3, 2-jf>4, ..., 2-Jar + ,,
стоящие друг за другом в указанном порядке, так что место 1-го
аргумента определяемого символа всегда будет занимать перемен-
переменная с номером 2-pt + J. А теперь мы примем соглашение, что
г-местный функциональный знак или предикатный символ, вво-
вводимый посредством явного определения с определяющим выра-
выражением, имеющим номер п, будет изображаться функцией
5'К,' К + 1 •••••С+г-1 или ФУнк«ией 70^n-----C+r-i соот-
ветственно.
Это не будет вступать в конфликт с изображениями символов
+ , ■, =, < и < с помощью функций. Действительно, наиболь-
наибольшим простым делителем у этих изображений является число 17,
т. е. рв, в то время как при изображении явно определенных
символов простое число fn по крайней мере равно р14, так как
определяющее выражение содержит не менее одной свободной
переменной, и потому его номер самое меньшее равен 14.
Последнее соглашение изменяет прежнее изображение функ-
функциональных знаков, поскольку функция 5-q?1-...-q"r, у которой
s\i q, суть попарно различные простые числа, большие или
равные 7, для нашей нынешней нумерации только тогда является
изображением какого-либо функционального знака, когда либо
г = 2 и пара простых чисел qj и q2 совпадает с И и 13, или
с И и 17, либо простые числа qb ..., qr совпадают cjf>n, jfn + l,...
• • •, Fn + r-i» причем п является номером некоторого терма, содер-
содержащего г (и не больше) различных свободных индивидных пере-
переменных. (Этот терм может в свою очередь содержать один или
несколько явно определенных символов; но в этом случае опре-
определяющее выражение любого из этих символов будет иметь номер,
меньший номера данного терма.)
Аналогичное ограничение справедливо и для изображений
предикатных символов функциями вида 70-q°>-...-q°r.
Тем самым нумерация формализма (Z^) по существу закон-
закончена. Остается только условиться относительно номеров некото-
некоторых конкретных переменных, которые мы возьмем теми же, что
х) Подобного рода способ задания явных определений был впервые при-
применен Р. Карнапом в его книге: Car nap R. Logische Syntax der Sprache
(см с. 59). Этот способ—с известной модификацией — распространен в этой
книге и на рекурсивные определения.
370 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
и раньше. Так, в частности, для переменных a, b и с мы снова
возьмем номера 14, 22 и 26; для переменных х, у и г — номера 7,
11 и 13, а формульную переменную А с одним аргументом мы
изобразим функцией 10-7°.
Построенная нумерация формализма BЦ) является взаимно
однозначной. Это означает, что не только каждое выражение
из (Zy) имеет единственный вполне определенный номер, но и
что номера двух отличных друг от друга выражений из BЦ)
всегда различны. В этом можно убедиться точно так же, как мы
это сделали ранее для нумерации исчисления предикатов 1). Спе-
Специальное рассмотрение требуется только для того, чтобы пока-
показать, что номера предикатных символов с аргументами отличаются
от номеров формульных переменных, а также что номера явно
определенных функциональных знаков и предикатных символов
отличаются от номеров символов -(-, -, =, «^ и <. Но мы это
сделали уже при самом выборе нумерации?).
Если в качестве номера последовательности выражений, имею-
имеющих номера п0, ..., пс, мы возьмем число F • F," .. р
в точности так же, как это делалось в случае нумерации для
исчисления предикатов,—то имеющаяся у нас нумерация выра-
выражений из (Z^) даст некоторую нумерацию конечных последова-
последовательностей выражений из (Z^).
в) Проверка условия б2) для формализма (Z^) и построенной
для него нумерации. А теперь мы убедимся, что выбранная нами
нумерация удовлетворяет условию б2) и трем сформулированным
выше3) условиям на выводимость.
Рекурсивность изображения отрицания очевидна. В самом
деле, функция с (п), которая изображает номер отрицания фор-
формулы в его зависимости от номера самой этой формулы, —это
попросту функция 3 • п.
Далее, легко определить такую рекурсивную функцию б (k, /),
которая будет изображать в зависимости от f и [ номер выраже-
выражения, которое получается из выражения с номером f в результате
замены переменной а цифрой I.
С этим определением мы свяжем определение некоторой дру-
другой функции st* (m, k, /), которая соответствует введенной ранее
(при рассмотрении исчисления предикатов) функции stx (т, k, I) *)
и обладает тем свойством, что ее значение для любых цифр m
и Г, являющихся номерами выражений из (Z^), и для каждой
цифры f, являющейся номером какой-либо индивидной перемен-
') См. с. 269 и далее.
») См. с. 367—369.
3) См. с. 354-355.
*) См. с. 288.
§ 2]
ФОРМАЛИЗАЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА
371
ной или формульной переменной без аргументов, представляет
собой номер того [не обязательно принадлежащего формализму (Z^)]
выражения, которое получается из выражения с номером m
в результате замены переменной с номером f (всюду, где она
в это выражение входит) выражением с номером I.
Определение этой функции будет только незначительно отли-
отличаться от определения функции stx (m, k, I). Именно, оно дается
с помощью следующего разбора случаев:
«Если m = k и k = qp, где q — одно из чисел 1, 2 или I0L
а р—-простое число, большее или равное 7, то
st*(m, k, /) = /.
Если т = 2а Ъп, где « — составное число, не делящееся ни на
одно из чисел 2, 3 и 5, то
st*(m, k, 1) = 21-Ъ- П p;*<vo. *). к. />.
Если m — q-25- ра, q является делителем 4, а р —простое число,,
большее или равное 7, то
st*(m, k, /) = ?-25-(bt(p, k, /))»f <e. *./>.
Если m = 3-n и пФ§, то
st*(m, k, /) = 3-st*(n, k, I).
В остальных случаях
st* (m, k, /) = m».
Функцию в (k, l) с нужными нам свойствами мы получим ил
функции st* (m, k, I), положив
i(k, t) = st*(k, 14, 2-3').
В дальнейшем мы еще воспользуемся функцией st* (m, k, I).
Здесь же мы заметим, что если цифра m является номером неко-
некоторого выражения из (Z^), а цифра f является номером какой-
либо индивидной переменной, то формула
st*(m, f, 2)^=m
рекурсивно изображает тот факт, что выражение с номером m
содержит переменную с номером f.
Замечание. Что касается изображения рекурсивных функ-
функций в формализме (Z^), то для этих функций в (Z^) могут быть
взяты те же самые символы, которые ранее использовались нами
в рекурсивной арифметике. Однако надо обратить внимание на
то, что арифметическое изображение такого функционального
знака в рамках нашей нумерации дается, если этот знак не при-
принадлежит к числу основных, с помощью некоторого явного опре-
'372 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТИОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ v
деления, которое, вообще говоря, не является определением его
ъ рекурсивной арифметике, а строится с использованием ц-символа.
Теперь, после того как для формализма (Z^) оказались вы-
выполненными два из содержащихся в условии б2) специальных
требований*), мы должны еще рассмотреть требование, относя-
относящееся к существованию рекурсивной формулы 33 (т, п) (не содер-
содержащей отличных от т и п переменных), обладающей тем свой-
свойством, что любая цифра п является номером какой-либо выводи-
выводимой в (Zn) формулы тогда и только тогда, когда можно указать
такую цифру т, что истинно отношение 33 (т, п).
Для формализма (Z^) и для введенной нами нумерации выпол-
выполняется не только это только что сформулированное требование,
но и — аналогично тому, как это имело место в случае исчисле-
исчисления предикатов, — более сильное, содержащееся в допущении бх)
условие2), что с помощью некоторой рекурсивной формулы
Ъ (т, ft), не содержащей отличных от т и п переменных, может
сыть изображено высказывание «число т является номером не-
некоторой последовательности выражений, являющейся выводом
выражения с номером я».
Для доказательства нам потребуется некоторая модификация
рассмотрения, проведенного ранее для формализма исчисления
предикатов с включенными в него цифрами и функциональными
знаками.
С этой целью нужно в первую очередь четко представить
себе различия, имеющиеся между средствами формализма (Z^) и
средствами ранее рассматривавшегося формализма.
Прежде всего, важное различие заключается в том, что по-
понятие терма и формулы в формализме (Z^) нельзя сформу-
сформулировать в отрыве друг от друга, потому что свойство выраже-
выражения n^Slfe) быть термом зависит от того, является ли формулой
выражение 91 (с). Следовательно, рекурсивное определение пре-
предикатов «число п является номером некоторого терма» и «число
п является номером некоторой формулы» мы должны сформули-
сформулировать одновременно. Но для этого нам не потребуется одновре-
одновременная рекурсия для двух предикатов; будет достаточно дать
только рекурсивное определение предиката «число п является
номером некоторого терма или некоторой формулы», причем мы
воспользуемся тем обстоятельством, что в силу свойств нашей
нумерации (Z^) число, удовлетворяющее этому предикату, является
номером некоторого терма, если оно не делится на 10, и но-
номером некоторой формулы, если оно делится на 10.
Другое существенное отличие заключается в добавлении схемы
явного определения, а также тех соглашений, которые были
!) См. с. 354.
2) См. с. 339 и далее.
§ 21 ФОРМАЛИЗАЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 373
приняты относительно способа изображения явно определенных
символов1) в рамках рассматриваемой нумерации.
Своеобразное осложнение возникает также вследствие того,
что при подстановках вместо формульной переменной в формулах
(ц[) и (ц'3), т. е. в формулах
мы оказываемся вынужденными одновременно с выполнением
подстановки производить (во избежание коллизий между связан-
связанными переменными) еще и некоторые переименования связанных
переменных, подобно тому как это делалось при подстановках
вместо формульной переменной, входящей в состав е-формулы2).
Модификации, вызванные указанными обстоятельствами и не-
необходимые для построения рекурсивной формулы 53 (т, п), ка-
касаются, во-первых, рекурсивного определения формулы @(п),
изображающей предикат «число п является номером некоторого
терма или некоторой формулы», во-вторых, рекурсивного изобра-
изображения предиката «число п является номером некоторого явного
определения» и, наконец, рекурсивного изображения предиката
«число п является номером некоторой формулы, получающейся
из формулы (ц\) или формулы (ц'з) в результате подстановки
(быть может, в сочетании с переименованием связанных перемен-
переменных)». Мы рассмотрим подходы к этим определениям подробнее.
Чтобы определить формулу @(я), мы сначала введем следую-
следующие обозначения. Пусть
так что при /1^=2 простое число #>*,,(/!) является наименьшим
простым делителем п.
Далее, обозначим через 6 (п) формулу
которая в силу своей структуры изображает некоторый рекурсив-
рекурсивный предикат. Число п, для которого Ях(п) является номером
некоторого выражения Я из (Z^),удовлетворяет этому предикату
тогда и только тогда, когда, во-первых, п является произведением
степеней некоторых, следующих друг за другом простых чисел
Pfi Pf+ii -■-. Pf+r. наименьшее из которых больше 7, и, во-вто-
во-вторых, в 5Й входят те и только те свободные переменные, номерами
которых являются числа 2-|э3, 2-р4 2-#>
1) См. с. 368.
а) См. с. 31 — 32.
374 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ГГЛ V
Кроме того, как и раньше1), мы используем некоторую функ-
функцию st(m, k), определение которой теперь мы дадим следующим
разбором случаев:
«Если m = 3a-k и k — простое число, большее или равное 7,
то
st(m, fe) = 2-3a.
Если m = 2a-3*-5е-п, с>0 и п не делится ни на одно из чисел
2, 3 и 5, то
st(m, fc) = 2a-3*-5c- Y[^iv(n-x)-k).
В остальных случаях st (m, k) = m».
По отношению к (Zp.) эта функция обладает свойствами, ана-
аналогичными свойствам функции с тем же обозначением в отноше-
отношении ранее рассматривавшегося формализма. Именно, ее значение
st (m, f) для цифры m, являющейся номером некоторого выраже-
выражения Ш, и для цифры f, являющейся номером некоторой связан-
связанной переменной £, равняется номеру того [не обязательно при-
принадлежащего формализму (Zp,)] выражения, которое получается
из Ш в результате повсеместной замены переменной £ цифрой
О, за исключением тех мест, где она фигурирует в качестве
составной части какого-либо квантора всеобщности V£ или суще-
существования Э£ или в качестве индекса у какого-либо ц-символа.
А теперь мы изложим определение предиката @ (п) [сначала
в содержательной метаматематической форме].
Термами и формулами являются следующие выражения:
а) цифра 0, свободные индивидные переменные, формульные
переменные без аргументов;
б) терм с идущим за ним штрих-символом, формула со стоящим
перед ней знаком отрицания;
в) формульные переменные с термами в качестве аргументов,
г) символы +, •, =, ^ и <; с термами в качестве аргу-
аргументов;
д) введенные посредством явных определений функциональные
знаки и предикатные символы с термами в качестве аргументов;
е) конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквивалентность
двух формул;
ж) выражения V£^(£\ 3£?1 (£) и цЕй(£), где 41 (£) — выражнеие,
содержащее связанную переменную £ [но не в области действия
какого-либо одноименного с ней квантора или fi-символа] и такое,
что 91 @) является формулой.
Условия, наложенные в пункте ж) на выражение 81 (£), можно
сформулировать еще и следующим образом: если переменную £
См. с. 280 и далее.
§ 2] ФОРМАЛИЗАЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 375
всюду заменить цифрой 0, за исключением тех мест, где она
фигурирует в качестве составной части какого-либо квантора
всеобщности Vj или существования 3£ или в качестве индекса
у какого-либо (.«-символа, то из 21 (£) получится некоторая фор-
формула и эта формула будет отлична от 91(£).
Перечисленным возможным типам термов и формул соответ-
соответствуют следующие возможности наличия свойства @(«) у числа п:
а) п = 2 или п = 2-р, или п=10-р, где р — простое число,
большее или равное 7;
б) п = 2>-т, тфО и ©(т);
в) n=10-m, где ^(т)^^ и для любого х, меньшего т,
либо \{т, х) = 0, либо @(v(m, х)) & ~] A0 \ v (m, х));
г) п имеет один из видов 5-11а-13*, 5-11й-17*. 70-11а-13*.
70 11" 17*, 70 13а-17*, где всякий раз @(а), @(Ь), ~1(Ю|а) и
1(Ю|6);
д) n = q-5-m, где <7=1, если ^(т) не делится на 10, и
<?= 14, если ^(т) делится на 10; кроме того, @(т), @(A,i(m))
и для любого х, меньшего т, либо v(m, x) = 0, либо @(v(m, x))&
1A0 \v(m, x));
е) « = ^-20-7а-11*, q делит 8 и @(а), @(Ь), 10|а и 10|Ь;
ж) n = q-25-pa, q делит 4, р —простое число, большее или
равное 7, st (а, р)фа, @(st(a, p)) и 10|st(a, p).
Из этой семичленной альтернативы, которой без труда можно
придать совершенно формальный вид, мы получим некоторую
эквивалентность
@ (п) ~ Six (л) V Я» (л) V • • • V *» («).
из которой изложенным ранее1) способом получим рекурсивное
определение некоторой одноместной функции f (n), с помощью
которой предикат @(«) изобразится в виде
\(п) = 0.
[Для того чтобы можно было сформулировать это определение,
существенно выполнение соотношений v(m, k)<zm; A,1(m)<m
при m#0; st(a, p)<pa.]
Сформулировав рекурсивное определение предиката @ («), мы
легко получим изображения понятий терма и формулы с по-
помощью некоторых рекурсивных формул: именно, высказывание
«число п является номером некоторого терма» изобразится фор-
формулой @(«) & A01 п), а высказывание «число п является номе-
номером некоторой формулы» изобразится формулой @(«)&10|/г.
Если определение предиката @(/г) изменить, допустив, чтобы
в пункте а) число п само могло быть простым числом, большим
или равным 7, или, выражаясь формально, если дизъюнктивно
См. с. 277 и далее.
376 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ГГЛ V
добавить в члене Sli(n) выражение Pr(n)&nSs7 и всюду, где
стоит какое-либо выражение @(t), написать вместо него <2'i(t),
то получится рекурсивное определение некоторого предиката
^! (п), который для любого п выполняется тогда и только тогда,
когда оно является номером некоторого квазитерма или не-
некоторой квазиформулы, т, е. такого выражения, которое
либо само является термом или формулой, либо получается из
терма или из формулы в результате замены одной или несколь-
нескольких свободных индивидных переменных связанными.
Формула ®i (п) & 1 A01 п) изображает высказывание «число п
является номером некоторого квазитерма», формула @i(n)&10|n—
высказывание «число п является номером некоторой квазифор-
квазиформулы».
С другой стороны, если мы в пункте а) определения преди-
предиката @(и) оставим только условие п = 2, а кроме того, исключим
пункт в) [так что вместо формулы 9^ (л) будет стоять равенство
я = 2, а формула 213(и) вовсе выпадет из дизъюнкции Щ(п)\/...
• • • V ^Ми)]> то придем к некоторой рекурсивной формуле @2(«),
которая изобразит высказывание «число п является номером
некоторого терма или некоторой формулы без свободных перемен-
переменных».
Так как в формализме (Z^) всякий терм без свободных пере-
переменных является выражением, определяющим некоторое число
(т. е. выражением, формализующим однозначное определение не-
некоторого конкретного числа), и так как и обратно—всякое такое
выражение в (Z^) является термом без свободных переменных,
то для формализма (Z^) и для рассматриваемой нами нумерации
свойство числа п быть номером выражения, определяющего
какое-либо число, изображается с помощью рекурсивного пре-
предиката
Таким образом, формализм (Z^) удовлетворяет условию, которое
ранее в этой главе1) мы обозначили посредством в*).
Еще одна интересная модификация определения предиката
@(и) получается, если опустить дизъюнктивный член Щ{п),
а вместо Щ (и) взять формулу п = 2 V B | п & Рг (я (и, 2)) & п^г 14).
Эта модификация дает нам рекурсивное изображение понятий
«формула без формульных переменных» и «терм без формульных
переменных».
С помощью формулы 6 (п), использованной нами при опреде-
определении предиката @ (иJ), мы теперь легко получим рекурсивное
изображение высказывания «число п является номером некоторого
1) См с 333.
а) См. с 373.
» 21 ФОРМАЛИЗАЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 377
явного определения». Сначала мы представим это высказывание
в виде дизъюнкции «число п является номером явного определе-
определения некоторого функционального знака или число п является
номером явного определения некоторого предикатного символа».
Для того чтобы по возможности кратко записать изображения
обоих членов этой дизъюнкции, мы обозначим посредством <$i(n)
следующую рекурсивную формулу:
которая при п ^ 2 выражает тот факт, что в разложении п на
простые множители фигурируют все простые числа от f%lW до
1\п) включительно и имеют при этом степени 2-|а3. 2-|э4. •••
.... 2 Р(ь(Л)-^1(Л))+з соответственно.
Тогда высказывание «число п является номером явного опре-
определения некоторого функционального знака» изобразится посред-
посредством формулы
(/z, 5))&
3x{x<n&v(n, 4) = 5-*&v(/z, 5) = k1(x)&&(
а высказывание «число п является номером явного определения
некоторого предикатного символа» изобразится формулой
/z=160-7v<"-s>llv«"'4>&@(v(/z, 4))&10|v(n, 4)&
3x{x<n&v(n, 3)=70-x&v(«, 4) = Х1(лг)&E(лг)&E1(л:)}.
Теперь из подлежащих рассмотрению рекурсивных определе-
определений, требующих в формализме (Z^) нового по сравнению с фор-
формализмом, рассмотренным в гл. IV, подхода, остается только
определение предиката «число п является номером формулы,
получающейся из формул (^J) и (ц,з) в результате подстановки
вместе с возможными переименования каких-либо связанных пере-
переменных».
Чтобы сформулировать это определение, мы сначала введем
предикат ^(s), с помощью которого, используя функцию а(а, Ь)
и ее обращения1) Oi(n) и о2(п), изобразим отношение между
двумя квазитермами или квазиформулами, состоящее в их совпа-
совпадении с точностью до обозначений связанных переменных. Это
может быть сделано аналогично тому, как мы ранее с помощью
предиката ^(s) изобразили отношение между двумя формулами,
состоящее в том, что одна из них получается из другой в ре-
результате переименования некоторой связанной переменной в обла-
области действия соответствующего квантора2).
») См. с. 272.
») См. с. 289 — 290.
378 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
Рекурсивное определение этого предиката W% (s) получается
с учетом того, что для любого числа п он должен выполняться
тогда и только тогда, когда выполняется @х (ах (s)) & <2>i (а2 (s)) и,
кроме того, имеет место один из следующих случаев:
а) a1(s) = ai(s);
б) ах (s) = 25 • q ■ ра, а2 (s) = 25 • 7 • /*, где ^ —делитель числа 4,
а р и / — простые числа, большие или равные 7, р=т^/ и
/>, /) = a2(s);
в) при &^2 имеет место равенство
v(ai(s), £) = v(a.2(s), £)
а при 3 ^ k < s выполняется условие
Y.faWMs), *), v(o,(s),
А теперь с помощью рекурсивной формулы ^(s) можно
рекурсивно изобразить высказывание «число п является номером
некоторой формулы, получающейся из формулы (\i[) или из
формулы (|4) в результате подстановки вместе с возможным
переименованием каких-либо связанных переменных».
Действительно, это высказывание равносильно следующему:
«Существуют числа и и v, являющиеся номерами некоторых
формул 8( (а) и S3 (а), которые содержат переменную а и не
содержат переменной х, не имеют общих связанных переменных
и отличаются друг от друга разве лишь обозначениями связан-
связанных переменных; эти числа и и v меньше числа п, являющегося
номером одной из формул
Ш (а) -> 91 (|1,5Э (х)), 191 (ц^З (*)) -> |i,8 (x) = О».
По этой формулировке мы получаем следующее формальное
изображение этого высказывания с помощью формул @(n), ^(s)
и функции st* (m, k, I):
3u3v{u<n&v<n&<g(u)&<g(v)&st* (и, 14, 2)фи
&st*(w, 14, 2)^y&st*(«, 7, 2) = «&st*(y, 7, 2) = v
& ¥2 (a (и, v)) & [л = 80 • 7» • 115l * («■14- 25'7St*(p-14> r>)
V л = 80 • 73'sl* ("■ 14- 25-7St*(tl> 14> 7)> • 1170- n25-7"*'14> 7). 13a]}.
Но по внешнему виду этой формулы легко заключить, что она
переводима в некоторое равенство вида f(n) = O, где f(n) —
одноместная рекурсивная функция.
Небольшой модификацией этой формулы мы получим также
рекурсивное изображение двуместного предиката «число т яв-
379
Ц 2] ФОРМАЛИЗАЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА
ляется номером одной из формул (,uj) и (ц'3), а п представляет
собой номер формулы, получающейся из формулы с номером m
в результате некоторой подстановки вместо формульной перемен-
переменной этой формулы, быть может, вместе с переименованием
одной или нескольких связанных переменных».
А теперь мы можем приступить к построению требуемой
в условии б2) формулы Ъ(т, п), посредством которой формали-
формализуется высказывание: «число т является номером списка формул,
представляющего собой вывод в (Z^) формулы, номером которой
является т.
Это высказывание в точности означает следующее:
Для любого числа х такого, что х^Х(т), \{т, х) представ-
представляет собой номер некоторой формулы из (Z^), причем v(m, Я(т)) —
= п\ а кроме того, имеет место одно из следующих утверждений
а)-к):
а) v(m, x) является номером какой-либо тождественно истин-
истинной формулы исчисления высказываний;
б) v (т, х) является номером одной из формул (а) и (Ь)
исчисления предикатов или одной из аксиом формализма (Z^);
в) v (т, х) является номером явного определения какого-либо
функционального знака или предикатного символа;
г) х ф О, и формула с номером v (m, х) получается из фор-
формулы с номером \{т, х— 1) в результате некоторой подстановки
вместо какой-либо свободной индивидной переменной или вместо
формульной переменной без аргументов;
д) хфО, и формула с номером v(m, *) получается из фор-
формулы с номером \(т, х— 1) в результате некоторой подстановки
вместо какой-либо формульной переменной с одним или несколь-
несколькими аргументами;
е) хфО, и формула с номером v(m, x) получается из фор-
формулы с номером \{т, x— 1) в результате переименования одной
или нескольких связанных переменных;
ж) хфО, v(m, я—1) является номером одной из формул
(\л[) и ((Хз), а формула с номером v(m, x) получается из этой
формулы в результате некоторой подстановки вместо ее формуль-
формульной переменной в сочетании с переименованием одной или не-
нескольких связанных переменных;
з) х Ф 0, и формула с номером v (m, х) получается из фор-
формулы с номером v (т, х— 1) по одной из схем (а) и (|3);
и) х>\, и формула с номером \(т, х) получается по схеме
заключения из формул с номерами v(m, x— 1) и v(m, ^-=-2);
к) существует число у, меньшее х, такое, что формулы с но-
номерами v(m, x) и v(m, у) совпадают.
А теперь все десять членов этой альтернативы мы рассмотрим
на предмет выяснения их рекурсивной изобразимости. По боль-
большей части мы сможем воспользоваться рекурсивными изображе-
380 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ГГЛ V
пиями соответствующих отношений, полученными в свое время
для формализма исчисления предикатов с добавлением цифр и
функциональных знаков. Только теперь потребуется всюду вместо
старых определений внести новые, приспособленные к форма-
формализму (Zp,) определения понятий форму л ы, терма и квази-
квазитерма, а функцию stj (m, k, I) нужно будет заменить функцией
si* (m, k, I). Так мы получим изображения для членов а), г), д),
з) и и). Для членов в) и ж) их рекурсивные изображения были
определены только что. Член е) изобразится выражением
х^0&\(т, х)ф\(т, х- l)&W2(a(v(m, x), v(m, x— 1))),
член к) — выражением
Зу(у<х&\(т, х) = \{т, у)),
а член б) изобразится дизъюнкцией
v (ш, л:) = th V v (т, х) = п2 V • • • V v (т> х) = nie,
где Пх и пг суть номера основных формул (а) и (Ь) исчисления
предикатов, п3 и п4 —номера аксиом равенства, пб, п„ и н7 —но-
—номера трех арифметических аксиом, п8, и9, Пхв и «ц — номера ре-
рекурсивных равенств для сложения и умножения, и12 и п13 —номера
формул для символов s£ и <, a nl4, nl5 и nl6 —номера формул
(ц!), Ы и (цз).
Если мы запишем полученные выражения для всех членов от
а) до к) включительно, то в качестве формализации высказыва-
высказывания, изображаемого искомой формулой Ъ{т, п), у нас сначала
получится некоторая формула вида
v(m, l(m)) = n& Чх(х^к(т)-+@(\(т, х))& 10|v(m,
где 2)(m, k) — дизъюнкция, не содержащая отличных от т и k
свободных переменных, члены которой переводимы в рекурсивные
формулы. По внешнему виду этой формулы, которую мы обозна-
обозначим посредством SB* (m, п), ясно, что она может быть переведена
в некоторую рекурсивную формулу, не содержащую переменных,
отличных от т и п. Тем самым искомая формула 33 (т, п) по-
построена.
Итак, мы убедились, что для формализма (Zp,) условие бг)
выполняется во всех его частях.
Для дальнейшего мы также заметим, что фигурирующая
в формуле Ъ* (т, п) дизъюнкция 2) (т, х) имеет вид
, х)) \J (хфО&<£2(ч(т, х), v(m, x - 1)))
V@'<x&353(v(m, х), v(m, х-- 1), v(m, x^-2)))
V 3y(y<x&v(m, x) = v(m, у)).
§21 ФОРМАЛИЗАЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 38!
При этом £j (а), 2>2(а, Ь) и $>3(а, Ь, с) суть формулы из (Z(l),
допускающие перевод в рекурсивные формулы. Формула Ф2(а, ^)
содержит в качестве дизъюнктивного члена формулу
-|A0|z)&a = st*F, 2-y, г)},
а формула Ф8(а, ft, с) представляет собой равенство
6 = 80-7" 11е.
г) Проверка условий на выводимость. Теперь мы еще должны
убедиться, что формализм (Z^), а также введенная для него нуме-
нумерация и построенная на основе этой нумерации формула 23 (т, п)
удовлетворяют нашим трем условиям на выводимость, фигури-
фигурирующим во второй теореме Гёделя о неполноте в качестве пред-
предположений *).
Рассмотрим сначала первые два из этих условий. В примене-
применении к формализму (Z^) они утверждают, что:
1) если из формулы с номером f выводима формула с номе-
номером I, то в Bу) выводима формула
ЗхЪ{х, t) -> 3*23 (х, I);
2) формула
ЗхЪ {х, е {к) -*■ ЗхЪ (х, е (б (к, /)))
выводима в (у)
При этом с учетом произведенной нами нумерации в качестве
t(k) следует взять функцию 3 k, а в качестве $(k, /) — функцию
st*(£, 14, 2-3'J).
Установлению искомых выводимостей мы предпошлем следую-
следующие два замечания. Во-первых, мы заметим, что при рассмотре-
рассмотрении упомянутых выводимостей в (Z^) формула 93 (т, п) повсюду
может быть заменена формулой 93* (т, п), так как она перево-
переводима в эту формулу. Далее, мы заметим, что в результате неболь-
небольшого видоизменения формулы 93* (т, п) может быть получено
изображение высказывания «число т является номером списка
формул, являющегося выводом в (Z^) формулы с номером п при
добавлении формулы с номером k к числу исходных формул».
Действительно, это высказывание изображается формулой
\{т, Я(т)) = и&\/лг(лг<Я(т)->@(г(т, *))&
10|v(m, х)&(Ъ(т, x)\/v(m, x) =
Эта формула, которую мы обозначим посредством 23* (т, k, n),
См. с 355.
См. с. 370—371.
i&2 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
тоже может быть переведена в некоторую рекурсивную формулу
33 (m, k, n), которая не содержит переменных, отличных от т, k и п.
Рассмотрим теперь первое условие на выводимость. В нем
предполагается, что из формулы с номером f может быть выведена
формула с номером I1). Пусть этот вывод представляет собой
список формул с номером т. В этом случае рекурсивная формула
33 (m, f, [) без переменных является истинным отношением между
числами ш, ( и (, и потому эта формула выводима в Bц).
Мы ищем вывод формулы
ЗхЪ(х, f) -+■ ЗхЪ (х, I).
Как было замечено выше, чтобы доказать выводимость этой фор-
формулы, достаточно установить выводимость формулы
ЗхЪ{х, f)&53(m, f, 0^3д;5Э(д;, ()
или же выводимость формулы
ЗхЪ* {х, f) & Ъ* (m, f, Г) -> ЗхЪ* (х, I).
Но выводима даже формула
ЗхЪ*(х, 6)&33*(т, k, 1)^ЗхЪ*{х, I)
с переменными т, k и / вместо цифр m, f и I. Действительно,
эта формула получается средствами исчисления предикатов из
формулы
Ъ*(п, к)&Ъ*(т, k, 1)^Ъ*(п- П №+*, I),
а эта последняя, имеющая вид
53* (л, fc)&33*(m, *, /)->33*(t(n, m),
где t(n, m) обозначает терм
в свою очередь получается на основе определения формул 53* (т, п)
и 33* (т, k, n) с использованием выводимых формул
, m), a) = v(n, a),
X (т) -> v (t (n, m), l(n) + a') = v(m, a)
■и
х) Под выводимостью и невыводимостью в данных рассмот-
рассмотрениях, относящихся к условиям на выводимость, всюду, где не оговорено
•противное, будет пониматься выводимость и соответственно невыводимость
-в формализме (Z)
§ 2] ФОРМАЛИЗАЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 383
с учетом вида выражения, сокращенно обозначенного через
5>(/п, л;I).
Тем самым первое из рассматриваемых нами условий на вы-
выводимость для формализма (Z^) оказывается выполненным.
Что же касается выводимости формулы
ЗхЪ(х, Ъ-Щ-+ЗхЪ{х, 3-st*(*. 14, 2-3')),
то эта формула получается в результате подстановки и использо-
использования [выводимого из определения функции st* (m, k, I)] равен-
равенства
st*C-m, k, /) = 3-st*(m, *, /)
из формулы
ЗхЪ(х, Щ^ЗхЪ{х, st*(*. 14, 2-3')),
а значит, и из формулы
A) ЗхЪ*{х, И)-+ЗхЪ*{х, st*(*. 14, 2-3')).
Эта формула в свою очередь выводится средствами исчисления
предикатов из формулы
»*(т, к)-+Ъ*{т-Г^№2-з1), st*(*. 14, 2-3')),
которая на основании вида формулы 33* (т, п), в частности,
с учетом вида выражения 2) (т, х), получается с помощью выво-
выводимых формул2)
@B-30, 1 A0|2-30,
(fe, 14, 2-30)&lO|st*(*. 14, 2 30.
Таким образом, выполненным оказывается и второе условие
на выводимость.
Вместе с тем проведенное доказательство дает несколько более
общий результат, так как фигурирующее на месте второго аргу-
аргумента функции st* число 14 в этом выводе может быть заменено
номером любой свободной индивидной переменной, т. е. любым
числом вида 2-р, где \> — простое число, большее или равное 3.
Так для любого простого числа р^=3 получается выводимость
формулы
ЗхЪ{х, к)^ЗхЪ(х, st*(*. 2■)>, 2-30).
i) См. с. 380.
а) Для вывода упомянутой формулы A) надо вернуться от рекурсивных
определений функции st* и формулы @ к тем дизъюнкциям (альтернативам),
из которых эти определения были получены. Оставшуюся часть вывода можно
будет затем провести, взяв за образец неформальное теоретико-множественное
рассуждение.
384 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
Обратимся теперь к третьему условию на выводимость. В при-
применении к формализму (Z,x) и к рассматриваемой нами нумерации
оно утверждает следующее:
Если f(m) —какой-либо рекурсивный терм, содержащий единст-
единственную переменную т, а п — номер равенства f (а) = 0, то формула
f(m) = 0->3*S(*. st*(n, 14, 2-3m))
выводима в (Zp,).
Из этой формулировки мы прежде всего можем исключить
функцию st*. Это удается сделать с помощью следующего заме-
замечания:
Для всякого выражения Ш(аь ..., ас) из (Z^), где аи .... ас —
какие-либо отличные друг от друга свободные индивидные neps-
менные, можно указать такое элементарно-арифметическое выра-
выражение t (аг, ..,, ас), что для любых цифр ?ь ..., jt значение
t('i» •••» Jc) Равн0 номеру выражения 21 (fo, ..., jt).
Действительно, каждая из переменных аи .... av всюду, где
она входит в 91 (<ii, .... ас) — сама по себе или с некоторым числом
штрихов —фигурирует либо в качестве аргумента какой-либо
формульной переменной или предикатного символа, либо в качестве
аргумента функционального знака. Каждому такому вхождению
рассматриваемой переменной а, в выражение 51 (аь ..., ас) в рам-
рамках нашей нумерации соответствует вхождение номера этой пере-
переменной,—возможно, несколько раз умноженного на 3 —в качестве
показателя степени некоторого простого числа, а замене перемен-
переменной ctj цифрой jj соответствует замена номера этой переменной
значением выражения 2-3'. Поэтому искомое функциональное
выражение t (ах, .... ас) можно получить, имитируя средствами
нашей нумерации построение выражения 91 (ах, ..., ас); при этом
всюду, где переменная a, (t = l г) входит, — возможно, с не-
несколькими штрихами — в качестве аргумента какой-либо формуль-
формульной переменной, предикатного символа или функционального
знака и где в соответствии с этим в изображающем 91 (ах, ..., ас)
арифметическом выражении в качестве показателя степени при
каком-либо простом числе фигурирует номер этой переменной af,—
быть может, умноженный на какую-либо степень числа 3, — мы
должны вместо номера этой переменной а( подставить выражение
2-3\
Пусть, например, 51 (а, Ь) представляет собой импликацию
§ 2) ФОРМАЛИЗАЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 385
Тогда t(a, b) будет представлять собой выражение
80 . 770-13». 172-3° . j 17О.!3»-!75-П9'8>3а.!#-8*#
Функциональное выражение t(ab ..., ас), построенное указан-
указанным способом для выражения 21 (alf ..., ас) из (Z^) со свободными
индивидными переменными яь ..., ас, мы будем называть ариф-
арифметическим функциональным выражением, сопо-
сопоставленным выражению 91 (alf ..., ac) относительно
переменных аь ..., ас. При этом указание «относительно
переменных nlf ..., ac» может быть опущено, если рассматриваемое
выражение никаких других свободных индивидных переменных
не содержит.
Проверяя для (ZM) третье условие на выводимость1), мы по-
постоянно будем использовать эту конструкцию. Сначала мы при-
применим ее для того, чтобы придать этому условию другую редак-
редакцию, опираясь на следующее обстоятельство:
Если г —номер выражения из (Z^), содержащего переменную г,
а 8 (с) — сопоставленное этому выражению относительно перемен-
переменной с арифметическое функциональное выражение, то в (Z^) вы-
выводимо равенство2)
st* (г, 14, 2- 30 = д (с).
В силу этой выводимости рассматриваемое нами условие на выво-
выводимость равносильно следующему:
Если f (m) — рекурсивный терм, содержащий единственную
переменную т, а g (a) — арифметическое функциональное выраже-
выражение, сопоставленное равенству f (a) = 0 (относительно переменной а),
то формула
выводима в (j)
Поясним это условие на каком-нибудь простом примере. Возь-
Возьмем в качестве f(m) терм т+0. Тогда роль д(а) будет играть
выражение
70- цE-п2-за-1з2). 132.
Требуется найти вывод формулы
Но эта формула переводима в формулу
3*33 (дс, й@)),
1) См. с. 355.
2) В этом нетрудно убедиться с помощью определения функции st*j см.
371.
386 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ. V
а значит, и в формулу
х, 70-П5'11!-13МЗа).
Значение выражения
70 Ц5.и«.1з«.13»
является номером формулы
0 + 0 = 0.
Если обозначить этот номер буквой п, а буквой m обозначить
номер списка формул, состоящего из двух формул а-\-0 = а и
0-(-0 = 0 (первая из которых является одним из рекурсивных
равенств для сложения, а вторая получается из первой в резуль-
результате подстановки вместо переменной а), то формула 33* (т, п) —
а потому и 33 (т, п) —будет выводима в (Z^).
Но из нее получается формула
3*23 (х, п).
Таким образом, в этом весьма частном случае выполнимость рас-
рассматриваемого условия установлена.
Теперь мы убедимся, что искомая выводимость имеет место
всегда. Прежде всего мы напомним смысл высказывания, которое
формализуется посредством формулы
где f (т) — рекурсивный терм с единственной переменной т, a g (a)—
арифметическое функциональное выражение, сопоставленное равен-
равенству f (а) = 0 относительно переменной а. Это высказывание может
быть сформулировано следующим образом: «Если для какой-либо
цифры j значение терма f (j) равно 0, то равенство
f (S) = 0
выводимо в (Z^)».
Содержательная истинность этого утверждения усматривается
следующим образом:
Любое вычисление значения рекурсивного терма без перемен-
переменных в рамках рекурсивной арифметики может быть формализо-
формализовано выводом равенства, указывающего результат этого вычисле-
вычисления. В этом выводе в качестве исходных формул используются
рекурсивные равенства для рекурсивных функций, прямо или
косвенно фигурирующих в этом терме, и аксиомы равенства. При
этом использование этих формул производится с помощью под-
подстановок и схем заключения. Если к используемым рекурсивным
равенствам, не являющимися равенствами для сложения и умно-
умножения, добавить их выводы, то из любого такого вывода в рам-
рамках рекурсивной арифметики получится некоторый вывод в фор-
формализме (Z^). В самом деле, рекурсивные функции, за исключением
§ 2] ФОРМАЛИЗАЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 387
сложения и умножения, в формализме (Z^) вводятся посредством
явных определений и, как мы знаем, рекурсивные равенства,
соответствующие этим функциям, выводимы на основе этих опре-
определений.
Таким образом, задача искомого доказательства заключается
в том, чтобы показать, что применение только что проведенного
метаматематического рассуждения к любому рекурсивному терму
f (а) может быть формализовано в (Z^) выводом соответствующей
формулы
i(/n) = 0-*-3*8(*, fl (/и)).
Замечание, Отличие искомого доказательства от только
что проведенного рассуждения будет заключаться в том, что
в данном рассуждении содержательная всеобщность распростра-
распространяется как на терм f (а), так и на цифру 3, а в искомом доказа-
доказательстве содержательная всеобщность будет распространяться
только на терм f (а), тогда как всеобщность в отношении цифры J
заменится некоторой формальной всеобщностью, которая выра-
выразится в появлении переменной т в зависящей от заданного
терма \ (а) формуле, вывод которой ищется.
Сначала мы докажем следующую лемму:
Если некоторая выводимая в формализме (Z^) формула содер-
содержит переменные л1г ..., at, a g(аъ ..., at) представляет собой
арифметическое функциональное выражение, сопоставленное этой
формуле относительно переменных аь ,.., ас, то формула
Зх%(х, в (а! ас))
тоже выводима в (Z^).
Для доказательства мы воспользуемся сделанным ранее заме-
замечанием1), что для любого простого числа р, большего или рав-
равного 3, в (Zn) выводима формула
ЗлЗЗ (х, k) -*-3*33 (х, st* (k, 2 ■ J>, 2 ■ 30).
Применяя это замечание нужное число раз, мы получаем, что
для произвольных простых чисел уг, .,,, yv, больших или рав-
равных 3, и для произвольных отличных друг от друга свободных
индивидных переменных аъ ..., av в (Z^) выводима формула
ЗхЪ(х, k)-+3x%(x, st*(st*(...
...(st*(*. 2-Vu 2-3a0, 2-fc, 2-34 ...), 2-pc, г-З"')).
Если в эту формулу вместо k мы подставим номер п какой-либо
выводимой в (Z^) формулы, то посылка 3*58 (х, п) окажется выво-
См. с. 383,
388 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ. V
димой формулой, и поэтому выводимой будет и формула
ЗхЪ (х, st* (st* (...(st* (n, 2 • Рь 2 • 3*0, 2 • &, 2 • 3е»), ...),
2-V 2.3е*)).
Следовательно, для доказательства нашей леммы достаточно убе-
иться в выводимости в (Zp.) равенства
st*(st*(...(st*(n, 2-Рь 2-За»), 2-р„ 2-За*), ...
.... 2.рс>2.3а0 = 9(а1>..., аг)
в предположении, что п является номером некоторого выраже-
выражения 31 из (Zp), содержащего переменные лх ас, числа 2-р1(...
..., 2• рс суть номера этих переменных, а д(ах ас) —арифме-
—арифметическое функциональное выражение, сопоставленное выраже-
выражению 31 относительно этих переменных.
Мы немедленно получим вывод указанного равенства (с исполь-
использованием аксиом равенства), если сумеем вывести равенства
st*(tj_lf
(t=l г),
где t0 представляет собой цифру п, а tj при i=l с означает
арифметическое функциональное выражение, сопоставленное выра-
выражению 31 относительно переменных^ a,.
Но вывод этих равенств может быть получен на основании
рекурсивного определения функции st* (m, k, /), если вспомнить
структуру выражений t( (t = 0 г) и учесть, что индукцией
по а может быть выведено равенство
st*B-3a, k, /) = 2-3«.
(Как мы помним, схема индукции в формализме (Z^) является
производной.)
Таким образом, наша лемма доказана. Чтобы несколько об-
облегчить ее применения, мы введем два сокращения. Одно из них
будет заключаться в том, что выражение формализма (Z^), имею-
имеющее вид ЪхЪ (х, t), мы будем обозначать посредством S (t). Далее,
мы условимся, что если 31 —выражение из (Z^), а t — арифмети-
арифметическое функциональное выражение, сопоставленное выражению 31
относительно всех входящих в него свободных индивидных пере-
переменных, то это функциональное выражение, фигурирующее в каче-
качестве аргумента формулы S, мы будем записывать в виде заклю-
заключенного в фигурные скобки выражения 31. В соответствии с этим,
например, 2J({a = &}) будет обозначать формулу
, 70-112-з". 132-з*)
§ 2] ФОРМАЛИЗАЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 389
[а не ЗлЯЗ(х, 70-И14-1322)]. Заметим, что формулы, о выводи-
выводимости которых идет речь при проверке интересующего нас усло-
условия на выводимость, могут быть заданы в виде
Наша лемма с небольшой специализацией может быть сфор-
сформулирована следующим образом:
По любому выводу в (Z^) формулы Я может быть получен
некоторый вывод формулы §8 ({Щ).
(Специализация этой формулировки по сравнению с первона-
первоначальной заключается в том, что фигурирующее в §8 ({Я}) сопостав-
сопоставленное Я арифметическое функциональное выражение берется
относительно всех входящих в Я свободных индивидных перемен-
переменных.) В дальнейшем эта лемма всегда будет применяться в данной
формулировке.
Применяя эти сокращенные обозначения с фигурными скобками,
следует помнить, что выражения а и Ь, вообще говоря, не являются
составными частями формулы §8({л = Ь}), так что не для любых
термов а и Ь из аксиомы равенства (J2) может быть выведена
формула
В то время как оперируя с равенствами в сокращенно-скобоч-
сокращенно-скобочной записи, надо соблюдать особые меры предосторожности, дей-
действия над импликациями в фигурных скобках подчиняются про-
прозрачным правилам. В этом плане мы хотели бы отметить сле-
следующее:
Если @ и £ — формулы из (Zy), то формула
выводима в (Zy).
Действительно, если формуле <25 относительно входящих в нее
свободных индивидных переменных сопоставлено арифметическое
функциональное выражение ё, а формуле §: — выражение t, то
формуле @-»-$ относительно входящих в нее свободных инди-
индивидных переменных сопоставляется арифметическое выражение
80-7*-11*. Поэтому формула, выводимость которой надо устано-
установить, имеет вид
Следовательно, она получается подстановкой из формулы
S (80 • Is ■ 11') -> B3 (s) -> Ъ @).
390 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
Но для этой формулы вывод получается в силу определения
формулы S3* {т, п), которая, как мы знаем, переводима в 33 (т, п).
Тем самым мы получаем некоторую выводимую схему формул
которую мы кратко будем называть первой ©-схемой.
Из этой схемы с помощью нашей леммы тут же получается
в качестве производной схемы следующая вторая 33-с х е м а:
В самом деле, согласно лемме, по выводу формулы @-»-ф может
быть получен вывод формулы 8 ({©->-§:}), а отсюда с помощью
первой 8-схемы и схемы заключения мы получаем формулу
Из второй 8-схемы мы сначала выведем следующее утвержде-
утверждение:
Если f (т) и fх (т) — термы и если равенство
f(m) = fi(/n),
а также формула
f1(m) = 0-^S({
выводимы в (Zpi), то формула
тоже выводима в ^
В самом деле, из равенства
с помощью аксиомы равенства (J2) получается формула
f,(m) = 0-»-f(/n) = 0t
которая по второй Ъ -схеме дает формулу
$({Ы/") = 0}) +
а эта формула вместе с формулой
выводимость которой мы предполагаем, по правилу силлогизма
дает формулу
§ 2] ФОРМАЛИЗАЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 391
Наконец, эта формула, взятая совместно с формулой
с помощью аксиомы равенства (J2) дает нам искомую формулу
В силу только что доказанного утверждения, в искомом дока-
доказательстве формулы (*) можно ограничится рассмотрением только
таких рекурсивных термов f (tn), у которых все входящие в них
функциональные знаки, кроме штрих-символа, вводятся с помощью
соответствующих рекурсивных равенств; причем все знаки —и не-
непосредственно встречающиеся в f (m), и те, которые входят в рекур-
рекурсивные определения непосредственно встречающихся, — являются
одноместными или двуместными. Устроенные таким образом рекур-
рекурсивные термы называются нормальными. Сами по себе функ-
функциональные знаки, фигурирующие в рекурсивных термах, могут
иметь большое число аргументов, равно как и функциональные
знаки, вводимые явными определениями в качестве сокращений
для термов, образованных суперпозициями рекурсивных функций.
Однако такие явные определения могут быть устранены; а кроме
того, как было показано ранее в гл. VII т. Iг), любая много-
многоместная рекурсивная функция может быть составлена из одно-
одноместных и двуместных. Поэтому для любого рекурсивного терма t
можно указать нормальный рекурсивный терм ti с теми же самыми
переменными, для которого в рамках рекурсивной арифметики,
а значит, и в формализме (Z^), выводится равенство
Следовательно, для любого рекурсивного терма f (tn) с единствен-
единственной переменной т, если он сам еще не является нормальным,
можно указать такой содержащий единственную переменную т
нормальный терм fi(m)., что в (Z^) выводимо равенство
f (/7l) =
Если для этого терма fi(m) мы сможем вывести формулу
то, по ранее доказанному, можно будет вывести и формулу
Таким образом, наша задача сводится к тому, чтобы для
любого нормального рекурсивного терма f (tn) с единственной
х) См, т. I, с. 396 и далее.
392 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ. V
переменной т установить выводимость формулы
С этой целью мы покажем, что, вообще, для любого нормаль-
нормального рекурсивного терма t и для любой свободной индивидной
переменной с может быть выведена формула
Отсюда, в частносл и, получится выводимость формулы
для любого нормального рекурсивного терма \ (т.) с единственной
переменной т. Если арифметическое функциональное выражение,
сопоставленное терму f (т.) относительно переменной т, обозна-
обозначить посредством i) (т.), то эта формула будет иметь вид
Отсюда, в результате подстановки цифры 0 вместо переменной с,
мы получим формулу
Но это и есть формула
которую требуется доказать.
А теперь, чтобы убедиться, что для любого нормального рекур-
рекурсивного терма t и для любой свободной индивидной переменной с
выводима формула
мы сначала заметим, что эта формула имеет вид
t = c-^© G0-11*1 -132
где ti представляет собой арифметическое функциональное выра-
выражение, сопоставленное терму t относительно всех входящих в него
переменных. Если переменная с не входит в t, то она не входит
и в ^ (как мы знаем, tx содержит те же самые переменные, что
и t), и тогда из рассматриваемой формулы выводима формула
\/y(t = у^ЪG0- П^■ 132зУ).
Обратно: из этой формулы мы для любой свободной переменной с
получаем формулу
§ 2] ФОРМАЛИЗАЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 393
Таким образом, выводимость формулы
для любой свободной индивидной переменной с равносильна выво-
выводимости формулы
Vf/ (t = £/-^« G0 -1 l*i -132^,
где tx — арифметическое функциональное выражение, сопоставлен-
сопоставленное терму t относительно всех входящих в него переменных. Эту
формулу, однозначно определенную термом t, мы будем обозначать
посредством % [г]1). Теперь наша задача может быть сформулиро-
сформулирована следующим образом: требуется показать, что для любого
наперед заданного нормального рекурсивного терма г выводима
формула g[t].
С этой целью мы рассмотрим способ образования нормальных
рекурсивных термов. Любой такой терм, как мы знаем, либо
является символом 0 или свободной индивидной переменной, либо
получается из какого-либо нормального рекурсивного терма
в результате применения штрих-символа, либо представляет собой
рекурсивно введенный одноместный или же двуместный функцио-
функциональный знак, аргументами которого являются нормальные рекур-
рекурсивные термы. С процессом порождения каждого такого терма,
кроме фактического построения самого терма, связывается еще
и определенная упорядоченная последовательность 2R рекурсив-
рекурсивных определений, в которой для каждого фигурирующего в t
функционального знака, отличного от штрих-символа (а может
быть, и для каких-нибудь еще функциональных знаков), содер-
содержатся относящиеся к нему рекурсивные равенства, причем эти
рекурсивные равенства в зависимости от того, какая функция
вводится — одноместная или двуместная, имеют либо вид
f @) = a, f(/i') = b(/i, f(n)),
либо вид
f (а, 0) = а (a), f (а, п') = b (а, п, f (а, п)),
где в первом случае термы а и b (л, т), а во втором случае
термы а (а) и b (а, п, т) суть нормальные рекурсивные термы,
не содержащие других переменных, кроме указанных, и такие,
что кроме штрих-символа в них фигурируют только такие функ-
функциональные знаки, что относящиеся к ним рекурсивные равенства
в последовательности 2R предшествуют рассматриваемой рекурсии.
*) В этом обозначении прямые скобки указывают на то, что зависимость
формулы S[t] от терма t, вообще говоря, заключается не только в том, что
терм t вхолит в эту формулу.
394 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
После сказанного наша задача сводится к доказательству сле-
следующих четырех утверждений:
1. Формула 8[0], а также любая формула g[c] со свободной
индивидной переменной с выводимы.
2. Каков бы ни был терм t, по выводу формулы g[t] может
быть построен вывод формулы § [t'].
3. Если 6 (с) — терм, с — фигурирующая в нем, но не входящая
в 3@) свободная индивидная переменная, а I — терм, не содержа-
содержащий переменной с, и если формулы % [в (с)] и % [f] выводимы, то
выводима также и формула 8 [3 (!)].
4. Если а — рекурсивный терм без переменных такой, что фор-
формула g [а] выводима, а Ь(п, с) —такой рекурсивный терм, не
содержащий отличных от п и с переменных, что выводима фор-
формула g[b (ft, с)], и если функциональный знак f (n) вводится рекур-
рекурсивными равенствами
f @) = а и f(n') = b(n, /(ft)),
то формула 8 [f (ft)] выводима.
Если а (а) — рекурсивный терм с единственной переменной а
такой, что выводима формула g[a(a)], если Ь(а, п, с) —рекурсив-
—рекурсивный терм без отличных от a, ft и с переменных такой, что выво-
выводима формула g[b(a, п, с)], и если функциональный знак \ (а, п)
вводится рекурсивными равенствами
f (a, 0) = a (a) и f (a, ft') = b (a, n, f (a, «)),
то формула 8 [f (a, ft)] выводима.
Замечание. Предположение о том, что переменная с в терм f
не входит, из утверждения 3 может быть исключено. Действи-
Действительно, если выполнены остальные предположения утверждения 3,
а f содержит переменную с, то мы возьмем свободную индивид-
индивидную переменную Ь, не входящую ни в б (с), ни в f. Согласно
утверждению 1 формула g [b] выводима. Поэтому, согласно утвер-
утверждению 3, выводима формула 8 [3 (ЬI. а отсюда, снова согласно
утверждению 3, вытекает выводимость формулы 8 [$ (!)].
Утверждения 1—4 мы получим следующим образом:
1. Формула 8 [0] записывается в виде
Чу @ = у -> S G0 ■ 11* ■ 132'з!/).
С помощью аксиомы равенства (J2) она выводится из формулы
а значит, и из формулы
т. е. из
$ 2] ФОРМАЛИЗАЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 395
Но, согласно нашей лемме, эта формула выводима, так как выво-
выводима формула 0 = 0.
Если с —свободная индивидная переменная, то g[c] представ-
представляет собой формулу
которая с помощью аксиомы (J2) выводится из формулы
ЙG0-П2-зс.132-зс),
т. е. из формулы
которая, по нашей лемме, выводима вследствие выводимости фор-
формулы с = с.
2. Пусть t —терм, и пусть формула g[t] выводима. Возьмем
две различные свободные индивидные переменные с и Ь, не вхо-
входящие в t.
Формула §[t] дедуктивно равна формуле
Из выводимой формулы
по второй 33-схеме мы получаем формулу
Тем самым мы получаем формулу
A) t = c->S({t' = c'}).
С другой стороны, из формулы
B) t = с —>- f = с'
получается формула
t = c->(t' = b-»-b = c').
Так как Ь и с —свободные индивидные переменные, то формула
$({Ь = с'})
имеет вид
©G0 Ц2-зь. 13з-2-зс),
и поэтому формула
& = с'_*$({& = с'})
"Ш ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ. V
переводима в формулу
Ь = с'-^GО-П2-зС-132-зС')-
Эта формула с помощью аксиомы равенства (J2) выводима из
формулы
©G0- 112-3&-132-3&).
т. е. из формулы
которая выводима в еилу нашей леммы и выводимости формулы
Ъ = Ъ.
Поэтому выводима формула
а значит, согласно формуле B), выводима и формула
C) t = c + (t' = b + S({b = c'}).
Кроме того, из выводимой формулы
мы по второй S-схеме получаем формулу
а первая S-схема дает нам формулу
© ({f = с' + f = &}) -v (© ({f = с'}) -+ $ ({f = b})),
которая вместе с предыдущей формулой дает формулу
D) © ({Ь = с'}) - (S ({Г = с'}) -> © ({f = &})).
Полученные нами формулы A), C) и D) с помощью средств
исчисления высказываний дают формулу
Затем с помощью средств исчисления предикатов (так как пере-
переменная с не входит в t и отлична от Ь) мы получаем формулу
и, далее, вследствие выводимости формулы Зу (t = у) — формулу
t' = b-»-©({f = Ь}).
Но так как переменная Ь в терм t не входит, из этой формулы
мы получаем формулу % [f].
3. Пусть б (с) и f — термы, и пусть с — свободная индивидная
переменная, не входящая в g(f). Пусть формулы 8 [в (с)] и g [f]
выводимы.
§ 21 ФОРМАЛИЗАЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 397
Возьмем какую-либо свободную индивидную переменную с»,
не входящую ни в б (с), ни в f. Из формул 8F (с)] и g(f) мы
сначала получим формулы
f = c-*8({f = c}).
Первая из них в сочетании с выводимой формулой
дает формулу
F) fe,c
Далее, из выводимой формулы
f = c-»-(e(c) = b-»-e(f)
мы по второй S-схеме получаем формулу
из которой затем с помощью формулы
$ ({б (с) = Ь -> б (f) - b}) -+ $ ({* (с) - Ь}) -+ $ ({б (!) = Ь}),
получающейся по первой S-схеме, получаем формулу
которая вместе с E) дает формулу
G) f = с ->(» ({в (с) = Ь}) -н- S ({б (f) = b})).
Формулы F) и G), взятые вместе, дают формулу
Так как переменная с не входит в б (f) и отлична от Ь, то из
последней формулы, используя выводимую формулу 3x(t = x),
средствами исчисления предикатов получаем формулу
а эта формула дает нам формулу 8 [3@]. так как переменная b
не входит в терм 3(f).
4. Что касается схем рекурсии для одноместных и для дву-
двуместных функций, то рассуждения в этих двух случаях совер-
совершенно аналогичны, Поэтому достаточно рассмотреть схему рекур-
рекурсии для введения двуместных функциональных знаков:
Ца, 0) = а(а),
Ua, n') = b(a, п,
398 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
Здесь мы предполагаем, что термы а (а) и b (а, п, с) содержат
только указанные переменные и что формулы 8 [а (а)] и 3[На> п> с)]
выводимы.
Формулы
f(a, O)-n(a) и \(а, п') = Ь(а, п, f (а, п))
выводимы в (Zp,) с помощью явного определения функции \(а, п).
Из этого явного определения получается и конкретное изображе-
изображение этого функционального знака в нашей нумерации. Арифме-
Арифметическое функциональное выражение, сопоставленное терму \ (а, п)
относительно переменных а и п, имеет вид
где р и q —некоторые конкретные простые числа, и потому фор-
формула 8 [f (а, п)] имеет вид
Если обозначить эту формулу посредством %г (п), то, как легко
видеть, формула $i@) будет переводима в формулу 8[f(a, 0)],
а формула %г (п') — в формулу % [f (а, п')]. Поэтому с помощью
схемы индукции, которая, как известно, в (Z^) является произ-
производной, формулу 8 [f (а, п)] можно получить из формул
8[f(a, 0)] и g[f(a, п)]^$[\(а, п%
Обе эти формулы выводимы на основе наших предположений.
Действительно, формула % (f (a, 0)] получается следующим образом.
Из выводимой формулы f (а, 0) = а (а) с помощью аксиомы (J2)
мы получаем
(8) a(a) = c-»-f(a, 0)=c
и
(9) \(а, 0) = c-va(a) = c,
а из формулы 8 [а (а)] получаем
A0) a(fl) = C->8({a(fl)=C}).
Формулы (9) и A0), взятые вместе, дают
(И) f(a, 0) = c-*g({a(a)=c}).
С другой стороны, из формулы (8) по второй S-схеме можно
получить формулу
® ({а (с) = с})-►Saf (a, 0) = с}),
5 2] ФОРМАЛИЗАЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 399
а эта формула, взятая вместе с формулой A1), дает нам формулу
\(а, O) = c->
из которой немедленно получается % [f (a, 0)].
Формула g[f (a, n)]->g[f (a, n')] получается следующим образом:
Средствами исчисления предикатов мы сначала получаем
A2) S[f(a, n)] + (f(a, n) = c + i8({f(a, n) = c})).
Из выводимого рекурсивного равенства \(а, п') = Ъ(а, n, f(a, n))
с помощью аксиомы (J2) получаем
A3) f(a, n) = c^(f(a, n') = d->b(a, n, c) = d)
и
A4) f(a, n) = c->(b(a, n, c)-d^f(a, n') = d).
Затем из формулы % [b (a, n, с)] получаем формулу
Ь(а, п, c) = d->S({b(a, n, c) = d}),
которая вместе с формулой A3) дает
A5) \(а, n)-c->(f(a, n') = d + S({b(a, „, c) = d})).
С другой стороны, формула A4) по второй S-схеме дает формулу
58 ({f (a, n) = C})->S({6(a,n,C) = d->f(a,n') = d}),
откуда, с помощью получаемой по первой 33-схеме формулы
%{{Ь(а, п, c) = d^f(a, n') = d})->
Ф({Ь(а, п,
получается
A6)
Формулы A2), A5) и A6), взятые вместе, с помощью исчисления
высказываний дают нам формулу
f(a, n) = c->(g[f(a, n)] + (f(a, n') = d-^S({f(a, n') =
из которой мы средствами исчисления предикатов с использова-
использованием выводимой формулы Зх (f (a, n) = л:) получаем
%[\(а, п)]-+%[\(а, п')].
Тем самым мы завершили доказательство того, что формализм
(Zn) удовлетворяет третьему условию на выводимость. Заметим,
что это доказательство дает также некоторое финитное уточнение
400 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ. V
утверждения о выводимости формулы
(для любого наперед заданного рекурсивного терма f (/га) с един-
единственной переменной /га), поскольку мы получаем метод, позволяю-
позволяющий по заданному терму f (/га) эффективно строить вывод рас-
рассматриваемой формулы. В самом деле, все использованные нам»
вспомогательные утверждения о тех или иных выводимостях,
а также доказательства утверждений 1 — 4 были таковы, что
в них либо содержался некоторый способ вывода для формул
какого-либо конкретного вида, либо показывалось, как по задан-
заданному выводу какой-либо конкретной формулы можно получить
вывод какой-либо другой конкретной формулы.
Аналогичное замечание может быть сделано и относительно
проведенной нами для формализма (ZR) проверки выполнения
первых двух условий на выводимость1).
Общий итог предпринятых выше рассмотрений состоит в том,
что для формализма (Z^) оказываются выполненными все предпо-
предположения второй теоремы Гёделя о неполноте. Таким образом,
согласно этой теореме, формула
ЗхЪ{х, п)-*-1 3*33 (*, Зп),
изображающая утверждение о непротиворечивости формализма B^),
не может быть выведена в (ZR), ибо иначе формализм (ZR) был бы
противоречив.
Аналогичным образом можно убедиться, что предположение б2)
и добавляемые к нему условия на выводимость выполняются
также и для всех таких формализмов, которые, с одной стороны,
очерчены достаточно четко, а с другой стороны, включают в себя
способы умозаключений исчисления предикатов и обладают сред-
средствами, достаточными для изображения понятий и способов умо-
умозаключений арифметики, так что в них, в частности, изобразимы
рекурсивные функции и соответствующие рекурсивные равенства
являются либо аксиомами, либо выводимыми формулами, а кроме
того, содержится (в качестве основного правила или производной
схемы) схема индукции. Поэтому ко всем таким формализмам
применима вторая теорема Гёделя о неполноте.
Как уже упоминалось ранее, условия, фигурирующие в нашей
формулировке этой теоремы, могут быть заменены более общими.
В частности, теорема эта — на что указали Гёдель и Крайзел —
может быть распространена на формализмы без связанных пере-
переменных—например, на рекурсивную арифметику. Для рекурсив-
рекурсивной арифметики это вытекает из того, ранее уже отмеченного
обстоятельства, что доказательства, устанавливающие выполни-
См. с. 381 — 383.
§ 2] ФОРМАЛИЗАЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 40'
мость в (Zp) условий на выводимость 1—3, являются эффектив-
эффективными х).
Мы еще вкратце наметим путь, на котором для формализма
(Z) можно установить, что формализованное высказывание»
утверждающее его непротиворечивость, не может быть выведена
в нем самом, если он непротиворечив.
д) Распространение второй теоремы Гёделя о неполноте на
формализм (Z). — Формулировка определения истинности для
этого формализма. Формализм (Z) получается из исчисления пре-
предикатов путем добавления к нему символов 0, ', +, • и =,
а также аксиом равенства (J^ и (J2), аксиом Пеано а'#0в
a' = b' -*-a = b, рекурсивных равенств для сложения и умножения
и аксиомы индукции. Схема явного определения не включается.
Так как формализм (Z) содержит только такие символы и
переменные, которые имеются и в (Zp), то из нумерации выра-
выражений, входящих в (ZpJ), немедленно получается нумерация и
для выражений, входящих в (Z).
Опираясь на эту нумерацию, можно построить рекурсивную
функцию в (k, l), которая номеру всякого выражения k из (Z)
и всякой цифре I ставит в соответствие номер выражения, полу-
получающегося из $ в результате замены переменной а цифрой I.
Можно также построить рекурсивную фомулу Ъ(т, п), изобра-
изображающую отношение между номером списка формул и номером
формулы, для которой этот список является ее выводом в фор-
формализме (Z). Хотя функция в (k, l) в формализме (Z) и неизобра-
зима, она в нем все же представима; именно, оказывается, что.
можно указать некоторую формулу <2>(а, Ь, с) формализма (Z),
не содержащую отличных от a, b и с свободных переменных,
переводимую в рамках (Z^) в равенство в (а, Ь) = с. Точно так же
по формуле 33 (т, п) можно построить формулу 33Х (т, п) форма-
формализма (Z), не содержащую отличных от т и п свободных пере-
переменных, такую, что в рамках (Z^) она переводима в формулу 33(/п, п).
Исходя из этого, мы теперь покажем, как путем некоторой
модификации вышеприведенного доказательства, относящегося
к формализму (Zp), вторая теорема Гёделя о неполноте может
быть распространена на формализм (Z).
При этом мы можем воспользоваться тем обстоятельством,
что любая формула, выводимая в формализме (Zp), выводима в
в том формализме, который получается из (Z) путем присоедине-
присоединения к нему i-правила и общей схемы явного определения3).
По теореме об устранимости i-правила отсюда следует, что каж-
г) Для первого и второго условий это даже может быть усмотрено непо-
непосредственно из выводов для формул, приведенных на с. 382 в строке 21 и на
с. 383 в строке 17
2) См. с. 367 и далее.
3) Относительно соотношения между формализмами (Zp) и (Z) см. с. 362—366.
402
ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
дая формула формализма (Z), выводимая в (Z^), выводима также
и в (Z).
Сказанное дает нам возможность по выводам в (Z^) получать
соответствующие выводы в (Z), и поэтому нам нужно будет лишь
слегка модифицировать рассуждения, потребовавшиеся для дока-
доказательства второй теоремы Гёделя и ее применения к форма-
формализму (Z^).
Первая модификация будет заключаться в том, что вместо
формулы Ъ (т, в (а, а)) мы будем рассматривать формулу
V*(@(a, a, x) -^П©1 (т, х)).
Пусть р — номер этой формулы, а q —значение терма 6(р, р),
т. е. номер формулы
V*(@0>, р, *)-»-"|93i(m, x)),
которая с помощью выводимых в (Z) формул
@0>, р, Ч) и @(а, Ъ, с)&®(а, Ь, d)->~c = d
переводима в формулу
Пусть г —номер формулы 23i(a, q), а хг — номер ее отрицания.
В качестве е (п) можно снова взять функцию 3 • п. Выражение
3-я является термом и в (Z). Поэтому утверждение о непротиво-
непротиворечивости формализма (Z) может быть изображено формулой
x, п)->■ 1 3*23i(x, 3-я),
которую мы и на этот раз возьмем в качестве формулы g.
Для искомого доказательства невыводимости в формализме (Z) —
в предположении непротиворечивости этого формализма —фор-
—формулы (§, достаточно показать, что из S средствами формализма (Z)
выводима формула "|S3i(m, q). Действительно, если это будет
установлено, то из предположения о выводимости б в форма-
формализме (Z) будет следовать выводимость в (Z) формулы с номе-
номером q, и значит, истинность 93 (f, q) для некоторой конкретной
цифры f, а тем самым и выводимость в (Z) формулы 93i(f, q),
которая вместе с формулой ~|23i(m, q) дает противоречие.
А теперь, чтобы убедиться в выводимости в формализме (Z)
формулы ~|23i(m, q) из формулы S, —что по дедукционной тео-
теореме равносильно выводимости формулы
*, и)-► "I 3*®i (*, 3 ■ и))-► 1 S3! (m, q),
— согласно сделанному выше замечанию достаточно установить
выводимость этой формулы в формализме (Z^), а это в свою
очередь равносильно выводимости в рамках формализма (Z^)
§ 2] ФОРМАЛИЗАЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 403
формулы I53i(m, q) из формулы
3x33i(je, п) -> 1 ЗхЪг (х, 3-л).
В этой выводимости можно убедиться, рассуждая аналогично
тому, как при рассмотрении формализма (Zn) для построенной
применительно к этому формализму формулы 33 (т, п) доказыва-
доказывалась выводимость 133(/п, q) из формулы
ЗхЪ(х, л)-♦-1 3*8(*, 3-я).
При этом на месте тех трех условий на выводимость, выполни-
выполнимость которых мы установили для формализма (Z^), теперь появ-
появляются следующие три условия:
1. По заданному выводу формулы с номером [ средствами
формализма (Z), к которому добавлена формула с номером t
в качестве исходной, можно построить вывод в (Z^) формулы
^х, f)->3x23x(x, I).
2. Формула
, 3 • k) -*• ЗхЪг (х, 3-в(
выводима в (Z^).
3. Если f (m) — рекурсивный терм с единственной переменной т,
at — номер равенства f (а) = 0, то формула
f (m) = 0 -> З^х (х, в (г, т))
выводима в (Z^).
(Заметим, что во всех этих трех предположениях речь идет
о построении некоторого вывода в (Z^).)
Проверка условий 1 и 2 может быть произведена в точности
так же, как проверка выполнения первых двух условий в случае
формализма (Z^). Утверждение 3 можно свести (сначала введя
рекурсивную функцию st* (m, к, I), а затем устранив ее1))
к следующему предложению:
Если f (т.) — какой-либо рекурсивный терм с единственной
переменной т, © (т) — формула из (Z) с единственной свободной
переменной т, переводимая средствами формализма (Z,,) в равен-
равенство f (т) = 0, а а, (т) — арифметическое функциональное выраже-
выражение, сопоставленное этой формуле ®(т) относительно перемен-
переменной т, то формула
© (т) -> Эл:©! (х, g(m)),
а потому и формула
выводима в
См. рассуждение на с. 384 — 385.
404 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
Доказательство этого предложения совершенно аналогично
проведенному нами для формализма (Z^) доказательству выводи-
выводимости формулы
для случая рекурсивного терма f (m) с единственной переменной т.
Используя соответствующие сокращенные обозначения1), можно
доказать следующий аналог нашей леммы1):
Если формула 31 выводима в (Z), то формула 33Х ({91}) выводима
в (ад.
Равным образом, применительно к формуле 33Х (т, я) дейст-
действуют соответствующие Si-схемы, аналогичные двум рассмотрен-
рассмотренным ранее 35-с*емам2).
А вот два последних утверждения из утверждений3) 1—4
должны быть модифицированы в соответствии с содержанием
доказываемого предложения. Нам достаточно привести эту моди-
модификацию для утверждения 4 и притом для случая двуместной
рекурсивной функции.
Мы должны здесь воспользоваться представимостью в (Z)
рекурсивных функций. Любой паре рекурсивных равенств
f(a, 0) = a(a), f(a, п') = Ь(а, я, \ (а, я))
в (Z) соответствует пара выводимых формул
«Р(а, 0, с)~&(а, с),
fP(a, я, &)->-($ (а, я', с)~2(а, п, Ь, с)),
где а, п, и с суть все свободные переменные в формуле ф (а, п, с),
а и с суть все свободные переменные в & (а, с), а а, п, b и с
суть все свободные переменные в 8 (а, п, Ь, с), причем в (Z^)
выводимы эквивалентности
й(а, с)~а(а) = с, 8 (а, п, с, d)~b(a, n, c) = d,
ф(а, я, c)~f(e, я) = с.
Кроме того, опираясь на выводимую формулу ЗгЩ(а, п, г), из
формулы
«Р(а, я, &)->-($ (а, я', с)~8(а, я, 6, с))
можно получить эквивалентность
«Р(а, я', c)~3z(«|i(a, я, г)&8(а, я, г, с)).
1) См. с. 388.
2) См. с. 390.
») См. с. 394.
§ 2] ФОРМАЛИЗАЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 405
Поэтому утверждение, которое должно быть доказано вместо
утверждения 4, имеет вид:
Пусть в (Zp,) выводимы формулы
£ (a, c)-^Si({R(a, с)})
и
2 (а, я, с, d)-»-»i({8(fl, я, с, d)}).
Пусть, кроме того, в (Z) выводимы эквивалентности
ф(а, 0, c)~R(a, с)
ф(а, я', с)~Эг($(а, я, г)&2(я, а, г, с)).
Тогда в (Zp) выводима формула
«Р(а, я, с)-*.$,<{$ (а, я, с)}).
Это утверждение будет доказано, если мы покажем, что пол-
полной индукцией по п может быть выведена формула VxD, (я, х),
где D (п, с) обозначает формулу
ф(я, я, с)-^({$ (а, я, с)}).
Возможность проведения этой индукции по я, т. е. выводимость
обеих формул
V*Q@, х) и VxD (я, x)-»»VxD(/i\ x),
устанавливается на основе нашей леммы, а также Si-схем,
с помощью которых, в частности, получается, что для произволь-
произвольных формул 91 (с) и <§ (с) формализма (Z), содержащих перемен-
переменную с, в (Z,i) выводима формула
Si ({Я (с)}) & Si ({£ (с)}) -*$! ({Зг (Я (г) & ф (г))}).
Таким образом, мы убеждаемся, что и для формализма (Z)
невозможно осуществить — при условии его непротиворечивости —
формализованное в самом (Z) доказательство его непротиворечи-
непротиворечивости. Тем самым заодно мы получаем, что при условии непро-
непротиворечивости (Z) непротиворечивость эта не может быть доказана
даже в формализме (Z^). В i амом деле, по выводу формулы
3x99i(x, я)-»-1 Эх©! (х, 3-я)
в формализме (Z^) мы смогли бы получить вывод этой формулы
и в формализме (Z).
Этот результат ставит теперь перед нами вопрос о том, каким
должно быть расширение формализма (Z) для того, чтобы в нем
было возможно формализованное доказательство непротиворечи-
непротиворечивости (Z); в частности, требуется ли для этого введение какого-
406 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
либо нового типа связанных переменных,— например, связанных
формульных переменных?
Прежде чем заняться этим вопросом, мы сначала найдем
какое-нибудь неформальное доказательство непротиворечивости
(Z). При этом мы не будем связывать себя требованиями финит-
финитной точки зрения, а потому в рассмотрение сможет войти и такое
доказательство, которое опирается на обычное истолкование фор-
формализма (Z), соответствующее содержательному применению
принципа «tertium non datur» к целым числам. Наиболее простой,
напрашивающийся способ доказательства заключается в том, чтобы
сформулировать для формул формализма (Z) какое-либо опре-
определение понятия истинности, на основе которого можно
было бы доказать, что всякая выводимая формула является
истинной и что отрицание всякой истинной формулы истинным
не является.
