Статистическая радиотехника. Воздействие случайных сигналов на линейные и нелинейные устройства

Автор: Тихонов В.И.
Теги: радиотехника электротехника теория вероятностей математическая статистика теория автоматического управления
Похожие
Статистическая радиотехника. Оптимальные методы радиоприема
Статистическая радиотехника
Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем
Текст
                    
Раздел II
ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ
НА ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ
УСТРОЙСТВА

Глава 6
ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ НА ЛИНЕЙНЫЕ
СМСТЕМН
§ I. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ
Как известно, устройства, которые осуществляют линейное пре-
образован! е входного сигнала в выходной, называются линейными,
а остальные— нелинейными.
Любое радиотехническое устройство обычно состоит из комбина-
ции линейвых и нелинейных звеньев (каскадов). К линейным кас-
кадам моено отнести усилители, фильтры, длинные линии и др.
К нелинейным относятся все автоколебательные системы (автогене-
раторы, гультивибратор, блокинг-генератор), детекторы, смеси-
тели, модуляторы, ограничители, умножители, триггеры и др.
К чисто линейным системам мы приходим, как правило, в ре-
зультате упрощений, допустимых лишь при определенных условиях.
Так, выше усилители были отнесены к числу линейных систем.
Однако вшьтамперные характеристики ламп и полупроводниковых
приборов являются, вообще говоря, нелинейными и их можно
приближевно считать линейными лишь в определенной области.
Точное указание области, где допустима линеаризация характери-
стики, длг случайных сигналов является более сложной задачей,
чем для регулярных сигналов. При выяснении возможности линеа-
ризации веобходимо учитывать, что хорошая аппроксимация ха-
рактеристики должна быть на том участке, где имеет место достаточ-
но больная вероятность пребывания случайного сигнала. Приме-
нительно к нормальным стационарным сигналам обычно стремятся
нодобрат! хорошую аппроксимацию в интервале ± 1,5а около
ср еднего значения.
Хотя полное описание поведения линейной системы определяется
решение» соответствующего дифференциального уравнения, однако
для этих целей можно пользоваться передаточными функциями и
гмпульшыми характеристиками. Передаточная функция
равна on ошению сигнала на выходе системы к входному гармони-
223
ческому сигналу с частотой ю (рис. 6.1). Импульсная характеристи-
ка представляет собой реакцию системы на сигнал в виде дельта-
функции 6(/). Если на вход линейной системы действует сигнал
6(/), то сигнал (?(/), получающийся на выходе линейной системы,
и называется импульсной характеристикой. Из физических со-
ображений ясно, что выходной сигнал не может упреждать вход-
ной, т. е. G(t) — 0 при /<Ч), и, кроме этого, lim G(t) = 0.
t со

jtwt-fy,)

к
7
' Gft)*
Рис. 6.1. К определению характеристик линейной
системы.
Этот факт обычно формулируют в виде двух эквивалентных
условий физической осуществимости линейных систем [1,21:
оо
0(0=0 при t <0, lim G (0=0; Г
оо	J
— оо
log I к (»|2
1 -f- со3
d(i> оо. [(6.1.1)
7 (t)
Рис. 6.2. Преобразование ха-
рактеристик случайных сиг-
налов.
Передаточная функция и импульс-
ная характеристика связаны друг с
другом преобразованием Фурье [1 ]:.
00
G(0=	(6.1.2)
— ОО
00
/<(/«>) = J* G (0 е-/“*	(6.1.3)
о
Выражения KU®) и G(0 для нескольких простейших схем приве-
дены в табл. 6.1.1. Для гауссова и идеального полосового филь-
тров условия (6.1.1) не выполняются и они физически неосуще-
ствимы (см. § 9).
Если на вход линейной системы (рис. 6.2) воздействует случайный
сигнал £(0 со спектральной плотностью S? (со), то выходной
сигнал т](0 определяется интегралом Дюамеля:
t	t
Tl(0 = fG(^—T)g(T)dv= f G (x)g (f — х) rfx, (6.1.4)
6	b
а спектральная плотность его равна
S. («О = S, (<о) I к (/«>) Is,
(6.1.5)
(ш)*	K(jw)
^(t)	6(t)
224
Таблица 6.1.1
Гередаточ! ые функции и импульсные характеристики простейших схем
215
Продолжение
№ п/п.
Схема
СО
к (/<,))= J GiOe-Wdt
О
00
G (0= ~~ J К(/ш)
—оо
/2 а со Р
u>Q   СО2 -р. /2я(1)
1 1
w° “ VTc; а"“ 2/?с
cdq — ш2 /'2aw
oj0e"a^ sin %*
при Wq > а2,
а2/е~а/ при <0ф--а2,
<*>0
 —-	e~ttf V
/а2—
X sh	а2—o)q t
При «Q < а2
(0 —
X sin ю0 (/— х) $ (x)dx,
<1>о а
8
Гауссов фильтр
Да> <о0
Лоз
ТС/2 Х
\у ---9тГ — ^о)2+/0)о^
Хе
Идеальный полосо-
вой фильтр
е~Ло (ш — г|)о),
О, при других со
Д(0
sin -9- (t — /0)
------------— р/<»в t
Aw
-у G-/o)
226
Итак, при рассмотрении преобразований случайных сигналов
линейными: системами можно пользоваться аппаратом дифферен-
циальных уравнений, импульсными характеристиками и передаточ-
ными функциями.
В общем случае, когда интересуются как нестационарным, так и
стационарным режимами работы системы и начальные условия в сис-
теме не нглевые, целесообразно пользоваться дифференциальными
уравнениями. Если же начальные условия нулевые, то можно
пользоваться импульсными характеристиками. С функциями пе-
редачи обычно оперируют в том случае, когда интересуются лишь
стационарным состоянием системы.
Среди линейных преобразований случайных процессов некоторые
специфические особенности имеют дифференцирование (см. § 2) и
простое интегрирование (§ 3).
§ 2.
ИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ
Пусть имеется случайная функция Ц£), удовлетворяющая усло-
виям дифференцируемости (см. ниже), с математическим ожида-
нием и корреляционной функцией /а). Найдем мате-
матическое ожидание M7j(Z) и корреляционную функцию tz)
для производной
=	=	(6.2.1)
Конкретным примером такой задачи является определение ста-
тистических характеристик напряжения на индуктивности по задан-
ным характеристикам протекающего через нее флуктуационного
тока.
Представим производную в виде предела и статистически усред-
ним обе части получающегося равенства:
M,(0=W>= < Ilm	= lim <=(^ЛО-ЦО> =
\д/-> О	/ Д^О
= lim +
zV >о	Ы
Итак,
dM- (П
^G) =	(6-2.2)
т. е. математическое ожидание производной от случайной функции
равно производной от ее математического ожидания.
Для определения tz) перейдем к центрированным случай-
11ым функциям
227
По определению
О	о
О
Л, (О. 0) = <4 (0) 4 (О)> =	4Р-’> = < V,T,)J>-
Но выше было доказано, что математическое ожидание производ-
ной случайной функции равно производной от математического ожи- j
дания, т. е. операции дифференцирования и статистического усред- |
нения можно менять местами. Поэтому
4V1’ a' dtidt2. •
Процесс £(/), для которого существует конечная вторая смешан-
ная производная от корреляционной функции по ее аргументам, на-
зывается дифференцируемым [см. условие (6.2.11) 1; в противопо-
ложном случае — недифференцируемым.
Таким образом, чтобы найти корреляционную функцию произ- 
водной дифференцируемого процесса, нужно дважды продифферен- !
цировать корреляционную функцию исходного процесса: сначала
по одному аргументу, а затем по другому.
Путем аналогичных рассуждений нетрудно доказать,
процесс £(/) дифференцируем несколько раз и
4(0 = трН.
что если
то справедливы формулы
dn Mt (t)
zJ й2пк5(^, Z2)
dt? dfi
dt"
Применим полученные формулы к стационарному
£ (0, для которого
m?=(g(0)=m, ^(0, 0)=Ае(т), т=0 —0.
Если т] (0 = |(0, то ffi; = 0 и
k- (т) = —
£
d2 (т)
cfx2

°	°	dk-_
(*) = < В (ti) (0)= — (В (0) (0))= -4
vr
где т](0— производная (6.2.1).
(6.2.5)
процессу
(6.2.8)
(6.2.9)
(6.2.10)
W8
Если стационарный случайный процесс |(0 имеет корреля-
ционную фикцию
^a(-r) = u2R(x), R(x) = e-’K’1,
то по формуле (6.2.9) находим коэффициент корреляции произ-
водной
^2 (т) = Щ (X) =	= (1 - 2ат*) е~лх
«5 (°)
Коэффициент взаимной корреляции между случайной функцией
и ее производной равен
На рис 6.3 приведены графики коэффициентов корреляции R,
Ri и Ri. Коэффициенты автокорреляции для стационарной функции
7?'т) и ее производной /?а(т) есть четные функции своего аргумента,
а коэффициент взаимной корреляции R^x) между стационарной
функцией и ее производной всегда является нечетной функцией х.
Из фсрмулы (6.2.9) следует, что в результате дифференцирова-
ния стацсонарного случайного процесса всегда получается стацио-
нарный (в широком смысле) случайный процесс с нулевым средним
значением.
229
Воспользовавшись свойством автокорреляционной функции
(3.6.8), можем написать
k\(x)	(6.2.11)
Значит, конечная вторая производная от корреляционной функции
стационарного процесса существует при любом т, если только она
существует при т = 0, т. е. если существует конечная дисперсия
для производной (скорости). Этот результат позволяет легко про-
верить, будет ли процесс дифференцируемым или нет. Например,
корреляционные функции № 1, 2, 7, 8 и 10 табл. 3.14.1 недифферен-
цируемы, так как для^них либо k"(0) = оо,- либо А"(+0) =j= k"(—0).
На основании формул (3.10.1) и (3.10.2) находим^связь между
спектральными плотностями стационарной случайной функции и ее
производной, а также выражение для дисперсии производной через
спектральную плотность:
S^ (со) = со2 S$ (со),
ОО
о  = — kl (0) == J со2	(cd) c/cd.
(6.2.12)
(6.2.13)
Из последней формулы видно, что для дифференцируемого про-
цесса спектральная плотность должна убывать при высоких часто-
тах быстрее, чем со-3. В противном случае процесс будет недиф-
ференцируемым.
Формула (6.2.10) показывает, что функция взаимной корреля-
ции между стационарной случайной функцией и ее производной
меняет знак в зависимости от того, берется производная справа или
слева от значения самой случайной функции. Из четности корреля-
ционной функции ^(т), а также из (6.2.10) при т = 0 следует, что
(0) = k\ (0) = 0.	(6.2.14)
Следовательно, стационарная случайная функция и ее произ-
водная в совпадающие моменты времени некоррелированы.
Этот важный результат позволяет просто находить совместные
плотности вероятности а>2(^(/), £(/)). Если, например, дифферен-
цируемый стационарный процесс |(/) нормальный, то |(f) и |(£) не-
зависимы:

301
tMB(0» В(0) = O’(B)MB).	(6.2.15)
Так как в результате дифференцирования, являющегося линейной
операцией, свойство нормальности сохраняется, то можем написать *
/t\	1	/	«2	\	2
w (У =-----7= ехр I —• --х- , О:
' а- У2к ‘ \	2а? )	5
* Следует иметь в виду, что если производная случайного процесса имеет
нормальную плотность вероятности, то это ие означает, что сам процесс яв-
ляется тоже нормальным [см. формулу (7.5.10)].
230
(6.2.16)
Обозначил функцию корреляции процесса ё (t) через
h (т) = v*R (т).
(6.2.17)
Тогда формула (6.2.15) принимает вид
где
(6.2.18)
Оказывается,
что для ди
ОО
о =-2^- j 0>2 (со) dco > 0. (6.2.19)
— СО

еренцируемых стационарных слу-
чайных процессов плотность вероятности и»2(ё(0, 1(0) является
четной функцией относительно £(/). Действительно, пусть IF2(Bi, ё2) —
двумерная плотность вероятности значений стационарного про-
цесса |(0 в два момента времени tr = t — у, /2 = t + 4, где
0 малая величина. Для дифференцируемого процесса можем
написать
В (0-
Переходя B^U7g(|1( ё2) от переменных ёт. ^2 к новым переменным ё
и | и учитнвая, что якобиан преобразования 5(ё1, £2)/д(В, В) = Л>
имеем
^(ё, а) = итдг2 (е-Ц, ё+ё|
Д-0	\	2	2
Так как ^(ёх, ёг) удовлетворяет условию симметрии (т. е. не ме-
няется при перестановке аргументов), то получим
(I Л) =	- <)•	(6.2.20)
Применительно к стационарным процессам формулы (6.2.6) и
(6.2.7) принимают вид
_ dsn ke (О
(т) = ( 1)	,
(Т) — •
(6.2.21)
Повторив предыдущие рассуждения, можно прийти к выводу,
что если стационарный случайный процесс дифференцируем не-
сколько р1з, то производная v-ro порядка некоррелирована с
<v — 1)-йи(¥ + 1)-й производными, взятыми в один и тот же мо-
мент времени.
Применительно к нормальному стационарному процессу отсюда
следует, что
231
Выполнив вычисления, получим
^'з В) “ чз /о	г—
(г^г'-Ч у 7
{1	2 т* 2 t гч 2 4-" I 2 4	1 5* 2
— -27 1^2g +2oi^ + o2|] —
I	I
где
(6.2.23)
о? —?%-, ^=,„2^?Д ._„=°!Л“” т=о’’’’-<’!-
(6.2.24)
В ряде практических задач (например, ’при анализе действия по-
мех на пороговые устройства) необходимо оперировать с ди
«м»
ерен-
цируемыми случайными процессами. Дифференцируемые процессы
можно формировать путем пропускания шума (в частности, белого)
через соответствующие интегрирующие цепи [см. формулу (6.5.8)].
Иногда (при экспериментальных исследованиях) бывает извест-
но, что исходный процесс £(/) стационарен и непосредственно опре-
деляется корреляционная функция для скорости £(/), т. е. — /г"(т).
1 1
1 1
При подборе аналитической аппроксимации для функции —	(т)
и определении по ней k^(x) нужно учитывать, что — kt, (т) должна
удовлетворять соотношениям (3.6.7) — (3.6.10), а также условию
0	оо
J k[(x)dx = J k"(x)dx =k'(oo) — fe'(O) = 0.	(6.2.25)
— оо	о
§ 3. ПРОЦЕСС СО СТАЦИОНАРНЫМИ И НЕЗАВИСИМЫМИ
ПРИРАЩЕНИЯМИ
Пусть требуется найти статистические характеристики процесса
т](/), причем
П(0 = «(0>	(6.3.1)
где n(t) — нормальный стационарный белый шум с нулевым сред-
ним значением и функцией корреляции (3.16.1).
С таким процессом мы уже встречались в § 18 гл. 3 при упрощен-
ном рассмотрении броуновского движения [см. (3.18.1) ]. Аналогич-
ным уравнением описывается поведение фазы автогенератора с уче-
том малых собственных флуктуационных шумов [см. (8.2.21)].
Запишем решение уравнения (6.3.1):
(,+т
Ц^о + Т) = n(Q + J n(x)dx,	(6.3.2)
I о
Видно, что характерная особенность процесса т](/) состоит в том,
что он не переходит в стационарный процесс при сколь угодно боль-
232
шом интервале 7\ Рассмотрим приращение процесса за интервал
времени Т > 0:
10 + Т
Дт1(Т)=т1(^о+Л — n(M= J n(x)dx. (6.3.3)
^0
Вследствие стационарности шума n(t) 'приращение имеет оди-
наковые статистические свойства независимо от выбранного момента
времени (стационарность приращений).
Из-за дельтообразного вида корреляционной функции шума
n(t) приращения нормального процесса т](/) на неперекрывающих-
ся интервалах времени независимы:
Cln (to + Т") — п (/«)] [iq Gj 4- Т) — т] (^)]> =
(6.3.4)
Поэтому нормальный процесс Ат|(Т') является марковским. Как
и в задаче ослучайных блужданиях, рассмотренной в § 6 гл. 2, ди-
сперсия приращения растет пропорционально времени:
°м(Т)=^Т.	(6.3.5)
Плотность вероятности приращения процесса равна
F 0 *	\
Ат!2 \
Af0T )'
(6.3.6)
что совпадает с (3.19.30).
Описанняй нормальный процесс с независимыми приращениями
иногда называют процессом Винера.
§ 4.ДЕЙСТ1ИЕ БЕЛОГО ШУМА И ВИДЕОИМПУЛЬСА
НА ИНТЕГРИРУЮЩУЮ ЦЕПОЧКУ RC
Пусть hi цепочку RC (рис. 6.4, б) действует белый шум n(f),
имеющий нулевое среднее значение и функцию корреляции
(3.16.1). Найдем среднее значение и функцию корреляции для на-
пряжения i|^) на емкости С. Напряжение r|(Z) определяется ли-
нейным дифференциальным уравнением
т]-|-ат] = ал(/), а
Общее решение этого уравнения при
I = 0 имеет вид
ЙС •	k '
начальном условии ц = ц0,
• а/
0
233
Относительно характера начального условия нужно различать
два случая:
1) начальное условие является детерминированным (неслучай-
ным) ;
2) начальное условие является случайным.
Предположим пока, что начальное напряжение т]0 является
детерминированным. Из решения (6.4.2) находим среднее значение
t
М,, (0 = (л(0) = 11ое~а* je'*(n(x)) dx--r]oe^“\ (6.4.3)
о
В данном случае, при нулевом среднем значении шума, среднее
значение напряжения на конденсаторе обусловлено только началь-
ным зарядом конденсатора, который в результате разряда конденса-
тора с течением времени стремится к нулю.
R
—4=1—ПТ
Qn(t)+s(t) с:: q(t>+Us(i)
6)
Рис. 6.4. Воздействие импульсного сигнала и шума на цепочку RC.
Для'функции корреляции напряжения на конденсаторе на осно-
вании (6.4.2) и (3.16.1) можем написать
К. У = <[Т] (/1) - Mri О h (f2) - ЛД (Q]) =
=	^*+6) J J е“ (*+у)‘й (х — y)dxdy. (6.4.4)
о о
При вычислении данного интеграла нужно воспользоваться фор-
мулой (П.4). Области интегрирования в выражении (6.4.4) для
х ПРИ t > 0 и Т < 0 показаны соответственно на рис.
6.5, а и б. Дельта-функция 6(х — у) обращается в бесконечность
лишь на том участке биссектрисы координатного угла плоскости
переменных х, у, который определяется наименьшим из пределов
tlt t2. В заштрихованных областях 8(х — у) обращается в нуль.
Поэтому при вычислении интеграла в выражении (6.4.4) оба пре-
дела интегрирования нужно полагать одинаковыми и равными наи-
меньшему: t — min (/1( t2).
234
Гак, например, если /х < t2, то при вычислении интеграла
полагаем tt —	= t:
i t
J = J J e“ <x+>') 6 (x — y) dx dy =
O 0
t	t
= f e“x dx J S (x — y)dy — ~ (e2'jZ — 1).
о о
Тогда (6.4.4) можем записать
К. (Л,
7V0 e~a (e2rif
a)	t>)
Рис. 6.5. Области интегрирования.
Полагая /2=/4-т, где в данном случае т>0, получим
Рассмотрев аналогичным образом случай т<^0, получим окон-
чательную формулу
Отсюда при т = 0 получаем выражение для дисперсии
Формулы для функции корреляции и дисперсии в стационарном
состоянии получаются из (6.4.5) и (6.4.6) при t -> оо:
^(т) = ^-Уое-“Н', ^=aTN0.	(6.4.7)
Предположим теперь, что на рассматриваемую цепочку RC
совместное белым шумом n(t) действует сигнальный видеоимпульс
s(<) прямоугольной формы с амплитудой А и длительностью ти
235
(рис. 6.4, а). Начальное напряжение на конденсаторе положим рав-
ным нулю (т]0 = 0). Нужно найти отношение сигнал/шум в конце
импульса, т. е. при t = ти. Под отношением сигнал/шум будем по-
нимать отношение напряжения на конденсаторе u.s(t), обусловлен-
ного только видеоимпульсом s(f), к среднеквадратичному значению
напряжения нестационарного шума о,Д) в конце импульса.
Как известно, напряжение сигнала на конденсаторе в конце
импульса равно
и
^1
’ft
Дисперсия шума в конце импульса определяется формулой (6.4.6)
при / = ти:
~2«И
Поэтому отношение сигнал/шум равно
п _ /т.Л	п л Zi	~—ат.ч
Ч '	' у	— С
Если постоянная времени RC очень велика, так что выпол-
няется неравенство ссги < 1, то, применяя приближенное равен-
ство е~гхя: 1—ах, из формулы (6.4.9) получим
2Е
No’
(6.4.10)
где Е = А2 ти — энергия сигнального импульса.
Таким образом, при выполнении условия сстиС1, обеспечи-
вающего хорошее интегрирование в течение длительности импульса,
отношение сигнал/шум определяется только отношением удвоенной
энергии сигнала к спектральной плотности шума и не зависит по-
рознь от амплитуды и длительности импульса. Применительно
к радиоимпульсам формула (6.4.10) остается также справедливой,
только теперь интегрирование нужно осуществлять при помощи
оптимальных фильтров [см. формулу (10.6.8)].
Этот результат имеет фундаментальное значение в теории помехо-
устойчивости (см. § 4 гл. 10). Он показывает, что путем интегриро-
вания или оптимальной фильтрации можно выделить из шума им-
пульс даже очень малой амплитуды, лишь бы он обладал большой
длительностью (энергией).
§ 5. ПРИМЕРЫ УЧЕТА СЛУЧАЙНЫХ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ
Проиллюстрируем методику учета случайных начальных усло-
вий на двух частных примерах.
1. Действие шумовых импульсов на цепочку RC. Пусть на по-
следовательную цепочку RC (рис. 6.4, б) действуют два импульса
236
шума, отстоящие друг от друга на интервал Т (рис. 6.6). Каждый
из шумовых импульсов представляет собой отрезок длительностью
тн нормального стационарного напряжения £(/) с нулевым средним
значением и функцией корреляции
kt (т) = af е~|3 ''I.	(6.5,1)
Начальное напряжение на конденсаторе считается равным нулю
(г]0 = О, t= 0). Найдем дисперсию напряжения т](0 в конце вто-
рого импульса, т. е. при t = Т + ти.
Из (6.4.2) следует, что напряжение на конденсаторе в конце
первого иипульса равно;
о
е“х | (х) dx.
Так как (ЦО) = то (иСМ)^. Поэтому
для дисперсии можем написать выражение
Рис. 6.6. Два шумовых импульса.
Рис. 6.7- Области инте-
грирования.
При вычислении этого интеграла целесообразно сделать замену
переменной у по формуле z = у — х. При этом прямоугольная об-
ласть интегрирования (рис. 6.7, а) переходит в параллелограмм
(рис. 6.7, б). Учитывая знак переменной г, можем написать
237
В интервале между импульсами происходит разряд конденса-
тора по экспоненциальному закону. Напряжение в начале второго
импульса (т. е. при t = Т) равно:
г\(Т) ^е “(г т] (тн) = а е “г J е0* £ (х) dx.
о
Среднее значение этого напряжения равно нулю, а дисперсия опре-.
деляется формулой
а2(Т) = ст2(ти)е~2в(г~ти),
(6.5.4)
Случайное напряжение 'П(Т') является начальным напряжением
при рассмотрении действия второго шумового импульса на схему.
При т]0 = t](T) выражение (6.4.2) принимает вид
— а/
т < t < Т+ти.
Полагая здесь t—Г-Ни» получаем напряжение в конце второго
импульса:
п(Т-Ьти)-е‘“я(7'+ти)
7'Н
П(Т)4-а J erjyg(y)dy
т
(6.5.5)
Статистически усредняя левую и правую части этого равенства
и учитывая, что (£ (?)) = 0, находим (т] (Т-Ии)> = 0. Поэтому выра-
жение для дисперсии в конце второго импульса имеет вид:
(Т “Ии)
&~2а(т+^) а2(Т)-|-2а
f	dy +
т
Т+\ Г + ’и
а2 J У ea^x+^k^(y — x)dxdy
т т
После вычислений получим
о2 (Т-Ни) = (Н-е-о2 (ти)+7о,
(6.5.6)
(6.5.7)
где
/0	dy J еа(у — x)dx —
Т о
e-(2“+f’) т [1 + е~2ати—	ти _
238
По существу член /о учитывает взаимную корреляцию двух
интегральные эффектов от одной и той же случайной функции на
разных временных интервалах, разделенных промежутком Т — ти.
Поэтому случайное начальное напряжение г](Т) оказывается кор-
релированным с шумовым напряжением £(/) второго импульса.
Степень этой коррелированности зависит от значений а, р, Т и ти.
Если бы напряжение £(/) было белым шумом, то /0 — 0 независимо
от значений^, Т и ти. При а(Г — ти) > 1 слагаемое /0 также равно
нулю, так как в данном случае система «забывает» результат дей-
ствия на нее внешнего возмущения к моменту появления второго
импульса и q(T) = 0. Однако даже при аТ < 1 слагаемое /0 обра-
щается в нуль, если интервал между импульсами Т — тн^>тк,
где тк = р — время корреляции шума Щ). В данном случае зна-
чения £(/), разделенные интервалом времени Т — ти, некоррели-
рованы.
Укажем, что при воздействии стационарного шума £(/) с функ-
цией корреляции (6.5.1) на цепочку RC с постоянной времени
RC = - функция корреляции напряжения т](^) на емкости в стацио-
ОС	
парном состоянии равна
М*) = ;г^(е~₽|т|--7е~я,т|}	(6-5.8)
Заметим, что флуктуационное напряжение с функцией корре-
ляции (6.4.7) недифференцируемо, а с функцией корреляции (6.5.8)
дифференцируемо. Ранее было показано, что функцию корреляции
(6.4.7) или (6.5.1) можно получить пропусканием белого шума че-
рез интегрирующую цепочку RC. Следовательно, функцию корре-
ляции (6.5.8) можно получить пропусканием белого шума через
две интегрирующие цепочки RC. Из сказанного следует, что для
получения из белого шума дифференцируемых флуктуаций его
нужно проинтегрировать с той или иной весовой функцией по край-
ней мере два. раза, или преобразовать при помощи соответствующей
линейной системы, описываемой дифференциальным уравнением
второго порядка.
2. Флуктуационный характер установления амплитуды колеба-
ний в автогенераторе. Если в автогенераторе выполнены условия
возбуждения, то в отсутствие «больших» внешних электрических
толчков будет происходить возбуждение генератора из-за элект-
рических флуктуаций, органически присущих элементам схемы
автогенератора, а именно, из-за флуктуаций тока лампы или теп-
ловых флуктуаций сопротивлений потерь. Можно привести несколь-
ко случаев, когда может быть практически реализован флуктуа-
ционный характер самовозбуждения.
Пусть автогенератор, принципиальная схема которого изобра-
жена на рнс. 6.8, питается от идеально стабильных источников на-
пряжения х расположен в металлическом экране. Если конденса-
239
некоторого момента времени t0,
Рис. 6.8. Упрощенная схема авто-
генератора.
тор Cj большой емкости, шунтирующий катушку обратной связи 1
(или колебательный контур), отсоединить в момент времени t — 0, 
то генератор возбуждается, причем единственной причиной воз- '
буждения в данном случае являются собственные флуктуации ге- ’
нератора.	।
Предположим, что в рассматриваемом генераторе конденсатору
Сх отсутствует, а напряжение на аноде лампы, начиная с момента
t = 0, медленно увеличивается во времени. Тогда в окрестности ,
когда анодное напряжение окажет- j
ся таким, что будут выполнены 4
условия возбуждения, возникнут j
колебания также вследствие соб- ;
ственных флуктуаций. Если такой ?
запуск автогенератора осущест- 
вляется многократно, то будет <
иметь место разброс времени т |
(отсчитываемого от /0), по истече- I
нии которого амплитуда автоко- 1
лебаний достигнет некоторого i
фиксированного значения. Такое 
положение наблюдается на прак- )
тике в автогенераторах с импульс- j
ной модуляцией, так как из-за ;
модулирующий импульс обычно ‘
наличия паразитных емкостей
можно считать приближенно трапециевидным.
В дальнейшем мы ограничимся учетом только флуктуаций тока
лампы, имея в виду, что уровень тепловых флуктуаций обычно в не- !
сколько раз меньше дробовых.	i
Рассмотрим в линейном приближении флуктуационное возбуж-
дение автогенератора с колебательным контуром в цепи анода '
(рис. 6.8), считая, что сеточный ток отсутствует [3,4]. Обозначим -
ток в индуктивной ветви колебательного контура через т). Тогда J
можем написать
Ln+#n = 4" J (Л — л)dt
или
4
где отдельные величины указаны на рис. 6.8.
Но анодный ток лампы равен
где /а — среднее значение анодного тока;
L &(0 — флуктуации анодного тока.
240
Учитывая, что в линейном приближении I^Sug, где S—-кру-
тизна анодно-сеточной характеристики лампы, a us = Air), имеем
Л = SAIt}.
Поэтому из (6.5.9) получим следующее дифференциальное уравне-
ние автогенератора в линейном приближении:
т]—poor] -ф-со2 Т] = (В2 £ (Г),	(6.5.10)
_ j
где о -(LC) 2;
H=(SM — RC).
Линейное дифференциальное уравнение второго порядка
(6.5.10) представляет собой уравнение колебательного контура с от-
рицательным затуханием, на который действует флуктуационный
ток U0- Решение этого уравнения с начальными условиями т] = £0,
т] = £о при t — 0 имеет вид
-	-	С - MO (f—x)
т](^) = Л0е21 sin(<o^— ф0) ф- со I е2	sinco(/ — x)^(x)dx,
(6.5.11)
где
. (6.5.12)
В выражеяии (6.5.11) первый член представляет собственные ко-
лебания, обусловленные начальными условиями, а второй — вы-
нужденные колебания. Мы рассмотрим вынужденные колебания и
собственные раздельно с тем, чтобы можно было их количественно
сравнить. Это целесообразно сделать также потому, что в данном
примере физически могут быть реализованы два случая, а именно:
начальные условия могут быть нулевыми и ненулевыми.
Если в генераторе (рис. 6.8) большая емкость Сг шунтирует
катушку обратной связи, то через индуктивность колебательного
контура протекает часть флуктуаций 1-(t) анодного тока лампы, не-
зависимо от того, отсоединен или нет конденсатор Сг. Поэтому
здесь t,o=f=O, £0=/= 0, и необходимо учитывать начальные условия,
т. е. собственные колебания контура. Если же в генераторе боль-
шая емкость Сг шунтирует колебательный контур, то можно прибли-
женно считать, что весь флуктуационный ток протекает через нее
и начальные условия будут нулевыми (£0 = 0, £0 = 0).
Строго говоря, при обоих способах отсоединения конденсатора
Ci флуктуации £(/) нельзя считать стационарными, так как при
'I Ззк. 245
241
этом скачком изменяется нагрузка лампы. Однако если внутреннее
сопротивление лампы много больше резонансного сопротивления
контура, то этим эффектом можно пренебречь и считать флуктуации
стационарными.	|
При нулевых начальных условиях из выражения (6.5.11) имеем?|
1	* 1	. Д
rji (/) = to е2 J е 2 sin со (t — х) £ (х) dx.	1
о	i
Отсюда для функции корреляции получим
1 t 1
/Сх(/, т) = со2е 2 J J е 2 sin(o(/ — х) х
о о
Xsinco(/+T — У)^е(У—x)dxdy.	(6.5.13)
Если считать стационарные флуктуации £ (i) дельта-коррели-
рованными, т. е. положить
М*) = ^б(т),	(6.5.14)
то из выражения (6.5.13) получим
Х1(^,т) = -^ No e:'",z е2 Р coscot.	(6.5.15)
При вычислениях было использовано условие
со рсо,	(6.5.16) >
а также предполагалось, что нас интересуют времена t, для кото-
рых ехр(цсо/)^>1.
Заметим, что флуктуации анодного тока £(/) являются нормаль-, я
ными. Поэтому вынужденные колебания тц(/), получающиеся из 
£(/) при помощи линейного преобразования, будут также нормаль- "
ными, но не эргодическими.
В § 1 гл. 7 будет показано, что нормальные флуктуации т]1(^),
обладающие функцией корреляции (6.5.15), при условии (6.5.16) ,
можно представить в виде нестационарного квазигармонического л
колебания	Л
т]1(/) = Л(/)е2!ЛШ/ sin(ct)/ — ф),	(6.5.17)
где случайная фаза ф распределена равномерно в интервале (—л, л),
а огибающая Л(/) имеет релеевскую плотность вероятности
W1(A)dA = -^-ехр	°‘ = ^ryVo- (6.5.18)
242
Будем интересоваться нарастанием амплитуды колебаний
о, (/) = А.
(6.5.19)
Тем самым при вычислении времени т, по истечении которого
амплитуда яг достигнет некоторого фиксированного значения
а0 = const, может быть допущена погрешность не более периода
Т = 2л/со.
Положив в формуле (6.5.18)
— -цшт
А = а0 е 2
(6.5.20)
можно вычислить среднее значение <т>и дисперсию о?, а также
найти плотность вероятности для т.
При рассмотрении собственных колебаний нужно предварительно
вычислить go и £0- Из выражения (6.5.11) следует, что амплитуда
автоколебаний из-за начальных условий нарастает по закону
а2 (t) = Ао е2 |Л'7,
где
Ао =	2 Со-
(6.5.21)
(6.5.22)
Флуктугдионный ток £(£), протекающий через индуктивность ко-
лебательного контура, связан с флуктуациями анодного тока лампы
дифференциальным уравнением
£+ 2аЙ-а>2£=а>Ч(0.
_2_
где а» = (JLC) 2;
Q = ~п-у ~с — добротность колебательного контура.
Из урак нения (6.5.23) для вынужденных колебаний следует
t
£ (t) — j еа* sin co (t
о
x) £ (x) dx.
(6.5.24)
Отсюда для функции корреляции имеем
t
Kc(t, = со2е-2а/_“х J J ea<v+y>^(y — x)sinco(/— х)х
о о
X sin ы(/-|-т — yjdxdy.
(6.5.25)
9*
243
Подставив в (6.5.25) выражение (6.5.14) и выполнив интегрирование,
для стационарного состояния (t -> оо ) получим
(т) = ~ No И fcos ®т-|- sin со jтQ (6.5.26)
Отсюда нетрудно получить формулы для дисперсий тока t,(i) и
его производной С(0> которые обозначим соответственно через
2	2
О; и о -:
(6.5.27)
Здесь мы воспользовались обычно выполняющимся неравенством
со а.
Из формул (6.5.27) видно, что дисперсия производной флуктуа-
ционного тока больше дисперсии для самого тока в со2 раз.
Это и является оправданием сделанного в формуле (6.5.12) пренебре-
жения величиной р.£0 по сравнению с Стационарная случай-
ная функция £(/) и ее производная определяют начальные условия
для уравнения (6.5.10).
Из физических соображений и из вида функции корреляции
(6.5.26) следует, что флуктуации t,(f) являются нормальными и ква-
зигармоническими. Случайная функция Ло, связанная с нормаль-
ными квазигармоническими флуктуациями £(0 соотношением
(6.5.22), имеет релеевскую плотность вероятности:
(Л 0) М = 4 ехР
а; \	/
(6.5.28)
Подставив сюда выражение для До
найдем плотность вероятности для времени т, по истечении которого
амплитуда собственных колебаний будет равна а0.
В случае, когда конденсатор Сг шунтирует катушку обратной
связи, необходимо одновременно учитывать вынужденные колеба-
ния и собственные колебания из-за начальных условий. Как сле-
дует из сравнения формул (6.5.18) и (6.5.28), это можно прибли-
женно сделать путем подстановки, например, в формулу (6.5.28)
вместо о? суммарной дисперсии
о2 = а?.+ °: = 4 ® (О. + 4 No ~ 4	(6.5.29)
244
так как малый параметр имеет порядок 1/Q. Здесь последнее равен-
ство написано на основании формулы (3.16.8).
Таким образом, в данном случае собственные колебания и вы-
нужденные обусловливают примерно одинаковый результат.
§ 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИИ НА ВЫХОДЕ
ЛИНЕЙНОЙ системы
Пусть на вход линейной системы с импульсной характеристикой
G(t) воздействует случайный процесс £(/) с известными плотностями
вероятности щА(|1, •••> I*). и требуется найти плотности вероят-
ности	.... т]^), /<А случайного процесса т](^) на выходе
линейной системы.
За исключением того важного, но частного случая, когда про-
цесс £(/) является нормальным, не существует метода, который бы
позволял находить непосредственно плотности вероятности для
процесса ц (t) на выходе линейной системы.
Сформулированную задачу приходится решать следующим об-
разом 15]. При помощи формул (3.4.1) по заданным плотностям
вероятностей ..., £л) сначала находят моментные функции,
а затем по формулам (3.4.10) — корреляционные функции про-
цесса Щ). По корреляционным функциям входного процесса |(£)
можно вычислить корреляционные функции процесса т](£) на выходе
системы. Определив их, находят характеристические функции и со-
ответствующие плотности вероятности ^(тц, ..., тр). Установим
правила, ио которым находятся корреляционные (или моментные)
функции процесса на выходе линейной системы при известных кор-
реляционных функциях процесса на входе.
Из формулы (6.1.4) имеем
т| (Q = J G (t — т) I (т) dr.	(6.6.1)
о
Разобьем интервал интегрирования на п равных отрезков длитель-
ностью Д = t/n и обозначим средние точки этих отрезков ти,
|1= 1,2,.... п, (тг <т2< ... <С тй). Тогда интеграл можно при-
ближенно представить в виде суммы
п
Ч (0 = S G (t — Тр.) £ (Тр.) Д.
|Х=1
Согласй» формуле (2.4.8) среднее значение суммы случайных
величин равно сумме средних значений отдельных слагаемых. По-
этому можем написать
Щ (t) = (п (0) = 2 G (t — ти) М (tJ Д.
|Х= 1
245
Если положить здесь А 0, то приближенное равенство перей-
дет в точное, а сумма справа — в интеграл. Таким образом получим
окончательную формулу для математического ожидания
t
= $ G(t — x)Mz(r)dx.	(6.6.2)
О
Эта формула показывает, что операцию интегрирования можно ме-
нять местами с операцией статистического усреднения.
Вычтем из (6.6.1) выражение (6.6.2) и обозначим центрирован-
ные функции кружочком сверху:
г
*1 (0 = j G(t — r)i (т) dr.
о
Напишем это равенство для двух моментов времени: tx и t2, пере-
множим левые и правые части полученных равенств и результат
статистически усредним. Поменяв местами операции интегрирова-
ния и статистического усреднения, получим
G ^2
(/х, G) = (ч (Л) 1] (^г)) == J J G (G—^1) G (t2 — т2)	(tx,t2) с/тх dx2.
о о
(6.6.3)
Отсюда при t2 = t1—t получаем формулу для дисперсии
t t
(0 = У У G(t~ тх) G (t~ т2) /Се (тх, т2) dxt dx2.	(6.6.4)
0 0
Аналогичным образом находятся высшие корреляционные
функции. Например,
Кзт (G, ^2, ^з) = (n (G) П (^) л (*з))=
is is
= У У J G (ti — T1) G — t2) G (t3 —- т3) /Сзе (тх, т2,т3)б/т1г/т2 drs.
о о 0
(6.6.5)
Следует заметить, что одномерный кумулянт v.t для случайного
процесса на выходе линейной системы выражается через /-мерную
корреляционную функцию случайного процесса на входе системы.
Поэтому, если для процесса т](/) нужно найти приближенное выра-
жение одномерной плотности вероятности (с учетом лишь первых
/ кумулянтов [см. формулу (3.4.7)], то должны быть известны кор-
реляционные (моментные) функции процесса |(/) вплоть до
Kidti, t2, ..., ti). Если процесс £(/) задан своими плотностями ве-
роятности, то необходимо знать /-мерную плотность вероят-
246
пости, по которой можно найти эти корреляционные функции. Ра-
зумеется, что процесс вычисления /-кратных интегралов типа
(6.6.5) является весьма трудоемким и сложным. В этом и состоит
основная трудность решения задач о преобразовании плотностей
вероятностей: инерционными линейными системами.
Применительно к стационарным входным процессам £(/) преды-
дущие формулы несколько упрощаются. Так, формулы (6.6.2) и

