Введение в теорию компактных групп преобразований - Бредон Г.Э.

Автор: Бредон Г.Э.
Теги: математика топология естественные науки компактные группы
Год: 1980
Похожие
Топология
Геометрическая топология. Локализация, периодичность и симметрия Галуа
Задачи по геометрии. Дифференциальная геометрия и топология
Когомологические операции
Текст
                    Г. Бредон
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ
КОМПАКТНЫХ
ГРУПП
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Перевод с английского Ю. Б. РУДЯКА
Под редакцией В. М. БУХШТАБЕРА
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1980

22.15
Б. 87
УДК 513.83
Glen E. BREDON
Introduction
to compact
transformation
groups
ACADEMIC PRESS
NEW YORK-LONDON
1972
Бредон Г. Введение в теорию компактных групп преобразований: Пер.
с англ. —М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы,
1980. —440 с.
Книга посвящена теории действий компактных групп на топологических
пространствах и, в частности, на многообразиях. Особое внимание уделяется
топологическому аспекту этой теории. Изложенньн материал включает в себя
общую теорию действий групп на топологических пространствах, теорию Смита,
теорию Бореля, теорию локально гладких и гладких действий групп Ли на мно-
многообразиях, содержит много примеров и ряд интересных приложений. Книга
может быть использована как учебное пособие по специальным курсам тополо-
топологии. Ее материал дает хороший фундамент для начала самостоятельной работы
в теории групп преобразований.
Для научных работников, аспирантов и студентов старших курсов мате-
математических факультетов университетов и пединститутов.
20203—136
' 053@2)-80
32-80. 1702030000
© Перевод на русский язык.
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы. 1980

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 6
Введение 9
Глава 0. Предварительные сведения о топологических группах и груп-
группах Ли 12
1. Элементарные свойства топологических групп 12
2. Классические группы 16
3. Интегрирование на компактных группах 21
4. Собственные функции на компактных группах 24
5. Группы Ли 30
6. Структура компактных групп Ли 34
Глава I. Группы преобразований 41
1. Действия групп 41
2. Эквивариантиые отображения и стационарные подгруппы .... 44
3. Орбиты и пространства орбит 46
4. Типы орбит и однородные пространства 49
5. Неподвижные точки 53
6. Некоторые элементарные конструкции 55
7. Некоторые примеры О (п)-пространств 58
8. Еще два примера 64
9. Накрывающие действия 71
Упражнения к главе I 76
Глава II. Общая теория О-пространств 79
1. Расслоения , 79
2. Скрученные произведения и ассоциированные расслоения. ... 81
3. Скрученные произведения с компактной группой 87
4. Трубки и срезы 89
5. Существование трубок 92
6. Подъем путей 97
7. Теорема о накрывающей гомотопии 100
8. Конические орбитные структуры 105
9. Классификация G-пространств 110
10. Линейные вложения G-пространств 116
Упражнения к главе II. 117
Глава III. Гомологическая теория действий компактных групп 119
1. Симплициальные действия 120
2, Трансфер 122
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
3. Преобразования простого периода 125
4. Эйлеровы характеристики и ранги 129
5. Гомологические сферы и диски 132
6. Теория Чеха и G-покрытия 135
7. Действия конечных групп на произвольных пространствах. . . 143
8. Группы, свободно действующие па сферах 149
9. Теорема Ньюмена 155
10. Действия торов 159
Упражнения к главе III 168
Глава IV. Локально гладкие действия на многообразиях 170
1. Локально гладкие действия 171
2. Множества неподвижных точек отображений простого периода 175
3. Главные орбиты 179
4. Часть множества /VI*, являющаяся многообразием 185
5. Редукция к конечной главной стационарной подгруппе .... 189
6. Действия на S" с единственным орбитным типом 194
7. Компоненты пространства В[]Е 199
8. Действия с орбитами коразмерности 1 или 2 204
9. Действия на торах 213
10. Конечность числа орбитных типов 2J6
Упражнения к главе IV 220
Глава V. Действия с небольшим числом орбитных типов 222
1. Теорема об эквивариантном кромке 253
2 Теорема о дополнительной размерности 22в
3. Редукция структурной группы 231
4. Лемма о выпрямлении и георема о трубке 235
5. Классификация действий с двумя орбитными типами 242
6. Вторая теорема классификации 248
7. Классификация автоэквивалентностей 256
8. Эквивариантное водопроводное соединение 261
9. Действия на многообразиях Брискорна 266
10. Действия с тремя орбитными типами 272
11. Заузленные многообразия 278
Упражнения к главе V 284
Глава VI. Гладкие действия 286
1. Функциональные структуры и гладкие действия 287
2. Трубчатые окрестности 293
3. Интегрирование изотопии 302
4. Эквивариантные гладкие вложения и аппроксимации 304
5 Функциональные структуры на некоторых пространствах орбит 309
6 Специальные G-многообразия 315
7. Гладкие заузленные многообразия 322
8. Группы инволюций 326
9. Полусвободные действия окружностей 335
10. Представления в неподвижных точках 341
11. Уточнения, использующие ортогональную /(-теорию 346
Упражнения к главе VI 354
Глава VII. Когомологическая структура множеств неподвижных точек 356
1. Предварительные сведения 356
2. Некоторые неравенства . , ..,,,, t . . . 362

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
3 Zp-действия на проективных пространствах 364
4. Несколько примеров 374
5. Действия окружности на проективных пространствах 378
6. Действия на пространствах Пуанкаре 385
7. Теорема об инволюциях 389
8. Инволюции на пространстве S" x Sm 394
9. Действия группы Zp на S" x Sm 400
10. Действия окружности на произведениях нечетномерных сфер . 406
11. Приложение к эквивариантным отображениям 410
Упражнения к главе VII 413
Литература 415
Именной указатель 435
Предметный указатель 437

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Изучение действий групп на топологических пространствах,
которому посвящена предлагаемая книга, является широко из-
известной и богатой приложениями темой топологии. Большая
привлекательность этой темы заключается в том, что она постоян-
постоянно служит источником новых и часто неожиданных связей топо-
топологии с другими разделами математики, в первую очередь с
алгеброй и дифференциальной геометрией.
Все наиболее крупные достижения алгебраической топологии
оказали существенное влияние на развитие методов изучения
действия групп. Например, развитие теорий гомологии привело
в 30 —40-е годы к результатам П. Смита по периодическим пре-
преобразованиям (см. гл. III); развитие теории пучков, расслоенных
пространств и спектральных последовательностей привело в 50-е
годы к результатам А. Бореля по компактным группам преобра-
преобразований (см. гл. III); развитие дифференциальной топологии
в 60-е годы, приведшее к фундаментальным результатам по
классификации гладких многообразий, позволило в ряде случаев
получить методы классификации гладких действий групп Ли
(см. гл. V и VI); развитие экстраординарных теорий когомологий
привело в 60-е годы к возникновению экстраординарных эквива-
риантных теорий когомологий, которые дали эффективные методы
изучения множеств неподвижных точек действий циклических
групп и торов. В первую очередь здесь необходимо выделить
результаты Коннера и Флойда [8] по применению теории
бордизмов, а также Атья и Сегала [1, 2] по применению
/(-теории (см. гл. VI).
Развитие приложений теории формальных групп Ли в алгеб-
алгебраической топологии позволило в 70-е годы ввести новые, эффек-
эффективные методы построения и вычисления инвариантов гладких
действий групп. Основные результаты в этом направлении были
получены С. П. Новиковым и его учениками.
С другой стороны, и развитие теории действий групп оказало
серьезное влияние на многие разделы топологии, обогатив их
содержательными задачами. Например, популярность и быстрое
развитие теории кобордизмов во многом обязано ее успехам

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА '
в задачах о неподвижных точках. Более того, при построении
геометрических представителей различных важных классов топо-
топологических пространств и их отображений, а также при построе-
построении нетривиальных контрпримеров к различным утверждениям
алгебраической топологии оказались полезными конструкции,
возникшие в теории действий групп (см. гл. V и VI).
От читателя книги Бредона требуется довольно высокий уро-
уровень подготовки по основаниям топологии (см. Дольд [1],
Рохлин, Фукс [1]) и общий университетский уровень подго-
подготовки в других разделах математики. Собранный автором мате-
материал является хорошим фундаментом для начала самостоятельной
работы в теории действий групп, что оправдывает название
книги. В то же время, учитывая отмеченную выше связь этой
теории с рядом других разделов алгебраической топологии,
можно рекомендовать эту книгу всем изучающим алгебраическую
топологию, так как она содержит большое количество прило-
приложений различных методов и задач, решение которых, бесспорно,
поможет лучше овладеть этими методами. От читателя, интере-
интересующегося только приложениями тех или иных методов, тре-
требуется существенно меньший уровень подготовки.
Среди глав книги необходимо особо выделить последние четыре
главы, материал которых впервые излагается в монографической
литературе. В главе IV вводятся, а в V и VI главах система-
систематически изучаются локально гладкие действия на многообразиях.
Тем самым автор вводит «хорошие» непрерывные действия ком-
компактных групп Ли на топологических многообразиях и показывает,
что для них верны многие результаты, известные ранее только
для гладких действий. Вообще, необходимо отметить стремление
автора распространить результаты теории гладких действий групп
на как можно более широкую категорию действий. Характерно,
например, что понятие гладкого действия вводится только на
с. 289. Такой подход, очевидно, позволяет расширить область
приложений теории действий групп. В последних главах изла-
излагаются также замечательные результаты дифференциальной топо-
топологии по классификации гладких многообразий, оказавшие суще-
существенное влияние на развитие всей алгебраической топологии.
Отметим, что в книге не отражены замечательные приложе-
приложения теории кобордизмов к теории групп преобразований. Это
связано с тем, что автор не хотел повышать необходимый уро-
уровень предварительных знаний читателя и, кроме того, прекрасное
введение в эти методы имеется в монографии Коннера и
Флой да [8]. В книге отсутствуют также уже упомянутые дос-
достижения, полученные с помощью теории формальных групп Ли.
Это объясняется тем, что эти методы стали широко известны
лишь в 70-е годы. Результаты, полученные в этом направлении
до 1975 г., отражены в обзорах: Бухштабер В. М., Ми-

8 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
щенко А. С, Новиков С. П. Формальные группы и их роль
в аппарате алгебраической топологии. — УМН, 1971, 26, № 2,
с. 131 — 154 и Бухштабер В. М. Кобордизмы в задачах алге-
алгебраической топологии. — Итоги науки и техники. Алгебра. Гео-
Геометрия. Топология. М.: ВИНИТИ, 1975, т. 13, с. 231-272.
Издательство «Мир» недавно [ыпустило перевод книги: Сян
У.-И. Когомологическая теория топологических групп преобра-
преобразований. — М.; Мир, 1979. Необходимо отметить, что, несмотря
на некоторое пересечение материала книг У.-И. Сяна и Г. Бре-
дона, зги книги очень хорошо дополняют друг друга. Первая
из них посвящена в основном развитию алгебраического, а вто-
вторая — развитию топологического подхода к теории непрерывных
групп преобразований.
В заключение хочется выразить уверенность, что настойчивый
читатель получит большую пользу и удовольствие, войдя в заме-
замечательный мир действий групп на топологических пространствах.
В. М. Бухштабер

ВВЕДЕНИЕ
В топологии обычно изучаются такие объекты, как тополо-
топологические пространства, топологические многообразия, полиэдры
и т. д. В теории групп преобразований изучаются симметрии
таких объектов или, более общо, подгруппы полной группы сим-
симметрии. Обычно группа симметрии снабжается естественно опре-
определенной ' топологией (вроде компактно открытой топологии),
и целесообразно рассматривать эту топологию как часть изу-
изучаемой структуры. В некоторых важных частных случаях таких,
например, как группа изометрий компактного риманова много-
многообразия, эта группа симметрии оказывается компактной груп-
группой Ли. Это является достаточной причиной для изучения ком-
компактных групп преобразований пространств или многообразий.
Другим обстоятельством, заставившим нас сосредототочиться на
изучении компактных групп, является тот факт, что в этом
случае удается получить много сильных результатов и эффектив-
эффективных методов, не имеющих места в общем случае. И вообще,
теория компактных групп преобразований в деталях довольно
сильно отличается от теории некомпактных групп преобразований.
Как показывает беглый взгляд на список литературы, в пос-
последнее время *) в этой области велись интенсивные исследования.
Это убедило нас в необходимости написания такого достаточно
обширного введения в эту область математики, которое могло
бы быть понятным широкому кругу читателей на уровне выпус-
выпускников математических факультетов.
Основным препятствием к написанию хорошего вводного кур-
курса явилось то обстоятельстро, что излагаемая тематика проникла
во многие весьма далекие друг от друга области математики.
Это делает сложным написание такого учебника, который был
бы доступен аспирантам второго года2), охватывал бы большую
часть предмета и который в то же время подводил бы читателя
1) И сейчас (а со времени написания автором этого введения прошло 8 лет)
интенсивность исследований в этой области не ослабела.—Прим. перев.
2) Или, применительно к нашим учебным планам, был бы доступен сту-
студентам старших курсов.—Прим. перев.

Ю ВВЕДЕНИв
к некоторым интересным и нетривиальным современным задачам.
Чтобы обойти эту трудность, мы постарались придерживаться
изложения, требующего минимум необходимых сведений, особенно
в начальных главах книги. (Это не относится к главе 0. Чита-
Читателю с минимальной подготовкой мы советуем прочесть первые
три параграфа этой главы, а затем перескочить к следующей
главе, возвращаясь к главе 0 по мере необходимости. Большинство
же читателей может просто вообще пропустить главу 0.)
Для чтения этой книги необходимо знание начального курса
алгебраической топологии. Требования в этом направлении весьма
минимальны вплоть до второй части главы III, где нам понадо-
понадобится теория Чеха. Двойственность Пуанкаре не используется
до главы IV, а спектральные последовательности появляются
лишь в главе VII. Значительному снижению требований к алгеб-
раико-топологическому образованию читателя способствует то
обстоятельство, что мы нигде в этой книге не используем обоб-
обобщенных многообразий1). При этом, конечно, несколько теряется
общность формулировок многих теорем, но мы думаем, что это
не страшно. (Большинство современных результатов касается
гладких и локально гладких действий, где эта потеря общности
практически неощутима.)
Хотя в этой книге мы почти всюду имеем дело с действием
компактных групп Ли, читателю не надо знать о группах Ли
почти ничего, за исключением нескольких простых фактов о мак-
максимальных торах, которые мы излагаем в § 6 главы 0. Эго
связано с тем, что мы излагаем в основном те результаты, кото-
которые не используют классификационной теории компактных групп
Ли, тонких фактов теории представлений и т. д. (такой подбор
материала обусловлен еще и чисто эстетическими соображениями).
Мы постарались минимизировать уровень необходимых знаний
по дифференциальной геометрии, вводя гладкие действия лишь
в главе VI. (На самом деле и в большей части ранее изложен-
изложенного материала рассматриваются действия, которые являются
гладкими, и мы по возможности указываем на это для пользы
той (вероятно большей) части читателей, которые знакомы с диф-
дифференциальной геометрией.) Основная часть книги (главы IV и V)
посвящена изучению тех действий, которые мы называем локально
гладкими. Это —категория таких действий, которая представ-
представляется нам правильным аналогом категории Тор топологических
многообразий. Грубо говоря, эта категория лежит между кате-
категорией гладких действий на дифференцируемых многообразиях
и категорией непрерывных действий на топологических много-
многообразиях, но в ней отсутствуют многие патологические ситуации,
свойственные каждой из этих категорий. Рассмотрение локально
1) То есть гомологических многообразий. — Прим. перев.

ВВЕДЕНИЕ 11
гладких действий было вызвано желанием, с одной стороны,
отложить обсуждение гладких действий и, с другой стороны,
избежать изучения обобщенных многообразий. Однако локально
гладкие действия можно рассматривать как самостоятельный
объект исследования (по степени интереса — второй после гладких
действий), который в будущем приведет к интересным результатам.
Так как теорию компактных групп преобразований можно,
в широком смысле, рассматривать как обобщение теории рас-
расслоений, то не удивительно, что мы будем использовать в этой
книге элементарную теорию расслоений. Все, что необходимо
знать в этом направлении, изложено непосредственно в тексте.
В последнее время наиболее бурная деятельность в теории
компактных групп преобразований касалась гладких действий.
Большинство последних результатов в этом направлении выпало
из нашего рассмотрения в связи с тем, что в этой книге мы
не предъявляем высоких требований к предварительным знаниям
читателя. Ясно также, что многие из полученных результатов
за время публикации устареют, и по этой причине мы их не
включили. Значительная часть теории гладких действий на
многообразиях охвачена далеко продвинутой теорией бордизмов
действий групп. Мы не излагаем здесь этой теории в силу того,
что замечательное введение в эту теорию изложено в монографии
ее первооткрывателей Коннера и Флойда [8].
Требования к уровню предварительных знаний читателя воз-
возрастают по мере изложения материала. Особенно это относится
к четырем последним параграфам главы VI и к части главы VII.

Глава О
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ТОПОЛОГИЧЕСКИХ
ГРУППАХ И ГРУППАХ ЛИ
В этой главе мы изложим некоторые предварительные сведе-
сведения о топологических группах, классических группах и компакт-
компактных группах Ли. Большая часть материала это:°1 главы довольно
редко используется в последующих главах, так что знакомство
со всеми изложенными результатами не является необходимым
для читателя. Так, даже малоподготовленные читатели смогут,
по-видимому, прочесть первые три параграфа этой главы и перейти
после этого непосредственно к главе I, возвращаясь к этой
главе лишь по необходимости. Некоторые доказательства опущены
в связи с тем, что их изложение уведет нас далеко в сторону;
однако все результаты легко доступны и могут быть найдены
в стандартных учебниках по теории групп Ли, см. Шевалле [1],
Хохшильд [1], Понтрягин [1].
1. Элементарные свойства топологических групп
Топологической группой называется хаусдорфово пространство
G, на котором задано непрерывное умножение GxG-*-G (соот-
(соответствием (a, b)<—>-ab), превращающее G в группу и такое, что
отображение G-+-G, заданное обращением gi—»-gr~1, непрерывно.
Единица группы G обозначается через е.
Для gsG определено отображение левого сдвига Lg: G-+G
на элемент g формулой Lg(h) = gh. Очевидно, что Lgh — Lg°Lh и
Lg-» = (Lg)'1, так что для каждого g Lg есть гомеоморфизм группы G
на себя. Аналогично, определив правый сдвиг Rg: G->G форму-
формулой Rg(h) — hg~l, получим, что Rg' Rh — Rgh> Rg-i = (Rg)~i и для
каждого g gG Rg есть гомеоморфизм.
Для двух подмножеств А и В группы G обозначим через АВ
подмножество {aba^A, b <= В\ группы G; оно является обра-
образом множества АхВ при умножении GxG->-G. Аналогично
Л = {а-11а е Л} и An = {alai...an\ai e А}.

