Л.Ф. Пичурин
ЗА СТРАНИЦАМИ
УЧЕБНИКА
АЛГЕБРЫ
Книга для учащихся
7—9 классов средней школы
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» . 1990

ББК 22.14
П36
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор МГЗПИ Н. Я. Виленкин
заслуженный учитель школы РСФСР Ф. М. Барчунова
Пичурин Л. Ф.
П36 За страницами учебника алгебры: Кн. для учащихся
7—9 кл. сред. шк.— М.: Просвещение, 1990.— 224 с.: ил.—
ISBN 5-09-001290-3
Книга адресована учащимся 7—9 классов для самостоятельного
чтения и по содержанию тесно примыкает к школьной программе.
Широко привлекаются исторические сведения, занимательные факты, рас¬
крывается практическое значение изучаемого материала, решаются
нестандартные задачи.
_ 4306020000— 558	.	00. .
П 	  инф.	письмо—89, № 78	ББК	22.14
103(03)—90
ISBN 5-09-001290-3
■® Пичурин Л. Ф., 1990

Предисловие
13—15 лет — это время, когда уже пора всерьез задумать¬
ся над вопросом, который вы хорошо знаете еще по знаме¬
нитым строчкам В. В. Маяковского: «У меня растут года,
будет и семнадцать. Где работать мне тогда, чем зани¬
маться?» Конечно, поэт был прав, когда говорил: «все ра¬
боты хороши, выбирай на вкус!» А каков ваш вкус? Что вас
более всего привлекает? История? Химия? Литература?
Математика? Может быть, еще что-то? Не торопитесь при¬
нимать окончательного решения, но думать о нем уже пора.
И не только думать. Важно попробовать себя в разных на¬
правлениях, попытаться самому определить: «А что у меня
будет получаться лучше, в чем я смогу проявить себя
полнее, чем я буду по-настоящему полезен нашей стране,
нашему обществу?» Скажем прямо — как бы хороши ни бы¬
ли советы ваших родителей, учителей, друзей, а решать-то
придется самим. Но хорошее решение может быть принято
только на основе знаний — нельзя говорить «буду летчиком,
инженером, врачом, агрономом...», не зная, какие именно тре¬
бования предъявляются к этой профессии, есть ли к ней
способности.
Особенно важно как можно раньше определить, сумеете
ли вы серьезно заниматься математикой, есть ли у вас к ней
способности. Это важно по многим причинам, главная из
которых заключается в том, что математика используется в
самых разнообразных профессиях — она нужна инженеру,
военному, биологу, конструктору, программисту, можно
твердо сказать, что она нужна всем. Но все-таки для одной
специальности больше, для другой — меньше. Сумеете ли
вы справиться с нею? Ведь не секрет, что математика —
предмет непростой. Людей, совершенно не способных к ма¬
тематике, не бывает, но все же одним она дается немного,
а иногда и намного легче, чем другим. А вам как? Ведь
только вы сами и сможете ответить на этот вопрос. Но для
этого надо испытать себя. И здесь математика имеет зна¬
чительные преимущества перед другими предметами, так
как испытать себя в ней можно очень рано. Наверное,
только в музыке и в живописи человеку удается определить
свои способности раньше, чем в математике. Не случайно
многие открытия в математике были сделаны, да и сейчас
делаются людьми, еще не достигшими тридцати, а иногда и
двадцати лет.

Испытать себя вам поможет эта книга.
Конечно, как и всякая книга по математике, она не¬
легка — легких книг по математике вообще не бывает. Читай¬
те ее не торопясь, следуя при этом нескольким советам.
Во-первых, читайте книгу, как говорят, с карандашом в
руках. Дело, конечно, не в карандаше, пусть это будет шари¬
ковая или еще какая-нибудь ручка, но суть нашего совета
состоит в следующем. Все преобразования, доказательства
теорем, выводы формул, вычисления, геометрические по¬
строения и т. д. обязательно проделайте самостоятельно,
даже если в книге они описаны очень подробно. Более того,
проделать их надо не менее двух раз — сначала как бы «спи¬
сывая с книги», а потом — самостоятельно, не заглядывая
ни в книгу, ни в свои записи.
Во-вторых, все чертежи, схемы, графики нарисуйте сами.
Особенно важно сделать это, если в книге написано что-
нибудь вроде: «проведем перпендикуляр... продолжим от¬
резок АВ до пересечения с прямой XY» и т. д. В этом случае
надо не перерисовывать рисунок из книги, а выполнить все
построения постепенно. Это же относится и к помещенным
в книге таблицам.
В-третьих, не пропускайте трудных мест. Если такое
место встречается, попробуйте разбить его на небольшие
части, может быть, даже на отдельные предложения, раз¬
беритесь в каждом из них, в необходимых случаях верни¬
тесь назад, к предыдущему абзацу. И только если уж дело
никак не идет — обратитесь за помощью к учителю, но все
же постарайтесь разобраться во всем самостоятельно.
Четвертый совет. Часто люди, неумело читающие -книги
по математике, делают такую ошибку. Допустим, напи¬
сано: «Ромбом называется параллелограмм, все стороны
которого равны». И вот ученик старательно учит это опре¬
деление как стихи. А что такое параллелограмм — забыл.
И какие отрезки называются сторонами — тоже толком не
знает. И читает такой ученик какую-нибудь математиче¬
скую книгу два раза, три раза, десять раз — а толку все
равно нет. И не будет! Читая книгу по математике, обяза¬
тельно надо повторять те определения и теоремы, которые
упоминаются в тексте. Сказано «параллелограмм» — вспом¬
ни определение, вспомни свойства, начерти параллелограмм,
а уж тогда двигайся дальше. Не жалейте на это времени —
все равно в конечном итоге вы его сэкономите!
Наконец, пятый совет. Изучать математику надо само¬
стоятельно, но очень полезно читать и особенно обсуждать

прочитанное в небольшом коллективе. Попытайтесь расска¬
зать — подробно, с примерами, с доказательствами — то,
о чем вы прочитали, вашему товарищу. Сумеете объяснить
так, что он все поймет,— значит, и сами разобрались,
не сумели — что-то еще не доделано, что-то еще не до конца
понято.
Книга наша — не приключенческая повесть. Не читайте
сразу слишком много. Лучше всего за один раз одолевать
не более 4—5 страниц, т. е. примерно одну главу книги.
Упражнения для самостоятельного решения при первона¬
чальном чтении можно пропустить, но прежде чем начи¬
нать изучение следующей главы, их все же надо выпол¬
нить.
Книга называется «За страницами учебника алгебры».
Значит, предполагается, что написанное на страницах учеб¬
ника вы знаете хорошо. И все же, читая эту книгу, надо
обязательно иметь под руками учебник алгебры. Не по¬
мешает, конечно, и учебник геометрии. Почаще загляды¬
вайте в них!
Вот, пожалуй, и все. Успехов вам в нелегком труде по
овладению нашей замечательной наукой!

Чем мы занимаемся!
Итак, мы изучаем алгебру. И конечно, возникает вполне
естественный вопрос: а что это такое? Ведь, например, все
ясно с биологией: биос — жизнь, логос — учение, получилось
♦учение о жизни»; с географией тоже ясно: гео — земля,
графо — пишу, ♦землеописание», геометрия — ♦землеме¬
рие».
Само слово ♦аль-джебр», от которого произошло наше
♦алгебра», по-арабски означает ♦восстановление», но этот
перевод пока ничего не объясняет. Ясно, что существует
научное определение алгебры, существует и объяснение
происхождения названия этой науки, но говорить об этом
нам придется чуть позднее.
Попробуем сначала ответить на другой вопрос: чем же
занимается алгебра? Давайте просто полистаем учебник
алгебры и какой-нибудь другой учебник, скажем, лите¬
ратуры. В чем бросающееся в глаза различие? В учебнике
алгебры почти нет рисунков — их заменяют чертежи, мало
сплошного текста, зато много цифр и еще больше букв, при¬
чем букв латинских. Почему они латинские — понятно. Если
бы мы взяли буквы нашего алфавита, то могли бы пере¬
путать обычный текст с текстом чисто математическим.
Ну а если взять, например, китайские иероглифы или буквы
арабского алфавита, то, наверное, путаницы бы тоже не было,
но зато нам пришлось бы учить еще один алфавит спе¬
циально для алгебры. А латинские же буквы мы знаем из
уроков иностранного языка.
Давайте разберемся, зачем алгебре понадобился допол¬
нительный алфавит.
С числами все было просто. Требовалось твердо запом¬
нить правила действий (мы потом подробнее поговорим
об этих правилах) и обязательно выучить две таблицы:
таблицу сложения (табл. 1) и таблицу умножения (табл. 2).
Обратите внимание на любопытную особенность этих
таблиц. Хотя в каждой из них по 10 строк и по 10 столбцов,
т. е. 100 сумм и 100 произведений (вы, конечно, помните
их наизусть!), но учим мы не 100 сумм, а только 45, и не
100 произведений, а только 35. Почему? 19 сумм можно не
запоминать потому, что
0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 0 + 2 = 2, ..., 0 + 9 = 9, 1+0 = 1,
2 + 0 = 2, ..., 9 + 0 = 9;
6

ТАБЛИЦА СЛОЖЕНИЯ
Таблица 1
Ч "
0
1
. 2
3
4
5
6
7
8
9
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
9
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Та бли ца 2
ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ
\ а
Ь
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
3
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
4
0
4
8
12
16
20
24
28
32
36
5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
6
0
6
12
18
24
30
36
42
48
54
7
0
7
14
21
28
35
42
49
56
63
8
0
8
16
24
32
40
48
56
64
72
9
0
9
18
27
36
45
54
63
72
81
короче говоря, если прибавить к нулю число, то получится
это же число, и если прибавить нуль к числу, то тоже по¬
лучится это же число.
То же самое можно сказать или написать короче, обозна¬
чив число буквой:
О “I- CL — CL —J- 0 — CL.
Правда, понадобилась буква, под которой в данном случае
мы понимаем любое однозначное число.
Пойдем дальше. 36 сумм, записанных слева от диаго¬
нали квадрата-таблицы (табл. 1), составленной из чисел
О, 2, 4, 6, ..., 18, запоминать не надо — ведь
2+ 3 = 3+ 2, 2+ 4 = 4+ 2, ..., 9 + 8 = 8 + 9.
7

Иначе говоря,
ОТ ПЕРЕСТАНОВКИ СЛАГАЕМЫХ СУММА НЕ ИЗМЕНЯЕТСЯ.
И в этом случае можно то же самое сказать или напи¬
сать короче:
О -j- Ъ — Ъ -j- Q>.
Правда, опять понадобились буквы, под которыми и в
данном случае мы понимаем любые однозначные числа.
Остается заметить, что 19 + 36 = 55. Вот почему вместо
100 сумм необходимо помнить только 100 — 55 = 45.
Точно так же (порассуждайте сами) можно объяснить,
почему в таблице умножения запоминать надо всего
только 35 произведений.
Вспомним еще, как умножают сумму двух чисел на
число (так называемый дистрибутивный или, по-русски,
распределительный закон умножения относительно сложе¬
ния):
ЧТОБЫ УМНОЖИТЬ СУММУ НА ЧИСЛО, МОЖНО УМНОЖИТЬ
НА ЭТО ЧИСЛО КАЖДОЕ СЛАГАЕМОЕ И СЛОЖИТЬ ПОЛУЧЕННЫЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЯ.
Записать словами и выучить формулировку этого за¬
кона, конечно, можно и нужно, но все-таки проще оказы¬
вается запись:
(а + 5)-с=ас + 5с.
Следовательно, буквенное обозначение чисел помогает
нам кратко записывать законы арифметических действий
(математики чаще говорят «законы операций»). Но стоит
ли только ради этого вводить буквы? Пожалуй, из-за
нескольких операций этого можно было бы и не де¬
лать. А есть ли еще какие-нибудь операции, вовсе не ариф¬
метические, для записи которых буквы тоже могут при¬
годиться?
Вот пример вроде бы совсем не из математики.
Вы, конечно, знаете из физики, что такое параллельное
и последовательное соединение проводников. Ну а если и не
знаете, то посмотрите на рисунок 1, а — на нем изображены
два выключателя, соединенные параллельно, а на рисун¬
ке 1, б — два выключателя, соединенные последовательно.
Какие положения могут иметь выключатели? В каком
состоянии, в зависимости от этих положений, будет на¬
ходиться лампочка? Условимся, что если лампочка горит,
то будем писать с = 1, а если не горит, то с = 0. Точно так же

Рис. 1
IHI
а
6
если выключатель включен (замкнут), то напишем а = 1 или
6 = 1, а если он выключен (разомкнут), то а = 0 или 6 = 0.
Все возможные случаи удобно представить в виде таких
таблиц (табл. 3, 4):
Таблица 3
РАБОТА ЛАМПОЧКИ С
ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ СОЕДИНЕНИИ
ВЫКЛЮЧАТЕЛЕЙ
Таблица 4
РАБОТА ЛАМПОЧКИ С
ПРИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ СОЕДИНЕНИИ
ВЫКЛЮЧАТЕЛЕЙ
0
1
Ь
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
А теперь забудем про электричество и внимательно по¬
смотрим на эти таблицы. Они похожи на часть таблиц сло¬
жения и умножения. Разница в том, что вместо ♦сложе¬
ние» мы написали ♦параллельное соединение», а вместо
♦умножение» — ♦последовательное соединение». Ну и, ко¬
нечно, в том, что в таблицах сложения и умножения
каждое слагаемое (множитель) могло иметь любое из 10 зна¬
чений (от 0 до 9), а каждый параллельно или последова¬
тельно соединенный выключатель мог быть либо включен,
либо выключен — всего два значения. Есть еще одно не¬
соответствие: в таблице сложения 1 -|-1 = 2 (см. табл. 1), а в
таблице параллельного соединения выключателей вместо
двойки — единица (см. табл. 3). Впрочем, это нетрудно просто
запомнить.
Теперь подумаем вот над чем. Для таблиц 1 и 2 спра¬
ведливы равенства: а+6=6+а и а6 = 6а. А для таблиц 3
и 4? Если на рисунках 1, а и 1, б поменять местами выклю-
9

Рис. 2
чате ли, то изменится ли состояние лампочки? Конечно,
нет! В этом можно убедиться и не глядя на рисунок, а лишь
анализируя эти таблицы.
Быть может, для выключателей справедлив и распре¬
делительный закон? Попробуем проверить, что в этом случае
значит запись
(<a-\-b)-c = ac-\- Ьс.
Посмотрите на схемы, изображенные на рисунке 2. Между
ними поставлен знак равенства, ибо обе схемы действуют
совершенно одинаково — закон выполняется! Ну а то, что
1-|-1 = 1 и вообще а-\-а=ау понятно, так как два одина¬
ково работающих параллельно соединенных выключателя
можно заменить одним.
Справедливость сочетательного закона проверьте сами.
Вы хорошо знаете, что таблицы сложения и умноже¬
ния — основа правил вычислений с многозначными числами,
а переместительный, сочетательный и распределительный
законы — основные законы операций с ними. Так, может
быть, таблицы 3 и 4 помогут при проектировании электри¬
ческих цепей, а переместительный, сочетательный и распре¬
делительный законы облегчат работу конструктора?
Но тогда мы получаем какую-то совершенно необыкно¬
венную алгебру — уже не алгебру чисел, а алгебру «выклю¬
чателей и электрических приборов». Заметим, что все при¬
боры имеют контакты, а в сложных схемах обычно участву¬
ют специальные устройства — реле, включающие и выклю¬
чающие электрический ток. Поэтому такая новая алгебра на¬
зывается «алгеброй релейно-контактных схем». Вы, ко¬
нечно, знаете, что современные электрические устройства
имеют тысячи и сотни тысяч контактов. Ясно, что буквен¬
ные обозначения могут основательно облегчить труд чело¬
века при создании и обслуживании таких устройств.
10

Таким образом, буквенная запись дает нам возмож¬
ность сразу видеть и порядок операций, и их число, да и
запомнить ее значительно легче, чем словесную.
Итак, первый вывод:
буквы помогают нам записывать законы операций над
числами (и не только над числами!) в удобной для запо¬
минания и использования форме.
Выполните несколько упражнений.
Запишите при помощи букв и знаков действий следующие
фразы:
1. Квадрат суммы двух чисел.
2. Сумма квадратов двух чисел.
3. Частное от деления разности кубов двух чисел на сум¬
му кубов этих же чисел.
4. Произведение суммы четвертых степеней двух чисел
на утроенную сумму двух других чисел.
Запишите при помощи букв и знаков действий следующие
утверждения:
5. Произведение суммы двух чисел на их разность равно
разности квадратов этих чисел.
6. Частное от деления разности кубов двух чисел на
разность этих же чисел равно неполному квадрату суммы
этих чисел. (Вспомните, какое выражение мы называем
«неполным квадратом суммы».)
Прочитайте записи:
7. (а + ЬНс-d).	ю.	.
8. 3(c+d)2.	11.	(3(а + b))2.
9. (Зх+yf.	12.
Прочитайте следующие утверждения и проверьте,	вер¬
ны ли они:
13. (a — bf = a2— 2ab-\-b2.
14. (a + bf =а3 + За2Ь + ЗаЬ2 + Ь3.
15. (о4 — b*):(a — b) = a3 -\-a2b + ab2 -\-Ь3.
16. (a-\-b)(a2—ab-\-b2)=a3-\-b3.
17. (£±1)!_(*^)’_а».
11

Но оказывается, что при помощи букв можно не только
удобно записывать законы и правила математических опе¬
раций.
Вспомните правило, по которому можно вычислить
длину окружности. Надо отношение длины окружности к ее
диаметру (известно, что это отношение одинаково для всех
окружностей и приблизительно равно 3,1415...) умножить
на длину диаметра.
Словесную формулировку этого правила запомнить до¬
вольно трудно. Но если длину окружности обозначить
буквой С, длину диаметра буквой d, а указанное отношение
буквой л, то получится запись:
С — nd,
что, конечно, запомнить гораздо легче. Записанные таким
образом правила обычно называют формулами (лат.
formula — форма, определенное правило).
Вы уже знаете немало формул, например:
С = 2лг — формула для вычисления длины окружности,
где буквой г обозначен радиус окружности,
S = лг2 — формула для вычисления площади круга,
где г — радиус круга,
S = ~ab — формула для вычисления площади S прямо¬
угольного треугольника, где а и b — его катеты,
V = a-b-c — формула для вычисления объема V прямо¬
угольного параллелепипеда, где а, Ь, с — его ребра.
Формулы — это буквенные записи правил, с помощью
которых, имея значения одних величин (длина, темпера¬
тура, время, сила тока и т. д.), можно получить значения
других величин (площадь, объем, скорость, ускорение, на¬
пряжение, теплота и т. д.).
Итак, второй вывод:
буквы помогают нам записывать в виде формул пра¬
вила нахождения числовых значений ряда величин.
Для того чтобы подойти к третьему, очень важному
выводу, решим сначала одну старинную задачу о фазанах
и кроликах.
Некто подошел к клетке, в которой сидели фазаны и кро¬
лики. Сначала он сосчитал головы, их оказалось 15. Потом он
подсчитал ноги, их было 42. Сколько кроликов и сколько
фазанов было в клетке?
12

Решим эту задачу дважды: сначала применяя буквы,
а потом по-старинному, без букв.
I
Пусть х — число кроликов, а у —
число фазанов.
Тогда по условию
х + у = 15.
У кролика 4 ноги, у фазана — 2,
значит, у всех кроликов 4х ног, а у
всех фазанов 2у ног, и по условию
4jc + 2z/ = 42.
Имеем систему уравнений:
( х + у = 15,
I 4jc + 2i/ = 42.
Умножим левую и правую части
первого уравнения на 2 и вычтем
его почленно из второго:
2jc = 12.
Отсюда Jt = 6, и из первого урав¬
нения у = 9.
Действительно, всего оказалось
15 фазанов и кроликов, ног у 9 фа¬
занов 18, у 6 кроликов 24, всего 42.
Задача решена.
II
Допустим, что в клетке были
только фазаны. У фазана две ноги,
значит, всего было бы 30 ног
(215 = 30).
А в действительности их было 42,
т. е. 12 «лишних» ног (42 — 30 = 12).
Чьи это ноги? Конечно, кроличьи.
Но у каждого кролика на 2 ноги
(4 — 2 = 2) больше, чем у фазана, зна¬
чит, эти «лишние» 12 ног принад¬
лежат 6 кроликам (12:2 = 6). Но ес¬
ли кроликов было 6, то фазанов 9
(15 — 6 = 9).
Действительно, у 6 кроликов 24
ноги, у 9 фазанов 18 ног, т. е. всего
42 ноги (24 + 18 = 42), что соответ¬
ствует условию задачи.
Задача решена.
13

Конечно, без букв в данном случае оказалось веселее,
но ведь зато и сообразительности потребовалось поболь¬
ше. Пожалуй, не всякий может справиться. А с буквами
любой сумеет решить. Не верится? Попробуйте-ка, не
используя буквенной записи условия задачи в виде уравне¬
ний, решить задачу, которую привел в рассказе «Репетитор»
А. П. Чехов.
Антон Павлович написал о том, как гимназист Егор
Зиберов занимался с ленивым и бестолковым мальчиком
Петей Удодовым. А чтобы в условии задачи вам было все
понятно, поясним, что аршин — старая русская единица
длины и равна 71,12 см.
18. «Учитель берет задачник и диктует:
— «Купец купил 138 аршин черного и синего сукна на
540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого,
если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное 3 руб.»
Повторите задачу.
Петя повторяет задачу и тотчас же, ни слова ни говоря,
начинает делить 540 на 138.
— Для чего же это вы делите? Постойте! Впрочем, так...
продолжайте. Остаток получается? Здесь не может быть
остатка. Дайте-ка я разделю!
Зиберов делит, получает 3 с остатком и быстро стирает.
«Странно,— думает он, ероша волосы и краснея.— Как
же она решается? Гм!.. Это задача на неопределенные
уравнения, а вовсе не арифметическая...»
Учитель глядит в ответы и видит 75 и 63.
«Гм!., странно... Сложить 5 и 3, а потом делить 540 на 8!
Так, что ли? Нет, не то».
— Решайте же! — говорит он Пете.
— Ну, чего думаешь? Задача-то ведь пустяковая! —
говорит Удодов Пете.— Экий ты дурак, братец! Решите уж
вы ему, Егор Алексеич.
Егор Алексеич берет в руки грифель и начинает ре¬
шать. Он заикается, краснеет, бледнеет.
— Эта задача, собственно говоря, алгебраическая,— го¬
ворит он.— Ее с иксом и игрэком решить можно. Впрочем,
можно и так решить. Я вот разделил... понимаете? Теперь
вот надо вычесть... понимаете? Или вот что... Решите мне
эту задачу сами к завтраму... Подумайте...
Петя ехидно улыбается. Удодов тоже улыбается. Оба
они понимают замешательство учителя. Ученик VII класса

еще пуще конфузится, встает и начинает ходить из угла
в угол.
— И без алгебры решить можно,— говорит Удодов, про¬
тягивая руку к счетам и вздыхая.— Вот, извольте видеть...
Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и
нужно было.
— Вот-с... по-нашему, по неученому.
Учителю становится нестерпимо жутко».
Чтобы вам тоже не было нестерпимо жутко, как Егору
Зиберову, составьте систему:
I х + у = 138,
\ 5jc + 3j/ = 540.
Конечно, с системой уравнений гораздо проще и легче.
Итак, третий вывод:
буквы помогают нам записывать условие задач в виде
уравнений, что намного облегчает решение этих задач.
Всегда? Нет, не всегда.
Во-первых, есть задачи, в которых применение уравнений
вовсе ни к чему.
Вот пример такой задачи.
19.
Собрали 100 кг грибов, их влажность оказалась 99%. За
день грибы немного подсохли и их влажность стала 98%.
Сколько теперь весят грибы?
Правильный ответ на эту простенькую задачу редкий
ученик находит сразу. У большинства получается чуть ли
не в два раза больше, чем должно быть. А у вас? Только не
спешите заглядывать в ответ!
Во-вторых... Впрочем, вот вам еще одна задача, которую
15

приводит сербский сатирик Бранислав Нушич в своей
♦ Автобиографии »:
♦Если шоферу господина министра социального обеспе¬
чения сорок лет три месяца и двенадцать дней, а мост в
городе Квибек в Канаде имеет длину пятьсот семьдесят
семь метров, то на скольких желтках нужно замесить лапшу,
чтобы накормить четырех человек различного возраста, если
принять во внимание, что ширина полотна на железных
дорогах Боснии 0,7 метра?»
Можно ли по условию этой задачи составить уравнение?
Безусловно, нет. Потому что величины, входящие в ее усло¬
вие (время, длина и т. д.), между собой никак не связаны, ни
одна не является, как мы говорим, функцией другой.
При решении задач надо установить эти связи, попытать¬
ся выразить одну величину через другую или через не¬
сколько других, выяснить, не являются ли одни величины
какими-то функциями других. Иногда это удается сделать
более или менее легко, иногда эти связи имеются, но мы или
не умеем их найти, или даже не знаем, каковы они; может
быть и так, как в задаче Нушича,— ясно же, что возраст
шофера не имеет никакого отношения к длине моста в Ка-
. наде, т. е. связей вообще нет. А вот в задаче вроде чехов¬
ской эти'Связи легко установить и записать при помощи букв.
Итак, четвертый вывод:
буквы помогают кратко и наглядно записывать, как
связаны друг с другом различные величины.
16
• •

Внимательный читатель заметит, что все эти четыре вы¬
вода тесно связаны друг с другом.
В школьной алгебре решают задачи путем составления
уравнений, изучают сами уравнения, изучают связи между
величинами (некоторые из этих связей называются функ¬
циями). При этом используются буквы (обычно мы говорим
более солидно: «применяется буквенная символика»), вы¬
ражения с буквами подвергаются различным преобразова¬
ниям (некоторые из них называются тождественными пре¬
образованиями). Но за всеми этими буквами чаще всего
скрываются числа.
Иногда говорят так: алгебра держится на четырех китах
(см. передний форзац) —
уравнение, число, тождество, функция.
Этими четырьмя китами мы занимаемся на уроках, о них
написан учебник, о них будем говорить и в этой книге. Обо
всех четырех сразу? И да и нет, так как отделить одного от
остальных невозможно — они «плавают» вместе. Но все же
сначала повнимательнее присмотримся к одному, потом к
другому и т. д.
Начнем с того, что вы, пожалуй, лучше всего знаете или
во всяком случае думаете, что знаете,— начнем с уравнений.
Китаб аль-джебр валь-мукабала
Кто и когда придумал первое уравнение?
...Первобытная мама по имени... впрочем, у нее, наверное,
и имени-то не было, сорвала с дерева 12 яблок, чтобы дать
поровну каждому из своих четырех детей. По всей вероят¬
ности, она не умела считать не только до 12, но даже и до 4
и уж несомненно не умела делить одно число на другое.
Но поделила она, если этого хотела, поровну, поступая так.
Сначала она дала каждому ребенку по одному яблоку, потом
еще по одному, снова по одному — и тут увидела, что и
яблок больше нет, и никто из детей не обижен. Если записать
эту историю на современном языке, то получится вот что.
Пусть х — количество яблок, доставшихся каждому ре¬
бенку. Детей было четверо, значит, Ах — общее количество
яблок. По условию это количество составляет 12, отсюда
следовательно, х = 3.
17

Получается, что мама решила задачу на составление
уравнения, обойдясь, конечно, без букв, цифр и еще каких-
либо знаков. Но ведь решила! Значит, ответить на вопрос
о том, кто, где и когда решил первое уравнение, невозможно.
Задачи, сводящиеся к простейшим уравнениям, люди ре¬
шали на основе здравого смысла с того времени, как они
стали людьми. А учебные задачи, которые мы сегодня ре¬
шаем при помощи уравнений, были хорошо известны
еще в Древнем Вавилоне и Древнем Египте, Древнем Китае,
Древней Индии и Древней Греции.
Решите несколько таких старинных задач!
Древнеегипетская задача.
20.
Количество и его четвертая часть дают вместе 15. Найти
количество.
Попытайтесь решить эту задачу в уме!
Древнеиндийская задача.
21.
Есть кадамба цветок.
На один лепесток пчелок пятая часть опустилась.
Рядом тут же росла вся в цвету сименгда,
И на ней третья часть поместилась.
Разность их ты найди, трижды их ты сложи,
На кутай этих пчел посади.
Лишь одна не нашла себе места нигде,
Все летала то взад, то вперед
И везде ароматом цветов наслаждалась.
Назови теперь мне, подсчитавши в уме,
Сколько пчелок всего здесь собралось?
Ну, пожалуй, в данном случае считать в уме не обязатель¬
но, лучше всего составить уравнение.
Старинная русская задача.
22.
Вопросил некто некоего учителя: «Сколько имеешь уче¬
ников у себя, так как хочу отдать сына к тебе в училище».
Учитель ответил: «Если ко мне придет учеников еще столько
же, сколько имею, и полстолько, и четвертая часть, и твой сын,
тогда будет у меня учеников 100». Сколько было у учителя
учеников?
18

Все это очень нетрудные задачи, и чтобы вы не заскучали,
решите еще одну — современную и чуть-чуть более сложную
задачу.
23.
Число десятков двузначного числа составляет две трети
числа единиц, а число, написанное теми же цифрами, но в
обратном порядке, больше первоначального на 18. Найти
число.
Решите эту задачу двумя способами — сначала при по¬
мощи уравнения, а потом — просто хорошенько подумав, без
всякого уравнения.
Теперь заметим, что во всех приведенных задачах ре¬
шение выполнялось по одинаковой программе.
Во-первых, во всех случаях неизвестное обозначается
какой-то буквой и условие задачи записывается в виде
уравнения. Интересно, кто и когда сделал это впервые?
Во-вторых, для упрощения уравнения при его решении
мы переносим его члены из одной стороны в другую. Кто и
когда придумал этот интересный прием?
В-третьих, во всех случаях в результате преобразований
уравнение записывалось в виде ах = b, после чего оставалось
разделить правую часть на коэффициент при неизвестном.
Тут, пожалуй, вопросов не возникает — это ведь тот самый
случай, когда а ребят съели b яблок; в нем разбиралась еще
первобытная мама.
Итак, нам надо бы ответить на два первых вопроса.
19

Еще древние египтяне для удобства рассуждений при¬
думали специальное слово, обозначавшее неизвестное число,
но так как у них еще не было знаков равенства и знаков
действий (вроде наших плюса, минуса), то записывать урав¬
нения они, конечно, не умели. Первый по-настоящему
серьезный шаг в этом направлении сделал замечательный
александрийский (по названию большого культурного, тор¬
гового и научного центра древнего мира — города Алек¬
сандрии; этот город существует и сейчас, он находится на
Средиземноморском побережье Египта) ученый Диофант,
использовавший в своем творчестве достижения египтян,
вавилонян и греков.
Жил Диофант, по-видимому, в III в. н. э., остальные
известные нам факты его биографии исчерпываются таким
стихотворением-загадкой, по преданию выгравированным на
его надгробии:
Путник! Здесь прах погребен Диофанта,
И числа поведать могут, о чудо, сколь долг был век его жизни.
Часть шестую его представляло счастливое детство.
Двенадцатая часть протекла еще жизни —
Пухом покрылся тогда подбородок.
Седьмую в бездетном браке провел Диофант.
Прошло пятилетье.
Он был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына,
Коему рок половину лишь жизни счастливой и светлой
Дал на земле по сравненью с отцом.
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился.
Скажи, скольких лет жизни достигнув,
Смерть воспринял Диофант?
Решите эту задачу, составив уравнение, только не по¬
думайте, что замечательным ученым Диофанта назвали за
умение решать такие уравнения. В его труде «Арифметика»
есть уравнения первой степени с одним неизвестным, но
главное в этой книге вовсе не в них. И прежде чем перейдем
к этому главному, попробуйте решить еще одно уравнение из
книги Диофанта, только решать его надо как уравнение с
одним неизвестным.
24.
Найдите три числа так, чтобы наибольшее превосходило
среднее на одну треть наименьшего, среднее было больше
наименьшего на одну треть наибольшего, наименьшее на 10
больше одной трети среднего.

Самое интересное у Диофанта — решение так называемых
неопределенных уравнений* (Помните, еще Егор Зиберов ду¬
мал, что задача о покупке сукна купцом сводится к неопре¬
деленным уравнениям?) На этих уравнениях сейчас останав¬
ливаться не будем. И второе, не менее интересное —
Диофант придумал обозначения для неизвестных.
Во времена Диофанта языком науки был греческий. Но
греки еще не знали цифр и обозначали числа при помощи
букв своего алфавита. Первые девять букв: а (альфа), (3 (бета),
у (гамма), ... обозначали числа от 1 до 9; следующие девять:
i (йота), х (каппа), ... обозначали числа от 10 до 90; наконец,
следующие девять: р (ро), о (сигма), ... обозначали числа
от 100 до 900. Чтобы не ошибиться и не принять число за
слово, над буквами, обозначающими число, ставилась чер¬
точка. Букв в алфавите было 28, одна из них была особой —
она обозначалась q (сигма концевая), ставилась только в
конце слов и числового значения не имела. Вот ею-то
Диофант и стал обозначать первую степень неизвестного,
так же как мы обычно обозначаем ее буквой х.
Придумав это, Диофант, по-видимому, уже быстрее стал
двигаться дальше. Во всяком случае в «Арифметике» он
обозначал специальными значками не только первую, но и
вторую, третью, четвертую и даже пятую и шестую степени
неизвестного. Например, квадрат неизвестного он обозначал
значком Av (первые две буквы знакомого вам греческого
слова Arvapic; — «дюнамис», что означает «сила»).
Ну а если и числа, и неизвестные записаны специаль¬
ными символами, то нелепо будет записывать словами ука¬
зания о действиях над ними! И Диофант вместо слова
«получится» или «равняется» стал писать ю — две первые
буквы слова laog («исос» — равный). Это слово тоже вам,
наверное, знакомо. Без сомнения, вы что-то слышали про
изотопы, изобары, изотермы.
Диофант придумал знак и для вычитания — им служила
буква т]) (пси), только перевернутая, укороченная и упрощен¬
ная по форме, т. е. вот такая:А. А без знака сложения
Диофант обходился довольно просто — слагаемые записывал
рядом друг с другом.
Например, уравнение
Зх2 —10#= 13
Диофант записал бы так:
- -	_	о
iy.
21

Диофант записывал коэффициенты справа от неизвест¬
ных, кроме того, в уравнениях он обязательно ставил перед
свободным членом значок М — первые две буквы слова
Movas («монас»)—единица, т. е. писал «тринадцать еди¬
ниц».
Диофант придумал еще несколько математических зна¬
ков, но их в наше время не применяют, и мы не будем о них
рассказывать. Придумал Диофант и два основных приема ре¬
шения уравнений — перенос неизвестных в одну сторону
уравнения и приведение подобных членов.
В средневековой Европе мысли Диофанта получили боль¬
шое распространение и развитие. В XVII—XVIII вв. бук¬
вами для обозначения неизвестных (переменных) стали поль¬
зоваться уже все математики. Приемы решения уравнений
попали в Европу особым путем, и тут нам придется обра¬
титься к очень интересным страницам истории средних
веков, страницам, о которых в школьных учебниках
сказано кратко.
В VII—VIII в. н. э. арабы завоевали огромные простран¬
ства и создали на них государство, охватывавшее террито¬
рию, на которой ныне расположены многие государства
Северной Африки (включая Египет) и Азии (Иран, Сирия,
Ирак, часть республик Советского Закавказья и Средней
Азии, часть Афганистана). В 762 г. столицей этого госу¬
дарства — халифата стал город Багдад, нынешняя столица
Ирака.
Народы, завоеванные арабами, по культурному уровню
и знаниям были значительно выше завоевателей. Особенно
это относилось к сирийцам, успевшим к тому времени пере¬
вести на свой язык труды великих ученых Древней Греции —
Аристотеля и Платона, Гиппократа и Галена, Евклида и
Архимеда и многих других. Правители халифата хорошо
понимали, что у древних стоит и нужно учиться.
В Багдаде был создан «Дом мудрости», куда по воле ха¬
лифа собрали образованных людей со всех сторон халифата.
Эти мудрецы не только переводили труды своих великих
предшественников, но и творили сами. Одним из них был
Мухаммед бен Муса а ль-Хорезми (787—ок. 850).
Аль-Хорезми — не фамилия, это своеобразное прозвище,
обозначающее, что Мухаммед, сын Мусы, происходит из
Хорезма. Хорезм, крупный оазис в низовьях Амударьи был
заселен людьми в глубочайшей древности, там еще в I тыс.
до н. э. существовала высокая культура. В VIII в. арабы
завоевали Хорезм и уничтожили эту древнюю культуру.
22

Об аль-Хорезми известно лишь, что он написал ряд трудов
по астрономии и географии. И самое главное — он написал
сочинение, которое по-арабски называется «Китаб аль-джебр
валь-мукабала». Это сочинение оказало большое влияние на
развитие математики в Европе, а само слово «аль-джебр»,
входившее в название книги, постепенно стало названием
науки — алгебра.
На русский язык название трактата знаменитого хорез¬
мийца переводится так: «Книга о восстановлении и про¬
тивопоставлении». О каком восстановлении и противо¬
поставлении идет речь?
Пусть нам дано, например, уравнение:
5х — 9 = 12 — 2х.
Перенесем —9 вправо с противоположным знаком и —2х
влево, тоже с противоположным знаком:
5x + 2jc = 12 + 9.
Минусов больше нет! Теперь осталось привести подобные:
7х~21
и выполнить деление:
х = 3-
Число 9 было слева от знака равенства, мы его не стали пи¬
сать с этой стороны, а восстановили (аль-джебр) справа.
Выражение —2х было справа от знака равенства, мы его
уничтожили там, но восстановили (аль-джебр) слева. Потом
сложили 5х и 2х, сопоставив их рядом (валь-мукабала), а
потом поступили точно так же с 12 и 9, сделав и им валь-
мукабала.
В «Китаб аль-джебр валь-мукабала» нет двух очень важ¬
ных для решения уравнения вещей. Во-первых, аль-Хорез¬
ми, наверное, не был знаком с «Арифметикой» Диофанта
и поэтому не использовал изобретенных им отрицательных
чисел. Во-вторых, он совсем не использовал никаких букв и
символов, кроме обозначения цифрами чисел. Алгебра
совсем без букв, все на словах, все в уме. Такая алгебра —
ее позднее назвали «риторической» (от греческого «рито-
рео»—произношу речь) — требовала большого мастерства
и была очень трудной. Совсем трудно стало тогда, когда люди
научились решать уравнения не только первой степени и не
только с одним неизвестным.
23

Любознательность математиков
Одно из замечательных качеств математика-профессиона¬
ла — любознательность. Вот он что-то сделал, и сделал не¬
плохо. Можно успокоиться. Но нет! А что если попробовать
сделать по-другому? А что будет, если... А быть может,
вот так... А нельзя ли этот способ, этот метод решения за¬
дачи применить в других обстоятельствах?
Вот обыкновенное уравнение первой степени с одним
неизвестным:
ах + Ь = 0, аф0.
Все другие уравнения первой степени с одним неизвест¬
ным могут быть приведены к этому виду. Мы знаем его
решение:
ь
х= .
а
Успокоимся? Нет! А что если степень будет не первой? А что
если неизвестных будет не одно, а несколько? А если...
Впрочем, может быть, это все не нужно?
Но вот простые примеры.
25.
Известно, что площадь круга вычисляется по формуле
S = £ir2. Каков радиус круга, площадь которого должна быть
равной 10 м2?
Практическая задача? Конечно. А как ее решить? Очень
просто — надо решить уравнение лг2 = 10; неизвестное ока¬
залось во второй степени, т. е. получилось уравнение, ко¬
торое в общем виде запишется так:
аде2+ 6=0.
26.
Доказано, что самая выгодная форма для хранения жид¬
костей и газов — шар, так как на его изготовление уходит
меньше всего материала при заданной вместимости. Допустим,
нам потребовалось изготовить резервуар в форме шара для
1000 м3 газа.
Подскажем, что для вычисления объема шара приме¬
няется формула V = 4- лг3, а для вычисления площади
о
его поверхности формула 5=4лг2. Составьте формулу для
24

v= fXr3
s=4Xrs
вычисления площади поверхности резервуара, если известен
только его объем, и подсчитайте, какое количество мате¬
риала (в квадратных метрах) понадобится для его соору¬
жения. Какой степени уравнение у вас получилось?
27.
Надо узнать, сколько времени будет падать камень, бро¬
шенный вертикально с крыши четырехэтажного дома, т. е. при¬
близительно с высоты 12 м.
gt2
Из физики вам известна формула s =	.	В	нашей за¬
даче s — 12 м — путь падения, t — время (его нам надо
найти), a g = 9,8 м/с2 — ускорение свободного падения, в
данном случае его можно округлить до 10 м/с2.
Итак, 12 =^— или 5t2 = 12. Надо решить уравнение
вида ах2 + b = 0, т. е. уравнение второй степени с одним
неизвестным.
Короче говоря, такие уравнения имеют практическое
значение. Самые простые из них (по площади квадрата
найти его сторону и т. п.) люди умели решать еще в Древнем
Египте. В школьном учебнике подробно описан способ по¬
лучения формулы для решения уравнения ах2 -\-Ьх-\-с = 0,
показан и путь перехода от такого уравнения к так назы¬
ваемому приведенному квадратному уравнению.
Но с ^его все началось?
В ДреЬнем Вавилоне грамотные люди (ими чаще всего
были жре!ц>1 и чиновники) умели решать довольно сложные
уравнения, в том числе и уравнения второй степени. Мы,
конечно, не будем решать эти уравнения так, как это дела¬
лось три тысячи лет назад, но с одной из идей решения,
предложенных вавилонскими математиками, сейчас позна¬
комимся, используя все же буквенную запись.
25

Вспомним теорему Виета:
СУММА КОРНЕИ ПРИВЕДЕННОГО КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
РАВНА ВТОРОМУ КОЭФФИЦИЕНТУ, ВЗЯТОМУ С ПРОТИВОПОЛОЖ¬
НЫМ ЗНАКОМ, А ПРОИЗВЕДЕНИЕ КОРНЕИ РАВНО СВОБОДНОМУ
ЧЛЕНУ.
Иначе говоря, для уравнения
x2+px + q = О
справедлива система равенств:
г х, +х2= —А
I Х\ -x2 = q.
Справедлива и теорема, обратная теореме Виета: если
сумма двух чисел равна — р, а произведение равно q9 то эти
числа являются корнями приведенного квадратного урав¬
нения
х2 + рх + q = 0.
Так вот, хотя Франсуа Виет тогда еще не родился, более
того, еще и родины его — Франции не существовало, вави¬
лоняне знали эти факты, выражая их, конечно, немножко
26

по-другому. Как получилось такое несоответствие и почему
теорема все-таки носит имя Виета, будет рассказано немного
позднее, а сейчас заметим, что задачи, которые сегодня мы
свели бы к квадратному уравнению, вавилоняне часто рас¬
сматривали как задачи на определение длины и ширины
прямоугольника по известной его площади и либо сумме
длины и ширины (полупериметру, как сказали бы мы
сегодня), либо «избытку длины над шириной» (мы бы просто
сказали — разности). Иначе говоря, если Х\ — длина, *2 —
ширина, q — площадь, р — сумма длины и ширины или их
разность, то на нашем языке
либо (*■•**=«;	либо	{*<•**=«;
I X] -\- Х‘) = р,	1*1— *2=Р-
Решим первую систему. Для этого, во-первых, возведем
второе уравнение в квадрат (вавилоняне прекрасно умели
делать это), а первое уравнение почленно умножим на 4:
|	4*1*2	= 4 q;
' х2\ +2*1*9-\-xi-p1-
А теперь вычтем из второго уравнения первое и извлечем из
обеих частей нового уравнения корень, причем так как
длина всегда больше ширины, то *}—*2—положительное
число и при извлечении корня каких-либо неприятностей
не произойдет:
*1 — 2*i *9 Ч~ *2 = Р2 — 4д;
*i — *2=д/р2 — 4д .
Теперь, когда нам известна и сумма длины и ширины, и их
разность («избыток длины над шириной»), получилась очень
простая система уравнений первой степени с двумя неиз¬
вестными :
1 А
I Х\ —x2—\lp—4q ;
1 *1 +Х-2=р.
Решив эту систему (доведите решение до конца сами!),
получим:
х — Р | Vp2-4<7 .	-\!Р'
х\ —IT	 о	 *	-*2	—
p^ — 4q р
2 х 2 ’ ‘ 2 2 ’
Попробуйте самостоятельно провести такие же рассужде¬
ния для второй системы, у вас должно получиться:
27

А теперь вспомните, что для решения квадратного
уравнения вида х2 -|- рх + q = 0 вы пользовались формулой
Похоже? Конечно, только наш способ проще за счет при¬
менения отрицательных чисел — вместо двух приемов ре¬
шения, вместо двух систем уравнений мы учим всего одну
формулу. Запоминать эти два приема, не записывая ни¬
чего, кроме вычислений, было нелегко, и люди долго искали
пути для облегчения своего труда.
Евклид (III в. до н.э.) решал квадратные уравнения,
применяя геометрический способ. Этот способ был нисколь¬
ко не легче, чем тот, которым пользовались в Вавилоне.
Значительно упростил дело аль-Хорезми. У него получи¬
лось несколько разных видов квадратных уравнений, для
решения каждого из них он предложил правило, в точности
соответствующее действиям по нашим формулам, только из¬
ложенное риторически. Вот как он поступает в одном из
случаев: «Что касается квадратов и корней, равных числу,
то если, например, ты скажешь: квадрат и десять его кор¬
ней равны тридцати девяти дирхемам, то это значит, что
если добавить к некоторому квадрату то, что равно десяти
корням, получится тридцать девять». (Дирхем или драхма —
название древнегреческой монеты, первоначально — дневное
жалованье афинского солдата.)
Иначе говоря, речь идет об уравнении
дг + 10л: = 39.
Мы бы написали: лс2-|-10л: — 39 = 0, но аль-Хорезми это
неудобно, он ведь старался обходиться без отрицательных
чисел!
Далее он пишет: «Правило таково: раздвой число кор¬
ней, получится в этой задаче пять, умножь это на равное
ему, будет двадцать пять. Прибавь это к тридцати девяти,
будет шестьдесят четыре. Извлеки из этого корень, будет
восемь, и вычти из этого половину числа корней, т. е. пять,
останется три: это и будет корень квадрата, который ты
искал».
А второй корень? Ну, ответить на вопрос, почему аль-Хо¬
резми не искал второго корня, вы теперь и сами сможете.
А все же — почему?
Теперь задумайтесь, пожалуйста, вот о чем. Если вы бу-
28

дете решать уравнение jc2 + 10jc — 39 = 0 по формуле, из¬
вестной вам из школьного учебника, то будут ли ваши вы¬
числения по существу отличаться от вычислений, выполняв¬
шихся тысячу лет назад арабскими математиками? Ко¬
нечно, нет. Значит, если вы попытаетесь — мысленно, ко¬
нечно,— соревноваться с математиком тех времен на ско¬
рость решения квадратных уравнений, то еще неизвестно,
кто кого победит. Пожалуй, вы можете проиграть — устно
они считали очень быстро. Л вы?
Итак, мы видели, что и уравнение ajc + fe = 0, и урав¬
нение ах2 -\-Ьх-\-с=0 можно, в общем-то, решить почти без
алгебры, т. е. не записывая каких-либо формул, не зная
буквенных обозначений, а только лишь хорошо запомнив
многочисленные правила. И люди очень долго именно так и
делали. Но при решении уравнений третьей, четвертой и
более высоких степеней без настоящей алгебры двигаться
было трудно.
Для математиков, уже умевших — после вавилонян, Ев¬
клида и аль-Хорезми — решать линейные и квадратные
уравнения, самым желанным было научиться решать урав¬
нения третьей степени (кубические). Это желание понятно:
ведь третья степень, куб — это объемы, их надо уметь вы¬
числять, надо уметь решать и обратную задачу — зная
объем куба, найти его ребро. Решение самого простого куби¬
ческого уравнения ахг = Ь трудностей не составляет:
из чисел или если у вас есть таблицы таких корней, то все в
порядке.
На новую ступень
если вы умеете извлекать кубические корни
29

Действительно, решим, например, такое уравнение:
2х3 — 54 = 0.
Перенеся член, не содержащий неизвестного, направо, по¬
лучим 2л:3 =54. Разделим правую и левую части уравнения
на коэффициент при х9 получим х3 = 27. Остается сообразить,
что 27 = 3*3*3, значит, л; = 3, и задача решена. Мы не вос¬
пользовались ни таблицами, ни каким-либо правилом из¬
влечения кубического корня потому, что в этом примере
очень удачно подобраны коэффициенты. Но мы понимаем,
как решается уравнение вида ал:3 + 5 = 0 и при других зна¬
чениях коэффициентов.
И это все? Или могут встретиться еще какие-то другие
виды уравнений третьей степени и, следовательно, понадо¬
бятся какие-то другие приемы их решения?
Первым, кто отчетливо поставил этот вопрос и так же
отчетливо ответил на него, был замечательный таджикский
поэт и ученый Омар Хайям (ок. 1048 — ок. 1123), мастер
блестящих по остроумию и изяществу, коротких (всего че¬
тыре строки) стихотворений— «рубай». Все они переведены
на русский язык и неоднократно издавались, вы можете
получить большое удовольствие, познакомившись с ними.
И хотя наша книга посвящена математике, мы все же
приведем один пример его поэтического творчества.
Чтоб мудро жизнь прожить, знать надобно немало.
Два важных правила запомни для начала:
Ты лучше голодай, чем что попало есть,
И лучше будь один, чем вместе с кем попало.
Нравится? Полезные правила? Или они годились только для
современников Хайяма?
В своих математических трудах Омар Хайям — конечно,
без буквенной символики и отрицательных чисел — описал
все возможные виды уравнений третьей степени и рас¬
смотрел геометрический способ их решения.
Современный школьник кое в чем разбирается лучше,
чем средневековый ученый, и поэтому мы не будем строго
следовать Хайяму. Прежде всего, нам гораздо легче, чем
человеку, не использующему буквенную запись, догадаться,
что все кубические уравнения являются разновидностями
уравнения самого общего вида, которое может быть за¬
писано так:
ах3 + Ъх1 + сх d = 0.
30

Рис. 3
В этом уравнении а не равно нулю, иначе уравнение из
кубического превратилось бы в квадратное. Значит, правую
и левую части уравнения можно разделить на а и, обозначив
b	с	d
— = р, ~ = Q и — = г, получить уравнение
х3 + рх2 -\-qx-\-r = 0.
Попробуем вслед за Хайямом перевести на геометриче¬
ский язык выражение х3 -\-рх2 -\-qx-\-r. Первое слагаемое
можно понимать как куб с ребром х (рис. 3). Произведение
рх2 — это прямоугольный параллелепипед с высотой р и
квадратным основанием, причем сторона основания равна х
(на рис. 3 мы «приделали» этот параллелепипед к кубу лг3).
Слагаемое qx запишем таким образом: qx = --х2. Это да-
Х>
ет возможность «приделать» к нашей конструкции еще один
прямоугольный параллелепипед все с тем же основанием х2
и высотой -j-. Новый параллелепипед представляет теперь
сумму х3-\-рх2 +— -лг2, равную х3+рх2 + qx. Но как пред-
Х>
ставить число г? И что делать с этим воображаемым парал¬
лелепипедом — ведь фактически, зная конкретные значения
коэффициентов, его даже и не построишь!
Омар Хайям придумал очень сложные и красивые спо¬
собы геометрических построений для отыскания неизвест-
31

ного, точнее даже не для этого, а для доказательства прин¬
ципиальной возможности решения подобных уравнений. Но
все же для практического решения конкретных задач его
приемы не годятся. И дело не только в трудностях гео¬
метрических построений, а в том, что на этом пути — гео¬
метрическом — не очень-то видны хорошие перспективы.
Ведь если мы даже и научимся геометрическому решению
кубических уравнений, то что делать с уравнением чет¬
вертой степени? А как представить геометрически х5?
Надо искать настоящий алгебраический путь, а для
этого сначала вспомним прием решения квадратных урав¬
нений, который называется выделением полного квадрата.
Пусть дано уравнение
x2-\-px + q = 0.
Преобразуем его левую часть следующим образом:
x2+px + g = x2 + 2x~ + ^-^+q^x + Y-) ~~j •
Теперь исходное уравнение можно записать в виде:
(* + 1Г)
p~ — 4q
и решить его, перенося известное число —1 направо и
извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения:
*+i=±- р1“4*
Остается записать:
Это вы, конечно, хорошо знаете. Но сейчас запишем
известные вам рассуждения иначе.
В чем смысл проделанных преобразований квадратного
трехчлена? До них мы умели решать уравнения вида
х2 + <? = 0, но не умели решать квадратные уравнения вида
х2 -\-рх-\- q — 0, так как в этих уравнениях «мешало» сла¬
гаемое рх. Чтобы избавиться от него, мы вспомнили фор¬
мулу квадрата суммы двух чисел и вместо того, чтобы
искать х, сначала ищем х	Математики	в	подобных
случаях обычно говорят:
j р
«сделаем подстановку 2 = х-(--^-».