(6.6.3) принимают соответственно вид:
t	. t
MTl (t) = J G (t — т) dx = me J G (x) dx, (6.6.6)
о	о
^2
(/i, t2) = J f G (tt — tx) G (t2 — t2) kt, (t2 — tx) dxx dxa. (6.6.7)
о 0
В случае линейных пассивных систем с затуханием по истечении
достаточно большого времени от момента t = 0 случайный процесс
i](/) будет приближаться к стационарному. Для стационарного про-
цесса т](/) йсрмула (6.6.6) принимает вид:
me J G(x)dx.	(6.6.8)
о
Чтобы получить выражение для функции корреляции, сделаем
в (6.6,3) замену переменных
Xr^ti — X, x2=t2 — y.
Получим
^2
/2) = У J G(x)G(y)ki(t2 — t1+x~y)dxdy.
о о
Положим	х и вместо у введем новую переменную
г=т-|-х —у:
т+ж
/^(f i> G+ т) = У G (х) dx У G (т^х — г) fee (z)dz. (6.6.9)
о	x—tt
Переходя к пределу при /г->оо, получаем окончательную фор-
мулу для функции корреляции в стационарном состоянии:
(6.6.10)
247
Можно Показать, что формула (6.6.5) для стационарного со*
стояния принимает вид:
оо	%2-|-х
fe3 4 Сч, т2) = J G(x)dx $ j G(x1-J-x—у) х
О	’— оо — оо
xG(t24-x — z) k^(y,z)dydz.	(6.6.11)
Если входной процесс £ (/) является стационарным белым шу-
мом, то формула (6.6.10) упрощается:
ОО
(т) = J G (х) G (х+ I т|) dx.	(6.6.12)
О
Из этой формулы, в частности, легко получается результат (6.4.7).
Применение этих формул и встречающиеся при этом особенности
рассматриваются на конкретных примерах в § 9.
В заключение укажем, что функция взаимной корреляции между
входным процессом и выходным процессом т](£) равна
0	0^*
^) = (i(Qn(^))= J —	(6.6.13)
О
Если процесс % (t) стационарен, то
}G(t2~x)ki(tl~x)dx. (6.6.14)
О
Когда процессом £ (t) является стационарный белый шум, это вы-
ражение примет вид
^G(t2 — /i) при 0<G<^2.
при 0,	> t2.
(6.6.15)
О
Из формулы (6.6.15) видно, что с точностью до постоянного мно-
жителя No/2 импульсная характеристика линейной системы совпа-
дает с функцией взаимной корреляции между входным стационар-
ным белым шумом, воздействующим на систему, и выходным слу-
чайным процессом. Этим результатом часто пользуются для экспе-
риментального определения импульсной характеристики неизвест-
ной линейной системы при помощи коррелометров.
§ 7. ВОЗДЕЙСТВИЕ БЕЛОГО ШУМА НА КОНТУР
Пусть контур, составленный из параллельно соединенных кон-
денсатора С и катушки индуктивности L с омическим сопротивле-
нием R, включен в анодную цепь лампы (рис. 6.9). Анодный ток
лампы Ja состоит из постоянной составляющей /а и флуктуаций
248
: Ja = Jrj + £(£) Флуктуации анодного тока лампы будем рас-
сматривать как стационарный белый шум. Требуется найти функ-
цию корреляции для тока т](/) в ин-
дуктивной ветви и напряжения и (t)
на контуре в стационарном состоя-
нии.
Флуктуационный ток т](/) опре-
деляется линейным дифференциаль-
ным уравнением второго порядка:
т| 4- 2oq + (Оо г) = соо£ (0>
(6.7.1)
Рис. 6.9. Воздействие флук-
туаций тока лампы на ко-
Импульсные характеристики для лебательный контур,
данного случая приведены в 5-й
строке та(!л. 6.1.1. Подставив их выражения в формулу
(6.6.12), после несложных вычислений получим:
&г(т) = о^е~а bl cos (о0 т -|- sin (о01 т] L
2	^0
при (о0 > а,
&Т)(т) = Оте~“‘1 тI (1-|-а|т]), o2 = -g~/V0, при ®0= а,
(6.7.2)
(6.7.3)
I/ch V а2 — (Oq т-|——а	sh Vа2—а201 т |\
\	И а2 —4	/
(6.7.4)
2 _ “О ^0
— 8»
Для колебательного случая (ы0^:а)
приближен!о равно:
при (о0<;а.
напряжение на контуре
Воспользовавшись выражением (6.7.2) и выполнив вычисления со-
гласно формуле (6.2.9), найдем
Мт) ~ 0ae~"!'t / coscoqT —~ sin<B0|T|\
где
о и = «о L2 а? = No А/э R2oe\
9В Зак. 245
249
Л/э = а/2 — энергетическая полоса контура;
Roe -- L/RC — резонансное сопротивление параллельного ко-
лебательного контура.
Отметим, что флуктуационный ток т)(/) является дифференци-
руемым процессом, а флуктуационное напряжение «(/) — недиф-
ференцируемым.
§ 8. ВОЗДЕЙСТВИЕ СИГНАЛА И ШУМА НА КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ
КОНТУР
Предположим, что на колебательный контур, составленный из
параллельного соединения конденсатора С, сопротивления R и ин-
дуктивности L (рис. 6.10) воздействует сумма сигнала s(t) и белого
шума n(t):

Сигнал s(t) представляет собой два когерентных прямоугольных
радиоимпульса амплитудой Ло и длительностью ти (рис. 6.11);
Рис. 6.10. Параллельный Рис. 6.11. Два когерентных радиоимпульса,
колебательный контур.
период следования импульсов Т кратен периоду высокой частоты:
Т = 2nk/oio, где k — целое число. Следовательно,
/Insinwof при	/о+тн,	t 'tr,Т
0 при других t.
и’ (6.8.2)
Резонансная частота колебательного контура предполагается совпа-
дающей с частотой сигнала, т. е. со0 = 1/J.Z-G. Найдем отношение
сигнал/шум (отношение амплитуды сигнала к среднеквадратичному
значению шума) в конце первого и второго импульсов в двух слу-
чаях: 1) колебательный контур включен всегда; 2) осуществляется
стробирование, т. е. контур подключается к источнику тока £(/)
на время т + т„ в моменты времени ti = to — т, tz ~ to + Т — т
(рис. 6.11).
250
При выюлнений условия со0^>1/2#С импульсная характеристи-
ка контура приведена на 6-й строке табл. 6.1.1. Поэтому для вы-
ходного напряжения на контуре можем написать выражение
t
т| (/) = —L е- °* j еаЛ sin ®0 (/ — х) | (x) dx.
о
(6.8.3)
Известно, что для линейных систем справедлив принцип супер-
позиции. Поэтому можно раздельно находить сигнал и шум на вы-
ходе системы. Из (6.8.3) для напряжения сигнала и шума на кон-
туре имеем соответственно формулы
еаЛГ sin о)0 (i — х) cos (в0* dx —
О
= Ао R (1 — е~а/) sin «о t,
t
r]„ (/) = e~at j е** sin <о0 —х) п(х) dx.
° о
(6.8.4)
(6.8.5)
Для определения дисперсии напряжения T)n(0 нужно подставить
в формулу (6.6.4) вместо т2) функцию корреляции производ-
ной от стационарного белого шума, которая равна
kh (т) - - 4° б" W-	(6.8.6)
Воспользовавшись при вычислении получающегося интеграла
формулой ГП. 12), получим
2
N«R
4С
Если колебательный контур подключен к источнику тока £(/)
задолго дс момента t0, то шумовое напряжение на контуре Лл(0
к моменту действия импульсов сигнала будет стационарным с ди-
сперсией
2 _ N0R
оп- 4С .
(6.8.8)
Согласию (6.8.4) амплитуды напряжения сигнала r)s (0 в конце
первого и второго импульсов будут соответственно равны:
9Б*	.	251
Из (6.8,8) и (6.8.9) находйм бтнОШеййе сигйал/шум 6 кбнЦё
первого и второго импульсов:
^ = }/^р(аги), ^_/^(1+е--)рМ,	(6.8.10)
где Е
Ао ти/2 — энергия одного радиоимпульса;
(6.8.11)
График функции р(ати) приведен на рис. 6.12 (кривая v = оо).
Из него находим оптимальное значение параметра ати, при котором
отношение сигнал/шум в
конце первого импульса до-
Рис. 6.12. Зависимость отношения сиг-
нал/шум на выходе колебательного кон-
тура при стробировании и без строби-
рования (v = oo).
Т = 2ти и атн= 1,25 имеем е~’г (
увеличивается примерно на 8%.
отношения сигнал/шум в конце
стигает максимального зна-
чения:
ртах ~ 0,9 при ати'« 1,25.
(6.8.12)
Учитывая, что полоса пропу-
скания контура на уровне
0,5 по мощности равна
А/ = a/я, находим оптималь-
ную ширину полосы пропу-
скания контура А/ sis 0,4/ти.
Из сравнения первой и
второй формул (6.8.10) видно,
что в рассматриваемом слу-
чае отношение сигнал/шум в
конце второго импульса
больше, чем в конце, первого
импульса, причем это увели-
чение характеризуется сла-
гаемым е-аГ. Например, при
>,08, т. е. отношение сигнал/шум
Очевидно, что при аТ > 1
первого и второго импульсов
одинаковы.
Поэтому говорят, что колебательный контур можно применять
для суммирования («накопления») когерентных радиоимпульсов
небольшой скважности Tfxn. Суммирование когерентных радио-
импульсов оказывается особенно эффективным, когда применяется
стробирование (поочередное подключение контура на некоторое
время, когда имеются импульсы).
Пусть контур подключается в момент времени tlt а первый им-
пульс появляется в момент t0 > 4. Тогда амплитуда сигнала в кон-
252
це первого импульса по-прежнему равна Ui, а дисперсию шума
находим из формулы (6.8.7)
а21 = ^(1-е-2ати <’+’)), v = ^.	(6.8.13)
Отношение сигнал/шум равно
7 = 1/у Р< Ш Р*(атн) = р (ати) [1 — е~2ах“0+Ч 2. (6.8.14)
ап г /v0
Графики функции р.(ати) для шести значений v приведены на
рис, 6.12. Из графиков видно, что если без стробирования (v = ос),
величина ^тах — 0,9 при ати = 1,25, то при идеальном стробирова-
нии (v = D), т. е. когда контур подключается в момент 10 появле-
ния импульса р^тах= 1 приати — 0. При других значениях v полу-
чаются промежуточные случаи.
Улучшение отношения сигнал/шум при стробировании объяс-
няется те>г, что при значениях т, меньших времени установления
колебаний в контуре, нестационарный выходной шум за время
т + ти не успевает нарасти до максимального стационарного зна-
чения, которое имеет место в отсутствие стробирования.
Чтобы найти дисперсию шума в конце второго импульса, учтем,
что согласно (6.6.15) выходные шумы, накапливающиеся в контуре
при действии первого и второго импульсов, некоррелированы. По-
этому получим
< = 0^6-2“’ + о2, « aUl+e-2"7).	(6.8.15)
Следовательно, отношение сигнал/шум в конце второго импульса
равно:
(6.8.16)
Отсюда следует, что при аТ 1
(6.8.17)
Таким образом, для колебательного контура с очень большой
добротностью отношение сигнал/шум по напряжению для двух
импульсов в ]/2 раз больше, чем для одного импульса.
Укажем, что если сигналом s(f) является узкополосный шум,
имеющий функцию корреляции
£5(т) = о2 е~(31'51 cos(o0t,	(6.8.18)
253
4
то вместо формулы (6.8.14) для отношения сигнал/шум по мощ-
ности в конце первого импульса получается следующая формула:
где
3s ТИ 2/\
(6.8.19)
у =	. (6.8.20)
2 (ПГ}- 0 + T)-2e-<‘+^”H + (1+7)е-2"и
и	«ти(1— 2)(1—е~2ати(1+^)
Рис. 6.13, Зависимость отношения сигнал/шум на выходе колеба-
тельного контура для шумового импульсного сигнала при стро-’
бировании (v~0— сплошные линии) и без стробирования
(v = оо — пунктирные линии).
Графики функции p2v(axH) для двух предельных значений
v = 0 и оо и шести значений у изображены на рис. 6.13. Нетрудно
убедиться, что при у = 0 (т. е. Р = 0) и о| = Ло/2 результаты,
получаемые из (6.8.19) и (6.8.14), согласуются, а именно:
С увеличением у и, следовательно, р время корреляции шумового
сигнала уменьшается; сигнал становится все более хаотичным и не
254
способным когерентно накапливаться в контуре. Поэтому при про-
чих одинаковых условиях с увеличением у отношение сигнал/шум
/о^ И коэффициент ру (атн) уменьшаются.
§ 9.	ФУНКЦИИ КОРРЕЛЯЦИИ СИНГУЛЯРНЫХ И УЗКОПОЛОСНЫХ
ПРОЦЕССОВ
Рассмотрим воздействие белого шума на идеализированные ли-
нейные системы, одна из которых имеет прямоугольную, а вторая
гауссову форму амплитудно-частотной характеристики. Хотя такие
характеристики не могут быть реализованы практически, ввиду
простоты 1 налитической записи они часто применяются для ап-
проксимации характеристик реальных систем.
1.	Пусгь стационарный белый шум с функцией корреляции
k (т) = -у б (т) воздействует на линейную систему с функцией
передачи
К № - { о °
при других CD,
С£Ц </ СО СО2,
(6.9.1)
Найдем функцию корреляции шума x\(t) на выходе системы.
Спектральная плотность выходного шума, очевидно, равна:
(®)	2
К (/«) |2.
Sin ----
2
—:----— COS С00 Т,
Дсот	и ’
По формуле (3.10.2) находим функцию корреляции
00	. Дмт
<т) J е'1 ’ du> = ,V0 Ко (
— ОО	2
где со0 =((o1-] -g)2)/'2, Aco = (o2~wi-
Если в (6.9.2) положить ю^-О, Асо =со2 («низкочастотный» шум),
то получим
(т) = А/о Ко (
sin Ашт
А сот
(6.9.3)
Из (69.3) видно, что в результате воздействия белого шума на
низкочастотный линейный фильтр с прямоугольной частотной ха-
рактеристикой получается флуктуационный шум ц(/), два любых
значения которого, разделенные интервалом времени Ат =
= л/Дсо= 4z&f, некоррелированы, а в случае нормального шума
П(0 — независимы. Следовательно, в реализации нормального
шума фр) длительностью Т будет 77Дт = 2ТА[ независимых от-
*5?
счетных значений. Этот результат согласуется с теоремой отсчетов 1
(теоремой В. А. Котельникова)* [6].	;
Следует, однако, отметить, что не всякие флуктуации со спек- [
тральной плотностью, отличной от нуля в определенном диапазоне
частот, имеют равноотстоящие некоррелированные значения. Это,
например, справедливо для шума с ограниченным, но неравномер-
ным спектром вида
5 (со) — f	cos	ПРИ 'и । п/2/,
‘ I	0	при | со | > л/2/.
2.	Вычислим функцию корреляции шума на выходе усилителя
с гауссовой частотной характеристикой:
К (/2itf) = Ко exp
где АД— энергетическая полоса пропускания квадрата модуля
функции передачи.
В данном случае спектральная плотность выходного шума равна

"I
Согласно формуле (3.10.11) по спектральной плотности находим
функцию корреляции
А'
Чэ
2]
cos 2л/т df.
О
После замены переменной интегрирования f— f0—v будем иметь
exp — л
21
cos 2лт (/о+ v) dv.

При малой ширине полосы пропускания (Af3 f0) нижний предел
интегрирования в этом интеграле можно заменить на —оо. Тог-
да получим
— я
(д^эт)2 cos 2л/0 т.	(6.9.5)
Необходимо указать, что стационарные случайные процессы
с функциями корреляции (6.9.2), (6.9.3), (6.9.5) и некоторые другие
обладают следующей специфической особенностью. Они дифферен-
цируемы бесконечное число раз и, следовательно, являются ана- i
литическими функциями времени. Поэтому такие процессы при
* Более полное рассмотрение затронутых здесь вопросов приведено
в работе [18].
256
помощи ряха Тейлора в принципе всегда можно с любой наперед
заданной точностью как угодно далеко экстраполировать (прогно-
зировать) в «будущее» по небольшому отрезку «прошлой» реализа-
ции. В этой смысле рассматриваемые случайные процессы подобны
детерминированным и называются сингулярными [7,8].
Стационарный случайный процесс т|(/) называется сингулярным,
если для него является расходящимся интеграл [9]:
da оо.
(6.9.6)
Если считать, что процесс т](0 порожден белым шумом, пропущен-
ный через линейный фильтр с передаточной функцией K(ja), то
согласно формуле (6.1.5) условие сингулярности процесса можно
записать так:
log | К (/ш) I2
оо.
(6.9.7)
Сопоставляя это выражение с (6.1.1), замечаем, что сингулярный
процесс нельзя получить из белого шума при помощи физически
осуществимого линейного фильтра.
Заметим, что прогноз сингулярного процесса на длительный
срок вперед будет надежным лишь тогда, когда с высокой степенью
точности известна корреляционная функция, причем требования
к степени точности возрастают пропорционально квадрату срока
прогноза.
3.	Установим вид корреляционной функции узкополосного
случайного процесса. Из рассмотренных частных примеров сле-
дует, что в ряде случаев коэффициент корреляции стационарно-
го случайного процесса можно представить в виде
7? (т) = р (т) cos <о0 т.	(6.9.8)
Покажем, что такой вид коэффициента корреляции является
характерным: для узкополосных случайных процессов со спектраль-
ной плотностью, симметричной относительно частоты f0 — ы0/2л.
При этом год узкополосным понимается процесс, спектральная
плотность которого в основном сосредоточена в сравнительно узкой
полосе частот А/около некоторой центральной частоты
Под Af можно, например, понимать ширину энергетического спектра
процесса S(/) на уровне 0,5 (рис. 6.14).
Если в формуле (3.10.11) перейти к новой переменной v = f0 — f,
то можем написать
оо	fo
k (i) = J S(f) cos2л/тdf = J S (/0 — v) cos 2 л (f0 — v)rdv. (6.9.9)
0	— oo
257
Используя обозначения
0 — v) cos 2nvT dv,
— со
(6.9.10) '
tf2 Ps (т)
0 — v) sin 2nv rdv
получим
k (т) = о2 [рс (т) cos 2л fo т+Pi (т) s'n Wo Т1
= <j2P(t)cos [(о0т-И (т)],
где
О
Таким образом, функция корреляции узкополосного стационар- j
ного процесса всегда может быть представлена выражением (6.9.11), 4
Л*'
Рис. 6-14. Спектральная плотность узкополосных процессов.


Предположим теперь, что спектральная плотность S(f) сим- а
метрична относительно центральной частоты /о = ®о/2л. Так как j
для узкополосных процессов ширина спектра мала по сравнению |
с <о0, то верхний предел интегрирования в выражениях (6.9.10) без )
значительной погрешности можно заменить на бесконечность. 1
Тогда рЛ. (т) = 0 и из (6.9.11) получаем нужный результат:	I
оо	1	д
k (т) = а2 р(т) cos <j)ot=-
0
v)cos2nvrdv cosco0t. (6.9.13)
Заметим, что энергетический спектр S(f0 — v) расположен!
в низкочастотной области частот v (см. рис. 6.14). Поэтому функции !
рс(т) и р5(т), как р(т) и у(т), будут медленно изменяющимися по]
сравнению с cosco0t.	)
253
§ 10. ВЗАИМНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ ШУМОВ НА ВЫХОДЕ
УСИЛИТЕЛЕН С ПЕРЕКРЫВАЮЩИМИСЯ ЧАСТОТНЫМИ
ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
Для решения некоторых радиотехнических задач применяются
многоканалшые системы. При воздействии на вход такой системы
флуктуационного шума от одного и того же источника выходные
напряжения соседних каналов бу-
дут коррелированья, если частот-
ные характеристики соседних ка-
налов перекрываются.
Вычислив коэффициент взаим-
ной корреляции для двухканаль-
ной схемы ПО, 11]. Пусть на вход
двух линейных каналов с пере-
секающимися частотными харак-
теристиками ХД/’о») и /С2(/<в) воз-
действует огационарный случай-
ный процесс %(t) с нулевым сред-
Рис. 6.15. Двухканальная линейная
схема.
пим значением, функцией корреляции £,(т) и спектральной плот-
ностью S£(o) (рис. 6.15). В стационарном состоянии на выходе
каналов будем иметь два действительных стационарных и стацио-
нарно связанных случайных процесса т]^/) и т]2(0:
ОО	оо
гц (/) = J (РДх) g (/— х) dx, т]г (0 ~ J Ог — У)Лу, (6.10.1)
о	о
где Gx(0 и С?2(0 — импульсные характеристики каналов.
По определению (3.6.2) функция взаимной корреляции между
Th(£-f- т) И1)2(О равна
оо оо
^120)	*42 (0> = У J Gi(x) G2 (у) (т—x-\-y)dxdy. (6.10.2) -
0 0
Если согласно формуле (3.10.1) в (6.10.2) перейти от функции корре-
ляции Д(т)к спектральной плотности S4®), то с учетом соотноше-
ния (6.1.3) после простых преобразований получим
^L2 (т)
1
оо
(6.10.3)
где Д2(/®)= Д2(—/со).
Если учесть соотношение (6.1.5), то эта формула при —
- /С2(/<в) переходит в формулу (3.10.2), выражающую функцию

корреляции на выходе линейной системы. Представим функции пе-
редачи в виде
Кп (ja) - I Кп (/ю) I = Кп (®) e/V"(м>, п= 1, 2.
Так как для действительных
ункций времени спектральная
плотность Sc(a>) и амплитудно-частотные характеристики Кя(<о) —
четные функции, а фазовые характеристики <рл(<о)—нечетные, то
(6.10.3) можем записать иначе:
0°
^12 (т)= ~ J *М®)	(®) (®)cos 1®т+ф1 (®)—фг(ю)] (6.10.4)
о
Из данной формулы видно, что если частотные характеристики
/С1(а>) и К2(®) не перекрываются, то выходные напряжения i)1(f + т)
и т)2(/) некоррелированы, а в случае нормальных процессов и неза-
висимы.
По определению (3.7.1) коэффициент взаимной корреляции
между T]i(^ + т) и т]а(0 равен:
ОО
(т) = ^ = 2^Г f (®) К1 (»/<; (/®) е/-
Q1 02	Z7CQ JO2 J
— 00
(6.10.5)
t
или
оо
Т?12 (т) = —-— (	К2(б))с05[шт + ф1 (о))—ср2((й)] (/ш, (6.10.6)
О
где о? и of — Дисперсии процессов т)2 (t) и т]2 (/):
ОО
of = 4- J (®) Кп (®) d<o, и=1,2.	(6.10.7)
о
Рассмотрим два конкретных примера. Пусть на два расстроенных
друг относительно друга колебательных контура воздействует белый
шум со спектральной плотностью З^ю) = NJ2. Принимая величину
максимального усиления равной единице, функции передачи конту-
ров можно записать в виде [ 11
-+^-v (6-10-8)
— т) 1 +/<3 («0+ д<о ~	)
где (oo/2jt — резонансная частота;
Q — добротность контура;
Дю — расстройка по частоте второго контура относительно
первого.
260
Будем считать контура узкополосными и расстройку не очень
большой:
Д®1 < О)о, Аш < соо,
(6.10.9)
где А/ = Дох/2л = (оо/2л<2 — ширина полосы контура по уровню
половинной мощности.
Подставиз выражения (6.Ю.8) в (6.10.6) и (6.10.7), после вычис-
лений ПОЛу! ИМ
f Aw | т |\
eip I — -у 1
#12 (Т) = V Л =4-cos(<ыох-Ь<р), <rf = crl= ~N0&f, (6.10.10)
где tp= arctf

Из формглы (6.10.10) видно, что огибающая коэффициента вза-
имной корреляции уменьшается с увеличением т и Д® и в пределе
стремится к нулю. При т = 0 из (6.10.10) имеем
#12 (0) =
(6.10.11)
Зависимость #i2(0) от расстройки приведена на рис. 6.16 (кривая
п = 1). Он1 имеет вид монотонно убывающей функции.
Рассмотрим случай, когда белый шум действует на два рас-
строенных усилителя с гауссовыми частотными характеристиками
(СО---СОл\ 2
А... ) ~ 7*0 (М>)
= с	
К2(/<о) = е
ш——Доо \2	.	-
--ГТ--) — Л о (шо—Д )
(6.10.12)
Как известье, частотные характеристики (6.10.12) являются хоро-
шей аппроксимацией для резонансного усилителя, состоящего из
большого чьсла п (п^5) одинаково настроенных одиночных конту-
ров, причем в этом случае время запаздывания t0 =г 2)/п1п2/Д®„,
где Д®п — AcoiJ^ 1п2/2 — ширина полосы на уровне половинной
мощности.
Подставив (6.10.12) в (6.10.4)
2 (<•> — ш ) — Ди)
= -----д/-----, получим
и введя переменную
^12 (т) =
^0^1 е~2 (гт)2 f е-2х’
( 2<oo~h Дю)-
Д<«1
261
/< cos
Amt
A(o/0 ] dx.
Величиной Л(от/2 можно пренебречь по сравнению с соот. Посколь-
ку предполагается too/A(oi^>l, то нижний предел интегрирования:
можно положить равным—оо. После интегрирования получим
32
cos (ю0 т—А(о/0), (6.10.13У
реляции шумов на выходе двух идентичных усили-
телей от относительной расстройки.
др 1 / А (О А 1 7С
где А/э = у I I у у — энергетическая ширина полосы гауссо-
вого фильтра. Так как
О| — 0*2 — ^12 Дш—0 — А/о Д/э,
1=0
ТО
Acofo). (6.10.14)
262
v
При т = 0 отсюда получаёЯ
7? 12 (01 = ехр
XCOS
(6.10.15)
На рис 6.16 нанесены кривые коэффициента взаимной кор-
реляции (1.10.15) в зависимости от относительной расстройки
для п = 5 и 10. С увеличением числа каскадов взаимное перекры-
тие частотшх характеристик (при неизменной ширине полосы на
уровне половинной мощности) уменьшается, что приводит к умень-
шению коэффициента взаимной корреляции. В многокаскадных
У
свлителяз в отличие от однокаскадного коэ

и
ициент взаимной
корреляцш в совпадающие моменты времени имеет осциллирующий
характер. Это объясняется тем, что в однокаскадных усилителях
разность <]аз выходных напряжений в совпадающие моменты вре-
мени не мокет достигать значения л/2 ни при каких расстройках,
а 8 многоискадных усилителях при некоторых расстройках она
мокет превышать л/2.
§ 11 НОРМАЛИЗАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
ИНЕРЦИОННЫМИ СИСТЕМАМИ
Предположим, что ненормальный случайный процесс £(/) с вре-
менем кор[ еляции тк действует на инерционную линейную систему
(с постоянюй времени тс)^>тк). Покажем, что процесс ц(/) на выхо-
де такой ci стемы приближается к нормальному по мере увеличения
отношения тс/тк [5], и затем приведем несколько конкретных
примеров.
Явление нормализации случайных процессов при линейных
преобразоиниях интегрального типа является прямым следствием
центральной предельной теоремы, доказательство которой при
весьма общих условиях было дано А. М. Ляпуновым и впоследствии
развито в^зяде работ Советских ученых [12]. Если 51, •••>	—
независимее случайные величины, имеющие конечные математи-
ческие ожидания и дисперсии, то плотность вероятности суммы
п
(6.11.1)
приближается к нормальной при увеличении числа слагаемых п.
 Для оценки степени приближения плотности вероятности суммы
к нормалжой целесообразно использовать коэффициенты асим-
метрии и ксцесса (3.17.8).
Предположим, что все величины Zi имеют одинаковые плотно-
сти вероятности и, следовательно, одинаковые кумулянты (3.4.8.).
263
Будем обозначать величины, относящиеся к сумме г], волнистой
линией сверху. Согласно (6.11.1) находим
п
f—1
п
*4 = 2 *41 =
/=1
Подставив эти значения в формулу (3.17.8), получим
7i~^
Ть
~ 1
72=
I 6
(6.11.2)
Заметим, что коэффициенты асимметрии и эксцесса являются
первыми и наиболее важными членами ряда-(3.17.7), учитывающими
отклонение плотности вероятности от нормальной. Причем из
(6Л1.2) видно, что с увеличением п коэффициент асимметрии стре-
1
мится к нулю, как п 2, и медленнее, чем коэффициент эксцесса
и другие,
высшие
ряда (3.17.7).
Отсюда следует,
что при увеличении п плотность вероятности суммы ц стремится
к нормальной.
Можно показать, что плотность вероятности для суммы (6.11.1)
будет стремиться к нормальной и в том случае, когда величины
Во 4 = 1,2, ..., и, зависимы. Однако в этом случае коэффициенты
Vi и у2 ПРИ заданном п будут больше, чем для независимых величин.
Приведенные рассуждения переносятся на линейные преобразо-
вания интегрального вида. Пусть случайные процессы £(/) ц» г](/)
связаны соотношением типа (6.1.4):
т] (0 — j G (t — г) £ (т) dr,
о
(6.11.3)
где случайный процесс £(/) является ненормальным. Будем считать
/^>тс (стационарное состояние) и тс^>тк.
Интеграл (6.11.3) можно представить в виде суммы
П(0~ 2С(/-тЛ(^)А.
(6.11.4)
Элементарный интервал А возьмем таким, что тс^>А^>тк. При
этом отдельные слагаемые суммы будут практически независимы.
Так как ^3>тс>А>тк, то на интервале интегрирования (О, Т)
содержится большое число п членов суммы. Следовательно, плот-
ность вероятности для ц(£) при тс>тк стремится к нормальной,
независимо от вида плотности вероятности для |(/).
Можно показать [5], что применительно к преобразованию
(6.11.3) коэффициенты асимметрии и эксцесса для v\(t) и £(Z) свя-
заны приближенными соотношениями
~	1/ хк	~ тк
71— И	72 —-72Ь
г тс	Тс
(6.11.5)
264
Эти формулы по характеру совпадают с (6.11.2), если положить
Ц Тс / Хк.
Приведен теперь несколько конкретных примеров, иллюстри-
рующих яг ление нормализации.
1.	Пусть арифметически суммируются N независимых выбороч-
ных значен!Й (отсчетов) стационарных случайных процессов, имею-
щих плотности вероятности (7.2.9) и (7.5.3) [13]. Характер изме-
нения плотностей вероятностей Wn(v) в зависимости от числа сум-
мируемых ггсчетов показан на рис. 6.17, причем пунктирные кри-
Рис. 1-17. Плотности вероятности суммы 7V независимых отсче-
тов сгибающей узкополосного случайного процесса в отсут-
ствиесигнала (а=0 — пунктирные линии) и при наличии сиг-
нала (а2=2 — сплошные линии).
вые относятся к случайному процессу с плотностью вероятности
(7.2.9), а сплошные — с плотностью вероятности (7.5.3) при а2 = 2.
Эти результаты получены при помощи ряда Эджворта (3.17.7).
Аналогианые кривые для плотностей вероятностей (7.5.7) при
а2 = 0 и 2.полученные при помощи гамма-распределения (3.17.25),
показаны вж рис. 6.18 соответственно пунктирными и сплошными
линиями. Им рисунков явно усматривается приближение плотностей
вероятностей Wn к нормальной с увеличением числа N суммируемых
отсчетов.
2.	На рис. 6.19 приведены две плотности вероятности напряже-
ния на наг|узке RC линейного диодного детектора, когда на вход
детектора воздействует нормальный стационарный низкочастотный
шум с гаусовой спектральной плотностью шириной А/ (на уровне
0,5). Видно, что с увеличением постоянной времени RC плотность
вероятное™ выходного напряжения приближается к нормальной
[14].
265
3.	В задачах обнаружения быстро федингующих сигналов при-1
ходится рассматривать плотность вероятности случайной величины
о
где £(/) — нормальный стационарный шум с нулевым средним зна
чением и спектральной плотностью вида [см. (6.10.8)1:
const
(6.11.7)
5, ((D) -
Рис. 6.18. Плотности вероятности суммы N независимых
отсчетов квадрата огибающей узкополосного случайно-
го процесса в отсутствие сигнала (й = 0 *— пунктирные
линии) и при наличии сигнала (а2 = 2 — сплошные
кривые).
На рис. 6.20 приведены плотности вероятности W(-q) при Q =
= 100 для трех значений параметра X == (Оо7, пропорционального
числу периодов То = 2л/шо, укладывающихся на Интервале вре-
мени Т [151. Замечаем, что с увеличением времени интегрирова-
ния Т плотность вероятности 1Г(т]) стремится к нормальной.
4.	Рассмотрим уравнение
Ф + ₽Ф = ?т	(6.П.8)
где £(/) —нормальный стационарный шум с нулевым средним
значением и корреляционной функцией
(т) = of(т) = о?е~“'т| .	(6.11.9)
266
Уравнение (5.11.8) определяет отклонение стрелки термоэлектри-
ческого npntopa при воздействии на него флуктуационного шума
'Q(t'), причем коэффициент у характеризует чувствительность, а
Рис. 6.19. Нормализация напряжения на выхо-
де линейного инерционного детектора.
—инерционные свойства прибора [16]. Будем считать, что выпол-
няется у слоте
Рис. 6.20. Нормализация флуктуаций при ин-
тегрировании.
(6.11.10)
Плотность вероятности &у(<р) при условии (6.11.10) можно найти
из решения соответствующего уравнения Фоккера — Планка. С этой
целью приведем уравнение (6.11.8) к виду (3.20.18). Введем вместо
С2(0 новую случайную функцию T-(t) —	— о2], имеющую
267
1
7
нулевое среднее значение и функцию корреляции, которая нахо-
дится из (3.15.23) и равна:
О) + т)) = 2у* £?(т).	(6.11.11)
Теперь уравнение (6.11.8) можно записать так:
Ф = f (ф) + £ (О, /(ф) = — РФ +Yffc2-
Подставив в формулу (3.20.20) отдельные величины и определив
коэффициент С из условия нормировки, получим
&у(<р) =
(6.11.12)
Убеждаемся, что при выполнении условия (6.11.10) плотность
вероятности для ф(0 оказывается нормальной.
Рис. 6.21. Система фильтр — ограничитель — фильтр.
Отметим, кстати, что в данном примере можно сделать оценку
отношения тс/тк =а/0, при котором можно пользоваться урав-
нением Фоккера — Планка.
Из решения линейного уравнения (6.11.8)
Ф (0 =
е,Л (х) dx
о
в стационарном состоянии (/ -> оо) получим
(6.11.13)
формулы (6.11.13) с приближенной (6.11.12)
Из сравнения точной
следует, что среднеквадратичное значение в первом случае содержит
поправку порядка p/а, которая при условии (6.11.10) мала.
5.	Приведем характер изменения плотностей вероятностей на
выходе системы фильтр — ограничитель — фильтр (рис. 6.21),
когда на вход такой системы воздействует белый шум [17]. Ампли-
тудно-частотная характеристика первого линейного фильтра Ф1
предполагается гауссовой, а второго Фг определяется резонансной
268
кривой колебательного контура; сглаженный ограничитель имеет
характеристику вида (5.10.21):
пф = -^= [е 2^dx.
I F 2я J
—оо
(6.11.14)
Обозначим отношение полос пропускания фильтров на уровне
0,5 через
(6.11.15)
Рис. 6.22. Пжютности вероятности шума на выходе системы фильтр
ограничитель — фильтр при фиксированном пороге ограничения
(у — 1,5) и разных соотношениях полос фильтров д.
По формуле (5.1.4) находим плотность вероятности шума т](/)
на выходе ограничителя в функции входного шума £(/):
Г, m = J- exp
(6.11.16)
Для частных случаев слабого, среднего и сильного ограничения эта
формула преобразуется в более простые выражения. При слабом
ограничении (v<l) можно считать, что работа осуществляется, на
линейном участке характеристики ограничителя и, следовательно,
№(п) =
v«l.
269
Для среднего ограничения (v=»l) из (6.11.16) получим равномер-
ную плотность вероятности
^(Т|) = 2Б’ ИК0’
В случае сильного ограничения (v^>l) придем
функций:
к сумме двухдельта-