1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП 13
Так как Lg есть гомеоморфизм, то множество gU является
окрестностью элемента g тогда и только тогда, когда V является
окрестностью единицы е. Более того, если U есть окрестность е,
то таковыми являются и множества LJ-1 и U (] U~l. Окрестность
U единицы в называется симметричной, если U — V-1; легко
видеть, что симметричные окрестности образуют базис фильтра
окрестностей единицы и этот базис полностью определяет топо-
топологию группы G.
Из непрерывности отображения GxGxG -*C в точке (е, g, ё)
вытекает следующая лемма
1.1. Лемма. Для любого g^.G и любой окрестности U
элемента g существует такая окрестность единицы V, что
VgV с U. |
Аналогично, рассматривая умножение GxGx ... xG-^-G,
получим следующую лемму.
1.2. Лемма. Для любой окрестности U единицы е и любого
целого п существует такая окрестность V единицы е, что
VnczU. 1
1.3. Предложение. Если Я — подгруппа группы G, то ее
замыкание R—тоже подгруппа. Если Н —нормальный делитель,
то Н — тоже нормальный делитель.
Доказательство. Зададим^: GхО->Gформулойfj,(g,h)=
= gh'1. Тогда
так что Я—подгруппа. Если Я —нормальный делитель, то,
поскольку LgRg: G-+G имеет вид h—^ghg'1 и является гомео-
гомеоморфизмом, имеем
gRg-1 = LgRe (R) = LgRgH = Я,
поэтому В — нормальный делитель. |
1.4. Предложение. Пусть Н — замкнутая подгруппа груп-
группы G- Тогда пространство G/H левых смежных классов gH no
подгруппе Н с фактортопологией, индуцированной каноническим
отображением ср: G-+G/H, хаусдорфово, а отображение qp непре-
непрерывно и открыто.
Доказательство. Отображение <р непрерывно по опреде-
определению, а открыто потому, что для любого открытого U a G
множество ф-1ф (U) = UH = \J Uhоткрыто. Для доказательства хаус^
дорфовости пространства G/H предположим, что giH^^g^H, так
что gj~'g2&H. Из замкнутости Я и леммы 1.1 следует сущест-
существование такой симметричной окрестности U единицы е, что
UU) П Н = ф. Поэтому gi!g2U ()UH = 0, и потому g2U (\
0 UH П UH ф
(gga) ф у gg2 (
П giUH = 0, что влечет g2UH П giUH = ф.

14 ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Осталось заметить, что q>(giU) = giLH и есть непересекающиеся
открытые множества в G/Я, содержащие gj# и g.,H. |
1.5. Предложение. Если Н — замкнутый нормальный дели-
делитель группы G, то G/Н — топологическая группа.
Доказательство. Рассмотрим коммутативную диаграмму
I»
где Ч> = срХф, \x{gtH, g2H)=*gVg2H и r\{glt g2) = gVg2. Достаточ-
Достаточно доказать, что ц непрерывно. Но для открытого W с G/H
множество ц (W) = г|п|г1|дг1(№) = ¦фт!-1ф-1 (W) открыто, так как ф и ц
непрерывны, а г|з открыто. I
1.6. Предложение. Если G — топологическая группа и Go —
ее связная компонента, содержащая единицу е, то Go является
замкнутым нормальным делителем группы G.
Доказательство. Так как связные компоненты замкну-
замкнуты, достаточно доказать, что Go —нормальный делитель. Но
множество GoxGo связно, а потому его непрерывный образ
G0Go' связен и содержит е\ поэтому из включения GoGo' cz Go
следует, что Go — подгруппа. Если автоморфизм со: G-+G явля-
является также гомеоморфизмом, то со (Go) есть связная компонента
группы G, содержащая е, и потому со (G0) = G0, в частности,
это справедливо для внутренних автоморфизмов LgRg, поэтому
Go — нормальный делитель. В
Гомоморфизм ф: G^>-G' топологической группы G в тополо-
топологическую группу G' — это групповой гомоморфизм, являющийся
непрерывным отображением. Читатель легко может восстановить
доказательство следующего результата.
1.7. Предложение. Если ц>: G->-Н — произвольный эпи-
эпиморфизм одной топологической группы в другую, то К = ker ф —
замкнутый нормальный делитель группы G, и индуцированное
отображение ф': G/K^*-H непрерывно и биективно. Если G ком-
компактна, то ф' открыто и потому является изоморфизмом топо-
топологических групп. В
Мы теперь изложим некоторые специальные факты о компакт-
компактных группах.
1.&. Предложение. Пусть G —компактная группа^ и
ge^G — ee элемент. Положим А — \gn! л = 0, 1, 2, ...}. Тогда А —
подгруппа группы G.
Доказательство. Множество B = {g"'nEZ! является
подгруппой группы G, поэтому в силу 1.3 В — тоже подгруппа.
Если единица е изолирована в В, то множество В одновременно

1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП 15
компактно и дискретно и потому конечно, так что для некоторого
п>_0 имеем g" = e. Предположим теперь, что е не изолирована
в В. Тогда для любой симметричной окрестности U единицы е
в группе G существует такое пфО, что gn e U. В силу симмет-
симметричности U можно считать, что л>0. Тогда gn~l e ^Г1^) Л А.
Так как окрестности вида g~xU образуют базис фильтра окрест-
окрестностей элемента е~1, заключаем, что г1 е А и, следовательно,
А = В. |
Если Н — подгруппа группы G, то ее нормализатором N (Н)
в G называется подмножество группы G, состоящее из всех таких
элементов ^еб, что gHg~1 = H. Нормализатор является, очевид-
очевидно, подгруппой, которая замкнута, если замкнута Н.
1.9. Предложение. Если G —компактная группа и Н —
ее замкнутая подгруппа, то gHg~l = H (m. e. g^N(H)) тог-
тогда и только тогда, когда gHg-1 cz H.
Доказательство. Определим ф: GxG-*-G формулой
(f(g, k) = gkg~1. Пусть элемент §gC таков, что gHg~l<^H, и
пусть А = \g" Iп = 0, 1, ...} такое же, как в 1.8. Тогда ц>(А хН) с
с: Я, и непрерывность ф влечет, что ф(^хЯ)сЯ. В силу 1.8
имеем g-1 e А, поэтому из последнего включения следует, что
g-^^HgczH. Следовательно, Не:gHg-1. |
1.10. Предложение. Если G —компактная группа, то
любая окрестность U единицы е в группе G содержит окрестность
V единицы е, инвариантную относительно сопряжений.
Доказательство. Определимф: ОхО-»-Сформулойф(?,&) =
= gkg'1. Если [У —открытая окрестность единицы, то G — U
компактно, поэтому q>(Gx(G — U)) — компактное множество,
дополнение которого V с= U открыто, инвариантно и со-
содержит е. |
Заметим, что в общем случае, без предположения компактности
(или некоторых других предположений), предложения 1.9 и 1.10
неверны.
1.11. Предложение. Если N —вполне несвязный нормаль-
нормальный делитель связной топологической группы G, то N лежит
в центре группы G.
Доказательство. Для любого Ае/1/ отображение i|:ft: G->
-*-^V, определенное формулой '^k(g)—gkg~1, непрерывно. Так как
G связна, то множество % (G) связно. Поскольку N вполне не-
несвязно, множество %(G) должно состоять из одной единственной
точки \k). Поэтому gkg-1 = k для всех g^.G и k^N. g
Следующий факт оставляется читателю в качестве элементар-
элементарного упражнения.
1.12. Предложение. Пусть G — топологическая группа и
Н — ее замкнутая подгруппа. Если Н и G/H связны, то G тоже
связна. Щ

ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
с. Классические группы
Пу-ть К обозначает поле вещественных чисел R или комплек-
комплексных н$сел С Для матрицы Л размера яхя над полем К через
А' об^начим транспонированную, а через А — комплексно сопря-
женнуд к Л матрицу, и положим А*=*А'. Пусть М„ (К) — алгебра
веет • ,.:.'хя)-матриц над полем К; заметим, что она является
я2-мерным векторным пространством над К. Группа (относительно
матричного умножения) всех невырожденных (яхя)-матриц над К
называется общей (или полной) линейной группой и обозначается
GL(n, К); ее подгруппа, состоящая из матриц с определителем 1,
называе г специальной линейной группой и обозначается SL(n, К).
Ортого^пльная группа О (я, К), состоит по определению из всех
таких л е GL (п, К), что АА' — I, где / — единичная матрица,
а г-п/ппа SO(n, К) определяется равенством SO (я, К) = О(п, К)(]
: К). Мы полагаем О(я) = О(я, R) и SO (я) = SO (я, jk).
; ¦; / группа U (я) состоит из таких Д е GL (п, С), что
SU (я) определяется как SU(n) = V(n)C\SL(n, (С). Так
"i/ '¦ и det Л — непрерывные функции от Л и умножение
(К). v»n(К)-*• Мя(/С) непрерывно, то все описанные группы
^тся замкнутыми подгруппами группы GL(n, /С). Так как
GL (я, К) определена неравенством det Л =7^=0, то она
"крытым подмножеством в Мл (К). Из формул, описыв ;ю-
щ. 'нты матрицы А через элементы матрицы Л, следует,
что I. ппе GL(n, К) отображение Ai—-А-1 непрерывно; на
самом д\ оно даже аналитично (это следует также из теоремы
•^ неявной функции, так как умножение М„ (К) XМ„ (К) -> М„ (К)
.^налитично). Отсюда вытекает, что все описанные выше группы
¦Шляются топологическими, с топологией, индуцированной вложе-
вложением в Жп(К).
Так -1К Л*— непрерывная функция от Л, то уравнение
AA*=I, v еделяющее группу и(я), показывает, что U (п) есть
замкнутое ^дмножество в М„ (©) = С- Из уравнения А А* = /
следует также, что абсолютные значения элементов матрицы Л
не превосходят единицы, так что множество U (я) ограничено
в М, (С). Поэтому группа U (я) компактна. Так как SU (я), О (я)
и S 'я) — , 'кнутые подгруппы в и(я), то они тоже являются
ком ктнкмь группами.
j. j ",ть Л —некоторая (яхя)-матрица над К. Если абсолютные
значёйЧГя элементов матрицы Л ограничены числом с, то для
матрицы Л* „ни ограничены числом (пс)к (это легко доказать
„.1сй по k). Поэтому ряды элементов матричного ряда
абсолютнс мажорируются сходящимся рядом
1+пс + (ясJ/2! + (ясK/3! +...

2. КЛАССИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Следовательно, указанный матричный ряд сходится к матрице
ел = / + А + Л2/2! + Л3/3! +...,
причем на любом компактном подмножестве из М„ (К) схг ;имость
равномерная. Таким обратом, элементы матрицы еА являкг :.я ана-
аналитическими функциями элементов матрицы А, и поэтом1' отобра-
отображение ехр : М„ (/()->М„(/(), перевэдящее А в ехр (/!)=-. на-
литично. Заметим, чтое0 = /. Для вычисления якобиевой матрицы
отображения ехр в 0 мы используем обычные матричные коор-
координаты X/f и заметим, что для Х=[х(/] :
п •••— -,-сЛ
высшего порядка].
Поэтому якобиева матрица, являясь (п2 х/г2)-матрицей с элемен-
элементами
д (бij + Xij-j- члены высшего порядка)
1, если (/', /) —"
0 в остальных*'
дхы
является единичной (п2хп2)-матрицей. Из теоремы ; . . ,,^,i
функции следует теперь, что ехр является взаимно ojfy ,аачу''
отображением некоторой окрестности точки 0<=М„(Д; на»
торую окрестность точки / е GL (п, К), и обратное
аналитично.
Заметим, что
-...) v " ~ ре &
Кроме того, отображение ехр над полем R является ограничение
на Мл (R) с: М„ ((С) отображения ехр над полем С- Для лих-*-,
матрицы А е М„ (С) существует такая матрица fieGL(«, fa,
что ВЛВ является верхней треугольной матрицей ; -.
мНо ¦¦ Cl -У
где ^ — собственные значения матрицы Л. Тривиальное ;ычисле-
ние показывает, что
\* -•
и что е1' являются собственными значениями (соответс дующей
кратности) матрицы еА. В частности, перемножи,, их, получим,
что
(где tr (А) = Хг-{-.. . + Кп — след матрицы А). В частности, ^
для любой матрицы А, так что образ отображения ехр лежит
в GL(n, К).

18 ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
2.1. Лемма. Если матрицы А и В коммутируют, то еА + в =
= еАев.
Доказательство. Фиксируем матрицы А и В и рассмот-
рассмотрим аналитические функции esA+iB и е$Ае'в вещественных пере-
переменных s и t. Тогда
« = 0/ = 0
.{=0
где последнее произведение понимается как формальное произве-
произведение матричнозначных степенных рядов от s и t, последнее
равенство означает равенство матричнозначных формальных сте-
степенных рядов от s и /. Однако последнее произведение есть
в точности степенной ряд функции esAeiB, что легко проверяется
вычислением частных производных по s и /. А так как esA + tB и
esAete являются аналитическими функциями от s и t, то они сов-
совпадают при всех значениях s и t. |
Таким образом, для /1еМ„(/() отображение K-+GL(n, К),
заданное формулой t \—*¦ etA, является гомоморфизмом топологиче-
топологических групп (где групповая структура на К задана сложением).
В частности, ег А = (еА)~}.
Так как GL (п, К) — открытое подмножество векторного прост-
пространства М„ (К) над /(, то касательный вектор к кривой в GL(n, К)
или М„ (К) можно рассматривать как элемент из М„ (/(). В част-
частности, вычисляя касательный вектор1) к кривой R->-GL(n, К)
вида t\—-е'А (при фиксированной ЛеМ„(/С)), получим
(-¦о
Таким образом, вещественное касательное пространство в точке
/eGL(n, К) совладает с пространством векторов, касательных
к однопараметрическим группам t>—*-elA при / = 0. Аналогично,
рассматривая действие группы GL {п, К) на К", получим, что
касательный вектор к кривой t>—*-e*Av в Кп, где ЛеМ„(/() и
oeiC фиксированы, есть
/-о
Если etAv = v для всех t, то Av — O. Обратно, если Av = 0,
то eAv = (/ + tA + •. ¦) v = v. Поэтому имеет место следующее пред-
предложение.
При t^O. — Прим. пере».

2. КЛАССИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 19
2.2. Предложение. Для v e К" и ДеМ„(^) касательный
вектор к кривой t>—»- etAv при t — 0 равен нулю тогда и только
тогда, когда eIAv = v для всех t. |
2.3. Теорема. Пусть Л <=М„ (i).
A) Если А вещественна, то еА вещественна.
B) Если А кососимметрична (А' = — А), то ед?О(п, <?,).
C) Если А косоэрмитова (А* = — А), то e%U(d),
D) Если след матрицы А равен О, то еА е SL (л, ©).
Более того, если А достаточно близка к О еМ„ (С), то спра-
справедливы и обратные импликации.
Доказательство. Пусть, например, А' = — А. Тогда {еА)'=
= еА' = е~А = (еЛ)~1, так что г%О(л, С)- Обратно, если (еА)' =
= (е-4), то ej4' = ?~i4, откуда следует, что если Л достаточно
близка к 0, то А' — — А, так как вблизи 0 отображение ехр
взаимно однозначно. Доказательств.) остальных утверждений про-
проводятся аналогично. Щ
Отметим возможность различных комбинаций условий, фигури-
фигурирующих в 2.3. Важно также отметить, что все условия из 2.3
являются вещественно линейными и определяют вещественные
векторные подпространства в М„(С). размерности которых легко
вычисляются. Поэтому имеет место следующее легкое следствие
из 2.3.
2.4. Сл едств ие. Пусть GczGL(n, (D) — одна из групп GL(/z, (D),
GL(n, R), SL(n, С), SL(/i, R), U (n), SU (л), О (л, С), SO (л, С),
О (л, R) или SO (л, R). Тогда существует такое векторное под-
подпространство Та в М„ (С), что отображение ехр: Mn(C)->GL (л, (D)
гомеоморфно отображает некоторую окрестность точки 0 в То
на некоторую окрестность точки /еС Размерности этих под-
подпространств равны соответственно 2л2, л2, 2л2 —2, /г2— 1, л2,
лг-1, л(л-1), я(л-1)/2, я(л-1)/2. |
Пусть U czOL(n, (D)— симметричная открытая окрестность
единицы /, на которой обратное к ехр отображение log: ?/->М„ (<D)
определено и аналитично. Пусть V — такая симметричная откры-
открытая окрестность точки /, что V2 с U; положим W = \og(V). Ком-
Композиция
WxW ^^2 у х К Д. I/ iS М„ (С),
где ф(§, /i)=grt, является вещественно аналитическим отобра-
отображением, определяющим отображение (W f]T0)x(W(]Та) -+Т0
Последнее есть в точности описание умножения ср в координатах
с центром в /eG, заданных отображением log. Поэтому каждая
из перечисленных групп обладает локальными координатами
с центром в /, в которых операции умножения и обращения
задаются вещественно аналитическими функциями.
Перейдем к обсуждению одного ранее опущенного семейства
классических групп, а именно, симплекшичсских групп Sp (л).

