Текст
                    СБОРНИК
ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ ВТУЗОВ
ЛИНЕЙНАЯ
АЛГЕБРА
И ОСНОВЫ
Л4АТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВТУЗОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Под редакцией А. В, ЕФИМОВА» Б. П. ДЕМИДОВИЧА ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов высших технических учебных заведений 0 МОСКВА «НАУКА* ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 19 В6
ББК 22.1 С23 УДК 51(075.8) Коллектив авторовз В. А. БОЛГОВ, Б. П. ДЕМИДОВИЧ, А. В. ЕФИМОВ, А. Ф. КАРАКУЛИН, С. М. КОГАН, Е. Ф. ПОРШНЕВА, А.'С. ПОСПЕЛОВ, Р. Я. ШОСТАК : ! | ... I . Сборник задач по математике для втузов» Ч, 1. Линейная алгебра й {основы математического анализа.* Учеб» пособие для7 втузов. 1 Болгов " В*. А.,- Демидович Б\ П., Ефимов А» В. и др; Под ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича.— 2-е изд,— Мл Наука. Гл. ред. фйз.-мат. лит., 1986 г.—464 с. - ' ' <* г,_ Содержит задачи по линейной алгебре и аналитической' Геометрии,- дифференциальному Й интегральному исчислению функций одной и нескольких переменных. Краткие теоретические сведения^/снабжен- ные большим .количеством разобранных примеров, позволяю^ исполь- зовать сборник для всех видов обучения. Для студентов первых курсов высших технических учебных за- ведений. Рецензент. кафедра специальных курсов высшей математики Московского энергетического института „ 17О2ОЁО0ОО—039 С 053(02)-86~ 62~86 © Издательство «Наука» Главная редакция • физико-математической литературы, 1981} с изменениями, 1986
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ко второму изданий) . ... .................. . 1' Из предисловия к первому изданию . <.............;........... 7, Глава 1. Введение в анализ.................................... 9 § 1. Действительные числа. Множества. Логическая сим- волика .................................................... 9 1. Понятие действительного числа (9). 2. Множества и операции над ними (11). 3. Верхние и нижние грани (15). 4. Логическая символика (17). § 2. Функции действительной переменной............ . . 19 1. Понятие функции (19). 2. Элементарные функции и их графики (23). § 3. Предел последовательности действительных чисел . . 26 1. Понятие последовательности (26). 2. Предел после- довательности (26). § 4. Предел функций. Непрерывность . , ............. . .29 1. Предел функции (29). 2. Бесконечно малые и бес- конечно большие (33). 3. Непрерывность функций в точке. Классификация точек разрыва (35). 4. Непре- рывность на множестве. Равномерная непрерывность (37). . " . § 5. Комплексные числа................................‘ 39' 1. Алгебраические операции над комплексными чис- лами (39). 2. Многочлены и алгебраические ’уравне-’’ (46) . '3/-Нр'едёк:(йЪсЛеДОваТёлйнЬс^и; комплексных чисел (48). V Глава 2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия . . 51 § 1. Векторная алгебра ................................... 51 1. Линейные операции над векторами (51). 2. Базис и координаты вектора (54). 3. Декартовы прямоуголь- ные координаты точки. Простейшие задачи аналити- ческой геометрии (57). 4. Скалярное произведение векторов (61). 5. Векторное произведение векторов (65). 6. Смешанное произведение векторов (67). § 2. Линейные геометрйческие объекты...................... 69 1. Прямая на плоскости (69). 2. Плоскость и прямая в пространстве (75). § 3. Кривые на плоскости.................................. 82 1. Уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе координат (82). 2. Алгебраические кривые второго порядка (84).. 3. Уравнение кривой в поляр- ной системе координат (93). 4.’ Параметрические урав- 3
нения кривой (96). 5. Некоторые кривые/ Лвбтрёчаю- .щиеся в математике, „и ее приложениях. 496К 5 4. Поверхности и кривые в пространстве - . ... > • . . 102 ... 1., Уравнения поверхности и. кривой в декартовой пря- моугольной системе координат (102k 2. Алгебраиче- . ские поверхности второго порядка (105). 3. Классифи- кация поверхностей по типу преобразований простран- ства . (10Q). Глава 3. Определители и матрицы. Системы линейных урав- нений .................. . . ♦ . . 115 § 1. Определители.............................. 115 , 1. Определители 2-го и З^го порядка (115). 2. Опреде- лители п-го порядка (И8). 3. Основные методы вычисле- .: ния оп редел ителей n-го порядка (120). § 2. Матрицы .................. • • ♦ . . 124 1. Операции над матрицами (124). 2. Обратная матри- : ца (127). § .3. Пространство арифметических векторов. Ранг матрицы 130 . 1_. Арифметические векторы (130). 2. Ранг, матрицы • (’33), - § 4. Системы линейных уравнений ............ 137 1. Правило Крамера (137). 2. Решение произвольных : систем (139). 3. Однородные системы (142). 4. Метод последовательных исключений Жордана — Гаусса (145). § 5. Некоторые вычислительные задачи линейной алгебры 147 1., Операции над матрицами (147). 2. Вычисление определителей. (149). 3. Системы линейных уравнений . ' (151). Глава 4. Элементы линейной алгебры............... 155 §"1. Линейные пространства и пространства, со скалярным произведением «.................................. , . . 155 1. Линейное пространство (155). 2. Подпространства и линейные многообразия (162). 3. Пространства со ска- лярным произведением (164). § 2; Линейные операторы............................... 168 1. Алгебра линейных операторов (168). 2. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора (174). 3. Линейные операторы в пространствах со ска- лярным произведением (177). 4. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду (181). § 3. Билинейные и квадратичные формы.................. 183 1. Линейные формы (183). 2. Билинейные формы (184). 3. Квадратичные формы (185). 4. Кривые и поверхно- сти второго порядка (189). Глава 5. Дифференциальное исчисление функций одной пере- менной 193 § 1. Производная.................................. 193 1. Определение производной. Дифференцирование явно заданных функций (193). 2. Дифференцирование функ- ций, заданных неявно или параметрически (201). - 3. Производные высших порядков (204). 4. Геометри- ческие и механические приложения производной (208). 4
§.2а. Дифференциал •. . >1^ ч . . 211 1. Дифференциал 1-гб порядка t (211).":2. Дифференци- алы*вы<ших поряьков (215). ’ ; ‘ §3; Теоремы о дйффёрейцйруёмых: функциях.1 Формула -Тейлора . ". . . V7 , • • • • • . . VVA . . ^216 1Г-Теоремы о среднем (216). 2. ПравилоЧЛокиталя — 1’БёрнуЛЛи (217)\ 3. Формула Тейлор а(222). 4 /§ 4. Исследование функций и построение графиков л;. 225 - 1. Возрастание и убывание функции. Экстремум (225). { 2.4 Направление выпуклости: Точкй перегиба (229). 3. Асимптоты (231). 4. Построение графиков функций (232). § 5. Векторные и комплексные’ функции действительной > -переменной . . ;. . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 1. Определение ; вектор-фу нкц-ии действительной Нере- , менной (237). 2. Дифференцирование вектор-функции.: tt *м(238). & Касательная к пространственной1 Кривой и нормальная плоскость (240). 4. Дифференциальные ivг- характеристики "плоских кривых (244). 5. Дифферен-* г да-альные характеристики пространственных ‘ кривых (244) . 6. Комплексные функции действительной пере- менной (248). л ; -v’; ' ’ § 6. Численные методы функций одной переменной . . . 250 -Т; Численное решение ’ уравнений (250). 2. Интерполи- ?/-1 рование функций (256). 3. Численное дифференцирр- • Звание (263). • ' л aW 6. Интегральное исчисление функций одной перемен- ной ............................................. ...... 267 § 1. Основные методы вычисления неопределенного инте- грала ........................... .................. 267 4? ‘ Первообразная и; ‘Неопределённый интеграл (267).’ 2. Метод замены переменной (270). 3. Метод, йнтегри- ; ‘ровайия по: частям (273): ' § 2'- Интегрирований основных классов‘элементарных функ- ций ................................... . . .. у . .... 276 • 1. Интегрирование рациональных дробей (276). 2.Ин-' г'г тёгрирование ' триГОйдмётрических ' и гиперболических фуйкций '(281)!., : 3. ИптёгрироёаНйё Некоторых йрр'йцио- нйльных функций (286). : : §г 3‘. Смешанные задачи на интегрирование / . . . ’V-T . . 289 § 4. Определённый иHtei*pал й ‘мётоДьг ёгд‘ вычисления .. 290 1. Определенный йнтёйрал как' 'предел: ийтеграЛьной ' Ь •Л 'суммь1! ?(!290).; 2’, Вычисление ирбётейших интегралов ‘ ’6 ’ помощью1 'формулы. Ньютона—Лейбница (292). 3. Свойства определенного интеграла][(294).‘ 4. Замена переменной в определенном интеграле (298). 5. Инте- грирование по частям (299); § 5. Несобственные интегралы........................ 300 1. Интегралы с бесконечными пределами :(300).,- 2. Интегралы от неограниченных, функций (303). § 6. Геометрические приложения определенного интеграла 306' L Площадь плоской фигуры (306). 2. Длина дуги кри- вой (311). 3. Площадь поверхности, вращения (314). 4. Объем тела (317). 5
§ 1. Приложения определенного интеграла к решению неко- торых задач механики и физики . , ..................... 320 1. Моменты и центры масс плоских кривых (320). 2. Физические задачи (322). § 8. Численное интегрирование функций одной переменной 327 Г л £ в а 7. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных................................................. 334 § 1. Основные понятия ............................... 334 1. Понятие функции нескольких переменных (334). 2. Пределен непрерывность функции (336). 3. Частные производные (339). 4. Дифференциал функции и его . ... .. применение (342). * § 2. Дифференцирование сложных и неявных функций . . 346 1. Сложные функции одной и нескольких независи- мых переменных (346). 2. Неявные функции одной и нескольких независимых переменных (349). 3. Системы неявных и параметрически заданных функций (352). 4. Замена переменных в дифференциальных выраже- * '.' ниях (354). > . • - § 3. Приложения частных производных <......• . . 359 .V. м 1. Формула Тейлора (359). 2. Экстремум функции . ?1< (361).Л3.. Условный экстремум (363)., 4. Наибольшее и. наименьшее' значения функции (365). 5. Геометриче-' ские приложения Частных производных (368). < ’ §4. Приближенные числа и действия над ними < . <’7 374 * / 1. Абсолютная, и .относительная погрешности (374). 2. Действия над приближенными числами (376), Ответы.. .. ~ . .7..; . ... .. .. . ... . . .г 379
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Второе издание настоящего сборника задач несуществен- но отличается от первого издания. Наиболее употреби- тельные разделы сборника расширены за счет включения циклов новых задач. Исправлены замеченные опечатки, уточнены формулировки и ответы ряда задач. Для удобства пользования задачником по многочисленным просьбам пре- подавателей ответы на все задачи помещены в конце сбор- ника, а нумерация задач, в отличие от первого издания, дана по главам, так что номер каждой задачи состоит из номера главы и порядкового номера задачи в этой главе. > Указанная работа была выполнена членами авторского коллектива Ефимовым А. В., Каракулиным А. Ф., Ко- ганом С. М. и Поспеловым А. С. ’* Авторы искренне признательны всем лицам, прислав- шим свои замечания к первому изданию сборника, а также сотрудникам кафедры специальных курсов высшей математики МЭИ, ценные указания которых были учтены при окончательном редактировании настоящего издания. ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Идея создания «Сборника задач по математике для втузов», содержащего задачи по всем разделам курса ма- тематики инженерно-технических специальностей вузов, принадлежит Б. П. Демидовичу. Однако преждевременная смерть профессора Б. П. Демидовича помешала ему осуще- ствить эту работу. Настоящий «Сборник задач», подготов- ленный авторским коллективом, имеющим большой педаго- гический опыт работы во втузах,— воплощение в жизнь идеи Б. П. Демидовича. Общая структура «Сборника задач» предложена редак- тором А. В. Ефимовым и отражает содержание программы по математике для инженерно-технических специальностей вузов, рассчитанной на 510 часов и утвержденной Учебно- 7
методическим управлением по высшему образованию Мин- вуза СССР 14 мая 1979 г., При составлении «Сборника задач» нашел отражение и опыт преподавания курса ма- тематики в Московском институте электронной техники, рассчитанного на 600—700 часов. В сборник включены задачи и примеры по всем раз- делам втузовского курса математики. С целью закрепле- ния материала школьной программы в нем, кроме того, приведен ряд задач, позволяющих более углубленно по- вторить основные разделы анализа и векторной алгебры, изучаемые в школе. > Одной из основных особенностей'настоящего Сборника является включение в большинство глав цикла расчет- 1 вых- задач, решение которых Требует использования ЭВМ. ^Предлагаемая первая./часть. сборника «Линейная ал- гебра и основы математического анализа» включает те разделы математики, которые, как правило, изучаются - на; первом курсе. Сюда относятся векторная алгебра ^эле- ментами аналитической геометрии, линейная алгебра, ^так- же. дйфференцкада функции одной и, не- скольких переменных и интегральное исчисление.функций одной переменной. .• Каждый раздел сборника задач снабжен кратким вве- дением, содержащим как необходимые*теоретические*све- дения (определения, ^формулы-, теоремы)* так и /большое число подробно разобранных примеров. /Начало. ..решения примеров и задач отмечено знаком а конец—зна- ком ‘ Указания/ к ‘ решениям выделяются 'знаком е. К задачам, номера которых помечены.соответственно одной или двумя звездочками,, указания или решения даются в разделе «Ответы». !* . 8
х Глава 1 . •>.. ';ВЬЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ -.GJ § 1. Действительные числа. Множества. , . м . , Логическая, символика м»., .1. Понятие действительного числа. Из курса математики средней х шкбль1< известно, что всякое неотрицательное действительное число 4“ др представляется бесконечной десятичной дробью .. . * . WA* . (1) >:* где. наибольшее целоечисло, не превосходящее я и называемое .целой частью числах, xn^{0, 1, 2, ...» 9} для любого При этом дроби, у которых хй==9 для всех п0> (n:Q—некото- рое Натуральное число), обычно Исключаются из рассмотрения в'силу • — Следующих равенств: [х],999... = [л]4-1, ... .[х1,х1ха.,:.,хПо_т999... = [х],х1х2... (Xno-i+l) ,(по> 1, ф 9). ; г Действительное число х рационально, т. е* представимо в виде :-’iH Отношения — , т, в том и только в том случае, когда дробь (1) * периодическая. В противном случае число х иррационально. \ . Абсолютной величиной или модулем действительного числа .х на- 51; взываетсянеотрицательйое число ' { Xi если х^ 0, —х, если х < 0. Предполагается, что правила сравнения действительных чисел, а также арифметические операции над ними известны из курса матема- тики средней школы. 1.1. Доказать, что число 0,1010010001...10...01... п иррационально. Выписать по три первых члена из после- довательностей конечных десятичных дробей, приближаю- щих это число с недостатком и с избытком. 1.2. Следующие числа представить в виде правильных рациональных дробей: а) 1,(2); б) 3,00(3); в) 0,110(26)? 9
1.3. Доказать, что число 1g5 иррационально. ч «4 Предположим, что 1g 5—рациональное число, т, е. . г т - 1g5 = ==; т, Тогда: т 10" =5, 10^=5*, 2т-Ът^Ъп, Но последнее равенство невозможно: число 2 входит в разложение левой части на простые множители, но не входит в аналогичное раз- ложение для правой части, что противоречит единственности разло- жения целых чисел на простые множители. Поэтому исходное пред- положение неверно, и, следовательно, число 1g 5 иррационально. > Доказать, что следующие числа иррациональны.’ 1.4. К3. 1.5. \^р, р—простое число, п>1. 1.6. 2 + КЗ. 1.7. К2+КЗ . 1.8. log3p, р—простое число. 1.9. — + лп, п € Z, если известно, что п иррационально. В задачах 1.10^—1.13 сравнить указанные числа. 1.10. |?2—Кб и КЗ—2. <3 Предположим, что верно неравенство К2 — Кб < КТ—2. Тогда: К2+2 < КТ+К&, 6+4 К2 < 8+2 К15. 2К2 < 1 + КП>, 8< 16+2 КТ5. (2) Так как последнее" неравенство верно, то в силу обратимости выполненных преобразований верно и исходное неравенство' (2)Т > 1.11. log, 4 И log) /3 4 . ’ ''' 1.1Ц1)1ё!т и (4)— 1ЛЗ- 1о&ов.4и Е Не пользуясь таблицами, доказать следующие число- вые неравенства: 1.14. Iogs10 + 41g3> 4. 1.15. *;+тД—>2. г 6 log»rt 1 log6Jt 1.16. log, 26 > log, 17. 10
. 1.17. Доказать, что модуль действительного числа обладает следующими свойствами: : а) |х| = тах{х, —х}; б) |х */| = И-|у| и = [ij; в) |*+«/]<И+1*/| И х—t/|>||x|—[*/Н (неравенства треугольника)', г) Их2 = | х (. Решить уравнения: Х-1Л8. |3х—4| = 1/2. 1.19. Kj? + x3 = 0.- ! 1.20. 1—х2 + 2х—31 = 1. 1.21. = 1 I *4-1 I 1.22. К(х—2)2 =-х } 2. Решить- неравенства: 1.23. |х—2|>1. 1.24. |х2—7х+12| >х2—7х |12. 1.25. х2 + 2 !/(«+ 3)2 —10< 0. 1.26. < 4-' х. ^72У/ |Х(а;4-'1)2 < —х—I. 2. Множества операции над ними. Под множеством понимается любая совокупность объектов, называемых элементами множества. Запись а£А означает, что объект а есть элемент множества А (принадлежит множеству Д);<?в> противном» случае пишут п(£Л.. Мно- жество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом 0. Запись А е: В (А содержится в В) озна- чает, что каждый элемент множества А является элементом м^ртке- (£гва В, в этом случае множество А называется подмножеством мно- жества В. Множества АI й В называют равными (А— В), если Асе В и Вс Л. Существуют два основных способа задания (описания) множеств. а) Множество А определяется непосредственным перечислением всех своих элементов а19 ,..., ап, т. е. записывается в виде ,.............. A = {ait аг, ап}. \ б). Множество А определяется как совокупность.тех и только тех элементов из некоторого основного множества Т, которые обладают Общим свойством а. В этом случае используется обозначение Л-{х€7|сс(х)}, где запись q (x)! означает, что элемент х обладает свойством а. Пример 1. ОпйбаТь ^перечислением элементов множество ,f Л^{х€^4 (х--3)(х2_-.1)==р и х^О}. <4 А е^тъ множество всех целых неотрицательных корней уравнения (3—3) (%2—1)= 0» Следовательно, Л = {1, 3}. > Объединение^ множеств А и В называется множество Ли#=={*1*(ЕЛ или xgB},
Пересечением множеств А и В называется множество и я £8}. Разностью множеств А и В называется .множество А\В = {х|х(М и хфВ}* Если, в частности, А-^подмножество некоторого универсального Мно- жества Т, то разность 7\А обозначается символом А и называется дополнением* множества А (до множества Г). 1.28. Установить, какая из двух записей верна; а) {1, 2} € {1, 2, {1, 2, 3}} или {1, 2}а{1, 2, {1, 2, 3}}; ОЛШЬММЙ иди {1,2}а{Г2, {1, <; г В задачах 1.29—1.34 указанные множества . задать перечислением всех своих элементов. 1.29. Д = {х£^|х8 —Зх2 + 2х = 0}. . > 1.30. Д = ^х£К|х + Л^.2: и х>о|ч 1.31. Д = {х€М хг—Зх—4<0}. • 1.32. 4 = {x£Z ^-<2*<5}. 1.зз^ д=^х е N | iog1/2 Л <( г|..., . г < • 1.34. Д = {х G R | cos2 2х = 1 и 0<х^2я}. Изобразить на- координатной плоскости следующие множества: 1.35. {(х, z/)G R2'jx + y—2 = 0}. 1.36. {(х, «/)GR2|x2—г/2>0}. 4.37. {(х, у) £ R21 (х2-!)(// +2) = 0}. 1.38. {(х, у) g R2 у>|/2х'+1 й 2х + Т>0}. 1.39? {(х, y)£R* {/2 > 2х+1}. = : ! 1.40. {(х, y)£R2 2х+1=у* + 4 и 2х~1:^у}. 1.41. {(x,t/)eR2 cos2x = co3.2t/}. , ... 1.42. J(x, ^.GR2- —x.#=.0, \ .... ...л I У J • ‘ • J 4 1.43. Описать перечислением верх элементов множества Лп5» Д\В и В\Д, если Д = + 20^0}, B=={x^KU2—х+12 = 0}. Запись m\nt где tn, n^Z, означает, что число /лесть делитель числа п. Описать следующие множества; , 1.44. {xgN|х|8 и %#=!}., 1>45. ,{x€Z|8|x}., 1.46. {xgN |х|12} n{x€N | х|8}. 12
1.47. {хЭДдад л иен | ад. 1.48. Доказать, что: а) равенство Af]B = B верно в том и только в том случае, когда ВаА\ <? б) равенство А и В — В верно в том и только в том случае, когда А(~В. • и 1.49. Пусть Л = (—1, 2] и В = [1, 4). Найти множества Л U В, Л Л В, Л\В, В\Л и изобразить их на числовой оси. Приняв отрезок Т = [0, 1] за универсальное множество, найти и изобразить на числовой оси дополнения следую- щих множеств: .. * -.-••• 1.50. {0, 1}. 1.51. (1/4, 1/2). 1.52. (0, 1/2]. 1.53. {1/4} U [3/4, Т). 1.54. Доказать/что операция взятия дополнения обла- дает свойством рефлексивности: а также связана с отношением включения с и опера- циями U и Л следующими законами двойственности: если ЛсзВ, то Лг?В; А\]В = А{}В и Л ПВ = Л иВ. 1.55. Доказать, что операции U и П связаны зако- нами дистрибутивности: (Л иВ)пС = (Л nQU(BnC), (Л Л В) U С-(Л иС)П(ВиС). Используя результаты задач 1.54 и 1.55, доказать следующие равенства: 1.56. Л\В Л(Л иВ)^Л. «4 Так как A (JB — А то левая часть доказываемого равенства принимает вид И\В) Л (ТО) - (Л\В) и (Л л В) - А ► 1.57. Л\В = ЛлВ. 1.58. Л\В-ЛиВ. 1.59. ЛЛ(ЖВ)-ЛЛВ. Операции U и Л естественным образом обобщаются на случай произвольного (конечного или бесконечного) семейства множеств. Пусть, например, задано семейство множеств Ani ngN- Объединение множеств этого семейства обозначается символом U Ап и определя- ла N 13
етсЯ как множество всех тех элементов, каждый из которых принад- лежит по меньшей мере одному из множеств Ап. Пересечение П Ап пе N определяется как множество всех элементов, принадлежащих каждому из множеств Ап. Для заданных семейств множеств Ап, ngN, найти U Ап и П Д„: п е N пе N 1.60. 3„ = {xgZ|— 1.61. А„ = {3п—2, Зп —1}. 1.62. л,_{1, ±4..........1}. 1.63. Пусть А—множество всех точек плоскости, обра- зующих стороны некоторого треугольника, вписанного в заданную окружность. Описать (словесно) объединение и пересечение всех таких множеств, если: - а) треугольники произвольные; б) треугольники правильные; в) треугольники прямоугольные. Множество X называется счетным, если может быть установлено взаимно однозначное соответствие между элементами этого множества и элементами множества N всех натуральных чисел. Пример 2. Показать, что множество 2 всех целых чисел счетно., <4 Установим взаимно однозначное соответствие между элементами этого множества и натуральными числами, например, упорядочив мно- жество 2 следующим образом: 0, 1,-1, 2, —2, 3, —3, ..., а затем всякому целому числу поставив в соответствие его порядко- вый ..номер в этой последовательности. > Доказать, что следующие множества счетиы: 164. {neN|n = 2A>, 1.65. {n£N\n = k\ £€N}. --о* 1.66. {n'eN|n-2*, 1.67. Доказать, что если множество X счетно и А <“ X—• его; бесконечное подмножество, то множество А также счетно. Используя этот результат, доказать, что мно.т жество {neZ\n = k2—А+1, счетно. 1.68. Пусть Xi9 Х5, ...» Хп>...—счетные множества. Доказать, что их объединение U Хп—счетное множество. neN 14
Пусть Хл=; {xn? f, xn, a, ..., xn, ...}. Тогда элементы множества , у Хп можно записать в виде следующей таблицы: леМ * 1,1, *i, 2, •••» *!,ъ • ••> * 2,1, *2,2» •••» *2, /> •••, * n, I, *п, 2, • • •» *л, Z» • • • Для того чтобы доказать счетность множества U Хи, достаточно Л € N теперь занумеровать каким-либо образом все элементы этой таблицы. Используя результат задачи 1.68, доказать, что сле- дующие множества счетны- ;/1.69. Q = R]x = —- для некоторых т, 0h3z|~ множество всех рациональных чисел. 1.70. Множество всех точек плоскости с рациональ- ными координатами. • ‘ ; 1.71. Множество всех многочленов с рациональными крэффцци^цтами. . ' ’к’' Верхние и Нижние грани. Пусть X—произвольное непустое множество действительных чисел. Число Л1 = гпахХ называется най- ёЬльшимг'(максимальным) элементом множества' X, если М'(~Х и для всякого xgX выполняется неравенство х*^М. Аналогично определя- ется при яуце наименьшего (минимального) элемента m==min.X множе- ства Xi’ ’'" Множество X называется ограниченным сверху, если существует действительное число а такое, что х^а для всех х£Х. Всякое число, обладающее этим свойством, называется верхней гранью множества X. Для4 ЗАданнбТо ограниченного сверху множества X множество всех его верхних граней имеет наименьший элемент, которой' называется точной верхней гранью множества X и обозначается символом sup X. Очевидно, sup X ==max X тогда и только тогда, когда sup X £ X. Аналогично определяются понятия . ограниченного снизу множе- ства, нижней грани и точной нижней грани множества X; последняя обозначается символом inf X, Множество X, ограниченное сверху и снизу, называется ограни- ченным. Пример 3. Найти точные верхнюю и нижнюю грани множе- ства [0, 1). <41 Это множество не имеет наибольшего элемента, так как для вся- кого х£[0, 1) найдётся у£[®, 1) такое, что у > х. Множество верхних граней для полуинтервала [0, 1)—это множество [1, -)-оо) с наимень- шим элементом, равным^ 1. Поэтому sup [0, 1) = 1, примем. !£Ю, 1). , С другой стороны, наименьший элемент для рассматриваемого множества [0, 1) существует и равен 0. Множество нижних граней — это множество (—оо, 0] с наибольшим элементом, равным нулю, ко- 15
торьгй и являете й Точной нижней гранью полуинтервала [0, 1). Таким образом, i,!' fnin [0, 1) = inf [О, I) — 0. > Г.72. Доказать/ что приведенное выше определение точной верхней грани эквивалентно следующему: Число М есть точная верхняя грань множества X в том и только в; том случае, если: 1) х^М для всех х^Х; 2) для всякого. е;> 0 найдется элемент х£Х такой, что х > М—е. 1.73. Пусть Х = /1, 4-. ......... ..Д. а) Указать наименьший и наибольший элементы этого множества, если они существуют. б) Каковы множества верхних и нижних граней для множества' Х?‘ Найти sup X и inf X. Для следующих множеств найти maxX, minX, supX и infX, если они существуют: 1.74. Х = = nCNj-. Г.75. Х = [—1, 1]. ! 1.76. X = {х е z I — 5 х < 0}. 1.77. X = {х еR | X < 0}. 1.78. X = R|х = ; m, и m<n|. 1.79» Пусть X—множество всех рациональных чисел, удовлетворяющих условию г2 < 2. Показать, что множе- ство X не имеет наибольшего элемента. Найти supX. 1.80. Пусть XczR—произвольное ограниченное мно- жество. Доказать, что множество —X = {х| —х С X} также ограничено и справедливы равенства sup (—X) = —inf X, inf (—X) = —sup X. 1.81. Пусть X, KczR—произвольные ограниченные сверху множества. Доказать, что множество X -р Y — [z GR | г'== x-f-y, х^Х, y£Y} ограничено сверху и sup (X 4- У) =1 sup X + sup У, 1.82. Пусть XczR—ограниченное сверху и Ус:К — ограниченное снизу множества. Доказать, что множество X—Y — {z^R.\z — x—у, х^Х, y^Y} ограничено сверху и , sup (X—У) - sup X inf У. 16 :
4. Логическая символика,... При. записи математических рассужде- ний целесообразно применять экономную символику, используемую- : в логике. Мы укажем здесь лишь несколько наиболее простых *и употребительных символов. Пусть а, р, ...—г некоторые высказывания или утверждения* т, е. повествовательные предложения, относительно каждого из которых можно сказать, истинно оно или ложно. Запись а означает «не а», т. е. отрицание утверждения а; Запись а => р означает: «из утверждения а следует утвержде- ние р» (=>—символ импликации). Запись а р означает: «утверждение Л эквивалентно утвержде- нию р», т. е. из а следует Р и из Р следует а —символ 'эквива- лентности). Запись а Л Р означает «а и Р» (Л —символ конъюнкции). , Запись а V Р означает «а или р» (v—символ дизъюнкции). Запись yxgXa(x) означает: «для всякого элемента х£Х истинно утверждение (у,—квантор всеобщности). х Запись а (х) означает: «существует элемент х£Х такой, что для него истинно утверждение а (х)» (д—квантор существования}. •Если элемент х(^Х, для которого истинно утверждение а (х), не только существует, но и единствен, то пишут: Э! х£Х а (х). П р и м е р 4. Используя логическую символику, записать утверж- дение: «число М есть точная верхняя грань множества X». Утверждение M = supx означает, что выполнены условия; а) VxgX(x^ /И) (т. е. М —верхняя грань множества X); б) уЛ£1К (VxgX (х^. А) =5> А М) (т. е. М -г наименьшая из верхних граней множества X). Условие б) может быть записано также в следующей эквивалент- ной форме (см. задачу 1.72): уе > 0 gxg X (х >'Л4—е). ► Пример б. Используя логическую символику, сформулировать принцип математической индукции. ◄ Пусть а—некоторое утверждение, имеющее смысл для всех/tgN- Введем множество Л = {ngN | « (п)}, т. е. множество всех тех натуральных чисёл, Гдля которых утверж- дение а истинно. Тогда принцип математической индукции можно сформулировать следующим образом: ((1€А)Л(п€Л=>(п+1)€Л))=>Л = |Ч. (3) Так как запись а (п) означает, что утверждение а истинно для числа ngN, то утверждение (3) можно записать и иначе: (а (1) Л (а(п) ±=4> а'(п + 1))) =» VngNa (п). ► 07
П р и мер 64 Записать отрицания высказываний: yxgXa(x) и 3xgXa(X). Отрицание высказывания ух gX ot (х) имеет видЗх^Ха(х) (суще- ствует элемент х^Х такой, для которого утверждение а (х) ложно). Иначе говоря, для любого утверждения а истинно следующее выска- зывание: ух g X а (х) & зх g X а (х). Аналогично Зх g X а (х) ФФ ух g X а (х). ► Пример 7. Используя логические символы, записать утверж- дение: «функция f: X—> R, XczR, непрерывна в точке а так- же его отрицание. ◄ Исходное утверждение: v ...;з . . уе > 0 Зб ух еX (| х-а ) < 6 => | f (х) (п)| < е) (для любого е>0 найдется б такое, что для любого числа- х^Х/ удовлетворяющего условию |х—а\ < 6, выполняется неравенство Отрицание этого утверждения: 38 > Оубзх.^Х (|х—а| < б Л [/(х)—J(а)|^е) (существует ;8-> 0 такое, что для любого б найдется число -х^Х, удовлетворяющее условиям |х—а| < б и | f е). ► А ГЧ. . * .. . . Д._ -J я| Л;ч i .Прочитать приведенные ниже высказывания, выяснить их^смЫел и установить, истинны они или ложны >(симво-,- лаМй’.х, у, 2, а, Ь, с всюду, где это специально не ойова-1 р'Дваётся, обозначены действительные числа). ' 1.83. a) Vx3z/(x44/=^3); б) 3#Vx(x4-w== 3);. ^ ««м:- в) а», у[х+у = 3)\ г) Vx, у(х+у = 3). 1.84. Зх, у(х>у> О А *4-0 = 0). . ,1.85.. Vx, у (х < у) <=>Зг (х < z < у). 1.86. Vx, у (х2 2у^). 1,87. Vx (х2 > х Ф»х> 1 V х < 0). . .. 1,88. Vx(x> 2/\х> 3«2<х<3). 1.89. Зх (Ихг < х). 1.90. а) Vа, Ь, с (Зх (ох2 + Ьх + с = 0) Ь2—4ac^ t)); б) V«, Ь, с (Vx (ах2 + 6х + с > 0) 4=> —4ас<0Да>0). 1.91. a) Vft3aVx(x2+ax + fo> 0); б) 3& Va3x(x2 + ax+6 = 0); в) За Vfe Зх (х2 4- ах 4- b = 0). Установить точный смысл приведенных ниже выска- зываний и записать их с использованием логической сим- волики, сформулировать и записать их отрицания. -=1.92. а) Число х0 есть решение уравнения f(x)^O. <6) Число х0 есть единственное решение уравнения /(Х) = О. -нс:-.
в) Уравнение f(x) = 0 имеет единственное действитель- ное решение. 1.93. а) Множество Хс К ограничено сверху. б) Число, т есть наименьший элемент множества X. ' в) Множество X имеет наименьший элемент. 1.94. а) Число mgZ является делителем числа n£Z, или в краткой записи: т\п. б) Если число п С Z делится на 2 и на 3, то оно делится на 6. в) Число pgN простое; § 2. Функции действительной переменной 1. Понятие функции. Пусть D—произвольное множество дейст- вительных чисел. Если каждому числу x£D поставлено в соответ-, ствие некоторое вполне определенное действительное число f (х), то говорят, что на множестве D определена числовая функция f. Мно- жество D называется областью определения, а множество » — множеством значений числовой функции Л Символически функция, записывается в виде f: D—*Е или y = f(x). Наиболее распространенным является аналитический способ зада- ния функции. Он состоит в том, что с помощью формулы конкретно устанавливается алгоритм вычисления значений функций y*=*f (х) для, каждого из значений аргумента х. В этом случае область определе- ния функции обычно не указывают, понимая под нею то ’множество значений аргумента х, для которого данная формула имеет смысл (естественная область определения функции). Прим е р 1. Найти область определения и множество значений функции f (х) = 1/У1 — х2. ◄ Естественной областью определения этой функции является Мно- жество D = {x 11 х | < 1}~(—1, 1), а множеством значенийЧ-множе- ствоЕ=={у|^^1} = [1, +'оо).. ► Пусть функция f: D —Е такова, что для любых х^, x^D из условия хх^ х2 следует f (х^ f (x2)‘: В этом случае всякому ’ числу у£Е может быть поставлено в соответствие некоторое вполне; опре- деленное чи$ло x^D такое, что тем самым определена, нрвая функция Е—называемая обратной к заданной функции f. Пусть заданы функции'/: X—и g: Y—+ Z. Их композицией' (или сложной функцией, полученной последовательным примейением функций f и g) называется функция h=zgof: X—*Z, определяемая равенством h(x)^g(f(x)), х£Х. .1.95. Найти функциональную зависимость радиуса R цилиндра от его высоты Н при данном объеме V = l. 1.96. Написать выражение для объема V конуса как функции его боковой поверхности 5 при данной обра- зующей / = 2. 2* 19
1.97. Написать выражение для площади 3 равнобочной трапеции с основаниями и b = 1 как функции угла а при оснований а. 1.98. С момента покоя /0 тело движется с постоянным ускорением* а: Найти зависимость скорости и пройденного пути от времени движения. Как связаны между собой: пройденный путь и скорость в момент времени /? 1.99. В равнобедренной трапеции ABCD (рис. 1) с осно- ваниями а и b и высотой h проведена прямая MN, пер- в N с пендикулярная основаниям ---р--------\ : й отстоящая от вершины А \ ’ на расстояние | ДА11 = х. \ Выразить площадь 3 фигуры \ ABNM как функцию пере- ________\ менной х. А // D 1.100. В шар радиуса /? Рйс. 1 вписан цилиндр. Написать функциональную зависимость объема V цилиндра от его высоты Н. Найти область оп- ределения этой функции. 1.101. В шар радиуса R вписан прямой круговой крнус. Написать функциональную зависимость площади боковой поверхности S конуса: а) от его образующей /; б) от угла а при вершине конуса в его осевом сечении; в) от угла Р при основании конуса. Найти области определения каждой из полученных функций. 1.102. Найти /(—1), /(—0,001), /(100), если /(x) = lgx2. 1.103. Найти /(—2), /(—1), /(0), /(1), /(2), если |1+*> ------------------оо<х^0, /(х)=|2*, 0<х<4-оо. 1.104. Найти 7(1), /(а), 7(а+1), /(а—1), 2/(2а), если 7(х) = х8—Г. 1.105. Найти /(0), f(—x), f(x + l), f(x) + l, / (|) , Ж’ если /(x)=rS- Найти естественную область определения D и мно- жество значений Е каждой из следующих функций: 1.106. z/-ln(x+3). 1.107. y^V'W^x, 1.108. у~ j/^sin|/x. 1.109. ^ = arccos^~ 20
1.110. у — ln(l— 2cosx). 1.HI. # = J/T—|x(. . • ’1.112. ^:lg(5x^x2—6). 1.113; J/^arcsin ,1.114. f/ = 22fcc^.(1-*’. 1.115. у ==$*-*. , Найти множество G, на которое данная функция отрбр.а-. жает множество F: 1.116. У^Х\ —2]. ‘ ; . 1.117. £/==|xj> F=={x|l ^|x|<j2}, . L118. y^- — ,F^l). >’•: 1.119. у^х—F=(0, 1). ; , 1.120. # = 1о&х, F=;(3, 27). / ’ ’ 1.121. у = sin ~, F == [0, 1 /2). / ; \ Найти множество нулей D& = {x | f (x) = 0}, область \ положительности £)+ = {xjf (x) > 0} и область ompuufc. тельности D_ =={x|/(*) < 0} для каждой из заданных функций; 1.122. f(x)==14-x. 1.123; 7(х)==2 + х-^х\ 1.124. /(x)=sinj. 1.125. f(x)^l — . Показать, что функция y — f(x) удовлетворяет соот- ветствующему функциональному уравнению: 1.126. Дх+2) — 2f(x+l) + f(x)=^, f(x)^kx + b. > 1.127. f(x) + f(x4-l) = f(x(x+l)), /(x) = logex.' 1.Г28. f(xi)f(x2) = /(Xi4-xi!), f(x) = ax. . 1.129. /(x1) + /,(xa)=f(-^-), [.(x)=lgrg. В задачах 1.130—1.133 определить функци'ю y==f\x), удовлетворяющую;заданному условию, 1.130. f (х + 1).= х2—Зх + 2. ... - • ‘ < Пусть = т. е. x=t—1. Тогда х2—3x4~2 = f2—5^+6, йбэтому . ' ' ; \ • ’ - , ’ -\i • - : /(0=/(%+1)=х2~Зх+2 = /2—5/4-6. ► ' 1.131. /(* + 7)=*а+4-- х^°- 1.132. f ^^x + J/l + x2, х>0. 1.133, f (хх -f-xg) = sin xt cos х$ + cos xt sin x$. Функция f (x) называется четной (нечетной), если ее область ' определения симметрична относительно точки х=0 и f(—x)—f(x) (f(.— x) = — f(x)). 21
Какие из. указанных в задачах 1.134—1.139 функций четные, какие нечетные, а какие не являются ни четными, ни нечетными? 1Л34. /(х) = х4 + 5х< 1.135. 1.136. f(x) *137- / (х) = X2 + X. /W 1.138. f(x)±=-sinx—cos я. 1.139. f (х) = lg . 1.140. Доказать, что произведение двух четных или двух нечетных функций есть функция четная, а произ- ведение четной и нечетной — нечетная функция. . Функция f (%) называется периодической, если сущест- вует положительное число Т (период функции) такое, что г ’ выяснить, Какие из заданных функций являются перио- дическими, и определить их наименьший период Т* 1.141. f (x) = 5cos7x< 1.142. f (х) *=* cos2 2х. 1.143. f(x) = xsinx. 1.144. /(x) = cosx4-sin(|/3x). 'f siirx*. 1.140. f (x) = tg 2 tg ф Г £ r Ji « Установить, какие из указанных ниже функций и^еют обратные, найти соответствующие обратные функции;и их области определения: ? - • 4 ,1.147. у~ах + Ь. 1.148. у~(х—I)3. 1.149. # = cos2x. 1.150. й=1п2х. 1.151. //==2*. 1.152. #=1—* ,. . “ 1.153. у = х2+1. *< Для функции = естественная область определения есть вся числовая прямая £> = (— оо, +оо), а множество значений—луч Л = +<х>); Так как для любого а^Е уравнение х3+1==а имеет два различных решения xi (а) = Vа— 1 и ха (а) = — У^а— 1 j то дан- ная функция не имеет обратной. Однако каждая из функций >i=x2+I, Di = (0, + оо), и ^ = х24-1, £>2 = (—оо, 0], имеет обратную, равную соответственно Xi (*/) — Vy— 1 И х2(1/) = —///—!. ► Найти обратную функцию и область ее определения, ёсли исходная функция задана на указанном промежутке! ; 1.154. у^х2—.1: а)х£(—оо, —1/2]; б) х£ [1/2, -Коо). 1.155. у~sinx: а) х£[—зт/2, л/2]; б) х€[л/2, Зл/2]. ( х, х€ (— оо, 0], ' . •j-15e;.^{^^(0,:+oo/;, ;; 2?
1.157. z/ = cos2x: a) x£[0, л/2]; 6) xg[n/2, nJ;, в) х£[л, Зл/2]. Найти композиции fog и g о f следующих функций: 1.158. f{x) — x2, g(x) — ^x. Имеем: (/ ° g) (*)=f te W)=/ (К *)=(f *)s =* и (g°f) (x)=g(f W)=g(->C*) = K*a=l«l- ► 1.159. f (x) — i—x, g(x) — x2. 1.160. f(x) = ex, g(x) = lnx. с,',,' 1.161. fix) — sinx, х€Г— л, л], g(x) = arcslnx. rO,x€(-oo,0], (0, xCf-^Oj, , '162- 'HMe(i+4’eW=U«№+-l. 1.163. Найти fofof, если: а) /М=Г±;;С) №) = 7П^. 2. Элементарные функции и их графики. Следующие функции называются основными элементарными, I. Степенная функция: y=xe, a^R. 2. Показательная функция: у = ах, а > 0, а /= 1. 3. Логарифмическая функция: у —logax, а > 0, а 1. 4. Тригонометрические функции: у = sinx, у = созх, y = tgx, y==ctgx. 5. Обратные тригонометрические функции: y = arosinx, y = arocosx, y = arotgx, y = arcctgx. Элементарной называется всякая функция, которая может быть получена из конечного числа основных элементарных функций с По- мощью арифметических операций и операции композиции. е • Г рафиком функции у ==f (х) называется множество г={(х, где-R2—^множество всех точек плоскости. ' Л На плоскости с фиксированной декартовой прямоугольной систе- мой координат Оху. график функции представляется множеством то- чек ЛЦх/у), координаты которых удовлетворяют соотношению y = f(x) (графическое изображение функции). г При построении графиков часто используются следующие простые геометрические рассуждения. Если Г—график функции y — f (х), то: 1) график функции —f(x) есть зеркальное отображение Г относительно оси Ох; . 2) график функции Уй = /(—.х)—зеркальное отображение Г отнр; сительно оси Оу; 3) график функции yt=f(x—а)—смещение Г вдоль оси Ох на величину а\ 4) график функции yi~b-\-f (х)—смещение Г вдоль оси Оу на величину Ь\ 5) график функции у$==/(ах), а > 0, а £ 1,—сжатие в а раз (при а > 1) или растяжение в !/а раз (при а < 1) f вдоль оси Ох* 23
6) график функции £/е =&/(*), 6>0, b 1,—растяжение в b раз (при b > 1) или сжатие в \]Ь раз (ври' b < 1) Г вдоль оси Оу. В некоторых случаях при построении Графика функции целесо- образно разбить ее область определения на * несколько непересекаю- щихся промежутков и последовательно строить .график на каждом из них. Пример 2. Построить график функции £/=Чх| + |*2—И* < Раскрывая модули, можем .записать: * (X2 — X — 1, х£(— 00, -—1], —л2—л+1, xgp-1, 0], > —лЧ-х+1, х£(0, 1], х24-х—1, xg(l, Ч-00)- График заданиой функции есть Рис. 2 объединение графиков (парабол), представляющих эту функцию на каждом из четырех промежутков (Рис. 2). ► Следующие элементарные функции записать в виде ком- позиции основных Элементар- ных функций: 1.164. /(х) = |х|. 1.165. /(х) = sin (cos V х). 1,166. f(x)=2sfa>*2. / 3/j-\ 1.167. /(x)=arcsin^C J. 1.168. /(х) = sin (2*г). 1.169. f(x)=+/j/tg2log3x. - Для каждой из следующих функций найти её график: 1.170. i/='|/Tnsirix. Естественная область определения заданной функции есть мно- жество ‘ i D = {x | sin x = 1}==^~-J-2jiA’ . Поэтому ! ‘ Г=^-|+2л*. 0^1 > . 1.171. i/=x +KT — |cosec x |. 1.172. ^_K--|x*-l |+2. 1.173. z/ = Kcosx—1 +y . 1.174. y=l + Ksinx + K—sinx. Построить графики следующих элементарных функций! 1.175. y~kx-\-b, если: а) 6 = 0; б) Л = 0, fe-—2; 24
в.)/j=i—1, z>=—1/3. "л:;./; .1.176. y^y^q(x—x^\ если: >: ч‘.ч,_-.-. a) a = 1, xo = 0, -6) o = 2, xe = h p0 = °'.' ' : ;; .в) o==—1/2, x0 =—2, «/(,== 3/2. 1.177. y = y0 + —если: Л — Xq а) /? = 1, x0=l,, y0 — —. 1; 6) k = —2, x„ = —1, y9 —1/2. 1.178. у = a sin (kx 4 «)> если:, . a) 0=1, Л = 2, а = л/3; ..... r. ......... Й,o = —2, k =1/2, a =— л/3.•••'•" ’’ " ''гч' X 1-179.. t/.= a tg(^ ьаУ, если: a) о = 3, k = 1/3, a = л/4; ' i /. б) o =—1/2, £ = 2,,а = Зл/2. j '!jv 1.180. y= /?arcsin(x4 q}, если: | a) p = 4, q — —1; 6) /? = —2/3, ^=1/2} ' 1.181J у = parctg'(x+'.?)» если:'. ' " a) p = — 3, ^ = 5/2; 6) p = 2/5, <? = — 6L 1.182. у=--акх+6, если: a) а = 2, k = —-1; b— 1; i 6) o = l/2, k = 2, b = — 2. : 1.183. у = loga (kx + b), если: a) o=10, fe=l(j, b = — 1; < .... 6) o = l/10, * = 1/2, b = 2. . • ; 1.184. y=\2—x| + |2+x|. 1.185. y = xa + %—|x|. — 1.186. y = xa—6|л|Л9. 1-187; y=|6xa + x| —1,- 1.188. j/ = (xa4-2x) ^~T' 1 •189, 1 — KU—1 )a • 1 ion- -i, 1'?*’ • 3 1 1 КИ -y l « L-r y хч-2 г y i*+2r f 1, x > 0, 1.192. i/'=sgnx = ’ 0, л =6, — 1, x<0. : - 1.193. y = [x], где [.г]- - целая часть, х. 1.194. у={х), где {±} = х—[х]'—дробная часть х. 1.195. i/ = 2l^—l. 1.196. г/ = (1/3)М+1Ч-2. 1.197. £/ = logi/г |х—3|. 1.1&8. £/ = |log2U+.l)'|. 1.199. # = arcsin (sin ^х+-2-)) . 1.200. у = arccos (cos Зх). 1.201. i/ = cosx + |sinx|. 1.202. у — |arctg (х—1)|. 1.203. у = х sgn (cos х) 1.204. у = | ctg (х 4* | • > 25
1.205. у = sin2. 1.206. y = sin ^arcsin —• На плоскости Oxy изобразить множества точек; коор- динаты которых удовлетворяют заданным условиям:, 1.207. ху = б. 1.208. |«/| = |-х2—21х|—3|. 1.209. |x| + |z/| = l. 1.210. \х+у + |х—^| = 1. ,1.211. ||х|—1^|| = 1. . .. 1.212. 12z/-1| + |2z/.+ 1H--A=|x| = 4. Г § 3. Предел последовательности действительных чисел 1. Понятие последовательности. Последовательностью дейст- вительных чисел называется функция /: N —► R, определенная на множестве всех натуральных чисел. Число f (п) называется n-м чле- ,.ном. последовательности и обозначается символом а формула xn~f\n) называется формулой общего члена последовательности. (Хп)лё.М- Написать первые пять членов последовательности: 1.213. хя-1+(-1)»1. 1.214. x„ = n(l—(—1)"). ‘ 1.215. хп • 1-216. х„ = (—l)"arcsinK4+ пп. Написать формулу общего члена последовательности: 1.217. — 1, 1,_ ‘ , 1, ... 1.218. 0, 2, 0.2, ... Z о Я О 1.219. 2, 1.1, 1, ... О О I 1.220. 1, 0, —3, о; 5, 0, —7, 0, ... 1.221. -3, J , -4, 1, 11 ’ 9 ’ " • Г.222. 0,11?, 1, 4^. 0,— KJ -1 _ 2 ’ И, 0 2 » v В задачах 1.223—1.228 требуется найти наибольший (наименьший) член ограниченной сверху (снизу) последо- вательности (Xn)neN. 1.223. хп = 6п—пъ—5. 1.224. х„=егоп“"г-м. 1.225. х„ = £1. 1.226. х„ = Зл2 — 1 On—14. п 9+и п {;. 1.227. х„==2п+^: 1.228. х п * п* w 2" к 2. Предел последовательности. Число а называется пределом последовательности (xn)nepj» т- хп=^а^ если для любого в > О существует номер N (е) такой, что при п > (е) выполняется нера- венство а| < е. При этом сама последовательность называется сходящейся. 26
Критерий Коши. Для того чтобы последовательность (*л)ле|^ им^ла . предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал номер 7V (в) такой, что при п > N (ъ) выполняется неравенство 1хп+р—хп1 < в для любого Последовательность (хп)п е называется бесконечно малой, если lim хп — 0. п -> со Последовательность fe)nej^ называется бесконечно большой (схо- дящейся к бесконечности), что формально записывается в виде . Вт хп = оо, если для любого числа Е > 0 существует номер N (£) л -> <Ю такой, что при п> N (Е) выполняется неравенство [ хп | > Е, Если при этом, начиная е некоторого номера, все члены последовательно- сти положительны (отрицательны), то используется запись j ;i lim:xn = +oo / lim —оо\. л -> сю I п -> со ) : •’ Число а называется предельной точкой последовательности (Лги) rt € , если для любого е > О найдется бесконечное' число членов этой последовательности, удовлетворяющих условию )хп—а | < е. П рщ н щи. п .Б о л ь ц а и о—ДЗ е и е р ш т.р а с.с. а. Всякая .ограни* >ченная‘ последовательность имеет хотя бы одну предельную точку. Наибольшая (наименьшая) из предельных точек последователь- ности (хп)п е pq называется верхним (нижним) пределом этой последо- вательности и обозначается символом • lim хп ( lim. х \ . л СЮ \ Л 00 П ) 1.229. Йспользуя логическую символику, записать сле- дующие ‘высказывания, а также их; отрицания: а) последовательность ограничена; б) последовательность монотонно возрастает; в) число а есть предел последовательности; г) последовательность (хп)П€^ бесконечно большая; д) число а есть предельная точка последовательности. 1.230. Найти а= lim хп и определить номер Af («) та- fl -> <ю кой, что | хп—а | < в при всех п > N (е), если! й) хп 0,33... 3, « == 0,001; 6) хп == , е »= 0,005j В) Х„ = -i- sin у-, 8 = 0,001; г) х„ = , в = 0,005. Вычислить пределы! 1.231. litn^a . 1.231 lim . ' 1.233.1.234. И»; fl -у оо ~t~ovn
« i- — I 14-2л3\ 1.236. 111П (ё-Г^ — Ъ.ТС . ) . п-оо \5«17 • 2-1-5ns; 1 т.237; lim /п4+у +1. 1.238. Пт(УпЧг2— Уп) . 1.239. lim п3^ (Kns+1—Кй5^). 1.240. lira . .1,24!. + +5=1). . -1- 1.242. № • + 2V+< L243. lim ' ; ,..;. 1-244. ^Нп^ (1:2+2^+ •»• Т п(„+|))« ' - и». (тЧ+-'+(-'г^>л 4 1.246. Доказать; что если последовательность (ХЛ?л(М бесконечно малая и Vn g N (хп 0), то последовательность ’(1Дп)яб'|м бесконечно большая. ' Установить, какие из заданных последовательностей являются бесконечно большими: ?' 1.247. x„ = 2v". 1.248. 1.249. xn = nsm~. 1.250. x„ = lg(lgn), n^2. Найти все предельные точки последовательности: L25T. Л„ =Ц^ . 1.252. cos 1 ' 1 1.253. хп — arcsin . 1.254. Доказать: ' \'.„а)'Нгп x„.+'..lim 'j/n< lim lim хп dh* Ж уй; . . П ->- GO П-Ь <У1. Х п ор . . . . . » ! 41 >-+ ор . ХЭРт- Г» б) lim х„+ Нт lim (хп + «/„)< Нт х„+ Нт..</„. п~> <х> п~* 00 П->СО n -> GO 1 ' ЛГ » Для каждой из следующих последовательностей уп)пeft найти’ inf {х„}, sup:{х„\. Нт х№ й lini Тп: 1.255. х = 1 4- —. 1.256. х =iSii.cos?-ф-. • ‘ - п 1 п п п 4 1.257. х„ = (—1)”(2п+1).' . 1.258. x„ = ^i^sin^-, п^2.\
1.260. Доказать, что равенство Пт х„*= Пт хп яв- П 00 П -> €» ляется необходимым и достаточным условием существова- ния предела последовательности (хп)я€^. § 4. Предел функции. Непрерывность 1. Предел функции. Пусть функция.^ =7 (х) определена на мно- жестве D. Число а называют пределом функции y = f(x) в точке хе и пишут lim f(x)~at если для любого в>0 существует число е х-*хе ' о(е) > 0 такое, что для любого x£D из условия 0 < |х—х0| < б (в) следует неравенство \f(x)—а | < в. Критерий -Коши. Для того чтобы функция у = f (х) имела предел в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы для любого 8 > О существовало б (е.) >,0 такое, что \f(x’)—f (хн) | < в, как только \х1— Хо I < 6 (в) и \х°—х01 <6 (в). Говорят, что число а есть предел функции у = Цх) при х, стре- мящемся к бесконечности, и пишут lim f(x) = a, если для любого *-*<» е > 0 существует число А (в) > 0 такое, что | f (х)—а | < в, как только 1*1 > А (8). В дальнейшем используются следующие замечательные пределы: V Sin* 1 /14 1,ran—=lf <*) О * lim (14--1У= lim (l+jr)vx=ej (2) X -> a \ x J 0 где e — 2,71828...—основание натуральных логарифмов. Наряду с введенным выше понятием предела функции исполь- зуют также следующее понятие одностороннего предела. Число а называют пределом функции y~f (х) в точке х0 справа (слева) и пишут lim f(x) — a[ lim f(x)~a\, если для любого в > 0 сущест- вует число 6 (в) > 0 такое, что из условия 0 < x~xQ < б (в) (— б (в) < х—хе < 0) следует | f (х)—а | < в. Аналогично вводится понятие одностороннего предела на бесконечности / lim / (х) и +«> lim f(x)\. -оо у В задачах 1.261—1.263, пользуясь только определе- нием предела функции, доказать, что Пт f(x) = a изапол- Х-+Хо нить следующую таблицу: . 8 о,1 0,01 0,001 6(8) 29
1.261. f(x) = x*, x0 = 2, a = 4. 1.262. f(x) = l/x, x0=l, a=l. 1.263. f(x) = \gx, xe=l, a = 0. Используя логическую символику, записать следующие утверждения: 1.264. lim f(x) = oo. 1.265. lim f(x) = —oo. x 0 х~+ 1 - О 1.266. lim f(x) = O. 1.267. lim f(x) = + oo. 1.268. Jim f(x) = O. 1.269. lim f(x) = 2. 1.270. lim /(x) = — oo. 1.271. lim f(x) = oo. X~> — 00 X -► — <ю Вычислить пределы следующих рациональных выра- жений: 1.272. ха 1.274. 1.276. X Д^Зх4—5х + 1 Д‘™3 Ж' 1 - [ 1 2 . о_„ .. ха+3 . 1.273. 11m ,. 3 х 1.275. lim - ♦ х4+ха+1 Х-+ V 2 ’ ’ 2-г-ТгМ- 1.277. lim z К * X8—к 1.278. lim ; т, 1.279. lim . х-> 1 х 1 Л->0 " 1.280. lim fi ffVL-T- Е281- lim — j 6xa—5x + l x-*a x8—a* 2 1.282. Ita . 1.283. Ita . 1.284. lim (»+1>‘+<«+У+- + <»+»Г , „gN. .. 1.285. jlim (х2Д+4 +3(A.a_3A.^_2)) • 1.288. lim (^-<2«.-'>^+*+g>V . X “► 00 ' • 4 / . ..r 1.287. Доказать, что если />„(x) = aox?!4-... . 4-a„, Qm(x) = fcax'’+...+fem, то lim X -> a> Pn(x) <?«(*) О при n < tn, aJb<> при n — tn, oo . при n > tn. При вычислении пределов, содержащих иррациональные выра- жения, tiaCTo используются следующие приемы: а) введение новой переменной для получения рационального выражения; б) перевод иррациональности из знаменателя в числитель или наоборот. ‘ 30
u-- 1/ Л Пример 1* Вычислить lim ---• л -> &i 9— у к «< /Пусть J == к. Тогда 3—i/ х з________i I i lim -—lim s—^== lim —► Л->8i 9—yf x t — z$—/->зЗ~|-/ 6 Пример 2. Вычислить lim ( }^x2+ 7 — ◄ lim = lim (K^+7-K^7)(K^+7+K^7) *->» J<№4-7+/x2—7 Вычислить пределы! 1.288. lim. 1.289. lim Л-> co 5л|Z X X-+10 1.290. lim К^±£Щ—1., > ' /л2—1 1.291. lim £***-•£ x f -> Q h 1.292. iirft 1.293. lim x-> 1 V X— 1 x-> 0 1.294. Ifln .. .... - . ' +x у'Зх + Узх+У'Зх 1.295. lim £л+1~1 1.296. lim Л-* О X x~^ 1 1.297. lim —. 1.298. lim x-».o)<*2+9—3 я-»о 1.299. litp (j/^x—a—£x). Л . X-^+t»' 1.300. lim . 1.301. Jim (jAx2—7x4-4—2x). 1.302» Jim x»/« (Ух3 + 2—Kx3—2). a-> co .Используя замечу тельный предел (1), вычислить? хТ303»Г<.Нш-££2£... 4.304. 11т 4^« - 81
1.305. lim xctgnx. 1.306. Лито ’ х -> О х -> О ™ 1.307. lim .....C(a's2x . 1.308. lim Ь°?ал:~С05 , а^р. х -> О х х -> О х 1.309. liiro ' —A ^-ctg.x).. 1.310. lim tg sin;*TK . 1.311. lim ><2-2cos^., 1.312. lim (%—x}tgx. х-^п/4: 31 4X х->л/2 \ / 1.313. lim ^^-,n,tnez.- a_+osin“a’ 1.314. lim ^п-1«-1е.2« . a^O “3 1.315. lim .(‘-cos,g>8 .. 1.316. lim 4±cos;<. a_^o tg2a—sin2a хч,я 1 — cos4x Доказать следующие соотношения: 1.317* * lim logg (1ЛЛ.. iOgee. x -*0 x 1.318*. lim —l = lna. ? x->0 x 1.319* lim (-l.+x)a~~1=a, x ->0 x При вычислении пределов вида lim где lim = х -> xQ x -+x9 lim t>{x) = oo, используется замечательный предел (2). X -* хв гт о т> >• ( \ЗХ Пример 3. Вычислить hm ( ? j , x-+<»\2+xJ Имеем ^(^.зхУ ( х Vх—?1 —2 \ЗХ / —2 \ ~а \2+x J ; \2+aJ ~\1+2+х/ Так как %+х 1 «Ит (,+й) г==/ !!Т 2+х и п —2 п lim 5-7— 6. Х^оо2+х ' то (здесь использована непрерывность Композиции непрерывных функ- ций). ► 32
Используя замечательный предел (2), а также резуль- таты задач 1.317—1.319, вычислить пределы: 1.320. Игл (2+|У*+1. 1.321. lim ( ФЧгГ- 1.322. lim (cos ху'х*. 1.323. lim (1 + tg2Kx)3/*. «. х -> 0 х -> 0 ____ 1.324. lim x(ln(2 + x) —Inx). 1.325. lim-In X -> OO X-+QX F * 1 X 1.326. lim x («i^—l). 1.327. lim . 1.328. lim L. i.329. lim . x-+a x~a *->0 x 1.330. lim (cosx)^stax. 1.331. lim lnc°s* . x ->0 x ->• 0 x efax (cxn « \ X -sin X X / 1.334. Доказать, что lim f(x) = a в том и только в том х->%0 случае, когда для любой последовательности аргументов (х„)га€^, сходящейся к х0, соответствующая последова- тельность (/(*„))„ значений функции сходится к а. Используя результат задачи 1.334, доказать, что для следующих функций не существует lim / (х): X f(x) = cosx, х0 = оо. 1.336. f(x) = x — [х], х0=оо. односторонние пределы: lim 1.339. lim х->3 ± 0 । х ° I *->2 ± О lim (2 + х)* . 1.341. lim 72~*. х ± О х -> 2± О lim arctgx. 1.343. lim [1/х]. *”*Нт |tg(4*-n)l- 1.346. Доказать, что предел функции y = f(x) в точке х0 существует тогда и только тогда, когда в этой точке существуют левый и правый пределы и они совпадают. 2. Бесконечно малые и бесконечно большие. Функция а (х) на- зывается бесконечно малой при х—>х0$ если lira а (х)=0. х-*х0 1.335. 1.337. Найти 1.338. 1.340. 1.342. 1.344. f(x) = siny, хо = О. 2-|-х 4—ха X i оо . 1.345. lim ---------------------г х ->• 2л ± О cos х i х2 2 Под ред» А. В. Ефимова, В» П. Демидовича 33
Бесконечно малые а (я) и Р (х) называются сравнимыми^ если V Р (Х) V а W существует хотя бы один из пределов hm - ) или hm . х ->х0 (X) х -> z0 р (X) Пусть а (х) и Р (х)—сравнимые бесконечно малые при х—> х0? .. а (х) ' и пусть# для определенности^ существует lim ~ : —С. Тогда: . х -> х0 Р (х) а) Если С Ф 0, то а (х) и Р (х) называют бесконечно малыми одного порядка. В частности, при С=1 бесконечно малые а (х) и Р (х) называют эквивалентными и пишут а ~ р. б) Если С = 0, то а(х) называют бесконечно малой более высо- кого порядка, чем р (х), и пишут а = о(Р). Если при этом существует действительное число г > 0 такое= что lim Ф- 0< то а (х) на- x»x0(PW)r зывают бесконечно малой порядка г относительно р (х). Функция а (х) называется бесконечно большой при х —> х0, если lim а (х) = оо. Подобно тому как это сделано выше для бесконечно малых, вводится понятие сравнимых бесконечно больших и их клас- сификация. 1.347. Доказать, что если lim •7ггт- = С’#=0, то най- X -> Хо Р W дется такое число 6 > 0 и константы и С2, что |х—х0| < 6хфС\р (х) а (х) С-2р (х). 1.348. Доказать, что а~р в том и только в том слу- чае, когда а—Р~о(а) или а—р=^о(Р). Определить порядок малости а (х) относительно р (х)=х, при х 0: 1.349. а(х) = -^Х^-. 1.350. a(x)=j/x»— 1.351. а(х) = -—7* . 1.352. а (х) — tg х—sinx. 1.353. a(x) = sin(Kx+2—j/“2). 1.354. a(x) = 3sin3x—x4. 1.355. a(x)=y 1-J-j/x—1. 1.356. a(x) = /T+2^— 1 —/ x. 1.357. a(.t) = 3}7-1. 1.358, a(x) = 2*—cosx. 1.359. Доказать, что a(x)—p(x) имеет 2-й порядок малости относительно х при х —> 0, если; а) а(х) = 1/(1 -j-х), р(х) = 1—х; б) а (х) = Ра24-х, ₽(x) = a4- ^х (я =4=0); в) а (х) = (1 +х)п, Р(х) = 14-пх (n^N). 34
Приближенно вычислить следующие выражения: 1.860. 1/1,03. 1.361. ИЖз. 1.362. (1,03)5. 1.363. (0,97)4. 1.364. Доказать, что если а(х)~ах(х) и ₽(х)~р£(х) при х—>х0, то lim lim Используя результат задачи 1.364, вычислить пределы: х arcsin . lim—. 1п(1— X) х как arcsin —7^---- - К1—X3 1.365. «4 Так и 1п — ~при х—*0, то . X arcsin ------- К1- 11Ш ---;—-----г- Х->0 1П(1— х) lim r->0 —х 1.366. 1.368. lim 1.367. 4х2 — I lim ------—г,~г x-^/i/2 arcsin (1—2х) у cos х—cos 2х 0 1—COSX . 1.369. lim —-r-?tgx2— 0 arcsin 3x*sin ~ 1.370. 1.371. 1—cos 4х A.^02sin2x+xtg7x’ .. 21^2 —(cos х+sin х)3 Л™4 1-sin 2х Определить порядок роста бесконечно большой А (х) относительно В(х) — х при х—* оо; 1.372. А (х) =х3 + 150х+10. 1.373. А (х) = Кх2 + Зх + 5 + |х|. з 1.376. 1.377. 4W = -i- 3. Непрерывность функции в точке. Классификация точек раз- рыва. Функция y==:f(x) с областью определения D называется не- прерывной в точке х0, если выполнены следующие три условия: а) функция определена в точке х0# т. е. xogD; 2* 35
б) существует lim f (x)\ x~*xo в) lim /(x) = f(xc). *-**o Если условие а) выполнено, то условия 6) и в) эквивалентны следующему: lim Д/(х0, Д*)==<Ь Дл-> о где Af (хв, Дх) = / (х0 + Ах) —/ (х0) — приращение функции y — f(x) в точке xQj соответствующее прира- щению аргумента Дх = х—х0. Если в точке х0 нарушено хотя бы одно из условий а) — в), то х0 называется точкой разрыва функции При этом различают следующие случаи: a) lim f (х) существует, но функция не определена в точке xQ x->xQ или нарушено условие lim f (x)—f (х0). В этом случае х0 называется л->л0 точкой устранимого разрыва функции. б) lim f (х) не существует. Если при этом существуют оба одно- сторонних предела lim f (х) и lim /(х) (очевидно, не рав- х -> л0 + о х -> х0 - о ные друг Другу), то х0 называется точкой разрыва 1-го рода. в) В остальных случаях х0 называется точкой разрыва 2-го рода. 1.378. Используя логическую символику, записать на языке «е-6» следующие утверждения: а) функция y = f(x) с областью определения D непре- рывна в точке С £>; б) функция y~f(x) не является непрерывной в точке xB^D. Доказать, что следующие функции непрерывны в каж- дой точке их естественной области определения: 1.379. ;(х)=х", Используя формулу бинома Ньютона, получаем А/ (хв, Ах) = (х0+Дх)«-х? = С£хГгДх+С,?хГ2 (Ах)2+ ... 4-(Дх)«. Отсюда lim А/(х0, Дх)~0. ► Дл-> О 1.380. — a£R. 1.381. /(x) = logax; а>0, a^=l. 1.382. /(x) = sinx. 1.383. f (x) = arcsin x. Задана функция f (x). При каком выборе параметров, входящих в ее определение, f (х) будет непрерывной? ( ^2+Х~2 r^l 1.384. /(•*) = -[ x~i ,х^1> I А, 36
1.385. /(х) = / Х * *’ Х J]’ v ( ах*—2, х > 1. 1.386. Дх)= J Х ^П/^’ I sinx4-6, х > л/2. Найти точки разрыва функции, исследовать их харак- тер, в случае устранимого разрыва доопределить функ- цию «по непрерывности»; L387- . 1.388. . 1.389. / (х) = (t+x)"-! , i>39Q^j(x)=_Lsinx. 1.391. f (х) = 1—xsiny. 1.392./(х) = 34~лг. ‘ 1.393. /W = (x+l)arctgl. 1.394. 1 1.395. . 1.396. /(x)=±ln{^. ‘ з*-24-1 J___1 1.397. f (x) = x , х+т‘. I.o98. /(x) = -~ysx. x—I x 1.399. 1.400. 1.401. 1.402. /(x) = f(x) = f(x) = ' 2х, x—1, 1, \ r 1 i 2l~%+l ' 2/x, 4—2x, k 2x—7, cos x, —Л/2 x < ji/4, 1, x = n/4, X2--Тё , л/4<х^л. 16 1.403. Доказать, что все точки разрыва ограниченной монотонной функции являются точками разрыва 1-го рода. 4. Непрерывность на множестве. Равномерная непрерывность. Функция y~f(x) называется непрерывной на множестве D, если она непрерывна в каждой тачке x£D. Она называется равномерно непре- рывной на множестве Dj если для любого 8 > 0 существует число 37
б (е) > 0 такое, что для любых х', x"CD из неравенства lx' — х" I < < б (в) следует | f (х')—f (х") | < 8. Теорема Кантора. Если функция y~f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она равномерно непрерывна на этом отрезке. 1.404. Доказать, что если y~f(x)—непрерывная на [a, b] функция, ю она:‘ а) ограничена на [а, Ь]; б) достигает на [а, Ь] своих верхней и нижней граней (теорема Вейерштрасса); в) принимает на любом интервале (д', b'jczla, b] все промежуточные значения между f(d), и f(b') (теорема Коши). 1.405. Доказать, что если функция y~f(x) непрерывна на [а, —J—оо) и существует конечный lim /(х), то эта X -> + 00 функция ограничена на [а, + °°)« 1.406. Показать, что функция х/ ч sin — , х=^= О, 7(х) = < X ’ О, х = 0, принимает на любом отрезке [0, я] все промежуточные значения между /(0) и /(я), однако не является непре- рывной на [0, а}. 1.407. Доказать, что всякий многочлен нечетной сте- пени имеет по меньшей мере один действительный корень. 1,408. На языке «е-S» сформулировать утверждение: функция y = f(x) непрерывна на множестве D, но не является равномерно непрерывной на этом множестве. В качестве примера рассмотреть следующие функции: a) /(х) = 1/х, Р = (0, 1]; б) /(x) = lgx, D = (0, 10]; в) /(x)=sinj, Z) = (0, 1]. 1.409. Доказать, что если функция у = /(х) непрерывна на [а, ф-оо) и существует конечный lim /(х), то эта X + со функция равномерно непрерывна на [я, +©о). 1.410. Показать, что неограниченная функция /(х) — = x + sinx равномерно непрерывна на всей оси—оо < < х < + оо. Следующие функции исследовать на равномерную не- прерывность на заданных множествах: 1..411, £» = [-!. 1]. 38
1.412. /(х) = 1пх, D=(0, 1]. 1,413. = D = (0, л]. 1.414. f (x) = e*cosy, D = (0, 1]. 1.415. f(x) = arctgx, D — R. 1.416. f(x) = Kx, D = [0, +oo). 1.417. /(x) = xsinx, Z> = [0, +oo). § 5. Комплексные числа 1. Алгебраические операции над комплексными числами. Комп- лексными числами называются всевозможные упорядоченные пары z = (x, у) действительных чисел, для которых следующим образом опре- делены операции сложения и умножения: (*Ь S/f) + (*2? ^2) = (*f + *2, ^1 + ^2), (1) (*Ь J/i) (*2> £/2) = (*1*2—yty2, x1y2 + x2#1). (2) ' Множество всех комплексных чисел обозначается символом О. Действительные числа к и у называются действительной и мни- мой частями комплексного числа z = (x, у) и обозначаются символами Re z и Im z соответственно. Два комплексных числа г±~(х^ у±) и z2 = (x2t у2) называются равными в том и только в том случае, когда х±~х2 и yt~y2. Из определений (1) и (2) следует, что всякое комплексное число (х, у) может быть записано следующим образом: (хя у) = (х, 0) + (0, 1)(у, 0). (3) Если теперь комплексные числа вида (х, 0) отождествить г) с действи- тельными числами х, а число (0, 1) обозначить символом /, то равен- ство (3) принимает вид z = x-]-iy и называется алгебраической формой комплексного числа z = (x, у), 1.418. Доказать, что операции сложения и умножения комплексных чисел обладают следующими свойствами: а) + = + (коммутативность сложения); б) (?i + г2) + гз = zi + (2г + гз) (ассоциативность сложе- ' ния}; в) zlz2~z^i (коммутативность умножения); г) (г1гг) гз == zi (г2гз) (ассоциативность умножения); д) ^1(22 + гз) = г1г2 + г1гз (закон дистрибутивности). х) То есть установить взаимно однозначное соответствие (х, 0) <-> х между множествами {(х, 0) | кg R} и R. Из (1) и (2) следует, что это соответствие «сохраняет операции»: (xi? 0) + (х2, 0) = (х1+х2? 0)wxi+x2? (Xf, 0).(х2, 0) = (Х1Х2, 0)<->XiX2. 39