№ (т)) = [6 (а — п) + d (а + n)L v > 1 •
Ненормальный шум т](/), проходя через второй линейный фильтр
Фг, в той или иной мере нормализуется, в’зависимости от величины
относительного порога ограничения v и соотношения полос 6. На
рис. 6.22 показан характер изменения плотностей вероятностей
Рис. 6.23. Зависимость коэффициента эксцесса от от-
носительного порога ограничения при разных отноше-
ниях полос пропускания 6.
№(£) для напряжения t,(f) на выходе второго фильтра при v = 1,5
для четырех значений 6=0; 0,4; 0,9 и 4. Видно, что с увеличением
6 плотность вероятности №(£) стремится к нормальной.
Этот результат подтверждается также рис. 6.23, на котором при-
ведена зависимость коэффициента эксцесса у2 от относительного по-
рога ограничения v для нескольких значений 6. (Очевидно, что
при симметричном ограничении нормального шума коэффициент
асимметрии равен нулю.) Сказанное поясняет смысл используемого
в инженерной практике термина: «шум на выходе системы широкая
полоса — ограничитель — узкая полоса является нормальным».
270
§ 12	О НЕОБХОДИМОЙ ДЕТАЛЬНОСТИ РАССМОТРЕНИЯ
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Приступа я к решению какой-либо конкретной задачи, связан-
ной с линейными и нелинейными преобразованиями случайных
продессов, кужно прежде всего наметить план ее решения. План
решения обязательно включает два момента: во-первых, уяснение
необходимо» степени детальности исследования интересующих нас
случайных процессов и, во-вторых, выбор соответствующего метода
решения.
а)
Нелинейный
элемент
n(t) линейный ^(t)
усилитель ——L
G(t)
6)
Рис. 6.24. Прибор П, измеряющий среднее значение,
Остановгмся здесь подробнее на вопросе о необходимой степени
детальности рассмотрения случайных процессов. Под этим термином
понимается следующее: какими статистическими характеристиками
выгодного случайного процесса нужно интересоваться примени-
тельно к конкретно поставленной задаче и какие при этом харак-
теристики входного процесса должны быть заданы. Так как нами
пока изучены правила преобразования статистических характери-
стик случайных процессов линейными и нелинейными безынерцион-
ными системами, то рассмотрим несколько конкретных примеров
из области 5>адиоизмерений, радиосвязи и радиолокации, содержа-
щих лишь такие системы.
Пусть иаеется два устройства (рис. 6.24, а, б), представляющие
собой последовательное соединение линейного усилителя с задан-
ной импульсной характеристикой G(t) и нелинейного безынерцион-
ного элемита с известной характеристикой £(/) = я(т1(0)- Будем
пока считать, что на вход обоих устройств воздействует нормальный
стационарный случайный процесс (сигнал) £(/). Обозначим выход-
ном процесс через Пусть к выходу обоих устройств присоеди-
нен некоторый регистрирующий прибор П и нас интересует лишь
стационарный режим работы.
Рассмотрим несколько частных случаев, соответствующих раз-
личным типам регистрирующих приборов.
271
1.	Предположим, что прибор измеряет среднее значение выход-
ного процесса £(/), причем показания прибора определяются урав-
нением
гр + ai|) = а£ (/), (G„ (Q — ае-С1/)>	(6.12.1)
где а — постоянная времени прибора.
Требуется найти зависимость показаний прибора ф от воздейст-
вующего на него процесса £(/).
В стационарном состоянии среднее отклонение стрелки прибора
по формуле (6.6.8) равно:
(ф(0) = (СО = /П:,	(6-12.2)
а дисперсия показаний прибора, характеризующая погрешность
измерений, определяется формулой
<4 = о;2.	(6.12.3)
Следовательно, из соотношений (6.12.2) и (6.12.3) видно, что
для решения сформулированной задачи нужно знать среднее зна-
чение т- и дисперсию а? выходного процесса
Методика вычисления этих характеристик несколько различна
для приведенных двух устройств. Величины т-, и о- для схемы
рис. 6.24,а определяются одномерной плотностью вероятности
a»i(<l) процесса т|(?) по формулам (2.4.6) и (2.5.2) соответственно.
В свою очередь при входном нормальном случайном процессе
£(Z) случайный процесс ц(0 на выходе линейного усилителя будет'
также нормальным, и его одномерная плотность вероятности пол-
ностью определяется средним значением и дисперсией о^, ко-
торые находятся по формулам (6.6.8) и (6.6.10) через соответствую-
щие характеристики процесса £(/).
Для схемы рис. 6.24,6 среднее значение т- и дисперсия о?
определяются по формулам (6.6.8) и (6.6.10) через среднее значение
тп и функцию корреляции йп(т) процесса ri(/). При вычислении
ki] (т) нужно воспользоваться формулой (5.1.10).
Мы рассмотрели наиболее простой случай, когда входной процесс
£(/) является нормальным. Если допустить, что процесс £(^) не-
гауссов, то задача существенно усложняется, причем ее решение
для схемы рис. 6.24,а окажется более сложным и громоздким, чем
для схемы рис. 6.24,5. Теперь для первой схемы нужно по много-
мерным корреляционным функциям процесса £(/) предварительно
вычислить кумулянты (семиинварианты) процесса ц(/), по ним сог-
ласно формуле (3.4.7) найти сначала характеристическую функцию,
а затем одномерную плотность вероятности Wri(r>). Для схемы
рис. 6.24,5 величины tnTi и 6Т|(т) находим по одномерной Wi(£)
и двумерной №2(£, &t) плотностям вероятности процесса £(/).
272
Таким образом, для решения сформулированной задачи приме-
нительно к иервому устройству нужно знать многомерные плот-
ности вероязности (многомерные корреляционные или моментные
функции) входного процесса £(/), а применительно ко второму уст-
ройству достаточно знать только двумерную плотность вероятности
входного процесса.
Линейный
усилитель -
G(t)
« (I > Нелинейный
 < - 7 > элемент
а)
Я f) нелинейный
—-----элемент
\д(t)= g(k(t))
уМ Линейные
усилитель
G(t)
къ(т)
6)
Рис. 6-25. Прибор П — спектроанализатор.
2.	Пусть прибором П является спектроанализатор (коррело-
метр). Если дополнительно учесть характеристики чувствительно-
сти человеческого уха, то такая постановка задачи оказывается
характерной для радиотелефонной связи.
y(t) Нелинейный
----эл е.м ен т
wz<%7r)	w2(i}}t,T)
Wm(k\_ .^л?)
Линейный
усилитель
G(t)
а)
^т)
й)
Рис. 6.26. Прибор П — счетчик.
Поскольку спектр случайного процесса однозначно определяется
корреляционюй функцией, то для выходного процесса £(/) нужно
знать корреляционную функцию fe£(x). В случае схемы рис. 6.25,а
она определсется двумерной плотностью вероятности W2(г], гр)
процесса т)(^ а для схемы рис. 6.25, б — корреляционной функцией
А\(т). Если процесс £(/) негауссов, то ть) можно приближенно
вычислить, злая многомерную плотность вероятности ...,gOT)
входного процесса £(/)> а &л(т) определяется двумерной плотностью
10 Зак. 245	. 273
вероятности 1Г2(В, ВО- Решение данной задачи для второй схемы
также проще, чем для первой.
3.	Предположим, что прибором является безынерционный счет-
чик, который за некоторый интервал времени считает число W
пересечений случайным процессом £Ц) фиксированного уровня С
снизу вверх.
В § 3 гл. 9 показано, что среднее число пересечений N опреде-
ляется двумерной плотностью вероятности 1Г2(В, £т). Эта плотность
вероятности для схемы рис. 6.26,а выражается через двумерную
плотность вероятности \Г2(т], тр), которая р свою очередь может быть
приближенно вычислена по многомерной плотности вероятности
Wm (Bi, •••> Вт) путем «пересчета» многомерных корреляционных
функций через линейный усилитель.
Применительно к схеме рис. 6.26,6 для вычисления Т2(£, £т)
нужно знать многомерную плотность вероятности	•••> Tlm)
процесса ц(0, которая выражается через плотность вероятности
Wm (Ei, • ••, Вт) по формуле (5.1.10).
Решение рассматриваемой задачи будет более сложным для
второй схемы, чем для первой.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Евтянов С. И. Переходные процессы в приемно-усилительных
схемах. Связьиздат, 1948.
2.	Ж ел езнов Н. А. Некоторые вопросы теории информационных
электрических систем. Докторская диссертация. ЛКВВИА им. А. Ф. Можай-
ского, 1960.	•>
3.	Т и х о н о в В. И. О флуктуационном характере установления ам-
плитуды колебаний в автогенераторе. «Радиотехника и электроника», 1956»
№9.
4.	А х м а н о в С. А. О флуктуационном характере установления
амплитуды колебаний в автогенераторе. «Известия вузов», Радиофизика»
1960, №'1.
5.	Кузнецов П. И., Страто и ович Р. Л., Тихо-
нов В. И. Прохождение некоторых случайных функций через линейные
системы. «Автоматика и телемеханика», 1953, №2.
6.	Котельников В. А. Теория потенциальной помехоустойчи-
вости. Госэнергоиздат, 1956.
7.	Я г л о м А. М. Введение в теорию стационарных случайных функ-
ций. УМН, 1952, вып. 5 (51).
8.	Вайнштейн Л. А., Зубаков В- Д. Выделение сигналов
на фоне случайных помех. Изд-во «Советское радио», 1960.
9.	Д а в е н п о р т В. Б., Рут В, Л. Введение в теорию случайных
сигналов и шумов. Изд-во иностранной литературы, 1960.
10.	Максимов М. В. Взаимная корреляция флуктуационных по-
мех на выходе частотных фильтров. «Радиотехника», 1956, № 9.
11.	Ч ер н я к Ю. Б. Взаимная корреляция напряжений шумов на
выходе усилителей с перекрывающимися частотными характеристиками.
«Радиотехника и электроника», 1960, № 5.
1,	2. Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Предельные рас-
пределения для сумм независимых случайных величин. Гостехиздат, 1949.
13.	Marcum J. I. A statistical theory of target detection by pulsed
yadar. Trans. IRE, 1960, IJ-6, № 2.
274
14.	Т и хонов В. И., Толкачев А. А. Воздействие ненормаль-
ных флуктуаций на линейные системы. «Известия АН СССР», ОТН, 1956,
12.
15.	S 1 е । i a n D. Fluctuation of random noise power. BSTJ, 1958t X® 1.
16.	T и xo н OB В. И. К вопросу об измерении электрических флук-
1 уаций при помощи термоэлектрических приборов. ЖТФ, 1955, Xs 5.
17.	Т и хо нов В. И., Горяйнов В. Т. Воздействие нормаль-
ного шума на ограничитель. «Электросвязь», 1961, № 11.
18.	Z a ka i М. Band— limited functions and the sampling theorem.
Information and control, 1965, № 2.
<3
Глава 7
УЗКОПОЛОСНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОГИБАЮЩЕЙ И ФАЗЫ
КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИХ ФЛУКТУАЦИЙ
Линейные радиотехнические системы, работающие на высоких
и промежуточных частотах, как правило, являются узкополосными.
Если обозначить ширину амплитудно-частотной характеристики
системы (допустим на уровне 0,5 по мощности) через АД а централь-
ную'частоту полосы пропускания через fo, то обычно выполняется
неравенство
А/«/0.	(7-1.1)
На основании формулы (6.9.11) можно сказать, что при воздей-
ствии на такую систему стационарных флуктуаций с широким спект-
ром флуктуации на выходе в общем случае имеют коэффициент
корреляции вида
R (Ч = Р (т) cos [ю0 т 4- у (т)], (о0 = 2л/0,	(7.1.2)
а когда амплитзадно-частотная характеристика • симметрична отно-
сительно частоты /о, то
R(t) = p(t)cos(d0t.	(7.1.3)
Здесь р(т) — медленно изменяющаяся функция по сравнению
с coscdot, т. е. функция р(т) практически не изменяется за время
То = 2л/о)о.
По виду флуктуации напоминают модулированное гармони-
ческое колебание (рис. 7.1, а, б). Из сопоставления осциллограмм
этих флуктуаций с осциллограммами широкополосных флуктуаций
(рис. 7.1, в) хорошо заметно различие между ними. Чтобы под-
черкнуть это различие, будем называть стационарные узкополосные
флуктуации, имеющие коэффициент корреляции вида (7.1.2), ква-
зигармоническими. Спектральная плотность квазигармонических
флуктуаций практически отлична от нуля лишь в узкой полосе
ЧаСТОТ Ай) = |й> — й)о[<Сй)о.
Квазигармонические флуктуации £(/) можно представить в ви-
к- гармонического сигнала, случайно модулированного по амплиту-
к‘ и фазе:
£(/) = A (/) cos [co0!f — q> (/)],	(7.1.4)
1 де А(0 и q(£) — медленно изменяющиеся функции по сравнению
। coscooA
Случайную функцию A (t) можно назвать огибающей узкополос-
ных флуктуаций, а функцию ф(/) — случайной фазой флуктуаций.
f*nc. 7.1. Нормальные флуктуации с выхода узко-
полосного фильтра (/0—5 кгц,Af =3,5 кгц) при двух скоро-
стях развертки (а, б) и с выхода видеоусилителя («).
*
Скорость изменения огибающей и фазы характеризуется величиной,
обратной полосе пропускания системы. При условии (7.1.1) оги-
бающая и ^аза в течение периода То — 1//о практически не изме-
няются. Ввиду этого в некоторых задачах со случайным процессом
£(/) можно оперировать так же, как с модулированным гармони-
ческим колебанием.
Само собой разумеется, что представление квазигармонических
флуктуаций |(/) в форме (7.1.4) не является однозначным, так как
при заданнмх статистических характеристиках £(/) имеется неко-
торая степень произвола в определении статистических характе-
ристик Я(£) и ф(/). Пользуясь ею, огибающую можно определить
по-разному.
277
Часто огибающую определяют формулой [1, 21
Л(/)=ШШ2(0>	(7.1.5)
где £(0 — так называемый сопряженный процесс.
Исходный случайный процесс 1(f) и сопряженный процесс
£(/) связаны друг с другом при помощи пары преобразований
Гильберта:
(7.1.6)
Воспользовавшись соотношением
cos («О* — ¥о)
dx = — Ат sin (соо t — ф0)
убеждаемся, что формула (7.1.5) дает точное определение амплиту-
ды в случае гармонического колебания £(^) = Ат cos (<оо^— фо).
Применительно к квазигармоническим флуктуациям вида (7.1.4)
формула (7.1.5) имеет приближенный характер. Убедимся в этом.
Используя обозначения
Лс (0 = Л (0 cos ф (О, As (t) = Л (/) sin ф (/),	(7.1.7)
можем написать

00	оо
5(0 = 7 f АДйС05(Мтт f 7^-Л5 (х) sin (Оо
• U |	4 R Л	Л I 4 Л
— 00	—00
Разложим функции Лс(х) и ЛДх) в подынтегральных выражениях
в ряд Тейлора в окрестности точки х ~ t и почленно проинтегри-
руем. Получим
= — Лс (/) sin(o0 /ф-Л5(/) coso)0	(0=—Л (/) sin [со01—(р (01+Q (О-
Отсюда видно, что если можно пренебречь остаточным членом
Q(/), то сопряженный процесс £(/) имеет ту же огибающую Л(/),
278
что и исходный процесс 1(f). При этом формула (7,1.5) будет давать
правильны! результат.
Покажеж\ что для узкополосных случайных процессов член
Ц(1) действительно является малым. Для этого воспользуемся со-
отношениями:
при п четном,
при п нечетном,
„ .	,	2п\
п smco0xdx =
* fr 1
®0
jn sin (o01 при n четном,
у"-1 cosco0f при n нечетном.
С учетом >тих равенств для остаточного члена можем написать
4- Q (t) = — (Лс cos ®01 — As sin <o0l) —
£	03 Q
----—2 (A"c sin (Од t + A] coso>01) + ...
Наивысшая существенная частота в
функций Лс (t) и ЛДО приближенно
Ле1 (О и Л0 (О по порядку величин
Поэтому Q (Q л; А (£). Следовательно,
энергетических спектрах
равна До). Производные
не превосходят АсоЛ (t).
С (0 = -А (О sin [®01 - Ф (/)] + - А (О-	(7.1.8)
° О
Отсюда следует, что для узкополосных случайных процессов
функции Е(7) и £(£) имеют одинаковую огибающую с погрешностью,
определяемой отношением ширины спектра к средней частоте.
Соотношение (7.1.8) оправдывает возможность определения оги-
бающей узкополосных случайных процессов при помощи формулы
(7,1.5).
Огибающую квазигармонических флуктуаций можно определить
иначе, а именно, соотношением [31
А (0 =	(0 + <о?2 (О,
(7.1.9)
При такой определении огибающей в отличие от определения при
помощи преобразования Гильберта предполагается, что флуктуа-
ции £(/) являются дифференцируемыми. В этом смысле данное опре-
деление огибающей является менее общим, хотя оно имеет ряд пре-
имуществ и физически более наглядно.
Из определения (7.1.9) следует, что A(t)>t,(t), причем A(t) =
= £(0 при |(0 =0. Таким образом, случайные функции Л(0 и
279
!(/) не пересекаются и имеют общие касательные в точках, где
£(/) имеет максимумы (минимумы). Это свойство также говорит
о целесообразности назвать А (/) огибающей. Рис.7.2 дает наглядную
иллюстрацию сказанному.
Очевидно, что фаза ф(/) случайного процесса g(/j теперь одно-
значно определяется соотношениями (7.1.4) и (7.1.9). Из (7.1.9)
следует, что производную |(1) нужно полагать равной
ЙО = — (Z)sin — ф(0],	(7.1.10)
т. е. при вычислении производной квазигармонических флуктуаций
нужно пренебрегать производными по времени от медленно изме-
няющихся функций Л(0 и ф(0-