Тогда данное уравнение приведется к виду г1 — А, где
- р2 -4q
А —	4~ t а такие уравнения мы умеем решать.
В уравнении х3 рх2 qxг ~0 нам мешают два слагае¬
мых рх1 и qxy т. е. те члены, которые содержат неизвестное,
но не в третьей, а в первой и второй степени. Не пойти ли нам
по уже испытанному при решении квадратного уравнения
пути, выделяя, конечно, не полный квадрат, а полный куб?
Может быть, эти «лишние», мешающие нам члены исчезнут
и получится хорошее уравнение г3 = А, которое мы, конечно,
легко решим?
Но прежде чем пойти по этому пути, сделаем небольшое
отступление. В школьных учебниках, да и в других книгах
по математике, большинство рассуждений и доказательств
проводится не на конкретных примерах, а в общем виде.
И может возникнуть впечатление, что и сами математические
открытия делаются обычно в общем виде. А в действитель¬
ности дело обстоит далеко не так. До того как изложить
общий способ решения задачи или доказательства теоремы,
математик очень часто — почти всегда — ищет частные при¬
меры, подтверждающие или опровергающие его мысль.
Если пример приведет к опровержению мыЬли — поиск про¬
должают в новом направлении, а если пример подтвердит
ее — ищут общее доказательство. Вот и мы сначала попробу¬
ем решить частный пример. Если сумеем — будем искать
общее доказательство, а если увидим, что дело не идет,—
попытаемся отыскать другой путь.
Итак, попытаемся выделить полный куб в таком, на¬
пример, уравнении:
*3 + 2х2 — 5jc — 6=0.
Мы помним, что (д: + а)3 = л:3 + Зд:2а + За2х + а3. Значит,
чтобы выделить полный куб из левой части данного нам
уравнения, надо превратить в нем 2х2 в Злга, т. е. надо
отыскать такое а, чтобы было справедливо равенство
2дг = 3х2а. Легко вычислить, что а = ~ . Преобразуем теперь
левую часть данного уравнения следующим образом:
jc3 + 2х~ — Ьх — 6 =
= *ЧЗл:‘-4 - 3*.|+3*.f+1-1 - 5д —6 =
=(*+4)’-61*-6'Г7-
2 Зак. 2056 J1. Ф- Пичурин
33

^ .22
Если сделать подстановку z = x-\~— , т. е. x = z—г-, то
о	о
исходное уравнение примет вид:
23-612-2й=°-
Нельзя сказать, что получилось очень уж красиво,—
вместо целых коэффициентов у нас теперь дробные, зато
член уравнения, содержавший квадрат неизвестного, исчез!
Но приблизились ли мы к цели? Ведь член, содержащий
первую степень неизвестного, остался. Может быть, надо
было выделять полный квадрат так, чтобы исчез член — 5jc?
Для этого надо отыскать такое а, чтобы 3ха2 = — 5jc, т. е.
чтобы а2 = —. Но тут что-то совсем нехорошо — в этом
О
равенстве слева записано заведомо положительное число
(а почему заведомо положительное?), а справа — отрица¬
тельное, такого равенства вроде бы и быть-то не может.
Значит, на этом пути мы вовсе застрянем... И хотя вы, на¬
верное, уже сообразили, что таким путем можно ♦ изгонять»
из квадратного уравнения член, содержащий первую степень,
из кубического — содержащий вторую, из уравнения четвер¬
той степени — куб, из уравнения пятой степени — четвер¬
тую степень, вообще из уравнения степени п член степени
п — 1, все же решения пока не получается.
Но, может быть, это уравнение вообще решить нельзя?
Ничего подобного! Числа —3, —1 и 2 являются его кор¬
нями, и это легко проверить — достаточно подставить в ле¬
вую часть уравнения вместо х любое из этих чисел. Под¬
ставим, например, —3:
( —3)3 + 2(-3)2 —5( —3) —6= — 27 + 18 + 15 — 6 =
=33 — 33=0.
Все правильно, — 3 — корень данного уравнения. Проверьте
остальные числа!
Из Азии в Европу
Итак, на избранном пути нас постигла неудача. Но не
будем расстраиваться — со времен Омара Хайяма ученые
средневековья почти четыреста лет искали формулу для ре¬
шения уравнения третьей степени. Были периоды, когда на¬
чинало казаться, что сил человеческого ума для решения
34

этой задачи недостаточно. А Томас Торквемада
(1420—1498) — вы, наверное, слышали на уроках истории о
том, сколь жесток был этот деятель испанской инкви¬
зиции,— считал, что решение таких уравнений волей бога
изъято из возможностей человеческого разума. И когда
один из его друзей, математик по имени Паоло Вальмес,
неосторожно сказал Торквемаде, что он, Вальмес, умеет ре¬
шать даже уравнения четвертой степени, Торквемада бро¬
сил его в тюрьму, а затем отправил на костер за «борьбу
с божественной волей». Остается добавить, что Вальмес
никому не успел сообщить о своем открытии. Было это в
конце XV в.
Однако ни трагическая судьба одних, ни неудачи других
не могут остановить прогресса — это относится не только к
алгебре. В XVI в. способ решения уравнений третьей степени
был открыт. История его открытия напоминает приклю¬
ченческий роман, очень характерный для того бурного
времени, времени Николая Коперника, Джордано Бруно,
Эразма Роттердамского, Томаса Мора, Франсуа Рабле,
Мигеля Сервантеса, Лопе де Вега, Вильяма Шекспира, Ти¬
циана, Рафаэля, Леонардо да Винчи...
*

Сегодня ученый, сделав какое-либо открытие, стремит¬
ся поскорее рассказать о нем на научной конференции, опуб¬
ликовать статью в научном журнале. Совсем не так было
в XVI в. Сделав открытие, средневековый мыслитель
обычно скрывал его как можно дольше, оставаясь, так
сказать, единственным владельцем того, чего нет ни у кого
другого. Так было и в этом случае.
Для математиков того времени существовало не одно
уравнение третьей степени
х3 + рх2 + QX + г = О,
а несколько, из которых главнейшими были три:
x3+px = q;
x3=px + q;
x3+px2 = q.
Почему не одно? Потому что в те времена рассматривались
лишь уравнения с положительными коэффициентами.
Первым из них было решено уравнение
x3-\-px = q.
Это удалось сделать итальянскому математику Сци¬
пиону Даль Ферро (1465—1526). Рассуждал он,
по-видимому, так. Корень квадратного уравнения есть
, т. е. он есть сумма двух чисел, одно
из которых является дробью, а второе — квадратным корнем.
Иначе говоря, x — t±^[u. Наверное, корнем уравнения
x3-{-px = q тоже должна быть сумма или разность каких-то
чисел, причем, наверное, среди них должны быть и корни
третьей степени. Каких же именно? Из многочисленных
вариантов один оказался удачным: ответ надо искать в виде
разности
з ГГ 3 г-
— у и.
Еще труднее было догадаться, что t и и надо подобрать так,
чтобы ^jtu=-j (иначе говоря, 3yfu—р).
В том, что этот путь удачен, мы сейчас убедимся без особо¬
го труда. Подставим в уравнение
x3 + px = q
3гг	Ъ[~
вместо х разность -\it — -уи, а вместо р — произведение

3д/tu, получим:
($t — \fu)3 + 3$tu(\!'t — \lh) = q.
Раскроем скобки:
t — З-^^ы + Зд/пг — u + 3^/f2u — Зд/ta2 =q.
После приведения подобных получим
t — u = q.
Теперь имеем систему уравнений:
t — u = q,
tu=(i) '
Возведем правую и левую части первого уравнения в
квадрат и прибавим к нему учетверенные правую и левую
части второго уравнения:
t'2 + 2tu + u2 = g'J + 4(^-) ;
*+“-2л/(1)!+(1)' ■
Имеем новую систему:
Отсюда
'=V(i)‘+(i)"+i;	*=л/(1)+Ш
Остается вернуться к самому началу:
3/— Зг"
x=yf — Уи=
2
3 >	>■	'	3	g
1У+(1)+|-л/л/(|)'+(1)
Решим, например, такое уравнение:
д:3 + 9х = 6.
Здесь р = 9, <7 = 6, значит, (у) =27 и £ — и — 6.
Нетрудно подсчитать, что f = 9 и и = 3.
37

Никколо
Тарталья
Джероламо
Кардано
Значит, х — -\/9 — ^3. Ответ получился не очень краси¬
вый, но ведь получился! Подставьте вместо х его значение,
и вы сможете убедиться, что корень найден верно.
Даль Ферро не опубликовал найденного им метода, но
некоторые его ученики знали об этом открытии, и вскоре
один из них, Антонио Фиор, решил этим воспользоваться.
В те годы были распространены публичные диспуты по
разного рода научным или считавшимся научными вопро¬
сам. Победители таких диспутов обычно получали неплохое
вознаграждение, их часто приглашали на высокие долж¬
ности, от исхода научного поединка нередко зависела судьба
ученого. Фиор рассчитывал на победу в любом диспуте,
ведь он умел то, чего не умели другие (правда, он не
умел многого, что другие умели!).
В это время в итальянском городе Верона жил небога¬
тый учитель математики Никколо (1499—1557), прозван¬
ный Т а р т а л ь е й, т. е. заикой. Тарталья был очень та¬
лантливым человеком и сумел заново открыть прием,
изобретенный Сципионом Даль Ферро.
Состоялся поединок между Фиором и Тартальей. По
условию соперники обменялись тридцатью задачами, на ре¬
шение которых отводилось пятьдесят дней. Но так как Фиор
знал по существу лишь одну задачу и был уверен, что
какой-то учитель решить ее не сможет, то все тридцать его
задач оказались однотипными. Тарталья к их решению был
хорошо подготовлен и справился со всеми тридцатью за
два часа. Фиор же не смог решить ни одной из задач, пред¬
ложенных его противником. Победа прославила Н. Тар-
талью на всю Италию, но вопрос до конца решен не был.
Тот простой прием, с помощью которого мы легко и уве¬
ренно справились с членом уравнения, содержащим квадрат
неизвестной величины, еще не был открыт, кроме того, надо
было привести в систему все, что было известно о решении
разных видов кубических уравнений. Все это удалось сде¬
лать Джероламо Кардано (1501 —1576).
Д. Кардано был выдающимся врачом, философом, мате¬
матиком и механиком (все, кто имеет отношение к автома¬
шинам, знают о так называемой карданной передаче). Он
написал большую книгу, посвященную алгебре. Главным
украшением этой книги и была «формула Кардано», как
ее называют теперь. Это та самая формула, которую от¬
крыл Сципион Даль Ферро и переоткрыл Никколо Тар¬
талья. Между Тартальей и Кардано было много споров о
первенстве в открытии этой формулы. Историки до сих пор
38

не пришли к единой точке зрения по этому вопросу. Да это
и не так важно. Важнее другое — когда развитие науки
приводит к необходимости решения той или иной проблемы,
обязательно находятся люди, способные на это. Обратите
внимание — находятся обязательно, только все же не кто
попало, не кто захочет, а лишь тот, кто способен, трудолюбив,
подготовлен, талантлив...
Итак, по формуле Кардано
-i+V(0+(4)
можно наити корни уравнения
:С+/?х+д = 0.
Но формулу Кардано нельзя применять без учета некоторых
дополнительных условий и ограничений. Например, если вы
начнете решать с ее помощью уравнение, над которым мы
трудились в предыдущей главе, то результаты даже самых
первых шагов могут поставить вас в тупик.
£1	1	19	о -	Ot\
В нашем примере р = — 6-^-=	^ , <? = - 2	:
о	О	-W	S.	i
Легко подсчитать, что
р3	193	6859	<г_282-2-	784
И
27	27-3*	27"	4	4-27"	27
-6859 + 784	6075	225
272	“	272	“	27	•
А дальше? Из числителя этой дроби квадратный корень
извлекается легко, получится 15. А что делать со знамена
телем? Мало того, что корень не извлекается надело, так
ведь еще извлекать-то его надо из отрицательного числа!
Вспомним, что корнем квадратным из числа а называется
число, квадрат которого равен а, вспомним и то, что квадрат
любого неравного нулю числа есть число положительное,
а тут получается минус... Смущает вас это? Не расстраивай
тесь — это место смущало очень многих, в том числе* и
самого Кардано.
Может быть, формула Кардано неверна?
Решим уравнение
г*+ 15*+ 124=0.
Здесь нет члена, содержащего дг, поэтому формул;*
можно использовать сразу, имея в виду, что	о 121.

Итак,
х=д/— 62+V622 + 53 + ^/ — 62—д/б22 + 53 =
=-}_ 62 +л/3969 +^-62-V3969 =
= ^/-62 + 63 + -^ —62 —63=л^+1+^ —125 =1—5 = -4.
И действительно, (— 4)3 +15 • (— 4) +124 = — 64 — 60 +124 =
= 0, значит, —4 — корень уравнения, которое нам удалось
решить по формуле Кардано.
Только сразу же возникает вопрос. Уравнение первой
степени имеет один и только один корень. Уравнение второй
степени имеет либо два корня (они могут оказаться одина¬
ковыми), либо ни одного. А уравнение третьей степени?
Один, как у только что решенного уравнения? Или у него
еще есть корни, только мы их не сумели найти? Ведь в том
примере, который мы рассматривали в конце предыдущей
главы, было три корня. А ни одного корня может быть?
А два? А три одинаковых? Тут получается не один, а очень
много вопросов, каждый из которых влечет за собой новые
вопросы, и ответы на них составляют содержание одной из
интереснейших глав алгебры.
Отец алгебры
Избранный нами для решения кубического уравнения
путь выделения полного куба не привел нас к успеху. Но
есть очень хорошее житейское правило, относящееся и к ма¬
тематике : если что-то не получается — остановись, подумай,
вернись к началу.
Вернемся и мы к квадратным уравнениям. Вспомним
самый привычный вид таких уравнений:
х2+px + q = 0.	(1)
Для	решения	уравнений вида (1) имеем	формулу
*1.2= — -§■ ± Л/^г-q-
Зная корни уравнения (1), можем записать его в таком
виде:
(х — Х\) (х — х<2) = 0.	(2)
А если	раскрыть	скобки, то из уравнения (2)	получим	такое
40

уравнение:
jc'2 —- (JCI -j- X'))x -|- X i Xo = 0.	(3)
По существу все три формы (1), (2) и (3) и есть запись
одного и того же: дан квадратный трехчлен, при некоторых
значениях переменной он становится равным нулю, надо
отыскать эти значения. В случае (1) действуем по формуле,
в случае (2) корни уже известны — мы еще с пятого класса
знаем, что произведение равно нулю тогда, когда хотя бы
один множитель равен нулю. Случай же (3) есть просто
другая форма записи уравнения (1). Но эта форма дает
возможность представить уравнение второй степени (1) в
виде системы двух уравнений:
( хх+х2 = —р;
\ Х)-Х2 = q.
Преобразуя эту систему, можно найти корни, именно так и
поступали в Древнем Вавилоне.
В простейших случаях можно и не выполнять каких-
либо преобразований. Например, решая уравнение
х2 — 5jc-(-6 = 0,
вовсе не надо применять формулу. Ведь и без нее ясно, что
двумя числами, сумма которых равна 5, а произведение — 6,
могут быть только числа 2 и 3.
Вот несколько квадратных уравнений, решение которых
требует именно сообразительности, а не формальных, так
сказать, «формульных» знаний. Решите их в уме!
28. х2 —10x-f21=0.	30.	х2-|-7х—18 — 0.
29. х2 + 9х + 14 = 0.	31.	х2 —8х —20 = 0.
Вот так можно решать квадратные уравнения. Быть мо¬
жет, полезно попытаться взять отсюда что-то и для урав¬
нения кубического?
Дано уравнение
х3 +■ рх2 + q х -f г—0.	(4)
Формулы для его решения мы не знаем. Но если бы мы
знали корни уравнения (4), то могли бы записать его в виде
(х — Х\){х — х2) (х — хз) = 0.	(5)
И наоборот, если бы мы могли записать уравнение (4) в
форме (5), т. е. если бы сумели разложить многочлен, стоя¬
щий слева от знака равенства, на множители, то узнали бы
и его корни.
41

Заметим это и аналогично тому, как мы преобразо¬
вали уравнение (2), преобразуем, раскрыв скобки, и урав¬
нение (5):
X3 —(Х| -\- Х2 + Хз)Х2+(Х|Х2 + Х1Хз + Х2Хз)Х — Х|Х2Хз = 0. (6)
Пока почти дословно повторяется все, что мы делали, решая
квадратные уравнения. Теперь имеем возможность вместо
одного уравнения третьей степени (4) записать такую систе¬
му из трех уравнений:
х\ +х2 + х-з= —р;
*,*2 +*1*3+ *2*3 = в;
X] * *2 * *3 == —Г.
Проверьте — ведь действительно для уравнения лг3 +
+ 2*2 — 5* — 6 = 0, рассмотренного ранее и корни которого
вам уже известны: —3, —1 и 2, справедливы такие ра¬
венства :
(— 3) + (—-1) + 2 = -2;
■ (— 3)*( —1) + ( —3)-2 + ( —1)*2= -5;
(-З).(-1)-2 = 6.
Вавилоняне быстро и красиво решали аналогичную
систему для уравнений второй степени. Вы тоже хорошо уме¬
ете это делать. Попробовать решить систему для уравнений
третьей степени? Попытайтесь, только сразу скажем чест¬
но — дело это почти безнадежное. И главная трудность —
начнете решать и быстро придете к тому, с чего начали,—
снова получится уравнение третьей степени!
И все-таки польза от формул — систем равенств, связы¬
вающих корни уравнений с их коэффициентами, есть. Есть
хотя бы потому, что они содержат одну «подсказку», по¬
могающую решать некоторые уравнения вообще без всяких
формул (но* уже не в уме, тут потребуется немало изобре¬
тательности и сообразительности).
Перепишем еще раз системы равенств, связывающих
корни и коэффициенты, причем перепишем в три столбца:
в первом — для уравнений второй степени, во втором —
для третьей, в третьем — для четвертой. Для четвертой еще
не знаете?
Найдите произведение
(* — *[)(* — Х>) (х — *з) (X — ЛГ4),
считая, что Х\у х2у хл и хА — корни уравнения
хл + рхл + qx- + гх + s = 0.

Итак,
[ Х\ Х‘2 —	Р5
\ X\X2 = q-
*1+*2 + *з = —р;
*! *2 + х] Хз + *2*з = q;
*5*2*3 = —г.
Xi+X2 + X3 + X4= —р;
х ] Х2 + XI Хз + X1 *4 + *2*3 + *2*4 + *3*4 = q;
*1 *2*3 + *1 *2*4 + *1 *3*4 + *2*3*4 = —Г\
XI *2*3*4 =5.
Франсуа
Виет
А для пятой степени сумеете составить такие равенства?
Попытайтесь — ведь если получится, то вы сделаете почти то
же самое, что за четыреста лет до вас сделал выдающийся
французский математик Франсуа Виет (1540—1603).
Виет шел почти таким же путем, что и мы. Мы хотим
узнать, каким образом корни уравнения выражаются через
коэффициенты. Формула Кардано нам не нравится, а ничего
другого пока не получается. Посмотрим — а как коэффи¬
циенты выражаются через корни, может быть, это нам по¬
может? Пытаясь решить эту задачу, Виет и записал (конечно,
немного другими знаками) те системы равенств, которые
мы с вами составили. И как это часто бывает в науке,
отыскивая одно, он придумал совсем другое. Виет первым
догадался обозначать буквами не только неизвестные, но и
коэффициенты при них. Подумайте сами, какой огромный
шаг вперед означало это, казалось бы, очень скромное нов¬
шество. Ведь если не использовать букв для обозначения
коэффициентов квадратного уравнения, то записать даже не¬
сложную формулу для его решения будет довольно трудно.
Недаром Виета часто называют «отцом алгебры».
Полученные Виетом системы равенств, связывающие
корни уравнений произвольной (не только второй!) степени с
их коэффициентами, теперь называются теоремой Виета,
и каждый ученик сегодня знает это имя. Какая высокая
честь для ученого! Какая по-настоящему вечная память и
слава! Стоит поразмышлять об этом...
Но что же в интересующем нас вопросе можно извлечь
из теоремы Виета?
Заметьте, модуль произведения всех корней уравнения
равен модулю свободного члена. Кстати, в этом утверждении
можно было бы обойтись без слова «модуль», но тогда
пришлось бы говорить о знаке этого произведения в за¬
висимости от степени уравнения.
43

Таким образом, если корни уравнения — целые числа, то
они должны быть делителями свободного члена, и именно
тут начинается дорога к «бесформульному» решению не¬
которых уравнений.
Проверим это сначала для квадратного уравнения.
Пусть
х2 -|- 5х — 6 = 0.
Число —6 делится на zt 1, ±2, ±3, ±6. Если корень дан¬
ного уравнения — целое число, то он, конечно, есть один из
перечисленных делителей. Начнем проверку. Не служит ли
корнем число 1?
Вычисляем:
12 + 5-1— 6 = 1 + 5 — 6=0!
Но —6:1= — 6, значит, второй корень и должен быть
равен —6. Точно:
(— 6)2 + 5 *( —6) — 6 = 36 — 30 — 6 = 0!
И не надо никаких формул!
А для третьей степени? Снова возьмем знакомое нам
уравнение
х3 + 2х2 — 5х — 6 = 0.
По теореме Виета получается, что если корни этого урав¬
нения целые числа, то они должны принадлежать мно¬
жеству + 1, d=2, ±3, ±6. Но проверять это, последовательно
подставляя восемь чисел, довольно скучная задача, и мы по¬
кажем сейчас способ, тоже следующий из теоремы Виета,
но несколько иной.
Вы знаете, что произведение может быть равно нулю тог¬
да, когда хотя бы один из множителей равен нулю. В дан¬
ном уравнении справа нуль, а слева многочлен. Если бы мы
сумели разложить многочлен на множители, то, приравни¬
вая каждый из множителей нулю, легко бы нашли корни.
Вам известны три способа разложения на множители:
использование формул — здесь оно явно не годится, выне¬
сение общего множителя за скобки — но в данном случае
такого множителя нет, и, наконец, способ группировки.
Попробуем применить этот способ, сделав так:
х3 + 2 х2 — 5х — 6 = х3 + (Здг — х2) — Здс — 2х — 6 =
= х2(х + 3) —jc(x-|-3) —2(лг + 3) = (х + 3) (х2 — х — 2) =
= (х + 3) (х2 -\-х — 2х — 2) = (х + 3) (х(х -\~ 1) — 2(х +1)) =
[х -|- 3) (л: -|-1) (х — 2).
44

Следовательно, исходное уравнение равносильно такому:
(х + 3) (х +1) (х — 2) = 0.
А у этого уравнения три корня: Х\= — 3, Х2= — 1 и хл = 2.
Что было самым трудным в этом решении? Конечно же,
догадаться, что надо представить 2х2 в виде разности
Зх2 — х2. Но если воспользоваться теоремой Виета, то можно
заметить «подсказку»: надо, чтобы при составлении групп
для разложения на множители появились числа — дели¬
тели свободного члена. Ясно, что сразу может и не получить¬
ся — ведь не все делители свободного члена являются кор¬
нями уравнения. И, увы, может не получиться вообще —
ведь корни уравнения могут и не быть целыми числами.
Но вы все же попробуйте разложить на множители
левые части приведенных ниже уравнений и, следовательно,
решить их без применения формул.
32. ж3 — 12ж + 16=0.	34. ж5 —4ж3 + 2ж*’ + Зж —2 = 0.
33. х3 -|- Зж^ -|- 7ж -|- 5 = 0. 35. (ж3 -}- ж)~ -{- 4ж3 -f- 4ж— 12 = 0.
В первом уравнении два корня из трех окажутся рав¬
ными. Во втором выполнить разложение на множители до
конца не удастся — один множитель будет иметь первую
степень, и вы найдете корень, а второй множитель окажется
трехчленом второй степени, не имеющим корней. В третьем
уравнении тоже есть повторяющиеся корни, но зато оно пя¬
той степени! А в последнем стоит подумать — раскрывать
скобки или нет. Кстати, в нем, как и во втором, разложение
до конца выполнить не удастся: получатся два множителя
первой степени и один — трехчлен второй степени, не имею¬
щий корней.
Глава для сообразительных
...Мы так долго работали с уравнениями третьей степени,
что, пожалуй, пора и подвести некоторые итоги, но прежде
чем приступить к этому, сделаем небольшое отступление.
Разлагая левую часть уравнения на множители, исполь¬
зуя для отыскания корней свойства свободного члена,
изобретая хитроумный прием для того, чтобы избавиться от
члена, содержащего неизвестное в п — 1-й степени, мы каж¬
дый раз не только использовали знание законов и формул
математики, но еще и применяли находчивость, сообра¬
зительность, можно даже сказать — мастерство и искусство.
Всегда ли это нужно в математике? Ведь если это так,
то для настоящего овладения математикой и тем более для
45

творческой работы в ней нужны особые способности, мо¬
жет быть, талант. Так это или нет? Ответить на этот вопрос
непросто. Талант, настойчивость, трудолюбие, усердие, воля,
сообразительность нужны в любом деле, если вы хотите
исполнять это дело по-настоящему. Но в каждом деле эти
качества проявляются по-разному. И, пожалуй, никто вам до
конца точно и определенно не скажет — вот в этом у вас по¬
лучится, а в этом — нет, занимайтесь этим делом, а не тем.
Такой совет в конце концов человек должен дать себе
сам, но для этого надо себя проверить, испытать себя в ра¬
боте, пусть сначала и не самой трудной.
Проверьте, например, себя в способности применять два
очень красивых искусственных приема, иногда помогаю¬
щих решить довольно сложные уравнения.
Первый из них — сведение данного уравнения к квадрат¬
ному — рассмотрим на одном из четырех примеров, а осталь¬
ные три вы решите сами.
х4 +12*-— 64 = 0.
Это уравнение четвертой степени, мы таких пока не умеем
решать. Но если сделать подстановку у = х2, то данное урав¬
нение четвертой степени относительно х превратится в урав¬
нение второй степени относительно у, а его можно решить
даже в уме, используя свойства корней:
У2 + 12# — 64 = 0.
Так как произведение двух чисел равно —64, а их сумма
равна —12, то сразу видно, что эти числа —16 и 4.
Отсюда следует, во-первых, х2— —16. Это уравнение корней
не имеет (ответьте-ка точно и четко, почему?). Во-вторых,
дг = 4, это уравнение имеет корни хх= —2 и х^ — 2.
И точно:
(±2)4 + 12(±2)2 — 64 = 16 + 48 — 64 = 0!
Решите теперь сами:
36. хл — 5х2 + 4 = 0.
37. х6 — 28л:5 -(-27 = 0.
38. (х2 + 4х — 1 f Н- 6(дг + 4х — 1) + 5 = 0.
Уравнения, которые мы сейчас решали, иногда называют
трехчленными.
зрой из приемов, который мы хотим сейчас показать,
применяется при решении так называемых симметричных
уравнений, т. е. уравнений, у которых коэффициенты чле-

нов, равноудаленных от «начала» и «конца» уравнения,
равны между собой. Пусть дано уравнение
6х4 — З5х3 + 62+ —35л:+ 6=0.
Так как, конечно, х Ф 0, то правую и левую части уравнения
можно разделить на х2:
6л:2 — 35ж + 62 — — + 4-= 0.
Теперь сгруппируем члены с одинаковыми коэффициентами:
б(*2++ -35(*++ +б2=°-
А теперь маленький фокус: заменим х + — на у. Заметим
ОС
еще, что если возвести в квадрат обе части равенства
х + — = у и раскрыть скобки, то х2 + А- = у2 — 2. Тогда
х	дг
наше уравнение примет вид:
6 (у~ 2) 35 у + 62 =0;
6у2 — 35у + 50 = 0.
Квадратное уравнение мы умеем решать:
35± >/1225-1200	35
У 1.2=
12 12 “
Получается ух=~у У2= и сразу можно записать и ре¬
шить два уравнения:
,15	и	. 1	10
* + T = Y	*+T=3-;
2jc2 — 5дг-|-2=0;	Зх2 — 10x-f-3 = 0;
5+ \/25^Пб	5+3	5+v'25 — 9	5	+	4
V = —^	 ==	——— •	-V* == ————
4	4	’	3	3	в
Отсюда окончательно: Х|=4~, jc2 = 2, х.я = ~, х. = 3.
Z	о
Остается — вы это обязательно сделаете сами — выполнить
проверку, подставив в исходное уравнение полученные зна¬
чения его корней.
Итак, мы вполне успешно справились с решением урав¬
нения четвертой степени!
Решите теперь самостоятельно еще одно уравнение:
39. 2х4+2±х3 — 84л:2 — 2 ^ * + 2 = 0.

При решении вам придется проявить еще одно необхо¬
димое математику (только ли математику?) качество: ак¬
куратность в выполнении работы. Если вы проявите не¬
ряшливость, торопливость, то запутаетесь в вычислениях,
потратите массу времени, а потом все равно все начнете сна¬
чала. Конечно, в вычислениях вам может помочь любой
калькулятор. И — маленькая подсказка: имейте в виду,
что V284089 = 533.
Первые итоги
Итак, мы умеем — без всяких ограничений — решать
уравнения первой степени. Умеем также решать уравнения
второй степени; правда, иногда оказывается, что хотя мы и
действуем совершенно точно, однако корней все же не по¬
лучаем — их нет (это тот случай, когда дискриминант квад¬
ратного трехчлена — левой части уравнения — оказывается
отрицательным). Довольно много неприятностей доставило
нам уравнение третьей степени, и хотя мы и знакомы с
формулой Кардано, от ее применения большого облегче¬
ния не наступило. Тем не менее имеем право сказать, что
способы решения уравнений третьей степени нам известны и
уравнения эти хоть и трудны, но все же нам доступны.
ф
В этой книге не говорится подробно о решении уравнений
четвертой степени, но и для них тоже имеются достаточно
общие, хотя, конечно, еще более трудные способы решения.
Все остальные решения (мы ведь сумели решить даже
одно уравнение шестой степени) носили очень искусствен¬
ный характер: каждый раз подбирались подходящие усло¬
вия — то многочлен относительно легко разлагался на мно¬
жители, то он легко приводился к виду квадратного трех¬
члена, то коэффициенты были симметричны. А нельзя ли
все-таки найти какой-то общий способ?
И вообще — то ли мы делаем? Ведь степеней уравнений
может быть сколько угодно; что же получится, если для
каждой будем искать новую формулу, новый способ? Не по¬
пытаться ли, как это всегда делается в математике, отыс¬
кать общую формулу, пригодную для решения любых урав¬
нений, такую, чтобы она включала в себя как частные
случаи и формулу х =	, и формулу
  — bzt^Jb2 — 4ас
48

и формулу Кардано, и прием решения уравнений четвертой
степени и т. д.? Или такую формулу искать не надо?
Но что, собственно, значит, «решить уравнение»? Мы зна¬
ем, что «решить уравнение — это значит найти все его
корни». Но в чем смысл глагола «находить» в данном
случае? Решая уравнение, мы складываем, вычитаем, умно¬
жаем, делим коэффициенты, возводим их в степень и из¬
влекаем из них корни, коротко говоря — выполняем ал¬
гебраические действия. В конечном итоге получаем числен¬
ное выражение корней через коэффициенты уравнения. Сле¬
довательно, найти формулу решения уравнения — это зна¬
чит указать, в каком именно порядке и какие именно алгеб¬
раические действия надо произвести с коэффициентами, что¬
бы получить корни. Вот и все. Очень просто, если бы не одно
маленькое «но», понять которое нам поможет пример, вро¬
де бы вовсе не относящийся к алгебре.
Представим себе, что в середине января вас посылают в
лес за грибами... И хотя вы отлично знаете, в каком именно
порядке и какие именно действия следует предпринять для
сбора грибов, вы все же в лес не пойдете и грибов искать не
станете: чего же их искать, когда лес засыпан снегом и вы
точно знаете — грибов в нем нет. Правда, возникает вопрос:
откуда вы это знаете? Ясно, откуда — из Опыта. Слово Опыт
написано здесь с большой буквы, так как имеется в виду
не ваш собственный опыт, не опыт по физике или химии, а
опыт многих поколений, опыт человечества, на него вы и
опираетесь, даже не задумываясь над этим.
Это понятно. Но в алгебре вам предлагают искать об¬
щую формулу решения уравнений, а существует она или
нет, вы не знаете.
Видимо, прежде чем искать формулу, надо попытаться
выяснить, может ли она существовать. А что значит «вы¬
яснить» в математике? Это значит — надо доказать, что та¬
кая формула имеется, существует, но мы ее пока не знаем,
или же доказать, что ее вообще не существует.
Очень важная особенность научной мысли — умение не
просто решать задачи науки, но и умение (иногда это
даже труднее) правильно ставить эти задачи. Вот сейчас
одну из таких задач мы и поставим. Звучать она будет
следующим образом:
установить, существует ли формула, выражающая корни
любого алгебраического уравнения через конечное число
алгебраических операций над его коэффициентами.
49

Жозеф
Луи Лагранж
I
Уточним смысл тех слов, которые употреблены в послед¬
ней фразе. Что такое корни, какие операции называются
алгебраическими (сложение, вычитание, умножение, деле¬
ние, возведение в степень, извлечение корня), мы хорошо
знаем. Что такое алгебраическое уравнение? Это такое
уравнение, левая часть которого есть многочлен от одной
переменной, т. е. выражение вида
ах" + Ьхп ~1 +... + рх2 + qx + г;
числа а, 5, ..., р, q, г называются его коэффициентами (они
могут быть целыми или дробными), правая часть — нуль.
В каком смысле говорится о «конечном числе операций»?
В том смысле, что мы не должны в искомой формуле иметь
слов «и так далее», не должны ставить многоточие — дей¬
ствий может быть и очень много, но должно быть известно
их точное число.
Эта задача иначе формулируется так:
существуют ли решения уравнений произвольной степени в
радикалах?
Чтобы так сформулировать задачу, людям потребовалось
немало времени и сил. Сначала энергия и время тратились
на попытку «лобового штурма»—все хотели найти фор¬
мулу!
Требование «найти формулу» вполне понятно. А требо¬
вание доказать, что такой формулы не существует, звучит
менее привлекательно, и оказалось, что получение отри¬
цательного ответа требует создания совершенно нового
направления в алгебре.
Первые шаги в этом направлении были сделаны италь¬
янским ученым Паоло Руффини (1765—1822) и фран¬
цузским ученым Жозефом Луи Лагранжем
(1736—1813). Руффини попытался доказать невозмож¬
ность алгебраического решения общих уравнений выше чет¬
вертой степени. К сожалению, это доказательство не было
ни достаточно полным, ни достаточно точным.
Лагранж был одним из крупнейших математиков и меха¬
ников того времени, членом Парижской Академии наук,
иностранным почетным членом Петербургской Академии
наук, прекрасным педагогом. Он, несомненно, понимал и
суть задачи, и то, что правильным является отрицатель¬
ный ответ, и то, что доказательство будет очень непростым.
Да, общих формул нет. Но ведь в частных случаях многие
уравнения даже очень высоких степеней имеют решения.

Нильс
Хенрик
Абель
Эварист
Галуа
Например, «самое простое»: хп —1=0. Корень его х=1 при
любом п.
Лагранж был уверен, что существуют какие-то надеж¬
ные признаки, с помощью которых можно указать, имеет
ли данное конкретное уравнение решение в радикалах или
не имеет. Он неоднократно принимался за поиски таких
признаков, отыскать их ему не удалось, но он обнаружил
много интересных закономерностей, в частности заметил, что
уравнение хп—1 = 0 скрывает в себе массу интереснейших
и удивительнейших свойств, изучение которых явно ведет
к цели, но...
Понадобилось еще немало времени, понадобились еще
усилия великого немецкого математика Гаусса, о котором у
нас речь впереди, и, как всегда в подобных случаях, для ре¬
шительного шага вперед понадобился гений.
И он нашелся, и даже не один. Решительно продолжил
дело, начатое Руффини, норвежец Нильс Хенрик
Абель (1802—1829). И так же решительно развил идеи
Лагранжа и Гаусса француз Эварист Галуа
(1811 — 1832).
Судьбы этих двух разных людей очень похожи. В 1824 г.
Абель опубликовал безупречное доказательство неразре¬
шимости в радикалах уравнений пятой степени. Однако ни
Гаусс, ни крупные французские математики, к которым
молодой ученый обратился не столько за помощью, сколько
для того, чтобы получить оценки сделанному, не ответили
Абелю. Не получили признания при его жизни и другие его
научные труды. Абель умер от туберкулеза совсем мо¬
лодым. Ему было всего 26 лет. Он наверняка не мог и пред¬
полагать, что в XX в. студенты всех университетов мира
будут изучать абелевы группы, теоремы Абеля, формулы
Абеля, преобразования Абеля, абелевы интегралы...
В 1829 г. Галуа представил в Парижскую Академию
наук две алгебраические работы. Однако хотя рукописи и
были направлены крупнейшим французским математикам,
они не только не ответили юноше, но даже затеряли его
труды. В ночь с 29 на 30 мая 1832 г. Галуа написал под¬
робное письмо своему другу О. Шевалье, в котором, в част¬
ности, сообщил, что в теории уравнений он исследовал, в ка¬
ких случаях уравнения разрешаются в радикалах. А 30 мая
Галуа погиб на дуэли, спровоцированной его политическими
противниками, и по злой иронии судьбы лишь в полицей¬
ском протоколе о смерти убитый был назван математиком.
Французы знали его как революционера-бунтаря, исключен¬
51

ного из Нормальной школы (так называется один из лучших
вузов Франции), дважды подвергавшегося тюремному за¬
ключению. И конечно, двадцати летний гений не предпо¬
лагал, что 60 страниц, на которых умещается все сделан¬
ное им в математике, послужат основой теории, которую
ныне во всем мире называют теорией Галуа, послужат осно¬
вой всей современной алгебры...
Абель писал, что вместо того, чтобы задаваться вопро¬
сом о зависимости, самое существование которой остается
неизвестным, следует поставить вопрос, возможна ли в
действительности такая зависимость. Это и есть, только в
очень общем виде, та задача, о которой сказано выше.
Абель не только поставил задачу, но и сумел доказать,
что существуют уравнения пятой степени, неразрешимые в
радикалах. Следовательно, уже для уравнений пятой сте¬
пени нельзя записать формулу корней, нельзя с помощью
конечного числа алгебраических операций выразить корни
таких уравнений через их коэффициенты. Конечно, не в
любом случае — ведь мы же смогли решить отдельные
уравнения не только пятой, но даже и шестой степени,
более того, нашли решение уравнения хп —1=0 вообще
произвольной степени.
Значит, при определенных условиях уравнения более
высокой степени, чем четвертая, могут быть решены. А при
каких же «определенных условиях»? Вот на этот вопрос,
т. е. на вопрос о том, каким именно условиям должны удов¬
летворять коэффициенты уравнения, чтобы оно все-таки ре¬
шалось в радикалах, и ответил Галуа.
С открытиями Абеля и Галуа произошло то, что довольно
часто встречается в математике вообще. Оба ученых хотели
решить конкретную интересную задачу. Старых приемов и
известных способов решения подобных задач оказалось не¬
достаточно. И тогда они сумели открыть новые приемы и
методы, причем оказалось, что эти приемы и методы годят¬
ся для решения огромного числа задач из различных об¬
ластей науки, а многое из того, что было открыто Галуа и
Абелем, стало толчком для развития новых и новейших
областей математики.
Особенно значительными в этом отношении оказались ре¬
зультаты, полученные Галуа. Сначала их не понимали и
поэтому не признавали, но потом оказалось, что они по¬
лезны не только в алгебре, но и в геометрии, вообще во
многих областях естествознания, в особенности в кристалло¬
графии и современной физике. Впрочем, в теории Галуа

многое еще не исследовано до конца, и, может быть, кто-то
из читателей попробует силы в этом направлении, и не
только попробует, но и добьется успеха!
Достижения Абеля и Галуа — это, конечно, замечатель¬
но, но ведь формулы-то нет! И не в тупик ли мы зашли, идя
по дороге, начатой египтянами и вавилонянами, продолжен¬
ной греками и арабами, развитой итальянцами и францу¬
зами и вроде бы перекрытой Абелем и Галуа? Конечно, нет.
Ведь сначала мы сказали себе: давайте решать уравнения
только в радикалах, т. е. сами установили для себя опре¬
деленные границы: сложение, вычитание, умножение, де¬
ление, возведение в степень и извлечение корней (вычисле¬
ние радикалов). Но оказалось, что в этих границах не все по¬
лучается лучшим образом.
Вот простой пример. Дано самое обыкновенное уравнение
второй степени:
х~ — 4х — 3 = 0.
Дискриминант его положителен, следовательно, оно имеет
два различных корня, которые найдем по известной фор¬
муле:
х] 2 = 2 + у4 + 3 = 2 zt V?.
Решение в радикалах получено, но ни измерить масш¬
табной линейкой соответствующую длину, ни найти соот¬
ветствующую массу мы не сможем, пока не получим вы¬
ражение этого числа с нужной нам точностью в десятич¬
ных дробях. Например, х^4,6. Можно точнее: jc^4,65 или
хж 4,646. Первый раз мы нашли значение у 7, помня, что
2,62 = 6,76, а 2,72 = 7,29, следовательно, у’7 расположен меж¬
ду 2,6 и 2,7. Во второй раз, воспользовавшись логарифмиче¬
ской линейкой, нашли у7 » 2,65. В третий раз пришлось за¬
глянуть в таблицы квадратных корней. Можно, конечно, и
еще точнее, только вам нелегко будет привести пример из
практики, когда понадобилась бы точность, обеспечиваемая
четырьмя цифрами после запятой. Но все же, если она вдруг
понадобится, то это, оказывается, тоже возможно. Так, мо¬
жет быть, надо было сразу искать способы решения урав¬
нений не в радикалах, а в десятичных дробях? Такие спо¬
собы — их называют методами приближенного решения
уравнений — существуют. Они позволяют решить и многие
из тех уравнений, которые в радикалах неразрешимы,
позволяют получить значение корня уравнения с любой
точностью и удобны для применения в ЭВМ. Методы при-
53

ближенного решения уравнений основаны на знании пред¬
мета, который называется математическим анализом, а с
ним вам предстоит познакомиться лишь в старших классах.
Мы упомянем некоторые из этих способов, когда встретимся
с функцией.
Уравнения и графики
Мы заметили, что при изучении уравнений возможны
два основных направления для наших размышлений: пер¬
вое — увеличение степени уравнения, второе — увеличение
количества неизвестных.
С увеличением степени мы разобрались, теперь по¬
размышляем об увеличении числа неизвестных. Вспомним
задачу о фазанах и кроликах. Обозначив число кроликов
буквой х, а число фазанов — буквой у и зная, что тех и дру¬
гих вместе было 15, мы записали:
х + у = 15.
Потом составили второе уравнение и, решив систему из
двух уравнений с двумя неизвестными, нашли ответ на оба
вопроса — узнали, сколько было фазанов и сколько было
кроликов. Так обычно делается всегда, но сейчас остано¬
вимся только на первом уравнении. Перенесем в нем х в пра¬
вую часть:
У= —* + 15.
Из учебника алгебры вы знаете, что в виде y = kx-\-b
записывается линейная функция. Значит, наше уравнение
выражает собой линейную функцию. Графиком этой функ¬
ции служит прямая (рис. 4), областью определения —
множество всех известных нам чисел, областью значений —
тоже множество всех известных нам чисел. Но тогда
получается, что одно уравнение с двумя неизвест¬
ными имеет не одно и не два, а бесконечное множество
решений.
Что же из этого следует? Об одном факте вы уже знаете:
уравнения с двумя неизвестными имеют своими графи¬
ками линии на плоскости. Напомним примеры таких
линий:
y = kx-\-b — прямая, например у= — лг + 15 (рис. 4);
k	2
у = — или xy = k — гибербола, например у = — (рис. 5);
х	х
54

Рис. 4
Рис. 5
у=ах2 + Ьх + с — парабола, напрймер у = 2х2 + 4jc — 1
(рис. 6);
у2 + х2 = г2 — окружность, например х2 + у2 = 4 (рис. 7).
Из этих наблюдений можно сделать интересные вы¬
воды.
Заметим, что в случае, когда оба неизвестных (теперь
удобнее говорить не ♦ неизвестные», а «переменные») вхо¬
дят в уравнение первой степени, график — всегда прямая.
Если хотя бы одна переменная или обе они входят в урав¬
нение во второй степени (второй степенью будем также
55

Рис. 6
Рис. 7
считать и тот случай, когда имеется произведение двух
переменных, каждая из которых в первой степени), то по¬
лучается гипербола, парабола или окружность. Сущест¬
вуют ли еще какие-нибудь кривые, кроме этих? Какими
уравнениями они описываются?
Тут возникает очень много вопросов, которые выходят за
рамки этой книги, и начинается разговор о новом разделе ма¬
тематики : с одной стороны, это вроде бы геометрия, ведь речь
идет о разных линиях, а с другой стороны — вроде бы
алгебра, так как речь идет об уравнениях. Этот раздел ма-
56

тематики изучается во многих высших учебных заве¬
дениях и называется аналитической геометрией. А чтобы
понять это название, отметим, что в Европе далеко не все
математики в средние века признавали слово «алгебра» и
чаще говорили об «аналитическом искусстве», т. е. искусстве
анализировать, исследовать задачи при помощи уравнений.
Попробум решить две задачи по аналитической геомет¬
рии. Для этого нам понадобится знание теоремы Пифагора,
понимание устройства системы координат и немного настой¬
чивости.
Задача 1.
Построить график кривой, уравнение которой
х2у = 4(2 — у).
Сначала преобразуем уравнение так, чтобы получить
удобный для вычислений вид:
8
Заметим сразу — это важно для облегчения вычисле¬
ний,— что областью определения записанной сейчас функ¬
ции служит множество всех чисел (объясните, почему).
Кроме того, заметим, что так как переменная х входит в
уравнение только во второй степени, то равным по модулю,
но противоположным по знаку значениям этой переменной
будут соответствовать равные значения функции. Значит,
для отрицательных значений переменной х мы не будем
выполнять специальных вычислений. Теперь составим таб¬
лицу значений функции (табл. 5):
Таблица 5
ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ х1 у = 4,(2.-у)
X
0
=Ы
±2
±4
±6
±14
х2
0
1
4
16
36
196
х2 + 4
4
5
8
20
40
200
У
2
1,6
1
0,4
0,2
0,04
Этих данных вполне достаточно, чтобы построить график
кривой (рис. 8).
Обратите внимание, что мы выбирали значения перемен¬
ной х, удобные для выполнения вычислений. Надо уметь
этим пользоваться, но следует быть очень внимательным и
57

Рис. 8
осторожным, чтобы некоторые особенности кривой не ока¬
зались незамеченными.
Посмотрите на построенный график. Это не прямая, но
это и не парабола, и не гипербола, и тем более не окруж¬
ность. Получившаяся кривая называется локоном Аньези.
Такое необычное название дано в честь итальянской жен¬
щины-математика Марии Гаэтаны Аньези
(1718—1799).
Задача 2. Выполните сначала одно практическое уп¬
ражнение. Возьмите листок бумаги и посередине его на¬
чертите отрезок АВ длиной 8 см. Теперь положите листок
на деревянную дощечку и в точки А и Б воткните иголки
или булавки или вбейте не до конца маленькие гвоздики.
Привяжите к этим «точкам» нитку так, чтобы ее длина была
равна 10 см. А теперь, натягивая нитку карандашом, про¬
ведите кривую на этом листочке так, как показано на ри¬
сунке 9. Получилась какая-то новая кривая. Ее название —
эллипс. Если бы точки А и В совпали, то наша кривая была
бы обыкновенной окружностью.
Вот теперь сформулируем нашу вторую задачу:
Составить уравнение эллипса.
Чтобы уточнить задачу, расположим оси координат так,
как это сделано на рисунке 10, т. е. ось абсцисс проведем так,
чтобы отрезок АВ принадлежал ей, а ось ординат про¬
ведем через середину этого отрезка. Теперь заметим, что для
любой точки эллипса, например для точки Af, сумма отрез-
58

Рис. 9
Рис. 10
ков AM и ВМ всегда составляет одно и то же число; так мы
строили эллипс. Поэтому, кстати, обычно и говорят: эллип¬
сом называется множество точек плоскости, сумма расстоя¬
ний которых от двух данных точек есть величина постоян¬
ная. Точки эти (на рис. 10 точки А и Б) называются фоку¬
сами эллипса.
Посмотрите, как в учебнике геометрии сформулировано
определение окружности. Сравните его с определением
эллипса. Похоже? Что общего? В чем различие?
Итак, сумма расстояний от точки М эллипса до его фоку-
59

сов А и Б в нашем примере равна 10:
AM + ВЫ =10.
Но (вот когда нам понадобилась теорема Пифагора!)
AM'2 = (4 + xf -\-у2^ AM = ->/(4 + х2) + у2
и
ВМ2 = (4 — xf -\-у2^- ВМ = \J(4 — л:)2 + у2 .
Подставив в равенство АМ-(-БМ —10 эти результаты, по¬
лучим
дД4 + *)2 + i/2 + У(4 — *)2 + У2 =1°-
Получилось уравнение эллипса*
Эллипс — красивая фигура, поэтому хотелось бы, чтобы
и его уравнение было красивым. Оказывается, если основа¬
тельно потрудиться, то можно получить по-настоящему кра¬
сивый результат. Кстати, вы никогда не задумывались над
тем, что красота в искусстве всегда имеет своей основой
нелегкий труд? Это относится к музыке, живописи, лите¬
ратуре, скульптуре, архитектуре и т. д. Конечно, относится
это и к математике.
Так вот, если вы боитесь трудностей — пропустите сле¬
дующую страницу. Но если хотите научиться математике,
вам придется трудиться вместе с нами.
Итак, попробуем избавиться от корней. Перенесем один
из них в правую часть уравнения:
У (4 + xf + у1 = 10 — У(4 — xf + у2 .
Теперь возведем в квадрат обе части уравнения и приведем
подобные члены:
(4 + ж)* + у2 —100 — 20- ^/(4 — ж)2 + у2 + (4 — xf + у2;
(4 + ж)2 = 100 — 20 *у (4 — xf -\-у2 +(4 — ж)2.
Остался один корень. Перенесем его в левую часть, а все
остальные члены уравнения соберем в правой части урав¬
нения, раскроем скобки и приведем подобные члены:
20-д[{A — xf+y2 = 100 + 16 —8ж + ж2 —16 —8ж —ж2,
20 • \[{4^xf + у2 = 100 — 16ж.
Теперь еще раз возведем обе части уравнения в квадрат,
только сначала разделим все его члены на 4 (общий мно¬
житель) :
25 • 16 — 25 • 8ж + 2 5 ж2 + 25 у2 = 252 — 25 • 8ж + 16ж2.