1.4№. Доказать, что! a) Vzb za =# 0 3 г (г2г = г,) (число г называется частным от деления г, на za и обо- 2л \ значается символом —- ; б) если 2i —Xi + ii/i и z2 — x2 + iy2, то Z£_ XiX2H-yj{/2 • У1Х2—Х1Уа г2 х14-у2 Х2+«/2 В задачах 1.420—1.429 выполнить указанные опера- ции, представив результат в алгебраической форме. 1.420. (1 — 2i) (2 4- i)2 + 5i. -41 Задача состоит в том, чтобы заданное комплексное число предста- вить в форме (1—2/) (2+02 + б/ = х+/г/. Для этого можно воспользоваться непосредственно формулами (1) и (2), однако этот же результат можно получить проще следующим образом. Как показывают свойства операций, перечисленные в за- даче 1.418, при сложении и умножении комплексных чисел, представ- ленных в алгебраической форме, с ними можно обращаться как с би- номами вида a~\-ib, учитывая дополнительно, что /2 = (0, 1) (0, 1) = = (— 1, 0)=—Г. Поэтому (2 + 02==4+4/+/2 = 3+4/, (1—20 (2+ /)2 = (1 — 2i) (3+4/) = 3—2/—8/2 = 11— 21^ откуда окончательно получаем (1 — 2 /) (2+02 + 5 i = 11 — 2i+5/ = 11 + 3 I. > 1.421. (2 + 3f)(3—/). 1Л22. (1 +2Z)a. 1.423. (1— г)3—О+О9- 1-424. (2Z —i2)2 + (l—3Z)3. 1.425. l+« «4 Результат может быть получен непосредственно по формуле из задачи 1.419. Заметим, однако, что (1 + 0 (1 — 0 = 2 есть действитель- ное число. Поэтому, умножая числитель и знаменатель заданной Дроби на 1—i, находим: 2 —/_ (2—0(1 — 0 _ 1—3/ _ 1 3. 1 + »~ (1+0(1—0 ~ 2 “2Т1, * 1.426. 1.427. (4+-)'- ,.428. W. ]42в . о—I O-fJ \ lAV+l ] Найти действительные решения следующих уравнений: 1.430. (1 +:) х + (—2 + 5i) у = — 4 +17:. 1,431, 12((2х+0(1 + :) + (х + £)(3—2:)) = 17J-6Z. 40
Решить?следующие?- системы.лйиейвы-х«уравнений: - 1,432. (3—i) Zj 4- (4 -}- 2Z) zt » 1 + 3h ' &»' (4 + 20Zi-42 + 3i)^7. 1.433. (2+1) 2i +(2—i)z^6, (3 + 2i)zf + (3—2:jza = 8. 1.434, iZf + z^^i, (Z+nZf + a-O^iMl+O- Если на плоскости введена декартова прямоугольная система крординат Охул то всякому комплексному числу z ~x-\-iy может быть поставлена в соответствие некоторая точка М (л, у) с абсциссой х и ординатой у. При этом говорят, что точка М (л?, у) изображает комплексное числа г=л-|-iy. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, ось Ох—действительной осью, а ось Оу—мнимой осью. Число г=ргл24-^а называется модулем комплексного числа г = = Xr±r iy и обозначается символом | z |. Модуль числа z.равен расстояг нию точки М, изображающей это число, от начала координат. . Всякое решение ф cncTeMbf уравнений . cos ф=х/У'х2 + у2 , sin ф = у IV х2+у2 - (4) Г- 7 называется аргументом комплексного числа z=^x-\-iy ф 0. Все1 аргу- менты числа z различаются на целые кратные 2л и обозначаются еди- ным символом Argz. Каждое значение аргумента совпадает, с велич и- - ной ф некоторого угла, на который следует повернуть ось Ох до сов- падения с радиус-вектором ОМ точки М (при этом ф > 0, если поворот совершается против часовой стрелки, и ф < 0 в противном случае). Значение Argz, удовлетворяющее условию 0 Arg z < 2л, называется г главным значением аргумента и обозначается символом arg z. В некоторых случаях главным значением аргумента называется значение Argz, удовлетворяющее условию—л< Arg г л. Из соотношений (4) следует, что для всякого комплексного числа z справедливо равенство z = | z | (cos ф + J sin ф), называемое тригонометрической формой числа г. Пример 1. Представить в тригонометрической форме комплекс- ное число z=s—2-]-2/ V 3. f ◄ Имеем |zI == И(—2)24-(2 }/“з)2 =4, cos<p=—1/2, sin <р = поэтому главное значение аргумента равно argz = 2tt/3 и, следова- . / 2л ... 2л \ ' тельно, z = 4 ( cos —[-t sm ► \ 3 3 / Следующие комплексные числа представить в тригоно- метрической форме й изобразить точками на комплексной плоскости: 41
1.435. — L 1.436. 1—iK3. 1.437. — 1.438. 1.439*. — cos-y + isin-y . 1.440. sincos v- 1.441. 1+cos v + f’sin . О О ll Комплексное число x—iy называется сопряженным комплексному числу z = x-}-iy и обозначается символом г. Доказать следующие равенства: 1.442. z + z — 2Rez и г—z = 2tlmz. 1.443. (г) = г. 1.444. |г| = |г|. 1.445. zt + г2 = + z^. 1.446. z,z» = zi-z» и (—')=-=?-. 1.447. zz = |zl2. 1 2 1 2 к г2 / г2 11 1.448. Вычислить: a) ztz^ и (—) , если zt = l—г’КЗ, z2 = j/3 + i, \ Z2 / _ ~2 б) ггг2 и если г1==3 + 2/, z2 — 2-\-2i. Z2 1.449. Пусть p(z)—произвольный многочлен с действи- тельными коэффициентами. Доказать, что для любого z £ С верно равенство p (z) = p(z). Решить следующие уравнения: 1.450. |z|—z = 1 + 2l 1.451. \z\ + z = 2 + i. 1.452. Доказать равенства и выяснить их геометриче- ский смысл: ' a) Iz^HIzd-lz,!, б) Arg zf + Arg z2 = Arg (ztz2), ArgZj—Argz2 = Arg (равенства б) понимаются в смысле равенства множеств— см. с. 11). Выяснить геометрический смысл следующих преобра- зований комплексной плоскости: 1.453. z->z—2. 1.454. z->z + (3 — 0. 1.455. z->iz. 1.456. z— ^(l—i)z. 1.457. z ——z. 1.458. z->2z. 1.459. z-+~. 1.460. z-+z. 1.461. Доказать, что: а) величина [z^—z21 равна расстоянию на комплексной плоскости между точками и изображающими комплексные числа Zj и zs; 42
6) |z1 + za|<|z1| + |z2| и ]zf — zJXJzJ — |га|| (неравенства треугольника). Каков геометри- ческий смысл этих неравенств? 1.462. Доказать тождества: a) Pi + ZaP + IZj—z2|2 = 2(|zj2 + |za|2) (каков его геометрический смысл?); б)* к1| + |г2| = |^ф.4-Г^72| + |^±^-/^|. В задачах 1.463 —1.473 дать геометрическое описание множеств всех точек комплексной плоскости, удовлетво- ряющих следующим условиям: 1.463. Rez>0. 1.464. 0<1шг < 1. 1.465. [ Im г|<2. 1.466. |г |< 1. 1.467. \z + i\ = 2, 1.468. 1 <|г + 2|<2. 1.469. |г|> 1— Rez. 1.470. |z — z| = |z + 2|. 1.471. 0<a_rgz<n/4. 1.472. |л—argz|<n/4. 1.473. z = z. 1.474. Пусть — 1. Доказать, что Re|^==0<=>|z |== 1. Пусть q) — произвольное действительное число. Символом et(p обо- значается комплексное число cos ср +f sin (р. С помощью этого обозна- чения всякое комплексное число z — | z ] (cos ср +1 sin ср) может быть записано в показательной форме z ~ | z | eiq>. Представить в показательной форме следующие комп- лексные числа: .1.475. 1.476. 5 — 12/. 1.477. —3—4/. О 1.478. —24-/. 1.479. sin а—г cos а. 1.480. sina + i(l—cos а). 1.481. Доказать, что символ е1<р обладает следующими свойствами: a) Vn£Z(ei2m = V); б) ё^==е-1<р; е|ф1 в) ^г*Т1 . £г*ф2 Т—? (Ф1 + Фг) В --- = Q1 «Р1 “ Фг) в 1.482. Данные числа гх и z3 представить в показатель- ной форме и выполнить указанные действия над ними: а) г12г> если Zi = 2l/"3—2/, г2 —3— 3JA3Z; г2 б) гхг2, если гх =— ]Л2-^Ц^2, г2 = К8— 43
1.483. Доказать формулы Эйлера COS(p==:^+£---, sin <Р — g * - 1.484. Доказать формулу Муавра'. если z — re1’9, то rn = гпе1п\ или, в тригонометрической форме, zn = rn (cos n<p + i sin Пф). Используя формулу Муавра, вычислить следующие выражения: 1.485. (1+010. 1.486. (|±0!_ 1.487. 1.488. (1 + 08(1 —. 1.489. Доказать равенства: a) (14-i)« = 2"'2(cos-^-+isin-^) ; • б) (КЗ—0" = 2» (cos ™ — isin . 1.490. Используя формулы Эйлера, выразить через ко- синусы и синусы кратных дуг функции: a) cos3 ф; б) зш3ф. Используя формулу Муавра, выразить через соэф и sin ф следующие функции: 1.491. соэЗф. 1.492. этЗф. 1.493. соэ4ф. 1.494. sin 4ф. Пусть а~ге1^—фиксированное комплексное число. Тогда урав- нение zn=a, имеет в точности п различных решений z0, гх, ,,, ..., zn^i, причем эти решения даются формулой . / Ф.+ 2Л^\ „ п/~ \п п ) п/-/ ф + 2лЛ . . ф + 2лМ zk ~ 1/ ге = 1/ r cos —-----h i sin —-- j V V V n 1 nJ k = 0, 1, ..., n — 1 (здесь r—действительное положительное число). Числа &= = 0, 1, ...£n—1, называются корнями п-й степени из комплексного числа а и обозначаются символом а. Праймер 2. Найти все корни 3-й степени из числа а==—2-J- + 2Z/ 3. 44
. 2Л ~ л I , 2п\ Так как а=4е =4 I cos — -J-* sin -5- ) , то \ о О J . ( 2я 2я^\ (|/^ = /4еЧ“+ * ? = ут(с08(^-й^) + -H’sin » гДе * = °, Ъ 2< При Л = 0: (^/а)о=|//4 ^cos-^-4-Zsin-^^. При k=l: (|/c)j = (cos-^-J-i sin-^5-) . При й = 2: (|/а)2 = |/4 ^cos ig^-4-i sin, ► 1.495. Найти и изобразить на комплексной плоскости все корни 2-й, 3-й и 4-й степени из единицы. Найти все значения корней: 1.496. |/~7. 1-497. р/^Т. 1.498. И~9- 1.499. И—14-z ИЗ. 1.500. r/2|/'3+2t. 1.501. |/—1—i. 1.502. 1 -f-i И 3. 1.503. р/(2—2i)4. 1.504. Доказать, что квадратные корни из комплекс- ного числах могут быть найдены по формуле /7 = Кх + /г/== ± ( ]/ -г |2+* + г sgnу ]Л|г|~*) ., Использование показательной формы комплексных чисел во мно- гих случаях значительно упрощает вычисления. Пример 3. Привести к виду, удобному для логарифмирования: S (<р) = sin ф + sin 2ф+... 4-sin Л(р, ф 2лт, mgz. Так как sin ф = Im е1ф, то, используя формулу суммы геометри- ческой прогрессии, получаем: S (<р) = Im е<ч>+ Im ei2v+ ... + Im einv = Im (e^ +?2ч> +. • • + etn*) = = Im f . n . n е-‘-2-е-2’ / . . n e<q>(j_ein<p) e 2 —— -----:-----Im ------------- e . Пф nxi , Пф . n+l sin-J- ,-H+lq, sin -Лsin <p -----— line 2 =--------------------. > ф Ф sin sin ,45
Привести к виду, удобному для логарифмирования: 1.505. cos ср 4- соз 2<р 4- cos Зср 4- . • • 4- cos п<р. 1.506. cos<р4~cos3<р4~cos5<р4-.... 4-cos(2n—1)<р. 1.507. Sin<p4-sin3<p4-sin5cp4-... 4-sin(2n—• 1) <р. 2. Многочлены и алгебраические уравнения. Многочленом (поли- номом или целой рациональной функцией) п-й. степени называется функция вида рп (z)=anz”4-an_izn-i4- ... 4-a1z4-ae, (5) где zgO, a0-, a*, ...,an—коэффициенты (вообще говоря, комплексные), причем ап ф 0, ngN- Уравнение cnzn4-a„_1zn-i4- ...4-aiz4-ae = 0, ап ф 0,' (6) называется алгебраическим уравнением n-й степени. Число для которого pn(zo)=O» называется корнем многочлена (5) или уравнения (6). Теорема Гаусса (основная теорема алгебры). Всякий много- член ненулевой степени имеет по крайней мере один корень (вообще .говоря, комплексный). Число zQ является корнем многочлена рп (г) в том и только в том случае, когда рп (г) делится без остатка на бином z—z0, т. е. pn(z)=(z—za)qn-i(z), где qn_i(z)—многочлен (п—1)-й степени. Если рп (г) делится без остатка на (z—z0)k, k^ \t но не делится на (г—z0)*+1, то г9 назы- вается корнем кратности k многочлена рп (z); при этом P«(z) = (z—z0)ft^„_ft(z), где qn-k (го) # °- Теорема Гаусса может быть уточнена следующим образом: много- член п-й степени имеет ровно п корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. Если коэффициенты многочлена (5)—действительные числа и z0 = = хо + Фо—его комплексный корень, то сопряженное число г0 = х0 — — Ч/о—также корень этого многочлена, причем корни г0 и z0 имеют одинаковую кратность (см. задачу 1.449). Пусть многочлен pn(z) имеет корни zj, z2, ...? zm (т^п) крат- ностей соответственно k2i • (&i + &2+ . • » + km~n). Тогда его можно разложить на линейные множители, т. е. справедливо тож- дество рп (г) =aB (Z—Zi)fti (г—гг)*«... (г—zm)km. Если при этом коэффициенты многочлена—действительные числа, то, объединяя скобки, соответствующие комплексно сопряжен- ным корням, можно разложить этот многочлен в произведение линейных и квадратичных множителей с действительными коэффици- ентами. Пример 4. Найти корни многочлена z6-J-2z34-l и разло- жить его на множители. 46
4 Так как z6 + 2z3+1 = (z3+I)2, то корнями этого многочлена яв- ляются корни 3-й степени из — 1: ?i = — 1; л ... л 1 , . 3 Z2 = COSy+tSiny = y + l-^-| л . л 1 . У 3 ^ = cosT-1SInT=1— г^-. При этом каждый корень имеет кратность £ = 2. Разложение этого многочлена на линейные множители имеет вид Объединяя последние две скобки в один сомножитель, получим раз- ложение на множители с действительными коэффициентами z6 + 2z3 + 1 = (?+1)2 (z2—z+1)2. > Решить квадратные уравнения: 1.508. г2 + 2г + 5 = 0. 1.509. 4г2—2г + 1=0. 1.510. г2 + (5—2Z) г + 5 (1 — i) = Q. 1.511. z2 + (2i—3)г + 5—1 = 0. Решить двучленные уравнения: 1.512. г3—1=0. 1.513. г34-1=0. 1.514. (г+1)4—16=^0. 1.515. (г + 1 )4 + 16 = 0. Решить биквадратные уравнения: 1.516. г4+18г2 + 81 =0. 1.517. г4 + 4г2 + 3 = 0. 1.518. г4 + 9г2+ 20 = 0. 1.519. г4—(1 + г)г2 + 2(1 + г) = 0. Решить трехчленные уравнения: 1.520. г6 + 4г3 + 3 = 0. 1.521. г8 + 15г4 —16 = 0. 1.522* . Показать, что все корни уравнения 1 + ix \ п (1 + id) 1 — ixj ~~ (1 — id) (a£R) действительны и различны. Следующие многочлены разложить на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициен- тами: 1.523. г4—1. 1.524. г4+1. 1.525. г4 + г2+1. 1.526. г4 + 4г3 +11г2+14г +10; известен один корень + = —1 + i. 43
1.527. z^4-z4-J-z8—z2—z—1; известен двукратный ко- 1 , • Уз рень zj = z2 = — y + t . 1.528. z4 + 6zs + 9z2 + 100; известен корень zx — 1 + 2t. 3. Предел последовательности комплексных чисел. Число а назы- вают пределом последовательности комплексных чисел (г„) и п € I ч пишут lim zn~at если для любого е >0 существует номер N (в) ОО такой, что при п > N (в) выполняется неравенство | zn—а | < е. Последовательность (Zn)n pq называют сходящейся к бесконечности и пишут lim zn= оо, если для любого Е > 0 существует номер N (Е) П-Ь- 00 такой, что при п > N (Е) выполняется неравенство | zn | > Е. 1.529. Пусть xn==Rez„ и y„ = Imzn.' Доказать, что lim г„ —а =0=оо тогда и только тогда, когда limx„ = Rea П~> 00 п -> 00 и lim z/„=Ima. 00 1.530. Пусть lim zn?=a=^oo и lim wn = b=^= оо. Дока- n -> ср n оо зать, что: a) lim (z„ + wn) — a + b-, 6) lim znwn — ab. П-+ П—> 00 1.531. Пусть limz„ = a#=oo и lim = b =/= 0. Дока- n-t- оо П -> oo Г zn в зать, что lim — = -r-. b Вычислить пределы! 1.532. lim (2—1‘ + - П-* 00 \ f v 5n hm n -> a 1.534. (1 + 01) • 1.533. lim V >+ ln _______ j mc i;m («4-21) (34~7in) 3n+2 n2 + n-4i’ E5 “(2-0 «41 ’ 1.536. lim (1+-У 1.537. lim-/"". п-> оо V n J n-+ 00 n 1.538. lim (2Z)n. 1.539. lim f2» + i f 1 ——. 1.540. Jnn (5^—25+ • • • +(5ipr) • n 1.541. lim У, L . 1.542. lim (n sin — i (1 V). n -> 00 = 0 n-> 00 \ n \ n J ✓ 48
Доказать, что следующие последовательности ограни- чены, но расходятся: 1.545. z =i". 1.546. г =(—!)«+ 1.547. 2. 1.548. г„ = |(i« + (-»)«). Показать, что следующие последовательности неогра- ничены, но не сходятся к бесконечности: 1.549. zn = n(l+i"). 1.550. гп~(е‘ 2—t)lnn. 1.551. Пусть г„ = | z„ | й <p„ = argz„. Доказать, что lim гп = а (0<|а|<оо) тогда и только тогда, когда П -> 00 lim гп = | а | и lim <р,2 = arg а (при надлежащем выборе ОО П-> 00 области главных значений аргументов). Результат задачи 1.551 часто используется при вычислении пре- делов комплексных последовательностей. Пример 5. Пусть ф—действительное число (ср #0). Доказать/ что lim =cos sin Ф = е1ф. оо \ П ] -4 Рассмотрим две действительные последовательности: Ч(1+?)'Н,+£Т!- /. . *ф\" (1 I * ф <Рл = агЦ1+-^ =narg^l+-Xj=warotgX. Вычислим их пределы: / »»- lim г,- lim fl+^V , ф arctg — lim <pn= lim п arctg _L=q) lim -— = q>. П-+ 00 П -> 00 П -> 00 ф ft Отсюда получаем lim — b(cos ф-f-f sin ф)=гг<р. > П -> оо \ П / 1.552. Пусть z = x-\-iy. Доказать (см. пример 5), что lim (1 + у- j ” == ех (cos у + i sin у) — ех+1У — ег. П —f 00 \ / \49
Доказать сходимость следующих последовательностей и найти их пределы: 1.553. = | z | < 1. 1.554. = | z | < 1, 1.555. zn~1 4-г+ ... +гп, |г|< 1. |z| > 1. 1.557. Вычислить lim 1+Z1+• • •+zi если i z i < 1 и l+z2+...+z?- 1 11 | ^2 I < * 1.558. Пусть lim zn = a=^ oo. Доказать, что n-> CO lim zi,+z2+---+^==a. П -> 00 П 50
Глава 2 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ § 1. Векторная алгебра 1. Линейные операции над векторами. Вектором (геометричес- кам вектором) а называется множество всех направленных отрезков,’ имеющих одинаковую длину и направление. О всяком отрезке АВ из .этого множества говорят, что он представляет вектор а (получен приложением вектора а к точке Л). Длина отрезка АВ называется длиной (модулем) вектора а и обозначается символом |а| = [ АВ |. Вектор нулевой длины называется нулевым вектором и обозначается символом 0. _ Ь Векторы b называются равными р*****—--------------- (a=zb)t если множества представляющих &/ ' их направленных отрезков совпадают. . Д-*—-****д^Ь В ряде задач часто бывает удобно не А различать вектор и какой-либо представля- * ющий его направленный отрезок. Именно в этом смысле, например, следует понимать выражение «построить вектор». Пусть направленный отрезок АВ представляет вектор а. Прило- жив к точке Й заданный вектор получим некоторый направленный отрезок ВС. Вектор, представляемый направленным отрезком ЛС, называется суммой векторов а и & и обозначается а-\-Ъ (рис. 3). Произведением вектора а на действительное число X называется вектор, обозначаемый Ха, такой, что: 1) | Ха | = | X |-| а |; 2) векторы а и Ха сонаправлены при X > 0 и противоположно направлены при X < 0. 2.1. Доказать, что операция сложения векторов обла- дает следующими свойствами: а) « + о = б) = + (коммутативность); в) ai + (#2 + <h) = (#i + л2) + (ассоциативность); г) Va3!&(a + 6-0) (вектор Ь называется вектором, противоположным век- тору а и обозначается символом —а); Д) W #2Э!а3 (а£ + л3 = я2) (вектор а3 называется разностью векторов и и обозначается символом а2—а±). 51
2.2. Доказать равенства: . > а) —а = (—1)а; б) as—a1 = ai + (—a1); в) а = 1а[а„, где а0—орт вектора а, т. е. вектор единичной длины, сонаправленный с вектором а (й=#=0). 2.3. В параллелепипеде ABCDA'B'C'D' векторы т, П, р представлены ребрами АВ, AD, А А' соответственно. Построить векторы: а) т + п+р, б) ^т + ^п—р; в) —т~п+1/2р. 2.4. Даны векторы ах и й2. Построить векторы 3alt ^/2^2» Nz®! ®2* 2.5. Доказать, что: а) операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами: Оа = ХО = О, (1^2) ® — (К,®); б) операции сложения векторов и умножения их на числа связаны следующими двумя свойствами дистрибу- тивности: X (®i ”Ь ®z) — ^®i ^®i И “Ь ® = ^ч® + ^2®‘ ' 2.6. Доказать равенства: а) ® + ^Ь—а) = + 6); б) а—»/,(«+ b) = >/а (a-b). Каков их геометрический смысл? 2.7. AD, BE и С/7—медианы треугольника АВС. Дока- зать равенство ADA-BE-)-CF = 0. 2.8. АК и ВМ—медианы треугольника АВС. Выразить через р — АК и q = BM векторы АВ, ВС и С А. 2.9. В параллелограмме ABCD обозначены: АВ—-а, AD — b. Выразить через а и b векторы МА, МВ, МС и MD, где М—точка пересечения диагоналей паралле- лограмма. ___ 2.10. В треугольнике ABC AM —а АВ и CN = $ СМ. Полагая АВ = а и АС = Ь, выразить AN и BN через векторы а и Ь. 2.11. ABCDEF—правильный шестиугольник, причем АВ=р, BC — q. Выразить через р и q. векторы CD, DE, EF, FA, AC, AD и A£. 2.12. M—точка пересечения медиан треугольника АВС, О—произвольная точка____пространства. Доказать равенство ОМ = ’/э (ОА + ОВ 4- ОС). 52
2.13. В пространстве заданы треугольники АВС и Д'В'С'; М и М'—точки пересечения их медиан. Выра- „ $ить вектор MMf через векторы АА', В В' и СС\ Л 2.14. Точки Е и F—середины сторон [ДО] и [ВС] четы- рехугольника ABCD. Доказать, что EF ==х/§(АВ-]-DC). Вывести отсюда теорему о средней линии трапеции. 2.15. В трапеции ABCD отношение длины основания [ДР] к длине основания [ВС] равно X. Полагая АС~а и BD = b, выразить через а и b векторы АВ, ВС, CD и DA. 2Л6. В треугольнике АВС АМ = а АВ и AN~$AG. а) При каком соотношении между а и Р векторы MN и ВС коллинеарны. ____ б) Пусть а и р таковы, что векторы MN и ВС некол- линеарны. Полагая ВС—р и MN~q, выразить векторы ДВ и АС через р и q. Система векторов а^, ..., ап называется линейно зависимой, если существуют числа ...» такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля и Х1Я1+... +^„art==0. В противном случае система назы- вается линейно независимой. 2.17. Доказать следующие геометрические критерии линейной зависимости’ а) система {Лх, а2} линейно зависима в том и только в том случае, когда векторы аг и а2 коллинеарны^ т. е. их направления совпадают или противоположны; б) система {«х, а%, а3} линейно зависима в том и только в том случае, когда векторы аг, а2 и а3 компланарны, т. е. параллельны некоторой плоскости; в) всякая система из векторов линейно зависима. 2.18. На стороне [ДО] параллелограмма ABCD отло- жен вектор А К длины | Л/С | = х/5| XZ? |, а на~ диагонали [АС]—вектор АА_длины | AL | = X/R | АС |. Доказать, что векторы KL и LB коллинеарны и найти К такое, что KL^k-LB. 2.19. Разложить вектор s=^a\b\c по трем неком- планарным векторам: р~а + Ь—2с, q = a — b, г = 2Ь + Зс. 2.20. Найти линейную зависимость между данными четырьмя некомпланарными векторами: p = a + b, q = =^Ь—с, г = а—&+ с, з = Ь + 1/2с. 2.21. Даны четыре вектора a, b, с, d. Вычислить их сумму, если известно, что а+ /> + £ = ad, 6-(-r + d = p« и векторы а, Ь, с некомпланарны. 53
2.22. Доказать, что для любых заданных векторов а, b и с векторы а/-#, Ь-\-с и с—а компланарны. 2.23. Даны три некомпланарных вектора а, b и с. Доказать, что векторы а-\-2Ь—с, За—Ь-\-с, —a-^5b — Зс компланарны. 2.24. Даны три некомпланарных вектора а, b и с. Вычислить значения X, при которых векторы + + #4-Х&4-г, а-}-Ь-\-гКс компланарны. 2.25. Даны три некомпланарных вектора а. b и с. Вычислить значения^ и р, при которых векторы + и a + X&-f-fw коллинеарны/ 2. Базис и координаты вектора. Упорядоченная тройка некомпла- нарных векторов е2, е$ называется базисом в множестве всех гео- метрических векторов. Всякий геометрический вектор а может быть единственным образом представлен в виде Л = 4“ ^3^3> (D числа Xf, X2i Х3 называются координатами вектора а в базисе 53~(е±> е2, е3). Запись (1) называют также разложением вектора а по базису 53. Аналогично упорядоченная пара et, е2 неколлинеарных векторов называется базисом 53 = (^i', е2) в множестве геометрических векто- ров, компланарных некоторой плоскости. Наконец, всякий ненулевой вектор е образует базис 53 = (/ в множестве всех геометрических векторов, коллинеарных некоторому направлению. Если вектор а есть линейная комбинация векторов ...,ап с коэффициентами Хь ..., Хл, т. е. п а = 2 Мл,- k=i то каждая координата X/ (а) вектора а равна сумме произведений коэффициентов Хь .. ^ Кп на одноименные координаты векторов • » • Яп: «=1,2,3. k=l Базис 53 = (£й ^2, ез) называется прямоугольным, если векторы ets ё2 и попарно перпендикулярны и имеют единичную длину. В этом случае приняты обозначения ^2=Л e3 = k. (2) Проекцией вектора а на вектор е называется число пре а — |а| cos ф,- где ф = (о7^)—угол между векторами а и (0^ф<;л). Координаты X, У, Z вектора а в прямоугольном базисе совпа- дают с проекциями вектора а на базисные орты Z, j, к соответст- венна .з длина вектора а равна |а1 = /Х24-У2+Х2. (3) 54
Числа cos a=cos (а, f) = -z=r- , К Xa+r2_|_za - Y cos В — cos (a, j) = — -- ? К x2+r2+z2 cos V = cos (a, k) = —-— -- — / X2+Fa4-Z2 называются направляющими косинусами вектора a. Направляющие косинусы вектора совпадают с координатами , ч 1 (проекциями) его орта «0 = .—г#* I a j 2.26. Задан тетраэдр О АВС. В базисе из гребер О А, ОВ и ОС найти координаты: а) вектора DE, где D и Е—середины ребер 04 и ВС\ б) вектора О/7, где F—точка пересечения медиан основания АВС. 2.27. В тетраэдре ОАВС медиана [AL] грани АВС делится точкой М в отношении ( AM |:| ML] = 3:7. Найти координаты вектора ОМ в базисе из ребер О А, ОВ, ОС. 2.28. Вне плоскости параллелограмма ABCD взята точка О. В базисе из векторов ОД, ОВ и ОС найти ко- ординаты: _ а) вектора ОМ, где М—точка пересечения диагона- лей параллелограмма; б) вектора ОК, где К—-середина стороны [ДО]. 2.29. В трапеции ABCD известно отношение длин ос- нований: | А В \/\ CD | = X. Найти координаты вектора СВ в базисе из векторов АВ и AD. 2.30. В треугольнике АВС АМ~аАВ, AN = — рДС(а, 1; оф=?М), О—точка пересечения (СМ) и (BN). В базисе из векторов ОМ и ON найти коорди- наты: __ а) ** вектора АО;__ _ б) векторов АВ, ВС и СД. 2.31. В треугольнике ABC АК = а АВ, BM^fiBfj, CF — yCA. Пусть Р, Q и R—точки пересечения прямых (BF) и (СК), (СК) и (ДМ), (ДМ) и (BF) соответственно. В базисе из векторов АВ и АС найти координаты векто- ров АР, BQ и СК. 55
2.32. Дан 11равиль1вдйд_р»тиуг<>льйи№г ABODE.В ба- висе из векторов АВ и АЕ найти координаты» а) векторов АС и AD. б) векторов БС, CD и DE. _____ 2.33. Дан треугольник АВС, АМ — 2/яАВ, А~Н= 8ДЛ?. Прямая (MN) пересекает (ВС) в точке К. а} Найти координаты вектора ЛЛ в базисе из векто- ров АВ и АС. б) Доказать, что векторы p~*AB-}-KN, q = BC~-\-NM и г = СА 4- ТИЛ коллинеарны и определить коэффициент у в равенстве p~yq. 2.34. В тетраэдре ABCD JDM]—медиана грани BCD и Q—центр масс этой грани. Найти координаты векторов DM и AQ в базисе АВ, АС и Л£>. В дальнейшем, если не оговаривается противное, векторы пред- ставлены своими координатами в некотором прямоугольном базисе. Запись а (X, У, Z) означает, что координаты вектора а равны Х> Y и 2, т. е. a = Xi+YJ+Zk. 2.35. Заданы векторы а, (—1, 2, 0), (3,1,1), а3 (2, .0,1) и « = «!—2а34- *13а3. Вычислить» а) | «1 ] и координаты орта (aj 0 вектора а±, б) cos(«i, j)\ в) координату X вектора а\ г) пру«. 2.36. Заданы векторы е (—1, 1, *Д) и а (2, —2, — 1). Убедиться, что они коллинеарны и найти разложение вектора а по базису S3 = (e). 2.37. На плоскости заданы векторы et(—1, 2), е§(2, 1) и л (0, —2). Убедиться, что 33 = (ef, е2)—базис в мно- жестве всех векторов на плоскости. Построить заданные векторы и найти разложение вектора а по базису 23. 2.38. Показать, что тройка векторов ^(1, 0, 0), е3(1, 1, 0) и ё8(1, 1, 1) образует базис в множестве всех векторов пространства. Вычислить координаты вектора а==—27—k в базисе е%, еа) и написать соответст- вующее разложение по базису. 2.39. Заданы векторы а = 27 4-3/, Ь — —3J—2k, с ~ ^i-Vj-k. Найти» . а) координаты орта «0; б) координаты вектора а—а/2Т> + с; ' в) разложение вектора «+&—2с по базису $8=(7,/, А); Г) пру (а- Ь). 56.
F 2.40. Найти координаты орта ав, если а (6,7, —6). 2.41. Найти Z(a),’ если Х(а) = 3, У (а) -— 9 и |в|«= 12. 2.42. Найти длину и направляющие косинусы вектора р~3а—5й + с, если а = 4Z+7J+ 3k, b^i-^2j^-k, c*=2i—3j—k. 2.43. Найти вектор х, коллинеарный вектору «==/—2/-i— —2k, образующий с ортом J острый угол и имеющий длину | ж | = 15. 2.44. Найти вектор х, образующий со всеми тремя базисными ортами равные острые углы, если ]ж | == 2 КЗ. 2.45. Найти вектор х, образующйй_с ортом у угол 60°, с ортом k—угол 120°, если |лг| = 5'рг2. 2.46. При каких значениях аир векторы а = —2Z.4- + 3/+ай и 6 = р/—6/ + 2Й коллинеарны? 2.47* . Найти вектор х, направленный по биссектрисе угла между векторами а = 71—4J—4й .и& = —21—j-\~2k, если | х | = 5/6. 2.48. Заданы векторы! а(1, 5, 3), 0(6, —4, —-2), с (0, —5, 7) и d (—20, 27, —35). Требуется подобрать чис- ла а, ₽ и у так, чтобы векторы аа, ₽0, yit? и d образо- вывали замкнутую ломаную линию, если «начало»: каж- дого последующего вектора совместить с «концом» пре- дыдущего. 2.49. В тетраэдре О АВС плоские' углы трехгранного угла с вершиной О—прямые. Точка Н—основание пер- пендикуляра, проведенного из вершины О к плоскости грани АВС. Найти координаты вектора ОН в базисе из векторов О А, ОВ и ОС, если | О А | = а, |ОВ|=+, |ОС| = о. 3. Декартовы прямоугольные координаты точки. Простейшие задачи аналитической геометрии. Говорят^ что в трехмерном про- странстве введена декартова прямоугольная система координат <О, если заданы: 1) некоторая точка 0$ называемая началом координат; 2) некоторый прямоугольный базис 53 = (Z,J, k) в множестве всех геометрических векторов. Оси Ох, Оу и [Ох, проведенные через точку О в направлений базисных ортов Z, J и А?, называются координатными осями системы координат <О, 53> = Ож//£. Если М—произвольная точка пространства^ то направленный отрезок ОМ называется радиус-вектором точки М. Координатами точки М в системе <0, 53> называются координаты ее радиус-век- тора ОМ как геометрического вектора в базисе 53$ т. е. х (М) = X (ОМ), y(M) = Y (ОМ), г (M) = Z(0M). 57
Если zj) и Af2(x2i Уз! ?g) —две произвольные точки в пространстве, то координаты вектор a’AffAla равны Х=х2—хь Y^y^—yt, Z^z2—zt. (4) Отсюда на основании (3) расстояние между точками выражается формулой р (Mi, Л12) = I УИ1Л12 I = У(хй—x1)4+(j/ii-ij/]()2+(2:2—. При решении задач аналитической геометрии целесообразно мак- симально использовать методы векторной алгебры. Пример 1. Заданы вершины А(1, 0, —1), В (2, 2, 1) и точка Е(—1,- 2, 1) пересечения медиан треугольника АВС. Найти коорди- наты вершины С. Так как координаты вершины А заданы, то для вычисления ко- ординат вершины С достаточно найти координаты вектора АС. Пусть BF—медиана, проведенная из вершины В. Тогда AC = 2AF=2(BA + BF)=2^AB + ^BE^ (5) (здесь использован тот факт, что точка Е делит медиану BF в отно- шении 2:1). Далее, из условий задачи с помощью формулы (4) вы- числяем координаты векторов АВ (1, 2, 2) и BE (—3, 0, 0), откуда на основании (5) получаем АС (—7, 4, 4) и, наконец, вновь используя формулу (4), находим координаты точки С: х (С) = х (А) + X (АС) = —6; y(C)=y(A) + Y(AC)~4; z(C)==z(A) + Z(AC)=3. ► Пусть на прямой I заданы точки AQ, Л12 и М, примем Рассмотрим векторы М±М и Л1М2. Так как они коллинеарны, то найдется такое действительное число что = Число X называется отношением.} в котором точка М делит направленный отрезок М±М21 причем оно положительно,- если точка М находится внутри отрезка отрицательно (и л $£—1), если М находится вне Л«г«2, и равно 0, если М = Mf. Пример 2. Зная координаты точек Mf (х^ у^ zi) и М2 (х2, #2, z2) и отношение Л, в котором точка М делит направленный отрезок М]М2, найти координаты точки М. Пусть О—начало координат. Обозначим: OAff = rx, OM2=r2t 0М=г. Так как Л41Л4 = г —гх, ММ2~г2— rf то Г—Г1 = ^(г2—г), откуда (так как К Ф —1) г__ Fl + Xf2 1 + Х * 58
• Полученная формула и дает решение задачи в векторной форме. Переходя в этой формуле к координатам, получим -V1 + У1 + __ 21 +Х?2 1 + А ’ У~ 1+Х 1 > 1+Х (6) 2.50. Точка М (1, —5, 5) задана своими координатами в декартовой прямоугольной системе координат <0, S3 '== (Z, J, k)>. Найти координаты этой точки в системе <0', 25' = (Z', j', А')>, если: а) ОО’ =—21+j—k и i' — i, j' =J, k' — k\ 6) O' = 0 и i' = —j, j' -k, k' = i; в) 00' =J и i' = —U (Z + J), j' = —L=- (Z—/), k' = k у z у z (предварительно убедиться, что S' — прямоугольный базис). 2.51. Даны три вершины А (3, —4, 7), В(—5, 3, —2) и С(1, 2, —3) параллелограмма ABCD. Найти его четвер- тую вершину D, противоположную В. 2.52. Даны две смежные вершины параллелограмма А(—2, 6), В (2, 8) и точка пересечения его диагоналей М (2, 2). Найти две другие вершины. 2.53. Определить координаты вершин треугольника, если известны середины его сторон! К (2, —4), М (6, 1), Л7 (—2, 3). 2.54. На оси абсцисс найти точку Л4, расстояние от которой до точки А (3, —3) равно 5. 2.55. На оси ординат найти точку М, равноудален- ную от точек А (1, —4, 7) и В (5, 6, —5). 2.56. Даны вершины треугольника Л (3, —1, 5), В (4, 2, —5) и С (—4, 0, 3). Найти длину медианы, про- веденной из вершины А. 2.57. Отрезок с концами в точках А (3, —2) и В (6, 4) разделен на три равные части. Найти координаты точек деления. 2.58. Определить координаты концов отрезка, который точками С (2, 0, 2) и D (5, —2, 0) разделен на три равные части. 2.59* . Заданы точки А (1, 2, 3), В (2, —2, I), С (3,0, 3) и D(16, 10, 18). Е—точка пересечения плоскости ОАВ (0—начало координат) с прямой, проведенной через точ- ку D параллельно прямой (ОС). Найти координаты точки В. 2.60* . Заданы точки А (2, 5, 2) и В (14,5, 4); С—точка пересечения координатной плоскости Оху с прямой, про- веденной через точку В параллельно прямой (ОЛ). Найти координаты точки С. 59
2.61. Даны вершины треугольника Л(1,—1,-3), В(2, 1, —2) иС(—5, 2, —6). Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угда при вершине А. ◄ Найдем разложение вектора АЕ по базису из векторов АВ и АС. Пусть ej = AB/\ АВ\ и ^ = ЛС/| АС |—орты векторов АВ и АС. Тогда вектор АЕ сона правлен с вектором e~eL-f~e2 (ср. с зада- чей 2.47), т. е. существует число X > 0 такое, что “ЛР Л \ Г7У АЕ = ле = Ц ——х— ). (7) Члв| |лс|/ С другой стороны,' Л£=Ж?+С£ = Аё+рёВ = ЛС+р (АВ—АС) = = рАВ+(1 —р) ЛС, р > 0. (8) Формулы (7) и (8) представляют собой два разложения вектора АЕ по базису из векторов АВ и АС. В силу единственности раз- ложения вектора по базису имеем А. ч . ~=—==Н И • ххх- — 1—U. (9) |АВ\ ГЛС| v Решая систему (9), находим , + _ 1 _ _ Н j£l............... 1/| АС | + 1/| ABI |АВ| + |ЛС| ’ так что формула (7) принимает вид дё =-—1 /lC ав-i——1 лё.' (Ю) |ЛВ|+|АС| | ЛВ| + |. ДС| Из условий задачи находим: АВ(1, 2, I) и | АВ |=К~6, АС (—6, 3, —3) и |Аё[=3 Уб, и на основании (10) получаем :дё=Адё+^Лё, откуда аё(—-г» -т?и |Дё|=+1<Тб. > \ 4 4 J 1 ‘ 4 2.62. Треугольник задан координатами своих вершин А (3, —2, 1), В (3, 1, 5), С (4, 0, 3). Вычислить расстоя- ние от начала координат до точки пересечения медиан этого треугольника. 2.63. Даны вершины треугольника А (1, 0, 2), В(1, 2, 2) и С (5, 4, 6). Точка L делит отрезок АС в отноше- нии 1/3, [СТ?]—медиана, проведенная из вершины С. 60
Найти координаты точки М пересечения прямых (BL) и (СЕ). ,4. Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением ненулевых векторов at и а2 называется число («ь а2) = | at 11 «21 cos («i?a2). Для скалярного произведения наряду с обозначением (at, а2) исполь- зуется также обозначение Геометрические свойства скалярного произведения: 1) ai I а* aia2 = О (условие перпендикулярности векторов); 2) если ф = (аъ «2), то ф < п/2 <=> а±а2 > 0 и л/2 < <р л ФФ aia2 < О» Алгебраические свойства скалярного произведения! 1) O1O2 = O2«i; 2) (Z«i)«2 = l(«ia2); 3) a ~Г &2) = «&1 -J- о&2. Если векторы а± (Х^ Yff ZJ и о2 (%2i £2) представлены своими координатами в прямоугольном базисе, то ёкал яр ное произ* ведение равно «1«2 = х 1 Х% У1У 2 4" ^1^2* Из этой формулы* в частности* следует формула для определения косинуса угла между векторами cos (кГ'а 1 — Я1Й2___________-У^аЧ-^1^2 cos («ь а2)— (а1 ((й2 ( - ♦ 2.64. Доказать справедливость алгебраических свойств скалярного произведения. 2.65. | = 3, |а3|“4, (tti, а2) = 2л/3. Вычислить! a) al^a^cii, б) (3«j—2«z2) (a14-2a2)j в) (<Zi + a2)2. 2.66. |/Zi | = 3, |а2| = 5. Определить, при каком зна- чении а векторы а^А-сац и ах—аа2 будут перпендику- лярны. 2.67. Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах а—р—3q, b^5p + 2q, если известно, что |/>| = 2И2, |#| =3 и (р, q)^n/4. 2.68. Определить угол между векторами а и Ь, если известно, что (а—b)2 -J- (а + 2^)2 = 20 и | а | = 1, | & | = 2. 2.69. В треугольнике ЛВС АВ —3Ci—4е2, ТЗС — + 4- 5eg. Вычислить длину его высоты СЛ, если известно, что et и е2—взаимно перпендикулярные орты. 61.
2.70. Вычислить прл+6(2а—6), если |а| = |6| = 1 и (О) = 120°. __ 2.71. Известно, чтоДВ = 2в1—6е2 и АС — 3^4-^, где Ct и ег—взаимно перпендикулярные орты. Определить углы треугольника АВС. 2.72. Найти угол, образованный единичными векто- рами е, и е2, если известно, что векторы а = в1-\-2е^ и Ь — Ье,—4е2- перпендикулярны. 2.73, Найти угол а при вершине равнобедренного тре- угольника, зная, что медианы, проведенные из концов основания этого треугольника, взаимно перпендикулярны. 2.74. К вершине куба приложены три силы, равные по величине 1, 2, 3 и направленные по диагоналям «гра- ней куба, проходящим через эту вершину. Найти вели- чину равнодействующей этих трех сил. 2.76. Задан прямоугольник ABCD и вне его произволь- ная точка М. Доказать равенство МА^МС — MB - ~MD. Вывести отсюда, что |МД |24~|Л4С|2 —|МВ|24-|Л4О|\ 2.76* . ABCD—равнобочная трапеция, АВ—а—осно- вание, AD — b—боковая сторона, угол между АВ и AD равен л/3. Выразить через а и Ь векторы DC, СВ, АС и DB. 2.77. Зная, что |а| —3, |6| = 1, |с| = 4 и a+b-f-C — г= 0, вычислить аб-р-йс + са. 2.78. Даны векторы аД4, —2, —4) и а2(6, —3, 2). Вычислить» а) а^; б) (2а,—За2) (а£Ч-2а2); в) (at—а2)2; г) |2af—а2|; д) прй1а2; е) npO2af; ж) направляющие косинусы вектора af; в) npax+a2(ai—2а5); и) cos(af,a2). 2.79. Даны точки А (2, 2) и В (5, —2). На оси абсцисс найти такую точку М, чтобы АМВ — л/2. 2.80. Найти длины сторон и величины углов треуголь- ника с вершинами Д(—1, —2, 4), В (—4, —2, 0) и С (3, -2, 1). 2.81« Для заданных векторов а, Ь, и с вычислить прс (2a—36)5 а) a«—<4-2/4-*, b=3i+J+k, c^M + 3J; б) a^i—2J+3k, b = —3i + 2J—k, c~Ql + 2J+3k. 2.82. Доказать, что четырехугольник с вершинами А (—3, 5, 6), В(1, —5, 7), С (8, —3, —1) и D(4, 7, —2) — квадрат. 62
2.83. Найти косинус угла <р между диагоналями (АС) и (BD) параллелограмма, если заданы три его вершины 4 (2, 1, 3), В (5, 2, —1) и С(—3, 3, —3). ' 2.84. Вычислить работу силы F= k при пере- мещении материальной точки из положения А (—1, 2, 0) в положение В (2, 1, 3). 2.85. Даны векторы а(1, 1) и 6(1, —1). Найти коси- нус угла между векторами х и у, удовлетворяющими системе уравнений 2x+j=a, х+2_у = &. 2.86. Векторы а, b и с имеют равные длины и обра- зуют попарно равные углы. Найти координаты вектора с, если b*=j-\-k. 4 Если c = Xi-\-YJ-}-Zk, то из условия задачи следует, что векторе удовлетворяет системе уравнений са = X + Y=ab = 1; cb = Y-\-Z—ab — l‘, |с|2=Х24-У2+г2 = |а|2 = |&|2 = 2. Решая эту систему,- находим 1/3, Ух = 4/3, Zt =—1/3 или Х2=1, У2 = 0, Z2 = l. ► 2.87. Лучи [ОД), [ОВ) и [ОС) образуют попарно рав- ные углы величины л/3. Найти угол между биссектрисами углов Х.АОВ и ^ВОС. 2.88. Найти координаты вектора х, коллинеарного вектору а (2, 1, —1) и удовлетворяющего условию ах «=3. 2.89. Вектор х перпендикулярен векторам (2, 3, —1) и а2(1, —2, 3) и удовлетворяет условию x(2i— — —6. Найти координаты х. Если задан некоторый вектор е, то ортогональной составляющей произвольного вектора а вдоль вектора е называется такой вектор а который коллинеарен е, причем разность а — ае перпендикулярна вектору е. Аналогично ортогональной составляющей вектора а в плоскости Р называется вектор ар, компланарный плоскости Р> причем разность а—аР перпендикулярна этой плоскости. 2.90. Для вектора а(—1, 2, 1) найти ортогональную составляющую вдоль базисного орта j и ортогональную составляющую в плоскости векторов i и k. 2.91. Заданы векторы е(1, 1, 1) и —1, 2, 1). Найти: а) ортогональную составляющую вектора а вдоль век- тора е\ б) ортогональную составляющую вектора а в плоско- сти Р, перпендикулярной вектору е. 63
2.92. Заданы вершины треугольника Д(—1, —2, 4), В(—4, —1, 2) и С (—5, 6, —4); [ВО]—его высота, про- веденная через вершину В. Найти координаты точки D. 2.93* . Заданы векторы еД1, —2, 0), е,(1, 1, 1) и а(—2, 0, 1). Найти ортогональную составляющую ae„ei вектора а в плоскости векторов К бх и Si. X j Если базис = e2i еа)~ пря- J \ " моугольный, то координаты произвол ь- \ КОГО ВеКТ0Ра «== ^1^1+^2^2+ ^3^3 В \ * этом базисе могут быть вычислены по формуле рио< 4 Х[ = ае^ ^ == Ь 2, 3. (11) В частности, формула (11) позволяет легко найти связь между координатами одного и того же вектора в различных прямоугольных базисах. Пример 3. Пусть базис 23'= $'?/') получен из базиса 23 = = (<» J) поворотом последнего вокруг точки О на угол <р (<р > 0^ если поворот произведен против часовой стрелки, <р < 0 в,противном слу- чае) (рис. 4). Установить связь между координатами вектора а в базисах 23 и 23'. Пусть a = Xi-{-YJ. Тогда X'=ai' = XH'+YJi', Y^ar^XiJ'+YJJ'. С другой стороны, имеем:- /Z'=:cos q), //' = cos у+ф sin ф, f/'= C0S Г у+ ф } = Sin ф, ,//'=С03ф. Поэтому формулы преобразования координат (12) принимают вид X1 = Х cos ф — Y sin ф, Y- = Х sin ф-рУ cos ф. ► 2.94. Вывести формулы преобразования координат то- чек плоскости при переходе от системы координат <0, 23 = $, /)> к системе <О', 23' = (Г ,/')>, если ОО' = xoi + + Уо/> а базис 23' получен из базиса 23 поворотом на угол ф вокруг точки О. 2.95i Написать формулы преобразования координат векторов при переходе от базиса 23 = (/, /, k) к базису 23' —(/', /, £'), если Г й= cos ф • i + sin ф •/, J' == —sin ф • I + cos <р •/, kr = —k 2.96. В прямоугольном базисе 23==$,./, й) вектор а имеет разложение а — —2/+/—й. Убедиться, что тройка 64
векторов i' =i, j' =-^rj------±=k, k' =-±=J /2 К2 f2 /2 также образует прямоугольный базис ЭЗ' = (/', у'» £'), и найти в этом базисе координаты вектора а. 2.97. Проверить, что тройка векторов ех(1, —2, 0), £3(0, 1, 1) и е3(1,2, 2) образует (косоугольный) базис. Выразить скалярное произведение векторов а2 через их координаты в этом базисе, если а^Х^е. + Х^^ + Х^ е3 и а2 = Х^е, + Х^ + Х^е3. 5. Векторное произведение векторов. Упорядоченная тройка не- компланарных векторов ^1, #2, называется правой, если наблюда- телю, находящемуся внутри телесного угла, образованного этими векторами, кратчайшие повороты от к е2 и от е2 к е3 кажутся происходящими против часовой стрелки. В противном случае тройка (^1, #2, #з) называется левой. Векторным произведением вектора а± на вектор <г2 называется вектор, обозначаемый символом [«!, а2] (или ЯхХ&г), определяемый следующими тремя условиями: 1) длина вектора [о^, а2] равна площади параллелограмма, постро- енного на векторах а± и а2, т. е. | [яь а2} ] = | а± |*| а21 sin (а1У а2); 2) вектор [#!, а2] перпендикулярен плоскости векторов at и а2\ 3) упорядоченная тройка a2i [€Zf, а2] правая. Из определения векторного произведения следует, что «111^2 <=>[«1, а2]=0. Алгебраические свойства векторного произведения: 1) [«1, а2]= — [а2, aj; 2) [%«!, а2\ ==Х [#1, а2]; Й) [&1 + «2, Ь] = [«ъ &] + [^2, &]• Если Of (%i, Ki, Zi) и а2(Х2, Y2, Z2) — векторы, заданные своими координатами в правом прямоугольном базисе, то разложение вектор- ного произведения [аь а2] в том же базисе имеет вид [«!, «2] = (*\Za—Z^) i + + или, в символической записи (с использованием понятия определи- теля 3-го порядка; см. § 1 гл. 3) [Я1. «21 = i j k Yi Z, x2 r2 z2 (13) 2.98. | в, | = 1, | a21 = 2 и (at, a2) = 2л/3. Вычислить: a) 6) | [2^1-|- at, ах + 2а2]|; В) | [tXj “}— 3£Z2, 3^j iZ2] ]• 2.99. Какому условию должны удовлетворять векторы at и а2, чтобы векторы и — а2 были коллинеарны? 3 Под ред- А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича 65
2.100. Упростить выражения: а) [^></+^1 — ГУ» /'+Л] + [Л, г+У+^L б) [а + & + с, с] + [а + & + с &] + [&—г, а], в) [2а + &, с—а] + [& + с, а + &], г) 24/ k] + 3J[h k] + 4k[i.Jl 2.101. Доказать, что [а — Ь, аД-Ь] = 2 [а, Ь] и выяс- нить геометрический смысл этого тождества. 2.102. | а | = | b | = 5, (а, &) = л/4. Вычислить пло- щадь треугольника, построенного на векторах а—2Ь и 3d -|- 2Ь. 2.103. Векторы а, b и с связаны условием а-\-Ь-]-с = * = 0. Доказать, что [а, &] = [&, г] = [г, а]. Каков геомет- рический смысл этого результата? 2.104. Доказать, что при любых векторах а,р, q и г векторы [а, р], [а, q] и [а, г] компланарны. 2.105. |о| = 2, |&| = 5, (а, #)=л/6. Выразить через векторы а и b единичный вектор г0, перпендикулярный векторам а и & и такой, что: а) тройка (a, b, cQ) правая; б) тройка (&, с0, а) левая. 2.106. Заданы векторы аг (3, —1, 2) и $2(1, 2, —1). Найти координаты векторов: a) [alt а2]; б) [2^ + ^, а2]; в) [2а,—а2, 2at + a2], 2.107. Вычислить площадь треугольника с вершинами А (1, 1, 1), В (2, 3, 4) и С (4, 3, 2). 2.108. В треугольнике с вершинами А (1, —1, 2), В (5, —6, 2) и С(1, 3, —1) найти высоту h = \BD\. 2.109. Определить, при каких значениях а и р вектор а/ + 3у+рй будет коллинеарен вектору [а, &], если а(3, —1, 1), &(1, 2, 0). 2.110. Для заданных векторов а (2, 0, 3), &(—3, 5, 4), с (3, 4, —1) вычислить проекцию вектора [а, Ь] на век- тор (а, Ь)с. 2.111. Для заданных векторов а (2, 1, —1), 6(1, 2, 1), с (2, — 1, 3), d (3, —1, 2) вычислить проекцию вектора «4-с на вектор [Ь—d, с]. 2.112. Найти вектор [а, а-]-&] +[а, [а, &]], если а (2, 1, —3), &(1, —1, 1)._ 2.113. Найти вектор [ДВ + ДС, [ВС, ДВ1], если А (2, 2, 3), В(1, 0, 4), С (2, 3, 5). 2.114. Три ненулевых вектора а, Ь и с связаны соот- ношениями а = [Ь, с], & = [с, а], с = [а, &]. Найти длины этих векторов и углы между ними. 66
2.115. Сила F=<11—4/4-5Л приложена к точке Л (4, —2, 3). Определить момент этой силы относительно точки 0(3, 2, -1). 2.116. Даны три силы: Ft (2, —1, —3), F2(3, 2, —1) и F3(—4, 1,3), приложенные к точке А (—1, 4, 2). Опре- делить величину и направляющие косинусы момента равно*’ действующей этих сил относительно точки О (2, 3, —1). 2.117. Вычислить площадь параллелограмма, диагона- лями которого служат векторы 2et—е2 и 4е;—5#2, где и е2—единичные векторы и (еп е2) = л/4. 2.118. Найти координаты вектора х, если известно, что он перпендикулярен векторам аг (4, —2, —3) и а2 (О, 1, 3), образует с ортом J тупой угол и | х| = 26. •* 2.119. Найти координаты вектора х, если он .перпен- дикулярен векторам «Д2, —3, 1) и а2(1, —2, 3), а также удовлетворяет условию x(i + 2J—7k) = 10. 2.120. При каких условиях уравнение а2 = [ах, х] имеет решение относительно х? Сколько существует решений? 2.121. Найти составляющую вектора —1, 2, 0), пер- пендикулярную плоскости векторов ех(1, 0, 1) и е2(1, 1, п. 2.122. Как изменится выражение (13), если координаты векторов задать в левом прямоугольном базисе? Будет ли верна эта формула в случае косоугольного базиса? 2.123* . Вектор [а, [&, г]] называется двойным вектор- ным произведением заданных векторов. Доказать, что справедливо равенство [а, [&, г]] = &(а, с)—с (а, Ь). 6. Смешанное произведение векторов. Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов а±, а2, а3 называется число [«j, а2] а3. Геометрические свойства смешанного произведения: 1) если V—объем параллелепипеда, построенного на векторах alf а2 и а3, то . f V, если тройка (aty а2, а3) правая, 1^1, a2ja3-^ —у, если TpOgKa (aij а2 левая; 2) для того чтобы три вектора «2, и3 были компланарны, необходимо и достаточно выполнение условия [«£, а2] «3 = 9. Основное алгебраическое свойство смешанного произведения со- стоит в том, что циклическая перестановка векторов не меняет его величины, т. е. [«ь а2]«3 = [«2» «з]«1 = [«з, «1]«2- Это свойство позволяет ввести обозначение [«i, а2]«з = «1«2«з (ре- зультат не зависит от Toto, как расставить квадратные скобки в пра- вой части). Смешанное произведение через коордийаты векторов в 3* 67
правом прямоугольном базисе записывается в виде 010203 = *1 Ух zx х2 r2 z2 Х3 У3 z3 2.124. Векторы а^а2, а3 образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны и | at | = 4, | а21 = 2, | а31 = 3. Вычислить ага2а3. 2.125. Векторы а, Ь. с образуют левую тройку, |а|=1, |&| = 2, |г| = 3 и(а,&) = 30°; с ±,а, с Найти abc. 2.126. Заданы векторы «4(1, —1, 3), а2 (—2, 2, 1) и а3 (3, —2, 5). Вычислить аха2а3. Какова ориентация троек: a) (aif а2, а3)-, б) (а2, а±, а3у, в) («4, а3, а2)? 2.127. Установить, образуют ли векторы а2 и а3 базис в множестве всех векторов, если: а) «4(2, 3, —1), а2(1, —1, 3), а3(1, 9, —11); б) «4(3, —2, 1), «4 (2, 1, 2), «З(3, —1, —2). 2.128. Доказать, что | ага2а31 | «4 |1 11 1> в каком случае имеет место знак равенства? 2.129. Доказать, что при любых а, b и с векторы а—ft, b—с и с—а компланарны. Каков геометрический смысл этого факта? 2.130. Доказать тождество (& + &4-С) (а—2&+2г) (4а + b + 5г) = 0: 2.131. Доказать, что если а [а, &] + £[&, «] + ?[«, а} = = 0, причем хотя бы одно из чисел а, р и у отлично от нуля, то векторы а, Ь и с компланарны. 2.132. Вычислить объем тетраэдра О АВС, если О А = = 3Z + 4j; OB = —3J+k, OC = 2j+&k. 2.133. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точ- ках А (2, —3, 5), В(0, 2, 1), С (—2, —2, 3) и D (3, 2, 4). 2.134. В тетраэдре с вершинами в точках Д(1, 1, 1), В (2, 0, 2), С (2, 2, 2) и D(3, 4, —3) вычислить высоту h = \DE\. 2.135. Проверить, компланарны ли данные векторы: а) а = — 2i+J+k, b-i—2J+3Jt, г = 14Z —13/ +7/fe; б) a = 2i+J—3k, b^3i—2j+2k, c = i — 4J + k. 2.136. При каком Л векторы а, Ь. с Ъуяуг компла- нарны? а) а(Х, 3, 1), 6(5, —1, 2), с (~ 1, 5, 4); б) а(\, 2Х, 1), 6(1, X, 0), г(0, X, 1). 68
2.137. Доказать, что четыре точки А (1, 2, —1), В (0, 1, 5), С(—1, 2, 1) и D(2, 1, 3) лежат в одной пло- скости. 2.138. Найти координаты четвертой вершины тетра- эдра ABCD, если известно, что она лежит на оси Оу, а объем тетраэдра равен v: а) А (— 1, 10, 0), В(0, 5, 2), С (6, 32, 2), v = 29; б) А (0, 1, 1), В (4, 3, —3), С (2, —1, 1), и = 2. 2.139. Доказать, что объем параллелепипеда, постро- енного на диагоналях граней данного параллелепипеда, равен удвоенному объему данного параллелепипеда. . 2.149. Доказать тождества: а) (а + с) b (а Ь) — —abc\ б) (а—Ь) (a—b—с) (а + 2Ь—с) -~-3abc\ в) (а + Ь) (& + с) (с + а) = 2abc, г) Уа, р (ab (с + аа + р&) = abc). § 2. Линейные геометрические объекты j. Прямая на плоскости. Прямая на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат Оху может быть задана уравнением одного из следующих видов: 1) Ах-\- Ву-\-С ~ 0 — общее уравнение прямой; 2) А (х—xg)A~B {у — yQ} =0 — уравнение прямой, проходящей через точку Мо (х0, у0) перпендикулярно нормальному вектору п (Л, В); х— Xq у—Уъ 3) ----------------уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0) Уо) параллельно направляющему вектору q (Z, т} (каноническое уравнение прямой); ( x = xaA-lti . 4) < ’ /£(—оо, 4-оо),—параметрические уравнения ( У~Уа~гт0 прямой, которые в векторной форме имеют вид r = rQ + Q^ где Го (xQ, у о) — радиус-вектор точки Мо (х0, Уо), q (I, т) — направляю- щий вектор прямой; х и 5) — —уравнение прямой в отрезках, где а и b — вели- чины направленных отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях Ох и О'у соответственно; 6) х cos а-ф-у cos р— р — 0—нормальное уравнение прямой, где cos а и cos Р — направляющие косинусы" нормального вектора, я, на- правленного из начала координат в сторону прямой, а р > 0 —рас- стояние от начала координат до прямой. Общее уравнение 1) приводится к нормальному виду 6) путем умножения на нормирующий множитель 11=____-sgnG ... к д2 + в2 69
Если прямая L задана уравнением вида 6)^ а М (х, у)— некоторая точка плоскости, то выражение 6(ЛД b) = xcos a+#cos 0—Р задает отклонение точки М от прямой L. Знак 6(7И, L) ука- зывает на взаимное расположение точки /И, прямой L и начала коор- динат, а именно: если точка М и начало координат лежат по разные стороны от прямой L,- то 6 (Л4, L) > 0, а если М и начало координат находятся по одну сторону от прямой то 6 (/И, L) < 0. Расстояние р (Л4, L) от точки М до прямой L определяется равенством р(Л4, L) — = ]6(Л4, L) |. Прим.ер 1. Написать уравнение прямой L, параллельной двум заданным прямым L±z х-\-2у—1=0, Л2: x+2z/4-2 = 0 и проходящей посередине между ними. <4 1-й метод. Так как вектор п (1, 2), нормальный к заданным пря- мым £х и £2, является в то же время нормальным и к прямой L', то достаточно найти какую-нибудь точку Mf, лежащую посередине между Lj и Т2- Из уравнений для L± и L2 находим любые две точки и Л42^£2, например такие: Л4Х (1, 0) и М2 (—2,0). Тогда точка 7И' (—1/2, 0), делящая отрезок Л11Л12 пополам, лежит посере- дине между Aj и £2. Поэтому уравнение прямой L' имеет вид х+2у+1=0. 2-й метод. Произвольная точка М принадлежит L' в том и только в том случае, когда р(7И, A1)=p(M, L2), т. е. | 6 (Л4, 1 = | 6 (Л4, L2)[. (1) Для того чтобы снять модули в этом соотношении, установим поло- жение начала координат относительно заданных прямых Лх и L2. Нормальные уравнения этих прямых таковы: Т 1 . 2 1 л г 1 2 2 п —х-4—-^у--------7-=г = 0 и L2:---^=гх----—у----т=г=0. Кб Кб /5 Кб Кб Кб Так как нормали п± и п2 из точки О в сторону Lf и L2 противопо- ложно направлены, то точка О находится в полосе между Li и L2. Поэтому соотношение (1) принимает вид б (М, L1) = ^(M1 L2), или 1 v , 2 ti 1 _ 1 2 2 Кб х+ Кб'у Кб Кб х Кб у Кб" ’ т. е. и-. x+2y+-i- = 0. > - В задачах 2.141—2.143 требуется: 1) написать уравнение прямой, привести его к общему виду и построить прямую; 2) привести общее уравнение к нормальному виду и указать расстояние от начала координат до прямой. 2.141. Прямая L задана точкой Л40 (х0, у0) £ L и нор- мальным вектором п (Л, В): 70
a) Mo(—1, 2), n (2, 2); б) Mo(2, 1), в (2, Ок в) Мо(1, 1), и (2,-1). 2.142. Прямая L задана точкой M0(x0, t/e)gL и направ- ляющим вектором q(l, tri): а) Мо(-1, 2), q(3, -1); б) Мо(1, 1), <7(0, -1); в) Л40(—1, 1), <7(2, 0). 2.143. Прямая L задана двумя своими точками Mt (xit у J и М2 (х2, у2): а) Mf(l, 2), М2(-1, 0); б) Mt(l, 1), М2(1. -2); . в) /И1(2, 2), Л42(0, 2). 2.144. Заданы прямая L и точка М. Требуется: 1) вычислить расстояние р(М, L) от точки М до пря- мой L; 2) написать уравнение прямой L', проходящей через точку М перпендикулярно заданной прямой L; 3) написать уравнение прямой L", проходящей через точку М параллельно заданной прямой L. Исходные данные: a) L: — 2х + у—1=0, М(—1, 2); б) Li 2^4-1 =0, М(1, 0); в) Li x4-z/+ 1 ==0, М (0, —1). Пусть заданы две прямые Li и L2. Возможны два случая их взаимного расположения: 1) Li и £2— параллельные прямые, в частности они совпадают; 2) Li и L2 пересекаются. В задачах 2.145 — 2.149 исследовать взаимное распо- ложение заданных прямых и L2. При этом в случае 1) найти расстояние p(Af, Л2) между прямыми, а в случае 2) — косинус угла (Lj, L2) и точку Л40 пересечения прямых. 2.145. Lj! — 2х + у—1=0, L2: 2</+1=0, 2.146. = f , Ц: ^ = f, 2.147. х + у—1=0, L2: 2х—2</+1=0, 2.148. Lx: х + у-1=0, L2: у = 2.Г49. L: —х + 2</ + 1=0, L2: 2х—4t/—2 = 0. 2.150. Треугольник АВС задан координатами своих вершин. Требуется: 1) написать уравнение стороны (ЛВ); 2) написать уравнение высоты (CD) и вычислить ее длину h = \CD\\ 3) найти угол ф между высотой (CD) и медианой (ВЛ4); 4) написать уравнения биссектрис и L2 внутреннего и внешнего углов при вершине А. 71
Исходные данные: а) Л (1, 2), В (2, —2), С (6, 1); б) А (2, —2), В (6, 1), С (—2, 0). 2.151. Показать, что точка М (—1, 2) принадлежит прямой £• х = 2/, у =—1—6/. Найти соответствующее этой точке значение параметра /. 2.152. Вычислить расстояние от точки М (1, 1) до пря- мой L: х = —1 + 2/, z/ = 2 + /. Если прямая задана общим уравнением Лх+ By-}-С = 0 и при этом В Ф 0 (т. е. прямая не параллельна оси Оу), то эта прямая может быть описана уравнением с угловым коэффициентом вида у = = kx-}-b. Пример 2. Написать уравнение прямой L', проходящей через точку М (2, 1) под углом л/4 к прямой L: 2% + 3# + 4 = 0. Углом между прямыми L п L' называется наименьший из двух смежных углов, образованных этими прямыми. Поэтому (см. задачу 2.156) где k — угловой коэффициент прямой £/. Из этого уравнения находим £1=1/5, k2~— 5. Следовательно, задача имеет два решения. Исполь- зуя координаты точки М, мы можем записать для каждого случая уравнение с угловым коэффициентом: 1 3 z/ = -g-x+-g-, у = — 5х4-Н> или в общем, виде х—б£/_]-3 = 0, §х-\-у—11=0. 2.153. Написать уравнение прямой, проходящей через точку 7И0 (2, 4) и отстоящей от точки А (0, 3) на расстоя- ние р = 1. 2.154. Написать уравнение прямой, проходящей через точку Af6(l, 2) и удаленной от точки Л(—2, —5) вдвое дальше, чем от точки 13(1, 8). 2.155. Написать уравнение прямой, проходящей на расстоянии /10 от точки Л (5, 4) перпендикулярно пря- мой 2я + 6у—3 = 0. 2.156. Доказать, что если прямые и L2 заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то tg = I i+*iA I’ 2.157» Из точки М (5, 4) выходит луч света под углом <p = arctg2 к оси Ох и отражается от нее. Написать уравнения падающего и отраженного лучей. 72
2.158. Найти уравнение прямой, отсекающей на оси абсцисс от начала координат отрезок длины 2 и образую- щей с прямой 2х—у 4-3 = 0 угол 45°. 2.159. В уравнении прямой 4x4-Xz/—20 = 0 подобрать % так, чтобы угол между этой прямой и прямой 2%— — 3^4-6 = 0 равнялся 46°. 2.160. В равнобедренном треугольнике АВС заданы вершина С (4, 3), уравнение 2х—у—5 = 0 основания (АС) и уравнение х—у = 0 боковой стороны (ЛВ). Написать уравнение стороны (ВС). 2.161. Написать уравнение прямой, ,которая отстоит от точки Л(—1, 2) на расстояние р = К34 и составляет с осью Ох угол, вдвое больший угла, составляемого с осью Ох прямой 2х—6# + 5 = 0. 2.162. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М (8, 6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12. 2.163. Написать уравнение прямой, параллельной двум заданным прямым и L2 и проходящей посередине между ними, если: a)Li; Зх-2у-1 = 0, £2: = , ”1 ,1 ^ + “9' i/4_“9" б) Lt-. Зх —15^—1=0, £2: 4. 2.164. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М (2, 1) под углом зт/4 к прямой L: x^l-j-C у^. = -2-*/3/. 2.165. Даны две противоположные вершины квадрата Л (1, 3) и С(—Г, 1). Найти координаты двух его других вершин и написать уравнения его сторон. 2.166. Известны уравнение одной из сторон квадрата х 4- Зу—3 = 0 и точка пересечения диагоналей N (—2,0). Написать уравнения остальных его сторон. 2.167. Точка Л (5, —4) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой х—7у—8 = 0. На- писать уравнения сторон и. второй диагонали этого квадрата. 2.168. Написать уравнения сторон треугольника АВС, если задана его вершина Л (1„ 3) и уравнения двух ме- диан х—2у4- 1=0 и у—1=0. 2.169* . Доказать, что прямая 2% + # +3 = 0 пересекает отрезок где /И1(—5, 1) и А42(3, 7). 73
2.170. Написать уравнение прямой, проходящей чер^з точку Мо(—2, 3) на одинаковых расстояниях от точек Mt (5, —1) и М2(3, 7). 2.171. Установить,"лежат ли точка MQ (1.-2) и начало координат в одном угле, в смежных или в вертикальных углах, образованных пересекающимися прямыми и если: a) Lp 2х—у—5 = 0, Зх + ^+10 = 0; б) х—2у—1=0, £2: Зх—у—2 = 0. 2.172. Установить, какой из углов—острый или ту- пой,—образованных прямыми Зх—Ьу—4 = 0 и х + 2г/ + —[—3=^0, содержит точку М (2, —5). 2.173. Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину. В (2, 6), а также уравнения высоты х—7f/+15 = 0 и биссектрисы 7х + # + 5 = 0, проведенных из одной вершины. 2.174. Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину В (2, —7), а также уравнения высоты Зх + #+11=0 и медианы х + 2у + 7 = 0, проведенных из различных вершин. 2.175. Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину Д(3, —1), а также уравнения биссек- трисы х—4//+ 10 = 0 и медианы 6x-}-10z/—59 = 0, прове- денных из различных вершин. 2.176. Даны уравнения 5%4-4// = 0 и Зх—г/ = 0 медиан треугольника и координаты (—5, 2) одной из его вершин. Найти уравнения сторон. 2.177. Даны уравнения r/-j-4 = 0, 7хЦ-4# 4-5 = 0 бис- сектрис двух внутренних углов треугольника и уравнение 4x + 3z/ = 0 стороны, соединяющей вершины, из которых выходят данные биссектрисы. Написать уравнения двух других сторон треугольника. 2Л78. а) Доказать, что точка Н пересечения высот треугольника лежит на одной прямой с точкой М пере- сечения его медиан и с центром 7V, описанной окружности. б) Проверить утверждение п. а) для треугольника с вершинами в точках А (5, 8), В(—2, 9), С(—4, 5). Опре- делить, в каком отношении % точка Н делит направлен- ный отрезок MN. 2. 179. В треугольнике А (—3, —1), В(1, —5), С (9, 3), ЛМ = ЗМВ, AN = 3 NC. Показать, что точка пересечения прямых (BN) и (СМ) лежит на медиане, проведенной из вершины А. 74
2. Плоскость и прямая в пространстве. Плоскость Р в декарто вой прямоугольной системе координат Oxyz может быть задана урав- нением одного из следующих видов: 1) Лх+В^+Сг4-£> = 0—общее уравнение плоскости; 2) А (х—xQ)-\-B(y—Уо) + С (г—z0) = O—уравнение плоскости, проходящей через точку Л40 (х0, у0, z0) перпендикулярно нормальному вектору п (А, В, С); X 4/ Z 3) — +-у4~ —— 1—уравнение плоскости в отрезках, где а, Ь, с—величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на коор- динатных осях Ох, Оу, Oz соответственно; 4) х cos а-J-# cos j3 + z cos у—p = 0—нормальное уравнение пло- скости, где cos а, cos |3, cos у—направляющие косинусы нормального вектора п, направленного из начала координат в сторону плоскости,, а р> 0—расстояние от начала координат до плоскости. Общее уравнение 1). приводится к нормальному виду 4) путем умножения на нормирующий множитель ______sgnP VД2 + В2+С2 ’ Если плоскость Р задана нормальным уравнением вида 4), а 714 (х, yt z) — некоторая точка пространства, то выражение 6 (Л4, Р) = х cos cos ₽ + z cos у—p задает отклонение точки М от плоскости Р. Знак б (Л4, Р) ука- зывает на взаимное расположение точки Л4, плоскости Р и начала координат, а именно: если точка М и начало координат лежат по разные стороны от плоскости Р, то б (Л4, Р) > 0, а если М и начало координат находятся по одну сторону от плоскости Р, то б (Л4, Р) < 0. Расстояние р (Л4, Р) от точки М до плоскости Р определяется равенством р (Л4, Р) ==[ б (М, Р) |. Прямая L в пространстве может быть задана: 1) общими уравнениями ( A^x-j-B1y-j-C1z-j-D1 = 0, Л2Х-}- В%у -j- С22~|- = где коэффициенты В^ Ci не пропорциональны коэффициентам Л2, В2, С2, что равносильно ее заданию как линии пересечения пло- скостей; 2) параметрическими уравнениями {х = х0+^ = + или в векторной форме Г (О = Го + ^, где г о (xOj> r/о, Zo) — радиус-вектор некоторой точки? принадлежащей прямой^ a q (I, т, п)—направляющий вектор прямой^ 3) каноническими уравнениями ' • *о _ У—Уь__ I т п 1 75