Следует ожидать, что при этом, ввиду теоремы Тарского
о формализации понятия истинности1), наше определение понятия
истинности будет выходить за пределы формализма (Z). В самом
деле, к формализму (Z) и к нашей нумерации этого формализма,
извлеченной нами из нумерации для (Z^), полностью применимо
прежнее рассуждение, с помощью которого мы в свое время
усилили антиномию лжеца2). Поэтому получается, что в форма-
формализме (Z), если он непротиворечив, не может существовать фор-
формулы дУ1 (а) с единственной свободной переменной а, обладающей
тем свойством, что для любой цифры п, являющейся номером
какой-либо формулы 91 без свободных переменных, формула
Ж (n) ~ 91
выводима в (Z).
Далее, получается, что в формализме (Z^) — при условии его
непротиворечивости —тоже не может быть такой формулы Ш(а),
для которой упомянутая эквивалентность выполнялась бы всякий
раз, когда 91 —какая-либо формула из (Z) без свободных пере-
переменных, а п —номер этой формулы. Действительно, для всякой
такой формулы Ш (а) можно было бы, исключив из нее ц-символ,
построить такую формулу Шх (а), чтобы в (Z^) была выводима
эквивалентность
ЭЭТх (а) ~ Зй (а).
Тогда для любой цифры п, являющейся номером какой-либо
!) См. с. 328.
2) Формализм (Z) и наша нумерация этого формализма с самого начала
удовлетворяют условию б). Предположения а) и в), правда, выполняются не
полностью, так как рекурсивные функции, вообще говоря, в (Z) не изобразнмы,
а лишь представимы. Но, как мы помним, этот более общий случай был нами
специально предусмотрен (см. с, 326 — 327).
§ 2] ФОРМАЛИЗАЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 407
формулы 91 из (Z) без свободных переменных, в (Z^) была бы
выводима эквивалентность
Шх (n) ~ 31.
Но так как эта эквивалентность является формулой формализма
(Z), то она должна была бы выводиться и в (Z) Тогда формула
3)ii(a) обладала бы свойством, относительно которого мы только
что установили, что наличие в (Z) формулы с этим свойством не
совместимо с непротиворечивостью (Z), а значит, и с непротиво-
непротиворечивостью (Z^),
Так мы получаем метод, позволяющий про формализованные
определения истинности для формул формализма (Z) доказывать,
что они выводят за пределы формализма (Z), а также за пределы
формализма (Z^), если формализм (Z^), а следовательно, и фор-
формализм (Z), непротиворечив. Действительно, это с полной гаран-
гарантией имеет место всякий раз, когда добавление этого определения
к формализму (Z) дает формулу ЭЛ (а), обладающую тем свойством,
что для любой формулы Я формализма (Z), не содержащей сво-
свободных переменных, и для ее номера п выводима формула
А теперь, в духе этого рассуждения, мы перейдем к построе-
построению некоторого определения истинности для формализма (Z).
Для этого мы будем пользоваться рекурсивными изображениями
различных понятий, относящихся к формализму (Z) и к постро-
построенной нами нумерации этого формализма.
Свойство числа п быть номером постоянного *) терма изобра-
изображается с помощью некоторой рекурсивной формулы ^0(«)- Соот-
Соответствующее определение немедленно получается из того, что
любой постоянный терм из (Z) либо является цифрой 0, либо
имеет вид а', где а — некоторый постоянный терм, либо имеет
вид a-j-b или а-Ь, где д и Ь — какие-либо постоянные термы.
Значение постоянного терма есть функция номера этого терма.
Эта функция изображается с помощью некоторой рекурсивной
функции vl (nI), определяемой следующим разбором случаев:
«Если п = 2, то vl (я) = 0;
если я = 3т и тфО, то vl (n) = (vl (m))';
если я = 5 11<МЗ», то vl (n) = vl (a) + vl (b);
если я = 5-11я17*, то vl (n) = vl (a)- vl (b);
во всех остальных случаях vl (я) = я.»
Рекурсивное изображение понятия номера формулы для
формализма (Z) может быть дано совершенно аналогично тому,
*) Авторы употребляют термин «variablenlos». — Прим перев.
х) То, что возможность этого изображения, несмотря на наш прежний
результат относительно изображения понятия «значение выражения, опреде-
определяющего число» (см. с. 328), согласуется с непротиворечивостью (Z), основы-
основывается на том, что рекурсивные функции, вообще говоря, неизобразимы в (Z).
408 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ. V
как оно ранее давалось для исчисления предикатов с добавлением
цифр и функциональных знаков1). Мы обозначим его через 6(п).
Без труда могут быть получены рекурсивные изображения и
для следующих предикатов:
«число п является номером некоторой формулы без свободных
переменных» — посредством некоторой формулы Ч£0(п);
«число п является номером некоторой формулы без перемен-
переменных» — посредством некоторой формулы <25j (n)',
«число п является номером некоторой квазиформулы» — посред-
посредством некоторой формулы ty(n);
«число п является номером некоторой бескванторной квази-
квазиформулы» — посредством некоторой формулы фо(«).
Затем мы можем рекурсивно определить понятие номера
предваренной квазиформулы. Действительно, сначала
можно ввести рекурсивный предикат фг(м, k), изображающий
высказывание «число п является номером некоторой предваренной
квазиформулы с k кванторами». Это может быть сделано с помощью
рекурсивного определения, которое в неформальном виде выглядит
следующим образом:
<tfyx(n, 0) имеет место тогда и только тогда, когда имеет
место фо(я);
tyi(n, k') имеет место тогда и только тогда, когда n = q-50- ра,
где q\2, p — простое число, большее или равное 7, а кроме того,
имеют место ф (п) и ^х (а, &)».
Теперь высказывание «число п является номером некоторой
предваренной квазиформулы» изобразится формулой
Э*(*</»&$!(л, х)),
и эта формула может быть переведена в некоторую рекурсивную
формулу ^i(ai). Формула
фх (л)&©(л)
будет изображать высказывание «число п является номером
некоторой предваренной формулы».
Теперь мы можем определить такую рекурсивную функцию
рг(п), которая номеру каждой формулы ставит в соответствие
номер некоторой предваренной формулы, переводимой в эту исход-
исходную формулу. Но предварительно мы определим рекурсивный
предикат Sp (п), изображающий высказывание «число п является
номером некоторой квазиформулы такой, что для всякой входящей
в нее связанной переменной либо все вхождения этой переменной
находятся в области действия единственного в данной квазифор-
квазиформуле одноименного с этой переменной квантора, либо таких
кванторов в данной квазиформуле нет вообще».
См. с. 280 и далее.
§ 2] ФОРМАЛИЗАЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 40Э
Кратко говоря, смысл этого высказывания заключается в том,
что я является номером такой квазиформулы, в которой связан-
связанные переменные путем соответствующих переименований обособ-
обособлены друг от друга. Такого рода квазиформулу мы будем называть
нормированной квазиформулой.
Например, квазиформулы
V Я(х)&У*©(х) и Ух(Я(х, z)-+VyV&(x, у, г))
не являются нормированными, а квазиформула
Чх(А(х, у) + ЗгВ(х, г)),
напротив, является нормированной.
Далее, может быть введена рекурсивная функция sp(«), кото-
которая номеру любой формулы ставит в соответствие номер формулы,
получающейся из нее в результате замены переменных при кван-
кванторах (в порядке появления этих кванторов) переменными с но-
номерами р3, #>4. •••» причем всякая такая замена распространяется
на всю область действия соответствующего квантора. Формула,
получающаяся в результате применения этой операции, а также
каждая являющаяся ее составной частью квазиформула представ-
представляют собой нормированные квазиформулы.
Определение искомой функции рг (я) дается с помощью двух
вспомогательных функций ртг (я) и рг2 (я).
Функция ргх (я) определяется следующим образом:
«Если я = 3-т, m = q-5Q-р", q\2, p — простое число, большее
или равное 7, и ^г (т), то
рг1(я) = яB, ?)-50-pPr'<3"a>;
если Sp(n), n = q-20-7a-Ub, q\2, фг(а), фг(Ь), a = q1-50-pc,
qi\2 и р — простое число, большее или равное 7, то
если Sp(n), я = ?-20-7°-1Р, q\2, %(a), фг(Ь), b = q1-50-pc,
q± 12 и р — простое число, большее или равное 7, то
рг! (Я) = Яг ■ 50 • рРг' (?-*о-7в-ис);
во всех остальных случаях рг!(я) = я».
Определение функции рг2 (я) выглядит следующим образом:
«Если Sp(fl), n = 3-m и m^=0, то
рга(я) = рг1C-рг2(т));
если Sp(n), я = ?-50-р°, q\2 и р — простое число, большее
или равное 7, то
50w
410 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ. V
если Sp(«), я = <7-20-7а-11* и q\2, то
рг4 (я) = ргх (q- 20 • 7Pr« <а> • 1 1рг« <6));
если Sp(«) и я = 80-7а-11*, то
рг2 (П) = ргх Г 40 • 7рг« C-а> • 1 1рг» <*>);
еслиБр(я) и «= 160-7" • 11*, то
РГ2 (Я) = РГХ B0 • 7РГ' (*°-7РГ' C-а)-НрГ' <6>) . 1 1РГ. D0-7Pr« W.upt, C-6))^.
во всех остальных случаях рг2(п) = «».
Теперь функция рг (я) может быть определена равенством
pr(n) = pr,(sp(n)).
Далее, мы введем еще рекурсивное отношение St (m, п), которое
будет изображать высказывание «либо пг — п, либо выражение
с номером п получается из выражения с номером т в результате
подстановки вместо одной или вместо нескольких переменных
(индивидных или формульных)». Введем также функцию st (m, к, I),
которая номеру m какого-либо выражения Ж, номеру f какой-
либо индивидной переменной с и номеру I какого-либо выражения t
будет ставить в соответствие номер выражения, получающегося
из $ в результате повсеместной замены переменной с выражением t.
Теперь искомое определение истинности может быть построено
следующим образом:
Сначала мы определяем какую-либо рекурсивную формулу
5Ш0 (п), изображающую высказывание «число п является номером
некоторой истинной формулы без переменных»; затем мы даем
формализованное определение для предиката М (п, к), изображаю-
изображающего высказывание «число п является номером некоторой истин-
истинной предваренной формулы без свободных переменных с &-кван-
торной приставкой». Затем, используя символ М («, к), мы
с помощью эквивалентности
Шг (п) ~ Эг (z <=£ п & М (л, г))
строим изображение 3)^х(«) высказывания «число п является
номером некоторой истинной предваренной формулы без свободных
переменных». Затем с помощью эквивалентности
Ж (п) ~ SWi (pr («))
мы получаем изображение Ш (п) высказывания «число п является
номером некоторой истинной формулы без свободных переменных»
и, наконец, получаем общее определение истинности с помощью
формулы
@ (л) & V* (St (и, х) & @„ (х) -*- ^ (х)),
которую мы будем обозначать посредством ЯК* («).
§2] ФОРМАЛИЗАЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 411
Рекурсивное определение формулы ЭЯ0 (я) получается из сле-
следующей эквивалентности:
У (л, 4))
(v(n, 5))&(vl(v(n, 4)) = vl(v(n, 5)))
V [®1(n)&3x3y{x<n&y<n&
((x = 20 • 7х ■ 11" & a«0 (*) & ЭЙ,, («/))
У(*=4о-7*.11"&(ало(ж)\/ало|
V (* = 80-7*-11»&(аЛ0(*)-»-аЛ0|
V (*=160-7*-11"&(аЛ0(х)~!
Определение предиката М (л, к) мы сначала поясним нефор-
неформально. Истинная предваренная формула без кванторной при-
приставки представляет собой истинную формулу без переменных.
Истинная предваренная формула с f'-кванторной приставкой
является либо формулой вида Vg3l (e) и тогда для любой цифры $
формула 31 (\) является истинной предваренной формулой с f-кван-
торной приставкой, либо формулой вида 3^31 (е) и тогда по край-
крайней мере для одной цифры I формула 31 E) является истинной
предваренной формулой с f-кванторной приставкой.
Это определение в арифметической формализации изображается
следующим образом:
М(л, 0)~Ш0(п),
М (л, к') ~ [л = 50 • Kg,' х(п)) & % (л) =s 3 &
V [я = 100 • Км Мп)) & Ця) =э 3 &
3«M(st(v(n, % (я)), К(«), 2-3*), *)]
С помощью формулы М (л, k) мы, как было замечено ранее, можем
получить следующие явные определения для формул Ш (я) и
ЗЛ* (л):
Ж (я) ~ Зг (г й£ рг (л) & М (рг (я), 2)),
Ж* (л) ~ @ (л) & V* (St (л, л;) & @о (х) ~+ Ж (х)).
Итак, мы получили искомое определение истинности для фор-
формализма (Z). Рассматривая его с учетом планируемого применения
теоремы Тарского, мы должны напомнить, что в формализме (Z^)
все рекурсивные функции допускают явные определения, причем
таким образом, что на основе этих определений рекурсивные
равенства являются выводимыми формулами. Значит, в частности,
в (Z^) рекурсивное определение функции рг (я) может быть заме-
412 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ. V
нено явным. Равным образом, и рекурсивное определение преди-
предиката ЭЛ0 (я) тоже может быть заменено прямым построением
соответствующей формулы из (Z^) и даже из (Z).
Отметим далее, что для любой конкретной цифры f из фор-
формул (Ф) выводима эквивалентность
М(я, !)~ф(л),
где 4? (п) — некоторая (зависящая от f) формула из (Z^). Поэтому
при любой заданной цифре п формула Ш (п), ввиду эквивалент-
эквивалентности
3z(z<pr(n)&M(pr(n), 2))
~ М (рг (п), 0) V М (рг (п), 0') V • • • V М (pr (n), J),
где J —значение терма рг(п), переводима в некоторую формулу
из Bц).
Затем, если п является номером некоторой формулы Ш из (Z)
без свободных переменных, то рассматриваемая формула перево-
переводима в формулу 91. Действительно, для любой такой цифры п
значение J терма рг(п) является, как мы знаем, номером неко-
некоторой переводимой в формулу 21 предваренной формулы Щ,
а формула
M(pr(n), O)\/...\/M(pr(n), j).
в которую переводима формула Ш (п), со своей стороны, может
быть переведена в такую предваренную формулу 5ч, у которой
кванторная приставка совпадает с приставкой формулы 2(ь а стоя-
стоящее после кванторной приставки выражение имеет вид Шо (д (£ь ,..
.... 5Г)); здесь j1( ..., jr — различные входящие в формулу ^
связанные переменные, и если Ш2 EЬ ..., Jc) — выражение, стоящее
в Шх после кванторной приставки, то g (ax ас) представляет
собой арифметическое функциональное выражение, которое сопо-
сопоставляется формуле Ш2(аи ..., at) относительно переменных
аъ .... аг.
А теперь, опираясь на определение формулы Шо (п) и исполь-
используя выводимую формулу
vlB-3a) = a,
можно вывести эквивалентность
ar))~a>(ai a,),
а из этой эквивалентности средствами исчисления предикатов
можно вывести формулу
§ 2] ФОРМАЛИЗАЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 41S
которая вместе с выводимыми формулами
ая(п)~я и я~ях
дает нам искомую эквивалентность
ая(п)~я.
Замечание. Если формула 31 не содержит кванторов и,
значит, является формулой без переменных, то непосредственно
получаются эквивалентности
ая (п) ~ ан0 (п) и ал0 (n) ~ я.
Описанную здесь лишь вкратце выводимость формулы ()
мы поясним на примере, когда 81 представляет собой формулу
которая очевидным образом является ложной. Если п —номер
этой формулы, то имеет место равенство sp (n) = п, а рг (п) является
номером формулы
Этот номер представляет собой число
Мы обозначим его буквой ц.
Формула ЭЛ (п) переводима в дизъюнкцию
М(», 0)V ... VM(J, i),
которая с помощью выводимых формул
м(з, о)~а«о(«), iswo(j),
переводима в формулу
A) VxM(st(v(j, А,(а)), 7, 2-3*), 0)V...
...V V*M(st(v(a, A,(j)), 7, 2-Э*), j-1).
Легко видеть, что
V(J, *,(}))= ЮО- Ц«.7»-70.11'.13..1170.ц5-"'-"«'.1Э»-1«>
а из определения st (m, k, l) получается, что
St(v(j, MJ). 7, 2-Э»)« 100. 114O.7»-7O.|.»-*-.i3-.117O.ll5-ll-ee-17«.Irf|.l.e
Выражение, стоящее в правой части этого равенства, мы обозна-
обозначим посредством с (а).
414 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
Из рекурсивных определений функций1) $>„, к(п) и v(n, k)
могут быть выведены формулы
*W),-H. Me (a)) = 4, с(а) = 100.^((Сс((?))Мс(а))).
Из этих формул мы сначала получим формулу ~| Шо (с (а)),
а затем формулу
М(с(а), k')~3yM(st(v(c(a), X(t(a))), 11, 2-3»), k).
Поэтому дизъюнкцию A), которая переводима в формулу
VxM(c(x), 0)\J ... V VxM(c(x), з-l),
можно перевести в формулу
B) V*ayM(st(v(c(A:), Цс (*))), 11, 2-3»), 0) V ...
... V ЧхЗуЩ*Иу(и{х), Ч«(*))). П. 2-3»), 8-2).
По определению функции st (m, k, l) мы получаем равенство
st(v(c(a), к (с (а))), 11, 2-3*) =
= 40 • 79 70.1l2-3a.l32 . 1 170.115-'зв-172-з6.1з2-3»'>
Выражение, стоящее в правой части этого равенства, мы обозна-
обозначим посредством g (а, Ь). С помощью выводимой формулы g (a, b) Ф
ФЬЪ-п мы получим ~|M(g(a, b), k'), а отсюда средствами исчис-
исчисления предикатов получим формулу
-\УхЗуМ($(х, у), k').
Поэтому формула B) переводима в формулу
УхЭуЭЛо (8 [х, у)).
А теперь, чтобы убедиться в переводимости этой формулы в формулу
достаточно установить выводимость эквивалентности
C) аЛ0(8(а, Ь))~-\-\(а = 0)Уа-Ь = Ь'.
Эта эквивалентность легко может быть получена следующим
образом. Пользуясь определением формулы дЯ0(п), мы сначала
с помощью выводимых формул
g (а, Ь) = 40 ■ Т ^а- »'•3) • 1Г (в(* »>•4) и @х (g (a, b))
получим эквивалентность
D) апо (д (а, Ь)) - Шо (v (д (а, Ь), 3)) V ЭЮо (v (g (а, Ь), 4)).
1) См. с. 272.
§ 2] ФОРМАЛИЗАЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 415
Затем, опираясь на выводимые равенства
v(g(a, Ь), 3) = 9-70-112-3a.l3*(
v(g(a, Ь), 4) = 70-115-112за-1723*-132з6'
и снова пользуясь определением Ш0(п), получим формулы
Жо (v (д (а, Ь), 3)) ~ И ($0 B • 3») & $ B) & vl B • 3»j = vl B)),
!Wo(v(e(a, 6), 4))~ ^o E • 1123a • 1723&) & ^To B • 3"') &
vlE- Ц2-3". 17236) = vlB-3b').
Но формулы, стоящие в правых частях этих эквивалентностей,
с помощью определений формулы $0 и функций vl могут быть
переведены в формулы
Ц(а = 0) и a-b^b',
так что из эквивалентности D) мы получаем формулу
т. е. искомую эквивалентность C).
Показанная на этом примере выводимость формулы Ш (n) ~ 31
средствами формализма (Z^), к которому добавлены формулы (£),
имеет место всякий раз, когда 51 является формулой без свобод-
свободных переменных, а п — ее номером. На основании предыдущего
рассуждения это позволяет нам сделать вывод о том, что невоз-
невозможно указать такую формулу (S (n, k), принадлежащую форма-
формализму (Zjn), — если, конечно, этот формализм непротиворечив, —
чтобы при замене символа М (п, k) этой формулой эквивалентно-
эквивалентности C5) становились выводимы формулами. Действительно, в про-
противном случае формула
Эг(г*£рг(п)&6(рг(п), г))
была бы формулой Ш* (п) из формализма (Z^), удовлетворяющей
условию, что для любой формулы 31 без свободных переменных
и для ее номера п в (Z^) выводима эквивалентность 3I* (п) -~ Ш;
но, как мы уже убедились в свое время, возможность построения
такого рода формулы не совместима с непротиворечивостью (ZM)x).
Таким образом, в предположении непротиворечивости форма-
формализма (Z|n), мы получаем, что введение посредством формул (D)
предикатного символа М (п, k) представляет собой некий акт
выхода за рамки формализма (Z^).
Формулы B)) имеют вид
М(я, 0)~9t(n),
_М(я, fe')~(M!(n) & VxM (t (n, x), k)) V (9t, (n) & ЗхМ (f (n, x), k)).
!) См. с 343.
416 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ. V
При этом 3d (п), 9ti (п) и 5Я2 (п) суть рекурсивные формулы, a f(n, /и) —
рекурсивный терм, в котором фигурируют только явно указан-
указанные переменные.
Следовательно, такого рода схема не может быть общим спо-
способом сведена к явным определениям в (Z^). С другой стороны,
•следует отметить, что схема указанного вида, как и примитивная
рекурсия, носит характер некоторого определения. Действительно,
для любой цифры f она дает [как мы уже убедились в этом для
формул B))] некоторую эквивалентность
М(л, 1)~£(л),
где <£)(«) — формула из ^
С другой стороны, эта схема имеет нефинитный характер, т. е.
она не может быть интерпретирована как способ, позволяющий
для любых заданных чисел п и f выяснить, имеет ли место
М (n, f). Но в любом случае, если содержательно допустить прин-
принцип «tertium поп datur» для целых чисел, эта схема будет пред-
представлять собой изображение некоторого рода абстрактного опре-
определения двуместного предиката. Значит, выход такой схемы за
рамки формализма (Z^) свидетельствует о том, что в формализме
(Z,i) невозможно полностью формализовать содержательное при-
применение принципа «tertium non datur» для целых чисел.
Можно даже предполагать, что эта неформальная точка зре-
зрения вообще не может быть исчерпывающим образом формализо-
формализована никаким дедуктивным формализмом, удовлетворяющим усло-
условию1) б2).
Выход определения B)) за рамки формализма (Ту) (в предпо-
предположении его непротиворечивости) проявляется еще в одном пункте.
С помощью символа М (п, k), как мы знаем, получается фор-
формальное выражение Ш* (п) для предиката «число п является
номером некоторой истинной формулы формализма (Z)». Теперь,
опираясь на это формализованное определение, можно дать и
формальное доказательство непротиворечивости формализма (Z).
В самом деле, с помощью рекурсивных определений для
ЭЭТ0(п), рг(п), @(п), @о(«) и St(n, k), которые все в (Z^) сво-
сводятся к явным определениям, с помощью определения
Ш* (л) ~ ® (л) & Vx (St (л, х) & @0 (*) -> Зг (z < рг (х) & М(рг (х), г))),
а также формул B)) и средств формализма (Z^) можно вывести, —
что мы здесь лишь упомянем, не вникая в подробности, —формулы
х, л)-»-ЭЛ* (л)
См. с. 354.
§ 2] ФОРМАЛИЗАЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА 417
из которых получается формула
3*38i(*, я)->- 1 Эх®!(х, 3-я).
Если бы определение B)) сводилось к какому-нибудь явному
определению в формализме (Z^), то мы получили бы в (Z^) и
вывод формулы
3x33! (х, я) ->- 1 Зх^ (х, 3-я),
а тем самым — поскольку эта формула принадлежит формализму
(Z) —и вывод ее в (Z). По второй теореме Гёделя о неполноте
отсюда следовало бы, что формализм (Z), а тем более и (Z^), про-
противоречив.
Этот путь заодно убеждает нас в том, что для проведения
формального доказательства непротиворечивости формализма (Z)
не требуется введения связанных переменных какого-либо нового
сорта.
Следует также обратить внимание на то, что, вследствие пред-
представимости рекурсивных функций в системе (Z), в использованной
нами схеме определения, имеющей вид
М(я, 0)~ЗД,
М(я, k') ~ Cd! (я) & VxM (f (л, *). Ь)) V (ЭМл) & Э*М (f (я, *), *)).
рекурсивные формулы 34 (л), ЗК^я) и 2Ч2(я) могут бьпь заменены
соответствующими формулами 91 (я), ^i («) и 91а(я) из (Z), а кроме
того, вместо рекурсивной функции \ (я, т) может быть введена
представляющая ее формула ty(n, m, I) из (Z), которая в рамках
(Z,i) переводима в равенство
\{п, т) = 1.
Тем самым схема эта может быть взята в виде
М(я, 0)~Я(л),
М(я, к')~<&1(п)ЬУ1хЧу№{п, х, у)-*М(у, k)) \J
(Щ(п)&3х3у(^(п, х, у)Ш(у, £))),
где в правых частях эквивалентностей, кроме символа М, фигу-
фигурируют лишь выражения из (Z). И уже добавление такой схемы
определений к формализму (Z) дает возможность формально дока-
доказать непротиворечивость этого формализмах).
Замечание. Характерным во внешнем виде этой дополни-
дополнительной схемы является то, что в выражении для М(я, k') сим-
символ М фигурирует со связанной переменной на месте первого
х) В данном случае предполагать непротиворечивость (Z) не требуется,
потому что если этот формализм противоречив, то для вывода формулы
BS (x, n)-*-~\ 3x%il (x, 3 • п) хватает его собственных средств.
418 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
аргумента. Как показал Т. Сколем, некоторые более простые
схемы этого рода еще могут быть сведены к явным определениям
в (Z)i).
Благодаря нашему последнему рассмотрению утверждение
второй теоремы Гёделя о неполноте в применении к формализ-
формализмам (Z) и (Z^) получает некоторое позитивное дополнение.
Однако наши представления относительно возможности фор-
формального доказательства непротиворечивости системы (Z) еще
ничего не решают в вопросе о том, как обстоит дело с возмож-
возможностью финитного доказательства непротиворечивости этого фор-
формализма. Этим вопросом мы теперь и займемся.
§ 3. Выход за рамки рассматривавшейся до сих пор
методической установки теории доказательств. —
Доказательства непротиворечивости формализма арифметики
а) Рассмотрение вопроса о формализуемости проводившихся
до сих пор метаматематических рассуждений. В предшествующем
изложении мы установили применимость второй теоремы Гёделя
к формализмам (Z) и (Z^). Применимость эта, как мы убедились,
имеет место в том усиленном смысле слова, что для формализма (Z)
не может существовать такого доказательства его непротиворечи-
непротиворечивости, которое с помощью построенной нами нумерации этого
формализма могло бы быть формализовано внутри (Z^). Поэтому,
если бы для системы (Z) оказалось возможным какое-либо финит-
финитное доказательство непротиворечивости, то оно бы не могло быть
формализовано в (Z^) с помощью нашей нумерации для (Z).
С другой стороны, если мы рассмотрим доказательства раз-
различных полученных нами метаматематических теорем с точки зре-
зрения возможности их формализации, то убедимся, что большая
часть встречающихся в них понятий и умозаключений допускает
формализацию уже в рамках рекурсивной арифметики2) (хотя
фактическое осуществление такой формализации для большинства
доказательств было бы делом в высшей степени утомительным).
При этом можно ограничиться первоначальным формализмом
рекурсивной арифметики, в котором схемой индукции является
1) См. S k о 1 е m Th. Ober die Zuriickfiihrbarkeit einiger durch Rekursionen
definierter Relationen auf arithmetische. — Acta Sci. Szeged, 1937, 8, № 2, 3,
Соответственно этому схема рекурсии
V(k, 0)~Ш(/г),
V (k, п') ~ Эх (¥ (х, п) & Ш (k, х, п)),
приведенная Бернайсом в его работе- Bernays P Quelques points essentiels
de la metamathematique.— L'enseignement Math., 1935, 34, p. 90, еще не пред-
представляет собой примера рекурсии, не укладывающейся в рамки формализма (Zm).
2) См. с. 271 и далее.
§ 3] НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ АРИФМЕТИКИ 419
обычная (и единственная) рекурсивная схема — схема примитив-
примитивной рекурсии; кроме того, как мы знаем, эту схему достаточно
применять только к одноместным и двуместным функциям.
Разумеется, во многих случаях оказывается, что этого фор-
формализма уже недостаточно для проведения требующейся нам фор-
формализации. Но в этих случаях всякий раз оказывается возмож-
возможной формализация в (Z^). Ряд методов, выходящих за пределы
рекурсивной арифметики (в первоначальном смысле этого слова),
был рассмотрен нами уже в гл. VII т. I: мы имеем в виду опре-
определение функций с помощью перекрестных рекурсий, а также
некоторые обобщения схемы индукции. При этом мы указывали
на возможность формализации этих схем рекурсии и индукции
в рамках формализма для арифметики в целом *).
Мы вкратце обсудим здесь и некоторые другие типичные при-
примеры этого рода,
1, Как мы показали, в любом формализме, удовлетворяющем
определенным условиям, понятие значения выражения, опреде-
определяющего число, не может быть формализовано с помощью какой-
либо функции, изобразимой в самом рассматриваемом формализме2).
Можно убедиться, что эти условия выполнены для формализма
рекурсивной арифметики, и таким образом получается, что зна-
значение рекурсивного терма без переменных в его зависимости от
номера этого терма не может быть изображено (на основе нашей
нумерации рекурсивной арифметики) никакой рекурсивной (т. е.
определяемой примитивными рекурсиями) функцией.
Чтобы убедиться в выполнении упомянутых предположений,
можно взять следующую нумерацию формализма рекурсивной
арифметики:
Для свободных переменных, для символов исчисления выска-
высказываний и для арифметических символов 0, ' и = изображение
берется тем же самым, что и в нумерации, построенной нами
для формализма (Z^K), а для функциональных знаков, вводимых
рекурсиями, изображение строится способом, указанным ниже.
Если f —какой-либо одноместный функциональный знак, вво-
вводимый рекурсией
f @) = a, f(«') = b(«, f(«)),
то номер выражения f (с) в его зависимости от номера аргумента с
мы будем изображать функцией 5-р°, причем если f и I суть
номера выражений а и b (а, Ь), то в качестве п мы возьмем зна-
значение выражения 2f-3l.
1) См т. I, с. 419—427 и с, 509, 51Э, а также с. 74—75 настоящего тома.
2) См. с. 329 — 335.
3) См с. 367 и далее.
420 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
Аналогично для двуместного функционального знака \, вво-
вводимого равенствами
На, 0)-а(а), На, п') = Ь(а, п, f(o, л))
(в качестве переменного параметра здесь всегда можно брать
переменную а), номер выражения f (с, б) в его зависимости от
номеров аргументов с и Ь будет изображаться функцией 5 - #>{j • $»„ + р
причем если f и I суть номера выражений о (а) и b (а, Ь, с), то
в качестве п мы будем брать значение выражения 2f 31.
Таким изображением рекурсивно введенных функциональных
знаков мы добиваемся, в частности, того, что по номеру любого
рекурсивного терма можно получить набор всех тех рекурсивных
равенств* которые участвуют в его рекурсивном построении').
Номер последовательности состоящей из этих рекурсивных ра-
равенств, записанных в порядке возрастания их номеров, рекур-
рекурсивно зависит от номера рассматриваемого терма. Пусть j(m)
обозначает некоторую рекурсивную функцию, выражающую эту
зависимость.
С помощью этой функции мы изобразим в (Z^) понятие значе-
значения рекурсивного терма без переменных.
Действительно, вычисление значения такого терма t может
быть формализовано посредством вывода, который от рекурсивных
равенств, участвующих в рекурсивном построении t, ведет
к равенству t = m, где т —значение этого терма При этом
используются аксиома равенства (J2), правила подстановки и сред-
средства исчисления высказываний. С помощью подходящей рекур-
рекурсивной формулы Ъ(т, k, n) можно изобразить высказывание
«список формул с номером т является выводом формулы с номе-
номером I, использующим аксиому равенства (J2), правила подста-
подстановки и средства исчисления высказываний». И поэтому значе-
значение терма t в его зависимости от номера этого терма в форма-
формализме (Z^) изображается функцией
(«). 70-11е-13*»*).
2. В критериях опровержимости, полученных нами с помощью
теоремы Эрбрана, было использовано общее понятие вычислимой
функции*). Ограничение рассматривавшихся там функций вычис-
вычислимыми было произведено для того, чтобы придать рассмотрению
финитный характер. Априори не ясно, как само по себе неточное
1) На возможность такой нумерации рекурсивно введенных функциональ.
ных знаков, которая удовлетворяла бы указанному условию, вероятно, впер-
впервые указал Рудольф Карнап (см Сагпар R. Logische Syntax der Sprache,—
Wien, 1934, S. 59).
2)См, с, 223, а также с. 214 и далее.
§ 3] НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ АРИФМЕТИКИ 421
интуитивное понятие вычислимости может быть подвергнуто форма-
формализации. Однако в последнее время это уточнение все-таки было
осуществлено, причем таким образом, что при этом заодно полу-
получилась и формальная изобразимость этого уточнения в форма-
формализме (Z^.).
Уточнение это было произведено посредством трех существен-
существенно отличных друг от друга понятий, относительно которых
впоследствии было установлено, что они описывают одну и ту же
совокупность функций. Это — восходящее к Эрбрану и Гёделю
понятие общерекурсивной функции, принадлежащее Черчу
и Клини понятие А-определимой функции и введенное
А. М. Тьюрингом и Э. Л. Постом понятие вычислимой функ-
функции. Совпадение объемов первых двух понятий было установлено
Чёрчем и Клини, а совпадение объемов третьего и первых двух —
Тьюрингом (с использованием уже обнаруженного совпадения
объемов первых двух понятий)г).
Здесь мы приведем лишь существенный для данного контекста
результат этих исследований. По поводу его обоснования мы
отсылаем читателя к Приложению II 2), а здесь только отметим,
что это обоснование опирается на одно предположение, которое
вследствие неточности обиходного понятия вычислимости лишь
может быть сделано правдоподобным и оправданным последую-
последующими результатами. Речь идет о предположении, что любая вычисли-
вычислительная процедура может быть изображена в виде вывода в подхо-
подходящем, специально для этой цели построенном дедуктивном
формализме, причем этот формализм может быть устроен так
(и это существенно!), что на основе надлежащим образом выбран-
выбранной нумерации совокупность номеров выводимых в этом форма-
формализме выражений совпадает с совокупностью значений некоторой
конкретной рекурсивной функции.
Это в высшей степени правдоподобное предположение в каче-
качестве одного из своих следствий позволяет нам заключить, что
любая вычислимая функция f (n) одного аргумента (рассмотрение
многоместных вычислимых функций легко сводится к рассмотре-
рассмотрению одноместных) может быть изображена в формализме (Z,J
1) Об этом см. Church Alonzo. An unsolvable problem of elementary
number theory. — Amer. J. Math., 1936, 58, № 2; К 1 e e n e S. C. General recur-
recursive functions of natural numbers.—Math. Ann., 1936, 112, № 5; К leene S. C.
^-definability and recursiveness, —Duke Math. J., 1936, 2, № 2; Post E. L.
Finite combinatory processes. —J. Symbolic Logic, 1936, 1, № 2 [русский
перевод: Пост Э. Л, Финитные комбинаторные процессы.—В кн.: Успен-
Успенский В. А. Машина Поста. М.: Наука, 1979, с. 89—95]; Turing A. M.
On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem.—
Proc. Lond. Math. Soc, Ser. 2, 1936/37, 42, Appendix; Turing A. M. Com-
putability and X-definability. — J. Symbolic Logic, 1937, 2, № 4.
2) См, с, 477 и далее.
422 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ. V
в виде
f)(l^34f, n, х)),
где \)(т) — некоторая не зависящая от f рекурсивная функция1),
5R(£, /, т.) — тоже не зависящая от f рекурсивная формула, не
содержащая свободных переменных, отличных от k, I и т, a f —
цифра, зависящая от определения функции [, такая, что для
любой цифры I может быть указана некоторая цифра т, находя-
находящаяся с f и ( в отношении 8R (f, I, m).
Функция f(n) изображается указанным выражением в том
смысле, что для любой цифры I, если п является значением f (I),
то формула
выводима в (Zn) и даже в некотором (определенном независимо
от функции f (n)) подформализме формализма (ZH) 2).
С другой стороны, можно непосредственно убедиться, что
если цифра f обладает тем свойством, что с помощью некоторой
конкретной процедуры для любой цифры I может быть указана
цифра т, для которой выполняется отношение 9t(f, I, m), то
выражение i) (цх^ (f» п, х)) изображает (в только что разъяснен-
разъясненном смысле) некоторую вычислимую функцию аргумента п.
Таким образом, в качестве формализации в формализме (Z^)
совокупности вычислимых функций можно рассматривать сово-
совокупность тех чисел t, которые удовлетворяют условию, изображен-
изображенному формулой
f, х, у).
А понятие значения вычислимой функции при ф
значении аргумента формализуется термом
t(fe, /, х)),
где переменная k представляет зависимость от функции, а пере-
переменная / — зависимость от значения аргумента.
Правда, надо отметить, что это изображение вычислимых
функций в формализме (Z^) все-таки не является таким изобра-
изображением в полном смысле слова, какое мы имеем для рекурсив-
рекурсивных функций в B^). Более того, можно показать 3), что суще-
существуют числа f такие, что для каждой цифры I можно указать
^ Под рекурсивными функциями здесь, как и ранее, понимаются
такие функции, которые могут быть определены примитивными рекурсиями.
') Этот формализм является также подформализмом рассмотренного нами
в конце гл. II (с. 163—165) непротиворечивого арифметического формализма.
3) Это следует из одной общей теоремы Клини, доказанной в его уже
упоминавшейся работе «General recursive functions of natural numbers» (теоре-
(теорема XIII).
S 3] НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ АРИФМЕТИКИ 423
цифру m, связанную с t и I отношением 8ft (f, I, m), без того,
чтобы формула
V*3j0t(f, х, у)
была выводимой в (Z^), —по меньшей мере в предположении, что
для любой рекурсивной формулы 3((я, Ь) из выводимости в (Z^)
формулы Уа;Зг/21(а;, у) может быть извлечена эффективная возмож-
возможность для каждой цифры m указывать некоторую цифру п,
связанную с m отношением Ш (т, п).
3. Иногда в наших доказательствах непротиворечивости исполь-
используется один вид полной индукции, который не формализуется
схемой индукции рекурсивной арифметики. Этот выход за рамки
рекурсивной арифметики связан с тем, что в наших формулиров-
формулировках и доказательствах время от времени встречаются такие
допущения, в которых говорится об истинности некоторых все-
всеобщих предложений; таковы, например, предположение о невы-
невыводимости или о неопровержимости какой-либо формулы, или
предположение о непротиворечивости какого-либо формализма,
или же предположение о верифицируемоети какой-либо формулы,
что, согласно определению, означает, что эта формула при лю-
любой замене свободных переменных цифрами оказывается истин-
истинной. Любое высказывание, содержащее такого рода предположе-
предположение, представляет трудности и для финитного понимания. Как
известно, финитное допущение всегда относится к какой-либо
наглядно характеризуемой ситуации. Но истинность всеобщего
предложения не может считаться таковой. Правда, вместо предпо-
предположения, что рассматриваемое всеобщее предложение истинно,
можно взять предположение о том, что истинность этого предло-
предложения установлена. В этом случае мы имеем допущение о нали-
наличии некоторого доказательства. Но при этом данное доказатель-
доказательство должно допускаться как неформальное; а неформальная
убедительность доказательства опять-таки не является интуитивно
ясной. Интуитивная неясность неформального представления
о доказательстве как раз и является причиной, вызывающей
необходимость формализации доказательств, с помощью которой —
по крайней мере в рамках определенных дедуктивных форма-
формализмов—оказывается возможной наглядно определенная характе-
ризация доказательства как такового.
Однако на самом деле и в тех случаях, когда мы пользуемся
предположениями вроде предположения о верифицируемоети
какой-либо формулы 3(, мы ссылаемся вовсе не на структуру
какого-либо возможного неформального доказательства верифици-
верифицируемоети Ш; самое большее, что подразумевается в таком предпо-
предположении,—это то, что в любом месте рассуждения, где речь
идет о какой-то формуле, получающейся из 2( в результате подста-
424 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
новки, мы можем воспользоваться тем, что рассматриваемая
формула является истинной.
Поэтому было бы правильным утверждения, у которых
в качестве посылок фигурируют какие-либо всеобщие предложе-
предложения, в рамках финитного рассмотрения оформлять не в виде
предложений, а в виде правил умозаключений, как мы это уже
и делали при изложении критериев опровержимости формул
исчисления предикатовJ).
Такие правила, в частности, могут применяться в сочетании
с полной индукцией так, что переход от л к я+1 происходит
не с помощью какого-то предложения, a g помощью некоторого
правила. В таком случае вторую посылку схемы индукции мы
не можем изобразить в рамках рекурсивной арифметики формулой
Такой случай имел место, например, в одном ранее проведен-
проведенном нами рассужденииг). В этом рассуждении рассматривался
арифметический формализм, получающийся из исчисления преди-
предикатов путем добавления к нему символов 0, ', -f, • и =, аксиом
а = а, a = b-*-(a = c-*-b = c),
a = b~a' = b', а'фЪ
и рекурсивных равенств для сложения и умножения. Непротиво-
Непротиворечивость этого формализма получалась прямо из нп-теоремы,
из которой мы, кроме того, получили, что любая формула, выво-
выводимая средствами упомянутого формализма с добавлением, быть
может, верифицируемых иеходных формул, не содержащих фор-
формульных и связанных индивидных переменных, является вери-
верифицируемой.
На основании этого результата и со ссылкой на одно про-
проведенное в гл. VII т. I рассуждение3) мы сделали заключение,
что это доказательство может быть распространено и на ограни-
ограниченную схему индукции (т. е. на схему индукции, применяемую
к формулам без связанных переменных). Действительно, для
этого достаточно показать что в любом выводе нумерической
формулы, осуществляемом средствами рассмотренного формализма
g добавлением ограниченной схемы индукции, после исключения
формульных переменных результирующие формулы всех приме-
применений схемы индукции являются верифицируемыми. Это, однако,
доказывается с помощью полной индукции: мы показываем, что
если результирующие формулы первых f применений схемы
индукции являются верифицируемыми, то и результирующая
формула (f+l)-ro применения схемы индукции —в предположе-
1) См. с. 224.
2) См. гл. II, с. 75—77.
») См. т, I, с. 364—365.
$ 3] НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ АРИФМЕТИКИ 425
нии, что таковая в рассматриваемом выводе имеется,—тоже
является верифицируемой.
А теперь посмотрим, как это индуктивное рассуждение может
быть изображено с помощью нумерации рассматриваемого форма-
формализма.
Рассматриваемый арифметический формализм, расширенный
присоединением ограниченной схемы индукции, мы обозначим
посредством (Zt). Имеющаяся у нас нумерация формализма (Z^)
автоматически порождает некоторую нумерацию этого формализма.
Число применений схемы индукции, содержащихся в данном
выводе в формализме (Zi), в его зависимости от номера списка
формул, образующего этот вывод, изображается некоторой рекур-
рекурсивной функцией 01 (т). Мы можем определить рекурсивную
функцию g2 (tn, к), значение которой для числа т, являющегося
номером некоторого вывода в (Zi), и для числа f, меньшего
g1(m), будет изображать номер (в рассматриваемой нумерации)
результирующей формулы (f 4-1 )-го входящего в этот вывод
применения схемы индукции, так что если т —номер какого-либо
вывода в (Zi), содержащего г применений схемы индукции, то
g2(m, 0), ..., g2(m, г—1) будут номерами результирующих фор-
формул этих применений схемы индукции.
Затем с помощью некоторой рекурсивной формулы & (т)
может быть изображено высказывание «число т является номе-
номером некоторого списка формул, представляющего собой вывод
в формализме (ZjJ, осуществленный без использования формуль-
формульных переменных», а с помощью другой рекурсивной формулы
2 (а, Ь) — высказывание «числа а и Ь являются номерами некото-
некоторых формул из (ZjJ и формула с номером Ь получается из
формулы с номером а путем замены каждой свободной индивид-
индивидной переменной некоторой цифрой». И, наконец, с помощью
некоторой рекурсивной формулы Щ (а) может быть изображено
высказывание «число о является номером некоторой формулы
без переменных такой, что после вычисления всех входящих
в нее функциональных выражений она становится истинной
нумерической формулой».
А теперь, с помощью перечисленных выше рекурсивных
функций и формул, высказывание «в любом выводе в формализме
(Zx), не содержащем формульных переменных, результирующая
формула любого входящего в него применения схемы индукции
является верифицируемой» изобразится формулой
8(в1(т, к), е)-*Ю(е),
которая переводима в некоторую рекурсивную формулу § (т, к, с).
Высказывание «для любого числа к, меньшего п, имеет место
отношение ф (т, к, с)» тоже может быть изображено при помощи
некоторой рекурсивной формулы $i(m, n, с).
426 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
Но теперь для формальной реализации упомянутого индук-
индуктивного рассуждения требуется выразить заключение «если в вы-
выводе с номером т все применения схемы индукции по я-е вклю-
включительно имеют верифицируемые результирующие формулы, то
применения схемы индукции по (п-\-1)-е включительно тоже
имеют верифицируемые результирующие формулы», или — с по-
помощью рекурсивной формулы JQi(m, k, с) —«если для любых
чисел тип отношение фх (т, п, с) имеет место для всех чисел с,
то для тех же самых чисел т и п и для всех чисел с будет
иметь место отношение 4?i(m, «', с)».
Это гипотетическое отношение, которое в рамках финитного
рассмотрения допустимо как способ вывода следствия, хотя и не
как финитное предложение, в рамках рекурсивной арифметики
не может быть изображено какой-либо формулой. Но в рамках
формализма (Z^) оно изображается формулой
m, n, x)^>~Vx$1(m, п', х).
Остается нерешенным вопрос о том, можно ли доказательст-
доказательству, которое здесь представлено схематически в довольно сыром
виде, придать такую форму, чтобы оказалась возможной его
формализация при помощи какой-либо из схем расширенной
таким образом рекурсивной арифметики.
Вообще же надо отметить, что при формализации финитных рас-
рассуждений в системе (Z^) большая часть характерных черт фи-
финитной аргументации теряется. Это объясняется тем, что форма-
формализм (Z^) не рассчитан на то, чтобы как-то различать конструк-
конструктивные и экзистенциальные рассмотрения.
б) Устранимость принципа «tertium non datur» при исследо-
исследовании непротиворечивости системы (Z). Различные выборочные
пробы, произведенные нами в процессе исследования возможности
формализации полученных к настоящему времени метаматемати-
метаматематических теорем и их доказательств, позволяют нам заключить,
что методы теории доказательств, применявшиеся нами до сих
пор, хотя частично и выходят за пределы рекурсивной арифме-
арифметики, тем не менее, как нам кажется, они укладываются в рамки
понятий и способов умозаключений, изобразимых средствами
формализма (Z^).
В этом обстоятельстве мы можем усмотреть известные объяс-
объяснения и причинам, по которым нам не удалось доказать с по-
помощью этих методов непротиворечивость формализма (Z). Дейст-
Действительно, такое доказательство, как было установлено, непременно
потребовало бы привлечения каких-либо способов рассуждения,
выходящих за пределы формализма (Z^).
А теперь перед нами возникает вопрос о том, могут ли фи-
финитные методы вообще выйти за пределы формализуемых в (Z)
способов рассуждений.
f 3] НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ АРИФМЕТИКИ 427
Этот вопрос в том виде, как он только что сформулирован,
поставлен, конечно, неточно, потому что понятие «финитности»
было введено нами не в качестве четко описанного термина,
а лишь в качестве названия для некоторой методической уста-
установки, которая хотя и позволяет квалифицировать одни конкрет-
конкретные понятия и рассуждения как определенно финитные, а дру-
другие—как определенно нефинитные, но все-таки не указывает
никакой точной границы между теми из них, которые удовлетво-
удовлетворяют требованиям финитности, и теми, которые этим требованиям
не удовлетворяют.
С типичным сомнительным в этом отношении случаем мы
встретились при обсуждении вопроса о допустимости предложе-
предложений типа всеобщности в качестве посылок. В этом случае мы
избежали трудности путем проведения различия между предло-
предложениями и правилами умозаключений *).
Однако во многих случаях это выглядит неестественным, и нам
остается просто-напросто признать, что мы вынуждены сделать
границы финитных рассмотрений несколько размытыми. Перво-
Первоначальное более узкое понятие финитного высказывания в обла-
области арифметики состоит в том, что в качестве финитных арифме-
арифметических высказываний допускаются лишь такие высказывания,
которые либо сами изображаются в формализме рекурсивной
арифметики с добавлением, быть может, некоторых символов для
конкретных вычислимых арифметических функций (одного или
нескольких аргументов), однако без использования формульных
переменных, либо имеют некоторую усиленную интерпретацию
с помощью высказываний, изобразимых в таком формализме.
К высказываниям первого рода принадлежат, в частности,
высказывания вида «если имеется число х со свойством Ж (х), то
имеет место S3». Действительно, всякое такое высказывание (если
переменная а не входит в 23) изобразимо формулой 91 (а) -> 33.
Примерами высказываний второго рода являются высказыва-
высказывания вида «для любого числа х существует число у такое, что
91 (х, у)». Для всякого такого высказывания в нашем распоряже-
распоряжении имеется усиленная версия в виде высказывания, изобрази-
мого формулой 91 (с, <р(с)), где <р (с) — конкретная вычислимая
функция.
Примерами высказываний, не являющихся финитными в ука-
указанном смысле, служат предложения, содержащие предложения
типа всеобщности в посылке.
Однако для формализации ряда общих результатов теории
доказательств желательно было бы допустить в качестве теорем
и предложения только что упомянутого типа, — например, пред-
предложения, в посылках которых стоят утверждения о верифици-
См. G. 225, а также с. 424 и далее.
428 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
руемости тех или иных формул или же о вычислимости тех или
иных функций. Однократный акт такого рода не выглядит нару-
нарушением основных методических идей финитной теории доказа-
доказательств.
Но совершив такой шаг однажды, мы приходим к необходимо-
необходимости пойти в этом направлении и дальше. Дальнейший, уже упо-
упоминавшийся шаг такого рода заключается в том, чтобы утвер-
утверждения с предложениями типа всеобщности в посылках в свою
очередь использовать в качестве посылок в индуктивных рас-
рассуждениях.
У нас нет четкой исходной точки зрения для решения вопроса
о том, какие методические расширения в указанном направлении
являются еще допустимыми (при условии, что мы намерены при-
придерживаться основных тенденций теории доказательств).
Во всяком случае, имеется возможность с помощью такого
рода расширений выйти за границы формализуемых в (Z^) спо-
способов умозаключений без использования типично нефинитных
рассуждений. Таким способом даже удается дать одно очень про-
простое доказательство непротиворечивости системы (Z).
К этому доказательству нас приводит следующее рассуждение:
Характерной чертой типично нефинитных рассмотрений, приме-
применяемых в области арифметики, является использование отрица-
отрицания в смысле контрадикторной противоположности в применении
к произвольным высказываниям, построенным с помощью поня-
понятий «все», «существует» и связок исчисления высказываний.
При формализации арифметических доказательств в форма-
формализме (Z) такое употребление отрицания изображается средствами
исчисления высказываний, а в основных формулах и в схемах
для кванторов, а также в аксиоме индукции отрицания нет
вообще.
Пользуясь теперь исчислением высказываний в его аксиома-
аксиоматической форме, мы можем формализм (Z) ограничить таким
образом, чтобы оказались изобразимыми только такие способы
умозаключений, которые не зависят от предположения о том, что
для любого высказывания существует другое высказывание, яв-
являющееся его контрадикторной противоположностью1). Если
удастся осуществить эту редукцию так, что ограниченный фор-
формализм в отношении непротиворечивости будет равносильным
формализму (Z), то тем самым непротиворечивость (Z) будет до-
*) Впервые исчисление высказываний, ограниченное в духе этого требо-
требования, было построено А Рейтингом в его уже упоминавшейся работе: Н е у -
ting A. Die formalen Regeln der intuitionistischen Lcgik.—Sitzgsber. preuss.
Akad. Wiss., phys.-math. Kl., 1930, II. Относительно одного еще более силь-
сильного ограничения см. работу И. Йогансона: J«ohansson I. Der Minimal-
kalkiil, ein reduzierter intuitionistischer Formalismus. —Compositio Math., 1936,
4, № 1.
§ 3] НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ АРИФМЕТИКИ 429
казана е точки зрения любых предположений, достаточных для
какого-ли о истолкования типа верификации этого ограниченного
формализма.
Мы покажем, что такая редукция, обладающая желательным
для нас свойством, действительно оказывается осуществимой.
Сначала мы можем исключить дизъюнкцию, квантор сущест-
существования и формульные переменные. Действительно, дизъюнкцию
можно выразить через конъюнкцию и отрицание. При этом вся-
всякая тождественно истинная формула исчисления высказываний
снова перейдет в тождественно истинную формулу. Далее, каж-
каждое выражение вида 3j31(e) может быть заменено выражением
1 Ve 81 (е). При этом основная формула (Ь) будет выводимой,
а схема ф) — производной. Исключение формульных переменных
можно —как это уже неоднократно делалось — произвести с по-
помощью метода возвратного переноса подстановок в исходные фор-
формулы *). Только при этом нам нужно будет модифицировать по-
понятие доказательства, взяв вместо исходных формул, содержащих
формульные переменные —таковыми являются тождественно истин-
истинные формулы исчисления высказываний, основная формула (а)
исчисления предикатов, аксиома равенства (J2) и аксиома индук-
индукции,—соответствующие схемы формул. Впрочем, аксиому индук-
индукции, как известно, с самого начала можно заменить схемой
индукции.
После того как мы таким образом сузим наш формализм, мы
ограничим еще и исчисление высказываний, разрешив применять
конъюнкции и импликации только в способах умозаключений по-
позитивной логики2). Для формализации этих способов достаточно
взять следующие схемы формул и схемы вывода3):
31, Ш-^S И->8, 3J->(S->S)
31
из которых в качестве производных схем получаются, в частно-
частности, следующие:
>S (8-*-6)-»-(Я-*.(£)
Ввиду исключения дизъюнкции из рассмотрения, из числа
связок исчисления высказываний — помимо импликации, конъюнк-
!) См. с. 473.
а) См. т. I, с. 99—101, а также Приложение III, с. 512 и далее.
8) Подробнее об этом см. в Приложении III, в особенности иа с. 521—529.
430 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ГГЛ V
ции и эквивалентности 21~33, которую мы рассматриваем как
сокращение для выражения E1-»-33)&C3-»-51),— у нас остается
только отрицание. Мы возьмем его не в качестве основного знака,
а в качестве знака, вводимого посредством явного определения
Опираясь на это определение, мы из схем
взяв в них вместо (Е формулу 0' = 0, получим схемы
Равным образом из производных схем
мы получим для отрицания схемы
Я-»-8 Я-»-8
Разумеется, все эти схемы мы получили бы тем же самым
способом и в том случае, если бы, взяв произвольную формулу g,
мы определили отрицание посредством эквивалентности
Получаемые таким способом схемы для отрицания — это в точно-
точности схемы, действующие в так называемом минимальном
исчислении Йогансона1).
В исчислении высказываний Рейтинга ко всему этому добав-
добавляется схема формул
которая у нас может быть выведена на основе данного нами опре-
определения отрицания.
Действительно, согласно нашему определению, эта схема может
быть получена из формулы
(Я-»-0'=.0)-»-(И-»-8),
а эта формула с помощью имеющихся у нас схем выводима из
См, подстрочное примечание на с, 428.
§ 3] НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ АРИФМЕТИКИ 431
схемы
Но эта схема выводима, и ее вывод получается — с использова-
использованием схемы индукции и схемы для равенства — следующим об-
образом:
Сначала индукцией по п с использованием выводимой формулы
получаем формулу
0' = 0->п' = п.
С помощью этой формулы индукций по а получаем формулу
0' = 0->а = 0,
из которой с использованием выводимой формулы
fl = 0&ft = 0->a = &
получается формула
0'=0->a = ft,
а из этой формулы подстановкой можно получить формулу
где а и b — произвольные термы.
Далее получаются следующие утверждения:
1. Для любой формулы S, опираясь на определение отрица-
отрицания и на выводимость схемы 91->C3->91), можно получить схему
2. Из двух формул вида
О' = 0 -^ 58i и 0' = 0->$2
с помощью наших схем выводятся формулы
О'=О-*-23х&232 и С-О-»^-
3. Из формулы
O' OS()
содержащей свободную переменную а и не содержащей связанной
переменной £, с помощью схемы (а) получается формула
А теперь, опираясь на эти утверждения и прослеживая процесс
построения Ш из элементарных формул (в данном случае из
432 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ. V
равенств), можно показать, что формула
выводима при любой формуле 33.
Но мы должны еще формализовать предположение о том, что
для равенства натуральных чисел имеется его контрадикторная
противоположность. Это может быть сделано следующим образом.
Мы вводим в качестве основного знака символ различия Ф вместе
со следующими относящимися к нему аксиомами различияг):
Третья из них представляет собой усиление формулы
выводимость которой установлена. Из второй аксиомы мы полу-
получаем формулу
откуда получается, что для расширенного понятия формулы
утверждение о выводимости любой формулы вида O' = O-vQ3
тоже справедливо.
Пользуясь знаком отрицания, мы получим из этих трех аксиом
формулы
а тем самым и формулы
Так, в итоге, мы приходим к следующей модификации форма-
формализма (Z): в качестве элементарных формул у нас будут фигу-
фигурировать лишь выражения вида а = Ь и афЬ, где а и b —
термы, а в качестве формул —такие выражения, которые либо
являются элементарными формулами, либо строятся из них при-
применением операций конъюнкции, импликации, эквивалентности,
отрицания, а также замены какой-либо свободной переменной
связанной переменной (ранее в этом выражении не встречавшейся)
*) Чтобы оправдать этот подход, мы сошлемся на то, что в рассматривав
мом формализме все термы, не содержащие свободных переменных, нумери-
чески вычислимы и, следовательно, имеют значение (в виде некоторой цифры).
§ 3] НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ АРИФМЕТИКИ 433
с последующим связыванием всего выражения одноименным с
этой переменной квантором всеобщности.
К таким формулам применимы упомянутые выше пять схем
исчисления высказываний, а также определения для эквивалент-
эквивалентности и отрицания. В отношении свободных индивидных пере-
переменных у нас действует правило подстановки, а для квантора
всеобщности имеется схема формул, соответствующая основной
формуле (а), а также схема (а).
Тем самым логическое исчисление описано. К нему добав-
добавляется аксиома а = а и схема
для равенства. В качестве арифметических аксиом у нас имеются
две аксиомы Пеано
-|(а' = 0) и a' = b'-+a = b,
три аксиомы для символа Ф, а также рекурсивные равенства
для сложения и умножения. Ко всему этому добавляется еще
одна арифметическая схема —схема индукции.
Определенный таким образом арифметический формализм мы
будем обозначать посредством C). Можно показать, что в этом
формализме выводима всякая формула, выводимая в системе (Z)
и не содержащая формульных переменных, дизъюнкций и кван-
кванторов существования.
Действительно, если мы рассмотрим средства, остающиеся
в формализме (Z) после исключения формульных переменных,
дизъюнкции и квантора существования и после замены всех исход-
исходных формул, которые содержат формульные переменные, соот-
соответствующими схемами формул, а аксиомы индукции схемой ин-
индукции, то увидим, что в формализме C) из этих средств непо-
непосредственно отсутствуют только следующие два: схемы формул,
соответствующие тождественно истинным формулам исчисления
высказываний, и взаимозаменяемость выражений афЬ и (а = Ь).
Эта последняя, однако, имеет место ввиду выведенной нами экви-
эквивалентности
а фЬ ~ (а = Ь).
Что же касается схем формул, соответствующих тождественно
истинным формулам исчисления высказываний, то у нас рассмат-
рассматриваются лишь те из них, в которых из числа символов исчис-
исчисления высказываний фигурируют только конъюнкция, имплика-
импликация, эквивалентность и отрицание.
Можно показать (мы будем говорить об этом в Приложе
нии IIII), что любая из этих схем выводима из пяти схем
х) См. Приложение III, § 3, с. 532—542.
434 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
системы C) для конъюнкции и импликации, схем
91 + 33, 91 + 123 1C1 & S3)
И
91 + ^23
(которые, как уже упоминалось, получаются из них с помощью
явного определения для отрицания), правила относительно заме-
заменимости 91 ~ 33 формулой (91 -v 23) & B3 -v 31), а также схемы формул
Значит, наше утверждение о формализме C) будет доказано,
если мы покажем, что любая формула вида
выводима в C).
При этом мы можем ограничиться такими формулами 31, кото-
которые не содержат явно определенных связок, т. е. отрицания и
эквивалентности.
Для элементарных формул 31 выводимость в C) импликации
131 -v 91 получается из установленной нами выводимости формул
-\-\(a = b)-+a = b и -\
Поэтому, для того чтобы выводимость в C) импликации
"ПИ-»-И
установить для любой формулы 31 (из числа входящих в наше
рассмотрение), достаточно установить справедливость следующих
утверждений 1—3:
1. Если формулы
-п©-»© и це+е
выводимы в C), то в C) выводима также и формула
~П (©&(£)-»-©&(£.
2. Если формула
выводима в C), то в C) выводима также и любая формула
llC3 + e) + B3 + S).
3. Если 23 (с) —формула, не содержащая ни связанной пере-
переменной £, ни свободной переменной а, и если формула
"Л 23 (а) + 23 (а)
выводима в C), то в C) выводима также и формула
"nvs©(s)-*v5©(s).
31 НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ АРИФМЕТИКИ 435
Для доказательства этих утверждений мы воспользуемся схемой
21 + 23
которая получается двукратным применением производной схемы
21 + 23
133 + 121
Эту схему мы будем называть схемой двойной контрапо-
зиции. Кроме того (для утверждения 2), мы воспользуемся вы-
выводимой схемой формул
С использованием этих схем указанные три утверждения полу-
получаются сравнительно просто. Именно:
1. С помощью двойной контрапозиции из схем 23 & й + 23 и
23 & й + й мы получаем схемы
llB3&g) + 1133 и 11B3&Й)-*ЦЙ.
С помощью этих схем со ссылкой на выводимость формул 1123-»-23
и 11 g + g получается выводимость формул
llB3&(S) + 23 и 1B3 &(£)-><£,
а следовательно, и формулы
11 B3 &(£)->-33 &G.
2. Схема
E1 + 23) + A121+ ЦЗЗ)
в сочетании с выводимой схемой
23+ (B3+ (£) + <£)
дает схему
23 + (llB3 + e) + ll(S).
Из этой схемы в случае выводимости формулы 11 (£ -*■ Е мы для
произвольных 23 и g получаем формулу
33+ A1 B3+ (£) + (£),
а из нее формулу
llC3 + S) + C3 + S).
3. Из схемы Vj23 (j) + 33 (а) двойной контр апозицией мы полу-
получаем схему
436 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ v
Следовательно, для формулы 35 (с), для которой импликация
Ъ (а) -*- 35 (а) выводима, выводима также и формула
Наконец, если 33 (с), а потому и 35 (е), не содержит переменной а,
отсюда по схеме (а) получается формула
Таким образом, действительно, для любой формулы 31 форма-
формализма i3) формула 11 31-*-21 выводима в C).
Замечание. Обратим внимание, что это утверждение по
своему характеру отличается от утверждений о том, что из основ-
основных схем формализма C) выводимы те или иные схемы формул.
Выводимая схема формул остается применимой и в том случае,
когда к формализму добавляются какие-либо новые символы, в то
время как наше утверждение о выводимости формул вида
~|131-*-31 существенным образом связано со способом построения
рассматриваемых формул 21 и перестает быть применимым, если
мы, например, включим в формализм C) символ дизъюнк-
дизъюнкции.
Итак, наше утверждение, что любая не содержащая формуль-
формульных переменных, дизъюнкций и кванторов существования формула
системы (Z), выводимая в этом формализме, выводима также и
в C), доказано. Тем самым получается, что для формул си-
системы (Z), не содержащих формульных переменных, замена вся-
всякого выражения 21у$3 выражением ~|П2(&~]35) и всякого выра-
выражения 3g3l (e) выражением ~| Vg9l (e) представляет собой некоторого
рода перевод, при котором каждой выводимой в (Z) формуле
в качестве ее перевода соответствует некоторая формула, выво-
выводимая в C).
Формализм C) образует (об этом мы здесь только упомянем)
подсистему того формализма, который был предложен Рейтингом
в качестве формализации интуиционистской арифметики1). Правда,
в формализме Рейтинга отрицание фигурирует в качестве основ-
основной операции. Однако в нем выводима эквивалентность
так что и здесь отрицание может быть выражено через импликацию.
Возможность такого перевода обычного арифметического фор-
формализма (если ограничиться формулами без формульных перемен-
переменных) в формализм Рейтинга, при котором выводимые формулы
J) Heyting A. Die formalen Regeln der intuitionistischen Mathematik.—
Sitzungsber. preuB. Akad. Wiss., phys.-math. Kl., 1930, II.
$ 3] НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ АРИФМЕТИКИ 437
будут переходить в выводимые, была установлена Гёделем1).
Наше рассуждение по методу совпадает с рассуждением Гёделя.
Из полученного результата, в частности, вытекает, что проти-
противоречие в системе (Z) дало бы также себя знать и в виде про-
противоречия в системе C). Действительно, в случае выводимости
в системе (Z) двух формул 31 и 131 в (Z) была бы выводима фор-
формула 0' = О, а тогда эта формула должна была бы выводиться и
в системе C).
Таким образом, оказывается, что трудность финитного дока-
доказательства непротиворечивости формализма всей арифметики опре-
определяется вовсе не тем, что в этом формализме содержится фор-
формализованная версия закона исключенного третьего. Препятствия
возникают уже при попытке финитно доказать непротиворечи-
непротиворечивость C). В самом деле, рассуждение, с помощью которого мы
доказали, что наличие противоречия в (Z) имело бы в качестве
следствия противоречие в C), было вполне финитным.
С другой стороны, если мы стоим на содержательной точке
зрения, то формальные выводы в C) должны истолковываться
как изображения правильных с содержательной точки зрения
рассуждений, и потому ввиду связи, установленной между фор-
формализмами (Z) и C), непротиворечивость системы (Z) становится
для нас очевидной.
Главная проблема содержательного истолкования форма-
формализма C) заключается в истолковании импликации. Пожалуй,
наиболее просто приходящая в голову интерпретация импликации
31->23 как гипотетического предложения «если 3(, то 33» оказы-
оказывается здесь неподходящей, поскольку фигурирующие в C) импли-
импликации, вообще говоря, не выражают зависимости от переменных
условий; и, действительно, по большей части мы имеем дело
с такими импликациями 31->33, у которых посылка 31 не содер-
содержит свободных переменных. Истолкование «не 51 или S3», приня-
принятое в логистике, здесь не подходит, так как оно пригодно лишь
в том случае, когда в основе рассмотрения лежит закон исклю-
исключенного третьего. (Так, уже истолкование импликации 21->21
дало бы нам закон «не 31 или 31».)
Можно было бы попытаться дать для импликации дедуктив-
дедуктивное (beweistechnische) истолкование — вроде того, чтобы каждую
!) God el К. Zur intuitionistischen ArithmetikundZahlentheorie. — Ergebn
eines math. Kolloq,, 1932. Такое же открытие вскоре после этого было сде-
сделано и Генценом. Сходное утверждение содержится уже в опубликованной
в 1925 г. работе: Колмогоров А. Н. О принципе tertium non datur —
Матем. сб., 1925, 32, с. 646—667. Как указывает Гёдель, в исчислении выска-
высказываний возможность перевода обычного формализма в некоторый подформа-
лизм гейтинговского формализма получается из одного замечания В. И. Гли-
венко; см. его работу Ql ivenko V. Sur quelques points de la Logique de
M. Brouwer. —Acad. roy. de Belgique, Bull. Cl. Sci., Ser. 5, 1929, 15.
438 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ 1ГЛ V
импликацию 51-»-23 рассматривать как некоторую схему доказа-
доказательства, с помощью которой мы констатируем возможность по-
получения формулы 23 из формулы 91. Однако такой подход сопря-
сопряжен с многими неприятностями. Во-первых, при истолковании
формул вида (91 -*- 23) -*■ S получается несогласованность, состоя-
состоящая в том, что, с одной стороны, посылка этой импликации
должна истолковываться неформально, в то время как, с другой
стороны, в силу дедуктивного подхода эта посылка должна рас-
рассматриваться как формула, потому что у нас нет никаких пра-
правил для вывода следствий из неформальных предложений.
А во-вторых, если бы мы попытались доказать на основе такого
истолкования непротиворечивость нашего формализма, то, помимо
всего прочего, мы должны были бы показать, что схема заключения
всегда от истинных (в смысле этого истолкования) формул ведет
к истинным. Для этого мы должны были бы показать, что если
формула <2> истинна, а из @ по нашим правилам выводима фор-
формула §!, то Ф тоже истинна. Если в качестве <2> взять какую-
нибудь истинную формулу, например 0 = 0, то дело сведется
к тому, чтобы показать, что каждая выводимая по нашим пра-
правилам формула является истинной. Но в этом как раз и заклю-
заключается наша задача доказательства непротиворечивости.
Этих трудностей можно избежать, последовательно интерпре-
интерпретируя импликацию в содержательном смысле, так, чтобы импли-
импликация 9t->-23 выражала возможность приходить на основании
содержания формулы 91 к констатации содержания формулы 23г).
Такой взгляд на импликацию находит, в частности, примене-
применение при брауэровском понимании импликации 51->-0' = 0 как
«абсурдности». Такая неформальная интерпретация логического
формализма в сочетании с общеупотребительным пониманием
арифметических символов дает нам некоторую содержательную
верификацию для аксиом и схем системы C). Однако, став на
путь такого содержательного понимания следования, мы совер-
совершенно отходим от гильбертовских идей теории доказательств, и
потому напрашивается вопрос, не можем ли мы при доказатель-
доказательстве непротиворечивости системы (Z) избежать этого содержатель-
содержательного понимания, даже если мы и выходим за рамки финитного
рассмотрения, допуская (хотя бы в интерпретированном виде)
в качестве посылок предложения типа всеобщности.
г) Это истолкование близко к истолкованию импликации 91 ->■ Ш, данному
Колмогоровым в рамках его интерпретации гейтинговского исчисления выска-
высказываний как исчисления задач «в предположении, что дано решение задачи Я,
решить задачу 93» (см. Kolmogoroff A. Zur Deutung der intuitionistischen
Logik.—Math. Z., 1932, 35, № 1).
$ 3] НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ АРИФМЕТИКИ 439
Кроме того, находясь на позициях теории доказательств, мы
будем ощущать некоторую неудовлетворенность, если для си-
системы (Z) у нас будет только такое доказательство непротиворе-
непротиворечивости, которое в сущности основывается на некотором истол-
истолковании какого-то формализма. Рассматривая формализм рекур-
рекурсивной арифметики и устанавливая его непротиворечивость, мы
также не удовлетворились одной лишь ссылкой на возможность
его финитного истолкования, а еще убедились в этом с помощью
специально разработанного метода возвратного переноса подста-
подстановок в исходные формулы и дополнительного рассмотрения,
проведенного для схемы индукции. Так, и для формализма (Z)
тоже желательно было бы найти такое доказательство его непро-
непротиворечивости, которое основывалось бы на прямом рассмотрении
этого формализма.
Обоим указанным требованиям удовлетворяет доказательство,
непротиворечивости формализма (Z), которое недавно было дано
Герхардом Генценом1). Мы изложим здесь это доказательство без
подробностей, а более детально остановимся только на одном
существенно используемом в нем способе рассуждений из канто-
ровской теории множеств, представляющем собой как раз ту
часть доказательства, которая не укладывается в рамки форма-
формализма (Z^).
в) Трансфинитная индукция одного частного вида и ее при-
применение в генценовском доказательстве непротиворечивости си-
системы (Z). До сих пор в качестве средств, выводящих при дока-
доказательствах непротиворечивости за рамки формализма (Z^), нам
!) Gentzen Q. Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie. — Math
Ann., 1936, 112, № 4; Neue Fassung des Widerspruchsfreiheitsbeweises fur die
reine Zahlentheorie. —Forschungen zur Logik und zur Grundlegung der exakten
Wissenschaften, Neue Folge, 1938, № 4. (Русские переводы обеих работ имеются
в сб. «Математическая теория логического вывода». — М.: Физматгиз, 1967,
с. 77—153 и 154—190.—Прим перев.) Во второй работе содержится методи-
методически улучшенное и более элементарное изложение этого доказательства
С другой стороны, материал, содержащийся в первой работе, является более
обширным, так как, кроме непротиворечивости рассматриваемого формализма,
там устанавливается еще и некоторое свойство р едуцируемости любой
выводимой формулы этого формализма.
Добавление при втором издании. Опубликованному в Math
Ann. генценовскому доказательству непротиворечивости предшествовало еще
одно, более раннее доказательство, которое в свое время по техническим при-
причинам—или, как бы мы сегодня, пожалуй, сказали, необоснованно —было
отклонено и вследствие этого заменено Генценом доказательством, опублико-
опубликованным в Math Ann. Это более раннее доказательство, гранки которого со-
сохранились, содержится в английском издании собрания сочинений Генцена,
вскоре выходящем в свет под редакцией Манфреда Сабо. Несколько упро-
упрощенное изложение этого доказательства содержится в работе Бернайса: В е г-
nays P. On the original Gentzen consistency proof for number theory. —In:
Intuitionism and Proof Theory: Proceedings of the Summer Conference at Buf-
Buffalo, N. Y, Amsterdam: North-Holland, 1968.
440 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
были известны лишь различные определения истинности. И в только
что рассмотренном доказательстве непротиворечивости системы (Z),
опирающемся на определенное истолкование системы C), выход
за пределы формализма (Z^) тоже происходит за счет того, что
формализация этого истолкования формализма C) сводится к не-
некоторому определению истинности.
В генценовском доказательстве непротиворечивости форма-
формализма (Z) появляется другой тип выхода за рамки (Z^). Этот
выход происходит в связи с обоснованием одного конкретного
обобщения принципа полной индукции.
Речь идет об одном специальном способе умозаключений, при-
применяемом в канторовской теории множеств, который называется
трансфинитной индукцией, потому что он представляет
собой распространение обычного принципа индукции для конеч-
конечных чисел на «трансфинитные» порядковые числа. Принимая во
внимание наше стремление подчеркивать методические различия,
это название следует признать вводящим в заблуждение. На самом
деле немалую часть теории трансфинитных порядковых чисел
можно рассматривать вполне финитными методами.
Так, в частности, тому специальному случаю принципа транс-
трансфинитной индукции, который мы в дальнейшем будем рассмат-
рассматривать, можно придать вид некоторого логико-арифметического
принципа.
Чтобы выразить этот принцип в нужном нам виде, мы опре-
определим рекурсивным образом некоторые, зависящие от числа п
отношения порядка
Отношение а~lb по определению будет означать обычное
отношение порядка а<^Ъ.
Отношение а —\ b по определению будет означать, что ЬФО
и что либо а = 0, либо у числа Ь имеется такой простой дели-
делитель $ь который в разложение Ь входит в степени большей, чем
в разложение а, и номер которого f в отношении -> находится
и
после номеров всех тех отличных от pf простых чисел, которые
в разложения а и Ъ входят в различных степенях.
