/
Текст
НЕ БОЛЕЕ 1M КНИГИ В
ОДНИ РУКИ И 2ХВДВЕ
КОЛОХЗА
ОСКОР^А
A FIRST COURSE
IN RATIONAL CONTINUUM MECHANICS
С TRUESDELL
THE JOHNS HOPKINS UNIVERSITY
BALTIMORE, MARYLAND
1972
К. ТРУСДЕЛЛ
ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЙ
КУРС
РАЦИОНАЛЬНОЙ
МЕХАНИКИ
СПЛОШНЫХ
СРЕД
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
Р. В. ГОЛЬДШТЕЙНА и В. М. ЕНТОВА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
П. А. ЖИЛИНА и А. И. ЛУРЬЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1975
УДК 531+532+534+536
Автор монографии — крупнейший специалист в области ме-
механики сплошных сред, знакомый советским читателям по пере-
переводам его статей. В книге дано полное и логически строгое
изложение механики сплошных сред как математической теории.
Оно охватывает как общие понятия, так и специальные вопросы
гидродинамики, теории упругости и термодинамики сплошных
сред; сюда относятся теория вискозиметрических течений жидко-
жидкости, распространение волн в упругих материалах, термодинамика
однородных процессов.
Книга предназначена как для специалистов в области меха-
механики сплошных сред, так и для студентов, аспирантов и препо-
преподавателей университетов и технических вузов.
Редакция литературы по математическим наукам
Т 34—75 © Перевод на русский язык, «Мир», 1975 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
Название книги известного американского ученого Клиф-
Клиффорда Трусделла не должно вводить читателя в заблуждение:
по нашему мнению она адресована математически образован-
образованному читателю, который знаком, и не толь"ко в общих чертах,
с механикой сплошных сред. Однако по содержанию и стилю из-
изложения книга в первую очередь является учебником, а потому
может быть прочитана и начинающим.
Цель, которую ставит перед собой автор, — представить ме-
механику сплошных сред как единое целое, а не собрание отдель-
отдельных дисциплин (гидромеханики, теории упругости, теории пла-
пластичности и т. д.). Важную роль в достижении этой цели играют
средства, а конкретнее — ясный, лаконичный, допускающий фор-
формализацию язык и удобный в обращении рабочий аппарат.
Именно это отличает книгу К. Трусделла от других книг с ана-
аналогичными названиями.
Считая механику сплошной среды разделом математики,
К. Трусделл использует те и только те понятия, которые допу-
допускают формализацию. При этом он опирается, главным образом,
на аксиоматику Нолла. Характерным для книги является
углубленный интерес к первичным элементам механики (телам,
силам, движениям), описываемым с помощью формальных
структур. Подробно обсуждаются такие понятия, как система
отсчета и конфигурация, а также принцип независимости от си-
системы отсчета, или принцип материальной объективности. При-
Приводятся формулировки основных законов механики. Все это
относится в одинаковой степени ко всем материалам, будь то
жидкость, газ или твердое тело. Различие между материалами
устанавливается теорией определяющих уравнений, изложение
которой является одним из наиболее интересных моментов в кни-
книге. Важно подчеркнуть, что теория определяющих уравнений —
это сводка необходимых ограничений и выяснение структуры оп-
б ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
ределяющих уравнений. Основным рабочим аппаратом здесь яв-
являются теоретико-групповые методы. Групповые представления
лежат в основе определений различных общих типов материалов
(жидкости, твердого тела, тела с внутренними связями), типов
анизотропией т. д. При этом выясняется необходимость строгого
различения начальной и актуальной конфигураций.
В книге рассматриваются и некоторые специальные классы
материалов с детальным исследованием конкретной структуры
определяющих уравнений. Чрезвычайно изящно изложена, на-
например, теория вискозиметрических течений жидкости. Конечно,
большое внимание уделено упругим телам.
Видимо, нет нужды подробно пересказывать содержание
книги, поскольку оно полно отражено в оглавлении. Однако
нельзя не коснуться раздела, посвященного термомеханике.
Здесь автор коренным образом отходит от традиционного изло-
изложения термодинамики, приняв за основу термодинамику в трак-
трактовке Колемана и его сотрудников. К достоинствам этой трак-
трактовки относятся обнаженность исходных посылок и простота
описания понятий. Подробно обсуждаются первое и второе на-
начала термодинамики, причем последнее принимается в форме
неравенства Клаузиуса— Дюгема. Приводятся простые рассуж-
рассуждения, использующие понятие термодинамического процесса, ко-
которые позволяют получать из неравенства вполне точные соот-
соотношения.
Не следует закрывать глаза на то, что изложение механики
сплошных сред в этой книге идет вразрез со многими устано-
установившимися традициями и взглядами. Пожалуй, ни один автор
не излагал еще механику сплошных сред столь смело и с так
резко расставленными акцентами. Некоторые высказанные
в тексте положения вызовут возражения специалистов, и во вся-
всяком случае книга не оставит читателя равнодушным: иногда она
вызовет восхищение, а иногда чувство протеста. Несомненно,
что ее следует прочитать и подумать над прочитанным.
Читателя, который собирается изучать механику сплошных
сред по этой книге, следует предупредить, что устрашающие
«приготовления» в большей части первой и третьей глав, на-
набранные мелким шрифтом, при первом чтении можно опустить
без ущерба для понимания остального.
предисловие редакторов перевода
Книга написана вполне четко, хотя и требует от читателя на-
напряженного внимания и даже «активного сотрудничества» с ав-
автором. Мы настоятельно рекомендуем читателю работать с ка-
карандашом, поскольку хорошее овладение аппаратом и методами,
используемыми в книге, принесет ему большую пользу.
При переводе возникли некоторые затруднения с терминоло-
терминологией. В частности, К. Трусделл использует два термина: «defor-
«deformation» и «strain», причем последний, как правило, в описатель-
лом смысле. Оба они переводились термином «деформация», но
в тех случаях, когда термин «strain» употребляется в точном
смысле, мы чаще всего переводим его как «мера деформации».
Далее, термин «calory» переведен как «калория», хотя эта кало-
калория и не имеет ничего общего с традиционной калорией — еди-
единицей тепла, а имеет смысл энтропии. Перевести «calory» как
«энтропия» оказалось невозможным ввиду протеста автора, вы-
высказанного в тексте.
Автор весьма внимательно отнесся к изданию русского пере-
перевода и прислал большое число исправлений и дополнений, кото-
которые все были учтены.
П. А. Жилин, А. И. Лурье
Настаивая на том, что совершенное решение задачи должно
удовлетворять требованию строгости доказательства, я хотел бы,
с другой стороны, выступить против мнения о том, что лишь
понятия анализа или даже одной лишь арифметики поддаются
вполне строгому рассмотрению. Это мнение, защищаемое иногда
и выдающимися умами, я считаю совершенно ошибочным. Такое
одностороннее толкование требования строгости быстро привело
бы к игнорированию притока нового материала извне и в конеч-
конечном счете к отказу от понятий континуума и иррационального
числа. А какой важный нерв, жизненно необходимый для мате-
математической науки, оказался бы перерезанным, если бы мы иско-
искоренили геометрию и математическую физику! Я полагаю, что
напротив, откуда бы ни исходили математические идеи/ из тео-
теории познания или из геометрии, из физики или ¦ из других есте-
естественных наук, задача математики — исследовать принципы, ле-
лежащие в основе этих идей, и вывести эти принципы исходя из
простой и полной системы, аксиом таким образом, чтобы точ-
точность новых понятий и их применимость для дедукции ни в коей
мере не были меньше, чем у старых арифметических понятий.
Новым понятиям неизбежно соответствуют новые обозначения.
Мы выбираем их так, чтобы они напоминали нам о явлениях,
послуживших поводом для формирования новых понятий...
Часто, когда нам не удается решить математическую проблему,
причина состоит'в том, что мы не овладели еще достаточно об-
общей точкой зрения, с которой наша проблема представляется
лишь отдельным звеном в цепи родственных проблем...
¦ Убеждение, что любую математическую задачу можно решить,
служит мощным стимулом для исследователя. Нам слышен веч-
вечный внутренний голос: Вот задача, ищи решение. Ты можешь
найти его с помощью чистого мышления, ибо в математике не
существует Ignorabimus *I...
Вейерштрасс говорил: «Конечная цель, которую всегда надо
иметь в виду, заключается в том, чтобы понять основы... Однако,
чтобы хоть сколько-нибудь продвинуться вперед в наукаху
нельзя, конечно, обойтись без исследования конкретных проблем.»
Фактически для успешного изучения основ науки необходимо
глубокое понимание ее специальных разделов. Заложить надеж-
надежный фундамент здания способен лишь тот архитектор, которому
во всем объеме и во всех подробностях известно его предназна-
предназначение. .
Д. ГИЛЬБЕРТ
«Математические проблемы»
Второй международный конгресс математиков
Париж, 1900
') «Ignorabimus (лат.) — «Мы не будем знать». Одна нз известных речей
физиолога Э. Дюбуа-Реймона кончалась (в применении к некоторым невыяс-
невыясненным научным вопросам) восклицанием: «Ignoramus et ignorabimus!» —
«Мы не знаем и не будем знать!». (Это замечание взято из предисловия
П. С. Александрова к «Проблемам Гильберта» («Наука», М., 1969).)-Прим.
ред.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Механике конечных 'систем точек и абсолютно твердых тел
вполне законченная форма. была придана Лагранжем в его
книге «Mecanique analytique»1) 1788 г. В ней изложены лишь
определенные аспекты рациональной механики, созданной вели-
великими предшественниками Лагранжа, однако они представлены ¦
строго систематически и притом как раздел математики: «Сеих
qui aiment l'Analyse verront avec plaisir la Mecanique en devenir
une nouvelle branche...» 2) Физическая и прикладная стороны ме-
механики не рассматриваются. Предполагается, что тот, кто захо-
захочет применять и интерпретировать теорию или разбираться в
трудностях и тайнах вопроса о ее положении среди связей ме-
между разумом и природой, должен сперва изучить ее. После этого
приложения не поплывут ему сами в руки, но приобретенное зна-
знание даст ему инструмент для их эффективного моделирования
или по крайней мере для классификации, описания и обучения
уже известным приложениям. Последовательно оставляя прило-
приложения прикладникам, Лагранж. ставил их на одну доску с теоре-
теоретиками, цель которых — двигать дальше математику. И те и дру-
другие проходили одну и ту же школу и говорили на одном и том „
же жаргоне. Это идущее от^времен детства братство сохраняется
и поныне в той степени, в какой «вселенная» курсов механики
исчерпывается дискретными системами и твердыми телами.
В 1788 г. механика деформируемых тел, которая по существу
своему не только тоньше, красивее и величественнее, чем весьма
') Есть русский перевод: Ж. Лаграиж, Аналитическая механика, т. I.
.Статика. Динамика, Пер. с франц. В. С. Гохмаиа, «Классики естествозна-
естествознания», 2-е изд., М., 1950. — Прим. ред.
2) «Все любящие Анализ с удовольствием увидят, что механика ст^ла.
одним из его новых разделов...» (франц.).
10 ПРЕДИСЛОВИЕ
скудный частный случай, называемый «аналитической механи-
механикой», но и гораздо лучше подходит для моделирования реальных
тел, была представлена лишь несколькими нетипичными, хотя
и блестящими примерами. К сожалению, большинство из них
укладывалось в схему Лагранжа; остальные же он обошел мол-
молчанием. В следующем веке были изучены другие блестящие при-
примеры, основанные главным образом на представлениях Нью-
Ньютона и Эйлера и непросто подгоняемые под схему Лагранжа.
Однако они рассматривались порознь, в основном ради них са-
самих и не привели к созданию какого-либо общего учения, хотя
Коши дал глубокий и оригинальный синтез понятий напряжения
и деформации.
Через сто лет после смерти Коши началось возрождение ме-
механики как целого, где в качестве типичного тела берется де->
формируемый континуум и это тело описывается при помощи
точно определенного понятия материала — понятия, которое до
того оставалось физическим (или метафизическим) и туманным.
Теперь это новое учение пригодно для того, чтобы его изучали
и применяли математики, экспериментаторы и инженеры, при-
пригодно для того, чтобы стать наряду со старой аналитической
механикой элементом общего образования. Это учение могут
понять и физики, если того пожелают. Подобно геометрии оно
является частью математики.
Работая в такое время над учебником механики сплошной
среды, я во многих отношениях последовал примеру Лагранжа.
В моей книге дается лишь выборка из того, что было установ-
установлено в последние несколько десятилетий, очень многое в ней даже
не упоминается. Эта выборка основана на критериях естествен-
естественности, простоты и полезности для выявления общего метода
и концепций системы. Так что это — короткая книга, предназна-
предназначенная для тех читателей, которые уже знают, что приложения
к различным задачам бесчисленны, а возможности дальнейшего
математического изучения бесконечны. Как писал Лаг-
ранж, «On ne trouvera point de figure dans cet ouvrage. Le me-
thodes que j'y expose, ne demandent ni constructions, ni raisonne-
mens geometriques ou mecaniques, mais seulement des opera-
operations algebriques assujetties a une marche reguliere et unj-
ПРЕДИСЛОВИЕ
forme.»') В отношении данной книги это заявление столь же
верно — или столь же неверно — как и в отношении книги Лаг-
ранжа. Конечно, многие доказательства легче понять, глядя
на рисунок, и как преподающим, так изучающим следует обо-
обогатить это «последовательное» и «единообразное» изложение
собственными набросками. Наконец — и в этом, возможно, со-
состоит наибольшее различие между этой книгой и другими не-
недавно появившимися книгами со сходными названиями— мы
следуем примеру Лагранжа, предполагая, что читатель полу-
получил стандартное элементарное образование в области современ-
современной ему математики2), и не пытаемся предлагать какую-либо
призрачную подмену такого образования или же потакать пре-
пресловутому нежеланию старцев учиться ничему новому. Вполне
возможно, что эта книга покажется студенту проще, чем его
преподавателю.
В трех пунктах, однако, я уклоняюсь от образца Лагранжа.
Во-первых, я оставляю читателю в качестве упражнений неко-
некоторые важные, хотя и небольшие куски рассуждений и некото-
некоторые иллюстрации к ним, поскольку мой опыт преподавания но-
новой механики по мере того, как она пускала ростки и разраста-
разрасталась, убедил аденя, что для того, кто не воссоздал для себя и не
впитал шаг за шагом математику, это учение окажется беспо-
бесполезным. Во-вторых, лагранжево изложение наводило на пред-
предмет блеск полноты и законченности, который, как показало
"время, во многом был показным. Я же в этой книге пытаюсь
даже начинающему представить «классическую» механику та-
такой, как она есть, — величественной совокупностью упорядо-
упорядоченных понятий и доказанных теорем, частью старых и даже
') «В работе нет ни одного рисунка. Методы,' которые я предлагаю
здесь, не требуют геометрических или механических построений и рассужде-
рассуждений, нужно лишь последовательно проводить единообразные выкладки»
(франц.).
2) Предполагается, что читатель зиает начала теории меры. Что ка-
касается почти всего, что еще нужно из «чистой» математики, то более чем до-
достаточный запас дает книга Н. К. Nickerson, D. С. Spencer & N. Е. Steenrod,
Advanced Calculus (Princeton, Van Nostrand, 1959, переиздана в 1968 г. Affi-
Affiliated East-West Press, New Delhi) [нли книга А. Н. Колмогорова и
С. В. Фомина «Элементы теории функций и функционального анализа» («Нау-
(«Наука», М., 1968)|. Хотя в тексте в связи с отдельными результатами даются
ссылки на различные другие, более специальные работы, многие из этих ре-
результатов можно найти также в указанном учебнике Никерсона, Спенсера в
Стинрода.
12 ПРЕДИСЛОВИЕ
очень старых, а частью расположенных на границе известного,
у входа в великие нерешенные проблемы и еще не очищенный
опыт познания природы, какой ее видят глаза и чувствуют руки
человеческие. В-третьих, из частого соотнесения основных идей
и результатов фамилиям других авторов явствует, что себе я
приписываю лишь малую долю излагаемого. В то же время
работы других авторов приводятся лишь в качестве возможных
пособий для изучающего, а не для того чтобы указать источ-
источники, из которых заимствованы результаты.
В работах, приводимых в конце глав, читатель найдет изло-
изложение дальнейшего круга вопросов, тесно связанных с материа-
материалом основного текста; в работах, приводимых в подстрочных
примечаниях, — всякие конкретные подробности, опущенные в
тексте, контрпримеры, непосредственные обобщения и дока-
доказательства упоминаемых теорем из других разделов Матема-
Математики.
Наконец, я хочу поблагодарить тех, кто помог мне понять
механику и закончить и отделать эту книгу. Самая большая м,оя
благодарность Уолтеру Ноллу, а после него — М. Гуртйну,
К. Вану, У. Вильямсу, Л. Соломону, Т. Токуоке, В'. Инну,
Р. Батре и Д. Юврару. Д-ру Батре я обязан, кроме того, за пол-
полную запись решений всех упражнений,
К. Трусделл
«Иль Палаццетто»
Балтимор
1 мая 1972
Часть 1
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
Глава I
ТЕЛА, СИЛЫ, ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ
§ 1. Рациональная механика
Рациональная.механика есть часть математики, которая по-
поставляет и исследует логические модели для описания измене-
изменений положения и формы, претерпеваемых повседневно наблю-
наблюдаемыми нами вещами. Она описывает также многое из того,
что наблюдается в лабораториях, где профессионалы-ученые ста-
ставят эксперименты, или о чем судят по результатам таких наблю-
наблюдений. , Например, всегда предполагается, что она служит
основой, и притом единственной, для проектирования и управле-
управления научными приборами, относительно которых физики счи-
считают, что они дают решающие экспериментальные данные о том,
что сама механика является лишь «приближенной» теорией при-
природы. К числу объектов, представляемых механиков при по-
помощи математических моделей, относятся животные и растения,
горы и атмосфера, океаны и недра, вся среда, в которой мы жи-
живем, небесные тела, старые и новые, и те четыре «элемента», из
которых, как считали древние, состоит все на свете: земля, вода,
воздух и огонь. Как показывает ее название, механика представ-
представляет также механические устройства, изобретенные человеком:
фонтаны и автомобили, мосты и фабрики, музыкальные
инструменты и пушки, канализационные трубы и ракеты. Все
это моделируется механикой, но моделируется грубо. Подобно
любой другой ветви математики, механика выделяет и исследует
общие черты представляемых ею явлений, отвлекаясь от боль-
большинства деталей. Как необходимо в любой науке, ставящей
целью не только описывать, но и предсказывать, она пытается
из всего многообразия и неодолимой сложности природы ото-
отобрать простые вещи и установить связь между ними. Простота,
хотя и не гарантирует успеха в некоторых областях механики,
необходима. Сложная теория в механике, хотя и может ока-
оказаться на какой-то момент полезной для чего-то и для кого-то,
не ведет к ясности и поэтому не выживает. Наконец, поскольку
14 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЙ $ t
наш опыт возрастает со временем и с ростом нашего мастер-
мастерства, а прогресс математики дает нам возможность легко и четко
использовать математические понятия и операции все большей
и большей общности, механика не может быть замкнутой нау-
наукой, а должна или заключать в себе, или по. крайней мере быть
обеспечиваемой средствами для улучшения и уточнения тех мо-
моделей, которыми она на данный момент располагает, а также
для построения новых моделей.
Механика не изучает природные объекты непосредственно.
Вместо них она рассматривает тела— математические понятия,
полученные абстрагированием некоторых общих черт многих
природных объектов. Одной из таких черт является масса, при-
приписываемая каждому телу. Далее, тела всегда занимают неко-
некоторое место. Теория мест, называемая геометрией, была создана
очень давно и, таким образом, пребывала наготове для приме-
применений ее в механике. Процесс изменения места, занимаемого те-
телом, с теч?нием времени называется движением тела. Описание
движений, или кинематика, — это второе из оснований механики.
Третье: движения тел воспринимаются как происходящие под
воздействием или по крайней мере неразрывно связанные с дей-
действием сил. Четвертое: получение и потери тепла приводят к по-
понятиям энергии, температуры и калории1).
Итак, механика является математической моделью, или, луч-
лучше сказать, бесконечным классом моделей, для представления
некоторых определенных аспектов природы. Кроме кинематики,
которая принимается заранее, механика базируется на четырех
подструктурах: теориях тел, сил, энергий и калорий, связанных
с местом, временем и температурой. Эти подструктуры дают по-
понятия, между которыми механика должна установить связи. Су-
Существует Два типа таких связей: общие соотношения, имеющие
силу для всех, тел, рассматриваемых данной ветвью механики,
и частные, отличающие один класс тел от другого. Соотноше-
Соотношениям первого типа отвечают две теории: cfarum, изучающая
возможные состояния равновесия, и динамика, занимающаяся
всякого рода движениями. Соотношения второго типа, выделяю-
выделяющие частные тела, называются определяющими.
В настоящей книге я не могу развивать всю механику из
явных аксиом2). Но чтобы достичь уровня, на котором мы смо-
') Напоминаем, что термин «калория» в этой книге используется в спе-
специальном смысле; см. предисловие редакторов перевода. — Прим. ред.
2) Шестая из проблем Гильберта, поставленных им для разрешения
в двадцатом столетии, заключается в формулировке аксиоматической струк-
структуры физики и, в частности, механики. Помимо примечательной попытки Га-
меля в 1908 г. эта проблема вряд ли привлекала чье-либо внимание до 1957 г.,
когда ею занялся. Нолл. Данное выше и последующее изложение суще-
существенно основывается иа работах Нолла и его сотрудников.
§ 2 ГЛ. I. ТЕЛА, СИЛЫ, ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ 15
жем формулировать и изучать определяющие соотношения, мы
должны в общих чертах рассмотреть подструктуры механики.
Я не буду пытаться развивать теории тел, сил, энергий и кало-
калорий на основе строгого и детального математического подхода,
тем не менее следует отчетливо сформулировать определяющие
их предположения и основные свойства.
Хотя дальнейшее изложение неполно и неформально, оно до-
достаточно абстрактно. Читатель, довольствующийся принятием
тел, событий, систем отсчета, движений, сил и энергий как само
собой разумеющихся, может пропустить настоящую главу и пе-
перейти к следующей, с которой начинается формальное изложе-
изложение механики сплошных сред традиционным образом. Тради-
Традиционный подход к механике ни в коем случае не является непра-
неправильным,-однако он не удовлетворяет современным требованиям
строгости и ясности.
§ 2. Тела вообще
Теда, с которыми имеет дело^еханика, бывают самых раз-
разных типов: точечные массы, занимающие в каждый данный мо-
момент времени лишь одну точку; абсолютно твердые тела, кото-
которые никогда не деформируются; струны, стержни и струи, кото-
которые являются одномерными; мембраны и оболочки, которые
занимают собой лишь поверхности; жидкости и твердые тела,
заполняющие пространство, и многое другое. Телам si, 3$,
9, ..., $8 какого-нибудь одного из этих типов или нескольких
из них можно приписать некоторую специальную структуру, на-
называемую булевой алгеброй или дистрибутивной решеткой с до-
дополнением. Читатель, знакомый с этой структурой, может сразу
перейти к следующему параграфу. Здесь мы просто перечислим
в том порядке, в каком они нам понадобятся, свойства, общие
всем телам в любой теории механики, и докажем некоторые от-
относящиеся к ним теоремы.
Множество Q всех тел называется вселенной. В самом начале
изложения любой ветви механики рассматриваемая вселенная
четко указывается, в дальнейшем же предполагается, что заклю-
заключение о данном частном виде вселенной читатель составит сам,
исходя из контекста. Знак «=» означает тождество, «то же са-
самое, что и». Если тело & является частью тела V, мы пишем
ЗИ-^9?. Соотношение «-<» наделяет Q структурой частично
упорядоченного множества, определяемой .известными аксио-
аксиомами:'
Аксиома BI.
Аксиома В2.
16 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ . § 2
Аксиома ВЗ. (Я < V) & {V < 2» =ф Л < 3>.
Другими словами, Я есть часть самого себя, & не является
частью никакой другой своей части, и если BS—часть 9?,
а ?— часть SD, то & — часть 2Ь. Аксиому В2 можно выразить
еще так: тело представляет собой наибольшую из своих соб-
собственных частей.
Чтобы составить себе наглядное представление об этих соотношениях
между телами, полезно рассмотреть случай, когда Q — множество всех
открытых подмножеств эвклидовой плоскасти» а в качестве -< берется с
(знак включения); в этом случае можно рисовать схематические чертежи,
иллюстрирующие наши соотношения. Эта иллюстрация — всего лишь одна из
многих.-Другие примеры вселенных, применяемых в. механике, будут рас-
рассмотрены в следующем параграфе.
Если заданы тела 3$ и Ф, то совсем не обязательно одно
из них является частью другого, но часто оба они являются
частью некоторого третьего тела 3). Такое тело 3!) называется
объемлющим для Я и ф. Если, далее, существует тело s&,
являющееся объемлющим для $ и ?? и вместе с тем являю-
являющееся частью любого тела, объемлющего J и ?, то оно
называется соединением & и Ч?. Это соотношение между телами
записывается следующим образом:
Формально это равенство означает, что
A.2-2)
Таким образом, соединение !Й с 9?, если оно существует, может-
рассматриваться как „наименьшее" объемлющее для Ли?,
так как оно является частью любого тела, Объемлющего Л
и ?. Аналогично, если
, A.2-3)
мы пишем
Л^ЯАЪ A.2-4)
и называем s? наложением Jnf, Наложение, если оно суще-
существует, представляет собой «наибольшую» общуй часть 1и9,'
так как любая другая общая часть 1и? является его частью.
Заданные тела йи?? могут не иметь наложения, либо соеди-
соединения,' либо того и другого, но если они их имеют, то, оче-
очевидно,
= в? Л Л, A.2-5),
<< . 0-2-5J
Кроме того,
A.2-6)
$ ? ГЛ. I. ТЕЛА, СИЛЫ, ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ . ,17
откуда
в последнем случае тривиальным образом существуют как нало-
наложение, так и соединение.
Упражнение 1.2.1. Докажите следующее соотношение (предполагаешь
что все указанные наложения и соединения существуют):
Если &г — тела из какой-либо совокупности, принадлежность
к которой указывается индексом i, берущимся из заданного мно-
множества k, то наложения и соединения "тел этой совокупности
определяются аналогичным ^образом и обозначаются через
Л &t и V &{• Например, наложение, .если существует, пред-
iefe l<=k ¦ ¦ ' .
ставляет собой тело, являющееся частью каждого 3&i и содержа-
содержащее любое другое тело, обладающее этим свойством. Для трех
тел иногда удобнее использовать более длинное обозначение
1% А Ф Л 2), при этом следует помнить, что порядок тел 3$,.. &
и 2) не имеет значения, как это видно из соотношений E) i, 2 и
отражено в обозначениях для общего случая.
Чтобы увидеть, что при частичном упорядочении не гарантировано сущест-
существование наложений и соединений, достаточно рассмотреть пример вселенной Q,
состоящей нз всех непустых полуоткрытых интервалов (а, Ь] и [с,- d) дейст-
действительных чисел, с отношением ««^», понимаемым как включение в смысле
теории множеств/Если # = [0, 2), f = (l, 4], 25= [3, 5), то Я и V являются
общими частями бесконечного числа полуоткрытых интервалов. Но они не
имеют соединения, так как если какой-то полуоткрытый интервал содержит
все точки 3) и 9', то можно найти и более короткий, полуоткрытый интер-
интервал, для которого это тоже справедливо. То же самое можно сказать н
о паре #, 2). Тем не менее 91V ^ V Ф ¦= [0, 5) принадлежит Q. Заметим,
что Я у 2) = Я\/<&\/ ?>ФЯ\}Ж
Упражнение 1.2.2. Если Я Л ^ и Я? /\Ф существуют, то из существо-
существования (Я Л ^) AS> следует существование Я Л (# Л 3>) и Я АФ Л &>>
а также тождество >
. A-2-9)
Если в Q Существует тело О, такое, что
<?<$ VJeQ, A.2-10)i
то такое тело в силу аксиомы В2 единственно. Оно называется
нулевым телом. Аналогично если b.Q существует тело оо,
такое, что
J<oo VJeQ, (I. 2-10J
то такое тело единственно. Оно называется всеобъемлющим те-
телом. >
Если Q не содержит нулевого или всеобъемлющего тел, мы
можем формально присоединить их (любое из них или оба вме-
,18 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ §2
сте). Это делается точно так же, как к множеству действитель-
действительных чисел присоединяются символы оо и — оо. Прежде всего мы
вводим объекты С и оо и образуем множество Ci as Q U {О, оо},
которое называется замкнутой вселенной, соответствующей Q.
Затем мы" распространяем частичное упорядочение -< на замкну-
замкнутую вселенную с помощью следующих правил:
!!' A.2-11)
Легко проверить, что Q становится при этом частично упорядо-
упорядоченным множеством, что ограничение на Q отношения < в Q
совпадает с исходным соотношением «< на Q и что О й оо
Являются соответственно нулевым и всеобъемлющим телами вЙ.
Ясно, что в Q
Любые два тела & и 9? в Q. имеют хотя бы одну общую часть,
а именно б. Если они не имеют никаких других общих частей,
то они называются отделенными (друг от друга). Таким обра-
образом, & и Я? отделены тогда и только тогда, когда
$Л<& = 0. ¦ A.2-13)
Упражнение 1.2.3. Доказать, что
A.2-14)
Полагай 2) = 3и используя G), показать, что единственной частью какого-
либо, тела, отделенной от него самого, является О.
Далее, нам нужно иметь понятие «окружающего мира» для
данного тела &.
Введем следующую аксиому.
Аксиома В4. Для любого тела & из Q существует единствен-
единственное тело $е, называемое внешностью тела &, такое, что
• Таким образом, ЗР отделено от & и единственным телом,
содержащим как &, так и &*, является оо.
Пример, приведенный непосредственно перед упр. 1.2.2, показывает, что
аксиому В4 нельзя вывести из аксиом В1—ВЗ, поскольку точки, лежащие
вне интервала [О, 1), не образуют полуоткрытого интервала.
Упражнение 1.2.4. Доказать, что
ГЛ, I. tEДA, СИЛЫ, ДВИЖЕНИЯ Й ЭНЕЕГЙЙ
Полагая в A2K,4 & = О и сравнивая то, что получится,
с A5), мы видим, что
<?е = оо, оое = <?. A.2-17)
Аналогично "
= &. A.2-18)
Далее, полагая в A4) & = '%*, видим, что
0<#=#0 Л «* = <?. A.2-19)
Теперь мы постулируем, что справедливо и обратное.
Аксиома В5. Единственными телами, отделенными от 9>?е, яв-
являются части тела &.
Хотя доказано1), что аксиома В5 не вытекает из аксиом В1—В4, ника-
никакого простого примера, иллюстрирующего этот факт, по-видимому, до сих
пор ие известно.
Можно формально скомбинировать A9) с аксиомой В5 сле-
следующим образом:
Я<<вЩЯКЯР = О. A.2-20)
Согласно A8), тогда
Если теперь в B0) заменить & на ^е и ^ на ЗР и сравнить
результат с B1), то мы получим
$<р>фф^<^е. A.2-22)
Отсюда вытекает, что если существует V •#/> то существует
и
Л (*/)' = ( V Я,)\ A-2-23)
а если существует Л &i* то существует V (&if и
V We = (A^)e. A.2-24)
V
i<=k
Рассмотрение соответствующих рисунков делает очевидным
и это утверждение, и доказательство следующей теоремы
(в которой предполагается, что все встречающиеся наложения
и соединения существуют).
') Dilworth R. P., Lattices with unique complements, Trans. Amer, Math,
Soc.,57 A945), 123—154.
20 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 2
Теорема. Если . ¦
^,Л$<^> <^2Л$<#, Ф<®, ^<^,V^2> (I.2-25)
то
.' A.2-26)
доказательство. Согласно B5)ь2 и B0)
(&1Л&)Л<&е = 0, 1 = 1,2. A.2-27)
Пусть <§ — какая-нибудь общая часть & и ^х
%<Ф, &<<&*. A.2-28)
Тогда согласно B5K #<$. Пусть /,- — какая-либо общая
часть IT и s&i.
ft<&,. ft<s4-i, r = l, 2. A.2-29)
Тогда ft -< $ и, следовательно,
fi<sttA&; i=l, 2. A.2-30)
Используя этот факт и B7), получаем из A4), что
Но fi^^K^> поэтому на' основании результатов упр. 1.2.3
?{ = 0. С учетом предположения B9) находим
^Л^ = <?, /=1, 2. A.2-32)
Согласно же B0) $Ф1 «< #* и, следовательно,
^,V^<^- (I.2-33)
Но согласно B5L и B8),
,V<^2- (I.2-34)
Следовательно, <§-^<$г, так что ввиду. A6)t 8 = 0. Таким
образом, предположение B8) приводит к заключению, что
SDt\^ = O, и на основании B0) мы получаем B6). ¦
Эта теорема позволяет нам доказать закон дистрибутив-
дистрибутивности для булевой алгебры. Заметим прежде всего, что если
существуют six Л @, s4-2f\& и s4-x V «s^2> T°
(^, V ^2) Л $ = (^, Л $) V (^2 Л ®) (I. 2^35)
*
при условии, что хотя бы одна из частей равенства суще-
существует. В самом деле, доказанная теорема говорит нам, что
любое тело, являющееся частью как да, так и .», V s4-2, есть
"также часть, любого тела* частями которого являются j^A^
§ 2 ГЛ. I. ТЕЛА, СИЛЫ, ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ 21
и $Фг?\&. Таким образом, тело в правой части C5), если оно
существует, содержит любую общую часть тел six V si2 и к.
Так как по определению наложения оно тривиально является
общей частью тел s4>x V si2 и &, то оно есть {s?x V si2) Л &.
Рассуждения в случае, когда предполагается, что существует
тело в левой части, совершенно аналогичны.
Если заменить тела, входящие в.C5), их внешностями и
воспользоваться B3) и B4), мы получим второй закон дистри-
дистрибутивности: если существуют six\J Ы, si2V & и st{ Л s?2i T0
(^,A^2)VJ = (^1V^)A(^2V^) (I.2-36)
при условии, что хотя бы одна из частей равенства существует.
Беря в качестве s4-x и si2 в C5) si и si*, мы видим, что
если существуют s? Л & и s?e А •$» то
$==(^A#)V(^eA#). (I.2-37)
Наконец, имеет место основная теорема разложения, позво-
позволяющая представить любое тело J "как соединение любой из
его частей si с некоторым единственным образом отделенным
от нее телом Я?:-
(л=st vщ & (st л v=оLФ(а < л) & (V=а л ^е). (i. 2-З8)
Для доказательства предположим сперва, что такое разложе-
разложение существует. Тогда s4-<^$ и согласно B0) и A8) <& <( sie,
т. е., согласно F), ^Л^е = ^. В силу C8), и C5)
(I.2-39)
так что в одну сторону C8) доказано. Обратно, предположим,
что «s^<^ и <& = &Asie. Тогда siA& = si и C7) дает
J = ^ V ^. Так как ^ < ste, отсюда следует, что s? /\Ч? = 0. Ш
Последняя аксиома о телах относится к существованию на-
наложения.
Аксиома Вв. Для всех тел & и Ч? наложение &t\4? суще-
существует.
В следующем параграфе мы увидим на примере, что аксиома
В6 не является следствием аксиом В1 — В5. Приняв ее, можно
опустить все делавшиеся до сих пор оговорки относительно су-
существования наложения и соединений, так как, согласно B3),
(^ ^
A^) ^V^.
Содержание аксиом В1 — В6 можно выразить, сказав, что
вселенная Q является булевой .алгеброй.
22 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ §3
§ 3. Примеры вселенных
Мы построим здесь ряд систем, удовлетворяющих аксиомам
В1 — В6 и, следовательно, дающих возможные для механики
вселенные. Во всех них Q — некоторый класс множеств, а в ка-
качестве «-<» выступает «о, т. е. знак включения, однако Л и V
совпадают с П и U, символами пересечения н объединения,
только в первом примере.
Пример 1. Пусть Q состоит из всех подмножеств произ-
произвольного множества $8, и пусть ¦< есть отношение включения
в смысле теории множеств, обозначаемое символом с Тогда
зФ/\9& = Ж{\9&, sty9&=*бФ\)Я, и J^e,— это дополнение мно-
множества st- в 86, . v'
Если в этом примере $в представляет собой конечное мно-
множество элементов, скажем Хи Х2,..., Хп, то мы получаем
вселенную классической аналитической динамики,. Тела {Xi\
называются «частицами» или «точечными массами», но Q со-
содержит еще и другие тела — не только О, но также {Х(} [} [Xj],
[Xt] U {Xi\ UUft} и т. д. Конечно, оо = (J [X,].
Пример 2. Пусть Q состоит из всех замыканий открытых
множеств в некотором топологическом пространстве, и пусть
<; — включение в смысле теории множеств. Внешностью 9t
тела Я будет замыкание дополнения к Я. Наложение Я н Ф
не совпадает, вообще говоря, с их пересечением, а является
замыканием пересечения их внутренностей SS и Ф;
Таким образом, для любой совокупности тел &i их соединение
представляется в виде
^<- A.3-2)
Если эта совокупность конечна, то соединение представляет со-
собой просто объединение, но для бесконечных наборов тел это
не всегда так.
Этот пример дает стандартную вселенную механики сплош-
сплошной среды. Размерностям 1,2 и 3 соответствуют стержни, обо-
оболочки й обычные тела. В настоищей книге будут рассматри-
рассматриваться только последние.
В этой вселенной соединение бесконечной совокупности тел не обяза-
обязательно является их объединением. В самом деле, пусть топологическое про-
§ 4 ГЛ. I. ТЕЛА, СИЛЫ. ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ 23
странство — это действительная прямаи. Рассмотрим тела #*зв{1/?, 1], ?=¦•
= 1, 2, 3 Тогда U#* = @, 1}, что не является телом, а согласно B)
VJ*-[0. 1J.
Пример 3. Пусть Q состоит из всех множеств некоторого
эвклидова пространства, являющихся замыканием, областей, ре-
регулярных в смысле Келлога '), и пусть -^ — включение в смысле
теории множества. Наложение определяется, как в примере 2.
Аксиомы В1 —В5 удовлетворяются, но аксиома Вб нет.
Чтобы убедиться в последнем, достаточно заметить, что пересечение двух
множеств с кусочно гладкими границами не обязательно будет иметь кусочно
гладкую границу. Предположим, например, что в качестве элементов Q бе-
берутся подмножества нлоскос"ти. Пусть роль ¦< играет с:, и пусть Э1\ пред-
представляет собой замкнутый квадрат —1 ^ у ^ 0, 0 < * < 1, а Яц — это за-
замыкание множества всех точек, для которых 0 < * < 1, —1 < у < х%&тх~1.
Хотя у 9)\ н'&2 бесконечно много общих частей, они не имеют наложения.
Часто в механике сплошной среды было бы желательно ис-
использовать вселенную Q, определяемую примером 3, поскольку
ею допускается более естественный класс элементов, чем в при-
примере 2, в случае когда речь идёт об эвклидовом пространстве.
Как следует из определения, «тела» этого типа можно отожде-
отождествить с областями, к которым применима теорема о диверген-
дивергенции для всех гладких векторных полей2). К сожалению, для
этого конкретного вида вселенной строгая теория пока еще не
разработана. Что трудности здесь существенны, можно видеть
из только что приведенного примера, который показывает, что
пересечение двух областей, в каждой из которых теорема о ди-
дивергенции справедлива, не обязательно дает область, обладаю-
обладающую этим свойством.
§ 4. Масса
Для механики представляют интерес тела, обладающие мас-
массой, так сказать, «массивные» тела, тела с массой. Тела с мас-
массой образуют непустой подкласс им замкнутой вселенной Q,
свойства которой были описаны в § 2^ Масса тела & — это зна-
значение М(&) некоторой неотрицательной функции М, определен-
ной иа им'
') Определение регулярных поверхностей и областей в эвклидовом про-
пространстве см. в статье: Gurtin, «The linear theory of elasticity^ в Flflgge's
«Handbuch der Physik> VI a/2, ed. С Truesdell, Springer, 1973. [См. также
подстрочное примечание на стр. 81. — Ред.]
*) См. § 9—10 гл. IV книгя Kellogg О. D., Foundations of potential
theory, Springer, Berlin, 1929, или любые другие работы, в которых дается
строгое доказательство теоремы о дивергенции (формулы Грина), См.
также § П. I,
24ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ§4
Аксиома Ml.
Далее, принимается следующая
Аксиома М2.
Таким образом, внешности и соединения тел с массой также
являются телами с массой'). В частности, О и оо — тела с мас-
массой. Так как {&[ V &tf = #1 Л &2, то из аксиомы М2 следует,
что
Д„-Лаейм^^ЛЯгеО*. A-4-1)
Таким образом, наложение двух тел с массой есть тело с мае
сой. Кроме того, мы считаем, что масса аддитивна:
Аксиома МЗ. Если 3SX и &2—отделенные друг от друга тела
с массой, го
М (Л, V #2) = М (Л,).+ М (Я2).
Следовательно,
Масса, приписываемая бесконечному телу оо, не обяза-
обязательно бесконечна. Если М(оо) = оо, то МC8)< <х>=$№,(&*)= оо.
Тело, масса которого равна нулю, называется телом нулевой
массы. Таким образом, О, нулевое тело, является телом нуле*
вой "массы, но, конечно, могут быть и другие тела нулевой мас-
массы, т. е. М(Я) = 0ф=>Я = в. Далее, согласно A.2-38),
Упражнение 1.4.1. Доказать, что
М (Я V f) < М (Я) + М (Ъ). (I. 4-4)
Хотя эти свойства выражают очевидные требования, связан-
связанные с понятием массы, для эффективного определения послед-
последней они недостаточны. Как хорошо известно, для получения
удобной математической структуры, известной под названием
теории меры, нужно сделать дальнейшие предположения. Мы
будем считать лишь, что Q достаточно богато телами, чтобы со-
содержать им, но не будем пытаться построить меру па всем QM,
так как в настоящее время нет вполне удовлетворительного спо-
способа для того, чтобы сделать это в общем виде.
') Если требование, что ЗВе должно быть телом с массой, представится
читателю искусственным, он должен учесть, что не исключается возмож-
возможность М (Л?) = 0,
§4 ГЛ. I. ТЕЛА. СИЛЫ, ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ 25
Хотя теория меры выкристаллизовалась в результате анализа понятия
масс и "электрического заряда, наряду с понятиями объема и площади, эта
теория в ее теперешнем виде удовлетворительна лишь для случая двух по-
последних, но не двух первых понятий. Конечно, масса как функция является
некоторой мерой, но теория меры не достаточна для построения такой функ-
функции. Это связано с тем, что теория меры относится к множествам, а нало-
наложения Л и соединения V тел, как мы видели в § 1.3, вообще говоря, не
совпадают с пересечениями П и объединениями U в алгебре множеств, даже
в тех случаях, когда тела представляются множествами. Хорошая математи-
математическая теория массы должна быть полностью алгебраической теорией, в ко-
которой о телах предполагается только то, что они удовлетворяют аксиомам
В1—В6 (предпочтительно даже обойтись без последней) '). Отмеченный не-
недостаток касается больше ясности и элегантности теории, чем приложений,
поскольку, как мы увидим в гл. II, понятия конфигурации и движения
позволяют нам использовать в механике сплошных сред обычную теорию
борелевской меры.
В дальнейшем мы будем предполагать, что йм достаточно
богато множествами для того, чтобы можно было образовать
обычным образом все борелевские множества 2) в некотором то-
топологическом пространстве, и что М является сужением на QM
некоторой меры, определенной на борелевских множествах этого
пространства. Это предположение более ограничительно, чем мо-
может показаться на первый взгляд, так как если М является ме-
мерой, определенной на борелевских множествах, то она аддитивна
на дизъюнктных объединениях. Наша же основная аксиома МЗ
требует лишь аддитивности на соединениях отдельных тел.
Упражнение 1.4.2. Для вселенной примера 2 § 1.3 показать, что если
9> с дЛ и Л е QM, то М {&) =* 0.
Ясно, что при заданной неотрицательной массовой функции
М функция КМ, где К— любая положительная постоянная, так-
также представляет собой неотрицательную массовую функцию. Но*
этому одному произвольно выбранному телу <% ненулевой массы
мы можем приписать любую массу, какую пожелаем, — отноше-
отношение масс тел не зависит.от этого выбора. В физике приписание
определенной массы какому-либо телу во вселенной называется
«выбором единицы массы». '
') Чисто алгебраическая теория развита Каратеодори в его последней
книге «Mass und Integral und ihre Algebraisierung», Basel und Stuttgart, Birk-
hauser, 1956. Хотя ашцата [тела (древнегреч,). — Ред.], на которых Кара-
Каратеодори определяет меру, и являются формализацией понятия «тела», он
многократно использует аксиому, что несчетное множество тел имеет соеди-
соединение, которая не всегда справедлива в механике сплошных сред.
!) Совокупность борелевских множеств в заданном топологическом про-
пространстве представляет собой наименьшую а-алгебру, содержащую все от-
открытые множества. В частности, борелевскими множествами являются все
открытые множества, все замкнутые множества и все объединения и пересе-
пересечения счетных совокупностей открытых или замкнутых множеств. То, что
&м содержит все борелевские множества, важно для некоторых рассмотре-
рассмотрений гл. III. • .
26 часть 1. решив понятия О
В дальнейшем мы будем, рассматривать только Qm, а не ка-
какую-либо большую вселенную Q, и символ й будем использовать
для обозначения Qm, молчаливо исключая, таким образом, из
нашего рассмотрения «немассивные» тела — тела, не обладаю-
обладающие массой. Наши предположения позволяют нам записать
при rfeQ, причем интеграл,
(I.4-6)
J f dM
Может быть определен для любой непрерывной функции f.
Приписыванием массы непосредственно телам вселенной мы
выражаем принцип сохранения массы.
§ 5. Сила
Введение системы сил во вселенной й заключается в том, что
каждой паре отделенных друг от друга тел из й ставится в со-
соответствие вектор из некоторого конечномерного эвклидова
пространства Т\.
Векторы обозначаются жирными буквами, скалярное произ-
произведение— точкой: v-w.
Пусть (й X Q)о — совокупность указанных пар. Первая ак-
аксиома о силах гласит:
Аксиома Fl. f: (QXa^^.
Вектор f(#, Щ называется силой, с которой тело 1? воздей-
воздействует на тело 38. Так как мы здесь рассматриваем й, а не й,
парам тел, одно из которых есть оо или О, никакой силы припи-
приписывать не нужно.
Далее, сила воздействия двух отделенных друг от друга тел
на какое-либо третье, отделенное от них обоих, равна сумме сил
воздействия каждого из них, а сила воздействия какого-либо
тела на соединение двух тел, отделенных друг от друга и от
данного тела, равна сумме сил воздействия на каждое из тел,
т. е. функция f аддитивна по каждой из переменных:
Аксиома F2. f (V, V #2. 38) — W, •#) + 1 (#2. •$)•
Аксиома F3. f C8, <вх V Щ — * (#. Vt) + f (Я> &2)-
Подчеркнем, что обе эти аксиомы относятся к попарно от-
деленным телам Я?\, ЧР^ и Я. ¦
Если f-g — скалярное произведение в Т\, от /Cf-g, где К> О,
также представляет собой скалярное произведение. Выбор опре-
определенного К называется «выбором единицы силы».
$ 5 ГЛ. I. ТЕЛА; СИЛЫ. ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ 27
Поскольку аксиомы F2 и F3 допускают только нулевую силу взаимо-
взаимодействия между двумя телами, одно из которых есть нулевое тело, легко
продолжить f с (QX&b на (SX2)> Таким образом,
) э о, УЯеБ. A.5-1)
Выбор 91 =¦ оо ила Яп-0 здесь не исключается.
Так как аксиомы F2 и F3 являются утверждениями об ад-
аддитивности, мы можем немедленно сделать следующее три-
тривиальное, но тем не менее важное заключение: если fj и
f2 — системы сил на (Q X й)о> то и Aix -j- Bf2, где А и В — любые
действительные числа, также является системой сил.
Так как любое тело IsQ отделено от своей внешности 39е,
то аксиома F1 позволяет нам рассмотреть f (Я, &*) — силу,
с которой воздействует на Я его внешность ЗР. Эту силу мы
назовем результирующей силой, действующей на &. Результи-
Результирующие силы удовлетворяют основному тождеству
) — ЦЯ, Я*) +t(V, ЯГ) - f(AW, (SVVf). (I- 5-2)
справедливому для всех -пар отделенных друг от друга тел 36
и ЯП в Q. Чтобы доказать это тождество, предположим сначала,
что 9' = ^е. В этом случае само утверждение B) требует про-
продолжения f на Q и тривиально следует из (I). Если же ЧР Ф 39е,
то продолжения f на Q не требуется, и следующее рассужде-
рассуждение проходит в Q так же хорошо, как в Q, При условии, что
у 39 и ЗЬ V Ф существуют внешности. Поскольку по предположе-
предположению Л А ? — <7, из A.2-20), A.2-38). и A.2-23) вытекает, что ЯР
можно следующим образом разложить на взаимно отделенные
части:
По аксиоме F3
f C9, &) = f (Л, V) + f {Л, (Я V «Г),
= f («?, ЯО + f («i7 (Л V #)е) ( }
а по аксиоме F2
f (ЯГ V «i7, (Л V «У) = I (Л, (Л V «У) + f (V, (Я V W A.5-5)
Прибавляя A.5-4), к A.5-4J й вычитая из получившейся суммы
A.5-5), получаем A.5-2). ¦
Если сила воздействия <& на Я равна по величине й про-
противоположна по направлению силе воздействия 3S на <&, т. е.
28 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 5
то система сил-f называется попарно уравновешенной. Из B)
вытекает следующая
Теорема (Нолл). Система сил попарно уравновешена в том
и только в том случае, когда результирующая сила. \(^,3^),
рассматриваемая как функция от <%, аддитивна на отделенных
телах из Q.
Система сил, в которой результирующая сила для каждого
тела равна нулю:
называется сбалансированной. Из предыдущей теоремы сразу
же вытекает
Следствие (Нолл). Всякая сбалансированная система сил
попарно уравновешена.
Как ясно из теоремы Нолла, утверждение, обратное этому
ее следствию, неверно. Действительно, есть много несбалансиро-
несбалансированных систем сил, которые попарно уравновешены. Один важ-
важный случай такой системы приведен в качестве примера в конце
настоящего параграфа, другой важный случай —это контакт-
контактные силы в механике сплошных сред (см.. § III. 1).
Раньше соотношение F) в некоторых частных случаях выводилось из
некой туманной «аксиомы», называемой законом «равенства действия н про-
противодействия», относительно которой считалось, что она выражает содержа-
содержание третьего закона движения Ньютона: «Любому действию всегда отвечает
противоположное н равное протнводействие; иначе говоря, взаимные действия
двух тел друг на друга всегда равны и направлены в противоположные сто-
стороны». Если под «действием» Ньютон на самом деле понимал то, что мы
здесь называем «силой», как это вне всякого сомнения явствует нз его соб-
собственных слов, а также нз того контекста, в котором он нх употребляет, то
приведенные выше рассуждения показывают, что эта аксиома эквивалентна
аддитивности результирующих сил, независимо от возможных соотношений
между силами и движениями.
В этой книге история мехайнки как таковая не рассматривается. Форму-
Формулировка Ньютона выше приведена дословно, чтобы дать возможность чита-
читателю самому решить, в какой мере она предвещает появление наукн рацио*
нальнон механики.
Аксиома F2 утверждает, кроме всего прочего, что силы воз-
воздействия внешности Ф тела $8 на взаимно отделенные части
этого тела аддитивны:
Этот факт наводит на мысль о том, что для любого данного
тела $ силы воздействия со стороны ffi на некоторую опреде-
определенную совокупность частей тела 31 могут определять вектор-
нозначную меру на $, меру, которую можно формально запи-
§5 ГЛ. I. ТЕЛА, СИЛЫ, ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ 29
сать следующим образом:
J , где ^<$. A.5-9)
= J
л
Было бы желательно развить абстрактную теорию интегрирова-
интегрирования по отношению к системе сил на основе лишь приведенных
выше аксиом и некоторых дальнейщих допущений технического
характера, но так как в настоящее время подобной общей тео-
теории не существует, мы просто предположим, что все наши си-
системы сил принадлежат к этому типу:
Аксиома F4. Для каждого & из Q функция f (•, 38е) является
векторнозначной мерой на 38.
Теорема. Если зФ и & взаимно отделены, то f(-, &) является
мерой на $Ф.
Доказательство. Согласно A.2-18) всякое тело & является
внешностью для некоторого другого, а именно для 38е. Согласно
аксиоме F4, i{-,38) является мерой на 38е. Если зФ и J? от-
отделены, то по аксиоме В5 бФ-^ffi; справедливость нашей
теоремы немедленно следует из аксиомы F4. ¦
Фактически эта теорема является просто перефразировкой
аксиомы F4.
В этой книге мы будем исходить из предположения, уже упо-
упоминавшегося в конце § 1.4, что й является совокупностью мно-
множеств, которая, будучи обычным образом расширена, включит
в себя все борелевские множества. Таким образом, масса М яв-
является борелевской мерой или ее расширением типа меры Ле-
Лебега. Мы будем предполагать также, что й = им, исключая
тем самым «немассивные» тела. Тогда с помощью обычной тео-
теории векторнозначных мер1) можно определить интегрирование
по отношению к системе сил на (й X йH таким образом, чтобы
удовлетворялась аксиома F4.
Поэтому можно ввести интеграл Стильтьеса по мере f (•, Ж)
от непрерывной действительной функции <j> на &. Этот интеграл
мы будем обозначать через
A.5-10)
') Последовательного изложения этой теории нет в учебниках: ее обычно
принимают на веру. [Есть,, впрочем, глава VI «Векторное интегрирование»
книги VI «Интегрирование» Н. Бурбаки («Наука», Москва, 1970). Правда,
трактат Бурбаки нельзя считать учебником. — Ред.] Выбрав некоторый базнс,
векторнозначную меру можно рассматривать как упорядоченное конечное
множество скалярных мер, так что свойства векторнозначных мер становятся
очевидными.
30 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЙ
и называть «интегралом от <j> no f^e».
Например, если 31 — дискретное множество, состоящее из элементов Хи
%г Хя, то
п
(=1
где Xi в правой части обозначает множество, состоящее из одного-единствен-
ного элемента Xi. Такой вид имеют системы сил, используемые в аналитиче-
аналитической динамике.
Пусть
vr:?-+Tu (I.5-12)
так что w (X) е Т%, и пусть a s T\. Тогда а • w представляет
собой скалярное поле на 38 и интеграл J (a«w)df^e, если он
существует, является линейной функцией от а. Итак, мы по-
получаем некоторое линейное преобразование пространства У%,
задаваемое выражением J (a-w)df^e. Обозначая транспониро-
ванное к этому преобразованию через Г w ® dt#e, имеем
Г J w ® d\^Y а = f (a • w)df^e. A.5.13)
След этого линейного преобразования записывается следую-
следующим образом:
[л
Например, если 91 — дискретног множество, состоящее из п элементов Х{, то
Итак, для случая, когда 91 — дискретное множество, мы имеем фор-
формулы A1) и A5). В аналитической динамике в качестве вселенной берется
некоторая «система» таких дискретных наделенных массой элементов, назы-
называемых точечными массами (или массивными точками1)), и одно отделен'
ное от всех них тело 9Б, называемое «окружающим миром».
Таким образом,
ХгАЗе=*О, «=*1, 2 п,
¦¦(V x
A.5-16)
') В оригинале mass-point. — Прим, ред»
§ 5 гл. i. тела, силы, движения и энергии- 31
Термин «тело» относится к подсовокупностям элементов Xt и обычно не
используется применительно к б, Я? или о°:
где 9$ — некоторое подмножество множества целых чисел от 1 до п.
Силы \(X.x,Xj) называются силами взаимодействия, а силы fCB,S?)—внеш-
fCB,S?)—внешними силами. Положим
f{l^f(Xt,Xt), l + l, A.5-18)
ч — ¦(¦**>#>
где / и / пробегают значения от 1 до я. Мы, естественно, предполагаем
что М (Х{)>0, и для удобства введем следующие чисто формальные опре-
определения:
1и=ЦХ{,Х{)=0, A.5-19)
e, a?)=o.
Наконец, мы определяем полную снстему сил требованием, чтобы удовле-
удовлетворялись аксиомы Fl, F2 н F3. Таким образом, результирующая сила ft,
действующая на Хи дается выражением
а результирующая сила, действующая на 31, — выражением
где ^'—дополнение к 9$ в множестве {1, 2, ..., я}. Двойная сумма
дает результирующую силу взаимодействия тела 39 с другими телами,
а одинарная сумма — результирующую внешнюю силу. Если ^ = [Xv ..., Хп),
то &?* пусто н
f(^,^e)-J]f,e. (I.5-22)
Если силы сбалансированы, то выполняется F), так что, в частности
«I/ V d-5-23)
В этом случае B1) можно записать в виде
2V (I-5-24)
поскольку члены, на которые правая часть этого выражения отличается от
правой части B1), попарно уничтожаются.
ЧАСТЬ I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ¦ ¦ -- Ч'в
Далее, если 1в f —любые тела, необязательно отделенные- друг, от
друга, то можно положить • ;
f(Я,?)» 2 Up (I.5-25)
i^1
где #Л н З'у —множества целых чисел, определяющие тела Ли 9*vb соот-
соответствии с A7). Мы видим, что и случае, когда Лн?' взаимно отделены,
эта функция сводится к функции f, определяемой требованиями F2 и F3.
Сила 1(ЗВ, Я) воздействия тела Я на себя есть сила самовоздействия:
тела Я. Если силы сбалансированы, то выполняется B4), и из B5) следует,
что f C3, Я) = 0: в сбалансированной системе сил, действующей во вселен-
вселенной аналитической динамики, сила самовоздействия любого тела равна нулю.
Упражнение 1.5-1. Используя B1), показать, что условия
п
fi + Sf*/==0> f</"—-'</• '—1.2 п.. A.5-26).
как достаточны, так н необходимы для того, чтобы система сил была* сбалан-
сбалансирована. Следовательно, для сбалансированных систем ;-
— полная внешняя сила, действующая на систему, равна нулю. Показать,
что это условие, дополненное требованием обращения в нуль силы само-"
воздействия каждого тела, недостаточно дли сбалансированности системы тел. -
Пока б этом параграфе ничего не было сказано об ограниче-
ограничениях на размерность пространства Ти Для большей части клас-;
сической механики силы суть трехмерные векторы, и в этой
.книге мы так их и будем рассматривать. . .
ч , § 6. Мир событий. Системы отсчета
В нашеД повседневной жизни мы рассматриваем самих себя-*
и другие предметы как занимающие некоторые места, являю-
являющиеся точками в трехмерном пространстве, свойства которого
раз и навсегда, заданы и не изменяются-от, нашего присутствия
или отсутствия. Далее, мы считаем, что воспринимаемые нами
изменения в нас самих и в нашем окружении-происходят в опре-
определенные моменты времени, являющиеся точками одномерного
пространства, совершенно не зависящего от пространства Meet.
Совокупность мест- и моментов времени представляет собой то-
топологическое пространство, которое Мы называем миром собы-i
тий W. Это — пространство, типичную точку е которого мы пред-
представляем в_ виде упорядоченной пары (х, Т), где х —место, Г-г,
момент времени. " ...'•¦ . - =
§6 ГЛ.I. fЕЛА, СИЛЫ. ДВИЖЕНИЙ U ЭНЕРГИЙ 33
Мир событий — это чистый холст, иа котором можно рисовать картины
природы, это глыба мрамора, из которой можно высекать статуи природы.
Этот холст, эта глыба должны быть выбраны художником, прежде чем он
примется за работу. Они накладывают некоторые ограничении иа его искус-
искусство, ио никоим образом ие определяют те картины или те статуи, которые
он будет создавать.
Для мира событий классической механики мы принимаем,
что места и моменты времени, используемые для представления
событий, являются элементами эвклидовых пространств. Мы
принимаем, далее, что размерность пространства мест равна
трем, а пространства моментов времени — единице. Наконец, мы
считаем структуру мира событий W такой, что этот мир может
быть гомеоморфно1) отображен на произведение мгновенного
пространства мест &% и пространства моментов времени &\\
Такое отображение ф мы будем называть системой отсчета.
Для целей классической механики систему отсчета представляют в виде
абсолютно твердого тела, снабженного часами2). Описательные термины
«наблюдатель» и «система отсчета наблюдателя» являются синонимами тер-,
мина «система отсчета» во всем, что касается теории. Развивай дальше-эту
удобную интерпретацию, мы будем иногда говорить, что «х ивлиетси местом,
а Т — моментом времени события е\ наблюдаемого в системе отсчета ф»,
и другие фразы в таком же роде, однако глагол «наблюдать»,. равно как
и существительное «наблюдатель», ие входит в рассматриваемую математи-
математическую структуру.
Пространство времен &\ можно ориентировать. Одно из на-
направлений называется положительным и считается идущим от
«прошлого» к «будущему».
Считан, что существует система отсчета, мы наделяем W определенной
структурой. Если существует одно такое отображение, то существует и бес-
бесконечно много других, ио не все они интересны. В § 9, приняв решение рас-
рассматривать в качестве систем отсчета лишь такие гомеоморфизмы- ф, кото-
которые ие- изменяют направление времени и сохраниют метрики в &ъ и &и мы
тем самым выделим как подлежащую интерпретации часть структуры про-
пространства У, оставляя в стороне другие возможные аспекты этой струк-
структуры. Пока же, однако, .мы будем, считать заданной одиу-едииствеииую си-
систему отсчета ф и а терминах этой системы определим различные соотно-
соотношении между телами и миром событий.
Мы можем ввести в пространстве &\ эвклидову систему ко-
координат. Координата t момента времени Т называется временем
•) Отображение ф топологического пространства 0" в топологическое
пространство <%1 гомеоморфно, если оно биективно (взаимно .однозначно) и
непрерывно и если непрерывно обратное к нему отображение ф~1щ
*) В § 10 будет определено, что такое жесткое движение Абсолютно
твердое тело — это тело, которое может совершать только жесткие движения,
Г
КОЛО*ЗА *• \ ОДНИ РУКИ И 2Х Б ДВЕ
34 • ЧАСТЬ 1, ОБЩИЕ ПОНЯТИЙ §6
этого момента. Допускается лишь такое приписание времен мо-
моментам времени, которое сохраняет ориентацию 8\. Ориентиро-
Ориентированное расстояние между моментами времени, которым соответ-
соответствуют времена t\ и t%, равно i2— h- Оно называется временным
интервалом между этими моментами времени. Если такой интер-
интервал положителен, то о t2 говорят как о более позднем времени,
чем t\, a о t\ — как о более раннем, чем t2.
Как хорошо понимали древние, любой человеческий опыт
позволяет регистрировать только отношения временных интер-
интервалов, но не интервалы сами по себе. Наиболее общее преобра-
преобразование пространства <§\, сохраняющее отношения временных
интервалов, имеет вид
где К — положительная постоянная, а Го и L — некоторые за-
заданные моменты времени. Выбор значения постоянной К назы-
называется в физике «выбором единицы времени», а выбор момен-
моментов времени То и L — «выбором начала отсчета времени». Вы-
Выбор единицы времени эквивалентен выбору одной из. тех направ-
направленных координатных систем в <В\, для которой временной
интервал между некоторой фиксированной парой различных мо-
моментов времени равен заданному числу.
Обычно единица и начало отсчета времени считаются задан-
заданными заранее, и согласно этому выбору координат и метрики
пространство &\ отождествляется с действительной прямой 91.
Это значит, что игнорируется различие между моментами вре-
времени,1 являющимися одномерными векторами, и временами, яв-
являющимися координатами моментов времени. В дальнейшем
в этой книге мы будем следовать этому обычаю.
Далее мы будем опускать индекс 3 в обозначении прост-
пространства Жг и писать просто &, а трансляционное пространство
для пространства Ж будем обозначать через Т. Термин вектор
всегда будет относиться к элементу v из Т, а | v | будет обо-
обозначать норму (длину) вектора v. Скалярное произведение
векторов v и w в Т будет обозначаться через V•w, а линей-
линейные преобразования пространства Т в себя, которые мы будем
называть тензорами над Т, будут обозначаться жирными- бук-
буквами Т, S, .... Эвклидово расстояние между местами х и у
в Ж будем обозначать через |х — у |, так как х — у является
вектором из Т, который переводит у в х.
Если v • w — заданное в Т скалярное произведение и если
К > 0, то А> • w также будет скалярным произведением,
и такой переход от одного скалярного произведения к другому
является в действительности наиболее общим, сохраняющим от-
отношения расстояний в Ж. Как хорошо знали древние, только та-
§ 6 ГЛ. I. ТЕЛА, СИЛЫ, ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ . 35
кие отношения, но не расстояния сами по себе, могут регистри-
регистрироваться в любом человеческом опыте.
Выбор положительной постоянной К называется в физике
«выбором единицы длины». Выбор единицы длины эквивалентен
приписанию определенного расстояния некоторой данной паре
различных мест в &.
Наиболее общим преобразованием Q пространства Т, сохра-
сохраняющим само скалярное произведение, является линейное пре-
преобразование _
v = Qv, (I.6-3)
где тензор Q ортогонален1): •
QQT = 1. (I.6-4)
Здесь 1 — единичный тензор.
Мировая линия X — это кривая 2) в Ж, изображение которой
в Й'Х^ пересекает Ж в каждый момент времени точно в одном
месте, так что можно записать
X: T-*S, (I.6-5)
где &"—некоторый интервал вещественной прямой 91.
Мировая трубка — это совокупность мировых линий. -
Пересечение событий из заданной мировой трубки с 8 в дан-
данный момент t представляет собой некоторое множество 2ft, и для
любых двух времен f и t" всякое место из 3? связывается ми-
мировыми линиями, принадлежащими этой мировой трубке, с од-
одним или более местами из 3V. Итак, мировую трубку т можно
рассматривать как отображение времен в множество всех под-
подмножеств пространства &, которое обозначается через 2^:
т: Т-*2%, x(f) = Sft. (
') Читатель должен вспомнить, что для того, чтобы преобразование, Q
сохраняло скалярное произведение, в некотором векторном пространстве, т. е.
для того, чтобы Q(u)-Q(v)= u-v у u.v, необходимо и достаточно, чтобы Q
было тензором, удовлетворяющим условию D). Из D) сразу видно, что
det Q = ±1. Если det Q = +1, то Q представляет собой поворот. Произволь-
Произвольный ортогональный тензор представляет собой либо поворот, либо произве-
произведение поворота на центральную инверсию —1, г. е. Q = ±R, где R — пово-
поворот, причем (вещественными) собственными числами Q могут быть лишь +1
и —1. Если, как мы везде предполагаем, dim F = 3, то 1 является собствен-
собственным числом для любого R и соответствующее характеристическое пространство
для него одномерно, за исключением случая, когда R=l. Последнее ут-
утверждение — это знаменитая теорема Эйлера: любой отличный от тожде-
тождественного поворот около некоторой точки является в действительности пово-
поворотом вокруг некоторой однозначно определенной прямой.
Ось преобразования Q — это собственное направление поворота R, та-
такого, что Q = ±R.
s) Разумеется, под кривой понимается кусочно гладкое однопараметри-
ческое семейство событий е = f (s), где s пробегает некоторый действитель-
действительный интервал.
36 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 7
Пересечение мировых линий представляет столкновение либо
порождение или уничтожение тел или элементов тел. В конк-
конкретных механических теориях подобные пересечения обычно
полностью исключаются, либо допускаются лишь в качестве ис-
исключительных случаев, подчиненных специальным условиям.
Наш опыт согласуется с идеей о мировых линиях и мировых
трубках. Мы представляем, что они проходят «сквозь» мир со-
событий W по мере того, как идет время.
Таким образом, в данной книге мы будем (неформально) предполагать,
что имеется единственное «абсолютное» или «неподвижное» мгновенное про-
пространство мест <§, и то, за чем мы наблюдаем, это — изменение места в этом
пространстве. Однако, хотя некоторые авторы и заявляли, что мир событий
в классической физике обязан быть миром такого типа, это не так. Как
легко может убедиться читатель настоящей книги, любое утверждение клас-
классической механики сохраняет смысл, если сечения мира событий в различные
моменты времени Т представляют собой различные трехмерные эвклидовы
пространства &т, а не одно-единствениое фиксированное пространство S.
Чтобы наглядно представить себе, о чем идет речь, проще всего рассмотреть
мир событий на единицу меньшей размерности, так что мгновенное простран-
пространство представляет собой эвклидову плоскость, a W — стопку таких плоско-
плоскостей, одна и только одна из которых пересекается в каждый момент времени
данной мировой линией. Другой, отличный от этого, мир событий точно
такого же вида можно построить, повернув каждую из наших плоскостей
на некоторый угол около одной из ее точек, причем эти точка и угол свои
для каждой плоскости, т. е. являются функциями момента времени. Ни одно
из утверждений, высказываемых в классической механике, не зависит от вы-
выбора этих точек и углов, и поэтому никакой результат классической меха-
механики нельзя использовать для установления или опровержения какого-либо
соотношения между мгновенными пространствами 0 т- Классическая меха-
механика не только не предписывает природе никакого абсолютного простран-
пространства, но вообще не требует существования никаких соотношений между
бесконечно многими мгновенными пространствами &т.
§ 7. Движения
Отображение ц вселенной Q в множество 2^ всех подмно-
подмножеств мира событий Ж,
ц: &->2ж A.7-1)
называется движением, если р,(ЗЙ) для каждого тела J? из Q
представляет собой мировую трубку. В этом определении мы
продолжаем считать заданной некоторую систему отсчета ф.
Таким образом, движение .можно иначе представить как отобра-
отображение х множества Q X 3~ в 2^:
где 3~ — некоторый интервал вещественной прямой 52, напри-
например (—°o,t0). Значение %{3&,t) отображения %, являющееся
подмножеством пространства 8, называется конфигурацией тела
J? в момент времени t.
§ 7 ГЛ. I. ТЕЛА. СИЛЫ, ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ 37
Как мы уже говорили, в дальнейшем мы будем рассматри-
рассматривать только тела, являющиеся множествами в некотором топо-
топологическом пространстве или некотором его расширении:
Я=[Х, Y, ...}. A.7-3)
Точки X, образующие тело J?, вплоть до недавнего времени на-
называли «частицами», но чтобы избежать какого бы то ни было
смешения с физикой, мы будем называть их телами-точками.
Движение тела, состоящего из точек-тел, порождается движе-
движениями этих точек. Используя для обозначения этого более де-
детализованного движения тот же символ %, мы напишем
~->8 A.7-4)
или, явно,
x = t(X,t), Хе=$, te=r. (I.7-5)
Словами: х является местом в Ж, которое тело-точка X занимает
в момент времени t при движении /. Далее, конфигурация 31
в момент времени t представляет собой множество мест, кото-
которые занимают составляющие это тело тела-точки:
'%(<%, t)= [%(X, t), Xz=<%]. (I.7-6)
Каждое тело-точка оказывается, таким образом, связанным
с некоторой мировой линией, а мировые линии всех тел-точек
тела J? составляют мировую трубку тела ЗИ. Мы будем предпо-
предполагать, что эти мировые линии не пересекаются, так что отобра-
отображение %(-,t): &-+%(&, t) является биективным. Это утверж-
утверждение о невозможности двум различным телам-точкам нахо-
находиться в одном месте в одно и то же время называют иногда
аксиомой непроницаемости.
В механике принято, за исключением специально оговаривае-
оговариваемых случаев, рассматривать только такие движения %, которые
для каждого X дифференцируемы по t по крайней мере дважды,
а часто и большее число раз, столько, сколько требуется. Произ-
. .. (»)
водные от х по t обозначают через %, %, ..., %, так что, в ча-
A) .. B)
стности, Х = Х. X —X. и значения этих производных называют
скоростью х, ускорением х, ..., n-й скоростью х тела-точки X
в момент времени t:
{},..., A.7-7)
(л) (я)
38 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ' §8
Легко показать, что для любого данного движения % скорости
представляют собой векторы:
(»)
хеУ?, и=1, 2, 3 . A.7-8)
причем по самому их определению эти векторы являются фак-
фактически значениями векторных полей, определенных на теле ЗИ
в каждый момент времени' t.
Метрика в эвклидовом пространстве & определяется заданием скаляр-
уп)
ного произведения в трансляционном пространстве У. Величины векторов х
этим, однако, еще не определены — они зависят от выбора метрики в про-
пространстве моментов времени. Мы выражаем этот факт, говоря, что «едини-
М
цей для х является длина: (время)™».
Хотя для фиксированного тела-точки X отображение %(Х,-)
предполагается гладким, никаких ограничений на гладкость
отображения %(',t) при фиксированном t не накладывается.
Для механики в ее наиболее общей форме_х(*, 0 не обязательно
даже должно быть взаимно однозначным отображением тел-то-
тел-точек на места в 8. Действительно, в примере, которым служит
аналитическая динамика, движение % в каждый момент t сопо-
сопоставляет конечному множеству точечных масс некоторое диск-
дискретное множество мест х<, но частное отображение %(-,t) не
всегда взаимно однозначно, так как при столкновении двух или
большего числа точечных масс соответствующие мировые линии
пересекаются, и возможно даже, что две мировые линии совпа-
совпадают на целом интервале времени, а затем снова расщепляются
и идут порознь. Однако, как мы увидим в следующей главе,
в механике сплошных сред % предполагается гладким по обоим
аргументам.
Конечно, в механике сплошных сред есть еще ударные волны, поверх-
поверхности скольжения, отрыв и разрушение, но в настоящей книге они не рас-
рассматриваются.
§ 8. Количество движения. Момент количества движения.
Кинетическая энергия. Скорость совершения работы
Мы продолжаем считать заданной некоторую систему отсчета
ф, в терминах которой описывается движение % тела 38, см.
A.7-2). Векторные поля на 38, порождаемые движением % тела
Ы, приводят к некоторым аддитивным функциям множества, оп-
определяемым интегрированием по массе в пределах 38. Наиболее
важные из них: количество движения тела 38
§8 ГЛ. I. ТЕЛА,.СИЛЫ, ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ 39
момент количества движения тела 9S относительно точки х0
М (», х)х, = J (X - хо) Л X dM М{&, X)J, A.8-2)
и кинетическая энергия тела 38
Из определения т, М и К видно, что для данного движения %
данного тела 38 значения этих функций в данный момент вре-
времени t представляют собой соответственно вектор, антисиммет*
ричный тензор и скаляр.
Мы замечаем также, что
М (<0; х)Хо = М № Х)Х1 + (х, - хо) Л ш CS; Х). A.8-4)
Во всех этих определениях и формулах заданное время t подра-
подразумевается, но в обозначениях не отражено.
Обозначая точкой сверху дифференцирование по времени для
данного тела 3$, мы видим, что
. Х)„ = J (X - хо) Л х dM, . A.8-5)
в предположении, действующем во всей этой книге, если не ого-
оговорено противное, что ускорение / непрерывно на J?. Кроме того,
в E) г место х0 считается неподвижным в системе отсчета ф.
Упражнение 1.8.1. Пусть место х0 неподвижно, и пусть Xi(-)—про-
Xi(-)—произвольная местозиачиая дифференцируемая функция времени. Доказать, что
М (Л; Х)Хо = М (Я; %)Xt + (х, @ - ж») Л ш (Я, г) + xi (t) Л m (J, %) -
= J (X - xi) Л % dM + (x, (t) - x0) Л m (J, %). (I. 8-6)
Эти определения и соотношения приведены здесь для удоб-
удобства ссылок в дальнейшем. Основные принципу механики свя-
связывают, как будет объяснено в § 12 и 14, скорости изменения т,
М и /( с силами, действующими на 38.
В § 5 мы ввели понятие системы сил и определили интегри-
интегрирование на 3& по отношению к силам, действующим на части
40 ч ЧАСТЬ 1. ОЫЦИЕ ПОНЯТИЯ §4
тела & со стороны его внешности 9Р. Эта система сил может
быть разной в разные моменты времени. Мы должны постоянно
помнить об этом, хотя это и не отражено в обозначениях.
Силы являются элементами пространства У\, а скорости —
элементами пространства У. В дальнейшем мы будем предпола-
предполагать, что dim#°f=3. Таким образом, пространство Tt как
пространство со скалярным произведением изоморфно простран-
пространству Т. Используя какой-нибудь конкретный изоморфизм, можно
образовывать скалярные произведения векторов сил и векторов
типа скоростей и ускорений. То, что изоморфизмов такого рода
имеется бесконечно много, является отражением того факта, что
единицы силы еще никак не связаны с единицами длины и вре-
времени. Фиксируя какой-либо изоморфизм, введем скорость совер-
совершения работы W системой сил f#e в движении / тела J? следую-
следующим образом:
Единица скорости совершения работы имеет вид (сила) X (дли-
(длина) : (время).
Силы мыслятся как действующие на тела. Когда эти тела со-
совершают движения и, следовательно, занимают определенные
конфигурации в &, силы переносятся в эти конфигурации неко- .
торым специальным образом. Так как сами конфигурации
зависят от выбора системы отсчета, то это относится также к лю-
любому переносу сил, действующих на тела, принимающие эти кон-
конфигурации. Следовательно, и определение G) скорости совер-
совершения работы зависит от данного частного выбора системы от-
отсчета. В § 11 мы выдвинем в качестве основной аксиомы меха-
механики требование, чтобы такая зависимость W от выбора системы
отсчета была лишь кажущейся, т. е. чтобы скорость совершения
работы, хотя она и определена соотношением G) в терминах
еистемы отсчета ф, имела одно и то же значение во всех систе-
системах отсчета.
Так как ввиду выбранного изоморфизма мы можем по
существу считать, что fef, то можно определить также тен-
тензорное произведение v <8> f и внешнее произведение v Л f при
условии, что vef. В частности, антисимметричный тензор
(х— х0) Л f называется «моментом системы сил f в х относи-
относительно места (точки) х0». Более общо, момент FXo относительно
точки х0 системы сил f^e, действующий на часть $Ф тела 38
в данном движении этого тела, определяется следующим обра-
образом:
F(М, <Я%» J (х - хо) Л dtf. A.8-8)
л
§ 8 ГЛ. I. ТЕЛА, СИЛЫ, ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ 41
Хотя момент силы относительно точки есть только частный
случай того, что принято называть моментом1), в этой книге
оба термина будут рассматриваться как взаимозаменяемые.
Предпочтительно мы будем пользоваться более кратким.
Момент специального вида F (J?, $е)Хо называется результи-
результирующим моментом системы сил, действующих на J?, относи-
относительно точки х0.
Момент системы сил, действующих на тело 31, определяется в терминах
конфигурации тела 31 при движении % в предположении, что выбрана опре-
определенная система отсчета ф. Этот момент представляет собой антисимме-
антисимметричный тензор размерности (сила) X (длина). Более общо, любой антисим-
антисимметричный тензор такой размерности называется моментом, а моментозначная
функция FCS,W) пар тел называется системой моментов, если она удовле-
удовлетворяет аксиомам, получающимся из аксном Fl—F4 заменой всюду f на F.
Моменты, которые не являются моментами сил, иногда называют парами.
Если все моменты являются моментами сил, как будет предполагаться в этой
книге, то система моментов называется простой.
Важность моментов станет ясной в § 12. Пока же заметим
лишь, что
F (Я, Я\ = F (Я; ~ff)Xt + (Xi - хо) Л f (Я, &), (I. 8-9)
т. е. в момент времени t разность между результирующими мо-
моментами относительно Хо и относительно Х\ равна моменту в xi
относительно х0 результирующей силы, действующей на J?.
В § 5 мы определили сбалансированную систему сил как та-
такую систему, в которой результирующая сила, действующая на
каждое тело, равна 0. Из (9) видно, что если система сил сба-
сбалансирована, то момент, с которым она действует на любое тело,
один и тот же относительно любого места.
Ввиду только что сказанного имеет смысл следующее опре-
определение. Моменты, создаваемые сбалансированной системой сил,
сами называются сбалансированными, если результирующий
момент для каждого тела равен нулю.
Более общим образом, к системе моментов применима теорема Нолла из
§ 5 с заменой нескольких слов, на основании чего мы можем заключить, что
в сбалансированной системе моментов F ($, W) => — F (V, &).
Как мы увидим в § 11, из основной аксиомы механики сле-
следует, что системы сил и моментов сбалансированы; в действи-
действительности она эквивалентна этому утверждению.
Во вселенной аналитической динамики, в которой любое рассматривае-
рассматриваемое тело Si является подмножеством множества, состоящего из п точечных
') Напомним, что, например, в моментиой теории упругости момент есть
первичное понятие, определяемое независимо от сил. — Прим. ред.
42 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 8
масс Х(, мы имеем
; X) х0 *= 2 (х< ~ хо) л
(для получения последнего результата использованы A.5-15) и A.5-21));"
здесь Х( в %{Xi, t), а остальные обозначения те же, что были введены в § 5
в связи с рассмотрением аналитической динамики. Основной интерес пред-
станляют следующие два частных случая соотношения A0L- Первый случай:
91 состоит из одного-единственного Хи Тогда
,; я f,.)-v(n+?',/)• A.8-11),
Из A.5-27) 1 видно, что если система сил сбалансирована, то
Второй случай: 91 совпадает со всей системой. Тогда соотношение A0L
сводится к следующему:
It It
W ($', х> ^яе)= -i xi ' ^i == ~~ -i xi ' ^ii> (J-' 8-13)
где последнее равенство справедливо, если система снл сбалансирована. Таким
образом, в общем случае скорость совершения работы системой сил над дина-
динамической системой не равна нулю.
Момент F (Я, V) воздействия тела IS на тело 9S относительно \Q опре-
определяется формулой
lie, w)_ =s 2л (Xj ~~xn) Л /] 'j»> A.0-I4)
АО . Фет \ I и/ *¦¦¦ */
здесь Я и <& не обязательно отделены друг от друга. Аналогично момент,
с которым действует окружающий мир SB иа точечную массу Xt, опреде-
определяется формулой
Это определение согласуется с (8), и результирующий момент, действую
щий на 9S, представляется в виде
hj
§ 8 ГЛ. 1. ТЕЛА, СИЛЫ, ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ 43
Моментом самовоздействия тела Я называется момент, с которым это
тело действует само на себя. Согласно A4) он равен
F (*«),,=- 2 (х!-хо)Л 2 fir (I-8-17)
В сбалансированной системе сил справедливо соотношение A.5-24) и, сле-
следовательно,
2 ()ЛГ A.8-18)
Если сила f?y, с которой X/ действует на Xt, параллельна вектору х{ — \j,
который переводит место х., занимаемое X „ в место \{, занимаемое Xt, то
силы взаимодействия называются центральными. Для центральных снл
взаимодействия каждое слагаемое в сумме A8) обращается в нуль, так
что имеет место \
Теорема (Пуассон). Для сбалансированной системы сил ро вселенной,
аналитической динамики момент самовоздействия каждого из тел равен нулю,
если силы взаимодействия центральны.
В случае когда момент самовоздействия тела Я обращается в нуль, ре-
результирующий момент A6) можно записать в виде
\ d-8-19)
т. е. результирующий момент, действующий на 38, равен сумме моментов
результирующих сил, ¦ действующих на точечные массы, которые образуют Я.
В сбалансированной системе сил каждая из этих результирующих сил
равна нулю, так что F (!%, ^е) = 0, т. е. система моментов сбалансирована.
Обратно, предположим, что система моментов сбалансирована. Тогда
в силу аналога теоремы Нолла (I. 5-6)
F(A <g%0 = -F(ff,#)Xo (I.8-20)
для всех взаимно отделенных тел 91 и 12. В частности, тогда
(хг - х0) Л f,, — (х, - к,,) Л f/r (I. 8-22)
Если силы сбалансированы, то, согласно (I. 5-23), получаем
(xJ-x/)Afi/=0, (I.8-23)
так что силы взаимодействия центральны. Суммируй рассуждения данного и
предыдущего абзацев, видим, что имеет место следующая
Теорема (Нолл). Если система сил во вселенной аналитической дина-
мики сбалансирована, то соответствующая система моментов сбалансирована
тогда и только тогда, когда силы взаимодействия центральны.
Упражнение 1.8.2. Основываясь на A.5-25), доказать, что в сбаланси-
сбалансированной системе сил
F (Я, Яе) + F (Я, Я) = 0. (I. 8-24)
44 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § й
Следовательно, система моментов сбалансирована тогда и только тогда,
когда момент самовоздействия каждого тела равен нулю, откуда снова сле-
следует теорема Нолла.
Таким образом, в аналитической динамике сбалансированность моментов
эквивалентна предположению, что силы взаимодействия центральны пои
условии, что система сил сбалансирована. Как должно быть ясно из рас-
рассуждений, приведших к теореме Нолла, никакого аналогичного сведения сба-
сбалансированности моментов к сбалансированности сил в случае более общих
и типичных вселенных механики ожидать нельзя. В механике сплошных сред
центральные силы, а на самом деле и силы взаимодействия любых видов
никакой особой роли не играют, так что общий подход аналитической меха-
механики в этом случае нетипичен и почти бесполезен.
Вектор положения данного места х в 8 — это вектор, кото-
который переводит некоторое заданное «начало» х0 в х. Таким обра-
образом, векторное поле положений р, соответствующее движению /,
дается формулой
Р —X —х0. A.8-25)
Обычно начало х0 представляет собой некоторое фиксированное
место. В этом случае производные по времени от р совпадают
с производными от самого движения: p = t, р = / и т. д.
Центром масс тела & положительной массы М(<%), находя-
находящегося в конфигурации /, называется то место, векгор положе-
положения р которого представляет собой среднее (относительно мас-
массы М) векторов положения всех тел-точек, составляющих &:
Конечно, центр масс р данного тела &, вообще говоря, изме-
изменяется со временем, но мы не отражаем это в обозначениях.
Хотя само р зависит от выбора «начального» места х0, его про-
производная по времени р от этого выбора не зависит, и из A)
иидно, что
т(Я;х) = М(Л(р)Я). A.8-27)
Из сравнения этого выражения с A0) i вытекает следующая
Теорема (Кельвин & Тэйт). Количество движения тела & та-
таково же, как и у массивной точки, имеющей ту же массу, что и
<%, и двужущейся так, что она все время занимает положение
центра масс тела &.
§ 9. Замена системы отсчета
Пусть выбрана какая-либо система отсчета ф (см. § 6). Мы
можем захотеть рассмотреть и другую систему отсчета ф*:
ф. Ж-+&Х®,
§ 9 ГЛ. I. ТЕЛА, СИЛЫ, ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ 45
Так как оба эти отображения являются гомеоморфизмами, их
композиция ф*°ф~1 также представляет собой гомеоморфизм
пространства ё"Х& на себя:
ф*оф-*: 8ХЯ-+8ХЯ A.9-2)
Мы не будем называть ф* системой отсчета, если смысл
времени в ней не тот же самый, что в ф. Хотя это требова-
требование и естественно, его нелегко сформулировать. Пусть ^ —
представленное в исходной системе отсчета ф множество со-
событий, происходящих в некоторый момент времени t. Мы
хотим, чтобы 0*х отобразилось на некоторое множество собы-
событий в другой системе ф*, происходящих в одно и то же время s
по отношению к ф*. Это значит, что если 0 (^<)== (<^> О» то
^*(^'f) = (|pJ s) для некоторого действительного s. Можно по-
показать1), что тогда преобразование ф*оф~1 имеет вид
(X*, П = ф*оф-\Х, t),
x* = f(x, t), f = {t)
т. е. время t* вполне определяется временем t, хотя для опреде-
определения места х* могут потребоваться как время t, так и место х.
Далее, чтобы обеспечить желаемую интерпретацию, мы
должны, если какая-то одна система отсчета ф уже задана, рас-
рассматривать только такие другие системы отсчета ф*, которые
дают отображение B), сохраняющее метрики в <§ и 31 по от-
отдельности, т. е., в нашей интерпретации, отображения, остав-
оставляющие инвариантными расстояния между местами и времен-
временные промежутки между моментами времени. Такие и только та-
такие отображения называются заменами (изменениями) системы
отсчета. При таком соглашении мы будем называть ф* ° ф~х за-
заменой системы отсчета ф системой отсчета ф* (или переходом
от системы ф к системе ф*).
Иногда мы будем говорить: «х* н х являются местами, в которых одно
и то же событие происходит в системах отсчета ф и ф соответственно».
Можно надеяться, что изучающий сочтет это и подобные ему утверждения
достаточными указаниями . для интерпретации описанной математической
структуры в терминах физического опыта; Аналогично скорость тела-точкн,
определенная по отношению к системе отсчета ф, будет называться его ско-
скоростью в ф, н точно так же для всех других величин, определенных в тер-
терминах системы отсчета: ускорения, количества движения и т. д.
Согласно одной теореме геометрии2), замену системы отсчета
можно представить как трансляцию пространства Я, сочетаемую
') Noll W., Euclidean geometry and Minkowskian chronometry, Amer.
Math. Monthly, 71 A964), 129—144.
2) См. работу Нолла, указанную в предыдущем подстрочном примечании.
46 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 9
с зависящим от времени ортогональным преобразованием про-
пространства <§\
f = t + a
-x0); (L9)
здесь а — некоторое значение времени, xj — функция от /, зна-
значениями которой являются места, Q — функция от t, значе-
значениями которой являются ортогональные тензоры над У, и
Xq—некоторое фиксированное место. Рассматривая Хо и 0 как
место и время некоторого фиксированного события, наблю-
наблюдаемого в системе отсчета ф, мы интерпретируем х*(^)иакак
место и время того же события, наблюдаемого в системе от-
отсчета ф*. Далее, Q представляет собой поворот всех линий,
проходящих через х0 при наблюдении в системе ф, в линии,
проходящие через xj при наблюдении в системе ф*. Значение
Q(t) тензора Q иногда называют относительной ориентацией,
системы ф* по отношению к ф в момент времени t. Если
Q(/0) = l и xj(*0) = x0 в некоторый момент t0, то про наши две
системы отсчета говорят, что они совпадают.
Из D) видно, что данному событию, которому в системе ф
приписываются определенные место и время (xq, t), в некото-
некоторой другой системе ф* могут быть приписаны произвольные
место Хц(/) и время t*. Вектор, переводящий фиксированное
место Xq в „общее" место х в ф, поворачивается в У и пере-
переходит в вектор, переводящий x*0(t) в соответствующее место х*
в фЛ, причем поворот один и тот же для всех мест х в любой
данный момент времени.
При желании замену системы отсчета можно описать в тер-
терминах некоторого движения (§ 7). Если предположить, что тело
ведет себя таким образом, что одна из его точек остается в по-
покое в месте х в системе отсчета ф, то D) представляет собой
движение этой точки относительно системы отсчета ф*.
Упражнение 1.9.1. Доказать, что в A.9-4) ,можно в качестве постоян-
постоянного места хо в ф взять любое, какое мы пожелаем, нлн, если это пред-
предпочтительнее, можно подставить вместо него любую местозначную функцию
времени Хо(-). Следовательно, класс всех замен систем отсчета образует
группу.
Из D)i видно, что определение «мировой линии» в § 6 не за-
зависит от выбора системы отсчета.
Мы интерпретируем возможность изменения системы отсчета в том
смысле, что два наблюдателя, выбравшие одинаковые единицы длины й вре-
времени, могут установить свои часы по-разному н могут совершать произволь-
произвольные жесткие движения по отношению друг к другу — оба они будут одина-
одинаково правомочны описывать явления, представляемые классической механи-
§ 9 ГЛ. I. ТЕЛА, СИЛЫ, ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ 47
кой, вне зависимости от того, являются их системы отсчета правыми или
левыми. Следовательно, любое утверждение, сделанное одним из них, экви-
эквивалентно определенному утверждению, сделанному другим. Например, если
задана функция f{\*,t*), то подстановка в нее равенств D) приводит к не-
некоторой определенной функции g{\, t), имеющей то же самое значение: ¦
g(x,O-f(**. П- (I-9-5)
Любые две функции, связанные таким образом, рассматриваются как экви-
эквивалентные при заменах системы отсчета.
Замена системы отсчета индуцирует некоторое преобразова-
преобразование трансляционного пространства У. В самом-деле, пусть
v=x, —x2. (I.9-6)
Тогда согласно D)
Аналогично замена системы отсчета индуцирует преобразова-
преобразование пространства тензоров над Т. Если чкеУиуеУ и если
w = Tv, (I.9-8)
где Т — некоторый тензор, то, согласно G),
т. е. w*=TV, где
T*==Q@TQ@T.
Преобразования по точно таким же правилам индуцируются для
векторнозначных и тензорнозначных функций времени v(t) и
Изменение системы отсчета D) приводит также к изменению
движения A.7-5) тела-точки X, входящей в тело 98. Именно,
в системе ф* место х*, занимаемое телом-точкой X в момент
времени t*, дается соотношениями
х* = X* (X, О = х0 @ + Q @ (X (X, t) - х0), . A.9-11)
Мы будем рассматривать /* как то же самое движение,
только наблюдаемое в ф*. Мы рассматриваем х0 и / как место
и время, приписываемые в ф некоторому конкретному событню,
и х*(/) и t* как место и время, приписываемые тому же самрму
событию в ф*. В случае необходимости подчеркнуть роль си-
системы отсчета мы будем называть / движением тела $ в ф, а
у* — тем же самым движением тела 98 в ф*, в объясненном выше
смысле. Для преобразования A1), связывающего движение от-
относительно ф с движением относительно ф*, мы будем упот-
употреблять то же название, что н для преобразования D) образа
& X Я мнра событий, а именно замена системы отсчета.
48 ЧАСТЬ I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 9
Если некоторое условие определяет векторы в терминах си-
системы отсчета, причем само это условие не зависит от выбора
системы отсчета, то оно даст нам векторы v* или v, в соответ-
соответствии с тем, используется система ф* или ф, причем в общем
случае эти два вектора не будут одинаковыми. Рассмотрим, на-
например, условия A.7-7) 1,2, которые определяют скорость и ус-
ускорение в любой системе отсчета:
хэХ, х* = Х\
A.9-12)
х = Х, х* = Х*.
где точки во втором столбце обозначают дифференцирование
по f, а движение х* в ф* связано с движением % в ф соотно-
соотношениями A1). Следовательно,
х* - х; @ + Q (О X (X, t) + Q (t) (X (X, t) - ж,,), A.9-13)
где хо и Q — производные по времени от функций х*а и Q. По-
Поэтому скорость х* в ф* связана со скоростью х в ф формулой
х* — Qx = Xo+A(x*-x;), (I.9-14)
где
T T
причем для краткости мы пишем Q и Q вместо Q (t) и Q (t).
Антисимметричный тензор А называется спином ') системы ф
относительно системы ф*. В A1) мы рассматривали x*0(t) и t*
как место и время, приписываемые в системе отсчета ф* со-
событию, которому ф приписывает место х0 и время t. Таким
образом, значение функции Хо равно скорости изменения места
xl(t) в SS, приписываемого в системе ф* указанному событию.
С другой стороны, согласно A3) скорость в ф* тела-точки,
которое занимает место х0 в момент времени t, равна хо(О +
+ Q(t)x (X (x0, t), /), что сводится к x\{t) в том и только в том
случае, когда это тело-точка покоится в ф2).
До сих пор мы считали относительную ориентацию Q изве-
известной дифференцируемой функцией t. Предположим, что вместо
') Старый термин «угловая скорость» постепенно выходит из употребле-
употребления не только потому, что он состоит из двух слов, но также и потому, что
он предполагает, что мы следим за углами, чего в общих рассмотрениях мы
советуем лучше не делать. [Собственно, термин «угловая скорость» относится
не к спину А, а к сопутствующему ему вектору <й, определяемому усло-
условием А = о X 1 (здесь крест — символ векторного произведения, которое
К. Трусделлом в его книге не используется). — Ред.]
г) То есть х = 0. — Прим. ред.
§9 ГЛ. I. ТЕЛА, СИЛЫ, ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ 49
этого нам известен спин А как функция от t, значениями кото-
которой являются антисимметричные тензоры. Мы предположим, что
эта функция непрерывна. Рассматривая линейное дифференци-
дифференциальное уравнение первого порядка
Y-AY = 0, (I.9-16)
мы видим прежде всего, что оно имеет единственное решение
Y, такое, что Y(^o) принимает предписанное значение.
Упражнение 1.9.2. Показать, что если Z ss YYT и Y удовлетворяет
уравнению A6), то
Z = AZ-ZA. (I.9-17)
Основываясь на теореме единствеииости для обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений, показать, что решение Y уравнения A6), ортогональное
(т. е. являющееся ортогональным оператором) при t = to, будет ортогональ-
ортогональным при всех t.
Проведенные рассуждения, завершенные предыдущим уп-
упражнением, приводят к следующей теореме.
Теорема. Пусть А — спин системы ф относительно системы
ф* — является непрерывной функцией времени, и пусть для не-
некоторого момента времени t0 задано значение относительной
ориентации Q(t). Тогда заданием места x*Q(t), занимаемого
в ф* в каждый момент времени t некоторым местом х0 в ф,
определяется единственная замена системы отсчета.
Упражнение 1.9.3. Пусть А*—спин системы ф* относительно ф. До-
Доказать, что
A* = -QTAQ. A.9-18;
Более общо, если Qt и Q2 отвечают соответственно заменам системы ф
на фх и системы ф\ на ф2 и если Q3 отвечает замене ф на фг, то
Q3 = Q2Qi. А3 = А2 + Q2A,Qj. (I. Г-19)
Следовательно, если системы отсчета фг и фг в некоторый момент совпа-
совпадают, то спин системы ф2 относительно ф равен сумме спина фг относи-
относительно ф, и спина фх относительно ф в тот же момент.
Соотношения A9) часто выражают, говоря, что повороты
мультипликативны, а спины аддитивны.
Тензор Q как ортогональный тензор над трехмерным век-
векторным пространством имеет одно и только одно (веществен-
(вещественное) собственное число, равное либо +1, либо —1, причем
если 0.Ф ±1, то соответствующее собственное подпространство
одномерно. Это одномерное собственное подпространство тен-
тензора Q(/) называется осью вращения в момент времени t при
рассматриваемой замене системы отсчета. Либо Q, либо — Q
являются поворотом, т. е. ортогональным тензором R с detR= 1
50 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 9
Для любого вектора е, лежащего на указанной оси, Re = e.
Углом поворота между системой отсчета со звездочкой и си-
системой без звездочки называется выбранный в соответствую-
соответствующих пределах корень 8 уравнения cos0 = -? (trR(/)— 1). Далее,
поскольку тензор k(t) антисимметричен, его нуль-пространство
(ядро) состоит из одной прямой, за исключением тривиального
случая, когда A (t) = 0. Эта прямая называется осью спина.
Соответствующее собственное число тензора А@ равно 0. Так
как ААТ = QQT, то норма тензора А') та же самая, что и
норма Q. Число у -^\т kPJ , т. е. \ k\JY2, называется уг-
ловой скоростью <а, с которой ф поворачивается по отноше-
отношению к ф* в момент времени /.
Упражнение I. 9.4. Доказать, что если ось поворота не зависит от вре-
времени t, то она является также осью спина. Следовательно, если угол пово-
поворота равен 0@. то со = |0(<)|-
Перейдем теперь к вычислению ускорения. Дифференцируя
A4) по /, получаем с учетом A2J и A5) следующее соотноше-
соотношение между ускорением х* в ф* и ускорением х в ф:
= xl + 2А(х* - х'о) + (А - А2) (х* - х'о), A.9-20)
где для краткости вместо Q(t), \(t) и т. д. мы пишем соответ-
соответственно Q, А и т. д. Первый член в правой части равен ускоре-
ускорению того места в ф*, которое соответствует месту хо в ф в мо-
момент времени t. Второй член, называемый кориолисовым уско-
ускорением, представляет собой ускорение в ф*, отвечающее, со-
согласно A4), скорости рассматриваемого тела-точки по отноше-
отношению к х'о в ф* и спину ф относительно ф*. Третий член состоит
из двух частей, первая из которых, называемая эйлеровым ус-
ускорением, соответствует скорости изменения угловой скорости,
а вторая, называемая центростремительным ускорением, выра-
выражает ускорение, вызываемое чистым переносом нашего тела-
точки относительно ф*.
Упражнение I. 9.5. Полагая р аз х — хо, доказать, что для любого анти-
антисимметричного тензора А
где V — оператор градиента, и интерпретировать этот результат, используя
понятие центростремительного ускорения. (Заметим, что А2 — симметричный
«) | А | = Vtr \АГ.-Прим. ред.
§IO ГЛ. 1. 1ЁЛА, СИЛЫ, ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИЙ 5]
тензор, для которого наша ось спина является нуль-пространством, а —со2 —
единственным отличным от нуля собственным числом.)
Количество движения, момент количества движения и кине-
кинетическая энергия подобным же образом зависят от выбора си-
системы отсчета. Преобразования этих величин и скоростей их из*
менения, индуцируемые заменой системы отсчета, легко нахо-
находятся подстановкой A4) и B0) в соответствующие формулы § 8.
§ 10. Жесткое движение
Движение тела называется жестким, если в некоторой си-
системе отсчета ф* поле скоростей этого тела обращается в нуль.
Такая система отсчета называется системой покоя для данного
жесткого движения. Чтобы найти поле скоростей для жесткого
движения в произвольной системе отсчета ф, достаточно под-
подставить х* = 0 в соотношение A.9-14), обобщенное в том от-
отношении, что допускается зависимость х0 от t, как в упр. 1.9.1.
С учетом A.9-15) мы приходим к следующей теореме.
Теорема (Эйлер). Движение % жестко в том и только в том
случае, когда его поле скоростей в какой-нибудь и, следова-
следовательно, в каждой системе отсчета ф имеет вид
где х0 it) — произвольное место в & в момент времени t, а с (t)
и W (t) — соответственно некоторый вектор и некоторый анти-
антисимметричный тензор.
Конечно, W = А*, и спин системы покоя фт относительно ф
связан с А соотношением A.9-18). Мы используем специальное
обозначение W, чтобы напомнить читателю, что речь идет о част-
частном виде движения тела, или, если угодно, о частной системе от-
отсчета, тогда как А определено для любой пары систем отсчета
вне связи с тем, какое движение тела может происходить отно-
относительно этих систем. Мы называем W спином жесткого дви-
движения.
Нуль-пространство спина W(tf) называется .осью жесткого
движения в системе ф в момент времени t. Тела-точки, лежа-
лежащие на линии,- проходящей через х0 и параллельной оси же-
жесткого движения, движутся с одной и той же скоростью c(t).
В § 9 мы показали, что функция А единственным образом
определяет функцию Q, если задано Q(*o). Согласно A.9-18)
можно тем же самым способом- использовать функцию W для
определения Q, что также хорошо видно, если записать'диффе-
ренциальное уравнение A.9-16) в виде
Y-f-YW = 0, (I. Ю-2)
52 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ §10
где подразумевается, что решение Y принимает значение Q(to)
при t = /о,
Из A)г ясно, что вектор с(/) представляет собой скорость
тела-точки, занимающего, в данный момент времени место х0
в ф, согласно же>'A)ь с следующим образом выражается через
функции х0 и х'о из A.9-11)
Таким образом, если определено Q и выбрано Хо, то функция с,
в предположении, что она непрерывна, определяет х'о с точ-
точностью до произвольного постоянного места. Если в качестве
Хо@ выбрать место, занимаемое в ф определенным телом-точ-
телом-точкой Хо, то его скоростью в" ф является хо@> а так как ф* —
система покоя, то х* = 0, и тем самым мы приходим к заключе-
заключению, с которого начали этот абзац.
.Упражнение 1.10.1. Не используя общих понятий и построений предыду-
предыдущих параграфов, а исходя непосредственно из A) и беря в качестве Xo(t)
значение %(Х0, t) для некоторого тела-точки Хо, показать, что если р2 и pi —
векторы' положения относительно хо тел-точек Яг и Xi в жестком движении
в момент времени t, то p2-pi не зависит от времени.
Итог вышеизложенному подводит следующая
Теорема (Эйлер). Пусть движение некоторой точки Хо тела
& задано & ф дифференцируемой функцией времени, и пусть
W — непрерывная функция времени, значениями которой яв-
являются антисимметричные тензоры. Выбор относительной ориен-
ориентации Q(to) в некоторый данный момент времени to определяет
единственную систему покоя и, следовательно, единственное же-
жесткое движение тела 98, соответствующее спину W. Если W = 0,
то все точки 98 движутся с той же скоростью, что и точка Xq.
В противном случае единственными точками, имеющими в мо-
момент времени t ту же скорость, что и Ха, являются точки, лежа-
лежащие на однозначно определенной прямой, проходящей через ме-
место xQ\t), занимаемое телом-точкой Хо, и параллельной оси
спина W@-
Грубо говоря, теорема Эйлера ^утверждает, что жесткое дви-
движение тела 9S состоит в каждый данный момент времени из пе-
переноса 98 со скоростью, равной скорости любой какой-нибудь
его точки, и поворота 98 вокруг определенной, вообще говоря за-!
висящей от времени, оси, проходящей через эту точку.
Момент количества движения При Жестком движении приоб-
приобретает особенно простой вид, если его выразить через эйлеров
тензор Efc относительно Xq, определяемый следующим образом:
(I. Ю-4)
§ 10 ГЛ. I. ТЕЛА. СИЛЫ, ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ 53
где р представляет собой вектор положения A.8-22) относи-
относительно Хо'места х, занимаемого телом-точкой X. Так как тен-
тензор Б,, положительно определен и симметричен, он имеет по
крайней мере одну тройку собственных векторов, называемых
главными осями инерции тела $ относительно хо при движе-
движении X, причем соответствующие собственные числа Е{ положи-
положительны. Это утверждение известно как теорема Сегнера. Сумма Et,
или trEXo, называется полярным моментом инерции тела &
относительно хо, а числа tr ЕХо — Et, которые все положи-'
тельны, — моментами инерции1) относительно f-й главной оси,
проходящей через х0. Так как ЕХо есть тензор, не зависящий
от выбора системы отсчета, то моменты инерции относительно
главных осей являются скалярами, не зависящими от выбора
системы отсчета, фактически — константами, характеристи-
характеристическими для тела Л в конфигурации Ч*. Эти константы и, ко-
конечно, сам эйлеров тензор Е*,. в общем случае действительно
зависят от конфигурации X тела & и, таким образом, пред-
представляют свойства как самого тела, так и его движения.
В жестком движении вектор положения р*(Х, t) тела-точки
X в системе покоя ф* не изменяется. Соответствующий тензор
Е*. поэтому постоянен во времени. Он определяется раз и нав-
*о
сегда распределением масс тела Л и конфигурацией этого тела
в системе покоя ф*.
Упражиеиие 1.10.2. Доказать, что еслв S — постоянное тензорное поле, то
.. ' - J р Л Sp dM = E^S1,- SEXn. A.10-5)
a
Мы рассмотрим сначала случай, когда х0 = х*0 = 0. Тогда со-
согласно C) с = 0 и подстановка A)г в A.8-2) дает с учетом
E) следующую теорему.
Теорема (Эйлер). Пусть тело 9$ совершает жесткое движе-
движение, такое, что в системе отсчета ф одно из его тел-точек остает-
остается неподвижным на месте хо. Тогда
Равным образом
)xQ Ex.A +
где Ех» вычисляется в системе покоя ф*.
') В традиционной терминологии теизор^г ЕХо) 1—ЕХ1 называют тензором
инерции, и теорему Сегнера обычно формулируют в терминах этого тензора.
54 ЧАСТЬ I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § Ю
Упражнение 1.10.3. Показать, что для произвольных функций х0 (•) и
М (Л; 5С)Хо = Мр Л с - EXoW - WEXo,
QM (Я; X)XiQT = M? Л (Qx0 - i*) + EX.A + AE^,, (L '°'8)
где p и p* — векторы положения центра масс относительно х0 в ф и х*0
в А' соответственно.
Даже если ни одно из тел-точек не пребывает в покое
в системе ф, всегда можно за х(* принять центр масс тела 3§
в системе покоя ф*. Поэтому, хотя в общем случае х0 Ф О,
но, конечно, х* = 0, р* = 0 и р = 0, так что снова получаем F)
и G).
Второй из этих результатов особенно важен, так как тен-
тензор Ех», вычисленный в системе покоя, не меняется со вре-
временем. ' <
Рассмотрим теперь F) и предположим, что вектор е на-
направлен вдоль какой-нибудь из главных осей инерции в ф.
Тогда Ех.е = ?ге и, следовательно, (EXoW + WEXo) e =
= (ЕХо-f?il)We. Так как тензор EXo-\-Eil положительно оп-
определен, то для того, чтобы (ЕХо -\- Etl) We = 0, необходимо и
достаточно, чтобы We = 0. Аналогичные рассуждения приме-
применимы к ЕХ*А •+¦ АЕХ».
Таким образом, имеет место следующая
Теорема. Если xo(t) — место, занимаемое некоторой точкой
тела 9&, покоящейся в системе ф, или же место, занимаемое
в ф центром масс тела 3S, то для всякой прямой, обладающей
любыми двумя из трех следующих свойств, выполняется и
третье:
1. Прямая является главной осью инерции, проходящей че-
через Хо@-
2. Прямая является осью спина.
3. Прямая является осью момента количества движения от-
относительно xo(t).
Упражнение I. 10.4. Доказать, что
W = — QTAQ, W2 = QTA2Q. A.10-9)
Теперь мы вычислим поле ускорений для жесткого движения.
Для этого можно, считая, что ф* представляет собой систему
покоя для такого движения, положить х* = 0 в соотношении
A.9-20), обобщенном так, чтобы х0 разрешилось зависеть от
t, но проще продифференцировать A)г. Проделав это, восполь-
§ 10 ГЛ. I. ТЕЛА. СИЛЫ, ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ 55
зовавшись (9), найдем
o ;-(A-A2)(x*-x;)]. (I-10-10)
Снова, предполагая сначала, что какое-то одно тело-точка
тела 38 остает'ся неподвижным' на месте хо в ф , вычисляем
скорость изменения момента количества движения относитель-
относительно этого места. После этого нужно лишь положить в A0)
Xo = Xq= x0 = Xq = 0, подставить результат в A.8-5) и восполь-
воспользоваться (9). Таким образом получается следующая
Теорема (Эйлер). Пусть тело 3§ совершает жесткое движе-
движение, такое, что в системе отсчета ф какое-то из его тел-точек
покоится на месте х0.
Тогда
М (J; Х)хо = - EXoW - WEX, -f EX,W2 - WE,,,
0)
Упражнение I. 10.5. Вывести (И), продифференцировав G) с учетом
того, что Е » постоянно, и использовав затем (8J.
о
Ось вращения, не меняющаяся со. временем, называется
стационарной осью вращения. Если We = 0 и е = 0, то We = 0,
так что к МХо можно применить по существу те же рассужде-
рассуждения, какие были применимы к МХо, и получить такое
Следствие (Эйлер); Пусть тело 3$ совершает жесткое дви-
движение, и пусть в системе отсчета ф одно из его тел-точек по-
покоится на месте хо. Тогда стационарная ось вращения является
осью скорости изменения момента количества движения относи-
относительно хо в том и только в том случае, если она является глав-
главной осью инерции, проходящей через Xq.
Упражнение I. 10.6. Показать, что в случае поворота вокруг стационарной
оси вуль-пространство тензора W + W2 то же самое, что и у тензора W,
а именно ось спина, н тем самым, завершить доказательство предыдущей
теоремы.
Чтобы получить скорость изменения момента количества
движения относительно места Х] в ф в случае, когда ки одно из
тел-точек не предполагается покоящимся в ф, достаточно под-
подставить A0)| в A.8-6}-. Таким образом, за х^ принимается ме-
место, занимаемое в системе покоя ф* тем телом-точкой, положе-
положением которого в ф является хо(О. так что, согласно C), c = Xq.
56 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ $ 10
В результате находим
М C8, Х)ж = Мр Л х'о + (х0 - Xl) Л m C8, X) -
-Ех„\У-\УЕХо + ЕХо^-^ЕХо, A.10-12)
где р — вектор положения центра масс относительно места х0
в ф. Даже если в данный момент•времени Хо и Xj предста-
представляют собой одно и то же место, X] так и остается фикси-
фиксированным местом в ф, тогда как Хо в общем случае—г движу-
движущееся место в ф. Если за xo(t) принять положение в ф центра
масс, что всегда можно сделать, то первый член в A2) обра-
обращается в нуль и х0 — Х[ = р, где р — вектор положения центра
масс относительно фиксированного места Xf в ф. Таким обра-
образом,
М C8, Х)Ж1 = р Л m C8, К) - EXoW - WEXo + EXoW2 - W2EXo,
. A.10-13)
где Е — эйлеров тензор в ф относительно центра масс. Эта фор-
формула аналогична (ll)i, но не столь проста. Она утверждает, что
скорость изменения момента количества движения можно раз-
разложить на части, соответствующие переносу и повороту. Часть,
отвечающая переносу, представляет собой момент вектора коли-
количества движения тел относительно фиксированного места xi; это
скорость изменения момента количества движения точечной
массы, имеющей ту же массу, что и наше тело, и расположенной
в его центре масс. Другая часть — это, согласно A1), скорость
изменения момента количества движения тела, которое имеет те
же форму и спин, но центр масс которого покоится в ф.
Упражнение I. 10.7 (Кёниг, Эйлер). Доказать, что кинетическая энергия
тела, совершающего жесткое движение, дается формулой
К (Я\ *) = 1М | с I2 + Мс • WF+ -j tr (WWTEXJ. A.10-14)
Если за хо(О принимается место в ф, занимаемое центром масс тела 59
в момент времени t, то кинетическую энергию тела & можно следующим
образом разложить на части, связанные с переносом и поворотом:
К (Я; X) = I М | if, Р + -i tr (ААтЕ.у. (I. 10-15)
Первое слагаемое представляет собой кинетическую энергию
массивной точки, масса которой М есть масса тела 38, движу-
движущейся со скоростью центра масс тела 38. Второе слагаемое равно
кинетической энергии, которая отвечала бы спину и форме тела
$, если бы центр масс тела $ покоился в ф.
§ 11 > ГЛ. I. ТЕЛА, СИЛЫ, ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ 5?
§11. Независимость от системы отсчета
Хотя все явления происходят в мире событий W, они стано-
становятся доступными нашему изучению только через посредство не-
некоторой системы отсчета ф, так как мы всегда описываем наши
наблюдения в терминах места х и времени t. Сами по себе явле-
явления, конечно, не зависят от системы отсчета, но их описание
в одной системе отсчета может отличаться от описания в другой.
Поэтому возникает вопрос, как связаны между собой утвер-
утверждения, относящиеся к разным системам отсчета.
Во-первых, мы всегда можем высказать некоторое утвержде-
утверждение по отношению к одной системе отсчета ф, а затем просто
перевести его в утверждение, относящееся к любой другой
системе отсчета ф*. С одним из примеров этого мы уже сталки-
сталкивались, рассматривая движение / тела 3S. Если / задано по от-
отношению к ф, то мы определяем х* в ф* посредством соотноше-
соотношения A.9-11), что является попросту отражением нашего пони-
понимания понятий движения и замены системы отсчета. То же самое
можно делать и с любыми другими величинами, которые мы счи-
считаем присущими миру событий. Основными примерами таких
величин в механике служат, как мы увидим в дальнейшем,
масса, сила, момент, температура, внутренняя энергия и кало-
калория. Мы будем говорить, что такие величины не зависят от си-
системы отсчета. Независимость от системы отсчета массы, силы
и момента будет рассмотрена в следующем параграфе.
Во-вторых, и притом гораздо чаще, мы будем встречаться
с некоторыми правилами, по которым каждой системе отсчета
ставится в соответствие некоторая определенная функция. Сами
по себе такие правила не зависят от системы отсчета в том
смысле, что они равно применимы в любой системе отсчета. Мы
уже встречались с подобными примерами, именно со скоростью
и ускорением, которые вычислялись по движению согласно пра-
правилам, никак не связанным с системой отсчета и поэтому при-
применимым в любой системе отсчета. Эти конкретные правила
имели вид A.9-12). Пользуясь ими, мы смогли вьфазить ско-
скорость и ускорение в ф* через скорость и ускорение в ф, при
помощи, конечно, функций Q, х0 и xj, задающих замену A.9-4)
системы ф на ф*. Полученные таким образом результаты вы-
выражаются соотношениями A.9-14) и A.9-20). Из них ясно, что
скорость и ускорение, наблюдаемые в ф и ф*, не являются пе-
переводом на язык систем отсчета неких функций, определенных
на мире событий Ж, ибо если бы это было так, то при замене
системы отсчета их значения, являющиеся векторами, подверга-
подвергались бы преобразованию, которое такая замена индуцирует
в трансляционном пространстве У пространства В, а это послед-
последнее преобразование, как мы видели, дается соотношением (I. 9-7).
58 часть 1. общие Понятая § и
Так как в общем случае х* ф Qx и х* ф Q х, то мы говорим,
что скорость и ускорение зависят от системы отсчета. Этот при-
пример достаточен для уяснения того, что не зависящие от системы
отсчета правила или определения могут приводить к величинам,
зависящим от системы отсчета.
Конечно, некоторые правила, хотя и формулируемые в терми-
терминах, связанных с системой отсчета, на самом деле приводят к ве-
личинам, относящимся по своей сущности к Ж. Такие величины'
мы будем называть не зависящими (или независимыми) от си-
системы отсчета, потому что в принципе их можно было бы ввести
абстрактно, не пользуясь какой-либо системой отсчета. Пусть не-
некоторое правило задает в ф и ф* скалярные поля Л и Л* соот-
соответственно.
Если
A'(x;n = A(x,t), (I.11-1)
когда (х*, t*) связано с (х, t) посредством A.9-4), то мы будем
говорить, что Л и Л* представляют собой не зависящий от си-
системы отсчета скаляр. Допуская вольность, мы будем называть
не зависящими от системы отсчета скалярами сами значения
поля Л, которые, конечно, являются числами, соотнесенными ме-
месту и времени в ф. Аналогично векторное поле v и тензорное
поле Т будут называться не зависящими от системы отсчета, если
соответственно
v*(x% O-Q@v(x,0,
где опять (х*, ?) связано с (х, t) посредством A.9-4), a Q(t) —
относительная ориентация систем ф* и ф. Первое из этих тре-
требований утверждает, что v* и v — это один и тот же направлен-
направленный отрезок, относящийся к одному и тому же событию, только
наблюдаемый в разных системах отсчета. Второе, как мы ви-
видели в § 9, утверждает, что Т* и Т являются для одного и того
же события одним и тем же преобразованием таких направлен-
направленных отрезков. За подробностями читатель отсылается назад, к
сказанному между A.9-6) и A.9-10).
Большинство полей, с которыми мы встречаемся в механике,
зависит от системы отсчета. Примеры со скоростью и ускоре-
ускорением показывают, однако, что если ограничиться рассмотрением
некоторой подгруппы ^ замен системы отсчета, то можно полу-
получить результаты типа A) и B). В таком случае можно ска-
сказать, что данный конкретный скаляр, вектор или тензор не за-
зависит от системы отсчета в группе р. Например, из A.9-20) сле-
следует, что х* = Qx для всех движений тогда и только тогда,
когда Хд = 0 и А = 0, т. е. когда х* = const и Q = const. Эта
§ 11 ГЛ. I. ТЕЛА. СИЛЫ. ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ 59
подгруппа замен системы отсчета, состоящая из тех замен, по
отношению к которым ускорение не зависит от системы отсчета,
называется группой галилеевых преобразований. Эти преобразо-
преобразования переводят друг в друга системы отсчета наблюдателей,
движущихся по отношению друг к другу с постоянными скоро-
скоростями и без какого бы то ни было изменения относительной ори-
ориентации.
Эпитет «галилеевы» просто традиционен и не должен рассматриваться
как относящийся к чему-либо в работах знаменитого Галилея.
Упражнение 1.11.1. Доказать, что скорость m изменения количества дви-
движения тела 3D прн движении % не зависит от системы отсчета в группе гали-
галилеевых преобразований.
Класс всех систем отсчета, которые можно получить из дан-
данной галилеевыми преобразованиями, называется галилеевым
классом этой системы.
Далее, из A.9-14) видно, что х* = Qx для всех движений
тогда и только тогда, когда х= 0 и А = 0, т. е. когда хо и Q
постоянны. Эта подгруппа галилеевой группы замен системы от-
отсчета, состоящая из тех замен, при которых скорость не зависит
от системы отсчета, называется группой постоянных жестких
преобразований. Эти преобразования переводят друг в друга си-
системы отсчета наблюдателей, покоящихся друг относительно
друга. Класс всех систем, получаемых из какой-либо данной
системы применением жестких преобразований, называется же-
жестким классом этой системы. В § 9 жесткое движение было оп-
определено как движение, поле скоростей которого обращается
в нуль в некоторой системе отсчета ф*. Теперь мы видим, что
поле скоростей жесткого движения не зависит от места во всех
системах отсчета, принадлежащих жесткому классу, определяе-
определяемому системой ф*, и только в таких системах. В частности все
системы покоя для жесткого движения получаются из любой
данной изменениями системы отсчета, при которых х*0 = const,
Q = const. Как явствует из самого понятия жесткого движения,
эти системы отсчета могут быть получены одна из другой с по-
помощью не зависящих от времени переносов и поворотов. Такие
системы также образуют подгруппу — класс покоя данного же-
жесткого движения.
Упражнение 1.11.2. Доказать, что градиент не зависящего от системы
отсчета скаляра есть не зависящий от системы отсчета вектор; что собствен-
собственные числа, след и определитель не зависящего от системы отсчета тензора
являются не зависящими от системы отсчета скалярами; что собственные
векторы такого тензора являются не зависящими от системы отсчета векто-
векторами; что скалярное произведение двух не зависящих от системы отсчета
векторов является не зависящим от системы отсчета скаляром и что тензор-
тензорное произведение и внешнее произведение не зависящих от системы отсчета
векторов являются не зависящими от системы отсчета тензорами.
60 - ЧАСТЬ I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 12
Упражнение 1.11.3. Доказать, что ориентированная единичная нормаль
к поверхности является не зависящим от системы отсчета вектором.
В начале настоящего параграфа мы отмечали, что задание
некоторой величины в одной данной системе отсчета всегда
можно тривиально распространить таким образом, чтобы полу-
получилось определение соответствующей не зависящей от системы
отсчета величины. В качестве иллюстрации этого факта мы те-
теперь рассмотрим ускорение х в некоторой данной системе от-
отсчета ф. Если положить
а «зГ — хЬ — 2А (Г - х5) — (А — А2)(Г - х5), A.11-3)
где X* и X* представляют собой ускорение и скорость в «общей»
системе, отсчета ф*, а А — спин ф относительно ф*, то ввиду
A.9-20) а будет не зависящим от системы отсчета векторным
полем на 3$, которое в данной частной системе ф представляет
собой поле ускорений тела J. Разумеется, оно является полем
ускорений и во всех системах галилеева класса системы ф.
Не зависящее от системы отсчета векторное поле а предста-.
вляет основной интерес в динамике.
§ 12. Аксиомы механики
Механика связывает движение тел с приписанными им мас-
массами, с силами, которые на эти тела действуют. Тела встре-
встречаются только в конфигурациях. Массы и силы могут быть по-
поэтому как-то соотнесены с опытными данными, только если их
приписывать конфигурациям тел. Значение массы тела представ-
представляет собой действительное число, и можно просто перенести это
число на конфигурацию %(&,t). Однако, как мы видели в § 9,
различным наблюдателям в общем случае тело 9$ представляется
в различных конфигурациях, связанных одна с другой соотноше-
соотношением замены системы отсчета A.9-4). Нашим допущением о том,
что величина массы является скаляром на 3S, уже подразуме-
подразумевается ее независимость от видимой конфигурации: масса не за-
зависит от системы отсчета. Формально мы можем выразить этот
факт в виде аксиомы:
Аксиома А1.
М* = М A.12-1)
(обозначения те же, что и в § И).
Мы удостаиваем А1 титула «аксиомы», поскольку именно та-
таковою это утверждение являлось бы, если бы с самого начала
избрать описание в терминах систем отсчета.
§ 12 ГЛ. I. ТЕЛА, СИЛЫ, ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ 61
Фактически наблюдатели могут пользоваться разными еди-
единицами массы, но мы не будем здесь останавливаться на этом
в сущности тривиальном осложнении.
Так как сила является вектором в У — трансляционном про-
пространстве пространства <В, — само введение сил предполагает
предварительное введение систем отсчета1). Если силы имеют
первичное значение, то соотнесение их конфигурациям тел не
должно зависеть от наблюдателя. Силы, действующие на кон-
конфигурации тела 38 в ф и ф* в соответствующие моменты вре-
времени t и t*, должны быть связаны преобразованием, индуцируе-
индуцируемым в Т заменой системы отсчета ф на ф*. Другими словами,
мы требуем, чтобы силы не зависели от системы отсчета. Фор-
Формально это означает, что выдвигается следующая
Аксиома А2.
(здесь снова обозначения те же, что и в § 11; силы, вообще го-
говоря, зависят от времени, но в обозначениях это не отражено).
Аксиома А1 является частью допущения, обычно называемого «принци-
«принципом сохранения массы»; другая часть, утверждающая, что масса тела оди-
одинакова во всех конфигурациях, содержится в нашей аксиоме Ml § 4, со-
согласно которой масса приписывается телам вне всякой связи с теми конфи-
конфигурациями, которые они могут принимать. Аксиома А2 до недавнего
времени во всех изложениях механики лишь подразумевалась из контекста
и потому не имеет названия.
Все без исключения традиционные способы изложения оснований меха-
механики оставляют понятие силы затененным интуицией. ¦ Иные даже питают
иллюзию, что сила представляет собой выводимое понятие, существование
которого вытекает из некоторых таинственных манипуляции с потенциаль-
потенциальными функциями, вариационными принципами и магическими «6». В тради-
традиционных изложениях приходится делать какие-то предположения относи-
относительно сил, потому что ничто не получается из ничего, ио это молчаливые,
если не вообще скрываемые, предположения. Современные воззрения на
основания механики возвращаются к точке зрения Ньютона и Эйлера: сила
является основным, априорным понятием в механике. Ньютон и Эйлер
оставляли силы, как и многие другие вещи, в значительной мере неформали-
неформализованными. Сегодня .мы применяем к механике метод Гильберта, принятый
повсеместно в остальных разделах математики и состоящий в том, что вся-
всякий объект, который входит в математическую структуру, должен быть
описан явными формальными аксиомами, устанавливающими математические
свойства объекта, что позволяет доказывать теоремы об этом объекте. Если
есть один такой аксиоматический базис, то имеется и бесконечное множество
других. Базис, принятый в настоящей книге, тесно связан с идеями, которые
неформально и успешно применяются инженерами уже более века, однако
равно допустимы, конечно, и другие.
') Можно было бы, хотя пользы от этого мало, рассматривать V как
некоторое векторное пространство, заданное априори, а ие обязательно как
трансляционное пространство мгновенного пространства <$. В этом случае
было бы трудно мотивировать независимость сил от системы отсчета.
62 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 12
Следует заметить, что аксиомы А1 и А2 требуют, чтобы на-
наблюдателями в системах со звездочкой и без звездочки исполь-
использовались одни и те же единицы массы и силы, точно так же, как
единицы длины и времени остаются неизменными при замене
системы отсчета. Конечно, при вполне общей формулировке, хотя
и требуется, чтобы различные наблюдатели в принципе могли .
использовать одни и те же единицы, т. е. выбирать одни и те же-
метрики, в 8, Si и" У, не требуется, чтобы они обязательно де-
делали это. Однако общность, достигаемая таким образом, только
кажущаяся и не стоит тех осложнений, которые она вносит в ма-
математическую сторону дела на данном этапе. При желании этой
общности можно достичь впоследствии, просто разрешив сво-
свободно изменять единицы во всех системах отсчета, раз уже тре- -
бования независимости от системы отсчета удовлетворяются ¦
(если их вообще можно удовлетворить) при каком-то одном вы-
выборе единиц.
Упражнение 1.12.1. Показать, что нз аксиомы А2 следует, что интеграл '
Г *
(X —xo)®df e не зависит от системы отсчета. В частности, не зависит.
л
от системы результирующий момент.
В более обшей системе механики, допускающей наряду с моментами сил .
еще и пары, нужна дополнительная аксиома: моменты не .зависят от си-
системы отсчета.
В § 5 было отмечено, что линейная комбинация А\\ + Bf2
двух систем сил fi и f2 также представляет собой систему сил. .
Если мы, что вполне естественно потребуем, чтобы скалярные
коэффициенты Л и Б не зависели от системы отсчета, то аксиома
А2 будет выполняться также для комбинаций А\\ + Bf2. Таким ~
образом, и после наложения аксиомы А2 линейная комбинация
двух систем сил представляет собой систему сил. Обратно, если -
f и g — системы сил, то тривиальное разложение f = g + (f — g) .
позволяет нам рассматривать f как сумму g и некоторой другой :
системы сил. Чтобы оправдать это разложение, мы не можем
просто взять в качестве g любую функцию, удовлетворяющую
аксиомам сил, перечисленным в § 5. Нам, конечно, надо еще ;
быть уверенными, что g не зависит от системы отсчета, по-
поскольку аксиома А2 требует, чтобы все силы не зависели от си-
системы отсчета.
Мы теперь в состоянии наложить требования, связывающие
между собой силы и движения, или, более вольно выражаясь,
установить роль сил в создании движений. А именно, введем еле- • г
дующую аксиому.
Аксиома Нолла. При всяком соотнесении сил телам скорость
совершения работы системой сил, действующих на каждое тело,
не зависит от системы отсчета.
§ \i f Л. I. ТЕЛА, СИЛЫ, ДВИЖЕНИЯ VL ЭНЕРГИЙ 63
Формально:
Аксиома A3.
W*=W. (I.12-3)
Здесь использованы обозначения A.8-7) и A.11-1). Предпола-
Предполагается, что C) справедливо для всех тел й&, всех систем сил f и
всех движений %.
В предположении, что выполняется аксиома А2, можно дока-
доказать, что эта аксиома Нолла является необходимым и достаточ-
достаточным условием для того, чтобы результирующая сила- и момент
на каждом теле 38 обращались в нуль. В самом деле, применяя
A.8-7) и A.9-14) к определению A.5-15), мы видим, что для
данных й& и х
нг—w = J (г • л;« - х • <ад=
0S
= J [х5 + Q (X —хо) - QX] • Q rff^e-J X • di^ =
33 ЯГ
= QTi; • J rff^e + tr [QTQ J (X - Хо)
mis
= QTx*o • f (Я, Je) + у tr [QTQF (Д; ^e)xJ . (I. 12-4)
Согласно аксиоме A3, правая часть этой цепочки равенств долж-
должна обращаться в нуль для всех способов выбора функций Q и
Хо. Рассмотрим некоторый данный момент времени t и выберем
Q так, чтобы Q(O = P. Так как Q(/)TxS(/) может быть любым
вектором, аксиома A3 требует, чтобы
Раз так, то, применяя к D) ту же аксиому A3, видим, что в про-
пространстве антисимметричных тензоров тензор F(^, .$%, должен
быть ортогонален каждому тензору вида Q {t)T Q @, гДе тензор
Q@ Е W й Q@
р у ру {) @
Q@ ортогонален. Если W — антисимметричный тензор h
se«-wwf то Q(/0) = I и Q(@) = W, так что Q(*0)TQ(*0)=W.
Таким образом, тензор F($, ^e)x -должен быть ортогонален
любому антисимметричному тензору. А так как тензор
сам антисимметричен, отсюда следует, что
Обратно, выполнения соотношений E) и F) достаточно для
справедливости аксиомы A3 (аксиома А2 всегда предполагается
выполненной). Таким образом, установлена следующая
64 ЧАСТЬ I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 12
Теорема (Нолл). Скорость совершения работы не зависит от
системы отсчета тогда и только тогда, когда система сил и си-
система моментов сбалансированы.
Для читателя, привыкшего к традиционному изложению механики, на- -
помним здесь, что в рассмотрение включены все виды сил. Привычное и по-
полезное разделение сил на «приложенные» и «силы инерции» будет проведено
в следующем параграфе.
Из приведенной здесь теоремы Нолла, приведенного в § 5
следствия Нолла и соответствующего ему результата для момен-;
тов, упомянутого в § 8, а также из аксиом А2 и A3 вытекает
Следствие (принцип действия и противодействия). Для лю-.
бой пары отделенных тел 38 и Ч? ".
В § 8 мы видели, что специальные допущения аналитической динамики
сводят, если система сил предполагается сбалансированной, баланс моментов
к утверждению о центральности сил. В более общих и типичных вселенных
механики баланс моментов не зависит от баланса сил. Доказательство тео-
теоремы Нолла делает ясным, что баланс сил выражает инвариантность ско-
скорости совершения работы по отношению к переносам, а баланс моментов—•
инвариантность скорости совершения работы по отношению к поворотам.
Так как повороты и переносы могут при заменах системы отсчета выби-
выбираться независимо, нельзя ожидать наличия какой-либо связи между этими
двумя принципами, за исключением вырожденных случаев.
В основу определения жесткого движения тела й& (§ 10) мы
положили существование системы покоя ф*. Непосредственно
из определения A.8-7) видно, что в такой системе отсчета W* =•
= 0. Поэтому, согласно аксиоме A3, W = 0 в любой системе от-,
счета ф: скорость совершения работы любой системой сил при
жестком движении равна нулю. Это теорема работы для дина<*
мики жестких движений. Таким образом, для жесткого движем
ния значение величины, независимость которой от системы от-_
счета утверждается теоремой Нолла, в действительности равно-
нулю. . *
Любое движение тела, состоящего из единственной точечной:
массы, жестко. Таким образом, мы снова получаем тривиальный-
результат A.8-12). Наше прежнее доказательство предполагала
сбалансированность системы сил, которая обеспечивается теоре-
теоремой Нолла.
Теоремы работы, аналогичные только что установленной,
имеют место также и в некоторых других разделах механики, но
никоим образом не во всех. Например, если в аналитической ди-
динамике мы рассматриваем тело, состоящее из Xi и Х2, то для
него скорость совершения работы в общем случае не обращается
§ 13 ГЛ. I. ТЕЛА, СИЛЫ. ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ 65
в нуль. Аналогично, если & состоит из двух частей, которые со-
совершают каждая жесткое движение, но не с одним и тем же
спином, то Ж не будет, вообще говоря, равно нулю.
§ 13. Аксиомы инерции. Законы движения Эйлера
Итак, мы рассмотрели тот остов, тот каркас, на основе кото-
которого могут быть построены модели всех механических явлений:
все тела во вселенной, совершающие движение в полном мире
событий. По своей природе человеческий опыт никогда не может
воспользоваться преимуществами такой всеобъемлющей кар-
картины, не говоря уже о том, чтобы охватить ее всю, ибо опыт че-
человеческий ограничен некоторой частью мира событий и теми
телами, которые занимают эту часть в пределах ограниченного
периода времени. Это подмножество вселенной может быть ма-
малым, а интервал времени — коротким. Самое большее в это под-
подмножество включаются все тела, существование, которых было
установлено путем непосредственного наблюдения или путем
умозаключений, интервал же времени — это тот период, на кото-
который распространяется непосредственно человеческий опыт или
проницательность человеческого разума. Каковы бы ни были эти
ограничения, какие-то ограничения необходимы, в противном
случае мы не могли бы отделить некоторый класс исследуемых
явлений от всех остальных, с тем чтобы строить модели для про-
проведения экспериментов или модели дальнейшего развития при-
природы.
С другой стороны, мы не можем просто игнорировать суще-
существование всех остальных тел в Q, кроме некоторой подсовокуп-
подсовокупности, или «большой системы» 2, которую мы выделяем для изу-
изучения, поскольку эти остальные тела будут, вообще говоря, воз-
воздействовать с некоторыми силами на те, которые мы хотим рас-
рассматривать. Идея «изоляции» требует только, чтобы было необя-
необязательным знание сил, действующих между телами из исклю-
исключенного множества тел, и движений этих тел. Если ,#е2 и если
через 2е обозначить соединение всех тел, внешних по отношению
к 2, то мы рассматриваем Ц38, 2е) и не принимаем во внимание
любые силы, с которыми могут воздействовать части 2е друг
на друга, и любые движения, которые эти части могут совер-
совершать.
Можно Также ограничить мир событий Ж и Пространство моментов вре-
времени, ио в классической механике этого не принято делать.
В классической механике в ее наиболее общей форме боль-
большая система 2 характеризуется двумя аксиомами инерции. Со-
Согласно первой из них, существует система отсчета ф, такая, что
66 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 13
любое тело, количество движение которого в этой системе оста-
остается постоянным во времени, не испытывает со стороны 2е ни-
никакого силового воздействия и обратно.
Аксиома 11. Существует система отсчета ф, такая, что если
на некотором открытом интервале времени m C8, %) = const, то
на этом интервале fC8, 2е) = 0, и обратно. Согласно A.8-27)
эквивалентная формулировка такова: существует такая система
отсчета, что центр масс р тела 38 движется прямолинейно с по-
постоянной скоростью относительно данной системы отсчета тогда
и только тогда, когда на тело 38 со стороны 2е не действует ни-
никакой силы. Система отсчета, обладающая этим свойством, на-
зывается инерциальной системой, и первая аксиома инерции ут-
верждает, что инерциальная система существует.
Первая аксиома инерции, хотя она и говорит о существова-
существовании некоторой частной системы отсчета ф, сама по себе яв-
ляется не зависящим от системы отсчета утверждением, в ко-
котором выдвигаемое условие налагает ограничение на системы
отсчета, но не зависит от соотнесения их миру событий. Более
того, она не зависит от того, какая система сил рассматривается.
Аксиома А2 утверждает, что все силы не зависят от системы от-
отсчета. Поэтому вне зависимости от того, какова функция f, если
только она удовлетворяет аксиомам, налагаемым на системы
сил, сила, действующая на ЗВ со стороны 2е, обращается в нуль
в одной системе отсчета тогда и только тогда, когда она обра-
обращается в нуль во всех системах отсчета.
. Первую аксиому инерции можно выразить и по-другому.
Внешность 38* тела 38 можно разложить на две отделенные ча-
сти: часть, состоящую из других входящих в 2 тел, отделенных
от 3S, и часть, представляющую собой соединение всех тел из 2е:
Здесь Щ, — та^часть внешнего по отношению к ЗВ тела, которая
также является частью большой,системы 2, а 2е — это, конечно,
внешность большой системы. Если st-<38, то, согласно аксиоме
F3§5,
f {а, 31й)=f U, я|) + f (а, 2е),
где второе соотношение относится к векторнозначным мерам, ко-
которые указанные три системы сил определяют на 3S согласно ак-
аксиоме F4 §'5. Ввиду A.8-8) имеем аналогичное разложение для
§ 13 ГЛ. I. ТЕЛА, СИЛЫ. ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ 67
моментов относительно х0:
+?Ы, 2е)х,
A133
В частности, для результирующей силы и результирующего мо
мента имеем следующие разложения:
f (Л, Л«) = f (Л, Л) + f (Л, 2е),
(
Первые члены в правых частях каждого из этих равенств зави-
зависят только от тел, входящих в большую систему 2, и потому
в принципе доступны измерению и наблюдению. Мы называем
эти члены приложенной к & силой и приложенным к 38 силовым
моментом, а соответствующие функции от 38 обозначаем через
f и F^
Г (Я) = f (Л, Л|), Fa (J)xo в F (Л, Л!),,. (I. 13-5)
Хотя аксиому II можно рассматривать независимо от общих
аксиом механики, изложенных в § 12, мы, конечно, хотим при-
применять и эти аксиомы тоже. Тогда на основании теоремы Нолла
из § 12 левые части D)i и DJ обращаются в нуль, так что со-
соотношения D) принимают вид
= -f(<#, Se),
(I
Соответственно аксиому II можно выразить следующим обра-
образом, при условии, что принимаются аксиомы А1 —A3 § 12:
1. Существует система отсчета, по отношению к которой ко-
количество движения 3$ постоянно в том и только в том случае,
когда на 38 не действует никакой силы.
2. Существует система отсчета, по отношению к которой
центр масс тела 38 движется прямолинейно с постоянной ско-
скоростью в том и только в том случае, когда 3$ — свободное тело.
Во втором утверждении термин свободное тело означает, ко-
конечно, такое тело 38, для которого fa C8) = 0.
Ньютон выдвинул в 1687 г. три закона движения. Первый из них гла-
гласит: «Любое тело сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямо-
прямолинейного движения до тех пор, пока оно не будет вынуждено воздействую-
воздействующими на него снламн изменить это состояние». В общей схеме современной
механики эта аксиома не всегда справедлива, так как тело может быть под-
подчинено внутренним или внешним ограничениям, не выражаемым прн помощи
понятия системы сил. Примером может служить не испытывающее никакого
воздействия сил абсолютно твердое тело, обладающее спином относительно
некоторой оси, проходящей через его центр масс; части такого тела.
68 ЧАСТЬ 1 ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ §М
Л
которые также являются телами, движутся таким образом, что их центры;
масс описывают окружности вокруг оси спина. Сам Ньютон никак ие уточнял >
математических свойств тел или сил, так что о его намерениях делали за- ~ш
ключеиия читатели, причем по ходу времени различные читатели по-разному f
трактовали его слова. Нашу аксиому 11 можно рассматривать как одну из *
интерпретаций первого закона Ньютона. ч»
В § 11 был определен галилеев класс как множество всех,
систем отсчета, в группе преобразований которых друг в друга
ускорение не зависит от системы отсчета. Если ускорение опре-;
деленного тела-точки обращается в нуль в одной системе от-~
счета, то оно обращается в нуль во всех системах отсчета, при-
надлежащих тому же галилееву классу. Поэтому на основании
A.8-27) количество движения тела постоянно в одной системе'7
отсчета в том и только в том случае, когда оно постоянно во*
всех системах отсчета того же галилеева класса. Таким образом,
окончательно: класс инерциальных систем является галилеевым<;'
классом. Соответственно аксиома II требует, чтобы если система
сил f такова," что Ц38, 2е) = О в одной системе отсчета ф, то
t*Cl, 2е) = 0 в любой системе отсчета ф*, принадлежащей га-
галилееву классу системы ф. Это вовсе не накладывает на тела 3&
и силы f ограничения, чтобы i(<%, 2е) ф 0.
'j
Согласно астрономическим наблюдениям, некоторые из наиболее удален- •
ных звезд почти покоятся по отношению друг к другу. В приложениях при-' "
нято относить к классу инерциальных систем отсчета системы, равномерно
движущиеся относительно системы отсчета, в которой эти «фиксированные •*
звезды» неподвижны. В теории же просто предполагают, что инерциальные ¦
системы отсчета существуют, и не входят в обсуждение вопроса о том, как
эти системы надо интерпретировать в природе.
Если какая-то система отсчета, удовлетворяющая аксиоме II, ,,
задана, то можно спросить, какие силы действуют на тело 3&,
совершающее по отношению к ней произвольное движение. Эти
силы должны подчиняться следующим условиям:
1. Так как f является функцией пар отделенных тел, то -
i(9S, 2е) может зависеть от движения тел самое большее через
посредство движения & и движения 2е.
2. Так как мы ничего не знаем о природе тела 2е или о его Ч
движении, то сила \{38, 2е) должна зависеть только от 9S и его »
движения. . >
3. Для согласования с аксиомой II сила f C8, 2е) должна
обращаться в нуль, если mC8, x) = ?onst. ',
В основе классической механики лежит предположение, ко- :
торое представляется наиболее простым, согласующимся с этими
тремя требованиями, а именно:
Аксиома 12 (Эйлер). В инерцшльной системе отсчета ."
e) = -m($;x). A.13-7I
§ 13 ГЛ. I. ТЕЛА, СИЛЫ, ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ 69
До сих. пор единицы длины, времени, массы и силы были
независимы, и аксиома II не требовала, чтобы существовало ка-
какое-либо соотношение между ними, так как она просто утвер-
утверждает, что определенная сила обращается в нуль, когда обра-
обращается в нуль определенное ускорение. Но даже для того только,
чтобы иметь право сформулировать аксиому 12, мы должны
предположить, что силы могут быть выражены в механических
единицах, — в частности, что размерность силы имеет вид (мас-
(масса) X (ускорение), т. е. (масса) (длина) (время)-'2.
Представляется, что истоком этого предположения явились не какой-либо
определенный эксперимент или наблюдение, а то, что в первую очередь были
осознаны силы специального вида, а именно веса. Со временем было уста-
установлено, что вес пропорционален массе, и на самом деле вначале силу (вес)
и массу часто смешивали друг с другом. Тот • факт, что единицы силы
являются единицами именно того специального вида, который необходим
просто для того, чтобы мы могли рассматривать аксиому 12 в качестве воз-
возможной гипотезы в теории явлений природы, этот факт должен быть досту-
доступен экспериментальной проверке1).
Хотя, по-видимому, для проверки этого предположения никогда не было
не только проведено, но даже предложено никакого эксперимента, оно прини-
принимается всеми.
Аксиома 12 согласуется с аксиомой F4 § 5, поскольку, как
показывает (I.8-5)i, скорость изменения количества движения
некоторой части тела 38 является значением некоторой меры на
<М. Точнее, для гладких движений соотношение A.8-5) i позво-
позволяет записать G) в виде
Второе равенство следует из первого, потому что мы приняли A.8-8),
В более общей системе механики мы должны были бы ввести (8) 2 или какую-
нибудь другую аксиому независимо от (8)ь
Силы и моменты, даваемые соотношениями (8), называются
инерционными2). При условии, что система ф является инерци-
альной, это как раз те силы и моменты, которые действуют на
тела большой системы 2 со стороны тел, находящихся вне 2,-
каковы бы эти тела ни были. В случае когда вместо ф берется
произвольная система ф*, мы полагаем, что неизвестные движе-
движения внешнего тела Ее преобразуются в соответствии с той же
самой заменой системы отсчета ф на ф*, что и движения 2.
Поэтому вторая аксиома инерции, хотя она и относится к неко-'
торому частному классу систем отсчета, сама по себе является
') Здесь имеется точная параллель с «первым законом термодинамики»,
который требует, чтобы поток тепла можно было измерить в механических
единицах.
2) Вместо- «инерционных сил» у нас ,чаще говорят о «силах инер-
инерции». — Прим. ред.
70 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 13
утверждением, не зависящим от Системы отсчета. Формулируя
ее так, как мы это сделали, при помощи инерциальной системы
отсчета, мы следуем традиции, но поступать так необязательно.
Аксиома А2 § 12 утверждает, что все силы не зависят от си-
системы отсчета. Таким образом, величина в левой части (8)i не
зависит от системы отсчета. Независимое от системы отсчета ут-
утверждение, которое сводится к (8)i в случае инерциальной си-
системы, имеет вид
dl(&, ??) = ¦—&dM, (I.13-9)
где а представляет собой то не зависящее от системы отсчета
векторное поле над 3$, которое в инерциальной системе отсчета
сводится к х- Мы уже вычисляли а, см. A.11-3). В остальной
части книги мы будем, следуя традиции, молчаливо предпола-
предполагать, что используемая система отсчета инерциальна, так что (8)
выполняется.
В основе использования инерциальных систем отсчета лежит нечто боль-
большее, чем уважение к традиции. Существенной чертой классической механики
является существование специальных систем отсчета, в которых соотношение
между силами и движениями, которые ими вызываются, имеет особенно про-
простой вид. Так как мы имеем этн удачные системы отсчета, было бы просто
глупо ими не воспользоваться. Когда в целях интерпретации, для каких-то
частных случаев, мы пользуемся некоторыми системами отсчета, не являю-
являющимися ииерциальнымя, как, например, в задачах, связанных с вращением
Земли, мы сначала формулируем законы механики в инерциальной системе
отсчета, а затем переходим к той системе, которой интересуемся. Таков тра-
традиционный подход, восходящий к Клеро и Эйлеру. В полной общности этот
подход состоит в замене (8) на (9).
Если вспомнить, что из общих аксиом механики следует F),
то аксиома 12 показывает, что
fа (Л) = га (Л; X), Fa CS)Xi = M ($, Х)хо. A.13-10)
Для получения второго соотношения мы воспользовались (8)г
Таким образом, приложенная к ?8 сила равна скорости измене-
изменения количества движения тела & в инерциальной системе от-
отсчета, а приложенный момент равен скорости изменения
момента количества движения тела !% в этой системе
отсчета, причем как приложенный момент, так и момент коли-
количества движения берутся по отношению к месту х0, которое не-
неподвижно в инерциальной системе отсчета/Эти два утвержде-
утверждения называются законами движения Эйлера. Формальное изло-
изложение в остальной части книги основано на этих законах, а не
на тех более общих идеях, от которых мы к ним пришли. Обычно
мы будем записывать эти законы сокращенно:
Как мы видели, в произвольной системе отсчета соотношение (8)i должно быть
заменено на (9). При соответствующей замене соотношения (8J следует
§ 13 ГЛ. I. ТЕЛА, СИЛЫ, ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ 71
быть осторожными, так как в нем х0 является фиксированным местом
в инерциальиой системе координат. Окончательная общая форма законов
Эйлера A0) такова:
fа (Л) = J a dM,
* A.13-12)
р3 (J)у. = J <Х ~ х°) Л a dM,
где уо — фиксированное место в некоторой инерциальной системе ф, Хо—
соответствующее место в произвольной системе ф и а дается формулой
A.11-3). Правые части A2) равны скоростям изменения количества движе-
движения и' момента количества движения, только если система отсчета инер-
циальна.
Возвращаясь к использованию инерциальной системы от-
отсчета, что мы всегда будем делать дальше, заметим, что в силу
A.8-2.7) первый закон Эйлера (ll)i можно выразить через дви-
движение центра масс р тела &:
f = Mp. (I.13-13)
Таким образом, приложенная к телу сила равна массе этого
тела, умноженной на ускорение его центра масс в инерциальной
системе отсчета.
Последняя формулировка представляет собой один из старейших обще-
общепринятых принципов механики, который в явной или неявной формулировке
вновь и вновь использовался в восемнадцатом веке. Его иногда рассматривают
как выражение второго закона Ньютона; «Изменение движения пропорцио-
пропорционально движущей силе и происходит в направлении прямой, вдоль которой
эта сила действует».
В аналитической динамике система 2 обычно включает в себя лишь не-
некоторую часть Я?о окружения SB дайной точечной массы, остальная часть счи-
считается находящейся вне 2:
a? = a?0V2e, (I. 13-14)
так что
f?_-f (*,. a?) = f(xr a?0) + f (xt, 2е)=..1?-мгх,, (i. 13-15)
где
°
Сила f° называется внешней или извне приложенной силой, действующей на
Xi. Первый закон Эйлера A0)ь выраженный через эту силу и силы взаимо-
взаимодействия f(j, принимает вид
fJ + S hi=МА» ' = !•2 п> d-13-17)
в чем можно убедиться также, подставив A5) в A.5-26) ь Уравнения такого
вида часто называют «ньютоновскими», хотя нигде в трудах Ньютона оии не
встречаются.
72 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 13
Упражнение 1.13.1 (Нолл). Показать, что аксиомы инерции в приложе-
приложении к аналитической динамике не изменяют требования A.5-23) и теоремы
Нолла, приведенной в конце § 8. Таким образом, в аналитической динамике
второй закон Эйлера эквивалентен (в предположении, что первый уже при-
принят) утверждению о том, что силы взаимодействия центральны. Более того,
для полной системы точечных масс
(I. 13-18)
, - *„) Л I? - ± 2 (X, - х0) Л М±-
здесь второе соотношение, выражающее принцип момента количества движе-
движения, является простым следствием A7) и A.8-23). Это теоремы о количестве
движения и о моменте количества движения в аналитической динамике.
Сравнение A8)i с A3) показывает, что в инерциальной системе отсчета
движение центра масс тела 38 совпадает с движением точки, масса которой
такая же, как у тела &, располоокенной в центре масс тела 38 и подвергаю-
подвергающейся воздействию результирующей силы, приложенной к 38. Таким образом,
если мы не хотим зиать о движении какого-то тела ничего, кроме движения
его центра масс, и если мы можем определить приложенную к этому телу
силу, нам нет необходимости вникать в механику глубже, чем до уровня ана-
аналитической динамики. Этот факт в значительной мере объясняет прагматиче-
прагматические успехи аналитической динамики. В частности, ее использование совсем
не означает, что тело Ш в действительности занимает не более чем дискрет-
дискретное множество точек пространства, оио означает лишь то, что наша любозна-
любознательность вполне удовлетворяется определением движений такого множества
точек. Стандартным примером здесь является Солнце с его планетами и ко-
кометами. Этот пример типичен в том отношении, что достаточность или недо-
недостаточность аналитической динамики для описания движений зависит от того,
насколько глубоко мы намереваемся проводить исследование. Для некоторых
задач или в некоторых тонких случаях бывает необходимо принять во внима-
внимание спии и даже форму тел, и тогда аналитическая динамика в том виде,
как оиа представлена соотношениями A7), A.5-23) и A.8-23), оказывается
уже недостаточной.
Из A3) видно, то движение центра масс любого тела опре-
определяется с точностью до произвольно задаваемых положения и
скорости в какой-то момент времени, если результирующая сила,
действующая на это тело, является известной функцией времени.
Для случая жесткого движения тела можно сказать большее.
Рассмотрим сначала случай, когда одно тело-точка х0 тела УН
в жестком движении остается в покое в инерциальной системе
отсчета. Подстановка (I.J0-llJ в (П)г Дает тогда дифферен-
дифференциальное уравнение Эйлера для жесткого движения
QF*.QT = F^ = Е'.А + АЕ% + К"^ ~ A2EV (I. 13-19)
хо хо о о о
Здесь F**—приложенный момент в системе покоя ф* относи-
относительно (постоянного) места х5, занимаемого в ф" телом-точкой,
S 13 ГЛ. I. ТЕЛА, СИЛЫ, ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ 73
которое покоится на месте ха в инерциальной системе ф. Так
как Ех* — известный постоянный тензор, то, если результирую-
результирующий момент F% известен, A9) представляет собой дифферен-
дифференциальное уравнение первого порядка для спина А системы покоя
ф* относительно инерциальной системы ф.
Даже если никакое тело-точка не находится в покое в инер-
инерциальной системе отсчета, мы можем обратиться к A.10-13), где
место Xi фиксировано в системе отсчета ф, которую мы считаем
инерциальной, а хо(/) —место, занимаемое в ф в момент вре-
времени /'центром масс тела $. На основании A1) и A.8-9) мы
имеем тогда
F*, - р Л f = FJL = - EXoW - WEXo + EXoW2 - W2EXo, A.13-20)
или, эквивалентно,
Fx: = E'.A + AE% + E**A2 - A2E> A.13-21)
*1 0 0 0 0*
где xo—место, занимаемое центром масс в системе покоя ф*.
Это результат того же вида, что и A9), и его можно аналогично
интерпретировать.
Если предположить, что F** — непрерывная функция вре-
о
мени, то существует единственное решение А уравнения A9), со-
соответствующее любому заданному начальному значению А(^>).
причем если это начальное значение антисимметрично, то, как
читатель легко может проверить, это имеет место для А(/) при
всех t. Приведенная в § 9 теорема дает условия, при которых
спин А определяет относительную ориентацию Q. Аналогичные
соображения применимы к B1).
Все эти результаты подытоживает следующая
Теорема. Пусть тело УН совершает жесткое движение, и пусть
Е** — его эйлеров тензор в системе покоя относительно места
хо
х5. Предположим, что либо
А. Место хо в ф* занимает тело-точка, остающаяся в покое
на месте Хо в инерциальной системе отсчета, либо
Б. Место хо в ф* занимает центр масс тела 35. При этом
предположим, что место хо(О. занимаемое в инерциальной си-
системе отсчета ф центром масс тела 95, известно, например в ре-
результате интегрирования A3).
74 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 13
Тогда задание начальной ориентации Q(t0) системы ф* от-
относительно ф определяет единственную систему покоя ф* и,
следовательно, единственное жесткое движение тела $}.
Грубо говоря, если одно тело-точка тела УН остается в покое
в инерциальной системе отсчета или если известно движение
центра масс тела $ относительно некоторой инерциальной си-
системы отсчета, то жесткое движение тела $ определяется с точ-
точностью до несущественных констант заданием результирующего
момента.
Эта теорема позволяет нам уточнить, если мы того желаем,
бедную схему механики, доставляемую аналитической динами-
динамикой. Если мы довольствуемся рассмотрением движения какого-
либо тела как жесткого, то мы можем найти это движение по
результирующему моменту, если только установлено существо-
существование какой-нибудь неподвижной точки или определено движе-
движение центра масс. Для этого нам нужно знать о самом теле толь-
только его эйлеров тензор Ех> относительно соответствующего места
Хо в системе покоя.
Как мы заметили выше, для применения механики точечных масс нам
вовсе не нужно предполагать, что все тело 9S занимает одно-единственное ме-
место; мы должны просто удовлетвориться нахождением движения центра масс
тела 3S, смирясь с тем, что иам останутся неизвестны движения, которые
могут совершать остальные точки тела 31 относительно этого центра. Анало-
Аналогично, чтобы применить теорию жестких движений, нам не нужно предпола-
предполагать, что тело ЗВ способно совершать лишь такие движения; мы должны
просто удовлетвориться выделением какой-нибудь одной конфигурации тела
ж и предположить, что по отношению к некоторой системе отсчета эта кон-
конфигурация остается иеизмеииой. Грубо говоря, аналитическая динамика и
теория жестких движений определяют некие аспекты движений всех тел, вие
зависимости от того, представляют собой эти тела точечные массы, либо аб-
абсолютные твердые тела или иет.
Если мы оглянемся теперь назад на чисто кинематическое
следствие о стационарных вращениях, приведенное в конце § 10,
то, используя аксиомы инерции, сможем получить из него важ-
важное предложение механики.
Ось свободного вращения — это прямая, сохраняющая свое
направление в некоторой системе покоя и обладающая тем
свойством, что относительно нее может совершать вращение
тело, на которое не действует никакого результирующего мо-
момента по отношению к некоторой точке этой оси. Такая ось
с необходимостью является стационарной осью вращения и, ко-
конечно, осью момента количества движения. Таким образом,
имеет место следующая
Теорема (Эйлер). Оси свободного вращения, проходящие че-
через центр масс тела или через тело-точку, покоящуюся в неко-
§ 14 ГЛ. I. ТЕЛА. СИЛЫ, ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ 75
торой инерциальнои системе отсчета, являются главными осями
инерции. В частности, тело в некоторой данной конфигурации
может свободно вращаться1) вокруг какой-либо прямой, только
если эта прямая является одной из его главных осей инерции.
Так как тензор Е*« симметричен, имеется либо ровно три
таких оси, перпендикулярных друг другу, либо бесконечное мно-
множество осей. В последнем случае либо вообще всякая прямая
служит главной осью инерции, либо главными осями инерции
являются некоторая определенная прямая и все прямые из пер-
перпендикулярной к ней плоскости.
Упражнение 1.13.2 (Эйлер).. Пусть е, f, g— тройка ортонормированных
собственных векторов тензора Е » в системе покоя ф и тело SB вращается
хо
вокруг главной оси инерции, определяемой вектором е, так что
где ю = | А \/У^2. Пусть х0 = х0 = а — некоторое место на этой оси. Дока-
Доказать, что уравнение Эйлера B1) сводится к уравнению
Fal=FfAg- (I.13-23)
хо
где
Fmmta, / = ?2 + ?3> (I.13-24)
Ег и Е3—собственные числа эйлерова тензора Е ., соответствующие собствен-
хо
ным векоторам f и g.
§ 14. Энергия
В § 12 мы выдвинули требование независимости скорости
совершения работы W от системы отсчета. В некоторой инер-
циальнои системе отсчета эта скорость совершения работы имеет
замечательную интерпретацию. Именно, если подставить
(I. 13-8) 1 в определение W A.8-7) и сравнить результат с A.8-2),
то мы увидим, что
W = P-K, (I.14-1)
где К—кинетическая энергия тела 3&, а Р — мощность, т.е. ско-
скорость совершения работы силами, действующими на $ со сто-
стороны одних лишь внешних по отношению к нему тел из боль-
большой системы 2:
J () A.14-2)
') То есть вращаться без воздействия внешних сил или моментов; ср.
с замечанием о термине «свободное тело», сделанным на стр. 67 через не-
несколько строк после формул F). — Прим. ред.
76 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
Мы упростили здесь запись, не выписав некоторые аргументы.
Соотношение A) утверждает, что скорость совершения ра-
работы W равна мощности сил, действующих на тело 31 со стороны
его внешности в большой системе 2, за вычетом скорости возра-
возрастания кинетической энергии тела 31 в некоторой инерциальной
системе отсчета. Равным образом можно сказать, что скорость
совершения работы инерционными силами равна — К.