Приведем подобные члены (теперь понятно, почему мы не
стали выполнять умножение до конца?):
9х2+ 25у2 —252 —25-16;
9х2 -|- 25 i/2 = 25 • 9.
Разделим правую и левую части последнего уравнения на
произведение 25-9 (нам и здесь вовсе не надо выполнять
умножение). Получается:
Согласитесь, что ради столь изящного результата стоило
потрудиться!
Теперь подумайте над двумя несложными вопросами.
Первый вопрос: имеют ли какой-нибудь геометрический
смысл числа 5 и 3? Не видно ли их на чертеже?
Прежде чем задать второй вопрос, заметим, что в общем
виде уравнение эллипса естественно записать так:
Второй вопрос: что получится, если в этом уравнении
а окажется равным b? Каким тогда будет уравнение и как
его записать более привычным образом? В чем его геометри¬
ческий смысл?
Есть над чем поразмышлять! И это вовсе не какая-то очень
уж отвлеченная теория. Вы, наверное, не раз нарезали кол¬
басу. Особенно аккуратные ломтики получаются, если нож
расположить под некоторым острым углом к ней (т. е. не ре¬
зать строго поперек). Какую форму имеют разрезы? Эл¬
липсы!
А вот еще один пример. Ветер качает уличный фонарь с
таким абажуром, что когда фонарь неподвижен, то освещен¬
ная часть земли имеет форму круга. Фонарь раскачи¬
вается, круг изменяет форму — появляются эллипсы более
или менее удлиненной формы (что меняется в уравнении?).
Но что получится, если фонарь качнется очень уж сильно
(см. рис. 11)?
Если вам кажется, что эти примеры лишь забавны, но
не так уж важны и жизненны, то задумайтесь над таким
свойством эллипса. Пусть в точке А находится лампочка
(рис. 12). В какой бы точке эллипса ни б^шо помещено
зеркало, касающееся эллипса (вы не забыли, что такое ка¬
61

Рис. 11
Рис. 12
Иоганн
Кеплер
сательная к окружности? Здесь — аналогично), луч света,
попавший в эту точку, обязательно отразится в точку В.
Вот почему эти точки называются фокусами (лат. focus —
очаг, огонь).
И наконец, самый важный из возможных примеров —
астрономический. Спутники Земли движутся по эллипти¬
ческим орбитам, сама Земля, как и остальные планеты,
движется по эллипсу, в одном из фокусов которого на¬
ходится Солнце. Этот факт впервые установил в начале
XVII в. замечательный немецкий астроном и математик
62

Иоганн Кеплер (1571—1630). Теперь ясно, что эллипс —
кривая очень важная, и нам совсем небесполезно знать, как
получить его уравнение.
Вот куда — к Кеплеру и законам движения планет при¬
вели нас размышления о совсем вроде бы простой вещи —
уравнениях с двумя переменными!
Еще раз о Диофанта
Не только графиками интересны уравнения с двумя пе¬
ременными. Вспомним еще раз задачу о фазанах и кроли¬
ках. У нас есть повод задуматься над таким вопросом.
Из уравнения у= -х-\-1Б следует, что переменная х может
принимать любые значения, а вслед за ней соответствен¬
ные и тоже любые значения может принимать и перемен¬
ная у. Любые! Но число кроликов, как и число фазанов,
не может быть ни дробным, ни отрицательным! В условии
задачи это подразумевается, но в записи х-\-у = 1Б об этом
ничего не сказано. А между тем, зная это дополнительное
условие, иногда можно обойтись и без второго уравнения,
получив вполне удовлетворяющие нас результаты из одного
уравнения с двумя переменными.
Вот еще один пример:
На складе имеются гвозди в ящиках по 16, 17 и 40 кг. Может
ли кладовщик выдать 100 кг гвоздей, не вскрывая ящики?
\	**4,44^	>	-Ч.	-
V
С ' > \Ч
Vn \' Ч^'Ч;
^ Ч- \ Я
В V Ч'ч Ч
' N4^'" Щ
■ ЧЧЛ^ Ч> S4\.v
Ч,- 1
ч. Ч,чч..;ч.!'-"
f Vv -
■■ ■* - ч" *
Попробуем решить задачу, составив уравнение обычным
путем.
Итак, допустим, что задача решена: ящиков по 16 кг бу¬
дет х штук, по 17 кг — у штук, по 40 кг — z штук. Всего
63

выдано 100 кг, отсюда уравнение:
16л; +17 у + 40г = 100.
И что делать с этим уравнением — совершенно непо¬
нятно.
Но можно рассуждать и так. Ящиков по 40 кг не может
быть больше двух, ибо 40-3 = 120, это больше чем надо.
И два тоже быть не может, ибо 40-2 = 80, 100 — 80 = 20,
а 20 кг можно набрать, только вскрыв хотя бы один ящик.
Может быть, взять один ящик по 40 кг, а оставшиеся
60 кг набрать, комбинируя ящики по 16 и 17 кг: если взять
один ящик 17 кг, то останется 43 кг и набрать их ящиками
по 16 кг невозможно; если взять два ящика по 17 кг, то
60 —17-2 = 26 и целых ящиков по 16 кг не получится;
если же взять три ящика по 17 кг, то останется 9 кг, которые
придется выдавать, вскрыв какой-нибудь ящик. Получается,
что ящики по 40 кг нам вовсе не нужны. Если задача
имеет решение, то комбинировать придется ящики только по
16 и 17 кг. Значит, получается уравнение:
16* + 17г/ = 100.
100 не делится ни на 16, ни на 17, и, значит, надо по¬
смотреть, что будет получаться, если из 100 вычитать
17, 17-2, 17 -3, 17-4, 17-5. Если разность будет делиться
на 16, то задача имеет решение, если нет — кладовщику
придется вскрывать хотя бы один ящик. 83 на 16 не делит¬
ся, 66 — не делится, 49 — не делится, но 32 = 16 • 2, и задача
решена: 17-4+ 16-2 = 100, т. е. надо выдать четыре ящика
по 17 кг и два ящика по 16 кг. Это решение единствен¬
ное, т. е. других вариантов нет.
Можно было бы, увидев, что ящики по 40 кг для решения
задачи не нужны, пойти дальше иным путем. Если взять
6 ящиков по 16 кг, т. е. подобрать такое число, делящееся
на 16, которое ближе всего к 100, то окажется, что до 100 не
хватает 4 кг, значит, четыре ящика из этих шести надо заме¬
нить четырьмя ящиками по 17 кг, и получим тот же ре¬
зультат.
Задач, похожих на эту, очень много, и многие из них
имеют практическое значение. Соответствующие уравнения
могут иметь неизвестные не только в первой степени, но и в
любой другой. Да и вопросы, вытекающие из дополнитель¬
ных условий, могут оказаться самыми разнообразными.
И опять приходим к новому разделу математики. Этому раз¬
делу положил начало Диофант (см. с. 20). Он рассматривал
64

уравнения, которые сегодня мы записали бы, например, так:
ах~\~Ъу = с;
а, b и с в этом уравнении являются целыми числами, и
ответ должен быть дан только в целых числах, другими
словами, это уравнение полагалось «решить в целых числах».
Такие уравнения теперь называют «диофантовыми», раздел
математики, изучающий их, называют «диофантовым ана¬
лизом», в свою очередь, диофантов анализ является частью
исключительно интересного раздела современной математи¬
ки — теории чисел. В теории чисел созданы специальные
методы решения диофантовых (их еще называют неопре¬
деленными) уравнений. Мы не будем рассматривать этих
методов, но еще одну задачу на неопределенные уравнения
вы все-таки попробуйте решить самостоятельно, опираясь не
на специальную теорию, а на здравый смысл и сообрази¬
тельность.
40.
У мальчика было 50 к., на которые он хотел купить почтовые
марки. В киоске имелись марки по 4 к. и по 3 к., но у киоскера
совсем не было мелочи. Помогите мальчику и киоскеру выйти
из создавшегося затруднения.
Эта задача, в отличие от предыдущей, имеет не одно,
а несколько решений.
Простота жизненных ситуаций в задачах, приводящих к
диофантовым уравнениям, заставляет предполагать, что
люди, наверное, и до Диофанта умели решать такие за¬
дачи, не пользуясь какой-либо общей теорией, т. е. поступали
примерно так, как это сделали мы, решая задачу о ящи¬
ках с гвоздями или о марках. Мы знаем, что общие теории
никогда не возникают на пустом месте. Сначала появляются
отдельные задачи, а уж потом находятся люди, понимаю-
3 Зак. 2056 JI. Ф. Пичурин
65

щие, что наступило время перехода от таких задач к общим
приемам и методам.
Вот, например, еще одна частная задача на неопределен¬
ные уравнения — теперь уже второй степени, возникшая
примерно за две тысячи лет до Диофанта в Древнем Египте
(известно, что Диофант хорошо ее знал и часто исполь¬
зовал) :
ЕСЛИ СТОРОНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫ ЧИСЛАМ
3, 4 И 5, ТО ЭТОТ ТРЕУГОЛЬНИК — ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ.
Этот факт использовали для построения на местности
прямых углов — ведь оптических измерительных приборов
тогда еще не было, а для строительства домов, дворцов и
тем более гигантских пирамид это надо было уметь. По¬
ступали довольно просто. На веревке на равном расстоянии
друг от друга завязывали узлы (рис. 13). В точке С, где надо
было построить прямой угол, забивали колышек, веревку на¬
тягивали в направлении, нужном строителям, забивали вто¬
рой колышек в точке В (СВ = 4) и натягивали веревку
так, чтобы АС = 3 и АВ = 5. Треугольник с такими длинами
сторон называют египетским. Вы, конечно, понимаете,
66

Рис. 13
что безошибочность такого построения следует из теоремы,
обратной теореме Пифагора: если сумма квадратов двух сто¬
рон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой
треугольник является прямоугольным. И действительно,
32 + 42 = 52.
Говоря иначе, числа 3, 4, 5 — корни уравнения
х2 ~\~y2 = z2.
Сразу же возникает вопрос: нет ли у этого уравнения дру¬
гих целочисленных решений?
Нетрудно догадаться, что числа 5, 12, 13 тоже можно
считать корнями этого уравнения. А есть ли еще такие
тройки чисел? И нельзя ли, взяв произвольно одно из
чисел, указать остальные два? Например, необходимо,
чтобы меньший катет треугольника равнялся 4 см. Может
ли в этом случае длина другого катета и гипотенузы выра¬
жаться целым числом сантиметров? Такие вопросы инте¬
ресовали еще мудрецов Древнего Вавилона. Они нашли от¬
веты на них. Знал это и Пифагор.
Один из путей решения уравнения x2-\-y2 = z2 в целых
числах оказался довольно простым. Запишем подряд квад¬
раты натуральных чисел («квадратные числа», как говори¬
ли древние), отделив их друг от друга запятой. Под каждой
запятой запишем разность между последовательными квад¬
ратами :
7 , * , 9\l6 , 25/ 36,49,64.81,100 ,12l\f44 , Ш/196....
3,5,	,	13,15,17,19 ,21 , 23\25/27 ...
А теперь внимание! Нет ли и в нижней строке квадрат¬
ных чисел? Есть! Первое из них 9 = 32, над ним 16 = 42 и
25 = 52, знакомая нам тройка 3, 4, 5.
Следующее квадратное число в нижней строке 25, ему
з*
67

соответствуют 144 и 169, отсюда находим вторую из¬
вестную нам тройку 5, 12, 13. Если вы продолжите строку
квадратных чисел и подсчитаете соответствующие разности,
то во второй строке найдете 49 = 72, этому числу отвечают
в строке квадратов 576 = 242 и 625 — 252. И действительно,
72 + 242 = 252. Это уже третья тройка. Она была известна
еще в Древнем Египте. Кстати, вы, наверное, уже обратили
внимание на то, что мы имеем право сформулировать такую
теорему:
КАЖДОЕ НЕЧЕТНОЕ ЧИСЛО ЕСТЬ РАЗНОСТЬ ДВУХ ПОСЛЕДО¬
ВАТЕЛЬНЫХ КВАДРАТОВ.
Составлять такие строки (лучше говорить «последователь¬
ности»)— довольно скучное и трудоемкое занятие. По фор¬
мулам находить такие тройки чисел и проще и быстрее.
Эти формулы-правила были известны уже две с половиной
тысячи лет назад.
 1
Проверьте что если х — нечетное число, то у = —-— и
х2 I 1	2
z = —^—. Проверьте также, что в этом случае равенство
x2-\-y2=z2 выполняется, т. е. числа, найденные по такому
правилу, всегда будут составлять решение интересующего
нас неопределенного уравнения. Это уравнение будем на¬
зывать «уравнением Пифагора», а его решения — «пифаго¬
ровыми тройками». По этому правилу можно получить уже
известные нам тройки:
о	9~1 л	9 + 1 с
если х = 39 то у = —g— = 4,z = —^~ 5, получилась
первая пифагорова тройка;
25 — 1	25-|-1
если д: —5, то у =—^—= 12 и z — —-—=13 — вто¬
рая тройка;
49 \	49 _l 1
если х = 7, то у =—g—=24 и z — —-—=25 — третья
тройка.
Других мы пока не знаем, но следующее за 7 нечетное
число 9, тогда у — 40 и z = 41.
Проверим наши вычисления:
924- 402=412.
Следующим шагом было установление правила вычисле¬
ния всех, а не только некоторых пифагоровых троек. Сде¬
лаем этот шаг и мы.
Перепишем уравнение Пифагора следующим образом:
68

x2 = z2 — y2;
x2=(z + y)(z — y).
Это означает, что число х должно разлагаться на два не¬
равных множителя z-\-y и z — у, которые мы обозначим так,
что получится такая система:
z-\-y = 2a2;
z — y = 2b2.
{
Почему написаны коэффициенты 2 и почему написаны
квадраты, а не просто числа а и Ь1 Это сделано с целью
получить аккуратные ответы. Решив эту систему, получим:
z = a2 -\-b2\ y = a2 — b2; х = 2 ab
(при этом надо иметь в виду, что а >Ь).
Из этого следует, что наименьшим значением числа b
может быть только единица, тогда наименьшим значением а
будет 2. Вычислим х, г/, z. Получается z = 5, у = 3, х = 4,
это уже известный нам «египетский треугольник». А теперь
составим таблицу (табл. 6):
Таблица 6
ДЛИНЫ СТОРОН (ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ) ПРЯМОУГОЛЬНЫХ
ТРЕУГОЛЬНИКОВ
2
3
4
5
6
1
3, 4, 5
6, 8, 10
8, 15, 17
10, 24, 36
12, 35, 37
2
—
5, 12, 13
12, 16, 20
20, 21, 29
24, 32, 40
3
—
—
7, 24, 25
27, 36, 45
4
Некоторые места в таблице не заполнены — сделайте это
сами. Кроме того, ясно, что таблицу можно расширить и
вправо, и вниз. Подчеркнем главное — уравнение решено, мы
знаем способ вычисления всех возможных целочисленных
значений длин сторон прямоугольных треугольников.
Формализм — это хорошо или плохо!
Размышления об уравнениях с несколькими перемен¬
ными привели нас к идеям аналитической геометрии, к
мыслям о теории чисел. Но, наверное, это далеко не все.
Внимательный читатель мог заметить, что мы совсем не го¬
ворили о решении систем уравнений, о чем немало на-
69

писано в школьном учебнике. Это тоже интересная тема
для размышлений, ею мы сейчас и займемся.
Повторим сначала то, что очень хорошо вам известно,—
решение системы двух уравнений с двумя неизвестными.
Только договоримся о том, что решать ее будем в общем
виде (если вас это смущает, то сначала решите сами не¬
сколько таких систем из учебника алгебры). Кроме того,
договоримся, что обозначать коэффициенты при неизвестных
будем так:
( аих + ах2у = Ь\\
I 0'2\^'Л'а<пУ = Ь2.
Здесь коэффициенты при неизвестных имеют внизу значок
(его называют индексом)у состоящий из двух цифр. Первая
цифра — номер уравнения, вторая — номер неизвестного.
Например, если написано а\2 (читается: «а один, два»), то
ясно, что речь идет о первом уравнении и коэффициенте
при втором неизвестном в этом уравнении.
Приступим к решению.
Умножим правую и левую части первого уравнения на
«22» а правую и левую части второго уравнения на а, 2:
( «| i«22-£ -\-CL\20,22y = 6i«22»
I d2\(X\ 2X -\-&220'12У — b2G j 2*
Вычтем из первого уравнения второе:
«1 i«22^ — d2\d\2X = 6,022 — Ь2(Х\2ш
Получилось уравнение с одним неизвестным, из него
найдем
Ъ\&27 — &2^12
X —	.
Я I ! Я22 — #21Я1 2
Для того чтобы найти второе неизвестное, умножим правую
и левую части... Стоп! В серьезных книгах по математике
в подобных случаях пишут: «поступая аналогично, най¬
дем...» При этом авторы этих книг предполагают, что чита¬
тель берет бумагу и карандаш и работает сам. Надеемся,
что вы сделаете так же. Итак, поступая аналогично, найдем,
что
&2#i I — Ь |Я21
Присмотримся теперь к ответам. Заметим, что знамена¬
тели дробей равны, а числители «устроены» очень похоже.
Вот если бы запомнить порядок записи всех этих попарных
70

произведений и запомнить» когда стоит знак плюс, а когда —
минус, то можно было бы решать системы сразу, не делал
никаких преобразований! Надо попытаться придумать ка¬
кой-нибудь удобный способ записи, какое-нибудь красивое
правило, хороший прием, т. е. как-то, как говорят мате¬
матики, формализовать нашу работу.
Математик должен обладать многими качествами, среди
них важную роль играет наблюдательность. Присмотримся к
знаменателям полученных формул. Заметим, что каждый
знаменатель есть сумма произведений, а сами произведения
устроены так, что в каждом из них есть по одному коэф¬
фициенту из каждого уравнения и по одному коэффициенту
при каждом из неизвестных. Значит, для составления зна¬
менателей	этих	формул надо	уметь	правильно	комбини¬
ровать	коэффициенты.	Чтобы	научиться	этому,	выпишем
коэффициенты в виде такой таблички:
Пи	0,12
CL 21	П22
А теперь договоримся, что если справа и слева от этой и
подобных табличек поставлены вертикальные палочки, то
они, эти таблички, означают числа, вычисляемые по сле¬
дующим правилам:
а\\	а,\2
&21	П22
—d \ \ CL22 — П12П21
Конечно, ясно, что от такой записи нисколько не легче,
если не указать, как ею пользоваться. Посмотрите внима¬
тельно на расположение стрелок на этой схеме:
Пц	П12
П21	П22
Понятно? Умножать надо ♦по стрелкам», причем если стрел¬
ки идут слева — вниз — направо, то произведение надо брать
со знаком плюс, если же справа — вниз — налево, то со зна¬
ком минус. Запомнить такое правило очень легко.
Итак, со знаменателями все в порядке. А теперь за¬
метьте, что для вычисления числителей надо действовать
точно по таким же правилам, только, записывая числитель
для jc, надо всюду вместо коэффициентов при этом неиз¬
вестном писать соответствующие свободные члены уравне¬
ний. Точно так же поступим и для второго неизвестного.
Для усвоения этого правила решите теперь одну систему
вместе с нами, а три самостоятельно.
71

Пусть
| 2х + у= —2;
I 8x + 9i/ =	5.
Составим табличку из коэффициентов при неизвестных
(сама табличка обычно называется матрицей) и найдем
значение знаменателя (принято говорить: вычислим опреде¬
литель — этим словом называют найденное по описанному
нами правилу число):
2	1
8	9
= 2-9 —1-8 = 18 —8 = 10.
А теперь остается проделать такие же вычисления для х и у:
-2 1
— 5	9
2	-2
8	—5
= ( — 2)-9 —1 •(— 5)= -18 + 5= -13.
= 2-( —5) —(-2)-8= —10 + 16 = 6.
 	g
Значит, х =	^	= —1,3 и у =—=0,6. Проверку сде¬
лайте, пожалуйста, сами.
Три примера для самостоятельного решения полезно ре¬
шить два раза — один раз так, как вы делаете в школе,
т. е. не составляя матриц и не вычисляя определителей, а
умножая каждый раз на дополнительные множители, вы¬
читая одно уравнение из другого, попросту говоря —
каждый раз основательно думая. А второй раз — действуя
при помощи определителей, т. е. по стандартным правилам,
формально, можно сказать, как машина.
41. г 8jc — 33i/ = 19,
112д: + 55^ = 29.
42. I 14jc —9t/ = 24,
1 7х — 2г/ — 17.
43. tax~by = a2 + b2,
\ bx+ai/=a2 + 62.
Решая систему из трех уравнений с тремя неизвестны¬
ми, мы придем к определителям третьего порядка, решая
системы из четырех уравнений с четырьмя неизвестными,
получим определители четвертого порядка и т. д. Правда,
правила для вычисления определителей третьего и тем более
четвертого и вообще какого угодно порядка уже не так прос¬
ты, как правила вычислений определителей второго по¬
72

рядка, с которыми вы познакомились, но все равно этот
прием очень облегчает работу, и, действительно, в каждом
случае определители (иногда говорят — детерминанты) дают
возможность установить совершенно определенный порядок
решения систем уравнений. Не будем здесь рассматривать
эти правила, заметим только, что с изучения определителей
и решения систем уравнений со многими неизвестными на¬
чинается очень важный раздел современной математики —
так называемая линейная алгебра. Кроме того, от систем ли¬
нейных уравнений можно подойти к идеям современной
вычислительной математики, программирования и еще мно¬
гим интересным и важным для практической деятельности
людей вопросам. Со многими из них вам предстоит позна¬
комиться в старших классах, со многими — в вузе, если
только вас заинтересует математика.
Нам остается сказать, что определители были изобре¬
тены дважды, что в математике встречается не так уж
часто. Сначала — без глубокой теории, но с хорошими пра¬
вилами практического применения — еще в начале нашей
эры или даже чуть раньше в Древнем Китае. Ученые этой
страны еще тогда обладали глубокими и обширными зна-

Готфрид
Вильгельм
Лейбниц
ниями из разных областей науки и техники, в том числе и
из математики. Но, к сожалению, на развитие мировой
науки они не оказали большого влияния, так как старались
скрывать свои открытия от других народов. В результате
то, что было открыто или изобретено китайцами, вновь от¬
крывалось или изобреталось в других странах. Так было с
бумагой, способ производства которой китайцы открыли во
II в., а потом его переоткрыли в арабском халифате и в Ев¬
ропе примерно через тысячу лет. Так было с порохом, из¬
вестном в Китае еще в VII в. и заново изобретенном в Европе
в XIII в. Так было с фарфором, который в Китае умели де¬
лать еще в VII в. до н. э., а в Европе его заново изобрели
лишь в XVI—XVII вв. Так получилось и с определителями и
решением уравнений с их помощью — в XVII в. этот метод
заново изобрел великий немецкий ученый Готфрид
Вильгельм Лейбниц (1646—1716). Из огромного твор¬
ческого наследия Лейбница для математики самым важ¬
ным является разработка так называемого дифференциаль¬
ного и интегрального исчисления. С этим разделом ма¬
тематики вы познакомитесь в десятом классе. С Лейбни¬
цем был знаком и неоднократно с ним встречался рус¬
ский император Петр I. Он даже зачислил Лейбница на
русскую службу. Лейбниц дал Петру I много советов по
развитию науки в России, в частности по созданию Ака¬
демии наук.
Лейбниц стремился во всех исследованиях к обобщениям,
к единым методам. В частности, он хотел создать едино¬
образный метод решения систем линейных уравнений, что и
привело его к определителям. Конечно, определители —
метод очень формальный, механический, пользуясь им, ду¬
мать почти не надо. Хорошо это или плохо? Конечно, хо¬
рошо, если вам надо решить очень быстро и очень много
однотипных систем уравнений, особенно если вы хотите
привлечь к этому вычислительную технику. И, конечно,
плохо, если вы не умеете объяснить, каким образом созданы
те правила, которыми вы уже пользуетесь формально. Ото
уже относится не только к определителям. Это то же самое,
что и таблица умножения. Сколько будет семью восемь? 56.
Вы это знаете наизусть, просто формально заучили. И
это хорошо. Но вы, наверное, сумеете объяснить, откуда
взялось это число, сложив семь восьмерок. Надо уметь
и то и другое, вот тогда и будет по-настоящему правильно
и хорошо.
74

Помните, в самом начале книги упомянуты четыре кита,
на которых держится алгебра: уравнение, число, тождество,
функция? Теперь, пожалуй, можно сказать, что с первым
из них вы знакомы довольно хорошо, хотя очень многого вы
пока не знаете. Мы, например, лишь упомянули о при¬
ближенном решении уравнений, только назвали диофантовы
уравнения, бегло рассмотрели системы уравнений. Кроме
того, мы все время говорили об одних алгебраических
уравнениях, но ведь можно представить себе, например,
g
такое уравнение: д/л2 + 2 =^14 — х . Легко проверить (про¬
верьте!), что число 5 является его корнем, но единствен¬
ным ли? И как его найти? А вот другое уравнение:
2х = х2 — 1. И опять-таки легко убедиться, что число 3 есть его
корень, ибо 23 = 8 и З2 — 1 = 8. Но как найти этот корень и нет
ли других корней?
Вскоре вы начнете изучать тригонометрические функции
и будете решать тригонометрические уравнения. В старших
классах вы узнаете, что такое логарифм и дифференциал,
затем пойдет разговор о логарифмических и дифферен¬
циальных уравнениях. И процесс этот бесконечен. Можно
даже сказать так: будете заниматься математикой, фи¬
зикой, механикой, астрономией, серьезными инженерными
расчетами — будете решать уравнения, начальные сведения
о’ которых вы получили в школе.
Ну а как дела с другими китами? Самый старый из них,
конечно, число. Ведь уже первобытный человек не мог
обойтись без чисел. В первом классе изучение математики
начиналось с простейших геометрических фигур и натураль¬
ных чисел. А при решении уравнений каждый раз при¬
ходилось обращаться к вычислениям, т. е. к действиям над
числами. Более того, когда мы заговорили о неопределен¬
ных уравнениях, стали обращать особое внимание на то,
какие именно числа нам понадобятся: натуральные, це¬
лые или еще какие-нибудь.
Попробуем уточнить, что вы уже знаете о числах.
Итак, изучение математики начиналось с натуральных
чисел, недаром они и называются натуральными, т. е. «при¬
родными», естественными, обыкновенными. Это числа 1, 2,
3, 4, ... Они понадобились человеку прежде всего для счета
предметов, и мы, наверное, ничего тут пояснять не будем,
ведь каждый знает смысл вопроса «сколько?», каждый
умеет считать. Есть еще одно назначение натуральных

чисел — отвечать на вопрос «который?». Это вы тоже
знаете, может быть, даже еще с детского сада, когда пользо¬
вались всякими считалочками.
В математике принято, говоря не об отдельном натураль¬
ном числе /г, а обо всех натуральных числах сразу, исполь¬
зовать термин множество натуральных чисел и обозначать
это множество буквой N (лат. naturalis — естественный,
природный). И хотя вы, конечно, изучали натуральные
числа, но некоторые его свойства мы все же повторим.
Пусть это будет первой задачей в нашем знакомстве
со вторым китом алгебры.
Достаточно ли множества N для человека? Конечно, нет.
Вы уже познакомились с отрицательными числами, т. е. с
числами ... —3, —2, —1, каждое из которых противо¬
положно какому-нибудь натуральному. Границей между на¬
туральными числами и целыми отрицательными числами
служит число 0, а все они вместе (натуральные, нуль и
целые отрицательные) составляют новое числовое мно¬
жество Z (от первой буквы немецкого слова zahl — число) —
множество целых чисел. Вы изучали свойства этого мно¬
жества. Некоторые из них повторим еще раз. Пусть это
будет нашей второй задачей.
А что дальше? Как только людям понадобилось что-
либо делить на части и что-то измерять, так оказалось, что
натуральных чисел не хватает. Понадобились новые
числа — дробные. Множество дробных чисел (разумеется, и
положительных, и отрицательных) вместе с целыми числами
называется множеством рациональных чисел и обозначает¬
ся буквой Q (от первой буквы французского слова
quotient — отношение). Умение обращаться с дробями
очень важно для решения самых разнообразных задач,
поэтому в школе решают много упражнений на действия с
дробями. А вот над некоторыми свойствами множества Q
нам предстоит задуматься — это наша третья задача.
Вопрос о том, нужны ли еще какие-либо числа, кроме
натуральных, целых и дробных, или же этими числами
можно обойтись во всех случаях жизни,— очень важный и
очень трудный вопрос. Ответить на него будет нелегко,
можно даже сказать, что если вы сумеете разобраться
в нем, то сможете понять и все остальное в математике.
Это будет ваша четвертая задача.
Итак, мы составили программу знакомства с важнейшей
частью алгебры — учением о числе. Приступим к осущест¬
влению этой программы.
76

Натуральные числа
Что мы знаем о множестве N — множестве натуральных
чисел?
Во-первых, это множество упорядочено. Эта фраза озна¬
чает, что о любых двух неравных натуральных числах
всегда можно сказать, что одно из них меньше другого.
Например, 3 меньше 5, 1000 меньше 10 ООО и т. д.
Во-вторых, множество N ограничено снизу. Это значит,
что в нем есть число, меньше которого натуральных чисел
уже не существует. Что это за число? Конечно, 1. Мень¬
ших натуральных чисел не бывает.
В-третьих, множество N неплотно. В чем состоит это
свойство? Между двумя натуральными числами далеко не
всегда удастся вставить третье так, чтобы оно было больше
меньшего, но меньше большего из них. Например, между
3 и 7 можно вставить 4, так как 3<4<7, можно вста¬
вить 5, ибо 3 С 5 С 7, можно и 6 (объясните, почему). Но
вот между 8 и 9 уже никакого натурального числа не
вставишь! Это очень любопытно, тем более что во мно¬
жестве дробей этого свойства уже нет. Ведь всегда, раз¬
делив сумму двух неравных дробей на любое натуральное
число, например на два, получим дробь, большую меньшей,
но меньшую большей из них,— множество дробей плотно.
Проверьте это утверждение на примерах, задумайтесь над
ним! Задумайтесь еще и над другим оттенком этой же
мысли. За числом 8 непосредственно следует только одно
число 9 и никакого другого. И вообще за любым нату¬
ральным числом непосредственно следует одно и только одно
натуральное число. А какое число непосредственно следует,
например, за числом 3-^-? Следующих за ним много, а вот
непосредственно следующее каково?
В-четвертых, множество N не ограничено сверху, иначе
говоря, не существует самого большого натурального числа.
Вас, наверное, это нисколько не смущает, хотя у древних
мыслителей этот факт вызывал немало сомнений. И это
понятно — вы, современники космических полетов, привык¬
ли к галактическим и вселенским масштабам, и слово «бес¬
конечность» сейчас привычно даже для младших школь¬
ников. И это, конечно, хорошо.
Но над одной стороной вопроса мы все же хотим попро¬
сить вас задуматься. Да, самого большого числа во множестве
N не существует. Значит — на первый взгляд — бесконечен
77

i
должен быть и запас знаков для их обозначения. А в дей¬
ствительности мы обходимся всего лишь десятью знаками-
цифрами (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0)!
Вы, несомненно, хорошо понимаете, как это все по¬
лучается. Просто числовое значение десяти цифр меняется в
зависимости от места (принято говорить—«позиции»), ко¬
торое эта цифра занимает. Например, запись 222 вовсе не
означает ни суммы трех двоек, ни чего-либо еще, кроме того,
что правая двойка — это две единицы, средняя — два десят¬
ка, левая — это уже две сотни.
Чрезвычайно просто! Наверное, вам даже хочется ска¬
зать: «Зачем здесь это написано? Это же и так ясно!» Но
удивительность этого изобретения в том и заключается, что
мы считаем его естественным и настолько к нему при¬
выкли, будто иначе и быть не может. А ведь может! Люди
записывали числа и произносили их названия в десятичной
позиционной системе вовсе не всегда. Были и так назы¬
ваемые «иероглифические» системы записи чисел: для от¬
дельных чисел использовались специальные значки, ко¬
торые всегда имели только одно значение (следами такого
способа мы в какой-то степени пользуемся и сейчас, при¬
меняя так называемые римские цифры,— в них, например,
78

значок X всегда означает 10, где бы он ни был написан).
Были «алфавитные» системы (вместо цифр применялись
буквы, этим способом мы тоже иногда пользуемся, заменяя
«во-первых», «во-вторых», «в-третьих» обозначениями «а»,
«б», «в»). Но самым лучшим способом оказалась все-таки
десятичная позиционная система счисления, которой сейчас
пользуются во всем мире.
К сожалению, уже невозможно установить, кто и когда
именно изобрел эту систему, можно лишь утверждать, что
было это в начале нашей эры в Индии. Эта система по¬
лучила развитие у арабских математиков, поэтому цифры,
которыми мы пользуемся, часто называют «арабскими»,
хотя, между прочим, в арабских странах применяют совсем
другие цифры. (Когда вы смотрите по телевидению програм¬
му «Время», в которой часто рассказывают о странах с
арабской письменностью, то можете увидеть странные на
первый взгляд номерные знаки у автомашин. Они состав¬
лены по десятичному принципу, но цифры там совсем
:	г*-'	\	if
другие:	„ '	^	„	.)	От	арабов	эта	система
1234567890
перешла в Европу. И хотя десятичная система проста и
удобна, она далеко не сразу стала общепринятой.
Простота и удобство десятичной системы не только в
краткости записи и удобной форме произнесения любых
чисел. Важной и полезной особенностью этой системы яв¬
ляется возможность хорошей организации вычислений.
Выполните, например, четыре упражнения:
44. Сложить 128 602 и 84 662.
45. Из 1 234 566 вычесть 456 789.
46. Умножить 92 813 на 69.
47. Разделить 3 909 984 на 3856.
Такие упражнения вы выполняли много раз, но приве¬
дены ^они здесь не для того, чтобы проверить ваши навыки,
а для того, чтобы вы задумались над тем, что и как вы
делаете.
Попробуем записать по порядку все ваши действия при
выполнении, например, упражнения 46.
VQ2 813	1.	Записываем множители в две строки так, чтобы еди-
69	ницы были под единицами, десятки под десятками.
17	2.	Умножим, вспоминая таблицу умножения однознач¬
ных чисел, число единиц первого множителя на число еди¬
ниц второго множителя. Если произведение состоит из одной
цифры — запишем ее, если из двух — запишем число единиц,
а число десятков запомним.
79

3. Умножим число десятков первого множителя на число
единиц второго множителя, вновь обратившись к таблице
умножения. Прибавим к произведению число десятков,
которое мы запомнили, выполняя предыдущий шаг. Если
сумма состоит из одной цифры — запишем ее левее уже
записанного числа единиц, если из двух — запишем одну
цифру, обозначающую число десяткоц, а число сотен за¬
помним.
Не будем описывать этот процесс дальше. Важно иметь в
виду две стороны вопроса — учебную и научную. Учебная —
эти правила надо выучить, запомнить, применять. Для этого
необходимы сами правила, таблица сложения.
Научная сторона. Правила сложения, вычитания, умно¬
жения и деления в десятичной системе счисления представ¬
ляют собой точное предписание о выполнении в определен¬
ном порядке конечного числа элементарных операций. Та¬
кие правила в математике называют алгоритмами. Раз¬
личных алгоритмов очень много. Возникло целое направ¬
ление в математике, с которым вам предстоит познако¬
миться в старших классах при изучении специального пред¬
мета «Основы информатики и вычислительной техники».
И, быть может, именно это направление науки и техники
станет вашей будущей специальностью.
Само же слово «алгоритм» имеет любопытное происхож¬
дение. Уже упоминавшийся в нашей книге аль-Хорезми
написал не только книгу, давшую название нашему пред¬
мету, но и другие произведения, в том числе трактат «Об
индийском счете», который был переведен на латинский
язык. Из него-то европейские ученые прежде всего и узнали
о позиционной системе счисления и тех правилах, которые
теперь знают ученики младших классов. А до того в Европе
пользовались римскими цифрами, и выполнять вычисления
с их помощью было не только неудобно, но и очень трудно.
Перевод начинался словами: «Сказал аль-Хорезми». В ла¬
тинском тексте имя аль-Хорезми было записано так:
Algorithmus. Тех, кто владел «искусством индийского
счета» — правилами вычислений в десятичной позиционной
системе, стали называть «алгоритмиками». В наше время
слово «алгоритм» приобрело вполне точный и определенный
смысл, чему очень способствовало употребление его почти в
этом, современном, смысле еще Лейбницем.
Стоит задуматься и еще над одной очень важной и труд¬
ной проблемой, которую даже назвать-то сразу затрудни¬
тельно. Подойдем к ней издалека.
80

Возьмите, пожалуйста, свой учебник геометрии. В нем
вы обязательно найдете слово «аксиома». Этого слова ни в
каких других школьных учебниках нет. Значит, использо¬
вание аксиом — особенность геометрии?
Далее. В учебниках геометрии с самого начала говорит¬
ся о точках и прямых. Это естественно, с этого все начи¬
нается. Но почему вас никогда не спрашивают: «Что назы¬
вается точкой? Что называется прямой?» Эти фигуры счи¬
таются основными. Зато всем остальным фигурам требуют
дать определение. Иногда это даже странно: отрезок гораздо
легче себе представить, чем прямую, но об отрезке спра¬
шивают, а о прямой — нет! В алгебре подобных ситуаций не
было. Быть может, использование основных понятий тоже
особенность одной лишь геометрии?
Затем в геометрии изучают свойства различных фигур,
но не просто наблюдают и описывают их, как, скажем, в бо¬
танике наблюдают и описывают свойства растений, в зооло¬
гии — животных, а доказывают, причем иногда доказывают,
казалось бы, самые очевидные вещи. И если внимательно
рассмотреть процесс доказательств, то окажется, что этот
процесс есть получение нового результата из аксиом, а сами
аксиомы не доказываются.
Итак, в геометрии сначала выбирают основные понятия,
им не дают определений, затем формулируют аксиомы, их
не доказывают, а уж потом строятся определения, дока¬
зываются теоремь1, создается теория, на основе которой
решаются практические задачи,— ведь аксиомы взяты из
практики, из обобщенного человеческого опыта. И получает¬
ся геометрия — красивая, не очень легкая наука, построен¬
ная, как обычно говорят, «дедуктивно», т. е. «выведенная»
из аксиом и основных понятий.
Именно так строил свои знаменитые «Начала» Бвклид.
Именно поэтому «Начала» долгие годы служили образцом
математического сочинения и основой для изучения мате¬
матики.
Сведений о биографии Евклида, к сожалению, до нас
почти не дошло, нам не известны даже даты его рождения и
смерти. Твердо установлено лишь то, что он жил и работал в
Александрии в III в. до н. э. Конечно, как и о других вели¬
ких людях, о нем известно немало легенд, одна из которых
очень поучительна. Египетский царь Птолемей I спросил Ев¬
клида, нет ли более короткого пути для понимания геомет¬
рии, чем тот, который содержится в «Началах» (в современ¬
ном издании эта книга имеет более 500 страниц, и, конечно,

для ее изучения	немало	времени и усердия). Евклид
гордо ответил Птолемею, что «в геометрии нет царской
дороги».
Так вот, царской дороги нет, есть путь, требующий
напряженной и постоянной работы, ценный и сам по себе, так
как в движении по этому пути человек овладевает интерес¬
нейшей наукой, и из-за того, что на этом пути вырабаты¬
вается умение мыслить. Хорошо? Конечно, хорошо. Но воз¬
никает вопрос, из-за которого мы и обратились к геометрии.
Если дедуктивный метод, если обращение к аксиомати¬
ческому построению науки так хороши, то почему их не при¬
менять и в остальных разделах математики? Почему не
сделать этого в алгебре? И почему не сделать этого, прежде
всего, в учении о натуральных числах?
Мысль о таком построении теории натуральных чисел
давно привлекала ученых, попыток было сделано немало,
но наиболее удачной — о ней сейчас знает любой матема¬
тик — оказалась система аксиом, сформулированных италь¬
янским ученым Джузеппе Пеано (1858—1932).
Оказалось, что для дедуктивного построения арифметики
натуральных чисел достаточно всего четырех аксиом, с по¬
мощью которых дается точное объяснение тому, что значит
«одно число следует за другим».
Вот эти аксиомы. (Только, пожалуйста, не запоминайте
их — для начала важно знать, что они существуют и что
арифметику можно построить аксиоматически, потом полез¬
но научиться их применять, это понадобится уже специа-
листу-математику, и, наконец, может быть, придется их и за¬
помнить, если вы будете специально заниматься именно
этим разделом математики.)
Аксиома I. Существует натуральное число единица, не
следующее ни за каким числом.
Фактически эту аксиому знает каждый первоклассник,
мы о ней говорили, заметив, что множество N ограничено
снизу.
Аксиома II. За любым натуральным числом следует
одно и только одно число.
И эту аксиому мы хорошо знаем с детства — считать-то
мы умеем!
Аксиома III. Всякое натуральное число, кроме едини¬
цы, следует за одним и только одним числом.
Смысл этой аксиомы тоже понятен.
Четвертая аксиома в списке Д. Пеано называется аксио¬
мой индукции, она, пожалуй, самая громоздкая и трудная.
82

Аксиома IV. Если какая-либо теорема о свойствах на¬
туральных чисел доказана для единицы и если из допуще¬
ния, что она верна для натурального числа п, следует, что она
верна и для числа, непосредственно следующего за п, то она
верна для всех натуральных чисел.
Чтобы лучше понять смысл аксиомы IV, решим такую за¬
дачу:
найти формулу для вычисления суммы k первых нечетных
чисел.
На первый взгляд непонятно даже, как подступиться к
решению.
Попробуем для начала просто подсчитать такую сумму
для нескольких значений k:
fc = l,	1 = 1;
k = 2,	1 + 3 = 4;
k = S,	1 +3 + 5 = 9;
k = 4,	1+3 + 5 + 7 = 16.
Заметим, что 1 = 12, 4 = 22, 9 = 32, 16 = 42. Кажется, за¬
дача решена и
1 + 3 + 5 + ... + (2k — l)=k2.
Очень красиво, только правильно ли? Это уже доказан¬
ная теорема или, как принято говорить в науке, правдо¬
подобная гипотеза? Можно, конечно, попробовать сделать
еще шаг:
1+3 + 5 + 7 + 9 = 16 + 9 = 25 = 52.
Уверенность в справедливости гипотезы возрастает, хочет¬
ся сказать «и так далее». Но остается неуверенность —
а вдруг для какого-то числа наша формула окажется
неверной? А проверить невозможно — множество N не огра¬
ничено сверху, множество нечетных чисел тоже неограни¬
ченно, все не проверишь.
Вот тут-то мы и призовем на помощь аксиому IV. Ведь,
действительно, в доказываемой теореме речь идет об одном из
свойств натуральных чисел, значит, аксиому применять
можно. Доказана ли теорема для единицы, т. е. верно ли,
что при k = l сумма равна I2? (Немножечко некрасиво
звучит «сумма одного числа», но это не так уж страшно.)
Да, именно так и есть. Теперь допустим, что
1 + 3 + 5 + ...+ (2гс — 1) = л2.
83

Следует ли из этого, что
1+3 + 5 + ... + (2п — 1)+(2п + 1) = (л + 1)2?
По предположению
1 + 3 + 5 + ... + (2л —1) = л2.
Тогда получается:
1 + 3 + 5 + ... + (2л-1) + (2п + 1) = л2+(2л + 1) =
= п2 -\-2п +1 =(n + lfy
что и требовалось доказать.
Аксиома позволила нам рассуждать фактически так.
Для первого числа теорема доказана. Значит, она справед¬
лива и для следующего за ним числа под номером 2. Но
если справедлива для числа под номером 2, то справед¬
лива и для следующего за ним числа под номером 3. Но
если справедлива для числа под номером 3, то справедлива
и для следующего за ним числа под номером 4. Но если...
Очень хочется сказать расплывчатое и неопределенное
«... и так далее». Но мы скажем: «но если теорема спра¬
ведлива для числа под номером п и следующего за ним
числа, то по аксиоме IV она справедлива для всех нату¬
ральных чисел».
Трудновато? Не во всем разобрались? Не огорчайтесь!
Во-первых, в математике вообще далеко не все сразу бы¬
вает понятным. Во-вторых, чтобы понять, как с помощью
аксиом Пеано и особенно аксиомы IV доказывать теоремы,
надо изрядно поупражняться. Этого мы не будем делать, но
одну теорему все же попробуйте доказать.
Убедитесь, что сумма квадратов п чисел натурального
ряда может быть вычислена по формуле:
1? + 22 + 32 + ... + n2=	+ ^ + D .
И, наконец, в-третьих. Цель нашего рассказа об аксиомах
Пеано вовсе не в том, чтобы вы хорошо разобрались в них,
а в том, чтобы вы поняли — учение о натуральных числах
(арифметика натуральных чисел) может быть построено ак¬
сиоматически.
Геометрия может быть построена аксиоматически. Ариф¬
метика — аксиоматически. А алгебра вообще? Может быть,
и это возможно? Как вы думаете?
Обратимся теперь к еще одному хорошо известному вам
84