(Отношение а -3 Ъ словами будет читаться следующим образом:
п
«число о предшествует в порядке -3 числу Ът>, или «число а
п
в порядке —> находится до числа Ь», или «число b в порядке -§
п п
находится после числа о».)
§ 3] НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ АРИФМЕТИКИ 44]
Формально данное определение может быть изображено
с использованием переменной п следующим образом:
а
о
^ (x*^b&v(a, x)<\(b, x) &
Vz(z< max (a, fr) & х —> 2->-v (а, z)=v(b, г)))).
В последней эквивалентности, согласно установленному ранее1),
кванторы могут быть исключены, так что выражение, стоящее
в правой части, может быть переведено в некоторый рекурсивный
предикат. Отсюда видно, что отношение а —>& представляет собой
п
рекурсивный предикат, зависящий от a, b и п. Далее, легко убе-
убедиться, что при любом фиксированном п отношение а -^Ь обла-
п
дает свойствами отношения порядка, которые выражаются посред-
посредством формул2)
1 (а Н а),
и что, кроме того, имеет место альтернатива
B) а = Ь\/а-$Ь\/Ь-1а.
п п
Затем, как и для обычного отношения порядка между числами,
имеют место следующие соотношения:
С другой стороны, если с отлично от 0, а а и b взаимно просты
с с и если а —1с и b —>с, то а-b —>с.
n n n
Кроме того, имеет место следующее, характеристическое для
взаимосвязи между отношениями —> и —> соотношение
П П+1
C) р* -3 р,~Л-5/.
П + 1 П
В каждом из порядков -> число 0 предшествует всем осталь-
п
ным, а вслед за ним идет 1. Поэтому простое число f0, т. е. 2,
х) См. с. 273—274.
2) В настоящем рассмотрении мы используем эти формулы только в каче-
качестве сокращений для утверждений, которые сами по себе мыслятся как
неформальные.
442 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
предшествует, согласно C), всем остальным простым числам и
следующее за ним простое число есть 3. Отсюда в свою очередь
получаем, что в каждом из этих порядков после 1 непосредст-
непосредственно следует число 2.
К перечисленным элементарным свойствам отношений —§ добав-
п
ляется еще одно, которое, говоря на теоретико-множественном
языке, характеризует эти отношения порядка как полные по-
порядки. Воспользовавшись принципом «tertium non datur» для
целых чисел, это свойство можно выразить при помощи некото-
некоторого обобщения принципа наименьшего числа, которое, подобно
этому принципу для отношения а<Ь, изображается формулой
А (а) -> Эх (А (х) & Уу (А (у) -> х = у V х -? у)).
п
Преобразуя эту формулу с использованием альтернативы B)
и подстановки формулы ~]А(с) вместо формульной переменной А(с),
мы получаем следующую дедуктивно равную ей формулу:
V* (Чу (у -Ч х -> А (у)) -> А (х)) -> А (а).
и
и
Таким образом, последняя формула изображает некий принцип,
который, если принять «tertium поп datur», равносилен принципу
наименьшего числа. Содержание его может быть выражено сле-
следующим образом:
«Если какой-либо предикат выполняется для числа т всякий
раз, когда он выполняется для любого / такого, что / —1т, то
п
этот предикат выполняется для любого числа». При этом усло-
условие, что предикат выполняется для всякого / такого, что I Нш,
п
следует считать соблюдающимся при т = 0, так что в условии
этого приндипа содержится требование, чтобы рассматриваемый
предикат выполнялся для числа 0. При содержательном изложе-
изложении этого принципа целесообразно это требование формулировать
специально.
Вместо того чтобы изображать этот принцип формулой, его
можно изобразить с помощью схемы
31 (*)) -►« (с)
31 (а)
Эта схема при п = 0 имеет вид
Последняя в силу свойств отношения <, а также ввиду того,
§ 3] НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ АРИФМЕТИКИ 443
что всякое число, за исключением 0, имеет непосредственно ему
предшествующее, равносильна принципу полной индукции, при-
причем эта равносильность получается без использования принципа
«tertium поп datur».
[Формально упомянутая схема получается из схемы индукции
средствами исчисления предикатов с использованием формул
(Ja) и а<а',
а обратный переход может быть произведен с помощью формул
а<а', a#0-va = 8(a)' и (Л2).];
Изображаемый схемой
SI (a)
способ умозаключений, распространенный на произвольные числа п,
и представляет собой тот частный случай трансфинитной индук-
индукции, который мы будем рассматривать.
Мы изучим вопрос о том, как можно убедиться в приемлемо-
приемлемости этого способа рассуждений, который мы будем называть
обобщенным принципом индукции для порядков —J. При этом
п
отступление от нашего прежнего способа ведения финитных дока-
доказательств будет заключаться лишь в том, что в качестве посылок
утверждений мы будем допускать предложения типа всеобщностиг).
Однако всякий раз —и мы это особо подчеркнем —в качестве
посылок будут фигурировать только такие предложения типа
всеобщности, которые впоследствии на основании результата
нашего рассуждения окажутся истинными. Так, например, уже
в самом этом правиле вывода всеобщее предложение Vx (x—§c-v31(x))
п
встречается в качестве посылки предложения, формулирующего
предположение. В каждом случае применения этого правила по-
получается, что предикат ЭД выполняется для произвольного числа.
Тем самым устанавливается и истинность этой посылки.
Ход нашего доказательства будет таков: при п = 0 этот прин-
принцип, как уже было сказано, совпадает с обычным принципом
полной индукции. Поэтому нам будет достаточно найти способ,
позволяющий в предположении справедливости обобщенного прин-
принципа индукции для порядка -§ доказать справедливость его для
п
порядка -§.
П + 1
*) См. с. 427.
444 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ. V
Итак, предположим, что справедливость обобщенного прин-
принципа индукции для порядка -$ уже установлена. Пусть нам дан
п
предикат 31 (с), выполняющийся для числа 0 и такой, что мы
в состоянии из того, что он выполняется для любого числа,
предшествующего числу f в порядке -$, заключить, что он
П + 1
выполняется и для самого f. Требуется убедиться в том, что этот
предикат выполняется для любого числа.
С этой целью мы сначала рассмотрим следующий, построен-
построенный по предикату 81 (с) числовой предикат 33 (/): «каково бы ни
было число т, не имеющее простых делителей, предшествующих
числу JPi в порядке -$, если предикат Ш(с) выполняется для любого
числа, предшествующего числу т в порядке -$, то он выпол-
n+i
няется и для любого числа, предшествующего числу т-р, в по-
порядке -3».
П+1
Ввиду соблюдения эквивалентности C) условие отсутствия
у т простых делителей, предшествующих в -$ числу jf>t, т. е.
П + 1
то, что %>t в порядке -$ является наименьшим простым делите-
П+1
лем числа т • ft, равносильно условию, что для любого отличного
от JPi простого делителя %>к числа т выполняется соотношение
п
Это условие изображается формулой
4x(x<.m&v(m, ж) =£0&*=£/->-/ -$х)&тфО,
п
которая ввиду наличия члена x<Ltn может быть переведена
в некоторую рекурсивную формулу б„ (т, I), вид которой, кстати,
не зависит от предиката 31 (с).
Тем самым, для предиката ЪA) мы получаем изображение
в виде формулы
П+1 П+1
Чтобы иметь возможность выразить высказывание 33 (/) более
кратко, мы, фиксируя предикат 31 (с) и порядок -§ , назовем число
П+1
т достижимым, если для любого предшествующего этому числу
в порядке -§ числа k, а тем самым, ввиду нашего предположения
П + 1
относительно Ш(с), и для самого числа т выполняется высказы-
§ 3] НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ АРИФМЕТИКИ 445
вание Ш (k). Таким образом, достижимость т выражается формулой
П+1
а также формулой
Уу(У -5 т\/ у = т-+
П + 1
В терминах достижимости высказывание 33(/) может быть
сформулировано следующим образом: «каково бы ни было число т,
из того, что т достижимо и простое число fi является наимень-
наименьшим в порядке -3 простым делителем числа m-pt, следует, что
П+1
число т ■ Pi также достижимо».
Нам потребуется следующая
Лемма. Если число q разлагается на простые множители
§>tl, для которых имеет место 33(&), и если т — достижимое
число, не содержащее простых множителей, предшествующих
в порядке -3 какому-либо из простых делителей числа q, то
п + 1
число т ■ q тоже достижимо.
Действительно, пусть q = Pkt-'-.-Pk., где очередность следова-
следования простых множителей р£. выбрана так, что pft((i=»l, ..., j)
является «наибольшим» (в порядке -3) из простых чисел $>k\,
n+l
*+i' "•' *\ Положим
Щ<=Щ^ -Pfcj A=1, .... j).
Тогда mi = m-q, а кроме того, имеют место высказывания
35(^х), ..., 33(&j) и для t=l, ..., { число fk{ является «наимень-
«наименьшим» /в порядке -5 \ простым делителем числа тг Поэтому для
1=1, ..., j из достижимости /п(_, следует достижимость mi#
Так как, по предположению, число т0, т. е. т, достижимо, то
достижимо и число /ttj, т. е. m-q.
Применив эту лемму к случаю, когда т=1, мы получим
следующий результат:
Если предикат 33 (/) выполняется для любого числа, то любое
число достижимо, а потому предикат 31 (с) тоже выполняется
для любого числа.
Поэтому, для того чтобы доказать, что предикат 31 (л) выпол-
выполняется для любого числа п, нам достаточно доказать, что для
446 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ. V
любого / имеет место высказывание 33 (/). А это мы сделаем
с помощью обобщенного принципа индукции для порядка -2;
п
здесь мы предполагаем, что справедливость этого принципа для
-J уже установлена. Мы должны показать, что имеет место 23 @)
п
и что для числа /, отличного от нуля, предикат 33 (с) имеет
место всякий раз, когда он имеет место для любого числа, пред-
предшествующего / в порядке -$.
п
Так как р0 представляет собой число 2, то высказывание
33@) утверждает, что для любого отличного от 0 достижимого
числа т число 2-пг тоже достижимо.
Это вытекает из того, что в порядке -J простое число 2
П+1
предшествует всем остальным числам, и потому для любого
отличного от 0 числа т число 2 • т непосредственно следует за т.
Второе утверждение, которое мы должны доказать, гласит
следующее: пусть I — какое-либо число, отличное от 0, и пусть
предикат 33 (с) выполняется для любого числа, предшествующего /
в порядке -Ц. Пусть т — такое отличное от 0 число, которое
п
не имеет простых делителей, предшествующих в порядке -$
П + 1
простому числу р{, так что ft является наименьшим в порядке
■Ц простым делителем числа m «ft, и пусть т достижимо.
П+1
Тогда m-ft тоже достижимо.
В этом можно убедиться следующим образом. Пусть л —какое-
либо число, для которого имеет место г -J m-ft. Если это число
П + 1
совпадает с числом т или предшествует ему в порядке -J, то,
П+1
согласно нашему допущению, имеет место высказывание 91 (г).
Если же т -i, г и г -^ m-ft, то на основе предположенного
П + 1 П + 1
нами относительно т и определения порядка -$ число г должно
П + 1
иметь вид m-q, где q — число, отличное от 0 и от 1, которое
имеет только такие простые делители, которые предшествуют
в порядке -J простому числу ft. Для каждого из этих простых
П+1
делителей pk имеет место 33 (k), а число т не имеет простых
множителей, которые предшествовали бы в порядке -J одному
п+1
из простых делителей числа q. Таким образом, условия приме-
применимости нашей леммы выполнены, и из этого следует, что т q,
т. е. г, является достижимым числом, так что имеет место
§ 3] НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ АРИФМЕТИКИ 447
высказывание 21 (г). Следовательно, и число m-ft является дости-
достижимым.
Таким образом, мы получили сведение обобщенного принципа
индукции для порядка -3 к принципу для порядка -^, и тем
n + i it
самым, ввиду справедливости этого принципа для порядка -$,
о
получается, что он справедлив для любого порядка -§.
п
А теперь посмотрим, как обстоит дело с возможностью фор-
формализации этого доказательства в формализме (Z^). Рассуждение,
сводящее принцип индукции для порядка -§ к этому принципу
для порядка -3, как легко убедиться, может быть формализо-
п
вано в системе (Z^). При заданных цифре п и формуле 21 (с) это
дает нам вывод в (Z^) формулы
[V* (У/у (у -§ х -> 23 (у)) -> 23 (х)) ~> У/хЪ (х)] ->
[У/х (V</ G/ -§ х -> 21 (</)) -> 21 (*)
Здесь 93 (/) представляет собой формулу
n+i
где 6n(m, /) —ранее так уже обозначавшаяся рекурсивная, не
зависящая от формулы Ш (с) формула.
Если мы обозначим выражение 23 (/), подчеркивая его зависи-
зависимость от формулы 8{(с) и цифры п, посредством $8ХA, 21 (х), п),
а формулу
У/х (У/у (у -? х -»- 21 (г/)) -► 21 (х)) -► Vx2l (jc)
n
посредством Ind^B((A:), n), то упомянутая выше выводимая фор-
формула изобразится в следующем сокращенно записанном виде:
IndUSM*. % (У), п), п)ч-1пA,(Я(л), п+1).
Взяв в качестве 21 (с) формулу А (с), мы с помощью этой импликации
можем из формулы lndx(A(x), n) вывести lndx(A(x), n+1).
Так как, кроме того, в (Z^) выводима формула Ind (А (х), 0),
то отсюда для любой цифры п получается некоторый вывод
формулы Ind* (Л (х), п) в формализме (Z^).
Однако утверждение, что обобщенный принцип индукции
справедлив для любого из порядков -§, этим все-таки еще не
п
формализуется. Для этого нужно, чтобы на месте цифры п стояла
свободная или связанная числовая переменная.
448 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ {ГЛ. V
Правда, формула
Шхфу(х, А {у), п), п)-*Шх{А{х), п')
выводима с переменной п. И все-таки эта формула вместе с фор-
формулой Indj; (Л (х), 0) еще не позволяет применить в рамках фор-
формализма (Z^) схему индукции. Такая возможность имелась бы
в том случае, если бы в нашем распоряжении были связанные
формульные переменные. Тогда мы смогли бы вывести формулух)
VU lndx(U (х), n)-+VUlndx(U(x), n').
Другая возможность заключается во введении некоторого пре-
предикатного символа (в расширенном смысле этого слова)
Tz{c, A(z), n, k) с помощью следующих рекурсивных эквивалент-
ностей:
Г, (с, Л (г), п, 0)~Л(с),
Г, (с, Л (г), п, k')~%y(c, Т,{у, Л (г), п, k), n^k').
Вторая из этих эквивалентностей дает нам формулу
l<n-+{rz(c, Л (г), п, п^-1)~Ъу{с, Г, {у, Л (г), п, л—/'). 0).
из которой с помощью формулы
\пйх{Ъу{х, А (г/), п), п)-*-\п&х(А(х), п'),
куда вместо /г нужно подставить /, а вместо формульной пере-
переменной Л (а) — формулу
Г, (а, Л (г), п, п^-Г),
мы получаем формулу
Kn-+[lndx(T2(x, Л (г), п, л-0, /)->
IncL(rz(x, Л (г), п, п^Г), О],
а далее при помощи средств исчисления высказываний с исполь-
использованием формул
^^1'^п и
получаем формулу
, Л (г), п, п^1), 0]->
[/'<«-> 1псЫГЛ*, Л (г), п, «-=-/'), Г)]-
х) При этом применение связанных формульных переменных можно было
бы ограничить таким образом, чтобы вместо свободных формульных перемен-
переменных допускались подстановки только таких формул, которые сами связанных
формульных переменных не содержат.
§ 3] НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ АРИФМЕТИКИ 449
Если к этой формуле добавить формулу
Osgn-ylnd^r^*, Л (г), л, л —0), 0),
получающуюся из формулы lndx(A(x), 0), то можно будет при-
применить схему индукции Эта схема даст нам формулу
1^п + Шя(Гг{х, А (г), п, л-/), I)
и, подставив в нее л вместо /, мы с помощью формул л=^л,
л —л = 0 и Гг(с, А (г), л, 0)~Л(с) получим формулу
Шх(А{х), л),
которая дает формальное изображение обобщенного принципа
индукции относительно любого порядка -^.
п
Этой формализации можно будет придать несколько более
элементарный вид, если мы удовлетворимся тем, что вместо выво-
выводимости формулы Ind* {А (х), л) с формульной переменной А (с)
получим только выводимость формулы 1пAл(91(д;), л) для каждой
отдельно взятой формулы Ш(с), не содержащей формульных
переменных. В этом случае для каждой отдельной формулы 31 (с)
(без формульных переменных), где alt ..., ас —возможно фигу-
фигурирующие в ней отличные от с свободные индивидные перемен-
переменные, мы вместо символа Гг(с, A (z), л, k) определим некоторый
предикатный символ
О(с, аъ ..., ас, л, k),
который введем аналогично символу Гг с помощью некоторых
рекурсивных эквивалентностей. При этом, как и в определениях
рекурсивных функций, параметры аь ..., аг можно будет реду-
редуцировать в один-единственный, в качестве которого мы возьмем
переменную а.
Для формулы %(с), которая кроме с, содержит переменную а
и никаких других свободных переменных не содержит, эти рекур-
рекурсивные эквивалентности, с помощью которых вводится соответ-
соответствующий предикатный символ О. (с, а, п, k) с параметром а,
записываются следующим образом:
D(c, а, п, 0)~Я(с),
D(c, а, п, к')~Яу(с, п(у, а, п, k), n^-k').
[Если формула %(с) других свободных переменных кроме с не
содержит, то вводимый предикатный символ будет содержать
только три аргумента с, л и k.]
Здесь %(с, А (у), л) представляет собой формулу
c)&Vy{y -j x^A(y))-»Vy(y -J
n+l n+l
450 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ. V
поэтому выражение %и(с, D (у, а, п, k), n — k') имеет вид
УхЩ^х, с, п, k)&Vy(m2(x, У, п, k)-+£L(y, а, п, *))-»-
A;R, у, п, k)^u(y, а, п,
где 34j (а, Ь, п, к) и ЭД2 (a, b, n, k) — некоторые рекурсивные
формулы, и может быть преобразовано в формулу
М*, с, п, к)\/3у(т3(х, у, п, k)&lu(y, a, n, k))\/
xfPc, У, п, k)\jCHy, а, п, Щ.
Таким образом, рекурсивное определение символа Q(c, a, n, k)
аналогично тому, с помощью которого мы ввели символ М (п, k)
при определении истинности для формализма (ZI).
Относительно введения символа М (п, к) мы выяснили, что
оно выводит как за пределы формализма (Z), так и за пределы
(ZpiJ). В связи с этим в высшей степени правдоподобно,
что приведенная выше схема, определяющая предикатный символ
D, (с, а, п, k), окажется средством, не укладывающимся в рамки
формализма (Z^), т. е., вообще говоря, не будет заменяться
явными определениями в (Z^).
То, что этот способ введения предикатных символов, а тем
самым и доказательство рассмотренного частного случая транс-
трансфинитной индукции, выводит за пределы формализма (Z^), следует
из того, что применение этого способа умозаключении вместе
с рассуждениями, которые формализуются в (Z^), позволяет
провести генценовское доказательство непротиворечивости фор-
формализма (ZK).
Мы приведем здесь — хотя бы в схематическом виде — ход этого
доказательства, причем в новой его редакции4). С этой целью
к проведенному рассмотрению данного частного случая трансфи-
трансфинитной индукции мы добавим еще одно дополнительное рассу-
рассуждение.
Каждый из порядков -3, если отвлечься от конкретного уст-
п
ройства упорядочиваемых им элементов (в данном случае являю-
являющихся числами), по терминологии Кантора, изображает некоторый
1) См. с. 411.
») См. с. 415.
3) Это рассуждение использует вторую теорему Гёделя. В одной более
поздней работе: Gentzen G. Beweisbarkeit und Unbeweisbarke^t von An-
fangsfallen der transfiniten Induktion in der reinen Zahlentheorie. — Math Ann.,
1943, 119, S. 140—161, Генцен показал, что с помощью некоторой модифика-
модификации доказательства непротиворечивости можно и без ссылки на эту теорему
Геделя убедиться в том, что обобщенный принцип индукции существенным
образом не укладывается в рамки арифметического формализма.
4) См. сноску на с. 439.
5 31 НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ АРИФМЕТИКИ 451
порядковый тип, причем даже некоторое порядковое
число, так как все эти порядки являются полными. Эти поряд-
порядковые типы мы можем сделать более наглядными, если вместо
чисел в качестве упорядочиваемых элементов возьмем некоторые
выражения из формализма канторовскои теории второго числового
класса.
Эти выражения вместе с упорядочивающим их отношением,
которое мы будем обозначать обычными знаками < и > для
меньше и больше, мы получим с помощью некоторого рекур-
рекурсивного приема: Исходным, а заодно и наименьшим по этому
порядку выражением является символ 0. Если аь ..., at — уже
полученные выражения (в конечном числе г), удовлетворяющие
условию ааЭ:а2>...3;ас (знак равенства здесь означает совпа-
совпадение по написанию), то из них может быть построено выраже-
выражение
Число г при этом может быть равно и 1.
Между двумя такими выражениями
отношение порядка
вводится таким образом, что для соблюдения его должен иметь
место один из следующих двух случаев:
1) <ij = bj для 1 = 1, ..., г и число г меньше б;
2) для некоторого i из списка 1, ..., г имеет место a, < bf>
причем, если 1ф1, то «j = bj для j=l, ..., t—1.
Полученные описанным образом выражения мы будем называть
0-со-фигу р а ми. По любому заданному выражению всегда можно
выяснить, является ли оно 0-ю-фигурой, и по любым двум отлич-
отличным друг от друга 0-ш-фигурам всегда можно узнать, которая
из них является меньшей. Действительно, любая 0-со-фигура
является либо символом 0, либо степенным выражением <о'\ где
а —снова 0-ю-фигура, либо она представляет собой построенное
из таких степеней выражение, для которого дополнительно выпол-
выполняется условие a1>a2Si...^ar Поэтому для выяснения инте-
интересующего нас вопроса получается некоторая рекурсивная про-
процедура, которая от рассмотрения заданных фигур позволяет
перейти к рассмотрению их составных частей и потому всегда
обрывается.
452 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ГГЛ. V
Так, например, мы можем констатировать, что выражение
является О-со-фигурой, в то время как выражения
(йш0+0 и co^rl-^+cu0^0
О-со-фигурами не являются, а также что первая из двух О-со-фигур
меньше второй.
Замечание. В суммах и степенных выражениях, участвую-
участвующих в построении О-со-фигур, мы можем обходиться без каких бы
то ни было скобок: в суммах — потому что процесс последователь-
последовательного написания выражений ассоциативен сам по себе, а в степе-
степенях — потому что всякий раз строятся только степени вида со",
так что выражение со0* может восприниматься только как сте-
степень со с показателем сос.
Фигуры со0, со'0", со" будут обозначаться нами как t>0, *>i, *>a.
И вообще, посредством <оп мы будем обозначать 0-ю-фигуру, полу-
получающуюся из к>о путем n-кратного применения операции перехода
от выражения а к выражению со" *).
Между порядками -$ и порядком, введенным для О-со-фигур,
п
имеет место следующее соотношение: для всякого числа п может
быть построена функция £„ (k), отображающая числа на О-со-фи-
гуры, меньшие t>n+lf таким образом, что числовой порядок -2
п
переходит в порядок О-со-фигур, или, другими словами, что мень-
меньшему из двух чисел в смысле порядка -3 соответствует и меньшая
п
О-со-фигура.
Замечание. Тот факт, что для каждого числа п может
существовать не более одного отображения с указанным свойст-
*) В канторовской теории второго числового класса вместо фигуры а>°
пишут цифру 1, вместо n-членной суммы а>° +... + а>°—цифру n a вместо со1 —
просто со Таким образом юо=1 »i = g>, о2 = а>°). Рекурсивное определение юп
выглядит следующим образом-
«Предел» последовательности %, юг, ... является первым канторов-
с к и м е-ч и с л о м, т. е. наименьшим из тех чисел а второго числового класса,
которые удовлетворяют условию а = соа. Одновременно это число является
наименьшим из чисел второго числового класса, уже не представимых 0-ш-
фигурами.
$ 31 НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ АРИФМЕТИКИ 453
вом, может быть доказан с помощью обобщенного принципа ин-
индукции для порядков ->. Однако этим обстоятельством мы здесь
и
пользоваться не будем.
Функции t,n{k) определяются следующим образом: £0@) при-
приписывается значение 0; при 1Ф0 £0(f) в качестве значения при-
приписывается f-членная сумма со° + ... + со°. Функция £n+1(f) опре-
определяется с помощью £n(fe): £n + 1@) приписывается значение 0;
Sn+i \2) при t = 0, 1, ... в качестве значения приписывается
^+1)-членная сумма (о° + ... + <о0. Если f отлично от нуля и не
является степенью числа 2 и если #>Cl •. • • • РСв — разложение f на
простые множители, упорядоченные (при б>1) таким образом,
что при 1 =s£t=^e либо г(+1 = г(, либо ri+1 -§г(, то £n+1 (f) припи-
п
сывается значение + +
Легко убедиться, что определенные таким образом функции
£„ (k) доставляют нам отображения с указанным выше свойством;
причем это доказывается с использованием того факта, что любая
отличная от нуля О-со-фигура, имеющая вид со +... + соас (здесь
(^^...З^а,.), тогда и только тогда меньше »п+1, когда ai<On.
Из указанного факта также следует, что для всякой О-ю-фигуры а
можно определить такое число п, для которого а<»„.
В итоге мы, таким образом, убеждаемся, что числовой поря-
порядок -$ совпадает с некоторым начальным отрезком упорядочения
и
О-со-фигур по этому порядковому типу, т. е. если упорядочивае-
упорядочиваемые элементы рассматривать только как указатели места: именно,
-$ совпадает с тем начальным отрезком, который образуется
и
О-со-фигурами, меньшими »п+1. Этот начальный отрезок прости-
простирается тем дальше, чем больше число п, и каждая 0-ю-фигура
принадлежит некоторому такому отрезку.
Но отсюда немедленно вытекает, что обобщенный принцип
индукции имеет место и для О-со-фигур, упорядоченных указан-
указанным образом.
Замечание 1. Доказательство обобщенного принципа ин-
индукции для порядка О-со-фигур, естественно, можно дать и путем
непосредственного рассмотрения этих фигур. Метод доказатель-
доказательства при этом будет лишь несущественно отличаться от метода,
примененного нами для порядков -§: из справедливости этого
и
принципа для О-со-фигур, меньших ю„ (и = 1, 2, ...), мы заключаем
о справедливости его для О-со-фигур, меньших »п+1. Мы рассмот-
454 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
рели вначале порядки -3, так как нам было важно выяснить
п
вопрос о формализуемости этого рассуждения в формализме (ZM).
Доказанная нами теорема о порядках -$ — это, так сказать, ариф-
п
метическая версия обобщенного принципа индукции для О-со-фигур.
Замечание 2. Вместо принципа индукции для О-со-фигур
нам хватило бы и теоремы о том, что всякая убывающая после-
последовательность 0-о-фигур после конечного числа шагов обрывается
(кончается нулем). Сравнительно простое доказательство этой
теоремы приводится в Приложении Vх).
А теперь, пользуясь принципом индукции для О-со-фигур,
можно, следуя Генцену, убедиться в непротиворечивости си-
системы (Z).
Для этого формализм (Z) сначала сводится к некоторому
другому2). Об этом формализме — назовем его Ci) —мы здесь
только скажем, что в нем всякое доказательство состоит из так
называемых секвенций, т. е. обобщенных импликаций вида
«1 «,->»! %,
где 91Х, ..., 91Г и 93Ь ..., 33g "суть формулы, построенные из эле-
элементарных с помощью знаков конъюнкции, дизъюнкции и отри-
отрицания, а также кванторов всеобщности и существования. Число t
антецедентов, равно как и число ё сукцедентов секвен-
секвенции может быть любым, в том числе оно может равняться и
нулю3).
J) См. с. 621 и далее.
2) То, что для успеха доказательства это сведение не существенно и что,
более того, для формализма (Z) или для формализма, получающегося из него
путем исключения формульных переменных, соответствующее рассуждение
получается даже несколько более простым, было показано Л. Кальмаром
осенью 1938 г. в одной до сих пор не опубликованной работе «Ober Qentzens
Beweis fflr die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie». Вскоре после
этого В. Аккерману удалось о использованием индукции до первого е-числа
довести рассмотренный в гл. II (с, 124—161) метод, исходящий из первона-
первоначального гильбертовского подхода и не ведущий финитными средствами
к искомому результату, до доказательства непротиворечивости арифметиче-
арифметического формализма. См. его работу. Ackermann W. Zur Widerspruchsfreiheit
der Zahlentheorie.—Math. Ann., 1940, 117, S. 162—194. Изложение этих до-
доказательств Кальмара и Аккермана будет дано в Приложении V.
3) Такие секвенции Генцен использовал уже в работе: Qentzen Q.
Untersuchungen fiber das logische Schliefien—Math. Z., 1934, 39, № 2—3 (рус-
(русский перевод см. в сб. «Математическая теория логического вывода»—М.;Физ-
матгиз, 1967, с. 9—74.—Прим. перев.). Секвенции вида
впервые были введены Паулем Герцем в его исследованиях по системам
предложений: Hertz P, Ober Axiomensysteme fur beliebige Satzsysteme.—Math.
§ 31 НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ АРИФМЕТИКИ 455
Из противоречивости системы (Z) следовала бы выводимость
в формализме C0 пустой секвенции, т. е. секвенции без
антецедента и сукцедента. Поэтому для доказательства непротиво-
непротиворечивости системы (Z) достаточно показать, что в C0 невыводима
пустая секвенция.
Для этого некоторым элементарно-рекурсивным способом каж-
каждому выводу в Ci) приписывается определенная 0-со-фигура —
порядковое число этого вывода. Затем показывается, как
по каждому выводу пустой секвенции, в предположении, что
таковой у нас имеется, с помощью некоторого редукцион-
редукционного шага можно получить другой вывод пустой секвенции,
с меньшим порядковым числом.
Отсюда вытекает, что если с — порядковое число и если для
любого п, меньшего с, всякий вывод в Ci) с порядковым числом п
(при условии, что таковые вообще бывают) оканчивается непустой
секвенцией, то это должно быть верно и для с. Отсюда по прин-
принципу индукции для О-со-фигур получается, что в Ci) вообще не
существует вывода пустой секвенции.
Замечание. Примененное в этом доказательстве косвенное
рассуждение с точки зрения финитной установки не является
проблематичным, так как допущение о существовании вывода
в Ci) c порядковым числом п, оканчивающегося пустой секвен-
секвенцией, обладает интуитивно ясной определенностью. — Впрочем,
этого косвенного рассуждения здесь можно было бы и избежать.
В самом деле, это генценорское доказательство можно, например,
превратить в позитивное доказательство утверждения о том, что
у любой выводимой в (Зх) секвенции, у которой в антецеденте и
сукценденте фигурируют только равенства между цифрами, имеется
по крайней мере одна истинная (в смысле выделенной оценки
Ann , 1923, 89, № 1/2 и 1929, 101, №4. Фигуры заключения Генцена
примыкают к формализму систем предложений Герца
Секвенция
где г и i отличны от нуля, при содержательном ее понимании, равнозначна
импликации
S11&...&SIC-*«1 V ... V^e.
секвенция
-*«!, .... ««
равнозначна формуле
»i V - V %
секвенция
«1 «с"*1
равнозначна формуле
-|(И,& &ЯС),
а «пустая секвенция» -»- равнозначна ложной формуле.
456 ВЫХОД ЗА РАМКИ ТЕОРИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ [ГЛ V
истинности равенства) формула в сукцеденте или по крайней мере
одна ложная (в том же самом смысле) в антецеденте.
Метод этого кратко намеченного здесь доказательства позво-
позволяет вместе с тем получить и некоторые более сильные резуль-
результаты. В частности, в связи с вопросом о внешней непротиворе-
непротиворечивости х) мы упомянем результат о том, что рассмотренный
формализм остается непротиворечивым, если к нему добавить
какие-либо верифицируемые формулы2) в качестве исходных,
а также если ввести какие-либо функциональные знаки для вы-
вычислимых функций или предикатные символы для разрешимых
отношений между числами вместе с характеризующими их аксио-
аксиомами, которые на основе неформального истолкования этих сим-
символов либо сами являются верифицируемыми формулами, либо
выводятся из формул этого рода.
Генценовский метод доказательства рассчитан не только на
до сих пор осуществленное с его помощью доказательство непро-
непротиворечивости для арифметического формализма, но в значитель-
значительной мере и на возможные применения к более широким форма-
формализмам, в частности к формализму анализа3). В самом деле,
основная идея генценовского доказательства связана не с тем,
что в рассматриваемом формализме имеется какая-либо возмож-
возможность исключать трансфинитные средства, а только с тем, что,
с одной стороны, выводы данного формализма в известной мере
могут быть вполне упорядочены по степени их сложности и что,
с другой стороны, для таких выводов, заключительные формулы
которых изображают нечто в элементарном смысле ложное, может
быть определена редукция, в результате однократного применения
которой к заданному выводу, так сказать, исключается некото-
некоторый шаг этого вывода и порядковое число вывода при этом
уменьшается.
Разумеется, — и это является одним из последствий теоремы
Гёделя — чем шире рассматриваемый формализм, тем более высо-
высокими должны быть используемые в доказательствах порядковые
типы, т. е. тем более сложными должны быть формы применяе-
применяемого обобщенного принципа индукции, и методические требования
к содержательному обоснованию этих принципов задают масштаб
тех методических предпосылок, которые должны быть положены
в основу нашей содержательной установки для того, чтобы мы
могли доказать непротиворечивость рассматриваемого формализма.
1) См. о. 351.
*) См. с. 58.
") Формализация анализа, как и формализация арифметики, может быть
осуществлена g помощью отличающихся друг от друга эквивалентных форма-
формализмов; но здесь имеется значительно большее многообразие возможностей.—
Различные виды формализации анализа обсуждаются в Приложении IV; см.
с. 546 и далее.
ПРИЛОЖЕНИЕ I
СВЕДЕНИЯ ОБ ИСЧИСЛЕНИИ ПРЕДИКАТОВ
И ПРИМЫКАЮЩИХ К НЕМУ ФОРМАЛИЗМАХ
§ 1. Чистое исчисление предикатов
Переменными у нас являются: свободные и связанные
индивидные переменные, а также формульные переменные без
аргументов и формульные переменные с одним или несколькими
местами для аргументов.
В качестве индивидных переменных мы используем строчные,
а в качестве формульных — прописные буквы латинского алфавита.
Свободные и связанные индивидные переменные мы рассматриваем
как различные сорта переменных. Для их различения мы исполь-
используем одни буквы этого алфавита в качестве свободных перемен-
переменных, а другие —в качестве связанных; так, в качестве свободных
переменных мы, как правило, берем буквы а, Ъ, с, k, I, m, n, r
и s, а в качестве связанных — х, у, г, и, v и w.
Замечание. Мы оставляем за собой право придерживаться
этого разграничения по мере надобности; будет вполне достаточно,
если мы всякий раз сможем соблюдать его внутри отдельных
связных дедуктивных рассмотрений. Этой свободой мы уже поль-
пользовались в отношении буквы t, которая в гл. III данного тома
использовалась как связанная, а в гл, IV как свободная пере-
переменная.
Формульные переменные считаются различными, если они
либо различаются как буквы, либо имеют разное число аргу-
аргументов.
Символами являются: символы для связок исчисления
высказываний (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импли-
импликация и эквивалентность) и кванторы (всеобщности и сущест-
существования).
Применяя отрицание, мы получаем из выражения 81 выраже-
выражение 31; из выражений 91 и ЯЗ применением конъюнкции, дизъ-
дизъюнкции, импликации и эквивалентности мы получаем соответ-
соответственно выражения
sivs, и->», si—аз.
Каждый из кванторов всеобщности и существования имеет при
себе по одной связанной переменной. Употребление этих кванто-
кванторов в роли логических операций состоит в том, что, исходя из
какого-либо выражения 31 (с), в котором встречается свободная
458 ПРИЛОЖЕНИЕ [!
переменная с и не встречается связанная переменная £, мы строим
выражения
и 35ЯE).
При этом 21 (j) обозначает выражение, которое получается из 21 (с)
в результате повсеместной замены в этом последнем переменной с
переменной £.
Мы говорим, что в выражении VgSI (s) (или 3j2l(j)) перемен-
переменная j относится к квантору Vj (или соответственно к 3j) и
что она связывается этим квантором. Выражение 21 (£) мы
будем называть областью действия соответствующего кван-
квантора.
Относительно самих кванторов всеобщности Vj и существова-
существования 3j мы говорим, что они относятся к переменной £. Кван-
Кванторы, относящиеся к одной и той же связанной переменной, мы
называем одноименными.
При построении сложных выражений, отправляясь от более
простых, мы, как обычно, употребляем скобки. В целях экономии
скобок мы пользуемся следующими соглашениями: выражения
вида П 91, Vj2l(j) и 3j2lE) в скобки не заключаются; конъюнкции
и дизъюнкции в качестве членов импликаций и эквивалентностей
разрешается в скобки не заключать; конъюнкцию в качестве пер-
первого члена какой-либо другой конъюнкции, а также дизъюнкцию
в качестве первого члена какой-либо другой дизъюнкции разре-
разрешается не заключать в скобки, так что многочленные конъюнкции
и дизъюнкции могут строиться без скобок.
Среди выражений, которые могут быть построены из перемен-
переменных и символов исчисления предикатов, формулы характери-
характеризуются следующим образом:
Элементарными формулами являются либо формуль-
формульные переменные без аргументов, либо формульные переменные со
свободными индивидными переменными в качестве аргументов.
Формулы исчисления предикатов — это либо элементарные фор-
формулы, либо выражения, получающиеся из элементарных формул
в результате описанного выше применения к ним символов
исчисления предикатов. Таким образом, формулы мы получаем
согласно следующему рекурсивному определению:
Всякая элементарная формула является формулой. Если 21 —
формула, то выражение 21 тоже является формулой. Если 21 и 33
суть формулы, то выражения 21&23, 21 V ®> 21-»-23 и 21 ~$ тоже
являются формулами. Если 21 (с)—формула, содержащая свобод-
свободную переменную с, но не содержащая связанной переменной £,
то выражения Vj;2l E) и 3j2l E) тоже являются формулами1),
!) Во всех этих построениях предполагается, что обязательно употреб-
употребляются скобки, являющиеся необходимыми для выделения составных частей,
5 1} ЧИСТОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ 459
Формула исчисления предикатов, не содержащая вхождений
индивидных переменных, называется формулой исчисления
высказываний. Тождественно истинные, или, как
мы иногда для краткости говорим, тождественные формулы исчис-
исчисления высказываний, среди прочих формул характеризуются при
помощи следующей процедуры вычисления их значений. Связки
исчисления высказываний мы определяем как истинностные
функции (т. е. как функции, заданные в области из двух
значений «истина» и «ложь», обозначаемых буквами И и Л) при
помощи следующих равенств:
1И = Л, 1Л = И, И&И = И, И&Л = Л,
Л&И = Л, Л&Л = Л; p\/q=-\(-\p&-\q),
p~q=(p&q)\/(-\p&-\q)
(для произвольных р и q, принимающих значения И и Л). Тогда
тождественно истинные формулы исчисления высказываний харак-
характеризуются тем, что они принимают значение «истина» при любом
распределении истинностных значений по всем входящим в эти
формулы формульным переменным.
Чтобы определить понятие вывода в исчислении предикатов,
мы должны сначала описать операцию подстановки, а также
операцию переименования связанных переменных.
Подстановка в формулу 91 вместо свободной индивидной пере-
переменной а заключается в том, что эта переменная всюду, где она
встречается в 21, заменяется одной и той же свободной индивид-
индивидной переменной Ь; в этом случае мы говорим, что в формулу Я
вместо переменной а подставляется переменная Ь,
Переименование какой-либо связанной индивидной переменной £
в формуле 91 заключается в том, что эта переменная всюду в области
действия относящегося к ней квантора и в самом этом кванторе
заменяется одной и той же отличной от нее связанной индивид-
индивидной переменной 9, так что выражение VjSI E) (или 3j9l E)), являю-
являющееся формулой или составной частью какой-либо другой фор-
формулы, при этом преобразуется в Vi?2l(ty) (в 3t)Sl (t>) соответст-
соответственно). В этом случае мы говорим, что переменная £ переиме-
переименовывается в области действия относящегося
к ней квантора в переменную у.
Подстановка вместо формульной переменной S3 без аргументов
в какую-либо формулу 91 заключается в том, что эта переменная
всюду, где она встречается в формуле 91, заменяется одной и
той же формулой ®. В этом случае мы говорим, что в фор-
а необязательные скобки могут быть опущены. Так, например, если 91, S3 и
й—формулы, то выражения (91 ~ ©)->-(£, (9[&S3)-»-g и 91&33->6 тоже
являются формулами, в те время как выражение Щ ~ © -> S формулой не
является.
460 приложения И
мулу SI вместо формульной переменной 99 под-
подставляется формула 6.
Подстановка вместо формульной переменной с одним или
несколькими аргументами производится с помощью так называе-
называемой именной формы. Именной формой какой-либо формуль-
формульной переменной, имеющей аргументы, называется элементарная
формула, состоящая из той же самой формульной переменной
с попарно различными свободными индивидными переменными
в роли аргументов; эти переменные в рассматриваемой ситуации
мы называем аргументными переменными данной имен-
именной формы.
Вариантом данной именной формы мы называем всякое
выражение, получающееся из этой именной формы в результате
замены каждой ее аргументной переменной какой-либо свободной
или связанной индивидной переменной, а под заменителем
для данной именной формы мы понимаем любую формулу, в кото-
которой встречаются все аргументные переменные данной именной
формы1).
Для задания подстановки в данную формулу вместо данной
формульной переменной с аргументами нужно для какой-либо
именной формы этой формульной переменной указать некоторый
заменитель. Выполнение подстановки в этом случае заключается
в том, что всюду, где в данной формуле встречается какой-либо
вариант рассматриваемой именной формы, этот вариант заменяется
тем выражением, которое получается из указанного заменителя
при помощи тех же самых замен, в результате которых этот
вариант получается из рассматриваемой именной формы.
Замечание. Для того чтобы в результате подстановки
вместо формульной переменной (с аргументами или без них) или
переименования связанной переменной в какой-либо формуле
снова получилась формула, необходимо, чтобы в получающемся
выражении никакой квантор не оказывался в области действия
другого одноименного квантора, или —как мы говорим короче —
чтобы не возникало к о л л и з и й между связанными пере-
переменными.
Кроме подстановок и переименований, в выводах исчисления
предикатов для перехода от одной формулы к другой исполь-
используются также следующие схемы (а) и (Р):
Схема (а) состоит в переходе от какой-либо формулы 91-*-33(а),
в которой 23 (а) не содержит переменной х, к формуле
') В первоначальном изложении исчисления предикатов (т. I, гл. IV)
термины вариант и заменитель не вводились. Впервые они появ-
появляются в данном томе на с. 291.
I П ЧИСТОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ 461
а схема (E) состоит в переходе от формулы 33(а)-»-91, в которой
23 (а) не содержит переменной х, к формуле
ЗхЪ (х)-*- Щ
при этом в обеих схемах переменная а не должна входить ни в 91.
ни в 33 (ж).
Замечание. Исключительная роль переменных а и х в схе-
схемах (а) и (Р) может быть устранена путем применения правил
подстановки и переименования, так что вместо указанных двух
схем (а) и (Р) мы можем получить соответствующие им производ-
производные схемы, в которых вместо переменной а будет фигурировать
произвольная свободная, а вместо переменной х — произвольная
связанная переменная.
В известной мере обращениями этих двух схем (а) и (р4)
являются следующие две основные формулы:
(a) ЧхА {х) -> А (а)
(b) А{а)-+ЭхА(х).
И, наконец, еще в качестве схемы исчисления высказываний
у нас имеется схема заключения, согласно которой от двух
формул <2> и ©-»-£ разрешается перейти к формуле §.
Теперь определение вывода можно сформулировать следующим
образом. Под выводом в исчислении предикатов мы
понимаем явно предъявленную (и, следовательно, конечную)
последовательность формул исчисления предикатов, в которой
для каждой формулы имеет место один из следующих случаев:
1. Эта формула является тождественно истинной формулой
исчисления высказываний или одной из формул (а) и (Ь).
2. Эта формула не является первой формулой рассматривае-
рассматриваемой последовательности и получается из непосредственно пред-
предшествующей ей формулы либо в результате некоторой подста-
подстановки вместо индивидной или формульной переменной, либо
в результате переименования какой-либо связанной перемгнной,
лиоо в результате применения одной из схем (а) и (E).
3. Эта формула не является ни первой, ни второй формулой
рассматриваемой последовательности и получается из двух непо-
непосредственно предшествующих ей формул по схеме заключения.
4. Эта формула совпадает с одной из предшествующих ей
формул рассматриваемой последовательности.
Вывод, последней формулой которого является формула 3d,
называется выводом формулы 91.
Формулы вывода, удовлетворяющие условию 1, мы называем
исходными формулами этого вывода. Как таковые они
характеризуются тем, что они не получены ни из каких пред-
предшествующих формул этого вывода ни в результате повторения,
462 ПРИЛОЖЕНИЕ [I
ни в результате подстановки либо переименования, ни в резуль-
тате применения какой-лиОо схемы из числа вышеупомянутых.
Те формулы, которые могут служить исходными формулами
каких-либо выводов в исчислении предикатов, мы называем
исходными формулами исчисления предикатов.
Согласно сказанному исходные формулы исчисления предика-
предикатов — это тождественно истинные формулы исчисления выска-
высказываний и основные формулы (а) и (Ь).
Формула называется выводимой, если она является послед-
последней формулой какого-либо вывода.
Говоря о правилах подстановки и переименова-
переименования, мы всегда имеем в виду допустимые в каком-либо выводе
подстановки и переименования. Именно, предполагается, что
подстановка вместо какой-либо индивидной или формульной пере-
переменной или же переименование какой-либо связанной индивидной
переменной (в соответствии с точным смыслом этих выражений)
могут быть произведены только в том случае, если в результате
этого из данной формулы снова получается некоторая формула,
т. е. если в итоге не получается каких-либо коллизий между
связанными переменными.
Относительно какой-либо формулы, получающейся из формулы 81
в результате одной или нескольких непосредственно следующих
друг за другом подстановок, мы для краткости говорим также,
что она получается из 81 «в результате подстановки».
Формулу, которая получается в результате подстановки из
какой-либо тождественно истинной формулы, мы называем форму-
формулой, истинной в логике высказываний.
Вывод, в котором в качестве исходных формул используются
только тождественно истинные формулы исчисления высказываний,
а в качестве прочих вспомогательных средств — только правила
подстановки вместо формульных переменных без аргументов,
правило повторения и схема заключения, мы называем выводом
средствами исчисления высказываний или при
помощи средств исчисления высказываний.
Ту часть формализма, которая получается из исчисления пре-
предикатов в результате выбрасывания связанных переменных,
а также относящихся к ним правил, мы называем элементар-
элементарным исчислением со свободными переменными.
§ 2. Применение исчисления предикатов к формализованным
системам аксиом, i-правило. Арифметические формализмы
Формализация аксиоматических теорий при помощи исчисле-
исчисления предикатов производится следующим образом.
Сначала путем введения некоторых внелогических символов
расширяется понятие формулы. При этом к рассмотрению могут
§ 2] АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ФОРМАЛИЗМЫ 463
быть привлечены символы трех родов: индивидные символы, пре-
предикатные символы и функциональные знаки.
Замечание. Мы для краткости говорим о функциональных
знаках, вместо того чтобы говорить о символах для математи-
математических функций. При этом под математическими функциями мы
понимаем такие функции, которые всякому объекту из индивид-
индивидной области (или всякому f-членному набору таких объектов,
если эта функция является f-местной) сопоставляют объект, снова
принадлежащий этой области. В отличие от математических,
логические функции всякому объекту индивидной области (соот-
(соответственно всякому f-членному набору таких объектов) сопос-
сопоставляют одно из двух истинностных значений «истина» или
«ложь».
Затем, исходя из свободных индивидных переменных, индивид-
индивидных символов и функциональных знаков, мы получаем термы.
Это происходит согласно следующему рекурсивному определению:
любая свободная индивидная переменная считается термом; любой
индивидный символ считается термом; любой функциональный
знак, у которого на местах аргументов стоят какие-либо термы,
считается термом.
Затем с помощью понятия терма расширяется понятие эле-
элементарной формулы. Это делается следующим образом:
элементарной формулой считается либо формульная переменная
без аргументов, либо формульная переменная с термами в каче-
качестве аргументов, либо предикатный символ с термами в качестве
аргументов.
От понятия элементарной формулы тем же самым способом,
что и в чистом исчислении предикатов, мы переходим к общему
понятию формулы.
Полученное таким образом понятие теперь кладется в основу
определения вывода, ввиду чего правило подстановки вместо фор-
формульных переменных мы применяем в некотором расширенном
смысле слова.
Правило подстановки вместо свободных индивидных перемен-
переменных также подвергается некоторому расширению, поскольку
теперь при подстановке вместо какой-либо свободной индивидной
переменной эту переменную всюду, где она встречается в рас-
рассматриваемой формуле, мы заменяем каким-либо одним и тем же
термом.
Кроме того, при определении понятия вывода к исходным
формулам исчисления предикатов добавляется ряд конкретных
формул, которые выделяются нами в качестве аксиом.
Аксиома называется собственной, если она не содержит
формульных переменных. Систему аксиом мы называем системой
аксиом первой ступени, если она состоит лишь из конеч-
конечного числа аксиом, причем все они, за исключением аксиомы
464 ПРИЛОЖЕНИЕ
равенства
являются собственными аксиомами.
Добавление к исчислению предикатов предикатного символа
и двух аксиом равенства
(Ji) a~a
представляет собой расширение исчисления предикатов, относя-
относящееся еще к формализации общей логики.
Другое подобного рода расширение представляет собой фор-
формализация понятия «тот, который». Она производится путем
добавления i-символа вместе с относящимся к нему i-п р а в и л о м.
Подобно кванторам, i-символ имеет при себе некоторую связан-
связанную переменную. Применение этого символа заключается в обра-
образовании выражения is2l(E), которое мы строим, исходя из фор-
формулы 9((с), содержащей свободную переменную с и не содержа-
содержащей связанной переменной £.
Это правило утверждает, что если для какой-либо формулы 21 (с)
выведены соответствующие ей формулы единственности
то выражение is9l (£) может быть использовано в качестве терма,
а любая формула SI (is2l* (£)), в которой выражение 91* (£) отли-
отличается от 51 (s) разве лишь обозначениями связанных переменных,
может быть взята в качестве исходной формулы2).
Для связанных переменных любых i-символов, так же как и
для переменных, входящих в состав кванторов, должно действо-
действовать правило их переименования.
Требование отсутствия коллизий между связанными перемен-
переменными при образовании новых формул, а также при выполнении
подстановок и переименований теперь формулируется в следующем
обобщенном виде: никакой квантор V£ или Зе и никакое выра-
выражение iE не должно фигурировать в области действия какого-либо
из символов Vj, 3j и ij с той же самой переменной j.
Термы вида is9l(£) мы называем i-термами.
х) Отрицание равенства о»=Ь мы записываем в виде оФЬ.
•) Приведенная здесь формулировка i-правила отличается от его форму-
формулировки, приведенной в гл. VIII т. I (с. 469), лишь тем, что вместо выделен-
выделенных там переменных х и у здесь допускаюгся произвольные связанные пере-
переменные s н р. Равнозначность атнх двух формулировок i-правила может быть
установлена с использованием правила переименования связанных переменных.
$ 2] АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ФОРМАЛИЗМЫ 4Б5
Имеет место доказанная в гл. VIII т. 1 теорема об устрани-
устранимости i-правила, которая гласит, что из произведенного с помощью
i-правила вывода любой не содержащей i-символов формулы при-
применение i-символа может быть полностью исключено1).
Удобная для нашего исчисления и для рассмотрения выводов
в нем обобщенная версия i-правила заключается в том,
что для любой формулы 31 (с), содержащей свободную переменную с
и не содержащей связанной переменной £, выражение iE3f(j)
объявляется термом и в качестве i-аксиомы берется формула
ЗхУу (А(у)~у = х)->А (ixA (*)).
В таком случае прежнее i-правило становится производным. Для
этого обобщенного правила также справедливо утверждение
об устранимости i-символов из любых выводов, внелогические
исходные формулы (собственные аксиомы) которых, а также их
заключительные формулы не содержат i-символов.
В качестве еще одного способа расширения дедуктивных фор-
формализмов, построенного по образу содержательной логики, сле-
следует упомянуть правило допущения явных определений,
с помощью которого формализуется метод введения номинальных
определений. Всякое явное определение представляет собой какую-
либо добавляемую к дедуктивному формализму аксиому, пред-
представляющую собой либо равенство, с помощью которого вводится
новый индивидный символ или новый функциональный знак,
либо эквивалентность, с помощью которой вводится какой-либо
предикатный символ. В левой части этого равенства или этой
эквивалентности стоит вводимый символ с отличными друг от
друга свободными переменными в качестве аргументов, а в правой
части — выражение (определяющее выражение), свободные пере-
переменные которого совпадают со свободными переменными левой
части и в котором содержатся только символы, принадлежащие
исходному формализму. В случае равенства выражение, стоящее
в правой части, является термом, а в случае эквивалентности —
формулой.
В качестве аргументов вводимого символа могут также фигу-
фигурировать и формульные переменные; если формульная перемен-
переменная с аргументами фигурирует в явном определении в качестве
аргумента вводимого символа, то в качестве ее аргументов в этом
определении берутся отличные друг от друга связанные перемен-
переменные, которые пишутся у вводимого символа в качестве индексов.
Характерной особенностью любого явного определения является
то, что из осуществленного с использованием этого определения
х) Если речь идет о выводе из собственных аксиом, то, естественно, нужно
предполагать, что эти аксиомы гоже не содержат i-символов.
466
ПРИЛОЖЕНИЕ ft
вывода какой-либо формулы, не содержащей символа, введенного
этим определением, этот символ всегда может быть полностью
устранен. Действительно, для этого достаточно произвести сле-
следующие замены: если вводимый символ является индивидным,
то его следует всюду заменить определяющим данный символ
выражением, а если этот символ имеет аргументы, то его следует
заменить выражением, получающимся из определяющего выраже-
выражения в результате замены аргументных переменных этого символа
стоящими на соответствующих местах аргументами этого символа.
Возможно, что в целях предотвращения коллизий между связан-
связанными переменными при этом придется произвести некоторые пере-
переименования переменных.
От явных определений следует отличать рекурсивные определе-
определения, которые фигурируют в арифметических формализмах. Ариф-
Арифметические формализмы характеризуются тем, что в них содер-
содержится та или иная формализация натурального ряда. В качестве
индивидного символа для исходного элемента натурального ряда
мы берем знак 0, а в качестве функционального знака, формали-
формализующего переход от данного числа к следующему за ним числу,
мы берем штрих-символ. Построенные из символа 0 и штрих-сим-
штрих-символа термы такие, как 0, 0', 0" и т. д., мы называем цифрами.
Введение же привычных числовых символов может быть произ-
произведено с помощью явных определений таких, например, как
1=0', 2 = 0", 3 = 0" и т. д.
Структура натурального ряда позволяет использовать особого
рода определения для функций, у которых значениями аргументов
и значениями самих этих функций являются числа натурального
ряда, который мы считаем начинающимся с нуля. Такие функции
мы называем арифметическими. Именно, определение ариф-
арифметических функций иногда может быть произведено таким обра-
образом, что нахождение значения функции для заданного числового
значения некоторого выделенного аргумента сводится к нахожде-
нахождению значений для меньших значений этого аргумента; при этом
нужно еще дополнительно задать значение функции (или соот-
соответственно пробег ее значений) для равного 0 значения данного
аргумента.
Определения такого рода называются рекурсивными
определениями. Простейшим и важнейшим видом рекурсив-
рекурсивных определений1) арифметических функций является определе-
определение с помощью примитивной рекурсии или, более общо,
с помощью последовательности примитивных рекурсий, каждый
член которой вводит новый функциональный знак с одним или
несколькими аргументами. Всякая примитивная рекурсия состоит
В связи с этим см. т. I, с, 352 — 357 и 401.
§ 2] АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ФОРМАЛИЗМЫ 467
из пары рекурсивных равенств вида
Cj, О) = а(сь .... с(),
С(, n') = b(ci с(, п, f(Ci с(, я)),
где f (• • •) — вводимый функциональный знак, сх q — какие-либо
свободные переменные1) (параметры этой рекурсии), а
а(сь ..., С() и Ь(сх с(, я, т)
— определенные термы, которые, кроме указанных свободных
индивидных переменных (впрочем, эти переменные не обязаны
присутствовать в полном составе), символа 0 и штрих-символа,
могут содержать в качестве составных частей лишь функциональ-
функциональные знаки, введенные предшествующими примитивными рекур-
рекурсиями.
В частности, такой вид имеют рекурсивные равенства для
сложения и умножения:
а + п' = (а-\- п)'\ an' — ап-\-а.
Первая пара этих равенств дает рекурсивное определение сама
по себе, а вторая — в том случае, если она вводится после первой.
Функцию, рекурсивное определение которое дается некоторой
примитивной рекурсией или последовательностью примитивных
рекурсий, мы кратко называем рекурсивной функцией.
Рекурсивные определения содержательно могут интерпретиро-
интерпретироваться как некоторые вычислительные процедуры, и в сочетании
с аксиомами равенства они дают определенный способ формали-
формализованного вычисления значений рекурсивных функций такой, что
если f («! яг) представляет собой рекурсивную функцию, то
для каждого набора цифр tii, ..., пс данное рекурсивное опре-
определение в сочетании с аксиомами равенства позволяет вывести
равенство
f(ni nc) = n,
где цифра п представляет собой значение этой функции для набора
аргументов пь ..., пс, причем для получения этого вывода нам
требуются средства одного только элементарного исчисления со
свободными -переменными.
Общее правило, позволяющее допускать рекурсивные равенства
любых примитивных рекурсий в качестве исходных формул выво-
выводов, называется схемой примитивной рекурсии.
Способу рекурсивного определения противостоит в качестве
специфически арифметического способа умозаключений так называе-
*) Переменные clt ..., q, л должны быть попарно различными.
приложение
мая полная индукция (заключение от я к я+1). Одна из
формализации этого способа умозаключений дается так называе-
называемой схемой индукции
«@)
в которой требуется, чтобы в формуле 31@) отсутствовала пере-
переменная а.
Добавив к элементарному исчислению со свободными перемен-
переменными схему примитивной рекурсии и схему индукции вместе
с аксиомами равенства и аксиомой 0' Ф 0, мы получим формализм
рекурсивной арифметики.
Если в основу рассмотрения положить исчисление предикатов,
взятое в его полном составе, то упоминавшаяся выше схема индук-
индукции будет равносильна так называемой аксиоме индукции1):
А @) & V* (А (х) -+ А (*')) -»- А (я).
Систему арифметических аксиом, состоящую из аксиомы равен-
равенства (J8), аксиом
(Pi)
(Р2) а'=*
а также рекурсивных равенств для сложения и умножения и
аксиомы индукции, мы называем системой (Z), а формализм,
состоящий из исчисления предикатов и символов и аксиом систе-
системы (Z), мы называем формализмом системы (Z) или, для
краткости, формализмом (Z).
Аксиомами (Р^, (Р2) и аксиомой индукции формализуются —
на основе введения символа 0 и штрих-символа — аксиомы ариф-
арифметики в том виде, как их, следуя Дедекинду, сформулировал
Пеано. Мы кратко называем эти аксиомы аксиомами Пеан о.
При дедуктивном построении арифметики на базе формализма
(Z) с добавленным к нему i-правилом очень существенным шагом
Является введение так называемого ц-с и м в о л а с помощью сле-
следующего явного определения:
М (х) -1, {(V* 1А (г) -»-*- 0) &
CzA (z) -+А(х)& Vи (А («)-**< и))}.
Для этого нужно сначала с помощью i-правила1) ввести стоя-
стоящий в правой части этого равенства i-терм. Необходимые в дан-
») См. т. I, с 325.
а) См. т. I, с. 480.
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ФОРМАЛИЗМЫ
ном случае формулы единственности выводятся с использованием
формулы
А (а) ->- Зх (А (х) & У/у (А (у)-+х^ у)),
посредством которой формализуется так называемый принцип
наименьшего числа, т. е. принцип, утверждающий, что для
каждого числового предиката, выполняющегося хотя бы для одного
числа, имеется наименьшее число, для которого этот предикат
выполняется.
Упомянутая формула выводится на основе явного определения*)
а ^ Ь ~ Зх (а + х =» Ь)
с помощью аксиомы индукции и аксиом
(J2), а+0 = а, а+п'=*(а + пУ и а' =
Из приведенного выше явного определения для символа \ixA (x)
при помощи i-правила получаются формулы
3*Л (х) -»- А (у.хА (х)).
Содержательно ц-символ истолковывается следующим образом:
для любого числового предиката 91 (а) в том случае, если этот
предикат выполняется хотя бы для одного числа, терм цх%(х)
изображает наименьшее среди таких чисел, а в противном случае
он изображает число 0.
Как это уже было отмечено в гл. VII т. I, рекурсивные опре-
определения для сложения и умножения в формализме системы (Z)
не могут быть — в отличие от явных определений — устранены при
помощи каких-либо замен. Но зато все остальные определения
функций, сформулированные в виде примитивных рекурсий, при
условии добавления к формализму (Z) i-символа могут быть све-
сведены к явным определениям; это означает, что для любого рекур-
рекурсивно введенного функционального знака вместо рекурсивного
его определения можно указать такое явное определение, при
помощи которого рекурсивные равенства этого рекурсивного
В т, 1 вместо этого явного определения мы использовали определения
а < Ь ~ Эж (х чЬ 0 & о+*=» Ь)
(см. с. 438 и 358). Эквивалентность, используемая здесь для определения
символа sg, выводится из «тих двух формул.
470 ПРИЛОЖЕНИЕ И
определения могут быть выведены1). Формулировка такого явного
определения производится с использованием ^-символа.
Из факта сводимости рекурсивных определений к явным и
с учетом теоремы об устранимости i-правила получается следую-
следующее утверждение о заменимости рекурсивных определений
в формализме (Z):
Всякой рекурсивной функции f(«x пг) может быть сопо-
сопоставлена такая построенная из символов формализма (Z) и индивид-
индивидных переменных формула %(пи ..., пх, п), где пг nt, n —
встречающиеся в ней свободные переменные, что для любого набора
цифр fb ..., fc, t в формализме системы (Z) будет выводима фор-
формула Ъ (fb ..., ft, f) или ее отрицание в зависимости от того,
равно или не равно цифре f значение этой функции для набора
значений аргументов fi tc. Далее, при помощи эквивалентности
Цпи .... rtt.) = «~g(«i nt, n)
и соответствующих эквивалентностей для всех функций, встре-
встречающихся в рекурсивном определении функции f (яь ..., щ) (если
эти эквивалентности добавить к нашему формализму в качестве
аксиом), могут быть выведены рекурсивные равенства для функции
f(«i nt).
Так, в случае рекурсивных равенств
Ф(а, 0) = а(а),
<р(а, п') = Ь(а, п, ф(а, п))
это выглядит следующим образом. Термам а (с) и Ь (с, d, m) соот-
соответствуют некоторые формулы 31 (с, k) и 33 (с, а, т, k) системы (Z),
а двуместной функции q> в (Z) соответствует некоторая формула
<3(а, b, k). Это соответствие имеет место в том смысле, что если
указанные рекурсивные определения присоединить к системе (Z),
то станут доказуемыми формулами следующие эквивалентности:
Щс, d, m, k)~b(c, d, m) = k,
©(a, b, А)~ф(а, b) = k.
В самой системе (Z) будут выводимы формулы
©(а, 0, е)~«(а, с),
©(а, п, b)~(®(a, n', c)~S8(a, n, b, с)),
соответствующие рекурсивным равенствам для функции
См, в связи с этим т. I, с. 499—510.
§ 3] ТЕОРЕМЫ ОБ ИСЧИСЛЕНИИ ПРЕДИКАТОВ 471
Дедуктивный формализм мы называем непротиворечи-
непротиворечивым, если не существует таких двух формул ?1 и 1 21, которые
можно было бы вывести средствами этого формализма. Опираясь
на тождественную формулу А-+(~\А-*-В), из пары формул 31 и
~]81 можно вывести любую формулу рассматриваемого формализма.
Поэтому для установления непротиворечивости любого формализ-
формализма, включающего в себя наше исчисление высказываний, доста-
достаточно показать, что в рассматриваемом формализме не выводима
какая-нибудь специально подобранная формула этого формализма.
§ 3. Теоремы об исчислении предикатов
Приведем еще ряд понятий и фактов1), относящихся к исчис-
исчислению предикатов и к таким дедуктивным формализмам, которые
получаются из него, как только что было описано в § 2, путем
добавления каких-либо индивидных и предикатных символов,
функциональных знаков, а также тех или иных аксиом8), (i-npa-
вило сюда не включается.)
1. Формула 31 называется переводимой в формулу 33, если
выводима эквивалентность Ш~ 33 или —что сводится к тому же
самому —если выводимы обе импликации 31-»-S3 и 33-»-31.
2. Любая формула переводима в некоторую предваренную
формулу, у которой все входящие в нее кванторы стоят в начале,
а области их действия простираются до конца этой формулы.
3. Формула 31 называется дедуктивно равной фор-
формуле 33, если при включении в число исходных формулы 31
становится выводимой формула 33, а при включении в число
исходных формулы 93 становится выводимой формула 21, или,
короче, если из 31 выводима формула 33, а из 33 выводима фор-
формула 31.
4. Всякая формула 31 дедуктивно равна любой такой формуле 93,
которая получается из 31, если каждую входящую в нее свобод-
свободную индивидную переменную заменить какой-нибудь соответствую-
соответствующей ей ранее еще не встречавшейся связанной переменной,
а относящиеся к введенным связанным переменным кванторы
всеобщности в произвольном порядке записать в начале формулы,
распространив тем самым области их действия до самого конца
формулы. Эта операция, преобразующая формулу 31 в дедуктивно
равную ей формулу 33, называется заменой свободных
переменных связанными; обратная операция зачеркивания
стоящих перед формулой кванторов всеобщности и замены отно-
„ 1) См. в связи с этим т. I, с. 173, 182-185, 191-208, 250, 275-282,
286-288, 456 — 459.
2) В дальнейших формулировках мы не всегда будем оговаривать то, что
мы ограничиваемся рассмотрением таких формализмов.
472 ПРИЛОЖЕНИЕ [1
сящихся к ним связанных переменных ранее не встречавшимися
свободными переменными называется соответственно заменой
связанных переменных свободными.
5. Всякая формула дедуктивно равна некоторой сколемов-
ской нормальной форме, т. е. такой предваренной формуле,
в кванторной приставке которой никакой квантор всеобщности
не предшествует никакому квантору существования1).
6. Имеет место следующая
Дедукционная теорема. Если формула S3 выводится из
некоторой формулы 21 таким образом, что никакая фигурирую-
щая в Ш свободная переменная при этом не затрагивается, т. е.
не используется ни в одной производимой вместе нее подстановке,
а также не фигурирует в качестве выделенной переменной какой-
либо из схем (а) и ф), то формула 81—>-93 может быть выведена
без использования формулы 91.
7. Аксиома равенства (J2), т. е. формула
при выводе формул, не содержащих формульных переменных,
может быть заменена конечным списком собственных аксиом вида
a-ft-*f(a)-f(ft).
где ?Ц — предикатный символ, a f — функциональный знак рас-
рассматриваемого формализма, причем, кроме явно указанного аргу-
аргумента, они могут содержать и какие-нибудь другие аргументы,
отличные от а и Ъ.
Формулу такого вида мы называем специальной фор-
формулой равенства, соответствующей (или относя-
относящейся к) указанному аргументу рассматриваемого предикатного
символа или функционального знака.
[Этим предикатным символом или соответственно функциональ-
функциональным знаком и указанием интересующего нас аргумента такая
формула определяется однозначна с точностью до обозначения
свободных переменных, стоящих на месте остальных аргументов,
если таковые имеются.]
В число формул вида
с-6-4$ (<*)-*-$ (ft)).
*) Эту ггеоретнко-доказательственную» сколемовскую нормальную форму
следует отличать от двойственной ей (т. е. получающейся из нее в результате
изменения ролей кванторов всеобщности и существования) «теоретико-модель-
«теоретико-модельной сколеыовской нормальной формы» (си. с. 233 этого тома),
9 4] ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ БЕЗ ПРАВИЛА ПОДСТАНОВКИ 473
в частности, включается и формула
а = b -*■ (а = с -*■ Ь » с).
8. Всякий вывод допускает разложение на нити. Если,
начиная с заключительной формулы вывода, мы напишем над
каждой формулой, получающейся из какой-либо предшествующей
ей в выводе формулы в результате повторения, подстановки или
переименования либо по одной из схем (а) и (ft), эту самую
предшествующую формулу, а над каждой результирующей фор-
формулой какой-либо схемы заключения — обе формулы, из которых
она получается по этой схеме, причем с соблюдением следующего
порядка:
V
то получим то, что мы называем фигурой разложения дан-
данного вывода.
Взаимно однозначного соответствия между формулами получив-
получившейся таким образом фигуры и формулами самого вывода, вообще
говоря, нет. Более того, одна и та же формула вывода в фигуре
разложения может стоять во многих местах.
Над исходными формулами в фигуре разложения не стоят
никакие другие формулы; над результирующей формулой любой
схемы заключения стоят две формулы (здесь имеет место ветвле-
ветвление вверх); над любой другой формулой стоит по одной формуле.
Последовательность формул из данной фигуры разложения, начи-
начинающаяся какой-либо исходной формулой и такая, что за каждой
формулой, не являющейся заключительной формулой вывода,
следует формула, стоящая в этой фигуре непосредственно под
ней, называется нитью доказательства.
9. С помощью этой процедуры разложения вывода на нити
в любом конкретном выводе можно все подстановки пере-
перенести в исходные формулы, т. е. по данному выводу
можно построить такой другой вывод, в котором подстановки
производятся только в исходные формулы или в такие формулы,
которые получаются из исходных в результате одной или несколь-
нескольких следующих друг за другом подстановок. Разумеется, при этом
нужно допустить, чтобы в схемах (а) и ф) вместо переменной а
могли фигурировать другие свободные индивидные переменные.
§ 4. Исчисление предикатов без правила подстановки
Возможность переноса подстановок в исходные формулы откры-
открывает перед нами возможность обходиться без использования правила
подстановки. Этого можно добиться, допустив в качестве исходных
формул не только прежние исходные формулы рассматриваемого
474 ПРИЛОЖЕНИЕ [I
формализма, но еще и формулы, получающиеся из них в резуль-
результате одной или нескольких следующих друг за другом подстано-
подстановок, а кроме того, ликвидировав выделенную роль переменной а
в схемах (а) и ф).
В частности, таким образом удается полностью исключить
формульные переменные из выводов формул, не содержащих фор-
формульных переменных, так что формально-дедуктивное рассмотре-
рассмотрение аксиоматических теорий вполне может производиться без
привлечения формульных переменных.
При таком способе изложения правило, позволяющее брать
в качестве исходных формул любые тождественно истинные фор-
формулы исчисления высказываний, расширяется: в качестве исходных
формул допускаются любые формулы, получающиеся из^ тождест-
тождественно истинных формул исчисления высказываний в результате
каких-либо подстановок. Функции основных формул (а) и (Ь)
в этом случае выполняют схемы формул
где t обозначает некоторый терм, а место аксиом занимают схемы
аксиом, в которых прежние свободные индивидные переменные
заменены обозначениями произвольных термов, а прежние фор-
формульные переменные заменены обозначениями произвольных
формул. Так, например, вместо аксиом равенства у нас появля-
появляются схемы аксиом
где 1, б и t обозначают произвольные термы.
Тем не менее здесь имеется возможность сохранить в аксиомах
свободные индивидные переменные (и, в частности, избежать
замены собственных аксиом соответствующими схемами) без того,
чтобы потребовалось добавлять правило подстановки. Действи-
Действительно, с помощью схемы формул V*9l (x) -*■ ЭД (t) и схемы (а) в ее
модифицированном виде
«-►©(с)
где с — произвольная, не входящая ни в 81, ни в 58 (х) свободная
индивидная переменная, правило подстановки вместо свободных
индивидных переменных мы получаем в качестве производного
5 4] ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ БЕЗ ПРАВИЛА ПОДСТАНОВКИ 475
правила. Это означает, что из формулы G» (а) со свободной пере-
переменной а для произвольного терма t может быть выведена фор-
формула 6 (t). Это достигается следующим образом.
Рассмотрим сначала случай, когда £ (а) не содержит перемен-
переменной х. Мы возьмем какую-нибудь выводимую формулу $ (напри-
(например, формулу вида @->@), в которую не входит переменная а.
Образованная с помощью этой формулы формула E (а)->-($-»-(£ (а))
может быть взята в качестве исходной формулы, так как она
получается в результате подстановки из тождественно истинной
формулы Л->(£-> Л)). Вместе с формулой £(л)она при помощи
схемы заключения дает нам формулу $ -> £ (а), из которой при
помощи схемы (а) — поскольку ty не содержит переменной л — мы
получаем формулу ty-*- Ух(&(х). С другой стороны, схема формул
для квантора всеобщности дает нам формулу V*S (я)-> (S (t). Но
две полученные формулы вместе с выводимой формулой ty двух-
двухкратным применением схемы заключения дают нам формулу g (г).
В том случае, если формула 6 (а) содержит переменную х,
мы сначала перейдем от этой формулы к некоторой формуле (£* (а),
переименовывая х в какую-нибудь другую, не встречающуюся
в формуле S (а) связанную переменную; затем из S* (а) только
что указанным способом мы получим формулу (?*(t), а из этой
последней путем переименования появившейся вместо х перемен-
переменной получим формулу g (t).
Правило переименования связанных переменных мы, впрочем,
тоже можем сделать производным, если в схемах формул для
кванторов ликвидируем выделенную роль переменной х. Тогда
эти схемы формул будут иметь вид
а модифицированные схемы (а) и (Р) запишутся в виде
причем для свободной переменной в и для связанной переменной £
должно выполняться условие, что в не входит в 31, а £ не вхо-
входит в 33F).
Тот факт, что правило переименования становится производ-
производным, если за основу взять эти две схемы, вытекает из того, что
с помощью этих схем может быть выведена любая формула вида
равно как и любая формула вида
47в ПРИЛОЖЕНИЯ
Например, для того чтобы вывести формулу
мы возьмем не входящую в 51 (j) свободную индивидную перемен-
переменную с. Схема формул для квантора существования даст нам фор-
формулу
81 (с)->
а из этой последней по модифицированной схеме (Р) мы получим
формулу
Таким образом, мы приходим к некоторой видоизмененной
форме исчисления предикатов, где в качестве исходных формул
мы допускаем:
1) формулы, получающиеся в результате подстановки из тожде-
тождественно истинных формул исчисления высказываний,
2) формулы, получающиеся из схем для кванторов,
3) собственные аксиомы и формулы, получающиеся из схем
аксиом.