Если в какой-то инерциальной системе отсчета вся произво-
производимая работа превращается в кинетическую энергию, т. е. Р =
= К, то
W = 0. (I.14-3)
В таком случае употребляют термин механически совершенный.
Этот термин может относиться к телу, системе сил или к дви-
движению— к чему нам удобно в данный момент его отнести. Усло-
Условие C) независимо от системы отсчета, так что оно может быть
наложено на все тела, все движения или все системы сил, в ка-
какой угодно комбинации. В § 12 было доказано, что жесткое дви-
движение любого тела и все движения одной-единственной точечной
массы механически совершенны. Это вытекает из аксиомы Нолла
§ 12 и не требует обращения к аксиомам инерции. Однако по-
последние позволяют интерпретировать этот результат как утвер-
утверждение о том, что в некоторой инерциальной системе отсчета
скорость совершения работы силами, действующими на <Я, ба-
балансируется увеличением кинетической энергии тела 3%.
Более общо, действие сил не обязательно должно прояв-
проявляться в движении, но может полностью или частично про-
проявиться в производстве тепла; и обратно, нагревание тела может
привести его в движение. Это можно видеть на примере сжатия
газа поршнем или расширения газа, который движет поршень
и, совершая работу, охлаждается. Бывают также ситуации, когда
тело может нагреваться или охлаждаться без каких бы то ни
было последующих эффектов, которые можно было бы опознать
как движение. Существование такого типа нагрева наводит на
мысль ввести понятия системы скоростей нагрева QCS,'ff) —
скалярнозначной функции пар отделенных" тел, удовлетворяю-
удовлетворяющей аксиомам точно того же вида, что и аксиомы Fl —F4 § 5, и
внутренней энергии тела 31— скалярнозначной функции ECS).
Обе эти величины зависят в общем случае от времени, что мы не
отразили в обозначениях. Результирующая скорость нагрева —
это Q C1,31е), а представление о том, что тепло, втекающее или
вытекающее из тела 31, накапливается внутри 3$ или отнимается
от него, находит свое воплощение в уравнении
<Г). A.14-4)
гл. i. тела, силы. Движения и энергий
Обстоятельства, при которых справедливо это уравнение, назы-
называются энергетически совершенными.
Упражнение I. 14.1. В предположении, что справедливо D), показать, что
Ё представляет собой аддитивную функцию множеств в том и только в том
случае, когда Q (.#, 9") = — Q (f, J) для всех пар отделенных тел 33 и 9?.
Функции Ё и Q как определенные на телах и парах тел соот-
соответственно могут быть перенесены на конфигурации тел. Так как
при рассмотрении энергии и тепла нет никаких оснований для
предпочтения одной системы отсчета другой, предполагается, что
Е и Q являются независимыми от системы отсчета скалярами.
Точнее, по аналогии с аксиомами А1 —A3 § 12 вводится
Аксиома Е1.
?* = ?, Q* = Q. (I.14-5)
Упомянутый выше пример связи между нагревом и действием
сил показывает, что условия C) и D) в общем случае не выпол-
выполняются. Этот пример наводит на мысль, что между W, Ё и Q су-
существует какая-то связь, но не диктует никакого конкретного
соотношения. Единицы для Q и, следовательно, согласно D),
для Е были введены сначала применительно к условиям, в кото-
которых силы и движения отсутствуют. Эти единицы называются
«тепловыми» и все еще широко используются в настоящее вре-
время. Решающие эксперименты Джоуля и других показали, что,
несмотря на разобщенность первоначальных представлений о на-
нагреве с понятиями механики, скорость нагрева может быть изме-
измерена в единицах скорости совершения работы. Этим выражается
принцип эквивалентности тепла и работы. Этот принцип наво-
наводит на мысль, что скорость нагрева Q и скорость совершения ра-
работы W можно рассматривать как факторы, совместно произво-
производящие энергию, и это последнее предположение называется
предположением о балансе энергии ') или, иногда, первым зако-
законом термодинамики.
Аксиома Е2.
(I.14-6)
Здесь аргументы &, ЗР, х и т. д. наших трех функций опущены
для облегчения записи.
Скалярная функция2), которая согласно этой аксиоме
должна обращаться в нуль, независима от системы отсчета, так
как Ё, W и Q таковы^
') Тщательный анализ этой аксиомы, ее оснований и следствий проведен
в работе Gurtin М. Е & Williams W. О., On the first law of thermodynamics,
Arch. Rational Mech. Anal. 42 A971), 77—92.
2) Ё — W — Q. — Прим. ред.
78 ЧАСТЬ I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 14
Понятие инерциальной системы отсчета и тем более аксиомы
инерции не играют в теории энергии никакой роли. Вводя поня-
понятие энергии после изложения принципов механики, мы лишь сле-
следовали историческому порядку; придерживаясь логического по-
порядка от общего к частному, следовало бы ввести аксиомы Е
сразу после аксиомы A3 § 12.
Сопоставляя аксиомы Е с D) и C), мы видим, что понятия
«механически совершенный» и «.энергетически совершенный» эк-
эквивалентны.
Теории механически и энергетически совершенных движений или тел не
типичны для общей механики: они позволяют изучать и определять резуль-
результаты воздействия сил без указаний или даже упоминаний о нагреве, а резуль-
результаты нагрева — без указаний или -даже упоминаний о силах. Примером пер-
первого может служить любое движение точечной массы или жесткое движение
любого тела, поскольку, как мы видели в § 12, в обонх случаях всегда W = 0.
Примером второго служит классическая теория теплопроводности, в которой
с самого начала предполагается, что Ё = Q. Если в этой теории принять, что
все тела покоятся, то, очевидно, будет W = 0; но фактически эта теория в ее
классической формулировке согласуется с аксиомами Е только при W = 0.
В аксиоме Е2 аксиомы инерции II и 12 никак не используются,
и ее можно ввести независимо от них. В инерциальной системе
отсчета мы имеем соотношение A) между мощностью Р системы
сил в большой системе 2 и кинетической энергией К, так что ак-
аксиома Е2 дает
Это Следствие аксиом инерции и баланса энергии будет исход-
исходным пунктом всех рассмотрений нагрева и энергии в данной
книге.
Сумма К + Е называется полной энергией тела $ в конфигу-
конфигурации х в момент времени t. Таким образом, уравнение G) ут-
утверждает, что в инерциальной системе отсчета сумма- скорости
нагрева тела 31 и мощности сил в большой системе, действующих
на $, равна скорости увеличения полной энергии тела 91.
Внутреннюю энергию не следует смешивать с так называемой «потенциальной
энергией», которая существует лишь для вполне определенных специальных
видов систем сил. Этот термин имеет несколько различный смысл в разных
конкретных теориях.
Для иллюстрации изберем аналитическую динамику. Исходя из соотно-
соотношения B) с учетом A.13-16) и используя A) и A.8-13), находим
Теперь наложим ограничительное предположение, что приложенные извне
силы f; и силы взаимодействия Ui следующим образом получаются из неза-
независимых от системы отсчета скалярных потенциальных функций Vo(x) и
§ 14 ГЛ. I. ТЕЛА, СИЛЫ, ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ 79
Vm(v):
f?=-VK0(x)|x=x,
•«-«'.<«ur.I-
Здесь, как обычно, хл — положение точечной массы Xk в момент времени t
при движении х и все индексы пробегают значения от 1 до п. По причинам,
которые сейчас станут ясными, такая система сил называется консервативной.
Упражнение I. 14.2. Показать, что при изменении системы отсчета
Vm (v*) = Vm (v) тогда н только тогда, когда ') Vm (v) = Vm (| о |); следова-
следовательно, силы взаимодействия центральны. Интерпретировать это требование
в терминах независимости от системы отсчета. Доказать, что если при
изменении системы отсчета Vo (х , х0) = Vo (х, х0), где х0 — некоторое фикси-
фиксированное место, то сила ff параллельна Xf — хо, и обратно. Доказать, что
аналогично Vo (х — х0, n j = Vo (x — Xq, n), где n — не зависящий от системы
отсчета единичный вектор тогда и только тогда, когда i{ является суммой
некоторого вектора, параллельного х — х0, и некоторого вектора, параллель-
параллельного п.
Следуя • за данным движением, определим такие функции одного лишь
времени:
V{t)V()
Следовательно,
ai4'10)
У i-
для получения второго результата мы воспользовались A.5-23).
Потенциальной энергией V системы сил вида (9) называют следующую
функцию п мест yk н — я (я — I) векторов vlm, I > m, m => I, 2,...:
- Ы) - S ^о(Ус) + {S/m Ы: (I-14-12)
здесь для формального удобства положено Vm @) = 0. В каком-либо дан-
данном движении х. если положить у(^х{ и v{, ^ х{ — х^, каждое слагаемое
в A2) определяет, согласно A0), некоторую функцию от t, и мы таким обра-
образом получаем следующую функцию для рассматриваемого движения тела 98,
включающего в себя все п точечных масс:
V {<%; t; t) = 2 Vi № X) + S VU (К X). (I- H-13)
(=1
') Ниже автор, допуская вольность, обозначает одним и тем же симво-
символом Vm две разные функции, одна из которых является функцией векторного,
а другая — скалярного аргумента. — Прим. реф,
80 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 14
Если это выражение продифференцировать по t и подставить в получившийси
результат A1), то мы найдем, что
(I. 14-14) •
Сравнение с (8) дает следующую теорему энергии:
В аналитической динамике
при условии, что система сил консервативна. Это значит, что сумма кинетиче-
кинетической и потенциальной энергий всей системы при любом данном движении %
имеет постоянное значение.
Упражнение 1.14.3. Сформулировать и доказать соответствующую теорему
для жесткого движения.
Величину К + V иногда также называют «полной энергией» системы, но
в данной книге мы сохраним это название лишь за К + с. В случаях, когда
потенциальная энергия существует, мы не будем пытаться включить ее в Е.
Внутренняя энергия Е вхрдит в некоторый общий закон механики и, следова-
следовательно, принадлежит ее основной структуре. Конечно, в некоторых частных
задачах мы можем обойтись даже без упоминания о внутренней энергии Е,
но она всегда в них присутствует по определению. В противоположность этому
потенциальная энергия V существует только в исключительных частных слу-
случаях. Она представляет собой вспомогательную величину. Какой бы полезной
в описании важных частных систем и в решении важных частных задач оиа
ни была, в понятийную структуру рациональной механики как целого она
не входит.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
(работы общего характера)
W. Nod, The foundations of classical mechanics in the light of recent advan-
advances in continuums mechanics, «The Axiomatic method, with Special Refe-
Reference to Geometry and Physics» (Colloq. at Stanford, 1957), Amsterdam,
North-Holland, 1959, 266—281.
W. Noll, La mecanique classique, basee sur un axiome d'objectivite, «La
Methode Axiomatique dans les Mecaniques Classiques et Modernes» (Colloq.
International a Paris, 1955), Paris, Gauthier-Villars, 1963, 47—56.
W. Noll, Euclidian geometry and Minkowskian chronometry, Amer. Math.
Monthly, 71 A964), 129—144.
W. Noll, The foundations of mechanics, «Non Linear Continuum Theories»,
Centro Internazionale Matematico Estivo, I Ciclo 1965 (dir. С Truesdell
e G. Grioli), Ediz. Cremonese, Roma, 1966, 159—200. [Corrected reprint.
Report Series 66—2, Dep. Math., Carnegi Inst. of Technology, Pittsburgh
1966.]
M. E. Gurtin & W. 0. Williams, On the first law of thermodynamics, Arch
Rational Mech. Anpl., 42 A971), 77—92.
Глава II
КИНЕМАТИКА
§ I. Тела, конфигурации, движения
В § 1.4 мы условились, что под телом, 31 мы будем понимать
борелевское множество в некотором пространстве Q, на котором
определена неотрицательная мера М, называемая массой. В дей-
действительности для большинства целей достаточно ограничиться
применением термина «тело» к множествам, являющимся замы-
замыканиями открытых множеств. Элементы X из 31 называются те-
лами-точками. В механике сплошных сред мы предполагаем, что
<М фактически гомеоморфно замыканию некоторой регулярной
области1) пространства &. В § 1.7 мы определили движение %
тела 31 как отображение множества 31 на область %C8,t) трех-
трехмерного эвклидова пространства & в момент t:
x = t(X,t), Xe=$, teal. (II. 1-1)
Образ t,{3lyf) отображения % в момент t мы называли конфигу-
конфигурацией тела 33 в момент t.
Не следует смешивать конфигурации с самими телами, хотя
тела доступны для нашего восприятия только в той или иной
конфигурации. В аналитической динамике (§ I. 3, пример 1) тела
дискретны и потому находятся во взаимно однозначном соответ-
соответствии с числами 1, 2, ..., п. Никто никогда не путает шестое
тело с числом шесть или с тем местом, которое случается занять
') Определение регулярной области можно найти в § IV. 9 многократно
переиздававшейся книги О. Kellog «Foundations of potential theory». Приме-
Примером регулярной области служит замыкание открытого множества, граница
которого является объединением конечного числа поверхностей с непрерывно
меняющейся нормалью, соединенных в вершинах или на правильных дугах.
Правильная дуга — это непрерывно дифференцируемый образ замкнутого ин-
интервала. Граница регулярной области может содержать конечное число ребер
и конических точек.
В § 1. 4 мы пояснили, почему было бы полезным в механике более общее
понятие тела, не имеющее пока адекватного математического выражения. Мы
ограничиваемся в выборе образов тел замыканиями регулярных областей
лишь ради облегчения изложения, чтобы можно было применять теорему .о
дивергенции к конфигурациям тел, при условии, что поля, к которым мы
хотим ее применить, достаточно гладкие. См. также частный случай, рассмо-
рассмотренный после примера 3 в § 1.3.
Обобщения теоремы о дивергенции на иные типы полей и областей об-
обсуждаются в упомянутой выше кциге Келлога (§ IV, 10— IV. И).
82 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 1
шестому телу в момент /. Число шесть — это просто ярлык, при-
прикрепленный к телу, и с тем же успехом можно было бы восполь-
воспользоваться другими ярлыками. Аналогично этому в механике
сплошной среды тело 38 может занимать бесконечно много раз-
различных областей, и ни одну из них не следует смешивать с са-
самим телом.
Как и в § I. 2, мы будем называть подтела & данного тела
98 его частями.
В этой книге мы будем предполагать, что конфигурации рас-
рассматриваемых тел.в различные моменты времени представляют
собой ограниченные области пространства. Ценой некоторого
усложнения техники можно включить в рассмотрение также и
тела, заполняющие неограниченные области. Мы будем иногда
рассматривать движение таких тел — например, в случае тече-
течения жидкости, заполняющей все пространство, — но при матема-
математическом описании будем сосредоточивать свое внимание на не-
некоторой части !? тела &, конфигурации которой в некоторый
конечный интервал времени остаются внутри ограниченной об-
области. Если явно не будет указано противоположное, термин
«тело» в дальнейшем изложении будет относиться только к та-
таким частям.
В § 1.7 мы условились также, что наши движения % диффе-
дифференцируемы по t столько раз, сколько нужно, и определили ско-
м
рость х, ускорение х и «-/о скорость х, п~^\, как значения по-
последовательных производных по времени:
0.
х = х (X, t).
В большинстве случаев достаточно двух производных по вре-
времени, а в некоторых случаях и одной. Эти производные при лю-
любых фиксированных X и t являются векторами в Т—трансля-
Т—трансляционном пространстве пространства Ш. Когда X пробегает тело
(п)
$, значения % образуют зависящее от времени векторное поле
на 08.
В механике сплошной среды, к которой мы в последующем
обратимся, предполагается, что движение х однозначно обра-
обратимо в каждый момент времени, т. е. что при каждом t функ-
функция х( •» t): &-*В имеет обратную функцию х~'( •. t):
Х = х-'(х, t) Vxez(J,f), We=#. (II. 1-2)
Кроме того, мы будем всегда предполагать, что % и х~' — непре-
непрерывные функции своих аргументов. Таким образом, конфигура-
§ 2 ГЛ. II. КИНЕМАТИКА 83
ция некоторой (открытой) окрестности рассматриваемого тела-
точки в любой момент времени есть открытое множество в трех-
трехмерном эвклидовом пространстве, и любое открытое подмножег
ство конфигурации рассматриваемого тела есть образ открытого
множества в 31, являющегося окрестностью каждого тела-точки,
в данное мгновение находящегося в этом (конфигурационном)
подмножестве.
Мы приняли, что М и f(-,^e) — борелевские меры на &. По-
Поскольку функция х непрерывна, М и f можно также рассматри-
рассматривать как меры -на совокупности борелевских множеств множе-
множества 0
Как было объяснено в примере 2 § 1.3, операции V и Л булевой алгебры
тел определяются в механике сплошной среды следующим образом:
(И. !-3)
A-3-1)
где кружок обозначает взятие внутренности, а черта — замыкание. Эквива-
Эквивалентно
X(«V«)-X(«)UX(«).
(II. 1-4)
)
§ 2. Плотность массы
Поскольку в механике сплошной среды тело 31 представляет
собой замыкание открытого множества, оно содержит беско-
бесконечно много различных тел-точек X. Однако способ введения
массы оставался до сих пор произвольным, и в принципе ее
можно вводить полностью или частично дискретно. Первосте-
Первостепенный интерес в механике сплошной среды представляют
массы, являющиеся абсолютно непрерывными функциями объ-
объема, который определяется как неотрицательная бсрелевская
мера ') в эвклидовом пространстве конфигураций <S.
Принять, что мера М абсолютно непрерывна, — это значит
принять, что в любой конфигурации всякая часть !Р, объем ко-
которой достаточно мал, имеет произвольно малую массу. Этим
формально исключаются сосредоточенные массы, и аналитиче-
аналитическая динамика не следует прямо как частный случай из меха-
механики сплошной среды (хотя эти два раздела механики и свя-
связаны всегда посредством соотношений, установленных в конце
§1.13).
') Поле измеримых по Лебегу множеств содержит множества меры нуль,
не являющиеся борелевскими, но такие множества, по видимому, не представ-
ляйт интереса в механике сплошной среды, так что достаточно борелевской
меры.
84 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 2
По теореме Радона — Никодима ') массу части $Р можно вы-
выразить через неотрицательную плотность массы рх (х, t):
PxdV, - (II. 2-1)
X (Л t)
где интеграл — это интеграл Лебега, и функция рх однозначно
определена почти всюду2) в %C1, t). Ясно, что функция рх за-
зависит от X и, как записано, интегрирование ведется по конфи-
конфигурации Х(^>, t) части !Р тела $.
Существование плотности массы выражает связь между
телом к и конфигурацией Х(Д t), которую оно занимает в мо-
момент времени I. Для подходящим образом выбранной после-
последовательности вложенных друг в друга частей 9>k {?Pk+icz<?k),
такой, что все &*k имеют ровно одно общее тело-точку X и
объем К(х(^ь> t)) стремится к 0 при k -> с», почти в каждом
месте х плотность равна пределу отношения массы к объему:
Px(x, t)=lim^к(х(Я%))' (IL2)
где, конечно, место х представляет собой конфигурацию тела-
точки X в рассматриваемый момент времени t. Достаточно рас-
рассмотреть части !Ph, такие, что диаметр множества %(^h,t) стре-
стремится к нулю.
Найдем соотношение между плотностями массы, отвечающи-
отвечающими различным конфигурациям одной и той же части &>. Имеем
= J pXldV= J pXldV. (II. 2-3)
Xi (Л t) Xi (<^. t)
Обозначим через к отображение, переводящее xi в Х2- Допустим,
что это отображение непрерывно дифференцируемо, и обозна-
обозначим через / абсолютное значение его определителя Якоби:
. / = |detVX|, (И. 2-4)
') Теорема Радона — Никодима утверждает, что счетно аддитивная функ-
функция множества представима в виде интеграла по соответствующему множе-
множеству. Эту теорему можно найти,- например, в книге А. Н. Колмогорова и
С. В. Фомина «Элементы теории функций и функционального анализа»
(«Наука», 1972). Поучительное для механиков изложение теоремы имеется
в книге Я- С. Дубнова «Основы векторного исчисления» (ГИТТЛ, 1952). —-
Прим. ред.
2) То есть с точностью до значений на множестве меры нуль. — Прим. ред.
§ 3 ГЛ. И. КИНЕМАТИКА 85
где V обозначает оператор градиента. По известной теореме ин-
интегрального исчисления')
J Px,dV = J PxJdV (II. 2-5)
X. (^. О Xi (Л ')
для любой части ^>. Отсюда следует уравнение, связывающее
эти две плотности:
Рх,/ = рХ1. (И. 2-6)
Ясно, что если в этом уравнении аргумент функций / и рх, в мо-
момент времени t обозначен, скажем, через X, то .аргументом функ-
функции ръ будет ЦХ). Это уравнение показывает, что плотность
в одной из конфигураций определяет плотности во всех других.
Как и в § 1.4, на массивных частях & тела 9& определено ин-
интегрирование по массе. В механике сплошной среды предполо-
предположение о том, что М представляет собой абсолютно непрерывную
функцию V, позволяет нам заменить все определенные таким
образом интегралы другими, берущимися по областям простран-
пространства &. Таким образом,
jfdM= J pfdV. (II. 2-7)
Здесь в левой части / обозначает f(X, t), а в правой /(х~Чх> 0> О-
Возможен другой подход: мы можем начать с празой части и
рассматривать f как обозначение f(x,t), тогда в левой части f
обозначает f(%(X,t),t). Такая сокращенная-запись, общеприня-
общепринятая в механике сплошной среды, получит дальнейшее развитие
в §6. -
В этой книге мы будем всегда предполагать, что поле плот-
плотности массы рх непрерывно, а обычно даже, что оно является
непрерывно дифференцируемой функцией места и времени всюду
внутри конфигурации %C§, О В некотором интервале времени,
содержащем рассматриваемый момент времени.
§ 3. Отсчетная конфигурация. Деформация
Часто бывает удобно выбрать конфигурацию тела 38 в неко-
некоторый момент времени t в некотором воображаемом движении
(не обязательно в изучаемом движении х) и относить все, что
касается тела 38 и его движения, к этой конфигурации. Пусть
') См., например, задачу 13 (rf) из гл. 5 § 4 книги Royden H. L, Real
analysis, 2nd ed., Macmillan N. Y., 1968, или, в более общей форме, гл. I, § 15
книги Saks S., Theory of the integral, Hafner, N. Y., 1937 (есть русский пере-
перевод: С. Сакс, Теория интеграла, ИЛ, 1948].
86 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ §%
х($) —такая конфигурация. Тогда отображение
Х = х(Х) (II. 3-1)-
определяет место X, занимаемое телом-точкой X в конфигурации
к($). Поскольку это отображение по предположению обратимо,
Л' = х-1(Х)) (II. 3-2)
причем обе функции х и х непрерывны. Следовательно, движе-
движение (II. 1-1) можно описать соотношением
х = х (*"' (X), t)» хх (X, 0. (И. 3-3);
Этим соотношением движение описывается как отображение х»
•отсчетной конфигурации к($) на актуальную конфигурацию"
tCB,t). Таким образом, движение рассматривается как отобра-
отображение частей пространства на части пространства. Отсчетная-;
конфигурация вводится с тем, чтобы мы могли непосредственно*
использовать аппарат эвклидовой геометрии.
Не опасаясь путаницы, мы будем называть и само отображе- *
ние х отсчетной конфигурацией.
Выбор отсчетной конфигурации, подобно выбору системы ко-
юрдинат, произволен. Отсчетная конфигурация, в качестве кото- .'
рой можно взять произвольный гладкий образ данного тела, мо- ;
жет даже не.совпадать ни с одной из конфигураций, принимае-
принимаемых, телом в ходе его движения. Для каждого нового х в соот-
соотношении C) появляется своя функция &• Таким образом, одно -
движение тела представляется бесконечно многими различными
движениями частей пространства, по одному на каждый выбор;
•и. При некотором выборе х мы можем получить особенно про-
стое описание, также как в геометрии определенный выбор коор-
координат может привести к особенно простому уравнению для дан-
данной фигуры, но сама отсчетная конфигурация не имеет ничего '.
общего с теми движениями, для описания которых она исполь- *
зуется, равно как у системы координат нет ничего общего с са^ -
мыми геометрическими фигурами. Отсчетная конфигурация '
вводится для того, чтобы можно было использовать хорошо раз- "
работанный математический аппарат из другой области матема- "
тики. Здесь снова мы имеем аналогию с аналитической геомег- *
рией, где координаты вводятся не потому, что они естественны
или родственны геометрии, а потому, что они сразу же позво-
позволяют применить знакомый нам аппарат алгебры.
Поскольку в обычной речи мы говорим, что тело „дефор-
„деформировано", если его „форма" меняется, мы будем называть 7
отображение х„ деформацией тела $8 по отношению к х. Зна-
Значение х„ Для данного момента времени t — это отображение
на х(^> 0- Мы будем называть это отображение дефор-
§ 4 ГЛ. II. КИНЕМАТИКА 87
нацией в момент t. Мы будем также иногда говорить, что х()
деформировано в конфигурацию x*(^> Oi которую часто будем
называть актуальной конфигурацией.
В обычной (английской) речи для обозначения изменения
формы или некоторых его аспектов употребляется также слово
strain. В этой книге мы не будем придавать этому слову какой-
либо точный смысл, а время от времени будем пользоваться им
описательно').
Конечно, движение (II. 1-1) позволяет определить бесконечно
много деформаций хх> п° одной на каждую отсчетную конфи-
конфигурацию и. Если и х», и X», ставятся посредством C) в соот-
соответствие одному и тому же движению X тела 33, то мы будем
говорить, что х», И %*!~ эквивалентные деформации тела 38.
Иными словами, хх и хж представляют одно и то же движе-
движение тела 38, но описываемое относительно различных отсчет-
ных конфигураций Xj и щ, точно так же, как в аналитической
геометрии два различных уравнения могут описывать одну и
ту же геометрическую фигуру в различных системах координат.
§ 4. Описания движения
Есть четыре способа описать движение тела: материальный,
отсчетный, пространственный и относительный. В силу наших
предположений о гладкости2) все эти способы эквивалентны.
В материальном описании мы рассматриваем непосредственно
тела-точки X. Это описание соответствует тому единственному
описанию, которое используется в аналитической динамике, где
мы всегда говорим о первой, второй, ..., я-й массе. Для точ-
точности мы должны были бы говорить при этом о «массивной
точке Xi с массой М{», но обычно вместо этого говорят короче
«масса i» или «тело Mi» и т. д. В механике сплошной среды каж-
каждое тело ЗИ содержит бесконечно много тел-точек X. В матери-
материальном описании независимыми переменными являютря X и /,
тело-точка и время. Хотя по своей сути материальное описание
является наиболее естественным, в механике сплошной среды
оно начало упоминаться лишь с 1951 г. и до сих пор не полу-
чило широкого распространения.
На протяжении некоторого времени термин «материальное
описание» применялся для обозначения другого, более старого
описания, часто с ним смешиваемого, — описания, к которому
мы сейчас обратимся.
') Тем не менее иногда термин strain используется в некотором точном
смысле, и тогда он переводится как «мера деформации». — Прим. ред.
2) Отображений, связывающих между собой различите описания.— Приц.
ред.
88 ¦ ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ §4»
В отсчетом описании используется некоторая заранее вы-
выбранная отсчетная конфигурация х и движение % описывается^
в терминах деформации Хх. Мы всегда должны иметь в виду,;*
что х выбираем мы сами, что х— это просто некоторая конфигу-%
рация, которую тело занимало или могло бы занимать, и что-
всегда должна существовать возможность так сформулировать.1
предположения и уравнения, чтобы они были справедливы при i
любом выборе х, хотя при некотором специальном выборе и, мо-
может быть, и легче описать свойства деформации Хя, чем при дру-
других. Любое движение имеет бесконечно много равноценных от-,
счетных описаний., В § 3 мы уже выразили этот факт по-дру--
гому, введя понятие экивалентных деформаций тела в данном,
движении. ¦¦;
В середине восемнадцатого века Эйлер ввел описание, кото- *
рое в гидродинамике почему-то называется ълагранжевым». Это-
частный случай отсчетного описания, при котором в качестве
«метки» данного тела-точки X используются декартовы коорди-.
наты положения X этого тела-точки в момент t = 0. Издавна
было ясно, что такой выбор меток произволен, и авторы работ"
по основаниям гидродинамики часто отмечали, что существен-."
ные результаты должны быть и действительно являются незави- >
симыми от выбора начального момента времени, а некоторые *.
замечали, что в качестве меток можно бы с тем же успехом ~
взять параметры любой тройной системы поверхностей, движу- i
щихся вместе с нашей субстанцией. Отсчетное описание, при ко- *
тором в качестве независимых переменных берутся X и t, охва- .;
тывает все эти возможности, *
Некоторая определённая форма отсчетного описания всегда ...
используется в теории упругости, и в лучших работах по класси-
классической гидродинамике, начиная с Эйлера и до наших дней, почти '
неизменно применяется отсчетное описание. Именно это описа- .,
ние общепринято в современных работах по механике сплошной I
среды, и его мы и будем употреблять в этой книге. ".
В силу (II.3-2) любую функцию F(X,t) можно заменить .
функцией Fx(\,t), принимающей те же значения при соответ- ;_
ственных (для данной отсчетной конфигурации х) аргументах *'
X и X:
) = F(x-'(X),0 = f»(X,(). ¦ (II. 4-1) ;¦
Частный случай этого соотношения уже встречался нам в виде
(П.3-3). Далее, ^
dF dF ' (II. 4-2)
Мы будем пользоваться точкой сверху для обозначения времен-
ных производных от функций отсчетных переменных X, t. Таким
образом, дифференцируя A1.3-3) и используя определения
§ 4 ГЛ. II. КИНЕМАТИКА 89
A.7-7), мы видим, что для всех х
(п) М
Х=ХХ. х = х» х=хх, (II.4-3)
где в правой части (п) сверху обозначает п точек.
При пространственном описании внимание сосредоточено на
наличной конфигурации тела, на области пространства, занимае-
занимаемой телом в данный момент. Это описание, введенное Даламбе-
ром, в гидродинамике называют эйлеровым. В качестве незави-
независимых переменных берутся положение х и время t. В силу
(II. 1-1) любая функция F(X,t) может быть заменена некоторой
функцией от х и t, принимающей те же значения при соответ-
соответственных значениях аргументов X и х:
F (X, t) = F [х-1 (х, t), t] s / (х, 0. (И. 4-4)
причем эта функция / единственна. Таким образом, имеется
всего лишь одно пространственное описание данного движения
(также как всего одно материальное), в то время как оТсчет-
ных описаний бесконечно много. При пространственном описа-
описании мы наблюдаем за тем, что происходит в фиксированной об-
области пространства по мере того, как идет время. Это описание
представляется идеально подходящим для изучения жидкостей,.
где зачастую быстро деформирующаяся масса приходит неизве-
неизвестно, откуда и уходит неизвестно куда, так что мы можем пред-
предпочесть рассматривать то, что происходит здесь и сейчас у нас
на глазах. Однако пространственное описание, будучи удобным
кинематически, становится неуклюжим в вопросах, касающихся
принципов механики, поскольку в законы динамики входят вели-
величины, относящиеся на самом деле к телам, а не к пространствен-
пространственным областям, временно занимаемым телом. Некоторые соотно-
соотношения, которые очевидны при материальном или отсчетном опи-
описаниях, требуют довольно вычурных рассуждений, если к ним
подходить с чисто пространственной точки зрения, на которую
иногда становятся специалисты по гидродинамике.
Согласно D), значение любой функции тел-точек тела 3$
в момент t дается также некоторым полем, определенным на
конфигурации %(d$,t). Таким образом, например, мы получаем
из (II. 1-2) поле скоростей и поле ускорений:
.... (л) (п)
х = х(х, t), х = х(х, t), .... х = х(х, 0- (П.4-5)
. .. («)
Здесь х, х и х фигурируют каждое в двух смыслах: как функ*
Ции-поля и как их значения ')•
') Например, х слева означает производную по t, а справа — это единый
символ; соотношение (II. 4-5) „ утверждает, что я-я скорость задана в данной
точке как функция времени. — Прим. ред. ¦
90 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 5 ,
\
В § 1.11 мы вычислили не зависящее от системы отсчета
поле, значение которого а в инерциальной системе отсчета сво-
сводится к ускорению. В том виде, в каком оно определяется пра-
правой частью соотношения (I. 11-3), это поле определено на теле
Jf, но, конечно, мы можем превратить его в поле на конфигура- '¦
ции х(Д 0- В соответствии с E) мы обозначим это простран- ¦>
ственное поле тем же символом а, что и его значение. Таким
образом, а = а(х, t) и
а = х* - Хо - 2А (х* - х0*) - (А - А2) (х* - х'), (И. 4-6)
где х*, х* и х*—пространственные поля положения, скорости
и ускорения в общей системе отсчета ф*, а А — спин инерци-
инерциальной системы ф по отношению к ф*.
Четвертое описание — относительное — мы обсудим в § 8.
§ 5. Градиент деформации
Градиент функции %% называется градиентом деформа- '
ции F1): :-:
F^FJX.OsV^fX.O. (П. 5-1)-•;
Это — линейная аппроксимация' отображения (И. 3-3). Более '.
точно, следовало бы называть ее градиентом деформации отно- i
сительно х; но в том случае, когда, как обычно, раз и навсегда ¦
устанавливается одна-единственная отсчетная конфигурация, не
должно возникнуть путаницы от того, что мы не будем лишний ':
раз напоминать себе, что уже сами понятия деформации и гра- I
диента деформации предусматривают использование некоторой 1
отсчетной конфигурации. Если, как мы это можем сделать, мы
выберем независимо координаты Ха и хт в отсчетной и в акту-
альной конфигурациях соответственно, так что движение (II.3-3)
окажется записанным в координатной форме .:-
хт = т?(Х1, X2, X3, t), m=l, 2, 3, (II. 5-2) ¦;
то компонентами F будут просто девять частных производных ]
от функций хГ по X*' а именно -
р™ = х>"а = дха?(х\ х\ Х\ t), m = l, 2, 3, <z=l, 2, 3. (II.5-3) •
В этой книге повсюду вводимые системы координат будут,
если не оговорено противное, системами общего вида. Лишь из-
изредка мы будем привлекать координатные представления для -
') Не следует путать F или F^ с моментом FXf системы сил относи-
относительно х0.
§5 ГЛ. II. КИНЕМАТИКА 91
доказательства результатов общего характера, но не было бы
никакой потери логической строгости, если бы мы, как это де-
делали ранее авторы работ по механике сплошной среды, записы-
записывали все в прямоугольных координатах. Дело в том, что
абстрактные обозначения проще понять и с ними легче манипу-
манипулировать— стоит лишь к ним привыкнуть, — и проводить доказа-
доказательства, кроме тех особых случаев, в которых специальный вы-
выбор координат фактически диктуется самой задачей. В таких
случаях, как мы позднее увидим, эти специальные координаты
обычно криволинейны, а иногда даже неголономны '). Точнее го-
говоря, разумно простая задача может быть связана с определен-
определенными направлениями и потому подсказывать использование не-
некоторого частного базиса^однако этот базис не обязательно дол-
должен оказаться естественным базисом какой-либо координатной
системы. Таким образом, это в наших интересах — выражать все
принципы нашей науки непосредственно через основные понятия,
без усложняющего дело посредничества системы координат.
Возвращаясь к соотношению (II. 2-6), мы можем взять в нем
Х2 = Х> HLi — x- В результате мы получим эйлерово уравнение
для плотности при отсчетном описании
Р/ = РХ, (II. 5-4)
где р обозначает р —плотность массы для актуальной конфи-
конфигурации х, а
/*a|detF|. (II. 5-5)
В дальнейшем / будет использоваться именно в этом, опреде-
определенном сейчас смысле, а не в более общем смысле (II. 2-4). По-
Поскольку отображение х„ обратимо, det F имеет (при фиксиро-
фиксированной отсчетной конфигурации х) одинаковый знак при всех
Хи t.
Уравнение D) часто называют «лагранжевым уравнением неразрывно-
неразрывности», однако это название вводит в заблуждение, поскольку уравнение D)
выполняется лишь пока деформация гладкая, но если деформация не диффе-
дифференцируема (а тем более, если она не непрерывна), то У нельзя определить
вовсе и уравнение D) нельзя даже и записать, не говоря уж 6 том, чтобы его
использовать. Очевидно, {4) — это ни больше нн меньше, как некоторая фор-
формула, определяющая актуальную плотность рх> коль скоро заданы градиент
деформации и исходная плотность.
') Компоненты заданного векторного или тензорного поля могут быть
определены в любом поле базисов. Если эти. базисы не нормальны ни к каким
семействам поверхностей, то они называются неголонамными. [Например,
реперы главных осей тензора напряжений, вообще говоря, неголономны. —
Ред.] Неголономные компоненты вполне позволяют определить нли задать
векторные и тензорные поля, однако они не являются компонентами по отно-
отношению ни к какой координатной системе.
92 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § Щ
•Упражнение 11.5.1 (Эйлер). Используя формулу дифференцирования
определителя, доказать, что а
7//=divx, (II. 5-6Х
где точкой сверху в левой части обозначена производная по времени н где~
divx — это дивергенция поля скорости A1.4-5).
В соотношении F) поле в левой части определено для от-
счетного описания, а в правой части — для пространственного;;
Это соотношение устанавливает, что эти два поля в каждый мо-?
мент времени имеют одинаковые значения соответственно для;
положений X и х, связанных друг с другом посредством отсчет"
ного описания движения (II. 3-3). Мы придем к менее тяжелск
весным формулировкам, если будем в таких случаях считать^
что любое поле для отсчетного описания просто заменяется сек
ответствующим пространственным. :
Например, если мы продифференцируем D) по времени, а,
затем воспользуемся соотношением F), то получим уравнение^,
для плотности при пространственном описании Эйлера —Далам-.
бера i
p + pdivx = 0, (If
где в соответствии с только что сформулированным соглашением-
мы обозначили через р й р пространственные поля со значе-|
ниями р(Х, t) и р(Х, t) соответственно. Это уравнение имеет;**
в точности тот же смысл, что и уравнение D); обратно, это пос-~
леднее уравнение можно получить из G), используя. F) и ин-i
тегрируя.
Упражнение II. 5.2 (Лагранж). Рассматривая G) как дифференциальной
уравнение первого порядка для р в пространственном описании, проннтегри-j
ровать его методом характеристик и получить D).
Упражнение II. 5.3 (Даламбер, Эйлер). Движение тела SS называется к.
хорическйм, если объем V(%(&>, t)) конфигурации любой части &> тела ДР?
остается постоянным во времени. Показать, что необходимым и достаточным,*
условием изохоричности движения является выполнение любого из следующих*
трех уравнений:
divx = 0, р = рх, / = 1. (II. 5-8)?
Упражнение II.5.4 (Даламбер). Показать, что если скорость- х всюду*
параллельна одной и той же плоскости, то общее решение уравнения (8)i вы-"
ражается через некоторую однозначную функцию тока q следующим образом: ;г
(II. 5-9)
здесь V обозначает операцию градиента в плоскости, а 1 — поворот относи- _
тельно нормали к этой плоскости на прямой угол против часовой стрелки, г
Показать, что при каждом фиксированном t вектор х(х,/) касается кривой 1
q(-,t) = const, проходящей через точку х. J1
ГЛ. II. КИНЕМАТИКА 93
Упражнение II. 5.5. Пусть задано векторное поле v, определенное на
1 {jp, t), н пусть мы хотим найти векторное поле vx, такое, что
{ (v*-nx)d4= J (vn)d^ (II. 5-10)
ах (^>) д% (#. О
для любой части & тела Я. Показать, что
vx = /F-1v. (II. 5-И)
§ 6. Материальные скорости изменения
и градиенты при пространственном описании.
Материальные поверхности. Кинематические границы
В механике сплошной среды нам приходится различать ве-
великое множество величин, и поэтому часто мы не можем допу-
допускать такую роскошь, как использовать для функции и для ее
значения различные символы, что, вообще говоря, следует делать
из соображений логической строгости. Если две. функции раз-
различных переменных имеют одинаковое значение и если это зна-
значение служит для обозначения их обеих, то, когда приходится
выполнять некоторые функциональные операции, не всегда
ясно, какая из функций имеется в виду. Это различение, которое
весьма существенно, осуществляется путем введения различных
символов для дифференциальных операторов. В дальнейшем / и
Grad/ будут обозначать соответственно частную производную
по времени и градиент функции G(X, t), такой, что
f = G(X,t), (II. 6-1)
в то время как /' и grad f будут обозначать соответственно част-
частную производную по времени и градиент функции g(\, t), имею-
имеющей те же значения,-что G, а именно, в соответствии с (II. 3-3),
Если мы применим правило дифференцирования сложной функ-
функции к равенству G(X,t) = g(tx (X,t),t), а затем обе функции
G и g обозначим через /, то получим классические формулы
Эйлера
f = r + (gradf)x,
где f — скалярная, a f — векторная функции, и аналогичное пра-
правило справедливо и для функиий-тензоров. В частности, ускоре-
ускорение х выражается через поле скорости х(х, t) по формуле
94 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § в
Даламбера — Эйлера
x=x' + (gradx)x. (II. 6-4)
Оператор «точка», определяемый соотношением C), иногда
называется материальной производной. Мы уже условились
пользоваться точкой для обозначения производной по времени
при отсчетном описании, и определение C) построено так, чтобы
эти два обозначения согласовывались друг с другом.
Аналогичным образом
Grad f = FT grad f. (II. 6-5)
Мы уже имели дело с частным случаем этих соотношений —
соотношениями (II.5-6) и (II.5-7). Например, последнее из них
в соответствии с C)i может быть записано в следующем явном
виде:
p' + (gradp).x + pdivx = O. (II. 6-6)
Обозначениями div и rot мы будем пользоваться только при про-
пространственном описании. Обозначение Div будет применяться
для дивергенции, образованной на основе оператора Grad, а не
grad.
В § 2 мы говорили о переходе от интегрирования по массе
в $ к интегрированию по объему в <S. Если функция f(X, t) не-
непрерывно дифференцируема по t, то теорема о дифференцирова-
дифференцировании интеграла по параметру дает
I' (II. 6-7)
Теперь мы можем воспользоваться соотношением (II. 2-7), чтобы
преобразовать правую часть в интеграл по у; (OP, t). В соответ-
соответствии с только что введенным соглашением об обозначениях,
функция от х и t, значение которой при х"'(х> 0 равно dtf(X, t),
обозначается через /. Таким образом,
=:ii J
Более общим образом,
==-Ж I ^dV= 1 Р*^. (И-6-9)
где W обозначает тензорное поле любого порядка, а Ф вычис-
вычисляется по соответствующему правилу типа C). (Промежуточное
выражение, содержащее неопределенную операцию d/dt, следует
рассматривать как более выразительную запись левой части.)
Соотношение (9) столь часто используется в механике сплошной
гл. и. КйнёМатиКА
среды, что рассматривается как нечто само собой разумеющееся
без особых ссылок. Оно выражает скорость изменения во вре-
времени интеграла от W на теле $ при движении этого тела в про-
пространстве через интеграл по актуальной конфигурации i(S&,t)
тела &.
Упражнение II. 6.1. Простым преобразованием соотношения (9) с исполь-
использованием (II. 5-7) доказать теорему переноса Рейнольдса: для данной части &
тела 38
~ \ VdV= J V'dV+ J ЧГк-ndA. (II. 6-Ю)
Всякая неподвижная поверхность 9"^ в отсчетной конфигу-.
рации описывается уравнением вида /(X) =0, так что
/ = 0. - (II.6-11)
Обратно, если некоторая функция f(x,t) удовлетворяет уравне-
уравнению A1), то поверхность / = 0 есть неподвижная поверхность
В отсчетной конфигурации, если, конечно, X = %~l (x, t) e x {$).
Геометрическое место точек такой поверхности 91 при ее пере-
переносе в пространстве вследствие движения тела 3S называется
материальной поверхностью.
В соответствии с принятым нами соглашением мы обозна-
обозначаем через / также такую функцию от х и (, которая в точке
Х»(Х, 0 равна f(X); таким образом, необходимым и достаточ-
достаточным условием для того, чтобы геометрическое место точек / = 0
было материальной поверхностью, является условие A1), где те-
теперь операция, указанная точкой, понимается в соответствии
с C)i. Поэтому при пространственном описании это условие
превращается в условие Эйлера
i = 0. МП. 6-12)
Если обозначить через п ориентированный единичный вектор
нормали к поверхности f = 0, где f, конечно, обозначает такую
функцию, что уравнение f(x, t) =0 определяет положение по-
поверхности 9", то соотошение A2) можно переписать и по-дру-
по-другому, в виде
/7ld (II. 6-13)
где величина sn, называемая скоростью перемещения поверх-
поверхности 9", есть скорость, с которой эта поверхность передвигается
в пространстве в направлении своей нормали:
5„ = п-х. (П. 6-14)
Таким образом, условие Эйлера A2) устанавливает, что ско*
рость перемещения поверхности SP в точке (х, t) совпадает со
96 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § • J|
скоростью, с которой тело-точка, занимающее сейчас (x,tf), дви- %
жется в направлении нормали к 9".
Упражнение II. 6.2 (Лагранж). Используя лишь пространственное описа- -"¦¦
ние и рассматривая A2) как дифференциальное уравнение в частных произ- -
водных для /, проинтегрировать его методом характеристик и дать интерпре- :
тацню полученного результата.
Кинематическая граница — это поверхность, которая все •*
время разделяет две части тела $, оДна из которых может быть *
и нулевым телом. Таким образом, кинематическая граница яв- f
ляется материальной поверхностью, причем верно и обратное. Ц
Специальный термин «граница» введен для того, чтобы выде- s
лять- какие-нибудь специальные материальные поверхности, ,
обычно те, которым с самого начала приписывается роль стенки ;;
или же какая-либо другая особая роль, например поверхности, г
разделяющей две части с различными свойствами. Простейший }
случай — это неподвижная стенка — поверхность f(\) — const. v-
В соответствии с A3) мы имеем следующее необходимое и до- t
статочное условие того, что такая поверхность является мате- I
риальной и тем самым возможной кинематической границей: *
п-х = 0. (II. 6-15) *
Иными словами, поле скоростей должно быть касательно к стен-
стенке — как это и очевидно. i_
В некоторых случаях рассматривается более- сильное кине- С
матическое условие — условие прилипания. Здесь налагается то '¦¦
ограничение, что тело движется вместе с кинематической гра- >
ницей:
x = v, (II. 6-16) '-\
где V — заданная скорость в месте х на границе в момент t. *
В случае неподвижной стенки это условие принимает вид :
х = 0. (II. 6-17)
Упражнение II. 6.3. Пусть поверхность 9>, уравнением которой в JC* (^> 0 -
служит g(x,t) = 0, является образом поверхности Рж, уравнение которой \
в отсчетной конфигурации х(&) имеет вид G(\,t) = 0. С учетом принятых- -*;
в начале этого параграфа соглашений об обозначениях, показать: что орты у-
нормалей пк и п к этим двум поверхностям связаны соотношением I
1 grad g I т ,тт fi ,M .
n»=|QradG|F П> (П. 6-18) .
что скорость sx продвижения поверхности в. направлении нормали к ней в -
определяется соотношением ;
5=Г (И.в-191 "¦*
§ ?ГЛ. П. КИНЕМАТИКА9?
и что
s. =
pgaffl^-n-x). <"-6-20>
Определяемая соотношением A9) скорость sx называется ско-
скоростью распространения поверхности 91» в х (Ж). Если текущая
конфигурация в данный момент совпадает с х($), то соответ-
соответствующая скорость распространения обозначается через s и на-
называется собственной скоростью распространения 91. В данной
точке (х, t) это скорость, с которой поверхность перемещается
в направлении собственной нормали относительно тела-точки,
расположенного на ней в этот момент. "
Очевидно, собственная скорость распространения поверх-
поверхности 9" следующим образом связана со скоростью ее переме-
перемещения:
s = sn—nx; (II. 6-21)
разумеется, эта формула представляет собой частный случай со-
соотношения B0). Наконец, сопоставление с B0) показывает, что
|GradG| , m л.оо\
§ 7. Замена отсчетной конфигурации
Пусть одно и то же движение (II. 1-1) рассматривается от-
относительно сразу двух различных отсчетных конфигураций хх
V*i <*>-*<*<>. Ш71)
5W х2(Д)-х(* О-
Конечно, градиенты деформации F, и F2 в (X, t), вообще го-
говоря, различны. Обозначим через Xj и Х2 места, занимаемые
телом-точкой X в конфигурациях х, и щ:
X, = x,W, X2 = x2(X). (П. 7-2)
Тогда, скажем,
[1] (П.7-3)
Деформацию от конфигурации xi конфигурации % можно
определить двумя путями: либо непосредственно, используя xXl>
либо переходя сначала к х2 с помощью X и затем—с помощью
Х*2-к Х- Таким образом, xx,(Xi' O^MM^)' 0 VX,sx,(J);
более лаконично,
ЗС-Jk^, (П. 774)
где кружок обозначает композицию отображений.
4 Трусделл
98 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 8
Поскольку эти отображения связаны таким соотношением,
градиенты — их линейные аппроксимации — связаны таким же
образом:
F, = F2P, (II. 7-5)
где
PsVA. (П. 7-6)
Конечно, соотношение E) служит выражением правила диффе-
дифференцирования сложной функции:
где (Ха) — координаты места, занимаемого X в и,, (ХА) — коор-
координаты места, занимаемого X в щ, и предполагается сумми-
суммирование по повторяющимся индексам.
§ 8. Актуальная конфигурация в качестве отсчетной
Чтобы некоторая конфигурация могла служить в качестве
отсчетной, ей достаточно быть диффеоморфизмом1) тела Я.
До сих пор мы использовали не изменяющуюся со временем
отсчетную конфигурацию, но с тем же успехом можно исполь-
использовать и меняющуюся. Таким образом любое движение может
быть описано в терминах любого другого. Единственная изме-
изменяющаяся конфигурация, которую действительно полезно ис-
использовать в качестве отсчетной, — это актуальная конфигура-
конфигурация. Беря ее в качестве отсчетной, мы описываем прошлое и бу-
будущее такими, какими они представляются наблюдателю, непод-
неподвижному относительно тела-точки X, находящегося сейчас в ме-
месте х. Соответствующее описание называется относительным.
Чтобы понять, как строится такое описание, рассмотрим кон-
конфигурации тела Ы в два момента времени (ит:
х — х(Х, t).
Иными словами, | — это место, занимаемое в момент т телом-
точкой, которое в момент t занимает место х:
(Х, t), т] = Х*(х, т). (П.8-2)
Эта определенная только что функция /( называется относитель-
относительной деформацией.
Иногда приходится вычислять относительную деформацию,
в случае, когда движение задано лишь посредством простран-
') Диффеоморфизм — это дифференцируемый в обе стороны гомеомор*
физм.
ГЛ. П. КИНЕМАТИКА 99
ственного описания поля скоростей
х = х(х, t). (II. 8-2),
Согласно (l)i
д? = кA, тI). (II. 8-3)
Поскольку правая часть — известная функция, мы имеем в ре-
результате дифференциальное уравнение, которое нужно проинтег-
проинтегрировать. Искомый интеграл 1 = х*(х, т) должен удовлетворять
начальному условию
IU = Xf(x, t) = x. (II. 8-4)
• В случаях когда движение описывается соотношением B),
мы будем для обозначения величин, связанных с относительной
деформацией %и использовать подстрочный индекс t. Так, Ft, оп-
определяемое соотношением
F^F4(T)=.gradxf, (II. 8-5)
есть относительный градиент деформации. Конечно,
F,@ = l. (И- 8-6)
В силу (П. 7-5) в точке X
F(t) = F,(t)F@- (II. 8.7)
В качестве неподвижной отсчетной конфигурации, относи-
относительно которой определяются F(t) и F(t), мы можем выбрать
конфигурацию, занимаемую телом в момент f.
Тогда G) дает
F,'(T) = F,(T)Ff-@, (II. 8-8)
т. е, формулу, выражающую, как и (П. 7-5), просто правило
дифференцирования сложной функции.
§ 9. Растяжение и поворот
Поскольку деформация хя обратима, ее градиент невырож-
невырожден, так что по теореме Коши о полярном положении2) его
можно двумя способами представить с помощью ортогонального
тензора R и положительно определенных симметричных тензо-
тензоров U и V:
F = RU = VR, (II. 9-1)
') Напомним, что здесь х есть символ отображения, а оно одно и то же
как в B)ь так и в C). — Прим. ред.
!) Эта теорема доказывается в любой книге по линейной алгебре. См.,
например, § 83 книги Халмоша «Конечномерные векторные пространства»
(Физматгиз, М., 1963). Эта теорема была открыта и доказана Коши именно
в настоящем контексте.
100 ЧАСТЬ I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 9
где тензор R ортогонален, но не обязательно собственно ортого-
ортогонален: RRT = 1, так что определитель det R равен +1 или —1
и в силу непрерывности R сохраняет для всех Хи / одно и то же
значение. Таким образом, det U = det V = | det F| = /. Тензор R
называется тензором поворота ¦); тензоры U и V, удовлетворяю-
удовлетворяющие очевидному соотношению
V = RURT, (II. 9-2)
называются соответственно правым и левым тензорами растя-
растяжения. Эти тензоры, как и само F, следует интерпретировать как
выражающие соотношение между характеристиками данной кон-
конфигурации и их аналогами в отсчетной конфигурации. В чем
именно это проявляется, мы как раз и собираемся показать.
Прежде всего, поскольку тензор U симметричен, он имеет по
крайней мере одну ортогональную тройку главных осей; эти оси
называются главными осями деформации2) в точке X в отсчет-
отсчетной конфигурации х(.#). Точно также и V имеет ортогональную
тройку главных осей, которые называются главными осями де-
деформации в точке х в актуальной конфигурации х» (&, 0- В силу
B) U и V имеют общие собственные числа. Действительно, если
е* — собственный вектор тензора U, соответствующий собствен-
собственному ЧИСЛу Vi, ТО
.Ue, —о,е,," (II. 9-3)
так что в силу A) и B)
Y (Re,) = (RURT) (Re,) = vt (Re,). (II. 9-4)
Таким образом, поворот R переводит главные оси деформации
в точке X в главные оси деформации в точке х. (Поскольку по-
поворот R определен единственным образом, а главные оси дефор-
деформации, вообще говоря, определены не однозначно, мы не можем
воспользоваться .этим свойством поворота R для его определе-
') Чтобы иметь точное соответствие между этим термином и его опреде-
определением, нам следовало бы с самого начала наложить требование, что допу-
допускаются только отсчетные конфигурации с det F>0, откуда следовало бы, что
det R-= 1 и R — поворот. Поскольку единственная причина делать это —
удобство терминологии, мы воспользуемся этим удобством, не налагая на себя
бремя соответствующих ограничений. Иными словами, мы предоставляем чи-
читателю самому сделать в приведенном тексте такие тривиальные взменеиии
формулировок, которые нужны, чтобы учесть случай, когда не тензор R, а тен-
тензор —R ортогонален в собственном смысле.
s) В оригинале principal axes of strain. — Прим. ред.
ГЛ. II. КИНЕМАТИКА 101
ния.) Если вектор е* направлен вдоль i-k главной оси деформа-
деформации в точке X в нф), то у,- есть отношение длины его образа
Fe< в хЛ($, t) к длине самого вектора е*. Поэтому числа v% на-
называются главными растяжениями. Поскольку U и V положи-
положительно определены, и,- > 0. В случае когда R=l, деформация
в (X, t) называется чистым растяжением. При чистом растяже-
растяжении U = V, главные оси деформации в X и х совпадают и можно
наглядно представлять себе, что деформация локально осуще-
осуществляется путем растяжения элементов вдоль главных осей в от-
отношениях i>i, v2, v3. Если U = V = 1, то деформация называется
поворотом в X, t. Теорема разложения Коши утверждает, что
деформацию, локально соответствующую F, можно получить,
осуществляя чистое растяжение вдоль трех подходящих взаимно
ортогональных направлений е,- с главными растяжениями о* и
последующий, поворот этих направлений, или осуществляя
сперва тот же самый поворот, а затем те же растяжения, но
вдоль соответствующих новых направлений.
Правый и левый тензоры Коши — Грина определяются сле-
следующим образом:
C = U2 = FTF,
(П. 9-5)
Хотя фундаментальное разложение A) играет главную роль
при доказательстве общих теорем, однако вычисление U, V и R
в частных случаях может оказаться громоздким, поскольку при
этом обычно требуется выполнить иррациональные действия.
В то же время С и В вычисляются путем простого перемноже-
перемножения F и FT. Если, например; gkm и gQP — ковариантные и контр-
контрвариантные компоненты метрического тензора в произвольно
выбранных системах координат в пространстве и в отсчетной
конфигурации соответственно, то компоненты тензоров С и В
равны1)
Г p'tpma
(L9)
где Рк = хка = дхаХ*(Х\ -У2. -У3. 0- Собственные числа тензоров
С и В равны квадратам о2 главных растяжений. Главные ин-
') Если обе системы координат (хк) и (Ха) — ортогональные декартовы,
то F) сразу следует из E) и (II. 5-3). Чтобы получить F) для систем коор-
координат общего вида, достаточно заметить, что F)| и F)j — тензорные равен-
равенства, которые при преобразовании к декартовым координатам сводятся к ра-
равенствам, для этих координат уже доказанным.
Ю2 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ _ § 9
варианты тензоров Си В1) даются формулами
I ш tr В = tr С = of + v\ + v\,
ii—4- [<tr BJ ~tr R2]=тl(tr CJ ~tr c2] =
(IL9)
III ss det В = det С = P = v\v\v\.
Всякая симметрическая функция от V\, v2 и и3 равна некото-
некоторой функции от I, II, III.
Формулы, полученные до сих пор в этом параграфе, приме-
применимы к любому невырожденному тензору и не зависят от того
факта, что F есть градиент деформации %я. Весьма часто, кроме
того, не имеет значения и вид зависимости F от аргументов, од-
однако при конкретных вычислениях эта зависимость, конечно, су-
существенна. Примером такого вычисления является правило диф-
дифференцирования сложной функции (II. 8-7). Другой пример по-
получим, если заметим, что из G) и (II. 5-4) следует формула
Рх/р = det U = det V = /ПГ. (II. 9-8)
Более существенное использование дифференциальной при-
природы F опирается на тот факт, что dxfiF'^ = dxaF^. Примером
этого служит следующее
Упражнение II.9.1. Доказать, что любая ортогольная деформация2)
является либо жестким поворотом, либо композицией жесткого поворота
с центральной инверсией.
Если мы возьмем в качестве отправной величины относи-
относительный градиент деформации F(, определенный соотношением
(П. 8-5), и применим к нему теорему о разложении, мы получим
относительный поворот R*, относительные тензоры растяжения
Ui и V( и относительные тензоры Коши—Грина С* и В*:
F, = R,U, = V(R() C( = U,2, B, = V?. (II. 9-9)
Упражнение II. 9.2. Исходя из (II. 8-7) доказать, что
C(t) = F@TC,WF@> (II. 9-10)
') Симметричные тензоры с одинаковыми главными инвариантами назы-
называются подобными; такие тензоры переводятся друг в друга некоторым орто-
ортогональным преобразованием (см. E)г). Обратно, если два симметричных тен-
тензора переводятся друг в друга некоторым ортогональным преобразованием, то
их главные инварианты совпадают, так что они подобны. Следовательно, ле-
левый и правый тензоры Коши — Грина подобны.—Лрим. ред.
г) То есть деформация, для которой F есть ортогональный тензор.—
Прим. ред.
ГЛ. II. КИНЕМАТИКА
J03
В случае если деформация задана, тензоры В и С вычис-
вычисляются по ней тривиально. Мы рассмотрим здесь два примера;
оба они впоследствии окажутся нам полезными при изучении
отдельных типов материалов.
При простом сдвиге каждая плоскость из некоторого семей-
семейства параллельных плоскостей смещается на расстояние, про-
пропорциональное расстоянию между нею и определенной пло-
плоскостью семейства, в некотором направлении, лежащем в этой
плоскости. Пусть выделенная плоскость — это плоскость Л4 = О,
а направление сдвига совпадает с направлением координатной
оси X2. Тогда простой сдвиг в прямоугольной системе координат
Х\ X2,- X3 задается следующими компонентами деформации:
(II. 9-11)
Постоянная К называется величиной сдвига.
Поскольку
1 О О
К 1 О
О 0 1
то
I = [FFTH
О
О
1
(II. 9-12)
(II. 9-13)
1 К
К 1+/С2
о о
11+ К2 -К О
-К 1 О
0 0 1
I = tr В = 3 + /С2 = II == tr В, III = 1-
Упражнение 11.9.3 (Кельвин и Тэйт). При простом сдвиге главные растя-
растяжения следующим образом выражаются через величину сдвига:
+¦?**•
. (II. 9-14)
«5-1.
Показать, что угол 9, на который должны повернуться главные оси дефор-
деформации в х{&), чтобы превратиться в главиые оси деформации в Х„ (#), опре«
104
ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
деляется равенством
Пример, иллюстрирующий использование систем криволиней-
криволинейных координат, дают следующие компоненты деформации в ци-
цилиндрических координатах:
г = YAR2 + В, 8 = 6 +DZ, z = FZ, AF = \, (II. 9-15)
где А, В, D и F — постоянные. Цилиндры R = const отобра-
отображаются в цилиндры г = const, причем выбором постоянных А и
В можно добиться произвольного сжатия или расширения, а
также выворачивания этих цилиндров. В то же самое время
в направлении оси цилиндров происходит растяжение, величина
которого подобрана так, чтобы деформация "была изохорической.
Наконец, плоскости Z = const поворачиваются относительно оси
цилиндров на углы, пропорциональные их расстоянию от пло-
плоскости Z = 0. Таким образом* на изохорическое расширение или
сжатие цилиндров наложено кручение величины D/F.
Упражнение II. 9.4. Используя FJ, показать, что
A2R2
\В
km
0
DF
о
DF
(И. 9-16)
Для вычисления (В ')sm обратит^ матрицу B), либо сначала доказать,
а затем использовать формулу
(И. 9-17)
В результате получить
II (В)*» II
km
2
A2R2
О
О
0
О
1 =tr В
R2 - ADR2
- ADR2 A (I + D2R2)
-ekmB"m=:^- + r2(-y+D2) + F2,
+ -^- + A2O+D2R%
(И. 9-18)
II = tr В = gkm (В~ V
111=1.
Упражнение II. 9.5. При простом кручении А = F = 1, В = 0. Сопостав-
Сопоставляя A6) и A3) ь показать, что простое кручение можно рассматривать как
результат воздействия на каждый цилиндр R = const, разрезанный по обра-
образующей и развернутый в плоскость, простого сдвига величины DR.
Упражнение II. 9.6. Показать, что в обозначениях, использованных в § 6,
| Grad/1! =» grad / • В grad Л (II. 9-19)
§ 10 ГЛ. И. КИНЕМАТИКА @5
и, следовательно, (II. 6-18) можно записать в виде
пж= ' -FTn. (П. 9-20)
уп • Вп
Аналогично (II. 6-20) принимает вид
1
¦(sn-a-i). OI.9-21)
§ 10. Предыстория
Пусть W обозначает некоторую функцию времени, принимаю-
принимающую скалярные, векторные или тензорные значения. Часто нам
будет желательно ограничиться рассмотрением W лишь в на-
настоящий момент и в прошлом. Для удобства, если настоящий
момент времени обозначен через t, мы будем характеризовать
прошедший момент V положительной величиной s = t — t'. Пре-
Предыстория функции W вплоть до момента t обозначается через Ч";
ее значением является ^'()
V = V(s)e?(/-$), / фиксировано, s>0. (II. 10-1)
Для каждого t предыстория Ч" определена на [0,оо). Как
указывает само ее название, предыстория Ч"— это часть данной
функции, соответствующая настоящему моменту и прошлому.
Предыстории играют важную роль в механике, поскольку буду-
будущее определяется именно настоящим и прошлым.
В пояснение обозначения A) С,\, например, есть предысто-
предыстория правого относительного тензора Коши — Грина Q вплоть до
момента t.
§ 11. Скорость растяжения и спин
Для мгновенной производной по времени от некоторого тен-
тензора, определяемого относительной деформацией, например
тензора Ft> мы введем следующее обозначение1):
F,(/)^duF,(«)U==-dsH(s)U (II. 11-1)
здесь X считается постоянным. Положим
(П. 11-2)
') Это обозначение нельзя спутать с обозначением материальной произ-
производной, введенным в § 6, поскольку Ft (t) = 1 и 1 = О-
106 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ §11
Тензор D, называемый тензором скоростей растяжения, пред-
представляет собой скорость изменения растяжения данной конфигу-
конфигурации, причем сравниваются между собой растяжения в момент
( + еив момент t в пределе при е-»-0. Подобным же образом
тензор W, называемый спином, представляет собой скорость из-
изменения поворота при переходе от данной актуальной конфигу-
конфигурации к конфигурации, занимаемой телом непосредственно пе-
перед ней или после нее. Поскольку тензор U< симметричен, сим-
симметричен и тензор D, являющийся производной Vt по параметру:
DT = D, (II. 11-3)
однако в отличие от U* тензор D не является, вообще говоря, по-
положительно определенным. Поскольку тензор D симметричен,
его собственные числа вещественны и он имеет по крайней мере
одну тройку ортогональных собственных векторов. Первые на-
называются главными скоростями растяжения di = 1,2,3, а послед-
последние — главными осями тензора скоростей растяжения.
Если мы продифференцируем соотношение Kt (и) R« (и) = I
по и, положим « = / и воспользуемся равенством BL, то полу-
получим, что тензор W антисимметричен:
WT + W = 0. (II. 11-4)
В соответствии со своим определением B), тензор G является
скоростью изменения тензора F(, но это еще не все. Действи-
Действительно, дифференцируя (II. 8-7). по т и полагая т = t, получаем
G = FF"'. (II. 11-5)
Дифференцируя (П. 5-1) по t, находим
F = GradXx = (gradi)F; (II. 11-6)
последнее равенство ввиду (II. 5-3) следует из правила диффе-
дифференцирования сложной функции. Подстановка в E) дает
G = gradx. (II. 11-7)
Итак, тензор G, который мы определили равенством B)ь яв-
является фактически пространственным градиентом скорости.
Если мы продифференцируем полярное разложение (II. 9-9) i
по т и затем положим т = t, то получим, что
G = D + W. (II. 11-8)
В этом результате, показывающем, что D и W суть симмет-
симметричная и антисимметричная части градиента скорости, выра-
выражается фундаментальное разложение Эйлера — Коши — Стокса
мгновенного движения на сумму чистого растяжения вдоль трех
§ II ГЛ. II. КИНЕМАТИКА 107
взаимно перпендикулярных осей, вращения этих осей как твер-
твердого тела и переноса.
Конечно, мы могли бы определить G посредством равенства
G) как градиент скорости, a D и W посредством (8) как сим-
симметричную и антисимметричную части G. Тогда нам нужно было
бы доказывать соотношения B) 2,4 как теоремы, чтобы интерпре-
интерпретировать G, W и D кинематически. Специалисты по гидродина-
гидродинамике обычно предпочитают проводить рассуждения как раз в та-
такой последовательности.
Движения, для которых W = 0, называются безвихревыми.
Они составляют основной предмет изучения классической гидро-
гидродинамики. Движения, в которых W ф 0, называются вихревыми.
Поскольку тензор W антисимметричен, он может быть пред-
представлен1) с точностью до знака аксиальным вектором rotx, ко-
который в гидродинамике называют «завихренностью». В наше
время представляется более удобным не вводить этот вектор, а
применять сам тензор W. Мы будем использовать термин завих-
завихренность только для обозначения длины W «векторного инва-
инварианта» Wx тензора W:
|=/- 2trW2. • (II. 11-9)
') Поскольку в этой книге мы не используем трехмерный векторный ана-
анализ, нам достаточно будет лишь перечислить здесь несколько формул, чтобы
помочь читателю сравнить наши формулировки с имеющимися в других рабо-
работах. С этой целью мы фиксируем какую-нибудь прямоугольную декартову
систему координат и будем предполагать, что все-другие системы координат
имеют ту же ориентацию, что и эта. Тогда векторный инвариант Тх[в ориги-
оригинале Gibbsian cross — «гиббсов крест». — Ред.] тензора Т—это вектор, такой,
что
Если тензор S антисимметричен, то
Векторное произведение u X w двух векторов и и w определяется формулой
иХ»3|(иЛ w)x = Tj (u ® w — w ® и)х,
так что
(и X wK =» «lie's — toittj, ....
Следовательно,
2Su = — Sx Xu.
Вихрь векторного поля V определяется через градиент V'v следующим об-
образом:
rotv=—(Vv)x,
так что
(rot vK = я2,1 — »i, s
Если W — спии и w = rot x, то
2Wu <— w X и.
108 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 11
Другая важная скалярная величина — это скорость объем-
объемного расширения Е, определяемая следующим образом:
? = /// = div x = tr G = tr D = - p/p; (II. 1 MO)
третье и четвертое равенства следуют из G) и (8), а послед-
последние— из (И.5-7). Величина Е представляет-собой локальную
скорость увеличения объема материальной области, отнесенную
к единице объема. Заметим вновь, что необходимым и доста-
достаточным условием изохоричности движения является равенство
? = 0.
Поле скоростей жесткого движения дается соотношением
A.10-1). Беря от него градиент, получаем G = W. Таким обра-
образом, для жесткого движения D = 0, и спин, определенный для
общего случая соотношением BL, сводится в случае жесткого
движения к тому, что мы определили в § 1.10 как спин такого
движения.
Упражнение II. 11.1 (Эйлер). Доказать обратное утверждение. А именно,
рассматривая равенство D = 0 как дифференциальное уравнение для про-
пространственного поля скоростей, интегрированием его получить A.10-1).
Эти результаты можно подытожить в виде следующей тео-
теоремы: Выполнение условия D = 0 в некоторой области в некото-
некоторый момент необходимо и достаточно для того, чтобы движение
в этой области в этот момент было жестким. Ввиду интерпрета-
интерпретацией тензора D, данной сразу после его определения, эта теорема
физически очевидна.
Ясно, что спин W, — вообще говоря, нечто совсем отличное от
R, скорости изменения тензора поворота во времени. Это видно
на следующих двух примерах.
При простом, сдвиговом течении декартовы компоненты скорости равны
*i = 0, х2 = х,хи *з = 0 (II. 11-11)
и каждое тело-точка движется по прямой линии, параллельной оси х2, однако,
если х ф 0, движение является вихревым. В простом вихре компоненты ско-
скорости в цилиндрической системе координат равны
'-=0. 6— /И. z = 0 (II. 11-12)
и каждое тело-точка стационарно вращается вокруг осн системы по окруж-
окружности г = const, однако в случае / (г) = Кг~2 движение является безвихревым.
Разница в кинематических смыслах R и W становится понятной из сравнения
определений (II. 9-1) и BL, нз которых ясно также, что оба эти тензора
должны быть полезны при описании и классификации движений.
Аналогичным образом и скорость растяжения D обычно не совпадает со
скоростью изменения U тензора растяжения U.
Дальнейший свет на соотношения между растяжением и ско-
скоростью растяжения и между поворотом и спином проливает сле-
следующее упражнение.
§ 11 ГЛ. II. КИНЕМАТИКА 109
что
Упражнение 11.11.2 (Колеман & Трусделл; Э. & Ф. Коссера). Доказать,"
W = RRT + -i R (ии~' - U~'U) RT,
(II. 11-13)
D = — R (пи + U~'U) RT, С = 2FTDF,
где R и U имеют обычный смысл тензора поворота и правого тензора растя-
растяжения по отношению к фиксированной отсчетной конфигурации. Доказать,
далее, что В |F_,, =2D.
Можно определить также скорости изменения растяжения и
поворота высших порядков.
Упражиеине II. 11.3. В качестве обобщения A) и B)i положим
(га) .
О„ - F, @ _ ф, (и) |ц=/, п-1-2 (II-11-14)
Дифференцируя (II. 8-7) п раз пот и полагая т = t, доказать, что
(га) ,
FF-'==Gra, (II. 11-15)
а потом, используя правило дифференцирования сложной функции, устано-
установить, что
Gra = gradx. " (И. 11-16)
Наиболее часто используемые скорости высшего порядка —
это тензоры Ривлина — Эриксена Ап:
А„-СЛ*). (II. 11-17)
Здесь использовано обозначение A4). В частности, Ai = 2D.
Упражнение П. 11.4 (Дюпон, Ривлнн & Эриксен). Доказать, что
га-1
(")G/4-/ <II. 11-18)
/=•1
„ + А„О+(А„О)Т. (II. 11-19)
Упражиеине II. 11.5 (Рнвлин). Дифференцируя повторно по т соотноше-
соотношение det С; (т) = 1 и полагая затем т — t, показать, что при изохорическом
движении
\т А, — 0,
trA2 = trA^, (П. 11-20)
trA3 = — 2trA?+3tr(A2A!)
и вообще trAn есть линейная комбинация следов произведений, образован-
образованных из Ai, A2l ..., An-i.
110 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § И
Особенно простой вид градиент скорости G принимает на не-
неподвижной стенке, к которой материал прилипает. Действи-
Действительно, поскольку всякая линия, состоящая из тел-точек, лежа-
лежащих на стенке, неподвижна, то не может происходить растяже-
растяжения вдоль никакого направления, касательного к стенке; по
той же самой причине ось спина должна быть касательной
к стенке. Последний результат легко доказывается с помощью
применения кельвиновского преобразования контурного интег-
интеграла в поверхностный («теоремы Стокса») к полю скоростей х:
J х • dx — J tr [W (дах А дьх)] da db, (П. 11-21)
дЛ Л ' .
где предполагается, что поверхность s& задана параметрически
уравнением \ = х(а, Ь). Для любой части s4- поверхности, на
которой х = 0, левая сторона этого равенства тривиальным
образом обращается в нуль.. Поэтому на s4- .
tr[V/(daxAdbx)] = 0. (II. 11-22)
Упражнение П. 11.6. Показать, что из B2) следует, что ось тензора W
лежит в плоскости, натянутой на <Эох и дъ*. Обозначив через п единичную
нормаль к si-, показать,'что в том месте х на поверхности si-, где скорость
обращается в нуль, можно выбрать ортонормированный базис {n, e, f}, такой,
что е лежит на оси спина и
W = -^rnAf. (П.! 1-23)
• Следовательно,
Wn=—l-Wi, Wi = jWn, A1,11-24)
так что
(II. -1-25)
Упражнение II. 11.7 (Беркер, Касуэлл, Трусделл). Используя интерпрета-
интерпретацию градиента как производной по направлению, показать, что если к есть
произвольный вектор в точке х, параллельный поверхности, на которой ско-
скорость обращается в нуль, то в этой точке х
Gk = 0. A1.11-26)
Вывести отсюда, что в некоторой точке такой поверхности
D = ?n®n + n®Wn + Wn®n (II. 11-27)
и что главные скорости растяжения даются формулами ')
2Д = Е + У~Е* + W* > 0,
02 = Д(е)=О, (П. 11-28)
2пг — Е — YW+W < 0.
') Здесь Е и W те же, что были использованы выше: Е = tr D,
W = V — 2 tr W2. — Прим. ред.
§ 12 ГЛ. II. КИНЕМАТИКА Ц!
§ 12. Однородные деформации
Деформация %к по отношению к отсчетной конфигурации к
называется однородной, если тела-точки, образующие прямоли-
прямолинейный отрезок в х(^5), образуют прямолинейный отрезок и
в х, {&,t). Согласно известной теореме элементарной геометрии,
всякая такая деформация /х должна быть аффинной в любой
момент t. Таким образом, однородная деформация х имеет вид
ХЛХ, 0 = x0@ + F@(X-X0), detF(O^O, (II. 12-1)
где Хо — некоторое фиксированное место в х, х0 — местозначная
функция времени, a F(/) —тензорная функция времени.
Из (II. 5-1) видно, что F есть градиент деформации и что он
в любой момент одинаков во всех местах. Этим объясняется
наименование «однородная деформация».
Определенная таким образом однородная деформация отно-
относится к одному телу 3$, занимающему все пространство &. Чтобы
не входить в детали, касающиеся неограниченных областей, мы
всякий раз будем рассматривать только некоторую ограничен-
ограниченную часть тела Я.
Деформация, однородная относительно хь вообще говоря, не
является однородной относительно другой, отсчетной конфигу-
конфигурации Х2. Класс всех деформаций, однородных относительно хь
совпадает с классом всех деформаций, однородных относительно
х2, тогда и только тогда, когда деформация Я,, переводящая щ
в «2, однородна. Деформации, однородные относительно одной
и той же конфигурации х, образуют подгруппу группы всех глад-
гладких движений.
Однородные деформации проще всего представлять себе как
отображения одного векторного пространства в другое. Пусть
г обозначает поле векторов положений в хC$) по отношению
к началу Хо, и пусть р обозначает поле векторов положений
в хх ($,t) по отношению к Xo(t). Тогда A) можно записать,
в виде
P = Fpx, (II. 12-2)
где. F — функция одного только времени.
Пусть два данных вектора положения тх и п* переводятся
отображением B) в m и п соответственно. Тогда
mn = m» Сп*. (II. 12-3)
где С — правый тензор Коши — Грина (II. 9-5) i, который яв-
является симметричным и положительно определенным. Подобным
И2 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 12
образом
m»-n» = m-B"In, (II. 12-4)
где В — левый тензор Коши — Грина (П.9-5)з. Все векторы, па-
параллельные п„, увеличиваются в длине в одном и том же отно-
отношении. В частности, если п»—единичный вектор, то соответ-
соответствующий ему, согласно B), вектор п имеет в общем случае
длину, отличную от 1. Это отношение длин называется растяже-
растяжением U(nj в направлении пх:
y(M = Упж • Сп», (II. 12-5)
Два ортогональных вектора п?Л и п» в «(Jf) переводятся
в общем случае в векторы m и п з Х,(Д t), которые уже
не ортогональны. Это. явление называется сдвигом, и суще-
существуют различные способы его описания. Одной из мер сдвига
является угол. Q^,^ между образами в Х,($, /) двух единич-
единичных векторов п* и пи из x(J). Он удовлетворяет соотношению
cos 0/n., щ.) == п» • Cm». (II. 12-6)
( ^> О()°()
Сфера | m» р = const в x(Jf) отображается в эллипсоид в %(&, t),
а сфера |mp = const в %х[&, t) является образом эллип-
эллипсоида в хC8).
Упражнение II. 12.1 (Коши). Показать, что главные оси деформации,
определенные в § 9, являются главными осями только что построенных эллип-
эллипсоидов; что главные растяжения — это растяжения в направлениях этих осей
и что эти главные растяжения являются экстремальными. Доказать, что глав-
главные оси не испытывают сдвига и что в общем случае эти линии — единствен-
единственные, не испытывающие сдвига. Тем самым разложить однородную деформа-
деформацию иа перенос и поворот, переводящий одну совокупность главных осей
в другую, с последующими (или предшествующими) чистыми растяжениями
вдоль этих осей. '
Термины «скорость растяжения» или «скорость сдвига» в об-
общем случае относятся к скоростям изменения растяжения или
сдвига соответственно, когда эти последние определены по от-
отношению к актуальной конфигурации в качестве отсчетной. Мы
можем рассмотреть скорости растяжения и сдвига подобным же
образом, исходя из однородных деформаций. Дифференцирова-
Дифференцирование соотношения B) дает
p = Fpi, = GFpic = Gp; (II. 12-7)
мы воспользовались (II. 11-5) и B). Отсюда, используя
(II. 11-8), полу'«ем соотношение Эйлера
1р1-^Г- = Р-р = Р-1>р, (II. 12-8)
ГЛ. II. КИНЕМАТИКА 113
где D — тензор скоростей растяжения; эквивалентная запись:
_»_.JliPL_n.Dn> (II. 12-9)
IPI dt
где п — единичный вектор в направлении р. Таким образом, нор-
нормальная компонента n-Dn тензора D представляет собой отне-
отнесенную к единице длины скорость увеличения длины прямоли-
прямолинейного отрезка в х(&), первоначально параллельного п в ё\
эта величина называется скоростью растяжения в направлении
п. Три главные скорости растяжения, которые были определены
в § 11, представляют собой экстремальные скорости деформации.
Упражнение И. 12.2 (Эйлер). Показать, дифференцируя F), что для двух
ортогональных единичных векторов п„ и m „
-e<n.m)lF=1=2n.Dm, (II. 12-10)
и дать интерпретацию этого результата в терминах скоростей сдвига.
Пусть теперь ф(Р, тх) обозначает угол между вектором поло-
положения р точки х по отношению к х0 в %C6, t) и единичным
вектором пи в и($). Тогда в силу B)
mx • Fpx, (II. 12-11)
где для простоты мы опускаем временно индекс (р, т»). Диф-
Дифференцирование по / дает в силу (II. 11-15)
-^-l p| — |p|sin9<p = mx'Fpx = mx • GFp*. A1,12-12)
Если мы теперь допустим, что значением поля ря является
единичный вектор, ортогональный к шх, например пх1 и затем
возьмем в качестве отсчетной конфигурации актуальную, так что
соответствующее значение поля р также будет равно п, то
получим
<P,n.n,!F=1 = -m-Gn- (П. 12-13)
Эта формула определяет угловую скорость, с которой прямо-
прямолинейный отрезок в и ($), в данный момент параллельный п,
поворачивается от неподвижного единичного вектора m в &.
Аналогичным образом скорость, с которой прямолинейный отре-
отрезок в к,C&), в данный момент параллельный т, поворачивается
к неподвижному единичному вектору п, дается формулой
Ф(т.-„,|Р=1 = + "-От- (II. 12-14) ^
Складывая эти формулы и используя (II. 11-8), получаем •
114 ЧАСТЬ I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 12
где W — спин. Таким образом, мы доказали фундаментальную
теорему Коши:
Компонента n-Wm спина W, соответствующая ортогональ-
ортогональным единичным векторам п и т, равна среднеарифметическому
скоростей правосторонних поворотов прямой линии в кC&),
в данный момент параллельной п, по отношению к направлению
т в & и прямой линии в хC8), параллельной в данный момент
т, по отношению к направлению п в &.
В случае произвольного движения /х градиент деформации
F дает локальное линейное приближение. Мы можем сказать,
что деформация %х аппроксимируется с ошибкой порядка
о (| X — Хо |) в точке Хо из x(J), а следовательно, и в Хд
из хх(Д /), однородным движением A). Таким образом, полу-
полученные в этом параграфе результаты для однородных деформа-
деформаций можно интерпретировать как результаты о локальной ап-
аппроксимации общего движения. Грубо говоря, результаты, вер-
верные для всех прямых при однородной деформации, верны для
бесконечно малых отрезков при произвольной гладкой деформа-
деформации.
Для справок мы приведем здесь также уравнения для полей
скорости и ускорения при однородной деформации A):
Х~Х.° .. , Х<" (И. 12-16)
x = xo+FF-I(x-xo).
То что эти поля даются аффинными функциями места, должно
быть очевидно без вычислений, и в этом можно также удостове-
удостовериться, взглянув на (II. 11-5) и (II. 11-13).
Обратно, допустим, что поле скоростей для некоторого дви-
движения является аффинным:
-x0), (II. 12-17)
где с и G — непрерывные функции. Тогда мы можем найти ме-
стозначную функцию х0 и тензорнозначную функцию F, такие,
что
F —FG = 0, Хо — с = 0, (II. 12-18)
причем эти функции определены единственным образом с точ-
точностью до выбора начальных значений Хо@) и F@). Из (II.5-6)
следует, что вне зависимости от того, каково G, якобиан J(t) не
может обратиться в нуль, если /@) ф 0. Таким образом, преоб-
преобразование F(t) невырождено, если невырождено F@). Поэтому
движение тела 3$, соответствующее аффинному полю скоростей,
представляет собой однородную деформацию любой конфигу-
конфигурации, занимаемой 38 в любой момент.
13 ГЛ. II. КИНЕМАТИКА 115
§ 13. Скорости изменения интегралов по материальным линиям,
поверхностям и областям
Часть пространства, занятая некоторым множеством тел-то-
тел-точек тела Я, называется материальной. В большинстве случаев
такая часть пространства меняется во времени. Таким образом,
если мы определим интеграл от некоторого пространственного
поля по материальной линии, поверхности или области, его зна-
значение будет в общем случае переменным по двум причинам: во-
первых, потому что само поле меняется, и, во-вторых, потому
что область интегрирования меняется вследствие движения
тела Я.
Мы уже вычислили скорость изменения во времени интеграла
от функции по материальной области и фиксировали результат
в виде (II.6-8). Теперь обратимся к аналогичной задаче для
материальных линий и поверхностей.
Как мы уже замечали, формулы, строго верные для однород-
однородных движений, служат лишь приближениями первого порядка
для более общих движений. Поскольку на значение интеграла
влияют лишь члены первого порядка, мы можем получить на
этом пути точные формулы для скорости изменения интегралов
во времени. Например, если И? — заданная кривая в хф), то
производная по времени от криволинейного интеграла вдоль её
конфигурации %C&,t) получится, если положить, что скорость
изменения dx элемента дуги dx равна Gdx, как это подсказы-
подсказывает (II. 12-7). Таким образом мы приходим к следующей фор-
формуле, принадлежащей Кельвину:
J idx= J [f -dx + f -(Gdx)] = J (f + G4)'dx.
d
dt
tf x <«¦.<) x («¦.<)
(II. 13-1)
Упражнение II. 13.1. Преобразуя криволинейные интегралы по %f,)
в интегралы вдоль неподвижной кривой 9" в к(9&), дать формальное доказа-
доказательство формулы A).
Упражнение П. 13.2. Используя (П. 12.7), вычислить скорость изменения
объема материальной области прн однородном движении н тем самым полу-
получить иное доказательство формулы (II.6-8).
Аналогичным образом, обозначая через р Л Ч поле, значения которого
равны внешнему произведению векторов положения пар тел-точек из %Dt,t),
выводим из (II. 12-7), что
ТЙ" (Р Л q) = (Op) Л q + Р Л (Oq) - G (р Л q) - (р Л q) GT. (II. 13-2)
!!б ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 14
Отсюда для скорости изменения поверхностного интеграла от антисимметрич-
антисимметричного тензора S по материальной поверхности Э' получаем формулу Лэмба
-fL J tr [S (дах А дьх)] da db =
— J tr I(S + SG + GTS)] (<Эах Л дьх) da db; (II. 13-3)
x <<5", 0
здесь предполагается, что поверхность % (9", t) задана параметрическим
уравнением х = х(а, Ь).
§ 14. Изменение системы отсчета.
Независимость от системы отсчета
В § 1.6 было рассмотрено понятие системы отсчета, а в § I. d
были исследованы преобразования, связанные с изменением си-
системы отсчета. Движение (II. 1-1) тела Я описывается по отно-
отношению к некоторой определенной системе отсчета ф; по отно-
отношению к другой системе отсчета ф* движение описывается, ска-
скажем, отображением
х* = Х*(Х, Г). (II. 14-1)
Мы рассматривали изменение системы отсчета A.9-4) как соот-
соотношение, выражающее связь между местами и временами, (х, t)
и (х*, V) одного и того же события, как оно представляется
различным наблюдателям. Таким образом, если (II. 1-1) и A)
должны выражать одно и то же движение тела, как оно видится
наблюдателям в системах отсчета ф и ф* соответственно, то
движения х и х* должны быть связаны соотношением A.9-11),
которое мы перепишем здесь в виде1)
Г(Х, t + a) = xUt) + Q(t)(*(X, 0 — хо), (II.14-2)
где х0 и а — это место и время по отношению к ф некото-
некоторого выделенного события, хо(*) — некоторая местозначная
функция, a Q — функция, значениями которой являются ортого-
ортогональные тензоры.
Если мы решим описывать движение, используя отсчетную
конфигурацию х, то соответствующие деформации х* и хх будут
связаны таким же образом:
Х: (X, t + а) = Х;@ + Q (О(X, (X, 0 -х0). (II. 14-3)
В § I. II мы ввели понятие независимости от системы от-
отсчета. Коротко говоря, скалярная функция места и времени не
зависит от системы отсчета, если это на самом деле функция
') Напомним, что Q зависит только от времени, но не от места. — Прим,
ред. ¦ „
ГЛ. II. КИНЕМАТИКА 11?
самих событий, не зависящая от того, как введена система от-
отсчета. Векторная функция независима от системы отсчета, если
ее значения в ф* вызывают там перенос мест тех же самых со-
событий, перенос мест которых в ф вызывают ее значения в ф
Тензорная функция не зависит от системы отсчета, если она пре-
преобразует каждый вектор, не зависящий от системы отсчета,
в вектор с тем же свойством. Как мы показали в § 1.11, фор-
формально эти три условия независимости от выбора системы от-
отсчета имеют вид
F*=F для скаляров,
v"=Qv для векторов, (II. 14-4)
Т" = QTQT для тензоров (второго порядка),
где звездочками помечены величины, соответствующие системе
ф*, a Q — ортогональный тензор, входящий в формулу замены
системы отсчета B).
В случае когда некоторая величина задается соотношением,
справедливым во всех системах отсчета, условия типа (II. 14-4)
могут выполняться или не выполняться. В § 1.9 мы вывели соот-
соотношение A.9-15), связывающее скорости х и х*, вычисленные в
системах ф и ф*. Этот результат показывает, что х и х* не
удовлетворяют условию DJ и, следовательно, скорость не яв-
является независимой-от системы отсчета. Действительно, A.9-14)
показывает, что спин А системы ф* относительно ф порождает
в ф* скорость, фактически соответствующую движению твердого
тела, которое покоится в системе ф* (см. § 1.10). Сходным об-
образом соотношение A.9-20), связывающее ускорениях и х: в ф
и ф*, показывает, что ускорение не является независимым
от системы отсчета.
Теперь мы рассмотрим влияние изменения системы отсчета
на величины, при определении.которых используется не только
система отсчета, но и отсчетная конфигурация. Начнем с гра-
градиентов деформации. Поскольку определение (II. 5-1) приме-
применимо как в системе ф, так и в ф*, мы имеем
/). F'^VxKX, /). (II. 14-5)
Беря градиент соотношения C), получаем
F* = QF. (II. 14-6)
Таким образом, градиент деформации не является независимым
от системы отсчета.
Применяя соотношение F) к полярному разложению (II. 9-1),
мы видим, что
R*lT—QRU. (II. 14-7)
118 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 14
Так как тензор QR ортогонален и так как полярное разложе-
разложение невырожденного тензора единственно, то
R* = QR, IT = U. (II. 14-8)
Следовательно,
V* = R*irirT = QRURTQT = QVQT. (II. 14-9)
Таким образом, мы показали, что V не зависит от системы
отсчета, хотя F, R и U от нее зависят. Конечно, С* = С
и B* = QBQT, как это немедленно получается применением (8J
и (9K к определениям (II. 9-5).
Если мы продифференцируем F) по времени, то най-дем, что
(II. 14-10)
но, согласно (II. 11-5), F = GF и F* = G*F*. так что
G*F* = QGF + QF = QGQTF* + QQTF*. (II. 14-11)
Поскольку тензор F* невырожден, на него можно сократить;
используя разложение Эйлера — Коши — Стокса (II. 11-8), при-
приходим к соотношению
D* + W* = Q(D + W)QT + A, (II. 14-12)
где А — спин A.9-15) системы ф относительно системы ф*:
A = QQT = -AT. (II. 14-13)
Так как разложение на симметричную и антисимметричную
части единственно, то
D* = QDQT, W* = QWQT + A. (II. 14-14)
Эти формулы выражают теорему Зарембы Зоравского:
Скорость растяжения независима от системы отсчета, а спин
в ф* есть сумма спина в ф и спина ф относительно ф*.
Это утверждение интуитивно ясно, поскольку изменение си-
системы отсчета фактически налагает дополнительное жесткое
движение, возможно с последующим отражением, а ни одно из
этих двух преобразований не изменяет скоростей растяжения,
хотя первое из них и поворачивает направления, в которых пред-
представляются происходящими эти растяжения. В соответствии
с результатом упр. 1.11.2 главные скорости растяжения и глав-
главные оси тензора скоростей растяжения также независимы от
системы отсчета.
Если мы продифференцируем (II. 9-10) п раз по т, а затем
положим x = t и применим определение (П. 11-17), то получим
(п)
C = FTAnF, (II. 14-15)
§ 14 ГЛ. II. КИНЕМАТИКА Ц9
где А„ есть я-й тензор Ривлина — Эриксена. По теореме
о полярном разложении (II. 9-1)
,(п) .
ir'ciT^R^R. (II. 14-16)
Аналогично
_i(n) _i т
U* С*1Г = R* A^R*. (II. 14-17)
Немного выше мы показали, что- U*=U и С* = С; следова-
(п) in)
тельно, и С*=С, поэтому левые части A6) и A7) равны.
Отсюда следует, что
R*TA;R*=RTAnR- (II. 14-18)
Ввиду (8)i мы заключаем, что
A; = QAnQT. (II. 14-19)
Таким образом, тензоры Ривлина — Эриксена независимы от си-
системы отсчета. Этот результат представляет собой обобщение
первого утверждения теоремы Зарембы — Зоравского. Столь же
просто обобщить и второе утверждение, но это обобщение уже
не столь легко истолковать.
Упражнение II. 14.1. Исходя нз (II. 8-7) н F), доказать, что Uj не зави-
зависит от системы отсчета и.что
R; (т) = Q (т) R, (т) Q @т. (П. Н-20)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
(работы общего характера)
NFTM1), §§ 15—25.
CFT, §§ 13—171 (исчерпывающее изложение кинематики в компонентной
записи).
') Относительно используемых в списках литературы сокращении см.
стр. 571. — Прим. ред.
Глава Ш
ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ
§ 1. Силы и моменты. Законы динамики.
Массовые силы и контактные силы
Подобно телам, движениям и массам, силы и моменты яв-
являются первичными элементами механики. Это математические
величины, вводимые a priori, представляемые некоторыми сим-
символами и подчиненные математическим аксиомам, которые оп-
определяют их свойства и делают эти понятия ясными и полез-
полезными при описании механических явлений природы. Аксиомы
для системы сил в общем случае были представлены в § 1.5;
моменты были определены как моменты сил в § 1.8; общие ак-
аксиомы динамики, связывающие силы и моменты с движением,
в которое они приводят данное тело, даны в § I. 12 и 1.13. В ос-
остальной части этой книги, исключая те места, где обсуждается
независимость от системы отсчета, мы будем считать рассмат-
рассматриваемую систему отсчета ф инерциальной и будем строить ди-
динамику на эйлеровых законах динамики:
Иными словами, скорость увеличения количества движения тела
равна приложенной к этому телу силе fa и скорость увеличения
момента количества движения тела относительно точки х0 равна
приложенному к нему моменту Fa, причем точка х0 неподвижна
в инерциальной системе отсчета.
Мы начнем с того, что переформулируем эти законы в более
явном виде, отнеся их к части Ф тела !% и конфигурации
1{&), занимаемой ею в инерциальной системе ф: Этот явный
вид, как следует немедленно из (I. I3-6) и A.13-8), таков:
J pxdF = fa(n
При этом мы должны всегда помнить, что, хотя это и не отра-
отражено в обозначениях, приложенная сила fa и приложенный мо-
момент Fa, равно как и,конфигурация. х(^)> могут зависеть от вре-
времени t. Таким образом, сила и момент, приложенные к ^, могут
§ 1 ГЛ. III. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ J21
быть выражены в виде интегралов по актуальной конфигурации
0*. Как всегда, х — поле ускорений на t (&) и мы предпола-
предполагаем, что оно ограничено.
В механике сплошной среды вводятся две различные системы
сил: массовые силы fB> с которыми могут действовать друг на
друга тела вне зависимости от того, находятся они в контакте
или нет, и которые мы предполагаем связанными с массами тел,
и контактные силы fc, с которыми тела воздействуют друг на
друга через их общую поверхность контакта и которые предпо-
предполагаются связанными с этой поверхностью, распределенными по
ней и не зависящими от масс тел по обе стороны ее. А именно,
предполагается, что приложенная сила есть сумма двух сил раз-
различного рода:
fa = fB + fc, (III. 1-2)
где
7
7
J
(III. 1-3)
здесь ^ — произвольная часть тела &. Соответствующие мо-
моменты даются формулами
i =X?(x-x) (П1<
П, о П, (Ш. 1-5)
Как явствует из C)^ приложенная массовая сила f| — абсо-
абсолютно непрерывная функция объема'). Ради краткости ее
') Менее ограничительно считать силу f| @s) абсолютно непрерывной
функцией массы, а не объема, тем более что это предпочтительнее с физиче-
физической точки зрения. В самом деле, случай, когда р(х) не являе'тся ограничен-
ограниченной функцией, встречается довольно часто, например в динамике стержней н
оболочек с сосредоточенными массами. Плотность Ь(х), напротив, всегда огра-
ограничена,, Используя теорему о среднем, получаем нэ C)i
где xoex(^)' a M — масса части !? тела 3S. Последняя формула утверждает,
что сила fg (^) — абсолютно непрерывная функция массы, — Прим. ред.
122 . Часть i. общие понятия ¦ § 1
плотность b по отношению к массе будет далее называться по-
полем массовых сил или даже просто массовой силой. Более того,
в этой книге мы ограничимся тем случаем, когда само b — за-
заданная функция места и времени:
b = b(x,0. (III. 1-6)
Такие моля массовых сил называются внешними1), поскольку
они не зависят от того тела 38, на которое действуют. Обычно
внешние массовые силы считают потенциальными:
b=-gradra, (III. 1-7)
причем потенциал га может быть однозначным или многознач-
многозначным. Если b не зависит от t, то массовая сила называется ста-
стационарной. Стационарная потенциальная массовая сила назы-
называется консервативной. Если поле b постоянно во времени и
пространстве, как это имеет место в случае силы тяжести для
тел вблизи поверхности земли, то оно называется однородным
полем тяготения2).
В механике сплошной среды массовые силы представляют
лишь второстепенный интерес; она занимается главным образом
контактными силами, к которым мы сейчас и обратимся.
Согласно CJ результирующая контактная сила fc является
абсолютно непрерывной функцией площади граничной поверх-
поверхности д%{!?), на которой она действует. Поверхностная плот-
плотность tax(^) называется полем усилий на dt{^)- Если это поле
известно, то результирующая контактная сила определена и не
зависит от того, что может происходить в точках, не лежащих
на д%{&)- В этом смысле поле усилий равнозначно действию на
!Р внешних по отношению к 3* тел, соприкасающихся с &*.
В предположении, что контактные силы именно таковы, и со-
состоит принцип разрезания Эйлера — К,оши:
Вообразим, что внутри области, занятой произвольным телом
38 в некоторый заданный момент времени, имеется замкнутая
гладкая пленка. Тогда действие внешней по отношению к пленке
прилегающей к ней части тела на внутреннюю часть равно-
равносильно действию некоторого поля векторов, определенного на
этой пленке.
Конечно, в качестве этой пленки можно взять границу тела,
внешность которого мы предпочитаем не уточнять. В этом слу-
. ') Соотношение F) не охватывает все внешние массовые силы. Например,
Плотность силы, порождаемой электрическим нлн магнитным полем, есть функ-
функция от х н зависит от специфических свойств тела, на которое оно действует.
Для целей данной книги достаточно соотношения F).
2) Сила всемирного тяготения — это не внешняя сила, а массовая сила
взаимодействия тел н потому в этой книге не рассматривается.
§ 1 ГЛ. III. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ 123
чае принцип разрезания не дает интерпретации напряжений
tdx (*). Напротив, напряжения на границе наибольшего рас-
рассматриваемого тела считаются известными из каких-либо иных
соображений. Например, для того чтобы выразить тот факт, что
к поверхности данного тела приложены заданные силы, не
включая в теорию те тела, которые могли бы создавать эти силы,
мы налагаем граничное условие на напряжения, задавая на дан-
данной граничной поверхности {дх{&) или дхC8) напряжения t^ (#
или некоторое связанное с ними поле. В других случаях мы мо->
жем на одной из таких поверхностей оставить напряжения td%w
подлежащими определению, налагая граничное условие на по-
положения— обычно задавая на д%($) или df^^ деформацию
Хх (X) или некоторую производную от нее величину. В любом
случае природа напряжений tax <#> на поверхности, охватываю-
охватывающей наибольшую часть тела, какую мы решили рассматривать,
должна быть задана или определена условиями, лежащими вне
рамок той общей теории, которую мы сейчас развиваем.
Если мы подставим B) — E) в закон Эйлера A), то получим
основные законы движения механики сплошной среды — с той
общностью, с которой проводится рассмотрение в этой книге1):
J pxdV= J tdxwdA+ J pbdV,
x if) a% №) % {&)
(III. 1-8)
J (x-Xo) Л px dV = J (x - xo) Л tax <*> dA + J (x-x0) Л pb dV
для любых частей 9* всех тел нашей вселенной.
Как мы установили в § I. 13, все силы независимы от системы
отсчета. В частности, независимы от системы отсчета контакт-
контактные силы и массовые силы. Вследствие этого их плотности суть
независимые от системы отсчета векторные поля2):
b* = Qb, W, = QW,, (III. 1-9)
где Q — ортогональный тензор, входящий в формулу замены си-
системы отсчета (II. 14-2).
') В более общих формулировках ослабляется предположение, что х су-
существует всюду и во все времена, н учитываются массовые моменты, момент-
ные напряжения разных порядков, момент количества движения, связанный
с внутренним вращением и т. д., равно как принимаются во внимание эф-
эффекты, связанные с диффузией н химическими реакциями в смесях.
2) Напряжение tdx ие является вектором, поэтому название несколько
условно. —Прим. ред.
124 " ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ $ t
Конечно, запись уравнений для количества движения и момента количе-
количества движения в виде (8) справедлива только в ннерциальной системе коор-
координат. Чтобы получить соответствующую запись в произвольной системе от-
отсчета, нужно только заменить ускорение х независимым от системы отсчета
вектором а, сводящимся к ускорению в случае, когда система инерциальна.
Этот вектор мы уже вычислили, он записан в виде A.11-3). После этой за-
замены интегралы в левых частях (8) становятся независимыми от системы
отсчета, как и все четыре интеграла в правых частях.
Читатель, готовый принять эти уравнения, дополненные пред-
предположениями о гладкости b и tdt(s-) B качестве аксиом, может
прямо перейти к следующему параграфу.
У более критически настроенного читателя могут возникнуть
два возражения. Во-первых, результирующая контактная сила
fc не определяет напряжений однозначно,, поскольку к любому
полю taxf-H которое удовлетворяет соотношению CJ, мы мо-
можем прибавить Sn1), где S — произвольное тензорное поле, та-
такое, что div S = 0, и контактная сила fc останется той же. Во-
вторых, неясно, как результирующая массовая сила fs и резуль-
результирующая контактная сила fc связаны с общим понятием си-
системы сил, представляющей собой функцию, определенную на
парах отделенных тел, а не на одиночных телах. Для такого чи-
читателя мы закончим этот параграф исследованием2), которое
показывает, что классические допущения C) и D) являются тео-
теоремами, доказываемыми на основе предположений непрерыв-
непрерывности, сформулированных в терминах современной теории си-
систем сил, которую мы обрисовали в гл. I. А именно, рассматри-
рассматривая фиксированный момент t и не указывая его в обозначениях,
мы будем допускать, что система сил, определенная на (Q X Q)o>
есть сумма двух систем сил:
ua,v)=tB(st.v) + fc(jt,v), (in. 1-Ю)
которые, мы будем называть системой массовых сил и "системой
контактных сил соответственно и которые будут различаться по
своим математическим свойствам, подобранным так, чтобы от-
отразить различие в их интерпретациях, данных сразу после соот-
соотношений C). Все четыре аксиомы сил, изложенные, в § 1.5, пред-
предполагаются выполненными и для fs и для fc, а потому и для их
суммы f.
•) п — нормаль к дх(&).— Прим. ред.
2) Ряд приводимых здесь рассуждений взят из статьи М. Е. Gurtin &
W. О. Williams, An axiomatic foundation for continuum thermodynamics, Arch.
Rational Mech. Anal., 26 A967), 83—117. В этой статье они сформулированы
для скалярных функций, имеющих не чисто механическую, а термодина-
термодинамическую интерпретацию, но математическая сторона дела по существу
одинакова.
§ 1 ГЛ. III. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ 125
В соответствии с общей теорией, изложенной в § 1.12, мы
допустим, что система сил f сбалансирована. Согласно аксиомам
инерции § 1.13 в f должна входить сила инерции. Поскольку эта
функция — абсолютно непрерывная функция -объема1), она
должна составлять часть fe, а не fc. Таким образом, те вели-
величины, которые мы обозначили через fS(^) и fc^), должны
быть связанными с fa и fc следующим образом:
fuG?, &*) = &(&)- J pxdV,
w (III. 1-11)
Теперь мы сформулируем разумные условия на системы сил
fe и fc, которые позволят нам, пусть и со значительными затруд-
затруднениями, доказать, что из A1) следует, что \ъ{@) и fc^3) имеют
форму C). Предположения, которые мы сделаем, являются не-
непосредственным выражением основных представлений о силах,
которые действуют на тела благодаря наличию у них массы, и
силах, действующих на тела ввиду наличия площадей контакта,
а именно:
Для любых отделенных друг от друга тел $Ф и 9? существует
такое положительное число К, что 2)
I fc (а, V) | < ка {дг w n dt № (Ш' M2J
при. условии, что достаточно малы соответственно масса тела $Ф
и площадь общей границы тел бФ и 9? в %. Первое требование
не связано с движением % оно относится к самим телам, незави-
независимо от их конфигураций. Что касается второго требования, то,
если оно выполняется для одной конфигурации /, оно выпол-
выполняется и для любой другой, хотя, конечно, значение К может
зависеть от х- Все возможные массовые силы, действующие на
S&, в пределе3) пропорциональны массе $ф, а все возможные
контактные силы между s& и <& в пределе3) пропорциональны
') Точнее говоря, сила инерции является абсолютно непрерывной функцией
массы. Именно поэтому она должна входить в !в(^), а не в fc(^). Рассуж-
Рассужф f(^)
у д (), () Ру
дение же автора ничего не доказывает, поскольку функция fc(^), определен-
определенная формулой CJ, также является абсолютно непрерывной функцией объе-
объема— но не массы. Дело в том, что вектор ^дц^у входящий в C), является
линейной функцией нормали к дх(^), как это будет видно ниже. Это означает,
что fc(#) является абсолютно непрерывной функцией объема. Доказательство
последнего утверждения можно найти в книге Я. С. Дубнова «Основы вектор-
векторного исчисления», т. II (ГИТТЛ, 1952). — Прим. ред.
2) Ниже А (si, 3S) — площадь контакта тел $1 и Ш. — Прим. ред.
3) Имеется в виду, в пределе при стремлении массы (площади) к ну-
нулю.— Прим. перев.
126 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § f
площади разделяющей их границы. Доказать, что из этих допу-
допущений действительно следует представимость приложенных сил
в виде C), нелегко. Мы мало на что можем опереться сверх
A2), фактически лишь на то, что
I. fB( •, Щ и fc( •, 9?) — векторные меры, определенные на
частях 5я любого тела зФ, отделенного от сё.
II. Сумма fB -+- fc сбалансирована.
Первое из этих утверждений вытекает из теоремы, непосред-
непосредственно следующей за аксиомой F4 § 1.5. Из второго утвержде-
утверждения не следует,- что какая-либо из систем сил !в и fc сбаланси-
сбалансирована сама по себе. И действительно, в общем случае ни одна
из них не может быть сбалансированной, поскольку если- бы
одна из них была таковой, то результирующая сила fc(^) об-
обращалась бы в нуль на каждой части 5я, чем исключалась бы
возможность того, что контактные силы дают вклад в движение
тел, на которые они действуют.
В силу следствия Нолла из § 1.5 мы можем заключить на
основании утверждения II, что система сил f Попарно уравно-
уравновешена:
fB (^, «?) + fc (а, щ = - fB («?, -st) - fc (V, J*). (in. i-i3)
Второе важное свойство такого рода систем сил было факти-
фактически отмечено еще самим Коши. А именно, для частей 9* до-
достаточно малого объема существует положительное число К,
такое, что
$*)\V{) (III. 1-14)
Это неравенство является непосредственным следствием нера-
неравенств A2), утверждения (II) и абсолютной непрерывности
массы как функции объема. Из A2J мы видим также, что для
семейства частей &, таких, что V{%(&)) -*-0, результирующая
контактная сила, отнесенная к единице площади, стремится в
пределе к нулю:
Нт Х?шт\ =0- (Ш. 1-15)
Если, как это может случиться, А (д%{&)) остается при этом
предельном переходе отграниченной от.нуля, то
Нт \Л9>, &*) = (). (III. 1-16)
Возьмем сперва систему контактных сил fc. Мы докажем,
что в силу предположения A2J ic(-&, Ф) зависит от тел s& и 9?
только через их поверхности контакта в X.
§ 1 .ГЛ. III. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ B7
Лемма (Гуртин & Вильяме). Пусть (s&yff) и ($t,W) — пары
отделенных тел; допустим, что d ^s4- и <§«< <& и, далее, что
конфигурации тел s& и ЯП имеют ту же общую часть границы,
что и конфигурации тел d и Ф:
дг{Ж)[\дг{Ъ)=дг№)[\дг{Ъ), »(ш. 1-17)
и что d%(s4) и dt{d), равно как djcW « д%С&), одинаково
ориентированы. Тогда
tc№, <ff) = ic(d, Ф). (III.1-18)
Доказательство. Положим
df (III. 1-19)
и превратим 9> в поверхность, приписав ей ориентацию внеш-
внешней нормали к д%{зФ). Вспоминая, далее, определения (П. 1-4)
операций Ли V, положим
d=d/\Ж, Ф^Ф /\<8. <Ш.1-20)
Из рассмотрения схематического чертежа представляется доста-
достаточно правдоподобным, что
'9 = дг(Л)[\дг{$), (Ш. 1-21)
за исключением может быть множества нулевой площади.
В силу A2) 2 контактная сила между телами, поверхность кон-
контакта которых имеет площадь 0, равна .0. Таким образом, B1)
показывает, что эффективная область контакта между
s? и ЯП та же, что и между s& и Ф. Следовательно, тело 64- Л ^е
не может испытывать никакой контактной силы со стороны ни-
никакой части тела 9Р, a d не может испытывать никакой кон-
контактной силы со стороны никакой части тела 9?, не являющейся
одновременно частью тела ^. В частности,
!с(Д?Л?е) = 0, гс(^Л^е, «0 = 0. (III.1-22)
Приведем формальное доказательство утверждения B1), принадлежа-
принадлежащее Вильямсу. Поскольку s? и 9>> входят в B1) симметричным образом, до-
достаточно доказать, что <?х(^) Л ^Х(^) отличается от 91 на поверхность
нулевой площади. Положим
(III. 1-23)
Тогда наше утверждение эквивалентно такому:
0, (III. 1-24)
поскольку 1(сЛ*) с t\s?), нбо ^*<<^. Докажем B4) методом от против-
противного. Положим
). (Ш.1-25)
128 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЙ § I
Ясно, что Ш с: д% (Л*). Допустим, что А {Ш) ф 0. Тогда Ш содержит не-
непустое открытое множество, и без потери общности мы можем принять,
что само Ш открыто. Поскольку % (s4-*) — гладкое многообразие с границей,
мы можем найти подмножество Jf* в % (<Л*), открытое относительно % (s4-*)
и содержащее 11. Поскольку также <U adt (<A), то же рассуждение позво-
позволяет нам найти множество Jf с теми же свойствами по отношению к J?.
Положим теперь
J (III. I-26)
Мы утверждаем, что JV имеет внутренние точки. Так как °U лежит иа гра-
границе регулярных областей X (Л*) и % (<А), мы можем выбрать окрестность
точки хеЧ/, содержащую как внутренние, так и внешние точки мно-
множества 1 №*)> а также как внутренние, так и внешние точки множе-
множества %(st). Мы можем выбрать эту^ окрестность настолько малой, чтобы
та часть ее, которая лежит и в % (<А) нв{ (<Л*), лежала также И в JC и
в Л". Тогда эта окрестность содержит внутренние точки множества JV. Но
Таким образом*
Л с х (<*) Л ЗС {Л*) = X {<?'А <Л*). (III. 1-27)
Поскольку в силу определения B3) тела <Л* тела Л* и <Л отделены, в пра-
правой части соотношения B7) стоит пустаи область. Однако JP не пусто, так
что мы получили противоречие. Мы пришли к этому противоречию, допустив,
что si- [Ш) ф 0. Следовательно, A (<U) = 0.
Установив соотношение B2), вернемся к главной линии дока-
доказательства леммы.
Так как а = dw (а А &*) и «? = Ф V (# Л ^е) и так как
функция fc биаддитивна на (Q X йH» имеем
fc {а, V) =fc {d, € V (V Л &)) + fc (^ Л d, V) =
fc {а, V) =fc {d, € V (V Л &)) + fc
= ic{d, #). - (III. 1-28)
Здесь второй шаг следует из B2). Такое же рассуждение
показывает, что
i ), (III, 1.29)
откуда и вытекает утверждение леммы. ¦
Мы воспользуемся этой леммой, чтобы выяснить природу
функции fc. Будем называть подмножество несущего множе-
множества данной поверхности подповерхностью, если ему приписана
та же ориентация, что и поверхности. Пусть 9* — произвольная
подповерхность границы д%[^В) конфигурации некоторого тела 92.
Введем некоторую новую функцию, определенную на борелевских
подмножествах Q подповерхности 9*. Заметим, что, поскольку
§1 ГЛ. Ш. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ J29
9с:%('ё'), Q есть борелевское подмножество в хС^6)- Обозна-
Обозначим через Q такое борелевское подмножество в 9е, что Q =
= x(??)tH положим
f|W, 50-fc ($,«?). (III. 1-30)
Доказанная лемма обеспечивает корректность этого определе-
определения. Это означает, что если ^ — другое тело, такое, что
9 cz % (#), то существует такое борелевское подмножество Q
в Ф*, что CZ — tiQ), и с помощью A9) мы приходим к заклю-
заключению, что если в C0) использовать fc(#, Ф), то мы получим
ту же функцию f^. Аналогичным образом, применяя нашу
лемму, можно показать, что если Q — произвольное борелевское
подмножество в Q, отделенное от Ф, то
fc($,^) = fc($AW,«?); (III. 1-31)
Таким образом, новая функция f|, определенная на поверхно-
поверхностях и их подповерхностях соотношением C0), полностью опре-
определяет старую функцию fc, определенную на (QX^)o- Тем са-
самым мы показали, что любая система контактных сил полностью
определяется соответствующим образом выбранной функцией,
имеющей своими аргументами поверхности и их подповерхности.
Поскольку по предположению fc(-, 9*) представляет собой
некоторую меру, определенную на подтелах тела *&*, функ-
функция f|(•, 9) представляет собой некоторую меру, определен-
определенную на подповерхностях поверхности 9. Из C0) следует, что
если 5* — подповерхность для д" и 3)—подповерхность для 9", то
f s @, 9>) = f а C>, 9"). A11.1 -32)
Условие A2)j принимает теперь вид
(III. 1-33)
где ЗЬ <= 9" и А(Ф) достаточно мало. Привлекая теорему
Радона — Никодима, мы видим, что существует такая почти
всюду ограниченная плотность t^, что
f|(iZ>, 9>)=jt^dA. (III. 1-34)
Кроме того, из C3) видно, что, если поверхности 9 и 9'
имеют одинаковую ориентацию и <?" с: 9, то
lsr = l& (III. 1-35)
б Трусделл
130 часть 'i. общие понятий § 1
почти во всех точках &'. Возвращаясь теперь к определе-
определению C0) функции f^, мы можем интерпретировать соотноше-
соотношение C4) как следующую теорему:
Теорема о напряжениях (Гуртин & Вильяме). Пусть система
сил fc на (Q X йH удовлетворяет условию A2J. Тогда суще-
существует такая почти всюду ограниченная плотность t&, что
^dA, (III. 1-36)
где 9 = д% (?Ф) П д% (W) и \&, — t#, если 9'' — подповерхность
поверхности 9>.
Полагая в этой теореме ? = «s^e, получим CJ.
Напомним, что 9> имеет ориентацию внешней нормали п
к д%(??). Если t& n>0, то усилие называется растягивающим;
если ty • п < 0, то сжимающим (давлением).
До сих пор мы не использовали предположение, что система
сил сбалансирована. Опираясь на следствие A3) из этого пред-
предположения, мы можем доказать следующую теорему:
Теорема о действии и противодействии (Нолл). Системы мас-
массовых и поверхностных сил попарно уравновешены:
fB(rf, «?) = -fB(«?. •*)
fc(**) —fc(».rf) *<**>«<°ХЦЬ. (Ш. 1-37)
Доказательство. Пусть снова У обозначает поверхность кон-
контакта между взаимно отделенными телами s4- и "g7. Из геометрии
известно, что мы можем выбрать такие последовательности ча-
частей si-n и Ifn тел st и 9" соответственнб, что в пределе при
га-*-bo объемы их конфигураций стремятся к нулю, но 9* все
время сохраняется в качестве поверхности контакта. Формально:
9> = dt{s4-n){\dt{<en), (III. 1-38)
и поскольку в механике сплошной среды масса — абсолютно не-
непрерывная функция объема (§ II. 2),
M(i,)->0, M(?n)-»0. (III. 1-39)
Лемма Гуртина — Вильямса показывает, что
fc №*', J)« ic {V, J). " (IIL M0)
Конечно, будучи частями взаимно отделенных тел s4- и %?,
$Фп и %?п также отдедены. Поэтому мы можем подставить
§ I ГЛ. III. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИИ 131
в A3) s4-n вместо si- и* 9?п вместо ев. Используя затем D0),
получим
»вК. *„) + М-*. *)=-*„(*„. *„)-1в(9, si-). (III. 1-41)
При n->-oo обе массовые силы tB(st-n, %,) и iB(9n, si^ стре-
стремятся к нулю в силу A2),, откуда и следует C7J. Наконец,
применяя A3), получаем C7)(. щ
Следствие. Если через —9* обозначить поверхность, имею-
имеющую то же несущее множество, что и 9", но противоположную
ориентацию, то
W = -t^. (III. 1-42)
Упражнение III.1.1. Используя теорему Лебега о призводной'), доказать,
что D2) следует из C7) 2 и C6).
Теперь мы можем обратиться к системе массовых сил. Опи-
Опираясь на теорему Нолла из § 1.5 и соотношение C7) ь мы за-
заключаем, что результирующая массовая сила аддитивна на от-
отделенных телах. Иными словами, если
(III. 1-43)
то
fB(^V«') = fB(.«) + fB(«?) V(J,??)e(QXQH. (III. 1-44)
Согласно одной теореме Гуртина и Вильямса2), такая функция,
если она к тому же абсолютно непрерывна по отношению к
объему, является сужением на %(&) некоторой борелевской
меры, абсолютно непрерывной по отношению к объему. Мы мо-
можем для этой меры использовать то же обозначение fe. Из тео-
теоремы Радона — Никодима следует, что fa имеет почти всюду
ограниченную плотность btot:
fB(J) = J pbtotdV. (III. 1-45)
Согласно аксиомам инерции (§ 1.13) инерционные силы
имеют (по отношению к массе) плотность —а, где а — не зави-
зависящий от системы отсчета вектор, который в инерциальной си-
системе сводится к х. Поэтому, положив
b = btot + a, (III. 1-46)
') См., например, теорему 41.3 в кнвге М. Е. Munroe, Introduction to
measure and integration, Reading, Addison Wesley, 1953. [См. также Я. С. Дуб-
Дубнов, Основы векторного исчисления, т. II, ГИТТЛ, 1952. — Ред.\.
2) Цит. соч., приложение.
132 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 2
получим (ll)i и, следовательно, также (8)j. В плотности b
можно учесть эффекты массовых сил взаимодействия1), но
в этой книге, как уже было сказано, никакие массовые силы,
кроме внешних, не рассматриваются. Поскольку плотность btot
ограничена почти всюду и поскольку мы предполагаем, что х
в инерциальной системе отсчета ограничено почти всюду, то это
же справедливо и для Ь.
§ 2. Поле усилий.
Постулат Кош и и теорема Нолла
Мы записали принципы сохранения количества движеГния и
момента количества движения, используя поле усилий tdxw на
границе dt(&>) конфигурации любой части & тела 3&:
J pkdV= J tdxmdA + - J pbdV,
{& д% [&) X (<Я
J. (x-Xo)
(Л
J (x-xo) Л !*»«.>&*+ J (x-Xo)ApbdF, (III.1-8)
где мы продолжаем рассматривать некоторый определенный мо-
момент времени t, но не отражаем этого в обозначениях. Чтобы
свести эти интегральные уравнения к эквивалентным полевым
(дифференциальным) уравнениям, мы должны выразить поле
усилий t^s», которое определено только на 91, через какие-то
поля, определенные на открытом множестве, содержащем 9>
внутри себя. Построением такого расширения мы сейчас и зай-
займемся.
Точка х на дх(^), очевидно, лежит также на границах dx(Q)
бесконечно многих частей Q тела &>. Усилие t для этих раз-
различных поверхностей, имеющих х общей точкой, вообще говоря,
зависит от поверхности 9>. В предыдущем разделе мы показали,
что, если 9" — подповерхность поверхности 9*, то \&>-=\&, но
мы не установили никакого соотношения между i$» и i& для
более общих пар поверхностей 9" и 9", например для случая,
когда рассматриваемая точка х — единственная общая точка
9)Г и 9". В классической механике сплошной среды Коши и его
') Достаточно общая и точная теория массовых сил взаимодействия, на-
например сил, порождаемых ньютоновским тяготением, может быть получена
по аналогии с соответствующей теорией для тепловых потоков, развитой
Вильямсом (W. О. Williams, On internal interactions and concept of thermal
isolation, Arch. Rational Mech. Anal., 34 A969), 245—258; Thermodynamics of
rigid continua, там же, 36 A970), 270—284).
§ 2 ГЛ. III. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЯ 133
последователей всегда предполагалось, что усилия на всех оди-
одинаковым образом ориентированных поверхностях с общей каса-
касательной плоскостью в точке х одинаковы. Иными словами, пред-
предполагалось, что i& в точке х зависит от 9> только через посред-
посредство ориентированной нормали л к поверхности.^ в точке х:
t^ = t(x,n). " (III.2-1)
Это — постулат Коши. Поверхность 91 ориентируется таким об-
образом, что нормаль п к ней направлена наружу из x(J), если
9> — часть д%(!%). Таким образом, t(x, — n) —это усилие, дей-
действующее в точке х на всех поверхностях 9", касательных
к д%(&) и образующих части границ тел, конфигурации кото-
которых лежат во внешности х(^е) конфигурации х($). В этом
смысле t(x, n) — это усилие, оказываемое в точке х на тело 3$
внешними по отношению к 3$ телами, a t(x, —п) — это усилие,
оказываемое в точке х телом 31 на внешние тела.
В качестве тривиального следствия из (III. 1-42) получаем
фундаментальную лемму Коши:
t(X) -n)=-t(x, n). (III. 2-2)
Для тех читателей, которые не задержались, чтобы просле-
проследить доказательства теорем, приведенных в предыдущем пара-
параграфе, мы дадим здесь набросок собственных- рассуждений
Коши, с помощью которых он выводил утверждение B) из сво-
своего постулата A) и закона количества движения без использо-
использования (III. 1-42).
Доказательство. В силу A) достаточно рассмотреть случай,
когда i?— ориентированный диск достаточно малого радиуса
с центром в х. Тогда —9" — противоположно ориентированный
диск. Допуская, что тел во вселенной Q достаточно, чтобы лю-
любой прямой круговой цилиндр достаточно малых радиуса и вы-
высоты являлся конфигурацией некоторого тела, выберем в каче-
качестве ii&) круговой цилиндр, ось которого нормальна к 9", раз-
разрезаемый точно пополам диском 91. Если высоту этого цилиндра
обозначить через е, то V(%($)) = еА(9>). Мы допустим, что
Ь —х ограниченно почти всюду. Применим уравнение количе-
количества движения (III. 1-8) к %(&) и затем перейдем к пределу при
е->0, сохраняя неизменным диск 9, так что, конечно, и площадь
его остается неизменной. Предел разности объемных интегралов
равен 0, следовательно,
lim f t(x, n)dA = 0. (III.2-3)
e->o J
134 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 2
(Конечно, этот результат есть частный случай результата
(III. 1-16). Однако данное доказательство предназначено для
читателя, пропустившего часть предыдущего параграфа, иду-
идущую вслед за соотношением (III. 1-9).)
При переходе к пределу п не меняется, но множество значе-
значений х, по которому берется интеграл, стягивается до дважды
проходимого диска 9>. Если мы предположим, что t(-., n) — огра-
ограниченная почти всюду функция от х, то предел интеграла по
боковой поверхности цилиндра равен нулю, поскольку площадь
этой поверхности стремится к нулю. Таким образом, остается
рассмотреть только пределы двух интегралов по 9'. Если мы до-
допустим еще, что t(-, n) — непрерывная функция от х, то пределы
этих интегралов будут в обоих случаях равны интегралам от
предельных функций:
J [t (x, n)-+ t(х, - п)] dA = 0. (III. 2-4)
Поскольку 9° — произвольный достаточно малый диск, нормаль-
нормальный к п в точке х, отсюда и следует утверждение B). I
Читатель, готовый принять постулат Коши A) и предполо-
предположения о гладкости b — х и t, которые были сделаны в ходе
доказательства фундаментальной леммы Коши, может перехо-
переходить к следующему параграфу. С другой стороны, читатель,
который проследил за рассуждениями, проведенными в преды-
предыдущем параграфе, заметит, что одно из этих предположений
о гладкости является излишне сильным, тогда как справедли-
справедливость второго уже была доказана в математической теории, опи-
опирающейся на (III. 1-12). Кроме того, и C) есть частный случай
(III. 1-16). Фактически, как мы сейчас увидим, справедливость
постулата Коши можно получить как следствие закона количе-
количества движения и весьма умеренных предположений о гладкости.
Теорема (Нолл). Допустим, что контактная сила fc(^, Щ,
действующая на произвольную часть зФ тела <Й со стороны
отделенного от si- тела <&, определяется полем усилий t$> с по-
помощью соотношения (III. 1-8),. Тогда постулат Коши A) выпол-
выполняется почти всюду на любой поверхности 91, лежащей
внутри x(J).
Доказательство. Мы предполагаем здесь, что сохраняют си-
силу допущения (III. 1-12), так что мы можем использовать их
основные следствия: лемму, выраженную соотношением
(III: 1-15), теорему об усилиях (III. 1-36) и существование огра-
ограниченной плотности массовой силы b — х. В соответствии со вто-
вторым из этих следствий и теоремой Лебега о производной почти
§ 2 ГЛ. III. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ 135
во всех точках поверхности 9
Hm*** . , (III. 2-5)
m-*oo л \ ит)
где Ilm — подходящим образом выбранная последовательность
подмножеств поверхности 9, стягивающихся к х. Мы соби-
собираемся показать, что если 0~ и 9 имеют общую ориентирован-
ориентированную нормаль п в точке х и если и t^-(x) и t^(x) существуют, то
Mx) = t^(x). (III. 2-6)
Общее значение этих двух функций t& и t^ в точке х есть
тогда функция одного лишь п, это значение можно будет обо-
обозначить через t(x, n), и теорема Нолла будет доказана.
Если 9 и 0~ вблизи х совпадают, то искомый результат
тривиален. Если же нет, то вблизи регулярной точки х, общей
для 9 и 0~, мы опишем круговой цилиндр малого радиуса Дг,
осью которого служит общая нормаль п, и обозначим часть
ограниченной им области, лежащую между 9 и 0~, через A3).
Обозначим, далее, цилиндрическую часть границы д A3) через
As4-*, а части этой границы, общие с 9 и 0~ соответственно, че-
через АэФ и Asi-'. Как следствие закона количества движения и
основных предположений (III. 1-12) относительно систем сил,
встречающихся в механике сплошной среды, мы вывели соотно-
соотношение (III. 1-15). Это соотношение является ключевым для по-
последующих рассуждений.
Сперва предположим, что х — эллиптическая точка поверх-
поверхности 9, 0~— касательная плоскость к 9* в точке х и соотно-
соотношение E) выполняется для поверхности 9" в х. Тогда не только
поверхность 9° лежит вся по одну сторону от 0~ вблизи точки х,
но можно также построить параболоид вращения 9* с верши-
вершиной в х, имеющий 0~ касательной плоскостью и такой, что при
достаточно малых Дг соответствующий кусок поверхности 9
заключен между ним и плоскостью 0", А именно, если
z = f(x, у) — уравнение поверхности 9 вблизи х в прямоуголь-
прямоугольных декартовых координатах, причем координатные оси х и у
лежат в плоскости 0~, а 2 — расстояние по нормали к этой-
плоскости, то в точке х dlf^O, dxdLf^i0, dlf^nO, и если мы
положим
d]f), *2 + y2<Ar!, (III. 2-7)
то нужный нам параболоид описывается уравнением
^ 2). (III. 2-8)
136- ЧАСТЬ i. 66ЩИЕ ПОНЯТИЯ § 2
Площадь цилиндрической части Д^* границы д h.$b не больше,
чем площадь части цилиндрической поверхности между пло-
плоскостью и параболоидом. Таким образом, при Дг —»0
А{Ш*)^BпЬг)-±К{ЬгJ = о{Ьг2). (III. 2-9)
Аналогичным образом объем области Д0 не больше объема об-
области, заключенной между 9й*, цилиндрической поверхностью и
плоскостью. Следовательно,
V (Д2>) < ^ я# Лг4 = о (Дг>). (III. 2-10)"
Конечно,
Л(Д^') = яЛг2. (III. 2-11)
Упражнение III. 2.1. Доказать, что
(III. 2-12)
н, следовательно,
Л(дД2>) 2Л2 + (Л2) при Лг^О,
при Дг->0. ( ' " '
Этот последний результат позволяет нам применить (III. 1-15)
к части & тела Я, занимающей Д^). (Мы предполагаем, что
во вселенной Q достаточно множеств, чтобы Д^> независимо
от величины Дл было конфигурацией некоторого тела.) Ориен-
Ориентируя касательную плоскость 0~ так, чтобы ее нормаль в точке х
была направлена внутрь У, заключаем, что почти для всех х
на & ,
= 0. (III. 2-14)
АЛ АЛ' АЛ*
В силу (9) и A3) 1 предел третьего интеграла равен нулю, по-
поэтому с учетом A1) и A2) мы видим, что
lim
АЛ АЛ
при условии, что какой-нибудь из пределов существует. Но зна-
значение предела в левой части по определению есть t^fx), так что
приведенным рассуждением доказывается существование пре-
предела в правой части. Этот предел в правой части не зависит от
выбора 9'. Следовательно, t,y(x) одинаково для всех поверхно-
поверхностей 9>, эллиптических в точке х, если для 9> в х выполняется
условие E).
Упражнение III.2.2. Завершить доказательство теоремы Нолла, рассмо-
рассмотрев случай, когда х — седловая точка 9", {Г илн обеих поверхностей. ¦
§ 3 ГЛ. III. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ 137
§ 3. Фундаментальная теорема Коши.
Существование тензора напряжений
Постулат Коши (III. 2-1) и его следствие — фундаментальная
лемма Коши (III. 2-2) —позволяют нам определить характер за-
зависимости поля усилий t от п. Именно, эта зависимость линейна,
как утверждает
Фундаментальная теорема Коши. Если t(-, n)—непрерывная
функция от х, то существует такое тензорное поле Т(-), что
t(x, n) = T(x)n. (III. 3-1)
Сам Коши интепретировал эту теорему как утверждение, чго
усилия на любых трех линейно независимых площадках, прохо-
проходящих через данную тбчку, вполне определяют усилия на всех
поверхностях вблизи данной точки. Действительно, пусть {е,} —
какой-нибудь базис в пространстве Т, так что п = п'е*. Соотно-
Соотношение A) означает, что
t=T(n'e,)=*nf(Te,) = rt't,, . (III. 3-2)
где U — усилие на площадке с внешней нормалью е<, Значение
Т(х) тензорного поля Т в месте х называется тензором напря-
напряжений, и утверждение фундаментальной теоремы Коши состоит
в том, что существует поле тензора напряжений. Буква Т при-
призвана напоминать о «растяжении»1), поскольку п*Т(х)п>0
тогда и только тогда, когда усилие t(x) растягивающее. Соот-
Соответственно тензор —Т иногда называют тензором давлений.
Коши доказывал свою теорему, применяя (III. 1-14) к тетра-
тетраэдру, три из четырех граней которого взаимно перпендикулярны.
Таким способом он вывел, что если е* — ортонормированный ба-
базис в точке х, то
3
— утверждение, эквивалентное B). Доказательство Коши, из
которого просматривается и путь, которым можно прийти к от-
открытию этой теоремы, вновь и вновь воспроизводится в учебни-
учебниках. Здесь мы дадим доказательство, принадлежащее Ноллу2),
которое подобно доказательству Коши в том отношении, что
опирается в основном на (III. 1-14), но отличается от него тем,
') В оригинале «tension»,—Прим. ред.
2) Мы следуем изложению Гуртииа, данному в § 15 его «Линейной тео-
теории упругости» (Fliigge's Handbuch der Physik, VI a/2, 2nd. ed., ed. C. Truesdell,
Springer, 1972). В том же самом параграфе Гуртии приводит строгий и эко-
экономичный вариант первоначального доказательства К
138 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 3
что использует два произвольных линейно независимых вектора,
а не ортогональную тройку векторов.
Доказательство. Функция t(x, •) определена соотношением
(III. 2-1) только для аргументов, являющихся единичными век-
векторами. Мы можем следующим образом распространить это оп-
определение на все Т:
{| v|t(x, v/1 v|) при v=^0,
t(x, v)^ ' ' (III. 3-3)
v (.0 при v = 0.
Если Д > 0 и v ^= 0, то в соответствии с C)
t(x, Av) = \ Av\t(x, A\l\ A\\) = Ai{x, v), (III. 3-41
и тот же результат тривиальным образом получается, если
V —0 или Л = 0. Если Л < 0, то в силу D) и фундаментальной
леммы Коши (III. 2-2)
t(x, Av) = t(x, — |Л |v)= |Л |t(x, -v) = At(x, v). (HI. 3-5)
Таким образом, t(x, •) — однородная функция векторов.
Теперь мы хотим показать, что функция t(x, •) аддитивна:
t (х, v, + v2) = t (х, Vi) + t (х, v2). (III. 3-6)
Если v, и v2 линейно зависимы, то F) сразу следует из одно-
однородности t(x, •). Поэтому предположим, что Vi и v2 линейно
независимы. Тогда проходящие через данную точку х0 пло-
плоскости 3я, и &>2> нормальные соответственно к v, и v2, различны
между'собой. Положим
v3 = — (v,+v2) (III. 3-7)
и рассмотрим область $Ф, которая ограничена этими двумя
плоскостями, плоскостью <^3, нормальной к v3 и проходящей
через точку xo + ev3, и плоскостями ^4 и ^*5> параллельными
плоскости, определяемой векторами V] и v2 и находящейся на
расстоянии 6 от х0. Мы предположим, что е и 6 достаточно
малы, чтобы s4- было конфигурацией некоторой части тела $1,
и обозначим через Wi часть плоскости &и являющуюся частью
границы бФ. Зафиксируем 6 и устремим е к нулю. Обозначая
через At площадь Wu мы видим, что
ч
Л1 = -|^|Л3, Л2 = |~Л3, А3 = О(е.) при е->0. (III. 3-8)
V Ы) = 4 е I v, IД, = 26Л4 =:
Положим
с = -^- jt(x,n)dA, (III.3-9)
§ 3 ГЛ. III. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ 139
Из (8) и предположения о непрерывности t(-,n) следует, что
3
при е-*°; (in.з-ю)
здесь мы, используя фундаментальную лемму Коши (III. 2-2),
включили интегралы по F( и Fs в остаточный член. Восполь-
Воспользуемся теперь однородностью t(x, •). Применив (III. 2-5), полу-
получим, что
2(o при е-+0. (III. 3-11)
С другой стороны, в силу (III. 1-14) с->0 при е->0. Значит, по-
поскольку сумма в A1) не зависит от е, она должна быть равной
нулю:
ijt(xo>v,) = O. (III. 3-12)
С учетом равенства G) это означает, что t(x, •)—аддитивная
функция в точке х0. Но любое однородное аддитивное отображе-
отображение является тензором. Итак, мы показали, что t (х, v) = Т (х) v,
и если в этом результате ограничиться единичными векторами,
то мы и получим фундаментальную теорему Коши A).В
, В формулировке фундаментальной теоремы Коши можно заменить «не-
«непрерывная» на «интегрируемая», но доказательство при этом становится го-
гораздо более сложным').
Упражнение III.3.1. Доказать следующую теорему взаимности Коши:
п • t (x, m) = т • t (x, n) Vm, n§T=TT. (III. 3-13)
Нормальная компонента n-t(x, п) называется нормальным
усилием в точке х на поверхностях, единичные нормали к кото-
которым в точке х равны п, а касательная компонента t—(n:t)n
называется касательным (сдвиговым) усилием на этих поверх-
поверхностях. Из фундаментальной теоремы Коши A) видно, что нор-
нормальное усилие— это нормальная компонента тензора Т:
nt = n-Tn. (III. 3-14)
Если (n, e, f) —ортонормированный базис в точке х, то
Tn)f. (III. 3-15)
Компоненты е-Tn и f-Tn касательного усилия называются со-
соответственно касательными, (сдвиговыми) напряжениями в на-
направлениях е и f соответственно.
') М. Е. Gurtin, V. J. Mizel & W. О. Williams, A note on Cauchy's theo-
theorem, /. Math. Anal. Appi, 22 A968), 398—401, ¦
140 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ - §4
В силу фундаментальной теоремы Коши A) мы можем сле-
следующим образом записать законы количества движения и мо-
момента количества движения (III. 1 -8) i, 2 с помощью тензора на-
напряжений Т:
J pxdV= J TndA + J pbdV,
X (Л t) д% (Л t) X (Л t)
j (x — Хо) Л px dV =
(HI. 3-16)
= J (x — Хо) Л (Tn) dA + J (x — Хо) Л pb dV.
dX №. t) xW.t) '
Здесь мы вновь явно указываем время /. Именно в этой форме
эти два принципа сохранения обычно используются в механике
сплошных сред.
Поскольку все силы независимы от системы отсчета, при за-
замене системы ф системой ф* мы имеем
t* = Qt, b* = Qb, (III.3-17)
где Q(t) определяет ориентацию ф* относительно ф в момент /.
Как мы убедились в упр. I. 11.3, единичная нормаль п к поверх-
поверхности в пространстве & не зависит от системы .отсчета:
n* = Qn. (III. 3-18)
Фундаментальная теорема Коши A) применима в ф* так же,
как и в ф Следовательно, Т преобразует независимые от си-
системы отсчета векторы в такие же. Из рассуждений, использо-
использованных при выводе A.9-10), вытекает, что тензор напряжений
не зависит от системы отсчета:
T* = QTQT. (III. 3-19)
§ 4. Общее уравнение баланса
Интегральное соотношение (III. 3-16)i, как и другие фунда-
фундаментальные уравнения классической физики, имеет вид уравне-
уравнения баланса:
= J pWdV= J ФпЖ4+ J pZdV. (HI.4-1)
Здесь Ч? и 2 — тензорные поля одинакового порядка, опреде-
определенные на & и %{!?, t) соответственно, а Ф — тензорное поле на
единицу большего порядка. Один тривиальный случай уже встре-
встречался нам ранее: принцип сохранения массы можно выразить
в этой форме, приняв ЧГ= 1, Ф = 0, 2 = 0. В общем случае мы
§4 ГЛ. 111. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ Г41
интерпретируем уравнение баланса A) как утверждение, что
скорость возрастания «полного количества» 4F в некоторой ча-
части & заданного тела может быть представлена как сумма двух
слагаемых: притока через границу конфигурации и прироста во
внутренних местах конфигурации. Если запись в форме A)
верна, то Ф называется потоком величины 4F, а 2 — ее поступ-
поступлением ').
Уравнения баланса обычно применяются в двух специальных
случаях — в областях, где соответствующие поля гладки, и
вблизи разрывов определенного рода. Здесь мы рассмотрим пер-
первый случай.
А именно, мы допустим, что поток Ф непрерывно дифферен-
дифференцируем внутри %(&, t) и непрерывен на d^frj). Тогда к обла-
областям с гладкой границей можно применить преобразование
Грина:
J Фп dA = J й\чФаУ. (III. 4-2)
ах <<s*. t) х (Л ')
Таким образом, общее уравнение баланса A) принимает вид
Г (pY — div Ф — pS) dV = 0. (III. 4-3)
% (<0>, t) —
Далее, уравнение баланса считается справедливым для всех
тел и, следовательно, для всех конфигураций всех частей & дан-
данного тела. Поэтому, в частности, C) справедливо_для всех ча-
частей &, которые в момент t заполняют достаточно малые шаро-
шаровые окрестности точек х внутри i($8,t). Если интеграл от не-
непрерывной функции / по любой малой шаровой окрестности
точки х равен нулю, то эта функция сама равна нулю в точке
х. Конечно, верно и обратное, т. е. если функция / равна нулю
во всех точках, то равен нулю и интеграл от нее по любой об-
¦ ласти, содержащейся в области ее определения/ Таким образом,
имеет место следующая
Теорема. Допустим, что уравнение баланса A) выполняется
для всех частей & тела $; тогда во всех внутренних точках тех
подобластей в 1C8, t), где p4f, pS и <И\Ф непрерывны,
p4r = div® + pS. (III. 4-4)
Обратно, если соотношение D) выполняется во всех внутренних
точках некоторой области и если Ф- непрерывно на границе этой
области, то в момент t для тела, занимающего эту область, вы-
выполняется общее уравнение баланса A).
') В оригинале supply. — Прим. ред.
Г42 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 5
Дифференциальное уравнение D) называется общим уравне-
уравнением поля. При пространственном описании материальная про-
производная W вычисляется в соответствии с соотношением (II. 6-3)
или одним из его обобщений.
§ 5. Законы движения Коши
Теперь дадим локальную запись уравнений баланса количе-
количества движения и момента количества движения. Прежде всего,
полагая Чг = х, Ф = Т и 2 = Ь, мы преобразуем (III. 4-1)
в (III. 3-.16), и в силу (III. 4-4) получаем первый закон движе-
движения Коши
px = divT + pb (III. 5-1)
как необходимое и достаточное условие того, что баланс коли-
количества движения соблюдается для всех подтел внутри области,
в которой непрерывны рх, pb, T и divT.
Уравнение (III.3-16J не удается преобразовать так непо-
непосредственно.
Упражнение II 1.5.1. Доказать, что для любого непрерывно дифференци-
дифференцируемого тензорного поля S
J (х - хо) Л Sn dA = J [(х - х0) Л div S + ST - s] dV, (III.5-2)
ass s?
где 91 — произвольная регулярная область.
Если подставить B) в (III.3-16J и предположить, что вы-
выполняется первый закон Коши, то мы получим в качестве необ-
необходимого и достаточногр условия баланса момента количества
движения уравнение
J (TT-T)dV = 0. (III.5-3)
х (Л t)
Поскольку тензор Т непрерывен, отсюда следует соотношение
ТТ = Т. (III. 5-4)
Это — второй закон движения Коши: если выполняются
предположения, при которых имеют место первый закон и ба-
баланс количества движения, то баланс момента количества дви-
движения эквивалентен симметричности тензора напряжений.
Законы Коши утверждают, что Тт —Т и рх—divT —pb обращаются
в нуль в некоторой ииерциальной системе отсчета. Поскольку эти величины
независимы от системы отсчета в галилеевом классе любой заданной системы
отсчета, они обращаются в нуль в одной из инерциальных систем в том и
только в том случае, когда они обращаются в нуль во всех инерциальных
системах отсчета (см. § 1.13),
§ 5 ГЛ. Ш. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ 143
Поскольку теизор Т независим от системы отсчета, то такова же и раз-
разность Тт — Т. Таким образом, второй закон Коши есть утверждение, не за-
зависящее, от системы отсчета. Иными словами, он выполняется в одной си-
системе отсчета в том и только в том случае, если он выполняется во всех си-
системах.
Первый закон Коши в том виде, в каком он был сформулирован, не яв-
является независимым от системы отсчета, но его, конечно, можно сделать та-
таковым, чуть видоизменив запись. Действительно, и -div T и pb не зависят от
системы отсчета, что отражает факт независимости от системы отсчета всех
сил и масс. Ускорение х, однако, ие таково, о чем мы пространно говорили
в § I. 9 и § I. 11. В соответствии с не зависящей от системы отсчета форму-
формулировкой аксиом инерции (§ 1.14) первый закон Коши в произвольной си-
системе ф* принимает вид
pa = div Т* + рЬ", (III. 5-5)
где
а = х* — Xq — 2А(х* — Xq) —(А —А2) (х\— х*0), A.11-3)
T* = QTQT, • (III. 3-14)
b* = Qb; (III. 3-12)
здесь Q, x0 и х0 — величины, определяющие замену системы отсчета (II. 14-2)'
А = QQ , а х* и х* — поля скорости и ускорения относительно ф .
Некоторые авторы предпочитают переносить члены, входящие в A.11-3)
со знаком минус, в правую часть первого закона Коши и называют их «си-
«силами» или «кажущимися силами». Согласно их точке зрения первый закон
Коши в-форме A) справедлив во всех системах отсчета, но к массовой силе
Ь следует добавить силы, «порождаемые движением» системы наблюдателя по
отношению к некоторой инерциальной системе. Поскольку получаются те же
уравнения, эта точка зрения законна, но -вряд ли удачна, поскольку она за-
затемняет первичную природу систем отсчета и систем сил.
Еще раз напомним, что в этой книге всюду, за исключением тех мест,
где обсуждаются вопросы независимости от системы отсчета, все рассматри-
рассматриваемые системы отсчета предполагаются инерциальными.
Два закона движения Коши были доказаны при помощи рас-
рассуждений, применимых только к внутренним точкам. На границе
тела, не контактирующего ни с каким другим телом, эти рассу-
рассуждения уже не имеют силы.
Мы будем предполагать, что поле напряжений Т(х, t) непре-
непрерывно на замыкании Х(^, t) конфигурации тела Я в момент /.
Таким образом, второй закон D) выполняется и на границе.
Мы предположим также, что в граничных точках выполняется
и первый закон A) в смысле предела изнутри.
В некоторых новых теориях механики сплошной среды появляются тен-
тензоры напряжений, не являющиеся симметричными. В этих теориях либо до-
допускаются моменты, не являющиеся моментами сил, либо плотность момента
количества движения не есть просто момент плотности количества движе-
движения, либо имеют место оба эти обстоятельства. В этом курсе в качестве ло-
локальных формулировок принципов баланса количества движения и момента
количества движения нам будет достаточно классических законов Коши, и
упомянутые более общие идеи нам не понадобятся.
144 ЧАСТЬ I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 5
Поскольку тензор напряжений симметричен, он имеет спект-
спектральное разложение вида
Т=2/,е,®е„ (III. 5-6)
где {е,} — подходящим образом выбранный ортонормированный
базис. Собственные числа U называются главными напряже-
напряжениями, а направления е*— главными осями (тензора) напря-
напряжений. Если все собственные числа различны, то главные оси
определяются единственным образом; в противном случае Т
имеет бесконечно много троек главных осей. В общем случае
поле ортогональных троек не является полем естественных ба-
базисов некоторой криволинейной системы координат1), хотя, ко-
конечно, существует бесконечно много поверхностей, нормальных
к каждому отдельному из векторов е* в любом месте х в момент
t. На такой поверхности в точке х в момент t нормальное усилие
равно главному напряжению U, а все касательные напряжения
равны нулю.
Упражнение III. 5.2. Напряженное состояние называется гидростатиче-
гидростатическим в х, если для всех п выполняются следующие условия:
|t(x, п) | не зависит от п, н n-t(x, п) сохраняет знак, (III. 5-7)
п-?(х, п) не Зависит от п, (III.5-8)
t (х, п) параллельно п. ' (III. 5-9)
Показать, что в силу второго закона Коши любое из этих условий влечет за
собой остальные и что
Т = — р(хI. (III. 5-10)
Какова связь между этими условиями, в случае когда тензор Т несимметри-
несимметричен? Здесь предполагается фиксированным некоторый определенный момент
t, не указанный в числе аргументов.
Скорость с «вершения работы W системой сил была опреде-
определена соотношением A.8-7). В инерциальной системе W выра-
') Векторное поле v является полем нормалей некоторого семейства по-
поверхностей тоги и только тогда, когда существуют такие скалярные функции
А и В, что v = А V В. Эквивалентное условие: v должно быть ортогонально
к ядру (нуль-пространству) оператора Vv—(Vv)T. Векторные поля, обла-
обладающие этим свойством, называются слоистыми [в оригинале complex-lamel-
complex-lamellar. — Ред.]. (См. CFT, § Арр. 33), В работах по дифференциальной геомет-
геометрии можно найти необходимые » достаточные условия того, что поле орто-
ортогональных троек локально является полем естественных базисов некоторой
системы криволинейных координат, но в этой книге' они нам не понадобятся,
Для любых потребностей теории иеголоиомные компоненты столь же хо-
хороши, как и компоненты по отношению к некоторой координатной системе.
Пример применения иеголономных компонент для решения одной задачи дай
ниже в упр. V. 4.1.
§ 5 ГЛ. III. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ 145
жается через кинетическую энергию К и мощность Р — соотно-
соотношением A.14-1). Мощность A.14-2) в механике сплошной
среды — это скорость совершения работы контактными и мас-
массовыми силами:
Р== J x-TndA+ J pk-bdV. (III.5-11)
Упражнение III. 5.3 (Стоке). Доказать, что
Г = Г wdV, (III. 5-12)
где скалярная функция w, называемая мощностью напряжений, определяется
формулой
ш —tr(TG)=.tr(TD). (III. 5-13)
Используя это, показать, что при жестком движении w *= 0, а также что
w = 0 при изохорическом движении в условиях гидростатического напряжен-
напряженного состояния. Убедиться, что w — скаляр, не зависящий от системы от-
отсчета.
Упражнение III. 5.4. Положим
Рс== J к-ТпйА. (III. 5-14)
&t)
Допустим, что поле массовых сил консервативно, и определим соответствую-
соответствующую потенциальную энергию V\&, t) следующим образом)
J
ё dV. (III. 5-15)
X (<?. О
Доказать, что
Р = Рс - V (III. 5-16)
и, следовательно,
W = PC-(K + V). (III. 5-17)
Вспоминая определение механически совершенного движения, данное в § 1.14,
мы приходим к выводу, что в механически совершенном движении тела под
действием консервативных массовых сил и поверхностных усилий, нормальных
к скоростям в тех точках, где они действуют, соблюдается соотношение
K+V*= const. (III. 5-18)
Результат, сформулированный в последнем упражнении,
представляет собой теорему «сохранения (чисто) механической
энергии». Лежащие в ее основе допущения выполняются в не-
некоторых задачах классической механики сплошной среды, но не
вообще.
146 ЧАСТЬ I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ в в
§ 6. Баланс энергии
В § 1.14 был сформулирован и обсужден общий принцип
баланса энергии. Этот принцип выражается аксиомой
(I.14-5)
где Е — внутренняя энергия тела 38 в момент t, W — скорость
совершения работы силами, действующими на 9Ь в конфигура-
конфигурации %($!, 0» а Q — скорость нагрева тела & в момент t. Все три
величины Е, W и Q независимы от системы отсчета.
Как было сказано в предыдущем параграфе,^ в механике
сплошной среды W имеет вид (III. 5-12). Мы предположим, да-
далее, что Е есть значение абсолютно непрерывной функции массы.
Таким образом,
= J pedV, (III.6-1)
где плотность е(х), называемая удельной энергией, — независи-
независимое от системы отсчета скалярное поле. Здесь и далее в этом
параграфе мы рассматриваем фиксированный момент времени
t, но не указываем этого в обозначениях.
Подобно тому как результирующая действующая на тело
сила считается суммой абсолютно непрерывной функции массы
и абсолютно непрерывной функции площади поверхности, мы
будем предполагать в механике сплошной среды, что скорость
нагрева Q есть сумма скорости объемного нагрева Qb и скорости
контактного нагрева Qc:
= J psdV,
x(>) (HI-6-2)
Плотность s называется поступлением тепла, а плотность
q p — притоком тепла. Часто говорят, что первая из них
представляет передачу тепла «излучением», а вторая — «тепло-
«теплопроводность».
' ' Все, что было сказано о силах в механике сплошной среды,
допускает перенос (и притом с упрощениями, поскольку речь
идет уже не о векторах, а о скалярах) на скорость поступления
тепла. Например, приток тепла Яв%{9) можно рассматривать
как первичную величину, или же можно доказывать. его суще-
§ S ГЛ. III. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ 147
ствование, привлекая на помощь допущения о соответствующего
рода непрерывности Qb и Qc. Аналог теоремы Нолла из § III. 2
утверждает, что при весьма общих обстоятельствах
<7dx(*t(x)=.«7(x,n), (III. 6-3)
где п — ориентированная нормаль к д%(&). Иными словами,
приток тепла в.точке х в момент t одинаков для двух поверхно-
поверхностей, касающихся друг друга в этой точке, как это принимал
без доказательства Фурье и как это принимали все другие ав-
авторы вплоть до самого недавнего времени.
Аналогом фундаментальной теоремы Коши из § III. 2 яв-
является принцип теплового потока Фурье — Стокса:
<7(х, n) = h(x).n. (III. 6-4)
Он означает, что приток тепла есть линейная функция от п.
Векторное поле h, определяющее в соответствии с D) приток
тепла, называется полем вектора теплового потока.
Подставляя D) в B), а затем полученное выражение, A) и
(III.5-13) в A.14-5), получаем форму записи принципа балан-
баланса энергии, удобную для механики сплошной среды:
= J h-ndA + J (w + ps) dV, (III.6-5)
<? ex (<?. t) % (Л 0
где w — мощность напряжений, определенная соотношением
(III. 5-14); на этот раз мы явно указали время /.
Уравнение (III. 6-5) имеет вид общего уравнения баланса
(III.4-1), поэтому в силу (III.4-4) оно локально эквивалентно
в областях, где рё, ps, w и divh непрерывны, следующему диф-
дифференциальному уравнению (Фурье, Кирхгоф, К. Нейман):
рё = ау-fdivh + ps. (III. 6-6)
Это уравнение представляет собой приведенное уравне-
уравнение баланса энергии в механике сплошной среды, приве-
приведенное в том смысле, что оно справедливо при условии, что
имеет место баланс количества движения, ибо это предполага-
предполагалось при выводе соотношений (III. 5-12) и (III. 5-13).
Поскольку, как мы приняли в § 4.14, скорость поступления
тепла Q независима от системы отсчета, таковы же и плотности
q и s. Поэтому в силу D) вектор теплового.потока h не зависит
от системы отсчета. Следовательно, каждый отдельный член
в уравнении энергии F) независим от системы отсчета.
Для многих задач механики сплошной среды уравнение энер-
энергии не требуется, либо потому, что мы ограничиваемся лишь
частичным исследованием, либо потому, что в рассматриваемом
148 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ' § 6
частном случае силы и деформации можно определить без этого
уравнения. Тем не менее, конечно, уравнение энергии выпол-
выполняется и в этих случаях. В этой книге мы не будем к нему обра-
обращаться, пока не дойдем до § XV. 1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
' (работы общего характера)
CFT, §§ 199—238. [Анализ напряжений, весьма полный для 1960 г., но сей-
сейчас представляющийся отчасти старомодным. Сопряжен с преодолением
различных трудностей, возникающих нз-за попытки ограничиться рас-
рассмотрением одНих результирующих сил, оставляя за кулисами системы
сил, порождающих эти результирующие.]
W. Noll, The foundations of classical mechanics in the light of recent advances
in continuum mechanics, «The Axiomatic Method, with Special Reference
to Geometry and Physics» (Colloq. at Stanford, 1957), Amsterdam, North-
Holland, 1959, 266-281.
. Глава IV
ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
§ 1. Динамические процессы
Движение х ставит в соответствие телу & в момент t конфи-
конфигурацию i{3&, t). Для всякой точки х этой конфигурации тензор
напряжений Т(х, t) определяет контактные силы в этой точке
на всех гладких границах конфигураций частей 3* тела В§.
В этом смысле телу в его. движении поставлено в соответствие
поле напряжений Т. Упорядоченная пара (х, Т) называется ди-
динамическим процессом для тела 3§, если выполнены уравнения
количества движения и момента количества движения.
Во внутренних точках областей, в которых,х и Т достаточно
гладки, уравнения количества движения и момента количества
движения выражаются двумя законами движения Коши. Второй
закон (III. 5-4) налагает требование симметричности напряже-
напряжений. Первый закон (III.5-1) связывает поле напряжений с уско-
ускорением х в инерциальной системе отсчета, при условии что поле
массовых сил b известно. Мы будем считать поле br которое опи-
описывает действие на тело 38 некоторых неконкретизируемых внеш-
внешних тел, заданным. Хотя на практике в лабораториях и в повсед-
повседневной жизни встречается лишь несколько специальных массо-
массовых сил, например сила тяжести, — а на деле при рассмотрении
конкретных задач механики сплошной среды мы даже обычно
ограничиваемся случаем b = 0, — в принципе у нас нет способа
как-то очертить класс всех возможных полей массовых сил. По-
Поэтому во всех рассуждениях, относящихся к совокупности всех
возможных движений тела, мы вынуждены считать, что b не под-
подчинено никаким ограничениям. Каковы бы ни были х и Т, полеЬ,
удовлетворяющее уравнению баланса, количества движения, оп-
определяется соотношением (III. 5-1) или, если система отсчета
неинерциальна, соотношением (III. 5-5). Таким образом, первый
закон Коши вообще не налагает никаких ограничений на х и Т.
В соответствии с этим всякая упорядоченная пара (х, Т}, со-
состоящая из гладкого движения тела $& и симметричного тензор-
тензорного поля, определенного на %CS,t) для каждого /, является
динамическим процессом.
Динамический процесс определяется по отношению к неко-
некоторой системе отсчета ф. Поэтому нам, собственно, следовало
бы говорить о (х, Т} как о «динамическом процессе в ф-», Допу-
150 ЧАСТЬ I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 2
стим, что мы перешли к другой системе отсчета ф*. У нас есть
основания рассматривать движение х*> получаемое из х при по-
помощи преобразования A.9-11) как представление того же са-
самого движения в системе ф*:
x* = r(X,f) = x:(t) + Q(t)(*(X,t)-x0), t
где а, х0, х*@ и Q@— заданные величины. Сходным образом,
как мы уже видели в § III. 5, тензор напряжений Т — неза-
независимая от системы отсчета величина:
r(x*,O = Q(')T(xt*)Q(/)T, (IV. 1-2)
где х* и Г определяются похи( соотношениями A). Наконец,
если динамический процесс (X, Т) определяет в системе ф мас-
массовую силу Ь, то в уравнение баланса количества дви кения
для динамического процесса (X*, Т*) в ф* входит Ь*, определяе-
определяемое формулой
b*(*n Q(t)b(t), (IV. 1-3)
причем, конечно, подразумевается, что первый закон Коши вы-
выполняется в независимой от системы отсчета форме (III. 5-5).
Таким образом, не только пара (X*, Т*) является динамическим
процессом в ф*, но и соответствующая ему массовая сила Ь* та
же самая (в смысле независимости от системы отсчета), что и
массовая сила, необходимая для баланса процесса (%, Т) в ф.
Итак, определение динамического процесса независимо от си-
системы отсчета и процесс (X*, Т) в ф* можно рассматривать как
тот же самый процесс, что и (X, Т) в ф. Формально мы будем го-
говорить, что \Т, Т*} есть процесс в ф*, эквивалентный процессу
{X, Т} в ф, если эти два процесса связаны между собой соот-
соотношениями A) и B).
§ 2. Определяющие соотношения.
Аксиомы Нолла <
Введенные до сих пор принципы и определения выражают
свойства, общие для всех тел и движений. Разнообразие тел
природы, обусловленное различием материалов, из которых об-
образованы эти тела, отражено в теории определяющих соотноше-
соотношений.
В механике определяющее соотношение — это ограничение,
налагаемое на силы, или движения, или на то и другое вместе.
Говоря по-простому, приложенные к телу силы «вынуждают» его
совершать некоторое движение, и это «вынужденное» движение
оказывается различным в зависимости от природы тела.