20 ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Группа Sp(n) определяется как группа всех таких (яхя)-матриц
А над телом кватернионов, что АА* — 1. Здесь А* = А', где А —
кватернионно сопряженная к А матрица: если Л = [ау], то Л =
=[Ду] и к кватерниону q = a-\-biJrC]-\-dk сопряжен кватернион
q — a — bi — c\ — dk. Кватернионную (пхп)-матрйцу Р можно запи-
записать как P=A-\-Bj, где А, В — М„((С). Заметим, что jB=Bj, поэтому
умножение_ дается формулой (A-{-Bj) (C + Dj) = (AC — BD) -(-
+ (AD + BC)j.
Для Р = A + Bj положим
Короткое вычисление показывает, что q> есть изоморфизм алгебры
всех кватернионных (п х п)-матриц в алгебру комплексных Bп х 2п)-
матриц и что ф(Р*) = ф(Р)*. Поэтому Р является симплектиче-
ской матрицей (РР* = 1) тогда и только тогда, когда /==ф(/) =
= Ф(РР*) = Ф(Р)ф(Р*) = ф(Р)ф(Р)*, что означает унитарность
матрицы ф(Р). Легко видеть, что комплексная Bп х2л)-матрица Q
имеет вид Q= й' тогда и только тогда, когда JQJ-1=Q,
I—О, А]
где ¦/=_,' 0 • Если Q унитарна, то последнее равенство влечет
Q'JQ = J. Поэтому симплектическая группа Sp(n) изоморфна
(посредством ф) подгруппе группы UBn), состоящей из унитар-
унитарных матриц, сохраняющих билинейную форму J (т. е. Q'JQ = J).
Как и в 2.3, получаем, что если /4еМ2л(С) и Л* = — А,
J A + A'J =0, то ел е ф (Sp («)); если А достаточно близка к нулю,
то верно и обратное.
Поэтому справедлив аналог следствия 2.4 для G — ф (Sp (n)) «^
«=sSp(«), причем размерность пространства То в этом случае
равна 2пг-\-п.
Мы завершим этот параграф определением понятия представ-
представления. Вещественным представлением топологической группы G
называется ее (непрерывный) гомоморфизм в группу GL (n, R).
Его можно мыслить как действие группы G на R" линейными
преобразованиями. Аналогично комплексное представление группы
G — это гомоморфизм G->GL(n, d;).
Ввиду вложения GL(n, |R)->-GL(n, С) каждое вещественное
представление определяет комплексное представление, которое
называется его комплексификацией. Унитарным (соответственно
ортогональным) представлением группы G называется ее гомомор-
гомоморфизм в группу U (п) (соответственно в О (п)).
Два представления ф, г|х G->GL(n) называются эквивалент-
эквивалентными, если существует такая матрица Д е GL (п), что г|)(^) =
= Л~хф (g) А для всех g<=G. Они называются ортогонально экви-

3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ 21
валентными, если ^еО(п), и унитарно эквивалентными, если
Л s= U (п).
Так как преобразование A: Rn-"^Rn можно интерпретировать
как смену базиса, эквивалентность двух представлений ср, гр: G-»-
->-GL(n) означает просто, что они имеют идентичные матричные
записи в подходяще выбранных нестандартных (различных для
Ф и т}>) базисах пространства R". В частности, представление
ср: G -vGL(n, jR) эквивалентно ортогональному тогда и только тогда,
когда в R" существует положительно определенное скалярное
умножение < , ), сохраняемое представлением ср (т. е. (y(g)v,
ср (g) w) — (v, w) для любого geGn любых v, w <= IR"), ибо в этом
случае каждая матрица cp(g) будет ортогональна в базисе, орто-
нормальном относительно этого скалярного умножения.
3. Интегрирование на компактных группах
Пусть G — топологическая группа и /: G-vR —вещественно-
значная функция. Для h <= G определим функции R,j и Lhf фор-
формулами (Rhf) (g) = f (gh) и (Lhf) (g) = f (hrlg), g<=G.
3.1. Теорема. Если группа G компактна, то существу т
единственный ввщественнозначный функционал I {называемый интег-
интегралом Хаара), определенный на множестве непрерывных функций
на группе G и такой, что:
(a) /(/1 + /2) = /(/i) + /(/2);
(b) / (с/) = с/ (/) для любого ceR;
(c) если f {g) Ss 0 для всех g^G, то I (/) S» 0;
(d) /A) = 1;
je) / {Rhf) = /(/) = / {Lhf) для всех h e G. |
Здесь мы не будем доказывать эту теорему. Для компактных
групп простое элементарное доказательство, данное фон Нейма-
Нейманом, можно найти у Понтрягина [1]. Для локально компакт-
компактных групп имеется обобщение этого интеграла, построенное Хаа-
ром и обладающее более слабыми свойствами. Его можно найти
во многих источниках, см., например, Лумис [1] и Монтго-
Монтгомери и Циппин [4]. (Эти изложения восходят к первоначаль-
первоначальному доказательству Хаара. Существенно иное доказательство
имеется у Бредона [9].)
Интеграл Хаара / (/) мы часто будем обозначать через \f{g)dg,
так что равенство (е) запишется в виде
Заметим, что если / неотрицательна и не равна тождественно
нулю, то в силу компактности группы G существуют такие эле-
элементы hu ..., hn из G, что функция У] Rh.f всюду положительна.

22 ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Тогда '?iRhif>c для некоторого с>0, поэтому nl(f)—c =
= /((S%i-c))^0' и поэтому 7(/)>0.
Аналогично доказывается, что если для любогоg^G fi(gMs
Ss h (?). то / (ft) ss / (/2), и ! / (/)! < sup {/ (g) \gtaG}.
3.2. Предложение. Пусть А —некоторое топологическое
пространство, G — компактная группа и /: GX/4-vR — непрерыв-
непрерывная функция. Тогда функция F: A-*-U, определенная формулой
F(a) = \f (g, a)dg, непрерывна.
Доказательство. Пусть заданы а^А и е>0. В силу
непрерывности / и компактности G существует такая окрестность О
точки а, что для всех b^U имеем \f(g, b)—f(g, а)|<е. Тогда
\ b)-f(g, a))dg\<B
для всех fee[/. |
3.3. Теорема. Пусть G — компактная группа и f: Gx R-^x—
непрерывная функция. Предположим, что функция f (g, t) диффе-
дифференцируема по t и что ее производная df(g, t)/dt непрерывна на
GxR. Тогда функция F (t) = \f (g, t)dt тоже дифференцируема и
Доказательство. Для вещественного числа s=?0 имеем
для некоторого <р е [0, 1]. Так как функция df (g, t)/dl равномерно
непрерывна на любом компактном подмножестве пространства
GxR, то при фиксированном leiR выражение в левой части этого
равенства при s-»-0 сходится к df(g, t)/dt равномерно по g^G.
Следовательно, для любого е>0 найдется такое б>0, что ;sj-<б
влечет
fig. t + s)-f(g, t) df(
о Lit
для всех g^G. Поэтому также
т. е.
)-F(t)
откуда следует желаемый результат. 0
Индуктивное использование этой теоремы позволяет доказать,
что если /: G X Rn -> R — такая функция, что f (g, tx /„) является

8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ 23
(при фиксированном g e G) функцией класса Сж по каждой пере-
переменной U и что частные производные всех порядков непрерывны
на GxR", то F(tlt ..., tn) = ^f(g, tlt .... fn)dg тоже есть функ-
функция класса С00.
3.4. Предложение. Если функция f: GxG->-R непрерывна,
mo\\f(g, h)dgdh = \\f(g, h)dhdgi).
Доказательство. Каждый из этих двойных интегралов2)
удовлетворяет условиям, определяющим интеграл Хаара на группе
GxG, так что требуемое равенство следует из единственности
интеграла. ?§
Посредством покомпонентного интегрирования можно распро-
распространить интеграл на множество непрерывных векторзначных
функций /: G—>-Ея, при этом \f (g)dg<=.Un- Условия линейности (а)
и (Ь) из 3.1 немедленно влекут, что для любого линейного пре-
преобразования Т: [кл->-Кл HMeeM\T(f(g))dg=T{\if(g)dg).
Для векторного пространства V через GL (V) обозначается
группа линейных автоморфизмов пространства V, и представле-
представлением группы G на V называется гомоморфизм G->GL(l/). Для
вещественного векторного пространства конечной размерности п
каждое такое представление эквивалентно (в очевидном смысле)
представлению G—>-GL(n, jR) группы G на евклидовом простран-
пространстве; при этом мы требуем непрерывности всех гомоморфизмов.
Основное применение интеграла Хаара состоит в построении
инвариантных объектов посредством интегрирования неинвариант-
неинвариантных объектов. В качестве иллюстрации этого докажем следующую
теорему.
3.5. Теорема. Каждое представление компактной группы G
на п-мерном вещественном векторном пространстве V эквивалентно
ортогональному представлению группы G на Кл-
Доказательство. Мы можем предполагать, что V = SR™.
Определенное данным представлением действие группы G на R"
обозначим через (g, v)>—-gv. Как указано в § 2, достаточно найти
на R" положительно определенное скалярное умножение ( , ),
которое инвариантно относительно G, т. е. (gv, gw) = (v, w) для
любых gsG, v, ьи<=ип. Обозначим обычное скалярное умноже-
умножение в R" через v ¦ w; таким образом, v-w — ^ vtwh где v —
«=(«!, ..., Vn) И W = (WU ..., Wn).
i)
1) Здесь $j/(g. h)dgdh = ^F{h)dh, где F(h) = ^f(h, g)dg, и аналогично
$lf(g. h) dh dg = j Ф (g) dg, где Ф (g) -= j / (g, h)dh.~ Прим. перев.
2) Рассматриваемый как функционал на множестве функций/: GxG-*-R.—
Прим. перев.

24 ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Положив (v, w) — jj (gv) ¦ (gw) dg, получим, очевидно, симмет-
симметричный билинейный функционал. Он положительно определен,
так как для и^=0 имеем (и, v> = J (gv) ¦ (gv) dg > 0 ввиду по-
положительности подынтегральной функции. Кроме того, умноже-
умножение (,) инвариантно, так как (hv, hw) — jj (ghv) ¦ (ghw) dg =
= \ (gv) ¦ (gw) dg — {v, w) в силу свойства (е) интеграла Хаара. Щ
Аналогичное рассуждение показывает, что любое комплексное
представление компактной группы эквивалентно унитарному пред-
представлению.
Для двух представлений ср: G^-GL(V) и if: G-*-GL(W) обо-
обозначим через ф©"ф представление G-*-GL(V@W), заданное фор-
формулой ((<p®ty)(g))(v, w) = (<p(g)v, ty(g)w).
Представление (конечномерное) q>: G^-GL(V) называется при-
приводимым, если существует такое подпространство W czV ,Q=?=W ф]/,
что для всех g zG ip(g)W = W, и неприводимым в противном
случае. Представление <р называется вполне приводимым, если
оно эквивалентно прямой сумме ^ Э ... © if* неприводимых пред-
представлений \|);. Нетрудно видеть, что в таком случае ify единственны
с точностью до эквивалентности и порядка следования.
3.6. Предложение. Любое конечномерное вещественное
представление G-^GL(V) компактной группы G вполне приво-
приводимо.
Доказательство. В силу 3.5 мы можем считать, что
у = [R« и что представление ортогонально, т. е. ср: G-*-O(n). Мы
утверждаем, что если подпространство W с R" инвариантно, то
WL = {v = V = кл | v ¦ w = 0 для всех w^W\ тоже инвариантно.
Это следует из равенства ((p(g)v)-w = v-q>(g)'w = v-(p(g~1)w.
Поэтому ф = (ф| W)®(<p\ Wl), и нужный результат получается
очевидной индукцией. |
4. Собственные функции на компактных группах
Пусть G — компактная группа. На протяжении этого пара-
параграфа буквы х и у используются для обозначения элементов
группы G. Для данного натурального п пусть V обозначает
(бесконечномерное) вещественное векторное пространство всех
непрерывных функций /: G-^-R" (в большинстве случаев п будет
равно 1, но рассматривать общий случай более удобно). Для
/, g: G-+-R" положим (f, g) = \f(x)-g(x)dx, где под интегралом
стоит обычное евклидово скалярное произведение.
Пусть задана непрерывная симметричная функция k: GxG-^-R,
k(x, y)=k(y, x) (называемая ядром). Определим оператор К: V->- V
формулой (Kf)(x) = ^k(x, y)f(y)dy. Легко видеть, что К отобра-

4. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ 25
жает единичную сферу {/|(/, /) = Ц в равномерно ограниченное
и равностепенно непрерывное множество функций 1).
Кроме того, возможность изменения порядка интегрирования2)
доказывает, что оператор К симметричен: (Kf, g) = (f, Kg).
Функция феУ, ф#=0, называется собственной функцией (опе-
(оператора К) с собственным значением ЯеК, если /(ф = Яф.
Приведем без доказательства три хорошо известных факта,
вытекающих из вышеизложенных свойств оператора К Доказа-
Доказательства можно найти во многих источниках, например, Хох-
шильд [1], с. 14—18, или Шевалле [1], с. 204—209.
(a) Для любого О 0 существует лишь конечное число таких
собственных значений Я, что \Х\^с.
(b) Для Я Ф 0 собственные функции с собственным значением Я
образуют конечномерное векторное пространство.
Заметим, что в силу этих фактов можно найти такую после-
последовательность фх, ф2, ... собственных функций с ненулевыми
собственными значениями с,, с2, ...,что последовательность {\Ci\\
монотонно стремится к нулю, причем (фь ф/) = 6,у, и любая соб-
собственная функция с собственным значением Я Ф 0 является линей-
линейной комбинацией тех функций ф,-, у которых с,- = Я. Следующее
важное свойство состоит в том, что
(c) Если g = Kf для некоторой / <= V, то «ряд Фурье» ^ (g. Фг) Ф;
равномерно сходится к g.
Напомним, что для функций /eF правый сдвиг RJ e V
задается формулой (Ryf)(x) — f(xy), а левый сдвиг L^/eV—-фор-
L^/eV—-формулой (Lyf)(x) = f(y-1x). Так как Rx-Ry = Rxy и Lx-Ly = Lxy, то
каждый из этих сдвигов определяет представление группы G на
бесконечномерном векторном пространстве V.
Начиная с этого места, мы предполагаем, что ядро k имеет
вид k (x, y) = h{xy~1), где h: G->iR —такая функция, что h (x) =
= /i(x~1). Для любого линейного отображения A: R"—>-IRn его
композиция с функцией /: G-*-Rn определяет функцию Л/:
G->."\", так что соответствие />—*¦ Af определяет (обозначаемое
тоже через А) линейное преобразование А: V-*¦ V.
4.1. Лемма. В описанной выше ситуации Ry.K.=K°Ry для
любого у, и А°К = К' А. Если, кроме того, h (уху-1) = h (x) для
любого х, то Ly'K = K'Ly.
Доказательство Вычислим
К(RJ) {x) = \h(xz^)f (гу)dz = \h{xy(zy)~l)f (zy)dz =
= $ h (хуг-*) f (z) dz = (Kf) (xy) = (Ry (Kf)) (x)-
1) To есть К — вполне непрерывный оператор. — Прим. перев.
2) См. предложение ЗА. —Прим. перев.

26 ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Аналогично
К(Af) (х) = \h (ху1) А (/ (у)) dy = \A{h (xy-i) f (у)) dy
Для проверки последнего утверждения вычислим
К(LJ) (х) = \ h(xz-i)/ (y-^z) dz^\h(yy-h (у-Ъ)-1 у1) f (y~lz) dz
= 5 h (yy-ixz-Y1) f{z)dz = \h (у ^г-1)/(г)dz =
Из 4.1 следует, что каждый; сдвиг Ry и каждое линейное пре-
преобразование А (такое, как выше) переводят пространство собст-
собственных функций с собственным значением X в себя. Для с>0
обозначим 'ерез Vc подпространство пространства V, порожден-
порожденное собственными функциями с собственными значениями X при
|Я|Згс. В силу (а) и (Ь) пространство Vc конечномерно, и оно
инвариантно относительно любого Ry и любого А. Положим
V/ = {g е V | (g, /) = 0 для всех /el/}, Пространство Vc порож-
порождено некоторыми ф,-, скажемх), фх, ..., фг. Тогда /ёУ может
быть представлено в виде
/Е </' Ф:>Ф.+ /S </, Ф/>
(=1 \ (=1
откуда следует, что V = VC®Vt¦ Так как для любого линейного
преобразования А: Кл->-Кл имеем (Ag, f) — (g, A'f), где А' —
сопряженное к А преобразование, то А переводит пространство Vc
в себя. Аналогично вычисление показывает, что (Ryg, /> =
= (g, Ry-tf), откуда следует, что Ry переводит Vcl в себя.
г
Пусть Рс: V -*¦ Vc — ортогональный проектор, PJ— ? </, ф(-> Фг,
i = 1
переводящий Vt в {0}. Ясно, что Pc-Ry = Ry-Pc и РС>А = А-Рс,
где А и Ry — ie же, что и раньше Если, кроме того, h(yxy^1) =
— h(x) для всех xeG, то в силу 4.1 Ly коммутирует с К и
потому коммутирует также с Р.
4.2. Теорема. Пусть G — компактная группа, И —ее замкну-
замкнутая подгруппа и р: Н ->GL(n, ^ — представление группы Н.
Тогда существует такое представление ц: G->-CL(m, R) с неко-
некоторым т, что р содержится в ограничении представления ц на
подгруппу Н, т. е. ri!# = p©fx для некоторого представления (л
группы И.
См. рассуждение после (Ь). — Прим. иерее.

4. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ 27
Доказательство. Очевидно, достаточно рассмотреть случай,
когда представление р неприводимо. Как и выше, пусть V — про-
пространство непрерывных функций G->K". Фиксируем некоторое
такое отображение h: G-*-fi, что h (х) = h (х~1) и h (yxy-1) = h(x)
для всех х, г/<= G. Как и выше, положим (Kf)(x) = <\jh(xy~1)f (у) dy.
Подходящее h мы подберем позже.
Пусть W а V — подпространство, состоящее из всех таких
функций /: G->R", что f(ух) = р(у)f(х) для всех (/еЯ и хеС
В этом случае L,,-i (f) = p(y)'f для всех i/ёй.
Согласно предыдущим замечаниям для А~р(у) и некоторого
с>0 (нужное с выберем позже) пространство W инвариантно
относительно проектора Рс и оператора К, так как оба эти опе-
оператора коммутируют с любым Ly 1 и любым Л == р (г/). Заметим
также, что для любого хеС оператор Rx переводит W в себя
(но для операторов Ly это неверно).
Положим Wc = PCW с W. Сопоставление элементу xeG опе-
оператора Rx определяет конечномерное представление ц группы G
на Wc. Рассмотрим линейное отображение /: Wc—»КЛ, заданное
формулой У (/)=/(?-). Для г/€Е# имеем J (Ryf) = (RJ) (<?) = / (г/) =
— Р (^) / (е) = Р (У) J (/)> т- е- отображение ¦/ переводит представле-
представление ц, Я в представление р. На ядре отображения J возникает
представление ji. группы Н; так как Я компактна, то в силу 3.6
имеется дополнительное к ц представление т. Поэтому ti | Я —
= и©т, и J мономорфно переводит т в р. Если J фО, то /: т->-р —
эквивалентность представлений группы, так как представление р
неприводимо, и все доказано. Следовательно, достаточно доказать,
что можно выбрать такую функцию h (и, следовательно, такой
оператор К) и такое с>0, что существует функция /е 1FC, для
которой / (е) = J (/) ^ 0.
С этой целью определим функцию g: H-*-№ формулой g(y) —
— р (у) v, где v = A, 0, ..., 0) (= R". Группа G компактна и потому
является нормальным пространством, поэтому по теореме Титце ])
функция g продолжается до функции g: G->R". Положим
g*(x)= \)p(t
н
L) Топологическое пространство называется нормальным, если для любых
двух его замкнутых подмножеств Fx, F2, F1f]F2= Q), можно найти такие огкры-
тые множества Gx, G2, что FxcGl, F2 cz C2 и G1(]G2 — (J). Например, хаусдор-
фово компактное пространство и метрическое пространство нормальны. Теорема
Титце, доказанная независимо также П. С. Урысоном, утверждает, что если
F — замкнутое подмножество нормального пространства X, то любая непрерыв-
непрерывная функция /: F-+U продолжается до непрерывной функции /: А —»- К,
причем } (F)=f (X) cz R. — Прим. перев.