Переход от исходных формул или соответственно от ранее
полученных формул к последующим формулам производится
исключительно при помощи модифицированных схем (а), ф) и
схемы заключения.
Наконец, укажем на возможность произвести исключение фор-
формульных переменных с сохранением правила подстановки вместо
свободных индивидных переменных, а также правила переименова-
переименования связанных переменных. Тогда на месте исходных формул,
содержащих связанные переменные, у нас появятся такие схемы
формул, которые от соответствующих формул будут отличаться
только тем, что эти формульные переменные будут заменены бук-
буквами, обозначающими формулы; так, в частности, вместо основ-
основных формул (а) и (Ь) у нас появятся схемы формул
а вместо аксиомы равенства (J2) появится схема
В остальном же первоначальный формализм останется без изме-
изменений.
ПРИЛОЖЕНИЕ II
УТОЧНЕНИЕ ПОНЯТИЯ ВЫЧИСЛИМОЙ ФУНКЦИИ
И ТЕОРЕМА ЧЁРЧА О ПРОБЛЕМЕ РАЗРЕШИМОСТИ
§ 1. Понятие регулярно вычислимой функции.
Вычисление в формализме (Z0)
Под арифметической функцией мы понимаем функцию, обла-
областью изменения аргументов которой является натуральный ряд
(мы считаем его начинающимся с нуля) и все значения которой
тоже являются натуральными.
При любом t > 1 рассмотрение арифметических функций г
аргументов может быть сведено к рассмотрению функций одного
аргумента. Это делается при помощи введенной в гл. IV настоя-
настоящего тома *) рекурсивной функции т](с) (п1( ..., и,,) и обращающих
ее рекурсивных функций г\\^(п), ..., T]W(n), устанавливающих
взаимно однозначное соответствие между r-членными наборами
чисел и самими этими числами. Действительно, для любой функ-
функции г аргументов f (пь ..., яс) можно определить функцию одного
аргумента
при помощи которой исходная функция \(пи ..., яс) представ-
представляется в виде
f («1 «с) - f * (t|(t) («!• • • •» nt)).'
Так как функции vp\ t|W, ..., tjW могут быть определены посред-
посредством примитивных рекурсий, вычисление значений функции f
для заданной системы значений ее аргументов сводится к вычис-
вычислению некоторого значения функции f*; и обратно: вычисление
значений функции f* сводится к вычислению значений функции f.
Ниже речь пойдет об уточнении понятия вычислимой ариф-
арифметической функции и, как следует из только что проведенного
*) Си. а. 298.
478 ПРИЛОЖЕНИЕ Ш
рассуждения, мы можем при этом ограничиться рассмотрением
функций только одного аргумента1).
Относительно процедур вычисления арифметических функций
одного аргумента можно считать, что каждая такая процедура
может быть изображена в виде процедуры вывода в подходящем
дедуктивном формализме, содержащем цифры, знак равенства и
одноместный функциональный знак f (m) или же какое-нибудь
составное выражение f (m) с одной аргументной переменной, пред-
представляющее вычисляемую функцию. Вычисление значения этой
функции для значения аргумента, равного т, мы будем интерпре-
интерпретировать как вывод равенства
где п —значение вычисляемой функции для данного аргумента;
при этом для любой цифры I, отличной от tj, равенство f(m) = [
должно быть невыводимым.
Если это условие выполнено для некоторой функции f и дан-
данного формализма F, то функцию f мы будем называть вычис-
вычислимой в формализме/7.
Факт переноса вычисления в дедуктивный формализм сам по
себе еще не обязательно дает какое-либо пригодное для приме-
применений уточнение понятия вычислимости, если не потребовать,
чтобы оперирование с выражениями происходило в этом форма-
формализме по четко описанным правилам. Поэтому мы введем предпо-
предположение, которое однажды уже было положено в основу изложе-
изложения теорем Гёделя: мы будем считать, что может быть установлена
такая нумерация выражений нашего формализма натуральными
числами, при которой номера выводимых формул будут представ-
представлять собой значения некоторой рекурсивной функции2) j (n).
Замечание. Это условие, как ранее было показано3), выпол-
выполняется всякий раз, когда нумерация выражений формализма
такова, что может быть указан некоторый рекурсивный предикат
93 (т, п), который для любых чисел тип выполняется тогда и
только тогда, ко,гда m является номером некоторой последователь-
1) Впрочем, все дальнейшие определения и теоремы, формулируемые для
функций одного аргумента, совершенно аналогичным образом могут быть рас-
распространены и на функции нескольких аргументов, и это показывает, что
полученное таким образом понятие вычислимой функции нескольких аргумен-
аргументов в части результатов совпадает о тем уточнением, которое получается из
уточнения понятия вычислимой функции одного аргумента посредством только
что указанного сведения функций нескольких аргументов к функциям одного
аргумента с помощью функции т)(с) (пи ,.., яс) и ее обращений.
*) Термин рекурсивный мы будем здесь употреблять в том же самом
смысле, в каком он употреблялся нами в рекурсивной арифметике. Так, под
рекурсивной функцией мы будем понимать такую функцию, которая может
быть определена при помощи примитивных рекурсий. См, с. 271.
*) См. с. 345—347.
{ 1] РЕГУЛЯРНО ВЫЧИСЛИМЫЕ ФУНКЦИИ. ФОРМАЛИЗМ (Z») 479
ности формул, которая представляет собой вывод формулы с номе-
номером п.
К упомянутому выше допущению мы добавим два — не очень
существенных — ограничения на нумерацию: мы будем считать,
что можно указать рекурсивную формулу $(т, п), обладающую
тем свойством, что любые два числа I и m находятся в отноше-
отношении фA, т) тогда и только тогда, когда I является номером
равенства f (m) = r, где г —некоторая цифра. Будем также считать,
что можно указать такую рекурсивную функцию с (т), что зна-
значение ее для числа f, являющегося номером равенства t = n, где
п —цифра, равно самой этой цифре п.
Так мы приходим к следующему определению: арифметическую
функцию одного аргумента мы будем называть регулярно
вычислимой, если она вычислима в таком дедуктивном фор-
формализме F, для выражений которого можно установить нумера-
нумерацию, удовлетворяющую только что перечисленным условиям.
Уеловия эти мы будем называть условиями рекурсив-
ности.
Существенным в этом определении является то, что для каждой
отдельной подлежащей вычислению функции может быть выбран
свой формализм F. Согласно сказанному этот формализм всякий
раз представляет собой изображение некоторой процедуры вычис-
вычисления, которая, хотя определенным образом и нормируется, но
все-таки может быть определена с достаточной степенью свободы.
Однако может быть указан некоторый формализм, обладающий
тем свойством, что всякая регулярно вычислимая функция вычис-
вычислима и в этом формализме, причем этот формализм может быть
взят довольно узким. Достаточно взять, например, следующий
формализм (Z0):
Всякая формула этого формализма представляет собой равен-
равенство между термами. В качестве термов мы берем, во-первых,
1ермы рекурсивной арифметики (рекурсивные терм ы), с тем,
однако, ограничением, что используемые функциональные знаки
берутся только одноместными и двуместными. Во-вторых, термами
считаются выражения вида у-х$(х) и у-х(ё(х), t), где б (с) — какой-
либо рекурсивный терм. В-третьих, термами считаются выраже-
выражения, представляющие собой введенные посредством явных опре-
определений функциональные знаки с термами в качестве аргументов.
И, наконец, термами считаются также любые выражения, полу-
получающиеся из других термов в результате замены одной или
нескольких свободных индивидных переменных какими-либо тер-
термами х).
') В отличие от установленных нами правил оперирования со связанными
переменными, обычное ограничение, требующее не допускать коллизий
между связанными переменными (см., например, с. 31), здесь
480 ПРИЛОЖЕНИЕ [II
В качестве исходных формул в выводах допускаются:
1. Рекурсивные равенства, построенные по схеме примитивной
рекурсии, и, значит, в частности, рекурсивные равенства для
сложения и умножения, а также рекурсивные равенства для функ-
функций sgn(n) и sgn(n):
sgn(O) = O, sgn(n') = 0',
sgn(O) = O', sgn(n') = 0.
2. Явные определения вида
f(nb .... nt) = t(nlt .... nt),
где f — некоторый t-местный (ранее не использовавшийся) функ-
функциональный знак, a t(nx, ..., пс) —терм с единственными сво-
свободными переменными tii, ..., nt.
3. Формулы вида
% (t (*), a) = sgn (t (a)) • % (t (*), a') +ign"(t (а)) а
). 0),
где t (а) — какой-либо рекурсивный терм [схема формул (р,)].
Разрешаются следующие способы перехода от уже имеющихся
формул к новым:
1 Подстановка какого-либо терма вместо всех вхождений
данной свободной индивидной переменной в данную формулу.
2. Схема замены
о - Ь, 51 (а)
где 51 (а) означает формулу, получающуюся из выражения ?1(#)
в результате замены буквы (именной переменной) у тер-
термом a, a ?l (b) получается из 31 (у) в результате замены у термом Ь.
Замечание. Эту именную переменную мы не причисляем
к свободным индивидным переменным, которые у нас считаются
термами. Она используется лишь для описания схемы замены.
Описанный нами формализм (Z0) не содержит ни логических
символов, ни формульных переменных. В качестве единственной
не формулируется. Это ограничение в рассматриваемом формализме оказы-
оказывается на самом деле ненужным, так как не разрешается в качестве операции
построения термов применять р.-символ к какому-либо терму, в котором уже
содержится некоторый jl-символ и поэтому терм вида jx^f (x, (У (■*> ■*)) может
возникнуть лишь в результате замены какой-нибудь индивидной переменной
термом Дг'(#, х). Это обстоятельство позволяет нам обходиться здесь перемен»
ной х в качестве единственной связанной переменной.
? 1] РЕГУЛЯРНО ВЫЧИСЛИМЫЕ ФУНКЦИИ. ФОРМАЛИЗМ (Z») 481
связанной переменной в нем фигурирует относящаяся к р.-символу
переменная х.
Схема замены, примененная к формуле а4-0 = а (При этом
в качестве SI (у) берется выражение у = а), дает нам формулу
а — а. С помощью этой формулы и схемы замены от равенства
а = b можно перейти к равенству b = а. В сочетании с этим пере-
переходом схема замены позволяет для любой рекурсивной функции g
одного аргумента и для любой цифры t вывести из рекурсивных
равенств, представляющих собой рекурсивное определение функ-
функции д, равенство g(f) = n, где п —значение g(f).
Чтобы прокомментировать схему формул (р.), мы заметим, что
с помощью этой схемы для любого рекурсивного терма t(a) и
для любой цифры п получается равенство
если значение терма t(n) равно 0, и равенство
если значение t(n) отлично от 0.
Пусть I— цифра такая, что (Ss п, и пусть значение f (() равно 0.
Пусть терм t(f) —первый среди термов t(n), t(n'), ..., t((), при-
принимающий значение 0. Тогда с помощью схемы (р.) можно полу-
получить равенства
Mt(*). 0 = f,
а из них — равенство
Таким образом, для любого рекурсивного терма t (а) на основе
схемы (р.) терм P*(t(;e), n) формально представляет некоторую
функцию от п, значение которой для любого числа п, для кото-
которого может быть указано ( такое, что (^п и t(() = 0, равно
наименьшему среди чисел этого рода, а в том случае, когда для
всех 1:>п значение терма t(f) отлично отО, значения этой функ-
функции для всех чисел, больших или равных п, определены лишь с
точностью до совпадения1).
х) С. К. Клини в своей диссертации: Kleene S. С. A theory of positive
integers in formal logic —Amer. J. Math., 1933, 57, № 1, 2, показал, что
любая функция такого рода допускает явное определение в построенном
А, Чёрчем формализме «конверсии».
482 ПРИЛОЖЕНИЕ [II
Схема
представляет собой явное определение символа fixt(x). Если t(a) —
какой-либо рекурсивный терм, для которого может быть указана
цифра п такая, что имеет место равенство t(n) = O, и если t
является наименьшей среди цифр, удовлетворяющих этому усло-
условию [после указания цифры п она может быть найдена путем
вычисления термов t@), t(O'), ..., t(n— 1)], то при помощи этого
определения, взятого в сочетании со схемой (ji), можно будет
вывести равенство
В том случае, когда значение терма t(n) отлично от 0 для
всех цифр п, определяющее равенство для jM(*) и схема (ji) не
позволяют формально вычислить значение терма jM (x)х).
Что же касается вопроса о непротиворечивости (Z0), то непро-
непротиворечивость в смысле невозможности одновременного вывода
какой-нибудь формулы и ее отрицания имеет место тривиальным
образом, так как этот формализм вообще не содержит отрицания.
Однако из этой непротиворечивости еще не вытекает —в отличие
от рассматривавшихся до сих пор арифметических формализмов, —
что каждое выводимое нумерическое равенство является верным
равенством и что, следовательно, не может быть выведено равен-
равенство между двумя различными цифрами. Это условие мы будем
называть нумерической непротиворечивостью.
Все же формализм (Z0) удовлетворяет этому условию. В этом
мы сможем убедиться, рассмотрев некоторый формализм (Z1),
получающийся из рекурсивной арифметики путем добавления
к ней (^-символа и относящихся к нему формул2)
0*1)
ы
(Из)
с соблюдением
А (а)-у
А (а)-у
1A (\ixA (х)) ->
/1MW),
\1хА(х)*£а
цхА(х) = 0
следующих соглашений.
х) Следовательно, в этом отношении имеется существенное различие между
ролью терма ft*t (*) в формализме (Z0) и ролью терма [ix (t (х) = 0) в рассмот-
рассмотренном в гл. V данного тома формализме (Z^). Как мы знаем, в случае выво-
выводимости в (ZjJ формулы V* (t (х) Ф 0) с помощью аксиомы (\i'3) может быть
выведено равенство
а) Обозначения этих формул выбраны в соответствии с обозначениями,
приведенными на с. 164.
§ 1] РЕГУЛЯРНО ВЫЧИСЛИМЫЕ ФУНКЦИИ. ФОРМАЛИЗМ (Z0) 483
Если 21 (с) — формула, не содержащая связанной переменной £,
то выражение nf9l(£) считается термом. Относящаяся к какому-
либо fi-символу fi?9l (j) связанная переменная £ может быть пере-
переименована в какую-нибудь другую; при этом переименование
должно производиться во всей области действия рассматриваемого
^-символа. Подстановки вместо свободных переменных, как и
переименования связанных, должны производиться таким образом,
чтобы в результате их выполнения ни один ц-символ не попадал
в область действия другого, снабженного той же самой связан-
связанной переменной (условие недопущения коллизий между свя-
связанными переменными).
Употребление формул (ц[), (ц2) и (цз) в качестве исходных
формул выводов должно подчиняться тому условию, что ни в одной
из формул, которые при возвратном переносе подстановок в исход-
исходные формулы будут подставляться в формулы (цО. (^г) и (цз)
вместо именной формы А (с), переменная с не должна находиться
в области действия какого-либо из fi-символовх).
Замечание. С учетом только что наложенного условия,
в формализме (Z1) — так же, как это было сделано при описании
формализма (Z0),—можно было бы сэкономить правило недопу-
недопущения коллизий между связанными переменными, так что мы и
здесь могли бы обойтись одной-единственной связанной перемен-
переменной х. Однако мы этого не делаем, так как хотим, чтобы фор-
формализм (Z1) представлял собой подформализм рассмотренного
в гл. V формализма (Z^), чем, в частности, мы достигаем того,
что всякая выводимость, установленная в формализме (Z1), авто-
автоматически будет иметь место и в (Z^).
Непротиворечивость же формализма (Z1) — а тем самым и его
нумерическая непротиворечивость —вытекает из рассуждений,
проведенных нами в конце гл. II2).
С другой стороны, мы можем показать, что каждое числовое
равенство, выводимое в (Z0), выводимо также и в (Z1).
J) Условие это нацелено на то, чтобы при замене формул (ц[), (ц2) и (ц'3)
соответствующими схемами формул в ходе применения этих схем у ц-симво-
лов не возникало никаких подчинений вида цЕ91 (ц^ЯЭ (е, i)) или цЕЯ (ц^ЭД (s, j), e).
2) См. с. 163—165. По сравнению с формализмом, непротиворечивость
которого была там установлена, формализм (Z1) существенно более узок, так
как, во-первых, в нем отсутствуют кванторы, а во-вторых, ограничительное
условие, которое в формализме, рассмотренном в гл. II, было наложено на
применения формулы (jj.j), в (Z1) распространяется также и на применения
формул (ц() и (ц5).
Ввиду этой особенности формализма (Z1) процедуру построения общих
замен и получения резольвенты при установлении его непротиворечивости
необходимо применять лишь в случае, когда все критические формулы (в том
числе и формулы е-равенства) имеют ранг 1, так что процедурой функцио-
функциональных замен здесь можно и не пользоваться, ограничившись одними лишь
Цифровыми заменами.
484 ПРИЛОЖЕНИЕ fll
Действительно, кроме тех дедуктивных средств, которые содер-
содержатся непосредственно в (Z1), формализм (Z0) содержит только
явные определения функциональных знаков, явное определение
функции iixt(x), схему замены и схему ((I).
Явные определения из выводов нумерических равенств устра-
устраняются легко. Схема замены в формализме (Z1), ввиду наличия
в нем аксиомы (J2), правила подстановки и схемы заключения,
является производной схемой. А выводимость схемы формул ((I)
может быть установлена в (Z1) с использованием явного опреде-
определения символа p.*(t(*), n). Это делается следующим образом.
Сначала с помощью равенства
A) Чх(А(х), п) = ц
мы вводим символ рх(А(х), п). Опираясь на это равенство, мы
с помощью формул (ц1), (цг) и (цз) получаем формулы
а*£,Ь&А(Ь)-+А(рх(А(х), а)),
a*Stb&A(b)-+a*S:\ix(A(x), a),
B)
:(А(х), а)фО-+А(рх(А(х), а)),
■ (А (х), а) Ф 0 ->■ a «-S Ц* (А (х), а),
а затем с помощью формул
a' , ф,
аксиомы равенства (J2) и средств исчисления высказываний
формулы
C) I
U ll A (a) -> iix (A (x), a) = рх (A (x), a'),
причем для вывода второй из этих формул нужно воспользоваться
дизъюнкцией
Если мы теперь добавим еще определяющую схему
0, п),
применение которой ограничим рекурсивными термами t(a), то,
подставив в C) вместо именной формы А (с) входящей в C) фор-
формульной переменной какую-либо рекурсивную формулу t(c) = O,
§ 1] РЕГУЛЯРНО ВЫЧИСЛИМЫЕ ФУНКЦИИ ФОРМАЛИЗМ (Z°) 485
мы с помощью этой схемы получим формулы
/ Л\ J " \—/ * ~ 1Л\-\--/7 —/ #*»\"\-'/1 ft
из которых, далее, с помощью формул
b = 0 -*■ sgn (b) ■ с + sgn (b) ■ а = а,
получится формула
E) |I, (t (x), a) = sgn (t (a)) • рх(t (*),.a') + igH (t (a)) • a.
Таким образом, мы можем каждую из получаемых по схеме (fi)
формул вывести из формул (ц[), (|i2) и (D), пользуясь средствами
рекурсивной арифметики и добавляя к ним одни лишь явные
определения.
При этом формулы (\i'i), (|i2) и ((ij) используются допустимым
в (Z1) способом. В самом деле, при выводе формул B) вместо
именной формы А (с) формульной переменной, фигурирующей
в этих формулах, требуется подставлять формулу а^с&Л(с),
а после этого при выводе формул D) в получившиеся формулы
вместо формульной переменной А (с) надо будет подставить рекур-
рекурсивную формулу t (с) = 0. Остальные подстановки в выводе инте-
интересующей нас формулы (б) мы должны будем производить только
вместо индивидных переменных. Кроме того, так как эта фор-
формула не содержит формульных переменных, то при ее использо-
использовании в выводе некоторой нумерической формулы после применения
к этому выводу операции возвратного переноса подстановок
в исходные формулы все подстановки в формулу E) будут про-
производиться только вместо индивидных переменных.
Таким образом, при возвратном переносе в исходные формулы
всех подстановок будут производиться только такие подстановки
вместо именной формы А (с) в формулы (|ij). (|i2) и (Цз), при кото-
которых подставляемая формула будет получаться из некоторой
формулы
с рекурсивным термом t (с) в результате ряда подстановок вместо
индивидных переменных. Так как в этих подстановках подстав-
подставляемые термы определены независимо от выбора переменной с
именной формы Л (с), то мы можем осуществить этот выбор таким
образом, чтобы переменная с в упомянутые термы не входила.
Тогда мы добьемся того, чтобы в этих формулах, подставляемых
вместо формульной переменной А (с) в формулы (ц[), (|i2) и
486 ПРИЛОЖЕНИЕ [И
и получающихся из формул вида
в результате подстановок вместо индивидных переменных, пере-
переменная с никогда не попадала в область действия никакого
(л-символа.
Таким образом, действительно, по любому выводу нумериче-
ского равенства, произведенному средствами формализма (Z0),
можно построить вывод этого равенства в формализме (Z1), и
так как этот последний формализм нумерически непротиворечив,
то отсюда получается и нумерическая непротиворечивость форма-
формализма (Z0).
Теперь мы покажем, что всякая регулярно вычислимая ариф-
арифметическая функция одного аргумента вычислима в (Z0).
В самом деле, пусть нам дана регулярно вычислимая ариф-
арифметическая функция одного аргумента. Для нее может быть ука-
указан такой формализм F, в котором она представлена каким-либо
одноместным функциональным знаком f (m) или каким-либо выра-
выражением f (m) с единственной аргументной переменной, причем это
представление таково, что если п является значением этой функ-
функции для аргумента т, то равенство
f(m) = n
выводимо в F, в то время как для любой отличной от п цифры Г
равенство f (m) = [ в f невыводимо. Кроме того, для этого фор-
формализма должна иметься такая нумерация, по отношению к кото-
которой будут выполняться три упоминавшихся выше условия рекур-
сивности. Мы будем считать, что нумерация с этим свойством
задана, и по очереди воспользуемся всеми тремя этими условиями.
Первое из них гласит, что номера выводимых в F формул
образуют область значений некоторой рекурсивной функции j (n).
Пусть m — какая-либо цифра, an — значение рассматриваемой
нами функции для аргумента т. Тогда вследствие выводимости
равенства f (m) = n номер этого равенства является некоторым
значением функции j(n), т. е. можно указать такую цифру j, что
значение j @ будет номером этого равенства. Пусть е — наимень-
наименьшая из тех цифр f, для которых значение j (f) представляет собой
номер некоторого равенства f (m) = г. Тогда j (e) является номером
некоторого выводимого в F равенства f (m) = г, и так как в F,
кроме равенства f(m) = n, невыводимо никакое другое равенство
f (m) = r с какой-либо цифрой г, то г должно совпадать с п, а сле-
следовательно, и значение j (с) должно совпадать со значением j (}).
Второе условие рекурсивности утверждает, что может быть
указана такая рекурсивная фэрмула $(т, л), что для любых
цифр I н m отношение ty(l, m) имеет место тогда и только тогда,
когда I является номером некоторого равенства f(m) = r, где
§ 1] РЕГУЛЯРНО ВЫЧИСЛИМЫЕ ФУНКЦИИ ФОРМАЛИЗМ (Z0) 487
г —цифра. Согласно только что доказанному имеет место соотно-
соотношение ф (j (e), m), в то время как для любой цифры f, меньшей е,
отношение $ (j (f), m) места не имеет. При этом формула ty (m, п),
будучи рекурсивной, имеет вид
где р(т, п) — некоторый рекурсивный терм. Равным образом и
выражение р (i (/), m) тоже является рекурсивным термом,
а цифра е —наименьшей среди тех цифр $, для которых равенство
р (i 0), m) = 0 имеет место. В соответствии со сказанным в фор-
формализме (Z0) выводимо равенство
а потому и равенство
Согласно третьему условию рекурсивности может быть указан
такой рекурсивный терм с (п), что для любой цифры f, являю-
являющейся номером некоторого равенства t = r, значение постоянного
терма с (f) равно г, и тем самым в формализме (Z0) выводимо
равенство
c(f) = t.
Так как значение j (е) представляет собой номер равенства \ (т) = п,
то в (Z0) выводимо, в частности, равенство
Но это равенство, взятое вместе с формулой
e = P«p(f(*), m)>
с применением схемы замены дает равенство
В общем, как следствие выполнения условий рекурсивности
получается, что для всякой цифры m в формализме (Z0) выводимо
равенство
t0(MGM. m))) = n.
где п —значение рассматриваемой [представленной в F символом
или выражением f (m)] функции для аргумента т, Таким обра-
образом, если с помощью равенства
ввести одноместный функциональный знак q (n) (как мы знаем,
в формализме (Z0) это допустимо), то для любой цифры т, если п
488 ПРИЛОЖЕНИЕ [II
является значением рассматриваемой функции для аргумента in,
мы получим в (Z0) в качестве выводимой формулы равенство
q(m) = n.
С другой стороны, ни для какой другой, отличной от п цифры г
равенство
q(m) = r
не будет выводимо, потому что в противном случае в (Z0) было бы
выводимо ложное равенство
п = г,
в то время как формализм (Z0), как мы это установили, нумери-
чески непротиворечив.
Таким образом, действительно, рассматриваемая нами функ-
функция, вычислимая в F, вычислима также и в (Z0), причем в (Z0)
она изображается некоторым термом
а(\ххЪ(п, х)),
где а(п) и Ь(п, т) — рекурсивные термы с (Ц/г)) и p(i(m), /г). При
этом терм b (/г, т) обладает тем свойством, что для каждой цифры m
можно указать такую цифру f, что имеет место отношение
b (m, t) = 0. В самом деле, для каждой цифры m в F, как мы
знаем, выводима формула f (m) = г с некоторой цифрой г, а по
этой формуле можно указать такую цифру f, что значение j (f)
является номером этой формулы; а тогда имеет место отношение
<P(j(f), m), т. е. b(m, f) = 0.
В результате мы получаем, что любая регулярно вычислимая
арифметическая функция одного аргумента вычислима также и
в (Z0) и может быть представлена в виде a(\ixb(n, х)), где а(п)
и b (m, n) — рекурсивные термы, содержащие только указанные
переменные, причем терм b (m, n) обладает тем свойством, что
для всякой цифры m может быть указана цифра f такая, что
имеет место равенство b (m, f) = 0.
Верно и обратное: если b (т, n) — рекурсивный терм, обладаю-
обладающий указанным свойством и зависящий только от переменных т
и п, то терм a (jl^b (/г, х)) изображает вычислимую в (Z0) функ-
функцию. Действительно, для всякой цифры m после нахождения
цифры f, для которой выполняется равенство b (m, t) = 0, при
помощи перебора цифр от 0 до f мы найдем наименьшую из таких
цифр г, для которых выполняется равенство b(m, r) = 0. Если
обозначить эту наименьшую цифру через е, то в (Z0) будет выво-
выводимо равенство
и если п представляет собой значение рекурсивного терма а (е)
« 21 ОБЩЕРЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ 489
без переменных, то равенство
a(\ixb(m, х)) = п
также будет выводимо в (Z0), в то время как ни для какой
отличной от п цифры г равенство a (jl^b (m, x)) = r не будет выво-
выводимо в (Z0). Значит, функция a(pxb{n, х)) действительно вычис-
вычислима в (Z0).
В связи с этим мы рассуждаем еще следующим образом: если
какой-либо рекурсивный терм Ь(т, п) удовлетворяет тому усло-
условию, что по каждой цифре m можно указать некоторую цифру п
такую, что выполняется равенство Ь (т, п) = 0, то отношение
как это следует из только что проведенного рассуждения, рав-
равносильно рекурсивному предикату «имеет место равенство Ь (л, /) =
= 0 и ни для какого г, меньшего /, равенство Ь(л, z) = 0 места
не имеет». Значит, если теперь обозначить этот предикат через
g(n, /), то число I будет представлять собой значение изобра-
изображенной термом fU>(n, x) функции в том и только том случае,
если можно будет указать такое число п, что имеет место отно-
отношение (£ (п, I). Но отсюда по одному ранее уже использованному
нами замечанию К лини1) получается, что область значений функ-
функции, изображенной термом fM>(n, x), совпадает с областью зна-
значений некоторой рекурсивной функции. Поэтому то же самое
верно и в отношении любой функции, представимой в виде
a(fM>(n, х)), где а (л) — какая-либо рекурсивная функция.
Тем самым из полученного нами результата о представлении
в (Z0) регулярно вычислимых функций вытекает, что область зна-
значений любой регулярно вычислимой функции совпадает с областью
значений некоторой рекурсивной функции. Используя квантор
существования, мы можем выразить этот факт следующим образом:
всякое высказывание вида Зх (f (x) = а), где f — какая-либо регуляр-
регулярно вычислимая функция, равносильно некоторому высказыванию
вида Злг(д(лг) = а), где g — соответствующая рекурсивная функция.
§ 2. Общерекурсивные и регулярно вычислимые функции.
Нормальное представление. Вычисление в формализме (Zoo).
Применение канторовской диагональной процедуры
Полученный нами результат о представимости регулярно вы-
вычислимых арифметических функций одного аргумента при помощи
термов а(\х.хЬ{п, х)) формализма (Z0) может вызвать подозрение,
что понятие регулярно вычислимой функции было определено
нами слишком узко.
х) См. с. 346.
490 ПРИЛОЖЕНИЕ [И
Чтобы в противовес этому подозрению подчеркнуть широту
введенного нами понятия, мы сравним его с другим уточнением
понятия вычислимой функции, представляющим собой некоторое
обобщение понятия рекурсивной функции. Арифметическую функ-
функцию мы будем в дальнейшем называть общерекурсивной или
квазирекурсивной, если для вычисления ее значений может
быть указана система @, состоящая из конечного числа равенств
следующего типа: выражен и я, стоящие в левой и правой частях
каждого из этих равенств, построены из свободных индивидных
переменных, символа 0, штрих-символа и функциональных знаков;
среди этих функциональных знаков имеется один, q (n1( ..., пс),
представляющий рассматриваемую функцию в том смысле, что
для всякого набора значений пх ,пс аргументов из системы
@ может быть выведено равенство
q(nlt .... nc) = f,
где f представляет собой соответствующее этому набору аргумен-
аргументов значение функции, и ни для какой отличной от f цифры I
равенство
q(nb .... ty = l
не может быть выведено из @. При этом соответствующий вывод
может состоять только из шагов следующих трех типов:
1. Подстановка какого-либо терма вместо индивидной пере-
переменной, т. е. подстановка некоторого выражения, построенного
из символа 0, штрих-символа и функциональных знаков и пере-
переменных этой системы равенств;
2. применение схемы замены
а = Ь, 51(а)
31 (Ь)
которое производится, как и в случае формализма (Z0), при
помощи (не причисляемой к термам) именной переменной у,
3. применение схемы перестановки
а=Ь
Ь=а
Замечание. Указанного типа шаги, из которых и состоят
рассматриваемые нами выводы, обладают тем свойством, что от
равенств между термами они снова ведут к равенствам того же
самого рода.
5 2] ОБЩЕРЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ 491
Относительно рассматриваемой системы равенств @ мы при
выполнении указанных условий будем говорить, что она пред-
представляет собой квазирекурсивное определение функ-
функции, представленной функциональным знаком q (пъ ..., nv). Легко
убедиться, что в соответствии с этим определением1), в котором
мы следуем С. К. Клини, каждая рекурсивная, т. е. определен-
определенная примитивными рекурсиями, функция квазирекурсивна.
Но и каждая регулярно вычислимая функция тоже является
квазирекурсивной. Действительно, всякая такая функция в си-
системе (Z0) представляется, как мы знаем, некоторым термом
a(fy>(n, л:)),
где a (n) и b (п, m) суть рекурсивные термы, содержащие только
указанные переменные, причем для каждой цифры m может быть
указана цифра f такая, что справедливо равенство b(m, f) = 0.
Теперь, если мы сначала напишем рекурсивные определения для
всех входящих в a (n) и b (n, т) функциональных знаков, потом
напишем рекурсивные равенства для функций sgn(n), sgn(n),
a + b и a-b (если они еще не попали в число написанных),
а затем введем один двуместный функциональный знак q(n, m)
и один одноместный знак f(n) и добавим для них следующие
равенства:
q(n, a) = sgn(b(n, a))-q(n, a') + sgn(b(n, a))-a,
= a(q(n, 0)),
*) См.: Kleene S. C. General recursive functions of natural numbers —
Math Ann., 1936, 112, № 5.—Наше определение отклоняется от определения
Клини в двух пунктах: во-первых, мы допускаем подстановки не только цифр,
а = Ь
но и термов вообще, а во-вторых, добавляем схему перестановки . Эта
Ь = а
более общая формулировка правила подстановки облегчает установление квази-
рекурсивности некоторых функций. Правда, из-за этого несколько усложняется
формализация метаматематики самого формализма вычислений; однако для
появляющихся при этом дополнительных рассуждений мы можем воспользо-
воспользоваться кое-чем из наших прежних рассмотрений. Принятие схемы перестановки
избавляет нас от необходимости добавлять, когда мы пишем определяющие
системы равенств для квазирекурсивных функций, к каждому равенству f = t
еще и равенство l = f, как это, вообще говоря, следует делать при клиниев-
ском определении. —Клиниевское определение понятия общерекурсивной функ-
функции является модификацией одного определения К- Гёделя, сформулирован-
сформулированного им в одной из принстонских лекций A934 г.). Это определение в свою
очередь восходит к одному похожему, но менее определенно сформулирован-
сформулированному понятию, введенному Ж. Эрбраном: Herbrand J. Sur la non-contra-
non-contradiction de l'Arithmetique. — J. reine angew. Math., 1931, 166, №1, §2, Gro-
uPe С.—То, что определения Гёделя и Клини описывают один и тот же
класс функций, показано в упоминавшейся уже работе Клини. Из нее можно
также вывести, что и наше определение описывает тот же самый класс
Функций,
492 ПРИЛОЖЕНИЕ [Н
то получим квазирекурсивное определение нашей функции. При
этом q(n, а) —функция (не обязательно квазирекурсивная), кото-
которая изображается в формализме (Z0) термом &x(b(n, x), a), a f (и)—
рассматриваемая функция, представленная в (Zc) термом
a(fM>(n, x)).
Рассуждение, с помощью которого мы убеждались в вычисли-
вычислимости этой функции в формализме (Z0), показывает нам и то, что
написанная система равенств представляет собой квазирекурсив-
квазирекурсивное определение этой функции.
Итак, мы видим, что любая регулярно вычислимая арифме-
арифметическая функция одного аргумента является квазирекурсив-
квазирекурсивной.
Теперь нам хотелось бы убедиться в справедливости обраще-
обращения этой теоремы, т. е. показать, что всякая квазирекурсивная
арифметическая функция одного аргумента является регулярно
вычислимой.
Для любой квазирекурсивной арифметической функции одного
аргумента определяющая ее система равенств, взятая вместе
с правилом подстановки, схемой замены и схемой перестановки,
образует некоторый дедуктивный формализм, в котором эта функ-
функция вычислима. Поэтому, чтобы убедиться в том, что она регу-
регулярно вычислима, достаточно показать, что для этого формализма
можно выбрать такую нумерацию, при которой все три условия
рекурсивности окажутся выполненными.
Стремясь несколько усилить этот результат, мы слегка моди-
модифицируем наше рассмотрение, расширир рассматриваемые форма-
формализмы следующим образом. Мы будем считать, что у нас имеется
некоторый неограниченный, общий для всех квазирекурсивных
определений, запас индивидных переменных, а также (для
каждого г) общий запас r-местных функциональных знаков; из
этого запаса и будут черпаться переменные и функциональные
знаки для наших систем равенств. Термами мы будем назы-
называть выражения, которые можно образовывать из символа О,
штрих-символа, а также переменных и функциональных знаков
из этого запаса. Это независимое от текущей системы равенств
понятие терма будет играть в нашем правиле подстановки важ-
важную роль.
Тем самым правило подстановки подвергается некоторому
обобщению, но это обобщение не оказывает никакого влияния
на выводимость равенств вида
где m и п —цифры, a q является символом какой-либо задаваемой
; 21 ОБЩЕРЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ 493
посредством соответствующей системы равенств функцииг). Дей-
Действительно, из любого вывода такого равенства, произведенного
на базе обобщенного понятия терма, мы можем при помощи про-
процедуры возвратного переноса подстановокг) сначала получить
такой вывод, в котором любой подставляемый вместо переменной
терм не содержит переменных и в котором поэтому фигурируют
только такие переменные, которые входят в определяющие равен-
равенства. Затем мы можем устранить все использованные в этом
выводе функциональные знаки, не встречающиеся в определяющей
системе равенств (знак q в ней встречается), заменив цифрой О
каждый терм, состоящий из какого-либо не входящего в данную
систему равенств функционального знака с произвольными тер-
термами в качестве аргументов. В самом деле, в результате этих
замен на месте любой подстановки всегда будет стоять новая
допустимая подстановка, а применения схем замены и перестановки
снова перейдут в применения этих схем (возможно в тривиальные
применения вида
а = а, 21 (а) а —а
Я (о) ' а = а'
которые можно будет опустить).
Поэтому каждая квазирекурсивная функция одного аргумента
вычислима в некотором формализме, определяемом — если взять
за основу расширенное понятие терма — заданием некоторой си-
системы равенств между термами (играющих роль исходных формул)
и трех упоминавшихся правил вывода: правила подстановки
терма вместо индивидной переменной, схемы замены и схемы пере-
перестановки.
Мы зададим теперь общую для всех таких формализмов нуме-
нумерацию, при которой для каждого из формализмов подобного
рода будут выполняться указанные три условия рекурсивности3).
Задание этой нумерации выглядит следующим образом:
Индивидным переменным в качестве номеров мы сопоставляем
простые числа, большие 7; отличной от них именной переменной у
мы сопоставляем номер 7; символу 0 — номер 8. Приписыванию
(справа) штрих-символа будет соответствовать операция умноже-
умножения на 3; r-местным функциональным знакам ставятся в соответ-
соответствие функции 5• p"i•..♦ -р с, где plt ..., рс — различные простые
числа 5*7, упорядоченные по возрастанию; это означает, что
*) Это соображение очень важно, так как понятие выводимости в данном
формализме включает в себя не только условия выводимости соответствующего
равенства, но также и условия невыводимости других равенств.
2) См. Приложение I, с. 473,
s) Список рекурсивных функций, а также понятий и фактов рекурсивной
арифметики, необходимых для дальнейшего рассмотрения, см. на с, 271—276.
494 ПРИЛОЖЕНИЕ [II
выражение, получающееся в результате заполнения мест аргумен-
аргументов рассматриваемого функционального знака в порядке их сле-
следования выражениями с номерами nlt ..., пс, получает в качестве
номера число
Наконец, равенству, у которого выражения, стоящие в его левой
и правой частях, имеют номера тип, мы сопоставляем номер
10 7т-11".
Равенство между термами будет называться формулой,
конечная последовательность таких равенств — списком фор-
форму л. В качестве номера списка формул, состоящего из формул
с номерами mlt ..., щ, мы возьмем, подобно тому как это дела-
делалось в ранее рассматривавшихся нумерациях, число р™1 •... • f^ ],
Убедимся сначала, что для так построенной нумерации вы-
выполняются второе и третье условия рекурсивности. В качестве
рекурсивной функции с (п), которая — как этого требует третье
условие рекурсивности — номеру любого равенства, правой частью
которого является какая-либо цифра, сопоставляет эту самую
цифру, можно взять функцию v(v(n, 4), 1). Эту функцию мы
сокращенно обозначим посредством со(п).
Для проверки выполнения второго условия рекурсивности
требуется указать такую рекурсивную формулу ф (/, т), что
отношение ф (I, m) для чисел т и [ имеет место тогда и только
тогда, когда I является номером некоторого равенства f (m) = с,
где г —цифра, a f — функциональный знак, обозначающий опре-
определяемую квазирекурсивную функцию. Если функциональному
знаку f в соответствии с нашей нумерацией сопоставлена функция
5-р" (с конкретным простым числом р), то это отношение может
быть арифметически сформулировано следующим образом: «число /
имеет вид 10 • 7° • 11й, причем а = 5-р8-зт, a b имеет вид 8-3е».
Это высказывание представляет собой некоторый рекурсивный
предикат от / и т, и поэтому оно может быть изображено не-
некоторой рекурсивной формулой, которую мы, подчеркивая фигу-
фигурирующее в ней в качестве параметра простое число р, обозна-
обозначим через фо(£. т, р).
Зависимости от параметра р здесь можно избежать, согла-
согласившись, что при обозначении функциональных знаков (вообще
говоря, достаточно произвольном) в квазирекурсивных определе-
определениях функций одного аргумента в качестве функционального
знака для определяемой функции берется знак, которому в нашей
нумерации соответствует функция 5-7". Если ограничиться такими
«нормированными» квазирекурсивными определениями, то
§ 2] ОБЩЕРЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ 495
формула %A, т, р) получит специальный вид —фо(/, т, 7).
Эту рекурсивную формулу мы будем сокращенно обозначать
посредством %A, т).
Теперь остается рассмотреть первое условие рекурсивности.
Для любого дедуктивного формализма, состоящего, как мы знаем,
из квазирекурсивного определения какой-либо арифметической
функции одного аргумента и трех правил, касающихся способов
применения определяющих равенств, это условие выполняется
всякий раз, когда по отношению к этому формализму и к опи-
описанной нами нумерации высказывание «число т является номером
списка формул, представляющего собой вывод формулы с номе-
номером п» является рекурсивным предикатом.
Мы покажем здесь несколько больше, а именно, что может
быть указана некоторая рекурсивная формула 33(/, т, п), не
содержащая переменных, отличных от I, m и я, и обладающая
тем свойством, что для любых цифр (, m и п отношение
33 ((, т, п) имеет место тогда и только тогда, когда в нашей
нумерации ( и m являются номерами списков формул, п является
номером некоторого равенства © и список с номером m пред-
представляет собой вывод равенства ® из равенств списка с номером I
при помощи правила подстановки и схем замены и перестановки.
Построение такой рекурсивной формулы 8(/, т, п) мы начнем
с рекурсивного изображения предиката «число п является номером
некоторого терма». Такое изображение на основе нашей нумера-
нумерации может быть дано следующей, равносильной изображаемому
высказыванию альтернативой: «п = 8 или п является простым чис-
числом Ss 11 или п = 3 • т, где т отлично от 0 и является номером не-
некоторого терма, или п имеет вид 5• p"i■...• р с, где ри ..., рс —
различные пррстые числа Э= 7, а п1г ..., nv — номера каких-либо
термов».
Исходя из этой альтернативы и применяя способ, аналогич-
аналогичный тому, который мы применяли в гл. IVг) в связи со сходной
задачей для рассматривавшегося там формализма, мы действи-
действительно получим рекурсивное определение некоторой функции
t (n), с помощью которой высказывание «число п является номе-
номером некоторого терма» изобразится равенством t(n) = 0.
Вслед за этим мы немедленно получим рекурсивное изображе-
изображение предиката «число п является номером некоторого равенства
между термами», так как этот предикат, как мы знаем, может
быть сформулирован в виде высказывания «п является числом
вида 10-7а-11*, где а и b суть номера некоторых термов».
Далее, отсюда мы получим изображение предиката «число л
является номером некоторого списка формул» в виде некоторой
х) См. с. 278-279.
496 ПРИЛОЖЕНИЕ [II
рекурсивной формулы D,(n). В самом деле, этот предикат рав-
равнозначен следующему арифметическому высказыванию: «для каж-
каждого числа х, удовлетворяющего условию х^Х(п), число v(n, x)
является номером некоторого равенства между термами».
Теперь мы можем рекурсивно изобразить и высказывание
«числа тип являются номерами равенств, второе из которых
получается из первого в результате применения схемы переста-
перестановки». В самом деле, это высказывание равнозначно следую-
следующему: «существуют числа х и у, меньшие т и такие, что т =
= 10-7*11у, а п=10-7у• IIх», а это последнее переводимо
в некоторую рекурсивную формулу Di(m, n).
Для того чтобы дать рекурсивную формулировку правила
подстановки и схемы замены, мы введем рекурсивную функцию
st (m, k, I), рекурсивное определение которой извлекается из
следующей альтернативы1):
«Если т = За ■ k и k является простым числом ^= 7, то
st(m, k, l) = 3a-l;
если m = 22-3b -5c-n, c>0 и п не делится ни на одно из
чисел 2, 3 и 5, то
st(m, k, 1) = 2а-3»-5с
если ни один из названных случаев места не имеет, то
st(m, k, 1) = тл
С помощью этой функции для любого числа т, являющегося
номером какой-либо формулы, можно будет выразить тот факт,
что из этой формулы в результате подстановки получается фор-
формула с номером п. Это может быть сделано с помощью следую-
следующего рекурсивного предиката, зависящего от переменных т и п:
«для некоторого простого числа х такого, что Пг^жСл, и для
некоторого числа у<п, являющегося номером некоторого терма,
имеет место отношение st(m, х, у) = пт>.
Для любых чисел I и т, являющихся номерами некоторых
двух формул, условие, что из этих формул по правилу замены
получается формула с номером п, может быть выражено с по-
помощью следующего рекурсивного предиката, зависящего от пере-
переменных /, т и пг): «существует число х<.т, обладающее тем
х) Переход от одной совершенно аналогичной альтернативы к соответствую-
соответствующему рекурсивному определению проделан в гл. IV на с. 280—281.
2) В этой арифметической формулировке данного условия проявляется
то обстоятельство, что число 7, являющееся номером именной переменной у,
меньше номера любой допускаемой в качестве терма индивидной переменной,
а также меньше номера символа 0.
§ 21 ОБЩЕРЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ 497
СВОЙСТВОМ, ЧТО
st(x, 7, v(l, 3)) = m и st(x, 7, v(f, 4)) = /».
Оба упомянутых предиката тоже могут быть изображены
рекурсивными формулами, которые мы обозначим посредством
£}2 (т, п) и Q3 (Л tnt n) соответственно.
После того как мы таким образом получили рекурсивные
изображения для всех содержащихся в понятии вывода терминов
и отношений, искомую рекурсивную формулу 33 (/, т, п) мы по-
построим путем рекурсивного перевода следующего арифметического
высказывания: «имеет место £!(/) и v(m, X(m)) = n и для лю ого
числа х^Х(т) выполняется альтернатива: либо существует число
г/^Я(/), для которого v(m, x) = v(l, у), либо существует число
у<.х, для которого имеет место £li(v(m, у), v(m, x)) или
Q2(v(/n, у), v(m, х)), либо существует число у<. х и число z < х,
для которых имеет место D3(v(m> У), v(tn, z), v(m, x))».
Этим закончено доказательство утверждения о том, что любая
квазирекурсивная функция одного аргумента вычислима в неко-
некотором формализме, для выражений которого можно построить
нумерацию, удовлетворяющую трем условиям рекурсивности, или,
короче, что любая квазирекурсивная функция одного аргумента
является регулярно вычислимой.
Этот результат вместе с ранее установленной квазирекурсив-
ностью всякой регулярно вычислимой функции одного аргумента
позволяет сделать вывод, что класс регулярно вычислимых ариф-
арифметических функций одного аргумента совпадает с классом ква-
квазирекурсивных функций одного аргумента.
Проведенное нами рассуждение дает еще один результат.
В самом деле, пусть f («) — какая-либо квазирекурсивная функ-
функция одного аргумента, и пусть I —номер какого-либо представ-
представляющего собой нормированное квазирекурсивное определение
функции f списка формул только что рассмотренного нами фор-
формализма, или —что короче —номер некоторого квазирекурсивного
определения f. Пусть п —цифра, f —значение f(n), a q —функцио-
—функциональный знак, который в этом квазирекурсивном определении
представляет функцию f. Тогда номер формулы q(n)=»f будет
равен числу
10-75-78'зп- И8*.
Далее, можно указать цифру т, являющуюся номером некоторого
списка формул, представляющего собой вывод формулы q(n) = f
из формул списка с номером I. Вывод этот, как мы знаем, про-
производится с помощью правил подстановки и схем замены и пере-
498 ПРИЛОЖЕНИЕ [II
становки. При этом выполняется условие
S (r, m, 10■ 75-78-зп jIS3f).
Если число г равно 2f-3ln, to f = v(r, 0), m = v(r, 1), и, значит,
имеет место отношение
[, v(t, I), 10.7^8-3tt.118-3v(c-
При этом
33 (/, v(r, 1), I0.7"8-3n.lls'3v<'
является рекурсивной формулой, не содержащей отличных от I, п
и г переменных, и, следовательно, имеет вид некоторого равенства
1)A, п, г) = 0,
где lj(/, ft, r) — рекурсивный терм, не содержащий переменных,
отличных от I, ft и г. Если I является номером нормированного
квазирекурсивного определения какой-либо функции одного аргу-
аргумента, то для некоторой, подходящим образом выбранной цифры с
найденное нами соотношение
имеет место при произвольном выборе цифры п. Тогда для любой
цифры г, для которой выполняется отношение fy(I, n, г) = 0, зна-
значение v (г, 0) будет равно значению f (n) определяемой этим квази-
квазирекурсивным определением функции f.
Для фигурирующей здесь рекурсивной функции v(m, 0) мы
будем употреблять функциональный знак v0 (т.).
Если мы теперь объединим полученный нами результат с тем,
что было установлено относительно выводов в формализме (Z0),
то получится, что для цифры I, являющейся номером какого-либо
нормированного квазирекурсивного определения, и для произ-
произвольной цифры п в формализме (Z0) выводимо равенство
iUHf> п> *) = е>
где е — наименьшая из цифр г таких, что значение f) (I, n, г)
равно 0; из этого равенства, далее, в (Z0) выводимо равенство
vo(M>(f> п> *)) = *«
где f —цифра, являющаяся значением квазирекурсивной функции,
определяемой системой равенств с номером I, при значении аргу-
аргумента, равном п. С другой стороны, вследствие нумерической
непротиворечивости формализма (Z0) ни для какой цифры ё,
§ 2] ОБЩЕРЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ 4"
отличной от f, равенство
невыводимо в (Z0).
Тем самым для любой квазирекурсивной, а значит, и для
любой регулярно вычислимой функции одного аргумента в (Z0)
получается некоторое нормальное представление в виде
vo(M>(f> п> *))•
При этом произвольная отдельно взятая регулярно вычислимая
функция характеризуется цифрой (, а сама функция I) (I, я, а)
определяется независимо от функций, которые ей надлежит
изображать.
Впрочем, терм vo(jyj((, n, х)) изображает квазирекурсивную
(а тем самым и регулярно вычислимую) функцию не только при
цифре \, являющейся номером какого-либо нормированного квази-
квазирекурсивного определения. Это имеет место всякий раз, когда
для любой цифры п может быть указана такая цифра г, что имеет
место равенство !)([, п, г) = 0.
В самом деле, в конце § 1 мы показали, что любой терм
из (Z0), имеющий вид а (й.хЬ (п, х)), где а (п) и Ь (п, т) суть рекур-
рекурсивные термы, содержащие только указанные переменные, причем
для каждой цифры п может быть указана цифра г, для которой
имеет место равенство b(n, г) = 0, всегда изображает регулярно
вычислимую функцию; это верно, в частности, и для терма
если цифра ( удовлетворяет указанному условию.
В формализме (Z1) в роли терма v0 (jljj (/, п, х)) выступает терм
т. е. терм вида
vo(M<*9t(f, п, х))
с рекурсивной формулой Ш (/, п, т). Этим термом каждая регу-
регулярно вычислимая арифметическая функция одного аргумента
также представляется в виде vo([i,JC3i ((, п, х)) в том смысле, что
имеет место выводимость равенств vo(|ax№((, и, x)) = f, когда
Цифра ( является номером какого-либо нормированного квазире-
квазирекурсивного определения этой функции; с другой стороны, терм
v0 (\iJR ([, п, х)) представляет регулярно вычислимую функцию
всякий раз уже тогда, когда для любой цифры и можно указать
такую цифру г, для которой имеет место отношение Ш ([, л, г).
Если мы перейдем от формализма (Z1) к формализму (Z),
Добавив сначала t-символы, то можно будет воспользоваться ранее
500 ПРИЛОЖЕНИЕ Ш
установленной нами представимостью рекурсивных функций1),
а также явной определимостью fi-символа через i-символ2) и
устранимостью i-символов. Таким образом, в итоге получается,
что все квазирекурсивные функции одного аргумента предста-
вимы в (Z). Здесь, как и в наших предыдущих результатах, отно-
относящихся к квазирекурсивным функциям, как мы отмечали уже
в самом начале3), можно было бы не ограничиваться рассмотре-
рассмотрением функций одного аргумента. Действительно, в определении
квазирекурсивной функции одного аргумента ее аргумент играет
роль параметра; поэтому переход к большему числу параметров
является непринципиальным обобщением, так как с помощью
рекурсивного перечисления пар чисел, троек чисел и т. д. не-
несколько параметров всегда могут быть сведены к одному4).
Кроме того, следует заметить, что представимость квазире-
квазирекурсивных функций в формализмах (Z1) и (Z), равно как и пред-
представимость рекурсивных функций в (Z), имеет место в более
сильном смыслев). Это следует из представимости квазирекурсив-
квазирекурсивных функций в виде vo(fyi)(/, n, х)) и из того факта, что с по-
помощью формул для ^-символа могут быть выведены любые фор-
формулы, получающиеся путем применения схемы (ДN), если в ней
\Lx(t(x), а) заменить на \ix(t(x) = 0&ae^x), a P-jct (лг) — на
Mt()o)
M(*))
Установление представимости квазирекурсивных функций в фор-
формализмах (Z1) и (Z) позволяет, в частности, получить доказатель-
доказательство с более общей точки зрения для ранее установленного7)
другим способом утверждения, что функции, введенные посред-
посредством перекрестных (многократных) рекурсий при добавлении
характеристик (i-символов) могут быть явно определены в си-
системе (Z).
Следствием полученного нами нормального представления для
регулярно вычислимых функций является тот факт, что каждая
из этих функций вычислима не только в формализме (Z0), но и
в некотором более узком формализме. В самом деле, для того
чтобы иметь возможность для каждой заданной цифры I, являю-
являющейся номером какого-либо нормированного квазирекурсивного
определения, вычислять функцию vo(p.x1)((, n, х), нам не нужен
весь формализм (Z°). Вместо общей схемы примитивной рекурсии
!) См. т. I, с. 533 и определение представимости функций, т. I, с. 433
и далее.
2) См. т. I, с. 481.
») См. с. 478, сноску 1.
*) См. рассуждение относительно параметров в рекурсивных определе*
ниях, т. I, с. 396.
6) См. т. I, с. 534.
«) См. с. 480 и 484—485.
?) В связи с этим см. т. I, с. 509—510.
§ 2] ОБЩЕРЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ 501
нам было бы достаточно взять конечное число рекурсивных ра-
равенств, встречающихся в рекурсивных определениях, входящих
в I) (/, п, г) функциональных знаков; вместо схемы (jx) и явного
определения символа yixt(x) было бы достаточно взять формулы
( 6(/, я, a) = sgn($(/, я, а))-в(/, я, a')+igH(f)('- я, а))-а,
\ 9*(/, n) = voF(/, я, 0)),
которыми вводятся функциональные знаки 6 (/, п, а) и 9*(/, п),
вместе с рекурсивными определениями встречающихся в этих
равенствах функциональных знаков sgn, sgn, +, • и v0; а схему
явного определения можно было бы опустить.
Так мы приходим к некоторому формализму (ZOo), обладаю-
обладающему следующими свойствами:
1. Он получается в результате некоторого ограничения фор-
формализма (Z0). [Добавленные исходные равенства F) выводятся в (Z0)
при помощи явных определений для символов 8 (/, п, а) и 8* (/, п).]
Поэтому из нумерической непротиворечивости (Z0) следует нуме-
рическая непротиворечивость (Zoo)-
2. По своему характеру он является одним из рассматривав-
рассматривавшихся до сих пор формализмов, в которых вычисление квазире-
квазирекурсивных функций осуществляется на основе определяющих эти
функции систем равенств. Действительно, каждая формула является
равенством между термами; термы строятся из символа 0, штрих-
символа, индивидных переменных и функциональных знаков;
задается конечное число исходных равенств и выводы произво-
производятся при помощи правила подстановки и схемы замены1). По-
Поэтому для формализма (Zoo) мы можем использовать построенную
при рассмотрении квазирекурсивных определений нумерацию и
определенные со ссылкой на эту нумерацию рекурсивные изобра-
изображения различных понятий.
3. Каждая регулярно вычислимая функция одного аргумента
вычислима в (ZOo)- Действительно, каждая такая функция является,
как мы знаем, квазирекурсивной, и если I является номером ее
нормированного квазирекурсивного определения, то она пред-
представляется в (Zoo) термом 8* ([, п) в том смысле, что для каждой
цифры п может быть указана такая цифра г (и притом, вследствие
нумерической непротиворечивости (Zoo), только одна такая цифра),
что равенство
6*0. n) = t
будет выводимо в (Zoo)-
Из свойства 2 формализма (Zoo) можно, кроме того, извлечь
некоторое обращение утверждения 3, состоящее в том, что всякая
вычислимая в (Zoo) функция одного аргумента регулярно вычислима.
1) Схема перестановки в (Zoo), как и в (Z°), является производной схемой
502 ПРИЛОЖЕНИЕ (II
Для доказательства этого мы покажем, что при вычислении любой
функции в (Zoo) для упомянутой в свойстве 2 нумерации выпол-
выполняются все три условия рекурсивности.
Выполнение первого условия устанавливается следующим обра-
образом: если мы составим какой-либо конечный список исходных
равенств формализма (Z00) и возьмем номер Ь этого списка, то
необходимое и достаточное условие того, что список формул
с номером m будет представлять собой вывод в (Zoo) равенства
с номером п, изобразится в его зависимости от m и п рекурсив-
рекурсивной формулой $о 0, т, п), которая получится из формулы, ранее
обозначенной нами через 33 (/, т., я), в результате отбрасывания
относящегося к схеме перестановки члена Q^v^, у), v(m, x))
и замены переменной / цифрой }.
Как мы знаем, отсюда вытекает, что номера выводимых в (Zoo)
формул образуют область значений некоторой рекурсивной функ-
функции io(n). Эту функцию jo(n) мы можем определить, например,
следующим образом: формула 33n(j, tn, п) имеет вид некоторого
равенства Ьй{т, я) = 0 с рекурсивным термом bo(m, n). Если мы
положим
jo(tt) = sgn(bo(v(tt, 0), v(n, l)))-v(j, 0) +
sgn(bo(v(n, 0), v(n, l)))-v(n, 1),
то для любой цифры п будем иметь jo(n) = v(n, 1), если значе-
значение v(n, 0) является номером некоторого списка формул в (Zoo),
являющегося выводом формулы с номером v(n, 1), и будем иметь
j0 (n) = v (з, 0) в противном случае. В обоих случаях значение j0 (n)
является номером некоторой выводимой в (Zoo) формулы; именно,
v(j, 0) равно номеру первой формулы в нашем списке исходных
формул формализма (Zoo). Если же t является номером какой-
либо выводимой в (ZOo) формулы и если m является номером
списка формул, представляющего собой вывод этой формулы
в (Zoo), то
bo(m, r) = 0,
sgnF0(m, r)) = 0, sgn(Mm, t))=l,
vBm-3c, 0) = m, vBm-3c, l) = t,
а потому
()
Таким образом, среди значений функции jo (я) встречается номер
любой выводимой в (Zoo) формулы и не встречается никаких дру-
других чисел.
Что касается второго условия рекурсивности, то в его выпол-
выполнимости можно убедиться следующим образом: пусть какая-либо
вычислимая в (Zoo) функция представляется в этом формализме
, 2) ОБЩЕРЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ
503
термом t (n); пусть ё — номер этого терма, ар — номер перемен-
переменной п; тогда с помощью рекурсивной функции st(m, к, I), кото-
которую мы в свое время определили в связи с построением формулы
23(/, т, п), предикат «число т является номером некоторого
равенства t (k) = г с данной цифрой k и некоторой цифрой /-»
может быть переведен в следующий рекурсивный предикат, зави-
зависящий от т и k: «существует число х<т, для которого
т= io.7st(<3>1)>8-3fe)- И8-3*».
Наконец, выполнение третьего условия можно усмотреть непо-
непосредственно, точно так же, как это делалось при рассмотрении
квазирекурсивных определений.
Тем самым наше утверждение, что каждая вычислимая в (Zoo)
функция одного аргумента регулярно вычислима, установлено, и
поэтому на основании утверждения 3 получается, что совокуп-
совокупность функций одного аргумента, вычислимых в (Zoo), совпадает
с совокупностью регулярно вычислимых функций одного аргумента,
которая в свою очередь, как мы знаем, совпадает с совокуп-
совокупностью квазирекурсивных функций одного аргумента.
Замечание. Для формализма (Z0) тоже можно показать,
что каждая вычислимая в нем функция одного аргумента регу-
регулярно вычислима Однако доказательство этого факта является
более трудным, чем в случае формализма (Zoo).
Ряд следствий из полученных нами результатов можно извлечь
на основе канторовской диагональной процедуры. Применение
этой процедуры здесь в известной мере подсказывается тем
обстоятельством, что в представлении квазирекурсивных функций
одного аргумента термом 8* ((, п) участвует — говоря на языке
теории множеств — взаимно однозначное соответствие между сово-
совокупностью этих функций и некоторым подмножеством натураль-
натурального ряда.
В частности, на этом пути получается следующая доказанная
Клиних)
Теорема. Не существует такой регулярно вычислимой функ-
функции, которая могла бы служить содержательным истолкованием
терма цх(Ъ{п, п, х) = 0) формализма (Z1); более того, по всякой
регулярно вычислимой функции одного аргумента \ (я) можно ука-
указать такую цифру I, что в формализме (Z1) будет выводима
формула
Цифрой п, являющейся значением f (Г).
*) В уже цитированной работе «General recursive functions of natural num-
numbers»; теооема XIV.
у р
теорема XIV.
504 ПРИЛОЖЕНИЕ [П
Действительно, всякая регулярно вычислимая функция одного
аргумента f (п), как мы знаем, вычислима в (Zoo), а потому то же
самое верно и в отношении функции v0 (f (п)) -\-1. Следовательно,
эта функция квазирекурсивна, и для нее можно указать норми-
нормированное квазирекурсивное определение. Пусть I —номер этого
определения. Тогда функция vo(f(rt))+l представляется в (Zn0)
термом 6* (I, п) и потому если, в частности, п является значе-
значением f(I), то в (Zo0) выводимо равенство
6* (f. 0 = v«(n)+l,
а также равенство
v0(9(Г, Г, 0)) = vo(n) + l.
Аналогично, в формализме (Z0) выводимо равенство
vo((W. I, *)) = vo(n)+l,
а в (Z1) — равенство
, U *) = 0) = vo(n) + l.
Но из этого равенства с помощью выводимой в рекурсивной
арифметике, а значит, и в (Z1), формулы
v0 (а) — v0 (i>) +1 -*■ а ф Ъ
получается, что формула
выводима в формализме (Z1).
Заодно ввиду непротиворечивости формализма (Z1) получается,
что формула
не может быть выведена в (Z1).
Только что доказанное утверждение дает нам пример арифме-
арифметической функции одного аргумента, однозначно определенной
в смысле традиционной математики, т. е. с содержательным
использованием принципа «tertium non datur» для целых чисел,
и отличающейся от каждой регулярно вычислимой функции
хотя бы при одном значении аргумента. Впрочем, эта функция
имеет вид ц*51(я, х), где 3d (и, а) — рекурсивная формула, и
с помощью принципа «tertium non datur» она содержательно
определяется как такая функция, которая всякому числу п,
находящемуся в отношении 2ft (п, г) по крайней мере с одним
числом г, ставит в соответствие наименьшее из чисел г, обладаю-
обладающих этим свойством, а всякому другому числу ставит в соответ-
соответствие 0.
, 3)
НЕРАЗРЕШИМОСТЬ ПРОБЛЕМЫ РАЗРЕШИМОСТИ 505
Имеют место и многие другие теоремы, говорящие о невоз-
невозможности реализовать те или иные соответствия при помощи
регулярно вычислимых функций. Наиболее значительным резуль-
результатом этого рода является теорема Алонзо Чёрча, касающаяся
проблемы разрешимости исчисления предикатов, которую мы здесь
и рассмотрим.
§ 3. Невозможность общего решения проблемы разрешимости
для исчисления предикатов
Проблема разрешимости для исчисления предикатов, рассмат-
рассматриваемая с точки зрения теории доказательств, — в дальнейшем
мы будем интересоваться именно этим аспектом данной проблемы —
касается исследования формул исчисления предикатов на предмет
выяснения их выводимости. Общее решение этой проблемы должно
было бы состоять в указании какого-либо общего метода, про-
процедуры, с помощью которой относительно любой конкретной
формулы исчисления предикатов можно было бы выяснить воп-
вопрос о том, является она выводимой в исчислении предикатов
или же нет.
Понятие разрешающей процедуры является неточным. Прояс-
Прояснение понятия разрешимости данного математиче-
математического вопроса за конечное число шагов как раз и
является одной из задач, поставленных Гильбертом перед тео-
теорией математического доказательства в его докладе «Аксиомати-
«Аксиоматическое мышление»1).
В рассматриваемой ситуации, как и в ряде других аналогич-
аналогичных случаев, задание разрешающей процедуры можно свести
к заданию процедуры вычисления некоторой арифметической
функции. Действительно, благодаря наличию нашей нумерации
исчисления предикатов каждая формула этого исчисления харак-
характеризуется ее номером, который всегда может быть легко найден
по предъявленной конкретной формуле и по которому, обратно,
может быть найдена сама эта формула.
Кроме того, по любому числу можно непосредственно выяснить,
является оно номером какой-либо формулы исчисления предика-
предикатов или же нет. Требующийся для этого способ мы ранее (в гл. IV)
облекли в форму рекурсивного определения понятия формулы
исчисления предикатов.
Если теперь предположить, что в нашем распоряжении имеется
способ, позволяющий распознавать выводимость любой конкретной
формулы исчисления предикатов, то по любому данному нам
числу мы, во-первых, сможем выяснить, является ли оно вообще
№ 3/4.'
х) Доклад прочитан в 1917 г. в Цюрихе, опубликован в Math, Ann., 78,
1/4.
806 ПРИЛОЖЕНИЕ [II
номером какой-либо формулы, и если это имеет место, то мы
сможем найти соответствующую формулу и по ней узнать,
является ли она выводимой. Если эта формула выводима, мы
сопоставим данному числу в качестве значения 0, а во всех
остальных случаях — число 1. Тем самым оказывается заданной
процедура вычисления значений некоторой арифметической функ-
функции одного аргумента, сопоставляющей каждому числу, являю-
являющемуся номером какой-либо выводимой формулы исчисления пре-
предикатов, значение 0, а всем остальным числам — значение 1.
И обратно, если бы нам была известна какая-либо процедура
вычисления значений подобной функции, то она давала бы способ
для распознавания выводимости любой конкретной формулы
исчисления предикатов.
И вообще, любую арифметическую функцию одного аргумента,
которая по отношению к данному дедуктивному формализму F
и к данной нумерации выражений этого формализма обладает
тем свойством, что ее значение для всякого числа, являющегося
номером какой-либо выводимой в F формулы, равняется 0, в то
время как для остальных чисел оно равно 1, мы будем называть
разрешающей функцией для/*1, связанной с данной нуме-
нумерацией выражений этого формализма.
В этих терминах результат только что проведенного рассужде-
рассуждения выглядит следующим образом: общее решение проблемы раз-
разрешимости для исчисления предикатов равносильно нахождению
способа, позволяющего вычислять значения разрешающей функ-
функции для исчисления предикатов, связанной с нашей нумерацией
этого исчисления.
Теперь мы можем воспользоваться тем, что понятие вычисли-
вычислимой функции было уточнено с помощью понятия регулярно вычис-
вычислимой арифметической функции одного аргумента. Тогда вопрос
о возможности общего решения проблемы разрешимости для
исчисления предикатов приобретет следующую более точную фор-
формулировку: можно ли для исчисления предикатов и установлен-
установленной для него нумерации формул указать какую-либо регулярно
вычислимую разрешающую функцию?
Как показал Чёрч1), ответ на этот вопрос является отрица-
отрицательным. Доказательство Чёрча мы приведем здесь в несколько
измененном виде.
Для доказательства нам потребуется следующая
*) См. работу Чёрча: Church A. A note on the Entscheidungsproblem.—
J. Symbolic Logic, 1936, 1, № 1 и исправление к ней: J. Symbolic Logic, 1936,
1, № 3. Другое доказательство, появившееся вскоре после работы Чёрча, при-
принадлежит А. М. Тьюрингу. Это доказательство основывается на теории машин,
впоследствии названных его именем. См. Turing A. M. On computable num-
numbers, with an application to the Entscheidungsproblem,— Proc. Lond. Math.
Soc. Ser. 2, 1937, 42, в особенности см. с. 259 — 265.
§ 3] НЕРАЗРЕШИМОСТЬ ПРОБЛЕМЫ РАЗРЕШИМОСТИ 607
Лемма. Не существует регулярно вычислимой функции, кото-
которая для формализма (Zoo) была бы разрешающей функцией, связан-
связанной с введенной нами нумерацией этого формализма.
Эта лемма доказывается при помощи рассуждения Россерах),
которое проводится по образцу гёделевского уточнения антиномии
лжеца:
Допустим, что имеется некоторая регулярно вычислимая раз-
разрешающая функция для формализма (Zoo)- Тогда эта функция
представима в (Z00) соответствующим термом t(n).
Рекурсивная функция st(fe, р, 8-3*), где р —номер перемен-
переменной а, изображается в (Zoo) некоторым термом в (kJ). Если t
является номером какого-либо выражения 91 из (Zoo), то значение
терма б (f) является номером того выражения, которое получается
из 21 в результате замены переменной а всюду, где она входит
в 91, цифрой f. Пусть ( является номером формулы
am — номером формулы
тогда 6A) принимает значение т, а равенство ёA) = т выводится
в (Zoo).
Теперь рассмотрим значение терма t (m). По нашему предпо-
предположению t(n) является разрешающей функцией для (Zoo)- Поэтому
значение t (m) должно было бы равняться 0 или 1 в зависимости
от того, выводится или не выводится в (Zoo) формула с номером т,
т. е. формула
Но ни тот, ни другой случай не могут иметь места. Действительно,
если бы терм t (m) имел значение 0, то, с одной стороны, так
как функция t(n) вычислима в (Zoo), равенство
t (m) = 0
должно было бы быть выводимым в (Zoo), а с другой стороны,
так как t(n) является разрешающей функцией для (Zoo), в (Zoo)
должна была бы быть выводимой формула
х) См. Rosser J. В. Extensions of some theorems of Godel and Church.—
•>■ Symbolic Logic, 1936, 1, № 3, теорема III.
2) Терм г (ft) может быть выбран в (ZOo) даже рекурсивным, так как рекур-
рекурсивное определение функции st (m, k, I) фигурирует в рекурсивном определе-
определении функции Ъ (I, п, г) и тем самым содержится в исходных формулах фор-
формализма (Zoo).
508 ПРИЛОЖЕНИЕ [II
а потому и формула
t(m) = 0'.
Но тогда в (Zoo) было бы выводимо равенство
0 = 0',
в то время как этот формализм нумерически непротиворечив.
А если бы t(m) имело значение 1, то, вследствие вычисли-
вычислимости t(«) в (Zoo), в (Zoo) было бы выводимо равенство
t(m) = 0',
а с помощью этого последнего —и формула
Но тогда вследствие того, что функция t (n) является разрешаю-
разрешающей функцией для (Zco), терм t (m) должен был бы иметь значение 0,
что противоречит сделанному предположению.
Замечание. В приведенном доказательстве леммы исполь-
использовались только немногие свойства формализма (ZOo)- На самом
деле нами доказан существенно более общий результат, который
может быть сформулирован следующим образом:
Пусть F — непротиворечивый дедуктивный формализм, в кото-
котором схемы замены и перестановки содержатся в качестве основных
или производных схем. Пусть в F вычислима такая арифмети-
арифметическая функция одного аргумента, которая для вполне определен-
определенной взаимно однозначной нумерации выражений формализма F и
конкретной числовой переменной а любому числу f, являющемуся
номером некоторого выражения $ из F, ставит в соответствие
номер того выражения, которое получается из §1 в результате
замены переменной а всюду, где она встречается в К, числом f.
Тогда для формализма F и для данной его нумерации не может
существовать вычислимой в F разрешающей функции1).
(При этом относительно F не предполагается, что номера
выводимых в нем формул при какой-либо нумерации образуют
область значений какой-либо рекурсивной функции.)
Из установленной нами невозможности построения какой-либо
регулярно вычислимой разрешающей функции для формализма (Zoo)
мы получим невозможность построения регулярно вычислимой
разрешающей функции и для формализма исчисления предикатов2).
Для этого мы воспользуемся тем фактом, что при нашей
нумерации формализма (Z0o) номера выводимых в (Zoo) формул
представляют собой значения некоторой рекурсивной функции jo(n).
*) Это утверждение тесно связано с теоремой 1 части II монографии
А. Мостовского, Р. М. Робинсона и А. Тарского: MostowskiA., Robin-
Robinson R. M., Tar ski A. Undecidable Theories. —Amsterdam, 1953, p. 46.
*) Приведенное здесь рассуждение заимствовано из доказательства Чёрча.
§ 3] НЕРАЗРЕШИМОСТЬ ПРОБЛЕМЫ РАЗРЕШИМОСТИ 509
Поэтому число п является номером какой-либо выводимой
в (Zoo) формулы тогда и только тогда, когда можно указать такое
число т, для которого выполняется равенство
fo(m) = n.
Но это имеет место тогда и только тогда, когда формула
выводима в некотором формализме G, получающемся из исчисле-
исчисления предикатов добавлением к нему равенств, использованных
при определении }0(л), и аксиом равенства
(Ji) а = а
и
Действительно, в случае выполнения равенства fo(m) = n оно,
а тем самым и формула 3#(jo(#) = n), выводимо в G. И обратно:
в случае выводимости этой формулы в G по доказанной в гл. I
нп-теореме1) может быть указано число т, для которого выпол-
выполняется равенство jo(m) = n.
Далее, в соответствии с полученными в гл. III результатами,
касающимися возможности исключения функциональных знаков
при исследовании выводимости формул2), выводимость в G фор-
формулы Эх (ь (х) = п) равносильна выводимости некоторой формулы &
без функциональных знаков в некотором формализме Gb который
получается из G, если сначала исключить из G штрих-символ и
остальные функциональные символы и ввести вместо них соот-
соответствующие предикатные символы, содержащие по одному допол-
дополнительному аргументу каждый, а затем для каждого предикатного
символа ^(аь .... ас, а) с дополнительным аргументом а, введен-
введенного вместо функционального знака f (a1( .... ас), взять в каче-
качестве аксиом «формулы единственности»
! ac, jc)&ф(ax av, y)-+x = y),
а рекурсивные равенства заменить теми не содержащими функ-
функциональных знаков аксиомами, в которые переходят эти равенства
в результате использования для каждого исключаемого функцио-
функционального знака соответствующей эквивалентности
at))~V*EP(alt .... ac, x)~
x) О применении нп-теоремы к арифметическим формализмам см. гл. II
1 (в частности, с. 81).
а) См, с. 183 — 186 или соответственно т, I, с. 538—544.