§ 2 ГЛ. IV. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 151
В этом отношении некоторые определяющие соотношения
тривиальны в том же смысле, в котором постоянная функция
есть тривиальный частный случай функции. К такому тривиаль-
тривиальному случаю относятся внешние массовые силы. Предположение,
что рассматриваемая массовая сила является внешней, по-
поскольку оно ограничивает класс массовых сил силами, не зави-
зависящими от движения тех тел, которые могут занимать часть
пространства, где эти силы действуют, есть определяющее соот-
соотношение, однако это соотношение не того рода, каковой подле-
подлежит изучению в механике сплошной среды, где обычно мы про-
просто предполагаем b = const или даже = 0, но зато детально
анализируем различные реакции тел с различными видами кон-
контактных сил на эти тривиальные массовые силы.
Фактически единственные силы, представляющие интерес
в механике сплошной среды, — это контактные силы. Как мы ви-
видели в § III. 3, они определяются полем тензора напряжений Т.
Точно так же, как в геометрии определяются различные фи-
фигуры как идеализации соответствующих важных форм в природе,
в механике сплошной среды определяются различные идеаль-
идеальные материалы заданием соответствующих характерных соотно-
соотношений между тензором напряжений и движением 7ела. Равно
как и некоторые специальные фигуры, некоторые специальные
материалы важны сами по себе, но больше пользы приносит
изучение бесконечных классов геометрических объектов и бес-
бесконечных классов материалов, различаемых по свойствам сим-
симметрии и инвариантности. Общая теория определяющих соотно-
соотношений устанавливает те непреложные ограничения, которым
должны удовлетворять эти соотношения, чтобы они могли слу-
служить математическим описанием наблюдаемого в природе по-
поведения материалов. Затем в классе всех таких определяющих
соотношений вводится некоторая разумная классификация и до-
доказываются теоремы, характеризующие или описывающие соот-
соотношения из соответствующих классов.
Этот подход в точности тот же, что и в геометрии Эвклида, где после
формулировки аксиом, которые должны выполняться для всех геометрических
объектов, доказываются теоремы, характеризующие или связывающие ме-
между собой различные классы фигур. Однако поскольку механика — дисцип-
дисциплина куда более тонкая и сложная, чем геометрия, эта параллель не идет
дальше и не распространяется ни на сами теоремы, ни даже на методы по-
построения доказательств.
Как и любой другой раздел математики, механика сплошной среды имеет
свои характерные методы и концепции. В основном они были созданы Дании-
Даниилом Бернулли; Эйлером, Коши, Стоксом, Максвеллом и Гюгонио, но лишь в
последние годы они подверглись общему и тщательному анализу во всей
своей совокупности и выковались в некое единое учение.
Дальнейшее изложение механики сплошной среды в этой
книге проводится в рамках аксиом, сформулированных Ноллом
152 ЧАСТЬ I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ §2
в 1958 г. Эти аксиомы, которые мы сейчас приведем, хотя они
и далеко не являются самыми общими из рассматриваемых на
сегодня, все же намного более общи, чем это необходимо для
наших целей в этом вводном курсе. Однако они столь ясны и
так легки для понимания, что более частные формулировки лишь
затемнили бы их.
Аксиома N 1. Принцип детерминизма. Напряженное состоя-
состояние в конфигурации тела-точки X в момент t определяется пре-
предысторией %* движения тела 3§ вплоть до момента t:
T(t(X,t),t) = %(t';X,t).. (IV. 2-1)
Здесь % обозначает отображение предыстории х*, тел:точек
X и времен t на симметричные тензоры. Область определения
для первого аргумента х' есть множество допустимых движений
тела 38 (а не просто данного тела-точки X). Область значений
$ — некоторое подмножество множества симметричных тензо-
тензоров. Отображение $ будем называть определяющим отображе-
отображением тела-точки X, а про само тело-точку X будем теперь гово-
говорить как про материальную точку тела 38, состоящего из мате-
материала, определяемого отображением^; соотношение A) будем
называть определяющим соотношением материала, определяе-
определяемого t?. Отображение % — это не более и не менее как правило,
которое для каждого тела-точки X и каждого времени t ставит
в соответствие предыстории вплоть до времени t всякого мы-
мыслимого движения тела 38 однозначно определенный тензор на-
напряжений 1(%(Х, t),t) в месте %{Х, t), занимаемом телом-точкой
X в момент t Когда X пробегает 38, значения отображения %
в момент времени t дают поле напряжений Т(х, t), действующее
на 38. Грубо говоря, прошлые и настоящая конфигурации тела
38 определяют поле напряжений, действующее на 3§ в настоящей
конфигурации.
Введенное здесь понятие материала отражает то наблюдение
общего характера, что многие естественные тела обладают па-
памятью о своем прошлом, так что реакция на изменение формы
иногда проявляется много времени спустя после самого измене-
изменения. По этой причине % часто называют функционалом памяти.
Конечно, не исключены и случаи, когда % зависит от движения
1 лишь через посредство его значения в настоящий момент, что
соответствует отсутствию па"мяти, или через посредство значений
производных от х по времени в настоящий момент, что отвечает
быстро затухающей памяти.
Как было сказано в § 1.6, в механике допускаются лишь системы от-
отсчета, сохраняющие направление изменения времени. Ввиду этого обстоятель-
§ 2 ГЛ. IV. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ f53
ства и определения (II. 10-1) предыстории эс' определяющее соотношение A)
учитывает направление изменения времени. Прошлое н настоящее движения
определяют текущее напряженное состояние, однако отсюда никоим образом,
не следует, что настоящее и будущее движение также определяют текущее
напряженное состояние. В реальных материалах прошлое образца ие может
быть, вообще говоря, восстановлено по его настоящему и будущим состоя-
состояниям, и математическая теория учитывает эту необратимость с самого начала.
Фактически необратимость в механике сплошной среды — это правило,
а не исключение, и в изучении различных точных значений этого слова со-
состоит одна из главных целей теории. В этом механика сплошной среды суще-
существенно отходит от традиций аналитической динамики, в типичных задачах
которой, вроде приведенной выше в § 1.14, прошлое и будущее можно по-
поменять местами.
Может оказаться, что соотношение A) обратимо в том смысле, что дви- .
жение ЗС тела в свою очередь определяется предысторией Т* определенного
па нем поля напряжений. Однако в общем случае это не так, поскольку в
эйлеровой гидродинамике, определяемой приводимым ниже специальным оп-
определяющим соотношением (IV. 4-4), знание поля давлений во всех места<
для всех моментов времени ие дает о конфигурации эс(^. О иных сведений,
кроме распределения плотности массы р. Таким образом, обратного соотно-
соотношения, выражающего зс через Т', вообще говоря, не существует.
Аксиома N 2. Принцип локального действия. Принципом де-
детерминизма допускается влияние на напряжения в теле-точке
X движений тел-точек Z, лежащих далеко от X. В свете пред-
представления о контактных силах естественно исключить действие
на расстоянии как несовместимое со свойствами материалов.
Поэтому мы примем в качестве второй определяющей аксиомы,
что движение тел-точек, находящихся в некоторой конфигурации
на любом фиксированном конечном расстоянии от X, можно не
учитывать при подсчете напряжений в X. (Разумеется, в силу
нашего предположения о гладкости %, если расстояние между
телами-точками было однажды конечно, то оно всегда будет ко-
конечно.) Формально, если i и % — такие движения, что
V(Z, s) = Xf(Z, s) .при s>0 и Z<=JT(X), (IV. 2-2)
где Л(X) — некоторая окрестность тела-точки X, то
%(%';Х,Ц=Щ%';Х,Ц. (IV. 2-3)
Аксиома N 3. Принцип материальной независимости от си-
системы отсчета. Как мы уже отмечали, мы рассматриваем два
эквивалентных динамических процесса как один и тот же про-
процесс, наблюдаемый двумя различными наблюдателями. Мы счи-
считаем, что свойства материала подобным же образом не зависят
от выбора наблюдателя. Поскольку определяющие соотношения
предназначены выражать идеализированные свойства материа-
материалов, мы потребуем, чтобы они были независимы от системы от-
отсчета. Иными словами, если уравнению состояния A) удовлет*
154 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 3
воряет динамический процесс {%, Т}, то ему удовлетворяет и лю-
любой эквивалентный процесс {%*, Т }. Формально это означает,
что определяющее отображение $ в A) должно удовлетворять
тождеству
т'(*. О = »[*"';*,'*] (IV. 2-4)
для всех Т*, V и f, которые могут быть получены из Т, X
и t преобразованиями вида (IV. 1-1) и (IV. 1-2).
Можно было бы предпринять некоторые шаги, чтобы как-то
очертить класс всех определяющих отображений, удовлетворяю-
удовлетворяющих аксиомам N1 — N3; однако в этой книге мы будем рас-
рассматривать только частный случай «простых материалов».
К этому частному случаю, который все же является настолько
общим, что охватывает все старые теории сплошной среды и
большинство более новых, мы сейчас и обратимся.
§ 3. Простые материалы
Аксиомы N 1 и N 2 устанавливают, что предыстория движе-
движения в произвольно малой окрестности, материальной точки опре-
определяет напряжения в конфигурации этой точки. При всяком t
первое приближение для деформации х„ вблизи точки X дается
градиентом деформации F*(X, t), свойства которого мы рассмат-
ривали в § II. 5 и последующих параграфах. Таким образом, пре-
предыстория градиента Fx, которую мы будем обозначать через
F?(X) или просто F?, дает вблизи точки X первое приближе-
приближение для предыстории Х? при отсчетном описании деформаций
X* тела 38. Если знания этого первого приближения достаточно,
чтобы определить напряжения в X, то соответствующая мате-
материальная точка X называется простой. Формально, в этом ча-
частном случае соотношение (IV. 2-1) принимает вид
Т(х, /) = Т(Хя(Х, t), q = @x(Fi(X), X). (IV. 3-1)
Ясно, что принципы детерминизма и локального действия
(аксиомы N1 и N2) при этом выполняются. Рассмотрим аксиому
N3.
Отображение ©* называется реакцией по отношению к и.
Если оно удовлетворяет аксиоме N3 — принципу материальной
независимости от системы отсчета, то оно определяет некоторый
простой материал, в противном случае — нет. Область определе-
определения для его первого аргумента, при фиксированном X, — это,
множество всех предыстории обратимых тензоров, а область
значений отображения © — это множество всех симметричных
§ 3 ГЛ. IV. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 155
тензорных полей на актуальной конфигурации Х„ (<&, t) тела $
в <?. Иными словами, для данного момента t и для фиксиро-
фиксированного места X в отсчетной конфигурации оно отображает пре-
предысторию невырожденной тензррной функции на симметричный
тензор в месте х, занимаемом телом-точкой X в момент t.
Пусть, как и в § II. 7, Я, отображает отсчетную конфигурацию
щ на некоторую другую конфигурацию щ и Р = VI. Таким об-
образом, Р есть заданная функция от X.
Подстановка (II. 7-5) в A) дает
где в обозначениях опущено место X, занимаемое в и материаль-
материальной точкой X. Таким образом, если мы положим для произволь-
произвольной невырожденной предыстории F':
©X!(F') = ®«,(F'P). (IV. 3-3)
то определяющее соотношение A) примет вид
'X),X), (IV. 3-4)
где теперь F следует понимать как градиент Хх, в точке X, а
x = XXl(X, t). Таким образом, Т в такой же мере определяется
предысторией градиента деформации относительно щ, как и
предысторией градиента деформации относительно уц. Хотя ре-
реакция ©*, — это, вообще говоря, не то же самое отображение,
что и реакция ©*„ существование такого отображения есть
факт, не зависящий от выбора отсчетной конфигурации. По-
Поэтому, хотя в определении простого материала и упоминается
отсчетная конфигурация, определение не зависит от ее выбора,
и можно было бы сформулировать его, не пользуясь отсчетной
конфигурацией.
В § И. 12 были определены и проанализированы однородные
деформации. Исходя из любой обратимой тензорной функции
F, можно построить предысторию некоторой однородной дефор-
деформации F*. Исчерпывая класс предыстории однородной деформа-
деформации, мы исчерпываем область определения отображения ©х (• ,Х).
Таким образом, определяющее отображение для точки простого
материала определяется для всех предыстории деформации тем,
каково оно для предыстории однородной деформации.
В экспериментальной механике основной упор делается на
изучение однородных деформаций, и более сложные случаи де-
деформирования обычно объясняют с их помощью. В этом отно-
отношении экспериментаторы склонны предполагать — хотя, несом-
156 ЧАСТЬ I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ 5 3
ненно, не отдавая себе в этом отчета, — что всякий исследуе-
исследуемый в лаборатории материал может быть достаточно хорошо
смоделирован некоторым простым материалом в смысле'мате-
смысле'математической теории. В этой книге мы иногда будем использовать
слово «эксперимент» в некотором идеальном смысле. Вообразим
эксперимент, в котором некое подтело, содержащее X, претер-
претерпело некий частный вид деформации с предысторией tl отно-
относительно отсчетной конфигурации х, и предположим, что после
этого измерены получившиеся напряжения Т. Когда tt пробе-
пробегает различные предыстории деформации, получаются различ-
различные значения Т. Мы будем понимать определяющие соотноше-
соотношения как выражение результата этих экспериментов. В этом
смысле мы можем сказать, что материальная точка X проста,
если исход всех экспериментов для нее определяется исходом
всех экспериментов с деформациями, однородными вблизи X.
В § 9, чтобы наметить идеальную экспериментальную про-
программу, которая подсказывается этим фактом, мы определим
однородные деформации, которые могут быть вызваны действием
равномерно распределенных массовых сил.
Определение простого материала и его интерпретации не за-
зависят от выбора отсчетной конфигурации х. Сами же реакции
©*, равно как и упомянутые сейчас эксперименты, не независи-
независимы от такого выбора. Движение, являющееся однородной дефор-
деформацией конфигурации xi, не есть однородная деформация кон-
конфигурации Х2, если только сама конфигурация Х2 не получается
посредством однородной деформации конфигурации xi. Реакции
©*, и ©*, —это в общем случае различные отображения, каждое
из которых однозначно определяется по другому формулой C).
Далее в этой книге мы будем рассматривать только простые
материалы. Если, как это обычно и будет, отсчетная конфигу-
конфигурация х выбирается раз и навсегда, мы будем записывать опре-
определяющее соотношение A) простого материала в сокращенной
форме
T=©(F(). (IV. 3-5)
Теория простых материалов охватывает все обычные чисто
механические теории сплошной среды, изучаемые в работах по
механике, физике, прикладной математике, технике и т. д.
В § XV. 2 мы обобщим это определение с тем, чтобы учесть
влияние нагрева и изменения температуры. В современных ис-
исследованиях по физике сплошной среды учитываются также
электромагнитные и релятивистские явления, химические реак-
реакции и диффузии; в этой книге мы не будем ничего этого рассма-
рассматривать.
§ 4 ГЛ. IV. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 157
§ 4. Некоторые классические частные случаи.
Следствия из аксиомы независимости от системы отсчета
В этом параграфе мы введем определения некоторых специ-
специальных типов материалов, теория которых в прежние времена
была основным предметом изучения в механике сплошной среды.
Мы воспользуемся ими, чтобы проиллюстрировать мощь прин-
принципа материальной независимости от системы отсчета на при*
мере ограничения весьма общего на первый взгляд класса ги-
гипотетических определяющих соотношений. Читатель, уже зна-
знакомый с классическими теориями или заинтересованный лишь
в последовательном систематическом изложении механики
сплошной среды, может пропустить этот параграф и сразу пе-
перейти к следующему.
Упругий материал определяется как материал, для которого
отображение© из (IV.3-5) сводится к функции g текущего
значения градиента деформации F(X, t) независимо от значе-
значений F' (s, X) предыстории F' в прошлом, т. е. прн s > О
T = g(F,X), (IV. 4-1)
где й(-, X) —функция, отображающая обратимые тензоры F на
симметричные тензоры Т. Однако не все такие функции опреде-
определяют упругие материалы, поскольку сформулированный в § 2
как аксиома N3 принцип материальной независимости от си-
системы отсчета выполняется, только если g имеет некоторый
специальный вид,, который указывает следующая
Теорема (Селерье, Рихтер). Пусть полярным разложением
градиента деформации F служит F= RU. Тогда определяющее
соотношение произвольного упругого материала имеет вид
T = Rg(U, X)RT, (IV. 4-2)
где Q( •, X) отображает положительно определенные симметрич-
симметричные тензоры на симметричные тензоры. Верно и обратное: лю-
любая такая функция g определяет по формуле B) некоторый уп-
упругий материал.
Доказательство. Нам понадобится 'аксиома N3 лишь в неко-
некоторой ослабленной форме. Действительно, поскольку F' входит ¦
в A) только через F, которое есть F'@), нам ничего не нужно
знать о предыстории ортогонального тензора Q', упоминаемой
в аксиоме N3, кроме ее текущего значения Q'@), которое мы
будем обозначать через Q. При изменении системы отсчета тен-
тензор F подчиняется правилу преобразования (II. 14-6). Таким
158 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ §4
образом, согласно (IV. 2-4),
= QS(RU)QT, (IY. 4-3)
где мы опустили аргумент X, поскольку во всем доказательстве
он остается постоянным. Тождество C) должно выполняться
для всех ортогональных тензоров Q и R и всех положительно
определенных симметричных тензоров U. В частности оно долж-
должно выполняться, если мы возьмем Q = RT. Отсюда следует не-
необходимость выполнения условия B). Проверка его достаточ-
достаточности тривиальна. ¦ .
В том частном случае, когда g (U)= g(det 11I, уравнение
B) сводится в силу (II. 9-8) к
Т = -р(рI, (IV. 4-4)
где р — поле давления, значение которого есть некоторая одно-
однозначная функция плотности. В этом случае материал называется
упругой жидкостью или эйлеровой жидкостью. Значительная
часть классической гидродинамики основана на этом определяю-
определяющем соотношении. Движение жидкости обычно называется те-
течением. Термин «течение» имеет также обиходное физическое
значение, и чтобы согласовать обиходный язык с кинематикой,
иногда способность жидкости течь относят за счет ее неспособ-
неспособности выдерживать в состоянии покоя касательные напряжения
ни в какой конфигурации. В § 16 мы убедимся, что, хотя это
свойство и является общим для всех простых жидкостей, его
недостаточно, чтобы характеризовать их. Эйлерова жидкость об-
обладает этим свойством с избытком, так как она не выдерживает
касательных напряжений независимо от того, находится она
в покое или движется.
Класс жидкостей, более общий, чем класс эйлеровых жидко-
жидкостей, и не являющийся подклассом класса упругих материалов,
можно определить функциональным соотношением вида
T = 9(G,p,ix,*), (IV. 4-5)
где $— функция, указанных пяти аргументов, первый из кото-
которых— это, как обычно, градиент скорости (II. 11-7). Сейчас мы
убедимся, что в силу принципа материальной независимости от
системы отсчета последние три аргумента должны быть исклю-
исключены, а на функцию^ должны быть наложены дальнейшие ог-
ограничения. Действительно, аксиома N3 требует, чтобы для про-
произвольного ортогонального тензора Q, являющегося функцией
времени, произвольной местозначной функции хЗ@ произволь-
произвольного места х0, и произвольной постоянной а при всех значениях
ГЛ. IV. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
аргументов G, p, x, x, t удовлетворялось тождество
$ (G, р, х, х, t) = QT$ (D* + W\ p'f x*, x*, П Q =
= QT$(QDQT + QWQT + A, p, Qx + x^ +
+ A (x - xo), Xo + Q (x - x0), t + a)Q. (IV. 4-6)'
(Здесь мы использовали соотношения (II. 11-8), (II. 14-14),
A.9-11) и A.9-14).) Рассмотрим некоторые фиксированные
частные значения G, p, x, x, t и выберем такую функцию Q,
что Q(/) = l, A = Q@ = — W, такую функцию xj, что Xq(/) =
== — х — А (х — Xo), xj {t) = Хо — (х — Хо) и такую постоянную а,
что а = — t. Тогда из F) следует в качестве необходимого
условия, что при любых значениях аргументов отображения lj
Ь (О, р, х, х, t) = $ (D, р, 0, хо, 0), (IV. 4-7)
где Хо — произвольное фиксированное место. Таким образом, §
оказывается функцией одних только D и р:
$(G,p,i,x,*) = $(D,p). (IV. 4-8)
. Грубо говоря, приведенное сейчас формальное рассуждение
показывает, что, поскольку спин и скорость могут быть преобра-
преобразованы путём подходящего преобразования системы отсчета и
поскольку аналогичным образом любые время и место могут
быть преобразованы в любые другие, эти аргументы не могут
входить в независимое от системы отсчета определяющее соот-
соотношение класса, задаваемого соотношением E). Но и это еще не
все. Если мы подставим (8) обратно в F), то получим соотно-
соотношение
^ (QDQT, р) = Q$ (D, p) QT. (IV. 4-9)
Это тождество должно выполняться для всех симметричных тен-
тензоров D и всех ортогональных тензоров Q. Обратно, если оно
выполняется, то выполняется и F). Таким образом, установлена
следующая
Теорема (Нолл). Для того чтобы соотношение E) удовлет-
удовлетворяло принципу материальной независимости от системы от*
счета, необходимо, чтобы 1) сводилось к функции одних только
D и р, а также удовлетворяло (9) как тождеству по Q и D.
Функция^, отображающая тензоры на тензоры и удовлетво-
удовлетворяющая функциональному уравнению (9), называется изотроп-
изотропной. Теорема Нолла утверждает, что в смысле, который мы
уточним в § 14, все материалы, определяющие соотношения ко-
которых принадлежат к классу E), — это изотропные материалы,,
160 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ §j4
Материал, задаваемый определяющим соотношением, при-
принадлежащим к классу, определяемому условием E) при допол-
нительном ограничении, что lj является аффинной функцией сво-
своего первого аргумента, называется линейно-вязкой жидкостью.
По теореме Нолла такая жидкость должна иметь определяю-
определяющее соотношение вида
T = $(D, p), (IV. 4-10)
где f)—афинная изотропная функция своего первого аргумента.
В § VII. 3 мы решим функциональное уравнение (9) для случая
функции, отображающей симметричные тензоры на симметрич-
симметричные тензоры, и сможем вывести из этого решения такое
Следствие (Коши). Каждая аффинная изотропная функция
ф, отображающая симметричные тензоры на симметричные тен-
тензоры, имеет вид
D)l+YD, (IV. 4-11)
где а, Р и у — постоянные. Обратно, всякая функция такого
вида аффинна и изотропна.
Объединяя этот результат с предшествующей теоремой
Нолла, мы получаем следующую теорему.
Теорема. Определяющее соотношение линейно-вязкой жид-
жидкости имеет вид
(IV. 4-12)
где р, X и у. — функции от р.
Теория, основанная на уравнении A2), называется теорией
Навье — Стокса; при различных предположениях уравнение A2)
или основные его частные случаи были выведены Навье, Коши,
Сен-Венаном и Стоксом. Коэффициенты К и р, называются вяз-
костями жидкости. При жестком движении жидкости теория
Навье — Стокса сводится к гидродинамике Эйлера, так что для
определяемой этой.теорией жидкости имеет место явление «те-
«течения» в указанном выше смысле; а именно, в состоянии покоя
такая жидкость способна выдерживать только гидростатические
напряжения. При К = ц = 0 линейно-вязкая жидкость превра-
превращается в упругую, и по этой причине упругие жидкости иногда
называют «невязкими» или «совершенными».
Материал немного более общего вида, чем любой из введен-
введенных до сих пор в этом параграфе, получается в случае, когда
функционал @ в (IV. 3-5) сводится к функции от F(X, t) и
F (X, t)t линейной по F:
(IV. 4-13)
§ 6 ГЛ. IV. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 1б!
вторая запись следует из первой в силу (II. 11-5); аффинный
оператор L определен на пространстве тензоров на Т. Такой
материал называется линейно-вязким.
Упражнение IV. 4.1. Доказать, что соотношение A3) удовлетворяет
принципу материальной независимости от системы отсчета тогда и только
тогда, когда оно эквивалентно соотношению
TR = M(C,X)[DR], (IV. 4-14)
где М — аффинный оператор на пространстве симметричных тензоров над У,
причем для любого тензора S
SR = RTSR. (IV. 4-15)
Больцмановская наследственная теория вязкоупругости полу-
получается, если допустить, что отображение © в (IV. 3-5) может
быть выражено как интеграл от 5 = 0 до 5 — св.. И в эхом слу-
случае принцип независимости от системы отсчета налагает неко-
некоторое ограничение на класс отображений ©, но мы не будем сей-
сейчас заниматься приведением этого соотношения к независимому
от системы отсчета виду.
В теории Больцмана, как и в теории упругости, часто дости-
достигают дальнейшего упрощения ценой допущения, что | F — 11 или
какая-нибудь другая «мера величины» тензора F' — 1 в некото-
некотором смысле мала. Приближения такого рода облегчают решение
конкретных задач, но при построении общей теории они не
столько помогают, сколько вносят путаницу.
Упражнение IV. 4.2. Доказать, что нет никаких других аффинных функ-
функций 9, кроме кратных единичного тензора I, для которых соотношение A)
удовлетворяло бы принципу независимости от системы отсчета. (Не смеши-
смешивать это условие с условием, что функция 9 аффинна для положительно
определенных симметричных аргументов!) Дать интерпретацию этого резуль-
результата в терминах теории упругости.
Итак, в этом параграфе мы определили и назвали некоторые
из давно известных и наиболее важных типов материалов. Мы
также проиллюстрировали силу аксиомы материальной незави-
независимости от системы отсчета, показав, как она позволяет ограни-
ограничить класс тех отображений, которые могут входить в опреде-
определяющие соотношения. В следующем параграфе мы приведем бо-
более общее рассуждение такого рода — рассуждение, которое
применимо ко всем простым материалам.
§ 5. Независимость от системы отсчета.
Приведенные определяющие соотношений
Согласно аксиоме N3, реакция © должна быть такой, Чтобы
определяющее соотношение (IV. 3-5) удовлетворяло принципу
материальной независимости от системы отсчета. При изменении
162 • ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 5
системы отсчета (П. 14-3) градиент деформации F преобразуется
по правилу (II. 14-6), и, следовательно, его предыстория F' пре-
.образуется по правилу
F*f* = Qy, ' (IV. 5-1)
где Q' — предыстория ортогонального тензора Q, входящего
в соотношение (II. 14-3), а тензор Т удовлетворяет соотношению
(IV. 1-2). Следовательно, чтобы выполнялась аксиома N3, реак-
реакция © должна быть такой, чтобы
@(Q'F') = Q@©(F')Q@T (IV. 5-2)
для всякой предыстории ортогонального тензора Q' и всякой
предыстории невырожденного тензора F'.1 Здесь Q{t) — текущее
значение функции Q, так что Q'@) = Q(f). Обратно, если вы-
выполняется соотношение B), то выполняется и аксиома N3.
Следуя линии рассуждений, впервые проведенных Ноллом,
мы можем разрешить уравнение B) относительно © раз и на-
навсегда. Действительно, по теореме о полярном разложении
(II.9-1) F' = R'U', такчто B) принимает вид
Q(*)T©(Q'R'U')Q(O = ©(F'). (IV. 5-3)
Теперь мы можем выбрать предысторию ортогонального тен-
тензора Q' таким образом, чтобы Q* (s) = R' (s)t, 0<!s<°o.
Следовательно, Q(^) = R@T и C) превращается в
©(F*)«=R(f)©(U')R(OT- (IV. 5-4)
Обратно, "легко показать, что если имеет место D), то выпол-
выполняется аксиома N3. 'Нами доказана следующая
Теорема приведения (Нолл). Пусть® — отображение преды-
предыстории положительно определенных тензоров на симметричные
тензоры. Тогда всякое определяющее соотношение для простого
материала имеет вид
T = R@(U')RT, (IV. 5-5)
и обратно, любое такое соотношение определяет некоторый про-
простой материал.
Такая форма определяющего соотношения, без дополнитель-
дополнительных ограничений на отображения, называется приведенной фор-
формой.
Соотношение E) показывает нам, что, в то время как преды-
предыстория растяжения U' простого материала может влиять на на-
напряжения в данный момент любым образом, повороты в прош-
§5 ГЛ. IV. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 163
лом вообще не оказывают никакого влияния на текущее состоя-
состояние материала. Текущее значение поворота R входит в E) явно.
Таким образом, приведенная форма позволяет нам при опреде-
определении реакции на движение обойтись без рассмотрения поворо-
поворотов. При желании мы можем рассматривать соотношение D)
как расширение отображения © с области предыстории положи-
положительно определенных симметричных тензоров на всю область
предыстории обратимых тензоров.
Приведенная форма позволяет также в принципе уменьшить
необходимое число испытаний для экспериментального опреде-
определения реакции ©. Действительно, рассмотрим предыстории с чи-
чистым растяжением без вращения (Rf=l). Если известно на-
напряжение Т, соответствующее предыстории любого однородного
чистого растяжения Uf, то мы имеем соотношение вида Т =
=©A1*). В силу E) мы тогда знаем Т для любых предыстории
деформации. Можно поступить и по-другому: рассмотрим пре-
предыстории деформации с равным нулю спином: W'= 0. Если за-
задана некоторая предыстория LH, то можно, интегрируя
(II. 11-13) 1 с W = 0, определить R'. Если известны напряжения,
соответствующие любой предыстории с равным нулю спином, то,
подставляя соответствующие значения R в E), мы вновь можем
определить ©. Таким образом, простые материалы можно оха-
охарактеризовать любым из следующих двух более экономных спо-
способов: материал прост тогда и только тогда, когда его реакция
полностью определяемся заданием реакций на предыстории чи-
чистого однородного растяжения или на предыстории однородной
деформации с равным нулю спином.
В полярном разложении (II. 9-1) введены две меры деформации 1)и V.
Кинематика не дает никаких оснований для предпочтения одной из них дру-
другой. Мы видели (соотношение D)), что использование U приводит к простой
приведенной форме определяющего соотношения простого материала. При
желании, ¦ конечно, можно воспользоваться V вместо U. Поскольку и' =
= (R')T v'r', подстановка в D) показывает, чго, используя V, мы, вообще
говоря, не можем исключить предысторию поворотов R, т. е. применение V
не приводит к простому результату. Есть много других тензоров, которые
столь же подходят для измерения растяжения, как U и V. В старой литера-
литературе тот или иной из них называют тензором «деформации»1), но термин
«деформация»') привел уже к такой путанице, что для нас будет благо-
благоразумнее вовсе избегать его.
Упражнение IV. 5.1. Показать, что если бы мы исходили из соотноше-
соотношения вида
Т (X, t) = © (F', X, х, х, t) (IV. 5-6)
') В оригинале «strain». См. первое подстрочное примечание на стр, 87.—
Прим. перев.
164 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 5
в качестве определения простого тела-точки, то в силу принципа материаль-
материальной независимости от системы отсчета оно свелось бы к соотношению
(IV. 3-1), бывшему нашим отправным пунктом (ср. анализ предположения
(IV. 4-5) в §4). '
Упражнение IV. 5.2. Показать, что все приведенные формы, полученные
в § 4, — это на самом деле частные случаи приведенной формы, указанной
в предыдущем упражнении, с последующим приведением соотношения
(IV. 3-3) к виду (IV. 3-5).
Существует бесконечно много других приведенных форм оп-
определяющего соотношения простого материала. Поскольку
С = (II'J. одной из таких форм является
Т = RUIT1© (Ус7) ir'URT = F©(c') FT, (IV. 5-7)
где _
©(cO^U-^/c^U-1- (IV. 5-8)
В § II. 8 мы развили аппарат кинематики, позволяющий ис-
использовать актуальную конфигурацию в качестве отсчетной.
Естественно задать вопрос, нельзя ли реакцию простого мате-
материала описать исключительно с помощью этого аппарата. Ко-
Конечно, ответ отрицателен; анализ, принадлежащий Ноллу, пока-
показывает, насколько именно можно здесь продвинуться вперед,
используя для записи определяющего соотношения Ft вместо F*.
Чтобы проделать это, заметим, что из (II. 8-7) и (II. 9-1) выте-
вытекает, что при заданном X
F (т) = R, (т) U Дт) R (/) U (/). (IV. 5-9)
Следовательно,
F(t) = R,(t)R@[UHt)]«U@, (IV. 5-10)
где мы воспользовались обозначением (IV. 4-15) для операции
поворота тензора К посредством тензора, обратного тензору ак-
актуального поворота R(t). Если ввести обозначение
(IV. 5-11)
и положить в A0) т = t — s, то получим
Q'F'=(uDRU@. (IV. 5-12)
В силу требования B) независимости от системы отсчета для
всех Q'
©(f') = Q@T©(q'f')Q@. (IV. 5-13)
Если Q* взято в виде (И), то имеем Q(t) = R(t)r, так что A2)
И A3) дают
R ((OR) (IV.5-14)
§ 5 ГЛ. IV. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 165
Для приложений более удобна эквивалентная запись, исполь-
использующая С,\ и C(t):
TR = ©((C0R; C@). (IV. 5-15)
Приведенные формы A4) и A5) записи определяющих соот-
соотношений по Ноллу показывают, что невозможно полностью опи-
описать влияние предыстории деформации на напряжения с по-
помощью градиента предыстории деформации по отношению к те-
текущей конфигурации. Хотя таким образом и производится учет
всей прошлой истории 0 < s < оо, вообще говоря, необходима
некоторая фиксированная отсчетная конфигурация, чтобы учесть
влияние деформации и поворота в данный момент. Это видно из
того, что C(t) входит в качестве параметра в A5), a R(t) —
в величины, которые мы обозначили через TR и (Cj)R. (Конечно,
относительный поворот Rt вообще никакого влияния не оказы-
оказывает.) Грубо говоря, эти результаты показывают, что эффект па-
памяти можно полностью.учесть, используя относительную дефор-
деформацию, но для описания конечных деформаций1) нужна некото-
некоторая фиксированная отсчетная конфигурация, которую можно
выбрать произвольно. Именно до сих пор и не дальше можно
в общем случае продвинуться в осуществлении попытки избе-
избежать использования фиксированной отсчетнои конфигурации при
описании реакции простого материала.
Мы закончим этот раздел замечанием по поводу одного важ-
важного частного случая. Говорят, что для материальной точки
имеется естественная конфигурация х0, если напряжения в ней
обращаются в нуль, в случае когда некоторая окрестность этой
точки покоится в состоянии но во все времена в прошлом и в на-
настоящий момент. Разумеется, в общем случае у материальной
точки может и не быть такой конфигурации, как показывает
пример эйлеровой жидкости, определенной соотношением
(IV. 4-4), поскольку обычно давление р считается таким, чго
jt?(p)>0 при р ф О, а исключительный случай р = 0 тривиален
и не представляет никакого интереса. Если естественная конфи-
конфигурация хо существует, то, выбрав ее в качестве отсчетнои кон-
конфигурации, мы получим
©A') = 0, (IV. 5-16)
где I' обозначает предысторию вплоть до момента t тензорной
функции F, такой, что F@ = l для всех времен t. В силу B)
отсюда следует, что
©(Q') = 0. (IV. 5-17)
1) В оригинале strain. — Прим. ред.
J66 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ §6
Таким образом, любой поворот, постоянный или произвольным
образом меняющийся во времени, переводит одну естественную
конфигурацию в другую. Обратное неверно, поскольку мате-
материальная точка может иметь две естественные конфигурации,
не получаемые одна из другой-поворотом.
В этой книге мы не будем, вообще говоря, предполагать,
что материалы обладают естественными конфигурациями.
§ 6. Внутренние связи
До сих пор мы предполагали, что материал, когда на него
действуют соответствующие силы, способен испытывать произ-
произвольную гладкую деформацию. Если на класс допустимых де-
деформаций наложены априорные ограничения во внутренних
точках конфигурации %* ($,t), то говорят, что на материал на-
наложены внутренние связи.
Простая связь выражается требованием, чтобы градиент
деформации F удовлетворял уравнению вида
Y(F) = 0, (IV. 6-1)
где у —не" зависящая от системы отсчета скалярная функция.
Упражнение IV. 6.1. Доказать, что функция у не зависит от выбора си-
системы отсчета тогда н только тогда, когда
(IV. 6-2)
Следовательно, простую связь можно записать в виде
Я(С) = 0, (IV. 6-3)
где X — некоторая скалярная функция, и каждое такое уравнение выражает
не зависящую от системы отсчета простую связь. Далее, каждая не завися-
зависящая от системы отсчета внутренняя связь, эквивалентная A), имеет вид
/(А,(С))=О, где /—некоторая функция, обращающаяся в нуль лишь при
равном нулю аргументе.
Если мы продифференцируем соотношение C) по времени
для данного тела-точки, то получим
Я, == tr [дсЯ, (С) С] = О, (IV. 6-4)
т. е., с учетом (II. 11 —13K,
tr[FdcMC)FTDl = O (IV. 6-5)
для всех невырожденных F и всех симметричных D. Обратно,
если соотношение E) выполняется для рассматриваемого тела-
точки во все моменты времени, то C) получается из него ин-
интегрированием. Таким образом, соотношение E) можно исполь-
использовать в качестве другого общего выражения не зависящей от
системы отсчета простой связи.
I 7 ГЛ. IV. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 167
§ 7. Принцип детерминизма для простых материалов
со связями
Связи, поскольку проявление их состоит в исключении неко-
некоторых видов движения, должны осуществляться силами. Так
как, по определению, связи неизменны, реализующие их силы
ле могут определяться самим движением или его предысто-
предысторией. В частности, должны реализовываться соответствующими
напряжениями простые внутренние связи, и определяющие со-
соотношения простого материала со связями должны быть та-
такими, чтобы допускать действие этих напряжений, независимое
от предыстории деформации.
В соответствии с этим принцип детерминизма для материа-
материалов со связями должен быть ослаблен, и ясно, что необходимое
видоизменение этого принципа не может быть выведено из него
самого, а должно быть введено как новая аксиома.
Предположительно существует много систем сил, которые
могут создавать заданную связь. Простейшие из них-1-это те,
работа которых равна нулю для любого движения, совмести-
совместимого со связями. Поэтому в материале со связями мы будем
считать такие не совершающие работы напряжения произволь-
произвольными, в том смысле, что они не определяются предысторией
движения.
Мы привели основания для того, чтобы принять следующую
аксиому:
Аксиома Nlc (принцип детерминизма для простых материа-
материалов со связями). Напряжения определяются предысторией дви-
движения лишь с точностью до произвольного тензора, который не
совершает работы ни при каком движении, совместимом со свя-
связями. Иными словами,
T = N + ©(F'), (IV. 7-1)
где N — тензор напряжений, для которого мощность напряже-
напряжений равна нулю при любом движении, совместимом со связями;
требуется, чтобы функция @ была определена только для таких
аргументов F', которые совместимы со связями.
Здесь подразумевается, что N и © могут зависеть от х
н X. Тензор N не зависит от выбора отсчетной конфигурации х,
поскольку в определяющем его условии она не используется.
Разность Т — N называется тензором определяющих напря-
напряжений. Аксиома Nlc служит обобщением аксиомы N1 § IV.2
и сводится к ней, когда внутренних связей нет.
Проблема состоит теперь в отыскании N. Мощность напря-
напряжений w симметричного тензора напряжений Т в движении,
168 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 1
характеризуемом тензором скоростей растяжения D, дается
формулой (III. 5-13). Поэтому нам надо найти общее решение
уравнения
tr(ND) = 0, (IV. 7-2)
где D — произвольный симметричный тензор, удовлетворяющий
условию (IV. 6-5). Далее, Ydck (С) FT — симметричный тензор,
а операция tr(AB) определяет скалярное произведение в про-
пространстве симметричных тензоров над Y. Следовательно, тен-
тензор N, рассматриваемый как вектор в этом пространстве,
должен быть ортогонален любому вектору D, ортогональному
к FdcA(C)FT. Таким образом, N параллелен этому вектору:
N = qFdcl (С) FT, (IV. 7-3)
где^-— произвольный скаляр. Это — общее решение уравнения B).
Если имеется k связей А'(С) = 0, г = 1, 2, ..., k, то
k
N = S qiYdd1 (С) FT. (IV. 7-4)
Приведенное здесь рассуждение применимо в одной отдель-
отдельной точке материала. Обычно для всех точек тела устанавли-
устанавливаются одинаковые связи. В этом случае для каждой точки по- ¦
лучится выражение вида D), но при этом из теории не сле-
следует, что величины q{ в D) для различных точек должны быть
связаны друг с другом каким-либо определенным образом. Что-
Чтобы получить определяющие соотношения, позволяющие нахо-
находить решения конкретных задач, обычно предполагают, что
каждый множитель qt образует гладкое поле qi(x,t) в %($,t).
Подстановка этих выражений в A) дает общее определяющее
соотношение для простого материала, подчиненного k простым
не зависящим от системы отсчета внутренним связям.
Определяющее напряжение ©(F*) можно представить в при-
приведенных формах, идентичных тем, которые были установлены
в § IV. 4 для материала без связей.
Рассмотрим теперь несколько примеров внутренних связей.
1. Несжимаемость. Материал называется несжимаемым,
если он может совершать только изохорические движения.
В силу соотношений (И.5-8K и (Н.9-7)9 соответствующая
функция связи для несжимаемого материала имеет вид
A(C) = detC — 1. (IV. 7-5)
Поскольку
T = FCT1FTdetC = l, (IV. 7-6)
§7 ГЛ. IV. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 169
из C) вытекает, что
N = -pl, (IV. 7-7)
где р — произвольный скаляр. Таким образом, мы получили ре-
результат, установленный по существу Пуанкаре: в несжимаемом
материале напряжения определяются по движению лишь с точ-
точностью до произвольного гидростатического давления.
2. Нерастяжимость. Если е„— единичный вектор в отсчет-
ной конфигурации и, то, как мы видели в § II. 12, вектор е, в
который он переводится при однородной деформации с градиен-
градиентом F, равен Fe*. Поэтому функция связи, соответствующая
материалу, нерастяжимому в актуальном направлении е, имеет
вид
A(C) = |Fe»l2-l=e1.-Ce)t-l. (IV. 7-8)
Поскольку
<ЭсЛ(С) = ех®е„, (IV. 7-9)
из C) следует, что
N=9F(e»-®e»)FT = 9e®e, e = Fe*. (IV. 7-10)
Так определенное N — это произвольное одноосное напряжение
в направлении е. Мы заново получили результат, установленный
впервые Адкинсом и Ривлиным: напряжения в материале, нерас-
нерастяжимом в некотором направлении, определяются лишь с точ-
точностью до одноосного напряжения, действующего в этом на-
правлении.
3. Абсолютная твердость. Материал называется абсолютно
твердым, если он нерастяжим ни в каком направлении. В соот-
соответствии с только что установленным результатом напряжения
в абсолютно твердом материале могут быть определены лишь
с точностью до произвольного растягивающего усилия в каждом
направлении. Поэтому напряжения в абсолютно твердом ма-
материале вовсе не зависят от движения. Это и не удивительно
в свете того факта, установленного нами в § 1.13, что жесткое
движение любого тела определяется независимо от того, какие
могут в нем действовать напряжения.
Упражнение IV. 7.1. Получить аналоги приведенных форм (IV. 5-5),
(IV. 5-7), (IV. 5-13) и (IV. 5-14) для несжимаемых материалов. Показать, что
определяющее соотношение для' несжимаемого упругого материала имеет внд
Т = — /?1 + R©(U)RT, где |detU|=>1; (IV. 7-11)
для несжимаемой упругой жидкости —
Т —-pi; (IV. 7-12)
для несжимаемой линейно-вязкой жидкости —
, где trP-Oi (IV.7-13)
170 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ §8
Во всех трех случаях гидростатическое давление неопределимо в том смысле,
что его можно задать независимо от предыстории движения. Показать, что
верно и обратное: всякое соотношение одного из трех приведенных выше
видов определяет соответственно несжимаемый упругий материал, несжимае-
несжимаемую упругую жидкость и несжимаемую линейно-вязкую жидкость.
Упражнение IV. 7.2 (теорема энергии классической гидродинамики).
Замечая, что все движения несжимаемой упругой жидкости механически со-
совершенны, и рассматривая случай, когда на тело 38 действуют консерватив-
консервативные массовые силы, показать с номощью результатов упр. III. 5.4, что если
на границе д%(&, t) давление всюду постоянно или скорость всюду направ-
направлена по касательной к границе, то
tf + F = const. (III. 5-18)
§ 8. Уравнения движения для простых тел
Тело $, все точки которого являются точками простого ма-
материала, называется простым телом. Чтобы получить функцио-
функциональное уравнение движения простого тела, достаточно под-
подставить соответствующее определяющее соотношение в первый
закон Коши (III. 5-1).
Для тела без связей определяющее соотношение имеет вид
(IV. 3-5), так что уравнением движения будет
рх = div © (F') + pb. (IV. 8-1)
Мы считаем b заданным (в типичных случаях постоянным или
нулевым) вектором, и тогда уравнение A) превращается в
условие на деформацию X*. В традиционных теориях это усло-
условие имеет вид дифференциального уравнения второго порядка
по времени и пространственным координатам (по отдельности
или по совокупности). В общем случае это — дифференциально-
функциональное уравнение, которое с учетом приведенной фор-
формы определяющего соотношения (IV. 5-5) никогда не является
линейным относительно производных по пространственным ко-
координатам. Возможности современного анализа далеко не до-
достаточны для того, чтобы подойти к общему решению краевых
задач или задачи с начальными данными для таких уравнений.
Тем не менее довольно много известно о частных решениях для
специальных классов отображений ©, и остальная часть этой
книги посвящена доказательству и объяснению этих известных
в настоящее время теорем рациональной механики.
Как мы уже отмечали, тело со связями ни в коем случае
не есть частный случай тела без связей. Наоборот, частным слу-
случаем является тело без связей. Поведение тела со связями не
идентично поведению соответствующего, тела без связей, кото-
которое оказалось совершающим движение, согласующееся с этими
связями. Если, например, предыстория деформации тела без
Связей оказывается изохорической, то поле напряжений, дей-
§ 8 ГЛ. IV. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 171
ствующих на его актуальную конфигурацию, определяется этой
предысторией. Для несжимаемого тела по определению не мо-
может быть никаких других предыстории деформации, кроме изо-
хорических, но поля напряжений в таком теле никогда пол-
полностью не определяются деформациями, будучи определимыми
лишь с точностью до произвольного поля гидростатического
давления. Авторы работ по гидродинамике, говорящие о. «не-
«несжимаемых течениях», виновны в распространении не только
скверного языка, но и заблуждения. Течение, очевидно, нельзя
сжать. Течение может быть или не быть изохорическим, а
жидкость может быть или не быть несжимаемой. Поведение
несжимаемой жидкости в некотором, по необходимости изо-
хорическом движении, вообще говоря, вовсе не такое, как
поведение произвольной сжимаемой жидкости в том же изо-
хорическом течении.
Класс возможных деформаций для тела со связями уже, чем
для тела без связей. Этому ограничению класса возможных де-
деформаций соответствует наличие некоторых произвольных на-
напряжений, произвольных- в том смысле, что они не определяются
предысторией деформации. Когда мы хотим определить, сов-
совместима или нет данная предыстория деформации тела, состоя-
состоящего из точек со связями, с аксиомами механики и заданными
массовыми силами, это наличие произвольных напряжений
обеспечивает нам большую свободу, чем в случае тела без свя-
связей, при той же предыстории деформации и тех же массовых
силах. Дело в том, что отдельная предыстория деформации,
согласующаяся с, определенными внутренними связями, будет
соответствовать бесконечно многим различным полям напряже-
напряжений, если только она соответствует хотя бы одному. В общем,
можно сказать, что, хотя для тел со связями возможны преды-
предыстории деформации из более ограниченного класса, зато решать
задачи, относящиеся к этим предысториям, проще для тел со
связями, чем для соответствующих тел без связей. Мы будем
часто иллюстрировать этот очевидный, но важный факт. ,
Крайний случай представляют собой абсолютно твердые
тела, для которых допустимые деформации сводятся к столь
узкому классу, что напряжения, каковы бы они ни были, во-
вообще не оказывают влияния на движение тела. Это движение
может быть найдено путем решения обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений, являющихся не чем иным, как выраже-
выражением законов сохранения количества движения и момента коли-
количества движения для тела в целом, и совершенно неважно, ка-
каковы при этом могут быть воздействия одних подтел данного
тела на другие.
Наиболее часто используемый тип тела со связями — это
несжимаемое тело. Если подставить (IV. 7-7) в (IV. 7-1), а за-
1?2 Часть i. общие понятия 18
тем то, что получится, в первый закон Коши, то мы придем
к уравнению
p(x-b) = -gradp + div©(F'). (IV. 8-2)
Если считать b заданным, то F' для тела без связей должно
удовлетворять уравнению A), а для несжимаемого тела — урав-
уравнению B). В первом случае к рассмотрению допускаются все
поля F', и удается успешно решить лишь немногие задачи. Во
втором случае допускаются лишь такие поля Ff, для которых
det Ff = 1, а скалярное поле р можно подбирать таким образом,
чтобы облегчить отыскание решения. Конечно, условие на само
Движение теперь принимает вид
rot div © (F') = rot [p (x — b)], (IV. 8-3)
т. е. является дифференциально-функциональным уравнением
более высокого порядка, чем A).
Чтобы проанализировать влияние этого различия, допустим,
что поле массовых сил имеет потенциал, так что выполняется
соотношение (III. 1-7). Если мы положим
Ф^ + 5, (IV. 8-4)
где S—потенциал массовых сил Ь, и предположим также, что
плотность р равномерна (т. е. постоянна по пространству), то
B) примет вид
х = - grad ф + ~ div © (F'). (IV. 8-5)
Таким образом, р и 5 входят в уравнение движения лишь
в комбинации, обозначенной через ф. Предположим теперь, что
для данного несжимаемого простого тела (т. е. при заданной
реакции ©) некоторая изохорическая предыстория деформации
удовлетворяет уравнению E) при некотором поле давления р\
и поле массовых сил с потенциалом 5]. Пусть р2 — произволь-
произвольное однозначное скалярное поле, а &г — такое скалярное поле,
что
¦а + б2 = — + 5,. (IV. 8.6)
В силу D) уравнение движения E) будет выполняться, если
Р\ и Si заменить на pi и йг. Таким образом, мы получили сле-
следующую теорему, в сущности принадлежащую Эйлеру:
Если изохорическая предыстория деформации удовлетворяет
уравнениям движения некоторого несжимаемого материала с
равномерной плотностью при массовых силах, имеющих потен'
циал 5>\, то она удовлетворяет уравнению движения того же ма~
§9 ГЛ. IV. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ |?3
териала под действием массовых сил с потенциалом йг. если
только разность й2 — й, однозначна.
В случае b = 0 единственные силы, приложенные к SB из-
извне,—это усилия на границе д%{$, t). Таким образом, мы имеем
такое следствие теоремы Эйлера:
Данное движение несжимаемого равномерно плотного тела
'$ может происходить под действием поля массовых сил с одно-
однозначным потенциалом. & в том и только в том случае, когда оно
возможно для того же самого тела при воздействии одних толь-
только поверхностных усилий.
Поскольку для того, чтобы превратить решение задачи без
массовых сил в-задачу с массовыми силами, имеющими одно-
однозначный потенциал, достаточно лишь подобрать соответствую-
соответствующее поле давления, а поле давления произвольно, мы мало
что теряем в общности, полагая при рассмотрении задач для
несжимаемых тел b = 0.
§ 9. Однородные деформации простых тел без связей
Определяющее соотношение для простого тела без связей
относительно отсчетной конфигурации к имеет вид
T(X,*) = ©,(Fi(X),X), (IV. 9-1)
поэтому, как мы разъяснили в § 3, задание определяющего ото-
отображения простого тела лишь для всех предыстории деформа-
деформации, однородных по отношению к и, уже определяет его реак-
реакцию на все вообще предыстории. Следовательно, в идеальном
эксперименте нам достаточйо было бы подвергнуть тело из дан-
данного материала каждой деформации вида (см. § II. 12)
х = Хх (X, 0 = х0 @ + F (t) (X - Хо), det F (*) Ф 0, (IV. 9-2)
и зарегистрировать полученные напряжения. В результате мы
бы определили реакцию ©*. Спросим теперь, возможно ли в
принципе осуществление такой программы.
Можно ли вызвать движение по закону B), если материал
определяется соотношением A)? Если можно распоряжаться
массовыми силами Ь, входящими в первый закон Коши (III. 5-1),
то ответ, конечно, положителен. Однако, хотя при рассмотрении
всей совокупности динамических процессов мы не видим причин
исключать какие-либо Ь, по-другому обстоит дело, когда нам
приходится придумывать эксперименты, поскольку в лаборато-
лаборатории могут быть осуществлены лишь очень специальные виды
массовых сил. Практически все, что мы можем создать, не
174 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ §9
прибегая к электромагнитным силам, которые не затрагиваются
в этой книге, это однородные поля b = const.
Спросим теперь, можно ли вызвать однородное движение B)
в теле, определяемом соотношением A), приложив подходящие
поверхностные усилия. Мы будем рассматривать эту проблему
только для однородных тел.
Простое тело называется однородным, если существует та-
такая отсчетная конфигурация и, называемая однородной конфи-
конфигурацией, что реакция ©* не зависит от X, т. е. для всех обра-
обратимых аргументов F'
©„ (F'( X) = ©» (F1, Y) VX, Y е= * C1). (IV. 9-3)
Ясно, что в однородном простом теле при однородной пре-
предыстории деформации, начинающейся- с некоторой однородной
конфигурации, поле напряжений Т имеет одно и то же значение
во всех местах, так что
div-T = 0. (IV. 9-4)
Вопрос, который мы теперь постайим, состоит в следующем:
если b = const, можно ли задать граничные усилия так, чтобы
вызвать однородную деформацию B) простого тела относи-
относительно однородной конфигурации? Подстановка соотношения
D) в первый закон Коши (III. 5-1) дает условие
pb = px. (IV. 9-5)
Это требование согласуется с движением B) в том и: только
в том случае, когда
F = 0, Xo=b. (IV. 9-6)
Следовательно,
j*2b + *e + f( (IV. 9-7)
где Fo — произвольный невырожденный тензор, Fj — произволь-
произвольный тензор, е — произвольный вектор и f—произвольная фик-
фиксированная точка.
Упражнение IV. 9.1. Доказать, что в таких движениях градиент скорости
дается соотношением
G-F^I+fFJ-'Fjf1. (IV. 9-8)
Из G) видно, что в общем случае однородное движение B)
нельзя при b = const вызвать с помощью одних лишь поверх-
поверхностных усилий. Возможен только специальный класс однород-
однородных движений, определяемых соотношением G). Поэтому
идеальная программа определения реакции ©« путем осуществ-
осуществления всех однородных деформаций, начинающихся с конфигу-
§ 9 ГЛ. IV. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 175
рации х, практически не осуществима. Это не означает, что
нельзя найти другой метод определения ©,; просто метод одно-
однородных деформаций, использованный нами для интерпретации
определения простого материала, не подходит для эксперимен-
экспериментального отыскания ©х, если не использовать искусственные
массовые силы.
Что осталось от нашего анализа, так это частный класс од-
однородных деформаций, который можно осуществить в любом
однородном простом теле без внутренних связей, прикладывая
подходящие усилия на границе. Иными словами, найден неко-
некоторый класс точных решений для всех однородных простых тел
без связей. Эти частные решения обычно остаются невырожден-
невырожденными только на некотором конечном интервале времени. По
предположению det F@) = det Fo ф 0. Тогда движение остается
невырожденным только до тех пор, пока
det(l+№,)=*& 0, (IV. 9-9)
т. е. на интервале времени (t-,t+), содержащем нуль и таком,
что—1/г нигде не является собственным значением для Fj. По-
Поскольку Fi — произвольный (возможно, вырожденный) тензор,
о его собственных значениях в общем случае сказать ничего
нельзя. Не исключена и возможность того, что t- = оо или
t+ = +00. Например, для изохорической деформации из этого
класса
IdetFol—I, det| l+flF,|=»l (IV.9-10)
и интервал, на котором движение невырождено, есть (— оо, -f 00).
Упражнение IV. 9.2. Доказать, что движэиие изохоричио в том и только
в том случае, когда
| det FQ j = 1, trF[=O, trF?=-O, detF,=O. (IV. 9-11)
На контрпримере показать, что F^ не обязано равняться нулю.
Важным примером является движение при простом сдвиге,
которое традиционно используется для иллюстрации каждой
специальной теории в механике сплошной среды. Компоненты
поля скоростей по отношению к прямоугольной декартовой си-
системе координат даются соотношениями (II. 11-11). В подходя-
подходящим образом выбранной паре систем прямоугольных декарто-
декартовых координат, одной для к(&) и другой для %x(&,t), компо-
компоненты деформации имеют вид
х[=Х\
. (IV. 9-12)
|76 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ - § 10
Поэтому
.0 0II
vi 1 01, Ь = 0, (IV. 9-13)
0 0 1 I
так что
F0=l, [F,]ex I 0 01, (IV.9-14)
1о о о!
и условия A1) выполнены. (В данном случае F?=0.) Следо-
Следовательно, простое сдвиговое движение может происходить под
действием одних лишь поверхностных усилий для любого одно-
однородного простого тела без связей.
Другим примером служит однородное чистое растяжение
без вращения: R = l, W = 0, U = U (t). Согласно (II. 11-13) U
должно удовлетворять дифференциальному уравнению
пи = ип. (IV. 9-15)
Упражнение IV. 9.3. Доказать, что уравнение A5) выполняется тогда и
только тогда, когда U имеет ортогональную тройку собственных векторов,
не меняющуюся во времени. Таким образом,
з
U =¦ ^ vi @ ег ® ег (IV. 9-16)
где е* — фиксированные взаимно ортогональные собственные векторы. По-
Показать, что соответствующее однородное чистое растяжение происходит с по-
постоянным ускорением в том и только в том случае, когда хо = const, a tij —
положительные "линейные функции L Доказать, что прямоугольный элемент
с гранями, нормальными к е;, преобразуется в другой элемент такого же
типа для любого времени t из интервала, на протяжении которого движение
остается невырожденным. Показать, что такое движение изохоричио тогда
н только тогда, когда оио сводится к состоянию покоя.
Эти два только что рассмотренные семейства движений
представляют собой особенно интересные частные случаи того
класса однородных движений, который, как мы доказали, мо-
может осуществляться в произвольных простых телах без вну-
внутренних связей под воздействием одних лишь подходящих уси-
усилий, приложенных на границе тела. Как мы сейчас убедимся,
соответствующий класс решений для несжимаемых тел гораздо
шире.
§ 10. Однородные деформации несжимаемых простых тел
Теперь мы определим все однородные деформации, которые
могут быть вызваны консервативными массовыми силами и
усилиями, приложенными по границе однородного несжимае.-
§ 10 ГЛ. IV. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 177
мого тела. При этом принимается, что в применении к несжи-
несжимаемому телу термин «однородное» означает не только то, что
реакция ©* не зависит от X, но также и то, что рх есть задан-
заданная постоянная. Отсчетная конфигурация х называется в этом
случае однородной для &, и мы будем рассматривать деформа-
деформации, однородные именно относительно к.
Для того чтобы некоторый вид деформации был возможен
для всех однородных несжимаемых тел под действием одних
лишь потенциальных сил, эта деформация должна, в частно-
частности, быть возможной для однородных несжимаемых упругих
жидкостей, определяющее соотношение которых имеет вид
(IV.7-12). Теорема Кельвина1) утверждает, что такая дефор-
деформация должна представлять собой течение, сохраняющее цир-
циркуляцию, и обратно, всякое течение, сохраняющее циркуляцию,
может быть осуществлено таким способом в любой такой жид-
жидкости.
Действительно, подставляя (IV. 7-12) в первый закон Кошн (III. 5-1) и
полагая р = const, мы получаем уравнение Эйлера движения однородной не-
несжимаемой идеальной жидкости
— gradq> = 'x, (IV. 10-1)
где ф определено соотношением (IV. 8-4). Таким образом, необходимое н
достаточное условие существования решения <р состоит в том, что для не-
некоторой однозначной функции ?
х=» — grad?, (IV. 10-2)
и если это условие выполнено, то <р = ? + й, где h — произвольная функция
времени.
Циркуляция © (V) по контуру Ч? в %% (?, t) определяется выражением
® (<&) = J х • dx. (IV. 10-3)
Упражнение IV. 10.1. (Кельвин). Доказать, используя (IV. 13-1), что
если 41 есть образ в Хх (&, t) некоторого данного контура <^х в и {3&), то
J
x-rfx. (IV. 10-4)
«¦
В силу D) условие B) является необходимым и достаточным для того,
чтобы ЁС2?)=0 для всех таких V, и это доказывает теорему Кельвина.
Необходимым условием выполнения уравнения B) является
условие Даламбера — Эйлера
grad х = (grad x)T. (IV. 10-5)
') См., например, § 25 книги Дж. Серрина «Математические основы
классической механики жидкостей» («Мир», 1963) и, в более общей форме,
CFT, стр. 1Q5-139.
178 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ $ 10
Это условие является также и достаточным в достаточно малой
области. Согласно (II. 11-15), оно эквивалентно условию
(FF~')T = FF-\ - (IV. 10-6)
Для всех течений, сохраняющих циркуляцию, справедливы
теоремы Бернулли и Гельмгольца, известные из классической
гидродинамики.
Однако не все течения, сохраняющие циркуляцию, могут вы-
вызываться в произвольном однородном несжимаемом теле по-
посредством одних лишь поверхностных усилий. В самом деле,
допустим, что уравнение B) выполняется. Тогда уравнение
(IV. 8-5) принимает вид
div(F) gaU, (IV. 10-7)
где
Я = ?-Ф + Л, (IV. 10-8)
причем h — функция одного лишь времени.. Чтобы уравнение
G) удовлетворялось, необходимо выполнение условия
(IV. 10-9)
причем это условие является также и достаточным, если по-
потенциал Я, существование которого обеспечивается этим усло-
условием, однозначен. Мы видим, с учетом (IV. 8-4), что если имеют
место соотношения G) и (8), то
(IV. 10-10)
Таким образом, установлена следующая
Теорема (Колеман & Трусделл). Пусть в некотором однород-
однородном несжимаемом простом теле под действием одних только по-
поверхностных усилий может возникать определенное течение, со-
сохраняющее циркуляцию. Тогда давление р, которое не опреде-
определяется предысторией этого движения определяется с точностью
до некоторой функции времени уравнением количества движения.
Эта теорема показывает, что, в то время как определяющее
соотношение для тела-точки не. накладывает ограничений на
давление, уравнение количества движения для тела в целом
позволяет подойти вплотную к определению р для рассматри-
рассматриваемого класса деформаций, а именно деформаций, возможных
в идеальной жидкости. Подстановка A0) в (IV. 7-7) и (IV. 7-1)
дает
©' (IV. 10-11)
Потенциал ускорений ? известен, если известно рассматри-
рассматриваемое сохраняющее циркуляцию движение; потенциал К из-
§ 10 ГЛ. IV. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 179
вестей, если это течение удовлетворяет условию совместности
(9) для данного однородного несжимаемого тела в данном дви-
движении; потенциал й задан. Тем самым полное напряженное
состояние Т определено с точностью до гидростатического поля
давлений р/г, зависящего только от времени.
Только что приведенная теорема является более общей, чем
это нам сейчас нужно, поскольку она относится ко всем тече-
течениям, сохраняющим циркуляцию. Чтобы применить ее к част-
частному случаю, однородных деформаций, заметим прежде всего,
что для любой предыстории однородной деформации условию
G) можно удовлетворить, положив К = 0. Таким образом, для
того чтобы некоторая предыстория однородной деформации
могла осуществляться во всех однородных несжимаемых телах
под действием одних только надлежаще подобранных поверх-
поверхностных усилий, необходимо и достаточно, чтобы для поля ско-
скоростей, соответствующего этой предыстории, сохранялась цир-
циркуляция. Поэтому нам достаточно определить те предыстории
однородной деформации, для которых сохраняется циркуляция.
Чтобы сделать это, заметим, что F) превращается в,дифферен-
циальное уравнение второго порядка относительно тензора F,
который теперь является функцией одного лишь времени. Если
F) имеет место, то, как легко проверить, используя A1.2-16J,
уравнение B) дает
[4 ] (IV. 10-12)
Мы доказали, таким образом, что однородная изохорическая
деформация в любом однородном несжимаемом простом теле
может происходить под действием одних лишь усилий на гра-
границах в том и только в том случае, когда F удовлетворяет
уравнению F). Если F) выполняется, то мы можем опреде-
определить напряжения, подставляя A2) в A1):
(IV. 10-13)
При подстановке любого обратимого решения F уравнения F)
и любой местозначной функции х0 в уравнение (II. 2-1) полу-
получается некоторое допустимое течение. Последующая подста-
подстановка в A3) дает напряжения, необходимые, чтобы вызывать
это течение в условиях, когда на тело действуют массовые силы
с потенциалом б, который предполагается однозначным.
Если нам задана предыстория однородного растяжения U',
то можно положить в (II. 11-13) i W = 0 и проинтегрировать
получающееся при этом обыкновенное дифференциальное урав-
уравнение относительно R. Таким способом можно определить пре-
180 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ §10
дысторию поворота R', для которой течение, соответствующее
R'LH, является безвихревым. Как исстари показывается в ра-
работах по классической гидродинамике и как мы вскоре убе-
убедимся, в каждом безвихревом течении циркуляция скорости со-
сохраняется. Если detU(f) = 1, то в соответствии с доказанным
выше результатом такое движение может быть вызвано в лю-
любом однородном несжимаемом теле путем приложения соот-
соответствующих усилий на его границах. Следовательно, выдвину-
выдвинутую нами вначале программу идеальных экспериментов можно
осуществить для однородных несжимаемых тел, не прибегая
к искусственным массовым силам (а фактически вовсе не ис-
используя массовых сил).
Этот результат можно получить и с более общих позиций
следующим образом.
Упражнение IV. 10.2 (Коши). Доказать, что циркуляция сохраняется
в том и только в том случае, когда
FTWF = Wo = const (IV. 10-14)
Следовательно, в каждом безвихревом течении циркуляция сохраняется, н
в движении с сохраняющейся циркуляцией любая часть, совершающая в не-
некоторый момент безвихревое движение, продолжает совершать такое движе-
движение и во все времена.
Если мы подставим критерий Коши A4) в (II. 11-13) i, то
найдем,что
R = RY, (IV. 10-15)
где
Y^^iV'V -liV-1)+V'ilW0V1. (IV. 10-16)
Предположим теперь, что заданы однородное растяжение U и
произвольный начальный спин Wo. Тогда "Y — известная функ-
функция от t. Если U и Wo таковы, что Y непрерывно, то линейное
дифференциальное уравнение первого порядка A5) определяет
единственный поворот R@> соответствующий любому задан-
заданному начальному повороту R@). Тогда в однородном движении
с F(t) = R(t)li(t) циркуляция сохраняется. Учитывая ранее
доказанную в этом параграфе теорему, мы можем подытожить
наши последние результаты в виде следующей теоремы.
Теорема (Колеман & Трусделл). Прикладывая одни лишь
подходящие поверхностные усилия, можно вынудить любое од-
однородное несжимаемое тело испытывать любую желаемую
предысторию однородного изохорического растяжения U'. Соот-
Соответствующая предыстория поворота R', не зависящая от рода
материала, получается из единственного решения уравнения
A5), соответствующего заданным начальным значениям R@)
и Wq. И обратно, лишь те однородные деформации могут быть
§ 10 ГЛ. IV. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 181
получены во всех несжимаемых однородных телах при помощи
приложенных на границе усилий и консервативных массовых
сил с однозначным потенциалом, для которых R определяется
по U, R@) и Wo уравнением A5).
Сделанное ранее утверждение относительно безвихревых
движений следует отсюда как частный случай, соответствую-
соответствующий начальному значению Wo = 0, поскольку тогда в силу A4)
W = 0. Предыстории безвихревых деформаций достаточно, что-
чтобы построить сохраняющие циркуляцию деформации, .соответ-
.соответствующие всем возможным предысториям растяжения; однако
предыстории чистого растяжения для этого, очевидно, недоста-
недостаточно, поскольку R = 1 не является в общем случае решением
уравнения A5).
Упражнение IV. 10.3. Доказать, что чистое растяжение сохраняет цирку-
циркуляцию в том и толькр в том случае, когда
UU—UU = const,. (IV. 10-17)
что является обобщением условия (IV.9-15). Следовательно, в общем слу-
случае, действуя одними лишь поверхностными усилиями, нельзя создать вся-
всякое однородное нзохорическое чистое растяжение в произвольном однород-
однородном несжимаемом простом теле, К числу тех специальных случаев однород-
однородного нзохорического чистого растяжения, которые могут быть созданы таким
образом, относятся безвихревые движения, определяемые условием (IV. 9-16)
с дополнительным ограничением Vi(t)vg(t)va(t) = 1.
Как мы убедились в упр. IV. 9.3, единственным видом одно-
однородного изохорического чистого растяжения, ч который может
осуществляться для всех тел без внутренних связей под дей-
действием постоянных массовых сил, является состояние покоя.
Упр. IV. 10.3 показывает, что в любом однородном несжимае-
несжимаемом теле любое однородное изохорическое безвихревое чистое
растяжение может быть вызвано действием одних лишь по-
поверхностных усилий, или еще произвольных потенциальных мас-
массовых сил. Этот результат, как и другие, полученные в этом
параграфе, иллюстрирует разницу между системой напряжений
в сжимаемом теле, испытывающем изохорическую деформацию,
и в соответствующем несжимаемом теле при той же деформа-
деформации. Для тела без связей изменения объема не имеют места
потому, что напряжения устанавливаются строго определенным
образом, причем, каким именно, однозначно определяется функ*
ционалом реакции. В несжимаемом теле никакая система
сил не может вызвать никаких деформаций, кроме изохориче-
ской, и соответственно в этом случае имеется гидростатическое
давление, произвольное в том смысле, что оно не определяется
предысторией деформации.
182 ЧАСТЬ 1, ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ §И
В случае когда приложены заданные массовые силы, пер-
первый закон Коши накладывает ограничение на эти массовые
силы, но не определяет их полностью: если некоторая опреде-
определенная предыстория деформации вообще возможна для данного
несжимаемого тела, то она может иметь место при бесконечно
многих различных массовых силах и поверхностных усилиях.
Упражнение IV. 10.4. Пусть & — реакция некоторого простого тела без
связей 39, и пусть'на изохорнческих предысториях деформации & совпадает
с реакцией некоторого несжимаемого простого тела ^о- Как отличается си-
система напряжений, необходимая для того, чтобы вызвать некоторый простой
сдвиг тела 3S, от системы напряжений, необходимой, чтобы вызвать тот же
простой сдвиг тела $0?
Внутренние связи, например условие несжимаемости, сужают
класс возможных движений, но расширяют класс напряженных
состояний, совместимых с теми движениями, которые могут
иметь место. Поэтому теорию тел со связями развить значи-
значительно проще. Далеко идущие упрощения, вытекающие из пред-
предположения о несжимаемости материала, заметил и использовал
Ривлин в своих основополагающих работах по нелинейной тео-
теории сплошной среды 1946—1955 гг. Большинство известных сей-
сейчас в явном виде решений относится к несжимаемым телам. ¦
§ 11. Материальный изоморфизм
До сих пор мы рассматривали определяющие соотношения
Отдельного тела-точки или отдельного однородного тела, со-
состоящего из точек, имеющих один и тот же функционал реакции
относительно данной отсчетной конфигурации к. Когда мы мо-
можем сказать, что два тела-точки А'] и Х2 тела к состоят из
одного и того же материала? Тогда, когда части тела &, близ-
близкие к Х\ и к Х2 соответственно, можно перевести в такие отсчет-
ные конфигурации х\ и х2, что любая последующая деформация
приводит к одинаковым напряжениям в местах X] и Хг, зани-"
маемых телами-точками Х\ и Х2. Таким образом, никакое экс-
экспериментальное измерение напряжений, порождаемых дефор-
деформацией, не может нам сказать, отправляемся ли мы от части.<%
вблизи А"] в конфигурации щ{3§) или от части, прилежащей
к Х2 в конфигурации кг(^), где Х, = х, (X,), Х2 = х2(Х2). Эта
интерпретация подсказывает также, что мы должны предпола-
предполагать плотности рх и рХ; вблизи Xi и Х2 равными и равномер-
равномерными, что мы и будем делать.
Формализуя эти соображения, дадим следующее
Определение (Нолл). Пусть ©х — реакция простого материала
по отношению к отсчетной конфигурации х. Тела-точки Хх и Х2
§ II ГЛ. IV. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 183
тела 38 называются материально изоморфными,
если существуют такие отсчетные конфигурации Xj и я^, что
plti (X,) = рКг (Х2) = const вблизи Х{ и Х2 и
®,1(F',X,) = e,|.(F',X2I (IV. 11-1)
для любой невырожденной тензорной предыстории F1.
Это определение является формализацией нестрого описан-
описанных перед этим представлений, поскольку левая часть — это
напряжение в месте, занимаемом телом-точкой Хи когда тело 3S
испытывает по отношению к x,t(&) деформацию с предысторией
градиента деформации F, а правая часть—напряжение в ме-
месте, занимаемом телом-точкой Х2, когда тело ^| испытывает ту
же самую деформацию относительно я2(&). Так как .соотноше-
.соотношение A) должно иметь место для всех F', мы можем перевести
тело вблизи Xi и вблизи Х2 в конфигурации, не различимые ни-
никаким измерением, описываемым теорией простых тел.
Если каждое тело-точка данного тела 38 материально изо-
изоморфно любому другому его телу-точке, то любая достаточно
малая часть тела !М имеет те же самые свойства, что и любая
другая достаточно малая часть, и мы говорим, что тело едино-
единообразно. Это означает, что реакции тела $ вблизи Х{ и Х2 оди-
одинаковы по отношению к подходящим отсчетным конфигурациям'
Mi и «г, что реакции 9И вблизи Х2 и Х3 одинаковы по Отношению
к подходящим отсчетным конфигурациям к'2 и %'ъ и т. д. Однако
может.и не быть единой для всего тела отсчетной конфигура-
конфигурации н(&), по отношению к которой все тела-точки имеют оди-
одинаковые реакции. Чтобы убедиться в наличии изоморфизма ка-
каждой пары тел-точек, может оказаться необходимым перед на-
началом эксперимента разрезать (мысленно, конечно) тело на не-
небольшие куски и переводить каждый кусок порознь в соответ-
соответствующую конфигурацию. Эти куски не обязательно должны
подходить друг к другу таким образом, чтобы из них можно
было образовать конфигурацию всего тела 9И..
В том частном случае, когда изоморфизм всех точек едино-
единообразного тела может быть установлен с помощью одной от-
отсчетной конфигурации и, тело называется однородным. Реакция
©к по отношению к этой специальной конфигурации и не зави-
зависит от X, так что это определение однородности на основе по-
понятия материального изоморфизма эквивалентно тому, которое
мы уже ввели ранее в § 9.
Каждое однородное тело единообразно, но обратное неверно.
Тела единообразные, но неоднородные соответствуют, по-види-
по-видимому, тому, что в физике называют телами с «дефектами > и
184 ЧАСТЬ I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ S 12
«дислокациями». Далее в этой книге мы будем рассматривать
только однородные тела').
Как мы убедимся в следующем параграфе, понятие мате-
материального изоморфизма можно использовать гораздо шире, не-
нежели просто для определения однородности.
§ 12. Группа равноправности
Каждая точка2) X тела !% тривиальным образом материаль-
материально изоморфна самой себе, но может существовать и нетривиаль-
нетривиальный изоморфизм точки X с самой собой. Мы будем исследовать'
эту возможность с помощью некоторой произвольно выбранной
отсчетной конфигурации х\, и поскольку мы сейчас будем рас-
рассматривать лишь одно-единственное тело-точку X, мы не будем
указывать ее в обозначениях. Из (IV. 11-1) получаем условие
изоморфизма
©Xi(F') = ©»2(Ff). (IV. 12-1)
Если нам удастся найти такую конфигурацию кг, отличную
от иь что условие A) выполняется для всех F', то мы тем са-
самым покажем, что реакция данного тела-точки X при деформа-
деформациях относительно двух различных конфигураций Xj и щ одна
и та же. То есть, если пользоваться представлением об идеаль-
идеальных экспериментах, которое мы время от времени привлекаем,
чтобы сделать наглядными теоретические утверждения, ника-
никакой эксперимент над частью тела 0 вблизи X не может разли-
различить xi и кг. В этом случае мы говорим, что отсчетные конфи-
конфигурации К] и и2 равноправны3) в точке X.
По самому их определению отображения, преобразующие
©дну из равноправных конфигураций в другую, образуют груп-
группу, которая определяется свойствами реакции ©*. Таким обра-
образом, эта группа определяется, с одной стороны, определяющим
соотношением в точке X и, с* другой стороны, заданием какой-
нибудь одной (любой) из конфигураций и, которые переводятся
друг в друга преобразованием из этой группы. Выбрав другую
конфигурацию к, мы придем, вообще говоря, к другой группе
отображений. Было бы естественно назвать группу, опреде-
определяемую ©*, группой равноправности материала по отношению
к и в точке X, однако это название (или равнозначное название
') Общую теорию неоднородных единообразных тел, а также решение
ряда частных задач можно найти в книге W. Noll, R. A. Toupin, С.-С. Wang,
Continuum theory of inhomogeneities in simple bodies, New York, Springer,
1968.
2) Начиная с этого места, автор иногда (и чем дальше, тем чаще) нд-
зывает тела-точки просто точками. — Прим. ред.
3) В оригинале peer. — Прим. ред.
§ 12 ГЛ. tV. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 185
«группа изотропии» ') обычно дают группе у* градиентов таких
отображений. Что эти градиенты тоже образуют группу, на сей
раз по отношению к тензорному умножению, очевидно в силу
правила композиции градиентов. (II. 7-5). Поскольку конфигу-
конфигурации к, преобразуемые друг в друге элементами группы равно-
равноправности, имеют одинаковую плотность, градиенты этих сооб-
соображений ввиду (П.5-8K унимодулярны: det VA. = ± 1- Таким
образом, группа равноправности ук конфигурации к в точ-
точке А' —это подгруппа унимодулярной группы и
**<=«, - (IV. 12-2)
состоящая из градиентов всех отображений, которые перево-
переводят к в равноправные конфигурации, а именно в другие отсчет-
ные конфигурации, неотличимые от к- по результатам измере-
измерения напряжений, возникающих при деформации к.
Подставляя в A) соотношение (IV. 3-3), мы находим, что
элементы группы равноправности ух — это унимодулярные тен-..
зоры Н, обладающие тем свойством, что для всех невырожден-
невырожденных тензорных предыстории F'
' ' (IV. 12-3)
и что, обратно, любой такой тензор Н является элементом
группы у*.
Упражнение IV. 12.1. Исходя непосредственно из соотношения C), про-
проверить тот факт, что множестно удовлетворяющих ему тензоров Н образует
группу.
В качестве части определения группы равноправности мы потребовали,
чтобы элементы ее были унимодуляриы. Мы сделали так, имея в виду по-
последующие приложения, а не какие-либо возражения математического харак-
характера _против более общих изоморфизмов. Рассматривая соотношение C) для
предыстории деформации, F(^)^l, соответствующей покою, мы видим, что
если Не;,, то ©Х<(Н*)') = ©Х A') для любых га—1, 2, 3 где
(Н")(— предыстория постоянного тензора Нп, а 1(—предыстория единич-
единичного тензора 1. Если |detH| < 1, то этот результат и соотношение A1.5-4)
показывают, что мы можем найти конфигурацию со сколь угодно большой
плотностью, в которых материал можно удерживать в покое неограниченно
долго при точно таких же напряжениях, какие требуются для поддержания,
равновесия в конфигурации х. Если | det Н [ > 1, то то же самое можно ска-
сказать относительно конфигураций с произвольно малой плотностью. Мате-
') Термин «группа изотропии», использованный Ноллом при введении
этих групп, приводил бы здесь к недоразумениям, поскольку его происхо-
происхождение связано с понятием вращения, тогда как элементы группы равноправ-
равноправности вовсе не обязательно должны быть вращениями; равным образом при-
приводил бы к недоразумению термин «группа симметрии» (хотя он и ближе
к распространенному у физиков словоупотреблению), поскольку берет на-
начало от понятия расстояния, которое не имеет отношения к реакции мате-
материала. Термин «равноправный» предлагается в связи с его корневым значе-
значением «равный в правах перед законом», причем роль «закона» здесь отво-
отводится определяющему соотношению материала.
186 Часть i. общие понятия § 12
риплы с такими свойствами были бы довольно странными. В частности, к та-
такому классу материалов не относится никакая эйлерова жидкость, для кото-
которой функция плотность — давление допускает обращение. В этой книге мы
просто оставим вне поля зрения все Н, которые -удовлетворяют соотноше-
соотношению C) и не являются унимодулярными. В то же время сделанные выше
замечания могли бы послужить основанием для того, чтобы потребовать
в качестве части определения простого материала, чтобы при соответствую-
соответствующих им ©х уравнение C) не допускало неунимодулярных решений').
Элементы Н группы ^х не обязаны быть ортогональными
тензорами, хотя, конечно, могут быть таковыми. Поскольку
1е^ для любой материальной точки и любой отсчетной кон-
конфигурации к, по крайней мере один из элементов группы ух
всегда ортогонален. Если ортогональный тензор Q е ух, то и
QT е ух, поскольку $ж — группа; далее, QFf пробегает все невы-
невырожденные тензорные предыстории, когда их пробегает F*.
Поэтому, если H=Q, то соотношение C) эквивалентно соот-
соотношению
©* (QF'QT) = ©* (QF0- (IV. 12-4)
Возьмем в условии (IV. 5-2), которое выражает принцип неза-
независимости от системы отсчета, частную предысторию Q' =
= Q(*) = Q. Это дает
©X(QFO=Q®-(F')QT- (IV. 12-5)
Последнее соотношение справедливо для всех F* и всех орто-
ортогональных тензоров Q, тогда как соотношение D) — только для
тех Q, которые принадлежат у„. Комбинируя эти два соотно-
соотношения, получаем в качестве необходимого условия, которому
должны удовлетворять все ортогональные элементы группы ук,
соотношение
f) QT. (IV. 12-6)
Упражнение IV. 12.2. Доказать, что, обратно, если Q удовлетворяет
соотношению F), то Qe yx.
Таким образом, F) представляет собой необходимое и доста-
достаточное условие принадлежности ортогонального тензора Q группе
равноправности.
') Как было показано Гуртином и Вильямсом (М. Е. Gurtin & W. О. Wil-
Williams, On the Inclusion of the complete symmetry group in the unimodular
group, Arch. Rational Mech. Anal., 23 A966), 163—172), в одной из теорий
термомеханики также можно ввести группы равноправности и доказать,
что для того, чтобы выполнялись некоторые естественные требования, они
должны быть подгруппами группы и.
§12 ГЛ. IV. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 187
Из F) видно, что — 1 е ^х для всех материалов и всех к.
Поскольку тензор —1 есть центральная инверсия, он не соот-
соответствует никакой физически осуществимой деформации; он
просто выражает инвариантность свойств материала относи*
тельно отражений отсчетной конфигурации1). Поскольку
- 1 е^, а ух — группа, то — Н еухФфН е^. Таким образом,
ух можно представить как прямое" произведение тривиальной
группы, состоящей из 1 и —1, на группуу+, все элементы кото-
которой имеют определитель +1:
/„={1.-1}.®/+. (IV. 12-7)
причем только элементы группы у+ соответствуют реально осу-
осуществимым деформациям. Собственно говоря, лишь те дефор-
деформации к, градиенты которых являются элементами группы у+,
а не вообще элементами группы ух, и могут быть обнаружены
экспериментально, однако формально удобнее включать в рас-
рассмотрение и тривиальную центральную инверсию и оперировать
с целой группой ух. Мы показали, таким образом, что {1, —1} —
это наименьшая возможная группа равноправности:
{1, — 1}сЛ(Г«. (IV. 12-8)
Приведенные выше построения и результаты в этой их абс-
абстрактной форме принадлежат Ноллу, обобщившему более ран-
ранние и более частные понятия и результаты.
Любая подгруппа унимодулярной группы может быть груп-
группой равноправности материальной точки. Можно построить бес-
бесконечно много функций реакции©, соответствующих произволь-
произвольной заданной унимодулярной подгруппе $\ точнее, можно запи-
записать© в некоторой приведенной форме, не зависимой от системы
отсчета и автоматически отвечающей всем материалам, имею-
имеющим данную группу равноправности, и только им2). В после-
последующих параграфах ма будем рассматривать только те у, кото-
которые чем-либо примечательны либо ведут к особенно простым
представлениям для ©. В частности, мы воспользуемся разви-
развитым здесь аппаратом для того, чтобы определить понятия «изо-
«изотропного тела», «твердого тела», «жидкости».
') Не следует думать, что этот результат распространяется на другие
теории, такие, как теплопроводность или электромагнетизм; там такая ин-
инвариантность не имеет места.
2) С-С. Wang, On a general representation theorem for constitutive rela-
relations, Arch. Rational Mech. Anal., 33 A969), 1—25.
188 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 13
§13. Сопоставление между собой групп равноправности
по отношению к различным конфигурациям
Группа равноправности ^х в заданной материальной точке,'
равно как и реакция ©* рассматриваемого материала, зависят
от выбора отсчетной конфигурации х. Поскольку реакция ©К1
определяет реакцию ©*, для всех х2, то же самое должно быть
справедливо и относительно у и ^. Так это и есть, и каждая
из групп определяет другую по правилу, установленному Нол-
лом:
^^р^р-1. (IV. 13-1)
Чтобы вывести это правило, мы просто применим (IV. 3-3) к
обеим частям соотношения (IV. 12-3), заменив предварительно
в нем х на Xi:
©X2(f'HP~1)==^!(p'P~1). (IV. 13-2)
где P = VX, a X: х,->х2. Когда F* пробегает все невырожден-
невырожденные тензорные предыстории, то и F'P при любом заданном
невырожденном тензоре Р также пробегает все множество ре-
регулярных невырожденных предыстории. Следовательно, соотно-
соотношение B) эквивалентно соотношению
©„(f'pHP'^^k^F'), (IV. 13-3)
которое имеет вид (IV. 12-3) с х, замененным на х2. Поскольку
произведение РНР~ унимодулярно, если унимодулярно Н, то
каждое решение Н уравнения (IV. 12-3) соответствует унимо-
дуляряому решению РНР уравнения C), и обратно. Правило
A) —сжатая запись этого факта.
Тривиальным следствием соотношения (IV. 12.1) [или, если
угодно, A)] является то, что если х,_ и х2 равноправны, то они
имеют одинаковые группы равноправности.
Хотя элементы групп ^ и ? — унимодулярные тензоры,
сами отсчетные конфигурации х, и х2 не обязательно должны
иметь одинаковые плотности. В частности, если мы допустим,
что х2 получается из х, объемным расширением, то Р = /П,
где К Ф 0, так что Р—' = /C~'l, и из A) следует, что j»Xj = ^Ki.
Таким образом, группа равноправности не.меняется при объем-
объемном расширении.
В соответствии с соотношением A) можно ожидать, что,
какова бы ни была группа ^х, при некотором выборе х2 мы
получим отличную от нее группу равноправности ^к. Таким об-
образом, понятие равноправности является относительным, зави-
§ 14 ГЛ. IV. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 189
сящим от выбора отсчетной конфигурации. Возможно, однако,
что <f*= ?Xl ПРИ любом выборе щ и х% В этом случае мы бу-
будем говорить, что материал в точке X является эгалитарным:
никакая деформация не может уменьшить или расширить его
группу равноправности. Достаточно одного взгляда на A), что-
чтобы найти две группы, соответствующие эгалитарным материа-
материалам:
? = {1, — 1) или 9 = и. (IV. 13-4)
Согласно известной теореме теории групп1), унимодулярная
группа является «простой». Это означает, что уравнение
^=Р^Р"' VPe=« (IV. 13-5)
не имеет других решений^, кроме тривиальных. Таким образом,
группы D)— единственно возможные для эгалитарных материа-
материалов. В § 16 мы познакомимся с одним важным следствием этого
факта. Здесь же мы лишь отметим, что сам по себе этот факт
неудивителен, и о нем легко можно было бы догадаться исходя
из нашего физического опыта, поскольку этот факт означает,
что лишь в материалах, для которых имеют место одни только
тривиальные эквивалентности реакций либо же вообще все воз-
возможные эквивалентности, никакая деформация не может ни со-
создать новых эквивалентностей, ни нарушить старые.
§ 14. Изотропные материалы
Матерал изотропен, если его можно перевести в конфигура-
конфигурацию, никакой поворот которой не может быть обнаружен экспе-
экспериментально. Рассмотрим некоторую определенную материаль-
материальную точку X и дадим следующее формальное
Определение (Коши, Нолл). Материал изотропен, если
существует такая отснетная конфигурация х, что
/„=>.•, (IV. 14-1)
где о — полная ортогональная группа. Такая конфигурация к
называется н е и с к аж е н н о й.
Согласно этому определению любая ортогональная деформа-
деформация конфигурации х переводит ее в равноправную. Из правила
Нолла (IV. 13-1) видно, что для других конфигураций х' группа
равноправности ^, не обязательно должна содержать о. Иными
словами, повороты конфигурации х' могут, вообще говоря, быть
!) См„ например, Ж. Дьёдонне, Геометрия классических групп («Мир»,
1974), гл. II, § 2.
190 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 14
обнаружены, в отличие от поворотов неискаженной конфигура-
конфигурации х. Конечно, то же самое правило показывает, что ортого-
ортогональная деформация ') переводит одну неискаженную конфигу-
конфигурацию изотропного материала в другую, — факт, который яв-
является просто отражением определения изотропного материа-
материала, — и показывает сверх того, что изотропный материал имеет
бесконечно много неискаженных конфигураций.
Для изотропного материала соотношение (IV. 12-6) превра-
превращается из уравнения, которое надо разрешить относительно Q,
в тождество, которому'удовлетворяют все Q; равным образом
соотношению (IV. 12-3) удовлетворяют все ортогональные тен-
тензоры Н. В силу этого последнего соотношения значение Т не
изменится, если мы заменим F на F'Q, где Q — любой постоян-
постоянный ортогональный тензор. В частности, мы можем заменить
F на F(RT, не изменив значения Т. Применим это преобразова-
преобразование к определяющему соотношению в приведенной форме
(IV.5-15). При этом преобразовании F заменяется на FRT, т. е.
RU заменяется на RURT. Это последнее произведение является
положительно определенным и симметричным, и потому в его
полярном разложении множитель, отвечающий повороту, ра-
равен 1. При этом С заменяется на RCRT, т. е. в силу (Н.9-5M на В
и в силу A1.9-10) -и (IV. 5-10) (С*)* заменяется на С\. Таким
образом, из (IV. 5-15) в качестве приведенной формы Нолла
определяющего соотношения изотропного материала получаем
соотношение
Т = 9*[С{;В], (IV. 14-2)
в которое, как и следовало ожидать, поворот не входит вовсе.
Далее, если F' заменить на QF'QT, то, согласно (IV. 12-6),
при произвольном Q тензор напряжений Т заменится на QTQT.
При этой замене С* и В, как легко убедиться, используя (II. 9-10)
и (II. 9-5), заменятся на QC*(s)QT и QBQT. Таким образом,
отображение 91 в B) должно удовлетворять тождеству
<; B]QT (IV. 14-3)
для всякого ортогонального тензора Q, всякой положительно
определенной симметричной тензорной предыстории С< и вся-
всякого положительно определенного симметричного тензора В.
Отображение, удовлетворяющее этому требованию, назы-
называется изотропным. Таким образом, понятие изотропного ото-
отображения служит обобщением понятия изотропной функции (см.
') То есть деформация, градиент которой есть ортогональный тензор.—
Прим. ред.
§ IS ГЛ. IV. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 191
соотношение (IV. 4-9)). Обратно, если отображение 91 удовле-
удовлетворяет тождеству C), то соотношение. B) есть определяющее
соотношение изотропного простого материала, отнесенное к не-
неискаженной конфигурации. Если используется отсчетная кон-
конфигурация, не являющаяся неискаженной, то уравнение состоя-
состояния изотропного материала не может иметь вида B), и в об-
общем случае не выделяется сколько-нибудь заметной простотой.
Упражнение IV. 14.1. Проверить последовательно все шаги намеченного
выше доказательства соотношений B) и C).
Соотношение (J) служит формальным воплощением есте-
естественного представления об изотропии, но оно выглядит более
общим, чем есть на самом деле. Согласно одной из теорем тео-
теории групп, ортогональная группа является максимальной под-
подгруппой унимодулярной группы1). Это означает, что если $—
группа, удовлетворяющая условию о а у а и, то
либо ^ = о, либо ^ = и. (IV. 14-4)
Таким образом, группа равноправности изотропного материа-
материала— это либо ортогональная группа, либо вся унимодулярная
группа.
§ 15. Твердые тела
Материал рассматривают как «твердый», если он обладает
некоторой предпочтительной конфигурацией, в том смысле, что
любое изменение его формы относительно этой конфигурации
изменяет реакцию материала по крайней мере на некоторые из
возможных последующих деформаций. Изменение формы пред-
представляет собой неортогональную деформацию. Таким образом,
твердое тело обладает такой конфигурацией, по отношению к
которой каждая неортогональная деформация поддается обна-
обнаружению с помощью некоторого последующего эксперимента.
Таким образом, мы даем следующее формальное
Определение (Нолл). Материал называется твердым, если
существует такая отсчетная конфигурация х, что"
,.= «,;" (IV. 15-1)
такая конфигурация называется леи скаженной.
Согласно этому определению, никакая неортогональная де-
деформация не принадлежит к группе равноправности ^х, если
х — неискаженная конфигурация.
') См., например, W. Noll, Proof of the maximality of the orthogonal
group in the unimodular group, Arch. Rational Mech. Anal., 18 A965),
100—102.
ЧАСТЬ !. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
Например, тверд материал, для которого ^={1, — 1). Та-
Такой материал называется триклинным; он представляет собой
пример кристаллического твердого тела в классическом смысле
слова. Все классические кристаллографические группы, если их
дополнить так, чтобы они включали преобразование — 1, соот-
соответствуют твердым телам. То же относится и к группам, опре-
определяющим «трансверсально изотропные» и «ортотропные» ма-
материалы, и ко многим другим.
Для твердых тел не было найдено никакой особенно простой
формы определяющего соотношения.
Изотропное твердое тело — это, конечно, материал, который
одновременно тверд и изотропен. Оба эти качества были опре-
определены в терминах существования некоторых специальных от-
счетных конфигураций, каждую из которых мы назвали «не-
«неискаженной». Будем обозначать через х ту из них, котор_ая ис-
используется при установлении «изотропности», а через х — ту,
которая используется при определении «твердости», так что
^ =>о, p-.cz о. (IV. 15-2)
Связь между этими отсчетными конфигурациями раскры-
раскрывается следующей теоремой..
Теорема 1.
/,=-/; = ». (IV. 15-3)
Доказательство. Согласно последнему утверждению § 14,
Либо р =о, ЛИбо р =«. ЕСЛИ р —и, ТО В СИЛу (IV. 13-1) ?-=и,
поскольку BJ противоречит этому заключению, нам остается
лишь первая возможность: р% = «. Следовательно, х предста-
представляет собой неискаженную конфигурацию и для твердого тела.
По правилу Нолла (IV. 13-1) существует такое X: х->х, что
^-=РоР~' где P = VX. Если мы сможем найти такой ортого-
ортогональный тензор R, что j,_ = RoR~', то мы докажем теорему, по-
поскольку единственной ортогонально сопряженной к о группой
является сама группа о. То, что такое R существует, вытекает
из более общего результата, сформулированного в следующем
упражнении. ¦
Упражнение IV. 15.1 (Колеман & Нолл). Пусть них'- две неискажен-
неискаженные конфигурации твердого тела и P = Vk, где X: х -ж*. Пусть, далее,
полярное разложение Р имеет вид Р = R0U0. и пусть Q* и Q — элементы
групп ?х, и ^х, соответствующие друг другу по правилу Нолла. Доказать,
что
Q* = R0QR?, Uo = QTUoQ. • (IV. 15-4)
§ 15 ГЛ. IV. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ !§3
Следов ательно,
/.•-Roj-RS. (IV. 15-5)
т. е. группа рх, является ортогонально сопряженной к группе ?л.
Возвращаясь к рассмотрению твердого тела в общем слу-
случае, заметим, что его группой равноправности по отношению
к неискаженной конфигурации может быть любая подгруппа
ортогональной группы.
Однако заметное внимание привлекли лишь отдельные частные виды
анизотропии. Это те виды, которые соответствуют тридцати двум кристалли-
кристаллическим классам, выделяемым по свойствам оптической симметрии, и еще два
вида, отвечающих некоторым полученным искусственным путем материалам.
Чтобы определить эти специальные симметрии, условимся обозначать через
R* правый поворот на угол <р относительно оси, направленной вдоль век-
вектора а, выберем какой-нибудь ортонормированный базис (i, j, k) и положим
р = _ A + J + к). В силу (IV. 12-7) нам достаточно лишь задать груп-
уз
пу »+, представляющую собой группу вращений.
Материал, для которого а* состоит из тензора 1 н всех вращений R^
при фиксированном к и всевозможных углах <р, называется трансверсально
изотропным по отношению к к. .,
"Тридцать два кристаллических класса в нашей, чисто механической тео-
теории сводятся к одиннадцати. Их определения со стандартными кристалло-
кристаллографическими названиями приведены в следующей таблице. Направления
единичных векторов i, j, k называются кристаллографическими осями.
Наконец, материал называется ортотропным, если в „ входят отражения
- R?, - R", - Rk- Поскольку R*Rj1 = R? и (r,2 / = R*, кристаллы,
имеющие в таблице номера 3, 5, 6 и 7, являются ортотропными. В этой книге
мы не будем иметь случая рассматривать кристаллы или другие материалы
со специальными типами симметрии, кроме, конечно, изотропных материа-
материалов. Приведенные только что определения призваны лишь Помочь читателю
донять, о чем идет речь, если соответствующие термины встретятся ему где-
нибудь в другом месте.
Вновь возвращаясь к рассмотрению твердых тел в общем
случае, отметим прежде всего, что лишь отдельные специаль-
специальные конфигурации являются неискаженными. Действительно,
если конфигурация х неискаженная, то, полагая P = VX, где
X: х—ис*, мы имеем по правилу Нолла
/..-Р/.Р'1. Л<с°- (IV. 15-6)
Если Q — ортогональный тензор, то тензор PQP, вообще гово-
говоря, будет неортогональным. Таким образом, далеко не все кон-
конфигурации неискаженные.
Упражнение IV. 15.2. Применяя соотношение E), показать, что группы
равноправности, соответствующие различным неискаженным конфигурациям
некоторого твердого тела, в общем случае различны и что неискаженные кон-
конфигурации анизотропного твердого тела в общем случае неравноправны.
7 Трусделл
I
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
Кристаллический класс
Триклинная система ¦
все классы
Моноклинная система
все классы
Ромбическая система
все классы
Тетрагональная бистема
тетрагонально-дисфеиоидальная
тетрагонально-пирамидальная i
тетрагонально-бипирамидальная )
тетрагонально-скаленоэдриче-
ская
дитетрагонально-пирамидальная
тетрагона льно-трапецоэдриче-
ская
дитетрагональио-бипирамидаль-'
ная
Кубическая система
тетартоэдрическая 1
' диплоидальиая )
гексатетраэдрическая 1
гироэдрическая >
гексоктаэдрическая J
Гексагональная система
тригонально-пирамидальная 1
ромбоэдрическая 1
дитригонально-пйрамидальная ¦>
тригоиальио-трвпецоэдрическая \
гексагонально-скаленоэдрическая J
дитригоиально-бипирамидальная 1
гексагонально-пирамидальная >
гексагональио-бипирамидальиая J
дитригоиально-бипирамидальиая
дигексагоиально-пирамида льная
гексагонально-трапецоэдриче-
ская
дигекс агоиально-бипирамидаль-
иая
Порождающие элементы ')
группы а*
а
¦
1
ря
*?, н"
4я
4я.*?
2
_ ^ «~ ™
пп пП п о
в2 " в2Л р2Я
"f I Ay » A^
о
,2
I
I
пЯ р 3
Ht, Hk
Поря-
Порядок
груп-
группы а
9
2
4
8
8
16
24
48
6
12
12
24
') Элементы некоторого подмножества группы f называются порождающими
элементами этой группы, если любой ее элемент может быть представлен в виде про-
произведении их степеней!
S 15 ГЛ. IV. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 195
Таким образом, мы можем поставить себе следующую зада-
задачу: найти максимальный класс деформаций X, которые перево-
переводят неискаженную конфигурацию х, определяемую данной груп-
группой ^х, в другую неискаженную конфигурацию.
Для максимальной и минимальной групп равноправности
ответ получить легко. В случае ?х= {1,—1}, как показано в
§ 13, все конфигурации являются неискаженными, так что все к
обладают желаемым свойством. Во втором случае ответ на во-
вопрос дает следующая
Теорема 2. Для изотропного тела преобразование X перево-
переводит одну неискаженную' конфигурацию в другую тогда и только
тогда, когда оно конформно1).
Достаточность этого условия тривиально следует из теоремы,
установленной в § 13. Необходимость же * вытекает из следую-
следующей более общей теоремы.
Теорема 3 (Колеман & Нолл). Деформация X переводит одну
неискаженную конфигурацию к твердого тела в другую неиска-
неискаженную конфигурацию в том и только в том случае, когда ха-
характеристические пространства правого тензора растяжений Uo
градиента деформации VX- инвариантны относительно всех пово-
поворотов, входящих в группу равноправности $ж.
Доказательство. В силу DJ любой элемент Q группы уж
коммутирует с Uo- Согласно одной теореме алгебры2) тензор Q
обладает этим свойством тогда и только тогда, когда он остав-
оставляет характеристические пространства Uo инвариантными. ¦
Упражнение IV. 15.3. Получить утверждение о достаточности в теореме 2
как следствие теоремы 3.
Покажем теперь, как воспользоваться теоремой 3 для дока-
доказательства необходимости в теореме 2. Из теоремы 1 мы знаем,
что если конфигурация у. неискаженная, то ^х = ©. Если %. пере-
переводит х в другую неискаженную конфигурацию х*, то по теоре-
теореме 3 характеристические пространства тензора Uo — правого
тензора растяжения, соответствующего градиенту деформации
VX, — должны оставаться инвариантными при воздействии лю-
любого ортогонального тензора. Поэтому характеристическим про-
пространством для и0 может быть только само Т. Следовательно,
') Деформация называется конформной, если она сохраняет углы между
материальными кривыми; эквивалентное условие: VA. = KR, где R — ортого-
ортогональный тензор, а К Ф 0.
2) Имеющаяся в виду теорема есть следствие теорем 2 § 43 и 3 § 79 из
книги П. Халмоша «Конечномерные векторные простраиства> (Физматгиз, М.,
1963).
7*
196
ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
16
собственные числа тензора Uo все равны между собой, так что
Uo = /С1 и, следовательно, Vi. = /CR.
Теорему 3 саму можно использовать для определения наи-
наиболее общего вида тензора Uo, совместимого с данной группой
Р%, в случаях, отличных от уже рассмотренных случаев изотроп-
изотропного и триклинного тел. Результаты для кристаллических твер-
твердых тел показаны в следующей таблице, принадлежащей Коле-
ману и Ноллу. Числа в скобках — это номера специальных
случаев аллотропии из таблицы на стр. 194.
Тип аллотропии
Триклиниая система (J)
Моноклинная система B)
Ромбическая система C)
Тетрагональная система D, 5)
Гексагональная система (8— 11)
Траисверсальиая изотропия
Кубическая система F, 7)
Ограничения на Uo
никаких ограничений
к — собственный вектор для Uo
i, j, k — собственные векторы
АДЯ Uo
Uo «= А\ + ?k<g)k
и„=Л1
§ 16. Жидкости
С жидкостями связаны различные физические представле-
представления. Одно из них состоит в том, что жидкость — это субстанция,
которая может течь. Сам термин «течь» расплывчат. Одно из его
значений — это просто деформироваться пвд напряжением;
здесь жидкость ничем не отличается от любого другого не аб'
солютно твердого материала. Другое значение связано с пред-
представлением о том, что действие постоянного напряжения приво-
приводит к постоянной скорости; это значение представляется весьма
частным и применимым лишь с трудом и лишь к специальным
видам течения. Еще одно значение — это неспособность нахо-
находиться в равновесии под действием касательных напряжений.
Формально в рамках теории простых материалов такое опреде-
определение выглядело бы так:
(IV. 16-1)
§ 16 ГЛ. IV. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 197
Здесь ;3A') = 0, где I* — предыстория, значения которой для
всех моментов времени равны 1. Поскольку материал, опреде-
определенный таким образом, может иметь какую угодно группу рав-
равноправности, включая и ту, которая была.уже, применена при
определении твердого тела, это определение само по себе не
годится в качестве критерия, позволяющего различить жидкость
и твердое тело по их обычным реакциям. Наконец, жидкость
рассматривается еще как материал, «не имеющий предпочти-
предпочтительной ориентации». Используя понятие о группах равноправ-
равноправности, мы можем реализовать эту несколько смутную идею сле-
следующим образом.
Определение. Жидкость есть эгалитарный материал, не
являющийся твердым телом.
В § 13 мы показали, что для эгалитарного материала либо
f = {l, — I}, либо ^ = а. Первый случай, согласно данному в
§ 15 определению, соответствует твердому телу. Тем самым
установлена следующая
Теорема. Материал представляет собой жидкость в том и
только в том случае, когда
,„ = « (IV. 16-2)
для всех ж.
Из этой теоремы, а также из некоторых рассмотренных ра-
ранее теорем и определений вытекает ряд тривиальных следствий:
1. Каждая жидкость изотропна.
2. Любая конфигурация жидкости является неискаженной.
3. Материал эгалитарен тогда и только тогда, когда он пред-
представляет собой либо жидкость, либо триклинное твердое тело.
4. Материал изотропен в том и только в том случае, когда
он представляет собой либо жидкость, либо изотропное твердое
тело.
Условие B) было выдвинуто в качестве определения жид-
жидкости Ноллом, который, основываясь на этом определении, до-
доказал следующую теорему.
Фундаментальная теорема о жидкостях. Всякая жидкость
имеет определяющее соотношение вида
Т-Я(с{;р), (IV. 16-3)
причем
Я (QClQT; p) = Q« (с{; p) QT, (IV. 16-4)
и каждое такое изотропное отображение предыстории положи-
положительно определенных симметричных тензоров на симметричные
198 ЧАСТЬ !. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 16
тензоры определяет некоторую жидкость. Сверх того,
ЛA*; р) = -р(рI. (IV. 16-5)
Этот последний результат означает, что все жидкости в
состоянии равновесия подчиняются законам эйлеровой гидро-
гидростатики, согласно которым напряжения сводятся к одному гид-
гидростатическому давлению, зависящему только от плотности.
В частности, для жидкости характерно явление «течения» в
одном из указанных выше общепринятых смыслов, а именно:
находясь в состоянии покоя во все времена, в прошлом и в
настоящий моменты, она ни в какой конфигурации не может
выдерживать никаких сдвигающих напряжений. Как мы пока-
показали в начале этого параграфа, обратное неверно: материал,
способный «течь» в этом смысле, может иметь какую угодно
группу равноправности.
Доказательство теоремы Нолла. Поскольку жидкость изо-
изотропна и любая ее конфигурация является неискаженной, мы
можем воспользоваться соотношением (IV. 14-2) при любой от-
счетной конфигурации х. Так как для жидкости тензор Т не
может измениться при статической деформации из одной кон-
конфигурации в другую с той же плотностью, то зависимость от
B(t) в соотношении (IV. 14-2) должна сводиться к зависимости
от detB(tf), или, что равнозначно, к зависимости от р. Тем са-
самым установлена необходимость соотношения C). Далее, реак-
реакциям должна удовлетворять соотношению (IV. 14-3), которое
теперь свелось к D). Для частного случая предыстории покоя
C* = l', так что D) дает
Т = SS A'; р) = QSS A«; р) QT = QTQT. (IV. 16-6)
Таким образом, в жидкости, которая всегда пребывала в
покое, Т коммутирует с любым ортогональным тензором.
Упражнение IV. 16.1. Показать, что если симметричный тензор S удо-
удовлетворяет условию QSQT=S VQ, то S = Kl.
Из результата этого упражнения следует необходимость* условия E).
Упражнение IV. 16.2. Показать, что из C) и D) следует, что ?к = а
для любых х.
Этими упражнениями доказательство теоремы Нолла завер-
завершено. ¦
Мы можем выразить полученные результаты следующим об-
образом: определяющее соотношение для жидкости имеет вид
Т~-р(рI+«:(с}-1;р), (IV. 16-7)
§ !? ГЛ. IV. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 199
где функционал Щ является изотропным и обращается б нуль,
когда его аргументом является предыстория 0', значение кото-
которой всегда равно 0.
Жидкость может реагировать на всю предысторию ее дефор-
деформации в целом,, однако ее реакция не может быть различной
в различных конфигурациях с одинаковой плотностью. Эти два
внешне противоречивых свойства — способность помнить все
прошлое и неспособность отличать одну конфигурацию от дру-
другой — уживаются в жидкости благодаря тому, что она реаги-
реагирует на прошлое лишь постольку, поскольку оно отличается от
постоянно меняющегося настоящего.
§ 17. Жидкие кристаллы
Чтобы исчерпать все возможные типы простых материалов,
мы будем любой материал, не являющийся твердым телом, на-
называть жидким кристаллом. Для жидкого кристалла, следова-
следовательно, не существует такой отсчетной конфигурации х, что
^с». Таким образом, группа равноправности по отношению
ь каждой отсчетной конфигурации содержит некоторые неорто-
неортогональные элементы, т. е. всегда найдется изменение формы
жидкого кристалла, которое нельзя обнаружить никаким экспе-
экспериментом. В этом отношении .жидкий кристалл подобен жидко-
жидкости, для которой никакие изменения формы без изменения
плотности не поддаются обнаружению. Поскольку, однако, не-
невозможно, чтобы ух гэ о (иначе жидкий кристалл фактически1
был бы жидкостью), для неизотропного жидкого кристалла су-
существуют также не сводящиеся к тождественному преобразова-
преобразованию повороты, которые поддаются обнаружению. Этим своим
свойством жидкие кристаллы напоминают анизотропные твер-
твердые тела.
Данное нами определение и результаты предыдущего пара-
параграфа показывают, что жидкий кристалл является жидкостью
в том и только в том случае, когда он изотропен.
В этой книге мы не -будем интересоваться специальными
свойствами жидких кристаллов1).
') Группы равноправности некоторых жидких кристаллов были опреде-
определены и изучены Колеманом и Ваном (В. D. Coleman, Simple liquid crystals,
Arch. Rational Mech. Anal., 20 A965), 41—58; C.-C. Wang, A general theory
of subfluids, Arch. Rational Mech. Anal., 20 A965), 1—40).
He следует путать жидкие кристаллы, как они определены здесь, с «жид-
«жидкими кристаллами» Эриксена, которые не являются простыми материалами.
См. готовящуюся к публикации монографию Лесли (F, M. Leslie). """"
200 - ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 18
§ 18. Движения с постоянными предысториями главных
относительных растяжений
Механика сплошной среды (даже механика одних только
простых материалов) охватывает столь обширный диапазон воз-
возможных типов поведения материалов, что мало что можно ска-
сказать, не опускаясь до частных случаев. В этой сложности меха-
механики сплошной среды отражается сложность самой природы,
поскольку, лишь выделяя некоторые частные признаки явления,
мы получаем возможность хотя бы дать ему название, не гово-
говоря уж о том, чтобы его описать. В механике простых материа-
материалов оказываются плодотворными два типа специализации:
1) специализация материала,
2) специализация движения, испытываемого телом.
В непосредственно предшествующих данному параграфах мы
привели примеры первой специализации. Определяющие соотно-
соотношения жидкости или изотропного твердого тела очевидным об-
образом проще общего определяющего соотношения, и мы можем
ожидать, что решения задач для этих двух классов материалов
проще, чем для анизотропных твердых тел или жидких кристал-
кристаллов. За последнее столетие механика сплошной среды пошла
значительно дальше по пути этой специализации и ограничила
свое внимание материалами, определяемыми одной или двумя
константами. В результате облегчилось решение широкого клас-
класса краевых задач — правда, облегчилось обманчиво, поскольку
лишь изредка можно свести свойства естественных тел к одному
или двум числам, помещаемым в справочниках.
Пример второго упрощения мы привели в § 9 и 10, где мы
убедились, что можем определить раз и навсегда все однород-
однородные деформации, которые могут быть вызваны в произвольном
однородном простом теле приложением на его границе подхо-
подходящих усилий. Теперь мы определим и проанализируем неко-
некоторые специальные виды движений, в которых эффекты памя-
памяти, для простых материалов и для общих движений весьма
разнообразные и сложные, не могут особенно развернуться, по-
поскольку в таких движениях и запоминать-то почти нечего.
Рассмотрим, например, определяющее соотношение простой
жидкости
Т = Л(С<;р). (IV. 16-3)
В том частном случае, когда р = const и Ct есть одна и та же
функция от s для всех t, напряжение оказывается для данной
частицы постоянным во времени. Тело могло испытывать де-
деформацию на протяжении всего своего прошлого, но когда ка-
каждое тело-точка, так сказать, оглядывается назад, вся после-
§ 18 ГЛ, IV, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 201
довательность прошлых деформаций по отношению к его ны-
нынешней конфигурации «представляется» ему не меняющейся.
Далее, поскольку принцип материальной независимости от
системы отсчета (§ 5) запрещает появление прошлых вращений
в определяющем соотношении и явным образом учитывает влия-
влияние текущего вращения, мы должны иметь возможность почти
в той же степени упростить определяющее соотношение и в том
несколько более общем случае, когда для некоторого ортого-
ортогонального тензора Q(t)
Ltt(s) = Q(t)C°0(s)Q(t)T, 0<s<oo. (IV. 18-1)
Здесь, конечно, Со обозначает Q.\ при t = 0 _ и Q@)= 1. Такие
движения были введены в рассмотрение Колеманом и были
названы им материально застойными (substantially stagnant).
В таком движении наблюдатель, расположившийся на движу-
движущейся частице, может выбрать свою систему отсчета таким об-
образом, чтобы видеть за собой всегда одну и ту же предысторию
деформации по отношению к текущей конфигурации. Собствен-
Собственные числа тензора Ct(s) те же, что и у Co(s), хотя главные оси
одного тензора могут произвольным образом поворачиваться
относительно осей другого. Таким образом, хотя главные отно-
относительные растяжения v^yi могут изменяться со временем t, это
происходит таким образом, что их предыстории вплоть до мо-
момента t остаются неизменными:
°</>* = °(V i = 1. 2, 3, - оо < * < оо. (IV. 18-2)
Согласно B), материально застойные движения могут быть
по-другому определены как движения с постоянными предысто-
риями относительных главных растяжений.
Поскольку в формулировке этого свойства не используется
никакой фиксированной отсчетной конфигурации, оно относится
к самому движению, а не к какому-либо era описанию в виде
некоторой деформации. Более того, в силу результата, полу-
полученного в упр. 1.11.2, это свойство является независимым от
системы отсчета.
Теперь мы обратимся к чистой кинематике движений с по-
постоянной предысторией главных относительных растяжений.
Все такие движения характеризует следующая
Фундаментальная теорема (Нолл). Движение имеет постоян-
постоянную предысторию главных относительных растяжений в том и
только в том случае, когда существуют такие ортогональный
тензор Q(t), скаляр % и постоянный тензор No, что
202 ЧАСТЬ I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ S 18
Доказательство. Пусть, имеет место A). Положим
U(s) = CQ(-s) = Q(tfCt(t-s)Q(t). (IV. 18-4)
В силу A1. 8-8) F,(t) = F0(t)F0(*)"', так что
= [Ро(ОтГ' н (s —OFo(O"'. (IV. 18-5)
Если положить
E(O-Q(OTFO(O. (IV. 18-6)
то E) примет вид разностного уравнения
H(s — f) — Е (f)T H (s) E @. (IV. 18-7)
Чтобы найти решение Н (s), продифференцируем G) по t и
доложим * = 0. Мы получим дифференциальное уравнение пер-
первого порядка
— H(s) = MTH(s)+H(s)M, ' (IV. 18-8)
где М==Е@) и где точка означает дифференцирование по s.
Единственным решением, для которого Н@)=1, будет
H(s) = e~sMV*«. • (IV. 18-9)
Поскольку предыстории определены только для s ^з= 0, послед-
последний результат установлен пока только для этой области. Тем
не менее с .помощью разностного уравнения G) можно опреде-
определить H(s) также и для отрицательных s, причем из уравне-
уравнения G) видно, что Н зависит от s аналитически. Поскольку пра-
правая часть уравнения (9) аналитична, принцип аналитического
продолжения показывает, что при заданном E(t) формула (9)
дает единое решение для всех s. Подставив (9) в G) и положив
s = 0, получим
-ш]т = 1. (IV. 18-10)
Отсюда следует, что Е (t) e~m — ортогональный тензор, который
мы обозначим через Q(t). В силу F) имеем
Fo (9 =-<*(') <*(')«'*. (IV. 18-11)
Если М = 0, то форма, предписываемая теоремой Нолла, три-
тривиальным образом имеет- место; при М=?^0 она получится, если
положить
х=|М|, No = 4-M. (IV. 18-12)
§ 18 ГЛ. IV. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 203
(Из доказательства видно, что ортогональный тензор Q(t), вхо-
входящий в представление C), — это, вообще говоря, не тот же
самый тензор, что входит в A).)
Обратно, несложное вычисление показывает, что если выпол-
выполняется C), то наше движение есть движение с постоянными
предысториями главных относительных растяжений. I
Упражнение IV. 18.1 (Нолл). Доказать, что в движении с постоянной
предысторией главных относительных растяжений
F<(T)=-Q(T)Q@Te(T-')XN, (IV. 18-13)
где
v N = Q (/) N0Q @T. I N | =. 1. (IV. 18-14)
Кроме того, показать, что
С\ (s) = e-sKNTg-sKN,
G=xN + Q(/)Q@T,
A,=-C?@) = >c(N + NT),
1 ' (IV. 18-15)
A2 = С/ @) = x{NTA, + A,N) = x2 BNTN + № + NT'),
A2N), ....
Здесь А*—k-й тензор Ривлина — Эриксена (И. 11-17). Движение с постоян-
постоянной предысторией относительных главных растяжений изохорично в том и
только в том случае, когда
trNo=O (IV. 18-16)
и, конечно, также tr N = 0.
Эти результаты позволяют легко продемонстрировать край-
крайне частный характер движений с постоянными предысториями
главных относительных растяжений. Он виден из следующего
утверждения.
Следствие (Ван). Предыстория относительной деформации
С\ (s) для движения с постоянной предысторией относительных
главных растяжений' полностью определяется первыми тремя
тензорами Ривлина — Эриксена.
Иными словами, если даны три тензора A\(t), А2(?), А3@.
то они могут быть тремя первыми тензорами Ривлина — Эрик-
Эриксена, соответствующими не более чем одной предыстории отно-
относительной деформации О.\ (s), удовлетворяющей условию A).
Доказательство основано на одной простой лемме. Пусть
S — симметричный тензор, a W — антисимметричный тензор в
трехмерном пространстве. Без потери общности можно считать
204
ЧАСТЬ 1. ОЫЦИЕ
матрицы этих тензоров имеющими вид
а 0 0|| II 0 х у
[S] = |0 Ь 0 J, [W]= -х 0 z
0 0 с || 1—y—zO
Тогда
(IV. 18-17)
[SW-WS] =
О
(а — Ь) х
{а— с) у {b — c)z
(a — b)x (а —с) у
О
(b~c)z\ (IV. 18-18)
О
Следовательно, S и W коммутируют в том и только в том слу-
случае, когда
(а-б)лг — 0, (а — с)у = 0, (b - c)z = 0. (IV. 18-19)
Поэтому, если S имеет различные собственные числа, то он не
коммутирует ни с одним антисимметричным тензором, отлич-
отличным от 0. Если а = b Ф с, то S коммутирует с W тогда и толь-
только тогда, когда у = z = 0. Если а = b = с, то S коммутирует
со всеми W.
Теперь докажем следствие Вана, разобрав ряд отдельных
случаев. Допустим сперва, что собственные числа тензора Ai
различны. Если тензорам Aj, A2, А3 могут соответствовать два
движения с постоянными предысториями главных относитель-
относительных растяжений, то в силу A5) 4,б существуют также тензоры N
и N, что
NTA, + A,N = NTA, + A,N.
(IV. 18-20)
Согласно первому из этих равенств, тензор N —N антисимме-
антисимметричен; согласно второму, N —N коммутирует с А,. Значит,
по лемме N — N = 0.
Предположим теперь, что А( имеет ровно два различных
собственных числа. Тогда в подходящем ортонормированием
базисе
а
0
0
0
а
0
0
0
Ь
афЬ.
Случай 1. Пусть в том же самом базнсе
«00
(IV. 18-21)
[А,]-
0 и 0
0 0 и
(IV. 18-22)
18
ГЛ. IV. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
205
Наиболее общий вид тензора N, удовлетворяющего условию A5L,
дается с учетом B1) формулой
Ввиду B1) и B2)
1
a*
О
— X jCL
-У —z
О
У
(a — b)y (a — b)z
Поскольку аФЪ, из A5)d и B2) следует, что
« = 02, v = b2, у = 0, 2 = 0.
(IV. 18-23)
{а-Ь)у
(а — Ь)г\. (IV. 18-24)
Ь2
(IV. 18-25)
Упражнение IV.18.2. Используя B3) я B5), показать, что N коммутирует
с NT, и отсюда с помощью A5)i, з вывести, что
cJ(s)=e-sA,. (IV. 18-26)
Случай 2. Пусть представление B2) не имеет места. Снова,
если тензорам Аь А2, А3 соответствуют два движения с постоян-
постоянными предысториями главных относительных растяжений, то
существуют такие N и N, что выполняется соотношение B0).
Поскольку N — N — антисимметричный тензор, который комму-
коммутирует с тензором А|, имеющим вид B1), приведенная в начале
доказательства лемма показывает, что
[n-n] =
О х О
-х О О
-О 0 0
Но в силу A5)8 также
NTA2 + A2N = NTA2 + A2N,
так что N — N коммутирует с А2.
(IV. 18-27)
(IV. 18-28)
Упражнение IV. 18.3. Учитывая, что B2) не имеет места, доказать, что
N = N в случае 2. Наконец, доказать, что B6) выполняется и в случае
Ai = al н тем самым завершить доказательство следствия Вана. ¦
206 ЧАСТЬ !. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ . § 18
Таким образом, три данных тензора Ai(/), A2@, А3@ мо-
могут быть тензорами Ривлина — Эриксена, соответствующими
не более чем одному движению с постоянной предысторией С< (s)
главных относительных растяжений. С другой стороны, б об-
общем случае -три произвольных симметричных тензора не яв-
являются первыми тремя тензорами Ривлина — Эриксена ника-
никакого движения вообще, не говоря уже о движениях с постоян-
постоянными предысториями главных относительных растяжений, ибо
эти тензоры (в общем случае) не удовлетворяют условиям сов-
совместности, выражающим тот факт, что они могут быть выведе-
выведены из некоторого поля скоростей в некоторой области. Мы не
будем заниматься этими условиями, поскольку нас интересует,
как упростить определяющее соотношение, когда уже известно,
что движение имеет такой специальный вид.
Теорема Нолла, очевидно, никак не связана с размерностью
пространства, в то время как в следствии Вана существенно
используется трехмерность.
Теорема Нолла C) подсказывает следующее инвариантное
подразделение всех движений с постоянными предысториями
главных относительных растяжений на три взаимно исключаю-
исключающих друг друга типа:
1. No = O. Такие движения называются вискозиметрическими
течениями.
2. No = 0, но No?=0.
3. Тензор No не является нильпотентным ').
Движения типов 1 и 2 являются изохорическими, поскольку
tr No = 0.
Существуют интересные примеры всех трех типов движения,
но чаще всего встречаются в приложениях движения простей-
простейшего типа — вискозиметрические течения-.. Мы изучим их по-
подробнее в следующей главе.
Упражнение IV. 18.4. Доказать, что в произвольном движении с постоян-
постоянной предысторией главных относительных растяжений
A2-Af = x2(NTN-NNT) (IV. 18-29)
н, следовательно, что
tr А2 = tr А2 = 2х2 A + tr N2). (IV. 18-30)
Таким образом, в внскозиметрическом течении
x2 trA2
(IV. 18-31)
') Определение ннльпотентного тензора см. на стр. 501. — Прим. ред.
§19 ГЛ. IV. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 20?
§ 19. Приведенная форма определяющего соотношения
для простого материала в движении с постоянной предысторией
относительных главных растяжений
В силу следствия Вана любую информацию, которую можно
получить из С' (s) в движении с постоянной предысторией отно-
относительных главных растяжений, можно получить также из
Ai@. A2@ и A3(t). Поэтому в таких движениях любой функ-
функционал от С/ (s) равен некоторой функции от A, {t), A2(t), X3(t).
Следовательно, если речь идет лишь о движениях с постоянны-
постоянными предысториями главных относительных растяжений, общее
соотношение (IV. 5-15) может быть заменено соотношением
T(O*~f [A,(*)R. A2@R, A3(l)\ C@]i (IV. 19-1)
где f— функция; обозначение SR было введено в § 4, см.
(IV, 4-15). Материал, определяющее соотношение которого
имеет вид A), называется материалом дифференциального типа
сложности 3 '). Согласно A), имеет место следующая
Теорема (Ван). В классе движений с постоянными преды-
предысториями главных относительных растяжений простой материал
нельзя отличить от материала дифференциального типа слож-
сложности 3. Иными словами, никакие экспериментальные резуль-
результаты, полученные для движений с постоянными предысториями
относительных главных растяжений, не позволяют отличить
простой материал общего вида от материала дифференциаль-
дифференциального типа сложности 3.
Как мы увидим в следующем параграфе, специальные тече-
течения, чаще всего используемые для описания свойств природных
жидкостей, относятся как раз к рассматриваемому в этом пара-
параграфе классу движений и, следовательно, лишь в очень ограни-
ограниченной мере могут служить для изучения физических реакций
этих жидкостей.
Изотропный материал дифференциального типа (см. § VI. 1)
называется материалом Ривлина — Эриксена. Для него соотно-
соотношение A) принимает вид
Т @ = f tA, (*), А2 (/), А3 (f), В @], (IV. 19-2)
а в случае, когда изотропный материал —жидкость,
Аз(<). Р), (IV. 19-3)
причем в каждом из этих двух соотношений функция f изотроп-
изотропна в том смысле, что для всех симметричных Aj, A2, А3, В и
') См. стр. 234.— Ярил. ред.
208 ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ § 19
всех ортогональных Q
f (QAVQT, QA2QT, QA3QT, QBQT или р) =
= Qf(A,, A2) A3, В или p)QT. (IV. 19-4)
К этому функциональному уравнению сводится в рассматривае-
рассматриваемой ситуации уравнение (IV. 14-3). Более того, для жидкости
?@, 0, 0, р) = 0.
Соответствующие определяющие соотношения для несжи-
несжимаемых материалов читатель легко выпишет сам.
Эти результаты допускают двоякое истолкование. С одной
стороны, они позволяют нам легко решать различные частные
задачи для движений с постоянными предысториями относитель-
относительных главных растяжений. Сколь бы сложной ни была реакция
материала в общем случае, для этих частных движений мы
можем ограничиться рассмотрением простых определяющих
соотношений. С другой стороны, полученные результаты пока-
показывают нам, что наблюдения над этим классом течений не могут
сказать нам особенно много о материале, поскольку подавляю-
подавляющая часть сложностей реакции материала не сможет про-
проявиться.
В § VI. 1 мы рассмотрим материалы дифференциального
типа более подробно, а пока в следующей главе воспользуемся
установленными сейчас результатами, чтобы получить некото-
некоторые специфические решения, относящиеся к вискозиметриче-
ским течениям простых жидкостей.
По определению, в вискозиметрическом течении No = 0, так
что в силу (IV. 18-14) и (IV. 18-15)
А3 = А4= ... =0. (IV. 19-5)
Поэтому в вискозиметрическом течении простую жидкость нель-
нельзя отличить от жидкости Ривлина — Эриксена сложности 2. Это
будет отправным пунктом наших исследований в следующей
главе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
(работы общего характера)
NFTM, §§ 26—30.
W. Noll, A mathematical theory of the mechanical behavior of continuous
media, Arch. Rational Mech. Anal, 2 A958), 197—226. (Воспроизведено
в «Continuum Mechanics, II. The Rational Mechanics of Materials», ed.
С Truesdell, N. Y., Gordon & Breach, 1965, и в «Continuum Theory of
lnhomogeneities in Simple Bodies», N. Y., Springer, 1968.)
B. D. Coleman & W. Noll, Material symmetry and thermostatic inequalities in
finite elastic deformations, Arch. Rational Mech. Anal., 15 A964), 87—111.
Часть 2
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИ
Глава V
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ВИСКОЗИМЕТРИИ
§ 1. Система напряжений
при внскозиметрическом течении несжимаемой жидкости
Из теорем Нолла и Вана, сформулированных и доказанных
в последних двух параграфах предыдущей главы, следует, что
в вискозиметрическом течении определяющее соотношение не-
несжимаемой жидкости сводится к определяющему соотношению
некоторой жидкости Ривлина — Эриксена сложности 2:
„ А2), (V. 1-1)
причем
e(QA,QT, QA2QT) = Qe(A,, А2)СГ (V. 1-2)
для всех симметричных тензоров А, и А2 и всех ортогональных
тензоров Q. Кроме того, тензоры А, и А2 для вискозиметри-
ческих течений имеют специальный вид, а именно
„ = 0 при п>3, (V. 1-3)
где тензор N, являющийся в общем случае функцией места и
времени, удовлетворяет ограничениям
N2 = 0, trN = O, |N |=1. (V. 1-4)
В своих знаменитых исследованиях Ривлин нашел точные
решения уравнений движения для ряда важных вискозиметри-
ческих течений обширного класса нелинейных жидкостей и дал
их интерпретацию. Здесь мы будем следовать более позднему
и более общему изложению проблемы в целом, данному Коле-
маном и Ноллом. Прежде всего мы определим наиболее общее
напряженное состояние, совместимое с определяющим соотно-
соотношением A) при вискозиметрическом течении, характеризуемом
соотношениями C) и D).
Согласно A) и C),
N). (V. 1-5)
210 ЧАСТЬ 2. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИ §1
Из формул C) легко следует, что функциональное уравнение
B) для 0 эквивалентно следующему функциональному уравне-
уравнению для f:
f (±x, ± QNQT) = Qf(>c, N)QT, (V. 1-6)
где знаки «+» или «—» берутся в обоих местах одинаковыми.
Обращаясь вновь к уравнению A), мы можем следующим об-
образом описать инвариантность, утверждаемую функциональным
уравнением F): замена к на ± х и N на ± QNQT, где Q — про-
произвольный ортогональный тензор, приводит к замене Т на QTQT.
В силу D) мы можем выбрать такой базис, что
[N]= 1 0 0. (V. 1-7)
0
1
0
0
0
0
0
0
0
Базис, по отношению к которому [N] имеет такой специальный
вид, в общем случае изменяется во времени и от места к месту
в поле течения; он не обязательно должен быть естественным
базисом какой-либо координатной системы.
Результаты, которые мы выведем, следуют из только что
приведенных алгебраических формул, однако их проще усмот-
усмотреть на одном частном, случае. А именно,, рассмотрим стацио-
стационарное сдвиговое течение, задаваемое в подходящим образом
выбранной системе прямоугольных декартовых координат ком-
компонентами скорости
*, = 0, x2=--v{xx), *з = 0. (V. 1-8)
Упражнение V.I.I. Показать, используя (II. 8-3) и (II. 8-5), что для
течения (8)
F, (т) = 1 + (т - 0 xN =- e(x-/)KN, (V. 1-9)
причем N в выбранном координатном базисе имеет вид G), а
K=»t/(*i)- (V. МО)
В этом примере вискозиметрического течения частицы жид-
жидкостей движутся по прямым с постоянной скоростью, и един-
единственная отличная от нуля главная скорость растяжения равна
Уги- Принято называть к скоростью сдвига, причем не только в
частном случае A0), но и для любых вискознметрических тече-
течений. Результаты, которые мы сейчас получим, справедливы для
всех вискозиметрических течений, но мы воспользуемся част-
частным случаем (8) для их описания и обоснования.
Прежде всего следует ожидать, что отражение относительно
плоскости течения не меняет систему напряжений. Чтобы убе-
ST ГЛ. У. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ВИСКОЗИМЕТРИИ 2П
диться в этом, возьмем Q, для которого
II 0 '.0 1
0-1 0 , (V. 1-11)
0 0 —1 I
и выберем в F) знаки «+». В силу G) QNQT = N. Соотноше-
Соотношение F) утверждает, что то же самое преобразование переводит Т
в QTQT. Однако ввиду A1)
|Г<11) ТA2) — Г<13> ||
ТB2) — 7*<23> I. (V. 1-12)
7"<33> I
где T{ji) — компоненты тензора Т по отношению к тому базису,
в котором N и Q записываются в виде G) и A1). Таким обра-
образом, чтобы имело место равенство QTQT = Т, необходимо, чтобы
?A3> = 0, Г<23> = 0. (V. 1-13)
В силу E) остальные компоненты тензора Т+pl относительно
того же базиса суть функции только от к:
(V. 1-14)
Если мы предпочитаем инвариантную запись, без упоминания
базиса, то можно написать, объединяя A4), E) и F):
S; = Т + р\ = t(x)(N + NT) + ах (к) NTN + ст2(>с) NNT, (V. 1-15)
причем р не определяется определяющим соотношением.
Поскольку р не определяется по к н N, функции а\ и сг2 опре-
определены лишь с точностью до некоторой величины, не зависящей
от х. Действительно, из A4) видно, что 7\33) можно приписать
при каком-нибудь одном к (например, при х = 0) какое угодно
значение, если речь идет лишь об определяющем соотношении.
В специальных теориях несжимаемых материалов принято
«нормировать» р требованием, чтобы р = —'/atr Т. В теории не-
несжимаемых жидкостей Навъе — Стокса это условие тривиально
следует из (IV. 4-12). В общей теории это соотношение не вы-
вытекает из определяющего соотношения, и его нельзя наложить
принудительно, поскольку в силу A5)
tr S = tr T — Ър = а, (к) + ст2(х). (V. 1-16)
Мы можем, конечно, потребовать, чтобы р = —VatrT при х=0,
а именно мы можем, воспользовавшись свободой в выборе функ-
212 ЧАСТЬ 2. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИ § Т
ций а\ и О2, потребовать, чтобы
0, (V. 1-17)
однако такое требование не есть необходимая часть теории и
не всегда удобно.
Все, что мы в этом отношении можем вывести из A5), так
это равенство
р = _7ЧЗЗ). (V.1-18)
Рассмотрим теперь отражение относительно плоскости, нор-
нормальной к скорости. Мы ожидаем, что такое отражение, которое
сводится к замене у на —у, должно изменять знак касатель-
касательного напряжения ГA2), оставляя все нормальные напряжения
7X11), ТB2), ГC3) неизменными. В соответствии с этим мы
возьмем в F) знаки минус и выберем Q так, чтобы
1 О О
[Q]= 0 -1 0||. (V. 1-19)
О 0 1
Согласно G),
-QNQT=N. (V. 1-20)
В силу A3)
[QTQT]= . Г B2) 0 . (V. 1-21)
II • • 7<33)
Далее, функциональное уравнение F) требует, чтобы в резуль-
результате замены у. на —у и N на —QNQT тензор Т переходил
в QTQr. Мы видим из B1), что при выборе Q в виде A9) из-
изменение знака у переводит 7" A2) в —7" (.12), а остальные на-
напряжения оставляет неизменными. Поэтому из A4) вытекает,
что
— т(—х) = т(х), СГ| (— у) = а, (к), о2(— у) = а2(у). (V. 1-22)
Таким образом, т — нечетная функция скорости сдвига, тогда
как а, и а2 — четные функции. Из B2), следует, что если функ-
функция т непрерывна при у = 0, то
т@) = 0. (V. 1-23)
Упражнение V. 1.2. Доказать, что-если выполнены соотношения A5) и
B2), то имеют место соотношения E) и F).
Результат этого упражнения показывает, что требования не-
независимости' от системы отсчета и материальной симметрии не
накладывают дальнейших ограничений на распределение на-
напряжений в вискозиметрическом течении.
И . ГЛ. V. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ВИСКОЗИМЕТРИИ 213
Упражнение V. 1.3. Выписать определяющее соотношение жидкости Рнв-
лина — Эриксена сложности 2 в виде, приводящем к произвольно заданным
ФУНКЦИЯМ Т, О[ И (J2. *
Результат этого последнего упражнения показывает, что
сохранявшийся до сих пор уровень общности не был излишним.
Таким образом, мы можем в заключение сказать, что изучение
уравнения A5) с учетом требований B2)—это не более и не
менее как изучение всех возможных вискозиметрических течений
всех простых несжимаемых жидкостей.
§ 2. Вискозиметрические функции.
Эффекты нормальных напряжений
В предыдущем параграфе мы показали, что система напря-
напряжений в произвольной несжимаемой простой жидкости при про-
произвольном вискозиметрическом течении определяется соотно-
соотношением (V. 1-15), причем соответствующие функции т, oi и а2
подчинены условиям (V. 1-22).
Функции т, (Ti и (Т2 называются вискозиметрическими функ-
функциями простой жидкости, определяющее соотношение которой
сводится в вискозиметрическом течении к (V. 1-15). Они одно-
однозначно определяются определяющим соотношением жидкости.
Очевидно, однако, что бесконечно много различных жидкостей
обладают тем же набором этих трех вискозиметрических функ-
функций. Поэтому эксперименты, в которых предусматривается вис-
вискозиметр ическое течение, далеко не достаточны в общем случае
для различения одной жидкости от другой.
В том частном случае, когда поле скоростей определяется
соотношениями (V. 1-8), базис, по отношению к которому тен-
тензор N имеет вид (V. 1-7), представляет собой естественный ба-
базис фиксированной декартовой системы координат, и соотноше-
соотношения (V. 1-14) допускают интерпретацию в терминах декартовых
координат. В еще более частном случае, когда
v(xl) = nxl, х = const, (V. 2-1)
движение (V. 1-8) .сводится к простому сдвиговому течению
(II. 11-11). Такое движение, как уже было показано, может
происходить под действием одних лишь поверхностных усилий
в любом простом материале, сжимаемом или несжимаемом,
значит, и подавно оно может быть вызвано без приложения
массовых сил в любой однородной несжимаемой жидкости.
В этом случае система напряжений (V. 1-14) допускает непо-
непосредственную интерпретацию. А именно, т(х)—это то сдвигаю-
сдвигающее напряжение, которое должно быть приложено в плоскости
Х\ = const, чтобы вызвать течение. Нормальное усилие иа той
же самой площадке рявио Т{1\), а нормальное усилие в пло-
214 ЧАСТЬ 2. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИ § 3
скости течения равно ГC3). Ввиду наличия в (V. 1-1) члена
—р\ значение любого одного из этих двух усилий (но не обоих
сразу) может быть выбрано произвольно. Если мы хотим оста-
оставить площадки хз = const свободными от напряжений, то
ГC3> =0и (V. 1-14) дает
7411> = а,(х), ГB2) = ст2(х). (V. 2-2)
Таким образом, в плоскости Х\ = const должно быть приложе-
приложено постоянное нормальное усилие, величина которого опреде-
определяется природой жидкости, и то же самое относится к нормаль-
нормальному усилию на площадках хг = const, нормальных к потоку.
Необходимость существования этих нормальных усилий пред-
представляет собой один из примеров так называемых эффектов
нормальных напряжений. В частности, B) показывает, что од-
одних касательных напряжений недостаточно для того, чтобы вы-
вызвать простое сдвиговое течение. Помимо них необходимы еще
надлежащие, вообще говоря неравные между собой, нормаль-
нормальные усилия, определяемые природой жидкости.
Функции ai и (Т2 называются функциями разностей нормаль-
нормальных напряжений, а т — функцией касательных напряжений.
Вводят еще функцию сдвиговой вязкости р., определяемую сле-
следующим образом:
HM^I&L, хфО. (V.2-3)
В большинстве представляющих интерес случаев жидкость
такова, что т(и) = О(х) при х-^-0 и можно определить \i @)
как lim ц (х). Если величина ц @) существует, то она назы-
К0
вается константой сдвиговой вязкости или естественной сдви-
сдвиговой вязкостью жидкости.
Несколько вольно мы будем иногда называть и эти три функ-
функции ц, at и О2 вискозиметрическими функциями, предполагая,
что читатель будет все время иметь в виду, что, в то время как
функция т существует для каждой жидкости, для которой вооб-
вообще возможно вискозиметрическое течение, использование зна-
значения ц@) возможно лишь при дальнейших предположениях,
которые мы только что сформулировали.
§ 3. Место классической теории вискозиметрии
среди других теорий
Классическая теория вискозиметрии основана на определяю-
определяющих соотношениях Навье — Стокса (IV. 7-13) для несжимаемой
жидкости.
Упражнение V. 3.1. Показать, что, согласно теорнн Навье — Стокса, функ-
функция сдвиговой вязкости постоянна и ее постоянное значение равно естествен-
§3 ГЛ. V. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ВИСКОЗИМЕТРИИ 215
нон вязкости:
ц (ч) = ц @) = const, (V. 3-1)
а разности нормальных напряжений тождественно равны нулю:
а, (ч) = а, (ч) - 0. (V.3-2)
Рассмотреть соответствующие утверждения для жидкостей Навье — Стокса
без внутренних связей, имеющих определяющее соотношение (IV. 4-12).
Конечно, для читателя должно быть очевидным, что обрат-
обратное утверждение неверно: если вискозиметрические функции
заданы соотношениями A) и B), то отсюда отнюдь не следует
определяющее соотношение (IV.4-12).
Формулы A) и B) определяют классическую, или навье-
стоксову теорию вискозиметрии. Если мы примем навье-стоксо-
ву теорию вискозиметрии, то мы еще не обязаны принимать
навье-стоксову теорию жидкостей для течений общего вида,
поскольку к частным вискозиметрическим функциям вида A)
и B) приводят и многие другие определяющие соотношения
для жидкостей.
В общем случае, если предположить, что t, ai и сг2 имеют
три непрерывные производные при % = 0, то из (V. 1-19) и
(V. 1-21) следует, что
(V.3-3)
где (х0, (xi, s, и s2 — постоянные. Конечно, [ю = (х@). Таким об-
образом, эффекты второго порядка по к— это эффекты нормаль-
нормальных напряжений, тогда как отклонение от классической прямбй
пропорциональности между скоростью сдвига и сдвигающим
напряжением представляет, собой эффект третьего порядка
по х. Грубо говоря, можно ожидать, что отклонения от класси-
классического поведения, описываемого соотношением A), будут для
а\ и d2 наблюдаться при меньших скоростях сдвига, чем для т.
Еще более грубо, можно ожидать, что эффекты нормальных
напряжений будут проявляться в диапазоне скоростей сдвига,
в котором поведение сдвигающих напряжений будет оставаться
классическим.
Слово «ожидать» здесь относится к уверенности, с которой эксперимента-
экспериментаторы обычно предполагают, что экспериментальные функции дифференцируемы
несколько раз. Сама по себе теория не дает никаких оснований для предпо-
предположения C).
В примере, использовавшемся до сих пор для интерпретации
наших результатов, функция v из соотношения (V. 1-8) пред-
предполагалась аффинной. Как мы увидим в следующем параграфе,
216 ЧАСТЬ 2. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИ §4
такой профиль скорости может существовать в любой несжи-
несжимаемой жидкости, находящейся под действием произвольных
потенциальных массовых сил, в частности в жидкости, следую-
следующей теории Навье — Стокса. Мы видели уже, что система на-
напряжений, необходимая для того, чтобы вызвать такое течение,
своя для каждой жидкости.
В случае же когда профиль скорости v в соотношении
(V. 1-8) не является аффинным или когда, как это и бывает в
общем случае, базис, по отношению к которому N имеет вид
(V. 1-7), вращается, у нас нет оснований ожидать,, что вискози-
метрическое течение возможно, если не приложены подходя-
подходящим образом подобранные неконсервативные силы. В следую-
следующем параграфе мы рассмотрим некоторые частные случаи ста-
стационарных вискозиметрических течений, в которых динамиче-
динамические уравнения удовлетворяются при b = 0. Как мы увидим,
распределение скоростей по линиям тока будет, вообще говоря,
иным, чем то, которое предписывается навье-стоксовой теорией
вискозиметрии.
§ 4. Динамические условия
в основных вискозиметрических течениях
Напряженное состояние, соответствующее вискозиметриче-
скому течению несжимаемой простой жидкости, определяется
соотношением (V. 1-15). Вискозиметрические функции т, о\ и аг
однозначно определяются определяющими соотношениями и по-
потому одинаковы для всех вискозиметрических течений данной
жидкости. В общем случае % и N — функции места и времени.
Скорость сдвига к — скаляр, а N — тензор, причем такой, что
|N| = 1, N2 = 0 и, следовательно, tr N = 0. Ортонормирован-
ный базис, по отношению к которому тензор N представляется
матрицей специального вида (V. 1-7), может изменяться во вре-
времени и от места к месту и не обязательно должен быть есте-
естественным базисом какой-либо системы координат. Скаляр р,
равный в этом специальном базисе —7433), не определяется
предысторией деформации. В общем случае, если не приложены
подходящим образом подобранные массовые силы Ь, напряже-
напряжения (V. 1-15) не будут удовлетворять первому закону Коши
(III. 5-1), выражающему баланс количества движения. Как мы
убедились в § IV. 8, чтобы определить, совместимо ли некото-
некоторое течение однородного несжимаемого тела с произвольным
полем консервативных сил, достаточно рассмотреть случай
b = 0, соответствующий тем частным течениям, которые могут
быть вызваны приложением одних лишь подходящих поверх-
поверхностных усилий.
$4 ГЛ. V. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ВИСКОЗИМЕТРИИ 217
Одно такое вискозиметрическое течение было уже рассмот-
рассмотрено, а именно прямолинейное сдвиговое течение, определяемое
соотношением (V. 1-8), в том частном случае, когда выполняет-
выполняется соотношение (V. 2-1). Этот случай не типичен в том отноше-
отношении, что одно и то же поле скоростей может существовать во
всех жидкостях. Обычно, как мы увидим ниже, поле скоростей,
удовлетворяющее заданным динамическим условиям, зависит
от вида вискозиметрических функций.
Пример 1. Сдвиговое течение. Мы найдем сейчас наиболее
общее стационарное сдвиговое течение вида (V. 1-8), которое
может быть вызвано в однородной жидкости, имеющей вискози-
метрические функции т, О\ и 02, действием поверхностных уси-
усилий и консервативных массовых сил. Для стационарного сдви-
сдвигового течения базис, по отношению к которому тензор N имеет
специальный вид (V. 1-7), — это естественный базис используе-
используемой координатной системы, и N = const. Как было показано
в упр. V. 1.1, скорость сдвига к определяется по профилю ско-
скорости следующим образом: % = v'(X\).
Воспользуемся первым законом Коши, переписав его в виде
divS — pgrad<p = px, (V. 4-1)
где S — тензор определяющих напряжений, а <р определено со-
соотношением (IV. 8-4). Для сдвигового течения х = 0, и в силу
(V. 1-10) и (V. 1-15) S является функцией только от Х\. Следо-
Следовательно, A) сводится к следующей системе дифференциаль-
дифференциальных уравнений:
d*,S<ll> —рд,,ф = О,
= 0, (V.4-2)
= 0.
Последнее уравнение показывает, что ф не зависит от х3. Из
первых двух, поскольку S — функция только от Х\, вытекает,
что
=0. (V.4-3)
Следовательно, ф — аффинная функция от х2:
РФ = -в*+ *(*,) +А (*). (V.4-4)
где а — постоянная, называемая удельной движущей силой те-
течения, a k и h — произвольные функции. Подстановка выраже-
выражения D) в B)г и интегрирование дают
Г A-2) = S A2) = -ах, + с, (V.4-5)
218 ЧАСТЬ 2. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИ § 4
где с = const. Таким образом, вне зависимости от профиля ско-
скорости v касательное напряжение должно быть аффинной функ-
функцией от Х\. Далее; касательное напряжение, соответствующее
данной удельной движущей силе, должно быть одним и тем же
для всех жидкостей; оно не зависит от вида определяющего
соотношения. Подстановка выражения D) в B)i с последую-
последующим интегрированием дает
S<ll> = *(*,) + 6. ¦ (V.4-6)
где Ъ = const.
Обратно, если выполнены соотношения D) — F), то выпол-
выполняются и динамические уравнения B).
Полную систему напряжений можно подсчитать следующим
образом. Прежде всего в силу F) и D), а также (IV.8-4)
= ах2 + Ъ + р© - Л (/), (V. 4-7)
где S — потенциальная массовая сила, как в (III. 1-7). Поскольку
дХг[Т{\1) — рю] = а, постоянную а можно интерпретировать
также как градиент полл Т{11) — р© в направлении потока.
Далее, в силу этого результата и (V. 1-14)
ТB2) = (ГB2) - ТA1» + 7A1) =
Т C3) = (Г C3) -Т A1))+ Т A1)= (V.4-8J
= — а1(х)+ах2 + Ь + рп> — h(t).
Нормальные напряжения даются этими формулами при любом
виде функции v и при х, определяемом соотношением (V. 1-10).
Из {5) и (V. 1-14) 1 получаем дифференциальное уравнение для
функции v:
M [/Mf (V.4-9)
Распределение v(x\) определяется интегрированием уравнения
(9) после того, как заданы произвольные постоянные а и с. Та-
Таким образом, профиль скоростей v, который до сих пор был
произвольным, определяется с точностью до трех произвольных
постоянных функцией касательных напряжений т. Эта большая
определенность является следствием баланса количества дви-
движения, в предположении, что могут действовать лишь консер-
консервативные массовые силы. Наиболее важной из трех задаваемых
постоянных является а, удельная движущая сила.
Если мы примем а == 0 и допустим, что функция т имеет об-
обратную, то из (9) следует, что к = const, и мы вновь приходим
к результатам, уже полученным для простого сдвигового тече-
течения. Предыдущее изложение показывает, что простое сдвиговое
§ 4 ГЛ. V. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ВИСКОЗИМЕТРИИ 219
течение — это единственное прямолинейное сдвиговое течение
вида (V. 1-8), которое может иметь место, если удельная дви-
движущая сила а = 0, при условии, что массовые силы консерва-
консервативны, а функция т обратима.
Как мы уже видели в § 9, рассматривая этот вопрос с другой
точки зрения, стационарное сдвиговое течение дает некое уни-
универсальное решение, деформацию, которую можно создать в
любом однородном несжимаемом жидком теле (фактически в
любом несжимаемом простом теле) путем приложения одних
лишь поверхностных усилий. Если, однако, а ф О, то, как пока-
показывает соотношение (9), профиль скорости v будет различным
для разных жидкостей. Таким образом, другие прямолинейные
сдвиговые течения, если они вообще возможны, не будут уни-
универсальными решениями для несжимаемых жидкостей.
Теперь мы подробно рассмотрим основной частный случай.
Пример 2. Течение в канале. Мы ищем решение, описываю-
описывающее течение материала, прилипающего к неподвижным беско-
бесконечным пластинкам х\ = ±d, где d > 0. Таким образом, мы1 тре-
требуем, чтобы для профиля скорости выполнялись условия
y(d) = D(-d) = 0. (V.4-10)
Допустим, что функция т допускает обратную функцию, кото-
которую мы обозначим через ?. Тогда из (9) следует, что
х = •(*,) = С(-«, + <;); (V. 4-11)
заметим, что ? — обязательно нечетная функция. Проинтегри-
Проинтегрируем последнее уравнение, потребовав при этом выполнения
условий A0). Мы получим
(-ax-fc)dx = 0. (V.4-12)
Замена переменной интегрирования дает
d
j?-(a*-f c)dx = 0. (V. 4-13)
-d
Поскольку ? — нечетная функция, складывая A2) и A3), при-
приходим к равенству
d
J [I {ах + с)¦ — С (а* - с)] dx = 0. (V. 4-14)
-d
Допустим еще теперь, что функция т непрерывна. Поскольку
она допускает обратную, она строго монотонна, также как и ?•
220 ЧАСТЬ 2. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИ § 4
Поэтому если с ф 0, то подинтегральное выражение либо поло-
положительно во всех точках отрезка [—d, d], либо отрицательно во
всех его точках, так что соотношение A4) не может иметь ме-
места. Таким образом, необходимо, чтобы с = 0, и этого также
достаточно, чтобы условие A0) выполнялось. Следовательно,
функция касательного напряжения т (в предположении, что она
непрерывна и обратима) определяет единственный для данного
канала профиль скорости
d
(V.4-15)
Однако в противоположность случаю стационарного простого
сдвигового течения профиль скорости в общем случае вовсе не
ют, который дается теорией Навье — Стокса. Действительно,
если функция сдвиговой вязкости — константа, то ?(z/) =
= (\/ц)у и из A5) следует, что
y=^(d2-x]) (V.4-16)
— классический параболический профиль. Обратно, если вы-
выполняется соотношение A6)г, то из A5) видно, что ? —линей-
—линейная функция, и получается классическая линейная зависимость
(IV. 3-1) 1 для функции сдвиговой вязкости.
Расход D, представляющий собой объем жидкости, прохо-
проходящей через единицу ширины канала в единицу времени, вы-
вычисляется так:
d d d ad
D^ \v(x)dx = 2\dx\Uay)dy = ^\ yUy)dy. (V.4-17)
-d Ox 0
Обратно, если известен расход D (a, d) как функция от а и d,
то из A7) получаем
^ (V.4-18)
Таким образом, зная для данного канала расход D в некоторой
области значений движущей силы а, мы можем однозначно
определить функцию касательных напряжений т в соответ-
соответствующей области. В частности классическая формула
D-%. CV.4-1»
справедлива тогда и только тогда, когда функция сдвиговой
вязкости линейна.
$ 4 ГЛ. V. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ВИСКОЗИМЕТРИИ 221
Профиль скорости, расход и функция касательных напряже-
напряжений определяются друг через друга и на них никак не -влияют
функции нормальных напряжений <л и оъ. Если выполняется
формула A9), то это еще не дает никаких оснований ожидать,
что выполняются и остальные классические формулы. Поэтому
классические вискозиметрические измерения; относящиеся к од-
одной лишь сдвиговой вязкости, мало что позволяют сказать об
исследуемой жидкости. Если в некотором частном случае по-
получается какая-либо классическая формула, например A9),
этого не только недостаточно, чтобы показать, что исследуемая
жидкость подчиняется определяющему соотношению Навье —
Стокса', но и недостаточно даже, чтобы установить примени-
применимость навье-стоксовой теории вискозиметрии. Необходимы до-
дополнительные измерения. В рассматриваемом выше случае в
силу соотношения G) нормальные усилия на стенках канала
#i = ±d не отличаются от тех, которые получаются по клас-
классической теории! Однако в соответствии с (8) напряжения, дей-
действующие в плоскости течения (х3 = const) и на площадках,
нормальных к направлению течения (хг= const), могут быть
совершенно иными. Поскольку эти нормальные усилия с тру-
трудом Поддаются интерпретации, мы обратимся сейчас к рас-
рассмотрению другого класса течений, для которого эффекты нор-
нормальных напряжений более отчетливы.
Пример 3.- Винтовое течение в общем случае. Рассмотрим
поле скоростей, имеющее в цилиндрической системе координат
г, в, z компоненты
г = 0, ё = ю(г), z=u{r), (V.4-20)
где со и и — некоторые функции. Каждая жидкая частица1)
остается на фиксированной цилиндрической поверхности г =
= const, на которой она описывает винтовую линию, шаг кото-
которой одинаков для всех частиц, лежащих на одной цилиндриче-
цилиндрической поверхности. Течения такого типа называются винтовыми.
Положим
f(r)^co'C-). h(r)^u'(r). (V.4-21)
Упражнение V. 4.1. Доказать, что винтовое течение является течением
с постоянной предысторией главных относительных растяжений и что
. (V.4-22)
Пусть е<(х), (= 1, 2, 3 — ортонормированный базис в точке к, орты кото-
которого касаются координатных линий, и пусть
i, = e,, i2==ae2 + Pe3, i3 = — Ре2 + cte3, (V. 4-23)
') В оригинале fluid-point (по образцу body-point), — Прим. ред.
222 ЧАСТЬ 2. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИ § 4
где
4-/(г), p--A(r), ct' + p2»!. (V.4-24)
/С л
Доказать, что тензор No имеет в базисе 1< представление (V. 1-7).
В соответствии с результатами этого упражнения для ком-
компонент T(ktn) тензора Т относительно базиса ii, h, h справед-
справедливы формулы (V.1-14);
7A2) = т(х), Т A3) = О, Т B3) = О,
Т(П)-ТC3) = о1(х), 7-B2)-7-C3>=а2(х). (V-45)
Физические компоненты тензора Т в цилиндрических координа-
координатах суть его компоненты относительно ортонормированного ба-
базиса ti. Обозначая эти компоненты через T(rr), T{rQ) и т. д.,
находим:
Г (гв> =e1-Te2 = i,- (<zTi2 - pTI3) = аТ A2) — рГ A3),
Г (вг> = е2 • Те3 = (ai2 - РЦ) • (рТ12 + aTi3) = (V. 4-26)
= ар (Т B2) - Т C3)) + (о2 - р2) Т B3)
и т. д. Используя эти соотношения и соотношения B5), мы мо-
можем выразить систему напряжений через вискозиметрические
функции:
Т (гг) - Т (zz) = а, (к) - Р2а2(х), _
Т F6) - Т (zz) = (а2 - р2) а2 (х). (V * 4'27)
Остается теперь выяснить, можно ли выбрать функции f и h
таким образом, чтобы сделать эти напряжения совместимыми
с первым законом Коши в случае, когда массовые силы кон-
консервативно.
Упражпенне V. 4.2. Доказать, что, поскольку тензор определяющих на-
напряжений S зависит только от г, для винтового движения несжимаемой
жидкости первый закон Коши записывается так:
drS (rr) + y(S (rr) - S F6)) — p<?rq> =- - pm*.
rdrS (rG> + 2S <гв> - p<?e<p — 0, (V. 4-28)
3rS (rz) +jS (rz) - pdzV-0.
$ 4 ГЛ. V. оёЩая Теория Вискозиметрии 223
Следовательно,
дг (г»Г (Л)) = - rd, <?г (гТ (гг)) =. - га,
Т (гг) = рш + k (г, О + аг + dG, (V. 4-29)
5ГА (г, 0 + i- (Г (гг) - Т F6)) = - pro',
где а и d ~ произвольные постоянные.
Интегрирование первых двух из этих уравнений дает
где 6 и с — произвольные постоянные. Эти уравнения совме-
совместимы с B7)ь2 в том и только в том случае, когда
(V.4-31)
где
4) (f) (V.4.32)
В этом случае в силу B7)ll2
(и) . у\г 2 }'
Наконец, из B4) и B1) видно, что
.^--),
(V 4-34)
(v-44)
• Когда четыре постоянные а, &, с, cf заданы, у. согласно C2),
становится известной функцией от г. Следовательно, чтобы те-
течение удовлетворяло уравнению баланса количества движения,
функции ю и и, входящие в выражение для поля скоростей B0),
должны определяться с точностью до шести произвольных по-
постоянных функцией ?, обратной к фуикции сдвиговых напряже-
напряжений т. И обратно, если со и и удовлетворяют условиям C4), то
в жидкости, для которой функцией касательных напряжений
служит т, винтовое движение можно вызвать, прилагая подхо-
подходящие усилия на границе.
224 ЧАСТЬ 2. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИ § 4
Упражнение V. 4.3. Используя B7), B9) и C1), доказать, что
T(rr)-T{zz)=bl{r)-^Ar),
Т @6) - Т (zz) = (а2 - Р2) а2 (г), (V. 4-35)
Т (гг) = рй + J | у [а2д2 (г) - а, (г)] - ргсо2 (г)} йг+аг+йв + g (t)
где ¦
^(r)=af[UYW)]. '=.2, (V.4-36)
а функции ? (у) и y @ определяются соотношениями C2) и C!J соответ-
соответственно.
Посмотрим, что дают эти результаты в применении к двум
важным частным случаям.