свойству множества ЛГ, которое называется замкнутостью
относительно операций сложения и умножения. Слово
«замкнутость» имеет очень простой смысл, заключающийся
в следующем. Вы знаете, что сумма любых двух натураль¬
ных чисел всегда является натуральным, а не каким-либо
иным числом. Точно так же и произведение двух натураль¬
ных чисел обязательно будет натуральным числом. Можно
никуда не выходить из комнаты, на двери которой написано
«множество натуральных чисел», все суммы и произведения
находятся «внутри» этой комнаты, ее можно даже запереть,
замкнуть. Более того, и сумма, и произведение двух данных
натуральных чисел имеют единственное значение:	вы
прекрасно знаете, что если, умножая два числа, два ученика
получили два разных произведения, то по крайней мере
один из них ошибся. Кстати, вы сумеете объяснить, почему
тут написано «по крайней мере»?
Вот эта особенность некоторых множеств и операций —
в результате операции над элементами множества получа¬
ется элемент этого же множества — и называется замкну¬
тостью множества относительно операции.
Свойство замкнутости не представляло бы интереса,
если бы не следующее свойство, ему противоположное. Мно¬
жество N незамкнуто относительно операций вычитания и
деления. Это означает, что разность двух натуральных
чисел вовсе не обязательно будет натуральным же числом
(вычитая из меньшего большее, например из 5 вычитая 7,
получим — 2 — число целое, но не натуральное, а проти¬
воположное натуральному числу 2 отрицательное число).
И с делением такая же картина. Поделив 6 на 3, получим
2 — натуральное число. Но разделив 6 на 5, получим 14-,
о
т. е. не натуральное число, а особым образом записанную
сумму натурального (единицы) и дробного (одна шестая)
чисел. Иначе говоря, разность натуральных чисел, как и их
частное, не всегда удается выразить натуральным же чис¬
лом, для этих операций натуральных чисел не хватает, за
ответами надо, открыв дверь, идти в другую комнату.
Особенно сложно обстоит дело с делением — настолько
сложно, что на теории делимости нам придется основа¬
тельно задержаться.
Теория делимости... А почему нет теории слагаемости и
теории умножаемости? Тут ответ ясен — зачем нам спе¬
циальная теория, если сложение и умножение получаются
всегда, если множество N относительно этих операций
85

замкнуто! Не существует и теории вычитаемости — хотя
множество ЛГ относительно операции вычитания незамкнуто,
но мы всегда по записи чисел а и b видим, выполнимо ли
вычитание. Л для деления это далеко не всегда можно
установить, не выполнив самого деления. Например, мы
сразу можем сказать, что 273 можно вычесть из 2387, а
вот разделится ли 2387 на 273 без остатка? Л иногда
именно это и надо установить, или даже установить, каков
будет остаток. Вот эта неизвестность, скрытая в операции
деления, и порождает необходимость глубокого изучения
свойств делимости. Оказывается, по отношению к делению
натуральные числа обладают рядом очень интересных
свойств.
Простые и составные числа
Вы уже знаете о существовании простых чисел, т. е.
чисел, делящихся только на единицу и на самого себя.
Например, число 11 — оно (это легко проверить) не делится
ни на одно число, кроме 1 и 11. Труднее проверить (попро¬
буйте!), но число 97 тоже делится только на 1 и на 97 и боль¬
ше ни на одно число. 1 ООО ООО 009 649 (один триллион
девять тысяч шестьсот сорок девять) тоже, кроме единицы
и самого себя, ни на какое число не делится, но проверить
это очень и очень трудно. Остальные числа, кроме еди¬
ницы, называются составными. Единица не считается ни
простым, ни составным числом.
Приведите несколько примеров простых и составных
чисел!
Ясно, что по «внешнему виду» числа, по его записи
нельзя установить, является оно простым или составным.
Значит, надо найти приемы, с помощью которых удастся
ответить на этот вопрос. Самый простой и естественный
способ — последовательно делить данное число на все числа,
меньшие его, начиная с двойки. Занятие это, конечно,
очень утомительно, но его можно основательно облегчить,
если соблюдать следующие три требования.
Во-первых, делить надо только на простые делители.
Попробуйте объяснить это требование!
Во-вторых, надо не пытаться делить на числа, квадрат
которых превышает испытываемое число. Попробуйте
объяснить и это требование!
В-третьих, выполняя деление, не надо стараться запо-
86

минать частное — ведь нам важно только узнать, есть ли
остаток; кроме того, надо уметь использовать индиви¬
дуальные особенности испытуемого числа.
Попробуем установить, следуя этим требованиям, явля¬
ется ли простым число 257. На 2 и на 3 оно не делится, это
видно сразу. На 4 делить не будем, так как 4 — составное
число. На 5 оно не делится, так как оканчивается на 7.
Число 6 составное, его мы пропустим. Начнем делить на 7,
но уже первый остаток, равный 47, на 7 не делится. 8, 9 и 10
пропустим, так как они составные. Делим на 11, но первый
остаток (сколько?) на 11 не делится. 12 — составное. На
13 число 257 не делится, так как 257 — 260 — 3, 260 делится
на 13, а 3 — не делится. На 14, 15 и 16 делить не будем, они
составные. На 17... Но 172 = 289]>257, значит, можно оста¬
новиться, 257 — простое число.
Еще один пример. Исследуем число 3599. Сразу видно,
что на 2, 3, 5 оно не делится. На 7 тоже не делится, ибо
3500 делится на 7, а 99 — не делится. На 13 данное число
не делится, это можно увидеть так: 3599 = 3900 — 311 =
= 3900 — 260 — 51=3900 — 260 — 52 + 1, первые три сла¬
гаемых делятся на 13, а последнее не делится, значит, и
сумма не разделится. 3599 = 3400 + 170 + 29, последнее
слагаемое не делится на 17, а первые два делятся, значит,
и само число не делится на 17. Надо продолжать, ибо 192 =
= 361 < 3599. Но на 19 наше число не делится, так как 3599 =
= 3610 —11, уменьшаемое делится на 19, а вычитаемое не
делится. Точно так же проверим делимость на 23, 29, 31,
37, 41... Хочется бросить это скучное занятие, но если про¬
явить настойчивость, то можно убедиться, что 3599 = 59-61,
т. е. 3599 делится на 59 и на 61 (оба делителя — простые
числа).
Этот пример показывает, что с выводами торопиться
опасно, даже очень большое число испытаний, приводя¬
щих к одинаковому результату, не всегда приводит к пра¬
вильному общему выводу!
Между прочим, если бы сначала подумать как следует,
то можно было бы обойтись совсем без испытаний, заме¬
тив, что 3599 = 3600-1=602-12 = (60 + 1) (60-1) = 61 *59
(здесь применена формула разности квадратов двух чисел).
Вот что значит использовать индивидуальные особенности
данного числа!
Для упрощения поиска простых чисел заманчивым пред¬
ставляется решение такой задачи: найти формулу, при вы¬
числениях по которой всегда получались бы простые числа.
87

Если в этой фразе отбросить слово «всегда», то таких формул
удастся привести довольно много, например:
I. f(n) = n2-\-л+ 17;
II. ф(л) = л2 — л+ 41;
III. ty(n) = 2n2 + 29;
IV. (о(п) = n2 — 79n-j-1609.
Обратите внимание на левую часть этих формул. Для
того чтобы не говорить «эта формула», «формула номер
такой-то» и т. д., записаны латинские и греческие буквы,
а за ними в скобках буква п (читается «эф от эн», «фи от эн»,
«пси от эн», «омега от эн») — получилось коротко и просто.
Кроме того, мы теперь вместо длинного «значение выра¬
жения л2 + л + 17 при эн, равном двум» говорим кратко:
«фи от двух» — еще одно хорошее применение буквенных
записей.
Попробуем вместо тг последовательно подставлять в
формулы натуральные числа. Вот, например, что получа¬
ется для /(л):
/(1) = 19, /(2)-23, /(3) = 29, «4) = 37, /(5) = 47,
/(6) = 59, /(7) = 73, ...
Все эти числа являются простыми, но торжествовать
рано — уже /(16)=289 —172, т. е. получилось составное
число. Убедитесь, что и остальные формулы порождают
много простых чисел. Но это «много» еще не означает
«всегда»! Более того, можно доказать, что никакой много¬
член с целыми коэффициентами не может для всякого нату¬
рального значения п равняться простому числу.
При изучении свойств множества N мы отметили, что
оно не ограничено сверху. Обладает ли этим свойством
множество простых чисел? Прежде всего надо хорошо ра¬
зобраться в смысле этого вопроса. Если множество простых
чисел (условимся обозначать его буквой Р) не ограничено
сверху, то это значит, что какое бы простое число мы ни
назвали, всегда найдется еще большее простое число. А если
множество Р ограничено сверху, то это значит, что сущест¬
вует (пусть даже и очень большое и, быть может, нам пока
и неизвестное) такое простое число р, что все натуральные
числа, большие, чем р, обязательно будут составными. При
изучении множества N на подобный вопрос ответить было
легко — к любому натуральному числу можно прибавить,
например, единицу и получить таким образом большее
число. Но при изучении Р так не сделаешь — ведь если
88

к простому числу прибавить единицу, то получится состав¬
ное число. (Кстати, почему так получится и какое — един¬
ственное — исключение из этого закона вам известно?)
Ответ на вопрос об ограниченности или неограничен¬
ности множества Р был дан Евклидом. Он рассуждал так.
Допустим, что число простых чисел ограниченно, т. е.
имеется самое большое простое число, которое мы обозна¬
чим буквой р. Тогда можно составить такое число:
q = 2-3-5-7 ... р +1.
Оно представляет собой произведение всех (если их конечное
число, то ведь — хотя бы мысленно — можно их все за¬
писать) простых чисел от 2 до р, увеличенное на единицу.
Исследуем это число. Оно, конечно, больше р (почему?).
Следовательно, оно является составным — мы ведь допусти¬
ли, что р — самое большое простое число. Но раз оно состав¬
ное, то оно должно делиться на какое-то простое число.
На 2 оно не делится, так как слагаемое 2 • 3 • 5 • 7 *... • р делит¬
ся на 2, а второе слагаемое (единица) на 2 не делится. Не
делится оно и на 3 (рассуждения точно такие же), не де¬
лится оно и на 5, и на 7, и на 11, ..., и на р. Иначе говоря, оно
не делится ни на одно число, кроме единицы и самого себя.
Значит, число q — простое. Получилось противоречие —
число q одновременно является и простым, и составным, что,
конечно, невозможно. Откуда возникло это противоречие?
Оно возникло потому, что мы допустили предположение,
будто существует самое большое простое число. Итак, са¬
мого большого числа не существует, иначе говоря, мно¬
жество Р не ограничено сверху. Теорема доказана.
Доказательство теоремы Евклида является одним из са¬
мых замечательных доказательств в математике. Но есть в
нем один «подводный камень». Ведь на первый взгляд,
меняя р в формуле для q, можно получить простые числа.
А немного раньше говорилось, что не существует формулы
для отыскания простых чисел (правда, там говорилось о
формуле-многочлене). Так, может быть, мы открыли такую
формулу?
Давайте подсчитаем q для различных р:
q2 = 2 + 1 = 3 — простое число;
д3=:2-3-|-1=6 + 1= 7 — простое число;
дб = 2- 3- 5 + 1=30 + 1 = 31 — простое число;
<77 = 2- 3- 5- 7 + 1 = 30- 7 + 1=211 — простое число;
gn=2-3-5-7-ll +1 = 210-11 + 1 = 2311 — простое число.
89

Кажется, все в порядке. Но gi3 = 2-3-5-7-ll-13 + l =
= 2310-13 + 1=30 031, хотя и не делится на 2, 3, 5, 7, 11,
13, но делится — проверьте! — на 59. Повторите-ка еще раз
доказательство теоремы Евклида и ответьте на вопрос, по¬
чему же числа q могут оказаться составными, хотя на 2, 3,
5, 7, ..., р они не делятся.
О некоторых простых числах
Мы уже говорили о попытках найти формулу для отыс¬
кания простых чисел и знаем, что среди многочленов такой
формулы нет. Но нет ли ее среди других выражений?
Интересный поиск в этом направлении предпринял
французский ученый Марен Мерсенн (1588—1648).
Мерсенн известен более всего как физик и философ, но в
еще большей степени его знают как человека, завязавшего
переписку и подружившегося со многими крупнейшими
учеными того времени, в том числе с известными вам из
курса физики Э. Торричелли и Б. Паскалем, с создателем
системы координат и аналитической геометрии Р. Декартом,
с одним из создателей дифференциального и интеграль¬
ного исчисления П. Ферма, замечательным голландским
ученым X. Гюйгенсом. Мерсенн способствовал установлению
контактов между учеными, обмену открытиями, постановке
новых научных задач. Из ученых, группировавшихся во¬
круг Мерсенна в Париже, через несколько лет после его
смерти образовалась Парижская Академия наук.
Мерсенн заинтересовался числами вида 2Р — 1, где р —
простое число. Составим таблицу таких чисел (табл. 7).
Таблица 7
ЧИСЛА ВИДА Мр =2Р — 1
р
2
3
5
7
11
13
17
19
2Р
4
8
32
128
2048
8192
131 072
524 288
Мр
3
7
31
127
2047
8191
131 071
524 287
М2 = 3, М3 = 7, Ms = 31 — простые числа, это видно сразу.
Нетрудно убедиться, что и М? = 127 — тоже простое число.
Но Mi 1 = 2047 = 23-89 — число составное. Числа Мр с ростом
р увеличиваются очень быстро, и поэтому довольно трудно
установить, являются ли они простыми или составными.
Отыскание новых простых чисел этого вида каждый раз
90

Леонард
Эйлер
Пьер Ферма
является серьезным научным достижением. Но мы заметили
главное — не все числа вида Мр — 2Р — 1 являются просты¬
ми. Можно проверить, что М!3 = 8191, М\7 — 131 071 и М\9 =
= 524 287 — простые числа. Не стоит и пытаться проверять,
что Мгз и М29 — числа составные, это очень трудоемкая
задача. Леонарду Эйлеру (1707—1783) удалось до¬
казать, что М3! =231 — 1 =2 147 4 8 3 647 есть простое число.
Очень долго оно считалось самым большим из известных
науке простых чисел, но в 1883 г. Иван Михеевич
Первушин (1827—1900) сумел доказать, что Мь\ =
= 261 — 1 = 2 305 843 002 913 693 951 есть простое число. Ин¬
тересно отметить, что Иван Михеевич по профессии не был
математиком, но с детства и до конца своей жизни с увле¬
чением занимался исследованием свойств чисел.
В наше время при помощи ЭВМ найдено еще несколько
простых чисел вида МР = 2Р— 1, одно из последних —
2216 0 91 —но записать его цифрами подряд мы не сумеем —
в нем столько цифр, что пришлось бы исписать ими всю
эту книгу... Любопытно, что пока не удалось установить,
конечно или бесконечно число таких простых чисел, т. е.
имеется ли среди них наибольшее. Возможно, эту задачу
решит кто-нибудь из наших читателей?
Как уже было сказано, одним из корреспондентов Мер-
сенна был Пьер Ферма (1601—1665), юрист по про¬
фессии, математик по призванию. О нем вы можете прочи¬
тать книгу известного советского писателя-фантаста Алек¬
сандра Казанцева «Острее шпаги», вышедшую в 1984 г.
Среди множества проблем, которые исследовал Ферма,
немалое место занимали вопросы, связанные со свойствами
чисел, в частности простых чисел. Он высказал предполо¬
жение, что простыми являются все числа вида 22 -)-1.
Проверим это предположение для нескольких п, соста¬
вив такую таблицу (табл. 8).
Таблица 8
ЧИСЛА ВИДА F„ = 2 +1
п
0
1
2
3
4
5
2п
1
2
4
8
16
32
9п
2
2
4
16
256
65 536
4 294 967 296
Fn
3
5
17
257
65 537
4 294 967 297
91

Карл
Фридрих
Гаусс
Первые четыре числа (3, 5, 17, 257) — простые. Не¬
сколько труднее установить, что 65 537 — тоже простое.
Хочется думать, что все Fn тоже простые, но оказывается
(это тоже установил Леонард Эйлер), что F5 = 232 + 1 =
= 4 294 967 297 — составное. Проверьте — оно делится на
641. Проверить, конечно, несложно, гораздо сложнее уста¬
новить, что именно на 641 надо делить, недаром до Эйлера
этого никто не сумел сделать. Любопытно, что до сих пор
никому не удалось установить, имеются ли простые числа
вида 22 +1 при /г, большем 4.
С числами Fn связан замечательный геометрический
факт, установленный немецким математиком Карлом
Фридрихом Гауссом (1777—1855). Оказывается,
правильный р-угольник для простого р ;> 2 можно построить
при помощи циркуля и линейки тогда и только тогда,
когда р есть простое число вида Fn. Иначе говоря, треуголь¬
ник с равными сторонами и углами построить с помощью
циркуля и линейки можно (вспомните, пожалуйста, как
это делается); пятиугольник — тоже (в школе этого обычно
не проходят, но в любом справочнике по математике, а
также и в нашей книге вы сможете найти описание этого
построения); построение 17-угольника довольно сложно, но
в принципе возможно; оказывается, можно построить при
помощи циркуля и линейки даже 257 и 65 537-угольники,
но вот, например, семиугольник, пользуясь только этими
инструментами, построить нельзя, так как ни при каком п
7 не равно 22 .
Гаусс, сделавший это открытие в девятнадцати летнем
возрасте, придавал ему настолько большое значение, что
позднее завещал выгравировать правильный семнадцати-
угольник на своем надгробии, хотя многие другие открытия
Гаусса имеют для науки гораздо большие следствия. Впро¬
чем, задача о построении правильных многоугольников
теснейшим образом связана с теорией решения алгебраи¬
ческих уравнений и с теми вопросами, которыми зани¬
мались Галуа и Абель.
С именем П. Ферма связана так называемая «великая
теорема Ферма». В свое время Ферма написал на полях
книги Диофанта «Арифметика», что невозможно разло¬
жить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата,
и вообще никакую степень, большую квадрата, на две
степени с тем же показателем, и что он открыл этому поис-
тине чудесное доказательство, но поля этой книги для него
слишком малы.
92

Уточним, вернее, переведем на более современный язык
мысль Ферма. Рассмотрим равенство
Xn + yn=zn,
в котором Ху у, г — некоторые натуральные числа, п —
натуральный же показатель степени. При п == 1 можно найти
сколько угодно троек чисел, удовлетворяющих этому ра¬
венству. При п — 2 получим уже рассмотренное нами неоп¬
ределенное уравнение (см. с. 65). Это неопределенное
уравнение можно рассматривать и при других показате¬
лях, но Ферма утверждает, что если показатель равен 3, 4
и вообще любому числу, большему 2, то оно не имеет реше¬
ний. В этом и заключается теорема Ферма, полное доказа¬
тельство которой пока не открыто.
В множестве простых чисел есть еще немало интерес¬
ного. Справедлива, например, совершенно удивительная
теорема, на первый взгляд даже противоречащая теореме
Евклида о бесконечности этого множества: существуют
сколь угодно большие промежутки натурального ряда, не
содержащие простых чисел.
Для ее доказательства нам понадобится часто приме¬
няемое в математике обозначение п! (читается ♦эн-факто¬
риал», от лат. factor — множитель). Этим знаком обозна¬
чают произведение п последовательных натуральных чисел.
Например, 3! = 1-2-3 = 6, 5! = 1 -2-3-4*5 —120 и т. д. По¬
нятно, что п\ делится на все числа, простые и составные,
от 1 до л.
Рассмотрим теперь такой ряд чисел:
(п -)-1)! И— 2, (п -(-1)! -|- 3, (л + 1)! + 4, ..., (л-|-1)!-|-(/i-l-l).
Этот ряд представляет собой промежуток натурального
ряда, состоящий из п последовательных чисел. Среди них
нет ни одного простого, так как первое делится на 2, вто¬
рое — на 3, третье — на 4, ..., последнее — на л + 1. Теорема
доказана.
Из этой теоремы, да и из простых наблюдений, следует,
что в натуральном ряде простые числа располагаются очень
неравномерно — где-то их много, где-то мало, кое-где и
совсем нет. Конечно, хотелось бы иметь точную формулу,
с помощью которой можно было бы, не отыскивая простых
чисел, сразу узнать, сколько их заключено в определенном
отрезке натурального ряда. Открытие такой формулы —
задача колоссальной трудности, полное ее решение пока не
получено. Первым, кто сумел добиться значительного
93

Пафнутий
Львович
Чебышев
результата в ее решении, был Пафнутий Львович
Чебышёв (1821 —1894), крупный русский ученый, сде¬
лавший большой вклад во многие разделы современной
математики. Ему удалось доказать формулу, дающую
приближенный ответ на этот вопрос. В несколько упрощен¬
ном виде формула Чебышёва такова:
л(х)
Здесь л(х) — число простых чисел, не превосходящих на¬
турального числа х, а In х — натуральный логарифм числа х.
Вы пока еще не знаете, что такое натуральный логарифм,
но вам нужны будут только его значения, а на странице
81 «Четырехзначных математических таблиц» В. М. Брадиса
вы можете их отыскать. В старших классах вы изучите
показательную и логарифмическую функции и получите
ответы на все вопросы, на которые мы пока не ответили.
Подсчитаем, для примера, сколько простых чисел имеет¬
ся среди первых пятидесяти натуральных. По таблицам
найдем In 50 = 3,192. Разделите 50 на 3,192 и округлите
результат до целого числа. У вас получится 13. А в действи¬
тельности в промежутке от 1 до 50 имеется 15 простых
чисел: 2, 3, 5, 7, ..., 47 — проверьте сами! Конечно, ответ
по формуле оказался не совсем точным, но если взять
число х достаточно большим, то ошибка будет значительно
меньше.
П. JI. Чебышёву удалось доказать и так называемый
постулат Бертрана, названный так по имени французского
математика Жозефа Бертрана (1822—1900), сфор¬
мулировавшего, но не решившего такую проблему:
МЕЖДУ ЧИСЛАМИ п И 2п-2 ПРИ п >4 ЛЕЖИТ НЕ МЕНЕЕ
ОДНОГО ПРОСТОГО ЧИСЛА.
Проверим постулат Бертрана для числа 6, т. е. ответим
на вопрос: лежит ли между числами 6 и 2-6 — 2 = 10 хотя
бы одно простое число? Да, действительно лежит, это чис¬
ло 7. Еще пример. Между 20 и 2-20 — 2 = 38 лежат четыре
простых числа (какие именно?). В этом случае постулат
Бертрана даже «перевыполняется».
Любопытная особенность расположения простых чисел
в натуральном ряду связана с так называемыми числами-
близнецами. О чем идет речь? Понятно, что два простых
числа не могут стоять рядом, так как одно из двух после¬
довательно взятых натуральных чисел обязательно четное.
94

Исключение составляет единственная пара — числа 2 и 3.
Но встречаются такие простые числа, разность между
которыми равна 2, т. е. между ними расположено одно и
только одно составное число, например 5 и 7, 11 и 13, 29 и
31, 59 и 61. Такие числа и называют близнецами. Сразу же
возникает вопрос — конечно или бесконечно множество
близнецов? К сожалению, на этот вопрос пока нет ответа.
Известно, например, что имеется пара простых чисел
1 ООО ООО 009 649 и 1 ООО ООО 009 651, это самые большие из
известных сегодня близнецов, но никто не знает, есть ли
еще большая пара.
Представьте себе прямолинейный бесконечный провод,
на котором через каждый метр подвешены электрические
лампочки, пронумерованные с номера один до бесконеч¬
ности (этого, разумеется, сделать нельзя, но представить
можно). И пусть ток включен так, что лампочки с простыми
номерами горят, а все остальные не горят. Садимся в ракету
(этого тоже, наверное, сделать нельзя, но представить
можно!) и летим вдоль провода, наблюдая в иллюминатор.
Первая лампочка не горит, ибо 1 не является простым чис¬
лом. Лампочки с номерами 2 и 3 горят, это единственный
случай, когда горят две рядом расположенные лампочки.
Номера 5 и 7 горят, это близнецы, такие пары будут встре¬
чаться нам неоднократно, но вот после лампочек с номе¬
рами 1 ООО ООО 009 649 и 1 000 000 009 651 они, быть может,
встретятся, а быть может, и нет. В первой сотне довольно
светло — горят 25 лампочек, в первой тысяче — 168, но
чем дальше, тем хуже освещен наш путь. Более того, нам
будут встречаться сколь угодно большие промежутки пути,
на которых нет ни одной светящейся лампочки. Но волно¬
ваться не будем — преодолев расстояние, меньшее уже
пройденного, мы увидим хотя бы одну светящуюся лам¬
почку (постулат Бертрана). Да и вообще (теорема Евклида)
впереди обязательно есть огни!
'ачом мм изучаем простые числа!
Быть может, вам показалось, что мы чересчур уж увлек¬
лись множеством N и его частью (математики обычно гово¬
рят «подмножеством») Р — простыми числами. Тем не
менее рассказано далеко не все. Но все-таки стоит еще раз
подчеркнуть, что с натуральных чисел начинается вся
математика', да и в любой другой науке без натуральных
95

чисел не обойтись. А простые числа? Есть ли достаточно
важные основания, чтобы интересоваться ими? Есть, и глав¬
ное то, что
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА СОСТАВЛЯЮТ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЙ БАЗИС
МНОЖЕСТВА N.
Что это значит? Начнем издалека. Пусть нам надо
построить множество N, а в качестве инструмента для этой
работы имеется только операция сложения. Какие пона¬
добятся материалы? Ясно, что на «складе» необходимо
иметь большой (бесконечно большой!) запас единиц —
из этих единиц-«кирпичиков» можно построить все мно¬
жество ЛГ. Действительно, сначала возьмем единицу, при¬
бавим еще одну — операция сложения нам разрешена —
получим 2, прибавим еще одну единицу — получим 3, еще
одну... К любому числу можно прибавить еще одну едини¬
цу, и, таким образом, все множество N будет построено.
А теперь пусть надо построить множество ЛГ, но сложе¬
ние запрещено, разрешается применять только умножение.
Возьмем единицу — начальный элемент множества N. Но
путем умножения из единиц следующий элемент — двой¬
ку — не получить, ее придется брать со «склада». Такая
же картина и с тройкой. Четверку получим легко: надо
умножить двойку на двойку же, но за пятеркой — снова
на «склад». 6 — это дважды три, здесь тоже все в порядке,
но с семеркой опять неладно! Зато 8 = 23, 9 = 32, 10 = 2-5.
11с помощью операции умножения из 1, 2, 3, 5, 7 не полу¬
чишь, снова надо идти на «склад». Вы, наверное, уже
заметили, что «складом» в этом случае будет множество
простых чисел Р. Таким образом, любое натуральное чис¬
ло — либо составное, и тогда его можно получить, пере¬
множая некоторые простые, либо простое, и тогда его при¬
дется взять из Р, так как «создать» его при помощи умно¬
жения других чисел невозможно. Можно сказать так:
ЛЮБОЕ НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО а МОЖЕТ БЫТЬ ПРЕДСТАВЛЕНО
в ВИДЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ а=рГ • Р2 -р? - ... ‘Рп ,
ГДЕ р — РАЗЛИЧНЫЕ ПРОСТЫЕ ЧИСЛА И е — НАТУРАЛЬНЫЕ ПО¬
КАЗАТЕЛИ СТЕПЕНИ.
Это утверждение называется основной теоремой ариф¬
метики.
Остается добавить, что латинское слово multiplicatio
означает умножение.
Интерес к натуральным числам можно объяснить еще
и другими причинами. Следующее множество чисел, о кото¬

ром мы будем говорить,— множество Z, множество целых
чисел, т. е. множество чисел ..., —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, 4, ...
Тому, кто хорошо понял, что множество N не ограничено
сверху, не составит труда усвоить мысль о неограничен¬
ности множества Z снизу, и это новое свойство не окажется
таким уж новым. Тому, кто хорошо понял, что множество N
упорядочено, не составит труда заметить, что и множе¬
ство Z упорядочено (вспомните, что это такое, и приведите
несколько примеров, подтверждающих это свойство). Не
новым после изучения множества ЛГ оказывается и неплот¬
ность множества Z. Относительно операции деления мно¬
жество Z ведет себя точно таким же образом, что и мно¬
жество ЛГ,— оно незамкнуто относительно этой операции.
Короче говоря, множества N и Z очень похожи друг на
друга, и если необходимо изучить множество Z, то сначала
надо изучить множество ЛГ, а в нем огромную роль играет
подмножество Р.
Принципиальное же различие между множеством ЛГ и
Z лишь в одном — стоило добавить к ЛГ число 0 и числа, про¬
тивоположные натуральным, как новое (часто говорят «рас¬
ширенное») множество стало замкнутым относительно опе¬
рации вычитания. Но что это нам дает?
Чтобы как следует разобраться в этом вопросе, нам при¬
дется вспомнить следующее определение:
Вычесть из числа а число b — значит найти такое число х9
которое в сумме с числом b дает а:
х-\-Ь=а.
Число х называют разностью чисел а и Ь, число а называют
уменьшаемым, а число b — вычитаемым:
а — Ъ=х.
Исходя из этого, можем сказать, что разность чисел а
и Ь есть корень уравнения х-\-Ь = а. Но это уравнение на
множестве N иногда имеет корень (если а>Ь)9 а иногда
(если а <1 Ь) корня не имеет — в начальной школе дети в
таких случаях говорят «не вычитается».
А ведь в самом уравнении х-\-Ь=а не сказано, что вы¬
читание при определенных условиях разрешимо на мно¬
жестве ЛГ, а при других — неразрешимо. Снять такие огра¬
ничения нам помогают отрицательные числа.
Людям нелегко было понять, что это такое — отрица¬
тельные числа. Недаром даже такие великие ученые древ¬
ности, как Архимед, ими еще не пользовались. Омар Хайям
4 Зак. 205$ JI- Ф. Пичурин
97

вынужден был, классифицируя уравнения второй степени,
написать, что таких уравнений бывает три вида:
1) квадрат и корни равны числу;
2) квадрат и число равны корням;
3) корни и число равны квадрату.
Если перевести слова Хайяма с языка риторической
алгебры на язык алгебры символической, то придется за¬
писать:
1. х2-{-px~q.
2. х2 + q—px.
3. px-\-q = x2.
Для решения каждого из этих трех видов уравнений
существовали отдельные правила, каждое надо было учить.
А мы пишем
х1 -\-px-\-q= О
для любых р и q и учим только одну формулу — в три раза
меньше! И удалось нам сделать это не только благодаря
введению символики, но и благодаря тому, что минусы для
нас не составляют трудностей. Средневековый же мате¬
матик не написал в исходных уравнениях ни одного ми¬
нуса — он старался пользоваться только положительными
числами!
Подведем итог. Расширение множества N до множества Z
замкнуло числовое множество относительно операции вы¬
читания, сделало возможным без ограничений решение
уравнения х + 6 = а, упростило решения ряда других урав¬
нений. Стоило вводить отрицательные числа и получать
множество чисел целых?
Конечно, стоило. Можно даже сказать так. Именно необ¬
ходимость при решении уравнений переносить их члены из
одной части в другую и явилась важнейшей причиной
«изобретения» отрицательных чисел. Именно они, отри¬
цательные числа, сделали возможным превратить решение
нелегких арифметических задач в простое исполнение за¬
ранее составленных алгоритмов решения уравнений. За¬
думайтесь над этим!
И в то же время, говоря так, мы не должны забывать
и о второй побудительной причине для «изобретения» отри¬
цательных чисел — о желании кратко характеризовать ве¬
личины, изменяющиеся в двух противоположных направ¬
лениях: долг — имущество, вправо — влево, вверх — вниз
и т. п.
98

Вспомним об обыкновенных дробях
Посмотрим теперь на множество Z с той же точки зрения,
что и на множество ЛГ. Есть и неограниченность (в обе сторо¬
ны), и упорядоченность, и замкнутость относительно сло¬
жения, вычитания й умножения. Но множество Z остается
неплотным. Замкнуто ли Z относительно деления? Тоже,
очевидно, нет — как во множестве ЛГ, так и во множестве Z
деление выполняется далеко не всегда.
В учебнике математики написано:
♦Разделить число а на число b — значит найти такое
число х, при умножении которого на число b получается а:
х-Ь=а.
Число х называют частным чисел а и Ь, число а называют
делимым, а число b — делителем и пишут:
х = а:Ь».
Отсюда следует, что частное от деления а на b есть
корень уравнения х-Ь = ау ЬфО. И снова оказывается, что
это уравнение во множестве Z иногда имеет корень, а иногда
корня не имеет, или, как принято говорить, число а не де¬
лится на число Ъ. А ведь в самом уравнении х-Ь = а не
сказано, что при определенных условиях оно разрешимо,
а при других — неразрешимо. И чтобы таких ограничений
не было, надо расширить числовое множество, придумать
новые числа. Такими числами являются числа дробные.
На практике к дробям приводит не только деление на
части, но и другая важнейшая задача — измерение длин,
площадей, объемов. Ведь при измерениях приходится вы¬
бирать какую-то единицу меры, и эта единица вовсе не
обязательно укладывается в измеряемом отрезке, прямо¬
угольнике, параллелепипеде и т. д. целое число раз. Это
понимали еще в Древнем Египте и в Древнем Вавилоне.
Подведем итог. Расширение множества Z до множе¬
ства Q — множества рациональных чисел дало возмож¬
ность создать множество, замкнутое относительно операции
деления,— кроме, конечно, деления на нуль, тут никаких
замыканий быть не может, нельзя и все! Стало возможным
без ограничений, кроме случая Ь = О, решение уравнения
х-Ъ=а. Появилась возможность проводить измерения.
Как видите, мы переходим от целых чисел к дробным,
рассуждая почти так же, как и при переходе от натураль-
1
1
99

ных чисел к целым. Это очень важно, важно по многим
причинам, в частности еще и потому, что в математике
вообще стремятся — по возможности, конечно,— строить
свои рассуждения в одной манере, в одном стиле, или, как
принято говорить, по аналогии.
Вычисления во множестве дробных чисел значительно
сложнее, чем во множестве целых чисел или натуральных
чисел. Кроме алгоритмов, таблиц сложения и умножения,
надо еще помнить несколько специальных правил, иметь
немало терпения и быть предельно внимательным. Ведь
научившись хорошо выполнять упражнения с дробями, вы
сможете легко овладеть всеми тождественными преобразо¬
ваниями — справитесь еще с одним китом, на котором
держится алгебра.
Попробуйте выполнить несколько упражнений:
Наверное, не все вычисления получились у вас сразу.
Об одной из причин возможных затруднений сейчас пого¬
ворим подробнее, рассмотрев преобразования, которые необ¬
ходимо сделать, упрощая знаменатель в упражнении 50.
Наиболее трудным тут было, во-первых, отыскание об¬
щего знаменателя трех дробей, хотя в данном случае числа
подобраны удачно и общим, да еще и наименьшим из воз¬
можных, оказался знаменатель одной из данных дробей,
это облегчило дело. И, во-вторых, сокращение дроби, так
как не сразу видно, на какие числа удастся ее сократить,
хотя, в общем-то, ясно, что сокращать надо на общие дели¬
тели, а лучше всего — сразу на наибольший общий дели¬
тель числителя и знаменателя. На нахождении наибольше¬
го общего делителя чисел остановимся чуть подробнее.
90 + 4-7	.	87	243
156	156	156
243-4-26
’	156-81
100

НОД. Алгоритм Евклида. НОК
Начнем с примера. Даны два числа а = 24 и Ь = 30.
Выпишем все делители первого, обозначив их множество
D24» и все делители второго, обозначив их множество Дз0:
D24 = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24};
D30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}.
Оказалось, что в этих множествах есть одинаковые эле¬
менты. Выпишем их, обозначив множество одинаковых де¬
лителей
^24;30=={1* 2, 3, 6}.
Очевидно, что один одинаковый делитель есть у любой
пары чисел — это единица. Но может оказаться, что числа
имеют еще и другие одинаковые делители, как в приведен¬
ном примере. Л так как множество натуральных чисел
упорядочено, то одно из таких чисел является самым боль¬
шим, его и называют наибольшим общим делителем, обозна¬
чая символом НОД (а; Ь). Например, в нашем примере
НОД (24; 30) = 6.
Как отыскивать НОД? Один способ приведен выше —
выписать все делители каждого числа, выбрать общие,
наибольший из них и есть НОД. Способ вполне понятный,
только очень уж громоздкий.
Есть другой способ (он вам известен) — надо разложить
числа на простые множители и найти произведение тех из
них, которые встречаются в разложении каждого из чисел:
30
2 24
2
15
3 12
2
5
5 6
2
1
1 3
3
1
1
НОД (30; 24) = 2 -3 = 6.
Способ этот очень прост, понятен и удобен, но у него есть су¬
щественный недостаток: если данные числа велики, да еще
и не очень легко раскладываются на множители, то задача
отыскания НОД становится довольно трудной. К тому же
может оказаться, что, основательно потрудившись, мы убе¬
димся, что НОД (a; b) = 1 и вроде бы вся работа проделана
зря.
Евклид нашел замечательный способ отыскания НОД без
какой бы то ни было предварительной обработки чисел.
101

Впоследствии этот способ стали называть алгоритмом
Евклида.
Прежде чем познакомиться с этим способом, нам при¬
дется повторить деление с остатком.
Для любых двух целых чисел а и Ь всегда единствен¬
ным образом найдутся два таких целых числа q и г, что
a = bq-\-r, 0<г<6.
Например, если а = 72, 6= —18, то q=— 4, г = 0; если
а = 38, Ь = 7, то q~5, г = 3; а называется делимым, b —
делителем, q — частным, г — остатком.
Теперь можно познакомиться с алгоритмом Евклида.
Пусть требуется найти НОД (102; 84). Найдем для этих
чисел q и г, т. е. разделим одно на другое и определим ос¬
таток:
102=84-1 + 18,	0<18<84.
Теперь проделаем такую же операцию для чисел 84 и 18:
84 = 18-4 + 12,	0<12<18.
Следующий шаг — для 18 и 12:
18 = 12-1+6,	0<6 < 12.
Теперь — для 12 и 6:
12 = 6-2 + 0,	0 = г.
Процесс закончился.
В последнем равенстве остаток, равный нулю, можно
было бы и не писать.
Может ли этот процесс оказаться бесконечным? Нет,
потому что остатки убывают, оставаясь неотрицательными
целыми числами, множество которых, как мы знаем, огра¬
ничено снизу:
84> 18> 12 >6 >0.
Отметив эту закономерность, вытекающую из нера¬
венств, присмотримся к записанным равенствам. Из пер¬
вого ясно, что всякий делитель чисел 102 и 84, в том числе и
наибольший, должен быть также и общим делителем, в
том числе и наибольшим, чисел 84 и 18. Попробуйте от¬
ветить, почему. Из второй строчки видно, что Z)18;84 =
=Z+g; 12 и НОД (84; 18) = НОД (18; 12). Третья строчка по¬
казывает, что П18;12=Л12; 6 и НОД (18; 12) = НОД (12; 6).
Но из последней строчки видно, что число 6 (последний
не равный нулю остаток в нашей цепочке равенств) делит
нацело число 12 и является НОД чисел 6 и 12, а, следова¬
J 02

тельно, и 12 и 18, и 18 и 84, и 84 и 102* Таким образом,
НОД (102; 84) = 6; мы даже и не пытались разложить на
множители числа 102 и 84!
Вот эта последовательность операций и называется ал¬
горитмом Евклида. Удобство алгоритма Евклида становится
особенно заметным, если применить хорошо продуманную
форму записи, например такую:
102
84
18
12
6
1
4
1
2
В этой табличке сначала записывают исходные числа,
делят в уме, записывая остатки справа, а частные — внизу,
пока процесс не закончится. Последний делитель и есть НОД.
Найдем НОД (468; 252) и НОД (1920; 1536):
1920
1536
384
1
4
468
252
216
36
I
1
1
6
Итак, НОД (468; 252) = 36, НОД (1920; 1536) = 384. Обра¬
тите внимание на второй пример. В нем первый остаток
оказался уже и последним. Если искать в этом примере
НОД путем разложения чисел на множители, то работа
займет значительно больше времени. Проверьте!
Найдите теперь самостоятельно НОД нескольких пар чисел.
51. 2016 и 1320.	52.	3465	и	3105.	53.	703	и	481.
Умение находить НОД полезно при сокращении дробей,
а при сложении и вычитании важно другое умение — отыс¬
кивать наименьший общий знаменатель, который, как вы
знаете, является наименьшим общим кратным этих знаме¬
нателей.
Напомним, как это делается. Пусть, например, надо
найти наименьшее общее кратное чисел 14 и 20. Разложим
оба числа на множители и затем любое из них умножим
на те множители, которых во втором числе «недостает»
по сравнению с первым:
20'2	142
1012	7 7
515	1-1	НОК	(20; 14)	= 2-2-5-7 = 20-7 =	140.
111
юз

Действительно, 140 — наименьшее из чисел, которые
делятся и на 20 и на 14.
Оказывается, можно обойтись без разложения на мно¬
жители. В этом нам снова поможет алгоритм Евклида.
Можно доказать, что наименьшее общее кратное двух
чисел равно частному от деления их произведения на
наибольший общий делитель:
НОК (а; Ь) = ———.
V ’	'	НОД (а; 6)
И если вы с помощью алгоритма Евклида нашли НОД двух
чисел, то вам остается разделить их произведение на
этот НОД. При этом фактически даже и умножать-то нет
необходимости. Найдем, например, НОК (468; 252). Мы
знаем, что НОД (468; 252) = 36. Отсюда
НОК (468; 252)=	=	3276.
Обратите внимание, что сначала выполнено сокращение
-	252
дроби а уж потом умножение трехзначного числа на
оЬ
однозначное, и никакие черновые записи при этом нам не
понадобились.
Вычислите по этому правилу НОК чисел, приведенных в
упражнениях 51—53.
льные числа
Мы теперь знаем, что ни множество ЛГ, ни множество Z не
являются плотными. А как обстоит дело с множеством Q?
Между двумя дробями р и q (p<cq) всегда можно «вставить»
третью дробь г с таким условием, что р<г<^. Проще всего
сделать это так: сложить две данные дроби и разделить
сумму пополам. Ясно, что г = ^~- и p<r<C(Z* значит,
Q плотно. Но тут возникает один очень важный и трудный
вопрос, смысл которого станет более ясным, если обратиться
к геометрической иллюстрации.
Рассмотрим участок числового луча, например от
точки А до точки В (рис. 14). Эти точки выбраны следующим
образом. Начальной точке числового луча (мы ее обозна¬
чили буквой О) соответствует числовое значение 0 (нуль).
Расстояние ОА есть единица нашего масштаба. Отложив

от А еще одну единицу нашего масштаба, получаем точку Б,
ее расстояние	от	точки О в	два	раза больше и	в тех	же	еди¬
ницах	равно	2.	Если	мы	разделим	отрезок	АВ	пополам,
то получим точку Е, которой соответствует число 1 у, раз¬
делив АВ на три части, получим две точки, соответствующие
1	2
числам 1- и 1т, разделив АВ на четыре, получим три
о	о
точки, соответствующие числам 1 -i-, 1 у (эта точка у нас
уже встречалась, мы ее назвали 1 у) и 1 у . Потом разделим
АВ на 5, 6, 7 и т. д.
Возникает вопрос: выполняя такое деление много —
бесконечно много! — раз, мы заполним точками весь от¬
резок или нет? На первый взгляд кажется, что, конечно,
да, тем более что множество таких точек плотно,— ясно,
что между двумя точками всегда можно ♦втиснуть» третью.
Попробуем сформулировать этот вопрос точнее. Каждой
точке отрезка АВ — из тех, что мы получили с помощью
деления этого отрезка на части,— соответствует дробь. Та¬
ким делением можно получить все возможные дроби
1 <Сг < 2. Но не найдется ли на отрезке АВ таких точек,
которым не соответствует никакая дробь?
Прежде чем ответить на этот вопрос, проделаем такое
построение. Сначала построим на отрезке ОА квадрат OACD
(рис. 15), проведем в нем диагональ ОС. Поставим теперь
одну ножку циркуля в точку О и проведем дугу СВ до пере¬
сечения с числовым лучом. Так как отрезок ОС равен д/2
(это получается по теореме Пифагора), то и отрезок ОВ тоже
равен -д/2. Какая же это дробь? Из рисунка 15 видно, что
-д/2> у , да и без рисунка это легко сообразить, ибо ^~=
105

Рис. 15
49	3	-
= — <С 2. Может быть, годится — ? Но это больше д/2, что
25	 ’	  2
/ 3 \2	9
опять-таки видно и из чертежа, и из того, что ( -у 1 = —
2.
Сложим дроби, оказавшиеся неточными значениями д/2,
разделим сумму пополам, возведем в квадрат, может быть,
как раз и получится ровно 2?
7	3	14	+	15	29	.	29	.	0	29 . / 29 \ 2 _ 841
5*2	10	—	10	’	10	20	’	\	20/	400
2.
29	7
Все равно больше 2. Если теперь сложить — и —, поделить
сумму пополам и возвести в квадрат, то получится
3249
1600
= 2
49
1600
. Близко к числу 2, но все же не 2, а немного больше.
Можно, конечно, продолжать дальше. Л может быть,
наши поиски бессмысленны и надо сначала выяснить, су¬
ществует ли дробь -у , равная д/2?
Точнее, существует ли дробь такая, что ее квадрат
равен 2? Иначе говоря, возможно ли равенство	=	2,
где р и q — целые числа? Допустим, что такая дробь су¬
ществует, при этом договоримся, что дробь несократима,
т. е. числа р и q общих множителей не имеют.
Из нашего допущения о том, что существует такая
2
дробь, следует, что — = 2. Отсюда p2 = 2q2. В этом равенстве
правая часть делится на 2 — она содержит этот множитель.
Вы помните, что такие числа называются четными. Но
106

раз правая часть равенства — четное число, то и левая его
часть — тоже четное число. Значит, р2 — число четное. Но
нетрудно сообразить, что если рг = р • р — четное число, то
и р — четное число.
Если р — четное число, то оно может быть записано в
виде р = 2тп> а р2 = (2га)2 = 4т2, и равенство р2 = 2q2 теперь
можно записать в виде 4m2 = 2g2. Разделим его правую и
левую части на 2, получим 2 m2 = q2. Но тогда число q тоже
оказывается четным и может быть записано в виде q = 2n.
хх	р	2т	т	~
Итак, у нас получилось, что	Это	значит, что
исходная дробь была сократимой — ее можно было сокра¬
тить на 2! Но в начале доказательства мы договорились,
что эта дробь несократима. В результате у нас получилось,
что дробь одновременно является и сократимой, и не¬
сократимой. Разумеется, такого быть не может. Значит,
наше допущение неверно, не может существовать дроби
=д/2 или	•	Дроби	нет,	а	точка	есть!	Числа нет, а
расстояние есть! Корень написали, а числа д/2 нет! Что все
это может значить?
А значит это вот что. Чисел рациональных, чисел из
множества Q не хватает для того, чтобы сделать числовую
прямую сплошной, или, как говорят математики, непрерыв¬
ной. Нам нужны новые числа. Эти новые числа принято на¬
зывать иррациональными. Кстати, теперь самое время
объяснить происхождение слов «рациональный» и «ирра¬
циональный». До тех пор, пока не была впервые доказана
только что рассмотренная нами теорема, люди считали, что
существуют только натуральные числа и числа, представ¬
ляющие собой их отношение (лат. ratio — отношение),
т. е. обыкновенные дроби. Иррациональные — значит не
выражающиеся в виде такого отношения, не рациональные.
Сам факт существования таких удивительных чисел
долго не укладывался в сознании ученых древности, убеж¬
денных в том, что все в природе, все ее явления и законы
описываются законами, представляющими различные отно¬
шения целых чисел. А тут оказалось, что даже длина диаго¬
нали квадрата таким отношением не описывается. Су¬
ществует легенда, будто этот факт настолько потряс Пи¬
фагора и его учеников, что они решили скрыть его от всех.
Но, как это часто бывает со всякого рода тайнами, нашел¬
ся некто Гиппас, который все же не удержался и, как мы
107

сказали бы теперь, разгласил запретную информацию.
Легенда утверждает, что боги наказали его — он. утонул
во время кораблекрушения.
Но легенды легендами, а как-то записывать и выражать
иррациональности надо! Для решения этого вопроса можно
пойти двумя путями.
Первый путь еще в глубокой древности придумали греки.
Обратимся еще раз к рисунку 15. Мы видим квадрат, его
сторону тоже видно, мы можем ее, так сказать, «потрогать».
И мы знаем, что ее длина равна единице выбранного нами
масштаба. В этом квадрате проведена диагональ, ее тоже
видно, ее тоже можно «потрогать». И эта диагональ имеет
длину... Вот тут-то и начинаются неприятности. Длину-то
она, конечно, имеет, мы это видим, но она не выражается
никаким числом, ибо не существует рационального числа,
квадрат которого равен 2! Так, быть может, и не надо числа,
будем обходиться самими отрезками, не вычисляя их длин,
а лишь выполняя необходимые построения геометрически¬
ми инструментами — циркулем и линейкой? Правда, тогда
получится, что геометрия значительно «сильнее» арифме¬
тики. Кроме того, все действия с числами придется заменить
действиями с отрезками. Грекам на этом пути сначала
удалось обойти трудности, связанные с иррациональностя¬
ми, и очень далеко продвинуться вперед в развитии мате¬
матики, но затем они встретились с совершенно непреодо¬
лимыми трудностями — «сильная» геометрия разрешала
пользоваться только циркулем и линейкой (вы и сейчас на
уроках геометрии решаете так называемые «задачи на
построение», это нам осталось в наследство от греческой
математики), а некоторые задачи с их помощью решить
невозможно!
Надо искать другой путь. Но вы его знаете.
Если выписать последовательно десятичные дроби, квад¬
рат которых меньше 2, то получится 1,4; 1,41; 1,414; ...
Многоточие означает, что таких дробей можно написать
сколько угодно, или, по-другому, что мы можем написать
сколько угодно десятичных знаков числа, квадрат которого
как угодно близок к -\[2. Если выписать последовательно
десятичные дроби, квадрат которых больше 2, то полу¬
чится 1,5; 1,42; 1,415; ... И таких дробей мы можем написать
сколько угодно. Тогда становится понятным такое опреде¬
ление :
иррациональным числом называется непериодическая
бесконечная десятичная дробь.
108