28 ГЛ 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Для х, у е Н имеем g (ух) = р (ух) v = p(y)p (x) v, так что g* \H=g.
Для любых ieG и геЯ имеем
S* (zx) = \ р (у-1) g (yzx) dy =
н
= J р (г(yzy1)g (угх) dy=\p (zy1) g (yx)dy =
н н
— р (z) § р (у1) g (yx) dy = p (г) g* (x),
н
поэтому g* ge W. Так как g* есть продолжение функции g, мы
теперь отбросим знак *, считая, что дана вектор-функция gelf
с условием g(e) — v = (l, 0, ..., 0). Пусть g, (j) — первая компо-
компонента функции g(x), так что gi(e) = l. В силу непрерывности gt
в группе G можно найти такую окрестность U точки е, на кото-
которой g, положительна; при этом G можно считать симметричной
и в силу 1.10 инвариантной относительно сопряжений. Пусть
q: G-*-U — неотрицательная функция с q(c)=l, равная нулю
вне U. Положим
h (х) = 1\ (q (уху~1) + q(yx-1y1)) dy.
S
Тогда h неотрицательна, h(e) — l, h равна нулю вне U и удов-
удовлетворяет условиям h(x) = h(x~1), h(yxy1) = h(x). При таком
выборе h имеем (Kg)(e)= \h(eyx)g(y)dy=?Q, так как первая
о
компонента \h(y~v)gl(tj)dy этого вектора положительна. Напом-
о
ним, что в силу сформулированного выше свойства (с) при с->0
последовательность PcKg равномерно сходится к Kg. Поэтому
мы можем выбрать с>0 настолько малым, что (Рс Kg) (e) Ф 0.
Тогда / = PcKg^Wc и есть нужная функция. |
Пусть р: G-> GL (V) — некоторое представление; выберем век-
вектор иеК. Подгруппа Gv= {^e G\p(g)v = v\ группы G называ-
называется стационарной подгруппой вектора v или его подгруппой
изотропии (см. также § 2 гл. I). Она является, очевидно, замкну-
замкнутой подгруппой группы G.
4.3. Теорема. Пусть Н —замкнутая подгруппа компактной
группы G, и пусть U —окрестность единицы е в G. Тогда для
некоторого п существует такое представление р: G->GL(n, |R)
и такой вектор oeR", что WcG^c UH.
Доказательство. Пусть W— такая симметричная окрест-
окрестность единицы е в G, что W2 cz U, и пусть h: G ->-•}? — такая не-
неотрицательная непрерывная функция, что h(e) = l, h(x) = h(xr1)

4. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА КОМПАКТНЫХ ГРУППАХ 29
и h(x) — 0 для х ф W, Определим оператор К формулой
Пространство G/H компактно и хаусдорфово и потому нормаль-
нормально, поэтому существует такая неотрицательная функция /': G/H -+-R,
что/(еЯ) = 1 и /'(*#) = О для х ф WH. Определим /: G->R как
f(x)=f'(xH). Тогда f(e) = \,f (х)=>0 для x<?WH и #„/ = / для
всех у^.Н. Положим g = Kf Так как Ry коммутирует с К, то
Далее, если 0 Ф-g (х) — J h (xy1) f (у) dy, то обязательно найдет-
найдется такой элемент jeG, что ху~х elF и у е №Я, и потому
л: е \^2Я. Следовательно, g'(x) = 0 для хфИН. С другой сторо-
стороны, g(e) = ^(i')/(y)^4'>0- Так как, в силу вышеуказанного
свойства (с), последовательность Pcg равномерно сходится к g
при с-*-0, можно выбрать с настолько малым, что для всех
x^G — UH имеем (RxPcg)(c) = (Pcg)(x)<.(Pcg)(e)- Выбрав такое
с, положим ф = Pcg. Тогда G действует на конечномерном вектор-
векторном пространстве Vc посредством правых сдвигов Rx, и имеется
такой вектор ф е Vc, что Rxq> Ф ф для х ф UH (так как эти
функции принимают разные значения в точке е) и Ryq> = q> для
всех 1/еЯ, так как Ry коммутирует с Рс.
Поэтому стационарная подгруппа Сф содержит Н и содержит-
содержится в UH. |
Применяя 3.5 и 4.3 к случаю Н = {е), получаем такое след-
следствие:
4.4. Следствие. Пусть G — компактная группа. Для любой
окрестности U единицы е в G существует такой гомоморфизм
1)): G->O(n), что ker^czU. Щ
Говорят, что группа G не содержит малых подгрупп, если
существует окрестность U единицы е в G, не содержащая под-
подгрупп, отличных от {е}.
4.5. Следствие. Компактная группа G не содержит малых
подгрупп тогда и только тогда, когда она изоморфна замкнутой
подгруппе группы О(п).
Доказательство. Если G не содержит малых подгрупп,
то в силу 4.4 имеется мономорфизм of: G->-0(«). Так как отоб-
отображение 4" взаимно однозначно, группа О (п) хаусдорфова, а
группа G компактна, то t|) является гомеоморфизмом (и группо-
групповым изоморфизмом) на свой образ.
Для доказательства обратного достаточно показать, что груп-
группа О (п) не содержит малых подгрупп. С этой целью рассмотрим
выпуклую окрестность U нуля 0 в М„ (R) ?«R, для которой
отображение exp: 2(/-*GL(n, R) является гомеоморфизмом на
некоторую окрестность точки /eCL(n, k), см. § 2. Предполо-

30 ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
жим, что Я с exp (U) — такая подгруппа в GL (л, R), что име-
имеется В<=Н, Вф1. Пусть матрица ^е(/, АфО, такова, что
еА=В. Тогда для некоторого целого г ^ 1 имеем 2rA^BU) — U
и б2' =ёг'А еехр B(У) — exp (U) в силу 2.1. Но это противоречит
тому, что ВзГейс exp (U). |
Замечания. Теорема 4.2 хорошо известна, как, впрочем,
и все результаты vrofi главы. Идеей приведенного доказательства
автор обязан Уоллаку. Теорему 4.3 (и теорему 5.2 следующего
параграфа) получили независимо Мостов [1] и Пале [2], а
частный случай 4.4 (и 4.5) впервые доказал фон Нейман.
5. Группы Ли
В этом параграфе мы изложим элементарную теорию группы
Ли, опуская большинство стандартных доказательств и обсуждая
лишь важные для дальнейшего факты. Это обсуждение адресуется
читателям, которые еще не знакомы с понятием группы Ли (и,
возможно, даже с понятием дифференцируемого многообразия).
Мы намерены лишь сказать, что такое группа Ли, и отметить
несколько нужных нам элементарных фактов. Эти факты понятны
и правдоподобны, и нам кажется, что у читателя не возникнет
необходимости узнать их доказательства. По поводу же доказа-
доказательств и более подробного изложения этой теории читатель мо-
может обратиться к ряду легко доступных источников, таких, как
Шевалле [1] или Хохшильд [1].
Топологическая группа G называется группой Ли, если для
некоторого п существует такой гомеоморфизм х: U -> W открытой
окрестности U единицы ее С на открытое подмножество Ц?ер,
что х(е) = 0 и в возникающих в U локальных координатах с цен-
центром в е групповые операции являются вещественно аналитичес-
аналитическими функциями. Более точно, пусть g ge U, и пусть xt (g) есть
г'-я координата точки x(g)G]<". Тогда в некоторой окрестности
точки 0 е= (к2л существуют такие вещественно аналитические фун-
функции ф/, ЧТО
xi(gh) = ф,-(хг (g), ..., хп(g), xx(/г), ...,*„(К))
для любых g и h из некоторой открытой окрестности V с U еди-
единицы е. Аналогично xl(g--i)=tyi(x1(g), ..., xn{g)) для g, близких
к е, где ф(— определенные вблизи нуля OgR" вещественно ана-
аналитические функции.
Однопараметрическая группа у: R-»-G (т. е. непрерывный
гомоморфизм y(t + s) = y(t)y(s)) называется аналитической, если
все функции х,'у аналитичны вблизи OgR (мы можем наделить
G структурой аналитического ".многообразия, в которой групповые
операции аналитичны, поэтому отображение у будет аналитичес-

5. ГРУППЫ ЛИ
31
ким всюду). Производные a{ = dxi(y(t))/dt\t=o являются коорди-
координатами «касательного вектора» к у в точке / = 0 в системе коор-
координат х. Из элементарной теории дифференциальных уравнений
следует, что у полностью определяется этим вектором Х = (а±,...
..., on)eR" и, более того, любой вектор Хер получается
таким образом из некоторой аналитической одноиараметрической
подгруппы у. Из этой теории следует также, что отображение
exp: R"->-G, определенное формулой expX = YA(l), аналитично
по X вблизи точки 0. Вычисление показывает, что аналитические
однопараметрические подгруппы tt—*ysX(t) и tt—*yx(st) имеют
при t = 0 один и тот же касательный вектор, поэтому ysX (I) = ух (s)
для всех seR. Теперь легко видеть, что якобиева матрица ото-
отображения л>ехр в точке 0 есть в точности единичная матрица,
и потому из теоремы об обратной функции следует, что вблизи
нуля отображение ехр обладает обратным отображением, обозна-
обозначаемым через log и также являющимся аналитическим (т. е.
log ° лг1 — аналитическое отображение). Заметим, что отображение
log определяет систему локальных координат с центром в е (т. е.
мы можем положить x = \og), которые называются «каноническими
координатами первого типа». В этих координатах аналитические
однопараметрические группы являются прямыми, проходящими
через начало координат. Отсюда легко следует, что любая непре-
непрерывная однопараметрическая подгруппа у: R-»-G является анали-
аналитической и потому имеет вид у (/) = ехр (tX) для некоторого X е R".
Из этого важного факта следует в свою очередь, что любой не-
непрерывный гомоморфизм G-*-H одной группы Ли в другую ана-
литичен вблизи 0; поэтому система локальных координат х с
центром в ееб, превращающая G в группу Ли, единственна
с точностью до аналитической замены координат. (По этой при-
причине задание такой структуры не включается в определение
группы Ли.)
Точно так же, как при доказательстве следствия 4.5, можно
показать, что группа Ли G не имеет малых подгрупп.
Пусть Я —замкнутая подгруппа группы Ли G. Внимательное
исследование экспоненциального отображения показывает, что
вблизи eeG группа Н совпадает с образом при ехр: R"->G
некоторого линейного подпространства VczR" (и фактические
образом некоторой окрестности точки ОеУ). Если V1— ортого-
ортогональное (или любое другое) дополнение к V в R", то якобиева
матрица (относительно локальных координат) отображения <р:
Rn = Fi0V-»-G вида ср (w, v) = (ехр w) (exp v) есть единичная
матрица. Поэтому локально обратное к ср отображение определяет
систему локальных координат x = (xlt ..., хп) с центром BeeG,
определенную, скажем, на f/ = {geG '. xi (?)''<. Ц и обладающую
тем свойством, что любое множество вида U |~| gH, g e G, зада-
задается в ней уравнениями xt — cit i = 1, ..., k (где ct — константы,

32 ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
определяемые выбором смежного класса gH, и n — k — размерность
группы Я). Отсюда следует, в частности, что сама Я является
группой Ли.
Применяя это рассуждение к G = O(n) и используя 4.5,
получим следующий результат.
5.1. Теорема. Компактная группа является группой Ли
тогда, и только тогда, когда она изоморфна замкнутой подгруппе
некоторой ортогональной группы О (л). §
Пусть Нa G — замкнутая подгруппа и x~{xlt ..., я,,) —выше-
—вышеописанные локальные координаты. Пусть, далее, С —множество
точек координатной окрестности, для которых X/,+ i — ¦¦¦ =л;„ = 0
(т. е. С = ехр (W), где W—малая окрестность 0 в V1). Тогда
множество СН открыто в С, и умножение С х Я -*- СН является
взаимно однозначным соответствием. Положим С' = ехр(-„- w),
и пусть К с G — такая подгруппа, что Я а К а СН. Если КфН,
то К содержит элемент ieC, кфе. Однако прямые, проходя-
проходящие через начало подпространства С (в указанной системе коор-
координат), являются однопараметрическими подгруппами; поэтому,
рассуждая так же, как при доказательстве следствия 4.5, полу-
получим, что некоторая степень элемента k лежит в С —С, что
противоречит предположению КаС'Н. Поскольку СН открыто
в G, это рассуждение вместе с 4.3 и 4.5 влечет следующий
результат.
5.2. Теорема. Пусть G — компактная группа Ли и Н a G —
ее замкнутая подгруппа. Тогда для некоторого т существуют
такое представление р: (?->О(т) и такой вектор tieR, что
GV = H. |
В вышеприведенных обозначениях отметим, что локальное
(заданное в окрестности единицы eeG) сечение С множества
левых смежных классов по Я в группе G гомеоморфно отобража-
отображается на окрестность элемента еН е G/H. Обратное к этому отоб-
отображение можно использовать для построения локальных коорди-
координат вблизи еН. Воспользовавшись теоремой 5.2 (и считая G
группой Ли), рассмотрим такое представление р: G->0(m), что
H — Gv. Тогда соответствие gH-^-g(v) определяет топологическое
вложение б: G/H->-Rm. В вышеописанных локальных координа-
координатах дифференциал отображения б в точке еН можно мыслить как
отображение, сопоставляющее вектору ией? касательный вектор
6* (до) в точке /=0 к кривой t <—*-р (exp (tm)) (v) в Um. Так как
р (exp tw) является однопараметрической подгруппой в О (т), то
она представима в виде exp (tA) с некоторой (т х т)-матрицей А.
В силу 2.2 отсюда следует, что 8„.(ш)"»0 тогда и только тогда,
когда и=»е'ли«р(ехр (tw)) (v) для всех t; но последнее возможно
тогда и только тогда, когда exp (tw) eG,-Я для всех t, что
справедливо только для w — Q ввиду включения W cz VL.

5. ГРУППЫ ЛИ
33
Таким образом, дифференциал отображения 9: G/tf->-|Rm в
точке еН мономорфен.
На самом деле координатная система может быть определена
и в любой другой точке пространства G/H посредством левых
сдвигов данной системы координат. Отсюда следует, что, с уче-
учетом этой аналитической структуры на пространстве G/H, множе-
множество 6 (G/H) является аналитическим подмногообразием в Rm.
Мы закончим этот параграф обсуждением односвязнои накры-
накрывающей группы Ли G. Так как топологическое пространство
связной группы Ли G обладает хорошими локальными свойствами,
то существует односвязное накрытие G пространства G. Выберем
раз и навсегда точку ёеб, накрывающую точку ssG. Так как
GхG — односвязное накрытие пространства GxG, то имеется
единственное отображение GxG-*-G, накрывающее умножение
GxG-*-G и переводящее точку (ё, ё) в точку ё. Обозначим это
отображение через (g, ~h)\—*-gh. Каждое из двух отображений
(g, h, k)i—*-{gh)k и (g, h, k)i—*-g(hk) множества GxGxG в мно-
множество g* накрывает аналогичное отображение GxGxG-^G и
переводит (ё, ё, ё) в ё, поэтому они совпадают. Отображение
G-^-G, переводящее g в ge, накрывает тождественное отображе-
отображение G->G и переводит ё в ё, поэтому ge = g для любого g; ана-
аналогично eg=g для любого g e G. Имеется также единственное
отображение G^>-G, переводящее ё в ё и накрывающее отобра-
отображение gi—'g'1 группы G в себя. Обозначим через g-1 образ эле-
элемента g^G при этом отображении G-+-G; тогда отображение
G^-G вида g*—*~gg~l накрывает постоянное отображение g*—*-e
и переводит ё в ё. Поэтому gg~1==e для всех |eG.
Эти замечания показывают, что при данном выборе единицы
ё eG топологическое пространство G допускает единственную
структуру топологической группы, относительно которой проекция
G-+-G является гомоморфизмом. Так как ё обладает в G окре-
окрестностью 0, гомеоморфно проектирующейся в окрестность U еди-
единицы е в G, то G является группой Ли, называемой универсальной
накрывающей группой группы G. Ядро К проекции G-+G является
дискретным нормальным делителем в G и потому в силу 1.11
лежит в центре группы G. Таким образом, любая связная группа
Ли G может быть получена факторизацией односвязнои группы
Ли G по некоторому ее дискретному нормальному делителю К,,
лежащему в центре группы G1). Две связные группы Ли назы-
J) Можно показать, что любая группа Ли G с указанными свойствами
является универсальной накрывающей группы G и потому единственна с точ-
точностью до изоморфизма. — Прим. перев,
2 Г. Бредон

W ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
вают локально изоморфными, если их универсальные накрываю-
накрывающие группы изоморфны.
Теперь рассмотрим случай, когда G связна и абелева.
5.3. Лемма. Пусть G есть п-мерная связная абелева группа
Ли. Тогда отображение exp: Rn->-G является гомоморфизмом
(где структура абелевой группы на R" задана обычным сложением
векторов) и отождествляет R™ с универсальной накрывающей груп-
группой группы G.
Доказательство. Для фиксированных и, и е R" определим
отображение ср: R->G формулой ср(t) = exp (tu)exp (tv), <eK.
Так как группа G абелева, то ф является однопараметрической
подгруппой. Ее касательный вектор при / = 0 есть в точности
ц*(и, v), где jv- R"XR"->Rn —дифференциал в точке (е, е)
умножения ц: GxG-^-G. Так как \i(g, e)=g — \i(e, g), то
[А* (и, 0) = и и ц* @, v) — v, и из линейности отображения щ сле-
следует, что [д.* [и, v) — u-{-v. Поэтому ф есть однопараметрическая
подгруппа с касательным вектором и + v, и потому ф (f) =
= exp (t (и -f v)). Полагая t = 1, имеем exp (и + v) = exp u exp у, так
что exp — гомоморфизм. Образ гомоморфизма ехр является, оче-
очевидно, открытой подгруппой1) в G. Но эта подгруппа также и
замкнута, поскольку ее дополнение является объединением смеж-
смежных классов2), каждый из которых — открытое подмножество
в G. Поэтому exp: iRn->-G является накрытием3). Щ
Отсюда следует, что если G — связная абелева группа Ли, то
G«^R"/iV, где N —дискретная подгруппа в R". Нетрудно пока-
показать, что для любой такой подгруппы N существует такой базис
vv ..., и„ в R", что N порождается векторами vlt ..., vk для
некоторого k. Поэтому G *=« Tfe x Un~k, где Т* есть ^-мерный тор
(т. е. прямое произведение k экземпляров окружности Sl = U A) ?**
**«R/Z)- Таким образом, получаем следующую характеризацию
связных абелевых групп Ли.
5.4. Теорема. Для п-мерной связной абелевой группы Ли G
существует такое k, что G изоморфна произведению 1kxiKn~k- fl
6. Структура компактных групп Ли
Этот параграф мы начнем с изложения свойств максимальных
торов компактных групп Ли. Мы сделаем это достаточно подробно
потому, что эта информация часто будет использоваться нами
в последующих главах. Затем мы дадим набросок классифика-
классификационной теории компактных групп Ли. Доказательства боль-
1) Поскольку ехр отображает малую окрестность точки OsR" гомеоморфно
и является гомоморфизмом. — Прим. перге.
2) По этой подгруппе. —Прим. перев.
») См сноску на с. 33. — Прим. перев.