Пример ЗА. Течение между вращающимися цилиндрами. По-
Положим в уравнении C4) 6 а = Ь = 0. Тогда р = 0, и мы можем
положить в B0) и =з 0. Частицы жидкости движутся по кон-
концентрическим окружностям с угловыми скоростями о (г), опре-
определяемыми соотношением C4L. В силу C5) 3 для того, чтобы
радиальное напряжение Т{гг) было однозначным, необходимо,
чтобы d = 0. В силу C2)
У(г) = ^г. (V.4-37)
Теперь легко раскрыть смысл единственной оставшейся произ-
произвольной постоянной с. Момент F относительно какой-либо точки
оси наших цилиндров, действующий на единицу длины цилин-
цилиндрической поверхности V = const, дается выражением F =
= Bяг)гГ(г8), равным, согласно C0)'i, 2яс. Таким образом,
с = F/2n. Этот момент F должен быть подобран таким обра-
образом, чтобы цилиндрические поверхности г = Ri и г — R2 дви-
двигались с заданными угловыми скоростями Qj и Йг:
со {RJ = О„ со {R2) = Q2. (V. 4-38)
Согласно C4),,
L(JL)r.. (V.4--39),
Течение такого типа часто называют куэттовским течением.
Такое течение приближенно реализуется в вискозиметрах обыч-
обычного типа, в которых измеряется зависимость момента, прило-
приложенного к одному из цилиндров, от разности угловых скоро- -
стей. Соответствующее теоретическое соотношение имеет вид ;
C9). Если обратить это соотношение, то получается зависи-
зависимость функции ?, обратной к функции сдвиговой вязкости т, .
от F при данном значении Q2 — Q\.
§ 4 ГЛ. v. оёщая теория вйскозиметрйй 223
Согласно теории Навье — Стокса, в точках поверхности
z = const действует почти одинаковое давление, когда & = О
и ри2 пренебрежимо мало. В то же время из C5) видно, что
в общем случае нормальное усилие T(zz) является функцией г.
Если мы не можем приложить такое усилие, например на верх-
верхней поверхности жидкости в куэттовском вискозиметре, то эта
верхняя поверхность не сможет остаться плоской. Трудно опре-
определить форму свободной поверхности или хотя бы решить, бу-
будет ли жидкость подниматься или опускаться у той или иной
цилиндрической стенки. Не очевидно, что этот эффект опреде-
определяется одними лишь вискозиметрическими функциями, и эта
общая задача не решена даже для линейно-вязкой жидкости,
если не считать того тривиального случая, когда центробежное
ускорение не учитывается. В недавно завершенном большом
мемуаре Фосдик и Джозеф1), опираясь на более частные ре-
результаты Серрина, применяют метод возмущения области, от-
отправляясь от состояния покоя или жесткого вращения. Фосдик
и Джозеф рассматривают жидкость Ривлина — Эриксена 4-го
порядка. (Ср. с упр. VI. 1.4 ниже.) Они обнаружили, что в тех
пределах, до которых доведен их анализ, решение задачи опре-
определяется видом вискозиметрических функций, и для того, чтобы
жидкость поднималась на внутреннем цилиндре при малых ско-
скоростях вращения, достаточно, чтобы выполнялось условие
3cti + 2с&2 > 0. Если это условие записать через вискозиметри-
ческие функции, оно примет вид 3<л + 02Ы2 > 0 при достаточно
малых к.
Упражнение V. 4.4. Пусть область течения ограничена свободной поверх-
поверхностью г = const, на которой действует постоянное атмосферное давление /Bo-
Условие равновесия суммарных снл приводит к требованию
2я
J Т (гг) rdr = - рол (#] - #f). (V. 4-40)
Я,
Используя это соотношение, вычислить g в формуле C5) 3. Обозначая избы-
избыток ра над нормальным давлением —Т (гг) через N, показать, что
(V.4-4!)
Пример ЗВ. Течение в круглой трубе. В качестве второго
частного случая винтового течения мы рассмотрим теперь те-
течение вдоль цилиндрической трубы бесконечной длины, прёдпо-
тагая, что на стенках трубы выполняется условие прилипания.
Положим в C4) с = d = 0, так что а = 0, и, чтобы скорость
') R. L. Fosdick, D. D. Joseph, The free surface of a liquid between суНпл
ders rotating at different speeds, Arch. Rational Mech. Anal.t 47,
22E ЧАСТЬ 2. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИ |_4
оставалась конечной при г = О, возьмем также Ь = 0. Тогда
в силу C2)
у(г) = ±га, (V.4-42)
где а —удельная движущая сила. Из C4) мы получаем про-
профиль скорости
$()y, (V.4-43)
где R — радиус трубы. Если функция ? линейна, то профиль ско-
скорости параболический:
u(r) = -^(R2-r2), (V.4-44)
и обратно, если для данного R профиль скорости параболиче-
параболический при любом а, то функция сдвигового напряжения линей-
линейна. В общем случае расход D дается формулой
r r -R
= n\ r%(yaar)dr. (V.4-45)
Если ?— линейная функция, то выражение для расхода при-
принимает вид
D(a,R) = ?Hf-. (V.4-46)
Это знаменитая формула Гагена — Пуазейля или закон чет-
четвертой степени. Легко усмотреть, что и обратно выполнения
этого закона достаточно, чтобы функция касательных напря-
напряжений была линейной. Заметим, однако, что если соотношение
D6) выполняется, то не может быть уверенности даже в том,
что справедлива навье-стоксова теория вискозиметрии, посколь-
поскольку функции нормальных напряжений не оказывают влияния на
расход и потому их нельзя определить по расходной характе-'
ристике.
Наличие нормального радиального напряжения Т(гг), от-
отличного в общем случае от других нормальных напряжений,
позволяет предположить, что струя жидкости по выходе из
длинной трубы будет стремиться раздаться или же сократиться
в диаметре.
Предлагались различные соотношения между вискозиметри-
ческими функциями, достаточные для того, чтобы жидкость при
выходе расширялась, но эти соотношения были основаны на
различных гипотезах о характере течения у выхода, а все эти
гипотезы были раскритикованы,
§ 4 ГЛ. V. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ВИСКОЗИМЕТРИИ 227
Пример 4. Другие вискозиметрические течения. Существуют
и другие интересные примеры винтовых течений. Были изучены
такие два типа вискозиметрических течений: закручивание,
определяемое в цилиндрических координатах полем скоростей
г = о, Й = ш(г), ? = 0, (V.4-47)
и течение в зазоре между конусом и плоскостью, определяемое
в сферических координатах полем скоростей
г = 0, 6 = 0, ф = со(в). (V.4-48)
Поскольку это вискозиметрические течения, систему напряже-
напряжений для них легко выразить через вискозиметрические функции.
Однако ни одно из этих течений не может точно удовлетворить
динамическим уравнениям, если на жидкость не действуют не-
непотенциальные массовые силы. Чтобы эти движения прибли-
приближенно удовлетворяли первому закону Коши при b = 0, необхо-
необходимо допустить, что ускорениями можно пренебречь, а для слу-
случая течения в зазоре между конусом и плоскостью еще нужно
допустить, что углы 0 лежат в очень малом интервале вблизи
8 = я/2.
В любом вискозиметрическом течении тензор S полностью
определяется к, N и тремя вискозиметрическими функциями т,
<л и иг- Таким образом, все явления во всем классе вискозимет-
вискозиметрических течений простым образом связаны друг с другом.
Единственная проблема состоит в том, чтобы подобрать к и N
таким способом, чтобы сделать течение возможным при потен-
потенциальных массовых силах. В этом параграфе мы подробно рас-
рассмотрели два специальных класса вискозиметрических течений,
для которых такой подбор можно осуществить точно, и указали
на два других, в отношении которых известно, что существует
приближенное решение. Во всех этих случаях N их зависят от
вида функции т, но сп и а2 на них не влияют. Пример простого
сдвигового течения показывает, что поле скоростей может во-
вообще не зависеть от вискозиметрических функций, однако это
вырожденный случай1).
') Класс стационарных вискозиметрических течений, совместимых с по-
потенциальными массовыми силами для всех жидкостей, весьма узок. Он был
найден Пипкином (А. С. Pipkin, Controllable viscometric flow, Quarterly Appl.
Math., 26 A968), 87—100). Полезнее более обширная категория течений, кото-
которые Пипкин называет частично управляемыми; это стационарные вискозиме-
вискозиметрические течения, в которых нормальные напряжения удается уравновесить
гидростатическим полем давления вне зависимости от того, каковы а\ и 02.
Все вискозиметрические течения, рассмотренные выше, относятся к этому
типу. См. также W.-L. Yin & А. С. Pipkin, Kinematics of viscometric flows,
Arch. Rational Mech. Anal., 37 A970), 111—135.
228 ЧАСТЬ 2. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИ $ 5
§ 5. Невозможность стационарного прямолинейного
течения в трубах
В § 2 была найдена наиболее общая форма напряжений,
которые могут существовать в простой жидкости, совершающей
вискозиметрическое течение. В § 4 было показано, что некото-
некоторые классы стационарных вискозиметрических течений оказы-
оказываются динамически возможными без привлечения неконсерва-
неконсервативных массовых сил. Для жидкостей этих классов линии тока
такие же, как и для жидкости Навье—:Стокса при тех же об-
обстоятельствах, но распределение скоростей в них, определяе-
определяемое функцией сдвиговых напряжений жидкости, оказывается
иным.
До сих пор известно лишь немного примеров течений с не-
неподвижными или движущимися простым образом границами,
для которых уравнения Навье — Стокса легко решаются. Почти
все они соответствуют вискозиметрическим течениям. Тривиаль-
Тривиальные случаи по существу исчерпываются теми, которые были
рассмотрены (или по крайней мере кратко охарактеризованы)
в предыдущем параграфе, где мы делали упор на теорию
Навье — Стокса, только чтобы противопоставить специфическое
поведение навье-стоксовой жидкости поведению жидкостей бо-
более общего вида при тех же обстоятельствах. Следующий наи-
наиболее легко исследуемый класс течений — это течение в беско-
бесконечно длинной трубе, поперечное сечение которой s? представ-
представляет собой односвязную плоскую область. Обычно начинают
с предположения, что движение происходит без ускорения по
прямым, направленным вдоль единичной нормали к к сече-
сечению s?:
x = w(p)k, где у(р) = 0 при peW; (V. 5-1)
здесь р — вектор положения точки в плоскости. Предполагается,
таким образом, что частицы жидкости движутся с постоянной
скоростью по прямым, параллельным стенкам трубы. Как легко
показать и как мы скоро покажем, предположение (l)i сов-
совместимо с уравнениями Навье — Стокса при условии, что v
удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению в
частных производных, причем это уравнение имеет единственное
решение, соответствующее граничному условию AJ. Таким об-
образом, существует единственное решение, соответствующее
прямолинейному течению. Является ли оно и вообще единствен-
единственным решением задачи о течении в трубе — это вопрос куда бо-
более трудный, не решенный в настоящее время даже в теории
Навье —Стокса.
Теперь мы попытаемся в том же духе подойти к решению
задачи для произвольной несжимаемой жидкости. Мы покажем.
§ 5 ГЛ. V. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ВИСКОЗИМЕТРИИ 229
что в общем случае стационарное прямолинейное течение не
существует. _ Для доказательства достаточно рассмотреть част-
частный случай, изученный Эриксеном, который и открыл этот за-
замечательный факт. Конечно, одного контрпримера уже доста-
достаточно для опровержения общего утверждения. Однако с по-
помощью аппарата, развитого в предыдущих параграфах, проще
понять, почему именно никакое прямолинейное течение в общем
случае невозможно, и охарактеризовать те специальные случаи,
когда такое течение может существовать. Приводимый здесь
анализ принадлежит Ноллу.
Пусть семейство линий 9 = const в нашем сечении s? орто-
ортогонально к семейству изотах (линий постоянной скорости) v =
= const, так что соотношения
Xi = V(p), АГ2 = 2, АГз = 6(р), (V. 5-2)
где z — расстояние от некоторого фиксированного сечения и где
V0.Vw = O, (V.5-3)
определяют некоторую систему координат в трехмерном про-
пространстве. (Поскольку в этом параграфе встречаются лишь
функции места х, нет нужды использовать для обозначения опе-
оператора градиента более длинное обозначение «grad».) Кова-
риантные и контрвариантные компоненты gkm и gkm единичного
тензора имеют вид
(V.5-4)
Поле скоростей A) соответствует движению
x = X + fr(p)k, (V.5-5)
и, следовательно, градиент деформации дается формулой
F = 1 + *М, где М = k ® Vo. (V.5-6)
Поскольку^ М2 = 0,- выполняется условие Нолла (IV. 18-3) и,
согласно определению, данному в конце § IV. 18, наше течение
является вискозиметрическим.
Упражнение V.5.I. Доказать, что
x = |Vo| (V.5-7)
и что тензор N в ортонормированием базисе, образованном ортами, каса-
касательными к координатным линиям, имеет представление (V. 1-7).
В силу последнего результата мы можем применить формулы
(V. 1-14) и получить компоненты тензора напряжений в только
что введенном ортонормированием базисе
Г(»2) = г(х), Г<20) = О, Г<ое> = 0,
(V.5-8)
230 ЧАСТЬ 2. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИ § 5
где т, <т, и о2 — вискозиметрическйе функции жидкости. Пусть
i и j —единичные векторы в направлениях Vo и V9, так что
Vo = xv. (V. 5-9)
(V.5-10)
Заменяя j ® j в последнем члене на 1—i®i — к®ки исполь-
используя (8), находим, что
Т = (ti + <т2к) ® к + к® т! + xl ® -^i + Т(99) 1, (V. 5-11)
где аргументом функций т, а} и а2 является и. Последний
член полем скоростей не определяется.
Упражнение V.5.2. Беря градиент от тождества (VoJ = >c2 и используя
тот факт, что Wo — симметричный тензор, показать, что
kV* = *V (m) i. (V.5-I2)
Используя также тождество
div(u® v) = (Vu)v + udivv, (V.5-J3)
показать, что
(V.5-14)
где ц — функция сдвиговой вязкости (V.2-3).
Если положить
ft=r<96)+ J-^-dx-рй, (V.5-I5)
то
(V.5-16)
где Ь = — Vc5. Соответственно первый закон Коши (III.5-1) за-
запишется так:
kdiv (цЩ + Vw div (Щ-Vv) + VA = 0. (V. 5-17)
В силу этого результата Vh не зависит от г. Поэтому ft
имеет вид
Л = га + ?(р), (V.5-I8)
где а = const, и уравнение (V.5-I7) распадается на два урав-
уравнения:
. div(n(x)Vw) = -a (V.5-19)
и
(^) 0. (V.5-20)
§5 ГЛ. У. ОБЩАЯ fЕОРИЯ ВИСКОЗИМЕТРИИ 231
Согласно второму уравнению, g постоянно вдоль изотах
v = const, т. е. g(p) = f (v(p)), и уравнение B0) принимает вид
-/>). (V.5-21)
Для любой жидкости вискозиметрические функции ц и <Ti
определяются определяющим соотношением и потому могут
рассматриваться как заданные. Следовательно, мы вывели два
нелинейных дифференциальных уравнения A9) и B1), которым
должна удовлетворять одна функция v. При попытках найти
одну функцию v, удовлетворяющую этим двум условиям, функ-
функцию f мы можем выбирать по собственному произволу.
В некоторых частных случаях действительно эти два уравне-
уравнения для v делаются совместными при подходящем выборе /.
Если, например, жидкость такова, что
а, (к) = сх2ц (к), (V. 5-22)
где с — некоторая постоянная, то при выборе f (v) — ca B1)
становится идентичным A9). Этот случай охватывает теорию
Навье — Стокса, для которой с = 0, и вообще любую теорию,
основанную на определяющем соотношении, из которого сле-
следует, что <Ti з= 0.
В теории Навье — Стокса уравнение A9) превращается в
уравнение цАу = — а, где ц. — сдвиговая вязкость, а а — удель-
удельная движущая сила, причем обе эти величины — заданные по-
постоянные. Это эллиптическое уравнение в частных производных
имеет единственное решение, удовлетворяющее граничному
условию AJ. В работах по теории Навье — Стокса детально
исследуются свойства решений для различных сечений s&, но
мы здесь не будем углубляться в этот предмет, сделаем лишь
одно замечание относительно важного, хотя и очень простого
частного случая.
Для эллиптического сечения
§ &''. с>*> (V-5-23)
решением поставленной задачи в рамках теории Навье — Стокса будет
асЧг
2ц (с2 + б2)
(V-5-24)
мы предполагаем, конечно, что ц > 0. В том, что B4) — действительно ре-
решение, можно убедиться подстановкой, а теорема единственности решения
задачи Дирихле для эллиптических уравнений с постоянными коэффициен-
коэффициентами говорит нам, что это н единственное решение.
Пример теории Навье — Стокса показывает, что два условия
A9) и B1) могут быть совместными. В случае когда это имеет
232 часть 2. некоторые вопросы гидродинамики |s
место, постоянная а допускает простую интерпретацию, как по-
показывает следующее
Упражнение V. 5.3. Доказать, что если уравнения A9) н B1) совместны,
то
Т (гг) - рй = га + а2 (х) — f °±M- dx + f (о) (V. 5-25)
и, следовательно,
дг [Т (гг) — pw] = a. (V. 5-26)
Таким образом, а — удельная движущая сила.
Более общим образом, мы ожидаем, хотя это и не доказано,
что уравнения A9) самого по себе достаточно, чтобы при за-
заданной функции сдвиговой вязкости ц определить единственное
решение v, удовлетворяющее граничным условиям. Если это
так, то такое v в общем случае не будет удовлетворять уравне-
уравнению B1). Здесь опять-таки имеются исключения. Если линии
v — const представляют собой концентрические круги или па-
параллельные прямые; то х есть функция от у и уравнение B1)
удовлетворяется всегда. Эриксен1) показал, что если ц — ана-
аналитическая функция и условие B2) не выполнено, то всегда су-
существуют такие решения уравнения A9), для которых B1) не
выполняется, и он высказал гипотезу, что фактически A9) и
B1) совместны тогда и только тогда, когда либо выполнено
условие B2), либо х есть функция v. Исходи из этого он выдви-
выдвинул вторую гицотезу: для того чтобы в трубе могло существо-
существовать прямолинейное течение произвольной простой жидкости,
сечение этой трубы должно быть либо кругом, либо круговым
кольцом. Совсем недавно Серрин и Фосдик2) доказали, по-
построив контрпример, что первая гипотеза Эриксена ошибочна,
но ни в одном из найденных случаев кривые v — const не яв-
являются замкнутыми, и во всех этих случаях класс рассматри-
рассматриваемых жидкостей сильно ограничен. Серрин и Фосдик дока-
доказали также, 4fo вторая гипотеза Эриксена справедлива в пред-
предположении, что ц — аналитическая функция, хц — возрастаю-
возрастающая, а ц/х— убывающая функции. Остается открытым вопрос,
справедлив ли этот результат при более слабых допущениях.
Итак, стационарное прямолинейное течение в трубе возможно
для произвольной несжимаемой жидкости, только если сечение
имеет специальную форму, а для произвольного сечения — толь-
только если жидкость принадлежит к специальному типу.
') J. L. Ericksen, Overdetermination of the speed in rectilinear motion of
non-Newtonian fluids, Quarterly Appl. Math., 14 A956),.318—321.
2) J. B. Serrin, R. Fosdick, Rectilinear steady flow of simple fluids, Proc.
Royal Soc. London, A332 A973), 311—333.
§ 5 ГЛ. V. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ВИСКОЗИМЕТРИИ 233
Эриксен высказал, далее, гипотезу, что в общем слу.чае су-
существует непрямолинейное течение. Об отклонении от класси-
классического распределения скоростей обычно говорят как о вторич-
вторичном течении. Вторичное течение в данном случае — это компо-
компонента скорости, нормальная к образующим трубы, в результате
которой движение жидкости происходит по спиралевидным
линиям.
Сразу видно, что расчет такого течения должен, быть за-
затруднительным. Действительно, если мы допустим, что функцию
сдвигового напряжения т и функцию нормального напряжения
<Ti можно разложить в ряд по к, например вида (V. 3-2), то
при х->0 условие B2) всегда удовлетворяется с точностью до
членов второго порядка по х. Поэтому эффект несовместности
должен быть по крайней мере третьего порядка относительно
некоторого параметра, малость которого обеспечивает малость
скоростей сдвига. Естественно ожидать, что таким параметром
может служить удельная движущая сила. К сожалению, до сих
пор неизвестно никакого общего метода решения этой задачи.
В следующей главе мы получим решение для некоторого част-
частного класса жидкостей, предположив, что существуют решения,'
представимые в виде степенных рядов по некоторому парамет-
параметру а, который можно интерпретировать как удельную движущую
силу. Мы увидим, что в общем случае действительно возникают
вторичные течения, имеющие порядок а*.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
(работы общего характера)
NFTM, §§ 104—118.
В. D. Coleman, H. Markovitz, W. Noll, Viscometric flows of non-Newtonian
fluids, Berlin — Heidelberg — N. Y., Springer, 1966.
С Truesdell, The meaning of viscometry in fluid mechanics, Annual Reviews
of Fluid Mechanics, 6 A974).
Глава VI
НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
ТЕЧЕНИЯ РЯДА СПЕЦИАЛЬНЫХ ЖИДКОСТЕЙ
§ I. Жидкости Ривлина^-Эриксена
Принцип локального действия утверждает, что на напряже-
напряжения в теле-точке X не влияет предыстория движения других
тел-точек, за исключением тех, которые принадлежат произ-
произвольно малой окрестности точки X; однако допускается влияние
сколь угодно далекого прошлого. Таким образом, в общем слу-
случае материальная точка может иметь сколь угодно «длинную»
память. В вискозиметрических течениях (гл. V) или, вообще,
в течениях с постоянными предысториями главных относитель-
относительных растяжений (§ IV. 18, IV. 19) эта память — какова бы она
ии была — не имеет возможности существенно проявиться, и
по этой причине многие частные задачи для этих течений легко
поддаются решению. Есть и другой путь отыскания задач, под-
поддающихся исследованию: вместо того чтобы сужать класс дви-
движений, выделить класс материалов. Ввиду того что долгая па-
память порождает очевидные трудности, естественно взять для
изучения класс материалов, в которых на напряжения в точке X
влияет лишь предыстория движения на произвольно коротком
интервале [t, i + б) прошлого, где б — некоторое положительное
число. Материалы такого типа называются материалами с ин-
финитезимальной памятью.
Предыстория движения до любого заданного момента в про-
прошлом не имеет значения для определения напряжений в таком
материале в текущий момент.
Наиболее важными из материалов с инфинитезимальной
памятью являются те простые материалы, в которых напряже-
напряжения в точке определяются первыми п производными градиента
деформации F в точке X. Такой материал называется материа-
материалом дифференциального типа, an — его сложностью. Опреде-
Определяющее соотношение такого материала имеет вид
(п) (п-1)
T = f(F, F, .... F, F), (VI. 1-1)
где f—отображение п -+-1 тензорных аргументов на симметрич-
симметричные тензоры; аргумент X не выписан.
Принцип материальной независимости от системы отсчета
приводит к следующей приведенной форме определяющего со-
§_} ГЛ. VI. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 235
отношения материала дифференциального типа сложности п:
Т* = в (Af, A2R А*, С), (VI. 1-2)
где g — функция, переводящая наборы из п + 1 симметричных
тензорных аргументов в симметричные тензоры, Аг — r-й тен-
тензор Ривлина — Эриксена (II. 11-17), а обозначение SR опреде-
определено формулой (IV. 4-15).
Упражнение VI. 1.1 (Нолл). Конкретизируя соответствующим образом
соотношение (IV. 5-15) илн непосредственно используя принцип независимо-
независимости от системы отсчета, доказать соотношение B).
В случае, когда материал дифференциального типа изотро-
изотропен, он называется твердым телом Ривлина — Эриксена или
жидкостью Ривлина — Эриксена сложности п соответственно
тому, является ли его группой равноправности группа о для
некоторой отсчетной конфигурации или группа « для всех от-
счетнЫх конфигураций, в согласии с определениями, данными
в § IV. 15-16. Определяющие соотношения в этих двух частных
случаях имеют вид
Т = $(А„ А2, ..., А„, В) (VI. 1-3)
Т = Ъ(К А2, ..., А„, р) (VI. 1-4)
соответственно. Первое из них выполняется только при условии,
что тензор Коши — Грина В вычислен по отношению к неиска-
неискаженной конфигурации твердого тела; второе верно всегда.
В обоих случаях функция!) изотропна в том смысле, что1)
T, QA2QT, ..., QAnQT, QBQT или р) =
= Q$(A,, A2, .... А„, В или p)QT (VI. 1-5)
для всех аргументов функции Ij и всех ортогональных тензо-
тензоров Q.
Стандартным образом выписываются соответствующие ре>
зультаты для несжимаемых материалов.
Упражнение VI. 1.2. Конкретизируя соотношения (IV. 14-2) и (IV. 14-3)
применительно к телам Ривлииа — Эрнксеиа или непосредственно исходя нз
соотношения B), вывести C)—E),
') Приводимое далее равенство — это определение изотропной фуиК*
цин. — Прим. ред.
236 ЧАСТЬ 2. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИ § 1
Для функционального уравнения E) известно общее ре-
решение ') ij, но нам оно не понадобится. В частном случае жидко-
жидкости сложности 2 общее решение имеет вид
T = -pl+a1A,-f a2A2 +
+ a3A? + a4A» + a5 (A, A2 + A2A,) +
+ a6 (A?A2 + A2A?) + a7 (A, A] + A^
Здесь коэффициенты p, ab аг ct& — функции плотности
и следующих скалярных инвариантов тензоров Ai и А2:
tr Aj, tr Ai, tr Ai,
trA2, trAi trAi
•trAiA2l trA,Al trA?A2, trA?Ai (VI. 1-7)
Коэффициенты at, аг, • • •, as определены неоднозначно, и
лишь в специальных случаях существуют соотношения, выра-
выражающие один из них как однозначную функцию остальных2).
Для несжимаемой жидкости сохраняется то же представление,
') Представление F) было опубликовано Трусделлом в 1951 г., правда,
без достаточных пояснений. По теоремам представления существует обшир-
обширная литература; в большинстве работ принимается предположение, что Ij —
полином. Первые результаты, не использующие этого предположения, были
опубликованы Ривлиным и Эриксеном в 1953 г. Полные общие алгебраиче-
алгебраические представления скалярных, векторных и тензорных изотропных функций
от любого числа векторов, симметричных тензоров и кососимметричных тен-
тензоров были получены Ваном (С.-С. Wang, A new representation theorem for
isotropic functions, Arch. Rational Mech. Anal., 36 A970), 166—223).
2) Конечная система тензоров всегда удовлетворяет тем нли иным поли-
полиномиальным тождествам. Кроме того, как известно, пространство симмет-
симметричных тензоров над трехмерным векторным пространством шестимерно, по-
поэтому любые семь или более симметричных тензоров всегда линейно зави-
зависимы. Тем не менее, этн факты не позволяют нам в общем случае выразить
какой-либо один, взятый по произволу, тензор через остальные.
Достаточно очень простого примера
(trA)B = A (•)
Для того, чтобы показать, что наличие связи между двумя тензорами не поз-
позволяет выразить один тензор через другой раз и навсегда. Во-первых, А не
определяется соотношением (*) как функция от В, так как если А удовле-
удовлетворяет (*) при данном В, то с\ удовлетворяет (•), где с — любое число.
С -другой стороны, В не может быть функцией от А, поскольку если А =« 0,
то произвольный тензор В удовлетворяет (*). В любом случае, однако, либо
В = /(А), либо А = g(B). Действительно, если tr А Ф 0, то В = (tr Л) А.
а если tr А = 0, то А = 0 для всех В. Итак, если мы рассматриваем некото-
некоторую функцию f(A, В), то ту или другую из двух переменных А, В исключить
всегда можно, но не всегда одну и ту же. '
§1 ГЛ. VI. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 237
но р уже произвольно, и к тому же tr Ai = 0 и tr A? = tr A2 в
силу (II. 11 -20J» так что коэффициенты аь а2, ..., а,в суть
функции лишь 8, а не 10 скалярных аргументов.
Как мы убедились, в конце § IV. 19 в вискозиметрических
течениях поведение простой жидкости нельзя отличить от пове-
поведения соответствующим образом подобранной жидкости Рив-
лина — Эриксена сложности 2. По-другому это можно сказать
так: подходящим выбором коэффициентов аь аг, ..., ав мы
можем согласовать F) с любыми тремя вискозиметрическими
функциями (ср. упр. V. 1.3). В следующем упражнении этот
результат подтверждается явным вычислением и сверх того по-
показывается, что вискозиметрические функции не определяют
однозначно жидкость Ривлина — Эриксена сложности 2. Таким
образом, поведение жидкости такого типа в вискозиметриче-
вискозиметрических течениях не определяет ее уравнение состояния единствен-
единственным образом.
Упражнение IV. 1.3 (Ривлии, Марковиц). Доказать, что в внскозиметри-
ческом течении функции аг десяти аргументов G) равны некоторым функ-
функциям ctr от скорости сдвига х; что аг—четные функции и что вискозиметри-
вискозиметрические функции жидкости следующим образом связаны с функциями бг:
a, =» x2 Ba2 + a3 + 4x2a4 + 4xsa6 + 8*4a8), (vl. 1-8)
(T2 = И2бз.
Доказать также, что для описания общего поведения простых жидко-
жидкостей в вискозиметрических течениях достаточно рассмотреть случай, когда
а4 = а$ = ... = ag = 0, а коэффициенты аь а2 и аз являются функциями
лишь от trAj. Иными словами, определяющее соотношение частного вида
Т = — р\ -fctjA, + a2A2 + a3Ap (VI. 1-9)
где р, ai, аг и а3 — функции только от р и tr Ар достаточно для представ-
представления наиболее общей системы напряжений, которая может существовать в
простой жидкости при вискозиметрическом течении. И обратно, вискозимет-
рнческие • функции однозначно определяют зависимость трех коэффициентов
X .2 тт - -l/1 4. .2
Oj, a2 и a3 от trAj. Действительно, поскольку и = 1/ -jrtrA, i мы
можем положить
f (А„ р) » f (к, р).
Получим
о,=т/х, a2=-^-(g2-ai)/x2, a3 = S2/x2. (VI. 1-10)
Подставляя эти выражения в (VI- 1-9), придем к определяющим соотношениям
Для жидкости порядка 2 с вискозиметрическими функциями т, _<3\ и (Гг.
Когда мы займемся изучением движений, которые не яв-
являются вискозиметрическими течениями, мы, как уже отмеча-
отмечалось в начале этого параграфа, будем в общем случае выну-
238 ЧАСТЬ 2. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИ § 1
ждены принять, что жидкость не обладает длительной памятью.
Однако даже для жидкостей Ривлина — Эриксена, как это мож-
мо судить по примеру соотношения F) с его восемью мате-
материальными функциями, будут возникать большие математиче-
математические трудности. Если еще больше специализировать вид опре-
определяющих соотношений, то мы рискуем потерять само явление,
которое хотим изучать. Если, например, мы возьмем частный
случай A0), которого достаточно для описания вискозиметри-
ческих течений во всей их общности, то увидим, что при 2а2 + аз.
пропорциональном оь выполняется условие (V. 5-22) и прямо-
прямолинейное течение возможно в трубах произвольного попереч-
поперечного сечения. Так, в частности, будет обстоять дело, если мы
положим функции oi, сс2 и аз равными любым постоянным.
Эти соображения указывают на потребность в некотором
систематическом методе классификации жидкостей Ривлина —
Эриксена по категориям с уменьшающимся сходством реакций.
Существует много таких систем. Здесь мы рассмотрим одну из
них, основанную на формальной процедуре разложения.
В § XIII. 7 мы покажем, что можно истолковать получаемые
при этом результаты с помощью некой теоремы аппроксимации;
пока же мы будем рассматривать эту процедуру как чисто фор-
формальную.
Итак, предположим, что задано какое-нибудь одно частное
движение %(X,t) некоторого тела. Растягивая масштаб вре-
времени в г раз, построим однопараметрическое семейство замед-
замедленных движений
r}r)(X,t) = t(X,rt), где г>0. (VI. 1-11)
Иными словами, если тело-точка X находилось при движении х
в месте х в момент t, то при замедленном движении х(г) оно до-
достигнет этой точки лишь к моменту t/r. Мы будем рассматри-
рассматривать предельный переход при г~*0, так что при движении х<г)
тело-точка X будет двигаться по той же траектории, что и при
движении 1, но со скоростью, всюду уменьшенной в одно и то
же число раз г.
Будем для обозначения величии, вычисляемых исходя из Х(г),
(п)
использовать верхний индекс (г). Для и-й скорости (х) получаем
х(г)шд?Х(г)а=гпх; (VI. 1-12)
следовательно, в силу (II. 11-14)
GiT* = гв0„. (VI. ЫЗ)
§ 1 ГЛ. VI. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 239
Таким образом, согласно (II. 11-17) мы получаем для тен-
тензоров Ривлина — Эриксена А(„г) замедленного движения
А?
?
(VI. 1-14)
Возвращаясь к определяющему соотношению D) жидкости
Ривлина-—Эриксена сложности п, мы теперь специализируем
его, сделав следующие дальнейшие допущения:
1. Функция 1} — многочлен от аргументов А,, А2 Ап.
2. Для замедленного движения ЗС(Г) функция 1} есть много-
многочлен степени п по г.
Определенная таким специальным образом жидкость слож-
сложности п называется жидкостью п-го порядка. Будем считать дви-
движение % заданным и не меняющимся и построим по нему за-
замедленные движения f^h Тогда при г-*0 определяющее соот-
соотношение для жидкости и-го порядка аппроксимирует общее
определяющее соотношение жидкости сложности и с ошибкой
порядка O(rn+l); конечно, здесь существенно первое допуще-
допущение, что 1}— многочлен.
Например, из F) видно, что в то время как определяющим
соотношением для жидкости сложности 1 служит
Т = -р1+а1А1+а2А?, (VI. 1-15)
где р, а, и а2 — произвольные функции от tr Ap tr A^, tr A^ и р,
определяющим соотношением для жидкости порядка 1, посколь-
поскольку оно должно иметь первый порядок по г в замедленном дви-
движении х(г), в силу A4) будет
i) +|хА„ (VI. 1-16)
где р, Я и \i — функции только от р. Если жидкость несжи-
несжимаема, то соотношение A6) сводится к
Т = -р1+цА„ (VI. 1-17)
где р неопределено в том смысле, что оно не определяется
движением, а ц, — постоянная. Эти два соотношения представ-
представляют собой определяющие соотношения для жидкостей Навье —
Стокса — в первом случае без внутренних связей, во втором —
несжимаемой. Таким образом, жидкость первого порядка — это
жидкость Навье — Стокса. Таким' же образом мы можем убе-
убедиться в том, что упругая жидкость — это жидкость нулевого
порядка.
Точно тем же методом мы можем выписать, отправляясь от
F) и G), определяющее соотношение для жидкости второго
240 ЧАСТЬ 2. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИ $ I
порядка без внутренних связей:
+ (ji + an tr A,) A, + a,A2 + OjA», (VI. 1-18)
где p, X, \i, a,0, ого, a30, a,,, a, и c^ — функции от р.
Поскольку для несжимаемого материала члены, коэффи-
коэффициентами при которых служат Я и ац, обращаются в нуль и
поскольку, кроме того, напряжения в нем определены с точ-
точностью до произвольного гидростатического давления р и по-
потому члены, коэффициенты при которых суть аю, <X2Q, «зо, можно
включить в р, — для несжимаемой жидкости второго порядка
мы имеем просто
Т = - р\ + цА, + a(A2 + a2k\, (VI. 1-19)
где \i, a, и а2 — постоянные.
Упражнение VI. 1.4. Используя для упрощения результатов соотноше-
соотношение (II. 11-20), показать, что определяющее соотношение для несжимаемой
жидкости четвертого порядка имеет вид
T = -pl+S,+S2 + S3 + S4, (VI. 1-20)
где
Р2(А2А, + A,A,) + P3(tr А2) А„
Y2 (As A, + A, As) + Y3A22 + Y4 (A2A? + А?А2) +
+ Y5 (*г А,) А2 + Y6 (tr A2) K\ + [y7 tr A3 + Y8 tr (A8A,)] А„ (VI. 1-21)
где Цо. ai. 0.2, Pi. Рг. Рз. Yi. Y2 Ye — постоянные.
В только что приведенной формуле имеем для замедленных
движений 1{г)
Sk = O{rk) при г-*.0. (VI. 1-22)
Таким образом, например, S3 — это как раз то, что нужно
добавить к Si + S2, чтобы получить из определяющего соотно-
соотношения для жидкости порядка 2 определяющее соотношение для
жидкости порядка 3.
Упражнение VI. 1.5. Показать, используя (IV. 18-15), что для течений с
постоянными предысториями главных относительных растяжений мы можем
использовать в качестве коэффициента замедления г скорость сдвига к. Ис-
Исходя из^ этого факта, показать, что для вискозиметрических течений
S2 = x2 [2a,NTN + a2 (N + NTJ],
NT)
S4 = x4 [4 (Y, + Y4 + Ye) NTN + 2Y6 (N + NTJ].
§ 1 ГЛ. VI. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 241
причем вискозиметрические функции даются формулами
о, = Bа, + а,) х2 + [4 (у3 + yt + Ye) + 2у6] к». (VI. 1-24)
В общем случае вискозиметрические функции жидкости и-го
порядка представляют собой многочлены по х степени не
выше п. Поскольку в общей теории жидкостей вискозиметри-
вискозиметрические функции вовсе не обязаны быть полиномиальными, с
помощью модели жидкости п-го порядка ни при каком п нельзя
описать все результаты, относящиеся к вискозиметрическим те-
течениям. Этот факт должен способствовать уяснению различия
между порядком и сложностью; действительно, как мы уже ви-
видели в упр. VI. 1.3, теория жидкостей сложности 2 уже вклю-
включает в себя наиболее общую теорию вискозиметрических тече-
течений. Оба термина «сложность» и «порядок» призваны указы-
указывать, что мы имеем дело с результатом процесса аппроксима-
аппроксимации; чем ниже сложность жидкости, тем меньшего порядка
производные от поля скорости нужны, чтобы определить напря-
напряжения в жидкости. В то же время, чем ниже порядок жидкости,
тем медленнее течения, адекватно описываемые ее уравнением
состояния. С другой сто'роны, следует помнить, что предложен-
предложенные процессы -.аппроксимации никак не обоснованы, а служат
лишь в качестве наводящих соображений, более того, они во-
вовсе и не необходимы нам, чтобы иметь возможность рассмат-
рассматривать жидкости порядка п или сложности п, ибо такие жидко-
жидкости удовлетворяют всем общим требованиям механики сплошной
среды и потому могут быть предметом изучения сами по себе.
В частности, жидкость Навье — Стокса и упругая жидкость,
являющиеся жидкостями порядков 1 и 0 соответственно, не
обязательно должны рассматриваться как аппроксимации че-
чего-то более общего, но заслуживают рассмотрения и как неза-
независимые объекты, образчики того, какой может быть жидкость.
Таким образом, классическая гидродинамика, которая всегда
ограничивалась рассмотрением только этих двух жидкостей,
представляет собой, хотя и специальную, но точную теорию.
Переходя в соотношениях B4) к частному случаю жидкости
второго порядка, мы видим, что вискозиметрические функции
такой жидкости даются формулами
М- == М-о.
<х1 = Bа1+ а2)х2, (VI. 1-25)
а2 = а^2,
Сравнение с A9) показывает, что если некоторый набор из
трех вискозиметрических функций совместим с теорией жидко-
242 ЧАСТЬ 2. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИ § I
стей BTOpofo порядка, то такая жидкость определяется им одно-
однозначно. Таким образом, определяющее соотношение для не-
несжимаемой жидкости второго порядка определяется поведением
такой жидкости в вискозиметрических течениях. Эти результаты
и подавно справедливы для жидкости Навье — Стокса. Перво-
Первоначально вискозиметрические задачи рассматривались лишь
потому, что считалось, что результатов вискозиметрических экс-
экспериментов достаточно, чтобы определить все физические ха-
характеристики несжимаемой жидкости, так что по крайней мере
в принципе вискозиметрические данные могут служить основой
для последующего описания всех движений жидкости, полу-
получающегося уже с помощью одной лишь математики. С одного
взгляда на B4) ясно, что в общем случае дело обстоит не так.
Например, вискозиметрическими функциями жидкости третьего
порядка определяется значение суммы р2 + Рз, но не C2 и р3
порознь, и по этим функциям ничего вообще нельзя сказать
о Pi. Действительно, коэффициент Pi в B1 K стоит при тензоре
Аз, который обращается в нуль в вискозиметрическом течении,
так что в принципе, если интересоваться значением Pi, нужно
рассматривать течения, в которых А3 ф 0. Эти соображения
указывают на ограничения, присущие модели жидкости второго
порядка и ее частному случаю, жидкости Навье —Стокса.
Упражнение VI. 1.6 (Беркер). Используя (П. 11-19), (П. 11-24) и (II. 13-6),
показать, что во всех точках неподвижной стенки, на которой выполняется
условие прилипания,
А,- — 2En + 2Wn,
Afr. => DЕ2 + W2) n + 4?Wn, (VI. 1-26)
A2n = (IE' + 4E2 + W2) n + 2EWn + 2W'n,
где E — объемное расширение, a W — спин. (Не следует считать ось спина
стационарной.) Вывести отсюда, что усилия, действующие на несжимаемую
жидкость второго порядка на такой неподвижной стенке, равны
t = [_ р + (а, + а2> W2] а + 2цWn + 2a,W'n =
(VI. 1-27)
где f — единичный вектор, идущий в направлении, которое получается пово-
поворотом вектора завихренности относительно вектора п на прямой угол против
часовой стрелки.
Формула Беркера B7) служит еще одной иллюстрацией спе-
специальной природы несжимаемых жидкостей второго порядка.
Сдвиговое усилие, действующее со стороны такой жидкости на
неподвижную стенку, оказывается в установившемся движении
таким же, какое создавала бы жидкость Навье — Стокса с той
же сдвиговой вязкостью ц при движении с тем же спином. Ко-
Конечно, отсюда отнюдь не следует, что в некоторой краевой за-
§ 2 ГЛ. VI. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 243
даче значения постоянных а,\ и ссг действительно не влияют иа
касательные напряжения: эти постоянные входят в уравнения
движения и потому могут приводить при одних и тех же крае-
краевых условиях к различным полям скорости и Потому различиым
полям спина.
§ 2. Вторичное течение при движении несжимаемой жидкости
в прямой трубе. Предварительные соображения
Как мы убедились в § V. 5, произвольная несжимаемая жид-
жидкость может совершать стационарное прямолинейное движение
в прямой трубе, только если ее сечение имеет специальную фор-
форму, а при произвольном сечении это возможно лишь для некото-
некоторых специальных типов жидкости. Как жидкость Навье —
Стокса, так и жидкость второго порядка принадлежат к этому
специальному типу, поскольку их вискозиметрические функции
удовлетворяют соотношению (V. 5-22).
Если произвольная жидкость движется под действием гра-
градиента давления по прямой трубе, ограниченной цилиндриче-
цилиндрической поверхностью, отличной от пары параллельных плоскостей
или соосных круглых цилиндрических поверхностей, то можно
ожидать, что установится некоторое стационарное течение; од-
однако это движение не может быть прямолинейным. Напомним,
что компонента скорости, нормальная к образующим цилиндри-
цилиндрической граничной поверхности, называется вторичным течением.
По-видимому, простейшее такое поле скоростей имеет вид
где х = 0 при р е дбФ, div u = 0;
здесь $$¦ — плоское сечение трубы, к — единичный вектор иор<
мали к нему, р — вектор положения в si- и и(р) — вектор, лежа-
лежащий в s4-. Ищется решение, для которого вторичное течение во
всех сечениях одно и то же.
В настоящее время расчет вторичных течеиий в трубах про-
произвольного сечения представляется неразрешимой задачей.
Можно надеяться, что при стремлении движущей силы к нулю
возникает некоторое семейство замедленных движений, однако
никакой теоремы такого рода доказать пока не удалось. Не
располагая руководящими указаниями общей теории, мы до-
допустим, что существует решение одного частного вида и рас-
рассчитаем его. Именно, мы допустим, что поле скоростей может
быть разложено в ряд по степеням движущей силы и что жид-
жидкость достаточно хорошо описывается определяющим соотноше-
соотношением для жидкости Ривлина — Эриксена некоторого достаточно
высокого порядка. Мы покажем, что хотя для жидкости третьего
244 ЧАСТЬ 2. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИ § 1
порядка действительно невозможно стационарное прямолиней-
прямолинейное движение, но все-таки скорость вторичного течения пропор-
пропорциональна не а3, а а4. Для жидкости четвертого порядка расчет
уже настолько сложен, что мы рассчитаем вторичное течение
лишь с ошибкой О (а5).
После того как в 1956 г. Эриксен высказал гипотезу о су-
существовании вторичных течений, Грин и Ривлин немедленно
рассчитали такое течение для потока в трубе эллиптического
сечения по некоторой частной модельной теории. Формальный,
но общий метод, был разработан Ланглуа и Ривлином. Этот
метод с упрощениями, предложенными Ноллом, мы и опишем
в следующем параграфе.
Здесь же мы сделаем некоторые замечания об общих усло-
условиях, которым удовлетворяет течение A).
Допустим, что сечение зФ односвязно. Поскольку div u = О,
в силу (П. 5-9) существует однозначная функция тока q, такая, что
u = (fy)\ (VI. 2-2)
где V обозначает пространственный градиент, a w1—вектор,
получаемый из нормального к к вектора w поворотом относи-
относительно к на прямый угол против часовой стрелки. (Таким обра-
образом, (w±)i = —w.) Условия, выражающие прилипание на дзФ,
имеют вид
q = 0, dnq = O, (VI. 2-3)
где дп — производная по нормали.
Поскольку из A) следует, что
G==gradx = k® Vo + Vu, (VI. 2-4)
для ускорения мы получаем
. х = Gx = (u • Щ к + (Vu) и. (VI. 2-5)
(л)
чСкорость л-го порядка х, ее градиент Gn и и-й тензор Рив-
лина —Эриксеяа А„ не зависят от времени и не меняются от
сечения к сечению. Поэтому
(VAn)k = 0, ¦ (VI. 2-6)
и рекуррентная формула для тензоров Ривлина — Эриксена
(II. 11-19) принимает вид
An+I = (VAn)u + AnG+(AnG)T. (Vl. 2-7)
Так как для всех сечений предыстория движения одинакова, то
одинаковы и определяющие напряжения, и в силу E) то же
относится и к ускорению х. Таким образом, согласно первому
закону Коши (III. 5-1)
3d = 0, (VI. 2-8)
§ 3 ГЛ. VI. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 245
где ф = р/р+-й> E — потенциал массовых сил, z— координата
в направлении к. Интегрирование уравнения (8)' показывает, что
pq> = -az + ?(p), (VI. 2-9)
где ? — функция, подлежащая определению, а а — постоянная,
удельная движущая сила, которую мы будем рассматривать
как определяющий параметр задачи. Мы будем предполагать,
что й не зависит от z, так что фактически удельная движущая
сила — единственный фактор, вызывающий продвижение жид-
жидкости по трубе.
Чтобы рассмотреть дальнейшие следствия первого закона
Коши, воспользуемся следующим разложением тензора напря-
напряжений:
k + k(8)t + n; (VI. 2-10)
здесь N — скалярное поле, t — векторное поле, нормальное
к к, а П — тензор над двумерным пространством векторов,
нормальных к к. В силу A0) и (9)
T(zz) = -р + N = N(р) + az -?(р) + 9v(p), (VI. 2-11)
а в силу E) для двух остальных компонент первый закон Коши
(III. 5-1) дает
divt+ a = pu • Wv,
u (VI. 2-12)
§ 3. Вторичное течение жидкости третьего
или более высокого порядка в прямой трубе
Допустим, что поля жидкостей и напряжений разлагаются
в ряды по степеням а, имеющие ненулевые радиусы сходи-
сходимости:
оо
и = 2 агиг, где ur = (Vqr)x,
Г=1 со (VI. 3-1)
г—1
Граничные условия на дяФ таковы:
tv = O, <7r = 0, дпЧг = 0. (VI. 3-2)
Из (VI. 2-4) мы находим
G = 2 аг (к ® Vor -f Vur). (VI. 3-3)
Г=1
246 . ЧАСТЬ 2. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИ § 3
Однако подсчет Gn при п > 1 становится затруднительным,
поскольку приходится неоднократно перемножать ряды. На-
Например, из AJ, C) и (VI. 2-7) видно, что уже для А2 получится
очень длинное выражение. К счастью, для данной задачи пол-
полные ряды нам не нужны, и мы сумеем показать путем последо-
последовательного подсчета, что многие члены обращаются в нуль.
Заметим прежде всего, что вообще, как очевидным образом
показывает подстановка рядов A) в (VI. 2-7),
А„ = 0(а") при а->0, (VI. 3-4)
т. е. при а—*0 тензоры Ривлина — Эриксена убывают по край-
крайней мере так же быстро, как они убывают в соответствии с
(VI. 1-13) для семейства замедленных движений с коэффициен-
коэффициентом замедления а. Следовательно, напряжения, получаемые на
основе определяющих соотношений для жидкости порядка п,
отличаются от напряжений для произвольной жидкости Рив-
Ривлина— Эриксена на величину, которая для течений рассматри-
рассматриваемого класса имеет порядок O(an+l), а может быть, даже
менее.
В соответствии с этим мы определим теперь первые несколь-
несколько коэффициентов в разложениях A), подставляя эти разложе-
разложения в определяющее соотношение для жидкости n-го порядка,
подставляя затем результат в уравнение количества движения
(VI. 2-12) и приравнивая после этого нулю коэффициенты при
последовательных степенях а. На r-м шаге мы получим систему
уравнений в частных производных и граничные условия для
отыскания функций vT и иг.
Шаг 1. Решение для жидкости Навье—Стокса. Из C) вид-
видно, что
А, = G + GT = a[k ® Vo, + Vo, ® k + VUl + (VUl)T] + О (а2). .
(VI. 3.5)
Согласно (VI. 1-19)
T + pl = HoA, + 0(fl2). (VI. 3-6)
Сравнение E) и F) показывает, что
+ о И.
)
Мы будем, конечно, предполагать, что ц0 ^ О- Поскольку
u-Wv = O(a2) и (Vu)u = 0(a2), подстановка этих выражений
в (VI. 2-12) и приравнивание нулю коэффициентов при а в обоих
членах дают
—I' (VI. 3-8)
)T] Ve
§ 3 ГЛ. VI. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 247
Первое из этих условий есть уравнение Пуассона; вместе с гра-
граничным условием v 1 (р) = 0 при р е ds& это уравнение опре-
определяет в М единственное решение уь Это —точное и полное
решение задачи для жидкости первого порядка, а именно навье-
стоксово решение, но мы должны еще посмотреть, что дает
уравнение (8J.
Чтобы решить его, заметим прежде всего, что если q = q(p)
и u==(V<7)x, .то
div[Vu + (Vu)T] = (VA<7)x. (VI. 3-9)
Согласно AK, u1 = (V^l1)x, так что (8J принимает вид
(x0(VA<7l)x = V?1. (VI. 3-10)
Если мы применим к этому уравнению операцию поворота
J. и возьмем затем дивергенцию, то получим
ц0ЛЛ<7, = 0. (VI. 3-11)
Поскольку* это — бигармоническое уравнение, оно имеет
единственное решение <7ь Для которого q\ и dnq\ обращаются
в нуль на д$?. Это решение есть qi = 0. Следовательно, щ = 0,
и из A0) вытекает, что ?,i = const.
Таким образом, на первом шаге с ошибкой порядка О (а2)
мы получаем навье-стоксово решение задачи:
РФ = — az + const -f- О (а2).
Конечно, если бы мы решили считать навье-стоксово опре-
определяющее соотношение точным, то нашли бы, что остаточные
члены, тождественно равны нулю. Однако в рассматриваемой
здесь более общей теории жидкостей порядка п именно подсчет
этих поправочных членов приводит к объяснению вторичных
течений.
Шаг 2. Решение для жидкости второго порядка.
Упражнение VI. 3.1. Полагая
х, = | Vo,| (VI. 3-13)
и используя A2),, (VI. 2-4) и (VI. 2-7), показать, что
] + O(aI ^
А2 = 2a2Vo, ® Vvt + О (а3)
и, следовательно,
ИоД»2 = О, ЦоДЛ<72=О, (VI. 3-15)
так что
о2 = 0, <72 = 0, и2 = 0 (VI. 3-16)
И
(VI. 3-17)
248 ЧАСТЬ 2. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИ § 3
Таким образом, поле скоростей, получаемое по теории
Навье — Стокса, дает решение нашей задачи с точностью до
О (а3). Для жидкостей второго порядка, как отмечалось в пре-
предыдущем параграфе, прямолинейное течение возможно, по-
поскольку выполняется условие (VI. 5-22). Фактически поле ско-
скоростей навье-стоксова решения дает точное решение и для жид-
жидкости второго порядка — поправочные члены в A4) и A7)
тождественно обращаются в этом случае в 0. Конечно, для того
чтобы то же самое течение в жидкости второго порядка имело
место, в ней должны действовать нормальные усилия, которых
не дает теория Навье — Стокса.
Шаг 3. Приближенное решение -для жидкости третьего по-
порядка. Учитывая A6), получаем из C)
8). (VI. 3-18)
Если мы подставим этот результат, A4J и A6Jв (VI.2-7), то
найдем,что
А3 = 0(а5). (VI. 3-19)
Аналогичным образом мы можем усилить соотношение A4),
после чего оно приобретет вид
A» = e«[(VOl в V*,) + *?(к в к)] + ОD
A2 = 2a2vy,<g> vu,-f0(a4).
Упражнение VI. 3.2. Подставляя эти результаты в (VI. 1-19) и сравни-
сравнивая то, что получится с (VI. 2-10), показать, что
2 (р2 + P3)*^"i]+ О(а*\
г т\1 (* *¦ 3'21)
П = а" Bа, + аг) (Vo, <g> Vo,) + «3Цо [Vu3 + (Vu3)T)] + О (а*).
В силу A6) мы имеем u = O(a3), Vv = O(a), так что
u-Vy==O(a4), (Vu)u = 0(a6). (VI. 3-22)
Таким образом, в динамических уравнениях (VI. 2-12) вкла-
вклады правых частей того же порядка, что и ошибки, если учиты-
учитывать лишь члены вплоть до третьего порядка по г.
Упражнение VI. 3.3. Подставляя B1) и B2) в (VI. 2-12), показать, что
ц0 Доз = - 2 (р2 + Рз) div (| Vn, I2 Vv,),
= Vg3 (VI. 3-23)
Отправляясь от B3J и проводя рассуждения, аналогичные тем, которые
привели от (8)г к A1), доказать, что х
= 0. (VI. 3-24)
Уравнение B3)i представляет собой уравнение Пуассона, и
оно имеет единственное решение v$, удовлетворяющее гранич-
M. vt. некоторые Частные случаи 249
ному условию ?>з(р) =0 при peW. Поскольку правая часть
уравнения B3) i определяется навье-стоксовым решением v\ и
материальным коэффициентом (Р2+Рз)/цо, решение vs зависит
от тех же величин. Бигармоническое уравнение B4) имеет одно
и только одно решение q3, удовлетворяющее на ds4- условиям
<7з = 0, д„<7з = 0, и этим решением является <7з = 0. Поэтому
и3 = 0, и
i = [ay1(P) + a3y3(p)]k + O(a4), (VI. 3-25)
где У] однозначно определяется формой сечения &Ф, а v3 — фор-
формой сечения и величиной (р2 + Рз)/цо.
Шаг 4. Приближенное решение для жидкости четвертого
порядка. Результат, полученный на втором шаге и выражаемый
соотношением A7), является для жидкости второго порядка
точным решением, если просто отбросить в нем поправочный
член. В то же время результат, который мы только что полу-
получили, для общей жидкости третьего порядка является лишь
приближенным. Действительно, если мы попытаемся согласо-
согласовать поле скоростей B5) без поправочного члена с теорией жид-
жидкости третьего или четвертого порядка, то не сможем этого
сделать. Функция сдвиговой вязкости такой жидкости дается
формулой (VI. 1-24), и мы находим
ц (к) Vv = {,*„ + 2 (р2
= ixoaVVl + noa3Vy3 + 2 (p2 + p3) a\2Vy, + О (a5), (VI. 3-26)
где ошибка 0{аь) обращается в нуль в том и только в том
случае, когда Рг + Рз = 0, т. е. когда ц = ц0.
Беря дивергенцию от B6) и используя B3) 2 и (8)ь мы ви-
видим, что
d(Vi>) = -a + O(a5), (VI. 3-27)
где снова поправочный член обращается в нуль лишь для неко-
некоторых частных значений vu что соответствует специальным фор-
формам сечения, или для жидкостей, у которых рг + Рз = 0. Чтобы
могло происходить стационарное прямолинейное движение с по-
полем скоростей v, должно выполняться условие (V. 5-19). В силу
B7) это условие выполняется в рассматриваемом случае только
с точностью до членов О (а5). Таким образом, в общем случае
стационарное прямолинейное движение в трубе жидкости треть-
третьего порядка, строго говоря, невозможно. В этом смысле реше-
решение B5), которое дается нашей формальной процедурой на
третьем шаге, является не точным, а приближенным. Конечно,
то, что стационарное прямолинейное движение возможно для
250 кисть 2. некоторые вопросы гидродинамики § з
частного случая жидкостей третьего порядка, для которых
р2 -f- рз = 0, мы могли бы заметить и с самого начала, посколь-
поскольку для таких жидкостей выполняется соотношение (V. 5-22).
Упражнение VI. 3.4. Используя B3), (VI. 2-4) и (VI. 2-7), показать, что
+ a4 [Vo, (g Vo3 + Vo3 (gl Vo, + 2 (Vo,. Vo3) (k <g k)] + О (а5),
A2 = 2a2Vo, <g Vo, + 2a* (Vo, <g Vo3 + 7o3 <g Vo,) + О (а5),
«2
tr A2 = 2a\\ + 4a4Vo, -^v3+0 {a5),
Аз = О (a5), A4 = О (ae).
Вывести отсюда, что
t = a (.. .)•+ a3 (...) + a*HoVo4 + О (a5),
П = a2 (...) + a«{no[Vu4 + (Vu4)T] +
+ Ba, + a2)(Vo3®Vo, + Vo, ® Vo3) + ух^о, ® Vo,} + О [a5), ' "'
где
(VI. 3-30)
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы найти следствия
из динамических уравнений (VI. 2-12) с точностью до О (а*).
С этой целью подставим B5) в левые части этих уравнений.
Поскольку, как мы теперь знаем,.и = О(а4), мы видим, что
u.Vu = O(a5), (Vu)u = O(a8), (VI. 3-31)
так что правые части уравнений (VI. 2-12) обращаются в нуль.
Таким образом, ускорениями можно пренебречь даже на чет-
четвертом шаге, и получаемое нами решение — это решение для
«медленного течения» в том смысле, что мы могли бы с самого
начала пренебречь ускорением, знай мы только, что так можно
делать. (Как мы уже показали, для жидкостей первого и вто-
второго порядка ускорения точно равны нулю.)
Упражнение VI. 3.5. Показать, что
Но А»4 ==¦ 0,
ц0 div [Vu4 + (Vu4)T] + Ba, + a2) div [Vo3 ® Vo, + Vo, ® Vo3] + (yl. 3-32)
+ у div [x^o, ® Vo,] - V?4 = 0.
Показать, далее, что 04 = 0, и преобразовать C2J к виду
ц0Л Д<74 — б (Vo,I • V div [(Vo,J Vo,], (VI. 3-33)
где
! a2)(p2 + p3)- (VI. 3-34)
§ 3 ГЛ. VI. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 25!
Наконец, показать, что для жидкости четвертого порядка условие 6 = 0 не-
необходимо и достаточно для того, чтобы она могла совершать прямолинейное
течение при любой форме сечения зФ.
Поскольку C3) представляет собой неоднородное бигармо-
ническое уравнение относительно дч, оно имеет единственное ре-
решение, определяемое правой частью, т. е. навье-стоксовой ско-
скоростью v\ и константой б, представляющей собой определенную
комбинацию 9 из 14 вязкостей порядков 1, 2, 3 и 4. Если не
считать жидкостей, для которых 6 = 0, или сечений, для кото-
которых (Vt),)-1 • V div[(Vi>,J Vi>,] = 0, то решение qt уравнения C3)
не обращается тождественно в нуль. Поэтому в общем случае
вторичное течение появляется на четвертом шаге описанного
здесь процесса разложения. Результат при этоьг имеет вид
х = (aVl + a*v3) к + аЦЧд.У + О (а5), (VI. 3-35)
где функции v\, v$ и Ц\ однозначно определяются сечением s4-
и вязкостями порядков с первого по четвертый, причем ни одна
из этих функций не обращается тождественно в нуль, разве
только для специальных, течений или специальных жидко-
жидкостей.
Использованный нами процесс дает на каждом шаге един-
единственное решение. Для некоторых весьма специальных видов
жидкостей, как мы видели, процесс кончается после некоторого
конечного числа шагов и дает для них, таким образом, точное
решение задачи. Из метода решения ясно, что это решение —
единственное в классе многочленов по а, но остается еще воз-
возможность, что есть другие решения той же краевой задачи, не
представимые в виде многочленов.
Это замечание нелишне даже для случая навье-стоксовой
жидкости, поскольку многие, опираясь на экспериментальные
данные, полагают, что для больших а кроме классического
стационарного решения должно быть бесконечно много неста-
нестационарных решений. В настоящее время математического до-
доказательства этой гипотезы нет. Еще труднее, естественно, эта
проблема для жидкости общего вида, поскольку нет причин
ожидать, что формальные ряды по степеням а обрываются, и
нет доказательства, что они сходятся для некоторого интервала
значений а или в каком-либо смысле представляют собой ре-
решение задачи.
При любой попытке точного изучения механики сплошной
среды возникают математические трудности самого высокого
порядка, и удивительно не то, сколь немногие задачи получили
убедительное решение, а то, что вообще хоть некоторые из них
были решены.
252 ЧАСТЬ 2. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИ $ 4
§ 4. Вторичное течение в прямой трубе.
Обсуждение вопроса
Как мы отметили в начале 4-го шага, вторичное течение
возникает даже в жидкостях 3-го порядка, если Рг + Рз Ф 0.
поскольку при Yi = Y2 = Y3 = Y4 = Y5 = Y6 = ° (VI. 3-34) дает,
вообще говоря, ненулевое значение для б и потому в случае
сечения общего вида не обращающуюся в нуль функцию вида
<74- Единственное исключение составляют случаи, когда
2«i .+ «2 = 0 или Рг + рз == 0. В первом для жидкости второго
порядка в силу (VI. 1-24J имеем О\ = 0; во втором в силу
(VI. 1-24) 1 ц = цо и О[ пропорционально х2. В обоих этих слу-
случаях выполняется специальное соотношение (V. 5-22), так что
возможно прямолинейное движение. Однако в общем случае
соотношение (VI.3-35), если в нем О(а5) и у заменить нулями,
не дает точного решения.
Возвращаясь вновь к общим результатам предыдущего па-
параграфа, верным с точностью до членов О (а5) в формальных
рядах, мы видим, что несмотря на то, что вычисления были
длинными, результаты получились простые. Первый член Vi —
это поле скоростей для жидкости Навье — Стокса, однозначно
определяемое как решение уравнения Пуассона (VI. 3-8) i при
граничном условии vi = О на ds&. Имея V\, мы легко можем
определить и3 из уравнения Пуассона (VI. 3-23) 1 с граничным
условием у3 = 0 на дзФ. Если, однако, нас интересует только
вторичное течение, то мы можем перейти непосредственно к
полю скоростей и4, функция тока которого получается как ре-
решение неоднородного бигармонического уравнения (VI. 3-33) с
граничными условиями цц = О, dnq4 = 0 на ds?.
Пусть у„ о3и ^4 —решение для жидкости с цо = 1, Рг + Эз = 1.
6= 1 в некоторой системе единиц. Тогда решение для жидкости
с 14 произвольными вязкостями ц0, а,, а2, Р,, Рг> Рз> Yi> Y2 Ye
дается формулами
U h±p Л (VI. 4-1)
1*0 1*0 1*0
Картина линий тока вторичного течения дается кривыми q^ =
= const. Поскольку они совпадают с линиями q\ = const, кар-
картина вторичного течения одинакова для всех жидкостей с
Ноб Ф 0. Из (VI. 3-35) ясно, что течение имеет в общем случае
винтовой характер, при котором частицы движутся вдоль трубы
по траекториям, напоминающим спирали. В отличие от картины
вторичного течения самой по себе, шаг спиралей меняется от
жидкости к жидкости и зависит также от удельной движущей
силы а. То же относится и к распределению скоростей на ли-
§ 4 . ГЛ. VI. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 253
ниях тока и тем усилиям, с которыми труба должна действо-
действовать на жидкость, чтобы поддерживалось течение.
Как мы убедились в § V. 5, стационарное прямолинейное те-
течение жидкости в трубе — это вискозиметрическое течение, но
в общем случае оно невозможно, если не приложены некоторые
неконсервативные массовые силы. В предыдущем анализе опре-
определено с точностью до О{а5) течение, которое действительно
может осуществиться в жидкости п-го порядка, когда на нее дей-
действует одна лишь удельная движущая сила а. Это течение не
является вискозиметрическим. Тем не менее, .как показывают ре-
результаты следующего упражнения, оно полностью определяется
вискозиметрическими функциями жидкости.
Упразднение VI. 4.1. Используя вискозиметрические функции (VI. 1-24)
для жидкости 4-го порядка, показать, что »з — возмущение продольной
скорости — определяется для любого сечения величиной
ц" (О)/2цо, (VI. 4-2)
а величина б, определяющая вторичное течение, дается формулой
5= ' ' ' . . (VI. 4-3)
24 4ц,;, '
Полученные результаты имеют, таким образом, двоякое зна-
значение. Во-первых, картина течения отлична от той, которую
дает теория Навье — Стокса. Во-вторых, для описания возни-
возникающих невискозиметрическнх течений достаточно информации,-
полученной при исследовании вискозиметрических течений.
Конечно, для навье-стоксовой жидкости и для жидкости вто-
второго порядка все течения определяются вискозиметрическои ин-
информацией, и первоначально цель вискозиметрии состояла в
том, чтобы установить полностью природу жидкости и, следо-
следовательно, определить в принципе все течения, которые она мо-
может совершать. Для жидкостей общего вида вторичные течения
в трубах представляют собой тот единственный известный до
сих пор случай, когда результаты экспериментов с вискозимет-
вискозиметрическими течениями позволяют в принципе описать явления,
которые не могут иметь места в вискозиметрических течениях.
Отметим, что функция Сг, не оказывающая никакого влияния
на возможность или невозможность существования прямолиней:
ного течения в случае жидкостей третьего или более высокого
порядка, никак не влияет и на действительно возникающее те-
течение.
Поскольку теория дифференциальных уравнений в частных
производных, с которыми мы столкнулись на последовательных
этапах расчета, достаточно общеизвестна, мы вправе после про-
проведенного исследования считать проблему расчета вторичных
254 ЧАСТЬ 2. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИ § «
течений в теории жидкостей n-го порядка разрешенной с точ-
точностью до членов О (а5). Наши результаты можно проиллюстри-
проиллюстрировать на примере течения в эллиптической трубе. Выше уже
было получено навье-стоксово решение, см. (V. 5-24); для Vi
оно дает
(VI. 4-4)
Упражнение VI. 4.2. (Грии & Ривлин). Показать, что для эллиптической
трубы соотношение (VI. 3-33) принимает внд
;,р *У- (VL 4-5)
Вывести отсюда, что функцией тока вторичного течения служит
_ б 1хг уг Л2
Но [с2 Ь2
где
с2 - Ьг)
4 (с2 + *2K Eс4 + 6с262 + 564) '
(VI. 4-7)
Часто выдвигается возражение, что методы возмущений на
самом деле мало проясняют существо вопроса, ибо, поскольку
они никогда не отходят далеко от того, что было известно ра-
ранее, они могут описывать лишь ситуации, в существенном сов-
совпадающие с классическими. Задача о вторичном течении в пря-
прямой трубе служит одним из немногих примеров, когда метод
возмущений дал нечто действительно новое. Правда, при а—*О
результирующее поле скоростей стремится к классическому.
Однако наличие стационарной компоненты скорости (сколь бы
малой она ни была), нормальной к направлению основного по-
потока, порождает винтовые линии тока. Поэтому нельзя сделать
положения частиц жидкости сколь угодно близкими к класси-
классическим положениям, делая а произвольно малым. Правда, чем
меньше а,- тем на большей длине трубы нужно следить за ча-
частицей, чтобы установить отличие от результатов классической
теории, но если мы будем смотреть в бесконечную трубу, то
увидим проекции линий тока в виде замкнутых кривых, не за-
зависящих от а.
Большинство наиболее впечатляющих проявлений «нелиней-
«нелинейной вязкоспи» было впервые обнаружено на опыте, а позднее
оказалось, что их более или менее легко охватить любой доста-
достаточно общей теорией. Эриксеновское вторичное течение в не-
некруглых трубах— самое важное из явлений, которые были пред-
предсказаны теоретически прежде, чем были обнаружены экспе-
экспериментально.
i 8 v ГЛ. VI. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 255
§ 5. Нестационарное прямолинейное течение
несжимаемой жидкости второго порядка
Рассмотрим теперь некоторые зависящие от времени сдвиго-
сдвиговые течения несжимаемой жидкости второго порядка, опреде-
определяющее соотношение которой имеет вид (VI. 1-19), где ц, а\
и «2 — постоянные. Конечно, мы будем предполагать, что сдви-
сдвиговая вязкость ц положительна. На характер решений оказы-
оказывает большое влияние знак коэффициента а\. Есть серьезные
основания принять предположение, что
, а,<0. (VI. 5-1)
При интерпретации результатов мы будем считать, что это не-
неравенство выполняется. В предельном случае теории Навье —
Стокса «i = 0.
Заметим, что —«i/|i. имеет размерность времени. Таким об-
образом, можно ожидать, что у жидкости второго порядка будет
как-то проявляться наличие собственного временного масшта-
масштаба. И действительно, в тех специальных течениях, которые мы
сейчас рассмотрим, проявятся некоторые эффекты существова-
существования такого собственного времени. Конечно, эти эффекты должны
исчезать в частном случае теории Навье — Стокса, поскольку
в этой теории нет никакого характеризующего материал пара-
параметра, имеющего размерность времени.
Рассмотрим поле скоростей нестационарного сдвигового те-
течения
х, = 0, x2 = v{xl,t), x3 = Q. (VI. 5-2)
Это течение можно рассматривать как движение жидкости
между двумя параллельными пластинками Xi = const, которые
как-то движутся параллельно друг другу. Предполагается, что
на пластинках выполняется условие прилипания. Подстановка
этого поля скоростей в (VI. 1-19) с последующей подстановкой
в уравнение первого закона Коши (III. 5-1) приводит к следую-
следующему линейному дифференциальному уравнению относительно
v(x, t) (мы пишем х вместо х{)\
V&xv + afipiv + с (t) = pdtv. (VI. 5-3)
Упражнение VI. 5.1 (Колеман & Нолл, Тинг). Проверить этот результат.
Дать интерпретацию c(t) как движущей силы.
Коэффициент осг в C) не входит. Если «i = 0, то уравне-
уравнение C) сводится к уравнению теплопроводности с источником
c(t), точно так же, как и для жидкости Навье — Стокса, в тео-
теории которой сдвиговые течения вида B) занимают важное
место как один из немногих классов течений, для которых легко
находятся точные решения. Эти решения важны для иллюстра-
иллюстрации процессов зарождения, роста и распада пограничного слоя
256 ЧАСТЬ 2. НЁКОТ ОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДЕ ОДИИАмИКИ §Ь
на плоской поверхности. Для жидкости второго порядка с а\ ф
ФО поле скоростей v(x,t) отличается от того, которое полу-
получается из уравнений Навье —Стокса. Более того, мы уже
должны решать уравнение не второго, а третьего порядка; мож-
можно ожидать, что оно имеет более широкий класс решений.
Марковиц и Колеман заметили, что частным решением урав-
уравнения C) является
v = Ve~ax cos(at-bx), (VI. 5-4)
где
' + i2/ v 2аЛуТТ? i + i2/'
(VI. 5-5)
здесь | 2= aico/ц., и вторая запись в каждом из случаев приме-
применима тогда и только тогда, когда ai ф 0. Можно считать, что
это решение описывает стоячую гармоническую волну,- возбу-
возбуждаемую колеблющейся бесконечно плоской пластинкой х = 0
в жидкости, заполняющей полупространство х^Ои прилипаю-
прилипающей к пластинке. Если ai = 0, то
Это результат теории Навье — Стокса: коэффициент погло-
поглощения о и коэффициенту фазового сдвига Ь равны между собой
и пропорциональны У©, так что чем выше частота колебаний,
тем слабее волны на больших расстояниях от приводящей жид-
жидкость в движение пластинки.
Если же ai <! 0, то поведение жидкости оказывается совер-
совершенно иным.
Упражнение VbS.2 (Трусделл). Проверить соотношение E) и показать,
что при | = — 1/У коэффициеит поглощения достигает максимума
«Lx-^gib (VI-5)
после чего спадает до нуля. Показать, что соответствующая частота a>crit
-
связана с ац,ах следующим образом:
и что максимальная скорость сдвига определяется соотношением
V V*TV - V i f——J^Trrf. (VI. 5-9)
§ 6 ГЛ. V!. HEkOTOt>btE ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 25?
Результаты этого упражнения показывают, что ввиду нали-
наличия ненулевого значения ai появляется критическая частота
cocrit, которой нет в теории Навье — Стокса. По сравнению с
навье-стоксовой жидкостью той же сдвиговой вязкости ц, жид-
жидкость второго порядка испытывает меньший сдвиг при том же
возбуждении, но зато сдвиговое движение, которое возникает,
распространяется в удаленные части жидкости с меньшим за-
затуханием.
Колеман, Даффин и Мизел обнаружили, что все сдвиговые
течения жидкости второго порядка, для которой выполняется
неравенство A), неустойчивы в смысле, который мы сейчас
разъясним. Мы рассмотрим только случай, когда c(t) = 0.
Заметим сперва, что функция специального вида
v = Aea^siu-~x, (VI. 5-10)
где
".= ' /'"'"' .,!,. (VI. 6-11)
•есть решение уравнения C), обращающееся в нуль на плоско-
плоскостях х = 0 и х = d и не ограниченное при t —>• со, при усло-
условии, что ¦
Это решение описывает нарастающие колебания жидкости,
заключенной между двумя параллельными неподвижными стен-
стенками х = 0 и х = d.
Пусть теперь v(x,t)—ограниченное решение уравнения C)
для канала 0 ^ х ^ d для всех времен L Положим
o* = t) + eA'sin-^-x. (VI. 5-13)
Тогда v* также является решением уравнения C), причем
\v*(x, 0)-v{x, 0)|<e. ' (VI. 5-14)
Далее, решение v*(x, t) неограничено при t—*oo. Следователь-
Следовательно, если для жидкости, заключенной между двумя неподвиж-
неподвижными пластинками х = 0 и х = Й, для некоторого начального
распределения скоростей v(x, 0) существует ограниченное ре-
решение v(x, t), то для другого начального поля скоростей v*(x, 0),
отличающегося от v(x, 0) на произвольно малую величину, су-
существует бесконечно много неограниченных решений. В этом
смысле внутреннее трение, присущее жидкости второго порядка,
может не гасить, а усиливать колебания^
9 Трусделл
258 . ЧАСТЬ 2. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИ " § 5
Из только что доказанной теоремы о неустойчивости ясно,
что жидкость второго порядка не дает хорошей модели для опи-
описания общего поведения реальных жидкостей. Тем не менее,
мы привели доводы в пользу того, что жидкость второго порядка
можно рассматривать как улучшенную (в смысле последова-
последовательных приближений) модель по сравнению с моделью навье-
стоксовой жидкости. Как это согласовать?
На самом деле здесь нет противоречия. Теория Навье —
Стокса появляется на первом этапе построения приближенных
решений для замедленных движений. Кроме того, на протяже-
протяжении вот уже более века она дает прекрасные результаты для
многих (хотя и не для всех) физических жидкостей. Для мед-
медленных течений, в пределе, модель жидкости второго порядка
обеспечивает лучшее приближение, чем модель Навье — Стокса.
Но этот факт не дает никаких оснований для того, чтобы счи-
считать, что она дает лучшее приближение для течений общего
вида.
Во-первых, возможно, что для некоторых частных физиче-
физических жидкостей теория Навье—Стокса в действительности яв-
является точной. Тогда а\ = аг = 0, и приведенные выше возра-
возражения против модели жидкости второго порядка отпадают. Од-
Однако объяснение такого рода опирается на гипотезы относи-
относительно результатов эксперимента и потому не может прини-
приниматься всерьез.
Во-вторых, использованная формальная процедура построе-
построения приближений относится лишь к определяющему соотно-
соотношению самому по себе и не дает никаких обоснований вытекаю-
вытекающим из него дифференциальным уравнениям движения. Если
разность а(х)—Ь(х) мала, то это не означает еще, что мала
разность а'(х)— Ь'(х) (если бы это было так, то на основании
того факта, что отец выше сына, мы могли бы заключить, что он
и растет быстрее). И обратно, малые члены в дифференциаль-
дифференциальном уравнении не обязательно оказывают малое влияние на
решение.
В-третьих, процесс построения приближений путем разложе-
разложения в ряды часто приводит к появлению последующих членов,
которые дают лучшее приближение в некотором узком диапа-
диапазоне ценой ухудшения приближения в широком диапазоне. На-
Например, у касательной в данной точке к монотонной дифферен-
дифференцируемой функции с самой функцией то общее свойство, что
она также монотонна. В каждой своей точке касательная со-
сохраняет это главное свойство аппроксимируемой функции, хотя
ошибка аппроксимации может быть большой. Второе прибли-
приближение по Тейлору — парабола, — конечно, лучшее, чем каса-
касательная, вблизи точки аппроксимации, но на удалении от нее
намного хуже, даже другого знака либо при +оо, либо при
$ 5 ГЛ. VI. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 259
—со. Аналогичным образом, любая пара прямых у = k, |A;|<1,
достаточно хорошо аппроксимирует функцию y = s\nx\ не-
несмотря на то, что только две из них касаются хотя где-либо
этой кривой, все они сохраняют два из основных ее свойств,
а именно периодичность с тем же самым периодом (среди всех
прочих) и ограниченность с теми же границами сверху и снизу.
Никакое полиномиальное приближение и, следовательно, ника-
никакое конечное число членов в тейлоровском приближении не об-
обладают ни одним из этих свойств. Эти примеры показывают,
что в неограниченных областях грубое первое приближение мо-
может давать лучшую общую картину, чем любое приближение
более высокого порядка, каким бы совершенным ни было оно
вблизи некоторой отдельной точки.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
(работы общего характера)
NFTM, §§ 120—123.
W. E. Langlois & R. S. Rivlin, Slow steady-state flow of visco-elastic fluids
through non-circular tubes, Rendiconti di Mat., 22 A963), 169—185.
A. С Pipkin & R. S. RivHn, Normal stresses in flow through tubes of non.
. circular cross-sections, Z. Angew. Math. Phys., 14 A963), 738—742;
T. W. Ting, Certain non-steady flows of second-order fluids, Arch, Rational
Mech. Anal., 14 A963), 1—26.
H. Markowitz & B. D. Coleman, Incompressible second-order fluids, Advances
in Appl. Mech., 8 A964), 69—101.
H. Jftarkovitz & B. D. Coleman, Nonsteady helical flows of second-order fluids,
Physics of Fluids, 7 A964), 833—841.
С Truesdeil, Natural time of a visco-elastic fluids: its significance and measu-
measurement, Physics of Fluids, 7 A964), 1134—1142.
B. D. Coleman, F. J. Daffin & V. J. Mfzel, Instability, uniqueness and non-
existence theorems for the equation щ = uxx —и*»* on a strip, Arch.
Rational Mech. Anal., 19 A965), 100—116.
Часть 3
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Глава VII
УПРУГИЕ МАТЕРИАЛЫ
§ 1. Определение упругого материала и упругого тела
Если материал покоится и все время находился в состоянии
покоя, то предыстория деформации постоянна для каждого те-
тела-точки:
F'(X; s) = F(X). (VII. 1-1)
Следовательно, в этом классе предыстории все, что опреде-
определяется с помощью F', определяется и с помощью F. В частности,
определяющее соотношение (IV. 3-1) простого материала сво-
сводится к следующему:
' T = 9ii(F, X), (VII. 1-2)
где функция &,(-, X), отображающая обратимые тензоры на
симметричные тензоры, представляет собой реакцию материала
по отношению к конфигурации х. Материал, определяющее со-
соотношение которого имеет вид B) для любых предыстории де-
деформации, а не только для предыстории, относящихся к со-
состоянию покоя, называется упругим. В таком материале на-
напряжения в каждом теле-точке однозначно определяются теку-
текущей деформацией относительно произвольной фиксированной
отсчетной конфигурации.
Сказанное означает, что класс простых материалов неотли-
неотличим от класса упругих материалов с помощью статических экс-
экспериментов. Иначе говоря, статическая теория упругости — это
одновременно статика простых материалов (статика здесь рас-
рассматривается как частный случай динамики, а не как независи-
независимая дисциплина).
Тело, все точки которого «сделаны» из упругого материала,
называется упругим телом.
Во многих книгах формулируется «принцип Даламбера» как правило по-
получения динамических уравнений из статических посредством добавления
«сил инерции». Что касается рассматриваемого случая, то статические урав-
§ I ГЛ. VII. УПРУГИЕ МАТЕРИАЛЫ 261
нения для любого простого материала имеют вид div вх + рЬ = 0. Добавле*
ние «сил инерции» дает div вж -j-pb = px. Эти динамические уравнения спра-
справедливы только для упругих материалов. Если бы был верен этот популяр-
популярный «принцип Даламбера», то все простые материалы должны были бы быть
упругими и ие могли бы существовать такие вещи, как материалы с па-
памятью. В частности, всякая жидкость была бы упругой и даже теории
Навье — Стокса была бы запрещена этим «законом» механики.
В определении B) используется конкретная отсчетная кон-
конфигурация к, однако любая другая конфигурация дала бы то же
самое. В самом деле, применяя (IV. 3-3) к случаю упругого
материала, мы видим, что
9XJ(F, X)-e.,(FP. X), (VII. 1-3)
где Р.— градиент деформации, которая отображает конфигура-
конфигурацию х, в и2. Поскольку Р есть заданная функция от X, опре-
определение упругого материала, хотя на первый взгляд в нем су-
существенно используется конкретная отсчетная конфигурация,
на самом деле не зависит от нее. Действительно, как показы-
показывает C), реакция упругого материала различна при различных
выборах к, однако если известно поведение упругого материала
относительно одной отсчетной конфигурации, то его поведение
относительно любой другой конфигурации явно определяется
правилом C).
Аналогично для несжимаемых упругих материалов имеем
JdetFj-1, (VII. 1-4)
где, как обычно в дальнейшем, в том числе и для упругих тел
без внутренних связей, аргумент X и нижний индекс я опу-
опускаются.
Как мы показали в § IV, 4, определяющее соотношение B)
удовлетворяет принципу материальной независимости от си-
системы отсчета тогда и только тогда, когда оно приводится к виду
(IV. 4-2)
Таким образом, реакция упругого материала на произвольные
деформации однозначно определяется его реакцией на одни
только чистые деформации и влияние поворота R на напряже-
напряжения явно выделено.
Хотя верно, конечно, что приведенная форма B) является лишь частным
случаем приведенной формы, полученной ранее для произвольных простых
материалов, ее можно- также получить с помощью простого непосредствен-
непосредственного привлечения некоего «принципа инвариантности», являющегося частным
случаем принципа материальной независимости от системы отсчета. В самом
деле, как читатель легко проверит, для того, чтобы быть в состоянии вы-
вывести (IV. 4-2) из B), достаточно потребовать, чтобы определяющее соотно-
соотношение было одним и тем же в системах отсчета, ие находящихся в движенца
262 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ $ I
одна относительно другой. Для таких систем отсчета тензор Q в A.9-1I) яи-
ляется постоянным ортогональным тензором. Независимость от системы от-
отсчета в подгруппе не зависящих от времени замен системы отсчета назы-
называется эвклидовой инвариантностью. Представимость в виде (IV. 4-2) необ-
необходима и. достаточна для того, чтобы определяющее соотношение B) было
эвклидово-иивариаитным.
При решении конкретных задач полезны и другие приведен-
приведенные формы, конечно, эквивалентные B); некоторые из них мы
будем выводить по мере надобности.
Упругий материал, подобно любому другому, может быть
твердым телом или жидким кристаллом. Если он изотропен, но
не является твердым телом, то, разумеется, он представляет
собой жидкость. Как мы показали в § IV. 4, определяющее урав-
уравнение упругой жидкости имеет вид
Т—-р(рI, (IV. 4-4)
в то время как для несжимаемой упругой жидкости, как мы
показали в § IV. 7,
Т = -/>1, (IV. 7-12)
где р не определяется деформацией. Упругие жидкости интен-
интенсивно изучают в гидродинамике, аэродинамике, метеорологии,
океанологии, геофизике и космологии. Несмотря на большую
важность этих жидкостей для инженеров во многих конкрет-
конкретных приложениях, они слишком специальны, чтобы представ-
представлять интерес для этой книги, разве что мы будем использовать
их время от времени для иллюстрации общих принципов.
Конфигурация, свободная от напряжений, называется есте-
естественной конфигурацией. Если такая конфигурация существует,
то ее можно использовать в качестве отсчетной, так что
9A) = 0. (VII. 1-5)
В приложениях, относящихся к твердым телам, принято счи-
считать, хотя часто это и не обязательно, что упругий материал
действительно имеет естественную конфигурацию. С другой сто-
стороны, в механике жидкости обычно принимаются такие пред-
предположения, которые обеспечивают выполнение неравенства
/>(р)>0 при р>0. Из (II.5-4) видно, что если р^О для
некоторой отсчетной конфигурации х, то р ф 0 для любой кон-
конфигурации, которую можно получить гладкой деформацией кон-
конфигурации х. Следовательно, такие жидкости не имеют есте-
естественной конфигурации. В этой книге мы не будем предпола-
предполагать, что материал имеет естественную конфигурацию; все
исключения специально оговариваются.
В дальнейшем в этой книге, если не оговорено противное, мы
будем рассматривать только однородные упругие тела и будем
§ 2 ГЛ. Vtl. УПРУГИЕ МАТЕРИАЛЫ 2бЗ
предполагать, что отсчетная конфигурация а выбрана так, что
она представляет собой однородную конфигурацию данного
тела. Таким образом, функции, обозначенные через 9 или %х,
являются функциями одного только F.
В теории упругости принято использовать слово «деформация» (strain)
лишь для описания нежестких деформаций') тела и говорить о «малой» или
«бесконечно малой» деформации (strain), когда теизор F в некотором смысле
близок к 1, а все иные деформации называть «большими» или «конечными».
В § IX. 1 мы придадим точный смысл терминам «бесконечно малая дефор-
деформация» (deformation) и «бесконечно малый тензор деформации» (deforma-
(deformation). Как мы уже замечали на стр. 87, иногда мы будем употреблять слово
«деформация» (stram), может быть с эпитетами «большая» или «малая», и
в нестрогом разговорном смысле.
§ 2. Дифференциальные уравнения
и граничные условия в теорий упругости
В задачах, относящихся к нежидким упругим материалам,
часто полезно вести описание с начала до конца по отношению
к некоторой одной отсчетной конфигурации. Имея это в виду,
запишем результирующую контактную силу, действующую на
х(^), в виде интеграла от вектора усилии U по границе дх(!Р)
тела 9* относительно отсчетной конфигурации х:
= J tdA= J ЫЛ; (VII. 2-1)
мы опускаем в обозначениях время t.
Таким образом, вектор tx параллелен вектору t, не его ве-
величина устанавливается в соответствии с локальным изменением
площади:
где обозначения относятся к местам, соотносимым друг другу
деформацией: х=хх (X). На основании фундаментальной теоремы
Коши (III. 3-1) существует тензор Т„(Х), такой, что
-.-g^-Tii, (VII. 2-3)
где п* — единичный вектор внешней нормали к ди(^) в X.
Упражнение VII. 2.1. Пользуясь теоремами дифференциальной геометрии
показать, что
') То есть деформаций, градиент которых отличен от единичного тен-
тензора. — Прим. ред.
264 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОЕИИ УПЕУГОСТИ §2
Результат этого упражнения показыаает, что
T. = /T(f-1)T. T = /-'TXFT. (VII. 2-5)
Тензор Т* называется тензором напряжений Пиолы.
Можно предпочесть просто определить Т„ формально с по-
помощью E) 1 и затем проверить, что B) выполняется и тем оправ-
оправдать определение. Этот метод, несмотря на то что его непросто
мотивировать, имеет то преимущество, что позволяет избежать
повторного обращения к фундаментальной теореме Коши.
Хотя тензоры Т и Т« оба служат для определения усилий,
действующих на каждую часть тела, ни один из них не опре-
определяет другой, пока не указан градиент F деформации от конфи-
конфигурации х к текущей конфигурации %к. Тензор напряжений
Коши Т полностью выражает текущие усилия и только их, а тен-
тензор напряжений Пиолы Т* выражает те же самые усилия,
только когда задан градиент F.
Упражнение VII. 2.2. Доказать, что законы Коши (III. 5-1) и (III. 5-4) в
терминах тензора Тх принимают следующий вид:
DlvT.+ p.b-pA. -Гх?т = (Тх?у, (VII. 2-6)
Где прописное «D» в «Div» служит для того, чтобы напоминать, что здесь Тя
рассматривается как функция от X и /. Дифференциальное уравнение F)|
должно удовлетворяться внутри отсчетной конфигурации х(&); предпола-
предполагается, что определяющее уравнение материала таково, что F) 2 удовлетво-
удовлетворяется тождественно.
В терминах тензора напряжений Пиолы определяющее урав-
уравнение (VII. 1-2) упругого материала принимает вид
TX = ^(F.X) = ^(F). (VII. 2-7)
где во втором выражении мы опускаем в записи и и X. Функ-
Функциональное уравнение (IV. 4-3), выражающее независимость от
системы отсчета, переходит в уравнение
$(QF) = Q5(F), .(VII. 2-8)
которое должно выполняться для произвольных ортогональ-
ортогональных Q и произвольных обратимых F.
Подстановка определяющего уравнения G) в F) дает диф-
дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет деформация
X* упругого материала во всех внутренних точках X конфигу-
конфигурации х(&);
Div f> (F, X) + ряЬ-рх. (VII. 2-9)
§ 2 ГЛ. Vir. УПРУГИЕ МАТЕРИАЛЫ 265
Более явным образом, пусть координатная запись G) соотно-
соотношения имеет вид
ft4 (VII. 2-10)
Положим
Am\fisadF^ ИЛИ ( )^(),
Р (VII.2-11)
Тензор четвертого ранга А называется тензором упругости рас-
рассматриваемого упругого материала. Так как F^ = <Эхр%* {X6, t)=a
= Хк,р, то координатная запись уравнения (9) имеет вид
VX.:p + *» + PA. = ftiL, (VII. 2-12)
где 5Й.о-р обозначает вторую ковариантную производную1).
Если используются прямоугольные декартовы координаты, то
xUB = aA«xW'')- (VII. 2-13)
Для однородного тела qm — 0. В дальнейшем мы будем рас-
рассматривать только однородные тела и будем записывать A2)
в сокращенном виде
llb = pill. (VII. 2-14)
Читатель, конечно, будет помнить, что оператор А, как это ясно
из A1), является сам функцией от F и X и что он зависит также
от выбора х. Уравнение, которое мы записали в различных фор-
формах (9), A2) и A4), известно как общее дифференциальное
уравнение теории упругости.
Обратимся теперь к граничным условиям, которым, как
можно ожидать, удовлетворяет решение общего дифференциаль-
дифференциального уравнения. Задание места х, в которое переходит при де-
деформации граничная точка X конфигурации х, составляет гра-
граничное условие для перемещений:
ХХ(Х, t) = (заданная функция от X и /) при Хе^,сй«(^).
(VII. 2-15)
Труднее сформулировать соответствующее граничное условие
для усилий. Мы хотим найти деформацию, вызываемую прило-
приложением заданных сил к данному телу в конфигурации х. Бес-
') Вторая ковариантная производная х?, „• р есть тензор третьего ранга,
который в прямоугольных декартовых координатах имеет вид A3). Подроб-
Подробности, которые в этой книге ие понадобятся, изучающий может найти в
CFT, § Арр. 20.
266 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 2
смысленно указывать усилия, действующие на днC8) в ее теку*
щей конфигурации д%^C$), поскольку сама эта конфигурация
Хх> вообще говоря, неизвестна. Если мы просто укажем усилия,
действующие на границе ду,{38) в отсчетной конфигурации для
38, то произведенная деформация в общем случа« сместит точку
приложения усилия и исказит поверхность, так что такое ука-
указание может не отвечать никакому реальному ¦ представлению
о приложении заданных сил. Обычно берут такое граничное
условие для усилий:
$x(F, Х)пж = (заданная функция от X и t) при X е ^2 с дх (&),
(VII-2-16)
где п„ — внешняя нормаль к дх(&) в X. В этом условии, пред-
предписывающем усилия tx, выражена стратегия постановки четко
определенной граничной задачи. Этим граничным условием, со-
согласно B), определяется направление усилия t в том неизвест-
неизвестном месте, куда X отображается при деформации, но не его
величина, которая зависит от неизвестного изменения площади,
вызываемого деформацией. Для того чтобы наглядно предста-
представить себе, как работает это условие, предположим, что задан-
заданные усилия действуют на дхC§) и что в процессе деформации
направления этих усилий сохраняются неизменными, но их ве-
величины изменяются в отношении dA(\)/dA(x). Это и будет за-
заданная сила, действующая на единицу начальной площади.
Хотя могут представлять интерес другие граничные условия,
мы не будем их рассматривать в этой книге.
Типичная статическая граничная задача классического типа
заключается в нахождении решения хх уравнения A4), в случае,
когда х(Л) — данное множество тел-точек X, А — заданная
функция обоих своих аргументов, Ьх и рх — заданные функции
от X на и($), когда дн(!Я) = 9'1 и^2 и когда должны удовле-
удовлетворяться граничные условия A5) и A6) с независящими от
времени граничными данными.
В типичной динамической граничной задаче с начальными
данными классического типа задаются вдобавок к указанным
выше граничным условиям начальные положения и скорости
каждого тела-точки. Обычно само X берется в качестве началь-
начального положения тела-точки X и %(Х, 0) задается для всех
Хек (J).
Дифференциальные уравнения A4) и граничные условия
A5) и A6) известны в принципе с середины прошлого столетия
и во всех деталях с конца его, но их очевидная сложность при-
приводила к тому, что до недавнего времени все попытки их стро-
строгого исследования оканчивались неудачей. Хотя теория упруго*
§3 ГЛ. VII. УПРУГИЕ МАТЕРИАЛЫ 267
сти является действительно классической теорией, большинство
относящихся к ней основных теорем было получено в последние
двадцать лет.
§ 3. Неединственность решения в общем случае.
Существование и единственность решений
для малых нагрузок и смещений
В настоящее время в теорнн упругости неизвестна какая бы
то ни было общая теорема единственности.
Несомненно, что без каких-либо ограничений никакое утвер-
утверждение о единственности не может быть справедливо. Рассмот-
Рассмотрим, например, упругий материал, заключенный между двумя
концентрическими цилиндрами. Оставляя внутреннюю цилинд-
цилиндрическую границу неподвижной, повернем внешнюю границу
против часовой стрелки на 180°, так что каждая точка на этой
границе перейдет в диаметрально противоположную. Можно
ожидать, что при этом материал, заключенный внутри, подверг-
подвергнется некоторой гладкой деформации. Если бы вместо этого
тот же самый поворот границы был сделан по часовой стрелке,
то точки внешней границы испытали бы то же самое смещение,
однако внутренние точки, будучи вытягиваемы но часовой
стрелке, а не против, испытали бы, конечно, отличное от пре-
предыдущего смещение. Более общим образом, если мы рассмотрим
граничные значения XxW> соответствующие телу-точке X, рас-
расположенному на внешнем цилиндре, которые получаются в ре-
результате поворота на угол 6, то увидим, что поворотам на углы
6 + 2яп, где п — любое целое число, соответствуют одни и те
же граничные значения, в то время как значения УЖ(Х) в слу-
случае, когда X — внутренняя точка, должны сильно зависеть от п.
Подобный пример легко строится и со сферической оболочкой.
Нельзя ожидать, что какая бы то ни было разумная теория упру-
упругости будет давать единственное решение такой статической
граничной задачи с заданными перемещениями.
Переходя теперь к статической граничной задаче с задан-
заданными усилиями, рассмотрим чашу в виде полусферы, сделанную
из изотропного упругого материала, в ее естественной конфигу-
конфигурации. На краях чаши, равно как и. на обеих полусферических
ее границах усилия равны нулю. Опыт учнт нас, что такую
чашу, если она имеет не очень толстые стенкн, можно вывернуть
наизнанку и она будет оставаться в этой вывернутой форме
прн отсутствии каких бы то нн было усилий на всей ее границе,
несмотря на то что внутренние напряжения уже будут, суще-
существовать. Никакая хорошая теория упругости конечных дефор-
деформаций не должна исключать такое выворачивание. Фактически
268 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ §3
одна из центральных задач как раз и заключается в том, чтобы
вычислить вывернутую форму согласно теории. Следовательно,
требование единственности при любых условиях решения стати-
статической граничной задачи с заданными усилиями представляется
нежелательным.
Такая точка зрения может быть подкреплена другим при-
примером.' Мы действительно ожидаем единственности в одном
случае, а именно при однородном растяжении или сжатии
стержня, подвергнутого одноосному нагружению растягиваю-
растягивающими напряжениями t или давлением —t. Однако, согласно
(VII. 2-16), в граничной задаче с заданными усилиями за-
задаются не эти усилия t, а усилия tx на единицу площади в от-
счетной конфигурации х. Пусть растягивающие усилия tx дей-
действуют наружу по плоским торцам стержня в конфигурации и.
Существуют две различные деформированные конфигурации %к,
соответствующие поставленному условию. В одной из них уси-
усилия tx по-прежнему действуют во внешние стороны, как рас-
растягивающие, на деформированные торцы; в другой — торцы
поменялись местами после поворота стержня на угол 180°, и,
поскольку направления усилий фиксированы, усилия стали сжи-
сжимающими. Актуальные усилия t различны в этих двух случаях,
поскольку в одном случае площадь торцов будет уменьшаться,
а в другом — увеличиваться. Мы ожидаем, что каждая из этих
задач должна иметь в точности одно однородное1) решение.
Кроме того, классическая теория продольного изгиба стержней
заставляет нас ожидать, что если tx достаточно велико, то наша
задача должна иметь еще и неоднородные решения, соответ-
соответствующие сжатию. Наконец, явление образования шейки наво-
наводит на мысль, что могут быть также неоднородные решения,
соответствующие достаточно большим растягивающим усилиям.
Эти примеры показывают, что мы не можем в общем случае
ожидать единственности решения типичной граничной задачи
классического типа. С другой стороны, в некоторых случаях
единственности следует ожидать. Например, если заданные
функции tx и 1» в соответствующих частях границы дх(ЗВ)
всюду достаточно малы, то надо ожидать, что существует самое
большее одно решение, для которого всюду [F—1| соответ-
соответственно мало. Таким образом, следует полагать, что должна
быть одна и только одна форма упругого тела при условии, что
на егр границе заданы небольшие нагрузки или смещения. Ана-
Аналогично решение типичной граничной задачи, если оно суще-
существует, должно быть локально единственным в том смысле, что
не должно существовать никакого другого всюду близкого
к нему. ¦ ¦
J) To есть не зависящее от положения сечения стержня, — Прим. ред.
§ 4 ГЛ. VII. УПРУГИЕ МАТЕРИАЛЫ 269
Такого рода общая, но слабая теорема единственности
должна иметь место, однако до сих пор не найдена адекват-
адекватная формулировка такой теоремы, не говоря уже о доказа-
доказательстве.
Одна теорема существования и единственности была дока-
доказана Стоппелли') для специального класса статических гранич-
граничных задач с заданными усилиями. Полагая b и tx фиксирован-
фиксированными функциями положения в х(ЗВ) и дх(<%) соответственно, он
рассматривает массовые силы eb и граничные усилия etx и до-
доказывает, что для достаточно малых е существует единственное
решение, если только нагрузка не имеет оси равновесия. (Если
система сил, эквивалентная 0, может быть повернута на любой
угол относительно некоторой оси и при этом останется эквива-
эквивалентной 0, то эта ось называется осью равновесия. Для такой
системы нагрузок, очевидно, поворот не изменяет напряженного
состояния, и поэтому нельзя ожидать единственности деформа-
деформаций.) Стоппелли доказал, далее, что решение есть аналитиче-
аналитическая функция от е и, следовательно, может быть найдено мето-
методом степенных рядов. Для граничной задачи с заданными пере-
перемещениями соответствующая теорема была получена Ван Бю-
реном2), и притом в более сильной форме, поскольку в его тео-
теореме малое перемещение границы может быть общим, необяза-
необязательно полученным из данного, фиксированного- умножением на
множитель е.
Теоремы Стоппелли и Ван Бюрена выявляют роль статиче-
статической классической теории упругости при бесконечно малых де-
деформациях как приближения для общей теории и способы усо-
усовершенствования этого приближения, но они не проясняют по-
положения в задачах с большими деформациями.
§ 4. Изотропные упругие материалы
Как было показано выше, в общем случае определяющие
соотношения изотропных материалов имеют приведенную форму
(IV. 14-2), при ограничении (IV. 14-3). Применяя эти результаты
•) Основвые его работы: Stoppelli F., Un teorema di esistenza e di unicita
relativo alle equazioni dell'elastostatica isoterma per deformazioni finite, Ri-
cherche di Matematica, 3 A954, 247—267); Sulla sviluppabilita in serie di po-
tenze di un parametro delle soluzioni delle equazioni dell'elastostatica isoterma,
там же 4 A955), 58—73. В более поздних статьях, опубликованных в том же
журнале, Стоппелли рассматривает уточнения теоремы для случая, когда
имеется ось равновесия. Изложение основного случая имеется в IRE (см. ли-
литературу в конце главы), § VII.4. Краткий обзор результатов Стоппелли дан
в NFTM, § 46.
2) См. IRE, § VII. 5, где отмечены ограничения, упущенные Вав Бюреном,
270 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ $ 4
к частному случаю упругого материала, определенного при по-
помощи (VII. 1-2), мы получаем следующую теорему:
Простой материал представляет собой изотропный упругий
материал тогда и только тогда, когда относительно некоторой
отсчетной конфигурации его определяющее соотношение имеет
вид
. (VII. 4-1)
где f удовлетворяет функциональному уравнению
(VII. 4-2)
для всех ортогональных Q и всех симметричных В. Обратно,
если справедливы A) и B), то отсчетная конфигурация яв-
является неискаженной.
Упражнение VII.4.1 (Рихтер), Не обращаясь к общим теоремам § IV. 14,
доказать, что (VII. 1-2) эквивалентно A) и B) тогда и только тогда, когда
упругий материал изотропен и отсчетиая конфигурация неискажена.
Как мы договорились в § IV. 4, функции, удовлетворяю-
удовлетворяющие B), называются изотропными. Мы уже использовали, при-
приведя его без доказательства, представление (IV. 4-11) для част-
частного случая аффинной изотропной функции. Докажем теперь
знаменитую теорему о представлении Ривлина— Эриксена.
Теорема (Ривлин&Эриксен). Функция f (А), значения и ар-
аргументы которой представляют собой симметричные тензоры
над п-мерным векторным пространством, изотропна тогда и
только тогда, когда она имеет представление вида
(pol+cp1A+ ... +фп_1А'-1, (VII. 4-3)
где ф< — изотропные скалярные функции от А:
Ф, (QAQT) = <pt (А). (VII. 4-4)
Доказательство. Следующее доказательство предложено
Серрином и Ноллом. Пусть е—собственный вектор тензора А;
выберем в качестве Q отражение относительно плоскости, нор-
нормальной к е:
Qe = -e, Qf = f, если f-e = O. (VII. 4-5)
Тогда QAQT = A и из C) вытекает, что QDQT = D. Следо-
Следовательно,
Q(De) = D(Qe) = -De, (VII. 4-6)
т. е. Q преобразует De в противоположный вектор. В силу E)
так может быть тогда и только тогда, когда вектор De парал-
параллелен е:
De = de. (VII. 4-7)
ГЛ. VII. УПРУГИЕ МАТЕРИАЛЫ
27!
Таким образом, е. является также собственным вектором тен-
тензора D.
Пусть а\, а2. •••. пт—различные собственные числа тен-
тензора А с соответствующими им единичными собственными-век-
собственными-векторами еь Q2> •••> ет,, т^п. Векторы е* представляют собой
ортонормированные собственные векторы тензора D. Пусть
di — соответствующие им собственные числа, которые не обя-
обязательно должны быть различными. Рассмотрим следующую ли-
линейную систему для величин ф0, фь ..., фщ-ь
(VI 1.4-8)
Определитель этой системы, равный П (я./ — Ok)> отличен
от нуля, поэтому существуют единственные решения фг для
данных drk и ак; например,
т—\
х а, ... а{
...а
-'
(VII. 4-9)
Упражнение VII. 4.2. Используя теорему о спектральном представлении,
показать, что
q>ol+q>,A+ ...
(VII. 4-10)
Поскольку ф,- — функция собственных чисел тензора А и
поскольку QAQT имеет те же самые собственные числа, что
и А, то D) удовлетворяется.
Если собственные числа тензора А все различны, то т = п
и доказательство завершено." Если нет, то мы можем выбрать
Фт = фт+i = . • • = фп-i = 0, и опять доказательство соотно-
соотношения C) завершено, однако этот выбор функций ф,- только
один из возможных: они определены не однозначно. I
Функции ф,- в общем случае не обладают какими бы то ни
было свойствами гладкости, которые может иметь f(A). Ска-
Скажем, если функция f (А) непрерывна, то фг не обязательно будут
непрерывными.
Упражнение VII. 4.3. Доказать, что скалярная функция <р< удовлетворяет
соотношению D) тогда и только тогда, когда
<р = ф. (/ / ... / ), (VII. 4-!!)
272 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 4
где /[, /2, ..., 1п — главные инварианты тензора А, т. е. элементарные снм-
метрнчные функции собственных чисел ait аг ап:
аЛап + а2а3 + ... +а„-1ап=
.. ап = det A.
(В этом упражнении тензор А не обязан быть симметричным; а< обозначают
п корней у, возможно кратных или комплексных, характеристического урав-
уравнения det (А =- г/1) = 0.)
Возвращаясь к теории упругости, мы получаем теорему о
представлении для определяющего уравнения A), отнесенного
к неискаженной конфигурации:
T=NO1+ N,B+N2B2. (VII. 4-13)
В силу уравнения Гамильтона — Кэли В3 — IB2-f- IIB — 1111 = 0,
где I, II и III — главные инварианты тензора В, мы можем
представить A3) в другой форме:
T^aoi+ajB + a-^-1. (vii.4-14)
Коэффициенты реакции Ко ^-i в этих представлениях
являются функциями инвариантов I, II и III.
Эти представления определяющего соотношения были впервые получены
еще Рейиером, хотя важный частный случай был открыт задолго до того
Фингером. Ни одни из этих авторов ие рассматривал функции общего вида
A), и их рассуждения ие были прототипом тех, которые служат для об-
общего доказательства.
Как тривиальные следствия только что доказанного резуль-
результата получаются следующие два утверждения:
В изотропном упругом материале каждая главная ось меры
деформации в % C§, t) есть также главная ось тензора напря-
напряжений. Напряжения в неискаженной конфигурации изотропного
упругого тела всегда гидростатические.
Разумеется, главная ось тензора напряжений в общем слу-
случае может не быть главной осью меры деформации, как по-
показывает пример определяющего соотношения (IV. 4-4) упругой
жидкости.
Из A4) видно, что для того, чтобы некоторая неискажен-
неискаженная конфигурация была и естественной конфигурацией, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты реакции Dr относитель-
относительно этой конфигурации удовлетворяли соотношению
30C, 3, 0 + 3,C, 3, 1) + Э-,C, 3, 1) = 0. (VII. 4-15)
§ 4 ГЛ. VII. УПРУГИЕ МАТЕРИАЛЫ _ 273
Результат предыдущего упражнения показывает, что даже если
одна неискаженная конфигурация представляет собой естествен-
естественную конфигурацию, другие в общем случае не будут таковыми.
Действительно, напряжения в неискаженной конфигурации, по-
полученной в результате объемного расширения с В = k\ из от-
счетной конфигурации, определяются соотношением
Т = Ро Ck, 3k2, k3) + D, Ck, 3k2, k3) + D, Ck, 3k2, k3)] 1, (VII. 4-16)
и нет никаких оснований полагать, что эти напряжения обра-
обращаются в нуль при k ф 1. Пример упругой жидкости с поло-
положительной функцией давления р показывает, что изотропный
упругий материал может не иметь никакой естественной конфи-
конфигурации.
Собственные числа U тензора Т называются главными на-
напряжениями. В изотропном материале, согласно A3), они свя-
связаны с главными растяжениями и,- так:
*,= Ко + -»,0|+Мяз'|@1'1'2.°?). • (VII. 4-17)
где i = 1, 2, 3.
Упражнение VII. 4.4. Три функции ti(v\, v2, v3) неотрицательных аргумен-
аргументов определяют упругий материал при помощи соотношений A7) тогда и
только тогда, когда существует функция ?(|, tj, ?), такая, что
*i = t (»i, v2, v3),
U ='(»!. оз. v,), (VII. 4-18)
h = t (и3, vi, v2).
Если мы подставим полярное разложение F = VR в (VII. 2-5),,
то получим
Т, —(/TV*1)*.. (VII. 4-19)
В изотропном упругом материале, как мы доказали, Т и V
соосны, так .что тензор TV симметричен. Собственные числа
симметричного тензора /TV даются формулой
Л —0,020,-J-, t — 1,-2, 3. (VII. 4-20)
Эти числа называются главными силами системы напряжений
по отношению к к, поскольку они отвечают той же самой ре-
результирующей силе на единицу площади поверхности в отсчет-
ной конфигурации, что и порождаемая главными напряже-
напряжениями, действующими на соответствующую площадь в текущей
274 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 4
конфигурации. Иногда числа 7\ называют техническими напря-
напряжениями или номинальными напряжениями.
Если мы подставим A) в первый закон Коши (III.5-1), то
получим дифференциальное уравнение движения для изотроп-
изотропных тел
Fkmpq Bp\ m + pbk=pxk, (VII. 4-21)
где
Pkmp4==dBMfkm{By (VII. 4-22)
Здесь независимыми переменными являются х п t. Таким обра-
образом, для изотропных тел имеется пространственное описание,
естественное и простое, как в классической гидродинамике. Тен-
Тензор F наряду с А представляет собой один из тензоров, назы-
называемых тензором упругости материала.
Компоненты относительно ортонормированной тройки соб-
собственных векторов тензора В* (которые, конечно, являются так-
также собственными векторами тензора Т) называются, главными
компонентами. Примерами главных компонент служат главные
растяжения у{ и главные напряжения tu и соотношение A7) де-
демонстрирует упрощения, которые часто достигаются в резуль-
результате использования главных компонент.
Разумеется, читатель, наученный на опыте классической ошибки в тео-
теории упругости бесконечно малых деформаций, не станет ожидать, что глав-
главные компоненты будут в общем случае компонентами по отношению к какой-
нибудь системе координат.
Упражнение VII. 4.5 (Трусделл & Тупин). Типичные главные компоненты
тензора F таковы:
1 2 если 0i ф
•.*,-! °i-°2J (VII. 4-23)
а компоненты всех других типов равны нулю. Интерпретировать 9 отличных
от нуля главных коэффициентов упругости как касательные модули при рас-
растяжении и секущие модули прн сдвиге.
Для несжимаемого изотропного упругого материала, соглас-
согласно (VII. 1-4) и C), можно записать уравнения, соответствую-
§ 4 ГЛ. VII. УПРУГИЕ МАТЕРИАЛЫ 275
щие A3) и A4), в виде
— — Р »i +«2 — (VII. 4-24)
где р произвольно, а Иь ...,3_i —функции от I и II, причем
допустимы только такие деформации, для которых det В = 1,
Определяющие уравнения рассматриваемого типа были получены впер-
впервые Ривлиным. Они сыграли важную роль в период возрождения механики
сплошной среды в конце 1940-х годов. •
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
(работы общего характера)
NFTM, §§ 43-50
IRE, §§ III. 1 —Ш.З.
Глава VIII
УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ
§ 1. Нормальные усилия при простом сдвиге
В § IV. 9.10 были изучены однородные движения однородных
простых тел. Из представленных там результатов следует как
частный случай, что в любом данном однородном простом теле
любая статическая однородная деформация, совместимая с
внутренними связями, наложенными на это тело, может под-
поддерживаться действием одних только граничных усилий. С по-
помощью такой деформации можно перевести тело из любой одно-
однородной конфигурации в любую другую.
В качестве примера рассмотрим простой сдвиг величины К:
х1 = X* х2 = X2 -4- КХ1 #3 = Х3 (II 9-1)
Как мы увидим в § IX. 3, при бесконечно малой упругой дефор-
деформации из естественной конфигурации простой сдвиг может быть
вызван приложением пропорционального ему напряжения
сдвига в, том же направлении. При конечной деформации изо-
изотропного упругого тела такое простое описание эффектов уже
невозможно, поскольку одно лишь напряжение сдвига никогда
не может произвести простой сдвиг.
Для того чтобы найти напряжения, требуемые для осуще-
осуществления простого сдвига (II. 9-1) в теле без внутренних связей,
подставим в (VII. 4-14) компоненты тензоров В и В~', задавае-
задаваемые соотношением (П. 9-13). Если мы определим функции Эг от
К2 следующим образом:
Л 3 + /С2, 1), г = 0, 1, -1, (VIII. 1-1)
то найдем, что
+
0
0
0
/CPi-Э-.)
0
1
0
0
0
0
+ K*S
0
1
0
1-1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
+
0
0
0
(VIII. 1-2)
§ ! ГЛ. VIII. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ 277
В частности, соотношение между напряжением сдвига Т{1 2)
и величиной сдвига К имеет вид
(VIII. 1-3)
где
5S (VIII. 1-4)
Таким образом, как и следовало ожидать, ГA2) есть нечетная
функция от К, и любая такая функция совместима с теорией,
основанной на (VIII.4-14). Функция р, — это обобщенный мо-
модуль сдвига материала в данной неискаженной конфигурации,
используемой в качестве отсчетной. Классический модуль сдвига
fi = p,(O). Если коэффициенты реакции Зг дифференцируемы
в точке C,3,1), то
А(Ла) = |1 + О(^2) при К->0. (VIII. 1-5)
Поэтому любое отклонение от классической пропорционально-
. сти напряжения сдвига величине произведенного им сдвига
представляет собой эффект по крайней мере третьего порядка
малости по сравнению с последним.
Упражнение V111.1.1. Используя (II. 9-14), показать, что модуль сдвига
(х следующим образом выражается через главные напряжения /< и главные
растяжения Vt при простом сдвиге'
f! — «2 '
Для упругой жидкости \i(K2) = 0 при всех К. Хотя и не-
неизвестно, может ли какой-нибудь материал, не являющийся
жидкостью, удовлетворять этому условию, при истолковании
наших результатов мы будем исключать из рассмотрения все
такие материалы, молчаливо предполагая в дальнейшем, что
А (К2) > 0 для любого К.
Возвращаясь к B), мы видим, что для поддержания про-
простого сдвига напряжением сдвига было бы необходимо, чтобы
Э| — Э_1 = 0 и, следовательно, в силу D) чтобы \i(K2) = 0. Это
означает, что напряжение сдвига также должно было бы обра-
обратиться в нуль. Другими словами, выражение для реакции, сле-
следующее из теории бесконечно малых деформаций, не может
быть точным ни для какого изотропного упругого материала
с не обращающимся в нуль модулем сдвига. В общем случае
для того, чтобы произвести сдвиг, нужно приложить нормальные
усилия в плоскостях сдвига Х3 = const, сдвиговых плоскостях
Xi = const, и нормальных плоскостях Х^ == const.
2?8 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § I
На основании B) эти усилия легко записываются следую-
следующим образом:
Г B2)-Г C3) _г;
Для того чтобы получить эти результаты, не нужно предпола-
предполагать, что изотропный упругий материал имеет естественную кон-
конфигурацию.
Случай, когда все три нормальных усилия равны или даже
когда Т{11) = Т{22), невозможен, поскольку тогда из G) и
D) опять следовало бы, что Д {К2) = 0 для каждого К, т. е.
имел бы место случай, который мы условились исключать из
рассмотрения. Таким образом, самое большее два из трех нор-
нормальных усилий, требуемых для того,' чтобы произвести простой
сдвиг, могут совпадать друг с другом. Фактически из G) и C)
вытекает следующее универсальное соотношение, связывающее
между собой три компоненты тензора Т независимо от того,
каковы коэффициенты реакции Эг:
Г<22> — Г<11> = ДТ<12>. (VIII. 1-8)
Соотношения такого типа могут служить для проверки приме-
применимости всей теории в целом: если в некотором данном случае
(8) не удовлетворяется, то никаким выбором коэффициентов
реакции Зг в (VII. 4-14) нельзя подвести рассматриваемый слу-
случай под теорию изотропных упругих материалов.
Упражнение VIII. 1.2. Пусть N и Г — нормальное н касательное усилия
в деформированной конфигурации в плоскости' Хг = const. Доказать, что
A+/С»)Г=/С(ГB2)-Г<1 !» + (! -К2)Т(\2),
# = Г B2)-2/СГ(!2)+а:2ГA 1). ( '
Следовательно, универсальное соотношение (8) можно представить в виде
КТ (I 2) = A+/B)(ГA 1>-А0. (VIII. 1-10)
В случае когда К мало, N « 7X11). Однако если N= T(U),
то мы опять заключаем, что 7\12)=0. Таким образом, строго
говоря, невозможно, чтобы два нормальных усилия Т{1\) и N
были равны друг другу. Более общо, если коэффициенты реак-
реакции Эг дифференцируемы в отсчетной конфигурации, то
% % Ю, (VIII. 1-11)
§ I
ГЛ. VIII. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ
279
поэтому в силу G) различие нормальных усилий представляет
собой в общем случае эффект второго порядка относительно
величины сдвига. Существование этих различий называется эф-
эффектом Пойнтинга.
Давным-давно, используя очень специальный вариант теории упругости,
Пойнтинг пришел к формулам, подобным G). (Предыдущий анализ показы-
показывает, что достаточно произвольный выбор упругой реакции, положенный
Пойнтингом в основу его исследований, не влияет на общий характер резуль-
результата, который необходимо имеет место в любой независимой от системы от-
отсчета теории изотропных упругих материалов.) А именно, Пойнтинг вывел,
что если бы к кубику были приложены напряжения сдвига без этих нормаль-
нормальных усилий, то его грани сблизились бы или разошлись иа величину, про-
пропорциональную К1.
Среднее растягивающее напряжение равно
¦НгТ
>[т + -1C,+ 3L,)] К2. (VIII. 1-12)
Наличие такого растягивающего напряжения называется эф-
эффектом Кельвина. Если неискаженная отсчетная конфигурация
является естественной конфигурацией, то в силу B)
_,(О) = 0. (VIII. 1-13)
Если при этом справедливо A1), то trT = O(/B).
Кельвин получил результаты такого типа исходя из очень частного ва-
варианта теории. Ои вывел, что, и обратно, если бы мы хотели получить гидро-
гидростатическое напряжение, соответствующее A2), то изотропное тело в усло-
условиях сдвига стремилось бы сжаться или расшириться, в соответствии со зна-
знаком правой части A2), соразмерно квадрату величины сдвига.
Хотя выводы Кельвина и Пойитиига не строги, последние исследования
в той или иной мере подтвердили их.
Поскольку простой сдвиг изохоричен, он может быть осу-
осуществлен также в несжимаемых телах, хотя требуемые для
этого напряжения будут несколько отличаться от напряжений,
которые вызывают такую же деформацию в упругом теле без
внутренних связей. Согласно (VII.4-24) и (II.9-13),
0 1 О
1 О О
0 0 0
0 0 0
0 1 0
0 0 0
где Д опять определяется формулой D) и Эг = Эг (К2) =
ss3rC + /C2, 3 + К2)- Условие баланса сил div T = 0 приводит
1
0
0
0
0
0
0
0
0
, (VIII.
1-14)
280 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 2
к требованию ро = const. Поскольку материал несжимаем, эф-
эффект Кельвина уже не может иметь места. Зато вследствие про-
произвольности давления р0 расширяется множество возможных
проявлений эффекта Пойнтинга. Давление р0 можно подобрать
так, чтобы на любом одном из семейств плоскостей Х\ = const,
Х2 = const, лг2 = const или Х3 = const отсутствовали нормаль-
нормальные усилия. Например, если мы выберем р0 = 0, то Г C3) = 0.
В этом случае
Эти соотношения позволяют дать непосредственную интерпре-
интерпретацию коэффициентам реакции. Таким образом, опять ГA1)=7^
,фТ{22), и поскольку справедливо A0), то 7A1)^= N.
Хотя простой сдвиг представляет собой наиболее подробно
изученный вид статической однородной деформации, важны и
другие случаи, особенно простое растяжение и равномерное
объемное расширение. Более важным, чем любой отдельный
случай, является тот факт, что всякую однородную статическую
деформацию можно осуществить в произвольном однородном
упругом теле посредством приложения одних только подходя-
подходящих поверхностных усилий, если только деформация, о которой
идет речь, не исключается внутренними связями, которые может
иметь тело. Поля деформаций, которые можно задать заранее,
не решая никаких дифференциальных уравнений, подсказывают
программу экспериментов для выяснения определяющих соот-
соотношений для напряжений. Поскольку любая однородная дефор-
деформация соответствует некоторым усилиям на границе тела, нуж-
нужно только как-нибудь произвести деформацию и затем измерить
усилия, требуемые для ее поддержания. Таким образом были
составлены эмпирические таблицы значений 3! и Э-i для не-
некоторых резин, в предположении, что эти резины несжимаемы.
Упражнение VIII. 1.3. Получить и проанализировать решения для случая
простого растяжения как для тел без внутренних связей, так и для несжи-
несжимаемых тел.
§ 2. Универсальные деформации в общем случае
Как мы установим в упр. IX. 3.2, в классической теории бес-
бесконечно малых упругих деформаций статическая деформация
изотропного упругого тела, подвергнутого действию одних уси-
усилий на границе, описывается уравнением Навье
GradDivu-f aAu = 0, (VIII. 2-1)
где а — коэффициент в определяющем уравнении, а и — вектор
смещения:
и = Хя(Х)-Х. (VIII. 2-2)
§ 2 ГЛ. VlII. УНИбЕРСАЛЬНЫЁ ДЕФОРМАЦИИ ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ 281
Следовательно, решение и данной конкретной граничной за-
задачи, вообще говоря, зависит от а:
u = u(X, а). (VIII. 2-3)
Другими словами, соответствующие заданным граничным усло-
условиям смещения во внутренних точках тела для одного мате-
материала в общем случае будут отличаться от смещений для дру-,
гого материала. Для того чтобы некоторое поле смещений и(Х)
было возможно для всех материалов, каково бы ни было зна-
значение а, согласно A), необходимо и достаточно, чтобы
GradDivu = O,
Ди = 0. (VIII-2-4)
В таком случае три компоненты векторного поля и должны
удовлетворять шести дифференциальным уравнениям в частных
производных второго порядка.
Когда число уравнений илн других условий, которые должны удовлетво-
удовлетворяться в точке, превышает число неизвестных функций, задачу часто назы-
называют «переопределенной». Хотя широко распространено мнение, что пере-
переопределенные системы не имеют решений, оно остается только мнением, не
больше. В действительности дело обстоит не так, чему легко привести при-
примеры1); «число» условий представляет собой психологическое, а не логиче-
логическое понятие.
') Например, любое из следующих условий иа п действительных чисел
эквивалентно любому другому:
С,: 2 22
С„:
*2(*2-2J<0,
-1J(*,-2J<0, *2(*2-2J<0
и любое нз этого бесконечного множества условий эквивалентно условию
*,=»(), хг=0, .... *„ = 0.
Более того, соотношения, входящие в каждое из этих условий, независимы
в том смысле, что никакое из них не следует изостальных, . '
282 часть з. некоторые вопросы теории упругости § з
Конечно, уравнениям D) удовлетворяет тривиальное распре-
распределение смещений u = const, но ему также удовлетворяют и
некоторые нетривиальные распределения, например все реше-
решения задачи Сен-Венана о кручении.
В механике сплошной среды деформацию называют универ-
универсальной для данного класса материалов, если она может быть
осуществлена во всех материалах этого класса, подвергнутых
действию подходящим образом подобранных поверхностных
усилий. При этом поля массовых сил b предполагаются одина-
одинаковыми, поскольку если бы полем b можно было распоря-
распоряжаться, то все деформации были бы универсальными, и изу-
изучать их было бы не проще, чем строить общую теорию. Обычно,
когда рассматривают универсальные решения, b принимается
равным 0. В этом различии между массовыми силами и кон-
контактными силами проявляется общий опытный факт, заключаю-
заключающийся в том, что массовые' силы нельзя выбирать по желанию,
а поверхностные усилия можно, во всяком случае в- широких
пределах.
Универсальные деформации представляют собой наиболее
важный вид деформаций, поскольку нам не надо знать кон-
конкретные свойства материала для того, чтобы быть уверенными
в том, что в нем можно произвести все такие деформации, лишь
бы он принадлежал рассматриваемому классу. Теория упруго-
упругости для бесконечно малых деформаций является типичным слу-
случаем. Мы можем найти решения, которые удовлетворяют урав-
уравнениям D), а следовательно, также и A), не зная а. Поверхно-
Поверхностные усилия, требуемые для того, чтобы осуществить эти ре-
решения в данном конкретном теле, будут каким-то специальным
образом зависеть от а. Сравнивая поверхностные усилия, при-
приложенные в опыте, с усилиями, вычисленными для универсаль-
универсальной деформации с произвольным значением а, можно опреде-
определить наиболее подходящее значение а для тела, с которым
проводился опыт. Деформацию, которая не является универ-
универсальной, едва ли можно использовать для определения свойств
материала путем такого •сравнения, поскольку реакция мате-
материала, например определяемая величиной а, должна быть из-
известна заранее для того, чтобы можно было решить граничную
^задачу, о которой идет речь, с тем чтобы определить, какая н"а
самом деле будет деформация.
§ 3. Универсальные статические деформации простых тел
без внутренних связей и изотропных упругих тел
Полученные в § IV. 9 результаты показывают, что для класса
однородных простых тел без внутренних связей, на которые не
Действуют массовые силы, все однородные предыстории дефор-
§ 4 ГЛ. VIII. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ 283
маций' без ускорений представляют собой универсальные де-
деформации. Тем более этот результат применим к изотропным
упругим телам.
Ограничивая" класс рассматриваемых материалов, можно
расширить класс универсальных деформаций, как это видно иа
примере теории упругости при бесконечно малых деформациях.
Поэтому естественно поставить вопрос, могут ли деформации,
не входящие в только что упомянутые классы, быть универсаль-
универсальными решениями для всех однородных изотропных упругих
тел. Для изотропного упругого тела, отнесенного к неискажен-
неискаженной конфигурации, согласно (VII.4-14), уравнение равновесия
имеет в случае b = 0 вид
<Ну(Эо1+Э,В + Э_,В-') = О. (VIII. 3-1)
При универсальной деформации тензор В должен удовлетво-
удовлетворять этому уравнению тождественно относительно функций Эг.
Если мы выполним дифференцирование и положим коэффи-
коэффициенты при 30, di30, дц20, ..., djii2-i равными нулю, то мы
получим 12 условий, которым должны удовлетворять 6 компо-
компонент тензора В. Кроме того, этот тензор должен быть положи-
положительно определенным и должен определяться ч по полю дефор-
деформаций согласно формуле B==FFT, где F = VXX. В результате
получается еще больше условий. Эриксен доказал1), что В =
= const представляет собой единственный тензор, удовлетво-
удовлетворяющий всем этим условиям: единственно возможными универ-
универсальными статическими деформациями однородного изотропного
упругого тела являются однородные деформации.
§ 4. Универсальные статические деформации изотропных
несжимаемых упругих тел
Результаты § IV. 10 показывают, что для несжимаемых од-
однородных простых тел, подвергнутых действию любой системы
потенциальных массовых сил, все однородные предыстории де-
деформации, сохраняющие циркуляцию, являются универсаль-
универсальными решениями. Тем более этот результат применим к несжи-
несжимаемым изотропным упругим телам, однако в этом случае та-
такими деформациями класс универсальных статических деформа-
деформаций не исчерпывается. Согласно (VII.4-24), выполняться долж-
должно такое условие:
divfoB + n^B)^ (VIII. 4-1)
') Анализ Эриксена воспроизведен в NFTM, § 91. Тело там предполагается
гнперупругим (см. § XII..6 ниже). Можно было бы ожидать, что эта даль-
дальнейшая конкретизация приведет к большему классу универсальных решений,
однако в действительности это не так.
284 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 4
при любом выборе коэффициентов ^ и 3-!. Следовательно,
rot div C,B + 3_,В~') = 0. (VIII. 4-2)
Если мы распишем это уравнение и приравняем нулю коэффи-
коэффициенты при 3i, di3i, d2i2 , dii3_i, то получим опять 12 ус-
условий, да теперь еще тензор В должен удовлетворять условию
det В = 1. Разумеется, В = const является решением, однако
существует и много других, и их открытие (первым такое от-
открытие сделал Ривлин в конце 1940-х годов) привело к боль-
большому оживлению в теории упругости при конечных деформа-
деформациях. Эти решения в несколько обобщенном и расширенном
виде мы теперь и опишем.
Если предположено, что деформация некоторого частного
вида является универсальной, то простого вычисления доста-
достаточно для того, чтобы проверить, так это или не так на самом
деле. Ниже перечислены пять семейств деформаций (каждое
из которых зависит от нескольких постоянных А, В, С и т. д.),
которые, как теперь известно, являются универсальными для
однородных изотропных тел. В этом перечне прописные буквы
обозначают координаты относительно неискаженной отсчетной
конфигурации: X, Y, Z— прямоугольные декартовы координаты;
R, 0. Z— цилиндрические полярные; R, 0, Ф — сферические по-
полярные. Малые буквы обозначают координаты относительно
деформированной конфигурации: х, у, г; г, 8, г; г, 6, <р, с обыч-
обычным значением. В каждом случае в перечне указано отображе-
отображение х = Хх(Х), записанное в компонентах относительно ука-
указанных систем координат.
Семейство 1. Изгиб, растяжение и сдвиг прямоугольного
параллелепипеда:
^g где АВфО. (VIII. 4-3)
Семейство 2. Выпрямление, растяжение и сдвиг сектора
круглой цилиндрической трубы:
x = jAB*R\ y=-jg, 2 = |- + ^-, где Л5 =^0. (VIII. 4-4)
Семейство 3. Вдавливание или выворачивание, изгиб, кру-
кручение, растяжение и сдвиг сектора круглой. цилиндрической
трубы: . ...
где A(CF~DE)= 1.
(VIII. 4-5)
§4 ГЛ. VIII. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ 285
Семейство 4. Вдавливание и выворачивание сектора сфери-
сферической оболочки:
ср = Ф. (VIII. 4-6)
Семейство 5. Вдавливание, растяжение и сдвиг кругового
цилиндра:
r = AR, 6 = В log R + Св, z = DZ, где A2CD==L (VIII. 4-7)
Изучающий без труда проверит, что эти пять семейств де-
деформаций на самом деле являются универсальными для одно-
однородных несжимаемых тел. В каждом случае он может опреде-
определить из первого закона Коши поля давлений, совместимые
с равновесием, и, используя (VII. 4-24), вычислить все компо-
компоненты тензора напряжений. В следующем параграфе мы по-
подробно проследим этапы доказательства для некоторых важных
частных случаев.
Эриксен J) попытался определить все виды статических уни-
универсальных деформаций для однородных несжимаемых тел и
доказал, что семейства 1—4 «почти» исчерпывают их. В его
анализе оставались неисследованными две возможности. Одна
из них такова: главные растяжения постоянны, а локальное
вращение R нет, тензоры grad div В и grad div В-1 симмет-
симметричны, но не обращаются в нуль. Семейство 5, которое было
обнаружено десять лет спустя после того, как было опублико-
опубликовано исследование Эриксена, принадлежит как раз к этому вто-
второму типу. Если существуют другие универсальные деформа-
деформации, то они также должны быть второго типа, поскольку
другой из случаев, не обследованных Эриксеном, как было
доказано2), невозможен.
Приведенные выше семейства деформаций важны потому,
что на. примере полей напряжений, необходимых для того, чтобы
их произвести, видно, как взаимодействуют различные типы де-
деформаций. В теории упругости при бесконечно малых деформа-
деформациях напряжения, соответствующие смещению, равному сумме
двух смещений, представляют собой сумму напряжений, тре-
требуемых для того, чтобы произвести каждое смещение в отдель-
отдельности. В теории упругости при конечных деформациях, конечно,
принцип суперпозиции нарушается. .Рассмотренные семейства
универсальных деформаций как раз и позволяют понять, каким
образом этот принцип нарушается в некоторых случаях; мы
увидим это в следующем параграфе.
') J. L. Ericksen, Deformations possible In every isotropic, incompressible,
perfectly elastic body, Z. angew. Math. Phys., 5 A954), 466—489.
2) A. W. Marris & J. F. Shiau, Universal deformations in isotropic in-
incompressible hyperelastic materials when the deformation tensor has equal pro-
proper values, frrch. Rational Meek Anal., 36 A970), 135—160.
286 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ $ 5
§ 5. Примеры универсальных деформаций
для изотропных несжимаемых тел
Семейство 3, несомненно, является самым интересным. В ка-
качестве иллюстрации метода мы подррбно рассмотрим наиболее
важный частный случай деформаций, входящих в это семей-
семейство, а именно случай, когда нет сдвига в угловом направлении
(С = 1) и нет сдвига образующих цилиндра (?е=0):
, г = FZ, где /^ = 1.A1.9-15)
Деформации из этого подсемейства представляют собой вдав-
вдавливание или выворачивание, кручение и растяжение кругового
цилиндра. Для них мы вычислили в упр. П. 9.3 компоненты Bhm
и (В~1)ит- Компоненты тензора определяющих напряжений
Т + pl получим, подставив (II.9-16) и (П.9-18) в (VII.4-24).
Поскольку здесь нам не нужны пока полные результаты, от-
метнм только три факта, относящихся к этим компонентам:
T + pl=f(r),
т<ге)=;<гг)=0.
Покажем теперь, что если компоненты напряжений имеют
такой вид, то мы можем выбрать р таким образом, чтобы сде-
сделать систему напряжений Т совместимой с первым законом
Коши (III. 5-1) в случае b = 0. Действительно, в цилиндрических
координатах этот закон записывается так:
О, (VIII. 5-2)
дгр = О.
Следовательно, р = р(г) и
Т (гг) = - j Г(ггOГ(ее) dr. (VIII. 5-3)
Обратно, если удовлетворяется C) и если р = р(г), то система
напряжений является уравновешенной при действии одних лишь
усилий на границе. Следует отметить, что C) сводится к опре-
определению р(г), когда f в (l)i известно. Однако мы предпочитаем
рассматривать последнее соотношение как исключающее пол-
полностью р из задачи. Поскольку тензор Т, как теперь показано,
представляет собой функцию только от г, соотношение C) мож-
можно представить еще в таком виде:
Т (88) = (гГ.(/7»'. (VIII. 5-4)
I 5 ГЛ. Vlll. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ 287
Упражнение VIII.5.1. Доказать, что результирующее нормальное уси-
усилие N на части торцевой плоскости г = const, ограниченной окружностями
г == т\ н г = /г, определяется соотношением
г,
N = яг?Г (гг) ? + я J BГ {гг) -Т (гг)-Т (Щ) г dr. (VIII. 5-5)
г.
Выбор постоянной интегрирования в C) позволяет нам сде-
сделать какой-нибудь один цилиндр, скажем г = 'Г\ или г = г%,
свободным от усилий, однако в общем случае не более чем
один. Согласно E), в общем случае невозможно произвести де-
деформацию без приложения определенных нормальных растя-
растягивающих напряжений в плоскостях г = const, и эти напряже-
напряжения, вообще говоря, имеют ненулевую результирующую N.
Теперь, после того как мы определили р и показали, что
наша деформация является универсальной, мы можем вычис-
вычислить все- напряжения, подставив (II.9-16) и (П.9-18) в
(VII. 4-24). Напряжения сдвига определяются непосредственно
(VIII. 5-6)
Явные формулы получаются также, например, Для Т{гг) —
— Г(88) и для T(zz) — T{rr). Чтобы вычислить Т{гг), мы под»
ставляем предыдущее выражение в правую часть C).
Теперь проиллюстрируем результаты на наиболее важных
частных случаях.
Случай 1. Кручение и растяжение сплошного цилиндра. По-
Положим В = 0, г\ = Ri = 0, в A) и выберем постоянную инте-
интегрирования в C) так, чтобы Т(гг) = 0 при R = R2. Тогда де-
деформация представляет собой кручение D/F, наложенное на
продольное растяжение F в сплошном цилиндре со свободной от
напряжений поверхностью. Результирующий крутящий момент
Т и результирующее нормальное растягивающее усилие N на
плоских торцах определяются согласно F) и E) формулами:
L^jy ? rT(zQ) ¦ 2пг йг^Щ-
о о
)d/?- (VIII.6-7)
Поскольку, как видно из A1.9-18L>7. аргументами функций 3,
и а., являются I и II, каждая из величин Т, N представляет
288 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ $5
собой сумму двух функций от F и D, ни одна из которых не яв-
является (функцией только от F или только от D. Правда, первый
интеграл в выражении для N обращается в нуль, если исчезает
растяжение (F=l), а второй интеграл обращается в нуль,
если исчезает кручение (D = 0), но в общем случае каждый
из них является функцией как от F, так и от D. Таким образом,
невозможно разделить нормальное растягивающее напряжение
на часть, определяемую кручением, и часть, определяемую рас-
растяжением.
Упражнение V11I.5.2. Доказать,'что
(VIII. 5-8)
и истолковать этн результаты.
С помощью G) решаются три важные задачи. В задаче
Кулона мы отыскиваем соотношение между крутящим моментом
и углом закручивания для малых углов закручивания. Поэтому
мы считаем F фиксированным, a D устремляем к 0. Если по-
положить
%(F) = '2r([F+-y, -~+2F), ' (VIII. 5-9)
то
lim ?F T(T)
D-*° ' 2 \ F / (VIII. 5-10)
No(F) представляет собой результирующее растягивающее уси-
усилие, необходимое для того, чтобы произвести удлинение F
в случае, когда отсутствует кручение, a x(F)—. это модуль
кручения при удлинении F, соответствующем No- Обе величины
являются довольно простыми функциями от F, если известны
коэффициенты реакции Эг. Один важный результат можно по-
получить, не зная Эг, а именно
Щ^=2(р-±). (VIII.5-11)
Это изящное универсальное соотношение Ривлина можно рас-
рассматривать как решение задачи Кулона для кругового цилиндра
из несжимаемого изотропного упругого материала. Если каким-
либо способом, например эмпирически, определено N0(F), то
§ s- гл. viii. Универсальные Деформации изотропных fEЛ 289
г-
можно вычислить r(F). Результаты опытов на растяжение дают
нам возможность предсказать результаты опыта на кручение.
Именно теоремы такого типа, связывающие одно явление с дру-
другим, ценятся в механике сплошной среды выше всех других.
В задаче Пойнтинга мы отыскиваем удлинение, которое
происходит вследствие кручения цилиндра со свободными тор-
торцами. Для того чтобы получить решение, исходя из G), мы счи-
считаем D фиксированным, полагаем JV = O if решаем G) отно-
относительно F. Неизвестно, существует ли решение в общем слу-
случае, но для малых углов закручивания оно существует.
Упражнение VII 1.5.3. Доказать, что
lim
Результат этого упражнения также имеет большое значение
для теории. Во-первых, он показывает, что при малых круче-
кручениях растяжение пропорционально квадрату угла закручива-
закручивания. Во-вторых, было много попыток вычислить величину эф-
эффекта Пойнтинга, используя частные и необоснованные предпо-
предположения, в рамках понятий теории упругости при бесконечно
малых деформациях. В этой теории для изотропных несжимае-
несжимаемых материалов существует, однако, один-единственный мо-
модуль упругости, а именно ц. Точный и общий результат A2)
показывает, что любая такая попытка безусловно обречена на
провал, поскольку необходим не один модуль, а два, ц и 3-i(l).
Таким образом, невозможно правильно описать эффект Пойн-
Пойнтинга, не выходя за рамки теории бесконечно малых деформа-
деформаций. В-третьих, A2) предсказывает, что кручение твердого ци-
цилиндра из несжимаемого изотропного упругого материала при-
приводит к удлинению, еслиЭ-1A)<ц., и укорочению, если 3_i(l)>
> \i. Эксперименты по однородным деформациям резино-
резиновых полосок дают значения 3_i(I,II), отрицательные для всех
значений I и II. Поэтому мы ожидаем, что цилиндры из тех же
самых резин, всегда будут удлиняться при кручении; так и про-
происходит, что и наблюдал Пойнтинг в 1913 г.
В некоторых книгах для инженеров можно найти такое соображение,
идущее от Юнга и Максвелла: если идеализированно представлять себе стер-
стержень в виде пучка идеально гладких нерастяжнмых проволочек, то он всегда
будет укорачиваться при закручивании. Ни Юнг, ни Максвелл не утверждали,
что эта модель хороша. Если стержень моделировать как пучок проволок, то
этн проволоки не являются идеально гладкими, они передают друг другу
как нормальные, так и касательные усилия, и единственный известный путь
для вычисления влияния таких неизвестных усилий заключается в том, чтобы
забыть о проволочках и решать задачу с помощью настоящей теории упру»
гости. Результат для несжимаемых материалов выражается соотноше-
соотношением A2). Это соотношеине показывает, что нет никаких априорных основа*
10 Тпусделл
290 4асть з. некоторые вопросы теории упругости § s
ний ожидать тот или другой знак; но оно дает нам возможность связать
между собой два класса экспериментов. Данные, взятые из экспериментов
по однородным деформациям, дают возможность предсказать удлинение,, и
притом не только качественно, но и количественно. Опять мы имеем дело
с результатом того типа, которые и призвана давать механика сплошных
' сред.
В заключение мы рассмотрим чистое кручение, полагая
F=l. Сравнение F) с (VIII. 1-4) дает
T(Qz) = Dr{i(D2r2), (VIII. 5-13)
где ?— обобщенный модуль сдвига. Этот результат придает
конкретность распространенному интуитивному представлению
о том, что кручение «эквивалентно» или «аналогично» сдвигу,
поскольку напряжение сдвига при кручении определяется только
модулем сдвига. Аналогично модуль кручения определяет ре-
результирующий крутящий момент согласно G)%. Хотя интуиция
здесь и не подвела, ее триумф на этом и кончается. В мате-
материале без внутренних связей модуль сдвига хорошо опреде-
определяется потому, что простой сдвиг представляет собой универ-
универсальное решение. Согласно' теореме Эриксена, изложенной в
предыдущем параграфе, кручение не является универсальным
решением для материалов без внутренних связей. Поэтому мы
в общем случае для материалов без внутренних связей не мо-
можем даже определить модуль кручения.
Случай 2. Выворачивание. Выворачивание — весьма есте-
естественная проблема для изучения ее в теории упругости. Если
бесконечно длинный полый цилиндр вывернуть наизнанку, то
он примет некоторую вывернутую форму, возможно опять
форму кругового цилиндра, при нулевых усилиях на его по-
поверхностях. Задача для трубы с внутренним и наружным ра-
радиусами R\ и /?2, где Ri <C /?2, состоит в том, чтобы определить
возможные значения радиусов Г\ и г% для которых усилия об-
обращаются в нуль. Тривиальным решением является Г\ = Ru
г2 = /?2- Если также существует решение, такое, что Т\ > г2, то
оно соответствует выворачиванию. Для того чтобы решить эту
задачу, мы обратимся к (II. 9-15) и положим D = 0, оставляя
А И В подлежащими определению. Выберем постоянную инте-
интегрирования в C) так, чтобы Т(гг) = 0 при R = /?t. Условие,
выражающее, что Т(гг) = 0 при R = /?2, имеет вид
о= Г [ (Jt, +*;М), - i] [а, - j* a.,] r dR - о. (viii. б-U)
Второе уравнение получится, если положить N = 0 в соответ-
соответствующем частном случае соотношения E).
§ 5 ГЛ. VIII. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ 291
Упражнение VIII.5.4 (Ривлин). Доказать, что условие N = О прини-
принимает вид
«г
Г Г/ A2R2 2
0= J
~2А f тзйтг)a-]л ^(VIIL 5;15)
Решая уравнения A4) и A5), находим Л и В. Решение, для
которого А <С 0, если оно. существует, представляет собой вы-
выворачивание. Соответствующее удлинение равно F = 1/А. Из-
Известно, что в некоторых частных случаях такое решение су-
существует.
Упражнение VIII. 5.5 (Ривлин). Вычислить явно F для того частного
случая, когда 3i представляет собой положительную постоянную, a 3_i = 0.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
(работы общего характера)
NFTM, §§ 54-60 и 91.
IRE гл, IV.
Глава IX
ФОРМАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 1. Бесконечно малые деформации
Вектор смещения u(X, i) относительно конфигурации и — это
вектор, сдвиг (смещение) на который переводит место X из и
в место х из Хх в момент t:
и (X, t) з* х - X = ХХ(Х, t) - X. (IX. 1-1)
Функция и называется полем смещений, а ее градиент — гра-
градиентом смещений,
H = Vu = F-l. (IX. 1-2)
Вводить смещения в механике сплошных сред полезно, только
если как смещения, так и нх градиенты малы в каком-нибудь
смысле.
Раз дано некоторое поле смещений и, мы можем построить
семейство полей смещений ей и рассмотреть связанные с ним
величины в пределе при е->0. Мы будем использовать индекс
е для обозначения величин, определяемых по полю ей. Так,
He = V(eu) = eH. (IX. 1-3)
Тогда
), (IX. 1-4)
так что
Ue = l+-[e(H + HT)-T-O(e?). (IX. 1-5)
Поскольку полярное разложение тензора Fe имеет вид Fg =
= ReUe, из E) видно, что
(IX. 1-6)
Поэтому, если мы положим
Т) |(T) (IX. 1-7)
§ I ГЛ. IX. ФОРМАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 293
и будем писать — для обозначения равенства с точностью до
О(е2), то
Re=l+eR,
Rj = l-eR. (IX. 1-8)
Таким образом, тензоры Е и R характеризуют бесконечно ма-
малые меру деформации и поворот соответственно.
Формулы (8) показывают, что если е достаточно мало, то
точное полярное разложение F8 = R8Ue = V8Re приближенно
заменяется аддитивным разложением Не на симметричную и
антисимметричную части: H8 = Ee + Re. Теория, в которой
удерживаются только члены наинизшего ненулевого порядка
по е, называется теорией бесконечно малых деформаций. Дру-
Другие деформации, например те, которые мы рассматривали
прежде и будем рассматривать вскоре опять, называются
конечными.
Упражнение IX. 1.1. Доказать, что
/e=I + etrE (IX. 1-9)
и, следовательно, что при бесконечно малых деформациих tr E представляет
собой приращение единицы объема.
Упражнение IX. 1.2. Используя результаты § II. 12 или иным способом,
показать, что при бесконечно малой деформации удлинение v^— 1 отрезка
материальной линии с единичным касательным вектором п дается соотно-
соотношением
v{n) - I = п • Еп; (IX. 1-10)
что угол сдвига Т(т „),т. е. угол, на который материальные линии с ортого-
ортогональными единичными касательными векторами тип поворачиваются одна
относительно другой, дается соотношением
т(т, п) = ^ш cn (IA. 1-11J .
и что ось вращения представляет собой ось тензора R и угол поворота ра-
Определения G) имеют смысл для деформаций любого вида,
однако только в пределе при е -»¦ 0 тензоры Е и R допускают
интерпретации в терминах растяжения, сдвига или поворота,
указанные в предыдущем упражнении.
Можно придумать и другие рациональные способы построения прибли-
приближенных теорий. Например, иногда полезно рассматривать меры деформации,
которые малы, даже если смещения и повороты не малы, — скажем, рассмо-
рассмотреть семейство деформаций, определяемое соотношением 2Ёг = е (С — 1), и,
считая U фиксированным, произвести разложение в ряд по степеням е и удер-
удержать только члены низшего ненулевого порядка.
294 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 2
Как мы видели в § II. 7, градиенты последовательных ко-
конечных деформаций составляются путем умножения (компози-
(композиции). Однако если мы налагаем друг на друга смещения, то их
градиенты складываются, т. е. если и = щ + иг, то Н = Н, + Н2.
Этот простой факт не имеет полезной интерпретации, за ис-
исключением случая, когда обе деформации бесконечно малые:
Не = Ёе + Re = HIe + Н2е = Ё1е + RIe + Ё2е + R2e. (IX. 1-12)
Разделение этих тождеств на симметричную и антисимметрич-
антисимметричную- части дает
?,=?„ + §8., (IX. 1-13)
Re= Rle Т R2e-
Таким образом, сложение мер деформации, соответствующих
двум последовательным бесконечно малым деформациям, приво-
приводит к мере деформации, соответствующей результирующей бес-
бесконечно малой деформации, и аналогичное утверждение справед-
справедливо для поворотов.
§ 2. Определяющее уравнение для бесконечно
, малых деформаций упругого материала
Рассмотрим приведенную форму (VII. 4-2) определяющего
уравнения упругого материала и предположим теперь, что ре-
реакция дх дважды непрерывно дифференцируема при U=. 1.
Будем продолжать использовать символ == для обозначения
равенства с точностью до О(е2) при бесконечно малых дефор-
деформациях. Для семейства смещений ей, согласно (IX. 1.8)i, имеем
в*(и) = 9*A + еЕ + 0(е2)) = То + еМЁ], (IX. 2-1)
где Lx — линейное отображение симметричных тензоров в сим-
симметричные тензоры и Т0 = 9*A) — поле напряжений Коши в
теле, если оно действительно занимает отсчетную конфигура-
конфигурацию и. Часто тензор То называют начальным напряжением. За-
Запишем явно:
U = due*(U)|u=I. (IX. 2-2)
Подстановка A) и (IX. 1-8J в (IV. 4-2) дает
T = (l + eR)(T0 + eU[E])(l-eR) =
= То+ e(RT0- T0R + U[E]). (IX.2-3)
Проведенный анализ показывает, чго для заданного семейства
полей смещений ей в упругом материале, реакция дх которого
§ 2 ГЛ. IX. ФОРМАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 295
дважды непрерывно дифференцируема при F=l, напряжения
достаточно ¦ хорошо аппроксимируются с помощью C), если е
достаточно мало. Таким образом, определяющее уравнение для
бесконечно малых деформаций дается законом Коши
T=To + RTo-ToR + U[EI, (IX. 2-4)
где То — поле напряжений Коши в конфигурации и, относи-
относительно которой рассматриваются бесконечно малые смещения.
Упражнение IX. 2.1. Доказать теорему Пуассона —Коши A829): Опре-
Определяющее уравнение
T = f(H), (IX. 2-5)
где f — аффинная функция и область значений аргумента Н ограничена бес-
бесконечно малыми деформациями, не зависит от системы отсчета тогда и
только тогда, когда оно сводится к D). (Здесь (VII. 4-2) не принимается
в качестве исходного соотношения, поэтому не обязательно выполняется B)
и начальное напряжение То не обязательно соответствует упругим деформа-
деформациям относительно какой-нибудь другой конфигурации.)
Упражнение IX. 2.2. Доказать, что закон Коши D) с помощью тензора
напряжений Пиолы Т* записывается следующим образом:
Tx = (l+trE)T0 + RT0-T0E+LJE]. (ix. 2-6)
Согласно закону Коши D) приращение напряжений, кото-
которое происходит вследствие бесконечно малой деформации,
представляет собой сумму двух приращений, одно из которых
зависит только от поворота, другое — только от меры дефор-
деформации. Первое, равное RT0 — T0R» зависит от начального на-
напряжения То, а в остальном одинаково для всех упругих мате-
материалов. Последнее, равное L*[E], зависит только от меры де-
деформации.
Тензор четвертого порядка JU называется тензором линей-
линейной упругости (или просто линейной упругостью) упругого ма-
материала относительно конфигурации х. Конечно, один и тот же
материал имеет различные тензоры линейной упругости отно-
относительно различных конфигураций х. Все тензоры линейной
упругости материала определяются его точным определяющим
уравнением, поскольку правило B) справедливо для любой от-
счетной конфигурации и реакции g* для различных отсчетных
конфигураций и связаны между собой посредством (VII. 1-3).
Поскольку L* представляет собой линейное преобразова-
преобразование, которое переводит симметричные тензоры в симметричные
тензоры, то, используя обычный изоморфизм, мы можем рас-
рассматривать его как тензор в шестимерном векторном простран-
пространстве. Таким образом, он. имеет не более чем 36 различных ком-
компонент. Этот очевидный факт должен выражаться с помощью
296 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 2
некоторых условий симметрии, если мы возвращаемся к рас-
рассмотрению L как тензора четвертого ранга в обычном трехмер-
трехмерном векторном пространстве. А именно, если в компонентной
записи -
{L*[E]?m=LlmpqEpq, (IX. 2-7)
то 81 постоянная L*mp4 связаны соотношениями симметрии
г kmpq j mkpq г kmpq
В работах по линейной теории упругости принято, далее,
считать, что
L*mpq = Ll4km, (IX. 2-9)
т. е. если L рассматривается как тензор в шестимерном вектор-
векторном пространстве, то предполагается, что он симметричен:
Lj = L». (IX. 2-10)
Некоторое время мы не будем налагать это дополнительное
условие, поскольку оно не нужно в тех случаях, которые мы
сейчас рассмотрим. Поэтому мы отложим до §§ XII. 6—XII. 13
объяснение того, что оно означает.
Заметим лишь, что, как показывает приводимое ниже
упражнение, достаточно сильное предположение о симметрии
может обеспечить выполнение условия A0).
В частном случае, когда упругое тело изотропно, соотноше-
соотношение D) сводится к соотношению
Т = -/?1 + Я„AгЁI + 2црЁ, (IX. 2-11)
где р, Кр и цр — постоянные. Это представление можно полу:
чить конкретизацией соотношения (VII. 4-14) непосредственным
применением (VII. 4-3) или простым независимым рассужде-
рассуждением, относящимся к D). Постоянные Я,р и |АР —это постоянные
Ламэ для неискаженной конфигурации, соответствующие гид-
гидростатическому давлению р.
Упражнение IX. 2.3. Записать A1) в шестимерной форме, как относи-
относительно главного базиса, так и в общем случае, и затем доказать, что A0)
справедливо для тензоров L* специального вида, соответствующего A1).
Основанием для рассмотрения теорий бесконечно малых де-
деформаций, конечно, является то, что они проще в математи-
математическом отношении, чем точная теория. Как мы видели в § 1»
если бесконечно малое смещение является результатом после-
последовательного осуществления двух других, то соответствующие
повороты и меры деформации получаются сложением друг
с другом двух последовательных поворотов и мер деформации
§ 3 ГЛ. IX. ФОРМАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 297
соответственно. Согласно закону Коши D) приращение Т — То
также линейно относительно R и Е. Таким образом, если и =
= Ui + u2, где U\ и м2 — бесконечно малые смещения, то при-
приращение напряжений, соответствующее и, представляет собой
сумму приращений напряжений, соответствующих составляю-
составляющим поворотам и мерам деформации Rj, R2, Е\ и Е2. Это свой-
свойство упругих материалов при бесконечно малых деформациях
часто называют законом суперпозиции.
§ 3. Классическая теория упругости
при бесконечно малых деформациях
В классической теории, которой посвящены почти все науч-
научные работы девятнадцатого века н учебники для инженеров
двадцатого века, предполагается, что упругий материал имеет
естественную конфигурацию, и рассматриваются только беско-
бесконечно малые деформации относительно этой конфигурации.
В этом случае соотношения (IX. 2-4) и (IX. 2-6) сводятся к со-
соотношению
T=T*=L[E], (IX. 3-1)
где отсутствие индекса и у L отражает тот факт, что резуль-
результаты не справедливы больше для произвольной отсчётной кон-
конфигурации, а справедливы только для естественной кон-
конфигурации.
Несмотря на то что, как неоднократно отмечалось в этой
книге, классическая теория упругих жидкостей тривиально
включается как частный случай в общую теорию упругости,
классическая теория упругости при бесконечно малых деформа-
деформациях с самого начала исключает из рассмотрения все жидкости,
кроме некоторых особых, поскольку жидкость в общем случае
не имеет естественной конфигурации. Как показывает A), для
бесконечно малых деформаций относительно естественной кон-
конфигурации тензоры напряжений Коши и Пиолы совпадают.
С первого взгляда на (IX. 2-4) и (IX. 2-6) видно, что никакого
такого совпадения двух тензоров напряжения не может быть,
если отсчетная конфигурация не является естественной кон-
конфигурацией.
Многие результаты, приводимые в книгах по классической
теории, можно легко распространить на случай бесконечно ма-
малых деформаций относительно произвольной конфигурации
с более общим определяющим уравнением (IX. 2-4). В компо-
.нентной записи
k k. (IX. 3-2)
298 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 3
Здесь 81 постоянных LkmPi подчинены условиям симметрии
(IX. 2-8), которые сводят число различных из них не более чем
к 36. В классической теории принимается, что они удовлетво-
удовлетворяют вдобавок условию (IX.2-9), поэтому различных из них не
более чем 21.
В том частном случае, когда упругое тело изотропно и есте-
естественная конфигурация является также и неискаженной конфи-
конфигурацией, соотношение A) сводится к соотношению
T = MtrE)l+2nE; (IX. 3-3)
это можно вывести несколькими путями, например полагая
р = 0 в (IX.2-10). Индекс р у Я и ц опущен для того, чтобы
отметить, что р = 0.
Постоянные Ламэ Я и цдля естественной конфигурации легко
истолковать непосредственно. Во-первых, при бесконечно малом
простом сдвиге величины К
y (IX. 3-4)
для подходящей ортонормированной пары гп, п. Тогда C) дает
Т = м,/С(т®п+п®т) (IX. 3-5)
— напряжения чистого сдвига величины \iK- Таким образом,
ц — это отношение напряжений сдвига к величине производи-
производимого ими сдвига. Поэтому |а называется модулем сдвига. Во-
вторых, при бесконечно малом объемном расширении, которое
увеличивает единицу объема на d,
E = yrfl, (IX. 3-6)
и C) дает
" ( |) (IX.3-7)
2
Таким образом, Я + уц —это отношение давления к объем-
2
ному сжатию, которое оно производит. Поэтому Я+-д-ц назы-
называется модулем объемного сжатия.
Упражнение IX. 3.1. Показать, что эти результаты могут быть получены
применением разложений Типа (IX. 1-8) к точным решениям для однород-
однородных деформаций, найденным в § VIII. 1.
Для изотропного материала, модули сдвига и объемного
сжатия которого не обращаются в нуль, соотношение C) можно
легко обратить. В самом деле,
(IX. 3-8)
§ 3 ГЛ. IX. ФОРМАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 299
следовательно,
¦ В состоянии простого растяжения величины t в направлении
единичного вектора п
Т = /(п®п), (IX. 3-10)
поэтому (9) дает
E = e/[n®n-v(e®e + f ® f)], (IX. 3-11)
где е и f — любые ортонормированные векторы в плоскости,
нормальной к п, и
ц (ЗЯ + 2ц) Я. /Тх о.19>
е^- х + ц ' v~ 2(Я + ц)- (IX.3 12)
Постоянная е есть отношение приложенного растягивающего
напряжения к произведенному растяжению; она называется
модулем растяжения или модулем Эйлера (или модулем Юнга)
¦материала. Постоянная v есть отношение поперечного укороче-
укорочения к продольному растяжению; она называется коэффициен-
коэффициентом Пуассона.