510 ПРИЛОЖЕНИЕ [II
При этом рассматриваемая формула 8 в dc применением
только что упомянутой эквивалентности может быть переведена
в формулу Зх (io (х) = п). Если предикатный символ, введенный
вместо штрих-символа, обозначить через Sq(a, b), то формулу &
можно будет взять в виде
VSi ...VsE_,V*(Sq(O,Si)&Sq(Si, £2)&...&
Sqfe, Ei+1)&...&Sq(En_2, £„_,)& Sqfe,.,, х)-»-Е(х)).
Здесь £ь ..., En_i — отличные друг от друга и от л; связанные
переменные, а выражение S (#) не зависит от числа п, а значит,
оно определяется уже рекурсивным определением функции j0 (n).
Впрочем, формула & не содержит свободных переменных.
Наконец, — ввиду теоремы о представимости общей аксиомы
равенства (J2) с помощью собственных аксиома) — здесь вместо
формализма Gj можно рассмотреть формализм G2, получающийся
из Gx в результате замены исходной формулы а— Ь^-(А(а)->А(Ь))
специальными формулами равенства, относящимися к предикатным
символам из 6г (или к их различным аргументам), включая и
формулу a = b-v(a = c->-fr = с). Это означает, что формула &
выводима в Gx тогда и только тогда, когда она выводима в G2.
Но по одной ранее доказанной теореме2) выводимость &
в формализме G2, который получается из исчисления предикатов
добавлением ряда предикатных символов и символа 0, равно-
равносильна выводимости в исчислении предикатов некоторой конкрет-
конкретной формулы 8, которая получается из $, если во всех аксиомах
формализма G2 все свободные переменные заменить связанными
(т. е. связанными соответствующими кванторами всеобщности),
затем по так модифицированным аксиомам %lt ..., Щ построить
формулу
и в ней заменить символ 0 переменной а, а различные предикат-
предикатные символы — различными формульными переменными, причем
для каждого предикатного символа нужно брать соответствующую
формульную переменную с тем же числом аргументов.
Если мы теперь примем во внимание, что рекурсивное опре-
определение функции j0 (я) может быть задано в явном виде и что
с помощью этого определения могут быть явно написаны аксиомы G,
равно как и аксиомы G2, а потому и формулы 91Ъ ..., Щ, и что
с помощью этого определения может быть также построено выра-
выражение S (х), то станет ясно, что номер, который при нашей
1) См. т. I, с. 456 — 459 или Приложение 1 к данному тому, с. 472—473.
а) См. с. 188.
§ 31 НЕРАЗРЕШИМОСТЬ ПРОБЛЕМЫ РАЗРЕШИМОСТИ 511
нумерации исчисления предикатов получит формула 2, в его
зависимости от числа п определится некоторой рекурсивной (и
даже достаточно простой) функцией Ь(п).
Таким образом, значение b (п) этой функции для числа п
является номером такой формулы исчисления предикатов, кото-
которая выводима тогда и только тогда, когда п является номером
формулы, выводимой в (Zoo).
Если мы теперь допустим, что для исчисления предикатов
можно указать регулярно вычислимую разрешающую функцию {,
то функция f(b(n)) каждому числу, являющемуся при нашей
нумерации (Zoo) номером некоторой выводимой в (ZOo) формулы,
будет сопоставлять значение 0, а всякому другому числу — зна-
значение 1. Кроме того, эта функция, как и f, будет регулярно
вычислимой. Таким образом, мы получаем регулярно вычислимую
разрешающую функцию для (ZOo), что, однако, невозможно.
ПРИЛОЖЕНИЕ III
О НЕКОТОРЫХ ФРАГМЕНТАХ ИСЧИСЛЕНИЯ
ВЫСКАЗЫВАНИЙ И ИХ ДЕДУКТИВНОМ ОПИСАНИИ
С ПОМОЩЬЮ СХЕМ
§ 1. Позитивно тождественные импликативные формулы
В гл. III т. I при рассмотрении исчисления высказываний из
всей логики высказываний в целом нами была особо выделена
так называемая позитивная логика, представляющая
собой совокупность таких способов умозаключений, которые не
зависят от допущения о том, что для каждого суждения имеется
другое, ему противоположное.
Первоначально это выделение носило эвристический характер.
Затем для импликативной логики оно было формально уточнено
посредством понятия позитивно тождественной импли-
импликативной формулы1), которое было введено с помощью
следующего определения:
Под импликативной формулой понимается формула, которая
строится из переменных исчисления высказываний (т. е. из фор-
формульных переменных без аргументов) g помощью одного только
символа импликации. Импликативная формула называется регу-
регулярной, если она имеет вид
Я^ (Я,-»-...-*(«„-► 53)...).
где посылка любой входящей в формулы 31 , ..., 91П, 33 имплика-
импликации представляет собой некоторую переменную, а формула 33 либо
совпадает с одной из формул Stb .... 21П, либо выводится из этих
формул с использованием одной только схемы заключения
Импликативная формула называется позитивно тождест-
тождественной, если она либо является регулярной формулой, либо
получается из какой-либо регулярной формулы в результате
подстановки, либо выводится из формул этого рода с помощью
схемы заключения.
Из этого определения следует, что совокупность позитивно
тождественных формул совпадает с совокупностью тех формул,
См. т. I, с. 100.
$ 1] ПОЗИТИВНО ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ИМПЛИКАТИВНЫЕ ФОРМУЛЫ 513
которые могут быть выведены из регулярных формул в резуль-
результате применения подстановок и схем заключения. В самом деле,
это вытекает из того, что в любом выводе, производимом с по-
помощью подстановок н схем заключения, все подстановки могут
быть перенесены в исходные формулы1).
Поэтому, если под выводом мы будем понимать вывод
с помощью подстановок и схемы заключения, то в качестве
системы исходных формул (аксиом) для вывода всех позитивно
тождественных импликативных формул (и только их) можно будет
взять любую систему регулярных импликативных формул, из
которой выводятся все регулярные импликативные формулы.
В качестве такой системы аксиом можно взять систему, состо-
состоящую из следующих трех регулярных формул:
(Л-КЛ->-Я))->-(Л->-Я),
(А -+ В) -+ ((В -+ С) -+ (А -+ О),
т. е. из формул I 1)—3) приведенной в гл. III т. I системы
аксиом для исчисления высказываний2), а также систему, состоя-
состоящую из двух формул
Сказанное мы дополним в нескольких направлениях. Во-пер-
Во-первых, мы дадим более простую характеристику позитивно тождест-
тождественных импликативных формул. Во-вторых, докажем, что обе
только что приведенные системы формул действительно достаточны
для вывода всех регулярных, а тем самым и всех позитивно
тождественных формул. И, в-третьих, мы распространим понятие
позитивно тождественной формулы на формулы исчисления выска-
высказываний, строящиеся с помощью импликации и конъюнкции.
В качестве общего средства, помогающего провести все эти
рассмотрения, мы используем одну весьма общую теорему, пред-
представляющую собой некоторое обобщение доказанной в гл. IV т. I
дедукционной теоремы3). Впрочем, возможности применения этой
теоремы не ограничиваются приводимыми здесь рассуждениями
(и даже исчислением высказываний).
Эта теорема о посылках, как мы ее будем называть,
относится к таким дедуктивным формализмам, для которых
*) См. Приложение 1, с. 473.
2) См. т. I, с. 96.
3) См. т. I, с. 194—199 или Приложение I, с. 472. Правда, приводимая
теорема в определенном смысле носит несколько более частный характер, чем
Дедукционная теорема
514 ПРИЛОЖЕНИЕ [III
определено понятие формулы и в которых производятся
выводы при помощи тех или иных исходных формул, схем для
исходных формул и схем вида
где {ЭЭТх}, ..., {ЯЛС}. {Щ следует понимать как задания опреде-
определенных видов формул, в которых совпадающие составные части
формул обозначены одинаковыми буквами.
Кроме этих схем, принадлежащих к числу первоначальных
правил данного дедуктивного формализма Q и называемых соот-
соответственно основными схемами формул и основными
схемами вывода этого формализма, мы рассматриваем также
выводимые схемы формул и производные схемы
вывода. Схему формул @ мы будем называть выводимой
в Q, если каждая формула описываемого этой схемой @ вида
выводима в формализме Q, а (г +1 )-членную схему вида
{ШЦ, ..., {Эй,}
w
мы будем называть производной схемой вывода в Q,
если формула 33 выводима из формул 2lt, ..., 21С средствами фор-
формализма Q всякий раз, когда формулы 21Х, ..., 21Г, 33 графически
находятся в отношении, выраженном обозначениями {ЗОЫ, ...
.... те, {»}.
Теорема о посылках может быть сформулирована следующим
образом:
Пусть Q — дедуктивный формализм указанного выше типа,
содержащий импликацию (т. е. связку, сопоставляющую форму-
формулам 21 и 33 формулу 21->-$8). Пусть, во-первых, среди основных
или выводимых схем формул формализма Q содержится схема
формул 21-»-21; во-вторых, среди основных или производных схем
вывода содержится схема вывода
21
и, кроме того, для каждой (г +1 )-членной озновной схемы вывода
формализма Q
{Щ
при некотором выборе буквы ф, не входящей в Ши ..., 2)fc и $1,
§ I] ПОЗИТИВНО ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ИМПЛИКАТИВНЫЕ ФОРМУЛЫ 515
схема вывода
является либо основной, либо производной схемой вывода в Q.
Тогда формула
Иа-ЧИ*-*...-»-(«„-*-$)...)
выводима в Q всякий раз, когда формула 33 выводима из формул
$i, ..., 91„ средствами формализма Q.
Доказательство этого утверждения почти очевидно. Рассмотрим
сначала частный случай, когда 91 и 33 суть такие формулы из Q,
что имеется вывод S3 из 91 по правилам формализма Q. Если
к каждой формуле этого вывода мы импликативно добавим по-
посылку 91, то на том месте, где формула 91 используется в качестве
исходной формулы, окажется выводимая формула 91-*-91, на месте
каждой исходной формулы (£ формализма Q окажется выводимая
из нее формула 9l-*-(S, а на месте, где применяется какая-либо
основная схема A) формализма Q, будет применяться соответствую-
соответствующая производная схема B) формализма Q. Заключительная фор-
формула вывода 33 перейдет при этом в формулу 91-*- 23. Значит, эта
формула выводима в Q.
Теперь теорему о посылках в ее общей формулировке мы
сведем к рассмотренному частному случаю. В самом деле, пусть
Qi — формализм, получающийся из Q в результате присоединения
формул 91Ь ..., 91П_, к числу исходных. Тогда Qx также удовлет-
удовлетворяет условиям нашей теоремы, а формула 33 средствами фор-
формализма Qx выводима из формулы 91„ и, значит, по только что
доказанному формула 91п-*-33 выводима в Qx. Тем же самым
способом мы убеждаемся, что в формализме Q2, получающемся
из Q присоединением формул Щ, ..., 91П_4 к числу исходных,
выводима формула
Продолжая это рассуждение дальше, мы через п шагов получим,
что в Q выводима формула
«!-»-(И,-*...-ЧИп-*»)...).
Установленная таким образом теорема о посылках имеет раз-
разнообразные применения. Сначала мы используем ее для рассмот-
рассмотрения формализма, в котором формулами являются импликативные
формулы исчисления высказываний, а выводимость определяется
516 ПРИЛОЖЕНИЕ [III
на основе схем формул
31^C3^2(),
(Я-►(©-»-<£))-»■ ((Я-►»)-»-(И-►«))
и схемы заключения
i '
Условия теоремы о посылках для этого формализма выпол-
выполняются. В самом деле, схема вывода
Я
является производной схемой, и факт этот устанавливается непо-
непосредственно при помощи первой схемы формул и схемы заключе-
заключения. Схема вывода
является производной схемой, и этот факт устанавливается при
помощи второй схемы формул и схемы заключения, а каждая
формула вида И-»-Я может быть выведена следующим образом:
31 -► ((Я -► Я; -> 31), (Я -► ((Я -► Я) -> Я)) -► (C1 -► (Я -> Я)) -► (Я -► Я))
Я), (Я-».(Я-»-Я))-*(Я-*-Я)
Я-»-Я
(здесь исходные формулы получаются из указанных выше схем
формул — две из первой схемы и одна из второй — и дважды при-
применяется схема заключения).
Согласно теореме о посылках импликативная формула
31,^C1,^. .._►(*„-►»)...)
выводима в рассматриваемом формализме всякий раз, когда фор-
формула S3 выводима средствами этого формализма из формул Я1( ...
..., 31„ и, значит, в частности, когда формула S3 совпадает с одной
из формул 31Ь ..., Яп или выводится при помощи схемы заклю-
заключения из всех этих формул.
Вообще, формулу исчисления высказываний (и, в частности,
импликативнуюформулу)мы будем называть непосредственно
$ 1] ПОЗИТИВНО ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ИМПЛИКАТИВНЫЕ ФОРМУЛЫ 517
тождественной, если она имеет вид
«!->-(»,->-...-*-(««->-53)...),
где формула S3 совпадает с одной из формул 9(ь ..., 3(п или
может быть выведена из них при помощи схемы заключения.
Чтобы оправдать эту терминологию, заметим, что, согласно
данному определению, всякая непосредственно тождественная
формула исчисления высказываний является тождественно истин-
истинной, или, как мы иногда говорим, тождественной формулой.
В самом деле, если -в какой-либо такого рода формуле
«!->-(а, »...-*(««-*»)...)
приписать входящим в нее переменным значения «истина» и
«ложь», то, в соответствии с истолкованием связок исчисления
высказываний как истинностных функций, либо одна из формул
Ши ..., 31„ примет значение «ложь», и тогда вся формула примет
значение «истина», либо каждая из этих формул примет значение
«истина», и тогда его примет также и формула 95, так как по
условию она выводится из них в результате применения схемы
заключения или же совпадает с одной из них. Тем самым и вся
рассматриваемая формула примет значение «истина».
Из определения непосредственно тождественной формулы сразу
следует, что всякая регулярная импликативная формула является
непосредственно тождественной. Далее, легко видеть, что фор-
формулы, получающиеся из непосредственно тождественных формул
в результате подстановок, также являются непосредственно тож-
тождественными. Для этого достаточно заметить, что если какую-либо
формульную переменную, фигурирующую в схеме заключения,
заменить всюду, где она в этой схеме встречается, одной и той
же формулой, то снова получится некоторая схема заключения.
Поэтому всякая формула, получающаяся из какой-либо регу-
регулярной импликативной формулы в результате подстановки, яв-
является непосредственно тождественной, а следовательно, всякая
позитивно тождественная импликативная формула выводится из
непосредственно тождественных импликативных формул с помощью
одной только схемы заключения.
Но мы пока не установили, что всякая непосредственно тож-
тождественная формула является позитивно тождественной. А кроме
того, например, неверно, что любая непосредственно тождествен-
тождественная импликативная формула получается из какой-либо регуляр-
регулярной импликативной формулы в результате подстановки. Так, на-
например, импликативная формула
((Л -v В) -> (В -> С)) -> ((А -> В) -v (А -> С))
является непосредственно тождественной, так как формула С
518 ПРИЛОЖЕНИЕ [III
может быть выведена из формул
(А -+В) -»-(£-»- С), А-+В, А
троекратным применением схемы заключения; но тем не менее
она не является регулярной и, как показывает разбор могущих
здесь представиться случаев, не может быть получена в результате
подстановки из какой-либо регулярной импликативной формулы.
И все же утверждение о том, что всякая непосредственно
тождественная импликативная формула является позитивно тожде-
тождественной, имеет место, и его можно извлечь из нашего недавнего
результата, полученного с помощью теоремы о посылках. В самом
деле, этот результат утверждает, что всякая непосредственно
тождественная импликативная формула выводима из схем
31-»- B3 -»91)
(Я-»-(8-»-е))-*-((Я-»-8)-»-(И-»-е))
с помощью схемы заключения, а значит, она выводима из формул
(т. е. из формул I*) с помощью подстановок и схемы заключения.
Но формулы I* регулярны и потому каждая формула, выводимая
из них с помощью подстановок и схем заключения, является
позитивно тождественной.
Поэтому каждая непосредственно тождественная формула,
а тем самым и каждая формула, выводимая из таких формул
с помощью схемы заключения, является позитивно тождественной.
С другой стороны, ранее мы установили, что всякая позитивно
тождественная формула выводима из непосредственно тождествен-
тождественных формул с помощью схемы заключения. Тем самым позитивно
тождественные формулы могут быть охарактеризованы как такие
импликативные формулы, которые либо являются непосредственно
тождественными формулами, либо выводимы из них с помощью
схемы заключения1).
Эта характеристика позитивно тождественных импликативных
формул проще нашего первоначального определения в двух отно-
отношениях: во-первых, в ней нет речи о подстановках и, во-вторых,
в определении непосредственно тождественных импликативных
*) Первую из этих возможностей здесь можно было бы особо и не упо-
упоминать. Действительно, любая непосредственно тождественная формула 51
выводима с помощью схемы заключения из непосредственно тождественных
формул Ш и 91 -»■ 51.
$ 1] ПОЗИТИВНО ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ИМПЛИКАТИВНЫЕ ФОРМУЛЫ 519
формул отсутствует ограничение, налагаемое на структуру регу-
регулярных импликативных формул.
Наряду с этим упрощением характеризации позитивно тожде-
тождественных импликативных формул, доказанная нами теорема
о выводимости непосредственно тождественных импликативных
формул из формул I* с помощью подстановок и схем заключения
позволяет получить еще один обещанный нами результат,
а именно, утверждение, что формулы I* представляют собой
систему аксиом, достаточную для вывода (с помощью подстановок
и схемы заключения) всех позитивно тождественных формул,
Аналогичным образом можно убедиться в том, что система
формул I 1), 2), 3) тоже представляет собой систему аксиом,
достаточную для вывода всех позитивно тождественных формул.
Для этого достаточно показать, что формализм, исходными фор-
формулами которого являются импликативные формулы исчисления
высказываний, а выводимость определяется с помощью схемы
заключения и трех [соответствующих формулам I 1), 2) и 3)] схем
формул
C) и_(®_Я),
D) (Я-* (Я-*»))-»-(Я-*®),
E) (Я-*©)_►((»-».<&)-». (Я-*<£)),
удовлетворяет условиям теоремы о посылках, т. е. что схема
формул 21->21 является выводимой, а схемы
81
33-*-21
являются производными схемами этого формализма.
Это может быть проделано без особого труда. Действительно,
схему
81
мы получаем из схемы C) и схемы заключения; вывод любой
формулы вида 81-»- 91 мы получаем с помощью схем C) и D) и
схемы заключения следующим образом:
Я -»- (Я -»- Я), (Я -> (Я -> Я)) ->- (Я -» Я)
я-»-я ;
S20 ПРИЛОЖЕНИЕ [III
а из двух формул $->-© и ф->-(@->-§:) с помощью схем D) и
E) и схемы заключения следующим образом может быть выведена
формула $->-§;:
OP-»$))-» OP
OP-*$))-* OP-* OP-
((g-»$)-» OP-»$))-»($-» OP
Замечания. Относительная простота полученных нами
доказательств полноты объясняется тем обстоятельством, что
понятие позитивно тождественной импликативной формулы опре-
определяется при помощи условий, формулируемых в терминах
выводимости.
Еще одна характеристика совокупности позитивно тождествен-
тождественных импликативных формул может быть получена —об этом мы
здесь лишь упомянем — из исчисления допущений, которое незави-
независимо друг от друга разработали Г. Генцен и С. Яськовскийх).
§ 2. Позитивно тождественные 1-К-формулы
При формализации чистой логики следования с помощью
исчисления высказываний нельзя ограничиться рассмотрением
одних только импликативных формул, потому что при этом нет
возможности иметь сразу несколько посылок у одного заключения.
Этот недостаток преодолевается при помощи введенного П. Герцем
и детально разработанного Генценом2) исчисления секвенций.
x)Gentzen G. Untersuchungen liber das logische Schliefien. — Math. Z.,
1934, 39, № 2 и З (имеется русский перевод в сб. «Математическая теория
логического вывода».—М.; Физматгиз, 1967, с, 9 — 74. — Прим перев.).—
Jaskowski St. On the rules of suppositions in formal logic. —Studia logica,
Warszawa, 1934. Яськовский предпринял это исследование по инициативе
Я. Лукасевича.
2) Н е г t z P. Ober Axiomensysteme fur beliebige Satzsysteme.—Math. Ann.,
1923, 89, № 1/2 и 1929, 101, № 4; Gentzen G. Ober die Existenz unabhan-
giger Axiomensysteme zu unendlichen Satzsystemen. — Math. Ann., 1932, 107,
№ 3, а также Untersuchungen йЬег das logische SchlieBen. — Math. Z., 1934,
39 (см. прим. перев. в предыдущей сноске).
§ 2] ПОЗИТИВНО ТОЖДЕСТВЕННЫЕ I-K-ФОРМУЛЫ 521
Здесь вводятся секвенции с несколькими посылками
Другая напрашивающаяся возможность состоит в использова-
использовании конъюнкции, с помощью которой составная импликация вида
может быть преобразована в одну импликацию
At р О Л1 Cf\
Формулу исчисления высказываний, которая строится из фор-
формульных переменных с помощью одних только символов импли-
импликации и конъюнкции, мы будем называть 1-К-формулой.
При записи I-K-формул мы будем учитывать наше соглашение
об экономии скобок. По этому соглашению конъюнкция, являю-
являющаяся посылкой или заключением импликации, либо первым
членом другой конъюнкции, может не заключаться в скобких).
Например, выражение
является сокращенной записью выражения
(C1 & 33) &(£)-
Теперь речь пойдет о том, чтобы найти подходящее обобщение
понятия позитивно тождественной импликативной формулы для
случая 1-К-формул.
При этом в качестве ориентира мы будем иметь в виду, что
выражение
311&312&...&31п->-33
должно считаться равнозначным выражению
выражение
31->-331&...&ЗЗп
— равнозначным конъюнкции
а выражение
31 & C3 & g)
— равнозначным выражению
(si & аз) & (£.
х) См. Приложение I, с. 458.
522 ПРИЛОЖЕНИЕ [ITT
Эти соображения приводят нас к процедуре построения фор-
формулы, которая будет называться трансформацией данной
I-K-формулы. Операция эта заключается в следующем:
Сначала вычеркиваются все те скобки, которые окаймляют
конъюнкции. Затем среди импликаций «с конъюнкциями», т. е.
среди таких импликаций, у которых в посылке или в заключении
имеется конъюнкция, разыскиваются «самые внутренние», т. е.
такие, у которых каждая импликация, фигурирующая в посылке
или в заключении, уже не содержит конъюнкций. Такая самая
внутренняя импликация «с конъюнкциями» (с учетом первого
шага преобразований) имеет вид
2l1&...&2lm-v231&...&23n,
где формулы 31Ь ..., 3lm, 33Ь ..., 23П не содержат вхождений
конъюнкции и одно из чисел тип (но не оба одновременно)
может равняться 1. Теперь каждая из этих импликаций заменя-
заменяется следующей соответствующей ей формулой:
В результате этого количество импликаций «с конъюнкциями» во
всей данной формуле уменьшится. Эту (выполняемую в два ука-
указанных шага) процедуру надо будет повторить нужное числе раз
до тех пор, пока в рассматриваемой формуле все импликации не
освободятся от конъюнкций, так что результирующая формула
либо сама по себе будет импликативной, либо будет представлять
собой конъюнкцию импликативных формул. И, наконец, надо
будет еще опустить скобки вокруг конъюнкций.
Полученная таким образом формула будет называться транс-
трансформацией первоначально заданной формулы.
Пример. Трансформацией формулы
является формула
((А -+ В) -+ ((Л -v С) -v А)) & ((Л -v В) -+ ((А -+ С) -v В)) &
Трансформацией любой импликативной формулы является она
сама. Трансформацией конъюнкции 3I&33 является конъюнкция
трансформаций формул 31 и 23. Трансформация импликации 21-»-23
совпадает с трансформацией импликации ^i-»^, где Slj является
трансформацией формулы 91, а 23Х — трансформацией формулы 23.
§ 2] ПОЗИТИВНО ТОЖДЕСТВЕННЫЕ 1-К-ФОРМУЛЫ 623
Теперь мы определим понятие позитивно тождествен-
тождественной I-K-формулы следующим образом: I-K-формула будет
называться позитивно тождественной, если ее трансформация
является позитивно тождественной импликативной формулой или
конъюнкцией таких формул.
Таким образом, каждая позитивно тождественная 1-К-формула
является тождественно истинной. Действительно, всякая позитивно
тождественная импликативная формула (а потому и конъюнкция
таких формул) является тождественно истинной; а кроме того,
все операции, из которых состоит переход от формулы к ее
трансформации, таковы, что при любом распределении истинно-
истинностных значений переменных истинностное значение всей формулы
в целом остается без изменений.
Для импликативных формул новое понятие позитивной тожде-
тождественности совпадает с прежним. Аналогия нового понятия
с понятием позитивно тождественной импликативной формулы
проявляется и в следующих предложениях, которые мы докажем
ниже:
Всякая непосредственно тождественная l-K-формула является
позитивно тождественной. Всякая формула, выводимая из пози-
позитивно тождественных 1-К-формул с помощью подстановок и схемы
заключения, является позитивно тождественной.
Эти предложения вытекают из следующей дедуктивной харак-
теризации совокупности позитивно тождественных 1-К-формул:
Совокупность всех позитивно тождественных 1-К-формул сов-
совпадает с совокупностью формул, которые могут быть получены с
использованием следующих двух схем формул:
(Si)
(S2)
и -.ргх схем вывода:
31&23 + G
(S4)
31^C3-
31, 31-
(bs) ,
если ограничиться применением этих схем к 1-К-формулам.
Для доказательства этого утверждения нам потребуется уста-
установить два факта. С одной стороны, нужно будет показать, что
каждая формула, полученная с помощью применяемых к I-K-
формулам схем (Sx) — (S5), является позитивно тождественной.
524 ПРИЛОЖЕНИЕ [III
а с другой стороны, что каждая позитивно тождественная I-K-
формула может быть получена применением к I-K-формулам схем
(S)(S)
()
Первая часть доказательства получается из следующих утвер-
утверждений:
1. Трансформация любой I-K-формулы, имеющей вид 91&23->91
или SI & 35 —*-93, либо сама является непосредственно тождественно
импликативной формулой, либо является конъюнкцией таких
формул.
2. Трансформация I-K-формулы 21&23->E совпадает с транс-
трансформацией формулы SI-v(©->{$).
3. Если 31 и 21 -> 5В — позитивно тождественные 1-К-формулы,
то каждый конъюнктивный член трансформации формулы 23 (или
соответственно сама эта трансформация) выводим из позитивно
тождественных импликативных формул с помощью схемы заклю-
заключения и, следовательно, сам является позитивно тождественной
импликативной формулой.
4. Если Э1->53 и 31-> (93-v g) — позитивно тождественные 1-К-
формулы, то каждый конъюнктивный член трансформации формулы
Sl-vg (или соответственно сама эта трансформация) является
позитивно тождественной импликативной формулой.
Утверждения 1, 2 и 3 получаются непосредственно из опре-
определений позитивно тождественной I-K-формулы и трансформации.
Утверждение 4 получается с помощью следующей леммы:
Если импликативная формула £ выводима из импликативных
формул @х, ..., <2>f и еще каких-нибудь позитивно тождественных
импликативных формул с помощью одной только схемы заключе-
заключения, то импликативная формула
является позитивно тождественной.
Эта лемма в свою очередь получается из двух ранее доказан-
доказанных результатов: результата о том, что совокупность позитивно
тождественных импликативных формул совпадает с совокупностью
формул, получающихся в результате применения к импликатив-
ным формулам схем формул
31_^В->91) и C1 -»B3 -»-6))-»- ((Я -*-») -»■(* -»■<&))
и схемы заключения, и результата о том, что теорема о посылках
верна для выводов, осуществляемых с помощью этих схем.
Таким образом, мы убедились, что эти схемы, будучи приме-
применены к I-K-формулам, дают только позитивно тождественные
формулы Теперь нам остается показать, что любая позитивно
тождественная I-K-формула может быть получена путем примене-
применения этих схем к 1-К-формулам.
§ 2] ПОЗИТИВНО ТОЖДЕСТВЕННЫЕ I-K ФОРМУЛЫ 525
Для этого удобно воспользоваться следующими вспомогатель-
вспомогательными утверждениями:
1) Из схем (Si) и (S3) в качестве выводимой схемы получается
схема формул
И-*-(»-*-И),
а из нее с помощью схемы заключения (S4) в качестве производ-
производной схемы получается схема вывода
а с помощью этой схемы и схемы (S5) в качестве производной
схемы вывода получается схема силлогизма
Из схемы силлогизма в сочетании со схемой (S5) в качестве
производной схемы получается схема вывода
(эту схему вывода мы будем кратко называть схемой дву-
двукратного устранения).
Если в эту схему мы вместо ty подставим выражение
то, опираясь на (Si) и (S2), получим схему вывода
представляющую собой обращение схемы (S3). Схема (S3) по
образцу терминологии, применяемой в исчислении высказываний '),
может быть названа схемой разъединения посылок,
а ее обращение, оказывающееся производной схемой вывода, есте-
естественно назвать схемой соединения посылок.
2) Из схем (S2) и (S3) получается схема формул
из которой в сочетании со схемой заключения (S4) получается
схема формул
Я-»-Я.
Если в нее подставить вместо Ш выражение 31&33, то с помощью
1) См. т. 1, с. 116.
526 ПРИЛОЖЕНИЕ [III
схемы разъединения посылок получится схема формул
91->B3->21&23)
Эта схема, с одной стороны, в сочетании со схемой заключения
(S4) дает схему
Я, 23
21&23'
а с другой стороны, в сочетании со схемой двукратного устра-
устранения — схему
2I->93, Я-»-®
Из последней в сочетании со схемами (Si) и (S2) мы получаем
схему формул
91 &33->33& Я,
а затем, с использованием схемы силлогизма,—схемы формул
и
Ш& C3 &(£)->-B1 &©)&&.
Из утверждений 1) и 2) получается, что для любого дедук-
дедуктивного формализма, заключающегося в разрешении применять
схемы (Si) — (S5) к каким-либо образом очерченной совокупности
формул, содержащей импликацию и конъюнкцию (в качестве
двуместных связок между формулами), выполняются условия
теоремы о посылках. Действительно, мы уже убедились, что схема
формул ЭД ->ЭД выводима с помощью схем (Si) — (S5), а схема вывода
Я
93->Ш
является производной, так что теперь остается только проверить
выполнение условий, касающихся двухчленных и трехчленных
основных схем вывода (S3), (S4) и (S5). Для схемы заключения (S4)
это непосредственно очевидно, так как в нашем расположении
имеется схема (Sg). Для схем (S6) и (S3) упомянутое условие
заключается в том, что должны быть производными схемы вывода
% 2] ПОЗИТИВНО ТОЖДЕСТВЕННЫЕ I К-ФОРМУЛЫ 527
Для первой из них это получается из схемы (S5) в сочетании со
схемами соединения и разъединения посылок, а для второй — тоже
с помощью схем соединения и разъединения посылок, взятых
в сочетании со схемой формул
и со схемой силлогизма.
Таким образом, для выводов, осуществляемых с помощью
схем (Si) — (S5) в рамках как угодно ограниченной совокупности
формул, содержащей импликацию и конъюнкцию, действует тео-
теорема о посылках. Используя этот факт, можно сравнительно
просто доказать, что с помощью схем (Si) — (S5), применяемых
к I-K-формулам, может быть выведена любая позитивно тож-
тождественная I-К-формула. Искомое доказательство распадается на
три части. В ходе этого доказательства выводимость мы всегда
будем понимать как выводимость при помощи схем (Sx) — (S5),
применяемых к 1-К-формулам.
1)) По теореме о посылках каждая I-К-формула вида
(Я -»- (93 -► G)) -»- ((Я -+ 33) -»- B1 -> (?))
выводима.
С другой стороны, как мы знаем, выводима схема формул
и у нас в распоряжении имеется схема заключения.
Тем самым по полученной нами в § 1 дедуктивной характе-
ризации совокупности позитивно тождественных импликативных
формул каждая позитивно тождественная импликативная формула
выводима с помощью схем (Si) — (S5), а благодаря производности
схемы
Я, 23
SI&23
выводима и любая конъюнкция позитивно тождественных импли-
импликативных формул.
Таким образом, трансформация любой позитивно тождествен-
тождественной I-K-формулы выводима. Поэтому задача нашего доказатель-
доказательства сводится к установлению того, что если выводима трансфор-
трансформация какой-либо I-K-формулы, то выводима и сама эта фор-
формула. Мы сейчас покажем, что любая I-К-формула дедуктивно
равна своей трансформации (при этом две I-K-формулы мы будем
называть дедуктивно равными, если каждая из них выводима из
другой с помощью схем (Si) — (S5), применяемых к 1-К-форму-
1-К-формулам).
528 ПРИЛОЖЕНИЕ [HI
2)) Из теоремы о посылках следует, что если 1-К-формулы 31
и 33 дедуктивно равны, то выводимы обе импликации 91 -^-ЗЭ и
Отсюда, далее, получается, что если 1-К-формулы 91 и 33 дедук-
дедуктивно равны, то для произвольной 1-К-формулы S формула
S-vSl дедуктивно равна формуле E-»-33, формула 91-vg дедук-
дедуктивно равна формуле 33-*-(£, формула 91 &($ дедуктивно равна
формуле 33&S, а формула (S&91 дедуктивно равна формуле (S& 33.
Так как две формулы, порознь дедуктивно равные третьей,
дедуктивно равны и между собой, то из только что приведенных
соотношений вытекает, что любая I-K-формула при замене любой
ее составной части формулой, дедуктивно равной этой части,
переходит в дедуктивно равную ей формулу.
Таким образом, для доказательства того, что всякая 1-К-фор-
мула дедуктивно равна своей трансформации, нам остается пока-
показать, что процедура построения трансформации распадается на
такие элементарные шаги, которые состоят из замены какой-либо
1-К-формулы (отдельно взятой или фигурирующей в качестве
составной части другой формулы) формулой, дедуктивно ей равной.
3)) Процедура построения трансформации 1-К-формулы может
быть разложена на следующие элементарные шаги: а) замена фор-
формулы 91&B3&E) соответствующей ей формулой C1 & 93) & E, вместо
которой можно писать и короче: 91&33&S; б) замена формулы
9l&33-^g формулой 91-^C3-^E); в) замена формулы Ш->-33&E
формулой (ЭД->-33)&(9(->-@). С помощью установленных нами
ранее выводимостей можно непосредственно убедиться, что в каж-
каждом из этих трех случаев происходит замена формулы дедуктивно
равной ей формулой.
Тем самым искомое доказательство закончено, а значит, обо-
обосновано и утверждение о том, что совокупность позитивно тож-
тождественных I-K-формул совпадает с совокупностью тех формул,
которые могут быть выведены с использованием схем (Si) — (S5),
применяемых к I-K-формулам. Наше доказательство заодно поз-
позволяет утверждать, что теорема о посылках справедлива и для
выводов, производимых путем применения схем (S^ — (S5) к произ-
произвольным формулам, содержащим импликацию и конъюнкцию.
Отсюда мы можем, в частности, получить два обещанных
нами следствия. В самом деле, ввиду справедливости теоремы
о посылках для выводов с помощью схем (Si) — (S5) и с учетом
того факта, что схема заключения входит в число этих схем,
получается, что каждая непосредственно тождественная 1-К-фор-
мула выводима с помощью схем (Si) — (S5), применяемых к I-K-
•) То, что это предложение, не имеющее места в обычном дедуктивном
исчислении высказываний, здесь оказывается верным, связано с тем, что
в рассматриваемом дедуктивном формализме отсутствует правило подстановки.
5 2] ПОЗИТИВНО ТОЖДЕСТВЕННЫЕ I К ФОРМУЛЫ 529
формулам, а отсюда следует, что каждая такая формула является
позитивно тождественной.
Теперь заметим, что если в выводе какой-либо 1-К-формулыг
производимом с помощью схем (Si) — (S6), какую-либо формуль-
формульную переменную повсеместно заменить произвольной 1-К-форму-
лой, то снова получится вывод, производимый с помощью тех же
самых схем. Отсюда следует, что из позитивно тождественных
I-К-формул в результате подстановок, а тем самым и в резуль-
результате подстановок и применений схемы заключения, снова полу-
получаются позитивно тождественные 1-К-формулы.
К сказанному мы сделаем несколько дополнительных замеча-
замечаний. Первое из них будет касаться вопроса о независимости
схем (Sx) — (S5).
Независимость схемы заключения (S4) от остальных схем (Si),
(S2), (S3) и (S5) вытекает из того, что в результате применения
каждой из этих четырех схем всякий раз получаются формулы,
имеющие вид импликаций. Поэтому, например, формула
C1 -+ 31) & (91 -*Щ,
которая является позитивно тождественной и, следовательно*
выводится с помощью указанных пяти схем, не может быть полу-
получена без использования схемы заключения.
То, что ни одна из схем (Si), (S2), (S3) и (S5) тоже не является
излишней, следует из того, что в рамках выводов, производимых
с помощью подстановок и схемы заключения, соответствующие
этим схемам формулы
А&В^А,
А&В^В,
не зависят друг от друга.
Соответствующие доказательства могут быть получены с ис-
использованием разработанного в гл. III т. I метода оценок1). Для
установления независимости первых трех формул достаточно вос-
воспользоваться теми оценками, с помощью которых мы в свое время
Доказали независимость трех формул I 1), 2) и 3) в рамках системы
формул I—V2). Естественно, в рассматриваемых оценках должны
приниматься в расчет лишь определения значений для имплика-
импликации и конъюнкции. Независимость формулы
х) См. т I, с. 103 и далее.
2) См. т. I, с. 96-97 и 108-Ш.
■&30 ПРИЛОЖЕНИЕ ГП1
устанавливается с помощью следующей оценки с тремя значе-
значениями а, р и у: во-первых, должны выполняться основные
равенства1)
Л->-Л = а, Л-»-а =
А&А-=А, Л&
-а = а, Р->Л = а, \
, „ о п } ПРИ любом значении Л,
а = Л, Л&р=р J ^
Л & В =- В & Л при любых значениях А и В,
а кроме того, — дополнительные равенства
а->Р = Р, а->7"=7. 7~^Р = 7-
При этой оценке первые три из рассматриваемых формул, а также
любые формулы, выводимые из них с помощью подстановок и
схемы заключения, всегда принимают значение а. Четвертая из
указанных формул этим свойством не обладает. Действительно,
(У-»■ (V -> Р)) -»■ ((V -»■ V) -»■ (V "> Р)) - (V "> V) "> (« -»■ V) ■= « -*■ V -= V•
Проведенное рассмотрение заодно показывает, что при выводах
■с помощью подстановок и схемы заключения указанные четыре
•формулы образуют систему аксиом, достаточную для получения
всех позитивно тождественных 1-К-формул.
Такого рода систему аксиом для позитивно тождественных
I-K-формул образуют и формулы I 1) —3) и II 1) —3) из при-
приведенной вт. I и только что упоминавшейся системы аксиом для
исчисления высказываний. Напомним эти формулы:
А&В-+В,
(Л -»- В) -+ ((Л -> С) -> (Л -> В & С)).
Чтобы убедиться в достаточности этой системы формул для
вывода всех позитивно тождественных I-K-формул, нам нужно
только установить, что по отношению к этой системе (при исполь-
использовании подстановок и схемы заключения) схемы формул (S^ и
(S2) в их применении к I-K-формулам оказываются выводимыми,
а схемы вывода (S3) и (S5) —производными. Для схем (Si) и (S2)
это очевидно. Для схемы (S5) мы это доказали в § 1; кроме того,
там уже было установлено, что из формул I ]) — 3) с помощью
подстановок и схемы заключения выводима любая позитивно тож-
тождественная импликативная формула. Но с помощью позитивно
1) См. т. I, с. 108.
§ 2] ПОЗИТИВНО ТОЖДЕСТВЕННЫЕ 1-К-ФОРМУЛЫ 53 i*
тождественных импликативных формул и формулы
(Л ->■ В) ->■ ((Л ->■ С) -> (Л -> В & С))
из I-K-формулы 21&33->S легко вывести формулу 21->C3->- (£),.
так что схема (S3) тоже оказывается производной схемой.
Вместо системы формул I 1) —3) и II 1) —3) можно также
взять систему, состоящую из формул I 2), 3), II 1), 2) и формулы
А-+1В-+ Л&В).
Действительно, для этой системы схемы формул (Sx) и (S2) опять-
таки оказываются выводимыми, а схема вывода (Se) — производной,
(последняя—согласно доказанному в § 1). То же самое верно и
в отношении схемы силлогизма.
Осталось еще показать, что схема вывода (S3), т. е. схема
тоже является производной схемой. Это делается следующим
образом. Формула
А-+(В-+А&В)
дает нам схему формул
21->C3->21&33),
а тем самым и схему вывода
33
21 -*■ 33 & 21
С другой стороны, из схем (St), (S2), (S5) и схемы силлогизма
мы получаем схему
так что в итоге, применив еще раз схему силлогизма, мы полу-
получаем схему вывода
21->(%-> б), 8
Из этой схемы в сочетании со схемой формул
B1 -> S3) -> ((93 -> S) -> B1 -> 6)),
получающейся из формулы I 3), мы получаем схему
532 ПРИЛОЖЕНИЕ (HI
Теперь, если дважды применить эту схему к формуле
то получится формула
C1 _► (ф -> 21 & 33)) -> B1 -* C3 -> IS)),
а потому, ввиду выводимости формулы
и формула 91-> B3-»-£).
Укажем на еще один вариант формулировки, которую можно
придать полученной нами теореме, характеризующей позитивно
тождественные I-K-формулы как формулы, выводимые с помощью
применений к I-K-формулам схем (Si) — (S5). Заметим, что выводы,
производимые в области I К-формул при помощи схем (St) — (S6),
протекают совершенно аналогично выводам схем формул, произ-
производимым при помощи указанных пяти схем безотносительно
к какой-либо конкретной области формул, исключительно путем
оперирования с обозначениями формул, связываемые друг с дру-
другом знаками импликации и конъюнкции. Это приводит нас к сле-
следующей теореме:
Схемы формул, выводимые из схем (Sx) — (S5) без указания
какой-либо конкретной области формул, совпадают со схемами,
получающимися из позитивно тождественных I-K-формул в резуль-
результате замены формульных переменных буквами, обозначающими
произвольные формулы.
§ 3. Тождественные l-K-N-формулы
В проведенном нами в гл. V [§ 5, п. б)] рассуждении пока
отсутствует доказательство утверждения*) о том, что любая схема
формул, соответствующая тождественно истинной формуле исчис-
исчисления высказываний и не содержащая дизъюнкции, выводима
с помощью схем (Si) — (Sa), схем вывода
Я-* 33, Я->133
I (91 & 23)
Я-»-153'
схемы формул
II Я-»-Я
и правила замены любой эквивалентности Я~33 соответствую-
См с 433 — 434.
§ 3]
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ t-K-N-ФОРМУЛЫ 533
щим ей выражением B1 -> 23) & C3 -> 91) [и, разумеется, этого выра-
выражения указанной эквивалентностью].
В этом утверждении мы можем заменить схемы формул,
соответствующие тождественно истинным формулам, самими этими
формулами, считая, что используемые в выводах схемы применяются
к формулам исчисления высказываний, не содержащим знака дизъю-
дизъюнкции. Это вытекает из упомянутого в конце предыдущего параграфа
результата, утверждающего, что выводы, производимые с помощью
схем, применяемых к формулам исчисления высказываний, проте-
протекают совершенно аналогично выводам, применяемым к схемам
формул, получающимся из соответствующих формул в результате
замены формульных переменных буквами, обозначающими произ-
произвольные формулы.
Далее, при доказательстве этого утверждения мы можем
отвлечься от эквивалентности, так как всякая тождественно истин-
истинная формула исчисления высказываний при замене каждой ее
составной части 21^33 соответствующим выражением Bl-v33)&
& B3 -> 21) переходит снова в тождественно истинную формулу, и
поэтому всякая тождественно истинная формула, не содержащая
знака дизъюнкции, с помощью правила замены для эквивалент-
эквивалентности может быть получена из некоторой тождественно истинной
формулы, не содержащей знаков дизъюнкции и эквивалент-
эквивалентности .
Следовательно, мы можем ограничиться рассмотрением таких
формул исчисления высказываний, которые в качестве логических
символов содержат только импликацию, конъюнкцию и отрица-
отрицание. Формулы этого рода мы будем кратко называть I-K-N-фор-
мулами.
Наряду со схемами (Sx) — (S5) рассмотрим еще следующие три
схемы вывода:
31-
1^0)
р., Л£^1
и
(S8) ~ll2l->-2J.
Легко видеть, что применение этих схем к формулам исчис-
исчисления высказываний дает только тождественно истинные формулы.
Мы должны доказать, что для I-K-N-формул имеет место
обращение этого утверждения, а именно что любая тождественно
истинная I-K-N-формула может быть выведена с помощью при-
применений схем (S!)-(S8) к I-K-N-формулам.
534 ПРИЛОЖЕНИЕ [III
Для этого мы воспользуемся одной модификацией конъюнк-
конъюнктивной нормальной формых) обычного исчисления высказываний 2).
Как мы знаем, при истолковании формул исчисления выска-
высказываний, получающемся на основе понимания связок исчисления
высказываний как истинностных функций, любая формула равно-
равнозначна некоторой конъюнкции, члены которой являются либо фор-
формульными переменными, либо отрицаниями формульных пере-
переменных — выражения этих двух типов мы будем называть п р и-
марными вы р ажен и ями3), — либо дизъюнкциями, состоя-
состоящими из нескольких примарных выражений. При этом упомянутая
равнозначность имеет место в том смысле, что соответствующая
конъюнкция задает ту же самую истинностную функцию, что и
первоначальная формула.
Любая дизъюнкция примарных выражений
задает ту же истинностную функцию, что и отрицание некоторой
конъюнкции примарных выражений. Тем самым каждая формула
исчисления высказываний в указанном смысле равнозначна такой
конъюнкции, у которой каждый член является либо примарным
выражением, либо отрицанием конъюнкции примарных выраже-
выражений. Формулу такого рода в данном- рассмотрении мы будем
называть кон ъюнкти в но нормированной, а какую-либо
конъюнктивно нормированную формулу, равнозначную формуле 9t,
мы будем называть конъюнктивно нормированной формулой, свя-
связанной с формулой 21.
По конъюнктивно нормированной формуле можно непосредст-
непосредственно установить, является ли она тождественно истинной. Дей-
Действительно, это, как легко убедиться, имеет место тогда и только
тогда, когда каждый ее дизъюнктивный член является отрицанием
1) См. т. I, с. 82-85 и 96-98.
2) Как некоторую модификацию получаемого с помощью конъюнктивной
нормальной формы метода доказательства полноты систем аксиом исчисления
высказываний можно рассматривать доказательство, которое недавно дали
Гермес и Шольц для первоначально установленного Лукасевичем факта, что
формулы I* вместе с формулой (~) А -*■ ~| В) -*■ (В -*■ А) при использовании
подстановок и схемы заключения представляют собой систему, достаточную
для вывода всех тождественно истинных формул исчисления высказываний,
построенных с помощью одних только знаков импликации и отрицания.
См.: Hermes H., Scholz H. Ein neuer Vollstandigkeitsbeweis fur das re-
duzierte Fregesche Axiomensystem des Aussagenkalkiils. — Forschungen zur Logik
und zur Grundlegung der exakten Wissenschaften, 1937, № 1.
Роль аналога конъюнкции «простых»-дизъюнкций в случае конъюнктив-
конъюнктивной нормальной формы здесь играют конечные множества импликаций неко-
некоторого специального вида.
3) Это понятие примерного выражения не находится ни в какой связи
с введенным в т. I (с. 188 и 250) понятием примерной формулы.
§3]
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ I K-N-ФОРМУЛЫ 535
такой конъюнкции, у которой имеются два члена, один из кото-
которых является отрицанием другого.
Такая структура тождественно истинных конъюнктивно нор-
нормированных формул позволяет заключить, что каждая из них
выводима с помощью применяемых к I-K-N-формулам схем
(Si) — (Se). Действительно, если & является конъюнкцией примар-
ных выражений, среди которых имеется некоторое выражение U
вместе с его отрицанием, то с помощью схем (S^ — (S5) будут
выводимых) формулы
но из них с помощью схемы (S6) мы получим формулу ~|$.
Поэтому тождественно истинная конъюнктивно нормированная
формула является конъюнкцией формул, выводимых с помощью
схем (Sx) — (Se), а из этих формул с помощью схем (Sx) — (S5)
может быть выведена и сама эта конъюнктивно нормированная
формула.
Если мы теперь заметим, что конъюнктивно нормированная
формула, связанная с тождественной истинной формулой, является
тождественно истинной, то отсюда ио только что доказанному
получится, что для обоснования нашего утверждения о выводи-
выводимости любой тождественно истинной I-K-N-формулы путем при-
применения схем (Sj) — (S8) к I-K-N-формулам достаточно показать,
что для каждой I-K-N-формулы можно указать такую связанную
с ней конъюнктивно нормированную формулу, которая дедуктивно
равна ей относительно схем (S^ — (S8), применяемых к I-K-N-фор-
I-K-N-формулам.
Это мы проделаем следующим образом: сначала мы укажем
некоторую процедуру, сопоставляющую каждой I-K-N-формуле
некоторую связанную с ней конъюнктивно нормированную фор-
формулу, а затем покажем, что формула, полученная при помощи
этой процедуры, дедуктивно равна относительно схем (Sx) — (S8)
исходной формуле.
Для того чтобы изложить упомянутую процедуру, мы восполь-
воспользуемся одной классификацией формул, построенных из формуль-
формульных переменных с помощью знаков конъюнкции и отрицания
(такие формулы мы будем называть K-N-ф о р м у л а м и). Каждой
такой формуле мы припишем следующим образом некоторый пара-
параметр, который назовем ее порядком. Знак отрицания будет назы-
*) При дедуктивных преобразованиях конъюнкций нужно помнить, что
в соответствии с нашими соглашениями бесскобочная конъюнкция 9li &.,,&$(„
является сокращением для выражения
&«„.
536 ПРИЛОЖЕНИЕ [III
ваться примерным, если он входит в примерное выражение.
Далее, два или большее число знаков отрицания, входящих
в какую-либо K-N-формулу, будут называться наслаиваю-
наслаивающимися друг на друга, если по меньшей мере одна фор-
формульная переменная данной формулы попадает в область дейст-
действия каждого из этих знаков. Порядок данной K-N-формулы
мы определим как максимальное число входящих в нее наслаи-
наслаивающихся друг на друга непримарных отрицаний.
Согласно этому определению примерное выражение всегда
имеет нулевой порядок. Отрицание какой-либо K-N-формулы п-го
порядка, не состоящей из одной только формульной переменной,
является формулой (п-|-1)-го порядка, а порядок конъюнкции
K-N-формул равен максимальному из порядков ее членов. K-N-фор-
K-N-формула является конъюнктивно нормированной тогда и только тогда,
когда ее порядок не превосходит единицы. Далее, из определе-
определения порядка можно извлечь следующие два предложения;
1. Любая K-N-формула порядка выше первого содержит в ка-
качестве составной части по меньшей мере одно отрицание какой-
либо формулы первого порядка.
2. Если в какой-либо формуле порядка выше первого каждое
входящее в нее отрицание формулы первого порядка заменить
связанной с ней конъюнктивно нормированной формулой, то фор-
формула, которая при этом получится, будет иметь порядок, меньший
порядка первоначальной формулы.
Закончив эти приготовления, мы теперь укажем способ, позво-
позволяющий преобразовать любую наперед заданную I-K-N-формулу
в некоторую связанную с ней конъюнктивно нормированную фор-
формулу. Сначала мы исключим из исходной формулы все вхожде-
вхождения импликации, заменив каждое выражение 31 -*• 33 соответствую-
соответствующим ему выражением C1&193). Обозначим получившуюся в ре-
результате этого формулу через @. Либо формула @ является
конъюнктивно нормированной и тогда наша процедура заканчи-
заканчивается, либо она содержит по меньшей мере одну составную часть
вида 6, где g —формула первого порядка. Для каждой такой
составной части ~|6 мы следующим образом построим некоторую
конъюнктивно нормированную формулу, которой будем ее заме-
заменять.
Будучи формулой первого порядка, E содержит по меньшей
мере один конъюнктивный член 1 $ первого порядка, т. е. либо E
вообще состоит из одной такой формулы 1 &, либо 6 имеет вид
SI & ~| & или же переводит в формулу такого вида в результате
перестановки последнего члена первого порядка с идущими за
ним конъюнктивными членами нулевого порядка.
В первом случае 16 имеет вид ~1~1 $. Убрав двойное отри-
отрицание, мы получим формулу нулевого порядка и, значит, конъюнк-
конъюнктивно нормированную формулу.
j 3j ТОЖДЕСТВЕННЫЕ I-K-N-ФОРМУЛЫ 637
Во втором случае 1S либо уже имеет вид
либо переходит в формулу этого вида после соответствующей
перестановки некоторых конъюнктивных членов. В более подроб-
подробной записи 1 d будет иметь вид
1(Я&(«р1&...&фг)),
где ф]. фг — примарные выражения.
Тогда мы заме«им это выражение сначала выражением
а затем выражением
1 C1 & Dx) & 1 C1 & D2) &... & 1 C1 & Ц.),
где (при t = 1, ..., г) D, в том случае, когда ф, представляет
собой формульную переменную, является примарным выражением
ф(, а в случае, когда % представляет собой отрицание формуль-
формульной переменной, является этой формульной переменной. В обоих
этих случаях П, является примарным выражением.
Таким образом, формула (£ заменена конъюнкцией
где каждая из формул EЬ ..., 6Г содержит меньше конъюнктив-
конъюнктивных членов первого порядка, чем 6; действительно, в S, вместо
конъюнктивного члена 1$ формулы (S, который имеет первый
порядок, фигурирует примарное выражение П(.
Повторив эту процедуру достаточное число раз, мы заменим
формулу 1 £ конъюнкцией
где формулы £*, ..., SJJ вообще не содержат конъюнктивных
членов первого порядка и, следовательно, являются формулами
нулевого порядка, так что конъюнкция
является формулой первого порядка и тем самым конъюнктивно
нормированной формулой.
Заменив, согласно этому предписанию, в формуле @ каждую
составную часть второго порядка вида 6 соответствующей конъюн-
конъюнктивно нормированной формулой, мы получим вместо <2> некото-
некоторую K-N-формулу, имеющую порядок, меньший порядка <2>. Этот
процесс надо будет повторить достаточное число раз, и тогда мы
538 ПРИЛОЖЕНИЕ [III
придем к некоторой K-N-формуле первого порядка, т. е. к конъюнк-
конъюнктивно нормиров-анной формуле.
То, что полученная таким образом конъюнктивно нормирован-
нормированная формула связана с той I-K-N-формулой, из которой мы исхо-
исходили, т. е. что она определяет ту же самую истинностную функ-
функцию, что и исходная формула, вытекает из того, что описанная
процедура складывается из составных частей следующих типов
(детали, касающиеся лишь способа записи, мы в расчет не при-
принимаем):
1) замена выражения 91->-33 выражением П (91 & П 93),
2) замена выражения 91&C3&@) выражением (91&33)&(Е;
3) замена выражения 91 & S3 выражением 33 & 91;
4) замена выражения 1 ~]91 выражением 91;
5) замена выражения 1 (91 & ~] C3 & 6)) выражением 1 (91 & ~] 33) &
(91)
)
[Шаги последнего типа позволяют осуществлять переходы от
выражений типа
И
к соответствующим выражениям
В самом деле, при понимании импликации, конъюнкции и
отрицания как истинностных функций каждая из этих пяти замен
ни при каком наборе истинностных значений формульных пере-
переменных не меняет значений преобразуемого выражения.
Теперь мы должны еще установить, что любая I-K-N-формула
дедуктивно равна (относительно схем (Si) — (S8)) той конъюнктивно
нормированной формуле, которая получается для нее в результате
применения описанной процедуры Для доказательства этого факта
мы можем воспользоваться замечаниями, сделанными в конце § 2
по поводу выводимости формул с помощью схем (Sx) — (S5). В силу
этих замечаний и в случае применения схем (S^ — (S5) к I-K-N-фор-
мулам схема силлогизма, схема соединения посылок и схема
91, S3
9I&33
будут производными схемами вывода, схемы формул
91&35->35&9[,
91 & C3 & (S) -> (91 & 33) & 6
и
(9[&33)&g->9[&C3&g)
будут выводимыми, а любая формула 91-»-23&(£ будет дедуктивно
равна формуле (91->-23) & (81->-(£).
§ 3] ТОЖДЕСТВЕННЫЕ I-K-N-ФОРМУЛЫ 539
Схема
31, 23
31 & 93 *
обращения которой
91 & S3 31 & 93
91 И 23
непосредственно получаются из схем (Si), (Sa) и (S4), сама является
производной схемой. Из этого следует, что если формулы Ш и 9?
дедуктивно равны на основе схем (Si) — (S5) формулам Шх и 9?i
соответственно, то на основе этих схем формула Ш & 9? будет
дедуктивно равна формуле 9J!j&9?!
К этому мы добавим следующие утверждения, относящиеся
к выводам с помощью схем (Sx) — (S8):
С помощью схем (Si), (S2) и (S6) может быть получена схема
формул
П C1 & П 31),
а из нее с помощью (S7) — схема формул
31->-1191.
На основании этой схемы и схемы (S8) любая формула 91 дедук-
дедуктивно равна формуле 191. С помощью схем (Si), (S2), (Se), (S7)
и схемы силлогизма получается — с использованием производной
схемы вывода
91->23
-1П23&31)
— схема контрапозиции
31->23
С помощью схем (Si), (S2), (Se) и схемы силлогизма получается
схема вывода
91-^123
П C1 & 23)'
которая представляет собой обращение схемы (S7), а также схема
вывода
91->23
540 ПРИЛОЖЕНИЕ [III
Обращение этой поеледней выводится с помощью схем (S7), (S8)
и схемы силлогизма.
Таким образом, любая формула 31 ->■ 33 дедуктивно равна
формуле 1 C1 & 23), а любая формула 31 ->■ 23 дедуктивно равна
формуле П (91 & 133). Применим сказанное к формулам вида
П (91 & 1C3 &(£)). Такая формула, как только что было замечено,
дедуктивно равна формуле 31->-33&(£; а эта в свою очередь, как
уже упоминалось, дедуктивно равна формуле (91 ->■ 33) & (91 ->■ б).
Но члены этой конъюнкции дедуктивно равны формулам (91 & 33)
и П C1 &"](?) соответственно, а отсюда, в силу одного отмеченного
выше утверждения, получается, что формула
(Я-»-©)& («-►<£)
дедуктивно равна формуле
1CJ&133)&1CJ&1S).
Значит, последняя формула также дедуктивно равна формуле
(91&-ЦЗЗ&6)).
Полученные утверждения теперь уже делают вполне очевидным
тот факт, что все шаги замены 1) —5), на которые распадается
рассмотренная нами процедура перехода от заданной I-K-N-фор-
мулы к связанной с ней конъюнктивно нормированной формуле,
таковы, что на каждом шаге некоторое выражение заменяется
другим, дедуктивно равным ему на основе схем (Si) — (S8) выра-
выражением.
Теперь для установления интересующего нас дедуктивного
равенства нам осталось только убедиться, что при любой замене
в I-K-N-формуле какого-либо выражения, фигурирующего в каче-
качестве ее составной части, дедуктивно равным ему выражением
получается формула, дедуктивно равная исходной.
С учетом структуры I-K-N-формул для этого достаточно пока-
показать, что если I-K-N-формулы 91 и $8 дедуктивно равны (по отно-
отношению к выводам с помощью схем Si — S8), то для любой
I-K-N-формулы g формула б-»-51 дедуктивно равна формуле б->-33,
формула 51->-б дедуктивно равна формуле 33-»-б, формула 51 & б
дедуктивно равна формуле 33 & б, формула 6 & 91 дедуктивно равна
формуле б&ЗЗ и формула ~] 31 дедуктивно равна формуле 133.
Это доказывается аналогично тому, как в § 2 было доказано
аналогичное утверждение о схемах (Sx) — (S5) и о 1-К-формулах:
соответствующие дедуктивные равенства, справедливость которых
утверждается в предположении дедуктивного равенства формул 91
и 33, получатся из наших утверждений о выводимостях с помощью
схем (S2) — (S8), если мы сможем показать, что если I-K-N-фор-
I-K-N-формулы 91 и 33 дедуктивно равны по отношению к схемам (Sx) — (S8),
5 3] ТОЖДЕСТВЕННЫЕ I-K-N-ФОРМУЛЫ 541
то с помощью применений этих схем к l-K-N-формулам могут
быть выведены импликации 91-»-23 и 23-»-91.
А это может быть получено из теоремы о посылках. В самом
деле, условия этой теоремы, если рассматривать выводы с помощью
схем (Sx) — (S8), выполняются (даже в том случае, если брать про-
произвольные формулы, лишь бы они содержали в числе связок
импликацию, конъюнкцию и отрицание).
Именно, выполнимость условий этой теоремы применительно
к выводам при помощи схем (Sx) — (S5) мы установили в § 2.
В результате присоединения схем (Se), (S7) и (S8) требуется еще
проверить, что следующие две схемы вывода:
$_(«-♦. 8), $->(91-
(91 & 23)
— являются производными схемами.
Но в том, что это справедливо, легко убедиться следующим
образом. Из двух формул
ф -^ E1 -ч- 33) и $ -»■ (91 -»- 123)
с помощью производной схемы соединения посылок мы получим
формулы
Ф&я-*© и ф&а-*-!©.
Эти формулы при помощи схемы (Se) дают формулу 1 (ф & 91),
а из нее по схеме (S7) мы получим формулу $->~|91.
Из формулы ф -> (91 & S3) при помощи обращения схемы (S7)
получается формула П($&(91&23)); с другой стороны, из выво-
выводимой формулы
при помощи производной схемы контрапозиции получается формула
1($ & (91 & 33)) -> -|(($ & 9J) & 23).
Из этих двух полученных нами формул при помощи схемы заклю-
заключения (S4) получается формула
П(ОР &91) &23),
а из нее при помощи схем (S7) и (S3) мы получаем формулу
542 ПРИЛОЖЕНИЕ [III
Заметим, что в только что приведенных выводах схема фор-
формул (S8) не используется. Отсюда следует, что теорема о посыл-
посылках применима как к формализму схем (Si) — (S8), так и к фор-
формализму схем (Sj) — (S7).
Итак, доказательство выводимости всех тождественно истинных
I-K-N-формул при помощи схем (S^ — (S8) закончено.
Что же касается вопроса о независимости схем (Si) — (S8), то
легче всего можно убедиться в независимости схемы заключе-
заключения (S4): она вытекает из того, что с помощью остальных схем
не может быть выведена никакая формула вида Э1&23.
Независимость схем (S^, (S2), (S5), (Se) и (S8) получается
с помощью тех оценок, посредством которых мы в гл. III т. I
установили независимость формул II 1), 2), I 3) и V 1), 3) в си-
системе, состоящей из формул I—V [с использованием подстановок
и схемы заключения]1). При этом из упомянутых оценок здесь
нужно взять только определения значений для импликации,
конъюнкции и отрицания. Доказательство независимости с помощью
такого рода оценки для любой данной схемы (SA проводится сле-
следующим образом. Сначала для каждой отличной от (Si) схемы из
списка (Si) — (S8), являющейся схемой формул, мы показываем,
что каждая построенная по этой схеме I-K-N-формула на осно-
основании рассматриваемой оценки при произвольных значениях пере-
переменных принимает только вполне определенные, выделенные
значения; затем для каждой из остальных, отличных от (S{\ схем
мы показываем, что от формул, принимающих только выделенные
значения, эта схема снова ведет к формуле, также обладающей
этим свойством. Тогда отсюда получается, что каждая I-K-N-фор-
I-K-N-формула, выводимая по отличным от (S() схемам, при любых значе-
значениях формульных переменных принимает выделенное значение.
С другой стороны, указывается тождественно истинная I-K-N-фор-
I-K-N-формула, которая при некоторых значениях формульных переменных
на основании рассматриваемой оценки принимает невыделенное
значение. Эта формула, как было показано, выводима с помощью
схем (Sx) — (S8), но она не может быть выведена без использова-
использования схемы (Sj). В этих доказательствах, проводимых с помощью
упомянутых пяти оценок, в качестве выделенного значения исполь-
используется значение а.
Независимость схемы (S3) мы получаем с помощью оценки
с четырьмя значениями а, р, у и б, определяемой следующим
образом:
Л->-Л=а, р->-Л=а при любом значении А;
См. т. I, с. 107 и 110—111.
3] ТОЖДЕСТВЕННЫЕ I-K-К ФОРМУЛЫ 643
если АфВ и Аф§, то А-+В = В;
А&А — А, А&а=А, Л&Р = Р при любом значении А;
А&В = В& А при любых значениях А и В;
При этой оценке I-K-N-ф рмулы, выводимые при помощи схем
(Si), (S2)> (S4) —(S8), всегда принимают значение а; в то же самое
время тождественно истинная формула
при А —у и 5 = 6 принимает значение р.
Независимость схемы (S7) удается доказать при помощи оценки,
отличающейся от только что указанной лишь равенствами
Y&6 = 6, 1y = P. 16 = о.
При этом наряду с а в качестве выделенного значения рассмат-
рассматривается еще и у. В самом деле, оказывается, что при помощи
схем (Sx) — (Se) и (S8) выводятся только такие I-K-N-формулы,
которые при указанной оценке всегда принимают одно из значе-
значений а или у, с другой стороны, тождественно истинная формула
при А = у и 5 = 6 принимает значение р.
Замечание. Примененный для установления независимости
схем (Sx) — (S5) метод перехода от исходных схем формул к соот-
соответствующим им конкретным формулам с добавлением правила
подстановки и сохранением в качестве схемы вывода одной только
схемы заключения в случае схем (Si) — (S8) не всегда ведет к цели,
так как в этом случае формула
соответствующая схеме (S7), не независима от формул, соответ-
соответствующих схемам (Sx)-(S3), (S,), (S,) и (S8).
Впрочем, обсуждение схем в терминах оценок всегда проще,
чем обсуждение соответствующих формул.
В заключение кратко упомянем некоторые другие факты,
имеющие отношение к рассмотренным здесь вопросам. Что касается
выводов I-K-N-формул при помощи схем (Sx) — (S7), то имеет место
следующее утверждение. Произвольная формула тогда и только
тогда выводима с помощью схем (Sx) — (S7), примененных
к I-K-N-формулам, когда она либо является позитивно тождест-
тождественной формулой, либо когда она содержит отрицание и переходит
в позитивно тождественную формулу, если мы, выбрав некоторую
■544 ПРИЛОЖЕНИЕ [III
ле входящую в нее формульную переменную §8, заменим каждое
входящее в нее выражение 131 импликацией 31 -^-ЗЗ1).
Эта теорема получается из некоторых результатов Иоганссона,
относящихся к минимальному исчислению2).
Алгоритм, позволяющий по любой I-К-формуле распознавать,
является ли она позитивно тождественной, получен Генценом3)
на основе его «теоремы о подформулах». Еще один алгоритм для
решения этой задачи построен М. Вайсбергом4).
Упомянутые исследования Генцена и Вайсберга дают также
алгоритм для распознавания выводимости формул в гейтингов-
ском исчислении высказываний6). Исчисление Рейтинга с дедук-
дедуктивной точки зрения равносильно формализму, который полу-
получится, если к совокупности формул, образованных с помощью
импликации, конъюнкции, отрицания и дизъюнкции, применить
схемы (Sx) — (S7) и, кроме того, схему вывода
31-^23
для отрицания, а также следующие схемы для дизъюнкции:
Если здесь опустить схему вывода
то получится формализм так называемого минимального
исчисления.
Из результатов Генцена и Вайсберга следует, что всякая
I-K-формула, выводимая в гейтинговском исчислении высказыва-
высказываний, является позитивно тождественной и что выводимые в гей-
х) Эта формулировка примыкает к формулировке несколько более слабой
теоремы, доказанной Вайсбергом в его работе- Wajsberg M. Untersuchungen
fiber den Aussagenkalkiil. — Wiadomosci Matem., 1938, 46.
•) Johansson I. Der Minimalkalkiil, ein reduzierter intuitionistischer
Formalismus.—Compositio. Math., 1936, 4, № 1.—Некоторое уточнение интуи-
интуиционистской логики высказываний в духе минимального исчисления было полу-
получено А Колмогоровым в его (написанной на русском языке) работе- К о л-
могоровА, Н. О принципе tertium non datur, — Матем. сб., 1925, 32.
8) В его работе: Gentzen Q. Untersuchungen flber das logische Schlie-
fien. —Math. Z., 1934, 39. См сноску 1 на с. 520.
4) См. только что цитированную работу «Untersuchungen fiber den Aussa-
Aussagenkalkiil».
5) См. Hey ting A. Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik.—
Sitzungsber. Preufi, Akad. Wiss., phys.-math. К.1., 1930, II.
§ 3] ТОЖДЕСТВЕННЫЕ I-K-N-ФОРМУЛЫ 545
тинговском исчислении формулы, не содержащие отрицания, выво-
выводимы без использования отрицания при помощи схем (S^ — (S5)
и трех указанных выше схем для дизъюнкции.
Если рассматривать выводы с помощью подстановок и схемы
заключения, то формулы
I 1)-3), II 1)-3), III 1)-3), V 1)-2)
из приведенной в гл. III т. I системы формул I—V1) образуют
систему аксиом для минимального исчисления. При этом фор-
формулы I 1)—3) могут быть заменены формулами I*, а фор-
формула II 3) более простой формулой
кроме того, шесть формул I 1)—3), II 1)—3) могут быть заме-
заменены приведенными в § 2 равнозначными им двумя системами,
состоящими из четырех и соответственно из пяти формулг). Кроме
того, вместо двух формул V 1)—2)
можно взять одну формулу
{А-*~В)^ЦА-+-]В)-+-]А)
или одну формулу
(А-+-]В)-+(В-+-\А).
Если формулы V 1)—2) заменить двумя формулами
то получится система аксиом для гейтинговского исчисления
высказываний.
В каждой из перечисленных систем аксиом любая из формул
независима от всех остальных.
*) См. т. I, с. 96—97.
а) См. с. 529, 531.
ПРИЛОЖЕНИЕ IV
ФОРМАЛИЗМЫ ДЛЯ ДЕДУКТИВНОГО
ПОСТРОЕНИЯ АНАЛИЗА
§ 1. Описание одного формализма
Мы изложим здесь один формализм, пригодный для дедуктив-
дедуктивного построения анализа. Этот формализм будет приведен нами —
с точностью до несущественных деталей —в том виде, как он
излагался в лекциях Гильберта по теории доказательств. Сход-
Сходный формализм описан в диссертации Аккерманах).
Явные определения мы поначалу не будем включать в этот
формализм.
У нас будут фигурировать следующие виды переменных: 1) сво-
свободные и связанные индивидные переменные, 2) свободные и свя-
связанные функциональные переменные, причем это будут исключи-
исключительно переменные с одним аргументом, 3) свободные формульные
переменные без аргументов и с аргументами.
Индивидные и формульные переменные будут обозначаться
так же, как и до сих пор; свободные и связанные функциональ-
функциональные переменные будут отличаться от индивидных точкой наверху.
Замечание. Функциональные переменные будут играть роль
переменных для математических функций. Связанные формульные
переменные мы здесь не вводим.
В качестве символов у нас будут фигурировать индивидный
символ 0, штрих-символ, одноместный функциональный знак б,
знак равенства, символы исчисления высказываний и е-символ.
Связанная переменная, относящаяся к е-символу, может быть
либо индивидной, либо функциональной.
Понятие формулы мы определим рекурсивно, совместно с по-
понятиями терма и функционала2). Замысел нашего определения
состоит в том, что понятие терма должно будет формализовать
у нас понятие числа, понятие функционала — понятие арифмети-
арифметической функции, а понятие формулы — понятие высказывания.
В качестве термов мы сначала возьмем свободные индивид-
индивидные переменные, символ 0 и выражения вида а' и б (а), где а —
!) Ackermann W. Begriindung des .tertium non datur' mittels der HiJ-
bertschen Theorie der Widerspruchsfreiheit. — Math. Ann., 1924, 93, № 1/2.
2) В первых гильбертовских публикациях по теории доказательств,
а также в диссертации Аккермана термин функционал употреблялся
в том смысле, в каком мы здесь говорим о термах.
ч
ОПИСАНИЕ ОДНОГО ФОРМАЛИЗМА 547
терм, а в качестве ф у н к ц и о н а л о в — функциональные перемен-
переменные сами по себе, т. е. без каких бы то ни было аргументов.
Кроме того, термами будут считаться любые выражения вида
а(Ь) или (а)(Ь), где а — функционал, a b — терм. (Скобки вокруг а
требуются в том случае, когда а представляет собой какое-либо
составное выражение.)
Элементарными формулами мы будем считать: фор-
формульные переменные без аргументов, формульные переменные
с аргументами, каждый из которых является либо термом, либо
функционалом, и равенства между термами.
Формулами мы будем считать выражения, которые либо
являются элементарными формулами, либо строятся из элемен-
элементарных формул с помощью связок исчисления высказываний.
И, наконец, в качестве термов мы будем также допускать
выражения вида еЕ91(Е), где 91 (е) получается из формулы 91 (с),
содержащей свободную индивидную переменную с и не содержащей
связанной переменной е, в результате замены с посредством е.
Аналогично в качестве функционалов мы будем допускать выра-
выражения вида е-91(Ё), где 91 (е) получается из формулы 91 (с), содер-
содержащей свободную функциональную переменную с и не содержа-
содержащей связанной переменной е, в результате замены с посредством £,
В качестве исходных формул нашего формализма мы
возьмем следующие формулы:
1) все тождественно истинные формулы исчисления выска-
высказываний;
2) формулы
А(а)-+А(ехА{х)),
А (а) -»- ехА (х) ф а',
А(й)-гА{г-хА{х)),
которые мы будем называть первой, второй и третьей
е-формулами соответственно;
3) аксиомы равенства (Jx) и (J2);
4) арифметические аксиомы
а'фО, афО-+8(а)' = а.
Выводы мы будем строить с помощью операций под-
подстановки вместо свободных переменных, переименования
связанных переменных и повторения формул. Будет приме-
применяться также схема заключения.
Переименование связанных индивидных переменных опреде-
определяется, как прежде. Аналогично, переименование связанной функ-
648 ПРИЛОЖЕНИЕ [IV
циональной переменной состоит в замене выражения е-9(E) выра-
выражением е-21 (i;), где V — какая-либо отличная от £ связанная
функциональная переменная.
Подстановка вместо свободных индивидных переменных и
вместо формульных переменных без аргументов определяется,
как прежде.
При подстановках вместо формульных переменных с аргумен-
аргументами мы должны учитывать то обстоятельство, что различные их
аргументные места могут заполняться по-своему. С этой целью
мы введем следующие понятия. Две переменные —одну свободную
и одну связанную —мы будем называть односортными, если
они обе индивидные или обе функциональные. Выражение мы
будем называть квазитермом, если оно либо является термом,
либо получается из терма в результате замены одной или не-
нескольких его свободных переменных не входящими в данный терм
связанными переменными, односортными с заменяемыми перемен-
переменными. Выражение мы будем называть квазифункционалом,
если оно либо является функционалом, либо получается из функ-
функционала в результате замены одной или нескольких его свободных
переменных не входящими в данный функционал связанными
переменными, односортными с заменяемыми переменными.
Как легко убедиться, в качестве аргументов формульных пере-
переменных любой формулы могут фигурировать лишь квазитермы и
квазифункционалы.