что равносильно описанию прямой как линии пересечения трех пло- скостей, проектирующих эту прямую на координатные плоскости. Пример 3. Написать уравнение плоскости Р, проходящей через точки (1, 1, 1) и М2 (0, 2, 1) параллельно вектору а (2, 0, 1). 4 Задача имеет единственное решение, так как векторы М1/И2 (—1, t, 0) и а (2, 0, 1) неколлинеарны. В качестве нормального вектора к плоскости может быть взят вектор ij k —1 1 о 2 0 1 п~[М1М2, а]~ = ^+/-2й. Уравнение плоскости имеет вид (х—!) + (#—D—2 (г—1) = 0, или х-\-у—22 = 0. Так как в последнем уравнении отсутствует свободный член, то плоскость проходит через начало координат. Другой способ. Точка М (х, у, z) принадлежит искомой плоско- сти Р в том и только в том случае-, когда векторы МгМ, М±М2 ‘и а компланарны. Следовательно, MiM'MjM2-a = х—I у—1 г—1 —1 1 0 2 0 1 = 0, т. е. х-\-у—2г = 0. > Пример 4. Прямая L задана общими {х+#—z = 0, 2х—#+2 = 0. уравнениями Написать канонические уравнения этой прямой, а также уравнение ее проекции на координатную плоскость Oxz. < Точка М (0, 2, 2) удовлетворяет общим, уравнениям прямой (про- верьте!) и, следовательно, лежит на этой прямой. В качестве направ- ляющего вектора прямой может быть взят вектор' д~[п1у л2], где Л1 (1, 1, —1) и «2 (2, —1, 0)—нормальные векторы плоскостей, линией пересечения которых является заданная прямая. Таким образом, i J Ь 1 1 — 1 2—1 0 = —/—2/—ЗА?, и канонические уравнения прямой таковы: х у—2 z — 2 —1~ —2 Полученная пропорция эквивалентна системе трех уравнений —2х-\-у— 2 = 0, —Зх + ?—2 = 0, —3#+2? + 2 = 0, описывающих три плоскости, проектирующие прямую на координат- ные плоскости Оху, Oxz и Oyz соответственно (уравнения прямой в проекциях). В частности, уравнение —Зх+г—2 = 0 есть уравнение проекции заданной прямой на плоскость Oxz. > 76
Пример 5. Заданы скрещивающиеся прямые . х __у—1-г-1-2 . х+1_^+1 г—2 Л1- ~~О----А------i-- И Л2--------~----=------ -2 О k —1 1 2 — 1 * Найти расстояние р(Тх, £2) между прямыми и написать уравнения общего перпендикуляра L к этим прямым. Найдем уравнение плоскости Р, проходящей через прямую £х па- раллельно прямой L2 (рис. 5). Точка 7ИХ (0, 1, —2) лежит на пря- мой и, следовательно, принадле- жит искомой плоскости Р. В каче- стве нормального вектора к этой плоскости возьмем вектор Я = [#ь tf2]=> i j = —.2 0 1 2 Уравнение плоскости Р: __2х-(//-1)-4(г + 2)-0, —или, в общем виде, 2х + ^ + ^ + 4-7 = 0. Расстояние р (£х, Т2) равно расстоянию от любой точки прямой £2,- например, точки М2 (—1, — 1, 2), до плоскости Р, Нормальное уравнение плоскости Р имеет вид 2 1 4 7 ----X--------7^=г у----2--------= О, /21 /21 /21 V 21 7 откуда p(£x,L2) = f6(M2, Р)| = 12 2____1_______8_____7_________ /5Т ’ /21 /21 ~ /гТ /2Т ’ Для того чтобы составить уравнение общего перпендикуляра L, найдем уравнение плоскостей Рг и Р2, проходящих через заданные - прямые £х и L2 соответственно и перпендикулярных плоскости Р. Имеем: (0, 1,—2)gPx и nx=I#x, n\~i—10/-|-2^ | Ри откуда Рх: х—10//-[-2z14 = 0. Аналогично Л42(—1,—1, 2)£Р2 и я2 = [$2, Л] =—9/-|-6/-}-3& Р2, откуда Р2: Зх — 2у—z-[-3~Q. Так как Т=Р1П^2, то J х—10f/ + 2z4-ll=0, ( Зх—2у — г-[-3 = 0 — общие уравнения прямой L. 2.180. Заданы плоскость Р и точка М. Написать урав- нение плоскости Р', проходящей через точку М парал- лельно плоскости Р, и вычислить расстояние р(Р, Pf), если: а) Р: — 2х + у — г-'г1 -0, А4(1, 1, 1); б) Р: х—у—1-0, А4(1, 1, 2). 2.181. Написать уравнение плоскости Р', проходя- щей через заданные точки Мх и М2 перпендикулярно 77
заданной плоскости Р, если: а) Р: — х + у—1=0, МД1, 2, 0) М2(2, 1, 1);. б) Р: 2х—# + ?+1-0, Л1Д0, 1, 1), М2(2, 0, 1). 2.182. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М параллельно векторам и а2, если: а) Л4 (1, 1, 1), «ДО, 1, 2), а2(—1, 0, 1); б) Л1 (0, 1, 2), аД2, 0, 1), а2(1, 1, 0). 2.183. Написать уравнение плоскости, проходящей че- рез точки Л4Х и Л42 параллельно вектору а, если: а) Л4Д1, 2, 0), МД2, 1, 1), а(3, 0, 1); б) Л4Д1, 1, 1), Л42 (2, 3, —1), а(0, —1, 2). 2.184. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки 7ИХ, М2 и Л43, если: а) Л4Д1, 2, 0), МД2, 1, 1), МДЗ, 0, 1); б) МД1, 1, 1), М2 (0, —1, 2), МД2, 3, —1). Пусть заданы две плоскости Pi и Р2. Возможны два случая их взаимного расположения: 1) Pi II в частности плоскости совпадают; 2) Pi и Р2 пересекаются по некоторой прямой. В задачах 2.185 — 2.188 исследовать взаимное распо- ложение заданных плоскостей. При этом в случае 1) найти расстояние р(Рх, Р2) между плоскостями, а в случае 2) — косинус угла между ними. 2.185. Рр —х + 2у—г+1-0, Р2: y + 3z —1-0. 2.186. Рх: 2х—y + z —1-0, Р2: —4% + 2#—2г—1-0. 2.187. Рр х—#+1-0, Р2: #—г + 1-0. 2.188. Р±\ 2х—у—г+1—0, Р2: — 4% + 2# + 2г—2-0. 2.189. Вычислить объем пирамиды, ограниченной пло- скостью Р: 2х—3# + 6г—12 — 0 и координатными пло- скостями. 2.190. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Л40(1, 7,—5) и отсекающей от осей коорди- нат положительные и равные отрезки. 2.191. Три грани тетраэдра, расположенного во вто- ром октанте (х < 0, у > 0, г > 0), совпадают с коорди- натными плоскостями. Написать уравнение четвертой грани, зная длину ребер, ее ограничивающих: |ДВ| — 6, |ВС| = К29, j ЛС| = 5, и найти длину высоты [О#] тетраэдра. 78
2.192. Написать уравнения плоскостей, делящих попо- лам двугранные углы, образованные плоскостями Рг и Р2, если: а) Рг: х—3y+2z— 5 = 0, Р2: Зх—2у—г + 3 = 0; б) Рг: 2х—y + §z—3 = 0, Р2: 2х—10// + 4г—2 = 0. 2? 93. Написать уравнение плоскости, равноудаленной от двух, заданных плоскостей Р± и Р2, если: а) Рг: 4х-—у—2z—3 = 0, Р2. 4х—у—2z—5 = 0; б) Рх: Зх—3^4-г4-3 = 0, Р2: 10х—6уЧ-2г + 7 = 0. 2.194. Установить, лежат ли точки (2,—1,1) и М2 (1, 2, —3) в одном угле, в смежных или в вертикаль- ных углах, образованных плоскостями Рг и Л,, если: а) Рр Зх—y + 2z — 3 = 0, Р2: х—2у—г + 4 = 0; б) Рх: 2х—y-\~3z —1=0, Р2: Зх—2yA~3z—1=0. 2.195. Известны координаты вершин тетраэдра: А (2, 0, 0), В (5, 3, 0), С(0, 1, 1), О (—2, —4, 1). Написать уравнения его граней. 2.196. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (1, 1, —1) и перпендикулярной к плоскостям 2х—-г/ + 5г + 3 = 0 и х-\-Зу—z—7 = 0. 2.197. Прямая L задана общими уравнениями. Запи- сать для этой прямой канонические уравнения и урав- нения в проекциях (см. пример 4), если: - I 2х — у+2г—3 = 0, . ( x-Yty—Зг—5 = 0; а) L: I х + 2у—z —1=0; °>L:\ 2x — y + z + 2^Q. 2.198. Написать канонические уравнения прямой, про- ходящей через точку М0 (2, 0, —3) параллельно: а) вектору #(2, —3, 5); б) прямой —==-^— в) оси Ох\ г) оси Ог; д) прямой 1х + 3^_22_3 = 0; е) прямой х = —2Ц-/, y = 2t, z — 2.199. Написать уравнения прямой, проходящей через две заданные точки М± и М2, если: a) Mi (1, —2, 1), МДЗ, 1,—1); б) МДЗ, —1, 0), —3). 2.200. Заданы прямая L: *~1 =-у = -г~^ и точка М (0, 1, 2)f£ L (проверить!). Требуется: . 79
а) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую L и точку М\ б) написать уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно прямой Л; в) написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки Л4 на прямую L; г) вычислить расстояние p(M,L); д) найти проекцию точки М на прямой L. 2.201. Заданы плоскость Р: х+у—г+1 = 0 и прямая L: 1 У~9 пРичем L^P (проверить!). Требуется: а) вычислить sin (Р, L) и координаты точки пересе- чения прямой и плоскости; б) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую L перпендикулярно к плоскости Р\ в) написать уравнения проекции прямой L на пло- скость Р. 2.202. Пусть заданы две прямые: 1 . Х — Х! . y — yi __ Z — Zi г . X — Х2 У~У2 Z — Z2 i. —-— =--------—---- и l>9 . —----------—------ . Zi * Z2 m2 n2 Доказать, что прямые Lr и L2 лежат в одной плоскости в том и только в том случае, если выполнено условие х2 — Xi У2 — У1 Z2— Zi mi fii m2 n2 2.203. Используя результат задачи 2.202, убедиться, что прямые Li и L2 принадлежат одной плоскости, и написать уравнение этой плоскости,. Исходные данные: а) б) Ц: 2.204. мыми х—1 //4-2 г—5 j . х—7 у—2 г—1 х — 2 _ у+1 _ z—3 j t х—1 у—2 ^4-3 Т" “ 2~ ~ ’ Ь2: ~— = “2— = -—2 ' Найти расстояние между параллельными пря- х—2 г/4-I z х—7 у—1 z—3 3 “ 4 “2 И 3~“ 4~~ F"’ 2.205. Найти расстояние от точки А (2, 3, —1) до заданной прямой L: а) I 2х—2у + г + 3 = 0, б) = + 13% — 2у 4- 2г +17=0; < y = 2t, z = —2t — 25. 80
2.206. Доказать, что прямые ( 2х+2у—г—10 = 0, х+7 I х—у—z — 22 = 0 и. »! 3 у—5 __ г—9 “=Т"“ 4~ параллельны и найти расстояние p(Ln Lg). 2.207. Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскости х—3//ф-2г+1=0 с пря- мыми х—5 ___ у-\-1 __ г—3 ti х—3 у + ^ г—5 5 И Г“ — 2.208. При каком значении X плоскость 5х—Зг/+ + Хг + 1 = 0 будет параллельна прямой ( х—4г —1 = 0, 1 у — Зг-ф2 = 0. __4 2.209. Найти уравнения проекции прямой —х— = и = на плоскость х—Зу—2-\-8 — 0к 2.210. Определить угол между прямой х + // + г—2 = 0, 2х-\-у—г — 1 = 0 и плоскостью, проходящей через точки Л (2,3,—1), В (1,1, 0), С(0, —2, 4). 2.211. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Мй(7, 1, 0) параллельно плоскости 2x+3z/— х у____J 2 3 — г —15 = 0 и пересекающей прямую у = -^—==z~2~' 2.212. Написать канонические уравнения прямой, ко- торая проходит через точку Л40(3, —2, —4) параллельно плоскости Зх—2у— Зг—7 = 0 и пересекает прямую х—2 y~v^ z—1 “3 ~~ — 2 “ 2“ ’ 2.213. Доказать, что расстояние между скрещиваю- щимися прямыми Zy r(/) = G + <M и L2: г(/) = г24-(М может быть вычислено по формуле Для заданных прямых и Л2 требуется: а) доказать, что прямые не лежат в одной плоскости, т. е. являются скрещивающимися; б) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую L2 параллельно 81
мым и 2.214. 2.215. 2.216. 2.217. 2.218. в) вычислить расстояние между прямыми. г) написать уравнение общего перпендикуляра к пря- Lg. г . % + 7 г/ + 4 г+3 j . х—21#+5 г—2 г . х—6__у—3___z+3 J t*+l_____у+7 г—4 3 “”=2~~~ 4 ’ Ь*' т . х у — 9 г + 2 . . х—2Д у г + 7 1Г 1 “~4““ —3 ’ Ь2: г , х-\-7 _у—4_г —4 . . х— 1 _у-\-8 г + 12 Ьр 3 — _2 — 3 , Ч: -у-— -у~— __j • Куб ABCD А' В'С'D' задан своими вершинами Л (0, 0, 0), В(1, 0, 0), С(1, 1, 0), 0(0, 1, 0), Л'(0, 0, 1), В'(1, 0, 1), С'(1, 1, 1), D' (О, 1, 1). Выполнить следующие задания: а) написать уравнения прямых (Л'С) и (ВС'); б) вычислить расстояние между прямыми (Л'С) и (ВС'); в) написать уравнение общего перпендикуляра к пря- мым (А'С) и (ВС'); г) написать уравнение плоскости, проходящей через точки В, Q и Н, где Р—центр грани ЛВВ'Л', Q делит ВС' в отношении 1/3 и // расположена на ребре (ВВ') так, что длина вектора PH-\-HQ минимальна; д) определить угол между полученной в п. г) пло- скостью и диагональю куба (ВО'). § 3. Кривые на плоскости 1. Уравнение кривой в декартовой прямоугольной системе коор- динат^ Говорят, что кривая Г в системе координат Оху имеет урав- нение F(x,y) = 0, (1) если выполнено следующее условие: точка М (х, у) принадлежит кри- вой Г в том и только в том случае, когда ее координаты х и у удовлетворяют соотношению (1). Если, в частности, F (х, y)=f (х)—у, то уравнение (1) может быть записано в виде y = f{x), (2) и в этом случае кривая Г совпадает с графиком функции f (х). В настоящем параграфе изучается связь между геометрическими свойствами кривой и ее уравнением в некоторых наиболее простых случаях. Пример 1. Написать уравнение кривой, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек Л (—а, 0), В (0, а) и С (а, 0) равна Зя2. 82
4 Пусть Г—кривая, удовлетворяющая условиям задачи; М. (х, у) £ Г в том и только в том случае, когда р2(М, Л) + р2(М, Я) + р2(М, С)=Зя2, или (х 4- а2) + у2+X2+{у—а)2 + (х—а2)+у2 = За2. После простых преобразований получаем • 2 x2 + v2—= <3 или, выделяя полный квадрат, Это и есть искомое уравнение кривой, являющейся окружностью радиуса а/3 с центром в точке Мо (0, а/3). ► В задачах 2.219—2.232 требуется установить, какие кривые определяются заданными уравнениями, и постро- ить эти кривые. 2.219. х+|у |=0. 2.220. |х|+//—х=0. 2.221. х2—Х(/=0. 2.222. xr/+z/2 = 0. 2.223. х2 — £/2 = 0. 2.224. ху = 0. 2.225. у2—9 = 0. 2.226. х2—х—6 = 0. 2.227. х2у—7x^+10у = 0. 2.228. x2+j/2 = 4. 2.229. х2 + (^/ + 3)2=1. 2.230. х2 + 2#2 = 0. , 2.231. 2х2+у2 + 2 = 0. 2.232. х2 + |^2—1| = 0. . 2.233. Написать уравнение кривой, каждая точка ко- торой находится на одинаковом расстоянии от точек Mt (3, 2) и М2 (2, 3). 2.234. Написать уравнение кривой, разность квадра- тов расстояний от каждой точки которой до точек £ , Мг(—а, 0) и М2(а, 0) равна с, 2.235. Написать уравнение кривой, расстояние от каж- дой точки которой до оси Ох вдвое больше расстояния - до.оси Оу. 2.236. Написать уравнение кривой, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек (—3, 0) z и Л42(3, 0) равна 50. 2.237. Написать уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до точки (—1, 1) вдвое меньше расстояния до точки ?И2(—4, 4). 2.238. Написать уравнение кривой, сумма расстояний от каждой__точки которой до точек F±(—2, 0) и /^(2, 0) равна 2 J/5 . 2.239. Написать [уравнение кривой, модуль разности расстояний от каждой точки которой до точек Ft (—2, —2) и F% (2, 2) равен 4. 83
2.240. Написать уравнение кривой, каждая точка ко- торой находится на одинаковом расстояний- от точки F (2, 2) и от оси Ох. 2.241. Установить, что каждое из следующих урав- нений определяет окружность, найти ее центр С и ра- диус R: а) х2-\-у2— 4х-\-6у—3 = 0; б) х2 + у2— 8х = 0; в) ха + #2 + 4# = 0. 2.242. Написать уравнение* окружности в каждом из следующих случаев (обозначено: С—центр окружности, R—радиус, /И, М19 ТИ2, Л43—точки на окружности): а) С (2, —3), 7? = 7; б) 7И(2, 6), С(—1, 2); в) 714,(3, 2), 7142(—1, 6) — концы диаметра окружности; г) С(1,—1), прямая 5%—12# + 9 = 0—касательная к окружности; д) М (1, 2), окружность касается координатных осей; . е) 714,(3,1), ТИ2(—1,3), CgL: Зх—у—2 = 0; ж)* мг(—1,3), ТИ2(О, 2), 7143(1,— 1). 2.243. Написать уравнение диаметра окружности х2 + #2 + 4х—6#—17 = 0, перпендикулярного прямой 5х + 2#—13 = 0. 2.244. Вычислить кратчайшее расстояние От точки 714 0 до окружности Г, если: а) Л40(6, —8), Г: х2+#2 = 9; б) 7И0(—7, 2), Г: %2+#2—10х—14# —151=0.* 2.245. Определить, как расположена прямая относи- тельно окружности — пересекает, касается или проходит вне ее, если прямая и окружность заданы уравнениями: а) 2х— у—3 = 0, %2 + #2— 3x + 2#—3 = 0; б) х—2у—1=0, х2у2—8х-|-2//+12 = 0; В) X—#+10 = 0, х2 + #2—4=0. 2. Алгебраические кривые второго порядка. Алгебраической кри- вой второго порядка называется кривая Г, уравнение которой в де- картовой системе координат имеет вид Ax2 + 2Bxr/ + C^2 + Dx+^+A = 0,. (3) где не все коэффициенты А, В иС равны одновременно нулю (в про- тивном случае Г — прямая, т. е. алгебраическая кривая первого по- рядка). В общем случае может оказаться, что уравнение (3) определяет так называемую вырожденную кривую (пустое множество, точку, прямую, пару прямых). Если же кривая Г невырожденная’ то для нее найдется такая декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой имеет один из следующих трех видов (каноническое 84
у равнение)'. а2 ‘ Ь2 * а2 Ь2 ' у2 = 2рх, b > О, а, b > О, Р > О. (4) (5) (6) При этом кривая Г называется соответственно эллипсом, гиперболой или параболой, а сама система координат, в которой ее уравнение имеет вид (4), (5) или (6), называется канонической системой коор- динат для заданной кривой. ’ - Приведение общего уравнения кривой второго порядка к кано- ническому виду подробно рассматривается в п. 4 § 3 гл. 4. Целью настоящего пункта является изучение основных геометрических свойств невырожденных кривых второго порядка на основе их кано- нических уравнений?' - Эллипс с каноническим уравнением a^b > О, имеет форму, изображенную на рис. 6. Параметры а и b называются полуосями, эллипса (большой и малой соответственно), точки (—а, 0), Л2 (а, 0), Bi (0, —b) и В2 (0, Ь)—его вершинами, оси симметрии Ох и Оу—главными осями, а центр симметрии О — центром эллипса. Точки Fj (—с, 0) и F2 (а, 0), где с = У а2—Ь2 0, называются фокусами эллипса, векторы F\M и F2M—фокальными радиус-векто- рами, а числа | и г2 = |/?2Л1|—фокальными радиусами точки М, принадлежащей эллипсу. В частном случае а — Ь фокусы Fi и F2 совпадают с центром, а каноническое уравнение имеет вид х2 и2 ~a2~^a2==z^> ИЛИ + т* е* описывает окружность радиуса а с центром в начале координат. с /~ Ь2 Число е = 1/ 1—(0^е < 1) называется эксцентриси- тетом эллипса и является мерой его «сплюснутости» (при е~ 0 эллипс является окружностью). 85
Прямые Dj: х = — а]е и D2-’ х = «/е, перпендикулярные главной оси и проходящие на расстоянии а/е от центра, называются директ- рисами эллипса. 2.246. Построить эллипс 9х24~25//2 = 225. Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения директрис. 2.247. Написать каноническое уравнение эллипса, если: а) а = 3, b = 2; б) а = 5, 2 = 4; в) 2 = 3, е = 3/5; г) 2 = 5, 2=12/13; д) с — 2 и расстояние между директрисами равно 5; е) 2=1/2 и расстояние между директрисами равно 32. 2.248. Написать уравнение эллипса с полуосями а и b и центром в точке С (х0, z/0), если известно, что его глав- ные оси параллельны координатным осям. 2.249. Установить, что каждое из следующих уравне- ний определяет эллипс, найти его центр С, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис: а) 5х2 + 9у2—30х+18^4-9 = 0; б) 16х24-25#24-32х—100у—284 =0; в) 4x24-3z/2—8х4- 12г/—32 = 0. 2.250. Доказать следующие утверждения: а) Если М. (х, у)—произвольная точка эллипса — 4-.^-== 1, а ^Ь, то фокальные радиусы этой точки равны 1\ (Л4) == а 4- ех, г2 (Л4) = а—ех (см. рис. 6). Отсюда, в частности, следует, что для вся- кой точки М эллипса выполняется равенство Г1 (7И) 4- r2 (М) = const = 2а. б) Пусть заданы точки Е1(—2, 0) и F2 (2, 0), 0. Тогда множество точек М, удовлетворяющих условию |F1/V[|4-|/?2/W[ = const = 2a, есть эллипс где Ь2 = а2—с2. 2.251. Доказать следующие утверждения: а) Если М(х, у)—произвольная точка эллипса д*2 £>2 ^2+-р-=1, а>Ь, г±(М) и г2(М)—фокальные радиусы этой точки, а р(Л4, Dj) и p(M,D2)—ее расстояния до директрис, то выполняется равенство = = const б) Пусть заданы точка F (с, 0) и прямая D: х—d — 0, d > с > 0. Тогда множество точек М, удовлетворяющих 86
I I 4- 1 X3 . U*. < условию = const — e < 1 ’ есть эллипс + fs = 1, где a —de и b2 — a2—c2, 2.252. Эллипс, главные оси которого совпадают с коор- динатными осями, проходит через точки Mt (2, ИЗ ) и М2(0, 2). Написать его уравнение, найти фокальные ра- диусы точки Mt и расстояния этой точки до директрис. 2.253. На эллипсе 9х2+25у2=825 найти точку, рас- стояние от которой до фокуса F2 в четыре раза больше расстояния до фокуса Flt 2.254. Написать уравнение кривой, по которой дви- жется точка М, если сумма расстояний от нее до точек fi (—1, —1) и F2 (1, 1) остается постоянной и равной 2|/3. 2.255. Написать уравнение кривой, по которой дви- жется точка М, если расстояние от нее до точки F(3, 0) остается в два раза меньше расстояния до прямой х+у — 1 -0. 2.256. Определить, как расположена прямая относи- тельно эллипса: пересекает, касается или проходит вне его, если прямая и эллипс заданы уравнениями: a) 2х-//-3 = 0, '^+4=1, б) 2х + у- 10 = 0, 4+4 =1- в) Зх+2//-20 = 0, ^+^ = 1. 2.257. -Написать уравнение касательной к эллипсу ^- + ^-=1 в его точке М0(х0, у0). Ч Пусть сначала у0 Ф 0, т. е. точка не совпадает ни с одной из вершин Ai (—а, 0) и А2 (а, 0). В этом случае уравнение х3 у2 —неявно определяет функцию у~у(х), —а < х < а, график которой проходит через точку Мо (х0, yQ) и совпадает с соот- ветствующей (верхней при yG или нижней при у0 < 0) половиной х3 у2 (х) эллипса. Дифференцируя по х тождество найдем, что производная у' (х0) равна Отсюда уравнение касательной к эллипсу в точке M0{xQt у0) имеет вид b 3х0 ч 87
хо . уо , или, с учетом равенства -уЧ— V i /7ч а2 "Г Ь2 1 } Если же г/о = О (и„ следовательно, я0=±я), то уравнения каса- тельных к эллипсу имеют вид х~ ±а, т. е. и в этом случае фор- мула (7) остается верной. > 2.258. Составить уравнения касательных к эллипсу ^12 То" “Ь ’ паРаллельных прямой Зх-|-2г/4-7 — 0. 2.259. Составить уравнения касательных к эллипсу х2 + 4z/2 = 20, перпендикулярных прямой 2х—2г/—13 = 0. 2.260. Доказать, что касательные к эллипсу ~2 + Ь проведенные через концы одного и того же диаметра, параллельны. 2.261. Написать уравнения касательных, проведенных л (10 5 \ х2 . у2 т ИЗ ТОЧКИ Л (у, -д-1 к эллипсу 2б+5==1. 2.262. На эллипсе + найти точку Л40, бли- жайшую к прямой 2х—3# 4-25 = 0, и вычислить расстоя- ние от точки Мо до этой прямой. 2.263. Доказать, что касательная к эллипсу в его произвольной точке М составляет равные углы с фокаль- ными радиус-векторами F±M и F2M этой точки. 2.264* . Из левого фокуса эллипса jg + fo—l под ТУ“ пым углом а к оси Ох направлен луч света, причем tga = —2. Написать уравнение прямой, на которой ле- жит луч, отраженный от эллипса. х2 и2 Гипербола с каноническим уравнением — |g-=l, а’ имеет форму, изображенную на рис. 7. 88
Параметры а и b называются полуосями гиперболы^ точки —й,0) и (а, 0)—ее вершинами, оси симметрии Ох и Оу — действительной и мнимой осями, а центр симметрии О—центром гиперболы. ’ t b Прямые z/= ± — х являются асимптотами гиперболы. Точки + (— с, 0) и F2 (с> 0), гДе с~ Уа2-\-Ь^ > 0, называются фокусами гиперболы, векторы 1\М и F2M— фокальными радиус-век- торами, а числа = | FTM | и г2 = \Р2^\ — фокальными радиусами точки М, принадлежащей гиперболе. с Число е==—~ у 1 + ^ 0 < £ < +°°) называется' эксцентри- ситетом гиперболы и” является мерой ее «сплюснутости». В частном случае а=Ь гипербола называется равносторонней', ее эксцентриси- тет равен е=У2 , а угол между асимптотами равен л/2. Прямые Dx: х = — а/е и D2. х~а]е, перпендикулярные действи- тельной оси и проходящие на расстоянии а/е от центра, называются директрисами гиперболы. 2.265. Построить гиперболу 16л2—9z/2= 144. Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис. 2.266. Построить гиперболу 16х2—9л/2 =—144 (сопря- женную к гиперболе задачи 2.265). Какова каноническая система координат для этой гиперболы? Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриси- тет; г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис. 2.267. Написать каноническое уравнение гиперболы, если: а) а = 2, b = 3; б) Ъ = 4, с = 5; в) с = 3, е = 3/2; г) а = 8, 4 е— 5/4; д) с =10 и уравнения асимптот = е) = 3/2 и расстояние между директрисами равно 8/3. 2.268. Написать уравнение гиперболы с полуосями а и b и центром в точке С yQ), если известно, что ее действительная и мнимая оси параллельны осям Ох и Оу соответственно. 2.269. Установить, что каждое из следующих уравне- ний определяет гиперболу, найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис* а) 16х2—9z/2.—64х—54г/ —161 = 0; б) 9х2—16^ + 90^ + 32}/— 367 = 0; в) 16х2—9z/9—64х—18//+199 = 0. 2.270. Доказать следующие утверждения! а) .Если М (х, у)—произвольная точка гиперболы —р=1, то фокальные радиусы этой точки равны (М) = а + ex, r2 (М) = — а + ех, 89
если точка М лежит на правой ветви гиперболы, и r\ (М) = — а—ех, г2 (Л4) = а—ех, если эта точка лежит на ее левой ветви. Отсюда, в част- ности, следует, что для всякой точки М гиперболы вы- полняется равенство | rt (Л4) — r2 (М) ] = const = 2а. б) Пусть заданы точки —с, 0) и F2(c,Q), с>0. Тогда множество точек М, удовлетворяющих условию 11 FjM |—IF2M 11 = const = 2a, a > 0, есть гипербола ^2—^-=1, где & = a*. 2.271. Доказать следующие утверждениям а) Если М(х, у)—произвольная точка гиперболы ^2—ff(M) и г^(Л1)—фокальные радиусы этой точки, а р(Л4, Dt) и р(Л4, D2)—расстояния от нее до директрис, то выполняется равенство A = const = е р^М.'Рг) p(M,D2) consl е‘ б) Пусть заданы точка F (с, 0) и прямая D: х—d — 0, с> d>Q. Тогда множество точек М, удовлетворяющих IFMI , . х2 и2 . условию = const = е > 1, есть гипербола = Ь где a —de и Ь2 = с2—а2. 2.272. Убедившись, что точка М (—5, 9/4) лежит на X2 I!2 гиперболе jg—^- = 1, Ha&™ фокальные радиусы этой точ- ки и ее расстояния до директрис. 2.273. Найти точки гиперболы ——|g=l, находящие- ся на расстоянии 7 от фокуса F±. 2.274. Написать уравнение гиперболы, если известно, что ее фокусами являются точки Ft (—3, —4) и Р2(3, 4), а расстояние между директрисами равно 3,6. 2.275. Написать уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет ^ = 1^5, фокус F (2, —3) и уравнение соответствующей директрисы Зх—у -р 3 = 0. 2.276. Показать, что кривая, заданная уравнением Х4/=1 или у=1/х, есть равносторонняя гипербола. Написать ее каноническое уравнение, найти эксцентри- ситет, фокусы и уравнения директрис. 90
2.277* . Написать уравнение касательной к гиперболе в ее точке М0(х0, уь). 2.278. Составить уравнения касательных к гиперболе §4 = 1, параллельных прямой Юл—Зу + 9 = 0. 2.279. Составить уравнения касательных к гиперболе jl*2 £/2 ir—Tf=l, перпендикулярных прямой 4% + Зг/—7 = 0. zv О X2 И2 -1 .2.280. Доказать, что касательные к гиперболе = проведенные через концы одного и того же диамет- ра, параллельны. 2.281. Написать уравнения касательных, проведенных из точки Л(—1, —7) к гиперболе %2—г/2 =16. 2.282. На гиперболе —yg=l, найти точку Л40, бли- жайшую к прямой Зх + 2у + 1 = 0, и вычислить расстоя- ние от точки Л40 до этой прямой. 2.283. Доказать, что касательная к гиперболе в ее произвольной точке М составляет равные углы с фокаль- ными радиус-векторами FXM и F2M этой точки. 2.284* . Из правого фокуса гиперболы под углом а (л < а < г/2п) к оси Ох направлен луч света, причем tga = 2. Написать уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от гипер- болы. Парабола с каноническим уравнени- ем у2 = 2рх, р > 0, имеет форму, изображен- ную на рис. 8. Число р называется параметром пара- болы, точка О—ее вершиной, а ось Ох— осью параболы. Точка F (р/2> 0) называется фокусом параболы, вектор FM — фокальным радиус- вектором, а число r = | FM | — фокальным радиусом точки М параболы. Прямая D\x =—р/2, перпендикулярная оси и проходящая на расстоянии р{2 от вер- шины параболы, называется ее директрисой. 2.285. Построить следующие параболы и найти их параметры- а) у2 = 6х; б) л2 = 5у; в) z/2 =—4х; г) х2 =—у. 2.286. Написать уравнение параболы с вершиной в на- чале координат, если известно, что; 91
а) парабола расположена в левой полуплоскости сим- метрично относительно оси Ох и р=1/2; б) парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку М (4, —8); в) фокус параболы находится в точке F (0, —3). 2.287. Написать уравнение параболы, если известно, что вершина ее находится в точке А (х0, у0), параметр равен р, ось параллельна оси Ох и парабола распо- ложена относительно прямой х = х0: а) в правой полуплоскости; б) в левой полуплоскости. 2.288. Установить, что каждое из следующих уравне- ний определяет параболу, найти координаты ее вершины А и величину параметра р: а) #2 = 4х—8; б) х2 = 2—у\ в) # = 4х2—8x4-7; г) у~ — ~х2Н-2х—7; д) х=—е) X = 2i/2—12г/4-14. 2.289. Доказать следующие утверждения: а) Если М(х,у)—произвольная точка параболу у2 — *= 2рх, г (/И)— ее фокальный радиус, а р(7И, D)—рас- стояние от точки М до директрисы (см. рис. 8), то вы- полняется равенство ^WD)=const = l. б) Пусть заданы точка F (р/2, 0) и прямая D: х =—р/2. Тогда множество точек М, удовлетворя- ющих условию — const = 1, есть парабола у2 = 2рх. 2.290. Вычислить фокальный радиус точки М пара- болы у2 = 12х, если у (7И) = 6. 2.291. Написать уравнение параболы, если известны: а) фокус F (4, 3) и директриса D: #4-1 = 0; б) фокус F (2, —1) и директриса D: х—у—1=0. 2.292. Написать уравнение касательной к параболе у^ = 2рх в ее точке Мо (х0, у0). 2.293. Написать уравнение касательной к параболе #2 = 8х, параллельной прямой 2x4-2#—3 = 0. 2.294. Написать уравнение касательной к параболе х2 = 16#, перпендикулярной прямой 2x4- 4# 4- 7 = 0. 2.295. Написать уравнения касательных к параболе #2 = 36х, проведенных из точки А (2, 9). 92
2.29- 6. На параболе г/2 = 64% найти точку 7И0, ближай- шую к прямой 4%4-3z/—14 = 0, и вычислить расстояние от точки 7И0 до этой прямой. 2.297. Доказать, что касательная к параболе в ее про- извольной точке М составляет равные углы с фокальным радиус-вектором точки М и с лучом, исходящим из точ- X ки М и сонапрявленным с осью параболы. 2.298. Из фокуса параболы у2 = 12% под острым углом а к оси Ох направлен луч света, причем tga = ~. Написать -'уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от параболы. 3. Уравнение кривой в полярной системе координат. Говорят, что на плоскости введена полярная система координат <0, w>, если заданы: 1) некоторая точка О, называемая полюсом; I 2) некоторый луч и, исходящий из точки О и называемый по- хлярной осью. f - Полярными координатами точки М / О называются два числа: Аполярный радиус г (М) ~ | ОМ | > 0 и полярный угол ф (7W) — угол, I на который следует повернуть ось и для того чтобы ее направле- ние совпало с направлением вектора ОМ (при этом, как обычно,- Г ф (/И) > 0, если поворот осуществляется против часовой стрелки, и Ф (Л4) < 0 в противном случае). Запись М (г, ф) означает, что точка \ М имеет полярные координаты г и ф. №. Полярный угол ф (714) имеет бесконечно много возможных значе- ний (отличающихся друг от друга на величину вида 2лп, n^Z)- I Значение полярного угла, удовлетворяющее условию 0<;ф<2л, I называется главным. В некоторых случаях главным значением поляр-' • кого угла называют значение ф, удовлетворяющее условию —л < < ф^Л. Пусть на плоскости введены правая декартова прямоугольная I система координат Оху (т. е. такая, что кратчайший поворот от оси I Ох к оси Оу происходит против часовой стрелки) и полярная система - <0, //>, причем полярная ось совпадает с положительной полуосью - абсцисс. Тогда связь между декартовыми и полярными координатами произвольной точки М ф О дается формулами х = /-созф, y = rsin^>; г = И*2+г/2> tg <р=у!х. Уравнение кривой в полярных координатах имеет вид Г(г,ф) = О или Оно может быть получено либо непосредственно, исходя I из геометрических свойств кривой, либо переходом к полярным коор- . динатам в уравнении этой кривой, заданном в декартовых прямо- - угольных координатах. Пример 2. Построить кривую, заданную уравнением г—6 cos ф. - < Прежде всего заметим следующее: если точка М (г, ф) принадле- жит заданной кривой, то для этой точки cos ф ==г/6^ 0, и, следо- вательно, вся кривая расположена в секторе —л/2 ф л/2. Для того чтобы построить кривую, перейдем в ее уравнении к декартовым координатам. Умножив обе части уравнения г = 6со5ф sia г, получаем г2 = 6г cos ф, откуда на основании формул перехода 93
(7) имеем x2+#2 —Ox, или (x—3)2-f-r/2 = 9. Таким образом, заданная кривая—окружность радиуса 3 с центром в точке М& с координатами х0 = 3, Уо~® или г0 = 3, Фо — 0; > Пример 3. Вывести уравнение прямой в полярной системе координат. ◄ Если прямая L проходит через полюс и ее угловой коэффициент по отношению к полярной оси равен kt то уравнение этой прямой имеет вйд tgq~k. Пусть теперь прямая L не проходит через полюс. Напишем нор- мальное уравнение этой прямой в декартовой прямоугольной системе координат х cos cos р—р = 0 и перейдем в этом уравнении к полярным координатам. Получаем (учитывая, что cos Р =sin а): г cos ф cos а + г sin ф sin а—р = 0, гсоэ(ф—а)=^р, или г=------г---г- (8) сов(ф—а) v Уравнение (8) и есть искомое уравнение прямой в полярной системе координат. Оно может быть получено и непосредственно из следующего очевидного факта: М gL<=^np« г = г cos (ф—а) = const = р (рис. 9). ► Пример 4. Пусть Г—эллипс, ветвь гиперболы или парабола, F—фокус этой кривой, D—соответствующая директриса. Вывести уравнение кривой Г в полярной системе координат, полюс которой совпадает с фокусом, а полярная ось сонаправлена с осью кривой (рис. 10). й Общее свойство эллипса, гиперболы и параболы состоит в следую- щем (см. задачи 2.251, 2.270 и 2.289): . (9) где е—эксцентриситет кривой (е < 1 для эллипса,- е > 1 для гипер- болы и е~1 для параболы). Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через р/е (р—па- раметр кривой, называемый полуфокальным диаметром). Тогда из 94
рис. 10 следует, что р(М, F)=r и р (М, Z))=y-|-r cos ф. Подстав- ляя эти выражения в (9), получаем Р 1 —4-rcosq) откуда Уравнение (10) и есть искомое уравнение в полярной системе координат, общее для эллипса, гиперболы и параболы. ► *"' Записать уравнения заданных кривых в полярных координатах: 2.299. у = х. 2.300. r/= 1. 2.301. х + у—1 = 0. 2.302. х2 + «/2 = а2. 2.303. х2—у2 = а2. 2.304. х2-}-у2 — ах. Записать уравнения заданных кривых в декартовых прямоугольных координатах и построить эти кривые: 2.305. г = 5. 2.306. tg<p = —1. 2.307. rcos<p = 2. 2.308. rsin<p=l. 2.309. r =---. cos ( J \ 4 / 2.310, r =—/ ? . 2.311. r = 2ncos®> s1»(t+-J) 2.312. r == 2a sin ф. 2.313. зшф=1/К5. 2.314. sinr=l/2. 2.315. г2зш2ф = 2а2. 2.316. г2 = а2соз2ф. 2.317. Написать в полярных координатах уравнения: а) прямой, перпендикулярной полярной оси и отсе- кающей на ней отрезок, равный 3; б) луча, исходящего из полюса под углом л/3 к по- лярной оси; в) прямой, проходящей через полюс под углом л/4 к полярной оси. 2.318. Написать в полярных координатах уравнение окружности, если: а) радиус Z? = 5, окружность проходит через полюс, а ее центр лежит на полярной оси; б) радиус 7? = 3 и окружность касается в полюсе по- лярной оси. 2.319. Определить полярные координаты центра и ра- диус каждой из следующих окружностей: > а) г«=4созф; б) г^Ззшф; в) г =—5зшф; 95
г) r=«6cos^y—; д) r = 8sin^<p—; е) r = 8sin^y—q>y 2.320. В полярной системе координат вывести уравне- ние окружности радиуса R с центром' в точке С (г0, ф ). ^»2 2.321. Для эллипса + 1 написать полярное урав- нение, считая, что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс находится: а) в левом фокусе; б) в правом фокусе. 2.322. Для правой ветви гиперболы ——у = 1 написать полярное уравнение, считая, что полярная ось сонаправ- лена с осью абсцисс, а полюс находится: а) в левом фокусе; б) в правом фокусе. 2.323. Для параболы у2 = 6х написать полярное урав- нение, считая, что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс находится в фокусе параболы. 2.324. Написать канонические уравнения следующих кривых 2-го порядка: V 9 9 х з а) г = -~—----; б) г = -л—=------; в) г = -------- . ' 5—4cos(p 7 4—5cos<p 7 1—costp д-2 £.2 2.325. Вывести полярное уравнение эллипса 1 при условии, что полярная ось сонаправлена с осью Ох.. а полюс находится в центре эллипса. 2.326. Вывести полярное уравнение гиперболы = 1 при условии, что полярная ось сонаправлена с осью Ох, а полюс находится в центре гиперболы. 2.327. Вывести полярное уравнение параболы у2 = 2рх при условии, что полярная ось сонаправлена с осью Ох, а полюс находится в вершине параболы. 4. Параметрические уравнения кривой. Пусть заданы функции Ф (/) и ф(/), непрерывные на некотором промежутке / числовой оси (промежуток I может быть интервалом (а, Ь),, отрезком [я, &], а также одним из полуинтервалов (а, /?] или [а, Ь), причем не исключаются случаи, когда а==—оо и (или) Z? = -L-co). Уравнения х-Ф(0, */ = ф(0> (10) называются параметрическими уравнениями кривой Г в декартовой прямоугольной системе координат, если выполнено следующее усло- вие: для всякого значения параметра /g/точка М (ф (/), ф(/)) при- надлежит кривой Г и, наоборот, для всякой точки М (х, у) кривой Г существует такое значение параметра что х = ф(/) и ^ = ф(/). Исключением параметра t из (10) уравнение к ивой может быть пред- ставлено в виде F (%, у) — 0. 96
Аналогично определяются • параметрические уравнения кривой в полярных координатах. Пр и мер 5. Показать, что параметрические уравнения x = acos/, # = asin/, t g [0, 2л), определяют окружность х2 + у2=п2. 4 Если точка М (%, у) такова, что x = acos/ и # = asin£ для неко- торого значения /g [0, 2л), то х2 у2 — a2 cos2 t+a2 sin2 t ~ а2, Т; е. точка М (х, у) принадлежит окружности х2-{-у2~а2. Верно и обратное: если точка М (х, у) принадлежит окружности х2_|_^2—а2, то> полагая t = (OM, i), t(£ [0, 2л), получим x = acosz и y~asln t. ► Пример 6. Кривая Г задана полярным уравнением г = 27? sin ф. Составить параметрические уравнения этой кривой в полярных и декартовых прямоугольных координатах, выбирая в качестве пара- метра полярный угол <р. < Нетрудно убедиться, что заданная кривая—окружность радиуса R с центром в точке С (О, R). Параметрические уравнения этой кривой в полярных координатах: г = 27? sin/, ф = /, ^£[0, л). Параметрические уравнения в декартовых прямоугольных координа- тах получаются, если в-формулы перехода х = г cos ср, ^ = гз!пф вместо г и ф подставить их выражения в виде функций параметра t. В итоге получим ( х = г (0 cos ф (0 = R sin 2t, ( y=zr (?) sin ф (t)~R (1—cos 2Z), /£[0, л). > 2.328, Составить параметрические уравнения луча г={(*,#) I* —у + 1=0, £/^0}, принимая в качестве пара- метра: а) абсциссу х; б) ординату г/; в) расстояние р(А1, Л40) от точки М С Г до вершины /Ио луча; г) полярный угол, если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось сонаправлена с осью Ох: 2.329. Составить параметрические уравнения отрезка с концами в точках Al^l, 1) и М2(2, 3), принимая в качестве параметра: а) расстояние р(/И, MJ-/6) расстояние р(М, М2). . 2.330. Составить параметрические уравнения окруж- ности радиуса R с центром в точке Af0(x0, т/0), принимая в качестве параметра t угол между осью Ох и вектором МвЛ1, отсчитываемый против часовой стрелки. 2.331. Составить параметрические уравнения окруж- ности х2 + ^2==2/?х, принимая в качестве параметра поляр- 4 Под ред. А. В, Ефимова, Б. П. Демидовича 97
ный угол, если полярная ось сонаправлена с осью Ох, а полюс находится: а) в начале координат; б) в центре окружности. В задачах 2.332—2.340 требуется исключением пара- метра /шайти уравнения заданных кривых в виде F(x, у) =Цо и построить эти кривые. I 2.332. х = —1 + 2/, z/ = 2—/, te(— оо, + оо). 2.333. /2—2/^+1, y = t — 1, /€(—оо, +оо). 2.334. х = — 1 + 2 cos /, у = 3 + 2 sin /, t С [0, 2л). 2.335. x = acos/, у = bsin/, /€[0, 2л). 2.336. 1 + 2 sec/, у = — 1 + tg/, / С (— л/2, л/2). 2.337. х = | // = 4(^-4). *€(0, +«>). 2.338. x = 27?cos2/, у = R sin 2/, /£[—л/2, л/2). 2.339. x=^7?sin2/, у = 27? sin2 /, /g[0, л). 2.340. x = 2pctg2/t z/ = 2pctg/, /^(0, л/2]. 2.341. Составить параметрические уравнения эллипса х2 । у2 1 , —+ -^- = 1, принимая в качестве параметра / угол между осью Ох и радиус-вектором ОМ, отсчитываемый против часовой стрелки. 2.342. Составить параметрические уравнения гипер- х2 и2 болы I, принимая в качестве параметра / угол между осью Ох и радиус-вектором ОМ, отсчитываемый против часовой стрелки. 2.343. Составить параметрические уравнения параболы у2 = 2рх, принимая в качестве параметра: а) ординату у; б) угол между осью Ох и вектором ОМ, отсчитываемый против часовой стрелки; в) ;угол между осью Ох и фокальным радиус-векто- ром FM, отсчитываемый против часовой стрелки. 5. Некоторые кривые, встречающиеся в математике и ее при- ложениях. В настоящем пункте, имеющем справочный характер, приведены уравнения и указаны основные геометрические свойства ряда специальных кривых (алгебраических и трансцендентных), встре- чающихся в практике инженерных расчетов. Вывод уравнений этих кривых может быть предложен в качестве задач повышенной труд- ности при изучении курса аналитической геометрии. Достаточно детальное изучение формы кривых может быть выполнено с привле- чением методов дифференциального исчисления. 1. Спирали: спираль Архимеда г~аср (рис. 11), гиперболическая спираль т~а/у (рис. 12)* логарифмическая спираль г^а^ (рис. 13); стрелкой указано направление обхода кривой, соответствующее воз- растанию ф. 98
Рис. 13 2. Лемниската Бернулли (х2+#2)2 = 2а2 (я2—у2) (рис. 14), или r2 = 2tf2cos2(p (полюс помещен в точку О). Характеристическое свойство: ? | FiM |*| F2M | = const=а2^ где Ff(—л, 0), F2(a, 0). 3. Циссоида y2(2R—x) = x3 (рис. 15), или r = 2R tg cpsin ср (полюс поме- щен, в точку О). Характеристическое свойство: для всякого луча ср = <р0 (Фо €(~п/2, л/2)) | ОМ ВС\. 4. Конхоида х2у2-]-(х-\-а)2 (х2~—Ь2) = 0 (рис. 16), или г — со^'ф' А b (полюс помещен в точку А (—а, 0)). Характеристическое свойство: иЙля всякого луча ср = ср0 (фо€(—*г/2, л/2)) | ВМ | = | BN | — const = b. •г.и ! 5. Строфоида х2 ((* + a)2+F2) = ^2F2 (рис. I4 * * 7)» или ±atgcp (полюс помещен в точку А (-—а, 0)). Характеристическое 4* 99
Рис. 20 Рис. 21
свойство: для всякого <р==фо' (Фо€(—л/2, B2V | = | ОВ\. ₽ 6. Улитка Цаскаля А-У2—2-ах)2 — Ь2 '{х2 у2) А~у2—2ах)2 — b2 U2+^2) (рис. 18), иЛи г = 2а cos ф ± b (полюс помещён в точку О), Харак- теристическое свойство: для вся- кого луча ф = ф0 (ф(,€Нй/2, л/2)) IBM | = | B/VJ = const = &. 7. Четырех лепестковая роза (х2+//2)3 ~^а2х2у2 (рис. 19), или r=a |'sin 2ф-| (подюс помещен в луча л/2)) г—a [sin 2ф | (полюс помещен в точку О). Характеристическое свой- ство: всякая точка М этой кривой есть основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на отрезок [АВ] постоянной длины 2а, движущийся так, что концы его все время находятся на координат- ных осях. 8. Астроида x — aco^t^ y = asin‘4, /£[0, 2л), или х2/3+^2/3 = = а2^ (рис. 20). Характеристическое свойство: всякая точка М этой \ кривой есть основание перпендикуляра [РЛ4] к отрезку [АВ] посто- янной длины а, движущемуся так, что концы его все время нахо- дятся на координатных осях. 9. Эвольвента (развертка) окружности x~a(cos t-{-t sin /), I #=a(sin/— t cos t), [0, +oo) (рис. 21). Характеристическое свой- K ство: каждая точка М этой кривой есть конец нити, которая, оста- I ваясь натянутой, разматывается с окружности х2А~У*~а2 (в началь- г ный момент конец нити находится в точке А (а, 0)). 10. Циклоида x = a(t — sin/), y = a(l—cos/), / =g (—oo, -f-oo) (рис. 22). Характеристическое свойство: кривая совпадает с траекто- Г рией точки М окружности радиуса а, которая катится без скольже- t ния по оси Ох (в начальный момент точка М находится в начале координат). 11. Эпициклоида x = (a-{-b) cos t—acos^—^/, = (я + &) sin /— ’ /g[0, 4-oo) (рис. 23). Характеристическое свойство: кривая совпадает с траекторией точки М окружности радиуса а, Которая катится без скольжения по окружности оставаясь 101
вне ее (в начальный момент точка М находится в положении А (Ь, 0)). В частном случае а = Ь соответствующая кривая называется кар- диоидой. • 12. Гипоциклоида х = (Ъ—a) cos i-[-a cos^—^ tt у — (Ь—a)sini — — a sin /, /g[0, + °°) (рис. 24). Характеристическое свойство: кривая совпадает с траекторией точки М окружности радиуса а, которая катится без скольжения по окружности х2-[-у2~Ь2, оста- ваясь внутри ее (в начальный момент точка М находится в положе- нии А (Ь, 0)). В частном случае а~Ь/4 эта кривая совпадает с астроидой. 13. Полукубическая парабола у2 —ах2 (рис. 25). 14. Петлевая парабола ау2 = х(х—а)2 (рис. 26). 16. Декартов лист хА-\-у$—Заху~0 (рис. 28). § 4. Поверхности и кривые в пространстве 1. Уравнения поверхности и кривой в декартовой прямоуголь- ной системе координат. Говорят, что поверхность 5 в системе коор- динат Oxyz имеет уравнение F (х, У, г) = 0, (1) 102
если выполнено следующее условие: точка М (х, у, z) принадлежит поверхности 5 в том и только в том случае, когда ее координаты х, у и г удовлетворяют соотношению (1). Если, в частности, F (х, У> z)~f(xf у)—z, то уравнение (1) может быть записано в виде г = /(х, У), (2) и в этом случае поверхность S совпадает с графиком функции двух переменных f (х, у). Кривая Г в пространстве в общем случае определяется как линия пересечения некоторых поверхностей Si и S2 (определяемых неодно- значно), т. е. заданием системы двух уравнений Fi(x, у, z)=0, F2(x, у. z) = 0. (3) Пример 1. Вывести уравнение поверхности, каждая точка которой расположена вдвое ближе к точке А (2, 0, 0), чем к точке ' В(— 4, 0, 0). 4 Если5—поверхность* заданная условиями задачи, то М (x,yt z)^S в том и только в том. случае, когда р (Л4, В) = 2р (М, Д), или V(х+4)2+г/24-г2 = 2 V(х—2)2 + «/2+г2. № Отсюда получаем (x+4)2-f-j/24-z2 = 4 ((х—2)2+^2-|-z2), Зх2—24х+Зу2 + Зг2 = 0 или, выделяя полный квадрат в слагаемых* содержащих sc9 (х—4)2+^24-г2=16. (4) Уравнение (4) и есть искомое уравнение поверхности. Из него Г видно, что заданная поверхность S есть сфера радиуса 4 с центром в точке MQ (4, 0, 0). ► I . Пример 2. Исследовать форму кривой Г, заданной урав- нениями ( (х-1)2+г/2 + г2 = 36( 1 I Л (5) I ^+? = о. I Определить вид ее проекции на плоскость Оху. \ [ < Кривая Г задана как линия пересечения сферы (х—l)2+^+z2 = 36 L .с плоскостью y^-z — 0 и, следовательно, есть окружность. Так как I центр сферы С(1, 0, 0) лежит в плоскости сечения y-\-z~0, то центр окружности совпадает с точкой С, а ее радиус равен радиусу сферы, I т. е. R — 4. Установим форму проекции окружности Г на плоскость Оху. Исключая z из системы (5)* получаем (х—1)24-2г/2 = 36, или (Х__1)2 У2 -—Отсюда заключаем, что искомая проекция — эллипс, главные оси которого сонаправлены с осями Ох и Оу, _центр нахо- дится в точке С'(1, 0), а полуоси равны а = 6, Ь==3 2. ► L Установить, какие геометрические образы определяются заданными уравнениями: 2.344. z ~|-5 = 0. 2.345. х—2y + z—1=0. 2.346. х2 + г/24- = 4. 2.347. (х-2)2 + 4- (^ + 1 )а = 16. 103
2.348. 2x2 + z/2+3z2 = 0. 2.349. %2 + 4г2 = 0. 2.350. х2 + 2//‘2 + 2г2 + 7 = 0. 2.351. х2— 4г2 = 0. 2.352. xz = 0. 2.353. xyz = 0. 2.354. %2 — 4х = 0. 2.355. ху—у2 = 0. 2.356. Вывести уравнение поверхности, разность квад- ратов расстояний от каждой точки которой до точек FJ2, 3, —5) и F2(2, — 7, —5) равна 13. 2.357. Вывести уравнение'поверхности, сумма квадра- тов расстояний от каждой точки которой до точек F^ (—а, 0, 0) и F2(<7, 0, 0) равна постоянному числу 4я2. 2.358. Вывести уравнение поверхности, сумма расстоя- ний от каждой точки которой до точек Ту (0, 0, —4) и F2 (0, 0, 4) равна 10. 2.359. Вывести уравнение поверхности, модуль разности расстояний ог каждой точки которой до точек Fx(0, —5, 0) и F2(0, 5, 0) равен 6. 2.360. Установить, что каждое из следующих уравне- ний определяет сферу, найти ее центр С и радиус R: a) x2-\-y2-^-z2—6г = 0; б) х2 + //2 + г2—4х—2y + 2z — 19 = 0. 2.361. Составить уравнение сферы в каждом из сле- дующих случаев (обозначено: С—центр сферы, R— ра- диус, М, М19 Л42, Л43—точки на сфере): а) С (—1,2, 0), 7? = 2; б) М (2, —1, — 3), С(3, —2, 1); в) Мг(2, —3, 5) и /И2(4, 1, —3) — концы диаметра сферы; г) С(3, *—5, —2), плоскость 2х—у — Зг+11 = 0 касается сферы; д) /ИДЗ, 1, —3), М2(— 2, 4, 1), М3(—5, 0, 0), CgF: 2х -|- у—z 3 = 0. 2.362. Составить уравнение сферы, центр которой ле- жит на прямой I 2х + 4у—г—7 = 0, \ 4х + 5//ф-2 —14 = 0 и которая касается плоскостей x-j-2y—2z — 2 = 0 и % + 2у—2z + 4 = 0. 2.363. Составить уравнение сферы, вписанной в тет- раэдр, образованный плоскостями Зх—2//Н~6г—8 = 0, х = 0, z/ = 0, г = 0. 2.364. Составить параметрические уравнения диаметра сферы х2 + //24-г2—2х—6//фг—11 =0, перпендикуляр- ного к плоскости Зх — y-\-2z —17 = 0. 104
2.365. На сфере (х—1)2 + (у + 2)2 + (г—3)2 = 25 найти точку Л40, ближайшую к плоскости Зх—4г + 19 = О, и вычислить расстояние от этой точки до плоскости. 2.366. Определить, как расположена плоскость отно- сительно сферы (пересекает, касается или проходит вне ее), если плоскость и сфера заданы уравнениями: а) г = 3, х2 + #2 + г2—6х + 2г/—Юг+ 22 = 0; б) z/=l, х2 + у2 + г2 + 4х—2у—6г+14 = 0; в) х = 5, х2 + ^2 + г2 — 2х + 4г/—2г — 4 = 0. 2.367. Установить, какие кривые определяются сле- . дующими уравнениями: ( х—5 = 0, ( х2 + //2 + г2 = 49, а) ( г + 2 = 0; б) ( у = 0; I х2 + У2 + г2 ==20, ( х24-г/2 + г2 = 49, в> \ г—2 = 0; ' г) ( х2 + у2 + г2—4г —25 = 0. 2.368. Найти центр и радиус окружности: . f х* + */2 + ?2 = 10у, | х + 2г/ + 2г —19 = 0; 1 (х-3)2 + (г/ + 2)2 + (г-1)2 = 100, б) ( 2х—2у—г + 9-0. • Центр окружности есть проекция центра сферы на плоскость. 2.369. Найти проекцию на плоскость г = 0 сечения сферы х2 + у2 + г2 = 4 (х — 2у — 2г) плоскостью^ проходя- щей через* центр сферы и перпендикулярной0 к прямой х = 0, z/ + г = 0. 2.370. Точки Л(3, —-2, 5) и В(—1, 6, —3) являются концами диаметра окружности, проходящей через точку С(1, —4, 1). Составить уравнения этой окружности. 2.371. Составить уравнения окружности, проходящей через три точки 7И1(3, —1, —2), Л42(1, 1, —2) и М3 (-1, 3, 0). 2. Алгебраические поверхности второго порядка. Алгебраической поверхностью второго порядка называется поверхность уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид Ах2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + Gx+Hy +1 z + К = 0, (6) где не все коэффициенты при членах второго порядка одновременно равны нулю (в противном случае 5—алгебраическая поверхность первого порядка, т. е. плоскость). Может оказаться, что уравнение (6) определяет так называемую вырожденную поверхность (пустое множество, точку, плоскость, пару плоскостей). Если же поверхность невырожденная, то преобразованием 105
декартовой прямоугольной системы координат ее уравнение (6) может быть приведено к одному из указанных ниже видов, называемых каноническими и определяющих тип поверхности. 1. Эллипсоид’. 1 у‘‘ . ?2 _. а« + т’Т5'-"1 (рис. 29). 2. Гиперболоид • а) однополостный: II 1 (Я |©а + (рис. 30, а)\ б) двуполостный’. я:2 . z2 а2 ’ 62 с2 (рис. 30, б). 3. Конус второго порядка: у2. ,4^ fl—о а2 “Г Z?2 с2 (рис. 31). 4. Параболоид а) эллиптический: » *LaJL-z а2 -Г b2 (рис. 32, а): б) гиперболический: х2 у2 (рис. 32, б). а2 Ь2 2 5. Цилиндр второго порядка а) эллиптический: а2 Ь2 (рис. 33, а); б) гиперболический: У* . а2 Ь2 (рис. 33, б); в) параболический: у2 = 2рх, > 0 (рис. 33, в). Общие методы приведения уравнения: (6). к каноническому виду опираются на теорию квадратичных форм и рассматриваются в п. 4 § З’гл. !4. Цель настоящего пункта состоит в изучении основных геометрических свойств невырожденных поверхностей второго порядка с использованием;их канонических уравнений. Одним из основных методов исследования формы поверхности по ее уравнению является метод сечений. Пример 3,. Методом сечений исследовать форму и построить поверхность, заданную уравнением z = 2 1 X2 уъ \ 16 25 ) (7) 4 В сечении поверхности горизонтальной плоскостью z~h имеем кривую Гй, проекция которой на плоскость Оху определяется урав- нением h = 2 (.__________У^_\ \ 16 25.7 или v2 <12 ~Тб+~25'==2—,г' ® Уравнение (8) при h > 2 не имеет решений относительно (х, у). Это означает, что соответствующее сечение пусто, т. е. рассматриваемая поверхность целиком расположена ниже плоскости z = 2. При h-^2 уравнение (8) определяет эллипс с полуосями а = 4 ]/*2—h и b == '•106
z| Рис. 29 Рис 30 107
= 5 У2—h, вырождающийся в точку х = у = ® при h = 2. Заметим, что все эллипсы, получающиеся в сечениях поверхности плоскостями f CL 4 \ x — h^2, подобны между собой —= const , причем с умень- \ Ь о j' шением h их полуоси неограниченно и монотонно возрастают. Полученной информации достаточно, чтобы построить эскиз по- верхности. Дальнейшее уточнение ее формы можно получить, ,если рассмотреть сечения координатными плоскостями Oxz и Oyz. Сечение плоскостью Oxz\ у — 0 дает кривую х2= 16 (2—z), т. е. параболу с па- раметром р = 8, вершиной в точке х~0, z = 2 и ветвями, направлен- ными в сторону убывания значений z. Наконец, сечение плоскостью 25 Oyz: х = 0 дает параболу #2 = 25(2—z) с параметром Р~~2 > верши- m \х\ уг 25/2 O?-t6(2-z} I Уг=?5С2-г} Рис. 34 ной в точке r/ = 0, z = 2 и аналогично направленными ветвями. Выполненное исследование позво- ляет теперь достаточно детально изобразить заданную поверхность (рис. 34). Заданная поверхность есть эллип- тический параболоид. Преобразование координат х' = х, у ' — у, z' = 2—z (которое сводится к сдвигу начала в точку (0, 0, 2) — вершину параболои- оси Oz) приводит его исходное урав- да и обращению направления нение (7) к каноническому виду 16 Ж 25 =г'. ► (9) Установить тип заданных поверхностей и построить их jl.2 ..2 5^2 2.372. ±- + JC + £_ = i. 2.374. ха + г/г —гг = —1. 2.376. х2 + / = 24гг, а=#0. 2.378. 2г-х2 + ^-. 2. у2 ..2 р»2 2.373.-ir + JC-Ar™l. 2.375. х2—y*=zz\ 2.377. х2—y = а=^0. 379. %2 = 2аг, а т^О. 2.380. г = 2 + х2 + г/2. 2.381. ^- = 6г. 2.382. х2 + У — г2 = 4. 2.383. х2—г/2 + ?2 + 4 = 0. 2.384* . Доказать, что уравнение z* = xy определяет ко- нус с вершиной в начале координат. 2.385* . Доказать, что уравнение z~xy определяет ги- перболический параболоид. 2.386. Назвать и построить поверхности: а) x* = 2yz\ б) г—а-ху. Д08
2.387. Составить уравнения проекций на координатные плоскости сечения эллиптического параболоида y2-\-z2 = x плоскостью х + 2//—г = 0. 2.388. Установить, какие кривые определяются сле- дующими уравнениями: у2 2L _р ±__ = 2г 3 -г 6 Зх — // + 6г— 14 = 0: 2.389. Найти точки пересечения поверхности и прямой: а) /;2 а) -fr+<6 = 1 б) + > 16 9 4 у 2 «,2 в) v + V = 2 б) ( *2____№ _ ] 4 3 ’ — 2//+ 2 = 0. х— 3 у — 4 г + 2 6 “ Г“; У ___ z+2 . —3 У-Ъ 2 —1 • Перейти к параметрическим уравнениям прямой. 4 ’ z-ЬЗ — 2 * И и 3 х Т 2.390. Доказать, чго в каждом из указанных ниже случаев заданные поверхность и плоскость имеют одну общую точку, найти ее координаты: у2 у2 а) 4~+-Т = 2^’ 2х-2г/-2-10 = 0; у2 «12 р>2 б) 4- + -Ч---15 =~1’ бл + 2г + 5 = 0; у 2 //2 в) 1г+зб~+ = 1’ 4x—3z/+12г —54 = 0. 2.391. Доказать, что плоскость 2х—12//—г+ 16 = 0 пересекает гиперболический параболоид х2— 4//2 = 2г по прямолинейным образующим (т. е. прямым, целиком ле- жащим на этой поверхности). Составить уравнения этих образующих. 3.392. Доказать, что плоскость 4х—5//—Юг — 20 = 0 j^2 £12 ^2 пересекает однополостный гиперболоид 2§-+ ---4- = ! по прямолинейным образующим. Составить уравнения этих образующих. ' 3. Классификация поверхностей по типу, преобразований прост- ранства. Выделяют три класса поверхностей: цилиндрические, кони- ческие и поверхности вращения,— инвариантных относительно преоб- разований соответствующего типа. Цилиндрической поверхностью (цилиндром) называется поверх- ность, .инвариантная относительно преобразований параллельного переноса Т (tq), определяемых любым вектором, коллинеарным неко- торому вектору q (I, tn, п). Из этого определения следует, что если idb
точка Мо (х0, r/0, z0) принадлежит цилиндру S, то и вся прямая X— Хл у — уп Z— zn , -—j—=^—-— =——— также принадлежит этому цилиндру. Принята следующая терминология: всякая прямая, коллинеар- ная вектору q(l, т, п), называется осью цилиндра S; прямые х—Хп У—Уо z—z0 о —----------— =-------— , Мо (х0, Уь, 20)gS, целиком принадлежа- щие цилиндру, называются его образующими; всякая кривая Г, ле- жащая на цилиндре и пересекающая все его образующие, называется направляющей этого цилиндра. Пусть q (I, т, п)—любой вектор, коллинеарный оси цилиндра S, а направляющая Г задана уравнениями Fi(x, у, г)=0, Р2(х, у, г) = 0. Точка М (х, у, z) принадлежит цилиндру S в том и только в том случае, когда существует число i такое, что точка с координатами x-^-tl, y-[-tmf z-[-tn лежит на образующей Г, т. е. Fi(x+^Z, y + tmt z+tri)=^t 0 F2(x+^> ^+Zm, ?+/л)=0. ' ' Исключая параметр t из системы (10), получим соотношение вида F (х, у, z) = 0, которое и является уравнением заданного цилиндра. Пример 4. Написать уравнение цилиндра, ось которого сов- падает с координатной осью Oz, а направляющая задана уравнениями F (х, r/)=0, z—h — 0. ◄ Полагая q~k(Q, 0, 1), получим систему (10) в виде F (х, #) = 0, z-\-t—h = 0. Этот результат означает, что точка М (х, у, z) принад- лежит цилиндру в том и только в том случае, когда ее координаты х и у удовлетворяют уравнению F (х, г/) = 0 при произвольном значе- нии координаты г. Следовательно, уравнение F (х, £/) = 0, описываю- щее [проекцию направляющей на плоскость Оху, и есть уравнение i заданного цилиндра. ► Построить заданные цилиндрические поверхностна 2.393. t/2 + z« = 4. 2.394. ^-=1. и 1 16 9 2.395. х2 + #2 = ах. 2.396. х2 = 6г. 2.397. г = 4—х2. 2.398. х2—х</ = 0. 2.399. х2 — г2 = 0. 2.400. г/2Ц- 2г2 = 0. 2.401. х? = 4. 2.402. + = — г. 2.403. Составить уравнения трех цилиндрических по- верхностей, описанных около сферы х2 + */2 + г2— 2ах = 0 с осями, параллельными соответственно: а) оси Ох; б) оси Оу; в) оси Oz. 2.404. Найти уравнение цилиндра, проектирующего окружность Jx2 + (f/ + 2)2 + (x-l)2 = 25, |х2 + У2, + z2 = 16 на плоскость- а) Оху; б) Охг; в) Оуг. 110
2.405. Найти уравнение проекции окружности ((х+1)2 + (// + 2р + (г-2)2 = 36, V2 + (y + 2)2 + (z — I)2 = 25 на плоскость: а) Оху\ б) Oxz\ в) Oyz. 2.406. Составить уравнение поверхности, каждая точка которой одинаково удалена от прямой х = а, у = 0 и пло- скости Oyz. Построить поверхность. 2.407. Составить уравнение цилиндра, если: а) ось коллинеарна вектору #(1, 2, 3), а направляю- щая задана уравнениями у2 = 4х, z = 0; б) ось коллинеарна вектору #(1, 1, 1), а направляю- щая задана уравнениями %2 + //2 = 4x, z = 0. 2.408. Сфера х2 4- у2 4- г2 = 4z освещена лучами, парал- лельными прямой х = 0, y — z. Найти форму тени сферы на плоскости Оху. 2.409. Построить тело, ограниченное поверхностями = х, z~0, z = 4, х = 4, и написать уравнение диагона- лей грани, лежащей в йлоскости х = 4. Конической поверхностью {конусом) называется поверхность, инва- риантная относительно преобразований гомотетии Н (k, /Ло) с произ- вольным коэффициентом k и центром в некоторой точке Л10(х0, ^о), называемой вершиной конуса. Из этого определения следует, что если » ал / \ Х — Хг точка М1 (xf, pi, zj принадлежит конусу, то вся прямая------= XI — хо ‘ У—У1 2—2i ал = -——==-------— , проходящая через эту точку и вершину /Ио и на- У1 — Ув 21 — 2о зываемая образующей конуса, целиком лежит на конусе. Всякая кри- вая Г, лежащая на конусе и пересекающая все его образующие, на- зывается направляющей этого конуса. Пусть задан конус S с вершиной 714О (х0, r/0, z0) и направляющей Fi(x, у, г)=0, f2(x, у, г) = 0. Точка М (х, у, z) принадлежит конусу S в том и только в том слу- чае, когда существует число t такое, что точка с координатами х4~/ {х—х0), y+t {у—Уо)> z-j-t (z—z0) лежит на образующей Г, т. е. + —хо)» У~¥^(У—#о), —Zo))—O, zii\ —хо)> У~]~1(У—Уо)> z-[-t(z — zQ))~ 0. Исключая параметр t из системы (11), получим уравнение конуса в виде F (х, у, z) == 0. Пример 5. Написать уравнение конуса, вершина которого на- ходится в точке Мо (х0, Уо> 2о)> а направляющая задана уравнениями F (х, i/)=0, z—/1 = 0. ◄ Система (11) при этих условиях принимает вид (F (х4-/(х—х0), y+t {y—yo)) = Ot (z4-/ (z—z0)—Л = о. Ill
h — z (/г —г0) —(г —z0) 1г — zQ Из второго уравнения t —--= ---------------—---------1, Z Zo Z Zq Z Zq что после подстановки в первое уравнение дает F(Xo+(h-zo)^=^, г/о+(/г_го)|Г^')=О. (12) \ 2 — -г — <о / Уравнение (12) и есть уравнение заданного конуса. В частном случае xo = z/o = zo = O (вершина конуса находится в начале координат) уравнение конуса принимает вид F (h— , /1^=0. (13) \ z ’ г J ' Замети^ что уравнение (13) однородно относительно х, у и z (т. е. не меняется при замене х, у и г на tx, ty и tz при произволь- ном t ф 0), а уравнение (12) однородно относительно х—х0, у — у0 и z—z0. > 2.410. Пусть функция трех переменных F (х, у, г) одно- родна относительно х, у и г, т. е. V7 5^ 03s С R ty, tz) — Is F (х, у, г)). Показать, что уравнение F (х, у/ г) — 0 определяет конус с вершиной в начале координат, причем для любого h кривая Г f4. v . С=0, г—/1 = о \ Л ’ /г ’ ) ’ есть его направляющая. 2.411. Составить уравнение конуса, вершина которого находится в начале координат, а направляющая задана уравнениями: [х2 + ^2 = й!2, (х2 + {у — 6)2 + z2 = 25, ‘ а) = б) = . (-й-+-4-=Г х U2—2г+1 = о, Ц = а; [У z+1 —0. Построить соответствующие конусы. 2.412. Составить уравнение конуса, если заданы коор- динаты вершины Мо и уравнения направляющей: а) Л4Д0-, — а. 0), х2 = 2ру. z==h; б) Мо(0, 0, с), -^-.+-^ = 1, г=0; в) 2И0(0, —а, 0), х2 + у2г2 — а\ y-\-z^a\ г) Л40(3, —1, —2), х2 + ^2 —г2-1, х—£/ + г-0. Построить соответствующие конусы. . J42
2.413. Построить конус, определить его вершину и направляющую в плоскости z = h, если конус задан урав- нением: а) х2+0/—h)2—г2 = 0; б) x2 — 2yz. ' 2.414. Составить уравнение кругового конуса, для ко- торого оси координат являются его образующими. 2.415. Составить уравнения проекций линии пересече- ния сферы x2-[-y2 + z2 = a2 с конусом х2 + //2—г2 = 0 на координатные плоскости: а) .Оху; б) Oxz; в) Oyz. 2.416. Источник света, находящийся в точке.7И0(5, 0, 0), освещает сферурх2 + г/2 + г2 —9. Най- ти форму тени на плоскости Oyz. Поверхностью вращения называется по- верхность, инвариантная относительно по- воротов R (ф, и) на любой угол ф вокруг некоторой фиксированной оси и. Эта поверх- ность может быть получена вращением во- круг оси и кривой, получающейся в сече- нии поверхности любой плоскостью, прохо- дящей через эту ось. Пример 6. Вывести уравнение поверх- ности, образованной вращением кривой F (х, z)=0, г/ = 0 вокруг оси Oz (рис. 35). ◄ Сечение поверхности произвольной плоскостью z = z0 есть окруж- ность с центром в точке С (0, 0, z0) радиуса х0, причем F (х0, zo)=O. Поэтому для произвольной точки М (%, у, г) этой окружности имеем: z = z0 и р(/14, Oz) = У'х2 + у2 =х0. Подставляя эти равенства в соот- ношение F (х0, zo) = O, получаем Е.(К*2 + Л z)==0. (14) Уравнение (14) и есть искомое уравнение заданной поверхности вращения. ► 2.417. Составить уравнение поверхности, образованной вращением кривой z = x2, у = 0: а) вокруг оси Oz; б) вокруг оси Ох, Построить обе поверхности. 2.418. Составить уравнение поверхности, образованней вращением прямой z = yy х = 0: а) вокруг ори Оу; б) вокруг оси Oz. Построить обе поверхности. 2.419. Составить уравнение поверхности, образованной вращением вокруг оси Oz: а) кривой г = z/ = 0; б) кривой г = */ = 0. Построить обе поверхности в левой системе координат. 113» .