Рихард
Дедекинд
Правда, надо еще пояснить, почему в определении
сказано «непериодическая»,— дело в том, что периоди¬
ческие дроби есть просто другая форма записи обыкновен¬
ных дробей, например 0,3333... — ~ .
О
Иррациональные числа вместе с рациональными состав¬
ляют множество, которое называют множеством действи¬
тельных чисел и обозначают буквой R (от лат. realis —
реальный, вещественный, действительный, существующий в
действительности).
При изучении математики в школе мы фактически все
время используем именно это множество, хотя и обходимся
без глубокого его изучения. Как же это нам удается?
Очень просто. Бесконечные дроби мы «обрываем» на любом
месте, лишь бы была обеспечена необходимая точность, а
дальше обращаемся с ними как с конечными десятичными
дробями. Так обстоит дело с вычислениями. С теорией же
мы поступаем еще проще — считаем, что каждой точке
координатной прямой соответствует одно и только одно
действительное число. В результате все графики стано¬
вятся непрерывными, такими, какими мы их чертим, не
отрывая от бумаги карандаша или ручки.
Вычисления с иррациональностями и геометрический
смысл иррациональных чисел кажутся простыми и нагляд¬
ными. Поэтому на протяжении многих лет не ощущалась
необходимость построения достаточно глубокой и полной
теории действительных чисел. Но с развитием науки и
техники такая необходимость возникла, и во второй поло¬
вине XIX в. эта теория была создана. Главную роль в этом
сыграл немецкий математик Рихард Дедекинд
(1831—1916). Его сочинение, вышедшее в свет в 1872 г.,
так и называлось:	«Непрерывность	и	иррациональные
числа».
С его именем связан и еще один чрезвычайно важный
для понимания идей современной математики факт.
Мы уже говорили о создании в конце XIX в. аксиома¬
тической теории натуральных чисел. И тогда же был
поставлен вопрос — а нельзя ли алгебру строить аксиома¬
тически? Видимо, для этого прежде всего надо попытаться
построить систему аксиом для действительных чисел.
Многое в этом направлении сделал Р. Дедекинд, причем,
как это часто бывает в математике, и мы уже говорили
о подобных случаях, занимаясь сравнительно узким воп¬
росом, он создал теорию, которая оказалась примени-
109

мой во многих разделах математики, да и не только ма¬
тематики.
Развивая идеи Э. Галуа и Н. Г. Абеля, Дедекинд в 1871 г.
ввел такое определение: «Полем называется любая система
из бесконечного числа действительных чисел, которая явля¬
ется замкнутой и полной так, что сложение, вычитание,
умножение и деление любых двух чисел снова дает число
той же системы». Сегодня это определение звучит так:
«Полем называется множество, для элементов которого
определены арифметические операции, то есть:
1) для любых элементов а и b определены их сумма
а-\-Ъ и произведение ab;
2) нуль и единица являются элементами поля;
3) для любого элемента а, принадлежащего полю, имеет¬
ся противоположный ему элемент — а, также принадле¬
жащий полю; для любого элемента аФ0, принадлежа¬
щего полю, имеется обратный ему элемент -i-, также при¬
надлежащий полю;
4) выполняются тождества:
а-\- b — b фа — коммутативность ело- ab — ba — коммутативность умно¬
жения,	жения,
(а + Ь) + с — а + (Ь с) — ассоциатив- (ab)c =а(Ьс) — ассоциативность ум-
ность	ножения,
сложения,
a-f 0 = a — свойство нуля,	a	■ 1 —a — свойство единицы,
а 4-{ — а) = 0 — свойство противопо-	1
а — =1 — свойство обратного эле-
ложного элемента,	а
мента,
а(Ьфс) — аЬ + ас — дистрибутивность умножения относительно сложения».
Конечно, получилось очень длинное определение, вклю¬
чающее в себя массу фактов. Но ведь почти все, что здесь
написано, вы знаете!
Только всюду вместо слова «число» употреблено слово¬
сочетание «элемент множества», и это далеко не случайно.
Оказывается, что арифметические операции с перечислен¬
ными выше свойствами могут оказаться справедливыми не
только для чисел, но и для элементов совсем других мно¬
жеств, лишь бы там, во множестве этих элементов, су¬
ществовали операции сложения и умножения. И тогда мож¬
но будет все,'что мы знаем про одно поле, сразу же, ничего
не доказывая, применить в другом. Кстати, почему «поле»?
110

А потому, что по нему, этому множеству-полю, можно дви¬
гаться в разных направлениях без «рытвин», «ям», «буг¬
ров» — можно умножать, делить, складывать, не боясь
каких-либо осложнений и неприятностей, вроде тех, что
встречались во множестве N, где то вычитание не полу¬
чалось, то деление, или во множестве Z, где с вычитанием
дело обстоит благополучно, но деление — сплошные «ов¬
раги». А в поле R — скачи куда угодно!
Далее. Тождества, входящие в определение поля, яв¬
ляются основными аксиомами алгебры, из них вытекают все
тождественные преобразования, все то, что относится к
нашему третьему киту, и хотя мы еще не занялись этим
вопросом, становится ясно, что именно отсюда начинается
путь к нему.
Однако стоит еще раз повторить, что изучение матема¬
тики потребует от вас глубокого понимания «устройства»
множества действительных чисел, что, в свою очередь, потре¬
бует безупречного понимания устройства и свойств мно¬
жеств натуральных, целых и рациональных чисел. Ну а
для того, чтобы вы могли немйьго задуматься над удиви¬
тельными свойствами множества R, решите одну задачу и
поразмышляйте над тремя иллюстрациями этих свойств.
54. Докажите, что не существует рационального числа,
квадрат которого равен 3.
Иллюстрация первая. Представьте себе, что все
точки числовой прямой, соответствующие рациональным
числам,— это микроскопические лампочки желтого цвета, а
все точки, соответствующие иррациональным числам,—
такие же лампочки, но синего цвета. Если включить только
«рациональный» рубильник, то мы увидим желтую прямую,
причем она не непрерывная — хотя множество чисел-
лампочек и плотно, но оно не непрерывно (принято говорить
«дискретно»). Если включить только «иррациональный»
рубильник, то мы увидим синюю прямую, тоже не сплош¬
ную, хотя и тесно (плотно) усеянную синими точками.
А если включить оба рубильника сразу? Вот уж теперь
прямая будет не только плотно, но и непрерывно заполнена
точками, а цвет ее в соответствии с законами физики будет
казаться зеленым.
Иллюстрация вторая. Возьмем первую коорди¬
натную четверть и отметим на ней «все» точки с натураль¬
ными координатами, т. е. точки: (1; 1), (1; 2), (1; 3), ..., (1; л),
..., (2; 1), (2; 2), (2; 3), ..., (2; л), ..., (л; 1), (л; 2), (л; 3), ...,
(л; л), 	 Заметим,	кстати, что, рассматривая не только
ill

Рис. 16
первую, но и все остальные четверти, т. е. не только нату¬
ральные, но и все целые числа, мы получим множество
пар чисел вида (а; Ь). Это множество обладает массой
интереснейших свойств. Они заинтересовали К. Ф. Гаусса,
создавшего при их изучении новую главу так называемой
«высшей арифметики». Пары целых чисел (а; Ь) теперь
называют «гауссовыми числами». Вас не должно смущать
то обстоятельство, что пару чисел называют числом,— ведь
2	5	-
— или — тоже есть пара чисел, а мы говорим: «дробное
о	7
число»!
Проведем луч ОМ под углом ф к оси абсцисс так, чтобы
тангенс ф составлял -у[2. Если вы еще не изучали тригоно¬
метрических функций и не знаете, что такое тангенс,— не
беда. Сделайте такое построение (если вы уже знаете, что
такое тангенс,— все равно построение надо сделать).
Постройте квадрат точно так, как вы это делали, выпол¬
няя рисунок 15, а его диагональ отложите от точки (1; 0)
по направлению оси ординат, т. е. вверх (рис. 16). Длина
отрезка ОМ равна -д/2, отношение катетов треугольника ОАМ
равно = А теперь ответьте на такой вопрос: пройдет
ли луч ОМ (он ведь бесконечен!) через какую-нибудь точку
с целочисленными координатами (их ведь тоже бесконечно
много)? Хочется сказать — конечно, да. А в действитель¬
ности — ничего подобного! Сумеете доказать, почему?
Попробуйте воспользоваться такой подсказкой. Если до¬
пустить, что луч пройдет через какую-нибудь точку с цело¬
численными координатами (q; р), то отношение катетов
треугольника окажется равным... Дальше, пожалуйста, рас¬
суждайте сами.
Иллюстрация третья. Тротуар покрывается
квадратными и треугольными плитками так, как это пока-
112

Рис. 17 зано на рисунке 17. Основание треугольной плитки равно
диагонали квадратной плитки.
Уложили первую квадратную (она обозначена римской
цифрой I) и первую пару треугольных плиток (обозначены
буквами а). Вершины треугольников выступают за квадрат,
ибо ^2>1.
Положили квадратные плитки II и III и пару (b) тре¬
угольных. Теперь вершины квадрата выступают за верши¬
ны треугольников, так как S>2-\f2 (это следует из того,
что 32 = 9>2У2 = 8).
Положили плитку IV и пару треугольников с. Снова
вершины не совпадают — теперь треугольники выступают
за квадрат (Зд/2;>4, так как 18 >16).
Положили еще квадратные плитки (номера V, VI, VII)
и две пары треугольных (d, е). И снова вершины треуголь¬
ников не совпадают с вершинами квадратов, потому что
5У2>7(50>49).
Наступит ли такой момент, когда вершины q-го квадра¬
та совпадут с вершинами р-х треугольников? Конечно,
нет, и вы можете (можете?) это доказать.
Последняя, четвертая иллюстрация представ¬
ляет особый интерес. Можно укладывать плиты тротуара,
не зная теории иррациональных чисел? Конечно, именно
так строители и делают. Так что — вся эта теория совсем
не нужна? Нет, очень нужна, ибо без нее не удастся создать
настоящей алгебры, которая, в свою очередь, поможет прак¬
тическим нуждам людей.
Не все было понятно в этой главе? Не расстраивайтесь,
вы можете ее пропустить и начать читать дальше.
А теперь нам надо попытаться научиться получать не¬
периодические бесконечные десятичные дроби хотя бы в не¬
которых случаях.
113

Как извлечь корень!
Когда мы искали значение д/2* еще даже не зная, полу¬
чится дробь, равная этому корню, или ее вообще нет, мы
пользовались рисунками. Наверное, этот способ далеко не
самый лучший. Существует очень много способов решения
этой задачи, которая, как вы знаете, называется извле¬
чением корня. Известны они с глубокой древности, и это
понятно — людям еще очень давно приходилось решать
задачу об определении стороны квадрата, имеющего дан¬
ную площадь.
Для современного человека самый простой способ —
взять калькулятор и, в зависимости от даваемой им точ¬
ности, получить приближенное значение корня. Это вы
умеете делать. Можно обойтись и без калькулятора, взяв
таблицы квадратных корней и найдя в них интересующее
нас приближение. Например, по таблицам В. М. Брадиса,
которыми вы пользуетесь, получаются корни с точностью
до четырех знаков. Для практических нужд такой точности
вполне достаточно. Ну а если никаких приборов нет, таблиц
тоже нет, или вы не хотите ими пользоваться? Или вас не
устраивает даваемая калькулятором точность? Или, самое
главное, вы хотите знать не результаты кем-то проделанных
вычислений, например проделанных составителем таблицы,
и не то, что получается на основании какого-то алгоритма,
заложенного в калькулятор, а вас заинтересовали сами
методы вычислений, сам алгоритм?
Таких алгоритмов много, мы покажем вам один из самых
древних, один из самых легких и популярных и один из
самых современных.
Начнем с самого древнего способа — примерно так
извлекали квадратные корни еще в Древнем Вавилоне.
Рассмотрим этот способ на примере. Пусть надо извлечь
квадратный корень из 2, или, иначе говоря, решить квад¬
ратное уравнение
х2 = 2.
Разделим правую и левую части уравнения на х (очевид¬
но, что здесь дг^О):
2
х = — .
х
Получается, что извлечь корень — это то же самое, что
разделить данное число на другое число, но делитель надо
114

найти такой, чтобы он был равен частному. Попробуем —
наугад — разделить 2 на 1,5:
 2	1,5
1,5	1,33...
50
45
50
Мы взяли делитель 1,5, частное получилось 1,33. Эти
числа, к сожалению, не равны, одно велико, другое мало
(вообще-то они никогда не окажутся в точности равными,
иначе \2 оказался бы рациональным числом). Возьмем
приближенное значение их среднего арифметического:
(1,5+ 1,33): 2 = 1,415.
Будем теперь делить 2 на это число:
2
1,415
1,415
1,4134
5850
5660
1900
1415
4850
 4245_
6050
		5660
На этот раз, взяв делителем число 1,415, мы получили
частное 1,4134.	Первые три	цифры	делителя	и	частного
совпали, это	и	есть	первые	три	цифры	искомого	корня.
Если вас устраивает такая точность, то можно остановиться,
а если нет — действуйте по тому же правилу:
(1,4150 +1,4134):2 = 1,4142
2
1,4142
1,4142
1,41422
58580
56568
20120
14142
59780
56568
32120
28284
38360
28284
115

Теперь совпали уже пять цифр делимого и частного, мы
получили уже пять цифр искомой непериодической беско¬
нечной десятичной дроби — иррационального числа \J2.
Достаточно вам такой точности? Если да, то остановитесь,
если нет — делите 2 на 1,41421, т. е. на полусумму новых
делителя и частного. Проверьте, сколько верных цифр корня
вы теперь получите! Мы этого здесь делать не будем, но
подчеркнем главное: считать, конечно, нелегко, однако
кроме листочка бумаги и ручки нам уже ничего не надо,
если, разумеется, не считать, что необходима сообрази¬
тельность. Зато корень квадратный можно получить из
любого числа и с любой степенью точности!
Попробуйте сами извлечь, например, корни квадратные
из 3, из 5, из 7. Заметим, кстати, что если вы извлекли
корень из этих чисел, то вы будете иметь таблицу квадрат¬
ных корней из всех натуральных чисел первого десятка,
так как из 4 корень извлекается нацело, -д/б=У2--\/3,
Ув = 2д/2, ^9 — 3, \jl0—2 \f&. И вообще, если составить таб¬
лицу корней из простых чисел, то от нее легко можно перей¬
ти к таблице корней из достаточно длинного отрезка нату¬
рального ряда. Помните — мы говорили о простых числах
как мультипликативном базисе множества N? Не зря го¬
ворили!
Второй способ извлечения квадратных корней, с кото¬
рым мы хотим вас познакомить, более прост для приме¬
нения, но его полное обоснование довольно длинно и уто¬
мительно. Мы разберем его на примерах, но сначала сде¬
лаем несколько замечаний.
Во-первых, посоветуем вам запомнить (это совсем не обя¬
зательно, но очень полезно, и не только для извлечения
корней) таблицу квадратов чисел от 1 до 32 (табл. 9).
Начало ее (от 12 = 1 до 102 = 100) вы уже знаете как часть
таблицы умножения", а дальше она выглядит так.
Таблица 9
КВАДРАТЫ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ ОТ 11 ДО 32
п
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
п1
121
144
169
196
225
256
289
324
361
400
441
484
529
576
25
26
27
28
29
30
31
32
625
676 ■
729
784
841
900
961
1024
116

у61 18,
148
8
1562
2
15642
584
4
5883
3
Во-вторых, заметим, что 1 =д/1, 10 = д/100, 100=д/10000
и вообще 10" =д/ 102п. По-другому можно сказать, что каж¬
дые две цифры числа, из которого извлекается корень,
дают одну цифру корня.
Заметим, что д/а = ^д/ГО0а и вообще \[а = -Т_ \Jl<$27ia.
Иначе говоря, если мы умеем извлекать корень из
целых чисел, то легко сумеем извлечь его и из десятичных
дробей, а также из этих же чисел, увеличенных в 100, 10 000
и вообще в 102л раз.
Например, зная, что д/2« 1,4142, мы сразу же напишем,
что д/0Д)2 » 0,14142 и д/200« 14,142.
А теперь рассмотрим два примера. Пусть надо извлечь
квадратный корень из чисел 6118,99 и 86 616. Поступать
будем следующим образом.
99=	V8	66 16=	Разобьем данное число на груп¬
пы по две цифры в каждой, считая
от запятой влево. В самой левой
грани могут оказаться одна или
две цифры.
Подберем число, квадрат кото¬
рого является ближайшим к одной
(72 = 49<61) или двум (292 =
= 841С 866) цифрам левой грани,
запишем его справа от знака ра¬
венства, квадрат этого числа запи¬
шем ниже числа, из которого
извлекается корень, вычтем этот
квадрат (как при делении чисел).
Число, записанное справа от
знака равенства, удвоим и запи¬
шем слева от разности (7*2 = 14
и 29-2 = 58). Припишем теперь к
этому произведению такую цифру
(ее же припишем и к уже запи¬
санным цифрам корня), чтобы про¬
изведения (148-8 = 1184 и 584-4 =
= 2336) были возможно ближе к
записанной ранее разности — это
снова напоминает обычное деление.
Будем продолжать этот процесс,
пока не достигнем необходимой
3 51 00	нам	точности.
д/61 18, 99=7...
49
12 18
д/8 66 Тб = 29...
8 41
25 16
д/61 18, 99 = 78,2...
49
 12 18
11 84
34 99
31 24
3 75 00
д/8~66~Тб = 294,3...
8 41
_ 25 16
23 36
_1 80 00
1 76 49
117

Почему так получается? Поразмышляйте, «подсказка»
будет только одна. Если представить корень из числа а в виде
суммы д/а — Юлг + г/, т. е. у— число единиц корня, а х —
число его десятков, то a=100x2 + 2*10xz/ + i/2. Когда мы
подбирали число, квадрат которого является ближайшим
квадратом к левой грани, мы находили х, а затем отыскивали
2-10ху. Дальше думайте сами!
Продолжим составление таблицы квадратных корней
из простых чисел. У нас уже есть значения д/2, д/3, д/5, д;7.
Выполните такое упражнение:
55.	Найдите квадратные корни из 11, 13, 17, 19.
А теперь познакомимся с самым мощным способом
извлечения корней. Только сначала проверьте, что любое
данное нам число всегда можно представить в виде:
a=b2( 1 + х),
где х = а 0и-, причем всегда можно сделать так, чтобы
ъ
слагаемое х было правильной дробью. Например, 5 =
= 22(l + ^), 7 = 32(l — -J) и т. д.
Нам было бы интересно извлечь корень из 23 — сле¬
дующего за 19 простого числа. Запишем:
23 = 52(l —= 52(1—0,08).
Так вот, существует следующее замечательное правило:
[Z '	1	1	1*1	2 , 1*1*3 3 1 ‘ 1 *3 • 5 4
^1±х=1±-х-ш.х +2^6*	2.4	ет*	=*=••■
Откуда взяли? Если вы и дальше будете всерьез заниматься
математикой, начнете изучать и математический анализ, то
там такие «степенные ряды» будут вам встречаться, что
называется, на каждом шагу. Именно они чаще всего и ис¬
пользуются при составлении таблиц, при решении различ¬
ных практических задач и задач науки.
Обратите внимание на особенность записи. После сла¬
гаемого («члена ряда»), содержащего х4, написано много¬
точие. Это означает, что число слагаемых бесконечно, т. е.
за каждым уже написанным слагаемым мы, если захотим,
можем написать еще одно. И это же означает, что в ре¬
зультате не может получиться рационального числа —
будет всегда получаться непериодическая бесконечная де¬
сятичная дробь.
118

Итак, v/23 = y'W — 0,08) = 5 • -у 1 — 0,08.
Из второго множителя мы и будем извлекать корень
с помощью степенного ряда, имея в виду, что jc = 0,08, и не
забывая, что перед этим числом стоит знак минус:
Д~0,08 «1 - ± • 0,08 - £1.0,082 -	.	0,083 -	■	0,081.
Здесь после пятого слагаемого вместо многоточия постав¬
лена точка, но зато вместо знака равенства перед единицей
стоит знак приближенного равенства. Это означает, что
пяти членов ряда — так мы решили — будет достаточно
для обеспечения необходимой нам точности. Впрочем,
если вам захочется иметь более точный результат, допи¬
шите еще столько членов, сколько вам будет нужно. Вычис¬
ления расположим так:
* -] ~ ■ 0,08' = 44 • 0,0064 • 0,0064 = 0,0005 • 0,0032 = 0,0000016
• 4 * О - о	04•Z
444 • 0,083 =	• 0,08 • 0,0064 = 0,01 • 0,0032 =	0,0000320
Z ♦ 4 • О	о	•	с,
14 • °>082 = -g-	• 0*08 • О»08 = 0»01	• О»08 =	0,0008000
4-0,08=	0,0400000
0,0408336
~ 1,0000000
0,9591664
	5
4,7958320
Обратите внимание на саму, как говорят, «технику»
вычислений. Начали мы с пятого члена — это дало нам
возможность сразу установить количество цифр после за¬
пятой. Значение каждого члена подписывали строго под
другим членом — это дало нам возможность обойтись без
лишних записей. Конечно, как всегда при письменных и
устных вычислениях, мы старались использовать индиви¬
дуальные свойства чисел. Вычитание пришлось делать
«наоборот» — вычитаемое оказалось записанным выше
уменьшаемого, зато не надо было ничего переписывать.
Итак, У23я=; 4,7958320. В последней — седьмой! — цифре
после запятой мы не совсем уверены, так как имеется еще
бесконечно много неучтенных нами членов, но за шесть
предыдущих, не говоря уже о первой, можно поручиться.
Проверьте любым из двух вышеприведенных способов!
119

Следующее простое число — 29. Его, наверное, лучше
всего представить в виде: 29 = 25+ 4 = 52+ 4 = 52 (Ч + ^ ) =
= 52(1 +0,16).
Итак, задача:
56.	При помощи степенного ряда извлеките квадратный
корень из 29.
Непрерывные дроби
Есть еще немало способов извлечения квадратного корня,
довольно похожих на те, что приведены выше. Но есть и
еще один, совершенно ни на какой не похожий. Объясним
его тоже на несложном примере.
Займемся еще раз извлечением квадратного корня из 2.
Мы знаем, что 1<д/2<2. Иначе говоря, корень квадратный
из 2 есть единица плюс еще какое-то число, меньшее еди¬
ницы. Такое число всегда можно представить в виде дроби,
числитель которой равен единице (например, \	\,
о	о
~2
5	1	л/2	1	ч	*
— = —, +- = — и т. д.), а знаменатель окажется больше
V2
единицы. Исходя из сказанного, можем записать:
-д/2 = 1 + — , где а — какое-то число.
ОС
Найдем его!
-=V2-1, « = -+- = +1 = л/2 + 1-
a v	V2-1	1
Отсюда
л/2 = 1 + - = 1Н —р •
v	“	1+V2
Но мы уже договорились, что \j2 = 1 -|- — , и, следовательно,
ОС
V2 = l +		—j-= 1 Н +•
1 + 1 + —	2 + —
а	а
Но а = ^2 + 1» значит,
д/2 = 1+	1-1— = 1 +	—
2 + —  2 +
>/2 + 1 - 1
2 Н
а
120

Нетрудно сообразить, что конца этому процессу не будет,
и можно написать:
То, что этому процессу конца не будет, понятно не только
из вычислений — если бы эта ♦многоэтажная дробь» за¬
кончилась, то, ♦свернув» ее, мы получили бы -у[2 = —-, что,
как мы установили, невозможно. В этом смысле и поставлено
в нашей записи многоточие.
Теперь сделаем следующее. Будем ♦обрывать» найден¬
ную дробь по показанным штриховым линиям и подсчиты¬
вать, что получится. Обозначать результаты будем буквой h
с соответствующим номером. Кроме того, все результаты
запишем в виде десятичных дробей с точностью, например,
до четвертого знака после запятой. Итак,
Л, = 1 = у =	=1,0000;
Л2 = 1 + 4=4=	=1,5000;
Л3 = 1Н Ц-=1-| =	=1,4000;
2 + Т
/*4 = 1 +	4— = ТЬ=	~ 1,4167;
2+—Г
2 + Т
л5 = 1 +	4	=	М=	«1,4137.
24
24
1
2 + ~2
Наверное, так можно двигаться и дальше, но мы сейчас
остановимся, чтобы изобразить полученные результаты
графически, причем сделаем это двумя способами.
Во-первых (рис. 18), нанесем эти точки на изображен¬
ный в достаточно крупном масштабе участок числовой
оси. Легко заметить, что точки ♦сжимаются» в какой-то
одной точке, причем числа с четным номером ♦наступают»
121

ливость учения Николая Коперника, когда Иоганн Кеплер
открыл законы движения планет, когда все образованные
люди по-настоящему заинтересовались астрономией, воз¬
никла необходимость изобрести модель, наглядно показы¬
вающую движение Земли, планет, их спутников. Сейчас
такие модели называют планетариями, они есть всюду и
конструкция их довольно сложна. А при создании первых
планетариев люди столкнулись с чисто механической труд¬
ностью. Надо было с помощью системы зубчатых колес
передать различные скорости движения, различное время
Рис. 19
ч

Христиан
Гюйгенс
обращения тел вокруг Солнца, спутников — вокруг планет.
Получались очень большие числа, сложные отношения с
громоздкими числителями и знаменателями. Задача каза¬
лась неразрешимой, пока за нее не взялся Христиан
Гюйгенс (1629—1695), один из крупнейших физиков-
математиков, изобретателей XVII в.
Гюйгенс изобрел способ замены дробей с громоздкими
числителями и знаменателями на так называемые «под¬
ходящие дроби», т. е. дроби, более удобные для обращения
с ними, но в то же время не слишком уж отличающиеся
от данных дробей по точности.
Попытаемся и мы разобраться в сути этого метода.
Составим сначала такую, таблицу.
Таблица 10
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ V2
1
2
2
2
2
2
2
. 2
2
1
1
3
7
17
41
99
239
577
0
1
2
5
12
29
70
169
408
•• •
В первой строке этой таблицы записаны не дробные эле¬
менты, с которых мы начинали писать каждый «этаж»
нашей многоэтажной дроби. Откуда мы их получили?
Первую — догадались, прикинув, что у2 заключен между
единицей и двойкой. Вторую и третью — вычислили, осталь¬
ные записали механически, как только заметили законо¬
мерность, которой следуют эти элементы.
Во второй строке сначала записано число 1. Это клю¬
чевое число, и надо просто запомнить, что вторая строка
всегда начинается с числа 1. Далее записаны числители
дробей Л, которые мы уже подсчитывали: 1, 3, 7, 17, 41.
Записаны еще три числа: 99, 239 и 577, наверное, это
числители дробей Ле, Л7, Лв* только как они получены?
Да еще и многоточие поставлено, как намек на то, что вы
можете написать еще сколько угодно числителей, если
умеете их вычислять. А как?
В третьей строке сначала записано число 0. Это клю¬
чевое число, и надо просто запомнить, что третья строка
всегда начинается с числа 0. Далее записаны знаменатели
дробей hj которые мы уже подсчитывали: 1, 2, 5, 12, 29. За¬
писаны еще три числа: 70, 169 и 408, наверное, это знаме¬
124

натели дробей h$, hi, hs, только как они получены? Да еще
и многоточие поставлено, как намек на то, что вы можете
написать еще сколько угодно знаменателей, если умеете
их вычислять. А как?
Вы обратили внимание, что два предыдущих абзаца
почти не отличаются друг от друга, только в первом речь
идет о числителях и начинаются они с единицы, а во втором
говорится о знаменателях и начинаются они с нуля. Ока¬
зывается, что закон образования числителей точно такой
же, что и закон образования знаменателей, и можно строго
доказать (мы не будем здесь делать этого), что заклю¬
чается он в следующем.
Для получения очередного числителя (знаменателя) не¬
обходимо соответствующий элемент умножить на предыду¬
щий числитель (знаменатель) и прибавить к произведению
«предпредыдущий» числитель (знаменатель).
Поясним это на примерах. Третий числитель (в нашем
случае он равен 7) получается так: 2* 3 + 1, следующий:
2*7 + 3 = 17, дальше 2*17 + 7 = 41, 2*41 + 17=99, 2-99 +
+ 41=239, 2*239 + 99 = 577 и т. д. Знаменатель полу¬
чается точно таким же образом. Проделаем все вычисле¬
ния с самого начала: 2*1 + 0 = 2, 2*2+1=5, 2*5 + 2 = 12,
2*12 + 5 = 29, 2*29 + 12 = 70, 2-70 + 29 = 169, 2*169 + 70 =
= 408 и т. д. Попробуйте уголком поделить 577 на 508.
У вас получится 1,414 — все цифры корня верные.
Что же получается? Если, во-первых, суметь подметить
закономерность, с помощью которой удается составить
первую строку для данного числа, если, во-вторых, запом¬
нить правило образования числителей (знаменателей)
«подходящих» дробей, то приближенное значение корня
получится довольно быстро.
Вы этого правила, разумеется, не запоминайте, а держи¬
те эту страницу перед глазами; попробуйте извлечь таким
путем, например, -^3. Ясно, что сначала придется заметить,
что +3 = 1 + — , затем отыскивать значение а точно так же,
v	а
как мы это уже делали, вычисляя у2-
Но прежде чем начнете вычислять, обратите внимание
на любопытную особенность правил, по которым придется
выполнять вычисления. Следуя им, мы не можем сразу
подсчитывать значения числителя и знаменателя интере¬
сующей нас дроби, а обязательно должны сначала под¬
считать их для предыдущей дроби, а чтобы подсчитать
их, придется вернуться еще на один шаг и т. д. (тут даже
125

неловко говорить «так далее», надо бы сказать «так ранее»!).
С такими приемами вычислений вы ранее не встречались.
Ведь для того, например, чтобы найти по формуле S„ =
= 180°(л — 2) сумму углов 15-угольника, вовсе не нужно
было сначала вычислять сумму углов 14-, 13- и т. д. -уголь¬
ников. А для вычисления интересующих нас дробей надо
каждый раз возвращаться назад.
Подобные правила и соответствующие формулы принято
называть рекуррентными (от лат. recurrens — возвра¬
щающийся).
Принято также говорить, что мы «разложили ирра¬
циональное число в непрерывную (или цепную) дробь».
Итак, вы извлекли квадратный корень из трех, разло¬
жив его в цепную дробь и применив для вычисления под¬
ходящих дробей рекуррентные формулы.
А теперь — решим вместе следующую, очень древнюю
геометрическую задачу.
Золотое сечение
Леонардо
да Винчи
Условие задачи читается так:
разделить отрезок в среднем и крайнем отношении.
Другая формулировка:
разделить отрезок гармонически.
Третья формулировка:
найти золотое сечение отрезка.
Этот термин впервые применил великий Леонардо
да Винчи (1452—1519).
Пожалуй, во всех этих формулировках условие задачи
не совсем понятно. На современном языке оно будет звучать
менее выразительно, но более понятно:
Дан отрезок АВ (для удобства рассуждений будем
считать, что его длина равна единице). Найти на нем такую
точку X, чтобы ==	.
ВХ АВ
В риторической форме:
разделить данный отрезок на две части так, чтобы мень¬
шая относилась к большей, как большая ко всему от¬
резку.
126

Рис. 20
£
О том, что эта задача действительно древняя, свиде¬
тельствует тот факт, что она рассмотрена еще Евклидом
в «Началах» и сформулирована чисто геометрически:
данный отрезок рассечь так, чтобы прямоугольник,
заключенный между целым и одним из отрезков, был равен
квадрату на оставшемся отрезке.
Существует много решений задачи. Одно из самых прос¬
тых и наглядных предложил знаменитый александрийский
математик Клавдий Птолемей (ок. 90 — ок. 160),
имя которого вам хорошо известно — именно он разработал
то учение о строении Солнечной системы, которым поль¬
зовались астрономы и мореплаватели до Николая Копер¬
ника.
Итак, решаем задачу, следуя, в основном, Птолемею.
Пусть надо построить золотое сечение отрезка АВ
(рис. 20).
С центром в точке В радиусом АВ проводим полуокруж¬
ность АЕС. Разделим радиус ВС пополам, получим точку D.
Проведем дугу окружности с центром в точке D радиусом
DE до пересечения с АВ. Точка пересечения X и есть искомая.
Почему?
Ответим на этот вопрос так. Обозначим ВХ=ху тогда
АХ = 1 — х (так как АВ приняли за 1) и по условию задачи
(1 — х): х = х: 1.
Отсюда х1 = 1 — х или х2 + х — 1 = 0.
-lzhV i + 4	-	1	±	V 5
Тх	„	—	1	+	V	5	л/5 — 1
Из двух значении корня возьмем 	2	=	JL-2—, так
как другое значение оказалось отрицательным.
127

Посмотрите теперь на рисунок 20. Если АВ — 1, BD = ~ ,
/5
то по теореме Пифагора DE=^-. Значит, и DX—-~-9 и,
действительно, ВХ = ^	  =	1	.	Построение	Птолемея
Z	^	Z
ведет к цели.
Теперь остается выразить число л52 1 в виде десятичной
дроби — ведь без этого нельзя говорить о практическом
решении задачи.
Разложим -v& — в цепную дробь, действуя точно так же,
как мы делали, извлекая корень квадратный из двух и трех.
о	75-1	л/5-l	~	. 1
Сначала заметим, что —<1, значит,	=— = 0-| .
Z	Z	сс
Отсюда
2	2-(v5	+	l)	\/5	+1	,	.	т/5-1	,	,	1	,	,	1
а=	=-ь^т- =—=1 +—:=1+т =1+—т ■
а
Значит, окончательно:
V 5 -1
-0 +
1 +
и 1
За исключением первого нуля полученная нами цепная
дробь состоит из одних единиц! Составим для этой дроби
такую же таблицу, что и для разложения квадратного
корня из двух.
Таблица И
■5	1
РАЗЛОЖЕНИЕ ----- В ЦЕПНУЮ ДРОБЬ
0
/
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
2
3
5
8
13
21
0
1
-
1

2
3
5
8
13
21
34
Особенность этой таблицы в том, что так как умножать
надо на единицу, то фактически для получения следую¬
щего числителя достаточно сложить два предыдущих. То
же самое получается и со знаменателями. Более того, в зна¬
менателе повторяются те же числа, что и в числителе,
128

wwv;**
»*«, •<. Л ! >А*АI
51Я^№д Avila
&ДО$«рин !•*«*•* ‘УМ
!!^ШХЙ!ЗД
Рис. 21	только	с «опозданием» на один шаг. Можно сказать, что
те и другие образуются из такой последовательности
чисел:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
— каждое число в этом ряду получается как сумма двух
чисел, ему предшествующих. Сами же числа есть числите¬
ли и знаменатели подходящих дробей, дающих прибли¬
жение к корню уравнения х2-\-х —1=0.
Посмотрим на эти дроби с особой стороны. Их геомет¬
рический смысл понятен — это отношение, определяемое
пропорцией АХ:ВХ=ВХ:АВ, причем с увеличением но¬
мера дроби отношение длин отрезков, на которые разделен
отрезок АВ, становится все более точным. Так вот, оказы¬
вается, что эта пропорция имеет довольно интересное при¬
менение в искусстве, в частности в живописи и архитектуре.
Считается, например, что если рост человека принять за АВ,
то точка X у правильно сложенного человека совпадет с
талией. Проверьте, получается ли у вас это совпадение?
Только не расстраивайтесь, если окажется, что вы не соот¬
ветствуете средневековому эталону красоты,— наверное,
не в этом счастье.
Считается также, что если необходимо разбить на две
части цветочный газон (например, одну полосу засеять
травой, а вторую — цветами), то не следует делать эти
полосы равными по ширине, красивее будет, если взять их в
отношении 5:8 или 8:13, т. е. воспользоваться рассматри-
5 Зак. 2056 JI. Ф. Пичурин	129

\
/
Рис. 22 ваемой пропорцией. Иногда в этом же отношении размечают
снизу вверх стены в помещении, желая покрасить одну
часть стены одним цветом, а вторую другим. Конечно, не
только золотым сечением определяются пропорции, достав¬
ляющие удовлетворение человеческому взору, но все же
оно довольно распространено.
Очень любопытно и такое применение гармонического
деления отрезка. Пусть ВК (рис. 22) — сторона правиль¬
ного вписанного в круг десятиугольника, ВА и КА — ра¬
диусы этого круга. Легко сообразить, что Z. ВАК = 36°,
Z. АВК = Z. ВКА = 72°. Если провести биссектрису угла
ВКА9 то окажется, что д ВКХсо д КАВ (почему?). Но
если так, то ВА:ВК=КХ:ВХ. Но так как КХ=КВ=ВХ9
то ВХ:АХ=АХ:АВ, т. е. радиус разделился на части так,
что меньшая относится к большей, как большая ко всему
радиусу. Из этого следует, что для построения правиль¬
ного вписанного в круг десятиугольника необходимо разде¬
лить радиус круга по правилу золотого сечения. Как это
сделать при помощи циркуля и линейки, вы уже знаете —
надо действовать так, как советовал Птолемей. Кстати,
вот вам и ответ на вопрос о том, как построить правильный
F1 = 22 +1 = 5-угольник.
Золотое сечение может пригодиться и при практическом
делении окружности на пять частей. Например, вам пона-
/
добилось разбить на школьном дворе клумбу в виде пяти¬
конечной звезды. Постройте сначала круг — это сделать не¬
трудно с помощью колышка, веревки и лопаты (см. рис. 21).
П
130

Разделите теперь длину радиуса на 21 часть и постройте
хорды, длина каждой из которых составляет 13 таких час¬
тей. Окружность разобьется на 10 равных частей. Все
остальное понятно. Можно сделать менее точное, но вполне
удовлетворительное построение, разделив радиус не на 21,
а на 13 или даже на 8 частей. Какой длины тогда надо
брать хорду? Конечно, можно сказать, что проще восполь¬
зоваться приближенным делением окружности на пять
частей, чем столь тонким точным методом. Да, но ведь
вовсе не обязательно «привязать» себя к какому-нибудь
методу решения задачи — важнее знать многие способы и
уметь выбрать из них тот, который удобнее всего в конкрет¬
ном случае...
Вот куда увели нас размышления об извлечении квад¬
ратных корней! Это тоже характерная черта математики —
поиск выходов «во все двери и комнаты», попытка пройти
по всем тропинкам, стремление заглянуть повсюду. И что
особенно интересно — везде есть над чем подумать, везде
можно попытаться приложить свои силы и отыскать что-то
новое, ранее неизученное.
Еще одна глава для сообразительных
Подведем некоторые итоги. Мы рассмотрели различные
способы извлечения квадратного корня. Каждый из них
по-своему хорош, каждый имеет и некоторые недостатки.
На один общий недостаток, присущий всем способам, стоит
обратить особое внимание. Его можно назвать словом
«бесперспективность». Мы хотим, например, пойти дальше
и научиться извлекать корень уже не второй, а третьей, по¬
том четвертой и так далее степеней.
Применить метод последовательного деления? Для квад¬
ратного корня из а решение задачи сводилось к составлению
пропорции
а:х = х: 1
и подбору подходящего значения путем деления и отыска¬
ния среднего арифметического. Но для корня третьей сте¬
пени такую пропорцию не составишь и так просто дело не
пойдет, наш опыт и знания нам не помогают.
Быть может, попытаться разбить целое число на группы
(естественно, по три цифры в каждой), подобрать число,
куб которого не превышает значения первой группы (при-
5*
131

дется, конечно, выучить таблицу кубов двузначных чисел),
и так далее? Этот путь приводит к цели, он даже излагался
в некоторых старых учебниках, но правила становятся
такими трудными, а вычисления столь громоздкими, что
пользоваться им почти невозможно.
Попробовать применить метод Гюйгенса? Хотите — по¬
верьте, хотите — проверьте, разложение можно получить,
но элементы многоэтажной дроби повторяться уже не
будут, следовательно, и в этом случае наши опыт и знания
оказываются бесполезными.
Грустная картина? Ничего подобного. И корни квадрат¬
ные, и корни третьей, да и вообще какой угодно степени,
и не только корни, но и значения многих других функций
могут быть вычислены с помощью совершенно однотип¬
ного приема, причем такого, что чем больше ему учишься,
чем больше им пользуешься, тем лучше получается, тем
больше можешь сделать, тем более широкие перспективы
открываются перед тобой! Это метод рядов, о котором мы
уже говорили.
Впрочем, у вас, вероятно, возникло очень серьезное
возражение: но мы же не знаем, откуда получился ряд
для вычисления квадратного корня, тем более мы не знаем,
как получить какие-то другие ряды. Как же можно ими
пользоваться?
Вы абсолютно правы. Но, во-первых, если вы сегодня еще
чего-то не знаете, то разве вам запрещается узнать это
завтра? Учитесь, изучайте математику.
И во-вторых. Разве вы всегда знаете устройство всех
приборов и инструментов, которыми пользуетесь? Разве вы
сдавали экзамен по устройству телевизора перед тем, как
первый раз посмотреть ♦Спокойной ночи, малыши»? А
вспомните решение квадратных уравнений. Сначала вы
учились выделять полный квадрат, вывели формулу, а по¬
том стали применять ее уже совершенно формально:
подставили коэффициенты — получили ответ. И можно
совсем не знать, откуда получились эти формулы, но
успешно решать задачи. Кстати, многие и действительно
не знают. Вы сами можете привести немало примеров тому,
как сначала проводят подробное и иной раз очень не¬
простое обоснование, а потом начинает работать алгоритм,
по которому и выполняются необходимые операции. Так,
может быть, и в математике стоит иногда пропустить до¬
казательство, принять на веру кем-то доказанную теорему,
выведенную другими людьми формулу, разработанный
132

алгоритм, научиться их использовать, а потом, если по¬
надобится, изучить обоснование?
Примите пока на веру алгоритм извлечения корня
третьей степени, задаваемый таким вот рядом:
Похоже на ряд для квадратного корня? Конечно, похоже,
и тот, кто умеет делать одно, сумеет сделать и другое.
Наберитесь терпения, настойчивости и упорства и по¬
пытайтесь, используя предложенный ряд, найти с точ¬
ностью до одной сотой кубический корень, например,
из 100.
Заметим сначала, что
3	6	9	12	1.5	/
= 5 • (1 — 0,0667 — 0,0044 - 0,0005 —	5(1	—	0,0716) =
= 5 — 0,3578 = 4,6422 « 4,64.
Конечно, машина сделает это гораздо быстрее, но для
того чтобы обучить машину, сначала надо поработать са¬
мому.
Сделаем некоторые пояснения к вычислениям. ~	=
о 5
1 9 1 1
= 0,0667, наверное, можно не объяснять. — • ~ ■ — • —- =
3	6	5	5
= 225"“ 0,0044 — тоже вполне понятно, как понятно и то,
что мы оставляем после запятой по четыре цифры — нам
в конечном итоге надо иметь две, но мы пока будем иметь
«запас», чтобы иметь большую уверенность в точности
окончательного ответа. Потруднее сосчитать
369555	339551	81-25
Но так как в четвертом члене ряда уже получилось число,
меньшее одной тысячной, то в пятом будет и подавно мень¬
шее число, значит, мы его совсем не будем вычислять.
Сложив все отрицательные члены, не будем выполнять
100 = 125 — 25 = 125(l —-g-) =53(l —-g-).
125111	111111
1
0,0005
J33

вычитание из единицы, а воспользуемся распределитель¬
ным законом, так как легче умножать на 5 трехзначное
число, чем пятизначное. Правда, потом пришлось выпол¬
нить вычитание 5,0000 — 0,3578, но это уже легко. Теперь
проверим результат по таблицам В. М. Брадиса.
Есть еще один вопрос, связанный с корнями, но отно¬
сящийся уже не столько к математике, сколько к русскому
языку. Вы не задумывались над тем, почему число, п-я
степень которого равна а, называется корнем п-й степени
из числа а? При чем тут корень? Корень растения — понят¬
но, но корень из числа?
Оказывается, дело связано с неточностью перевода с
одного языка на другой. В Древней Греции о квадратных
корнях говорили, имея в виду сторону квадрата с данной
площадью. Сторона квадрата — его основание по-гречес¬
ки— базис (отсюда знакомое вам слово «база»). Но
в греческом языке слово «базис» употреблялось и в другом
смысле — как корень растения. В русском языке, как вы
знаете, тоже ведь есть такие слова, которые имеют не
один смысл, например: лук — растение, лук — оружие. Та¬
кие слова называются омонимами, при переводе их на
другой язык надо быть очень внимательным — ведь омо¬
нимы одного языка вовсе не обязаны быть омонимами
другого. Из нескольких значений слова «базис» арабские
переводчики взяли самое неподходящее — «корень расте¬
ния». В арабском языке это слово имеет единственное
значение, которое перевели на латынь словом radix, которое
имеет тоже единственное значение — «корень». С латыни
это слово перевели на русский, так оно и осталось до на¬
шего времени. Историки науки установили, как произошла
эта ошибка. Но исправлять ее теперь уже поздно — в рус¬
ском языке появился новый омоним: корень растения, ко¬
рень из числа. И если не сказано, о чем идет речь, то и не
догадаешься — то ли его надо извлекать из числа, то ли
выкапывать из земли. Кстати, вы обратили внимание, что
от слова radix пошло и выражение «радикальные изме¬
нения», т. е. изменения в коренном, основном смысле.
Переходим к третьему киту
Обратимся теперь к третьему киту школьной алгебры —
тождественным преобразованиям, или просто тождествам.
Мы знаем, что два выражения с одной переменной на¬
зываются тождественно равными на множестве, если при
134

любом значении переменной, принадлежащем этому мно¬
жеству, их значения равны.
Нетрудно сообразить, что суть дела не изменится, если
переменных будет не одна, а несколько. Тождественные
преобразования алгебраических выражений вам известны
еще с младших классов, когда, изучая законы арифме¬
тических операций, вы заметили, что
a-\-b = b-\-a, а-& = Ь-а, (а + Ь) + с = а + (Ь + с),
(а-Ь)'С — а-(Ь-с) и а-(Ь + с) = а-Ь + а-с.
Потом учились преобразовывать к стандартному виду
одночлены и многочлены, тут, кажется, не возникало ни¬
каких сложностей. Впрочем, проверьте себя на таких,
например, упражнениях.
57* Упростите выражение
(Ь — х) • Ь • 0,6 • (а — х).
58. Приведите подобные
( ~т*у) ~( _1*2у2) + ХУ +( ~Тх2У2) ■
59. Запишите в виде многочлена
Xs X2 X \ / Xs	х2	X \
Т~ ~3 '~2/ \Т	“Т/	•
60. Докажите тождество
(a2-f b2) (c2 + <i2) = (ac — brf)2 + (bc + ad)2.
Теперь задумайтесь над таким фактом. Сложение, вы¬
читание, умножение многочленов всегда возможно, и резуль¬
татом выполнения этих операций всегда будет многочлен.
А ведь изучая целые числа, мы произносили почти такую
же фразу: сложение, вычитание, умножение целых чисел
всегда возможно, и результатом выполнения всех этих опе¬
раций всегда будет целое число. Иначе говоря, многочлены
ведут себя точно так же, как и целые числа. Можно ска¬
зать, что множество многочленов, как и множество целых
чисел, замкнуто относительно трех операций.
С делением дело обстоит хуже — иногда многочлен
делится на многочлен, иногда нет. Но ведь и целое число
тоже иногда делится на целое число, а иногда нет. И снова
мы можем сказать, что многочлены ведут себя точно так
же, как и целые числа, т. е. множество многочленов, как
и множество целых чисел, незамкнуто относительно опе¬
рации деления. И вообще эти множества настолько похожи,
что если, например, написать a-b = b-a, не сказав предва¬
135

рительно, что такое а и Ь — числа или многочлены, то
ничего не случится — мы просто скажем, что записан пе¬
реместительный закон для умножения «чего-то» —- то ли
чисел, то ли многочленов, то ли еще каких-нибудь элемен¬
тов какого-то множества, лишь бы было ясно, что это зна¬
чит «умножить один элемент на другой». Кстати, заметьте,
какое удобное понятие «элемент множества» — ведь не ска¬
жешь же «умножение предметов» или «умножение объек¬
тов» и т. д.!
Значит, можно изучать некоторые общие свойства со¬
вершенно различных множеств — различных по своим эле¬
ментам, но «похожих» по «поведению» относительно не¬
которых операций.
Все эти размышления дают нам право перейти на очень
серьезный язык и сказать следующее.
Кольцом называется множество, для элементов кото¬
рого определены арифметические операции, т. е.:
1) для любых элементов а и Ь определены их сумма
а-\~Ь и произведение аЪ\
2) нуль и единица являются элементами кольца;
3) для любого элемента а, принадлежащего кольцу,
имеется противоположный ему элемент — а, тоже принад¬
лежащий кольцу;
4) выполняются тождества:
а(Ь с) = ab -\-ас — дистрибутивность умножения относительно сложения.
Вот такое определение — очень длинное, но и очень
знакомое.
Знакомое, во-первых, потому, что все эти законы опе¬
раций, все эти «аксиомы кольца» вы изучали в шко¬
ле. Знакомое, во-вторых, потому, что на с. 110 было очень
похожее, только еще более длинное определение понятия
«поле».
Посмотрите внимательно, что в этих определениях
общего, что — различного. И вдумайтесь еще раз в вы ска-
a-f-6 = fe + a — коммутативность
сложения,
(a + b) + c = a + (b + c) — ассоциа¬
тивность
сложения,
а-{-0 = а — свойство нуля,
a-j-( — a) = 0 — свойство противопо¬
ложного элемента,
аЬ = Ьа — коммутативность умно¬
жения,
(ab)c = a(bc) — ассоциативность ум¬
ножения,
аЛ —а — свойство единицы,
136