Рис. 7.2. Квазигармонический шум £(/) и его огибающая
Квазигармонические флуктуации £(/) можно также представить
в другом виде. В обозначениях (7.1.7) формулы (7.1.4) и (7.1.10)
можно записать так:
| (0 = Лс (0 cos соо t -j- As (0 si n co01,
to?1t (0 = As (0 cos G)o t — Ac (0 sin (oo Z
(7.1.11)
Из равенств (7.1.7) также следует, что
А (0 = V Al(t) + А2 (0, tgф (;) =	.	(7.1.12)
z lC v ?
Графически квазигармонические флуктуации £(/) можно пред-
ставить вектором, вращающимся в среднем с угловой скоростью
<оо и имеющим медленно изменяющуюся случайную длину A(t)
и медленно изменяющийся случайный фазовый угол ф(/) (рис. 7.3).
Случайная функция As{t) представляет проекцию этого вектора на
вертикальную ось, а Лс(/) — на горизонтальную.
В соответствии с таким геометрическим представлением можно
ввести понятие мгновенной частоты квазигармонического шума
(7.1.4), определив ее равенством
..__.. (4\_.. ___d'p ______Дд(/)ЛС(О (/) 4С(0	. < о,
(О (О (?) (Oq	(Oq	(/)		(' .1.1о)
280
Следует обратить внимание на то, что со(/) является случайной
функцией времени и вопреки впечатлению, которое создает термин
«частота», не является частотой в обычном смысле. В частности,
если вектор А (/) на плоскости делает
ление вращения (см. рис. 7.3), то
функция со(?) принимает отрица-
тельные значения.
Укажем некоторые свойства
случайных функций Дс(^) и Л^(/).
При этом [ади простоты матема-
тических иыкладок в дальнейшем
в основном будет рассматриваться
тот практически важный случай,
когда спектр узкополосных флук-
туаций £(^ симметричен относи-
петли, т. е. изменяет направ-
Рис. 7-3- Геометрическое пред-
ставление квазигармонических
флуктуаций.
тельно частоты йо и, следователь-
но, коэффициент корреляции имеет
вид (7.1.3).
1. Если случайный процесс £(/) является нормальным, то слу-
чайные функции Лс(/) и 4S(/) являются также нормальными. Решая
уравнения (7.1.11) относительно 4C(Z) и As(f), получим
4С (4) = S (t) COS юо t — (Do 11 (/) sin (O0 t, |
As (t) = (U?11 (0 COS CD0 t + I (/) sin G)o t.
(7.1.14)
Если случайный процесс £(/) является нормальным, то |(0
будет тоже нормальным процессом. Так как случайные функции
Дс(/) и AJ I) получаются в результате линейного преобразования
двух нормальных процессов, то сами они будут иметь нормальную
плотность вероятности.
2. Пусть квазигармонический процесс |(/) нормален, стациона-
рен, имеет нулевое среднее значение и функцию корреляции
4(т)	(£(/)£(£ + т)> = ст2/?(т) = o2p(t)cos(d0t. (7.1.15)
Для такого процесса £(/) случайные функции As(ti) и Дс(^) яв-
ляются также нормальными, стационарными и обладают следую-
щими свойствами: их средние значения равны нулю, они независи-
мы и имеют одинаковые автокорреляционные функции, т. е.
<4 (G)> = (4 (/2)) = о,
(7.1.16)
(UHWM.	(7.1.17)
(4, (f0 As (tx + т)> = (4C (/2) Ас (ft + т)) = о2 р (т).	(7.1.18)
Соотношение (7.1.16) получается в результате статистического
усреднения равенств (7.1.14).
10В Зак. 245
281
Докажем формулу (7.1.18). На основании (7.1.14) можем на-
писать
(А (Z) Ас (t + т)) = (£ (0 £ (t 4- т)) cos w01 cos w0 (t + т) 4-
4- О)?2 (В (0 i {t + *)) sin ®01 sin (Оо (t 4- т) — со?1 [<| (О ВG + т)) X
х sin(о01 c<ys><&a(t 4- т) 4- (£(£)£(t 4- т)) coso)01 sin o>o(/4-T)l- (7.1.19)
Согласно формулам (6.2.9) и (6.2.10) имеем
(g(0l(Z4-r)) = -^), (B(/)B^+T))=-(B(^+r)t(Z))=d^-).
Для узкополосных процессов множитель р(т) в (7.1.15) является
медленно изменяющейся функцией по сравнению с созсэот, т. е.
р'(тХ<в0. Пренебрегая производной р'(т) по сравнению с со о,
получим
dk (т)	„ , . .	d2k. (т)	2 « z ч
-^-1 = — (О0 о2р (т) Sin (О0Т,	= — СОо^(т).
Подставив эти выражения в (7.1.19), придем к формуле (7.1.18).
Аналогичным путем доказывается формула (7.1.17).
Таким образом, нормальный квазигармонический случайный
процесс £(/) с симметричной спектральной плотностью относитель-
но частоты (о0 можно представить в виде
|(/) = Ас(/)cos6)О/ 4- As(/)sintt>o^,	(7.1.20)
где Д5(Л) и Ас(/г) — независимые, нормальные, медленно изменяю-
щиеся стационарные случайные функции.
Вообще говоря, представление случайного процесса £(/) в фор-’
ме (7.1.5), (7.1.9) или (7.1.20) не требует, чтобы он был узкополос-
ным [41. Однако для широкополосных процессов случайные функ-
ции As(t), Ac(t), А(/) и <р(/) не будут медленно изменяющимися.
Поэтому при решении практических задач представление случай-
ных процессов при помощи формул (7.1.5), (7.1.9) и (7.1.20) можно
продуктивно использовать лишь тогда, когда они относятся к ква-
зигармоническим процессам.
Рассмотрим основные статистические характеристики огибаю-
щей А(/), фазы <р(0 и их производных по времени для практически
важного случая, когда квазигармонический процесс является
нормальным.
§ 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ОГИБАЮЩЕЙ И ФАЗЫ
КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИХ ФЛУКТУАЦИЙ
Если воспользоваться формулой (7.1.12) и результатами § 1,
то одномерные плотности вероятности для огибающей и фазы
нормальных квазигармонических флуктуаций легко получить,
282
пойТорйВ преобразования, которые применялись йрИ Выводе формул
(5.2.26) — (5.2.27).
Двумерную плотность вероятности огибающей Л (7) можно
получить, исходя из формул (7.1.4) и (7.1.10). Воспользуемся из-
вестным выражением для четырехмерной плотности вероятности
нормальных переменных
У1 ~ В (G), Уа = В (^а), Уз= В (7i), У1 = В (^а)-
^<(У1. Ь
Уз,
__ехр
Пусть гвазигармонический процесс £(7) имеет нулевое среднее
значение в функцию корреляции (7.1.15). Тогда получим следую-
щие соотношения:
1	7? О S
S 0	7? 1
оу = °2 = о, ог3 = а4 = (оо о,
7? (т) = p(T)cosco0 т,
S (т) = — р (т) sin (о0 г,
Т = 72 — 7р
Выполнив необходимые вычисления, выражение (7.2.1) можем
записать так:
<М11, Уа, Уз, У«)= , 2 2 л 8ехР{-2^ [(У1 + Уг) +
о4 г*	£3 г
2 (уз "Ь у2)	27? (у4 у2 + ®о Уз У*) 2tt>o S (у2 у3 Ух у4) j,
(7.2.2)
где
Г2 = Г2(Т) = J ^2 S2= 1 —р2(Т).	(7.2.3)
Перейдем к новым переменным согласно формулам (7.1.4) и
(7.1.10), а именно, положим
ух = A COS ф, у2 = ДтС05фт, ф==О)о7— ф,
Уз = — сооЛ sinip, у4= —(% Л-sinф_, фх = <оо(7т) — фт.
Здесь величины без индекса относятся к моменту времени 7Х=7,
а с индексом «т» — к моменту времени 72 = 7 + т. Якобиан пре-
образования переменных равен:
д(У1, у3 Уз, у4)
д (Л, лт> ср, fT)
= &>о ААХ.
10В*
283
1
Получим
W4(A, Ат, <р, фх) =
= 4ЭТехР { — 2^ КЛ2 + Лг) — 2рЛД cos((px—ч>)]1.	(7.2.4)
Если вспомнить определение (2.9.19) бесселевой функции /0(г)
и выполнить интегрирование по фх, то получим
ТГ
W3(A, Л, ф) = J Ц74 (Л, А-., ф, фт)Лрт = ИМА Л)^(ф), (7.2.5)
----------------7Г
« = 21 
A, Az О,
Формула (7.2.5) показывает, что для нормального квазигармо-
нического процесса с симметричной спектральной плотностью
огибающая Л(/) и фаза ф(/ + т) независимы как в совпадающие,
так и в разные моменты времени. Можно показать, что они стано-
вятся зависимыми в разные моменты времени, если спектральная
плотность исходного узкополосного процесса несимметрична.
Здесь и в дальнейшем без обоснований принимается, что воз-'
можные значения случайной фазы заключены в интервале (—л,л).
При этом одномерная плотность вероятности (7.2.7) фазы ф(0
оказалась равномерной. В ряде задач это ограничительное пред-
положение не позволяет получить практически важные результа-
ты (например, так называемые перескоки фазы — см. § 3 гл. 8)
и необходимо учитывать тот факт, что фаза может принимать
значения ф(/) ± 2m л, где т = 0,1,2,...
Если воспользоваться известным интегралом (10.8.18) и выпол-
нить интегрирование по Az, то для одномерной плотности вероят-
ности огибающей A(t) получим релеевский закон вида (5.2.26):
или
Г(Л) = ^ехр(-А>0,
0.
(7.2.8)
(7.2.9)
Релеевская плотность вероятности для безразмерной перемен-
ной z приведена на рис. 7.4. При z=1 она имеет максимум 117(1)^0,6.
284
Среднее значение и дисперсия огибающей равны
те=(Л)= AW(A)dA = оу
[I
Одномерное четные моменты
огибающее равны
< т> = 2”» (ml) (2m -1)1! Q2m
(2т)!
(7.2.11)
Исполвуя формулу
(7.2.6), можно показать [5],
что двумерная плотность
вероятности для безразмер-
ных велиеин
21= А/и, г2 = Ах/о (7.2.12)
может быть представлена ря-
дом по ортогональным поли-
номам Лагерра
W'i (zi>z2) = ^гге
Рис. 7.4. Релеевская плотность вероятно-
сти огибающей квазигармонических
флуктуаций.
(7.2.13)
где Ln(x) — полиномы Лагерра, определяемые равенством
п
ц=0
Разложением (7.2.13) часто пользуются при рассмотрении безы-
нерционных нелинейных преобразований огибающей [6, 7]. В ча-
стности, используя его, можно показать [8], что двумерный момент
огибающей равен:
(ААТ) =	[2Е (р) - (1 - Р2) К (р)] = о2 (1 + р) Е =
(7.2.14)
где К и Е — полные эллиптические интегралы первого и второго
родов/, [91.
285
Отсюда получаем формулы для функции корреляции и коэф-
фициента корреляции огибающей
kA (т) = <ААХ> - <Л>2 = ~	(т) + (Л)2р4(т) +
Z Z J	\\* */
(7.2.15)
рл (т)={(у )2р2 w+feyp4 (т)+(ггбУ р6 С0+-	=
A	L X,	X/	\	/	)
= 0,921р2(т) + 0,058р4(т) + ... ж Р2(Т).	(7.2.16)
Итак, коэффициент корреляции огибающей приближенно равен
квадрату медленно изменяющегося множителя в выражении (7.1.3)
для коэффициента корреляции квазигармонических флуктуаций.
Интересно отметить, что коэффициент корреляции огибающей
(7.2.16) практически совпадает с коэффициентом корреляции квад-
рата огибающей. Действительно, воспользовавшись формулой
(7.1.12) и учитывая соотношения (7.1.16) — (7.1.18), имеем
ч
kA. (т) = (Л2ЛТ2) — (Л2)2 - (Л2 А^} + (Л2 Л2х> — 2ст4.
На основании формул (3.15.23) и (7.1.18) имеем
(Л* Л2г) = (Лс Лег) = СТ4 + 2ст4р2 (т).
Поэтому
kAi (т) = 4ст4р2 (т), рдв (т) = р2 (Г).
(7.2.17)
Выражения (7.2.16) и (7.2.17) для коэффициентов корреляции
позволяют найти энергетические спектры огибающей и ее квадрата.
При этом оказывается, что ширина физического (одностороннего)
спектра огибающей (ее квадрата) всегда меньше ширины ана-
логичного спектра самих квазигармонических флуктуаций; степень
сужения зависит от вида спектра исходных флуктуаций и может
быть рассчитана по формуле (3.10.10).
Если в основной формуле (7.2.4) перейти от фт к новой пере-
менной Дф = фт — ф = ф(/ + т) — ф(/) и затем выполнить ин-
тегрирование по всем возможным значениям A, Az и ф, то получим
следующую плотность вероятности для разности фаз [10, 111:
W (Аф) -
। -ту + arc sin х
+ Х (1-Л2)3/2
(7.2.18)
х = р (т) cos А<р.
2Ц
§ 3.	ВЗАИМНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ ОГИБАЮЩИХ ШУМОВ
НА ВЫХОДЕ УЗКОПОЛОСНЫХ УСИЛИТЕЛЕЙ
С ПЕРЕКРЫВАЮЩИМИСЯ ЧАСТОТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
Предположим, что двухканальная схема рис. 6.15, содержащая
два узкоголосных усилителя с общим входом, дополнена двумя
одинаковым детекторами огибающей (рис. 7.5). Если на вход схемы
действует широкополосный нормальный шум £(/), то на выходах
детекторов выделяются огибающие Д1(/) и Дг(/) узкополосных
флуктуациэнных процессов r]i(£) и т|а(^). Вычислим коэффициент
Рис. 7.5. Двухканальная схема.
взаимной корреляции pia(r) между огибающими Ai(f + т) и Лг(/)
[12]. При этом используем результаты и обозначения, приведен-
ные в § 10 гл. 6.
Представим напряжения т]а(£) в виде
Чл(О = 4»(0cos4>„(0, п = 1, 2,	(7.3.1)
где Ап (/) — огибающие, (/) — соя t ф- ср„ (/) — случайные фазы.
Введем два вспомогательных нормальных процесса £„(/)> на"
ходящихся в квадратуре с т]„ (t):
Ш=А(0соз(фЛ0 + у) = ~Л(0з1пфЛ0. п=1,2. (7.3.2)
Случайные процессы £„(/) имеют те же статистические характери-
стики, чтс и процессы т]п(О> так как различие между ними состоит
лишь в разности случайных фаз на постоянную величину л/2.
Пренебрегая малыми слагаемыми, содержащими гармоники двой-
ной частоты, можно показать, что функции взаимной корреляции
между отдельными процессами равны
СП1О ф- т) ти (/)) = < Ci (t + т) С2 (О> = °i °2 #12 СО. 1
(Л1С + t) Ci (t + т)) = (rh(OMO) = 0,	(7.3.3)*
<Т]1(/ + т) Сг (О> = — (Лг С) £1С + т)> = CTi ff2 *512 (Т),
где коэффициент взаимной корреляции Sis(t) выражается форму-
лой, аналогичной (6.10.6) с той лишь разницей, что в подынтеграль-
ном выражении нужно заменить косинус на синус.
287
Процессы т]п(0 и £п(0 являются нормальными с нулевыми сред-
ними значениями и дисперсиями а„. По формуле (3.15.15) можем
написать их совместную плотность вероятности
где
Коэффициент р(т) представляет собой медленно изменяющийся
множитель в выражении (6.10.6) для коэффициента взаимной кор-
реляции узкополосных шумов на выходе усилителей.
Переходя в (7.3.4) к полярным координатам по формулам (7.3.1)
и (7.3.2) и выполнив интегрирование по фх и фг в пределах от — л
до л, получим совместную плотность вероятности для огибающих:
Плотность вероятности (7.3.6) является обобщением двумерной
плотности вероятности огибающей в одном канале (7.2.6). Послед-
няя получается из (7.3.6), если считать Кх(/со)=/<2(/со).
Если теперь проделать те же математические вычисления, ко-
торые указывались при написании формул (7.2.14) и (7.2.16), то
получим следующие результаты:
где Е— полный эллиптический интеграл второго рода,
Р12 (т)~0,92р2(т).
(7.3.8)
Здесь р12(т) — коэффициент взаимной корреляции между Л^Я-т)
и Д2(/).
Используя формулу (6.10.6), выражение (7.3.5) для р2(т) можно
записать иначе:
ОО оо
р2 (г) = С Г SE (со') S; (со") К1 (со')	(со") /<2 (со') /(2 (со") X
aj J J
оо
X COS [(со" — со') Тф-фх (со") — фг (со')4- ф8 (со") — ф2 (со')] dco'dco". (7.3.9)
188
Примет я формулу (7.3.8), находим коэффициент взаимной
корреляции между огибающими на выходе двухканальной схемы
рис. 7.5. Tlk, если используются два расстроенных колебательных
контура, тс на основании формулы (6.10.10) получим
1 +
Когда фильтры имеют частотные характеристики гауссовой фор-
мы, из (6.10.14) имеем
Р"(')“ехр[-21п2(^)!-<^].	(7.3.11)
На рис. 7.6 приведены кривые, характеризующие зависимость
Pi(0) и р„(() от расстройки. В обоих случаях с увеличением рас-
стройки ко>ффициент взаимной корреляции огибающих монотонно
s
0	0,2 0,<4 0,6 0,8 р
Рис- 76. Зависимость коэф-
фициента взаимной корре-
ляции огибающих шумов
на виходе симметричной
двг хканальной схемьк
Рис. 7.7. График функции
Н 1 -Ь р Е I т~г~ ) — 1 *
“ \	1 7 \ 1 + р/
уменьшается. Интересно заметить, что коэффициент взаимной кор-
реляции огибающих на выходе резонансных усилителей в совпа-
дающие моменты времени (т = 0) определяется (с точностью до
множителя 0,92) значением квадрата (при п = 1) или четвертой
степени (при /т>5) амплитудной характеристики в точке пересе-
чения амплитудных характеристик.
Укажек, что схема рис. 7.5, дополненная вычитающим устрой-
ством (см. пунктир), на практике часто применяется в качестве
частотного детектора. При этом фильтры выбирают так, чтобы
разность ^i(co) — Кг(со) была приближенно линейной в окрестное
289
сти некоторой частоты. Обычно это условие не связывают с фазовы-
ми характеристиками фильтров фп(<о). Покажем [131, что дисперсия
шума на выходе рассматриваемой схемы минимальна при условии
<Pi(w) = ф2(<о).
Действительно, с учетом формул (7.2.10), (7.2.11) и (7.3.7)
легко находим дисперсию разности огибающих
a2 =<(Ht - Л2)2> - <Лг - Л2>2 = (2 - -j) (о? + а2)—
Выражение в квадратных скобках представлено на рис. 7.7.
Видно, что кривая является монотонно возрастающей функцией
аргумента р. Дисперсия а2^>0 будет минимальной в том случае
когда второй отрицательный член в (7.3.12) максимален. Поэтому
при фиксированных Ki(<o) и К2(®) и, следовательно, фиксирован-
ных оу и о2, дисперсия шума на выходе дискриминатора достигает
минимума при максимальном значении р = р(0). Из (7.3.9) видно,
что коэффициент р2(0) при фиксированных других параметрах мак-
симален тогда, когда косинус равен единице, т. е. при условии
Ф1(ю) = ф2(«>)-
§ 4.	СОВМЕСТНАЯ ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ ОГИБАЮЩЕЙ,
ФАЗЫ И ИХ ПРОИЗВОДНЫХ СУММЫ СИГНАЛА И ШУМА
Пусть имеется сумма узкополосного нормального стационар-
ного шума В(/) = Л(/)соз[юо/—<р(/)] и гармонического сигнала
s(t) = Amcosa)ct. Чтобы определить огибающую и фазу, запишем
сумму сигнала и шума следующим образом:
$ (0 + £ (0 — Ат cos (®о i +	+ A (i) cos (<о0 t — ф (/)) =
= V (0 cos [<о01 — ф (/)] = V(t) cos [юД — 0(/)1,	(7.4.1)
где
А® = сос— (о0, 0 (/) = Axot + ф (Д	(7-4.2)
1
V (/) - {[Лс (0 + Л,я cos А®/]2 + [Л5 (/) — Ат sin ]2}2, (7.4.3)
1§ф(/) =
(/) — Ат sin
Лс (/) + cos
(7:4.4)
Случайная функция /(/) называется огибающей, а функция
0(/) (или ф(/)) — случайной фазой суммы сигнала и шума, Как и
ранее, функции У(/) и 0(Z) при Асо<со0 являются медленно изме-
няющимися по сравнению с cos<d0/. Представлению суммы сигнала
190
и шума в виде (7.4.1) можно дать геометрическую интерпретацию,
аналогичную рис. 7.3. Иногда сам сигнал следует рассматривать как
квазигармокический шум.
Найдем совместную плотность вероятности для V(t), V(f), 0(/) и
0(/). С этой целью запишем предварительно совместную плотность
вероятности случайных переменных Лс(/), ИД/), Дс(/), Hs(/). В § 1
было установлено, что эти переменные являются нормальными и,
какследуетиз формул (7.1.17) и (6.2.14), независимыми. Они имеют
нулевые средние значения, а дисперсии их согласно (7.1.18) равны
(Лс2) = (Л2> = о2, <Л?> = (Л2> = — О2р" (0) •= -о2Ро.
Применяя общую формулу (3.15. 1) к
данному случаю, получим
ау4(Лс, As, Лс, Л5)
х екр (-	[- Р"о (Л2С + Л|) + (Л2С + Л2)] .
I 2а (—Ро)	>
Перейдем от переменных Лс, Л4, Лс, X к новым перемен-
ным V, V, if, if при помощи соотношений, следующих из (7.4.3):
Лс = V cos if — Ат cos А®/, Лз = V sin if 4- Ат sin А®/,
Лс = V cos if — ifV sin if + А®Лт sin A®/,
Л5 = V sin if if V cos if + A® Am cos A®/.
Нетрудно убедиться, что модуль якобиана преобразования пере-
менных ра&ен:
с >
Поэтому получим'
V, If, If) =	4 yr-exp /—	..X
4nM(— р0) I 2о2(—РО)
х [— ро(Р + Ат — 27ЛотС08(4 + Д(0/)) + У2+ Р if2 4-А®2 Л +
+ 2A(oAm (V sin (if + A®/) 4- Vif cos (if 4- A®0)l ’ •	(7Л
Переходя здесь от ф к случайной фазе 0, можем написать
IT4 (V, V, 0, 0) ----- ехр (— —7^ X
-- 2Аю Ат (V sin 0 + VO cos 6)] ?.
291
Если воспользоваться известным интегралом
оо	__ q2
f е-р^ ± qx	=	е4? р>0,
— 00
и проинтегрировать (7.4.5) по всем возможным значениям V и 0,
то получим совместную плотность вероятности для огибающей и
фазы в один и тот же момент времени:
^2 (V, 0) = 2^2 ехР (Р + Ат - 2VAm cos 0)1, V>0. (7.4.7)
В том частном случае, когда гармонический сигнал s(/) =
Лтсо5(соо/ + ср) имеет частоту, совпадающую с центральной часто-
той спектра шума (Асо =0), указанным выше путем можно получить
совместную плотность вероятности Wв(У, V, V, 0, 0, 0). Поскольку
она потребуется в дальнейшем, приведем ее здесь без вывода 114]:
W6(z, z, z, 0, 0, б)
= -----.—77-----72 елР /----—-----Г [— Ро Ро4>(а2+г2—2(ZZCOS0) +
(2п)зР;(Ри)_Р;2)	]2Р; (Р<,4>—Р;)1
+ (ро4> — рЛ Z2 + (р(о4) — Зрй z202 — ро (z2 — 2zz О2 4-4г202Н-г204 +
4-	4zz 0 0 4- z202) 4- 2ро (zz — az cos 0 4- 2az 9 cos 0 4-
,	(7.4.8)
где
a =	; * = v •	(7.4.9)
При a = 0 из (7.4.8) получается соответствующая плотность
вероятности для одного квазигармонического шума.
Заметим, что в предыдущих формулах величина ро является от-
рицательной, а (рщ — ро2)—положительной. Действительно, на
основании формул (3.10.9) и (6.9.13) можем написать
р(т)=^ f S*(Q)cos£2rdQ, S* (2) = S (©0 — 2л v) = S (©0 — й),
—00
(7.4.10)
aa = 2 J 5*(Й)</Й.	(7.4.11)
—00
292
Из (7.4.10) находим
* а*р(
ро=-^
= f Й2 S* (Q) dQ.
т=0	_
(7.4.12)
Так как сгектральная плотность S*(Q) является существенно
положительной функцией, то величина р0 не может быть поло-
жительной.
Из (7.4.10) имеем
(4) _ d* р (т)
Р° dzl
00
= 4 Г Q45*(Q)dQ
т=0	° J
—OQ
(7.4.13)
На основании равенств (7.4.11) — (7.4.13) можем написать
СО	00
о4(э(04) — Ро2) = 4 $ S*(Pi)dQi J filS*(Q2)dQ2 —
—оо	—оо
й|) 5* (Qi) S* (Q2) dQrdQa.
Ясно, что здесь индексы можно поменять местами. Переписав это
выражение с переставленными индексами и суммируя с написан-
ным выражением, получим
ОО 00
—оо —оо
(7.4.14)
Отсюда видно, что величина ро4> — р^2 не может быть отрица-
тельной.
Рассмотрим подробнее частные результаты, следующие из об-
щей формулы (7.4.6).
§ 5.	ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ ОГИБАЮЩЕЙ
И ЕЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Если в формуле (7.4.7) проинтегрировать №2(У,0) по фазе 0
в пределах от —л до л, то придем к закону Райса (5.2.21) для плот-
ности версятности огибающей суммы сигнала и шума [15, 161:
= 17 > °- (7'SJ)
В отсутствие регулярного сигнала (А™ = 0, /о(О) = 1) плотность
вероятности (7.5.1) переходит в закон Релея (7.2.8).
293
На рис. 7.8 приведены осциллограммы огибающей (относительно
ее среднего значения) суммы сигнала и шума V(^) для трех зна-
чений отношения сигнал/шум а=Ат/о = 0; 1,5; 5. Из осциллограмм
видно, что с увеличением а огибающая V(/) становится приближенно
«симметричной» функцией относительно своего среднего значения
(см. ниже).
Рис. 7.8. Осциллограммы огибающей суммы сиг-
нала и шума при различных отношениях сиг-
нал/шум а.
Несколько преобразуем плотность вероятности Райса (7.5.1).
Если, вместо огибающей, ввести безразмерную переменную v =
— Via и обозначить отношение сигнал/шум через
а = Ат/о,	(7.5.2)
то получим
W (v) = оехр	I0(av), v > 0.	(7.5.3)
Графики этой плотности вероятности для значений а — 0, I, 2,
3, 5 приведены на рис. 7.9.
294
При малых отношениях сигнал/шум плотность Вероятности
W(n) близка к релеевской (7.2.9), а при больших — к нормальной.
В этом можно убедиться, воспользовавшись известными асимпто-
тическими представлениями функций Бесселя:
л=о
г4
г2
2(2/? + 2)

1 — 4/г2
£
(1 — 4/г2) (9 — 4/г2)
2!	(8z)2
В частности, для больших отношений сигнал/шум
с учетом (7.5.5) получим
(7.5.4)
2	1.
(7.5.5)
из (7.5.3)
(7.5.6)
г— 1	(Р—о)2
Если Ат»т, то вероятные значения v будут сгруппированы около
а, т. е. с некоторым приближением можно положить ф4via 1.
При этом плотность вероят-
ности ошбающей (7.5.6)
приближенно будет нормаль-
ной.
Переходя в формуле (7.5.3)
к новой переменной и = и2/2,
получим одномерную плот-
ность вероятности для квад-
рата огибающей суммы сиг-
нала и шума:
___i_ 2	_
W (и) =е 2 а 1а{аУ2и},
Рис. 7.9. Плотность вероятности Райса.
Графики этой плотности вероятности для трех значений а2 — 0, 2
и 4 приведены на рис. 7.10.
Из общей формулы (7.4.6) можно получить совместные плотности
вероятноста W2(V, 17) и Ц72(9, 0). Однако для простоты и краткости
конечных формул ограничимся в дальнейшем рассмотрением важ-
295
ного частного случая,
(7.4.6) упрощается:
когда А© ±= 0. В данном случае формула
X [— Ро (V2 + А2т — 2VAm cos 9) + 72 + V2 0а
(7.5.8)
Если это выражение проинтегрировать сначала по 0, а затем по 0,
то получим совместную плотность вероятности для огибающей и
ее производной:
К ОО
^2 (v, V) = J dQ J (V, v, 0, 0) d0 = w (У) w (У),	(7.5.9)
— Л	—ОО
где W (У) — плотность
вероятности огибающей (7.5.1), а
V2
(7.5.10)
W = ~ < еХр
° V(-Ро)
W(u)
Рис. 7.10. Плотность вероятности квадрата оги-
бающей суммы сигнала и шума.
Из (7.5.9) видно, что огибающая и бе производная независимы
в совпадающий момент времени, причем производная от огибающей
имеет нормальную плотность вероятности (7.5.10). Следовательно
в результате дифференцирования ненормального случайного про-
цесса в некоторых случаях может получиться нормальный процесс.
Из (7.5.8) можно получить совместную плотность вероятности
для случайной фазы и ее производной в совпадающий момент времени
296
[141. Для эгого нужно сначала выполнить интегрирование по всем
возможным значениям V, а затем по V, используя при этом извест-
ный интеграл
r2e-p.x2-2« (fa = -
о
(7.5.11)
где Ф(г) — интеграл вероятности.
В данной случае 0(/) и 0(/) оказываются зависимыми, причем
плотность вероятности Ц7(0) будет ненормальной.
§ 6.	ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ ФАЗЫ И КОСИНУСА ФАЗЫ
Для того чтобы получить плотность вероятности фазы 0 нужно
проинтегрировать соотношение (7.4.7) по всем возможным значе-
ниям огибающей V от 0 до оо:
ОО
U7(0) - Jr2(V, Q)dV.
о
2	2
Рис. 7.11. Плотность вероятности фазы суммы сиг-
нала и шума.
Повторив те же преобразования, которые применялись при выводе
формулы (5.2.23) из (5.2.17), придем к следующему результату:
1 — — а2 Г	— а2
\7(0)—Д-е 2 L1 + У 2л a cos 6Ф (a cos 0) е2
где Ф(г) — интеграл вероятности (2.8.8).
(7.6.1)
297
Графики плотности вероятности фазы для нескольких значений
отношения сигнал/шум представлены на рис. 7.11. Из формулы
(7.6.1) видно, что плотность вероятности ^(0) симметрична отно-
сительно оси ординат. Поэтому все нечетные одномерные моменты
для случайной фазы равны нулю.
-f,О-0,8-0,6-О,О-0,2 0 0,2 0,0 0,0 0,8 г
Рис. 7.12. Плотность вероятности косинуса
фазы.
Для малых и больших отношений сигнал/шум формула (7.6.1)
упрощается. Если а<1, то можно приближенно положить
ехр^± а*\ «s 1, Ф(а cos 0) «и тогда получим
F(0) =
a cos 0
В частности, при а = 0 формула (7.6.2) переходит в равномерный
закон (7.2.7).
Когда а>1, из формул (7.4.4) и (7.4.2) имеемф(/)^—Асо/, 0(/)<1.
Следовательно, в формуле (7.6.1) с некоторым приближением можно
положить ехр^—cos 0^1, sin 0 «О, Ф(а)«1. При этом
получаем нормальную плотность вероятности
п — — G2 93
№(0) = -Д-е 2
(7.6.3)
298
В ряде случаев необходимо знать плотность вероятности не самой
случайной (разы Q(z'), a cos Q(t). Если, например, сумма гармониче-
ского сигнала и узкополосного шума пропускается через идеальный
ограничитель и затем воздействует на фазовый детектор, то при
определенных условиях выходное напряжение оказывается пропор-
циональным косинусу разности фаз суммарного колебания и опор-
ного гармонического сигнала.
О п в
Рис. 7.13. Преобразование плотности ве-
роятности фазы в плотность вероятно-
сти косинуса фазы.

Для нахождения одномерной плотности вероятности cosQ нужно
в формуле (7.6.1) сделать замену переменной
z = cos9.	, (7.6.4)
При этом нужно учесть, что функция 0 = arccosz при —л<0<л
является двузначной, т. е. имеет две ветви: 0г(г) и 02(z). Применяя
к данному случаю формулу (5.1.7), можем написать
W (z) = W [0, (г)]
(г)] I
Так как
|d6i
dz
dz
то получим
аг
—	-— а222 I
лагФ (аг) е2 J ’
На рис. 7.12 приведены кривые W(z) для четырех значений а.
Вотсутстьие сигнала (а = 0) формула (7.6.5) переходит в плотность
299
вероятности (5.3.5) для гармонического колебания единичной ампли-
туды с равномерно распределенной начальной фазой. При а Ф О
кривые становятся асимметричными, причем для фиксированного
а значения плотности вероятности при z>0 больше, чем при z<4L
Это поясняется рис. 7.13, иллюстрирующим преобразование плот-
ности вероятности фазы в плотность вероятности косинуса фазы. По
смыслу этот рисунок аналогичен рис. 5.5.
Рис. 7.14. Осциллограммы напряжения на
выходе фазового детектора для трех зна-
чений отношения сигнал/шум.
Для наглядной иллюстрации характера временных реализаций на
рис. 7.14 приведены осциллограммы напряжения z(/) на выходе фа-
зового детектора для трех отношений сигнал/шум.
§ 7.	ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ ЧАСТОТЫ
Если проинтегрировать выражение (7.4.6) последовательно сна-
чала по V, а затем по V и 0, то получим плотность вероятности для
мгновенной частоты 0 (т. е. производной от фазы):
к	оо	оо
W (е) = J d9 pv J wt (V, V, 9,9) dV.
— к	0	—оо
(7-7.1)
300
В результате вычислений получится следующая формула [17]:
№(у)=\Г0(у)е	4
о

где
(У) -
У2
V —	—
= (l+gt-gy)t
1	1+(<7-У)2 ’
а =
а
т .
I0(z) и {.(г) — функции Бесселя нулевого и первого порядков от
мнимого аргумента.
Рассмотрим несколько частных случаев.
1)	Пусть сигнал отсутствует. Тогда, полагая в формуле (7.7.2)
а ~ 0, q = 0, получим плотность вероятности для случайной часто-
ты 9 = <р узкополосного шума:
V W = «. (у) = 2-_ -Туда, Г. (4=) =		<7-7-5)
среднее значение случайной частоты ср равно нулю.
Плотность вероятности №о(ф) симметрична относительно оси орди-
нат. Поэтому
Из формулы
2
Т
оо	°
\ (p2F0(qp)dq> = — ро '
— сю	О
2
следует, чго дисперсия случайной частоты не существует (равна
бесконечности), так как при <р-> оо подынтегральная функция убы-
вает как lfq>. Поэтому в качестве простейшей числовой характерис-
тики распределения производной от случайной фазы можно принять
среднее ее абсолютного значения, т. е.
оо	СО	_____
J I ф I Wo (ф) dip = 2 j Ф W (ф) dq> = V— ро •	(7.7.7)
—оо	О
2)	Предположим, что частота гармонического сигнала совпадает
с центральной частотой спектра шума, т. е.
Аю = 0.
(7.7.8)
301
I (Л/Ч
Рис. 7.15. Плотности вероятности для производной от фазы при различных отношениях сигнал/шум
в отсутствие расстройки (а) и при наличии расстройки (б).
30?
В данном случае формула (7.7.2) принимает вид
(7.7.9)
Воспользовавшись связью функций Бесселя с вырожденной гипер-
геометрической функцией, формулу (7.7.9) можно преобразовать:
3 аг
=	1; h = i + y\
В отсутствие сигнала (а — О,
Л (а; У', ®) — 1) формулы
(7.7.9) и (7 7.10) естественно
переходят г (7.7.5).
Из формул (7.7.9) и
(7.7.10) видно, что в рассмат-
риваемом случае (Дсо = 0)
плотность вероятности W(0)
является четной и симме-
тричной функцией относи-
тельно оси ординат. На
рис. 7.15, с приведены гра-
фики W(y) для нескольких
значений отношения сиг-
нал/шум. С увеличением от-
ношения сигнал/шум они су-
жаются и все более концен-
трируются около нуля.
Это такие видно из осцил-
лограмм, представленных на
рис. 7.16. Осциллограммы
воспроизводят напряжение,
пропорциональное случайной
частоте 6(f), которое полу-
чается на выходе безынер-
ционного линейного частот-
(7.7.10)
Рис. 7.16. Осциллограммы напряжения
на выходе частотного детектора, для
трех значений отношения сигнал/шум.
ного детеггора, следующего
за идеальным ограничителем.
Из симметрии плотности вероятности (7.7.10) относительно оси
ординат следует, что среднее значение 0 равно нулю. Можно убе-
диться, что дисперсия для 0 не существует*. Однако можно вычис-
лить среднее значение |6|, равное
* Тот несколько необычный факт, что не существует конечной дисперсии
для частоты, здесь не обсуждается. Он объясняется наличием так называе-
мых перескоков фазы (см. § 3 гл. 8).
303
о
Это значение никогда не превышает (7.7.7), т. е. <
= .

Зависимость среднего значения модуля производной фазы от от-
ношения сигнал/шум приведена на рис. 7.17. Эта величина умень-
Рис. 7,17, Зависимость среднего
значения модуля производной фа-
зы от отношения сигнал/шум.
шается при увеличении отноше-
ния сигнал/шум.
3)	В общем случае (а =/= О,
<7 =£ 0) плотности вероятности
(7.7.2) оказываются асимметричны-
ми. Это наглядно видно из
рис. 7.15, б, на котором изобра*
жены плотности вероятности (7.7.2)
при q = 0,4 и разных значениях
отношения сигнал/шум. При 9=0 О
среднее значение производной от
фазы отлично от нуля и может
быть определено по формуле
00	1 а
<У> = J (У) dy = q е 2 “ .
—оо
(7.7.12)
Воспользовавшись соотношением (7.5.5), можно показать, что
при больших отношениях сигнал/шум (а>1) плотность вероятности
(7.7.2) в центральной части приближается к нормальной с дисперсией
ву = (1 -f- </2)/а2.
(7.7.13)
§ 8. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОГИБАЮЩЕЙ
И ЕЕ КВАДРАТА
Приведем без подробных выводов 118] основные статистические
характеристики (среднее значение, дисперсию, функцию корреляции)
огибающей и квадрата огибающей суммы гармонического сигнала и
квазигармонического шума. При этом будем предполагать, что час-
тота гармонического сигнала совпадает с центральной частотой
спектра шума.
В данном частном случае сумму сигнала и шума (7.4.1) с учетом
соотношения (7.1.20) можно представить в виде
s (/) 4- § (t) = [Ат 4- Ас (/)] cos й)01 4- As (t) sin <в01 -=
= V (/) cos [ш91 — 6 (/)l, .	(7.8.1)
304
где
V(0 = ll4W)H Л2(0}1/2>	(7.8.2)
(7.8.3)
Геометрически сумма (7.8.1) представляется вектором (рис. 7.18),
имеющим случайную длину V и случайную фазу 9.
Применив тот же прием, что и в начале § 4, можно найти сов-
месгную плотность вероятности IF4(V, VT, 0, 0.) для V = V(t)
= V(t + т), 6 = 6(£) и 0г = 9(/	т). Поскольку
тем мы не будем пользоваться ею, то
она здесь не приводится [19, 20,21].
Вычисления показывают [18,19], что
одномерные моменты огибающей равны:
Vn W (V) dV - (2а2) 2- х
дальней-
Рис. 7.18. Геометрическое
представление суммы сиг-
нала и шума.
(V" (/)) -
где Г — гаюла-функция;
iF 1 — вырожденная гипергеометрическая функция [9].
Из этой формулы получаются следующие выражения для сред-
него значения и дисперсии:
Зависимости величин ту[з и Н//а от отношения сигнал/шум пред-
ставлены на рис. 7.19, а.
Если воспользоваться асимптотическими представлениями функ-
ций Бесселя (7.5.4) и (7.5.5), то формулы (7.8.5) и (7.8.6) могут быть
упрощены:
т',=а]//т(1 + 4п2)’ =о)/ЛЦ^(1 + za2)’
(7.8.8)
Г 12аа A"’	~~ а’ а>3.
11 Зак. 245
305
Из (7.8.7) и (7.8.8) видно, что при слабых сигналах (а<3) сред-
нее и среднеквадратичное значения огибающей увеличиваются
пропорционально квадрату отношения сигнал/шум (рис. 7.19, а),
а при больших сигналах (а>3) и а — const среднее значение растет
пропорционально амплитуде сигнала, а дисперсия остается почти
постоянной.
Огибающая V(t) практически выделяется на выходе амплитуд-
ного линейного детектора огибающей. Разный характер зави-
Рис. 7.19. Зависимость среднего и среднеквадратичного значений оги-
бающей (а) и ее квадрата (б) от отношения сигнал/шум.
симостей (7.8.7) и (7.8.8) проявляется в том, что поведение характе-
ристик обнаружения импульсного сигнала на фоне шума оказывает-
ся качественно различным при малых и больших отношениях сиг-
нал/шум (см. рис. 11.7). При малом отношении сигнал/шум вероят-
ность правильного обнаружения растет медленно с увеличением
отношения сигнал/шум, а при больших отношениях сигнал/шум
она растет быстрее. Это качественное различие в поведении харак-
теристик обнаружения явилось основанием для введения термина
«подавление слабого гармонического сигнала шумом в детекторе».
Однако следует иметь в виду, что этот термин, во-первых, имеет
ограниченное применение и, во-вторых, его физическое содержание
состоит лишь в том, что при слабых гармонических сигналах сред-
нее и среднеквадратичное значения напряжения на выходе детектора
растут пропорционально квадрату отношения сигнал/шум на входе
детектора, в то время как при сильных сигналах среднее значение
306
выходного напряжения пропорционально амплитуде сигнала,
а дисперсш оказывается практически постоянной.
Выражение для корреляционной функции огибающей kv (т)
в общем случае является весьма сложным [22]. Однако для малых и
больших отношений сигнал/шум можно получить простые формулы
Если отношение сигнал/шум мало (а<1), то выражение (7.8.2)
для огибающей можно несколько упростить:
V(t)= V As(t) A-2AmAc(t) ==
A (t\ Г1 4- —(t)
A4t)
= A (t) + Ат cos ф (/).	(7.8.9)
Отсюда получаем следующее выражение для функции корреля-
ции:
kv (х) <= (Л (!) Л (/+т))+Ат [<Л (/) cos ф (/Н-т)>4-<Л (/Л-т) cos ф (/))]-(-
4- Лт<созф(/)со8ф(/-(-т)>— m2v .	(7.8.10)
Если энергетический спектр шума симметричен, то случайные
процессы Л(^) и cos ф (/2) независимы [см. формулу (7.2.5)]. По-
этому
(Лс (/) Лс (t 4- т)> = (А (/) А (/ 4- т)) (cos ф (/) cos ф (/ 4- т)),
т. е.
(cosф(0cosф(! + г» =	.
Подставив в (7.8Л0) выражения (7.1.18) и (7.2.14), получим
При больших отношениях сигнал/шум (а(§>1) выражение
(7.8.2) приводится к виду
Отсюда с использованием формул (7.1.17) и (7.1.18) получим
Для квадрата огибающей
V2 (0 = Ит 4- Ас (Z)]2 4- А2 (/)	(7.8.14)
на основании формул (7.1.17), (7.1.18) и (3.15.23) получим
ky* (т) = 4о4 [р2 (т) 4- а2 р (т)].	(7.8.16)
Графики зависимости среднего значения и дисперсии от отношения
сигнал/шум приведены на рис. 7.19, б.
Формула (7.8.16) по характеру зависимости от р(т) почти сов-
падает с (7.8.11). В этом смысле иногда говорят, что линейный и
квадратичный детекторы огибающей при слабых отношениях- сиг-
нал/шум дают одинаковый результат.
Укажем, что кривыми рис. 7.19 можно воспользоваться для
косвенного определения отношения сигнал/шум на входе детек-
тора радиоприемника. Непосредственное экспериментальное опре-
деление этого отношения при больших значениях промежуточной
частоты затруднено из-за того, что присоединение измерительных
приборов может существенно изменить характеристики усилителя
промежуточной частоты. Сравнительно просто измеряется' по-
стоянное (среднее) напряжение на нагрузке детектора. Измерив
его в отсутствие и при наличии сигнала, по графикам рис. 7.19
можно определить отношение сигнал/шум на входе детектора.
При этом, конечно, должна быть уверенность в применимости
этих графиков.
§ 9.	ХАРАКТЕРИСТИКИ ФАЗЫ И КОСИНУСА ФАЗЫ
Так как плотность вероятности для фазы (7.6.1) симметрична от-
носительно оси ординат, то все одномерные моменты нечетного по-
рядка равны нулю, а для моментов четного порядка справедлива
формула [19, 23]
2/Z	°°	°°
<02">=2£n + 2C* J O^cos^dO, (7.9.1)
k= 1	—оо
где
Из (7.9.1) получаем следующую формулу для дисперсии фазы:
ОО
А=1
(7.9.3)
Зависимость сто от отношения сигнал/шум представлена на рис. 7.20.
308
Среднеквадратичное значение случайной фазы уменьшается при уве-
личении отношения сигнал/шум а, что соответствует сужению плот-
ностей версятностей (7.6.1) с ростом а (см. рис. 7.11).
Компактное выражение функции корреляции случайной фазы
6(/) удаетсн получить лишь при больших отношениях сигнал/шум
(а^> 1). В данном случае Ат а и поэтому в знаменателе правой части
(7-8.3) можно пренебречь составляющей Лс(/), имеющей дисперсию
о2, по сравнению с Ат. При этом вероятные значения 0(/) будут
сгруппированы в небольшой окрестности около нуля. Учитывая
малость значений 0(/), из (7.8.3) имеем
Из (7.9.4) и (7.1.18) получаем выражение для функции кор-
реляции
Среднее, значение и дисперсия косинуса фазы (7.6.4)
ляются формулами
опреде-
тг = (cos 0) = у у •
Р а2 Л
я2
1	2
к а* — mz
Зависимости величин тг и ог от отношения сигнал/шум пред-
ставлены на рис. 7.21. С увеличением отношения сигнал/шум среднее
VIо
Рис. 7.20. Зависимость средне-
квадратичного значения слу-
чайной фгзы от отношения
сигнал/шум.
Рис. 7.21. Среднее и среднеквадра-
тичное значения косинуса фазы.
2
Z
309
значение возрастает, асимптотически приближаясь к единице, а
среднеквадратичное значение уменьшается и стремится к нулю.
В отсутствие сигнала (а = 0) функция корреляции косинуса фазы
равна 123]	.
W ’гр Е IP (т)1 ~ П ~ Р2 М К [р (т)]},	(7.9.8)
где K(z) и Е(а) — полные эллиптические интегралы первого и вто-
рого родов.
При наличии сигнала простая формула для корреляционной
функции косинуса фазы получается лишь для больших отношений
сигнал/шум (а>1). Учитывая малость вероятных значений фазы 0
и разлагая cos0 в ряд, с учетом (7.9.4) можно написать приближен-
ное равенство
2 = COS0 = 1 —4- е2 = 1-----S-V .	(7.9.9)
2
Воспользовавшись последним выражением (3.15*23), получим
Лг (т) =	р^(т).	(7.9.10)
§ 10. ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ И СПЕКТР СЛУЧАЙНОЙ ЧАСТОТЫ
При рассмотрении помехоустойчивости радиосистем с частотной
модуляцией необходимо знать функцию корреляции или спектраль-
ную плотность случайной частоты 0(/) [16, 24, 25]. Выражение для
случайной частоты получаем из (7.8.3):
9 (0 = arc tg
As(t)
Ащ И- Ас (I)
[Am + Ac(i)]As(t)-A,(t)Ac(t)
Mm + Ас (/)]а + А* (О
(7.10.1)
*
Так как среднее значение частоты в рассматриваемом случае
(Дсо =0) равно нулю, то для функции корреляции можем написать
k -(т) = (ё (/) 6 (t + т)> = < 0 0х> .	(7.10.2)
Операция статистического усреднения сводится здесь к вычисле-
нию 8-кратного интеграла с использованием 8-мерной плотности
вероятности нормальных стационарных случайных функций As,
Лс, AST, ЛСт, As, Лс, As-_, Лст- Эти вычисления в общем случае
оказываются весьма сложными из-за нелинейной зависимости час-
тоты от случайных функций Л,(/) и Лс(0- Поэтому нет компактного
выражения для корреляционной функции за исключением случая
больших отношений сигнал/шум. При больших отношениях
сигнал/шум непосредственно из выражения (7.9.4) получим про-
стую формулу
&.(т) = —а~2р"(т), а>1.	(7.10.3)
310
Приведем некоторые конкретные результаты, полученные
С. О. Райсом [16]. При спектре шума, симметричном относительно
частоты сигнала, функция корреляции оказывается равной
где через
Z	оо
E,(z)= J	(7.10.6)
—оо	п = 1
обозначен® главное значение интегральной показательной функции,
С = 0,577... — постоянная Эйлера.
Из общей формулы (7.10.4) можно получить ряд частных резуль-
татов. Так, полагая а = 0 и воспользовавшись приведенным пред-
ставлением интегральной показательной функции в виде ряда
(7.10.5), найдем функцию корреляции случайной частоты квазигармо-
нического шума