Возвращаясь теперь к рассмотрению материала с произволь-
произвольной труппой равноправности, мы можем получить дифферен-
дифференциальные уравнения движения для упругого тела, подставив
определяющее соотношение A) в первый закон движения Коши,
для которого мы выберем форму (VII. 2-6) i:
Div {L [E]} -f p*b = p,u, (IX. 3-13)
или
{[ )T]} + p*b=p*u. (IX. 3-14)
Поскольку L, р„ и b — заданные функции от X, то A4) пред-
представляет собой линейное дифференциальное уравнение в част-
частных производных второго порядка относительно смещения и.
Для однородного тела A4) имеет в компонентной записи та-
такой вид:
| LkmP4 (ир, qm + иф рт) + РУ = Рхд?«*. (IX. 3-15)
Граничное условие для усилий (VII. 2-16) теперь принимает вид
L[E]n* = (заданная функция от X и t) при X е 9>2 с ди ($),
(IX. 3-16)
а граничное условие для перемещений на 9>lcdr.(9S) в общем
случае формулируется как задание там и.
300 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ $ 4
Упражнение IX. 3.2 (Навье, Пуассон, Коши). Показать, что для одно-
однородного изотропного тела уравнение A3) допускает эквивалентные записи
I* Ди + (Я. + ц) Grad Div. и + pjb = pju,
(X + 2ц) Grad Div и — ц Rot Rot и + pxb = рж'и.
Налагая на постоянный тензор L дополнительные ограниче-
ограничения, которые мы обсудим в § X. 1, можно, хотя это далеко не
просто, доказать теоремы существования, единственности и ре-
регулярности для типичной граничной задачи с начальными дан-
данными и типичной статической граничной задачи классической
теории упругости бесконечно малых деформаций. Без этих огра-
ограничений в общем случае типичная граничная задача не имеет
решения. "¦ .
Сформулированный в конце § 2 закон суперпозиции может
быть обобщен ввиду линейности дифференциального уравнения
A5) и граничных условий для перемещений и усилий. А.именно,
для данного тела в данной естественной конфигурации любая
линейная комбинация решений также является решением. По-
Поэтому весьма общие задачи могут быть разбиты на более про-
простые задачи, которые можно решить по отдельности, и затем
сложение решений этих более простых задач друг с другом
даст искомое решение. Например, для того чтобы исследовать
задачу о совместном кручении и растяжении цилиндра, мы ре-
решаем задачи о кручении и растяжении отдельно и затем скла-
складываем решения; в силу закона суперпозиции решение комби-
комбинированной задачи есть сумма решений двух отдельных задач.
Таким образом, кручение и растяжение не оказывают влияния
друг на друга, в рамках классической теории бесконечно малых
деформаций. В частности, бесконечно малое растяжение не из-
изменяет модуль кручения. Как мы видели при рассмотрении за-
задачи. Кулона в § VIII.5, никакое подобное разделение воздей-
воздействий невозможно, если либо угол закручивания, либо растя-
растяжение велики. Хотя закон суперпозиции свидетельствует об
аналитической простоте и удобстве классической теории беско-
бесконечно малых деформаций, в равной мере он свидетельствует
об ограниченности этой теории как модели механического по-
поведения материалов.
§ 4. Соотношение линейной теории упругости
и общей теории упругости
Ва Многих случаях для приложений желательно изучить
влияние бесконечно малой деформации, наложенной на конфи-
конфигурацию х, которая получена из другой конфигурации ко по-
посредством известной деформации с градиентом Fo и соответ*
§ 4 ГЛ. IX. ФОРМАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 30!
ствующими напряжениями Коши То. Например, х0 могла бы
быть однородной естественной неискаженной' конфигурацией
твердого тела. Тогда и была бы в общем случае неоднородной
и искаженной конфигурацией. Задача здесь заключается в том,
чтобы вычислить тензор линейной упругости L» как функцию
реакции б„.
Если мы обозначим через F* градиент деформации из и0
в Х„„, то
* (H + )F (IX. 4-1)
где Fo —градиент деформации из и0 в п. Если в качестве от-
счетной конфигурации используется и0, то тензор напряжений
Пиолы ТЖо в х определяется соотношением
(IX. 4-2)
поэтому согласно (VII. 2-5J
где А, представляют собой теизор упругости А, определяемый,
согласно (VII.2-11I>2, при использовании х0 в качестве отсчет-
ной конфигурации. Следовательно,
A,e(Fo)[HFo])FoT(HT + 1) =
HT + 1)= (IX. 4-4)
- То - (tr Ё) То + ТОНТ + ~Ь*(Fo)[HFo]F0T.
Сравнение с (IX. 2-4) показывает, что , ,
U[E] = Т0Ё - (tr Е) То - RTо + ^-A14(Fo)[HFo] Fj. (IX. 4-5)
Эта формула выражает тензор линейной упругости LK относи-
относительно х- через теизор напряжений То в и и тензор упругости
Axo(Fo) относительно х0, вычисленный в х.
302 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 4
Не очевидно, что тензор L*[E], определяемый формулой
E), симметричен; не очевидно даже, что L*—функция одного
только Е, однако на самом деле это имеет место, как показы-
показывает следующее упражнение.
Упражнение IX.4.1. Дифференцируя тождество (VII. 2-8), которое вы-
выражает принцип материальной независимости от системы отсчета, получить
тождество, которому удовлетворяет JU в силу своего определения (IX. 2-2).
Вывести отсюда, что L*, определяемое согласно E), на самом деле ие зави-
зависит от R и что Lx [E] представляет собой симметричный тензор.
Если хо — однородная конфигурация однородного тела, то
х в общем случае не обязательно будет таковой. Точнее, если
градиент Fo деформации из хо в х неоднороден, .то тензор упру-
упругости Ь„, определяемый формулой E), в общем случае будет
функцией от X, даже если L^ не является функцией от X.
Если ио — неискаженная конфигурация упругого твердого тела,
то, очевидно, х -в общем случае не будет таковой, что также
ясно, из E). Если хо — естественная конфигурация, так что вы-
выполняется (IX.3-1), то в общем случае х не будет естественной
конфигурацией, и тензор напряжений Т — То, соответствующий
бесконечно малой деформации из конфигурации х, зависит не
только от меры деформации Ё, но также и от поворота R. Эти
простые и очевидные факты иногда излагают так, что это ведет
к заблуждению. Говорят, например,' что сильно деформирован-
деформированное упругое тело «теряет» свою однородность, изотропность
и т. д. или даже что оно «не является больше упругим».
Если упругое тело изотропно и отсчетная конфигурация хо
является неискаженной,- то тензор линейной упругости Lx мо-
может быть вычислен в явном виде. Хотя этот явный вид можно
получить, конкретизируя E), легче начинать заново с соотно-
соотношения (VII. 4-14) для напряжений.
.Упражнение IX.4.2. (Грин & Ривлин & Шилд, Трусделл). Пусть В —ле-
—левый тензор Коши — Грина для деформации из неискаженной конфигурации
изотропного материала в конфигурацию, в которой тензор напряжений равен,
скажем, То, так что
0 — Jo» + -*iB + J—1° • (IX. 4-6)
Доказать, что при последующей бесконечно малой деформации
+ 1
г=-1
+ -a/-tr(BE) — Ш—-I-trd»-1!) >ВГ, (IX.4-7)
где I, II, III — главные инварианты тензора В.
§ 4 ГЛ. IX, ФОРМАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 303
Основные приложения этих результатов относятся к случаю,
когда Fo соответствует' однородной деформации однородного
изотропного тела из естественной конфигурации. При этом
30 + Э1 + 2_1 = 0, если 1 = 11 = 3, III = 1 и тензор В по-
постоянен. Наиболее важным из полученных здесь конкретных
результатов является общее решение Грина — Шилда задачи
Кулона для однородного изотропного тела: найти соотношение
между крутящим моментом и бесконечно малым углом закру-
закручивания и сопутствующие бесконечно малое удлинение и растя-
растягивающую силу для цилиндра произвольного односвязного по-
поперечного сечения, который растянут вдоль образующих, воз-
возможно очень сильно, из естественной конфигурации. Однородная
мера деформации, соответствующая упомянутому растяжению v
вдоль направления Х3, такова:
х, = avXit x2 = avX2, x3 = vX3, (IX. 4-8)
где а определяется условием, что поперечные усилия обра-
обращаются в нуль так, чтобы поверхность цилиндра была свобод-
свободной от усилий. Изучающий должен был вывести и проанализи-
проанализировать это условие в процессе выполнения упр. VIII. 1-3. Пред-
Предполагается, что налагаемое кручение — это кручение сен-вена-
новского типа:
ц, = — 6*2*3. «2 = ех^з» «з = еФ (*i. *г)> (IX. 4-9)
где е — угол закручивания — мал.
Упражнение IX. 4.3. Доказать, что решение вида (9) возможно тогда и
только тогда, когда
Ф(*ь х2) - а*о««р (-^i-, -g-), . (IX. 4-Ю)'
где ф—функция депланации при кручении Сен-Венана для данного попереч-
поперечного сечеиия.
Результат A0) сводит решение задачи Кулона к решению
задачи Сен-Венана о кручении в классической теории. Соответ-
Соответствующие, вычисления длинны, но стандартны. Оказывается, что
модуль кручения т(у) имеет следующий вид:
т (v)--?¦ = а*о* (v2 3, - a-2W-23_,) [/„ - a2 (/„ - 50)], (I X. 4-11)
В
где So — жесткость кручения поперечного сечения для естествен-
естественной конфигурации и /0 — полярный момент инерции поперечного
сечения относительно его центра тяжести. Результирующее нор-
нормальное усилие N. связано с х(р) посредством равенства
304 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 5
где Ао— площадь поперечного сечения. Нижний индекс
показывает, что величины, к которым он приписан, являются ве-
величинами для естественной конфигурации до приложения рас-
растяжения v. Результаты A1) и A2) стоит сравнить с соответ-
соответствующими им соотношениями (VIII. 5-12) и (VIII. 5-13) для
несжимаемого цилиндра кругового поперечного сечения.
Общий характер поведения а как функции от v неизвестен.
Если мы предположим, что представляется правдоподобным, что
сжимаемый цилиндр утолщается, то а > 1 при v <C 1. Известно,
что So •< /о, если поперечное, сечение не является кругом. По-
Поэтому, согласно A2), т(о) = 0, когда <х(с) принимает значение,
такое, что
i=-^> <IX'43>
т. е. достаточное сжатие сводит к нулю сопротивление цилиндра
кручению.
§ 5. Итерационное решеиие граничной задачи
с заданными усилиями
Обычный подход к нелинейной задаче — возмущение соответ-
соответствующей линейной задачи. В теории упругости метод разло-
разложения в ряды был введен стандартным образом Синьорини в
связи с граничной задачей с заданными усилиями, Соотношение
для напряжений в теории упругости, до сих пор использовав-
использовавшееся в формах (VII. 1-2) и (VII.2-7), записывается теперь в
эквивалентной форме
ТХ = «(Н), (IX. 5-1)
где Н — градиент смещений:
H=Vu = F-l. (IX. 1-2)
Далее, принимается, что t — аналитическая функция от Н и
что отсчетная конфигурация и является естественной конфигу-
конфигурацией. Поэтому для достаточно малых | Н |
(IX. 5-2)
где ts — однородный многочлен степени s. Принимается также,
что массовые силы b и поверхностные усилия tx задаются как
функции от X и t в и(Щ и на дп(<%) соответственно и что
Эти функции, кроме того, аналитически зависят от пара-
ГЛ. IX, ФОРМАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 305
метра е:
2
(IX. 5-3)
на д(Щ
в этих выражениях коэффициенты Ь„ и txn являются заданными
функциями от X и /. В общем случае нет нужды конкретизиро-
конкретизировать параметр е, однако в конкретных приложениях принято в
качестве него выбирать какую-нибудь специальную представ-
представляющую интерес величину, такую, как удлинение или угол за-
закручивания.
Мы ищем решение граничной задачи с заданными усилиями
C), представляющее собой аналитическую функцию от е:
оо
и=2е"и„. (IX. 5-4)
Если такое решение существует, то
00
Н = 2 епН„> где Н„ = Vun. (IX. 5-5)
Согласно B), тогда
оо . Д оо
~ ...,Н„), (IX. 5-6)
\г=1
где функции Тхпмогут быть выражены явно через функции ts.
Например,.
Тх1=1(Н,), . (IX. 5-7)
где ti — некоторая линейная функция.
Упражнение IX. 5.1. Доказать, что
(IX-5-8)
где L — тензор линейной упругости относительно естественной конфигурации
х (с~р. (IX. 3-1)).
Точный вид функций Тхп сейчас не важен. Существенно
только, что если положить
Ё„ = |(Н„ + Н1), (IX. 5-9)
то, согласно (8) и F),
Т*„ = L[Ё„] + Ьп (Нь Н2) ..., Hn_!), (IX. 5-10)
306 ЧАСТЬ 3, НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 5
где f)n — функция, которую нет нужды знать точно для после-
последующего, хотя конечно, мы можем ее вычислить, если поже-
пожелаем. Таким образом, бесконечно малая мера деформации Е„,
соответствующая n-му члену разложения тензора Н, входит от-
отдельно от других и точно таким же способом, каким Ё входит
в соотношение для напряжений в теории бесконечно малых де-
деформаций.
Поскольку и = х, то, согласно (VII. 2-6), мы можем запи-
записать первый закон движения Коши в виде
» + p»b = p»X» = p»u. (IX. 5-11)
Подставляя F), C)i, E) и A0) в это последнее уравнение и
приравнивая члены с одинаковыми степенями е и поступая
аналогично с граничным условием (VII. 2-16) для усилий, мы
получим следующую итерационную систему для последователь-
последовательного определения и„:
в (),
(IX 5 12)
L[EJn* = C на дх(Д),
где
$i, н2>.... н„_,),
С = и-ЫНь Н2, .... Ня_,)п., • (XI.5-13)
п=1, 2, 3
Если п = 1, то система A2) сводится к системе уравнений
(IX.3-14) и (IX.3-16), которые дают решение граничной задачи
с заданными усилиями в теории бесконечно малых деформаций
при Ui = u и bj = b. Для произвольного п A2) имеет тот же са-
самый вид, за исключением того, что и заменяется на и„, b на Ь» и
tx на txrt. Таким образом, представляется, что решение гранич-
граничной задачи с заданными усилиями в теории конечных деформа-
деформаций, удовлетворяющее предположениям B), C) и D), сводится
к решению п граничных задач с заданными усилиями в теории
бесконечно малых деформаций, первая из которых представляет
собой соответствующую классическую граничную задачу для
того же самого тела. Нагрузки для задачи n-го порядка равны
Ь^ и tx,,. Согласно A3), это не просто n-е члены разложения
данных нагрузок C); это определенные функции от решений
и„ щ, щ, ..., и„_1( полученных на предыдущих п— 1 стадиях
процесса.
Вообще методы возмущений дают решения только для за-
задач, несущественно отличающихся от линейных. Теория упру-
упругости здесь не является исключением. Рассмотрим, например,
статическую задачу, когда Ь = 0 и tx = 0. При этом задача,
§ 5 ГЛ. IX. ФОРМАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В tEOPHH УПРУГОСТИ 307
определяемая соотношениями A2) и A3), сводится для каж-
каждого п к соответствующей задаче теории бесконечно малых де-
деформаций. Согласно теореме единственности этой теории,
un = 0 для каждого и. Следовательно, единственное решение,
получаемое по методу возмущений, это тривиальное решение,
хотя верная и общая теория конечных деформаций" позволила
бы рассмотреть задачу выворачивания, в которой существуют
по крайней мере два решения для Ь = 0 и tx = 0 и нетривиаль-
нетривиальная задача заключается в том, чтобы определить вывернутую
форму. Вернемся, однако, к рассмотрению результатов, которые
дает метод возмущений.
В задаче о равновесии и = 0 и поэтому итерационная задача,
определяемая соотношениями A2) и A3), представляет особые
трудности. В теории бесконечно малых деформаций необходи-
необходимым для существования решения граничной задачи с заданными
усилиями является условие, что приложенные нагрузки Ь и t»
образуют уравновешенную систему, т. е. результирующая сила
и результирующий момент сил, действующих на nCS) от этих
нагрузок, должны равняться нулю. В противном случае решения
не существует. В теории бесконечно малых деформаций этот
факт означает не более чем предостережение, что если мы по-
попробуем поставить граничную задачу с заданными усилиями,
когда приложенные нагрузки не уравновешены, то мы не най-
найдем решения. Аналогично в общей теории нагрузки должны
быть уравновешены, чтобы решение граничной задачи с задан-
заданными усилиями могло существовать. Поэтому мы принимаем,
что Ь и U уравновешены в ъЩ) и, следовательно, согласно C)'
Ь„ и Un уравновешены в x(Jf) для каждого п. Однако эти
нагрузки не являются нагрузками для итерационной задачи,
определяемой соотношениями A2) и A3). Эти последние на-
нагрузки суть Ь^ и tln, зависящие от щ, U2 un-i. Таким об-
образом, для того чтобы задача A2) — A3) имела решение и„,
необходимо, чтобы соответствующее' условие удовлетворялось
для решения un_i, найденного на предыдущем этапе..
Упражнение IX. 5.2. Показать, что результирующая сила, вызываемая
нагрузками A3), равна нулю.
Согласно результату этого упражнения, единственным усло-
условием совместности для задачи «-го порядка остается условие,
что результирующий момент от нагрузок Ъ*п и С должен рав-
няться нулю. Для того чтобы задача в точной теории имела
решение, необходимо, чтобы для любой фиксированной точки
х0 вК(|)
J (х - хо) Л tdA + j p(x - хо) Л bdV = 0, (IX. 5-14)
308 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § S
или эквивалентно
/ = О. (IX. 5-15)
Так как Х = Х + и и и неизвестны, это условие не может быть
использовано сразу в качестве критерия для задания нагру-
нагрузок tx и Ь.
Упражнение IX. 5.3 (Да Снльва). Если результирующая сила, вызывае-
вызываемая нагрузками tx и Ь, равна нулю, то существуют по крайней мере четыре
различных поворота, которые переводят х и конфигурацию х*, в которой
результирующий момент нагрузки относительно любой точки Хо обращается
в нуль:
J (X - Хо) Л txdA + J Рх (X - Хо) Л Ь dv = 0. (IX. 5-16)
дх'(Я) х*(Я)
Поскольку поворот отсчетной конфигурации сохраняет лю-
любое важное свойство, которым может обладать конфигурация,
как, например, быть естественной, неискаженной или однород-
однородной, то мы по существу не потеряем общности, если примем,
что конфигурация и выбрана так, чтобы A6) имело место. Итак,
мы примем, что данные нагрузки таковы, что они не вызывают
ни результирующей силы, ни результирующего момента, дей-
действующих на и($). Разумеется, это совсем не то же самое, что
условие A4), которое содержит неизвестную деформацию %х,
а не данное место X.
Вычитание A6) из A5) дает
j 0. (IX. 5-17)
а» ед х ($)
Подставляя ряды C) и D) в A7) и приравнивая нулю коэф-
коэффициент при каждой степени е, мы получим условия совмест-
совместности Синьорини
m-l
Г ¦ J ит-я Л Kq dA + J Pxum.? Л \ dv] = 0, m = 2, 3, ....
71 ld*№ x(#) J
(IX. 5-18)
Итак, для того чтобы уравнения A2) и A3) были разрешимы
для не зависящего от времени смещения un, необходимо, чтобы
постоянные смещения ир щ и„_[ удовлетворяли условиям
A8).
Условия A8) были выведены как необходимые и достаточ-
достаточные условия того, что нагрузки, действующие на данное тело
в конфигурации /, уравновешены. Мы ожидаем по аналогии, что
Они должны быть формальными условиями того, что последова-
§ 5 ГЛ. IX. ФОРМАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 309
тельные задачи A2) и A3), соответствующие бесконечно малым
деформациям, совместны. Так оно и есть.
Упражнение IX. 5.4. Доказать, что эффективные нагрузки in, Ьп, опре-
определяемые согласно A3), уравновешены тогда и только тогда, когда имеет
место A8).
В теории бесконечно малых деформаций решение граничной
задачи с заданными усилиями, если оно существует, единствен-
единственно лишь по отношению к бесконечно малым поворотам. Так,
если un(X)—решение системы A2), то решением будет
также ип + Wn (X — Хо) + const, где Wn — любой постоянный
антисимметричный тензор. В общей теории упругости не сле-
следует ожидать никакой подобной неопределенности, ибо произ-
произвольный поворот тела как целого в общем случае не сохраняет
равновесие моментов. Чтобы согласовать эти факты, Синьорини
предложил определять Wn с помощью условия совместности
A8). Если существует лишь единственный поворот Wn, то не-
неопределенность поворота устраняется.
Итак, предположим, что найдены решения ti|, u2) ..., up_j
задачи A2), A3) при п= 1,2, ..., р—1, такие, что условия
совместности A8) удовлетворяются при т = 2, 3, ..., р. Тогда
система A2) совместна при п = р. Пусть ир — какое-нибудь
частное решение. Положим
р
(IX. 5-19)
Антисимметричный тензор Rp определяется через заданные
нагрузки C) и функции U[, u2 up. Поскольку пр — частное
решение системы A2), любое другое решение имеет, вид
Up + Wp (X — Хо) + const, где Wp — постоянный антисиммет-
антисимметричный тензор. Задача заключается теперь в том, чтобы
определить Wp таким образом, чтобы условие совместности A8)
удовлетворялось при п = р-\-1. Используя обозначение A9),
это условие можно переписать в виде
J (Wp(X - Хо)) Л txl dA + J Px(Wp(X - Xo)) Л b, dV- Rp.'
(IX.5-20)
Если положить
(-X0)®tKl<M+ \Рк{Х-Х0)®Ъ^У, (IX. 5-21)
a* (*) * m .
310 часть з. некоторые вопросы теории упругости §_б
то мы видим, что тензор АA) симметричен в силу нашего предпо-
предположения A6). Поэтому условие B0) принимает вид
WPAA) + A(I)W, = -!*,. (IX. 5-22)
Тензор A(D называется астатической нагрузкой, соответст-
соответствующей нагрузкам t»i, Ьь Всякая линия, обладающая тем свой-
свойством, что поворот конфигурации и($) относительно нее на лю-
любой угол, при фиксированных t*i и bi приводит к уравновешен-
уравновешенной системе сил в к(&), называется осью равновесия для этих
нагрузок в к
Упражнение IX. 5.5. Доказать, что ось равновесия для нагрузок в к(&)
существует тогда и только тогда, когда
det(AA)-ltrAA)) = O, (IX. 5-23)
и что линейное уравнение B2) имеет единственное решение Wp тогда и
только тогда, когда
det(AA)-ltrAA))^O. , (IX. 5-24)
Проведенный до сих пор анализ, завершающийся результа-
результатами предыдущего упражнения, показывает, что справедлива
следующая
Теорема совместности и единственности Синьорини. Пусть
нагрузки Ui, bj не обладают осью равновесия. Тогда
1. Если существует решение общей граничной задачи с за-
заданными усилиями в теории бесконечно малых деформаций, то
существуют решения щ, u2, ... итерационной системы A2), A3).
2. Если справедлива классическая теорема единственности
для граничной задачи с заданными усилиями в теории бесконеч-
бесконечно малых деформаций, то решения иц щ, ... единственны с точ-
точностью до жестких перемещений.
Если нагрузки обладают осью равновесия, то нарушается
B4) и B1) может иметь более чем одно решение Wp или не
иметь ни одного решения, и это тонкий вопрос. Ясно, что если
ось равновесия существует, то нельзя ожидать, что нагрузки
определяют единственное решение, поскольку повороты относи-
относительно этой оси вполне могут перевести тело из одной конфи-
конфигурации в другую, подвергнутую действию точно тех же самых
сил и, следовательно, неотличимую от первой.
§ 6. Приложения метода возмущений
Метод Синьорини был переформулирован Ривлином и Топа-
коглу в терминах, быть может более легких для истолкования.
Они предположили, что поскольку шаг от любого этапа к сле-
следующему мал, то.для достаточно малых е различие между по-
последовательными решениями эквивалентно влиянию ряда сил,
§6 ГЛ. IX. ФОРМАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 311
которое компенсируется приложением смещений, соответствую-
соответствующих, согласно теории бесконечно малых деформаций, противо-
противоположным им силам. Этой идее они придали строгий смысл, и
с ее помощью были найдены некотррые частные решения. Наи-
Наиболее важные из них относятся к теории второго порядка для
изотропных материалов.
Упражнение IX. 6.1. Доказать, что с учетом членов второго порядка
в Е' соотношение для напряжений для изотропных материалов принимает
вид
-i— П + 2Е + (у- tr(HHr) + «312 + а4и) 1 + asIE + ННГ + ««Ё2.
(IX. 6-1)
где
E=-i(H + Hr). I = trE, 2II = (trE*J-trE2.
Безразмерные постоянные аз, сц, as и аб называются упру-
упругими постоянными второго порядка изотропного упругого ма-
материала по отношению к естественной конфигурации, принятой
в качестве отсчетной.
Используя указанный выше метод, Ривлин вычислил общее
решение задачи Пойнтинга для.цилиндра произвольного попе-
поперечного сечения. Пусть для поперечного сечения цилиндра до
деформации площадь, жесткость при кручении в классическом
смысле и полярный момент инерции равны Ао, So и /0 соответ-
соответственно, и пусть е — угол закручивания. Ривлин показал, что
тогда среднее изменение объема v—1, соответствующее растя-
растяжению v—1, производимому кручением величины, е, опреде-
определяется соотношением
(IX. 6-2)
¦»' »y l_ - | w j
где
P"^l[-(l-2cr)a4-t-(l-0)a6]. (IX. 6-3)
Из B) нельзя вывести никакого общего заключения о знаке.
Приводит кручение к удлинению или укорочению, это зависит от
величины безразмерного модуля р".
Аналогично и величина эффекта Кельвина определяется
упругими постоянными второго порядка. Можно показать, что
для круговой цилиндрической трубы относительное изменение
объема, вызываемое кручением на е, равно
(IX. 6-4)
312 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 6
где Ro и /?i — начальные внутренний и наружный радиусы и
Р'" = --1 + тщ+^КЗ ~ 4ff- 4а2)а4 + Bач- + 2а-2)а6].
(IX. 6-5)
Получаются эти результаты довольно просто, хотя и очень
длинно. Детали вычисления не представляют интереса, а ре-
результаты имеют большое значение. Они полностью объясняют
основные эффекты второго порядка в теории упругости и пока-
показывают, что величины этих эффектов не могут быть выражены
¦через классические модули X и ц или одна через другую.-Без-
другую.-Безразмерные постоянные р" и р'" определяются отношением к/ц
и двумя упругими постоянными второго порядка. Из формул
B)—E) видно, что эксперименты по измерению удлинения и
объемного расширения второго порядка достаточны для опре-
определения постоянных «4 и осе в материале, для которого из-
известно а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
(работы общего характера)
По вопросам, рассмотренным в главе
NFTM, §§ 63—70 и 93.
IRE, §§ VII. 2 й VII. З:
A. Signorini, Transformazioni termoelastiche finite. I, II, Annali di Matetnatica
Pure Appl., 22 A943), 33—143; 30 A949), 1—72.
A. E. Green & R. T. Shield, Finite extension and torsion of cylinders, Phil.
Trans. Royal Soc. London, A224 A951), 47—86. (Воспроизведено в «Con-
«Continuum Mechanics IV, Problems of Non-Linear Elasticity», N. Y. etc.,
Gordon & Breach, 1965.)
R. S. Rivlin, The solution of problems in second order elasticity theory,
/. Rational Mech. Anal., 2 A953), 53—81. (Воспроизведено в «Conti-
«Continuum Mechanics IV. Problems in Non-Linear Elasticity, N. Y., etc., Gor-
Gordon & Breach, 1965.)
R. S. Rivlin & С Topakoglu, A theorem in the theory of finite elastic defor-
deformation, /. Rational Mech. Anal., 3 A954), 581—589.
По классической теории упругости при бесконечно малых деформациях.
А. Е. Н. Love, A treatise on the mathematical theory of elasticity, 4th ed.,
Cambridge Univ. Press, 1934; книга неоднократно переиздавалась.
M. Е. Gurtin, The linear theory of elasticity, Fliigge's «Handbuch der Physik»,
VI a/2, ed. С Truesdell, Berlin, etc., Springer, 1972.
G. Fichera, Existence theorems in elasticity, там же. [Эта статьи переведена
на русский изык в виде части 1 книги: Г. Фикера. Теоремы существо-
существовании в теории упругости, «Мир», М., 1974.]
G. Fichera, Problems of elasticity with unilateral constraints, там же. [Эта
. статьи переведена на русский изык в виде части 2 только что указан-
указанной книги.]
L. Solomon, Some classic problems of elasticity, скоро выйдет в свет в «Sprin-
«Springer Tracts in Natural Philosophy».
Глава X
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 1. Роль дополнительных неравенств в теории упругости
при бесконечно малых деформациях
Как уже упоминалось, на тензор линейной упругости L в со-
соотношении (IX. 3-1) для напряжения в классической теории бес-
бесконечно малых деформаций из естественной конфигурации при-
принято налагать дополнительные ограничения. Это, во-первых,
условие
L = Lr, (IX. 2-10)
уменьшающее максимальное число независимых компонент тен-
тензора L с 36 до 21, и условие
tr(L[E]E)>0 при Ё=?0. (X. 1-1)
Запись неравенства A) в компонентах имеет вид
LkmpqEkmEpcl>Q, если не все Ers равны 0. (X. 1-2)
Если справедливо (IX. 2-10), то условие A) означает, что при
любой нежесткой бесконечно малой деформации из естествен-
естественной конфигурации производится положительная работа. Мы бу-
будем ссылаться на A) как на С-неравенства.
Упражнение X. 1.1. Показать, что для изотропных материалов С-иера-
венства эквивалентны утверждению о том, что модули сдвига и объемного
сжатия оба положительны (см. § IX. 3):
ц>0, ЗЯ + 2ц>0. (X. 1-3)
Условия (IX. 2-10) и A) достаточны для того, чтобы типич-
типичная граничная задача имела решение для достаточно гладких
областей и данных и чтобы это решение было устойчивым и
единственным по крайней мере по отношению к бесконечно ма-
малым поворотам. Если эти условия ослабить, решение уже не бу-
будет существовать для некоторых областей и некоторых данных*
С-неравенства C) для изотропных материалов могут быть
обоснованы пятью способами, три из которых уже были упо-
упомянуты:
1. Несколько более слабое условие ц (ЗА, + 2ц) > 0 необхо-
необходимо и достаточно в общем случае для существования и един-
единственности решения типичной граничной задачи,
314 часть з. Некоторые вопросы Теории упругости $ ч.
2. С-неравенства достаточны для того, чтобы решение было
устойчивым, как будет показано ниже в упр. XII. 2.2.
3. С-неравенства можно «оправдать» при помощи правдопо-
правдоподобных псевдотермодинамических рассуждений о произведенной
работе1).
4. С-неравенства достаточны для того, чтобы скорости, соот-
соответствующие всем типам волн, были действительными и не рав-
равными нулю, как мы увидим в § XI. 8.
5. С-неравенства эквивалентны правдоподобным требованиям
на классы статических мер деформаций. Одно из таких обосно-
обоснований может быть получено на основании __ результата
упр. X. 1.1. Более общим образом, (IX. 3-3) дает
и п • Тт = 2цп • Ет, если п т = 0. (X. 1-4)
Следовательно, С-неравеиства необходимы и достаточны для
того, чтобы любая деформация сдвига приводила к напряжению
сдвиг-а того же знака и чтобы объем локально увеличивался или
уменьшался в соответствии с тем, положительно или отрица-
отрицательно среднее значение трех нормальных растягивающих на-
напряжений (ср. с результатами упр. IX. 1.1 й IX. 1.2).
Согласно D), для того чтобы вывести, что должно выпол-
выполняться C), нет необходимости рассматривать все бесконечно
малые деформации. Достаточно потребовать, чтобы при каком-
нибудь простом сдвиге (IX. 3-4) соответствующее напряжение
сдвига было бы того же знака, что и деформация сдвига, и
чтобы при каком-нибудь объемном расширении (IX. 3-6) соот-
соответствующие напряжения были бы того же знака, что и измене-
изменение объема.
§ 2. Потребность в дополнительных неравенствах
в общей теории упругости
Предыдущие рассмотрения показывают, что для того, чтобы
получить правдоподобные результаты на основе любой теории
упругости, необходимы дополнительные неравенства некоторого
вида. Недостаточно потребовать просто, чтобы каждая функция
реакции бх, определяемая в общей теории согласно (VII. 1-2),
была функцией, приводящей к неравенствам (X. 1-1) при бес-
') См., например, §§ 13 и 14 в книге R. V. Southwell, An introduction to
the theory of elasticity for engineers and physicists, 2nd ed., Oxford, Oxford
University Press, 1941. На самом деле этот довод есть попросту словесная
перефразировка теоремы об устойчивости Кирхгофа, указанной выше в ка-
качестве второго пункта. В этом вопросе, даже в трактатах, достоверных
в других отношениях, имеется тенденция смешивать достаточность и необ-
необходимость; см., например, § 65 книги Love A. E. H., A Treatise on the Mathe-
Mathematical theory of elasticity, 4th ed., Cambridge, University Press, 1927.
§ 3 ГЛ. X. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 315
конечно малых деформациях из естественной конфигурации.
В таком материале еще было бы возможно, чтобы стержень, бу-
будучи нагружен достаточно большой растягивающей силой, уко-
укорачивался бы или чтобы шар, будучи подвергнут большому гид-
гидростатическому давлению, расширялся. Помимо (X. 1-1) долж-
должно налагаться еще некоторое дополнительное неравенство, од-
однако вопрос о том, каким должно быть это неравенство, остается
открытым для исследований и дебатов.
Обоснования 1 и 2 никак нельзя применить непосредствен-
непосредственно. Как мы видели в .§ VII. 3, нежелательна безоговорочная
единственность решения смешанной граничной задачи, поэтому
не подходит никакое слишком сильное дополнительное условие,
приводящее к ней. Одна из основных задач теории конечных
упругих деформаций состоит в том, чтобы вывести критерий не-
неустойчивости, поэтому никакое чересчур сильное условие, обес-
обеспечивающее устойчивость всех решений, не подходит для того,
чтобы принять его в качестве общего. Что же касается обосно-
обоснования 3, то уже для того только, чтобы дать его формулировку,
имеющую термодинамический характер, требуются дополнитель-
дополнительные понятия, которых нет в чисто механической теории. Поэтому
тем более ничего нельзя доказать в теории упругости на основе
термодинамики, хотя в действительности имеются достаточные
основания рассматривать, что мы и будем делать позднее в этой
книге, теорию, которая опирается на, специальные предположе-
предположения о влиянии изменения температуры, равно как и изменения
формы.
Обоснование 4 мы также рассмотрим позднее при изложении
теории конечных деформаций, однако даже в теории бесконечно
малых деформаций оно не адекватно, поскольку (X. 1-1)- лишь
достаточно, но не необходимо для того, чтобы скорости волн
были действительны и отличны от нуля. Например, как мы уви-
увидим в § XI. 8, для изотропных материалов необходимыми и
достаточными условиями служат более слабые неравенства
И > 0, ^ + 2[х>0. Таким образом, обоснование 4 никак нельзя
развить в адекватное основание для получения априорного не-
неравенства.
В следующих параграфах мы рассмотрим варианты, которые
может принимать обоснование 5 в теории конечных деформаций.
§ 3. Некоторые простые статические неравенства
Мы будем рассматривать изотропный упругий материал в не-
неискаженной конфигурации. Возьмем соотношение для напря-
напряжений в виде (VII.4-7), выражающем главные напряжения /*
как функции главных растяжений v^:
ti = U{vx, vv w3). f= 1,2,3. (Х.3-1)
3!6 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ §3
Можно пойти по другому пути — использовать главные силы Ти
определяемые согласно (VII. 4-20), и получить
" Tt = Ti(vh v2, v3), /=1, 2, 3; (Х.3-2)
разумеется, каждая из совокупностей трех функций tf и Г,-
определяет другую.
Если мы фиксируем два главных растяжения, а третье будем
увеличивать, то естественно ожидать, что нужно прикладывать
растягивающее напряжение; если же мы уменьшаем третье
главное растяжение, то мы ожидаем, что должно приклады-
прикладываться давление. Эти ожидания можно выразить в виде не-
неравенств Т-Е') (или Т-Е-неравенств) для растягивающих на-
напряжений и удлинений:
(П - Tt) (v) - vt) > 0 или (Г, - U) {v} - Vl) > 0,
если »/ = »/ при }Ф1, i=\, 2, 3, (X. 3-3)
где
и 02, оз), n = tt{v\, vl, оз).
Эти два неравенства эквивалентны друг другу.
Естественно поставить вопрос, являются ли соотношения
A) и B) 2) обратимыми. Ясно, что соотношения A) в общем
случае не могут быть таковыми, ибо они никогда не обратимы
в частном случае упругой жидкости. Поскольку в такой жид-
жидкости всегда t\ = t2 = ta то значения vu Уг, '"з не могут одно-
однозначно определяться по заданным значениям tu фактически
лишь произведение ViV2v3 определяется по /,-. Для B), однако,
положение иное. Нет никаких экспериментальных оснований
возражать против требования, чтобы главные растяжения одно-
однозначно определялись главными силами 7V
Упражнение X. 3.1. Идеальный газ — это такая упругая жидкость, для
которой в определяющем уравнении (IV. 4-4) давление пропорционально
плотности:
р = Кр, К>0. • (Х.3-4)
Доказать, что для идеального газа соотношения B) обратимы при любых
аргументах V\, vi, Vz.
В общем случае, если соотношения B) обратимы, так что
vt = Vt{Tu Г2) Т3), (Х.3-5)
то мы будем говорить, что удовлетворяется lFS-условие, где
IFS — сокращение для „invertibility of force-stretch" (обрати-
(обратимость сил — растяжений).
') От tension-extension. — Прим. ред.
2) То есть соответствующие отображения трехмерного пространства в
трехмерное пространство. — Прим. ред,
§ 3 ГЛ. X. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 3!7
Если выполняется E), то естественно требовать, чтобы уве-
увеличение одной из главных сил Г,- при фиксированных осталь-
остальных приводило к увеличению соответствующего растяжения. Та-
Таким образом, если писать о< = о*(П> П, 7з), то
— Vi)>0, если Т) = Т, при / ф i, / = 1, 2, 3.
(X. 3-6)
Эти условия, связывающие удлинения и растягивающие напря-
напряжения, назовем неравенствами Е-Т1) (или Е-Т-неравенствами).
Неравенства Е-Т и Т-Е связаны с эффектами изменения од-
одного растяжения и одной силы, при фиксированных двух других.
Когда мы сравниваем два главных растяжения, или когда мы
сравниваем две главные силы, естественно ожидать, что боль-
большая сила соответствует большему растяжению. Неравенства
Бейкера — Эриксена В-Е утверждают, что
(U - */) (*>1 - О/) > 0 при vt фу,, i = 1, 2, 3, (X. 3-7)
а неравенства упорядоченных сил O-F2) утверждают, что
. (Г, - Т,) (о, - о,) > 0 при ы Фю,, г = 1, 2, 3. (X. 3-8)
Эти две совокупности неравенств не эквивалентны и нет ни-
никаких видимых оснований для того, чтобы предпочесть одну
другой. Ясно, что В-Е-неравенства не могут удовлетворяться
в упругой жидкости, поскольку ta = h независимо от того, ка-
каковы могут быть Vi\ O-F-неравенства могут удовлетворяться в
жидкости, как показывает следующее упражнение.
Упражнение X. 3.2. Доказать, что в идеальном газе O-F-иеравенства
удовлетворяются при любых аргументах V\, v%, v3.
Некоторая связь между В-Е- и O-F-неравенствами имеется.
Можно показать, что для любых значений ti справедлива одна
из импликаций O-F=^B-E или B-E=^O-F, но не обе вместе.
Упражнение X. 3.3. Пусть Эг — коэффициенты реакции в представлении
(VII. 4-14); Е-неравенствами называются следующие неравенства:
30 < 0, 3, > о, 3_, < 0. (X. 3-9)
(Е-неравенства никогда не удовлетворяются для упругой жидкости, по-
поскольку для нее 30 = 0.) Доказать, что
E=^B-E&O-F. (X.3-10)
Буква Е призвана напоминать об эмпирическом (empirical) характере этих
неравенств, хотя экспериментальные данные, оправдывающие этот термин,
') От extension-tension. —- Прим. ред.
2) От ordered-forces. — Прим. 'ред.
318 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 3
существуют, по-видимому, только для несжимаемых материалов, для кото-
которых (9)i бессмысленно, а (9J, з относятся к определяющему соотношению
(VII.4-24)S.
Наконец, предположим, что все три растяжения равны
?>! = v2 = v3 = v. Согласно (VII. 4-18), t\ = t2 = h = t, где
t = t{v), и также Т\ = Т2 = Г3 = Т, где Т = T(v) = v2t(v).
Если неискаженная конфигурация является естественной, так
что ^A) = 0, то правдоподобно выглядит требование о том, что-
чтобы для увеличения объема было необходимо растягивающее на-
напряжение, а для уменьшения — сжимающее, т. е.
*(у-1)>0, Г(о-1)>-0. (X. 3-11)
Эти два условия эквивалентны. Однако если неискаженная-
конфигурация не является естественной, то более общие усло-
условия
(Г —0(о* —о) > О, (Г*-Г) (у* — о)>0 ' (Х.3-12)
уже не эквивалентны. Мы будем называть последнее из них
неравенством Р-С') (или Р-С-неравенством) для давления и
степени сжатия.
Упражнение X.3.4 (Брэгг & Колеман). Доказать, что для состояния-
растяжения нз A2) i следует A2)г, в то время как для состояния сжатия
имеет место обратная импликация. Доказать, что в упругой жидкости A2) i
сводится к утверждению о том, что давление р представляет собой воз-
возрастающую функцию от р" и, следовательно, от р, в то время как A2) 2
сводится к утверждению о том, что р~" ^*р(р)—возрастающая функция
от р, т. е.
9%>\р- (Х.3-13)
Этот последний результат показывает, что Р-С-неравенство,
будучи применено к жидкостям, налагает сильное и не всегда
правдоподобное ограничение на функцию давления р. Неравен-
Неравенство A3) требует, чтобы сжимаемость газа не обращалась в
нуль, пока не обратится в нуль давление. Это имеет место для
идеальнрго газа (упр. X. 3.1 и X. 3.2) и в более общем случае
для «политропной» жидкости, а именно жидкости, имеющей
определяющее уравнение р = Кру, k > 0, у ^ 1, но не для
жидкости, способной изменять фазу, например жидкости Ван
дер Ваальса. Таким образом, Р-С-неравенство представляет со-
собой слишком сильное ограничение для того, чтобы налагать его
На все упругие материалы.
') От pressure-compression. — Прим. ред.
§ з гл. x. дополнительные неравенства б теории упругости 3t9
Упражнение Х. 3.5. Доказать, что предыдущие условия принимают в
теории бесконечно малых деформаций следующие формы:
Т-Е: Я + 2ц > О,
IFS: ц (ЗЯ + 2ц) ф О,
ft ' ц (ЗЯ + 2ц) ^ п ,.,.,,
t-T: г—: г > U, (X. 3-14)
А + (X
O-F, В-Е, Е: ц > О,
Р-С: ЗЯ + 2ц > 0.
Все предыдущие условия, за исключением IFS, утверждают,
что некоторая специальная функция, полученная конкретиза-
конкретизацией соотношения для напряжений, является монотонно возра-
возрастающей. Они наводят на мысль, что более общим образом мы
могли бы требовать, чтобы преобразование B) от главных рас-
растяжений Vi к главным силам Tt было монотонно:
з
2(П-Г()(о?-О|)>0 при oj =?*»*, k = 1,2,3. (Х.3-15)
Это неравенство называется GCNo-условием'). Удостоверимся,
что оно включает в себя как частный случай ряд условий, кото-
которые были предложены для изучения как имеющие некоторое
правдоподобное обоснование.
1. Предположим, что Vb = Vb, за исключением случая, ког-
когда b = а. Тогда выполняется Т-Е-неравенство C).
2. Если v) ф Vi для любого i, то невозможно, чтобы П =
= Т( для всех /. Таким образом, выполняется IFS-условие E).
3. В силу IFS-условия мы можем подставить E) в A5),
откуда следует F).
4. Пусть n(i) обозначает некоторую перестановку чисел 1,
2, 3. Согласно (VII. 4-18) и (VII. 4-20), перестановка троек у,
вызывает такую же перестановку троек Ти т. е. если о} = »я <*),
то T*t=zTn(t)- Следовательно, A5) дает в частном случае
2 (Тя (о - T{){vn (|) - Vi) > 0. (Х.3-16)
Если мы возьмем в качестве я (г) перестановку, меняющую ме-
местами / и k при фиксированном /, то A6) сводится к (8).
5. Из (VII. 4-18) h(VII.4-20) следует," что если vl = v2 = vi,
то 7"i = Г2 = Г3, так что A5) сводится к A2).
') От generalized ColemanNoll. — Прим, ред.
Где Т-Е+, IFS+ и Е-Т+— условия, несколько более сильные, чем Т-Е, IFS и
Е-Т соответственно, определяемые следующим образом:
320 Часть з. Некоторые Вопросы Теории упругости § з
То, что мы доказали, можно схематически представить в
виде следующей теоремы Нолла и Трусделла&Тупина:
GCN0# Т-Е & IFS & Е-Т & O-F & Р-С. (X. 3-17)
Таким образом, GCNo-условие достаточно для того, чтобы имели
место все неравенства, которые мы упоминали выше в качестве
правдоподобных, за исключением В-Е-неравенства. В общем
случае обратить приведенную выше импликацию нельзя.
Упражнение X. 3.6 (Трусделл & Тупин). Положим «
Jab=dvbTa- (Х-38)
Доказать, что GCNo-условие означает, что матрица Ц/Оь!1 неотрицательно
определена. Более сильное условие, что эта матрица положительно опреде-
определена, называется GCN^-условием. Ясно, что GCNq"=^GCN0. Доказать, что
GCNj-=^T-E+ & IFS+& Е-Т+ &O-F+ & Р-С, (X. 3-19)
ко более сильные, чем Т-Е, IFS и
им образом:
O. dTvt>0. (X.3-20)
Доказать, далее, что если
Iab=*ha* (X. 3-21)
то
C&IFS+&T-E+&E-T+<4GCN0+, (X. 3-22)
где С обозначает (X. 1-3). Доказать также,что четыре условия в левой части
независимы, т. е. построить специальные определяющие соотношения, для
которых бы удовлетворялись три, а не все четыре условия.
Этот последний результат особенно значителен. В теории
бесконечно малых деформаций имеют место все семь (совокуп-
(совокупностей) неравенств, рассмотренных в этом параграфе, и все
они следуют из С-неравенств, как это можно видеть на основа-
основании несколько усиленного результата упр. X. 3.5:
С =ф Т-Е+ & IFS+ & Е-Т+ & O-F & В-Е & Е & Р-С. (X. 3-23)
Таким образом, для семи неравенств, которые мы рассматри-
рассматривали, из одного из них следуют шесть остальных при условиях,
когда применима теория бесконечно малых деформаций. Фак-
Фактически, теория бесконечно малых деформаций предполагает
существование естественной конфигурации и потому легко по-
показать, что С <?MP-C&O-F, или В-Е, или Е). С другой сто-
стороны, в общей теории изотропных упругих материалов, даже
если B1) имеет место, первые три совокупности неравенств
справа в B3) не зависят друг от друга и от С. Если имеют
место все четыре совокупности, то мы можем коротко выразить
этот факт, налагая удобное и простое GCNo^-условие, которое
§ 4 ГЛ. X. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 321
в свою очередь достаточно для того, чтобы выполнялись нера-
неравенства O-F и Р-С, чего в общем случае нельзя сказать о не-
неравенствах В-Е или Е.
Резюмируем: для материалов с естественной конфигурацией
GCNo" -условие эквивалентно четырем правдоподобным неравен-
неравенствам С, IFS+, Т-Е+ и Е-Т+. В частности, оно включает в себя
как частный случай обычное неравенство С теории бесконечно
малых деформаций.. Однако это условие представляется слиш-
слишком сильным для материалов, не имеющих естественной конфи-
конфигурации.
Упражнение X. 3.7 (Трусделл & Тупни). Используя (VII. 4-23), пока-
показать, что
Т-Е+ фф F <1 111) > О &F B222) > 0 & F C333) > О, (X. 3-24)
В-Е фф F A212) >0&FB323) > О &F C131) > 0. (X. 3-25)
§ 4. GCN-неравенство
В § X. 1 мы видели, что для того, чтобы получить результаты
классической теории бесконечно малых деформаций, справедли-
справедливой для малых деформаций из естественной конфигурации тре-
требуется некоторое дополнительное неравенство. С другой сто-
стороны, как мы видели в § VII. 3, мы не можем слепо следовать
образцу чистой математики и налагать чересчур сильные усло-
условия, достаточные для того, чтобы обеспечить безоговорочную
единственность решения граничной задачи с заданными пере-
перемещениями и с заданными усилиями, поскольку такая един-
единственность при больших деформациях была бы точно так же
неподходящей, как и нарушение этой единственности при малых
деформациях-. Во всяком случае, сейчас это предостережение из-
излишне, поскольку общие дифференциальные уравнения теории
упругости лежат за пределами области, для которой аналити-
аналитикам удалось построить полезную теорию. В предыдущем пара-
параграфе мы изучали возможность наложить* требование, чтобы
преобразование от главных растяжений к главным силам в
изотропном материале было монотонным. Теперь мы рассмотрим
соответствующее условие для упругих материалов, имеющих
произвольную группу равноправности.
Возможное обобщение условия (Х.3-15) заключается в тре-
требовании, чтобы было монотонным преобразование от.градиента
деформации F к тензору напряжений Пиолы Т»:
tr{(K-Tx)(F*T-FT)}>0, (X.4-1)
если только не выполняется равенство F* = F. Здесь мы ис-
используем соотношение для напряжений в форме (VII. 2-7):
TX = $(F) (VII. 2-7)
11 Трусделл
322 Часть з. некоторые ёопросы теории Упругости § 4
и пишем "n = J>(F"). Однако, как показывает следующее упра-
упражнение, условие A) может быть справедливо для определяю-
определяющего соотношения, удовлетворяющего принципу материальной
независимости от системы отсчета, только если это соотношение
имеет очень специальный вид.
Упражнение X.4.1 (Хилл). Предположим, что F* = QF, где Q —орто-
—ортогональный тензор. Используя (VII. 2-8), показать, что условие A) сводится
тогда к следующему условию:
tr[(Q-l)T(QT-l)]>0 при Q^l. (X. 4-2)
Доказать, что для того, чтобы B) было справедливо для всех ортогональ-
ортогональных Q, необходимо и достаточно, чтобы
f,>0, <2>0, <з>0, (Х.4-3)
а для того, чтобы B) было справедливо для всех Q, ортогональных в соб-
ственном смысле, или для всех бесконечно малых поворотов, необходимо и
достаточно, чтобы
(Х.4-4)
В частности, неравенство A) никогда не может быть справедливо при чистом
повороте естественной конфигурации.
Результаты предыдущего упражнения показывают, что не-
неравенство A) представляет собой условие, не зависящее от си-
системы отсчета, лишь при некоторых определенных видах напря-
напряженного состояния, даже не связанных с естественной конфигу-
конфигурацией. Колеман и Нолл предложили, в несколько более спе-
специальном контексте, ослабить ограничение, исключив повороты,
т. е. считать, что допустимы только градиенты деформаций
F*, которые получаются из F с помощью чистого растяжения
F* = SF, где тензор S положительно определен и симметричен.
Обобщенное условие Колемана — Нолла GCN представляет со-
собой следующее дополнительное неравенство для функции реак-
реакции $:
-FT]}>0, (X.4-5)
если S — произвольный положительно определенный симметрич-
симметричный тензор, отличный от 1.
Теперь мы рассмотрим следствия, которые имели бы место,
если бы это неравенство было принято. Прежде всего рассмот-
рассмотрим бесконечно малую деформацию из отсчетной конфигура-
конфигурации. Тогда F = l, То = 1>A) и S = l-fE, Где Ё —тензор бес-
бесконечно малой меры деформации, Е =? 0. Условие E) прини-
принимает вид
tr {(Т« - То) Ё} = tr (Ао [Ё] Ё} > 0 при Ё Ф 0, (X. 4-6)
§ 4 ГЛ. X. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 323
где Ао — тензор упругости (VII. 2-11) 2, вычисленный при F=l.
Таким образом, GCN-условие утверждает, что удельная работа;
совершаемая при любой отличной от нуля бесконечно малой
чистой мере деформации, должна быть положительна. Никаких
требований на значения работы напряжений при деформациях,
сопровождающихся поворотами, не накладывается.
Итак, чтобы рассмотреть только чистые меры деформации,
мы положим R = 0 в (IX.2-6) и подставим результат в F). Мы
получим таким образом
tr Ё tr (Т„Ё) - tr (Т0Ё2) + tr (L [Ё] Е) > 0 при Ё Ф 0. (X. 4-7)
Если отсчетная конфигурация представляет собой естественную
конфигурацию, то То = 0 и G) сводится к классическому до-
дополнительному неравенству (X. 1-1). Итак, для бесконечно ма-
малой деформации из естественной конфигурации GCN-условие
представляет собой не более и не менее, как классическое тре-
требование положительности работы напряжений при любой не-
нежесткой деформации. Более общим образом, тензоры упругости
L и напряжений То должны быть такими, чтобы более сложная
квадратичная форма в левой части G) была положительно
определенной. Ввиду (IX. 2-2) и того обстоятельства, что То =
= Jj(l), это — требование на реакцию и ее первую производную
при F= 1.
Теперь мы конкретизируем GCN-условие для произвольной
деформации изотропного упругого материала из неискаженной
конфигурации при двух градиентах деформации F и F*, в кото-
которые входят один и тот же поворот R, а кроме того коммутирую-
коммутирующие между собой левые меры деформации V и V*;
F* = V*R, F = VR, VV*=fV*V. (X. 4-3)
Тогда F* = SF, где S = V*V~'." Поэтому F* и F представляют
собой специальную пару аргументов, очень специальную пару,
к которой применимо E).
Упражнение X.4.2. Используя (VII. 2-5), показать, что
(Т» ~ Т„) (F*T - FT) = (РТУ*'1 - /TV) (V - V). (X. 4-9)
Поскольку тензоры V и V* коммутируют, они имеют общую
совокупность ортонормированных главных направлений с соб-
собственными числами v\ и vt, и поскольку материал изотропен,
эти направления являются также главными направлениями для
y*T*y*-i и jjy-i ? соответствующими собственными числами
И*
324 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 5
T*i и Т{. Следовательно, в силу (9) мы получаем
tr [(Т: - Т») (F*T - FT)] = g W - Ti) W - v,) (X. 4-10)
при специальном выборе (8) пары F\ F. Разумеется, мы мо-
можем выбрать произвольные положительные числа Vi, v2, v3,
v*, vl, v\ и найти коммутирующие тензоры V и V*, для кото-
которых они являются собственными числами. Достаточно, чтобы
V и V* были соосны. GCN-условие E) означает, что левая
часть A0) должна быть положительна. Таким образом, мы
установили, что
GCN=#>GCN0 для изотропных материалов. (X. 4-11)
Следовательно, GCN-условне покрывает и обобщает GCNo-
условие, выяснение следствий которого составило значительную
часть содержания предыдущего параграфа.
Поскольку специальная пара аргументов была именно так
подобрана, чтобы можно было довести до конца рассуждения,
нельзя ожидать, что нам удастся обратить импликацию A1), и
действительно, как мы увидим в следующем параграфе, обрат-
обратная импликация неверна.
§ 5. Дифференциальная форма GCN-условия
В § X. 3 мы рассмотрели матрицу ||/вь|| и выразили с ее по-
помощью условие, достаточное для справедливости GCNo-условия.
Среди результатов упр. X. 3.6 имеются два дифференциальных
условия: A) для того чтобы выполнялось GCNo-условие, необ-
необходимо, чтобы HJabZaZb > 0 при всех Zo, и в качестве частич-
частичного обращения B), если 2/ObZaZb > 0 при всех ненулевых Zo,
то GCNo-условие выполняется. Мы рассмотрели также более
сильное дифференциальное неравенство, названное GCNo"-усло-
GCNo"-условием. Теперь мы установим соответствующую пару дифферен-
дифференциальных HepaBeHQTB для более общего GCN-условия.
Полагая, что D — произвольный ненулевой симметричный
тензор, определим F(u) формулой
F(u) = (l+uD)F; t (X. 5-1)
здесь и — действительный параметр. Тогда F@)=F-h для до-
достаточно малых \и\ тензор 1 + «D симметричен, положительно
определен и не равен 1. Следовательно, пара F, F(«) подходит
для применения (X. 4-1). Поэтому, если положить
]}, (Х.5-2)
§5 ГЛ. X. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 325
то GCN-условие (Х. 4-5) будет означать, что
u[f(u)-f(O)]>O. (X.5-3)
Следовательно, f/@)>0. Далее, согласно (VII. 2-11J и A)
f («) = tr {(DF)T A(F»)[DF]}, (X.5-4)
поэтому
Г1/' @) = Г1 tr {(DF)T A (F) [DF]} = rlAkajD^FlD'rFl (X. 5-5)
Соответственно если мы положим
- Bkrm« = rlAkajFlFra, (X.5-6)
то условие f @) ^ 0 примет вид
ВктрЮктОр„>0, (Х.5-7)
или, в бескоординатной записи
tr{B[D]D}>0 (X.5-8)
для всех симметричных тензоров D. Это дифференциальное не-
неравенство, впервые выведенное Тупином и Бернштейном, яв-
является необходимым, но не достаточным для того, чтобы вы-
выполнялось GCN-условие.
GCN+-ycAoeue представляет собой более сильное неравенство
tr{B[D]D}>0 (X. 5-9)
для всех отличных от нуля симметричных тензоров D. Есте-
Естественно ожидать, что- •
GCN+=#>GCN, (X.5-10)
и это верно, как было показано Трусделлом и Тупином. При-
Принадлежащее Ноллу доказательство этого фа^кта состоит в сле-
следующем. Мы считаем заданными тензор F и симметричный по-
положительно определенный тензор S, отличный от 1. Полагаем
D = S—1 и определяем F(«) и /(«) согласно A) и B).
Упражнение X. 5.1. Доказать, что если 0<«<1, то тензор 1 + uD
обратим, а тензор D A -f- uD) симметричен. Следовательно, DF =
= D(l + uD)-'F н
Y (и) = tr {[D A + «DF1 F («)] ТА (F («)) [D A + «D) F («)]}. (X. 5-11)
GCN+-условие (9), примененное при аргументе F(u) и с D
замененным на D(l-fuD)-1, эквивалентно утверждению, что
Г(«)>0, если 0<ы^1. Интегрирование дает f(l) —f@)>0.
Согласно .B), это есть GCN-условие, чем утверждение A0) и
установлено.
326
ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
S 5
Если рассматривать симметричные тензоры как векторы в
6-мерном пространстве, то (9) означает, что tr{B[D]D} пред-
представляет собой положительно определенную квадратичную фор-
форму от таких векторов.
Возвращаясь теперь к рассмотрению изотропных материа-
материалов, мы получаем простую статическую интерпретацию GCN+-
условия.
Упражнение X. 5.2 (Трусделл & Тупин). Доказать, что для изотропных
материалов
Bkm^sxTkm6q_rTkq&m.+ 2pkm^Bqs (X.5-12)
где F — тензор упругости (VII. 4-22). Используя (VII. 4-23), показать, что
6 X 6-матрица тензора В разбивается в главных компонентах на четыре
3 X 3-блока следующим образом:
О
О | diag (Ar)
(Х.5-13)
ГДе Jab определяется согласно (X. 3-18) н
Следовательно,
Доказать, что
2 [pi - Рз) 4
GCN+ 4=$ GCN0+&M,>0), г=1, 2, 3.
(Х.5-14)
(X. 5-15)
(X. 5-16)
где Е-неравенства определяются согласно (X. 3-9).
Результат A5) показывает, что ОС№"-условие эквивалентно
четырем более простым условиям: GCNo" и Лг > 0. Неравенст-
Неравенство GCNo" подробно обсуждалось в § X. 3. Три неравенства ЛГХ)
истолковать труднее, но A6) дает простое условие, достаточное
для того, чтобы они выполнялись. То же самое условие, соглас-
согласно (X.3-10), достаточно также для справедливости В-Е-не-
равенств.
В настоящее время вопрос о нахождении надлежащего до-
дополнительного неравенства для всех упругих материалов сле-
следует считать открытым, если вообще разрешимым. Тем не ме-
менее GCN- и ОСМ+-условия имеют важное значение, поскольку
они оказываются достаточными для доказательства различных
важных и полезных теорем, которые неверны, если не исполь-
использовать какое-нибудь из неравенств такого рода. Некоторые из
этих теорем мы приведем в последующих параграфах.
ГЛ. X. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 327
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
(работы- общего характера)
NFTM, §§ 51—53.
IRE, §§ IH.71-III.9.
М. Baker & J. L. Ericksen, inequalities restricting the form of the stress
deformation relation for isotropic solids and Reiner-Rivilin fluids,
/. Washington Acad. ScL, 44 A954), 33—35. (Воспроизведено в «Con-
«Continuum Mechanics III. Foundations of Elasticity Theory», N. Y., Gordon &
Breach, 1965.)
С Truesdeii, Das ungeloste Hauptproblem der endlichen Elastizitatstheorie,
Z. Angew. Math. Mech., 36 A956), 97—103. (Перевод на английский
имеется в только что упомянутой книге «Continuum Mechanics III».) -
С. Truesdeii & R. A. Toupin, Static grounds for inequalities in finite elastic
strain, Arch. Rational Mech. Anal., 12 A963). 1—33.
B. D. Coleman & W. Noll, Material symmetry and thermostatic inequalities
in finite eiastic deformation, Arch. Rational Mech. Anal., 15 A964),
87—111,
Глава XI
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН
§ 1. Лемма Адамара
Пусть 9* — часть границы некоторой области, которую мы
будем обозначать через 3t+, и пусть х — точки на 91. Говорят,
что полэ ЧГ гладко в Й2+, если: оно непрерывно дифференци-
дифференцируемо в Й2+; для любой точки х на 9" функции Ти с^Ч*" имеют
внутренние пределы Чг+(х) и д^Ч^х) и функция Ч*" дифферен-
дифференцируема по любому пути ?Р, лежащему на 9. Лемма Адамара
утверждает, что для гладкого поля ЧГ для предельных функ-
функций Ч*"+ и д?*Р выполняется теорема о полном дифференциале,
т. е. если некоторый путь задается параметрическим уравне-
уравнением х = х(/), 0</<1, то
цг+' = (д^ЧГ)-х\ . (XL 1-1)
где штрих обозначает производную функции, зависящей только
от /. Поле Ч1" может быть скалярным, векторным или тензорным.
Результат A) записан в форме, подходящей для скаляров; в
других случаях нужно очевидным образом видоизменить запись.
Обычное доказательство теоремы о полном дифференциале
основывается на аппроксимации пути д* между точками xi и хг
на 9* с помощью ломаной со звеньями, параллельными векто-
векторам некоторого ортонормированного базиса. В двумерных про-
пространствах существуют два таких ступенчатых пути1), в трех-
трехмерных пространствах их шесть, и в n-мерных п\. Если Xi и
х2 — достаточно близкие друг к другу точки на ориентированной
поверхности 9?, то по крайней мере один из этих связывающих
их ступенчатых путей располагается целиком по одну сторону
от 9, независимо от того, какова размерность пространства,-
в котором лежит 9*. Стандартное рассуждение, примененное к
этому пути, и дает лемму Адамара.
Упражнение XI. 1.1. Доказать лемму Адамара для случая, когда Ч1" —
скаляр.
') Имеются в виду пути с числом звевьев, равным размерности простран-
пространства. — Прим. ред.
§ 2 ГЛ. XI. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН 329
- ¦-¦ ¦ ¦ - " ~"*^"Т i
§ 2. Сингулярные поверхности. Теорема Максвелла
Пусть ориентированная поверхность 9° представляет собой
часть общей границы, разделяющей две области Я+ и 91-,
в каждой из которых поле ЧГ гладко. В этом случае предпо-
предполагается, что в каждой точке х на ^ существуют (не обяза-
обязательно равные между собой) оба внутренних предела Ч*" и ЧГ~,
и также оба предела дТФ и ЙГЧГ.
Скачки функций ЧГ и дхЧГ определяются как разности этих
пределов:
[ЧГ1ааЧГ+-ЧГ.-? [д^^дЦГ-дЦЧ. (XI.2-1)
Эти скачки представляют собой функции положения на 9". Го-
Говорят, что поверхность 9° сингулярна относительно Ч1", если
1дин или оба скачка отличны от нуля. Таким образом, сингу-
сингулярная поверхность 9° — это поверхность, где нарушается свой-
свойство непрерывности или дифференцируемое™, но в то же время
больше, чем просто это, поскольку поле ЧГ должно удовлетво-
удовлетворять определенным требованиям гладкости вблизи поверхности
^ и на ней самой.
Скачки, возможные вдоль сингулярной поверхности, имеют
строго регламентированный вид. Поскольку [Ч*"] —дифферен-
—дифференцируемая функция от х на 9*, то, применяя лемму Адамара
к W+ и W' и вычитая один результат из другого, получим.
[ЧИ = [дЛ"] х'. (XI. 2-2)
Это основное условие совместности Адамара, которое связывает
возможный скачок производной dKW со скачком самой функ-
функции Ч*". Мы записали его в форме, соответствующей случаю,
когда W — скаляр. Аналогичные результаты имеют место, когда
Ч? — вектор или тензор.
Важное следствие получается, когда поле Ч*" непрерывно,
т. е. [W] = 0. Тогда B) дает
[0xYj.x'=»O (XI. 2-3)
для всех путей на 9". Поскольку, выбирая р'азличные пути х
на поверхности 9°, проходящие через какую-нибудь точку этой
поверхности, мы можем сделать так, чтобы вектор х' был любым
вектором, лежащим в касательной плоскости, то C) означает,
что
[дкУ]=ап, (XI. 2-4)
где п — вектор нормали к 9°, а а — некоторое поле, определен-
определенное на 9". Этот результат известен как
330 ¦ ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 3
Теорема Максвелла. Скачок градиента непрерывного поля
нормален к сингулярной поверхности.
Чтобы уточнить знак а, удобно принять соглашение, что нор»
маль п направлена от 55L к &+.
Соотношение D) соответствует скалярному полю *F. Если
W—векторное поле, то множитель пропорциональности стано-
становится вектором а и правая часть D) должна быть записана
в виде а <8> п.
Предположим теперь, что 9*— сингулярная поверхность для
вторых производных поля W. Тогда в силу тех же соображений,
которые привели к C), мы видим, что в каждой точке х на 9°
[dlW] х' = 0 (XI. 2-5)
для всех путей х = х^/) на 9". Следовательно, для всякой
точки х нуль-пространство симметричного тензора [dx^j содер-
содержит касательную плоскость к 9° в х- Поэтому
[dlw] = an®n. (XI. 2-6)
В D) и F) нормаль п есть просто любой вектор, нормаль-
нормальный к 9*. Различные выборы п приводят, конечно, к различным
коэффициентам а, однако характер результата один и тот же.
Множитель а называется амплитудой, соответствующей вы-
выбору п. В случае когда а — вектор, сингулярность называется
продольной, если а||п, и поперечной, если a J. п. Произвольная
Сингулярность не принадлежит ни к тому, ни к другому типу.
Если поверхность 9" расположена в метрическом простран*
стве, то естественно выбрать в качестве п единичную нормаль,
единственную в силу принятого нами соглашения, и этот выбор
определит единственную амплитуду а или а. Однако, как мы
увидим сейчас же, в наиболее интересных случаях такой выбор
невозможен.
§ 3. Сингулярные поверхности для движения
Рассмотрим движение, представленное как деформация кон-
конфигурации х:
х = /х(Х, t). (II. 3-3)
Поверхность 9"х в отсчетной конфигурации х или ее образ 9"
в текущей конфигурации & называется сингулярной поверхно-
поверхностью п-го порядка, если она сингулярна по отношению к неко,-
торой м-производной от х„, а все производные меньшего по?
рядка существуют и непрерывны в некоторой области, содержа-
содержащей внутри себя 9"ж. Допускается движение поверхности 9"х
в отсчетной конфигурации. Более того, мы рассматриваем лишь
§ 4 ГЛ. XI. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН 33l
такие сингулярные поверхности, которые существуют в течение
некоторого промежутка времени. Поэтому их можно рассматри-
рассматривать как поверхности в 4-мерном пространстве, точками кото*
рого являются пары (a, t), и в этом пространстве можно при'
менять условие Адамара (XI. 1-1).
Сингулярные поверхности порядков 0 и 1 называются силь*
ними; к ним относятся ударные волны, вихревая пелена, раз-
разрывы и поверхности контакта двух тел. Сингулярные поверхно-
поверхности порядка 2 и выше называются .слабыми. Математическая
теория сингулярных поверхностей порядка 1 хорошо развита, но
в этой книге не будет рассматриваться. Относительно сингуляр-
сингулярных поверхностей порядка 0 нельзя доказать практически ни-
ничего определенного.
§ 4. Условие совместности
для слабых сингулярных поверхностей
Для того чтобы применить условие на скачке (XI. 2-6) к син-
сингулярной поверхности второго порядка, возьмем W =Хх- Чтобы
упростить анализ, мы рассмотрим сингулярную поверхность ??*,
уравнение которой имеет, скажем, вид /(X, t) = 0, как трехмер-
трехмерную поверхность в четырехмерной области и(.$)Х5г, где 9~—¦¦
пространство времени, и, далее, рассмотрим дх как оператор
частного дифференцирования в этом пространстве. Поскольку
компоненты, соответствующие X и t, интерпретируются по-раз-
по-разному, мы различаем их в обозначении, записывая четырехмер-
четырехмерный вектор как упорядоченную пару (v, и) и четырехмерный
тензор как упорядоченную тройку (Т, t, ш). В качестве нор-
нормали п в (XI. 2-6) можно было бы взять (Grad/,/), но если мы
еще разделим на |Grad/|, то получим величину, проще под-
поддающуюся интерпретации, а именно
¦n = (nx,~sx), (XI. 4-1)
где пх — единичная нормаль к сингулярной поверхности &»
в кC8), направленная в сторону увеличения f в момент вре-
времени I, и где скалярная величина sK, определяемая согласно
(II. 6-19), есть скорость распространения поверхности 9К отно-
относительно у.(&). Аналогично1)
t F, i). (XII4-2)
') Конечно, только в прямоугольных декартовых координатах
Поэтому в приведенных выше рассуждениих молчаливо подразумевается
использование этих координат, однако результаты, будучи выражены в тер-
332 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 4
Поскольку значения функции %х по-прежнему принадлежат
трехмерному пространству, то амплитуда а в (XI. 2-6) пред-
представляет собой трехмерный вектор, который мы обозначим здесь
через ах.
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы сделать подстановку
'F^X* B (XI. 2-6). Разделение на временные и пространствен-
пространственные части приводит к теореме совместности Гюгонио
[Grad Grad xx] = [Grad F] = ах <g> n* ® n*,
[Grad Xji]=[F] = -5^(811», (XI. 4-3)
С помощью (II. 6-22) и (П. 6-18) мы можем записать тео-
теорему Гюгонио в улучшенной форме:
[GradF]=a<g>FTn® FTn,
-sa®FTn, (XI. 4-4)
здесь s — собственная скорость распространения, п — единичная
нормаль к 9" в текущей конфигурации %х{$, t) и где а| Grad f р—
= ах| gradf р-
Поскольку как s, так и [х] определены без использования
какой-либо отсчетной конфигурации и, то, согласно D)з, ампли-
амплитуда а, удовлетворяющая D), тоже не зависит от х и, следо-
следовательно, может быть названа собственной амплитудой сингу-
сингулярной поверхности^ Конечно, если п — единичная нормаль
к ЗР, то нормалью будет и —п, и собственная скорость распро-
распространения, соответствующая этому второму возможному вы-
выбору нормали, равна —s.
Сингулярная поверхность, которая покоится относительно
тела, является материальной поверхностью; поверхность, ко-
которая распространяется, называется волной. Необходимое и до-
достаточное условие существования волны состоит в том, что
s ф 0. Разумеется, скорость s может обращаться в нуль в не-
неминах одних тензоров, не зависят от координат. С другой стороны, можно
было бы заметить, что в произвольных координатах вторая ковариантная
производная Fka. g отличается от частной производной ^-^F^ на величину,
которая непрерывна на сингулярной поверхности второго порядка, так что
Поэтому, если бы мы- пожелали, то могли бы использовать всюду в рас-
рассуждениях и произвольные координаты. См. CFT, § 175 и § Арр. 20.
§ 4 ГЛ. XI. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН 333
который момент времени, не будучи равной нулю всегда. Из D)
видно, что если s = О, то F и х должны быть непрерывны; та-
таким образом, единственно возможными разрывами на матери-
материальной сингулярной поверхности второго порядка являются раз-
разрывы поля Grad F. Волны второго порядка называются волнами
ускорения, поскольку они несут ненулевой скачок ускорения;
обратно, разрыв ускорения не может постоянно разделять две
части тела, а должен распространяться по нему.
В общем случае условие D)i называется геометрическим
условием совместности, поскольку оно выражает предположение
о том, что разрыв распределен гладко по поверхности 91 в лю-
любой момент времени. Условия DJ, з называются кинематиче-
кинематическими условиями совместности, поскольку они выражают пред-
предположение о том, что развитие разрыва во времени происходит
гладко. Единичная нормаль п в случае волны называется вол-
волновой нормалью.
Мы можем взять в качестве х текущую конфигурацию.
Тогда F = G и F = l, поэтому DJ принимает вид
= -sa®n (XI. 4-5)
и, следовательно, скачки скорости растяжения, скорости расши-
расширения и спина даются формулами
[2D] = — s(a ® n + n ® а),
[?]=-sa п, (XI. 4-6)
[2W]=-saAn.
Второе и третье из этих равенств выражают теорему Вейнгар-
тена — Ад стара: Волна ускорения переносит ненулевой скачок
градиента скорости, нормальная компонента вектора —.sa пред-
представляет собой скачок скорости расширения, а тангенциальная
его компонента — это скачок спина. Следовательно, продольная
волна ускорения оставляет неизменной скорость расширения, а
переносит ненулевой скачок спина. Наконец, в изохорическом
движении все волны ускорения обязательно поперечные, а в дви-
движении, которое всегда является безвихревым, могут существо-
существовать только продольные волны ускорения. Таким образом, в
изохорическом безвихревом движении вообще не могут суще-
существовать никакие волны ускорения. Поэтому никого не должно
удивлять то обстоятельство, что в книгах ло классической гид-
гидродинамике не упоминаются волны во внутренней области по-
потенциального течения несжимаемой жидкости.
Упражнение XI. 4.1 (Адамар). Показать, что из теорем Гюгонно, Вейн-
гартена и Адамара следует, что в упругой жидкости прохождение волны
ускорения ие нарушает справедливости теоремы' Лагранжа—Кошн о сохра-
сохранении безвихревого течения (упр. IV. 10.2).
Зз4 часть 1 Некоторые вопросы теории упругости § s
Упражнение XI. 4.2 (Адамар). Показать, что на сингулярной поверх-
поверхности порядка р, где р ^ 2, геометрические и кинематические условия со-
совместности имеют вид
[(Grad)" F] = ах® nx ® ... ® пх (р множителей),
[(Grad)p~2 f] = sxax® пк ® ... ® пх (р — 1 множителей),
(р)
[х»1-(-*»)"'»• (XL4>
§ 5. Общий баланс на сингулярной поверхности.
Баланс количества движения
В-§ III.4 мы рассмотрели общее уравнение баланса
= J Фп dA + J pZdV (III. 4-1)
й показали, что это уравнение локально эквивалентно диффе-
дифференциальному уравнению (III. 4-4) в областях, где деформация
и поля, фигурирующие в этом общем уравнении, достаточно
гладки. Теперь мы найдем соответствующее условие, вытекаю-
вытекающее из общего уравнения баланса, для случая, когда область
Х(^\ 0 пересечена слабой сингулярной поверхностью 9"t в пред-
предположении, что ЗР сингулярна также по отношению к W и Ф,
а функция (p*F)' — р2 почти везде ограничена. Нашим резуль-
результатом будет теорема Кочина:
5[рТ] + [Ф] п = 0. (XI. 5-1)
Мы записали результат в форме, относящейся к случаю, когда
Ч? — скаляр; читатель легко запишет соответствующие соотно-
соотношения для векторов и тензоров.
Для доказательства удобно записать {III. 4-1) в виде, в ко-
котором явно учитывается скачок W на 91. С этой целью мы по-
получим сначала модифицированную форму теоремы Рейнольдса
о переносе (II. 6-10), применив эту теорему в ее исходной фор-
формулировке к областям х(^эь 0 и х(^э2, t), чьей общей границей
является У, и затем сложив результаты.
Упражнение XI.5.1 (Томас). Только что намеченным методом показать,
что
-^ J VdV= J WdV+ J ЧГк-ndA- J msndA, (XI.5-2)
Xtf.t) Х(Л') d%(^,t) &
где sn —скорость смещения A1.6-14) поверхности 91,
§ 5 ГЛ. XI. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН 335
Если мы подставим B) в (III.4-1), то получим уравнение
баланса в виде
- pS] dV + J [РЧЧ^п)-ФпЫЛ ~ J [рП«п<М=0,
(XI. 5-3)
Упражнение XI. 5.2. Завершить доказательство теоремы Кочина, при-
применяя C) к части &, такой, что % (&, t) содержит 9* внутри себя, н стягн«
вая затем & к 9", так что д% (&>, t)->9>U(— S"). Таким образом,
J ¦ п - pVsn + Фп] dA = О, (XI. 5-4)
откуда следует A). Сформулировать точные условия гладкости, дОстаточ»
ные для того, чтобы прошло это доказательство.
Как мы видели в § III. 5, для того чтобы выразить баланс
количества движения, мы должны взять W = х, Ф = Т и 2 = b
в общем уравнении баланса (III. 4-1). Та же подстановка в тео-
теорему Кочина приводит к условию Пуассона
= 0. (XI. 5-5)
Таким образом, на слабой сингулярной поверхности, на кото-
которой поле массовых сил b непрерывно, баланс количества дви-
движения имеет место тогда и только тогда, когда вектор усилий
непрерывен. В частности, если напряжения гидростатические
(см. упр. III. 5.2), то давление р непрерывно на слабой сингу-
сингулярной поверхности.
Упражнение XI. 5.3 (Гюгоннок С помощью теоремы Максвелла и опре-
определяющего соотношения Эйлера (IV. 4-4) доказать, что в упругой жидкости
все волны ускорения являются продольными и их скорость распространения
определяется соотношением
*» = р'(р); (XI. 5-6)
предполагается, что [Ь] = 0.
Упражнение XI. 5.4 (Дюгем). Используя условие Пуассона E), теорему
Вейнгартена — Адамара и определяющее соотношение (IV. 4-12), показать,
что теория Навье — Стокса для жидкостей не допускает волн ускорения, если
(х >'0, X + 2|Х > 0 (оправдание этих неравенств будет дано в упр. XIII. 6.1).
Используя (XI. 4-7), наметить рассуждения, с помощью которых можно по-
показать, что волны всех порядков, больших чем 2, также недопустимы.
Для того чтобы выполнялось условие Пуассона (XI. 5-5),
конечно, достаточно, чтобы тензор напряжений был непрерывен:
= 0, или [TxI=0. (XI.5-7)
Эти два условия эквивалентны в силу (VII.2-5). В этом случае
мы можем применить теорему Максвелла (XI. 2-4) к Т„. С уче-
учетом выбора (XI. 4-2) для четырехмерной нормали мы получим
336 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 6
тогда
[GradTx]=A<g>nx,
Амплитуду А можно исключить, тензорно умножая второе со-
соотношение на пх и подставляя результат в след первого соот-
соотношения:
sx[DivTx] = -[f»]n». (XI. 5-9)
С другой стороны, мы знаем из первого закона движения Коши
в форме (VII.2-6), что если b непрерывно на 91, то
[DivTx] = PJxI=P^ax) - (XI. 5-10)
где второе равенство следует из (XI. 4-3). Тем самым установ-
установлена следующая
Лемма (Гуртин). На сингулярной поверхности второго по-
порядка, на которой как массовые силы, так и напряжения не-
непрерывны,
Упражнение XI. 5.5 (Гуртин). Используя рассуждения, подобные приве-
приведенным выше, показать с помощью (XI. 4-7), что на сингулярной поверхности
порядка р, где р ^ 2,
'Мп.-р^-^у + Ч,- (XI. 5-12)
Если в лемме Гуртина A1) мы выберем в качестве отсчетной
конфигурации текущую конфигурацию, то получим соотношение
[t]n = -ps3a, (XI. 5-13)
посредством которого амплитуда выражается непосредственно
через [f].
Упражнение XI. 5.6. Получить теорему Гюгонио F) и результаты
упр. XI. 5.4 как следствие A3) и (Х1.4-6J.
§ 6. Слабые волны в упругом теле.
Акустический тензор
Записывая определяющее соотношение теории упругости
с помощью тензора напряжения Пиолы Тх
T»==$(F), , (VII. 2-7)
мы видим, что если функция реакции ^ непрерывна, то непре-
непрерывен и тензор ТХ) и мы можем применить лемму Гуртина
(XI. 5-11). Кроме того, дифференцируя (VII. 2-7) по /, мы по-
§ 6 ГЛ. XI. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН 337
лучаем
A[-sxax<g>n*], (XI.6-1)
где второе равенство следует из (Х1.4-3)о. Подстановка в
(XI. 5-11) приводит к условию распространения
АА = Р.Ф.; (XI. 6-2)
мы сократили на множитель sx, предполагая тем самым, что
сингулярная поверхность представляет собой волну, и ввели Ах
как такой тензор, для которого
А»а» га А [ах ® п»] п*. (XI. 6-3)
Поскольку правая часть D) — линейная функция от ах, то опе-
операция, обозначенная через Ах, линейна, что уже отражено в за-
записи. Тензор Ах называется относительным акустическим тен-
тензором для волны, нормаль к которой в х(^) есть п*. Тензор
Ах представляет собой в общем.случае функцию от F и X, и он
определяется явно через тензор упругости А_ упругого мате-
материала. В покомпонентной записи
ла Р *¦ *¦' /vt р. л\
Обычно легче интерпретировать результаты, когда все выра-
выражено через волновую нормаль п, собственную скорость s и соб-
собственную амплитуду а. Такое выражение для Ах легко полу-
получить из B). -
Упражнение XI. 6.1. Пусть F(X, /) =f(x,/) = const — уравнения сингу-
сингулярной поверхности. Полагая
р 1 Grad F |2
А==^Г |grad/P,A« (XL6-5)
и замечая, что
= -^- А [а ® FTn] FTn, (XI. 6-6)
показать, что условие распространения можно записать в виде
Aa = ps2a. " ._ (XI. 6-7)
Результат этого последнего упражнения дает наиболее часто
используемую форму соотношения между амплитудами и ско-
скоростями всех возможных волн. Тензор А, который вообще яв-
является функцией от. F и X, также как и от п, называется аку-
акустическим тензором, соответствующим волновой нормали п
в том месте х*(Х»0> гДе градиент деформации равен F. Когда
338 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 6
мы хотим подчеркнуть роль волновой нормали, мы пишем
А(п), а не А. Направления собственных векторов А(п) назы-
называются акустическими осями для волновой нормали п, а соот-
соответствующие собственные числа А(п)—акустическими числами.
Предыдущие результаты подытоживает
Теорема Френеля — Адамара. Каждая собственная ампли-
амплитуда а волны ускорения с волновой нормалью п должна быть
собственным вектором тензора А(п); собственная скорость рас-
распространения s, соответствующая этой амплитуде, определяется
с точностью до знака тем обстоятельством, что соответствующее
акустическое число ps2 равно
о а • А (п) а /ЛЛТ Л а\
ps —|ар • (XI. 6-8)
Квадраты скоростей распространения удовлетворяют кубиче'
скому уравнению
(ps2K - Ia (ps2J + HAps2 -Шд = О, (XI. 6-9)
где 1д, НА « П1А — главные инварианты тензора А(п).
Таким образом, собственные скорости и направления воз*
можных амплитуд, переносимых волной с волновой нормалью
п, строго регламентированы функцией реакции ff упругого тела
и деформацией, которой подвержено это тело. Далее," в том слу-
случае, когда известно конкретное значение амплитуды, оно опре-
определяет посредством (8) точно две возможные скорости распро-
распространения: +s и —s. Волны, переносящие скорости и ампли-
амплитуды, которые не удовлетворяют условию распространения
G), не могут существовать. Если а — амплитуда, то амплиту-
амплитудой является и Кя при любом К. Поэтому только направление
амплитуды, но не ее величина, ограничено условием распро-
распространения.
Упражнение XI. 6.2 (Трусделл). Используя (XI. 5-12), показать, что соб-
собственные амплитуды а и скорости распространения s всех слабых волн удо-
удовлетворяют одному и тому же условию распространения, а именно G).
Упражнение XI. 6.3 (по существу Пуассон). Используя общую теорию,
изложенную в § IX. 2, показать, что скорости и амплитуды бесконечно малых
свободных плоских синусоидальных колебаний около однородной конфигура-
конфигурации удовлетворяют условию распространения G).
Поскольку условие распространения G) выражает свойства,
общие многим видам малых возмущений, принято называть
основанную на нем теорию акустической и говорить, несколько
вольно, о любой волне, описываемой ею, как о звуковой волне.
Этим объясняется то, что мы уже добавляли эпитет «акустиче-
«акустический» к различным величинам. Собственные скорости распро-
распространения слабых волн часто называются скоростями звука.
§ 7 ГЛ. XI. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН 33§
Акустические оси и числа, соответствующие данной волновой
нормали п, зависят от тензора упругости упругого материала,
который в свою очередь зависит не только от конкретного места
в x«CS,t), но также и от деформации, которой подвергнуто
упругое тело J?.
При сохранявшейся до сих пор общности мало что опреде-
определенного можно сказать о знаках и кратностях акустических чи-
чисел и множестве акустических осей. Полученные условия пред-
представляют собой лишь необходимые условия. Если они удовле-
удовлетворяются, то из этого совсем не следует, что волна действительно
может существовать. Трудности здесь связаны не только с во-
вопросом о совместимости скоростей волн и амплитуд с данной
формой волны в данном теле, подвергнутом данной деформации,
но даже с тем, что скорости s не обязательно действительны,
а, конечно, мнимая или комплексная скорость волны не имеет
никакого смысла.
В последующих параграфах мы увидим, что ряд простых
результатов можно получить,"когда функция реакции f) удовле-
удовлетворяет некоторым дополнительным дифференциальным тожде-
тождествам или неравенствам.
§ 7. Симметричность акустического тензора.
Гиперупругие материалы
Из (XI. 6-4) или (XI. 6-6) видно, что если тензор упругости
А симметричен в следующем смысле:
Vmp = AAa> (xi. 7-D
То акустический тензор А(п) симметричен для любого п:
А(п) = А(п)т. (XI. 7-2)
Упражнение XI. 7.1. Показать, что это условие эквивалентно такому:
Bkmpq = Bpqkmt (XI. 7-3)
где тензор Допределен согласно (X. 5-6).
Симметричности А(п), разумеется, достаточно для того,
Чтобы существовала по крайней мере одна тройка ортогональ-
ортогональных акустических осей и чтобы акустические числа А(п) были
действительны.
Согласно (VII.2-ll)i условие A) необходимо и достаточно
для того, чтобы функция J) была градиентом функции а от F
и X:
Тх = РА°» (р- Х) = РА°: (XI • 7-4)
Вторую, более короткую запись мы и будем обычно использо-
использовать. По причинам, которые выяснятся в § XII. 7, такая функ-
340 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § ?
ция а называется функцией запасенной энергии, а упругий ма-
материал, имеющий такую функцию, называется гиперупругим.
Раньше при построении теории упругости, как правило, огра-
ограничивались этим случаем, однако мы будем использовать пред-
предположение D) только тогда, когда оно необходимо для того,
чтобы вывести какое-нибудь свойство, которое без этого пред-
предположения не имеет места. Суммируя предыдущие результаты,
мы получаем следующую теорему:
Теорема (Адамар). В гиперупругом теле существует по
крайней мере одна ортогональная тройка акустических осей
для любой волновой нормали, и соответствующие акустические
числа действительны.
Поскольку акустическое число, соответствующее данной аку-
акустической оси, равно ps2, где s — собственная скорость распро-
распространения любой волны, которая может переносить амплитуду,
направленную вдоль этой оси,-и двигаться в направлении п, то
симметричности А(п) самой по себе недостаточно для того,
чтобы гарантировать, что любая скорость будет действительна,
поскольку акустические числа могут быть равны нулю или отри-
отрицательны. Остается возможным случай, когда нет никакой дей-
действительной скорости, удовлетворяющей (XI. 6-7), и когда, та-
таким образом, не могут существовать никакие волны. В следую-
следующем параграфе мы рассмотрим дополнительные неравенства, до-
достаточные для того, чтобы гарантировать, что некоторые или
все скорости s, полученные из условия распространения (XI. 6-7),
будут действительными, в оставшейся же части этого параграфа
мы будем дальше анализировать следствия из1 симметричности
А(п) самой по себе.
Можно доказать теорему, являющуюся частичным обраще-
обращением теоремы Адамара, однако уже с использованием принципа
материальной независимости от системы отсчета, который мы
не привлекали до сих пор в нашем рассмотрении волн.
Прежде всего заметим, что сравнение (X. 5-6) и (Х1.6-6J
показывает сразу, что
^» = S*WV " (XI-7-5)
Требование независимости от системы отсчета налагает требо-
требования симметрии на В, как показано в следующем упражнении.
Упражнение XI. 7.2 (Тупин & Бернштенн). Показать, что из принципа ма-
материальной независимости от системы отсчета вытекает требование, чтобы
тензор В, определенный согласно (Х.5-6), удовлетворял тождествам
~ gkmpq __ gmkpq =Я1 gkp-pmq _ gmp-pkq^
Bkmpq _ gkmqp _ gkpTmq __ gkqTmpi (XL 7-6)
gkmpq _ gmkqp „ gkpjmq _
§ 8 ГЛ. XI. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН 341
Следовательно, необходимое и достаточное условие того, что Т = 0, имеет
gkmpQ __ gmkpq _ gkmqp^ щ 7_7)
Из E) видно, что тензор А(п) симметричен тогда и только
тогда, когда
Для того чтобы это условие выполнялось для каждого п, необ-
необходимо и достаточно, чтобы разность Bhvmi — gh
антисимметрична относительно р и q:
gkpmq gmpkq I gkqmp gmqkp __ g
Перестановка индексов дает
gPkqm _ gqkpm ц_ gpmqk ._ gqmpk _ q_
Складывая (9) и A0), получаем
gkmpq l. gPkqm gmqkp __ ^qmpk __
_- Qtnpkq gpmqk , gqkpm fikqmp /j^j y_j j\
Упражнение XI. 7.3 (Бернштейн). Используя тождества F), показать,
что A1) сводится к C).
Таким образом, доказана
Теорема Бернштейна, обратная к теореме Адамара. Если
тензор А(п) симметричен для всех п, го материал гиперупруг.
Разумеется, остается возможность, что тензор А(п) симмет-
симметричен для некоторого п, не будучи таким для всех п, и в § 9 мы
встретимся с подобными примерами.
§ 8. Последовательности различных дополнительных
неравенств
С одного взгляда на формулу, которая определяет скорости
s, соответствующие известной амплитуде а, а именно на фор-
формулу ¦
пл — а • А (п) а
Р — а5 ' (X1.D-8)
видно, что для того, чтобы для всех волн скорости были дей-
действительными, достаточно выполнения следующего неравенства:
а-А(п)а>0 Va Ф 0, Vn. (XI.8-1)
С помощью (XI. 6-4) мы можем записать это условие непосред-
ственнр через тензор упругости _А:
AakJakambabp>0 Va Ф 0, Vb Ф 0, (XI. 8-2)
342 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 8
или, в бескоординатной записи,
tr (A_(F) [а ® Ь](а ® Ь)т} > 0 Va Ф 0, Vb Ф 0. (XI. 8-3)
Оператор к, удовлетворяющий этому условию, называется
сильно эллиптическим (или S-E-операторомI). Это условие на-
налагает ограничение только на симметричную часть оператора
А. Эквивалентным образом это S-E-условие можно выразить
с помощью оператора IJ:
Bkmpqakbmapba > 0,
г q ., Va # 0, Vb Ф 0. (XI. 8-4)
tr[B(F)[a<g>b](a<g>b)T}>0,
S-E-условие легче интерпретировать в случае, когда анти-
антисимметричная часть оператора _А обращается в нуль. Объеди-
Объединяя ряд результатов двух предыдущих параграфов, мы полу-
получаем следующую теорему.
Теорема (Адамар). В каждом месте некоторой области, где
тензор упругости гиперупругого тела сильно эллиптичен, суще-
существует для каждой волновой нормали п по крайней мере одна
ортогональная тройка акустических осей, и слабая сингулярная
поверхность, соответствующая любой акустической оси, пред-
представляет собой волну.
S-E-условие, поскольку оно предписывает акустическим чис-
числам быть положительными, запрещает не только мнимые ско-
скорости волн, но также и равные нулю скорости. В частности, не-
невозможны слабые материальные сингулярные поверхности: ка-
каждая слабая сингулярность должна распространяться.
Теорема была сформулирована для некоторой области, по-
поскольку возможно, что S-E-условие для одних значений F спра-
справедливо, а для других нет. Таким образом, если в одной части
деформированного упругого тела S-E-условие удовлетворяется,
то не обязательно то же должно быть и в остальных частях.
Разумеется, S-E-условие, поскольку оно является дополнитель-
дополнительным, может быть наложено на тензор упругости A(F) для всех
F, и в этом случае утверждение теоремы Адамара справедливо
при всех возможных деформациях тела. Наиболее подходящим
примером здесь служит, как мы вскоре увидим, классическая
линейная теория.
Сравнивая условие D) с ОСЫ+-условием (X. 5-9), мы ви-
видим, что оба они имеют вид
tr{B[G]GT}>0 (XI. 8-5)
1) От strongly elliptic. — Прим. ред.
§ 8 ГЛ. XI. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН 343'
для всех тензоров G определенного вида, а именно:
QCN+ — для всех симметричных ненулевых G, /jq g_g\
S-E — для всех ненулевых G вида a <g> b.
Это обстоятельство наводит на мысль, что S-E и GCN+ пред-
представляют собой несравнимые условия: ни одно из них не влечет
другое, и можно показать примерами, что это действительно,
так. Принятие условия для всех ненулевых G означало бы, ко-
конечно, что выполняются как S-E, так и GCN+. Но, как было'
показано в другом контексте в § 4, такое требование недопу-
недопустимо, поскольку не зависящее от системы отсчета определяю-
определяющее соотношение может удовлетворять ему лишь для специаль-
специальных видов напряженных состояний.
Несколько более слабым, чем S-E-условие, является усло-
условие Адамара (или Н-условие)
tr{B[G]GT}>0 (XI. 8-7);
для всех G вида а <8> Ь. Если выполняется Н-условие, то ника-
никакое акустическое число не может быть отрицательным, хотя'
может быть равным 0. Таким образом, Н-условие допускает
слабые материальные сингулярные поверхности, а в остальном
формулировка теоремы Адамара не изменяется. Как мы ви-
видели в § X. 5, при выполнении GCN-условия неравенство G),
справедливо для всех симметричных G.
Упражнение XI. 8.1. Используя результат, приведенный в упр. XI. 7.1, по-
показать, что в естественной конфигурации
E . м>
В § X. 4 мы показали, что для бесконечно малых дефор-
деформаций из известной конфигурации условия GCN+ и GCN сво-
сводятся к одному и тому же условию, которое представляет собой
типичное дополнительное неравенство теоряи бесконечно малых
деформаций. В этой теории, конечно, каждая конфигурация яв-
является приближенно естественной конфигурацией. Поэтому со-
сочетание (8) с теоремой Адамара приводит к типичному резуль-
результату теории бесконечно малых деформаций, принадлежащему
по существу Френелю:
Для любой волновой нормали существует ортогональная
тройка акустических осей, и соответствующие акустические
числа положительны.
Как мы уже отмечали, волны, вообще говоря, не являются
ни продольными, ни поперечными. Как GCN+-, так и S-E-усло-
рия достаточны для того, чтобы по крайней мере одна волновая
344 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 8
нормаль п допускала продольную амплитуду. В "самом деле,
в F) любое из условий позволяет нам взять G = a <g> а, где
а ф 0; следовательно,
n-A(n)n>0 Vn. (XI. 8-9)
Про материал, удовлетворяющий этому условию, которое сла-
слабее, чем любое из условий GCN+ или S-E, говорят, что он об-
обладает положительной продольной упругостью. Само по себе
(9) гарантирует, и это тривиально, что если п — амплитуда, то
соответствующее акустическое число положительно, однако в-
действительности имеет место сильная
Теорема (Фёдоров, Стиппс, Трусделл). Для материала, обла-
обладающего положительной продольной упругостью, по крайней
мере одна продольная амплитуда удовлетворяет условию рас-
распространения (XI. 6-7), и соответствующее акустическое число
положительно.
Доказательство. В силу предположения-(9) мы можем поло-
положить
и заключить, что единичный вектор m(n) образует острый угол
с п. Следовательно, m(n) отображает поверхность единичной
сферы саму на себя и ни одну точку не переводит в противо-
противоположную, Поскольку А(п)п — не обращающийся в нуль1) по-
полином относительно п, так определенное отображение непре-
непрерывно. Согласно теореме о неподвижной точке2), любое такое
отображение имеет неподвижную точку. Таким образом, суще-
существует единичный вектор nt, такой, что m(n;) = n;. Согласно A0)
A(n/)n/||n,, поэтому пг— продольная амплитуда. ¦
Для гиперупругого материала S-E-условие обеспечивает су-
существование ортогональной тройки акустических осей, всех
с положительными акустическими числами. Отсюда вытекает
Следствие (Трусделл). Во всяком месте, где выполняется
S-E-условие, имеется по крайней мере одна волновая нормаль,
для которой продольная амплитуда и две ортогональные попе-
поперечные амплитуды удовлетворяют условию распространения;
соответствующие акустические числа положительны.
В месте, где Т = 0, в действительности имеются по крайней
мере три различные, волновые нормали, которые допускают
') При ненулевых значениях аргумента. — Прим. ред.
2) См., например, теорему 8.7 на стр. 132 книги: Bourgin D. G., Modern
Algebraic Topology, New York, MacMillan, 1963 [или теорему 3.2 на стр. 12
книги: Ху Сы-цзян, Теория гомотопий, «Мир», М., 1964
теорему
. - Ред).
§ 9 ГЛ. XI. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН 345
продольные амплитуды1). Так обстоит дело, в частности, в
классической линейной теории, поскольку, как мы видели, клас-
классическое дополнительное неравенство влечет S-E.
§ 9. Слабые волны в изотропных материалах
Мы уже вывели специальную форму первого закона движе-
движения Коши для однородных изотропных материалов:
F PqB m + pb = p%, (XI.4-21)
где F определяется согласно (VII. 4-22). Легко показать или не-
непосредственно рассматривая это уравнение, или при помощи
подстановки в (XI.7-5), что акустический тензор А(п) для изо-
изотропного материала дается формулой
Akm(n) = 2FipmqBqrnrnp. (XL 9-1)
В главных осях, конечно,
[B] = diag(u2, v\, vj). (XI. 9-2)
Пусть единичный вектор п имеет главные компоненты cos 0i,
cos 02 и cos 0з. Воспользовавшись (I), B) и формулами
(VII. 4-23) для главных компонент тензора F, мы без труда
вычислим главные компоненты тензора А(п):
А (II) (п) = (dIog „/,) cos2 9, + -^р^ vi cos2 02 +
2 2 3 3' 1^ж1» У~О1
), cos 02, ... .
Мы предполагаем, что в этих выражениях главные растяжения
различны, поскольку мы используем «верхний» из двух вариан-
вариантов формулы (VII. 4-23)з- Читатель может легко сделать по-
поправки, необходимые, если две или более из компонент Vi равны
между собой.
Главная волна — это волна, волновая нормаль которой на-
направлена вдоль главной оси растяжения. Например, мы -можем
в качестве п взять единичный вектор т\\ вдоль оси с номером 1,
1) Этот результат был доказан Колоднером (I. Kolodner, Existence of lon-
longitudinal waves in anisotropic media, J. Acoust. Soc. Amer., 40 A963),
730—731). To, что его доказательство основано на (XI. 7-7) и поэтому про-
проходит на самом деле лишь при Т = 0, было замечено в статье: Truesdell С,
Comment on longitudinal waves, /. Acoust. Soc. Amer., 43 A968), 170,
34E ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 9
так что его компонентами будут A,0,0). Тогда C) дает
dloe0ltl,
v]-^\, ' (XI. 9-4)
Поскольку тензор [А(П|)] диагоналей в этой системе отсчета,
доказана, следующая
Теорема (Трусделл). Главные оси растяжения являются
также акустическими осями для главных волн.
Поскольку главные оси растяжения взаимно ортогональны,
имеется одна продольная акустическая ось и по крайней мере
две поперечные. Если, как обычно принимается, продольное
акустическое число отличается от обоих поперечных акустиче-
акустических чисел, то каждая главная волна в изотропном материале
является или продольной, или поперечной. В исключительном
случае, который, по-видимому, не представляет никакого инте-
интереса, условию распространения удовлетворяют еще дополни-
дополнительные амплитуды, которые не являются ни поперечными, ни
продольными. (Читателю следует, между прочим, вспомнить,
что, хотя для изотропного материала главная ось растяжения
представляет собой также главную ось напряжений, обратное
неверно, поэтому было бы неправильно предположить, что ка-
каждая волна, нормаль к которой направлена вдоль главной оси
напряжений, является главной волной.)
Скорости главных волн можно вычислить сразу из D) и
(XI. 6-9). Первый раз возьмем саму нормаль П| в качестве ам-
амплитуды, и пусть Su будет скоростью соответствующей продоль-
продольной волны. Тогда
ps», -п, • А(п.)п, = АA1>(п,) = dlogvtv (XL 9-5)
Второй раз положим амплитуду равной поперечному единич-
единичному вектору пг, скажем, с компонентами @,1,0), и пусть s^
будет скоростью соответствующей поперечной волны. Тогда
) = ^4114- (XI. 9-6)
°1 ~~ °2
Эти формулы, которые впервые были получены Эриксеном, вы-
выражают скорости главной волны непосредственно через каса-
касательные модули растяжения вдоль трех главных осей и секу-
секущие модули сдвига в трех перпендикулярных к ним плоскостях.
В общем случае имеется 9 различных квадратов скоростей
волны s2ab.
§ 9 ГЛ; XI. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН 347
Упражнение XI. 9.1 (Трусделл). Доказать, что в случае, когда давление
р(р) производит объемное расширение с растяжением v из естественной кон-
конфигурации, девять квадратов скорости волны сводятся к двум. Обозначив
через sx скорость поперечной волны и через Sy скорость продольной волны,
доказать, что
Sj.=-^-(k, + 2u2«2),
где Кг — коэффициенты реакции в соотношении для напряжений (VII. 4-13).
Конкретизируя эти результаты для случая бесконечно малой деформации из
естественной конфигурации, вывести теорему Пуассона — Кристоффеля
Более общим образом показать, исходя из G) без всяких ограничений, что
sl = js2x + p'(p). (XI. 9-9)
Ввиду (XI. 5-6) последний результат показывает, что в изо-
изотропном упругом твердом теле, которое подвергнуто действию
гидростатического давления и в котором распространяются по-
поперечные волны, скорость продольных волн всегда больше, чем
в жидкости, имеющей ту же самую функцию давления.
Упражнение XI. 9.2 (Эрнксен & Тупнн). Доказать, что для изотропных
материалов
S-E =#> Т-Е& В-Е. (XI. 9-Ю)
Упражнение XI. 9.3. Показать, что в некоторых отсчетных конфигурациях,
а именно в любой неискаженной конфигурации
А(п) = (Л + ц)п<8)п + иЛ, (XI. 9-1!)
где А, и \х — коэффициенты Ламэ для бесконечно малой деформации из этой
Конфигурации, и отсюда вывести опять теорему Пуассона — Кристоффеля.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
(работы общего характера)
NFTM, §§ 71—78 и 90.
IRE, гл. VI.
J. Hadatnard, LeQons sur la propagation des ondes, Paris, Hermann, 1903.
J. L. Ericksen, On the propagation of waves in isotropic incompressible per-
perfectly elastic materials, /. Rational Mech. Anal., 2 A953), 329—337,
348 ' ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 9
(Воспроизведено в «Continuum Mechanics IV. Problems of Non-linear
Elasticity», ed. С Truesdell, N. Y., Gordon & Breach, 1965.)
R. A. Toupin & B. Bernstein, Sound waves in deformed perfectly elastic mate-
materials Acousto-elastic effect, /. Acoust. Soc. Amer., 33 A961), 216—225.
(Воспроизведено в только что упомянутой книге «Continuum Mecha-
Mechanics IV».)
С. Truesdell, General and exact theory of waves in finite elastic strain, Arch.
Rational Mech. Anal., 8 A961), 263—296. (Воспроизведено в упомяну-
упомянутой книге «Continuum Mechanics IV» и в «Wave Propagation in Dissipa-
tive Materials», N. Y., Springer, 1965.)
P. J. Chen, Wave motion in solids, Fltigge's «Handbuch der Physik», Yla/3,
ed. С Truesdell, Berlin etc., Springer, 1972.
Глава XII
УСТОЙЧИВОСТЬ, ЭНЕРГИЯ И РАБОТА
§ 1. Тождество Кирхгофа- Устойчивость
В классической теории бесконечно малых деформаций един-
единственность доказывается обычно с помощью тождества, полу-
полученного Кирхгофом. Само это тождество легко обобщается
на случай конечных деформаций. Мы начнем с дифференциаль-
дифференциального уравнения равновесия, которое следует из (VII. 2-6)ь
а именно уравнения
DivTM + P)ib = 0, (XII. 1-1)
где определяющее соотношение имеет вид
T* = lj(F). (VII. 2-7)
Мы предполагаем, как обычно, что упругое тело Я отнесено
к отсчетной конфигурации x(J?) и F= V \, и пусть, как обычно,
соответствующие усилия и положения на границе дх($) после
деформации обозначаются через t, и х. Используя в качестве
основной отсчетную конфигурацию х(Щ, другую конфигурацию
тела Я, подвергнутого действию массовых сил Ь* при граничных
условиях tx и х* и при напряжениях Пиолы Т» = %{?*), обозна-
обозначим через х* = Хх(Х). Тогда, конечно, тоже
DivT; + pxb* = 0. (ХПЛ-2)
Упражнение XII. 1.1 (по существу Кирхгоф). Вычитая A) из B) и инте-
интегрируя по и (Я), доказать, что
J (x;-xx).(t:-tx)dA =
{ tr{(T:-iy)(F<T-FT)}<rt\ (XII. 1-3)
Если обе конфигурации X* и Хх соответствуют одним и тем же
массовым силам, то b* = b в х($), и если обе конфигурации
соответствуют одним и тем же смешанным граничным условиям
для усилий и перемещений, то на дхC&) или ХХ = ХХ, или t* = t».
350 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § I
Таким образом, левая часть C) обращается в нуль, поэтому
0= Jtr{(T;~T»)(F*T-FT)}dV. (XII. 1-4)
В теории бесконечно малых деформаций из естественной конфи-
конфигурации условия, которые обеспечивают положительность под-
интегральной функции в правой части, если F* и F отличаются
не только поворотом, налагаются дополнительно. Отсюда сле-
следует, что два поля деформаций отличаются друг от друга са-
самое большее поворотом.
Упражнение XII. 1.2 (Кирхгоф). Используя дополнительное неравенство
(X. 1-1), подробно доказать утверждения, сделанные в двух последних
фразах.
В классической теории бесконечно малых деформаций ка-
каждое решение устойчиво в смысле, который мы вскоре опреде-
определим. Устойчивость этого типа, поскольку она имеет место авто-
автоматически, почти тривиальна. Когда мы пробуем, однако, по-
подойти к исследованию понятия устойчивости вообще, оказы-
оказывается, что трудно не только исследовать, но в первую очередь
даже точно определить его. Наиболее, по-видимому, естествен-
естественная идея заключается в том, чтобы равновесную конфигурацию
%(&) тела 38 считать устойчивой, если это тело, будучи чуть
деформировано из х(^)> само по себе возвращается к %($)
через достаточно большое время или по крайней мере мало от-
отклоняется от %{$) в течение всего последующего времени. Это
понятие, несмотря на свою привлекательность, нечетко, по-
поскольку ничего не говорится о силах или связях, которые дей-
действуют на $ в течение его малой деформации из %{$) и после
нее, однако очевидно, что различные распределения сил и свя-
связей приводят, вообще говоря, к различному поведению. Дело
не только в этом. Для того чтобы такой критерий стал эффек-
эффективным, должно быть известно определяющее соотношение для
$ в произвольном движении, однако опыт с реальными телами
показывает, что устойчивость равновесной конфигурации часто
слабо связана со спецификой реакции тела на характер изме-
изменения деформации во времени.
Наиболее раннее исследование устойчивости, которое было
выполнено Архимедом, относится к твердым телам, погружен-
погруженным в то, что мы теперь называем несжимаемой упругой жид-
жидкостью, и никак не использует представления о движении.
В аналитической динамике систем, подвергнутых действию кон-
консервативных внешних сил и сил взаимодействия (см. § 1.14),
известная теорема Дирихле сводит динамическое понятие устой-
устойчивости к статическому понятию, правда, силами и ценой пол-
полного пренебрежения такими эффектами, как трение между
I 1 ГЛ. XII. УСТОЙЧИВОСТЬ, ЭНЕРГИЯ И РАБОТА 351
телами системы и внешнее трение, поскольку в этой теории
ограничиваются только консервативными силами. Никакая тео-
теорема такого рода не известна в настоящее время даже для
простейших классических теорий сплошных тел. На самом деле
имеются интересные контрпримеры, которые показывают, что
никакое соотношение такого рода и не может быть справедливо
в общем случае. Однако большинство классических исследова-
исследований устойчивости покоится на том или ином статическом
критерии.
В этой книге мы не будем затрагивать никаких общих кон-
концептуальных проблем, касающихся понятия устойчивости1),
а для определенности примем и рассмотрим одно конкретное
статическое определение, которое включает в качестве частных
случаев довольно большое число определений, предложенных
и изученных в прошлом. Таким образом, я не претендую на то,
что это математическое определение отражает полностью и без
исключений физическое понятие устойчивости, и тем. более
я не утверждаю, что нельзя было бы предложить какое-нибудь
другое определение. Вместо этого — и особенно потому, что
в технической литературе в рассуждениях, связанных со ело*
вом «устойчивость», есть много неясного, если не сомнительного
или даже ошибочного, — я хочу на примере показать изучаю-
щему, какого рода результаты могут быть строго получены из
анализа явного и точного определения. В соответствии с по
существу консервативной и традиционной точкой зрения, пр"о*
водимой всюду в этой книге, выбранное частное определение
представляет собой классическое определение, хотя в свете не-
недавно опубликованных или проводимых сейчас исследований это
определение может оказаться в конце концов просто условным
и второстепенным.
В § X. 4 мы рассмотрели одно общее требование к знаку
подинтегрального выражения, а именно
tr{(T;-Tx)(F*T-FT)}>0, VF'^F, (X. 4-1)
и мы отказались от него потому, что ему не может удовлетво-
удовлетворять никакое определяющее соотношение, не зависящее от
системы отсчета, за исключением особых специальных видов
напряженного состояния. Рассуждения, приведенные там в
порядке возражения, относятся только к парам деформаций,
отличающихся друг от друга на поворот или инверсию: F* =.
') Эти проблемы подробно обсуждаются и всесторонне освещаются в пол*
ном и превосходном обзоре известных в настоящее время теорем об устой*
чивости и относящихся сюда различных определений: Knops R. & Wilkes Е. М.,
Theory of Elastic Stability, Encyclopedia of Physics, VIa/3, ed. C, Truesdell
Berlin, etc, Springer, 1972,
352 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 1
= QF, где Q — ортогональный тензор. Мы можем обойти эти
"возражения, отказавшись от рассмотрения таких пар деформа-
деформаций и требуя, кроме того, выполнения неравенства только
в среднем, а не в каждой точке. Мы будем говорить, что кон-
конфигурация х» (&) упругого тела $ с соотношением для напря-
напряжений (VII. 2-7) устойчива по Адамару, если
J tr{ft(F*)-^(F)][rT-FT]}dF>0 (XII. 1-5)
для всех F*, где, конечно, F = VX,,, и сверхустойчива по Адамару,
если
f> (F)] [F<T - FT]} dV > 0 (XII. 1-6)
j tr
для всех F*, которые не имеют вида QF для некоторого ортого-
ортогонального тензора Q. Это условия только на &, f) и Х„, по-''
скольку мы не требуем, чтобы рассматриваемые две деформа-
деформации уравновешивались одними и теми же полями массовых
сил. Для наших целей здесь не будет никакой потери общности,
если взять х и %ж одинаковыми. Тогда приведенные два усло-
условия примут вид
-l])dV>0 (XII. 1-7)
jtr{[f)(F)-l)(l)}[F-l]}dV>0 (XII. 1-8)
соответственно, причем первое должно выполняться для всех
невырожденных F, а последнее — для всех невырожденных
и неортогональных F. Если, однако, мы захотим потребовать,'
чтобы все вообще конфигурации или все конфигурации в пре-
пределах некоторого определенного класса были устойчивы или
сверхустойчивы по Адамару, то формулы G) и (8) становятся
неудобными для использования, поскольку нам в них надо
тогда писать fjx вместо ^ и требовать затем, чтобы они были
справедливы для всех х. В рассмотрениях такого типа пред-
предпочтительнее использовать одну-единственную конфигурацию
х, выражать наши условия в форме E) и F) и требовать, чтобы
первое выполнялось для всех пар F, F* или чтобы второе вы-
выполнялось для всех пар таких, что тензор F*F~' не ортогонален.
Несмотря на их формальное сходство, устойчивость и сверх-
сверхустойчивость по Адамару представляют собой несравнимые по-
понятия. Устойчивость не влечет сверхустойчивости, поскольку
для неортогонального F допускается «=», согласно G); в ка-
§ 1 ГЛ. ХМ. УСТОЙЧИВОСТЬ, ЭНЕРГИЯ И РАБОТА 3S3
честве примера достаточно рассмотреть материал, который
имеет две естественные конфигурации, не получающиеся одна
из другой чистым поворотом1). Сверхустойчивость не влечет
устойчивости, поскольку G) представляет собой утверждение
о всех невырожденных F, в то время как (8) не налагает со-
совсем никаких условий на те F, которые ортогональны.
Условие сверхустойчивости дает возможность нам начать
зондирование вопроса о единственности, поскольку оно почти не-
несовместимо с необходимым условием D), которому должны
удовлетворять любые две статические деформации данного
упругого тела, соответствующие одним и тем же граничным
условиям и массовым силам. В самом деле, из F) следует, что
соотношение D) не может выполняться, если только не ока-
окажется, что для некоторого ортогонального тензора Q имеет
место равенство F* = QF. Можно показать, что ортогональная
деформация обязательно однородна и, таким образом, пред-
представляет собой произведение жесткого поворота на ±1. Мы
установили следующую теорему:
Теорема. Если, конфигурация хC1) сверхустойчива при опре-
определенных граничных условиях на усилия и перемещения, то
любые две статические деформации %х (&), соответствующие
граничным условиям и одному и тому же полю массовых сил,
должны получаться одна из другой при помощи жесткого по-
поворота.
Схематически:
,. статическая единственность
сверхустойчивость Ф с точНоСтьЮ до ПОВОрОта.
.Немного сделано в отношении представлений об устойчи-
устойчивости, за исключением частного случая бесконечно малых де-
деформаций, к которому мы и обратимся.
§ 2. Устойчивость по отношению
к бесконечно малым деформациям
Когда допускаются лишь бесконечно малые деформации,
предыдущие рассмотрения становятся менее ограничительными
и более полезными. Возьмем в качестве отсчетной ту конфигу-
') Эта возможность может показаться чистой абстракцией тем, чья «ин.*
туиция» основывается только иа представлениях о бесконечно малых дефор-
деформациях,, однако ее легко наглядно представить себе исходя из молекулярной
модели. Например, если мы совершаем сдвиг бесконечной одиоатомиой куби-
кубической кристаллической решетки иа прямой угол, то решетка переходит сама
в себя, поэтому, если напряжения в ней представляют собой межмолекуляр-
межмолекулярные взаимодействия и если напряжение первоначально равнялось нулю, то
оно должно стать опять нулевым после сдвига,
354 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИЙ УПРУГОСТИ $_2
рацию, устойчивость которой будем изучать, скажем к. Тогда
мы можем положить Fo = 1 в общем линейном определяющем
соотношении (XI. 4-3) и получить
(XII. 2-1)
где Ао = АхA) и Н —градиент бесконечно малой деформации
из x(J); таким образом, F=l и F*=l + H, поэтому
tr {(Т* - То) (F'T - FT)) = tr {Ао [Н] Нт) = AokaJukau% (XII. 2-2)
где и —вектор бесконечно малого перемещения.
Если
J tr{A0[H]HT}dF>a (XII.2-3)
для градиента Н любого поля перемещений и, которое совме-
совместимо с поставленными граничными условиями для усилий
и перемещений, то конфигурацию х{$) будем называть устой-
устойчивой по Адамару по отношению к бесконечно малым дефор-
деформациям при рассматриваемых граничных условиях. Это опре-
определение подсказывается соотношением (XII. 1-5) и представ-
представляет собой предельную форму, которую оно принимает при
бесконечно малых деформациях (ср. с § IX. 1). Поэтому полная
бесконечно малая работа усилий, требуемых для того, чтобы.
вызвать бесконечно малую деформацию, совместимую с гранич-
граничными условиями в такой конфигурации, по меньшей мере столь
же велика, как и работа, которая потребовалась бы, если бы мы
смогли произвести ту же самую деформацию при исходных на-
нагрузках.
Очевидно:
устойчивость по Адамару
устойчивость ^no отношению к бесконечно (XII. 2-4)
по Адамару малым дефОрмациям>
однако обратное, вообще говоря, неверно.
Аналогично, если
J tr{Ao[H]HT}dF>O (XII. 2-5)
для всех Н, отличных от чистых поворотов, т. е. для всех Н, ко-
которые не антисимметричны, то конфигурация х(&) называется
сверхустойчивой по Адамару по отношению к бесконечно ма~
лым деформациям.
Как частный случай теоремы, сформулированной в конце
§ XII. 1, или с помощью простого непосредственного рассужде-
рассуждения, основанного на E), может быть получена следующая
основная
§ 3 ГЛ. XII. УСТОЙЧИВОСТЬ, ЭНЕРГИЯ И РАБОТА 355
Теорема единственности (Эриксен & Тупин, Хилл):
А статическая един-
сверхустоичивость по Адамару ственность по отно- /VTT oft,
по отношению к бесконечно =#> шеНию к бесконечно (х"-2)
малым деформациям малым поворотам.
Упражнение XII. 2.1. Показать, что деформация, градиент которой анти-
антисимметричен, является постоянной, и, исходя из этого, построить доказатель-
доказательство импликации F), основанное непосредственно на E).
Таким образом, конфигурация, для которой нарушается
единственность решения статической граничной задачи, не мо-
может быть сверхустойчива по Адамару по отношению к беско-
бесконечно малым деформациям, хотя она может быть устойчива по
Адамару по отношению к таким деформациям.
Упражнение XII, 2.2. Показать, что дополнительное неравенство (X. 1-2)
достаточно для того, чтобы естественная конфигурация была как устойчива,
так и сверхустойчнва по Адамару по отношению к бесконечно малым дефор-
мнцням. Исходя из этого, вывести классическую теорему единственности
Кирхгофа.
Упражнение XII. 2.3. Доказать, что если b = 0, то дифференциальным
уравнениям для бесконечно малой деформации удовлетворяют синусоидаль-
синусоидальные колебания u (x, t) = U (x) sin at, где со/2я — частота. Такие колебания
называют свободными, если
J
Tx-T0)nxrf4 = 0. (XII. 2-7)
Так будет, например, если граница дхC&) свободна от усилий. Доказать, что
если конфигурация хC8) устойчива по Адамару по отношению к бесконечно
малым деформациям, то в свободном колебании <о2 Ds> 0, и если х(9$) сверх-
сверхустойчнва по Адамару по отношению к бесконечно малым деформациям, то
О2>0.
§ 3. Основная теорема Адамара
Условия устойчивости и сверхустойчивости по Адамару по
отношению к бесконечно малым деформациям имеют интеграль-
интегральную форму. Естественно попытаться связать их с локальными
неравенствами.
В § X. 5 мы рассмотрели ОСЫ+-условие. Если мы исполь-
используем нижний индекс 0 для обозначения величин, вычисленных
при F=l, то согласно (X. 5-6) имеем А0=В0. Таким обра-
образом, GCN+-ycJiOBHe (X. 5-9) можно записать в виде
tr(A0[D]D)>0 (XII. 3-1)
для всех симметричных ненулевых D. Это условие не может
обеспечить устойчивость или сверхустойчивость, поскольку оно
12*
356 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 3
вообще не дает никакой информации, касающейся тех Н, кото-
которые не симметричны. Оно приводит к ограниченной теореме
единственности, а именно:
никакая смешанная статическая граничная
г+ задача не может иметь двух решений, отли- .
иы\ =9 чаЮщИХся на бесконечно малую чистую меру i.A11-d'^
деформации.
Доказательство непосредственно следует из (XII. 1-3). Более
важный результат обратного типа представляет основная тео-
теорема Адамара об устойчивости:
устойчивость по Адамару по отношению^.. ,„„ „ „>
к бесконечно малым деформациям =^м. (All. d-d)
Здесь Н обозначает неравенство Адамара:
tr{A0[a<8>b](a<8>b)T}>0 (XI. 8-7)
для всех векторов а и Ь. Эта замечательная теорема утвер-
утверждает, что для того, чтобы конфигурация v,($) была устойчи-
устойчивой по отношению к бесконечно малым деформациям для любой
смешанной граничной задачи, локальное неравенство (XI. 8-7)
должно выполняться в каждой точке.
Доказательство1) (Нолл, Ван). Прежде всего заметим, что
если как поле и, так и его градиент Н обращаются в нуль на
дхC1), то и, рассматриваемое как дополнительно наложенное
бесконечно малое смещение, совместимо с любыми данными
граничными условиями для перемещений и усилий, которым
удовлетворяет конфигурация кC8), устойчивость которой ис-
исследуется. Поэтому условие, выведенное из (XII. 2-3) для лю-
любого конкретного и этого типа, будет необходимым условием
для устойчивости по Адамару по отношению к бесконечно ма-
малым деформациям. В связи с этим рассмотрим бесконечно ма-
малые смещения вида
u = <pu0, (XII. 3-4)
где <р — скалярное поле с компактным носителем в к(^), та-
такое, что
Ф(Х0) = 1 (XII. 3-5)
в некоторой произвольной отсчетной точке Хоек(^), а и0 =
= и(Х0)—некоторый произвольный ненулевой постоянный век-
') формулировка Адамара относилась к граничным условиям для пере-
перемещений для гиперупругих тел, и его доказательство было неполно. Первое'
доказательство утверждения Адамара было дано Каттанео. Общая теорема и
ее первое доказательство принадлежат Ноллу (NFTM, § 68 bis). Другое до-
доказательство см, в IRE, § III, 8B.
§ з ¦ гл. хи. устойчивость, энергия и равотл 357
тор. Поскольку смещение D) по предположению тождественно
обращается в нуль вблизи дх(<Я), его градиент
H = (Grad<p)u0 (xh. 3-6)
обращается в нуль на дх(<%) и, следовательно, усилия; соот-
соответствующие и, также обращаются в нуль на дх(ЗИ). Таким
образом, поля и, определяемые согласно D), можно подставить
в (XII.2-3), с тем чтобы получить необходимые условия устой-
устойчивости для всех трех типичных граничных задач. Результат бу«
дет иметь вид
J Gradqp-SGradqpdFX), (XII.3-7)
где S — симметричное тензорное поле, определяемое формулой
5аР = j (V/ + Vm") «о V- (XII. 3-8)
Положим
S0 = S(X0). (XII. 3-9)
Мы утверждаем, что Н-неравенство (XI. 8-7) эквивалентно
утверждению, что тензор So неотрицательно определен для ка-
каждого вектора и0 и каждого места Хо в x(J). Докажем этот
факт.
Поскольку предполагается, что компоненты" Akam^ непре-
непрерывны, непрерывным будет и S. Поэтому для любого данного
положительного е существует окрестность Jf точки Хо, такая,
что
тензор So — S(X)-f-el неотрицательно
определен VX e Jf.
Подстановка A0) в G) дает
0< J {Grad<p-S0Grad<p-f-e(Grad<pJ}dF (XII.3-11)
при условии, что носитель функции ф содержится в окрестности
Jf. Воспользуемся декартовой системой координат ХА, начало
которой расположено в Хо, а оси направлены вдоль трех орто-
ортогональных собственных векторов тензора So. Тогда имеем
3, (XII. 3-12)
A=l
где Si, «2, «3 — собственные числа тензора So.
358 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 3
Для того чтобы завершить доказательство, нам надо только
пвказать, что
sA>0, А = \, '2,Л (XII. 3-13)
Чтобы в этом убедиться, допустим, "Что /(*)—произвольная
функция класса С°°, носитель которой содержится в интервале
(—1,1) и значение которой при х = 0 равно 1. Положим
1 1
а = J f (xfdx > О, р= J [f{x)fdx > 0. (XII. 3-14)
-1 -1
Далее, для любого 6>0 определим функцию f&(x) формулой
Ы*)-/(тг). (XII. 3-15)
Тогда значение f& при х = 0 по-прежнему равно 1, однако но-
носитель f6 содержится в интервале (—6,6); далее, мы имеем
Таким образом,
б i
J[M*)Fd*-6 Jf(fJ <*(?) = ой (XII.3-17)
-8 -I
-в -1
Выберем функцию ф в D) следующим образом:
, X2, X^^f^mf^X^f^JP), (XII. 3-19)
где Si, 82, 83 достаточно малы, так что прямоугольный паралле-
параллелепипед, центр которого находится в Хо и ребра которого па-
параллельны координатным осям и имеют длины 26ь 2бг и 2бз
соответственно, содержится в окрестности /С. Очевидно, ф при-
принадлежит классу С00 и принимает значение 1 в начале коорди-
координат Хи. При таком выборе ф A7) и A8) дают
(XII. 3-20)
и аналогичные выражения получаются для А = 2, 3. Подста-
Подстановка B0) в A2) даёт
^ ^} (XII.3-21)
§ 4 ГЛ. XII. УСТОЙЧИВОСТЬ, ЭНЕРГИЯ Й рАБбТА 3S9
Поскольку это неравенство должно выполняться для всех до-
достаточно малых положительных 6ь бг, бз и е, ясно, что все три
собственных числа Sa должны быть неотрицательны. ¦
В силу результатов о распространении волн, приведенных
в § XI. 8, теорема Адамара означает, что в конфигурации, устой-
устойчивой по Адамару по отношению к бесконечно малым деформа-
деформациям для любой смешанной граничной задачи, все акустические
числа неотрицательны. Отсюда следует, что в случае, когда
акустический тензор симметричен, так что имеется по крайней
мере одна тройка ортогональных акустических осей, в каждой
точке конфигурации, устойчивой по Адамару, существуют для
любой данной волновой нормали по крайней мере три взаимно
ортогональные амплитуды с тремя действительными скоростями
распространения. Одна или более из этих скоростей могут об-
обращаться в нуль.
§ 4. Однородные конфигурации
В общем случае Ао является функцией положения в х(&).
Если v, — однородная конфигурация, то, конечно, тензор Ао по-
постоянен и неравенство Адамара (XI. 8-7) становится одним-
единственным требованием, а не бесконечным набором их. Для
этого случая Ван Хофом была доказана обратная теорема,
а именно:
устойчивость по Адамару по отношению к беско- '
Н«Фнечно малым деформациям для задачи с задан- (XII. 4-1)
ными перемещениями.
Подобным же образом
сверхустойчивость по Адамару по отношению
S-E=#k бесконечно малым деформациям для задачи (XII. 4-2)
с заданными перемещениями.
Доказательство слишком сложно для того, чтобы его при-
приводить здесь').
Браудер доказал для сильно эллиптических систем с по-
постоянными коэффициентами, что
единственность =# существование, (XII. 4-3)
опять-таки для задачи с заданными перемещениями. Этот ре-
результат применим, в частности, к случаю бесконечно малых
деформаций из однородной конфигурации:
') L. Van Hove, Sur l'extension de 1л condition de Legendre du calcul des.
variations aux integrates multiples a plusieurs fonctions inconnues, Proc. Koiit
Nederl. Akad. Wet., 50 A947), 18—23.
360 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 5
Таким образом, мы имеем следующую цепочку теорем для
граничной задачи с заданными перемещениями при бесконечно
малых деформациях из однородной конфигурации:
сверхустой- единствен- существование
S-E =#> чивость поф ность (Эрик-Ф (Браудер). (XII. 4-4)
Адамару сен & Тупин)
(Ван Хоф)
Разумеется, на каждом шаге налагаются требования гладкости.
Они не детализируются здесь, поскольку мы даем не более чем
схему результатов. Теорема существования и единственности1)
для граничной задачи с заданными перемещениями в классиче-
классической теории бесконечно малых деформаций содержится в D),
поскольку классическое априорное неравенство влечет S-E-нег
равенство, как мы видели с более общей точки зрения в § XI. 8.
§ 5. Влияние бесконечно малых поворотов
Упражнение XII. 5.1, Доказать, что условие устойчивости по Адамару по
отношению к бесконечно малым деформациям (XII.2-3) можно представить
также в следующей форме:
J {tr[T0(ER + RE+RTR)] + tr(B[E] g))d7>0, (XII.5-1)
к iSS)
где Е и R — тензоры бесконечно малой меры деформации и поворота,
а В_ определяется согласно (X. 5-6).
В естественной конфигурации То = 0, и согласно (X. 5-8)
GGN-условие достаточно для устойчивости по Адамару по от-
отношению к бесконечно малым деформациям. В напряженном'
состоянии никакое подобное заключение не справедливо. Рас-
Рассмотрим, например, чистый поворот: Е = 0. Согласно A) для
устойчивости по Адамару необходимо, чтобы
\ tr(RT0RT)dK>0. (XII. 5-2)
Поэтому, если
tr (RT0RT) < 0 для некоторого R, (XII. 5-3)
то для любого материала такая конфигурация не может быть
устойчива по Адамару по отношению к бесконечно малым де-
')' Общая проблема существования и единственности в теории бесконечно
малых деформаций рассматривается в работе: Fichera G., Existence theorems
in elasticity, Flii-gge's Handbuch der Physik, VIa/2, ed. C. Truesdell, Berlin,
etc., Springer, 1972. [Эта статья переведена на русский язык в качестве ча-
части 1 книги: Г, Фикера, Теоремы существования в теории упругости, «Мир»,
М., 1974.]
§ 6 ГЛ. XII. УСТОЙЧИВОСТЬ. ЭНЕРГИЯ И РАБОТА 361
формациям. Это условие с противоположным неравенством уже
было проанализировано в упр. X. 4.1. Если t\ -j- h < О, то C)
выполняется для любого поворота относительно оси 3 и B)
нарушается. Например, стойка, подвергнутая действию давле-
давления по двум ее торцам, всегда неустойчива, если принят кри-
критерий A) всерьез. Согласно этому определению, стержень Эй-
Эйлера неустойчив при любых нагрузках.
Неустойчивость этого типа- была обнаружена давно, но от-
отбрасывалась как тривиальная. Критические нагрузки вычис-
вычисляли с использованием специальных классов деформаций, кото-
которые считались допустимыми, однако никакое конкретное пра-
правило выбора этих классов не было установлено. Рациональный
критерий для исключения поворотов этого рода дал Битти1).
А именно в определении устойчивости он ограничил класс до-
допустимых деформаций теми, для которых выполняется условие
равновесия моментов. Он показал, что все основные результаты
теории устойчивости остаются в силе, если наложить это усло-
условие на моменты.
Упражнение XII. 5.2. Доказать, что если нагрузки не имеют оси равно-
равновесия (упр. XI. 5.2), то условие на моменты исключает все чистые повороты
в критерии устойчивости для граничной задачи с заданными усилиями, но
если ось равновесия имеется, то допускаются повороты относительно нее, и
только такие повороты.
На основе этого определения устойчивости Битти и другие
получили строгие оценки критических нагрузок.
§ 6. Функция запасенной энергии гиперупругого материала
В § XI. 7 был определен гиперупругий материал как упругий
материал, акустический тензор которого А(п) симметричен для
каждого направления п в каждой конфигурации:
А(п) = А(п)т. (XI. 7-2)
В таком материале напряжения Пиолы 1Х имеют потенциал о,
который называется функцией запасенной энергии:
T, = PAff(F)- (XI. 7-4)
Это эквивалентно, согласно (VII.2-5J, соотношению
T = pdFa(F)FT. (XII. 6-1)
Теперь мы рассмотрим некоторые формальные аспекты тео-
теории гиперупругости, которые определяют ее особое положение
в механике. Позднее в этой главе мы представим некоторые
¦) Beatty M. L., Some static and dynamic implications of the general
theory of elastic stability, Arch. Rational Mech. Anal, 19 A965), 167—188.
362 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 6
теоремы, которые могут служить оправданием для наложения
ограничения, что упругий материал является гиперупругим.
Условие независимости свойств материала от системы от-
отсчета для упругого материала имеет вид
$(QF) = Q$(F) (VII. 2-8)
для всех невырожденных F и всех ортогональных Q. С помощью
(XI. 7-4) это условие можно выразить через функцию запасен-
запасенной энергии а:
aFff(QF) = QCFo(F). (XII. 6-2)
Интегрирование дает
a(QF)-a(F) = f(Q), (XII. 6-3)
где / — произвольная скалярная функция. Поскольку, однако,
напряжения' зависят только от градиента а, можно, не теряя
общности, положить /(Q)= 0. Тогда C) примет вид
a(QF) = a(F), (XII. 6-4)
означающий, что a — не зависящий от системы отсчета скаляр.
Обратно, если выполняется D), то выполняется и соотношение
(VII. 2-8), гарантирующее (XII. 6-1). Мы показали, что скаляр-
скалярная функция а может быть функцией запасенной энергии гипер-
гиперупругого материала тогда и только тогда, когда она не зависит
от системы отсчета, с точностью до несущественного аддитив-
аддитивного членах).
Упражнение XII. 6.1. Доказать, что
a (F) = a (U) = а (С) (XII. 6-5)
н
T = pF[dFa(F)]T. (XII. 6-6)
Упражнение XII. 6.2 (Нолл). Доказать, что если а не зависит от системы
отсчета, то тензор Т, определяемый согласно A), симметричен. Доказать, что
если Т симметричен и определяется согласно A), то Т (и, следовательно,
также а) ие зависит от системы отсчета. Дать интерпретацию этого резуль-
результата, показывающего, что для гиперупругих материалов следующие три тре-
требования эквивалентны:
независимость функции реакции Ь от системы отсчета,
независимость функции запасенной энергии а от системы отсчета,
симметричность напряжений, задаваемых определяющим соотношением.
') Из C) ясно, что /(Q) = a(Q) — стA). Используя компактность орто-
ортогональной группы, Нолл доказал, что a(Q) = a(l). Таким образом, «несуще-
«несущественный аддитивный член» f(Q) на самом деле равен 0. См. § 16 статьи:
Noll W., On the continuity of the solid and fluid states, /. Rational Mech.
Anal., 4 A955), 3—81. (Воспроизведено в «Continuum Mechanics. II. The Ra-
Rational Mechanics of Materials», ed. С Truesdell, N. Y., Gordon & Breach, 1965.)
§ 7 ГЛ. XII. УСТОЙЧИВОСТЬ, ЭНЕРГИЯ И РАБОТА 363
§ 7. Мощность напряжений в гиперупругом материале
В § III. 5 мы показали, что w, объемная плотность резуль-
результирующей скорости совершения работы в теле, для которого,
выполняются уравнения количества движения и момента коли-
количества движения, равна мощности напряжений:
o> = tr(TG) = tr(TD). (HI. 5-13)
Согласно (XII. 6-6) мы получаем, что в гиперупругом материале
t0 = ptr[dFff(F)FTGT] =
= ptr[aFa(F)FT(FF-1)T] =
= ptr[dFa(F)F4 =
= pa. \ (XII. 7-1)
Этим результатом объясняется выбор названия «функция запа-
запасенной энергии» для а, поскольку материальная производная
по времени а от этой функции представляет собой скорость со-
совершения работы напряжениями на единицу массы.
Определим полную запасенную энергию S формулой
5= J padV. (XII. 7-2)
Из 'A) следует, что
W = S. (XII. 7-3)
Подстановка в (III. 5-17) дает теорему энергии для гиперупру-
гиперупругих тел
K + V + S = Pc= J x-TndS, (XII. 7-4)
где, конечно, подразумевается, что теизор Т в правой части
выражен через а согласно (XII. 6-1).
Упражнение XII. 7.1. Доказать, что каждая упругая жидкость гнпер-
упруга, н показать, что для таких жидкостей функция запасенной энергии
дается соотношением
p
V
Упражнение XII. 7.2. Показать, что любой изотропный упругий материал
является гнперупругнм прн бесконечно малых деформациях нз неискаженной
конфигурации, в следующем точном смысле:
Т = рд~о=д~(ро), (XII. 7-6)
где . . -
pa = - pi +1 (Я + 2|i) P - 2ц II; (XII. 7-7),
364 . ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 8
в этом выражении р, X и ц — коэффициенты из (XI. 2-11),. а I и II обозна-
обозначают первый и второй главные инварианты тензора Е. Показать, что удовле-
удовлетворяется A).
В том нестрогом смысле, который ясен из этого упражнения,
говорят, что изотропные материалы являются «гиперупругими
-при бесконечно малой деформации» Легко предъявить опреде-
определяющие соотношения, задающие специальные изотропные упру-
упругие твердые тела, которые не являются гиперупругими. Дей-
Действительно, как показывает следующее упражнение, членов вто-
второго порядка уже достаточно для того, чтобы выявить это
различие.
Упражнение XII. 7.3 (Шэн). Показать, что изотропный материал является
гиперупругим с точностью до членов третьего порядка при бесконечно малой
деформации тогда и только тогда, когда упругие постоянные второго по-
порядка в (XI. 6-1) удовлетворяют соотношению
М. («4 + а6) = 2 (Я. - ц). (XII. 7-8)
§ 8. Две группы равноправности
Пусть ? —группа равноправности гиперупругого материала
относительно некоторой отсчетной конфигурации. Если Не»,
то, согласно (IV. 12-3) и (XII. 6-1), '
H)T = [3Fa(FH)]HTFT (XII. 8-1)
для произвольного F. Сокращая на FT и интегрируя, получим, что
o(F) = o(FH) + /(H) (XII. 8-2)
для всех F. Подстановка F=l дает /(Н) = оA) — ff(H). Сле-
Следовательно, B) принимает вид
o(F) = a(FH) + o(l)-o(H). (XII. 8-3)
Обратно, дифференцирование этого уравнения дает A). Таким
образом, установлена следующая
Теорема (Трусделл). Не^ тогда и только тогда, когда для
всех обратимых тензоров F выполняется соотношение C).
Напомним, что р представляет собой группу всех изохори-
ческих деформаций, которые нельзя отличить друг от друга
с помощью экспериментов, в которых измеряются напряжения.
Определим теперь ра как группу всех изохорических деформа-
деформаций, которые нельзя отличить друг от друга с помощью экспери-
экспериментов, в которых измеряется запасенная энергия а. Формально:
Н е fQ тогда и только тогда, когда
o(F) = a(FH) (XII. 8-4)
для всех невырожденных F.
§9 ГЛ. XII. УСТОЙЧИВОСТЬ, ЭНЕРГИЯ И РАБОТА 365
Если D) удовлетворяется при некотором Н, то мы можем
положить F = 1 и получить аA)=а(Н).
Следовательно, C) также удовлетворяется, откуда
>« = >• (XII. 8-5)
Далее, согласно (XII.6-4), a(Q)=a{l). Следовательно, для
ортогональных Н условия C) и D) равносильны. Таким образом,
ортогональные подмножества групп ^ и ра совпадают между
собой:
9 П о — ?а П »•
Эти результаты справедливы для любой отсчетной конфи-
конфигурации. Если материал представляет собой твердое тело,
то существует отсчетная конфигурация, для которой ^сго.
Согласно E), тогда и р8 do. Следовательно, рГ\о = рПраС\ о=ра,
и в силу F) р — ра. Если материал представляет собой жидкость,
то a(F) = /(detF), поэтому D) удовлетворяется для всех Н,
и опять отсюда Следует, что ? = ?а- Тем самым доказана
следующая
Теорема< (Трусделл).. Для гиперупругого твердого тела или
жидкости группы равноправности $ и $а совпадают между собой.
Для жидкого кристалла, вообще говоря, р ф ра. Другими
словами, существуют деформации жидкого кристалла, которые
нельзя различить с помощью измерения напряжений, но можно
различить с помощью измерения функции запасенной энергии.
Однако это свойство не характеризует жидкие кристаллы, по-
поскольку для некоторых из них тоже ? = ?„.
§ 9. Минимум функции запасенной энергии
Если Не^, то (XII. 8-3) удовлетворяется, в частности,
когда F = H~\ Следовательно,
а(Н~1)-оA):=оA)-о(Н). (XII. 9-1)
Если тензор Н ортогонален, то а(Н) = аA) и это уравнение
сводится к тождеству 0 = 0. Если а(Н) > аA), то аСнП1) < аA),
а .если а(Н)<аA), то а(Н~')>аA). Предположим теперь,
что функция запасенной энергии имеет минимум в том смысле,
что a(F) > 0A), когда тензор F не ортогонален. В таком случае
может не быть ни одного не ортогонального Н, удовлетворяю-
удовлетворяющего (I). При минимуме градиент а обращается в нуль и,
следовательно, обращается в нуль Т в силу (XII. 6-1). Тем
самым доказана
366 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 10
Основная теорема о гиперупругих твердых телах (Трусделл).
Если функция запасенной анергии имеет минимум в некоторой
конфигурации, то материал представляет собой твердое тело,
а эта конфигурация представляет собой его неискаженную ес-
естественную конфигурацию.
Таким образом, существование строгого минимума а влечет
за собой существование естественной конфигурации, которая,
конечно, единственна с точностью до поворота. Обратное, од-
однако, несправедливо. Если не наложено никаких дополнитель-
дополнительных условий, то естественная конфигурация не обязательно
соответствует минимуму энергии н, следовательно, не обяза-
обязательно единственна.
§ 10. Неравенство Колемана*— Нолла
Колеман и Нолл предложили такое неравенство:
1 a(SF)-a(F)-tr[(S-l)FCFa(F))T]>0 (XII. 10-0
для всех положительно определенных еимметричных тензоров
S, отличных от 1. Мы назвали его C-N-условием. Оно утвер-
утверждает некоторого рода выпуклость функции a(F) и эквива-
эквивалентно, согласно (XI. 7-4), неравенству
a (SF) - a (F) - -J- tr {[(SF)T - FT] $ (F)} > 0. (XII. 10-2)
Если мы поменяем SF и F местами и прибавим получающееся
неравенство к B), то мы увидим, что справедливо (X. 4-5). Об-
Обратно, если (Х.4-5) справедливо в достаточно большой области
пространства обратимых тензоров, то мы можем соединить SF
и F в этом пространстве тензоров линией, каждая точка которой
отличается от F на чистое растяжение:
SF = F + u(SF-F), 0<ы<1, . (XII. 10-3)
где
S = A — ы) 1 + «S (XII. 10-4)
— положительно определенный и симметричный тензор. Тогда
a(SF)-a(F)-tr[(SF-F)T3Fa(F)] =
1
= J {tr [(SF - F)TdF(SF)] - tr [(SF-F)TdFa(F)]] rf« =
f4 (XII. 10-5)
§10 ГЛ. XII. УСТОЙЧИВОСТЬ. ЭНЕРГИЯ И РАБОТА 367
Если выполняется GCN-условие (Х. 4-5), то подинтегральное
выражение в лоследнем интеграле положительно на @,1]. Сле-
Следовательно, имеет место A). Доказана следующая
Теорема (Трусделл & Тупин). В гиперупругом материале
C-N^GCN, (XII. 10-6)
если при этом подразумевать, что «=^» относится ко всем па-
парам F, SF, в то время как«ф=» относится к парам, которые мо-
могут быть соединены линией C), на которой выполняется GCN-
условие.
Если материал имеет естественную конфигурацию, то мы
можем взять ее в качестве отсчетной конфигурации и вывести
из A), что
0(S)>0A), (XII. 10-7)
если тензор S положительно определен, симметричен и не ра-
равен 1. Поскольку <x(F) = a(U) согласно (XII.6-5), мы дока-
доказали, что
в естественной конфигурации
C-N =Ф функция запасенной энергии (XII. 10-8)
имеет строгий минимум.
Этот результат, который получен Колеманом и Ноллом, пред-
представляет собой дополнение к основной теореме о твердых те-
телах. Обе теоремы вместе показывают, что
с хт v только твердые тела могут иметь ,уп 1f.Q>
^"^ ^ естественные конфигурации. (XU. ш-yj
Мы должны, однако, напомнить, что в то время как основная
теорема является совершенно общей, C-N-условие — это допол-
дополнительное неравенство, достоинства которого до сих пор яв-
являются предметом обсуждения.
Упражнение XII. 10.1 (Колеман & Нолл). Доказать, что в изотропном
упругом материале функция запасенной энергии может быть представлена
как функция главных растяжений:
о (F) = а (о„ v2, р3). (XII. 10-10)
Доказать, далее, что
GCN0 #Ф функция д выпукла (XII. 10-11)
и что
С-Ы=^функция Ь выпукла. (XII. 10-12)
Рассмотрев частный случай, когда
PJ (. »2. °з) = К [у (о? + 4 + $ - (о, + v2 + о3)], (XII. 10-13)
показать, что утверждение, обратное к A2), неверно; при этом использовать
тот следующий из (X. 5-8) и (X. 5-13) (ср. X. 5-15) факт, что
gCN=^GCNo&(Ar>0). (XII. 10-14)
368 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ §11
§ 11. Виртуальная работа граничных усилий
Рассмотрим теперь гладкое однопараметрическое семейство
отображений %х отсчетной конфигурации хC8) на простран-
пространственные области:
х = Хх(Х, г), г^г^г* (XII. 11-1)
Поскольку г не обязательно должно быть временем, такое се-
семейство называется виртуальным движением. Производная
Ъ^дгг%{\,г) (XII. 11-2)
называется виртуальной скоростью. Если в действительности г
представляет собой время, то % сводится к той скорости, для
которой мы до сих пор резервировали это обозначение. В упру-
упругом теле Ш усилия t*(X, г) на дк {$)) определяются по A) с по-
помощью определяющего уравнения (VII. 2-7). Виртуальная ра-
работа, совершаемая этими усилиями в виртуальном движении,
по определению равна
1FI2 = J7 J x-UdA\dr- (XII. 11-3)
Термин «виртуальный» служит для того, чтобы напоминать
нам, что 1^12 в общем случае не представляет собой полную
работу, совершенную в каком-нибудь движении. Мы здесь ни-
никак не использовали уравнение количества движения, и дви-
движение A) не обязательно должно совпадать с каким-нибудь
возможным движением для $ при приложении некоторой спе-
специальной массовой силы. В самом деле, если мы попытаемся
под г подразумевать время, то A) даст нам ускорение %х, и пер-
первый закон Коши в форме (VII. 2-9) определит тогда единствен-
единственную массовую силу Ь, при которой это движение окажется со-
совместным с уравнением количества движения. Эта массовая
сила будет в общем случае совершать работу, а эта работа ни-
никак не включается в виртуальную работу W^, которая опреде-
определена с помощью C).
Движение, в котором из тела «извлекается» неограниченное количество
работы, иногда называется «вечным движением второго рода», и теоремы
о виртуальной работе иногда истолковываются как якобы доказательства
того, что такие движения не могут происходить. В действительности же, по-
поскольку Wi2 в общем случае не является работой, совершенной в движении,
удовлетворяющем общим законам механики, никакие утверждения о ней не
имеют явного отношения к возможности или невозможности вечного движе-
движения второго рода.
§ 12 ГЛ. XII. УСТОЙЧИВОСТЬ, ЭНЕРГИЯ И РАБОТА 369
§ 12. Однородные виртуальные деформации однородных тел
Градиент виртуального движения х* (см. XII. 11-1) может
быть назван виртуальным градиентом деформации. Мы будем
обозначать его через F. Если. F не зависит от X, то мы будем
говорить, что виртуальное движение однородно. В этом частном
случае мы рассматриваем виртуальное движение из п в г2 как
кривую F(r), идущую из точки F(n) в точку F(r2) в простран-
пространстве несингулярных тензоров F. Если F(rI)=F(r2), то вир-
виртуальное движение называется замкнутым. Если упругое тело
однородно, что Т* также не зависит от X, поэтому DivT*=0,
и (XII. 11-3) дает
, = J( J Div(l
J I J Vх/ I
r2
Jtr(TjF)dr =
(XII. 12-1)
F(r,)
где F(»t(^)) обозначает объем конфигурации >t(^) и где по-
последний интеграл представляет собой криволинейный интеграл
вдоль пути из F(n) в F(r2).
В последующем мы будем предполагать, что отсчетная кон:
фигурация выбрана так, что detF>0.
§ 13. Теоремы о работе
На основании (XII. 12-1) с учетом известных результатов
о криволинейных интегралах может быть сформулирована
Первая теорема о работе. Для однородного упругого тела
следующие три утверждения эквивалентны:
1. Виртуальная работа граничных усилий неотрицательна
в любом замкнутом однородном движении.
2: Виртуальная работа граничных усилий одинакова в лю-
любых двух однородных виртуальных движениях с'одними и теми
же начальными и конечными градиентами деформаций.
370 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 13
3. Материал является гиперупругим, и в однородном вир-
виртуальном движении из F(r,) в F(r2)
))], (XII. 13-1)
где М(&) —масса тела &, а а — функция запасенной энергии.
Мы должны отметить, что для гиперупругого тела в действи-
действительном движении, т. е. в таком движении, которое удовлетво-
удовлетворяет первому закону движения Коши, объемный интеграл от
рха, вообще говоря, не дает полной совершенной работы. Ра-
Работа Wi2 может быть вычислена по формуле (XII. 12-1) i, кото-
которая больше не сводится к (XII. 12-1J (ср. родственный резуль-
результат (XII. 7-1)).
Всякая попытка интерпретировать эту теорему исходя из действительной
работы, даже совершенной в однородном движении, обречена на провал.
В таком движеинн divT = 0, поэтому х = Ь. Поскольку в Wn не учиты-
учитывается работа, совершенная силой Ь, то для того, чтобы Wn представлила
собой действительную работу, необходимо в общем случае, чтобы b = О, от-
откуда х = 0. Значит, F(r) = F0(l + rFi), поэтому такому движению соответ-
соответствует прямая линия в пространстве обратимых тензоров. Поскольку нет
замкнутых прямых линий и самое большее одна прямая линия соединяет две
данные различные точки, утверждения 1 н 2 теоремы просто неприменимы,
а в утверждении 3 никогда не выполняются предпосылки.
Вторая теорема о работе (Удескини, Каприоли). Если упру-
упругое тело имеет однородную конфигурацию х, такую, что вир-
виртуальная работа, совершаемая в каждом однородном движении
из х, не отрицательна, то материал является гиперупругим, его
функция запасенной энергии имеет слабый минимум вник
представляет собой естественную конфигурацию.
Доказательство. Пусть градиент деформации F взят относи-
относительно и, так что F=l, и допустим, что кривая 9 соответ-
соответствует некоторому замкнутому однородному виртуальному дви-
движению, выбранному по нашему желанию. Если точка F = 1 не
лежит на W, то мы можем соединить ее некоторым путем &>
с какой-нибудь точкой F<j, лежащей на <<Р. Тогда кривая
& + Я? — & соответствует замкнутому однородному виртуаль-
виртуальному движению из и обратно в и.. По предположению для этого
движения W12 ^ 0. Однако в силу свойства аддитивности инте-
интегралов Wi2 для этого движения совпадает с Wi2 для одного <&.
Таким образом, выполняется утверждение 1 первой теоремы
о работе. Согласно утверждению 2 материал является гиперуп-
гиперупругим, и в силу A) предположение второй теоремы о работе
принимает вид
<t(F)><tA). (XII. 13-2)
Отсюда видно, что <5f<t(F) = 0, когда F = l. Следовательно,
Я — естественная конфигурация. Щ
§ 13 ГЛ. Xtl. УСТОЙЧИВОСТЬ, ЭНЕРГИЯ И РАБОТА 371
Вторая теорема о работе дает энергетический критерий —
достаточное условие того, что существует естественная конфи-
конфигурация, а также функция запасенной энергии. Неравенство B)
слабее, чем (XII. 10-7): не доказано, что минимум строгий, да
он и не может быть таким, как показывает результат следую-
следующего упражнения.
Упражнение XII. 13.1. Доказать, что функция запасенной энергии
a(F) = К (у - lJ (XII. 13-3)
не удовлетворяет условию (XII. 10-7), но удовлетворяет B) и определяет
упругую жидкость с естественной,конфигурацией.
Пусть теперь Wh представляет собой виртуальную работу,
соответствующую однородному виртуальному движению из
F(rj) в F(r2), когда, не принимая во внимание определяющее
. уравнение, мы сохраняем Т„ равным некоторому фиксирован-
фиксированному значению TJ. Согласно (XII. 12-1)
{T)-F(rI)]}. (XII. 13-4)
Если V» равно ^(F(ri))> T- е- начальному значению, то
представляет собой виртуальную работу, соответствующую
„замороженной", „мертвой" нагрузке1) (ср. § XII. 1 и XII. 2).
Третья теорема о работе (Колеман). Следующие два утвер-
утверждения эквивалентны для упругого тела, деформируемого из
однородной конфигурации:
1. В любом движении, начало и конец которого получаются
друг из друга растяжением, не сводящимся к тождественному
преобразованию,
Wx2>W\2. (XII. 13-5)
2. Тело является гиперупругим, и его функция запасенной
энергии удовлетворяет C-N-неравенству (XII. 10-1).
Доказательство. Прежде всего заметим, что для замкнутого
движения Wh = 0 согласно D), а согласно E) W\2 ^ Wh-
Следовательно, в любом замкнутом движении W\2 ^ 0. Со-
Согласно первой теореме о работе материал является гиперупру-
гиперупругим. В силу A), D) и (XI.7-4) предположение E) принимает
вид: ¦
<T(F)-<T(F)>tr{(F-F)dFa(F)T}, (XII. 13-6)
если F=SF, где S — положительно определенный симметрич-
симметричный тензор, отличный от 1. Но это и есть неравенство Колема-
на — Нолла (XII. 10-1). ¦
') То есть нагрузке, не меняющейся с деформацией. — Прим. ред.
3?2 ЧАСТЬ 3. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ § 15
Теорему Колемана можно интерпретировать в терминах
ограниченной устойчивости и ограниченной выпуклости. Пред-
Предположение E) обеспечивало бы даже больше (иа самом деле
гораздо больше), чем устойчивость, если бы не ограничение
F(r2)= SF(rj). Аналогично (XII. 10-1) без этого ограничения
означало бы, что функция a(F) является выпуклой. Теорема
Колемана служит для того, чтобы дать обоснование принимае-
принимаемого в статике предположения, что упругий материал является
гиперупругим И' удовлетворяет C-iN-неравенству.
Теоремы о работе в теории упругости не имеют ничего общего с термо-
термодинамикой. Хотя они и относятся к энергии, но никак не затрагивают понятий
тепла и температуры. Невозможно доказывать термодинамические теоремы,
не вводя сначала термодинамику; т. е. необходимо ввести еще какие-то вели-
величины и предположения, прежде чем можно будет установить какую-нибудь
связь между существованием функции запасенной энергии и «вторым зако-
законом термодинамики». Основы термодинрмики для некоторых рассмотрений
в теории гиперупругости будут даны ниже, в § XV. 3.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
(работы общего характера)
NFTM, §§ 82—85 и 87.
IRE, §§ III.4-III.6.
Часть 4
ЗАТУХАЮЩАЯ ПАМЯТЬ
Глава XIII
ПРИНЦИПЫ ЗАТУХАЮЩЕЙ ПАМЯТИ
§ 1. Статика и теория упругости.
Представления о затухающей памяти
Как мы видели в § VII. 1, статическая теория упругости
и статика простых материалов — это одно и то же. Напряжения
в упругом материале определяются соотношением
T = 0x(F, X) (XIII. М)
независимо от того, каким образом текущая конфигурация х^
получилась из ртсчетной конфигурации х с течением времени.
Результат точно такого же типа справедлив для любого про-
простого тела, которое все время покоилось.
Когда мы рассматриваем реальное тело, мы никогда не мо-
можем быть уверены, что оно всегда покоилось. Наоборот, мы
каждый раз имеем основания предполагать, что никакое тело
не находилось в состоянии покоя от начала мира, и в практике
приведения теории в соответствие с действительностью мы при-
применяем статическую теорию к телам, которые мы сами двигали
и, быть может, деформировали несколько дней или часов или
даже секунд тому назад. То обстоятельство, что статическая
теория так широко применима, служит свидетельством суще-
существования другого свойства материалов — затухающей памяти.
Материалы, встречающиеся в природе, «забывают» деформа-
деформацию, которую они претерпели достаточно давно, какова бы она
ни была, и ведут себя так, как будто они всегда покоились.
Именно свойство затухающей памяти реальных материалов
делает теорию упругости весьма полезной и широко применимой
теорией, несмотря на то что она совсем не учитывает многие
очевидные свойства реальных материалов, такие, как вязкость,
ползучесть, релаксация. Ее применимость не ограничивается
только статическим случаем. В случае движений и переменных
деформаций теория упругости также часто дает правильное
представление о некоторых аспектах поведения некоторых ре-
3?4 4ACtb 4. ЗАТУХАЮЩАЯ ГЦМятЬ II
альных материалов. Достаточно, чтобы время, потребное для
того, чтобы данный материал забыл о своем прошлом, было
мало по сравнению с временным масштабом рассматриваемого
явления. Насколько велико это время, зависит от материала,
предыстории его деформации и явления, которое изучается.
После того как мы поняли эти простые вещи, мы видим, что
затухающая память представляет собой свойство, которое
можно выразить математически с помощью функции реакции ©
простого материала. Внутри теории, разумеется, затухающая па-
память должна быть определена. В механике существует много
возможных определений затухающей памяти, так же как суще-
существует много различных понятий гладкости в функциональном
анализе. Для моделирования различных физических тел могут
подходить различные виды затухающей памяти, и теоремы, ко-
которые верны, если принято одно определение затухающей па-
памяти, не всегда совпадают с теоремами, к которым мы придем,
приняв другое определение.
Прежде чем сформулировать то конкретное определение за-
затухающей памяти, которым мы будем пользоваться в этой
книге, мы отметим, в какой степени некоторые классические
теории отражают или не отражают то, для чего в повседневной
жизни было бы уместно такое лазвание. С точки зрения того,
о чем мы только что говорили, сами упругие материалы до-
довольно необычны и нетипичны. В литературе имеется ряд вы-
высказываний о памяти упругого материала, большинство из ко-
которых правильно, но вводит.в заблуждение. Обычно говорят,
что упругий материал имеет идеальную память в отношении
своей отсчетной конфигурации и не помнит ни о какой другой.
Это утверждение верно в том смысле, что мы всегда можем
вычислить напряжения, когда мы не знаем ничего больше,
кроме деформации х„ отсчетной конфигурации и, однако оно
вводит в заблуждение в том смысле, что оно не отражает про-
произвольности этой конфигурации, в качестве которой может быть
взята конфигурация, которую материал занимал тысячу лет
тому назад, или микросекунду назад, или не занимал никогда
вообще. Если мы выбираем в качестве отсчетной конфигурацию,
занятую телом в некоторый фиксированный момент to, то мы
вправе сказать, что упругий материал' не проявляет никаких
воспоминаний о том, что с ним происходило в более ранние
времена.