занную там мысль: тождества, входящие в определение
поля, являются основными аксиомами алгебры, из них
вытекают все тождественные преобразования. А теперь
добавим:	тождества,	входящие	в определение кольца,
являются основными аксиомами алгебры многочленов, из
них вытекают все тождественные преобразования много¬
членов.
Ну а что касается практики таких преобразований, то
вы, конечно, знаете — преобразуя многочлены, нельзя
«спотыкаться» на арифметических действиях, ошибаться в
знаках, вообще быть невнимательным.
Знаете вы и то, что при многих преобразованиях много¬
членов нам помогают тождества (часто говорят также и
« формулы ») сокращенного умножения:	(а	+ Ь) (а — Ь) =
= а2 — b2, (a zt bf =a2zk 2ab + Ь2, (a + bf = a3 ± 3a2b + 3ab2 ±
+ 63. В дальнейшем стоит поинтересоваться: нет ли для
многочленов, да и не только для них, еще каких-либо
интересных тождеств?
Когда в арифметике не получалось деление целых
чисел, люди придумали числа дробные. Когда в алгебре
не получается деление многочленов, вводятся дробные ра¬
циональные выражения. В арифметике с дробями рабо¬
тать труднее, чем с целыми числами, в алгебре с дробными
рациональными выражениями — тоже. Это вы хорошо
знаете, но все же проверьте себя на нескольких упражнениях.
61. Упростите выражение
/**+** Л М .е3-***
1	21	■	•	1	/	k	'	4
62. Упростите выражение
, а2 — ах	2а'2	\	/	х—	1	х\
а2х + хл	х* — ах2 + а2х — a:i	'	V	a	d2 / ’
63. Докажите тождество
а2(х — Ь) (х — с) Ь2(х — с)(х — а) с2(х~а){х—Ь)	9
	 1	  X	,
(а — Ь){а — с)	(b—c)(b — a)	(с — а)(с — Ь)
64. Докажите тождество
1 , 1 , a4-1 , (a + l)(b + l)	,	(а + 1)(Ь + 1)(с + 1)
1-ГТ 1	п г
a ab	abc	abed
 (a-bl)(6 + l)(c + l)(d + l)
abed
Заметим теперь, что сложение, вычитание, умножение
и деление рациональных выражений всегда возможно, за
исключением, конечно, деления на нуль. Рациональные
137

выражения в определенном смысле оказываются похожи¬
ми на рациональные числа, не случайно и названия совпа¬
дают. Но, несомненно, стоит задержаться на тех случаях,
когда от деления многочлена на многочлен получается не
дробное, а целое выражение, т. е. происходит что-то вроде
делимости чисел. В свое время мы много говорили о ней,
может быть, здесь тоже что-то интересное ждет нас? То,
что при преобразованиях рациональных выражений надо
еще в большей степени быть внимательным и аккуратным,
естественно, этого следовало ожидать. Но нет ли каких-либо
приемов, облегчающих преобразования рациональных вы¬
ражений, вроде формул сокращенного умножения?
В учебнике алгебры кратко описаны преобразования
выражений, содержащих радикалы (внесение множителя
под корень, вынесение множителя из-под корня), на другие
преобразования не хватает времени. Это еще более сложные
преобразования, и, наверное, на некоторых из них стоит
остановиться.
Есть еще одна тема для размышления о тождественных
преобразованиях. Когда мы говорили о зарождении мето¬
дов решения уравнений, то отметили, что ни у древних
египтян, ни у древних вавилонян в алгебре не было букв.
Видимо, не было у них и тождественных преобразований —
ведь преобразовывать было нечего! Или были? Буквами
для обозначения чисел не пользовались и греческие ученые.
Неужели и у них не было тождественных преобразований?
Как они поступали, если сумму двух чисел следовало умно¬
жить на разность? Заменяли на разность квадратов или
нет?
Короче говоря, хотя в тождественных преобразованиях
вы, конечно, разбираетесь, все же и здесь есть над чем по¬
размышлять, вопросов набралось немало, на некоторые из
них мы попытаемся ответить.
А как было у древних!
В начале книги уже упоминался один добрый совет,
выполнять который нелегко, но прислушаться к нему все
же стоит — читайте классиков. Почему этот совет трудно
выполнять? Не всегда можно найти произведения писа¬
телей и ученых, живших в далекие времена. Более того,
некоторые из этих произведений пока почему-либо не пе-
138

реведены на русский язык. А многие переводы сохранили
стиль и манеру изложения, присущие другому времени, и
потому оказались нам непонятными. И самое главное —
скажем честно — многие из нас просто не хотят напрягать
свой ум, не хотят по-настоящему работать. А зря! Именно
разбираясь в трудах первооткрывателей, можно понять,
что такое научный поиск, что такое творчество, можно
почувствовать, способен ли ты сам на что-либо подобное.
Вот и сейчас, обращаясь к тождественным преобра¬
зованиям, поинтересуемся сначала вопросом: а как было у
древних? Попробуем прочитать первую теорему второй
главы знаменитых «Начал» Евклида (заметим только, что
у Евклида теоремы называются предложениями, а главы —
книгами). Итак, предложение 1 книги второй «Начал»
Евклида. Вот его перевод:
ЕСЛИ ИМЕЮТСЯ ДВЕ ПРЯМЫЕ И ОДНА ИЗ НИХ РАССЕЧЕНА
НА СКОЛЬКО УГОДНО ОТРЕЗКОВ, ТО ПРЯМОУГОЛЬНИК, ЗАКЛЮ¬
ЧАЮЩИЙСЯ МЕЖДУ ЭТИМИ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ, РАВЕН ВМЕСТЕ
ВЗЯТЫМ ПРЯМОУГОЛЬНИКАМ, ЗАКЛЮЧЕННЫМ МЕЖДУ НЕРАС-
СЕЧЕННОИ ПРЯМОЙ И КАЖДЫМ ИЗ ОТРЕЗКОВ.
Возьмем на себя некоторую смелость и поправим стиль
и манеру изложения великого ученого так, чтобы теорема
была понятна современному школьнику.
«Если имеются две прямые» следует понимать как «если
имеются два отрезка». Слово «рассечена» мы бы, наверное,
заменили на «разбита», а «прямоугольник, заключающийся
между этими двумя прямыми» надо понимать как «пря¬
моугольник, сторонами которого служат эти два отрезка».
Не совсем понятно, что значит — один прямоугольник ра¬
вен вместе взятым нескольким. Будем считать, что речь
идет об их площадях. Тогда у нас получится такая теорема:
ЕСЛИ ИМЕЮТСЯ ДВА ОТРЕЗКА И ОДИН ИЗ НИХ РАЗБИТ НА
СКОЛЬКО УГОДНО ОТРЕЗКОВ, ТО ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА,
СТОРОНАМИ КОТОРОГО СЛУЖАТ ЭТИ ОТРЕЗКИ, РАВНА СУММЕ
ПЛОЩАДЕЙ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ, ИМЕЮЩИХ ОДНОЙ СТОРОНОЙ
НЕРАЗДЕЛЕННЫЙ ОТРЕЗОК, А ДРУГИМИ — ОТРЕЗКИ, ИЗ КОТОРЫХ
СОСТАВЛЕН ВТОРОЙ ДАННЫЙ ОТРЕЗОК.
Далее Евклид приводит чертеж (рис. 23) и чисто гео¬
метрическими рассуждениями доказывает теорему. Мы не
будем рассматривать эти рассуждения, но заметим, что
по существу в теореме идет речь о том, что если длина от¬
резка АВ равна а, а длина отрезка АС равна b + с +... -f- k,
то а(6-|-с+... + &) — ab	т. е. получился один
из важнейших законов, лежащих в основе тождественных
преобразований,— распределительный закон!
139

Рис. 23
Рис. 24
в
А вот еще одна знакомая формула. У Евклида это —
предложение 4 и звучит оно так:
ЕСЛИ ОТРЕЗОК (НА РИС. 24 ОТРЕЗОК АВ) КАК-ЛИБО РАЗБИТ
НА ДВА ОТРЕЗКА, ТО ПЛОЩАДЬ КВАДРАТА, ПОСТРОЕННОГО
НА ВСЕМ ОТРЕЗКЕ, РАВНА СУММЕ ПЛОЩАДЕЙ КВАДРАТОВ,
ПОСТРОЕННЫХ НА КАЖДОМ ИЗ ДВУХ ОТРЕЗКОВ, И УДВОЕННОЙ
ПЛОЩАДИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА, СТОРОНАМИ КОТОРОГО СЛУЖАТ
ЭТИ ДВА ОТРЕЗКА.
Очевидно, это формула квадрата суммы двух чисел.
Так, может быть, и дальше у Евклида идут привычные
нам, только иначе записанные алгебраические тождества?
Если так, то нам не стоит и смотреть — мы и так все это
знаем.
Но уже предложение 5 для вас, наверное, ока¬
жется новым — его в школьном учебнике алгебры нет, не
изучают его и в геометрии. А оно тем не менее очень лю¬
бопытно и позволяет о многом задуматься. Вот это пред¬
ложение:
ЕСЛИ ОТРЕЗОК (ОТРЕЗОК АВ НА РИС. 25) РАЗДЕЛЕН В ТОЧКЕ С
ПОПОЛАМ, А В ТОЧКЕ D НА ДВА НЕРАВНЫХ ОТРЕЗКА, ТО ПЛО¬
ЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА, ПОСТРОЕННОГО НА НЕРАВНЫХ ОТРЕЗ¬
КАХ (НА НАШЕМ РИСУНКЕ AE=DB, И РЕЧЬ ИДЕТ О ПРЯМОУГОЛЬ¬
А
а
С ь
в
шшщш
ШШ///МШ.\
Ь2
ь
а2
р
Я
а
НО

Рис. 25
НИКЕ ADFE), ВМЕСТЕ С ПЛОЩАДЬЮ КВАДРАТА, ПОСТРОЕННОГО
НА ОТРЕЗКЕ CD, РАВНА ПЛОЩАДИ КВАДРАТА, ПОСТРОЕННОГО
НА ПОЛОВИНЕ ДАННОГО ОТРЕЗКА.
Справедливость теоремы сразу видна из рисунка. Но
в чем ее смысл? Обозначим AD=ay DB = b. Тогда теорема
запишется так:
%
Раскройте скобки слева, преобразуйте левую часть, и вы
увидите, что действительно получается тождество. Но что
оно дает?
Для того чтобы разобраться в смысле этого тождества,
решим сначала одну простую задачу. Пусть нам надо ого¬
родить прямоугольный участок земли, причем материала
может хватить только на 200 м изгороди, а нам хочется
сделать так, чтобы площадь огороженного участка была
наибольшей (принято говорить — имела максимум). Како¬
ва должна быть длина сторон этого прямоугольника?
Заметим прежде всего, что сумма длины и ширины
должна быть а + ft = ^^=100 м. Если взять ширину, на-
пример, 1 м, то длина получится 99 м, а площадь 99 м .
Увеличивая ширину, мы обязаны уменьшить длину, тогда
их произведение — площадь — изменится. Например, взяв
ширину 10 м, мы получим длину 90 м, а площадь — 900 м".
А если взять 40 м и 60 м? Площадь получается еще больше,
а именно 2400 м2. Похоже, что самое выгодное — взять
стороны равными, тогда 50-50 = 2500, наверное, это и есть
максимум, и напрашивается формулировка такой теоремы:
ИЗ ВСЕХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ, ИМЕЮЩИХ данный периметр,
НАИБОЛЬШУЮ ПЛОЩАДЬ ИМЕЕТ КВАДРАТ.

Доказана она нами или пока еще нет? Конечно, не до¬
казана, пока, как говорят, лишь сформулирована гипо¬
теза, т. е. правдоподобное предположение. А теперь посмот¬
рим на тождество, вытекающее из предложения 5. Где
бы мы ни взяли точку Z), сумма а-\-Ь и, следовательно, ее
половина и квадрат ее половины меняться не будут (это
правая часть тождества). А слева дело обстоит сложнее —
тут записана сумма произведения двух переменных и квад¬
рата полуразности этих же переменных. Мы хотим, чтобы эта
сумма была постоянной (так написано справа) и первое сла¬
гаемое достигало бы максимума. Для этого необходимо,
чтобы второе слагаемое было минимальным (лучше всего —
чтобы его совсем не было). Что для этого надо? Ясно, что
если а~Ь, то а Ь = 0, второе слагаемое обратится в нуль.
Значит, чтобы произведение ab достигло максимума, надо
сделать а равным Ъ, т. е. разделить отрезок АВ пополам,
или, иначе говоря, построить квадрат. Теорема о прямо¬
угольниках наибольшей площади, имеющих равные пери¬
метры, доказана.
Мы уже знаем, что «равный» по-гречески — «исос»,
поэтому задача, которую мы сейчас решили, как и многие
подобные ей задачи, называется изопериметрической.
Посмотрим теперь на тождество, следующее из предло¬
жения 5, «геометрическим взглядом». Будем двигать точку D
по направлению к точке С. Длина AD прямоугольника
ADFE будет при этом уменьшаться, а ширина АЕ — уве¬
личиваться. Естественно, площадь будет изменяться. От
площади квадрата, построенного на половине отрезка АВ,
т. е. на отрезке ВС, эта площадь будет отличаться на площадь
квадрата со стороной —g—. Этот квадрат (на рис. 25 он
заштрихован, а на рисунке Евклида отсутствует) по мере
движения D и С будет уменьшаться, пока не превратится
в точку, что произойдет, когда точка D совпадет с точкой С,
т. е. отрезок АВ разделится пополам, площадь прямоуголь¬
ника (в этот момент он станет квадратом) достигнет мак¬
симума.
Вопрос о достижении какой-либо функцией максимума
или минимума очень интересовал математиков эпохи Воз¬
рождения, в частности Пьера Ферма. Рассматривая только
что изученную нами задачу, размышляя об изменениях
„ а — Ь
размеров квадрата со стороной —, о его непрерывном
142

уменьшении и даже исчезновении в случае а = Ь, Ферма
пришел к идеям, из которых выросла совершенно новая
для того времени математика, та самая, которую долгие годы
называли «высшей», начала которой дают теперь в школе
и основательно продолжают изучать в вузах. Пьеру Ферма
это было очень интересно, а вам? Если да — задумайтесь
над своим будущим, а нет... Если нет — тоже задумайтесь!
Снова про обобщения
Размышляя об уравнениях, мы подчеркнули стремление
математиков к обобщениям, к поискам выходов в новые
области, к новым задачам. Конечно, и в тождественных
преобразованиях характер поисков математиков не меняет¬
ся. Вот простой пример. Еще Евклид знал (предложение 4)
прием возведения в квадрат суммы двух слагаемых, ко¬
торый и мы изучаем в школе. Но почему только двух чисел?
И почему только в квадрат? Может быть, можно найти
прием возведения в третью, четвертую и более высокие сте¬
пени суммы трех, четырех и более чисел?
В школе не изучается, но очень полезно такое тождество:
(а b -|- с -f-... k -f- Z)2 ^
= fl2 -j- Z?2 -j- c2 ... -j- k2 -f- Z2 -|- 2&b 2clc ... -|- 2cik -f- 2til -\-
-J- 2be -J-... -f- 2bk -|- 2ZZ -f-... 2kl.
Оно звучит так: «Квадрат суммы нескольких чисел равен
сумме квадратов каждого из этих чисел и удвоенных произ¬
ведений каждого из них на все числа, следующие за ним».
В чем польза этого тождества? Вот несложный пример,
связанный с преобразованием корней:
(2 + д/2 + д/3 + д/6)2.
Если вы будете просто умножать сумму, записанную в
скобках, на саму себя, то (проверьте!) это будет гораздо
дольше, чем сделать по формуле так:
(2 + д/2 + д/3 + V6)2 = 4 + 2 + 3 + 6 + 2-2V2 + 2.2-V3 +
-)- 2 • 2 • \J6	2 • л/2 • д/3	2	• д/2 • -J6	2 • д/3 • д/б = 15 -|- 4л/2 -(-
+ 4д/3 + 4д/б + 2д/б + 4д/3 + бд/2 = 15 + 10д/2 + 8д/8+бд/б.
Тоже, конечно, не очень просто, но зато времени затрачено
меньше.
Как доказать полученное тождество? Есть два пути.
143

Рис. 26
Можно рассмотреть рисунок 26. Из него это тождество
видно сразу. А можно посто перемножить (а + ft+ £ + ••• +
-|-k-\-l) само на себя, потом привести подобные, и тожде¬
ство доказано.
Итак, с одним направлением обобщения задачи все
ясно. Обратимся еще к одному обобщению, начало которому
положили еще древние вавилоняне.
Вы хорошо знаете тождества:
(а + Ъ)2 =а2-\- 2аЬ + ft2;
(а + ft)3 =а3 + 3 а2Ъ + 3aft2 + Ь3.
Выведем соответствующее тождество для четвертой
степени:
(а + bf = (а + bf ■ (а + bf = (а2 + 2 ab + Ь2\а2 + 2 аЪ + Ь2) =
=а4 + 2 а3 ft + а2Ь2 2а? b + 4 а2Ь2 + 2 ab3 + о?Ь2 + 2 ab3 + ft4 =
=а4 + 4а3Ь + 6а2Ь2 + 4аЬ3 + ft4.
Пока еще трудно заметить какие-либо связи с квадратом
и кубом, кроме того, что степени числа а убывают, а степени
числа ft возрастают. Но давайте запишем еще две степени
суммы двух чисел (или короче «степени двучлена», мы
дальше именно так и будем их называть) — нулевую и
первую:
(a + ft)° = l;
(a + ft)1 =a + ft.
А теперь выпишем только коэффициенты, причем рас¬
положим их в виде такого треугольника:
1
1 1
1 2 1
13 3 1
1 4 6 4 1
144

Можно заметить, что «стороны» этого «равнобедренного
треугольника» составлены из единиц, а каждое число,
стоящее внутри треугольника, представляет собой сумму
чисел, стоящих над ним в предыдущем ряду справа и
слева: 2 = 1 + 1, 3 = 1 + 2 = 2 + 1, 4 = 1 + 3 = 3 + 1, 6 = 3 + 3.
Если это не случайно, а имеет место общий закон, то для
(а + bf должны получиться коэффициенты: 1, 1+4 = 5,
4 + 6 = 10, 6 + 4 = 10, 4 + 1=5 и 1, или, иначе говоря,
(а + bf=а5 + 5а4 Ь + 10а3Ь2 + 10a2b3 + 5 аЬ4 + Ь5.
Проверьте, умножив (а + Ь)3 • (а + bf, и вы убедитесь,
что именно так оно и получится.
Но тогда
(а + bf =а6 + 6 а5Ь +15 а V + 20 а3Ь3 + 15а2Ь4 + 6аЬ5 + Ь6.
Таким образом, мы подметили закон образования коэффи¬
циентов степени двучлена, или, как его еще называют,
бинома (поэтому и коэффициенты называют биноми¬
нальными).
Треугольник, составленный по описанному правилу,
обычно называют треугольником Паскаля, по имени хорошо
известного вам из учебника физики французского философа,
Блез Паскаль писателя, физика и математика Блеза Паскаля
(1623—1662), современника Декарта и Ферма.
Треугольник Паскаля (см. задний форзац) обладает
массой интереснейших свойств, главное из которых мы уже
заметили:	не выполняя самого умножения (возведения
в степень), с его помощью просто, быстро и точно можно
возводить в любую степень двучлен (а + &). Правда, коэффи¬
циенты разложения бинома мы находим рекуррентно, т. е.
для того, чтобы узнать коэффициенты разложения бинома
седьмой степени, надо знать их для шестой, а чтобы знать
для шестой — сначала найти их для пятой и так далее
до самого начала.
Вот еще одно любопытное свойство. Заметим, что
если а — b = 1, то двучлен (а + Ъ)п превратится в (1 + 1)Л = 2".
Значит, строки треугольника Паскаля дают суммы,
равные 2":
2"	1	1
21	1 + 1	2
22	1 + 2 + 1	4
23	1+3 + 3 + 1	8
24	1+4 + 6 + 4 + 1	16
145

и т. д. Но ведь это означает, что для любого многочлена
(a + bf =atl + nari~lb + ... + nabtl~[ +Ьп сумма всех коэффи¬
циентов равна 2п\
Например, сумма коэффициентов разложения бинома
(а + Ь)10 равна 2|0 = Ю24. Мы получили сумму, вовсе не
вычисляя отдельных слагаемых.
И все же досадно, что у нас не получилось хорошего
прямого — нерекуррентного — способа, для получения коэф¬
фициентов, тем более что иногда надо узнать не все коэффи¬
циенты, а какой-нибудь один, нацример коэффициент
при aiobn 32-й степени двучлена. А такой способ есть!
Но для того чтобы с ним познакомиться, вам придется
изучить еще один, находящийся за страницами школьного
учебника, раздел математики, который называется ком¬
бинаторикой. В этой книге мы не будем о нем рассказывать,
но если он вас все же заинтересует, имейте в виду, что ему
посвящено очень много популярных книжек.
Геометрическая арифметика
Математиками древности были изучены еще некоторые
тождественные преобразования. Особенно подробно ими
разработаны методы решения и преобразования пропорций.
Греки и арабы знали массу тонких и остроумных приемов,
ныне уже потерявших свое значение и почти не приме¬
няемых, а у Евклида фактически заменявших теорию
действительных чисел.
Вам нетрудно понять значение пропорций для античных
и средневековых математиков. Ведь пропорции очень часто
встречаются в геометрии. Например, при изучении подобия
фигур много говорится о пропорциональности отрезков.
Умение пользоваться пропорциями помогает геометрически
решать многие арифметические и алгебраические задачи,
мы попробуем сейчас в этом разобраться.
Никаких арифметических задач не решишь, если не
умеешь выполнять четыре арифметических действия:
сложение, вычитание, умножение и деление. Можно ли
выполнять арифметические действия не с числами, а с
другими объектами, например с отрезками? Судя по тому,
что говорилось о поле, можно, надо только установить,
что именно понимать под действиями над теми или иными
элементами, и проверить, будут ли выполняться пере¬
численные аксиомы.
146

Рис. 27
Ь
Итак, пусть даны отрезки а и ft (рис. 27). На прямой,
содержащей отрезок а, с помощью циркуля отложим
от его конца отрезок, равный отрезку ft. Получится отрезок
АВ, который и назовем суммой отрезков а и ft. Для любых
ли двух отрезков такое построение возможно? Да, для
любых. Можно ли считать отрезок, имеющий длину,
равную нулю, элементом нашего множества? Да, конечно.
Более того, сразу же заметим, что такой «отрезок» (точка)
обладает свойством а-\-0 = а. Выполняются ли тождества
a-|-ft = ft+a и (a-|-ft) + c = a + (ft + c)? Да, и переместитель¬
ный, и сочетательный законы выполняются, проверьте это
сами!
Подумайте еще и над такой мыслью: длина отрезка-
суммы равна сумме длин отрезков-слагаемых. Иначе
говоря, мы можем измерить длины слагаемых и сложить
числа — получится длина отрезка-суммы, и можем его
не измерять. Но можно поступить и наоборот — сложить
отрезки, не измеряя их, а потом измерить длину отрезка-
суммы. Результат в обоих случаях будет одинаков, вы это
хорошо знаете.
Но что такое разность отрезков? Арифметика учит нас:
разностью отрезков а и ft называется отрезок, который
в сумме с отрезком ft дает а:
Ь + х = а.
А ведь это возможно не всегда! К этому же ответу
приводит и геометрический путь.
Обратимся к тому же рисунку. Вычитание будем выпол¬
нять следующим образом. На прямой, содержащей отрезок
а, отложим с помощью циркуля от его конца отрезок ft,
только не вправо, как при сложении, а влево. Получится
отрезок АВ\ его назовем разностью отрезков а и ft.
147

Рис. 28
Рене Декарт
В
Нетрудно проверить, что построенный так отрезок-
разность вполне соответствует арифметическому определе¬
нию отрезка-разности (проверьте самостоятельно). Но
нетрудно убедиться и в том, что такое построение возможно
далеко не для всякой пары отрезков а и Ь, следовательно,
вычитание отрезков возможно не всегда. Способ «исправле¬
ния» множества отрезков с тем, чтобы в нем всегда
существовали «обратные элементы» и вычитание стало
возможным для любых а и Ь> придумал французский
математик Мишель Шаль (1793—1880). Он ввел
понятие «направленный отрезок», т. е. стал считать
отрезок АВ — положительным, а отрезок В А — отрицатель¬
ным. Мы в геометрии всегда считали АВ=ВА, а Шаль
решил, что на это равенство можно смотреть и совсем
по-другому. Не будем сейчас подробно разбирать теорему
Шаля и ее следствия, важно только одно: вычитание
отрезков — тоже вполне определенная и практически
осуществимая операция.
Как быть с умножением? То, что вы уже знаете, например
умножение основания прямоугольника на его высоту,
никак нам не подходит. Ведь множители при таком
умножении есть длины, а произведение — площадь, а нам —
так говорилось при определении поля — надо, чтобы и
множители, и произведение были элементами одного и
того же множества, т. е. в данном случае — отрезками.
Рассмотрим рисунок 28, который позаимствуем из
книги «Геометрия» великого французского ученого Рене
Декарта (1596—1650). Как умножать и делить отрезки?
Вот как об этом пишет Декарт:
ПУСТЬ, НАПРИМЕР, АВ ЯВЛЯЕТСЯ ЕДИНИЦЕЙ, И ТРЕБУЕТСЯ
УМНОЖИТЬ BD НА ВС; ДЛЯ ЭТОГО Я ДОЛЖЕН ТОЛЬКО СОЕДИНИТЬ
ТОЧКИ А И С, ЗАТЕМ ПРОВЕСТИ DE ПАРАЛЛЕЛЬНО СА, И BE
БУДЕТ РЕЗУЛЬТАТОМ ЭТОГО УМНОЖЕНИЯ.
148

Рис. 29
Декарт не объясняет, почему так получается, так как
считает, что его читатели сами это поймут. Мы тоже не
будем объяснять этого — и по этой же причине.
Про деление Декарт пишет, снова обращаясь к этому
же чертежу:
«Если BE нужно разделить на BD, то, соединив точки
Е и D, я провожу АС параллельно DE, и ВС будет резуль¬
татом этого деления».
Но если АВФ1? Из того же рисунка мы видим, что
пропорция
АВ BD
ВС ~~ BE
будет справедлива всегда, если только ED\\AC; значит,
мы всегда можем ее решить (т. е. найти какой-либо из
четырех ее членов по трем данным) чисто геометрически.
Все это и значит, что геометрически — при помощи циркуля
и линейки — можно решать задачи на сложение, вычитание,
умножение и деление отрезков, причем для умножения
совсем не обязательно обращаться к площадям!
А можно ли геометрически извлечь квадратный корень?
Оказывается, можно, более того, существует много приемов
выполнения этой операции. Один из простейших заключается
в следующем. На рисунке 29 АВ — отрезок, из которого
надо извлечь квадратный корень. Построим АС = 1. Приняв
ВС за диаметр окружности, построим ее (вам надо
вспомнить, как с помощью циркуля и линейки делят
пополам отрезки). А теперь проведем AD перпендикулярно
диаметру. Это и есть квадратный корень из АВ. Почему?
Соедините точку D с концами диаметра, у вас получится
прямоугольный треугольник, в котором AD — высота,
проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе,
а АС и АВ — проекции катетов на гипотенузу. Закончите
доказательство самостоятельно.
149

Попытайтесь сами геометрически извлечь квадратный
корень из 3, 5, 7. Измерьте линейкой длины соответствующих
отрезков и сравните результаты измерений с результатами
вычислений.
Еще раз о квадратных уравнениях
Из геометрического метода нахождения квадратных
корней вытекает любопытнейший способ решения квадрат¬
ных уравнений. Рассмотрим его на нескольких примерах.
Пусть надо решить уравнение
jc2 + 10x + 9 = 0.
Выполним следующее построение (рис. 30). Сначала по
катету ВС = д/g = д/9 = 3 и гипотенузе АВ = -|-=у=5
построим прямоугольный треугольник. Заметим сразу, что
АС =д/ ^	— q =~\] 52 — З2 = 4. А теперь радиусом, рав¬
ным -|-=5, проведем окружность с центром в точке А.
Она пересечет продолжение катета АС в двух точках,
которые обозначим D и Е. Заметим, что отрезок DC
составлен из
АС = д/(у У — g = 4 и AD = -|- = 5, т. е. DC =
= 9 = jci. Отрезок же СЕ есть разность отрезков АЕ=-1-=5
и АС = V(fH = Т* е* от*)езок ^ = 1 = х2. Почему так
хорошо йолучилось? Да потому, что отрезок ВС есть корень
квадратный из произведения отрезков Х\ и х2.
Итак, получился такой порядок. Сначала, имея уравнение
х2-\-px-\-q=0, построим отрезки -^-и -yjq. Это всегда можно
Рис. 30
150

сделать. Начнем строить прямоугольный треугольник по
двум отрезкам — гипотенузе и катету. Сначала отложим
катет, равный ->Jq. Это тоже всегда получится. Возьмем
теперь раствор циркуля, равный	ножку циркуля
поместим в точку В и проведем дугу окружности, чтобы
получить точку А. А вот это получится далеко не всегда!
Если катет -yfq больше гипотенузы ~ , то треугольника не по-
г»
строить. Иначе можно сказать, что если -л/q > — , то — — q —
дискриминант квадратного уравнения, отрицателен и,
как вы знаете из учебника, такое уравнение решений не
имеет.
Но если рсО? А ничего особенного — лишь бы q было
положительным числом, а все остальное делается одинаково
и для р>0, и для р<с 0. Надо только знать, какие знаки
приписать числам, выражающим длины отрезков СЕ и ВС.
На этот вопрос ответьте сами.
В случае, когда перед q стоит знак минус (мы не будем
считать q отрицательным числом, а просто будем говорить,
что вычитается положительное число), построение произ¬
водится иначе, и здесь старый рисунок нам уже не
поможет.
Итак, пусть дано уравнение
х2 + 8х — 9 = 0.
Построим прямоугольный треугольник ABC (рис. 31)
с катетами ВС=-\[q = 3 и АС = -1~=4. Его гипотеза АВ
по теореме Пифагора у ^-0 -|-д = 5. Заметим сразу, что
такое построение возможно всегда, тут нет каких-либо
Рис. 31
151

исключений. А теперь радиусом ~2~=4 проведем окружность
с центром в точке А. Она пересечет гипотенузу и ее продол¬
жение в точках D и Е. Нетрудно убедиться — на этот раз
вы сделаете это сами, что DB =\х\\, a BE = \ Xi |. Знак
модуля поставлен для того, чтобы можно было рассматри¬
вать эту задачу и для рсО, но над знаками корней все
же придется подумать.
Конечно, решать уравнения по формуле проще, чем
выполнять эти замысловатые построения. Но нам интересно
отметить сейчас важный факт: квадратные уравнения могут
быть решены геометрическим путем. Могут быть! Иногда
в науке важно установить саму возможность решения
задачи заданными средствами, а уж надо будет решать
именно этими средствами или не надо — другое дело.
Для тех, кто уже знает, что такое синус и тангенс,
может показаться любопытным еще одно следствие описан¬
ного геометрического способа решения квадратных урав¬
нений.
Сначала вернемся к рисунку 31. Обозначим буквой ср угол
ВАС. Соединим Е с С и рассмотрим треугольник ЕВС.
В нем А ВЕС = (почему?), а угол ВСЕ составляет
90° + -|.
Значит, по теореме синусов:
\х2\	лГя.
sin(90° + -|)	sin-|-
Отсюда сразу следует (если только не забыть, что
ф
sln ~2~
sin (90° + | )=cos ± и 	-	=tg	|	)	:
4	COS -2-	'
х-1=A[q:tg-j.
Точно так же, но уже из треугольника BCD (о величине
углов подумайте сами), можно вычислить
sin-| Sin(90° + |-)
И снова по теореме синусов
*i=y<z-tg-£.
152

Отметим, что мы получили совершенно особый способ
решения квадратных уравнений — тригонометрический.
Подводя итог, можно сказать, что об одном и том же яв¬
лении мы рассказали на трех языках — алгебраическом,
геометрическом и тригонометрическом. Еще раз под¬
черкнем — языки разные, а задача одна.
деление
Помните, говоря о тождественных преобразованиях
многочленов, мы отметили, что есть что-то похожее на
действия с целыми числами: сумма, разность и произве¬
дение многочленов всегда есть многочлен, точно так же
как сумма, разность, произведение целых чисел всегда
есть целое число? И деление многочленов порождает
рациональные выражения точно так же, как деление
целых чисел порождает дробные числа.
Но деление целых чисел иногда удается выполнить
нацело. А многочлены? Их деление тоже довольно часто
удается выполнить до конца, т. е. нацело, однако в школе
таких упражнений почти не выполняют — они отнимают
много времени и довольно громоздки. Деление многочленов
требует внимания, аккуратности, понимания сути дела.
Оно полезно для развития навыков тождественных пре¬
образований, развития, как теперь часто говорят, алгоритми¬
ческих навыков. Короче говоря, стоит уметь это делать.
Поступим так. Здесь подробно записано деление одного
многочлена на другой уголком. Оказывается, оно выполня¬
ется почти так же, как и деление многозначных чисел.
Сначала разберитесь в приведенном примере, а потом сами
выполните два упражнения. Итак, выполним деление:
6fl4 — л3 — 7 fl2 -j- а 4" 1
2а2 + а — 1
6а4 + За3 — За2
За2 — 2а — 1
— 4а3 — 4а2+а
— 4 а3 — 2 а2 + 2а
— 2 а2 — а +1
— 2а2 —а +1
О
Теперь разделите многочлен на многочлен самостоя¬
тельно:
65. (18л:5 — 54л:4 — 5л:3 — 9л:2 — 26л: +16): (Зл:2 - 7л: — 8).
66. (х6 — а6): (л:5 + ал:4 + а2х3 + а?х2 а*х + а5).
153

1,0000000
7
30
“28
20
14
_60
56
40
35
50
49
10
7
3
В этих упражнениях все получилось более или менее
гладко. Ну а если не делится? Тогда программа тоже
ясна: что можно — сократить, где удастся — упростить и в
конечном счете записать ответ в виде частного двух
многочленов. Иногда такие преобразования бывают не¬
сложными, иногда — потруднее, но всегда они полезны,
и мы советуем решить несколько таких упражнений.
Упростите выражения:
0<Т I х— 1	1 — Зх -f х2 1	\	.	1	—	2х	+	х2	—	2х*
* V Зх + (х — If	хА	—	1	х — 1 ) ■ 1+2х + 2х2 + х* *
68.( —— т2£—):(—  2) .
\ п а 1 п~ — пх / \ п — х 1 а	)
fiQ	( а2~ах	2а2	\	/1	х — 1	х \
\	а2х + Р x:i — ах2 + а2х — а3 /	\	о	а2	/	*
Есть еще один удивительный путь преобразования
рациональных выражений. Мы не будем говорить о нем
подробно, ограничимся лишь несколькими примерами.
Вспомним сначала арифметику. Если при решении задачи
получилась в ответе обыкновенная дробь, то можно попытать¬
ся записать ее в виде десятичной. Например: —=0,5,
7	3
—=0,875, 2—=2,6 и т.д. Правда, так гладко получается
О	О
далеко не всегда. Например, дробь	Можно	начать
записывать ее в виде десятичной дроби, поступая следующим
образом. Сначала будем делить числитель на знаменатель
уголком:
7	 Возникает	любопытная ситуация. Во-пер-
0,1428571... вых, не видно конца — так можно делить и
делить. Во-вторых, в частном получается ка¬
кая-то необычная дробь: составляющие ее
цифры начинают повторяться, и мы можем
написать сколько угодно таких цифр, вовсе
не выполняя самого деления. Вы знаете, что
такие дроби называются периодическими,
они обычно записываются так: у =
= 0,(142857) — это другая запись той же не¬
обычной дроби: у =0,1428571..., или же
у 0,14286 — здесь поставлен знак прибли-
154

женного равенства и записано столько цифр, сколько нам
понадобилось. Вспомнили?
А теперь вернемся к рациональным выражениям. Пусть
дана дробь —^—. Будем делить числитель на знаменатель
1 -\-х
уголком:
 1 —(— х
1 — X + х1 — Xs + X4...
Вновь возникает любопытная ситуа¬
ция. Во-первых, не видно конца — так
можно делить и делить. Во-вторых, в
частном получается какой-то необыч¬
ный многочлен: составляющие его од¬
ночлены есть возрастающие степени
слагаемого х с чередующимися знака¬
ми, и мы можем написать сколько
угодно таких одночленов, вовсе не
выполняя самого деления! Так, может
быть, стоит записать так:
7^7 = (1 +*)-' =1 — х-\-х2 — х3 + х4 — х5 + ... ?
Это, конечно, не тождество — справа нет конца, но все
же... Давайте подставим в правую и левую части какое-
нибудь значение х, конечно, не равное — 1 (почему?),
и вычислим значение нашей дроби и многочлена при
этом значении. Конечно, значение нашего необычного
многочлена удается вычислить лишь с какой-то ограни¬
ченной точностью. Но тогда и дробь будем вычислять
с такой же точностью, например с пятью знаками после
запятой.
Пусть х = 0,05. Считаем слева:
. Л-тпг = 1:1,06»0,95238.
Считаем правую часть. Нетрудно сообразить, что для
достижения немеченной точности в данном случае доста¬
точно взять пять слагаемых. Действия выполним так.
Сначала сложим три положительных числа:
1,000000
+ 0,002500
0,000006
1,002506
155
1
1 + Х
— X
— х — х*
—
Х'+Х'
—X
т
х3 — х4
+*4
X +х
— X'

(мы взяли шесть цифр после запятой для того, чтобы
быть уверенными в пятой цифре, этот прием называют
«правилом запасной цифры»)• Теперь найдем сумму двух
отрицательных чисел (точнее, их модулей):
0,050000
+ 0,000125
0,050125
А теперь вычтем из первой суммы вторую, получится
0,952381. После округления до пяти цифр имеем, что при
* = 0,05
1 — х + х2 — х3 + х4 ^ 0,95238.
Справа получится тот же самый результат, что и слева!
Впрочем, радоваться рано. Подставим, например, слева
число 4, дробь окажется равной 0,2, получился точный
результат. А многочлен? Если взять, скажем, три члена,
то получится 1 — 4 + 16 = 13, если взять четыре, то
1 — 4 + 16 — 64= — 51, если испытать пять членов, то
1—4 + 16 — 64 + 256 = 205. Сразу видно, что ни о каком
равенстве речи быть не может, никакой суммы не полу¬
чается и вообще вся эта работа сделана зря. Но можно
доказать, что если—1<х<1, то приближенное равенство
получается и вообще-то мы на каком-то необычном, но
правильном пути.
К тому же попутно мы получили еще и полезное правило
приближенных вычислений. Оказывается, если надо вы¬
числить значение дроби 1 _j-~ при сравнительно небольших х,
то деления выполнять вовсе не обязательно — прос¬
то надо из единицы вычесть х, что, конечно, гораздо
легче. Иначе говоря, мы получили приближенную фор¬
мулу:
Значит, 1:1,007 ^ 0,993,	1:1,0034 ^ 0,9966; все вы¬
числения сделаны в уме. Проверьте, выполняя деление
уголком, сколько времени вам понадобится.
Ну а если преобразовать дробь = (1	Что
1 ЭС
будет в частном и какую формулу для приближенных
вычислений удастся получить? Пойти можно двумя путями.
Можно повторить сделанное, т. е. выполнить деление
уголком и обнаружить закономерность. Но можно сделать
156

и так: пусть jc = -— г/, тогда ——^—=ТТ—* а это мы
1
1— ( — У) 1 +у
уже знаем:
= 1 — у + у2—у* + у* — у5 +
Остается вернуться к старым обозначениям, т. е. заменить
у на — х:
Полученный результат привлекателен еще и тем, что
значения выражения, записанного справа от знака равен¬
ства (его обычно называют степенным рядом), очень
легко вычислять, особенно применяя ЭВМ.
Но возникает вопрос. В двух случаях: ^ 1 х и j-fx —
получилось очень аккуратное и даже красивое выраже¬
ние («разложение в степенной ряд»). Его красота особен-
1	/	.	ч_|	1
но заметна, если учесть, что так как 	={а ±х)	=—X
для единицы, но и для любого другого слагаемого.
Это, конечно, очень хорошо. Но ведь алгебраических
выражений очень много. Сумеем ли мы так эффектно
обращаться с другими?
Попробуем, например, проделать аналогичное преобра-
i^=i+*+*2+*3+*4+*5+---
этот прием можно применить не только
зование с дробью ———?
(1 + х)
1
1+2Х + Х2 ‘
Делим уголком:
1
1+2х + х2
 1—~	1	п
1 —2х + 3х*
1 -\-2x-\-x2
4Х1
-2х — х2
— 2х — 4х2 — 2х3
Sxz + 2хд
Зх2 4- 6х3 + Здс4
— 4х3 —3?
- 4х3 — 8х1 — 4х5
5х4 + 4х°
Закономерность ясна — получаются возрастающие сте¬
пени слагаемого х, коэффициенты есть просто последова-
157

тельные натуральные числа, меняющие знак: при четных
степенях буквы — положительные, при нечетных — отрица¬
тельные. Итак,
(1 + х)~2 = 1 — 2х + Зх2 — 4х3 + бх1 - ...
И снова оказывается, что равенство это имеет смысл, если
— 1<Ж1, и снова оказывается, что, пользуясь этим
равенством, можно подсчитывать значение дроби с любой
необходимой нам точностью, и снова оказывается, что
полученное равенство порождает приближенную формулу
(правда, на этот раз — не очень-то трудную).
А ведь что-то похожее у нас уже было! Помните,
как мы вычисляли корни? И вы, наверное, уже почувство¬
вали главное — открываются двери в какую-то новую
и очень богатую область математики. Ведь если разные
выражения удается записать в виде однотипных формул,
похожих друг на друга правил, то у нас в руках оказывается
мощное орудие для практических вычислений! Конечно,
Исаак Ньютон разобраться в этом до конца в нашей книге не удастся,
но поверьте — это орудие существует, пути его создания
изучаются в одной из самых ярких глав математического
анализа — главе о разложении функций в ряды. Правда,
глава эта находится не только за страницами вашего
учебника, но и за страницами учебника для старших
классов. Остается добавить, что в самом первом своем
варианте эта глава была написана английским физиком
и математиком Исааком Ньютоном (1643—1727),
о котором вы уже немало знаете из учебника физики.
Прогрессио — движение вперед
Рассматривая деление 1:(1 — х)9 пришли к равенству:
= 1 + х + *2 +*3 + *4 + •"
Заметьте, что умножив правую и левую части этого
равенства на а Ф 0, получим
О	I	I	9	I	4	I
= а + ах-f -ах -|-ах + ах +...
X X
Как «устроена» правая часть? Первое слагаемое —
число а. Второе — то же число а, умноженное на х. Третье —
то же число а, умноженное на х во второй степени.
Четвертое — снова то же число а, но уже умноженное на
158

х в третьей степени... Десятое слагаемое — то же число
а, умноженное на х в девятой степени, п-е слагаемое
есть произведение числа а на хп~\ Это же формула, по
которой находят п-й член геометрической прогрессии!
Правда, мы привыкли записывать ее в другом виде:
an=alqn~], но ведь от использования других букв суть
дела не меняется.
Вы изучали две прогрессии — арифметическую и гео¬
метрическую. Вспомним их определения (сразу оба!):
ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, КАЖДЫЙ ЧЛЕН КОТОРОЙ,
НАЧИНАЯ СО ВТОРОГО, РАВЕН ПРЕДШЕСТВУЮЩЕМУ
ЧЛЕНУ СЛОЖЕННОМУ С ОДНИМ И ТЕМ ЖЕ ЧИСЛОМ,
’ УМНОЖЕННОМУ НА ОДНО И ТО ЖЕ ЧИСЛО,	3
?=Ич=°иИ
Обратите внимание, насколько похожи определения.
Надо лишь заменить сложение умножением, или наоборот,
и из одной прогрессии получим другую. Мы еще раз
убеждаемся в том, что операции сложения и умножения
имеют много общего. Это понятно — вспомните аксиомы
поля, вспомните, что такое коммутативность и ассоциатив¬
ность сложения и умножения. Родство прогрессий становится
еще более заметным, если вспомнить их характеристические
свойства:
АРИФМЕТИЧЕСКОЙ
ЛЮБОЙ ЧЛЕН	ПРОГРЕССИИ,	НАЧИНАЯ СО
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ
ВТОРОГО, ЯВЛЯЕТСЯ СРЕДНИМ ?™мЕТРИч1сКИММ ПРЕДШЕСТВУЮ.
ЩЕГО И ПОСЛЕДУЮЩЕГО ЧЛЕНОВ.
Впрочем, это понятно:	если	теоремы	выводятся из
аксиом и определений, то из близких друг другу аксиом
и определений должны следовать и близкие друг другу
теоремы. Убедимся в этом еще раз, рассматривая некоторые
формулы, относящиеся к прогрессиям.
ФОРМУЛА л-ГО ЧЛЕНА ПРОГРЕССИИ:
ап=а\ +d(n — 1), an = a\-Qn~'1-
Зная одну формулу, можно легко получить другую —
надо лишь сложение заменить умножением и умножение
заменить возведением в степень, и из формулы для
арифметической прогрессии получится формула для
геометрической прогрессии.
159

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО ПРОГРЕССИИ:
  On — I 0,t	|	  :
а>п —	2	*	п — Л i 1 •
Здесь тоже достаточно заменить сложение умноже¬
нием, а деление на 2 извлечением корня второй степени,
и из характеристического свойства арифметической прогрес¬
сии получится характеристическое свойство геометрической
прогрессии.
То, что мы легко замечаем зту общность, неудивительно —
мы знакомы и с буквенной символикой, и с аксиоматикой,
и с понятием поля. А как люди додумались до этого
раньше и какие выводы они сделали?
Сами по себе прогрессии известны так давно, что,
конечно, нельзя говорить о том, кто их открыл. Это и
понятно — ведь уже натуральный ряд 1, 2, 3, 4, ..., п, ... есть
арифметическая прогрессия с первым членом, равным 1,
и разностью, тоже равной 1. Говоря о пифагоровых трой¬
ках чисел, мы упомянули последовательность нечетных
чисел, а это тоже прогрессия с разностью, равной 2. О том,
как давно была известна геометрическая прогрессия,
косвенным образом свидетельствует знаменитое предание
о создании шахмат. Рассказывают, что индийский принц
Сирам рассмеялся, услышав, какую награду попросил
у него изобретатель шахмат: за первую клетку шахматной
доски — одно зерно, за вторую — два, за третью — четыре,
за четвертую — восемь и так до 64-го поля. Нетрудно
сосчитать, используя известную вам формулу суммы п
членов геометрической прогрессии, что S64 = 264 —1 =
= 18 446 744 073 709 551 615^18,5-1018. Если бы принцу
удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности
Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыни, и
Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный
урожай, то, пожалуй, лет за пять он бы смог рассчитаться
с просителем. Как вы считаете — стоило ему смеяться?
На связь между прогрессиями первым, по-видимому,
обратил внимание великий Архимед (ок. 287—212
до н. э.). Вы, конечно, знаете из физики о законе Архимеда.
Обычно в школе об Архимеде и говорят как о физике.
А он был еще и замечательный математиком, положившим
начало многим из тех разделов нашей науки, которые
были развиты лишь в XVII в.
В печати же эти мысли отчетливо прозвучали лишь
в 1544 г., когда вышла книга немецкого математика

Михаила Штифеля «Общая арифметика». Штифель составил
такую таблицу:
_4 _з _2 — 1 0 1 2 3	4	5	6	7	8
1	X i 1	2	4	8	16	32	64	128 256
16	8	4	2
В верхней строчке написана арифметическая прогрессия
с разностью 1. В нижней — геометрическая прогрессия
со знаменателем 2. Расположены они так, что нулю
арифметической прогрессии соответствует единица геомет¬
рической, это очень важный факт.
А теперь представьте себе, что вы не умеете умножать
и делить, но вам понадобилось умножить, например, у-
на 128. В таблице над у написано —1, а над 128 написано 7.
Сложим эти числа. Получится 6. Под шестеркой читаем 64.
Это и есть искомое произведение. Другой пример, Разделим
32 на 8. Поступим аналогично: 32->-5, 8->-3, 5 — 3 = 2,
2-^4, значит, 32:8 = 4.
Если вспомнить тождества ап -ат =ап+т и ап :ат = ап~т,
а нижнюю строчку таблицы Штифеля переписать так:
2-4, 2~3, 2-2, 2~\ 2°, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, то нетрудно
сообразить, в чем тут дело. Разумеется, при этом надо
договориться, что а° = 1, а а~1 =-^г, эти определения вы
хорошо знаете. Теперь можно сказать, что если показатели
6 Зак. 2066 JI. Ф. Пичурин	161

степени составляют арифметическую прогрессию, то сами
степени составляют геометрическую прогрессию.
Заметим еще, что с помощью таблицы можно возводить
в степень и извлекать корни. Сколько будет, например,
43? Против 4 читаем 2, умножаем 2 на 3, против 6 читаем
64, значит, 43 = 64. А чему равен корень четвертой степени
из 256? Делим 8 на 4, против 2 читаем 4, значит, д/256 = 4.
Теперь задумаемся вот над чем. Складывать и вычитать
гораздо легче, чем умножать и делить, не говоря уже о том,
насколько легче делить, чем извлекать корни. И если
бы между числами нижней строки не было таких больших
разрывов, то таблицы прогрессий можно было бы исполь¬
зовать для облегчения вычислений. Как улучшить таблицу
Штифеля?
«Уплотнить» верхнюю строчку несложно, это арифмети¬
ческая прогрессия, поэтому будем вставлять между ее
членами их среднее арифметическое. Например, между
продолжать сколько угодно, будет получаться арифметиче¬
ская прогрессия со все меньшей и меньшей разностью
и со все большим и большим числом членов. Все просто и
понятно. Но как быть с геометрической прогрессией?
Выпишем часть верхней строки таблицы со сделанными
нами «вставками»:
Что вставить между 2 и 4 — 22 под числом — ? Естественно,
Z
геометрическое среднее этих чисел, т. е. д/2^4 =д/8=д/23.
А между 2 и \j~2? Ч Наверное,	=-\J2®~.
21 =2,00 24 ^2,38	22 ^ 2,83 24 ^ 3,35 22 = 4,00
Десятичные дроби нижней строки получены в результате
вычислений с точностью до второго знака после запятой
соответствующих корней и степеней. Теперь расстояния
между соседними числами стали меньше, и, продолжая
эту работу, мы сможем уменьшить их, скажем, до 0,01
т
Вспомнив определение
можем написать так:
1
5
4
3
2
7
4
2
5
3
7
162