Именная форма для формульной переменной с аргумен-
аргументами состоит из формульной переменной, аргументами которой
являются одни только попарно различные свободные индивидные
или свободные функциональные переменные. Вариантом дан-
данной именной формы мы будем называть выражение, получающееся
из этой именной формы в результате замены любой ее индивид-
индивидной переменной каким-либо квазитермом и любой функциональной
переменной — каким-либо квазифункционалом. Заменителем
для данной именной формы является формула, содержащая все
аргументные переменные этой именной формы.
Подстановка вместо формульной переменной с аргументами
в формулу g производится с помощью какой-либо именной формы,
для которой указан соответствующий заменитель. Выполнение
подстановки заключается в том, что вместо любого фигурирую-
фигурирующего в % варианта этой именной формы подставляется выражение,
которое получается из указанного заменителя при помощи тех же
самых замен, при помощи которых из этой именной формы полу-
получается рассматриваемый нами ее вариант. Если 3ft — именная форма,
а © — соответствующий заменитель, то мы будем говорить, что
производится подстановка в формулу % формулы © вместо имен-
именной формы гИ.
§ 11
ОПИСАНИЕ ОДНОГО ФОРМАЛИЗМА 649
Мы будем рассматривать два типа подстановок вместо функ-
функциональных переменных. Подстановка первого типа состоит в за-
замене данной переменной всюду, где она фигурирует в рассмат-
рассматриваемой формуле, данным функционалом (подстановка
функционала). Подстановка второго типа (подстановка
функции) аналогична подстановке вместо формульной перемен-
переменной с одним аргументом, являющимся квазитермом. Если а — рас-
рассматриваемая функциональная переменная, то для какой-либо ее
именной формы а (с) со свободной индивидной переменной с
указывается ее заменитель, т. е. соответствующий терм t (с),
а затем в формуле, в которой производится подстановка, каждое
входящее в нее выражение а (г) заменяется соответствующим
выражением t(r). При этом предполагается, что функциональная
переменная а в рассматриваемой формуле не фигурирует сама
по себе, а каждый раз встречается обязательно с (одним)
аргументом.
Замечание. Мы могли бы обойтись без подстановки функ-
функций, если бы вместо нее взяли схему формул
применяемую ко всякому такому содержащему переменную г
квазитерму t(z), для которого t(c) является термом1).
С другой стороны, в принципе мы могли бы обойтись и одной
подстановкой функций. Правда, при этом мы лишились бы ряда
удобных изобразительных возможностей.
Допустимость подстановок и переименований, как обычно,
связывается с условием недопущения коллизий между связанными
переменными, так что внутри какого-либо выражения еЕ91(£) или
е-Ш (г) никогда не должен встречаться какой-либо другой е-сим-
вол, относящийся к той же самой связанной переменной j
или £.
Во избежание коллизий между связанными переменными под-
подстановки в любую из е-формул всегда будут производиться одно-
одновременно с необходимыми переименованиями связанных пе-
переменных.
Описанный таким образом формализм мы будем называть фор-
формализмом #0. По ряду соображений, связанных с дедуктивной
Целесообразностью, мы добавим к Яо схему явного опре-
определения.
*) Эта схема формул предложена Дж. фон Нейманом в его работе: Neu-
mann J- v. Zur Hilbertschen Beweistheorie. — Math. Z., 1927, 26, S. 18.
550 ПРИЛОЖЕНИЕ flV
Всякое явное определение представляет собой формулу одного
из следующих трех видов:
« = t,
f @ = 8@,
здесь t —терм, g — функционал, с —свободная индивидная пере-
переменная, <£ — формула, а в, f и (Е —выражения, состоящие из
вновь вводимого символа и его аргументов. При этом в обеих
частях соответствующего равенства или эквивалентности должны
фигурировать одни и те же свободные переменные. Аргументные
места формульных переменных, фигурирующих в качестве аргу-
аргументов вновь вводимых символов, указываются путем заполнения
связанными индивидными или соответственно функциональными
переменными; аргументное место фигурирующей в качестве аргу-
аргумента функциональной переменной а во вновь вводимом символе
указывается только тогда, когда в правой части определения
переменная а не фигурирует сама по себе, но и в этом случае
это аргументное место можно не указывать. Связанные перемен-
переменные, используемые для указания аргументных мест аргументов
вновь вводимых символов, должны быть попарно различны; по-
помимо соответствующих аргументных мест, они записываются и
у самого этого символа — в качестве индексов или каким-нибудь
другим образом.
Схема явного определения представляет собой пра-
правило, согласно которому любое явное определение может быть
добавлено к формализму в качестве исходной формулы, причем
выражение, состоящее из введенного символа и его аргументов,
а также любое выражение, получающееся из него в результате
каких-либо подстановок вместо его свободных переменных (если
при этом не происходит коллизий между связанными переменными),
допускается в качестве терма, или функционала, или формулы,
смотря по тому, какой— первый, второй или третий —вид имеет
это явное определение. Разумеется, правило переименования свя-
связанных переменных распространяется и на связанные переменные
вновь введенных символов.
Присоединение этой схемы к формализму Но дает нам новый
формализм, который мы будем называть формализмом Н. При
исследовании вопроса о непротиворечивости Н формализм этот
с помощью общего метода исключения явных определений может
быть сведен к формализму Но. В самом деле, наши соглашения,
касающиеся внешнего вида явных определений, выбраны с таким
расчетом, чтобы этот метод оказался применимым1),
*) Особого рассмотрения требует случай, когда вновь вводимый символ
имеет одну или несколько функциональных переменных в качестве аргументов.
§2]
ПОСТРОЕНИЕ АРИФМЕТИКИ 551
§ 2. Построение арифметики
А теперь мы вкратце покажем, как из формализма Я могут
быть получены исчисление предикатов, арифметика и анализ.
Сначала при помощи явных определений
ЧхА (х) ~ А (гх 1А (х)),
ЗхА (х) ~ А (вхА (х)),
ЧхА{х)~А(в-х1А{х)),
ЗхА(х)~А(в-А{х))
могут быть введены кванторы. Из этих определений в сочетании
с первой и третьей е-формулами основные формулы (а) и (Ь)
исчисления предикатов могут быть получены в качестве выводи-
выводимых формул, а схемы (а) и (Р) — в качестве производных правил*)
(причем в отдельности для индивидных и для функциональных
переменных).
С помощью первой и второй е-формул, аксиомы равенства (J2),
третьей арифметической аксиомы и средств исчисления высказы-
высказываний схема индукции, как мы знаем, может быть получена
в качестве производной схемы2), а с помощью схемы индукции
в сочетании с формулой (а) и аппаратом исчисления высказыва-
высказываний может быть выведена аксиома индукции3),
С помощью соответствующих явных определений могут быть
введены и обычные символы для чисел.
Теперь, чтобы в нашем распоряжении оказался весь форма-
формализм арифметики, нам достаточно получить схему рекурсивного
определения,
На самом деле примитивные рекурсии (как, впрочем, и более
общие схемы рекурсии) в формализме Н могут быть полностью
сведены к явным определениям, Причем это можно сделать еди-
единым приемом, путем указания одной универсальной для рекурсив-
рекурсивных функций функции, из которой отдельные рекурсивные функ-
функции получаются соответствующими подстановками.
Метод построения этой функции можно было бы оформить и
несколько проще, если бы в нашем формализме имелись функцио-
функциональные переменные с двумя аргументами. Но так как в Н мы
их не ввели, то нам придется сначала формально построить ото-
отображение числовых пар на числа. Требующиеся для этого
рекурсивные функции можно получить при помощи следующих
явных определений: сначала с помощью равенства
а + Ь = (е- {х @) = а & Vz {Jc {z') = x (z)')}) (b)
1) См, с. 33—34,
^) См с. 117—119.
3) См. т. I, с. 327.
552 ПРИЛОЖЕНИЕ fIV
мы определяем сложение. Из этого равенства могут быть выве-
выведены рекурсивные равенства
а и
Их вывод может быть построен с помощью формулы
Зх {х @) = а & Vz {х (?) = х (z)')},
которая получается применением схемы индукции по отношению
к переменной а (индукцией по а). Вывод посылок $1@) и
91 (а) ->■ 21 (а') данной схемы индукции производится с помощью
формул
= z) и 3jcVzU(z)=c(z)'),
получающихся с помощью выводимых формул
= z) и А(й)-+ЗхА(х)
и правила подстановки функций *).
Из рекурсивных равенств для а-\-Ь, пользуясь схемой индук-
индукции, мы получаем формулы, изображающие обычные законы,
которым подчиняется операция сложения.
Воспользовавшись сложением и взяв явные определения
можно ввести предикатные символы «о и ««о. Из этих опреде-
определений могут быть выведены формулы
~\(а<а), a<bkb<c->a<c, a^b\/ b<a,
a = b \J a<Zb,
a<.b' ~a^b.
Аналогично сложению, равенством
а -Ь - (в; {х @) = 0 & Vz (х (zr) = x (z) + a)}) (b)
мы определим умножение. Из этого равенства могут быть выве-
выведены рекурсивные равенства
а-0 = 0 и a-b' =a-b + a.
Вывод их производится с помощью формулы
Зх (х @) = 0 & Vz (* (z') = х (г) + а)),
1) Возможность такого введения сложения и аналогичная возможность для
умножения была впервые установлена Л Кальмаром. В этом методе, допу-
допускающем и непосредственную содержательную интерпретацию, существенно
то, что индуктивное рассуждение, из которого получается разрешимость этих
рекурсивных равенств при помощи некоторой двуместной функции, проводится
не по той переменной, по которой производится рекурсия, а по параметру
рекурсии.
$ 21 ПОСТРОЕНИЕ АРИФМЕТИКИ 553
которая опять-таки может быть выведена индукцией по а с ис-
использованием выводимых формул1)
3xVz (х (г) = 0)
Из рекурсивных равенств для а-b можно получить формулы,
выражающие обычные законы, которым подчиняется умножение,
а также формулу
А теперь мы введем функцию
I (я) = гх (х-\- х = п ■ п').
Индукцией по п легко получается формула
Зх(х-\-х = п- п'),
из которой можно сначала вывести равенство
t(n) + t(n) = n-n;
а затем и формулы
Е@) = 0 и Цп') = Ш + п:
Эти формулы вместе с рекурсивными равенствами для сложения
составляют рекурсивное определение функции |(я).
Далее, если с помощью равенства
х(а, b) = t
определить функцию х (а, Ь), то для нее можно будет вывести
равенства
т@, 0) = 0,
т@, а')=т(а, 0)',
х(а', Ь) = т(а, Ь'У,
из которых индукцией по п получается формула
ЗхЗу{х(х, у) = п).
Кроме того, можно будет получить формулу
x{a, b)<x(c, d),
х) Вывод первой из этих формул например, может быть получен с исполь-
использованием равенства
554 ПРИЛОЖЕНИЕ [IV
а с ее помощью — формулу
т(а, 6)=т(с, d)->a = c&fc = d.
Если теперь с помощью явных определений
х, у) = п)
х, у) = п)
у
ввести функции
Ti(«) И Т2(п),
то с помощью полученных формул можно будет вывести равенства
t(T!(/i), тг(п)) = п, Xj.iT(а, Ь)) = а, тг(т(а, b)) = b.
Тем самым мы получаем формализацию некоторого конкретного
взаимно однозначного отображения числовых пар на числа.
Теперь мы продвинулись настолько, что можем построить
упоминавшуюся уже универсальную для рекурсивных функций
функцию. Явное определение этой функции записывается в виде
рх(а, b(x), n) = [zx{x@) = a&4z[x(z') = b(j(z, x(z)))]}](n).
Чтобы получить из него равенства, характеризующие эту функ-
функцию, мы выведем формулу
A) 3x{x@) = a&Vz[x(z') = b(T(z, хBЩ.
Наметим вкратце ход этого вывода *). Сначала явными определе-
определениями
о (а, Ь) = гх((а = Ь^х
и
мы вводим функции а (а, Ь) и Р(а, Ь). Из этих определений легко
могут быть выведены формулы
Используя эти формулы, мы получим формулу
B) c(O) = a&Vz[z</i->-c(z')=b(T(z, c(z)))]&
Vz(g (z) = с (z) • a(z, n') + b (x(n, b(«))) • p (z, «')) ->•
g @) = a & Vz [z< л' ->i (z') = Ь (t (z, g (z)))]f
J) Метод проведения данного вывода восходит к Дедекинду. См. его
книгу: Dedekind R. Was sind und was sollen die Zahlen? —Braunschweig,
1887, § 9.
§ 2] ПОСТРОЕНИЕ АРИФМЕТИКИ 555
затем с помощью этой формулы и легко выводимой формулы
Зх(х@) = а)
индукцией по п мы получим формулу
Эх {х @) = а & Vz [z < n -> х (г') = 6 (т (г, х (г)))]},
а из нее —формулу
C) (е (п)) @) = a & Vz [г < /г -> (е (п)) (г') = Ь (т (г, (е (/г)) (г)))],
где е(п) представляет собой функционал
е; {х @) = a & Vz [г < /г -> х (г') = Ь (т (г, х (г)))]}.
Но из C) с использованием формулы
которая выводится индукцией по /г, можно получить формулу
(с @)) @) = а & (е (n')) (n') = ft (т (тг, (е (п)) (/г))),
а из нее формулу A).
После того, как формула A) выведена, мы из явного опреде-
определения функции рх (a, b (x), п) получаем равенства
рх(а, Ь(х), 0) = а,
рх(а, b(x), n') = b(x{n, px(a, b{x), п)).
На основании этих равенств любое определение функции при
помощи примитивной рекурсии
f(a1( .... at, 0) = a(ax at),
at, n') = b(a1 at, n, f(ab ..., ac, n))
может быть сведено к соответствующей подстановке в функцию
рх(а, Ь(х), п). Действительно, достаточно сформулировать явное
определение
\(аъ ,.., at, n) = px(a(alt ..., at), Ь(аъ ..., at, x1(x), x2(x)), n),
и тогда оба эти рекурсивных равенства окажутся выводимыми
формулами.
В соответствии с этим каждая рекурсивная (т. е. определимая
при помощи примитивных рекурсий) функция представима в виде
некоторого выражения, в котором не фигурируют никакие другие
символы, кроме символа 0, штрих-символа, функциональных зна-
знаков Tx(n) и т2(/г) и символа универсальной функции рх{а, Ь(х), п).
556 приложение riv
Так, например, справедливы следующие представления функ-
функций:
а + Ь = рх(а, (т2 (*))', Ь),
a-b = px(O, ру(т,(х), (т2(г/))', а), Ь),
Р«(т«@). (т2 (*))', т,(х», а), 6),
(х), п),
а — Ь = рх(а, р„@, хг(у), т2(х)), Ь),
с = рх{с, т2(х), п),
sgn{n)=px{0', рй@, т2(г/), х), п),
1(п)=рх@, ру((хг(х))', (т2(у))', х,(х)), п).
Равенство
определяет ц-символ, и из этого определения с помощью выво-
выводимой формулы, выражающей принцип наименьшего числа, могут
быть выведены формулы (\1г), ((х2) и (ц8)!).
Таким образом, в нашем распоряжении находится весь фор-
формализм арифметики. Заодно достигнут и заметный по сравнению
с формализмом B^) прогресс в отношении систематики.
§ 3. Теория положительных действительных чисел
Переходя теперь к анализу, мы поначалу ограничимся анали-
анализом положительных величин, так как в нем содержатся уже все
методы, характерные для теории пределов.
Величины, которые мы будем рассматривать, можно описывать
при помощи последовательностей неотрицательных целых чисел.
Эвристически к этой мысли нас приводит изображение положи-
положительных действительных чисел при помощи бесконечных двоич-
двоичных дробей. Это изображение равносильно изображению при
помощи последовательности дробей
а0 аг а2
2^' 21' ¥
а значит, и при помощи последовательности целых чисел а0, аи
пъ, ... такой, что 0^а0 и для любого п а„+1 = 2-а„ либо ал+1 =
= 2 • а„ + 1. Это изображение станет взаимно однозначным, если
дополнительно потребовать, чтобы соответствующая двоичная
х) См. т. 1, с. 348—350 и 479—482 или же в настоящем томе Приложеч
ние I, с. 469.
§ 3] ТЕОРИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В57
дробь не состояла, начиная с некоторого места, из сплошных
нулей, т. е. чтобы не оказывалось, что, начиная с некоторого
места, а„+1 = 2 ап. Так мы приходим к тому, чтобы характери-
характеристическое свойство числовых последовательностей, используемых
в качестве средства изображения положительных действительных
чисел (MaBzahlen), формально определить с помощью следующего
специального предикатного символа 0 (й)*):
0 (а) ~ Ух (а (*') = 2 • й (*) V & (*) = 2 • й (х) + 1) &
Опираясь на эту формализацию понятия положительного
действительного числа, можно дать следующие определения, уста-
устанавливающие отношения равенства и порядка для таких чисел:
й = Ь ~УХ (й (х) =i> (х)),
(d (*)<£(*)),
^Ь&йфЬ.
Из этих определений могут быть выведены следующие формулы:
д. = Ь -> (й sS с ->Ь ^ с),
а также аналогичные формулы с символом < вместо ^. Затем
могут быть выведены формулы
0 (а) & 0 ф) -> (а< Ъ
0(d)->3i@(i)&d<
0 (d) & 0 (Ь) & й < Ь -> 3i @ (i) & а < i & х
х) Изображение при помощи последовательности числителей следующих
Друг за другом конечных двоичных дробей по сравнению с изображением при
помощи последовательности цифр бесконечной двоичной дроби имеет то пре-
преимущество, что при введении различных понятий оно избавляет нас от необ-
необходимости производить те или иные рекурсивные построения.
558 ПРИЛОЖЕНИЕ flV
Замечание. Мы не в состоянии вывести любую формулу вида
Так, например, формула
й j. Ь ->- (e*d (х) = 0) = 0' ->- гх (Ь {х) = 0) = 0')
невыводима.
Для выполнения подстановок вместо функциональных пере-
переменных без аргументов (подстановки эти могут быть только под-
подстановками функционалов) важно иметь способ, позволяющий
по любому терму t(c) с одной свободной переменной с строить
функционал f, для которого выводимо равенство
f(c) = t(c).
Этот способ может быть получен следующим образом:
Обозначим через е функционал е-х\/у (х (у) = Ъ (у)). Из третьей е-
формулы, подставляя вместо именной формы А (с) ее формульной
переменной формулу Vz (с (г) = Ъ (г)) и переименовывая внутри
выражения e^Vz (х (г) = Ь (г)) переменную г в у, мы получим
формулу
Уг (й (г) = Ь (г)) -* Vz (е (г) = Ь (г)).
Если вместо именной формы с (с) в эту формулу подставить
терм Ъ (с) и воспользоваться выводимой из аксиомы (Jx) формулой
то получится формула
а значит, и
т. е. формула
Пусть теперь t (с) — произвольный, содержащий свободную пере-
переменную с терм, в который не входят связанные переменные £
и V. Тогда подстановкой функции вместо переменной Ъ (быть
может, с переименованиями) мы получим равенство
Кроме того, для упрощения записи можно с помощью явного
определения
(М (д)) (с)- [вЛ/у{Цу) = й(у))} (с)
§ 31 ТЕОРИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 559
ввести символ1) %ха (х). Это определение с использованием выве-
выведенной нами формулы
дает равенство
D) (Kxd(x))(c) = a(c).
С помощью этого равенства можно, например, из формулы
вывести формулу
где ё (с) и t (с) — произвольные термы, не содержащие перемен-
переменной £. Для этого сначала надо от формулы
при помощи подстановки (и, может быть, переименований) перейти
к формуле
V № ~ Vi> ((V (s)) {)) = (\ t(S)) (V)),
а затем добавить к ней два равенства
(V(E))(c) = ci(c) и (У (S)) @ = *(<),
получающихся из равенства D) в результате соответствующих
подстановок (и, в случае надобности, переименований). Получен-
Полученные три формулы с помощью аксиомы равенства (J2) и дают
требующуюся нам формулу.
Равенство D) может быть использовано еще и для того, чтобы
вывести схему, являющуюся обобщением нашей схемы определе-
определений на случай функционалов. Именно, в схеме явного определе-
определения для введения функционала
f (с) = 9 (с)
фигурирует условие, заключающееся в том, что g должно быть
функционалом. Условие это теперь может быть заменено более
слабым —что д(с) является термом. Действительно, если это усло-
условие выполняется, а £ — какая-либо связанная переменная, не
входящая в д(с), то ^Eg(s) представляет собой функционал. Сле-
Следовательно, при помощи равенства
2) Букву X мы здесь берем, следуя Черчу. См. введение оператора X
в его работе: Church A A set of postulates for the foundation of logic —
Ann. Math., 1932, 33, № 2, p. 351-356.
МО ПРИЛОЖЕНИЕ [IV
можно ввести символ f для функционала. Но из этого равенства
с помощью формулы D) в результате применения подстановки
функции вместо переменной й выводится формула
НО-8@-
В качестве еще одной выводимой схемы для определения
функционалов упомянем схему
где f — вновь вводимый символ для функционала, ад— функ-
функционал. В самом деле, всякая формула этого вида, если свобод-
свободная индивидная переменная с в нее не входит, дедуктивно равна
формуле
КО = 8@-
В дальнейшем, вводя явные определения для тех или иных
интересующих нас функционалов, мы будем пользоваться обеими
этими выводимыми схемами определений.
После этого замечания мы перейдем к фундаментальной тео-
теореме, утверждающей существование точной верхней границы у лю-
любого непустого ограниченного сверху (т. е. имеющего какую-либо
верхнюю границу) множества положительных действительных
чисел.
С учетом выбранного определения теорема эта в нашем фор-
формализме может быть изображена следующей формулой:
E) Vx (Л (х) ->- в (х)) & Эх Л (х) & Эг/Vx (Л (х) ->- х @)< у) -*-
3z {в (z)& Vx(Л (х) + х^z)& ViHVx(Л (х) + х^(/) + г^4)}-
Эта формула может быть выведена с использованием функционала
ч-хА (х), вводимого следующим определяющим равенством:
(\-хА (х)) (п) = цгУ* (Л (х) + х (п) < г).
В самом деле, из этого определения применением формул (ц.х) и
мы получим формулу
Eа)
Vx (Л (i)->- х (n) < (v; Л (z)) (n)) &
(Vx (Л (х) + х (п) < а) + (v£ Л (z)) (п) ==£ а),
откуда далее с помощью выводимой формулы
в (d) & й @)< Ь -+ V* (й (х) < Ь • 2*)
; 3] ТЕОРИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 561
и с использованием определения символа в получим формулу
Eb) Vi(А (х)->в (i))&ЗхА (х)&Зг/Vi(Л (х)->i @)<у) ->
в (v^ A (z)) & Vi (Л (i) -> Jc < v^ Л (z)) &
(Vi (Л (i) -> i < с) -> v • Л (z) ^ с),
из которой средствами исчисления предикатов немедленно полу-
получается требующаяся нам формула E).
Основная идея этого вывода заключается в том, что точная
верхняя граница любого непустого ограниченного сверху множе-
множества положительных действительных чисел строится как числовая
последовательность а0, аъ .... где а„ (при п = 0, 1, 2, ...) пред-
представляет собой наибольшее из чисел, являющихся «-ми членами
числовых последовательностей, принадлежащих рассматриваемому
множеству.
К нашему определению функционала v-xA {x) можно еще сде-
сделать следующее замечание. Если положить
6 —Я* (О*),
то с помощью формулы Eа) можно будет вывести формулу
Эта формула в сочетании с формулой EЬ) и без труда выводимой
формулой 6=^d даст нам формулу
Eс) Ух (Л (i) -> в (i)) & Зг/Vi (Л (Jt) -> х @)< у) ->
(в (v. А (г)) V v. A (z) -- 6) & Vi (Л (*)->*< v. Л (z)) &
Замечание. Хотя введенный функционал 6 и не изображает
никакого числа интересующего нас типа (на самом деле легко
может быть выведена формула ~]©F)), тем не менее введение
этого функционала для нашей формализации теории положитель-
положительных действительных чисел оказывается полезным.
Теперь, чтобы ввести сложение и умножение рассмат-
рассматриваемых нами чисел, мы сначала определим функцию я (а, Ь),
положив
тс (а, Ь) = \х,х3у (а = b ■ х + у & у <Ь).
Из этого равенства может быть выведена формула
л (а,
С помощью функции я (а, Ь) можно следующим образом
определить сумму и произведение двух чисел рассматриваемого
£62 приложение tiv
нами типа:
(а # Ь) (п) = (a*Vz (л (а (п + z) + b (п + г), 2') <: х),
{а X Ь) (п) = \ixVz (я (й(п + г) -Ь(п + г), 2"+2"г) <л:).
Из этих равенств сначала может быть выведена формула
в (d) & 0 (Ь) ->9 (й # b) & в (й X 6).
Затем могут быть получены (в виде выводимых формул) обыч-
обычные законы для арифметических действий, например такие, как
G (а) & 0 ф) &0 (с) ->d X (b # с) = (d X Ь) # (d X с).
Мы получим также формулу
0 (а) & 0 (й) -> (d < Ъ ~ 3i (d # х = й).
Кроме того, если при помощи равенства
(kо d) (п) = (i.Vz (я (k ■ й (п + г), 2') <:х)
определить умножение положительных действительных чисел на
натуральные, то можно будет получить формулы
0 (d) & 0 (b) -> Зх ф < х о d).
Последняя из этих формул представляет собой формальное выра-
выражение того факта, что для рассматриваемых нами положительных
действительных чисел выполняется аксиома Архимеда.
Вычитание и деление рассматриваемых чисел можно форма-
формализовать с помощью следующих определений *):
d -=- Ь =V;@ (jt) & X # Ь
из которых можно будет вывести формулы
0 (d) & 0 (й) -> (d # Ь) ■*- b -«-d,
0 (d) & 0 ф) & й < d -> 0 (d — ft) & (d -- ft) # й -= d,
*) Функционал d -=- Ь следует отличать от введенной в т, I (с. 370) функ-
функции а — b.—Прим. перев.
§ 3] ТЕОРИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 563
Если теперь положить
|d-b|^(d-b)#(b--d),
то можно будет получить формулы
| й -=- й | = 6, 0 (а) -*-1 й -=- 61 = й,
в(а)&в(Ь)&йфЬ-*в(\й — Ь\), \й — Ь\ = \Ь — й\,
в (d) & в (Ь) & Ь < d -»-1 d — b\-*-d-^b,
из которых становится ясно, что функционал \й — Ь\ дает фор-
формализацию понятия расстояния между двумя числами интересую-
интересующего нас типа, т. е., выражаясь в обычных математических тер-
терминах, понятия абсолютной величины их разности.
Таким образом, мы определили все алгебраические операции
для положительных действительных чисел.
Для анализа положительных величин требуется еще одно
фундаментальное понятие — понятие последовательности положи-
положительных действительных чисел. Нужны также и различные свя-
связанные с такими последовательностями понятия: в частности,
понятие сходимости данной последовательности к пределу.
Подобно тому как понятие положительного действительного
числа формализуется с помощью предикатного символа 0 (а),
понятие последовательности таких чисел может быть формализо-
формализовано с помощью символа 61(d), который вводится следующим
определением:
e()Ve(M((*, г))).
Замечание. Возможность представлять последовательности
чисел интересующего нас типа с помощью функционалов основы-
основывается на возможности взаимно однозначного отображения последо-
последовательностей арифметических функций на сами функции. Эта воз-
возможность в свою очередь основывается на взаимно однозначной
отобразимости числовых пар на числа. Мы пользуемся здесь тем
отображением числовых пар на числа, которое дается нам функ-
функцией т(а, Ъ).
С учетом изображения с помощью функционала а последова-
последовательности арифметических функций в виде Кгл (т (n, z)), понятия
элемента данной последовательности и ее подпо-
подпоследовательности могут быть формализованы при помощи
определений
El(d, b)~3x(d^Kb(x(x, 2)))
и
й G Ь — ЧхЭуVz (d (т (х, г)) = Ь(х (у, г))).
Из этих определений могут быть выведены формулы
d С Ь ~ V* (Е1 (х, й) -+ Е1 (х, Ь))
564 ПРИЛОЖЕНИЕ [IV
и
deft&@i(ft)-*@i(d).
Понятие сходимости последовательности чисел интересующего
нас типа к пределу формализуется следующим определением:
Cv (d, b) ~ 0! (а) & @ (Ъ) V Ъ -е- 6) &
V*3*/V* (у < г -► | М (т (г, и)) - ft | (*) = 0)*).
Пусть 1п^Л (х) —символ, вводимый определением
Inf • А (х) ~ ViV*/3z [А [г) & Vu (и < у -► z Ф kvx (т (и, о)))].
Тогда понятие бесконечного множества положительных действи-
действительных чисел может быть формализовано определением
Г;Л (х) ~ V* (Л (*) ->- в (£)) & ЫкА (х).
Теорема о том, что всякое ограниченное сверху бесконечное
множество положительных действительных чисел имеет предела
ную точку, с использованием определений
Т*А (х) - Г; Л (х) & Зу Vi (Л (*) -v х @)< у)
и
Спц(Л(Л, £)) ~ УиЭ* (Л (*) & х =й= Ь & | ^ — 6 |(ы) = 0)
изображается формулой
F) Г?Л (х) -v Зу (@ (у) V у ^ 6) & Cm- (Л (*), у)).
Вывод этой формулы может быть построен с использованием
формулы Eс) формализацией понятия верхнего предела (т. е. по-
понятия наибольшей предельной точки). Эту формализацию нам
дает определение
v.xA (x) ^ vk {0 (х) & Vy@ (у) & у < х-► Inf. (Л (z) & у < г))}.
На основании этого определения из формулы Eс) получается
формула
Г*Л {*) ->■ @ (v-Л (jf)) V v-Л (Л) = 0) &
Vy (в (у)&у< v.Л (i) ->■ Inf. (Л (z) & у < z)) &
Vy @ (у) & v. Л (*) < у -v 11nf- (Л (z) & у < z)),
а из нее требующаяся нам формула F) получается с использо-
использованием определения для 1п^Л (х), а также выводимых формул
\fu3x@ (£)&Vz(S(z)&z^x^z(u) = 0))
Вместо (|а—В|)(с) мы для краткости пишем |о— В ] (с).
3]
ТЕОРИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 565
И
в (а) -> УиЗхЗу @ (х) & 0 (у) & jc < й & d < у &
Заслуживает упоминания еще один, имеющий принципиаль-
принципиальное значение вопрос теории положительных действительных чисел.
Мы имеем в виду некоторый применяемый в этой теории част-
частный случай принципа выбора. В рассматриваемом случае этот
принцип утверждает, что если для любого натурального числа п
существует положительное действительное число с, находящееся
с л в отношении 33 (я, с), то существует последовательность
с0, с-1, ... чисел рассматриваемого типа, обладающая тем свойством,
что для любого п выполняется отношение 53 (п, с,,I).
Перевод этого высказывания в рассматриваемый формализм
приводит нас к формуле
G) ЧхЗу (в (у) & А (х, у)) -v Зу [в! (у) & ЧхА (х, Ку (т (*, г)))].
Правда, вывести эту формулу в формализме Н мы не можем,
потому что здесь в нашем распоряжении нет формулы
Но эта трудность происходит только от того, что при изображе-
изображении данного частного случая принципа выбора формулой G)
формализация понятия произвольного отношения между нату-
натуральным числом п и положительным действительным числом с,
произведенная нами при помощи формульной переменной А(п, а),
приводит к тому, что становятся возможными излишне общие
подстановки.
На самом деле для любой формулы 51 (с) такой, что она фор-
формализует какое-либо математическое высказывание о числах инте-
интересующего нас типа, формула
d =^ £ _v (81 (d)
выводима в нашем формализме Н.
Это обстоятельство делает возможным применение следующего
приема: с помощью эквивалентности
ExtkA (X) ~ ЧМу (х^у^(А(х)^А (у)))
мы определяем символ Ext-xA (x) и добавляем в посылку формулы
G) в качестве конъюнктивного члена формулу
V*Ext- A(x, у).
*) В связи с этим см. т. I, с, 69 — 70.
566
ПРИЛОЖЕНИЕ [IV
Возникающая таким образом формула
Gа) V* Ext- А (х, у) & V*3y @ (у) & А (х, у)) -+
, КПт{х, г)))]
достаточным образом формализует рассматриваемый частный слу-
случай принципа выбора. С другой стороны, эта формула выводима
в нашем формализме.
Действительно, сначала можно получить формулу
GЬ) У*Ех^Л(л;, у)& VxBijA (x, y)-+3yVxA(x, Я,гу(т(д;, г))).
Это делается следующим образом. Если посредством с обозначить
функционал
то с помощью формулы {кхй (х)} (с) = й (с) можно будет вывести
формулы
(Л(
а тем самым и формулу
г-гА (а, г) = Кс (х (а, г)).
Из этой формулы может быть получена импликация
Ext; Л (а, у)^(А(а, г.гА{а, z))^A(a, Хгс(г(а, г)))).
С другой стороны, с помощью третьей е-формулы может быть
получена формула
ЗуА(а, у)^-А(а, г-гА(а, г)).
Эти две формулы, взятые совместно, дают формулу
Ext-Л (а, у)&ЗуА(а, у)-* A (a, Xzc(r(a, г))),
а также формулу
VjcExt- A(x, y)&Vx3yA(x, y)-+VxA(x, Kt(r(x, г))),
а из этой формулы, применяя формулу
мы получаем требующуюся нам формулу GЬ).
Но подставив в GЬ) вместо именной формы А (а, с) формулу
®(с)&А (а, с) и воспользовавшись выводимостью формул
Ext-Л (а, у) + Ех^@(у)&Л(а, у))
и
мы получим формулу Gа).
§ 3] ТЕОРИЯ ПОЛОЖИТГЛЬИЫХ ДРЙСТВИТРЛЬМЫХ ЧИСЕЛ 567
С помощью формулы Gа) можно, в частности, вывести формулу
(8) Vjc(А (*)->-G{£))&ЕхЬхА (х)&Ст-х(А (х), Ь)-+
Зх [0! (jc) & V« (А (кгх (т (и, г))) &
, г))ф'Ь&\Хгх(т:(и, г))-Ь\ (и) = 0)],
представляющую собой формализацию теоремы о том, что из
любого множества чисел интересующего нас типа, которое имеет
предельную точку, можно выбрать последовательность, сходя-
сходящуюся к этой точке.
Формула (8), взятая вместе с формулой F), дает формулу
(9)
ЗхЗу [ex (х) & @ (у) V у ^ 6) & V« (А (Кх (т (и, г))) &
Ягх(т(ы, г))Фук\Х,х(х(и, г)) - у \ (и) = 0)],
а эту формулу, как мы покажем ниже, можно еще усилить до
формулы
A0) Г|Л (i) & Ext- A{x)-+
(х) & @ (у) V у •*■ 6) & V« (А (Хгх (т (ы, z))) &
|(ы) = 0&|Ягх(т(ы', г))-у\<\Кх(т:(и, г)-у)
которая выражает теорему о том, что из каждого ограниченного
сверху множества положительных действительных чисел можно
выбрать последовательность, которая сходится либо к положи-
положительному действительному числу, либо «к нулю», причем прибли-
приближения монотонно улучшаются.
Переход от (9) к A0) можно произвести с помощью формулы
A1) 0!(d)
V«(jc(t(«, и)) = 0&%,£{%(и', z))<M(t(«, г)))],
которая в свою очередь получается следующим образом. Сначала
из определений символов 0 и 0! можно вывести формулу
Если теперь определить v.i(d, n) равенством
а затем определить Хг(й, п) и щ(а) с помощью равенств-
кг(й, я) = р*@, Xiid, хг(х)), п)
(т (ка (й, за (х)),
568
ПРИЛОЖЕНИЕ fIV
то, пользуясь определениями символов цхА (х) и рх (a, b (х), п),
а также формулой
&! (й) & й (т (я, я)) = 0-»-(с<я-»-й(т(я, с)) = 0),
мы получим формулу
0! (d) & Vu (d (т (и, и)) = 0) -> х3 (d) G d & (*з (й)) (* (л. л)) = 0 &
Mx.(d))(T(n\ z))<A»(xs(d))(T(n, г)),
из которой немедленно получается формула A1),
Замечание. В ряде рассуждений, проводимых в теории
точечных множеств, требуется более сильная форма принципа
выбора, чем та, которую мы только что рассмотрели. Чтобы
включить в наш формализм этот более сильный вариант принципа
выбора, достаточно добавить к исходным формулам системы Н
формулу
Vi (А (х) ~ В (х)) -> Vz ((е- А (х)) (г) = (е-5 (х)) (г)).
§ 4. Теория действительных чисел. Замечания по поводу
дальнейшей формализации анализа
Теперь мы получили в свои руки существенный аппарат,
позволяющий дедуктивно строить теорию положительных действи-
действительных чисел. А от этой теории можно различными способами
перейти к общей теории действительных чисел.
Одна из возможностей заключается в том, чтобы действитель-
действительные числа определить как пары положительных действительных.
Такое изображение действительных чисел обладает тем преиму-
преимуществом, что при введении действий над ними не требуется
разбирать отдельные случаи. Но, с другой стороны, оно неудобно
своей неоднозначностью, а к тому же в рамках нашего форма-
формализма его реализация оказывается несколько громоздкой. Ввиду
этого мы выбираем более употребительный способ перехода
к действительным числам, заключающийся в добавлении к поло-
положительным действительным числам числа 0 и отрицательных
чисел. Это добавление можно произвести следующим образом.
Мы полагаем по определениюх)
в- (d) ~ d @) Ф 0 & в (Я,, (d (х) -- igH {x)))
и
в* (d) ~ в (d) V d - 6 V @- (d).
Символ 6, который является функционалом, мы берем в качестве
изображения действительного числа нуль, а символы в~ (й) и
1) По поводу определений (о -^ Ь) и sgn (л) см. с, 556.
§ 4] ТЕОРИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 569
0* (d) в качестве изображений высказываний «d является отри-
отрицательным действительным числом» и «d является действительным
числом».
Интерпретацию определения символа 6~(d) легко усмотреть,
приняв во внимание выводимость формулы
в- (d) ~ Эх [в (£) & d @) = (X @))' & Уг (г Ф 0 -> d (г) = х (г))],
из которой в свою очередь выводится формула
Преимущество такого введения понятия действительного числа
заключается, во-первых, в том, что оказывается ненужным новое
определение равенства, так как отношение равенства =ь= для
функционалов непосредственно представляет собой и отношение
равенства для действительных чисел, и, во-вторых, в том, что те
действительные числа, которые являются положительными, сов-
совпадают с рассмотренными нами положительными действительными
числами.
Для определения арифметических действий целесообразно
сначала ввести функции \й\ (абсолютная величина й),—й
и sg (d) (знак d). Мы полагаем
|d| ■*■ %-х{A ®-(d) &х■*.d) V (в"(d)&х-^К(й(г)-*-ign))},
-d = ei{ne(d)&i = |d|)V(e(d)&i = X,(d(a:)+igna!))},
sg(d) = e- {A в(d)& 16-(d)&х =s= б) V (в(а)&х^Ягб{2')) V
(e-(d)&*-uMeB*) + sgQz))}.
Из этих определений получаются, в частности, формулы
Если мы, кроме того, положим
то получим
Замечание. При умножении положительных действительных
чисел функционал 1 играет роль единицы. В самом деле, может
быть выведена формула
d X 1 = й.
570 ПРИЛОЖЕНИЕ [IV
Теперь мы можем следующим образом определить сложение
действительных чисел:
'b — й)\/
-(Ь)&х^ -(|d|#|6|)) V
^6)V (sg(d)--sg(&)&
(|d|<|&|-*sg(i)-sg (&)))}.
Вычитание получается из сложения при помощи следующего
определения:
(— 6).
Отношение порядка для действительных чисел вводится опре-
определением:
Из определения вычитания может быть выведена формула
в (й) & в (Ь) -+ | й 0 Ь | =*= | й - Ь |.
Произведение двух действительных чисел й и Ь может быть опре-
определено следующим образом:
й 0 Ь -*. е^ {{(й — 6 V Ь = 6) & i ^ 6) V (sg (й) = sg F) &
И, наконец, определением
й : & ^ 8i (в* (i) & & (g) i = d)
может быть введено деление. Из сформулированных определений
может быть получена формула
е* (й) & в* (&) -v в* (й ф &) & в* (й 0 6) & в* (d <g) &) &
Могут быть также получены и формулы, выражающие арифмети-
арифметические законы, которым подчиняются эти четыре операции.
А теперь — совершенно аналогично тому, как это было сделано
в случае положительных действительных чисел, — определив соот-
соответствующий предикат в* (й), мы сможем формализовать понятие
последовательности действительных чисел и предела такой после-
последовательности, а также формально изобразить основные теоремы
о пределах.
Для построения теории бесконечных сумм и произведений нам
нужно сначала с помощью рекурсивных определений ввести
§ 41 ТЕОРИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 571
конечные суммы и конечные произведения действительных чисел,
а эти рекурсивные определения могут быть сведены к соответ-
соответствующим явным определениям совершенно аналогично тому, как
сводились примитивные рекурсии для арифметических функций.
Мы приведем здесь определение для суммы первых я+1 членов
последовательности действительных чисел:
', ы)))&
Vu(t(u) = g(x(n, и)))].
(Фигурирующий здесь параметр й представляет собой ту
последовательность действительных чисел, члены которой после-
последовательно суммируются.) Индукцией по п получается формула
а из нее, далее,—формула
6f (d) -* в? (К [(a (d, хг (х))) (т, (*))]).
Что касается теории функций, то понятие непрерывной функции,
определенной на отрезке [0, 1], можно изобразить в рамках
нашего формализма Н, воспользовавшись тем обстоятельством,
что всякая такая функция однозначно задается последовательно-
последовательностью ее значений для значений аргумента
' if 2 ' 4 ' 4 ' 8 ' 8 ' 8 ' 8 ' 16' 16' •"•
т. е. для несократимых дробей вида т/2", не превосходящих
единицы. Дроби эти мы упорядочиваем по величине знаменателя,
а при равных знаменателях — по величине числителя.
Каждой такой непрерывной на отрезке [0, 1] функции, со-
согласно сказанному, соответствует вполне определенная последо-
последовательность действительных чисел, и поэтому общее понятие такой
функции изображается в Н некоторой формулой
ef(d)&B(d),
где S (й) формализует условие, говорящее о том, что в представ-
представленной функционалом й последовательности действительных чисел,
образующей последовательность значений этой функции для аргу-
аргументов вида т/2" (в указанном порядке), каждой сходящейся
последовательности дробей вида т/2" соответствует сходящаяся
же последовательность значений функции.
Можно построить функционал f(d, b), для которого будет
выводима формула
@t (d) & S (d) & (в (b) V Ь+- 6) & Ь < 1 -> в* (f (й, Ь))
572 ПРИЛОЖЕНИЕ [IV
и который будет представлять «значение определенной на отрезке
[О, 1] непрерывной функции, изображенной функционалом й, при
значении аргумента, изображенном функционалом Ь».
С помощью этого функционала f (й, Ъ) можно также формали-
формализовать понятия дифференцируемости и производной.
Интегрирование может быть определено без использования
функционала t(a, b). Так, в частности, интеграл от непрерывной
на отрезке [0, 1] функции, взятый по этому отрезку, изобра-
изображается в зависимости от функционала, представляющего эту
функцию, пределом последовательности действительных чисел,
гс-й член которой изображается функционалом
(а(й, 2»')9<т(й, 2»)):B»oi).
Подобно теории функций, непрерывных на [0, 1], могут быть
формализованы и теории функций других типов, например теория
непрерывных функций двух переменных, определенных в каком-
либо прямоугольнике или круге, или теория определенных на
каком-либо отрезке функций ограниченной вариации.
Для изображения общего понятия множества действительных
чисел, а также множества действительнозначных функций, зави-
зависящих от одного или нескольких действительных переменных
(кратко — функций действительногопеременного), мы
можем использовать формульные переменные. При этом множества
действительных чисел можно изображать совершенно аналогично
тому, как ранее изображались множества положительных дейст-
действительных чисел.
Формализация понятия функции одного действительного пере-
переменного может быть произведена с использованием формульных
переменных с помощью явного определения
Vx Vy (А (х, у) -> в * (х) & в * (у) & В (х)) & Vy Ext; A (х, у) &
Vx (в* (х) & В (*)-+Зу [в* (у) &Vt(t*.§~A (x, z))]).
Здесь переменная А (а, Ь) представляет отношение между значе-
значением аргумента и значением функции, а переменная В (с) представ-
представляет условие, описывающее область определения этой функции.
В частности, высказывание «предикат А {й, Ъ) выражает отно-
отношение, имеющее место между аргументом и значением некоторой
определенной на отрезке [0, 1] функции одного действительного
переменного» [или же «предикат А (й, Ь) для некоторой опреде-
определенной на отрезке [0, 1] функции действительного переменного
равнозначен высказыванию о том, что Ь является значением этой
функции при значении аргумента, равном й»] изобразится после
§ 5) ТЕОРИЯ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ 573
этого формулой
VipiiiM(i, у), Qtkz&z^l).
Аналогичным образом может быть формализовано и понятие
функции нескольких действительных переменных.
Понятия лебеговской меры и интеграла Лебега тоже могут
быть изображены в Н с помощью соответствующих явных опре-
определений. При формулировке этих определений некоторое упроще-
упрощение получается за счет того, что при введении внешней меры
Лебега для линейных точечных множеств можно принимать во
внимание только такие интервалы покрытия, концы которых
являются рациональными. Равным образом для плоских точечных
множеств в качестве покрывающих многоугольников достаточно
брать только такие квадраты, вершины которых имеют рацио-
рациональные координаты и стороны которых параллельны осям
координат.
Отправляясь от намеченных здесь основ, мы теперь можем
развивать в рамках формализма Н следующие разделы анализа:
теорию аналитических функций, дифференциальную геометрию,
теорию дифференциальных уравнений, вариационное исчисление,
теорию рядов Фурье, теорию интегральных уравнений и беско-
бесконечно многих переменных, а также и ряд больших разделов
топологии х).
§ 5. Теория вполне упорядоченных множеств целых чисел
Если воспользоваться изображением чисел канторовского вто-
второго числового класса с помощью полных упорядочений натураль-
натурального ряда, то теорию чисел этого класса тоже можно будет изло-
изложить в рамках Н. Фактическая реализация такого формального
изложения этой теории может быть выполнена самыми различ-
различными способами. Ниже мы рассмотрим один из них.
Мы будем исходить из следующего вспомогательного рассуж-
рассуждения. Данное множество чисел, рассматриваемое вместе с отно-
отношением порядка (или, как мы вместо этого кратко говорим: упо-
упорядоченное множество чисел), определяет собой совокупность
таких пар (а, Ъ), у которых а и b суть элементы рассматривае-
рассматриваемого множества, причем а идет в данном порядке не позже Ь.
И обратно: данная совокупность таких пар однозначно опреде-
определяет и само это множество, и его порядок. В частности, если
речь идет об упорядоченном множестве неотрицательных целых
чисел, то соответствующая совокупность пар может быть пред-
представлена арифметической функцией f (n) такой, что f(t(a, b))=l
или f(t(a, b)) = 0 в зависимости от того, входит или не входит
Впрочем, см, замечание в конце § 3, с. 568.
574 ПРИЛОЖЕНИЕ [IV
пара {а, Ь) в рассматриваемую совокупность, т. е. функцией, при-
принимающей для числа п значение 1 или 0 в зависимости от того,
входит или не входит в эту совокупность пара (ti(/i), т2(л)).
Если мы, наоборот, будем исходить из какой-либо арифмети-
арифметической функции, то для того, чтобы эта функция представляла
в только что указанном смысле упорядоченное множество неотри-
неотрицательных иелых чисел, должны выполняться определенные условия.
Формальное изображение этих условий и сведение их в единый
предикатный символ может быть осуществлено при помощи сле-
следующего определения:
Od (d) ~ V* (d (*) = 0\/й (х) = 1) &
У/хУ/у(й(х(х,у))=1\/й(х(у,х)) = 1~й{х(х,х))=1&Л{х{у,у)) = 1)&
ЧхЧу(хФу-»й(т(х, у)) = 0\/Л(х{у, х)) = 0)&
V*V*/Vz (d (т (*, у)) = 1 & d (т {у, г)) = 1 — d (т (х, г)) = 1).
К этому определению примыкают дальнейшие определения:
сей~Od(d)&d(т(с, с))=1,
<(а, Ь\ c)~Od(c)&c(T(a, b))=l,
<(а, Ь; с)~афЬ&*^(а, Ь; с);
из которых сразу получаются формулы
aec&bec~s^.(a, b; c)\/<(b, а; с),
~]<(а, а; с),
<(а, Ь\ d)&<(b, с; й)-+{а, С d).
Из относящихся к упорядоченным множествам понятий мы
используем, в частности, понятия начала множества,
отрезка множества и подобия двух множеств. Для
упорядоченных множеств неотрицательных целых чисел понятия
эти могут быть формализованы с помощью следующих опреде-
определений:
In (d, 4) ~ Od (d) & Od D) & V* (хгй -*• xeb) &
VxVy{yeu&<{x, у; 4)-*-<(*, у, d)),
SQ(d, b, c)~In(d, b)&ceb&Vx(xed~<(x, c; 4)),
й с* b ~ Od (d) & Od D) & (Зг (zed V ze4) -»-
3^ {У/у [угй - Зг (Tl (t (г)) = у)] &
o)); 4)]}).
§ б] ТЕОРИЯ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ 575
[Формуле In(d, У) соответствует высказывание т является нача-
началом упорядоченного множества Ь неотрицательных целых чисел»,
а формуле Sc(d, b, с) — высказывание «d является отрезком,
образованным в упорядоченном множестве Ь неотрицательных
чисел элементом с»; определение подобия, выражаемое формулой
йс^Ь, говорит о том, что й и Ь являются упорядоченными мно-
множествами неотрицательных целых чисел и что в том случае,
когда хотя бы одно из них непусто, существует последователь-
последовательность числовых пар, изображающая взаимно однозначное отобра-
отображение й на Ь, сохраняющее порядок.]
Из определения символа ^ (символ подобия) могут быть
выведены формулы
и
й ~ Ь -*• (д ~ с -> b ca с).
Переход от упорядоченных множеств неотрицательных целых
чисел к вполне упорядоченным мы произведем при помощи опре-
определения
N (d) ~Od(d)&i3iV</<(*(#'), НУ); й).
Из этого определения можно получить формулы
In(d, ft)
Затем, используя выводимую формулу
V* (В (х) -> Зу (В (у) & С (х, у))) -> (В (а) -> ЭхVzC (х (г), х (г'))),
получим формулу
(A)) Ы(с)&агс&А{а)-+
Эх(хгс&А(х)&Чу(уе'с&А(у)-+^(.х, у; с))).
А с помощью этой формулы могут быть выведены формулы
In(d, b)&H(b)&d=£b-+3xSc(d, b, x)
(i~d&In(jf, b))\/3x(x~b&
Если теперь положить по определению
<4(д, ft)~3i(i=^d&In(i, 6))
, b)~3X3y{xc*u&Sc(x, b, у)),
576 ПРИЛОЖЕНИЕ [IV
то можно будет получить формулы
N(d)&N(fe)-*-(=<(d, Ь)~йс~Ь\1<{й, Ь)),
N (d) & N (Ь) -> ^ (a, b)\f<(b, a),
(B)) { N(d)->1-<(d, a),
<(d, b)&<(b, с)-+<(й, с),
N(c)&Sc(d, с, r)&Sc(fe, с, s)&<(r, s; 'c)-*-<(d, fe).
Содержательный смысл первых четырех формул (B)) ясен.
Смысл пятой сводится к тому, что упорядочение вполне упорядо-
упорядоченных множеств неотрицательных целых чисел при помощи
отношения -< при условии, что подобные множества (т. е. мно-
множества, находящиеся в отношении с~) не различаются, или, дру-
другими словами, упорядочение порядковых типов рассматри-
рассматриваемых вполне упорядоченных множеств по их величине для
всех типов, меньших некоторого заданного порядкового числа с,
дает порядок, изоморфный тому порядку, который имеется
в любом множестве, вполне упорядоченном по типу с.
Тот факт, что упорядочение по отношению -< является пол-
полным, находит формальное выражение в следующей, выводимой
с помощью формул (A)) и (B)) формуле:
Vy (N (у) & А (у) -> ^ (х, у))}.
Эта формула представляет собой аналог формулы для принципа
наименьшего числа. Из нее может быть получена формула
(D)) V* (N (х) & Vy « (у, х)-*А (у)) -+ А (х)) -»(N (d) -> A (d)),
изображающая принцип трансфинитной индукции.
К описанной формальной характеризации отношения -< мы
теперь еще добавим формализацию порождающих операций,
в результате чего у нас получится аналогичное построению ариф-
арифметики построение теории первого и второго канторовских число-
числовых классов (типы вполне упорядоченных конечных множеств
представляют собой элементы первого, а типы вполне упорядо-
упорядоченных счетных множеств — элементы второго числового класса).
Сначала можно вывести формулы
N@) и N(d)->=<@, d).
Затем можно определить символ d+ так, чтобы были выводимы
формулы
, b).
$ 5] ТЕОРИЯ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ Б77
Этого можно достичь, например, при помощи следующего опре-
определения *):
d+ = К (sgn (Хг (х) ■ т2 (х)У_* (т (б (Т! (х)), б (т2 (х)))) + __
sgn (т! (*)) • sgn (t, (x)) ■ & (t F (tj (*)), б (Tl (x)))) + sgn (x)].
Это определение выбрано с таким расчетом, чтобы в том случае,
когда функционал а изображает какое-либо упорядоченное мно-
множество М неотрицательных целых чисел, функционал а+ изобра-
изображал упорядоченное множество, которое получается из М путем
прибавления к каждому числу из М единицы (при сохранении
порядка) и присоединения числа 0 в качестве последнего элемента.
В силу выводимых для 0 и d+ формул, роль этих функцио-
функционалов оказывается аналогичной роли, которую в арифметическом
формализме играют термы 0 и а'. Функционал 6, изображающий
пустое множество, представляет наименьший порядковый тип
вполне упорядоченного множества, а символ й+ — переход от задан-
заданного порядкового типа к ближайшему большему. В качестве еще
одной порождающей операции здесь добавляется операция пре-
предельного перехода, которая по любой возрастающей счетной после-
последовательности порядковых типов вполне упорядоченных множеств
строит ближайший больший.
Понятие возрастающей последовательности вполне упорядочен-
упорядоченных множеств неотрицательных целых чисел формализуется опре-
определением
Ni (й) ~ V* [N (М (т (х, г))) & -< (М (т (х, z)), M (т (*\ г)))],
и при помощи соответствующего явного определения может быть
введен символ lim(d), для которого будет выводима формула
(й)-+ N (lim (й)) &Vx< (М (т (х, z)), lim (a)) &
[N(Ь)&Чх< (М(т(х, г)), Ь)-ч.^ (lim(й), Ь)].
Затем в качестве аналога арифметической формулы
может быть выведена формула
(E)) N(d)-^dc6
И наконец, в рамках нашего формализма к явным определе-
определениям может быть сведен и метод трансфинитной рекурсии,
который в теории первого и второго числового класса соответст-
1) Используемая здесь функция sgn (п.) при помощи функции а (о, Ь)
[определение ее см. на с. 554] может быть определена равенством
sgn (я) = а (я, 0).
678 ПРИЛОЖЕНИЕ [IV
вует методу примитивной рекурсии в арифметике. Сведение носит
следующий характер. Если функционал а не содержит перемен-
переменных а и с и выводима формула N (а) и если Ь (й, с) — функцио-
функционал такой, что выводима формула
N (d) & N (с) ч- N (b (d, с)) &-<(с, b (d, с)),
причем b (б, 0) не содержит переменных й и с, то может быть
указан такой функционал \(й), что для него будут выводимы
формулы
N (d)->• N (f (d)) & V* (xi~d4-f (i) ~f (d)),
^6^ N (d) 4-(f (d+) ^ b (d, f(d)),
N1 (с) Ч- [f (lim (c)) ^ lim (Л, [f (kj (x (т2 (х), z))) (т2 (x))])].
Наметим путь построения такого функционала. Сначала мы
выводим формулу
3z3y(u~z&Sc(z, '<*
Затем с помощью определения
(jr, с, d) = е- [N (£) & 3z3^ (d ^ z & Sc (z, ^, y) & XJr (T (^( „)) ^
вводим символ £ (£, с, d) и с помощью формул (D)) и (E)) выво-
выводим формулу
N(c)-»-3o{Ni(o)&6(o, с, 6)~а&
&<(m, с)-^(ё, с, й+)^Ь(й, 6(Ь, с,
g(i, с, lim (и)) ^ lim (Л, [6 (о, с, ^^(^(х), г)))(т,(х)Щ.
Если теперь по заключению этой формулы, которое имеет вид
о, с);
построить выражение
6(егЯ(о, d), d, d),
то оно и окажется искомым функционалом f(d), для которого
можно будет вывести формулы (F)).
Тем самым фундамент для построения теории чисел первого
и второго числовых классов заложен.
Рассмотренный нами метод формального изложения этой тео-
теории соответствует канторовскому представлению о числах пер-
$ 6] МОДИФИКАЦИИ ФОРМАЛИЗМА ИСКЛЮЧЕНИЕ е СИМВОЛА 579
вого и второго числовых классов как о порядковых типах вполне
упорядоченных множеств целых чисел. Теория эта может раз-
развиваться и независимым образом, в отрыве от такого представ-
представления, причем это можно делать, с одной стороны, аксиомати-
аксиоматически, по аналогии с аксиоматической арифметикой, а с другой
стороны, конструктивно, по аналогии с финитной арифметикой.
При аксиоматическом построении этой теории рассмотренная нами
формализация дает некоторый способ «сведения» этой теории
к формализму анализа в том смысле, что если удастся доказать
непротиворечивость формализма Я, то будет установлена и непро-
непротиворечивость этого аксиоматического формализма.
§ 6. Модификации рассмотренного формализма.
Исключение е-символа
Формализм Я основан на систематическом использовании
е-символа. Благодаря этому методу система аксиом и правил
вывода формализма Я оказывается относительно простой. Правда,
вопрос о том, благоприятствует ли такая структура формализма Я
изучению его средствами теории доказательств, является доста-
достаточно спорным. Во всяком случае, с точки зрения аксиомати-
аксиоматического подхода структура эта имеет определенные недостатки,
так как она не позволяет четко отделять друг от друга различ-
различные содержащиеся в методах анализа предположения. И вообще,
с точки зрения логической систематики более предпочтителен
формализм, который обходится без использования е-символа и
в-формулх).
Рассмотрим теперь формализм, который по своему устройству
сходен с формализмом Я, но более привычен с точки зрения
систематики (в частности, он не содержит принципа выбора).
Этот формализм, который мы будем называть формализмом К,
описывается следующим образом:
Переменные в К такие же, как и в Я. Первоначальными
символами этого формализма являются: индивидный символ О,
штрих-символ, знак равенства, символы исчисления высказываний,
кванторы с относящимися к ним (связанными) индивидными и
функциональными переменными, i-символ и Я-символ —оба с отно-
относящимися к ним (связанными) индивидными переменными.
Роль термов играют, во-первых, свободные индивидные
переменные, символ 0 и любое выражение вида а', где а —терм.
Всякая свободная функциональная переменная считается функ-
функционалом.
Термом будет считаться также всякое выражение вида а F)
или вида (а) F), если а —составное выражение, где а —функцио-
*) См, рассуждение на с. 30—31.
580 ПРИЛОЖЕНИЕ fIV
нал, а Ь —терм. Функционалом считается всякое выражение
вида X,Et(j), где f (&) получается из терма t(c), содержащего свобод-
свободную индивидную переменную с и не содержащего связанной инди-
индивидной переменной J, в результате замены с посредством J.
Элементарными формулами считаются формульные
переменные €ез аргументов, формульные переменные с аргумен-
аргументами, каждый из которых — либо терм, либо функционал, и,
кроме того, равенства термов.
Формулами считаются выражения, которые либо являются
элементарными формулами, либо получаются из элементарных
формул при помощи связок исчисления высказываний и кванто-
кванторов, причем построение формул при помощи кванторов произво-
производится следующим образом: если 91 (с) — формула, содержащая
свободную индивидную переменную с и не содержащая связанной
индивидной переменной £, а 33 (с) — формула, содержащая свобод-
свободную функциональную переменную с и не содержащая связанной
функциональной переменной j, то формулами считаются также
выражения
И, наконец, термами (i-термами) мы будем считать также
выражения вида is9l E), если выполнены условия применимости
i-правила, т. е. в случае выводимости относящихся к формуле
91(с) формул единственности
и
(с какими-либо связанными индивидными переменными j и t;).
В качестве исходных формул мы берем тождественно
истинные формулы исчисления высказываний, формулы
(х) -+■ А (а), А (а) -+ ЗхА (х),
ЧхА(х)-+А(й), А(й)-
аксиомы равенства (J0 и (Ja), арифметические аксиомы (Pt) и (Рг)
и аксиому индукции, т. е. аксиомы системы (Z), за исключением
рекурсивных равенств для сложения и умножения1).
В качестве схем вывода мы используем схему заключения
и схемы для кванторов
И-*» (а) И-»-8(а) ()
в которых всюду а —свободная, a j —связанная индивидная пере-
переменная, & — свободная, а £ — связанная функциональная перемен-
См. Приложение I, с, 468,
§ 6] МОДИФИКАЦИИ ФОРМАЛИЗМА ИСКЛЮЧЕНИЕ в СИМВОЛА 581
ная, причем а не входит ни в 21, ни в 33 (£), а не входит ни в 21,
ни в 33 (£), 5 не входит в 33 (а) и j не входит в 33 (а).
К этим схемам мы добавляем, креме того, схему формул
в которой t (с) —терм, содержащий переменную с и не содержа-
содержащий связанной переменной £, а также схему i-правила
в которой 21* (£) означает выражение, отличающееся от 21 (£) разве
лишь именами связанных переменных, причем имена эти должны
выбираться таким образом, чтобы выражение 2l(iE2l* (£)) было
формулой.
Правило подстановки вместо свободных индивидных и
вместо формульных переменных такое же, как в формализме Я.
Для функциональных переменных здесь мы имеем лишь правило,
разрешающее вместо свободных функциональных переменных под-
подставлять функционалы.
Правило переименования действует применительно
к связанным переменным, относящимся к кванторам, i-символу и
Л-символу. Производя подстановки и переименования мы будем
следить за тем, чтобы не возникало коллизий между связанными
переменными.
Правило введения новых символов при помощи явных опре-
определений отличается от соответствующего правила в формализме Я
только тем, что функциональные переменные, входящие в состав
вновь вводимого символа в качестве его аргументов, должны
фигурировать в нем сами по себе, т. е. без каких бы то ни было
аргументов.
Тем самым формализм К описан. Сравнивая его с формализ-
формализмом Я с точки зрения возможности воспроизведения в нем дедук-
дедуктивных построений, выполнимых в Я, отметим следующие дедук-
дедуктивные средства, имеющиеся в Я и отсутствующие в К'- е-символы
вместе с тремя е-формулами для них; подстановку функций вместо
свободных функциональных переменных и в явных определениях
разрешение наличия аргументов у функциональных переменных,
фигурирующих в качестве аргументов вновь вводимых символов
(разумеется, при условии, что функциональная переменная, о кото-
которой идет речь, нигде в правой части определения не фигурирует
сама по себе).
Что касается последних двух имеющихся в Я возможностей,
то они компенсируются наличием в К схемы для Л-символа. Дей-
Действительно, вместо того чтобы перейти от формулы 2Нс (а^, ...
582 ПРИЛОЖЕНИЕ [IV
.... с (ас)) к формуле 51 (t (ах), ..., t(acy) путем подстановки вместо
именной формы с (а) соответствующей функции t (а), мы можем
в К подставить вместо с функционал \.t(j) и из формулы
Я ((V (S))(«i) (V(S))K))
с помощью схемы для Я-символа и аксиомы равенства (J2) полу-
получить формулу 3l(t(ax) *(a«))' А упоминавшаяся выше свобода
в явных определениях формализма Н проявляется, как мы знаем,
только при подстановках функций.
Пусть, далее, 81 (с) —любая формула, для которой в К выво-
выводима формула
Тогда образование термов вида е-ЭД (£) и использование третьей
е-формулы с помощью1 подстановки формулы 31 (с) вместо формуль-
формульной переменной А F) в формализме К может быть заменено вве-
введением получающегося по i-правилу терма
(с какой-либо не входящей в 51 (с) свободной индивидной перемен-
переменной а) и применением схемы i-правила и схемы для Х-символа.
Действительно, если выражение 3j E1 (j) & £ (a) = и) сокращенно
обозначить через S3 (и, а), то с помощью формулы, выводимость
которой предполагается, могут быть выведены формулы единст-
единственности
3u93(u, a) и VuVt>(93(u, a) & 93 (v, a)-»-u = »)
(с подходящей связанной переменной ю). Поэтому выражение
iu93 (u, а) может быть введено в качестве терма, и по схеме i-пра-
вила мы получим некоторую формулу 93 (е (а), а), в которой е(а)
представляет собой терм, отличающийся от iu93(u, а) разве лишь
обозначениями связанных переменных. Эта формула 93 (е {а), а)
имеет вид
ЭЁ (Ш (Ё) & j (а) = е (а)).
Пусть теперь ч> — какая-либо связанная переменная, не входящая
в е(а), и пусть b и с—свободные функциональные переменные,
не входящие в 51 (j). Тогда может быть выведено равенство
(У (»))(«) = <(«).
а потому и формула
3£ C1 (Ё) & £ (а) = (V (t>)) (а)).
§ 6] МОДИФИКАЦИИ ФОРМАЛИЗМА. ИСКЛЮЧЕНИЕ е-СИМВОЛА 583
Из этой формулы, взятой в сочетании с без труда выводимой в К
формулой
Vti (VJ (с (8) = 9 («)) ~ 31Ш & 31 (b) & Ь (a) =
= (У (»))(«)-»"'(«) = (У («))(«).
мы получаем формулу
Vij (Vj (с (8) = 9 (J)) ~ 31 ft)) -* с (а) = (у («)) (а),
а затем
V$ (Vj (с (J) = 9 (8)) ~ 31 (9)) -* Vj (с (8) = (У (*)) (8)),
а также формулу
V$ (Vj (с (8) = 9 (8)) ~ 31 (9)) -* 21 (у (»))•
Но эта формула вместе с формулой, выводимость которой пред-
предполагается, дает нам формулу
Таким образом, роль, которую в формализме Я по отношению
к рассматриваемой формуле 31@ играет функционал e-3l(j),
в формализме К играет функционал у (v).
Этим методом использованное в Н явное определение для а-\-Ь
в формализме К может быть заменено определением
а + b = 1,3* {х @) = а& Vz (х (г') = (i (г))') & (i (Ь) = и)}
с предварительным введением по i-правилу i-терма, стоящего
в правой части определяющего равенства. При этом мы должны
воспользоваться аксиомой индукции, аксиомами равенства и схе-
схемой для Я-символа. В частности, первая формула единственности
получается индукцией по а, а вторая — индукцией по Ь.
Аналогично, умножение может быть явно определено с помощью
равенства
причем формула
которая используется для получения первой из двух необходимых
для применения i-правила формул, может быть выведена с помощью
формулы
(& 0 0
Вслед за определением а + b мы можем, как и в N, ввести
определение для =sg, и тогда можно будет сформулировать явное
определение для fx-символа, из которого получатся формулы ()
584 ПРИЛОЖЕНИЕ [IV
(fi2) и (fisI). Теперь fi-символ может играть роль, которую в фор-
формализме Н играет е-символ, так как при замене е-символа fi-сим-
волом формулы, оказывающиеся на месте первых двух е-формул,
могут быть выведены из формул (hi) и (ц2)-
Теперь, аналогично тому, как это делается в Я, могут быть
введены функции х(а, Ь), тг(п) и тг(п), а определение функции,
универсальной для рекурсивных функций, может быть дано сле-
следующим образом2):
р (а, Ь, п) = ia3Jt {х @) = а &
Уг [г < п + *(г1) = Ь(т(г, х(г)))]&х(п) = и}.
Из этого определения выводятся равенства
р(а, Ь, 0) = а и р(а, Ь, п') = Ь(х(п, р(а, Ь, п)))-
Изображение рекурсивных функций при помощи этой универсаль-
универсальной функции производится с использованием Я-символа. Например,
функция б(п) изображается в виде
6(п) = р@, Яд-т^х), п),
а функция и) в виде
(
P(O, Kp(ti(x), Я,(т2B))', т,(х)\ п).
Метод замены функционала e-Sl(j) соответствующим ему функ-
с
ционалом
применимый, как мы знаем, в случае выводимости формулы
может быть распространен и на некоторые более общие случаи,
часто встречающиеся в дедуктивной практике. Пусть ot ос —
свободные индивидные или функциональные переменные, и пусть
формула
выводима. Если мы обозначим посредством 91* (с, с^ ос)
формулу
ac)&Sl(c, в1 ac))V("l*(ai ae)& Vs(с (j) = 0))
!) См. Приложение I, с. 469.
2) Об
р , .
) Обращаем внимание на то, что ввиду соглашений, принятых нами отно-
относительно явных определений в формализме К, запись рх (а, Ь (х), п) недопустима.
I 61 МОДИФИКАЦИИ ФОРМАЛИЗМА ИСКЛЮЧЕНИЕ е СИМВОЛА 585
(где с представляет собой какую-либо не входящую в 31 (i;, ли ...
..., аг) свободную функциональную переменную), то будут выво-
выводимы формулы
2l*(V, ах ar))
и
Ф(ах ac)-vCl*(c, <ix ac)~3l(c, ax ar)).
Если теперь свободная индивидная переменная а и связанная
индивидная переменная и не входят в 31 (\), аь ..., аг), то выра-
выражение
iu3fr (Я* ф, alt ..., at)$
может быть взято в качестве терма. Пусть е (а) —этот терм или
получающийся из него в результате переименования каких-либо
связанных переменных терм, не содержащий связанных перемен-
переменных, входящих в 31*(с, аи .... ас), и пусть V — какая-либо свя-
связанная переменная, не встречающаяся ни в этом терме, ни
в 81* (i), alt ..., ac). Тогда указанным ранее методом можно будет
вывести формулу
**(V(i>). ax, ..., ac),
а потому и формулу
ф(ох, ..., ac)-*«(V(»), alt .... ae).
Этим способом можно, например, заменить в формализме /С
определение функционала й: Ь, которое в Н записывается в видех)
d),
после предварительного введения символов -»-, Ф, 6, в* и
— определением
й: Ь - Яг1л3у {[(в* (d) & 0 * (b) & Ь Ф 6
{(-[в* (й)У 1
на основе которого может быть выведена формула
в* (Ь) & & #6->в* (d: b)& Ь® (d: &) = й.
С помощью этого метода может быть заменено соответствую-
соответствующим определением в /С и явное определение функционала £ (g, с, й),
См. с. 570.
586 ПРИЛОЖЕНИЕ flV
использованноех) при формализации в Я трансфинитной рекурсии.
Но этого уже не удается сделать для следующего за ним опре-
определения функционала efl(v, й), с помощью которого строится
функционал \(й).
И все же при формализации в К теории первого и второго
числовых классов можно воспользоваться тем обстоятельством,
что функции, определенные трансфинитной рекурсией, предста-
вимы в К аналогично тому, как рекурсивные функции арифме-
арифметики были представимы в формализме (Z): вместо функционала \{й),
для которого выводимы формулы (F)), в К можно построить фор-
формулу ®(d, с), которая формализует отношение, изображаемое в Я
формулой f (й) с* с.
Наконец, если внимательно посмотреть, в какой степени ука-
указанные методы позволяют повторить в К выполненное средствами
формализма Н дедуктивное построение анализа и теории полных
упорядочений натурального ряда, то оказывается, что все это
удается проделать почти в полном объеме, за исключением только
тех, представляющих собой применение принципа выбора спосо-
способов умозаключения, которые формализуются формулой Gа) или GЬ).
Взяв формализм К за основу, мы можем изобразить и этот
способ умозаключения, если добавим в качестве аксиомы формулу
ЧхЗу А (х, у) -*- ЗуVxA (х, Хгу (т (х, г))),
при этом, чтобы в данной аксиоме не нужно было ссылаться на
определение функции х{а, Ь), надо будет взять функциональные
знаки т, Tj и т4 в качестве основных знаков, а формулы
т(тх(/г), т2(п)) = п, х1(х(а, Ь)) = а, ъ(т(а, b)) = b
в качестве аксиом.
Исследование непротиворечивости естественно начать с самого
формализма К- При этом могут быть также произведены следую-
следующие редукции: может быть опущено правило введения явных
определений, так как любой введенный явным определением сим-
символ в К, равно как и в Я, устраним из вывода любой формулы,
не содержащей этого символа, а значит, и из вывода любой нуме-
рической формулы.
Затем, как и в ранее рассмотренных формализмах, в форма-
формализме К, ввиду осуществимости возвратного переноса подстановок
в исходные формулы, имеется возможность исключить с помощью
схем формул формульные переменные и сделать ненужными пра-
правила подстановки. Тогда, в частности, на месте исходных формул
См. с. 576.
$ в] МОДИФИКАЦИИ ФОРМАЛИЗМА. ИСКЛЮЧЕНИЕ е-СИМВОЛА 687
для кванторов появятся схемы формул
**(t),
*« (f),
причем в первых двух схемах вместо £ надо будет брать какую-
нибудь связанную индивидную переменную, а вместо t —какой-
нибудь терм, а в следующих двух схемах вместо j —какую-нибудь
связанную функциональную переменную, а вместо f — какой-нибудь
функционал. При этом теряется исключительный характер пере-
переменных аихнйихв схемах для кванторов.
Правила подстановки вместо свободных индивидных и функ-
функциональных переменных, равно как и правило переименования
связанных переменных, становятся производными правилами.
Кроме этой, возможной редукции формализма К, могут быть
произведены и другие его модификации. Так, например, можно
устранить связанное с i-правилом усложнение понятия терма,
условившись, что любое выражение вида iE2l(s) считается термом
всякий раз, когда SI (с) — формула, содержащая свободную инди-
индивидную переменную с и не содержащая связанной индивидной
переменной Е, и, кроме того, взяв в качестве аксиомы формулу1)
Эх А (х) & V*V# (А (х) & А (у) -v х = у) -»■ A (ixA (x)).
Схема i-правила в этом случае оказывается производной.
Разумеется, в этом случае не всегда можно будет интерпрети-
интерпретировать 1-символ как формализацию понятия «тот, который». Но
во всяком случае в результате этой модификации формализма К
никакая формула, не содержащая вхождений i-символа, не станет
выводимой, если она раньше не была выводима в К. В самом
деле, это следует из того, что — как нетрудно сообразить — любая
выводимая в модифицированном формализме формула после замены
каждого выражения вида is2l(s) соответствующим выражением
HjSI(e) переходит в формулу, выводимую в формализме К-
Что касается возможности устранения i-символов, то, вероятно,
в формализме К она отсутствует. Действительно, в К с помощью
выводимых формул
УхЗуА (х, у) -> УхА (х, \1ИА (х, у))
и
WxA{x,
х) Чтобы иметь возможность применять эту формулу, как и в случае
е-формул, нужно условиться, что в целях избежания коллизий между связан-
связанными переменными подстановка вместо формульной переменной производится
в сочетании с необходимыми переименованиями связанных переменных.
588 ПРИЛОЖЕНИЕ [IV
можно вывести формулу
Vx3yA(x, y)^3yVxA(x, у(х)).