В этом смысле упругий материал забывает о своем прошлом
так резко, что его можно было бы характеризовать как мате-
материал, имеющий не затухающую, а мгновенно исчезающую па-
память. Кроме того, он забывает и все то, что с ним происходит
дюсле момента to- Такая «рассеянность» не представляет собой
§ 1 ГЛ. XIII. ПРИНЦИПЫ ЗАТУХАЮЩЕЙ ПАМЯТИ 375
тот вид памяти, который мы обычно рассматриваем как «зату-
«затухающую», скорее, это память особого, вырожденного рода. По-
Поскольку в качестве момента /0 мы можем выбрать любой мо-
момент, за исключением настоящего времени, — фактически при
желании можно взять даже некоторый момент из будущего,—
мы не можем найти в частном случае упругого материала ника-
никакой основы, на которой можно было бы создать более общее
представление о затухающей памяти.
Жидкость Навье — Стокса, характеризуемая определяющим
соотношением (IV. 4-12), проявляет затухающую память иного
рода. Влияние самой по себе деформации носит рудиментар-
рудиментарный характер, выражаясь лишь в возможной зависимости ко-
коэффициентов р, Я, и fi от р, преобладающим же является влия-
влияние мгновенной скорости изменения деформации. Для того
чтобы вычислить F или G и таким образом определить напря-
напряжения, нам надо знать деформацию в течение некоторого про-
промежутка времени вблизи t или, что.сводится к тому же, мгно-
мгновенное поле скорос/ей. Если мы поддерживаем F постоянным
в течение как угодно малого промежутка времени, то тензор
напряжений равен —р (р) 1 и не изменяется. В этом смысле
жидкость Навье — Стокса имеет инфинитезимальную память.
Эта жидкость реагирует только на деформации, которым она
подвергал-ась в момент, непосредственно предшествующий рас-
рассматриваемому, и ни на какие другие, и полностью забывает те
деформации, которым она подвергалась любое конечное время
тому назад, сколи бы недавно это ни происходило.
Многие другие материалы имеют инфинитезимальную па-
память почти такого же рода. Примерами служат линейно-вязкий-
материал, определенный соотношением (IV.4-13), материалы
дифференциального типа, определенные соотношением (VI. 1-1),
и материалы Ривлина — Эриксена — частный случай этих по:
следних.
Материалы с инфинитезимальной памятью не могут служить
для моделирования явления, обычно называемого релаксацией
напряжений. Если мы растянем кусок замазки, то почувствуем
«начала ее сопротивление, но когда мы подержим ее в растя-
растянутой конфигурации, то заметим, что для этого требуется все
меньшее и меньшее усилие, пока наконец оиа не будет оста-
оставаться растянутой без всякого усилия с нашей стороны. ~ По
мере того как проходит время после того, как произведена де-
деформация, память замазки об этой деформации, если судить по
напряжениям, становится все слабее и в конце концов делается
совсем незаметной. В жидкости Навье — Стокса или любом ма-
материале дифференциального типа напряжения в только что
описанном опыте исчезали бы немедленно, в тот же самый мо-
момент, как прекратилось бы деформирование. Класс теорий, в
376 ЧАСТЬ 4. ЗАТУХАЮЩАЯ ПАМЯТЬ § 2
которых имеет место медленная релаксация напряжений, дол-
должен быть достаточно узким, чтобы не допускать материалы
дифференциального типа.
Эти примеры должны были сделать полностью ясным, что
ограничение, которое мы введем в следующем параграфе с тем,
чтобы моделировать релаксацию напряжений и связанные
с нею явления, действительно является ограничением, а не об-
общим свойством, относящимся ко всем определяющим соотно-
соотношениям.
§ 2. Медленно затухающая память
Возвращаясь к определяющему соотношению (IV. 3-5) про-
простого материала, а именно
' (IV. 3-5)
мы прежде всего остановимся на различии между статической
(и, следовательно, упругой) реакцией и всеми остальными. По-
Подобно тому как р обозначает предысторию вплоть До момента
t произвольной функции /, определенной на (—оо,+оо), мы
обозначаем предысторию постоянной функции f, значение ко-
которой всегда равно а, через ае:
a'(s) = a, 0<s<oo. (XIII.2-1)
Таким образом, F(/)c представляет собой постоянную преды-
предысторию (или предысторию-константу), соответствующую теку-
текущему значению F@ градиента деформации F в X. Для того
чтобы вообще можно было рассматривать статический случай,
мы должны предположить, что если F1^-предыстория, принад-
принадлежащая области определения Ф реакции ©, то для каждого s
из [0, оо] постоянная предыстория (F'(s.))c также принадлежит
Ф. То есть мы предполагаем, что можно задать и получить от-
ответ на следующий вопрос: каковы были бы напряжения, если
бы тело вблизи X всегда находилось в конфигурации, которую
оно действительно занимало в предыстории F* в момент t — s?
Значение ©(F(?)c)реакции © представляет собой напряжения,
которые соответствуют пребыванию в состоянии покоя в конфи-
конфигурации, полученной из х при деформации, градиент которой
равен F(t). Эти статические напряжения соответствуют именно
данной конфигурации. В упругом материале напряжения всегда
представляют собой статические напряжения:
для всех F* из S)
(XIII. 2-2)
§ 2 гл. xin. Принципы затухающей памяти 3?7
и на этом основании статические напряжения в любом простом
материале, иногда называют упругими напряжениями, в то
время как все остаточные, если таковые остаются,—.неупру-
остаются,—.неупругими напряжениями. Основная идея затухающей памяти со-
состоит в требовании, что, когда предыстория F близка к по-
постоянной предыстории F(t)c, напряжения ©(F') близки к ста-
статическим напряжениям ®(F(t)c). Другими словами, малое от-
отклонение от постоянной предыстории F(t)c вызывает напряже-
напряжения, лишь немного отличающиеся от упругих напряжений, ко-
которые соответствуют F(tf)c. Понятия «малости» и «близости»
уточняются с помощью топологии. Когда введены топологии,
можно в точном смысле говорить о непрерывности, и в качестве
необходимого условия для затухающей памяти мы получаем,
таким образом, точную и общую аксиому непрерывности:
Реакция © непрерывна в каждой постоянной предыстории
)
Как следует интерпретировать «непрерывность» физически,
зависит от топологий, исходя из которых она определена.
Конечно, норма |А| тензора А, например тензора напряже-
напряжений или градиента деформаций, определяется, как обычно, фор-
формулой |А|=|ЛГААТ, и два тензора А и В близки друг
к другу, если норма |А—В| мала. Однако предыстории пред-
представляют собой функции, заданные на {0, с»), и топология ли-
линейного пространства таких функций / может быть задана
введением некоторой нормы или полунормы1) \\f\\. Различные
выборы нормы или полунормы приводят к различным интер-
интерпретациям общей аксиомы. Например, если мы рассматриваем
упругий материал и считаем его реакцию функцией от F—1,
то при выборе IIF'— 1|| = |F(/)— 11 эта аксиома тривиально
удовлетворяется для каждого упругого материала, реакция ко-
которого представляет собой функцию, непрерывную при F=l.
Однако выбор такой полунормы не был бы полезен в теориях
материалов с памятью, поскольку он никак не учитывает зна-
значений Fl(s) при s > 0. Аналогично жидкость Навье — Стокса
удовлетворяет нашей аксиоме при выборе || F' — 11| = | F(t) —
') Полунорма || II—это функция, определенная на векторном простран-
пространстве Т н принимающая неотрицательные действительные значения, такая, что
| Лх ||
Первое из этих соотношений показывает, что Ц0|] = 0, но из него не выте-
вытекает, что 0 — единственный вектор, полунорма которого равна 0. Полунорма
называется нормой, если
378 ЧАСТЬ 4. ЗАТУХАЮЩАЯ ПАМЯТЬ §8
— 1 | +1 F |, однако эта полунорма не годится для более общих
материалов по той же причине. Мы ожидаем, что для материала
с «долгой» памятью значительное различие в возможных зна-
значениях F'(s), по крайней мере для малых значений аргумента
s, будет приводить к значительно различающимся напряжениям
в момент времени t. Наложение на такой материал условия
непрерывности относительно любой из только что упомянутых
полунорм привело бы к исключению того самого явления, коте-
рое эта теория должна описывать.
Таким образом, выбор полунормы или нормы является су-
существенным. Для того чтобы сделать нашу аксиому примени-
применимой для моделей материалов с длительной памятью, нам сле-
следует выбрать полунорму, значение которой нетривиально за-
зависит от всей функции F* в целом, а не только от ее поведения
в окрестности точки s = 0. При этом следует учитывать собы-
события из далекого прошлого с меньшим весом, чем недавние со-
события, но не тривиальным образом.
Колеман и Нолл первыми ввели понятие затухающей па-
памяти в рассматриваемую систему понятий и дали конкретное
и важное, определение, или «принцип» затухающей памяти
в механике сплошной среды. Их идеи породили большую и важ-
важную литературу. В этой книге мы сможем дать не более чем
краткий очерк некоторых наиболее простых аспектов этой
проблематики.
§ 3. Забывающие меры. Запоминание.
Слабая затухающая память
Мы сосредоточим сначала внимание на тензорных функциях,
которые суммируемы относительно некоторой меры Лебега —
Стилтьеса ц на действительной прямой 3$, и положим
A(s)P4i. (XIII. 3-1)
Мера fi известным образом порождается действительной неубы-.
вающей функцией а:
^ГпГт м (И". 3-2)
ц{[а, 6)}—аF) —а(а)
для любых действительных чисел а и Ь. Мы хотим рассматри-
рассматривать только предыстории, которые представляют собой функции,
заданные на [0, оо), и в качестве первого шага к понятию зату-
затухающей памяти мы наложим требование, что все прошлое будет
вносить только конечный вклад в полунормы ограниченных пре-
§3 , ГЛ. XIII. ПРИНЦИПЫ ЗАТУХАЮЩЕЙ ПАМЯТИ 379
дысторий. А именно назовем меру ц забывающей мерей, еели
e(s)aaO при s^O,
lim a(s) = M < <х>. (XIII. 3-3)
S->eo
Отсюда следует, что перенесение любого интервала прямой бес-
бесконечно далеко в прошлое уменьшает его меру до 0:
lim \i{[a + c, b + с)} = 0. (XIII. 3-4)
С->ОО
Полунорму A), вычисленную по мере, удовлетворяющей усло-
условию C), будем называть соответствующим этой мере запоми-
запоминанием предыстории А. Совокупность предыстории А, для ко-
которых норма ||А|| конечна, образует функциональное простран-
пространство, являющееся подпространством пространства всех преды-
предыстории, измеримых относительно' ц,. Это подпространство на-
называется пространством предыстории с конечным запоминанием.
Оно включает в себя все ограниченные измеримые предыстории
и, в частности, все постоянные предыстории F(tf)°. Мы будем
предполагать, что раз и навсегда установлена определенная за-
забывающая мера fi, и будем иметь в виду, что наши результаты
зависят от выбора этой меры. Мы будем, далее, предполагать,
что область определения Ю реакции ® из (IV. 3-5) представ-
представляет собой связное подмножество пространства предыстории с
конечным запоминанием относительно ц. Наконец, мы уже сфор-
сформулировали предположение о том, что Ф включает в себя все
постоянные предыстории F(f)c в тех случаях, когда F(f) =
= F'(s) для некоторого F' из ЗЬ и некоторого s из [0, с»),
так что f =¦ t — s.
Остановимся теперь на время и вернемся к A). Мы видим
два очевидных случая, в которых норма ||А|| будет мала. Пер-
Первым является случай, когда модуль |A(s)| мал для всех s;
вторым — случай, когда большие значения |A(s)| принимаются
лишь на множествах малой меры. Иными словами, для того
чтобы предыстория деформации имела малое запоминание,.до-
запоминание,.достаточно, чтобы эта предыстория была всегда почти постоянной
малой предысторией или чтобы большие отклонения от постоян-
постоянной предыстории, которые, возможно, имели место, были сосре-
сосредоточены в интервалах времени, имеющих малую меру. Грубо
говоря, материал находится в состоянии почти покоя долгое
время, хотя, быть может, в далеком прошлом он и подвергался
сильной деформации или же подвергался большой деформации
только в течение коротких промежутков времени, в течение ко-
которых функция а мало менялась. При этом ясно, что множества
меры 0 можно отбрасывать.
380 ЧАСТЬ 4. ЗАТУХАЮЩАЯ ПАМЯТЬ $ 3
Хотя возможны и другие случаи, при которых запоминание
||А|| мало, два только что описанных случая, как мы можем
ожидать, как раз соответствуют обстоятельствам, которые не
должны сильно влиять на напряжения в материале с длитель-
длительной затухающей памятью. С другой стороны, поскольку мы мо-
можем построить функции А и А*, которые отличаются одна от
другой только на сколь угодно малом интервале @, е) и тем не
менее имеют сколь угодно сильно отличающиеся производные
при s = 0, забывающие меры не являются достаточно общим
инструментом для того, чтобы послужить в качестве основы для
теории такого рода затухающей памяти, какую проявляют
жидкости Навье—-Стокса или любые другие материалы диффе-
дифференциального типа.
Таким образом, ограничивая впредь наше внимание в этой
главе материалами, которые удовлетворяют аксиоме непрерыв-
непрерывности для топологии, полученной на основе забывающей меры,
мы сознаем, что результаты будут применимы только к специ-
специальному, хотя и довольно широкому классу материалов.
Определение (Ван). Материал имеет слабо затухаю-
затухающую память, если он удовлетворяет аксиоме непрерывности
с непрерывностью, определенной при помощи забывающей меры:
T = ©(F') = 9(F@) + o(l) при ||F'-F@C||-*0, (XIII.3-5)
где
(XIII. 3.6)
Таким образом, при условии, что запоминание разности пре-
предыстории F' и постоянной предыстории F{t)° достаточно мало,
напряжения представляют собой приблизительно упругие на-
напряжения, соответствующие F(^).
В частности, в упругом материале остаточный член в E)i
тождественно равен нулю; поэтому для того, чтобы E) было
справедливо, необходимо, чтобы забывающая мера была такой,
что
||F'-F@CII=JO. (XIII. 3-7)
Обратно, если при таком определении запоминания E) справед-
справедливо с остаточным членом, равным нулю, то материал является
упругим. Функция а, которая определяет забывающую меру та-
такого рода, представляет собой единичный скачок при s = 0:
i при s ^ 0,
Н ' (XIII. 3-8)
при 0 0. v
Всякий раз, когда мы будем далее в этой главе предполагать,
что материал имеет слабо затухающую память, мы должны
§ 4 ГЛ. XIII. ПРИНЦИПЫ ЗАТУХАЮЩЕЙ ПАМЯТИ 381
помнить, что тем самым выбирается некоторая функция о. На-
Наложение дальнейших требований на а, как мы это будем де-
делать постепенно, сужает класс материалов, к которым приме-
применимы наши результаты.
§ 4. Релаксация напряжений
Постоянное продолжение f,t) в момент to функции f, заданной
на (—оо,оо), представляет собой функцию, которая совпадает
с / вплоть до момента ^0 и остается после этого постоянной:
при — оо < t < to,
при ,>,,. <ХШ-«>
Таким образом, предыстория f'{tt) функции f{t>) вплоть до неко-
некоторого момента t, большего, чем to, определяется следующим
образом:
ft t*\ i f{to) ПРИ °<s<''o. .YTTT ,„,
г; (s) = < „..,,,, , , (XIII. 4-2)
Явление релаксации напряжений моделируется утверждением
о том, что если некоторая окрестность материальной точки X
поддерживается в состоянии покоя достаточно давно, то на-
напряжения в X приближаются к значению, которое они имели
бы, если бы эта окрестность находилась в состоянии покоя
всегда.
Теорема о релаксации напряжений (Колеман & Нолл). Для
любого фиксированного момента времени t и для любой пре-
предыстории градиента F из 2D предыстория постоянного продол-
продолжения F|q также принадлежит 3) и предел ©(f(<0}) при t0-*—,ao
существует и представляет собой статические напряжения, соот-
соответствующие F(t):
lim (FU = ©(F@e) = 9(F@). (XIII. 4-3)
Можно показать с помощью контрпримеров, что слабо зату-
затухающая память, как она была определена в предыдущем пара-
параграфе, не обеспечивает справедливости теоремы о релаксации
напряжений. Нужно дополнительное предположение. Достаточ-
Достаточно, чтобы меры множества времен не увеличивались при пере-
перенесении их в прошлое: если &~—борелевское подмножество по-
полупрямой [0, оо), а > 0 и
-}, (XIII. 4-4)
382 ЧАСТЬ 4. ЗАТУХАЮЩАЯ ПАМЯТЬ § 4
ТО
ц(^а)<ц(Г). (XIII. 4-5)
Мы можем легко построить забывающие меры, которые удов-
удовлетворяют этому дополнительному требованию и меры, которые
ему не удовлетворяют. Например, оно удовлетворяется в слу-
случае, когда функция а, фигурирующая в (XIII. 3-2) и (XIII. 3-3),
дифференцируема всюду, за исключением, быть может, s = О,
и имеет монотонную производную. В дальнейшем мы будем
предполагать, что всякая забывающая мера удовлетворяет не-
неравенству E).
Доказательство теоремы о релаксации напряжений (Ван).
Покажем прежде всего, что если F'^S), to F^,,} — (F (to)f e 3)
для каждого t, большего, чем t0. Положим ^==[0, оо). Ясно,
что тензорная функция F* \t0) измерима на 9", поскольку из-
измерима функция F*. Возьмем какое-нибудь положительное
число N и положим
0, ¦ если | F* (s)-F(t0) p<tf,
Поскольку ц9' = М < оо, мы можем, как бы мало ни было е,
выбрать N таким большим, чтобы
JHd\i<e, (XIII. 4-7)
ибо в противном случае функция F* — F (/0)с не могла бы иметь
конечное запоминание. Далее, модуль |F^0) — (F(?0))c| измерим,
и поэтому из определений B) и F) следует, что для любого
измеримого множества 9~
\ |F?,.,-(F(^))cN|i= J Л^^ + J [ | Fffo} —
<J Nd\i + J
(XIII. 4-8)
Следовательно,
(FШ Гrfji < NM + е, (XIII. 4-9)
&
§ 4 1"Л. Xlll. ЙРЙНЦИПЫ ЗАТУХАЮЩЕЙ ПАМЯТИ 383
так что F'q — (F(to)f €= Ф. Поскольку (FD))°g2), отсюда сле-
следует, что F^eiZ). Таким образом, значение ©(распределено.
Далее,
n{s: |F(ft)(s)-F(fo)|#O}<n ((*-*„, оо))-* 0 при ;-*«>; .
утверждение о стремлении к нулю следует из (XIII. 3-4). Сле-
Следовательно,
|F{fw(s)-F(fo)|-*O по мере при *-*.». (XIII. 4-11)
Если для заданного положительного числа ? мы положим
TUMs: |F{(o,(s)-F(*o)P>4 (XIII. 4-12)
то согласно A1) мы видим, что для заданного ? и любого по-
положительного числа т) можно найти такое число /и, что
ц@-?_О<Ч (XIII. 4-13)
при t — to^tn. Возьмем
Р==Ж' ^Т-. (XIII. 4-14)
Тогда в силу (8L, A3) и A4)
J J
<3е (XIII. 4-15)
при условии, что ^ достаточно велико. Следовательно,
lFft»-(F(*o))c|"-*0 при ^->оо. (XIII.4-16)
Теорема теперь сразу следует из предположения о том, что
Материал имеет слабо затухающую память. ¦
Просматривая доказательство, мы видим, что предположен
ние E) было использовано в двух местах, в каждом из которых
его можно было бы ослабить добавлением оговорки «для до-
достаточно больших значений а», и доказательство все равно про-
проходило бы.
384 ЧАСТЬ 4. ЗАТУХАЮЩАЯ ПАМЯТЬ § 4
Таким образом, чтобы получить теорему о релаксации на-
напряжений для очень широкого класса предыстории деформации,
мы наложили на забывающую меру условие, выражаемое не-
неравенством .E), или чуть более слабое условие. Как показы-
показывает следующее упражнение, мы можем получить эту теорему,
вовсе не используя этого неравенства,, если мы условимся вме-
вместо этого ограничить рассматриваемый класс предыстории де-
деформации.
Упражнение XIII.4.1 (Ван). С помощью теоремы Лебега о переходе
к пределу под знаком интеграла •) доказать теорему о релаксации напряже-
напряжений, не используя предположения E), но предположив дополнительно, что
выполняется любое нз следующих трех условий:
(i) функция F' ограничена всюду, за исключением множества меры нуль;
(ii) F' является неубывающей функцией от s;
(iii) — для некоторого положительного т функция F' ограничена
всюду в интервале [0, т), за исключением множества меры нуль, и является
неубывающей на интервале (т, оо).
Теперь мы рассмотрим важный частный случай импульса
деформации, определяемого следующим образом:
f F при t > t0,
ПО —{ 1 t^l (XIH. 4-17)
v ' II при t < t0. v '
При этой предыстории деформации материал поддерживается
в какой-то фиксированной конфигурации до определенного мо-
момента времени ^о, когда оно внезапно деформируется в другую
конфигурацию и остается там навсегда. Поскольку момент t0,
в который происходит импульс, и величина F этого импульса
полностью определяют предысторию Р в классе импульсов де-
деформации, из определения (IV. 3-5) простого материала сразу
видно, что реакция сводится к функции только аргументов F
и t— tQ:
T = 9(F, t — t0) при t>t0. (XIII. 4-18)
Таким образом, при импульсе деформации любой простой мате-
материал ведет себя подобно упругому материалу, за исключением
того, что реакция Q зависит от времени. До сих пор все это
никак не было связано с затухающей памятью. Если материал
к тому же имеет затухающую память, то мы видим из теоремы
о релаксации напряжений, что
9(F, * —4,)-*в(Р) при to->-<x>, (XIII. 4-19)
•) Эту теорему можно найти в книге: Н. L. Royden, Real Analysis, 2nd
ed., New York, McMillan Co., 1968 [или в книге А. Н Колмогорова и
С. В. Фомина «Элементы теории функций и функционального анализа»,
«Наука», М., 1972. - Ред.],
§ 4 ГЛ. XIII. ПРИНЦИПЫ ЗАТУХАЮЩЕЙ ПАМЯТИ 385
т. е. если импульс деформации произошел достаточно давно, то
напряжения должны быть близки к статическим напряжениям.
Этот факт, впервые установленный Ривлиным при помощи более
сложных рассуждений, мы здесь получаем как результат про-
простейшего применения теории затухающей памяти в смысле Ко-
лемана — Нолла.
Как мы уже говорили и иллюстрировали на примере теоремы
о релаксации напряжений, интерпретация и полезность непре-
непрерывности и других свойств регулярности сильно зависят от вы-
выбора забывающей меры. Колеман и Мизел ') занимались общим
вопросом об определении классов мер, полезных для теорий за-
затухающей памяти. Они выдвинули следующие постулаты:
1. Если F* имеет конечное запоминание, то это же спра-
справедливо для Fyj при t > t0. Кроме того, если запоминание раз-
разности F'« — G'° равно нулю, то нулю равно и запоминание раз-
разности F\t,) — G{f0). - '
2. Если F'° имеет конечное запоминание, то это же спра-
справедливо для F' при t < tq.
3. Каждая постоянная предыстория имеет конечное запоми-
запоминание.
Предполагая только, что предыстории F' принадлежат не-
некоторому банахову функциональному пространству и ц — поло-
положительная регулярная борелевская мера на [0, оо), они дока-
доказали, что из этих трех постулатов следует, что
( (XIII. 4-20)
ц{(а, Ь)) = I k(s)ds при 0<а<6<оо,
а
где ... ds обозначает интеграл Лебега и плотность k ло-
локально суммируема и почти всюду положительна. Такая мера ц
имеет, как говорят, «атом» при s = 0 и только там. Таким об-
образом, для таких мер запоминание предыстории F' имеет вид
(XIII. 4-21)
') Coleman В. D. & Mizel V. J., Norms and semi-groups in the theory of
fading memory, Arch. Rational Mech. Anal., 23 A966), 87—123, и в более об-
общем виде: On the general theory of fading memory, там же, 29 A968),
18—31.
13 Тиуслелл
386 ЧАСТЬ 4. ЗАТУХАЮЩАЯ ПАМЯТЬ § 6
где А — положительная постоянная. Функция k называется за-
бывателем1) или функцией влияния. Запоминание в форме B1)
было введено в качестве постулата Колеманом и Ноллом в их
статье 1960, г., в которой дана первая математическая трак-
трактовка общего понятия затухающей памяти и которая послужила
основой многих более поздних работ в этой области и стимулом
для всех них. В дальнейшем мы будем использовать именно B1)
и будем говорить о материалах, для которых оно дает соответ-
соответствующую забывающую меру, как о материалах, имеющих за-
затухающую память Колемана — Нолла.*
§ 5. Затухающая память более высокого порядка
Полученные в последнем параграфе результаты показывают,
что мы находимся на правильном пути. Теорема о релаксации
напряжений — вот что мы ожидаем получить при определенных
ограничениях на свойства материала, или на предыстории де-
деформации, или и на то и на другое. Если бы мы не получили
этого на основе нашего определения затухающей памяти, то
наш подход был бы неудачен. Удостоверившись в правильности
пути, мы можем обратиться к вопросу о том, как вычислить
второе приближение для определяющего уравнения, если мы не
удовлетворены первым, или упругим, приближением, выражае-
выражаемым с помощью (XIII. 3-5). Более высокие приближения полу-
получаются способом, сводящимся к разложению реакции © в ряд
Тейлора в окрестности предыстории, соответствующей состоя-
состоянию покоя. Однако классическая теорема Тейлора относится
к функциям, а мы здесь> имеем дело с более общими отобра-
отображениями. Я приведу некоторые результаты, не входя в под-
подробности.
Принцип затухающей памяти п-го порядка заключается в
предположении, что при постоянной предыстории (F(t))c реак-
реакция © п раз дифференцируема по Фреше. Дифференцирование
по Фреше функционалов представляет собой обобщение диффе-
дифференцирования функций, и предположить, что отображение п раз
дифференцируемо по Фреше, это все равно, что предположить
существование для него соответствующего n-членного разложе-
разложения Тейлора с остаточным членом.
Точнее, в рассматриваемом случае
Т = © (F*) = © (F @) + ? ©< (F* ~ F @е) + о (|| F' --F @е II"),
(XIII. 5-1)
>) В оригинале obliviator. — Прим. перёв.
§5 ГЛ. XIII. ПРИНЦИПЫ ЗАТУХАЮЩЕЙ ПАМЯТИ 387
где ©г — ограниченные однородные полиномиальные отображе-
отображения1) степени i, зависящие от переменной F(t).
Подобно разложению Тейлора, которое дает представление
функции f(x) в виде суммы однородных полиномиальных функ-
функций х{ степеней 0, 1, ..., п и с ошибкой, которая стремится к
нулю быстрее, чем хп, разложение Фреше заменяет данное
отображение © суммой более простых отображений с ошибкой,
которая стремится к нулю быстрее, чем л-я степень запоминания
||F — (F@)cll разности между истинной предысторией гра-
градиента Ff и соответствующей постоянной предысторией (F(^))c.
Разложение Тейлора в том виде, в каком мы его только что при-
привели, не дает никакой информации относительно значений f(x)
в отдельных точках х, оно показывает нам, что если мы выбе-
выберем любую последовательность Х\, такую, что |*г|-»-0, то ошиб-
ошибка, фигурирующая в приближенной формуле, стремится к нулю
быстрее, чем | я,-|п. Аналогично разложение Фреше A) ничего
не говорит нам о значениях ©(F*) для конкретных предыстории
градиента F'. Оно показывает, что если мы строим последова-
последовательность или семейство предыстории градиента, запоминание
разностей между которыми и постоянной предысторией стре-
стремится к нулю, то мы можем определить некоторую сумму одно-
однородных полиномиальных отображений степени не выше п, кото-
которая отличается от © на величину, стремящуюся к нулю быстрее,
' чем п-я степень этого запоминания.
Таким образом, всякий раз, используя предположение о том,
что материал удовлетворяет принципу л-го порядка, мы будем
строить семейства F', такие, что ||F' — F@cll->0. Необходим
мость в этом была показана в предыдущем параграфе при до-
доказательстве теоремы о релаксаций напряжений (XIII. 4-3). Эта
теорема утверждает, что для частного семейства F{<0} предысто-
предыстории, определенных для данной предыстории градиента Ff со-
согласно (XIII. 4-2), напряжения становятся приблизительно
равными упругим напряжениям, соответствующим F(^), если
') Пусть 41 н Т — нормированные векторные пространства с нормами
II || н | | соответственно. Отображение ф; из WX'MX.-X'W (i сомно-
сомножителей) в Т называется ограниченной i-линейной формой, если оно лн-
нейно по каждому из своих аргументов н если существует постоянная К,
такая, что
I §i (и„ и2 и() |<Д- llu.ll ПшП • ¦. №11 Vu/ e Г.
Такая форма симметрична, если ее значение не изменяется при любой пере-
перестановке ее ( аргументов. Отображение ©,- нз <U в Т называется ограничен-
ограниченным однородным полиномиальным отображением степени i, если существует
ограниченная t-лннейная форма ф«, такая, что
и) =& (и, и,..., и) Vus%
388 ЧАСТЬ 4. ЗАТУХАЮЩАЯ ПАМЯТЬ § 6
t — to достаточно велико. Что значит «достаточно велико», за-
зависит от трех вещей: истинной предыстории градиента Ff, кон-
конкретного материала, определяемого с помощью функции реак-
реакции ©, и конкретного градиента F(t), вблизи которого вычис-
вычисляется приближение. Для того чтобы этот факт стал очевиден,
рассмотрим один случай, когда F' (s) = const, и другой случай,
когда © зя 0. В обоих этих случаях ошибка равна нулю для
всех t0- Аналогично свойство затухающей памяти более высо-
высокого порядка ничего не говорит нам о влиянии только движе-
движения- или только материала. Оно показывает нам, как построить
более простые определяющие уравнения, которые будут при-
пригодны асимптотически для определенных классов материалов
при определенных семействах предыстории деформаций.
§ 6. Теория линейной вязко-упругости
при конечных деформациях
Если принимается, что материал имеет затухающую память
1-го порядка, то (XIII. 5-1) аппроксимирует отклонение от упру-
упругих напряжений с помощью ограниченного линейного функцио-
функционала. Совокупность всех предыстории деформаций с конечным
запоминанием образует гильбертово пространство, и по теореме
Фреше — Рисса') каждый ограниченный линейный функционал
в гильбертовом пространстве допускает представление в виде
скалярного произведения. Чтобы применить эту теорему в навдем
случае, мы предполагаем, что рассматривается затухающая па-
память типа Колемана — Нолла, и получаем согласно (XIII. 4-21),
что
00
Т = 6(F @) 4- f h (s) К (F (t), s) [Ff (s) - F {t)] ds + о (|| F' - F (tf ||),
(XIII. 6-1)
где ядро К —тензор четвертого ранга, такой, что
00
J|K(F(Q, «)•№<<». . (XIII.6-2)
о
До сих пор в этой главе мы использовали неприведенные опре-
определяющие соотношения, которые, вообще говоря, не удовлетво-
удовлетворяют принципу материальной независимости от системы от-
отсчета. Если мы просто пренебрежем поправочным членом в A),
>) Эту теорему можно найти в книге: Royden H. L., Real Analysis,
2nd ed., New York, McMillan, 1968 [или в книге: А. Н. Колмогоров и С. В. Фо-
Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, «Наука», М.,
1972.-Я3]
§ 6 ГЛ. ХШ. ПРИНЦИПЫ ЗАТУХАЮЩЕЙ ПАМЯТИ 389
то получим приближенное определяющее уравнение, которое за-
зависит от системы отсчета и не может точно описывать поведе-
поведение никакого материала. Устранить этот недостаток легко, к со-
сожалению, слишком легко, поскольку есть бесконечно много спо-
способов это сделать. Все, что надо сделать, — это начать с при-
приведенного определяющего соотношения и провести процесс ап-
аппроксимации, аналогичный тому, который мы применяли к не-
приведенным соотношениям.' Например, если мы начнем с
(IV. 5-15), то получим
/
+ o(|c{-lc|), (XIII.6-3)
где, конечно, ядро К не совпадает с ядром в A). Если мы те-
теперь пренебрежем поправочным членом, то получим соотноше-
соотношение, не зависящее от системы отсчета, которое можно исполь*
зовать для задания специального воображаемого материала.
Это специальное определяющее соотношение было впервые по-
получено почти таким же способом Колеманом и Ноллом, которые
назвали основанную на нем теорию линейной теорией вязко-
упругости при конечных деформациях.
Слово «линейный» относится здесь к зависимости напряже-
напряжений от прошедшей предыстории С\—\ относительной деформа*
ции. Природа памяти материала линейна в том смысле, что
неупругие напряжения, соответствующие предыстории деформа-
деформации, приводящей к относительному правому тензору Коши —
Грина С;, представляют собой сумму неупругих напряжений, со-
соответствующих любым двум предысториям деформации, сумма
относительных правых тензоров Коши — Грина которых равна
С;. От текущего тензора деформации С(^) напряжения могут
зависеть произвольным образом: Колеман и Нолл заметили, что
выбор в качестве исходной любой другой из бесконечного, мно-
множества приведенных форм для общего определяющего соотно-
соотношения также приводил бы тем же самым способом к линейному
результату, но другому. Поскольку теория, которая линейна при
одной мере деформации1), например С<, может быть нелиней-
нелинейной при другой мере, например U<, то получаемые таким обра-
образом теории конечных деформаций, вообще говоря, отличаются
одна от другой, но, разумеется, все они согласуются друг с дру-
другом в смысле аппроксимации A), т. е. напряжения, соответ-
соответствующие, согласно этим теориям, семейству предыстории гра-
градиента F*, такому, что || F' — F (tf || -> 0, асимптотически равны
между собой.
') В оригинале measure of deformation, —Ярил. ред.
390 ЧАСТЬ 4. ЗАТУХАЮЩАЯ ПАМЯТЬ § 7
§ 7. Медленное движение и материалы Ривлина —Эриксена
Один способ построения семейства предыстории градиента
с малым запоминанием связан с введением понятия медленного
движения.» Существует большая, запутанная и все растущая
литература по вопросу о медленном движении в гидродинамике,
которое как прежде, так и теперь является излюбленной темой
для всякого рода туманных догадок. Первое точное понятие
медленного движения было дано Колеманом и Ноллом, которые
ввели определение замедленного движения:
%^(X,t) = t(X,rt), где г>0. (VI. 1-11)
Исходя из данной предыстории градиента F', мы строим семей-
семейство предыстории градиента, проходя одну и ту же последо-
последовательность конфигураций со все меньшими скоростями. Интуи-
Интуитивно ясно, что, когда коэффициент замедления г стремится
к нулю, запоминание замедленной предыстории также будет
стремиться к нулю при условии, что эта предыстория гладкая.
Нам нужно оценить скорость этого стремления.
Если C\(s) имеет п непрерывных производных при s = 0,
то по теореме Тейлора
с!E)-1 = У-^-А/(/) + 1Ы'> s), (XIII.7-1)
где А/ — это /-и тензор Ривлина — Эриксена, определенный
формулой (И. 11-17), и
| Rn(t, s)| = o(s") при s-*0 и фиксированном t. (XIII.7-2)
Аналогичный результат справедлив и для замедленного дви-
движения. Однако мы уже видели, что
Ar = /-'A/. (VI. 1-14)
Следовательно,
С!(r) (s) - 1 = 2 -Ь^- A/ (t) + RiP (t;s), (XIII. 7-3)
где теперь
RT(s, t)\ = o(rns") при rs->0 и фиксированном t. (XIII. 7-4)
Теорема Колемана — Полла о замедлении утверждает, что
если исходная предыстория градиента F' имеет конечное запо-
запоминание, то для забывающей меры типа (XIII. 4-21) остаточный
член RJP в C) имеет произвольно малое запоминание при
i 1 гл. хШ. принципы Затухающей памяти 391
r->0. Точнее,
| Rj,r)| = o(r") при /-+0. (XIII. 7-5)
Хотя величина ошибки Rn может, согласно D), становиться все
больше и больше при фиксированном г и s-> oo, т. е. в далеком
прошлом, забывающая мера нивелирует влияние любого такого
роста на величину запоминания и приводит к тому же самому
порядку для ||с'(г)|, который имел бы место, если бы оценка
D) была равномерна по г. Это далеко не очевидно. Хотя ре-
результат E) просто сформулировать, его трудно доказать. Это
одна из двух или трех наиболее трудных теорем во всей меха'
нике сплошных сред.
Мощная теорема Колемана — Иолла о замедлении дает нам
возможность построить удивительно простую последователь-
последовательность аппроксимаций для определяющего уравнения простого
материала при замедленных движениях. Сначала запишем
(XIII. 5-1) в форме, приведенной так, чтобы удовлетворить прин-
принципу материальной независимости от системы отсчета. Напри-
Например,
- l) + 0(fl(c!)R-l|D, (XIII. 7-6)
где ${ — ограниченное однородное полиномиальное отображе-
отображение степени i, зависящее от переменной С(^). Затем подставим
в это соотношение разложение C). Непосредственный, но длин-
длинный и скучный расчет порядков величины запоминания после-
последовательных членов приводит к замедленному определяющему
соотношению Колемана — Нолла для напряжений Т<г> в замед-
замедленном движении
при г->0. (XIII. 7-7)
Здесь для упрощения записи опущен аргумент t; L^... /ft —
полилинейная функция своих k аргументов; суммирование про-
проводится по всем индексам, таким, что
Поскольку к{1) = г1к!, правая часть G) за вычетом поправоч-
поправочного члена представляет собой многочлен степени п относи-
относительно г.
На первый взгляд G) представляется невозможным резуль-
татом. Мы начали с аппроксимации неупругих напряжений зна-
значениями ограниченного линейного отображения. Конечно, зна-
392 ЧАСТЬ 4. ЗАТУХАЮЩАЯ ПАМЯТЬ $ 1
чение отображения зависит от аргумента, который представляет
собой функцию — полную предысторию градиента от s = 0 до
s = оо. Однако G) показывает, что для определения значения
отображения в этом случае 'нам не надо ничего знать о пре-
предыстории, за исключением того, что происходило в сколь угодно
малом интервале, предшествующем рассматриваемому моменту,
поскольку тензоры Ривлина — Эриксена получаются взятием
производной по времени в рассматриваемый момент и полили-
полилинейные операторы Ь/ / зависят только от текущего гра-
градиента деформации. Итак, каким-то образом длительнейшую
память, простирающуюся бесконечно далеко в прошлое, можно
приближенно заменить введением в расчет достаточного коли-
количества производных по времени, вычисленных в рассматривае-
рассматриваемый момент. Мы знаем, что так быть не может. Все прошлое
нельзя уравнять никаким количеством производных в рассмат-
рассматриваемый момент. Это обстоятельство отражено в поправочном
члене; хотя в G) он записан в виде о(гп), мы не должны забы-
забывать, что этот член представляет отображение, аргументом ко-
которого служит предыстория градиента. Результат, выражаемый
соотношением G), является асимптотическим. Это результат не
об одном движении, а о семействе движений. Он говорит нам,
что если задано любое движение, то, достаточно замедлив его,
можно оправдать аппроксимацию определяющего функционала
замедленного движения суммой полилинейных функций от про-
производных по времени заданного движения в рассматриваемый
момент. Смысл процесса замедления заключается в том, что
любая «крутая» деформация все дальше и дальше отодвигается
в прошлое, которое материал плохо помнит, и все больше и
больше увеличивается влияние гладкой части предыстории
вблизи рассматриваемого момента.
Согласно замечательной теореме G), общее определяющее
уравнение материала с длительной памятью аппроксимируется
в достаточно замедленном движении уравнением для некото-
некоторого специального материала с инфинитезимальной памятью.
Оглядываясь на § VI. 1, мы видим, что вместо того, чтобы рас-
рассматривать там жидкости Ривлина — Эриксена, мы могли бы
легко задать материал дифференциального типа порядка (или
степени) п. Если бы мы так и сделали, то могли бы теперь ин-
интерпретировать теорему Колемана — Нолла как утверждение,
что определяющее соотношение любого заданного простого ма-.
териала можно аппроксимировать определяющим соотношением
некоторого материала дифференциального типа степени п с
ошибкой порядка о(гп) при г—*0. Как мы отмечали в § 3, мате-
материалы дифференциального типа не обладают затухающей па-
памятью, выражаемой через забывающую меру. Теорема Коле-
Колемана:— Нолла показывает, что, несмотря на это, в смысле за-
§ 7 ГЛ. XIII. ПРИНЦИПЫ ЗАТУХАЮЩЕЙ ПАМЯТИ 393
медления они служат асимптотическими аппроксимациями для
всех материалов, которые имеют такую память.
В § VI. 1 мы записали явно определяющие соотношения для
жидкостей степеней 1, 2, З.и 4. Сейчас мы остановимся, для
того чтобы отметить более общие виды соотношений, вытекаю-
вытекающие из G), для материалов, не обязательно изотропных. Если
п = 0, то G) дает
T(r)R =
при
т. е. в достаточно замедленном движении напряжения в любом
материале с затухающей памятью приближенно равны напря-
напряжениям в упругом материале. Эта теорема, будучи по форме
подобной теореме о релаксации напряжений (XIII.4-3), отно-
относится к упругому семейству предыстории: медленным движе-
движениям, а не постоянным продолжениям. В случае п = 1 соотно-
соотношение G) дает
T(r)R = g(C) + V(C)[A(r)R] + o(r) при г->0, (XIII.7-10)
где тензор четвертого ранга V представляет собой тензор вяз-
вязкости. Материал, определяемый при помощи A0) с отброшен-
отброшенным поправочным членом, называется линейно-вязким; мы
встречались с ним раньше и получили для него-приведенное
определяющее соотношение (IV. 4-14), которому A0) с отбро-
отброшенным поправочным членом эквивалентно. Согласно, результа-
результатам Колемана и Нолла, в замедленных движениях линейно-вяз-
линейно-вязкий материал служит асимптотическим вторым приближением
для простого материала с затухающей памятью, выражаемой
через забывающую меру.
В частности, на этом, пути определяющие соотношения Эй-
Эйлера и Навье — Стокса для жидкостей появляются в качестве
соответственно первого и второго приближений для произволь-
произвольных простых жидкостей. В § VI. 1 мы выписали соотношения,
дающие три следующие приближения для частного случая не-
несжимаемой жидкости.
Следует быть осторожными и не относить к теореме Коле-
Колемана — Нолла о замедлении результаты более сильные, чем те,
которые они сформулировали и доказали. Эта теорема дает при-
приближенные определяющие соотношения, а не приближенные ре«
шения конкретных граничных задач или задач с начальными
условиями. Решение конкретных задач предполагает дифферен-
дифференцирование определяющего соотношения и затем интегрирование
получающихся уравнений движения или равновесия для опре-
определения деформации х*> соответствующей конкретным силам,
приложенным к конкретному телу. Если две функции отли-
отличаются на малую величину, то их производные могут отли-
394 ЧАСТЬ 4. ЗАТУХАЮЩАЯ ПАМЯТЬ § 8
чаться на большую, и если производные двух функций отлича-
отличаются на малую величину, то сами функции совсем не обяза-
обязательно аппроксимируют друг друга. Вопрос о построении или
использовании приближенных дифференциальных уравнений,
приводящих к приблизительно одинаковым решениям, чрезвы-
чрезвычайно сложен даже в простейших классических теориях, по-
поэтому читатель не будет удивлен, если узнает, что этот вопрос
совсем не изучался применительно к весьма общим материа-
материалам, рассматриваемым в этой книге.
§ 8. Бесконечно малые деформации
Другое приложение теории затухающей памяти можно по-
получить, строя семейства смещений, которые соответствуют ма*
лым мерам деформации в течение всего прошлого. Как и в
§ IX. 1, мы полагаем
H=Vu = F-I, (IX. 1-2)
ЁаЦСн + Н1). R^i-tH-H1) (IX. 1-7)
и через е обозначаем наименьшую верхнюю грань норм гра-
градиента смещения Н, соответствующих всем деформациям, кото-
которым подвергался материал: . .
e=sup|H'(s)|. (XIII. 8-1)
Мы будем рассматривать далее семейство предыстории градиен-
градиента, такое, что в->0.
Упражнение XIII. 8.1. Доказать, что
С\ (s) - 1 = 2 [ Ё (t - s) - Е (t)] + о (е2) = О (е) (XIII. 8-2)
и что, следовательно, то же самое справедливо, если С* заменить на (C<)Rt
Таким образом, как и ожидалось, ЦС* — 1с|| = о(в) при 8-»-О,
поэтому мы можем подставить B) в (XIII. 6-3) и получить
TR = l(C) + 2 Jft(s)K(C, s)[E(*-s)-E(s)Us+o(e). (хЩ.8-3)
о
Это, однако, еще не все, поскольку ядро K(Ci s) в случае
бесконечно малых деформаций можно упростить.
Упражнение XIII. 8.2 (Колеман & Нолл). Доказать, что '
= 1 + О(8), ,vmeM
(ЛШ. 8-4)
1 + 0(8),
§ 9 ГЛ. ХШ. ПРИНЦИПЫ ЗАТУХАЮЩЕЙ ПАМЯТИ 395
и что, следовательно, C) принимает вид
Т@ - То-= R (О То - T0R(O + (L + М @)) [Е (/)] +
+ J M(s)[E (t-s)] ds + о(е), (XIII. 8-5)
о
где
T
M(s)=»-2 J А(г)КA, z)dz. (XIII. 8-6)
о
В этих результатах То — тензор напряжений в отсчетной кон-
конфигурации, a M(s)— так называемая функция релаксации на-
напряжений. В случае когда М = 0, E) сводится, если отобро-
сить поправочный член, к (IX. 2-4) — определяющему уравне-
уравнению для бесконечно малой упругой деформации из напряжен-
напряженной конфигурации,-поэтому L представляет собой тензор линей-
линейной упругости. Когда То = 0, отсчетная конфигурация является
естественной конфигурацией и E) сводится, если опять отбро-
отбросить поправочный член, к определяющему уравнению Больц-
Больцмана теории вязко-упругости при бесконечно малых деформа-
деформациях, о которой мы упоминали в § IV. 4 и которая издавна из-
изучалась как самостоятельная теория.
В отличие от теории материалов дифференциального типа
степени п теория Больцмана не может служить в качестве при-
примера теории, пригодной при общих деформациях, поскольку она
не является не зависящей от системы отсчета. Подобно линей-
линейной теории упругости бесконечно малых деформаций, теория
Больцмана представляет собой лишь приближенную теорию.
Линейная теория упругости служит общим первым приближе-
приближением для бесконечного множества различных достаточно глад-
гладких теорий конечных упругих деформаций. В этом смысле тео-
теория Больцмана есть обобщение теории упругости, поскольку
она представляет собой общее первое приближение для беско-
бесконечного множества различных достаточно гладких теорий ма-
материалов с памятью при бесконечно малых деформациях.
§ 9. Отношение к классическим теориям
Мы установили четыре различные роли, в которых разнооб-
разнообразные классические теории материалов выступают по отноше-
отношению к теории простых материалов Нолла.
1. В качестве специальных материалов. Упругий материал и
линейно-вязкий материал представляют частные случаи, при-
примеры возможного поведения материалов для всех предыстории
396 ЧАСТЬ 4. ЗАТУХАЮЩАЯ ПАМЯТЬ § 9
деформаций. Аналогично многие вязко-упругие материалы, как
дифференциального типа, так и интегрального типа, например,
материалы, описываемые с помощью линейной теории вязко-
упругости при конечных деформациях или ее очевидных обоб-
обобщений, в которых фигурируют суммы повторных интегралов по
прошедшему промежутку времени, — все это возможные, но
частные примеры. Жидкости Эйлера представляют собой част-
частный случай всех этих материалов. Теория Больцмана и теория
упругости при бесконечно малых деформациях не относятся
сюда, ибо они не являются теориями, независимыми от системы
отсчета при больших деформациях.
2. Как теории, пригодные при специальных видах дефор-
деформаций. А именно, при статических деформациях все простые ма-
материалы ведут себя подобно упругим материалам.
3. При медленных движениях. А именно, определяющее урав-
уравнение любого заданного простого материала с затухающей па-
памятью Колемана —Нолла порядка п аппроксимируется опреде-
определяющим уравнением некоторого материала дифференциального
типа сложности п. В частности, при п =¦ 0 получается упругий
материал, при п= 1— линейно-вязкий материал. Для изотроп-
изотропных материалов соответствующим частным случаем является
материал Ривлина — Эриксена сложности п. Таким образом, на-
например, определяющие соотношения Эйлера и Навье — Стокса
представляют собой общи& соответственно первое и второе при-
приближения определяющих уравнений для всех жидкостей при до-
достаточно замедленном движении.
4. При бесконечно малых деформациях. Теория Больцмана,
предназначенная для учета начальных напряжений в соответ-
соответствии с (XIII.8-5), служит общим первым приближением опре-
определяющих уравнений для всех материалов с затухающей па-
памятью Колемана — Нолла первого порядка, подверженных де-
деформациям, которые малы сейчас и всегда были достаточно малы.
Приближения, указанные в третьем и четвертом пунктах,
если их слепо применять к частным задачам, вообще говоря,
могут привести к противоречивым результатам для одного • и
того же материала. Согласно первому из них, напряжения опре-
определяются достаточным числом производных деформации в рас-
рассматриваемый момент. Согласно последнему, для того чтобы
определить текущие напряжения, необходимо провести интегри-
интегрирование по всему прошлому. Оба результата являются прибли-
приближенными, и обстоятельства, когда они применимы, различны.
Вообще говоря, теории дифференциального типа годятся при
медленных движениях, в то время как теории интегрального типа
годятся при малых мерах деформации.
Никакие утверждения обратного плана не доказаны и не
могут быть доказаны. Теории дифференциального типа могут
гл. хш. принципы затухающей памяти . 397
применяться при быстрых деформациях и хорошо описывают
реакцию некоторых реальных тел, как, по-видимому, уравнения
Навье — Стокса хорошо описывают обычные реальные жидко-
жидкости; теории интегрального типа могут применяться при боль-
больших деформациях. Важность теории Колемана и Нолла в ее
позитивном характере. Она показывает, что классические опре-
определяющие .уравнения для сплошной среды должны быть спра-
справедливы при некоторых широких условиях как асимптотические
аппроксимации для гораздо более общих видов реакции мате-
материала. Эта теория не отрицает возможность того, что эти опре-
определяющие уравнения, быть может, справедливы и в более общих
ситуациях.
Область применимости приближенных формул остается не-
неясной в каждом из наших двух случаев. Мы знаем только, что,
выбирая достаточно малый коэффициент замедления г в пер-
первом случае или достаточно малую верхнюю грань е во втором
случае, мы можем получать сколько угодно близкие аппрокси-
аппроксимации. Что означает «достаточно малые», зависит от материала
и от предыстории градиента, выбранной в качестве исходной.
Вместо того чтобы попытаться оценить область применимости
аппроксимации, иногда бывает легче ее улучшить. Приведенные
выше методы дают возможность легко получить более высокие
аппроксимации, поправки к классическим определяющим урав-
уравнениям. Один такой пример мы привели в § VI. I, а следствия
из него обсуждены в последующих параграфах гл. VI.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
(работы общего характера)
NFTM, §§ 38—41.
В. D. Coleman & W. Noll, An approximation theorem for functionals, with appli-
applications in continuum mechanics, Arch. Rational Mech.-Anal, 6 A960),
355—370. (Воспроизведено в «Continuum Mechanics II. The Rational
Mechanics of Materials», ed. С Truesdeil, N. Y., Gordon & Breach, 1965.)
B. D. Coleman & W. Noll, Foundations of linear viscoelasticity, Reviews
Modern Phys., 33 A961), 239—249.
B. D. Coleman & W. Noll, Simple fluids with fading memory, Proc. Intl.
Sympos. Second-Order Effects, Haifa A962), 1964.
C.-C. Wang, Stress relaxation and the principle of fading memory, Arch.
Rational Mech. Anal., 18 A965), 117—126.
C.-C. Wang, The principle of fading memory, Arch. Rational Me",h. Anal.,
18 A965), 343—366.
B. D. Coleman & F. M. Greenberg & M. E. Gurtin, Waves in materials with
memory. V. On the amplitude of accelration waves and- mild disconti-
discontinuities, Arch. Rational Mech. Anal, 22 A966), 333—354; см. § 7.
В. D. Coleman, On retardation theorems, Arch. Rational Mech. Anal, 43
A971), 1—23.
Часть 5
ТЕРМОМЕХАНИКА
Глава XIV
ТЕРМОДИНАМИКА ОДНОРОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
§ 1. Скорость подвода тепла и температура
До сих пор мы рассматривали чистую механику, в которой
силы появляются только как реакции на движения. Фактически
всеобщим является обратное утверждение, а именно что движе-
движения возникают только благодаря действию сил, тогда как по-
повседневный опыт показывает нам, что и явления, отличные от
движения, могут порождать действующие на тела силы. Нагре-
Нагревая массу воздуха, мы заставляем ее оказывать большое дав-
давление на сосуд, в котором она заключена, а нагревая неравно-
неравномерно различные части куска железа, мы можем заставить его
изменить свою форму.
Таким образом, если даже нас интересует теория, отобра-
отображающая лишь те явления внешнего мира, которые связаны с
движением тел под воздействием приложенных сил, то чтобы
построить такую теорию, мы должны включить в ее математи-
математическую структуру понятия скорости подвода тепла и темпера-
температуры. Мы вправе ожидать, что, имея их, мы моделируем и столь
же нам знакомое явление изменения температуры тела под дей-
действием деформирования.
В гл. I читателю было представлено формальное абстракт-
абстрактное построение принципов кинематики и механики. Использо-
Использованные там понятия — это понятия того же рода, которые встре-
встречаются в курсе механики для инженеров и физиков, хотя и
более общие. Читателю не нужно было переучиваться, а нужно
было только тщательно отобрать, подчистить и обобщить уже
знакомые ему понятия. С термодинамикой дело обстоит по-
иному. Понятийная система, лежащая в основе рациональной
термодинамики, не столь известна, как элементы рациональной
механики. По этой причине я счел разумным включить в книгу
главу, отличную по характеру от остальных глав книги. А имен-
именно, читатель найдет здесь изложение некоторых вопросов, обыч-
обычно включаемых в курсы физики, но не нашпигованное метафизи-
§ 1 ГЛ. XIV. ТЕРМОДИНАМИКА ОДНОРОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 399
кой и не затемненное совершенно неизбежной нестрогостью ма-
математических построений и мешаниной основных понятий, тра-
традиционной для термодинамики. Сами понятия и образуемую
ими логическую структуру я представляю и упорядочиваю та-
таким образом, который легко обобщается на случай сплошных
сред. Эта глава имеет две цели: для тех, кто никогда не изучал
термодинамики, изложить простой частный случай общей тео-
теории, которой посвящена следующая глава, а для тех, кто изу-
изучал ее традиционным образом, связать то, что они уже знают,
с современной системой представлений, используемой в даль-
дальнейшем изложении. Читатель, не заинтересованный ни в том, ни
в другом, может сразу перейти к § XV. 2.
Скорость подвода тепла не имеет явной связи с механиче-
механическим понятием энергии. Однако, как более столетия тому назад
было установлено важными опытами Джоуля, то, что в повсе-
повседневном опыте ощущается как увеличение количества тепла,
всегда может быть измерено в единицах работы. Поэтому стало
возможным ввести «энергию» как сумму совершенной работы
и прироста количества тепла. В § I. 14 мы выразили эту идею
в общей форме как аксиому баланса энергии: Для каждого
тела 9& в любой момент времени t
E = W + Q, (I.14-6)
где Е — внутренняя энергия тела <%, W — собственная скорость
совершения работы силами, действующими на J?, a Q — ско-
скорость подвода тепла к телу J?. В рамках механики собственную
скорость совершения работы следует интерпретировать следую-
следующим образом: в инерциальной системе отсчета
W = P-K, (I. Г4-1)
где Р—мощность системы сил, приложенных к <%, определяе-
определяемая соотношением (I. 14-2), а К — кинетическая энергия тела 3S.
Если проинтегрировать A.14-6) по некоторому интервалу
времени, то получим
U <а
Е{12)-Е{^)= J Wdt + JQdt. (XIV. 1-1)
<i h
Первый интеграл в правой части представляет собой собствен-
собственную работу, совершенную в интервале времени [t\, t2], а «то-
«торой — приращение количества тепла за тот же интервал вре-
времени. В частности, если тело 38 неподвижно относительно не-
некоторой инерциальной системы при t = t\ и t = t2 и если
?(f) = ?(^i)l то совершенная внешними силами работа равна
400 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА § 1
взятому с обратным знаком приросту количества тепла:
t, t,
J Pdt = - $Qdt. (XIV. 1-2)
и и
Большинство экспериментальных подтверждений аксиомы ба-
баланса энергии относится к этому частному случаю.
В термодинамике состояние тела в данный момент времени
задается, наряду с кинетическими величинами, такими, как по-
положения и массы или плотности, также и температурой или по-
полем температур. Подобно тому как расстояния измеряются мар-
маркированным условным образом стержнем, который мы привыкли,
считать недеформируемым, температуры измеряются -условным,
образом маркированными трубочками со ртутью или с возду-
воздухом, которые мы привыкли считать подчиняющимися определен-
определенным законам расширения. (Можно изобрести и построить и
более тонкие инструменты для обоих видов измерений.) Шкала
термометра, равно как и шкала мерного метра, является про-
произвольной. Шкалу любого термометра, используемого для клас-
класса явлений, встречающихся в повседневной жизни и обычно на-
называемых «классическими», можно распространить до таких
низких значений, которые никогда нельзя наблюдать ни при
каких измерениях ни над какими телами. Иными словами, в
любой температурной шкале имеется наибольшая нижняя грань.
Если этой грани приписано значение 0, то температурная шкала
называется абсолютной. Для обозначения абсолютной темпера-
температуры мы будем пользоваться буквой 9:
о<е<оо. (xiv. 1-з)
Единица измерения температуры остается произвольной, и тем-
температуру в отличие от количества тепла нельзя выразить в ме-
механических единицах.
Сколь бы важным ни было существование абсолютной тем-
температуры для физики, в термодинамике оно лишь удобно в том
отношении, что позволяет нам при желании производить деле-
деление на G без всяких оговорок. В частности, часто бывает фор-
формально удобнее пользоваться холодностью1) ¦&, определяемой
как величина, обратная к 0:
О = |. (XIV. 1-4)
Скорость подвода тепла и температура играют в термоди-
термодинамике разную роль. Последняя образует часть описания усло-
условий, в которых находится тело, или его состояния. Первая же
') Обычно говорят «обратная температура». — Прим. перев.
§2 ГЛ. XIV. ТЕРМОДИНАМИКА ОДНОРОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 40!
представляет собой количественную характеристику, определяе-
определяемую по предыстории состояния некоторым определяющим соот-
соотношением. Чтобы сделать это различение плодотворным, мы
должны ввести третью и последнюю величину, специфическую
для термодинамики, а именно калорию.
Специальным теориям калории, относящимся к частному слу-
случаю калории, называемому «энтропией», уже свыше ста лет,
однако они чаще всего нетипичны и слабо освещают путь к со-
современной термодинамике сплошной среды, которая была соз-
создана в последнем десятилетии. Чтобы связать старые и, не-
несомненно, известные результаты с современной .системой пред-
представлений, мы в последующих трех параграфах будем рассмат-
рассматривать только тот частный случай, когда тело характеризуется
механически и геометрически конечным набором параметров —
например, его объемом или массами составляющих его частей.
Само по себе движение, таким образом, непосредственно не
учитывается, так что эту теорию можно было бы назвать «чи-
«чистой» термодинамикой, точно так же как теория, развитая в
предыдущих главах этой книги, представляет собой чистую ме-
механику.
Читатель, который не нуждается в рассмотрении этого вы-
вырожденного случая, может опустить остальную часть этой главы
и прямо перейти к следующей, в-которой развивается современ-
современная термомеханика сплошной среды.
§ 2. Аксиома диссипации. Калория.
Однородные процессы
Работа и энергия могут быть превращены в тепло, но для
каждого данного тела & существует предельное значение ско-
скорости, с которой тепло может превращаться в энергию без со-
совершения механической работы. Обозначим эту наименьшую
верхнюю грань через В. Аксиома (или принцип) диссипации
гласит:
E-W^B, (XIV. 2-1)
или, эквивалентно,
. (XIV. 2-2)
Мы можем назвать В тепловой гранью. Для данного тела J?,
на которое действуют заданные силы, все четыре величины, вхо-
входящие в A) и B), являются функциями времени. Если известно
B(t), то аксиома диссипации утверждает, что не все E(t), W(t)
и Q(t)> удовлетворяющие равенству (I. .14-6), являются допусти-
допустимыми. Поскольку соотношение B) ограничивает Q(t) сверху,
а не снизу, оно не запрещает осуществления сколь угодно высо-
высоких скоростей превращения энергии и работы в тепло, поскольку
402 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА § 2
при этом Q < 0, однако устанавливает ограничение на превра-
превращение тепла в работу и энергию.
Тепловая грань В зависит от вида тела и от температуры;
следовательно, в отличие от наибольшей нижней грани для тем-
температуры она является не универсальной величиной, а величи-
величиной, связанной с определяющими соотношениями материала.
Чтобы проиллюстрировать эти понятия и их применение, рас-
рассмотрим некоторый класс тел, с которыми происходят однород-
однородные процессы, т. е. изменения условий, в которых находятся эти
тела, адекватно описываются конечным числом вещественных
функций времени — «параметров», один из которых — темпера-
температура. Остальные, которые мы будем обозначать через Ть Тг,
Т3, ..., Та или, сокращенно, Y, мы не будем уточнять. Приме-
Примером однородного процесса, от которого и пошло название таких
процессов, является однородная деформация сплошной среды
(§ 11.12) в однородном температурном поле. В этом примере
в качестве Г выступают 9 компонент тензора F, определяющие
конфигурацию %х с точностью до несущественных постоянных.
8 некоторых приложениях достаточно рассматривать не все
9 компонент, а только некоторые функции этих компонент.
В старых книгах по термодинамике фигурирует главным обра-
образом тот частный случай, когда в качестве параметра исполь-
используется одна-единственная функция det F;r в этом случае, коль
скоро масса тела задана, Г сводится к объему V(%x (J?, t)). Дру-
Другой пример системы параметров Г мы имеем в случае тела, яв-
являющегося смесью k частей, которые деформируются совместно
и могут обмениваться массой через посредство химических ре-
реакций; в этом случае некоторые из Y* представляют собой «глу-
«глубины реакций».
В этом параграфе нам не потребуется никакая конкретная
интерпретация Г.
Определим ситуацию k(t) как упорядоченную пару
Я (/) = (Г (f), 6 (/)), — оо < / < оо. (XIV. 2-3)
Функция к, которую мы будем называть процессом, отображает
ту последовательность обстоятельств, в которых может нахо-
находиться тело &, и рассматривается как достаточное для целей
теории их описание. Иногда мы будем говорить, что процесс к
находится в ситуации k(t) в момент t. Из соображений формаль-
формального удобства мы будем предполагать, что ситуации представ-
представляют собой векторы в векторном пространстве У размерности
ft+1.
Принцип термодинамически допустимого детерминизма для
однородных процессов утверждает, что W, Q, Е и В опреде-
определяются предысторией соответствующей ситуации: для всех до-
§5 ГЛ. XIV. ТЕРМОДИНАМИКА ОДНОРОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 4U3
статочно гладких предыстории №, значения которых лежат в
данной односвязной области 3) векторного пространства 9s,
<XIV-2'4)
где отображения SB, G, 0, и 93 таковы, что для всех предысто-
предыстории № выполняются соотношения баланса энергии A.14-6) ы
принципа диссипации (XIV. 2-2).
Приведем принцип диссипации к более простому виду. Во-
первых, заметим, что в силу A.14-6) мы можем однозначно
выразить любую из величин 2В, & и @ через две другие. Мы бу-
будем исключать таким образом G. Во-вторых, вводя калорию Н
посредством соотношения
j (XIV. 2-5)
что можно сделать в силу (XIV. 1-3), мы сводим неравенство
диссипации к виду')
0#>Q. (XIV. 2-6)
Это неравенство называется неравенством Клаузиуса.
Начальный момент времени ^о входит в определение как па-
параметр, но интереса он не представляет, поскольку Н, как пока-
показывает само определение, имеет смысл лишь с точностью до про-
произвольной аддитивной постоянной. Определим свободную энер-
энергию F следующим образом:
F = ?-9#. (XIV. 2-7)
Тогда из F) и A.14-5) мы получим приведенное неравенство
диссипации:
/ (XIV.2-8)
и обратно, из (8) можно получить F). Термин «приведенное»
указывает на то, что мы с помощью уравнения баланса энер-
энергии исключили Q.
') Неравенства такого вида или аналогичные ему типичны для прежних
трактатов по термодинамике, где величина, аналогичная Я, называется «эн-
«энтропией». Я избегаю в своей книге этого термина и сопровождающих его тер-
терминов «состояние», «первый закон термодинамики», «второй закон термоди-
термодинамики», «обратимый», «кипятильник», «вселенная» и т. д. ad nauseam [до
отвращения (лат.). — Перев.], чтобы избавить читателя от путаницы, которая
обычно проистекает от их использования,
404 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНЙКА § 2
Подводя итог этого «приведения», мы можем сформулиро-
сформулировать следующий эффективный принцип термодинамически до-
допустимого детерминизма'):
(XIV. 2-9)
где отображения 2В, 3 и ф таковы, что для всех предыстории
№, принадлежащих области их определения, выполняется при-
приведенное неравенство диссипации (8).
Отображения SB, g и ф представляют собой реакции трех'
величин—W, F и Н соответственно; они определяют некоторое'
термодинамическое тело в том и только в том случае, когда
тождественно по V удовлетворяют неравенству (8).
Упражнение XIV. 2.1. Провести подробно только что описанное кратко
приведение.
Главная задача термодинамики состоит в том, чтобы опре-
определить для заданного класса отображений и заданного класса
предыстории общее решение неравенства (8).
В § XIV. 5 мы дадим решение этой задачи в простейших
случаях. Прежде чем сделать это, мы посвятим следующие два
параграфа тому, чтобы связать данное изложение с традицион-
традиционными способами рассмотрения элементарных задач о тепле и
температуре.
Калория Н определяется теми математическими свойствами,
которые мы ей приписали. Она соответствует одному из тех
понятий, которые физики называют «энтропией».' Обычно при
рассмотрении энтропии пространно (как правило, быходя за
рамки имеющейся формальной структуры и углубляясь в мета-
метафизику) пытаются как-то мотивировать или, как это иногда
представляется, «определить» понятие энтропии.
Как мы видели, существование тепловой грани В легко
усмотреть из повседневного опыта. Однако в практику термоди-
термодинамики В входит лишь через посредство калории Н, определяе-
определяемой через В соотношением (XIV. 2-5). Именно Я, а не Б легко
обобщить на случай долей, как мы это увидим в гл. XV. Кало-
Калория — это новая основная величина, свойства которой лежат в
основе термодинамики. По сути дела, термодинамика представ-
представляет собой теорию калории..
') Запись ниже означает, что, например, значение отображения % для
данной предыстории К' представляет собой функцию F от времени t. Произ-
Производная этой функции будет обозначаться через F, а значение этой функции
в момент t — через F(t).
§ 3 ГЛ. XIV. ТЕРМОДИНАМИКА ОДНОРОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 405
§ 3. Циклы. Оценка коэффициента полезного действия
по Карно — Клаузиусу — Кельвину
Циклом называется процесс, который начинается и кон-
кончается в одной и той же ситуации:
вд=ад, . (xiv. 3.-1)
где мы обозначаем через ti и ^ начальный и конечный моменты
времени.
Циклы используются для моделирования действия тепловых
машин, в которых некоторое тело Я& переводится из одной си-
ситуации в другую путем добавления тепла, а затем путем отвода
тепла переводится обратно в ту же ситуацию; если тело имеет
надлежащие определяющие соотношения, то, проходя цикл, оно
совершает работу над окружающими его телами. Тем самым J?
превращает в работу часть поглощенного им тепла. Проводя
тело подходящего рода вновь и вновь через такой цикл, можно
совершить любое требуемое количество работы при условии, что
подводится достаточное количество тепла. Различные виды цик-
циклов служат при этом моделями различных тепловых -машин,
рабочие вещества которых представляются в этих моделях тер-
термодинамическими телами.
Поскольку собственная скорость совершения работы W есть
скорость, с которой производится работа над телом J7, соб-
собственная работа U, производимая телом $! за цикл, опреде-
определяется формулой
и
(XIV. 3-2)
Таким образом, в силу A.14-1)
(XIV. 3-3)
где К—кинетическая энергия тела J?. Если по завершении
цикла она вновь принимает начальное значение или если К пре-
пренебрежимо мало, то собственная работа, совершенная телом J7,
сводится к — [ Pdt, т. е. (ко всей) работе, совершенной те-
ЛОМ &.
Пусть Т+ и Т~. обозначают множества тех моментов вре-
времени на протяжении цикла, в которые соответственно Q >• 0
и Q < 0. Определим поглощенное тепло С+ и выделившееся
406 Часть ъ. "теРмомёханМка $ $
тепло С~ следующим образом:
С+ аз | Qdt, С'^- | Q dt; (XIV. 3-4)
Очевидно,
'I, (XIV. 3-5)
и
Интегрируя соотношение баланса энергии A.14-6) от U до h,
приходим к следующему соотношению между выделившимся и
поглощенным теплом:
= С —и —ZYC, (AlV.o-D)
где Л? — приращение, которое получает Е после того, как прой-
пройден цикл:
t±E?sE(t2) — E{tx). (XIV. 3-7)
Коэффициент полезного действия (к. п. д.) е$ тела & в данном
цикле') определяется как отношение совершенной телом соб-
собственной работы к поглощенному количеству тепла:
eas==UlC+. (XIV. 3-8)
Конечно, мы предполагаем здесь, что С+ > 0, поскольку при
С+ = 0 нельзя получить ничего сколько-нибудь интересного ни
для теории, ни для приложений.
Воспользуемся теперь неравенством Клаузиуса (XIV.2-6),
чтобы получить знаменитую оценку коэффициента полезного
действия, которую дали (исправляя более раннюю оценку Кар-
но) Клаузиус и Кельвин, причем они объявили ее установлен-
установленной, основываясь на словесных рассуждениях с воображаемыми
процессами, опирающихся на несформулированные и неуточнен-
ные допущения относительно последствий обращения направле-
направления действия машины.
Обозначим через ftmin и ftmax точную нижнюю грань и точ-
точную верхнюю грань значений ft в цикле и допустим, что
0<flmax<<». Поскольку |Q| + Q^0, |Q| — Q>0, сразу
') Или данного цикла над телом Я.—Прим.. ред,
§ 3 ГЛ. XIV. ТЕРМОДИНАМИКА ОДНОРОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 407
ВИДНО, ЧТО
X (XIV. 3-9)
Вычитая второе неравенство из первого и затем используя не-
неравенство Клаузиуса (XIV. 2-6), находим
(XIV. 3-10)
(XIV. 3-11)
Подставим в A0) выражение F) для С~, разделим результат
на ¦ОтахС+ и получим таким образом для величины ess, опреде-
определяемой соотношением (8), следующую основную оценку (Трус-
делл):
«л<1- —-^Т^. (XIV. 3-12)
бтах С
Где, КОНеЧНО, 8min = 0mix, бтах = Фт!п.
Укажем теперь условие, достаточное для того, чтобы третий
член правой части этого общего неравенства был неотрицатель-
неотрицательным, и тем самым получим знаменитую оценку коэффициента
полезного действия Кйрно — Клаузиуса — Кельвина:
Если определяющие соотношения тела <М таковы, что в силу
них в рассматриваемом цикле
ДЕ-вш,пД#>0, (XIV. 3-13)
и если в этом цикле 8min > 0 и С+ > 0, то
е.<1-#^<1. (XIV. 3-14)
* Итах
Существенное условие A3) не формулируется явным образом
в стандартных руководствах по термодинамике, хотя, по-види-
по-видимому, и содержится в числе неявно делаемых там допущений.
Мы замечаем, что если ЛЯ ^ 0, то ввиду A0)
(XIV. 3-15)
В цикле, в котором Н не возрастает, отношение выделившегося
количества тепла к поглощенному не может быть меньше отно-
отношения наименьшей температуры к наибольшей.
408 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА § 4
В большинстве прежних теорий частных типов тел ? и Я
считаются функциями одной только ситуации: Е (t) = Ш ("к (t)),
H(t) = $(k(t)). Конечно, При определяющих соотношениях та-
такого рода А? = 0 и АН = 0, так что условие A3) выполняется.
Мы будем рассматривать такие тела в § 5 и 6. В .§ XV. 8 мы
убедимся, что для некоторого определенного типа циклов соот-
соотношение A3) выполняется также для широкого класса мате-
материалов с памятью, хотя для них в общем случае АЕ #0 и
АН Ф 0, и для многих циклов, но не для всех. Таким образом,
оценка A4) выполняется весьма часто, хотя и далеко не всегда.
Эта оценка показывает, что эффективность тепловых машин
ограничена не только из-за несовершенства их конструкции и
изготовления, но и в силу самой их природы. При данной мини-
минимальной температуре 9min наивысший возможный коэффициент
полезного действия достигается увеличением 0тах настолько,
насколько это возможно. Поскольку вне зависимости от того,
каковы 8mln и 9тах, е# < 1, в циклическом процессе с любым
телом 08 невозможно превратить в работу все поглощаемое те-
телом тепло. Видно также, что максимальный коэффициент по-
полезного действия не зависит от того, какие изменения претерпе-
претерпевает тело в цикле. На увеличение верхней границы для коэф-
коэффициента полезного действия влияет только различие темпера-
температур, а не величина изменений Г. На этот результат не влияет
не только природа k параметров Т{, совокупность которых обо-
обозначена нами через Y, но и само их число k.
Приведенное нами рассуждение показывает, конечно, что
оценка A4) справедлива, но она не доказывает, что установ-
установленная выше оценка сверху является наилучшей. Фактически,
как мы покажем в следующем параграфе, для тел, из опреде-
определяющих соотношений которых следуют неравенства A3), эта
оценка является наилучшей.
§ 4. Некоторые специальные процессы. Цикл Карно
Обратимся теперь к доказательству того, что только циклы
специального рода, называемые циклами Карно, позволяют до-
достичь верхней границы в оценке Карно — Клаузиуса — Кельвина
(XIV.3-14). До этого определим некоторые специальные виды
процессов и отметим некоторые их свойства.
Для данного тела происходящий с ним процесс называется
адиабатическим, j ( Q =0,
изокалорическим, | если при всех t I Н = const, (XIV. 4^1)
изотермическим^ i I (J = const,
§ 4 ГЛ. XIV. ТЕРМОДИНАМИКА ОДНОРОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 409
Первое и третье названия являются традиционными, и их, как
и многие из терминов, используемых в механике, следует счи-
считать освященными длительным применением, хотя часто они
недостаточно точны или ведут к недоразумениям. Если неко-
некоторый процесс является изотермическим для одного тела, то он
является изотермическим для всех тел, однако будет или нет
данный • процесс адиабатическим (или изокалорическим) для
данного определенного тела, зависит от определяющих соотно-
соотношений этого тела.
Адиабатический процесс — это такой процесс, при котором
скорость подвода тепла равна нулю, так что уравнение баланса
энергии A.14-6) сводится к утверждению о сохранении меха-
механической энергии:
E = W. (XIV. 4-2)
В силу (XIV. 2-6) и (XIV. 1-3)
Я^О (XIV. 4-3)
— в адиабатическом процессе калория не уменьшается.
Изотермический процесс — это процесс, в котором темпера*
тура постоянна. Из (XIV. 2-6) видно, что при этом
*,
H(U)-H(t\)>*\Qdt (XIV. 4-4)
t,
— в изотермическом процессе прирост калории на единицу хо-
холодности не меньше, чем полный приток тепла к телу.
Изокалорический процесс, как показывает его название,—
это процесс, в котором калория остается постоянной1). Для та-
такого процесса неравенство (XIV. 2-6) сводится к неравенству
Q<0, (XIV. 4-5)
так что в силу A.14-6)
?<W (XIV. 4-6)
— в изокалорическом процессе тепло не может быть подведено
к телу, хотя может быть отведено от него, и результирующая
совершенная над телом работа должна быть не меньше прира-
приращения его внутренней энергии.
Теперь обратимся вновь к оценке Карно—Клаузиуса—
Кельвина для коэффициента полезного действия тепловой ма-
машины (XIV. 3-14) и спросим себя, может ли быть достигнута
устанавливаемая ею верхняя граница. Допустим с самого на-
начала, что
Д? = 0, Л#<0, (XIV. 4-7)
') Обычно нзокалорнческнй процесс называют изэнтропическим.
410 ЧАСТЬ S. ТЕРМОМЕХАНЙКА M
поскольку иначе нельзя получить никакого определенного ре-
результата. Из G)i и (XIV. 3-6) видно, что
U=C+-C~, (XIV. 4-8)
так что (XIV. 3-6) дает
ел^=\——г. (XIV. 4-9)
Таким образом, чтобы
е =l_-?miiLi (XIV. 4-10)
* "щах
необходимо и достаточно, чтобы
-?LeJs!s-. (XIV. 4-11)
Итак, в цикле с максимальным коэффициентом полезного
действия выделившееся тепло и поглощенное тепло находятся
в таком же отношении, как и минимальная и максимальная
температуры. Далее, в силу (XIV. 3-10)
0<ДЯ, (XIV. 4-12)
что в сравнении с нашим допущением G) 2 показывает, что
ДЯ = 0 (XIV. 4-13)
— в цикле с максимальным коэффициентом полезного действия
калория не приобретается и не теряется. Обращаясь вновь к
(XIV. 3-10), видим, что
*'
0 = JeQA«= jHQdt+ JQQdt. (XIV. 4-14)
Оценка (XIV. 3-9) дает теперь
1ХС". (XIV. 4-15)
Ввиду A1) левая и правая часть равны между собой, так что
вместо обоих знаков «^» должны стоять знаки « = »:
#m.nC+ = jf>Qdt, — j flQ dt — дш„С", (XIV. 4-16)
Из (XIV. 3-4) и (XIV. 3-9) теперь сразу видно, что для почти
всех времен должно выполняться одно из следующих соотно-
§ 4 ГЛ. XIV. ТЕРМОДИНАМИКА ОДНОРОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 41!
шений:
Q@>o и е = егаах, (xiv. 4-17)
Q(t)<o и e = emln.
Иными словами, чтобы достигался максимальный коэффи-
коэффициент полезного действия, процесс почти во все моменты вре-
времени должен быть либо адиабатическим, либо изотермическим
при минимальной температуре, сопровождающимся отводом
тепла от рабочего тела, либо изотермическим при максимальной
температуре, сопровождающимся поглощением тепла рабочим
телом. Цикл такого рода называется циклом Карно. Мы дока-
доказали следующую теорему:
ПуСТЬ 0min U Этах — ЗпдпННЫв различные ПОЛОЖИТ в ЛЬНЫв ТвМ-
пературы. Тогда единственным циклом, в котором выполняется
условие (.7) и достигается максимальной результирующий ко-
коэффициент полезного действия 1 — Этт/Этах. является цикл
Карно.
Карно ввел такой цикл, чтобы описать действие машины, в которой ра-
рабочее тело приводится в контакт с большим нагревателем и поглощает тепло
при постоянной температуре 9шах; затем изолируется и получает возмож-
возможность продолжать расширяться адиабатически, пока его температура не упа-
упадет до температуры холодильника 9mm; затем приводится в контакт с этим
холодильником до тех пор, пока не отдаст ему такое количество тепла, что,
когда его снова изолируют, то при адиабатическом сжатии температура его
поднимается вновь до Отах и восстановится начальный объем. При такой
интерпретации ?8 представляет собой некоторую массу жидкости, например
воздуха или пара, а в качестве Т берется объем V области, занятой телом Я.
Определение адиабатического процесса связано с опреде-
определяющими соотношениями. Поэтому цикл, являющийся циклом
Карно для одного тела $, не обязательно будет циклом Карно
для другого, и нет даже уверенности в том, что в случае произ-
произвольных определяющих уравнений данного тела вообще можно
организовать цикл Карно.
Мы показали, что цикл Карно — это единственный цикл, в
котором может быть достигнут максимальный при данном отно-
отношении бшт/бшах коэффициент полезного действия. Из A3) мы
можем вывести еще одно необходимое условие того, что это
максимальное значение действительно достигается:
$Hdt+ $Hdt+ J Hdt, (XIV. 4-18)
з-+ з~ 3я '
где Тй—множество моментов времени в цикле, для которых
Q = 0. Далее, на {Г+, как показывает A7), Ь = Фшт, так что
412 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА J 4
(XIV. 2-6) дает
?>*mlnQ>0. (XIV. 4-19)
Допустим теперь, что в действительности Й > ¦OmmQ на неко-
некотором подмножестве множества 0~+, имеющем положительную
меру. Тогда
J Hdt > flmln JQdt = -ftralnC+. (XIV. 4-20)
Конечно, в силу A7) и (XVI. 2-6)
ди.хС". - (XIV.4-21)
Складывая B0) и B1) и используя затем A1), получим
\Hdt-\- $Hdt>0. (XIV. 4-22)
Следовательно, ввиду A8)
|ЯЛ<О. (XIV. .4-23)
Но согласно (XIV. 2-6) #>0 на Т°, так что неравенство B3)
невозможно. Таким образом, допущение, что Я > $mnQ на
подмножестве положительной меры множества &~+, не может
выполняться. Следовательно,
H = $mlnQ почти всюду на Т*, (XIV. 4-24)
так что _ .
J Hdt = $mlnC+. (XIV. 4-25)
г+
Точно таким же образом мы можем доказать, что
^ = flmaxQ почти всюду на Т~, (XIV. 4-26)
так что
J <WC-. (XIV. 4-27)
поэтому в силу A8)
j O. (XIV. 4-28)
§ 4 ГЛ. XIV. ТЕРМОДИНАМИКА ОДНОРОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 413
Но, как мы уже отмечали, Я>0 на Т°\ значит, для того чтобы
B8) выполнялось, необходимо, чтобы
Я = 0 почти всюду на Т°. (XIV. 4-29)
Иными словами, адиабатические участки цикла Карно макси-
максимального коэффициента полезного действия являются изокало-
рическими.
С учетом A7) мы можем подытожить соотношения B4), B6)
и B9) в виде одного утверждения
9# = Q, (XIV. 4-30)
или, эквивалентно,
Q = B. ¦ (XIV. 4-31)
Упражнение XIV. 4.1. Доказать, что если тело может совершить цикл
Карио, для которого выполняются соотношения G), A3) и C0)-, то коэффи-
коэффициент полезного действия такого цикла выражается формулой A0).
Тем самым доказана следующая
Теорема о цикле Карно (Трусделл). Если выполняется пред-
предположение G), то единственные циклы, при которых для тела
31 могут быть достигнуты максимальные коэффициенты полез-
полезного действия, возможные при данном отношении температур
9min/9max, — это циклы Карно, соответствующие этим темпера-
температурам. Чтобы это значение коэффициента полезного действия
достигалось, необходимо и достаточно, чтобы почти всюду Q =
= 9Я') и чтобы Д# = 0.
В той части, которая касается необходимости, условие
АН = 0 можно опустить, ибо для цикла Карно оно является
следствием соотношений C0) и A1). В части, касающейся до-
достаточности, его опустить нельзя, ибо цикл Карно, в котором
Д# < 0 и вЙ = Q, не удовлетворяют условию A1) и, следова-
следовательно, не удовлетворяет A0), когда Д? = 0.
Если цикл Карно является для тела & возможным процес-
процессом и если & удовлетворяет условиям G) и C0), то коэффи-
коэффициент полезного действия определяется соотношением A0), т. е.
для всех таких тел коэффициенты полезного действия во всех
циклах Карно, соответствующих данному соотношению 8min/9max,
одинаковы. В частности, коэффициент полезного действия не
меняется при изменении параметров Г в ходе цикла. В этом от-
') Классическая формулировка здесь гласила бы: «чтобы цикл Карио
был обратим». Поскольку термины «обратимый» и «необратимый» подсказы-
подсказывают лишь такую интерпретацию, которая бесплодна и ведет к недоразуме-
недоразумениям, я избегаю их. Читатель, предпочитающий пользоваться ими, может про-
просто говорить «обратимый» всякий раз, как в альтернативе «^» имеет место
«=», и говорить «необратимый», когда имеет место «<».
414 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА § 5
ношении мы подтвердили утверждение авторов старых работ по
термодинамике о том, что коэффициент полезного действия A0)
не зависит от рода рабочего вещества и размеров машины. На
деле они, по-видимому, и рассматривали лишь тела такого рода.
Будут или не будут выполнены основные условия G), зави-
зависит от вида- определяющих соотношений для тела 38. Конечно,
достаточным является условие, что Е и Й представляют собой
значения функций только от текущей ситуации:
? = <S(X), #=&(Х), (XIV. 4-32)
поскольку тогда Д? = 0, АН = 0 для любого цикла.
В следующих двух параграфах мы рассмотрим два класса
определяющих соотношений, для которых C2) имеет место!
Для первого класса, как будет доказано, выполняется также
и C0), и, следовательно, существует бесконечно много термо-
термодинамических тел, для которых цикл Карно может быть прове-
проведен с максимальным коэффициентом полезного действия. Та«
ким образом, для получения максимального коэффициента по-
полезного действия мы можем • не только использовать весьма
много различных циклов Карно для одного и того же тела, но,
и весьма много различных тел. В § 6 мы убедимся, что есть
материалы, которые удовлетворяют условиям C2), но никогда
не удовлетворяют условиям C0), так что для них ни в одном
цикле никогда не достигается максимальный коэффициент по-
полезного действия, соответствующий данному отношению тем-
температур.
§ 5. Первый пример: классические «уравнения состояния»
Чтобы проиллюстрировать жесткие ограничения, которые
приведенное неравенство диссипации (XIV. 2-8) налагает на
определяющие соотношения, мы в качестве первого примера вы-
выберем для изучения «пробный» класс определяющих соотноше-
соотношений, в которых свободная энергия F и калория Н являются
функциями текущего значения ситуации:
f = 8(l), # = ?(*). (XIV. 5-1)
Такие соотношения в термодинамике прошлого столетия на-
называли «уравнениями состояния». Мы предположим далее, что
собственная скорость совершения работы W является линейной
функцией от скорости изменения вектора Г;
W = - 2 &а (Х)?а. (XIV. 5-2)
а=1
§S ГЛ. XIV. ТЕРМОДИНАМИКА ОДНОРОДНУх ПРОЦЕССОВ 415
Это допущение также является общепринятым в старых рабо-
работах, в которых обычно кинетическая энергия не учитывается,
так что W = P — механической мощности в инерциальной си-
системе. Коэффициенты ©а называются термодинамическими дав-
давлениями, и соотношение B) обычно выводится с помощью эле-
элементарных рассуждений относительно некоторой специальной
механической задачи. В действительности такие рассуждения,
если в них попытаться учесть и К, покажут, что для типичных
механических систем W не будет иметь форму B).
В формулировку начальных допущений A) и B) входят
k + 2 функций ситуации к, а именно §, ф и ба. Согласно прин-
принципу термодинамически допустимого детерминизма, сформули-
сформулированному в § 2, эти функции должны быть такими, чтобы
удовлетворялось приведенное неравенство диссипации (XIV.2-8)
для всех предыстории к*. Таким образом,
к
{д$ + Ф) в + 2 (дт Ъ + 50) 1С а < 0. (XIV. 5-3)
а=!х а '
Эквивалентно,
А(Х).Х<0, (XIV. 5-4)
где компонентами (k + 1)-мерного вектора А являются
Ао = (дв% + §>),
А =(д Ч + <Ь) й=1 2 k *XIV" 5~5*
Мы еще не наложили никаких ограничений на функции %, ф
и 5>а. Мы будем предполагать, что они определены на связном
открытом множестве ситуаций, на котором все они непрерывны,
а 3 к тому же непрерывно дифференцируемо. Если ко—ситуа-
ко—ситуация, принадлежащая этой области их определения, а к\ — про-
произвольная другая ситуация, то мы можем следующим образом
определить процесс к:
о, — оо < t ^ ?),
4\\ 4 ^4^4 \U (XIV.5-6)
где h — некоторое положительное число; если h достаточно
мало, то все ситуации, через которые проходит процесс к, попа-
попадают в область определения функций g, §> и 5>а. Поскольку
для этого процесса X =* Х„ условие D) приводит к требованию
А (Хо) • Xj < 0 VX0, X,. (XIV. 5-7)
Следовательно,
A(Xe)=«O VV (XIV. 5-8)
416 , ЧАСТЬ 5. Тег-м6МЁхАнИК.А § 5 .
Поэтому в силу E)
*.
Подстановка этих необходимых условий обратно в C)-показы- -
вает, что они являются также и достаточными и что в C) всегда :
имеет место « = » и никогда «О. Таким образом, установлена ;
следующая
Теорема о термодинамическом потенциале. Для того чтобы
«уравнения состояния'» A) и B) удовлетворяли принципу тер- '
модинамичесш допустимого детерминизма, необходимо и до- -\
статочно, чтобы свободная энергия была термодинамическим
потенциалом в смысле соотношений (9). Для таких тел тепло- •¦
вая грань достигается в каждом процессе1):
а=зз=е§ (xiv. 5-ю) -
и процесс адиабатичен тогда и только тогда, когда он изокало-
ричен. Кроме того, ;
а=1, 2, .... k. (XIV.5-11) I
Заметим, что A1) есть условие интегрируемости для §. Ус-
Условия такого рода в термодинамике без особого к тому основа-
основания обычно называются «соотношениями Максвелла». ,^
В частности одна-единственная функция g однозначно on- I
ределяет k -\- 1 функций ф и 5>а. Поскольку и Я и F суть значе- '"
ния функций только от %, то и Е обладает тем же свойством.
Поэтому в любом цикле АЕ = 0, АН = 0, и, согласно теореме, *
доказанной в § 3, для тел этого класса в цикле может дости-
достигаться коэффициент .полезного действия; не превосходящий
1 — 8min/9max- Более того, согласно теореме, доказанной в § 4, :
для тел.этого класса в циклах Карно (и ни в каких других) дей- ~~
ствительно достигается коэффициент полезного действия 1 — г
— 9min/0max. Таким образом, эффективность всех тел этого класса \
при данном отношении температур одинакова.
Теорема о термодинамическом потенциале со всеми ее ва-
вариантами, следствиями и приложениями почти исчерпывает со- -_
держание обычных книг по термодинамике. Результат этот при- *
надлежит по существу Клаузиусу, но наш способ получения
его отличен от способа Клаузиуса.
Специалисты по термодинамике прошлого века, и в том числе Клаузиус,
начинали с соотношения B) или какого-нибудь его частного случая и пред-
') В традиционной формулировке для этого класса тел все процессы об-
обратимы.
§ S ГЛ. XIV. ТЕРМОДИНАМИКА ОДНОРОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 417
полагали, далее, что скорость подвода тепла Q есть лииейиая функция ско-
скорости изменения ситуации:
q=кт (Ц в + 2 *т (»¦) *V <XIV-5-I2>
Коэффициент /Cj. представляет собой теплоемкость при постоянном Г, а коэф-
коэффициент Lr — скрытую теплоту по отношению к То. В нашей теории мы
получаем этот результат непосредственно из A0) 2 и допущения A)г; кроме
того,
tfr = 9deS, Lr=93rS. (XIV. 5-13)
tx й
Таким образом, если мы рассматриваем теплоемкость и скрытые теплоты, удо-
удовлетворяющие соотношению A2), как величины, определяемые из опыта, то мы
можем сформулировать эмпирический критерий существования функции ф:
дгКх = 93е (LTjey а = 1, 2 k. (XIV. 5-14)
Конечно, это другая запись условия интегрируемости (И).
Если мы положим © = 5 + 9©, так что Е = ©(Х,), то в силу (9) мы
убеждаемся также, что
ЛГГ = дД LTa = ma + дтШ, а - 1, 2 k. (XIV. 5-15)
Как показывает следующее упражнение, эти формулы в сочетании с A3)
дают еще одно соотношение, имеющее непосредственное отношение к экспе-
эксперименту.
Упражнение XIV. 5.1. Доказать, что
Lrfl=eaeffla, a = 1,2 k. (XIV. 5-16),
Соотношение, которое определяет а>„ как функцию от %, обычно рассма-
рассматривается как тепловое свойство, наиболее просто определяемое в экспери-
эксперименте.' Из A6) видно, что эта функция однозначно определяет скрытые теп-
теплоты Lr . Этот результат является, конечно, следствием двух независимых
й
предположений: что неравенство Клаузиуса удовлетворяется тождественно и
что даииый класс тел описывается «уравнениями состояния» A) и B). Если
соотношение A6) не имеет места, то одни из этих допущений (но ие обяза-
обязательно оба) не подтверждается. Классики получали результаты, эквивалент-
эквивалентные этим, используя различные правдоподобные рассуждения для того, чтобы
вывести, что Е и п действительно представляют собой значения функций
от i, и что выполняется некоторое соотношение, эквивалентное A0).
Если
k
Q-tfjM+Slie** (XIV. 5-17)
а=1 а
то коэффициенты К~ и L~ называются соответственно теплоемкостью при
посто'янном давлении и скрытой теплотой по отношению к <ао.
Упражнение XIV. 5.2. Показать, что
k k
KZ ~ Kr " ~ S (Зейа) L&a> ha = 2 L&bdTa%- (XIV. 5-18)
r " ~ S (Зейа) L&a> ha = 2
14 Трусделл
4!& Часть 5. термомеханика . §4
Возвращаясь к соотношению A5), мы можем вывести из. него теорему, при-
принадлежащую по существу Клаузиусу:
Необходимое и достаточное условие того, что внутренняя энергия яв-
является функцией только температуры, состоит в том, чтобы каждая скрытая
теплота равнялась соответствующему термодинамическому давлению:
&a = Lr фф? = (?(9). (XIV.5-19)
а
По сути дела, первое из условий принималось в качестве аксиомы Р. Майе-
ром. Эта аксиома гласит, что все тепло, «скрытое» в 5$, может быть исполь-
использовано для совершения работы. Клаузиус и некоторые другие пионеры термо-
термодинамики предполагали, что в изотермическом процессе все добавляемое
тепло переходит в совершенную работу, т. е. Р + Q = 0 при 9 = const.
В рамках современной теории, основанной на балансе энергии, это предполо-
предположение эквивалентно A9J (в пренебрежении кинетической энергией), так что
утверждение Майера следует считать эквивалентным предположению Клаузиу-
са. Другая эквивалентная форма соотношения A9)г будет получена в следую-
следующем упражнении.
Упражнение XIV. 5.3. Доказать, что
(XIV.5-20}
так что . . •
дт 1 = - дъ @ша). (XIV. 5-21)
Следовательно, чтобы внутренняя энергия была функцией от температуры:
Е = ®(9), необходимо и достаточно, чтобы
ufl = fa(r)9. (XIV. 5.-22)
Используя A6), показать, что ба = ?г в том и только в том случае, когда
выполняется соотношение B2), и тем самым снова вывести теорему Клау-
аиуса A9).
Термодинамический -газ 3& в смысле весьма частной теории,
рассматриваемой в этом параграфе, определяется как еще бо-
более частный случай, когда Г сводится к единственному пара-
параметру V, интерпретируемому как объем, занимаемый газооб-
газообразным телом &. Соответствующее термодинамическое давление
& интерпретируется как давление в смысле эйлеровой гидроди-
гидродинамики. (В силу B) это означает, что W = Р — действительной
мощности — и скорость изменения кинетической энергии не
учитывается. В § 6 мы убедимся, что при более тщательном
рассмотрении на основе гидродинамики кинетическая энергия
соответствующим образом учитывается.)
Упражнение XIV. 5.4. Доказать, что если над термодинамическим газом
Совершается адиабатический процесс, то
& — y(dv&)V, (XIV. 6-23)
Где v — отношение теплоемКостей:
(XIV. 5-24)
$ 5 ГЛ. XIV. ТЕРМОДИНАМИКА ОДНОРОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 4!9
Упражнение XIV. 5.5 (Дюгем). Доказать, что для термодинамического
газа со = со (V, И) н
#.-Т?. (XIV. Мб)
Идеальный газ — это термодинамический газ, подчиненный
дополнительному условию, что он удовлетворяет классическим
газовым законам, выведенным Таунли, Пауэром и ¦Амонтоном:
®V = RQ, (XIV. 5-26)
или, эквивалентно,
5 = ар9, (XIV. 5-27)
где R— постоянная, а = R/M, М — масса тела 3S. Из B0) и B2)
видно, что
? = ёF), Ку-=в'F), Lv = a, (XIV. 5-28)
и A8) сводится к знаменитому соотношению, предложенному
Р. Майером и доказанному Клаузиусом:
Kn-Kv^R- (XIV. 5-29)
Из B3) и B6) следует, что для идеального газа в адиабатиче-
адиабатическом процессе .
G>IG> + yVlV=0, № = {l-y)V/V, (XIV. 5-30)
где у, определенное соотношением B4), является функцией
только от 0. Таким образом, в адиабатическом процессе объем
связан с температурой следующим образом:
ln^W' (XIV-51)
где 90 и Vo — постоянные.
Из соотношения B9) ясно, что теплоемкости либо обе по-
постоянные, либо обе непостоянные. Для идеального газа с по-
постоянными теплоемкостями соотношение C1) сводится к
закону адиабатического изменения Пуассона:
1 V_
V0у-1 = const, М'У-1 ^const, &Vy = const. (XIV. 5-32)
Кроме того, конечно,
? = АГУ0, (XIV. 5-33)
если только мы условимся, что Е = 0 при 0 = 0.
Мы нсследовалн адиабатические процессы, опираясь непосредственно на
их определение, и нигде не использовали тот факт, входящий в утверждение
фундаментальной теоремы, что для рассматриваемых в данном параграфе
14»
420 - ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА § 5
частных случаев определяющих соотношений адиабатический процесс яв-
является обязательно изокалорическим.
Поэтому легко понять, каким образом теорема, выражаемая соотноше-
соотношением C2), могла бы быть получена (как это и было на самом деле!) до того,
как была создана классическая термодинамика.
Нетрудно" подсчитать калорическую функцию идеального газа. Прежде
всего, нз A1) н B1) видно, что
ЭуЬ-у-, (XTV.5-34)
причем это функция только от V; в то же время A3) i показывает, что
ae^ = T/Cv: (XIV. 5-35)
в силу B8) это функция только от 0, Следовательно,
в
$ = Я 1п V + J *„ (|) -&¦ + const. (XIV. 5-36)
В случае когда теплоемкости постоянны, квадратуры легко выполняются, и
получающееся выражение можно преобразовать к виду
Отсюда видно, что соотношения C1) и C2) справедливы для изокалориче-
ских процессов. Только этого мы и могли ожидать, поскольку для рассма-
рассматриваемого в этом параграфе класса тел понятия «адиабатический» и «изо-
калорический», как было показано, эквивалентны.
Упражнение XIV. 5.6 (Планк). Отказавшись от допущения B), допустим,
что для каждого процесса
k .
V @ = ~ 2 б" @ *« @. (XIV. 5-38)
т. е. что W — по-прежнему линейная- функция от Г, ио термодинамические,
давления ие обязательно являются функциями от ситуации. Определим
энтальпию X и свободную энтальпию Z следующим образом:
k
X as E + У, йаГа,
?i (XIV. 5-39)
z s= x — е/у,
так что
E + Z^F + X. (XIV. 5-40)
Доказать, что
п=\ (XIV. 5-41)
и истолковать эти неравенства.
§ 6 ГЛ. XIV. ТЕРМОДИНАМИКА ОДНОРОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 421
Упражнение XIV. 5.7 (Рич). В условиях теоремы о термодинамическом
потенциале (9) допустим, что каждаи нз функций g. '© н йа является обра-
обратимой функцией от любого из ее^аргументов fl.JT,, ТЛ .... Хк. Доказать,
что тогда Е = @ (Я, Т), X = ЭЕ (Я, 5) и 2 = 3 (в. ®) н что каждая из этих
трех функций также явлиется термодинамическим потенциалом в том
смысле, что
6 = + <Эя@, &a = -drJS,
Q = dH$, Та-д&*' • (XIV. 5-42)
Упражнение XIV. 5.8. Рассмотрим внешне более общий класс опреде-
определяющих соотношений
ft
W = &{%)- 2 йа (»¦)*•
F = 8 (Ц - 2 яа (X) Га, (XIV. 5-43)
2
а=.1
и сделаем единственное допущение, что -W обращается в нуль, когда
Г = const, так что &(к) =0. Используя приведенное неравенство диссипа-
диссипации, показать, что па = 0, т)а = 0 и соотношения (9) являются по-прежнему
наиболее общими термодинамически допустимыми определяющими соотноше-
соотношениями.
§ 6. Второй пример: линейное трение
Существование классических потенциалов, как мы только
что видели,'является следствием не каких-либо общих термоди-
термодинамических идей, а того, что в качестве отправной точки был
взят, весьма специальный класс определяющих соотношений
(XIV.6-1) и (XIV.6-2). Если мы возьмем несколько более об-
общий класс определяющих соотношений, то уже не получим
классических формул. А именно учтем эффект «линейного тре-
трения», для чего теперь будем считать давление йа уже не функ-
функцией одного только Г, а линейной функцией от Г с коэффи-
коэффициентами, которые являются функциями ситуации:
йв = й«.(в, r)+iSert(e,lf)tt. (XIV. 6-!)
В то же время мы сохраним в прежнем виде калорические
уравнения состояния (XIV. 5-1). Величины ©^(в, Г), являю-
являющиеся значениями функций йа при Т = 0, могут быть названы
«равновесными давлениями», а &аь — «давлениями трения».
422 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА § 6
Подстановка в приведенное неравенство диссипации (XIV. 2-8)
дает
(<Зе5 + Ф)ё+2(й°+<5г5\Та+ ? <ojjb^0. (XIV.6-2)
0=1 ^ а / а, 0=1
Теперь нам надо найти решение неравенства B). Поскольку
коэффициенты при 0, Та и YaYj — функции только от 9 и Г и
поскольку мы можем построить термодинамический процесс,
в котором 2& + 2 величин 9, Та, 9 и Т6 принимают любые
угодные нам значения в момент t (при условии лишь, что 9 > 0),
это неравенство имеет вид
ЯцМ^ (VIV.6-3)
для всех Xk, где Л,- и Ац — постоянные. Пусть Xk — некоторые
заданные числа; тогда нераведство C) должно оставаться
справедливым после замены их на са&, где а — любая постоян-
постоянная. Поэтому для всех а
a'SiAiXi + tf^AtjXiXj^O. (XIV. 6-4)
Это квадратичное неравенство выполняется для всех а тогда
и только тогда, когда коэффициент при а равен нулю, а коэф-
коэффициент при о? неположителен. Конечно, B Atxt = 0 Vxi) О
€$(А{ = 0 для всех /). Таким образом, мы вывели следующие
необходимые условия: - •
^ = 0, 2>М<*/<0. (XIV. 6-5)
Обратно, если выполнены соотношения E), то выполняется
и неравенство C).
Применение этих результатов к неравенству B) показывает,
что это неравенство эквивалентно соотношениям
(XIV. 6-6)
2
а, 6=1
Объединяя все эти результаты, мы видим, что Ъ снова является
потенциалом для § и равновесных давлений й°, но не нахо-
находится ни в каком соотношении с давлениями трения 5>аъ- Таким
образом, функция свободной энергии уже не задает все опреде-
определяющие соотношения материала, поскольку давления трения
&аЬ независимы от нее. Со своей стороны давления трения
не произвольны. Для каждого значения ситуации квадратная
§ 6 ГЛ. XIV. ТЕРМОДИНАМИКА ОДНОРОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 423
матрица || <о„г»II должна быть отрицательно полуопределенной.
Обратно, если имеют место соотношения F), то принятые нами
определяющие соотношения удовлетворяют приведенному не-
неравенству диссипации для каждого дифференцируемого про-
процесса. Поэтому в FK не обязательно должно осуществляться
равенство, и действительно, в общем случае равенство здесь не
имеет места. Следовательно, определяющее соотношение A),
лишь немногим более общее, чем классическое (XIV.5-2), охва-
охватывает тела, для которых скорость подвода тепла оказывается
ниже предельного значения В, и адиабатический процесс не яв-.
ляется уже в общем случае изокалорическим.
Упражнение XIV. 6.1 (Трусделл). Показать, что тепловая грань В
является значением следующей функции 58 от 9, Т, 9 и Г: • .
SB = 9© = - (did) в + 2 («e*S) *a (XIV. 6-7)
w=\
Я
k
?=.58+ ^ &ab (9, Г) iafь. (XIV. 6-8)
а, 6=1
Результат этого упражнения позволяет нам разбить тела,
определяющие соотношения которых попадают в класс A), на
три различные категории:
Подкласс 1. Матрица || 5>аЬ II отрицательно определена. Тогда
Q = B в том и только в том случае, когда Г = 0, т. е. когда
•ситуация не изменяется, за исключением, быть может, тем-
температуры.
Подкласс 2. Матрица . || &аь II отрицательно полуопределена,
но не равна II 0 ||. Тогда Q = B в некоторых из процессов, для
которых Г Ф О, но не во всех таких процессах.
Подкласс 3. || &аь II = II 0 ||. Тут Q = В всегда; такие тела —
это как раз тела, рассмотренные в предыдущем параграфе.
Обращаясь вновь к циклу Карно, описанному в § 4, мы ви-
видим, что для тел, рассматриваемых в данном параграфе, соот-
соотношения (XIV. 4-7) 1 и (XIV. 4-13) справедливы по предположе-
предположению, а (XIV. 4-30) в общем случае несправедливо. Поскольку
условие Г = 0 для цикла Карно не может выполняться, для тел
подкласса 1 мы имеем Q <С В и, следовательно,
(XIV.6-9)
* 9щах
Таким образом, ни для какого тела подкласса 1 в цикле Карно
не может быть достигнут максимальный коэффициент полезного
424 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХЛНИКА
действия цикла. Как и следовало ожидать, линейное трение
снижает потенциальную эффективность рабочего тела.
Упражнение XIV.6.2 (Трусделл). Пусть Lt обозначает работу, совершае-
совершаемую давлениями трения <Ьц прн обходе некоторого цикла. Показать, что
в этом цикле
^<I--~L('+-^)- (XIV. 6-10)
"max \ L /
Упражнение XIV. 6.3 (Трусделл). Пусть задан некоторый цикл. Опреде-
Определим по нему класс замедленных процессов по аналогии с (VI. 1-11). Дока-
Доказать, что
L'p — rLf (XIV. 6-11)
и, следовательно, при г-уО коэффициент полезного действия цикла Карно
стремится К 1 —8mln/8max.
§ 7. Классическая газовая динамика.
Теории Эйлера — Адам ара и Стокса — Дюгема
Уже давно стало ясно, что, поскольку с помощью нагрева
можно заставить тело деформироваться, механика сплошной
среды должна строиться с учетом температуры как одной из
независимых переменных в определяющих соотношениях. Соот-
Соответственно этому в гидродинамике давление принимается функ-
функцией не только плотности, но и температуры, и определяющее
соотношение Эйлера' (IV. 4-4) заменяется соотношением
Т = -р(р, 6I; (XIV.7-1)
для линейно-вязкой жидкости вязкости К и ц рассматриваются
как функции плотности и температуры, так что (IV. 4-12) за-
заменяется на
Т = [-р(р, 6) + Я(р, 6)trD]l + 2n(p( 6)D, (XIV. 7-2)
и температура вводится в определяющее соотношение (VII. 1-2)
теории упругости
T = gx(F, 6). (XIV. 7-3)
Конечно, во всех трех случаях дополнительной независимой пе-
переменной, не указываемой явно, может быть также отсчетное
положение X.
Сама запись этих уравнений свидетельствует о том, что по-
понятие температуры обобщено. Здесь через 6 мы обозначим уже
не скаляр, а скалярное поле, значение которого в месте х в мо-
момент / равно температуре в этом месте в этот момент:
, 0 > 0. (XIV. 7-4)
§ 7 ГЛ. XIV. ТЕРМОДИНАМИКА ОДНОРОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 425
При этом обобщении увеличивается на единицу число полей,
подлежащих -отысканию при решении некоторой задачи, на не
увеличивается число регламентирующих их условий. Чтобы
определить поле температур, нужны дополнительные общие ус-
условия сверх тех, которые получаются из уравнений количества
движения и момента количества движения. Естественно искать
эти условия в термодинамике. В механике сплошной среды
прошлого столетия механика сопрягалась с термодинамикой
однородных процессов посредством требования, чтобы в ча-
частном случае, когда поля F и 8 сводятся к функциям одного
лишь времени /, определяющие соотношения механики сплош-
сплошных сред были совместимы с соотношениями частного вида,
рассмотренными в § 5, или, несколько более общим образом,
с соотношениями, намеченными в § 6.
Чтобы проиллюстрировать этот подход, мы рассмотрим ди-
динамику невязких газов, определяемых соотношением A).
Из (III. 5-12) и (III. 5-13) сразу находим, что для однород-
однородного движения
*-pV. (XIV. 7-5)
Это соотношение превращается в частный случай соотношения
(XIV. 5-2), если допустить, что
р(р, 6) = 5F, V). (XIV. 7-6)
Поскольку в однородных движениях М = pV и М = const, для
некоторого данного тела любая функция от V может быть пред-
представлена как функция от р, так что соотношение вида F) яв-
является возможным. Оно утверждает, что' термодинамическое
давление равно механическому.
Поскольку из определяющего соотношения Эйлера A) сле-
следует, что» функция р определена для всех движений, если она
известна для однородных движений, общность нашего резуль-
результата не пострадала от того, что мы рассматривали лишь одно-
однородные движений.
Конечно, в течениях общего вида р и 9 суть значения пере-
переменных во времени полей, а не функций одного лишь времени.
Чтобы перенести на случай полей все термодинамические соот-
соотношения § 5, мы сначала должны выразить их через величины,
которые могут быть значениями полей. Чтобы сделать это, по-
поделим каждую из величин на М — массу тела, совершающего
однородное движение. Например,
и т. д. Плотности е, *1 и ф называются соответственно плотно-
плотностями внутренней энергии, калории и свободной энергии; о на-
426 ЧАСТЬ 5, ТЕРМОМЕХАНИКА §7
зывается удельным объемом. Соотношения для потенциалов
(XIV. 5-9), записанные для случая термодинамического газа
в этих величинах, принимают вид
х\ = — дег|), й = — Э„г|>, (XIV. 7-8)
где \|) = i|)(8, v). Эквивалентные соотношения (XIV. 5-42))i2 при-
принимают вид , _j
6==Эг,е, й = - <Э„е = 6 (г\, р), (XIV. 7-9)
где e~e(v, r\). Если мы введем теплоемкости и^ и %& иа еди-
единицу массы соотношениями -
•Ч—Ж". »».-"§¦• (XIV. 7-10)
то соотношения (XIV. 5-13), и (XIV. 5-15), запишутся так:
}<1з=е(9в11==(9вё, (XIV. 7-11).
где т) = т)F, v), е—ё(8, t») = e(v, ч\) и т. д.
¦' До тех пор пока мы ограничиваемся однородными движе-
движениями газа, эти соотношения представляют собой просто иную
запись тех, которые были получены в § 5. Однако, записанные
в таком виде, они уже независимы от вида движения. Поэтому,
если теория, представленная в § 5, Должна быть совместима с
соотношением A) для всех однородных движений, то должны,
в общем случае существовать такие поля е, г\, ф и т. д., что спра-
справедливы формулы (8)~—A1) и т. д. Грубо говоря, классическая
газовая динамика, которую можно назвать теорией Эйлера —
Адамара, использует полевые аналоги всех соотношений теории
однородных процессов в термодинамических газах.
Чтобы определить температуру движущегося газа, мы об-
обратимся к выражающему баланс энергии дифференциальному
уравнению, уже записанному в общем виде под номером
(III.6-6). Подставляя в него E), в силу \7)з и (II.5-7) получим
| ps. (ХПЛ7-12)
Ввиду (9) и F) это уравнение преобразуется к виду
(XIV. 7-13)
Чтобы продвинуться дальше, надо сформулировать опреде-
определяющее соотношение для h и задать s. Чаще всего, хотя вовсе
не всегда, предполагается, что газ не способен проводить тепло
и что нет внутренних источников тепла. Тогда A3) сводится к
f)==0 (XIV.7-J4)
$ 1 гл. xiv. термодинамика однородных процессов 427
— плотность калории постоянна для каждой точки жидкости.
Течения такого рода называются изокалорическими. Если для
них распределение плотности калории равномерно в некоторый
момент времени, то оно равномерно всегда.'Течения, для кото-
которых справедливо это более сильное допущение, называются го-
мокалорическими. Именно эти течения обычно изучают в аэро-
аэродинамике чистых газов.
До Адамара чаще всего предполагалось, что газовые потоки гомотер-
мичны: 8 = const по пространству. Такие течения, вообще говоря, возможны
только, если жидкость проводит тепло. Действительно, в частном случае
идеального газа, поскольку е = еF), мы можем воспользоваться соотноше-
соотношением A1J и записать A2) в виде уравнения
px,,e = -pdivx + divh + ps, (XIV. 7-15)
которое превращается в дифференциальное уравнение для Температуры, если
движение известно и если выбрано некоторое определяющее соотношение
для h. Примером такого определяющего соотношения может служить закон
теплопроводности Фурье'
h de (XIV. 7-I6)
где х(9) — положительный скаляр, называемый теплопроводностью. Таким
образом, для идеального Теплопроводящего газа уравнение A5) принимает
вид
- р div х + dlv (x grad 6) + ps. (XIV. 7-17)
Для гомотермического течения мы получаем из F) функцию, которая
выражает давление как функцию одной только плотности; для гомокалори-
ческого течения мы получаем такую функцию Из (9)а. Эти две функции раз-
различны. В обоих случаях справедлива теорема Кельвина о циркуляции, по-'
скольку она требует лишь существования соотношения, выражающего р
и функции от р, вне зависимости от того, каково именно это соотношение.
Аналогично для этих двух случаев теорема Гюгонно (XI. 5-6) определяет
скорость звука, причем в каждом случае свою:
f f". (XIV. 7-18)
где ш определяется соотношением (9). Выражая в (XIV. 5-25) V через р,
мы убеждаемся, что
SjaS2L (XIV. 7-19)
Эти результаты чаще всего применяются К идеальному совершенному Газу.
Для такого газа в гомотермическом течении Соотношение (XIV. 5-27)' дает
р — Кр, где /С=*о8 (XIV. 7-20)
(ср. С упр. X. 3.1), а в случае нзокалорнческих Течений, при условии что
теплоемкости постоянны, мы можем применить закон Пуассона (XIV. 5-32):
р == /cpV. (XIV. 7-21)'
Соответствующие скорости звука можно записать сразу:
S2U-f ^-Vy- (XIV. 7-22)
428ЧдйТЬ 5, ТЕРМОМЕХАНИКА
Обратимся вновь к линейно-вязким жидкостям, определяю-
определяющее уравнение которых имеет вид B). И в этом случае тоже мы
можем потребовать, чтобы это уравнение согласовывалось с тер-
термодинамикой однородных процессов.
Упражнение XIV. 7.1. Доказать, что для однородных процессов теория
линейно-вязких жидкостей сводится к частному случаю теории линейного
трения, рассмотренной в § 6.
Из результата этого упражнения следует, что необходимые
и достаточные условия согласования определяющих уравнений
с теорией однородных процессов бывают двух родов. Во-первых,
соотношения (XIV. 6-6) i, 2 при этом эквивалентны соотношениям
F) и (8) или (9). Во-вторых, (XIV. 6-6) 3 при этом принимает
вид
tr[(X(trD)l+2nD)D]>0, VD. (XIV. 7-23)
Упражнение XIV. 7.2 (Стоке, Дюгем). Доказать, что неравенство B3)
эквивалентно неравенствам
ц>0, ЗЯ + 2ц>0. (XIV. 7-24)
4
Показать, что Я + 2ц ^-q- ц ^ 0, н как следствие получить, что одно из этих
двух дополнительных неравенств, используемых в упр. XI. 5.4, оказывается
излишним в силу сформулированных здесь термодинамических условий.
Теория, основанная на определяющем соотношении B) при
дополнительных условиях ц > О, B4)г, F) и (8) или (9), назы-
называется теорией вязких жидкостей Стокса — Дюгема.
Если мы еще примем, что определяющее соотношение для
теплового потока имеет вид закона Фурье A6) при дополни-
дополнительном условии и > 0, то возникающая при этом теория носит
название теории вязких теплопроводящих жидкостей Стокса —
Дюгема — Фурье.
Эта теория демонстрирует ту наибольшую, фактически предельную сте-
степень общности, которой, по-видимому, можно достичь, занимаясь профессией
гидродинамика. Те, кто посвятил себя этой профессии, называют все осталь-
остальные жидкости словами, содержащими приставку «не».
Мы достаточно подробно обсуждали необходимость дополни-
дополнительных неравенств в линейной теории упругости и теории ко-
конечных упругих деформаций.. Не меньше необходимы они и в
теории линейно-вязких жидкостей, поскольку без них из теории
могло бы вытекать, что вязкость помогает, а не препятствует
продолжению состояния движения или что теплопроводность
не способствует, а мешает перетоку тепла иа более горячих
мест в более холодные. В традиционном изложении эти допол-
дополнительные неравенства получаются из следующих двух посту-
постулатов, первый из которых относится только к вязкости, а вто-
ГЛ. XIV. ТЕРМОДИНАМИКА ОДНОРОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 429
рой — только к теплопроводности:
tr[(T-pl)D]>0 VD,
и Аа-^п w аь (XIV. 7-25)
h-grad9>0 V grade. v '
Как уже было показано, первый из них является в случае ли-
линейно-вязкой жидкости следствием термодинамики однородных
процессов, и мы привели его к виду неравенства Стокса — Дю-
гема B3). Второй постулат получить таким способом нельзя,
поскольку он относится к неоднородным полям температуры.
Если принять этот постулат в качестве дополнительного требо-
требования, то из A6) видно, что он эквивалентен условию
(XIV. 7-26)
а это неравенство всегда предполагается выполненным.
Издавна полагают, что неравенство B6) или, более общим
образом, B5) 2 должно быть обосновано в какой-либо термоди-
термодинамической теории (как это имеет место в соответствующих
частных случаях с B5) i). Все эффекты «диссипации», а не
только потери механической работы должны описываться до-
достаточно полной термодинамической теорией.
В действительности классические предположения B5), по-
видимому, всегда справедливы при тех обстоятельствах, в кото-
которых они должны применяться. Никакое явление, которое счи-
считается адэкватно описываемым теорией Стокса — Дюгема —
Фурье, не дает оснований сомневаться в них. Таким образом,
этими неравенствами можно воспользоваться, как это и было
действительно сделано четверть века тому назад, чтобы моти-
мотивировать некую более общую аксиому необратимости. По этому
пути мы пойдем в следующей главе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
(работы общего характера)
С. Truesdell, Rational thermodynamics. A course of lectures on selected topics,
N. Y., McGraw-Hill, 1969.
С Truesdell, The tragicomical history of classical thermodynamics. 1822—1854,
Arch. Hist. Ex. Sci., в печати.
W. A. Day, On the conversion of heat into mechanical work, J. Math. Anal,
Appl., 27 A969), 210—224.
C. Truesdell, The efficiency of a homogeneous heat engine, /. Math. Phys. Sci.
(Madras), в печати.
Глава- XV
ТЕРМОМЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
§ 1. Энергетика сплошных сред.
Термодинамика: внутренняя диссипация
и неравенство Клаузиуса — Дюгема
Термодинамику Однородных -процессов легко объединить
с механикой сплошных сред таким образом, чтобы обе они
стали частными случаями единой охватывающей их обеих термо-
термомеханической' теории. Уравнение баланса энергии по-прежнему
имеет вид
но для сплошных сред Е представляет собой аддитивную функ-
функцию множества:
= jedM== j pedV, (III. 6-1)
где плотность е называется удельной внутренней энергией; ско-
скорость подвода тепла Q представляет собой сумму контактного
подвода тепла и объемного подвода тепла:
hndA+ { psdV; - (XV. 1-1)'
. t) ¦ х t^. t) '
здесь векторное поле h — это тепловой поток, скалярное поле
s — интенсивность источников тепла (ср. (III.6-4) и (III.6-2)),.
a W — собственная скорость совершения работы — имеет вид
НГ(Я = J wdV, (III. 5-12)
(III. 5-13)
Общая основа для таких рассмотрений была заложена в § I. 14,
а указанные формулы были получены в § III. 5 и III. 6. В § III. 6
было найдено полевое уравнение, локально эквивалентное
A.14-6), в предположении, что выполняется уравнение количе-
количества движения, а именно уравнение
рё = w + div h + ps. (III. 6-6)
В этих выражениях имеется в виду некоторый фиксированный
момент времени t, хотя он и не указывается явно; начиная
с этого момента мы будем указывать время в числе аргументов.
§ 1 ГЛ. XV. ТЕРМОМЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД 431
Температура 6 оказывается уже не функцией одного только
времени, а зависящим от времени определенным на %(&,t) не-
независимым от системы отсчета скалярным полем, принимающим
положительные значения
8 = 8(х, /)>0. (XV. 1-2)
Как правило, мы будем это поле считать гладким.
В механике сплошных сред мы обычно предполагаем, что
калория Н аддитивна по отношению к соединению отделенных
тел'), так что-
Н($>, 0=/т1сШ= j pvdV. (XV. 1-3)
Скалярное поле т) называется плотностью калории2).
Неравенство диссипации (XIV. 2-6) теперь в общем случае
не имело бы смысла, поскольку 9 — значение поля, а Й и Q —
значения аддитивных функций множеств. Не нужно особой ге-
гениальности, чтобы предложить множество возможных способов
распространения (XIV. 2-6) на случай сплошных сред; некото-
некоторые из этих способов были изучены. В этой книге мы примем
в качестве одной-единственной нашей термодинамической ак-
аксиомы одно такое обобщение, называемое неравенством Клау~
зиуса — Дюгема. Чтобы мотивировать эту аксиому, мы сперва
рассмотрим два более частных утверждения относительно дис-
диссипации, называемые соответственно неравенством Планка и
неравенством Фурье. Читателю, который склонен принять не-
неравенство Клаузиуса — Дюгема без всякой мотивировки, сле-
следует прямо перейти к следующему параграфу.
Согласно A) плотность скорости подвода тепла Q на еди-
единицу массы равна (divh + ps)/p, а согласно C) плотность Н
на единицу массы равна fj. В принципе можно было бы поду-
подумать, что надлежащим обобщением соотношения (XIV. 2-6) на
случай сплошных сред является соответствующее неравенство
для этих плотностей
6>0, (XV. 1-4)
где S — внутренняя диссипация—представляет собой разность
между скоростью увеличения местной плотности калории на
') Поскольку скорость подвода тепла Q, выражаемая теперь соотноше-
соотношением A), является суммой функции, аддитивной по отношению к соедине-
соединению тел, и функции, аддитивной по отношению к объединению их границ, то
требование, чтобы допускало обобщение и соотношение (XIV. 2-6), означало
бы, что допускаются источники калории как на границах, так и внутри тел,
и такая более общая калория иногда действительно вводится.
2) Ее можно отождествить с тем, что многие авторы называют «удель-
«удельной энтропией» или «энтропией единицы массы*,
432 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА § I
единицу холодности и местной скоростью подвода тепла:
1
- ps), (XV. 1-5)
или, в силу (III. 6-6),
а-»8т|-(*—*¦-), (XV. 1-6)
так что 6 представляет собой разность между скоростью увели-
увеличения плотности калории в расчете на единицу холодности и ско-
скоростью роста той части удельной энергии, которая не поро-
порождается собственной работой. Утверждение D) о том, что внут-
внутренняя диссипация не может быть отрицательной, представляет
собой неравенство Планка.
Материал, для которого во всех движениях 6 = 0, назы-
называется совершенным1). Для совершенного материала уравнение
энергетического баланса (III. 6-6) расщепляется на два урав-
уравнения. Эти уравнения можно получить, полагая в E) и F)
6 =. 0, а если оба эти уравнения справедливы, то (III. 6-6) сле-
следует из лих тривиально. Как мы увидим, некоторые из наиболее
распространенных классических теорий относятся к совершен-
совершенным материалам. Для них неравенство Планка выполняется по
определению. Сверх того, в силу E) приток тепла на единицу
массы для совершенного материала составляет 8f).
Читатель, который ознакомился с обсуждением классической
газовой динамики в § XIV. 7, увидит, сопоставив E) с
(XIV.7-13), что в теории Эйлера —Адамара 6 = 0 всегда, так
что Газ Эйлера — Адамара — это совершенный газ. Как пока-
показывает следующее упражнение, линейно-вязкая жидкость не
является совершенным материалом.
Упражнение XV. 1.1. Показать, что в газовой динамике Стокса—Дюгема
рб = К(\т DJ -f 2ц tr D2 (XV. 1 -7)
и поэтому неравенства Стокса — Дюгема (XIV. 7-23) эквивалентны требова-
требованию, чтобы для всех полей скорости выполнялось неравенство Планка. Пока-
Показать, что если ц > 0 н ЗА, + 2ц > 0, то в любом нежестком движении
б > 0, а если ц > 0 и ЗА, + 2ц = 0, то б обращается в нуль тогда и
только тогда, когда движение сводится к чистому расширению.
Результат этого упражнения указывает на путь интерпрета-
интерпретации термодинамических неравенств. В теории линейно-вязких
') В •§ 1.14 был введен термин «механически совершенвый». Примени-
Применительно к механике сплошной среды механически совершенным был бы мате-
материал, для которого w = 0. Поскольку таковы только абсолютно твердые
тела и несжимаемые упругие жидкости, понятие «механического совершен-
совершенства» в механике сплошной среды бесполезно. Материалы, которые мы здесь
называем «совершенными», не являются, вообще говоря, «механически совер-
совершенными».
5 1 ГЛ. XV. ТЕРМОМЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД 433
жидкостей мы могли бы считать, что вязкость Я и \i могут быть
заданы произвольно или «определены из эксперимента». Тогда
неравенство Планка позволило бы подразделить все поля ско-
скорости на два класса: те, для которых б ^ 0, и те, для которых
6 <.О, причем последние по предположению не допускаются.
Специалисты по гидродинамике понимают неравенство Планка
в другом смысле: они настаивают на -том, что все поля скорости
по предположению возможны вне зависимости ог того, наблю-
наблюдали ли мы их когда-нибудь или можем ли мы их создать или
нет, а потому вязкости Я и pi должны быть такими, чтобы б ни
при каком значении D не становилось отрицательным. Иными
словами, в гидродинамике соответствующий частный случай не-
неравенства Планка всегда рассматривается как условие, кото-
которому тождественно должно удовлетворять определяющее соот-
соотношение, тождественно в том смысле, что определяющее соотно-
соотношение должно удовлетворять ему для всех процессов, принад-
принадлежащих области его определения. В этом отношении совре-
современная термодинамика следует традициям классической гидро-
гидродинамики и развивает их.
Результат упр. XI. 1.1 интерпретируется как моделирующий
один из самых обычных, повседневно встречающихся случаев
необратимости: чтобы изменить форму некоторой массы жидко-
жидкости, над ней нужно совершить работу, и эта работа теряется,
поскольку наша масса жидкости никогда не возвращается са-
самопроизвольно к своей прежней форме, совершая при этом
работу над окружающими телами. Столь же привычную необ-
необратимость явлений природы мы наблюдаем и в случае тепло-
теплопроводности. Уравнение баланса энергии не связывает скорость
подвода тепла с температурой, однако в реальной действитель-
действительности мы наблюдаем, что температура в различных местах со
временем стремится более или менее выровняться, если только
нет какого-либо источника или. стока энергии. Само по себе
тепло всегда перетекает от более горячих мест к более холод-
холодным и никогда — в обратном направлении. В этом состоит со-
содержание неравенства Фурье:
¦ h-grad8>0. (XV. 1-8)
В классической теории теплопроводности это неравенство при-
принимают без каких бы то ни было раздумий.
Неравенство Планка и Фурье относятся к различным явле-
явлениям: работе, совершаемой напряжениями при деформировании
тела, и потоку тепла, взятого самого по себе. В реальной дей-
действительности эти два явления обычно взаимосвязаны, по-
поскольку изменение формы тела обычно приводит к изменению
его температуры (хотя иногда лишь к небольшому), а измене-
434 .ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА § 1
ние температуры тела обычно изменяет его реакции на де-
деформирование.
Более чем столетие успешного развития по отдельности тео-
теорий . теплопроводности и вязкости, в которых с самого начала
исключалась связь между деформацией и нагревом (за исклю-
исключением того, что допускалась зависимость некоторых характе-
характеризующих материал коэффициентов от температуры), не должно
нас сбить с толку и побудить рассматривать неравенство Планка
или неравенство Фурье как всеобщие. Нет, они образуют лишь
краеугольные камни для построения общей теории путем ин-
индуктивного обобщения успешно применяемых частных теорий.
Посмотрим теперь, что будет, если выполняются оба эти
знакомые нам неравенства. Мы можем их сложить при условии,
что они записаны в одинаковых единицах. Внутренняя диссипа-
диссипация б имеет размерность скорости изменения во времени энер-
энергии единицы массы, и мы будем записывать неравенство Фурье
в величинах той же размерности, в частности не зависящих от
единицы измерения температуры. С помощью B) мы можем
тогда записать неравенства Планка D) и Фурье (8) в виде
adh-grades О, (XV. 1-9)
где а-—безразмерная постоянная, а выражения в левых частях
имеют теперь обе одинаковые размерности.
Складывая эти два неравенства, получим
рб + adh • grad 6 > 0. (XV. 1-10)..
Это неравенство является 'следствием пары неравенств Планка
и Фурье, однако эти неравенства из него не следуют. Тем не
менее большинство доводов (если не все), которые дает опыт
в подтверждение этих неравенств, на самом деле свидетель-
свидетельствуют и в пользу (Ю), поскольку из этого неравенства следует,
что 6^0, если h-grad6 = 0, и h-grad8$sO, если 6 = 0.
В классических теориях теплопроводности и вязких жидкостей
рассматриваются (в основном) эти два частных случая, так что
их прагматические достижения с равным успехом можно рас-
рассматривать как довод в пользу одного лишь более слабого не-
неравенства A0), а не двух отдельных неравенств 6^0 и
h-grad9>0.
Упражнение XV. 1.2. Показать, что в теории лниейно-вязких теплопрово-.
дящих жидкостей Стокса — Дюгема — Фурье неравенство A0) экъивалентщ
неравенствам D) и (8).
Теперь мы посмотрим, какие следствия вытекают из нера-*
венства A0). Из (9) и определения E) величины б следует
тождество
(рб + ФЬ- grade) = pf|-div(dh) — 0p*. (XV. 1-1Ц
§ 1 ГЛ. XV. ТЕРМОМЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД 435
Проинтегрируем это соотношение по конфигурации х(^>0 и по-
получим, используя соотношение (II. 6-8) и теорему о диверген-
дивергенции, интегральное тождество
H(P,t)— J Qh-ndA- j $psdV =
Э% <<?>. t) X (Л t)
(XV. 1.12)
Если неравенство A0) справедливо для всех положительных а,
то оно, в частности, справедливо при а= 1, и*мы получаем из
A2) неравенство Клаузиуса — Дюгема
J | (XV. 1-13)
ax (Л
Обратно, если это интегральное неравенство справедливо для
всех гладких движений, всех гладких полей Ш и ftps и всех
частей &*, то оно эквивалентно каждому из (и, следовательно,
совокупности) следующих двух неравенств, справедливых в
каждой точке поля:
— рбб < h • grad 6,
. . .. рп > div Fh) -f ftps. (XV. 1-14)
Конечно, эти неравенства эквивалентны друг другу. Таким об-
образом, неравенство Клаузиуса — Дюгема в общем случае яв-
является менее ограничительным, чем неравенства Планка и
Фурье, вместе взятые, поскольку из него следует A0) только
для одного значения а, а именно а= 1. Не исключено, что при
некоторых частных определяющих соотношениях неравенство
A0) может следовать из неравенства Клаузиуса — Дюгема для
всех положительных а; в этом случае неравенство Клаузиуса —
Дюгема A4) дает не больше и не меньше информации, чем два
отдельных классических неравенства D) и (8), как мы уже ви-
видели на примере в упр. (XV. 1.2).
Упражнение XV. 1.3. Проверить, что если поле температуры сводится
к фуикинн одного только времени, то все уравнения этого параграфа сво-
сводятся к нх аналогам в теорнн однородных процессов (гл. XIV) и, в част-
частности, A4) сводится к неравенству Клаузиуса (XIV. 2-6).
Неравенство Клаузиуса — Дюгема — это единственная тер-
термодинамическая аксиома1), которую мы будем использовать
в этой книге. В следующем параграфе мы начнем рассмотрение
(ее следствий.
') Предлагались н более общие аксиомы н системы представлений.
Например, можно ввести две холодности ¦Ос и Фв, по одной для каждой
4з6 Часть 5. teeмомехапикй §2
§ 2. Согласованный детерминизм в термомеханике
сплошной среды. Простые термомеханические материалы
Итак, в качестве термодинамической аксиомы в этой книге
принято неравенство Клаузиуса — Дюгема
, /)> J Qh-ndA+ j ®psdV. (XV.1-14)
Эта аксиома утверждает, что плотности h-n и ps скорости под-
подвода тепла после умножения на холодность Ь превращаются
в соответствующие плотности для нижней границы скорости
прироста плотности калории. Конечно, мы сохраняем и все
аксиомы механики сплошной среды, сформулированные и про-
проанализированные в гл. III. Мы будем называть эту систему
объединения механики и термодинамики термомеханикой, а
основанные на ней теории — термомеханическими.
Неравенство Клаузиуса — Дюгема мы будем использовать
только в формах, из которых скорость объемного подвода
тепла s исключена при помощи уравнения энергетического ба-
баланса. Одна из таких форм — соотношение (XV. 1-15) ь Чтобы
получить другую такую форму из (XV. 1-15J, удобно ввести
плотность свободной энергии \р:
ф==е_п9. (XIV. 7-7)
С учетом (III. 6-6) легко видеть, что
9 div (Щ + р (s — Эт)) = р (ф + т]ё) - w — Ш ¦ grad 9. (XV. 2-1)
Таким образом, из (XV. 1-15J мы получаем следующее приве-
приведенное неравенство диссипации:
Р (Ф + Ф) — w — ФИ • grad Э < 0. (XV. 2-2)
Мы можем представить это неравенство более компактно,
введя надлежащую векторную запись, определенную по отно-
отношению к отсчетной конфигурации х. А именно будем рассматри-
рассматривать каждую пару значений Fo и 0О функций F и 9 как элемент
десятимерного векторного пространства:
' a = (F0> в„), • (XV. 2-3)
плотности, как предлагали Гуртин и Вильяме (М. Е. Gurtin & W. О. Williams,
An axiomatic foundation for continuum thermodynamics, Arch. Rational Mech.
Anal., 26 A967), 83—117). Еще большая общность достигается, если в ин-
интеграле A3) плотность Ш-п заменить на (р-n, где (р — новая «определяющая»
зависимая переменная, не обязательно пропорциональная О нли h, как было
предложено Мюллером A. Mflller, On the entropy inequality, Arch. Rational
Mech. Anal., 26 A967), 118—141). Оба эти обобщения существенны в неко-
некоторых областях, но в этой книге они не нужны.
ГЛ. XV. ТЕРМОМЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
4з?
и будем использовать символ X для обозначения функции вре-
времени, значения которой суть такие векторы:
Л==(Р, 6), Х(*„) = а. (XV. 2-4)
Аналогичным образом положим
Т-(Т*/Р- -П)- (XV. 2-5)
Будем обозначать точкой и скалярное произведение в этом де-
десятимерном векторном пространстве. Из (III. 5-13) и (VII. 2-5)
легко следует, что
(XV. 2-6)
т]6 w = — т • X.
Таким образом, мы можем записать приведенное неравенство
диссипации C) в боле'е компактном виде
jt-i-X — ог.ц<0, (XV. 2-7)
где я = г|з, т и X определены соотношениями E) и D)If а а и
ц — любые трехмерные векторные функции, такие, что в • ц =
= (p9)-'h • grad 9. Однако этим не исчерпываются возможности
выбора величин я, т, X, а и ц, для которых справедливо соот-
соотношение G). Три особенно полезных набора значений приве-
приведены в следующей таблице:
1.
2.
3.
я
8
Я
(F,6)
(F, г))
(F,e)
-g- Grad 6
-g- Grad 6
U
T
(¦srT-e)
/I I \
I h
В этой таблипе Grad 6 обозначает градиент температуры
по отношению к отсчетнои конфигурации:
Grad6 = F grade,
(XV. 2-8)
a h* соотносится с h примерно таким же образом, как тензор
напряжений Пиолы Т* с тензором напряжений Коши Т, а именно
h* = /F''h. (XV. 2-9)
Упражнение XV. 2.1. Проверить, что при любом из этих трех способов
выбора переменных C)ффG)
43§ tlACf Ь 5. ТЕРМОМЕХАНЙКА
Упражнение XV. 2.2. Показать, что соотношение (XV. 1-5) эквивалентно
соотношению . v
вт) = — Divhx + s + 6. (XV. 2-10)
Мы будем называть наборы значений я, Я, и т. д., указанные
в строках 1, 2, 3 таблицы, соответственно первым, вторым и
третьим стандартными способами интерпретации приведенного
неравенства диссипации в механике сплошной среды. Они не
являются единственно полезными способами интерпретации.
В некоторых теориях трехмерных континуумов с внутренней
структурой, а также в теориях стержней и оболочек выпол-
выполняется приведенное неравенство диссипации в форме G), но
векторные пространства, в которых лежат значения к и ц,
имеют размерности, отличные от 10 и 3. Более простым приме*
ром служит теория «уравнений состояния» § XIV. 5; подробнее
об этом примере говорится в приведенном ниже упражнении.
Упржнеиие XV. 2.3. Показать, что если W имеет вид (XIV. 5-2), где
йо — произвольные функции времени, а не просто функции от одного X, то
неравенство (XIV. 2-8) принимает вид G) при четырех различных способах
интерпретации я и' X и т. д. Отсюда для тел, подчиняющихся: «уравнениям
состояния», получить (XIV. 5-42) без использования функциональных преобра-
преобразований.
В дальнейшем при нашем изучении термомеханики мы бу«
дем опираться на абстрактное неравенство G). Дадим следую-
следующие наименования его членам. Прежде всего назовем ситуа-
ситуацией упорядоченную пару векторов (а, Ь) из двух конечномер-
конечномерных векторных пространств. Их размерности нигде не участвуют
в рассуждениях, и читатель не будет сбит с толку тем, что мы
будем использовать одну и ту :же точку для обозначения двух
различных скалярных произведений — одного в пространстве
векторов а и другого в пространстве векторов Ь. Процессом
будем называть упорядоченную пару к, ц функций времени,
значения которых представляют собой ситуации: k(t) — a,
ix(t) = h. Мы будем описывать соотношение между ними, го-
говоря,- что процесс (к, ц) находится в ситуации (а, Ь) в момент t.
Чтобы облегчить описание, мы будем иногда называть b тер-
термическим градиентом, сохраняя термин «температурный гра-
градиент», Как и прежде, за grad Э. Различная роль функций к и ц
ясна из вида левой части соотношения G), которая является
линейной по Я, и р. Мы будем называть х термомеханическим
натяжением, а о, несколько вольно, тепловым потоком. Нако-
Наконец, скаляр я мы будем называть накоплением.
Положив
дввт-Х —я, (XV.2-11)
§ 2 ГЛ. XV. ТЕРМОМЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД 439
мы можем интерпретировать б как внутреннюю диссипацию
в обобщенном смысле и записать приведенное неравенство дис-
диссипации G) в эквивалентной форме
оц>-6. (XV. 2-12)
Из A1) видно, что б может иметь различные значения при раз-
различных интерпретациях переменных. При первом и втором стан-
стандартных способах интерпретации б в точности равно внутрен-
внутренней диссипации, выражаемой, соотношениями (XV. 1-5) и:
(XV. 1-6). При третьем стандартном способе интерпретации оно)
равно той же величине, поделённой на 6. При других способах
интерпретации оно будет иметь другие значения.
Теперь мы можем описать общую теорию термомеханических
материалов, которая включала бы и чисто механическую тео-
теорию § IV. 2, и термодинамическую теорию однородных процес-
процессов, представленную в § XV. 2. Поскольку изложение для об-
общего случая весьма громоздко, мы удовлетворимся здесь рас-
рассмотрением частного случая простых термомеханических мате-
материалов. Овладев этим частным случаем, читатель при желании
сам легко произведет все обобщения.
Принцип термодинамически согласованного детерминизма.
Накопление п, термомеханическое натяжение х и тепловой
поток а определяются предысторией ситуации:
(XV. 2-13)
причем на определяющие отображения *р, Ж и ® налагается,
требование, чтобы они удовлетворяли приведенному неравен-
неравенству диссипации G) для каждой предыстории (А/, ц'), принад-
принадлежащей их общей области определения, при условии, что су-
существует производная k(t).
Мы будем называть $,$ и$ реакциями определяемого ими
материала. Очевидным образом обобщая чисто механическую
теорию, изложенную в § IV. 3, мы будем называть термомеха-
термомеханические материалы такого рода простыми. Подразумевается,,
что в обе части соотношений A3) входит переменная X, но мы:
не пишем ее здесь, поскольку все наше последующее рассмотре-
рассмотрение будет относиться к отдельной материальной точке. Предва-
Предварительное условие, чтобы ¦% было дифференцируемым в рас-
рассматриваемый момент /, не ограничивает области определения
реакций лишь дифференцируемыми предысториами, а. просто
440 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА § 2
отражает тот факт, что само неравенство G) не имеет смысла,
если %(t) не существует.
Из A3) и A1) следует, что и внутренняя диссипация б опре-
определяется предысторией ситуации:
б @ = ?>(*/, ц'), (XV. 2-14)
где
--^ *(»-'. I*'). (XV. 2-15)
Принцип термодинамически согласованного детерминизма
имеет двоякое значение. Во-первых, он выделяет возможный
класс A3) определяющих соотношений. Этот класс охватывает
как частные случаи и чисто механические соотношения § IV. 3,
и чисто термодинамические соотношения § XV. 2. Во-вторых,
этот принцип требует, чтобы три реакции f, $и® были та-
такими, чтобы тождественно удовлетворялось приведенное нера-
неравенство диссипации. Как в этом втором аспекте, так и в первом,
наш принцип является обобщением более частного принципа,
сформулированного в § XIV. 2 для однородных процессов. Его
общность также более чем достаточна для.того, чтобы охватить
классическую теорию термоупругости и газовую динамику
Стокса — Дюгема — Фурье, рассмотренную нами в § XIV. 7.
Принцип термодинамически согласованного детерминизма
налагает на материал ограничение, чтобы для всех процессов,
для которых выполняется соотношение энергетического баланса,
выполнялось и неравенство Клаузиуса — Дюгема. Само урав-
уравнение баланса энергии не налагает никаких ограничений на ма-
материалы или процессы, поскольку если над телом из данного
материала должен производиться данный процесс, то из
(III.6-6) определяется единственным образом та величина под-
подвода энергии s, которая необходима (и достаточна), чтобы имел
место баланс энергии. Если, как это обычно предполагается
в приложениях, и определяющие соотношения материалами под-
подвод тепла s известны, то уравнение (III. 6-6), конечно, превра-
превращается в ограничение на процессы, которые могут происходить.
Иными словами, выбор определенного материала и определен-
определенной величины подвода тепла приводит, как и следует ожидать,
к- тому, что приходится ограничивать внимание процессами
весьма частного вида.
Хорошими иллюстрациями ко всем- сделанным замечаниям
служат теория теплопроводности Фурье и классическая гидро-
гидродинамика вязкой жидкости (§ XIV. 7). Рациональная термоди-
термодинамика идет — применительно к общим классам материалов —
по пути, давно известному для этих двух частных случаев.
Упражнение XV. 2.4. Используя соответствующие наборы л, X, fi, t и а,
проверить утверждения предыдущих параграфов.
§ 2 ГЛ. XV. ТЕРМОМЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД 441
Выше были введены термины «первый, второй и третий
стандартные способы интерпретации» в связи с величинами я,
А., ц, т и а. Мы распространяем их очевидным образом на
определяющие соотношения A3).
Отправляясь от соотношений A3) при какой-либо специаль-
специальной интерпретации переменных, мы можем построить общую
теорию материалов, двигаясь по пути, уже проложенному для
случая чистой механики в предшествующих главах этой книги,
включая определения единообразное™, однородности, мате-
материальной симметричности, а также определения специальных
классов материалов. Затем можно найти приведенные опреде-
определяющие функционалы, удовлетворяющие различным возникаю-
возникающим требованиям. Конечно, анализ при этом оказывается бо-
более сложным, чем в случае чисто механической теории. Напри-
Например, каждая из трех реакций fy, Ж- и ® имеет свою собственную
группу равноправности, и группа равноправности материалов
определяется как наибольшая общая подгруппа этих трех
групп. Кроме того, a priori сам класс преобразований, фигури-
фигурирующий в определении группы равноправности, зависит от фи-
физической интерпретации векторов X, и ц и в общем случае не
представляет собой просто группу унимодулярных_ преобразо-
преобразований трансляционного пространства <?. В этой книге мы не бу-
будем углубляться в эти подробности. Вместо этого мы тщательно
рассмотрим термодинамический аспект проблемы, а именно
ограничения, налагаемые неравенством Клаузиуса— Дюгема
на реакции *р, Ж, ®. Прежде чем рассмотреть этот вопрос в об-
общем виде, мы рассмотрим до конца хотя и главный и централь-
центральный, но особенно простой случай — случай термоупругих ма-
материалов.
Читатель заметил, что аргументы всех трех определяющих функциоцалов
в A3) одинаковы, а именно X,' и ц'- Достигаемая при этом общность может
оказаться излишней, как показывает частный случай, рассмотренный в
упр. XIV.-6:2. Там показано, что условие согласования с неравенством Клау-
Клаузиуса — Дюгема приводит соотношение (XIV. 5-42) к менее симметричной
форме, в которой члены, пропорциональные Т, исчезают из определяющих
функций для F и Н, хотя и сохраняются в выражении для W. Как мы убе-
убедимся в последующих параграфах, этот пример является типичным.
Правило равноприсутствия устанавливает, что, выбирая для изучения
некоторый допустимый класс определяющих соотношений, теоретик должен
выбирать для всех этих соотношений одни и те же независимые переменные.
И A3) и (XIV. 5-42) удовлетворяют этому правилу.
Правило равноприсутствия представляет собой не физический закон, а
максиму, которой должен руководствоваться теоретик. В каждом частном
случае ему легко следовать, н на этом его роль для данного случая кончается.
Это правило предостерегает теоретика, что ради сохранения физического
смысла ему не следует принимать в качестве предположения то, что может
442 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА ' §_3
быть доказано, ну а то, что недоказуемо, не должно и предполагаться. На-
Например, если теоретику нужно построить модель теплопроводности в дефор-
деформированном теле, он не должен делать произвольное допущение, что напря-
напряжения могут быть определены по одним лишь градиенту деформации и тем-
.пературе. Поскольку он знает, что на тепловой поток влияет градиент тем-
температуры, он должен с самого начала допустить возможность его влияния и
напряжения. В простейших теориях, как мы увидим в следующем параграфе,
этот частный случай взаимовлияния оказывается невозможным. Часть задачи
теоретика и состоит в том, чтобы построить доказательство этого, а не сколь-
скользить по поверхности проблемы, без необходимости принимая в качестве ак-
аксиомы то, что в действительности является теоремой. Фактически простой
лример того, как действует этот принцип, мы уже привели в упр. XIV. 6.2,
где было показано, что класс определяющих соотношений (XIV. 5-42) не уже
и не шире, чем класс,- задаваемый калорическими уравнениями состояния.
Однако ни этот пример, ни пример из следующего параграфа ие являются
вполне типичными,. поскольку некоторые из мыслимых взаимосвязей могут
оказаться невозможными по соображеияям, связанным с материальной сим-
симметрией. Пример такого рода встретится нам в § 4.
В теориях, в которых отображения $, Ж и ® не вырождаются в простые
функции от X(t) н ц@. эффекты типа упомянутых сейчас ие отделяются
друг от друга. Это обстоятельство будет проиллюстрировано в § 5 и 6. Таким
образом, знакомое по классическим примерам расщепление эффектов может
оказаться лишь приближенным, и, скажем, достаточно тонкие эксперименты
на материалах с памятью могли бы обнаружить напряжения, возникающие
вследствие наличия температурного градиента. И это не дикая выдумка,
а трезвое следование физической теории, поскольку уже более столетия из-
известно, что такие напряжения следуют из кинетической теории разреженных
газов Максвелла.
Правило равноприсутствия неоднократно доказывало свою ценность при
исследовании новых классов определяющих соотношений; однако оно не
нужно при анализе теорий, которые ему уже удоилетворяют. Поэтому оно иам
не понадобится в этой книге, посвященной уже разработанным и следующим
этому правилу теориям.
Прежде чем исследовать общие следствия принципа термо-
термодинамически согласованного детерминизма, мы изучим частный
случай, в котором отображения ty, Ж и <2, входящие в A3),
представляют Собой просто функции текущей ситуации. Как мы
сейчас убедимся, эта теория, называемая теорией термоупру-
гости, весьма проста. .
§ 3. Термоупругость
Будем называть материал термоупругим, если отображе-
отображения f Д a S в (XV. 2-13) сводятся к функциям от текущих
значений X и ц:
л = р(к, ц),
т-ЦЛ, ц), (XV. 3-1)
§ 3 ГЛ. XV. ТЕРМОМЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД 443
Такое наименование объясняется тем обстоятельством, что при
трех стандартных способах интерпретации, определенных таб-
таблицей из предыдущего параграфа, в случае, когда температура
постоянна во времени и пространстве, второе соотношение A)
сводится к определяющему соотношению (VII. 2-7) упругого
материала, а если выбрать и поддерживать постоянной неко-
некоторую деформацию (например, жесткую), то третье соотноше-
соотношение принимает вид классического соотношения теории тепло-
теплопроводности. Классическая теория «уравнений состояния», из-
изложенная в § XIV. 5, также представляет собой некоторый
частный случай, а именно случай, когда векторы ц и а совсем
отсутствуют и внутренняя диссипация исключается с самого
начала. Термоупругий материал и сам является весьма спе-
специальным, поскольку он не проявляет эффектов памяти. В клас-
классе термомеханических материалов он занимает положение, во
многом сходное с положением, занимаемым упругим материа-
материалом в классе простых материалов в рамках чисто механиче-
механической теории.
Впервые термоупругий материал был проанализирован на
основе неравенства Клаузиуса — Дюгема в мемуаре Колемана
и Нолла, открывшем термомеханику, как она понимается и из-
излагается в этой книге. Некоторые шаги в этом направлении
были впервые сделаны^ Грином и Адкинсом. Анализ, который
мы дадим; как по внутреннему содержанию результатов, так
и по методу эквивалентен анализу Колемана и Нолла, разви-
развитому в последовавшей- сразу же работе Колемана и Мизела,
хотя наше изложение является более компактным, а возмож-
возможные приложения шире.
Подставим A) в приведенное неравенство диссипации
(XV. 2-7). Предполагая функцию to дифференцируемой и ис-
используя правило дифференцирования сложной функции, по-
получим
@Л).- Ц + (drf -" *) • i - * • |i < 0. (XV. 3*-2)
Этому неравенству должны удовлетворять все допустимые про-
процессы (к, ц). Напомним, что общая область определения функ-
функций to, tn в представляет собой некоторое множество ситуаций;
будем предполагать это множество открытым и связным.
Рассмотрим некоторую ситуацию (а, Ь) и заметим, что, по-
поскольку любая соседняя ситуация также лежит внутри нашей
области определения, любой процесс, начинающийся в ситуации
(а, Ь) и соединяющий ее с некоторой достаточно близкой си-
ситуацией, является допустимым. К числу таких процессов при-
принадлежит и локальное линейное продолжение (>.,, цт) любого
444 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА § 3
процесса, находящегося в момент t0 в ситуации (а, Ь), а именно
для некоторого положительного fe. Векторы 1 и m произвольны.
Постоянная k может зависеть от 1 и т. Для достаточно малых k
процесс C) проходит только через ситуации, лежащие в обла-
области определения функций #, i и в.
Найдем теперь необходимые условия, которым должны удов-
удовлетворять функции j), i и в, рассматривая неравенство B) для
одних лишь линейных процессов. Пусть (а,Ъ)—какая-либо си-
ситуация, в которой некоторый процесс находится при t = to. За-
Зафиксируем эту ситуацию в последующих рассуждениях и рас-
рассмотрим процесс C) для несколько больших значений /. Тогда
B) принимает вид
(д,р) ¦ т -f (dtf-i) • 1 -в • (Ь + (/-А))т)<0, (XV. 3-4)
где коэффициенты д^, dy$^-i и I — функции только от ситуа-
ситуации, вычисляемые для ситуации (& + (t—to)l), (b + (t — to)m).
Сделаем теперь следующее допущение: функции i,.i, 6$
и д\р непрерывны (напомним, что область определения этих
функций — открытое связное множество).
В силу этого предположения мы можем устремить t к t^
В результате получим из D)
(дцр) • m + {д^ - i) ¦ 1 - в.- b <О, (XV. 3-5)
где коэффициенты при ш, 1 и Ь, поскольку это непрерывные
функции, вычисляются для ситуации (а, Ь).
Положим 1 = 0. Тогда E) требует, чтобы постоянный век-
вектор <9цр был таким, что его скалярное произведение с любым
вектором m ограничено. Следовательно,
д»р = О. (XV. 3-6)
Подставляя это в E), получим таким же рассуждением, что
d^-i = 0, (XV. 3-7)
а подставив это в E), получим
в-Ь>0. (XV. 3-8)
Во всех этих рассуждениях функции 6$, dj,b, i и 8 вычис-
вычисляются для произвольной ситуации (а, Ь). Следовательно, эти
§ 3 ГЛ. XV. ТЕРМОМЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД 445
результаты справедливы для всех ситуаций. Обратно, выполне-
выполнения трех условий F) —(8) тривиальным образом достаточно
для того, чтобы приведенное неравенство диссипации выполня-
выполнялось для всех дифференцируемых процессов.
Дадим теперь интерпретацию полученных результатов. Преж-
Прежде всего соотношение F) устанавливает, что Ь независимо от ц.
я = ?>(*). (XV. 3-9)
Далее, соотношение G) показывает, что i представляет собой
градиент функции fe и потому также не зависит от ц:
т =»*(*), * = &»>. (XV. 3-10)
Это—теорема о термодинамическом потенциале теории термо-
термоупругости. Подстановка этих результатов в (XV. 2-11) дает
6 = 0 (XV. 3-11)
— в теории термоупругости внутренняя диссипация равна нулю.
Наконец, в силу (8) или (XV. 2-13)
8-ц>0 (XV. 3-12)
— ни для какой ситуации (к, ц) тепловой поток 8 (X, ц) не может
образовать тупой угол с вектором ц.
С учетом определяющего соотношения AK неравенство A2)
показывает, что скалярная функция от ц, значение которой
при фиксированном X равно 8 (X, ц) • ц, имеет минимум при ц = 0.
Следовательно, если мы допустим, что функция 8 дифференци-
дифференцируема по ц при ц = 0, то градиент функции 8 (X • ц) • ц при ц = 0
будет обращаться в нуль.
Упражнение XV. 3.1 (Пипкин & Ривлин). Показать, что
ё(Х,о)=О. (XV. 3-13)
Это следствие из теоремы о потенциале устанавливает, что
если термический градиент обращается в нуль, то и тепловой
поток обращается в нуль. Это иногда называют «отсутствием
пьезокалорического эффекта». Кроме того, поскольку при ц = 0
выражение 8(Х, ц) • ц имеет минимум, градиент 8 по ц должен
быть здесь положительно полуопределенным. Это означает, что
если мы следующим образом введем тензор хо, называемый
тензором равновесной проводимости:
(XV. 3-14)
то по докааанному тензор равновесной проводимости положи-
положительно полуопределен.
446 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА §3
Чтобы понять смысл этих результатов, выразим их приме-
применительно к трем случаям, указанным в таблице из предыду-
предыдущего параграфа. Результат A1) имеет одинаковый вид для
всех трех случаев; он устанавливает, что термоупругий мате-
материал является совершенным. И соотношение A3) имеет одина-
одинаковую интерпретацию для-всех трех случаев: в теории термо-
термоупругости справедливо неравенство Фурье. Мы можем выразить
это неравенство и с помощью более известной формы опреде-
определяющего соотношения:
, 0, grade). (XV. 3-15)
Определим соответствующий тензор равновесной проводимости
следующим образом:
Ко = <Vade * (F- 0. g™d 0) Igrad в=0- (XV. 3-16)
Из A2), A3) и из замечаний, следующих за этими соотноше-
соотношениями, вытекает, что
, 9, grade), grade>0 Vgrade,
, е,о) = о, (xv. 3-17)
тензор Ко положительно полуопределен.
В том виде, в каком записаны соотношения A5) — A7), мы рас-
рассматриваем в как независимую скалярную переменную, Однако
результаты имели бы тот же самый вид, если бы в качестве
такой переменной вместо в мы выбрали г\ или е.
Реальные различия возникают при применении трех стан-
стандартных способов интерпретации к соотношениям (9) и A0);
соответствующие результаты представлены ниже:
1. 4> = f(F. в), T^p^ffF, 0), T, = -def(F, 0), (XV. 3-18)
2. е = е (F,. г\), Тж = PxaFe (F, г)), Q = dj (F, r\), (XV. 3-19)
3. л = $ (F, е), Тж = - р„е dFS (F, е), -i = д$ (F, е). (XV. 3-20)
При интерпретации этих результатов следует помнить, что
они получаются с несколько различных исходных позиций. Что-
Чтобы получить строчку 1, мы допускаем, что \р, Т„ и г\ — значения
непрерывных функций от F и Э и что первая из этих функций
непрерывно дифференцируема. Чтобы получить вторую строчку,
мы делаем аналогичные предположения в отношении F и т),
а при получении строчки 3 — относительно F и е. В том виде,
в каком эти предположения сформулированы, они не являются
эквивалентными, но для достаточно гладких функций их можно
согласовать между собой.
§ j ГЛ. XV. ТЕЕМОМЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД U7
Упражнение XV. 3.2. Сформулировать предположения относительно глад--
кости, достаточные для того, чтобы результаты, полученные при трех стан--
дартных методах интерпретации, были эквивалентными. Заметим, что в силу
(XV. 1-2) соотношения A9)з и B0)з разрешимы относительно т) и е соответ--
ственно.
Упражнение XV. 3.3. Вспоминая, что для совершенного материала p6fj
представляет собой объемную йлотность скорости подвода тепла, дать опре*
деления теплоемкостей и скрытых теплот в расчете на единицу массы KF й
LF для гермоупругого материала и доказать, что
KF=-eaeaef(F, 6),
lf = - eaFaef (f, e)T — -Laei (f, e)T. (XV< 3-2I)
В классической линейной теории термоупругости ограничи-
ограничивают свое внимание малыми градиентами температуры и ма-
малыми отклонениями от данной ситуации (Fo, 8o). Соответствую-
Соответствующее определяющее соотношение для напряжений Можно полу-
получить, линеаризуя A8) 2 по F— 1. В результате, конечно, полу-
получается в точности закон Коши (IX. 2-4), с тем лишь отличием,,
что линейный тензор упругости L* зависит от Эо как от пара-
параметра. Если мы допустим, что §— непрерывная функция от F
и 8 в (Fo, 8о), и положим
|, (XV. 3-22)
то в соответствии с A7) получим
h = Ko(Fo, во)grade + o(l) при |-»0. (XV. 3-23)
В классической линейной теории термоупругости аксиоматиче-
аксиоматически принимаются определяющие соотношения (IX. 2-4) с зави-
зависящим от температуры' тензором Lx, а также B3) без попра-
поправочного члена. Таким образом, определяющие соотношения
классической линейной теории термоупругости служат прибли-
приближением первого порядка для развитой только что общей теорий
термоупругости. В этом приближении напряжения возникают
Только вследствие деформации, а тепловой поток — вследствие
градиента температуры. Такое классическое разделение эффек- "
тов является лишь приближенным: оно появляется потому, что
мы ограничились малыми изменениями F, Э и grad Э.