6. СТРУКТУРА КОМПАКТНЫХ ГРУПП ЛИ 35
шинства классификационных результатов мы опустили, поскольку
в дальнейшем они не потребуются.
Торическая группа (тор) — это связная компактная абелева
группа Ли, являющаяся, следовательно, произведением окруж-
окружностей. Максимальный тор компактной группы Ли G — это такая
ее торическая подгруппа, которая не содержится ни в какой
большей торической подгруппе группы G1).
6.1. Лемма. Группа Aut Т автоморфизмов тора Т дискретна
в компактно открытой топологии.
Доказательство. Интерпретируем R" как универсальную
накрывающую группу тора T = Rn/Zn- Очевидно, что каждый
автоморфизм тора Т определяет автоморфизм группы R", сохра-
сохраняющий подгруппу Z", и наоборот. Поэтому группа Aut Т может
рассматриваться как подгруппа группы AutR" —GL (n, R), состоя-
состоящая из автоморфизмов, сохраняющих целочисленную решетку Z".
Но эти автоморфизмы задаются матрицами с целыми элементами
и определителем, равным ± 1, поэтому они образуют дискретную
подгруппу в GL (n, (R). §
6.2. Следствие. Пусть Т — максимальный тор компактной
группы Ли G и N (Т) — его нормализатор в группе G. Тогда
группа N (Т)/Т конечна.
Доказательство. Нормализатор N (Г) — замкнутая под-
подгруппа группы Ли, и потому он является группой Ли. Пусть
No(Г) —связная компонента группы N(Т), содержащая единицу
e^N(T). Тогда в силу 6.1 N0(T) действует на торе Т (посред-
(посредством сопряжений) тривиально. Если dim N0(T) >dim7\ то
имеется однопараметрическая подгруппа у: R-*-N0(T), образ
которой S не лежит в Т. Тогда 5 и Г порождают связную абе-
леву группу, замыкание которой Т' тоже есть связная абе-
абелева группа, являющаяся к тому же компактной. Но это про-
противоречит максимальности тора Т, поэтому N0(T) = T. Так как
N (Т) — группа Ли, то Г —открытое подмножество в N (Т), и
потому факторгруппа N (Т)/Т конечна. §
Отметим, что факторгруппа Af (T)/T называется группой Вейля
группы G.
Обозначим через %(М) эйлерову характеристику топологи-
топологического пространства М, т. е. %(М) = ^] ( — l)'rk#,-(М)г).
6.3. Предложение. Пусть Т — максимальный тор компакт-
компактной группы Ли G, положим N = N(T). Тогда %(G/N) = l и
% (G/T) = ord N/T.
!) Легко видеть, что любой тор содержится в некотором максимальном
торе, так как цепочка возрастающих торов обрывается по соображениям раз-
размерности.— Прим. перев.
2) Здесь рассматриваются группы гомологии с коэффициентами в некото-
некотором поле Л, поэтому rk //; (/И) — это размерность Л-векторного пространства
Ht(M\ А).—Прим. ред.
2*

36
ГЛ. О ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНГГЯ
Доказательство. Группа Т действует на пространстве
G/N посредством левых сдвигов (см. гл. I). Так как Т cz N, то
точка eN e G/N, очевидно, неподвижна относительно этого дейст-
действия. Дифференциал этого действия в неподвижной точке eN
(выписанный в некоторых локальных координатах в окрестно-
окрестности этой точки) задает представление группы Т. В силу 3.5 это
представление эквивалентно ортогональному, что означает воз-
возможность выбора такой системы локальных координат с центром
в eN e G/N, в которой действие тора Т ортогонально. В част-
частности, существует диск Dm с: G/N с центром в eN, инвариантный
относительно действия группы Т. Поэтому множества Dm, dDm,
iniDm и М = G/N — int Dm тоже инвариантны относительно дей-
действия группы Т
Нетрудно видеть, что в группе Т существует такой элемент
t, множество всех степеней которого плотно в Т (такие элементы
называются «генераторами» тора Т). Смежный класс gN e G/N
неподвижен относительно t тогда и только тогда, когда tgN — gN,
что эквивалентно условию g~1tg^N и, следовательно, условию
g-^gcN, так как степени элемента t образуют плотное в Т
множество. Но это справедливо в том и только в том случае,
когда g~xTg = T (т. е. когда g&N), так как Т есть связная
компонента группы N, содержащая единицу. Поэтому единствен-
единственной неподвижной точкой для / будет eN e G/N. Так как отобра-
отображение t не имеет неподвижных точек в dDm = Sm~1 и гомотопно
там тождественному отображению (в силу того, что действие
элемента t включается в действие связной группы Т), то из тео-
теоремы Лефшеца о неподвижной точкех) следует, что m четно
(другими словами, что %(Sm~1) = 0). Аналогично t не имеет непод-
неподвижных точек в М = G/N — int Dm и гомотопно там тождествен-
тождественному отображению, так что по той же теореме Лефшеца % (М) = 0.
Из точности гомологической последовательности
.. .-> Hi (М) -* Hi (G/N) -> Hi (G/N, M) -> Я.--1 (M) -»-...
и того факта, что Hi(G/N, M)«^W,(Dm, dDm), следует, что
%(G/N) = %(M) + ( — 1)ш= 1, так как m четно Далее, G/T явля-
является конечнолистным накрытием над G/N с числом листов, рав-
равным ord N/Т. Подсчитав симплексы в некоторой триангуляции
пространства G/N и в индуцированной триангуляции его накры-
накрывающего пространства G/T, получим, что % (G/T) — ord (N/T) X
X%(G/N) = ordN/T. I2)
6.4. Теорема. Пусть Т — максимальный тор компактной
связной группы Ли G, и пусть g^G. Тогда существует такой
элемент k^G, что Ir'-gk e Т.
!) См. стр. 255 книги Дольда [1].— Прим. ред.
2) Доказательства всех использованных здесь свойств эйлеровой характе*
ристики можно найти в книге Дольда [Ц, — Прим. ред.

в. СТРУКТУРА КОМПАКТНЫХ ГРУПП ЛИ 37
Доказательство. Рассмотрим преобразование G/T-+G/T,
переводящее КГ в ghT. В силу связности группы G это отобра-
отображение гомотопно тождественному. Поэтому его число Лефшеца
есть x(G/T)=?0 и, следовательно, оно имеет неподвижную точку
kT. Таким образом, gkT^kT, т. е. k^gke^T. |
6.5. Следствие. Любые два максимальных тора связной ком-
компактной группы Ли G сопряжены в G.
Доказательство. Пусть 7 и 7" —два максимальных тора
в G, и пусть t^T' порождает 7" (т. е. степени элемента / обра-
образуют плотное в 7" множество). Для некоторого g^G имеем
g~4g<^ 7, и потому g~1T'gcz Т. Но тогда gTg-1 zd 7', и это вклю-
включение должно быть равенством в силу максимальности тора 7". §)
6.6. Следствие. Пусть А с: Т— некоторое подмножество
максимального тора Т связной компактной группы Ли G. Если
для некоторого g^G имеем gAg-1 cz 7, то существует такой
элемент k(^N(T), что kak~1 = gag~1 для всех оеА
Доказательство. Рассмотрим в группе G подгруппу
j/ieGjta/r^a для всех а<=А\ и обозначим через Я ее связ-
связную компоненту, содержащую единицу. Тогда 7 cz H, и так как
A czg xTg, то также g-xTgczH. Поскольку 7 и g~lTg являются
максимальными торами в Я, то в силу 6.5 найдется такой йеЯ,
что hTh,-1 ^gTg-1. Положив k = gh^ N G), видим, что kakr1 —
= gnah-lg-1=gag~1 для всех аеЛ. |
6.7. Следствие. Пусть Т — произвольный тор в связной
компактной группе Ли G, и пусть g e= G — элемент, коммутирую-
коммутирующий с любым элементом тора Т. Тогда в G существует макси-
максимальный тор, содержащий как g, так и Т.
Доказательство. Пусть 70 — некоторый максимальный тор
группы G, содержащий элемент g1), и пусть Я—содержащая
единицу связная компонента подгруппы {h e G\hg = gh\. Тогда
Тс// и 70 cz Я, поэтому в силу следствия 6.5 (примененного
к Я) существует такой йеЯ, что hToh~lzz>T. Но hgh~i=g, так
что КГфг1 и есть требуемый максимальный тор. |
6.8. Следствие. Централизатор Z G) любого тора 7 в связ-
связной компактной группе Ли G связен и является в точности содер-
содержащей единицу компонентной связности группы N G).
Доказательство. Из 6.7 следует, что ZG) есть объеди-
объединение всех максимальных торов, содержащих тор 7, и потому
Z(T) связно. Следовательно, Z(T)czN0(T). Обратно, /Vo G) cz
aZ(T) в силу 6.1. |
Как и было обещано, теперь мы дадим набросок классифика-
классификационной теории компактных групп Ли, опуская большинство
доказательств.
Существование такого тора Г„ следует из 6.4.—Прим. перев.

88 ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Рассмотрим действие группы G на себе посредством сопря-
сопряжений. Пусть dim G — n, тогда дифференциал этого действия
в точке eeG задает представление АА: G->GL(n, R), называе-
называемое присоединенным представлением. Так как группа G компактна,
то в подходяще выбранном базисе это представление является
ортогональным. В силу 3.6 это представление вполне приводимо.
Пусть Vo — подпространство неподвижных векторов, a Vlt..., У* —
остальные нетривиальные неприводимые компоненты присоединен-
присоединенного представления. Таким образом, пространство R" представ-
представления группы G имеет вид R" = У0©У,ф.. .®Vft. Для оёУ,и
любого /eR элемент exp (tv) неподвижен при сопряжении, так
что exp (tv) — однопараметрическая подгруппа, лежащая в центре
группы G. Отсюда следует, что группа exp (Vo) = То (являю-
(являющаяся тором) есть в точности содержащая единицу связная ком-
компонента центра группы G. Можно показать, что для любого
?:э= 1 множество ехр (V,) есть связная компактная группа G,- с G;
при этом для некоторой малой окрестности U) нуля 0 е Vt мно-
множество exp (Hi) является окрестностью единицы е е Gt (доказа-
тельство этого факта довольно сложное). Ясно, что G,- есть нор-
нормальный делитель группы G.
Более того, ясно, что группы G,- простые, т. е. они неабелевы
и не содержат нетривиальных собственных связных нормальных
делителей (это следует из неприводимости V,-) Обратно, можно
показать, что любой простой нормальный делитель группы G
есть одна из подгрупп d, так что это разложение единственно.
Если gi^Gi и Ае Gy, iФ/, то ghg^h'1 eGjfl Gy. Отсюда сле-
следует, что если эти элементы g и h близки к единице е, то gh =
= hg. Так как все группы Gt связны, то заключаем, что (при
i ф /) Gi и G/ коммутируют. Поэтому включения G; cz G и То cz G
индуцируют гомоморфизм roxG1x...xGft->-G одной группы Ли
в другую, являющийся гомеоморфизмом в окрестности единицы
е. Поэтому ядром этого гомоморфизма является конечный (и
потому центральный) нормальный делитель группы Тох
X Gx X xGA. Отсюда вытекает следующий фундаментальный
факт.
6.9. Теорема. Каждая связная компактная группа Ли G
имеет вид
где К —конечная центральная подгруппа прямого произведения,
То — содержащая единицу связная компонента центра группы G и
Gi —простые нормальные делители группы G. §
Отметим, что если группа То тривиальна, то группа G назы-
называется полупростой; любая такая группа локально изоморфна
прямому произведению простых компактных групп Ли. Следую-
Следующий факт показывает, что в формулировке теоремы 6.9 группу

6. СТРУКТУРА КОМПАКТНЫХ ГРУПП ЛИ 39
G,- можно заменить ее универсальной накрывающей, не теряя при
этом свойства компактности.
6.10. Теорема. Универсальная накрывающая группа ком-
компактной полупростой группы сама полупроста.
Доказательство. Мы ограничимся лишь наброском дока-
доказательства. Достаточно доказать, что группа пг (G) конечна. Так
как лх (G) абелева, достаточно доказать, что группа Нх (G) конечна.
Из формулы универсальных коэффициентов следует, что для
этого достаточно доказать равенство Н1 (G\ R) = 0. Используя
теорему де Рама и технику интегрирования, получим, что для
доказательства этого равенства достаточно показать, что не сущест-
существует дифференциальной 1-формы со, инвариантной относительно
как левых, так и правых сдвигов (и потому инвариантной отно-
относительно сопряжений). Но любая такая 1-форма ш=^0 принимает
нулевое значение на некотором (я — 1)-мерном подпространстве V
пространства R" (касательного пространства в точке е е G), и
потому V инвариантно относительно присоединенного представле-
представления. Ортогональное дополнение V1 тогда неподвижно относи-
относительно присоединенного представления (так как V1 одномерно,
а группа G связна и компактна). Таким образом, отображение
exp: V-L-vG задает однопараметрическую подгруппу, лежащую
в центре группы G, что противоречит полупростоте послед-
последней.
Теорема 6.9 дает нам описание всех связных компактных
групп Ли при том условии, что мы умеем описывать все одно-
связные простые компактные группы Ли и центры этих групп.
Мы просто сформулируем соответствующие известные результаты.
Пусть Aft, Вд,, Сй, Dft —классы групп, локально изоморфных
соответственно группам SU(/2+l), SOB?+1), Sp(&) и SOB6)
(нижний индекс k обозначает ранг группы, который равен по опре-
определению размерности ее максимального тора).
Имеется также пять так называемых «сключительных» групп
G2, F4, Ee, E7, Е8 (их размерности равны соответственно 14, 52,
78, 133, 248).
Известно, что классы Aft, k^l, ВА, ?з=2, С*, &Э=3, Dfe,
&2s4, G2, F4, Ee, E7, E8 составляют не содержащий повторений
полный список классов локальной изоморфности компактных прос-
простых групп Ли. Для малых значений рангов k имеются следую-
следующие локальные изоморфизмы: Di^S1 (так что Dj не полупроста),
Cj^Bi^asAj, D2«sA1xAa и О3*=«Аз.
Рассматривая расслоения над сферами (возникающие из гомео-
гомеоморфизмов SU (й+ 1)/SU (k) ?=«S2''t1 и т. д.), индукцией по h
легко доказать, что группы SU(^-j-l) и Sp(&) уже односвязны,
в то время как фундаментальная группа группы SO (л), п^З,
есть Z-2- Универсальная (двулистная) накрывающая группа группы
SO (л) называется спинорной группой и обозначав!ся через Spin (л).

40
ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Центры односвязных представителей простых групп1) указаны
в следующей таблице.
О
г (б)
А*
Zft+i
в*
z2
с*
z2
D2ft
Z2®Z2
D2ft+i
Z4
G2
0
F4
0
E,
Z3
E,
Z2
Е,
0
!) Автор имеет в виду односвязные представители классов локальной изо-
морфности простых групп.—Прим. перев.

Глава I
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
В первых пяти параграфах мы приводим определения и про-
простейшие свойства основных понятий, которые встретятся нам
в этой книге. Так, топологические группы преобразований опре-
определяются в § 1, эквивариантные отображения, эквивалентность
групп преобразований и понятие стационарной группы обсуж-
обсуждаются в § 2; там же доказывается полученный Глисоном экви-
вариантный аналог теоремы Титце о продолжении. Орбиты и
пространства орбит обсуждаются в § 3, а понятие орбитного
типа изучается в § 4. В § 5 обсуждаются множества неподвиж-
неподвижных точек.
В § б мы описываем три общие конструкции, позволяющие
получать новые группы преобразований из данных, а именно:
скрученное произведение, расслоенное произведение и эквивари-
антное склеивание.
В §§ 7 и 8 мы строим ряд удивительных примеров групп
преобразований, данных Коннером, Флойдом, Ричардсоном и
автором. Эти примеры будут представлять для нас существенный
интерес на протяжении всей книги.
В § 9 мы изучаем задачу поднятия действия группы на про-
пространстве X до действия на некотором его накрывающем прост-
пространстве.
1. Действия групп
Под группой топологических преобразований мы понимаем
тройку (G, X, в), где G — топологическая группа, X — хаусдор-
фово топологическое пространство, 0: G х X -*¦ X — такое непре-
непрерывное отображение, что
A) 6(g\ в(h, *))*=¦ в (g7i, х) для всех g, /is О и яе X;
B) G(е, х)=*х для всех хеХ, где е — единица группы О.
Отображение в называется действием группы G на простран-
пространстве X. Пространство X с фиксированным действием © группы G
называется G-пространством (или, более точно, левым G-прост-