При этом используется (х-символ, который, как мы знаем, вво-
вводится с помощью i-правила. Весьма правдоподобно, что если
отказаться от i-правила, то тблько что упомянутая формула станет
невыводимой. Может быть поставлен вопрос о том, не становится ли
устранимым i-правило, если добавить эту формулу к числу исход-
исходных формул формализма К, т. е. не является ли оно излишним
при выводе таких формул, которые не содержат ни одного сим-
символа, введенного с помощью i-правила.
§ 7. Использование связанных формульных переменных
Мы разберем здесь еще один вариант модификации нашего
формализма: выясняется, что если ввести связанные формульные
переменные и относящиеся к ним кванторы, то функциональные
переменные и понятие функционала оказываются ненужными.
При этом можно обойтись и без использования i-символа и А-сим-
вола, если не требовать, чтобы сами объекты рассмотрения ариф-
арифметики и анализа (числа и функции) были непосредственно пред-
представлены в формализме, а удовлетвориться лишь каким-либо
изображением высказываний этих теорий.
На основе этих соображений устроен, например, следующий
формализм L:
В L имеются следующие сорта переменных: свободные и
связанные индивидные переменные и свободные и связанные фор-
формульные переменные, причем формульные переменные имеются
с одним, двумя или тремя аргументами. Формульные перемен-
переменные, как и раньше, считаются различными, если они различны
как буквы или отличаются друг от друга числом аргументных
мест. У формульных переменных свободные и связанные перемен-
переменные различаются так же, как у индивидных; так, например,
буквы U, V, W, X, Y, Z используются только для связанных
формульных переменных. У квантора, относящегося к формуль-
формульной переменной, число аргументов этой переменной будет указы-
указываться в виде верхнего индекса, заключенного в скобки.
Первоначальными символами нашего формализма являются:
индивидный символ 0, штрих-символ, знак равенства, символы
исчисления высказываний и кванторы с относящимися к ним
индивидными или формульными переменными.
Термами считаются свободные индивидные переменные,
символ 0 и любое выражение вида а', где а —терм.
Элементарными формулами считаются формульные
переменные с термами в качестве аргументов и равенства между
термами.
t Г) ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗАННЫХ ФОРМУЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 589
Формулами считаются выражения, либо являющиеся эле-
элементарными формулами, либо построенные из них при помощи
связок исчисления высказываний и кванторов.
Построение формул с помощью связывания формульных пере-
переменных кванторами происходит аналогично построению формул
с помощью связывания индивидных переменных. Пусть, например,
&х,у{А (х, у))—формула, содержащая свободную двуместную фор-
формульную переменную А и не содержащая связанной двуместной
формульной переменной Z. Тогда выражения
VZi«>G (Z (х, у)) и 3 Z<a>6 (Z (х, у))
будут считаться формулами.
Замечание. В записи ах,у(А(х, у)) переменные хну слу-
служат только для выделения аргументных мест формульной пере-
переменной А. Вовсе не имеется в виду, что переменная А в рассмат-
рассматриваемой формуле &х,у (А (х, у)) всегда, или даже хотя бы однажды,
встречается прямо с аргументами хну. Чтобы подчеркнуть такой
способ использования переменных л; и у, мы и выписываем их
в качестве индексов у буквы E.
Теперь запас термов и формул можно еще расширить путем
добавления явных определений.
В качестве исходных формул мы имеем;
1) все формулы, получающиеся из тождественно истинных
формул исчисления высказываний в результате замены каждой
входящей в нее формульной переменной (всюду, где она встре-
встречается) одной и той же формулой;
2) формулы
ЧхА (х) -* А (а) и А (а) ->- ЗхА (х),
а также формулы, построенные по любой из схем
и Шг(А(г))-^ЗХ^1Щг(А (г))
и по любой из аналогичных схем для двуместных и трехместных
формульных переменных;
3) определение равенства по Расселу и Уайтхеду:
а = Ь ~ VX(*> (X (а) -* X
4) аксиомы Пеано:
А @) & V* (А (х) -+ А {х')) -* А (а).
В качестве схем мы имеем схему заключения и схемы для
кванторов, структура которых не будет зависеть от типов пере-
переменных, связываемых этими кванторами. Так, например, кван-
торные схемы для одноместных формульных переменных будут
590 ПРИЛОЖЕНИЕ [IV
иметь вид
©,(Л(г))-»-Я
- и
причем одноместная формульная переменная А здесь не должна
входить ни в 31, ни в 8*(X(z)), а одноместная формульная пере-
переменная X не должна входить в 8г(Л(г)).
Правило подстановки вместо свободных переменных
здесь совершенно такое же, как в формализме (Z). Для связан-
связанных переменных действует правило переименования,
причем, естественно, формульная переменная всегда переименовы-
переименовывается в формульную же переменную с тем же самым числом
аргументов.
При подстановках и переименованиях всякий раз надо сле-
следить за тем, чтобы не возникало коллизий между связанными
переменными.
Правило добавления явных определений аналогично
соответствующему правилу в формализме Н, с тем, однако, упро-
упрощением, что в данном случае отпадают все соглашения, относя-
относящиеся к функционалам и функциональным переменным.
Дадим ряд кратких указаний относительно применения этого
формализма для формализации математических теорий.
Из аксиомы-определения для формулы а = Ь могут быть выве-
выведены формулы
а = а и а = Ь-
Схема индукции получается из аксиомы индукции в качестве
производного правила. Формулы
афО-+Эх(х' = а) и а'фа
получаются индукцией по а.
Применяя схему для квантора существования ЗХA), мы,
в частности, получим формулу
Vz (А (г) ~ 3( (г)) -» ЭХ*1» Vz (X (z) ~ 31 (z)).
Если в нее подставить вместо именной формы А (с) формулу 31 (с),
то посылка перейдет в выводимую формулу
VzC((z)~3I(z)),
в то время как заключение не изменится. Тогда по схеме заклю-
заключения мы получим формулу
3XWVz(X(z)~ 31 (г)).
В большинстве формальных систем, в которых имеются связан-
связанные предикатные переменные, но нет нашего правила подстановки,
I 7] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗАННЫХ ФОРМУЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 591
эта схема формул берется в качестве схемы аксиом (аксиома
свертывания).
Для двуместных предикатов тем же самым способом полу-
получается аналогичная схема.
Символы ^ и < могут быть введены определениями
а < Ь ~ VX*1' (X (а) & Vz (X (z) -»- X (г1)) -»- X F))
Сначала из них могут быть получены формулы
а<а', a<b&b<c-+a<c.
Непосредственное применение аксиомы индукции дает
Затем можно получить формулы
a^b-^a'^b', a'^b'-^a^b, 1@'<0)
и затем с помощью схемы индукции
-|(
а значит, и формулы
Далее, пользуясь определением символа ^, мы получаем формулу
a^b-+a'^b V a = b.
Отсюда, с одной стороны, с помощью формулы
получается формула
а с другой стороны, индукцией по а получается формула
а^Ь V Ь<а,
а значит, И формула
Рекурсивное определение может быть формализовано
в L с помощью некоторого универсального предиката, соответ-
соответствующего универсальной функции для рекурсивных функций
в формализмах Я и К. Пусть функции f (n), которая определяется
•И ПРИЛОЖЕНИЙ ftV
схемой примитивной рекурсии г)
f(O)=-a, f(n') = b(«, f(«)),
соответствует (в смысле представимости функций предикатами2))
Некоторый двуместный предикат С(п, k), а функции b (п, т) —
некоторый трехместный предикат В (п, т, I). При помощи этих
предикатов условия рекурсии выражаются формулой
С@, a)&V«VuVay(C(«, v)&B{u, v, а>)-»-С(ы', а»)),
которую мы сокращенно обозначим через $ (С, а, В).
Чтобы предикат В (п, т, I) соответствовал функциональ-
функциональному отношению Ь(п, т) = 1, должны выполняться формулы един-
единственности 3) по третьему аргументу, т. е. должны иметь место
формулы
Vx4y3zB(x, у, z)
и
(х, у, и)&В{х, у, о)-»-ы = о),
или, вместо последней из них, равносильная ей формула
VjcV«/3zV« (В (х, у, и)^>-и = z).
Явное определение предиката
Rc*j,*(a, B(x, у, г), п, k),
универсального для рекурсивных предикатов, теперь запишется
в виде
Rcxyz{a, В(х, у, г), п, k)~
VZi2>{Z@, a) & VuVnVoy (Z (и, v)&
В {и, v, w)^Z{u', w)) + Z(n, k)\,
или, сокращенно
Rc^(a. B(x, у, г), n, k) ~ VZi»> (ф (Z, a, B)+Z(n, k)).
Из этого определения мы сначала получим формулы
Rcxyz(a, В(х, у, г), 0, а),
[1] Rc,y,(a, В (х, у, г), п, k)&B(n, k, /)->■
Rc^(a. 5{х, у, г), п', I),
а из них индукцией по п формулу
[2] Vx4y3zB{x, у, z)^3uRcxyz(a, B(x, у, г), п, и).
J) См. т. I, с. 500.
*) См. т. I, с. 538-541.
*) См. Приложение I, с. 464, а также т. I, с. 467.
$ 71 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗАННЫХ ФОРМУЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫ* 893
Затем индукцией по п мы получим формулу1)
УхУуЭг (В (х, у, и) -»- u = z) ->■
3ZW(^(Z, a, B)&3xVv(Z(n, v)-+v = ..)).
Действительно, положив по определению
Z0(m, /)~(m = 0->-/ = a),
мы получим
$(Z0, a,
и, значит, если заключение формулы, которую мы выводим,
записать в виде
3ZW&av(Z(u, v), а, В, п),
то мы сначала получим формулу
QUB(Zo(«, v, В, 0).
Затем, если через @(Л, т, I, п) обозначить формулу
А(т, 1)&(т = п' -+VzVw(A(n, г)&В(п, г, w)-+l = w)),
то у нас получится формула
VxVy3zVu(B{x. у, u)-+u = z)-+
[&uv(A(u, v), а, В, /г)->ац.(@И. «, », «), а, В, я')]-
Из полученных таким образом формул
Ои,B0(и, у), а, В, 0)
и
VxVy3zVu(B(x, у, и)-> и = *)-»-
[3ZB)QaB(Z, a, В, rt)->3ZwnOT(Z, a, В, я')]
при помощи полной индукции мы получим требующуюся нам
1) В первом издании нашей книги вместо последнего члена заключения
HxVv {Z(n, v)-*-v=x) этой формулы стояло выражение
Тем самым этот вывод—подобно дедекиндову доказательству выполнимости
рекурсивных равенств (см. т. I, с. 500)—оказывался связанным с порядко-
порядковым отношением =g:. То, что здесь можно обойтись без привлечения эгого
отношения, было показано П. Лоренценом в его работе: Lorenzen P. Die
Definition durch vollstandige Induktion.—Monatsh. Math. Phys., 1938/39, 47,
S. 356 — 358. Приведенный выше вывод в точности соответствует рассуждению
Лоренцена.—Другое, тоже не использующее отношения порядка доказатель-
доказательство выполнимости рекурсивных равенств было дано Л. Кальмаром. См. его
работу: К а 1 m a r L. On the possibility of definition by recursion. —Acta litt.
scient. Reg. Univ. Hungaricae..., Sectio scient. math., 1940, 9, № 4, p. 227 — 232.
594 приложение ttv
формулу
VxVy3zVu(B(x, у, u)-*-u = z)-*-3Z^uet)(Z, а, В, п).
Из нее мы без труда получим формулу
[3J V*Vi/VuVy E (*, у, и)&
В(х, у, v)^u = v)^Rcxyz(a, B(x, у, г), п, *)&
Rcxyz(a, В(х, у, г), п, /)->-£ = /).
Формулы [2] и [3] изображают тот факт, что определенный
нами предикат Re, универсальный для рекурсивных предикатов,
каждому числу п однозначным образом сопоставляет некоторое
число k — в предположении, что в качестве В (I, т, г) взята фор-
формула, удовлетворяющая формулам единственности по третьему
аргументу,— а формулы [1] выражают тот факт, что при этом
выполняются условия рекурсии, определенные аргументами а и В.
С помощью символа Re*,,* (а, В (х, у, z), n, k), производя
соответствующие подстановки, мы получим формулы для пред-
представления рекурсивных функций; именно, для любой г-местной
рекурсивной функции f(rti nr) у нас получится некоторая
формула, представляющая равенство \{П\ пЛ = 1г.
Так, например, для функции а + b представляющую ее фор-
формулу Ad (a, b, с) можно получить при помощи определения
Ad (а, b, c)~RcXyZ(a, х = хку' = г, Ь, с),
из которого получаются формулы
Ad (а, 0, а), Ad (а, Ь, c)->Ad(a, Ъ', с'),
Ad (a, b, k)&Ad(a, b, l)^k = l.
Для умножения a-b представляющая формула Mp(a, b, с) полу-
получается при помощи определения
Мр(а, Ь, с)~Ъсхуг@, x = x&Ad(y, a, z), b, с).
Формула, представляющая функцию [Z), дается выражением
Rc^@. Ad (ж, у, г), n, k).
Поэтому для функцииг) т (a, b) представляющая ее формула
Т (a, b, с) получается при помощи определения
T(a, b, c)~3u3y(Ad(a, b, u)&
Ясхуг @, Ad (х, у, z), u', v) & Ad (v, а, с)).
Т(а, 6)=-(а+2+1) + а- См- с. 553, а также т. I, с. 397,
§ 7] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗАННЫХ ФОРМУЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 595
Из этого определения выводятся формулы
3x1 {а, Ь, х), ЗхЗуТ(х, у, с),
Т(а, Ъ, с)&Т(а, Ъ, d)-+c = d,
Т(а, Ь, k)&T(c, d, k)-+a = c&b = d.
Теперь мы перейдем к теории положительных действитель-
действительных чисел. Для изображения положительных действительных
чисел целесообразно воспользоваться сечениями. Такое изображе-
изображение может быть формализовано с помощью определения
, y))~VxVy(A(x, у)-
ЗхЗуА(х, у)&ЗхЗу(хфО&у = О&-[А(х, у))&
VxVyVuVv (хфО &VzVw (Мр (х, v, г)&
Mp(t/, и, w)-^z^w&A(u, v)-+A(x, y))&
ЧхЧу(А(х, y)-+3u3v3z3w(Mp(x, v, г)&
Mp(t/, и, w)&z<w&A(u, v))),
которое здесь играет роль определения символа в (а) в форма-
формализмах Н и К. Отношение порядка для таких чисел в данном
случае формализуется при помощи определения
xyuv
(А(х, у), В (и, v))~VxVy(A(x, y)-+B(x, у)).
Арифметические действия над положительными действитель-
действительными числами могут быть изображены предикатными символами
вида
, у), В (и, v), a, b),
причем на основе определения соответствующего символа может
быть выведена формула
в*У(А(х, у))&Эху(В(х, у))-+
9ху№шт.(А(и, v), B(w, г), х, у).
Так, например, изображение операции умножения двух поло-
положительных действительных чисел дается следующим определением
предикатного символа Xxyttv (А {х, у), В (и, v), а, Ъ):
Xxyuv(A(x, у), В (и, v),a, Ь)~
3t3u3v3w[A{t, u)&B(v, w)&
ЗхЗуЗг (Мр (t, v, д;)&Мр(«, w, y)&
Мр(дс, Ь, z)№p(y, a, *))].
596 приложение riv
Число 0 и отрицательные числа могут быть изображены при
помощи следующих определений:
Оху(А(х, y))~VxVy(A(x, y)~x
G;v (А (х, у)) ~ 3UW3VW {вху (U (х, у)) &
0ху (V (х, у)) & ЧхЧу (А (х, y)~U (х, y)\JV (x, у))}.
После этого понятие действительного числа формали-
формализуется посредством определения
®% (А (х, у)) ~ @ху (А (х, у)) V 0„ (А (х, у)) V вху (А (х, у)),
с которым связывается следующее определение равенства:
=xyUv(A(x, у), В (и, v))~VxVy(A(x, y)~B(x, у)).
Арифметические действия над действительными числами изо-
изображаются аналогично случаю положительных действительных
чисел.
Понятие последовательности действительных
чисел формализуется посредством определения
®ТуЛА{х, у, z))~Vx&*yz(A(x, у, г)).
Формализацию понятия упорядоченного числового
множества дает нам определение
Odxy (А (х, у)) ~ V*V</ (А (х, у) у А (у, х)~А (х, х)&А (у, у)) &
V*V</ (А (х, у) & А (у, х) -+ х = у)&
VxVyVz(A(x, y)&A(y, г)-уА(х, г)).
С помощью этого определения можно получить формализацию
понятия вполне упорядоченного числового множе-
множества. Она дается определением
yx, y))~Odxy(A(x, y))
Зу (X (у) & V2 (X (г) &А(г,г)-+А (у, г)))}.
Общие теоремы о множествах действительных
чисел такие, например, как теорема о точной верхней границе,
не могут быть формализованы в L формулами, но их можно фор-
формализовать схемами формул.
Если бы мы захотели включить в формализм L обсуждавшийся
нами частный случай принципа выбора, то это можно
§ 7] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВЯЗАННЫХ ФОРМУЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 597
было бы сделать добавлением соответствующей схемы формул.
Простейшей подходящей для этого схемой является следующая
схема:
(х, У(г))^ЭУ^ЧхШг(х, Y(х, г)).
Из нее применением формул для предиката Т (а, Ь, с) может
быть установлена выводимость следующей схемы формул:
Wav {х, У {и, v))^3Y^Vx%uv(x, У (*, и, у)).
ПРИЛОЖЕНИЕ v
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ
АРИФМЕТИЧЕСКОГО ФОРМАЛИЗМА
§ 1. Доказательство Кальмара1)
В качестве арифметического формализма, непротиворечивость
которого будет здесь доказываться, мы возьмем систему (Z).
Установив непротиворечивость (Z), мы докажем тем самым и
непротиворечивость (Z^). Это вытекает из соотношения, сущест-
существующего между двумя данными формальными системами ввиду
определимости ц-символа через i-символ и теоремы об устрани-
устранимости характеристик2).
В системе (Z^), как мы помним, могут быть явно определены
примитивно рекурсивные, а в некотором более общем смысле и
квазирекурсивные функции3). С другой стороны, в планируемом
доказательстве не возникнет никаких осложнений и в том слу-
случае, если формализм (Z) расширить с самого начала, разрешив
введение специальных символов для вычислимых функций одного
или нескольких натуральных аргументов, т. е. для таких ариф-
арифметических функций, значения которых при любых значениях
их аргументов могут быть найдены при помощи надлежащей
вычислительной процедуры.
С понятием вычислимости естественным образом связываются
понятия истинной и ложной формулы, а также понятие верифи-
верифицируемой формулы. Формулы или термы мы будем называть
нумерическими, если они не содержат никаких перемен-
переменных4). Нумерическое равенство будет называться истинным,
если в результате вычисления всех входящих в него функций
обе его части принимают одно и то же значение. В противном
х) Изложенное ниже доказательство, принадлежащее Ласло Кальмару,
ранее не публиковалось. Оно было представлено в сентябре 1938 г. в виде
подробной рукописи.
а) См. с. 401 данного тома (последний абзац). Система (Z) была введена
в т. I на с. 454, символ \и,хА (х) в т. I на с. 481, а система (ZjJ в т. II на
с. 366. Теорема об устранимости характеристик доказана в гл. VIII. т. I.
3) См. т. I, с. 499—509 и т. II, Приложение II, с. 483 — 485.
4) Такое употребление термина «нумерический» представляет собой неко-
некоторое расширение нашего прежнего определения, сформулированного в т. I
на с. 283 и в т. II на с. 56, согласно которому формула без переменных
называется нумерической лишь в том случае, если все входящие в нее термы
являются цифрами.
§ Ц ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КАЛЬМАРА 599
случае равенство будет называться ложным. Истинному равен-
равенству приписывается значение «истина», а ложному — значение
«ложь».
Так как в формализме (Z) после добавления к нему вычисли-
вычислимых функций все элементарные формулы будут по-прежнему
являться равенствами *), то мы должны будем рассмотреть только
такие нумерические формулы, которые строятся из нумерических
равенств с помощью связок исчисления высказываний. Для такого
рода формул их истинностные значения однозначно получаются
из истинностных значений составляющих их элементарных фор-
формул на основе понимания связок исчисления высказываний как
истинностных функций. Подобно тому, как это делалось раньше2),
формулу без связанных индивидных и без формульных перемен-
переменных мы будем называть верифицируемой, если она при
любой подстановке цифр вместо всех входящих в нее свободных
индивидных переменных переходит в истинную нумерическую
формулу.
Все собственные аксиомы системы (Z) (т. е. формулы
и рекурсивные равенства для сложения и умножения) являются
верифицируемыми — и в данном доказательстве непротиворечивости
мы будем пользоваться только этим их свойством. Это позволит
нам с самого начала наряду с указанными собственными аксио-
аксиомами допускать и другие верифицируемые собственные аксиомы:
в частности, рекурсивные равенства для примитивно рекурсивных
функций, а также равенства, позволяющие вычислять какие-либо
квазирекурсивные функции. Идя еще дальше, мы можем в целях
сокращения выводов допустить также использование в качестве
исходных формул равенств вида t = ft и j = t, где t —какой-либо
нумерический терм, а } — цифра, являющаяся его значением.
Такие равенства мы будем называть термальными. В соот-
соответствии с нашим определением все они являются истинными,
а следовательно, и верифицируемыми формулами.
Формализм, который у нас таким образом возникает, полу-
получается из исчисления предикатов в результате присоединения
к нему знака равенства, индивидного символа 0 и штрих-сим-
штрих-символа, а также аксиомы равенства (J3) и аксиомы индукции,
а кроме того, введения символов для вычислимых функций и
г) Мы могли бы, как это делает Кальмар, допустить в качестве исходных
и разрешимые предикаты, но с математической точки зрения этот случай
не был бы более общим ввиду того, что всякий разрешимый предикат может
быть изображен равенством вида t=0, где t—некоторый терм, построенный
из вычислимых функций.
») См. т. I, с. 294, 360, 363; т. II, с. 58—59.
0 ПОЛОЖЕНИЙ fV
правила, разрешающего брать верифицируемые формулы ё Качестве
исходных.
Если мы сумеем показать, что всякая нумерическая формула,
выводимая средствами этого дедуктивного формализма, является
истинной, то тем самым будет установлена его непротиворечивость.
Мы начнем с ряда подготовительных рассуждений, которые
в свое время мы уже проводили. Они будут касаться возможности
упрощения данного формализма без изменения запаса выводимых
нумерических формул:
1. Аксиома индукции, как мы знаем, может быть заменена
схемой индукции]).
2. Квантор всеобщности, а также основная формула (а) и
схема (а) могут быть устранены путем замены каждого выраже-
выражения V£2l(£) соответствующим ему выражением 3j ~121 (£)г).
3. При помощи разложения выводов на нити может быть про-
произведен возвратный перенос всех подстановок с последующим
исключением формульных переменных9).
4. Правило переименования связанных переменных может быть
исключено, если мы откажемся от выделенной роли переменной х
в основной формуле (Ь) и в схеме (РL).
Произведя в нашем формализме указанные модификации, мы
придем к следующим правилам построения выводов:
Формулы строятся, исходя из элементарных, при помощи
связок исчисления высказываний и квантора существования. Эле-
Элементарные формулы представляют собой равенства термов. Термы
суть либо основные термы, т. е. О и свободные индивидные пере-
переменные, либо термы, построенные из основных при помощи штрих-
символа и символов для вычислимых функций.
В качестве исходных формул у нас фигурируют:
а) Формулы, истинные в логике высказываний, т. е. получаю-
получающиеся в результате подстановок из тождественно истинных формул
исчисления высказываний.
б) Формулы, построенные по схеме
где t — какой-либо терм; мы будем называть их аксиомами
для квантора существования,
в) Формулы, построенные по схеме
где г и б — какие-либо термы; мы будем называть их форму-
формулами равенства,
!) См. т. I, с. 325—330.
*) См. т. I, с. 289—290.
») См. т. I, с. 275—283 и 286—288, а также с. 327—328.
4) См. т. II, Приложение I с. 475—476.
§ Ц ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КАЛЬМАРА 601
г) Верифицируемые формулы.
Схемами вывода являются:
а) Взятая из исчисления высказываний схема заключения
б) Схема для квантора существования
со свободной переменной с, не входящей ни в SJ, ни в
в) Схема индукции*)
21@), И(с)-»И(с')
21 (t)
со свободной переменной с, не входящей в 21@), и с произволь-
произвольным термом t.
Результирующую формулу какой-либо схемы вывода мы будем
называть нижней формулой этой схемы, а остальные фор-
формулы схемы — вер хн ими ее формулами. Относительно
двух формул, являющихся верхними формулами какой-либо схемы
вывода, мы будем говорить, что они расположены рядом
друг с другом. Обозначенную буквой с переменную, фигурирующую
в какой-либо схеме для квантора существования или же в схеме
индукции, мы будем называть собственней переменной
этой схемы.
Так как в рассматриваемых схемах ни одной из переменных
исключительной роли не отводится, то можно заранее позабо-
позаботиться о том, чтобы свободные индивидные переменные в выводе
обозначались одинаково лишь тогда, когда это диктуется струк-
структурой вывода. После такого разделения свободных пе-
переменных каждую из них, не являющуюся собственной пере-
переменной какой-либо схемы вывода ни в одной из формул, где она
встречается, можно будет всюду заменить цифрой 0. Действи-
Действительно, в результате такой замены одинаковость формул не будет
нарушаться, а в остальном для любой из этих переменных в вы-
выводе используется лишь ее свойство быть термом.) Эту операцию
мы будем называть исключением излишних свободных
переменных. В выводе любой нумерической формулы после
*) Схемой индукции авторы ранее (см., например, т. I, с 325) называли
схему, отличающуюся от данной тем, что в результирующей формуле вместо
терма t там стояла свободная переменная. Очевидно, что эти две схемы рав-
равносильны.— Прим. перев.
602 ПРИЛОЖЕНИЕ (V
разделения свободных переменных и исключения тех из них,
которые являются излишними, каждая свободная переменная
будет фигурировать лишь в роли собственной переменной неко-
некоторой схемы вывода, после чего уже больше встречаться не будет.
Рассмотрим теперь произвольный вывод, построенный в соот-
соответствии с нашими правилами и разложенный после этого на
нити. Применим к нему операцию разделения переменных, а затем
исключим излишние свободные переменные. Возьмем заключи-
заключительную формулу этого вывода, и, двигаясь по нему в обратном
направлении, проследим каждую его нить до того места, где она
упирается в какую-либо исходную формулу или же в нижнюю
формулу какой-либо схемы для квантора существования или
схемы индукции. Ту часть фигуры вывода, которая при этом
получается (включая и формулы, до которых мы дошли в нашем
движении), мы будем называть концевым фрагментом дан-
данного вывода, а остальную часть — его начальным фрагмен-
фрагментом. Ввиду того, что излишние свободные переменные были нами
исключены, в концевом фрагменте вывода свободных переменных
не будет вообще. Кроме схем заключения, в концевом фрагменте
не будет также никаких схем вывода.
В том частном случае, когда в исходном выводе нет кванто-
кванторов существования, можно с помощью рассуждения, аналогичного
тому, которое было проведено при рассмотрении рекурсивной
арифметики'), показать, что заключительная формула данного
вывода является верифицируемой, а поскольку она является
нумерической, — то и истинной. Таким образом, в рассматривае-
рассматриваемом частном случае доказательство закончено.
Рассуждения, использованные в этом частном случае, могут
быть применены и при рассмотрении общего случая.
Сначала мы убедимся, что любая примыкающая к концевому
фрагменту схема индукции, т. е. схема
31@), Я(с)-*21(с')
Щ '
нижняя формула которой 21 (t) является для концевого фрагмента
исходной, может быть устранена. Действительно, как мы знаем,
здесь терм t должен быть нумерическим. Пусть j — цифра, являю-
являющаяся его значением. Тогда i является либо нулем, либо цифрой,
следующей за некоторой цифрой п. В первом случае равенство
0 = t является истинным, и мы можем взять его в качестве исход-
исходной формулы. Из этого равенства, взятого вместе с формулой 91 @)
и формулой равенства
») См. т. I, p. 3Q0—365,
S 1) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КАЛЬМАРА 603
дважды применив схему заключения, мы получим 21 (t). При этом
верхняя формула 21 (с)-*-21 (с') вообще не будет использоваться, и
потому она вместе со своим выводом может быть опущена..
В противном случае, т. е. в случае, когда j представляет
собой некоторую цифру п', мы по выводу формулы 21 (с)->- 21 (с')
построим j различных выводов, каждый из которых получается
из вывода этой формулы в результате повсеместной замены пере-
переменной с цифрой т, которая по очереди пробегает все значения
от 0 до п включительно. Заключительными формулами этих выво-
выводов будут формулы
21@)^21@'), 21@') ^21@") 2Цп)->21(п').
Взяв эти формулы вместе с формулой 21 @) и применив надлежа-
надлежащее число раз схему заключения, мы получим формулу 21 (п'),
т. е. 81 (j). А эта формула вместе с истинной формулой i = t и
формулой равенства
2I (t))
двукратным применением схемы заключения даст нам формулу 21 (t).
Эту операцию исключения схемы индукции мы будем назы-
называть операцией устранения индукции. То, что она
действительно всякий раз приводит к некоторому упрощению, напе-
наперед не очевидно и должно быть показано. На будущее мы усло-
условимся, что если к концевому фрагменту примыкает несколько
применений схемы индукции, то всякий раз будет исключаться
то из них, которое в рассматриваемой нами разложенной на нити
фигуре вывода расположено левее остальных. Благодаря этому
процедура устранения индукции становится однозначной. Заме-
Заметим, что в результате применения этой операции концевой фраг-
фрагмент рассматриваемого вывода расширяется.
А для случая, когда к рассматриваемому концевому фрагменту
не примыкает ни одно применение схемы индукции, мы опреде-
определим некоторую другую операцию —операцию устранения
квантора существования. Она будет применяться при
соблюдении некоторых дополнительных условий, которые еще
должны быть сформулированы. Для этого мы введем ряд необхо-
необходимых понятий и терминов.
Формулу вида 3j2l(j) мы будем называть экзистенциаль-
экзистенциальной, и относительно аксиомы 2t(t)-*-3j2l(j), равно как и отно-
относительно схемы вывода с нижней формулой 3j2l(j)-*-(S, мы будем
говорить, что они относятся к экзистенциальной фор-
формуле 3j2l(j).
Максимальное число различных, напластовывающихся друг
на друга кванторов существования в какой-либо формуле мы
будем называть степенью этой формулы. Иными словами, мы
будем считать, что; формула без кванторов существования имеет
604 ПРИЛОЖЕНИЕ (V
степень, равную нулю; отрицание формулы имеет ту же самую
степень, что и сама эта формула; конъюнкция, дизъюнкция,
импликация и эквивалентность формул @ и 5 имеют степень,
равную наибольшей из степеней формул @ и?; формула 3^21 (б)
имеет степень, на единицу большую степени формулы 31 (t) (с про-
произвольным термом tI). Затем высоту какой-либо формулы g
из нашего вывода мы определим как максимальную из степеней
формул той совокупности, которая получается в результате по-
последовательного, начинающегося с формулы % процесса присое-
присоединения к каждой формуле всех формул, стоящих рядом с ней
и непосредственно под ней. Заключительная формула вывода,
являющаяся нумерической, имеет степень и высоту, равную нулю.
Любая формула рассматриваемого нами вывода является либо
равенством, либо экзистенциальной формулой, либо формулой,
построенной из равенств и экзистенциальных формул при помощи
связок исчисления высказываний. В последнем случае составные
части формулы, из которых она построена при помощи указан-
указанных связок, по предложению Кальмара мы будем называть м о-
лекулами этой формулы. Заметим, что экзистенциальная фор-
формула, фигурирующая в качестве составной части какой-либо дру-
другой формулы, только тогда является молекулой этой формулы,
когда она не является частью никакой объемлющей ее экзистен-
экзистенциальной формулы.
А теперь нам потребуется еще одна подготовительная опера-
операция — вычисление значений термов в концевом
фрагменте. Как мы знаем, все термы концевого фрагмента
являются нумерическими. Данная операция будет заключаться
в том, что в каждой формуле концевого фрагмента каждый мак-
максимальный терм, т. е. каждый терм, не являющийся частью
какого-либо другого терма2), будет заменяться его значением.
Посмотрим, как отражается эта операция на характере нашего
вывода.
Истинные в логике высказываний и истинные нумерические
исходные формулы сохранят свои свойства. То же самое может
быть сказано и относительно схем заключения. Всякая формула
равенства
г - в->-(И (г)->-«(*))
перейдет в некоторую формулу вида
m=.n->-($->. 6),
*) Это понятие степени не аналогично понятию степени е-термов (см. с. 45),
поскольку здесь мы не делаем различия между вложением ч подчинением
кванторов существования.
2) Такой терм, тем не менее, может быть составной частью какого-либо
функционального выражения —такого, например, как 2-2+*.
§ 1] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КАЛЬМАРА 605
где 33 получается в результате применения нашей операции к фор-
формуле 91 (m), a E — в результате применения ее к формуле 91 (п).
Если цифры тип совпадают, то совпадут также и формулы 35
и E; в этом случае полученная формула будет истинной в логике
высказываний. Если же цифры тип различны, то формула
m Ф п будет истинной, а из нее и из формулы
m#n-»-(m = n-►(»-»-E)),
которая является истинной в логике высказываний, применением
схемы заключения может быть получена формула
В обоих случаях использование рассмотренной формулы равен-
равенства в качестве исходной оказывается излишним.
Однако нам придется пользоваться формулами равенства
в качестве исходных для того, чтобы иметь возможность дедук-
дедуктивно переходить от тех или иных формул нашего вывода к соот-
соответствующим формулам с вычисленными нумерическими термами.
Всякая такая замена нумерического терма с в формуле 3 (с) циф-
цифрой п, являющейся его значением, может быть оформлена в виде
вывода
800,
гдег кроме 800» в качестве исходных формул используются тер-
термальное равенство с = п и соответствующая формула равенства.
Используя ряд таких вставок, мы сможем перейти от любой
формулы 35 к соответствующей ей формуле 33* с вычисленными
нумерическими термами. Эту операцию мы будем кратко называть
формализованным вычислением. Мы должны будем
применять ее к примыкающим к концевому фрагменту вывода
схемам для квантора существования и к аксиомам для этого кван-
квантора, являющимся исходными формулами нашего концевого фраг-
фрагмента.
При замене нумерических термов их значениями любая схема
для квантора существования сохранится в качестве таковой. Но
верхняя формула любой такой схемы, примыкающей к концевому
фрагменту, сама еще относится к начальному фрагменту вывода,
и, чтобы сохранить ее связь по выводимости с остальными фор-
формулами начального фрагмента, мы должны будем перейти от
первоначальной верхней формулы к новой, что делается путем
формализованного вычисления фигурировавших в первоначальной
верхней формуле нумерических термов. Правда, эта операция
606
ПРИЛОЖЕНИЕ JV
будет производиться уже не в концевом, а в начальном фраг-
фрагменте рассматриваемого вывода.
Несколько иначе дело обстоит в случае аксиом для квантора
существования. Во всякой такой формуле 31 (t) -*• 3j:3l (£), фигури-
фигурирующей в концевом фрагменте в качестве исходной, терм t яв-
является нумерическим. Пусть цифра з представляет собой его зна-
значение. В результате вычисления значений формула эта перейдет
в некоторую формулу *Р->Э£31* (е), причем посылка этой формулы
получится из формулы 31* E) в результате вычисления тех (воз-
(возможно, имеющихся) термов, в которых з фигурирует в качестве
аргумента какой-либо функции. Таким образом, ф либо совпа-
совпадает с 31* (з), либо получается из этой формулы в результате
замены одного или нескольких нумерических термов их значе-
значениями. Мы поступим здесь следующим образом: вместо аксиомы
31 (t) -*■ 3j3l E) в качестве исходной формулы мы возьмем формулу
31* (з)-*-Э£31* (£), которая со своей стороны тоже является аксио-
аксиомой для квантора существования; затем от этой формулы форма-
формализованным вычислением еще оставшихся в 21* (j) нумерических
термов мы перейдем к, так сказать, «вполне вычисленной» фор-
формуле $-»- Эе31* (е).
В этом формализованном вычислении все формулы равенства
будут иметь ту же самую степень, что и экзистенциальная фор-
формула 3j3l* E), а нумерические равенства, как мы знаем, имеют
степень, равную нулю. Отсюда получается, что в преобразован-
преобразованном выводе аксиома 21* (з) -*• 3j2l* (£) имеет ту же самую высоту,
что и результат ее «полного вычисления».
Нижние формулы схем индукции нам рассматривать не нужно,
так как операцию вычисления значений термов мы применяем
только к таким выводам, в которых нет применений схемы индукции,
примыкающих к концевому фрагменту.
В целом в результате вычисления значений нумерических тер-
термов получается следующее: рассматриваемый вывод переходит
в вывод, снова укладывающийся в рамки установленного нами
формализма. Концевой фрагмент первоначального вывода перехо-
переходит в концевой фрагмент преобразованного. Кроме того, все
встречающиеся в этом фрагменте нумерические термы являются
цифрами, за исключением, быть может, тех термов, которые фи-
фигурируют в переходах от аксиом для квантора существования
к результатам их полного вычисления. У любой аксиомы вида
31 (з) -*- 3j3l E), входящей в концевой фрагмент, терм з представ-
представляет собой. цифру, а экзистенциальная формула, стоящая в ее
заключении, кроме цифр не содержит никаких других нумери-
нумерических термов. Окончательное вычисление, которое всегда при-
примыкает к этой аксиоме, относится только к ее посылке 31 (j).
Формализация этого вычисления производится с использованием
формул равенства, но за пределами этих вычислений никаких
f 1) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КАЛЬМАРА 607
других формул равенства, играющих роль исходных формул,
в концевом фрагменте больше уже не будет. Результат полного
вычисления любой аксиомы для квантора существования имеет
ту же самую высоту, что и сама эта аксиома.
И, наконец, вслед за вычислением значений нумерических тер-
термов мы осуществим еще одно мероприятие, очень сходное с опе-
операцией разделения свободных переменных: речь идет о разделе-
разделении связанных переменных. Мы будем избегать таких совпадений
экзистенциальных формул, которые не используются в данном
выводе. Проще всего это достигается тем, что у любых двух
экзистенциальных формул, не связанных в данном выводе друг
с другом (т. е. таких, что их совпадения в данном выводе не
требуется), их кванторы существования оснащаются различными
связанными переменными. Эту операцию мы будем кратко назы-
называть разделением связанных переменных. Заметим,
что эффект этой операции противоположен эффекту операции
вычисления значений нумерических термов: в то время как в ре-
результате этой последней может произойти слияние формул, внешне
выглядящих по-разному, разделение связанных переменных при-
приводит к тому, что первоначально совпадающие формулы могут
затем оказаться различными.
Теперь мы уже продвинулись настолько, что можем сформу-
сформулировать условие, при соблюдении которого будет производиться
операция устранения квантора существования.
Во-первых, мы будем рассматривать выводы, в которых нет при-
примыкающих к их концевым фрагментам применений схемы индук-
индукции и в которых уже произведено вычисление значений нумери-
нумерических термов и разделение связанных переменных. К такому
выводу операцию устранения квантора существования мы будем
применять при условии, что в концевом фрагменте рассматри-
рассматриваемого вывода некоторая экзистенциальная формула 3j#t (£) такая,
что к ней относится какая-либо аксиома для квантора существо-
существования, совпадает с экзистенциальной формулой, к которой отно-
относится одна из схем вывода для этого квантора. Ввиду того, что
связанные переменные нами разделены, это может иметь место
только тогда, когда в данном выводе эти два вхождения данной
экзистенциальной формулы связаны друг с другом. В этом слу-
случае должно иметь место некоторое ветвление (в указанном
ниже смысле слова): нить вывода, выходящая из этой аксиомы
для квантора существования (в направлении к заключительной
формуле), и нить, ведущая от нижней формулы рассматриваемой
схемы вывода для квантора существования к заключительной
формуле, должны сходиться к посылкам некоторой схемы заклю-
заключения. В верхних формулах этой схемы упомянутая экзистенци-
экзистенциальная формула должна фигурировать в качестве молекулы,
а в нижнюю формулу она может и не рходить. Но в любом слу-
608 ПРИЛОЖЕНИЕ [V
чае она должна исключиться в нити, ведущей от нижней фор-
формулы этой схемы заключения к заключительной формуле вывода,
и так как заключительная формула имеет высоту, равную нулю,
то в этой нити найдется первая формула &, высота которой
меньше степени g формулы Зе8(Е)> так как gS*l. Формула &
является нижней формулой некоторой схемы заключения
6, a-»-ft
верхние формулы которой имеют высоту, равную по крайней
мере g.
Рассмотрим этот случай ветвления. Пусть относящаяся к фор-
формуле 3sS (j) аксиома для квантора существования записывается
в виде % (i) -+■ 3jg (j), а относящаяся к этой формуле схема вывода
имеет вид
В этом случае операция устранения квантора существования за-
заключается в том, что данный вывод формулы & заменяется неко-
некоторым другим, который строится из двух «подвыводов» таких,
что один из них дает формулу S(J)-»-&, а второй — формулу
~l8(J)~*"ft> и вывода формулы & из этих двух формул с помощью
двукратного применения схемы заключения к формуле
(8 (a)-»-ft)-МП 8 (а)-►*)-»-ft),
истинной в логике высказываний.
Первый из искомых подвыводов получается следующим обра-
образом. В выводе верхней формулы нашей схемы для квантора
существования мы повсюду заменяем переменную а цифрой }.
В результате этого получается некоторый вывод формулы % (?) -»-
-*■(&, из которого мы по правилам исчисления высказываний
получаем формулу
8(a)-M3s8(s)-»-®),
которая в этом случае оказывается на месте прежней формулы
Эе8 (£)-»■©• Тем самым здесь удается сэкономить одно примене-
применение схемы для квантора существования. Добавление посылки g(j)
к формуле Эг$ (£)-*-©, которая в фигуре нашего вывода является
исходной формулой его концевого фрагмента, может быть про-
пронесено сквозь схемы заключений. Действительно, из любой схемы
§ I] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КАЛЬМАРА 609
если в каждой из ее верхних формул, а также и в нижней фор-
формуле импликативно добавить одну и ту же посылку 33, полу-
получаются две схемы вывода
зз->§: 23-»-§:
которые с помощью формул
E3 -> @) -> ((@ _»- §) _>- C3 ->- ^))
и
(зз -> (<г> -> $)) -> (@ -> (зз -
истинных в логике высказываний, сводятся к применению схемы
заключения1). Все это дает нам некоторый вывод интересующей
нас формулы 8 ((!)-»■&•
Второй подвывод мы получаем из имеющегося вывода фор-
формулы U, импликативно добавляя к аксиоме 8 (i) -*■ Э?8 (?) посылку
g (}). Так как получающаяся в результате этого формула яв-
является истинной в логике высказываний, то тем самым эконо-
экономится одно использование аксиомы для квантора существования
в качестве исходной формулы. Добавленная посылка 8 (?) и
в этот раз проносится сквозь схемы заключения и таким обра-
образом мы получаем некоторый вывод формулы 18 (?)-*-&• Что же
касается формулы &, то она получается, как уже было сказано,
из выведенных нами формул 8 E) -*■ & и ~| 8 (О -*• & и из соответ-
соответствующей формулы, истинной в логике высказываний. На этом
описание операции устранения квантора существования заканчи-
заканчивается,
Применением этой операции устраняется одно ветвление: в пер-
первом подвыводе исключается относящаяся к формуле 3?8 (?) схема
вывода для квантора существования, а во втором — относящаяся
к Э?8 (?) аксиома для этого квантора (в ее роли исходной фор-
формулы) а), причем в дальнейшем, в процессе использования заклю-
заключительных формул обоих этих подвыводов данная экзистенциаль-
экзистенциальная формула 3?8 (?) больше уже не участвует. Действительно,
степень формулы к, а тем самым и степени обеих этих заклю-
заключительных формул, как мы знаем, меньше степени g формулы
3s8fc).
х) Это рассуждение соответствует той части доказательства дедукционной
теоремы, которая относится к исчислению высказываний; см. т. I, с. 194,
195. Однако от этого доказательства оно несколько отличается тем, что до-
дополнительная посылка добавляется здесь не всюду, а только в определенной,
ведущей к выводимой нами формуле нити вывода.
2) Точнее говоря, исключается одно применение рассматриваемой схемы,
или соответственно рассматриваемой аксиомы для квантора сущеавования.
610 ПРИЛОЖЕНИЕ [V
Как и в случае устранения индукции, при устранении кван-
квантора существования тоже непосредственно не очевидно, а лишь
должно быть специально доказано, что происходит действитель-
действительное упрощение вывода. Во всяком случае, фигура вывода в ре-
результате применения операции устранения квантора существова-
существования усложняется. Граница концевого фрагмента вывода после
выполнения этой операции тоже должна быть установлена заново.
Подобно случаю устранения индукции, при устранении кван-
квантора существования тоже может быть введено соглашение, уста-
устанавливающее, какое из ветвлений должно устраняться в том
случае, когда их имеется более одного. С каждым ветвлением
связывается, как мы знаем, схема заключения, в которой схо-
сходятся две нити вывода —одна, ведущая от аксиомы, а другая от
нижней формулы схемы вывода для квантора существования.
В этом случае от нижней формулы схемы к заключительной
формуле всего вывода в целом будет идти некоторая однозначно
определенная нить этого вывода. Мы можем теперь условиться,
что всякий раз будет производиться устранение того ветвления,
у которого указанная нить, ведущая от нижней формулы схемы
к заключительной формуле вывода, в рассматриваемом в данный
момент концевом фрагменте расположена левее остальных. И если
на одной и той же нити лежат несколько ветвлений, то мы будем
брать то из них, у которого нижняя формула схемы отстоит от
заключительной формулы вывода больше остальных.
А теперь, прежде чем приступить к доказательству того, что
операции устранения квантора существования и индукции в опре-
определенном смысле дают действительные упрощения, мы должны
еще рассмотреть случай, когда к концевому фрагменту вывода
не примыкает ни одна схема индукции, а также не выполнено и
предварительное условие проведения операции устранения кван-
квантора существования. В этом глучае у нас имеется фигура вывода,
в которой к концевому фрагменту не примыкает ни одна схема
индукции, а в самом этом фрагменте после вычисления нумери-
ческих термов и разделения связанных переменных любая экзи-
экзистенциальная формула, к которой относится какая-либо аксиома
для квантора существования, отлична от всех экзистенциальных
формул, к которым относятся какие-либо (граничащие с концевым
фрагментом) схемы для квантора существования. Заметим также,
что в соответствии о нашими соглашениями, касающимися разде-
разделения связанных переменных, эта операция делает различными
только такие формулы, которые нигде внутри рассматриваемого
нами концевого фрагмента (где имеются лишь формулы, истинные
в логике высказываний, и схемы заключения) не играют роли
одной общей молекулы. Это дает нам возможность с помощью
следующих соглашений однозначно придать всем молекулам фор-
формул, входящих в концевой фрагмент, значения «истина» и «ложь»:
5 1] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КАЛЬМАРА 611
Истинностные значения нумерических равенств будут прежними.
Экзистенциальная формула, к которой относится какая-либо акси-
аксиома для квантора существования, объявляется истинной, а экзи-
экзистенциальная формула, к которой относится схема вывода, при-
примыкающая к концевому фрагменту, объявляется ложной. Для
остальных экзистенциальных формул их истинностные значения
устанавливаются произвольным образом: например, можно всем
им приписать значение «истина». Понимание связок исчисления
высказываний как истинностных функций сохраняется. На осно-
основании этих соглашений получается, что: 1) нумерические формулы
имеют прежние оценки; 2) формулы, истинные в логике выска-
высказываний, являются истинными формулами и в смысле нового
определения; 3) любая аксиома для квантора существования,
фигурирующая в концевом фрагменте, является истинной; то же
самое верно и относительно результата ее полного вычисления;
4) нижняя формула любой граничащей с концевым фрагментом
схемы вывода для квантора существования является истинной;
5) любая схема заключения с истинными верхними формулами
имеет истинную нижнюю формулу.
Если теперь сократить концевой фрагмент, взяв в качестве
исходных формул не сами аксиомы для квантора существования,
а результаты их полного вычисления (и, значит, опустив стоящие
над ними формулы), то получится фигура вывода, все исходные
формулы которой будут истинными (формул равенства здесь в ка-
качестве исходных формул не будет!), и с помощью схем заключе-
заключения мы в дальнейшем будем получать только истинные формулы.
Следовательно, заключительная формула нашего вывода должна
быть истинной в смысле нового определения. Но так как она
является нумерической, то она будет истинной и в прежнем
смысле. Таким образом, в данном случае поставленная цель ока-
оказывается достигнутой.
Заметим, что при новом определении истинности значений мо-
молекул, которым мы здесь воспользовались, новые истинностные
значения устанавливались лишь для таких молекул, которые
являются экзистенциальными формулами, а в остальных случаях
брались прежние истинностные значения.
Теперь рассмотрим общий случай и покажем, что, отправляясь
от любого, построенного в соответствии с нашими правилами вы-
вывода, после конечного числа применений операции устранения
индукции и квантора существования мы придем к такому выводу,
в котором ни одна схема индукции не будет примыкать к кон-
концевому фрагменту, а в самом этом фрагменте —после вычисления
нумерических термов и разделения связанных переменных —будут
отсутствовать ветвления. Для любого такого вывода —мы будем
называть его редуцированным — при помощи проведенного
нами рассуждения, путем надлежащей оценки тех входящих
612 ПРИЛОЖЕНИЕ [V
в концевой фрагмент молекул, которые являются экзистенциаль-
экзистенциальными формулами, можно будет убедиться, что заключительная
формула нашего вывода в силу ее нумеричности является истин-
истинной. Тем самым будет показано, что заключительная формула
первоначального вывода тоже является истинной, так как при
производимых нами операциях устранения индукции и квантора
существования заключительная формула не меняется вообще,
а при вычислении нумерических термов в концевом фрагменте
хотя эта формула сама и может измениться, но ее истинностное
значение останется без изменений.
Таким образом, непротиворечивость системы (Z) будет уста-
установлена, если мы сможем показать, что последовательность при-
применений операций устранения индукции и квантора существова-
существования, производимых в соответствии с принятыми соглашениями
над любым построенным по правилам нашего формализма выво-
выводом, после конечного числа шагов должна оборваться, т. е. при-
привести к редуцированному выводу.
С этой целью мы воспользуемся введенными в гл. V О-со-фи-
гурамих) и некоторым сопоставлением фигур этого рода форму-
формулам наших выводов. Мы напомним определение этих фигур и
отношения порядка между ними, причем заодно мы произведем
и некоторую разбивку этих фигур на ярусы.
В роли фигуры нулевого яруса у нас будет выступать один
только символ 0; фигурами первого яруса будут суммы вида
(о° + (о° + ... + (о0, состоящие по крайней мере из одного члена;
мы будем считать, что 0 предшествует лю"бой фигуре первого
яруса и что порядок между фигурами этого яруса устанавливается
по числу членов в них. Вместо со0 мы для краткости будем также
писать 1. Пусть теперь 0-со-фигуры вместе с отношением порядка
для них введены до яруса с номером k включительно, причем
так, что фигуры каждого из этих ярусов превосходят фигуры
предшествующих ярусов. В качестве фигур (&+1)-го яруса мы
возьмем выражения вида
у которых формальные показатели степени аь а2, ..., ас являются
0-со-фигурами ярусов не выше &-го, причем ах принадлежит в точ-
точности &-му ярусу, а кроме того (в обычных обозначениях), at^
5s a2 Si... Ss аг Порядок для фигур (& + 1)-го яруса устанавли-
устанавливается таким образом, что из двух различных фигур а и b
1) См. с. 451—452. Этот способ введения канторовских порядковых чисел,
меньших первого канторовского е-числа, восходит к Г. Генцену. См. его
работу: GentzenG. Neue Fassung des Widerspruchsfreiheitsbeweises fur die
reine Zahlentheorie. — Forschungen zur Logik und zur Grundlegung der exakten
Wissenschaften Neue Folge. 1938 № 4, S 38, 39.
S 1] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КАЛЬМАРА 613
фигура а считается большей, если у первого слева различающе-
различающегося члена этих фигур показатель степени у а больше, чем у Ь,
или если а получается из b добавлением одного или нескольких
членов. Кроме того, все фигуры (&+1)-го яруса считаются боль-
большими, чем все фигуры предшествующих ярусов.
После того как таким способом рекурсивно определены 0-<в-
фигуры и отношение порядка между ними, получается, как легко
видеть, что определение сравнения двух фигур одного и того же
яруса может быть применено и к фигурам различных ярусов,
так как у любой фигуры (£+1)-го яруса первый член имеет
больший показатель степени, чем у любой фигуры более низкого
(ненулевого) яруса. Фигура 0 меньше всех остальных 0-оо-фи-
гур.
Без труда можно убедиться, что определенное нами отношение
порядка для О-оо-фигур является транзитивным. Затем можно
доказать, что если а — О-оо-фигура, то <вв —тоже 0-оо-фигура, и
что если а и Ь —две 0-оо-фигуры такие, что а<Ь, то имеет место
и неравенство <ва<«аь. Таким образом, соответствие, сопостав-
сопоставляющее фигуре а фигуру <в" («показательная функция»), является
(в обычном смысле) строго монотонным. Кроме того, саа
всегда больше а. При итерациях показательной функции скоб-
„с
ками можно и не пользоваться: например, выражение <вш может
пониматься только так, что <вшС является в нем показателем сте-
степени, а у <вш показателем степени является <в£.
Натуральную сумму а#Ь мы определим как функцию
двух аргументов, значениями которых являются 0-оо-фигуры. Мы
положим (по определению) а # 0 = а, 0 # а = а. Если же а и Ь
отличны от 0, то а # 6 мы определим как 0-ю-фигуру, которая
получается, если взять все слагаемые фигур а и b с учетом их
кратности и упорядочить их так, чтобы ни одно слагаемое
с меньшим показателем степени не предшествовало ни одному
слагаемому с большим показателем1).
Из этого определения без труда получается, что для любых
0-оо-фигур a, b и с имеют место равенства а # 6 = b # а и a #
# (Ь # с) = (а # Ь) # с. Поэтому можно рассматривать много-
многочленные натуральные суммы (без скобок), не принимая при этом
во внимание порядок расположения слагаемых. Можно показать,
что если в натуральной сумме увеличить одно или несколько
входящих в нее слагаемых, то увеличится и значение суммы.
>) Данное определение натуральной суммы представляет собой чистный
случай принадлежащего Герхарду Гессенбергу более общего определения
натуральной суммы для произвольных порядковых чисел. См. его работу:
Hessenberg G. Grundbegriffe der Mengenlehre, — Abh. d, Friesschen Schule,
Neue Folge, Bd I, Gottingen, 1906, S. 479-706.
614 ПРИЛОЖЕНИЕ IV
Таким образом, натуральная сумма, подобно показательной функ-
функции, является строго монотонной.
А теперь формулам рассматриваемого нами вывода мы сопо-
сопоставим в качестве их порядковых чисел некоторые О-со-фи-
гуры. При этом мы будем придерживаться следующих соглаше-
соглашений. Всем исходным формулам, за исключением аксиом для кван-
квантора существования, сопоставляется порядковое число 0; аксио-
аксиомам для квантора существования сопоставляется порядковое
число 1. Если верхней формуле некоторой схемы вывода для
квантора существования сопоставлено порядковое число а, то
нижней формуле этой схемы сопоставляется число а # 1. Ниж-
Нижней формуле схемы заключения, верхним формулам которой сопо-
сопоставлены порядковые числа а и Ь, сопоставляется число а # Ь,
если высота верхних формул равна высоте нижней формулы; если
же высота верхних формул на k превосходит высоту нижней, то
порядковым числом нижней формулы мы будем считать порядко-
порядковое число, полученное из а 4Ф b в результате fe-кратного приме-
применения показательной функции:
со®
Пусть верхние формулы схемы индукции имеют порядковые
числа а и Ь. Если b равно 0, то порядковое число ее нижней
формулы будет равняться а # 1; если же b отлично от 0 и пер-
первый его член (может быть, единственный) равен сос, то нижняя
формула в качестве порядкового числа будет иметь а#сос#1.
Таким образом, в любом случае порядковое число нижней фор-
формулы нашей схемы индукции будет больше любой из натураль-
натуральных сумм
a#b#b#...#b,
содержащих одно слагаемое а и любое конечное число слагае-
слагаемых Ь; в частности, оно больше а.
Этим определением каждой формуле любого вывода, произве-
произведенного по правилам рассмотренного нами формализма, однозначно
сопоставляется некоторое порядковое число. Порядковое число
заключительной формулы вывода объявляется порядковым числом
самого этого вывода.
Следует заметить, что при нахождении порядковых чисел,
соотносимых формулам данного вывода, должны учитываться
высоты этих формул, поскольку порядковое число нижней фор-
формулы схемы заключения зависит от разности высот ее верхних
формул и нижней формулы. Эта разность может быть отлична от
нуля только тогда, когда верхние формулы схемы заключения
имеют степень, более высокую, чем ее нижняя формула. В то
§ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КАЛЬМАРА 615
время как высоты формул вычисляются снизу вверх, начиная
с заключительной формулы, порядковые числа формул растут
сверху вниз, начиная с исходных формул
Отметим также, что при формальном переходе от формулы
31 (г) к формуле 21F), производимом двукратным применением
схемы заключения с использованием истинной нумерической фор-
формулы t = б и соответствующей формулы равенства
г = б, г = б -*• (й (г) -*• 21 (б))
21 (г), 21 (г)-» 21 (б)
21F)
все формулы, кроме, быть может, равенства г = б (которое, как
мы знаем, имеет степень 0), имеют одну и ту же степень Следо-
Следовательно, для этих схем заключения разность соответствующих
высот равна нулю. Формулы г = б и г = б -*• (91 (г) -*■ ?1 (б)) имеют
порядковые числа, равные 0. Поэтому порядковое число фор-
формулы 21 (г) -*• 21 (б) также равно 0 и, следовательно, 31F) имеет
то же самое порядковое число, что и 21 (г). Таким образом, в ре-
результате этого перехода порядковое число формулы не изменяется.
Значит, ю же самое будет верно и при нескольких таких пере-
переходах—в частности при формализованном вычислении нумериче-
ских термов данной формулы.
Теперь мы перейдем к доказательству того, что при производ-
производстве обеих рассматриваемых нами операций устранения порядко-
порядковое число вывода уменьшается.
При устранении индукции мы имеем дело с некоторой примы-
примыкающей к концевому фрагменту схемой индукции
21@), И (с)-*И (с')
Я (t)
в которой с —какая-либо свободная переменная, a t — нумериче-
ский терм. Все три формулы этой схемы имеют одну и ту же
степень, а потому и одну и ту же высоту. Пусть порядковые
числа верхних формул равны а и b соответственно. Если значе-
значение t равно 0, то эта схема заменяется формальным переходом
от 21 @) к 21 (t) при помощи термального равенства 0 = t. При
этом, как только что было показано, порядковое число формулы
не изменяется, и, значит, 21 (t), как и 21@), будет иметь поряд-
порядковое число а, в то время как в первоначальной схеме индукции
порядковое число нижней формулы 21 (t) было больше а.
Если же t имеет отличное от 0 значение в виде некоторой
цифры }', то, устраняя данное применение схемы индукции, мы
будем заменять вывод формулы 21 (с) -*• 21 (с') соответствующими
616 ПРИЛОЖЕНИЕ IV
ему выводами формул
31 @) ^ 31 @'), 21 @') -* 31 ((Г) 31 (,) -v 21 (}'),
получающимися в результате повсеместной подстановки вместо
переменной с цифр 0, 0', .... j. В этом случае из заключитель-
заключительных формул этих }' подвыводов и из формулы 21 @) в результате
надлежащего числа применений схемы заключения получается
формула 31 (}'), от которой с помощью термального равенства
j' = t можно перейти к формуле 21 (t).
При таком получении формулы 31 (t) из формул 21 (п) -*- 21 (п')
(п = 0, 0', ..., j) и равенства j' = t (с использованием одной фор-
формулы равенства и одной схемы заключения) все формулы, за
исключением, может быть, равенства $' = t, имеют одну и ту же
степень. Поэтому в преобразованном выводе все формулы 21(п)->
-»-21(п') будут иметь ту же самую высоту, что и формула 21 (t),
а тем самым и ту высоту, которую формулы 21 (t) и 21 (с) -*- 21 (с')
имеют в первоначальном выводе.
Отсюда, во-первых, вытекает, что при замене вывода фор-
формулы 31 (с)->-31 (с') выводами формул 31 (п)->-21 (п') (п = 0, 0', ...,а)
эти формулы 31 (п) -*- 31 (п') получают то же самое порядковое
число Ь, которое первоначально получала формула 31 (с)-»-31 (с'),
а кроме того, отсюда следует, что в схемах заключения
31 (n), 3l(n) + 2l(n')
(п = 0, 0', .... })
Sl(n')
порядковое число нижней формулы 31 (п') всякий раз равно нату-
натуральной сумме b и порядкового числа формулы 81 (п), так что
формуле 31 (}'), получающейся в конце этих }' следующих друг
за другом схем заключения, сопоставляется порядковое число
a#b#b#...#b, имеющее }' слагаемых Ь, причем это поряд-
порядковое число не изменится и при формальном переходе от 31 (}')
к 31 (t). Таким образом, и формуле 31 (t) тоже будет сопоставлено
порядковое число а # Ь #...# Ь, а оно, как установлено ранее,
меньше порядкового числа, соотнесенного нижней формуле 31 (t)
нашей первоначальной схемы индукции. Таким образом, в резуль-
результате устранения рассматриваемой схемы индукции порядковое
число формулы 31 (t), которая является одной из исходных фор-
формул концевого фрагмента вывода, уменьшится, и это уменьшение
распространится по нити вывода, ведущей от формулы 31 (t), лежа-
лежащей в концевом фрагменте, к заключительной формуле всего
нашего вывода сквозь следующие друг за другом заключения
(других схем в концевом фрагменте нет!) вплоть до заключитель-
заключительной формулы. В самом деле, порядковое число нижней формулы
любой схемы заключения получается, как мы помним, из поряд-
порядковых чисел верхних формул при помощи натурального сумми-
? 11 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КАЛЬМАРА 617
рования и, быть может, применения показательной функции,
а обе эти функции, как мы в свое время установили, строго
монотонны. Итак, в целом в результате применения операции
устранения индукции порядковое число заключительной формулы
(а значит, и всего вывода) уменьшается.
А теперь, прежде чем перейти к операции устранения кван-
квантора существования, мы напомним, что, как было отмечено выше,
проводимая нами подготовительная операция вычисления значе-
значений нумерических термов не меняет порядковых чисел формул
вывода.
Рассмотрим теперь вопрос о том, как влияет устранение кван-
квантора существования на порядковое число вывода, к которому
предварительно были применены подготовительные операции раз-
разделения свободных переменных, исключения излишних свободных
переменных, вычисления значений нумерических термов в конце-
концевом фрагменте и разделения связанных переменных и в котором
затем оказались выполненными условия применимости операции
устранения квантора существования: т. е. к концевому фрагменту
этого вывода не примыкает ни одна схема индукции, а кроме
того, в нем имеется ветвление. Пусть среди имеющихся ветвле-
ветвлений' выделено то, которое на данном этапе должно устраняться
в соответствии с нашими соглашениями. Пусть у этого ветвления
Зе8(е) представляет собой ту самую формулу, к которой отно-
относится как нижняя формула некоторой (граничащей с концевым
фрагментом) схемы
8 (а)-»®
так и некоторая (фигурирующая в качестве исходной формулы этого
фрагмента) аксиома для квантора существования
(с некоторой цифрой j), выходя из которых, нити вывода, веду-
ведущие к заключительной формуле, сливаются в некоторой схеме
заключения
причем эта экзистенциальная формула Эг$ (£) фигурирует в верх-
верхних формулах @ иЙ-^^в качестве молекулы. Пусть в нити
вывода, ведущей от нижней формулы $ данной схемы к заклю-
заключительной формуле всего нашего вывода в целом, формула S
первая (считая по направлению к заключительной формуле) такая,
что высота ее h меньше степени g формулы Зе8(е). Так как
618
ПРИЛОЖЕНИЕ [V
в концевом фрагменте нет схем вывода, отличных от схем заклю-
заключения, то формула Я является нижней формулой некоторой схемы
заключения
9 9 —*- ®
ч, j л. ~ о*
Я "
В частности, она может совпадать со схемой
Согласно выбору К высота формул 8 и 8->-Я должна равняться
по меньшей мере g, и значит, быть больше h. Следовательно,
эта высота должна совпадать со степенью / формулы 2. Поэтому
разность высот у схемы
8, 8->Я
равняется l — h. Пусть порядковые числа верхних формул этой
схемы суть р и q. Тогда порядковое число формулы к будет
получаться из натуральной суммы p#q в результате (/ —й)-крат-
ного применения показательной функции.
Пусть результат ^-кратного применения показательной функ-
функции к 0-со-фигуре с обозначается через ехрА(с), так что
ехро(с) = с и ехрА+1(с) = <аехр*М.
Тогда порядковое число формулы Я в рассматриваемом выводе
изобразится посредством ехр,_л (р # q).
Операция устранения квантора существования, как известно,
заключается в том, что сначала строятся два подвывода, которые
дают формулы
8@-*-Я и 18(а)-*-Я,
а затем из них по правилам логики высказываний выводится
формула Я, начиная с которой вывод протекает так же, как и
раньше. Посмотрим сначала, каковы высоты формул 80)->Я и
~18 E) -*■ Я в модифицированном выводе. Все формулы, участвую-
участвующие в получении Я из двух указанных выше формул (схема
заключения применяется дважды), быть может, вплоть до самой
формулы Я, имеют высоту g—1, которая, как мы знаем, является
степенью формулы 80)- (Высота h формулы & не превосходит
g — 1.) Поэтому разность высот может быть отлична от нуля
только во второй схеме заключения, где она равна d = g— I— h
(d0)
5 И ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КАЛЬМАРА 619
А теперь посмотрим, какие порядковые числа получают за-
заключительные формулы этих двух подвыводов. Для этого мы
должны будем исследовать высоты формул нашего вывода.
В первом подвыводе мы сначала получаем формулу g (?)-»-©,
заменяя в первоначальном выводе формул 8 (а)-»-© перемен-
переменную а всюду, где она входит, цифрой }. Затем от формулы
8E)-*-© мы по правилам исчисления высказываний переходим
к формуле 8 (J) -*■ (Э?8 (s) -*■ ©). Так к формуле 3sg (s) -*■ © перво-
первоначального вывода импликативно добавляется посылка 80). и
эта посылка распространяется дальше по нити, идущей от этой
формулы к формуле Ж, что, как мы указывали, совершается при
помощи надлежащей модификации схем заключения. При этом
каждая схема заключения заменяется двумя, идущими друг за
другом, с привлечением формул, истинных в логике высказыва-
высказываний. В частности, так на месте схемы
8, 8-»-ft
Я
первоначального вывода в зависимости от того, через какую
формулу идет рассматриваемая нить вывода, через 8 или через
2-vS получаются либо схемы
8 (?)-*■«, (8@-* 8)-»» ((8-» Я)-* (80)-»» Я))
8-»Я, (8-»■ Я)-»-(8(?)-»■ Я)
8 («)-»■ Я
либо схемы
8 (»)-*■(«-»■ Я), (8(})->.(8-».Я))-»-(8-»-(8Й)-»-Я))
8, 8-*»(8@->-Я)
8 (»)-»-«
Здесь в обоих случаях нижняя формула имеет высоту g — l,
тогда как остальные формулы в качестве высоты имеют степень /
формулы 8, которая не меньше g. Это справедливо, в частности,
и в отношении формулы 8 (?)-*■ 8 или соответственно формулы
5 @ -»- (8 ->■ Щ. Следовательно, в переработанном выводе эта фор-
формула будет иметь ту же самую высоту, что и соответствующая
ей формула 8 (соответственно 8->-.t) первоначального вывода.
Отсюда, далее, получается, что при возвращении от этой фор-
формулы к формуле g ($) -»- Cj8 (j) -*■ Ж) соответствующие друг другу
формулы модифицированного и первоначального выводов имеют
одну и ту же высоту. А кроме того, при получении формулы
8 (}) -»■ © формулы модифицированного вывода имеют ту же самую
620 ПРИЛОЖЕНИЕ [V
высоту, что и соответствующие им формулы первоначального
вывода формулы % (а) -»-©.
Таким образом, формула S (?)->■© в модифицированном выводе
получает то же самое порядковое число, которое первоначально
получала формула 8(а)-»-© При переходе от формулы 80)-*"®
к формуле 8 (?)-*" (Эб8 (Б) -*-©) при помощи схемы заключения,
который происходит без изменения высоты, эта формула получает
то же самое порядковое число, что и формула §0)-»-©, т. е.
число, которое первоначально получала формула §(а)-»-@, в то
время как нижняя формула схемы для квантора существования
Эб8(Б)-»-® получает порядковое число, большее на единицу.
Таким образом, здесь в модифицированном выводе происходит
уменьшение порядкового числа по сравнению с первоначальным.
Это уменьшение сохраняется или даже усиливается при замене
первоначальной, идущей от формулы 3^8 (£)->-© к формуле ft
нити вывода соответствующей ей нитью, идущей от формулы
50)->-(Эб5(Б)->-®) к формуле 8 (j)->-ft. Это следует, с одной
стороны, из монотонности натуральной суммы и показательной
функции, а с другой стороны —из того, что при переходах по
правилам исчисления высказываний, которые появляются на
местах первоначальных схем заключения из-за добавляющейся
(в одной или в обеих верхних формулах) посылки g(j), разности
высот могут, самое большее, уменьшаться. Рассматриваемая нами
первоначальная нить вывода идет через одну из формул 2 и
8-»-ft. В соответствующей формуле первого подвывода к этой
формуле импликативно добавляется посылка § (J); затем ее по-
порядковое число уменьшается. Поэтому, если р' и q'— порядковые
числа формул, появляющихся здесь на месте формул 2 и 2-»-ft,
то р' # q' < р # q. На месте схемы
здесь возникают две схемы заключения, которые (в зависимости
от того, какой случай имеет место) имеют один из двух ранее
указанных видов. В обоих случаях в первой схеме заключения
разность высот равна нулю, а нижняя формула этой схемы имеет
то же самое порядковое число, что и левая верхняя формула.
Во второй схеме заключения разность высот представляет собой
положительное число / = / — g+1, а порядковые числа обеих
верхних формул суть (отвлекаясь от порядка) р' и q'. Таким
образом, заключительная формула этого подвывода имеет поряд-
порядковое число ехру (р' # О-
Теперь обратимся ко второму подвыводу. Здесь путем импли-
кативного добавления к аксиоме g($)-♦- 3g8(б) посылки ~\$(i)
получается формула ~| g ($) -♦■ ft. В результате этого вместо указан-
§ 1] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КАЛЬМАРА 621
ной аксиомы, имеющей порядковое число 1, получается истинная
в логике высказываний формула с порядковым числом 0. Это
понижение порядкового числа снова сохранится при замене пер-
первоначальной нити вывода, идущей от этой аксиомы для квантора
существования к формуле $, соответствующей ей нитью, ведущей
к формуле ~180)-*-^- Одна из прежних формул 8 и 8-»-$ полу-
получит посылку 18(J) и ее порядковое число уменьшится. Таким
образом, если р" и q"— порядковые числа указанных двух соответ-
соответствующих формул, то будет иметь место неравенство р^"<
< р # q. И теперь, совершенно аналогично тому, как это было
в первом подвыводе, получается, что заключительная формула
второго подвывода "I % E) -*• $ будет иметь порядковое число
ехру (р* # q").
При переходе от заключительных формул обоих этих подвы-
водов к формуле $, происходящем с помощью двух схем заклю-
заключения, прирост высоты может иметь место, как уже было уста-
установлено, только во второй схеме; этот прирост равен d = g— 1 —
— А. После этого, в. силу нашего определения порядковых чисел
для заключительных формул обоих этих подвыводов, получается,
что в переработанном выводе порядковое число формулы $ будет
равняться
expd (ехР/ (р' # q') # ехру (р* # q")).
В первоначальном выводе формула $ имела порядковое число
exp,_A(p#q). Но
p'#q'<p#q, р" # q"<p # q,
а в силу определения отношения порядка для О-со-фигур и моно-
монотонности показательной функции для с'<с, с"<с, />0 и d^O
имеет место неравенство
expd (ехр, (с') # ехр, (с")) < expd+y (с).
Таким образом, в результате применения операции устранения
квантора существования порядковое число формулы $ уменьшится,
и это уменьшение продолжится вплоть до заключительной фор-
формулы всего нашего вывода. Следовательно, в результате этой
операции уменьшится и порядковое число нашего вывода в целом.
Итак, мы можем констатировать, что операции устранения
индукции и квантора существования, будучи применены к какому-
либо выводу, уменьшают его порядковое число. С помощью этого
факта искомое доказательство того, что любая последовательность
применений операций устранения индукции и квантора существо-
существования должна оборваться, сводится к установлению того, что
любая убывающая последовательность О-со-фигур после конечного
622 ПРИЛОЖЕНИЕ (V
числа шагов обрывается, т. е. ведет к фигуре 0. Этот факт мы
еще должны установить1).
Для O-w-фигур нулевого и первого ярусов справедливость
этого утверждения усматривается элементарно. Теперь мы пока-
покажем, как из справедливости этого утверждения для О-ю-фигур
ярусов до /г-го включительно вытекает справедливость его и для
ярусов до (&+1)-го включительно. Данную O-w-фигуру мы будем
для краткости называть фигурой конечного спуска, если
можно убедиться, что любой спуск (т. е. любая убывающая по-
последовательность 0-©-фигур), начинающийся с этой фигуры, обры-
обрывается после конечного числа шагов2). После этого наша задача
формулируется следующим образом. Пусть нам удалось показать,
что любая 0-©-фигура яруса не выше /г-го (&2г 1) является фигу-
фигурой конечного спуска. Требуется показать, что и любая 0-ю-фи-
гура (/г+1)-го яруса тоже является фигурой конечного спуска.
Сначала заметим, что достаточно провести доказательство для
фигуры ©а. Действительно, если рассматривать фигуры с [(&+1)-
го яруса] вида йЛ + .-. + аЛ, где ах^а2^...^ас, то, как из-
известно, фигура (оа»+1 больше любой из них и тоже является
фигурой (k-\- 1)-го яруса, причем каждому спуску, начинающемуся
с с, соответствует спуск с (оа» + 1, который состоит в том, что мы
сначала с (оа»+1 спускаемся на с, а затем повторяем рассматри-
рассматриваемый спуск, начинающийся с с.
Сделаем еще одно вспомогательное замечание. Если нам
удастся установить, что степень со" является фигурой конечного
спуска, то отсюда будет вытекать, что и каждая сумма coa + (oa + ...