^2 I g2 2.420. Показать, что 1 есть уравнение поверхности вращения с осью вращения Ох. Написать уравнение кривой в плоскости z == 0, вращением которой получена эта поверхность. д*2 I j/2 ^2 2.421. Показать, что—-------^“=1 есть Уравнение поверхности вращения. Найти ее ось вращения и урав- нения какой-нибудь кривой, вращением которой образо- вана эта поверхность. 114
Глава 3 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ § 1. Определители 1. Определители 2-го и 3-го порядка. Квадратная таблица А — (аИ \ед ед/ ’ / составленная из четырех действительных (или комплексных) чисел, называется квадратной матрицей 2-го порядка. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице А (или просто—определителем матрицы А), называется число det А = 1 “ = ай«22—a^i. j «21 “22 I Аналогично, если /ед ед ед\ А = I #2f ^22 ^23 1 \ед ед ед/ — квадратная матрица 3-го порядка, то соответствующим ей опреде- лителем 3-го порядка называется число det А = ац ai2 а1з a2f а22 6^23 ед ед азз = едедед+едедед 4- едедед—едедед— —едедед—едедед- (1) Определители 3-го порядка обычк следующего правила Саррюс щих в правую часть (1) со знаком плюс, есть произведение элементов главной диагонали матрицы А, каж- дое из. двух других — произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, и элемента из противоположного угла матрицы (рис. 36, а), а слагаемые, входя- щие в (1) со знаком минус, стро- ятся таким же образом, но относи- ц) ( + ) 15) тельно второй (побочной) диагона- ли (рис. 36, б). Рис. 36 115
Вычислить определители 2-го порядка: 3.1. —1 4 1 3.2. |а+& а—Ь\ 3.3. I cos а —since —5 2j I а — b « + I sin a cos а 3.4. a-\-bi b I ' 3.5. Icosa-H’sina 1 2a a—bi\ j _ 1 cos а—tsina 3.6. I 2 sin ф cos <p 2sin2(p—1 I 3.7. 1 — Z2 2/ 12 cos2 ф—1 2 sin ф cos ф j 14-Z2 14-Z2 _ 2/ I — /2 ~ 1 + /2 1 + Z2 Решить уравнения: 3.8. I •*+ 1 I „ q 3.9. I cos 8x —sin 5x1 g I —4 x +1 I ’ j sin 8% cos 5x | *3.10*. Доказать, что при действительных a, b, с, cl 1а—х с-\-di I корни уравнения _ г . =0 действительны. 3.11. Доказать, что для равенства нулю определителя 2-го порядка необходимо и достаточно, чтобы его строки были пропорциональны (т. е. чтобы элементы одной строки получались из' соответствующих элементов другой строки умножением на одно и то же число). То же верно и для столбцов. Вычислить определители 3-го порядка: 3.12. 1 2 3 3.13. 3 4 —5 3.14. а 4- х X X 4 5 6 8 7 —2 х Ь-\-х х 7 8 9 2 - 1 8 X х с'4- 3.15. а2 4-1 сф ау 3.16. sin а cos а 1 ар Р+1 Рт sin р cos р 1 * ау РТ Т2+> sin y cos у 1 3.17. 1 1 Б 3.18. 1 1 1 1 1 1 82 1 8 £ >2 б2 б 1 1 Б2 Б 2л . . . 2л 4л . . 4л где £ = cos-^-f-zsin-y- где 8 = COS - 5~ + « Sin-j-. О О Решить уравнения: 3.19. 3 х — х 2—13 х+10 i 1 Решить неравенства: 3.21. 3 —2 1 1 х —2 — 1 2 —1 3.20. 3.22. I х х-|-1 хЦ-2 x-J-З х—|-4 х-j-5 х + 6 х + 7 х + 8 2 х + 2 — 1 1 1 —2 5—3 х >0. 3.23. Доказать следующие свойства определителя 3-го порядка, используя его определение: 116
а) если строки матрицы определителя сделать столб- цами с теми же номерами (т. е. транспонировать матри- цу), то определитель не изменится; б) если .все элементы строки (столбца) умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число; t в) если переставить две строки (столбца,) определи- теля, то он изменит знак; в частности, если две строки (столбца) определителя равны, то он равен нулю; г) если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у ко- чторых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят ^’.первые, а во втором—вторые слагаемые; д) если одна строка (столбец) является линейной ком- ; бинацией остальных строк (столбцов), то определитель равен нулю. Используя свойства определителя 3-го порядка, пере- численные в задаче 3.23, доказать следующие тождества (определители не развертывать): 3.24. 3.25. £?£ —j— Ь-рС <2 2 4~ ^2-* 4" ЬзХ tZj —р b ^х а2 Ь2х &з+Ь3х at—Ьгх а2—b2x as~bsx а2Х 4" Ь2 ^3*4" ^3 С2 Сз Q Ъ Сз — —2х = (1-л ai bi а2 &2 а3 Ь3 ci с3 bi bi Ьз Ci с% Сз ;2) «2 а3 3.26*. 1 1 а а3 1 а i я2 1 b Ь3 = (а 4- Ь 4- с) 1 b i !>2 11 с с3 1 о с3 Вычислить следующие определители, используя свой- ства определителя 3-го порядка, перечисленные в зада- че 3.23: 3.27. *4-^ г 1 у-\-г х 1 ? + х у 1 3.28. (а+ I)2 (&+1)2 (с+1)2 а2 4-1 а 624-1 b с2 4-1 с • 3.29. sin2 a cos 2а cos2 а 3.30 sin2 а 1 cos2а sin2 р cos 2(3 cos2 (3 sin2 (3 1 cos2 Р sin2 у cos 2у cos2 у sin2 у 1 cos2 у 1 1 1 3.31. Проверить, что определитель X у г X2 у3 Z* делится на х—у. у—z и г—х. И7-
3.32. Проверить, что определитель х у х-\-у У х+у х х+у х у делится на х + у и на х2—ху + у2. 3.33. Построить график функции 1 У ~ т— у Ь—а х х2 а а? b Ь2 1 1 1 (а #= Ь). 2. Определители n-го порядка. Всякое взаимно однозначное ото- бражение л множества {1, 2, п} первых п натуральных чисел на себя называется подстановкой п-го порядка. Всякая подстановка может быть записана в виде л = Л1 4 in \ (2) где а/Л = л(/^)— образ элемента п} при отображении-л. Для фиксированной подстановки л существует много различных спо- собов записи вида (2), отличающихся нумерацией элементов верхней строки. В частности, запись вида /1 2 ... п \ \ai а2 ... ап) называется канонической. Говорят, что пара элементов (/, /) образует инверсию в подста- новке л, если i < /, но ах- > «у. Число s (л) всех инверсных пар определяет четность подстановки: подстановка называется четной, если $ (л)—четное число, и нечетной, если «(л)—число нечетное. Пример 1. Определить четность подстановки /1 3 5 2 4\ \2 3 5 4 1 у Перейдем к канонической записи (3) /1 2 3 4 5\ \2 4 3 1 5у и подсчитаем число инверсий. Так как инверсии образуют пары (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), то $(л) = 4 и л—четная подстановка. > Определителем п-го порядка, соответствующим квадратной мат- рице / «п' / «21 «12 «22 ««2 «1?2 а2п апп 118
(или определителем матрицы Л), называется число det А — ан ан ... afn a2f ^22 • » • ^2п ani ап2 апп =2(-1г(яч,„(1). л ап. Л (п)9 где сумма берется по всем подстановкам я л-го порядка. Для определителя л-го порядка выполняются основные свойства, аналогичные свойствам а)—д) из задачи 3.23. 3.34. На множестве {1, ...,6} найти подстановку л, если n(k) является остатком от деления числа 3k на 7. Определить ее четность. 3.35. На множестве {1, ...» 8} найти подстановку л, если л (k) является остатком от деления числа 5k на 9. Определить ее четность. Определить четность подстановок! 3.36. /5 2 4 3 1\ 3.37. /3 4 6 5 2 1\ V3 1 2 5 4/ V 4 3 2 5 6/ 3.38. /2л 2л—1 ... 4 3 2 1 \ \2л — 1 2л ... 3 4 I 2/ 3.39. /л л— 1 ... n—&4-1 л—А? л—1 2 I \ \k k—1 ... 1 л л — 1 ... А? + 2^+1у* Выяснить, какие из приведенных ниже произведений входят в определители соответствующих порядков и с ка- ткими знаками: 3.40. ^43^21^85^12^64* 3.41. С1в 1^23^45^30-^12^54 • 3.42. ^27^36^51^74^25^43^62’ 3.43. (^'33^1'1^'22^21^'55^'61^'4^* 3.44. Выбрать значения i и k так, чтобы произведение ^62^/5^33^4^46^21 входило в некоторый определитель со знаком минус. 3.45. Выбрать значения ink так, чтобы произведение ^47^63^1 /^55^7^24^31 входило в некоторый 3.46. Найти члены определитель со знаком плюс, определителя 5х 1 2 3 х х 1 2 12x3» х 1 2 2х содержащие х4 и х3. Л19
Пользуясь только определением, вычислить следующие определители: 3.47. 0 . 0 0 #1, п 0 .0 а2 , n-i #2, п 0 • #3, «-2 #3 > п — 1 #3,72 • 9 » #«, т - • #72, /2 — 2 #72 , п-1 #/2, П 3.48. #11 а12 #13 #14 #15 #21 #22 #23 #24 #25 #31 #32 ООО #41 #42 ООО #51 #52 ООО 3.49. Как изменится определитель, если: а) к каждой строке, кроме последней, прибавить по- следнюю строку; б) из каждой строки, кроме последней, вычесть все последующие строки; в) из каждой строки, кроме последней, вычесть после- дующую строку, из последней строки вычесть прежнюю первую строку; г) его матрицу «повернуть на 90° вокруг центра»; д) первый столбец переставить на последнее место, а остальные столбцы передвинуть влево, сохраняя их расположение. 3. Основные методы вычисления определителей n-го порядка. Метод понижения порядка определителя основан на сле- дующем соотношении (/ фиксировано): k= 1 (4) где аи #1, Л + 1 • ain #/«1,1 ... #2-1, /г-1 #/-1, Л + 1 • • . #/~1, п #/ + i, i «.. #/+1, Л-1 #z + l, Л + 1 •• • #2 + 1, п #п! • • • • #тз. Л-1 #л. Л + 1 • •1 » #72/2 (5) называется алгебраическим дополнением элемента а^ и представляет собой (с точностью до знака (—определитель (п—1)-го поряд- ка, получающийся из исходного определителя вычеркиванием ьй строки и Л-го столбца, на пересечении которых стоит элемент а^. Соотношение (4) называется разложением определителя по i-й строке. Аналогично определяется разложение определителя по столбцу. Прежде чем применять метод понижения порядка, полезно, исполь- 120
зуя основные свойства определителя, обратить в нуль все, кроме одного, элементы его некоторой строки (столбца). Пример 2. Вычислить определитель 8 7 2 10 —8 2 7 10 4 4 4 5. 0 4 —3 2 А Из первой строки вычтем, а ко второй прибавим удвоенную третью* Полученный определитель разложим по первому столбцу. Имеем 0—1—6 0 0 10 15 20 —1 —6 0 4 4 4 5 = (—1)1+8,4. 10 15 20 0 4—3 2 4—3 2 Далее опять обращаем в нуль все элементы первого столбца, кррмв элемента в левом верхнем углу* и затем вычисляем определитель второго порядка: £> = 4 — 1 —6 О О —45 20 0 —27 2 = 4.(_1)1+1.(-1)| 2°| = = —4 (—90+540) = — 1800. > Метод приведения к треугольному виду заклю- чается в таком преобразовании определителя, когда все элементы* лежащие по одну сторону одной из его диагоналей, становятся рав- ными нулю. Пример 3. Вычислить определитель 1111 D- 1 -1 2 2 и~ 1 1—1 3 * 111-1 Вычитая первую строку из всех остальных, получаем 1111 0—2 1 1 0 0—22 0 0 0 —2 Метод рекуррентных соотно ш е н- и й позволяет выра- зить данный определитель, преобразуя и разлагая его по строке или столбцу, .через определители того же вида* но более низкого порядка. Полученное равенство называется рекуррентным; соотношением. Пример 4. Вычислить определитель Вандермонда 1 1 1 ... 1 Я] #2 а3 * • • ап 2 2 21 2 01 02 - Оз} .ап п-1 П-1 П-1 /2-1 О1 02 Оз .» . Ort 121
◄ Покажем, что при любом п (п^2) определитель Вандермонда равен произведению всевозможных разностей а[—aj, 1^/ < i^n. Доказательство проведем по индукции, используя метод рекуррент- ных соотношений. Действительно, при и = 2 имеем J CL± С1% j Пусть наше утверждение доказано для определителей Вандермонда порядка (л—1), т. е.1 f= (й/ Uj). 1</<4<П-1 Преобразуем определитель Dn следующим образом: из последней п-й строки вычитаем (п — 1)-ю, умноженную на at и, вообще, последова- тельно вычитаем из &-й строки (k—1)-ю, умноженную на fat. Полу- чаем 1 1 1 1 0 а2 — at а3—at ап—a>i 0 al—ata2 2 а$—а\а3 t * • ап—а^п п /Л-1 zv Л-2 и а2 — а±а2 „П—1 „ а3 — а±а3 •. • Г1~л Л Л~2 ап — atan Разложим последний определитель по первому столбцу и вынесем из всех столбцов общие множители. Определитель принимает вид L 1 1 ... 1 а2 а3 ... Dn = (a2—at) (as—ai) ...(an—aj) al ъ а3 al 2 ... ап = а2~ -2 П-2 а3 а”-2 ^П-2, ... ап г= (fl2- -at) (а3 — Я1) ... Получили рекуррентное соотношение. Используя предположение ин- дукции, окончательно выводим: £>„ = («2—«1)(0з—fli) ... (а«—Й1) П = = II (at—aj). ► Вычислить определители, используя подходящее раз- ложение по строке или < столбцу: 3.50. 1 0 2 3.51. —15 2 0 2 0 • 0 7 0 2 0 3 1 2 0 3.52. 2 1 0 3.53. 9 10 11 1 2 1 111 0 1 2 2 3 4 122
,3.54. a) 2—3 4 4—2 3 а b с 3—14 1 2 d 3 б) 5 4 2 4 а b с d 2 4 3 5 —1 —3 —2 —4 в) а b с d 1 О 1 1 1 1 О 1 1 1 1 О Вычислить 3.55 3.57. 2 О 3 3 3 5 О 6 определители: 3.59 3.61 3.63 О а b d 2 1 1 1 1 х 1 1 О О 3.65* —1 1 — 1 1 —1 2 2 —2 1 О 2 —1 2 6 4 О 1 9 3.56 3 1 2 1 —3 8 3.58. — а —ь —d О —с — е О ’ О 3.62. 3.60 4 2 0 2 2 6 3 1 2 —3 —1 1 2 3 0 —5 /2 Уз У$ Кз Уб У21 У ю —2/3 у 10 2 }<15 5 2 2 Уб У1о У15 О b с d b с 1 3 1 1 1 о с е \ 1 I 1 1 1 L 5 i 1 — 1 —1 х—1 —1 —1 1 1 4 1 1 О О 1 1 1 . 1 6 1 1 О х О О о 1 1 х О х О 1 1 а сер 1'а + Р оф 0^ I 5 1 О Ode d О b d с b О 6 0 0 0 5 6 0 0 1 5 О 0 1 ООО 3.64 ., о .• о а + Р «* • О 1 1 1 1 1 О О о 6 о . 5 6 1 5 х х2 2х Зх2 4х Ох2 У У2 2у Зу2 4х3 16г* У* 4^ х* 5л4 25х4 У* 5г/4 ООО 1 а + Р 3.66. а + Р аР 0 ... 0 0 2 а+Р ар . 0 0 0 1 а + Р 0 0 . ООО 1 а+Р Вычислить определители порядка п приведением их к треугольному видув 3.67. СЧ, О, CjJ 3 ... п 3 ... п [0 ... п 3.68. 3 2 2 ... 2 S 3 2 ... 2 2 2 3 ... 2 — 1 —2 —3 ... 0 2 2 2 3 123
3.69. Вычислить определитель, элементы которого за- даны условиями 6zz/ = min(f, j), 3.70. Вычислить определитель, элементы которого за- даны условиями aZy = max (z, /). Вычислить определители порядка п методом рекур- рентных соотношений: 3.71. 01 1 ..,1 1 at 0 ... 0 10 а2 . * • 0 3.72. 2 1 0 ... 0 1 2 1 ... 0 0 1 2 ... 0 3.73. 10 0 ... ап Вычислить О] пределите/ • > ♦ » ч« 0 0 0 ... 2 1Ь Л-Д л-1 л-1 л- a% а$ .,. ап 2 2 2 2 ai al al ... а^ а-£ a2 a$ .«• an 1 1 1 ... 1 3.74. Доказать, что для любого определителя выпол- няется соотношение 2 <*•'> = /=1 det A, k — i, 0, k =у^= i, где —алгебраическое дополнение элемента ак, (см. (5)). § 2. Матрицы 1. Операции над матрицами. Матрицей размера tny.n или (тХ^)- матрицей называется прямоугольная таблица из чисел ац^ 1^1? 2, 1Щ /=1» п» /ап а& ... Д __ I a2i а22 • * » \ »»»♦♦• состоящая из т строк и л столбцов. Суммой А + В (тХ>п)-матриц А = (ац) и В = (Ьц) называется матрица того же порядка, каждый элемент которой равен Сумме соответственных элементов матриц А и В: Q/ = «Z/+^Z/J *=h 2* •••» Z^1» 2> •”>п- Произведением а А матрицы A~(a[j) на число а (действительное или комплексное) называется матрица В = (^/у), получающаяся из матрицы А умножением всех ее элементов на а: Ьц^иац, Z—1, 2, ..., mt /=1, 2, 124
Произведением АВ (тхп)~ матрицы A~(aij) на (пХк)-матрицу называется (тх^-матрица С = (с/у), элемент которой dz-y, стоящий в i-й строке и /-м столбце, равен сумме произведений соот- ветственных элементов f-й строки матрицы А и /-го столбца матрицы В: п со=2 aivbvj> ‘ = 1>2, / = 1,2......k. v= 1 3.75. Доказать следующие свойства алгебраических операций над матрицами: .. а) Л + В = В + Л, А +(В + С) = (Л + В)4-С; б) (а + Р) Л =аЛ+ 0Л, а(Л + В) = аЛ + аВ, (ар) Л = = а (рл); в) А (ВС) = (АВ) С, А (В \ С)^АВл-ЛС. Вычислить линейные комбинации матриц А и Bs 3.76. ЗЛ + 2В, В = 3.77. (1 + 0А + (1—0В, Л = ([_{), Вычислить: 3.78. (+))++ Q ЙП /4 ЗХ /—28 93W7 3X „ /1-3 2\/2 5 6\ 3.8U. (у 5Д 38 _126J (у 1/* б,й1, ( 3 -4 1 V 1 2 5 ). \2 —5 3/\1 3 2/ 3.82. /5 8 —4\ /3 2 5\ 3.83. /5 0 2 3\ / 6\ 16 9 —5 )14 —1 3 ). (4 1 5 3)/—2) \4 7 — 3/\9 6 5/ \3 1 —1 2/1 7 Г \ / X 4/ (3\ / 3\ 1 \ / 1\ -1 ; б) -1 1(4 0 —2 3 1). 5 / \ 5 / 2/ \ 2/ 3.85. /0 0 IX I 1 1 2 V 2 2V4\ 1 2 2 3 /1 . 7 А1/ \3 3 4/ 3.86. Q^)3. 3.87, (Ji)”, a£R. 3.88. 3.89. (c°sa ~slnay. \$sin a cos a J I Найти значение многочлена /(Л) от матрицы Яз 3.90. /(х) = 3х2—4, Л = (2|). 1251
3.91. /(х) = х2—Зх-h 1, Д = (_}з)- /1 —2 3\ 3.92. f(x) = 3x2—2x4-5, A =( 2 —4 1 ) \3 —5 2/ Вычислить AB—ВAi 8.93. A = (* B=( !“?)• \4 —1J ’ \—4 1) / 2 3 1\ /1 2 1\ 3.94. A =4 —1 1 o), B = (oi2). \ 1 2 —1/ \3 1 1/ /1 1 1\ /75 3\ 3.95. A =4 0 1 1 ), B = [ 0 7 5 ). \0 0 1/ \0 0 7/ Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ —В А. Найти все матрицы, перестановочные с данной: 3>96. р 2\ 3.97. П —3\ 3.98. /3 1 0\ V3 4/ * \5 — 2) ' 10 3 1). \0 0 3/ 3.99. Найти все матрицы 2-го порядка, квадраты ко- торых равны нулевой матрице О == ( 0 0 1. 3.100. Найти все матрицы 2-го порядка, квадраты ко- c. Г- / 1 0\ торых равны единичной матрице £ = (0 j )• 3.101. Как изменится произведение АВ матриц А и В, если: а) переставить ью и /-ю строки матрицы А,, б) к r-й строке матрицы А прибавить /*-ю строку, умно- женную на число а, в) переставить i-fi и /-й столбцы матрицы В, г) к i-му столбцу матрицы В прибавить j-й столбец, умноженный на число а? Матрица Ат называется транспонированной к матрице А, если выполняется условие а^ —ад для всех /, /, где ац и а~У- —элементы матриц А и Л”1" соответственно. 3.102. Доказать следующие соотношения: а) (АТ)Т^Л; б) (А + В)Т = Дт + вт; б) (ДВ)Т=ВТДТ. Вычислить АДТ и АтА для заданных матриц Аз Л 2 1 3\ 1 1 “Л 3.103. Р 7). 3.104. 2 0 2 0 2). \4—I b —1у \ о —2 0—2 О/ 126
Квадратная матрица В называется симметричной, если В^ = В. Квадратная матрица С называется кососимметричнойесли = 3.105. Доказать, что любую матрицу А можно пред- ставить, и при этом единственным образом, в виде Л = ==В + С, где В—симметричная, а С—кососимметричная матрицы. 2. Обратная матрица. Квадратная матрица А называется вырож- денной (особенной), если ее определитель равен нулю, и невырож- • денной (неособенной) в противном случае. Если А — невырожденная ''матрица, то существует и притом единственная матрица Л”1 такая, ЛЛ-^ = Л~М = £, где Е—единичная матрица (т. е. такая, на главной диагонали кото- рой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю). Матрица Л“х называется обратной к матрице А. Укажем основные методы вычисления обратной матрицы. Метод присоединенной матрицы. Присоединенная матрица Лу определяется как транспонированная к матрице, состав- ленной из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А (см. формулу (5) из § 1). Таким образом, • /Л(1>х> Л(2>... Л(Л’Х)\ л7=( Л(1,2) л(2,2) ••• л<"’2) | \Л(1»w) Л<2»и) ♦.. Л(и* / Справедливо равенство ЛуЛ = ЛЛу = бе1 А-Е. Отсюда следует, что если А—невырожденная матрица, то . det Л 4 Пример 1. Методом присоединенной матрицы найти Л“^ если /1 2 —1\ Л=( 3 0 2). \4 —2 5/ < Имеем det Л — —4. Найдем алгебраические дополнения соответст- вующих элементов матрицы Л: 4,.,,1=|J2| = 4, №.=|02 ‘|_ 4, Д<1,2>== — |3 2 =_7 Л(212);|1 “4=9, Д<8,2) = _|1 “* = —5, 14 5 14 51 13 2 =—6, Л<2,3) = —|| _2|=10, Л<3>»)=*И д =—6. 127
Поэтому /4—8 4\ Av=( —7 9 —5 ) \—6 Ю —6/ 1 /-1 2 и 7/4 -9/4 5/4 > \3/2 —5/2 3/2/ Метод элементарных преобразований. Элементар- ными преобразованиями матрицы называются следующие: 1) перестановка строк (столбцов); 2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля; 3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число. Для данной матрицы А л-го порядка построим прямоугольную матрицу ГЛ = (А | Е) размера п X 2л, приписывая к А справа еди- ничную матрицу. Далее, используя элементарные преобразования над строками, приводим матрицу Гл к виду (Е | В), что всегда возможно, если А невырождена. Тогда В-А*1. Пример 2. Методом элементарных преобразований найти А для /3 2 1\ А=[ 4 5 2 ). \2 1 4/ Ч Образуем матрицу Гл: /3 2 1 1 0 0\ Гл=( 4 5 2 0 1 0 ). \2 1 4 0 0 1/ Обозначив через yi, у2, уз строки матрицы Гл, произведем над ними следующие преобразования: Г 1 , 2 , " 1 fl 71 = 71—у 7г, 71 ==Vl—24 7», 4 3 , . 1 ff ¥2=Т2—•уТЬ ?2 = у 7г, 72 =^-Т2 Y3i 2 7з = 7з —з 71, /Г ?3 = 7з+у?2, 7» 7 В результате последовательно получаем /3 2 1 1 0 0\ /1 2/3 1/3 1/3 0 0\ (452 0 1 0 )—> ( 0 7/3 2/3 —4/3 1 0 ) —> \2 1 4 0 0 1/ \0 —1/3 10/3 —2/3 0 1 / /10 1/7 5/7 —2/7 О' х /1 0 0 3/4 —7/24 —1/24 7 0 1 2/7 —4/7 3/7 0 )—►( 0 1 0 —1/2 5/12 —1/12 \0 0 24/7 —6/7 1/71. / \0 0 1 —1/4 1/24 7/24 Следовательнов / 3/4 —7/24 —1/24\ Д-1= —1/2 5/12 —1/12 ). . > X—1/4 1/24 7/24/ 128
Методом присоединенной матрицы найти обратные для следующих матриц: 3.106. 3.109. / fHV 3.107. ГПУ 3.108. fcos05 -sinay \3 4/ \5 7/ \sina cos а) <2 5 7\ ЗЛО /3-4 5х 3.111. /1 1 1-.1\ 6 3 4 ). (2 —3 1 ). - [ 0 1 1...1 \ Ч5 „2 —3/ \3 — 5 — 17 0 0 1...1 . \ооо...1/ 3.112. /1 1 1 1\ 1 1 1 —1 —1 \ 11-1 0 О ' \0 0 1 —17 3.113. /1 1 1 1ч ( 3/|У5 l/K'S -1/У"Ъ —З/^А 1—1 —1 1 г \1/К 5 —3/К 5 3/К 5 —1/К 5/ Методом элементарных преобразований найти обратные для следующих матриц: 3.114. /2 7 3\ 3.115./1 2 2ч З.Н6. /1 1 1 1\ 3 9 4). 12 1 —21. / 1 1 —1 —1 1 \1 5 3/ \2 —2 1/ (1—11—1/ \1 _] _1 1/ 3.117. /3 3 —4 — 3\ 3.118. /1 1 0 ... 0\ /06 1 11 / 0 1 1 ... 0 \ 1 5 4 2 i Г 001... 0). \2 3 3 2/ \ / \0 0 0 ... 1/ _ 3.119. /0 0 1 -1\ 3.120. /1 0 0 ... Oh /031 41 /0 20 ... 0 01 ( 2 7 6 —1 Г 003...00). \1 2 2 —1/ 1 I \0 0 0 ... 0 п/ Решить матричные уравнения: З.Ш. 3.122. X-(35 Z*) = (Zse)- . 123’ 8; ~ \ 9 ЮГ /1 2 —3\ / 1 —3 0\ 3.124. ( 3 2—4).А’ = (10 2 7). \2 —1 0/ \10 7 8/ / 5 3 1\ /—8 3 0\ 3.125. ХА 1 -3 -2 = -5 9 0 ) \—5 2 1/ \—2 15 07 5 Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича ' 129
3.126. Доказать следующие равенствам а) (аЛ)-» = 1д-\ б) (ЛВ^^В-М"1; в) (Л-»)т = (Лт)-1. Вычислить значение функции g(x) при х = Лз 3.127. £(х) = хг—Зх + 2х-*—х-2, = /2 —1 0\ 3.128. £(х) = х—8x-J + 16х"2, Л=(о 2-1). \0 0 2/ /О 1 1\ 3.129. g(x) = (x2—l)-i—Л=( 1 0 1 ). \1 1 О/ § 3. Пространство арифметических векторов. Ранг матрицы 1. Арифметические векторы. Всякая упорядоченная совокупность из п действительных (комплексных) чисел называется действитель- ным (комплексным) арифметическим вектором и обозначается сим- волом х = (*ь х2, хи). Числа х2, ... , хп называются компонентами арифметического вектора х. Над арифметическими векторами вводятся следующие операции. Сложение:. если х"=(хь x2i ..., хп), y = (ylt y2t ...» yn), TO X4-J = (Xi + i/i, x2 + y2i .xn + yn). (1) Умножение на число: если X — число (действительное или комп- лексное) и х = (х1} х2, ..., х„) — арифметический вектор, то “kx — (kxj, kx2, ..., kxn). (2) Множество всех действительных (комплексных) арифметических n-компонентных векторов с введенными выше операциями сложения (1) и умножения на число (2) называется, пространством арифметических векторов (соответственно действительным или комплексным). Всюду в дальнейшем, если не оговаривается противное, рассматривается действительное пространство арифметических векторов, обозначаемое символом IR.n. Система арифметических векторов {xi, х5} называется ли- нейно зависимой, если найдутся числа Xi, ..., ks, не равные одно- временно нулю, такие, что .+ Х1£х5=0 (где 0=(0, 0, ..., О'* — нулевой вектор). В противном случае эта система называется линейно независимой. Пусть Q — произвольное множество арифметических векторов. Система векторов Ф = (^1, .es) называется базисом в Q, если выполнены следующие условия: 130
а) ё Q» — 4, 2, ...» s; б) система 53 = (elt ..., es) линейно независима; в) для любого вектора x£Q найдутся числа A>i, ♦. такие, что х ~ 2 (3) fe=l Формула (3) называется разложением вектора х по базису 53. Коэффициенты Zf, ...» однозначно определяются вектором х к За- зываются координатами этого вектора в базисе 53. Справедливы следующие утверждения: 1) Всякая система векторов Q cz имеет по меньшей мере один базй£'; При этом оказывается, что все базисы этой системы состоят из одинакового числа векторов, называемого рангом системы Q и обозначаемого rang Q или r(Q). 2) Ранг всего пространства R" равен п и называется размер- ностью этого пространства; при этом в качестве базиса IR" можно взять следующую систему: = 0, 0, 0), е2 = (0, 1, 0, ..., 0), ^з = (0, 0, 1, ..., 0), (4) ^Л = (0, О, О, 1). -Этот базис принято называть каноническим. Зафиксируем произвольный базис 53 = (£i, ...» £«) в простран- стве. Тогда всякому вектору х можно поставить во взаимно од- нозначное соответствие столбец его координат в этом базисе, т. е. X — ~Н • * • “j- ХпУп X — I Замечание. Необходимо различать компоненты вектора и его координаты в некотором базисе. Мы используем для них одина- ковое обозначение, .хотя следует помнить, что координаты вектора совпадают с его компонентами только в каноническом базисе. Линейные операции (1) и (2) над арифметическими векторами в координатной форме выглядят следующим образом: z = x+y&Z = X+Y + 2, ...» п), у = \х К = yk~^xk> k = 2, и). 3.130. Доказать, что линейные операции (1) и (2) обла- дают следующими свойствами: 1а) х+у=у + х; 16) (х+у) + z = х.+(у + z)-, 1в) x + 0 — x; 5* 131
lr) Vx,j? 3!# + (вектор z называется раз- ностью векторов х и у и обозначается так: z = x—j>); 2а) К (рх) = (Tip) х для любых чисел X и р; 26) 1. х — х; За) X(x + j) = Xx+‘Xy; 36) (Х + р) х = Хх4-рх. Заданы арифметические векторы: ах = (4, 1, 3, —2), а2 = (1, 2, —3, 2), а3 = (16, 9, 1, —3), а4 = (0, 1, 2, 3), &5 = (1, —1, 15, 0). Найти следующие линейные комби- нации: . 3.131. 3^1 + 5«2—а3. 3.132. а1 + 2а2—~а4 —2а5. 3.133. 2ох 4~ 4$3— 2о5. 3.134. —1/2^4'4_^5‘ Заданы те же, что и^выше, арифметические векторы а2, а3, а4, а5. Найти вектор х из уравнения: 3.135. 2х+а1 — 2а2—&5 = 0. 3.136. аг—За5+х4-&3=0. 3.137. 2{а1 — х)4-5(а44-х) = 0. 3.138. З(а3~р2х) — 2(а5 — х)-0. 3.139. Доказать, что линейно зависима всякая система векторов: а) содержащая два равных вектора; б) содержащая два вектора, различающихся числовым множителем; в) содержащая нулевой вектор; г) содержащая линейно зависимую подсистему. Выяснить, являются ли следующие системы арифме- тических векторов линейно зависимыми или линейно независимыми: 3.140. x^t—3, 1,5), х2 = (6, —3, 15). 3.141. XiMH 2, 3, 0), х2=(2, 4, 6, 0). 3.142. хх = (2, —3, 1), х2 = (3, —1, 5), х3 = (1, “4, 3). 3.143. Х! = (1, Л 2—7, 3-4-7), Х2 = (1—Л 1 + *, 1—3z, 4 — 21). 3.144* . Показать, что система арифметических векторов ех = (1, 1, 1, 1, 1), е2 = (0, 1,1, 1,1), е3 = (0, 0, 1, 1,1), е4 = (0, 0, 0, 1, 1), еб = (0, 0, 0, 0, 1) образует базис в R.5. Найти координаты заданного вектора х в базисе 53==(ех, ..., е5) из задачи 3.144: 3.145* *. х —(1, 0, I, 0, 1). 3.146. х-(5, 4, 3, 2, 1). 3.147. Доказать, что если векторы аи а2, а3 линейно зависимы и вектор а3 не выражается линейно через век- торы аг и а2, то векторы и а2 различаются лишь числовым множителем. 3.148. Доказать, что если векторы а1У a2i ..., ak линейно независимы, а векторы а±, а2, ,.. f ak, b линейно 132
зависимы, то вектор b линейно выражается через век- торы #1» ^2» * * ‘ ЗЛ49. Доказать, что упорядоченная система векторов А а2, не содержащая нулевого вектора, линейно независима тогда и только тогда, когда ни одйн из этих векторов не выражается линейно через предыдущие. I 2. Ранг матрицы. Пусть в матрице А размера т X п выбраны произвольно k строк и k столбцов (&<min (m, п)). Элементы, сто- ящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квад- ратную матрицу порядка k, определитель которой называется мино- ррм k-го порядка матрицы А. Максимальный порядок г отличных от нуля миноров матрицы А называется ее рангом, а любой минор порядка г, отличный от нуля,— базисным минором. Строки (столбцы) матрицы А размера т Х.п можно рассматривать как систему арифметических векторов из Rzz (соответственно Rzzz). Теорема о базисном миноре. Ранг матрицы равен рангу системы ее строк (столбцов); при этом система строк (столб- цов) матрицы, содержащая базисный минор, образует базис в системе всех строк (столбцов) этой матрицы. Приведем основные методы вычисления ранга матрицы. Метод окаймляющих миноров. Пусть в * матрице найден минор k-ro порядка М, отличный от нуля. Рассмотрим лишь те, миноры (&4-1)-го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор Л4: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор (/г+ 1)-го порядка, и вся процедура повторяется. Пример 1. Найти ранг матрицы /2 :—4 3: 1 0\ fl 2 1: —4 2 \ О 3 1)- ^4----у""’! —4 5/ ◄ Фиксируем минор 2-го порядка, отличный от нуля: Минор 3-го порядка 2—4 3 1 —2 1 О 1 —1 окаймляющий минор ТИ2, также отличен от нуля. Однако оба минора 4-го порядка, окаймляющие Л43, равны нулю: 2—4 3: 1 1 —2 11 —4 О 1 —q 3 4—7 "4 —А 2—4 3:0 1—2 li 2 0 .L“!: 1 4 —7..Т 5 Поэтому ранг А «равен трем, а базисным минором является, напри- мер, Л43. > 133
Метод элементарных преобразований основан Па том факте, что элементарные преобразования (см. п. 2 § 2) матрицу не меняют ее ранга (см. задачу 3.158). Используя эти преобразования матрицу можно привести к такому виду, когда все ее элементы, кроме «й, «22, .*•,+/• (r«dnin(m, равны нулю. Следовательно, ранг матрицы равен г. Пример 2. Найти ранг матрицы / 0 2 -4- —1 -4 5 3 1 7 0 5 -10 к 2 3 04 Производя последовательно элементарные преобразования, будем иметь О 2 —4\ /1 4 —5\ /1 4 —5\ — 1—4 5\ / 2 3 0 \ /0—5 10 \ 3 1 71—> 31 7 1 —>10 —И 22 ]—> 0 5 —10 / \ 0 5 —10 / \0 5 —10 / .2 3 0/ \0 2 —4/ \0 2 —4/ (1 4 /1 о 0\ 0 1 —2 \ / 0 1 0\ 0 1 — 2 ) —> I о о 0 j 01—2/ \ 0 0 0 / О 1 —2/ \0 О О/ Ранг последней матрицы равен двум, [следовательно, таков же и ранг исходной матрицы. ► Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров: 3.150. /2 —1 3—2 4\ 3.151. /1 3 5 -1\ ( 4 —2 5 17] / 2 —1 —3 4 ) \2 —1 1 8 2/ 1 5 1 —1 7 Г \7 7 9 1/ 3.152. /3 — 1 3 2 5' \ 3.153. /1 2 3 4\ /5—3 2 3 4 1 1 2 3 4 5 ] 1 1 ~3 -5 0- -7 Г \ 3 4 5 6 Г , \7 —5 1 4 L / \4 5 6 7/ 3.154. /12 3 0 —К 3.155. /1+г 1— i 2+3/ (011 1 0 к г 1 1 2 \1 3 4 1 — 17 1 1— i — 1— i 3—2i \ 4 —4i 10+2/. Чему ниях X? 3.156. равен ранг /3 1 1 д _ / к 4 Ю I 7 17 \2 2 4 4' 1 3 3. матрицы А при различных значе- /1 к —1 2\ 3.157. Л=(2 —1 к 5 к \1 10 —6 к/ 134
3.158. Показать, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. Вычислить ранг матрицы методом элементарных пре- образований: 3.159. /25 31 17 43\ 3 . 60. /47 —67 35 201 155\ 1 75 94 53 132 j 1 26 98 23 —294 86 ). \ 75 94 54 134 Г \16 —428 1 1284 52/ \25 32 20 48/ 3.161. 3.162. /24 19 36 72 - —38\ /17 —28 45 11 39\ А 49 40 73 147 - —80 \ / 24 —37 61 13 50 \ 1 73 59 98 219 - -118 ' 25 —7 32 —18 —11 . \47 36 71 141 - -п/ \ 31 12 19 —43 —55 / \42 13 29 —55 —68/ 3.163. / 1 2 3^ \ 3.164. /—1 3 3 -4\ 1 4 5 6 1 (4—7—21) \ 7 8 9 Г 1 —3 5 1 0 г \10 11 12, 1 \—2 3 0 1/ Вычислить ранг матрицы: 3.165. / 1 3 —1 6\ 3.166. / о 1 10 3\ / 7 1 —3 10 ] / 2 0 4 —1 '. \ 17 1 —7 22 Г 1 16 4 52 9 /' \ 3 4 —2 10/ \ 8 —1 6 —7/ 3.167. /0 1 1 0 0\ 1 1 1 0 0 о\ 0 10 11. 3.168. / 0 1 ' 0 1 < 2 1 \—1 2 - 3.170. 0 3 0 -1 4 0 0 —1 3 1\ 2 1 1 1 1 / — 1 1/ \1 0 \о 0 10 0/ 1 1 0/ 3 .169. ( 2 2 1 5 —П Г ° - -1 0 1 3 п 1 0 4 —2 1 1 0 —2 0 —1 —1 2 1 5 0 1 0 1 0 1 0 о —1 —2 2 —6 1 • I 0 0 1 1 1 —3 — 1 - -8 1 — 1 —1 - -3 —1 2 2 0 . 1 2 - -3 7 3 2 —1 -1 -1 -1J 3.171. Доказать что если произведение матриц АВ Определено, то rang (ДВ)^ min {rang Л, rang В}. 3.172. Пусть А—невырожденная матрица, а матрицы В И С таковы, что АВ, СА определены. Доказать, что rang (ДВ) rang В и rang (СД) = rang С. 3.173. Доказать, что если сумма матриц ДД-В опре- делена, то rang (Д + В) rang Д + rang В. 135
Понятие ранга матрицы используется для исследования линейной зависимости системы арифметических векторов. Пример 3. Выяснить^ является ли система арифметических х векторов ах = (2, —3, 1), а2 = (3, —1, Б), а3==(1, —5, —3) линейно зависимой или линейно независимой. Найти ее ранг и какой-нибудь базис. ◄ Запишем матрицу Л, вектор-столбцами которой являются at, а2, а5: / 2 3: 1х Л = (aj, aj, «J)=( —3 — li—5 j. \ Т 5‘ —37 Ранг Л, как нетрудно видеть, равен 2. Следовательно, исходная си- стема арифметических векторов линейно зависима, и ее ранг также равен 2 (по теореме о. базисном миноре). Минор 2-го порядка м2=| з ?| = 7 I О 1 | отличен от нуля и потому может быть принят за базисный. Отсюда следует, что арифметические векторы di и а2 образуют базис исход- ной системы. Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно зависимыми или линейно независимыми: 3.174. Х, = (1, 1, 1, 1), х2 = (1, —1, —1, 1), лг3 = (1, — 1, 1. -1), х4 = (1, 1, -1, — 1). 3.175. х1 = (4, —5, 2, 6), лг2 = (2, — 2, 1,3), х3 = (6, —3, 3, 9), х4 = (4, —1, 5, 6). Найти ранг системы векторов: 3.176. «! = (!, —1, 0, 0), «2 = (0, 1, —1, 0), «3 = (1, О, — 1, 1), «4 = (0, 0, 0, 1), а6 = (3, —5, 2, —3). 3.177. «, = (!, I, —1, — i, 1), а2 = (1, —г, —1, i, 1), ая = (1, —1, 1, —1, 1), а4 = (3, —1, —1, —1, 3). Найти все значения X, при которых вектор х линейно выражается через векторы аг, а2, а3: 3.178. а, = (2, 3, 5), а2 = (3, 7, 8), а3 = (1, —6, 1), = (7, —2, X). 3.179. «! = (3, 2, 5), а2 = (2, 4, 7), й3 = (5, 6, X), х = =(1,3, 5). 3.180. «! = (3, 2, 6), а2 = (7, 3, 9), а3 = (5, 1, 3), х= =(М 2, 5). Найти ранг и какой-нибудь базис заданной системы векторов: 3.181. «, = (5, 2, —3, 1), й2 = (4, 1, —2, 3), а3 = (1, 1, — 1, —2), «., = (3, 4, —1, 2). 3.182. в1 = (2, —1,3,5), а, = (4, —3, 1,3), а3 = (3, —2, 3, 4), «4 = (4, —1, 15, 17), а, = (7, — 6, — 7, 0). 3.183. а, = (1,2,3, —4), а2 = (2, 3, —4, 1), е3 = (2,—5, 8, —3), а4 = (5, 26, —9, —12), а8 = (3, —4, 1, 2). 136
Найти ранг и все базисы системы векторов- 3.184. ^ = (1, 2, 0, 0), а2 = (1, 2, 3, 4), а3 = (3, 6, О, О). 3.185. ^ = (1, 2, 3, 4), а2 = (2, 3, 4, 5), ач = (3, 4, 5, 6), а4 = (4, 5, 6, 7). 3.186. аг = (2, 1, —3, 1), а2 = (4, 2, —6, 2), а3 = (6, 3, —9, 3), о4 = (1, 1, 1, 1). § 4. Системы линейных уравнений 1. Правило Крамера. Пусть задана система п линейных уравне- ний с п неизвестными вида «iiXi + «12-*2 + • • • + «1ТА==^1< «21^1 +«22^ + - •’ ~\~а2пХП^ b2i anlxl + an2x2 + • • • + GnnXn — bni или, в матричной форме> АХ— В, где Правило Крамера. Если в системе (1) det А == А 0., т. е. матрица А имеет обратную А"1, то система (1) имеет, и притом единственное, решение или, в покомпонентной записи^ Х(=^, /=1, 2, п, 1 А где А/—определитель, получаемый из определителя А заменой г-го столбца на столбец свободных членов. Пример 1. Решить систему уравнений 3xi —{- 2х2+х3 = 5$ 2X1— Х2 + Хз==6; xi + 6x2 = —3. /3 2 1\ ◄ Матрица А~\ 2 —1 1 ] невырожденная^ так как det Л =—2^0. \1 5 0/ Присоединенная матрица А^ имеет вид /—5 5 3\ Zv=( 1 —1 —1 )• \ п _13 —7/ 137
Следовательно^ /-5 5 Зх л-»=-4- 1 -1-1) \ 11 —13 —1J и /—5 5 Зх / 5\ /— 4\ / 2\ Х^А-'В^ —4-( 1 —1 —1 )( 6)=—~{ 2 )=1 —1 ), 2 \ 11 —13 —7/\—3/ 2 \—2/ \ 1/ т. е. хх = 2, х2==—1, х3 —1. ► Следующие системы решить по правилу Крамера.’ 3.187. Зх—5//=13, 2х—1у=^3\. 3.189. 2ах—ЗЬу = 0, ‘Зах—6by = ab. 3.191. 2х+ у = 5, х + Зг = 16, 5//— г = 10. 3.193. 4хх —4х2 4~ 5х3 -j- 5х4 = 0, 2хх 4~Зх3— х4 = 10, хх + — 5х3 =—10, Зх2 -|— 2х3 = 1. 3.188. Зх—4// = 1, Зх + 4// = 18. 3.190. 7х+ 2у + 3г=15, 5х— 3// + 2г=15, 10х—11// + 5г = 36< 3.192. х+ у—2z = 6, 2x4-3//—lz = 16, 5x4-2//+ г=16. 3.194. 2хх — х2 + Зх3 + 2х4 = 4, Зхх + Зх2 + Зх3 4~ 2х4 :==: 6, Зхх— х2— х3 — 2х4 = 6, Зхг— х2 + Зх3— х4 = 6. 3.195* . Доказать, что для любых различных чисел хх, х2, х3 и любых чисел //х, //2, //3 существует, и притом только один, многочлен y = f(x) степени ^2, для кото- рого /=1, 2, 3. Когда степень этого мно- гочлена < 2 (равна 1, равна 0)? По заданным условиям найти многочлен /(х): 3.196. /(!) = —!, /4—1) = 9, f(2) = —3. 3.197. fj (xi) = 6,7, i, I = 1, 2, 3. 6zy = { ’4 7 [ Решить системы уравнений: 3.198. 5x4 + 8x2+ x3 = 2, 3.199. 2xx —3x2+ x3 = —7, 3xx —2x2 + 6x3 = —7, xx + 4x2+2x3=—1, 2Xi + x2— x3 = —5. xx—4x2 =—5. 3.200. 3.201. 2xx + 2x2— x3 + x4 = 4, 2xx + 3x2 + 1 lx3 + 5x4 = 2, 4x1 + 3x2— я3 + 2х4= 6, x4+ x2+ 5x3-j-2x4= 1, 8xx + 5x2 — 3x3 4~ 4x4 := 12, 2xx + x2 + 3x3 + 2x4 = —3, 3xx + 3x2 — 2x3 + 2x4= 6. xx+ x2+ 3x3 + 4x4=—3. 138
3.202. 2xi 4“ бх2 4* 4xg 4- х4 — 20 = 0, Xi 4*“ Зх2 4~ 2х3 4- х4 —11 = 0, 2xi + Юх2 + 9х3 + 9х4—40 = 0, 3X1+ 8х2 + 9х3 4-2х4—37 = 0. 3.203. Зх4 + 4х2 + х3+2х4+3=0, ЗХ| + бх2 + Зх3+5х4+6=0, 6x14-8x2+ х3+5х4+8=0, Зх4 + 5х§ + Зх3+7х4+8=О. 2. Решение произвольных систем. Пусть задана система т линей- ных уравнений с п неизвестными общего вида с11*1 + <212*2 + » • • + ^1пхп = й21*1 + fl22*2 + * * • + а2пхп == ^2 i (2) Gmixi +flz»2*2 + • • • + amnxn — или, в матричной форме, лх=в. (3) (aii ai2 Gin a2i a22 *•♦ G2n °'ml^m2 **• ^mn. Если B = Oi то система называется однородной, в противном случае она называется неоднородной. Решением системы (2) называется всякий л-компонентный вектор- столбец X, обращающий матричное уравнение (3) в равенство (соот- ветствующий решению X арифметический вектор х £ также будем называть решением системы (2)). Система называется совместной, если у нее существует по край- ней мере одно решение, в противном случае она называется несов- местной. Две системы называются эквивалентнымиj если множества их решений совпадают. Теорема Кронекера — Капелл и. Для того чтобы система (2) была совместной, Необходимо и достаточно, чтобы rang А = rang А (4) где у! = (Л | В)—расширенная матрица системы. Пусть rang А = rang Л = г, т. е. система совместна. Не ограни- чивая общности, будем считать, что базисный минор располагается в первых г (1 <; г min (m, п)) строках и столбцах матрицы Л. Отбросив последние т—г уравнений системы (2), запишем укорочен- ную систему: #11*1 + • ’ • +л1г*г + й!1, r+i*r + i + • • +<3in*n==^i> ............................................ (5) ^ri*i + • *» Л~аггхг~\гаг, r + i*r + i + • • • +<3rn*«==^r? которая эквивалентна исходной. Назовем неизвестные Xf, xr базисными, a xr+i, ..., хп свободными и перенесем слагаемые, содер- жащие свободные неизвестные, в правую часть уравнений (5). Полу- 139
чаем систему относительно базисных неизвестных: #11Л1 + • • • —ai, r + ixr + i— • • • —ainxn* ^г1х1Л~ • • • ~\~arrxr *——Or, r+lxr + l • • • —агпхп* которая для каждого набора значений свободных неизвестных xr+i = Cft ..., хп~сп-г имеет единственное решение (сь ... ,Ог-г)» хг (с!» сп-г)> находимое по правилу Крамера. Соответствующее решение укороченной, а следовательно, и исходной систем имеет вид Гх1 (с1> • • • > сп- г} сп-г / Формула (6),- выражающая произвольное решение системы в виде вс ктор-функции от п — г свободных неизвестныхназывается общим решением системы (2). Пример 2. Установить совместность и найти общее решение системы 2хх+ х2— хз—Зх4 = 2, 4xf 4~ Хз — 7x4 — 3, 2%2—Зх3 4~ х4 == 1, 2%i+Зх2 — 4х3—2х4 = 3. ◄ Выпишем основную и расширенную матрицы системы: /2 1: —1 —3\ * /2 1—1 —3 2\ 4 oi 1 —7 ] 4 0 1—73] б"2" —3 1 Г 02-3 1 1 г \2 3 —4 —2/ \2 3 —4 —2 3/ Так как rang А = rang А = 2 (проверьте!), то исходная система сов- местна. 12 11 4Q. Тогда неиз- вестные хь х2—базисные, x3t х4—свободные, а укороченная система имеет вид 2х4 Х2 = 2 -j- х3 Зх4,- 4xj = 3 — х3 4~ 7 х4. Полагая х8 = еп х4 = с2 и решая укороченную систему относительно базисных неизвестных, получаем 3 1,7 *1—~4~ 4-ci+’4’<;2‘ 1 , 3 1 ех-ус2. 140
Следовательно, общее, решение исходной системы имеет вид Исследовать совместность и найти общее решение сле- дующих систем: 3.204. _х —ИЗг/ = 1,_ 3.205. Ибх— 5t/ = j/5, К Зх— Зу = Из. х—5у = 5. 3.206. 2х— у+ г = —2, 3.207., х + 2у —4г = 1, х + 2у 4~3г =—1, 2x4- У—5? = —h х—3y—r2z=^ 3. х— у— 2 = —2. 3.208. 3.209. 3xt— 2х2—5х34- хл = 3, х1+ х2—6х3— 4х4 = 6, 2xj — Зх24~ >-3 + 5х4 = —3, Зха — х2—6х3— 4х4 — 2, X} 4” 2х2 —4х4 = —3, 2л'| -j- Зх2 4- 9х3 -4 2х4 = 6, xi— х2—4х34-9х4 = 22. Зх1 + 2х2 4-Зх3-|-8х4 —7. 3.210. 3.211. 2Xi -j- 7х2 + Зх3 4- *4 = 6, 3xt—5х2 4-2х3 + 4х4 = 2, 3xt 4-5х2 + 2х3 + 2х4 == 4, 7х±— 4х24- х34-Зх4 = 5, 9х1 + 4х24“ *34-7х4~2. Ъх1-\-7х2— 4х3— 6х4 = 3. 3.212. 3.213. 9хх — Зх2 + 5х34- 6х4= 4, Зх1 + 2х24-2х3 + 2х. = 2, 3х1 — 2х2 4 Зх3 4' 4х4 == 5, 2хх 4-Зх2 4-2х3 4-6х4 — 3, 3X1— х2-|-Зх3+14х4 = —8. 9хх4- х2-|-4х3 — 5х4 = I, 2х\ 4" 2х2 4- Зх3 4- 4х4 = 5, 7X14- х2 + 6х3— х4 —7. 3.214. Xi+ *2 4-Зх3— 2х44-Зх5==1, 2X14~ 2х2 “И 4х3 -— х4 4" Зх5 = 2, 3xi 4“ ^х2 4- &хз — 2х4 4- Зхб — 1, 2xi 2х2 4~ ^хз — Зх4 4" 9хб = 2. 3.215. 2xi— ^2+ ^з + 2х44- Зхб = 2, 6X1 — Зх2 4~ 2х3 4" 4х4 4- 6х5 3, 6xi—Зх2 + 4х3 4- 8х4 4-1 Зхб = 9, 4хх — 2х2 -|- х3 4- х4 -К 2хб = 1. 3.216. 12xi + 14х2— 15х3 4- 24х4 4- 27хб - 5, 16хх + 1 ^х2 — 22х3 -j- 29х4 + 37хб = 8, 18xi + 20х2 — 21х3 + 32х4 + 41 х6 = 9, 1 Oxi + 1 2х2 — 16х3 -j- 20х4 4- 23х5 = 4. 141
3.217. 24xi+1^x2 + 30x3 + 40x4 + 41х5-28, 36xi + 21х2 + 45х3 + 61х4 + 62хб = 43, 48xi + 28х2 + 60х3 + 82х4 + 83хб = 58. 60xi + 35х2 + 75х3 + 99х4 + 102х5 = 69. Исследовать совместность и найти общее решение в за- висимости от значения, параметра X: 3.218. 3.219. 5xi—Зх2 ~F 2х3 -j- 4х4 :==: 3, Zxi + х2 + х3 + х4 = 1, 4X1—2х2 + Зх3 —{— 7х4 = 1, Х-f + Хх2 *+ х3 + х4 = 1, 8xi—6х2— х3— 5х4 = 9, Xi+ x2 + Zx3+ х4=1, 7xi — Зх2 + 7х3 1 7х4 = А,, + х2 + х3 + Хх4 = 1. 3.220. 2X1— +>+Зх3+ 4х4= 5, 4xi — 2х2 + 5х3 + 6х4 = 7, 6xi—Зх2 + 7х3 + 8х4 = 9, Ахх — 4х2 + 9х3 + 10х4 = 11. 3.221. (1+А,)%1+ х2+ х3=1, ^1 + (1+^)^2+ ЛГ8=1, *1 + *2 T (1 4" Х3 — 1 • 3. Однородные системы. Однородная система АХ~О всегда сов- местна, так как имеет тривиальное решение Х = О. Для существо- вания нетривиального решения однородной системы необходимо и достаточно, чтобы r = rang?l < п (при т = п это условие означает, что detA = O). Пусть Q CZ К" — множество всех решений однородной системы. Всякий базис в множестве Q состоит из п—г векторов ег, ..., еп_г. Соответствующая ему в каноническом базисе (см. (4) из § 3) система вектор-столбцов Elt ..., Еп_г называется фундаментальной системой решений. Общее решение однородной системы имеет вид Х = С1£’1+ • • • Л~сп-гЕп- г> где Ci, сп~г— произвольные постоянные. Базисные решения Elf ..., Еп_г могут быть получены методом, изложенным в п. 2, если свободным неизвестным придавать пооче- редно значение 1, полагая остальные равными 0. Пример 3. Найти фундаментальную систему решений и общее решение следующей однородной системы уравнений: 3X1+ х2— 8x3 + 2x4+ х5 = 0, 2xi— 2х2— Зх3— 7х4 A-2xg == 0, Xi 11 х2 — 12х3 —|- 34х4—6x5 = 0, . Xi— 5х2+ 2х3—16x4 -J- ЗХ5= 0. Матрица коэффициентов /3 1 i — 8 / 2 —2 i — 3 I 1.ТТ —12 4—5 2 2 —7 34 — 16 1\ 2 ] —5 у 3/ 142
имеет ранг г = 2 (проверьте!). Выберем в качестве базисного минор Л42=|2 J # 0. Тогда укороченная система имеет вид х2 = 8х3—2х4— x6i 2%1 — 2х2 = Зх3 + ?х4—2xbi откуда, полагая x3 = Cf, х4==с2, *5 = сз» находим 19 3 . 1 7 , 25 1 х1 —---g' ci ^C2~*~2CSf х*----g"ci+"g"c2----2*Сз’ Общее решение системы X(clt с2, сз) = 19 3,1 ~ К*1” Сз 7 , 25 1 “’8С1+’8 С2~ 2С* Ci С2 Сз Из общего решения находим фундаментальную систему решений С использованием фундаментальной системы общее решение может быть записано в виде X (Cfj С2, Сз) =CiFi-f“^2^2 Ч“сз^’з* ► 3.222, Доказать, что всякая линейная комбинация решений однородной системы уравнений также является ее решением. Найти фундаментальную систему решений и общее решение следующих систем: 3.223. Х1 + 2х2— х3 = 0, 3.224. х4—2х2—Зх3 = 0, 2xi + 9*2—Зх3 == 0. —2^1 + 4*2 + 6*з = О» 8.225. Зхх + 2х2 + х3 = 0, 3.226. 2xi~ Зх2+ х3 = 0, 2xt + 5*2 + Зх3 == 0, *1+ *§ + *з = 0, 3xi + 4*i + 2*з = 0- 3*1—2х§ + 2х3 = 0. 143
3.227. • 3.228. %i + 2x2 + 4%з— 3x4 = 0, 2Xi—4x2 + 5x3 + Зх, =+, 3xi + 5x2 + 6x3— 4x4 = 0, 3x4 — 6x2 + 4x3 + 2x4 = 0, 4%1 + 5x2— 2x3 + 3x4 = 0, 4xx—8x2 + 17x3 + llx4 = O. 3x4 + 8x2 + 24x3— 19x4 = 0. 3.229. 3xr + 2x2 + x3 + 3x4 + 5x5 = 0, 6xf + 4x2 -j- 3x3 + 5x4 + 7x5 = 0, 9%i + 6x2 + 5x3 + 7x4 + 9x5 = 0, 3xi "4* 2x2 + 4x4 + 8x5 = 0. 3.230. x4 + x3 +* x5 = 0, x2 x4 +x6 = 0, Xj x2 + x6 x6 = 0, я2 + *з+ Xg = 0, 4 —*4 +*5 ^0- 3.231. 5Xj +6x2—2x3 + 7x4 + 4x5 = 0, 2xi ~F ^x2 — %з + 4x4 + 2x6 == 0, 7xj + 9x2—3xs + 5x4 + 6x5 = 0, 5xj + 9x2—3x3+ x4 + 6x5 = 0. 3.232. 3xi+ 4x2 + x3 + 2x4 + 3X5 = 0, 5xi—F 7x2 —j— x3 + 3x4 —|- 4x5 = 0, 4xf +" 5x2 ”F 2x3 —j- x4 +• 5xg 0, •* 7xi + 1 9x2 + x3 —j- 6x4 + ox5 = 0. 3.233* . Выяснить, образуют ли строки каждой из матриц /30 —24 43 Д =( 9 —15 8 \ 4 2 9 50 — 5\ 5 2), В = —20 —30/ 4 2 1 -11 .9 —15 9 —20 —3\ 2 13 4 ) 8 5 2/ фундаментальную систему решений для системы урав- нений 3x1 +^ 4х2 Ц- 2х3 + х^ -j- Oxg — 0, 5хг+9х§ + 7х3 + 4х4+ 7х5 = 0, 4%i + 3x2— х3— х4+11х5 = 0, х4 + 6х2 + 8х3 + 5х4 — 4х5 = 0. Определить значения параметра а, при которых система имеет нетривиальные решения, и найти эти решения: 3.234. tz2Xj + Зх2 + 2х3 = 0, 3.235. 2х4+ х^ + Зхэ —0, axj— х2+ х3 = 0, 4%i— х2 + 7х3 = 0, 8x1+ х2 + 4х3 = 0. Х1 + #х§ + 2х3==:0. Если задана неоднородная система АХ—В, то ее общее реше- ние, может быть найдено как сумма общего решения соответствующей однородной системы АХ —О и произвольного частного решения не- однородной системы. 144
Найти общие решения неоднородных систем, исполь- зуя -фундаментальную систему решений соответствующих однородных: 3.236. 2хх+ х2 — х3 — х4+ х5=1, xi~ xz + *з+ х4 — 2х5 —О, Зхг + Зх2— Зх3— Зх4 + 4х5 = 2, 4xt 4- 5а'2 — 5х3 — 5х4 4- 7х5 = 3. 3.237. 2х1 — 2х24~ х3 — х44- х5=1, Л| | ^Х2 '^3 —Н Х4 ^Х5 === > 4хг — 10х2 + 5х3 •— 5х4 4- 7х5 = 1, 2%! — 14х2 7х3 — 7х4 4- 11х5 == 1. 3.238. х4— х24~ хз — *4 + Лб—хв = ^ 2х4 2х2 4- 2х3 4- х4 х5 4~ = • 3.239. х4 4" 2х2 4~ Зх3 4- 4х4 4- 5х5 = О, хх— 2х2—Зх3— 4х4— 5х5 = 2, 2х3 4~ Зх3 4- 4х4 4- 5х5 = —1. 4. Метод последовательных исключений Жордана — Гаусса. С по- мощью элементарных преобразований над строками и перестановкой столбцов расширенная матрица системы (2) может быть приведена к виду 1 0 .., 0 r+i ... аиг 0 1 ... 0 П2> г+1 • • • а2П 0 0 ... 1 dr, r+i . . . drn 0 0 ... 0 0 ... 0 4 о ... о о ... о Ь1 &2 Ьг bf+A (7) Матрица (7) является расширенной матрицей системы +^1,- r+i#r+i4~ • • • Л~а^пхп = blt Xi +й2. r+i*r + i4 • • • ~\~аъпХп ~ bit 9 • • \...................., • * • \ (8) хг 4* Яг, г+1Хг + i 4- ... 4~ атХп ~ Ьп О = Ьг+а ? О — Которая с точностью до обозначения неизвестных эквивалентна ис- ходной системе. Если хотя бы одно из чисел Ь'г+г, ..., b'm отлично от нуля, то система (8), а следовательно, и исходная система (2) несовместны. Если же b'r+i~ ... =Z?m = 0, то система совместна и формулы (8) Дают по существу явное выражение для базисных неизвестных . хг через свободные неизвестные xr + ±t ..., хп. 145
Пример 4. Методом Жордана — Гаусса найти общее решение системы — 2%2 4“ Л*4 = —3, 3%i— л2— 2х3 =1, 2^1+ х2—2х3— х4 = 4, х4 -j- Зх2 — 2х9 — 2х4 = 7. Производя элементарные преобразования над строками расширен- нои матрицы^ пол уча /1—2 0 1 - / 3 —1 —2 0 Л“\2 1—2—1 \1 3 —2 —2 ем —3\ /1—2 0 1 1 \ /0 5—2—3 4 у Ч 0 5—2—3 7/ \0 5 —2 —3 1 0 0 0 — 3\ 10 1 10 1 10/ 0 ““4- “ТГ 5 5 1 5 5 0 0 0 0 0 0 1 2 0 о, Первые две строки матрицу системы последней матрицы составляют расширенную 4 1 «1—5-*8—у ЛГ4=1, х2 — ух3—g- х4 = 2, эквивалентной исходной. Считая х^ х2 базисными неизвестными, а хз и х4 свободными, получаем общее решение в виде Х(С1, . . 4 । 1 ч-у Cl+yc2 О I 2 I 3 2+~5С1+~5С2 Ci Методом Жордана — Гаусса исследовать совместность и найти общее решение следующих систем: 3.240. 3.241. xt + 2х2 + Зх3 + 4х4 = 0, Xf + х$ = 1, 7хх *4“ 1 4х2 20х3 Ц- 27х4 = 0, х± 4~ 4~ %з 4, 5хх 4~ Юх2 4~ 16х3 4“ 19х4 =—2, х2 4~ «Хз 4~ ^4. =—3, Зхх + 5х2 4- 6x3 4~ 1 Зх4 := 5. х3 4~ х4 4~ ^5 == 2, -£4 4~ «^5 1 • 3.242. 105%1 — 1 75х2— 315х3 4- 245х4 == 84, 90%! — 1 50х2—270х3 4- 210х4 = 72, 75хх — 1 25х2—225xs 4- 175х4 = 59. 146
3.243. 8а+12х2 = 20, 14^ + 21x2-35, 9х3+ 11х4 —О, 16х3 + 20х4 — О, 10х5 + 12хв — 22, 15х5+ 18х6 — 33. 3.244. 7х4 — 5х2 — 2х3— 4х4 —8, —Зх4 + 2х2 + Х3 + 2х4 — —3, 2xt— х2— х3— 2х4= I, — + х3 + 24х4 — 1, — +* %з + 2х4 == 3. § 5. Некоторые вычислительные задачи линейной алгебры 1. Операции над матрицами. В задачах 3.245 — 3.248 составить на фортране ука- занные подпрограммы. . 3.245. Подпрограмма сложения двух матриц размера тхп. Параметры: А, В, С, М, N, где А и В—двумер- ные массивы размерности MxN, содержащие исходные матрицы, С—двумерный массив размерности MxN для результирующей матрицы. 3.246. Подпрограмма умножения матрицы размера тхп на число а. Параметры: А, М, N, ALFA, где А — двумерный массив размерности Мх N, содержащий исход- ную матрицу перед обращением к подпрограмме и резуль- тат после выполнения вычислений, ALFA— а. 3.247. Подпрограмма перемножения двух матриц. Па- раметры: А, В, С, L, М, N, где А, В и С—двумерные массивы размерностей LxМ, MxN и LxN соответст- венно, содержащие исходные матрицы и результат. 3.248. Подпрограмма транспонирования квадратной матрицы. Параметры: А, М, где А—двумерный массив размерности МхМ с исходной матрицей в начале вы- числений и с результатом после вычислений. 3.249. Даны матрицы 1,6 3,2 О —1,6 3,2 1,6 —3,125\ 0 I 1,25 Р 0,625/ / 0,625 I 1,25 I 0,625 \—0,625 —3,125 0,625 0 —1,25 1,25 0 0,625 3,125. Найти АВ, ВА и АС. 147
3.250. Даны матрицы : /2,5 —1,25 3,75 —5 \ /2,8 6,4 3,6 1,8\ 4,125 —2,75 5,5 -4,125 \ _ [ 2 5,6 2,4 1 ] Л~~ I 8,125 —4,875 —3,25 1,625 А \ 1,2 3,2 3 1,2 Г \5,25 —5,25 —1,75 3,5 / \0,8 0,8 0,6 0,4/ Найти матрицы АВ, В А и 3.251. Используя подпрограммы, полученные в зада- чах 3.245—3.248, составить на фортране программу ре- шения задач 3.249—3.250, а также одной из задач 3.78 — 3.86 и 3.90—3.92. Метод обращения матрицы с помощью элементарных преобразо- ваний (рассмотренный в п. 2 § 2) может быть описан следующим образом: «11 «12- • • «1/2 ^11 Z?i2. < • • ^1/2 \ «21 «22* • *'«2/2 ^21 &22 • • ’ •&2;i j <«ni «/22 • • ‘ann bni ^n2* • ' •&ППJ 1 0.. • «ЦЛ+1* Ak) • *«ln «11 «12 * • • «1/2 0 1.. • ‘0 «^Л+1* Л(/г) • • «2/1 «21 »</?) «22 . .. . (Ze) « 2П 0 0.. 1 z»<*> • • 1 «Ze, k+l • • *«A?n «/?1 6Й... b(Z?) «/?n > . 0 0.. • «0 an> k+l^ Z1(A?) • ««/2/2 .(ft) «/21 b%... J ' 1 0.. ..0 . (П) «12 • • b^} . . . > 0 1.. ..0 b(H) «21 b^i.. An) • « 2П 40 0.. ,.1 Ь(П) «П1 bfl2 • • . (n) • «/2/2 где — единичная матрица, а элементы матриц МП и (МП связаны соотношениями (Ze-i) ’ k~l, 2, ..., п, / = /г-|-1, ./?, akk 2, ...» /z, / = 1, 2, ..., ц, akk /-I, 2.......«-I. '<+1.........«, akk / = n, а$ = ац;, /Л/г-1) ----2, .... k-1, k+l................................n, akk / = 1,2,..., л, b^ = bif. 148
3.252. Составить на фортране подпрограмму обращения матрицы методом элементарных преобразований. Пара- метры: А, В, N, где А. и В—двумерные массивы раз- мерности N х N с элементами исходной и обращенной матриц соответственно. Сохранение массива А после вы- числений не предусматривается. В задачах найти А”1: 3*253. А - 3.254. А = 3.255. А = 3.256. А = 3.253—3.256 для заданных / 0,24 0,84 0,68 0,88N / —0,84 , 0,24 —0,88 0,68 1 —0,68 0,88 0,24 —0,84 / • \—0,88 — 0,68 0,84 0,24/ /—0,96875 0,0625-. 0,125 0,25 / 0,0625 — 1,875 0,25 0,5 0,125 0,25 - -3,5 1 \ 0,25 0,5 1 -6 \ 0,5 1 2 4 /26,4 35,2 9,9 13,2\ / 44 61,6 16,5 23,1 « 1 16,5 22 6,6 8,8 i • \27;5 38,5 11 15,4/ /1,2 2,4 - _1,2 — 2,4\ / 3,6 9,6 0 — 4,8 1 2,4 2,4 - -4,8 —3,6 ; • \3,6 9,6 1,2 —7,2/ матриц А 0,5 1 2 4 —8 полученную в зада- 3.257. Используя подпрограмму, че 3.252, составить на фортране программу решения задач 3.253—3.256, а также одной из задач 3.114—3.117 и 3.121—3.126. При решении матричных уравнений в зада- чах 3.121—3.126 использовать подпрограмму задачи 3.248. 2. Вычисление определителей. Определитель А„ = аП «12 • • • «1п «22 • • • «2П * < «П2 • • • апп при ед О представим в виде А„ = ед 1 о ... о #21 „(1) „(1) —---- «22 • «2П «11 или Ап==ОД’Ап-£- [ап1 _(1) ^(1) —— аП2 • • • ипп а11 149
Элементы определителей Д„, Azi-f, Ль где &n-k — n{k) Ak) ak+l, /г + 1 • •• °Л + 1, п ЛЮ лю ап, /г+1 «•• апп связаны соотношениями (/г-1) (/г-1) ---l~(T~ij----3 f = ...5 П, j = k^l, n. akk ai] alj> &l~ann « и 5^ 0 при всех k для Дл-^+1 Ф 0. Поэтому а „(0) (1) _<fc-i> &П~аИ'а22 • •• G'kk ••• аПП • Если a(kk 1)==0, то следуетучитывая изменение знака, поменять местами первую и некоторую другую строки определителя так, чтобы левый верхний элемент, называемый ведущим* не был равен нулю. Для повышения точности вычислений ведущим элемен- том нужно выбирать наибольший по модулю из всех элементов пер- вого столбца каждого из определителей Дл_^ £ = 0, 1, п—2. Пример 1. Вычислить определитель 5 1—21 13 14 Д = —2 6 0 5 • 5 1 2 0 1 0 0 ( 2 А 0.2 2.8 1.4 3.8 У 1,4 3,8 Д —Б' —0,4 6,4 —0,8 5 4 =5. 6,4 ’ 0 —0,8 5,4 =з 4 —1 10 4—1 6,4 —0,8 5,4 1 0 0 <=—5. 2,8 1,4 3,8 = = —5*6,4. 0, 4375 1,75 1,4375 0 4—1 0 4 —1 = —5*6,4* 1,75 1,43751 _ . . 4 JL) |=5’6’4’ 4 —1 1,75 1,4375 1 0 I 0,4375 1,875 I =5.6,4-4. =5.6,4.4И, 875 = 240. 3.258. Составить на фортране подпрограмму-функцию вычисления определителя порядка п. Параметры- A, N, где А—двумерный массив размерности NxN. Вычислить определители’ 3.259. 1,6.8,1 1464,1 62,5 240,1 0,8 2,7 133,1 12,5 34,3 0,8 1,8 24,2 5 9,8 1 1,5 5,5 2,5 3,5 1,3 2,3 24,7 5,5 10,3 150
3.260. 5 7,5 17,5 2,5 22,5 3,2 —3,3 10,7 1,1 5,9 17,5 10 22,5 —2,5 27,5 - 8,7 4,4 8,9 —1,1 13,1 22,5 —10 27,5 2,5 32,5 6,9 —3,4 9,1 1,1 9,3 27,5 12,1 -12,5 —5,5 5 11,2 • 3.261. 2,15 1,14 1,23 1,48 1,05 4,3 1,712,873,7 2,73 6,45 2,85 4,51 5,92 4,41 4,3 —3,99 2,87 2,59 0,42 2,15 2,28 2,05 1,11 2,1 • 3.262. 1,697 1,5588 2,2361 1,3856 2,9394 4,1243 3,1623 —2,7713 3,7947 6,9714 5 1,9596 2,4 4,4091 3,1623 3,0984 • 3.263. 1,575 2,4 —0,5 —0,75 2,1 —2,4 1,5 1,2 1,75 —1,6 1,33 0,7 0,84 —0,96 0,5 0,36 • * 3.264. Используя подпрограмму-функцию, полученную в задаче 3.258, составить на фортране программу решения задач 3.259—3.263 и одной из задач 3.55—3.60. 3. Системы линейных уравнений. Метод Жордана—Гаус- са (см. п. 4 § 4) в случае системы и JI 11^ о 2, ..., п, , 0) заключается в последовательном исключении неизвестных, причем после исключения (k — 1)-го неизвестного остаются уравнения i = k,k+\......nt (2) /=/г -Где , “Г" ‘-°-............ akk aWh{k) ----, *<<»=6 1 ' < Точность вычислений увеличивается, когда ведущие элементы а%}г Имеют наибольший модуль в первом стрлбце матрицы системы (2). При k~n в системе (2) остается одно уравнение, из которого вычисляется хп. Этим завершается прямой ход вычислений. Обратный ход состоит в последовательном нахождении х^ по найденным ранее ...т хп, k~n — 1, п —2, • ••, 1. 151
Пример 2. Решить методом Жордана —Гаусса систему ура в. нений 5xj— *2“F" х3 = 9,13^ 2xj— х2—5х3 = 25, —*i + 4xa— Хз = 43. < Последовательно исключая х^ и х2 и выбирая ведущими элемен- тами наибольшие по модулю в соответствующих столбцах, получаем Xi—0,2х2 + 0,2х8 = 1,826 —0,6*2 + 4,6*3 = 21,348. 3,8*2—0,8*з == 44,826, *2—0,2105*э= 11,7963. 4,4737*3 = 28,4258, *i—0,2*2 + 0,2*з = 1,826, 3,8*2—0,8*з === 44,826, —0,6*2+4,6*з = 21,348, (*) *3 — 6,3540. Из уравнений, помеченных звездочкой, находим вначале *2= 13,1338, потом *1 = 3,1820. ► 3.265. Составить на фортране подпрограмму решения квадратной системы линейных уравнений методом Жор- дана— Гаусса. Параметры: А, В, N, где А—двумерный массив элементов матрицы системы, В—одномерный мас- сив, содержащий свободные члены до обращения к под- программе и решение системы после вычислений, N — по- рядок системы. Решить следующие системы линейных уравнений: 3.266. 3,2^+ 5,4*^ + 4,2*3 + 2,2*4 = 2,6, 2,1*1 + 3,2*2 + 3,1*з + 1,1*4 = 4,8, 1,2*1+ 0,4*2 — 0,8*з—0,8*4 = 3,6, 4,7*1+ 10,4*2+ 9,7*з+ 9,7*4 ==—8,4. 3.267. 6,087*!—3,913*2 + 7,547*3 + 1,734*4 = 3,21, 1,739*! + 0,869*2 + 1,887*з + 0,73*4 = 6,35, 2,174*1 —1,305*2+ 2,83*з +1,04*4 =1,5, 4,5 *! —1,305*2+1,887*з+ 0,541*4 = —1,27. 3.268. 2,67*1 + 5,1*2 +3,31*з+ 5,64*4+ 4,76*5 = 6,19, 4,44*1 + 7,5*2 +4,67*з+ 5,7 *4 + 6,14*б = 6,95, 5,33*i + 9,8*2 +8,67*з + 4,8*4 + 7,33*5 = 12,2, 3,56*1 + 5,3*2 Ж 4, 5*д + 3,69*4 3,25*5 = 5,97, 1,78*1 + 4,17*2 + 2,67*з + 4,69*4 + 3,75*б = 4,42. 3.269. Используя подпрограмму, полученную в задаче 3.265, составить на фортране программу решения одной из задач 3.266—3.268, 3.190—3.194, 3.198—3.203, 3.208, 3.209. 152
Метод ите р а н й. Если для системы (1) выполняются не- равенства 1«»1 > 2 «=Ь2, (?) i = 1 /*i\ то ее решение Х = ( . I удовлетворяет соотношению Х = lim Х(А), \ * J k <х> т. е. %/ = lim Xi , * = 1,- •••> я, где компоненты вектор-столбца Х(Л) Л -> со определяются равенствами х“ = ₽р Х,ЛИ, = ₽, + 2 а«=0, 1=1, 2t...,n, fe=0,l, J - 1 в которых Pi— bi/ац, — dijlan. Пример 3. Решить методом итераций систему 5%i + 0,12%2-f-0,09%3== 10, 0,08%!-{- 4%2—0,15%3 = 20, 0,18%! — 0,06%2+ 3%з = —4,5. Система удовлетворяет условиям (3), и на главной диагонали мат- рицы располагаются наибольшие по модулю элементы строки. При- ведем систему к нормальному виду: %1 = 2 —0,024%2—0,018%з, %2-= 5 —0,02%1 Н-0,03%з, х3~—1,5—0,06%! -|-0,02%2. / 2 \ Выберем нулевое приближение Х(0) = ( 5 J и найдем Х(1>, Х(2), Х<3>: xin= 2 -0,024-5—0,018-(—1,5) = 1,907,. х(2п= 5 —0,02 -24-0,03 -(—1,5) =4,915; 4W =—1,5 — 0,06 - 24-0,02 . 5 =—1,52; 2 — 0,024-4,915 — 0,018-(—1,52) = 1,90940,- 42,= 5 —0,02 -1,9074-0,03 .(—1,52) =4,91626, л-з2) =—1,5—0,06 -1,9074-0,02-4,915. =—1,51612; х<3>= 2 - 0,024-4,91626 — 0,018-(—1,51612) = 1,9092999, х^у= 5 — 0,02 .1,90940 4-0,03 .(—1,51612) = 4,9163284; хз8, =—1,5 —0,06 -1,90940 4-0,02 - 4,91626 =—1,5162388. Первые три знака после запятой в Х^2> и Х<3) одинаковы, поэтому 153
с точностью до 10решением системы является вектор / 1.909Х Х = 4,916). \_1,516/ 3.270. Составить на фортране подпрограмму решения линейной системы уравнений методом итераций. Пара- метры; А, В, X, N, EPS, где А—двумерный массив эле- ментов матрицы системы, В—одномерный массив, содер- жащий свободные члены, X—одномерный массив с реше- ниями системы, N—порядок системы, EPS—предельная абсолютная погрешность. Решить методом итераций системы: 3.27L 4,1*х + 0Д*2 + 0,2*3 + 0,2*4 = 21,14, 0,3*х + 5,3*2 + 0,9%3—0,1*4 = —17,82, 0,2*i + 0,3*2 + З,2*3 + 0,2*4 = 9,02, 0, l*i + 0,1*2 + 0,2*з — 9,1*4= 17,08. 3.272. 2,4*1+ 0,2*2—0,3*з— 1,1*4 + 5,8*5 = 23,84, 0,3*1 +0,1*2 + М*з + 10,2*1+ *5 = 38,85, 0,5*1—6,2*2+ 0,1*з + 1,5*4 —1,2*5 = 17,23, 0,1*1 + 2,1*2 + 5,1*з + 0,2*4—0,3*б= 6,56, 2,5*1 +0,1*2 4-0,2*з + 0,3*4+ 0,4*5= 6,63. 3.273. Используя подпрограмму, полученную в задаче 3.270, составить на фортране программу решения задач 3.271 и 3.272. .154
Глава 4 ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ § 1. Линейные пространства и пространства со скалярным произведением 1. Линейное пространство. Множество 36 называется линейным (векторным) пространством, если выполнены следующие условия: 1) В 36 введена операция сложения элементов, т. е VX$ У € определено отображение <х, уу —-> z € 36 (обозначение: z=x~\~y), обладающее следующими свойствами: la) + 16) (x+j)+^=x+(r+^); 1в) эО g 36 Vx g 36 (х + °=-^) (элемент 0 называется нулевы/лу, 1г) Ух g 36 3 (— х) € 36 (*+ (— х) — О) (элемент — х называется противоположным элементу х). 2) В 36 введена операция умножения элементов на действитель- ные (комплексные) числа, т. е. VX g R (X g С), Ух g 36 определено отображение <Х, х>—> у g 36 (обозначение: j = Xx), обладающее свойствами: 2а) Ьх=х; 26) X (рх) = (Хр) х. 3) Операции сложения элементов и умножения их на числа удовлетворяют законам дистрибутивности: За) X(x+j) = Xx+Xj; 36) (Х4-р)х = Хх-|-Р-*« Элементы линейного пространства называются векторами. Прост- ранство 36 называется действительным, если в 36 операция умно- жения векторов на число определена только для действительных чисел, и комплексным, если эта операция определена для комплекс- ных чисел. Проверить, что следующие множества являются линей- ными пространствами: ‘ 4.1. Множество всех геометрических векторов (операции над геометрическими векторами определены в § 1 гл. 2). 4.2. Множество R” всех арифметических и-компонент- ных векторов х=^(хь ..., х„) (операции над арифмети- ческими векторами определены в § 3 гл. 3). 155
4.3. Множество всех многочленов /?(/) = а„_1Р~1+ •.. +а1Н-«о степени —1 с естественным образом введенными one- рациями сложения многочленов и умножения их на числа. 4.4. Множество Cltft Ь] всех функций f(Z), непрерыв- ных на отрезке [а, &], с естественным образом введен- ными операциями сложения функций и умножения их на числа. 4.5. Множество <МтлП всех матриц размера тхп (опе- рации над матрицами определены в § 2 гл. 3). Выяснить, являются ли следующие множества линей- ными пространствами: 4.6. Множество Т3! всех геометрических векторов, коллинеарных фиксированной прямой. 4.7. Множество всех геометрических векторов, исходя- щих из начала координат, концы которых лежат на фи- ксированной прямой. 4.8. Множество всех геометрических векторов, удов- летворяющих условию | х| > а, где а > 0—фиксированное число. 4.9. Множество всех сходящихся последовательностей. 4.10. Множество всех расходящихся Последовательно- стей. 4.11. Множество всех функций, интегрируемых на отрезке [а, Ь]. 4.12. Множество всех преобразований поворота трех- мерного пространства геометрических векторов вокруг фиксированной оси. Система векторов {х^, ..., xs]c:<£ называется линейно зави- симой, если найдутся числа ..., не равные одновременно нулю и такие, что XxXi+... 4-Х(£х5 = 0; в противном случае эта система называется линейно независимой. Пусть Q а Зв—произвольное множество векторов линейного про- странства. Упорядоченная система векторов 53 = (#i, ..., назы- вается базисом в Q, если: a) g & = 2, ..., $; б) система = линейно независима; в) для любого xgQ найдутся такие числа xi, ...» xs> что S Я = Xk&k* (0 k=a 1 Формула (1) называется разложением вектора х по базису 53. Коэффициенты хь ..., xs однозначно определяются вектором х и называются координатами этого вектора в базисе 53- Если множество Q CZ Зв обладает базисами, то все они состоят из одинакового числа векторов, называемого рангом Q (и обозначае- те
мого rangQ). В частности, если все пространство имеет базис, то оно называется конечномерным и обозначается где п = dim X — число векторов в любом базисе, называемое размерностью простран- ства. В противном случае пространство называется бесконечно- мерным. Пусть X п—произвольное л-мерное- пространство, 23 = (^, ... ...» еп)—фиксированный базис в нем. Тогда всякому вектору х£<%?п взаимно однозначно соответствует столбец его координат в этом базисе: (ХА * I хп/ При этом линейные операции над векторами в координатной форме выглядят следующим образом: = = X + Пусть 23 = (£?i, ..., еп) и 23' = (*?ь ..., е'г)—два различных базиса в Жп. Каждый из векторов базиса 53х разложим по базису %: • j, k = 1, 2, ..., п. ink/ Матрицей матрица перехода Tsq^sq, от базиса £3 к базису 23' называет я /%Т ••• tin ^->23'= ( • * • • • \ • • • ^пп Zj-й столбец которой есть столбец* Еь координат вектора ek в базисе 23. Если х—произвольный вектор из X и X'—столбцы его коор- динат в базисах 23 и 23' соответственно, то имеет место равенство = <2) (формула преобразования координат при преобразо- вании базиса). Пример 1. Найти координаты геометрического вектора Х—/ + 2/ + Л в базисе 23% состоящем из векторов e2t=jr\-k, е'з — i + k. < Выпишем координаты векторов еъ в исходном базисе « = (Л У, /1\ /0\ /1\ Е[ = [ 1 ), £2=1 1 I, Ез=[ 0 ). \0/ \1/ \1/ 1'57
1 Отсюда матрица перехода имеет вид /1 0 1\ ~( 1 1 0 )• \0 1 1/ Обращая матрицу Т%_^, и используя формулу (2), находим . / 1 1 —1\ /—1\ / 0\ x'=(7’s->8')_1A=4-(-1 I 1)( 2 )=( 2), \ 1-1 1/\ 1/ \-Г1 т. е. x = 2ez—ез- & 4.13. Пусть Q—произвольная система векторов из S. Подсистема {ех, ..., eJczQ называется максимальной линейно независимой подсистемой b'Q, если ...» ej—‘ линейно независимая система и всякая расширенная си- стема elf ..., es, х, где х—произвольный вектор из Q, линейно зависима. Доказать, что всякий базис в Q есть максимальная линейно независимая подсистема в Q, и наоборот. 4.14. Если заданы произвольные k векторов xv ...» xk> то из них можно построить не более k линейно незави- симых комбинаций. Используя этот результат, доказать: если 33 и 33'—два различных базиса в системе Q, то они состоят из одинакового числа векторов (т. е. имеет смысл понятие ранга системы Q). 4.15. В пространстве заданы векторы Доказать, что система 33' = (e'lt е£)— базис в и написать матрицу перехода где 33= (#1 = /, e2=j\ e3 = k). Найти координаты вектора x = i — 2j-\-2k в ба- зисе 33'. Пусть 33 = (Z, У, k) и 53' = (Z', у', k')—прямоугольные базисы в 7'V В задачах 4.16—4.18 найти матрицу пере- хода и выписать столбец координат вектора х = 1—2J-\-k в базисе 33'. 4.16. Базис 53' получен изменением на противополож- ное направление всех трех базисных ортов 33. 4.17. Базис 53' получен перестановкой Z' =У, j'~k, k' = i. 4.18. Базис 33' получен поворотом базиса 33 на угол ср вокруг орта L 4.19. Найти ранг и какой-нибудь базис системы гео- метрических векторов = —I + 2У, x2 = 2i—j+k, х3=^ x4=3Z—зу+fe. 158
4.20. В пространстве R4 заданы векторы ej = (l, 2, -1, —2), ^ = (2, 3, 0, —1), е; = (1, 2, 1, 4), е;=(1, 3, — 1, 0). Доказать, что система S3' = (ej, е'^ ei)—базис в R4, и написать матрицу перехода где 33—кано- нический базис в R4 (см. § 3 гл. 3). Найти координаты вектора х = (7, 14, —1, 2) в базисе 53'. 4.21. Доказать, что система арифметических векторов А-р, 2, 0, 4), х2 = (—1, 0, 5, 1), х3 = (1, 6, 10, 14) линейно зависима, и написать какое-нибудь нетривиаль- ное соотношение вида + Л2х2 4-Х3х3 = 0.. Найти ранг и все базисы этой системы. 4.22. Доказать, что система матриц вида 0 0 0 ... 0) о .. о .. о .. 0 .. 0 0 0 0,1 0 ООО ООО .. О .. о .. о .. о; а, а== 1, ... , иг, р=1. .... п ₽ образует базис в пространстве <Мт^ п всех матриц размера тхп, и, следовательно, Чему равны ко- ординаты произвольной матрицы А = (аи) € п в этом базисе? 4.23. Доказать, что система многочленов 1, /, /2, ... ..., образует базис в пространстве всех много- членов степени —1 и, следовательно, dim^„ = n (этот базис называется каноническим).. Найти координаты: а) многочлена — 3Z2 -}-1 в каноническом базисе про- странства ^3; б) многочлена /2—2/ в каноническом базисе простран- ства 4.24. Доказать, что система многочленов /3 + ^2 + ^+Ь /24-/4-1, /4*1, 1 линейно независима. 4.25. Доказать, что система многочленов /24~ 1, —/24~2/, /2— t образует базис в пространстве <^3. Выписать в этом базисе столбец координат многочлена —2/24~/—1. 4.26. Доказать, что при произвольном /0 система мно- гочленов 1, t — /0, (/ —/0)% ...» (t — Q"“1 образует ба- зис в 3*п. 4.27. Найти матрицу перехода от канонического базиса 1, /, /2, ..., /"~1 к базису 1, t—/0, (/ — /0)2, ..., (/ — /о)""1 в 3>п. 4.28. Найти координаты многочлена /2—/4-2 в базисе 1, / —1, (/—I)2. 159
4.29. Доказать, что пространство всех многочленов бесконечномерно. Вывести отсюда, что пространство функций /(/), непрерывных на отрезке [а, Ь], также бес- конечномерно. В задачах 4.30—4.34 в произвольном пространстве п векторы , е'п и х заданы своими координатами в некотором базисе 93. Доказать, что система 53' = (eJ, ... ..., е'п)—базис в и найти столбец X' координат век- тора х в этом базисе. /1\ /1\ / 6\ 4.30. E[ = I ), £; = ( 1 ), £;= 2), Х = 9 . \1/ " \2/ \3/ \14/ 4.33. X = (J). /1\ /0\ / —1 \ /1\ 4.34. Е'гЦ 0 ), £; = ( i ), \-i ), Х = ( Г I \0/ W ' \ 1/ \1/ 4.35. Доказать следующие утверждения: а) матрица перехода всегда невырождена, и б) если ftu ... \/ni ... inn' — невырожденная матрица и 23 = (е±, ..., еп)—некоторый базис в пространстве п, то система векторов = + 1 = 1, 2, .... nt также образует базис в п. 4.36. Доказать, что если 33, 33' и 93"—базисы в Sп. то справедливо матричное равенство ТSQ-^SQ" — • Т£'->$3".
