Тема 1. Балки и балочные системы
Методические рекомендации. Для изучения данной темы студент
должен иметь представление о видах опор и возникающих в них реакциях;
знать три формы уравнений равновесия и уметь их использовать для
определения реакций в опорах балочных систем; уметь выполнять проверку
правильности решения; иметь представление о статически определимых и
статически неопределимых системах.
1.1. Общее представление о балках и балочных системах
Очень часто в конструкциях встречаются тела удлиненной формы,
называемые брусьями.
Брус – это тело, один размер которого (длина) значительно больше двух
других (размеров поперечного сечения).
Брус прямолинейного очертания называют балкой (рис. 1.1 а),
криволинейного – аркой (рис. 1.1 б), ломаного – рамой (рис. 1.1 в).
Балка – конструктивная деталь в виде прямого бруса, закрепленная на
опорах и работающая на изгиб от действия приложенных к ней нагрузок.
Опоры балки предназначены для сопряжения ее с другими элементами и
передачи на них усилий.
а)

в)

б)
Рис. 1.1
1.2. Виды нагрузок
Нагрузки, действующие на конструкции по способу приложения принято
разделять на сосредоточенные и распределенные.
Сосредоточенной называется нагрузка, передача которой происходит на
пренебрежимо малой площадке (в точке). К сосредоточенным нагрузкам в
строительстве можно отнести опорное давление балки на стену, колонны на
фундамент и т.д. Сосредоточенные нагрузки изображают вектором,
приложенным в точке действия нагрузки, обозначают заглавными буквами
латинского алфавита и измеряют в ньютонах (Н) (рис. 1.2 а, б).
Но подавляющее большинство нагрузок в строительстве относится к
распределенным. Распределенной называется нагрузка, действующая по
значительной площади поверхности или длины линии. К распределенным
нагрузкам можно отнести веса большинства конструктивных элементов: балок,
плит, стен, давление снега на крышу, эксплуатационные нагрузки на
перекрытия зданий и т.д. Распределенная нагрузка характеризуется ее
интенсивностью q , т.е. величиной силы, приходящейся на единицу длины
5

нагруженного отрезка. Измеряется интенсивность в ньютонах, деленных на
метры (Н/м) (рис. 1.3 а, б). Интенсивность чаще является постоянной
величиной, но может быть и переменной.

Рис. 1.2

Рис. 1.3

Если интенсивность является величиной постоянной, то нагрузку
называют равномерно распределенной.
В задачах статики для абсолютно твердых тел распределенную нагрузку
можно заменить эквивалентной сосредоточенной силой. При равномерно
распределенной нагрузке ее можно найти по формуле
Q  qa

(1.1)

где: a - длина отрезка, по которому распределена нагрузка.
Приложена сила Q в середине отрезка АВ (рис. 1.4 а).

Рис. 1.4
Интенсивность может изменяться по линейному закону, например от
нуля до qm (рис. 1.4 б). Эквивалентная сосредоточенная сила будет
определяться аналогично равнодействующей сил тяжести, действующих на
однородную треугольную пластину ABC. Так как вес однородной пластины
пропорционален ее площади, то по модулю Q определяется как площадь
фигуры, образованной нагрузкой. Например, для нагрузки, распределенной по
закону треугольника (рис. 1.4 б)
1
Q  qm a .
2

(1.2)

Приложена сила Q в центре тяжести соответствующей фигуры, т.е. для
треугольника, на расстоянии