Рис. 32
и даже еще меньше. Мы на правильном пути. Именно
этот путь привел в начале XVII в. швейцарского математика
И. Бюрги и шотландца Д. Непера к созданию таблиц
логарифмов, о которых вы узнаете в старших классах.
Вот куда ведут прогрессии — недаром само слово
progressio означает «движение вперед».
Прогрессиями, конечно, не исчерпывается все разнообра¬
зие числовых последовательностей. Их изучение представ¬
ляет большой интерес, это еще одна глава математического
анализа. Мы, естественно, сейчас не будем ею заниматься,
ограничившись лишь еще несколькими примерами.
Очень полезно — может пригодиться при решении
многих задач — знать формулу Sn= яП Для вычисле-
ния суммы п натуральных чисел и формулу S2n-\=n2
для вычисления суммы п последовательных нечетных
чисел. Обе эти последовательности есть частные случаи
арифметической прогрессии, поэтому формулы легко
выводятся (сделайте вывод сами) из формулы суммы членов
арифметической прогрессии.
Заметьте, что вторая формула имеет изящный геометри¬
ческий смысл. На рисунке 32 единицей обозначен первый
квадрат. Его как бы охватывают 3 таких же квадрата,
образуя вместе с первым новый квадрат, состоящий из
4 квадратов. Его, в свою очередь, как бы буквой Г охватывает
ровно 5 — следующее нечетное число — квадратов, полу¬
чается новый квадрат, состоящий уже из 9 квадратов, и т. д.
Красиво?
А с первой формулой связана одна из страниц биографии
К. Ф. Гаусса. Однажды на уроке в третьем классе, где
учился Гаусс, учитель дал задание сложить все числа
от 1 до 100. Маленький Гаусс сразу сообразил, что
6*
163

1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 и т.д. (в нашей
формуле написано л + 1), сообразил он и то, что таких
пар будет -^—-==50 (в формуле написано -—). Осталось
умножить 101*50, что мальчик сделал в уме. Короче
говоря, он закончил вычисления, едва только учитель
продиктовал задание. В этом проявились не только
находчивость и сообразительность будущего гения. Для
математика, для ученого вообще важно, получив задачу,
подумать — а нет ли иного метода решения, стоит ли
идти проторенным путем, не поискать ли свой, новый,
лучший, оригинальный?
Очень важна в математике еще одна последовательность,
которая не является ни арифметической, ни геометрической
прогрессией и которую вы, пожалуй, совсем не встречали.
Это последовательность квадратов чисел натурального ряда:
1, 2\ З2, 42, 52, 62, п2 ...
п-й член такой последовательности вычислить легко —
он по определению есть квадрат номера, тут все ясно.
А как найти сумму п членов? Этим вопросом интересовались
еще вавилонские мудрецы, но им не удалось получить
удобного правила для вычислений. Задачу успешно решил
Архимед. Его вывод соответствующей формулы приведен
в сочинении «О спиралях». Вы, конечно, знаете, что такое
спираль, но мы все же приведем определение, которое
дал Архимед:
ЕСЛИ КАКАЯ-НИБУДЬ ПРЯМАЯ В ПЛОСКОСТИ, РАВНОМЕРНО
ВРАЩАЯСЬ ВОКРУГ ОДНОГО СВОЕГО КОНЦА, УДЕРЖИВАЕМОГО
НЕПОДВИЖНЫМ, ВЕРНЕТСЯ ОПЯТЬ В ИСХОДНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ,
И ОДНОВРЕМЕННО ПО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ПРЯМОЙ ДВИЖЕТСЯ
РАВНОМЕРНО НЕКОТОРАЯ ТОЧКА, ВЫХОДЯ ИЗ НЕПОДВИЖНОГО
КОНЦА, ТО ЭТА ТОЧКА НА УПОМЯНУТОЙ ПЛОСКОСТИ ОПИШЕТ
СПИРАЛЬ.
Мы бы, наверное, вместо слова «прямая» сказали «луч»,
а вместо «конца прямой» — «начало луча», но все равно
ясно, что речь идет о фигуре, изображенной на рисунке 33.
Архимед обнаружил массу интереснейших свойств этой
фигуры, и для того, чтобы их доказать, ему и понадобилась
формула суммы квадратов чисел натурального ряда.
Первые доказательства любых теорем, как правило,
бывают довольно сложными, сложным было и доказатель¬
ство, приведенное Архимедом.
Мы изложим другое доказательство. Для него нам

Рис. 33
понадобятся формулы куба суммы двух чисел и суммы
л чисел натурального ряда. По первой из них:
23=а + 1)3 = 13 + 3-12-1+3-Ы2 + 13;
З3=(2 +1)3 = 23 + 3 • 22 • 1 + 3 • 2 • I2 +13;
43=(3 + 1)3 = 33 + 3-32 1+3 3-12 + 13;
(л + 1)3 = = л3 + 3 • л2 • 1 + 3 • л • I2 +13.
Сложим теперь эти равенства:
23 + З3 + 43 +...+(л +1)3 = I3 + 23 + З3 +... + л3 + 3(12 + 22+
-j- З2 “I-... -I- л2) -|- 3(1	2 “I- 3 -j-... -J- л) -|- л.
Теперь уничтожим справа и слева одинаковые сла¬
гаемые:
(л +1)3 = I3 + 3 • (12 + 22 + З2 +... + п2)+3(1 + 2 + 3 +... + л)+п.
Применяем вторую формулу:
(л + 1)3 = 1 + 3.(12 + 22 + 32 + ... + я2)+3	+ _|_п.
Отсюда:
3.(12 + 22 + 32 + ... + п2)=(л + 1)э-(п + 1)	»*»+.Ц. ;
3.(12 + 22 + 32 + ... + л2)=(л + 1)(л2 + 2л + 1-1
(л + 1) (2п2+п)
¥ + 2г + Ъг + ... + п' =
2 п(п + 1X2/1 + 1)
6
Формула получена!
Вас не смущает,
что сумма квадратов натуральных
165

1
/
/
1
4
1
16
К
1/32
1
8
1
2
Рис. 34 L 	    -	—
чисел выражается дробью? Ведь она должна быть целым
числом! Или можно доказать, что при любом натуральном
п выражение /l(yl + 1X2/t + 1) будет целым? Попробуйте! А
считать по этой формуле, конечно, легко. Сравните,
например, сколько времени займут у вас непосредственный
подсчет суммы 12 + 22 + 32 + ... + 192 + 202 и вычисления
по формуле 20 ^ 41 =10-7-41 = 2870.
В заключение вернемся еще раз к началу главы, к
делению 1 на 1 — х. Деля уголком, мы пришли к равенству
i_x = ^хх2	хп	1...
и заметили, что правая часть похожа на сумму членов
геометрической прогрессии с первым членом, равным 1,
и знаменателем, равным х. Мы написали «похожа на
геометрическую прогрессию», так как для геометрической
прогрессии указывается число членов, а здесь вместо этого
поставлено многоточие, означающее, что число членов
этой последовательности бесконечно. Так вот, рассмотрим
частный случай этой последовательности.
Пусть х = ^ > тогда
= 1 + "2“+-4-+-g"+••• + "2"+—
Справа — бесконечное число слагаемых, но в то же время
слева просто 2. Можно ли считать, что эта сумма точно
равна двум? Представьте — можно, это строго доказывается
в курсе математического анализа. А для понимания сути
дела очень полезен рисунок 34. На нем видны все члены
этой бесконечной последовательности!
166

Поиск коэффициентов
Существует еще немало интересных преобразований
рациональных выражений, но мы остановимся лишь на
одном из них, очень важном.
Сначала заметим, что если знаменатель дроби есть
линейный двучлен, т. е. выражение вида ajc + Ь, то такая
дробь всегда может быть представлена в виде суммы
многочлена и дроби, в числитель которой х не входит.
Убедимся в этом на двух примерах:
х + 2	1	х + 2 ’
Стоит обратить внимание на второй пример с точки
зрения удобства вычислений. Если вам понадобится,
придется делить 2,993 на 1,993. Но если дробь преобразовать
так, как мы это сделали, то вместо деления надо будет
к единице прибавить число, обратное 1,993, которое можно
найти по таблицам обратных величин (см. табл. II из
«Четырехзначных математических таблиц» В. М. Брадиса).
Там вы найдете, что 1	=0,5017.
Если знаменатель дроби является квадратным трех¬
членом, то возможны три случая, и все они определяются
знаком квадратного трехчлена (D< 0, D> 0, D = 0).
Если дискриминант квадратного трехчлена отрицателен,
то любая дробь, имеющая знаменателем такой трехчлен,
может быть представлена в виде суммы многочлена и
дроби, числитель которой окажется линейным двучленом.
Например:
4х2 + 5ж + 7	2х — 1
4х2 — 2х  2х + 3,5
_7х + 7
7х — 3,5
10,5
2)	х+г г 1_
например, найти значение дроби	при	х	=—0,007, то
X “j-
х3 + 2х2 — 5х + 7
х2 —х + 2
— ЛГЧ-3-|-—7
х2 — х + 2
— 4х+ 1
167

Здесь D = 1 — 8 = — 7<0 и _х* + 2х2 — 5х + 7
х3 — х2 + 2х
Ъх* — 7х + 7
х2 — х + 2
х + З
Зл;2 —Зл; + 6
— 4 л: 4-1
Пусть теперь квадратный трехчлен имеет положительный
дискриминант. Будем делить числитель на знаменатель,
как и в предыдущем случае, в остатке окажется линейный
двучлен, он и будет числителем, в знаменателе — тот же
самый квадратный трехчлен. Но, в отличие от предыду¬
щего случая, знаменатель может быть разложен на мно¬
жители, например так:
2x-\-l	2х	+	1
х — 5х 6	(х — 2)(х — 3)
А теперь — внимание! Откуда могла появиться дробь,
знаменатель которой есть произведение? Приведем пример
из арифметики:
5	5	1,1	3.2	5	*
■=-5-5—|- -х—— "н-• Мьч как бы восстановили
6	2-3	2	1	3	2-3	1 3-2	6
исходные данные по результату. Нельзя ли так же
поступить и в алгебре, т. е. не является ли наша дробь
суммой двух дробей, знаменатели которых есть линейные
двучлены, а числители уже от х не зависят, как это было
сказано в начале главы? Иначе говоря, не справедливо
ли тождество
2д:-|-1	а	Ъ	0
(х—2)(х —3)	х — 2	1	х — 3
Если бы мы сумели найти оба эти пока неопределенные
коэффициенты а и Ь, то получили бы очень интересный
результат — мы бы «разложили дробь на сумму простей¬
ших дробей». Итак, надо найти эти коэффициенты.
Преобразуем правую часть доказываемого тождества:
а	Ъ	_	ах	— За-f Ъх — 2Ъ   (а + Ь)-х + ( — За — 2Ъ)
х—2 1 х — 3	{х — 2){х— 3)	(х	—	2)	♦	(х — 3)
Знаменатели левой и правой частей доказываемого тожде¬
ства равны, значит, для того чтобы были равны дроби,
надо, чтобы и числители были равны, т. е.
2л:+ 1 =(а + Ь)х + ( — За — 26).
В последнем равенстве слева многочлен и справа много¬
168

член. Они должны быть равны, значит, должны быть
равны коэффициенты при равных степенях х:
(а-{-Ь = 2;
\ —За — 2Ь = 1.
Решив эту систему, найдем: а =—5, Ь — 7, значит,
2х+1	-5	,	7
х2 — 5х — 6	х—2	х —3
Проверим:
-5	7	_	-5х4-15-Ь7х—14 _ 2х + 1
х —2	х —3	(х	—2Хх—3)	х2 — 5х—6
Остается рассмотреть случай, когда квадратный трех¬
член имеет дискриминант, равный нулю, В этом случае,
как вы знаете, трехчлен может быть представлен в виде
квадрата двучлена, например:
Зх —4	_	Зх—4
х2 4-2x4-1	(х4-1)й	*
Подумаем: откуда может получиться дробь, знаменатель
которой есть квадрат двучлена? Конечно, от сложения
двух дробей, одна из которых имеет знаменателем именно
этот самый квадрат двучлена, а вторая — первую степень
этого же двучлена, а числителями должны быть просто
числа (по-другому — числители не должны зависеть от х).
Иначе говоря, должно быть так:
Зх —4	  а , b
(* +1)2	—	JxTW	*4-1 #
Поступим как и прежде, получится такое равенство:
Зх — А—а-\-Ъх-\-Ь
и такая система уравнений:
<Ь = 3,
[а-{~Ь= —4,
Отсюда следует, что а=—7, Ъ = 3 и
Зх —4	_	-7	3
(* + 1)2	(* + 1)2	*4-1
Выполним проверку:
-7	3	-74-3x4-3	Зх	—4
(*+1)2 * + 1 “ (*+1)2 ~ (* + 1)2 ‘
169

Конечно, рассмотрев более сложные знаменатели, можно
развить этот способ дальше. Мы этого делать не будем,
заметим только, что называется он методом неопределенных
коэффициентов, а идея его принадлежит Рене Декарту.
Подробно этот метод изучается в курсе высшей алгебры;
вы, наверное, догадались, что он имеет большое практиче¬
ское значение. Ведь благодаря ему удается преобразовывать
громоздкие выражения в простые, удобные для дальнейших
преобразований и вычислений.
Попробуйте испытать свои силы в применении этого
метода и представить в виде суммы дробей такие, например,
рациональные выражения:
70. .	*	...	71.	-5±4.	72.
х2 + 11ж + 30	(Ь	—	xf	х(х— 1) (х2 +1)"
Коротко о радикалах
О тождественных преобразованиях радикалов в школьном
учебнике сказано немного и это, конечно, правильно.
Если вы по-настоящему набили руку на преобразованиях
дробей, хорошо знаете приемы преобразования рациональ¬
ных выражений, усвоили определение понятия корня и
тождество yja? = | а |, то все остальное не представит для
вас особых трудностей.
Напомним — без доказательств это «все остальное».
1. Если а>0, Ь>0, с>0, то
~\la -b-с = \la-yjb -у/с.
Например: ^81-625 =^/81-^/625=3-5= 15.
П f~0L—
2. Если а>О, Ь>0, то -у ^ =-^—ш
*	yb
Например: -{[”	-	^	-	3
125	V125	»
3. Если а>0, Ь>0, то д/о"-&=ал/^*
Например: -\j64*У =4дс2у^[у; — -$Jyr	—	.
У	У
4. Если а>0, то (л[а)т = л[ат
Например: (yj2x3f=yJS2xib.
е т/ п1— тп I—
о. yjya= -у а.
Например: у/а2~\[а*
170

Утверждения 1—5 называются теоремами об извлечении
корня из произведения, дроби, о вынесении множителей
из-под знака корня и внесении их под знак корня, о возве¬
дении корня в степень и об извлечении корня из корня.
73.	-U/IOOtoV + 2.x'2. Yf - 12ах2\!	.
Кроме перечисленных теорем, при преобразованиях
радикалов применяются некоторые специальные приемы,
тоже вытекающие из этих теорем, но требующие некоторого
навыка. С двумя из них мы вас сейчас познакомим.
Первый называется уничтожением иррациональности в
знаменателе дроби. Дело в том, что если в знаменателе
дроби имеется корень или несколько корней, то обращаться
с такой дробью не совсем удобно.
Вычислите, например, значение дроби —в десятичных
V2
дробях с точностью до четвертого знака после запятой.
Единицу на 1,4142 делить придется, наверное, уголком,
во всяком случае, в уме не сосчитаешь. А теперь сделаем
так. Умножим числитель и знаменатель дроби на -\/2»
V2
получится -=	= -41— = 0,7071; все подсчитано
л/2 • V2	2	2
в уме. Правда, во втором случае потребовалось чуть
побольше сообразительности, но это же хорошо! Тем
более потребуется сообразительность в более сложных
случаях. Но смысл работы всегда один — надо суметь
подобрать такой множитель, чтобы его произведение на
знаменатель не содержало корней. Рассмотрим несколько
примеров.
Итак, требуется уничтожить иррациональность в знаме¬
нателях дробей:
*±У — l*-+ yUx^V
л}х~у	х-у
умножили числитель и знаменатель
на мх — у ;
ft =	_ °-2У^+±-для преобразова-
Vo + V& (Va + \!b) (Va — Vb)	a	—	b
ния использована формула сокращенного умножения;
1 — а 	 (1	— a) • д/1 — \fa 	 (1	— Vq)(1 -t-Vo)* У* ~Уо
\j\ — Va	1	—	Va	X — Va
= (l+V^)eVl—Va —мы заметили, что 1—a можно раз¬
ложить на множители и выполнить после этого сокращение,
так удалось избавиться не только от иррациональности
171

в знаменателе, но и от самого знаменателя;
1 + 3V2 — 2л/3 _ (1 + Зу2 — 2 V3X л/2 — л/3) _
V2 + V3 + V6 2 - 3 + V_6(V2 - V5)
_ (1 + 8^-2^Хл^-УЗ) - /3 /о
. — 1 + 2уЗ —ЗД2
— получилось удачно, потому что числитель содержал
множитель, отличавшийся от знаменателя только знаком.
Второе интересное преобразование радикалов называет¬
ся формулой сложного радикала.
Сначала докажем такое тождество:
_	/	1 I
= у g+Va’-»	.
Доказать его легко — возведите в квадрат обе части
(это можно делать, так как мы рассматриваем сейчас
только арифметический корень, значит, и левая и правая
части тождества есть положительные числа), воспользуйтесь
при этом формулой квадрата суммы (разности) двух
чисел и формулой разности квадратов. Вот и все.
А теперь заметим, что если выражение а2 — b пред¬
ставляет собой полный квадрат, то во многих случаях
доказанное тождество (его-то и называют формулой
сложного радикала) позволяет существенно облегчить
вычисления и преобразования. Вот несколько примеров.
д/2 +д/3 . Заметим, что 22 — 3 = 1 = I2 есть полный
квадрат. Значит,
д/2 ГД^_ д/Г2+Г 1 VS=T_-W	1	_	V6+V2
Если у вас из вспомогательных средств вычислений
есть только таблицы квадратных корней, то ответом
пользоваться гораздо легче, чем исходным выражением.
Это преобразование может оказаться удобным и при
использовании некоторых видов микрокалькуляторов.
Иногда формула сложного радикала может оказаться
полезной, хотя а2 — b не есть полный квадрат. Например:
-д/^д/б — 2д/15. Здесь д/о2 —Ь =д/80^-60 = д/20~ = 2д/5, и
теперь д/4 V5 -^15 = д/4 ^ ■+ 2V5 - д/.^~2У5 =
= V^V5 —VV§ =-^45 —v&
172

Насколько это выражение изящнее исходного! Да и вы¬
числить цроще.
Еще один пример:
д/2:*:2 — 2л!х* — у4 .
Здесь л/а2 — b = л14х4 — 4х* + 4z/4 — 2г/2 и д/ 2Х2 — 2д/х4 — у -
/ 2jc2 + 2^2	^	I	2х~	—	2yJ	,	-z	,	^	,	z	^
= V  2 Л' 	2	=М'Х	+У	—^JX	—у\
*2 '  .2
Попробуйте сами упростить следующие выражения:
74. Л/4-у7.
75. -узУ7+2У14.
76. ~^а-\-Ь— 2л[аЬ.
А теперь выполните еще четыре упражнения на
преобразования радикалов:
77-(viTT+^Hw+1)-
78.5ar\ja^Ja-\ja — 2д/а3 4д/ат+ 3
4а
Ur
Уг V-Vt
«• Ут(т+т)+*У* ■ Vt(t + 7)-*Vt-
80.	2 +УЗ	2~УЗ
Л/2 + у2+уз ~г уг—у/г-Уз ■
Умение преобразовывать радикалы полезно и необходимо
при решении еще одного класса задач, с которым мы
сейчас познакомимся.
Заканчивая размышления об уравнениях, мы заметили,
что при изучении практически любого раздела математики
мы встречаемся со все новыми и новыми видами уравнений.
Нетрудно составить уравнение, в котором неизвестное
находится под знаком корня. Например:
д/ 5	~\1х	—	4	=	3.
Чем оно отличается от ранее изученных? «Мешает»
радикал. Идея решения таких уравнений — их называют
иррациональными — как раз и заключается в том, чтобы
избавиться от этой помехи. Иногда при этом приходится
173

проявлять немалую изобретательность, иногда решение
оказывается простым, как, например, в приведенном
примере.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
5 + д/х — 4 — 9;
л/х~— 4 — 4.
От одного корня избавились, теперь применим тот же
прием, чтобы избавиться от второго:
х — 4 = 16;
х = 20.
Нетрудно проверить, что у 5+д/20 — 4	действительно
равняется трем, т. е. уравнение решено верно.
Второй пример. Решить уравнение
х + д/16 + х2 =8.
Если снова, как и в предыдущем примере, возвести обе
части уравнения в квадрат, то получится
х2 + 2хд/16 + х2 + 16 + х2 = 64,
и мы не только не избавились от корня, но еще и усложнили
уравнение. Но если перенести х вправо, то корень останется
«уединенным» (этот прием так и называется — уединение
корня):
д/16 + х2 =8 — х,
16 + х2 = 64-16х + х2,
откуда
х = 3.
Проверьте — корень найден верно.
Решим более сложное уравнение:
х2 + 5х + 4 = 5д/х2 + 5х + 28 .
Здесь радикал уже уединен, но если возвести в квадрат
обе части уравнения, то получится уравнение четвертой
степени. Его, конечно, тоже можно решить, но... Однако
сделав подстановку
X' ■+ 5х + 4 = 2,
получим:
г = 5д/г + 24 ,
22 = 25z + 600.
174

Решив это квадратное уравнение, найдем 2\ = —15,
22=4:0.
Теперь получаем два квадратных уравнения относи¬
тельно х:
#2 + 5# + 4 = —15 и дГ + 5# + 4 = 40.
Дискриминант первого отрицателен, значит, корней оно не
имеет. Найдем корни второго, они равны — 9 и 4. Оба
корня (проверьте!) удовлетворяют исходному уравнению.
Метод подстановки применяется в решении иррацио¬
нальных уравнений довольно часто, применяются и другие
искусственные приемы, это как раз и составляет и трудность,
и прелесть их решения.
Есть в решении иррациональных уравнений еще одна
особенность. Решим, например, такое уравнение:
х — 1	,	1	—	VX
TTvi “4——•
Умножим обе части уравнения на 2(1 +
2х — 2 = 8 + х — 1 + х\
}	#	—	9	= 8+*;
#2 —18#+ 81 =64#;
х2 — 82* + 81 = 0,
откуда Х| — 1 и #2 = 81.
Все сделано правильно, но если вместо х подставить
в исходное уравнение значение первого корня квадратного
уравнения, то тождества не получится. Число 81—корень,
а число 1—не корень, или, как принято говорить,
посторонний корень. Откуда же он появился? Объясняется
это тем, что при возведении в квадрат обеих частей уравнения
может быть нарушена равносильность. Иначе говоря,
может оказаться, что корни данного уравнения будут
корнями преобразованного уравнения, но корни нового,
преобразованного уравнения уже не будут корнями данного
уравнения. Например, в нашем случае уравнение х — 9 = 8у#
не может иметь корнем число 1, так как 1 — 9=—8 отри¬
цательное число, a 8i/l=8—положительное число. А при
возведении в квадрат эта «отрицательность» исчезла и
новое уравнение х2 — 82#+ 81=0 действительно имеет два
корня.
Мы подходим здесь к совершенно новым страницам
алгебры, да и не только алгебры. О равносильности говорит¬
ся в математической логике — науке, изучающей математи-
175

ческие доказательства, говорится о ней и в более общих
разделах науки. Мы не будем здесь обсуждать вопросы
теории равносильности, заметим только, что возможность
появления посторонних корней обязывает нас быть при
решении иррациональных уравнений очень внимательными
и, в известном смысле, бдительными.
Впрочем, если бы в нашем примере сразу сообразить,
что х — 1 = (1+v*xV*—!). и сократить дробь слева, то
сразу получится 2-д/х — 2 = 8 — 1+ -д/х, откуда д/х = 9 и х = 81.
И никаких посторонних корней и прочих сложностей!
С учетом всего сказанного решите самостоятельно следую¬
щие иррациональные уравнения:
81 • д/1 + хд/х^ + 12 = 1 + х.
82. ^ 2
jc д/4 — дг	х	—
83.	х2 + д/х2—9 =21.
Вновь в Азию и Египет
Обратимся теперь к четвертому киту школьной алгебры —
учению о функции. Само слово «функция» происходит
от латинского functio — исполнение, осуществление. В мате¬
матике оно впервые употреблено лишь в XVII в. Г. В. Лейб¬
ницем, т. е. сравнительно недавно, но сами функции и
способы их задания фактически изучались людьми очень
давно — можно сказать, почти так же давно, как числа
и уравнения.
Знаменитый древнегреческий историк Геродот (между
490 и 480— ок. 425 до н. э.) писал, что египетские цари,
разделив землю между египтянами, брали с каждого из
них ежегодный налог, пропорциональный площади зани¬
маемого участка. Конечно, ни египетские цари, ни земле¬
владельцы, ни сам Геродот не произносили слова «функция»,
но ведь речь идет о том, что каждому значению площади
соответствовало некоторое значение налога.
Вы можете привести десятки подобных примеров и
вместе с нами сказать, что хотя в древности функций еще
не знали, но явления, которые мы сегодня описываем
с их помощью, давно известны людям.
Очень важный шаг был сделан в Древнем Вавилоне.
Вавилонские мудрецы составили таблицы значений выра¬
жений 10х, — , х2, Ух, х3, Ух, х2 + х3 и некоторые другие.
ОС
176

Конечно, это еще не были таблицы значений функций
в нашем понимании, но все же и здесь каждому значению
х в этих таблицах отвечало единственное число.
Позднее, в связи с развитием астрономии, древнегрече¬
ским ученым Гиппарху (ок. 180—190—125 до н. э.) и
Клавдию Птолемею (ок. 90—ок. 160) потребовалось со¬
здать вычислительные таблицы, похожие на наши таблицы
синусов. В знаменитом сочинении Птолемея « Альмагест»
(той самой книге, где изложена геоцентрическая система
мира, т. е. та система, по которой в центре Вселенной
помещается не Солнце, а Земля) приведены таблицы хорд
для углов от 0° до 180° через каждые полградуса (принято
говорить «с шагом в полградуса»). В таблицах Птолемея
каждому значению угла соответствует единственное значе¬
ние хорды, иначе говоря, в них тоже описана некоторая
функция.
Ученые стран ислама тоже основательно занимались
астрономией (правда, нужна она им была не столько для
научных целей, не столько для самой астрономии, физики,
географии и т. д., сколько для целей астрологии — «науки»,
якобы позволяющей по положению небесных тел пред¬
сказывать судьбы людей). Естественно, они тоже занимались
составлением вычислительных таблиц, в частности уточне¬
нием и совершенствованием таблицы Гиппарха — Птолемея.
Особенно успешно в этом направлении работали средне¬
азиатские мыслители Абу Рейхан Бируни (973—
ок. 1050) и Мухаммед Тарагай Улугбек (1394—
1449).
В те годы и был тщательно разработан замечательный
прием вычислений, в основе своей известный еще Птолемею.
Называется он линейной интерполяцией. Почему линейной—
сейчас станет понятно, а «интерполяция»—от латинского
interpolatio — изменение, переделка. В школе этот прием
почти не рассматривается — не хватает времени. А он
очень любопытен. Мы рассмотрим его не для тригонометри¬
ческих таблиц, а для более простых, например для таблиц
квадратов.
Возьмите таблицы В. М. Брадиса. Найдите на с. 32
строку, соответствующую числу 2,3. Начинается она с числа
5,290= 2,32. В соседнем столбце записано 2,312 = 5,336,
затем 2,322 = 5,382 и так далее до 2,392 = 5,712. Но как
быть, если исходное число имеет не три, а четыре цифры?
Составлять новые таблицы?
Нет! Оказывается, внимательно рассматривая получен-
177

ные результаты, можно обнаружить неожиданный факт.
Пусть рассмотренные нами десять пар чисел и их квадратов
есть координаты десяти точек графика функции у = х2. Вы,
конечно, не забыли, что эти точки принадлежат параболе?
Итак, имеем такую таблицу (табл. 12).
Таблица 12
КООРДИНАТЫ ДЕСЯТИ ТОЧЕК ПАРАБОЛЫ
Точки
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
X
2,30
2,31
2,32
2,33
2,34
2,35
2,36
2,37
2,38
2,39
2
у = хг
5,290
5,336
5,382
5,429
5,476
5,523
5,570
5,617
5,664
5,712
ЮООДу
46 46 47 47 47 47 47 47 48
Откуда получена и что означает четвертая строка
этой таблицы, объясним позднее.
Отметим теперь эти десять точек на координатной
плоскости, выбрав достаточно крупный масштаб. А для
того чтобы точки уместились на нашем рисунке, проведем
луч АС, параллельный оси х и отстоящий от нее на 5,290,
и луч AD, параллельный оси у и отстоящий от нее на 2,30
(рис. 35). Сделав все это, увидим, что точки (рис. 36) лежат
почти на прямой линии (вот откуда слово «линейная» в
названии приема, о котором сейчас пойдет речь). И дело
не только в наглядных представлениях. Вычислим разности
Рис. 35
178

(по-латыни differentia) между соседними значениями
квадратов чисел, они-то и составляют четвертую строку
нашей таблицы, только для того, чтобы не писать десятичных
дробей, мы все эти разности умножили на 1000. Нетрудно
заметить, что все эти разности почти одинаковы.
Иначе говоря, одинаковым изменениям аргумента (у нас
изменения аргумента есть шаг таблицы, т. е. 0,01) соответ¬
ствуют почти одинаковые изменения функции (у нас при¬
мерно 0,047). Если бы не слово «почти», то была бы не почти,
а точно прямая, была бы не квадратичная, а линейная функ¬
ция, не парабола, а прямая. Что же это нам дает для
вычислений?
Если считать, что АВ есть отрезок прямой, то ABC —
прямоугольный треугольник. Прямоугольными оказываются
и маленькие треугольники с катетами, равными шагу
таблицы (принято эти разности обозначать греческой буквой
«дельта» и писать Дх) и изменению функции (естественно,
что эти катеты обозначаются Ду). Все эти треугольники
«почти» подобны и отношения катетов в них будут равны
Ду 0,047
д^ о 010 =4,7. Это означает, что некоторому (конечно,
небольшому) изменению аргумента будет соответствовать
большее в 4,7 раза изменение функции. Если, например,
аргумент изменится на 0,001, то функция изменится на
4,7 *0,001 =0,0047^0,005, если на 0,002, то на 4,7*0,002 =
= 0,094^0,09 и так далее. В результате получится такая
Рис. 36
179

табличка (табл. 13) (мы не будем писать в ней десятичных
дробей, для чего и напишем не Дх, а ЮООДл:, и не Ду, а
ЮООДу):
Таблица 13
ИЗМЕНЕНИЯ АРГУМЕНТА И ФУНКЦИИ у
В ПРОМЕЖУТКЕ ОТ 2,302 ДО 2,39г
= х
ЮООДх
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ЮООДу
5
9
14
19
23
28
33
38
42
А теперь еще раз посмотрите на строку 2,3 таблицы
В.	М. Брадиса. В ней приведены «готовые поправки»,
их мы и вычислили самостоятельно. С их помощью можно,
имея таблицу с шагом в 0,01, пользоваться ею как таблицей
с шагом в 0,001. Если, например, вам надо вычислить
2,3482, то, хотя в таблице есть только значение 2,342 = 5,476,
вам не придется искать другие, более точные таблицы
или умножать 2,348*2,348 столбиком. Вы просто прибав¬
ляете к имеющемуся результату готовую поправку:
5,476 + 0,038 = 5,514. Какая колоссальная экономия времени
и сил! Вот это и есть линейная интерполяция.
Мало того. Размышления о том, что для очень многих
кривых при небольших изменениях аргумента (дифферен-
циях) изменения функции (дифференции функции) проис¬
ходят линейно, а график функции очень мало отличается
от отрезка прямой, привели ученых XVII в. к совершенно
новым идеям, от которых оставался всего один шаг до
разработки так называемого дифференциального исчисле¬
ния. Вам предстоит сделать этот шаг в старших классах.
«.	н	грекам»
Как мы видели, приемы составления и применения
таблиц функций, включая и такие отроумные, как линейная
интерполяция, были известны давно. А графики функций?
Мысль о графическом изображении связей между
величинами возникла еще у ученых Александрийской
школы. И нам стоит задуматься вот над чем. О каком бы
разделе науки мы ни говорили, обязательно его истоки
лежат в Афинах, в Александрии, в других древнегреческих
городах. Фридрих Энгельс писал: «...теоретическое естество-
180

знание, если оно хочет проследить историю возникновения
и развития своих теперешних общих положений, вынуждено
возвращаться к грекам» (Маркс К., Энгельс Ф. Соч.—
2-е изд.— Т. 20.— С. 369).
Возвратимся к ним и мы. Правда, начнем издалека.
Вспомним вавилонский способ извлечения квадратного
корня. Мы рассматривали его (см. с. 114) на примере
9	о
решения квадратного уравнения х =2 или х=-^~. Грекам
удобнее было представлять себе это уравнение в виде
у	О
пропорции — = —. Получалось, что между числами 1 и 2
«вставлялось» их среднее пропорциональное. Эта пропорция
имеет простой наглядный смысл.
Пусть (рис. 37) ABCD — квадрат со стороной, равной,
например, 1 м. Его площадь равна 1м2. Требуется построить
квадрат, площадь которого в два раза больше площади
данного квадрата. Ясно, что сторона такого квадрата
должна быть равна д/2 м, т. е. искомый квадрат надо
строить на диагонали данного. Таким искомым квадратом
будет квадрат ACEF. Из подобия треугольников ACD и
АЕС следует	или — =—. Все очень просто и
понятно, задачу можно решить с помощью циркуля и
линейки.
А дальше — легенда. На острове Делос (в Эгейском море)
была страшная чума. И тогда бог возвестил людям: чтобы
избавиться от чумы, они должны построить жертвенник,
вдвое больший старого. Строители не смогли этого сделать.
Дело в том, что жертвенник имел форму куба, и чтобы
удвоить его объем, надо было — вы это легко подсчитаете —
сначала построить ребро нового куба, равное д/2. А эта
задача никак не решалась при помощи одних только
Рис. 37
181

циркуля и линейки. Тогда строители обратились к великому
философу Платону, но тот ответил, что бог дал им это
предсказание не потому, что ему нужен вдвое больший
жертвенник, а что он возвестил это в укор грекам, которые
не думают о математике и не дорожат геометрией.
Конечно, греки думали о математике и дорожили
геометрией, да и сама задача «об удвоении куба» возникла
задолго до Платона, а легенда появилась позднее именно
потому, что задачу, действительно, не удавалось решить
с помощью циркуля и линейки. Лишь в XIX в. было дока¬
зано, что этими средствами решить ее невозможно. А тогда,
в V в. до н. э., Гиппократ Хиосский заметил, что как для
удвоения квадрата надо между 1 и 2 вставить среднее
1 х
пропорциональное, т. е. составить пропорцию —=—, так
и для удвоения куба надо вставить между числами 1 и 2
средние пропорциональные, но уже не одно, а два, т. е.
составить пропорцию
_1 х_  у_
X	у ~ 2 •
Так ли это? Найдем из этой пропорции х. Во-первых,
из	получим	х2=у. Во-вторых, из — = получим
у2 m
Jt =	.	Теперь вместо у подставим во второе уравнение
х3	^	-
jc2, получим х=—9 т. е. 1	следовательно,	х=д/2, т. е.

Рис. 38
рассуждения Гиппократа были правильными. Только
построение-то все равно не получается, одна задача свелась
1 х и
к другой. Но из записи —= —= -—следуют интереснейшие
X
выводы. Сформулируем их на современном языке.
Итак, х2 = у или, привычнее, у = х2. Вы знаете, что это
квадратичная функция, ее график — парабола. Далее,
2 х = у2 или, привычнее, У=л12х\ это арифметический
корень, графиком этой функции тоже служит ветвь пара¬
болы, только по-иному расположенная. И еще. Из рассмат¬
риваемой пропорции также следует — =-|- или ху = 2,
X	Z
привычнее записать	А это обратная пропорциональ¬
ность, графиком ее служит гипербола, это вы тоже знаете.
Значит, найдя точку пересечения этих кривых, мы найдем
ее координаты х и у, найдем средние пропорциональные —
две «вставки», извлечем корень третьей степени из двух, фак¬
тически его не извлекая! И задача об удвоении куба будет на¬
ми решена, только совсем не таким путем, который требо¬
вался.
За работу! Строим все три графика (рис. 38), получаем
искомую точку. С точностью до 0,01 получится (это уж вы
нам поверьте — ведь даже и такой точности с помощью
графика получить не удастся): jc = 1,26; jc2 = 1,59; —= 1,59;
X
д,2х = 1,59. Проверьте, действительно можно считать, что
1 _ 1,26	1,59
1,26	1,59	2	■
А если вы заглянете в таблицы,
31
то увидите, что д/2 = 1,26.
Но так получилось у нас, людей знающих, что такое
функция, умеющих строить графики, в том числе и графики
183

с
Рис. 39
функций у=— гиперболу, у = х2 — параболу. Кстати,
X
с параболой впервые вы встретились в алгебре именно
при изучении функций. Позднее эта кривая понадобилась
в физике, когда вы изучали полет тела, брошенного под
углом к горизонту. Еще первобытные люди бросали камни,
видели, как они летят, видели параболу, значит, этой кривой
должны были заинтересоваться в глубокой древности.
Видимо, существует способ построения параболы без всяких
иксов и игреков, без формул, без уравнений, способ чисто
геометрический.
Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треуголь¬
ник ABC (рис. 39). Будем вращать его вокруг высоты CD.
Получится фигура, изображенная на рисунке 40. Вы,
наверное, знаете, что эта фигура называется конусом
(по-гречески—«сосновая шишка»). В основании конуса
лежит круг, в нашем примере — круг с центром в точке
D и диаметром АВ.
Возьмем теперь на катете СВ точку О так, чтобы
СО=-i- см (можно, конечно, взять и любую единицу длины,
Рис. 40
184

в
Рис. 41
важно только, чтобы во всех измерениях она была одной
и той же). Проведем через эту точку перпендикуляр к
СВ — он пересечет диаметр АВ (гипотенузу треугольника
ABC) в точке, которую обозначим буквой Е. Через эту же
точку О проведем отрезок 00\ параллельный диаметру.
Заметим сразу, что 00'=^Ф—это следует из теоремы
Пифагора и из того, что СО=-^-.
Все это было подготовительной работой, а сейчас —
главное. Рассмотрим отдельно основание конуса (рис. 41).
Проведем через точку Е диаметра АВ перпендикуляр
к нему. Точки его пересечения с окружностью обозначим
буквами F и G. Из учебника геометрии вы знаете, что
квадрат высоты прямоугольного треугольника, опущенной
из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное
между проекциями катетов на гипотенузу. Так как д ABF
прямоугольный (ответьте почему), то к нему применима
эта теорема, и мы можем записать:
EF2=AEBE.
Из параллелограмма АЕОО' видно, что АЕ=00' =^-.
Кроме того, BE=OE*^j2 (почему?). Следовательно, мы
можем написать:
EF2=^-OE^j2=OE
185

Рис. 42 I
А теперь самое главное! Через точку О и отрезок FG
проведем плоскость. Какая фигура образовалась в сечении?
Секущая плоскость вместе с этой фигурой изображена
у нас на рисунке 42 (для удобства дальнейших рассужде¬
ний мы повернули ее точкой О вниз, суть дела от этого,
конечно, не меняется). Какой кривой ограничено сечение?
Проведем через О прямую, параллельную хорде FG,
назовем эту прямую осью абсцисс, продолжим отрезок ОБ,
назовем получившийся луч осью ординат. В соответствии
с этим переименуем отрезки, назовем EF абсциссой и обо¬
значим буквой х9 ОЕ назовем ординатой и обозначим
буквой у. Остается вместо ББ2 = ОБ написать х2 = у или,
привычнее, у = х2. Правда, можно возразить, что в послед¬
ней записи х и у — переменные, а в наших рассуждениях
ОБ и EF — длины конкретных отрезков. Но ведь можно
было взять равнобедренный прямоугольный треугольник
с любыми длинами катетов, ход и результаты рассуждений
от этого не изменятся. Значит, получившаяся в сечении
конуса кривая и изучаемая в шестом классе парабола есть
одно и то же. Вот так, наверное, и была впервые в истории
человечества получена ныне известная любому шести¬
класснику парабола.
Строя ее, мы провели (рис. 39) ОБ перпендикулярно
катету прямоугольного треугольника. А что получится, если
треугольник будет остроугольным (тоже равнобедренным)
или тупоугольным? ОБ в этом случае пусть тоже будет
186

перпендикулярно боковой стороне. Нетрудно видеть (рис. 43),
что если угол острый, то в сечении поверхности конуса
образуется замкнутая фигура. Можно доказать, что это —
эллипс. Если же треугольник тупоугольный, то в сечении
получится гипербола. Оказывается, все эти три фигуры —
«родственницы», естественно все три называть коническими
сечениями.
Еще раз подчеркнем, что сечения конуса можно про¬
вести, вовсе ничего не зная ни об алгебре, ни о функциях,
ни даже о буквенной символике. Именно так и сделал
в IV в. до н. э. Me не хм, размышляя над удвоением куба
и «вставками» Гиппократа.
У вас может возникнуть еще одно возражение: в алгебре
гипербола имеет две ветви, а у Менехма — одну. Но это
расхождение легко устранить — стоит только вместо «школь¬
ного» конуса рассмотреть коническую поверхность, пред¬
ставление о которой дает рисунок 44.
Теперь обратимся к рисунку 45. На нем изображена
парабола у = х2. Через произвольную точку А оси ординат
проведем к этой оси перпендикуляр до пересечения с
параболой в точке В. Отрезок АВ естественно назвать
Рис. 43
Рис. 44
187

Рис. 45
«полухордой параболы». Построим на ней квадрат ABCD.
Нетрудно доказать, что площадь этого квадрата равна
площади прямоугольника, одна сторона которого есть
отрезок АО, а другая равна единице масштаба (тут ведь
и доказывать нечего, просто вместо буквенной записи тот же
факт сформулирован на языке равенства площадей
фигур — языке, более близком древним грекам). Иначе
говоря, с помощью параболы можно построить квадрат,
равновеликий данному прямоугольнику, и наоборот, имея
квадрат данной площади, можно построить прямоугольник
с заданным основанием, равновеликий данному квадрату.
Превращение квадрата в равновеликий прямоугольник с
данным основанием называлось в греческой геометрии
«приложением» квадрата к данному основанию. По-гречески
слово «приложение» — «парабола», вот откуда произошло
название этой кривой.
Конечно, вычисляя площади, сегодня никто не пользуется
этим свойством. Но, во-первых, это интересно, а во-вторых,
такое рассуждение равносильно установлению связи —
пусть пока не в виде таблицы или формулы, а риторически,
словесно — между одной величиной (площадью квадрата)
и другой (площадью прямоугольника) при помощи кривой
линии, при помощи некоторого графика! Подобные правила
соответствия между величинами, подобные числовые
характеристики грекам удалось установить для очень
многих кривых, конечно, для каждой — свои. Особенно
успешно работал в этом направлении один из крупнейших
188

математиков античности Аполлоний Пергский
(ок. 260—ок. 170 до и. э.). От его книги «Конические
сечения» до создания метода координат и графического
задания функций оставался один шаг. Шаг этот растянулся
на 1800 лет...
пункт в математике
Значение творчества Аполлония, плодотворность его
идей, по-видимому, понимали еще некоторые ученые раннего
средневековья. Но по-настоящему их развили лишь Пьер
Ферма, Рене Декарт и их последователи.
Мы уже говорили о «Геометрии» Декарта. Читать
эту книгу, вышедшую в XVII в., сегодня трудновато, но
еще одну цитату из нее мы все же приведем, слегка пере¬
ложив ее на более современный язык и заменив некоторые
обозначения на более привычные.
Итак, имеется кривая DC (рис. 46). «Я выбираю некото¬
рую прямую, например Х'Х9 чтобы к различным ее точкам
отнести все точки этой кривой, и выбираю на ней точку,
допустим, О, чтобы начать с нее вычисления. Я говорю,
что выбираю и ту и другую, потому что их можно брать
произвольным образом. Выбрав затем на кривой произволь¬
ную точку, например С, я провожу из нее прямую СВ,
параллельную OD, и так как СВ и ВО суть две неизвестные
величины, я называю одну из них у, а другую дг».
Затем Декарт ищет связь между х и у в виде уравнения.
Обратите внимание, что Декарт говорит о «различных
точках» прямой и «всех точках» кривой, говорит о произ¬
вольных точках, говорит о переменных величинах. Вот
и получается, что «каждому значению х соответствует

определенное значение у», кривая описывается в виде
соответствия между числами, между переменными, это соот¬
ветствие иллюстрируется в виде графика, геометрия про¬
никает в арифметику, а арифметика — в геометрию, возни¬
кает та «аналитическая геометрия», о которой мы говорили
в начале книги. Конечно, еще не вся, даже далеко не вся.
Но Декарт заканчивает книгу такими словами:	«... я
надеюсь, что наши потомки будут благодарны мне не
только за то, что я здесь разъяснил, но и за то, что мною
было добровольно упущено с целью предоставить им
самим удовольствие найти это». Не нашим ли читателям
адресованы эти слова?
Чтобы по-настоящему осмыслить сделанное Декартом,
обратимся к одной серьезной книге. Обычно ее начинают
читать только в вузе, да и то на втором курсе, и лишь
иногда — любознательные старшеклассники. А жаль! Мно¬
гое из того, что относится к так называемому «серьезному
чтению», можно — только не торопясь, внимательно —
читать и в школьном возрасте.
Полезно достаточно рано прочитать и некоторые
страницы «Диалектики природы» Фридриха Энгельса.
Это очень нелегкая, но удивительно интересная книга.
Вам можно познакомиться со многими ее разделами,
но мы остановимся сейчас лишь на страницах, которые
Ф. Энгельс специально посвятил математике. Вам, наверное,
известно, что и К. Маркс, и Ф. Энгельс прекрасно владели
математикой, причем не только той, что была изложена
на страницах тогдашних гимназических учебников мате¬
матики, но и той, что была далеко за ее страницами, так
называемой высшей.
В «Диалектике природы» Энгельс размышляет о
наиболее общих и сложных вопросах математики, о ее
аксиомах, о понятиях количества и качества, о понятиях
единицы и нуля, прямого и кривого, о бесконечности
и о многом другом. Богатство мыслей Энгельса необык¬
новенно велико, над каждой фразой стоит подумать самому,
и занятие это исключительно полезно в любом возрасте.
Мы же сейчас обратим ваше внимание на две фразы,
которые часто можно увидеть специально выписанными в
кабинетах математики, две фразы, которые многие мате¬
матики помнят дословно.
«Поворотным пунктом в математике была Декартова
переменная величина. Благодаря этому в математику
вошли движение и тем самым диалектика и благодаря
190

этому же стало немедленно необходимым дифференциаль¬
ное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает
и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено,
Ньютоном и Лейбницем». (Маркс К., Энгельс Ф. Соч.
2-е изд. Т. 20. С. 573.)
В этой цитате вам должно быть понятно все, кроме,
быть может, слова «диалектика». Энгельс исследовал наи¬
более общие законы развития природы, общества и мышле¬
ния, вот они-то и составляют основное содержание диалек¬
тики. Все эти законы вы будете изучать в курсе философии.
Нам же сейчас важно отметить, что одним из важнейших
принципов диалектики является признание всеобщей
зависимости предметов и явлений, движения и развития
мира как результата его внутренних противоречий.
Пока не изучались переменные величины, пока не
изучались связи и зависимости между ними, пока не изуча¬
лись функции, пока в алгебре не было ее четвертого кита,
в математике почти не изучалось движение, не отражалась
настоящая диалектика, а значит, и польза от математики
была ограниченной. Очень грубо говоря, до «поворотного
пункта» математика была наукой для избранного круга
любителей-мудрецов да для купцов и финансистов. Но
лишь только она стала изучать переменные величины и
функции, лишь только она научилась описывать процессы,
описывать движение, как она стала необходима всем. И даже
те немногие функции, которые знакомы вам, имеют практи¬
ческую пользу, они тоже необходимы всем. Давайте бегло
повторим их.
Наши шкi>пиньз<' 5иакомые
Итак, вспомним функции, известные нам из школьного
учебника, одновременно повторим и их важнейшие свойства.
Прямая пропорциональность. Эта функция задается
формулой у=ах. Областью ее определения является мно¬
жество действительных чисел. Областью ее значений тоже
является множество действительных чисел. Графиком
функции служит прямая (рис. 47), проходящая через
начало координат, причем в случае а>0 она расположена
в I и III четвертях, а в случае а<0 — во II и IV четвертях.
Число а называется угловым коэффициентом прямой,
оно показывает, что отношение ординаты у к абсциссе х
одинаково во всех точках графика :,а = ^~ (кроме, конечно,
ОС
191