В задачах 4.37, 4.38 в произвольном пространстве 3 п векторы е2, ..., еп и е[, е'ъ, е'п заданы своими координатами в некотором базисе. Требуется доказать, что системы 33 — (е^, ..., е„) и 33' = (ei, ..., е„)—базисы в 3п, и, используя результаты задач 4.35 и 4.36, напи- сать матрицу перехода Т^яу. /1 \ /2\ /3\ 4.37. Ei=-(A Ё2=М ), £’з = ( 7 ); \1/ \3/ \1/ /3\’ /5\ / Ц Пусть и <£"—два действительных (или комплексных) линей- ных пространства. Отображение ф: пространства £ на пространство Зв9 называется изоморфизмом, если: а) ф взаимно однозначно; б) ф(Хх) = Хф(х) и Ф (х-О) =ф.(*)+ф (J)J Для любых х, и для любого числа %. Если существует изоморфизм на то пространства и называются изоморфными'. Зв сз Зв'. В задачах 4.39—4.41 х) установить, является ли изо- морфизмом заданное отображение ^д на R3. 4.39. cp{xi + yj + zk) = (2x—у, г, x-\-y-\-z). 4.40. q>(xl\-yJ~-\-zk) = (x-f- у—1, 2г, Зг/). 4.41. <р (xi4-yj4-zk) = (х + у, —y+2z, х4-2г/—2г). 4.42. Отображение <р: З'п —* R" произвольного прост- ранства Зп на пространство R" арифметических векто- ров имеет вид - f °Ai • • • «1п\ <р (х,е4 4-... +Хпеп) = (хи ..., х„)1 ...... , \«Л1 • • • О-пп / * 6 х) Для обозначения координат геометрических векторов в прямо- угольном базисе (/, j, k) условимся в этой главе использовать строч- 1 «Lie буквы х, у-, z, в отличие от прописных букв, используемых в главе 2, так как здесь прописными буквами мы обозначаем вектор- I столбцы. а 6 Под ред. А. В. Ефимова, Б. II. Демидовича t61
где 33 = (en ..., еп) — некоторый баЗие в а А = (а^) — невырожденная матрица порядка и. Доказать, что это отображение—изоморфизм и, следовательно, что <3? п !Rn. 4.43. Доказать, что множество всех комплексных чисел с обычным сложением и умножением на действительные числа образует действительное пространство, изоморфное пространству R2. Написать матрицу перехода от базиса 53 = (1, 0 к базису Э3' = (1+Л —0 в этом пространстве, и для числа —2 + 31 написать разложение по базису 33'. 2. Подпространства и линейные многообразия. Подпространством линейного пространства называется такое подмножество X' С2 которое обладает свойствами: а) х, у х —р.Р \ б) х^^£‘ => Кх^З' для всякого числа %. Если — некоторое подпространство в то множество век- торов -\-х0 = {х£<£ | х = х' +х0, для некоторого xQ^X} называется линейным многообразием, полученным сдвигом подпрост- ранства бв' на вектор х0. 4.44. Доказать, что всякое подпространство £’ ли- нейного пространства 2? также является линейным про- странством (при этом dim J?'=< dim JR). В задачах 4.45—4.49 требуется установить, являются ли заданные множества подпространствами в соответст- вующих пространствах. В случае положительного ответа найти их размерность. 4.45. Множество всех геометрических векторов из а) компланарных фиксированной плоскости; б) удовлетворяющих условию (х, а) =0, где а — фикси- рованный вектор; в) удовлетворяющих условию |ж|=1. 4.46. Множество всех векторов из вида: а) х = (0, х2, 0, х4, хб, ..., х„); б) Х==(1, х2, 1, х4, хъ, 4.47* . Множество всех векторов произвольного про- странства 2 п> координаты которых в фиксированном ба- зисе удовлетворяют условиям: а) = б) Xi + x2+...= 0; в) х± —х2=1; г) anXi+ ... +а1пхп^ 0, или, в матричной форме, ЛХ = 0, где Л—заданная ма- трица размера тхп, 4.48. Множество всех матриц А порядка и, удовлет- воряющих условиям: 162
a) A^==A (симметричные матрицы); 6) det А = О, 4.49. Множество всех функций f (/) g С[а, (см. зада- Е чу 4.4), удовлетворяющих условиям: а) /(^о)~О для некоторого /оё[А &]; б) /(М = 1 для некоторого /0(Е[а, &]; в) /(0 = ^Z2_i^”1+• • •+^i^ + ^o> т. е. /(0—многочлен степени не выше п—1. Пусть Q — произвольная система векторов из линейного прост- ранства eSf. Линейной оболочкой системы Q называется множество векторов / ^(Q) = {x|x = XiXi + ...+Ms> •••> 4.50. Доказать, что, а) =2^ (Q) — подпространство в 3\ б) dim J? (Q) = rangQ, причем в качестве базиса в 3 (Q) можно взять любой базис системы Q. 4.51. Найти размерность линейной оболочки 3 (хп х2) арифметических векторов Х! = (1, 0, 2; —1), х2 = (0, —1, 2, 0). Показать, что вектор х== (1, —1, 4, —1) принад- лежит 3 (xt, лг2). Найти размерность и какой-нибудь базис линейной оболочки заданной системы арифметических векторов: 4.52. х3 = (1, 0, 0, —1), х2=(2, 1, 1, 0), х3=(1, 1, 1, 1), лг4 = (1, 2, 3, 4), х5 = (0, 1, 2, 3). 4.53. хх-(1, 1, 1, 1,0), лг2 = (1, 1, —1, —1, —1), ж3 = (2, 2, 0, 0, —1), лг4 == (1, 1, 5, 5, 2), хб-(1, —1, —1, о, 0). 4.54* . Показать, что линейная оболочка системы мно- гочленов —3£2—1, 2/2-Н, — t совпадаете пространст- вом 5% всех многочленов степени <12. Пусть V—произвольная система геометрических векторов. Гео- метрическим образом системы V назовем множество точек, являю- щихся концами векторов из V, при условии, что все векторы исходят из начала координат. 4.55. Написать уравнение геометрического образа ли- нейной оболочки 3(a) и многообразия 3 (а) + Ь, если а = — 2i+J—k и & = 2i —J, 4.56. Написать уравнение геометрического образа ли- нейной оболочки 3 (ап а2) и многообразия 3 (alt а2)+Ь, если a^ — i+J+k* a2 = 2J—k и b = i±k. 4.57. Задана система уравнений: *1+ а:2—Зх3— х4+ хб=1, Зх4 х2 ф- х3 -4- 4х4 —р 3xg — 4, х4—5х2—9х3—8х4+ х5*=0. 6* 163
а) Доказать, что множество решений этой системы есть линейное многообразие в пространстве RL б) Сдвигом какого пространства получается это линей- ное многообразие? Найти ранг и какой-нибудь базис этого п одп р остра нства. в) Найти какой-нибудь вектор сдвига. 3. Пространства со скалярным произведением. Действительное линейное пространство <§ называется евклидовым пространством, если каждой паре векторов х и у из $ поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое символом (х, д/) и называемое скалярным произведением векторов х и у, причем выполнены следую- щие условия: 1) (х, У) = (У> х); 2) (Xi + х2, Д') = (Xi; Д') + (х2, Д'); 3) (Хх, д') = X (х, у), XgR; 4) (х, х)^0, причем (х, х) = 0£Фх = 0. Длиной вектора х называется число |х| = К(Х, X). Вектор х, длина которого равна единице, называется нормированным. Для любых векторов х, у евклидова пространства справедливо неравен ст во Коши — Буняковского |(Х, J)|2<(X, £)(у, у), которое позволяет следующим образом определить угол между нену- левыми векторами: (х, у) COS (0 = -----г~; т I v I - I «г Ненулевые векторы х, У^$ называются ортогональными, если (х, Д') = 0. Базис = ...» еп) л-мерного евклидова пространства $п называется ортонормированным, если / \ я ( О, 'V Л (eb ₽y) = 6/y=j b .J’ Если в пространстве <§п задан произвольный базис (/ь /2, ..., /л), то векторы Л-1 ek=fk— 2 «ь *=2, 3, (Ь_1) ei) , х где cy —1--------т > образуют ортогональный базис в этом простран- Xеii ei) стве (процесс ортогонализации Шмидта). Комплексное линейное пространство 9/ называется унитарным, если каждой паре векторов х, у из поставлено в соответствие комплексное число, обозначаемое символом (х, Д') и называемое ска- лярным произведением векторов х и д', причем выполнены следую- щие условия: _____ 1) (х, ^)==(J, х); 2) (xi + x2, J) = (xi, дО + (х2, Д')? 164
3) (Xx, j) = X(x, j/), /vgC; 4) (x, x)^0, причем (x, x) = O<=>x = O. В унитарном пространстве не определяется угол между векто- рами. Однако все остальные определения и результаты, сформулиро- ванные выше для евклидова пространства, остаются справедливыми и для унитарного пространства. Евклидовы и унитарные пространства в дальнейшем называются пространством со скалярным произведением. 4.58. Доказать следующие свойства скалярного про- изведения унитарного пространства: а) (х, Ji+^) = (x, Jx) + (x, j2); б) (х, %у) = 2i(x, уу в) (Xj—х3, j) = (xn у) — (х2, у); г) (х, 0) = 0. 4.59. Доказать, что базис 33 = (ех-» ..., еп) в унитар- ном пространстве (Un является ортонормированным в том и только в том случае, когда выполнено любое из сле- дующих условий: а) если x^x^+...J-х^ и у^у^-у ... + упеп, ТО (х, У) = х1у1 + ... + хпуп\ б) если х^х^-у.. »+хпеп, то xfe=(x, eky k== 1, ..., и. 4.60. Доказать, что любая система попарно ортого- нальных векторов линейно независима. 4.61. Пользуясь, неравенством Коши—Буняковского, доказать следующие неравенства треугольника: а) \х+У <|х| + И; | - б) ||х|— 4.62. а) Доказать, что в пространстве IR" формула (ж, J) = X1i/1+ ••• +хпуп, где x=(Xf, ..., х„) и J = Q/i, .уп), задает скалярное произведение (получаемое евклидово пространство ариф- метических векторов в дальнейшем будем также обозна- чать символом Rn). б) Показать, что в евклидовом пространстве R" кано- нический базис (см. § 3 гл. 3) является ортонормиро- ванным. в) Написать неравенство Коши—Буняковского для евклидова пространства г) Написать неравенства треугольника в евклидовом пространстве КЛ. 4.63. Пусть x^=(xit х3) и у = (уъ ^ — произвольные векторы арифметического пространства R*. Показать, что скалярное произведение в R2 можно определить следую- щими способами;’ 165
а) (*> У) = ^1У1 + ^2У^ б) U, У) = Х1У1 + Х1У2 + Х2У1 + Х*У2- Вычислить скалярное произведение векторов лг= (1, —2) и_у = (5, 1) каждым из указанных способов. 4.64. Доказать, что в пространстве 3*п многочленов степени —1 скалярное произведение многочленов p(t) = aQ + a1t+ ... и 9(/)==&o + ^+...+/?n-1p-i можно определить способами: а) (р, = + ••• б) (р, q) = 2 P(h) iu • • •> tn— произвольные по- парно различные действительные числа. Вычислить скалярное произведение многочленов р (/) = = 1 + t 4- /2 и q(t) = t — 2/2 + 3/3 каждым из указанных способов (/1 = 4), если в случае б) t1 = —2, t2 = — 1, t3 = 1, /4 = 2. 4.65. а) Доказать, что в пространстве С[а, bj соотно- шение ь (Л g) = 5 f (о g (о dt а ч задает скалярное произведение. б) Написать неравенство Коши—Буняковского для этого пространства. в) Написать неравенства треугольника для этого про- ст ранен ва. Применить процесс ортогонализации к следующим системам векторов евклидова пространства R* (см. зада- чу 4.62): 4.66. Л = (1, -2, 2), /2 == (-1,0, -1), /3 = (5, -3, —7). Полагаем — (1, —-2, 2). Вектор е2 ищем в виде е2 — — Так как (/’2, ^i) = —3, (*?i, *?i) = 9, то С11)==(Л> £iWi> <?i)= = —1/3. Следовательно, e2 = (~2/3, —2/3, —1/3). Наконец, вектор ез находим в виде следующей линейной комбинации: е3~/3—c^ej — — d2}e2. Вычисляя скалярные произведения (/3, #i) = —3, (/3, е2)~ 1, (^2,^2) = К находим значения коэффициентов 42) = (/3, ^i)/(^i, #i) = = —1/3, <?22) = (/з, ^г)/(^2, ^г) = 1 • Следовательно, ~ (6, —3. —6). > 4.67. Д^(1, 1, 1, 1), /2МЗ, 3, -1, -1), /3^(-2, О, 6, 8). .166
4.68. = (1, 2, 1, 3), Л = (4, 1, 1, 1). /8 = (3, 1, 1, 0). 4.69. /, = (1, 2, 2, -1), /2 = (1, 1, -5, 3), /8 = (3, 2, 8, -7). 4.70* . /, = (2, 1, 3, -1), /2 = (7, 4, 3, -3), /3 = (1, 1, -6, 0), /4 = (5, 7, 7, 8). Применяя процесс ортогонализации, построить ' орто- гональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов в евклидовом пространстве tRn: 4.71. Д = (1, 2, 2, —1), /2 = (1, 1, —5, 3), /З = (3, 2, . 8, —7). 4.72. А = (2, 1, 3, -1), /2 = (7, 4, 3, -3), Д = (1, 1, -6, 0), Л = (5, 7, 7, 8). Проверить ортогональность следующих систем векто- ров в евклидовом пространстве R" и дополнить их до ортогональных базисов: 4.73* . е1 = (1, —2, 1, 3), е2 = (2, 1, —3, 1). 4.74. е1 = (1, 1, 1, 1, 1), е2 = (1, 0, 0, 1, —2), е, = (2, 1,—1,0,2). 4.75. е1 = (2/3, 1/3, 2/3), е2 = (1/3, 2/3, -т-2/3). 4.76. е( = (1, 1, 1, 2), е2 = (1, 2, 3, —3). 4.77. Пусть L—линейное подпространство в <£п. До- казать, что: а) любой вектор х С <§п однозначно представим в виде X—y+z, где у С L и z ортогонален к L (у называется ортогональной проекцией вектора х на L, a z—ортого- нальной составляющей х относительно L); 1г б) если 23=(вр .... ek)—базис L, то у=2 с{е{, где коэф- 1= 1 фициенты q, 2, однозначно находятся из системы уравнений k 2 (е/> ^^ = (6/, х), /=1, 2, i— 1 a z = x — у. Используя результат задачи 4.77, найти ортогональ- ную проекцию у и ортогональную составляющую z век- тора х на линейное подпространство L евклидова прост- ранства 4.78. х = (—3, 5, 9, 3), L натянуто на векторы: ег{ — (1, 1, 1, 1), е2 = (2, —1, 1, 1), е3 = (2, —7, —1, —1). 4.79. х=(4, —1, —3, 4), L натянуто на векторы: ei==(l, 1, 1, 1), е2 = (1, 2, 2, —1), е3 = (1, 0, 0, 3). 4.80. х=(5, 2, —2, 2), L натянуто на векторы: = = (2, 1, 1, -1), е2=(1, 1, 3, 0), е3 = (1, 2, 8, 1). 167
4.81. Доказать, что в действительном евклидовом про- странстве справедлива теорема Пифагора, а также ей обратная: два вектора хну ортогональны тогда и только тогда, когда |х—у |2 = | лг |2 Д-|2. 4.82* . Доказать, что теорема Пифагора остается спра- ведливой и в унитарном пространстве: если векторы х и у ортогональны, то |х—у |2 = | х |2+ |у |2. Показать вместе с тем, что обратное к теореме Пифагора утвер- ждение в этом случае неверно. § 2. Линейные операторы 1. Алгебра линейных операторов. Линейным оператором в ли- нейном пространстве называется всякое отображение А: 35 —> 35 пространства 35 в себя, обладающее свойствами A(2ix) = XAx и A (x+j) = АхД Ау. Пусть А — линейный оператор в конечномерном пространстве 35 ц и 53 = (tff, •••, еп)— некоторый фиксированный базис. Разложим векторы Ае^, k~\, ...» п, по базису 53: Ае^~а^е^-\-.,,Арап^еп> А==1, •••, п. Тогда матрица (а11 «12 • • • «1л\ «21 «22 • • • «2л | ani • • • «л Л/ называется матрицей оператора А в базисе Матрицу оператора А будем иногда обозначать также символом [А] или [AJsg, если суще- ственно, о каком базисе идет речь. Заданием матрицы оператор определяется однозначно, а именно: если у = Ах, то Y = AX, где X, / — столбцы координат векторов х, у и А —матрица оператора А в базисе 53* Пусть А и А' — матрицы оператора А в базисах 53 и 53\ а Т = Т<$ jgz — матрица перехода от базиса 53 к базису 53'. Тогда формула преобразования матрицы оператора при преобразовании ба- зиса имеет вид = (1) Пример 1. В базисе 53=^(/,J, к) написать матрицу оператора проектирования Ра на плоскость a: x + # + z = 0. Оператор проектирования на плоскость а определяется равенст- вом Рах = х«, где ха—ортогональная проекция вектора х на пло- скость а. Имеем Ра х=х—хп — X—Прпх- п ТйТ =х |«|2 л, 168
где п—нормальный вектор плоскости <z. В рассматриваемом случае — щ следовательно^ „ . . 1 2 _ 1 . 1 Pai=i—^n=^ 1 12 1 PaJ =J—i- П = - i+~j-4 k, О QUO 1 1-12 раА=*-4«=-4/-4/+4й, о О О <5 откуда / 2/3 —1/3 —1/3\ Ра==( -1/3 2/3 —1/3). > \—1/3 —1/3 2/3/ Над линейными операторами^ действующими в фиксированном пространстве вводятся следующие операции: а) сложение операторов: (А -[-/?) х~ Ах-\- Вх\ при этом [Л-р/?] = = А Ч~ В\ б) умножение операторов на числа: (ХЛ) х = Х (Лх); при этом [ХЛ]=ЛЛ; в) умножение операторов: (АВ) х~ Л (Вх)\ при этом |Л^5] = АВ. Обратным к оператору Л называется оператор Л"*1 такощ что ЛЛ”1 = Л~М ==£, где Е—единичный операторj реализующий тож- дественное отображение. Оператор Л имеет обратный (и в этом слу- чае называется невырожденным) в том и только в том случае^- когда его матрица А невырождена (в любом базисе); при этом [Л~А] = В задачах 4.83 — 4.89 установить, какие из заданных отображений пространства 5Р8 в себя являются линей- ными операторами; выписать их матрицы в прямоуголь- ном базисе 23 = (f, J, k)t 4.83. Ах=Лх, X—фиксированное число. 4.84. Ах = hx+ a, X и а фиксированы. 4.85. Лх = (х, е)е, где е—заданный единичный век- тор. Выяснить геометрический смысл этого отображения. 4.86. Ах —[а, х], а—фиксированный вектор. 4.87. Ах = (а, х)х, а — фиксированный вектор. 4.88* *. U ф) — отображение, состоящее в повороте на угол ф вокруг оси, задаваемой единичным вектором е. 4.89. Если x = xi-\-yj -\-zk> то Ах = (у + z) i + (2х + г\]+(Зх—у 4- z) k. В задачах 4.90—4.95 установить, какие из заданных отображений пространства арифметических векторов R3 в себя являются линейными операторами; выписать их матрицы в каноническом базисе. 4.90. Ах '==z (х2 ~Ь -^з» х8, ЗХ|—х2 Ч~ ^з)* 4.91. Ах^\х±, х>+Ь *з + 2). 4.92. Лх=(0, х2—х3, 0). 4.93f t Ах =: (Xf -р -j- 2xg, —Зх2 Ч- х^ 2х^ -J~ Зх8). 169
4.94. Лх = (Зх1 + *2> xt—2х2—х3, Зх2 + 2х8). 4.95. Ах = (ЗХ14~5х3, Xj + Xg+l, Зх2—6х8). В пространстве R3 заданы два линейных оператора А и В. Найти матрицу [С] линейного оператора С = — АВ—ВА и его явный вид в каноническом базисе R3: 4.96. Ах = (2х2, —2X1 + Зх2 + 2х3, 4xi—х2 + 5х3), Вх — (—3xi + x3, 2х2 + х3, —х2 + Зх3). ◄ Так как = (0, —2, 4), Л<?2 = (2, 3, — 1), Ае3 = (0, 2, 5) и Bei = = (—3, 0, 0), &-2 = (0, 2, —1), Я08 = (1, 1, 3), то А==\ ( 0 —2 \ 4 2 0\ /—3 0 1\ 3 2), В=( 0 2 1). —1 57 \ 0 —1 3/ Далее,- 0 4 2\ / 4 —7 5 АВ = ^ 6 4 7), ВЛ=( 0 5 9 —12 —7 18/ \14 —6 13 Поэтому / — 4 11 —3\ [С] = АВ—ВА=( 6 —1 — 2 ) \ — 26 —1 Ь/ По определению матрицы линейного оператора в каноническом базисе Кл ее столбцы являются наборами компонент образов базис- ных векторов, т. е. ^ = (—4, 6,—26), С^2 = (11, —1, —1), С£?з = (—3, —2, 5). Отсюда находим: Сх~С (xi^i + x2e2-p хз^з) = X]Cei-}- х^Се^-^- х$Сез = = (—4х14-11х2—Зх3, 6%! — х2— 2х3, —26x1 — х2+бх3). > 4.97. Ах = (7%! + 4х3, 4х2— 9х3, Зл^ + х,), Вх = (х2—-6х3, Зл^ + Тхз, х1-|-х2—х3). 4.98. Лх = (2х!—х2 + 5х3, Xi + 4x2 —х3, Зхх— 5х24-2х3), Вх = {х1-\-Ах2^Зх3. 2^1+ %3, Зх2—х3). 4.99. Ах = (Зх^Хз—2х3, Зхт—2х2+4х3, —3%i+5x2—х3), Bx=^(2x1 + %2, *i + *2 + 2x3, —%! + 2х2 4-х3) .• 4.100. Ах = (3хх + х2-рх3, 2x14-xJ +2х3, Xi + 2x24-3x3), Вх (%! х2 х3, 2%|—х2 —х3, %i —|- х2). В задачах 4.101—4.105 найти матрицы указанных линейных операторов А, действующих в пространстве в базисе S3' из задачи 4.18. 4.101. Ах = [«, лг], а — фиксированный вектор. Пусть a~aii-j~a2J-{-a3k. Тогда матрица линейного оператора А в базисе 33 — (it J, k) имеет вид (см. задачу 4.86): / 0 — а3 ц2\ а3 0 —а±\. \-~а2 at 0 J 170
Матрица перехода из базиса 55 в базис 53' была найдена в за- даче 4.18: /10 9 \ = ( 0 cos ф — sin ф ). \0 sin <р cos ф/ Так как /1 0 0 \ 7^^^, = (0 cos ф sin ф L \0 —sin ф cos ф/ .то, используя формулу (1), находим [AJsg/ = 53' • [Л]$в * Tsq sg, — /1 0 0 \ / 0 —«з я2\ /1 0 0 \ — I 0 cos ф —sin ф ) I аз 0 —) ( 0 cos ф sin ф ) == \0 sin ф cos ф7 \—а2 at 0 / \0 —sin ф cos ф/ (О т-аз cos ф 4-^2 sin Ф а3 sin ф^2 cos ф\ аз cos ф — а2 sin ф 0 —а$ ). —а3Б1пф—а2 cos ф at О J 4.102. Лх = Ах, %—фиксированное число. 4.103. Лх=(ж, е)е, где е—заданный единичный ,век- тор. 4.104. Ах~(а> х)х, а—фиксированный вектор. 4.105. Л = £7(е, ф0) из задачи 4.88^ Ф0 = 4» cosa = о == COSp = COS V = . 4.106. В SА задан линейный оператор А, матрица которого в некотором базисе 23 = е2, е3> е4) равна Найти матрицу этого оператора в базисах! а) ^з» ^2, ^4); б) 23'= (#1, 4- ^2> ^1 + ^а + ^з> + ез + ^4)» 4.107. В заданы два базиса- 23'| ^1 = 8^—6^4-7£3, ^2 = —16^14-7^ — 13^3, = 9^1—Зв24“7<?з, e^et—2#а4-£а, е;-=3^ —^а4-2е3, e'^2ei + e2+ 2е3. Найти матрицу оператора А в базисе 23", если его -рица в базисе имеет вид / i —18 15\ А' —1 —22 20\ \ 1 —25 22/ мат- 171.
4.108. В пространстве оператор А в базисе 33'i е[ — gi + 2е£ 62 = 261 + 862 имеет матрицу Опера- тор В в базисе S3"- e'i = 3e1 + e2, б2=4б1 + 2в2 имеет мат- рицу Q g). Найти матрицу оператора А + В в базисе 83". 4.109. Пусть р (/) = ап_^п-:1+•...+а£/ + а0—некото- рый многочлен и А—линейный оператор. Рассмотрим оператор р(Л), определяемый равенством р (Л) = ап_1Ап~1 + ... + atA + а0Е. Найти матрицу оператора р(Л), если р(0 = 3/2—2^ + 5, ;__________________________________2\ 2 —4/’ 4.110. В пространстве S\ задан линейный оператор дифференцирования D = Найти матрицу этого опера- тора в базисе: а) 1, /, /2, ..., tn~l- Ч 1. ....W./.ек. Доказать операторное равенство О (О—нулевой опе- ратор: Ох = 0). 4.111. В пространстве задано отображение 1 Ap(fy= J К (t, т) р (т) dx, о где К (Z, т)—многочлен от двух переменных, степень ко- торого по t не превосходит 3. Доказать, что А—линей- ный оператор в 5\.; найти его матрицу в базисе 1, /, t2, Is для случая, когда К (f, т) = / + т. 4.112. В пространстве задано отображение •ЛАР-(0 = />•(* +Л). где h — некоторое фиксированное число. Доказать, что Ak—линейный оператор, и найти его матрицу в базисе 1, Л 1\ 1\ 4.113. В пространстве функций, дифференцируемых на всей оси, заданы оператор дифференцирования D — и оператор А = еи умножения на функцию еи. Проверить равенство DA—AD = KA^ 172
В задачах 4.114—4.119 требуется установить, какие из заданных линейных операторов в ^3 являются невы- рожденными, и найти для них явный вид обратных опе- раторов (е—фиксированный вектор единичной длины, а x = xi + yj-\-zk). 4.114. Ах^'кх, X—фиксированное число. 4.115. а) Лх = (х, е)е\ б) Ах = [е, х]. 4.116. а) Ах = х— (х, е)е; б)* Ах = х—2 (х, е) в. 4.117. Ах = (у + г) i + (2х + г) j + (Зх—у + ?) k. 4.118. Ах = 2zi + (х—z) (2х + 3г) й. 4.119. A=U(e, <р)—оператор поворота на угол ср вокруг оси, заданной вектором е. Установить, какие из заданных линейных операторов в R8 являются невырожденными, и найти явный вид об- ратных операторов: 4.120. Лх = (хг—х2 + хз> х^. 4.121. Ах = (ха4-2хз, —х2, 2х2—х3). 4.122. Ах = (х1 + 2х2 + 2х3, 2х1-|-х2—2%3, 2хг—2х2Н-х3). Множество Т А всех векторов Ах, х^Х, называется образом опе- ратора А. Множество NA всех векторов х£ X, для которых Ах~0, называется ядром оператора А. Образ и ядро линейного оператора являются подпространствами в X. При этом размерность образа rA = (\mTА называется рангом, а размерность ядра nA — dmNA— дефектом оператора Л. Справедливо равенство гА-}-пА ==п, где п — размерность пространства X. 4.123. Описать образ и ядро следующих линейных операторов, действующих в пространстве а) Лх = (х, е) е, |е| = 1; б) Лх = [х, а], а=£0. 4.124. Описать образ и ядро оператора .дифференци- рования D, действующего в пространстве В задачах 4.125—4.127 для указанных линейных опе- раторов, действующих в пространстве R3, определить ранг и дефект, а также найти базисы образа и ядра. 4.125. Ах = (х1 + 2х2 + х3, х1 —х3, %t + x2). <2 Для представления арифметических векторов и заданного линей- ного оператора воспользуемся каноническим базисом в R3. В этом базисе матрица оператора имеет вид /1 2 1\ Л = ( 1 О’— 1). \1 1 о/ 173‘
По определению У^ТА в том и только в том случае, когда найдется вектор xg такой, что у = Ах, или, в координатной записи, /12 1\/*1\ ,'1\ /2\ / 1\ Y — АХ = 1 1 0 —1 j ( х2 1 6 /+Л'3( —1 )* (2) \1 1 О/ \х3/ Х1 / \1 / \ о/ Равенство (2) означает, что образ ТА совпадает с линейной обо- лочкой системы столбцов матрицы А. Следовательно, ранг опера- тора А совпадает с рангом его матрицы, т. е. равен двум, а в каче- стве базиса ТА может быть выбран любой из базисов системы столб- цов матрицы Л, например /1\ /2ч Et = [ 1 ), Е2 = { 0 ). \1/ \1/ Аналогично x£N А в том и только в том случае, когда Ах = 0, или, в координатной записи, /1 2 АХ=( 1 О \1 1 1\ /*1\ — 1 П Х2 ) О/ \х3/ /Оч ( ° ). \0/ (3) Отсюда следует, что ядро NА совпадает с подпространством решений однородной системы (3), т. е. дефект оператора А равен пА~п—тА = = 3—2—1, а в качестве базиса в NA может быть выбрана фунда- / 1ч ментальная система решений системы (3), например, Е = [ —1 ). \ 1/ 4.126. Лх = (2х1—х2—х3, — 2х24~х3, Хх + ^2 — 2х3). 4.127. Лх = (%1 + л:2 + х3, xt + x2 + x3, х^х^ + Хз). 4.128. Доказать, что оператор А невырожденный тогда и только тогда, когда его дефект равен нулю, а, следо- вательно, ранг совпадает, с размерностью пространства. 2. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора. Пусть число X и вектор х£ Jf, х # О, таковы, что Ах = Хх. (4) Тогда число X называется собственным числом линейного оператора 4, а вектор х—собственным вектором этого оператора, соответствую- щим собственному числу К. В конечномерном пространстве векторное равенство (4) экви- валентно матричному равенству (А— 1Е)Х^0, Х=АО. (5) Отсюда следует, что число X есть собственное число оператора А в том и только в том случае, когда det (А — ХЕ)==0, т. е. X есть корень многочлена p(X) = det(A— ХЕ), называемого характеристи- ческим многочленом оператора А. Столбец координат X любого соб- ственного вектора, соответствующего собственному числу X, есть некоторое нетривиальное решение г^нородной системы (5).. 174
Пример 2. Найти собственные числа и собственные векторы оператора Роху проектирования на плоскость Оху в пространстве ^д. < 1) Геометрическое решение. Равенство Р0ХуХ = 'кх, х Ф О, озна- чает, что ортогональная проекция вектора х на плоскость Оху кол- линеарна самому вектору х. Но это возможно лишь в двух случаях. а) Вектор х 0 компланарен плоскости Оху. Для всех таких векторов PoxyX — х, т. е. все они являются собственными векторами оператора Роху, соответствующими собственному числу Xi = 1. б) Вектор х 0 ортогонален плоскости Оху. Для всех таких векторов РОхух — Ъ = Ъ'Х, т. е. все они являются собственными век- торами оператора Роху, соответствующими собственному числу Х2 = 0. В итоге заключаем, что оператор Роху имеет два собственных числа: Xi = l и Х2 = 0. Соответствующие им собственные векторы: Х! = Г. х(Л1)=х* + у/, х(Л1) О, Х2 = 0: = zk, 2) Аналитическое' решение. Матрица оператора Роху в прямо- угольном базисе ^3 = (г, /, k) имеет вид /1 0 0\ Р==[ 0 10). \о о о/ .Характеристическое уравнение: det (Р — КЕ) ~ 1-Л О 0 = — Z(1 —Х)2 = 0, 1—X 0 откуда Xi=l и Х2 = 0—собственные числа оператора. Найдем собственные векторы, соответствующие собственному числу Х1=1. При Х=1 система (5) принимает вид /00 °\/х\ /°\ 0 0 -0 V у W 0 ). \0 0 — \J\zJ \0/ Фундаментальная система решений: /1\ /0\ £*!=( 0 ), £2 = ( 1 V \0/ \о/ а общее решение: /х\ хЕг+уЕ2 = ( у ). \0/ Отсюда, заключаем, что собственные векторы, соответствующие собст- венному числу Хх—1, имеют вид х(Х1) ~xi+yj, где х и у—произвольные числа, не равные одновременно нулю, Аналогично рассматривается случай Х2 = 0. При этом получим где z—произвольное число, отличное от нуля. 175
В задачах 4.129 — 4.133 найти собственные числа и соб- ственные векторы операторов в ^3. Решить эти задачи геометрически, т. е. в инвариантной форме, не связанной с выбором какого-либо базиса в (см. пример 2, гео- метрическое решение). После этого в задачах 4.129—4.131 провести аналитическое решение. 4.129. Ах = ах, а—фиксированное число. 4.130. Ах=(х, 1)1—оператор проектирования на ось Ох. 4.131. Ах>=[1, х]. 4.132. A = U(e9 <р)—оператор поворота на угол ф вок- руг оси, заданной вектором е. 4.133. Ах = х-—2(х, е)е—оператор зеркального отра- жения в-плоскости с нормальным вектором е. В задачах 4.134—4.143 найти собственные числа и соб- ственные векторы линейных операторов, заданных своими матрицами. ( 2 - -1 2\ /0 1 °\ 4.134. А=( 5 - -3 3 ). 4.135. А=( -4 4 0 ) 4-1 0 - -2/ \—2 1 2/ ^4 —5 2\ / 1 ~3 3\ 4.136. А=( 5 —7 3 ). 4.137. А = [ -2 -6 13 ). ^6 —9 4/ \—1 —4 8/ <1 —3 4\ / 7 —12 6\ 4.138. А=( 4 —7 8 )• , 4.139. Д = ( 10 -19 10 Л 46 —7 7/ \12 —24 13/ ( Г 0 0\ /2 6 —15 4.140. А=( 1 2 4.141. 4-11-5 1 0 1/ \1 2 — 6 (Л —3 1 \ 7 0 ~ -1 4.142. 3 —3 —1 ). 4.143. А=[ 1 1 - кз —5 1 / \—1 - -1 °\ 2 ] 0/ 4.144. В пространстве геометрических векторов на плоскости задан оператор поворота £7(ф) на угол 0^ф<2л вокруг начала координат. Проверить (геометрически и аналитически), что при ф^О, л этот оператор не имеет собственных чисел. Этот пример показывает, что линей- _ный оператор в действительном пространстве может не иметь собственных чисел (и собственных векторов). 4.145. В комплексном пространстве оператор А == = А (ф) задан матрицей coscp —sin ср sin ф cos ф О^ф < 2л. 176
Найти его собственные числа и собственные векторы. Сравнить полученные результаты с результатами задачи 4.144. . 4.146* . Пусть оператор Л, действующий в комплексном пространстве S? п, задан в некотором базисе матрицей с действительными элементами. Доказать, что: а) если К—собственное число, то X—также собствен- ное число; ’ б) если —столбец ^координат собственного век- тора, соответствующего собственному числу X, то — столбец координат собственного вектора, соответствую- щего собственному числу X. 4.147* . В комплексном пространстве найти собст- венные числа и собственные векторы линейного оператора, заданного вещественной матрицей / 4 —5 7\ А=[ 1-4 9). \—4 0 5/ 4.148. Показать, что если х—собственный вектор опе- ратора Л, соответствующий собственному числу %, - то он является собственным вектором оператора р(Л) = = + - • • + ахЛ+-а0Е, соответствующим собствен- ному числу p(Z). 4.149. Доказать, что: а) оператор А имеет обратный в том и только в том случае, когда он не имеет нулевых собственных чисел; б) если оператор Л имеет обратный, то Л и Л"*1 имеют одни и те же собственные векторы. Как связаны между собой собственные числа этих операторов? 3. Линейные операторы в пространствах со скалярным произве- дением. Пусть А — линейный оператор, действующий в пространстве со скалярным произведением (х, >). Линейный оператор А* назы- вается сопряженным к оператору А, если для любых векторов х, у выполняется равенство (Ах, ^)==(х, А*у). Для всякого оператора А сопряженный оператор А* существует и единствен. Если оператор А в ортонормированном базисе имеет матрицу Л = (а/у), то сопряженный оператор А* в том же базисе имеет матрицу А*==(а^/), где (матрица А* называется сопря- женной к матрице А). В частном случае евклидова пространства А* = ДТ. - 177
Пример 3. Линейный оператор Д: #з—в базисе 53' =» = е'^ е'^ имеет матрицу /\ 1 3\ =( 0 5 —1 ) t ‘ \2 7 —3/ Известно, что е' = е1 + 2е2 + ^з, =^i +^2 + 2^3, ^3 = ^1+ ^2 и базис 53 = (в1, е2, &з) ортонормирован. Найти, матрицу сопряженного оператора Д* в базисе 53'. < Так как базис 53х не ортонормирован (проверьте!), то, чтобы вос- пользоваться утверждением о связи матриц операторов А и Д*, необ- ходимо найти матрицу [Д]^. Имеем /1 i 1\ /—2 2 0\ = 1 1/» Лз'^ —==’о" ( 1 1 \1 1 07 \ 3 —1 -1/ следовательно, /2 —3 7\ / 2 6 6\ = 6 —4 6), [Д*]5В=( —3 —4 5j. \6 —5 5/ \ 7 6 5/ Отсюда окончательно получаем: /—36 -37 — 15х 30 30 14 . е> \ 26 27 9/ 4.150. Доказать, что операция * перехода от опера- тора А к сопряженному Л* обладает следующими свойст- вами: а) (4*)* = Д. Запишем цепочку равенств, верных для любых векторов х и у, (Дх, j) = (x, А*у)~(А*у, x)==(yi (Д*)* х) = ((Д*)*х, у) = ((Д*)*х,у), т. е. (Дх, J/) — ((Д*)*х, JO* Отсюда, в силу произвольности векторов х, у, получаем Д = (Д*)* (показать подробнее!). > б) (Л + В)*=Л^+В*; в) (ЛВ)* = В*Л*; г)(аЛ)* = аЛ*; д) (Л~*)* = (Л*)~Х, если А невырожден. Линейный оператор А в базисе 83' =(е19 ...» е'п) имеет матрицу А. Найти матрицу сопряженного оператора Л* в том же базисе 33', если векторы е\, ..., ёп заданы столб- цами своих координат в некотором ортонормированием базисе 33 —(еп ..., eZ2): 4.15L Л = 0 J), E;=(J), «-(!)• /1 1 3\ /1\ /1\ /1\ 4.152. Л=(° 5 -1 ), £;= 2 ), £'=( 1 ), 1 ). \2 7 —3/ \1 / \2/ \0/ 178
/\ 1 1\ 2 JU /1\ /0\ 4.153. А = 18 8^ , . Ei= 1 , £2= 1 \1 82 8 / \1 / * \1 / /1\ £з= 1 . \0/ В пространстве многочленов задано скалярное про- изведение (А £) = <*(&) +«А+«2^2- (6) где f (/) = tz0 + «1Z + a2Z2, g(0 = A) + ^ + ^2- Найти мат- рицы оператора дифференцирования D = ^ и сопряжен- ного оператора D* в базисе 23: 4.154. $В = (1г— If, Г—1, y/2 + TZ)' 4.155. Я3 = (1, t, 4<2—§-)• 4.156. Найти сопряженный оператор для поворота евк- лидовой плоскости на угол а вокруг начала координат против часовой стрелки. 4.157. Пусть Оху—декартова прямоугольная система координат на плоскости и А—оператор проектирования на ось Ох параллельно прямой /: ах-\-Ьу = 0 (а=^0). Найти матрицу сопряженного оператора А*. 4.158. Пусть Оху—декартова прямоугольная система координат на плоскости и А—оператор отражения точек плоскости относительно прямой /: ax-\-by=^Q. Найти мат- рицу оператора А*. Понятие сопряженного оператора может быть использовано при исследовании совместности неоднородной системы линейных уравне- ний. Пусть АХ~В— матричная запись такой системы, причем т — п. Тогда X и В—столбцы координат соответствующих арифметических векторов в каноническом базисе евклидова пространства а квад- ратной матрице А в этом же базисе соответствует некоторый линей- ный оператор A: R"—> К". Система А*Х = О, где А* — матрица сопря- женного оператора Л* в каноническом базисе, называется сопря- женной однородной системой. Верна следующая теорема Фредгольма: для того чтобы система АХ = В была совместна, необходимо и достаточно, чтобы вектор-столбец В был ортогонален ко всем решениям сопряженной однородной системы. 4.159* *. Доказать теорему Фредгольма. Используя теорему Фредгольма, исследовать совмест- ность следующих систем линейных уравнений: 179
4.160. 3Xi + 2x2 4~ хз = — 1, lxr 6x2 + 5x3 = 5, * 5xx —j— 4a2 H" <зл3 — 2. 4.162. 2xtA~ x2— 2x3=l, Ai 2x2 4~ Xg = 1, -- 2Л'Х-|- A2 + Ag=l. 4.164*. Доказать альтерь либо система АХ ~ В совместна i либо сопряженная однородная 4.161. ах 4- х2 4- х3 = 0, %i 4 х% 4- хз ~ 11 Xi4-x2 + a3- —1. 4.163. хх 4- х2 4- х3 1 > Х1 + Х2 4- Х3 = Ь Х1 + Х2 + Х3 ~ 1 • ативу Фредгольма: ри любой правой части В, система А *Х = 0 имеет ненулевые решения. 4.165. Какие из систем линейных уравнений, указан- ных в задачах 4.160—4.163, совместны при любой правой части? Линейный оператор // в пространстве со скалярным произведе- нием называется самосопряженным, если И=Н*. Самосопряженный оператор в унитарном (евклидовом) пространстве называется также эрмитовым (симметричным). Для того чтобы оператор 4 был эрми- товым (симметричным), необходимо и достаточно, чтобы в любом ортонормированном базисе его матрица A~(aij) удовлетворяла соот- ношению (ctij^aji). Такие матрицы называются эрмитовыми (симмет ричными). Линейный оператор U в унитарном .(евклидовом) пространстве называется унитарным (ортогональным), если UU* = U*U—E, т. е. U* = U~\ Для того чтобы оператор А был унитарным (ортогональным) необходимо и достаточно, чтобы в. любом ортонормированном базисе его матрица А — (а^) удовлетворяла соотношению = (Л~1=4Т). Такие матрицы называются унитарными (ортогональ- ными). 4.166. Доказать следующие свойства самосопряженного оператора: а) собственные числа действительны; б) собственные векторы, соответствующие различным собственным числам, ортогональны. ,4.167. Доказать следующие свойства унитарного опера- тора: а) собственные числа по модулю равны единице; б) для того чтобы линейный оператор был унитарным, необходимо и достаточно, чтобы он переводил ортонорми- рованный базис снова в ортонормированный базис; в) унитарный оператор сохраняет скалярное произве- дение; г) унитарный оператор сохраняет длины векторов. 4.168. Показать, что в пространстве ^3 следующие операторы являются симметричными: 180,
а) Ах 7.x, К—фиксированное число; б) Ах = (х, е)е, |е| — 1; в) Ах = х—(х, ё)е, |е| = 1. 4.169. Показать, что в пространстве многочленов 5% со скалярным произведением (6) следующие операторы явля- ются симметричными: а)/(о—Г(—0; = 4.170. Показать, что в пространстве оператор U(е? ф) • поворота на угол ф вокруг оси, заданной единичным вектором е (см. задачу 4.88), является ортогональным. 4.171. Показать, что операторы задачи 4.168 являются ортогональными. 4. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Если оператор А, действующий в пространстве $п, имеет п линейно независимых собственных векторов elf е2, ..., еп, соотвеТст- I вующих собственным числам 12, ..., то в базисе из этих век- торов, матрица оператора А имеет диагональный вид Аг 0\ / Х2 I (7) 0 Пример 4. Привести матрицу А линейного оператора к диаго- нальному виду и найти соответствующйй базис, если 1 0 —2 °\ О ). —1/ 2 2 —2 А = ◄ Характеристическое уравнение det (А—Х£) = 1— К О —2 2 1 2—Z —2 о о —1— % ==(Х —2) (1 — V)=0 имеет корни Xf — 2, = 1, %з =—1- Следовательно,-: матрица может быть, приведена к диагональному виду. Находим соответствующие Собственные векторы. При К = 2 система (5) принимает вид: /—1 (А—2Е)Х~( 0 \—2 2 0\ /Xi\ 0 0 х2 —2 —3/. \%3 / 0\ ° h .0/ или —— Xj —J— 2х2 — 9,- —2xi—2х2—Зх3 = 0. 181 •
Фундаментальная система решений состоит из одного вектора Е1 == = (2, 1, — 2)т. Аналогично, при Х=1 система (5) принимает вид: Из этой системы находим второй собственный вектор Е2~(1,0>—1)т« Наконец, при X — — 1 из системы / 2 20\/т /0\ , (Д + £)Х= 0 30 х2 )= 0 И или X1T*2Zn’ \—2—2 0/\х3/ \0/ находим третий собственный вектор £8 = (0, 0, I)"'". Найденные векторы £1; Е%, Ез образуют искомый базис, в кото- ром матрица А линейного преобразования имеет следующий диаго- нальный вид: 2 0 0\ 0 1 О ). 0 0 — 1/ В задачах 4.172—4.179 выяснить, какие из заданных мат- риц линейных операторов можно диагонализировать пере- ходом к новому базису. Найти этот базис и соответст- вующую ему диагональную форму матрицы. 4.172. /11 2 3\ 4.173. / -0 1 0 0\ / 0 2 2 4) /00101 I 0 0 1 — 2 у • I 000 11’ \0 0 0 2/ \—6 I 7 —1/ 4.174. /1 1 1\ 4.175. /2—1 2\ 111) . ( 5—3 3 ). \1 1 1/ \-1 0 —2/ 4.176. /1/2 0 1/2\ 4.177. /-1 3 —1\ 0 10). 1 —з 5 — 1 1. \1/2 0 1/2/ V—3 3 1/ 4.178. /1 1 1 1\ 4.179. /0 0 0 1\ / 1 1—1—11 /00101 11—1 1—1/' loioob \1 —1 —1 1/ \1 О О О/ 4.180*. Вычислить Ат, если! * а) = (о г) ’ б) л==(з- г)* Вычислить: 4.181. /17 -6\» 4.182. /4 3 -3\ в 1^35 —12/ ’ 2 3 —2 ). \4 4 —3/ Матрица А самосопряженного оператора .всегда приводится к диагональному виду. При этом, используя понятие унитарного опе- 132.
ратора, ее можно представить в виде A = UDU-\ где U — матрица унитарного оператора, осуществляющего переход от исходного базиса к базису из собственных векторов оператора А, а D—диагональная матрица вида (7). Найти ортонормированный базис из собственных век- торов и матрицу в этом базисе для линейного оператора, . заданного в некотором ортонормированном базисе матри- цей А (искомый базис определен неоднозначно): /112 — 8\ * / 17 —8 4\ 4.183. А=\ 2 2 10). 4.184. Д=(—8 17-4). \—8 10 5/ \ 4 —4 11/ /3 — г 0\ /1 i 2\ 4.185. A=(i 3 0). 4.186. 112). \0 0 4/ \2 2 4/ Для данной матрицы А найти диагональную матрицу D и унитарную (ортогональную) матрицу U такие, что A — UDU"1: 4.1S7. Л = (22и 2+2‘). 4.188. Л = (22, 2f). / 1 4« 0\ 4.189. А= -4i 10). \ 0 .. 0 1/ / 3 2 0\ /22 —2\ 4.190. Л=(-2 4—2). 4.191. Л=( 2 5-4). \ 0 —2 5/ \—2 —4 5/ § 3. Билинейные и квадратичные формы 1. Линейные формы. Говорят, что в действительном линейном пространстве задана линейная форма, если каждому вектору х£Х поставлено в соответствие число f(x), причем выполнены условия f(x+y)=f (x)4-f(j), х,у^Х, f(kx)=lf(x), x£X, XgR. Доказать, что в пространстве J? функция f(x), является линейной формой: ь 4.192. f(x) = \x(t)dt, ^^С[а,Ь], x = x(.t)-, а 4.193. /(х)=х(/0), =2’ = C[Oif)], x=x(t), tg^ [а, 6]; 4.194. f(x) = (x, а), ^’ = Тэз, —фиксирован- ный вектор. 4.195. f(x) = abx, = '7/эз> «> фиксирован- ные векторы. * Ш
4.196. /(х)= У (Q, ^ = C^6]) х = х(/), t^\a, b}. 4.197. Пусть в пространстве £ фиксирован базис 23 = (ef, ..., е„). Пусть, далее, f(ei) = ai, 1=1,2, ...,п, где f(x)—линейная форма в jf. а) Доказать, что f (х) = а1х1 +... +апхп) где xif ... ..., хп — координаты вектора х в базисе 23. б) Обозначим множество линейных форм /(х), в котором введены операции сложения и умножения на число следующим образом: g = /i + /2. если Vxgjg7 (^(х) = Л (х) + /2(х)); h = Kf, если Vx£J?(h(x) = А/(х)). Доказать, что <S*—линейное пространство. ‘ в) Доказать, что = n (пространство назы- вается сопряженным к пространству J?)- 4.198. Доказать, что: а) если xgRZ2, х~(хг, .... хп), то формула f(x) определяет линейную форму; б) всякую не равную тождественно нулю линейную форму / (х), х € R22, надлежащим выбором базиса можно привести к виду /(х)=хп где —первая координата вектора х в этом базисе. * . 2. Билинейные формы. Числовая функция А (х, у)'. —> R, заданная на действительном линейном пространстве называется билинейной формой, если при фиксированном у она является линей- ной формой no jc, а при фиксированном х—линейной формой по у, Билинейная форма называется симметрической, если А (х, j) = А (у, х', х, у' g Если в пространстве, фиксирован некоторый базис 53 —е^, то матрица A а^~ А (е/, €j), называется матрицей билинейной формы А (х, у) в базисе 53. Доказать, что в пространстве S функция А (х, у) является билинейной формой: 4.199. А (х, у) = h (х) /2 (у), где flt f2—линейные фор- мы в J?7.. ь ъ 4.200. Л (х, 5 (s,t) x(s)y(i)dsdt,rj\e^=C[at^9 а а х = х (/) € С[а, ьр у = у (t) g Cl0, t], К (s, 0—некоторая не- прерывная функция двух переменных. 4.201. А (х, j)== 2 aijxiVj> где ^=К", х, _y€R", i, j - 1 А = (аиу—некоторая матрица. 4.202. Пусть в пространстве п фиксирован базис 23 —(^i, ...» еп), А (х, у)—билинейная форма в и А (е^ Доказать, чтоз 184
a) A (x, y) = 2 atjx^j, где xt, yp i, / = 1, 2, ..., n,~ i, j = 1 В координаты векторов x и у в базисе .-23; б) если А' = (a'ij)—матрица билинейной формы А (х,у) в базисе 23' = (ei, е„), то А' =ТГАТ, гдеТ = Та->»— •матрица перехода от базиса 23 к базису 23'. Пусть в пространстве R3 задана билинейная форма I А(х, у). Найти ее матрицу в базисе 23 = (ей е2, е8), если: 4.203. А(х, y) = x1yi + 2x2y2 + 3xay3, ^ = (1, 1, 1), г е2 = (1, 1, —1), е8 = (1, —1, —1); 4.204. А(х, J') = x1z/2 + x2i/3 + x8z/i, 0, 0), е2= |=(1, 1, 0), е8 = (1, 1, 1). !В пространстве IRn задана билинейная форма А (х, у) в базисе 29. Найти ее,матрицу в базисе 23', если: 4.205. n = 4, А(х, y)~xiyi + xttysA-xsyi,. ,Р /1—1 1-1 | \i -I -1 1/ I , 4.206. п = 2, Л (х, y) = x1y1 + x1y2 + x2yi—xyj2, К = _J) • 4.207. Доказать, что скалярное произведение (лг, у) в евклидовом пространстве S является билинейной формой. 3. Квадратичные формы. Пусть А (х, J)—симметрическая били-’ . нейная форма. Форма А (х, х), которая получается из А (х, j), если В. положить J = x, называется квадратичной. 'При этом Л (х, J) назы- квается билинейной формой, полярной к квадратичной форме Л (х, х). Если в действительном линейном пространстве фиксирован г некоторый базис ® = (^ь ..., <?й), то Квадратичная форма Л(х,х) в этом базисе имеет вид п А (X, Х)= 2 aijxixj, (1) ь / = 1 где Л = (а/;) —матрица квадратичной формы и х = хге±;+... + хпеп. Пусть в некотором базисе выражение (1) квадратичной формы не содержит произведений x^Xj (i Ф j), т. е. - п Л (х, х) = Х/х/. ^2) i = 1 ; Тогда выражение (2) называется каноническим видом квадратичной .формы. В частности, если ± 1, 0, /=1, 2, ..., nf то получаем нормальный вид квадратичной формы Л (х, х), Для всякой квадратичной формы существует 'такой базис В4котором она имеет канонический (и даже нормальный) вид> 185
Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа выделения полных квадратов. Пусть квадратичная форма А (х, >) в базисе 53 имеет вид (1). Если все коэффициенты «£у (при квадратах xf), i = \, 2, п, равны нулю и в то же время форма не равна тождественно нулю, то отлично от нуля хотя бы одно произведение, например 2af2XiX2. Выполним пре- образование базиса, при котором координаты векторов в старом и новом базисах связаны формулами Xf = xi + x2, л Х2= Х^ —Х2, Х[= Xi. « = 3, ...? п. Тогда 2«i2xix2 = 2«f2 (х[ —х'2 ) = 2«f2xi — 2af2x2 i и так как, по пред- положению, ац = а22 = 0, то коэффициент при х{ отличен от нуля. Таким образом, всегда найдется такой базис 53, в котором в за- писи (1) хотя бы один коэффициент при квадрате отличен от нуля. В дальнейшем считаем, что «ц 0. (Если ац = 0, то отличен от нуля коэффициент при квадрате какой-нибудь другой координаты и к рассматриваемому случаю можно прийти, иначе занумеровав век- торы ei, e2f ...» еп, что также является некоторым преобразованием базиса.) Рассмотрим часть квадратичной формы, содержащую xi, т. е. о/=«цХ1 + 2ar 2XfX2 + ... + 2«frtxixn. Дополним эту сумму до полного квадрата: Of = — («11X1+ ... + «fnxn)2— «и где у есть алгебраическая сумма членов, не зависящих от хр Если теперь сделать замену • XI = «11X1+. . .+«1„ХП, Xi =Х[, i~2, ..., п, то квадратичная форма в новом базисе примет вид п ‘ 1 /2 , 1/2 А(х, х)— — Xi + 2. a{!xlXi=—xi +Л,;. ““ 011 I /2 В полученной форме выделено слагаемое — Xi , а оставшаяся часть «и Л1 является квадратичной формой в J^-f. Далее рассуждения по- вторяются для квадратичной формы + (х, х), и т. д. Пример 1. Методом Лагранжа привести к каноническому виду квадратичную форму А (х, х) = 2xix2 + 4ххх3—х2 — 8х3 • 1-е преобразование: xi = x2, х2 —xi, х3 = хз. Тогда получим /2 , / , , А = ~~Х1 + 2X1*2+ 4х2хз — 8х3 • 186
2-е преобразование: %i = — ^i + %2, x2 = x2j = Получим но- вое выражение для квадратичной формы: Z/2 zz2 ft н /f% А =— Xi —х2 -j-4x2X3—8x3 • 3-е преобразование: х\' ~хц Х2 = X2~j-2xZ Хз'е^=Хз,' и форма принимает канонический вид: А (х, х) = — Xi" -j-Xz" —12хз" • При этом х% = Xi -ф 2лд, Хз' = Х3. > Метод собственных векторов. Будем рассматривать квадратичную форму (1) в евклидовом пространстве R". Так как ее матрица X = симметрична, то она может быть представлена в виде A — UDU' , где D—диагональная матрица, на диагонали кото- рой стоят собственные числа матрицы Л, a U — ортогональная мат- рица (см. пп. 3 и 4 § 2). Столбцы матрицы U являются координатами Некоторого ортонормированного базиса 3S' = (tfi, £„), в котором матрица А имеет диагональный вид D, и, следовательно, квадратич- ная форма — искомый канонический вид. Соответствующее преобразо- вание координат определяется соотношением Пример 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму А (х, х) = 6х?4-5х1-ф7хз— 4ад2 + 4х1л8, задан- ную в евклидовом пространстве R3, к каноническому виду. Написать этот канонический вид. ◄ Матрица квадратичной формы имеет вид / 6 —2 2\ —2 5 0). \ 2 0 7/ (Обратить внимание, как получаются элементы ац (1 ф ]) из явного вида квадратичной формы!) Собственные числа этой матрицы суть Xi = 3, Х2 = б, Л3 = 9. Соответствующие ортонормированные собствен- ные векторы: *?1 = (2/3, 2/3,—1/3), ^ = (—1/3, 2/3, 2/3), «?з = (2/3, —1/3, 2/3), и, следовательно^ / 2 —1 2\ /22 —1\ U = 4r[ 2 2-1), С/т-4(-1 2 2). 3 \— 1 2 2/ 3 \ 2 —I 2/ 187
В базисе #2, ^з) 2 заданная квадратичная форма имеет вид А (х, x) = 3xi 4-6x2 +9*з , з соответствующее преобразование коор- динат: *1 = у (2*1—*2 + 2x0, *2 = 4- (2*1 + 2*2—*з), О Хз=4-(—Х1+2ха4-2хз). > О 4.208. Доказать, что всякая квадратичная форма А (х, х) в евклидовом пространстве <§п может быть записана в виде А (х, х) = (Ах, х), где (х, у)—скалярное произве- дение в Sn и Л —некоторый линейный оператор. 4.209. Доказать, что полярная билинейная форма А (х,у) однозначно определяется своей квадратичной формой Л(х, х). Методом Лагранжа найти нормальный вид и невы- рожденное линейное преобразование, приводящее к этому виду, для следующих квадратичных форм: 4.210. xj + 5x|—4х| + 2ххх2—4ххх3. 4.211. ХхХ2 + Х2Хз + х3Хх. 4.212. 4х^ + А + *1 — + 4ххх3—Зх2х3. Найти ортогональное преобразование, приводящее сле- дующие формы к каноническому виду, и написать этот канонический вид: 4.213. 1 1хх + 5х? + 2х( + 16X3X2 + 4ххх3—20х2х3. 4.214. х| + А + 5x1 — 6ххх^ + 2ххх3—2х2х3. 4.215. х? + х1 + х1 + 4ххх2 + 4хх.х3 + 4х2хз. 4.216. 17х?+ 14x1+ 14x1 — 4ххх2—4ххх3—8X3X3. Квадратичная форма A (х, х), определенная в действительном линейном пространстве называется положительно (отрицательно) определенной, если для всякого х £ (х 0) А (х, х) > 0 (< 0). Пусть 4 = (а/у) — матрица квадратичной формы А (х, х) и #11 #12 ••• #1п П , _п ______I #11 #12 I г» #21 #22 #2п ^2 = 1 _ Ь ..•> = ........ I #21- #22 I »•••»«. #«1 #/?2 • • • #«П — последовательность главных миноров матрицы А. Критерием положительной определенности квадратичной формы является следующее утверждение (критерий Сильвестра): для того чтобы квадратичная форма А (х, х) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы А были положительны, т. е. D^> 0, k~ 1, 2, ..., #• 188
4.217* . Доказать: для того чтобы квадратичная фор- ма А(х. х) была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы имели место'неравенства (—1)й Dk > О, k = 1, 2, ..и. В задачах 4.218—4.224 определить, какие квадратич- ные формы являются положительно либо отрицательно определенными, а какие нет: 4.218. х2 + 26xs + 1 0х3х2. 4.219. —xlJr2x1x2—4xl. 4.220. xf — 15х2 + 4хгх2—2XiX3 + 6х2х3. 4.221. 12хгх2 — 12хгх3 + 6х2х3 — Их?—6х2 — 6х3. 4.222. 9х? -ф- 6х2 + + 12хтх2— lOxpCg—2х2х8. - 4.223. 2х? + + Я1Х3—2х2х3 4- 2х2хл. 4.224. х? + 4х22 + 4х3 + 8х2 + 8х2х4. 4.225. Доказать, что квадрат длины вектора | х |2 в n-мерном евклидовом пространстве Sn является положи- тельно определенной квадратичной формой. 4. Кривые и поверхности второго порядка. Гиперповерхностью второго порядка в евклидовом пространстве называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению Л (х, х)Ч-2(&, *)+<?= 2 +2 2 6*х*+с=0> <3) i,/ = 1 k=l где в левой части стоит многочлен второй степени от п переменных Xj, х2, . • •, хп. Задача классификации гиперповерхностей второго порядка со- стоит в нахождении такого базиса в IR'S в котором левая часть уравнения в новых переменных Xi, х2, .хп имеет наиболее про- стой вид. Для этого сначала ищется такое ортогональное преобразо- вание, что в новых переменных квадратичная форма А (х, х) = п == 2 имеет канонический вид. В новом базисе уравнение (3) Л /= 1 записывается следующим образом: п а и 2 4-2 2 b’kxk+c—0, k=i *=1 причем не все i—1, 2, ..., п, равны нулю. Если # 0, то переносом начала координат можно уничтожить линейный член: 2 / ty \ h ^kXk 4“ 2Z? faXfr — X/j ( x^4~T~ ) :—л a • После этих преобразований получаем (изменяя нумерацию перемен- ных,. .еслд. это необходимо) XjX] 4-... 4“К$х§* 4-^s+i^s+i 4-^ = 0. (4) сравнение (4) называется каноническим уравнением-гиперповерхности втлрого порядка.