42 ГЛ. Г. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИИ
ранством; в некоторых случаях будет использоваться также
очевидно определяемое аналогичное понятие правого G-простран-
ства).
Мы часто будем использовать для G-пространства те же тер-
термины и обозначения, что и для основного хаусдорфова простран-
пространства, считая отображение 0 само собой разумеющимся. В тех
случаях, когда из контекста ясно, о каком отображении в идет
речь, мы вместо 0 (g, x) пишем просто g(x) или gx (для правых
G-пространств используется обозначение xg), так что равенства
A) и B) перепишутся соответственно как g (h (x)) = (gh) (x) и
е (х) = х. Аналогично для С czG и А а X мы полагаем С (А) —
"* {§ (х) Iё е С> х ^ А}. Множество А называется инвариантным
относительно действия группы G (или G-инвариантным), если
G(A)A
)
Для g^G зададим отображение в^: X -уХ формулой 6^ (х) =
= g-(х) = в (g, х). В силу A) и B) имеем вг°9й = в^, и ®е —
тождественное отображение I* пространства X в себя. Таким
образом, eff6g-i = ве == 1^ =¦ ®g-i@g, и потому для любого
g eG отображение @g есть гомеоморфизм пространства X на
себя.
Обозначим через Homeo (X) группу (относительно компози-
композиции) всех гомеоморфизмов пространства X на себя. Отображение
g*—*-Qg определяет гомоморфизм в: G-*- Homeo (X), ядро кото-
которого называется ядром действия 0. Итак, ker 9 = jge G \gx = x
для любого хбХ}, и это множество есть нормальный делитель
группы G. Очевидно, что он замкнут в G.
Действие 0 называется эффективным, если ker0 = e (т. е.
отображение 0 инъективно), и почти эффективным, если ker© —
дискретная подгруппа группы G.
В силу нижеследующего элементарного предложения в боль-
большинстве случаев достаточно ограничиться лишь эффективными
действиями. Однако в некоторых случаях оказывается удобным
рассматривать и неэффективные действия.
1.1. Предложение. Любое действие 0 группы G на про-
пространстве X с ядром ker 0 = N каноническим образом индуцирует
эффективное действие 0/кег0 группы G/N на X.
Доказательство. Определим действие 0/ker0: {G/N)x
хХ-^-Х формулой (gN)(x) = g(x) и проверим непрерывность
этого отображения. Проекция я: G->G/A/ —открытое отображе-
отображение, поэтому коммутативносгь диаграммы
G.XX

t. ДЕЙСТВИЯ ГРУПП 43
влечет непрерывность отображения в/ker в в силу равенства
(в/ker б)-1 (U) = (л х 1) (в-1 ((/)), справедливого для любого откры-
открытого U cz X. Эффективность действия в/кегв очевидна. |
Установим теперь некоторые фундаментальные факты, спра-
справедливые лишь для действий компактных групп.
1.2. Теорема. Действие в: GxX-vX компактной группы G
на пространстве X — замкнутое отображение.
Доказательство. Напомним, что пространство X у нас
всегда предполагается хаусдорфовым. Пусть множество CczGxX
замкнуто, и пусть у еХ- точка замыкания множества в (С).
Тогда в С существует такая сеть {(ga, ха)} *), что © (ga, ха) =
= ga(xa) сходится к у. В силу компактности группы G, перейдя
при необходимости к некоторой подсети, можно считать, что ga
сходится к некоторому g^G. Тогда xa — Q(ga\ ga(xa)) сходится
к в (g, y) = g~1 (у). Таким образом, сеть \{ga, ха)\ сходится
к (g, g~* (у)) е С, так как С замкнуто. Поэтому у = в (g, g-1 (у)) е
ев (С). |
1.3. Следствие. Пусть G — компактная группа и X —неко-
—некоторое G-пространство. Для любого замкнутого A cz X множество
G(A) замкнуто в X, и для компактного А множество G (А) ком-
компактно. Щ
Приведем теперь несколько примеров действий. Во-первых,
имеются естественные действия, связанные с любой топологиче-
топологической группой G. Так, если Я с: G — замкнутая подгруппа груп-
группы G, то G действует на G/H посредством левых сдвигов
Lg (g'H) =gg'H. Ядром этого действия является, очевидно, под-
подгруппа (~| gHg~1. Если N (Я) — нормализатор подгруппы Я
g
в группе G, то Af (Я) действует на G/H посредством правых
сдвигов Rn (gH) = gn^H, и очевидно, что ядро этого действия
есть Я, так что имеется эффективное действие группы N (Я)/Я
на пространстве G/H. Другой пример—действие группы G на
себе посредством сопряжений gify^ghg-1. Ядром этого действия
является центр группы G. Непрерывность всех этих действий
немедленно следует из непрерывности отображений умножения
GxG-^G и обращения G-+G.
Общая линейная группа GL (n, R) действует на R" (аналогич-
(аналогичное утверждение справедливо также для комплексных чисел и
для кватернионов). Поэтому любое представление G->-GL(rt, R)
задает действие группы G на пространстве R". Ортогональные
представления G->0(«, R) задают также действия группы G на
единичном диске D" и единичной сфере S"-1 пространства R".
х) Пусть В— топологическое пространство и Г —некоторое направленное
множество. Сетью в В называется произвольное отображение Т-+В. В част-
частности, когда 7" —множество натуральных чисел, сеть называется последова-
последовательностью.— Прим. ред.

44 ГЛ. I. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Интерпретируем S1 как множество комплексных чисел единич-
единичной нормы и рассмотрим гор T2 = S1xS1. Имеется интересное
действие аддитивной группы вещественных чисел R на простран-
пространстве Т2, называемое «иррациональной обмоткой» и задаваемое
формулой 6, (e2nix, егшУ) = (е2я"~х+г), ^«MiH-ai), где а-иррацио-
а-иррациональное число. Эго действие, очевидно, задается композицией
гомоморфизма R -> Т2 вида г >—* (е2я1г, е2Я1аг) с гомоморфизмом
группы Т2 в группу левых сдвигов тора Т2 по себе.
Все приведенные выше примеры весьма важны, но, конечно,
они достаточно элементарны. Позже мы рассмотрим много более
содержательных и интересных примеров.
2. Эквивариантные отображения и стационарные подгруппы
Для фиксированной группы G класс G-пространств является
классом объектов некоторой категории, морфизмы которой назы-
называются «эквивариантными отображениями». Эквивариантное отоб-
отображение (или G-отображение) — это отображение <р: X-> F одного
G-пространства в другое, которое коммутирует с действиями
группы, т. е. ф(g(х)) = g(ф(х)) для всех ^еб и всех хеХ.
Эквивариантное отображение ф: X-+-Y, являющееся также гомео-
гомеоморфизмом, называется эквивалентностью G-пространств. В этом
случае обратное к ф отображение ф тоже эквивариантно, так
как если у = ц>(х), то
ф-1 (g (У)) = (Г1 (g4> (*)) = ф-1 (ф (g (л-))) = g (х) = g (ф-1 (у)).
Два эквивалентных действия топологически неразличимы и по
сути дела могут рассматриваться как идентичные действия. Целе-
Целесообразно также рассматривать как по существу идентичные
такие действия, которые переводятся друг в друга некоторым
автоморфизмом группы G. По этой причине назовем два G-npo-
странства X и Y слабо эквивалентными, если существуют такой
(непрерывный) автоморфизм а группы G и такой гомеоморфизм ф:
X-+Y, что ф (g (х)) = a (g) (ф (х)) для всех jsG и всех хёХ,
Пример. Пусть G —циклическая группа порядка 5, элементы
которой есть корни пятой степени из единицы. Обозначим через
X единичную окружность на плоскости комплексных чисел.
Действие (у, г) >—- yz не эквивалентно действию (у, г) >—»¦ y2z.
(Почему?) Однако эти действия слабо эквивалентны, так как
отображение у\—*-уг является автоморфизмом группы G. Q
Пусть теперь X — некоторое G-пространство, и пусть хеХ.
Множество Gx = {g^ G \g(x) = x} элементов группы G, оставляю-
оставляющих на месте элемент х, является, очевидно, замкнутой подгруп-
подгруппой группы G. Эта подгруппа Gx называется стационарной под-
подгруппой (или стабилизатором) точки х. Так как gGxg ]{g(x))=*

2. ЭКВИВАРИАНТНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 45
= gGx (x) = g (х), то gGxg-1 cz Gg {х). Обратно, g~4}g {x)g с Gg->g w =
= Gx, так что
B.1) Ggix)^gGxg-\
Таким образом, для любой точки, полученной из данной
точки х сдвигом на элемент группы G, стационарная подгруппа
сопряжена со стационарной подгруппой Gx, и этим способом
можно получить любую сопряженную подгруппу.
2.2. Предложение. Если ц>: X-*• У — эквивариантное отоб-
отображение одного G-пространства в другое, то для любой точки
jteX имеем Gx cz 0ф (ЛГ). Щ
Заметим, что ядро любого действия есть в точности П Gx.
Действие группы G на пространстве X называется свободным,
если для любой точки хеХ подгруппа Gx тривиальна. Позже
мы увидим, что свободные действия компактных групп Ли уст-
устроены довольно просто. Действие называется полусвободным, если
стационарная подгруппа дх любой точки хеХ либо тривиальна,
либо есть вся G.
Перефразируем приведенные определения: действие группы G
на пространстве X эффективно, если каждый элемент ^фе пере-
перемещает хотя бы одну точку. Оно полусвободно, если каждая
точка пространства X либо остается неподвижной при действии
всех элементов группы G, либо перемещается при действии всех
(нетривиальных) элементов из G. Оно свободно, если каждый
нетривиальный элемент группы G перемещает каждую точку
пространства X.
Мы завершим этот параграф доказательством следующего
важного результата о продолжении эквивариантного отображения.
2.3. Теорема Титце —Глисона1). Пусть компактная
группа G действует на нормальном пространстве X, и пусть
А—замкнутое инвариантное подпространство. Пусть, далее, р:
G->GL(n, ^ — представление группы G и ц>: А ->КГ — эквива-
эквивариантное отображение, т. е. ц> (g (a)) = p (g) ¦ ц> (а). Тогда сущест-
существует эквивариантное продолжение т|>: X->~jR" отображения ср.
Доказательство. По теореме Титце ср продолжается до
отображения ф': X-*-|R". Для построения эквивариантного про-
продолжения мы просто «усредним» q/ следующим образом. Положим
г|э (х) = ^ р (g-1) ф' (g (x)) dg, где интеграл представляет собой нор-
нормированный интеграл Хаара на G (примененный к указанной
См. Глисон [И, Пале [3, 4J.

46 ГЛ. I. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
векторзначной функции); см. § 3 гл. 0. Тогда для fteG имеем
Ч> (Л (л)) = S Р («Г1) Ф' («Г (Л (х))) dg =
= S P (h(gh)-1)Ф' (gh(x)) dg = \p(h)p Ugh)-*)ф' (gh (x))dg =
= p (h) $ p (k-i) Ф' (k (x)) dk=9 (h) ф (х)
в силу линейности операции интегрирования и инвариантности
интеграла относительно правого сдвига (элементом К). Поэтому
отображение г|з эквивариантно. Далее, для а^А имеем г|з(а) =
= $ р te) ф' ^(а)) ds=S р te) ф (г (а))d?=\ ф (а) <te = ф («) j ^ =
= Ф (а) в силу эквивариантности отображения ф и нормирован-
ности интеграла. Поэтому г|з есть продолжение отображения ф.
Наконец, г|) непрерывно в силу 0.3.2. Щ
3. Орбиты и пространства орбит
Пусть X —некоторое G-пространство, и пусть хеХ. Под-
Подпространство G (х) — {g(x) e X \g e G} называется орбитой точ-
точки а: (относительно действия группы G). Заметим, что если g(x) =
= h (у) для некоторых §¦, h^G, х, у = X, то для любого g' e G
имеем gr'W=/gri§'W=^'erlft(«/)eG(y), так что G(x) с: G(y);
обратно, G(y)czG(x). Таким образом, орбиты G(x) и G(y) любых
двух точек х, у е X либо не пересекаются, либо совпадают.
Обозначим через X/G множество, элементами которого явля-
являются орбиты x* = G(x) действия группы G на X (так что х*=у*
тогда и только тогда, когда л: и у лежат в одной и той же
орбите). Пусть л = пх: X -*- X/G — естественное отображение,
сопоставляющее точке х ее орбиту x* = G(x). Тогда X/G обыч-
обычным образом наделяется фактортопологией (множество U a X/G
открыто тогда и только тогда, когда п((У) открыто в X), и
полученное топологическое пространство называется пространст-
пространством орбит (пространства X относительно действия группы G).
Если У1сХ, то множество я-Vt (А) = {g(a) \ge G, а<=А\
является объединением орбит элементов из Л и называется насы-
насыщением множества А.
Если U cz X открыто, то множество G (U) — [J g (U) открыто
gee
в силу открытости каждого из множеств g (U) = 8^ (U) (напом-
(напомним, что Qg: X-*-X — гомеоморфизм). Поэтому для открытого
U с X множество n-1n (U) — G (U) тоже открыто, что по опреде-
определению означает, что множество я (V) открыто в X/G. Следова-
Следовательно, проекция л: X -у- X/G — непрерывное открытое отобра-
отображение.
Читатель может заметить, что для иррациональной обмотки
тора, бпределенной в | 1, пространство орбит имеет тривиальную

8. ОРБИТЫ И ПРОСТРАНСТВА ОРБИТ *f
(не дискретную) топологию и поэтому является не очень инте-
интересным пространством. Однако, как мы покажем ниже, прост-
пространство орбит действия компактной группы G обладает рядом
разумно приятных свойств.
3.1. Теорема. Пусть группа G компактна и X —некоторое
G-пространство. Тогда:
A) Пространство X/G хаусдорфово.
B) Проекция я: X ->• X/G — замкнутое отображение.
C) Проекция л: X -> X/G является собственным отображе-
отображением (т. е. прообраз любого компактного множества компактен).
D) Компактность пространства X равносильна компактности
пространства X/G.
E) Локальная компактность пространства X равносильна
локальной компактности пространства X/G.
Доказательство. Чтобы проверить B), выберем замкну-
замкнутое множество ДсХ. Тогда G(A) замкнуто в силу 1.3. Но
G(A) = ir1n (Л), так что л (А) замкнуто по определению тополо-
топологии в пространстве X/G.
Чтобы доказать A), предположим, что G(x)^G(y). В силу
непрерывности отображения G ->• G х {у} -> G (у) для любого у
орбита G (у) компактна. Хорошо известно, что в хаусдорфовом
пространстве для любых двух непересекающихся компактных
множеств найдутся соответственно содержащие их непересекаю-
непересекающиеся открытые множества. В частности, найдется такое содер-
содержащее точку ? открытое множество U, что ?7ПС(г/) = ф. Так
как л(у) фп(и), то n(U) и (X/G) — я (П) — непересекающиеся
открытые (в X/G) множества, отделяющие точку х* е X/G от
точки у* (= X/G.
Так как все орбиты компактны, то утверждение C) следует
из того общего факта, что замкнутое отображение л: X -*¦ Y явля-
является собственным, если прообраз яг1 (у) любой точки уеУ ком-
компактен. Для полноты изложения докажем это.
Пусть множество CczY компактно, и пусть {Ua\a^ А} —
открытое покрытие множества л-1(С). Для любого у е С имеется
такое конечное множество индексов АусА, что множества Ua,
а е Ау, покрывают множество я~х (у). Положим Uy = [J {Ua \ a e
е Ау} гэ л (у) и рассмотрим открытое в Y множество Vy =
= Y — n(X — Uy). При этом ^бУ,, и л~х(Vy) cz Uy. Пусть мно-
множества Vyi, ..., Vyn покрывают множество С; тогда я (С)
yn
..., п], и последнее множество есть объединение конечного числа
множеств семейства {^а}-
Утверждение D) следует из A) и C). Для доказательства
утверждения E) выберем такое открытое множество U а X, что П
компактно. Тогда для x^U имеем я (х) е л (U) cz n (П), так что

48 ГЛ. I. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИИ
я(?7) — компактная окрестность точки л(х). Обратно, если С —
компактная окрестность точки я(х), то it (С) — компактная окре-
окрестность точки х в силу C). В
Сформулируем теперь одну давнюю гипотезу.
Гипотеза (Коннер [9]). Пространство орбит любого дей-
действия компактной группы Ли на евклидовом пространстве R" или
диске D" является стягиваемым.
Более общие гипотезы такого типа и некоторую интересную
конкретную информацию по этой проблематике можно найти
у Коннера [9], Коннера и Флойда [1, 2] и Флойда[1].
Сечение проекции я: X-+-X/G — это такое непрерывное ото-
отображение a: X/G->-X, что па есть тождественное отображение
пространства X/G. Локальное сечение, определенное на открытом
множестве t/cX/G-это сечение проекции я|я-х({/).
Вообще говоря, локальные сечения не существуют даже для
действий компактной группы Ли. Например, рассмотрим дейст-
действие подгруппы G={/, —/} группы 0C) на R3; не существует
локального сечения, определенного в какой-либо окрестности
точки я @) в R3/G. Однако имеется много случаев, когда локаль-
локальные сечения существуют и оказываются весьма полезными. Позже
мы изучим тесно связанное с понятием сечения понятие «среза»,
отметив пока, что срезы существуют при довольно общих пред-
предположениях относительно действий компактных групп Ли.
3.2. Предложение. Пусть группа G компактна и X — неко-
некоторое G-пространство. Пусть С —замкнутое подмножество про-
пространства X, имеющее с каждой орбитой ровно одну общую точку.
Тогда отображение a: X/G-y-X, определенное формулой а(х*)=*
— G (х) П С, является сечением. Обратно, образ любого сечения
замкнут в X.
Доказательство. Мы должны доказать непрерывность
отображения а. С этой целью выберем замкнутое Л с: С. В силу 3.1
множество (г1(А)==п(А) замкнуто, что и утверждалось. Для
доказательства обратного положим C = a(X/G), и пусть {ха} —
сеть, сходящаяся к х е X. Очевидно, lim я (ха) =* я (х), поэтому
х = Птл;а = Нт(Тял;а = ал (х) е X, и потому С замкнуто. Щ
Имея в виду этот результат, мы часто будем называть «сече-
«сечением» замкнутое множество, являющееся образом некоторого
сечения.
3.3. Теорема. Пусть компактная группа G действует на
пространствах X и Y Пусть С cz X — замкнутое множество, и
пусть отображение q>: С -*¦ Y таково, что если для некоторого
g^G обе точки с и g(c) лежат в С, (no<p(g(c))—g(y(c)). Тогда у
можно продолжить, причем единственным образом, до эквивариант-
ного отображения <р': G(C)-+Y.
Доказательство. Для g^G и с^С положим <p'(g(c))=
= g(cp(c)); это является единственно возможным эквивариантным