a
от стороны ВС треугольника ABC (рис. 1.4 б).
3

Закон изменения интенсивности может иметь и любой другой вид.
6

1.3. Виды опор. Цель решения задач
Любая конструкция (балка, ферма, арка, рама) оказывает давление на
опоры, т.е. тела, препятствующие ее перемещению. Силы, равные и
противоположные этому давлению, называются опорными реакциями.
Если нагрузки, действующие на конструкции, как правило, заданы, то
реакции опор, напротив, в задачах статики – искомые величины. Решение
многих задач статики сводится к определению именно реакций опор, с
помощью которых закрепляются балки, фермы и т.п.
Для определения каждой искомой реакции опоры обычно необходимо
знать ее направление. Направления реакций опор определяют в зависимости от
вида опор.
На практике наиболее часто встречаются опоры трех видов:
- шарнирно-подвижная опора;
- шарнирно-неподвижная опора;
- неподвижное защемление (жесткая заделка).
Шарнирно-неподвижная опора (рис. 1.5 а) препятствует любому
поступательному движению балки, но дает ей возможность свободно
поворачиваться вокруг оси шарнира. По своей конструкции такая шарнирная
опора состоит из двух обойм, одна из которых закреплена на балке, а другая –
на неподвижной поверхности. Эти обоймы соединяются при помощи
цилиндрического валика. В зависимости от действующих сил валик может
прижиматься к различным точкам обоймы. Реакция такой опоры Rb проходит
через ось шарнира, но неизвестна как по модулю, так и по направлению и,
следовательно, характеризуется двумя неизвестными величинами. Для их
Rb
нахождения
реакцию
необходимо
заменить
двумя
взаимно
перпендикулярными составляющими Rbx и Rby . Схематически такая опора
изображается двумя стержнями (рис. 1.5 б), шарнирно соединенными на одном
конце.

Рис. 1.5
7

Шарнирно-подвижная опора (рис. 1.5 в), представляет собой
неподвижный шарнир, нижняя обойма которого поставлена на катки, не
препятствующие ее перемещению параллельно опорной плоскости. Если не
учитывать трения катков, то линию действия реакции такой опоры следует
считать проходящей через центр шарнира перпендикулярно к опорной
плоскости. Таким образом, для шарнирно-подвижной опоры неизвестна только
величина реакции. Схематически такая опора изображается в виде одного
стержня с шарнирами по концам (рис. 1.5 г).
Жесткая заделка (рис. 1.6 а) препятствует любому поступательному
движению балки, и не дает ей возможности поворота. Реакции заделки
представляют собой силы, распределенные по всей опорной площади балки,
причем на нижнюю поверхность балки действуют силы, направленные вверх, а
на верхнюю – силы, направленные вниз. Считая эти силы приведенными к
центру А, мы можем заменить их одной наперед неизвестной силой R A ,
приложенной в этом центре, и парой с наперед неизвестным моментом M A . Эта
пара сил называется опорным моментом или моментом защемления. Силу R A
можно в свою очередь изобразить ее составляющими X A и Y A . Таким образом,
для нахождения реакции жесткой заделки необходимо определить три
неизвестных величины X A , Y A и M A . Схематически такая опора изображается в
виде плоскости защемления и пересекающейся с ней оси защемленной
конструкции (рис. 1.6 б).
а)

б)

Рис. 1.6
1.4. Условия равновесия произвольной системы сил. Решение задач
статики
Приступая к решению задачи статики, прежде всего устанавливают,
равновесие какого именно тела следует в данной задаче рассмотреть. Затем
следует изобразить все действующие на тело заданные силы и реакции
наложенных связей.
Далее составляют уравнения равновесия, применяя одну из известных в
статике форм. Обычно используют ту форму, которая приводит к более простой
системе уравнений. Наиболее простой является система уравнений, в каждое из
которых входит по одной неизвестной величине.
Для произвольной плоской системы сил существует три формы
уравнений равновесия.
Первая (основная) форма: для равновесия плоской произвольной системы
сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил системы на две
8

взаимно перпендикулярные оси были равны нулю и суммарный момент всех
сил системы относительно любой точки, лежащей в плоскости действия сил,
был равен нулю
n
 FiX  0
 i 1
n
 FiY  0
 i 1
n
 M i  0
 i 1

(1.3)

 FiХ  0

 M iA  0

 M iB  0

(1.4)

где n – число сил.
Часто применяется более простая форма записи уравнений, которую
далее и будем использовать, например  FiX  0 и т.д.
Вторая (вспомогательная) форма: для равновесия плоской произвольной
системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех сил
системы относительно двух любых точек А и В, лежащих в плоскости действия
сил, были равны нулю и сумма проекций сил на любую ось, не
перпендикулярную линии АВ, была равна нулю