Множество точек плоскости R2, удовлетворяющих уравнению (3), называется кривой второго порядка. В этом случае каноническое уравнение (4) может принимать один из следующих видов (в пере- менных х, y):t 1) Xix2 + К2у2 + с = 0 (%хХ2 ф 0); 2) Х1%2+^ = 0 (W0); 3) Xi%2 + c = 0 (Xi5^0). Пример 3. Написать каноническое уравнение кривой второго порядка: Зх2-]- Юл:у-[-Зу2—2х— 14у—13 = 0, определить ее тип и найти каноническую систему координат. ◄ Матрица квадратичной части многочлена второй степени равна (3 5\ ) . Ее собственные числа: Х1 = 8иХ2 =—2; собственные векторы: 5 3/ / 1 1 \ /1 1 \ п х ^1=1 —< —= ), е2 = ( ,-----— I. Выполняя преобразо- VK2 У 2/ VK2 К 2/ вание х=Й(х'+/)’ у==^х'~у,)> получаем 8х'2—2/2---Ук х' 4~^= у' —13=0. К 2 У 2 Так как Xj и Х2 отличны от нуля^ то по каждой из новых перемен- ных х' и у' можно выделить полный квадрат: Заменой переменных /2 2 ’ 3 А’ 4^ = / соответствующей сдвигу по каждой из координатных осей, получим 8х"г—2/2—8 = 0, или ж"?--1/2=1. Последнее уравнение есть каноническое уравнение гиперболы. Резуль- тирующее преобразование координат имеет вид х==7Т(*"+/)+2, г/=р^(х"-/)-1,. а каноническая система координат (О',- а, е2), где О' (2, —1), '*"й'+йл ‘-у?1- - 190
В задачах 4.226—4.231 написать каноническое уравне- ние кривой второго порядка, определить ее тип и найти каноническую систему координат. , 4.226. 9х2—4xy-}-6z/2+16х—8у—2 = 0. 4.227. х2—2ху + у2— 10х—6z/ + 25 = 0. 4.228. 5х2 + \2ху—22х— \2у—19 = 0. 4.229. 4х2—4хг/-[-г/2—6х-|-Зг/—4 = 0. 4.230. 2x2 + 4xz/ + 5z/2—6х—8у—1=0. 4.231. х2—4xz/ + 4z/2—4х—Зу—7 = 0. 4.232. Кривая второго порядка определяется уравне- нием: а) х2 — 2y--|-z. (у2— 2х) = 0; б) х2 + 2Ххг/-|-г/2— 1 =0. Определить ее тип при изменении параметра X от —оо до. + оо • Множество точек евклидова пространства R3, удовлетворяющих уравнению (3), называется поверхностью второго порядка. Канони- ческое уравнение (4) в этом случае принимает один из следующих видов (в переменных х, у, г): 1) XiX2Х2у2-}-Х3г2 + с = 0 (МХгХд 0), 2) Ахх2 + Х2у2 + bz = 0 (XiX2 ф 0) j- 3) Ххх2+Х2у2+с = 0 (Х1-Х2 ф 0), 4) Ххх2+^ = 0 (W0), 5) Ххх2+с = 0 (Xi ф 0). -Поверхности типов 3)—5) являются цилиндрами (эллиптическим, гиперболическим и т. д. в зависимости от типа кривой в сечении плоскостью z = 0). Пример 4. Написать каноническое уравнение поверхности вто- рого порядка 4х2-|-4у2— 8?2— 10xy + 4yz-|-4zx— 16х— 16у—8? + 72 = 0г определить ее тип и найти каноническую систему координат. Матрица квадратичной части 'многочлена второй степени равна / 4 —5 2\ ( —5 4 2 ). Ее собственные числа: Хх = 9, Х2 = —9, X3 = 0i а \ 2 2 — 8 J собственные векторы: Л 1 1 / 1 . 1 4 \ \|<2 /2 ) \3 /2 3 К2 3^2> /2 2 1 \ 3 ’ 3 ’ 3 J’ Выполнив преобразование x~-2— ( Зх'-уу' +2 V2 z'), о у 2 +2 г )» о у 2 г==гй( -V+K'S^), о у Z 191
получаем Эх'2—9r/'2—72z'+72==Q. Преобразование сдвига необходимо выполнить лишь по переменной г': —72г' + 72 = —72 (?' — 1) = —722*. Второе преобразование координат имеет вид х"=х', У" = У’> — опкуж ] окончательно получаем каноническое уравнение гипербо- лического параболоида Х^_У2_ „ 8 8 * Результирующее преобразование координат таково? ( Зх"+ у"+2 V 2/')+1, о У 2 *5 у=-^=(-Зх"+ у” +2К2г")+4, 3 У 2 о а каноническая система координат (О', et, е2, е8), где Л, / 2 2 1 \ /1 1 х 0 "ч > Т’ V > ---— ,0), X333/ \К2 /2 / _/__1 __1 4 /_2 £ 1 \ вг \3/'2’3|/2’ 3)<2/ ₽3~к3 ’ 3 ’ 3 )' В задачах 4.233—4.240 написать каноническое уравне- ние поверхности второго порядка, определить ее &тип и найти каноническую систему координат. 4.233. 7х2 + б//2 + 5г2—4ху—4уг—6х—24г/+ 18г 4-30=0. 4.234. 2х2—7//2 —4г24* 4ху4- 20//г — 16ех-}- 60х— 12г/ 4- 4-12г—90 = 0. 4.235, 2х2 4- 2у2—5г24- 2ху—2х—4у—4г 4-2 = 0. 4.236. 2х2 4- 2//2 4- Зг2 4- 4ху 4- 2уг 4- 2гх—4х 4- 4-6у—2г 4-3 = 0. 4.237. 4х2 4- № 4* 4г2—4ху 4- 4уг — 8гх — 28х 4- 4-2// 4- 16г 4- 45 = 0. 4.238. 2х2 4- 5г/2 4- 2г2—2ху—4xz 4- 2уг 4- 2х— — 10//—2г—1=0. 4.239. х2 4-5#2 4-г2 4-2х//4-2^/г 4-бгх—2х 4- бу 4- 2г = 0. 4.240. х2—2//2 4~ г2 4- 4х// 4- 4#г — 1 Огх -f- 2х 4- 4-4//— Юг—1=0. 192
Глава 5 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ § 1.. Производная 1. Определение производной. Дифференцирование явно задан- ных функций. Пусть ; Д/ (х0, Дх) — f (х0 + Дх) — f (х0) —приращение функции u = f(x) в точке х0, соответствующее приращению аргу- мента йх. П роизводной 1-го порядка (или первой производной) функ- ции ^ = /(х) в точке х0 называется предел р / ч г Д/(х0, Дх) ,п f' 1т —i-r-—(1) Дх -* о АХ Числа „ . ' Д/(х0, М L(x0)= hm Дх О АХ И Д(х,) = Пт Дх ->+0 АХ называются соответственно левой и правой производными функции y = f(x) в точке х0. Для существования производной /' (х.э) функции f (х) в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы ее левая и правая производные в этой точке существовали и совпадали, т. е. Д (*о) =Д («о)- Пример 1. Найти /1(0) и Д(0) для функции f (х) — | х |. Имеем по определению /т .. | Дх | .. — Дх . f (0) = hm . — lirn —--------— —-1 Дх о Дх Дхо Дх и ,лч I Дх I Дх . /1(0) — hm hm — — 1. + Дх-+о Дх Ду^+оДх Заметим, что функция f (х) ~|х| не имеет производной в точке хо~0. > Производная функции f (х), рассматриваемая на множестве тех точек, где она существует, сама является функцией. Процесс нахож- дения производной называют также дифференцированием. Таблица производных основных элементарных функций. 1. (xaY ==ахй'”1, а 0. 2. (ах)' ^=ах In а, а > 0; (ех)' =ех, 3. (logex)' = logae-y , а > 0, а 1; (1пх)'=у. 7 Под ред. А. В. Ефимова. Б. П. Демидовича 193
4. (sin x)' — cos x. 5. (cosл)- =—sin#, 6. (tgx)'=—L-. v ' cos2# 7. (ctgx)' =--. \ & 1 sin2# 8. (arcsin x)' = —(arccos x)'—-pr==. 9. (arctg x)' = —(arcctg^'^y-pp. Правила ди’фференцирования функций I. Пусть С—постоянная и f (х), g (х)—дифференцируемые функ- ции. Тогда: 1. (С)' = 0. ' 4. (fg)f==f'g+fg(^ 2. (/+g)' = f'4-fi''. 5. 8* °- \ & / б 3. (С/)' = С/\ П. Пусть [функция у == f (х) имеет производную в ’точке х0, а функция z = g(y) имеет производную в точке #0 = /(х0). Тогда слож- ная функция z = g(f(x)) в точке х0 имеет производную, равную z' M=g' (Ус) Г (xQ) (2) (правило дифференцирования сложной функции). Пр имер 2. Найти производную функции z = logs (arcsin х). < Полагая z = log3r/ и у~ arcsin х, имеем z'(«/) = log3e--i' и z/'(x)=—L—. У У 1 — ха Отсюда, согласно (2), получаем z (х) — —> arcsin х j____х2 Найти Д/(х0, Дх), если: 5.1. /(х) = х3, #0= 1,-Дл: = 0,1. 5.2» f(x)-=Vr~x, х0=1, Лл' = 0,25. 5.3. /(x) = lgjr, х0= 100, Дх — —90. Найти Д/С^, Дл) как функцию Дх, если; 5.4. /(x) = sinx, %0==л/2. Имеем Д/0Р Дх^=81п (у+Ал:) — sin у— = 2sin-g-cos 2sin2-g-. 5.5, /(х) = х2, л0 = —1. 5.6, f(x) = ex, х0=1. 5.7. f (х) = log-2х< Хо^1- .194
Пользуясь только определением производной, найти v): 5.8. /(x) = ctgx. < Имеем: ч, т ctg(x4-Ax)— ctgx rsin (— Дх) (ctg х)' = hm —J . x /-----2— = hm 7:. г-т-т — V Ax->o Дх Ax ->o A* Sin X Sin (X + Ax) 1 1 = Дх™о sin х sin (х+Дх) sin2 х' 5.9. /(x) = l/x2. 5.10. f(x)=Vx. 5.11. f(x) = 2x. 5.12. /(x) = log2x. 5.13. Известно, что /(0) = 0 и существует предел Jim . Доказать, что этот .предел равен fr (0). х->0 х 5.14* . Доказать, что если /(х) имеет производную в точке х0, то Пт = f М-Xof (Хо). Х->Х, Х — Х0 Для заданной f(x) найти Д (х0) и Д(х0): 5.15. f(x) — \x— 1|+.|х+1|, х„ = ±1. ( X, X Д 1 , 5.16. /(х) = ‘ х0=1. ( —х2 + 2х, х > 1, *5 Имеем Д(1)= Нт 4"'^ Пто^Ч 1 h (1)= Л--.1+0 х—1 Л--1 + 0 х—1 lim (х—1)=0. > ( 0, х<0, 5.17. f(x) = i ,, хо = О. ' ' ’ ( х2 шх, х > 0, 5.18. /(%) = )/1— е'*2, хо = О. (0, х = 0, 5.19. Дх) = < х п хо = 0. [ 1-1-ei«’ х^=и> 5.20* . Показать, что функция Р/ ч ( xsin— , (О, х = 0, ’ 7* 195
непрерывна при х — 0, но не имеет в этой точке ни ле- вой, ни правой производной. Найти производные следующих функций; 5.2!. 5.23. 5.25. 5.27. 5.29. 5.31. 5.33. 5.35. 5.37. у=3—+ 5.22. и= — __ 1 1 1 г- О/« X— 1 — х х2 х3 ‘ ' ^-х-рГ = 5-26- z/ = (x2-l)(x2-4)(x2 + 9). У = —- 0.28. у = -——---- У 2л х3 + 3х— 1 а , ]/ х2 _ оп а-\-Ьх У = т-7= + -Ц— • 5.30. £/ = —2-—. Ух3 b 7 v + dx 2 I _ __ 2+ Ух у — х-г----• 5.32. « = J 2л —1 х J 2— Ух у==(}Ух-\)(~+\ \ 5.34. у^З^'х2-^ \ и / у = (3 £/х2 + 6i/x ) у'х>. 5.36. у~-^—— z/ = %3ctgx. 5.38. у tg X У х2 5.39. у = . 5.40. у— sin %. и 1 -j- sin X J 5.4$. у = х j/x2(21nx—3х). 5.42. у = 3х8 log2x + ~-. 5.43. 5.45. 5.47. z/ = 2sin,v — 3 tg x. 5.44. у sin x —cos x sin % + cos x‘ y = x3'2 Ух5-уа. 5.46. y= )/ z/ = sin^. 5.48..у = 6 cos u z 3 5.49. i/ = (l+4x2)3. 5.50. y= j/(l + 3x2)3. 5.51. z/ = sin2-^-. 5.52. z/ = Kl + sin4x—К1 — sin4x. 5.53. t/ = xarcsin Inx. 5.54. r/ = cos2(-— J J \4 2 J 5.55. y= p/(l -psin2x)3. 5.56. y = x2e~2x. 5.57. y = ex/3cosa4- 5.58. j/x2 +а + 1н (* + ^%2+^). 5.59. //=lntg(|+^. 5.60. z/ = ln 196
5.61. у= д/'arcctgy . 5.62. z/ = |/ 1 + tg (х Ту) . ‘ -5.63. у —cos2 ^sin-^y 5.64. y^jf sinj/x. 5.65. у = arctg (x—Й1 + x2). - b4-a cos к 5.66. r/^arccos—7-7----. tf-j-PCOSX — — x2 5.67. y = Kxe2. 5.68. y = -^-. 5.69. y=2^~x. 5.70. y = 2y^~x. 5.71. y = 32*. 5.72. £/ = l-nx-lgx;—lna-logex. 5.73. z/ = log2ln2x. 5.74. у = 5.75. y— In arctg ’X1 + x2. 5.76. z/= In (x4~ Kn2 + x2). Найти производные гиперболических функций'. gX_______________р-Х 5.77. shx=—— (гиперболический синус), '5.78. chx = —— (гиперболический косинус), 5.79. (гиперболический тангенс), 5.80. сПГх—(гиперболический котангенс}. Логарифмической производной функции y = f (х) называется произ- водная от логарифма этой функции, т. е. (М)'=<. Применение предварительного логарифмирования часто упрощает вычисление производной. гт п гт «. 1 -1 /~к (х— 1) Пример 3. Наити производную функции у~ I/ ——. Так как функция определена при xg[0,l]j(2, +оо), то In У = On x-J-In | х—11 — In | х—2|). Отсюда (см. пример 5.117) Z1 v уг 1/1,1 1 \ (In у)' = — ( т+г=ЙТ32 )' т. е. , г2—4x4-2 g = (In 0'-У = О1/- . п • ► 2У х (х— 1) (х—2)8 Пример 4. Найти производную сложно-показательной функ- 197
Логарифмируя, получим (так как 1 -J— > 0) X \xiy~ X In Отсюда находим производные левой и правой частей (1п^)' = -^ = 1п f 14-АА_—. У \ X) 1+% Следовательно,- /==(in^y^===(i4-iy (1п (1+ф)—Л-Y > Используя предварительное логарифмирование, найти производные следующих функций: 5.81. # = . 5.82. : У <х+2^.-.1)2< j- 1) г Л j 5.83. г/ = ^—Х^=. И (х—I)2 (2х-Ц) 5.84. г/ = л31/'---. у (х+2)Кх-2 5.85. у = Xх. 5.86. у = х*х. 5.87. у = УхУ* . 5.88. z/= (In %)1/*. 5.89. г/ = (sin x)arcsin х. 5.90. у = хх\ 5.91. У^^Т’ 5-92*- У = хх2 +х*х + 2хХ. Вводя промежуточные переменные, вычислить произ- водные заданных функций: 5.93* . у = \п (cos2% + К1 +cos2%). 5.94. у = (arccosx)2 In (arccosx). 5.95. у = 5-96- У = 5.97* . Пусть И \ _ J %2 + х 0, | ax + b, х> 0. Найти коэффициенты а и b так, чтобы функция f (х) была непрерывна- и дифференцируема в любой точке. 5.98. Пусть ах2 + Ь, | х | < 1 ♦ 198
Найти коэффициенты а и Ь так, чтобы функция [ (х) была непрерывна и дифференцируема в любой точке. Найти производные следующих функций: 5.99, у = У 5.100. х + + . 5.101. £/ = т+{/(1— х)“(1+х)”. 5.102. у = sin (cos2 х) cos (sin5 x). 5.103, у = * —. 5.105. у — In (In" mx). 5.106. y ——In . J 4 ' x/3 + /2 5.107. f/ = log2 sin -by). 5.108. у = arctg (tga x). 5.109. z/ = logxe. 5.110. z/ = (sinx)C0S*. 5.111. g = Kxsi“2*• 5.112. £/ = |/cosx-ar“r*. 5.113. # = ln (shx)4-2^y. 5JI4, y = arctg(th*)• 5.115. y = e~* shax. 5.116. r/ = arccos(l/chx). 5.117. r/ = In | x |. Функция у = In | x | определена Vx£lR, x Ф 0* и Отсюда . > f In x, x > 0, 11 (In (—x), x < 0. ( — f X > 0 (ln[x|r = J \ x^O. & I — , X < 0 k x 5.118. £/ = arcsin-i-^T• 5.119. // = |sinx|. | x| У l 1 5.120. у = | arctg x |. 5.121. у = [х]х. где [x]—целая часть числа х. Функция и — (х1 х определена Vx£R. Если то y = kx при &+1). Поэтому y'=kt х£(/г, £+1), а в точках x = Z?> k— 1, f'+(k) = k. > 5.122. y^= 1—x, x<0, - Q ( ® 5.123. e~x9 x > 0. u ( x ln(l+x), x^ 0. 199
5.124. 1, 1. 5.125. 5.126. 5.127. 5.129. 5.131. _ I х2е~*2, | х |€ j Me, |х| 5 __ х2 4 Г 3—х lJ ~~ 1—л V (34-х)2 ' у — (х—ах)^ {х—й2)“2 ... (х— y = ax<i. 5.128. у — (logxc)x. у — sin (sin (sin х)). 5.130. 4/= (l/x)1^. In 3‘Sin x + cos x y— yi sm ax , q q~t: . 1 Sin- fix у = Зсоъ bx -ф. -- t J 3 cos3 bx 5.132. 5.133. Доказать, что производная четной функции — функция нечетная, а производная нечетной функции — функция четная. 5.134. Доказать, что производная периодической функ- ции есть функция также периодическая. 5.135* . Найти f (х0), если f (х) — (х—х0)ф(х), где функ- ция ф(х) непрерывна в точке х0. Пусть <р (х) и ф(х)—дифференцируемые функции. Найти производные следующих сложных функций: 5.136. t/ = jAp2(x) -рф2 (х). 5.137. t/ = arctg^. 5.138. у = ф (х)®(х), ф(х) > 0. 5.139. у = log^(x) ф (х), ф (х) > 0, ф (х) ◄ Перейдем к натуральным логарифмам: 1 . , . Ь ф (х) Z/ = 10gfp(x) ф(Х)=— Отсюда находим у-ду In <р (х) —In ф (х) , ф (х) v Ф (х) т 4 7 _______ 1 1п2ф(х) 1пф(х) <p (*) J Пусть f (x)—произвольная дифференцируемая функ- ция. Найти у'\ 5.140. f/ = /(lnx). 5.141. у = 1п (/ (х)). 5.142. y = f(ex)ef <*>. ◄ Имеем у' = f (ех) ехМ-р / (ех) (Л) у (х)=е? (exfr (ех) -р 4Д(х)/(е*)). ► 5.143, // = f(/(x)). 200
2. Дифференцирование функций, заданных неявно или парамет- рически. Говорят, что функция х£(а, b), неявно задана уравнением F (х, у) = 0, если для всех х £ (а> Ь) F(x, f(x)) = O. (3) Для вычисления производной функции y = f (х) следует тождество (3) продифференцировать по х (рассматривая левую часть как сложную функцию х), а затем полученное уравнение разрешить относительно f'(x). Пример 5. Уравнение х2-ф//2 = 1 неявно определяет на интер- вале (—1, 1) две функции: У2 (*)=—К 1 —X2. Найти их производные, не используя явных выражений (4). Пусть у (х) — любая из этих функций. Тогда, дифференцируя по х ' тождество х2 + ^2.(х) = 1, получим 2х + 2у(х)у' (х) = 0. Отсюда т. е. ' ч х х. У1 (х) ==--=---------. . У! (X) |<1 —Л2 И ' , Ч X X Пример 6. Вывести правило дифференцирования обратной функции. ◄ Если x~f'~1(y)i —функция, обратная к y = f(x)t x£D, то для всех у£Е выполнено равенство Иначе говоря, обратная функция x = f-*(y) есть функция, заданная неявно уравнением /(*) —£/ = 0. (5) Для вычисления производной функции x=f~1(y) дифференцируем (5) по у: Л (*(</)) x'(i/)-l=0, откуда х' (у) = Ц / w Г (X (у)) При неявном задании функций, а также для сложных функций будем для производной использовать также обозначения типа ух там, где необходимо уточнить, по какой переменной ведется диффе- ренцирование. 201
5.144. Найти значение ух в точке х=1, если х3—2x2r/2 + 5x + #—5 = 0, = 5Л 45. Найти ух в точке (0, 1), если 0 -\-ху — е. Найти ух для следующих функций, заданных неявно; 5.146. 4 + й=1- 5.147. x4 + t/4 = xV. € а* ' & 1 и J 5.148. Ух +Уу ~Уа, а>0. 5.149. 2«/1пу = я. 5.150. evsinr/—ег/созх = 0. 5.151. sin{ху) + cos(ху) = 0. 5.152. 2х 4- 2г/ = 2х+и. 5.153. х—# = arcsinx—arcsinr/. 5.154. arctg — = In Уx2-\-y2. 5.155. xy = arctg— . •* x у 5.156. xy = yx. 5.157. ay * \У J 5.158. Доказать, что функция у, определенная урав- нением ху—In у = 1, удовлетворяет также уравнению у2 + + (ху~ 1)/ = 0. Найти производные функций, обратных к заданным: 5.159. # = shx. Имеем по определению sh х=------.Так как (shx)' =—----> > 0 для всех xgR., то функция shx монотонно возрастает на всей действительной оси и, следовательно, имеет обратную, обозначаемую arshx. rio правилу дифференцирования обратной функции получаем ' / ь V 1 2 1 1 1 хи = (arsh у) = —— — ————=-г— = _ .. . ———— . Ух е +е chx yi + sh2x Kl + f/a Следовательно, переходя к обычным обозначениям, имеем (arsh х)' =—> К1 + *2 5.160* . # = chx. 5.161. у = arcsin 2х. 5.162. у = 2х2—х, х£(1/2, +оо). Пусть у = а(х) — функция, обратная к заданной у =f (x). Выразить а'(х) через х и а(х), если: 5.163. у = хх. < Учитывая, что (хх)' = хх (In х+1)\ получаем: ' = 1 _ 1 1 У Ух хх(1пх+0 У 0п а 0/)+ 0 * 202
так как л = а(г/). В обычных обозначениях а' (х) =*—:-> х(1па(х)+1) 5Д164. = 5.165. у^/^х + х3. 5.166. f/==x + bg2%. 5.167. r/ = xlnx. Пусть заданы функции *=Ф(/), #=W)> *€(«,₽)• (6) Если при этом х~ср (/) на интервале (а, Р) имеет обратную / = ф’1 (х)? то определена новая функция У (х)=Ч’(ф~х W), 0 называемая функцией, заданной параметрически соотношениями (6). Дифференцируя (7) по х и используя правило дифференцирования обратной функции (пример 6), получаем (8) ф/ xt Пример 7. Найти yXi если х~cos2/, # = sin/, /£(0, л/2). Так как ф/ = — 2 cos t sin /, ^ = cos/, то по формуле (8) находим 1 ь. 2 sin / * Для функций, заданных параметрически, найти yxi 5.168. х = 2/, £/ = 3/2 —5/, Zg(—оо, +оо). 5.169. х = /3 + 2, у = 0,5/2, /£(—оо, +оо). 5.170. ^=(т+т) ’ Z^-L 5.171. x = 2-f, у = 22\ /€(—оо> +«>)• 5.172. x = acos<p, z/ = &sin<p, <рС(О, л). 5.173. x = tgt, у = sin2t + 2cos2t, /€(—л/2, л/2). 5.174. x = arccos _L_-- , y= arcsin t € (0, + oo). у 14-/3 V i-H3 5.175. x = ln(l + /2), y = t—arctg/, i€(0, +<x>). 5.176. x = 3log^ctg/, z/ = tg/ + ctg/, /C(0, n/2). 5.177, x= arcsin (i2—1), z/ = arccos-j, t £(0, P”2). 5,178. x^Vx-Vl, y^V 1-^t, /C(l, +oo). 5.179. x = r/s=&ch/, /€(0, +<»). 203
Найти ух в указанных точках: 5.180. х = tint, y^t / = 1. 5.181. х = t(t cost — 2sin t), , # = /(/sin/-|-2cos t), 5.182. x = e/cosi, z/ = e*sin/, t=n/6. 5.183. x = / = 2. 3. Производные высших порядков. Производной 2-го порядка от функции y~f(x) называется производная от ее первой производной, у" (х) = (у' (х))'. Вообще производной п-го порядка (или п-й производной) называется производная от производной порядка (п —1)> т. е. ^(xW^-^x))', п = 2, 3, ... тт V ' dny Для производной n-го порядка используется также обозначение Пример 8. Найти у\ если у~ In (х-|-1/" 1 + х2). *4 Имеем уг ~—• •• - Следовательно, К1 + *2 \ V 1 + х2 / (1 +х2)3/2 ’ Найти производные 2-го порядка от следующих функ- ций: 5.184. y = cos2x. 5.185. у — arctg х2. 5.186. t/ = log2 5.187. у = е~х\ 5.188. у = 5.189*. y = xVx. 5.190. Найти у' (0), у" (0), z/'^O), если у (х) ==;е2х sin Зх. < 5.191. Найти у'" (2), если z/ = ln(x—1). 5.192. Найти #lV(l), если z/==x3lnx. 5.193. Найти r/(0), у' (0), у" (0), если z/ = 2sfaxcos(sinx). Пусть f(u)—дважды дифференцируемая функция. Най- ти у' и у\ если: 5.194. y^f(\lx2\ 5.195. = Пусть и(х) и v(x)—дважды дифференцируемые функ- ции. Найти у', у\ если: 5.196. y^uv (и> 0). Имеем 1п^ = у1пп. Отсюда находим У' , 1 . о' , —=v' in и Ч— иг\ У « 204
т. е. 7. / / U , \2 1Ш 2U'V' , п f \ . Uv и----------у In U \ ------5--------------к V hl и }. > \ \ U J ‘ 4Z2 1 U 1 / 5.197. ^ = |/> + Л 5.198. у = In Найти формулу для n-й производной заданных функ- ций: 5.199. у = хт, т б N. 5.200. y^akx, &CR. 5.201* . z/ = sinx. 5.202. z/ = lnx. 5.203*. z/ = cos2x. 5.204. = J 1 —X Применяя разложение в линейную комбинацию более простых функций, найти указанные производные от за- данных фуНКЦИЙ: 5.205. у = > найти у{п\ <1 Преобразуем выражение к виду 2х. 1_____1__ X2—1 —1’ Так как / 1 \<«> 1 W1) =‘-;>Пп'(ГП)^ (докажите!), то //«> = (—1)П л! + i + + Е 5.206. Л,2_зх_[_2 , найти 5.207* . у = > найти z/20’. и К1— х Пусть и (х) и v (л) имеют производные до n-го порядка включи* тельно. Тогда для производной n-го порядка их произведения и (х) v (%) справедлива формула Лейбница (№)(»> = u<">v+ V' +” «1П-2) • • • + = 1 • где u^~Ui v^~v и Сп = -^-^—р номиальные коэффициенты. = 2 = о (п — Ai+l)^ п\ k\{n — k)\ 205
Применяя формулу Лейбница, найти производные ука- занных порядков от заданных функций: 5.208. // = (%2 + ^+ 1) sin %, найти у{4\ 5.209. z/ = (%2—х)ех, найти z/(20). 5.210. y = sinx-e~x, найти уф. 5.211. у~х log2%, найти z/uo). 5.212. у~х shx, найти г/(100). 5.213* . Показать, что (еах cos &%)(n) = rneax cos (bx + шр), где г = Vdl 4-fe2, tgcp = -^-, sincp = y . pi A 5.214. Доказать, что (хп 1е1/')(л) = (—1)" ^+т • 5.215. Вычислить значение n-й производной функции Зх 2 р. У = Ц точке х = 0., и х2—2х-|-5 * По условию имеем у (х) (х2— 2х-|-5) =3x4-2. Продифференцируем это тождество п раз, применяя формулу Лейб- ница. Тогда (для п^2) получим (х) (х2—2х + 5) + ш/<" - » (2х—2) + у« ~2> (х) • 2 = 0, откуда при х = 0 (0) — 2пу&-« (0) + п (п — 1) у'п - 2> (0) = 0, yw (0) = А «(/(«-!> (0)—П ............U у<«-2> (0). О э Л1ы получили рекуррентную формулу для определения н-й про- изводной в точке х = 0 (п ^2). Значения у (0) и у' (0) найдем не- посредственно: I = — |х=о 25 Затем, полагая последовательно л = 2, 3, 4, с помощью рекур- рентной формулы получим значения производных высших порядков. Например, Применяя метод, описанный в задаче 5.215, найти производную 4-го порядка в точке х = 0 от заданной функции: 206
5.216. с^=0. 5.217. г/ = ^22+х+1 . * cx-^-d ’ z u x2—x-j-1 5.218. Показать, что функция z/ = arcsinx удовлетво- ряет дифференциальному уравнению (1—х*}у" — ху'. 5.219. Показать, что функция у — С^ + С^хе^ + е* удовлетворяет дифференциальному уравнению у"—4г/'+4//= 5.220. Показать, что функция z/~e~xcosx удовлетво- ряет дифференциальному уравнению z/(IV) + 4т/= 0. 5.221. Показать, что функция у—хп (cos’(lnx)+sin(lnx)) удовлетворяет дифференциальному уравнению х2у" + + (1 — 2п) ху' + (1 + п2) у = 0. В задачах 5.222—5.226 найти производные 2-го по- рядка от функций, заданных неявно: 5.222. j/x2 + у2 — a/rCtg х , а > 0. Дифференцируя уравнение, определяющее функцию у(х}> получаем х + уу' _ ^ctg ~ . ух—у __ у'х—у * *2+#2 ух2+И * Отсюда. х-^-уу' =ху' — у (9) и, следовательно, Дифференцируя (9) и используя найденное для у’ выражение (10), получаем 5.223. у2 = 2рх. 5.224. у=1+хеу. 5.225. y = ig(x + y). 5.226. ех~у = ху. 5.227. Вывести формулу для второй производной функ- ции, обратной к заданной функции y — f(xY 5.228. Доказать, что если (а + Ьх) еу/х — х, то х^у" — *= {ху' — у)2. Найти производные 2-го порядка следующих функций, заданных параметрически: 5.229. х = 1п/, z/ = /3, /€(0, +оо). Имеем Ух = Ц- = ^ и = = xt xt Заметим, что в данном случае параметр t легко исключить из задан- ных уравнений, полагая Z = Следовательно, выражение для ухх Йак функции от х имеет вид уХх~№х* ► 207
В общем случае, если х = ср(/), г/ = ф (0, то ухх вычисляется по формуле I ф' (О Ф' (О I Ф" (О Ф' (0 - Ф" (0 Ф' (0 - I Ф" (О Ф" (о I Ухх (<₽' (О)3 (ф' (О)3 5.230. x = sec/, z/ = tg t, t£(0, л/2). 5.231. x = arcsin/, z/ = ln(l — t2), t£(—1, 1). 5.232. x = arctg/, y = ln(l 4-/2), /€(—00, +°°)- 5.233. x = acos3t, y = asin3/, t £ (0, n/2). 5.234. Показать, что функция y(x), заданная пара- метрически уравнениями % —sin/, y = aetV2 , —л/2, л/2), при любых постоянных а и b удовлетво- ряет дифференциальному уравнению (1—х2}у'хх—ху'х = 2у. 4. Геометрические и механические приложения производной. Значение производной fr (х0) функции y~f(x) в точке х0 равно угловому коэффици- енту k = tgq> касательной ТТГ к гра- фику этой функции, проведенной че- рез точку Мо (х0, yQ). где y0=f(x0) (рис. 37) (геометрический смысл производной). Уравнение касательной TTf к графику функции y = f(x) в его точ- ке Л10 (%0> У о) имеет вид у—Уо — f' (х0) (х—х0). Прямая Л/Л", проходящая че- рез точку касания Л40 перпенди- кулярно к касательной, называется нормалью к графику функции у == f (%) в этой точке. Уравнение нормали (х — %0) + Л (*о) (У—^/о) =0. Написать уравнения касательной и нормали к графику функции y = f(x) в данной точке, если: 5.235. у = х2— 5%Ч-4, х0 =—1. 5.236. у — х* + 2х2 —4х — 3, х0 ——2. 5.237. - у —Ух, х0 — 4. • 5.238. у ~ tg 2%, хо = О. 5.239. у = 1пх, %0= 1. 5.240. х0 = —1. 5.241. Написать уравнения касательной и нормали в точке Л40(2, 2) к кривой % = £=#0. 5.242. Написать уравнения касательных к кривой x==tcostt y=t sin tt /£(—оо, -f-оо), в начале координат и в точке / = л/4. 208
5.243. Написать уравнения касательной и нормали к кривой х3 + г/2 + 2х—6 = 0 в точке с ординатой г/0 = 3. 5.244. Написать уравнение касательной к кривой х? + #5—2ху = 0 в точке M0(i, 1). 5.245. Под каким углом график функции у-=ех/2 пере- секает прямую х = 2? 5.246. В какой точке 7И0 кривой г/2 = 2х3 касательная перпендикулярна к прямой 4х—3^/+ 2 = 0? • 5.247. Найти коэффициенты & и с в уравнении пара- болы у = х2^гЬх-]гс, касающейся прямой у = х в точке мй(1, 5.248. Показать, что касательные к гиперболе у — -^2 в точках ее пересечения с осями координат параллельны между собой. 5.249. Составить уравнение нормали к графику функ- ции у = — Кх + 2 в точке пересечения с биссектрисой первого координатного угла. 5.250. Составить уравнение такой нормали к параболе у" х2—бх-фб, которая перпендикулярна к прямой, со- единяющей начало координат с вершиной параболы. 5.251. В точках пересечения прямой х—г/+ 1 = 0 и параболы # = х2—4x4-5 проведены нормали к параболе. Найти площадь треугольника, образованного нормалями и хордой, стягивающей указанные точки пересечения. 5.252. Показать, что нормали к развертке окружности x = a(cosZ4-^ sin/), r/ = a(sinZ — 4 cost) являются каса- тельными к окружности x24-z/2 = a2. Углом со между кривыми y = f1(x) п у = f2(x) в их общей точке 7И0 (*о> У о) называется угол между касательными к этим кривым в точке Мо. 5.253. Доказать, что tg ю = 1 + /1 (Хо) f 2 (*о) Найти углы, под которыми пересекаются заданные кривые: 5.254. £/ = х2 и у = х?. 5.255. у=(х —2)2 и г/ = 4х—х24~4. 5.256. r/ = sinx и # = cosx, х£[0, 2л]. 5.257. + = У2 = 2^х- 5.258. Доказать, что сумма отрезков, отсекаемых каса- тельной к кривой х1/2+у1/2=а1^2 на осях координат, для всех ее точек равна а. Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича 209 г
5.259. Показать, что отрезок касательной к астроиде х2/3 + у2^ = а2/\ заключенный между осями координат, имеет постоянную длину, равную а. 5.260. Найти расстояние от начала координат до нор- мали к линии + проведенной в точке с абсцис- сой х = 0. 5.261. Доказать, что отрезок касательной к трактрисе а 1 аА- К я2—*2 у = -х- In хл х==__ 2 a-Ya2—x2 V а2—х2, заключенный между осью имеет постоянную длину. вектором точки касания г = aek^. ординат и точкой касания, Если кривая задана в поляр- ных координатах уравнением г — =г(ф), то угол 0, образованный касательной ТТ‘ и радиус-векто- ром ОМ точки касания М (рис. 38), определяется соотношением tg0=£M (П) Г<р 5.262* *. Вывести форму- лу (И). 5.263. Найти угол 6 меж- ду касательной и радиус- для логарифмической спирали 5.264. Найти угол 0 между касательной и радиус-век- тором точки касания для лемнискаты г2 = a2 cos 2ф. Если x = x(f)— функция, описывающая закон движения мате- dx риальнои точки, то первая производная — = х есть скорость,- а вто- d2x •• рая производная х—ускорение этой точки в момент времени t (механический смысл первой и второй производ- н ы х). <к 5.265. Закон движения материальной точки по прямой имеет вид х = г/4/4—4/3 + 16/2. а) В какие моменты времени точка находится в начале координат? б) В какие моменты времени направление ее движения совпадает с положительным направлением оси Ох? в) В какие моменты времени ее ускорение равно нулю? 5.266. Найти скорость гармонического колебания с амплитудой а, частотой со и начальной фазой ср = О. 210
5.267. Тело массой 4 движется прямолинейно по за- кону к = /2 +1 + 1• Определить кинетическую энергию тела в момент времени £ = 5. 5.268. В какой момент t С [0, 2л] надо устранить дей- ствие сил, чтобы точка, участвующая в гармоническом колебании x = cos3£, продолжала двигаться равномерно со скоростью v = 3/2. 5.269. Точка движется по логарифмической спирали г = Найти скорость изменения полярного радиуса, если известно, что он вращается с постоянной скоростью со. 5.270. -Точка движется по окружности r = 2acoscp. Найти скорости изменения абсциссы и ординаты точки, если полярный радиус вращается с угловой скоростью со. 5.271. В какой точке эллипса 16х2Д-9//2 = 400 ордината убывает с той же скоростью, с какой абсцисса возрастает? 5.272. Радиус шара изменяется со скоростью v. С ка- ’кой скоростью изменяются объем и поверхность шара? 5.273. Колесо вращается так, что угол поворота про- порционален квадрату времени. Первый оборот был сде- лан колесом за время Т = 8 с. Найти угловую скорость со в момент времени £ = 32 с после начала движения. § 2. Дифференциал 1. Дифференциал 1-го порядка. Функция y — f (х) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение Ау (х0, Дх) может быть представлено в виде Дг/ (х0, Дх) = А ДхД- о (Дх). (1) Главная линейная часть А Дх приращения Ау называется дифферен- циалом этой функции в точке х0, соответствующим приращению Дх, и обозначается символом dy (х0, Дх). Для того чтобы функция у = f (х) была дифференцируемой в точ- ке х0, необходимо и достаточно, чтобы существовала производная f (х0); при этом справедливо равенство А—f' (х0). Это утверждение позволяет называть дифференцируемой всякую функцию, имеющую производную. Именно в таком смысле мы и употребляли это выражение в § 1. Выражение для дифференциала имеет вид dy (х0, dx) = f' (х0) dx, где принято обозначение dx = Ax. Из формулы (1) следует, что если fr (х0) 0, то при Дх—>0 приращение функции и ее дифференциал dy в фиксированной точке являются эквивалентными бесконечно ма- лыми, что позволяет записать приближенное равенство: Ay dy при | Дх | < 1. (2) Пример 1. Найти приближенно значение объема V шара ра- диуса г = 1,02 м. 211
Так как Ц (г) = -~ лг3, то, полагая л0 = 1, Дг = 0,02 и используя О формул]' (2), получаем: И (1,02) = 1/(1) +ДУ (1, 0,02) V (1) + Г (1)-0,02 = 4 = л+4л-0,02 & 4,43 м3. *> и с м ы .Г еометрпческий ренцкал dy(xQi Дх) равен : л дифференциала. Диффе- щению ординаты касательной T7 f к графику функции y = f(x) в точке Мо (х0, у0) при приращении аргумента, равном Дх (рис. 39). 5.274. Используя форму- лу dy = y' dx и правила вы- числения производных (см. § 1, п. 1), доказать следую- щие свойства дифференциала: а) d(C) = 0, где С—по- стоянная; б) d (Cxu + C2v) = С\ du + +С2 dv; в) d(uv) = u dv-\-vdu\ г) d = vdil~hu dv , 5.275. Пусть z (x) = z (y (x))— сложная функция, обра- зованная композицией функций у = у(х) и z — z(y). Дока- зать .что dz(x, dx) = z'y(y) dy (х, dx), т. е. выражение для дифференциала сложной функции через дифференциал промежуточного аргумента имеет такую же форму, что и основное определение dz (х, dx) = = z'x (х) dx (это утверждение называется инвариантностью формы 1-го дифференциала). 5.276. Доказать, что для линейной функции у~ах^\-Ь приращение А// и дифференциал dy совпадают. 5.277. Найти приращение by и дифференциал dy функ- ции z/ = x3, соответствующие значению аргумента х0 = 2 и двум различным приращениям аргумента (Дх)1 = 0,1 и (Ах)2 = 0,01. 5.278. Найти приращение AS и дифференциал dS пло- щади S квадрата, соответствующие приращению Ах сто- роны х. С помощью рисунка геометрически истолковать AS, dS и разность AS—dS. * 5.279. Материальная точка М движется прямолинейно по закону s = f (/), где t—момент времени, a s—пройден- ный путь за промежуток времени от 0 до Дать меха- 212
ническое истолкование дифференциала пути ds, соответ- ствующего промежутку времени = — tt. 5.280. Используя результат предыдущей задачи и фор- мулу (2), найти приближенно путь As, пройденный точ- кой М за промежуток времени от /г=3 до t2=^ 4, если закон движения точки М задан формулой s=l + arctg£. Сопоставить ответ с точным значением As. 5.281. Для функций: a) f(x) = xn и б) <р (х) — sin х найти значения аргумента х, при которых дифференциалы этих функций не являются эквивалентными их приращениям при Ах —> 0. 5.282. Дан отрезок [х0, х0 + Ах] изменения аргумента х функции y = f(x)\ &у и dy—соответствующие'приращение и дифференциал функции у. Возможны ли равенства: 3 1 a) dy = у А//, б) dy — ку, в) dy~-^- &у на всем этом отрезке? 5.283. Ребра куба увеличены на 1 см. При этом диффе- ренциал (1У объема V куба оказался равным 12 см3. Найти 'первоначальную длину ребер. 5.284. Радиус круга увеличен на 1 см. Дифференциал площади круга оказался при этом равным 6л см2. Найти первоначальную величину радиуса. Найти дифференциалы указанных функций при произ- вольных значениях аргумента х и при произвольном его приращении Ах —dx: 5.285. хУа2—x2 + a2arcsin ——5. ' а 5.286. sinx—xcosx-f-4. 5.287. xarctgx — InKl+x2. 5.288. xlnx—хЦ-1. 5.289. xarcsinx + Kl—x2—3. При вычислении дифференциалов неявно заданных функций удобно использовать основные свойства дифференциала, перечислен- ные в задачах 5.274 и 5.275. Пример 2. Найти dy, если функция у — у(х) задана неявно уравнением 1п|=ху. (3) Перепишем (3) в виде тождества In ^^-==X2f/2 (х) И вычислим дифференциалы левой и правой части. Используя свойства Дифференциала, находим /, у \ I , / у \ х xdy — y dx I. 1 . \ х ) у/х \ х J у X2 у X2 d (х2у2) — х2 d (у2) -\-у2 d (х2) == 2х2у dy + 2ху2 dx. 213
Приравнивая полученные выражения, получаем ~ dy---y dx — 2х2у dy-]-2xy2 dx. У х Из этого уравнения, линейного относительно dy* находим окопча- тельное выражение для dy через х, у и dx: . у 1 ф 2x3z/2 , l—2x2y*dx' Отсюда, в частностиможет быть получено и выражение для производной неявной функции: 1 + 2*3#2 х2 1—2х2у2- ’ > Найти дифференциалы следующих неявно заданных функций: 5.290. у^ + у—х2=1. 5.291. х* + у*=х2у2. 5.292. х2/3-}-у2/3— а2/3. 5.293. еу = х + у. 5.294. у = х ф- arctgу. 5.295. y = cos (хф- у). 5.296. arctg = In Ух2 ф у2. 5.297. cos(xz/)=x. В задачах 5.298—5.302 произвести указанные прибли- женные вычисления, используя замену приращения &у подходящей функции y = f (х) дифференциалом dy этой функции при малой абсолютной величине приращения Дх аргумента х. 5.298. Вычислить приближенно: a) arcsin 0,05; б) arctg 1,04; в) In 1,2. 5.299. Обосновать приближенную формулу з /—Г'~л- ’ 3 /“ । / х ф Дх » у х -{--7. • 3 у х2 и вычислить по этой формуле р/25. 5.300. Найти приближенное значение функции /(х) = *= при х= 1,2. 5.301* . Найти приближенное выражение для прираще- ния ДУ объема V прямого кругового цилиндра с высотой h при изменении радиуса основания г на величину Дг. 5.302* . По закону Клапейрона объем V, занимаемый газом, давление газа р и абсолютная температура Т свя- ваны формулой pV = RT, где — газовая постоянная. Найти приближенное выражение для приращения ДУ объема У при изменении давления р на величину Др, считая неизменной температуру Т. 214 И
2. Дифференциалы высших порядков. Рассмотрим дифференциал /г dy(x, = (х) AjX как функцию х при фиксированном Дх = Дгх. Предполагая, что функция y~f(x) дважды дифференцируема в точке х, найдем дифференциал от dy (х, Дхх) при Дх = Д2х: d (dy (х, Д,х)) |x> Дх=ДгХ=Г (х) Дре Д2х. I Значение полученного выражения при AfX = A2x=dx называется вто- L рым дифференциалом или дифференциалом 2-го порядка функции I и обозначается символом d2y (х, dx). Таким образом, d2y — f* (х) dx2. Аналогично d?y — d (d2y) ~f"e (x) dx% dny = d(dn~ ly) = (x) dxn. Найти дифференциалы 2-го порядка указанных функ- I ций у аргумента х: 5.303. у = a sin (bx + с). 5.304. у = З'Л 5.305. y = ^L. 5.306. y = ax2 + bx-]-c. 5.307. у — -«—з—г-п. у х2—Зхф-2 5.308. у — V1 —х2 arcsin х, 5.309. у = 1п(х + КГ+х5). 5.310. у = arcsin (asinx). 5.311. Доказать, что второй дифференциал сложной функции z (х) = z (у (х)) выражается через дифференциалы dy и d2y промежуточного аргумента формулой d2z = Zyy dy2 -f- Zy d2y, *4 Для первого дифференциала имеем (см. задачу 5.275) dz — zydy, откуда, дифференцируя еще раз (по х, но используя инвариантность формы первого дифференциала), получим: d2z = d (dz) =d(zydy)=zyd (dy) -}-dy<d (zy) = z'y d2y+zyy dy2. Этот пример показывает, что дифференциалы 2-го порядка (и бо- лее высоких порядков) не обладают инвариантностью формы, свойст- венной дифференциалам 1-го порядка (см. задачу 5.275). Найти дифференциалы 2-го порядка следующих неявно заданных функций: 5.312. ху + у2^ 1. 5.313. (х—а)2 + (#—b)2 = R2. 5.314. х3 + у3 = у. 5.315. х = у—asiny. 215
3. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора 1. Теоремы о среднем. Теорема Ролля. Если функция f (х) непрерывна на отрезке [a, Z?], дифференцируема при x(~(at b) и f(a) = f(b), то существует по крайней мере одна точка £ £ (а, /некая, что f' (£) = 0. Точки, в которых /'(%)= 0, называются стационарными точками функции f (х). Теорема Лагранжа. Если функция f {х) непрерывна на отрезке [с, Ь] и дифференцируема при х g (а, Ь), то существует по крайней мере одна точка £ g (а, Ь) такая, что f(b)—f (а) ~ Г О * Ф—а) {формула Лагранжа) Теорема Коши. Если функции f {х) и g (х) непрерывны на отрезке [а, Ь], дифференцируемы при х £ (а, Ь) и g' (х) Ф 0 для всех х £ (а, Ь), то существует по крайней мере одна точка g g {а, Ь) такая, что fW-Ha) Г(£) g(fe)—g(a) g' (fe) {формула Коши) 5__д.2 5.316. Функция /(х)==—— имеет на концах отрезка [—1» 1] равные значения (проверьте!). Ее производная /' (х) равна нулю только в двух точках х = ±|/*10 (про- верьте!), расположенных за пределами этого от- резка. Какова причина нарушения заключения теоремы Ролля? 5.317. Показать, что функция /(х)=х2—1 на отрезке [—1, 1] удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Найти все стационарные точки этой функции. 5.318. Пусть /(х) = х(х—1) (х—2) (х—3). Доказать, что все три корня уравнения /'(х) = 0 действительны. 5.319* . Доказать, что уравнение 16х4—64x4-31 = 0 не может иметь двух различных действительных корней на интервале (0, 1). 5.320* . Доказать, что уравнение ех~14-х—2 = 0, имею- щее корень х=1 (проверьте!), не имеет других действи- тельных корней. 5.321* . Доказать, что если функция / (х) непрерывна на отрезке [я, Ь] и дифференцируема на интервале (а, Ь), то функци я F (х) = (/ (х) — f (a)) (b—a) — (/ (b)—f (а)) (х—а) имеет по крайней мере одну стационарную точку на ин- тервале (а, Ь). 5.322. Записав формулу Лагранжа для функции f (х) — =J/3x34-3x на отрезке [0, 1], найти на интервале (0, 1) соответствующее значение £. 216
5.323. Доказать, что если производная /' (х) тождест- венно равна нулю на интервале (а, 6), то функция f(x) постоянна на этом интервале. 5.324. Доказать, что если f' (х) > 0 (/' (х) < 0) на ин- тервале (а, Ь), то функция f (х) монотонно возрастает (монотонно убывает) на этом интервале. Функция f (х) удовлетворяет условию Липшица на интер- вале (я, Ь), если существует такое Л КД > 0, что I f — f (Xjj | К • | x2 — xj | для любых Xi, x2 g (a, b). 5.325. Доказать, что если sup f' (x) = 7Vl, то функция 1 a < x < b f(x) на интервале (a, b) удовлетворяет условию Липшица с константой К, равной М. 5.326* . Пусть / (х) и <р(х) дважды дифференцируемы на интервале (я, Ь). Доказать, что если f" (х) = <р" (х) на (а, Ь), то / (х) и ф (х) отличаются на линейное слагаемое. 5.327. Доказать, что, если функция / (х) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на [a, ft], то |/(Z?)—/ (а) т - (Ь—а), где m = inf f' (х). а < х < b 5.328. Записав формулу Коши для /(х)~2х3+ 5х-ф 1 и g(x)=x2 + 4 на отрезке [0, 2], найти значения 2. Правило Лопиталя — Бернулли. Раскрытие неопреде- ленностей типа -Q- и Пусть при х—>а функции / (х) и ф (х) обе бесконечно малые или обе бесконечно большие. Тогда их отно- шение не определено в точке х = а, и в этом случае говорят, что оно „ 0 оо представляет собой неопределенность типа -д- или соответственно —. Однако это отношение может иметь предел в точке х = п, конечный или бесконечный. Нахождение этого предела называется раскрытием неопределенности. Одним из способов раскрытия неопределенностей типа -т- и — является правило Лопиталя — Бернулли, основанное на следующей теореме, носящей их имя. Теорема. Пусть в некоторой окрестности U точки х^=а функции f (х) и (х) дифференцируемы всюду, кроме, может быть, самой точки х — а, и пусть <р' (х) Ф 0 в U. Если функции f (х) и <р (х) являются одновременно либо бесконечно малыми, либо бесконечно болъ- Г W шими при х—>а и при этом существует предел отношения их производных при х —> а, то тогда существует также и предел отно- / (х) А. шения - самих функции, причем 41 f W _ ? (*) lim * z lim • r- • x -> а ф (x) x » а ф (x) (1) 217
Правило применимо и в случае, когда а=оо. е^х_____________________। Пример 1. Найти lim --7—=— X -> о arctg 5х О \ ность типа 'o' 1•' Используя формулу (1), получаем: е2х~ 1 2е2х 2 hm —7—hm --------------= -^-5 х -> о arotg 5х х о 1 г 5 1 + 25х2 т. е. раскрыть неопределен- поскольку е2х—>1 и —*1 при х—► 0. ► 1 j" ZrfOX n « 0 В некоторых случаях раскрытие неопределенностей вида — или 00 „ —- может потребовать неоднократного применения правила Лопиталя— Бернулли. In2 X / Пример 2. Найти lim —х— ( т. е. раскрыть неопределен- X + oo х \ 00 \ кость типа — . оо / Применяя дважды формулу (1), получаем: 2 In х 1 1п2х .. х 2 1пх 2 х л hm —х-= hm - о = -3- hm —х-=-5- hm -—-=0. > х -> -Г oo х X -> + оо Зх 3 X -* + OO х 3 х -* + ОО Зх2 На каждом этапе применения правила Лопиталя — Бернулли сле- дует пользоваться упрощающими отношение тождественными преобра- зованиями, а также комбинировать это правило с любыми другими приемами вычисления пределов. гт о ТТ v v tg X —Sin X Пример 3. Наити hm----------------- X о О \ деленность типа — 1. Используем формулу (1): 1 tg х—sinx cos2x 1 hm ~----------— hm —=— X -+ 0 X3 x -> 0 3x2 3 Освободим знаменатель дроби от множителя имеет предел 1 при х —> 0. Развернем стоящую в числителе разность кубов и освободим числитель от сомножителя (1 -f-cos x-j-cos2 х), имеющего предел 3 при х —> 0. После этих упрощений получаем tg х—sinx '1—cos х * hm —---------- х3 т. е. раскрыть неопре- 1—cos8x hm —5----х—. х -+ о х2 cos2 х cos2 х, поскольку он lim с -> о -2 Применяем снова (1): tg X —sin X hm X -> О 1—cosx sinx ------—lim -----x---= hm -5—. x3----x 0 x2 x 0 2x Используя первый замечательный предел, получаем окончательный ответ 1/2, уже не прибегая вновь к правилу Лопиталя— Бернулли. ► 218
Раскрыть неопределенности типа или 5.330. lim *~ar8ctg -. z->0 5.329. 5.331 И In cos 2x K 0 sin 2x lim 4^-, xn—an ’ т^= п, а =+ О, 5.332, 5.333. 5.334. 5.336. ax—bx hm ——7- , ^0 cx~dx lim?^. K 0 In sin bx g2X„l arcsin 3x v In cos ax hm -7-----r~. lncosZ?x л—2arctg x llm g3/x . X -> + CO 6 -1 gX-g — x ln(l+x) • Ctg X—1 sin 4x а=^Ь, с ^d. 5.338. 5.340. 5.342. lim к -> 0 lim л 5.335. lim х->5 Ух — /5 5.337. lim eX-e~x~2^ . ЛО X — sin X 5.339. lim --~sin*.. х-»о х—tgx рЗх_Qv-_1 5.341. lim——-. x_o sin25x - оло г %3 — 4х2 + 5х—2 5-343. hm -з_5х2Х7х-3 5.344. lim , т > 0. 5.345, Х"> lim 'j1*-— x_> +0 4-2 In sin x 5.346. lim 7-75-------г. I _ о In (1 — х) 3XX 5.347. lim cosx.ln(x-3) л-^з + о 1п(е*—е3) 5.348. lim ->1-0 1 / i x i x TtX ln(l—x)+tg-g- ctg лх Раскрытие неопределенностей типа 0«оо и со — оо. Для вычисления lim f (х)ф(х), где /(х)—бесконечно малая, а ф(х)— х -> а бесконечно большая при х—ж п \ * f W ( и* 00), следует преобразовать произведение к виду у- : ( 1 /ф (х) \ • О' ‘ ’ ленность типа — и далее использовать правило Лопиталя— Бернулли. Пример 4. Найти lim sin (х—l)«tg-^- (раскрыть к -*1 * ленность типа 0. оо). Ф ИЛИ К ВИДУ — а (раскрытие неопределенности типа неопреде* оо \ типа — I 00 ] неопределенность неопреде- 219
ТА . / П 4 Т Shi (К----- 1) Имеем: lirn sin (х—= lim ----------------*----- х _> 1 2 к -> 1 г ft% ctg~2" a lim СОЗ(*~?Л) X -* 1 ft 1 2 .. . , 9 их 2 . — lim cos (x—1) sinz-7~^-----. > л x -1 2 л 2 . 2 лх sln T Для вычисления lim (/(x)—ф(х)), где f(x) и ф (х)—бесконечно Ф {х)\ ~~ \ ? затем раскрыть х ~>а большие при х—у а (раскрытие неопределенности типа оо—оо), сле- дует преобразовать разность к виду f(х)( 1 е \ Ф W 00 Г7 ф (х) , . неопределенность типа —. Если lim -4--;- . # 1то f(x) оо - х->а Цх) lim (f (х) —q> (х)) = оо. Если же lim — 1, то получаем неопре- х -► а х -+а I (х) деленность типа оо*0, рассмотренную выше. Приме-р 5. Найти lim (х—1п8х) (раскрыть неопределенность Х-> + оо типа оо — оо). Имеем: (1нЗ х Л 1-------). х / Так как 1 о 3 In2 х*— . „ 21пх*— v 1п х ,, х о 1пах п .. х lim ----— lim -----------= 3 lim ----=3 lim ------?---— X->+oo X x~^ + oo 1 X->4-oo X X-*4-oo 1 TO >=6 lim -^=6 lim Л'->+°о x X-*-+oo 4-=6 lim -=0: 1 x-*- + 00 X lim (x— In8 x)— + 00. ► x->+ 00 Раскрыть неопределенности типа 0-oo или оо — ooi 5.349. lim x(e1/JC—1). 5.350. lim fctgx—Ц. X->GO X->0 \ / 5.351. lim xne~x. 5.352. lim xln3x. X->oo X->+0 5.353. lim (n—x) tg-£-. X-+TC 5.354. lim(ev + tf~*—2)ctgx. 5.355. Мтх2е1/Х‘. x->0 x->0 5.356. lim(x—l)ctgn(x—1). 5.357. lim xsin—. X->1 x->ot> K 5.358. lim lnx-ln(x— 1). 5.359. lim (-U-------- x->l + 0 x-H + O \ ШХ/ 5.360. limf—J---------Y ж_>0 \arctg* x) 220
1 5.361. limf x->l \ 5.362. lim 31' — 2(1-к x) ( X П . cig x 2 cos x — Ctg2X . Раскрытие неопределенностей т и п a 0°, co0, 1°°. Во всех трех случаях имеется в виду вычисление предела выражения (/(х))ф(¥)> где J (х) есть в первом случае бесконечно малая, во втором случае—бесконечно большая* в третьем случае—-функция, имеющая предел, равный единице. Функция же ф (х) в первых двух случаях является бесконечно малой, а в третьем случае—бесконечно большой. Поступаем следующим образом. Логарифмируя предварительно у = (/(%))<₽ W, получаем равенство In г/ = ф (х) Inf (%) (2) и находим предел In у, после чего находится и предел у. Во всех трех случаях In у в силу (2) является неопределенностью типа О.оо (проверьте!), метод раскрытия которой изложен выше. Пример 6. Найти lim ( 1-|—— ) (раскрыть неопределенность Х-> + оо \ х J типа 1°°). (1 \ 2Х / 1 \ 1 +“ ) • Тогда In у ~ 2х In ( 11 является неопределенностью типа оо«0. Преобразуя выражение In у lnfl+1-) к виду In у~ 2— —“» находим по правилу Лопиталя—Бер- нулли 1 I____1\ 1 \ X2 7 1+- х х ' lim In у= 2 lim ----—:----------= 2 lim ---—=2. х->+<х> * #->+<» । j_* ^Х2 ' ’ X Следовательно, (1 X 2Х 1-]---) ~е2. х J Раскрыть неопределенности типа 0°, оо°, 1”: 5.364. lim xsin*. 5.365. lim (arcsin х)^х. x-> + 0 *->+0 1 5.366. lim (л —2x)cos*. 5.367. lim я1"»61-1». x->A-o ^+0 2 5.368. lim xVx. 5.369. lim Ц+2*)1/*. ? > + 00 X-+ + co 5.370. lim (ctgx)1/1™. 5.371. lim (tgx)2*-". ^+0 X-+-2--0 -
5.372. lim 5.373. lim ( 1 +ЛУ* 5.374. lim (cos 2x)3/< 5.375. lim (ex + x)l'x. x-+0 x-+0 5.376. lim f x->a \ 5.377. limf (1 + x)t/X YZ\ 5.378. limf^V. x->0 Xе/ x->0 \ x / 3. Формула Тейлора. Если функция y = f(x) имеет производные до (я-|-1)-го порядка включительно в некоторой окрестности (а) = ~ {х 11 х—а | < 6} точки а, то для всякого x£U§(a) справедлива формула Тейлора (порядка п) f (X) = f(a)+^- (х-а)+-^- (х-«)2 +... f(«) (ch ...+4F(x”“)n+jR"+1W’ где . (х) = -.(х-а)"**, О<0<1 (остаточный член в форме Лагранжа). Таким образом, формула Тейлора порядка п позволяет представить функцию y = f(x) в виде суммы многочлена n-й степени и остаточного члена. В частности, при а = 0 имеем ,и_,(о)+т1+на,.+...+^.+ (формула М а к л о р е н а). 5.379. Многочлен 2х3— Зх2 ф- 5% ф- 1 разложить по сте- пеням двучлена хф-1. 5.380. Для многочлена х4ф-4х2—хф-3 написать фор- мулу Тейлора 2-го порядка в точке а=1. Записать ос- таточный член в форме Лагранжа и найти значение 6, соответствующее следующим значениям аргумента: а) х=0; б) х = 1; в) х = 2. 5.381. Пусть Р(х)—многочлен 4-й степени, Р (2) ==—1, Р' (2) = Q, Р"(2) = 2, Р'"(2) = —12, PW (2) = 24. Вычис- лить Р(—1), Р'(0) и Р"(1). Для заданных функций написать формулу Маклорена n-го порядка: 5.382. у = 6*. 5.383. r/ = sinx. 5.384. z/^cosx. 5.385. г/=1п (1+х). 5.386*. ^-arctgx. 5.387. г/=(1+%)а. 222
Используя формулы Маклорена, полученные в зада- чах 5,382—5.387, написать первые п членов формулы Маклорена (без остаточного члена) для следующих функций: х2 5.388*. у = е~ 2. 5.389*. у — sin2x. 5.390. z/ = sin^. А 5.391. z/ = ln(4 + x2). 5.392. z/=|/8 + x2. 5.393. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции у ———т в точке <2 = 2. Построить графики дан- X 1 ной функции и ее многочлена Тейлора 3-й степени. 5.394. Написать формулу Тейлора 2-го порядка для функции # = tgx в точке а~0. Построить графики дан- ной функции и ее многочлена Тейлора 2-й степени. 5.395. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции z/ = arcsin х в точке я = 0. Построить графики данной функции и ее многочлена Тейлора 3-й степени. 5.396. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции z/ = -—- в точке а=1. Построить графики дан- V х ной функции и ее многочлена Тейлора 3-й степени. Формула Тейлора широко используется при вычислении значе- ний функции с заданной степенью точности. Пусть, например, тре- буется вычислить значение функции f (х) в точке х0 с абсолютной погрешностью, не превосходящей е, если известно значение этой функ- ции и ее производных в точке а. Из формулы Тейлора следует, что f (Хо) « f (a)+^jP (Хо-а)+... + где п0 — минимальный из номеров щ для которых |Я,! + 1 (х0)| < 8. Пример 7. Вычислить число е с абсолютной погрешностью, не ? превосходящей 0,001. Применяя формулу Маклорена к функции f(x) = ex, получаем 11 1 е® ’-«1)=1+-ГГ+эт+-+7й+-ИП)1> 0<в<‘- Наименьшее значение /г, удовлетворяющее условию щ < 0,0019 где 0 < 0 < 1, равно п0 ~ 6. Следовательно,’ *“'+Tr+4-+'"+(Sr=-2’™' - 5.397. Вычислить с абсолютной погрешностью, не пре- восходящей 0,001, приближенные значения следующих чисел: 223
a) sin 1; б) Ke; в) In 1,05; г) |/33. 5.398. Выяснить происхождение приближенных ра- венств: а) —у*2’ 1Х1<^ б) 8/Г+7«1+уХ—уХ2, |Х|<1, и найти их предельные абсолютные погрешности. Остаточный член в формуле Тейлора может быть записан в ф о р- м е Пеано Rn+i (х)=о(|х—п|«), использование которой полезно при вычислении пределов. т-г о т т т 1 —COS3X Пример 8. Наити lim — »- х-+о 5х2 + 7х3 Так как 1 — cos3x —(1— cos х) (1 + cos x-j-cos2 х), а 5х2+7х3~5х2, то 1—cos3x 3(1 — cos х) lim v-d- = Iim ——=-s------- x~»o 5x2+7x3 x_>o 5x2 cos x его разложением по формуле Маклорена cosx=l — Заменяя %2 — '2j”"b0 (*2)> получаем х2 х2 ,, 1—cos3x 3,. 3„ х2/2 5х2 + 7х3 5 х_>о х 5 х_>о х2 х^ поскольку° (*2) ~"7Г ПРИ х—*0- Окончательно 1—cos3x 3 . 5х2+7х8 16' * Пример 9. Найти lim -— , Z ъ • г х->1 х— 1 +sin (Зх—3) По формуле Тейлора sin (2х—2) = sin 2 (х— 1)=2(х.р)^_0 (| х_ 11), sin (Зх—3)=3(Х~‘)4-о (| х—1)|. Следовательно, X—1—sin(2x—2) ' — (X— 1)—о(|х—1|)1 х—1-J-sin (Зх—3) -1Л1 4(х-1)4-о(|х-11) ' Отбрасывая бесконечно малые высших порядков, т. е. переходя в чи- слителе и в знаменателе к эквивалентным бесконечно малым при х—> 1, получаем lim x~l~sin (2х—2) —(х— 1) 1 х-1+sin (Зх-3)"-^"4Д-Ч)—~Т- * 224
5.399. Показать, что разложение по формуле Макло- рена для функций sinx, tgx, arcsinx, arctg %, ex—1 и ln(l+x) можно записать в виде х-4-о(|*|) и что при х —> 0 все эти функции эквивалентны бесконечно малой а(х)~х (и, следовательно, эквивалентны между собой). 5.400. Используя разложение по формуле Маклорена, вычислить пределы: а) ,1шК1+»-Г1-х v-^П X ; б) lim х->0 1—cos х ч «. tg х—sin х в) 1шг-- . j—. х2+%3 ' х3+х4 § 4. Исследование функций и построение графиков 1. Возрастание и убывание функции. Экстремум. Функция y — f (х) называется возрастающей {убывающей) в интервале (а, Ь), если из неравенства Xj < х2, где xlt х2£{а, b) следует неравенство f (xr) < < f (*2) (соответственно f (xY) > / (x2)). Если функция f (x) дифференцируема на интервале (a, b) и f'{x) > 0 при всех x£{a, b), то функция f{x) возрастает на (а, b); если же f' (х) < 0 при всех х£ча, Ь), то f (х) убывает на этом интервале. В простейших случаях область* определения функции y~f(x) можно разбить на конечное число интервалов монотонности. Каждый из интервалов монотонности ограничен критическими точками, в ко- торых f'(x)~ 0 или /'(х) не существует. Если существует такая окрестность U (х0) точки ху, что для 'всякой точки х Ф х0 этой окрестности выполняется неравенство /(х) > f (хо) (или ZW < /(хо))> то точка х0 называется точкой мини- мума {максимума) функции y—f{x), а число f (х0)—минимумом (ма- ксимумом) этой функции. Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума. Необходимое условие экстремума. Если х0 — точка экстремума функции f {х), то f'(Xo) = O или /'(х0) не'существует, т. е. х0 — критическая точка этой функции. Обратное, вообще говоря, неверно. Достаточные условия экстремума непрерыв- ной функции. I) Пусть функция f (х) дифференцируема в неко- торой окрестности (х0 — 6, х0 + §) критической точки х0, за исключением, быть может, самой этой точки. Если при этом в интервалах (х0—6, х0) и (х0, х0 + 6) производная f'(х) имеет противоположные знаки, то х0 — точка экстремума, причем, если /'(х) >0 при xg(x0 — 6, х0) и f'(х) < 0 при xg(x0, х04~6), то х0—точка максимумам если/' (х) < 0 при xg(x0-—6, xj и /' (х) > 0 при х£(х0, х0 + д), то х0 —точка ми- нимума. Если же /'(х) при x£{xQ—6, х0 + 6), х/= х0, сохраняет знак, то точка х0 не является точкой экстремума. 2) Пусть функция / (х) дважды дифференцируема в критической точке х0 и в некоторой ее окрестности. Если /" (х0) < 0, то х0—точка максимума функции /(х), если /"(х0) > 0, то х0—точка минимума. Если же /" (хо) = О, то требуются дополнительные исследования. Пример 1. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции /(x)i=s I 3 Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича 225
Находим производную: х — 2 Г'И = X2 2—х < х8 при при х€(—СЮ, 0)U(0, 1Ь *€(1, +оо). Приравнивая ее нулю, получаем х = 2. Таким образом, критическими точками (с учетом тех точек, где производная не существует) явля- ются: дг1 = О, х2=1, %з = 2. Они разбивают область определения f (х) на четыре интервала монотонности: (—оо, 0), (О, l)s (15 2) и (2,- -|-оо). Так как /'(х) > 0 при xg(—со, O)(J(1, 2) и f'(х) < 0 при xg(0, 1)(J Щ2, +°о), то /(*) возрастает на интервалах (—оо5 0) и (1, 2), убывает на интервалах (0, 1) и (2, +©о)^ в точке х3 = 2 достигает максимума (/(2) = 1/4), а в точке х2=1—минимума (/(1) = 0). Полу- ченные результаты удобно свести в следующую таблицу: Таблица 4.1 X (—со, 0) 0 (0,1) 1 (1> 2) 2 (2, +«о) х 4~ оо 0 1 4 ГЫ >0 не сущ. ' <0 не сущ. >0 0 <0 Заметим, что в рассматриваемом примере первое достаточное условие позволяет определить характер каждой из критических то- чек данной функции. В то же время второе достаточное условие неприменимо в точке х2, так как в этой точке не существует первая производная. > 5.401* . Доказать следующее обобщение второго доста- точного условия экстремума. Пусть х0—критическая точка функции /(х), и первая из не равных нулю производных этой функции в точке х0 имеет порядок k. Если k—чет- ное число, то х0 является точкой экстремума, причем точкой максимума, если /(Л) (х0) < 0, и точкой минимума, если /(А)(х0)>0. Если же k—нечетное число, то экстре- мума в точке х0 нет. 5.402. Исследовать на экстремум в точке х0 функцию f(x) = (x—А?0)*<р(х), где ЙСМ и ф(х) непрерывна в точ- ке х0, причем ср (х0) #= 0. 5.403* . Пусть г/ а ( е-1/х\ х=^=09 ' ( х =7^0, х=0, = { 0, х=0. Доказать, что функция /(х) имеет в точке х0 = 0 мини- мум, а функция g(x) не имеет в точке %0 экстремума, 226
хотя ^>(0)=^)(0) = 0, &CN. Для указанных функций найти интервалы возрастания и убывания и точки экстремума: 5.404. = —х2. 5.405. </ = 2х*~*. 5.406. г/ = -Д-. X4 In X 5.407. г/ = х—2sinx. 5.408. у = х—21пх. 5.409. //= In х—arctg х. 5.410. y = e*cosx. 5.411. у = хх. 5.412. z/ = ch3%+ 1. Наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции f (х) на данном отрезке [а, достигается или в критических точках, или на концах этого отрезка. Определить наибольшее М и наименьшее т значения следующих функций на указанных отрезках (а если от- резок не указан, то во всей области определения): 5.413. у = — Зх4 + 6л-2; [—2, 2]. 5.414. у = х-\-2\Лх\ [0, 4]? 5.415. = [0, 4]. 5.416. у = ±^±^- [0, 1]. 5.417. r/=y^+l— j/x— 1; [0, 1]. 5.418. у = arctg [б, 1]. 5.419. 5.420. у = хе~хг'\ J х2 Ц-1 J Доказать следующие неравенства: 5.421* . ех>\+х, х5^0. 5.422. cosх > 1 — , х^= 0. 5.423. еХ+--— > 1 + ~ , х^ 0. 5.424. sinx-j- igx > 2%, х£(0, л/2). 5.425. Два тела движутся с постоянными скоростями ихм/с и ц2м/с. Движение происходит по двум прямым, образующим угол л/2, в направлении к вершине этого угла, от которой в начале движения первое тело нахо- дилось на расстоянии aim, а второе—на расстоянии Ьм. Через сколько секунд после начала движения расстояние между телами будет наименьшим? 5.426. Для доставки продукции завода в город А (рис. 40) строится шоссе NP, соединяющее завод с же- лезной дорогой АВ, проходящей через город А. Стоимость перевозок по шоссе вдвое больше, чем по железной в* 227
дороге. К какому пункту Р нужно провести шоссе, чтобы общая стоимость перевозок продукции завода N в город А по шоссе и по железной дороге была наименьшей? 5.427. Окно имеет форму прямоугольника, завершен- ного полукругом (рис. 41). Задан периметр р этой фи- гуры. При каких размерах х и у окно будет пропускать * наибольшее количество света? 5.428. Из трех досок одинаковой ширины сколачи- вается желоб для подачи воды. При каком угле а наклона боковых стенок к днищу желоба площадь поперечного се- чения желоба будет наибольшей? 5.429. В треугольник с основанием а и высотой h вписан прямоугольник, основание которого лежит на ос- новании треугольника, а две вершины — на боковых сто- ронах. Найти наибольшую плошадь вписанного прямо- угольника. 5.430. Периметр осевого сечения цилиндра равен 6я. Найти наибольший объем такого цилиндра. 5.431. Цилиндр вписан в конус с высотой h и радиу- сом основания г. Найти наибольший объем вписанного цилиндра. 5.432. Найти наименьший объем конуса, описанного около шара радиуса г. 5.433. Найти наибольший объем конуса при заданной длине / его образующей. 5.434. Определить наибольшую площадь прямоуголь- ника, вписанного в круг радиуса г. 5.435. На параболе у — х2 найти точку /V, наименее удаленную от прямой у~2х—4. 5.436. В полукруг радиуса R вписан прямоугольник с наибольшей площадью. Определить его основание х и высоту у. 228
5.437. Отрезок длины а разделить на две части так, чтобы сумма площадей квадратов, построенных на этих частях, была наименьшей. 5.438. Коническая воронка, радиус основания кото- рой 7?, а высота Я, наполнена водой. В 'воронку погру- жается шар. Каким должен быть радиус шара г, чтобы объем воды, вытесненный из воронки погруженной частью шара, был наибольшим? 5.439. Определить наименьшую высоту h = \OB\ двери вертикальной башни ABCD, чтобы через эту дверь в башню можно было внести жесткий стержень MN длины Z, конец которого N скользит вдоль горизонтальной прямой АВ. Ширина башни \ AB\ = d < I (рис. 42). 2. Направление выпуклости. Точки перегиба. График дифферен- цируемой функции y~f(x) называется выпуклым вниз (или вогнутым вверх) на интервале (о, Ь), если дуга кривой на этом промежутке расположена выше касательной, проведенной к графику функции р==/(х) в любой точке xg(«, b). Если же на интервале (а, Ь) всякая касательная располагается выше дуги кривой, то график дифференцируемой функции на этом интервале называется выпуклым вверх (или вогнутым вниз) (на рис. 43 График функции у — f (х) является выпуклым вниз на интервале (а, х0) и выпуклым- вверх на интервале (х0, Ь)). Если функция дважды дифференцируема на (а, Ь) и f" (х) > О (Г (х) < 0), то ее график является выпуклым вниз (вверх) на этом интервале. В простейших случаях область определения функции f (х) можно разбить-на конечное число интервалов с постоянным направлением выпуклости. Каждый из этих интервалов ограничен точками, в ко- торых f" (х)=0, либо f" (х) не существует. Точка (х0, f(x0)), в кото- рой направление выпуклости графика функции меняется на противо- положное, называется точкой перегиба (см. рис. 43). Достаточное условие точки перегиба. Пусть Функция f (х) дважды дифференцируема в некоторой окрестности ^б(х0) точки х0, в которой Г(хо)=О или f" (х0) не существует. Если при этом в интервалах (х0—6^ х0) и (х0, х0 + 6) производная Г (х) имеет противоположные знаки, то х0—точка перегиба. 229