4. ТИПЫ ОРВИТ И ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
49
продолжением. Чтобы проверить корректность определения отобра-
отображения ф', предположим, что g(c)—g'(c'). Тогда c = g~lg' (с1), так
что q>(c) = q>(g~1g(c'))=g-1g'q>(c') по определению отображения ф,
поэтому g(<p(c)) = g'q>' (с), так что ф' определено корректно. Для
проверки непрерывности отображения ф' выберем в G (С) сеть
{ха}, сходящуюся к x^G(C). Подберем такие {ga} и {са}, что
xa = gaca; без ограничения общности (выбрав, если необходимо,
подсеть) можно считать, что сеть {ga} сходится к некоторому
g^G. Поэтому limca=limgiaI (x^^g-1 (x) e С, так как С замкнуто.
Положим c — g~1{x), тогда Нгпф' (л:а) = Птф' (gaca) \i()
) '(()) 'И1
г(Ф()) Ф(г()) ФИ1
3.4. Следствие. Пусть компактная группа G действует на
пространствах X и Y, и пусть С а X — сечение проекции п: X-*-
->X/G. Пусть, далее, ц>: C^>-Y — такое отображение, что для
всех сеС имеем Gc cz Gq,(c>. Тогда ф допускает, причем единст-
единственное, эквивариантное продолжение ф': X-+-Y.
Доказательство. Если как с, так и g(c) лежат в С, то
g <= Gc с G9 (о, так что ф (g (с)) = ф (с) = g (ф (с)). I
4. Типы орбит и однородные пространства
Действие группы G на пространстве X называется транзитив-
транзитивным, если у него имеется ровно одна орбита — само X. Примером
может служить пространство G/H смежных классов топологиче-
топологической группы G по замкнутой подгруппе Н, на котором G дейст-
действует левыми сдвигами: в (g, g'H) — gg'H.
Для любого G-пространства Х любая его точка х е X опре-
определяет единственное отображение ах: G/Gx-*-G(x), ax(gGx)—g(x).
Используя определение топологии в пространстве G/Gx и непре-
непрерывность отображения gi—*-g(x), получим, что ах непрерывно.
Очевидно также, что отображение ах взаимно однозначно и сюръек-
тивно. Тем не менее ах может не быть гомеоморфизмом: соответ-
соответствующий пример дает иррациональная обмотка тора. Поскольку,
однако, взаимно однозначное отображение компактного простран-
пространства на хаусдорфово пространство есть гомеоморфизм, получаем
следующее предложение.
4.1. Предложение. Для компактной группы G отображе-
отображение ах: G/Gx-*-G (х) является гомеоморфизмом для любого х. Щ
Заметим также, что если задать действие группы G на G/G
посредством левых сдвигов, а ее действие на G(x)cX — как
ограничение действия группы G на X, то ах становится эквива-
риантным отображением. Таким образом, для компактной группы G
любое ах является эквивалентностью транзитивных G-пространств.
В оставшейся части этого параграфа мы сосредоточим свое
внимание исключительно на действии фиксированной компактной
группы G. Соответствующий класс G-пространств образует кате-
X

50 ГЛ. I. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
горию, морфизмами которой являются эквивариантные отображе-
отображения. Полная подкатегория этой категории, объекты которой суть
транзитивные G-пространства, называется категорией 6-орбит.
Заметим, что в силу 4.1 любой объект этой категории изоморфен
некоторому пространству смежных классов G/H. Поэтому мы
займемся описанием морфизмов одного пространства смежных
классов в другое.
4.2. Теорема. Пусть Н и К — замкнутые подгруппы компакт-
компактной группы G. Тогда:
A) Эквивариантное отображение G/H -+G/K существует тогда
и только тогда, когда Н сопряжена с некоторой подгруппой группы К-
B) Пусть элемент не G таков, что aHar1 cz К. Определим
отображение #*• н: G/H-yG/K формулой #*• H(gH)=g"~lK. Тогда
R*' н — корректно определенное эквивариантное отображение.
C) Для любого эквивариантного отображения /: G/H-+G/K
найдется a^G, для которого f (gH) = R%" H (gH) и аНа-1 cz К-
D) Ra' H — R§' H тогда и только тогда, когда ab~x e К.
Доказательство. Пусть /: G/H -+-G/K — некоторое отобра-
отображение; выберем такой элемент а е G, что f(H) = u-1K- Ясно, что
эквивариантность / равносильна условию / (gH) cz ga~lK для всех
g^G. Обратно, формула f(gH) = ga~1K задает (обязательно экви-
эквивариантное) корректно определенное отображение лишь при том
условии, что /(ghH) = f (gH) для всех йеЯ. Таким образом, для
всех АбЯ должно выполняться условие gha~xK = ga~lK, равно-
равносильное условию aha'1 <= К для всех /iGff, т. е. аНа-1 cz К-
Отсюда следуют утверждения A) — C). Очевидно, что R*' н = Rf' H
тогда и только тогда, когда а~1К = Ь~1К, т. е. аЬ-гК = К- Щ
Заметим, что при К = аНа~* отображение /?*¦ " есть просто
правый сдвиг gH i—»• gHa'1 = ga^iaHa~l = gar1 К- Более общо, если
К ¦=> аНаг\ то R%- н = R"- а>На ' • R°aHa '•н есть, следовательно, ком-
композиция правого сдвига gH \—»¦ gHa'1 = ga^aHcr1 с естественным
отображением G/aHa^-^-G/K, индуцированным включением
аНа'1 с К.
Отметим также, что если аНа~г cz Н, то аНа,-1 = Н в силу 0.1.9,
так как G компактна.
4.3. Следствие. Любое эквивариантное отображение G/H-*•
-*• G/H является правым сдвигом на элемент группы N (Н) и экви-
эквивалентностью G-n рост ранете. Отображение а\—»- Ra' H индуцирует
изоморфизм группы N (Н)/Н на топологическую (в компактно откры-
открытой топологии) группу (относительно композиции) Homeoc (G/H)
автоэквивалёнтностей G-пространства G/H.
Доказательство. Заданное правыми сдвигами, действие
G/HxN (H)-+GlH, очевидно, непрерывно, поэтому непрерывной
заданное формулой a-*-Ra' н отображение N (Н)/Н -»- HomeoG (G/H)

4. ТИПЫ ОРБИТ И ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 51
(см. Дугунджи [1]). Таким образом, отображение N(H)/H-+
->¦ Нотеой (G/H) непрерывно, взаимно однозначно и сюръективно
и, следовательно, является гомеоморфизмом в силу компактности
пространства N(H)/H. Щ
4.4. Следствие. Если существуют эквивариантные отобра-
отображения G/H-+G/K и GK^-GH, то каждое из них является эквива-
эквивалентностью, и Я сопряжена с К- |
Локализовав категорию G-орбит по всем эквивалентностям,
получим категорию частных, которая называется категорией типов
G-орбит. Это есть категория классов эквивалентности транзитив-
транзитивных G-пространств (т. е. орбит). Для G-орбиты X обозначим
через type (X) ее класс эквивалентности относительно эквивариант-
ной гомеоморфности. Из сказанного выше следует, что любой
класс type (X) содержит некоторое пространство смежных клас-
классов G/H, кроме того, type (G/H) = type (G/K) тогда и только тогда,
когда Я и К сопряжены в G. Морфизм type (G/H)-*- type (G/K)
существует тогда и только тогда, когда существует эквивариант-
ное отображение G/H ->G/K, что в свою очередь справедливо
тогда и только тогда, когда Я сопряжена (в группе G) с неко-
некоторой подгруппой группы К- Если X и Y — такие две G-орбиты,
что существует морфизм type (X) ->¦ type (Y) (т. е. существует
эквивариантное отображение X -+• К), то мы пишем type (X) s=
;з= type (Y). Это отношение задает в множестве орбитных типов
частичный порядок, причем type (#) = type (G/G) является мини-
минимальным, a type (G) — максимальным элементом. Заметим, что это
частично упорядоченное множество*) не совпадает с категорией
типов G-орбит, но получается из нее посредством отождествления
некоторых морфизмов, см. V.4.3.
В силу B.1) стационарные подгруппы всех точек одной и той же
орбиты составляют некоторый полный класс сопряженности под-
подгрупп группы G. Поэтому для орбиты X, эквивалентной прост-
пространству G/H, можно определить ее G-стационарный тип (Я) как
класс всех подгрупп группы G, сопряженных с Я. Для подгрупп К, Н
группы G type (G/H) 5^ type (G/K) тогда и только тогда, когда Я
сопряжена с некоторой подгруппой группы К; в этом случае мы
пишем (Н)^(К)- Таким образом, частично упорядоченное мно-
множество G-орбитных типов канонически антиизоморфно частично
упорядоченному множеству G-стационарных типов.
В литературе стационарный тип называется «орбитным типом»,
а то, что мы называем орбитным типом, никак не называется. Мы
предпочитаем введенную здесь терминологию как более вырази-
выразительную.
Пример. Пусть G — группа вращений SOC), и пусть X —про-
—пространство вещественных симметрических C х 3)-матриц со следом 0.
Рассматриваемое как категория. — Прим. перев.

52
ГЛ. I. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИИ
(Заметим, что эти матрицы образуют вещественное векторное
пространство размерности 5, так что Хя«К6.)
Для geG и JteX положим (используя обычное умножение
матриц) Qg(x)=gxg-1. Из курса линейной алгебры хорошо изве-
известно, что х и у лежат в одной орбите этого действия тогда и
только тогда, когда матрицы х и у имеют одинаковые (с учетом
кратности) собственные значения. Обозначив через Y (топологи-
(топологическое) подпространство в R3, состоящее из троек (Я1? Я2, Я3),
где ^ 15* А,2 Ss Я3 и ^1 + ^г + ^з = 0' получим, что отображение
Рис. 1.1.
я: X-+Y, сопоставляющее матрице х ее собственные числа, рас-
расположенные в порядке убывания, обладает свойством я (х) = я (х')о
Отображение я обладает обратным отображением с: Y-*¦ X, где
ГЯ, 0 01
Ч. К Ю = \° Ъ ° .
L о о кя]
Отсюда следует гомеоморфизм Yf^X/G, при котором я соот-
соответствует естественной проекции на пространство орбит, а а — сече-
сечению.
Далее, равенство %1-{-Х2-\-'к3 = 0 определяет плоскость -в' U3,
а неравенства Я,^Я2 и Я2^Я3 означают, что К есть замкнутая
область этой плоскости, ограниченная двумя лучами, исходящими
из начала координат под углом 60° друг к другу. Это изображено
на рис. 1.1.
Стационарная подгруппа точки о(Я1, Я2, Я3) при %1^>Х2^>К3
есть группа матриц вида
Г± 1 0 01
0 ±1 0.
0 0 ± 1 Г
Эта группа изоморфна группе Z2ffiZ2 (так как G = SOC)). Для

8. НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ 63
Я1 = Я,2>Я8 стационарная подгруппа состоит из матриц вида
О'
О
[<ГоГ±Т_
образующих нормализатор подгруппы SO B). Аналогично обстоит
дело в случае, когда Д1>Аа=Л3. Разумеется, для А,, = Я2 = Я3 = 0
стационарной подгруппой является сама группа SOC), а орбитой
является одна точка. Пространство орбит вместе с представите-
представителями орбитных типов изображено в правой части рис. 1.1.
5. Неподвижные точки
Точка х G-пространства Х называется стационарной, если
G(x) = x, т. е. GX = G. Стационарные точки называют также непод-
неподвижными точками действия группы G на X. [Иногда неподвиж-
неподвижной точкой называют такую точку х, которая остается на месте
после действия на нее каким-нибудь нетривиальным элементом
группы G, т. е. Gx=?{e}. Однако общепринятая точка зрения
(которой мы здесь будем придерживаться) состоит в том, чтобы
в теории компактных групп преобразований термины «стационар-
«стационарная» и «неподвижная» считать синонимами.] Подпространство про-
пространства X, состоящее из неподвижных точек действия группы G,
мы обозначаем через Xе, так что Xе = {х е X \g(x) = x для всех
geC}; будет использоваться также обозначение F (G, X). (Разу-
(Разумеется, для подгруппы Я группы G множество точек, неподвиж-
неподвижных относительно Н, обозначается через Xя или F(H, X).)
Для линейного представления группы G на R"+1 множество
F{G, R"+1) является, очевидно, линейным подпространством в Rn+1.
Поэтому для ортогонального действия группы G на сфере S" мно-
множество неподвижных точек есть некоторая сфера Sr. Следовательно,
если действие группы G на пространстве X эквивалентно орто-
ортогональному действию на S", то Х° гомеоморфно сфере. Естест-
г?нно спросить, любое ли действие компактной группы на сфере
эквивалентно ортогональному. Более легкий вопрос: будет ли
множество неподвижных точек действия на сфере являться сфе-
сферой? Долгое время этот вопрос оставался открытым. Первым
продвижением в этом направлении явились положительные резуль-
результаты Смита.
Эти ставшие классическими важные результаты мы изложим
в главе III. Первыми отрицательными результатами в этом на-
направлении были примеры Флой да [2, 7, 9]. Другие примеры
такого типа имеются у Бредона [12, 19], Коннера и
Флойда [3], Коннера и Монтгомери [2], Флой да и
Ричардсона [1] и Кистера [1]. Некоторые из этих контрпри-
контрпримеров мы приведем в §§ 7 и 8.

54 ГЛ. I. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИИ
При изучении групп преобразований часто оказывается полез-
полезным рассматривать неподвижные точки подгрупп Я группы G.
Имея это в виду, отметим, что для любого G-пространства X и
любой подгруппы Я с: G имеется естественное действие группы
N (Я) на Хн, являющееся ограничением действия группы G на X
до действия группы N (Я) на Хн. Для доказательства этого
достаточно лишь заметить, что N (Я) переводит Xя в себя, так
как для хеXй ияеЛ' (Я) имеем Нп (х) = пН(х) = п(х), и потому
п (х) <= X".
В качестве примера рассмотрим множество F (Я, G/H). Смеж-
Смежный класс gH неподвижен относительно Я тогда и только тогда,
когда HgHcgH, т. е. g~1HgczH. Для компактной группы Ли Я
отсюда следует, что g~lHg = H, так как группы g~lHg и Я имеют
одну и ту же размерность и одно и то же число компонент связ-
связности. Таким образом, в этом случае g e N (Я), так что/7 (Я, G/H)—
= N (И)/Н. Аналогично показывается, что для К с G условие
F(K, й/Н)Фф эквивалентно сопряженности К с некоторой под-
подгруппой группы Я.
Другой пример: пусть Я —некоторая подгруппа компактной
группы Ли G, а Т — максимальный тор в Я. Рассмотрим прост-
пространство F (T, G/H). Как и выше, легко видеть, что gH czF (T, G/H)
тогда и только тогда, когда g~lTgaH. Так как gTlTg — тоже
максимальный тор в Я, и все максимальные торы группы Я
сопряжены в Я, то существует такой элемент h e Я, что (gh)'1 Tgh—
= h'1g'1Tgh = T; иными словами, gh<=N (Т). Поэтому g^N (Т) Н,
а потому gH(=(N(T)H)/H^N(T)/(H()N(T)). Очевидно, верно
и обратное, поэтому
F (T, G/H) = (N (Т) НIН ъ N (Т)/(Н П N (Т)).
После приведенных выше примеров может показаться, что
для любой подгруппы К cz Я множество F (К, G(H)) эквивалентно
(как N (/()-пространство) некоторому пространству смежных клас-
классов группы N (К)- Чтобы предостеречь читателя от этого воз-
возможного заблуждения, рассмотрим следующий пример.
Пусть группа G = U C) действует на комплексном проективном
пространстве (DP2 обычным матричным действием на однородных
координатах (г0: г, : гг), и пусть л; —точка с координатами @:0: 1).
Тогда Gx= U B) х U A) с U C), и результаты § 4 показывают, что
имеется эквивалентность G-пространств (DP2 и U C)/U B)xU(l).
Положим Я = U B) х U A), и пусть К — подгруппа порядка 2,
порожденная матрицей
г-1 0 0]
Л= 0 1 0.
L 0 0 lj
Действие матрицы А на <DP2 имеет вид (z0: гх: z2) >—* (— го:г1: г2),
и легко показать, что множество его неподвижных точек есть

в. НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ КОНСТРУКЦИИ 65
несвязное объединение точки A : 0 :0) и двумерной сферы @ : z1: гг).
Так как эти компоненты множества/7^, (DP2) имеют разные раз-
размерности, то пространство F(K, G/H) не может быть простран-
пространством смежных классов.
6. Некоторые элементарные конструкции
В этом параграфе мы изложим некоторые способы построения
одних групп преобразований из других.
(А) Скрученное произведение. Пусть Я — компактная подгруппа
топологической группы G, действующая на некотором простран-
пространстве А. Тогда на пространстве GxA имеется действие группы Я,
заданное формулой (h, (g, a)) <-*¦ (ghr1, ha). Пространство Я-орбит
этого действия обозначим через GxH А, а Я-орбиту точки (g, a) —
через [g, а]. Таким образом, если [g, a] = [g', а'], то существует
такой элемент heaH, что g' = gh~1 и a —ha, и наоборот. Опре-
Определим действие группы G на GxHA, полагая g' [g, a] = [g'g, a].
Пусть ie: A-*-GxHA задано формулой ie(a) = [e, а]. Тогда ie
Я-эквивариантно, так как [е, ha] — [h, a] = h[e, a\. Очевидно,
кроме того, что оно непрерывно и инъективно. Отметим также,
что отображение ie замкнуто, так как оно является композицией
A-*-GxA-+GXhA замкнутых отображений. Таким образом,
ie — вложение (гомеоморфизм на свой образ).
Проекция GxA-^G индуцирует эквивариантное отображение
р: GXhA-^>-G/H (заданное формулой [g-, a\—*gH). Предположим,
что проекция я: G-+G/H обладает локальным сечением (что
всегда так, если G —группа Ли). Пусть С с; G/H — замкнутая
окрестность некоторой точки, и пусть а: С -v G — некоторое сече-
сечение, так что отображение (с, К) \—*¦ a (c)h, c^C, /ie Я, задает прямое
разложение СхН->¦зг^С). Рассмотрим отображение СхА->
-*-GXhA, заданное формулой (с, а)>—*[о{с), а]. Оно, очевидно,
взаимно однозначно отображает СхА на р'г(С). Кроме того,
оно непрерывно, а также замкнуто, так как является компози-
композицией CxA^GxA-^-GxHA замкнутых отображений. Таким
образом, это отображение является гомеоморфизмом, и потому
проекция р: GxHA-^GjH представляет собой локально три-
тривиальное расслоение со слоем А. (На самом деле здесь в точ-
точности изложена конструкция Л-расслоения, ассоциированного
с главным Я-расслоением G-^G(H). В главе II мы изучим эти
объекты более подробно и с более общей точки зрения.)
Как мы увидим в главе II, конструкция скрученного произ-
произведения играет главную роль при изучении строения групп
преобразований.
(В^ Расслоенное произведение. Пусть X, Y и Z суть G-npo-
странства, и пусть/: X->Z и h: V->Z —эквивариантные отобра-
отображения. Расслоенным произведением (иликоамальгамой) X.XzYназы-