^#ln(l-p*), а — 0.
(7A0.G)
Простые формулы (7.10.3) и (7.10.6) относятся лишь к двум пре-
дельным случаям: больших и очень малых отношений сигнал/шум.
Для промежуточных отношений сигнал/шум, которые представляют
наибольший практический интерес, функцию корреляции следует
вычислять по основной формуле (7.10.4).
Ввиду сложности формулы (7.10.4) аналитически трудно вычис-
лить энергетический спектр случайной частоты. Его обычно получа-
ют численным интегрированием выражения
ОО
S-(/) = 4 J ^(t)cos2л/т dr.	(7.10.7)
о
На рис. 7.22 представлены результаты таких вычислений [16]
для квазягармонического шума с гауссовым спектром
Д/э
(7.10.8)
где А/э — энергетическая ширина спектра.
Такому спектру соответствует коэффициент корреляции
р(т) = ехр[—л(А/эт)2].	(7.10.9)
311
В данном случае формула (7.10.6) принимает вид
&0(т) = — л A/2 In [1 — exp (—2лД/э т2)] .	(7.10.10)
Если разложить в ряд логарифмическую функцию, подставить его 
в (7.10.7) и выполнить почленное интегрирование, то получим выра-
жение энергетического спектра случайной частоты шума в виде сле-
дующего ряда:
со з_______L / / А 2
Ш = 2лД/, 2 п~^е 2"VVj ?
0	П = 1
a = Q. (7.10.11)
Кривая этого спектра изображена на рис. 7.22.
Рис. 7.22. Спектральная плотность случайной частоты.
§ 11. ОБ УСЛОВИЯХ ПРИМЕНИМОСТИ ЗАКОНОВ РЕЛЕЯ
И РАЙСА
Имея ввиду радиотехнические применения, рассмотрим некото-
рые условия, когда можно пользоваться законом Релея (7.2.9)
и законом Райса (7.5.3).
312
1. Закон Релея. Пусть суммируются п независимых гармониче-
ских колебаний одинаковой частоты <в0, причем i-е колебание опи-
сывается вектором
a, = azexp/(to0Z — фД / = 1, 2, 3, п,
(7.11.1)
где а,- = a^t) и ф, = ф»(/)—также независимые случайные пере-
менные.
Предположим, что все случайные фазы ф, равномерно распреде-
лены на интервалах шириной 2л и все «амплитуды» а, одинаково
распределены с плотностью вероятности w(a).
Запишеы результирующий вектор в виде
t	п
А = А ехр/ (ю01 ф) = 2 ai ехР / (®о t — Ф/) —
i = 1
п	п
= cos(B01 2 xt Н* / sin ®о t 2 У<.	(7.11.2)
<=i	<=1
где
п	П '
Д (/) COS |) (0 = X = 2	Л(/)ыпф(/) = У = 2 У/. /7Н оч
i = 1	/ — 1	\• • I *  О)
-4(0 = (0costPa(0> yi(/) = «i(Osin<₽i(O-
Выясним условия, при которых длина А результирующего век-
тора имеет релеевскую плотность вероятности (26].
Сформулированная задача представляет интерес при рассмотре-
нии структуры радиолокационных сигналов, отраженных от земной
или морской поверхности, от облаков и других объектов, а также
при многолучевом распространении радиоволн в радиосвязи.
Формула (5.2.26) показывает, что если компоненты X и У век-
—>
тора Z независимы, нормально распределены, имеют средние значе-
ния, равные нулю, и одинаковые дисперсии, то длина вектора Z
имеет релеевскую плотность вероятности.
Учитывая взаимную независимость всех переменных ai и ф;,
i = 1, 2, 3, ..., п, и равномерное распределение всех ф,, имеем:
<xz> = <yt> =0, <Х> = <У> = О,
п	п
<XY> = 2 <0/<СС>5Ф< sin cpft> = 2 W> <cos ф; sin фр = О,
I, Jz~\	i — 1
(7.11.4)
о? = <%?> --	± т2, о2 = <Х2> = <У2> = « m2j
ИВ Зак. 245
313
f-Де m,, — одномерный Момент k-го йоряДка «амплйтуДЫ» элемен-
тарного колебания
ОО
mk = \ ak w (a) da.	(7.11.5)
о
Таким образом, для случайных величин Хи/ выполнены все
указанные выше условия, за исключением одного, а именно, нормаль-
ного распределения. Степень близости плотностей вероятностей для
X и Y к нормальной в данном случае зависит лишь от числа сумми-
руемых векторов и и вида w(a) и может быть оценена на основании
формулы (3.17.7).
В рассматриваемом случае третий центральный момент (3.17.9)
для X и Y равен нулю = 0. Поэтому оценку быстроты сходимости
к нормальному распределению дает коэффициент эксцесса (3.17.8),
равный
=	= A-У <7-1L6>
°	пт^ п
Считая, что хорошее приближение к нормальному закону гаранти-
руется выполнением неравенства у2<^1, получаем следующее окон-
чательное условие того, что плотность вероятности «амплитуды» А
суммарного колебания будет близка к релеевской:
(7.11.7)
\т2 J
Для конкретных плотностей вероятностей w(a) можно оценить
значение п, при котором выполняется условие (7.11.7). В частности,
для релеевской плотности вероятности а»(а) на основании (7.2.11)
получим п^>0, а для нормальной плотности вероятности с нулевым
средним значением из (3.15.21) найдем п>1.
2. Закон Райса. В § 4 было показано, что плотностью вероят-
ности Райса (7.5.1) описывается огибающая суммы гармонического
сигнала с фиксированной начальной фазой и узкополосного нормаль-
ного шума. Можно показать, что этот результат остается в силе и
в том случае, когда гармонический сигнал имеет случайную равно-
мерно распределенную начальную фазу.
Рассмотрим здесь другой случай. Пусть имеется сумма двух гар-
монических колебаний sx(t) и s2(f) с известными начальными фаза-
ми и узкополосного нормального шума £(i):
s, (i) = Лх cos со01, s2 (Z) = А2 cos (со0 t — cp0),
g (/) — Ac (/) cos w01 + As (/) sin cd0 t.	(7.11.8)
Представим сумму этих колебаний в следующем виде:
5i(0 + s2 (0 + £ (0=^ cos ®0 / + У sin ®0/=Zcos(®01 — 6), (7.11.9)
314
где
Z = /X2 + У2, tg6 = T	(7.11.10)
Л
X(Z) = Ai -р Tl2 cos фо + Ac (t), Y (0 = A% sin ф0 -j- Ду (t). (7.11.11)
Графически такое представление иллюстрируется рис. 7.23.
Покажем, что одномерная плотность вероятности огибающей Z
дается закоаом Райса [27]. Так как Лс(/) и Л5(/) независимые нор-
мальные фуакци и, то X и Y являются также независимыми нормаль-
но распределенными случайны-
ми переменными. Они имеют
средние значения
<Х> - тх = Ai 4- Ааcosф0,
<Y> = Шу = А2 sin ф0
и одинаковые дисперсии
2	2	2
Стх = Оу = а .
Поэтому для огибающей Z
справедлива формула (5.2.21):
Q	A2cos<p0 X(t) X
Рис. 7.23. Геометрическое представ-
ление суммы двух сигналов и шума.
(7.11.12)
где
tn V rrz2 + triy = (Л ? 4- Al + 2ЛХ Л2 cos <р0)2 •
(7.11.13)
Из способа получения фомулы (7.11.12) непосредственно следует,
что плотность вероятности огибающей суммы узкополосного нормаль-
ного шума я любого числа гармонических колебаний с одинаковыми
частотами к постоянными амплитудами и начальными фазами имеет
вид закона Райса, который является частным случаем распределе-
ния Накатами (2.9.13).
ЛИТЕРАТУРА
1.	Dugundji J, Envelopes and preenvelopes of real waveforms.
Trans. IRE, 1958, IT-4, № 1.
2.	Бунимович В. И. Флуктуационные процессы в радиоприем-
ных устройствах. Изд-во «Советское радио», 1951.
3.	Тихонов В. И. Один способ определения огибающей квазигар-
монических флуктуаций. «Радиотехника и электроника», 1957, № 4.
4.	Б у нки н Ф. В., Гудзенко Л. И. Об одномерных распре-
делениях амхлитуды и фазы стационарного процесса. «Радиотехника и элек-
троника», 1958, № 7.
11В*
315
5.	Й а г r e t i .1. F,, Lampard D. G. An expansion for some
second-order probability distributions and its application to noise problems.
Trans. IRE, 1955, IT-1, № 1.
6.	Am и a htob И. H. Безынерционные преобразования огибающей
квазигармонических флуктуаций. «Радиотехника и электроника», 1959,
№ 3.
7.	М о р о з о в В. А. Преобразование ограничителем флуктуаций,
подчиняющихся релеевскому закону распределения. «Радиотехника и элек-
троника», 1960, № 3.
8.	Д е ч Р. Нелинейные преобразования случайных процессов. Пер.
с англ. Изд-во «Советское радио», 1965.
9.	Гр адштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов,
рядов и произведений. Физматгиз, 1962.
10.	Macdonald D. К- С. Some statistical properties of random
noise. Proc. Camb. Phil. Soc., 1949, v. 45.
11.	P r i c e R. A note on the envelope and phase — modulated compo-
nents of narrow-band gaussian noise. Trans. IRE, 1955, IT-1, № 2.
12.	Ч e p н я к Ю. Б. Взаимная корреляция напряжений шумов на
выходе усилителей с перекрывающимися частотными характеристиками.
«Радиотехника и электроника», 1960, № 4.
13.	S 1 е р i а п D. Noise output of balanced frequency discriminator.
Proc. IRE, 1958, № 3.
14.	Тихонов В. И. Среднее число выбросов частоты и фазы. «Радио-
техника и электроника»., 1962, № 6.
15.	Теория передачи электрических сигналов при наличии помех. Пер.
с англ. Сборник статей под редакцией Н. А. Железнова. Изд-во иностран-
ной литературы, 1953.
16.	Rice S. О. Statistical properties of a sine wave plus random noise.
BSTJ, 1948, № 1.
17.	Ду ко в В. П. Плотность вероятности производной фазы суммы
синусоидального сигнала и гауссова шума. «Радиотехника и электроника»,
1962, № 7.
18.	Т ихо нов В. И., Горяйнов В. Т. Детектирование слу-
чайных сигналов. «Радиотехника», 1966, № 1.
19.	М и ддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи, т. 1.
Пер. с англ. Изд-во «Советское радио», 1961.
20.	L е i р п i k R. First and second order distributions of a sine wave
of random phase plus gaussian noise. Zeitschrift fur angew. math, und physik,
1960, v. 11, f. 2.
21.	Moshe Z. Second-order properties of the pre-envelope and enve-
lope processes, Trans. IRE, 1960, IT-6, № 5.
22.	Пороговые сигналы. Пер. с англ., под редакцией А. П. Сиверса.
Изд-во «Советское радио», 1952.
23.	Левин Б. Р. Теория случайных процессов и ее применение в ра-
диотехнике. Изд-во «Советское радио», 1960.
24.	Беннет У. Р. Основные понятия и методы теории шумов в ра-
диотехнике. Пер. с англ. Изд-во «Советское радио», 1957.
25.	S а 1 z J., Stein S. Distribution of instantaneous frequency for sig-
nal plus noise. Trans. IEEE, 1964, IT-10, № 4.
26.	В e c k m a n n P. Deviations from the rayleigh distribution for
a small and a random number of interfering waves. «Prage ustavu radiotechn.
a elektron», 1962, № 25.
27.	В r a n k о L. Probability density function of the envelope of a sine
wave superimposed on a narrow— band gaussian noise for the coherent dete-
ction. «Glasnik mat.— fiz. i astron», 1962, № 3—4.
316
Глава 8
ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
НА НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНЕРЦИОННЫЕ УСТРОЙСТВА
§1.0 МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ НЕЛИНЕЙНЫХ
ИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
На примерах, которые будут рассмотрены в следующих парагра-
фах, мы убедимся, что поведение ряда радиотехнических устройств
при наличии случайного воздействия £(/) описывается нелинейным
дифференциальным уравнением вида (3.20.18):
n = f (п) + § (п> Л £(0)-
(8.1.1)
где f и g — некоторые известные детерминированные функции;
ц(£) — интересующий нас процесс, протекающий в системе.
Вид функций fug определяется параметрами системы, которые
считаются заданными.
Дифференциальное уравнение, содержащее случайные функции
времени, часто называют стохастическим. Если функции fug нели-
нейны относительно Г], то (8.1.1) есть стохастическое нелинейное диф-
ференциальное уравнение первого порядка.
Очевидно, что при случайном воздействии £(0 интересующий нас
процесс т](^ будет иметь также случайный характер. Предполагая
известными характеристики случайного воздействия |(0 и заданными
функции f и g, нужно найти статистические характеристики про-
цесса т](^). Решение этой задачи связано с решением дифференциаль-
ного уравнения (8.1.1).
Метод решения уравнения (8.1.1) зависит от интенсивности (ве-
личины) случайного воздействия £(/) и отношения его времени корре-
ляции тк к характерной постоянной времени системы тс. При этом,
говоря о величине случайного воздействия, следует иметь в виду не
фактическую величину самой случайной функции £(/) (например,
величину ее дисперсии), а вызываемый ею в системе эффект (флуктуа-
ционный разброс).
В зависимости от этих двух факторов можно указать следующие
частные случаи и соответствующие методы их рассмотрения.
317
1. Случайное воздействие малой интенсивности. В данном слу-
чае, независимо от соотношения тк и тс, применим метод линеариза-
ции. Он заключается в том, что основное уравнение (8.1.1) линеари-
зуется относительно малых флуктуационных отклонений от невозму-
щенных значений и делается пренебрежение нелинейными членами,
содержащими эти флуктуационные отклонения. Процедура приме-
нения этого метода будет проиллюстрирована на конкретном при-
мере автогенератора в § 2.
Метод линеаризации позволяет сравнительно просто вычислить
корреляционную функцию процесса ц^). Однако при ненормальных
возмущениях £(/) весьма трудно найти даже одномерную плотность
вероятности для »](/) [см. § 6 гл. 6].
2. Случайное воздействие большой интенсивности. Здесь нельзя
указать единого и универсального метода решения; выбор метода
зависит от соотношения тк и тс.
а)	Если тс';>тк, то применим аппарат марковских процессов и,
в частности, уравнение Фоккера — Планка [см. (3.20.11)]. Рассма-
триваемый случай характерен для многих устройств автоматики и
измерительной техники.
При решении практических задач методом уравнения Фоккера' —
Планка встречаются трудности в двух случаях: 1) когда в правую
часть дифференциального уравнения (8.1.1) аддитивно и линейно
входит производная от случайной функции g(f); 2) когда функция g
на интересующем нас интервале изменения |(/) является разрывной.
В § 3 этим методом рассмотрен один пример. Там же указан воз-
можный путь решения, когда в правую часть (8.1.1) входит не сама
случайная функция Щ), а ее производная %(().
Наиболее характерным для данного метода является то, что даже
в существенно нелинейных задачах он позволяет находить одномер-
ные стационарные плотности вероятности, а также решать задачи,
связанные с достижением границ. Однако отыскание корреляцион-
ной функции оказывается очень сложным делом.
б)	При тк»тс можно ограничиться рассмотрением в квазистати-
ческом приближении. Оно характеризуется тем, что в первом прибли-
жении делается пренебрежение временной производной в уравне-
нии (8.1.1), после чего задача сводится к нелинейному безынерцион-
ному преобразованию /(ц) — g(^, t, £,(/)). Примеры на применение
этого метода рассматриваются в § 5, 6.
в)	Случай промежуточных времен корреляции (тк да тс) являет-
ся наиболее сложным и в дальнейшем не рассматривается [1—4].
Укажем, что в теории автоматического регулирования при ана-
лизе действия случайных возмущений на нелинейные системы
применяют метод статистической линеаризации [5, 6, 7, 8], который
здесь не приводится. Недостатки этого метода и его сравнение с пря-
мым методом (см. §6 гл. 5) даны в работе [9], а результаты неполного
сравнения с методом марковских процессов приведены в [10].
31$
§ 2. МЕТОД ЛИНЕАРИЗАЦИИ. ФЛУКТУАЦИИ КОЛЕБАНИИ
АВТОГЕНЕРАТОРА

Рис. Упрощенная схема
автогенератора.
Для многих радиофизических задач представляет практический
интерес вое рос о поведении автогенератора с учетом собственных
флуктуаций (шумы ламп и сопротивлений потерь) и внешних слу-
чайных воздействий (колебания температуры окружающей среды,
случайные колебания напряжения источников питания, вибра-
ции и т. д.).
Флуктуации амплитуды и частоты, обусловленные только соб-
ственными шумами автогенератора, принято называть естественными
флуктуациями. Эти флуктуации прин-
ципиально неустранимы и определяют
тот предел повышения стабильности ча-
стоты и амплитуды автогенератора,
который не может быть превзойден.
Флуктуации амплитуды и частоты,
обусловленкые внешними случайными
воздействиями, называются техниче-
скими флуктуациями. Эти флуктуации
в принципе можно устранить мерами
параметрической стабилизации (термо-
статированге, гашение вибраций и т. д.)
и стабилизации питающих напряжений.
Влияние собственных флуктуаций на процессы в автогенераторе
подробно рассмотрено в ряде работ [11—20]. Исследованию дейст-
вия внешних помех на автогенератор и его модуляции шумом по-
священы работы [21—24].
Несмотря на то, что в реальных условиях технические нестабиль-
ности значительно превышают естественные, ограничимся здесь
рассмотрением влияния собственных флуктуаций на работу автоге-
нератора, поскольку они представляют принципиальный интерес.
В дальнейшем будет дано обоснование применимости метода ли-
неаризации, вычислены статистические характеристики амплитуды
и фазы, найден энергетический спектр колебания и приведены неко-
торые количественные оценки.
1.	Уравнение генератора. Рассмотрим ламповый генератор гар-
монически! колебаний с контуром в цепи анода лампы (рис. 8.1).
Нетрудно убедиться, что дифференциальное уравнение генератора
для тока f, протекающего через индуктивную ветвь, имеет вид
I -р (Dq RCI I — (0q Ja, (0q
(8.2.1)
где точками сверху обозначены производные по времени.
31?
Представим анодный ток лампы Ja в виде двух составляющих
регулярно изменяющейся /а(/) и флуктуационной «(/), учитывающей
дробовый шум анодного тока:
Ja=<Ja> + i(O = /a(O + t(O-	(8.2.2)
Для упрощения формул будем считать, что сеточные токи отсутст-
вуют и можно пренебречь анодной реакцией. Тогда
=	(8.2.3)
Без учета постоянной составляющей сеточного напряжения и по-
стоянной составляющей анодного тока (которая протекает через ин-
дуктивность), характеристику лампы на некотором участке можно
аппроксимировать кубической параболой
(8.2.4)
Учитывая, что
и = MI,
О
л
гдеЛ4 — коэффициент взаимоиндукции анодной и сеточной катушек,
вместо (8.2.4) можем написать
/а = SMI — 4 Л43 /з.
О
(8.2.5)
Уравнение (8.2.1) с учетом (8.2.2) и (8.2.5) принимает вид
<4 SMI
ИЛИ
7 + coo I = ®о I (SM — RC)—i
М3 Р + wo i (0-
Введем следующие обозначения:
SM — RC
Л13 <о02 f
о
о
/ е
м3 о.3 -г
“о
^(О = г
оо
(SM —RC),
Безразмерный параметр е есть инкремент контура. Величина До,
как выяснится в дальнейшем, представляет собой стационарную
амплитуду автоколебаний тока в контуре.
Уравнение (8.2.6) в новых обозначениях принимает вид
2
(8.2.8)
320
Произведем ориентировочную оценку величины «. Пусть 5 —
= 5 ма/в, М = 0,2 мкгн, f0 = 10 Мгц, R = 1 ом, С — 100 пф.
Тогда 8 ~ 6 • 10'2.
Нелинейное дифференциальное уравнение (8.2.8) без случайной
функции хорошо изучено в радиотехнике и теории колебаний.
В стационарном состоянии x(t) является гармонической функцией.
Перейдем к решению стохастического нелинейного дифферен-
циального уравнения (8.2.8).
2.	Решение уравнения генератора. Запишем уравнение (8.2.8)
так:
х + и>о х = е/ (х, х, t) 	(8.2.9)
К такой форме приводится не только уравнение лампового генера-
тора, но и уравнения многих других автоколебательных систем
(магнетрон, молекулярный генератор и др.).
Для изучения решения этого уравнения целесообразно перейти от
одного уравнения второго порядка к двум уравнениям первого
порядка, описывающим поведение амплитуды и фазы. При определе-
нии понятий амплитуды и фазы колебаний, хотя и близких, но не
являющихся строго гармоническими, имеется некоторый произвол.
Здесь уместно напомнить о неоднозначности определения огибающей
и фазы квазигармонических флуктуаций (см. § 1 гл. 7).
Определим амплитуду и фазу колебаний соотношениями
г = A cos (<о01 + ф), х = — <о0 A sin (<Dof + ф).	(8.2.10)
Отсюда получаем
Л2 = (<х2 + 41>	(8.2.11)
\	“0 /
ф = — arctg-^- — со0Л	(8.2.12)
Дифференцируя по времени (8.2.11), получим
2АА = 2хх + 2
(Dq
или
Д = „  (соц X X ) .
“о А
Согласно соотношению (8.2.9) последнее уравнение можно запи-
сать
A = ~^f(x,x,t).	(8.2.13)
“ол
321
Аналогично, путем дифференцирования обеих частей уравне-
ния (8.2.12) с учетом (8.2.9) получим
(8.2.14)
Подставив в уравнения (8.2.13) и (8.2.14)
В правых частях этих уравнений нужно выразить х и х через А
и ф. Напомним, что
X == Л COS ф, X = —©0АзН1ф, Ф ©^ ф.
Подставив эти выражения в уравнения для А и ф и при-
нимая во внимание соотношения:
х2 — ©о Л2 sin2 ф = — ©о Л2 (1 — cos 2ф),
хх — ~ со0 A2 si п тр cos ~ ю0 A2 si п 2тр,
L
х4 = ©о Л4 sin4 ф — и4 Л4 (cos 4ф — 4cos 2ф ф- 3),
получим
cos 2ф)
©о Л4 (cos 4ф
4cos 2ф ф- 3)
угф) sin ф,
I (t) cos ф.
(8.2.15)
Для дальнейших упрощений примем во внимание следующее об-
стоятельство. В контуре, настроенном на частоту о)0 и имеющем
322
малое затухание, происходит эффективная фильтрация высших
гармоник, и они не могут оказывать существенного влияния на
процессы в генераторе. Поэтому в уравнениях (8.2.15) члены, имею-
щие при себе сомножителями sin2ip, cos2ip, sin4ip, соз4ф, можно
в первом приближении опустить. Тогда получим
А =—°-^(1 — A2) — ^-z(/)sinip,	(8.2.16)
<р = — i (t) cos ф.	(8.2.17)
Из курса радиотехники известно, что влияние неучтенных нами
высших гармоник сводится к некоторой поправке на частоту, однако
эта поправка является регулярной. Поэтому несмотря на то, что
поправка на частоту, обусловленная высшими гармониками, пре-
вышает флуктуации частоты, следует считать, что сделанное упро-
щение оправдано.
Уравнения (8.2.16) и (8.2.17) принято называть укороченными
уравнениями лампового генератора. Следует отметить, что они
могут быть получены из уравнений (8.2.15) не только путем «отбра-
сывания» членов с высшими частотами, но и путем усреднения пра-
вых частей по времени за период Тй = 2л/©0. При этом усреднению
должны подвергаться лишь регулярные члены.
Из уравнений (8.2.16) и (8.2.17) легко находим стационарный
режим работы генератора в отсутствие флуктуаций. Так, полагая
в уравнении (8.2.16) А — 0, 1(f) = 0, находим Лс — 1.
Аналогично, полагая в уравнении (8.2.17) i(t) = 0, получим
Ф =0, фс = фо = const. При этом никакому значению начальной
фазы нельзя отдать предпочтение. Поэтому ее нужно считать слу-
чайной величиной, равномерно распределенной на интервале
(—л, л).
Таким образом, в стационарном режиме без учета флуктуаций
ток в контуре определяется формулой
I = Ао х = Ао Ас cos (со01 + фо) = Ао cos (®0t + фо)- (8-2.18)
Видно, что введенная ранее в рассмотрение величина /^действи-
тельно представляет собой установившееся значение амплитуды
тока в контуре.
3.	Вычисление флуктуаций фазы и амплитуды. Перейдем теперь
к рассмотрению процессов в генераторе при наличии флуктуаций
анодного тока лампы. Оценку получающихся при этом флуктуаций
частоты и амплитуды можно получить, применив метод линеариза-
ции уравнений (8.2.16) и (8.2.17) в окрестности стационарного со-
стояния. Применение метода линеаризации оправдано тем, что
флуктуации анодного тока предполагаются малыми. Поэтому они
вызывают небольшие отклонения амплитуды А и частоты ф (а не '
фазы!) от их стационарных значений.
323	'
Разумеется, что линеаризация уравнений относительно флуктуа-
ционных поправок не исключает необходимости предшествующего
нелинейного анализа процессов в автогенераторе, так как без него
нельзя получить никаких сведений о стационарном режиме генера-
тора, в окрестности которого и осуществляется линеаризация.
Обозначим флуктуации амплитуды и фазы, обусловленные шу-
мом, через
а = А — Лс, 6—ср —фо-	(8.2.19)
V
По предположению а и 0 представляют малые флуктуационные от-
клонения.
Подставим эти выражения в исходные уравнения (8.2,16) и
(8.2.17) и удержим в них лишь те члены, малость которых относи-
тельно а не превосходит первого порядка. При этом флуктуацион-
ный ток i(f) следует считать величиной первого порядка малости,
а величины А и ф, оставшиеся в уравнениях в виде коэффициентов,
следует заменить их стационарными значениями (Лс = 1, фс =
— ф0). В результате выполнения указанных преобразований полу-
чим
£и0 а ~
sin(<o01 + ф0),
о
(8.2.20)
ё — -J° t (0 cos (и0 / + ф0).
(8.2.21)
Так как описанная процедура линеаризации совпадает с задачей
отыскания дифференциалов для А и ф, то эти уравнения можно полу-
чить из уравнений (8,2.16) и (8.2.17) путем дифференцирования
в окрестности стационарного состояния.
Стационарное решение линейного стохастического уравнения
(8.2.20) имеет вид
t
a(t) —— С	sin((Dox 4~ фо) dx
71 о J
-со
(8.2.22)
Из уравнения (8.2.21) находим выражение для случайного при-
ращения фазы за некоторое время Т:
т
Дф (Г) = Ф (t0 + Т) — Ф	j i (/0+у) cos [tt>0 (t0-'r у)4-ф0] dy.
о
(8.2.23)
Флуктуационные поправки к амплитуде и фазе получаются из
нормальных флуктуаций i(t) путем линейного преобразования.
Поэтому a(f) и Дф(Г) представляют нормальные процессы, причем
эти процессы статистически независимы.
324
Чтобы убедиться й этом, найдем функцию взаимной корреляций
между ними. Из выражений (8.2.22) и (8.2.23) получаем
<а(0)=0, (Аф(Т))=0,	(8.2.24)
т. е. средние значения приращения фазы и флуктуационной поправки
к амплитуде равны нулю. Поэтому для функции взаимной корреля-
ции можем написать
(/) АФ (Т))
-«»o(^)(i(x)j(/0
X sin (ш0 х + фо) cos (ш010 + co0 у + ф0)) dxdy.
Но
(i (x) i (t0 + y) sin (o)o x + фо) cos (too t0
«о У + Фо)> '
= у (i (x) i (t0 + y)> sin too (x — lQ — y) +
+ Jr <i (x) i (t0 + У) sin [too (to + x + у) + 2ф0]).
Считая шум i(t) стационарным и статистически независимым от
начальной фазы колебаний ф0, во втором слагаемом усреднение
нужно производить раздельно по шуму и случайной начальной
фазе ф0. В результате усреднения по ф0 получим, что второе слагае-
мое равно нулю*.
Будем рассматривать флуктуации анодного тока лампы как белый
шум с функцией корреляции [см. формулу (3.16.8)]
(i (/J i (Л,)) = elsd(ti—t1),
(8.2.25)
где е = 1,6-10~19 к — заряд электрона;
Is —эквивалентный ток диода в режиме насыщения.
В результате интегрирования с дельта-функцией согласно
формуле (П.4) получим
о
у)dxdy^O.
Таким образом, флуктуации амплитуды и фазы колебаний гене-
ратора являются нормальными и статистически независимыми.
* Вообце говоря, флуктуационный ток лампы автогенератора периоди-
чески нестационарен с.периодом То = 2л:/<о0 [24}.
325
Вычислим дисперсию приращения фазы за некоторое время Т.
Так как среднее значение приращения фазы’равно нулю, то для дис-
персии из формулы (8.2.23) имеем
2	/о>п\ 2 С Г
J J (i 4- х) i (f0 + у)) (cos [®0 (t0 + x) + <p0] X
4 0/ о 0
X cos [co0 (t0 + y) 4- <Po]> dxdy.
Подставив сюда выражения для функций корреляции из (8.2.25)
и (3.13.3), получим окончательную формулу, аналогичную по ха-
рактеру зависимости от Т формуле (6.3.5):
2
Л	£1Q
°д<р = DT, D =	(8.2.27)
Видно, что дисперсия приращения фазы растет пропорционально
времени наблюдения. Следовательно, длительная «привязка» теку-
щей фазы к начальной из-за наличия флуктуаций невозможна.
Флуктуации фазы вызывают случайный разброс частоты отно-
сительно ее номинального значения, причем практически нельзя
предложить какие-либо меры для устранения этого эффекта без су-
щественного изменения принципа работы самого генератора (на-
пример, переход от ламповых генераторов к молекулярным).
Позже будет указана количественная мера естественной нестабиль-
ности частоты генератора.
Оценим среднеквадратичное значение приращения фазы за время
одного периода — 2л/ю0. Из формулы (8.2.27) имеем
од ? - л	-	(8.2.28)
Пусть Is = 1 ма, Ло = 100 ма, /0 = 10 Мгц. Тогда сгД[р « 10"6 л.
Выполнив вычисления, получим следующее выражение для
функции корреляции амплитудных флуктуаций:
(*) = (0 a (t 4- т)) = <т2л е-6‘“<>1 и, О2Л =	. (8.2.29)
При Is = 1 ма, Ао = 100 ма, е = 0,06, f — 10 Мгц получим '
о А «2-10-6.
Убеждаемся, что' условие применимости метода линеаризации
ол^Ае	(8.2.30)
в данном случае выполняется.
4. Спектр колебания. Нестабильность частоты. Найдем сначала
функцию корреляции колебания генератора. С учетом фазовых и
326
йМйЛйтуднДх флуктуаций (8.2.19) колебание генератора (8.2.10)
будет квазигармоническим и его можно записать в следующем виде:
x(t) [1 + a(Z)]cos(ffl0/ + 6 (Z) 4- ф0),	(8.2.31)
таж как
A(t) --Лс + а(0 = 1 + a(t), ф(0 = 0(0 + <р0.
Поэтому для функции корреляции имеем выражение
ЛЛ(т) = ([1 + а (/)] [1 4-a(f + t)J cos(<й0/ + 0(/) + ф0)X
X cos (соо t 4- “о t + 0 (t 4-1) 4- Фо)> •
Учитывая, что флуктуации амплитуды и фазы являются не-
зависимыми, получим
kx (г) = у [ 1 4- k (t)] (COS (й0 T 4- Аф (t))),
Аф (т) = 9 (/ 4- г) — е (t).	(8.2.32)
Формулу (8.2.32) можно записать иначе:
kx (т) = ~ [1 + k . (т)] Re (e/6uot +Д?(Ш) =
= ~ [ 1 + k (т)1 Re (е/Д? <’>)].	(8.2.33)
Но (ехр [; А<р (т)]) есть значение характеристической функции
(ехр [/«АфГт)]) случайной величины Аф (т) в точке u —1. Для
нормальной случайной величины Аф (т) с нулевым средним зна-
чением и известной дисперсией (8.2.27) по формуле (3.15.18)
имеем
(ехр [/Дф(т)]) = ехр(—Д-О| т |) .
При этом из выражения (8.2.33) получаем окончательную формулу
,	, , I г1 . ,	, -к D\ т I
(Л/	2 * '	' 1 = - (I -й (Тд e~£too Iх') шг Функщгя корреляции для тока очевидно, равна и ( \	1 л2 [ ~ 2“ D f Т 1 1	2 2	+<*де	:	cOS COq т — _ 1_D е 2	cos(n0T.	(8.2.34) в индуктивной ветви контура, - (е"’о+	1 т Л	/о п 1	Jcosoj0t. (8.2.35)
327
Зная функцию корреляций, находим односторонний энергети-
ческий спектр сигнала:
cos (со—со0) vdx — А о i
СО
I _2
+ ОЛ
ft) > 0.
(8.2.36)
Произведем оценку отдельных величин. Для приведенных выше
данных найдем: Е(оо « 4- 10е, D « 6-10~5, о а ~ 4-10~12. Если
в формуле (8.2.36) пренебречь величиной D по сравнению с ео)о>
то получим
Г
5 (со) — Ло<
® > 0. (8.2.37)
Рассмотрим более подробно характер спектра. Если флуктуации
отсутствуют (г(0 = 0), то ад = 0 и£) = 0. Полагая в подынтеграль-
ном выражении формулы (8.2.36) од = 0, D = 0 и воспользовавшись
затем формулами (П. 9) и (П. 11), получим S(/) ~ ~Лоб(/— /0).
В данном случае генератор генерирует гармоническое колебание
(8.2.18), энергетический спектр которого представляется в виде
дискретной линии высотой Ло/2, расположенной при частоте f0.
Энергетический спектр квазигармонического колебания, полу-
чающегося при наличии флуктуаций, симметричен относительно
частоты <оо, где он имеет максимум. Спектр состоит из двух слагае-
мых, первое из которых обусловлено флуктуациями фазы, а вто-
рое — флуктуациями амплитуды.
Из формулы (8.2.35) видно, что дисперсия или полная мощность,
содержащаяся в первом слагаемом, равна по-прежнему Ло/2 и
значительно превосходит мощность (Л0од)2/2, заключенную во
втором слагаемом. Максимальная высота первого слагаемого равна
<Si(g)) = 2Aq/D и значительно превышает высоту второго слагае-
мого, равную S2(co) — (Л0ад)2/е<»0. Полная ширина спектра пер-
вого слагаемого (на уровне 0,5 от максимального значения) равна
А®! = D. Она значительно меньше ширины спектра второго сла-
гаемого А со2 = 2ео)о.
328
При рассмотрении характера энергетического спектра квазигар-
монлческого колебания второе слагаемое в формуле (8.2.37), как со-
держащее незначительную мощность и более «широкополосное»,
можно не учитывать. При этом для спектра получим простую
формулу
2£М2
S <“) = №+4 (ibff 	(8-2 38)
Итак, энергетический спектр колебания вследствие флуктуаций
фазы превращается из дискретной линии в сплошной спектр, имею-
щий очень малую ширину А® = А®! = D.
Естественную нестабильность частоты генератора можно коли-
чественно характеризовать относительной шириной энергетического
спектра
Aw __D ____els <о0
"о ” "о ~ 2Aq
(8.2.39)
Для указанных ранее величин естественная нестабильность частоты
равна Agj/cuj ж 10~12.
§ 3. МЕТОД МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ФАЗЫ АВТОКОЛЕБАНИЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫМ КОНТУРОМ
Для иллюстрации методики применения аппарата марковских
процессов рассмотрим следующий практически важный пример.
При анализе работы синхронизируемого генератора или схемы
фазовой автоподстройки частоты, когда синхронизирующий сигнал
(с флуктуирующей фазой) сопровождается аддитивным флуктуацион-
ным шумом, часто интересуются стати-
стическими характеристиками фазы син-
хронизируемого колебания [25]. При
некоторых ограничениях, указанных
ниже, ответ можно получить из рассмот-
рения следующей задачи [26].
Пусть на колебательный контур LCR,
(рис. 8.2) воздействует сигнал от авто-
генератора вида (8.2.31)
s (0 = A (0 cos [со* + 6 (0]
S(t)+n(i)
Рис. 8.2. Колебательный кон-
(t)
и аддитивный нормальный белый шум n(t) с нулевым средним зна-
чением и функцией корреляции (3.16.1).
Если ограничиться учетом лишь малых собственных флуктуа-
ций автогенератора, то ввиду малости амплитудных флуктуаций
амплитуду сигнала s(t) можно считать постоянной Л(/) = Ао и
рассматривать сигнал
s (/) = Ло cos -|- 6 (/)],	(8.3.1)
329
случайная фаза которого определяется уравнением (8.2.21):
9 (/) = — i (/) cos (at + <р0).	(8.3.2
/10
Дифференциальное уравнение для тока в индуктивной ветви ко
лебательного контура имеет вид
Т| + 2ат] + ®о П = «о [s(t) + п (/)],	(сс = —, <»о =
Предположим, что контур обладает большой добротностью и рас-
стройка между частотой сигнала со и резонансной частотой контура
(оо мала, т. е. | <о — со01 < со0.
При выполнении этих условий решение уравнения (8.3.3) можно
искать в виде квазигармонического колебания
ft
ц (t) = V (f) cos [erf + ф (/)],
T| (t) = — (dV (t) sin [at -Ь ф (01-	(8.3.4)
Применяя обычный прием (см. § 2), получим следующие укоро-
ченные
уравнения для амплитуды и фазы:
V ~ — aV — sin (ф — 0) — ton (f) sin (со/ +ф),
О — ~а cos (4 — 0) — £ п (0 COS (®t + 4),
г	Г
co — (оо — начальная расстройка.
где До
Из второго уравнения в отсутствие шума (n(t) = 0) легко нахо-
дим стационарное значение разности фаз, полагая ф = 0. Получаем
ib — 0 = arc cos (До .	(8.3.6)
\	0)о лу
В том частном случае, когда начальная расстройка отсутствует
(До — 0), имеем ф = 0 — л/2. Следовательно, в отсутствие внеш-
него шума при нулевой начальной расстройке среднее значение фазы
квазигармонического тока в контуре отличается от среднего зна-
чения фазы автоколебаний на л/2. При До =£ 0 из-за реактивных
свойств колебательного контура между фазами имеет место рас-
хождение, не равное л/2.
Для отыскания статистических характеристик фазы ф перейдем
во втором уравнении (8.3.5) от ф к новой переменной
ф = Ф
330