Третья форма (уравнение трех моментов): для равновесия плоской
произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов
всех сил системы относительно трех любых точек А, В и С, находящихся в
плоскости действия сил, но не лежащих на одной прямой, были равны нулю
 М iА  0

 M iB  0

 M iC  0

(1.5)

Во всех случаях, для получения более простых уравнений равновесия,
следует придерживаться следующих рекомендаций:
1). составляя уравнения проекций, проводить координатную ось
перпендикулярно какой-нибудь неизвестной силе;
2). составляя уравнения моментов, брать центр моментов в точке, где
пересекается больше неизвестных сил.
При вычислении моментов иногда бывает удобно разложить заданную
силу на две составляющие и, пользуясь теоремой Вариньона о моменте
равнодействующей, находить момент силы как сумму моментов этих
составляющих.
1.5. Составные системы. Определение реакций опор составных
конструкций
В статике твердого тела наряду с равновесием одного тела
рассматривается равновесие так называемых составных систем, т.е.
совокупности твердых тел, касающихся друг друга своими поверхностями или
9

соединенных друг с другом шарнирами, гибкими нитями или стержнями. Эти
связи между телами одной системы принято называть внутренними, а связи,
присоединяющие систему к другим телам (например, к земле) – внешними.
В строительстве примерами составных систем могут служить
многопролетные составные балки (рис. 1.7 а), трехшарнирные арки (рис. 1.7 б),
многошарнирные рамы (рис. 1.7 в) и т.д.
а)

в)

б)

Рис. 1.7
Задачей статики при исследовании равновесия системы тел является
определение реакций наложенных на тела системы внешних связей. Для этого
основным является способ расчленения, при котором наряду с равновесием
всей системы тел рассматривается равновесие каждого отдельно взятого тела
системы. При этом все остальные тела системы и соответствующие связи
мысленно отбрасываются, а их действие на тело, равновесие которого
рассматривается, заменяется реакциями.
Следует заметить, что при рассмотрении равновесия всей системы
твердых тел, реакции связей между телами, входящими в систему, не должны
учитываться, т.е. они не входят в уравнения равновесия, как внутренние,
взаимно уравновешенные силы. А при рассмотрении равновесия каждого тела в
отдельности, соответствующие реакции связей, которые были мысленно
удалены, становятся внешними силами и входят в уравнения равновесия.
При это нужно помнить, что реакции внутренних связей прикладываются
к взаимодействующим телам на основании пятой аксиомы статики равными по
модулю и направленными в противоположные стороны.
Задачи на равновесие системы твердых тел, находящихся под действием
произвольной плоской системы сил, решаются с использованием уравнений
равновесия твердого тела (1.3)-(1.5), рассмотренных выше.
При решении задач на равновесие системы тел недостаточно, как
правило, рассмотреть равновесие этой системы в целом. Для всей системы
условия равновесия сводятся к трем уравнениям равновесия. В этом случае
число неизвестных реакция связей может быть больше числа уравнений
равновесия.
Однако это обстоятельство еще не делает систему статически
неопределимой, так как если разделить систему на отдельные твердые тела и
составить уравнения равновесия для каждого из них, то число полученных
неизвестных может быть меньше общего числа уравнений равновесия,
составленных для всех тел системы. Если число всех составленных таким обра10