Проведенный анализ служит примером плодотворности пра-
правила равноприсутствия, на котором основана вся теория термо-
термоупругости в том виде, в каком она здесь развита.
Сравнивая соотношения A8) 2 и A9J с определяющим соот-
соотношением (XI. 7-4) гиперупругого материала, мы убеждаемся
в их поразительном сходстве. Если температура 9 сохраняет
постоянное Во времени значение для каждой точки X термо-
термоупругого материала, то процесс (F, 0) называется изотермиче-
44Й ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМВСАНИкА
ским. Для такого процесса A8J сводится к частному случаю
соотношения (XI. 7-4). Подобным же образом, если плотность
калории постоянна во времени для каждой точки термоупругого
материала, то процесс (F, г\) называется изокалорическим.
В этом случае соотношение A9J превращается в частный слу-
случай соотношения (XI. 7-4). Таким образом, мы доказали сле-
следующую классическую теорему о потенциале, принадлежащую
по существу (и по частям) Грину, Кирхгофу, Кельвину и
Фойгту:
В изотермическом процессе напряжения в термоупругом ма-
материале таковы же, как в гиперупругом материале, для которого
a = f(F, в(Х)), (XV. 3-24)
а в изокалорическом процессе — таковы же, как в гиперупругом
материале, но таком, для которого
a=-e(Ft-ti(X)). (XV. 3-25)
¦Те, кого запутала нечеткость и неупорядоченность представлений тради-
традиционной термодинамики — т. е. фактически почти все, — иногда неправильно
понимают эту теорему, считая, что она дает «термодинамическое доказатель-
доказательство существования функции запасенной энергии», т. е. того, что все упругие
материалы являются гиперупругими. Ничего подобного. Во-первых, существо-
существование функции запасенной энергии представляет собой чисто механическое
условие, относящееся ко всем полям деформации, а не только к тем, которые
соответствуют определенным температурным и калорическим условиям. Во-
вторых, чтобы вывести B4) и B5), нам пришлось принять допущения термо-
термодинамического характера, а теория упругости представляет собой чисто меха-
механическую теорию, в которой температура или плотность калории даже и не
упоминаются; а fortiori с помощью термодинамики мы не можем ничего
доказать относительно теории' упругости. В-третыгх, функции, о которых до-
доказано, что оии ведут себя как запасенная энергия, являются различными
в различных процессах для одного и того же термоупругого материала, тогда
как функция запасенной энергии гиперупругого материала определена одно-
однозначно с точностью до аддитивной постоянной. Таким образом, эта теорема
ставит в соответствие данному термоупругому материалу не один гиперупру-
гиперупругий материал, а бесконечное множество. В-четвертых, и это наиболее важно,
нет никаких причин предполагать, что деформация общего вида будет изо-
изотермической, либо изокалорической, так что, если бы эта классическая теория
и была применима к теории упругости, мы не знали бы в общем случае,
когда ее можно применять.
Мы можем заметить также, что, даже если термоупругий материал одно-
однороден, соответствующие гиперупругие материалы неоднородны, за исключе-
исключением тех случаев, когда 6(Х) или II (X) сводятся к функциям, постоянным на
х($). Процессы такого рода называются соответствеиио гомотермическими и
гомокалорическими.
Мы трижды называли эту теорему «классической». Однако
способ, каким она сформулирована и доказана, связан с весьма
недавними представлениями термомеханики материалов. Раз-
Различие состоит в следующем: мы доказали, что термоупругий
материал является совершенным, а традиционное рассмотрение
гиперупругости или термоупругости начинается с предположе-
§ А ГЛ. XV. ТЕРМОМЁХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД 44Q
ния о том, что дело обстоит таким образом. Мы доказали так-
также, что ф и Т независимы от gradO, а в традиционном подходе
и эта независимость предполагается. Детали станут яснее, если
проработать следующее упражнение.
- Упражнение XV. 3.4. Определив термоупругнй материал при помощи сле-
следующих двух условий: «энергетического уравнения» 6 = 0 и определяющих
соотношений вида
^=f(F,6), Te-4(F.e). - (XV.3-26)
доказать, что при изотермических деформациях термоупругнй материал гипер-
упруг и а = f, Доказать, что если вместо B6) мы предположим, что
e = e(F,ii), Tm--4(F, r\), (XV.3-27)
то при изокалорических деформациях также термоупругий материал гипер-
упруг и а = е.
Заметим, что «определяющие» соотношения B6) и B7) равносильны
между собой лишь при некоторых дополнительных предположениях. Поэтому
классический способ рассуждений, намеченный в предыдущем упражнении,
недостаточен сам по себе, чтобы получить свойства отдельного термоупругого
материала. В прежних работах обычно принимали дополнительное предполо-
предположение 8 = dyf, заявляя при этом, что оно «доказывается в термодинамике».
Конечно, при таком предположении наряду с соотношением \|) = е — tjG наши
два соотношения равносильны между собой.
Упражнение XV. 3.5 (Трусделл & Нолл). Определим термоупругий мате-
материал определяющими соотношениями вида B6), дополненными предположе-
предположением, что h =lj(F, 0, grad 6). Показать, что' при этом неравенства Планка и
Фурье удовлетворяются тогда и только тогда, когда выполняется неравенство
Клаузиуса — Дюгема, и что неравенство Планка сводится к 6 = 0.
Предположения, делаемые в этих двух упражнениях, яв*
• ляются менее общими, чем те, которые делались в этом пара-
параграфе раньше, в следующем отношении: предполагается, что
grad Э не оказывает влияния на значения Тх, ф и г| при условии,
что F и О- известны. Если мы предпочитаем разделить эти эф-
эффекты с самого начала, то неравенство Клаузиуса — Дюгема
становится эквивалентным неравенствам Фурье и Планка, при-
причем последнее берется в ограничительной форме, &=0, т. е.
в форме констатации того факта, что материал является совер-
совершенным. Как и другие примеры, приведенные в этой книге ра-
ранее, этот пример показывает, что, ограничиваясь рассмотрением
. достаточно узкого класса определяющих соотношений, можно
выводить друг из друга принципы, которые в общем случае не-'
зависимы.
Существует один частный вид термоупругих материалов, яв-
являющихся г-иперупругими при любых деформациях; это пьезо-
тройные материалы.
В таких материалах напряжения определяются только де-
деформациями, а температура — только плотностью калории, так
15 Грусделл
450 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА $3
что если взаимодействие между деформационными и тепловыми
эффектами и имеется, то оно связано лишь с. влиянием гранич-
граничных условий на решение уравнения энергетического баланса.
Пьезотропные материалы, вырожденные в термодинамическом
отношении, были популярны у специалистов по гидродинамике
первой половины нашего века; некоторые из псевдотермодина-
псевдотермодинамических рассуждений, которые даже и сейчас бытуют в лите-
литературе, посвященной приложениям, покоятся на использовании
(обычно неявном) свойств этого специального и нетипичного
класса материалов.
. Читатель может прояснить для себя этот вопрос, прорабо-
проработав следующее упражнение. При этом следует вспомнить, опре-
определение упругого материала (VII. 1-2) и строго его придержи-
придерживаться.
Упражнение XV. 3.6. Термоупругнй материал называется пьезотропным,
если его удельная энергия представляет собой сумму функции от градиента
деформации н функции отЪлотности калории:
е -.' е (F, II) - ekIn (F) + etherm ft). (XV. 3-28)
Показать, что это определение эквивалентно такому:
^ = f (F, 6) =. fkln (F) + ftherm (9J, (XV. 3-29)
Используя A9J нлн A8)г, доказать, что термоупругий материал является
упругим в том и только в том случае, когда он пьезотропен, причем в этом
случае он гиперупруг и его функция запасенной энергии о определяется соот-
соотношением
e-fkln(F)-ekla(P)- (XV. 3-30)
Кроме того,
1 ft'herm F). в-4,гт(ч). , (XV. 3-31)
так что для пьезотропного материала плотность калории представляет собой
не более чем формальный параметр, вводимый вместо температуры. Пока-
Показать, что для пьезотропного материала уравнение баланса энергии приводится
к виду
p*F6 = div h + ps, (XV. 3-32)
где Хр — теплоемкость при постоянном градиенте деформации, даваемая в об-
общем случае соотношением B1)ь а в данном случае являющаяся функцией от
одного 9.
Уравнение такого типа лежит в основе теории теплопроводности Фурье;
Таким образом, для пьезотропных материалов теорию Фурье можно согласо*
вать с термомеханнческой теорией термоупругостн. Движение в теории Фурье
считается заданным (обычно это состояние покоя), так что уравнение C2)
с учетом соответствующего определяющего соотношения для h превращается
в дифференциальное уравнение для одной только температуры.
Упражнение XV. 3.7. На примере идеального газа показать, что термо-
упругий материал, для которого
е-ё"к1аС)+'«и,.гт(в). (XV. 3-33)
§ 4 ГЛ. XV. ТЕРМОМЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД 45!
не обязательно является пьезотропным. Использовать этот факт для того, что-
чтобы выяснить различие между уравнением C3) н соответствующим ему в тео-
теории идеального газа уравнением (XIV. 7-17).
Большее значение, чем рассмотренные сейчас приложения,
имеет общий результат, опирающийся на соотношение A) и
сформулированный нами как теорема о термодинамическом по-
потенциале. Мы рассмотрим его сейчас применительно к первому
стандартному способу интерпретации. Следуя правилу равно-
присутствия, мы допустили возможность того, что напряжения,
плотность калории и плотность свободной энергии могут зави-
зависеть как от градиента деформации, так и от градиента темпе-
температуры, поскольку от последнего, как известно, зависит тепло-
тепловой поток. Затем мы доказали, что из неравенства Клаузиуса-—
Дюгема, принимаемого в качестве требования, которому тожде-
тождественно должны удовлетворять определяющие соотношения,
следует невозможность такой зависимости. Таким образом, то
разделение эффектов, которое имеется в теории, является не
просто предположением, а математически доказанным фактом.
Более того, показано, что независимые функции, выражающие
зависимость напряжения и плотность калории от градиента де*
формации и температуры, однозначно определяются как частные
производные от плотности свободной энергии. Этим сильно
ограничивается эмпирическая неопределенность всей теории.
Эксперименты, которые определяют зависимость ф от F и 0,
автоматически определяют также, согласно теории термоупру-
термоупругости, зависимость от них Т и г\. Наконец, отдельные неравен-
неравенства Планка и Фурье, которые мы рассматривали в § 1, как
образующие каждое в своей области часть экспериментальной
основы, позволяющей принять неравенство Клаузиуса — Дюгема
в качестве обобщения их обоих, оказались порознь следующими
в теории термоупругости из неравенства Клаузиуса — Дю-
Дюгема. - '
Мы задержались на термоупругости, поскольку она дает
пример наиболее понятных рассуждений и результатов термо-
термомеханики. Как мы убедимся в следующем параграфе, мы
не можем ожидать столь многого от материалов более общего
вида.
§ 4. Материалы дифференциального типа
Все определения специальных материалов, рассматривав-
рассматривавшиеся нами в первых главах книги, легко обобщить таким обра-
образом, чтобы.они были применимы к термомеханическим материа-
материалам. Например, материал дифференциального типа сложности
15*
452 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА $ 4
A,0) определяется определяющими соотношениями вида
т = *(Х, Х,ц), . (XV. 4-1)
а = 8 (X, X, ц).
Это — следующее возможное продвижение в общности по-
после термоупругих материалов, определенных соотношением
(XV. 3-1) i. Очевидно, что когда функции ft, i и 6 линейны по i,
материалы сложности 1 оказываются обобщением на термоди-
термодинамический случай линейно вязких материалов, определенных
соотношением (IV. 4-13). На материалах сложности 1, впервые
проанализированных в важном мемуаре Колемана и Мизела,
достаточно хорошо видны те большие трудности, с которыми
приходится сталкиваться, покинув классическую область термо-
термоупругости.
Подставив A) в приведенное неравенство диссипации
(XV. 2-7), мы получим неравенство'
(дкр) • X + (dj) • Ц + (dtp - i) • X - 8 • ц.<0, (XV. 4-2)
где коэффициенты при X, ц, X и ц имеют в качестве аргументов
функции X, X и ц. Реакции р, i и 8 должны быть подчинены
таким ограничениям, чтобы неравенство B) выполнялось тожде-
тождественно для всех процессов, принадлежащих к области опре-
определения реакций.
Чтобы получить какой-нибудь определенный результат, пред-
предположим, что общая область определения функций ft, i и 8
представляет собой связное открытое множество. Поэтому воз-
возможно не только локальное линейное продолжение (XV. 3-3), но
и локальное квадратичное продолжение процесса X, а именно
где k — некоторое положительное число.
Здесь, как и прежде, a = X(fo), точка (а, 1,Ь)—некоторая
внутренняя точка области определения реакций, а и — произ-
произвольный вектор. Мы сохраним неизменными предположения
предыдущего параграфа, заметив лишь, что термины «непре-
«непрерывный» и «непрерывно дифференцируемый» относятся теперь
также к зависимости от аргумента 31 в A).
§ 4 ГЛ. XV. ТЕРМОМЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД 453
Рассматривая некоторую текущую ситуацию (а, Ь), подста-
подставим C) и (XV. 3-3J в B). Получим
(дг р) • и + (д^) ¦ m + (d,p-i) -[l + (t -to)u]-
0. (XV.4-4)
Аргументами коэффициентов являются значения функций А,
и ц, даваемые при t > t0 соотношениями C) и (XV. 3-3) 2. В пре-
пределе при t~>ta мы получим из D)
)-111 +(dtf —*)•! — *• Ь<0, (XV. 4-5)
где в силу наших предположений, аргументами коэффициентов
являются теперь а, I и Ь. Для данных значений этих трех аргу-
аргументов неравенство E) должно выполняться тождественно по и
и т. Следовательно,
дх •*> = (>, 5^ = 0. , (XV. 4-6)
Таким образом,
я = *>(*), (XV. 4-7)
и неравенство E) сводится к следующему остаточному нера-
неравенству:
(д>.р — i)-i — 8- ц<0. (XV. 4-8)
Реакции b, i и 8 должны быть такими, чтобы неравенство (8)
выполнялось для всех дифференцируемых процессов, значения
которых лежат в их области определения.
Определим теперь функцию равновесного натяжения i0 как
сужение функции i в случае, когда X и ц обращаются в нуль:
io(X) = i(X, 0, 0). (XV. 4-9)
Функцией диссипативного натяжения t^ назовем избыток i над i0:
*оеэ* —*0. (XV. 4-10)
Тогда, конечно, остаточное неравенство (8) можно записать
в виде
(дхр — to) Л - iD • X — 8 • ц < 0." (XV. 4-11)
Возвращаясь к необходимому условию E), мы видим, что
в силу F), G) и A0) оно сводится к
(dt.p — to) • 1 — iD-l-8-b<0, (XV. 4-12)
где аргументом первого коэффициента является а, а аргумен-
аргументами коэффициентов iD и .8 служат (а, 1, Ь). Чтобы получить
более слабое необходимое условие, положим в A2) Ь = 0 и
454 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА § 4
1 = Ае, где А > 0. Деля результат на А, получим
Ш (а) - to (а)] • е - tD (а, Ае, 0) • е < 0. (XV. 4-13)
Зафиксируем теперь единичный вектор е и перейдем в A3)
к пределу при Л-> + 0. Поскольку функция t непрерывна, то
и функция to> являющаяся ее сужением, также непрерывна,
а следовательно, непрерывна и функция iD. Поскольку tD(a, 0,
0) = 0 согласно A0), то tD(a, At, 0)-»0 при Л-»0. Поэтому
в пределе A3) дает
[a^(a)-io(a)]-e<O. (XV. 4-14)
Так как е — произвольный единичный вектор, то
io^dxp, (XV. 4-15)
т. е. функция плотности свободной энергии представляет собой
потенциал для одной только функции равновесного натяжения.
Мы доказали, таким образом, что для того, чтобы опреде-
определяющие соотношения A) удовлетворяли приведенному неравен-
неравенству диссипации, необходимо, чтобы они приводились к виду
п = р(Х), ¦ (XV. 4-7)
т = д,Ь (k) + iD (X, X, ft), iD (к, 0, 0) = 0, (XV.4-16)
-tD.X <§•»!. (XV. 4-17)
Читатель легко покажет, что этого также и достаточно для
того, чтобы выполнялось приведенное неравенство диссипации.
(XV.2-7). Таким образом, остаточное неравенство A7) пред-
представляет собой единственное условие, которому должны удов-
удовлетворять функция диссипативного натяжения to и функция
теплового потока в. Функция плотности свободной энергии b
не накладывает на них никаких ограничений.
Рассуждение, подобное проделанному при выводе соотно-
соотношения (XV.3-13), показывает здесь, что
8(Х, 0,0) = 0, тензор х0 положительно полуопределен, (XV. 4-18)
где тензор равновесной проводимости щ определяется по ана-
аналогии с (XV. 3-14), а именно
Полученные нами результаты содержат в себе не только
разви1ую в § XIV. 6 теорию «линейного трения» в однородных
процессах, но и классическую газовую динамику § XIV. 7, хотя
и не воспроизводят всех деталей, относящихся к этим случаям.
14 . ГЛ. XV. TEi>MOMEXAHtfKA СПЛОШНЫХ СРЕД 45$
Чтобы двигаться дальше, обратимся к первому стандартному
способу интерпретации, при котором л = i|>, X, = (F, 6),
jx = 0-' Grad 0, а натяжение т = (Тх/рх> — т)). Сверх того мы огра*
ничим допустимый класс определяющих соотношений A), пола'
гая, что 0 не входит в, число независимых переменных. Таким
образом, независимыми переменными будут F, 0, F и grad0,
В этом случае остаточное неравенство (8) принимает вид
(<? + $) & + f (F, 9, F, grad 0) < О, (XV. 4-19)
где ti = $(F, 0). Знакомое нам уже рассуждение показывает,
что первый член тождественно равен нулю. Таким образом,
плотность калории определяется из того же «.уравнения состоя-
состояниям, что и в теории термоупругости.
Результаты, полученные нами до сих пор, подытоживаются
следующими уравнениями, записанными с помощью тензора на-
напряжений Коши Т, градиента скорости G и теплового потока h:
* = f(F, в);
t|=-def(F, в),
Т = р [dFf (F, 0)] FT + 6D (F, 0, G, grad 0), (XV. 4-20)
, 0, G, grad0),
с дополнительными соотношениями-следствиями
6D(F, 0, 0, 0)^=0,
$(F, 9, 0, 0) = 0, (XV, 4-21)
тензор Ко положительно полуопределен,
где тензор Ко определен по аналогии с (XV. 3-16).
Можно было бы ожидать, что 9d будет обращаться в нуль
при обращении в нуль G, т. е. 6d(F, 8, 0, grad 0) = 0. Однако
дело не обязательно обстоит таким образом'," как показывает
следующее упражнение. Приводимый в нем пример представ-
представляет некоторый интерес, поскольку показывает, какие тепловые"
потоки и напряжения встречаются (наряду со многими другими),
в газовой динамике разреженных газов в соответствии с кине-
кинетической теорией.
Упражнение XV. 4.1. Рассматривая определяющие соотношения
eD~v grade® grade,
Ij => x grad 0 + aD grad 9,
456 ЧАСТЬ S, ТЕРМОМЕХАНИКА $4
где D — тензор скоростей растяжения, а к, v и а — функции от 9 и р, дока-
доказать, что остаточное неравенство B0L выполняется в том и только в том
случае, когда
х>0, 9v + a>0. " (XV.4-23)
Полученные нами результаты показывают, что как только
в определяющие соотношения наряду с пространственными гра-
градиентами включаются в качестве независимых переменных вре-
временные производные, большинство классических эффектов рас-
расщепления пропадает. Температурные градиенты могут вызвать
напряжения даже в неподвижном теле, а деформация может
влиять на характеристики теплопроводности тела. Поскольку
эффекты такого рода наблюдаются редко, проведенное до сих
пор рассмотрение следует дополнить анализом, дающим более
конкретные результаты. Например, в силу B1) мы можем ожи-
ожидать, что для семейства движений, для которых grad6->0 и
G->0, функция 8d должна быть приблизительно линейной по D,
а ^ — приблизительно линейной по grade. Однако, прежде чем
обратиться к вопросам такого приближения, мы воспользуемся
принципами материальной независимости от системы отсчета
и материальной симметрии, которые покуда не упоминались при
рассмотрении термомеханики. Роль этих принципов, мы проил-
проиллюстрируем сейчас на простом примере.
Для каждой из реакций f, 6d и ^ можно определить группу
равноправности. В случае когда каждая из этих трех групп
оказывается унимодулярной группой, мы будем называть мате-
материал, определяемый соотношениями B0), термомеханической
жидкостью сложности 1. С помощью приемов, которые должны
были уже стать второй натурой для каждого, кто дочитал книгу
до этого места, может показать, что для такой жидкости соот-
соотношения B0).i_4 приводятся к виду
т) = — def(v, 8),
Т = - (dj) 1 + flD (и, D, 9, grad 0), (XV* 44)
h = l^(v, D, ©, grade).
Здесь usa l/p, D — тензор скоростей растяжения, функции flD
и Ь изотропны, flD(«, 0, 9, 0) = 0, ff(v, 0, 8, 0) = 0, К0 = х1 и
С помощью известных теорем мокно получить соответст-
соответствующие представления для функций gD и $. Чтобы проиллю-
проиллюстрировать их, достаточно выписать результат.для теплового
потока:
2] grade, (XV. 4-25)
§ 4 ГЛ. XV. ТЕРМОМЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД 457
где скалярные коэффициенты фг являются функциями от «,
6, trD, trD2, trD3, | gradef, | grade • D grad 6 |, | grad 6 •
• D2grad6|. Отметим еще, что х = ?0(и, 6, 0, 0, 0, 0, 0, 0).
Таким образом, даже после обращения к принципу матери-
материальной независимости от системы отсчета и в частном случае
материала с максимально возможной степенью симметрии из
термомеханики не следует в.общем случае такое расщепление
эффектов температурных градиентов и деформаций, которое
предполагалось авторами работ классического направления. Од-
Однако из дальнейшего допущения о том, что реакции h и Т аф-
финны, по D и grad 6, такое расщепление, действительно, уже
следует. В силу B1) i, 2 функция ^ может быть аффинной, только
если она линейна, a i может быть аффинной, только если во
линейна. Из B5) сразу видно, что если | линейна, то единствен-
единственно возможное определяющее соотношение для h — это закон
Фурье, а именно (XIV. 7-16). Таким же образом, на основе не
выписываемого здесь аналога соотношения B5) для диссипа-
тивных напряжений легко показать, что единственный случай,
когда функция 0d линейна, — это случай, когда выполняется
классическое определяющее соотношение теории Стокса — Дю-
гема (XIV. 7-2).
Если бы эти результаты представляли собой все, к чему
мы стремились, то путь наш оказался бы кружным, поскольку
почти все, что мы смогли доказать таким способом, можно было
бы вывести прямо из определения жидкости, не обращаясь к тер-
термодинамическим принципам. В том, что дело обстоит именно
так, читатель легко убедится, проследив за замечаниями, сде-
сделанными после B4), и ограничив рассмотрение линейными
функциями. Единственное, что, по-видимому, добавила термо-
термомеханика,— это выражение равновесных напряжений через
функцию плотности, свободной энергии f — результат, который
с тем же успехом можно было бы получить и с помощью клас-
классического, хотя и несколько прозаического, требования, чтобы
полученные результаты находились в согласии с теорией одно-
однородных процессов, изложенной нами в § XIV. 7.
Такое заключение было бы чересчур поспешным. Поскольку
термомеханическсе рассмотрение налагает значительные огра-
ограничения на нелинейные определяющие соотношения, оно с помо-
помощью различных процессов аппроксимации дает возможность
определить, каким образом начинают терять силу классические
эффекты разделения после того, как мы выходим за пределы
классической области линейных соотношений. А именно на этом
пути могут быть определены наименьшие в том или ином смысле
члены, описывающие такое нелинейное взаимодействие. Соот-
Соответствующие примеры читатель найдет в статье Колемана и Ш,-
зела, указанной в конце главы,
458 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА % 5
§ 5. Материалы с квазиупругим поведением
Из сказанного в предшествующих параграфах видны трудно-
трудности, возникающие, когда материал обладает инфинитезималь-
ной памятью. Трудности другого рода, причем в некоторых от«
ношениях легче преодолимые, возникают для материалов с дли-
тельной памятью. В этом параграфе мы займемся примером,
для которого все расчеты являются простыми, хотя смысл ре-
результатов осознать довольно трудно. В следующем параграфе
мы рассмотрим случай более абстрактный и более сложный
математически, но более просто поддающийся истолкованию.
Теория затухающей памяти Колем аи а— Но лла определяется
в терминах запоминания выражением (XIII. 4-20), в котором
при t = tQ эффекты, связанные с текущим градиентом дефор-
деформации F (t0) и его значениями в прошлом F'«(s), s > 0, четко
разделяются. Чтобы облегчить обсуждение различия этих эф-
эффектов, обозначим сужение функции F<0 на открытый интер-
интервал @, оо) через F+ и будем называть его прошлой предысто-
предысторией тензора F. Таким образом, предыстория F'« может быть
формально задана упорядоченной парой {F(t0), F+), где первый
члгн есть постоянная, а второй — функция, определенная для
положительных вещественных значений аргумента.
Конечно, если предыстория F'« непрерывна при s = + 0, то
текущее значение F(/o) однозначно определяется по F+, а именно
равно F+ (+ 0). Если, однако, мы хотим допускать предыстории,
имеющие скачок при текущем значении времени, то мы можем
рассмотреть семейство предыстории, имеющих одну и ту же
прошлую предысторию F+, но различные текущие значения F(t0).
Такое семейство соответствует изменению в паре {F(t0), F+)'
члена F(tQ) при сохранении неизменным F+. Из (XIII.4-20)
ясно, что если одна из таких предыстории имеет конечное за-
запоминание, .то и все остальные тоже. Это позволяет нам рас-
рассматривать эффект, изменения текущего значения предыстории
F(t0), оставляя прошлую предысторию F+ неизменной.
Далее, если Fi" и F2e — два члена этого семейства преды-
предыстории, то разность между их запоминаниями дается простым
выражением _
| Fj» - F^° | = VА | F, (to) - F2 (t0) |. (XV. 5-1)
Аналогичные соображения можно применить и к самим опре-
определяющим уравнениям. Для некоторых материалов область
определения реакций содержит все предыстории (F(t0), F+), со-
соответствующие данному частному F+. Тривиальным приме-
примером является упругий материал, для которого реакция является
§ 6 ГЛ. XV. ТЕРМОМЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД 459
функцией только от F(t0), так что F+ не влияет на напряже-
напряжения вообще. Нетривиальным примером служит больцманова
теория вязкоупругости и ее обобщение — теория конечных вяз-
вязко-упругих деформаций Колемана — Нолла, для которой опре-
определяющее соотношение имеет вид (XIII. 6-3) с поправочным
членом,, равным нулю. В этой теории мы можем рассматривать
некоторую частную прошлую предысторию F+ и различные,
выбираемые независимо, текущие значения F(f0) и можем епро-
сить, как изменяются напряжения при изменении F(t0).
До сих пор мы рассматривали фиксированный момент вре-
времени to. Предположим теперь, что на некотором конечном ин-
интервале t0 ^ t ¦<. t0-\- h, где h > О, известна и фиксирована не-
некоторая определенная предыстория F'. Используя t как пара-
параметр, мы можем построить однопараметрическое семейство
предыстории (F@, F+), в котором F(/) задается произвольно
и не обязательно равно F+(-f-O), Чтобы пояснить это, исполь-
используем в качестве примера особенно простой случай больцманов-
ской теории бесконечно малых деформаций, а именно тот, в ко-
котором ядро не зависит от текущей деформации:
Т @ = К [Ё (t)] + J L E) [Ё'+ {$)] ds, (XV. 5-2)
о
где К — постоянный тензор, значения функции L суть тензоры
четвертого ранга, а Ё — тензор бесконечно малых деформаций.
Для семейства (Ё (t), Ё+), поскольку Ё+ — фиксированная
функция, интеграл в определяющем соотношении B) сводится
к функции от одного только t, ибо подинтегральное выражение
задано. Первый член остается данной функцией от E(t). Таким
образом, в классе предыстории, в котором для каждого мо-
момента t некоторая малая часть прошлой предыстории Ё+ фик-
фиксирована и только текущее значение Е(^) меняется, соотноше-
соотношение B) сводится к соотношению
T = 6(F@, О- (XV.5-3)
Функция g в общем случае не является реакцией никакого
материала, поскольку она зависит от F+ как от параметра,
причем параметра, который мы условились фиксировать. Таким
образом, б определяется двумя различными факторами: во-пер-
во-первых, реакцией материала © и, во-вторых, частной прошлой
предысторией F+, которая рассматривается как заданная функ-
функция от t. Задание различных прошлых предыстории F+ приво-
приводит при одной и той же реакции © к различным функциям 0.
460 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА " § S
Небольшое размышление позволяет понять, что тс же сообра-
соображения^ применимы к любому материалу, определяемому реак-
реакцией ©, область определения которой достаточно велика, чтобы
наряду с (Fi(^), F+) ей принадлежало также и (F2@, F+); в то
же время в общем случае характер зависимости результатов
от независимых переменных F@ и F+ будет более сложным.
Соотношение C) формально таково же, как и определяю-
определяющее соотношение воображаемого упругого материала с зави-
зависящей от времени реакцией (конечно, настоящего такого мате-
материала быть не может, поскольку явная зависимость реакции
материала от времени запрещается принципом материальной
независимости от системы отсчета). Поэтому возникает искуше-
искушение пройтись по всей динамической теории упругости и видоиз-
видоизменить каждую теорему, учитывая наряду с зависимостью от
времени через посредство F и явную зависимость от времени.
Сделать это легко, но к истолкованию получаемых при этом
результатов следует подходить с великой осторожностью. Осо-
Особенности проявляются, как это всегда бывает при рассмотрении
материалов с затухающей памятью, в связи с вопросами глад-
гладкости. Чтобы эффективно использовать теорию упругого мате-
материала,, мы предполагаем, что его реакция g является непрерыв-
непрерывно дифференцируемой функцией от F при каждом данном зна-
значении аргумента Fo из ее области определения; во всяком слу-
случае мы ограничиваем наше внимание только такими аргумен-
аргументами, чтобы иметь возможность подставлять выражения для
поля напряжения в уравнения баланса энергии и т. д. По-
Поскольку это допущение относится непосредственно и единствен-
единственно к свойствам материала, его легко понять, и оно вряд ли
может быть отвергнуто.
Однако, когда мы обращаемся к C), дело обстоит совсем
по-другому, потому что функция б не только выражает опреде-
определяющее соотношение, а зависит еше .от прошлой предыстории
F+. Поэтому любое предположение о гладкости накладывает
ограничения не только на материал, но и на предысторию де-
деформации, которую он претерпевает. Следуя Вану и Боуэну, мы
будем говорить, что поведение материала для предыстории F'
в момент t является квазиупругим, если функция б в соот-
соотношении C) непрерывно дифференцируема по F и t при значе-
значениях аргументов (F'@),*)- Давая такое определение, мы пред-
предполагаем, конечно, что если данная частная предыстория
(f'@), F+) принадлежит области определения реакции материа-
материала б, то ей принадлежат и все предыстории (F'@, F+), 'для ко-
которых величина |Р@—F* @) j достаточно мала.
§ 6 ГЛ. XV. ТЕРМОМЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД 46!
Таким образом, мы следим за определенным телом-точкой
X, пока оно испытывает предысторию деформации Р, и срав-
сравниваем значение ее реакции в момент t с тем, какое имело бы
место для предыстории с тем же самым прошлым F+, но не-
несколько иным текущим значением FI7).
В общем случае нелегко определить, является ли поведение
материала с данной реакцией ©квазиупругим для данного клас-
класса предыстории. Конечно, поведение упругого материала три-
тривиальным образом квазиупруго для всех предыстории. Нетри-
Нетривиальный пример дает определяющее соотношение C). Каж-
Каждый материал такого рода обладает квазиупругим поведением
для любой достаточно гладкой1) предыстории Ё(.
Никоим образом не все материалы обладают квазиупругим
поведением. В материалах дифференциального типа, например
в жидкости Навье — Стокса, напряжения определяются произ-
производными от F по времени в данный момент. Таким образом,
чтобы рассматривать подобные определяющие' соотношения, мы
должны ограничить свое внимание такими предысториямй де-
деформации, которые являются непрерывными функциями вре-
времени. Если бы нам как-то и удалось избежать этого ограниче-
ограничения, было бы нарушено условие гладкости, заложенное в опре-
определении квазиупругой реакции. В теории Навье — Стокса ма-
малые изменения F и t не обязательно приводят к малым измене-
изменениям Т, определяемого' F — величиной, независимой от F и t
в данное мгновение. Таким образом, теория квазиупругого по-
поведения не дает в качестве частных случаев результаты, полу-
полученные'в предыдущем параграфе. Как и затухающая память
того или иного типа, квазиупругое поведение является не общим
свойством материалов, а скорее отличительным качеством важ-
важного специального класса материалов при достаточно гладких
процессах.
Приведенные до сих пор в этом параграфе замечания и
определение были сформулированы в терминах одной лишь ме-
механики, и их вполне можно было бы включить в гл. XIII. Од-
Однако их легко, слегка изменив слова, применить к термомеха-
термомеханике, в которой они более полезны и для которой все это и
было, введено.
') Условия, при которых можно дифференцировать по параметру инте-
интегралы Лебега по интервалу @, оо), редко приводятся в элементарных кин-
гах. Теорему такого рода можно найти в § 246 книги: Е. W. Hobson, The
theory of functions of a real variable, v. 2, 2nd ed., Cambridge, 1926 [нли
в книге: М. Лоэв, Теория вероятностей, ИЛ, М., 1962 — Ред.].
Аналогичные рассмотрения можно провести и для теории конечных
вязко-упругих деформаций Колемана — Нолла, но это сложнее, поскольку
ядро интегрального оператора зависит от F(/).
я(О = И
т@-*(
a@-*(
>@, МО, О,
X@, MO, 0,
X(o, p»@, 0.
462 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА § 6
Мы будем рассматривать частную предысторию к1, jx( как
функцию от / и воспользуемся определяющими уравнениями
(XV.2-11), чтобы определить из них функции возможных теку-
текущих состояний k(t), ii(t) и времени t таким же образом, как
C) получается из B):
(XV. 5-4)
Если t>, i и 6 — непрерывно дифференцируемые функции всех
трех своих переменных при Х'(О), м/@), /, то говорят, что про-
простой термомеханический материал в момент / для предыстории
X', ц' характеризуется квазиупругим поведением. Высказанные
ранее замечания и предостережения относятся также и к этому
случаю. В частности, функции р, i и Ь зависят от Х'+, ц'+, при-
причем эти последние в последующем считаются фиксированными.
Используя термин «квазиупругое поведение», мы надеемся, что
читатель помнит, что он относится не только к материалу, но
и к определенному классу процессов. Именно по этой причине
мы используем слово «поведение», поскольку слово «реакция»
в этой книге относится к определяющему отображению, опреде-
определяющему материал раз и навсегда.
В соответствии с принципом термодинамически согласован-
согласованного детерминизма, изложенным в § 2, функции fc>, i и в должны
быть таковы, чтобы приведенное неравенство диссипации
(XV. 2-7) выполнялось для всех t и всех таких аргументов, что
ситуация X(f), ii{t) является значением некоторого процесса из
области определения реакций fy, % и @. Предположим, что
(k(t),n(t)) представляет собой внутреннюю точку множества
всех значений процессов. Тогда значения всех локальных линей-
линейных продолжений (XV. 3-3) для достаточно малых k лежат в
областях определения функций % Ж и @, так что мы можем
воспользоваться в точности теми же рассуждениями, что и
в § 3. Единственное различие состоит в том, что теперь функции
$>, i и в зависят от t. Таким образом, эти функции для данного
процесса зависят от t как явно, так и неявно. В. соответствии
с этим вместо (XV. 3-4) мы получим теперь такое неравенство,
которое должно тождественно удовлетворяться функциями fe.
i и Ь:
dfp + {д?р) • т + (дкр- i) • 1 -Ь • (Ь + (t-*0)т)<0. (XV.5-5)
§ 5 ГЛ. XV. ТЕРМОМЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД 463
Упражнение XV. 5.1 (Ваи & Боуэи). Показать, что соотношение E) удо-
удовлетворяется в том и только в том случае, когда
я = р (X, t),
t),
о.
Результаты F) следуют непосредственно из рассуждений,
приведенных в § XV. 3. Сами формулы оказываются отчасти
другими.
Прежде всего, функция накопления t не зависит от \х и слу-
служит потенциалом для функции натяжения^ Далее, из F) видно,
что внутренняя диссипация б также не зависит от ц и фактиче-
фактически представляет собой значение скорости уменьшения плот-
плотности свободной энергии при постоянном К. Это утверждение
является обобщением соответствующего утверждения теории
термоупругости в двух отношениях: в теории термоупругости,
во-первых, плотность свободной энергии не может изменяться,
если не изменяется ситуация, и, во-вторых, внутренняя диссипа-
диссипация равна нулю.
Это второе отличие можно проиллюстрировать иа примере, который под-
подсказывается соотношением B), а имеиио
00
я =» »(К О - к • Я, @ + J ! (s) ¦ (Х/+ (s) - *4 @)) ds, (XV. 5-7)
о
где к — вектор, а I — векториозиачиая функция вещественного переменного.
В подиитегральном выражении мы написали к+ вместо к1, чтобы напомнить
читателю, что мы рассматриваем предысторию X,' как пару (X, (t), X*+y Даже
при постоянном продолжении (§ XIII. 4), определяемом как предыстория
с постоянным М<)=яА,_?(+ 0) при J, превосходящем некоторое определенное
значение t0, интеграл в G), вообще говоря, зависит от t. Из F)з мы находим
для внутренней диссипации в этом частном случае выражение
00
в-=— J I(s) •(*/(«) -i(t + 0)) ds, (XV. 5-8)
О
где мы считаем предысторию Х{+ достаточно гладкой и где i'+ (s)-i((-s),
О < s < оо. Таким образом, 6 — действительно функция от t, причем в общем
случае не нулевая. При увеличении t от tQ до t0 + А материал „помиит"
частное прошлое значение А/ как происшедшее в прошлом за h единиц
времени до этого, поскольку хЛ+л (so + h) =X,'° (s0). Вклад этого частного
значения в я (t) берется согласно G) с множителем 1 (s0 + Щ> а не с мно-
множителем I (s0).
Аналогичные результаты справедливы в теории конечных вязко-упругих
деформаций. Эти результаты — отнюдь не искусственные математические qo-
464 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА § S
строения, они описывают возможное поведение материала; однако они ока-
оказываются намного более сложными, поскольку текущее значение k(t) входит
не только в линейный член, ио и в подинтегральное выражение. Соответствен-
Соответственно затрудняется и интерпретация результатов.
Естественно, имея в виду представление о затухающей па-
памяти, мы не ожидаем, что материал может приобретать энер-
энергию в результате того, что он помнит о прошлом. Поэтому мы
ожидаем, что при постоянном продолжении плотность внутрен-
внутренней энергии и плотность свободной энергии будут убывать, или
в крайнем случае оставаться неизменными, а плотность кало-
калории будет возрастать или в крайнем случае оставаться неиз-
неизменной. И действительно, так оно и есть. Возвращаясь к не-
неравенству FL, мы видим, что его левая часть не зависит от ц,
так что оценка, выражаемая этим неравенством, должна оста-
оставаться справедливой для всех значений ц. Полагая ц = О, мы,
таким образом, получаем из (б)з
6>0. (XV. 5-9)
Чтобы вывести этот результат, мы не использовали никакой
частной функции fc, как это имеет место в F), и не. предпола-
предполагали, что материал имеет затухающую память в каком-нибудь
из смыслов, рассматривавшихся в гл. XIII. Напротив, мы до-
доказали (9), используя лишь предположение о квазиупругой ре-
реакции материала и неравенство Кдаузиуса — Дюгема, — ничего
больше. Итак, для материалов с квазиупругим поведением, вы-
выполняется неравенство Планка; оно выражает тот факт, что,
когда текущая ситуация не меняется, функция накопления не
увеличивается.
Таким образом, для рассматриваемых нами сейчас материа-
материалов и процессов неравенство Клаузиуса —Дюгема приводит
к появлению некоторого рода затухающей памяти для накопле-
накопления. Несколько вольно мы можем сказать, что —dt$ представ-
представляет собой скорость, с которой функция накопления забывает
свою прошлую предысторию.
Поскольку функция натяжения t определяется функцией накопления >
с помощью соотношения F) 2, и для натяжения должна существовать своего
рода затухающая память; однако природа этой затухающей памяти неясна.
• Возвращаясь вновь к (бL, заметим, что это неравенство
устанавливает неположительную оценку снизу для a-pi, причем
в общем случае эта оценка отлична от 0. Таким образом, для
материалов, характеризующихся квазиупругим поведением, не-
неравенство Фурье в общем случае не имеет места. При положи-
положительной внутренней диссипации вектор теплового потока может
образовывать некоторый тупой угол с вектором термического
градиента, но та же диссипация ограничивает сверху произве-
§ 5 ГЛ. XV. ТЕРМОМЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД 465
дение длин этих векторов. А именно, если этот тупой угол ра-
равен ?, то в силу FL
db^. <xv-5-10>
Чем быстрее накопление забывает прошлую предысторию, тем
большей величины тепловой поток может быть направлен не по
термическому градиенту, а против него.
Поскольку для материалов с квазиупругим поведением нера-
неравенство Фурье в общем случае не выполняется, a fortiori для
этих материалов неравенство Клаузиуса — Дюгема не сводится
к двум различным и не связанным друг с другом классическим
неравенствам, хотя одно из них и следует из него.
Эти результаты станут более конкретными, если Мы отне-
отнесем их к первой стандартной интерпретации, определенной в §2.
Тогда, во-первых, F)i превратится в
¦ = f(F, 8, О, (XV. 5-11)
т. е. плотность свободной энергии не зависит от текущего зна-
значения градиента температуры. Во-вторых, FJ примет вид
Т =paf(F, 8, t),
* *', ' r (XV. 5-12)
т) = — dgf (F, 8, t).
Таким образом, и напряжения, и плотность калории тоже не
зависят от текущего значения градиента температуры, и, как
в теории термоупругости, функция плотности свободной энер-
энергии является потенциалом как для реакции напряжений, так и
для калорической реакции. Мы должны напомнить, что f не
выражает определяющее соотношение, а является функцией,
значения которой совпадают со значениями некоторого опреде-
определяющего отображения, когда задана и сохраняется неизменной
некоторая прошлая предыстория. Наличие в качестве аргумента
у f переменного t учитывает эффекты памяти в материале, пре-
претерпевающем определенную предысторию, деформации и гра-
градиента температуры. В этбм смысле соотношение A2) устанав-
устанавливает, что эффекты памяти для плотности свободной энергии
однозначно определяют эффекты памяти для напряжений и
плотности калории.
В-третьих, мы можем записать F)з в форме
6 = -d(f(F) 8, *), (XV.5-13)
откуда видно, что реакция .внутренней диссипации также
определяется реакцией плотности свободной энергии и также
не зависит от текущего значения градиента температуры.
В-четвертых, справедливо неравенство Планка, и его можно
466 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА
рассматривать как утверждение, что если градиент деформации
и температура материала с квазиупругим поведением сохра-
сохраняются постоянными, то плотность свободной энергии не может
возрастать. Наконец, остаточное неравенство (бL означает те-
теперь, что
h ¦ grad в > p6d,f (X, t). (XV. 5-14)
Если не принимать во внимание плотность свободной энергии,
то тепло может перетекать из более холодных в более горячие
места, но не без предела1).
При использовании второй и третьей стандартных интерпре-
интерпретаций мы получим вместо A1) и A2)
e = e(F, Л, 0, n
Т, = РАе (F. Л. *) = - pxedF$ (F, e, t), (XV. 5-15)
e=atle(F, т,, t), 4=aeMF, e, t).
В этих выражениях каждый символ имеет тот же смысл, что
и во всех других местах, где он встречается. Однако, когда мы
начинаем вычислять б по общему правилу FK, нужно разли-
различать между собой результаты, получаемые при использовании
различных функций накопления. Не указывая этого различия
в обозначениях, мы будем использовать символ б при всех трех
стандартных способах интерпретации, понимая под этим, что б
определяется соотношением (XV. 1-5). Тогда
б » - 0tf (F, 6, 0 = - а,е (F, т,, 0 - ОД (F, в, t). (XV. 5-16)
Таким образом, при втором стандартном способе интерпретации
неравенство Планка (9) утверждает, что если градиент дефор-
деформации и плотность калории постоянны, то плотность внутрен-
внутренней энергии не может возрастать, а при третьем стандартном
способе интерпретации — что если градиент деформации и плот-
плотность внутренней энергии постоянны, то плотность калории не
может убывать.
Формальная аналогия, существующая между результатами,
полученными при трех стандартных способах интерпретации, не
должна привести нас к мысли, что эти три способа эквива-
эквивалентны, или что их можно сделать эквивалентными, введя до-
дополнительно умеренные допущения относительно гладкости.
Если данный материал ведет себя квазиупруго для некоторого
класса предыстории при одном способе интерпретации, то этого
может и не быть при других способах. Это замечание отражает
') В рассматриваемом случае правая часть A4) могла бы быть отрица-
отрицательной, откуда и следует высказанное утверждение. — Прим. реф.
S^ ГЛ. XV. ТЕРМОМЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СЕЕД 437
упомянутую уже трудность, внутренне присущую теории квази-
квазиупругого поведения: совсем не ясно, существует ли для данного
определенного материала, характеризуемого данными' опреде-
определенными реакциями, какой-либо класс предыстории, порождаю-
порождающих квазиупругое поведение.
Наконец, мы должны помнить, что во всех результатах, от-
относящихся к материалам, проявляющим квазиупругое поведе-
поведение, выбрана и считается фиксированной определенная прошлая
предыстория К+, ц'+. В общем случае две соседние материальные
точки не претерпевают одинаковых прошлых предыстории. Та-
Таким образом, даже в однородном теле функция $ для матери-
материальной точки X будет, вообще говоря, отличаться от' функции fe
для материальной точки Y (в предположении, что движение
всего тела задано). Понятие квазиупругого поведения позволяет
нам эффективно рассматривать то, что происходит с отдельной
материальной точкой, но не дает ни малейшего представления,
о том, как сравнивать величины, связанные с двумя различными
материальными точками одного тела.
Теория квазиупругого поведения легко и эффективно приво-
приводит к формально определенным результатам, однако предыду-
предыдущие замечания показывают, что этим диапазон применимости
этих результатов еще не определяется, хотя и нетрудно по-
построить частные примеры, для которых квазиупругое поведение
действительно осуществляется.
'Могла бы прийти мысль искать такие примеры среди мате-
материалов с затухающей памятью Колемана — Нолла, определен-
определенной для класса определяющих соотношений (XV. 2-11).
Однако было показано на примере1), что для таких мате-
материалов неравенство Планка не обязательно выполняется. Таким
образом, для материалов с затухающей памятью Колемана —
Нолла не обязательно проявляется квазиупругое поведение.
Тот факт, что функция fe для одной прошлой предыстории
данного материала не связана каким-либо очевидным образом
с функцией' fe для другой прошлой предыстории, делает если
не' невозможным, то затруднительным решение важной проб-
проблемы установления связей между термомеханикой и термоста-
термостатикой. Хотелось бы думать, что если прошлая предыстория Х+,
ji'+ сводится к предыстории-константе ((Х+(+0))с, (ц+(+0)°)),
то функция накопления ? сведется к функции только от Я —
функции, которую можно было бы отождествить с соответствую-
соответствующей функцией накопления'классической термостатики. Теория
квазиупругого поведения не дает нам такой возможности, хотя,
') Coleman В. D. & Gurtin M. E., Equipresence and constitutive equations
for rigid heat conductors, Z. Angew. Math. Physik, 18 A967), 199—208).
468 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА §.в
конечно, из нее тривиально следует, что если fc окажется не
зависящим от t, то получатся все результаты теории термо-
термоупругости.
Колеман в своих замечательных исследованиях по термоди-
термодинамике материалов с памятью начал с подкласса простых термо-
термодинамических материалов, в которых независимыми перемен-
переменными определяющих соотношений являются F', В1, grade.
В предположении, что эти материалы обладают затухающей
памятью Колемаиа —. Нолла, он ие только доказал результаты,
аналогичные A1) — A4), и неравенство Планка, но и показал,
что вся классическая теория термостатики (по существу, теория
«уравнений состояния» § XIV. 4) следует из его результатов как
частный случай. Всякая теорема такого рода заслуживает на-
названия теоремы Колемана. Понятие квазиупругого поведения
позволяет нам доказать лишь половину, и притом более, простую,
теоремы Колемана.
В следующих параграфах мы будем рассматривать понятие,
на первый взгляд более общее и значительно более абстрактное,
чем понятие квазиупругого поведения, но в то же время доста-
достаточно частное и явное, чтобы с его помощью можно было вы-
вывести теорему Колемана.
§ 6. Теорема Колемана для материалов
с мгновенно-упругой реакцией.
I. Термодинамический потенциал
В трех предыдущих параграфах мы привели теоремы Коле-
Колемана для трех различных классов материалов. Для всех трех
классов материалов существенным моментом доказательства
было существование некоторого «цепного правила» (правила
дифференцирования сложной функции), при помощи- которого
материальную производную по времени я от накопления л
можно было выразить как аффинную функцию независимо из-
изменяющихся производных по времени от ситуации. Мы видели
также, что характер результата определяется характером этого
цепного правила. В термоупругих материалах я равно линей-
линейной комбинации X и ц,в материалах дифференциального типа —
линейной комбинации X, X и ц; в материалах с квазиупругим
поведением это аффинная функция, отличная, вообще говоря,
от линейной комибнации X и ц. Для каждого из этих трех
классов соответствующее цепное правило позволило нам дока-
доказать, исходя из принципа термодинамически согласованного де-
детерминизма, что функция накопления ? является потенциалом
для части или для всех натяжений, и сделать некоторые опреде-
определенные заключения относительно отсутствия или наличия внут-
внутренней диссипации и допустимых направлений вектора тепло-
§ 6 ГЛ. XV. ТЕРМОМЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД 469
вого потока. В частности, было установлено, что разделение эф-
эффектов деформации и температуры (при классическом подходе
просто предполагаемое) действительно имеет место в большей
или меньшей степени, зависящей от рассматриваемого класса
определяющих соотношений. Как вторая, так и третья рассмот-
рассмотренные нами теории содержали в качестве частного случая пер-
первую, но ни одна из них не была частным случаем другой.
Третья теория, теория квазиупругого поведения, возникшая на
основе теории материалов с длительной памятью, страдает тем
недостатком, что изучаемые ею класс процессов и класс реак-
реакций оказываются весьма неконкретными, хотя определенные
свойства их и удается установить.
Теперь мы выведем теорему Колемана для четвертого класса
материалов, который был введен Гуртиным и который мы на-
назовем классом материалов с мгновенно-упругой реакцией. Эти
материалы образуют подкласс класса всех простых материалов
с длительной памятью; они будут определены шестью явно
сформулированными аксиомами, налагающими ограничения на
реакции % Ж и @, входящие в (XV.2-13).
В этом параграфе мы сформулируем три из этих шести ак-
аксиом. Но прежде изложим их содержание. Во-первых, они тре-
требуют следующего: если некоторая ситуация может быть достиг-
достигнута в процессе, принадлежащем области определения реакций
материала, то и любое локальное линейное продолжение этого
процесса принадлежит этой области определения. Во-вторых,
в них требуется, чтобы для любого процесса значения соответ-
соответствующих ему реакций (которые, конечно, являются функциями
времени t) были непрерывны справа для любого /о» т. е. при
/->/о + О- В-третьих, накопление п должно быть дифференци-
дифференцируемым как функция времени, а его производная должна быть
аффинной функцией от скорости изменения ситуации, и притом
аффинной, функцией, коэффициенты которой суть непрерывные
функции времени. Читатель, который тщательно проследил за
обсуждением квазиупругого поведения в предыдущем парагра-
параграфе, сразу поймет из этого грубого описания, что из таких ак-
аксиом воспоследуют результаты, аналогичные (XV. 5-5), анало-
аналогичные в том отношении, что реакция накопления $ будет
однозначно определять реакции Жи@ натяжения и внутренней
диссипации, хотя, конечно, эти реакции и не будут, вообще го-
говоря, частными производными некоторой функции от X, ц и t.
Теперь мы перейдем к изложению формальной теории в абст-
абстрактных терминах.
Будем рассматривать определяющие соотношения простого
термодинамического материала (XV. 2-13) и обозначим через Ж>
множество процессов (X, ц), образующих общую область
определения реакций % ? и @. Локальные линейные продолжения
470 ЧАСТЬ 5. ТЁРМОМЁХЛНИКА § в
(X,, цт) некоторого процесса от его текущей ситуации (а, Ь)
уже были определены соотношениями (XV. 3-3). Мы предпола-
предполагаем теперь, что если (X, ц) —такой процесс из 2D, что ХD)=а,
ц(^) = Ь, то и каждое из его линейных продолжений (Л,, цт)
от ситуации (а, Ь) для t<.to-{-k для достаточно малых к
(k может зависеть от (I, m)) принадлежит &>. Итак, наша пер-
первая аксиома такова:
Аксиома 1 (локального замыкания). Множество 3) замкнуто
по отношению к локальному линейному продолжению.
Аксиома эта звучит иевииио, ио оиа оказывается весьма ограничитель-
ограничительной. Прежде всего, в силу ее иаш класс процессов должен быть весьма об-
обширным, поскольку требуется, чтобы от любой ситуации, которой может до-
достичь некоторый процесс из $Ь, отходило бесконечно много процессов, при-
принадлежащих $Ь. Далее, из-за нее мы не можем ограничить рассмотрение лишь
теми процессами, которые очень «хороши> — гладки, либо очень «плохи».
Действительно, предположим, что некоторый процесс очень плох вплоть до
момента t. Аксиома 1 требует, чтобы начиная с этого времени, хотя бы и
недолго, отображения $, Ж и в> оставались определенными для бесконечно
многих линейных (а значит, чрезвычайно гладких) процессов, продолжающих
исходный. Пусть, напротив, некоторый процесс был весьма гладким (даже,
скажем, сохраиял постоянное зиачение) вплоть до момента t. Тогда аксиома 1
требует, чтобы SP, Ж и © оставались определенными для бесконечного мно-
множества процессов, ие имеющих даже производной в момеит t.
Это последнее замечание показывает, что аксиомой 1 исключаются мате-
материалы дифференциального типа, простейшие из которых рассматривались
в § 4, поскольку их реакции ие определены для процессов, для которых не
существует X.
Пусть 3>*— множество всех предыстории процессов. Фор-
Формально
3? = {(X*. ц*): Э*о. такое, что Х' = Х'« и Н*«=цЧ где (X, ц)е0).
(XV. 6-1)
Эквивалентно, если (X*, ц*) е ф*, то существует такой процесс
(X, ц) е 3>, что Х'« = Х*, ц'« = ц* для некоторого t0. Элементами
множества ЗТ являются функции, определенные на [0, со),
причем X (*0) = Х'« @) = X* @) и т. д., где to — tQ самое, которое
входит в определение Л*, ц*. В силу аксиомы 1 для любых 1
и m при некотором k локальное линейное продолжение
(А.,, цт) е 3>. Конечно,
Х{. = Х*( ii^ = ii*, (XV. 6-2)
Х[.@) = Х*@), ^@) = ц*@) (XV. 6-3)
и при to<t<to-\-k
М-1, Ав@-т. (XV. 6-4)
§ 6 ГЛ. XV. ТЕРМОМЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД 471
Аксиома 2 (непрерывности справа). Для любого процесса
из 2Ь значения реакций |Д и® представляют собой функции,
непрерывные справа.
И эта аксиома, как и первая, может показаться безобидной, но и она на
самом деле весьма ограничительна. Согласно аксиоме 1, из каждой ситуации,
которой может достичь некоторый процесс из $Ь, исходит бесконечное мно-
множество процессов, имеющих в ней разрывные производные по времени и
остающихся в ЗЬ. Такие процессы в лучшем случае представляют собой сла-
слабые разрывы в смысле теории сингулярных поверхностей (гл. XI), а воз-
возможно, и более сильные сингулярности. Аксиома 2 требует, чтобы даже когда
материал подвергается таким сингулярным процессам, значения трех его
реакций оставались непрерывными справа. Большое изменение (X, ц) в мо-
момент t вызывает лишь малое изменение значений я, т и а вблизи t. Конечно,
таким поведением характеризуются тривиальным образом термоупругие ма-
материалы, и в этом одна из причин, по которым мы решили связать с опреде-
определяемыми сейчас материалами слова «мгновенно-упругая реакция». Для мате-
материалов же дифференциального типа, проявляющих свойство, обычно обозна-
обозначаемое словом «вязкость», характерно как раз обратное.
Аксиома 3 (цепное правило). Значение п реакции накопле-
накопления является дифференцируемой функцией времени. Существуют
отображения D$, D,$ и Dtty с областью определения ЗУ, зна-
значения которых являются функциями, непрерывными справа,'
так что если существует (X, ц), то
п (t) = Д# (Х<, ц*) -Щ + D^ (X', ц*) • ji @ +
(XV. 6-5)
Использованные здесь обозначения D$,, D^ и Dt§, под-
подсказанные теорией квазиупрутого поведения, указывают на то,
что коэффициенты, ими обозначаемые, являются частными
производными от ^ в некотором обобщенном смысле. Важно,
что отображения D$, DJ$ и D№ определяются отображе-
отображением ?$. Если их значения непрерывные, а не только непре-
непрерывные справа функции времени, то для такого процесса,
в котором X и ц испытывают в некоторый определенный мо-
момент скачки (X] и [ц], из соотношения E) следует, что
[n]=AW, 1»'Ы*1+ад(*'. Р'ЫАЬ (XV. 6-6)
Таким образом, на слабой особенности скачок накопления пред-
представляет собой линейную комбинацию скачков к и ц, и это свой-
свойство отображения $ дает дополнительное основание для того,
чтобы применять для описания рассматриваемых материалов
термин «мгновенно-упругая реакция».
Произвольное данное отображение $ может удовлетворять
или не удовлетворять аксиоме цепного правила. В своих велико-
великолепных новаторских исследованиях по термодинамике мате-
материалов 9 памятью Колеман предполагал, что ^ подчиняется
472 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА § б
принципу затухающей памяти Колемана — Нолла порядка 1, и
ограничил зависимость ф от предыстории ц/ термического гра-
градиента зависимостью лишь от \i(t)—текущего термического
градиента. Для этого случая и для- определенного класса
предыстории К* он доказал цепное правило в форме E). После-
Последующие исследователи рассматривали цепные правила более
сложного вида1). Здесь мы просто постулируем, что имеет ме-
место цепное правило D), и изучаем ею следствия.
Прежде всего, коэффициенты-отображения D$, D^ и ZVp
определены на ЗУ однозначно. Действительно, предположим,
что точно теми же свойствами обладает тройка отображений
Dif$, Dpty и Dt%. Тогда соотношение E) выполнялось бы и
с этими коэффициентами вместоD$, DJ§и Dt§. Если (X*, ц*)^3)*,
то существует такой процесс (X, ц), что Х'° = Х*, jiA = ji\ Со-
Согласно аксиоме 1, локальное линейное продолжение (XV. 3-3)
процесса (V\ р'«) при t0 < t < t0 -f k также принадлежит ЗУ.
Поэтому мы можем подставить (XJ°, цА) в соотношение E), за-
писаннное для обоих наборов коэффициентов, вычесть один ре-
результат из другого и таким образом получить с учетом D), что
= 0 VI, m (XV. 6-7)
при условии, что t0 <. t <. tQ + k. В силу аксиомы 3 значение
каждой из величин в квадратных скобках является непрерыв-
непрерывной справа функцией от t. Выполняя в G) предельный переход
при i —>-/о + 0, в соответствии с C) 1>2 находим, что
Щ ¦ m +
+ [D& (Г, ц') -Д?Р(Г, р*)] = 0 VI, т. (XV. 6-8)
Поскольку 1 и т — произвольные векторы, три величины в квад-
квадратных скобках обращаются в нуль. Поскольку (X*, ц*) — произ-
произвольный элемент из ЗУ, три отображения-коэффициента Dx%
ДД5 и /)Д5 определены однозначно.
Почти столь же элементарным рассуждением доказывается
') Цепное правило значительной общности было сформулировано и до-
доказано в работе V. Mizel & G.-C. Wang, A fading memory hypothesis which
suffices for chain rules, Arch. Rational Mech. Anal, 23 A966), 124—134. Не-
Несколько более слабое, но также легко доказываемое цепное правило пред-
представлено в § 5.3 книги У. Дэя «Термодинамика простых сред с памятью»
(«Мир>, 1974).
J в ГЛ. XV. f ЁРМОМЕХАНИКА СПЛОШНЫХ С?ЁД 473
Теорема о термодинамическом потенциале. Если |, Жи®
удовлетворяют аксиомам 1—3, то принцип термодинамически
согласованного детерминизма требует, чтобы
S —Д$, (XV. 6-9)
Обратно, любые три отображении % Ж и ®, удовлетворяющие
этим соотношениям, удовлетворяют также принципу термодина-
термодинамически согласованного детерминизма.
Доказательство не должно составить труда для того, кто
проследил как за проведенным выше доказательством един-
единственности, так и за обсуждением теории термоупругости в § 3.
Вычислив вначале ij) для локального линейного продолжения
W\ Цт). подставим затем результат в приведенное неравенство
диссипации (XV. 2-7). Переходя к пределу при t-*-tv + O, обра-
обратимся к аксиомам 2 и 3, чтобы получить, что пределы значений
коэффициентов являются значениями этих коэффициентов для
произвольно выбранной предыстории (У", ц'°). Дальнейшее рас-
рассуждение проводится в точности так же, как и в теории квази-
квазиупругой реакции в предыдущем параграфе.
Критически мыслящий читатель заметит, что все рассуждения о необ-
необходимых условиях основаны на использовании лишь локальных линейных про-
продолжений, так что для их вывода было бы достаточно допустить существо-
существование цепного правила только для таких процессов. В полной мере цепное
правило нужно лишь при доказательстве того, что условия (9) являются не
только необходимыми, но и достаточными для того, чтобы приведенное нера-
неравенство диссипации выполнялось тождественно.
Упражнение XV. 6.1. Дать подробное доказательство теоремы.
Обратимся теперь к истолкованию полученных результатов.
Соотношение (9J утверждает, что реакция накопления ф яв-
является потенциалом для реакции натяжения:
т = Д#(Л', ц'). (XV. 6-10)
Поскольку D)fy однозначно определяется отображением $ и
поскольку значения обоих этих отображений определяются пре-
предысторией (X', ц.'), то, грубо говоря, влияние памяти на на-
натяжение определяется влиянием памяти на накопление. Более
точно, по определяющему соотношению для накопления одно-
однозначно устанавливается определяющее соотношение для натя-
натяжения.
Далее, согласно (9), термический градиент ц в некотором
смысле выпадает из определяющих соотношений для лиг.
Трудно одновременно правильно и наглядно сформулировать,
474ЧАСТЬ 5. fEPMoMfexAflttKA
в каком именно смысле. Вероятно, наилучшее истолкование
получится, если подставить (9)i и (9) 2 в соотношение цепного
правила E) и его следствие F):
л (о - г (X', ц') • х (t) + d$ (х, ц), ху б_п
Последнее соотношение показывает, что на слабом разрыве
скачок накопления пропорционален скачку i и не зависит от
того, каков скачок щ. Поскольку это именно то, что имеет место
для термоупругого материала, мы усматриваем здесь еще один
повод для наименования «мгновенно-упругая реакция». Соотно-
Соотношение (ll)i допускает аналогичное истолкование применительно
к гладким процессам, но дело осложняется наличием члена
{ v)
Однако этот член без труда поддается истолкованию. Под-
Подставляя (ll)i в (XV.2-15), мы видим, что
© = -?)$. (XV. 6-12)
Таким образом, — ?>$ (X', ц') = 5 — внутренней диссипации,
как этого и можно было ожидать на основании соответствую-
соответствующего результата теории квазиупругого поведения (XV. 5-5) 3.
Подстановка в (9K приводит к соотношению (XV. 2-12) и тем
самым дает второе доказательство того, что выполнения усло-
условий (9) достаточно для выполнения приведенного неравенства
диссипации.
До сих пор результаты оказывались весьма похожими на
соответствующие результаты теории квазиупругого поведения,
однако сейчас мы подходим к месту, где появляются отличия:
в общем случае мы не можем сделать вывод, что выполняется
неравенство Планка. Действительно, мы можем положить в (9K
|i(/)=0 и получить
' Н (XV.6-13)
так что в те моменты, когда процесс находится в ситуациях
с нулевым термическим градиентом, неравенство Планка выпол-
выполняется, но в других ситуациях оно может не выполняться.
Конечно, имеются частные случаи, в которых из A3) сле-
следует, что 6^0 всегда. Именно здесь начинают проявляться
различия, связанные с более частными допущениями, делавши-
делавшимися ранее в термодинамике и сохраненными в первом ва-
рианте теории Колемана. Во всех этих теориях предполагается,
что 5р зависит от ц* только через ц@> так что (XV.2-13)i при-
принимает вид
я (/)=-* (X', |*(*)). (XV. 6-14)
§ 7 ГЛ. XV. ТЕРМОМЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД 475
Упражнение XV. 6.2. Доказать, что при определяющем соотношении вида
A4) из аксиомы' цепного правила E) вытекает, что
Dfl (»*. ц @) - ЗД? (»/. И) |ц=|1 (<). (XV. 6-15)
Согласно результату этого упражнения, мы можем истолко-
истолковать соотношение (9), выражающее теорему о термодинамиче-
термодинамическом потенциале, как требование о том, чтобы ф было пол-
полностью независимо от p(t). Следовательно, Ф, поскольку оно
определяется *р, также независимо от fi(t). Таким образом, ле-
левая часть соотношения A3) не зависит от ц(/) и потому можно,
не ограничивая общности, придать ji(t) значение 0. Итак, из
предположения A4) следует, что A3) сводится к
' (XV. 6-16)
Мы видим, что для частного случая материалов, определяемых
соотношением A4), неравенство Планка есть следствие нера-
неравенства Клаузиуса—Дюгема. Поэтому более общее неравен-
неравенство A3) согласуется с любыми экспериментальными обосно-
обоснованиями, которые есть у классических теорий и их недавних
обобщений. Это неравенство показывает нам также, что мгно-
мгновенно-упругая реакция не обязательно влечет за собой квазн-
упругое поведение.
Упражнение XV. 6.3. Путем подходящего выбора переменных показать,
что теоремы, доказанные в этом параграфе, содержат в качестве частных слу-
случаев все результаты, полученные в § XIV. 5 для классических уравнений со-
состояния и в § 3 для теории термоупругости, но не покрывают результатов,
относящихся к линейному трению (§ XIV. 7) и материалам дифференциаль
ного типа (§4).
§ 7. Теорема Колемана для материалов
с мгновенно-упругой реакцией.
II. Термостатика как частный случай
Вторая и более глубокая часть теоремы Колемана относится
к соотношению между термостатикой и термомехаиикой. Под
«термостатикой» понимается теория, в которой сравниваются
мыслимые состояния равновесия, причем «равновесие» опреде-
определяется как процесс-константа, обычно такой, в котором гра-
градиент температуры равен нулю. Поскольку в термостатике ни-
никаких изменений во времени нет, к ней нельзя непосредственно
применить принципы термомеханики. В прошлом столетии были
предложены специальные принципы термостатики, и они были
использованы для построения теории, в которой, например, на-
натяжение в некоторой ситуации может быть определено путем
сопоставления значений плотности свободной энергии для со-
соседних ситуаций. Формально результаты при этом были такими
же, как и полученные нами в § 3 для теории термоупругости,
476 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА § 7
при том делаемом с самого начала дополнительном предполо-
предположении, что ц = 0. Сверх того утверждалось, что при равновесии
в определенной ситуации различные термостатические функции
имеют наибольшие или наименьшие значения, возможные для
некоторого класса процессов, заканчивающихся в. этой ситуа-
ситуации. Поскольку тогда не существовало никакой оформившейся
теории термомеханики, ничего определенного нельзя было до-
доказать относительно процессов, не являющихся константами,
так что авторы работ классического направления вынуждены
были прибегать к утверждениям, не имеющим математического
обоснования. Конечно, иногда им удавалось вывести чисто ма-
математически одни такие утверждения из других.
Здесь не место говорить подробнее о дефектах прежних по-
попыток построить термодинамику процессов. Вместе эторо я хочу
подчеркнуть выдающуюся заслугу Колемана, доказавшего, что
для простых материалов с затухающей памятью определенного
рода все результаты классической термостатики могут быть вы-
выведены из термомеханики. Колеман рассматривал материалы,
в которых реакции $Р, Ж и <2> зависят от ц' только через ц (/) и зави-
зависят от X'с затухающей памятью Колемана — Нолла. Здесь мы
будем следовать абстрактному и более общему подходу, при-
надлежащем^ Гуртину; некоторые из рассуждений по существу
те же, что у Колемана.
Мы сохраним аксиомы 1—3 предыдущего параграфа и доба-
добавим одну аксиому, которая позволит нам дать определение рав-
равновесных реакций. А именно, вспоминая определение предысто-
предыстории-константы ас (§ XIII. 2) и постоянного продолжения Хр„
(§ XIII. 4), примем следующую аксиому.
Аксиома 4 (о процессах-константах). Множество SD замк-
замкнуто по отношению к постоянным продолжениям; множество
SD* содержит все предыстории-константы, которые имеют значе-
значения, когда-либо принимавшиеся каким-либо процессом.
Эта аксиома позволяет нам задавать такие вопросы:
1. Каким будет значение накопления некоторой материаль-
материальной точки после того, как она участвовала в некотором задан-
заданном процессе (X, ц) вплоть до момента t, а затем на все время
остается в ситуации (X(t),ii(t)O
2. Каким было бы значение накопления некоторой матери-
материальной точки, находящейся теперь в ситуации (а, Ь), если бы
она всегда находилась в этой ситуации?
В частности, эта аксиома позволяет нам определить равно-
равновесные реакции $з и t следующим образом:
*>(а, Ъ) = $(ас, Ъс),
*(а, Ь)^$(ас, Ьс) (XV. 7-1)
§ 7 ГЛ. XV. ТЕРМОМЕХАНИКЛ СПЛОШНЫХ СРЕД 477
для любой ситуации (а, Ь), через которую когда-либо проходит
какой-либо процесс из 2D. (Конечно, мы ожидаем, что при про-
процессах-константах внутренняя диссипация отсутствует, и дей-
действительно, из (XV.6-5) и (XV.6-12) видно, что Ф(ас, Ьс) = 0,
Va, b.) Значения р(а, Ь) и f(a, b) представляют собой соответ-
соответственно значения накопления и натяжения, определяемые про-
процессом (ас, Ьс), который во все моменты времени находится
в ситуации а, Ь. Мы рассчитываем, что именно функции р
и t окажутся связанными формулами классической термостатики,
по крайней мере для некоторого подходящего класса ситуа-
ситуаций (а, Ь).
Можно было бы, конечно, так определить отображения $ и
Ж, чтобы они имели для предысторий-констант совершенно иные
значения, чем для любых предыстории, отличных от констант.
Тогда, поскольку утверждения теоремы из предыдущего пара-
параграфа основаны на использовании лишь предысторий-констант,
мы Не могли бы ожидать от них никаких следствий в отношении
i) и t. Естественно, мы ищем некоторое связующее звено в пред-
представлении о затухающей- памяти и потому принимаем такую ак-
аксиому.
Аксиома 5 (о релаксации накопления). Для любого процесса
(X, ц) и любого момента времени t0
lim $ (x|w, ц[и]) = р (X (to), » {t0)). (XV. 7-2)
Иными словами, мы предполагаем, что если достаточно
долго удерживать материальную точку в данной ситуации, то
значение накопления в ней приближается к тому значению, ко-
которое оно имело бы, будь эта точка всегда в этой ситуации.
Наша аксиома утверждает наличие некоторой слабой формы
затухающей памяти.
В своей первопроходческой работе Колеман доказал резуль-
результат вида B) по ходу дела, опираясь на предположение, что для
5р проявляется затухающая память Колемана — Нолла. Чита-
Читатель, проследивший за доказательством теоремы о релаксации
напряжений из § XIII. 4, легко заметит, что для того, чтобы
соотношение B) выполнялось с требуемой в настоящем изло-
изложении степенью общности, достаточно иметь затухающую па-
память несколько более общего вида.
В традиционном определении равновесия требуется, чтобы
термический градиент обращался в нуль: ju. = 0. Согласно
(XV. 6-13), для таких ситуаций выполняется неравенство
Планка. Для построения термостатики нужно именно это, а не
предыдущее условие. Поэтому мы ослабим классическое опре-
определение следующим образом: ситуация (а, Ь) равновесна, если
478 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА § 7
внутренняя диссипация никогда не оказывается отрицательной
при постоянном продолжении любого процесса (X, ц), находя-
находящегося в момент t0 в ситуации (а, Ь):
® D-). !*{«)> 0, (XV. 7-3)
где t > 0. Мы можем выразить это и по-другому: (а, Ь) пред-
представляет собой равновесную ситуацию в том и только в том
случае, когда любой процесс, оканчивающийся в этой ситуации
в момент t, порождает затем только неотрицательную внутрен-
внутреннюю диссипацию. Действительно, переходя в C) к пределу при
t -*• ^о + 0, мы видим в силу предположения о непрерывности из
аксиомы C), что
Ф(Л'\ !*'•)> 0 (XV. 7-4)
для всех процессов, для которых X (/0) = а, ц (t0) = b. Обратное
утверждение тривиально, поскольку (А-ад, Мед) есть процесс,
находящийся в момент t0 в ситуации (а, Ь).
Конечно, для постоянного продолжения (Х{<0}, мед) мы имеем
Х@ = 0 при *>*01 так чт0 и3 (XV.6-11) и (XV.6-12) получаем
*(*) = -© D* n(U CXV. 7-5)
Таким образом, эти две равносильные формы определения
равновесной ситуации с тем же успехом можно было бы пред-
представить в терминах скорости убывания функции накопления.
Учитывая неравенство диссипации в окончательном виде
(XV. 6-9) з, мы можем теперь заметить, что если ®(Х', ц') • Ь = 0
для каждого процесса (X, ц), находящегося в ситуации (а, Ь)
в момент t, то (а, Ь) — равновесная ситуация. В частности, си-
ситуация (а, 0) всегда равновесна, если только некоторый процесс
из 3) находится в ней в какой-нибудь момент. Таким образом,
использованное здесь определение равновесной ситуации содер-
содержит как частный случай обычное, но не совпадает с ним.
У нас могут быть причины рассматривать лишь некоторое
подмножество В множества всех равновесных ситуаций. Для
последующих рассуждений достаточно, чтобы & было связным
открытым подмножеством ситуаций (а, Ь), содержащим ситуа-
ситуации (а, 0). Такое подмножество & нужно, чтобы имело смысл
говорить о производных равновесной реакции fc. Сейчас мы под-
подготовлены к тому, чтобы сформулировать нашу заключительную
аксиому:
Аксиома 6 (о гладкости равновесных реакций). Равновесная
реакция накопления fc дифференцируема в В.
Теперь мы можем сформулировать и доказать вторую поло-
половину теоремы Колемана:
§7 ГЛ. XV. TfefrMOMEXAHttKA СПЛОШНЫХ СРЕД 4
Теорема о согласованности с термостатикой. Если (а, Ь)
1Г, то
"""^ (XV. 7-6)
ы для всех процессов (X, ц), таких, что (X (f), ц (t)) e #,
*>(*(*))<$(*'. I*'). ' (XV. 7-7)
Эта теорема утверждает, что накопление в равновесной си-
ситуации является функцией от одного только а и не зависит от
термического градиента Ь, что равновесная реакция накопления
fc является потенциалом для реакции натяжения при равнове-
равновесии и что среди всех процессов, заканчивающихся в данной рав-
равновесной ситуации, процессу, который все время находился
в этой ситуации, соответствует наименьшее возможное значение
накопления в этой точке. Мы скажем еще кое-что относительно
последнего обстоятельства в конце параграфа, а пока обра-
обратимся к доказательству теоремы.
Доказательство. Пусть (X", ц*) — произвольный элемент
из ЗУ, такой, что (Х*@), |i*@))e#. Тогда для некоторого мо-
момента t0 и некоторого процесса (X, ц) из Ф имеем Х'" = Х* и
щ'о = ц*. По аксиоме 4 постоянное продолжение (Xpj, ц^,}) про-
процесса (X, ц) также принадлежит 3), и так как (X (t0), ц $0)) е 8,
из E) и C) следует, что при t^t0
9 (Х\ ц') *= f (Х&}, ц(?о)) > $ (Х(,о>, ц(,,}). (XV. 7-8)
Перейдем теперь к пределу при f-*oo. По аксиоме 5 получим
5|3 (X*. ц*) > р (X D), ц (*,»)). ' (XV. 7-9)
С точностью до обозначений мы получили искомый результат G)
с одним лишь отличием: пока не доказано, что р сводится
к функции от одного только а.
Чтобы закончить доказательство, достаточно показать, что
если (a, b) s &t то
№ (а, Ь) - D& (ас, Ь')]. 1 < О VI,
[Зй» (а, Ь) - ад (ас, Ьс)] • m < 0 Vm. (XV' 7*10)
Действительно, из этих Неравенств следует, что обе величины
в квадратных скобках равны нулю. Таким образом, значения
двух отображений Д$ и D$ для предыстории-константы (ас,
Ьс), значение которой совпадает с равновесной ситуацией
(а, Ь), являются значениями соответствующих частных произ-
производных от равновесной реакции накопления fe в этой ситуации,
а тогда утверждение теоремы следует из соотношений
(XV. 6-9) 1,2 и определений A).
.480 ' ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНЙКА $7
Мы докажем неравенство A0)j, предоставив читателю самому
провести аналогичное доказательство неравенства A0J. Пусть
(а, Ь)е!Г, (ас, Ьс) — соответствующий процесс-константа, (af, Ьс) —
линейное продолжение этого процесса с параметрами A, 0)
в момент времени t = 0, a ((af)', bc) — предыстория этого про-
продолжения. Применение к этому процессу цепного правила
(XV. 6-5) дает
f)', V) .1 + D#((af)'. V). (XV.7-11)
В частном случае 1 = 0 это соотношение, как мы уже отмечали
ранее в этом параграфе, превращается в
ОДКас, Ьс)=0. (XV. 7-12)
По. аксиоме 3 значения как D^, так и ?>/$ всегда представляют
собой функции, непрерывные справа. Поэтому, переходя в A1)
к пределу при ?-> + 0, -Мы находим с учетом A2), что
D&(ас, Ьс) • I = Hmo \±% ((af)', bc)]. (XV. 7-13)
Положим теперь
Л = [<ЭаНа, Ь) - Dx?(ae, Ъс)] • 1. (XV. 7-14)
В силу A3) и определения A)] отображения р
л — v 1"Р(а + "' Ь)-Р(а' ь). ЧЫУ> ьС) ~ Ф (aC-
t-*+ol. ' • *
Г V (a + Л. Ь) — ф ((af)*. bc) 1
Поскольку множество & открыто, для данного 1 мы можем
найти такое положительное Л, что (а + Л, Ь)е!Г при 0^/<Л,
и мы можем считать это h настолько малым, что ((af)', b)s2),
Далее, так как
(af)' @) = а + Я, 0 < t < h, (XV. 7-16)
из (9) мы получаем, что при 0</<Л
)', bc). (XV.7-17)
Из A5) следует, что A<JOVl, чем доказательство теоремы
о согласованности с термостатикой' и закончено. ¦
Только что доказанная теорема показывает, что для мате-
материалов с мгновенно-упругой реакцией классическая термоста-
термостатика является следствием термомеханической теории, основан-
основанной на неравенстве Клаузиуса — Дюгема.
1
§ 1 ГЛ. XV. ТЕРМОМЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД 481
Мы изложили теорему о согласованности абстрактно, не
относя ее к какому-либо способу интерпретации. Обычным обра-
образом выписываются результаты в формах, соответствующих трем
стандартным способам интерпретации. Например, исходные
предположения записываются для этих трех интерпретаций со-
соответственно в видах
>, (Grade/),
= (S(F', т)'. (Grade)'), (XV. 7-18)
= ?(F', e', (Grade)').
Формулы становятся весьма длинными, и читатель, который
хочет взглянуть на них, может сделать это, возвратившись к
теории квазиупругой реакции (§ 5) и заменив f, е и lj соответ-
соответственно на %, ® и ф, а затем dF на DF, дв на Ьв и т. д. Конечно,
при этом читатель должен ограничиться лишь теми результа-
результатами, которые имеют аналоги среди результатов данного па-
параграфа; неравенство Планка к их числу не относится.
Единственное, что мы сами здесь выпишем, — это три интер-
интерпретации неравенства G).
Первая:
f(F(f), e(f))<3(F', e', (Grade)') (XV.7-19)
— наименьшая плотность свободной энергии, которую некото-
некоторая материальная точка может иметь в ситуации (Fo, во), соот-
соответствует тому случаю, когда она все время находилась в этой
ситуации.
Вторая:
е (F @. Л @) < 6 (F*. Ч*. (Grad в)') (XV. 7-20)
ч
— наименьшая плотность внутренней энергии, которую некото-
некоторая материальная точка может иметь в ситуации (Fo, По), соот-
соответствует тому случаю, когда она все время находилась в этой
ситуации.
Третья:
|(F@, e(f))>$(F', в', (Grade)') (XV.7-21)
— наибольшая плотность калории, которую материальная точка
может иметь в ситуации (Fo, e0), соответствует тому случаю,
когда она все время находилась в этой ситуации.
Эти утверждения могут быть использованы в качестве фор-
формулировок трех экстремальных принципов классической термо-
термостатики. Как и следовало ожидать, предыстория градиента тем-
температуры ни в каких своих аспектах никак не влияет на опре-
определение этих трех экстремальных значений.
Ifi TnvrnPFin
4UU ЧАСГЬ 5. ТЕРМОМЕХЛпНКА
Приведенные выше интерпретации экстремальных принципов не являются
единственными возможными. В подходе Гиббса рассматривается не мате-
материальная точка, а тело и сравниваются все стационарные поля, определенные
на этом теле, без какого бы то ни было использования представлений о про-
процессе.
Читатель не должен забывать сделанное нами предостере-
предостережение о том, что, хотя все три теоремы об экстремальности
формально являются частными случаями одного и того же не-
неравенства G), они основаны на разных предположениях о глад-
гладкости. Предположения, ведущие к первой из них, относятся к
Ъ, ведущие, ко второй — к @, а ведущие к третьей --к $. В об-
общем случае эти три группы предположений не будут эквива-
эквивалентны друг другу. В одном отношении, однако, их можно
объединить, если сделать общее допущение об обратимости рав-
равновесных реакций f, e и |. В этом случае придание постоян-
постоянных значений любой из пар (F, 9), (F, г\) и (F, е) означает одно
и то же. Материальную точку, для которой имеет место такая
предыстория, можно назвать термомеханически зафиксирован-
зафиксированной. Тогда мы можем сказать, что если равновесная реакция
материальной точки достаточно гладка, то эта материальная
точка, будучи термомеханически зафиксированной в равновес-
равновесной ситуации, имеет наибольшие плотности свободной энергии
и внутренней энергии и наименьшую плотность калории из всех,
которые она когда-либо сможет иметь в такой ситуации. Внешне
в этом утверждении совсем не учитывается градиент темпера-
температуры, однако на самом деле это не так, поскольку оно относится
к равновесной ситуации, а определение равновесной ситуации
накладывает определенные ограничения на значение grad 9 и
в большинстве приложений приводит фактически к требованию
grad 9 = 0.
Сам Колеман в своем исследовании Материалов с памятью
продвинулся дальше теоремы, доказанной нами в этом параг-
параграфе. Он установил существование взаимосвязи между термо-
термостатикой и термодинамикой медленных процессов. А именно он
показал, что материал с затухающей памятью Колемана —
Нолла следует уравнениям термостатики в предельном случае
замедления любого данного процесса (§ VI. 1 и XIII.7). Тем са-
самым он выявил роль теории термоупругости как приближенной
теории для случая очень медленных движений всех материалов
из некоторого обширного класса. Читатель, внимательно прочи-
прочитавший § XIII. 7, увидит в этом результате обобщение на слу-
случай термодинамики теоремы Колемана — Нолла о роли теории
упругости по отношению к простым материалам с затухающей
памятью в чистой механике. За подробностями читатель отсы-
отсылается к мемуарам Колемана, указанным в конце главы.
§ 8 ГЛ. XV. ТЕРМрМЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД 483
§ 8. Теорема Колемана для материалов
с мгновенно-упругой реакцией.
III. Следствия, относящиеся к циклическим процессам
Вернемся к абстрактной теории и применим теорему Коле-
Колемана, изложенную в двух предыдущих параграфах, к некото-
некоторым специальным циклическим процессам. Это циклические
процессы, являющиеся продолжениями процесса-константы,
идущего от равновесной ситуации (см. § 7). Другими словами,
если t\ — время начала цикла, a t2— время его конца, то
= (а, Ь) прн - оо < t < tx,
а, ' (XV. 8-1)
Не обязательно, чтобы ц(?2) = Ь, хотя, как мы уже говорили
в предыдущем параграфе, в большинстве приложений требова-
требование b = 0 входит в качестве составной части в определение рав-
равновесной ситуации. Для того, что мы собираемся доказать, нег
необходимости, чтобы при U<.t<.t2 ситуация (k{t), ц@)
была равновесной.
Для циклов определенного сейчас вида обозначим через Дя
приращение я после обхода цикла:
Ал = п (/2) - я (/,). "(XV. 8-2)
В силу (XV. 7-6),
n{t]) = p{&). (XV. 8-3)
Поскольку Х(/2) = а, а из, (XV. 7-7) вытекает,
я (/2) = 5Р (X'2, ц'г) > р (к {t2)) = } (а). (XV. 8-4)
Следовательно,
Дя>0. (XV. 8-5)
Это неравенство выражает собой первое следствие относительно
циклических процессов: В циклическом процессе, служащем
продолжением процесса-константы от равновесной ситуации,
функция накопления не может убывать. Поскольку нигде не
требуется, чтобы t2 — ti было наименьшим периодом цикличе-
циклического процесса, мы можем применить это следствие к любому
числу повторений циклического процесса, при том одном усло-
условии, что первое из них является продолжением процесса-кон-
процесса-константы.
Наиболее интересны приложения этого результата не к теории деформи-
деформируемых сплошных сред, а к теории однородных процессов, Изложенной р
§ XIV. 1—3. В этой теории процессы имеют характер рассматриваемых здесь
484 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА $8
процессов по одному к; ц отсутствует; неравенство Клаузиуса — Дюгема эк-
эквивалентно неравенству Клаузиуса, и потому каждая ситуация, в которой
находится какой-либо процесс, обязательно является равновесной.
В пределах класса тел, определяемого соотношениями (XIV. 2-9), тела,
обладающие мгновенно-упругой реакцией, оказываются частным случаем тел,
определенных в § 6. Выяснение деталей, касающихся установления соответ-
соответствия между переменными, мы предоставляем произвести читателю в упр.
XV. 2.4 и XV. 6.2. Понимая под я вначале Е, а затем Н, мы можем на осно-
основании первого следствия относительно циклических процессов прийти к за-
заключению, что в любом цикле, продолжающем процесс-константу, внутрен-
внутренняя энергия не может убывать, а плотность калории не может возрастать,
т. е. выполняется соотношение (XIV. 3-13). Таким образом, классическая
оценка (XIV. 3-14) выполняется для всех тел с мгновенно-упругой реакцией,
если рассматриваемый цикл является продолжением процесса-константы.
При истолковании этого результата мы должны предполагать, что рабо-
рабочее тело было в бездействии до момента пуска машины. Для тел, следующих
«уравнениям состояния», требование такого рода не нужно, но коэффициент
полезного действия для рабочего тела с памятью будет в общем случае за-
зависеть от предыстории того процесса, который совершало тело до того, как
его вынудили совершать цикл. Понятно, что при некоторых процессах в теле
может запасаться энергия и оно может «выдать» коэффициент полезного дей-
действия, превосходящий классический.
Обращаясь вновь к общему классу материалов с мгновенно-
упругой реакцией, рассмотрим теперь циклы несколько более
специального вида, для которых мы предполагаем не только,
что имеет место A), но также и что каждая из проходимых
ситуаций является равновесной:
(X (t), ц @) s X, -oo<t<t2. (XV. 8-6)
Интегрируя (XV. 6-11), от t{ до t2, получим
дя = я (t2) - Я(*,) = j Ж (X*, ц<) • X (t) dt + J D# {X{, ц«) dt <
(XV. 8-7)
здесь второй шаг следует из (XV. 6-12) и предположения о том,
что каждое из значений процесса (к, ц) представляет собой рав-
равновесную ситуацию и потому удовлетворяет соотношению
(XV. 7-4).
В силу E) мы получаем следующее второе следствие отно-
относительно циклических процессов: В цикле, продолжающем про-
цесс-кокстанту и проходящем только через равновесные ситуации,
и
Jt(/)-3L(/)d/>0. (XV. 8-8)
§ 8 ГЛ. XV. ТЕРМОМЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СГЕД 485
Интеграл, положительность значения которого здесь утверж-
утверждается, представляет собой своего рода обобщенную работу.
Чтобы понять смысл следствия, выпишем его выражения при
трех стандартных способах интерпретации.
При первом способе имеем
•2
J7J- Т» • F - чв) dt > О, (XV. 8-9)
J
и
или, эквивалентно,
" '~'-—цв)Л>0, (XV. 8-10)
где w — мощность напряжений.
При втором стандартном способе интерпретации получаем
из (8)
**
J (— + f]0Jdf>O, (XV. 8-11)
ti
а при третьем
и
|«(-2--в)л>0. (XV. 8-12)
Три интегральных неравенства A0)—A2) утверждают неотри-
неотрицательность трех видов обобщенной полной работы в цикличе-
циклических процессах, продолжающих процесс-константу и проходя-
проходящих только через равновесные ситуации. Их проще истолковы-
истолковывать в тех частных случаях, когда соответственно 0 = 0, ц = 0,
е = 0. Тогда первые два условия дают
jj (XV. 8-13)
а третье
и
j^ (XV.8-14)
Подинтегральное выражение в A3) представляет собой работу,
совершаемую напряжениями в единицу времени, в расчете на
единицу массы, или удельную ^мощность напряжений. Мы можем
выразить этот результат в силу следующего дополнительного
486 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА
следствия: В циклическом процессе, продолжающем процесс'
константу, проходящем только через равновесные ситуации и
являющемся изотермическим или изокалорическим, удельная
работа, совершаемая напряжениями, для каждой материальной
точки неотрицательна.
Если бы мы захотели такими же словами описать соотноше-
соотношение A4), нам пришлось бы назвать «удельной мощностью на-
напряжений» на w/p, а и»/(р8).
Возможно, интереснее применение соотношения A2) к изо-
изотермическим процессам, для которых получаем
jdt. (XV.8-15)
В частных теориях определяющие соотношения таковы, что из
них следует, что для цикла Де = 0, и тогда A5) сводится к A3).
В более общей теории неравенство A5) означает, что увеличе-
увеличение плотности внутренней энергии в изотермическом цикле не
может превзойти полной работы напряжений. Иными словами,
количество энергии, запасенное в теле-точке в любом изотерми-
изотермическом цикле, не может превзойти работы, совершаемой в этом
теле-точке за цикл. С учетом (III. 6-6) мы видим, что A5) эк-
эквивалентно неравенству
(XV. 8-16)
В тех теориях, в которых пренебрегают теплопроводностью, из
этого неравенства следует, что в изотермическом цикле к телу
нельзя подвести тепло — факт, который можно установить и
проще. В общей теории неравенство A6) представляет собой
некоторую оценку эффектов теплопроводности.
Наше дЬполнительное следствие в случае однородных процессов (§ XIV.
2-3) соответствует классическому утверждению, что «вечное движение вто-
второго рода невозможно». При таком движении из тела извлекают работу, за-
заставляя его совершать цикл при постоянной температуре или постоянной
плотности калории.
В прежней термодинамике в формулировках результатов относительно
циклических процессов на эти процессы не налагалось никаких специфиче-
специфических ограничений. Здесь же мы потребовали, чтобы процесс был постоянен
до момента t\ и проходил только через равновесные ситуации. Второе из этих
требований такого рода, что при расплывчатости прежних подходов его про-
просто нельзя было усмотреть; первое требование отражает характер той зату-
затухающей памяти, которой мы наделяем материал <согласнр аксиоме 5 преды-
предыдущего пэраграфа-
ГЛ. XV. ТЕРМОМЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД 487
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
(работы общего характера)
С. Truesdell, Rational thermodynamics. A course of lectures on selected topics/
N. Y., McGraw-Hill, 1969.
W. A. Day, The thermodynamics of simple materials with fading memory,
Springer Tracts on Natural Philosophy, vol. 22, Berlin, etc.,- Springer,
1972. [Русский перевод: У. Дэй, Термодинамика простых сред с памятью,
«Мир», М., 1974.]
В. D. Coleman & W. Noll, The thermodynamics of elastic materials with heat
conduction and viscosity, Arch. Rational Mech. Anal, 13 A963), 167—178.
B. D. Coleman & V. Mizel, Existence of caloric equations of state in thermo-
thermodynamics, /. Chemical Physics, 40 A964), 1116—1125.
B, D. Coleman, Thermodynamics of materials with memory, Arch. Rational
Mech. Anal., 17 A964), 1—46. (Сводное изложение этой и последую-
последующей статей даио в NFTM, § 96 bis.)
В. D. Coleman, Thermodynamics, strain impulses and viscoelasticity, Arch.
Rational Mech. Anal., 17 A964), 230—254.
Глава XVI
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ДИССИПАТИВНЫХ
МАТЕРИАЛАХ
§ 1. Определения. Общие принципы
Теория слабых волн -в том виде, в каком она рассматрива-
рассматривалась нами в теории упругости (гл. XI), легко обобщается на
случай термомеханических теорий. Предполагается, что чита-
читатель помнит определения и основные теоремы, связанные с син-
сингулярными поверхностями (§ XI. 1-4). В термомеханике опре-
определение каждого типа волн должно быть дополнено путем при-
присоединения некоторого условия на специфически термодинами-
термодинамические переменные. Мы сделаем это, потребовав, чтобы на син-
сингулярной поверхности порядка п температура 8 и ее производ-
производные по пространству и времени до (п — 2)-го порядка включи-
включительно существовали и были непрерывными и чтобы разрыв,
имеющий место на поверхности, происходил таким образом,
чтобы к предельным значениям (п—1)-х производных была
применима лемма Адамара. В частности, на волне порядка 2
или выше мы имеем по определению
[ej=O, (XVI. 1-1)
а по теореме Максвелла (XI. 2-4)
[Grad6]=0n-,
где пх — единичная нормаль к сингулярной поверхности в кон-
конфигурации >e(J?)> Sx— скорость распространения в >e(J?), а в —
скаляр. Таким образом, амплитуда волны имеет в данном месте
и в данный момент две компоненты: кинематический вектор ам-
амплитуд ах, свойства которого были определены в гл. XI, и ска-
скаляр в, который можно назвать термической амплитудой. Такое
определение —это не совсем то же,, что простое утверждение,
что поверхность сингулярна по отношению к (GradB, Э), по-
поскольку мы не исключаем возможности того, что 'в = 0, хотя
требуем, чтобы ах ф 0.
Точно так же как в § XI. 5 Мы Применили теорему Кочина
(XI. 5-4) к уравнению количества движения, чтобы получить
условия Пуассона, мы можем теперь применить ее к уравнению
§ 1 ГЛ. XV. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ДИССИПАТИВНЫХ МАТЕРИАЛАХ 489
баланса энергии (III. 6-5) при обычных предположениях о глад-
гладкости. В результате получим условие Фурье
[h]n = 0, (XVI. 1-3)
или в эквивалентной форме
[Ьх].пх = 0. (XVI. 1-4)
Таким образом, тепловой поток через поверхность слабого раз-
разрыва непрерывен, хотя поле тепловых потоков может и не быть
непрерывным.
В большинстве термомеханических теорий определяющие со-
соотношения имеют такой вид, чтобы в соответствии с ними на
сингулярной поверхности порядка 2
[Тх]=0, hI = O, [6] = 0 , (XVI. 1-5)
и
lGrade]=0=Hhx]=0. (XVI. 1-6)
В последующих параграфах мы убедимся, что эти четыре усло-
условия действительно выполняются в тех специальных теориях, ко-
которые мы будем рассматривать. Сейчас мы покажем, что если
они выполняются, то из них легко получаются простые соотно-
соотношения, связывающие между собой кинематические и термиче--
скую амплитуды.
Сперва напомним, что из E)i следует лемма Гуртина
[Txlib^-px-Sia* ' (XI. 5-11)
в предположении, что [Ь] = 0, которое мы всюду ниже будем
считать выполненным. Выведем аналогичное соотношение 'для
теплового потока. Вычисляя скачок выражения (XV. 2-10), по-
получаем в силу E)з и A)
•^-[DivM = e[fi] (xvi. r-7)
при условии, которое мы всюду ниже будем считать выполнен-
выполненным, что \s\ — 0.
Упражнение XVI. 1.1. Действуя в той же последовательности, что и в
§ XI. 5, показать, что
[h] = 0=#> [hx] • пх =* - PxQSx [ц]. (XVI. 1-8)
Имея в своем распоряжении описанный выше набор средств,
перейдем теперь к рассмотрению природы волн порядка 2 в те-
телах, состоящих из некоторых специальных диссипативных мате-
материалов.
490 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА §2
Нас будут особенно интересовать сингулярные поверхности
двух специальных видов: те, для которых
ff,]=O, fGradT)l=O, (XVI. 1-9)
называемые гомокалорическими, и те, для которых
|ej=O, [Grade] =0, (XVI. 1-10)
называемые гомотермическими.
В силу A), EJ и теоремы Максвелла (XI.2-4) из соотно-
соотношений (9) и A0)г следуют соответственно соотношения. (9)i и
A0)ь Указанные названия выбраны потому, что соответствую-
соответствующие условия тривиальным образом выполняются, когда г\ и Э
суть определенные всюду поля, постоянные во все моменты
времени.'
§ 2. Волны в термоупругих материалах
Во всем, что относится к термоупругим материалам, мы от-
отсылаем читателя к § XV. 3; чтобы сделать изложение конкрет-
конкретным, мы воспользуемся первой стандартной интерпретацией и
потому будем опираться на соотношения (XV.3-18). Из них
сразу видно, что условия (XVI. 1-5) выполнены, а определяющее
соотношение (XV. 3-15) обеспечивает выполнение условия
(XVI. 1-6). Таким образом, справедливы все результаты, приве-
приведенные в предыдущем параграфе: в частности, мы можем ис-
пользов.ать (XI.5-11) и (XV. 1-8J. -
Дальше мы будем действовать точно так же, как в § XI. 6
при изучении слабых волн в упругих телах. Дифференцируя
(XV. 3-18J по времени, получим
(XVI. 2-1)
где . _ .
A = p«dFf, B = dedFf. (XVI. 2-2)
Отметим, что А, будучи второй производной от скаляра по
тензору, является симметричным тензором четвертого порядка:
t Ш (XVI. 2-3)
р
В соответствии с их определениями Аи В являются функци-
функциями только от F и Э и потому не испытывают скачка на по-
поверхности слабой сингулярности-. Таким образом,
[fx]=A[[F]] + B[eb (XVL2-4)
так что
t x + Bnx[e], (XVI.2-5)
§ 2 ГЛ. XV.. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ДИССИПАТИВНЫХ МАТЕРИАЛАХ 491
Теперь подставим в это соотношение различные выведенные
уже выражения для скачков временных производных через ам-
амплитуды, а именно (XI. 5-11) для [Тх]пХ) (XI. 4-3L для [$] и
(XVI. l-2)i для [в]. Мы получим
(А. - Р.#) ая + р,ец, = О, (XVI. 2-6)
где ах—кинематическая амплитуда, в — термическая ампли-
амплитуда, sx—скорость распространения в отсчетной системе и
Ахкт<=АктПшПху ... .
к = Впх. (XVI. 2-7)
При получении соотношения F) мы сократили на множитель
sx и, следовательно, предположили, что рассматриваемая сингу-
сингулярная поверхность представляет собой волну. Из соотношений
G) видно, каким образом А* и L* зависят от единичной нор-
нормали к сингулярной поверхности в отсчетной системе (не указы-
указываемой нами в обозначениях). Наиболее важно то обстоятель-
обстоятельство, что для любого п* тензор А* симметричен:
AI —А». (XVI. 2-8)
Теперь мы можем аналогичным образом исследовать ска-
скачок fj. Согласно (XV. 3-18K
fj = -tr(BTF) + Ce, (XVI. 2-9)
где В определяется соотношением BJ, а
C = -def=4xF (XVI. 2-10)
(последнее выражение следует из (XV.3-21)!). Поэтому в силу
(XI. 4-3L и (XVI. 1-2J
[f|I-s.(L..a.-Ce). (XVI. 2-11)
Соотношения F) и A1) являются центральными результа-
. тами. Они показывают, что, когда волна распространяется в
термоупругом теле, ее скорость и амплитуда в общем случае не
удовлетворяют тому простому условию распространения, кото-
которое для упругого тела дает теорема Френеля — Адамара
\(§ XI.6).
В двух частных случаях, однако, получается просгое условие
'распространения. Первый случай — это гомотермическая волна
л термической амплитудой в = 0. При этом F) принимает вид
(A.-p,,4l)a. = 0. (XVI. 2-12)
492 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА
Поэтому А„ называется гомотермическим акустическим тензо-
тензором. Для гомокалорической волны левая часть соотношения
A1) обращается в нуль, и можно вычислить термическую ам-
амплитуду:
Ce = Lx-a,. (XVI. 2-13)
Соотношение A0), связывающее С с теплоемкостью, показы-
показывает, что можно ожидать, что С > 0, хотя нет никакого термо-
термодинамического принципа, из которого следовало бы, что это
должно быть именно так. Мы просто предположим, что ир > 0,
и тогда получим из F) теорему Дюгема:
(А„-рХ1)а» = 0, (XVI. 2-14)
где
A. = A» + 4r-L.®U. (XVI. 2-15)
Соотношение A5) имеет ту же классическую форму, что и A2),
но с другим тензором Ах, называемым гомокалорическим аку-
акустическим тензором. Этот тензор также симметричен:
А1 = А*. (XVI. 2-16)
Все эти результаты подытоживает
Теорема Френеля — Адамара — Дюгема. В термоупругом теле
амплитуды и скорости распространения гомотермических и гомо-
калорических волн удовлетворяют уравнениям распространения
того же вида, что и для гиперупругого материала. Акустическими
тензорами для этих двух случаев являются соответственно А»
и А»; компоненты этих тензоров даются формулами
А*ы = p*.dpkdF$ (F, 6) пжапжр,
а Э (XVI. 2-17)
A *km p^dF^dpm
а р
Оба эти тензора симметричны; друг с другом они связаны со-
соотношением A5).
Последнее утверждение этой теоремы еще не было дока-
доказано, и его доказательство мы предлагаем провести читателю
в качестве упражнения.
Упражнение XVI. 2.1. Доказать A7J.
Упражнение XVI. 2.2. Конкретизируя соотношение. A5) применительно к
случаю термоупругой жидкости, доказать, что из него следует (XVI. 5-25).
§ i ГЛ. XV. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ДЙССИПАТИВНЫХ МАТЕРИАЛАХ 493
Поскольку оба акустических тензора А* и А* симметричны,
акустические числа для гомотермических и гомокалорических
волн вещественны. Кроме того, соотношение Дюгема A5) по-
показывает, что если гомотермические акустические числа поло-
положительны, то положительны и гомокалорические, хотя обратное
не обязательно верно. Далее, гомокалорические и гомотерми-
гомотермические акустические оси в общем случае отличаются друг от
друга. Читатель, который помнит содержание § XI. 6 — 9, легко
даст истолкование этих утверждений, а также посмотрит, что
получается в частном случае изотропных материалов.
Установленные здесь результаты относительно волн в тер-
термоупругих телах во многом таковы, как и следовало ожидать
на основе классической теоремы о потенциале, изложенной
в § XV. 3, хотя их и нельзя вывести из этой теоремы. Они поз-
позволяют нам наглядно представлять два специальных случая
распространения волн в термоупругих телах с помощью ассо-
ассоциированных с ними гиперупругих тел. Наличие такой связи
позволяет непосредственно переносить на гомотермические и
гомокалорические волны общие теоремы о волнах из теории
гиперупругости. С другой стороны, это мало помогает при рас-
расчетах каких-либо специфических характеристик, поскольку ас-
ассоциированные гиперупругие тела Оказываются различными для
разных значений бит), причем обычно неоднородными, даже
если термоупругое тело -однородно. Если только 6 и ц не по-
постоянны всюду, ассоциированное гиперупругое тело будет в об-
общем случае своим в каждой точке конфигурации термоупругого
тела.
В общем случае нет причин ожидать, что термоупругая
волна попадает в один из рассмотренных здесь специальных
классов. Для других типов волн мы должны подставить опре-
определяющее, соотношение для теплового потока в (XVI. 1-8) и по-
получить Таким образом дальнейшие ограничения на амплитуды.
Одним из скачков будет при этом [GradB], его нужно будет
связать с термической амплитудой и ее градиентом на сингу-
сингулярной . поверхности. Мы, однако, не будем заниматься этими
сложными вопросами. Вместо этого мы сейчас убедимся, что
в двух частных случаях термоупругих тел волны тех типов, ко-
которые мы уже исследовали, являются единственно возможными.
Прежде всего назовем термоупругое тело не проводящим
тепла (или, коро.че, непроводящим), если тепловой поток h
для него равен 0. Соотношение (XVI. 1-7) показывает, что
тогда [т)]= 0. Таким образом, в непроводящем теле кйждая
¦слабая волна является гомдкалорической. Именно благодаря
этому простому факту (обнаруженному нами в весьма частном
случае) гомокалорическую скорость звука в газе стали рассмат-
491 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА §3
ривать как величину, подлежащую сравнению с эксперимен-
экспериментальными данными.
Далее, чтобы рассмотреть эффекты теплопроводности, при-
применим условие Фурье (XV. 1-4) к значению реакции теплового
потока %, в отсчетной системе:
OMg + [вП-$»(*)]• п. = о! (XVL2-18)
Здесь опущены аргументы F и Э как не играющие никакой роли
в рассуждении, которое мы собираемся провести, и GradB обо-
обозначен через g. Поскольку на поверхности слабой сингуляр-
сингулярности выполняется соотношение (XVI. 1-1), мы можем восполь-
воспользоваться соотношением (XVI. 1-2) i и получить
o, (xvi. 2-19)
где в — термическаяЛ амплитуда сингулярной поверхности. До
сих пор наше рассмотрение носило общий характер. Назовем
теперь материал определенно-проводящик, если для него
m'[^(g + m)-lj,y = 0Om = 0. (XVI. 2-20)
' *
Так как пх —единичный вектор, соотношение A9) может иметь
место для определенно-проводящего материала в том и только
в том случае, если в = 0. В силу (XVI. 1-2) такая сингулярная
поверхность гомотермична. Тем самым доказана следующая
Теорема о волнах в определенно-проводящих материалах
(Трусделл, Колеман & Гуртин). Все волны в термоупругих оп-
определенно-проводящих материалах являются гомотермическими.
Смысл понятия определенно-проводящего материала, воз-
возможно, проще ухватить, если сформулировать его в терминах
проводимости К, определяемой следующим образом:
K=<3g$(F,e>g), (XVI. 2-21)
где теперь g = grad0. В том частном случае, когда g = 0, К
сводится к Ко —равновесной проводимости, определенной соот-
соотношением (XV. 3-16). В § XV. 3 мы показали, что тензор Ко
должен быть положительно-полуопределенным. Если мы нало-
наложим более сильное ограничение, потребовав, чтобы тензор К
был положительно определенным для всех значений аргумента
g, то условие B0) выполняется и материал является опреде-
определенно-проводящим.
§ 3. Волны в материалах с памятью
В телах из материалов с памятью существует масса воз-
возможностей в отношении волн. В некоторых частных видах ма-
материалов с инфинитезимальной памятью возможны лишь волны
§ 3 ГЛ. XV. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ДИССИПАТИВНЫХ МАТЕРИАЛАХ 495
сугубо специального характера, либо волны вообще невоз-
невозможны. Читатель, проделавший упр. XV. 5.4, легко убедится,
что в теории жидкостей Навье — Стокса не могут, даже на
мгновение, существовать слабые волны. С другой стороны, в
других материалах с подобной же инфинитезимальной памятью
могут распространяться волны всех типов, как показывает сле-
следующее упражнение.
Упражнение XVI. 3.1. Уравнение в частных производных, описывающее
малые поперечные колебания струны с линейным трением, имеет вид
od]u = Td\u-Kdtu, (XVI. 3-1)
где О, Т и К — постоянные, причем К > 0. Найти -решения, соответствующие
волнам произвольного порядка, и показать, что точно так же, как и для
струны без трения, скорость распространения всех этих волн равна ± VT/o •
Длительная память часто оказывается совместимой с рас-
распространением волн. Весьма простой и очевидный пример дает
теория квазиупругого поведения, изложенная в § XV. 5. Из со-
соотношения (XV. 5-5), записанного применительно к первому
стандартному способу интерпретации, видно, что все предпо-
предположения, сформулированные в § 1, выполняются. Единствен-
Единственным условием, нетривиальным образом отличающимся от соот-
соответствующего условия термоупругости, является равенство
[6] = 0, однако оно является простым следствием соотношения
(XV. 5-5)з. Когда мы переходим к различным деталям, рассмот-
рассмотренным в § 2, нужно аккуратно учитывать зависимость от t
в соотношении (XV. 5-5). Например, вместо (XVI. 2-1) мы по-
получим из (XV. 5-11) 1
f. — MFJ + P-Be + p^japf. (XVI. 3-2)
Однако, поскольку dtd?\, будучи непрерывной функцией от F,
0 и /, не претерпевает разрыва на волне, мы снова получаем
соотношение (XVI. 2-4), равно как и все другие результаты § 2.
Установленные только что результаты позволяют сильно рас-
расширить область, в которой применима теория волн в гиперупру-
гиперупругих материалах. В обширном классе материалов с длительной
памятью соотношение между скоростями и амплитудами гомо-
термических и гомокалорических волн оказывается в точности
таким же, каким оно было бы в некотором гиперупругом теле.
Каково именно это тело, зависит от тела-точки и предыстории
деформации и температуры, им испытываемых. Поэтому все,
чего мы можем ожидать от такого подхода, — это качественная
картина, а не детальное описание.
Существует также абстрактная теория материалов с мгно-
мгновенно-упругой реакцией. В ней приходится вводить еще аксио-
аксиомы, кроме тех, которые были сформулированы в § XV. 6, kq
496 ЧАСТЬ 5. ТЕРМОМЕХАНИКА
даже и при дополнительных аксиомах в этой теории не дока-
доказано, что гомртермический и гомокалорический акустические
тензоры симметричны.
Значительно более конкретные результаты такого рода были
получены ранее Колеманом, Гуртином и их сотрудниками в тео-
теории материалов с затухающей памятью Колемана — Нолла. Ими
проведены великолепные явные расчеты роста и затухания волн
различных типов и форм при распространении их по телу.
В настоящее время имеется обширная термомеханическая
литература о распространении волн; чтобы воздать ей должное,
потребовался бы целый трактат. Некоторые из основных работ
указаны ниже.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
(работы общего характера)
P. J. Chen, Growth and decay of waves in solids, Flugge's «Handbuch der
Physib, VIa/3, ed. C. Truesdell, Berlin, Springer, 1972.
С Truesdell, Rational thermodynamics. A cours of lectures on selected topics,
N. Y., McGraw-Hill, 1969, лекция 4.
В. D. Coleman & M. E. Gurtln & I. Herrera, Waves in materials with memory.
I. The velocity of one-dimensional shock and acceleration waves, Arch.
Rational Mech. Anal., 19 A965), 1—19. (Эта статья, как и три после-
последующие, воспроизведена в «Wave Propagation in Dissipative Materials»,
N. Y., Springer, 1965.)
B. D. Coleman & M. E. Gurtin, Waves in materials with memory. II. The velo-
velocity of one-dimensional shock and acceleration waves, Arch. Rational
Mech. Anal., 19 A965), 239—265.
B. D. Coleman & M. E. Gurtin, Waves in materials with memory. III. Thermo-
dynamic influence on the growth and decay of acceleration waves, Arch.
Rational Mech. Anal., 19 A965), 266—298. .
B. D. Coleman & M. E. Gurtin, Waves in materials with memory, IV. Thermo-
Thermodynamics and the velocity of general acceleration waves, Arch. Rational
Mech. Anal., 19 A965), 317—338.
B. D. Coleman & J. Greenberg & M. E. Gurtin, Waves in materials with me-
memory. V. On the amplitude of acceleration waves and mild discontinuities
Arch. Rational Mech. Anal., 22 A966), 333—354.
Приложение I
ОБЩАЯ СИСТЕМА ОБОЗНАЧЕНИЙ
Типы букв приводятся в том порядке, в ко-
котором они появляются в книге. В отдельных
параграфах иногда встречаются отклонения
от описываемой ниже общей системы обо-
обозначений.
Рукописные прописные буквы: si-, 9S, 9?, ..., 9Ё', °У, Z — обозначают тела,
множества, области пространства, кривые и поверхности.
Светлые курсивные буквы, как прописные, так и строчные: А, В, С, ...
..., X, Y, Z, а, Ь, с, ..., х, у, г — обозначают скаляры и скалярные функции.
Сюда относятся и компоненты векторов и тензоров относительно данных ба-
базисов. Исключение: X обычно обозначает тело-точку. Замечание: t всегда
обозначает время.
Жирные прямые строчные буквы: a, b u, v — обозначают векторы и
векторные функции, за исключением букв х, у, z, которыми обозначаются ме-
места. Буква п всегда обозначает ориентированный единичный вектор нормали
к поверхности.
Жирные греческие строчные буквы: ф, X, х, ... — в гл. I обозначают ото-
отображения, отличные от функций векторов. Буква х всегда обозначает ото-
отображение тела на отсчетную конфигурацию (§11.3). В гл. XV буквами Я, ц,
х, ... обозначаются функции времени, значения которых представляют собой
многомерные векторы, встречающиеся в термомеханике. Замечание: буква х
употребляется всегда для обозначения движения илн деформации тела.
Жирные прямые прописные буквы: А, В, .... U, V, W — обозначают ли-
иейные преобразования (тензоры второго ранга) в конечномерных (обычно
3-мерных) векторных пространствах. Исключение: X и Y — это всегда места
в отсчетной конфигурации. Замечание: тензоры Q И R всегда ортогональны,
W всегда антисимметричен; F — это всегда обратимый тензор, который мож-
можно интерпретировать как градиент деформации.
Светлые греческие строчные буквы используются для обозначения четы-
четырех различных видов величин:
1) углов, скоростей изменения углов и некоторых других скоростей;
2) скалярных потенциалов;
3) скалярных модулей или характеризующих материалы скалярных функ-
функций действительного переменного;
4) начиная с гл, XIV — термодинамических переменных или функций;
например, в всегда обозначает температуру, а О — обратную к ней холод-
холодность.
Исключения:
р — всегда плотность (§ II. 2);
е — или плотность энергии (§ III. 6), или скалярный параметр, который
устремляется к нулю;
498 ПРИЛОЖЕНИЕ I
б — или скалярный параметр, который может быть сделан сколь угодно
малым, или, начиная с гл. XIV, внутренняя диссипация.
Готические буквы, как прописные, так и строчные, светлые или жирные
обозначают определяющие отображения (реакции). Светлые буквы: в, Ь, с, ...
..., Щ, SB, S, ... — используются, если значения отображений суть скаляры;
жирные:я, Ь, с Ш, S3, <5, ...,—если эти значения суть векторы или
тензоры.
Рукописные строчные буквы обозначают группы тензоров; о—это всегда
полная ортогональная группа,- и — полная унимодулярная группа, р — неко-
некоторая подгруппа группы и.
Древнееврейскими буквами к (алеф), 2 (бет) обозначаются коэффи-
коэффициенты реакции для изотропного упругого материала (§ VII. 4).
Светлые греческие прописные буквы в, Ф используются для обозначения
некоторых углов в отсчетной.конфигурации, но, начиная с гл. XIV, — главным
образом для обозначения функций времени, описывающих свойства однород-
однородного тела в термодинамике.
Жирные прямые прописные буквы с чертой внизу: А, В, С, L — обозна-
обозначают тензоры ранга выше двух над трехмерным векторным пространством.
Индексы
Нижние и верхние индексы используются стандартным образом. Несколь-
Нескольких примеров будет достаточно для пояснения, хотя приводимый ниже пере-
перечень далеко не исчерпывающий.
Если, а, А и А обозначают в соответствии со сказанным выше векторы
или тензоры, то at, А$ь и Aimpq обозначают их компоненты относительно
данного базиса. Какой именно базис рассматривается всегда указывается.
В случае криволинейных координат изредка употребляются обычные обозна-
обозначения контравариантных и ковариантных компонент,' например at и а*.
Физические компоненты, т. е. компоненты относительно ортонормироваи-
ного базиса, векторы которого направлены по осям координат, обозначаются
индексами в угловых скобках: Т (гг), Т F6) и т. п.
Греческие, строчные индексы относятся к системам координат в отсчет-
отсчетной конфигурации х. Например, F* — компонента тензора F, соответствую-
соответствующая системам координат xh и Ха. При этом обе системы координат могут
быть криволинейными.
Жирный индекс каппа, например в выражениях ^х и Ах, напоминает
читателю, что используется отсчетная конфигурация х.
Индексы, набранные прямым шрифтом, представляют собой специальные
пометы; например, индексы min и max имеют очевидный смысл, R обозна-
обозначает «повернутый», с — «постоянный», Т — «транспонированный» и т. п. Ниж-
Нижний индекс при символе д указывают переменную, по которой производится
дифференцирование, например <3_ — частная производная по 6.
В термомеханнческом контексте нижние индексы иногда указывают пе-
переменную, которая считается постоянной. Например, /Сг —удельная тепло-
теплоемкость при Г = const.
Точка сверху всегда обозначает дифференцирование по времени. Напри-
Например, х—это скорость, а х —поле скоростей,
Приложение II
НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ
АЛГЕБРЫ, ГЕОМЕТРИИ И АНАЛИЗА
А. Алгебра
1. Векторные пространства, базисы. Все векторные пространства, рассма-
рассматриваемые в этой книге, — это конечномерные, обычно трехмерные, простран-
пространства над полем действительных чисел. Их элементы обозначаются прямыми
жирными строчными буквами а, Ь, ..., u, v, w, а действительные коэффи-
коэффициенты при них обозначаются курсивными светлыми буквами а, Ь, ..., А,.
В Нулевой вектор обозначается через 0.
Множество векторов (ui, u2, ..., um) линейно зависимо, если существуют
такие числа а1, а2, ..., ат, не равные нулю одновременно, что
a'ui + Л2 + • • ¦ + атит — 0.
В противном случае множество векторов линейно независимо. Выражение,
стоящее в левой части приведенного выше равенства, называется линейной
комбинацией векторов Ui, u2, ..., um. Множество векторов, являющихся ли-
линейными комбинациями векоторов ub u2 um, образует подпространство,
натянутое на векторы ии u2 um или порожденное этими векторами.
Размерность п векторного пространства — это число векторов, входящих
в наибольшее линейно независимое множество, порождающее все простран-
пространство. Размерность всякого подпространства n-мерного пространства не" пре-
превосходит п. (Конечно, в этой книге неявно встречаются и бесконечномерные
векторные пространства, элементами которых являются функции, но фор-
формально они не рассматриваются.)
В n-мерном пространстве каждое занумерованное множество (ej, e2, ...
..., ея)', состоящее из п линейно независимых векторов, порождает все про-
странство'и поэтому называется базисом. Если и — произвольный, вектор, то
и = и'е/,
причем числа и1, и2, ..., ип однозначно определены. В этом выражении, как и
всюду ниже в аналогичных случаях, подразумевается суммирование от 1 до п
по повторяющимся вверху и внизу индексам. Числа и> называются компонен-
компонентами1) вектора_и отио?ительио базиса (еь е2, ..., е„).
Если (eb е2, ..., еп) — какой-нибудь другой базис, то, конечно, вектор 11
имеет относительно него, вообще говоря, другие компоненты:
и = и е/
Пусть Л{ — компоненты вектора efc относительно базиса (е^ е2 еп);
ё* = 4е/. *=-!. 2, .... п.
Аналогично
]) Или координатами. — Прим. ред.
560 ПРИЛОЖЕНИЕ II
Из однозначности разложения по элементам базиса легко вытекает, что
0, при т Ф k.
Следовательно, компоненты вектора и относительно двух базисов выража-
выражаются друг через друга по формулам
Лица, предпочитающие вычислительные процедуры абстрактным кон-
конструкциям, могут рассматривать этот закон преобразования компонент как
определение векторов. А именно, они могут характеризовать вектор заданием
его компонент относительно некоторого базиса, а затем использовать закон
преобразования для вычисления компонент относительно любого другого ба-
базиса. Иными словами, они могут отправляться от перечней упорядоченных
наборов из п чисел (и1, и2, ..., ип), (й1, п2, ..., п")..., ассоциируемых с
различными базисами, а затем сказать, что различные наборы из п чисел яв-
являются компонентами одного и того же вектора, если они свизаиы между со-
собой нашим законом преобразования.
2. Линейные отображения. Отображение L векторного пространства У
в векторное пространство У называется линейным, если
L (аи + bv) = ah (и) + &L (v)
для любых векторов и и v из У и любых чисел а и Ъ. Произведение at
линейного отображения L на число а и сумма двух отображений L и М оп-
определяются соответственно формул'ами
@L)(n)-0(L(n)),
(L + М) (и + v) еш L (и + v) + М (и + v).
Легко показать, что
(L + М) (и + v) = (L + М) (и) + (L + М)(у).
Ядром (или нуль-пространством) линейного отображения L называется
множество всех векторов, которые L переводит в 0. Образом отображения L
называется множество всех векторов вида L(u). Эти два' множества яв-
являются подпространствами пространств У и У соответственно, причем
dim (ядро L) + dim (образ L) = dim У,
где dim У — размерность пространства У.
Если dim У = dun У, то для линейного отображения L может существо-
существовать обратное отображение. Каждое из следующих утверждений дает необ-
необходимые и достаточные условия для существования обратного отображения:
L взаимно однозначно; L отображает У на У, ядро L состоит из одного 0.
Обратное отображение, если оно существует, снова, является обратимым ли-
линейным отображением. Оио обозначается через L и удовлетворяет соотно-
соотношениям L-'L = LL = 1.
3. Тензоры. Линейное отображение векторного пространства в себя назы-
называется тензором (второго порядка). Для тензоров результат применения к
вектору записывается как произведение: Lu a L(u).
Отображение, которое переводит любой вектор в 0, есть тензор; этот
тензор называется нулевым и обозначается тем же символом 0. Тождествен-
Тождественное отображение также есть тензор; он называется единичным тензором и
НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ 501
обозначается через 1. Таким образом, для всех векторов и
0и = 0, 1и = и.
Тензор, который преобразует каждый вектор в противоположный, называется
центральной инверсией и обозначается через —I:
Композиция тензоров L и М также является тензором; его обозначают
через ML и называют произведением тензоров L и М. Множество всех тен-
тензоров образует алгебру относительно введенных операций aL, L + М и
LM. Как правило, LM ф ML. Если LM = ML, то говорят, что тензоры L
н М коммутируют (или перестановочны). Как это принято для алгебр,
вместо (—1)L, или, что то же самое, вместо (— 1)L, пишут — L. Разуме-
Разумеется, 0L = 0L = 0,- однако если ML = 0, то ни М, ни L ие обязаны рав-
равняться 0.
Степени тензора L определяются следующим образом:
L°sal, L'ssL, L2=LL и т. д.
Отсюда вытекают правила возведения в степень:
,т.п , т+п ,п.т / , \т т.т /, т\п . тп
при m!>0 и п
Если Lm = 0 для некоторого положительного целого m, но Lp ф 0 при
0 < р < т, то теизор L называется нилъпотентным класса т. Существуют
нильпотентные тензоры классов 1, 2, 3, ..., п, но нильпотентных тензоров
больших классов не существует. Другими словами, если Ln+I Ф 0, то тензор
L не нильпотентеи.
Тензор L обратим, если существует такой тензор L, называемый обрат-
обратным к L, что
Очевидно, что I = 1 и (—IL = —1. Тензор 0 ие является ни обратимым,
ни нильпотентным. Необратимые теизоры иногда называют вырожденными.
Произведение двух обратимых тензоров обратимо, также как и произве-
произведение обратимого тензора на любое число, отличное от нуля, при этом
(LI = ar'L. Если тензор L обратим, то
и правила возведения в степень распространяются на отрицательные пока-
показатели.
Если (ei, ег еп)—базис нашего векторного пространства, то фор-
формулами
однозначно определяются числа L!k, которые называют компонентами тен-
тензора L относительно выбранного базнса. Матрица ||/.О'из этих компонент
называется матрицей тензора L относительно базиса (ei, es, ..., еп) и
502
ПРИЛОЖЕНИЕ II
обозначается через [L]. Таким образом,
' jl
... L\
Разумеется, [ah] = a [L]. Матрица произведения ЬПЛ равна произведению
матрицы тензора М на матрицу тензора L:
При любом выборе базиса
[0] =
= LlkMk,.
0
0
•
0
0
0
0
... 0
... 0
. [1] =
1 0
0 !
О 0 ... 1
[-1] =
-1 О
О -!
О 0 ... — 1
Если базисы (ьъ е2 en) и (е„ е2 е„) связаны между собой
так, как указано в п. 1, то компоненты V\ и LPq тензора L относительно
этих базисов однозначно определяют друг друга по следующим законам
преобразования:
Тр Тр л / /' /' l?l л тТ~Ь
Множество всех тензоров ') векторного пространства размерности п изо-
изоморфно векторному пространству размерности п2. Этот изоморфизм сохра-
сохраняет операции, названные для обоих рассматриваемых множеств сложением
и умножением на числа. Нулевой вектор 0 является образом нулевого тен-
тензора 0 при этом изоморфизме.
Для построенного таким образом векторного пространства размерности
п2 можно совершенно так же, как и выше, рассмотреть его линейные отобра-
отображения в себя. Если М — такой теизор, то его компоненты M{jhi относительно
базнса (еь е2, ..., ет) можно найти с помощью данных выше определений.
При изменении базиса эти компоненты преобразуются следующим образом:
Правила подобного типа в свою очередь могут быть использованы для
эквивалентного определения тензоров высших порядков2) через их компо-
компонента.
Тшзоры рангов, больших двух, используются в этой книге только в не-
некоторых специальных случаях. Относящиеся к ним рассмотрения могут пони-
пониматься или абстрактно, нли в терминах компонент, как предпочитает чита-
читатель.
') Речь идет о тензорах второго ранга, которые пока только и были опре-
определены выше. — Прим. ред.
2) Такое определение годится только для тензоров четного ранга. —
Прим. ред.
НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ 503
, 4. Определитель тензора. Определитель матрицы, компоненты которой
равны Uk, можно определить следующим образом:
где e'iV'"'i равняется 1, если последовательность «i, i2, .... и получена из
последовательности 1, 2 I четной перестановкой, —1, если нечетной пере-
перестановкой, и 0 в остальных случаях. Если L — тензор, то определители его-
матриц Ц/ЛИ имеют одно и то же значение независимо от выбора базиса
(ei, в2, ..., еп). относительно которого вычисляются компоненты тензора. Это
общее значение называется определителем тензора:
det L=det l| L'k\\.
Ясно, что
det (LM) = (det L) (det M) = det (ML), det (ah) = a det L
и, конечно же, det 1 == 1, det (— 1) = (— l)n.
Тензор L обратим тогда и только тогда, когда det L ф 0. Обратимые
тензоры образуют группу относительно умножения.
Тензор L называется унимодулярным, если det L = ±1. Унимодулярные
тензоры образуют подгруппу группы обратимых тензоров. Эта подгруппа на-
называется унимодулярной группой и обозначается через а.
5. Эвклидовы пространства. Векторные пространства, встречающиеся в
этой книге, снабжены скалярным произведением, обозначаемым точкой. Нор-
Норма, ила "длина, вектора |и| следующим образом определяется через, скаляр-
скалярное произведение:
|u|=s/u-U.
Векторы и и v ортогональны (или перпендикулярны) друг другу, если
и • v = 0.
Единственным вектором, ортогональным ко всем векторам, является 0. Бо-
Более того, если для вектора и произведение u-v ограничено при всех V, то
и = 0. Далее,
||<|1||
В первом неравенстве, называемом неравенством Коши, знак «==» имеет ме-
место тогда и только тогда, когда векторы и и v линейно зависимы.
Множество всех векторов, перпендикулярных к заданной совокупности
векторов, образует подпространство. Это подпространство называется орто-
ортогональным дополнением к подпространству, натянутому на заданные векторы,
Само векторное пространство есть прямая сумма любого своего подпростран-"
ства и его ортогонального дополнения. Это значит, что каждый вектор и МО'
жно представить в виде суммы однозначно определенных вектора из выбран-
выбранного подпространства н вектора из ортогонального дополнения.
Если g— линейная числовая функция, определенная на всем векторном
пространстве, то существует такой единственный вектор f, что
g (и) = f • и.
Это утверждение есть теорема представления') для линейных числовых
функций.
') Это конечномерный случай теоремы Фреше — Рисса. — Прим. ред.
504 ПРИЛОЖЕНИЕ И
Если (ец ег ert) — некоторый базнс, то можно однозначно опреде-
определить новый базнс (е1, е2, .... е"). потребовав выполнения условий
еге* = б*
Базнс (е1, е2 е") называется взаимным (иля дуальным) по отношению
к исходному базнсу. Равенства
и = и е/ и и = «/е
эквивалентны соответственно равенствам
Компоненты «/, называются контравариантными, а компоненты «а—кова-
риантными компонентами вектора и относительно базиса (еь ег еп). Вы-
Выражение произведении u-v через компоненты таково:
Базнс (ei; ег, ..., еп) называетси ортонормированным, если
1 при / = k,
.0 при j ф k.
Базис ортонормнрован тогда и только тогда, когда он совпадает со своим
взаимным: Соответствующие контравариантные и ковариаитные компоненты
относительно ортонормированного базнса совпадают между собой, поэтому
прн использовании ортонормнрованного базиса говорят просто о компонен-
компонентах.
6. Тензорные произведения. Тензорным произведением векторов а и b на-
называетси тензор а® Ь, определяемый равенством
(a® b) u = (u-b)a,
или в компонентах
Если (ер е2 еп) и (f|, f2, ..., fn) — базисы нашего векторного про-
пространства, то множество тензорных произведений
образует базис пространства тензоров:
L=Z./fte/®fft.
Числа L называютси контравариантными компонентами тензора L относи-
относительно этого базиса. Обычно в качестве fft выбирают eft. Тогда
L == Likbi ® tk = L'fcey ® eft = L/fce/ ® e* = Z,;V ® eft.
Здесь L'k — те же самые числа, которые раньше были названы компонентами
тензора L относительно базнса (ei, ег, .... е„) и точно так же обозначены.
Эти числа называют также смешанными компонентами относительно ука-
указанного базиса н взаимного с ним. Аналогично числа L,k называются сме-
смешанными компонентами относительно базиса (е1, е2, ..., ея) и взаимного с
иим. Числа L'h и Lp? называют соответственно контравариантными и /сова-
НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ 505
риантными компонентами тензора L относительно базиса (ei, ег, .... ея).
Если базис ортонормирован, то Uh = L'k = La' = Ljk.
Заметим, что
Введение тензорных произведений позволяет дать другой метод опреде-
определения тензоров. Например, если использовать символ а ® b ® с для обозна-
обозначения линейного отображения заданного векторного пространства в простран-
пространство тензоров (второго ранга), определяемого равенством
(a®b®c)d = (c-d)(a®b) Vd,
то можно доказать, что произведения е{ ® е^ ® ек элементов базиса исход-
исходного векторного пространства образуют базис Множества линейных отобра-
отображений указанного вида. Другими словами, если N — произвольное линейное
отображение данного векторного пространства в пространство тензоров (вто-
(второго ранга), то его можно представить в виде
причем компоненты N*** подчинены следующему закону преобразования:
Так определенные тензоры имеют ранг три, однако изложенный метод по-
позволяет определить тензоры любого ранга.
7. Транспонирование. Симметричные и антисимметричные тензоры, про-
проекторы. Для любой билинейной числовой функции В (u, v), определенной для
всех векторов и и v, существует такой единственный тензор L, что
В (u, v) = и • Lv.
Это утверждение есть теорема представления для билинейных функций. Пусть
тензор L определен указанным путем по функции В. Мы можем определить
другой тензор Lt, называемый транспонированным к L, потребовав выполне-
выполнения равенства
В (v, и) = и ¦ LTv.
Имеют место соотношения
(L+M)T = LT + MT,
(LM)T = MTLT,
(а ® Ь)т = b ® a.
Если тензор L обратим, то и тензор LT обратим, причем
(LTr1 (L-')T
Для смешанных компонент имеем
506 ПРИЛОЖЕНИЕ II
В терминах матриц это значит, что [LT] = [L]T, если компоненты взяты от-
относительно ортонормированного базиса; однако в общем случае [LT] ф [L]T.
Разумеется,
т. е. матрицы контравариантных и ковариантных компонент тензора LT транс-
транспонированы к соответствующим матрицам тензора L.
Тензоры S и W, для которых
S = ST, W = - WT,
Называются соответственно симметричными и антисимметричными. Эти опре-
определения следующим образом записываются с помощью компонент:
О —а. О c/fe _== С&/ С k __ ck
jk *)' ' II
Ц7 с= Ц7 vplk =. Vffkj wj к _ «7*
w Ik w k\> w w > w I I'
Множество всех симметричных тензоров изоморфно '/2n(n + 1)-мерному под-
подпространству пространства всех тензоров; множество антисимметричных тен-
тензоров изоморфно подпространству размерности '/2П(П— 1)- Базисами этих двух
подпространств служат соответственно следующие иаборы линейных комбина-
комбинаций тензорных произведений векторов базиса (ei, e2 еп):
и
tt A e;) i < \,
где
а Л b = a® b — b® a.
Тензор а Л b называется внешним произведением векторов а н Ь. Конечно,
он антисимметричен.
_ Каждый тензор L единственным образом представляется в виде суммы
симметричного и антисимметричного тензоров:
L-S+W, где S=.-i-(L + LT), W = -i(L-LT).
8. Ортогональные тензоры. Отображение Q эвклидова пространства В
себя называется ортогональным, если оно сохраняет скалярное произведение:
Q (и) • Q (v) — и • v.
Это условие выполняется тогда и только тогда, когда Q есть обратимый тен-
тензор, такой, что
следовательно,
detQ=» ± I.
Если det Q = 1, то тензор Q называется собственно ортогональным или по-
поворотом. Центральная инверсия —1 ортогональна; она является поворотом в
том и только том случае, когда я четно. Если п нечетно, то одни из тензоров
Cj, Q — поворот, а другой — произведение поворота на центральную ин-
инверсию.
Ортогональные тензоры образуют собственную подгруппу группы и, на-
называемую (полной) ортогональной группой о, а повороты образуют собст-
собственную подгруппу ортогональной группы.
НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ
507
9. Следы, скалярное произведение тензоров. След tr L тензора L одно-
однозначно определяется следующими двумя условиями:' след является скалярной
линейной функцией, определенной на множестве всех тензоров, и
tr (и ® v) = и • v.
Отсюда следует, что ,
tr L =- L'j =» L,1 = tr LT;
другими словами, след тензора совпадает со следом любой из матриц,
составленных из его смешанных компонент. Конечно, tr 1 = п, tr 0 = 0.
Скялярное произведение L • М тензоров L и' М определяется следующим
образом:
Это определение превращает йножество всех тензоров L, рассматриваемое
как векторное пространство размерности ге2, в эвклидово пространство. Норма
|L| тензора L определяетси через скалярное произведение обычным образом:
в компонентах:
LM =LktM'k,
10. Инвариантные подпространства, проекторы, собственные векторы, соб-
собственные числа. Если тензор L отображает некоторое подпространство в себя,
то говорят, что это подпространство инвариантно относительно L. Для ка-
каждого тензора L инвариантными подпространствами служат: всё простран-
пространство, тривиальное подпространство {0}, образ L и ядро L. Кроме того, L мо-
может иметь и.другие инвариантные подпространства.
Теизор Е называется проектором, если он ндемпотентен: Е2 = Е. Проек-
Проектор Е называется ортапроектором, если он симметричен: Е = Е. Для
всякого проектора Е существует такой базис, в котором
I 0 ... 0
0 I
О
где число единиц равно размерности инвариантного подпространства тензора
Е. Если Е — ортопроектор, то такой базис можно выбрать ортонормирован-
ным.
Для любого числа / ядро тензора L — Л является инвариантным подпро-
подпространством для L. Оно называется собственным подпространством тензора L,
отвечающим числу /, а его размерность — кратностью числа I для L. Число /
называется собственным числом (нли собственным значением) тензора L,
если выполнено одно из приводимых ниже эквивалентных условий (а тогда
и вде они):
508 ПРИЛОЖЕНИЕ II
1. Существует такой ненулевой вектор и, что
Lu = /и.
2. Собственное подпространство тензора L, отвечающее числу /, содер-
содержит ненулевой вектор.
3. Кратность числа / для L отлична от нуля.
Элементы собственного подпространства называются собственными век-
тарами, соответствующими заданному собственному числу. Собственное число
просто, если его кратность равна 1, т. е. если его собственное подпростран-
подпространство одномерно. Множество всех собственных чисел тензора L называется
его спектром. По определению числа, образующие спектр, различны. Ха-
Характеристическим уравнением для тензора L называется уравнение
/»_/,/»-! + /2/"-2- ... ±/„ = 0,
в котором знаки — и + чередуются, а коэффициенты /*, называемые глав-
главными инвариантами тензора L, определяются следующим образом:
По определению б^ ,* \\\? равняется 0, если какой-либо из верхних или
нижних индексов повторяется или если множества верхних и нижних индек-
индексов не совпадают; во всех остальных случаях это выражение равно ±1 в со-
соответствии с четностью и нечетностью перестановки, необходимой для приве-
приведения нижних индексов в тот же порядок, в каком стоят верхние индексы.
Хотя на первый взгляд определение /* зависит от выбора базиса, в дей-
действительности так получаемые числа //, одни и те же во всех базисах. Ясно,
что
/, = tr L,
/n=*detL
Характеристическое уравнение для L является алгебраическим уравнением
п-й степени с действительными коэффициентами. Над полем комплексных чи-
чисел оно имеет ровно п корней 1\, /г, ..., 1п; они называются характеристи-
характеристическими корнями тензора L. Если некоторый корень имеет алгебраическую
кратность k, то он входит k раз в последовательность h, h, ..., ln. Комп-
Комплексные корни попарно сопряжены. Величина //, равна сумме всевозможных
различных произведений характеристических корней lj, состоящих из k со-
сомножителей ')¦ Например, при п = 3
/.=/.+ /i + /а. ,
I, = Ыш + hh + hh.
Каждое собственное число тензора L является характеристическим кор-
корнем, и каждый действительный характеристический корень является собствен-
собственным числом. Кратность собственного числа совпадает с его алгебраической
кратностью. Если п нечетно, то L имеет по крайней мере одно собственное
число, однако при четном п у L вообще может не быть собственных чисел.
Теорема Гамильтона — Кэли утверждает, что тензор L удовлетворяет сво-
своему характеристическому уравнению:
L" - ЛЬ" + ... ±/„1 = 0.
') /а суть функционально независимые симметрические функции от 1\.-~
Прим. ред.
НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ
509
П. Спектральное разложение симметричных тензоров. Каждый симмет-
симметричный тензор S имеет по крайней мере одно собственное число. Фактически
наименьшее и наибольшее собственные числа smln и Smas являются соответ-
соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции u-Su, рассматри-
рассматриваемой лишь на множестве всех единичных векторов. Каждый характеристи-
характеристический корень симметричного тензора есть действительное число и потому яв-'
ляется собственным числом. Собственные подпространства симметричного тен-
тензора попарно ортогональны. Любой вектор можно представить как линейную
комбинацию векторов, каждый из которых принадлежит одному (и, разу-
разумеется, только одному, если это не 0) собственному подпространству тен-
тензора S.
Если Sj, s2, ..., sp — спектр тензора S, то существует такое однозначно
определенное множество проекторов Еь Е2 Ер, что
= 0 при k ф I,
Р
Следовательно, существует по крайней мере один ортонормированный базис
(ej, e2 е„), каждый член которого является собственным вектором для S:
Se, =^ег, «=1, 2 ге,
где Si — собственное значение тензора S, причем число повторений значения
Si равно его кратности. Такой базис называется главным. Матрица компонент
тензора S относительно главного базиса диагональна, а именно
sY 0 ... О
0 s2
О ... s
где вновь число повторений каждого собственного значения равно его- крат-
кратности.
Для того чтобы два симметричных тензора S и Т имели одинаковые соб-
собственные числа одной и той же кратности, необходимо и достаточно, чтобы
существовал такой ортогональный тензор Q, что
T = QSQT.
Если это условие выполнено, то S и Т имеют один н те же инвариантные
подпространства. Ортогональный тензор Q перестановочен с симметричным
тензором S тогда и только тогда, когда собственные подпространства тен-
тензора S инвариантны относительно Q.
12. Положительно определенные тензоры,
называется положительно определенным, если
u-Su>0 при u Ф 0,
Симметричный тензор S
510 ПРИЛОЖЕНИЕ II
и неотрицательно определенным, если
и • Su 1> 0 для всех векторов и.
Для любого тензора L тензоры LL и L L неотрицательно определены. Если
тензор L обратим, то тензоры LLT и LTL положительно определены. Сим-
Симметричный тензор положительно определен тогда и только тогда, когда все
его собственные значения положительны, и неотрицательно определен тогда
и только тогда, когда все его собственные значения неотрицательны.
Для всякого неотрицательно определенного тензора S существует такой
неотрицательно определенный тензор Т, что Т2 = S. Этот тензор обозна-
обозначается через У~& н называется квадратным корнем из S. Собственные
значения тензора y'S являются неотрицательными квадратными корнями
из собственных значений тензора S.
13. Полярное разложение. Всякий обратимый тензор L можно пред-
представить в виде
Lr=QS=TQ,
где тензор Т} ортогонален, тензоры S и Т положительно определены и сим-
симметричны н
Т = QSQT.
Тензоры Q, S и Т однозначно определяются тензором L.
14. Строение ортогональных тензоров. В этой книге нам понадобятся све-
сведения об ортогональных тензорах только в трехмерном векторном простран-
пространстве. При п = 3 центральная инверсия —1 является ортогональным тензором,
но не' поворотом. Каждый ортогональный тензор Q есть либо поворот R, либо
произведение —R поворота R на —1. Таким образом, строение ортогональ-
ортогональных тензоров полностью определяется строением поворотов.
Поворот R,. не равный 1, называется нетождественным. Нетождественный
поворот имеет одно и только одно собственное число, а именно 1. Соответ-
Соответствующее ему собственное подпространство одномерно, оно называется осью
поворота R. Если обозначить через е один из двух единичных векторов этой
оси, то существует бесконечно много ортонормированных базисов (еь е2, е),
таких, что
Rei =¦ cos 9в| — sin 0е2,
Re2 = sin 6ei + cos 6e2,
Re = e,
где 0^8^2я. Угол 8, однозначно определяемый векторами е и e!t назы-
называется углом поворота R вокруг оси е, отсчитанным от ej. Матрица пово-
поворота R относительно базиса eit е2, e такова:
Icos e sin e о
— sin9 cos 9 0
О 0 1
Если Q¦== — R, то ось поворота R называется осью поворота Q к угод-
поворота R называется углом поворота Q.
НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ 511
В. Геометрия
1. Точечные эвклидовы пространства. Хотя в этой книге имеются упо-
упоминания о довольно общих пространствах, единственной конкретно исполь-
используемой геометрией является геометрия эвклидова пространства.
Множество & элементов х, у является «-мерным точечным эвклидовым
пространством '), если оно снабжено структурой, определяемой следующими
аксиомами, в которых фигурирует п-мерное векторное эвклидово простран-
пространство У:
1. Каждый вектор u e T отображает <S на себя:
и (х) е S.
2. Композиция отображений и и v есть отображение, соответствующее
сумме векторов u + v:
(u + v)(x) = u(v(x)).
3. Для данных точек х и у существует и притом только один вектор и,
для которого
и(х)==у.
Элементы пространства & называются точками. Векторное пространство
Т называется трансляционным пространством для <$, а его элементы — транс-
трансляциями2) <$. Трансляции можно представлять себе как стрелки; если начало
стрелки и поместить в х, то конец ее укажет и(х). Поэтому мы говорим, что
и переносит х в у; разумеется, —и переносит у в х.
Вторая аксиома, с учетом первой, утверждает, что результат последова-
последовательного выполнения сначала переноса v, а затем переноса и совпадает с ре-
результатом выполнения переноса u + v; таким образом, это аксиома о резуль-
результирующем перемещении (правило параллелограмма), известная из элементар-
элементарной геометрии и механики; ею подсказывается обозначение
x + u==u(x).
Таким образом, знак плюс используется как для обозначения сложения век-
векторов, так и для обозначения действия векторов на точки. С помощью ак-
аксиомы 3 можно распространить эту интерпретацию далее, введя обозначение
у — х для того единственного вектора и, который отображает х в у:
у — х = и.
Тем самым определена разность точек, причем
х + (у — х) = у.
Пусть 11 — подпространство пространства Т. Под подпространством
пространства S, параллельным <Ы, мы будем понимать такое непустое множе-
множество точек й", что если разность х-уе1?/, то обе точки х и у одновре-
одновременно принадлежат или не принадлежат 9~. Два подпространства <?, парал-
параллельные одному и тому же подпространству У, называются параллельными
друг другу. Размерность подпространства 9~ равна размерности подпростран-
подпространства <U, определяющего 9~. Одномерные подпространства называются пря-
прямыми, двумерные — плоскостями, а (и — 1) -мерные — гиперплоскостями. Ко-
Конечно, в случае п = 3 плоскости н гиперплоскости представляют собой одно
и то же.
Каждая точка у из 9~ может быть представлена в виде
у = у0 + и,
') Или аффинным эвклидовым пространством. — Прим. ред.
2) А также сдвигами, переносами. — Прим. ред.
512 ПРИЛОЖЕНИЕ II
где у0 — произвольно выбранная точка из &~, а и — некоторый вектор нз <Ы.
В частности, уравнение прямой можно записать в виде
У = Уо + se,
где е — некоторый ненулевой вектор, a s меняется от — оо до оо.
2. Расстояние, конгруэнция. Расстояние между точками х и у — это
длина вектора и, который переносит х в у, т. е.
Легко видеть, что эта функция пары точек удовлетворяет аксиомам метрики
и, в частности, аксиоме треугольника
Отображение а пространства & иа себя называется конгруэнцией1),
если оно сохраняет расстояния. Теорема представления для конгруэнции ут-
утверждает, что каждой конгруэнции а пространства & соответствует такой од-'
нозиачно определенный ортогональный тензор Q в У, что
а (х) = а (х0) + Q (х - х0)
для каждой пары точек Хо и х. Таким образом, каждую конгруэнцию можно
рассматривать как результат. последовательного выполнения (в любом по-
порядке) переноса произвольно выбранной точки и однозначно определенного
ортогонального преобразования векторов, переносящих эту точку в остальные
точки пространства.
3. Топология, фигуры. Топология в эвклидовом пространстве определяется
обычным образом с помощью метрики |х — у|. Определения сфер, кубов, па-
параллелепипедов, открытых н замкнутых множеств, окрестностей, внутренно-
внутренностей, замыканий и границ, как эти понятия используются в этой книге, можно
найти в любом учебнике по элементарной геометрии.
С. Анализ
1. Пределы, порядки. В точечном эвклидоиом пространстве имеется мет-
метрика; аналогично норма разности векторов илн тензоров, |u — v| или
|Т — S|, является метрикой. В терминах топологий, определяемых этими
метриками, стандартным образом определяются непрерывность, сходимость,
пределы, ограниченность, компактность и т. д. Обычные теоремы^ анализа
вроде критерия Коши, теорем о покрытии, теоремы о наибольшем и наимень-
наименьшем значениях на компактном множестве легко распространяются на случай
пространства <$ и наших векторных пространств.
Символы порядка малости О и о для действительных функций действи-
действительного переменного определяются следующим образом. Если существует
такая константа К, что для всех х, достаточно близких к а,
f(x)<Kg(x),
то пишут
f — O(g) при
Если
то пишут
f — о (g) при х -> а.
') Или движением. — Прим. ред.
НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ 513
Утверждение о непрерывности функции / в точке х = а можно записать
так: '
f(*) = f(a) + o(!) при х->-а.
Эти определеиия легко распространяются на случай числовых функций, ар-
аргументами которых служат точки (эвклидова пространства), векторы или тен-
тензоры. Сходные определеиия имеют смысл для функций, значениями которых
являются векторы или тензоры. Для таких функций мы пишем о и О вместо
о и О. .
2. Дифференцирование. Пусть f — функция действительного переменного
t, значениями которой являются точки или векторы. Ее производная \{t) в t
определяется следующим образом: если существует такой вектор g, что
f (t + S) = f @ + sg + о (s) при s -> О,
то говорят, что функция f дифференцируема в t, и называют g производной
функции f в t Стандартное обозначение производной таково:
Таким образом, производная f(t)—это линейная функция, которая аппрок-
аппроксимирует функцию f(t+-)—f(t) вблизи t. Для функций, значениями которых
являются тензоры, можно использовать аналогичные определение и обозначе-
обозначение.
Имеются простые правила взаимодействия операции дифференцирования и
других операций. Некоторые из этих правил приведены ниже в вольной за-
записи, в которой можно спутать функции с их значениями:
(и ® v)" = и ® v + и ® v,
(LM)'= LM + LM,
(Lm)"=. 2L*-1LLm-fe,.
ft=i
(L~')' = — L~ILL~I (если L~' существует).
Если Q — функция! значениями которой являются ортогональные тензоры,
то значениями функции QQT являются антисимметричные тензоры.
3. Градиенты. Функция f, отображающая точки n-мерного точечного эй-
клидова пространства в векторы m-мерного пространства, называется вектор-
векторным полем. Говорят, что векторное поле дифференцируемо в точке х, если су-
существует такое линейное отображение Vf(x) n-мерного векторного простран-
пространства в m-мерное векторное пространство, что
f (х + u) = f (x) + Vf (х) (и) + о (и) при и -> о.
Это отображение Vf(x) называется градиентом поля f в х. Градиент, если он
существует, определяется формулой
*Hm f(x + fl">--liL>=Vf(x)(u).
о->0 а
Два частных случая заслуживают быть отмеченными особо. Во-первых,
если m = п, то Vf (x) является тензором и вместо Vf (x) (и) пишут Vf (x) и.
17 Трусделл
514 , ПРИЛОЖЕНИЕ II
Во-вторых, если т = 1, то поле f называется скалярным полем, поскольку
можно рассматривать f как обычную числовую функцию. В силу теоремы
представления для числовых функций векторного аргумента V/(x)(u) рав-
равняется скалярному произведению некоторого вектора на вектор и. В этом
смысле мы можем сказать, что градиент скалярного поля в точке является
вектором. Обозначая этот вектор снова через Vf(x), мы имеем
f (х + и) = f (х) + Vf (х) • u + о (u).
Аналогичные определения могут быть даны и для векторных или тензор-
тензорных функций точек.
Укажем некоторые правила взятия градиента от произведений различ-
различных типов:
V [fg) = fVg + gVf,
V(f.g)=.(Vf)Tg T
Имеется- также цепное правило взятия градиента от сложной функции. Если
fog обозначает композицию функций g и f, то это правило символически мо-
можно записать так:
V(fog)=.(Vfog)Vg.
Например, если % отображает точки в точки и / — скалярная функция
точек, то
Vf (X) - (VX)T V/.
4. Другие дифференциальные операторы. Второй, или повторный, гра-
градиент— это оператор взятия градиента от градиента. Он обозначается через
V2. Если f принимает числовые значения, то значения V2f являются симмет-
симметричными тензорами.
Дивергенция div и лапласиан Д, действующие на векторных и скалярных
полях соответственно, определяются следующим образом:
div f = tr Vf,
Ц =в div Vf =» tr V2f.
Легко видеть, что div (LTa) есть числовая линейная функция векторного ар--
гумента а. Поэтому можно определить дивергенцию div L тензора L требо-
требованием выполнения равенства
a-divL — div(LTa)!
Отметим следующие правила для вычисления дивергенции произведений:
div (Lg).=- (div LT) ¦ g + tr (LVg).
5. Координаты. Декартово (или арифметическое) п-мерное- простран-
ство — это «-мерное векторное пространство, элементами которого являются
упорядоченные наборы из п действительных чисел
\Х , А , . . *, X )t
причем сложение и умножение на числа определяются как соответствующие
операции над элементами хк.
Системой координат на открытом множестве «-мерного эвклидова про-
пространства называется всякое взаимно однозначное отображение этого мно-
множества в декартово «-мерное пространство, градиент которого обратим, а вто«
НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ 5П5
рой градиент непрерывен. Если х — отображение с такими свойствами, то
x(x)=(*'(x), хЦх) хп(х)),
где xk — скалярное поле, имеющее ту же степень гладкости, что и х. Число
хк (х) называется fc-й координатой точки х в системе координат х.
Если х обозначает отображение, обратное к х, то
х" (х (*', х2 хп)) — х*. k =* I, 2, ..., re,
для всех наборов (дс1, хг, ..., *"), которые лежат в области определения
отображения х. Положим
е* вв V**, tm — dj,x (*', x2, ..., *"),
где Э m обозначает частную производную по хт от действительной функ-
функции ге действительных переменных х1, х2 хп. Вектор eft (x) нормален
в точке х к координатной поверхности xk (у) = const, проходящей через х.
Вектор ет (х) касателен к т-п координатной кривой, проходящей через
точку'х; эта кривая состоит из тех близких к х точек, у которых все коор-
координаты, кроме хт, равны соответствующим координатам точки х.
Множества векторов (е1 (х), е2 (х) е" (х)) и (ел (х), е2 (х), ..., е„ (х))
являются взаимными базисами для 'Трансляционного пространства простран-
пространства S. Базнс (е, (х), е2 (х) е„(х)) называется естественным базисом
системы координат х в точке х, а базис (е1 (х), е2(х) е"(х)) — взаим-
взаимным естественным базисом в тон же точке. Когда точка х пробегает область
определения отображения х, возникают векторные поля естественных базисов
н их взавмных базисов. В общем случае эти базисы не являются ортонорми-
рованными. Если коордннатные поверхности взаимно перпендикулярвы, то ко-
координатные кривые перпендикулярны к координатным поверхностям, так что
векторы е* н е/, параллельны, однако в общем случае не равны. Поле
естественных базисов ортонормйровано тогда н только тогда, когда оно
постоянно; в этом случае координаты называются (прямоугольными)
декартовыми. Числовые значения декартовых координатных полей можно
интерпретировать как расстояние от п фиксированных взаимно перпен-
перпендикулярных гиперплоскостей или как расстояния, измеряемые параллельно п
фнкснрованным взаимно перпендикулярным прямым, в зависимости от жела-
желания. В трехмерном пространстве часто используются две другие системы. Ци-
Цилиндрические координаты (г, 0, г) — это соответственно расстояние от точки
х до некоторой прямой, называемой осью; угол между фиксированной пло-
плоскостью, проходящей через ось, и плоскостью, проходящей через ось н точку
х; и расстояние от х до фиксированной плоскости, перпендикулярной оси.
Следовательно, '
дх , дх г в ^ дх ,
Сферические координаты (г, 0, ф) — это соответственно расстояние от точки х
до фикснрованной точки (центра); угол между плоскостями, проходящими че-
через ось, проходящую через центр; и угол между осью и прямой, проходящей
через х н центр. Следовательно,
дх г дх 9 в дх _2 . 2 п m
е'—ЗГ"е' ев~ЗГ"|А' «¦—5f-^Mn ee •
17*
516
ПРИЛОЖЕНИЕ II
6. Контравариантные, ковариантные и смешанные компоненты относи-
относительно системы координат. Значение v(x) векторного поля в точке х яв-
является вектором н потому имеет однозначно определенные компоненты отно-
относительно любого базиса и, в частности, относительно естественного и взаим-
взаимного естественного базисов системы координат х. Таким образом,
Скалярные поля о1, v2 vn называютея_контравариантными компонентами
поля v относительно системы координат х; аналогично поля v\, v2, ..., oft
называются ковариантными компонентами поля v относительно этой системы.
Когда ясно, какая система координат имеется в виду, обычно говорят просто
о контравариантных и ковариантных компонентах.
Ковариантные н контравариантные компоненты метрики gt,m и ghm— это
скалярные поля, определяемые следующим образом:
так что
m k
I ¦ в :
km
I gkm II =
Для цилиндрических координат
• I! 1 О О
|| gkm || — О г2 О
fooi
для сферических координат
110 0 и
О г» . 6 ||, "И*-!.
о о ,
¦*' = л'
! О О
•* о
О 0 1
1 О О
о — о
о о -^- sin» e
С помощью компонент метрики легко связать между собой коварнантные
и контравариантные компоненты одного и того же векторного поля v:
Аналогичные определения и правила справедливы для компонент тензор-
тензорных полей, например
Пусть х и 7t — две системы координат. Тогда координаты точке х отно-
относительно этих систем функционально связаны:
**(х)-/*(*', х» *»).
jc/(x)=g/(je',je2 хп).
НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ 517
Пусть (е, (х), е2 (х), ..., е„ (х)) — естественный базис системы координат х
в точке х. Из определения естественного базиса следует, что ')
Поэтому если мы положим
"т "г хт8
(выражение в правой части обычно записывают как дхк/дхт), то из законов
преобразования п.А. 1 можно вывести связи между компонентами различ-
различных типов в разных системах координат. Например, если компоненты век-
вектора й относительно двух данных систем координат помечаются чертой
или тильдой соответственно, то
a*- dfk a'
и аналогично для тензоров.
Эти законы преобразования использовались в старой литературе для.оп-
для.определения векторных н тензорных полей. Например, возможно такое опреде-
определение: числовые функции A'jhi и -Я{3*; называются компонентами относительно
систем координат х и х тензора четвертого порядка (дважды, контравариант-
ного и дважды ковариантного), если они связаны между собой следующими
равенствами:
-у, k df dgr dfk dgs -.. .
где функции, стоящие в левой части, вычисляются при значении аргумента
х(х), а функции в правой части — при значении х(х). Другие подходы к тен-
тензорам более высокого порядка, чем 2, упомянутые в п.п. А. 4—5, также непо-
непосредственно распространяются на случай тензорных полей.
Как бы ни были выбраны определения, несомненно, что конкретные вы-
вычисления выполнять наиболее просто с помощью законов преобразований. На-
Например, очевидно, что для прямоугольных декартовых координат gkm =
= 6km = ghm. Поэтому ковариантные компоненты метрикн gkm в произволь-
произвольной системе координат х получаются следующим образом:
п
Skm ~ dfkX дхтХ ^Ч~ ^'
хх г=1 л
где прямоугольные декартовы координаты х1 предполагаются заданными как
функции от координат хк:
Например, в цилиндрических координатах
¦ х1 = x = rcosf), .
хг = у = г sin 9,
*3 = z,
') Ниже х — отображение, обратное к х. — Прим. ред.
518 ПРИЛОЖЕНИЕ II
где мы пишем (г, в, г) вместо хх, х2, х1. Поэтому по указанным выше фор-
формулам тривиально вычисляются матрицы \\§кт\\ и \\ghm\\ для цилиндрических
координат. Аналогично компоненты любых векторов и тензоров относительно
произвольной системы координат стандартным образом вычисляются по их
компонентам в прямоугольной декартовой системе координат.