я
Поручим
(f = Ао — sin ср — О — у п (0 cos (ш/ + ф).	(8.3.8)
Хотя «амплитуда» V(t) в этом уравнении является случайной
функцией времени, мы заменим ее постоянной величиной 1/0 — ста-
ционарной амплитудой колебаний, обусловленных только сигналом
s(0.Полагая в первом из уравнений (8.3.5) n(t) ~ 0,ф— 6 = —л/2,
находим
Vo
(8.3,9)
Очевидно, что замена V(f) на 1ZO справедлива при условии, что
дисперсия шумового тока о?, обусловленного шумом п(0, много
меньше Vo. Воспользовавшись формулой (6.7.2), получаем условие
малости шума м(0:
ст2 « Vo, а42<<Л“-	(8.3.10)
Подставив в уравнение (8.3.8) значение V из (8.3.9), можем окон-
чательно написать
Ф = Ао—a sinф— £(/).	(8,3.11)
Здесь
С (0 =	(0 cos (со/ + Фо) + п (t) cos (со/ -г ф) (8.3.12)
— случайный процесс с нулевым средним значением; функция корре-
ляции его согласно (3.16.1) и (8.2.25) равна:
k (л) = (С (t\ (t + t)) =
N = 2els. (8.3.13)
о
Уравнение (8.3.11) описывает процессы синхронизации в лампо-
вом генераторе и простейшей схеме фазовой автоподстройки частоты
при наличии флуктуационного шума [25]. Разница состоит лишь
в том, что в этих двух случаях в правой части уравнения нужно
заменить а на полосу синхронизации А.
Если интенсивность внешнего шума м(0 мала, то разность фаз
Ф будет испытывать малые флуктуации и можно ограничиться рас-
смотрением линеаризованного уравнения [27]
Ф 4-сор = Ао — £ (0.	(8.3.14)
Из него нетрудно найти среднее значение разности фаз (ф) =
= А0/а, а также дисперсию приращения Аф за некоторое время
Г>0:
(8.3.15)
331
Если интенсивность шума n(f) нельзя считать малой, то метод
линеаризации неприменим. Однако при сделанных ранее предполо-
жениях выполняется условие (3.20.11), т. е. постоянная времени
системы тс ж 1/а^>тк, где тк — время корреляции случайной функ-
ции £(/). Поэтому статистические характеристики разности фаз ф
найдем в результате решения соответствующего уравнения Фокке-
ра — Планка.
Для уравнения (8.3.11) по формулам (3.20.13) найдем
Л1(Ф) = Ао — a sirup,
Ла(<Р) = Ха = 4(а2^0 + ^), Л'(ф) = 0.	(8.3.16)
ло \	/
Поэтому уравнение (3.20.12) для стационарного состояния (W = 0)
принимает вид
где
Г) __ 2Др Г) __ 2х
0	и Кг'
(8.3.17)
И
(8.3.18)
Общее решение уравнения (8.3.17) можно записать в виде
9
№(Ф) =	eD»'f+D cos ? j*	(8.3.19)
с,
Оно содержит две постоянные интегрирования Сг и С2, которые опре-
деляются из двух условий:
1) периодичности IF(cp ± 2л) = IF(q));
2) нормировки плотности вероятности на каждом периоде
f Г(ф)б?ф = 1.
о
Если выполнить необходимые вычисления, то получим
UZ(<p) = geD«'?+Dcos'? f e-D« Ф - D cos* йф, С = 4л2 e~nD<> | IiDlt (£)) |2,
f
(8.3.20)
где Л.(з) — функция Бесселя мнимого индекса и мнимого аргу-
мента.
При нулевой начальной расстройке (Ао = 0) плотность вероят-
ности для разности фаз определяется выражением
=	(8.3.21)
332
и имеет симметричную форму относительно оси ординат (сплошные
линти на рас. 8.3).
При больших шумах (малое D) плотность вероятности (8.3.21)
близка к равномерной

л . <р ' л, (D -> 0).

Рис. 8.3. Плотность вероятности разности фаз при нулевой началь-
ной расстройке (£)о = О).
В другом крайнем случае, когда шум пренебрежимо мал (D велико),
подучается дельтообразное распределение
W (ф) = S (ср), (D -> оо).
Разлагая экспоненту в ряд
ехр (D cos ф) = ц (D)
оо
2 V In (D) cos nqp
n = 1
333
и учитывая равномерную сходимость этого ряда относительно ф,
получим формулу для дисперсии
9
тс	ОО
) Ф2 W (ф) d(p =	—4 "V
1	О
-тс	п~ 1
(- 1)п+‘ /„(D)
л2 /о Ф)
Отметим, кстати, что при надлежащем подборе параметров плот-
ность вероятности (8.3.21) почти совпадает с плотностью вероятности
(7.6.1). Это наглядно видно из рис. 8.3, на котором пунктирными
Рис. 8.4. Плотности вероятности разности фаз
при D = 3 и различных начальных расстройках.
линиями изображены плотности вероятности (7.6.1) для нескольких
значений а. При больших отношениях сигнал/шум (а>3) приближен-
но можно полагать D ж а2. Во многих случаях предпочтительнее
оперировать не с плотностью вероятности (7.6.1), а с плотностью
вероятности (8.3.21) ввиду простоты ее аналитического выражения.
Наличие начальной расстройки (Ао ¥= 0) приводит к асимметрии
плотности вероятности. Это видно из рис. 8.4, на котором изображе-
ны плотности вероятности У7(ф), соответствующие D =3 и несколь-
ким значениям параметра Do. Не касаясь здесь подробного анализа
этих кривых [281, укажем, что среднее значение и дисперсия раз-
ности фаз ф растут с увеличением начальной расстройки, причем
с приближением относительной расстройки Ло/Д к единице рост
среднего значения замедляется, а дисперсии, наоборот, убыстряется.
Можно показать 13, 29], что среднее значение производной от
разности фаз равно:
334
2tz
J*	t \ туг? / \ f	^0 sll TtD0
(Ao — a sin q>) W (<p) dtp - д £)- z~ Tpjy •
(8.3.22)
Графики этой зависимости для пяти значений D представлены на
рис. 8.5 129].
Следовательно, среднее значение разности между частотой сиг-
нала и колебтиями в контуре отлично от нуля. Этот результат
объясняется тем, что в рассматриваемой схеме происходят так назы-
Рис. 8.5. Зависимость разности средних частот
от а и характеристик сигнала и шума.
ваемые перескоки фазы на 2лти, гдет — целое число. Разность
этих перескоков в различных направлениях и обусловливает рас-
хождение средних частот [29, 30]. Возможность таких перескоков
следует из того, что уравнение (8.3.II) напоминает уравнение маят-
ника, на который действует случайная внешняя сила. Под воз-
действием этой силы маятник может совершить один или несколько
полных оборотов.
Среднее число N±2n перескоков фазы в единицу времени на ±2л
при небольшом шуме (О">1) определяется следующей форму-
лой [3, 311:
Vi2r. 4^Ое±Л°” 1	(°) 1^’ D> L	<8-3’23)
Если в понятие перескоков включить также случаи, когда раз-
ность фаз достигает значений :1: л, то среднее значение таких пере-
скоков в единицу времени равно:
1^ (Р)Г2,я>1.
(8.3.24)
335
В отсутствие начальной расстройки (Ао = 0) из
(8.3.23) получаем частный результат [32]
формулы
М -1-2 л — АГ—2 it —	9
4" О12й (D)
по формуле
На рис. 8.6 представлены результаты вычислений
(8.3.24) с использованием таблиц функций Бесселя от мнимого ин-
декса и мнимого аргумента [33]. Применительно к системам фазо-
Рис. 8.6. Среднее число перескоков разности
вой телеграфии эти результаты поясняют физический смысл тер-
мина «обратная работа» и при известных параметрах схемы фазовой
автоподстройки частоты или колебательного контура позволяют
оценить частоту, с которой будут наблюдаться случаи обратной ра-
боты. Следует иметь в виду, что наличие перескоков разности фаз
характерно для всех систем синхронизации [31, 34].
336
Поскольку основная цель данного параграфа состоит в рассмо-
трении методов решения стохастического нелинейного уравнения
(8.1.1) при больших шумах и выполнении условия тс^тк, то умест-
но указать иа одну особенность. Если в правую часть уравне-
ния (8.1.1) аддитивно входит производная от случайной функции
|(/), то описанная методика нахождения статистических характе-
ристик при помощи решения уравнения Фоккера — Планка ока-
зывается неправомерной [35].
В данной случае иногда можно продуктивно использовать
явление нормализации случайного процесса инерционными систе-
мами (см. .§ 11 гл. 6). При тс)^>тк случайное возмущение подвер-
гается сильному интегрированию в системе, и поэтому на основании
физических соображений в некоторых случаях можно рассчитывать
на та, что среднеквадратичное значение выходного процесса будет
мало по сравнению с его средним значением. Кроме этого, если
инерционное звено стоит на выходе системы, то будет иметь место
нормализация выходного процесса, т. е. с некоторым приближением
можно считагь, что плотность вероятности интересующего нас про-
цесса близка к нормальной.
Следовательно, один из возможных вариантов использования яв-
ления нормализации может состоять в том, что дисперсия вы-
ходного процесса вычисляется из линеаризованного уравнения,
а среднее значение находится из нелинейного уравнения в предполо-
жении, что плотность вероятности выходного процесса является
нормальной [36]. Аналогичные физические соображения в какой-то
мере используются и в методе статистической линеаризации [37].
§ 4. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ И СРЫВЕ СЛЕЖЕНИЯ
Аппарат марковских процессов позволяет исследовать устойчи-
вость и срыв слежения для ряда нелинейных систем, часто исполь-
зуемых в радиотехнических устройствах и устройствах автоматики.
Рассмотрим два простых примера.
1. Время установления стационарной амплитуды колебаний
в а»тогенер1торе. В § 5 гл. 6 был подробно рассмотрен механизм
самовозбуждения автогенератора и в линейном приближении оце-
нено время, по истечении которого амплитуда колебаний достигает
некоторого фиксированного значения. Хотя линейное приближение
даег правильное описание на большей части переходного процесса,
оно принципиально не позволяет найти значение стационарной ам-
плитуды автоколебаний и среднее время ее достижения. Для решения
последней задачи рассмотрим нелинейное уравнение для амплитуды
(8.2.16):
А=~(1 - А2) - i (/) sin (of 4- Ф).	(8.4.1)
12 Зак. 245
337
Из этого уравнения видно, что в отсутствие шума (1(f) = 0)
имеется два состояния равновесия: А = 0 и Л = Лс = 1, из которых
устойчивым является лишь второе. Действительно, пусть
тогда А<$ и, следовательно, «амплитуда» убывает с течением вре-
мени, стремясь к значению Ас = 1. Если A(t)<A, то Л^>0, и «ампли-
туда» возрастает, приближаясь к Ас = 1. Поэтому от любого на-
чального толчка, в том числе и обусловленного шумом i(t), «ампли-
туда» колебаний A(t) стремится к стационарному значению Ас = 1.
Пусть флуктуационный ток i(t) вызывает в некоторый начальный
момент времени t = 0 малую начальную, амплитуду А = а<Дс.
Вычислим среднее время Т, по истечении которого «амплитуда»
A(t) в первый раз достигнет значения Дс = 1.
Так как флуктуационный ток i(f) можно рассматривать как белый
шум, то процесс Л(/) является марковским, и для него применимо
уравнение (3.21.10), а также формула (3.21.12).
Применительно к уравнению (8.4.1) найдем, что
^4, (N~2efs). (8,4.2)
4Д q
scon
Поэтому
2
. еошi 2 Л а2
~ ЖГ ( ~ "2
На основании
нее время
о
формулы (3.21.12) находим интересующее нас сред-
я
(8.4.3)
i	z
Ti (а) — I е~'- <z) dz J e"W dy.
a	0
Этот двукратный интеграл можно найти численным интегрированием.
Если малые начальные отклонения а случайны и имеют плотность
вероятности (а), то поформуле (3.21.16) можно вычислить среднее
время первого достижения стационарной амплитуды без указания
конкретного значения а.
2. Срыв слежения в следящей системе. В радиотехнических
устройствах широко применяются следящие системы (автодально-
мер, фазовая автоподстройка, частотная автоподстройка и др.). Их
назначение состоит в том, чтобы осуществлять слежение за интере-
сующим нас параметром полезного сигнала с приемлемой ошибкой.
Так, применительно к дальномеру речь идет о слежении за временем
запаздывания принимаемого сигнала, отраженного от цели, отно-
сительно излученного сигнала [38, 39].
При наличии шума ошибка слежения будет случайной и времена-
ми может достигать настолько больших значений, что полезный сиг-
нал не будет служить возвращающей «силой» и система будет управ-
338
ляться только шумом. Шум может действовать так, что ошибка умень-
шится и система вернется к слежению, но может также привести и
к увеличение ошибки, в результате чего дальнейшее слежение
практически прекратится. В этом смысле и понимается термин
«срыв слежения».
Величина предельной ошибки, при которой происходит срыв
слежения, обычно определяется апертурой дискриминатора, т. е.
шириной линейного участка характеристики детектора сигнала
ошибки.
Найдем вероятность срыва слежения для частного примера [40].
Предположип, что характеристика дискриминатора линейна в ин-
> ( i г\
тервале ошибок—, причем в этом интервале ошибка слеже-
ния x(t) определяется линейным дифференциальным уравнением
вида (3.18.10):
dx
dt
+ ах — n(t),
(8.4.4)
где n(f) — белый шум.
Согласно§ 21 гл. 3 уравнение (8.4.4) следует дополнить началь-
ными и Граниными условиями. Будем считать, что в начальный мо-
мент времени t0 = 0 ошибка отсутствует и, следовательно,
W (х, х0, t0, t0) = 6 (x).
(8.4.5)
Явление срыва учтем введением «поглощающих» границ на краях
диапазона линейности дискриминатора (при x(f) = ± 1/2 процесс
прекращается). Это эквивалентно нулевым граничным условиям
(8.4.6)
Для решения уравнения (8.4.4) с условиями (8.4.5) и (8.4.6)
применим хорошо известный в математической физике метод отраже-
ния с переменой знака от границ х = Д: //2141].
Пусть WM(x, t) есть фундаментальное решение уравнения Фокке-
ра — Планка для системы (8.4.4) с начальным условием (8.4.5)
и бесконечкоудаленными границами. Тогда решение уравнения
Фоккера—Планка с граничными условиями (8.4.6) определяется
равенством
ОО
W (X, 0= 2 (—1)"^оо(х-П/, О-
п— — оо
(8.4.7)
Плотность вероятности Wa>(x, t) была найдена в § 19 гл. 3 и дается
выражением: (3.19.26), в котором согласно условию (8.4.5) нужно
12я	339
положить х(0) = 0 и, следовательно, m(f) — 0. Таким образом,
имеем
№оо(х, t) =	L—exp Г— к-ЙаТ. =	(8.4.8)
(г1)	[ 2а (О J	4*	7
На основании формулы
жения за время t
(3.21.5) определяем вероятность сле-
1/2
Q(t, 0) = j W(x,t)dx =
-1/2
оо
exp
(х — п/)2
2з2(/)
1
у 2^ z(t)
п = 0
где Ф(г) — табулированный интеграл вероятности (2.8.8), а £ 0 — 1
и = 2 при п Ф 0.
Вероятность срыва слежения определяется формулой (3.21.7)
и равна
2п— 1 I
На рис. 8.7 для нескольких значений безразмерного времени
at воспроизведены графики вероятности срыва слежения (8.4.9)
мр
at2
Рис. 8.7. Зависимость вероятности срыва
слежения от относительной интенсив-
ности шума.
в зависимости от относитель-
ной интенсивности шума [40].
Вероятность срыва слежения
увеличивается с течением
времени. Для фиксирован-
ного времени вероятность
срыва растет с ростом интен-
сивности шума и уменьшает-
ся при увеличении постоян-
ной времени системы тс =
= 11а и расширении аперту-
ры дискриминатора. С каче-
ственной точки зрения эти
результаты физически понят-
ны и не требуют специаль-
ных разъяснений.
Рассмотренный пример по-
казывает, что исследование
срыва слежения относится к
п = О
а
340
числу довольно сложных математических задач. Однако в неко-
торых случаях возможны упрощения. Они базируются на том, что
для обеспечения надежного слежения интенсивность шума должна
быть малой. А при малых шумах имеются приближенные, асимпто-
тические методы решения уравнения Фоккера — Планка [42].
§ 5. КВАЗИСТАТИЧЕСКИ И МЕТОД. ДЕТЕКТОР ОГИБАЮЩЕЙ
Основными элементами типового радиоприемника являются
усилитель промежуточной частоты (УПЧ) и детектор (рис. 8.8).
Обычно УПЧ представляет собой линейный узкополосный четырех-
i(t)+n(t) -Линеиныи $(t)
...... селектцв- —* Детектор
нь/й УПЧ
Рис. 8.8. Упрощенная Олок-схема типового радио-
приемника.
Рис. 8.9. Схема детектора.
полюсник. При воздействии на него широкополосного нормального
шума и гармонического сигнала выходное напряжение можно
представить в виде (7.8.1):
Ц/) = cos [®0 Z — 0(0]. (8-5.1)
Для простоты предполагается, что ча-
стота сигнала совпадает с центральной
частотой полосы пропускания УПЧ.
Случайное напряжение С(0 воздей-
ствует на детектор. Найдем статисти-
ческие характеристики напряжения т| (0
на выходе детектора, схема которого изо-
бражена на рис. 8.9.
Пусть нелинейный элемент (диод)
D имеет вольтамперную характеристику
i = g(v), f = Е — Л- Считая равным нулю внутреннее сопротив-
ление генератора входного напряжения, из очевидных соотношений
«	I	♦	•
И “г" Ч =
получим дифференциальное уравнение
ii+^cTi = eSr^-Ti)-
(8.5.2)
Поскольку назначение детектора в радиоприемнике состоит в воз-
можно лучшем выделении модулирующего напряжения, то он, во-
первых, должен сильно сглаживать радиочастотные колебания и,
341
во-вторых, напряжение на цепочке RC должно успевать «следить»
за изменениями огибающей. Выполнение этих двух условий дости-
гается тем, что параметры детектора должны удовлетворять двум
неравенствам;
RC » То = 2я/со0, тк»7?С,	(8.5.3)
где тк — время корреляции огибающей.
Детектор, для которого выполняются эти два неравенства, при-
нято называть детектором огибающей. Те случаи использования
детектора, когда эти условия не выполняются, описаны в работе
[431 и здесь не рассматриваются.
Выполнение условий (8.5.3) существенно упрощает задачу иссле-
дования процесса детектирования случайных сигналов, так как при
этом выходное напряжение т|(0 почти безынерционно (квазистати-
чески) зависит от огибающей V (t). Покажем это [44].
Подставив (8.5.1) в (8.5.2), имеем
П + т] = g [V c°s (ю01 — 9) — т]]-
Проинтегрируем это уравнение за период Tt, т. е. от t до t 4- То:

+ ^g[V(/')cos(®0f —9 (/')) —т](/')]}df. (8.5.4)
При выполнении первого условия (8.5.3) функция т] (f) мало
изменяется за период То. Поэтому разность т| (/ + 70) — Л (О
почти не отличается от т]Т0. Медленно изменяющиеся величины
под знаком интеграла можно считать приближенно постоянными,
т. е. можно принять
V(O = m 0(0 = 6 (О
и учитывать изменение только cos(coo^ — 6). Поэтому (8.5.4)
можно записать
или
Уравнение (8.5.5) затруднительно решить в общем виде. Хотя оно
описывает и переходный процесс, рассмотрим в дальнейшем лишь
стационарное состояние. Для стационарного состояния при выпол-
342
нении второго неравенства (8.5.3) можно ограничиться квазистати-
ческим приближением, т. е. в левой части уравнения (8.5.5) можно
пренебречь производной.
Действительно, в процессах г](/) и V(i) существенны лишь гармо-
нические составляющие трое^, которые лежат в пределах поло-
сы пропускания УПЧ Асо:
[ ш |« Дсож 1/тк.
Для этих частот производная r]u = ;о)Т]м »/т]ы/тк значительно
меньше цУДС вследствие второго неравенства (8.5.3). Поэтому
в уравнении (8.5.5) производная т) значительно меньше второго
члена v\lRC. Пренебрегая ею, получаем окончательное уравнение
2тс
Т] = J S’(V cos х — т])
О
(8.5.6)
дающее безынерционную зависимость выходного напряжения Т](Л
от огибающей V(Z). Здесь в процессе интегрирования по х величины
V и т) принимаются постоянными.
Таким образом, при исследовании воздействия узкополосного
случайного процесса на детектор огибающей в стационарном со-
стояний можно ограничиться квазистатическим приближением, т. е.
вместо точаого дифференциального уравнения (8.5.2) можно огра-
ничиться рассмотрением приближенного функционального соотно-
шения (8.5.6).
Для литейного детектора огибающей, имеющего характеристику
при
при
(8.5.7)
где R;— внутреннее сопротивление диода в открытом состоянии,
из (8.5.6) получим
R _ __________7tk________
R; —k2 — k arc cos k ’
(8.5.8)
Безразмерную величину k можно назвать коэффициентом воспро-
изведения огибающей.
На рис. 8.10 приведен график зависимости k от отношения
^;7?/.Изнего видно, что коэффициент воспроизведения огибающей
монотонно возрастает с увеличением R/Rt, асимптотически прибли-
жаясь снизу к единице.
Характерным свойством линейного детектора огибающей, в от-
личие от других типов, является то, что коэффициент воспроизведе-
ния огибаощей k не зависит от значения самой огибающей V(t) и
определяемся только отношением сопротивлений RIRt. После вы-
числения коэффициента k статистические характеристики выходного
343
напряжения tj(/) kV(f) просто находятся по соответствующим
характеристикам огибающей (см. §5,8 гл. 7).
Рис. 8.10. Зависимость коэффициента воспроизведе-
ния огибающей от отношения сопротивлений при
линейном детектировании.
При квадратичном детектировании
дается выражением
и
нелинейная характеристика
при
при
v >0,
у <0.
(8.5.9)
Рис. 8.11. Зависимость коэффициента А от параметра
при квадратичном детектировании.
В данном случае формула (8.5.6) приводит к следующему резуль-
тату:

____________2тс&_____________
(1 + 2£2) arc cos k — 3k V1—fe3 ’
(8.5.10)
Теперь коэффициент k не имеет прежнего прямого смысла, посколь-
ку он зависит от значения огибающей V(t).
344
При $RV < 0,1 выполняется неравенство k 1. Полагая
arccos^ ж л/2, из (8.5.10) найдем
* =	п (/) =	(/),	(8.5.11)
т. е. выходкое напряжение пропорционально квадрату огибающей.
Для больших значений $RV коэффициент k можно найти путем чис-
ленного решения уравнения (8.5.10). На рис. 8.11 представлена за-
висимость k — f$RV). с увеличением параметра $RV коэффициент
k растет, асимптотически приближаясь к единице.
§ 6.	ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ СТОХАСТИЧЕСКИ
МОДУЛИРОВАННОГО СИГНАЛА
Рассмотрим специфическое применение квазистатического метода
для вычисления функции корреляции стохастического сигнала
и
(/	\
<>01 + J f [В (*)1 dx + 0 ,	(8.6.1)
0	/
где £(/) — случайный процесс;
и /[£(01— некоторые известные функции этого про-
цесса;
6 — неизвестная начальная фаза.
Такой сигнал получается, например, при модуляции гармони-
ческого колебания флуктуационным шумом одновременно по ампли-
туде и частоте, причем в данном случае под А [£] и /[£] следует по-
нимать модуляционные характеристики для амплитуды и частоты
соответственно. Как правило, эти характеристики являются нели-
нейными. При нелинейных модуляционных характеристиках даже
для нормального стационарного шума £(/) задача вычисления функ-
ции корреляции сигнала (8.6.1) представляется весьма сложной.
Ниже предлагается приближенный способ, базирующийся на воз-
можности аппроксимации случайной функции /[£] кусочно-линей-
ной кривой [45].
Функция корреляции сигнала (8.6.1) по определению равна
k(t^ *3) = №KO =
/	tl	\
= < A IS (G)] А [5 (*2)] cos сМх + J П5 (х)] dx + 0 X
\	О	J
х cos ( <оо /2 + I / 11 (*)] dx 4- 0 ) =
\	f
\ о	J
123 Зак. 245
345
2
2
О
о
В данном случае необходимо выполнить двойное усреднение: по ан-
самблю реализаций В (/) и случайной начальной фазе 9, которую
будем считать распределенной равномерно, на интервале (—л, л).
В результате усреднения по случайной фазе второе слагаемое в фи-
гурных скобках обращается в нуль. Поэтому
k (^, /2) = < А [| (G)l А [| (Za)] cos k t+ J / [g (x)] dx j) .
\	t1	/
(8.6.2)

а)
6)
Рис. 8.12. Кусочно-линейная ап-
проксимация случайной функции.
Выполнение здесь статистического усреднения по ансамблю реа-
лизаций £(/) представляет весьма трудную математическую задачу.
Чтобы избежать эту трудность, используем следующие соображения.
Флуктуации £(/) из-за наличия в схеме интегрирующих емкостей
практически всегда представляют
собой гладкую функцию. Моду-
ляционную характеристику по ча-
стоте можно аппроксимировать
некоторой непрерывной функцией.
Для непрерывной функции
/[£(/)] с некоторым приближением
можно положить
%
У [Цх)1 dx& Lr (Ж1 +	,
I	~
G
Ь = g (/,).	(8.6.3)
Это приближенное равенство вы-
ражает тот факт, что площадь под
кривой /[^(х)] на интервале т
заменяется площадью трапеции
(рис. 8.12, а). Ясно, что чем меньше т по сравнению с временем кор-
реляции тк, тем точнее выполняется равенство (8.6.3). Поэтому
должно выполняться условие тк т. Кроме этого, набег фазы за
время т не должен превышать 2 л. Отсюда получаем второе условие
<т/т < 2л, где о2— дисперсия случайной функции /[£(/)].
Если необходимо расширить пределы применимости указанного
приближения по т или при заданном т увеличить точность, то можно
346
на интервале т взять несколько точек и воспользоваться более
точными формулами (рис. 8.12, б)
f (x)]dx=^r
к
II т. д.
Если ограничиться первым приближением (8.6.3), то статисти-
ческое усреднение в формуле (8.6.2) можно теперь выполнить
с двумерною плотностью вероятности для £(/). При втором приб-
лижении, даваемом формулой (8.6.4), статистическое усреднение в
формуле (8.5.2) необходимо выполнять с использованием трехмер-
ной плотности вероятности и т. д.
Поскольку в формуле (8.6.2) при указанных приближениях по-
лучается нелинейное безынерционное преобразование, то задачу
можно считать в принципе решенной.
Применим описанный метод с использованием приближения
(8.6.3) к сигналу
/	t
t (0 = Ао cos соо t + X J I (X) dx + 6
V о
(8.6.5)
где — термальный стационарный шум.
Для такого сигнала точная функция корреляции дается фор-
мулой (5.10.18). В данном случае вместо выражений (5.10.19) по-
лучим
Pi (s) = exp
(8.6.6)
Результаты вычислений по этим формулам приведены на рис. 5.23
(пунктирные линии). Сравнение этих кривых с точными резуль-
татами показывает вполне удовлетворительное согласие особенно
при больших значениях Р и малых s.
§ 7. О СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ НА ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ
СИСТЕМЫ. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ
В последнее время проявляется повышенный интерес к теории
действия случайных возмущений на параметрические системы, по-
ведение которых описывается дифференциальными уравнениями
(линейными или нелинейными) с переменными параметрами. Это
объясняется тем, что к решению таких задач сводится анализ рабо-
ты параметрических усилителей, исследование распространения
12Б*	' 347
радиоволн в турбулентных средах, некоторые вопросы радиосвязи
при помощи искусственных спутников Земли, задача обнаружения
флуктуирующих целей и др.
Изменения параметров системы и внешние воздействия могут
быть случайными и регулярными. Возможны также комбиниро-
ванные случаи, когда на регулярные (например, гармонические)
колебания накладываются флуктуационные возмущения. Вариации
параметров системы могут привести к возбуждению системы и на-
рушению ее устойчивой работы.
По характеру физических процессов и методам исследования
параметрические системы тесно связаны с теорией нелинейных коле-
баний. При рассмотрении параметрических систем возникают раз-
нообразные задачи с точки зрения физического содержания и мате-
матической сложности [3, 46, 47]. Для решения их применяются
разные методы [3, 46, 48—51].
При исследовании параметрических колебаний (с учетом флук-
туационных воздействий) в узкополосных радиотехнических си-
стемах можно продуктивно использовать представление случайных
вынужденных колебаний в виде квазигармонического шума. Для
определения статистических характеристик огибающей и фазы
во многих случаях оказывается применимым аппарат марковских
процессов 13, 54]. Когда флуктуационные воздействия в некотором
смысле являются малыми, целесообразно применять метод линеа-
ризации или же находить решение методом последовательных при-
ближений по малому параметру [55—57].
Здесь мы ограничимся рассмотрением простейшего случая
[581, для которого укажем возможные методы решения и введем
понятие устойчивости системы, несколько отличное от приведен-
ного в § 21 гл. 3.
Пусть требуется найти среднее значение и корреляционную функ-
цию случайного процесса y(f), заданного стохастическим линейным
дифференциальным уравнением первого порядка
У +	= Ш	(8.7.1)
где и т](0 — нормальные стационарные и стационарно связан-
ные случайные процессы с известными характеристиками:
а? (т) = (t (0 ! (/+ т)),
ni#2(T)= (Т| (Оп^ + т)),
О о
СТ1 О2 #12 (Ч = (£ (О П if + Ч-
Здесь кружочком сверху обозначены центрированные случайные
функции.
348
Отметим, что в том частном случае, когда выполняется нера-
венство	1, целесообразно уравнение (8.7.1) записать в
другом виде:
•	о
У +	[ 1 + в| (01 У = П (0>
(8.7.3)
где е — малый параметр.
Решение этого уравнения можно получить методом последова
тельных приближений по малому параметру.
Полагая
У = Уо + eyi + е2у2 + •••>
(8.7.4)
после подстановки (8.7.4) в (8.7,3) и приравнивания членов с оди-
Пановыми степенями параметра е, получим простые уравнения для
приближений:
Уз + М1Уо = n(0> У1 + tnly1 + 1(0Уо = 0,...	(8.7.5)
Эти линейные уравнения легко решаются, и из решений нетрудно
найти требуемые характеристики для y(t).
В общем случае решение уравнения (8.7.1) при начальном усло-
вии у = yG,t = /0 можно представить в виде суммы общего решения
zi(^) однородного уравнения и частного решения г2 (/) неоднород-
ного уравнения:
7(0 = ^(0 + ^ (0 = Уо ехр
(8.7.6)
Вычисление различных моментов процесса у(1) с использованием
этого решедия усложняется из-за того, что второй член в правой
части содержит произведение т](и) и ехр(—^(хг)б/хз). Эти два про-
цесса не являются независимыми и к тому же второй не является
нормальный. Эта кажущаяся трудность устраняется, если записать
(8.7.6) в следующем виде [58]:
t
J В (Xj) dxx
У (0 = 21 (0+	[22 (t, y)J7= о = у0 ехр
Этот результат позволяет значительно упростить вычисления
статистических характеристик z/(7). В частности, для вычисления
различных моментов достаточно воспользоваться выражением для
349
«-мерной характеристической функции нормального случайного
процесса (3.15.3):
г п
®п («1.
и2,..., ип) = ехр
/ V /Пр.Ыр.
* =*~ 1
O|i (Tv (т) Up, Uy
(8.7.8)
Вычислим среднее значение и функцию корреляции y(f), считая
начальное условие у$ детерминированным. Из равенства (8.7.7)
имеем
‘2
Ji
™(0 = <У(0> =Уо
(z2 (^Y)>
(8.7.9)
Поскольку в результате линейных преобразований нормаль-
ного процесса получается также нормальный процесс, то первый
член равенства (8.7.9) представляет собой значение одномерной
характеристической функции нормального процесса
t
НО = JI (х) dx, {I (/)) = mat-10),'
t t
°c(OQ=oif	dx± dx2
/о
(8.7.10)
в точке Ui = j, т. e.
@i(/) = (exp [—HOD = exp
(t — t0) + Of (t, t0)
(8.7.11)
Аналогично, воспользовавшись формулой (8.7.8), получим
@2 (/Y, j) = { exp
= exp — [ym2 + mi (t
y2 02+270^ o2X
350
Поэтому
t	t
Д <г2(Л ч)Я = I* Д 02 (Й> 7)1	dи = f
J-r=o J L°f Jt=o J
G	^0
Если подставить выражения (8.7.11) и (8.7.12) в (8.7.9), то по-
лучим окончательную формулу для среднего значения m{t).
Функции корреляции y(t) равна
^2) —^11 (^i> ^2)
т (^) т (t2) = {у (t,) у (/2)) — т (Q т (12),
(8.7.13)
где согласно (8.7.7)
^11 (Л, ^2) — <2j (Л) 21 (72))
<21 (ti) 22 (/а, У))
При вычислении отдельных слагаемых в правой части формулы
(8.7.14) следует воспользоваться выражениями для трехмерной и
четырехмерной характеристических функций нормального процесса,
которые получаются из (8.7.8) при п = 3 и п = 4. Ввиду громозд-
кости выражений они здесь не приводятся 1581.
Рассмотрим пример. Предположим, что iq(f) = 0 и )> 0.
В данном случае применение формулы (8.7.9) дает следующий ре-
зультат:
/п(О=Уо ехР
г — хг) dxj dx2
Сделав замену переменных s = х2— х1; х = хг и выполнив инте-
грирование, получим
m (0 = Уо^хр
t0 — s) (s) ds
(8.7.15)
Если Iim7?!(s) = 0, то при Т = (/—/0)-> оо показатель экспо-
s—> оо
ненты равен
Т	оо
— Т -(- о 1 Т (* 7^1 (s) ds — — (^1 — i	= f 7?i(s) ds.
о	-	b
351
Отсюда видно, что при Т оо и ненулевом начальном условии
среднее значение m(t) равно нулю лишь при выполнении неравен-
ства
2
пг1
(8.7.16)
В противоположном случае среднее значение стремится к беско-
нечности, и система в этом смысле оказывается неустойчивой ( т. е.
разрушается, или же исходное уравнение (8.7.1) нужно уточнить
с учетом существующих нелинейностей в системе).
Вычисления по формуле (8.7.13) приводят к следующей фор-
муле для дисперсии:
о2 (/) = k (/, t) = m? (/) {— 1 + exp
t i о
2O2 f (t — tQ — s)Ri(s)ds
0
(8.7.17)
Подставив сюда выражение m(/) из (8.7.15), получим, что при
Т = (t — to) -► оо дисперсия стремится к нулю при условии
2oi т