. .. + ©" тоже является фигурой конечного спуска. Действительно,
если, пользуясь обычными обозначениями, записать такую сумму,
х) Кальмар использует для этого рассуждение, с помощью которого Генцен
в его работе: Qentzen G. Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie. —
Math Ann., 1930, 112, S. 555 и далее — доказывает законность трансфииитной
индукции для порядковых чисел, не превосходящих первого канторовского е-чис-
ла. Сам Генцен тоже ссылается на это рассуждение в своем более позднем дока-
доказательстве непротиворечивости, однако здесь он говорит об этом способе
обоснования как о предварительном, с намерением когда-нибудь вернуться
к рассмотрению этого вопроса. (См.Ыеие Fassung des Widerspruchsfreiheitsbeweises
fflr die reine Zahlentheorie — Forschungen zur Logik und zur Grundlegung der
exakten Wissenschaften, Neue Folge, 1938, № 4, S. 44.) Мы в Дальнейшем
воспользуемся рассуждением, которое— в отличие от упомянутого рассуждения
Генцена, а также от приведенного в гл. V, § 3, п. в) доказательства для
частной трансфиннтной индукции—относится непосредственно к О-со-фигурам
и в котором не используются никакие представления о трансфинитной индукции.
2) Выражение «конечный спуск» не должно наводить нас на мысль о том,
что в данном случае речь идет о каком-либо свойстве 0-ш-фигур, распознаваемом
элементарными средствами. В самом деле, у любой фигуры не ниже второго
яруса возможных спусков бесконечно много и они не могут быть перепро-
перепробованы все.
§ I] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КАЛЬМАРА 623
состоящую из m+ 1 члена, в виде а>а • (т+ 1), то при любом спуске
с со" -(m-f 1) первые т слагаемых будут оставаться без изменений,
пока мы не дойдем до фигуры, которая меньше со" т. Если мы
отвлечемся от этих т совпадающих слагаемых, то получится
начинающаяся с а>а последовательность спуска, а она, по нашему
предположению, должна после конечного числа шагов оборваться
Таким образом, за конечное число шагов мы приходим от
(оа • (т + 1) к (оа • т или к меньшей фигуре. Мы можем даже
считать, что мы доходим до а>а т, так как в любом случае эту
фигуру можно включить в наш спуск, от чего он только удли
нится. Но в точности так же, как мы за конечное число шагов
доходим от со" • (m-f 1) до а>а ■ т, мы дойдем от а>а • т до а>а • (т — 1)
и т. д., так что в целом спуск с (t>"-(m-f 1) за конечное число
шагов приведет нас к 0.
А теперь рассмотрим спуск, идущий от степени со". Первый
шаг спуска ведет нас к фигуре вида со +... + аЛ (a1Ss...Ssal,).
где a > ax. Самое большее эта фигура равна co г. Таким образом
наш спуск разве лишь удлинится, если мы (в случае неравенства)
вставим между со" и упомянутой фигурой еще и со'1' г. Следова
тельно, вопрос о том, является ли со'1 фигурой конечного спуска
сводится к аналогичному вопросу относительно фигуры a>aii и,
ввиду проведенного нами вспомогательного рассуждения, к ана-
аналогичному вопросу относительно со. Для со повторяется то же
самое, т. е. вопрос о том, является ли эта фигура фигурой
конечного спуска, в результате первого шага спуска сводится
(в разъясненном выше смысле) к аналогичному вопросу для
некоторой степени со, где а2 меньше аг.
Повторяя эти рассуждения, мы получим убывающую последо-
последовательность показателей a>a!>»a2>»... Но так как а является
фигурой не выше fe-ro яруса, то последовательность эта должна
оборваться в конечное число шагов; тогда при показателе, равном
0, у нас получится фигура а>° конечного спуска. Следовательно,
в конечное число шагов оборвется и весь наш спуск в целом
Замечание. Заметим, что здесь не утверждается какая-то
теорема о том, что «если со является фигурой конечного спуска(
то a>a тоже обладает этим свойством». Сведение утверждения о
конечности спуска фигуры a>a к утверждению этого же свойства для
со производится не с помощью такого рода теоремы, а на осно-
основе особого характера первого шага спуска, начинающегося с<oal).
Мы имеем здесь что-то вроде цугцванга в шахматах.
624 ПРИЛОЖЕНИЕ IV
§ 2. Доказательство Аккермана
Приводимое здесь доказательство непротиворечивости относится
к формализму, который получается из арифметического формализма
(Z) в результате присоединения к нему е-формулы
А(а)-+А(гхА(х)).
Оно связано с первоначальным гильбертовским подходом к исклю-
исключению е-символов и с дальнейшим развитием этого подхода,
осуществленным Аккерманом, о чем подробно говорилось в § 4
гл. II. Правда, в самом общем случае этот метод не привел нас
к желаемому результату.
Однако когда Генцен показал, что с помощью некоторого
обобщения методов теории доказательств — а именно, при исполь-
использовании обобщенной индукции до первого е-числа — может быть
доказана непротиворечивость арифметического формализма, Ак-
керман обнаружил, что связанный с гильбертовским подходом
метод при соответствующем расширении этого метода также может
дать полное доказательство непротиворечивости.
Для того чтобы изложить данное доказательство, нам не нужно
еще раз подробно повторять все подготовительные мероприятия,
подвергнутые детальному обсуждению в гл. IIх). Мы перечислим
только ряд необходимых нам фактов:
1. Рассматриваемая нами формальная система заметно упро-
упрощается в результате замены аксиомы индукции формулой
А (а) ->- &ХА (х) ф а!
и элементарной аксиомой
и добавления одноместной функции б к числу исходных (исход-
(исходными являются штрих-функция, сложение и умножение).
2. Как известно, для доказательства непротиворечивости на-
нашего формализма достаточно показать, что любая выводимая в нем
формула без переменных при естественном определении истинно-
истинностных и арифметических функций и при обычном понимании
равенств между цифрами является истинной.
К этому следует заметить, что в рассматриваемом далее ариф-
арифметическом формализме допустимые арифметические функции
мы ограничиваем лишь требованием, чтобы для любой из них
имелся в наличии способ для эффективного вычисления ее значений
при любых значениях ее аргументов. Для такого рода функций
могут быть сформулированы аксиомы, от которых требуется лишь,
чтобы они, во-первых, не содержали ни связанных индивидных,
См. с. 116—119 и 121 — 150.
§ 2] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО АККЕРМАНА 625
ни формульных переменных (точнее говоря, чтобы они были либо
равенствами, либо формулами, построенными из равенств при
помощи связок исчисления высказываний) и, во-вторых, чтобы
при любой замене свободных переменных цифрами они давали
истинные формулы, т. е. чтобы они были верифицируемыми
формуламих).
Верифицируемой формулой является и аксиома
(здесь функция б вычисляется на основе рекурсивных равенств
8@) = 0, 8(л') = л).
Наряду с равенствами мы могли бы допустить и другие ариф-
арифметические элементарные формулы, однако такого рода обобщение
было бы несущественным, так как элементарные арифметические
отношения такие, например, как «а меньше Ь», «а является дели-
делителем Ьч> и т. п., как известно, могут быть выражены соответст-
соответствующими равенствами при помощи вычислимых, и даже прими-
примитивно рекурсивных, функций.
3. К выводу любой формулы без переменных может быть при-
применена операция исключения кванторов при помощи е-формулы2),
а вслед за тем — операция возвратного переноса подстановок
в исходные формулы и операция исключения свободных перемен-
переменных. После выполнения этих операций из правил вывода оста-
останутся только схемы заключения и переименования связанных
переменных, а для каждой из исходных формул будет иметь место
следующая альтернатива: либо эта формула получается в резуль-
результате подстановки из какой-либо тождественно истинной формулы
исчисления высказываний или из верифицируемой формулы, либо
она получается по схеме равенства
или по одной из схем
где а, Ь и I — термы, не содержащие переменных. Исходные фор-
формулы двух последних типов мы называем критическими
формулами первого и соответственно второго рода и
говорим, что они связаны с е-термом eE9l(j) Фигуру дока-
доказательства с перечисленными свойствами мы называем норми-
нормированным доказательством.
4. Пусть нам дано нормированное доказательство какой-либо
формулы без переменных. Если всем входящим в эту формулу
е-термам мы сможем сопоставить в качестве их значений некото-
1) См. с. 58.
2) См. с. 33—34
626 ПРИЛОЖЕНИЕ IV
рые цифры таким образом, что одинаковые е-термы получат
одинаковые значения, и при этом с учетом обычной процедуры
вычисления арифметических функций и обычного понимания нуме-
рических равенств и истинностных функций каждая из исходных
формул получит значение «истина», то и заключительная формула
получит значение «истина», так как применение схемы заключения
от истинных формул ведет к истинным. Вследствие этого для
искомого доказательства непротиворечивости достаточно показать,
что для всякого нормированного доказательства можно подобрать
такие значения фигурирующих в нем е-термов, при которых будут
выполнены указанные условия для исходных формул. Те из
исходных формул, которые получаются в результате подстановок
из тождественно истинных или из верифицируемых формул, полу-
получают значение «истина» при любых значениях входящих в них
е-термов. Поэтому мы должны специально позаботиться об исход-
исходных формулах, построенных по схеме равенства, и о критических
формулах первого и второго рода.
5. При выборе значений е-термов мы должны учитывать те
типы комбинирования е-термов, с которыми связываются понятия
вложения и подчинения е-термов или соответственно
е-выражений, а также понятия степени е-терма и ранга
е-выражениях). Мы используем также понятие основного типа:
при этом мы говорим об основных типах таких-то е-тер-
е-термов или же просто об основных типах. Среди прочих е-термов
основные типы характеризуются тем, что каждый фигурирующий
в них в качестве собственной части терм является свободной
индивидной переменной и что ни одна из этих переменных не
повторяется дважды. С каждым е-термом однозначно (отвлекаясь
от обозначений упомянутых свободных переменных) связывается
некоторый основной тип, из которого он получается в результате
подстановки термов вместо свободных переменных (быть может,
он просто совпадает с ним). Там, где это не будет вызывать недо-
недоразумений, мы будем называть этот основной тип просто основ-
основным типом данного е-терма. Для всякого основного типа
в нашем распоряжении остается выбор обозначений его свобод-
свободных переменных (аргументных переменных).
Об основном типе е-терма, с которым связана данная крити-
критическая формула, мы тоже будем говорить, что эта критическая
формула связана с рассматриваемым основным типом.
Замечание. Что касается связанных переменных, входящих
в е-термы, то они особой роли играть не будут, и при выборе
значений для е-термов, отличающихся друг от друга лишь обо-
обозначениями этих переменных, мы будем рассматривать такие термы
как одинаковые, не оговаривая этого каждый раз особо2).
1) См. с. 43—46.
а) См. аналогичное замечание на с. 32.
§ 2] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО АККЕРМАНА 627
Основной тип данного е-терма мы будем заодно считать и
основным типом любого е-выражения, получающегося из рассмат-
рассматриваемого е-терма в результате замены некоторых его свободных
переменных связанными.
6. Выбор значений для е-термов целесообразно производить
с использованием основных типов. Нормированные доказательства
устроены так, что встречающиеся в них е-термы свободных пере-
переменных не содержат. Любой такой е-терм либо совпадает со своим
основным типом, и тогда этот основной тип не имеет аргументных
переменных и в качестве его значения может быть взята какая-
либо цифра; либо же этот е-терм получается из своего основного
типа
с аргументами переменными »lt ..., »„ в результате замены этих
переменных некоторыми термами ti tn. В качестве значения
такого основного типа берется какая-нибудь функция, зависящая
от переменных t>i »„, аргументами и значениями которой
являются цифры, причем такая, что ее значение отлично от нуля
только для конечного числа наборов значений аргументов. Пусть
Ф(»!, ..., х>„) — функция, которая оказывается на месте основного
типа еЕ31 (£, »ь..., »„). Тогда выбор значения е-терма еЕ31 (£, tb ..., tn)
сводится к нахождению значения <р (ti, ..., tn), а тем самым —
к нахождению значений термов ti, ..., tn. Каждый из этих термов
либо является цифрой, либо строится из цифр и вычислимых
функций, так что его значение получается в результате соот-
соответствующего вычисления, либо же он снова является е-тер-
мом или содержит один или несколько е-термов в качестве
составных частей. Тогда для этих е-термов в свою очередь
должны быть выбраны их значения. Однако этот процесс в конце
концов завершается, так как любой е-терм, фигурирующий в
е-терме e£9l(£, ti ..., tn) в качестве его составной части, име-
имеет меньший ранг. При таком вычислении е-термов вложенным
друг в друга е-термам соответствуют вложенные друг в друга
арифметические функции, сопоставленные основным типам соот-
соответствующих е-термов. Только тем е-термам, которые не содержат
в качестве составных частей никаких других термов, соответствует
не функция, а число.
Такой способ приписывать значения е-термам, основанный на
использовании их основных типов, нацелен прежде всего на то,
чтобы избежать циклов, которые могли бы появиться в том слу-
случае, если бы мы стали приписывать значения непосредственно
самим е-термам. Действительно, в таком случае могло бы ока-
оказаться, что совокупность термов, которым должны приписываться
значения, в свою очередь зависит от этих значений. Это обнару-
628 ПРИЛОЖЕНИЕ ^
живается, например, в случае, когда мы имеем дело с критиче-
критической формулой первого рода, связанной с термом вида
в#(х, еу%(х, у)).
Если данный е-терм для краткости обозначить посредством е, то
всякая связанная с ним критическая формула первого рода будет
иметь вид
21 (f, <^(f, */))-* 21 (е, е,©(е, у)).
Чтобы найти истинностное значение заключения этой импликации,
нам потребуется знать значение терма е^ЗЗ (е, у), и в зависимости
от того, какое значение J будет придано терму е, нам придется
вычислять тот или иной е-терм еу$д (J, у).
При вычислениях значений с помощью основных типов такого
рода осложнений возникать не будет. Действительно, в этом
случае совокупность основных типов, которым должны быть
сопоставлены арифметические функции, наперед определяется
совокупностью е-термов, фигурирующих в рассматриваемом нор-
нормированном доказательстве.
Кроме того, описываемый способ обладает тем преимуществом,
что при нем формулы, построенные по схеме равенства, всегда,
т. е. без дополнительных предосторожностей, принимают значение
«истина». В самом деле, всякая такая формула имеет вид
Если термы я и b получат различные значения тип, то посылка
внешней импликации примет значение «ложь», а значит, вся
формула в целом — значение «истина». Если же оба эти терма
получат одно и то же значение, то в соответствии с нашей про-
процедурой формуле 21 (я) во всех случаях будет отнесено то же
самое истинностное значение, что и формуле 21 (Ь), так как каж-
каждому терму, входящему в 21 (а) и содержащему а в качестве
составной части, в 21 (Ь) соответствует терм, тем же самым спосо-
способом устроенный с помощью терма 6, а потому и в этом случае
вся формула в целом снова получит значение «истина».
Таким образом, задача установления непротиворечивости нашего
формализма сводится к тому, чтобы путем придания е-термам
соответствующих значений сделать истинными те критические
формулы первого и второго рода, которые могут фигурировать
в качестве исходных формул в каких-либо нормированных
доказательствах.
С этой целью мы сначала выпишем в некоторой последова-
последовательности основные типы всех е-термов, встречающихся в этих
критических формулах. Последовательность эту мы выберем таким
образом, чтобы основные типы более низких рангов предшествовали
основным типам с более высокими рангами.
§ 2] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО АККЕРМАНА 629
Какое-либо сопоставление этим основным типам арифметиче-
арифметических функций мы будем называть общей заменой1). Любая
общая замена однозначно определяет значения е-термов, входящих
в критические формулы, а также и всех тех е-термов, которые
получаются из этих термов в результате замены в них одного
или нескольких подтермов какими-нибудь цифрами.
О терме, который в результате какой-либо общей замены полу-
получает в качестве значения цифру 5, мы будем также говорить, что
он при этой общей замене редуцируется в цифру?. В
аналогичном смысле о заданной формуле мы будем говорить, что
при рассматриваемой общей замене она редуцируется в значение
«истина» или в значение «ложь». Мы будем также говорить, что
формула g при общей замене © редуцируется в формулу %и
если gx получается из % в результате замены фигурирующих в %
термов теми цифрами, в которые они редуцируются при общей
замене ©.
Замысел первоначального гильбертовского подхода к устране-
устранению е-символовг) заключается в том, чтобы построить некоторую
последовательность общих замен, а затем доказать, что уже на
некотором конечном шаге она приводит к такой замене, при
которой все критические формулы принимают значение «истина».
Основная идея этого подхода такова: по критической формуле
первого рода
принимающей при какой-либо общей замене © значение «ложь»,
мы сначала находим такую цифру J, что формула 91 E) при дан-
данной общей замене принимает значение «истина». А именно, если
при замене © терм f редуцируется в цифру г, то посылка 91 (f),
а значит и 91 (л), при замене © должна принимать значение
«истина», так как по условию наша критическая формула при
этой замене должна быть ложной. Затем от этой цифры j можно
перейти к наименьшей из цифр п, входящих в список 0, 0', ..., 3
и таких, что при данной замене © формула 91 (п) редуцируется
в значение «истина». Обозначим эту цифру через ?0- Тогда всякая
критическая формула (первого или второго рода) в результате
общей замены © при замене в ней терма е£91 (£) цифрой j0 будет
редуцироваться в значение «истина». Для критических формул
второго рода
91 (Г)-^91(
J) Такое употребление термина «общая замена» было введено в гл. II на
с 138. Еще раньше этот термин использовался в несколько ином смысле
(см. с. 128).
*) См. с. 124 и следующие.
630 ПРИЛОЖЕНИЕ (V
это верно потому, что для цифры т, в которую при общей заме-
замене © редуцируется терм [, либо верна формула jo^=m', либо —в
противном случае —из того, что m меньше $0, следует, что 91 (т),
а значит, и 91 (I) редуцируется в значение «ложь».
И все же попытка воспользоваться этим обстоятельством для
построения очередной общей замены наталкивается на трудности
из-за большого разнообразия возможных вложений и подчинений
е-термов, и потому требуются дополнительные соображения, кото-
которые могли бы обеспечить некоторый прогресс при построении
очередных общих замен. Такое соображение, выдвинутое В. Ак-
керманом, заключается в том, что процесс построения замен
должен быть организован таким образом, чтобы каждая общая
замена @ удовлетворяла следующему дополнительному условию:
если eE9t(£, съ ..., сг) — какой-либо основной тип из нашего списка
основных типов, а ?х, ..., ir — произвольные цифры, и если $ —
цифра, в которую при общей замене © редуцируется терм
ее91 (е, ?], ..., 5Г), то либо $ представляет собой цифру 0, либо
формула 91 (j, Sx> • • •. Зг) редуцируется при этой замене в значение
«истина», в то время как для любой меньшей цифры р формула
91 (р, jx jr) при рассматриваемой замене редуцируется в зна-
значение «ложь».
Общую замену, удовлетворяющую этому условию, мы будем
называть допустимой.
Примером допустимой общей замены может служить О-з а м е-
н а, при которой каждому основному типу без аргументов сопо-
сопоставляется цифра 0, а каждому основному типу с аргументами —
функция с тем же самым числом аргументов, тождественно
равная 0.
В последовательности производимых нами общих замен 0-за-
мена всегда будет играть роль исходной.
Заметим, далее, что при любой допустимой общей замене @
всякая критическая формула второго рода редуцируется в зна-
значение «истина». Действительно, любая такая критическая формула,
связанная с основным типом
eE9t (£, ах ar),
имеет, как мы знаем, вид
9l(f, ах аг) + еЕ91(Е, ах <v)#f',
и если при общей замене © термы f, ax лг редуцируются
в цифры п, ?! ?г, а терм eE9t E, jx jr) в цифру $, то эта
критическая формула редуцируется в формулу
91 (п, к у-н=/=п\
§ 21 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО АККЕРМАНА 631
Либо заключение этой формулы является истинным, либо цифры п'
и J совпадают, а тогда п меньше J, и потому при общей замене @,
являющейся по условию допустимой, посылка этой формулы
редуцируется в значение «ложь».
Таким образом, если мы в дальнейшем будем иметь дело
с только допустимыми общими заменами, то критическими форму-
формулами второго рода можно будет больше не интересоваться.
Далее, из определения допустимой общей замены вытекает,
что при любой такой замене © всякий раз, когда какой-либо
е-терм, с которым связана динная критическая формула первого
рода, редуцируется в цифру, отличную от 0, эта критическая
формула редуцируется в значение «истина». Действительно,
всякая такая формула
51(Е, «1, .... аг)-^31(еЕ31(Е, alf .... ar), alt .... ar)
при общей замене © редуцируется, как мы знаем, в формулу
где n, ?i, ..., у суть цифры, в которые при © редуцируются
термы t, alt ..., аг, а 5 — значение, принимаемое сопоставленной
при этой замене основному типу
еЕ21(Е, аь .... аг)
функцией при аргументах *ь ..., jr. Если 5 отлично от 0, то фор-
формула 91 (j, Ji v). а потому и рассматриваемая критическая
формула, при допустимой общей замене © редуцируется в значе-
значение «истина».
Кроме того, мы укажем некоторую процедуру, позволяющую
по любой допустимой общей замене @ такой, что хотя бы одна
критическая формула первого рода редуцируется этой заменой
в значение «ложь», получить новую допустимую общую замену.
Процедура эта состоит в следующем: мы рассматриваем те в-термы,
с которыми связаны критические формулы, редуцирующиеся при
замене © в значение «ложь». Среди основных типов этих е-термов
мы берем тот, который в установленной нами последовательности
основных типов идет первым. Пусть еЕ91 (£, аь ..., аг) — этот
основной тип, и пусть Sii • ••> %п — критические формулы, связан-
связанные с какими-либо е-термами данного основного типа и редуци-
редуцирующиеся при замене © в значение «ложь». Терм, с которым
связана какая-либо такого рода формула, имеет вид eE9I(£, alF ...
..., аг). При общей замене © термы аь ..., аг редуцируются
в некоторые конкретные цифры дх V, а терм еЕ51(£, 5Ь ...
..., ir) ввиду того, что данная замена является допустимой,
редуцируется в цифру 0, так как с термом еЕ21 (£, ^ а,) свя-
632 ПРИЛОЖЕНИЕ (V
зана некоторая критическая формула, редуцирующаяся в зна-
значение «ложь». Среди r-членных наборов цифр, выступающих
в такой роли, мы берем тот, который в нумерации этих наборов
имеет наименьший номер. (Мы считаем, что нумерация наборов
производится по максимальной цифре, а при равных максималь-
максимальных цифрах — в лексикографическом порядкех).) Пусть п1( ..., пг —
этот набор. Те из формул gb .... gn, у которых термы-аргументы
связанного с ними е-терма редуцируются в цифры пь .... пг,
представляют собой импликации с посылками вида 31 (f, аь ...
.... аг), Каждая иэ этих посылок при замене ® должна редуци-
редуцироваться в значение «истина», в то время как термы аь .... аг
редуцируются в цифры пх, ..., nr, a f редуцируется в некоторую
цифру. Пусть Jo — наименьшая из цифр, в которые редуцируются
эти термы f. Пусть, далее, J* — наименьшая из тех цифр п из
списка 0', 0", .... fa, для которых формула 31 (п, пь .... пг) реду-
редуцируется в значение «истина». (Цифру 0 мы исключаем из рас-
рассмотрения, поскольку формула 31 @, п1( ..., пг), как мы знаем,
редуцируется в значение «ложь».) Затем сопоставленная при
замене ® основному типу еЕ91(£, аь .... аг) функция видоизме-
видоизменяется таким образом, что для набора аргументов tix п, ее
значение полагается равным }*, в то время как при остальных
значениях аргументов ее прежние значения сохраняются. Для
тех основных типов, которые в нашей последовательности пред-
предшествуют основному типу eE3l (j, alt ..., аг), сопоставленные им
функции мы оставляем без изменений, а у следующих за ним
основных типов мы возвращаемся к 0-замене.
Мы теперь покажем, что полученная таким образом, исходя
из ©, общая замена ©' тоже является допустимой.
Для этого требуется убедиться, что для каждого основного
типа врE (9, сь ..., сп) из нашего списка основных типов выпол-
выполняется следующее условие: для любого л-членного набора цифр
Si, ..., In такого, что терм еЕE (j, jlt .... з„) при замене ©' реду-
редуцируется в отличную от 0 цифру 3, формула EE, ?ь .... jn)
редуцируется в значение «истина», в то время как для любой
цифры р, меньшей j, E (р, jlt ..., }„) принимает значение «ложь».
При этом мы должны считаться с тем обстоятельством, что в том
случае, когда основному типу ерE (ty, си .... сп) подчинены какие-
либо другие е-выражения, в формуле EC, jb ..., jn) или соот-
соответственно в E (р, Ji, .... jn) в качестве составных частей будут
фигурировать соответствующие е-термы.
Например, если основной тип вжE (х, с) в подробной записи
имеет вид
eJQ(x, с, и„ф(х, у, с)),
*) Такую нумерацию мы уже использовали ранее, см. с. 214.
§ 2] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО АККЕРМАНА 633
то соответствующая формула S (j, fa) будет записываться в виде
33(8, к, *&(Ь, у, к))
и, соответственно, (Е(р, j^) будет иметь вид
33 (Р, Зь е<,£0>, у, h)).
Фигурирующие таким образом в формулах 6(Я, ?ь ..., ?„) и
S (р, jj tn) е-термы всегда имеют ранг, меньший ранга е-терма
(основного типа) ер(£ (ty, Ci сп). Если теперь основной тип
Вр(£ (9, Ci, ..., ся) в последовательности наших основных типев
предшествует играющему в построении общей замены ©' главную
роль основному типу 8?Щ(£, d, ..., аг), который мы для краткости
обозначим через е, то основной тип любого е-терма более низкого
ранга и подавно будет предшествовать основному типу е, а потому
при замене ©' ему будет сопоставлена та же самая функция, что
и при замене @. Таким образом, основные типы, предшествую-
предшествующие в нашей последовательности основному типу е, при замене ©',
как и при замене @, удовлетворяют условию, сформулированному
в определении допустимой общей замены. С другой стороны, для
основных типов, следующих за е, это условие при замене ©'
выполнено тривиальным образом, так как этим основным типам
сопоставлена 0-замена. Следовательно, остается рассмотреть основ-
основной тип е, т. е. еЕЭД(£, a1( ..., аг). Замену ©' мы выбрали так,
что для любого r-членного набора цифр ць ..., ьг, отличного от
набора iii, • • •, «г, терм е£Щ(£, \lt ..., sr) при замене ©' редуци-
редуцируется так же, как и при ©; кроме того, для любой цифры 8
формула 31E, к У) (которая, как мы знаем, может содержать
только е-термы ранга меньшего, чем ранг е) при ©' редуцируется
так же, как и при ©. Что же касается набора nlf ..., пг, то
термвЕ21(Е, % пг) при ©' редуцируется в цифру J*, а фор-
формула 31E*, пь ..., пг) редуцируется при @, а потому и при ©',
в значение «истина», в то время как Sf(p, nlt ..., пг) при любой
цифре р, меньшей 5*, и при © и при ©' редуцируется в значе-
значение «ложь».
Таким образом, мы теперь в состоянии построить, исходя
из 0-замены, некоторую последовательность допустимых общих
замен, обладающую тем свойством, что за каждой общей заменой,
в результате которой не все критические формулы — здесь речь
идет только о критических формулах первого рода — редуцируются
в значение «истина», следует новая общая замена, отличающаяся
от предшествующей одним значением функции, сопоставленной
одному из основных типов (или, в простейшем случае, — сопостав-
сопоставленным этому основному типу числом).
634 ПРИЛОЖЕНИЕ ^
Теперь мы покажем, что в этой последовательности допусти-
допустимых общих замен после конечного числа шагов наступает об-
обрыв.
Чтобы установить этот факт, мы, следуя Аккерману, введем
ряд понятий, которые будут нам полезны в дальнейшем.
Приписывание какого-либо отличного от 0 значения функции
для одного из основных типов в одной из точек (соответственно
приписывание какого-либо отличного от 0 значения для основного
типа без аргументов) мы будем называть заменой примером1).
Для каждой общей замены, за исключением начальной 0-замены,
среди основных типов имеется первый, такой, что приписанная
ему функция (соответственно число) отличается от функции
(числа), приписанной ему в предшествующей общей замене. Номер
этого основного типа в списке рассматриваемых основных типов
мы будем называть характеристическим номером данной
общей замены, а количество всех таких основных типов, начиная
с данного, мы будем называть характеристическим чис-
числом этой общей замены.
Рассматриваемые общие замены мы будем обозначать в порядке
их образования посредством @0. ©ъ ••• Общую замену ®k мы
будем называть прогрессивной по отношению к предшест-
предшествующей ей общей замене ®{, если все замены примерами из ©4
сохраняются и в ®к.
При i < k общая замена ©* всегда содержит некоторую замену
примером, которая в ©,• отсутствует. Действительно, пусть ©у —
замена из списка ©,+1 ©ft, с минимальным характеристи-
характеристическим номером. Тогда заменой Щ вводится некоторая замена
примером, не фигурирующая в ©,-, и эта замена сохраняется и
в возможных дальнейших общих заменах, образуемых в соответ-
соответствии с нашей процедурой построения общих замен.
Пусть а0, аь ..., aft — список е-термов, каждый из которых
имеет основной тип, входящий в наш список основных типов, и
пусть вместе с каждым встречающимся в нем е-термом t в него
входит и каждый е-терм, вложенный в t, причем на более раннем
месте. Чтобы удовлетворить последнему из этих условий, относя-
относящемуся к порядку следования е-термов в конечной их совокупно-
совокупности, достаточно нумерацию этих е-термов ввести таким образом,
чтобы выполнялись следующие условия: различные е-термы полу-
получают различные номера и е-терм, являющийся собственной состав-
составной частью некоторого другого е-терма, имеет номер, меньший
J) Этим названием отмечается то обстоятельство, что данное, отличное
от 0 значение функции, вновь соотносимое общей заменой основному типу
еЕЭ(£, ах, ..., аг) в точке jt> •••■ }/■> представляет собой пример цифры j,
при которой формула *8 (}, h> • • • > ir) эт°й общей заменой редуцируется в зна-
значение «истина».
§ 2] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО АККЕРМАНА 635
номера этого последнего1). Очередность для е-термов какой-либо
совокупности при этом устанавливается так, чтобы эти термы
располагались в порядке возрастания сопоставленных им номеров.
Мы зафиксируем какой-либо такой порядок е-термов, и будем
называть список, удовлетворяющий указанному условию, нор-
нормальным списком е-термов.
Под редукционным числом общей замены © относи-
относительно нормального списка е-термов а0, аь ..., ал мы будем
понимать значение, принимаемое выражением
где tij (/ = 0, ..., h) принимает значение 1 или 0 в зависимости
от того, в какую цифру — равную нулю или отличную от него —
редуцируется терм а,- при общей замене ©.
Нас будут особенно интересовать редукционные числа общих
замен ®i относительно двух специальных нормальных списков
е-термов: во первых, относительно (упорядоченного в установлен-
установленной очередности) списка всех е-термов, входящих в рассматривае-
рассматриваемые критические формулы первого рода, и, во-вторых, относи-
относительно (снова упорядоченного в указанной очередности) списка
тех входящих в формулы
81@, пь ..., nr), Sl@', пь .... пг), ..., 3l(?0, ttx пг)
е-термов, с помощью которых при замене ®i находится цифра J*
для следующей общей замены. Редукционное число замены @г
относительно первого из упомянутых списков е-термов мы будем
сокращенно называть первым редукционным числом этой
замены, а редукционное число относительно второго списка,—
вторым редукционным числом ©,-.
Нам потребуются некоторые факты, относящиеся к этим редук-
редукционным числам.
Лемма 1. Первые редукционные числа общих замен ©,• и ®i+l
различны.
Действительно, при переходе от ©,- к ©,+i, как мы помним,
в точности один основной тип e£3t(g, аг, ..., аг) получает допол-
дополнительную замену примером для некоторого набора (пх пг)
его аргументов. При этом цифры пх г\г получаются из неко-
некоторого е-терма eE3t(g, аг аг), с которым связана одна из
наших критических формул, редуцирующаяся при замене ©, в зна-
значение «ложь». Термы ах аг при замене ©г- редуцируются
х) Для этого годится, например, нумерация, которая получается из вве-
введенной в гл. V на с. 367 — 370 нумерации для формализма (ZH) в результате
сопоставления каждому е-терму е номера, получаемого в указанной нумерации
термом t, представляющим собой результат замены каждого входящего в t
е-символа соответствующим ему fi-символом.
636 ПРИЛОЖЕНИЕ [V
в цифры пь .... пг, а терм еЕ31(у, ах, ..., аг) в цифру 0. Может
оказаться, что е-термы, фигурирующие в термах ах, .... аг, при
замене ©,+1 редуцируются точно так же, как и при ©;. В этом
случае упомянутые термы при замене ©,-+1 редуцируются тоже
в цифры пь .... пг. Но терм еЕ21 (£, пь ..., пг) при замене ©,-+i
редуцируется в цифру, отличную от 0, и, значит, терм еЕ31 (£, аь ...
.... аг) при замене ©i+1 редуцируется иначе, чем при ©,-. (Это
верно, конечно, и в том случае, когда число г аргументов аь ...
..., аг равно нулю.) В противном случае по крайней мере один
из е-термов, фигурирующих в термах аъ ..., аг, при замене ©,-+1
редуцируется иначе, чем при ©,-, и один из таких термов входит
и в список е-термов, встречающихся в наших критических фор-
формулах первого рода. Итак, в любом случае в этом списке имеется
по крайней мере один терм, который при замене ©,+1 редуци-
редуцируется иначе, чем при замене ©г. Но это различие может заклю-
заключаться только в том, что при одной из этих двух общих замен
данный е-терм редуцируется в 0, а при другой —в цифру, отлич-
отличную от 0. В самом деле, изменение значений основных типов
при переходе от замены ©г к замене ®i+1 состоит лишь в том,
что, с одной стороны, вместо некоторого значения функции, рав-
равного 0, появляется новое ее значение, отличное от 0, а с другой
стороны, для некоторых основных типов происходит возврат
к 0-замене. Следовательно, в выражении
определяющем первое редукционное число, при переходе от ®{
к ®i+i изменяется по крайней мере одно из чисел п0, nlt ..., nh.
Но тем самым изменяется и значение этого выражения, что и
требовалось доказать.
Лемма 2. Если общая замена ®k прогрессивна по отношению
к ©г, то, каков бы ни был нормальный список е-термов, либо
ъ-термы этого списка одинаково редуцируются при заменах ®i и
©й, либо редукционное число относительно этого списка у за-
замены ©к меньше, чем у замены ©,-.
Действительно, возьмем произвольный нормальный список
е-термов и предположим, что первый случай альтернативы места
не имеет. Пусть ау —первый из тех е-термов этого списка, кото-
которые при ©ft редуцируются иначе, чем при ®t. Пусть этот терм
получается из своего основного типа еЕ33(£, съ ..., сг) в резуль-
результате замены аргументных переменных си ..., сг термами гь ...
..., хг. Тогда каждый е-терм, встречающийся в термах ti, ..., хг,
входит в рассматриваемый нормальный список, причем распола-
располагается в нем перед а./. Значит, такой терм при замене ©ft реду-
редуцируется так же, как и при ©,-. Тем самым термы гь ..., хг
при ©4 редуцируются так же, как и при ©,-. Пусть »lf .... Jr —
§ 2] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО АККЕРМАНА 637
цифры, в которые эти термы редуцируются при обеих рассматри-
рассматриваемых нами общих заменах. Тогда основной тип еЕ33 (е, clt ...
..., сг) при замене ®k получает в точке ilt ..., ir замену, отлич-
отличную от той, которую он получает при ©,-. Так как замена ©*
прогрессивна по отношению к ©,-, то это изменение должно заклю-
заключаться в переходе от 0-замены к некоторой замене примером.
Поэтому в выражении
определяющем редукционные числа этих общих замен относи-
относительно рассматриваемого нормального списка е-термов, значения
па, ..., «/_! у замен ©,- и ©ft совпадают, щ у ©,- имеет значе-
значение 1, а у ©а —значение 0, что и требовалось доказать.
Лемма 3. Если общая замена %k прогрессивна по отношению
к ©,-, то либо первое редукционное число у ©ft меньше, чем у ©*,
либо эти числа равны и второе редукционное число у ©* меньше,
чем у ®г, либо же оба эти редукционные числа у замен ©,• и ©ft
равны, и в этом случае за ©ft следует общая замена @*+i, про-
прогрессивная по отношению к ©(+1 и имеющая то же самое харак-
характеристическое число, что и ©,ч-1; в последнем случае, кроме того,
новая замена примером при переходе от ©ft к ©ft+1 оказывается
той же самой, что и при переходе от ©,- к @,-+1.
В самом деле, применив лемму 2 к списку е-термов, опреде-
определяющему первое редукционное число, мы сможем заключить, что
либо это число у замены ©ft меньше, чем у ©,-, либо все е-термы,
входящие в рассматриваемые критические формулы первого рода,
при обеих этих заменах редуцируются одинаково. Нахождение
новой замены примером для ©; и для ©ft в этом случае будет
связано с одной и той же формулой. К замене @ft, так же как
и к ©,-, примыкает следующая за ней общая замена ®k+i, и
характеристический номер / замены ©ft+1 будет тем же самым,
что и у замены ®/+1. Кроме того, вторые редукционные числа
у ©,• и у ©А относятся к одной и той же совокупности е-термов.
Отсюда по лемме 2 получается, что либо второе редукционное
число у замены ©й меньше, чем у @;, либо все е-термы этой
совокупности при замене @ft редуцируются так же, как при ©,-.
Но отсюда следует, что добавляющаяся в ©А+1 замена примером
будет той же самой, что и в ©(+1. Кроме того, можно утверждать,
что все замены примером, имеющиеся в ©,+1, будут присутство-
присутствовать также и в ©a+i. Действительно, замены примером, входящие
в ©й-1, состоят, как мы помним, из замен, входящих в ©,• и
касающихся определения значений основных типов с номерами,
не превосходящими /, а кроме того, из замены примером, добав-
добавляющейся в ®i+1. Но все такие замены, входящие в ©,-, присут-
присутствуют и в ©А, так как ©ft прогрессивна по отношению к @ь и
638 ПРИЛОЖЕНИЕ [V
поскольку эти замены относятся к основным типам с номерами,
не превосходящими I, то они сохраняются при переходе от (%
к ©*+!. Кроме того, при этом переходе добавляется та же самая
замена примером, которая добавляется при переходе от ®t к ©,-+1.
Таким образом, общая замена @к+1 прогрессивна по отношению
к ©,Ч1, что и требовалось доказать.
Теперь мы введем понятия т-списка общих замен и
индекса т-списка. Последовательность идущих друг за дру-
другом общих замен ©it ©i+i, ..., @,+Р мы будем называть 1-списком,
если р = О, т. е. если эта последовательность состоит в точности
из одной общей замены. При га > 1 последовательность ©;, ©,-+i. • • •
• • • > ©i+p будет называться m-списком, если характеристические
числа всех замен ©i+1, ..., ©,-+р меньше m, a ©,• либо совпадает
с 0-заменой ©о, либо имеет характеристическое число, большее
или равное т, и если, кроме того, в случае, когда <3!+р не
является последней общей заменой, ©i+p+i имеет характеристи-
характеристическое число, большее или равное т. Таким образом, у т-списка
©ii ©*+ii • • • > ®нр последовательность ©/+1, ..., ©,+р представляет
собой непродолжимую в обе стороны последовательность общих
замен с характеристическими числами, меньшими т. Согласно
этому определению (т -|-1 )-список может одновременно быть и
m-списком, но, вообще говоря, он состоит из нескольких m-спи-
m-списков, у которых, начиная со второго подсписка, начальный член
имеет характеристическое число, равное т.
Очевидно, что у общих замен любого (т + 1)-списка значения
всех основных типов, за исключением последних т, определены
одинаково.
Индексом любого 1-списка, состоящего, как мы помним,
из единственной общей замены ©, мы будем называть О-со-фигуру
со1 • г-(-со0• s, или, короче, co-r-j-s, в которой г —первое, as —
второе редукционное число замены ©. Индексом (т+ 1)-списка,
у которого следующие друг за другом m-списки, из которых он
состоит, имеют индексы аъ ,.., ад, мы будем называть фигуру
со ' -f-...-f- со ^.
То, что определенные таким образом индексы m-списков при
т> 1 тоже являются О-со-фигурами, мы докажем путем перехода
от m к rn-fl, показав, что индексы следующих друг за другом
m-списков, составляющих данный (m-f 1)-список, всегда образуют
убывающую последовательность О-со-фигур.
Доказав это, мы одновременно достигнем и нашей конечной
цели, т. е. покажем, что последовательность идущих друг за
другом общих замен всегда ведет к обрыву, т. е. приводит к такой
общей замене, в результате которой все критические формулы
редуцируются в значение «истина».
§ 21 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО AKKEfMAHA 639
В самом деле, любая убывающая последовательность 0-<о-фигур
после конечного числа шагов, как мы помним, обрывается. По-
Поэтому если индексы идущих друг за другом «-списков в каком-
либо (т+1)-списке образуют убывающую последовательность
0-со-фигур, то в каждом (m-f 1)-списке друг за другом может
идти только конечное число m-списков. В соответствии с этим
мы сначала получим, что в любом 2-списке может содержаться
только конечное число 1-списков, т. е. конечное число общих
замен, а затем, путем перехода от m к т+1, что в любом
m-списке может содержаться только конечное число общих замен.
Но если g — число основных типов в нашем списке основных
типов, то наша последовательность общих замен каждый раз
представляет собой начальный отрезок некоторого (g-\- 1)-списка,
так как характеристическое число любой общей замены не может
быть больше g, и, значит, в этой последовательности после конеч-
конечного числа шагов должен будет наступить обрыв. Таким образом,
фактически остается показать, что индексы идущих друг за дру-
другом m-списков любого (т+1)-списка образует убывающую после-
последовательность.
С этой целью из нашей леммы 3 мы выведем следствие, кото-
которое гласит, что
Если какая-либо общая замена ®k прогрессивна по отношению
к другой общей замене ®i, то либо индекс ©й меньше индекса ©,-,
либо обе эти замены имеют один и тот же индекс и за заме-
заменой ®k идет общая замена ®k+1, прогрессивная по отношению к ®i+l
и имеющая то же самое характеристическое число и ту же самую
новую замену примером, что и ©,-+1.
Первый. случай имеет место тогда, когда выполняется одна
из первых двух альтернатив в заключении леммы 3. Это следует
из того, что и в том случае, когда уменьшается первое редук-
редукционное число г какой-либо общей замены, и в том случае, когда
оно остается неизменным, но уменьшается второе ее редукцион-
редукционное число s, уменьшается и индекс cor+s этой замены. Второй
случай имеет место, когда выполняется третья альтернатива
в заключении леммы 3.
Добавив к этому лемму 1, мы получаем также, что если общая
замена ©,+1 прогрессивна по отношению к ©,-, то ее индекс
меньше индекса ©,-.
Отсюда немедленно следует, что общие замены, образующие
какой-либо 2-ряд, имеют убывающие индексы. Действительно,
все эти замены, не считая первой, имеют характеристическое
число 1 и, значит, характеристический номер g. Следовательно,
у каждой из этих общих замен все замены примером сохраняются.
Это означает, что каждая из этих замен (снова не считая пер-
первой) прогрессивна по отношению к предыдущей, и потому может
быть применено только что сформулированное следствие из
640 ПРИЛОЖЕНИЕ fV
леммы 1. Из того, что индексы общих замен в 2-списке убывают,
следует, во-первых, что всякий такой 2-список после конечного
числа шагов обрывается и, далее, что если аг ап суть
индексы последовательных общих замен, то фигура со +... + со°Ч
которую мы в свое время объявили индексом этого 2-списка,
представляет собой О-со-фигуру.
Заодно мы получаем, что если у двух 2-списков (не обяза-
обязательно идущих друг за другом) индекс первой общей замены
первого списка больше индекса первой общей замены второго
списка, то и индекс первого списка больше индекса второго
списка. Кроме того, верно также, что если у двух 2-списков
(не обязательно идущих непосредственно друг за другом) индексы
общих замен совпадают вплоть до замен ©,-+r-i и ©я-p+r-i вклю-
включительно, а замена @г+л имеет больший индекс, чем ©,-+,,+,, то
индекс первого из этих двух 2-списков тоже больше индекса
второго.
Теперь утверждения, доказанные здесь для 2-списков, надле-
надлежит доказать для произвольных m-списков при тэ=2. Соответ-
Соответствующие утверждения гласят:
A) Для каждого входящего в рассмотрение числа m фигуры,
представляющие собой индексы (т —1)-списков, являются
0-со-фигурами.
B) Индексы (т —1)-списков, идущих друг за другом в каком-
либо т-списке, убывают.
C) Если нам даны два m-списка, начинающиеся общими заме-
заменами ®i и ©1+р (эти списки не обязаны идти непосредственно
друг за другом), и если индекс ©г больше индекса @/+р, то
индекс первого из этих двух m-списков больше индекса второго.
Аналогичное утверждение имеет место в том случае, когда оба
эти m-списка начинаются соответственно общими заменами
©м-р. ©г+p+i» •••»
причем индекс ©;+г больше индекса @,-+p+r, а при 0 ==£/</• индексы
замен @|+/ и @г+р+/ равны и при 1^/^г равны характеристи-
характеристические числа замен ©/+/ и @/+p+/.
Эти утверждения мы докажем путем перехода от m к m -f- I;
т. е., допустив, что они уже доказаны для чисел до m включи-
включительно, мы докажем их для m-j-1.
« 21 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО АККЕРМАНА 641
Для этого мы прежде всего заметим, что из высказываний A)
и B) об (т—1)-списках, составляющих какой-либо т-список,
немедленно вытекает утверждение A) для этого m-списка. Это
обстоятельство будет явно использовано в утверждении C), когда
мы будем говорить о «большем» из индексов двух т-списков.
Нам нужно также доказать утверждение B) для т-списков,
следующих в каком-либо (m-f 1)-списке друг за другом. При
этом мы воспользуемся справедливостью утверждения C) для
т-списков.
Итак, рассмотрим два m-списка, следующих в каком-либо
(m-f 1)-списке друг за другом. Пусть первый из них записывается
в виде
Тогда второй начинается заменой ©г+р. Либо замена ©< представ-
представляет собой ©о, либо ее характеристическое число 2s m, Характе-
Характеристическое число замены ©,+р равно т, а @,+1, ..., ©i+p-i имеют
меньшие характеристические числа. Отсюда следует, что ни одна
из имеющихся в ©,- замен примером не ликвидируется ни в одной
из общих замен @г+1, ..., ©,-+р. Таким образом, замена @г+р про-
прогрессивна по отношению к ©г. Поэтому по лемме 3 либо индекс ©,+р
меньше индекса ©<, либо эти две замены имеют одинаковые
индексы и за ©г+р следует общая замена ©,+р+1, прогрессивная
по отношению к ©г+1 и имеющая то же самое характеристическое
число, что и @,+1. (Заметим, что во втором из этих двух слу-
случаев р не может быть равно 1, так как иначе замена ©г+р была бы
непосредственно следующей за ©,-, и так как она прогрессивна
по отношению к ©,-, то она должна была бы иметь индекс, мень-
меньший индекса @г.) В этом случае ®,+p+i принадлежит т-списку,
начинающемуся общей заменой ©,+р.
Проследим этот второй случай дальше. Общая замена ®i+p+i,
являющаяся, как мы знаем, прогрессивной по отношению к ©,-+i,
либо имеет меньший индекс чем ®t+1, либо обе они имеют оди-
одинаковые индексы и вслед за заменой ©г+р+1 идет общая за-
замена @г+р+2, которая прогрессивна по отношению к ©,-+2 и имеет
то же самое характеристическое число, а также ту же самую
новую замену примером, что и ©<+2- При этом Ci+t не может
быть заменой ©i+p. Действительно, если бы это было так, то
новая замена примером из @,+р+2 была бы той же самой, что
и в ®i+p. Но эта замена, как мы знаем, не была ликвидирована
заменой ©г+р+1 (потому что эта замена имеет не большее, — собст-
собственно говоря, даже меньшее — характеристическое число чем ©,+р);
следовательно, она не может фигурировать в ©,+р+2 в качестве
новой замены примером. Таким образом, р>2 и ©,-+2 пока еще
принадлежит первому m-списку, а ©,+р+2 — второму т-списку.
Так как в последнем случае общая замена ©<+p+j прогрессивна
642 ПРИЛОЖЕНИЕ fV
по отношению к ©,+2. то мы можем тем же самым способом про-
продолжить этот процесс дальше. Таким образом, в обоих т-списках
®i, ©
«+1,
совпадение индексов и характеристических чисел замен ©1+/ и
©;+р+;-, а также найденных на основе этих общих замен новых
замен примером будет продолжаться до тех пор, пока мы не дой-
дойдем до такой общей замены ©,+г, которой во втором списке соот-
соответствует общая замена ©,-4-р+г с меньшим индексом. Это должно
случиться не позже того момента, когда мы дойдем до замены @;+p_i,
т. е. ®i+r не может быть заменой ©,+р. В самом деле, этой замене
не может соответствовать такая замена ©,+г-р, в которой новая
замена примером, ведущая от ©,+P-i к ©,+р, снова вводилась бы
в качестве новой, так как эта замена во втором m-списке удер-
удерживается постоянно. Таким образом, получается следующая
альтернатива: либо ©,- имеет больший индекс, чем ©,-+р, либо
следующие друг за другом два m-списка начинаются соответ-
соответственно заменами
©*. ®Mi -.., ©йг
и
причем ®(+г имеет больший индекс, чем ©,+р+г, и г < р, в тг время
как для 0^/<г индекс ©,+,- совпадает с индексом ©*+р+/,
а кроме того, для l«^/==Sr совпадают характеристические числа
замен ®i+j и ©,-+р+,-.
Таким образом, ввиду справедливости утверждения C) для
числа т, в обоих случаях первый из рассматриваемых двух
m-списков имеет больший индекс, чем второй, и тем самым спра-
справедливость утверждения B) для m +1 нами установлена. Отсюда
также следует, что фигуры, представляющие собой индексы
(т-|-1)-списков, являются О-ю-фигурами.
Остается еще доказать, что для m +1 имеет место утвержде-
утверждение C). Для этого достаточно рассмотреть разложение обоих
(m-f- 1)-списков на т-списки. Действительно, в том случае, когда ©,-
имеет больший индекс1), чем @1+р, из справедливости C) для m
вытекает, что первый из m-списков, получающихся при разло-
разложении первого (т + 1)-списка, имеет больший индекс, чем пер-
первый m-список при разложении второго (т+1)-списка. В против-
противном случае из совпадения характеристических чисел замен ©,-+/
J) Мы пользуемся здесь обозначениями, фигурирующими в формулировке
утверждения C), в применении к (т+1)-спискам.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО АККЕРМАНА 643
и ©,ч.р+/ (при 1 sg / ^ г) вытекает, что разложения этих двух
(т +1)-списков на т-списки соответствуют друг другу вплоть
до ®i+r> соответственно вплоть до ©«+р+г. Кроме того, из предпо-
предположений относительно индексов общих замен в силу справедли-
справедливости утверждения C) для m-списков вытекает, что тот т-список
в первом (т+1)-списке, который содержит замену ®i+r, имеет
больший индекс, чем m-список во втором (т+1)-списке, содер-
содержащий ®i+p+r- А из способа построения индексов получается, что
предшествующие m-списки в этих двух (т+1)-списках имеют
соответственно одинаковые индексы. Но отсюда следует, что
индекс первого m-списка больше индекса второго.
Таким образом, утверждения A), B) и C) установлены для
всех входящих в рассмотрение т, и, в частности, получается,
что в каждом (т+ 1)-сииске индексы следующих друг за другом
т-списков образуют убывающую последовательность О-со-фигур и
что тем самым каждый (т+1)-список может содержать только
конечное число т-списков.
Поэтому процесс последовательного построения общих замен,
как мы отметили выше, после конечного числа шагов должен
оборваться, т. е. привести к такой общей замене, при которой
все критические формулы будут редуцироваться в значение «истина».
Замечание. Аккерман усилил изложенное здесь доказа-
доказательство непротиворечивости; а именно, он указал некоторую
верхнюю оценку для числа требующихся здесь общих замен.
Оценка эта зависит от трех параметров: числа g основных типов,
числа с различных е-термов, фигурирующих в критических фор-
формулах, и максимальной степени m встречающихся термов, причем
степень терма определяется рекурсивно таким образом, что
цифра 0 и е-термы имеют степень, равную нулю, а' и б (а) имеют
степень, большую степени а на единицу, а степень а + Ь и сте-
степень а • b на единицу больше максимальной степени термов а и Ь.
Функция, выражающая эту оценку, строится из примитивно
рекурсивных функций и квазирекурсивных функций некоторого
типа, причем рекурсия этого более общего типа (ординальная
рекурсия) заключается в том, что при возврате к меньшим
значениям аргумента используется не обычный порядок натураль-
натуральных чисел, а некоторый зависящий от значения р некоторого
аргумента этой функции специальный порядок1), в соответствии
с которым натуральные числа могут быть отображены с сохране-
сохранением порядка на 0-со-фигуры, не превосходящие некоторой
конкретной 0-со-фигуры, не зависящей от р. Из второй теоремы
х) В определении этого порядка используется не разложение натуральных
чисел на простые множители, как это было в определении порядков —S,
и
(см. с. 440 и далее), а их двоичное разложение.
644 ПРИЛОЖЕНИЕ [V
Гёделя следует, что при построении этой оценки нельзя обойтись
одними примитивно рекурсивными функциями. Действительно,
в противном случае изложенное доказательство непротиворечивости
системы (Z) можно было бы формализовать в рамках рекурсивной
арифметики, а тем самым и в рамках самой системы (Z).
Следует также отметить, что в случае добавления к основным
функциям системы (Z) каких-либо дополнительных вычислимых
функций вместе с верифицируемыми аксиомами для них, аккер-
мановская оценка будет нуждаться в соответствующей корректи-
корректировке. По поводу таких расширений нашей формальной системы
в начале изложенного доказательствах) специально отмечалось,
что они не составляют препятствий для применимости этого дока-
доказательства. Приспособление упомянутой оценки к такого рода
расширениям тоже не представляет принципиальных трудностей,
но вновь добавляемые основные функции (или по крайней мере
наиболее быстро растущие из них) будут участвовать в рекурсив-
рекурсивном описании этой оценки, и определение максимальной степени
терма должно быть соответственным образом изменено.
Что касается результата, даваемого аккермановским доказа-
доказательством для рассматриваемого формализма, то следует особо
подчеркнуть, что здесь верны все следствия, которые мы в гл. II
вывели для арифметики из обобщенной е-теоремы (заметим, что
там мы рассматривали формализм с ограничениями на применение
схемы индукцииJ).
Мы перечислим здесь еще раз соответствующие предложения
вместе с кратким изложением рассуждений, с помощью которых
они вытекают из аккермановского доказательства.
Это доказательство непосредственно дает следующий результат:
1) С учетом определений, данных нами для вычисления значе-
значений арифметических функций, а также истинностных значений
равенств между цифрами и значений истинностных функций,
всякая выводимая формула без переменных является истинной.
Отсюда также получаются следующие предложения:
2) Всякая выводимая формула без связанных индивидных и
без формульных переменных, но со свободными индивидными
переменными является верифицируемой.
Действительно, всякая формула, получающаяся из формулы
такого рода в результате замены индивидных переменных цифрами,
является выводимой, а следовательно, в силу предложения 1), и
истинной формулой.
3) Для любой выводимой формулы вида
.3sc3l(Si 5t),
См. с. 624—625.
См. с. 79 — 81.
S 2] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО АККЕРМАНА 645
в которой нет отличных от jlt ..., £с переменных, можно так
подобрать цифры ?ь .... it, что формула 31 (>г j,.) будет
истинной.
Действительно, рассматриваемая формула с использованием
е-формулы может быть переведена1) в формулу 31 (tx, ..., tc), где
tx ^ — некоторые е-тер'мы, Значит, для этой формулы тоже
может быть получен вывод в рамках рассматриваемого формализма,
а из этого вывода, с помощью подготовительных операций аккер-
мановского доказательства, — и некоторое нормированное доказа-
доказательство, Если к нему применить метод построения общих замен,
то при каждой общей замене на месте термов tx, .... tc появятся
некоторые цифры jlt .... ?г При окончательной общей замене эти
термы могут быть заменены указанными цифрами. Так как при
этой замене все критические формулы перейдут в истинные, то
мы получим некоторый вывод формулы 31 (>lt .... Зс) из истинных
формул с помощью схемы заключения. Поэтому формула 31 (Зх, ...
.... \) тоже будет истинной.
4) Если выводима формула
в которой нет отличных от jb ..., jc, ^ % переменных, то
для любых цифр fx fc (которые подставляются вместо пере-
переменных £х £с) могут быть найдены такие цифры nx nit
для которых формула
31 (fx fc, tii ne)
будет истинной.
Это получается из предложения 3), так как из вывода рас-
рассматриваемой формулы мы для любого r-членного набора цифр
f1; .... tt можем получить вывод формулы
x fr, t)x, .... %).
Таким образом, перечисленные в предложениях 3) и 4) выво-
выводимые теоремы существования истинны в эффективном смысле.
Все эти утверждения справедливы для формализма (Z) с до-
добавленной к нему е-аксиомой, а потому и для (Z) с добавленным
к нему i-правилом, а также для формализма (Zp) и для (Z)
с добавлением рекурсивных определений, причем всякий раз без
использования теоремы об устранимости характеристик2). Эти
утверждения остаются справедливыми и при добавлении каких-
См. с. 44 — 45.
См. т. I, с. 510-511.
646 ПРИЛОЖЕНИЕ [V
либо верифицируемых формул в качестве исходных (возможно,
в сочетании с введением новых вычислимых функций).
Заслуживает специального упоминания также следующее
использование предложения 3): если 5( (т) — рекурсивная формула
с единственной входящей в нее переменной т и если для каждой
цифры 5 формула 51 (?) выводима, то формула Зх~\Ш(х), а потому
и формула ~]Vx9l(x), не может оказаться выводимой.
Действительно, в противном случае в силу предложения 3)
можно было бы указать такую цифру >ь что формула ~"]Sl(?i)
была бы истинной, а тогда 51 (^) была бы ложной, в то время
как, согласно предложению 1), формула 5((Ji) должна быть
истинной.
Таким образом, рассматриваемые нами формализмы со-непро-
тиворечивы — по крайней мере относительно рекурсивных формул.
Значит, построив для любого из этих формализмов соответствую-
соответствующую формулу 18 (т, q) из первой теоремы Гёделя1) [которая,
как мы знаем, является рекурсивной формулой] такую, что сама
она не выводима в этом формализме, но для каждой цифры j
выводима формула 135 (?, q), мы получим, что ни формула
Vx~\$$(x, q), ни ее отрицание не выводимы в этом формализме.
Таким образом, в каждом из этих рассматриваемых нами фор-
формализмов имеются формально неразрешимые формулы.
См. с. 340 и след.
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсурдность 438
Аккерман (Ackermann W.) 11—13, 15,
51, 93, 124, 157, 250, 260—262, 338,
454, 546, 624, 630, 634, 643
Аксиома для квантора существования
600
— индукции 468
— свертывания 591
Аксиомы геометрические 67
— конгруэнтности 62
— Пеано 468, 589
— равенства 464
Антецедент 454
Антиномия лжеца 321
Аргумент выделенный 104
Аргументная переменная 460, 626
Арифметизация 265, 276
— понятия терма 278
формулы 276, 281
— явных определений 368
Арифметическая модель системы ак-
аксиом 320
Арифметическое функциональное выра-
выражение, сопоставленное формуле 385
Вывод в исчислении предикатов 459—
464
обобщенном смысле 39, 91
формализмах аксиоматических
теорий 462—464
— при дедуктивных ограничениях в
исчислении высказываний 512
— равенства из системы равенств при
вычислении квазирекурсивных функ-
функций 490
— редуцированный 611
—, рекурсивное изображение 295, 296,
379, 380
— средствами исчисления высказыва-
высказываний 462
Выделенное распределение значений
для равенства 112
Выполнимость 231
— эффективная 245
Высота формулы 604
Вычисление значений термов в конце-
концевом фрагменте вывода 604
— формализованное 605
Вычислимость 478
— регулярная 479
Бернайс (Bernays P.) 9—12, 14,
16, 418, 439
Бет (Beth E. W.) 203
Брауэр (Brouwer L. E. J.) 216, 438
Бюхи (Buchi J. R.) 262
Вайсберг (Wajsberg M.) 544
Ван Хао (Wang Hao) 262
Вариант именной формы 291, 460, 548
Верифицируемость 58, 599
Верхняя формула схемы 601
Ветвление 607
Вложение 43, 626
Возвратный перенос подстановок 473
Вторая теорема Гёделя о неполноте 357
Гейтинг (Heyting A.) 428, 436, 544, 545
Генкин (Henkin L.) 238
Генцен (Gentzen Q.) 11, 13, 203, 212,
437, 439, 450, 454, 455, 544, 612, 622,
624
Геометрические аксиомы в разрешенном
виде 67
Геометрия аналитическая 68
— элементарная 61
Гермес (Hermes H.) 266, 534
Герц (Hertz P.) 454, 455, 520, а также
т. I, с. 77, 100
Гессенберг (Hessenberg Q.) 613
Гёдель (Qodel К.) 9, 12, 16, 78, 238,
260, 261, 264—266, 320, 321, 400—
402, 417, 418, 421, 437, 491, 507
648
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Гильберт (Hilbert D.) 9—14, 16, 17, 36,
40, 62, 63, 70, 124, 266, 454, 505,
546, 624, 629
Гливенко В. И. 437
Дедекинд (Dedekind R.) 468, 554, 593
Дедуктивное равенство 471
Дедукционная теорема 472
Дентон (Denton J.) 212
Дизъюнктивное расщепление 53, 95
Дизъюнктивные члены первого и вто-
второго рода 197
Дизъюнкция 457
Дорро (Dorroh J. L.) 63
Дребен (Dreben В.) 203, 212
Замена минимальная 127
— общая 128, 138, 629
— примером 634
— свободных переменных связанными
471
— связанных переменных свободными
472
— функциональная 134
— функциональных знаков предикат-
предикатными символами 183
— цифрами 123
— экземплярная 126
— эффективная 126
Заменимость 19
— рекурсивных функций в (Z) 470
— экзистенциальных аксиом 19
Заменитель именной формы 291, 460,
548
Зифкес (Siefkes D.) 16
Именная переменная 480
— форма формульной переменной 290,
460, 548
Импликативная формула 512
, непосредственно тождественная
516—517
, позитивно тождественная 512
Импликация 457
— в формализме C) 437—439
Индекс замены 144, 152
— т-списка 638
Индивидные переменные 457
Индивидный символ 463
Индукция трансфинитная 440, 576
Исключение излишних свободных пе-
переменных 600
Истинностные функции 459
Истинные формулы 598
Исходные формулы 600
Исчисление высказываний, связки 457
, формулы 457
— предикатов 457
— /С2 Шютте 211
Йогансон (Johansson I.) 428, 544
Кальмар (Kalmar L.) 13, 15, 16, 259—
261, 454, 552, 593, 598, 599, 604, 622
Кангер (Kanger St.) 203
Кантор (Cantor G.) 332, 439, 450—452,
503, 573, 576, 578
Канторовское е-число первое 452, 612
Кар (Kahr A. S.) 262
Карнап (Carnap R.) 322, 336, 369, 420
Карри (Curry H. В.) 203, 335
Квазипредваренная формула 206
Квазирекурсивная функция 490
Квазитерм 280, 548
Квазиформула 368, 408—409
Квазифункционал 548
Кванторы 457—458
•—, изображение с помощью е-символа
331
—-, исключение 38
— одноименные 458
Кёниг (Konig J.) 331
Клейн (Klein F.) 71
Клини (Kleene S. С.) 78, 203, 335, 346,
421, 422, 481, 489, 491, 503
Коллизии между связанными перемен-
переменными 27, 31, 460, 483
Колмогоров А. Н. 437, 438
Контрапозиция 539
— двойная 435
Концевой фрагмент вывода 602
Конъюнктивно нормированная фор-
формула 534
Конъюнкция 457
Крайзел (Kreisel G.) 16, 358, 400
Кратность 193, 237
Критерии опровержимости 223
обобщенные 228
Куайн (Quine W. V.) 338
Лёвенгейм (Lowenheim L.) 235
Линденбаум (Lindenbaum Af) 261
Липпс (Lipps H.) 322
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
649
Логика предикатов теоретико-множест-
теоретико-множественная 231
Ложные формулы 598
Лоренцен (Lorentzen P.) 16, 593
Лукасевич (Lukasiewicz J.) 520, 534
Модель арифметическая 320
Модельное равенство формул 235
Молекула формулы 604
Мостовский (Mostowski A.) 508
Мур Р. Л. (Moore R. L.) 62, 63
Мур Э. Ф. (Moore E. F.) 262
Мюллер (Mfiller G. Н.) 16
Натуральная сумма порядковых чисел
613
Начальный фрагмент вывода 602
Независимость схем (Sx) — (S5) 528
Нейман, фон (von Neumann J.) 12, 75,
84, 124, 157, 158, 165, 365, 549
Неопровержимость средствами исчисле-
исчисления высказываний 222
— формул 224
Непосредственно тождественная фор-
формула 516—517
Непротиворечивость 320, 471, 598, 624
— внешняя 351
— неевклидовой геометрии 70
— нумерическая 482
Нижняя формула схемы 601
Нить доказательства 473
Номинальные определения 465
Нормальная форма Аккермана 260
Гёделя 260
Кальмара 260
Кара, Мура и Вана Хао 262
Пепиша 260
Шураньи 262
Нормальный рекурсивный терм 391
— список термов 635
Нормированное доказательство 40, 93,
122, 625
— квазирекурсивное определение 494
Нп-теорема 59
— усиленная 111
Нумерационные условия 194
Нумерация исчисления предикатов 267
— рекурсивной арифметики 419
— формализмов вычисления квазире-
квазирекурсивных функций 493
— (Z) 401
— (ZJ 501
— (ZJJ 367
Нумерические термы и функции 56,
598
Область действия квантора 458
Общая замена 128, 138, 629
— — допустимая 630
, индекс 144
Общезначимость 232
Общерекурсивная функция 490
Общие замены, эффективное равенство
и эффективное различие 154
Одноименные кванторы 458
Односортные переменные 548
Ондеро (Aanderaa St.) 203
Определение в Н 550
К 581
L 590
— истинности 336
для (Z) 407
— квазирекурсивное 491
— нормированное квазирекурсивное
494
— рекурсивное 466
— явное 465, 549, 581, 590
Опровержимость 220
—, критерии 223, 228
— средствами исчисления высказыва-
высказываний 222
Основной тип 84, 92, 137, 626
Основные равенства 530
— схемы вывода 514
— — формул 514
— формулы (а) и (Ь) 461
Отношения порядка "S 440
Отрицание 430, 457
Парадокс Ришара 331
Параметр 30
Пеано (Реапо G.) 74, 338, 468, 589
Пепиш (Pepis J.) 248, 250, 260, 261
Первая теорема Гёделя о неполноте 341
, усиленный вариант
347
Переводимость 471
Переименование связанных перемен-
переменных 459, 581
, рекурсивное изображение
289
Переменные 457
Петер (Peter R.) 75
Подобие упорядоченных множеств 574
Подстановка в исчислении предикатов
459
формализме Н 548—549
/С 581
—, рекурсивное изображение 288—294
— функции 549
— функционала 549
650
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Подтерм прямой 84
Подчинение 44, 626
Позитивная логика 429, 512
Позитивно тождественная формула 512
1-К-формула 523
Положительные действительные числа
556
Понятие терма, рекурсивное изобра-
изображение 278, 372
— формулы, рекурсивное изображение
для исчисления высказываний 276
, предикатов 281
, (?„) 312
Порядок полный 442
Пост (Post E. L.) 421
Постоянные термы и формулы 58
Правила подстановки и переименова-
переименования 462
— (ц) и (v) 173
— (ц*) и '(■«*) 209
Правило замены 35
— подстановки в К 581
L 590
Предваренные формулы 471
— —, рекурсивное изображение для
(Z) 408
Предикатный символ 463
в расширенном смысле слова 448
Представимость 326, 404
— рекурсивных функций в (Z) 404
— функций в К 586
Примарное выражение 534
Пример формулы 192
Примитивная рекурсия 466
Принцип выбора 23, 236, 565, 596
— индукции, обобщенный 443, 453
— наименьшего числа 469
, обобщенный 442
Проблема разрешимости для исчисле-
исчисления предикатов 505
Прогрессивность общей замены 634
Разделение свободных переменных 601
— связанных переменных 607
Разделяющая система функций 217
Разложение вывода на нити 473
Разрешающая функция 506
Ранг списка формул 146
— е-выражения 46, 626
Расёва (Rasiowa H.) 203
Распределение истинностных значений
постоянных элементарных формул 58
Рассел (Russell В.) 17, 589
Регулярная импликативная формула
512
Редукционное число 635
первое и второе 635
Резольвента 128
Рекурсивная формула 272
— функция 271, 467
Рекурсивное определение 466, 591
Рекурсивный предикат 271
— терм 271, 479
нормальный 391
Рекурсия примитивная 466
— пробега 275
— трансфинитная 577
Рёддинг (Rodding D.) 16
Ришар (Richard J.) 16, 321, 331, 335,
349, 363
Робинсон (Robinson R.) 508
Россер (Rosser J. В.) 335, 342, 345, 507
Сабо (Szabo M.) 439
Свободно становящаяся последователь-
последовательность 216
Связанность по выполнимости 235
Секвенция 454
Семантические антиномии 321
— парадоксы 321
Сикорский (Sikorski R.) 203
Символьное решение 23, 35
Система, см. Формализм
— аксиом в разрешенном виде 25
геометрии 25, 61—64, 67
первой ступени 320, 463
Скобки 458
Сколем (Skolem Th.) 235, 243, 260, 418
Сколемовская нормальная форма 176,
233, 472
Сложение положительных действитель-
действительных чисел 561—562
Собственная переменная схемы 601
Список формул, ранг 146
Стениус (Stenius E.) 15, 37, 191, 203, 322
Степень формулы 603
— е-терма 45, 626
Столбец замен 154
Строка замен 154
Сукцедент 454
Схема двукратного устранения 525
— для квантора существования 601
— заключения 461, 601
— замены 480
— индукции 75, 468, 601
— перестановки 490
— разъединения посылок 525
— силлогизма 525
— соединения посылок 525
— явного определения 550
Схемы (а) и ф) 460—461
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
651
Тарский (Tarski A.) 266, 328, 336, 406,
5Q8
Теорема Гёделя о полноте 238
• , финитное усиление 264,
319
— Лёвенгейма 235
— о посылках 514
— об элементарном выводе 37
— Тарского 328
— Эрбрана 202, 206, 212—215, 219
Теоремы Геделя о неполноте 341, 347,
357
Теоретико-доказательственная сколе-
мовская нормальная форма 233
Теоретико-модельная нормальная фор-
форма 259
— сколемовская нормальная форма 233
Терм 463, 490, 546, 579, 588
— в Н 546
/С 579
L 588
— постоянный 58
Термальные равенства 599
Тождественно истинная формула исчи-
исчисления высказываний 459
Трансформация /-/(-формулы 522
Тьюринг (Turing A. M.) 421, 506
Уайтхед (Whitehead A. N.) 589
Умножение положительных действи-
действительных чисел 561
Универсальная рекурсивная функция
551
Условие а) 322
— ах) 339
— а2) 354
— б) 322
— <у 339
— б*) 347
— б2) 354
— в) 322
— в*) 333
— вх) 329
— г) 323
— гх) 329
Условия на выводимость 355
— рекурсивности 479
Устранение индукции 603
— квантора существования 603
Фигура разложения вывода 473
Финитность 427
Финслер (Finsler P.) 322, 349, 350
Формализм Н 546—550
— Я„ 546—550
— К 579—581
— L 588
— (Z) 17, 468
— (?) 429—433
— (Z') 75—76
— (Z°) 479
— (Zoo) 501
— (Z1) 482
— (Zx) 425
— (ZpJ 366
Формализмы арифметические 351
Формально неразрешимое предложе-
предложение 341
Формула 458, 547
— истинная в логике высказываний
213, 462
— исчисления предикатов 458
■— критическая 40
— непосредственно тождественная
516—517
— постоянная 58—59
— формализма К 580
L 589
— (i) 86
— е-равенства 92
— (е„) 29
Формулы единственности 464
— критические первого рода и второго
рода 120, 123, 625
— равенства 600
специальные 78, 472
— (а) и (Ь) 461
— (iF) 90
— (JJ и (J2) 55
— (PJ и (Р2) 56
— F) 501
— Ы. W и (щ) 75, 469
— flij), (|i0 и ftij) 164, 366, 482
Формульная переменная 457
в L 588
Фреге (Frege G.) 17
Функционал 546
— в L 579
Функциональная переменная 546
Функциональный знак 463
Функция арифметическая 477
Хазенъегер (Hasenjaeger G.) 238
Характеристический номер общей за-
замены 634
Характеристическое число общей за-
замены 634
652
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Цифры 466
Частичные доказательства 48, 97
Чёрч (Church A.) 9, 14, 335, 421, 481,
505, 506, 559
Числа второго числового класса 451
— действительные 68, 596
— комплексные 68
Шмидт (Schmidt A.) 11, 71
Шольц (Scholz H.) 11, 235, 534
Шураньи (Suranyi J.) 261, 262
Шютте (Schiitte К.) 203, 206, 211, 212
Эквивалентность 457
Экзистенциальная аксиома, замени-
заменимость 19
— формула, символьное решение 23
Элементарная формула исчисления пре-
предикатов 458
постоянная 58
собственная, несобственная 283,
300
формализма аксиоматической те-
теории 463
Я 547
К 580
I 588
Элементарное исчисление со свободны-
свободными переменными 462
Эндрюс (Andrews P.) 203
Эрбран (Herbrand J.) 9, 12, 14—16, 78,
202, 203, 206, 207, 211, 212, 248, 259,
265, 421, 491
Ярусы 0-со-фигур 612
Яськовский (Jaskowski St.) 520
I-K-формула 521
— позитивно тождественная 523
I-K-N-формула 533
K-N-формула 535
m-список общих замен 638
с-кратно однородные строки замен 155
е-выражение 43
— подчиненное 44
— ранг 46
е-правило 27
е-равенство, формула 92
е-символ 27
е-теоремы, обобщение первой 54
— первая и вторая 36—37
—, усиленная версия второй 179—182
—, первой 109—111
i-правило 464
—, обобщенная версия 465
i-терм 464
— в К 580
Х.-символ 559
ц-символ 468
со-непротиворечивость 342
0-замена 126
0-со-фигура 451, 612
— конечного спуска 622
у-переменная 201
3-переменная 201
Давид Гильберт
Пауль Бернайс
ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Теория доказательств
(Серия: «Математическая логика
и основания математики*)
Редактор В. В. Донченко
Технический редактор С. Я Шкляр.
Корректор Н. Д. Дорохова
ИБ 11404
Сдано в набор 30 09 81. Подписано к печати 14 05 82
Формат 60Х90'/|«. Бумага тип № 1 Литературная гар-
гарнитура. Высокая печать Условн. печ. л. 41. Уч.-изд. л
42,23 Тираж 18 000 экз. Заказ № 140. Цена 3 р. 40 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико математической литературы
117071, Москва, В 71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградское производственно-техни-
производственно-техническое объединение «Печатный Двор» имени А. М Горь-
Горького Союзполиграфпрома при Государственном комитете
СССР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли. 197136, Ленинград, П-136, Чкаловский пр , 15.
Отпечатано с матриц в тип. № 2 изд-ва «Наука».
Заказ № 1805 Москва Шубинский пер , 10