зом независимых уравнений равновесия для всей системы и отдельных ее
частей не будет превышать число всех неизвестных, то такая задача является
статически определенной.
Методика решения задач на равновесие системы тел в целом повторяет
схему решения задач на равновесие обычного твердого тела. Сначала следует
выделить систему твердых тел и отдельные тела, входящие в систему,
равновесие которых надо рассмотреть, изобразить все действующие на тела
системы заданные силы и реакции наложенных связей. Затем:
1). сопоставить число неизвестных величин и число независимых
уравнений равновесия; эти числа должны быть равны, если задача является
статически определенной;
2). выбрать наиболее удобные системы координат; при этом для каждого
тела и для всей системы тел может быть
выбрана своя
система координат;
3). составить уравнения равновесия для каждого твердого тела;
4). решить систему всех уравнений равновесия.
В качестве примера рассмотрим плоскую конструкцию, состоящую из
двух твердых тел АС и BDC, связанных между собой внутренним шарниром С.
На конструкцию действуют сила Р , пара сил с моментом М и равномерно
распределенная нагрузка интенсивностью q (рис. 1.8).
В такой конструкции связи, соединяющие ее части, называются
внутренними (шарнир С), а связи, присоединяющие ее к другим телам
(например, к земле) – внешними (опоры А и В).
К рассматриваемой конструкции, кроме задаваемых сил, приложены
четыре реакции внешних связей – шарнирно-подвижной опоры А (одна реакция
R A ) и жесткого защемления В (три реакции
X B , YB , M B ). Определить реакции опор
этой
конструкции
при
помощи
составления уравнений равновесия сил,
приложенных ко всей системе, нельзя, так
как число неизвестных сил превышает
число уравнений равновесия (три для
произвольной плоской системы сил).
Чтобы определить реакции, мысленно отбрасываем не только внешние, но
и внутренние связи, т.е. разделяем
конструкцию
на
отдельные
тела,
Рис. 1.8
прикладывая к ним реакции отброшенных
связей (рис. 1.9).
Реакция R A шарнирно-подвижной опоры А перпендикулярна опорной
плоскости. Со стороны опоры В, осуществленной в виде жесткой заделки, на
конструкцию действуют реакция RB неизвестного направления, разложенная на
составляющие X B и YB , и пара сил с моментом M B .
11

а)

б)

Рис. 1.9
Реакции внутренней связи – шарнира С, приложенные к телам АС и BDC
(рис. 1.9 а, б), попарно равны по модулям и противоположны по направлениям.
Для систем сил, приложенных к телам АС и BDC, можно составить по три
уравнения равновесия сил в форме (1.3), и из этих шести уравнений определить
шесть неизвестных величин R A , X B , YB , M B , X C и YC .
Левая часть (рис. 1.9 а):

 Fix  X C  P sin   0

 Fiy  R A  YC  P cos  0

 M iC   R A l1  Pl1  0

2 cos

Правая часть (рис. 1.9 б):

 Fix  X B  X C  Q  0

 Fiy  YB  YC  0

 M iB  YC l 2  X C h1  Q 1 h1  h2   M  M B  0

2

Таким образом, рассмотренная задача является статически определенной.
Остается полученную систему уравнений решить в наиболее удобной
последовательности и определить все неизвестные величины.
Проверкой правильности решения будут являться уравнения проекций
сил, составленные для всей системы без расчленения ее на отдельные тела:
 Fix  P sin   Q  X B  0

 Fiy  R A  YB  P cos   0

Некоторые задачи решаются проще, если вместо уравнений равновесия
сил, приложенных к каждому из тел системы, использовать уравнения
равновесия сил, приложенных ко всей конструкции, добавив к ним уравнения
равновесия сил, приложенных к одному (любому) из тел системы. Но такой
метод не дает возможности проверки правильности выполненного решения.
12

1.6. Расчетно-графическая работа №1 «Определение реакций опор
составной конструкции (система двух тел)»
Требуется определить реакции опор составной конструкции,
изображенной на рисунке (рис. 1.10), загруженной указанными внешними
нагрузками. Размеры на схеме указаны в метрах. Величины нагрузок даны в
таблице 1.1.
Таблица 1.1 – Исходные данные для выполнения задания №1.
№ варианта
Р1, кН
Р2, кН
М, кН∙м
q, кН/м
1
5
20
2
2
2
10
4
3
10
15
3
4
2
4
5
6
5
4
7
0,5
6
15
6
3
7
20
40
4
8
7
14
13
2,5
9
25
15
10
10
5
4
8
11
30
16
5
12
14
19
1,5
13
3
9
5
14
6
18
15
20
15
8
12
25
16
11
10
2
17
12
8
4
18
10
30
6
19
4
15
2,5
20
2
3
9
8
21
4
35
5
22
13
4
1,5
23
3
15
9
4
24
6
20
12
1
25
5
10
9
26
18
24
16
27
15
11
2
28
5
16
8
29
7
6
2,5
30
2
4
32
3
31
10
7
40
3
32
3
15
10
5
33
20
2
13
2,5
34
7
5
5
4
13