(8.7.18)
Если выполняется обратное неравенство, то дисперсия будет неог-
раниченно возрастать с течением времени.
Сопоставляя условия (8.7.16) и (8.7.18), приходим к выводу, что
при выполнении неравенства (8.7.18) рассматриваемая система
Рис. 8.13. Случайное параметрическое воз-
действие.
статистически устойчива
(т. е. устойчива в отно-
шении среднего значения
и дисперсии). При выпол-
нении обратного неравен-
ства система неустойчива.
Последнему результату
можно дать следующее фи-
зическое пояснение. Так
как случайный «параметр»
£(0 предполагается нор-
мальным со средним значе-
нием гпх и дисперсией а*,
то имеются случайные интервалы времени А_^(рис. 8.13), в течение
которых £(/) >0, и в течение их y(f), обусловленное начальным
отклонением yQ, затухает. Однако кроме интервалов Лц_ имеются
интервалы Д_, в течение которых £(/) < 0 и, следовательно, в те-
чение их отклонение y(t) возрастает. Несмотря на то, что при
mi > 0 суммарное время 2Д+, в течение которого £(/)>0, больше
общего времени в течение которого £(/) <; 0, среднее значе-
ние и дисперсия y(t) могут со временем возрастать вследствие
352
того, что при £(/) « О имеет место весьма большая скорость
возрастания y(t).
При наличии случайных возмущений и воздействий система на-
зывается статистически устойчивой вообще, если моментные (корре-
ляционные) функции в стационарном состоянии ограничены. Такие
условия устойчивости систем со случайными параметрами исследо-
ваны в работах [59, 60], а различные критерии устойчивости по
А. М. Ляпунову рассмотрены в работах [61, 62].
ЛИТЕРАТУРА
1.	Кузнецов П. И., Стратонович Р. Л., Тихо-
нов В. И. Прохождение случайных функций через нелинейные системы.
«Автоматика и телемеханика», 1953, № 4.
2.	D eu I s с h R. On the method of Wiener for noise through nonlinear
devices. IRE Convention Record, 1955, pt. 4.
3.	Стратонович P. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций
в радиотехнике. Изд-во «Советское радио», 1961.
4.	Тихонов В. И. Воздействие флуктуаций на инерционный детек-
тор. Научно-методический сборник № 19—20. В В ИА им. проф. Н. Е. Жуков-
ского, 1959.
5.	Booton R. L. The analysis of nonlinear control systems with
random inputs. Trans. IRE, 1954, CT-1, № 1.
6.	Казаков И. E. Приближенный вероятностный анализ точности
работы существенно нелинейных систем. «Автоматика и телемеханика»,
1956, № 5.
7.	Казаков И. Е., Доступов Б. Г. Статистическая динамика
нелинейных автоматических систем. Физматгиз, 1962.
8.	П о п о в Е. П., Пальтов И. П. Приближенные методы иссле-
дования нелинейных автоматических систем. Физматгиз, 1960.
9.	Пятницкий Г. И. Воздействие стационарных случайных про-
цессов на системы автоматического регулирования, содержащие существенно
нелинейные элементы. «Автоматика и телемеханика», 1960, № 4.
10.	К р е н д е л л С. Случайные колебания систем с нелинейными вос-
станавливающими силами. Труды симпозиума по нелинейным колебаниям
(г. Киев). Институт математики АН УССР, 1961.
11.	Берштейн И. Л. Флуктуации амплитуды и фазы лампового
генератора. «Известия АН СССР», сер. физическая, 1950, № 2.
12.	Горелик Г. С. Нелинейные колебания, интерференция и флук-
туации. «Известия АН СССР», сер. физическая, 1950, № 2.
13.	Р ыто в С. М. Флуктуации в автоколебательных системах томсо-
новского типа. ЖЭТФ, 1955, № 3 (9).
14.	Троицкий В. С. К теории спектральной ширины линии радио-
частотных генераторов и ее измерение по методу И. Л. Берштейна. «Радио-
техника и электроника», 1956, № 6.
15.	Stewart J. L. The power spectrum of a carrier frequency modu-
lated by gaussian noise. Proc. IRE, 1955, № 6; 1956, № 3.
16.	M а л a x о в A. H. О ширине спектральной линии генератора при
флуктуациях его частоты. «Радиотехника и электроника», 1957, № 10.
17.	Г удзе н ко Л. И. О флуктуациях в ламповом генераторе при
наличии сеточного тока. «Радиотехника и электроника», 1959, № 9.
18.	Ахманов С. А., Хохлов Р. В. О преобразовании случай-
ных сигналов в нелинейных линиях. «Радиотехника и электроника», 1961,
№ 11.
353
19.	Ахманов С. А., Е ш т о к и н В. Н., Марченко В. Ф.
К методике измерения спектров флуктуаций частоты генераторов СВЧ. «Ра-
диотехника и электроника», 1962, № 12.
20.	Moshe Z. On the first — order probability distribution of the
Van der Pol type oscillator output. Journ. Electron, and Control, 1963, № 4.
21.	Кузнецов П. И., Стратонович P. Л., Тихо-
нов В. И. О воздействии электрических флуктуаций на ламповый гене-
ратор. ДАН СССР, 1954, т. 97, № 4.
22.	К у з н е ц о в П. И., Стратонович Р. Л., Тихо-
нов В. И. Воздействие электрических флуктуаций на ламповый генера-
тор. ЖЭТФ, 1955, № 5.
23.	Т и х о н о в В. И., Амиантов И. Н. Воздействие медлен-
ных флуктуаций на ламповый генератор. «Радиотехника и электроника»,
1956, № 4; 1958, №4.
24.	Тихонов В. И. Воздействие электрических флуктуаций на не-
линейные радиотехнические устройства. Докторская диссертация. ВВИА
им. проф. Н, Е. Жуковского, 1956.
25.	Kuznetsov Р. I., Stratono vich R. L., Tikho-
nov V. I. Non-linear transformations of stochastic processes. Pergamon
Press, 1965.
26.	T и x о н о в В. И., Челышев К- Б. Преобразование фазы
автоколебаний резонансными системами. «Радиотехника и электроника»,
1964, № 8.
27.	Раевский С. Я-, Хохлов Р. В. О синхронизации авто-
генератора синусоидальной силой при наличии флуктуационных помех.
«Радиотехника и электроника», 1958, № 4.
28.	Тихонов В. И., Шахтарин Б. И. Статистические харак-
теристики фазовой автоподстройки частоты. «Автоматика и телемеханика»,
1965, № 8.
29.	А к on ян И. Г. Исследование влияния флуктуационных помех
на процессы синхронизации лампового генератора. Кандидатская диссерта-
ция, МГУ, 1959.
30.	Тихонов В. И., Челышев К- Б. Статистическая дина-
мика фазовой автоподстройки частоты. «Радиотехника и электроника», 1963,
№ 2.
31.	Тихонов В. И. Основные статистические характеристики кана-
ла синхронизации. «Электросвязь», 1966, №4.
32.	В и т е р б и. Исследование динамики систем фазовой автопод-
стройки частоты в присутствии шумов с помощью уравнения Фоккера —
Планка. Пер. с англ. «Труды института инженеров по электронике и радио-
электронике», 1963, № 12.
33.	Morgan S. Р. Tables of Bessel functions of imaginary order and
imaginary argument. California, 1947.
34.	Тихонов В. И. Влияние флуктуаций на точность работы
устройств синхронизации. УФН, 1964, т. 83, № 4.
35.	Тихонов В. И. Специальные случаи применения уравнения
Фоккера — Планка — Колмогорова. «Радиотехника и электроника», 1962,
№ 8.
36.	Тихонов В. И. Работа частотной автоподстройки частоты при
наличии шумов. «Электросвязь», 1962, № 9.
37.	D е v е 1 е t J. A. Statistical design and performance of highsen-
sitivity frequency-feedback receivers. Trans. IEEE, 1963, MIE-7, №4.
38.	А м и а н т о в И. H., Тихонов В. И. Влияние флуктуаций
на работу автодальномера. «Автоматика и телемеханика», 1958, № 4.
39.	Ми т я ш ев Б. Н. Определение временного положения импульсов
при наличии помех. Изд-во «Советское радио», 1962.
354
40.	Руина Д. FL, В а н-В а лькенбург М. И. Статистический
анализ систем автоматического сопровождения (дискуссия). Труды 1-го
Международно го конгресса ИФАК- Статистические методы исследования,
1961.
41.	Морс Ф. М., Ф е ш б а х Г. Методы теоретической физики, т. I.
Изд-во иностранной литературы, 1960.
42.	Л а и д а П.С., Стр ато нов ич Р. Л. К теории флуктуацион-
ных переходов различных систем из одного стационарного состояния в дру-
гое. «Вестник Московского университета», Физика, Астрономия, 1962, № 1.
43.	Т и j о и о в В. И., Горяйнов В. Т. Детектирование' слу-
чайных сигналов. «Радиотехника», 1966, № 1.
44.	Тизонов В. И. Воздействие электрических флуктуаций на
детектор (метод огибающей). «Известия АН СССР», ОТН, 1955, № 10.
45.	Тизонов В. И. Приближенный способ вычисления функции
корреляции стохастических сигналов. «Радиотехника и электроника», I960,
№ 5.
46.	3 а д е Л. А. Системы с переменными параметрами, ч. I. Пер.
с англ. Труды института радиоинженеров, 1961, № 10.
47.	С о л о д о в А. В. Линейные системы автоматического управления
с переменными параметрами. Физматгиз, 1962.
48.	Rosenblom A., Heilfron J., Trautman D. Ana-
lysis of linear system with randomly varaying inputs and parameters. IRE
Convention record, 1955, pt. 4.
49.	С a и g h e у T. Di enes J. K- The behavior of linear sys-
tems with random parametric excitation. Journ. Mathem. and Phys., 1962, №4.
50.	L e i b о w i t z M. A. Statistical behavior of linear systems with
randomly varying parameters. Journ. Math. Phys., 1963, № 6.
51.	Ado m ian A. Stochastic Green’s functions. Stochastic processes
in mathematical physics and engineering. American Mathematical Society,
1964.
52.	Я p я ы к о в М. С. Динамические ошибки следящей системы
первого порядка со случайным параметром при линейно изменяющемся
входном сигнале. «Автоматика и телемеханика», 1964, № 12.
53.	X ег л гр е н Г. Вопросы теории моноимпульсной радиолокации,
ч. II. Пер. с англ. «Зарубежная радиоэлектроника», 1963, № 1.
54.	Й в а. н о в С. А., Романовский Ю. М. О вынужденных
колебаниях ь контуре с флуктуирующей собственной частотой. «Радиотех-
ника и электроника», 1963, № 8.
55.	S а п u е 1 s J. С., Е г i п g е п А. С. On stochastic linear sys-
tems. Journ. Mathem. and Physics, 1959, № 2.
56.	Дьгков Ю. E. Вынужденные колебания контура co случайно
меняющейся емкостью. «Радиотехника и электроника», 1960, № 5.
57.	Ч е I п а н о в И. Б. Колебания системы второго порядка при
случайных изменениях параметра. «Прикладная математика и механика»,
1962, № 4.
58.	Т и г о н о в В. И. Воздействие флуктуаций на простейшие пара-
метрические системы. «Автоматика и телемеханика», 1958, № 8; 1960, № 7.
59.	В о.]> о в и ч И. И. Об устойчивости движения при случайных
возмущениях. «Известия АН СССР», сер. математическая, 1956, № 1.
60.	S а п u е 1 s J. С. On the mean square stability of random linear
systems. Trais. IRE, 1959, CT-6, May.
61.	Bertram J., S а г a c h i k P. Stability of circuits with rando-
ly time-varying parameters. Trans. IRE, 1959, CT-6, May.
62.	К а я И. Я», Красовский Н. Н. Об устойчивости систем
со случайными параметрами. «Прикладная математика и механика», I960,
Яг 5.
355
Глава 9
ВЫБРОСЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
§ 1.	ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
На рис. 9.1 приведена реализация (фотография) стационарного
случайного процесса 5(0 длительностью Т. Все физически реальные
случайные процессы представляют собой непрерывные функции
времени. Такая функция на конечном интервале времени Т имеет
конечное число максимумов и минимумов с различными значения-
ми Н, причем в момент времени tm реализация имеет максимум мак-
симорум Нт.
Реализация несколько раз пересекает некоторый фиксиро-
ванный уровень С снизу вверх (с положительной производной),
причем в момент времени т0 впервые происходит такое пересечение.
Событие, состоящее в том, что случайный процесс 5(0 пересе-
кает уровень С снизу вверх, принято называть положительным
выбросом. Если же уровень С пересекается сверху вниз, то говорят
о наличии отрицательного выброса. Тогда можно сказать, что реа-
лизация 5(0 имеет N (на рис. 9.1 —три) положительных (отрица-
тельных) выбросов на уровне С, причем указанные на рисунке ве-
личины т и 0 можно назвать соответственно длительностями поло-
жительных выбросов и интервалов между выбросами.
Величины т, 0 и Н в пределах одной реализации могут прини-
мать несколько значений ( в зависимости от уровня С и интервала Г)
356
И &\1ёсте с величинами Л/, то и Нт изменяются случайным образом
от одной р&ализации к другой.
Помимо гого, что величины 2V, т, 0, т0, Н, Нт сами по себе пред-
ставляют интерес как детальные характеристики случайного про-
цесса %(t}, знание их оказывается также необходимым при решении
ряда практических задач. К таким задачам можно отнести следу-
ющие:
1)	статистическое описание замираний радиосигналов при рас-
пространении электромагнитных колебаний через турбулентную
атмосферу и ионосферу;
2)	рассмотрение вопросов радиолокации морских целей;
3)	анализ действия полезных сигналов и флуктуационных помех
на электронные реле и триггеры, а также на другие устройства,
обладающие пороговыми эффектами;
4)	выяснение области применимости статистических методов
оценки параметров;
5)	расчег на прочность механических материалов, находящихся
под действием случайных нагрузок;
6)	оценка микрошероховатости обработанной поверхности и
оценка погрешности измерительных устройств;
7)	исследование вопросов надежности аппаратуры и др.
Из приведенного неполного перечня примеров можно составить
представление о том широком научно-прикладном значении, ко-
торое имеит исследования по выбросам случайных процессов. На-
чало этим исследованиям было положено теоретической работой
С. О. Райса в 1945 г. [1]. В этой работе для некоторых видов случай-
ных процессов получены формулы для среднего числа выбросов
и распределения максимумов, а также указан один приближенный
путь решения задачи о плотности вероятности для длительностей
выбросов.
В последующие годы выбросы случайных процессов рассматри-
вались в ряде теоретических и экспериментальных работ [2, 31.
Однако к настоящему времени не все задачи имеют окончательное
решение в^орме, удобной для практического использования. В даль-
нейшем для случайных процессов £(/), с которыми наиболее часто
приходится иметь дело в радиофизике, будут рассмотрены следую-
щие задачв:
1)	оценена нестабильность момента срабатывания реле из-за
шума;
2)	приведены формулы и конкретные результаты для среднего
числа выбросов N и для дисперсии числа выбросов;
3)	указано распределение максимумов Н и наибольших значе-
ний Нт.
357
§ 2.	О ВОЗДЕЙСТВИИ ФЛУКТУАЦИОННЫХ ПОМЕХ
НА ПОРОГОВЫЕ УСТРОЙСТВА. НЕСТАБИЛЬНОСТЬ МОМЕНТА
СРАБАТЫВАНИЯ
В различных радиотехнических устройствах и электронных вы-
числительных машинах широко используются электронные реле
и триггеры. Характерное свойство этих нелинейных устройств со-
стоит в том, что при воздействии на них импульсных сигналов они
срабатывают, когда напряжение импульса превышает некоторое
«пороговое» значение. В результате срабатывания реле или триггер
вырабатывают импульс определенной (часто прямоугольной)
формы.
Из-за сложности точного количественного описания поведения
таких нелинейных пороговых устройств по отношению к импульс-
ным сигналам произвольной формы в настоящее время при расчете
их пользуются приближенными инженерными формулами [4 ]. Ана-
логично можно поступить при анализе совместного воздействия на
реле импульсного сигнала и флуктуационной помехи, задавшись
приближенной моделью реле. Без обоснования примем простейшую
модель порогового устройства: оно срабатывает каждый раз, когда
воздействующее напряжение превышает порог С.
Влияние флуктуационных помех на работу реле зависит от от-
ношения «порогового» напряжения С к уровню помех.
Если уровень помех мал по сравнению с напряжением С, то
можно пренебречь маловероятными ложными срабатываниями реле.
Помехи будут вызывать «дрожание» как момента срабатывания реле,
так и момента окончания его работы. При этом длительность им-
пульса напряжения, вырабатываемого реле, будет испытывать
некоторые колебания.
Когда уровень помех сравним или превышает «пороговое» на-
пряжение, наряду с указанными вариациями длительности импуль-
са реле будут происходить ложные срабатывания от помех. Число
их будет определяться числом выбросов флуктуационного напря-
жения, вызывающих срабатывание реле.
Поэтому при рассмотрении совместного воздействия полезных
сигналов и флуктуационных помех на реле целесообразно разли-
чать и раздельно анализировать два случая:!) малые помехи и 2)
большие помехи.
Рассмотрим здесь первый случай и вычислим нестабильность
момента срабатывания реле [5, 61, когда на него воздействуют им-
пульсный сигнал w(Z) и аддитивный флуктуационный шум £(£) с ну-
левым средним значением и малой дисперсией о2 (о < С).
Пусть в отсутствие флуктуационного шума реле срабатывает в
некоторый момент времени t0 (рис. 9.2), определяемый равенством
и(/о)=С.	(9.2.1)
4
358
При налички флуктуаций |(/) срабатывание реле произойдет в дру-
гой момент времени Zi = /о — Л, где Д — смещение момента
срабатывания. Причем Л определяется соотношением
и (t'o — А) + g (t'o — а) =С.
(9.2.2)
Ясно, что смещение Д является случайной величиной. Поскольку
воздействующие флуктуации £(/) предполагаются малыми, то сме-
щение Д будет также ма-
лой величиной. Поэтому
левую часть равенства
(9.2.2) можно разложить в
степенной ряд в окрест-
ности точки to и ограни-
читься линейными относи-
тельно Л членами (линей-
ное приближение).
Таким образом, равен-
ство (9.2.2) можно запи-
Рис. 9-2. Смещение момента срабатывания
реле из-за флуктуационного шума.
сать
и (Го - Д) - В (to - А) = и (/о) + g (t о) - [s + t 0 о)] а = С, (9.2.3)
где s = и (t0)— крутизна импульса на уровне С.
Из (9.21) и (9.2.3) получаем в линейном приближении явное
выражение для Л:
2
S
S
S
дисперсию производной £ (tG) флуктуационного
Тогда при выполнении неравенства < s из
Обозначим
шума через of.
(9.2.4) получим простую формулу
А Е	с
Следовагельно, при малом шуме среднеквадратичное значение
смещения момента срабатывания реле прямо пропорционально сред-
неквадратичному значению шума и обратно пропорционально кру-
тизне импульса в окрестности порогового уровня С.
Формулой (9.2.5) можно воспользоваться для оценки нестабиль-
ности длительности импульса, вырабатываемого электронным реле,
мультивибратором и блокинг-генератором [6].
Применительно к радиоприему импульсных сигналов на фоне
слабых флуктуационных помех формулу (9.2.5) цеелесообразно
привести к другому виду. Пусть прямоугольный радиоимпульс
359
I,
«(/) = Ат cos длительностью ти и белый шум п (t) сначала про-
пускаются через настроенный узкополосный усилитель (например, . I
УПЧ) и линейный детектор огибающей, а затем огибающая суммы !
сигнала и шума воздействует на реле. Обозначим энергетическую 1
полосу усилителя через А/э и коэффициент передачи огибающей с |
учетом детектора через Ко-	!
Время нарастания импульса на выходе усилителя определяется
приближенным соотношением тн л. 1/ЛД. Поэтому средняя кру- i
тизна импульса, воздействующего на реле, приближенно равна 1
t
' ЧП/ VH ~	э.	’
При больших отношениях сигнал/шум на выходе усилителя в \
правой части формулы (7.8.12) можно пренебречь последним ела- <
гаемым. Тогда получим, что огибающая суммы сигнала и шума j
равна сумме огибающей сигнала и косинусной составляющей узко- J
полосного шума на выходе усилителя. Последняя имеет дисперсию
_2 гу-2 А 7 А £	/Л О гА
V	j \ и к т о i-if э*	у	I J
Подставив отдельные величины из (9.2.6) и (9.2.7) в (9.2.5), окон-
чательно получим
адда hf5- 2’	(9-2-8)
_ дд,
\Уо J
где Е = -Д Ат^н— энергия (интеграл от квадрата) радиоимпульса.
Формулой (9.2.8) можно воспользоваться для оценки точности
определения временного положения принимаемого прямоугольного
радиоимпульса относительно некоторого фиксированного момента
времени. Предположим, что импульс симметричен относительно
средины. Будем относить момент появления импульса к его сре-
дине т и определять ее следующим образом: по переднему фронту
определяется момент to превышения импульсом порога С и по за-
днему фронту момент /о, когда напряжение импульса становится
меньше С. Очевидно, что
Если оба указанных измерения
Персии можем написать
считать независимыми, то для дис-
2	1 / 2
= 7 (%
" = т °д
о/ 4
3]
или
/ И \ 2
(9.2.10)
360
7ак как жри фиксированной амплитуде Ат энергия прямоуголь-
ного импулка пропорциональна его длительности, то из (9.2.10)
видно, что длительность импульса ти непосредственно не влияет на
точность определения временного положения импульса.
§ 3.	ОБЩА! ФОРМУЛА ДЛЯ СРЕДНЕГО ЧИСЛА ВЫБРОСОВ
Вычислит среднее число положительных выбросов случайного
процесса £(> на уровне С в единицу времени. Будем считать слу-
чайную функцию £(/) и ее производную £(/) непрерывными. Пред-
положим, чю известна совместная плотность вероятности для слу-
чайной функции и ее производной
в един и тот же момент времени
№2Q(Z),£(Z)) (см. ниже).
Из непрерывности следует, что на
малом интервале AZ, т. е. внутри
промежутка t <Z tf <Z t + At, функ-
ция £(/') близка к прямой:
g(ri^(Z)+£(Z)(f-^
Поэтому ш достаточно малом At
может быть не более одного пересе-
чения уровня С.
Таким сбразом, имеется две воз-
можности: жа интервале At не будет
выброса иж будет один выброс.
Обозначим через вероятность
t t+At	t
Рис. 9.3. К вычислению сред-
него числа выбросов.
того, что б/дет один выброс, а через Ро вероятность того, что
не будет hi одного выброса. Тогда среднее число выбросов на
интервале Lt равно:
tt(C, АО = 1-Р1+О.Ро = Р1,	(9.3.1)
т. е. совпадает с вероятностью Рг.
Для вычисления Pi заметим, что выражение
dp=№2(£(0,	(Ш=О,	(9.3.2)
определяет вероятность того, что функция £(/), близкая к прямой,
пересекает Е^ртикальный отрезок АВ — Д£ (рис. 9.3) и при этом
производная заключена в интервале от |(Z) до £(Z) + Д|.
Рассмотрим вероятность пересечения не вертикального отрезка
АВ — Д£, а горизонтального отрезка АС = Д/, считая производ-
ную £(Z) фиксированной. Очевидно, что при фиксированной произ-
водной |(Z) пересечение горизонтального отрезка длиной At экви-
валентно пересечению вертикального отрезка длиной Д£ = |(Z)AZ.
361
Поэтому вероятность пересечения отрезка АС — At с производной
в пределах от |(/) до t(t) + Д£ равна
dp = W2 (g (0, t (0) t (0 At At, (g (O=C).	(9.3.3)
Интересующие нас выбросы (пересечения уровня С снизу вверх)
при £(/) — С будут происходить при всех положительных значениях
производной, т. е. при О £(0 < Поэтому полная вероятность
Рг пересечения уровня С на интервале (f, t + А/) равна
ОО
P^bt^lwAC'tjdt-	(9.3.4)
о
Согласно формуле (9.3.1) вероятность Pi совпадает со средним
числом выбросов на элементарном интервале (/, t + А/). Поэтому
среднее число выбросов Л/(С, Т) за время Т находим интегрирова-
нием правой части выражения (9.3.4) от 0 до Т\
Т оо
0 О
Для стационарного процесса g(f) внутренний интеграл не зави-
сит от времени и, разделив правую часть (9.3.5) на Т, получим про-
стую формулу для определения среднего числа положительных вы-
бросов в единицу времени на уровне С
ОО
A\(Q = \jtW2(C,t)dl.	(9.3.6)
О
Среди стационарных процессов можно выделить узкий класс
процессов, для которых случайная функция и ее производная в сов-
падающие моменты времени независимы, т. е.
^2 а (о, t (о) = w а (о) (g (о).	(9.3.7)
Процессы, удовлетворяющие этому условию, можно назвать ста-
ционарными процессами со статистически независимой производной
(в совпадающие моменты времени).
Применительно к таким стационарным процессам формула (9.3.6)
приобретает особенно простой вид
оо
Л\(С) = №(C)f Mt)4-	(9.3.8)
о
Видно, что для стационарных процессов со статистически неза-
висимой производной в совпадающий момент времени среднее число
выбросов на уровне С с точностью до некоторого постоянного мно-
жителя пропорционально значению плотности вероятности на этом
уровне. Этот результат можно использовать для эксперименталь-
362
ною определения одномерных плотностей вероятностей указанных
процессов при помощи счета числа выбросов на разных уровнях.
Следует подчеркнуть, что равенство (9,3.7) выражает факт ста-
тистической независимости процесса и его производной в совпада-
ющие моменты времени, а не является условием некоррелирован-
ности процесса £(/) и его производной которое выполняется
для всех стационарных процессов. Исключение здесь составляет
нормальный стационарный процесс, для которого из условия некор-
релированности и £(/) следует их независимость.
При выводе основной формулы (9.3.5) предполагалась известной
созместная плотность вероятности №2(£(/),£(/))• Можно указать
следующие способ вычисления ее. Пусть случайный процесс
задан двумерной плотностью вероятности U72(£b £2), где — £(/j_),
£2 = Wz)- Выберем два близко отстоящих момента времени tr
и t2 так, чгобы интересующий нас момент времени t находился по-
средине между ними, т. е. t = h + ^-Д = tz — Д, где А 0 —
достаточно малая величина. Для дифференцируемого процесса при
малом А можем написать очевидные равенства
Если 'теперь в плотности вероятности	£2) перейти по
известным правилам от переменных g2 к новым переменным
| н затем устремить Д - > 0, то получим
r2(I, t) = lim\W2 Д -Т + ’	.	(9.3.9)
Д->0	\ л	2	/
Применим формулу (9.3.6) к трем стационарным процессам:
гармоническому колебанию со случайной начальной фазой, нормаль-
ному процессу и огибающей суммы гармонического сигнала и нор-
мального узкополосного шума.
Плотность вероятности гармонического колебания s(0 =
~ Aasin(aa/+ ф) со случайной начальной фазой дается формулой
(5.3.5). В данном случае условие (9.3.7) не выполняется, так как
производная s(^) оказывается жестко связанной с самим процессом
s(j) соотношением
s(f)=©0 Ло cos (cd0 /+ф) = ± (Оо1/ Л о — s2 (Q.
Поэтому совместная плотность вероятности равна
W2 (s, s) —
1
2гс V A q — s2
363
Подставив это выражение в формулу (9.3.6) и выполнив
интегрирование согласно (П. 4), получим очевидный результат
СО
Nx (С) = J sr2 (С, s) ds =	= f0, С <Л0.	(9.3.11)
о
§ 4. ЧИСЛО ВЫБРОСОВ НОРМАЛЬНОГО СЛУЧАЙНОГО
ПРОЦЕССА
Для нормального случайного процесса со средним значением
m(t), дисперсией о2(0 и функцией корреляции k(tt, совместная
плотность вероятности 1Г2(&, |) имеет следующий вид:
^2 a, i)
2тоО11^1 — г2
X ехр
dm(t)
dT~ ’
где
mx(t)
dk (t±t ^2)
dt2
(9.4.2)
Среднее число выбросов находим подстановкой плотности ве-
роятности (9.4.1) в основную формулу (9.3.5). Вычисления пока-
зывают, что в данном случае внутренний интеграл в формуле
(9.3.5) будет равен
г М2) +/2л Ф (M)L
X ехр
где Ф(г) — интеграл вероятности,
т1
(9.4.3)
(9.4.4)