Пример 2. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба . , |х—1| графика функции у = -——L. Находим вторую производную: Г w = *£(-00, 0)U(0, 1), 2 (х—3) .... , . Г4...» *€(1> +«)• Следовательно, критическими точками первой производной являются точки *1 = 0, %2 = Ь х3 = 3. При этом в точках х± и х2 вторая про- изводная не существует (в частности^ fl(l) = 4, а /+(1) =—4), а в точке х3 она равна нулю. Получаем четыре интервала выпуклости: (—оо, 0), (0, 1), (1, 3), (3, Ч-оо). Исследуя знак второй производной в каждом из этих интер- валов, выводим, что график функции является выпуклым вниз на интервалах (—оо, 0), (0, 1), (3, -(-оо) и выпуклым вверх на интер- вале (1, 3). Следовательно, точки х2 и хз являются точками перегиба графика функции, a не является. Полученные результаты удобно свести в следующую таблицу: Таблица 4.2 X (—00.0) 0 (0. 1) 1 (1.3) 3 (3, +«>) вьш. вниз 4-00 вып. вниз 0 вьш. вверх 2 9 вып. вниз rw > о не сущ. > о не сущ. < о 0 > о Найти интервалы выпуклости графика функции у = = f (х), точки перегиба и угловые коэффициенты k каса- тельных в точках перегиба: 5.440. у — + 5.441. z/ = x44-6x2. 5.442. г/=рЛ(х—2)^ + 3. 5.443. у= j/FR — f/'x^i. 5.444. у = У(х+1)2+^(х—1)а. 5.445. z/ = xe2* + l. 5.446. z/= хIn |х|. 5.447. // = х31п%4-1. 5.448. При каких значениях а и Ъ точка (1, 3) яв- ляется точкой перегиба кривой у = ах2 + Ьх2? 5.449. При каком выборе параметра h кривая вероят- ности y = ~me-h’*z, h>Q, у /л имеет точки перегиба с абсциссами х = ± 6? 230
X I I 5.450. Показать, что кривая у = имеет три точки перегиба, лежащие на одной прямой. 5.451* . Показать, что точки перегиба кривой у ~ х sin х лежат на кривой у2 (4 4- х2) = 4х2. 3. Асимптоты. Пусть для функции y~f(x) существует такая прямая, что расстояние от точки М (х, f (х)) графика функции до этой прямой стремится к нулю при бесконечном удалении точки М ют начала координат. Тогда такая прямая называется асимптотой графика функции. Если при этом координата х точки М стремится к конечному числу а, то полупрямая х~а (у > 0 либо у < 0) является верти- кальной асимптотой. Для существования вертикальной асимптоты в точке х — а необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из преде- лов lim f (х) был равен бесконечности. х -> а ± 0 Непрерывные функции не имеют вертикальных асимптот. Если же координата х точки М стремится к -f-оо или —оо, то имеем наклонную асимптоту y~kx-\-b, для существования которой необходимо и достаточно существование двух пределов lim и lim (f (х)—kx}~b. X оо % Xсо При этом указанные пределы могут быть различными при х—>-[-оо (для правой наклонной асимптоты) и при х—>—оо (для левой на- клонной асимптоты). j у._ ] | Пример 3. Найти асимптоты графика функции у~------------- ◄ Так как функция непрерывна на всей оси, кроме точки х~0, то вертикальная асимптота может существовать лишь в этой точке. Имеем: и, следовательно, прямая х = 0 — вертикальная асимптота. Найдем наклонные асимптоты. Так как |х-1| - v2 / | г_М X lim -------=0 = & и lim ( -------5—-—0«х)= 0 = &5 ±00 х ±а> \ / то прямая ^ =; О» x-f-0 = 0 является одновременно и правой и левой наклонной (в данном случае горизонтальной) асимптотой. > Найти асимптоты графиков указанных функций! 5.452. t/= |/• 5‘453« = 5.454. у = V| х2—31 /х. 5.455. у = 3х + arctg 5х. 5.456. 5.457. X X 231
5.458. г/ = х1п^е+уУ 5.459. у — х arcsec х. 5.460. Доказать, что график целой рациональной функ- ции y = aQxn-{-alxn~1-\-,..-\-an_1x-'ran, п^2, не имеет, никаких асимптот. 4. Построение графиков функций. Для построения графика функ- ции у = f (х) с непрерывной второй производной (всюду в области определения функции кроме, быть может, конечного числа точек) сначала проводим элементарное исследование, выясняющее некоторые особенности функции (если они имеются): симметрия, периодичность, постоянство знака, нули, точки пересечения с осью Оу, точки раз- рыва и т. п. Затем, используя первую и вторую производные, нахо- дим точки экстремума и перегиба, интервалы монотонности и выпук- лости, а также асимптоты. I х_1 1 Пример 4. Построить график функции у~~— < Функция определена и непрерывна всюду, кроме точки х — 0, всюду неотрицательна и равна нулю лишь в точке х=1. Ее иссле- дование проведено в примерах 1—3. Результат этого исследования полезно свести в одну таблицу — объединение таблиц 4.1 и 4.2. При этом следует вычислить и записать в соответствующую клетку таб- лицы /' (3) =—1/27—угловой коэффициент касательной к графику функции в точке перегиба. Рекомендуется также вычислить f- (1) == =—1 и /+(1) = 1 — угловые коэффициенты левой и правой касатель- ных в точке (1, 0) графика. Эти данные помогают точнее построить график функции, приведенный на рис. 44. > Пример Д Построить график функции y~f/x(x—I)2. Функция определена и непрерывна на всей действительной оси и обращается в нуль в точках х~ 0 и л=1. Находим первую производную , = Зх2—4x4-1 _ * 3 . 3 jJ/x2 (х—I)4 х2(х — 1) Приравнивая ее нулю, получаем х~ 1/3. Таким образом, критичес- кими точками функции являются: Xi = 0, х2 == 1 /3, х3 = 1 (в точках Xi = 0 и л3 = 1 производная не существует). Эти точки разбивают область определения на четыре интервала монотонности (—оо, 0), (0, 1/3), (1/3, 1), (1, Доо). Так как у' (х) > 0 при х£(—°°> 6)(J 232
1Ж 1/3)U(1> +со), то у(х) возрастает на интервалах (—-оо, 1/3) и (1,+оо). Аналогично рассуждая, находим, что у' (х)!< О при 1) и, следовательно, функция на этом интервале убывает. В точке х2 = 1/3 функция достигает максимума (у^ах (1/3) f/T « « 0,529), а в точке х3=1— минимума (^min(l) — 0). Таблица 4.3 X (—со, °) 0 (0, 1/3) 1/3 (1/3, 1) 1 (1, +оо) у' > 0 не сущ. > о. 0 - < 0 не сущ. > о > о ' не сущ. < о не сущ. < о У / 0 / 0 / вып. вниз вып. вверх вып. вверх 2 Находим теперь вторую производную у” ------------------ 9 (X—1)4 Критическими точками первой производной являются Xi —0 и х3 = 1 ' , не - существует). Получаем три (вторая производная в этих точках интервала выпуклости исходной функции: (—оо, 0), (0, 1) и (1, ©о). В первом интервале функция вы- пукла вниз (так как у" > 0 при х < 0), а во втором и третьем — выпукла вверх (у" < 0 при х > О, кроме точки х=1). Следовательно, (О, 0) является точкой перегиба графика функции (с вертикальной касательной). Результаты проведенных ис- следований сводим в таблицу (таб- лица 4.3). Для уточнения поведения функции в окрестности точки х=1 заметим, что /_ (1)~— оо, /+(1) = _j_qo, т. е. в точке (1, 0) графика функции левая и правая касательные совпадают, образуя вертикальную касательную. Наконец, определим асимптоты. Так как функция непрерывна на всей оси, то вертикальные асимптоты отсутствуют. Для определе- ния наклонных асимптот находим сначала .. у W 1- 11 m = hm у/X (х— I)2 X 233
а затем lim (у (x) — x) = lim ( f/x (x— I)2 —x) = X -> ±00 x-> ±00 X r ' = lim .............~2Х23У —------=-2/3. X->• ± oo y' X2 (x—l)4-|-XpZx(x—l)2 + %2 Следовательно, правая и левая наклонные асимптоты совпадают и 2 определяются уравнением у — х—. о График функции приведен на рис. 45. ► Построить графики следующих функций! 5.461. // = Ц^- 5.462. z/ = ±x2(x2-3)2. 5.463. 5.465. 5.468. 5.471. 5.474. 5.476. 5.478. 5.479. 5.481. 5.482. 5.483. 5.485. 5.487. 5.489. 5.491. 5.493. 5.464. У-^у. у = -^-г-. 5.466. у=-~У . 5.467. у = -£-г J X6 — 1 J X2 — 1 J X3 —1 /7 = -зХ9 • 5.469. y = 5.470. у = -^—. J х34“2 х4— 1 х3—1 У = -^~л- 5-472. // = -5^-0-. 5.473. « =—* J х2 —4 * х2—3 2—х3 у2 1 уЗ //=Дггт • 5.475. // = -/гт- х2-|-1 х3—I y—f/x+i — р/х—-1. 5.477. у = р/х2—2х. У = :,Д-=-- + iZ— . 5.480. у = l/x+1 j/x—1 J v у — р^х± 1 + р/ х— 1. у=у/ х34-1ф-р/ х3 — 1. X3 у = г—=- . и |Лх4+1 X3 У — т-7—: 3 р/х3 + 2 X3 у — /(х«+2р 5.484. у= . а Кх2+1 у2 . 5.486. y = * j/x3—4 . 5.488. // = ---..x2 Кх2+1 v/x3+2 г У = Х---2—. 5.490. у^ .z. * * а р/(х3+1)8 V |Х2—3| - лпп у = —1-----L . 5.492. у = , - х У х-х—1 | £=/|х2—1|. 5.494. ^ = /|х2—2 Is. 234
5.495. # = sin лг-j-cosx. 5.496. , 5.497. у s= x arctg x. 5.498. y = -j-^arcctgx. 5.499. y = e2x-xf. 5.500. y = xe-x2l\ 5.501. y = ±e-i'x. 5.502. t/ = 4e-1^2. 5.503. y — xe1,x. 5.504., ^ = 1е-1/Л 5.505. y = (x—2)e-!/\ 5.506. y = (2x— 1) <?*/*. 5.507. у = (x2+ 1) e-^2. 5.508. у = xWx. 5,509. z/ = x3e~^2. 5.510. z/ = ln(z + |Zx2 + 1). 5.511. z/ = ^- 5.512. = 5.513. z/ = x2Inx. 5.514. y = 5.515. z/ = x2ln2x. 5.516. у = x2/ln J x |. 5.517. y — x ln2|x|. 5.518. z/ = ln|x2—1|. 5.519. у = In2|x |. 5.520. y = xx, x>0. 5.521*. y~xll\ x > 0. 5.522. z/ = (l+x)’^, x> — 1. 5.523*. y = ~. Построить кривые, заданные параметрически: 5.524. x = te*. у = 1е~*, / £ R. Проведем вспомогательные вычисления: х/' = (1 + 0е‘, «//'=(! —y'x=Y^rte~2tf ' «« = (2 + 0^. yu = {t—2)е-/, to = 2 Z , /^3 e~?t- \ll4 Так как х/ = 0 при t~—1 и х'ц (—1)=~ > 0, то xmin= — Так как yt=^O при / = 1 и = —у<0, то утах=~- • Отсюда следует, что кривая расположена в области {(х, #)|xg[—1/е, 4-ос), —оо, 1/е]}. Из выражения для производной уех определяем кри- тические точки /1=1 Gx0) = °) и /2 =—1 (у'х(— 1) не существует). Критические точки первой производной находим из выражения для второй производной у'хх : /3 = К 2 (у'хх (У' 2) = 0), /4 = — ]/" 2 (Ухх(г-V 2)=0) и/б = -^1 1) не существует). Следовательно, А (~У~21е^ % — 2) и В (У~2е^ 2, У 2/e^ 2)— точки пере- гиба. 235
Наконец* находим асимптоты. Если, t—> —оо? то х—>0, а у—> — оо, т. е. х = 0 — вертикальная асимптота. Отметим, что при приближении точек кривой к этой асимптоте их координата по х остается отрицательной. Если t—>+оо* то х—>-|-оо* а у—> О, Т а б л и ц а 4.4 t X у Ух » У XX Поведение кривой ( — 00, -Г2) <0 < о <0 < 0 Выпукла вверх, убывает* х = 0 — вертикальная асим- птота —]/~2 Z^ —Z 2е1'”2 > 0 Точка перегиба . -О <0 < 0 <0 > 0 Выпукла вниз, убывает —1 е — е не сущ. не сущ. Точка возврата (-1,1) >0 < 0 Выпукла вверх* возрастает, точка (0, 0) лежит на кривой 1 е 1 е 0 Максимум (1, К 2) > 0 >0 < 0 < 0 Выпукла вверх* убывает О */~2 Z 2 К~2 Z^ 0 Точка перегиба (К"2. +<») >0 >0 <0 > 0 Выпукла вниз, убывает, у == 0 — го- ризонтальная асимптота 236
т. е. у~ 0—горизонтальная асимптота. Точки кривой при прибли- жении к ней имеют положительную координату по у. Результаты исследования сводим в таблицу (таблица 4.4) и де- лаем. все необходимые выводы в правой ее колонке. Кривая приве- дена на рис. 46. > 5.525. х=/2--2/, z/ = /2 + 2/, i £ R. 5.526. y^2t + e~2t, t £ R. 5.527. я = я cos3/, у= asin3/, / £ [О, 2л). 5.528. x=/3—3л, y^t* — 6arctg /, / g R. Построить следующие кривые, заданные в полярной системе координат! 5.529. г — tfsin 3<р. 5.530. г = а (1 4~ cosq;). 5.531. г = |/л/ф. 5.532. r2 = 2«2cos2<p. § 5. Векторные и комплексные функции действительной переменной 1. Определение вектор-функции действительной переменной. Если каждому значению действительной переменной /^DczR по- ставлен в соответствие вектор то говорят, что на мно- жестве D задана вектор-функция a~a(t) действительной переменной f Задание вектор-функции a~a{t) равносильно заданию трех числовых функций ах (t), az (/)— координат вектора а: а=сх (/) Z+ау (t)j-\-az (f) k, -или, кратко, а = (пх(/), (/), az (0)« Если вектор а является ра- диус-вектором точки М(х,'у, z), то соответствующую вектор-функ- цию принято обозначать: г =г (/) =х (0 i+y (0 J+г (0 k. 237
Годографом вектор-функции r — r(t) называется линия, описы- ваемая в пространстве концом вектора г. Всякую линию в прост- ранстве можно рассматривать как годограф некоторой вектор-функ- ции. Параметрические уравнения годографа: x = y = y(t), z = z(t). Пример 1. Найти годограф вектор-функции 1 _/2 9/ «4 Имеем параметрические уравнения годографа х— 1-I-/2’ z~l- Исключая параметр /, получим Следовательно, годографом вектор-функции г (/) является окруж- ность х2 -± у2 ~ 1, z=l, из которой исключена точка (—1, 0, 1), получающаяся в пределе при t —> ±оо. & Найти годографы вектор-функции: 5.533. r-(2/ —l)i + (—3/ + 2)/ + 4/й, 5.534. r=Vl —Z2j+K1 + t*J, te [О, 1]. 5.535. г = 4 ch t.-i—j-|-3sh/-&, t g R. 5.536. r = 3« + (2/ —/2)/, /£R. 5.537. r = cos /-i + sin t /+ tk, ZgR. 5.538. r = 2 cos31 i -\-2 sin3 i j, /€[0, 2л]. 5.539. r = /i + /2J + i3ft, /£R. 5.540. r = cos2 t-i 4-sin t cos t j-f-sin t k, /£[0, 2л]. 5.541. r = 5cos/-i + 4sin/-j4-2fe, t £ [0, 2л]. 5.542. r = (sh/ —l)i + ch2rj + 3*, t € R. 2. Дифференцирование вектор-функции. П роизводной вектор-функ- ции a~a(t) по аргументу t называется новая вектор-функция Ит Пт + dt -д/^о А/ д/ -> о - М Если а (/) = (ах (/), ау (/), az (/)), то da fda* (0 day (0 daz (0\ dt \ dt ’ dt ’ dt ) * Если r = r (t) = (x (0, y(f), zlfij), то производная есть век- тор, направленный по касательной к годографу вектор-функции г (/) в сторону возрастания аргумента t. 238
„ , dr Если t—время, то есть вектор скорости конца вектора г. Правила дифференцирования векто р-ф у н к ц и и (а=о(0, &=&(/)). de 1) -^-=0, где с—постоянный вектор. ~ d - . da 2) — (сш) = а—, где а—постоянный скаляр. (XL (XL о, d . , da - db .. d . . dep , da ... . 4) -yr №«) = —ту- «+ф -^7- , где ср—ф (/)—скалярная функция от t, (XL (XL (XL b)+y ~dt)- .1 . Г db 1 >*] + [«- IF]- da fcfcp z_ , где ф=ф (/)—скалярная функция от t d г . _ Г da 6> dtla’ Ь^Ы 7) 4a(f₽ W) 5.543. Доказать, что [a, если |а| = const. 5.544. Дано уравнение движения r — 3/i — 4tJ. Опре- делить траекторию и скорость движения. 5.545. Дано уравнение движения г = 3/г + (4/ — Z2)/. Определить траекторию и скорость движения. Постро- ить векторы скорости для моментов / = 0, /==1, / = 2, /==3. 5.546. Дано уравнение движения г = 2 (/—sin /) i + + 2 (1 —’Cos /)/. Определить траекторию и скорость дви- жения. Построить векторы скорости для моментов / = л/2, / = 5.547. Найти единичный касательный вектор годографа вектор-функции r = e2ti — + при / = 0. 5.548. Найти единичный касательный вектор годографа вектор-функции г ~ (Р + /) i + Pj при i = — 1. 5.549. Найти производные вектор-функциш a) r = sin/-/4-cos2/-J+sin/cos/-^; б) г = / cos t • i +1 sin t j + tk\ в) r = (/ + cos/)/ + ^/+sin/-^. 5.550. Найти производные вектор-функциш а) г = Л' + соз/-У+(/2+ 1)Л в точке (1, 1, 1); б) r = /3t + ((+ 1)2/+/С2+ 1 й при ( = —2. Б.551. Найти (а, Ь), если e = b = i + iJ+l2k. 239
5.552. Найти [а, Ь], если a~i-\-tj-\-t?k9 — j Л~ д 5.553. Найти , если а = ui + u?j + u3k, где и = sin t. Если г — г (/) = (х (/), y{t}, z (/)), то d2r____________ d / dr \_/ d2x d2y d2z\ dt2 dt\dt ) \ dt2 ’ d42 ’ dt2) * . d2r dv Если t—время, то -^2-=-^y- = w — вектор ускорения конца век- тора г. 5.554. Найти вторые производные вектор-функций: а) г = cos М4-еУ+(/2+1) й, б) г = ti + t cos sin t • k при произвольном t и при / = 0. 5.555. Дано уравнение движения: r = 2(t—sin f) i + + 2(1—cos/)j. Определить ускорение движения. По- строить векторы ускорения для моментов / = л/2, t = n. 5.556* . Дано уравнение движения: г = 3/z‘ + (4Z — £2)/, Определить ускорение w движения и его тангенциаль- ную и нормальную wn составляющие в любой момент t и при t = 0. 5.557. Дано уравнение движения: г = 1/2/2/ + + х/3 (2^+1)3/2/ Определить ускорение движения и его тангенциальную и нормальную составляющие в любой момент t и при / = 0. 3. Касательная к пространственной кривой и нормальная плос- кость. Уравнения касательной к пространственной кривой х = х(/), у — У z~z(t) в точке Л40 (х0, у0, г0), которой соответствует зна- чение параметра tQ, имеют вид х—Хр У.—Уо _ z—Zp dx I dy Г <dz I * dt dt |/= t0 dt I/=д где x, у, z—текущие координаты точки касательной. Уравнение нормальной плоскости в той же точке: +^-^4 L t +<г-го> |,=/о=°- Пример 2. Доказать, что касательная к винтовой линии г = (я cos t, a sin ty bt) образует постоянный угол с осью Ог. Найдем вектор; касательный к годографу вектора гз dr ± ± ч —г- = (— a sin t9 a cos /. b). dt 4 • ’ 1 240
Отсюда cosГл т= -~г-________=“» | dr I dt -| т. е. у = const. > Пример 3. Написать уравнения касательной и нормальной плоскости к кривой x~t2—1, y~t-\-\, z~t* в точке Л40 (0, 2, 1). Данной точке соответствует значение параметра /=1. Имеем. Подставляя значение / = 1, получаем dx I _dy_\ I _ dt |/=i ’ dt |/=i ’ dt |/=i * Уравнения касательной: x у — 2 z— 1 Уравнение нормальной плоскости: 2 (х— 0)+ 1 -(у — 2) + 3 (г— 1) =0, или 2* + */4~Зг—5 = 0. > Для каждой из следующих кривых написать уравне- ния касательной и уравнение нормальной плоскости в данной точке: 5.558. х = 4 sin2 /, у = 4 sin t cos t, z = 2 cos21 при t = л/4. 5.559. х = = г = 4/4 ПРИ z = 2. 2^3 4 r 5.560. x = acht, y~as\\t, z = at при t = 0. 5.561. + 10, ;/2+?г = 25 в точке Л40(1, 3, 4). 5.562. 2х'г + Зг/2 + г2 = 9, Зх2 + #2—г2 = 0 в точке Мо(1, -1. 2). 4. Дифференциальные характеристики плоских кривых. Пусть кривая в плоскости Оху является годографом вектор-функции г = г ($) = (х (s), у (s)), где s—длина дуги кривой. Кривизной кривой в точке Л40 называется число К = Нш м-+м0 ф As где ср — угол поворота касательной, соответствующий дуге MQM (рис. 47) данной кривой, a As—длина этой дуги. Величина R~\/K называется радиусом кривизны. Кривизна К определяется соотношением Л — Ids2 I' Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича 241
Формулы для вычисления кривизны: 1) если кривая заданД уравнением в явной форме у — f (х)> то (1+^2)3/2 2) если кривая задана уравнением в неявной форме х) F (х, у) ==» «= 0, то F хх Р ху F х Fху Fyy F у J<== F'x F'y 0 . (^2+f;2)3/2 ’ 3) если кривая задана параметрическими уравнениями х = х(1), y = y(t), TO I *' у' I к== К /I (Л'24-/2)3/2 ; 4) если кривая задана в полярных координатах уравнением г = г (ср), то г24-2г/2--гг" “ (г2 + г/2)3/2 (соприкасающейся окружностью) кривой Окружностью кривизны в ее точке М называется предельное положение окружности, прове- денной через точку М и две другие точки кривой Р и Q, когда Р—*М и Q—+М. Радиус окружности кривизны равен радиусу кривизны в соответ* ствующей точке Л4, а центр окружности кривизны (центр кривизны) кривой, сторону на ходится на нормали к проведенной в точке М в вогнутости кривой. Координаты X и Y Кривизны равны v__r */'(1+/2) Х~х-------, 14-w'2 г у центра Эволютой кривой называется линия, описываемая центром кри- визны при движении точки по кривой. Формулы для координат центра кривизны определяют параметрические уравнения эволюты. Пример 4. Найти уравнение эволюты параболы #2 = 2(х4~1). Имеем 2уу'~-с2, т. е. у'——. После повторного дифференцировав z/'2 1 ния получаем y'2~Yyyn — откуда . Находим ко- *) Здесь используются частные производные функции двух пе- ременных; определение см. в п. 3 § 1 гл. 7. 242
ордцнаты центра кривизны: 1+/2 у" . 2 8 2 У*. тем самым найдены параметрические уравнения эволюты; Исключив параметр у, найдем уравнение эволюты в виде о Вычислить кривизну данной кривой: 5.563. у — х3 в начале координат и в точке М (1, 1). 5.564. х’- + 9у2 = 9 в вершинах эллипса А (3, 0) и В (0,1). 5.565. х2—ху-\-у‘г = ^ в точке Л4(1, 1). 5.566. x = /2, y — t —73/3 при t=\. 5.567. х = 1/^2, f/ = 7s<3 в точке М 1/3). 5.568. г — а(1—costp) в любой точке и при (р — л. 5.569. r2 = a2sin2<p при ф = л/4. Найти радиусы кривизны (в любой точке) данных кривых: 5.570. а) у^Ух-, б) 5.571. а) х2/3 + у2/3 = я2/3; б) x = acost, y = bsint. 5.572. x = a(t—sin/), y = a(l—cost), 5.573. a) r2 = a2 cos 2<p; 6) r — aq. 5.574* . Вершиной кривой называется такая ее точка, в которой кривизна имеет максимум или минимум. Найти вершину кривой г/ = е~х. 5.575. Найти вершину кривой г/ = 1пх. Вычислить координаты центров кривизны и написать уравнения окружностей кривизны данных кривых в ука- занных точках: 5.576. у = ^-£ в точке М (0, а). 5.577. у = е~х‘ в точке М (0, 1). 5.578. у = хех в точке М (—1, —1/е). 5.579. y = sinx в точке М (л/2, 1). 5.580. х=а(/—sin /), у=а (1— cos t) в точке М (ла, 2а). Найти эволюты кривых: 5.581, а) у — х3', б) х2—г/2 = а2; в) х2/3 + у2/? = а2/3. 243
5.582. х = a In — — --V a2—y2. 5.583. x = 2t, y=t2—2. 5. Дифференциальные характеристики пространственных кри- вых. Во всякой неособой точке М (х, у, г) пространственной кривой г = г(/) можно построить три взаимно перпендикулярных вектора: dr . „ 1 (направляющий вектор касательной), Idr d2r ] "dT ’ ~di2' (направляющий вектор бинормали), N~[B, Г] (направляющий вектор главной нормали) или соответствующие им основные единичные векторы'. Т Л В N т~ |Т| ’ р_ |Я| ’ v~ |7V| ’ которые можно вычислить dr ds также по формулам: dx /1 dx I о r _ V==7F Th р = [т> V]. ds I Трехгранник с вершиной в точке 7И0, ребрами которого служат каса- тельная, главная, нормаль и бинормаль, называется естественным трехгранником (триэдром) пространственной кривой. Гранями его являются плоскости: соприкасающаяся (проходит через векторы Т и N), нормальная (проходит через векторы N и В), спрямляющая (проходит через векторы В и Т). Уравнения главной нормали имеют вид х—х0 _ у — Уо __ г—г0 Му Nz ’’ где х, у, z—текущие координаты точки главной нормали, N х, N N2 — координаты вектора N. Уравнения бинормали: Х — Ху ‘^ У — Уо _ Z—Zq Вх By В2 Уравнение соприкасающейся плоскости: Вх (х—х0) + В у (у—у о) + Вг (г—zc) = 0. Уравнение спрямляющей плоскости: Nx (х—XoJ + A'y (y—ya) + N2 (z—zo)=O. Пример 5. Найти основные единичные векторы т, v и Р кривой х = 1—sin/, у —cost, z — t в точке М, которой соответствует значение параметра / = 0. Написать уравнения касательной, главной нормали и бинормали в этой точке. < Имеем г — (1 — sin /) J-]-cos t-j+tk, — — cos t-i—sint-JA-k, at । » d^r -7^- —sin t-i— cos /•/. dt2 J 244
При M получим T—dr — jjib d*r T dt l+ki dt2 ' i —1 0 k 1 =-2/. 1 dr d2r IF* “Ж N=[B, T] = Следовательно# Ji 7 k 0 1 = Z -p k # -1 0 ij 1 0 -1 0 — Z+fe' V = — J, 0 3 = •Так как при / = 0 имеем х—1, у~\, z — О, то: х— 1 у—1 z --—=—=—-------уравнени я касател ьнои; х— 1 у—1 2 ——=2_.—=-q-—уравнения главной нормали; х — 1 у—1 г —j—=^--=——уравнения бинормали. ► Если пространственная кривая задана как пересечение двух поверхностей J F (х# у* г) = 0, ( G \х, у, г) = 0, . dr d2r то удобнее вместо векторов и рассматривать векторы dr = (dx, dy, dz) и d2r~(d2x, d2y, d2z), причем можно считать одну из переменных х# у, z независимой и ее второй дифференциал рав- ным нулю. Пример 6. Написать уравнения соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей кривой х2 + г/24-г2 = 6, х2—^/2+г2 = 4 в ее точке М (1# 1, 2). Дифференцируя данные уравнения и считая х независимой переменной# получим: xdx-\-y dy-{-z dz — 0, xdx—у dy-[-z dz~0 и dx2 + dy2+у d2y+dz2 + z d2z=0# dx2—dy2—у d2ydz2z d2z~0. При x=l# y~\i г = 2 имеем: 1 v. О dy = 0, dz =---g- dx-, d2y = 0# d2z -----dx2. Следовательно# dr = ^c/x# 0, —~ dx^j , d2r = ^0, 0# —dx2^j . Заменим эти векторы векторами, им коллинеарными, (2, 0# —I) и 245
(О, 0, —1), откуда i J k 2 0—1 0 0—1 Т = (2, 0, —1), = 2/, N= i j k 0 2 О 2 0—1 = 2(—Z—2ф. В = Отсюда находим: у—1=0—уравнение соприкасающейся плоскости; 2х—г = 0—уравнение нормальной плоскости; х+2г — 5 = 0 — уравнение спрямляющей плоскости. > Найти основные единичные векторы т, v, р и соста- вить уравнения касательной, главной нормали и бинор- мали данных кривых: 5.584. х = е\ у = е~\ z = t при / = 0. / 5.585. x = t—sin/, y=l — cos/, 2 = 4 sin у при t = n. 5.586. x = 2t, y = lnt, z = i2 при /=1. 5.587. y = x, z = 2x2 в точке x=l. 5.588. Написать уравнения плоскостей, образующих естественный трехгранник кривой х = t2 + 1, у = cos /, г = в точке (1, 1, 1). 5.589. Написать уравнения плоскостей, образующих естественный трехгранник кривой х = //)/2, у = tl]^2. z = In sin / при / = л/2. 5.590. Найти векторы т, v, £ и написать уравнения всех ребер и плоскостей, образующих естественный трех- гранник кривой х = (/4~1)2» y = z = K/a+l в точке (1, 0, 1). 5.591. Найти векторы т, v, £ и написать уравнения всех ребер и плоскостей, образующих естественный трех- ( x2 + y2 + z2 = 14, гранник кривой < _9 в точке (1, 2, 3). х —р zy z — z Кривизна пространственной кривой определяется аналогично кривизне плоской кривой. Если кривая задана уравнением г ~г ($), то В случае общего параметрического задания кривой имеем I Г c^r 11 1 __ I I ~dFf dt2 J I A R ~ I dr_ I3 I di j Кручением (второй кривизной) пространственной кривой в точ- ке М называется число 1 п 9 о= — = lim р jv м As 246
где 0—угол поворота бинормали, соответствующий дуге MN. Вели- чина р называется радиусом кручения или радиусом второй кривизны. Если r~r (s), то dr d2r d?r ~ -г I I _ ds' ds2' ds9 T|1Г|— I ?d2r I8 ? I ds2 I где знак минус берется в том случае, когда векторы и v имеют одинаковое направление, и знак плюс—в противоположном случае. Если г = г (/), где t—произвольный параметр, то dr d2r dsr dF dt2 * dt9 I Г dr d2r 112 ' I 1 dt ’ dt2 J I . Пример 7. Найти кривизну и кручение кривой x=e*cosft у = е*51п t, z = et в любой точке. <3 Имеем г = (е* cos t, et sin /, e*), df* ~ = (e* (cos t—sin t), e1 (sin /+cos 0» . -^- = (—2e*sinf, 2e*cos/, e*), -^-===(—2^ (sin f + cos Q, 2e* (cos t—sin Q, e*). Отсюда dr dt ’ d2r 1 dt2 J~“ i e* (cos t—sint) —2e* sin t J k e*(sinf+cos0 2e* cos t e1 dr d2r d?r '7i'~di2' dt3 e* = =e2t (sin t—cos t, — (sin ^+cos 0, 2), gt (cos t — sin t) e* (sin ^+cos t) e1 —2е* sin t 2б* cos t —2e* (sin / + cos/) 2el (cos t—sint) el Следовательно^ e2i У (sin t — cos t)2 + (sin t + cos t)2 + 4 _У 2 e3i (/"((sin t—cos/)2+(sin/4-cos/)2+I)3 3 2^ _e~t °((sin cos /)2 + (sin if + cos //+<) ~‘ Вычислить кривизну и кручение кривых: 5.592. x = у = z = tV2 в любой точке и при 5.593. y~t\ z = в любой точке и при i = 0. 24Т
5.594. х = 3/— Z3, z/ —z^3/-f-Z3, в любой точке и при t = 1. 5.595. x = 2t, y = \nt, z==t2 в любой точке и при Z=l. %3 5.596. у = ~2, z — ~^ ПРИ х—1. 5.597. 2х = у2, z = x2 в любой точке и при у—\.- 2 5.598* . Дано уравнение движения r==ti + t2J + ~^ t?k, Определить ускорение w движения, тангенциальную wx и нормальную wv составляющие ускорения в любой мо- мент t и при t = 1. 6. Комплексные функции действительной переменной. Если каж- дому значению действительной переменной i g D с К поставлено в соответствие определенное комплексное число z = x-\-iy, то г (Z) называется комплексной функцией действительной переменной t с областью определения D: z = z{t) = x{t) + iy (t\ Задание комплексной функции z = z(t) равносильно заданию двух действительных функций x = x(Z), y = y(t)t или заданию вектор- функции Г (Z) = (х (Z), у (/)). Пример 8. Построить' кривую, заданную уравнением z(t}~ __ g(a+i3) t* — оо </<4-оо. Так как г (Z) ~eai (cos р/+ i sin PZ), то | г (/) | ~еа( и arg z.(t) = р/. Полагая Ф=ф/, находим, если Р Ф 0, / = -j£- • Следовательно, г=| г (/) |= 0 (— оо < ф + оо), и мы получили уравнение логарифми- ческой спирали (гл. 2, § 3, п. 5, а также рис. 13, слева), если о$ Ф 0. При а = 0—окружность г=1, при р = 0—луч ф = 0. Производной комплексной функции z (/) называется комплексная функция z' (/)— h’m 2 = V (/)+zV (Z). На комплексные функ- № -> а АГ ции действительной переменной распространяются обычные правила дифференцирования (см. п. 1 § 1). Пример 9. Доказать, что (е^)' = где Л = сс + /р—произ- вольное комплексное число. Пусть z (/) =еМ == е<а+»3) ti тогда х (Z) ~eai cos PZ и у (t)=eui sin р/. Отсюда находим: « xr (Z) = aeat cos PZ — sin PZS у' (/) == aeai sin р/ -|- ^eai cos р/. Следовательно, 2' (/) = xr (/) -}- iyr (/) = (aeat cos p/ — peaZ sin p/) + 4-Z (ctea/sin pZ4-Pfa/ cos PZ) =aeaZ(cos p/-f-i sin pZ) + + i$eat (cos p/ + i sin p/) = ae(a+/Ре<а+/Р>z = = (a + Ф) t = Построить кривые, заданные уравнениями z — z(P), и найти z' (/) 248
5.599. z -- /2 4- it, / £(—оо, сю). 5.600. 2 = 1 — i+te1^, /g(—оо, 4-оо). 5.601. 2 = 2<Д, * € [О, л]. 5.602. г = 3е‘* + е~а, t € (— оо, 4-оо). 5.603. г = (2 4-1)е‘4-(2—1)е~\ te(—oo, 4-00). 5.604. г = 1* + Н*, /€ (—оо, 4-со). 5.605. г = 14- i—t € [0, 2л]. 5.606. z~aea(\— it), a С IR, /£(—oo, + oo). 5.607* . Известно, что г = г(/) определяет закон дви- жения точки на плоскости. Найти компоненты скорости и ускорения nt> направлению касательной к кривой z—z(t) и перпендикулярному к нему. 5.608* . Точка z пробегает окружность | z | = R с посто- янной угловой скоростью, равной единице. Найти вектор скорости точки w, движущейся вместе с г по закону Пусть D — -^ оператор дифференцирования^ т. е. Dz (t)=zf (/). Линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициен- ; тами р (D) = anDnafDа0 определяется следующим образом; р (D) z (t) — anz{n} (/)+... (/) + а.г (/). 5.609* . Доказать следующие свойства линейного диф- ференциального оператора с постоянными коэффициентами! а) р (D) ем = р (X) еи\ б) p(D) (еК1г (t)) — eMp (P+ty г (/), где г (t)—произволь- ная комплекснозначная функция, п раз дифференцируемая при любом t£(—00, 4- °о). Для заданных функций вычислить указанные линей-, ные комбинации производных! 5.610. х" (/) 4- Зх' (/) 4- х (0, если х (Z) — 1е~* cos t. < Заметим, что х (!) = Re(M~l+ly О- Поэтому х" (/) 4- Зх' (/) 4- 4-х(/)•= (О2-|-3D 4- l)z(0 = Re(D24-3D4-l)Ze<-i+»H Используй результат задачи 5.6096), находим: (£>24-3D4-1) /е(-1+((D4- i— I)24-3 (D4-1— 1) 4- 1) t = =е(-1+/И(О2_р2(г—l)D4-(« — l)24-3D4-3 (»—1)4-1) / = =et-i+i)i(D24-(14-2t) D-|-(—24-i)) /=e*_1+z,/ ((1 — 204-1(24-/)) = =e-t (((1—21) cos t—(24-0 sin 04-‘ ((1—20 sin /-b(24-Z) cos 0). Отсюда получаем: x"(04-3x' (04-*(0 = Re(D2-|-3D4-l) /e<-i+Ot = =e_< ((1—20 cos t—(2-|-0sin0 ► 5.611. x'" (04-46x(0; x(/) = e2,cos3/. 249
5.612* . x"(t} —x'(0 + -/4x(0; x(0 = e'/2sint 5.613. x" (t) + 2x' (f)-\-2x(t); x(0 = e*s'n2/ + e-tcos t. 5.614. x'" (t)—x(t); x(t) — t3 sint. 5.615. x"(O~2x'(0 + 5x(0; x(0 = e‘sin2/KT+F. 5.616. 1/2x'(t)—x'(O + ^(OJ x(O = (1 + /2)e/cost § 6. Численные методы функции одной переменной 1. Численное решение уравнений. Корень (а, Ь) уравнения f(x)=O изолирован на отрезке [a, b], если на этом отрезке не со- держится других корней указанного уравнения. Отрезок [а, 6] назы- вается отрезком изоляции корня. Метод хорд. Пусть на отрезке [а, 6] изоляции корня урав- нения f(x)==O выполняются условия: а) функции f (х), f' (х) и f" (х) непрерывны; б) f(a)-f(b)<0; в) функции /' (х) и f" (х) не изменяют своегр знака. Определим числа хп(п = 1, 2, 3,...) равенствами Хп~г~~’ Хо== ь> если f < °- % __ 7 \хп — 1) I V3) ХП — 1) f (ХП — 1) £ / \ £ / если Тогда последовательность (хп)п е сходится к корню g при п—> оо и для всех натуральных п выполняются неравенства I хп I т । М—т. , I хп ъ I ~ I хп xn — i I, где т— rmin |f'(x)l и М = max I Г (х) Ь к < b а < х < b Пример 1. Найти корни уравнения x-arctg х—1 = 0 методом хорд с точностью до 0,0001. Построив графики функций r/ = arctgx и ^=1/х, по расположе- нию точек пересечения заключаем, что указанное уравнение имеет два корня и ^2> равных по абсолютной величине и различных по знаку. Найдем положительный корень gf, выбрав отрезком изо- ляции этого корня отрезок [1, У 3]. Для функции f (х)=х-arctg х—1 имеем. f (x) arctg X + J + » f W - (1 х2)а И Н1Н(Кз)=(£-1)(^ 1 )=—0,2146019-0,8137992 < 0, 250
поэтому условия а), б) и в) выполняются. .Так как /"(*) > 0 при хё[1, Гз], то т /' (х) =с М, где т = /' (1) =^4-1= 1,2853981 , M=f (К 3)=4 + =1,4802102, и т'™Л 515577. Чтобы определить знак произведения f (l)*f(xi), найдем Xi. Поскольку Xi=l— 1,1527608 НК 3>-/(1) и, следовательно? f(l)*f(xi) > 0, то числа хп следует вычислять по формуле v _г . (К 3-Х»-,)/^»-,) П "-1 /(^)-/(хП-!) ’ Сведем вычисления в таблицу: п Хп~1 fUn-i) — Хп — 1) МJ . “— (X/j— Хп~1) 1 1 —0,2146019 —0,1527608 1,1527608 0,0231520 2 1,1527608 —0,0129601 —0,0090807 1,1618415 0,0013762 3 1,1618415 —0,0006758 —0,0004730 1,1623145 0,0000716 Последний столбец определяет предельную абсолютную погрешность 1). Таким образом, = 1,1623 ± 0,0001 и g2 =—1,1623 ± 0,0001. ► Ме^од касательных. Пусть на отрезке 6] изоляции корня £ уравнения f(x)~0 выполняются указанные выше условия а), б) и в) и числа хп (л = 1, 2, 3, ...) определяются равенством — Хп _ 1 Г причем ( а, если х0 =< Ь, если ( с, если f /Q\* f /С\ ** Л* —й) f (fl) (c) > 0, где с = д^ 5 ' . f(c)=O, Тогда последовательность (x„)rt e сходится к корню | при п —> со и для всех натуральных п выполняются неравенства х) Здесь и во всех приведенных далее расчетных задачах проме- жуточные вычисления проводятся с таким числом десятичных зна- ков, которое обеспечивается используемой ЭВМ. 251
где m = min | f' (x) |, 44f = max ]/7'(x)|. ' a-^x^b a^.x^b Пример 2. Найти положительный корень уравнения j>arotg х—1=0 методом касательных с точностью до 0,0001. Как и в_ предыдущем примере, отрезком изоляции является отре- зок [1, У З]. Поскольку для функции f (х) = x*arotg х—1 имеем с~1—= 1,1527608 > 0 и f (1) f (с) > 0, то числа хп f(K3)-/(i) вычисляем по формуле хп ~= )/” 3. / -1/ Функции fr (х), Г (х) и значение т = 1,2853981 найдены 4х Далее, = /" (Г) =0,25, потому что Д"(х) = М< резке изоляции. Наконец, -^-1=0,0972461. Результаты вычислений сведем в таблицу: в примере 1. (rw<0HaoT- п 1 (-^77 — 1) {хп _jJ Хп 1 1,7320508 0,8137992 1,4802102 0,5497862 1,1822646 0,0534645 2 1,1822646 0,0270628 1,3617976 0,0198728 1,1623918 0,0000384 Следовательно, корень уравнения £= 1,16239 0,00004. ► Убедиться в том, что уравнения не имеют действи- тельных корней! 5.617. 2х —х—^ = 0. 5.618. х2—arctg х+I =0. 5.619. (х2 + 2х4-2)2 = 0. 5.620. К2х — 1 4-1g 1 = 0. 5.621. х4—х2+1=0. 5.622* *. Корень £ уравнения /(х) = 0 изолирован на отрезке [а, Ь], функция f (х) непрерывна и f (а)*} (6) < 0. Составить на фортране подпрограмму уменьшения отрезка изоляции в 2" раз, используя последовательное деление отрезка пополам. Параметрами выбрать величины F, А, В, N, где F — идентификатор подпрограммы-функции для вычисления значений функции f (х), А и В — концы ис- ходного отрезка изоляции до вычислений и концы полу- ченного отрезка изоляции после вычислений, N — показа- тель степени в выражении 2П, характеризующем уменьшение отрезка изоляции. 252
5.623. Решить уравнение х3 + я2—3 = 0 комбиниро- ванным методом, применяя метод хорд и метод касатель- ных и сравнивая результаты. Построив графики функций у~хг и у~3— х\ приходим к выводу, что указанное уравнение имеет один действительный корень g на отрезке [1,2]. Уменьшим отрезок изоляции в 4 раза, используя метод половинного деления. Для /(%) —х3-Дх2—3 имеем f(l) =—1 <0 и 21 7(2) = 9>0. Найдем / (1,5) = -^- > 0, поэтому более узким отрезком о изоляции является отрезок [1, 1,5]. Найдя f (1,25) = 0,515625 > 0, получим отрезок [1, 1,25]. Так как с==1~1,1649484 >0 и ип/(о>о, то, применяя метод хорд, необходимо использовать формулу — хп_ I (1,25 f {хп^.\} (л=П 25 3, ...),• а, применяя метод касательных,— формулу ~xn = ~xn-i-(n= h 2( 3, ...), Jo= 1,25. / Un-1) Результаты вычислений сведем в две таблицы: а) для метода хорд: п хП-1 fUn-i) — (X/j — X«_i) хп t 1 1 —1 —0,1649484 1,1649484 2 1,1649484 —0,0619384 —0,0091209 1,1740693 К 3 1,1740693 —0,0031786 —0,0004651 1,1745344 б) для метода касательных: п ХМ-1 f (%И —1) V (xw_i) “(X/j —1) Хи 1 1,25 0,515625 7,1875 0,0717391 1,1782609 2 1,1782609 0,0240767 6,5214179 0,0036919 1,1745690 . При вычислении методом хорд получили возрастающую последо- вательность (х„) приближений корня g: 1 < 1,1649484 < 1,1740693 < 1,1745344 <... < g, 253.,
а при вычислении методом касательных—убывающую последователь- ность (хп): £<...< 1,1745690 < 1,1782609 < 1,25. Совпадающие десятичные знаки членов обеих последовательностей являются точными для корня По заданной предельной абсолютной погрешности 8 значение п, при котором достигается необходимая точность, находится из неравенства | %п %п I < при этом (хл-4~ хп) £ в. Таким образом, £ = 1,17455 £ 0,00003. > Вычислить одним из указанных методов с точностью до 0,0001 действительные корни уравнений: а) методом хорд, б) методом касательных, в) комбинированным ме- тодом: 5.624. х34-2х—8 = 0. 5.625. х3 4-х 4-1 = 0. 5.626. х1—Зх2 + 4х—1 = 0. 5.627. х3 + 2х—30 = 0. 5.628. —Зх2 + х—1 = 0. 5.629. х3 — 2х—5 = 0. 5.630. х3—5х+ 1 =0- 5.631. 2х3—5х24-7х—2=0. 5.632. (х-4- I)3—х = 0. 5.633. х4—2х—2 = 0. 5.634. х1 — 4x4-1 = 0. 5.635. х’4~*4~1 = 0. 5.636. х—у/ 5—х. 5.637. х = 24- х. 5.638. х34-60х—80 = 0. 5.639. х5—х—2 = 0. 5.640. х = 101gx. 5.641. х = 2—1g х. 5.642. х2 = — In X. 5.643. x2 = ln (х4-1). 5.644. 4х = 2х. 5.645. х2 = е*4~2. 5.646. x4-sinx— 1 =0. 5.647. х—cosx = 0. 5.648. х2 = cos X. 5.649. х = arctg х. 5.650. In х = arctg х. 5.651. x24-lnx—4 = 0. 5.652. 5.653. x2-arctg x—1 = 0. Составить на фортране программу решения еле- дующей задачи: найти методом хорд корни уравнения —х = 0 g точностью до 0,0001. 4 Программу следует представить как совокупность трех програм- мных единиц: основной программы, подпрограммы-функции нахожде- ния корня уравнения f(x) — O методом хорд на отрезке изоляции корня Z?J, подпрограммы-функции вычисления значений функ- ции/(х). Подпрограмма-функция вычисления значений функции: FUNCTION F(X) F = EXP(X—2.)-—X RETURN END Подпрограмма-функция нахождения корня методом хорд. Пара- метры: F, А, В, S, EPS, F — имя подпрограммы-функции вычисления 254
значений функции f(x), А и В — концы отрезка изоляции корня, S—наименьшее значение ]/' (х)| на отрезке изоляции, EPS—пре- дельная абсолютная погрешность. FUNCTION CHORD(F,A,B,S,EPS) FA = F(A) FB = F(B) X = A—(В—A)* FA/(FB — FA) FX = F(X) IF(FA*FX.GT.O) GO TO 2 1 x= X —(X—A>FX/(FX —FA) FX = F(X) IF(ABS(FX)/S.GT.EPS) GO TO 1 CHORD = X RETURN 2 X —X—(B—-X)*FX/(FB —FX) * . FX = F(X) IF(ABS(FX)/S.GT.EPS) GO TO 2 CHORD = X RETURN END Операторы FA = F(A),- FB = F(B) и FX = F(X) используются в указанной подпрограмме для того, чтобы избежать лишних вычис- лений значений функции f (х); при исполнении программы запись F(X) влечет обращение к подпрограмме-функции и вычисление соответст- вующего значения этой функции. Основная программа. Анализируя поведение функции f(x)=e*“2— х и ее производной f' (х)=ех~2—1, заключаем, чтауравнение2—х=0 имеет два корня на отрезках [0, 0,3] и [3, 3,2]. Поскольку fn(x) — — ех~2>0, то ff (х) возрастает, и выполняются неравенства —0,864665 = е~2— Kf' (xXr1’7-1-=—0,817316 для xg[0, 0,3], 1,718281 =е—К/'(х)«Се1’2-—1=2,320116 для х^[3,3,2]. Поэтому \ Г (%)1 > 0,8173 в первом случае и |}' (х) [ > 1,7182 во втором. Эти числа вместе с концами отрезков изоляции и заданной предельной абсолютной погрешностью определяют значения параметров, т. е., как говорят, являются фактическими параметрами для подпрограммы CHORD. Основная программа имеет вид: EXTERNAL F ROOT 1 = CHORD (F,0.0,0.3,0.8173,0.0001) . ROOT2 = CHORD(F,3.,3.2,1.7182,0.0001) ’ WRITE (3,1) ROOT1, ROOT2 1 FORMAT (' КОРНИ УРАВНЕНИЯ',F6.4/ и Z,F6.4) STOP END ► Составить на фортране подпрограммы-функции для на- хождения указанным методом корня уравнения f(x) = 0 на отрезке изоляции [я, &]. Параметры: F, А, В, S, EPS; F—имя подпрограммы-функции вычисления значений функции f (х), А и В—концы отрезка изоляции корня, S—параметр, определенный ниже, EPS—предельная аб- солютная погрешность. Параметр FD—имя подпрограм- мы-функции вычисления f (х). 255
5.654. Метод хорд. Параметры: F, А, В, S, EPS, S — = —^т-, где М=тах |/ (х) | и т= min | fr (х) | для х £ [а. &]. 5.655. Метод касательных. Параметры: F, FD, А, В, S, EPS, S = -^-, где A41 = max|/"(x)| и m = min |/'(х) | для х£ [п, Ь]. 5.656. Комбинированный метод. Параметры: F, FD, А, В, EPS. 5.657. Для уравнения /(х) = 0 одной из задач 5.624 — 5.652 составить на фортране подпрограмму-функцию вы- числения значений функции f (х). Составить на фортране программы решения одной из задач 5.624—'5.652 указанным методом: 5.658. Метод хорд. Использовать решения задач 5.654 и 5.667. 5.659. Метод касательных. Использовать решения за- дач 5.655 и 5.657. 5.670. Комбинированный метод. Использовать решения задач 5.656 и 5.657. 2. Интерполирование функций. Пусть функция у ~ f (х) в узлах интерполяции х^[а, д], 6=0, 1, ..., п, принимает значения f{x^—yk, тогда разделенные разности определяются равенствами: 4г— xk + l Л„,........... 4_ ^ + 1) — Д.У (Xfi + i, Хк+2) &У \xk* * xk +1 > xk + 2) — ~ ~ » Xk-Xk+2 {k —}— I n), xk+t.....xt+z-i, xk+l) = __ Ьу_(хь, Xfe+i,..., Xft + t-i) — A{/(xft + j, *k~Xk+l а интерполяционный полином функции f (x} на отрезке [a, 6] имеет вид PnW=4'o+ 2 (* —*о) (*—*t) ••• (*—xk-\} (*o. ...,хк); (1) ft=l при этом в случае существования непрерывной производной на [а, Ь] выполняется неравенство n Ц (X—Xk) , k = 0 (2) где Mn+i^= max |/(л + 1)(х)|. Пример 3. Найти У 2 с точностью до 10~% построив для функции /(х)= У х интерполяционный полином на отрезке [1,69, 2,25]. 256 •
Выберем п~2и узлы интерполяции х0==1,69, Xi — 1,96, x3 —2,25. Оценим точность по формуле (2), Так как —~~ ~ х~7/2 < О, 1b функция fff! (х) —-g- х~5/2 убывает на отрезке 1 ~ [1,69, 2,25]; поэтому Q 1 7j43 —max Л" (х) = /"' (1,69)=-| • ;f?eKTTo -°,1009984. х^1 о (1,ЬЬ) ”'•1,0 Тогда для разности r2{x)=f(x)—р2 W получим неравенство 1М*)| < -§4(x-i,69)(x-i,96)(x-2,25)|, 01 откуда следует выполнение неравенства О 100W4 । Г2 (х)] < 0,31 .0,04 «0,25 —0,0000521 и достижение заданной точности. Найдем коэффициенты интерполяционного полинома, вычислив разделенные разности и поместив результаты вычислений в таблицу; k xk Ук *л+1) Xk + v Xk + 2) 0 1,69 1,3 =0,3703703 0,3703703—0,3448275 1 1,96 1,4 1,69—1,96 1.4— 1,5 г. 1,69—2,25 - — 0,0456121 2 2,25 1,5 ет=*5-°’3448275 Полином имеет вид р2(х)==: 1,34-0,3703703 (х—1,69)— 0,0456121 (х—1,69) (х—1,96), р2 (2) = 1,3 + 0,3703703• 0,31 — 0,0456121 • 0,31 • 0,04 - - 1,3 + 0,1148147—0,0005655 = 1,4142492. Отсюда /1= 1,4142 ± 0,0001. > Конечные разности №yi (Л=1, 2, ...; i = 0, 1, 2, ...^"опреде- ляются равенствами: ^yi = Kyi=yi+1— Vi, ^yi = ^R~lVi+’i—^K~1yi- Для равноотстоящих узлов xk = x0-}-kli (ft = 0, 1, .... я) с шагом интерполяции h > 0 интерполяционный полином (1) приобретает вид Рп W —//о + & & "У(3) , А— 1 9 Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича 257
где t~ X --- и Алу0— конечные разности k-ro порядка, а неравенство (2) —вид \Ш~Рп Т 1/- п П (z~*) /г=0 Пример 4. Функция y = f(x) задана таблицей X 1,0 1,1 1,2 1,3 У 2,7854 2,8330 2,8761 2,9151 (4) Определить, каким аналитическим выражением можно представить указанную функцию на отрезке [1, 1,3], и вычислить f (1,15). Аналитическое выражение, позволяющее вычислить значения функ- ции f (х), не данные в таблице, будем искать в виде полинома, зна- чения которого совпадают с заданными значениями функции, т. е. в виде полинома р3 (х), удовлетворяющего соотношениям р3 = = f(xk) при А’ = 0, 1, 2, 3. Единственным полиномом с такими свой- ствами является интерполяционный полином р3(х), определяемый равенством (3). Найдем конечные разности, сведя вычисления в сле- дующую таблицу: k xk Ук д-ч 0 1 2 3 1 1,1 1,2 1,3 2,7854 2,8330 2,8761 2,9151 0,0476 0,0431 0,0390 —0,0045 —0,0041 0,0004 Применяя формулу (3) при h = 0,1, п — 3 и х0 = 1, получим р3 (х) =2,7854 + 0,476 (х — 1) — 0,225 (х — 1) (% — 1,1) + 4-0,0666 (х—1) (х—1,1) (х—1,2)» Тогда р3 (1,15) = 2,7854 + 0,476-0,15 — 0,225.0,15.0,05+ +0,0666.0,15-0,05 (—0,05) = 2,7854 + 0,0714 —0,0017 + 0,0000 = 2,8551. Для вычисления f (1,15) заметим, что f (1,15) — р3 (1,15),‘ и предель- ной абсолютной погрешностью равенства f (х) ~рп (х), если произ- водная /(п + 1)(х) неизвестна, считается модуль последнего из слагае- мых, входящих в сумму (3). Поэтому / (1,15) = 2,8551. > 5.671*. Доказать равенство k v — 0 где 01 = 1. 72 v! (k—v) ! 258
5.672*. Доказать равенство Дг/ (%£, ..., хй) ^2 , k где wk = Ц (х—х^. i = 1 5.673. Для функции f(x) = cos~x построить интер- поляционный полином, выбрав узлы хо = 0, Xj=l, х2 = 2, • х3 = 3. Вычислить cos •— . 5.674*. Для функции /(%) = 1пх построить интерполя- ционный полином, выбрав узлы х0 = 9, х1=10, х2=12, %3 = 15 и используя значения In2=0,693147, In3=1,098613 и In 5 = 1,609438. Вычислить In 11. Функция y~f(x) задана таблицей. Найти значения этой функции при указанных, не входящих в таблицу значениях х± и х± аргумента х. 5.675. X 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 У xt = 1 1,042 ,26, х2 1,061 = 1,58. 1,087 1,119 1,160 1,212 1,274 1,350 5.673. х | 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 У xt = 1 | 1,958 ,89, х2 2,107 2,268 2,443 = 2,43. 2,632 2,841 3,071 3,324 5.677. х | °’75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 у ! Хх = 0 1 0,742 ,83, Х2 0,789 = 0,97. 0,835 0.880 0,924 0,967 1,008 1,046 5.678. х | 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 2,05 у 1 xt= 1 1,2322 ,74, Х2 1,2097 = 1,97. 1,1789 1,1389 1,0888 1,0281 0,9558 0,8713 9*£ 259
5.679. : х | 2,70 2,75 2,80 2,85 2,90 2,95 3,00 3,05 у | 1,5827 1,4865 1,3721 1,2383 1,0838 0,9071 0,70690,4817 Xi = 2,72, x2 = 2,93. 5.680. x | 10 15 20 25 30 35 40 45 iJ | 0,985 0,966 0,940 0,906 0,866 0,819 0,766 0,707 Xj = 23, x2 = 41. 5.681. x | 1,1 1,6 2,1 2,6 3,1 3,6 4,1 4,6 у | 1,029 1,389 1,649 1,800 1,852 1,822 1,739 1,632 Xi = 1,3, x2 = 4,0. 5.682. x |0,13 0,18 0,23 0,28 0,33 0,38 0,43 0,48 у |o,1296 0,1790 0,2280 0,2764 0,3242 0,3712 0,4173 0,4626 хг = 0,20, x2 = 0,41. 5.683. x | 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 у | 0,1198 0,0897 0,0660 0,0477 0,0339 0,02360,01620,0109 x,= 1,25, x2 = 1,76. 5.684. x | 50 55 60 65 70 75 80 85 у 10,285 0,319 0,223 0,042 -0,148 -0,273 —0,283 —0,178 = 58, x2 = 79. 5.685. Вычислить значения интегрального синуса Si”(х) = X — при х=0,26 и при % = 0,4-5, используя таб- о лицу его значений: х 10,17 0,22 0,27 0,32 0,37 0,42 0,47 0,52 Si (х) | 0,16973 0,21941 0,26891 0,31819 0,36720 0,41591 0,46427 0,51225 260
5.688. Вычислить значения интеграла вероятностей X 2 Р 2 Ф(х) — —г=- \ е~* di при х = 0,27 и при х — 0,58, исполы у 5Т v Г 0 зуя таблицу его значений: х 10,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 Ф (х)| 0,05637 0,16800 0,27633 0,37938 0,47548 0,56332 0,64203 0,71116 5.687. Применяя интерполирование, решить уравнение —1 =0. На отрезке I = [ 1,6, 1,9] изоляции корня для функции у- == х 1п х — 1 имеем: х | 1,6 1,7 1,8 1,9 у |—0,2479952 —0,0979324 0,0580148 0,2195226 Функция // = х1пх — 1 на отрезке I возрастает, поскольку у'~ =lnx+l > 0 при х g I. Следовательно, существует обратная функ- ция x — q(y), для которой, считая теперь у аргументом и х значе- нием функции, построим интерполяционный полином х^(у). Данный прием называется обратной интерполяцией. Поместив результаты вычислений в таблицу, получим: k У X Дх (У к- У к+1) »k+v Ук + 2) (Ук’ Ук+v Ук+г' Ук+з) 0 1 2 3 —0,2479952 —0,0979324 0,0580148 0,2195226 1,6 1,7 1,8 1,9 0,6663876 0,6412426 0,6191651 —0,0821705 '—0,0695452 0,0270049 Отсюда искомый полином имеет вид х3 (у) = 1,6 + 0,6663876 (у + 0,2479952) — —0,0821705 (у + 0,2479952) (у + 0,0979324) + + 0,0270049 (у + 0,2479952) (г/+ 0,0979324) {у—0,0580148). Для нахождения корня нужно положить у — 0. Получаем х3 (0) == 1,6 + 0,1652609 — 0,0019956 — 0,000038 = 1,7632273. Следовательно, корень равен 1,76323 ±: 0,00004, где предельная аб- солютная погрешность полагается равной абсолютной величине по- следнего слагаемого в выражении для х3(0). > 261
5.688. Пользуясь таблицей значений функции y = f(x), аайти значение х0, при котором f (х0) = 0,569: I 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 х I ’ у | —1,125 —0,926 —0,704 —0,458 —0,187 0,109 0,432 0,782 5.689. Пользуясь таблицей значений функции y = f(x), найти значение х0, при котором /(х0) = 4,498: х | 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 У | 2,431 2,928 3,497 4J44 4,875 5,696 5.690. Используя таблицу, методом обратного интерпо- лирования решить уравнение sh х = 4,9370: х | 2 2,2 2,4 2,6 у | 3,6269 4,4571 5,4662 9,6947 5.691. Используя таблицу, методом обратного интерпо- лирования решить уравнение tgx = 1,767: х | 60° 61° 62° у |1,732 1,804 1,881 Составить на фортране указанные подпрограммы- 5.692. Подпрограмма вычисления разделенных разно- стей Ar/Ux, х2, . ..,xft), 2, ..., п, А^(х1) = у(Хх). Параметры: X, Y, N, где N—число элементов массивов X и Y, содержащих соответственно значения аргумента и значения функции. Результат вычислений содержится в массиве Y. 5.693* . Подпрограмма вычисления конечных разностей Д^15 k—\, 2, ...,/г—1. Параметры Y й N, где Y—мас- сив, содержащий N элементов — значения функции при входе и конечные разности при выходе из подпрограммы. 5.694* . Подпрограмма-функция вычисления значений интерполяционного полинома для функции, заданной таб- лично. Параметры: X, Y, N, KEY, ARG, где X—массив значений аргумента, Y—массив значений функции, если KEY = 0, и массив разделенных разностей, если KEY Ф 0, N—размерность массивов X и Y, ARG—значение аргу- мента полинома. 5.695. Подпрограмма вычисления значений интерполя- ционного полинома функции, заданной таблично. Пара- метры: X, Y, N, KEY, ARG, Р, EPS, где X—массив значений аргумента, Y—массив значений функции, если KEY = 0, и массив разделенных разностей, если KEY =/=0, 262
N — размерность массивов X и Y, ARG—значение аргу- мента полинома, Р — значение полинома, EPS—модуль последнего слагаемого, входящего в интерполяционный полином. 5.696. Подпрограмма-функция вычисления значений интерполяционного полинома функции, заданной таб- лично, при равноотстоящих узлах интерполирования. Параметры: X, Н, Y, N, KEY, ARG, где X—начальный узел интерполирования, Н — шаг, Y—массив значений функции, если KEY = 0, и массив конечных разностей с соответствующими, коэффициентами, если KEY^O, N — величина массива, ARG—значение аргумента поли- нома. ' 5.697. Используя подпрограмму-функцию, полученную в задаче 5.696, решить с помощью ЭВМ одну из задач 5.675—5.686. 5.698. Используя подпрограмму-функцию, полученную в задаче 5.694, решить с помощью ЭВМ одну из задач 5.687—5.691. 5.699. Используя подпрограмму, полученную в задаче 5.695, решить с помощью ЭВМ одну из задач 5.688, 5.689. 3. Численное дифференцирование. Формулы численного диффе- ренцирования получаются в результате дифференцирования интерпо- ляционных формул: f (х) W р'п (х) = Ьу (х0, *1) + ((х—х0) + (х—Xj)) txy (х.,, х(, х2) + + ((х—Хо)(х—Х1) + (х—хо)(х—х2) + + (х—Х1) (X—х2)) Л?/(х0, Х1, хг> х3) + -..,' при этом погрешность приближенного равенства f (х) —рп (х) равна производной от погрешности г„(х)=/(х)—Рп(х). В случае равноотстоящих узлов х/г = х/г<_!(k=\, п), xk € [д> И и /(хл)=Уй справедливы соотношения ' If. , 2i — 1 А2 , З/2—6/+2ЛЗ , Г (х) « у ( Ьу0 ч-2— Д У о + ~~~б-Л У ° + 2/3—№+11/—3 л, , \ d---------+ • •) , (5) 1 f , ,, . 6/2 —18/+11 . \ „ Г(х) « -^1 А2//„ + (/— 1)Л3Уо4-—-Д4(/о+... J , (6) где / = -^-(х — х0). Формулы (5) и (6) содержат соответственно по п и п—1 слагаемому. Пример 5. Материальная точка М движется прямолинейно. Закон движения s = f (т) представлен с помощью таблицы (т — время 263
в секундах, s —путь в метрах): т 0 1 2 3 4 5 6 S 0 2 10 30 68 130 222 Найти скорость v и ускорение w точки М в момент времени т = 3,5. Составляем таблицу конечных разностей функции s = /(t): т S As • д2$ д8$ A4s 0 0 о 1 2 3 4 5 6 2 10 30 68 130 222 Z 8 20 38 62 92 6 12 18 24 30 6 6 6 6 0 0 0 Принимая за начальный момент времени момент т = 3, ближай- 3 5___________________________3 ший к т = 3,5, будем иметь / ———~0,5. Применяя формулы (5) и (6), получаем: «_/ <S.S) =4- (38-ь 2-°'г5-1 j+A.6 ) = = 37,75 (м/с), ш = г (3,5).=JT (24+(0,5-1).64- 6-(0’5)2 1128,0’5 ; 11 О) = — 21 (м/с2). ► Функция fix') задана таблицей. Вычислить значения производной f (х) в указанных двух точках х} и х2: 5.700, х 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 Цх) 1,44013 1,54722 1,67302 1,81973 1,98970 2,18547 2,40978 2,66557 ^=2,03, х2 = 2,22. 264
5.701. X 1,0 1>1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 f(x) 1,0083 1,1134 1,2208 1,3310 1,4449 1,5634 1,6876 1,8186 Xi ~ = 1,14, X2=l,42. 5.702. X 2.8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 f(x) 3,92847 4,41016 4,93838 5,51744 6,15213 6,84782 7,61045 8,44671 xr ~ 3,02, x2 = 3,31. 5.703. X 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 f(x) 0,2803 0,3186 0,3592 0,4021 0,4472 0,4945 0,5438 0,5952 х, = 0,82, x2=l,03. 5.704. x 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 f(x) 0,8802 0,9103 0,9340 0,9523 0,9661 0,9764 0,9838 0,9891 x1=l,'34, X2— 1,65. Вычислить значения f (x) и f" (x) в указанной точке: 5.705., 1 2 3 4 5 6 f(x) x~2. 1 5 21 55 113 201 265
5.706. X 0 1 2 3 4 5 1 3 19 85 261 631 х = 2,5. Составить на фортране указанные подпрограммы: 5.707*. Подпрограмма-функция вычисления значений п первой производной полинома —k). Пара- k- о метры: N, Т. 5.708* , Подпрограмма-функция вычисления значений п второй производной полинома wn (/) = JJ (/— k). Пара- /г= 0 метры: N, Т. 5.709. Подпрограмма-функция вычисления значений первой производной интерполяционного полинома Рп W = У» + X Ь* уй, t = . /г=1 Параметры: X, Н, Y, N, KEY, ARG, где X — начальный узел интерполирования, Y—массив значений функции при KEY^O и массив, содержащий величины (fe=l,...,n) при KEY^O, ARG—значение аргумента, при котором-вычисляется производная, N есть пф-1. 5.710. Подпрограмма-функция вычисления значений второй производной интерполяционного полинома рп(х). Параметры те же, что в задаче 5.709. 5.711. Используя подпрограмму-функцию, составлен- ную в задаче 5.709, написать на фортране программу решения одной из задач 5.700—5.704. 5.712. Используя подпрограммы-функции, составленные при решении задач 5.709 и 5.710, написать, на фортране программу решения одной из задач 5.705, 5.706. 266
Глава 6 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ § 1. Основные методы вычисления неопределенного интеграла I. Первообразная и неопределенный интеграл. Функция F (х) называется первообразной функции / (х), заданной на некотором мно- жестве X, если F' (х) =f (х) для всех х£ Х./Если F (х)—первооб- разная функции f (х), то Ф (х) является первообразной той же функ- ции в том и только в том случае, когда Ф (х) = F (х) -фС, где С — некоторая постоянная. Совокупность всех первообразных функции / (xj называется неопределенным интегралом от этой функции и обо- значается символом f (х) dx. Таким образом, по определению J/(x)dx = {F(x) + C}, (1) где F (х)—одна из первообразных функции / (х), а постоянная С принимает действительные значения. В силу установившейся традиции равенство (1) записывается без явного обозначения множества справа, т. е. в виде / (х) dx = F (х) -ф С, при этом С называют произвольной постоянной. Свойства неопределенного интеграла 1. ф f(x)dxy = f(x). 2. р' (x)dx = /(*)+С. 3. af (х) dx = а f (х) dx, а 0. 4. ф/i (х)+/г W) dx= р! (х) dx-\- ф2 (x) dx. Таблица основных неопределенных интегралов Р Хп + 1 1. j хп dx— j-4~G (n^ —U- 2. j^=ln|x|+C. 3. у ах dx=~y~^-[-G (а > 0, а 1); ех dx=ex-\-C. 4. J sin х dx = — cos х + С. 267
5. \ cos х dx — sin x+C. 0. ( _^_=tgx+C. J COS2X 7. C^- = -ctgx+C. J sin2 x * 1 s. fg4l+c== ,nicosecx~c{gxi+c‘ 9- J^=ln tg (t+t) |+c= ln |tg*+sec xl+C- 10- fra=larctg4+c <й?б0)- л —j~ u u u P dx I 1 Ix-I-gI , . A4 Ik v ~2--In—!— 4-C (alisO). J n2—x2 2a \x—a\ 1 v 7 12. dx V' n2—X2 X — arcsin — 4-G a ‘ |*1< \a |. 13. — Д* = In Ix+ K'x2-a21+cs |x|>|a|> 0. J у x2 — a2 14. f —^=T = ln(x+K^+^)+C (a/0). J У x2-'ra2 15. \ sh x dx = ch x 16. ch x^x = sh x-\-C. P dx 17. I-J±_=thx+'C. J ch2 x P dx 18. cthx + C. J sh2 x Найти первообразные следующих функций! 6.1. 2х7. 6.2. 4Ух. ,6.3. —+ 4. v х к X2 _ 6.4. *3+бх2--.! . 6.5. jl-)- . 6.6. 1—2 sin24- Xjf X 2 6.7. . . 6.8. а2"8*. 6.9. -o-k- V^a+bx ybx 6.10. —k-- 6-H. -^41. 6.12. 1—8sin22xcos22x. cos24x x — 1 6.13. ^cos2y + 2sin-|- cos4—sin2!)2. 6.14. cos (<z + x)cos (a—x)sin (a + x) sin (a—x). Отыскание неопределенного интеграла с помощью таблицы основ- ных интегралов и тождественных преобразований называют непосред- ственным интегрированием. 268
Пример 1. Вычислить dx х2—х4 С dx С dx Р 1— х2 + х2 J ^fZx2) J х2(1—х2) Х Используя таблицу основных интегралов, найти сле- дующие интегралы: 6.15. J (Зх2 + 2х + 4) 6Л6- S^r^dx- 6.17. J Vmxdx. 6.18. J б-,9-Ий’Я)л 6.20. ПГд+У 6.21. C^!±2Jx J К ax J x 6.22. ^2xex dx. 6.23. $ 2* (1 + 3x2 2~x) dx. 6.24. J (2x + 3 cos x) dx. 6.25. f 2 *- dx. 6.26. f3~24^-Xdx. 6.27. f—^°s4-— dx. J cos2x J cos2xsm2x 6.28. У sin2 у dx. 6.29* . a) ^tg2xdx; 6) ^th2xdx. 6.30. J cos 2x+sin'2 x~ 6-31 • $ (arcsin x + arccos x)dx. 6.32. J (siny—cos dx. 6.33. f -4rr- 6-34- f -^4- 6-35- f ~t^= . J X2 + 4 J О — X2 J у 3 — X2 6.36. гГ^-К^+з- 637. CJkMl*. J |/x«—9 Jx(l+*2) 6.38. J (x + a) (x + b) dx. 6.39. $ (а1/з 4-dx. 6.40. C cos2 x4~3cos x — 2^ J cos2x 6.41. a) ctg2xdx; 6) cth2 xdx. 6.42. f 6.43. f dx. J X2__7 J %2-8 269
2. Метод замены переменной. Существуют следующие два ва- рианта этого метода. а) Метод подведения под знак дифференциала. Пусть требуется вычислить интеграл J f (х) dx. Предположим, что существуют дифференцируемая функция u — qfx) и функция g (и) такие, что подынтегральное выражение f (х) dx может быть записано в виде f (х) dx = g (ф (х)) ф' (х) dx = g (и) du (указанное преобразование называется подведением и — ф (х) под знак дифференциала). Тогда V f (х) dx = С g (ф (х)) ф' (х) dx = f g (u) du I J J J |«=<P(X) т. e. вычисление интеграла f (x) dx сводится к вычислению интег- рала g (и) du (который может оказаться проще исходного) и после- дующей подстановке « = ф(х). Пример 2. Вычислить интеграл sin3 х cos х dx. Имеем: sin3 х cos х sinJ х и^ I «\/« = 4> -\-С^ 4 |« = sin х ___sin4 х “~4 Пример 3. Вычислить интеграл Имеем: е 2x4-1 —3dx- d (х24-х—3)__С du х2-\-х—3 J и = 1п ] и | \ц-^ + х~ з4~£ = In | х24-х — з |4-С. Операция подведения функции ф (х) под знак дифференциала эквивалентна замене переменной х на новую переменную « = ф(х). Пример 4. Вычислить интеграл Г ч-- . Произведем замену переменной по формуле « = 3x4-1. Тогда du = 3dx, т. е. dx = ~du и , о с dx 1 f du J y(3^HP~3J “2'3~“ + С=уЗх+1+С. W=3X+1 Выполненное преобразование эквивалентно подведению под знак диф- ференциала функции « = 3x4-1. > Вычислить интегралы с помощью подходящей замены: 6.44. J /34-хdx. 6.45. (3—4 sinx)1/3 cosxdx. 270
6.46. Cchxshxdx 6.47. . J J tg4* 6.48. f-Д-. 6.49. f-4^-. J xln2x J a-^-bx COS Х 6.50. С sec2x , „ С , J a—btgxdX' 6,51 • L . х dx- J 2— J sin —7=r К 2 6.52. Jctgxdx 6.53. ^34JCdx 6.54. 6.56. С P dx j cos (or + ft) dx, 6.55. \sin(lnx)Y* Г sin V“x • ~dx - 6 57 Г dx ) У x J C0S fx-i) ' - 6.58. 6.59. {-—L=-dx. J sh 3x J fr 6.60. f Х-Б~х2 dx 6 61 C dx j" ° ax' J । ^x2 • 6.62. C —eXXL—dx e 63 C — = } l+e-2«x ax. O.W. J 6.64. P dx 6 65 C Sin X dX ) V'Ox2 — 1 * J Vrcos2x-|-4 P x3 dx д Д7 f x dx • 6.66. )X8 + 1- b-67. j . 6.68. C dx 6 69 C sin ax fix J a^+b^x ’ beby’ J cos^xdX- ^ch2xshxdx. 6.71. 1 -^dx. J J (7—ex)2 [tgxdx. 6.73. ^cth4xdx. P qt/X- P x dx 6.70. 6.72. 6.74. J X2 ax' J ch2 (X24-1) • 6.76. [ 7 м P 7 -ТТЛ (0 < ь < a). J (a — b) x2 — (a-{-b) 4 7 6.77. C . dx ft 78 C x dx J 4x2 + 7‘ ° J 4x24-7* 6.79. Г x2 . 6.80. f = — dx. J j/> + l J — 1 Применяя различные приемы, найти неопределенные интегралы. 6-81"- J-iTW*' в-82- IsT?4* 271
6.83. 6-84- 6-85. Ca-^r-8dx. 6.86. C ^dx. J 9—4x8 J x5 + 5a'—8 6.87. ( x3 Убх4—3dx. 6.88. C(3---X=d\—F^= . J J\ K*2 + l J K^ + l 6.89. dx. 6.90. f д2+ dx. J у 1 —4x2 J a ~r° x 6.91. f-67=-. 6.92. e* l/T+l*dx. r px n dx 6.93. z-—— dx. 6.94*. Ch“. J )<e2x_|_4 J 2*4-1 „ „„ f earcsin x +*+ 1 , 6.95. I —z-—-....- — dx. J V 1 —X2 6.96. I Jx. 6.97. ( /3—chxshxdx. J К x2—1 J 6.98. [—.. . 6.99. f—?-rix J x 1—4 In x J x 1—41n2x 6.100* . ^sin’xrfx. 6.101*. ^cos2xdx. 6.102. Г —. 6 J 03. Г (sin ax + cos ax)2 dx. 1 sin -— J K2 6.104. [—^-dx. 6.105. C (1^cos 2x)3rfx. J cos (x") J cos 2x 6.106. C Sin2v.;..: -rfx. 6.107. f—^B==-dX. J /3 — cos2x J Kcos4x+3 6.108* . . 6.109. C-^=-. J sin X COS X J ctg 3x 6.110. ^thaxdx. 6.111. tg2(ax-\-b)dx. 6.112. J x2 ctg2 (x3 — 3) dx. 6.113. esec tgxsecxdx. б) Метод подстановки. Пусть требуется вычислить интег- рал J f (х) dx, где функция f (х) определена на некотором множестве X. Введем новую переменную и формулой х~ ф (и): U—> X; где функция ф (и) дифференцируема на некотором множестве U и осуществляет взаимно однозначное отображение U на X, т. е. имеет 272