Тензоры ранга выше двух встречаются в этой книге редко. Читатель,
незнакомый с техникой манипулирования ими, может следить за всеми
рассмотрениями, относя их к компонентам в прямоугольной декартовой си-
системе координат.
7. Физические компоненты относительно ортогональной системы коор-
координат. Векторам и тензорам, встречающимся в физических задачах, обычно
приписаны физические размерности. Например, скорость имеет размерность
дйины, деленной на время. Компоненты поля скоростей относительно данной
системы координат не обязаны иметь ту же самую размерность, поскольку
размерности различных членов естественного базиса обычно не являются все
одинаковыми. Например, в цилиндрических координатах вектор ег безразме-
безразмерен, вектор е9 имеет размерность длины, а вектор е — размерность, обрат-
обратную размерности длины. В физических задачах часто бывает желательно
иметь возможность интерпретировать каждую компоненту вектора в тех же
терминах, что и сам вектор, и по этой причине вводят физические компо-
компоненты. Для ортогональной системы координат эти компоненты определяются
однозначно как компоненты относительно следующего ортонормированного
поля базисов: -~
Ч е
- . fe=|efef |e*|* *-'/2'-'"A
Это ортонормированное поле базисов в каждой точке касается координатных
Кривых и перпендикулярно к координатным поверхностям. Физические ком-
компоненты обозначаются с помощью соответствующих индексов, помещенных
на строке и заключенных в ломаные скобки, например:
о (г), о (в), v(z).
Аналогичные обозначения используются и для тензоров, например:
Т (rr), T (/-9) и т. д.
В некоторых задачах оказывается полезным брать компоненты относи-
относительно базисного поля, элементы которого не пропорциональны естественному
базиеу никакой системы координат. Такие поля базисов называются неголо-
номными, и тот же эпитет прилагается к компонентам, вычисленным в таких
базисах. Пример такого рода встречается в § V. 4 основного текста. В этом
частном примере базис ортонормИрованныи.
ч
8. Символы Кристоффеля. Для всякой системы координат по определе-
определению существуют и ярляются1 непрерывными тензорными полями градиенты
r\i, ее естественного базиса:
Смешанные компоненты ГД этих тензорных полей, т. е.
называются символами Кристоффеля даииой системы координат. Можно до-
доказать, что
НЕКОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ "И ТЕОРЕМЫ 519
И ЧТО
Далее, символы Кристоффеля следующим образом вычисляются по компо-
компонентам метрики g** и gqr рассматриваемой системы координат:
Можно показать, что символы Кристоффеля системы координат тожде-
тождественно равны нулю тогда и только тогда, когда система координат прямо-
прямоугольная декартова. '
9. Ковариантные производные, дифференциальные операторы. Если f —
векторное поле, то его градиент Vf является тензорный полем. Компоненты
тензора Vf всех четырех возможных типов называются ковариантными про-
производными поля f. Они записыбаются следующим образом:
fk, m = eft • (Vf) tm,
fft'm = efc-(Vf)em,
f*-m s e* ¦ (Vf) em.
Таким образом, каждая ковариаитная производная—это скалярное поле.
Чтобы выразить ковариантные производные поля f через его компоненты,
заметим прежде всего, что
Следовательно,
f = е* • (е„
Аналогично
Ковариантные производные равны соответствующим частным производным
тогда и только тогда, когда система координат прямоугольная декартова.
Сходные результаты справедливы для тензоров любых рангов. В-част-
шсти, ковариантные производные всех тензоров сводятся к соответствующим
частным производным, если система координат прямоугольная декартова.
С помощью ковариантных производных или символов- Крнстоффеля мож-
можно вычислить значения всех дифференциальных операторов. Например:
V8
где g=detgpG.
Для получения соответствующих выражений в физических компонентах
наиболее простой путь состоит в том, чтобы вывести их сначала в контрава-
риантных илн ковариантных компонентах, что является стандартной процеду-
процедурой, а затем обратить результат. Для примера запишем здесь физические
компоненты дивергенции симметричного тензора L в цилиндрических
520 ПРИЛОЖЕНИЕ 11
координатах:
(div L) (r) = drL (rr) + у deL (r9) ^ dzL (rz) + L ("} "^ (99),
(divL) (ft) = dfL(rft) + у deL (99) + dzL(Qz) + yL(r6),
(div L) B) = дг1 (rz) + у deL (Qz) + dzL(zz) +yL (rz)
и в сферических коордииатах
(div L) (r) = д^ (rr) + у deL (r&) + -~^ d4L (гф) +
+ у BL (rr) - L (99) - L (фф) + L (rQ) ctg 8),
(div L) (9) = drL (Qr) + у deL (99) + —Lj- d^L (9Ф) +
+ у [(L (89) - L (Фф)) ctg 9 + 3L (r9)],
(div L) (Ф) = drL (Фг) + у dyL (Ф9) +
Приложение III
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ
Упражнения, решение которых непосредст-
непосредственно ясно из указаний, данных в тексте,
сюда не включены.
1.2.1. Для доказательства первого утверждения воспользуйтесь (I. 2-5K,
аксиомой ВЗ и определением наложения; для доказательства второго —
(I. 2-5L и определением соединения.
1.2.2. По предположению мы можем взять
Р^ЯКЪ, Рг^Ъ Л Ф, ?з =а (Я Л Щ Л Ф,
поскольку все три правые части существуют. По определению наложения
Теперь предположим, что
. . а? < л, зе < ъ, зе < з>.
Тогда опять по определению наложения
#<#*„ я?<5°2) т<&ъ
Таким образом, ^3 является частью тел Я, ЯП и 2Ь\ кроме того, любая
часть Я? тел Я, 9? и &) является частью тела !?з- По определению нало-
наложения трёх тел тогда
3t Л V А 3> = 0>3.
Из этого последнего соотношения мы видим, что
&з <3в, 0>3<<&Л®.
Предположим теперь, что
Поскольку Я Л V Л 3) существует, то
Определение наложения показывает,
0У = ЛЛ(*Л4>).
1.2.3. Используйте (Г. 2-8), и (Г. 2-Ю)».
1.2.4. Используйте A.2-8),, A.2-15), и (I. 2-10J.
1.4.1. Воспользуйтесь A.2-37) для того, чтобы записать BY С как сое-
соединение отделенных тел. Затем используйте аксиОму МЗ, A.4-3) и аксиому ЛЦ
(если понадобится),
522 ПРИЛОЖЕНИЕ III
1.4.2. дЛ =дЖ Л дс&. Воспользуйтесь A.3-1) для того, чтобы пока-
показать, что д(<А)=0. Искомый результат следует из A.4-2),, A.4-3) и акси-
аксиомы Ml.
I.5.I. Достаточность ясна, поскольку из A.5-26) следует, что сила
f (98, 91е), определяемая формулой A.5-21), раина 0. Для доказательстиа
необходимости следует переписать A.5-21) так, чтобы включить A.5-20)
в качестие одного из множителей, и изять 98 = {Xt), {Я,. Х2) и т. д. Если
Я{Х\, Хг}, то из условия обращения в нуль собственной силы иытекает,
что fis = — f 12- Поскольку fj = ff + fi2> эт0 не означает, что fj=O.
1.8.1. Соотношение A.8-6)! получается просто дифференцированием
A.8-4). Для иывода' соотношения A.8-6)г воспользуйтесь определением
момента М (93; Х)Х[, с тем чтобы вычислить М (93, Х)Х[ и остальные члены.
1.8.2. Запишите F (93, Я*) + F (9S, 93) и яином виде и используйте A.5-26).
1.9.1. Скажем,
х0 (i) ¦+ Q (t) (х (t) - х0) + Q (t) (x - x (t)),
Поскольку преобразование такого рода, равно как и преобразование f =
= t + а, сохраняет метрику (и^иЯ соотиетстиеино), оио определяет замену
системы отсчета. Для доказательства группоиого сиоиства иоспользуйтесь тем
фактом, что ортогональные тензоры образуют группу.
1.9.2. Продифференцируйте равенстио Z = YYT и примените A.9-16) и
A.9-15). Уравнению A.9-17) удовлетворяет Z(t) = 1; в силу теоремы един-
единственности это — единственное решение, удовлетворяющее условию Z(ta) = 1.
1.9.3. Тензор А* образуется из-тенз'ора Q*, который иходит и формулу
обращения A.9-4). Так как Q = QT, отсюда следует A.9-18)., Для того
чтобы иыиести (I. 9-I9), распишите ураинения для наших трех замен системы
отсчета. Далее, А3 = Q3Qj; после упрощений с учетом (I. 9-I9), получаем
A.9-!9J. Если Фз и ф2 совпадают и некоторый момент, то Q2 = Qj=el
в этот момент. '
1.9.4. Если е—единичный вектор иа оси иращеиия, то Qe = ± е.
Следовательно, Qe + Qe = ± е, т. е.
Ае + (Q =Р 1) е =0.
Таким образом, если е = 0, то Ае=0. Соотношение между ю и 9 можно
доказать, используя яиное предстаиление ортогональных компонент поиорота
в трехмерном пространстие:
cos9 —sin 9 01
sin 6 cos 6 0 ,
0 0 ill
Где 9 —угол поиорота и базисный вектор е$ лежит на оси вращения,
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ 523
1.10.1. Соотношение (I. ТО-1J показывает, что ка = с. Следовательно,
р{ = \ypj, ( = 1, 2. 'Вычислите d/dt (pfp2) в воспользуйтесь равенством
W = — WT.
1.10.3. Используйте A.8-2),, A.10-1J, A.10-5) и тот факт, что с = const.
Для того чтобы получвть A.10-8)*, заметьте, что Q (а Л Ь) QT =» Qa Л Qb,
и воспользуйтесь (I. 10-3) и (I. iO-7). •
1.10.4. Используйте соотношение W=» — QTAQ.
1.10.6. Если е = 0, то We = 0 тогда и только тогда, когда (W + W2) е = 0.
1.10.7. Используйте A.8-3), A.10-1) и (I.J0-4) и получите A.10-14).
Если хо(О выбрано, как указано, то х0 (t) = с и р=»0. Соотношение A. 10-15)
получается посредством небольших преобразований в третьем члене в
A.10-14).
1.11.1, Поскольку при преобразованиях Талидея x'* = Qx и М* = И,
то A.8-5)( показывает, что m* —Qm.
, 1.11.2. Первое утверждение сразу следует из цепного праввла. Четвертое
утверждение доказывается следующим образом в силу A.11-2):
det Г — det (QTQT) — (det Q) (det T) (det QT) = det T.
Раз это так, то det (T — tl) не зависит от системы отсчета, каково бы ни
было число t. Следовательно, Т* и Т имеют одни и те же характеристические
корни. Значит, они имеют один и тот же след и один и те же собственные
числа. Если е — собственный вектор, соответствующий собственному значе-
значению t, то
Те = /е,
откуда
(QTT*Q)e-/e
и, следовательно,
T*(Qe)=/(Qe).
Таквм образом, Qe представляет собой соответствующий собственный вектор
тензора Т*.
1.11.3. Данную гладкую поверхность можно вложить в гладкое семейство
поверхностей f = const, где / — не зависящий от системы отсчета скаляр.
Далее, в силу, результатов упр. 1.11.2 какУД так и | V/1 не зависят от системы
отсчета, а потому, конечно, и п = Vf/| V/1 тоже. Более хорошее доказательство
можно дать, записав уравнение отдельной поверхности в виде
х — х0 = f (а, Ь),
/
где а в- 6 — параметры. Для любых а и Ь левая часть представляет собой'
вектор, не зависящий от. системы отсчета, поэтому векториозиачиая функция
f ие завесит от системы отсчета. Соответственно bat и &bf не зависят от си-
системы отсчета. Они определяют касательную плоскость в точке (а,Ь). Под-
Подпространство, нормальное к этой касательной плоскости, содержит точво два
едвввчных вектора. Проведенное построение показывает, что оба они не за-
зависят от свстемы отсчета.
1.12.1. Используйте аксиому А2 и результаты упр. 1.11.2.
524 ПРИЛОЖЕНИЕ III
1.13.1. Мы замечаем, что A.5-23) справедливо, когда система сил сба-
сбалансирована. Поскольку, аксиомы инерции, как они применяются в аналитиче-
аналитической динамике, сопряжены с требованием сбалансированности сил, они не на-
нарушают условия A.5-23).
1.13.2. Заметьте, что f Л g=0. Спектральное разложение для Ех, имеет
внд
Е .«^ёфе + Е^®!-^^®*
хо
Легко показать, что
Е*А2-А2Е*=0
о хо
+
х0 х0
Таким.образом, (I.I3-2I) сводится к (I. 13-23).
1.14.1. Скорость подвода тепла Q удовлетворяет тождеству типа (I. 5-2).
•1.14.2. То, что Ки (v*) = V», (v) ф» ym (v) - Km (| v |). следует из
теоремы Коши [NFTM, стр. 29]. Поэтому, согласно A.14-9), имеет место
соотношение
гдУтЦу\)
которое показывает между прочим, что силы взаимодействия центральны.
Таким образом, требование независимости от системы отсчета приводит к
тому, что консервативные силы взаимодействия' обязательно центральны. Да-
Далее,
Vo (**. *о) - Vo (х, х0) О Vo (х, х0) = Vo (| х - х0 |).
Следовательно, вектор f;, определяемый формулой A.14-9) i, параллелен
х( — xfl. Искомый результат следует отсюда немедленно, если заметить, что
Vo (х* - Xq, п*) = Vo (х - х0, п),
Vo (х — хо, п) = 70 (| х — х0 j, (x — хэ) • п).
1.14.3. В покоящейся системе отсчета для данного жесткого движения
К = 0 и V = const. Поскольку К+ V не зависит от системы отсчета, A.14-15)
выполняется тривиальным образом.
II. 5.1. Присоединенным adj L к тензору L называется тензор, компоненты
которого суть алгебраические дополнения элементов матрицы [L]. Имеет ме-
место равенство
LdjL = (detL)I,
так что если "тензор L обратим, то adj L = (det L) L~ . Легко показать, что
если L является дифференцируемой функцией параметра t, то
(detL)'=tr (LadjL) = detLtr(LL~1),
причем в последнем равенстве предполагается, что тензор L обратим. Пола-
Полагаем L »= F и, используя цепное правило, показываем, что F = GF. (В дей-
действительности эта формула эквивалентна приводимой ниже формуле (II. 11-5),
яиляющенси простым частным случаем результатов, которые будут получены
в§ II. 8.)
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ . 525
II. 5.2. (Более легкая задача того же рода приведена ниже в качестве
упр. II. 6.2.) Рассмотрим линейное уравнение в частных производных
где Ро, Pi, .... Рп, R — заданные функции от хо, Х\ хп. Характеристики
уравнения (L) — это интегральные крнвые системы
rf*> _ dxx dZ
Характеристический интеграл — это такая функция /ч (¦*<>. *i Хп> %)> чт0
fi = const на каждой характеристической кривой. Формально утверждение
теоремы Лагранжа состоит в том, что если fi, fa, ..,, /n — любые п функ-
функционально независимых характеристических интегралов системы (С), то общее
уравнения (L) имеет внд х ^
F(h,h fn,Z)-0.
Чтобы рассмотреть аналог уравнения (П. 5.7) для n-мерного случая, бу-
будем писать t вместо Хо, обозначим (х\, хг, ..., хп) через х и положим Z га
sain р. Тогда Ро = 1, Pi = Xi н в силу (II. 5.6) /? = —///. Следовательно,
п уравнений системы (С) можйо записать в виде dx = x dt, так что п се-
семейств характеристических кривых даются траекториями тел-точек. Таким
образом, я*' обозначает п характеристических интегралов; (п + 1)-й инте-
интеграл можно получить, интегрируя соотношение dt = dZ/R =
= —(d \np/d In J)dt. В результате интегрирования получим р/. Таким обра-
образом, общее решение уравнения (II. 5.7) имеет вид
что совпадает с (II. 5.4).
Замечание. Метод характеристик для линейных уравнений в частных
производных первого порядка был изобретен Лагранжем на основе рассмо-
рассмотренного здесь примера и примера II. 6.2; оба эти примера возникли в гидро-
гидродинамике. Тривиальное обобщение частного случая (II. 5-7) с трехмерного на
«-мерный случай было получено Лиувиллем; это и есть то единственное из
нескольких утверждений, называемых физиками «теоремой Лиувилля в стати-
статистической механике», которое имеет какое-то отношение к Лиувиллю.
Строгое рассмотрение нелокальной теории Лагранжа довольно сложно;
в современных книгах по теории дифференциальных ¦ уравнений его совсем
опускают. Ясное и точное изложение локальной теории можно найти в гл. IX
второго тома «Курса анализа бесконечно малых» Ш. де ла Валле-Пуссена
G-е изд.', Louvain — Paris, 1937) ').
II. 5.3. По теореме интегрального исчисления, использованной при выводе
соотношении (II.2-5), объем конфигурации XiW) дается формулой
J dV— $ ¦ JdV.
(Л 0 %2 (Л <)
') Есть русский перевод, выполненный в основном Со 2-го французского
издания (ПТИ, М. — Л., 1933). Там глава про дифференциальные уравнения
в частных производных выступает под номером XVIII. — Прим. ред.
526 ПРИЛОЖЕНИЕ Ш
Условие изохоричности движения, таким образом, локально эквивалентно ус-
условию / = 1. Чтобы довести дело до конца, следует воспользоваться соотно-
соотношениями (II. 5-6) и (II. 5-7).
II. 5.4. Для плоского движения уравнение (II. 5-8)i принимает вид
где х и у — прямоугольные декартовы координаты, а х и #-^ соответствую-
соответствующие компоненты поля скоростей. Это необходимое и достаточное условие
того, что в односвязиой области существует такая однозначная функция q,
что
х = - dyq,
У — dxq,
а это совпадает с (II. 5-9). (Доказательство того, что q однозначна для ши-
широкого класса миогосвязных областей, можно найти в CFT § 161.) Очевидно,
х • V<7 = 0, так что линии тока нормальны к нормалям к плоскости и яв-
являются кривыми q(',t) = const.
II. 5.5. п{ dA (x) = e(fk dx1 dxk
(Интерпретация этого закона преобразования дана в § II. 13.) Этот резуль-
результат следует из сопоставления двух частей соотношения (II. 5-10).
II. 6.1. Использовать метод, объясненный в тексте, записав
?. t)
Другой способ:.
J
J
% (Л t)
поскольку конфигурация и фиксирована,
4t J 4JdV= J
воспользовавшись затем теоремой о дивергенции, получить соотношение в
требуемой форме,
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ 527
II.6.2. В отношении метода характеристик см. упр. II. 5.2. В настоящий
момент R = 0 и f — неизвестная функция. Таким образом, общее решение
есть
так что тела-точкн X, лежащие на поверхности /(х, t) = const в какой-то
момент времени, лежат на ней всегда.
II. 6.3. Заметим, что
и
Grad G (X, t) FTgradg
П* = | Grad G (X, t) | = | Grad G (X, t) \'
После небольшого упрощения отсюда получается (II.6-18). Если 9*ж не яв-
является материальной поверхностью,- то в различные времена на 9>я будут ле-
лежать различные тела-точкн. Конечно, (II. 6-19)—это просто следствие из
(II. 6-14). Чтобы получить (II. 6-20), используйте (II. 6-3)i и (II. 6-12).
II. 9.1. С (т) = FT (т) F (т). Используйте соотношение (II. 8-7) и произ-
произведите упрощения.
II. 9.2. Главные растяжения о являются корними уравнении
det(B-t>sl)=0;
B=-RCRT,
и
Icos 9 sin 9 0 J
— sin 9 cos 9 0 L
0 Oil
поскольку система главных осей вращается относительно осн х»
11.9.3.
110 0 II
0 R2 0 I,
0 0 of
II 0 0
о /?~8 о
0 0 1
И т, д.
528 ПРИЛОЖЕНИЕ III
II. 9.4. Вычислите физические компоненты тензора В, используя соот-
соотношение .
(суммирование по повторяющимся индексам не производится!) и сравните
их с (II.9-13)!.
II. 9.6. При выводе соотношения (II. 9-19) используйте (II. 6-5) и
(II. 9-бJ.
II. 11.1. Уравнение D = 0 эквивалентно системе шести уравнений в част-
частных производных
%, т) — у (**. т + кт, к) = °-
Проинтегрируйте эту систему.
II. 11.2. G = duF (и) F~l (t) \a=i- Воспользуйтесь полярным разложением
для^ F (и) и F (t), а затем выполните указанное дифференцирование и
получите
G =- RR-1 + U'1
Это можно записать в виде
D + W = RR-1 + у R (UU-1 - U-'u) RT + j R (lIU + U~'u) RT.
Используя единственность разложения тензора в сумму симметричного и
антисимметричного тензоров, получите (II. 11-13). Последнее соотношение сле-
следует из соотношений В = FFT и F IF==I = G.
II. 11.4. Чтобы получить (II. 11-18), используйте правило Лейбница при
дифференцировании произведения Ff (т) F< (т)- Чтобы получить (II. 11-19),
докажите сперва, что
(п)
С =- FTAnF.
(Способ доказательства этой формулы изложен ниже, в § II. 14, где она
имеет номер (II. 14-15).) Следовательно,
С = FTAn+ ,F = FTAnF + FTAnF + FTAnF.
Теперь воспользуйтесь (II. 11-5).
II. 11.5. В упр. II. 5.1 была приведена формула для производной от опре-
определителя обратимого тензора. Дифференцирование ее дает
(det L)" = (det L) [tr LL~' - ( LLJ] + (det L)' tr (LL).
(det L)"' = (det L) tr [lL - 3LL~'LL-1 + 2 (LLK] +
+ (detL)-(...) + (detL)"(.k.)
и т. д. Если L —такой обратимый тензор, что всегда detL=!, то эта
соотношения сводятся к
tr[LL-1-(LL-1J] = 0,
tr '[u.-1 - зи^и*-1 + 2 (а-1K] = о
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ 529
и т. д. Для случая изохорического движения мы можем вместо L подставить
Ct(u). Полагая и =¦ t и используя определение (II. 11-17), получим A1.11-
20)г,з- В формуле для (detL)<n) член с производной по времени наивысшего
порядка равен (detL)tr(LL ), откуда и следует общее утверждение тео-
теоремы.
II. 11.6. Покажите сначала, что ось да\ Л д&х нормальна к плоскости,
определяемой векторами да\ и дьх. Поскольку. скалярное произведение в
пространстве тензоров определяется как tr(AB), соотношение (II. 11-22) уста-
устанавливает, что тензоры W и да\ Л д$х ортогональны друг другу. Поэтому
оси их перпендикулярны, т. е. е — ось.тензора W — лежит в плоскости, опре-
определяемой доХ и дьх. В соответствии с первым утверждением этого решения
вектор е есть ось тензора пЛ f. так что
откуда уже просто получить (II. 11-24).
II. 12.1. Эллипсоид в х CS) оцисывается концами векторов тх, таких, что
const = | m |2 =• | Fmx • Fmx | = mx • Cmx.
Пусть ej, e2, ё3 —ортонормнрованная система единичных собственных векто-
рои- тензора С, так что Ce^i^e,-, где Vj — главное растяжение, соответ-
соответствующее е^. Пусть координаты вектора тх по отношению к этому базису
будут ш'. Тогда приведенное выше уравнение принимает вид
¦ ? («04 = const.
Поэтому главные оси эллипсоида являются главными осями деформации в
точке X, а длины полуосей обратно пропорциональны квадратам соответ-
соответствующих главных растяжений. Экстремальные свойства главных растяже-
растяжений находятся в обратном соответствии с экстремальными свойствами длин
радиусов-векторов точек эллипсоида.
То, что не происходит скашивания главных осей, равносильно утвержде-
утверждению cos6/e , е ) = ^« которое немедленно следует из (II. 12-6).
Поскольку (II. 12-1) можно записать в виде
%* (X, 0 = Хо + (ха @ - Х9) + R (О U (О (X - Хо) =
= Хэ + (хэ @ - Ха) + V (О R (О (X - Хо).
последнее утверждение получается сразу применением (II. 9-4).
II. 12.2. Продифференцируйте соотношение (II. 12-6), записав его пред-
предварительно в виде
II.I3.I. J f-dx= J f(x, t)-F(k, t)dX,
%ve. t) »<«¦)
а в правой части можно выполнить дифференцирование под знаком инте-
грала.
530 • ПРИЛОЖЕНИЕ Ш
II. 13.2. Объем V тетраэдра, имеющего вершинами Хо (<) и концы векто-
векторов р^ pa и рз. выражается через компоненты р? следующим образом: ч
Следовательно,
V = гт\О1гР\р12рк3 + GMpI + Gulp's] - (trG) V.
II. 13.3. Поскольку на нашей поверхности х = 0, то на ней S = dtS, так
что если поверхность S стационарна, то локальным эквивалентом соотноше-
соотношения (II. 13-3) будет (II. 13-4). Это последнее соотношение утверждает, что
скалярное произведение тензора G (е Л f) — (G (е Л f))T на произвольный
антисимметричный тензор равно нулю. Отсюда следует (II. 13-6). Полагая в
(П. 13-5) G = D + W и применяя полученное соотношение-к п, получим по-
после упрощений с использованием (II. 1Г-23) и (II. 11-24)
e-Dn = 0, f-Dn = — y«7.
Поскольку на нашей поверхности скорость, обращается в нуль, а поверхность
эта стационарна, скорость растяжения во всех направлениях равна нулю.
Иначе говоря, е • de =¦ f • Df =» е • Df =¦ 0. Следовательно, De = 0 и n ¦ Dn =¦ E.
Отсюда получаем равенство
D =» ?n ® n — у «7 (n ® f + f ® n),
которое с учетом (II. 11-24) можно представить в виде (II. !3-6). Поскольку
De = 0, вектор е является главной осью растяжения, соответствующее
главное растяжение равно нулю и detD = O. Второй главный инвариант
тензора D равен — Ч4\1^г. Таким образом, после сокращения на D характе-
характеристическое уравнение для тензора D принимает внд
его решениями служат (II. 13-7)ьз.
II. 14.1. В силу (II. 8-7) н (II. 14-6)
F; (т) = F* (т) (F* (t))~l = Q (т) F (т) F-1 @ Q (tf - Q (т) F, (т) Q (if.
Следовательно, -
Отсюда в силу единственности полярного разложения и следует (II. 14-18).
III. 1.1. В силу (III. I-37) и (III. 1-38J
J t? dA = - J t_? dA.
По теореме Лебега о производной ty = — t_y почти всюду.
III.2.1. Выберем Дг таким образом, что^ы А (Ло4)<Л (АоР) + A (Aot*).
Тогда ввиду (Ш.2.11) и (III.2.9J справедливо (IH.2-12). Следовательно,
А (д Д0) =. А (Лс^) + А (Лс^*) + А
при
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ ¦ 531
III. 2.2. Пусть 9"' — плоскость, касающаяся 91 и У и точке х, и пусть
в декартовых прямоугольных координатах (я, у, г) с осями х и у и пло-
плоскости W и осью z, перпендикулярной к 0~', локальные представления
поверхностей 9> и 9~ вблизи х имеют иид z = f(x, у) и г = g (x, у). Выбе-
Выберем Аг так, чтобы при х2 + у2 <Г Лг2 поверхности Ф ъ 9~ лежали обе между
двумя параболоидами z = ± К (х2 + у2), где '
*-ти(|#|. |^f |. |#|. K4 |«л*1- КИ>
Затем используйте ту же самую процедуру, что и выше.
III. 3.1. Требуемый результат непосредственно следует из (III. 3-1) и оп-
определения транспонирования.
III. 5.1. Докажите тождество
div (v ® S) = v ® div S + (Vv) ST,
затем выделите антисимметричную часть, положите v = х — х0 и примените
теорему о дивергенции.
III. 5.2. По-видимому, проще всего последовательно доказать (не пола-
га.я Т симметричным),-что (III. 5-8) #ф (III. 5-9) Й (HI. 5-10) 4=> (HI. 5-7), а
потом доказать, что если Т = ТТ, то (Ш. 5-7) 4# (HI. 5-10).
111.5.3. Используйте A.14-1), (Ш.5-11), теорему о дивергенции (III.5-1)
и (II. 6-8). Для жесткого движения D = 0. В изохорическом движении
trD = 0. ¦
111.5.4. Воспользуйтесь соотношением (II. 6-9)г в случае (Ш. 5-15) и
(III. 1-7) в случае (III. 5-I1). После небольшого упрощения полугчте (III. 5-
16), а затем уже легко получить (III. 5-17) и (III. 5-18).
IV. 4.1. Следуйте методу, использованному при доказательстве соотно-
соотношения (IV. 4-2).
IV. 4.2. Если 8* (IV. 4-1) —аффинная функция от F, то ¦
T = al+PF,
где аир — константы. Покажите, что для того, чтобы это определяющее со-
соотношение удовлетворяло принципу материальной независимости от системы
отсчета, необходимо, чтобы |3 = 0. (Замечание: Т =» al + EV тоже удовлетво-
удовлетворяет этому принципу, но правая часть ие является аффинной функцией от F.)
IV. 6.1. Соотношения (IV. 6-2) и (IV. 6-3) получаются непосредственно.
Независимое от системы отсчета ограничение, «эквивалентное» (IV. 6-1),
имеет вид ц(С) = 0, причем ц обращается в нуль только тогда, когда X обра-
обращается в нуль. Это утверждение логически эквивалентно последней фразе
упражнения. (Отметим, что не утверждается, что Ц и Я, функционально зави-
зависимы, хотя, конечно, может быть и так.)
IV. 7.2: Поскольку t = — рп, последнее утверждение сразу следует
из результата, установленного в упр. IV. 5.4. Более общим образом (III. 5-17)
переходит в
| pk.ndV.
532 ПРИЛОЖЕНИЕ HI
Если р — const на д% (SP, t), то правая часть принимает вид
-р J dlvirfl\
а это выражение равно нулю в силу изохорнчности движения.
IV. 9.1. Требуемый результат сразу следует из (И. 11-5) и (IV. 9-7)i.
IV. 9.2. det F (t) = det [Fo A + tF,)] = det Fo det A + fF,),
поскольку второй главный инвариант тензора S равен -=- [(tr S)8 — tr S2].
IV. 9.3. Пусть v((t) и е^ (t) — собственные числа и соответствующие
собственные векторы тензора U. Заметим, что UU = UU 4=^ &\ = 0. Тем
самым подучено (IV. 9-16). Запишите далее (IV. 9-2) в виде
з
и выведите отсюда требуемый результат. Направим оси координат по векто*
рам et и назовем «блоком» область, ограниченную плоскостями Xi = ±<j{.
Докажите, что блок деформируется в блок. Поскольку уже доказано, что
Vi = <j( + bit, где а» > 0 и bf > 0, движение будет нзохорическим в том и
только том случае, если
Это условие выполниется тогда и только тогда, когда
IV. 10.1. Воспользуйтесь соотношением <}тх = —grad (x • х).
IV. 10.2. Пусть параметрическое представление в X* материальной поверх-
поверхности с текущей конфигурацией Л всть х = х(а, Ь). Используя (II. II-2I),
получаем
К (дЛ) = J tr [FTWF (да\ А дьХ)] da db,
откуда и следует (IV. 10-14).
IV. 10.3. Для чистого растяжения R = 0, R = 1. Далее воспользуйтесь
(II. 11-13), и (IV. 10-14).
IV. 10.4. Для простого тела без связей Т = © (F'), а для соответ-
соответствующего несжимаемого простого тела Т = р (й — К) 1 + © (F*); F* дается
соотношением (IV. 9-43). Для тела без связей каждая из компонент
тензора Т определяется единственным образом. Для несжимаемого тела
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ " 533
функция А произнольиа. Если, скажем, «5 = 0, то за счет выбора А можно
придать любому одному из усилии Г (**), Т (уу) и Т (zz) любое значение,
которое пожелаем, например нуль.
IV. 12.1. Если Hj, Нг е а, то
причем первое равенство следует из того, что Н2е^х, а второе —из Torof
что Н, е рж. Таким образом, HjF^e^. Аналогичными рассуждениями
устанавливается выполнение других аксиом группы.
IV. 12.2. Поскольку ©х удовлетворяет аксиоме N3,
Отсюда н из (IV. 12-6) следует, что QTe ?к.
IV. 15.1. Согласно правилу Нолла Q* = PQP, что можно записать
в виде ¦ .
Q*RoUo = RoQQTU0Q.
Далее воспользуйтесь единственностью полярного разложения.
IV. 15.2. Поскольку в общем случае ркФ о, рк не есть инвариантная
подгруппа группы о. Таким образом, в общем случае ^* (=R^KR~ ) не будет
совпадать с рк.
V. 15.3. Воспользуйтесь теоремой 2 с UO = /C1.
IV. 16.1. Используйте тот факт, что необходимым и достаточным-усло-
достаточным-условием перестановочности S и Q является нивариаитиость характеристических
подпространств тензора S прн действии тензора Q.
IV. 16.2. Заметьте, что х входит в (IV. 16-3) только через р„//.
IV. 18.1. Чтобы получить (IV. 18-13), подставьте (IV. 18-3) в (II.8-8).
Остальные соотношения легко следуют нз определений (II. 11-2) и (II. 11-17).
Соотношение (IV. 18-16) вытекает из того, что условие tr G = 0 необходимо
и достаточно для изохоричиости.
IV. 18.2. Если А и В коммутируют, то еАев = еА+в.
IV. 18.3. Наиболее общий вид А2 та^ов:
1и а Ь |
a v с .
b с w ||
Помня, что B2) ие выполняется покажите, что тензор Аг коммутирует
с тензором N —N, задаваемым формулой (IV. 18-27), в том и только том
случае, когда х = 0. Если Aj = al, то в силу леммы Aj коммутирует с любым
янтнсимметричным теизором. Поэтому (N — N1) Aj = Aj (N — NT). Исполь-
Используя (IV. !8-!5)з, покажите, что Nn' = NtN, и затем получите (IV. 18-26).
534 ПРИЛОЖЕНИЕ Ш
IV. 18.4. Получите (IV. 18-29), используя (IV. 18-15I>7. Теперь (IV. 18-30)
получается применением (IV. 18-4J-
V. 1.1. Выведите из (II. 18-3), (II. 8-5) и (V. 1-8), что
Ft(x)=l+{x-t)v'(Xl)N.
Ввиду (V. 1-4), это эквивалентно (V. 1-9).
V. 1.2. Сравнивая (V. !-!5) н (V. 1-5), получаем
f (х, N) = х (х) (N + NT) + а, (х) NTP4 + а2 (х) NNT,
после чего F) легко проверяется.
V. 1.3. Конкретизировать результаты предыдущего упражнения для
случая f'o = ц = const, Ft = F2=*0. Для • навье-стоксовой жидкости без
связей (х превращается в функцию плотности, но по-прежнему о, = аг = 0.
V. 4.1. Проинтегрируйте (V.4-20), используя (II. 8-3) и (II. 8-4). Чтобы
подсчитать физические компоненты тензора F/ (т) по отношению к базисам
{ег (|)J и {е^(х)], следует вычислить .величины ef (|) Ft (|) е. (х). Поскольку
базисы {ег (?)} н {е^х)) ортонормнрованы, существует такая ортогональ-
ортогональная тензорная функция Q, что е^ (| (т)) = Q (т) ё^ {х). Таким образом,
ef (I) • F, (t) е, (х) = Q (т) ег (х) • F, (т) е; (х) - е, (х) • Q <t)T Pf (т) е, (х).
Далее, покажите, что Fo (т) = Q (т) (I + txN0), где
10 0 0 ||
а 0 0
pool
в базясе (ег(х)].
Воспользовавшись теоремой Нолла, найдите матрицу тензора No в ба-
базисе {eftj. Записав (V. 4-23) в виде 'ft = Reft. подсчитайте матрицу NQ отно-
относительно базиса {iftj. . ¦ '
V. 4.2. Выражения для физических компонент div T см. в конце прило-
приложения II.
V. 4.4. В этом упражнении массовая сила берется равной нулю. Проин-
Проинтегрируйте по частям, а затем подставьте в результат выражения (V. 4-35))t
(V. 4-35) а и (V. 4-37), положив С = F/2n. В итоге получится
I
¦P{Rl-r*)r<o>(r)]dr.
)
¦ />оя/?2-2я| T (zz) \2=ordr
V. 4.5. Положим b = 0 и возьмем г = 0 в выходном сечении. Используя
соотношения
R
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ 535
и (V.4-35)|.2. получаем
V. 5.1. Соотношение (V.5-6) можно записать в виде F = 1 + Ш, где
N = М/| М | и х = | М | = У (AfJAfQ. Отсюда после упрощений получаем
(V. 5-7). Пусть (e^j — ортонормированиый базис, векторы которого каса-
тельиы к координатным кривым:
Iе*>Ne' 1 = ТмТ'егМе' ''
Упростите это выражеиве, используя (V. 5-6) 2.
V. 5.2. Воспользуй1есь (V. 5-9) и примените метод, указанный в тексте,
Учтите, что i, т, aj и aj не зависят от г, а к фиксировано.
V. 5.3. Чтобы получить (V. 5-25), используйте (V. 5-8) s, (V. 5-15) и
(V.5-18).
VI. 1.1. Проще воспользоваться конкретизацией соотношения (IV. 5-15),
поскольку зависимость от с\ просто заменяется на зависимость от производ-
производных d*Ct (и) \u=t, k =- 0, I я.
VI. 1.2. Чтобы получить результат непосредственно, можно действовать
следующим образом. Для изотропных материалов Т не изменяется, если
F* заменить на F'Q, г"де Q — не изменяющийся во времени ортогональный
тензор. Возьмем, в частности, jQ = RT, где R — поворот, входящий в поляр-
полярное разложение .тензора F (t). При такой замене компонентом-поворотом
тензора FRT в его полярном разложении будет 1, А„ заменяется на А„, а
С на В. Отсюда следует (VI. 1-3). Теперь легко получить (VI. 1-4); соотно-
соотношение же (VI. 1-5) выражает требование независимости от системы отсчета.
VI. 1.3. Из теории, изложенной в гл. V, явствует, что для вычисления
вискозиметрических функций в общем случае достаточно рассмотреть про-
простой сдвиг (II. 11-11). Для него
10 у. 0 | | 2х* 0 0
х 0 0 ; [А2]= 0 0 0
О 0 0 || II 0 0 0
а совокупность скаляров (VI. 1-7) имеет вид
О, 2х', О,
2х^ 4х^ &мв
О, 2х«, 0, 4хв.
Вычисление величины (VI. 1-в) производится непосредственно, так же как и
остальная часть упражнения.
VI. 1.4. Соберите, как это сделано в (VI. 1-18), члены порядка- г3 и И
в (VI. 1-6) и (VI. 1-7), учитывая (VI. 1-14) в тот факт, что члены типа
(trAj)l, (tr А?I и т. д. можно включить в р.
536 ПРИЛОЖЕНИЕ HI
VI..1.5. Сравнивая (IV. 18-15) с (VI. 1-13), установите, что в качестве фак-
фактора замедления можно взять скорость сдвига х. Получите (VI. 1-23), под-
подставляя (V. 1-2) в (VI. 1-21). Вычислите (VI. 1,20) и, сопоставив результат
с (V 1-15), получите (VI. 1-24).
VI. 1.6. Соотношение (VI. 1-26)t следует из (II. 13-6). Аналогичным обра-
образом получается (VI. 1-26J. Используя (II. 11-19), (II. 11-24) и (VI. I-26)i,2,
получите (VI. 1-26)з. Воспользовавшись (VI. 1-15), вычислите усилия и упро-
упростите результат при помощи (VI. 1-26).
VI. 3.1. Вычислите А^, исходя из (VI. 3-5) и используя то обстоятель-
обстоятельство, что Ui = 0. Приведенное выражение для Аг следует из (VI. 2-7), (VI. 3-
5), (VI. 3-3) и равенства Ui = 0. Вычислите А, с помощью (VI. 3-3) с точ-
точностью до членов о(а3) и найдите t в П, сравнивая (VI.2-10) и (VI. 1-20).
Примените (VI. 2-12), чтобы получить (VI. 3-15), и выведите (VI. 3-16) и
(VI. 3-17) таким же образом, как и на шаге 1.
VI. 3,6. Чтобы доказать (VI. 3-32) и (VI. 3-33), используйте по существу
тот же метод, что и в трех предыдущих упражнениях. При установлении ис-
искомого результата примените (V. 5-22). В силу (VI. 1-24)i,2 б обращается
в нуль в юм и только том случае, когда
Bа, + а2) v? + Д- Baj + а2) (Bs + В3) xf = 2ct| + "" игц. *
Но Но
VI. 4.1. Согласно (VI. 3-23)i v3 определяется величиной 2F2+В3)/щ>.
(Чтобы получить (VI. 4-2), следует воспользоваться соотношением (VI. 1-24).)
Аналогичным образом получается (VI. 4-3).
VI. 4-2. Соотношение (VI. 4-5) устанавливается при помощи простого,
хотя и длинного рассуждения. Этот вопрос обсуждается в NFTM, стр. 503.
VI.5.1. Вычислите G = gradx, исходя из (VI.5-2), и тем самым опре-
определите А, и. А^. Воспользуйтесь (II. 11-18), чтобы иайти А2. Подставьте
(VI. 1-19) в (III. 5-1). Используя эти результаты, докажите, что р;=
= —c(t)\2 + f(xi). Таким образом, получим (VI. 5-3), причем c(t) будет
движущей силой, если b — 0.
VI. 5.2. Проверка делается просто. Затем покажите, что | ==—1/у1Г
есть решение уравнения <Э|а2 = 0, причем оно соответствует максимальному
значению а2. Из (VI. 5-4) явствует, что
Иглах («>) = V» Imax = V Vas + 6s •
вне зависимости от того, каковы а и Ь. Поэтому (VI.5-9)j следует из
(VI. 5-5). :
VII. 2.1. В декартовых прямоугольных координатах
dA (х) щ = ът dx1 dxk = ZljkFlaFl dXa dxK
Воспользуйтесь соотношением
и доведите дело до конца.
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ 537
VII. 2.2. Сперва докажите тождество Div(/F~') = 0, а затем, пользуясь
им, покажите, что DivTx = J divT.
VII. 4.1. Отправляясь от (IV. 4-1), предположим, что ?ж ю©. Тогда VQ
Выбор Q = RT показывает, что <Т (F) =» (t (V). Поскольку как Т, так н V
не зависят от системы отсчета, должно выполняться -соотношение
которое эквивалентно (VII. 4-2,).
Обратво, предположим, что (VII. 4-1) и (VII. 4-2) справедливы для
некоторой конкретной конфигурации х. Если F заменяется на FQ для неко-
некоторого ортогонального Q, то В заменяется на FQ (FQ)T, которое опять
есть В. Поэтому согласно (VII. 4-1) замена F на FQ оставляет Т неизмен-
неизменным. Определение группы равноправности показывает, что Q е рк. Таким
образом, ух =э о.
VII. 4.2. Относительно базиса из своих единичных собственных векто-
векторов elt е2 ет тензор D имеет спектральное разложение
Подставляя для dk выражения нз (VII. 4-8) н замечая, что еА —собствен-
—собственные векторы дли А, получаем
+ <Р2 2 4ч ® ч+Фт-i S «""Ч ® ч =
А=1 *=1
= Ф0Ц-ф1А + ф2А2+ ... +ФМ_,А'П-1.
VII. 4.3. Рассмотрим сначала произвольный тензор А. Его характеристи-
характеристические корни вь а2, .... ап представляют собой п корней алгебраического
уравнения det (А — al) = 0, а числа 1, —Л, +/2, .... ±1П суть коэффи-
коэффициенты этого уравнения. Таким образому.характеристические корни и главные
инварианты однозначно определяют друг друга. Следовательно, достаточно
выяснить, обязательно лн изотропные функции являются функциями характе-
характеристических корней. (Характеристические корни могут быть комплексными,
хотя главные инварианты, конечно, — действительные числа.)
Далее, QAQ имеет те же самые характеристические корни, что и, А.
Следовательно, если f(A) = g(ah a2 an), то f — изотропная функция.
Однако если А и В имеют одни и те Же характеристические корни, то из
этого, вообще говоря, не следует, что 3Q, такое, что B=QAQT. Таким образом,
для произвольных тензоров А функции характеристических корней не обя-
обязательно исчерпывают класс изотропных скалярных функций.
Предположим теперь, что два снмметрнчиых теизора А и В имеют одни
и те же характеристические корнн аи аг, ..., ап. Каждый характеристиче-
характеристический корень представляет собой собственное число, и как А, так и В имеют
538 ПРИЛОЖЕНИЕ III
соответствующие главные базисы {е^} и
Пусть Q — единственный ортогональный тензор, который переводит базис {e/J
в базис [tk]:
Qe, = f/.
Тогда
QAe; = ajQef = а fa = Bf; = BQe;.
Следовательно, QA=BQ. Поэтому условие совпадения множества характе-
характеристических корней у А и у В достаточно в случае симметричных тензоров
А и В для того, чтобы B = QAQT- Таким образом, скалярная функция,
аргументом которой служит симметричный теизор, изотропна в том и только
том случае, когда она представляет собой функцию характеристических кор-
корней,, или, что равносильно, функцию главных инвариантов.
VII. 4.4. Пусть имеет место соотношение (VII. 4-17). Из того факта, что
коэффициенты суть симметричные функции от vu t»2 и i»s, сразу сле-
следует (VII.4-18). Чтобы доказать обратную импликацию, заметим, что
(VII.4-18J,з,4=фТ =9(V) и собственные векторы тензора Т остаются неиз-
неизменными, если V заменяется на QVQT.
Поэтому g — изотропная функция от V. Так как В = V2, то (VII. 4-1)
и (VII. 4-2) выполняются.
VII. 4.5. Согласно (VII. 4-22) н (VII. 4-13),
Обозначим через 1Т главные инварианты тензора В. Воспользуйтесь следую-
следующими легко устанавливаемыми формулами: ч
д»т уч д*г dlk
в=1 *
^ „оа
позаботившись а том, чтобы заменить В на >/г (В + Вт) в (*), прежде чем
выполнять дифференцирование. Получите (VII. 4-23), используя уравнение
VIII. 1.1. Записывая (VII. 4-14) в виде
tt - 50 + V* + 5l>f2, i = 1, 2, 3,
5,5=5,. (о„ о2, v3), г =» 0,1,-1,
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ 539
и используя (II. 9-14), покажите, что
Таким образом, (VIII. 1-6) следует из (VIII. 1-4).
VIII. 1.2. Деформация (П. 9-14) переводит плоскость Л2 = const в пло-
плоскость
Х2 = КХ1 =» const.
Единичные векторы нормали пи касательной t к этой плоскости имеют ком-
компоненты
п - (+ К A + К*Г'\ ± A + К*Г\ 0).
t = (±
Чтобы получить (VHI. 1-9), воспользуйтесь соотношениями N^n-Tn и
7-=t-Tn.
VIII. 1.3. При простом растяжении вдоль оси 3
|ак2 О О II
О ао2 0 ,
О 0 i»2f
где постоянная v — заданное растяжение, а a — постоянная, которая должна
быть определена. [Поперечное сжатие равно A — av)/(v—1)]. Если для ма-
материала без внутренних связей.мы примем
5Г (о*, а2) те Зг (A + 2а2) о2, B +. a2) aV, aV),
то из (VII. 4-14) получим, что
Т A1) = Т B2) =50 + aV3, + а-2о-23-„
Для того чтобы эти напряжения удовлетворяли условиям равиовесия, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы b = 0. Условие^.того, что все плоскости, парал-
параллельные оси 3, свободны от усилий, имеет вид Т (II) = Т B2) = 0. Из
этого уравнения должно определяться а как функция от v. В настоящее
время неизвестно, существует или нет решение в общем случае, однако ра-
разумные предположения о гладкости функций Зг обеспечивают существова-
существование решения для значений v, близких к 1. Подстановка этого решения для a
в выражение для Т C3) приводит к соотношению между величиной растяже-
растяжения и растягивающим напряжением.
Для несжимаемых материалов никакой неопределенности в результате
нет, поскольку для изохоричности деформации необходимо и достаточно, что-
чтобы a = v/2. Полагаем
5r (v) = 3r Bt)-' + v2, 2v + t»-2)
в (VII. 4-24) и получаем
Т A1) = Т B2)'= - ро + f-'S. + 31 „
540 ПРИЛОЖЕНИЕ 111
где Pa — постоянная, если принять, как мы это сделаем, что b = 0. Условие
7" A1) = Т B2) =0 однозначно опр
Т C3) привести к следующему виду:
где Pa постоянная, если принят, как ы о сдем, что b 0. Условие
7" A1) = Т B2) =0 однозначно определяет ро и позволяет выражение для
Т C3)
VIII. 5.1. N = 2n j T (zz)rdr--
с, г2
J (Т (гг) - Т (rr)) rdr + 2n [ T (rr) г dr.
= 2я
Проинтегрируйте второй член по частям и используйте (VIII. 5-2)i.
VIII. 5.2. Предположим, что функции Зг равномерно непрерывны для
значений D и F, лежащих вблизи 0 и 1 соответственно. Тогда предельный
переход и интегрирование можно поменять местами.
VIII.5.3. Соотношение (VIII. 5-7) при N = 0 показывает, что F-*-l при
D-+0-. Следовательно,
F—l I ,. F3 — I
?j2"="-3~ hm —кг—.
Далее используйте (VIII. 5-7), положив N = 0 и приняв предположения пре-
предыдущего упражнения.
VIII. 5.4.. Положите в (VIII. 5-5) Т (rr) = 0 при г = Ru г = #2. Вычис-
Вычислите Т(rr) —Г(GG) и Т (zz) —T(rr), подставляя выражения из A1.9-16) н
(II. 9-18) в (VII.4-24J. Затем упростите (VIII. 5-5).
VIII. 5.5. В этом частном случае квадратура в (VIII. 5-15) легко выпол-
выполняется:
Значение BF находится из соотношения (VIII. 5-14), записанного примени-
применительно к рассматриваемому случаю:
BF
log
BF Rl R* '
R2! BF BF
причем тривиальный корень BF = 0 исключается. Покажите, что при таком
соотношении это уравнение имеет ровно один корень и что этот корень удо-
удовлетворяет неравенству — Ri<BF< — R\..
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИИ 54!
IX. 1.1. Согласно (IX. 1 -4J и (IX. l-7)i, vu u2, v3 — собственные значения
тензора Ue — и е\, е2, е% — собственные значении тензора Е — связаны
между собой следующим образом:
v{ = I + eet, i= 1, 2, 3.
Далее воспользуйтесь соотношением /е = ViV2v3. Последнее утверждение
непосредственно следует нз (II. 2-2) и (II. 5-4).
IX. 1.2. Чтобы получить (IX. 1-10), упростите (II. 12-5), используя
(IX. 1-4J и (IX. 1-7),. Подставив t (nun) = •—я — 6(n m) в (И. 12-6) и вспом-
вспомнив, что п-111=0, после небольших выкладок получим (IX. 1-И). Согласно
(IX. 1-6) и (IX. 1-7)
Ree = е + Re,
поэтому Re = 0 ф=^ R8e = е. Для того чтобы вычислить угол, нам надо вычи-
вычислить член порядка е2 в (IX. 1-6). Из (IX. 1-4) легко вытекает, что
1
Re = 1 -
Следовательно,
cos e = i - ~ е2 + о (e<),
но, кроме того,
значит, e» = ye2|R|2 + O(83).
IX. 2.1. По предположению
где в— линейная функция, которая переводит тензоры в симметричные тен-
тензоры. Используйте инвариантность соотношения (*) относительно бесконечно
малых поворотов; таким образом, Q в (П. 14-2) принимает вид 1 + eR, где
RRT =¦ I. (В линеаризованной ¦ теории определяющие уравнения, вообще
говоря, удовлетворяют требованию независимости от системы отсчета • лишь
с точностью до О (е2).) *—
IX. 2.2. Подставьте в (VII. 2-5)i выражения для /, Т и Р из (IX. 1-9),
(IX. 2-4) и (IX. 1-2) и произведите упрощения.
IX. 3.1. Поскольку мы рассматриваем бесконечно малые деформации, ар-
аргумент функции Зг в (VIII. 1-1) сводится к C,3,1). Так как отсчетная кон-
конфигурация является естественной, то (VIII. 1-2) сводится к (IX. 3-5).
IX. 3.2. Для изотропных материалов
(вспомните, что L удовлетворяет (IX. 2-8)). Ввиду тождества
rot rot u = Grad Divu — Дц
(IX. 3-17)i и (IX. 3-17>2 эквивалентны.
542 ПРИЛОЖЕНИЕ III
IX. 4.1. Тождество (VII. 2-8) означает, что-
Дифференцирование обеих частей по F и использование определения (VII. 2-
11) 1 дают
где
Поскольку как А, так и С симметричны,
и, следовательно, С тр9НдР = С mp9Eqp. Остальное легко.
IX. 4.2. Используя (IX. 4-1), вычислите В*, В*~' и три инварианта 1",
II*, III* (ср. A1.9-7)) тензора В* с точностью до членов порядка О(|Н|2).
Можно воспользоваться теоремой Гамильтона — Кэли (см. приложение И»
п. All). Предположив, что функции Зг дважды дифференцируемы в конфи-
конфигурации х, выразите Зг (I*, II*. III*) через функции Зг (I, II, III) и их
производные. Подставьте результат в (VII. 4-14) и произведите упрощения.
IX. 4.3. Вычислите тензор То, соответствующий деформации (IX. 4-8).
Вычислите Н и Е, соответствующие наложенной деформации (IX. 4-9). Пока-
, жите, что уравнения равновесия в отсутствие объемных сил удовлетворяются
тогда и только тогда, когда
Пусть граница dst поперечного сечения М- призмы определяется уравнением
F (*,, х2) = F (at»X,, avX2) — 0.
После того как произошла .деформация (IX. 4-9), компоненты единичной внеш-
внешней нормали п к d%(s&) определяются соотношениями
Оя, = F., i — ezF, 2,
Оя2 = F, г + ezF, „
Gn3 = e (х„ F, i — xtF, 2),
Условие того, что поверхность призмы свободна от усилий, т. е.
(Т-Т0)п=.О,
с точностью до первого порядка по е имеет вид
-а B)
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ 543
Поскольку F,i и F,2 — компоненты нормалн к границе'в деформированной от-
счетной конфигурации х{98), соотношения A) и B) означают, что Ф пред-
представляет собой классическую функцию кручения для поперечного сечения si> •
в х. Теперь, используя (IX. 4-8), уже просто вывести (IX. 4-10).
IX. 5.1. Опираясь на тот факт, что ls — однородный многочлен степени s>
покажите, что
l
Сравнение с (IX. 3-1) приводит к (IX. 5-8).
IX. 5.2. Согласно (IX. 5-13) и теореме о дивергенции,
J PxbmndV+ J <ndA= j pj>adv+ J
Для равновесня данной снстемы нагрузок требуется, чтобы
J pKbndV + J V^=0.
IX. 5.3. Пусть
J (X-XJ®tmdA + J Px(X-X0)®bdV. A)
Отметим, что (обращение в нуль результирующего момента нагрузок отно-
относительно Хо) 4Ф А = Ат. Поворот относительно Хо переводит вектор X — Хо
в Q(X —Хо). После поворота A) примет внд А* = А*Т. (Обращение в нуль
результирующего момента после того, как совершен поворот) 4Ф А* = А*т,
т. е.
QA = ATQT. . B)
Пусть' А = PS представляет собой полярное разложение тензора А, где
Р~ =РТ> S = T
ходит 'в
у
~ =РТ S = ST и тензор S положительно полуйпределен. Тогда A) пере-
переQPS =• SPTQT.
Таким образом, решение A) имеет внд Q = PT или —Рт в зависимости от
того, detP = + I или —I. Если теперь положить B = AQ, то В симметричен
и, следовательно, имеет действительные характеристические корни. Любой
поворот R относительно осн, проходящей через Хо параллельно собственным
векторам тензора В, перестановочен с В,, н, следовательно, RQ представ-
представляет собой решенне уравнения B) всякнй раз, когда Q — решенне. Поскольку В
имеет три линейно независимых собственн-ых вектора, B) имеет по крайней
мере четыре решения.
IX. 5,4. Результат упр. IX. 5.3 показывает, что результирующая сила,
обуслонленная нагрузками t^n н Ь^, равна нулю. Результирующий ломент М*,
обусловленный, нагрузками t*n н Ь*. равен
J
0)
544 ПРИЛОЖЕНИЕ 111
Подставляя разложения в ряды для tx и Ь в равенство
J " ' J "
и приравнивая к нулю коэффициенты при еп, получим
J х хп J г» ж п
Вычисляя это соотношение нз A) и применяя (IX. 5-13), находим
+ [ PxP«®Div ^п(Н1> Н2 nn-i)dV- B)
»(Л)
Далее, с учетом тождества
J (Vv) ST dV = f v ® (Sn) dA - f (v ® Div S) dV B*)
при v = px и S=^n(Hr, H2, ..., Н„_,), нз B) видно, что М* = 0 тогда н
только тогда, когда
I 1>л(Н|, Н2> ..., Нп—i) dV — симметричный тензор. C)
Напряжении Коши Т определяются соотношением
/Т~ТХA + НТ)= 2 (е«Тх„(Н1( .... Hn)
l
2 e«HT
- fj (en (L (Е„) + *„ (H, Н„_,))) [1+2 8mHm).
n=l . V m=l /
Поскольку тензор Т симметричен, симметрично и последнее выражение.
Так как тензор L (Ел) симметричен, то
п-1
Тензор ^ J Hn-mr*mdv симметричен.
т-\
Полагая и = Ч„_т н S = Т^ в тождестве B*), мы видим, что
п-1
тензор J] J «n-m®T«lmnxrf^+ J Pxun_mi8)bmrfK симметричен,
m=I
а последнее условие эквивалентно (IX. 5-18),
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИИ
IX. 5.5. Ось равновесия для нагрузок в >е (Щ существует т^огда и
только тогда, когда существует постоянный вектор ю, такой, что
J(fi>X(X-X0))Xtxl<M
или
Условие (IX. 5-23) является необходимым н достаточным для того, чтобы
существовало ненулевое решение «а.
IX. 6.1. С точностью до второго порядка по Н имеем
В = 1+2Е+ННТ,
В-' = 1-2Е-ННт+4Ё2,
11 + *НнТ
IIIE = 0.
Предположив, что коэффициенты реакции 3,. имеют разложения в ряды
упростить (VII. 4-14) и получить (IX. 6-1).
X. 1.1. Для изотропных материалов L имеет внд, приведенный в упр.
(ГХ. 3.2), и (X. 1-2) упрощается следующим образом:
Л (tr ЁJ + 2|Иг Ё2 >0,
или, эквивалентно,
(% + у) (tr Е> + 2ц tr [(l - у (tr E)
Поскольку tr Ё и Е — (tr E) 1 могут -быть заданы независимо, (Справедли-
(Справедливость этого неравенства VE Ф 0) ?ф (ц>0, ЗХ + 2ц >0).
X. 3.1. Ввиду (VII. 4-20) (X. 3-4) означает, что
Tl = и, следовательно, v{ = ~-—.
X. 3.2. Предыдущий результат показывает, что для совершенного газа
X. 3.3. Для изотропных упругих материалов (VII. 4-14) означает, что
18 Трусделл
546 ПРИЛОЖЕНИЕ III
Поэтому (X. 3-10) сразу вытекает из следующих тождеств: ¦
X. 3.4. Заметим, что
(Г* - Т) (»' - о) = (** -1) (v* — v) [о*2 + '$'*$ С —') (°* -
Следовательно, в состоянии растяжения (X. 3-12)i=^(X. 3-12J. Аналогично
(f - t) (о* - о) - (Г - Т) (v' - v) |«2 yfj^ff (?" - 7") (о* - о)}-
Таким образом, в состоянии сжатия (X 3-12J=#(Х. 3-12)]. Для упругой
жидкости (X. 3-12)! принимает вид (р* — р) (р*'^ — р1/Гз)>0 (использованы
условия р>0, v3 ос—I. Это означает, что р представляет собой возрастаю-
возрастающую функцию от р'/' и, следовательно, от р. Аналогично (X. 3-12) принимает
вид
откуда следует, что -^->0, где у=р !/'р(р), х=р!\ Таким образом,
dP . 2
X. 3.5. В теории бесконечно малых деформаций (напомним, что отсчетная
конфигурация является естественной) тензоры Тi = Tt (vv v2, »3) имеют вид
Tt=*k(vl + v2 + vi-3) + 2li(vi-l), /==1,2,3. A)
При бесконечно малых деформациях собственные значения тензора Ё равны
vi — 1 и различие между главными силами и главными напряжеииими исче-
исчезает. Таким образом, при бесконечно малых деформациях Т-Е-условие
Принимает вид (Л + 2ц) (oj — OjJ>0, v^vit /=»1, 2, 3 и выполняется
тогда и только тогда, когда Я + 2ц>0. Далее, (соотношение A) обра-
обратимо) фф ((ЗЛ + 2ц) ц =^= 0). Для того чтобы в этом убедиться, запишем A)
следующим образом:
Это соотношение может быть разрешено относительно vi тогда и только
тогда, когда
А, + 2ц Л А,
А, Л+2ц А,
А, Л Л + 2ц
Условие Е-Т рассматривается таким же образом, как Т-Е. Условие
Q-F сводитси к неравенству 2ц fv{ — о,J>0, v^о., которое справедливо
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ 547
тогда и только тогда, когда ц>0. Поскольку в линейном приближеинн
T( = tt, то O-F^B-E. При бесконечно малых деформациях из есте-
естественной конфигураций соотношение (IX. 4-7) принимает вид
Т — - 2 р0Е + 2Э_,§] + const (tr E) 1, B)
где константа есть некоторая функция производных коэффициентов $г,
вычисленных в отсчетиой конфигурации. Кроме того, в отсчетиой конфигу-
конфигурации
З + а + з.а (з)
Сравнение B) и A) С учетом C) дает
Таким образом, Е=^и>0. Условие Р-С сводится к неравенству (ЗЯ + 2ц) X
1)^0, v ф it которое справедливо тогда и только тогда, когда
X. З.в. По теореме о среднем значении нз (X. 3-15) следует, что
з дТ
t. /-1 '
где аргументом для -в—- служит vk+ 9ftot, 0 ^ Эь^'. Ь = 1,2,3. В пределе при
3
получаем (!) =ф 2 /a!Wft>0- Таким образом, GCNo =Ф (Ma-
(Maтрица ||/Oft II неотрицательно определена).
Если матрица ||/а&|| положительно определена, то ее главные мииоры
порядков 1, 2, 3 положительны н, следовательно, -=— > 0. Таким образом,
GCN^ =# T-E+. Аналогично если матрица || 1аЬ || положительно определена,
то det|| 1аЬ || Ф 0. Таким образом, GCNjf ф IFS. Кроме того, матрица \l~?|
положительно определена, и потому GCNq" =ф Е-Т+. Таким образом,
GCN^ =# GCN0 =# @-F & Р-С). Если /^ =. Jba, то главные миноры ма-
матрицы II/об II равны
откуда и следует (X. 3-22).
X. 3.7. Поскольку vt > 0, то Т-Е+ О —|- > 0. Поэтому выполняется
(Х.3-24). Поскольку
{ia~tb)(t'a~4)=-2F(abab)(va-vbf(va + vl/) прн афЬ,
то выполняется (X. 3-25).
18»
548 ПРИЛОЖЕНИЕ III
X. 4.1. Подставив (VII. 2-5), в (X. 4.1) и вспомнив, что /> 0, сведем
(X. 4-1) к (X. 4-2). В главном базисе [ef\, соответствующем тензору Т,
tr[(Q- 1)T(QT-
| (Q -1) 2'Л®еД0т -l)|
L *=i J
i=\
Поскольку е^ • Qe4 есть косинус угла между е^ и Qe^, мы видим, что
1— e{-Qe{>0. Таким образом, (X. 4-3) представляет собой достаточное
условие для справедливости (X. 4-2). Для того чтобы .показать, что (X. 4-3)
является также и необходимым условием, возьмем последовательно в каче-
качестве Q отражения в плоскостях, нормальных к е4.
Если, в качестве Q можно брать только чистые повороты R, то. для того,
чтобы показать, что условия (X. 4-4) являются необходимыми, надо в каче-
качестве R брать последовательно повороты на прямой угол относительно направ-
направлений е3, ei и е2. Ван доказал достаточность условия (X. 4-4) следующим
образом.
Лемма. Если ортогональные базисы {е$ и {/<} имеют одну и ту же ориен-
ориентацию, то
Доказательство. Существует поворот R, такой, что [f^j = {Re{]. Пусть
матрица поворота R относительно базиса {ег] выражена через углы Эйлера:
IA2 - ца - v2 + Р2
ц2 - v2 - Я2 - р2
v2 - Я2 - (Jt2 + Р2
Диагональные элементы матрицы [R] равны е2-fj, e2'h и ез-гз. Поэтому
Поскольку правая часть неотрицательна для всех X, лемма доказана, в
ДокАЗАтельство достаточности. Предположим, что неравенства (X. 4-4)
выполняются. В силу результатов первой части этого упражнения если все ti
положительны, то все доказано. Поскольку предположением (X. 4-4) допу-
допускается, чтобы самое большее одно из ti было не положительно, мы можем
принять, что
<<0 <2>0, <3>0.
Пусть U = 0. Нам надо показать, что если R ф 1, то
h A - е2 • f2) + h (I - е3 • fa) > 0,
ио это так и есть, потому что обе величины, стоящие в скобках, положительны
при R ф_ 1. (Отметим, что это заключение было бы ошибочным, если бы ба-
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ 54Й
зис {fi} можно было получить из базиса {е<} несобственным ортогональным
преобразованием.) Остается нетривиальный случай, когда t\ < 0. В этом слу-
случае, согласно (X. 4-4),
и поэтому
WT1>0' Т77Г-1>а
Однако
Соображения, использованные в случае U = 0, показывают, что сумма пер-
первых двух членов в левой части положительна при R ф 1; согласно лемме,
третий член неотрицателен. Тем самым достаточность условия (X. 4-4) уста-
установлена. ¦
Переходя, наконец, к случаю бесконечно малых поворотов, мы видим, что
ввиду только что доказанного достаточность тривиальна: условие (X. 4-4) до-
достаточно при всех поворотах, бесконечно малых или нет. Для того чтобы
установить необходимость, положим R = 1 + R> где R -~ произвольный анти-
антисимметричный тензор; из (X. 4-2) получим
tr(RTRT)>0 при Ъфй.
Принимая в качестве осей новорота R по очереди главные «си тензора Т.
лридем к (X. 4-4). • —
Поскольку в естественной конфигурации t{ = 0, условие (X. 4-4) нару*
шается. Следовательно, (X. 4-2) не может быть справедливо для всех бес*
конечно малых поворотов Q из естественной коифнгурации.
X. 4.2. Подставьте (VII. 2-5)i в левую часть и используйте (X. 4-8).
з
X. 5.1. 1 + «D — A - и) 1 + "S — 2 [О - «) + us,] e, ® е,,
где
Sel-siel.
Поскольку *|>0, то A — u + us{)>0 при 0 < и < 1. Следовательно,
1 + «D — обратимый тензор. Отметим, что D и 1 + «D имеют одни и те же
собственные векторы. Остальное доказывается легко.
X. 5.2. Продифференцируйте (VII. 2-5)* относительно F и, исключив А из
получившегося соотношения и (X. 5-6), получите (X. 5-12). Выведите (X.5-13)
так, как указано в тексте. Поскольку тензор В положительно определен тогда
и только тогда, когда все его главные миноры положительны, выполняется
(X. 5-15). Для случая изотропных материалов покажите, что
тем самым докажете (X.5-16).
550 ' Приложение ш
XI. 1.1. Мы можем соединить х и х + Дх ломаными, составленными из
отрезков, параллельных координатным осям. Существует п\ таких линий. Как
легко покажет рисунок, для случая п = 2 по крайней мере одна из этих ло-
ломаных целиком лежит в 91+. Для нее
*?.« но, у+(^а u
dl ы+й Ь1
[ + (*¦ + А*„ *, + Ах2) - У+ (х. + А*„
Ax,
kl
dx.
+
dxt
dl
*,) - У+ (*„ хщ) А*2
"*" Ajk2 A/
XI. 4.1. Если pk — непрерывная функция от X, то, как показы-
показывает (II. 5-4), на сингулярной поверхности второго порядка [pJ^O.
Положив в (XI. 3-6) V =¦ р> получим
[grad pj =¦ 6п, [pi — — Sb,
поэтому
[pj = - Sn • [grad p].
С другой стороны, согласно (XI. 4-5J и (II. 5-7),
[р] = - р IE] = pSn • а.
Значит,
— Sn • [grad p] =* pSa • п.
Поскольку S # 0 для волны, отсюда следует требуемый результат. (Отметим,
что не исключаются продольные материальные сингулярные поверхности для
grad р, на которых а = 0.)
XI. 4.2. Подставив (IV. 4-4) в первый закон движения Коши (III. 5-1),
придем к динамическому уравнению для эйлеровых жидкостей
— grad р + pb =¦ рх.
Если р — непрерывно дифференцируемая функция от р, то
— р' grad р + pb =- рх.
Тогда на волне ускорения, согласно (XI. 4-3),
— р' [grad pi =¦ pS*a,
если [b] = 0. В силу результата предыдущего упражнения [grad p] II п; следо-
следовательно, то же верно и для а при условии, что S2 Ф 0. Беря скалярное про-
произведение спи используя (XI. 4-6), нолучаем (XI. 4-7).
XI. 4.3. Для нестесненной упругой жидкости результат предыдущего уп-
упражнения показывает, что все волны ускорения продольные. Поэтому, со-
согласно (XI. 4-5) з, [W] = 0. Таким образом, волиа ускорения ие может при-
принести завихренность в область, где ее прежде не было.
XI. 4.4, Для сингулярной поверхности порядка р(^ 2) относительно V
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ gg)
для всех путей z =¦ f (/) иа 9>. Таким образом, в х иуль-пространство сим-
симметричного тензора \д^Р\ содержит гиперплоскость, касательную к 9> в г.
Следовательно,
[d?v] = an ® п ® • • • ® я (р сомножителей).
Возьмите ЧГ = ХХ, используйте (XI. 3-1) и, разделив результат на временную
и пространственную части, получите (XI. 4-8).
XI. 5.1. Поскольку V н х непрерывно дифференцируемы в X (?¦,, t) и
X (^2. О и стремятся к непрерывным пределам на всех границах «ЭХ (^"р О U У*,
<?Х (^j, t) U ^~, мы можем применить (II. 6-10) к X (^r, f) и X (^2> 0 и таким
образом получить
А
dt
[ VdV=* j dt4TdV+ J Vi-ndA- J VSndA,
d г г с С +
dt J J J J
Сложение этих двух соотношений и небольшое последующее упрощение
дают (XI. 5-2).
XI. 5.2. Предположим, что в окрестности поверхности 91 величина
V)' — р2] ограничена почти всюду, а с каждой стороны 9* величины рЧГ,
Ф и х стремятси к пределам, которые представляют собой непрерывные
функции положения. Пусть' при этих условиях dt{&t, t) и dt (&>2, t) стяги-
стягиваются к 9? таким образом, что объем X (У, t) стремится к нулю, в то время
как площадь остается в пределе конечной. Объемный интеграл в (XI. 5-3)
стремится к нулю н получается (XI. 5-4).
XI. 5.3. Как отмечено в тексте, [р] = 0 иа слабой сингулярной поверхно-
поверхности. Поэтому мы можем взять Т = р в (XI. 3.6) и таким образом получить,
что IgradpJII п. Также как в упр. XI. 4.2, но без сделанного там предполо-
предположения о том, что р — непрерывно дифференцируемая функция р, мы видим,
что [х] || п, если [Ь] = 0. Таким образом, в упругой жидкости любого вида
любой разрыв ускорения должен быть продольным. В § XI. 4 мы видели, что
в изохорическом движении все волны ускорения поперечные. Следовательно,
в изохорическом движении упругой жидкости любая волна ускорения дол-
должна быть как продольной, так и поперечной, что невозможно.
XI. 5.4. Подстановка (IV. 4-2) в (XI. 5-5) дает
Мы считаем X н ц непрерывными функциями от р, поэтому, согласно (XI. 4-5),
получаем
-[p]n + S{(A, + H)(n.a)n + na]=-0. A)
Как мы внделн в § XI. 4, в изотропном движении а-п «= 0, так что A) при-
принимает вид
— 1р] п + 5ца =» 0.
552 приложение ш
Далее, векторы п и а, будучи взаимно перпендикулярными, линейно незави-
независимы, поэтому последнее соотношение означает, что
С другой стороны, если упругая жидкость сжимаема и если р — непрерывная
функция от р, то [/>]=¦ 0; значит, A) примет внд
n)(n.a)n + na]=0. B)
Скалярное умножение на п дает
Поскольку X + 2ц Ф 0, отсюда следует, что или п • а = 0, или S =* 0. В пер-
первом случае B) сводится к Sjia = 0, а поскольку ц Ф 0, мы заключаем,
что а=*0, если S Ф 0.
XI. 5.5. Дифференцируя (VII. 2-6) р — 2 раз по t, предполагая, что функ-
(р-2)
ция Ь непрерывна иа 91, и используя (XI. 4-8), получаем
[Div' Т~2)] - рх [?] - Р„(- Sxf aK.
(р-2) (р-2)
Поскольку [ Тх ] = 0, то применение теоремы Максвелла к Тх дает
Беря след первого из этих соотношений и умножая второе скалирно на пх,
мы найдем после некоторых упрощений, что
(р-2) (р-1)
(-Sx)[Div 1Ж ] = [ Т, ]пх.
Комбинируя это с A), получим (XI. 5-11).
XI. 5.6. Для упругой жидкости Т = — р (р) 1. Поэтому (XI. 5-12) при-
принимает вид
p'(p)[pJn
или
Применение соотношения (XI. 4-5)г приводит к равенству
р' (р) S (а • п) п = S3a.
Таким образом, а || п, и если мы возьмем а = п, то получим (XI. 5-6). Соот-
Соотношения (XI. 5-12) и (IV. 4-11) означают, что
-1р]п + Х[?)п + 2ц[Ь]п = 0.
Разумеется,
[Д'()[]'()[Я]
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ 553
Использование соответствующего случая формулы (XI. 4.0) завершает
решение.
XI. 6.1. Из (XI. 6-6) и формулы а= *°г у а^ следует, что
Qa~f
Уж
XI. 6.2. Если функция _Ц непрерывно дифференцируема, то
'"С = А [["MI = А [(- S,)'-1 а„ ® nj
в силу (XI. 4.8). Это соотношение в сочетании с (XI. 5-11) дает (XI. 6-4)
или (XI. 6-8).
XI. 6.3. Пусть плоская синусоидальная волна амплитуды а и длины
волны I, распространяющаяся в направлении п со скоростью S, предста-
представляется в виде
u-asin[— (n.p)-S(o], (О
Где п —постоянный вектор и р — вектор положения. Поскольку малое
смещение A) налагается на однородную конфигурацию, то А не зависит
от X и первый закон движения Коши принимает вид
где объемные силы при свободных колебаниях приняты равными нулю
и В0 = Ар- Подставляя A) в B), получим
или
(Q — p0S2l) a =¦<),. где Qkm
XI. 7.1. Записывая (X. 5-6) в виде
мы видим, что
XI. 7.2. Согласво (VII. 2-8),
TX = F
Далее, в силу определения (VII. 2-11)
Поэтому (X. 5-6) можно записать в виде
Используя равенства /аР =«¦ fia и Cv8 = С(,ч, можно вывести тождества
(XI. 7-6) из A). v v
554 ПРИЛОЖЕНИЕ lit
Если Т = 0, то (XI. 7-7) тривиально верно. Обратно, если (XI. 7-7) имеет
место, то
Умножая на gmp и выполняя обозначенное суммирование, получим ЗТк9 = Тк<г.
XI. 7.3. Вычитай (XI. 7-6)г из (XI. 7-6)t, мы получим соотношение, кото-
которое поможет нам оценить правую часть (XI. 7-11) через Т и g. Аналогично
сложение (XI. 7-6)i с (XI. 7-6J приводит к соотношению, которое дает иам
возможность оценить левую часть (XI. 7-10). Результат будет таков:
Для того чтобы показать, что отсюда следует (XI. 7-3), используйте сим-
симметричность Т it g.
XI. 8.1. Вспомните соотношение (XI. 7-7), которое справедливо в есте-
естественной отсчетной конфигурации. Следовательно,
tr{B [а® Ь] (а®Ь)т} = В*""%&ш)а,Д).
Неравенство GCN+ означает, что это выражение положительно при а Ф 0,
Ь Ф 0. Таким образом, получается (XI. 8-8)|. По существу те же самые
рассуждении приводят к (XI. 8-8J.
XI. 9.1. В состоянии объемного расширения с растяжением о из есте-
естественной конфигурации, подвергнутой давлению р = р (р), В представляет
собой сферический тензор, так что любой вектор является его собственным
вектором. Далее, tt = tt = t3 = t = t (v). Поэтому
S12 =" S23 — S31 = S21 =" S32 = S13 = SJ-'
и .9 скоростей волн сводится к двум. Соотношения (XI. 9-1), (VII. 4-22)
и (VII. 4-13) приводят к
Таким образом,
В состоянии объемного расширения с растяжением v предыдущие соотно-
соотношения дают
2
Г=0
Решения упражнений 655
(заметим, что (-|- + 2о« -^ + v* -A- - ± J^
Следовательно,
Исключение к,+2о2к2 из (XI. 9-7), и (XI. 9-7J дает (XI. 9-9).
В случае бесконечно малых деформаций из естественной конфигура-
конфигурации соотношения (XI. 9-7)t и A) принимают вид
«1 + 2к2 =• «2"~ "о =" ^>
pKS? /д
где
откуда и следует (XI. 9-8).
XI. 9.2. Прежде всего ((X. 5-12) & S-F) =ф
+ 2FkmrsBqsgTpakbmapbq>0 Va^O.b^O. (!)
Выбирая в качестве базисных единичные векторы, направленные вдоль соб-
собственных векторов тензора В, и полагая a = (at, 0, 0), b = (&i, 0, 0),
найдем, что
F<?m)>0.
Используя (X. 3-24), покажем, что S-E ф Т-Е+.
Полагая а=»(а,, 0, 0), Ь = @, 62, 0) в (!), получим, что /" A212) > а
Вспоминая (X. 3-25), найдем, что S-F =$ В-Е.
XI. 9.3. Соотношения (VII. 4-2) и (V. 4-13) дают
Fkm [
Выполните обозначенное дифференцирование и затем вычислите результат
в отсчетиой конфигурации. Получите
В=1
556 ПРИЛОЖЕНИЕ Ш
Подставив это выражение для F в (XI.9-1), получите (XI.9-11). Далее,
С2 п • Q (п) • п Д + 2ц
II р р
Выбор в качестве е единичной нормали п приводит к соотношению
С2 е ¦ Q (n) e ц
J- р р
XII. 1.1. Вычтя (XII. 1-1) из (XII. 1-2), возьмите скалярное произведение
того, что получится, на х* — х и затем проинтегрируйте по к(9$). После этого
воспользуйтесь теоремой о дивергенции.
XII. 1.2. Заметьте, что в теории бесконечно малых деформаций опреде-
определяющие уравнения линейны, так что если v =» v (X) н v* = v (X) — решения
одной и той же краевой задачи, то и (X) = v (X) — v* (X) есть решение,
удовлетворяющее нулевым условиям на границе. Используя (IX. 1-12) (в
упрощенной записи) и (IX.3-1), преобразуйте (XII. 1-4), а затем, воспользо-
воспользовавшись дополнительным неравенством (XI. 1-1), покажите, что Е = 0, и ин-
интерпретируйте этот результат.
XII. 2.2. Из (IX. 4-5) или (IX. 5-10) при п—\ видно, что, когда отсчет-
ная конфигурация является естественной,
tr(L[E]e) = tr(A0[H]HT).
Поэтому (X. 1-2) обеспечивает справедливость как (XII. 2-3), так и (XII. 2-5).
Теорема единственности Кирхгофа получается, таким образом, как частный
случай (XII. 2-6).
XII. 2.3. Если b = 0 и тело находится в состоянии равновесия в отсчетной
конфигурации, то подстановка наложенных синувоидальиых колебаний в
(IX. 2-4) и первый закон движения Коши приводят к дифференциальному
уравнению
div Ao [grad U] = — рш2и.
Возьмите скалярное произведение этого уравнения на V(x), проинтегри-
проинтегрируйте результат по хC9) и, воспользовавшись теоремой о дивергенции и
(XII. 2-7), покажите, что
J p0t/2rf7= J tr Uo [grad U] UT} dV.
w
XII. 5.1. В исходном состоянии (X. 5-6) =^A0 = B(,. Используя этот факт,
докажите, что
tr {А„ [Н] Нт} = tr {В„ [1] Е + В„ [Ё] RT + В, [R] Ё + В„ [R] RT}.
Из неравенств (XI. 7-6) следует, что
tr (В„ [Ё] RT + В„ [R1 Е + Во [R] RT} - tr {То (ER + RE + RTR)}.
Подставьте это в предыдущее соотношение и получите (XII. 5-1) из (XII. 2-3).
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИИ 557
XII. 5.2. По определению оси равновесия никакие повороты, за исключе-
исключением поворотов относительно этой оси, не будут сохранять баланс моментов.
XII. в.1. Соотношение (XII. 6-5) доказывается просто (ср. § IX. 5 и IV. 5).
Для того чтобы доказать (XII. 6-6), предположим, что W — произвольный
антисимметричный тензор, и выберем Q(a) так, чтобы удовлетворить тре-
требованиям
Q(«0Q(a)T-1, Q(O)=-1, Q{0)^-~-
¦ W.
a = O
Чтобы a (F) ие зависело от системы отсчета, необходимо, чтобы
a(F)=a(Q(a)F).
Продифференцируйте это соотношение по а и затем положите a = 0:
tr [{dFa (F))T WF] = tr [F (dFa (F))T w] - 0.
Раз это должно быть справедливо для любого антисимметричного W, то
FCFo-(F))T~3Fa(F)FT.
Поэтому (XII. 6-6) следует из (XII. 6-1).
XII. 6.2. То, что независимость а от системы отсчета влечет равенство
Т=»ТТ, следует из решения упр. XII. 6.1. Дли того чтобы показать, что
(Т=»ТТ, T=ap[dFff (F)]FT)=^(ff не зависит от системы отсчета),
предположим, что <р (а) = a (Q (a) F), где Q — тензорнозначная функция,
такай, что Q (a) Q(a)T =• 1, Q(a) = l. Дифференцирование этого соотноше-
соотношения по а дает
tr [QF CFa (QF))T QQT] «= tr [QF(9Fa (QF))T],
поскольку тензор QQT антисимметричен. Далее, согласно (XII. 6.1),
QF (dpff (QF))T симметричен, если Т симметричен. Следовательно, ф (а) = 0,
поэтому
$@)-a(F)-4>(a)-a(Q(a)F).
Таким образом, а не зависит от системы отсчета.
Сочетание двух приведенных выше результатов показывает, что (неза-
(независимость ст от системы отсчета) 4% (т = Тт). То, что (независимость Т
от системы отсчета) 4Ф (независимость а от системы отсчета), доказано
в тексте.
XII. 7.1. Покажите сначала, что
а значит, согласно (II. 5-4),
558 ПРИЛОЖЕНИЕ Ш
При а, заданном формулой (XII. 7-5),
р CFcr) FT = р (-^-) [- Р (F-1I] FT = р (р) 1.
\ Р /
XII. 7.2. Подставьте для I и II их выражения через Е и вычислите
явно (XII. 7-6); вы получите
Т = - р\ + Я (tr E) 1 + 2цЁ.
Затем вспомните (IX. 2-11).
XII. 7.3. Для изотропных материалов
cr(F)=<x(IB. Ив, Шв).
Предположите, что функция энергии деформации задана в виде ряда по сте-
пеиим главных иивариаитов классического тензора деформации Езг— (С—1):
где коэффициенты аь р,, р2 и р3 безразмерны. Здесь принято, что отсчетная
конфигурация является естественной и а^Я/ц.. Второй тензор напряжений
Пиолы — Кирхгофа Т„ дается соотношением
Заметьте, что
ё = 1(н+нт)=е-1нтн.
Выразите 1Е, 11Е, ШЕ через 1~, Н~, III- с точностью до членов второго
порядка по Е; затем, используя равенство
Т = /~1FfxFT,
покажите, что
-L = a,I~l + 2Е +1 a, tr (HHT) + ННТ +
(ЛЬ ?
+ [(- а, + Зр, + р2) 1| + (р2 +р3) Hg] 1 +
1
Сравнив это с (IX. 6-1), и выведете (XII. 7-8).
XII. 7.5. Предположите, что поля смещений Ui и иг суть решения уравне-
уравнений для бесконечно малых движений, соответствующие одним и тем же по-
рерхиостным усилиям на дх (Я), одним и тем же объемным силам в х (#)V/
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ 559
и одним и тем же начальным условиям в х(^). Тогда, поскольку дифферен-
дифференциальные уравнения линейны, их разности и есть решение, которое соответ-
соответствует нулевым условиям при отсутствии объемных сил:
b = 0 в и (9S), Тп = 0 на <Эх CS) Vf, и и =- О
всюду в *.(9&) при t = 0. Соответственно (XII. 7-4) примет вид
поэтому
Начальные условия дают К @) = S @) = 0. Таким образом,
J P(-i-|ul2 + a)rfF = 0.
в (Л)
Согласно (XI. 1.2), подинтегралыюе выражение неотрицательно, и оно обра-
обращается в нуль тогда и только тогда, когда и = 0 и Е = 0,
XII. 10.1. Для изотропных материалов а представляет собой изотропную
скалярную функцию симметричного тензора V. Теорема о представлении для
изотропных функций приводит к (XII. 10-10). Возьмите в качестве базисных
единичные векторы, направленные вдоль собственных векторов тензора V.
Тогда из. соотношения Т = pVdva (V) следует, что
ti = pvtdoci, <=•!, 2,3.
Таким образом,
з
GCN0=> 2
Если условие GCNo выполняется в некоторой выпуклой области пространства
растяжений, то GCNo =ф (функция & строго выпукла). Обратно, еслид строго
выпукла, т. е. если д\ д > с > 0, то имеет место GCNo. Поскольку CN =^
то CN =^ {а выпукла). Для того чтобы доказать этот последний
результат, сначала покажите, что функция а, заданная согласно (XII. 10-13),
выпукла. Далее, покажите с помощью контрпримера, что условие Ат ^ 0 не
следует из выпуклости д.
XII. 13.1. Если функция а задается соотношением (XII. 13-3), то a(S) =
9= сгA) = 0 для всякого положительно определенного симметричного тен-
тензора S, такого, что det S = 1, т. е. для любого изохорического чистого рас-
растяжения. Тем самым возникает противоречие с (XII. 10-7), хотя, конечно,
(XII. 13-2) выполняется. Чтобы закончить упражнение, покажите, что
Т= р(рI, где pM-M
Рх
и учтите результаты § IV. 16.
XIII.4.1. Пусть (х, Я, ц) —пространство с мерой, функции fn измеримы,
geL'(x, Q, ц), \fn(x)[ «??(*) почти всюду и либо
frf-*f почти всюду при п -> со,
560 ПРИЛОЖЕНИЕ III
либо
fn-+f по мере при я->оо.
Теорема Лебега о переходе к пределу под знаком интеграла утверждает,
что в этом случае
J I fn — /1 d\i -> 0 при n -> oo.
х
Чтобы применить эту теорему к даииой задаче, обозначим через /0 произ-
произвольный фиксированный момент времени и положим
F , Г F(s).
п{ I FU,), <0<s<n,
fn <SH К W - F (<о)С Р. « е [0, оэ)
f(s)-O.
Тогда frt (s) -> f (s) по мере при п -> оо. Чтобы доказать, что Hm © (Frt (s))=«
rt-*oo
= © ((F (<o))c. достаточно показать, что II Frt (s) — F «0))с ||->0 при n->co.
Теорема Лебега дает этот результат при условии, что мы можем подобрать
подходящее g. Мы сделаем это в каждом из трех случаев следующим образом,
(i) Если функция F* ограничена почти всюду, то это же верно и для F*.
Поэтому F* s 2>=^F*n e 2>. Далее,
! К - (F ('о))С Г < 2 (I F^l2 +1 F (<0) f) Vs в [0, о.),
так что функция | F^ — (F (?о))° |2 ограничена почти всюду. Пусть
Установите, что g (s) s Ll (%, Q, ц). Ясно, что I fn (s) | ^ g (s) почти всюду,
(ii) Возьмите
g(*HFS|2
(iii) Возьмите
g(S) = |Fj-(
И рассмотрите последовательность /rt(s)>
XIII. 8.1.
Ctt(s) = Ct(t-S) = Fj(x)Ft(x),
где т=1 — s. Используя (II. 8-7) и (IX. 1-2), покажите, что
Ft (T) = 1 + Н (т) - Н @ + О (е2),
и, воспользовавшись (IX. 1-7)], завершите упражнение.
XIII. 8.2. Соотношения (XIII. 8-4),, 2 доказываются легко. Если © (С)
и К (С, Z) дифференцируемы при С = 1, то
где
и
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ 561
Мы можем переписать (XIII. 8-3) в виде
оо
TR = То + L [Е* (/)] + 2 J A (S) К (I, s) [Е (t - s) - Е @1 ds + o (е«).
о
В силу определения (ХШ.8-6J
2 J A(s)K(l,s)[E>-s)-E(s)]rfs =
о
00
= Ja(S)ko,s
о
Поскольку
получаем (ХШ-8-5).
XIV. 2.1. Сперва исключите Q из (XIV. 2-6) и (I. 14-6). Затем восполь-
воспользуйтесь выражением для Е из (XIV. 2-7). Обратно, отправляясь от (XIV. 2-9),
определите Ё из (XIV. 2-7) и затем выберите ?1 таким образом, чтобы d
всегда удовлетворяло A.14-6):
XIV. 4.1. (XIV. 4-7),=#(XIV. 4-10); (XIV. 4-!7)=#>(XIV. 4-I6). Поэтому
в силу (XIV. 4-13)
Л А ТТ ^"* ^
оо
J M
-"шах
XIV. 5.1. Сравните (XIV.5-13)8 с (XIV. 5-11).
XIV. 5.2. Подставьте йо= 2 дь^ь + дв&аЬ в (XIV. 5-17) и сравните
6=1
результат с (XIV. 5-12). (Заметим, что при таком выводе никакой термоди-
термодинамической теории не трабуется; всё следует просто из термических урав-
уравнений состояния и определений теплоемкостей и скрытых теплот.)
XIV.513. (XIV.2-7) & (XIV. 5-9h=>(XIV. 5-20); (XIV. 5-20) & (XIV. 5-9J=#
=# (XIV. 5-2!). Из (XIV. 5-21 J иемедлеиио следует, что ?= © (9)^(XIV. 5-22).
Если выполняется (XIV. 5-22), то (XIV. 5-16) =ф?г =ша. Обратно, Lr =
XIV. 5.4. Положим в (XIV. 5-12) и (XIV. 5-17) * = I и Q=-0:
19 Трусделл
562 ПРИЛОЖЕНИЕ HI
Следовательно,
Ш— . О ии — '—2 V,
так что (XIV. 5-24) и (XIV.5-18J дают (XIV. 5-23).
XIV. S.S. Конечно, (XIV. 5-25) можно вывеств, _рспользуя «цепное пра-
правило» и различные тождества, но изящнее просто воспользоваться тем дока-
доказанным в тексте фактом, что для термодинамического газа адиабатичность и
изокалоричность одно и то же. Таким образом,
5 , _
V
Q=0
и (XIV. 5-25) тривиально следует из (XIV. 5-23).
XIV. S.6. Из определений (XIV. 2-7) н (XIV. 5-39) видно, что
к' ^
г -рЛо т ^7j 0)д1 а = ? — х)п -f
а=\
- ' " " ' ' . ' к
а=1
Таким образом, (XIV.5-41) следует непосредственно• из (XIV. 2-7). Из след-
следствий соотношения (XJV. 5-41) отметим, что X не может возрастать в нзо-
калорическом процессе, когда <о0 поддерживается постоянным, й что Z не
может возрастать в изотермическом процессе, когда ш„ поддерживается по-
постоянным. • ¦ •
XIV. S.7. Например, в силу (XIV. 5-9), и (XIV. 5-20) имеем
© (в, Г) =±Ъ (в, Г) - 6<Эе$ (в, Г) = % (Я, Г).
Следовательно,
Причем последнее равенство вытекает из предыдущего соотношения и
из (XIV. 5-9),.
Более короткие и простые доказательства предложены в упр. XV. 2.3.
XIV. S.8. Допустим, что указанные производные существуют, и положим
б(Л)-»0. Тогда подстановка (IV. 5-43) в (XIV. 2-8) дает
6
а, »=•!
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИИ 563
Чтобы это неравенство выполнялось тождественно для всех значений
при данном значении Х-, необходимо и достаточно, чтобы
па = 0, © = deg, йа = — д%а, тH = 0.
Доказательство, более изящное и пригодное при меньших ограничениях,
можно построить при помощи локальных квадратичных предложений, вводи-
вводимых ниже в § XV. 4.
XIV. 6.1. Чтобы вычислить ф в (XIV. 6-7) \, используйте «цепное правило»
и (XIV.6-6)i,2. В результате получите (XIV.6-7J. Чтобы получить (XIV.6-8),
продифференцируйте (XIV. 2-7) и, воспользовавшись (XIV. 2-5), установите,
что Ё = Р + Ш + В. Подставьте это выражение в уравнение энергии A.14-6)
и упростите результат при помощи (XIV. 6-1) и (XIV. 6-6) i,2-
XIV. 6.2. Работа Lt, совершаемая над телом 93, в- течение промежутка
времени 3~ давлениями трения, дается формулой
k
if— J
Г- а, 6=1
Поскольку матрица ||йО(,|| отрицательно полуопределена,
- J
Kb
a, 6=1
Поэтому интегрирование (XIV. 6-8) по Т дает
Из (XIV. 3-10)i мы получаем теперь более точную оценку, чем (XIV. 3-10)*-
а именно
+
В результате аналогичным образом уточняется оценка (XIV. 3-12):
~* • min I • |^ f \ mill
«max. \ С / С
В силу допущения (XIV. 5-12) ДА/ =« 0 и ДЕ = 0 в каждом цикле.
XIV. 6.3. Пусть некоторый цикл проходится за интервал времени [0, tt].
Соответствующий замедленный цикл проходится за интервал [0, U/r]. Работа,
совершаемая давлениями трения в замедленном цикле, дается формулой
Ulr к
L\r) - - J -' 2 ёаЬ {Х {rt)) fa {rt) *ь {rt) dtt
о в, 6—1
откуда (XIV. 6-11) получается сразу. В силу третьего соотношения, приведен-
приведенного в решении предыдущей задачи, для любого замедленного цикла
19*
564 ПРИЛОЖЕНИЕ III
так что
lim
Для любого цикла Карио соотношение (XIV. 4-16) выполняется тривиальным
образом, так что
-Выведенная перед этим предельная формула дает
"max "min /
Поскольку справедливо (XIV. 4-9), для любого данного цикла Карно
г-*0 «max
XIV. 7.1. В силу (XIV. 7-16) в однородном процессе h = 0. Если мы
предположим, что s = s(t), то
Q = Ms,
где М — масса тела 38. Остальную часть задачи проще понять в более об-
общей постановке, чем та, в которой orfa сформулирована. Прежде всего допу-
допустим, что в общем случае фит) зависят от F и 9:
ф — г]) (F, 9), r| = r|(F, 9).
Тогда в однородном процессе, поскольку F и в.— функции от одного только
t, мы будем иметь
F = Мф(F, 9), H = Mr\(F,9).
Далее, обобщим определение (IV. 4-13) линейно вязко-упругого материала,
допустив, что коэффициенты в этом определении зависят от температуры,, и
сформулируем определяющее соотношение в терминах напряжений Пиолы
Тх, определенных соотношением (VII. 2-5):
где Lx — линейный оператор. В силу (II.11-5)
TGT = .Г'T^F7 (FF-')T = /~'TXFT.
Поэтому, применяя (III. 5-12) к однородному процессу, мы получим
TGT = М Ь Г-f- Ьх (F, 9) FT + J- (Ь (F. 9) [F]) FT].
L Рх Р* J
Если мы выберем 9 компонент Fka градиента F в качестве параметров Г,,
Т2,.... Г9, то эти определяющие соотношения превращаются в частный
случай соотношений (XIV. 5-1) и (XIV. 6-1). Равновесные давления й'—это
компоненты тензора — (М/рх) \)ж, а давления треиия йв(, — компоненты тен-
тензора — (М/рх) L,,. Таким образом, (XIV. 6-6) дает
' Т1=-аеФ, tr[(Lx(F, e)[F])FT]>0.
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИИ 565
Для частного случая линейно-вязкой жидкости функции ф, т) и Lx зависят от
F лишь через det F, и только что полученные соотношения эквивалентны
(XIV. 7.8) и (XIV. 7-23).
(Против такого метода получения ограничений говорит то, что он не-
неполон. Рассматривая лишь однородные процессы, мы исключаем эффекты теп-
теплопроводности.)
XIV. 7.2. Неравенство (XIV. 7-23) можно по-другому записать в виде
•§• и) (trDJ + 2A tr [(d -у (trD)lJ] >0.
Поскольку tr D и D — 1/з (tr D) 1 можно задавать независимо, приведенное не-
неравенство выполняется VD в том и только том случае, когда
B \ 4
^ + -о- ЦI + -g" V-i отсюда следует, что если ц Ф 0, то
XV. 1.1. Подставляя (XIV. 7-2) в (III. 5-13), а затем результат в (XV.1-6),
- получим
рб — р Fт| -ъ)-рЕ-к (tr DJ - 2ц trD2.
Воспользовавшись (II.5-7), (XIV.7-6) и (XIV. 7-9),,2, установим (XIV. 1-7).
Как было по сути дела показано в упр. XIV. 72,
рб = (л + j ц) (trDJ + 2ц tr [(d - j (tr D) lJ];
отсюда можно вывести последнее утверждение упражнения. \
XV. 1.2. В силу (XV. 1-7) рб —МР, в. D) и /(р, в, 0)=0. Согласно
(XIV. 7-16), fth • grad в = g (р, в, grad в), причем g (р, 9, 0) = 0. В таких обо-
обозначениях (XV.1-10) принимает вид
/(р, 9,D) + ag(p,9, grad9)>0.
Переменные D в grad 9 независимы. Приравнивая их по очереди нулю, по-
получим (XV. 1-9).
XV. 1.3. Если д не зависит от х, то (XV. 1-13) переходит в
)>д Г h-ndA+Ъ J
(последнее —в силу (XV. 1-1)).
XV. 2.1. Это можно вывести из очевидного тождества
ф _ (_ г,ё) = ё - 9т| = в (-п - (--i) ё).
XV. 2.2. См. упр. VII. 22.
566
ПРИЛОЖЕНИЕ III
XV.2.3. Ввиду (XIV.2-8), (XIV.2-1) и (XIV. 5-41) мы можем построить
следующую таблицу:
1.
2.
3.
4.
л
F
Е
X
Z
к
(Г, в)
(Г, ft)
К Я)
E,9)
т
(-5,-я)
(-ю, 9)
(Г, 9)
(Г,-Я)
Таким образом, соотношения (XIV. 5-42) —это просто соотношения (XIV. 5-9)
в других обозначениях, если только Е, X и Z суть значения непрерывно
дифференцируемых функций от (Г, Я), (ю, Я) и (<о, 9) соответственно.
XV. 2.4. В теории теплопроводности Фурье мы можем принять
я ф > (9) n
н соотношения (XV. 2-13) сведутся к
Тогда (XV. 2-7) принимает вид
р9 (Г (в) в + чв) - grad 9 • К (в) grad 9 < 0.
Это неравенство справедливо для всех 9 и grad 9 в том и только том слу-
случае, когда ti = — f (в) и тензор К (9) положительно полуопределен. В клас-
классической теорнн Жидкостей мы можем принять
я = ¦ф, к = (F, 9), ц = -?- gra-d 9, т = (Т, — г\), а = h/p,
и соотношения (XV. 2-3) сведутся к
Ч> = /ЧР.6), —ti = g(p,9), T = <o(p,9)l + ^trD + 2nD, h = x(9)grad6.
Подстановкой этих выражений в (XV, 2-7) получается приведенное неравен-
неравенство диссипации. Используя результаты упр. XIV. 7.2 и XV. 1.2, покажите,
что это неравенство эквивалентно соотношениям (XIV. 7-8), (XIV. 7-24) и
(XIV. 7-26).
xv. зл. ац [y (I,
„у (К ц)] • и + v {К »»)•
XV. 3.2. Мы начнем с соотношения (XV. 3-19), в котором предполагается,
что функция е непрерывно дифференцируема и по F, н по г[. В силу (XV. 1-2)
и (XV. 3-19J е — является обратимой функцией от ц. Таким образом, \ =
= \) (F, 9), где Ц — возрастающая функция от е при каждом F, и е = е (F,
§ (Fi 9)), так что мы можем положить
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ s . 567
Следующий шаг состоит в том, чтобы продифференцировать так определен-
определенную функцию f. «Цепное правило» обеспечивает существование и непрерыв-
непрерывность производных f, если производные Ь существуют и непрерывны. После
этого непосредственным дифференцированием получаем (XV. 3-18). Таким
образом, чтобы вывести (XV. 3-18) из (XV. 3-19), достаточно допустить, что
в результате обращения функции * относительно т) получается непрерывно
дифференцируемая функция от F и 6.
Подобным же образом, чтобы получить (XV. 3-18) из (XV. 3-20), доста-
достаточно допустить, что в результате обращения функции Ь относительно е по-
получается непрерывно дифференцируемая фуикция от F и 6.
Для получения других желаемых следствий нужно, по-видимому, сде-
сделать несколько более сильные допущения, поскольку из (XV. 1-2) непосред-
непосредственно не следует, что все нужные обращения возможны. Если мы допустим,
что 1) обратима относительно е и что полученная обратная функция е непре-
непрерывно дифференцируема, то из (XV. 3-20) следует (XV. 3-19). Аналогично,
если мы допустим, что d$f можно обратить относительно 9 и что обратная
функция непрерывно дифференцируема по F и т), то из (XV. 3-19) следует
(XV. 3-18).
- XV. 3,4. Согласно (XV, 3-18) з,
p9f)= p
XV. 3.4. Мы начнем с (XV. 3-19). Из (XV. 3-19K сразу получаем (XV. 3-
31) г, так что, согласно (XV. 1-2), мы имеем, скажем,
Следовательно, согласно (XV. 3-28),
* ^ е - т)9 = ekin (F) + etherm (Ч) + T]<herm ft) = ekin (F) + ftherm (9),
где
ftherm (9) = ^therm (Ив)) + Мб) et'herm (ИЭ)).
Таким образом, нз (XV. 3-28) получены соотношения (XV. 3-29) и (XV. 3-30) 2.
Используя аналогичные рассуждения, легко провести доказательство в обрат-
обратную сторону.
Далее, если термоупругий материал предполагается упругим, то необхо-
необходимо и достаточно, чтобы Т„ было функцией только от F; согласно (XV. 3-
18J, условие этого таково:
эв<М = 0,
а общим решением последнего дифференциального уравнения является (XV. 3?
29). Остальная часть выделенного курсивом утверждения перед соотноше-
соотношением (XV. 3-30) немедленно следует нз (XV. 3-18J.
Наконец, поскольку 6 = 0, из (XV. 1-5) и (XV. 3-31) i мы получаем
и в силу (XV. 3-21) этот результат совпадает с (XV. 3-32), поскольку f имеет
внд (XV. 3-29).
. XV. 3,5. То, что неравенство Клаузяуса — Дюгема следует нз неравенств
Фурье и Планка, было показано в § XV. 1. Допустим теперь, что справедливо
неравенство (XV. 2-3):
Р (¦ + т)9) - ? Ь (TXFT) < 0h • grad 9. (А)
568 ПРИЛОЖЕНИЕ III
В силу допущения об определяющих соотношениях левая часть этого нера- -
веиства сводится к некоторой функции только отР, 6, F и 6. Поэтому огра-
ограничение на эту функцию можно получить, подставляя в правую часть любое
значение grad в, в частности grad 6 = 0. Таким образом,
(п + ^ef) в -ь tr f/aFf — -J- TJ ft 1
(В)
Выражения в круглых скобках являются оба функциями только от F и в и
не зависят от 6 и F. Неравенство требует, чтобы скалярное произведение не-
некоторого заданного 10-мерного вектора на произвольный 10-мериый вектор
всегда имело один и тот же знак. Так может быть в том и только том слу-
случае, когда данный вектор равен нулю. Таким образом, справедливы соотно-
соотношения (XV. 3-18)г,з, так что неравенство (В) сводится к равенству 6 = 0, а
неравенства (А)—к неравенству — h-grad в ^ 0.
XV. 3.6. Подстановка в (XV. 1-6) 6 = 0 дает
ф + гH = ё - 6f) = — tr [TXFT].
Рх ' '
При изотермической деформации это соотношение с учетом (XV. 3-26) при-
принимает вид
причем это соотношение должно выполняться для всех F. Для любых задан-
заданных значений F и в выражение в круглых скобках представляет собой 9-мер-
9-мерный вектор, который должен быть ортогональным ко всем 9-мерным векто-
векторам.. Поэтому это выражение равно нулю, и мы получаем соотношение
(XV. 7-4) с а = f. Аналогичным образом для нзокалорнческих деформаций
путем таких же рассуждений получаем соотношение (XI. 7-4) с о* = е.
XV. 3.7. Для идеального газа, как показывает соотношение (XIV. 5-28) ь
справедливо (XV. 3-33) с tkm s 0, Поскольку справедливо также (XIV. 5-27),
E не есть функция одного только р, как это было бы в соответствии с (XV. 3-
30). Таким образом, идеальный газ не является пьезотропным. Следовательно,
нельзя ожидать, что для идеального совершенного газа будет выполняться
соотношение (XV. 3-32). Как это подсказывается частным случаем (XIV. 7-17),
для идеального совершенного газа
рхю6 = — р div х + div h + ps,
что согласуется с (XV. 3-32) только в изохорических движениях.
XV. 4.1. Очевидно,
6 tr (ffDG) + $ • grad 6 = х (grad 9J + Fv + a) (D grad 6) • grad 6.
С учетом этого подстановка в B0L D = 0 дает (XV. 4-23) ь Деля затем на
Igrad в|, получим неравенство
¦к + Fv + a) n • Dn > 0,
которое должно выполняться для всех D и всех единичных векторов п. Взяв
О = Сп ® п, придем к неравенству
VC,
что возможно, только если выполняется соотношение (XV. 4-23).
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ . 569
XV. 5.1. Проходит в точности то же самое рассуждение, что и при вы-
выводе теоремы о термодинамическом потенциале в § XV. 3.
XV. 6.2. В силу аксиомы 3 существует производная Л:
«(<)¦- 11л,
Л->0
Из (XV. 6-14) видно, что
+", и,
, и, (/)) —
Допустим теперь, что (А,, ц) е 2), и рассмотрим локальное линейное про-
продолжение (Х„, цт). Поскольку ц (t + h) = ц (t) + Am, две предыдущие фор-
формулы дают
G другой стороны, из (XV. 6-5) следует, что
Л @ = D^ (Я.', ц (/)) • + ЯД} (X', ц @).
Эти два выражения для Л(^) должны быть равны при каждом т. Следо-
Следовательно,
DJS W, Ц «)) = lim дЗ W+h, v)
ft0
В силу аксиомы 3 функция, стоящая в левой части этого уравнения, не-
непрерывна справа. Поэтому непрерывна справа и функция в правой части
уравнения, откуда и следует (XV. 6-15).
XVI. 1.1. На сингулярной поверхности второго и высшего порядков
условие [hl = 0 эквивалентно условию [hx]=0. По теореме Максвелла
(XI. 2-4)
[Grad hx] = b ® n*.
где Ь — амплитуда сингулярности. Следовательно,
— [h*] • n = S*b • n = S* [Div h*].
Теперь желаемый результат (XVI. 1-8) следует из (XVI. 1-7).
XVI. 2.1. Вместо того чтобы использовать (XVI. 2-15), легче заново от-
отправиться от (XV. 3-19) и получить таким образом
где А = рх3рб. Значит, для изокалорической волны
[tx]=-Af[FI].
Дальше доказательство развивается в той же последовательности, что при-
привела нас к (XVI. 2-6), с той лишь разницей, что член, пропорциональный в,
570 ПРИЛОЖЕНИЕ III
отсутствует. Определяя А* по А при помощи формулы, аналогичной (XVI. 2-7),
мы получим (XVI.2-17J и одновременно условие распространения для изо-
калорических волн:
BK
XVI. 2.2. Нам понадобитси кинематические тождества
Первое из них дает
aFp = -PF
Из (XIV. 7-9K и (XlV.7-8J видно, что .
F
Поэтому из (XIV. 2-2) следует, что
а тогда в силу (XVI. 2-7) и (XVI.2-17J
Подстановка в (XVI. 2-15) дает
Далее, ввиду (ХУ.5-18I>г и (XIV. 5-16)
Таким образом, в силу (XIV. 7-10)
« « _Л
Xffl x»- р
так что (*) превращается в соотношение
арй + (у —
Эквивалентное (XIV, 5-25).
СОКРАЩЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ
В СПИСКАХ ЛИТЕРАТУРЫ К ГЛАВАМ
CFT The classical field theories, «Handbuch der Physik», 31, Berlin — Gottin-
gen ¦=—Heidelberg, Springer, 1960.
IRE C.-C. Wang & С Truesdell, Introduction to rational elasticity, Groningen,
Wolters-Nordhoff, 1972.
NFTM The поп-linear field theories of mechanics, «Handbuch der Physik», 33,
Berlin — Heidelberg — N. Y., Springer, 1965.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адамар (J. Hadamard) 333, 334, 347,
356, 427
Адкинс (Adkins) 433
Александров П. С. 8
Амонтон (G. Amontons) 419
Архимед ('АрхщцбцО 350
Батра (R. Batra) 12
Бейкер (М. Baker) 327
Беркер (Berker) ПО, 242
Бернуллн (D. Bernoulli) 151
Бернштейи (В. Bernstein) 325, 340,
341, 348
Бнтти (М. L. Beatty) 361
Боуэн (Bowen) 460, 463
Браудер (F. E. Browder) 359, 360
Брэгг (Bragg) 318
Бурбакн (N. Bourbaki) 29
Бургин (D. G. Bourgin) 344
Даламбер (J. d'Alambert) 89, 92
Да Сильва (Da Silva) 308
Даффин (F. J. Daffin) 257, 259
Джозеф (D. D. Joseph) 225
Джоуль (J. P. Joule) 77, 399
Дилуорт (R. P. Dilworth) 19
Дубнов Я. С. 84, 125, 131
Дьёдонне (J. Dieudonne) 189
Дэй (W. A. Day) 429, 472, 487
Дюбуа-Реймон (E. Du Bois-Rey-
mond) 8
Дюгем (= Дюэм) (Р. Duhem) 335,
419, 428
Дюпон (Dupont) 109
Жилин П. А. 7
Йин (W.-L. Yin) 12, 227
Валле-Пуссен (Ch.-J. de la Vallee-
Poussin) 525
Ваи (C.-C. Wang) 12, 184, 187, 199,
203, 207, 236, 356, 380, 382, 384, 397,
460, 463, 472, 548, 571
Ван Бюрен (Van BQren) 269
Ван Хоф (L. Van Hove) 359, 360
Вейерштрасс (К. Weierstrass) 8
Вильяме (W. О. Williams) 12, 77, 80,
124, 127, 132, 139, 186, 436
Гамель (Hamel) 14
Гиббс (J. W. Gibbs) 482
Гильберт (D. Hilbert) 8, 14, 61
Гохман В. С. 9
Грин (А. Е. Green) 244, 254, 302, 303,
312, 443, 448
Гринберг Дж. (J. Greenberg) 496
Гринберг Ф. (F. M. Greenberg) 397
Гуртин (М. Е. Gurtin) 12, 77, 80, 124,
137, 139, 186, 312, 336, 397, 436, 467.
469, 476, 494, 496~
Гюгонио ( = Гюгоньо) (P. H. Hugo-
niot) 151,335
Каприоли (Caprioli) 370
Каратеодори (С. Caratheodory) 25
Карно (N. L. S. Carnot) 406, 441
Касуэлл (Casswell) ПО
Каттанео (Cattaneo) 356
Келлог (О. D. Kellogg) 23, 81
Кельвин (W. Kelvin) 103, 177, 279,
406, 448
Кирхгоф (G. R. Kirchhoff) 147, 349,
350, 448
Клаузиус (R. J. Clausius) 406, 416,
418, 419
Клеро (А. С. Clairaut) 70
Колеман (В. D. Coleman) 6, 109, 180,
192, 195, 199, 208, 209, 233, 255, 256,
259, 318. 322, 327. 366, 367, 371,
378, 381, 385, 386, 389, 390, 394, 397,
443, 452, 457, 467, 471, 476, 477, 482,
487, 494, 496
Колмогоров А. Н. 84, 384, 388
Колоднер (I. Kolodner) 345
Коссера Ф. (F. Cossera) 109
Коссера Э. (Е. Cossera) 109
Коши (A. Cauchy) 10, 99, 112, 137,
151, 160, 180, 189, 300
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
573
Лав (А. Е. Н. Love) 312, 314
Лагранж (J. L. Lagrange) 9, 10, 92,
96, 525
Ланглуа (W. E. Langlois) 244, 259
Лесли (P. M. Leslie) 199
Лиувилль (J. Liouville) 525
Лурье А. И. 7
Максвелл (J. С. Maxwell) 151, 289
Майер (J. R. Mayer) 418, 419
Манроу (М. Е. Munroe) 131
Маркович (Н. Markovitz) 233, 237,
259
Маррис (A. W. Marris) 285
Мизел (V. J. Mizel) 139, 257, 259, 385,
443, 452, 457, 472, 487
Мюллер (I. Muller) 436
Навье (L. M. H. Navier) 160, 300
Нейман К. (С. Neumann) 147
Никерсон (Н. К. Nickerson) 11
Нолл (W. Noll) 5, 12, 14, 45, 72, 80,
137, 148, 151, 182, 184, 187—189, 191,
192, 195, 203, 208, 209, 229, 233,
235, 244, 255, 270, 320, 322, 325, 327,
356, 362, 366, 367, 378, 381, 386, 389,
390, 394, 397, 443, 449, 487
Hone (R. Knops) 351
Ньютон (I. Newton) 61, 67, 68
Пауэр (Power) 419
Пипкин (А. С. Pipkin) 227, 259, 445
Планк (М. К. Е. L. Planck) 420
Пойнтинг (Pointing) 279, 289
Пуанкаре (Н. Poincare) 169
Пуассон (S. D. Poisson) 300, 338
Рейиер (Reiner) 272
Ривлнн (R. S. Rivlin) 109, 182, 209,
236, 237, 244, 254, 259, 275, 291, 302,
310—312, 385, 445
Рихтер (Richter) 270
Рич (Reech) 421
Ройден (Н. L. Royden) 85, 384, 388
Сакс (S. Saks) 85
Саусвелл (R. V. Southwell) 314
Сен-Венан (Н. J. С. Saint-Venant) 160
Серрин (J. В. Serrin) 177, 225, 232,
- 233, 270
Сниьорини (A. Signorini) 304, 312
Соломой (L. Solomon) 12, 312
Спенсер (D. С. Spenser) 11
Стинрод (N. E. Steenrod) 11
Стиппс (Stipps) 344
Стоке (G. G. Stokes) 145, 151, 160,
428
Стоппелли (F. Stoppelli) 269
Таунли (Townly) 419
Тинг (Т. W. Ting) 255, 259
Токуэка (Tokueka) 12
Томас (Thomas) 334
Топакоглу (С. Topakoglu) 310, 312
Трусделл (С. Truesdell) 5, 6," 12, 23,
48, 109, ПО, 137, 180, 208, 233, 236,
256, 259, 274, 302, 320, 321, 325—
327. 338, 344—348, 351, 360, 364—
366, 407, 413, 423, 424, 429, 449, 487,
494, 496, 571
Тупин (R. A. Toupin) 184, 274, 320,
321, 325-327, 340, 347, 348, 360, 366
Тэйт (Tate) 44, 103
Удескнни (Udeskini) 370
Уилкс (Е. М. Wilkes) 351
Фёдоров Е. С. 344
Фикера (G. Fichera) 312, 360
Фингер (Finger) 272
Фойгт (Voigt) 448
Фомин С. В. 84, 384, 388
Фосдик (R. Fosdick) 225, 232
Френель (A. J. Fresnel) 343
Форье (J. В. J. Fourier) 147
Халмош (P. R. Halmos) 99, 195
Херрера A. Herrera) 496
Хилл (Hill) 322
Хобсон (Е. W. Hobson) 461
Ху Сы-цзян (Sze-Tsen Ни) 344
Чень (P. J. Chen) 348, 496
Шилд (R. Т. Shield) 302, 303, 312
Шэн (Chain) 364
Эвклид (EvxXei6n.?) 151
Эйлер (L. Euler) 61, 70, 75, 88, 92,
108, 113, 151, 172
Эриксен (J. L. Ericksen) 109, 229, 232,
233 236, 244, 283, 285, 327, 346, 347,
360
Юврар (Youvrar) 12
Юнг (Т. Young) 289
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
абсолютная температура 400
абсолютно твердое тело 33
— твердый материал 169
адиабатический процесс 408
аксиома баланса энергии 399
—г диссипации 401
— инерции 65
— локального замыкания 470
— непрерывности 377
справа 471
— непроницаемости 37
— Нолла о независимости от систе-
системы отсчета 62
— о гладкости равновесных реакций
478
г процессах-константах 476
релаксации накопления 477
— треугольника 512
— цепного правила 471
' — Эйлера 68
аксиомы Нолла 152—153
актуальная конфигурация 86, 87
акустическая теория 338
акустические осн 338
— числа 338
акустический тензор 337
— — гомокалорнческий 492
гомотермнческий 492
относительный 337
аллотропия 196
амплитуда 330
— собственная 332
— термическая 488
анизотропия 193
антисимметричный тензор 506
арифметическое пространство 514
астатическая нагрузка 310
аффинное эвклидово пространство
511
базис 499
— взаимный 504 *
— главный 509
— дуальный 504 .
— естественный 515
— ортонормированный 504
баланс 140
— энергии 77, 146, 399
безвихревое движение 107
бесконечно малая деформация 293
мера деформации 293
— малый поворот 293
борелевское множество 25
будущее 33
булева алгебра 21
вектор положения 44
векторное поле 513
положений 44
— произведение 107
векторнозначная мера 29
векторный инвариант тензора 107
величина сдвига 103
вечное движение второго рода 368
взаимный базис 504
взаимодействие 31
винтовое течение 221
виртуальная скорость 368
— работа 368
виртуальное движение 368
. - замкнутое 369
однородное 369
виртуальный градиент деформации
369
внскознметрические функции 213, 214
внскозиметрическое течение 206
вихревое движение 107
вихрь 107
— простой 108
внешнее поле массовых сил 122
— произведение 506
внешность тела 18
внешняя сила 31, 71
результирующая 31
внутренние связи 166
внутренняя диссипация 431, 439
— энергия 76, 399
волна 332
— главная 345
— гомокалорическая 490
— гомотермическая 490
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
575
— звуковая 338
— ускорения 333
волновая нормаль 333
временной интервал 34
время 14, 32, 33
вселенная 15
— замкнутая 18
всеобъемлющее тело 17
вторая теорема о работе 370
вторичное течение 233, 243
второе следствие относительно цикли-
циклических процессов 484
второй градиент 514
выворачивание 290
выделившееся тепло 405^406
вырожденный тензор 501
вязкость 160
газ идеальный 419
— термодинамический 418
газовая динамика классическая 426
галилеев класс 59
гексагональная система 194
гексагонально-бнпирамндальная си-
. стема 194
гексагонально-пирамидальная систе-
система 194
гексагонально-скаленоэдрическая си-
система' 194
гексагонально-трапецоэдрнческая си-
система 194
гексатетраэдрическая система 194
гексоктаэдрическая система 194
геометрическое условие совместности
333
геометрия 14
гиббсов крест 107
гидростатическое состояние 144
гироэдрическая система 194
гиперплоскость 511
гиперупругий материал 340
главная волна 345
главные инварианты 272, 508 •
тензора 101—102
— компоненты тензора 274
— коэффициенты упругости 274
— напряжения 144, 273
— оси деформации 100
инерции 53
—¦ — напряжений 144
тензора скоростей растяжения
106
— растяжения 101
— силы системы напряжений 273
— скорости растяжения 106
главный базис 509
гладкое поле 328
гомеоморфизм 33
гомокалоричеСкая волна 490
гомокалорнческнй акустический тен-
тензор 492
— процесс 448
гомокалорическое течение 427
гомотермнческая волна 490
гомотермический акустический тен-
тензор 492
— процесс 448
гомотермическое течение 427
градиент 513
— второй 514
— деформации 90
виртуальный 369
относительный 99
— повторный 514
— скорости 106
— смещений 292
— температурный 438
— термический 438
граничное условие для перемещений
265
усилий 266
группа галилеевых преобразований
59
— изотропии 185
— ортогональная 506
— постоянных жестких преобразо-
преобразований 59 -
— равноправности 184
— унимодулярная 503
давление 130, 158
— термодинамическое 415
давления равновесные 421
— трения 421
движение 14, 36, 81
— безвихревое 107
— виртуальное 368
— вихревое 107
— жесткое 51
— замедленное 238, 390
— материально застойное 201
декартово пространство 514
декартовы координаты 515
депланация 303
дефект 183
деформации эквивалентные 87
деформация 86, 163, 263
— бесконечно малая 293
— конечная 293
— конформная 195
— нежесткая 263
— однородная 111
57ft
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
СИ-
— ортогональная 102, 190
— относительная 98
— универсальная 282
дивергенция 514
дигексагонально-бипирамидальная си-
система 194
дигексагонально-пирамидальная
стема 194
динамика 14
динамический процесс 149
днплоидальная система 194
дислокация 184
диссипативное натяжение 453
диссипация внутренняя 431, 439
цитетрагоиально-бипирамидальная си-
система 194
дитетрагонально-пирамидальная си-
система 194
дитригонально-бипирамидальная си-
система 194
днтригонально-пирамидальная систе-
система 194
диффеоморфизм 98
дифференциальное уравнение движе-
движения для изотропных тел 274
теории упругости общее 265
Эйлера для жесткого движе-
движения 72
дифференцТфуемость 513
— по Фреше 386
дополнительное следствие относи-
относительно циклических процессов 485—
486
дуальный базис 504
единица времени 34
— длины 35
— массы 25
— силы 26
— скорости 38
совершения работы 40
единичный тензор 500
единообразное тело 183
естественная конфигурация 165, 262
— сдвиговая вязкость 214
естественный базис 515
-жесткий класс 59
Жесткое движение 51
жидкая частица 221
Жидкий кристалл 199
жидкости 197
— линейно-вязкая 160
— невязкая 160
— политропная 318
— Ривлина — Эриксена 235
— совершенная 160
— термомеханическая 456
— упругая 158
— эйлерова 158
— п-го порядка 239
забыватель 386
забывающая мера 379
зависимость от системы отсчета 59
завихренность 107
задача Кулона 288
задача Пойнтинга 289
закон адиабатического изменения
Пуассона 419
— Коши 295
— преобразования 500
— суперпозиции 297
— теплопроводности Фурье 427
-- четвертой степени 226
законы движения *Коши 142
Ньютона 67
Эйлера 70—72
закручивание 227
замедленное движение 238, 390
— определяющее соотношение Коле-
мана — Нолла 391
замена системы отсчета 45, 47
замкнутая вселенная 18
замкнутое виртуальное движение 369
замороженная нагрузка 371
запоминание 379
затухающая память Колемана — Нол-
Нолла 386
звуковая волиа 338
идеальный газ 316; 419
идемпотент 507
излучение 146
изменение системы отсчета 45
изокалорический процесс 408, 448
изокалорнческое течение 427
изотермический процесс 408, 447—448
изотропная функция 159, 207, 235
изотропное отображение 190
— твердое тело 192
изотропный материал 159, 189
изохоричность 108
импульс деформации 384
инвариантное подпространство 5С7
инверсия центральная 501
инерциальная система 66
инерционная 'сила 69
инерционный момент 69
иитеисивность источников тепла 430
иифииитезимальная память 375
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
577
калория 403
касательное напряжение 139
— усилие 139
касательные модули 346
квазиупругое поведение 460, 462
^-кинематика 14
кинематическая поверхность 96
кинематические условия совместности
333
кинетическая энергия 39
класс галилеев 59
— жесткий 59
— покоя 59
классическая газовая динамика 426
— теория вискозиметрии 215
ковариаитная производная 519
ковариантные компоненты 504—505,
516.
количество движения 38
коммутирующие тензоры 501
компонента 499, 501, 502, 505
компоненты ковариантные 504—505,
516
— контравариантные 504, 516
— метрики 516
— иеголоиомиые 518
— смешанные 504
— физические 518
конечная деформация 293
консервативная массовая сила 122
— система сил 79 .
константа сдвиговой вязкости 214
контактная сила 1.21
контравариантные компоненты 504,
516
конфигурация 36, 81, 512
— актуальная 86
— естественная 165, 262
— неискаженная 189, 191
— однородная 174, 177
— отсчетная 86
конфигурации равноправные 184
конформная деформация 195
координата 515
координатная кривая 515
— поверхность 515
координаты декартовы 515
— прямоугольные 515
— сферические 515
— цилиндрические 515
кориолисово ускорение 50
коэффициент полезного действия 406
— Пуассона 299
коэффициенты реакции 272
к. п. д. 406
кратность 507
кривая 35
кристалл жидкий 199
кристаллическое твердое тело 192
кристаллографические оси 193
кручение простое 104
— чистое 290
кубическая система 194
куэттовское течение 224
лаграижево описание 88
лапласиан 514
лемма Адамара 328
— Гуртйиа 336
линейная комбинация 499
— теория вязко-упругости при ко-
конечных деформациях 389
— упругость 295
линейно зависимое множество векто-
векторов 499
— независимое множество векторов
499
линейио-вязкая жидкость 160
линейио-вязкий материал 161, 393
линейное отображение 500
— треиие 421
масса 14, 23, 81
— нулевая 24
— точечная 22, 30
массивная точка 30
массовая сила 121/122
— — консервативная 122
' стационарная 122
материал 152
— абсолютно твердый 169
— гиперупругий 340
— дифференциального типа 234, 451
порядка п 392
сложности п 234
степени п 392
— изотропный 159, 189
— интегрального типа 396
— лииейио-вязкий 161, 393
— нерастяжимый 169
— несжимаемый 168
— обладающий положительной про-
. дольной упругостью 344
— определенно-проводящий 494
— ортотропный 193
— простой 154, 439
— пьезотропный 449, 450
— Ривлииа — Эриксеиа 207
— с затухающей памятью Колема-
иа — Нолла 386
инфинитезимальной памятью
234
квазиупругим поведением 460
578
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
мгновенно-упругой реакцией
469
— со слабо затухающей памятью 380
— совершенный 432
— твердый 191
— термоупругий 442
— трансверсально изотропный 193
— триклинный 192
— упругий 157,- 260
— эгалитарный 189
материальная производная 94
— линия 115
— область 115
— поверхность 95, 115
— точка 152 •
простая 154
термомеханическн зафиксиро-
зафиксированная 482
материально застойное движение
201
— изоморфные тела-точки 183
материальное описание 87
матрица тензора 501
мгновенное пространство мест 33
мгновенно-упругая реакция 469
мера 24
— векториозначная 29
— деформации 87, 272
бесконечно малая 293
— забывающая 379
место 14, 32
механически совершенный 76
мёртвая нагрузка 371
мировая линия 35
— трубка 35 •
мир событий 32
модуль секущий 346
— касательный 346
— объемного сжатия 298
— растяжения 299
— сдвига 277, 298
— Эйлера 299
— Юнга 299
Момент 41
— времени 32
— инерции 53
— инерционный 69
— количества движения 39
— результирующий 41
— самовоздействия 43
— силы 41
— системы сил 40
моноклинная система 194
мощность 75
— напряжений 145
навье-стоксова теория вискозиметрии
215
наблюдатель 33
нагрузка астатическая 310
— замороженная 371
— мертвая 371
накопление 438
наложение тел 16
напряжение касательное 139
— начальное 294
— сдвиговое 139
напряжения главные 144
— неупругне 377
— номинальные 274
— статические 376
— технические 274
— упругие 377
натянутое (о подпространстве) 499
находится в ситуации (о процессе)
438
начало 44
— отсчета времени 34
начальное напряжение 294
невязкая жидкость 160
неголономные базнсы 91
— компоненты 518
независимость от системы отсчета 57,
58
нежесткая деформация 263
неискаженная конфигурация 189, 191
'неотрицательно определенный тензор
510
непроводящее тело 493
неравенства Бейкера — Эриксена 317
— упорядоченных сил 317
— В-Е 317
— Е-Т 317
— Т-Е 316
— O-F 317
неравенство Адамара 356
— диссипации приведенное 403, 436,
437
— Клаузнуеа 403
• — Клаузиуса — Дюгема 435
— Колемана — Нолла 366
— Коши 503
— остаточное 453
— Планка 432
— Стокса — Дюгема 428
— Фурье 433
— Н356
— Р-С 318
нерастяжимый материал 169 .
несжимаемый материал 168
нетождественный поворот 510
неупругие напряжения 377
неустойчивость 257
нилыютентный тензор 501
номинальные напряжения 274
норма 34, 377, 503
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
579
нормаль волновая 333
нормальное усилие 139
норма тензора 507
нулевая масса 24
нулевое тело 17
нуль-пространство 500
обобщенное условие Колемана —
Нолла 322
образ 500
обратимый тензор 501
обратная температуру 400
обратное отображение 500
обратный тензор 501
общее дифференциальное уравнение
теории упругости 265
— уравнение поля 142
объемлющее тело 16
однородная деформация 111
— конфигурация 174, 177
однородное виртуальное движение
369
— поле тяготения 122
— тело 174, 183
однородный процесс 402
окружающий мир 30
описание движения лаграижево 88
материальное 87
относительное 98
отсчетное 88
пространственное 89
эйлерово 89
определенно-проводящий материал
494
определитель 503.
определяющее отображение тела-точ-
тела-точки 152
— соотношение 150—152
замедленное 391
приведенное 162
Эйлера 158
— уравнение для бесконечно малых
деформаций 295
ортогональная группа 506
— деформация 102, 190
ортогональное дополнение 503
ортогональные векторы 503
ортогональный Тензор 35, 506
ортонормированный базис 504
ортопроектор 507
ортотропиый материал 193
оси акустические 338
— кристаллографические 193
- основная теорема Адамара об устой-
устойчивости 356
о гиперупругих твердых телах
366
разложения 21
основное условие совместности Ада-
Адамара 329
основные законы движения в меха-
механике сплошной среды 123
остаточное неравенство 453
ось 515
— вращения 49
— жесткого движения 51
— поворота 510
— равновесия 269-
для нагрузок 310
— свободного вращения 74
— спииа 50
отделённые тела 18
относительная деформация 98
— ориентация системы отсчета 46
относительное описание 98
относительный акустический тензор
337
— градиент информации 99
— поворот 102
— тензор Коши — Грина 102 •
— тензор растяжения 102
отсчетная конфигурация 86
отсчетное описание 83
оценка Карно — Клаузиуса — Кель-
Кельвина 407
память 152
— инфинитезимальная 375
v — слабо затухающая 380
пара 41
параллельное подпространство 511
первая теорема о работе 369
первое следствие относительно цик-
циклических процессов 483
первый закон термодинамики 77
перенос 511
переопределенная задача 281
перестановочные тензоры 501
переход от одной системы отсчета к
другой 45
плотность внутренней энергии 425
— калории 425, 431
— массы 84
— свободной Энергии 425, 436
поведение 462
— квазиупругое 462
поворот 35, 506
— бесконечно малый 293
— нетождественный 510
— относительный 102
повторный градиент 514
поглощенное тепло 405
подобные тензоры 102
подповерхность 128
позднее 34
580
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
поле 519, 514
— массовых сил 122
внешнее 122
— скоростей 89
— смещений 292
— тяготения однородное 122
•=- усилий 122
— ускорений 89
полилинейная форма ограниченная
387
симметричная 387
полиномиальное отображение 387
однородное ограниченное 387
политропиая. жидкость 318
полная запасенная энергия 363
— энергия 78
положительная продольная упругость
344
положительно определенный теизор
509
полунорма 377
полярное разложение 510
полярный момент инерции 53
попарно уравновешенная система сил
28
поперечная сингулярность 330
порождающие элементы группы 194
порожденное (о подпространстве)
499
порядок жидкости 239
постоянная предыстория 376
постоянное жесткое преобразование
59
— продолжение 381
постоянные.Ламэ 296
постулат Коши 133
поступление 141
— тепла 146
потенциальная функция 78
— энергия 78, 79
поток 141 .
— тепловой 430, 438
почти всюду 84
правила Нолла 188
— равноприсутствия 441
правильная дуга 81
предыстория 105
предыстория-константа 376
— постоянная 376
— прошлая 458
— с конечным запоминанием 379
преобразование галилеево 59
— постоянное жесткое 59
приведенная форма определяющего
соотношения 162
приведенное неравенство диссоциа-
диссоциации 403, 436, 437
— уравнение баланса энергии 147
приложенная сила 67
приложенный силовой момент 67
принцип баланса энергии 147
— Даламбера 260
— детерминизма 152
для простых материалов со
связями 167
— действия и противодействия 64
— диссипации 401
— затухающей памяти n-го порядка
386
— инвариантности 261
— локального действия 153
— материальной независимости от
системы отсчета 153
— момента количества движения 72
— теплового потока Фурье — Стокса
147
— термодинамически допустимого де-
детерминизма 402
эффективный 404
согласованного детерминизма
, 439
— разрезания Эйлера — Коши 122
— сохранения массы 26, 61
— эквивалентности тепла и работы
77
приток тепла 146
продольная сингулярность 330
проектор 507
произведение внешнее 506
— скалярное 503
— тензорное 504
— тензоров 501
производная 513
— ковариантиая 519
простая материальная точка 154
— связь 166
— система моментов 41
простое кручение 104
— сдвиговое течение 108
— собственное число 508
— тело 170 .
простой вихрь'108
— материал 154, 439
— сдвиг 103, 175
пространственное описание 89 ¦
пространство аффинное эвклидово
511
— моментов времени 33
процесс 402, 438
— адиабатический 408
— гомокалорический 498
— гомотермический 448
— изокалорический 448
— изотермический 447—448
— однородный 402
прошлая предыстория 458
предметный указатель
581
прошлое 33
прямая сумма 503
прямоугольные координаты 515
пьезотропиый материал 449, 450
работа виртуальная 368
— совершенная телом 405
равновесная реакция 476
— ситуация 477
равновесное натяжение 453
равновесные давления 421
равноправные конфигурации 184
разложение полярное 510
— спектральное 509
— Эйлера — Коши — Стокса 106
размерность 499, 511
раньше 34
расстояние 512
растягивающее усилие 130
растяжение в направлении п 112
— главное 101
— чистое 101
расход 220
реакция 154, 260, 404, 439
—мгиовенйо-упругая 469
— равновесная 4/6
регулярная область 81
результирующая внешняя сила 31
— сила 27
— — взаимодействия 31
— скорость иагрева 76
результирующий момент 41
ромбическая система 194
ромбоэдрическая система 194
самовоздействие 32
самовоздействня момент 43
сбалансированная система сил 28
сбалансированные моменты 41
сверхустойчивость по Адамару 352
свободная энергия 403
сверхустойчивость по Адамару по от-
отношению к бесконечно малым де-
деформациям 354
свободная энтальпия 420
свободное колебание 355
— тело 67
связь внутренняя 166
— простая 166
сдвиг 112, 511
сдвиговое направление 139
— течение 217
стационарное 210
— усилие 139
сдвиг простой 103, 175
секущие модули 346
сжимающее усилие 130
сила 26
— взаимодействия 31
результирующая 31
— внешняя 31, 71, 122
результирующая 31
— инерции 69
— инерционная 69
— консервативная 122
— -контактная 121
— массовая 121, 122
— приложенная 67
— результирующая 27
— самовоздействия 32
— стационарная 122
силы центральные 43
сильная сингулярная поверхность 331
сильно эллиптический оператор 342
символы Кристоффеля 518
— порядка малости 512
симметричный тензор 506
сингулярная поверхность 329
гомокалорическая 490
гомотермическая 490
сильная 331
слабая 331
и-го порядка 330
сингулярность поперечная 330
— продольная 330
система контактных сил 124
— координат 514
— массовых сил 124
— моментов 41
простая 41
сбалансированная 41
отсчета 33
система сил 26
консервативная 79
попарно уравновешенная 28
сбалансированная 28
— скоростей нагрева 76
системы отсчета совпадающие 46
— покоя 51
ситуация 402, 438
— равновесная 477
скалярное поле 514
— произведение 503
тензоров 507
скачок 329
скорость 37, 82
— виртуальная 368
— звука 338
— контактного нагрева 146
— иагрева 76
— объемного иагрева 146
расширения 108
— перемещения поверхности 95
— подвода тепла 399
582
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
. —распространения поверхности 97
собственная 97
— растяжения 112
в направлении п 113
главная 106
— сдвига 112, 210
— совершения работы 40
собственная 399
— и-я 37
скрытая теплота 417
слабая" сингулярная поверхность 331
слабо затухающая память 380
след 507
следствие относительно циклических
процессов второе 484
дополнительное 485—486
первое 483
сложность 234, 451
слоистое поле 144
смешанные компоненты 504
смещение 280, 292
собстнениая амплитуда 332
— работа, производимая телом 405
— скорость распространения поверх-
поверхности 97
совершения работы 399
собственное значение 507
— подпространство 507
— число 507
простое 508
собственный вектор 508
событие 32
совершенная жидкость 160
совершенный материал 432
— механически 76
— энергетически 77
совпадающие системы отсчета 46
соединение тел 16
соотношение Эйлера 112
состояние 400
спектр 508 •
спектральное разложение 509
спин 48, 106
— жесткого движения 51
стандартные способы интерпретации
438
статика 14
статические напряжения 376
стационарная массовая сила 122
— ось вращения 55
стационарное сдвиговое течение. 210
Стокса—Дюгема теория 428
Стокса — Дюгема — Фурье теория 428
сферические координаты 515
твердое тело изотропное 192
кристаллическое 192
Ривлииа — Эриксена 235
твердый материал 191
тел наложение 16
— соединение 16
-тела внешность 18
— отделённые 18
тела-точки материально изоморфные
183
тело 14, 15, 81
— абсолютно твердое 33
— всеобъемлющее 17
— единообразное 183
— непроводящее 493
— нулевое 17
— нулевой массы 24
— однородное 174, 183
— простое 170
— твердое изотропное 192
кристаллическое 192
— объемлющее 16
— свободное 67
— термодинамическое 404
— упругое 260
тело-точка 37, 81
теизор 34, 500
— антисимметричный 506
— вырожденный 501
— вязкости 393
— давлений 137
— единичный 500
— инерции 53
— Коши —Грина 101
относительный 102
— линейной упругости 295
— напряжений 137
Коши 295
Пнолы 264 <
"— неотрицательно Определенный
510
— нильпотентиый 501
— нулевой 500
— обратимый 501
— обратный 501
— определяющих напряжений 167
-«- ортогональный 35, 506
— поворота 100 -
— положительно определенный 509
— равновесной проводимости 445
.— растяжения 100
относительный 102
— Ривлина — Эриксена 109
— симметричный 506
— скоростей "растяжения 106
— собственно ортогональный 506
— траиспоиироваииый 505
— унимодулярный 503
— упругости 265, 274
— эйлеров 52
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
583
тензорное произведение 504
тензоры коммутирующие 501
— перестановочные 501
теорема Адамара о гиперупругом те-
теле 340 ,
сильно эллиптическом тензо-
тензоре упругости 342
об устойчивости основная 356
— Бернштейна 341
— Вана 207
— Вейнгартена — Адамара 333
— взаимности Коши 139
— Гамильтона — Кэли 508
— Гуртина — Вильямса о напряже-
напряжениях 130
— единственности Кирхгофа 355
Эриксена — Тупина — Хилла
355
— Зарембы — Зоравского 118 .
— Кельвина 177
— Кельвина — Тэйта о центре масс
44
— Кёнига — Эйлера о кинетической
энергии 56
— Кирхгофа об устойчивости 314
— Клаузиуса 418
— Колемана 468, 478—479
— Колемана — Нолла о замедлении
390
— Колемана — Трусделла об одно-
однородном несжимаемом теле 178, 180
— Кочииа 334
— Коши о полярном разложении 99
об аффинных изотропных
функциях 160
фундаментальная 137
— Лагранжа — Коши о сохранении
безвихревого течения 180
— Лиувилля 525
— Максвелла 330
— Нолла о движениях с постоянной
предысторией главных относитель-
относительных растяжений 201
действии и противодействии
1за
жидкостях 197
попарно уравновешенных си-
системах сил 28 ""
постулате Коши 134
сбалансированных системах
сил 28
скорости совершения рабо-
работы 64
центральных силах взаимо-
взаимодействия 43
об изотропных материалах 159
— о волнах в определеиио-проводя-
щих материалах 494
гиперупругих твердых телах
основная 366
количестве движения в анали-
аналитической динамике 72
моменте количества движения
в аналитической динамике 72
работе вторая 370
первая 369
третья 371
потенциале 448
— — релаксации напряжений 381
согласованности с термостати-
термостатикой 479
термодинамическом потенциале
416, 473
теории термоупругости
445
цикле Кар но 413
— переноса Рейнольдса 95
— представления 503
дли билинейных функций 505
конгруэнции 512
— приведения Нолла 162
— Пуассона — Коши 295
— Пуассона—Кристоффеля 347
о центральных силах взаимо-
взаимодействия 43
— работы 64
— Радона --- Никодима 84
— разложения основная 21
— Рейиольдса о переносе 95
— Ривлина — Эриксена о представ-
представлении 270
— Сегнера 53
— Селерье — Рихтера 157
— совместности Гюгонио 332
и единственности Синьорини 310
— Стокса ПО
— сохранения механической энергии
145
— Фёдорова — Стиппса — Трусделла
344
— Френеля 343
— Френеля — Адамара 338
— Френеля — Адамара—Дюгема 492
— Эйлера о жестком движении 51
-с неподвижной точкой
53
поворотах 35
скорости изменения момен-
момента в жестком движении с непо-
неподвижной точкой 55
спиие 52
стационарной оси вращения
55
об оси свободного вращения 74
— энергии (в аналитической динами-
динамике) 80
584.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
для гиперупругих тел 363
классической гидродинамики
170
температура 400
— абсолютная 400
— обратная 400
температурный градиент 438
теория вязких жидкостей Стокса —
Дюгема 428 ¦ '
теплопроводящих жидкостей
Стокса — Дюгема — Фурье 428
— Навье — Стокса 160
— термоупругости 442
тепло выделившееся 405—406
тепло поглощенное 405
тепловаи грань 401
тепловой поток 147, 430, 438
теплоемкость 417
теплопроводность 146, 427
термическая амплитуда 488
термический градиент 438
термодинамика. 404
термодинамический газ 418
термодинамическое давление 415
— тело 404
термомеханика 436
термомеханическая жидкость 456
термомеханически зафиксированная
точка 482
термомеханический 436
термомеханическое натяжение 438
термостатика 472
термоупругий материал 442
тетартоэдрическая система 194
тетрагональная система 194
тетрагонально-бипирамидальная си-
система 194
тетрагонально-дисфеноидальная си-
система 194
тетрагонально-пирамидальная систе-
система 194
тетрагональио-скалеиоэдрическая си-
система 194
тетрагонально-трапецоэдрическая си-
система 194
технические напряжения 274
течение 158
— винтовое 221
— внскозиметрическое 206 ^
— в канале 219
— вторичное 233, 243
— гоЪюкалорическое 427
— гомотермическое 427
— изокалорическое 427
— куэттовское 224
— сдвиговое 217
прбстое 108
—' — стационарное 2J0
— частично управляемое 227
точечная масса 22, 3.0 v
точечное эвклидово пространство 511
точка 511
— массивная 30
— материальная 152
трансверсально изотропный материал
193
трансляционное пространство 34, 151
трансляция 511
транспонированный тензор 505
третья теорема о работе 371
тригонально-иирамидальная система
194
тригонально-трапецоэдрическая систе-
система 194
триклиииая система 194
триклинный ма'териал 192
трубка мировая 35
угловая скорость 48, 50
угол поворота 50, 510
¦— сдвига 293
удельная внутренняя энергия 430
— движущая сила 245
течения 217
— энергия 146
удельный объем 426
удлинение 293
универсальная деформации 282
универсальное соотношение 278
Ривлииа 288
унимодуляриая группа 503
унимодулириый тензор 503
упорядочение частичное 15
упругая жидкость 158
упругие напряжения 377 ¦>
— постоянные второго порядка ЗГ1
упругий материал 157, 260
упругое тело 260
упругость лииейиая 295
уравнение баланса 140
— для плотности при отсчетном опи-
описании 92
при пространственном опи-
описании 92
— поля общее 142
— состояния 414
— Эйлера для жесткого движения 72
усилие-касательное 139
— нормальное 139
— растягивающее 130
— сдвиговое 139
— сжимающее 130
ускорение 37, 82
— кориолисово 50 '
— центростремительное 50
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
585
— эйлерово 50
условие Адамара 343
— Даламбера — Эйлера 177
— Колемана — Нолла обобщенное
322
— иа моменты 361
— прилипания 96
— распространения 337
— совместности Адамара основное
329
геометрическое 333
— Пуассона 335
— Фурье 489
— Эйлера 95
— В-Е 317
— C-N 366
— Е-Т 317
— GCN 322
— GCN+ 325
— GCNo 319
— GCNJ 320
— Н343
— IFS 316
— O-F 317
— S-E 342
— ТЕ 316
условия совместности кинематические
333
Синьор и ни 308
устойчивость 351
— по Адамару 352
отношению к бесконечно малым
деформациям 354
физические компоненты 518
формула Беркера 242
— Гагена — Пуазейля 226
— Даламбера — Эйлера 93—94
— Кельвина 115
— Лэмба 116
формулы Эйлера 93
фундаментальная лемма Коши 133
— теорема Коши Н4, 137
о движениях с постоянной
предысторией главных относитель-
относительных растяжений 201
— жидкостях 197
функции разностей нормальных на-
напряжений 214
функционал памяти 152
функция влияния 386 -
— депланации 303
— диссипативиого натяжения 453
— запасенной энергии 340, 361
— касательных напряжений 214
— равновесного натяжения 453
— релаксации напряжений 395
— сдвиговой вязкости 214
— тока 92
характеристики 525
характеристический интеграл 525
— корень 508
холодность 400
центральная инверсия 501
центральные силы 43
центр масс 44
центростремительное ускорение 50
цепное правило 468, 514, 471
цикл 405
— Карно408, 411
цилиндрические координаты 515
частично управляемое течение 227
частичное упорядочение 15
частица 22
часть 15. 82
чистое кручение 290
— растяжение 101
эвклидова инвариантность 262 -
эвклидово пространство 26, 503
точечное 511
эгалитарный материал 189
эйлеров тензор 52
эйлерова жидкость 158
эйлерово описание 89
— ускорение 50
эквивалентные деформации 87
— динамические процессы 150
эксперимент 156
экстремальные принципы классиче-
классической термостатики 481
энергетически совершенный 77
энергетическое уравнение 449
энергия внутренняя 76, 399
— запасенная полная 363
— кинетическая 39
— полная 78
— потенциальная 78
— свободная 403
— удельная 146
энтальпия 420
— свободная 420
энтропия 401
эффект Кельвина 279
— нормальных напряжений 214
— Пойнтинга 279
эффективный принцип термодинами-
термодинамически допустимого детерминизма
404
ядро 500
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редакторов перевода __ 5
Предисловие ~. . . . 9
Часть 1
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
Глава I. Тела, силы, движения и энергии , 13
.§ 1. Рациональная механика 13
§ 2. Тела вообще . . 15
§ 3. Примеры вселенных 22
§ 4. Масса : 23
§ 5. Сила 26
§ 6. Мнр событий. Системы отсчета .. 32
§ 7. Движения 36
§ 8. Количество движения. Момент количества движения. Кинетиче-
Кинетическая энергия. Скорость совершения работы ........ 38
§ 9, Замена системы отсчета 44
§ 10. Жесткое движение .* ........... 51
§ П.,Независимость от системы отсчета 57^
§' 12. Аксиомы механики 0
§ 13. Аксиомы инерции. Законы движения Эйлера 65
§ 14. Энергия 75
Список литературы . . ... , . . ... . 80
Глава II. Кинематика ....._..¦ -. 81
§ 1. Тела, конфигурации, движения 81
§ 2. Плотность массы . . .-- 83
§ 3. Отсчетная конфигурация. Деформация .......... 85
§ 4. Описания движения 87
§ 5. Градиент деформации ......... 90
§ . Материальные скорости изменения и градиенты при простран-
пространственном описании. Материальные, поверхности. Кинематические
границы ..,.....'.... 93
§ 7. Замена отсчётной конфигурации . ... . . . ; . . . . 97
§ 8. Актуальная конфигурация в качестве отсчётной . •." . . . .98
ОГЛАВЛЕНИЕ 587
§ 9. Растяжение и поворот 99
§ 10. Предыстория 105
§ 11. Скорость растяжения и спин . . 105
-§ 12. Однородные деформации ' .111
§ 13. Скорости изменения интегралов по материальным линиям, по-
поверхностям и областям 115
§ 14. Изменение системы отсчета. Независимость от системы отсчета 116
Список Литературы 119
Глава 111. Тензор напряжений 120
§ 1. Силы и моменты. Законы динамики. Массовые силы и контакт-
контактные силы 120
§ 2. Поле усилий. Постулат Коши и теорема Нолла 132
§ 3. Фундаментальная теорема Коши. Существование тензора на-
напряжений 137
§ 4. Общее уравнение баланса 140
§ 5. Законы движения Коши 142
§ 6. Баланс энергии ' 146
Список литературы . . . ^ 148
Глава IV. Определяющие соотношения 149
§ 1. Динамические процессы . * 149
§ 2. Определяющие соотношения. Аксиомы Нолла 150
§ 3. Простые материалы 154
§ 4. Некоторые классические частные случаи. Следствия из аксиомы
независимости от системы отсчета 157
§ 5. Независимость от системы отсчета. Приведенные определяющие .
соотношения 161
§ 6. Внутренние связи . 166
§ 7. Принцип детерминизма для. простых.материалоа со связями . .167
§ 8. Уравнения движения для простых тел 170
§ 9. Однородные деформации простых тел без связей 173
§ 10. Однородные деформации несжимаемых простых тел . . . . . 176
§ Нематериальный изоморфизм ¦ . . 182
§ 12. Группа равноправности . • 184
§ 13. Сопоставление между собой групп равноправности по отноше-
отношению к различным конфигурациям 188
§ 14. Изотропные материалы 189
§ 15. Твердые тела 191
§ 16. Жидкости 196
§ 17. Жидкие кристаллы 199
§ 18. Движения с постоянными предысториями главных относитель-
относительных растяжений 200
§ 19. Приведенная форма определяющего соотношения для простого
материала в движении с постоянной предысторией относитель-
относительных главных растяжений 207
Список литературы 208
588 ОГЛАВЛЕНИЕ
Часть2
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИ
Глава V. Общая теория вискозиметрии .209
§ 1. Система напряжений при вискозиметрическом течении несжи-
несжимаемой жидкости 209
§ 2. Вискозиметрические функции. Эффекты нормальных напряже- ~
ннй 213
§ 3. Место классической теории вискозиметрии среди других теорий 214
§ 4. Динамические усилия в основных вискозиметрических течениях 216
§ 5. Невозможность стационарного прямолинейного течения в трубах 228
Список литературы 233
Глава VI. Некоторые частные случае течения ряда специальных жид-
жидкостей 234
§ 1. Жидкости Ривлина — Эриксена 234
§ 2. Вторичное течение при движении несжимаемой жидкости в
прямой трубе. Предварительные соображения 243
§ 3. Вторичное течение жидкости третьего или более высокого по-
порядка в прямой трубе 245
§ 4. Вторичное течение в прямой трубе. Обсуждение вопроса . . . 252
§ 5. Нестационарное .прямолинейное течение несжимаемой жидкости
второго порядка -. 255
Список литературы 259
Часть 3
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Глава VII. Упругие материалы 260
§ 1. Определение упругого материала и упругого тела 260
§ 2. Дифференциальные уравнения и граничные условия в теории
упругости , 263
§ 3. Неединственность решения, в общем случае. Существование и
единственность решений для малых нагрузок и смещений . . 267
§ 4. Изотропные упругие материалы 269
Список литературы 275
Глава VIII. Универсальные деформации изотропных тел ...... -276
§ 1. Нормальные усилия при простом сдвиге 276
§ 2. Универсальные деформации в общем случае 280
§ 3. Универсальные статические деформации простых тел без внут-
внутренних связей и изотропных упругих тел 282
§ 4. Универсальные статические деформации изотропных несжимае-
несжимаемых упругих тел ..,,,,,,,,.,,,.,.. 283
ОГЛАВЛЕНИЕ 589
§ 5. Примеры универсальных деформаций для изотропных несжи-
несжимаемых тел 286
Список литературы 291
Глава IX. Формальные приближения в теории упругости 292
§ 1. Бесконечно малые деформации 292
§ 2. Определяющее уравнение для бесконечно малых деформаций
упругого материала 294
§ 3, Классическая теория упругости при бесконечно малых дефор-
деформациях 297
§ 4. Соотношение линейной теории упругости и общей теории упру-
упругости 300
§ 5. Итерационное решение граничной задачи с заданными усилиями 304
§ 6. Приложения метода возмущений 310
Список литературы 312
Глава X. Дополнительные неравенства в теории упругости 313
§ 1. Роль дополнительных неравенств в теории упругости при бес-
бесконечно малых деформациях 813
§ 2. Потребность в дополнительных неравенствах в общей теории
упругости 314
§ 3. Некоторые простые статические неравенства 315
§ 4. GCN-неравенство 321
§ 5. Дифференциальная форма GCN-условия 324
Список литературы 327
Глава XI. Распространение волн 328
§ 1. Лемма Адамара 328
§ 2. Сингулярные поверхности. Теорема Максвелла 329
§ 3. Сингулярные поверхности для движения 330
§ 4. Условие совместности для слабых сингулярных поверхностей . 331
§ 5. Общий баланс на сингулярной поверхности. Баланс количества
движения 334
§ 6. Слабые волны в упругом теле. Акустический тензор 336
§ 7. Симметричность акустического тензора. Гиперупругие мате-
материалы 339
§ 8. Последовательности различных дополнительных неравенств . .341
§ 9. Слабые волны в изотропных материалах 345
Список литературы 347
Глава XII. Устойчивость, энергия и работа 349
§ I. Тождество Кирхгофа. Устойчивость 349
§ 2. Устойчивость по отношению к бесконечно малым деформациям 353
§ 3. Основная теорема Адамара 355
§ 4. Однородные конфигурации 359
§ 5. Влияние бесконечно малых поворотов 360
§ 6. Функция запасенной энергии гиперупругого материала . . . , 361
590 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 7. Мощность напряжений в гиперупругом материале . . . . . 363
§ 8. Две группы равноправности 364
§ 9. Минимум функции запасенной энергии 365
§ 10. Неравенство Колемана — Нолла 366
§ 11. Виртуальная работа граничных усилий 368
§ 12. Однородные виртуальные деформации однородных тел . . . 369
§ 13. Теоремы о работе 369
Список литературы 372
Часть 4
ЗАТУХАЮЩАЯ ПАМЯТЬ
Глава XIII. Принципы затухающей памяти 373
§ 1. Статика и теория упругости. Представления о затухающей па-
памяти .373
§ 2. Медленно затухающая память 376
§ 3. Забывающие меры. Запоминание. Слабая затухающая память . 378
§ 4. Релаксация напряжений .¦ 381
• § 5. Затухающая память более высокого порядка 386
§ 6. Теория линейной визко-упругости при конечных деформациях . 388
§ 7. Медленное двяжение и материалы Ривлина — Эриксена . . . 390
§ 8. Бесконечно малые деформации 394
§ 9. Отношение к классическим теориям 395
Список литературы , 397
Часть 5
ТЕРМОМЕХАНИКА
Глава XIV. Термодинамика однородных процессов 398
§ 1. Скорость подвода тепла и температура 398
§ 2. Аксиома диссипации. Калория. Однородные процессы .... 401
§ 3. Циклы. Оценка коэффициента полезного действия по Карно—
Клаузиусу — Кельвину 405
§ 4. Некоторые специальные процессы. Цикл Карно 408
§ 5. Первый пример: классические «уравнения состояния» .... 414
§ 6. Второй пример: линейное трение "..421
§ 7. Классическая газовая динамика. Теории Эйлера — Адамара и
Стокса — Дюгема -. . . 424
Список литературы 429
Глава XV. Термомехаиика сплошных сред 430
§ 1. Энергетика сплошных сред. Термодинамика: внутренняя дисси-
диссипация и неравенство Клаузиуса — Дюгема . 430
§ 2. Согласованный детерминизм в термомехаиике сплошной среды.
Простые термомехаиические материалы 436
ОГЛАВЛЕНИЕ 594
§ 3. Термоупругость 442
§ 4. Материалы дифференциального типа 451
§ 5. Материалы с квазиупругим поведением 458
§ 6. Теорема Колемана для материалов с мгновеино-упругой реак^
цией. I. Термодинамический потенциал 468
§ 7. Теорема Колемана для материалов с мгновенно-упругой реак-
реакцией. II. Термостатика как частный случай 475
§ 8. Теорема Колемана для материалов с мгновенно-упругой реак-
реакцией. III. Следствия, относящиеся к циклическим процессам . . 483
Список литературы 487
Глааа XVI. Распространение волн в диссипативных материалах' . . . 438
§ I. Определения. Общие принципы ; . . . 488
§ 2. Волны в термоупругих материалах ........... 490
§ 3. Волиы в материалах с памятью 494
Список литературы 496
Приложение I. "Общая система обозначений . 497
Приложение II. Некоторые определения и теоремы алгебры, геометрии
и анализа 499
A. Алгебра . 499
1. Векторные пространства, базисы 499
2. Линейные отображения 500
3. Тензоры 500
4. Определитель тензора , 503
5. Эвклидовы пространства 503
6. Тензорные произведения 504
7. Транспонирование. Симметричные и антисимметричные тензо-
тензоры, проекторы 505
8. Ортогональные тензоры 506
9. Следы, скалярное произведение тензоров 507
10. Инвариантные подпространства, проекторы, собственные векто-
векторы, собственные числа 507
П. Спектральное разложение симметрични-х тензоров 509
12. Положительно определенные тензоры ¦ . . 509
13. Полярное разложение . .¦ . -. 510
14. Строение' ортогональных тензоров . . 510
B. Геометрия . .511
1. Точечные эвклидовы пространства 511
2. Расстояние, конгруэнция 512
3. Топология, фигуры 512
C. Анализ 512
1. Пределы, порядки 512
2. Расстояние, конгруэнция 513
3. Градиенты 513
4. Другие дифференциальные операторы . . . , 514
592 ОГЛАВЛЕНИЕ
5. Координаты 514
6. Контравариантные, ковариантные и смешанные компоненты отно-
относительно системы координат 516
7. Физические компоненты относительно ортогональной системы коор-
координат 518
8. Символы Кристоффеля '. 518
¦ 9. Ковариантные производные, дифференциальные операторы . . . 519
Приложение III. Решения упражнений 521
Сокращения, используемые в списках литературы к главам 571
Именной указатель 572
Предметный указатель 574
К. ТРУСДЕЛЛ
«ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЙ КУРС
РАЦИОНАЛЬНОЙ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД»
Редактор В. И. Авербух Художник А. В. Шипов
Художественный редактор В. И. Шаповалов Технический редактор Е. С. Потапенкова
Сдано в набор 16/IX 1974 г. Подписано к печати 5/V 1975 г. Бумага тип. Л» 2 60x90'/i«=
18,50 бум. л., усл. печ. л. 37,00. Уч.-нзд. л. 36,42. Изд. № 1/6970 Цена 2 р. 75 к. За к. 373
ИЗДАТЕЛЬСТВО сМИР» Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при
Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств,
Полиграфии и книжной торговли 198052, Ленинград Л-52, Измайловский проспект, 29