1

2

3

4

5

6

7

8

Рис. 1.10 (начало)
14

9

10

11

12

13

14

15

16

Рис. 1.10 (продолжение)
15

17

18

19

20

21

22

23

24

Рис. 1.10 (продолжение)
16

25

26

27

28

29

30

31

32

Рис. 1.10 (продолжение)
17

33

34

Рис. 1.10 (окончание)
Пример выполнения задания №1.
Требуется
определить
реакции
опор
составной конструкции, изображенной на рисунке
1.11, загруженной силой Р1  2 кН, распределенной
нагрузкой q  5 кН/м и сосредоточенным моментом
M  10 кН∙м как показано на схеме. Размеры
указаны в метрах.
Решение
Чтобы определить реакции опор, мысленно
отбрасываем не только внешние, но и внутренние
связи, т.е. разделяем конструкцию на отдельные
части по внутреннему шарниру С, прикладывая к
ним реакции отброшенных связей (рис. 1.12).

Рис. 1.12
18

Рис. 1.11

Рассмотрим равновесие систем сил, приложенных к левой и правой
частям этой конструкции. Кроме задаваемых сил к рассматриваемой
конструкции приложены:
- реакция R A шарнирно-подвижной опоры А, перпендикулярная опорной
плоскости;
- реакция жесткой заделки В, разложенная на составляющие RB и H B , и
пара сил с моментом M B ;
- реакция внутреннего шарнира С, разложенная на составляющие RC и
H C , приложенные к левой и правой частям конструкции попарно.
Сопоставив число неизвестных величин (шесть реакций) и число
независимых уравнений равновесия (также в сумме шесть для левой и правой
части), делаем вывод, что задача является статически определенной.
Для удобства решения заменяем равномерно распределенную нагрузку
эквивалентной сосредоточенной силой, воспользовавшись формулой (1.1):
Q  4q  4  5  20 кН.
Выбираем наиболее удобные системы координат (см. рис. 1.12) и
составляем уравнения равновесия в основной форме (1.3) для каждой части
конструкции.
Левая часть:
 Fix  R A cos 45 0  H C  Q  0

0
 Fiy  R A cos 45  RC  P1  0

 M iC  R A d  Q  2  P  5  0

здесь: d - плечо действия реакции R A относительно точки С (рис. 1.12)
d  4  2,5cos 450  1,06 м.
Правая часть:
 Fix  H B  H C  0

 Fiy  RB  RC  0

 M iB  M  M B  H C  2  0

Решив уравнения, находим:

 Q  2  P  5  20  2  2  5

 47,17 кН;
d
1,06
RC  RA cos 45 0  P1  47,17 cos 45 0  2  35,35 кН;

RA 

H C  RA cos 45 0  Q  47,17 cos 45 0  20  13,35 кН;

H B  H C  13,35 кН;

RB  RC  35,35 кН;
M B  M  H C  2  10  13,35  2  36,7 кН∙м.

Выполняем проверку правильности решения, для чего составляем
уравнения проекций сил на оси х и у без расчленения конструкции на
отдельные тела (т.е. без учета реакций внутренней связи С):
19

0
0

 Fix  R A cos 45  H B  Q  47,17 cos 45  13,35  20  33,35  33,35  0

0
0

 Fiy  R A cos 45  RB  P1  47,17 cos 45  35,35  2  35,35  35,35  0

Решение выполнено верно.
Ответ: R A  47,17 кН; RB  35,35 кН; H B  13,35 кН; M B  36,7 кН∙м.

20