Применительно к разным частным случаям выражение (9.4.3)
упрощается. Пусть нормальный процесс Ц1) является стационар-
ным с нулевым средним значением и функцией корреляции
k (т)=о27? (т).	(9.4.5)
364
Формула (L2.15) показывает, что в данном случае выполняется
условие (93.7) и, следовательно, можно пользоваться формулой
(9.3.8). ГЬдставив в нее выражение (6.2.16) и выполнив интегри-
рование, получим
М (С) = ~ |/-Ro e-C2/20\ Ro =
(9.4.6)
Если вО(пользоваться формулой (3.10.11), то Ro можно выразить
через спектральную плотность:
00
—Яо = ~\f*S(ndf>0.
о
Поэтому м&жем написать
[00	\ 1
Jf2S (FjdfV.
о	'
(9.4.7)
Приведем конечные формулы для среднего числа выбросов в еди-
ницу времени нормальных стационарных процессов с характерными
спектральными плотностями (корреляционными функциями).
1)	Пусть» нормальный процесс имеет постоянную спектральную
плотность внутри полосы А/ с центральной частотой f0, т. е.
при \f —	< J Af,
при If —fol > у АЛ
В данном случае
o2=S0\f.
Следовательно,
Nt(C)
(9.4.8)
Для узкополосного спектра (Af f0) справедливо приближенное
равенство
365
Поэтому можем написать
л^1(С)=7о[1+ 2т(т7У]е“С2/2с2’
(9.4.9)
2)	Если спектральная плотность шума равномерна в интервале
частот от нуля до Af, т. е.
S(^^lso при о<7<
|0 при f<0, f
то, полагая в (9.4.8) f0=A//2, получим
(С) =	е~сг'2а‘.
(9.4.10)
3)	Для нормального шума с гауссовой спектральной плотностью
и функцией корреляции (6.9.5) формула (9.4.6) принимает вид:
A\(Q = fol/ 1+i
(9.4.11)
4)	Для низкочастотной спектральной плотности гауссовой формы
S(f)=S0 ехр
f>0,
найдем
Ni(C) = Afs]/^-e-C2^2.	(9.4.12)
5)	Когда спектральная плотность определяется резонансной
кривой одиночного колебательного контура с резонансной часто-
той /0 и энергетической полосой пропускания А/э, функция корре-
ляции дается выражением (6.7.2). В данном случае из формулы
(9.4.6) получим
I / 1 + i	(9.4.13)
I/	\ / о /
На основании анализа полученных формул можно сделать сле-
дующие общие выводы. 1) Среднее число выбросов нормального
стационарного процесса с нулевым средним значением максималь-
но на нулевом уровне (С = 0) и всегда уменьшается с увеличением
уровня С. 2) Среднее число выбросов на нулевом уровне всегда
превышает значение центральной (средней) частоты спектра
шума [7]. 3) При одинаковых других параметрах (C/cr, f0 и Д/э)'
среднее число выбросов больше для того процесса, спектральная
плотность которого имеет более пологие «крылья».
Первый вывод очевиден и не требует пояснений. Второй и третий
результаты объясняются тем, что случайный процесс, содержащий
366
более высокочастотные составляющие спектра, обладает «большей
колебательностью» и, следовательно, имеет большее среднее число
выбросов.
Если нормальный случайный процесс подвергается какому-либо
линейному преобразованию, то в результате получается также
нормальный процесс. Поэтому для определения среднего числа
выбросов пр еобразованного процесса можно пользоваться фор-
мулами (9.35), (9.4.3) и (9.4.6), найдя по известным правилам
необходимые статистические характеристики.
Б качестае простейшего примера рассмотрим сумму (разность)
двух нормальных стационарных процессов:
(О*
Пусгь процессы £х(/) и £2(/) имеют нулевое среднее значение, авто-
корреляционные функции А1(т) и й2(т) и взаимокорреляционную
функцию £п(т)
Среднее число выбросов процесса £(/) находим по формуле
(9.4 6), в которую нужно подставить
#('0=<7~ЧМт)+Мт) ± 2^12(т)1, а2=^х(0)+^2 (0) ± 2&12(0).
Положив здесь &12(т) = 0, получим среднее число выбросов для
суммы (разнести) двух независимых нормальных стационарных про-
цессов.
Предположим, что имеется сумма гармонического колебания
s(f) и нормального стационарного шума £(f):
£ (0=s (f)+£ (/)=Ат cos (<о0 Н- <Ро)+1 (О-	(9-4-14)
Пусть шум имеет нулевое среднее значение и дважды дифферен-
цируемую функцию корреляции (9.4.5).
Если воспользоваться известным выражением для совместной
нормальной плотности вероятности величин 1(f) и t(f), перейти
в нем от переменных | и | к переменным £ и £ и затем полученное
соотношение подставить в формулу
Т оо
АГ, (С) = lim Д- J dt J £№2 (С, 0 d£,	(9.4.15)
Т^°°	0	0
обобщающую (9.3.6) на нестационарные процессы, то после неко-
торых прео(>разований можно получить следующие выражения для
среднего числа выбросов случайного процесса £(/) в единицу вре-
мени [81:
NK(C)=2Nц(0) J ер (v	cos Q) X
b sin 0
ер (6 sin 0) + b sin О f q(x)dx
о
d0,
(9.4.16)
367
co
У1ДС)=Л/ц(0)]/’2лУ
n=0
ср<2«)
a \2n
(9.4.17)
Здесь введены следующие обозначения:
(9.4.18)
Величина Л/ц(0), как следует из формулы (9.4.6), дает среднее число
положительных выбросов нормального стационарного шума 1(f)
в единицу времени на нулевом уровне, а величина а характеризует
отношение сигнал/шум.
Для среднего числа выбросов процесса £(/) на нулевом уровне
(С =0) формула (9.4.16) может быть несколько упрощена и при-
ведена к виду [81:
от мнимого аргу-
где /0(г)— функция Бесселя нулевого порядка
мента;
“о
2
0
ff
\e(k, х) = \ е~и I0(ku)du.
О
Из формулы (9.4.16) получаются известные частные результаты.
Если сигнал отсутствует (а =0), то она переходит в (9.4.6). Чтобы
получить среднее число выбросов в единицу времени гармонического
колебания, нужно предположить, что интенсивность шума стремит-
ся к нулю (о -* 0). Тогда получим очевидный результат
^1(0
w0
9
0,
При выполнении практических расчетов формулой (9.4.19) сле-
дует пользоваться при С = 0 и учитывать наличие таблиц интег-
рала Ie(fe, х) [8], а формулами (9.4.16) и (9.4.17) — при С =f= 0
и использовать имеющиеся таблицы интеграла вероятности и его
368
первых двадцати производных [91, а также таблицы вырожденной
гипергеометрической функции [10]. Число членов, которое необ-
ходимо учитывать в формуле (9.4.17), существенно зависит от зна-
чения отношения сигнал/шум а. Чем больше а, тем медленнее схо-
дится ряд. Однако при больших а и b формулы (9.4.16), (9.4,17)можно
упростить [11 ].
§ 5. ЧИСЛО ВЫБРОСОВ ОГИБАЮЩЕМ, ФАЗЫ И ЧАСТОТЫ
Применим формулу (9.3.6) к огибающей V(t) суммы гармони-
ческого сигнала и узкополосного шума. Для этого воспользуемся
формулой (7.5.9):
№2 (V, V) = W (V) w (V) = —.	х
—2л:рд
/ V2 ф	у2 \	/ УАт \ v -> п
X £Хр I 2аз I" п 2 * / 0 \ °2 /
\ 2а 2^ р0 / X /
Подставив эго выражение в формулу (9.3.6) и выполнив интегриро-
вание, получим
Полагая здесь а=0, находим среднее число положительных
выбросов в единицу времени огибающей Л(^) квазигармонического
шума:
АГ, (С) = |/ - А (£.) ехр (-§-), с > 0.	(9.5.3)
Решая уравнение
относительно Т или С/о, можно найти время Т, при котором оги-
бающая А(1) пересекает с положительным наклоном фиксированный
уровень С/9 в среднем п0 раз, или же при заданном времени^? оп-
ределить соответствующий пороговый -уровень С/с.
Если спектральная плотность квазигармонического шума по-
стоянна в интервале частот |/ — /0| < Д/72 и равна нулю вне этого
интервала, го, как следует из (6.9.2),
p(T)=sin -=•
Дит
13 Зак. 245
369
и, следовательно, формула (9.5.3) принимает вид
Л'1(С) = .71(С)=Д/j/J	ехр(
Для гауссовой формы спектральной плотности на осно-
вании (6.9.5) имеем
Поэтому
^(С)=п2(С)=ДГ»4ехР
(9.5.5)
Для огибающей V (/) суммы гармонического сигнала и квази-
гармонического шума формулы (9.5.4) и (9.5.5) принимают соответ-
ственно вид
A\(C)=MQe-*2/2/0(^
Л\ (С) = п2(С)е“
(9.5.6)
(9.5.7)
Среднее число выбросов случайной фазы ф(/) квазигармони-
ческого шума равно
jv. (С)=i
(9.5.8)
Видно, что среднее число выбросов фазы квазигармонического шума
не зависит от уровня и определяется только «шириной» спектраль-
ной плотности. Этот результат согласуется с тем фактом (7.2.7),
что плотность вероятности для случайной фазы <р(/) является рав-
номерной на интервале (—л, л).
Компактную формулу для числа выбросов случайной фазы 9(/)
суммы гармонического сигнала и узкополосного шума удается
получить лишь при больших отношениях сигнал/шум («> 1).
Практически при а > 3 с некоторым приближением можно поль-
зоваться формулой (7.9.4):
0(О=ЛДОМш. «>3.	(9.5.9)
В данном случае фаза 0(/) представляет нормальный стационарный
процесс и число выбросов можно подсчитать по формуле (9.4.6).
Среднее число выбросов случайной частоты <р(/) определяется
формулой
^(О =	+	pl”). Pl*1-^	.
2”(C4— P0)	т— 0
(9.5.10)
370
Как следует из (9.5.9), при больших отношениях сигнал/шум
случайная частота 6(/) является приближенно нормальным ста-
ционарных процессом. Воспользовавшись для этого случая фор-
мулой (9.4.6), получим
(С) = i
(9.5.11)
Естественным обобщением случайной огибающей Д(/) квазигар-
монического шума является %-процесс, определяемый формулой
Можно показать [12], что если £*(/)— нормальные стационарные
процессы с нулевым средним значением и одинаковыми функциями
автокорреляции о2р(т), взаимно независимые хотя бы в совпадающие
моменты времени, то совместная плотность вероятности для % =
= Х(0 и j = х(0 имеет вид
где
и>(х) =
^(х) =
№г(Х» %) = № (хНЙ)>
Х>0,
(9.5.13)
(9.5.14)
Подстановка выражений (9.5.14) в формулу (9.3.8) дает
/Vi(C) = oJ/	ОО.
(9.5.15)
Нетрудно убедиться, что при и—-2 формула (9.5.15) совпадает
с (9.5.3).
§ 6. ЧИСЛО ВЫБРОСОВ ПОСЛЕ НЕЛИНЕЙНОГО
БЕЗЫНЕРЦИОННОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Пусть исходный случайный процесс |(/) с известными статисти-
ческими характеристиками подвергается некоторому детерминиро-
ванному преобразованию какой-либо системой, в результате чего
получается случайный процесс q(/), и требуется найти среднее число
выбросов процесса т](0.
Как указывалось в § 3, для вычисления среднего числа выбросов
случайного процесса т](/)_необходимо знать совместную плотность
13’	371
вероятности 1У2(г], В) для самого процесса ц(/) и его производной
г](/) в совпадающие моменты времени. Эта совместная плотность
вероятности может быть найдена по двумерной плотности вероят-
ности процесса	л(4))- Поэтому для решения сформулиро-
ванной задачи необходимо предварительно найти плотность вероят-
ности	, т](^)) по известным статистическим характеристи-
кам исходного процесса £(/) и известным параметрам системы, осу-
ществляющей указанное преобразование. При этом для процесса
1(f) в общем случае должны быть известны все нужные статистиче-
ские характеристики, а не только двумерная плотность вероят-
ности №г(£(/1), |(^з)).
Принципиально эта задача имеет решение всегда: для этого сле-
дует воспользоваться аппаратом корреляционных, моментных или
квазимоментных функций [13]. Однако практическое решение за-
дачи связано с выполнением весьма трудоемких вычислений. Исклю-
чение здесь составляют линейное преобразование нормального слу-
чайного процесса |(0 и функциональное (нелинейное безынерцион-
ное) преобразование любого случайного процесса Щ).
В первом случае необходимо вычислить лишь среднее значение
и функцию корреляции для ц(/), которые полностью определяют
нормальную плотность вероятности процесса т|(^). При функцио-
нальных преобразованиях случайных процессов в § 1 гл. 5 были
установлены сравнительно простые правила «пересчета» непосред-
ственно самих плотностей вероятностей. Применим их к задаче
вычисления среднего числа выбросов.
Предположим, что функциональное преобразование у = f(x) яв-
ляется взаимно однозначным и х = ф(«/) есть обратная функция.
Пусть
п(О==КВ(О)	(9.6.1)
и для случайного процесса | (t) известна совместная плотность
вероятности 1Г2 (£,?)•
Среднее число выбросов процесса g (Z) на уровне Q опреде-
ляется формулой вида (9.3.5):
Т оо
(Q, Л = j* dt J (Q,g) 4.
о о
Перейдем в этой формуле к новой переменной т] согласно соотно-
шению £ — ф' (С) т|, где С = /((<). Учитывая свойство четности
совместной плотности вероятности U, I) относительно производ-
ной g, независимо от знака функции ф' (С) можем написать
Т оо
NitCi, T)^\dt j\№2(C5, ф'(С)г))ф'2(С)^, Сг=ф(С). (9.6.2)
о о
372
Воспользовавшись формулой (5.1.10), находим совместную
плотность вероятности для я (t) и я (/):
,№20ь я) = №2(ф(я), ф'(Я)л)ф'2(л)-	(9.6.3)
Поэтому среднее число выбросов процесса 13 (/) на уровне C=f(C^)
равно:
V. (С, Т) = $dt] я ^2 (ф (С), ф' (С) ц) ф'2 (С) di). (9.6.4)
о о
Из сравнения формул (9.6.2) и (9.6.4) получаем
^(С,Г)=^(ф(С),Т).	(9-6.5)
Формула (9.6.5), по существу, выражает очевидный физический
результат, что при взаимно однозначном функциональном преоб-
разование (9.6.1) всегда существует однозначное соответствие между
каждым гересечением процессом я(0 уровня С и каждым пересе-
чением процессом £(/) уровня С.. Следует, однако, заметить, что
если характеристика функционального преобразования является
монотонно возрастающей функцией, то каждый положительный
выброс £(/) преобразуется также в положительный выброс я(0-
Наоборот, при монотонно убывающей функции /(|) каждый поло-
жительный выброс преобразуется в отрицательный выброс
Я(/)- Но при фиксированном уровне число положительных выбросов
равно числу отрицательных выбросов. Поэтому знак производной
ф'(С) невкодит в явном виде в формулы (9.6.2) и (9.6.4), определя-
ющие среднее число выбросов.
Характерное свойство функциональных преобразований со-
стоит в следующем. Пусть исходный процесс %(/) и его производная
t.(t) были независимыми в совпадающие моменты времени. Тогда
для преобразованного процесса я(0 и его производной я(0 свойство
независимости, как правило, не сохраняется. Это следует из того,
что при креобразовании переменных в правую часть соотношения
(9.6.3) вместо £ вошло произведение I = ф'('п)тЬ зависящее как от
Я, так и от я-
В подтверждение сказанного рассмотрим пример. Вычислим
среднее число выбросов квадрата огибающей квазигармонического
шума А(/>[14 ]:
Я(О=Л2(О, А>0.	(9.6.6)
Полагая в формуле (9.5.1) а=0, [/(/) —А (/) и перейдя от пере-
менных А и Л к новым переменным я и Я согласно равенствам
А = 1/т|, А = я/2 )/я» получим
Я
-/=W (я) w (я)-
373
По формуле (9.3.6) находим среднее число выбросов в единицу
времени:
§ 7.	ДИСПЕРСИЯ ЧИСЛА ВЫБРОСОВ
Предположим, что имеется т реализаций (осциллограмм) не-
которого случайного процесса ?(f), каждая из которых получена при
одинаковых условиях и имеет фиксированную длительность Т.
Обозначим эти реализации через ^(f), Ва(0> > а число поло- ,
жительных выбросов в первой, второй и т. д. реализациях на уров-
не С — соответственно через Ni(C, Т), Nz(C, Т), ..., Nm (С, Т).
Среднее статистическое число выбросов определяется формулой
tn
N{C,T) = -^y Nt(C,T),	(9.7.1)
i=l
а дисперсия числа выбросов равна
m
(С, D = У W (С, Г) - N (С, Т)}2.	(9.7.2)
Располагая достаточно большим числом tn реализаций случай-
ного процесса, по этим формулам можно экспериментально опре-
делить величиныТ) и O/v(C, Т), подвергая реализации соответ-
ствующей статистической обработке.
Ранее мы убедились, что среднее число выбросов N(C, Т) легко
вычисляется по формуле (9.3.5). При определении аналитическим
путем дисперсии числа выбросов возникают некоторые вычисли-
тельные трудности. Поэтому ее обычно находят при помощи числен-
ного интегрирования [15, 161 или же экспериментально [3, 17, 18].
Получим аналитическое выражение для дисперсии числа вы-
бросов [16, 19]. Разобьем интервал времени (О, Т) на п одинаковых
неперекрывающихся малых подынтервалов Atj = А/ = const,
причем пА/ = Т. Возьмем длину элементарного подынтервала At
настолько малой, чтобы можно было пренебречь вероятностью бо-
лее чем одного пересечения уровня С.
Поставим каждой реализации в соответствие п случайных
величин 6/ь 6/2,	6//, определенных следующим образом.
Случайная величина 6Х/ может принимать лишь два значения О
и 1, причем 6//= 1, если в /*-м подынтервале реализация
пересекает уровень С снизу вверх и 6х;=0 в противном случае.
374
Очевидно, что число положительных выбросов реализации |,.(/)
н интервале (О, Т) определяется выражением
Ni <с>= S
а среднее число выбросов равно:
N(C, Т) = <Л^-(С, Т)> = 5 <sl7>.
(9.7.3)
В соответствии с определением случайной величины дц ее
среднее значение на фиксированном подынтервале j равно:
<Si7) = 0.P (6l7=0)+1 • Р (617= 1)-Р (б,7= 1)	(С, Л^), (9.7.4)
где через Р обозначена вероятность соответствующего события.
Подставив (9.7.4) в (9.7.3), приходим к результату:
У (С, Т) = 2 N (С, Ы,),
(9.7.5)
который согласуется с (9.3.5).
Для среднего квадрата числа выбросов в интервале (О, Т) по
определению можем написать
{№(С, Т)} = <N1(C, Т)У - 2 <бц> г 2 <5;/51Д>. (9.7.6)
При фиксированном подынтервале / средний квадрат величины б,7
определяется выражением, аналогичным (9.7.4):
(б??>=(0.0)Р(5/7=0)+(Ы)Р(б17=1)=Р(б<7=1) = У(С, Mj). (9.7.7)
Средние значения слагаемых с различными, но фиксиро-
ванными индексами / и k при j=f=k определяются следующим
образом:
<6z76zA>==(0-0)P(6z/=0, бм=--0)+(0.1)Р(б,7=0, 6^=1) +
+(1 -0) Р (6/Z=l, б^ = 0) + (1.1)Р(6(7=1, б«=1) =
=--Р (6z7 = 1, б,*= 1) = F {tj, tk) Mj Mk,	(9.7.8)
где tj=jM, tk=kM.
Функции F (tj, tk) M)Mk представляет собой вероятность следую-
щего сложного события: реализация ВДО пересекает уровень С
с положительной производной и в интервале f С—у М-, НМ,\ ,
\ J л J J	J I
и 8 интервале [tk—Mk, tk+~^ Mk]. При помощи рассуждений
375
аналогичных тем, которые привели к формуле (9.3.5), можно
убедиться, что
ОО 00
F (tjt /*) == П I; lk (С, lJt С, U dtj dlk, (9.7.9)
О о
где	Ц/Д j(/j-.)) —совместная плотность вероят-
ности для значений процесса и его производных в два разных
момента времени.
Подставив выражения (9.7.7.) и (Э.7.-8) в (9.7.6) и переходя
к пределу при Д/->0, п->оо, находим средний квадрат числа
выбросов
{№ (С, Т)} = N (С, Т) + j $ f (tj, tk) dtf dtk. (9.7.10)
0 0
Дисперсия числа выбросов по определению равна
02 <с>	= {N2 (С) 7)) _ JV2 (С, 7).	(9.7. И)
Отсюда с учетом (9.7.10) получаем окончательную формулу
(С, T) = N (С, Т)-N*(C,T) + ^F tk) dtjdtkf (9.7.12)
о о
где функция F(tj, tk) определена выражением (9.7.9).
Для большинства процессов аналитически не удается до конца
выполнить интегрирование в формуле (9.7.12) й обычно вычисления
выполняют при помощи численного интегрирования.
Формула (9.7.12) несколько упрощается, если ограничиться рас-
смотрением стационарных процессов, считать уровень нулевым
(С ~ 0) и интересоваться полным числом нулей ( т. е. пересечения-
ми нулевого уровня снизу вверх и сверху вниз). На основании фор-
мулы (9.3.5) среднее число нулей стационарной случайной функции
на интервале Т равно
No (Т) = Т
"оо	О
J iira (о, |) 4 - J tw2 (o,i)4
.0	—ОО
оо
= т f Ш№г(о,1)4-
—оо
Дисперсия числа нулей на интервале Т определяется формулой
4(T)^N0(T)-N20(T) + \ J F(tb t^dtydh,
О О
(9.7.14)
376
где
00 co
— оо —оо
Применение этих формул к нормальному стационарному про-
цессу с нулевым средним значением и функцией корреляции
k(x)=<PR(x)	(9.7.16)
приводит к следующим результатам [7, 15, 18]:
т
<т20 (7) = Nt (7)-N20 (7) + А [(г-т) I +	/ЙСЕ)dx,
JL J	1 А 1 L/
О
(9.7.17)
где
М>(Л
=

7?2(т)] [Ro2-^2 (т)] +
R"(x)R(x)]R’2(r)4-R'i(x),
(9.7.19)
Численные расчеты по формуле (9.7.17) для коэффициента
корреляции вида (6.9.5)
$(т)=ехр[—л (Af3 т)2] cos 2rtf0T, Af3—=0,376/0	(9.7.20)
приводят к следующему результату [15]:
ag(7) =0,268 Д Т, No (7) = 2,022 f0T.
(9.7.21)
В том случае, когда нормальный шум является узкополосным,
и, следовательно, коэффициент корреляции R(x) быстро осцилли-
рует, расчеты по формуле (9.7.17) затруднены. Можно показать,
[16], что когда спектральная плотность квазигармонического шума
симметрична относительно частоты f0 и коэффициент корреляции
имеет вид
jR(t) = P(t)c°s®ot,	(9.7.22)
13В Зак. 245
377
дисперсия числа нулей в интервале (О, Т), где 2/0 7* — целое число,
определяется формулой
4 (Т) = |	arc si n2 р (Г) + J (Г - т) dr, (9.7.23)
о
где — 4- я < arc sin р (Т)< -у л.
Когда произведение 2f0T есть не целое число, дисперсия числа
нулей может отличаться от значения, даваемого формулой (9.7.23),
не более чем на 1/4.
Для малых и больших Т из формулы (9.7.23) можно получить
простые предельные соотношения. При малых Т (Т <</ тк, где тк —
время корреляции шума) справедливы приближенные равенства
р'(Л«0, р(П = 1 + |роТ2.
Поэтому определяющую роль играют первые два члена в правой
части формулы (9.7.23). Разлагая далее арксинус в ряд Тейлора
в окрестности точки р — 1 и ограничиваясь первыми двумя чле-
нами разложения, получим
а2(Т)=1-Т|Л-р;,
(9.7.24)
Если Т ->оо, то из (9.7.23) имеем

lim
г- 00
(П
На основании этого можем написать приближенное соотношение
о
(9.7.25)
Без вывода приведем две окончательные формулы для дисперсии
числа выбросов [16]. Дисперсия числа нулей квазигармонического
шума на интервале (О, Л с положительной производной, когда ве-
личина f0T есть целое число, равна
ао+ (Т) = j - J- arc sin р (Г) + 1 (Л,	(9.7.26)
где о2(Л определяется по формуле (9.7.23).
Количественные результаты, полученные численными расче-
тами по формуле (9.7.26) для четырех коэффициентов корреляции
р(т) вида, указанного в 3—6 строках табл. 3.14.1, обозначены соот-
ветственно через ст! — о| и приведены в табл. 9.7.1
378
13В*
379
Дисперсия полного числа нулей на интервале (0, 71) суммы
(9.4.14) гармонического колебания s(f) = Amcos (®0/ + <р0) и квази-
гармонического шума |(f) = A(f)cos [<о0/ + ф(01> имеющего коэф-
фициент корреляции (9.7.22), если 2f0T — целое число, определяет-
ся формулой
J V sin ф0,у)	4е cos ф0, у) dp. (9.7.27)
Р(Т)
Здесь
7	1
Y (z, у) = 1 —	Секр f — у s2 sec2 б) dQ,
о
у (т) = -у arc cos р (т).
(9.7.28)
Из формулы (9.7.27) видно, что в данном случае дисперсия числа
нулей зависит от начальной фазы ф0 гармонического колебания: она
имеет наибольшее значение при ф9 = iji/2 и наименьшее значение
при фо = 0 или ф0 = л.
Анализ экспериментальных и некоторых аналитических резуль-
татов позволяет сделать следующие выводы 118].
1.	При фиксированных других параметрах среднеквадратичное
значение числа выбросов Ojv(C, Т) растет с увеличением длитель-
ности интервала Т, а отношение o/v(C, T)/N(C, Т) при этом умень-
шается.
2.	Величина on(C, Т) с повышением уровня С растет, а отно-
шение Од/(С, T)/N(C, Т) достигает максимума при некотором уровне,
зависящем от отношения сигнал/шум а = Amlv. С увеличением а
отношение ow(C, T)/N(C, Г) уменьшается.
3.	Для квазигармонического шума величина Oo+tT1) и отношение
<jo+(T)/N(O, Т) растут с увеличением ширины энергетического спект-
ра шума.
4.	Расстройка частоты сигнала относительно центральной часто-
ты спектра шума увеличивает значения ow(C, Т) и ow(C, T)IN(C, Т)
по сравнению с минимальными, имеющими место при совпадении
центральных частот.
§ 8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСИМУМОВ
Найдем распределение максимумов стационарной случайной
функции 1(f) (рис. 9.4), которую в дальнейшем будем считать не-
прерывной вместе с первой производной |(/). В некоторые моменты
380

пр смени реализация имеет максимумы.
/t зыполняотся условия
£(Л) = о, g(O <0, i-O, 1,
Найдем плотность вероятности для
Как известно, в точках
2,...	(9.8.1)
максимумов случайной
функции £(£), т. е. найдем закон распределения максимумов в зависи-
мости от иж высоты [2, 20]. При этом предполагается известной
трехмерная плотность вероятности IF3(^(/), 1(0» 1(0)-
Такие данные представляют интерес при статистическом опи-
сании волнующейся поверхности моря, при количественной оценке
микрошероховатости обработанной (шлифованной) поверхности
и т. п.
Рис. 9.4 Реализация случайной функции и ее максимумы.
Из непрерывности функции £(/) следует, что на достаточно малом
интервале А/, т. е. внутри промежутка t t' t + At, может
быть не более одного максимума (или минимума). Таким образом,
иг интервале А / может быть один максимум или же ни одного мак-
симума. Обозначим через Pi(H,t) вероятность того, что на интер-
вале А/будет один максимум, величина которого заключена между
(Н — АН, Н), а через P^(H,t) — вероятность того, что не будет
такого максимума. Очевидно, что среднее число максимумов на
интервале А/, величина которых заключена между Н — АН и Н,
равно
пт(Н, /) - ЬР1(Я, /) +О-Ро(Я, 0 ==Pi(H, /),	(9.8.2)
т. е. совпадает с Р^
Пусть момент времени /0 соответствует максимуму случайной
функции £(/). Тогда выражение
dp = Ws (Н (Zo), I (tQ), t (f0)) АЯ (- At) At

(9.8.3)
при | (/0) = 0, t (/о) < 0 определяет вероятность того, что на интер-
вале /0<У'<;/0 + А/ будет максимум, величина которого заклю-
чена между (Н — АН,Н), при этом первая производная находит-
ся между нулем и (—А|), а вторая производная заключена
в интервале (| — А|, (рис. 9.5).
381
1
Из непрерывности первой производной g (t) следует, что на
малом интервале А^, т. е. внутри промежутка t0 <" V <" t0 4- АЛ

Рис. 9.5. Характер изменения первой
и второй производных в окрестности
максимума.
она близка к прямой:
= t &) +1 (М Q
или
At = t (t0 + А/) - I (t0) -
= t(QAf. (9.8.4)
Подставив это выражение в
(9.8.3), получим
dp - - AflF, (Н, 0,1) В дя дё.
(9.8.5)
Проинтегрировав правую
часть последнего выражения по
всем отрицательным значениям
второй производной (от—со до 0),
находим вероятность Pi (Н, t)
того, что максимум будет нахо-
диться в элементарном прямо-
угольнике ДЯ ДЛ
Р1(Н, 0 =
= — Л/ДЯ J W3(H,
—со
(9.8.6)
III*.
пт (Н, t) = — М кН
(9.8.2), вероятность Pj совпа-
дает со средним числом соот-
ветствующих максимумов:
J 1№3(Я, 0,1)4-	(9.8.7)
Поделив обе части этого равенства на Л/, находим среднее число
максимумов в единицу времени, величина которых заключена в
интервале (Н — кН, Н):
о
nim (Н, t) = nin (Я) = -АЯ j (Я, 0,1) 4-	(9.8.8)
—СО
382
Для стационарного случайного процесса £(/) формула (9.8.8)
не зависит от времени. Полное среднее число максимумов в единицу
времени N\m, независимо от их величины, получается путем интег-
рирования правой части (9.8.8) по всем возможным значениям Н:
Nim=- ]dH J lW8(H, 0,1) 4-	(9.8.9)
Плотность вероятности для максимумов, очевидно, определяется
из соотношения
Р (Я) ДЯ = П1^.(Н^-,
т. е.
о
Р (77) = ~ f lWs (И’ °’
(9.8.10)
Среднее число максимумов в единицу времени, величина кото-
рых превышает некоторое значение С, находим путем интегриро-
вания правой части формулы (9.8.8) по всем значениям Я > С,
т. е. можем написать.
оо 0
П1п (н > С) - - у dH р (я, о, I) 4-
С	—оо
(9.8.11)
Воспользовавшись основной
рмулой (9.8.7), нетрудно обоб-
щить соотношения (9.8.9)—(9.8.11) на случай нестационарных про-
цессов. Однако в дальнейшем мы применим эти соотношения
к нормальному стационарному процессу Щ) с нулевым средним
значением и функцией корреляции (9.4.5).
Подставив плотность вероятности (6.2.23) в формулу (9.8.9) и
выполнив интегрирование сначала по Я, а затем по получим
(9.8.12)
Nl,n ~ 2^'
Выполнив аналогичные вычисления по формулам (9.8.10) и
(9.8.11), иайдем
(9.8.13)
383
где Ф(г)—табулированный интеграл вероятности,
2-
а а2
Из формулы (9.8.13) видно, что плотность вероятности максиму-
мов нормальной стационарной функции однозначно определяется
одним параметром v. Можно показать [21], что величина v изме-
няется от 0 до 1, причем малые значения v 1 соответствуют уз-
Рис. 9.6. Плотность вероятности максимумов нормального случайного
процесса при разных значениях ширины энергетического спектра.
кополосному процессу, а значения v 1 соответствуют широко-
полосным процессам. Полагая в формуле (9.8.13) v = 0, получим
релеевскую плотность вероятности
—-й2
Р (h} = he 2 . h > 0.
При v = 1 формула (9.8.13) переходит в нормальную плотность
вероятности
Таким образом, плотность вероятности для максимальных зна-
чений нормального узкополосного процесса в пределе (при v=0)
является релеевской, а плотность вероятности для максимальных
значений нормального широкополосного процесса в пределе (при
V— 1) является нормальной. На рис. 9.6 показаны плотности ве-
384
роятности, подсчитанные по формуле (9.8.13), для нескольких зна-
чений v[2# ]. Из кривых виден переход от нормального распреде-
ления к релеевскому.
Для предельных значений параметра v
лучим
из формулы (9.8.14) no-
ri 1ОТ (h
с) = Nime
(9.8.16)
n\m(h >c) =
Отметим, что при достаточно больших с в формуле (9.8.14) мож-
но положить Ф(г > 3)ж 1, Ф(? С—3) ~ 0. При этом формула
(9.8.14) переходит в формулу для среднего числа положительных
выбросов случайной функции в единицу времени, превышающих
уровень с:
а
(9.8.17)
Следовательно, при достаточно больших уровнях в окрестности
выброса может находиться только один максимум.
Если применить (]юрмулы (9.8.13) и (9.8.14) к огибающей A(t)
квазигармонического шума, то получим [22]:
385
На рис. 9.7 представлены результаты расчетов по формуле
(9.8.18) для квазигармонического шума с прямоугольной спект-
ральной плотностью (кривая 7) и с гауссовой формой спектральной
плотности (кривая 2). Расхождение между кривыми оказывается
незначительным. Однако среднее число максимумов в единицу вре-
Рис. 9.7. Плотность вероятности максимумов
огибающей квазигармонического шума.
меня в этих двух случаях оказывается существенно разным. Так,
в случае прямоугольной спектральной плотности шириной А/
оно равно
1У1|В = 0,6411 А/,
а для гауссового спектра шириной А/э:
Nim~ 1,0023 Afs.
Формулы (9.8.18) и (9.8.19) можно обобщить на случай огиба-
ющей суммы гармонического сигнала и квазигармонического шума.
§ 9. О РАСПРЕДЕЛЕНИИ НАИБОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ
Строгое математическое вычисление плотности вероятности для
наибольших значений Нт (см. рис. 9.1) в реализациях случайного
процесса g(^) конечной длительности Т является весьма сложной
задачей [23]. Для этого нужно вычислить максимумы, выявить'
максимум максиморум и сравнить его величину со значениями слу-
чайной функции, принимаемыми на концах интервала [0, Т].
Можно указать следующий путь решения данной задачи. Ра-
зобьем интервал времени Т на tn равных отрезков длительностью
386
\ = Т!т каждый. Обозначим значения случайной функции в
(ffl + 1) точках отсчета соответственно через
Плотность вероятности для значений случайной функции в этих
точках отсчета (Во, Bi, £m) предполагается известной.
Вероятность того, что случайная функция при t —
=iA, i =0, 1, 2, ..., т, принимает значение £(iA) = Нт, а во всех
других тотках отсчета принимает значения меньше Нт, равна
я_ я_
•••	— 1	yv.v.Ay
Так как для стационарных флуктуаций все точки отсчета яв-
ляются равноправными, то вероятность Р(Нт), что в какой-либо
течке отсчета случайная функция принимает значение Нт, а в ос-
тальных меньше Нт, равна
(9.9.2)
где L — нормировочный множитель, определяемый из условия
нормировки
К сожалению, многократный интеграл (9.9.1) вычисляется лишь
в частных случаях, например, когда значения случайной функции
£(f) в точках отсчета являются независимыми.
Если значения случайной функции в точках отсчета независимы
и распределены по нормальному закону
ехР “2^
или по релеевскому закону
2а2/ ’
то плотности вероятности (9.9.2) принимают соответственно вид
Л(/7т) = (/п+1)ш5ШФ'”(^),
Г	/и2
„ ,ГГ \	.	,,1V7 I U \	1	_/ ‘‘пг
т
Эти плотности вероятности изображены на рис. 9.8.
387
Следует отметить, что для независимости значений случайной
функции в точках отсчета необходимо выбирать А^>тк, где тк —
время корреляции £(^). Но при таких больших Д получаются
^6^/77 Я	Л

б	О
а)	д)
значений.
Рис. 9.8- Плотности вероятности для наибольших
<5
Рис. 9.9. Плотности вероятности для максимумов
максиморумов реализаций огибающей квазигар-
монического шума различной длительности.
большие погрешности, так как положение максимума максиморума
может не совпадать с точками отсчета /,•, и он будет «пропущен».
Поэтому приведенные выше результаты дают лишь качественное
представление.
388
На рис. 9.9 приведены плотности вероятности для наибольших
значений в. реализациях огибающей A(t), когда спектральная плот-
ность исходных квазигармонических флуктуаций £(/) имеет вид
S(f)
причем = 30 Мгц, — 1 Мгц, Подобные кривые для огибающей
/(/) суммы сигнала и шума имеются в работе [24].
Из приведенных результатов следует, что с увеличением длитель-
ности реализаций плотности вероятности сужаются и смещаются
в сторону больших значений Нт. Это объясняется тем, что при уве-
личении длительности Т, во-первых, в каждой отдельной реализа-
ции увеличивается значение Нт и, во-вторых, уменьшается разброс
значений Нт.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Rice S. О. Mathematical analysis of random noise. BSTJ, 1945, № 1.
2.	Тихонов В. И. Выбросы случайных процессов. УФЫ, 1962,
т, 77, № 3.
3.	Т их о нов В. И. Характеристики выбросов случайных процессов
(обзор). «Радиотехника и электроника», 1964, № 3.
4.	И ц х о к и Я. С. Импульсные устройства. Изд-во «Советское радио»,
1959.
5.	Престон Жч Гарднер Р. Работа триггерных генераторов
в условиях шумов. «Вопросы радиолокационной техники», 1954, № 4.
6.	Тихонов В. И. Воздействие малых флуктуаций на электронное
реле. «Вестник Московского университета, 1956, № 5.
7.	Бендат Дж. Основы теории случайных шумов и ее применение.
Пер. с англ. Изд-во «Наука», 1965.
8.	Rice S. О. Statistical properties of a sine wave plus random noise.
BSTJ, 1948, № 1.
9.	Tables of the error function and of its first twenty derivates. Harvard
Univ. Pres.s, Cambridge, Massachusetts, 1952.
10.	TaUulation of selected confluent hypergeometric functions. Harvard
Univ. Press, Cambridge, Massachusetts, 1952.
11.	Co о b S. M. The distribution of intervals between zero crossings
of sine wave plus random noise and allied topics. Trans. IEEE, 1965, IT-11,
.Ve 2.
12.	Si 1 v e r m a n R. A. The fluctuation rate of the chi process. Trans.
IRE, 1958, IT-4, № 1.
13.	Kuznetsov P. I., S t r a to no vi ch R. L., Tikho-
nov V. I. Non-linear transformations of stochastic processes. Pergamon
Press, 1965.
14.	Ро зов В. M. О выбросах после квадратичного детектирования.
ЖТФ, 1952, № 7.
15.	Steinberg Н., Schultheiss Р. М., W о г g е п G. А.,
Zweig F. Short-time frequency measurement of narrow — band random
signals by means of a zero counting process. Journ. Appl. Phys., 1955, № 2.
16.	В 1 a c h ma n N. M. FM reception and the zeros of narrow — band
gaussian noise. Trans. IEEE, 1964, IT-10, № 3.
389
17.	Т н х о н о в В, И. Дисперсия числа выбросов в реализациях нор-
мального * шума конечной длительности. «Радиотехника и электроника»
1964, № 1.	’
18.	Т и х о н о в В. И., Г о р я и н ов В. Т. н др. Исследование
выбросов случайных процессов. Отчет № 9161. ВВИА им. проф. Н. Е. Жу-
ковского, 1961.
19.	Кузнецов П. И., Стратонович Р. Л., Тихо-
нов В. И. О длительности выбросов случайной функции. ЖТФ, 1954, № 1.
20.	Cartwright D. Е., Longuet- Higgins М. S. The
statistical distribution of the maxima of random function. Proc. Roy, Soc., A,
1956, № 1209.
21.	T и x о и о в В. И. Флуктуационные процессы. ВВИА им.
проф. Н. Е. Жуковского, 1961.
22.	Т и х о н о в В. И. Распределение максимумов огибающей квази-
гармонического шума. «Известия вузов», Радиотехника, 1963, № 5.
23.	Т и х о н о в В. И. О распределении наибольших значений в реа-
лизациях флуктуаций конечной длительности. «Известия вузов», Радиотех-
ника, 1961, № 5.
24.	Тихонов В. И., Куликов Е, И. Распределение выбро-
сов и максимумов флуктуаций. «Радиотехника», 1962, № 2.
Раздел III
ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
РАДИОПРИЕМА