обратную (%): X—> U. Подставив х = ф(^) в исходное подынтегральное выражение, получаем f (х) dx = f (ф (и)) ф' {и) du = g (и) du. Далее, справедливо равенство р (х) dx = р (<р (а)) <р' (и) du |u=fp_, ( v) = р («) du | w? т. е. вычисление интеграла f (%) dx сводится к вычислению интег- рала g (и) du (который может оказаться проще исходного) и после- дующей подстановке и~ ф”’1 (х). ТТ КП Г 1 Х А Пример 5. Вычислить интеграл i ---dx. ‘ Jl + Kx В рассматриваемом случае область определения подынтегральной функции Х = [0, о°). Произведем подстановку Х = ф(/р=с72, ц(-[0, + оо). Тогда dx = 2и du, и ~ ф ~1 (%) = Ух , откуда 1+* Л n Cuz + u , О С/ 9 пч л л С —----—dv —2 I —~du~2 I (и2 — rz-4-2) dll—4 I——- = 1 + |Л% J «+1 J J ^+1 /1 1 А ^2 !±и*-±и2 + 2и\-4\п(и+\) + С\ у = 4-х3/2~4- х+2х1/2'\ — 41п(ргх +0 + С. ► О £ I Применяя указанные подстановки, найти интегралы: 6.114. ( X = (l—^)V3. J х у 1 — х3 6.115. р dx 2 J х 4—х2 1 6.116. С dx J %+ X 6.117. С е2х ’ГГ7 Х = 1П t J 1 Применяя подходящие подстановки, найти интегралы: 6.118. С х (5х— 1)“ dx. 6.119. С —dx. J J У 1 — ех 6.120. С —dx. 6.121. С х dx. J К* + 1 + 1 J (3—*) 6.122. С —. 6.123. С — J К34-е* J х V х24- 1 3, Метод интегрирования по частям. Если и (х) и v (х)—диффе- ренцируемые функции, то справедлива следующая формула интегри- Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича 273
рования по частям: и (х) vf (х) dx = и (х) v (х) — v (х) и' (х) dXi или в краткой записи ^udv~uv—^vdu. (2) Эта формула используется в тех случаях, когда подынтегральное выражение f (х) dx можно так представить в виде и dv, что стоящий в правой части (2) интеграл при надлежащем выборе выражений и и du может оказаться проще исходного интеграла. При этом за и удобно принимать множитель, который упрощается при дифференцировании. Например, если под знаком интеграла стоит произведение многочлена на тригонометрическую или показательную функцию, то к и следует отнести многочлен, а оставшееся выражение к dv. При этом форму- ла (2) может применяться неоднократно. Пример 6. Найти х2 cos х dx. Полагаем и — х2 и dv~cosxdx. Тогда du~2xdx и v — cos xdx— — sin х (постоянную С здесь полагаем равной нулю, т. е. в качестве v берем одну из первообразных). По формуле (2) имеем х2 cos xdx — x2 sin х— 2х sin х dx. К стоящему справа интегралу снова применяем формулу интегриро- вания по частям, причем к и снова относим многочлен (т. е. 2х). Имеем: и = 2х, dv = sin х dx. Отсюда du~2dx и v~ sin х dx = -*- cos х. Применяя формулу (2), получаем окончательно: х2 cos х dx — x2 sin х— —2х cos х— (— cos х) 2dx^ — = х2 sin х-{-2х cos х—2sinx-\-C. Если подынтегральная функция содержит сомножителем лога- рифмическую или обратную тригонометрическую функции, то их следует принимать за и, так как в результате дифференцирования эти функции упрощаются. Пример 7. Найти In х dx.] dx f* Полагаем w=lnx, dv = dx. Тогда du = — и v= \ dx = x. Подста- х J вив в формулу (2), находим Clnxdx = xlnx—Сх«—= xlnx—х-\-С. > J J х Иногда после двукратного применения формулы интегрирования по частям, приходим в правой части к выражению, содержащему исходный интеграл, т. е. получаем уравнение с искомым интегралом в качестве неизвестного. Пример 8. Найти \ еах sin bx dx. 274
<4 Полагаем и = еах, dv=sin bxdx. Тогда du — аеах dx, v—-r-cosZ>x, b Подставив в (2), имеем J еах sin bx dx —-^-еах cos bx-}~ § eax cos bx dx. Теперь полагаем u — eax, dv = cos bxdx. Тогда du = aeax dx< v = 1 • л = — sin bx и b P 1 и f вах и P \ \ eax sin bx dx —-z- eax cos bx-\~— -r- sin bx—- \ eax sin bx dx . J b b \ b b J J В итоге получено уравнение относительно неизвестного интеграла еах sin bxdx. Решая это уравнение, находим Л I °-2\ С • 1 (LY aslnbx — b cos bx . I 1 + ^2 ) \ еах sin bx dx = еах-------• -f- С1? или Г ’ еах (a sin Ьх—b cos bx} . l^sin^f/x—-------г,-------------+£• ► Применяя формулу интегрирования по частям, найти интегралы: 6.124. ^arccosxdx. 6.125. ^xcosxdx. 6.126. fxlnxrfx. 6.127. 6.128. (x2—x+l)lnxdx. 6.129. J x2sinxdx. 6.130. \'x2e-xdx. 6.131. ^x2exdx. 6.132* . J xse~x,tdx. 6.133. J dx. 6.134. Jxarctgxdx. 6.135. J^3^ dx. 6.136. eaxcosbxdx. 6.137. $ e^osxdx. 6.138. 5 ln (%+ К1 + *2) dx. 6.139. x3 inxdx. 6.140. x3x dx. 6.141. J (x2—2% 4-3) cos x dx. 6.142. 6.143. J cos (In x) dx. Применяя различные методы, найти интегралы: 6.144* . ^eVxdx. 6.145. J х (arctg х)2 dx. 6.146. dx' 6.147. jxctg2xdx. 6.148. §^dx. 6.149*. J dx. . 275
6.150 **. Вывести рекуррентную формулу для интеграла 7П= НаЙ™ f2 И /3- Найти интегралы. 6.151 **. C/F+adx. 6.152**. С dx. J J j/g2—*2 6.153 . J х arcsin xdx. 6.154. J ln — dx. 6.155 . J x2 arctg xdx. 6.156. J dx. 6.157 *. J |/'a2—x2 dx. § 2. Интегрирование основных классов элементарных функций 1. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование произ- „ „ т Рт 00 т%-т “И • • • 4“ Ь\Х —I— Ьп о вольной рациональной дроби 77—7-7=—/—- с деист- Qn W а„х" + ---+^ + «о вительными коэффициентами в общем случае производится следую- щим образом. n РтW Если т^п, т. е. исходная дробь • неправильная, то сле- X/Z 00 дует предварительно выделить в этой дроби целую часть, т. е. пред- ставить ее в виде ?т М = Д4 (х) -4- (1) QziW /W^-/2(%) + Qzz«’ (l) где Мт_п(х) и Rr (х) — многочлены степеней т— п^0 и г соответ- РгМ ственно, причем г < п, т. е. дробь ~ правильная. Р (х) Выделение целой части в дроби 772 ' производится деле^ем Qn и) числителя на знаменатель «уголком». Пример 1. Выделить целую часть дроби РтМ (*2+1)3 Qn (х) х (%2 — 2х-|-1)* <1 Дробь неправильная, так как т = 6 > п = 3. Для выделения целой части записываем числитель и знаменатель в каноническом виде: (х2+ 1)3 = х6 + 3х4 + 3х2+ 1,* х (х2 — 2х+ О ~х3 — 2х24-я, и далее, выполняя деление «уголком» первого многочлена на второй; получаем в частном х3 -{-2х2 + 6х10, а в остатке 17х2—Юх+1* Следовательно, (х24-1)3 з о 2 । г । ш г 17х2—Юх4-1 х(х2 —2x4-1) iiii —2х2-]-х и выделение целой части закончено. > 276
Как показывает формула (1), операция выделения целой частг сводит интегрирование произвольной рациональной дроби к интегри* рованию многочлена и правильной рациональной дроби. Для того чтобы проинтегрировать правильную рациональную "т W г-тЧ-, /п < п, следует предварительно разложить ее в сумму rz (Л ) так называемых простейших дробей. Это разложение осуществляется следующим образом. Пусть знаменатель Qn (х) ~апхп^г ,.. имеет действительные корни аъ . ..* кратностей Sf, st и комплексно-сопряженные пары корней Рт, Pi, .р^ кратностей • ••> tk соответственно (sf+ ... +$z + 2/j• • • + c^k — п), т. е. справедливо разложение Qn (,х)=ап(х—c<i)Sl ... (х—atYl (х2-|-р.х+ <?[)'' ... I*2-]-pkx-\-qk)'k, где x2+P^+qv = (x—₽v)(x — j\), v=l, P (x) Тогда разложение дроби -туЧ-т в сумму простейших имеет вид Qn w ртW. Л11 Л(1> < 51 _±_ _1 л(1) !_ Qn W х—ai 1 . с 1 ' * ’ 1 (х—аО 1 х —а, 1 А? । < , йУ’л' + С!11 । 1 с (Х— «;) 1 1 + р\х +^1 (^‘' + Р1А:+ <71)м ! lk Ркх ~\~Qk . . . j f • (x2+ркх + %)'' Коэффициенты АВи С[}У в этом разложении определяются путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях х у мно- гочлена Рт (х) и многочлена, который получается в числителе правой части (2) после приведения ее к общему знаменателю (метод неопре- деленных коэффициентов). Можно также определять эти коэффициен- ты, полагая в равенстве (2) или ему эквивалентном х равным под- ходяще подобранным числам (в первую очередь значениям действи- тельных корней знаменателя Qn(x)). (х 2)2 Пример 2. Дробь v ‘ 7 гг Разложить в сумму простейших. X (х 1) Искомое разложение имеет вид (х + 2)2 ?__В__ С х(х— I)2 X ‘ X— 1 * (х— I)2* Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем тождест- венное равенство х2 + 4х + 4 = Л (х — 1)2 + Вх(х— 1) + Сх (3) Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях х дает си- стему уравнений: Д_рВ = 1, — 2Л — В + С = 4, Л = 4, 277
откуда получаем А — 4, В =—3, С = 9. Следовательно, искомое раз» ложение имеет вид: х2 + 4х+4 4 х (х—I)2 к 3____г9 х — 1 (х — I)2* Можно определить коэффициенты Л, В, С другим способом, по- лагая последовательно в тождестве (3) х = 0, х = 1 и, например, х =— 1: при х = 0 находим Л =4, при х=1 получаем С = 9, а при х~ — 1 имеем 4Л + 2В— 0 = 1, т. е. В — —3. При решении этого примера лучше всего было бы комбинировать оба способа, т. е. найти А —4 при х = 0, С = 9 прих=1, а В опре- делить из равенства коэффициентов при х2 в (3), т. е. из равенства Л + 5 = 1. Формула (2) показывает, что интегрирование произвольной ра- циональной дроби сводится к интегрированию простейших дробей следующих четырех типов: А Р А 1) . \---- dx = Л In [ х—а | + О. х— a J х — а 1 2) -----— (k = 2, 3, ...). С -—dx = — +---------!-----LC. (х — a)ft J (х — a)k 1 (х— r>\ Лх Н~ 9 1 Г\ 3) -- .П---- , р2 — 4q < 0. x2 + px+q Метод интегрирования дробей этого типа рассмотрим на примере, р х________________________l Пример 3. Найти \ -х—.-----r-rdx. 1 1 J х2А-х +1 В рассматриваемом случае дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, отрицателен: р2— 4q=l—4 =—3< 0, т. е. имеем дробь третьего типа. Так как (х2+х+1)'=2х+1, то числи- тель дроби преобразуем следующим образом: 1 3 1 ч (2x+D—2 = 2- (х2+*ЧН)'-у (это преобразование называется выделением в числителе производной квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе). Поэтому С ^-1-С(л2+х+1)-^ -^-С—' + l 2 J ^+%+1 ах 2jx2+%+! Оставшийся интеграл находится выделением полного квадрата в квад- ратном трехчлене: 278
В результате заданный интеграл равен 4) —, р2_49<о, k = 2, 3, ... (х2+рх+?)й Метод интегрирования дробей этого типа рассмотрим также на примере. Пример 4. Найти J ^^^j2 dx- Здесь р2—4q = 4—12 = — 8 < 0, т. е. имеем простейшую дробь четвертого типа. Сначала выделяем в числителе производную квадрат- ного трехчлена: С *+2 dx_ Г dx_ J (х2 + 2х + 3)2 J (%2+2х+3)2 а 1 J f dx 2(х2 + 2%+3)+J (%2+ 2*4-3)2 ‘ Для вычисления оставшегося интеграла предварительно приведем его к стандартному виду, выделяя полный квадрат в квадратном трехчлене: Р dx _________Р' dx ________ IP dx IJ (x2+2x+3)2~J ((x+l)2+2)2-T J [ (x+J у у Д с 11 \ /2 / _ 1 I du ~ 2/"2 J (\ i ( x+* YY ~ 2 K2 J 0+“2)2 л-4-i Далее используем метод интегрирования по частям. Р du Р 1 + &2 — и2 _____Р du Р и2 du J (l + z^^J (1 + ^2)2 J T4H?"”J(f+^)2“ , . 1 Р + 1 \ , ,1 и 1 , . „ =-arctgiz + -2 j=arctg м + у } + „2 —-arctg и-\- С = ' “Т (arCtg “+ 1-|-(г2 )+С- * Окончательно получаем: ’ С *+2 -dx= J №+2х+3)*ах “_2(х2 + 2х + 3)+4)Л2' аГ°еД7Т+т х2 + 2х + 3 + ‘ В общем случае k > 2 рассмотренный в примере 4 прием позво- ляет свести вычисление интеграла (1 -]-и2)-^ du к вычислению интеграла (1 +^2)-я+* du, т. е. дает рекуррентный метод вычисле- ния интегралов этого типа. 279
Проиллюстрируем метод интегрирования рациональных дробей в целом на следующем примере. Пример 5. Найти С . . Jx(x~4-1)“ Дробь 2 । "i<2 правильная, ее разложение в сумму простейших X ^Х j 1f дробей имеет вид 1 А . Вх —С . Dx 4~ Е х(х24-1)2 х ' х2+1 +(х2+По- Имеем 1 = А (х2 + I)2 + Вх2 (х2 + 1) + Сх (х2 + 1) + Dx2 + Ex. . Полагая х = 0, находим 4 — 1. Приравнивая коэффициенты при оди- наковых степенях х. получаем 0 = Л-!-£, ®~С, 0 = 244-В4-D, 0~С-[-Е, т. е. В = — 1, С-0, £)-—1 и Е-0. следовательно, dx ___Р /' 1 х х \ x(x2+D2“J V^“^+T~U2+1)2/ =lll|x|-lin(^+i)4-^2nr+c. Заметим, получить и а именно что разложение дроби не применяя метода о , на простейшие можно х(х24-1)2 f неопределенных коэффициентов, 1 __ (1 -фх2)—X2 1 X х(х2-|-1)2 х(х2+1)2 х(х24~1) (х2-|-1)2~- (14-х2)— X2 X _____ 1 X X “ х(х2+1) ’ (х2+Т)2~~х ~~ х2+1 “ (х2+ I)2 ‘ Найти интегралы- 6.158. С~гфг—г- 6.159. С о Ф . J х24~4х —5 J 2х2 —4х-|-5 6.160. С . 6.161. С . 6.162. f ..--X...., 6.163. С -4X~3 dx. J хл — 6х J х2 —2x4-6 6.164. С—nt, .6.165. (4 Jx44-6x24-13 J 32Л — 4-Зх-|-3 6.166. С i-н . 6.167. С -з—eTi й dx. J (X — 3) (х + 4) J х3 — 5х2 6х н.п!--. «.««о. в!’»- еЛуЛ-гЛ- s-171- 6-'72- LtAv 6-|7ЧЛт- 280
6.174*. р (х — 1) dx 6.175*. P x dx J J (x—l)(x2 + ^+02 • 6.176. р dx 6.177. j ' x2—x-|7- 4 , (x+l)(x_2)(x-3)dJf- J (х—а) (х —b) • 6,178. С dx 6.179. f • 5л—13 (X2 —ЙХ+б)2^’ J x»+8 •! 6.180. e x4+i , J X4—1 dx" 6.181. ( ‘ dx x4 + 2x2 4- 1 ( Найти интегралы, не применяя метода неопределенных коэффициентов.’ 6.182*., p dx 6.183*. P dx J x4^-|-fl:2x2 J x4—a4 ‘ 6.184. C d* 6.185*. P dx j x4 — 4x2 -|- 3 ‘ J x(x“4-l)2 • 6.186. P dx 6.187*. J (x^+l)(x4-2)rfx- j х7Ц-х5 * 6.188. С x2— x , J (Л-+1)8^Л‘ 6.189. j ' x54-x2 , 1 xa+xs—2dx’ 2. Интегрирование тригонометрических и гиперболических функций. а) Интегралы вида f sin*72 х cos" х dx. Если хотя бы одно из чисел т или п— нечетное положительное целое число, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы sin2 % +cos2 х= 1 оставшуюся четную степень через дополнительную функцию, приходим к табличному интегралу. Р sin3 х Пример 6. Найти I --- dx. J |/ cos х «3 Имеем: Если же т и п— четные неотрицательные числа, То степени по- нижаются посредством перехода к двойному аргументу с помощью тригонометрических формул- „ 14- cos 2х . 9 1—cos 2х . 1 . п cos2x~——g-----, sin2x —----£---, sin х cos х —— sin 2х. Пример 7. Найти \ sin2 х cos4 х dx. 281
<3 Имеем: sin2 х cos4 х dx = (sin x cos x)2 cos2 x dx = e sin2 2x 1 + cos 2x 1 C . 2 Q , . —4-------~2---dx=z~s J sm22xJ%+ । 1 C • 9 о o , 1 С 1—cos 4x , , 4—5* \ sin2 2x-cos 2x dx = — \ ---dx4- о J о J 2 ! 1 C • 9O . - n * sin4x , 'sin32x . . Ч-26 j sin" 2xd sin 2x=————+_^-+C. ► Если —2k, /? £ M, т. e. m-\-n является целым четным отрицательным числом, то целесообразно использовать подстановки tgx = / или ctgx = /. Пример 8. Найти sin1/3 х cos“13^3 х dx. 1 13 Так как ——~ = —4, то вычисление интеграла сводится к ин- о о тегрированию степеней тангенса: С sin1/3 х cos"13/3 х dx = С tg1/3x- - J J cos4x = C tg1/3 x (1 4-tg2x) .= C tg1/3 xdtgx+ C tg7/3xdtgx= COS X J Л =jtg4/3^+^tgl0/3x+C. B> Для вычисления интегралов вида ^igmxdx, ctgz/z х dx, где т = 2, 3, ..., используются тригонометрические формулы tg2x = sec2x—1, ctg2 х — cosec2 х—1. Пр и м е р 9. Вычислить ctg4 х dx. Имеем: ctg4 х dx = ctg2 х (cosec2 х— 1) dx = = — ctg2 х d ctg x — (cosec2 x— 1) dx = __.ct_? x._pctgx-|-r+C. О В общем случае интегралы вида sin"* х cosn х dx, где т и п — целые числа, вычисляются с помощью рекуррентных формул, кото- рые выводятся путем интегрирования по частям. р $х Пример 10. Вывести рекуррентную формулу для \ -----2/^+1 - COS X с и с ее помощью наити \ ----5—. J cos3x 282
А Имеем: _______P dx _ P sin2 x-|- cos2 x __ /2/s+1 = J cos2*+1x =J cos2*+i* dX~ P sin2 x . , P dx P . sin x , , r = \ --тт— dx-+- \ ----5-й—j—— \ sin x---5-.-vi— dx-\-I2h-^ J cos27e+1x 1 J cos2/z xx J cos2A:+ix 2R 1 Полагаем u~sinx, dv=—ji—tfx. Тогда du = cos x dx, v «= ’ cos2A+1x * 1 = -^7——— > 11 интегрированием по частям получаем XlZ COS X j _____ sin x IP dx . , 2/e+i 2£cos2Ax 2k J cos^-^x"^ 2fc-b или J ____Sin X ! f 2^ + 1 2&cos2^x ' 2kj 2ft“1 (рекуррентная формула). В частности, при k = l имеем I ___Р dx ____ sin х . 1 Р dx 8 J cos3x 2cos2x * 2 J cosx~~ sinx . 1 , , , . - . ~ 9 eo^T+~2 ln I fg X+sec XI + c. ► Wo Л Найти интегралы! 6.190. ysin3xdx. 6.192. Jcos’xrlr. 6.194. J sin2 x cos2 xdx. 6Л96' 6.198. C -7-3 — . . J sm3xcos^x n «ГИ C sin3x , 6.191. \-----r— dx. J COS8X 6.193. Vcos^dx. 6.195. cos2 x sin4 x dx. 6.197. [-^Ldx. J COS6X P dx 6.199. 1 . a J sin4 X COS2 X СО8 I x+— ) —-A-----12 dx. sin x cos x 6.202. tg3xdx. 6.204. [--- ^--7, ^. J У cos x sin3 x P dx 6.201. \— J COS5 X 6.203. J(ctg2|+ctg4|)dx. 6.205. Ccos^xrfx. 283
6.206. f dx. J у ccsx 6.208. C— J COS4X 6.210. С-Л-- J surx 6.207. sirf1 2x dx. 6.209. f-------—-------. 1 X . Q X J cos — sin3 — 6.211. \ cos x cos2 2x dx. б) Для интегрирования произведений синусов и косинусов раз- личных аргументов применяются тригонометрические формулы: cos a cos Р—у (cos (а—£) -ф- cos (a-f-B)), sin a sin ₽=у (cos (а — р)— cos (а-ф (3)), sin a cos р — у (sin (а—P) + sin (а + Р)). Пример 11. Найти cos 9х cos 5х dx. < Имеем cos 9x cos bx dx~~ J (cos 4*+cbs 14x) dx= Найти интегралы! 6.212. sin3xcos5xd£. 6.214. J cos ~ cos dx. 6.216. J cos x cos2 3xdx. sin 4%-j-^ sin 14x-j-C. ► 6.213. J sin lOx sin 15л:dx. 6.215. J sin у cos у dx. 6.217. sin x sin 2x sin 3x dx. в) Интегралы вида R (sin x, cos x) dXf где R (и, v)— рациональная функция двух переменных^ приводятся к интегралам от рациональной функции нового аргумента t подста- х новкой tg у — t. При этом используются формулы 2/ I — /2 л 2dt 51ПЛ'=Гн5’ COSX==TT^’ Av=H^- При м е р dx 4- cos х -ф- 3 sin х -j- 5 ’ 284
< Полагаем tg~=Z. Тогда f - dx dt 1_/2 9/ _2 C — _____ - I C — J(/+3)2_____z+3 h =------—+c. > ^у+3 Если под интегралом sin x и cos x содержатся только в четных степенях, то удобнее использовать подстановку tg х = I. р dx Пример 13. Найти I -----—г-~- . J 1—5sm2x <3 Разделив числитель и знаменатель на cos2 х и используя подста- новку tgx =-/, получим: Р dx ______Р d tg х J 1—5sin2x j 14-tg2x— t ,______________________— 2 4 cos х-ф-З sin х -|- 5 dt Z2 + 6/ + 9 P dt _ 1 . J l-4/2~ 4 П 1-1-2/ 1—2/ 1 + 2 tg x 1 —2 tg x + с. > Найги интегралы: 6.218. f— ^-r-n. J 3cosx-|-2 6.220*. J l-psinx sin x dx 3 — 2 sin %+ cos * 6.222. 6.224. 6.226, J 4 sin2 x—7 cos2 x ’ __________________ш 6.223 C_______sin -2--_ cos2z — 2 cos %+5_' ‘ J l'+4cos2x —. 6.225*. -----n- 2—sinx J (sin % + 4) (sin x—1) -‘+Cfg* dx. 6.227. C-:-— L-o -----— TT?------—• 1—ctg x J sin2x-p8sm x cos x-f-12 cos2x dx. г) Интегрирование гиперболических функций производится ана- логично интегрированию тригонометрических функций, причем исполь- зуются следующие формулы: ch2 x—sh2 x = 1, sh х ch х = sh 2х, ch2 x=~2 (c^ 2%+ 1), 1 —th2x = -l_, ch2 x sh2 (cn ~ 0* 1 cth2 х— 1 —— . sn2 x Найти интегралы* 6.228. ch2 3x dx. 6.229. J sh3 2x dx. 285
6.230. sh2хch2xdx. 6.231. Jch4xdx. «-232- L-иж-e-233* U-U 6.234*. f -r^~ , . 6.235. j/chx+1 dx. J ch x— 1 J r 1 6.236. ^cth3xd%. 6.237. th4xd%. 3. Интегрирование некоторых иррациональных функций, а) Ин- тегралы вида где R (х, у, z, ...) — рациональная функция своих аргументов, mt, пу т2, п2, — целые числа, вычисляются с помощью подстановки <7% + ^ ,е « mt т2 ---1где s—общий знаменатель дробей —— , , ... cx-j- d «1 п2 Пример 14. Найти С —=——---------------. J (Ух-{-3—1) Vх+З Производим подстановку х4~3 = /4. Тогда dx = 4/3ctt, и, следова- тельно, J 1)угр Я'-1)*2 =4(^ + 1п|/-1 |)+С=4(^х+3 + ln | /^-1|) + С. ► Найти 6.238. 6.240. интегралы: С------^=. 6.239. С-3-/& . J(5+x)/l+x J |/2х-3 [ - 6.241. f-----зТ!________. dx. J У х—у х J (х+а) \ 1 -f- у х-|-а) 6.242. 6.243. ^^^7=5 6-244- 6-245- б) Вычисление интегралов вида R (х, V'ax^-ybx 4-с) dXj где R — рациональная функция двух аргументов, производится с помощью тригонометрических подстановок следующим образом. Выде- лением полного квадрата в квадратном трехчлене и последующей 286
заменой переменной исходный интеграл приводится к ин» тегралу одного из следующих трех типов: 1) R (и, У Г2—и2) du, 2) J R (и, УТ2 + и2) du, 3) R (и, V и2 — 12) du. Последние интегралы тригонометрической или гиперболической подста- новкой соответственно 1) и —I Sint или zz = ZthZ, 2) u — ligt или zz = /sh/, 3) zz = /sec/ или и — I ch t приводятся к интегралам вида R (sin /, cos t)dt или /?(sh/, ch /) dt. Пример 15. Найти f У х2—a2 dx. Производим подстановку x = #ch/. Тогда dx^=a sh t dt, j/" x2—a2 = asht, и далее J ]/T2-a2rfx = a2J sh4rf/=-yJ (ch2/ —l)d/=-y /)-|-C= =-!^(sh/ch Z —0+C=4V^2—a2—^-Ink+Vx2—a2l + C. ► z z z P dx Пример 16. Найти I ;.. J f (x2 + 4x + 7)3 Выделяя полный квадрат в квадратном трехчлене* имеем Г dx С du о | — I _ • — * где «=%+2. J К (х + 4х + 7)3 J К(ы2 + 3)8 _________________________ т/’ g ______ Производя теперь подстановку и = У 3tgZ, du^X^dt, /гг2+3= = У 3 sec t, получаем: С dx С У"3 ,t If J у (x2+4x+3)3 J cos2/ У 3s sec3/ 3 J 1 . ,.г 1 w 1 x+2 ---^-Sin/-f-C — -5-— --—--'7Г Л T 3 3 K«2 + 3 3 /T2+4x+7 При вычислении интегралов вида mx4-n - J .. -7==-.dx ax2 bx + c следует предварительно выделить в числителе производную квадрат- ного трехчлена. р ___1 Пример 17. Найти I dx. J У1— 4х—х2 287
Имеем • Г —1(-2х-41-3 -y^d^dx^ I ±— -dx^ JK1— 4x — z2 J |<1—4X_X2 ___If (1 —4x—x2)' 3 f (jx 2 J У1—4x—x3 “ ’ J j/б —(x-|- 2)2 Заметим, что в этом примере нет необходимости производить три' тонометрическую подстановку, так как выделение полного квадрата сразу приводит к табличному интегралу. 1> Интегралы вида (тх 4- n)r Vах2 + Ьх4-с сводятся к рассмотренным выше интегралам с помощью подстановки , 1 тх~]-п~~. Пример 17. .Найти I .......... J х К х2—2х— 1 < Полагаем х==-т-. Тогда dx=== — —, l/'x2—2х—1=1/ J_?_ t t* Г t2 t У \—2t — i2 = -------- и dx ______ p dt — C x Уx2—2x—l \ 1 y'l—2t—t2~'~- \ 1Л2 —(Я-1Я J t * t -L 4-1 = — arcsin 4“ = — arcsin —[- C = — arc sin 4- C. У 2 У 2 * хУ 2 Найти интегралы: С* dx 6 246 —------ b‘Z iG- j (х2—3) 6.248. f -Л dx. J x 6.250. f . J У8x—x2 6.252. [---- ^==r. J У4-.6x— 3x2 6.247. 6.249. 6.251. 6.253. 288
6.254, -.dx. 6.255. f г,; * =гdx. J /х2—6x+I jy*8+* + l 6,256. Г g 957 С dx J х ]/'x2-j-8x + l J (х— 1) У См — х2—5’ 6.258. С 6.259. С ^т=. J х2 V 1—х+2х2 J (х+2)2/ х2 + 5 6.260. J У 1—.2х—x2dx. 6.261. $|/ (3 — 2х—x*)9dx. 6.262. 6.263. Сdx. Jf^+D5 J х 6.264. J И Л'2 — 2х+ 10 dx. 6,265. f ]/~4х—л2 dx. 6.266. f 1/-—+rfx. 6.267. Z-X—dx. 6.268. § 3. Смешанные задачи на интегрирование Найти интегралы^ 6.270. C ^r^-rrdx. 6.271. C -7-.y8-— dx. J x2 + 2x + 4 J x2—x—1 6.272. Г* C J (x-2)2(x+3) • И-/й- J (t«- I)2 ‘ 6.274. f — 6 275 f - — J x*(x‘+lj2 • J УхЧ-х-\-2 ‘ 6.276. C inxdx ~ f dx J —>. - 7-——.——:. b.^77. 1 —z.-~ .... —» J x У 6 + 4 ln-x — In2 x J л- У x2 + 8x +4 6.278. ^xV'x2—4dx. 6.279, ^xK*2+4x — 5dx. j »? 6.280. f Ух2 + 4x + 5dx. 6.281. f += j J (x2+9) ’/ 16— x*- 6.282. Г XA_. 6.283. f-^+==. J j/x4+ 16 J У (x2 + 4)3 6.284. f . 6.285. +-+ yi±x-.dx. )у7-Ух+1 1-* 6.286. C--^L^dx. 6.287. C-#^-. J 1 — SHI X JI + COS X . 6.288. C cos* -dx 6 289 f - J (l-sinx)1^ J 2 + cosx 9 6.290. C A 9Q1 f x dx. J 3 — 4sin2x* ’ • J cos2x Ю .Под род. А, В. Ефимс^ Б. П. Демидовича 289
6.292. | ’ secxtgx^ 6<293. | 5—sec2 x Jsinx-j-5 6.294. । . —6 . 6.295. ) sin X COS6 X J COS6 X 6.296. 1 C • 6.297. x sin x cos 2xdx. 6.298. С T \ . 6.299. f -Й2- 2 . J sh x ch x J sh2 x-}-ch2tf 6.300. 1 f th6 x dx. 6.301. f -h. rj_±x dx. - 6.302. 1 6,3°3, 5 sin2(lnx)dx. 6.304. j J xe2x dx. 6.305. хе~х* dx. 6.306. 1 ' ex dx c ^(ax—bxY , 1 -0-J- I 7 y F . 6.307. - dx. ) e2x — 5 J axbx 6.308. ’ J earcsin x dx. 6.309. $ j/> — 1 dx. 6.310. ( 6.311. \^^dx. 1 x2 V 1 — X» J «Л 6.312. 1 j ~ ^x‘ 6-313. x (1 + x2) arctg x dx. 6.314. 1 O15. f х1п(4 + д4)^х. 6.316. ’ x |/\2 -|-1 In k x2 — 1 dx. 6.317. 1 Г *_._ln -J dx. 1 Ki—*2 V 1—x2 6.318. 4X(1 + Inx)dx. 6.319. [...У?-?.?*72 dx. J 7 J ex<2 (1 +e*) ' § 4. Определенный интеграл и методы его вычисления 1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Если функция f(x) определена на отрезке а^х^Ь и a = xQ < xf < х2 < • • • ... < xZ2-i < хп = b—произвольное разбиение этого отрезка на п час- тей (рис. 48), то интегральной суммой функции f (х) на [а, Ь] назы- вается сумма вида /г- 1 где = k~ 1, 2, 3, ..п. Геометрически Sn есть алгебраическая сумма площадей прямоугольников, имеющих основания Л%/г и высоты f(^). Если определенная на отрезке [я, Ь] функция f (х) такова, что существует конечный предел последовательности интегральных сумм 290
Sn при условии, что наибольшая из разностей* Дх# стремится к нулю, причем этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка [а, Ь] на отрезки [x#_f, х#], ни от выбора точек £# на этих отрезках,- то функция f (х) называется интегрируемой на отрезке [а, Ь], а сам предел называется определенным интегралом от функции f (х) в пре- ь делах от а до b и обозначается символохм J f (х) dx. Таким образом, а Гд п f f (х) dx= lim S f (Ы A-Vfe. (1) J max Дх.-> 0 k— 1 a & Непрерывная на отрезке [а, b] функция f(x) интегрируема на этом отрезке. Геометрически определенный интеграл (1) представляет собой алгеб- раическую сумму площадей фигур, ограниченных графиком функции i/ = /(x), осью Ох и прямыми х — а и х — Ь, причем площади, распо- ложенные выше оси Ох, входят в эту сумму со знаком плюс, а пло- щади, расположенные ниже оси Ох,— со знаком минус. Пример 1 о Вычислить 2 х2 dx, рассматривая определен- 1 ный интеграл как предел интег- ральных сумм. «8 1-й с п о с о б. Разделим отре- зок интегрирования [1, 2] на п равных частей длины Дх =— . Точки деления: 1 1 I 1 If2 .11 Q х0 — 1, Xi — 1 -j- , х2 — 1 dh > • • •» *п—i — 1 ~г 9 хп — 2. В качестве точек £# выберем, например, левые концы каждого час- тичного отрезка. Тогда /(х0) = 1,- / (*i) ~ + >• /(хг) — (j Следовательно, /2rz —1 п —Т \ = 2_(„2 + (rt+l)2 + (n + 2)2+...+(2n-l)2) = -l( У ) \/г= 1 £=1 / 10* \ 291
Применяя формулу суммы квадратов целых чисел V ,_”(» +0 (2»+0 fe=l находим , _ 1 f (2ц—1)2и(4н —1) (ц — 1)ц (2ц —1)\ 14ц2 — 9ц-|-1 п ~ ц3 \ 6 6 ] ~ 6/г2 ’ откуда 2 ; г 14ц2 —9ц-|-1 7 \ тМх = lim------.= J - Ьп2 3 1 2-й способ. Разобьем отрезок [1, 2] на части так, чтобы абсциссы точек деления образовали геометрическую прогрессию-: х0==1, x^q, x2=q2, ...» xn^t = qn-L, xn=qn = 2, где q — 21/n. Точку с^г выберем на левом конце /г-го отрезка. Тогда /Ч*с) = 1, H*i)=<72, / (xn^1)=q2^-1\ kx^q — 1, Nx2 = q2—q = q (q — 1). &x3=q2 (q — 1), ... 1), = b (q — 1) + f/3 (q — 1) + qG {q — 1) + ... -\-tf (n ~1 > (q — 1) = cftn_i ___i _ 23—1_________ 7 22/"-{-21/n-|-l~"22/,?-4-21/,2+l * Следовательно, 2 Co 7 7 \ x2dx~ lim -x—j----т-r—=-—-5-. J ->00 22m-(-21/,2+1 3 Вычислить определенные интегралы, рассматривая их как пределы соответствующих интегральных сумм: 5 л/2 6.320*. $(l+x)dx 6.321*. cosxdx. о о 10 3 6.322*. ^exdx. 6.323*. р. 1 2. Вычисление простейших интегралов с пог^ощью формулы Ньютона — Лейбница. Если F (х) — одна из первообразных непре- рывной на [ц, /?] функции f (л), то справедлива следующая фор- мула Н ыо т о и а — Л е й б н и ц а: ь J / (.г) dx = F (х) =F (b)-F (л). 292
ez P dx Пример 2. Вычислить \ 4. r J X In X e Имеем ez e* C - --? —— — In | In *) [ = In (In e2) —In (In e) = in 2 я 0,69. J xlnx J In x ' 'P ё e Используя формулу Ньютона—Лейбница, вычислить интегралы: 2 8 6.324. f %3dx 6.325. С—. J J =/ X -1 1 v 2 f 6.326. (3%2—2;<+ V)dx, 6.327. $ С/х + j/P) dx. i о 8 з/~ 9 6.328. + 6.329. J f/x— \dx. 1 2 Л о 6.330. J sinxdx. 6.331. J ЭТ/2 ~n.'4 2 3 6.332. ^exdx. 6.333. $ 2х dx. 1 о ' 5 2 6.334. f —. 6.335. [тЛЦ. J X tj XX —~ 1 2 1 1 Л/4 6.336. 6.337. C Sin2(prf<p. J i ~rx J о о Л/3 2 6.338. tg4xdA'. Л/6 1 6.o40. J 4x2_|_4a: + . 0 4 P _L 3 6.342. J dx- 3 P t/x2 6.344. X-^rdx. 1 6.339. Uh3 xdx. r. 6.341. C 'T==^= > J K.v^^+2x^ 6.343. J ^^idx. -2 6.345. 1 293
6.348. 6.350. 6.352. С J Х(1 +1п2х) 1 1/3 § ch23xdx. о 2 Г dx J ]/ 24-Зх —2х2 ' 3/4 1 С х2 + Зх , \-----*----dx J ^+D(^+D о С помощью определенных интегралов найти пределы гумм: 6.353** л/2 6.347. у cos3 a da. о з 6.349 J у2 — 2у—8' 2 2 о n n n 6.354. lim £ (1 + I2 /.2 + 22 ~ ‘ - ~ п24-п2 )' JX . f-ч Л • . / «в х эх \ COS 75- 4- COS 2 75—Н • • 4-COS (n — 1) 75- ) . 2п 1 2п 1 1 ' ' 2п J Вычислить площади фигур, ограниченных линиями; 6.356. 6.357. 6.358. 6.359. у = -^х2, х = 2, % = 3. у —0, х=1, х— -8. = 6—х—2х2, z/ = x-|-2. г/ = 4’ У = 6.360. // = cosx, у = 0, х = — л-==— 4. 6.361. у = е~х, х = х = 2. 6.362. г/ = у, z/ = 0, х = 2, х = 3. 6.363. г/ = у, х + р = 4. 3. Свойства определенного интеграла. ь ]) Если /(х)^О на отрезке [а, Ь], то f (х) dx^ 0, а 2) Если / (х) (х) на' [a, Z?], то ь ь f (х) dx^^ g (х) dx, а а 294
b a b 3) p(x)dx < J If (x)|dx. a 4) Если f (x) непрерывна на [a, b], m — наименьшее, Л4—наи- большее значения f (x) на [a, b}, to tn (b—a) b / (x) dx M. (b—a) a (теорема об оценке определ-е иного интеграла). Пример 3. Оценить интеграл С JK1 + X* о Имеем: I 1 -|-х4*С 2 при Осх< 1; 1 1 г- — -^5» С ' ' ' " * , /2 1 4- х* т. е. т—М ~ 1, b — а = \. Следовательно, v & V £ 5) Если f (х) непрерывна, a g (х) интегрируема на [а, , g (х) О,- т и М— наименьшее и наибольшее значения f (х) на [а, Ь], то b ь ь m g W dx J f (x) g (x) dx M g (x) dx a a a (обобщенная теорема об оценке о rf р е д е л ен н ор о интеграла). 6) Если f (х) непрерывна на [а, Ь], то существует такая точка с£(я, Ь), что справедливо равенство ь f (х) dx = f (с) (Ь—а) а (теорема о среднем значении). Число ь f (с) = [ (х) dx а называется средним значением функции f (х) на отрезке [я, Ь]. 7) Если f (х) непрерывна, a g (х) интегрируема ня [я, /;] и g (х) 0? то существует такая точка с£(а, b)t что справедливо равенство ь * ь р (X) g (х) dx =f (с) f g (x) dx a a (обобщенная теорема о среднем). 295
8) Если f2(x) и g2 (х) интегрируемы на [a, fej, то а / W g (*) dx (неравенство Коши — Б у н я к о в с к о г о). 9) Интегрирование четных и нечетных функций в симмет- а ричных пределах. Если функция / (х) четная, то f(x)dx±- —а а а = 2 [ (х) dx. Если функция f (х) нечетная, то f(x)dx — 0. о — а 10) Если функция f (х) непрерывна на отрезке [я, Ь]> то интег- рал с переменным верхним пределом Ф W = р и является первообразной для функции f (х), т. е. = /(*), Ц V J 11) Если функции ф (х) и ф (х) дифференцируемы в точке xg(a, #) и / (0 непрерывна при <р (а) t =Сф (/;), то ( J f (0 di = f № (х)) (х) — f (<р (х)) ф' (х). \ф (X) / X Xs Пример 4. /(х)-^НМ. Найти /'(х). и Используя свойство 11) и учитывая, что ср (х) — 0, т. е. ср' (х)=0, имеем I' (л-) — e*U2)2. (х2)' — 2хе-*4. 6.364. Определить знаки интегралов, не вычисляя их; 1 1 1 а):? j l/ :dx\6) J х^ех dx\ в) xlnxdx. -2 -i V/з 6.365. He вычисляя интегралов, выяснить, какой из интегралов больше: в) \ cos2 х dx или j 6j~x2cos2xd\'. о о 296
6.366, Найти среднее значение функции на данном отрезке: а) х3, в) cosx, 0^%^л/2; б) у/х , г) cos3x, 0^х^л/2. 6.367. Сила переменного тока меняется по закону / = = /osin где Т—период. Найти среднее зна- чение силы тока за полупериод. i 6.368. Оценить интеграл V 8-|-ху dx. -i 2л е dx 6.369. Оценить интеграл \ -7=====. 1 J K5 + 2sin* 1 6.370. Оценить интеграл К(1 +*) (1 + л*3) dx, поль- b зуясь: а) обобщенной теоремой об оценке интеграла; б) неравенством Коши — Буняковского. 1 6.371. Оценить интеграл J У (4 4- х3) хdx, пользуясь: о а) обобщенной теоремой об оценке интеграла; б) неравенством Коши —Буняковского. 6.372. Найти: а) б) если 7 ар 7 da - В l^^-dx (0<а<₽). а 6.373. Найти точки экстремума функции <D(x) = j£2|4// (х>0, 0<a<j). а Найти производные следующих функций: X Щ* 6.374. Ф (х) = j“ dt. 6.375. Ф (х) = j sin (Р) dt. 0 i/x О хз 6.376. Ф(х)=С7=. 6.377. O(x)=f^ (х>°). 297
6.378. Доказать, что х2 sin х 14-х4 dx = 0. 4. Замена переменной в определенном интеграле. Если функция f (х) непрерывна на отрезке [я, Ь], а функция х = ф(/) непрерывно дифференцируема на отрезке [/ь причем п = ф(/1), Z? = cp (Z2), то b § f (х) dx = \ f (Ф (0) ф' (/) di. a ti 1 ____ Г J __ х2 Пример 5. Вычислить 1 ~—г rfx. ЕГ/2 Применим подстановку x = sin t. Тогда dx = cos/d/, / = arcsin х, 1/” 2 зт зт = arcsin Л. — = — и i2 — arcsin 1 = —. Следовательно, V2/2 У 1 —sin21 sin2 t cos л/2 C cos21 J sin2 t dt~ 1 —sin2 t. sin2 t dt~( — ctg t— t) П/2 = ——4-14- —= 1 2r л/4 4'- l> 2 6.379. Можно ли интеграл x f/Л — x2 dx вычислить 0 с помощью подстановки x = sin/? Вычислить интегралы с помощью указанных подста- новок: 6.380. 6 dX 3 v 9-/2 J 1 1 4- Г Зх —2 6.381. In 8 In 3 sh 1 +1 > е Ь • 6.382. V х2 + I dx, х — sh t. 6.383. 0 л/2 . iv- = t 0 34-2 cos x ’ 2 298
л/4 J ПЖ' 1 6.385, С КЗ—2х—x2dx, хЦ-1=2sin?. -т Вычислить интегралы с помощью замены переменной- 6,386. 6.388. 6.390. 2 С dx J _. X X2 — 1 2/У 3 4/Г"з 6,387. -2 dx К^+3+/(х4-3)§ * -dx. 6.389. х Г Д Тт+W ’ Г 3/3 dx 6.392. 6.394. -2 dx xV 1 4-4л2 6.393. xdx 5 — 4х ____ 3 ^2^=1 dx. 6.395. Сл’УЭ—хМх e*4-2 J 6.396. Показать, 6.397. Показать, 6.398. Убедиться dx arcsin х что в том, что 2 2 5 о Зх7—2х6+*3—* л л х* + Зх2+1 Л” 5. Интегрирование по частям. Если функции и~и(х}, v = v(x) и их производные и' (х) и (х) непрерывны на отрезке [а} Ь}, то £ ъ J и dv == uv j — J v du a a (формула интегрирования по частям). е Пример 6. Вычислить J In х ах. I 299
Положим rz = lnx, dv = dx, тогда du=-— , v==x. Имеем e e p Is C dx 1 e I In x dx = xln x I — \ x - —xl — e+ 1 = 1» > i i Вычислить интегралы методом интегрирования по частям: 1 1 6.399. С хех dx. 6.400. С -Г-С^М dx. J J К 1-1-х о о г 1 л/3 е 6.401. f 6.402. fln2xdx. J cos2я J Л/6 1 л/4 2 У 3 >----- 6.403. e3*sin4xdx. 6.404. f -dx. J I о 2 e 1 6.405. Jxlnxdx. 6.406. Jxarctgxdx. i о зт/4 fft/2 6.407. J x2cos2xdx. 6.408. e*cosxdx. о о 6.409. Показать, что для интеграла jt/2 jt/2 In=. J cosnxdx. о о верна рекуррентная формула ln = ^— ln^t Вычислить /7 и /8/ 6.410. Показать, что для интеграла 1 In = xne”x dx. п g N, о верна рекуррентная формула 1п = —~ + Вычис- лить /4. § 5. Несобственные интегралы 1. Интегралы с бесконечными пределами. Если функция f (х) непрерывна при пСхС-фоо, то по определению + <х> b \ liin \ / (х) dx. (1) " b-^- 4- оо " 300
Если существует конечный предел в правой части формулы (1), то несобственный интеграл называется сходящимся, если этот предел не существует, то—расходящимся. Геометрически несобственный интеграл (1) в случае f (х) > 0 есть площадь фигуры, ограниченной графиком функции у — f (х), прямой х~а и осью Ох (асимптотой). ь Аналогично определяется интеграл f (х) dx. Далее, по опреде- — со лению 4- со С + со / (л) dx = \ f (х) dx + f (х) dx, — СО — СО С (2) где с, —оо < с < -}- оо, —произвольно, причем интеграл в левой части равенства (2) считается сходящимся, если сходятся оба инте- грала в правой части. Признаки сходимости и расходимости приведем только для интегралов вида (1). 1) Если F (х)— первообразная для / (х) и существует конечный предел lim & (х) — F (+оо), то интеграл (1) сходится и равен х-> + СО + со / (х) dx = F (-|- со) — F (а); а если же lim F (х) не существует, то интеграл (1) расходится. Х-> 4- оо + со 2) Пусть при а^х<-'гээ 0<: / (х) ^zg (х). Если g (х) ах Л + 00 + со +00 сходится, то сходится и J f (х) .dx, причем / (x)dx^ \ g (x)dx. а а а + со + со Если f (х) dx расходится, то расходится и g (х) dx (п р и з- а а паки с р а в и е н и я). 3) Если при а^х < + оо f (х) >0, g (х) > 0 и существует ко- ' М +р V вечный предел lim ‘—т /О, то интегралы I f (д) dx и \ g(x)dx X -> -г со £ W J J а а сходятся или расходятся одновременно (п р еде л ь н ы й признак с р а в и е н и я). + со + со 4) Если сходится | f (х) | dx, то сходится и f (х) dx (по- а а следгшй интеграл называется в этом случае абсолютно сходящимся). + СО Пример 1. Вычислять f е~3х dx. о 301
Имеем: \ е~3х dx = lim J b->+<> о lim b -> + 1 ______ р —• 3 i=4- Um (1— e-3&)=-L- На практике в качестве интеграла, с которым производится сравнение, обычно используются интегралы вида J х а которые сходятся при а > 1 и расходятся при 1. Пример 2. Исследовать на сходимость dx. При х—имеем х+1 х3/2 1 x1/Z: гг, е dx Так как интеграл \ —г- J х1/2 расходится (а— 1/2 < 1), то и задан- ь о э ный интеграл также расходится. Вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость): 6.411. +00 + со f . 6.412. С —• J Х J11 Х и X е с + СО + 00 6.413. J _[ бг+~ГГ' § е”2х cosxdx. — 00 и + 00 + со 6.415. С xdx a Ata С 1+2х , \ 72" 1 л ♦ О*416. \ , Г- dx. J х24-4 J х2(14-х) + со + оо 6.417. f = - . 6.418. f хе-х2 dx. J К(*2+5)3 J + 00 + со 6.419. J xcosxdx. 6.420. 0 и ’ 302
4-со 6.421. f ^-dx. 6.422. Y 6.423. dx fx* —1 6.424. x dx l^l + x5 Исследовать на сходимость интегралы! dx 3’+2л2 +5x* хз_|_3х+1 dx. 6.427. ,3 dx. 6.428, -dx. dx Kx(x+l)(x4-2) sin — ---^=dx. dx J К *+ cos2x e2 dx x In Inx * 2. Интегралы от неограниченных функций. Если функция f (х) непрерывна при а^х<Ь и lim /(х) = оо, то по определению л -> Ь-0 b Ь-у f f (х) dx == lim f f (х) dx. (3) -y->+0 J a Y a Если существует конечный предел в правой части формулы (3), то несобственный интеграл называется сходящимся, если этот предел не существует, то—расходящимся. Геометрически несобственный интеграл (3) в случае f (х) >0 есть площадь фигуры, ограниченной графиком функции y~f(x), прямой х = а и вертикальной асимптотой х — Ь. Аналогично определяется несобственный интеграл в случае lim /(х)~оо. х-+ а + 0 В случае, когда с£(а, Ь) — точка разрыва и функция / (х) не- ограничена в любой окрестности точки с, b C-V1 b С / (х) dx — lim С f (х) dx + lim С f (х) dx. J Vi--> + o J v2->+o J a a c+v2 (4) Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов от неограниченных функций аналогичны признакам из п. 1. 303
На практике в качестве интеграла, с которым производится сравнение, обычно используются интегралы вида ь (5) h С dx , Лч J (6—х)“ (а > 0)‘ а которые сходятся при а < 1 и расходятся при 1 (сравните с аналогичными интегралами в случае бесконечных пределов инте- грирования). • Пример a 3. Исследовать на сходимость 2 С J 1пх интеграл << При х так как 1 1 1п X - X — 1 (эквивалентные бесконечно большие),- lim 1 lim lim_______ 1 х-+ 1 hu Х-+1 \/х 1 •==!. *2 расходится как интеграл типа (5) при а=1. Сле- I 2 С dx довательно, расходится и \ Интеграл При м е р 4. Исследовать на сходимость интеграл dx. Задача состоит в том* чтобы установить характер поведения подынтегральной функции при х—> + 0. В числителе при х—>-}-0 имеем 2х2 + К х = х1/2 (2х3/2 + 1) ~ х1/2 . В знаменателе воспользуемся формулой Маклорена для функции tg х: tg х—х~ ----з- Следовательно, при х—>-[-0 2л-2 + У~х tgx —х —1/3х3 .1/2 „ С dx Гак как интеграл \ - -у- расходится, то расходится и заданный о Х интеграл. 304 х— 1 х —
Вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость): dx 6.433. 6.434. dx (X2—I)4'5 X In^x 6.436. Р dx J убх— х2—8 2/3 С — .1 х/9^^1 1/о 6.438. 6.440. dx х3 ez dx Р dx J y.v(l^x) 0 4 • 2 0 6.443. I -Л J У1 — х4 о Р х3 dx J у 4 —Х2 V'2/л, С 1 \ COS -т . о Исследовать на сходимость интегралы: 1 1 Р cos — 6.442. J X о у Р dx J tg х — х * о 6.445. J 0 ex— 1 dx. 6.446. — J ех — cos х о 6.447. 1— x)3 dx. J V х—1 о dx. о о Р eV* , \ — J 6.450. ^-—^-dx. о 6.452. Доказать, функцию Г (а) интеграл Эйлера Г(&)~ е~хх%~1 dx exo- Q дится, и установить следующие соотношения: а) если а — п — целое число, то Г(п-|-1) — п\\ б) Г (а + 1) = а-Г (а) для любого а > 0; в) Г == V л; что при a > 0 определяющий гамма- Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича 305 о
г\ р (з \__. \ 2 J “ 2 ’ д) Г + = 1 -3-5.. .(2/г — 1)Х^-, п—целое. § 6. Геометрические приложения определенного интеграла 1. Площадь плоской фигуры. Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции у — f (х) (/ (х)^0), двумя прямыми х = а и х — Ь и осью Ох, или площадь криволинейной трапеции, Рис. 49 ограниченной дугой графика функции y — f(x), a<x^b (рис. 49)$ вычисляется по формуле ь s=^f(x)dx. 0) а Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций 0 = fiW и Л (*) (*), и двумя прямыми х = а, х = Ь (рис. 50), определяется по формуле Ь 5= J (/2 W~/i W)^« (2) а Простейшие задачи на применение формул (1) и (2) были приве- дены в § 4 (задачи 6.356—6.363). Пример 1. Найти площадь фигуры, лежащей в правой полу- плоскости и ограниченной окружностью х2-\-у2 = 8 и параболой у2 = 2х. ◄8 Найдем точки пересечения кривых (рис. 51), решив систему урав- нений #2-)-г/2 = 8, У2 = 2х. Получим точки (2, 2) и (2, —2). Используя симметрию относительно оси Ох, найдем искомую площадь S как удвоенную сумму площадей криволинейных трапеций, ограниченных соответственно дугами пара- 306
болы у=У2х, 0<х<2, и окружности у~У % —х2, 2*^, х^У 8: / 2 V"8 S=2( У2хс!х+ § У8^Т2с!х \о 2 / __ р = 2( V 2.4x3'2 \ = 2 8 \ 4 ——(-2 л— 2—л )=2л+—. О /о Иногда удобно использовать формулы, аналогичные (1) и (2), но по переменной у (считая х функцией от у), в частности, d 5- J (f2(y)~fi(y))dy. (3) Пример 2, Найти площадь фигуры, ограниченной параболой (у — 2)2 = х—I, касательной к ней в точке с ординатой у0 = 3 и осью Ох. Форма фигуры (рис. 52) не позволяет непосредственно применить формулы (1) или (2). Однако если рассматривать фигуру относительно оси Оу, то можно применить формулу (3). Итак, пусть у—независи- мая переменная. Уравнение параболы запишем в виде х~у2 — 4у-}-5. Найдем уравнение касательной к параболе. Оно имеет вид: х—xq = = Хо (t/— «/а)- Так как ху = 2 (г/ —2), то х$ = х |г}==3 = 2- Найдя, далее, абсциссу точки касания х0 = 2, получаем уравнение касательной х— 2 = 2 (у—3), или х=2у—4. Полагая в (3) (у) = 2у—-4, f2 (у) = у2 — 4г/+5, имеем: з j • з ((^2~4#+5)-~(2#~4))^===^ (z/2 — §y + <J)dy = 0 0 3 C 1 I3 = \ {y-3)2dy = -{y-~ 3)3 =9. 0 307
Заметим, что применение формул (1) и (2) при решении примера 2 потребовало бы вычисления суммы трех интегралов: 1 2 •$= J J У~х— 0^ dx-fc -1 1 5 4- J (2 —dx. Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у—1/х2, осью Ох и прямой х=к и лежащей правее этой прямой. Искомая площадь (рис. 53) выражается несобственным интегралом 5 = dx х2 х Если фигура ограничена кривой, имеющей- параметрические урав- нения x = x(t), y = y(t), прямыми х = а, x = Z? и осью Ох, то площадь ее вычисляется по формуле (г (ч S = у (/) х1 (/) dt = у (/) dx (/), Л tt где пределы интегрирования находятся из уравнений а = x(ti)9 b = x(t2) (у(/)^0 на отрезке [/х, /2]). Формула (4) применима также для вычисления площади фигуры, ограниченной замкнутой кривой (изменение параметра t от до t2 должно соответствовать обходу контура по часовой стрелке). Пример 4. Найти площадь петли кривой х^а (t2 — 1), y — b(fit — /3) (а > О, b > 0). Найдем точки пересечения кривой с координатными осями. Имеем: х — 0 при Н-= £ 1; // = 0 при Н~0, t~ ;£ 2. Следовательно, получаем следующие точки: (0, ЗЬ) при /= 1; (0, — 3b) при t —— 1; (—и, 0) при /=0; (Зп, 0)' при /=£ 2. Точка (За, 0) является точкой само- пересечения кривой. При О t 2 при —2 t 0 у (рис. 54). 308
Площадь фигуры находим как удвоенную площадь верхней ее половины: За 2 2 S = 2 ydx = 2^ у (/) х' (0 dt = 2 b (4/ — /3) a*2t dt = -а О О 2 Р /4 /5 \ |2 9Цп ~4ab \ (4/2 — t^)dt~4ab --==^ ab. ► J \ 3 5 J |о 15 о Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции г = г (ф) и двумя лучами ф — а, ф — где ф и г— полярные координаты, или площадь криволинейного сектора, ограниченного дугой графика функ- ции г — г (ф), а <;ф «С Р, вычисляется по формуле S=4jrW (5) (X Пример 5. Найти площадь лун- ки,- ограниченной дугами окружнос- тей г = 2рсозф, г = 2я5Шф, «^л/2, а > 0. Окружности пересекаются при ф = л/4; рассматриваемая фигура (рис. 55) симметрична относительно луча ф щадь можно вычислять так: ЭТ/4 Л/4 5 = 2*~ 4р2 sin2 ф с/ф = 2а2 § (1—сов2ф)йф = О о фигуры, ограниченной парабо- 6.453. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой z/^lnx и прямыми х = е. х = е2, у = 0. 6.454. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом & , i а2 -и Ь2 6.455. Найти площадь лами у2 = 4% и х2 = ^у. 6.456. Найти площадь лой — х2 + 2х и прямой 6.457. Найти площадь 27 х2 У = -а-т"п и У = • J xz + 9 J Ь 6.458. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми г/2 = и у2 = ~ (х—р):‘ (р > 0). фигуры, ограниченной парабо- г/ = х+2. фигуры, ограниченной кривыми 309
6.459. Найти площадь фигуры, ограниченной окруж- ностями х2 + у2 = а2, х2 -ф у2 — 2ау = а2 и прямой у = а, 6.460. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми с^- а2х У— > У = ^Г72 и осью Оу. 6.461. Найти плошадь фигуры, ограниченной осью Оу, параболой (х—а)2 — 2р(у—Ь) и касательной к ней в точке с абсциссой х — с (с > а > 0, р > 0). 6.462. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у~ех—1, у = е2х—3, х=0. 6.463. Найти площадь фигуры, ограниченной парабо- лой у = 3 + 2х—х2 и осью Ох. 6.464. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y = arcsinx и прямыми х = 0, у = л/2. 6.465. Найти площадь верхней лунки, ограниченной окружностями х2-]-у2 = а2 и х2 + у2-]-2ау = а2. 6.466. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (х — 1){у + 2) = 2 и х+у = 2. 6.467. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = In х, касательной к ней в точке х — е и осью Ох. 6.468. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми 4/ = 1п (х + 2), z/ = 21nx, у~$. 6.469. Найти площади каждой из двух частей, на ко- торые круг х2 + у2^ 2ах разделен параболой у2^= 2ах—а2. 6.470. Найти площадь лунки, ограниченной гипербо- з лой х2 — у2 = а2 и параболой у2==-^ах. 6.471. Найти площадь гиперболического сегмента с вы- сотой /1 и основанием 2г (действительная полуось гипер- болы равна а). 6.472. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой %5 а2у2 = --- и ее асимптотой. 2а—х &А13, Найти площадь фигуры, ограниченной линиями х2 — у2 = а2, (х2 —&2)3 у2 = а8 и осью Ох (х > 0). 6.474. Найти площади каждой из двух частей, на кото- рые круг х2 + у2 ^2ах разделен гиперболой 4х2 — Зу2 = а2. 6.475. Найти площадь эллиптического сегмента с вы- сотой h и основанием 2г (большая полуось эллипса рав- на а, основание сегмента параллельно малой оси). 6.476. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми а^ а2х у = , у = ——- и осью Ох. 6.477. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой х^ у2 = ——- и ее асимптотами. J а2—х2 310
6.478. Найти площадь фигуры, ограниченной астрои- дой x = ncos3/, у = a sin3/. 6.479. Найти площадь петли кривой x = —/2), г/-/2. 6.480. Найти площадь фигуры, ограниченной одной ар- кой циклоиды x = 2(t—sin/), z/= 2 (1—cos/) и осью Ox. 6.481. Найти площадь петли кривой х = а (/2+ 1), у = = Ь (Z3—3Z). 6.482. Найти площадь петли кривой x — 2t— /2, ^-2/2 —/3. 6.483. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиои- дой г = ц(1 + sin ф). 6.484. . Найти площадь одного лепестка кривой г = = a sin 2<р. 6.485. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой r = asin5cp. 6.486. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми r = atgcpsec(p, г = 2(7 cos <р и полярной осью. 6.487. Найти площадь фигуры, лежащей в первой чет- о > а верти, ограниченной кривыми г = Ц1§Ф, г = ----- и поляр- ной осью. 6.488. Найти площадь фигуры, ограниченной двумя по- следовательными витками логарифмической спирали г = аф, начиная с cp = O. 6.489. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми л2 = 2соз2ф, г=1 (г>1). 6.490. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой г — a cos Зф. 6.491. Найти площадь фигуры, ограниченной лемниска- той Бернулли = sin 2ф. 6.492. Найти площадь фигуры, ограниченной окружно- стью г — КЗзтф и кардиоидой г=1—созф (вне карди- оиды). 2. Длина дуги кривой. Если гладкая кривая задана уравнением г/ = /(х), то длина I ее дуги равна ь а где а и Ь — абциссы концов дуги. Если же кривая задана параметрическими уравнениями х«х(0,> то К W)a+Q//)2 ti 311
Аналогично выражается длина дуги пространственной кривой, задан- ной параметрическими уравнениями x = x(/), y = y(t)t z — z(t)9 /= ( 6 Если задано полярное уравнение гладкой кривой г — г (ср), а ф Р, то Р ___________ I — У г^^^')2 dq>. а Пример 6. Найти длину дуги полукубической параболы y2 = xs от начала координат до точки (4, 8). Имеем: y = xi,2i 4/'=-|х1/% О Пример 7. Найти длину астроиды х —«cos3/, у —a sin3-1. Имеем x't — —За cos2 t sin t, y’t — За sin21 cos /, Л/2 _L I = J У да2 cos4 t sin2 Z4“9«2 sin41 cos2 tdt — 0 Л/2 о C . , , .. q sin21 |зт/2 3a — 3a \ sm /cos tdt —3a •—-— =-?r, J 2 о 2 о откуда I —6a. > Пример 8. Найти длину кардиоиды г —а (1—cos ф) (а > 0). Имеем: г' — a sin ф$ л 2_ / = J у а2 (1 — cos ср)2 сг2 sin2 ф d(f — 0 ЗТ «ГЕ ^а У2 (1 —cos ф) d(p — 2а J sin ~ dq = 4а, о о откуда l~8a. 6.493. Найти длину дуги параболы у — х2 от х = 0 до 1. 6.494. Найти длину дуги кривой у = — (3—х) Их между точками ее пересечения с осью Ох. 312
6.495. Найти длину дуги полукубической параболы ^2 = —р)2, лежащей внутри параболы z/2 = 2px, 6.496. Найти длину дуги кривой у = а In (я2—х2) (а > 1), лежащей выше оси Ох 6.497. Найти длину замкнутой кривой 8а2у2~х2 (а2—%2). 6.498* . Найти периметр лунки, образованной окруж- ностями: х2-Н/2 = 2<xr и х2 -У у2 — 2Ьу (а>&>0). 1 6.499. Найти длину дуги цепной линии z/ = -g-ch 2л; от х = 0 до х = 3. 5? лх 6.560. Найти длину дуги кривой У = — In sin-^- от х = 1/2 до х = 3/2. 6.501. Найти длину дуги полукубической параболы г = — (х—р)3, отсекаемой прямой х = 2р (р > 0). 6.502. Найти длину дуги кривой x = 6z(3cos/—cos3/), у~а (3 sin t — sin 3/) от / = 0 до / = ~ (a > 0). 6.503. Найти длину дуги кривой x = e*cos/, y — etsint от t = 0 до t = 1. 6.504. Найти длину петли кривой х = I2, у — t — t2\ . /6 ^4 6.505. Найти длину дуги кривой х = -^, у = 2------ между точками ее пересечения с осями координат. 6.506. Найти длину петли кривой х = а (/2 +1), ^|(/з__3/) (а>0). 6.507. На циклоиде x = a(t— sin/), р = а(1—cos/) найти точку, которая делит длину первой арки циклоиды в отношении 1:3, считая от начала координат (а > 0). 6.508. Найти длину дуги логарифмической спирали г = еа(р, находящейся внутри окружности г=1 (а > 0). 6.509. Найти длину дуги кардиоиды г = 2(1—cos ср), находящейся внутри окружности г = 1. 6.510* . Найти длину всей кривой г = я cos3 — (а>0). 6.511. Найти длину дуги спирали Архимеда г = 5ф, находящейся внутри окружности г=10л. 6.512. Найти длину всей кривой r = tzsin4-~ (я>0). Найти длины дуг пространственных кривых: - 6.513. л: = я/2, у = а г = а (/—|-./3) от^° до / = j/З (а > 0). 313
6.514. x = e<cos/, y = e*sin£, z = e* между плоскостями z = 0 и г = a (a > 0). 6.515. х2 = 4г/, 9г2 =16xz/ между плоскостями х — 0 и х-4. 6.516. х = аКt cost, y — aVtsmt, z = at от Z = 0 до произвольного t > 0 (а > 0). 6.517. х — t—sin t, y= 1 —cos t, z — 4 cos у между дву- мя точками пересечения кривой с плоскостью Oxi. 3. Площадь поверхности вращения. Площадь поверхности, образо- ванной вращением вокруг оси Ох дуги кривой, заданной функцией а х Ь, вычисляется по формуле ь <2ж=2л J f (х) Кl + а Если дуга задана параметрическими уравнениями х — х (I), у— у (/), /1 t С t2i то ^2 <2х = 2л J y(t) V(х' (2))2+(//' fl Если дуга задана в полярных координатах г = г (ф), то Р ________ Qx=2n г sin q? ]/"г2 + (г')2 ^ф* а Если дуга кривой вращается вокруг произвольной оси? то пло- щадь поверхности вращения выражается интегралом в 3 = 2л Rdl, А где R— расстояние от точки на кривой до оси вращения^ dl—диф- ференциал дуги, А и В—пределы интегрирования, соответствующие концам дуги. При этом R и dl должны быть выражены через пере- менную интегрирования. Пример 9. Найти площадь поверхности, образованной враще- нием астроиды х2/3+ = с2/а вокругуэси Ох. Имеем: у=.(а2‘-—х^У'\ У'=^ (а2/3_х2/3)1/2 у , l/"i । a^r -^T^ дш V х^л |A'|V3‘ 314
Следовательно, а а Qx=2-2n J (с№- .^dx=4nai'3 § (й2/з_\2/з)з/2х-1/зfa О о 3 (а2/3 х2/3)Б/2 а_12_ 2 5 о — 4лбг1/3 - у _5 2 Пример 10. Найти площадь поверхности, образованной вра- щением одной арки циклоиды x~a(t—sin/), y = a(l — cost) вокруг оси Ox. Имеем:- х x't — a(\—cos /), yt~a sin Ц V(*/)2 + G/i)2 == 0 — cos О2 + sin21 = = аУ2(1—cos t) = 2asin-^. 1 Отсюда 2Л 2л (}х=2л a (1—cos/)-2л sin-^-d/ = 8jxa2 Csin3 —d/ = J * J о 0 2л ==8ла2 J — cos2 f sin-^- d/^ = — 161ГШ2 \^cos cos8 ~3 2л 64 2 Йь» 0 =-3-™ • ► Пример 11. Найти площадь поверхности, образованной вра- щением кардиоиды r=2a (1-}-cos <р) вокруг полярной оси. < Имеем: г' = — 2а sin ф, V/'2 + (г')2— 4а2 (1+ cos ф)24-4п2 8ш2ф = 4а cos-2-3 и, далее, Jt л Qx~ 2л j 2а (1 Н-cos ф) sin ф• 4а cos ^-d(p = 64ла2 J cos4 о . о 128 5 = ла2. > 6.518. Найти площадь поверхности (называемой кате- ноидом), образованной вращением дуги цепной линии у — ych 2х, 0 х 3, вокруг оси Ох. 315
6.519. Найти площадь поверхности эллипсоида, образо- ванного вращением эллипса 4х2 -р у2 = 4 вокруг: а) оси Ох; б) оси Оу. 6.520. Найти площадь поверхности, образованной вра- щением вокруг оси Ох дуги кривой у = ух3 от х=—1 до х = 1. 6.521. Найти площадь поверхности, образованной вра- щением вокруг оси Ох дуги кривой у = ~~]/гх(х—12) меж- ду точками ее пересечения с осью Ох. 6.522. Найти площадь поверхности, образованной вра- щением вокруг оси Оу дуги полукубической параболы 9m/2 = 4x3, отсекаемой прямой х — а. 6.523. Найти площадь поверхности, образованной вра- щением петли кривой 9ау2 = х(3а— х)2 вокруг:, а) оси Ох; б) оси Оу. 6.524. Найти площадь поверхности, образованной вра- щением дуги кривой р = £-л'/2,0 < +°°> вокруг оси Ох. 6.525. Найти площадь поверхности, образованной вра- щением дуги кривой x = rz(3cos/—cos3/), z/==a(3sin/ — — sin3/), 0^/^л/2, вокруг: а) оси Ох; б) оси Оу. 6.526. Найти площадь поверхности, образованной вра- щением петли кривой x = n(/2+l), z/~-y(3— t2) вокруг оси Ох. 6.527. Найти площадь поверхности, образованной вра- щением одной арки циклоиды х = a (t — sin /), у = а (1 —cos t) вокруг ее оси симметрии. 6.528. Найти площадь поверхности, образованной вра- щением дуги эвольвенты окружности x~a(t sin£ + cos/), r/ = a(sin/— /cos/), 0^/^л, вокруг оси Ох. 6.529. Найти площадь поверхности, образованной вра- щением окружности г = 2(7 sin ср вокруг полярной оси. 6.530. Найти площадь поверхности, образованной вра- щением кардиоиды г — а (1 + cos ф) вокруг касательной в ее вершине (2а, 0). 6.531. Доказать, что площадь поверхности, образован ной вращением лемнискаты л2 = б/2 sin 2<р вокруг полярной оси, равна площади поверхности сферы радиуса а. 6.532. Найти площадь поверхности, образованной вра- щением дуги кривой г = a sec2 ~, 0 ф дг 9 ВОКРУГ п0' лярной оси, 316
4. Объем тела. Если площадь S (х) сечения тела плоскостыо,- перпендикулярной оси Ох, является непрерывной функцией на отрез- ке [я, 6], то объем тела вычисляется по формуле b V= S(x)dx. (6) а Пример 12. Найти объем тела, основание которого—круг радиуса а, а сечение плоскостью, перпендикулярной фиксированному диаметру круга, есть равнобедренный треугольник высоты h. Выберем систему координат так, чтобы плоскость Оху совпадала с плоскостью круга, начало координат—с его центром, а ось Ох содержала фиксированный диаметр (рис. 56). Получим уравнение окружности в виде Х2-|-£/2=Я2. Сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, есть равно- бедренный треугольник с основанием 2у — 2 |/*ц2—х2 и высотой h. Имеем: 5 (х) — ~ • 2 —x27i — Л ]/"а2—х2 (—а<х<а)} а а V — h )/*а2—x2dx~2h j/"а2—x2dx = -а О = 2А(у V'^Xi+^-arcslnX^=^2h-^-^ = ~na2h. & Выражение для функции S (х) достаточно просто получается в случае тел вращения. Так, если криволинейная трапеция, ограни- ченная кривой y — f(x), a^x^b, вращается вокруг оси Ох или Рис. 56 Рис 57 оси Оу, то объемы тел вращения вычисляются соответствен но по фор- мулам: Vx=n^ f2(x)dxj (7) а Ь Vy = 2jt х I / (х) I dx, а 0. (8) а Если криволинейный сектор^ ограниченный, кривой г = г(ф) и лучами ф — а, ф = В, вращается вокруг полярной оси, то объем 317
тела вращения равен у=4я о г3 sin (р dtp Вычисление объемов тел значительно проще производится с помощью кратных интегралов. Поэтому мы ограничимся здесь только простейшими задачами. Пример 13. Фигура, ограниченная кривыми у—'У'2рх и у~——р)^2 $ вращается вокруг оси Oxs Найти объем тела V р вращения. Найдем точки пересечения кривых: У'2рх==~~~ (х—р)3/2 , или 2р2х = 4(х—р)3; V Р очевидно, уравнению удовлетворяет значение я = 2р, и тогда у — 2р, т, е. имеем точку пересечения (2р, 2р),—рис. 57. Искомый объем есть разность двух объемов: объема Их, полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной параболой у — У'2рх (0*с*«С2р), и объема У%, полученнбго вращением криволинейной трапеции, ограниченной полу- 2 кубической параболой у~—^=(х—р)3/2 (p^x^2p)t V Р Используя формулу (7), получаем: 2р 2р 2р 2р г* Q р 2 р 4 Р ?=л \ у\ dx—я\ y2dx — n-2p\ xdx—л*—\ (х—p)3dx~ J J J Р J о р о р х2 |2р 4л (а: —р)4]2^ .о о о ч ~2лр-у|0 —4-------------|р яр? = Злр3, S> Пример 14. Фигура, ограниченная кривой x = acos£, р = == a sin 2t (0 /«С л/2) и осью Ох, вращается вокруг оси Оу. Найти объем тела вращения. Очевидно, что 0<:х«^я и О^р^я, а также что р = 0 при / — О и при / = л/2, т. е. рассматриваемая фигура является криволинейной трапецией. Далее, при / = 0 х = я, при £ = л/2 х = 0л Следовательно, искомый объем выражается формулой (8), Имеем: а о И^--2л х (0 у (0 б# = 2л a cos Ля sin 2/(—а sin 0 О ЭТ/2 ЗТ/2 Л/2 = ля3 sin2 2/ dt^=y~- J (1-—COS 4/) d/ — 0 ' о ля3 т* ~ sin 4/ 4 Л/2 Л2Я3 0 ‘ ► 818
Пример 15. КардиоидгГ r = a (1—coscp) вращается вокруг полярной оси. Найти объем тела вращения. л 4 У = ХлСа§(1—COS ф)8 Sin ф dtp = фгш? .I й=:-|-Л^. |> 6.533. Найти объем телаГоснование которого—область плоскости Оху, ограниченная астроидой x = ^cos3/, у=±= a sin3 /, а сечение плоскостью, перпендикулярной оси Ох, есть квадрат. 6.534. Найти объем клина, отсеченного от прямого кругового цилиндра радиуса а плоскостью, проходящей через диаметр основания под углом а к плоскости осно- вания. 6,535. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями 2у = х* и 2х + 2у—3 = 0. 6.536. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у = е~*х—1, у = е~х-\- х = 0. 6.537, Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями г/ = х, у х + sin2 х (0 х л). 6.538. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями у = ^-\- •ф- 2х 2 и у = 2. 6.539. Найти объем тела, образованного вращением па- раболического сегмента с основанием 2а и высотой h вокруг высоты. 6.540. Найти объемы тел, образованных вращением фи- гуры, ограниченной кривой х = а/2, у = a In t (а>0) и ося- ми координат, вокруг: а) оси Ох; б) оси Оу. 6.541. Найти объем тела, образованного вращением во- круг оси Ох фигуры, ограниченной кривой x = acos/, z/ = asin2/ и осью Ох (О^х^а). 6.542. Найти объем тела, образованного вращением аст- роиды x = acos3/, # = asin3/ вокруг прямой х = а. 6.543. Найти объем тела, образованного вращением кри- вой r = tzsin2(p вокруг полярной оси. 6.544. Найти объем тела, образованного вращением лемнискаты r2 = a2cos2cp вокруг полярной оси. 6.545* . Найти объем тела, образованного вращением _ «, sinx вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривой # = —— и осью Ох. 319
§ 7. Приложения'определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики 1. Моменты и центры масс плоских кривых., Если дуга кривой за- дана уравнением y=-f(x), а^х^Ь, и имеет плотность1) р = р(х), то статические моменты этой дуги Мх и Му относительно координат- ных осей Ох и Оу равны ь мх= J р (х) f (х) KT+W)P а b J р (х) х Vl + (f (х))а dx, а моменты инерции 1 х и 1 у относительно тех же осей Ох и Оу вычисля- ются по формулам ь ц= $ р w /2w К hhTW dXl а Ь ly = $ Р (X) Xs К1+(/'«)3 dx, а а координаты центра масс х и у —по формулам ъ _ Ми j f г_________________________ х J Р (х) х К1 + (Г W)2 dXi а b кд ] р __________ "у = J р W f W V1 + (Г W)2 ах, а где Z—масса дуги, т. е. ь Z=J Р(Х) КГ+(/' (x))arfx. а Пример 1. Найти статические моменты и моменты инерции от- носительно осей Ох и Оу дуги цепной линии #~chx при О^х^ L Имеем: / = sh х, 1-j-(у')2 = j/' 14-sh2x = chx. Следовательно, 1 1 ch2x = J (1 -f-ch 2х) dx = -^ sh 2x^=5 о о ₽=---! (2 + sh 2), ------—-----------Ль -1) Всюду в задачах, где плотность не указана, предполагается, что кривая однородна и р = 1. 320
С С 11 С Л1 у — \ х ch х dx = j х d (sh х) — х sh х i — \ sh х dx — 0 0 о =sh 1 — ch х — sh 1 — ch 1 + 1, 1 I 5Г / sh3 r\ fl 1 ch3 x dx—\ (1 + sh2 x) ch x dx — [ sh x + —— \ — sh 1 + — s