точки О, где абсцисса и ордината равны нулю). Постоянства
коэффициента а, постоянство наклона графика к oci
абсцисс является характеристическим свойством прямой
Этот факт мы использовали, рассматривая вслед за араб
скими мыслителями понятие линейной интерполяции. Далее
Чем больше |а|, тем прямая ближе к оси ординат, чем мень
ше, тем прямая ближе к оси абсцисс. Численно углово]
коэффициент прямой равен тангенсу угла между этой прямо]
и осью абсцисс (угол <р на рис. 46).
В зависимости от конкретного смысла переменны:
х и у и постоянной а прямая пропорциональность имее
конкретный практический смысл.
Например, если а рублей — цена 1 кг какого-то товаре
то у=ах есть стоимость х килограммов этого товаре
Другой пример. Задача о нахождении р% от данног
числа х решается по формуле у = ^g-x.
Пример из другой области. Если a = v км/ч — скорост
автомобиля, x = t часов — время его движения, то y=s-
= v-t — пройденный автомобилем путь.
Из учебника физики вы знаете, что работа постоянно
силы F на пути s равна их произведению, т. е. A=F*s, Э1
снова та же функция, только a=F, x=s, у=А.
Из учебника геометрии вам известно, что площад]
о Л	}
треугольника S=—а, здесь тоже можно считать а=-
&	Л
х=а и у=s.
Рис. 47
192

Совершенно разные явления из арифметики, из физики,
из геометрии и т. д. описываются одной и той же функцией!
А ведь это далеко не все примеры, вы сами можете привести
еще немало подобных.
Линейная функция. Она задается формулой у=ах-\-Ь.
Областью ее определения является множество всех действи¬
тельных чисел. То же множество является и областью
ее значений. Если 6 = 0, то линейная функция обращается
в прямую пропорциональность, поэтому можно говорить,
что прямая пропорциональность есть частный случай
линейной функции. Графиком линейной функции служит
прямая (рис. 48), она пересекает оси координат в точках
(0; Ь) — ось ординат, ^	; 0 ^ — ось абсцисс. Число а, как и
для прямой пропорциональности, называется угловым коэф¬
фициентом, оно тоже показывает отношение ординаты
(правда, теперь уменьшенной на Ъ) к абсциссе а= у-~— .
X
Чем больше | а |, тем прямая ближе к вертикальному
положению («круче»), чем \а\ меньше, тем она ближе к
горизонтальному положению («положе»).
Отметим еще два особых случая расположения прямой.
Если а = 0, т. е. у = 6, то прямая параллельна оси абсцисс
и лежит на расстоянии Ь от нее. Если же дг = с, то прямая
окажется параллельной оси ординат и будет лежать на
расстоянии с от нее.
Конечно, линейная функция тоже имеет большое практи¬
ческое значение. Вот несколько примеров.
Рис. 48
л
X
7 Знк.	.'I.	‘I*.	Мичурин
193

1. Автомобиль, выехавший из пункта А, в настоящее
время находится от него в 120 км. На каком расстоянии
$ от А будет находиться автомобиль через t ч, если он будет
двигаться в том же направлении со скоростью 50 км/ч?
Ответ будет выражаться линейной функцией вида s —
= 50/+ 120.
2. Свеча длиной 25 см при горении уменьшается на
1,5 см за каждый час. Нетрудно сообразить, что ее длина
I через / часов будет составлять / = 25 —1,5*.
3. Отправляя телеграмму, мы платим по 3 к. за каждое
слово и 10 к. дополнительно. Общая стоимость телеграммы
выражается линейной функцией у — Здг + 10.
4. Из геометрии вам известна теорема: «Сумма углов
выпуклого многоугольника равна 180°(гс — 2)». Раскроем
скобки и, обозначив искомую сумму буквой S, получим
линейную функцию S = 180л — 360.
Конечно, каждый раз надо думать об области опреде¬
ления — нельзя же отправить телеграмму, содержащую
10,3 слов, или изобразить многоугольник с дробным
числом сторон. Но главное мы видим снова — разные
явления описываются одинаковой функцией.
Квадратичная функция (в учебнике последовательность
изучения функций немного другая, но нам удобнее сначала
рассмотреть именно квадратичную функцию). Она задается
формулой у = ах2 -\-bx~\-c. В учебнике рассматриваются
случаи у = ах2, у = ах2 + с, затем для удобства исследования
Ъ2 — 4 ас ~ -
— 	.	Обыч-
4 а
но этот вопрос изучают в школе очень обстоятельно, поэтому
мы ограничимся лишь перечислением основных свойств
квадратичной функции.
Ее область определения — множество всех действитель¬
ных чисел. Но с областью значений дело обстоит уже несколь¬
ко сложнее. Прежде всего, приходится учитывать два случая:
а> 0 и а<0. Если а>0, то при х= —^-значение функ-
Ь2 — 4ас
ции у =	  является	наименьшим	из	всех	возможных,
4а
т. е. область значений функции будет определяться неравен-
Ь2 — 4ас .	—	Л	Ь
ством ——<г/< ОО. Если же а<0, то при х=— —
,	Ь2—4ас	-
значение функции у—	—— оказывается наибольшим,
а область значений функции теперь будет определяться
Ь
выделяют полный квадрат У — а(х~\~~2^)
194

о
10
20
30
40
50
60
70
60
90
100
т
неравенством — оо<у^ —
Ь2 — Аас
4 а
Особый интерес пред-
ставляют те значения переменной х9 при которых функция
обращается в нуль. Их находят, решая уравнение
ах2 -{-Ьх-{-с=0 по известным формулам корней.
Рассмотрим, например, функцию у = 2х2 — 7x-\-S. Здесь
2	^	— Ь
а = 2, bz — 4ас=49 — 24 = 25,
25
2 а=Т’	Х2	=	3-	0б'
ласть ее значении —— ^ у < сю.
Все это вы, конечно, знаете.
Наверное, вы сумеете привести немало примеров при*
менения квадратичной функции, из которых главный вам
известен из учебника физики — уравнение пути s рав¬
номерно-переменного движения с начальной скоростью v9
ускорением а и путем, пройденным до начала отсчета b:
at2
S =
vt + b.
Кстати, в учебнике физики есть рисунок, относящийся
к интересующему нас вбпросу. Мы его здесь воспроизведем
(рис. 49). На рисунке показаны различные положения
падающего шарика через каждую секунду его падения,
а рядом — шкала пройденных шариком расстояний. Резуль¬
таты этого опыта можно записать в следующую таблицу
(табл. 14).
Таблица 14
ВРЕМЯ И ПУТЬ ДВИЖЕНИЯ ПАДАЮЩЕГО ШАРИКА
г
0
1
2
3
4
S
0
5
20
45
80
Разумеется, это функция, значения ее получены из
опыта. Но какая это функция и нельзя ли записать ее
уравнение? Может быть, это прямая пропорциональность
s=atl Конечно, нет, ибо
Несомненно,
Рис. 49
это и не линейная функция (объясните почему). Не
является ли эта функция квадратичной? Если это так,
то каковы коэффициенты а, b и с в формуле s=at2-\-bt-\-c?
Подставим в формулу s = at2-\-bt-\-c известные нам из
опыта значения s и t:
0 = а-0 + &-0 + с.
т
195

Сразу видно, что с—0, один коэффициент найден, и в
остальных случаях просто не будем его писать. Для t = 1
и t —2 напишем:
5 = а*12 + Ь-1;
20 = а*22 + &*2.
Из поручившейся системы уравнений, где неизвестными
являются коэффициенты а и 5, найдем а = 5, Ь = 0.
Проверим теперь, будет ли выполняться равенство
s = 5t2 + 0*f-|-0 при остальных значениях s и t из нашей
таблицы. Действительно:
45 — 5 • З2 + 3 • 0 + О,
80 = 5 ♦ 42 + 4 • 0 + 0.
Галилео
Галилей
Значит, действительно, закон падения шарика описывается
формулой а = 512. Помните, в самом начале нашей книги
st2
говорилось о формуле s = -^— (см. с. 25)? Правда, там
было сказано, что £ = 9,8, а у нас получилось 5*2 = 10,
но ведь у нас и точность измерений была очень невелика.
Главное-то ведь сейчас не в точности — мы получили
пример того, как из опыта, из наблюдений рождается
закон, который удается записать на математическом языке.
Вы, наверное, знаете, что описанный нами результат
впервые был получен великим итальянским ученым
Галилео Галилеем (1564—1642).
О том, что графиком квадратичной функции является
парабола, мы уже неоднократно говорили, говорили и о ряде
ее свойств. Вы хорошо знаете, что в зависимости от значений
коэффициентов а, Ъ и с парабола меняет свою форму и
расположение на координатной плоскости. На рисунке 50
приведено несколько парабол с соответствующими форму¬
лами.
Есть еще одно любопытное свойство параболы, которого
вы, может быть, не знаете, хотя часто им пользуетесь.
Пусть парабола начнет вращаться вокруг оси ординат.
Получится что-то вроде чаши, только, чтобы она не была
бесконечной, отрежем часть ее плоскостью, перпендикуляр¬
ной оси ординат. Образуется фигура, которая называется
параболоидом (рис. 51). Если теперь сделать внутреннюю
поверхность параболоида зеркальной и направить поток
света по направлению оси ординат, то все лучи света
соберутся в одной точке, которую, как вы, наверное, уже
196

Рис. SO
догадались, называют фокусом (см. с. 62). А если в фокусе
поставить источник света, например электрическую лампоч¬
ку, то получится самая обыкновенная фара, или прожек¬
тор, или часть карманного фонарика.
Обратная пропорциональность. Эта функция задается
£
формулой у=—. Областью ее определения является множе-
ОС
ство действительных чисел, за исключением нуля. Это
понятно — на нуль делить нельзя. Ясно это еще и потому,
что обратную пропорциональность можно определить и
Рис. 51
197

Рис. 52
иначе: если произведение ху всех пар соответственных
значений переменных х и у равно постоянному числу к,
отличному от нуля, то функция, связывающая эти пере¬
менные, называется обратной пропорциональностью. Но
если так, то ни одно из этих чисел не может равняться
нулю. Ясно, что множество значений функции тоже состоит
из всех действительных чисел, кроме, разумеется, нуля.
Графиком обратной пропорциональности служит гипербола.
Если fc>0, то ее ветви расположены в I и III четвертях
(сравните с ролью а для прямой пропорциональности),
если к С 0, то ветви гиперболы лежат во II и IV четвертях.
Интересно, что и здесь характер графика зависит от модуля
к — если | к | близок к нулю, то ветви гиперболы прижимают¬
ся к осям координат, если же \к\ больше единицы, то
ветви гиперболы все далее отодвигаются от осей. На рисунке
52 приведено несколько примеров гипербол.
С помощью обратной пропорциональности тоже описы¬
ваются многие явления. Вот несколько примеров.
1.	В физике известен закон Бойля — Мариотта: произве¬
дение давления газа на его объем постоянно, если темпера¬
тура газа не меняется:
pV = к,
где р — давление, V — объем. Ясно, что этот закон может
быть записан иначе:
198

А это и есть обратная пропорциональность, и график
ее, конечно,— одна ветвь гиперболы (ясно, что объем и
давление не могут быть отрицательными, поэтому область
определения и область значений функции в данном случае
есть множество только положительных чисел).
2.	Второй пример тоже возьмем из физики. Вы хорошо
знаете закон Ома:	сила тока прямо пропорциональна
напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению
цепи. Если I — сила тока, U — напряжение и R — сопро¬
тивление, то при постоянном напряжении
Снова встречаемся с обратной пропорциональностью!
Из курса физики вы знаете, что тело, брошенное под
углом к горизонту, летит по параболе. Но если придать
ему начальную скорость t>0 в пределах 7,9 км/с<Уо<1
С 11,2 км/с, то оно на Землю не упадет, а превратится в ее
спутник, движуЪцийся по эллипсу. Именно так и летают
искусственные спутники Земли. При скорости же 11,2 км/с
тело вновь начнет двигаться по параболе и уйдет от
Земли навсегда. Навсегда уйдет оно от Земли и при
Уо>>11,1 км/с — тут уж оно будет двигаться по гиперболе.
Функция, задаваемая формулой у —ах3. Вообще-то следо¬
вало бы изучать функцию y = ax3-\~bx2-\-cx-\~d9 но это
дело довольно сложное (вспомните, сколько пришлось
потратить сил, чтобы познакомиться со способами нахож¬
дения корней кубического уравнения, т. е. тех значений
этой функции, при которых она обращается в нуль!).
Конечно, если применить «тяжелую артиллерию» —
способы, с которыми вы познакомитесь, изучая математи¬
ческий анализ, то все трудности исчезнут, но в школе
мы вынуждены ограничиться лишь простейшим случаем —
функцией у = ах3.
И область ее определения, и множество значений есть
множество действительных чисел — тут все понятно.
График этой функции называется кубической параболой
(рис. 53). Она проходит через начало координат, ибо
если х = 09 то и у = 0. А коэффициент а вновь играет роль
«регулятора»—если а> 0, то парабола расположена в
I и III четвертях, если а<0, то она расположена во II и I
четвертях, если \а\ близок к нулю, то парабола прижимается
к оси абсцисс, если он велик, то парабола энергично устре¬
мляется вверх (и вниз) вблизи оси ординат. Конечно, и эта
199

Рис. 53	I
функция имеет практическое значение — об этом мы говори¬
ли, например, в самом начале книги, когда писали об
объеме шара и вообще об объемах.
Функция, задаваемая формулой y=^jx. Область опре¬
деления этой функции есть множество неотрицательных
чисел, область значений — тоже множество неотрицатель¬
ных чисел. А дальше интересного мало — графиком
функции служит «половина» уже известной нам параболы,
только расположенная несколько непривычно — она повер¬
нута на 180° вокруг прямой у = х, или, другими словами,
новая кривая симметрична известной относительно бис¬
сектрисы первого координатного угла (рис. 54). Правила
вычисления значений функции по значению переменной х
довольно сложны (мы с ними знакомились, когда говорили
о числах), для этой функции составлены специальные
таблицы. Впрочем, можно (подумайте, как именно) исполь¬
зовать для отыскания ее значений таблицы квадратов
чисел. Вот, пожалуй, и все.
Итак, можно подвести итоги. Мы знаем прямую и обрат¬
ную пропорциональности, линейную, квадратичную и куби¬
ческую функции, знаем арифметический квадратный корень.
Всего мы знаем шесть функций, все шесть задаются фор¬
мулами: у = аху у = ^у у = ах-\-Ь9 у = ах2-\-Ьх-\-с9 у=ах3у
У = л[х, все шесть имеют своими графиками хорошо извест¬
ные нам линии — прямые, гиперболы, параболы. Очевидно,
существуют и более сложные функции, и более сложные
200

г
Рис. 54
формулы, и более сложные кривые. Исследование функций
и построение их графиков — интересная, хотя и не всегда
легкая задача. Конечно, ее решение, как мы уже говорили,
часто существенно облегчается применением мощных
средств — математического анализа, но иногда многое
можно сделать и несложными, как говорят, элементарными
методами.
Попробуйте свои силы в решении таких, например,
задач:
84. Постройте графики таких функций: а) у= \х\9
б) у= I — х\9 в) у= — \х\.
85. Постройте график функции у =
86.	Постройте график функции у =
1*1 в
2
87.	Постройте график функции у=х-(-—.
Иоганн Бернулли или школьный учебник!
Мы уже немало поработали с различными функция¬
ми, но не повторили определения этого понятия, т. е.
пока не дали четкого ответа на вопрос: что называется
функцией?
201

Иоганн
Бернулли
Снова обратимся к школьному учебнику алгебры.
В нем написано:
«Зависимость переменной у от переменной х называется
функцией, если каждому значению х соответствует единст¬
венное значение у».
Однако если бы вы прочитали это определение зна¬
менитому швейцарскому математику Иоганну Бернул¬
ли (1667—1748), он бы, пожалуй, не согласился с вами и
сказал бы, что можно гораздо проще и понятнее объяснить,
что такое функция, примерно так:
«Функцией переменной величины называется количество,
составленное каким угодно способом из этой переменной
величины и постоянных».
Если попытаться переложить мысль И. Бернулли на
современный язык, то получается, что надо взять какую-то
переменную и при помощи известных нам алгебраических
операций каким угодно способом составить формулу, в кото¬
рой, конечно, могут участвовать и всякие постоянные
коэффициенты. По этой формуле из переменной х и будут
получаться значения у (И. Бернулли называет их «количе¬
ствами»). Еще проще — функция есть формула* с помощью
которой из х получается у.
Действительно, очень просто, и можно подумать, что
математикам времен И. Бернулли было гораздо легче,
чем школьникам нашего времени. В чем дело?
Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к одному
хорошо (или пока не очень?) известному вам примеру.
Только сначала договоримся, что мы не будем говорить,
что вот у Бернулли был недостаток, и у других великих
ученых были недостатки, а я, простой школьник XX века,
свободно с этими недостатками справляюсь. Не так все
это просто!
Итак, пример. В учебнике геометрии дано следующее
определение: «Синусом острого угла называется отношение
катета, противолежащего этому углу, к гипотенузе».
Хорошее определение, все понятно? Думаем, да. Но сказано
ли в нем, как по данному значению угла вычислить значение
синуса? Иначе говоря, можете ли вы, зная, например,
что угол равен 5°, найти его синус? Ведь вот для функции
у = 3х вы сразу сумеете найти значение, соответствующее
числу 5,— достаточно умножить 3 на 5 и результат готов.
И для функций у=\ х:2 — пожалуйста: i/ = 4--52 = 12,5!
И для всех шести известных нам функций можно по
202

любому конкретному значению х вычислить значение у,—
именно так и писал И. Бернулли. Иногда это очень просто,
иногда — для корня, например,— потруднее, но всегда мож¬
но. А для синуса? Что делать с этим числом 5? Правда, в
учебнике сказано, что sin0°=0, sin 30°— sin 45° =
/о	/о
=-g—, sin 60°=^—, sin 90° = 1. Это очень хорошо, и эти
значения синуса полезно даже запомнить, но ведь углы
бывают самыми различными! Как быть? В учебнике
сказано, что необходимо пользоваться таблицами. Но ведь
кто-то же их составил! Как? По какой формуле? Может
быть, она очень сложная и потому ее нет в школьном учеб¬
нике? Нет, такой формулы не существует и существовать
не может. Значения синусов вычисляют для любого значения
угла при помощи рядов (опять ряды!), они позволяют
достичь любой точности, но это совсем не формулы в том
смысле, как это понимаем мы и как это понимал И. Бер¬
нулли.
Может быть, не считать синус функцией? Конечно, это
нелепо. Синус, а вслед за ним косинус, тангенс и масса
других... Других чего? Других соответствий, других связей
между множествами, других способов делать так, чтобы
каждому элементу одного множества отвечал определенный
элемент другого... Вот мы и подходим к школьному опреде¬
лению, определению более современному, включающему
в себя и то определение, которое сформулировал И. Бер¬
нулли. Все, что он по этому поводу сказал, верно, но его
определение охватывает лишь часть функций, имеющихся
в природе. А фразу, которая написана в начале абзаца,
надо закончить так: синус, а вслед за ним и косинус, тангенс
и массу других соответствий между множествами целе¬
сообразно считать функциями, сформулировав определение
этого понятия так, как это сделано в нашем школьном
учебнике алгебры.
Можно сформулировать определение функции и еще,
как говорят математики, строже:	«Отношение между
двумя множествами, при котором каждому элементу
первого множества соответствует один и только один
элемент второго множества, называется функцией». При
таком определении уже не говорится не только о формуле,
но даже и о зависимости, и функцией можно называть
(а значит, и изучать средствами математики!) самые
разнообразные явления природы и общества.
203

Например, все вы знаете, что в теЧение суток температура
воздуха t в некоторой местности изменяется и каждому
моменту времени х соответствует ее определенное значение.
Значит, говоря по-современному, существует функция
t = f(x). Наверное, ее нельзя записать в виде удобной
для вычислений формулы, но изучать ее можно. А по
«старому» определению это вовсе не функция.
Или, скажем, в вашем классе есть стулья. На каждом
из них сидит один ученик, или же стул не занят. Можем ли
мы в соответствии с современным определением говорить,
что «на множестве стульев задано множество учащихся»?
Конечно, можем, можем говорить о соответствующей
функции, хотя ни о какой формуле и даже о зависимости
здесь и речи быть не может. Не смутит нас и то, что значе¬
ниями функции будут совсем не числа.
Количество таких примеров легко увеличить. Более того,
по мере развития математики растет ее проникновение
в самые различные области жизни человека. Значит,
растет и важность ее изучения в школе, в вузе и особенно
важность самостоятельной работы над нею. Правда, легче
она от этого не становится — легкой математики вообще
не бывает. И чем больше ее изучаешь, тем больше остается
неизученного, чем больше работаешь над страницами учеб¬
ника, тем больше остается за его страницами. Наука
неисчерпаема, этим она и интересна. Познание ее приносит
человеку настоящую, ни с чем не сравнимую радость.
Именно такой радости мы и желаем нашим читателям.
204

Чтение — вот	v^h♦
'Если вас интересует математика и вы хотите знать о ней
больше, чем написано в учебнике и в нашей книге, то
попробуйте свои силы в работе с такими, например,
книгами.
1. Журнал «Квант». Он издается Академией наук СССР
и Академией педагогических наук СССР с 1970 г. спе¬
циально для учащихся. Подписка принимается без ограни¬
чений. В журнале публикуются статьи по математике и
физике, материалы по истории науки, разнообразные задачи,
в том числе и задачи для младших школьников. Полезно
иметь подшивку журнала за несколько лет, тогда вы
можете отыскать в ней ответы на самые разнообразные
вопросы.
2. Издательство «Наука* вот уже много лет выпускает
небольшие брошюры серии «Популярные лекции по мате¬
матике*. Вышло уже более пятидесяти книжек. Некоторые
из них довольно трудны, но если вы хотите работать
всерьез, надо настраивать себя на трудности.
3. То же издательство выпускает небольшие книги из
«Библиотечки физико-математической школы». Среди этих
книг есть и сборники задач, и книги, посвященные
отдельным проблемам школьного курса математики, и
книги, существенно выходящие за рамки этого курса.
4. Издательство «Просвещение» систематически выпус¬
кает для учащихся книги серии «Мир знаний». Каждая
из этих книг посвящена какому-то разделу науки (не только
математике). Чтение этих книг, как правило, требует
продолжительной и напряженной работы. По математике
в этой серии вышли книги Б. А. Кордемского «Математика
изучает случайности», Н. Я. Виленкина «Функции в при¬
роде и технике», Р. Н. Щербакова и JI. Ф. Пичурина
«Дифференциалы помогают геометрии» и др.
5. В библиотеке вашей школы, по всей вероятности,
имеется очень интересная справочная книга «Энциклопеди¬
ческий словарь юного математика», изданная в 1985 г.
издательством «Педагогика»*.
6. В мировой и отечественной литературе имеется очень
много книг для занимательного чтения по математике.
Перечислить все эти книги невозможно, мы назовем
только часть авторов лучших из них. Ищите в библиотеках
и книжных магазинах книги Н. Я. Виленкина, М. Гарднера,
205

Е. И. Игнатьева, Б. А. Кордемского, В. Литцмана, С. Лой¬
да, Ф. Ф. Нагибина, Я. И. Перельмана, Г. Штейнгауза.
7. Изучение математики бессмысленно без самостоятель¬
ного систематического решения задач. Конечно, надо уметь
решать те задачи, которые приведены в ваших учебниках,
но этого недостаточно. Трудно назвать один какой-нибудь
дополнительный задачник. Хорошие задачи всегда публи¬
куются в «Кванте», их часто помещают журналы «Наука
и жизнь», «Техника — молодежи» и некоторые другие.
Полезно приобрести часто бывающие в продаже задачники
для поступающих в вузы. Может быть, сначала помещенные
в них задачи покажутся вам слишком трудными — не
отступайте!
8. Начиная с 1933 г. издательство ЦК ВЛКСМ «Молодая
гвардия» публикует серию книг «Жизнь замечательных
людей». Вышло уже почти 700 выпусков. Среди них
есть и произведения, посвященные выдающимся — в том
числе и упомянутым у нас — математикам, например,
Биру ни, Г. Галилею, Э. Галуа, С. Ковалевской, Леонардо
да Винчи, Н. И. Лобачевскому, И. Ньютону, Омару Хайя¬
му, Б. Паскалю, Улугбеку.
В серии «Люди науки», выпускаемой специально для
учащихся издательством «Просвещение», вышли книги о
Н. И. Лобачевском, С. В. Ковалевской, Леонарде Эйлере,
Рене Декарте, аль-Хорезми и других великих математиках
(и не только о математиках).
Это, конечно, не книги о математике, а книги о людях,
отдавших свою жизнь науке. Знать о них, об их вкладе
в математику необходимо каждому человеку, интересующе¬
муся этим предметом.

Ответы, указания, решения
1. (a-\-bf. 2. а2 + Ь2. 3.	или	(а3	—	bJ):(o3	—	Ь3).	4.	(а4	—Ь4). 3
а3 + Ь3 v	'	4	7	2
5. (а + Ь)(а — Ь) = а2 — &2.	6. (а3 — 53):(а — Ь) = а2 + а6-|-Ь2-	7.	Произведение
суммы двух чисел на разность двух других чисел. 8. Утроенный
квадрат суммы двух чисел. 9. Квадрат суммы утроенного числа и
второго числа. 10. Частное суммы двух чисел и их удвоенного произ¬
ведения. 11. Квадрат утроенной суммы двух чисел. 12. Произведение
частного разности двух чисел и их суммы на треть произведения этих
же чисел. 13. Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого
числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс
квадрат второго числа. (Нельзя ли обойтись без слов «плюс» и «минус»?)
Утверждение	верно.	14. Куб суммы двух чисел равен кубу	первого
числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе,
плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго, плюс
куб второго числа. (А здесь можно обойтись без слова «плюс»?) Утверждение
верно. 15. Частное разности четвертых степеней двух чисел и разности
самих чисел равно сумме куба первого числа, произведения его
квадрата на второе число, произведения первого на квадрат второго и
куба второго числа. Утверждение верно. 16. Произведение суммы двух
чисел на неполный квадрат их разности равно сумме кубов этих чисел.
Утверждение верно. 17. Разность квадратов полусуммы двух чисел и их
полуразности	равна	произведению этих	чисел. Утверждение	неверно.
Чтобы оно стало верным, необходимо в правой части равенства написать
2ab, и тогда	читаем	верное утверждение:	... равна удвоенному	произве¬
дению этих	чисел.	18. Ответ приведен	в рассказе, соответствующее
уравнение записано на с. 16. А Удодов-старший «щелкал на счетах» так.
Если бы все сукно было черным, то за него пришлось бы заплатить
3-138 = 414 р. А заплатили на 540 — 414 = 126 р. больше. Синее сукно
стоило на 5 — 3 = 2 р. дороже черного, за счет этой разницы цен и появились
эти 126 р. 126:2 = 63, значит, синего было 63 аршина, а черного
138—63 = 75. Проверка: 5-63 = 3-75 = 540, что соответствует условию
задачи. 19. В 100 кг грибов, имеющих 99% влажности, содержится 1%
сухого вещества, что составляет 1 кг. При сушке этот 1 кг никуда не
денется, но составлять он будет уже 2%. Но если 2% составляют 1 кг, то
100% составляют в 50 раз больше, т. е. 50 кг. Именно столько теперь и
весят грибы. 20. 12. 21. 15 пчел. Не ошибитесь, когда будете записывать
буквами слова «разность их ты найди»,— разность должна быть положи¬
тельной, ведь это число пчел! 22. 36 учеников. 23. Составив уравнение
2	2
Юдсдг — (10-—jc-hjc) = 18, найдем х=6, откуда искомое число равно 46.
и	О
Но можно рассуждать и так. Так как число десятков составляет две трети
числа единиц, то число единиц должно делиться на три. Таких однозначных
чисел только три: 3, 6, 9. Получаются двузначные: 23, 46 и 69 числа,
записанные в обратном порядке: 32, 64, 96. Только для пары 64 и 46
разность равна 18. Задача решена без уравнений. Какой способ лучше?
207

24. Обозначим меньшее х +10, тогда х равен одной трети среднего и,
следовательно, среднее равно 3*. Так как среднее равно меньшему плюс
одна треть большего, то треть большего равна среднему без меньшего,
т. е. равна 2х —10. Отсюда большее равно 6jc — 30. Но большее, как
сказано в условии, равно среднему плюс треть меньшего, ^ т. е. треть
меньшего равна большему без среднего, иначе говоря, треть меньшего
равна 6я —30 —3х = 3дг —30, откуда само меньшее составляет 9х —90. Но
мы положили, что меньшее равно jc -j-10, отсюда уравнение: дс-|-10 =
= 9де —90. Решив его, получим х=12,5. Остается подсчитать, что
большее равно 45, среднее 37,5 и меньшее 22,5. 25. Приблизительно
1,78 м. 26. в —д/звлУ'2 «4,84д/у^ =48,4 м2. 27. Чуть более полутора
секунд. 28. 3; 7. 29. —7; —2. 30. —9; 2. 31. - 2; 10. 32. ~ 4; 2; 2.
Заметьте, что —12* = — Ах — 8jc. 33. —1. Выделите полный куб (х-|-1)3.
34. —2; —1; 1; 1; 1. Заметьте, что хъ — 4х*2х2 -\-Sx- 2 = х5 — x:i — Зх3-}-
+ 3* + 2*2 — 2 = х3(х2 — 1)— Здс(дс2 — 1)-f-2(jc2 — 1)=(дс2 — 1)(я3 — Здс-|-2) и т.д.
Зв. — 2; —1; 1; 2. 37. 1; 3. 38. — 4; —2; —2; 0. 39. —7; —6;	4-.
7	6
40. 2 марки по 4 к. и 14 по 3 к., или 5 марок по 4 к. и 10 по 3 к., или 8 марок
по 4 к. и 6 по 3 к., или 11 марок по 4 к. и 2 по 3 к., т. е. всего 4 ре^.лтпных
варианта. 41. 2; — -у. 42. 3; 2. 43. а + Ь; а — Ъ. 44. 213 264. 45. 777 777.
46. 6 404 097. 47. 1014. 48. 14. 49. 4~- 50. 5. 51. 24. 52. 45. 53. 37.
7
54. При доказательстве надо опираться не на четность правой и левой
частей соответствующего равенства, а на кратность его трем. 55. 3,317;
3,606; 4,123;	4,359. 56. 5,385. 57. 0,6ай2-0,662х—0,6а5ж+0,6Ьжг.
3	1	х^
58. —- ху -}-	х2у2. 59. —	—	+	—	—. 60. Достаточно раскрыть скоб-
4	о	1о	9	3	4
ки и привести подобные в правой и левой частях данного равенства.
2	а +1
61.	—- . 62. 	.	63—64. В обоих случаях необходимо преобразовать
к j L	CLX
левую часть по правилам преобразования дробей. 65. 6х3 —4x2 + 5jc —2.
66. х — а. Обратите внимание — такое громоздкое условие и такой
изящный ответ! 67. —	.	68. —.	69.	70.
(1— *)(1 — 2х)	а + п — х	ах
«к	8	1	111
. 71. /g 		—— . 72.	 —■	ч—h —	,	^	.	Здесь	лю-
х + 6	дс-|-	5	(5	—	х	У	5 — х	2х	х+1 2х + 4
бопытно то, что в системе трех уравнений относительно трех неопре¬
деленных коэффициентов правая часть для двух первых уравнений
3 I—   "^6“j-^З	4/  4/
окажется равной нулю. 73. 4x^Ja2х* . 74 	-	.	75.	у45 — д5.
76. Тут надо быть особо внимательным. В условии ничего не сказано
об условиях, связывающих числа а и Ь. Поэтому придется указывать
два ответа:	—	если	а^Ь,	и	Y&	—д/а, если а^Ь, 77. д/1—х.
78. 2a^Jc^. 79. —	—	при — >4"- 80* д/2.	81. 2. 82.	\	и 3. Будьте
v	с b	с	b	о
особо внимательны при проверке дробного	корня! 83.	18	= ±Зд/2.
Что легче — уединить корень и получить биквадратное уравнение
208

Рис. 55
Рис. 56
Рис. 57
209

Рис. 58	1— —	- -
или же придумать подстановку? 84. Рис. 55. 85. Рис. 56. 86. Рис. 57.
Обратите внимание: при х = 0 функция не имеет никакого значения
(выражению мы не придаем какого-либо смысла), график функции
разрывается на две части. 87. Рис. 58. Такие функции называются
дробно-линейными. Слагаемое х делает график как бы устремляющимся
к прямой у = ху а слагаемое у = — делает его похожим на гиперболу.

Приложение
Некоторые события
истории и культуры
Важнейшие факты
истории математики
Третье тысячелетие до нашей эры
Развитие рабовладельческого
строя в Древнем Египте и Вавило¬
нии. Время строительства пирамид.
Египетские жрецы научились
обозначать иероглифами числа до
100 ООО. В Вавилонии распростране¬
на клинописная шестидесятеричная
система счисления.
Второе тысячелетие до нашей эры
Расцвет централизованных рабо¬
владельческих государств Вавило¬
нии (при Хаммурапи) и Древнего
Египта. Возникновение первых древ¬
негреческих государств.
Египетские и вавилонские муд¬
рецы нашли способы решения квад¬
ратных уравнений.
Первое тысячелетие до нашей эры
Сформировались полисы (горо¬
да-государства) в Древней Греции.
По преданию, древнегреческий
поэт Гомер сложил «Илиаду» и
«Одиссею».
776 г. — в Древней Греции про¬
ведены первые Олимпийские игры.
Ок. 754/753 г. — основание Рима.
V в. — расцвет греческой дра¬
матургии, век Софокла, Еврипида,
Аристофана.
Рубеж VII—VI вв. — время твор¬
чества Фалеса Милетского — осно¬
вателя Милетской школы натур¬
философии.
VI в. — век творчества Пифагора
и его учеников.
V в. — Гиппократ Хиосский, древ¬
негреческий геометр, автор первого
систематического сочинения по гео¬
метрии (не дошедшего до нас), про¬
должил исследования, начатые Пи¬
фагором.
211

490 г. — Марафонская битва.
447—438 гг. — под руководством
архитекторов Иктина и Калликрата
построен Парфенон — храм Афины
Парфенос на Акрополе в Афинах,
замечательный памятник древнегре¬
ческой классики. В создании убран¬
ства храма участвовал великий гре¬
ческий скульптор Пракситель.
Конец V в. — деятельность древ¬
негреческого философа Сократа, од¬
ного из родоначальников диалекти¬
ки как метода отыскания истины
путем постановки наводящих вопро¬
сов.
387 г. — в Афинах Платон осно¬
вал Академию — древнегреческую
философскую школу.
IV в. — деятельность древнегре¬
ческого ученого и философа Аристо¬
теля, воспитателя Александра Ма¬
кедонского.
Середина IV в. — царствование
Александра Македонского, основа¬
теля города ‘Александрии.
283 г. — закончено строительство
маяка на острове Фарос в Алек¬
сандрии (Александрийский, или Фа-
росский, маяк)—одно из «семи чу¬
дес» древнего мира.
218—201 гг. — Вторая Пуниче¬
ская война.
146 г. — Рим одержал победу
над Карфагеном.
Конец I в. — время творчества
римских поэтов Вергилия и Овидия.
49 г. — захват Юлием Цезарем
власти в Риме.
Ок. 300 г. — в «Началах» Евкли¬
да дано строгое построение гео¬
метрии.
III в. — деятельность Архимеда,
гениального древнегреческого уче¬
ного, автора трудов по математике и
физике, талантливого изобретателя.
Рубеж III и II вв. — Аполлоний
Пергский, древнегреческий матема¬
тик и астроном, написал 8 книг о
конических сечениях.
В конце II в. Гиппарх, древнегре¬
ческий астроном, создал таблицу
хорд, открыл прецессию, ввел гео¬
графические координаты.
III в. до н. э. — I в. н. э. — изобре¬
тение китайскими математиками от¬
рицательных чисел и способа реше¬
ния систем уравнений, близкого к
идее применения определителей.
Пимерно I в. — Герон Александ¬
рийский своими трудами по меха¬
нике и математике связал матема¬
тику с практикой, дал способы изме¬
рения площадей (формула Герона),
212

Первое тысяче, м
27 г. до н. э. — 14 г. н. э. — прав¬
ление Октавиана.
В 75—80 гг. в Риме построен
Колизей.
115—106 гг. — завоевательные
войны римского императора Траяна.
395 г. — разделение Римской им¬
перии на Восточную и Западную.
В 415 г. в Александрии фана¬
тики-христиане растерзали Ипа¬
тию — первую известную в истории
женщину-математика, руководителя
группы александрийских ученых.
476 г. — падение Западной Рим¬
ской империи.
Ок. 500 г. — образование Франк¬
ского государства.
800 г. — Карл Великий провоз¬
гласил себя императором.
IX в. — образовалось древнерус¬
ское государство — Киевская Русь.
Второ.* ■ тысяче.
1019—1054 гг. — княжение Ярос¬
лава Мудрого к Киеве.
1096—1099 гг. — первый кресто¬
вый поход.
В 1147 г. — первое летописное
упоминание о Москве.
извлечения квадратного корня из
рациональных чисел, советы по на¬
хождению объемов и решению зада¬
чи об извлечении кубического корня.
‘тис нашей ары
Птолемей (ок. 90—ок. 160) раз¬
работал математическую теорию
движения планет вокруг неподвиж¬
ной Земли.
III в. — древнегреческий мате¬
матик Диофант в основном своем
труде «Арифметика» дал решение
задач, приводящих к так называе¬
мым диофантовым уравнениям, и
впервые ввел буквенную символику в
алгебру.
Первая половина IX в. — сред¬
неазиатский ученый аль-Хорезми
создает основополагающие трактаты
по арифметике и алгебре.
*тис нашей ары
Деятельность среднеазиатского
ученого-энциклопедиста Бируни
(973—1050).
Рубеж XI—XII вв. — творчество
Омара Хайяма, среднеазиатского
поэта и математика (изложил реше¬
ния уравнений до третьей степени
включительно).
213

XII в. — создаются первые евро¬
пейские университеты.
1204 г.— крестоносцы овладели
Константинополем.
1219—1221 гг. — нашествие в
Среднюю Азию и Закавказье орд
Чингисхана.
1237—1240 гг. — нашествие орд
Батыя на Русь.
1242 г. — русские войска во главе
с Александром Невским на льду
Чудского озера разгромили кресто¬
носцев.
1265 г. — в Англии впервые соз¬
ван парламент.
1380 г. — Куликовская битва.
1381 г.— восстание Уота Тай¬
лера.
1337—1453 гг. — Столетняя вой¬
на между Францией и Англией.
1410 г. — Грюнвальдская битва.
1415 г. — сожжен Ян Гус, нацио¬
нальный герой чешского народа.
1431 г. — обвинена в ереси и сож¬
жена на костре Жанна д»Арк — на¬
родная героиня Франции.
1445 г. — Иоганн Гутенберг вы¬
пустил первую печатную книгу.
1492 г. — открытие Америки
Христофором Колумбом.
1452—1519 гг. — жизнь и твор¬
чество великого итальянского уче¬
ного и художника Леонардо да Вин¬
чи.
Начало XIII в. — Леонардо Пи¬
занский (Фибоначчи) издал «Книгу
об абаке», где первым в Европе
систематически изложил достиже¬
ния арабской математики.
1368 г. — французский матема¬
тик, физик, экономист Никола Орем
изложил учение о степени с дроб¬
ными показателями.
1484 г. — французский матема¬
тик Никола Шюке в рукописном
трактате «Наука о числах» ввел в
употребление отрицательные и нуле¬
вые показатели степеней.
Конец XV в. — Лука Пачоли,
итальянский математик, изложил
правила арифметических действий,
решения некоторых алгебраических
уравнений, их приложения к геомет¬
рии, теорию геометрических пропор¬
ций.
214

Улугбек (1394—1449) — средне¬
азиатский государственный деятель
и ученый, построил обсерваторию,
изложил теоретические основы аст¬
рономии, составил с большой точ¬
ностью каталог положений 1018
звезд.
1516 г. — вышла в свет «Уто¬
пия» Томаса Мора, английского гу¬
маниста.
1519—1522 гг. — первое круго¬
светное путешествие экспедиции
Фернана Магеллана.
1524—1526 гг. — Крестьянская
война в Германии.
50-е годы XVI в. — реформы Ива¬
на IV.
1543 г. — опубликовано сочине¬
ние создателя гелиоцентрической си¬
стемы мира Николая Коперника
«Об обращении небесных сфер».
1566—1609 гг. — Нидерландская
буржуазная революция.
1572 г. — в ночь на 24 августа
в Париже католики устроили мас¬
совую резню гугенотов (варфоломе¬
евская ночь).
1581 г. — Ермак начал поход в
Сибирь.
1562—1635 гг. — жизнь и твор¬
чество испанского драматурга Лопе
де Вега.
1600 г. — обвинен в ереси и
сожжен инквизицией в Риме Джор¬
дано Бруно.
1601 г. — Вильям Шекспир напи¬
сал трагедию «Гамлет».
1602 г. — итальянский философ
Томмазо Кампанелла закончил кни-
1545 г. — Джероламо Кардано
нашел формулу решения неполного
кубического уравнения.
1585 г. — немецкий художник
Альбрехт Дюрер закончил «Четыре
книги о пропорциях человека»,
произведение и об искусстве, и о ма¬
тематике.
1585 г. — нидерландский ученый
и инженер Симон Стевин впервые в
Европе ввел в употребление деся¬
тичные дроби.
1591 г. — французский матема¬
тик Франсуа Виет ввел буквенные
обозначения не только для неизвест¬
ных величин, но и для коэффициен¬
тов уравнений, установил зависи¬
мость между корнями и коэффициен¬
тами уравнений.
1605 г. — Иоганн Кеплер в трак¬
тате «Новая астрономия» сформули-
215

гу ♦Город солнца», в которой раз¬
работал программу всеобщего со¬
циального преобразования на основе
общности имущества (коммунисти¬
ческая утопия).
1605—1615 гг.— вышел в свет
роман Мигеля Сервантеса «Хитро¬
умный идальго Дон Кихот Ламанч¬
ский».
1606—1607 гг. — восстание под
предводительством И. И. Болотни¬
кова.
1612 г. — освобождение Москвы
народным ополчением К. Минина
и Д. Пожарского.
Галилео Галилей (1564—1642)
активно защищает гелиоцентриче¬
скую систему мира, борется против
схоластики.
1648 г. — Вестфальский мир за¬
вершил Тридцатилетнюю войну
(1618—1648).
1648 г. — экспедиция С. И. Деж¬
нёва, открывшая пролив между Ази¬
ей и Америкой (Берингов пролив).
XVII в. — буржуазная револю¬
ция в Англии.
1606—1669 гг. — жизнь и твор¬
чество голландского живописца Рем¬
брандта.
1670—1671	гг. — крестьянская
война под предводительством
С.	Т. Разина.
1622—1673 гг. — жизнь и твор¬
чество французского драматурга
Жана Батиста Мольера.
1675 г. — основана Гринвичская
астрономическая обсерватория.
1687 г. — в Москве основано пер¬
вое высшее общеобразовательное
учебное заведение — Славяно-греко-
латинская академия.
1700—1721 гг. — война России
со Швецией за выход в Балтийское
море (Северная война).
ровал первые два закона движения
планет, а в 1619 г. в трактате «Гар¬
мония Мира» — третий закон движе¬
ния планет.
1636—1637 гг. — в работах фран¬
цузских математиков Пьера Ферма
и Рене Декарта одновременно созда¬
ны основы метода координат.
Готфрид Вильгельм Лейбниц
(1646—1716) — немецкий философ,
математик, физик, изобретатель,
юрист, историк, языковед, разра¬
ботал дифференциальное и интег¬
ральное исчисления, сделал ряд важ¬
ных открытий в комбинаторике,
алгебре, геометрии.
Исаак Ньютон (1643—1727) —
английский физик и математик,
создал теоретические основы механи¬
ки и астрономии, открыл закон все¬
мирного тяготения, разработал (на¬
ряду с Г. Лейбницем) дифферен¬
циальное и интегральное исчис¬
ления.
Христиан Гюйгенс (1629—
1695) — нидерландский механик,
физик, математик, создал волновую
теорию света, опубликовал работы
об определении длины дуг окруж¬
ности, эллипса, гиперболы, разрабо¬
тал теорию цепных дробей.
Иоганн Бернулли (1667—1748)—
дал первое систематическое изложе¬
ние дифференциального и инте¬
грального исчислений.
216

1703 г. — основан Санкт-Петер¬
бург.
1711—1765 гг. — годы жизни
М. В. Ломоносова.
1725 г. — открытие Академии
наук и художеств в России.
1755 г. — основание Московского
университета.
1773—1775 гг. — крестьянская
война под предводительством
Е. И. Пугачева.
1776 г. — образование Соединен¬
ных Штатов Америки.
1789 г. — восставшие парижа¬
не взяли Бастилию, началась Вели¬
кая Французская революция.
1790 г. — А. Н. Радищев (1749—
1802) написал «Путешествие из
Петербурга в Москву».
1812 г. — Отечественная война
России с Францией.
1823 г. — А. С. Пушкин начи¬
нает работу над «Евгением Оне¬
гиным».
1825 г. — восстание декабристов.
1831 г. — открытие М. Фара¬
деем (1791—1867) электромагнит¬
ной индукции.
1848 г. — выход в свет первого
издания «Манифеста коммунистиче¬
ской партии» К. Маркса и Ф. Эн¬
гельса.
Леонард Эйлер (1707—1783) —
крупнейший математик XVIII в., его
исследования относятся практически
ко всем областям математики и ме¬
ханики.
Жозеф Луи Лагранж (1736—
1813) — французский математик и
механик, разработал основные поня¬
тия вариационного исчисления.
П. Руффини (1765—1822) —
итальянский математик, дал дока¬
зательство неразрешимости в ра¬
дикалах общего алгебраического
уравнения пятой степени.
К. Гаусс (1777—1855) — немец¬
кий математик, работал в области
высшей алгебры, теории чисел,
дифференциальной геометрии.
1826 г. — Николай Иванович Ло¬
бачевский (1792—1856) в Казани
сообщил об открытии им новой
геометрии.
Нильс Хендрик Абель (1802—
1829) — занимается теорией интер¬
полирования функций, теорией
функциональных уравнений и тео¬
рией чисел.
Труды французского математика
Эвариста Галуа (1811—1832) по
теории алгебраических уравнений
положили начало развитию совре¬
менной алгебры.
П. Л. Чебышев (1821—1894) —
русский математик и механик, за¬
нимался исследованиями теории
приближения функций многочлена¬
ми в интегральном исчислении, тео¬
рии чисел, теории вероятностей.
217

1848—1849 гг. — революции в
Европе.
1854—1855	гг. — героическая
оборона Севастополя во время Крым¬
ской войны.
1861 г. — отмена крепостного
права в России.
1869 г. — открытие Д. И. Мен¬
делеевым (1834—1907) периодиче¬
ского закона химических элементов.
18 марта — 28 мая 1871 г. —
Парижская Коммуна.
1895 г. — создание В. И. Лени¬
ным Петербургского «Союза борьбы
за освобождение рабочего класса».
Р. Дедекинд (1831—1916) — соз¬
дал ряд общих концепций, лежащих
в основе современной алгебры.
Джузеппе Пеано (1858—1932)—
построил аксиоматику натуральных
чисел (1891).
1898 г. — Пьер Кюри и Мария
Склодовская-Кюри, французские фи¬
зики, начинают заниматься изуче¬
нием радиоактивности.
Наверное, не все имена и не все факты, перечисленные
выше, вам известны. Не беда. Беритесь за справочники, сло¬
вари, энциклопедии, ищите, читайте, познавайте!

Содержание
Предисловие	 3
Чем мы занимаемся?	 6
Китаб аль-джебр валь-мукабала	 17
Любознательность математиков	 24
На новую ступень	 29
Из Азии в Европу	 34
Отец алгебры	 40
Глава для сообразительных	 45
Первые итоги	 48
Уравнения и графики	 54
Еще раз о Диофанте	 63
Формализм — это хорошо или плохо?	 69
Первое знакомство со вторым китом	 75
Натуральные числа	 77
Простые и составные числа	 86
О некоторых простых числах	 90
Зачем мы изучаем простые числа?	 95
Вспомним об обыкновенных дробях	 99
НОД. Алгоритм Евклида. НОК	101
Иррациональные числа	104
Как извлечь корень?	114

Непрерывные дроби	120
Золотое сечение	126
Еще одна глава для сообразительных	131
Переходим к третьему киту	134
А как было у древних?	138
Снова про обобщения	143
Геометрическая арифметика	146
Еще раз о квадратных уравнениях	  .	150
Необычное деление	153
Прогрессио — движение вперед	158
Поиск коэффициентов	167
Коротко о радикалах	170
Вновь в Азию и Египет	176
«...возвращаться к грекам *•	180
Поворотный пункт в математике	189
Наши школьные знакомые	191
Иоганн Бернулли или школьный учебник?	201
Чтение — вот лучшее учение	205
Ответы, указания, решения	207
Приложение	211

Учебное.издание
Пичурин Лев Федорович
ЛА с п*л НИЦ \ МИ УЧКЬНИКЛ ЛЛГКВРЫ
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Н. И. Никитина
Младшие редакторы Е. А. Буюклян, JL И. Заседателева
Художники В. Н. Варлашин, Е. Ю. Герчук, А. С. Побезинский, М. С. Се¬
ребряков, Е. П. Титков
Художественные редакторы Е. Р. Дашук, Ю. В. Пахомов
Редактор карт В. Б. Кузнецов
Технический редактор Г. В. Субочева
Корректор Н. С. Соболева
ИБ № 11755
Сдано в набор 24.02.89. Подписано к печати 28.11.89. Формат 70x90'/ie> Бум. офсетная Ml
Гарнит. школьная. Печать офсетная. Уел. печ. л. 10,88 + фора. 0,29. Уел. кр. о тт. 84,52.
Уч.-изд. л. 12,07-|-форз. 0,51. Тираж 500 000 8ка. Заказ 2060. Цена 85 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета
РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, З-й проезд
Марьиной рощи, 41.
Смоленский полиграфкомбинат Госкомиздата РСФСР. 214020, г. Смоленск, ул. Смольянинова, 1.