56 ГЛ. I. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
вается подпространство прямого произведения X х У, состоящее из
таких пар (х, у), что f(x) = h(y). Диагональное действие группы
G на X xY, (g(x, y))>~*(g(x), g(y)), очевидно, переводит простран-
пространство XXzY в себя и, следовательно, превращает его в G-npo-
странство. При этом проекции /': XxzY-*-Y и h': XXzY-^-X
являются эквивариантными отображениями.
Расслоенное произведение XXzY обладает следующим уни-
универсальным свойством: для любого ^-пространства W и любых
таких эквивариантных отображений a: W^-X и $: W-+-Y, что
f § существует и единственно такое отображение 6: W-*¦
что диаграмма
коммутативна. Действительно, 8 задается формулой 8 (да) = (ос (oi),
Р И).
Отметим, что в диаграмме
Y -*~Z
определяющей расслоенное произведение, из сюръективности
отображения / следует сюръективность отображения f. Заметим
также, что если / открыто, то и /' открыто (аналогичное, разу-
разумеется, верно и для отображений h и h'). Чтобы проверить
последнее утверждение, возьмем точку (х, у) е XXzY (это озна-
означает, что f{x) = g{y)) и выберем некоторую открытую окрестность
U точки х. Тогда множество /(U) открыто hz/e/i-1 (/(U)). Пусть
V cz hrx (/(?/)) — некоторая открытая окрестность точки у. Теперь,
так как, очевидно, отображение /' проектирует множество
(XXzY)[}(UxV) на множество V, то f — открытое отображение.
Важным частным случаем является тот, когда Z = X/G,
f^nx: X ->-X/G — отображение на пространство орбит, а на
пространстве Y группа G действует тривиально. В этом случае
расслоенное произведение обозначается через h* (X) и называется
расслоенным произведением, индуцированным из X посредством h.
Возникает коммутативная диаграмма
h*(X)h'.X
lit' |п
Y 'Х/0

I. НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ КОНСТРУКЦИИ 67
где я' — эквивариантное отображение G-пространства h* (X) в три-
тривиальное G-пространство У. Следовательно, я' индуцирует отоб-
отображение a: h* (X)/G -*¦ У. Так как отображение я сюръективно
и открыто, то таково же и я', и потому а —тоже сюръективное
и открытое отображение. Если (х, у) и (х', у) — две точки из
h* (X), то п(х) =h(y) = л(л;'), поэтому х и х' лежат в одной и
той же орбите, и потому в одной и той же орбите лежат так
же {х, у) и (х', у).
Отсюда следует, что а —взаимно однозначное отображение,
и потому a: h* (X)/G-> У — гомеоморфизм. Так как сг —канони-
—каноническое отображение, то мы можем представить себе У как про-
пространство орбит h* (X)/G.
(С) Эквивариантное приклеивание. Пусть X и У — два G-про-
G-пространства и А — замкнутое инвариантное подпространство в X.
Если отображение ц>: A-*-Y эквивариашно, то пространство
XljtfYг) (когда оно хаусдорфово) естественным образом насле-
наследует действие группы G. В частности, цилиндр и конуе любого
эквивариантного отображения одного G-пространства в другое
снова являются G-пространствами.
Представляет интерес частный случай, когда ср есть эквива-
риантный гомеоморфизм множества А на его образ. В этом слу-
случае без ограничения общности можно считать, что А — Х[}У
есть подпространство как в X, так и в У, и оба действия груп-
группы G на А совпадают. (Таким образом, X U ФК есть результат
склеивания по тождественному гомеоморфизму 1д.) Мы интере-
интересуемся тем, что произойдет, если объединение X (J фУ «разрезать»
на X и У, а потом снова склеить их по некоторому другому
эквивариантному гомеоморфизму г|): А-*-А. Если т|з: А-*-А про-
продолжается до эквивариантного гомеоморфизма Х-»-Х (или F-»-F),
то X U <рК и X U фУ изоморфны как G-пространства, где соответ-
соответствующий эквивариантный гомеоморфизм совпадает с гр на X и
является тождественным на Y. Если, однако, г|з не допускает
эквивариантного продолжения ни на X, ни на У, то может
получиться некоторое новое G-пространство Х{]^У. Для построе-
построения таких примеров нам необходимо найти подходящие эквива-
эквивариантные гомеоморфизмы пространства А на себя, и мы сейчас
изложим один из способов построения таких отображений.
Заметим, что эквивариантные автогомеоморфизмы G-простран-
G-пространства А образуют (относительно композиции) группу Нотеой(Л).
Предположим теперь, что дано эквивариантное отображение
б: A-*-G, а<—>9а (запомните это обозначение), где группа G
действует на себе посредством сопряжений: Cgfy—ghg-1. Такие
отображения 8 образуют группу, если положить F8')о = 9а6а, так
!) Описание и свойства операции X [} (fY склеивания топологических про-
пространств ем. а книге Рохлина и Фукса [1J, с. АЪ.—Прим. ред.

58 ГЛ. I. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
как (89V = QgaQ'ga = (gQag-i) (gB^) = gQaQ'ag-i = g(W)ag-K Эту
группу мы обозначим через Маре(Л, G).
Определим отображение MapG (A, G)^-HomeoG (A), 6 i—»8*,
полагая в*(а) = 6„(а). Чтобы доказать корректность этого опре-
определения1), заметим сначала, что 6* — эквивариантное отображе-
отображение, так как В* {ga)=>6ga{ga)*=&ag-*(ga) = g{Qa(a))=g(B* (а)).
Далее, отображение 81—»-8* является антигомоморфизмом. Действи-
Действительно, (8 *.Х*) (а) = 8 * (Л* (а)) = 8 * (Ха (а)) = Ха (б * (а)) = Яа (8а (а)) =
= (К®а)(а) = {Ща(а) — {Щ* {а)- В частности, отсюда следует,
что (в-1)* = (б*), так что отображение 6* декствительно является
гомеоморфизмом. (Полезно отметить, что если Л —гладкое много-
многообразие, a G — группа Ли, гладко действующая на А, то гладким
отображениям 8 соответствуют диффеоморфизмы 8*.)
Конечно, все сказанное выше не решает проблемы построения
эквивариантных гомеоморфизмов, но, вообще говоря, отыскивать
эквивариантные отображения легче, чем эквивариантные гомео-
гомеоморфизмы и, действительно, приведенная выше конструкция будет
использоваться нами в следующем параграфе для построения
соответствующих примеров. Мы будем использовать также сле-
следующее замечание: пусть эквивариантное отображение 8: A^-G
такое же, как и выше, и пусть на Ах А группа G действует
диагональным образом, т. е. g(a, a') — (ga, ga'). Тогда отобра-
отображение AxA^-G, заданное формулой (a, a')i—>Ьа, очевидно, экви-
вариантно. В силу сказанного выше заключаем, что отображение
(а, а') >—*(ба(а), Ьа> (а1)) задает эквивариантный гомеоморфизм
пространства Ах А на себя. Кроме того, из эквивариантности
отображения (а, а')>—*-(а', а) следует теперь, что отображение
(а, а'I—" (9а(я')> еа' (а)) тоже есть эквивариантный гомеоморфизм.
В следующем параграфе мы будем интересоваться случаем,
в котором па(а) = а. Здесь же мы отметим, что если а<—*-8а —
такое эквивариантное отображение, что Qa(a) = a для всех а, то
отображение Ах А-*- Ах А, заданное формулой (х, у)*—»-
i—*(вх(у), х), является эквивариантным гомеоморфизмом (спра-
(справедливость этого факта легко устанавливается непосредственной
проверкой, и это предлагается сделать читателю).
7. Некоторые примеры О (ге)-пространств
Здесь мы, используя замечания, сделанные в конце предыду-
предыдущего параграфа, построим несколько О (га)-пространств посред-
посредством склеивания пространств SnxD™ и Sn~1xD" по эквива-
риантному гомеоморфизму ср: S^xS^-^S^xS"-1; при этом
рассматривается диагональное действие группы О (п) на прост-
!) То есть доказать, что для каждого 6 е MapG (A, G) отображение 6*: А -*¦
¦4 вида ai—*-ва(а) является эквивариантным гомеоморфизмом.—Прим. ред.

7. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ О(л)-ПРОСТРЛНСТВ 59
ранстве S"~1xD", индуцированное стандартными действиями
группы О (л) на S"-1 и D".
Для того чтобы иметь возможность применить замечания пре-
предыдущего параграфа, мы должны найти эквивариантное отобра-
отображение 0: Sn~1->0 (п), где О (л) действует на себе сопряжениями.
Такие отображения легко описать следующим образом. Если
для х е S""*1 имеем g(x)=x, то %х = Bgx = gQxg'x; таким образом,
элемент Qx должен коммутировать с каждым элементом стацио-
стационарной подгруппы О(п)х (которая сопряжена с О (л — 1)). Отсюда
легко следует (поскольку х без ограничения общности можно
считать вектором из базиса), что для 6* имеется всего четыре
возможности: быть одной из матриц /, —/, быть отражением
относительно ортогональной к х гиперплоскости или быть отра-
отражением относительно прямой Rx (последнее отображение есть
взятое со знаком минус предыдущее). Из непрерывности отобра-
отображения 8 следует, что при любом изменении точки х мы все
равно останемся в пределах какой-то одной возможности.
Ясно также, что первые два случая не дадут нам никаких
новых примеров, а последние два приводят к эквивалентным
О (л)-пространствам, поэтому сосредоточимся на четвертом случае,
когда Ьх есть отражение относительно прямой jR*, т. е. для х е
е S"-1 и jeR" имеем Вх(у) =2(х-у)х — у. Заметим, что в этом
случае Qx(x) = x. Из результатов предыдущего параграфа следует,
что отображение ф: S" x S"-^-S" x S", заданное форму-
формулой ф(х, у) = фх{у)> х), является эквивариантным гомеомор-
гомеоморфизмом (на самом деле диффеоморфизмом), это же верно в от-
отношении любой его степени (как положительной, так и отрица-
отрицательной).
Определим пространство
2|" ~' = S"-1 X Dn U ф* S"-1 X Dn
как О (л)-пространство, полученное склеиванием пространства
S" х D" с самим собой по k-й степени (где k — любое целое число)
гомеоморфизма ф пространства Sn~1xS"'1 на себя, и займемся
изучением построенных О (л)-пространств.
Так как ф° — тождественное отображение, то Бо"-1 я« S"-1 xS",
где S" х S" есть О (п)-пространство с диагональным действием
(и О (п) действует на S" посредством стандартного вложения
0(я)с0(п+1)).
Поменяв ролями два экземпляра пространства S^xD", полу-
получим эквивалентность 2l"~l т Е??^1 двух О (п)-пространств
С другой стороны, 2f ~~' можно описать как пространство, по-
полученное приклеиванием пространства S^'xD" к пространству
D"xS"-1 по отображению <р': (х, у)>—*(х, Qx(y)) пространства
S"-1xS/! на себя (указанное отображение является композицией

60 ГЛ. I. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИИ
отображения ф с перестановкой сомножителей). Но, очевидно, ф'
определено для всех i/eD" и потому продолжается до эквива-
риантного гомеоморфизма пространства Sn~1xDn на себя. Поэтому,
как отмечалось в предыдущем параграфе, Si" эквивалентно
объединению S" x D" U id Dra x S*-1^2"-1 с R2"=*R" x R", где Rn x R"
рассматривается как О(п)-пространство с диагональным действием.
Таким образом, случай k — 1 приводит только к известному линей-
линейному действию группы О (л) на S,"" t^S2"-1. Скоро мы увидим,
однако, что случаи k^2 доставляют нам примеры значительно
менее знакомых О (я)-пространств.
С целью изучения многообразий 2,\п~1 (я ^2) вычислим их
гомологии. Пусть * обозначает отмеченную точку сферы S", а а
и р — соответственно элементы группы Hn-i (S" X S*-1), представ-
представленные циклами S^xj*} и {*}xS"-1. Гомеоморфизм ф индуцирует
автоморфизм ф* группы Hn-1(S"-1xSn~1), и ф# (a) = a1aJra2^, где
«( — степень композиции S"-1x {*} cr S"-1 x S"-1 Ф-S"-1 x S" -^S"-1
(здесь р{~проекция), г'=1, 2. Аналогично для ф* (Р). Далее, из
того, что ф(х, *)=--(Q*(*). x) и ф (*, у)==(8:). (у), *), легко следует,
что фи.(а) = A + (—1)")а + Р, ф*(Р) = (—l)"», и поэтому
Ф*= , о }
Вычисляя степени этой матрицы, получим ф|= , 7~_k\
для четного п и ф™т= 1, фнечет^ для нечетного п.
Далее, из точности последовательности Майера —Вьеториса (здесь
i — включение)
&L?>_*) Hj (S"-1 х D") 0 Hj (S"-i X D«) -* Я/ B*я-')-»-...
следует, что НрB*я~') = 0 для р ф 0, п - 1, п, 2л - 1 (при л ^2).
Для / = «—1 гомоморфизм (/„., ф*) отображает одну свободную
абелеву группу в другую, причем обе эти группы имеют ранг 2,
и матрица этого гомоморфизма (в очевидным образом выбранном
базисе) имеет вид
1 0 I
+k -*J для
п
для нечетного п и четного k,
для нечетных пик.

7. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ О{л)-ПРОСТРАНСТВ 61
Полагая п = 2т или n = 2m-f-l (при условии т^\ и пфО)
получаем
Я
Я/y4m+l\
р \ ¦" чет ) —
Z для р = 0, 4т — 1,
Z& Для р = 2гп — 1,
О в остальных случаях,
Z для р = 0, 2т, 2m+l, 4m+l,
О в остальных случаях,
Z для р = 0, 4т —1,
ч4т+1\
¦<нечет; |0 В ОСТЭЛЬНЫХ СЛуЧЭЯХ.
Таким образом, пространство 24?t+1 имеет те же гомологии, что
и пространство S2mxSam+1, а пространство Ен'ечет1 — те же гомо-
гомологии, что и пространство S4m+1.
Для гс^З пространство S^xD" односвязно, поэтому из тео-
теоремы ван Кампена вытекает, что и все пространства S|" ~'
односвязны.
В частности, для всех т;э=0 пространство I>lm+l есть гомо-
гомотопическая сфера. Так как это пространство является гладким
многообразием, то из доказанной Смейлом обобщенной гипотезы
Пуанкаре (см. М и л н о р [5]) следует, что Зн'ечет1 гомеоморфно
сфере S4m+1. Заметим, что многообразие S^tx1 не всегда диф-
феоморфно сфере S4m+1, мы обсудим это в главе VI. Разумеется,
2^ече7 и S5 диффеоморфны просто в силу того, что на пятимерной
сфере имеется лишь одна (с точностью до диффеоморфизма) диф-
дифференцируемая структура, см. Кервер и Милнор [1].
Теперь мы покажем, что при нечетном k > 1 действие группы
О (я) на пространстве 2lm+1 не эквивалентно стандартному орто-
ортогональному действию х) на S4m+1. Для этого мы заметим, что если
Dr с: D" — стандартное вложение, то отображение ф*: S* x S" ^->
-*- S" х S"'1 переводит подпространство S^xS7" в себя, и его
ограничение на S^xS7" есть отображение ф*: Sr~1xS/'~1->-S7'~1x
xS1, порожденное стандартным О(г)-действием на S7. (Это
легко следует из того, что две компоненты 6Х (у) и х пары ф (х, у)
получаются соответственно из х и у поворотом на угол (х, у)
в направлении от у к х плоскости, содержащей х и у. Поэтому
Ф* зависит лишь от линейной оболочки элементов х и у.) Таким
образом, если Я —такая подгруппа в О (л), что F(H, ОЛ) = ОГ,
Напомним, что n = 2m+l,—Прим. перев.

62 ГЛ. I. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
то F(H, Sfe")= 2*"~l- Отсюда непосредственно возникают
довольно необычные свойства построенных действий.
Например, пусть п = Ъ, и пусть Zg =0A) с 0C) —стандартное
включение. Первая группа гомологии пространства F(O(l), Vjj) =
= 21 есть Z*. так что на S5 для любого нечетного k имеется
инволюция (гомеоморфизм периода 2) с таким множеством непод-
неподвижных точек F, что Нг (F) — Z*
На самом деле 2? в точности есть линзовое пространство
L (k, 1). Мы увидим это, если заметим, что поднятие ф: RxjR->-
-*-RxR отображения ф: S1 xS1->-S1xS1 обладает свойством cp(s, t) =
= Bs — t, s) (так как B^nts (e2nil) = е2Ш w-f)ш Поэтому ф —линейное
. Очевидно также, что ф*
накрывает фя и является линейным отображением с матрицей
Ф" =
n+k —k
-kl
Линзовое пространство L (k, q) можно определить, скажем,
так: L (k, q) получается в результате склеивания двух экземпля-
экземпляров пространства S1 x D2 по такому гомеоморфизму S1 x S1 -vS1 x S1,
который накрывается линейным отображением с матрицей у ,
где п и q — такие целые числа, что qq' — kn = zh 1. При этом про-
пространство L(k, q) зависит лишь от \k-. и класса вычета AiqmoAk1).
Следовательно, ^,% = L(k, I— k)?**L(k, 1).
Замечание. Пространство L (k, q) можно описать и как про-
пространство орбит свободного действия группы Z3 на S3 с (D2, по-
порожденного матрицей
L о
Таким образом, для любого нечетного k ОC)-пространство
дает нам пример такого О(З)-действия на S3, что F(O(l),
^L(/;, 1).
Более общо, для i^\ 0Bm+1)-действне на пространстве
m' (гомеоморфном, но, вообще говоря, не диффеоморфном
сфере S4m+1) не эквивалентно соответствующему ортогональному
действию (на S4m+1) ни для какого m^l; даже соответствующие
ограничения этих действий на подгруппу 0A) cz 0Bm+1) не
эквивалентны, так как f(O(l), ЕгГ-м1)^ ^гГ-й'. a H2m~i(^'2'c+'il) =
= 2.2i+i- Аналогично при т^2 ограничение 0Bя+1)-дей-
ствия на пространстве ЯяГ+х1 на подгруппу S0C) (и, следо-
следовательно, на любую подгруппу SO(r), 3s^rs^2m+l) не эхви.
1) См. 3 е й ф е р г, Трельфалль [ \\.—Нрим. ред.

7. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ О(п)-ПРОСТРАНСТВ 63
валентно ортогональному действию, так как ^E0C), +)
= Zm+I0» a ^2m_3B2/"+l5)==Z2i+i- (Тем не менее позже мы уви-
увидим, что SO (З)-действие на ?и +1 эквивалентно ортогонально-
ортогональному действию! Замечательно, что О (З)-действие на 2i;+i имеет
те же орбиты, что индуцированное им SO (З)-действие, причем
первое действие все еще неортогонально, а второе — ортого-
ортогонально.)
Замечание. Эти примеры первоначально были построены
Бредоном [12] (см. также Бредон [11, 19]) по существу тем
же методом, что изложен в этом параграфе. Позже появились
два других метода (Брискорн [1], Хирцебрух и Мейер [1]
и Бредон [15]), которые позволили построить те же примеры
и обобщить их в другом направлении; при этом проявились несом-
несомненные преимущества этих методов по сравнению с изложенной
здесь конструкцией. Эти идеи мы обсудим позже. Изложенный
метод был выбран по причине его простоты с точки зрения вычис-
вычисления групп гомологии получающихся пространств.
Для дальнейшего изложения нам целесообразно описать ста-
стационарные подгруппы и пространство орбит О (п)-пространства
Zf"~' (n 5э2). Пусть G = 0(n). Очевидно, что стационарные под-
подгруппы группы G, действующей на %1п~\ совпадают со стацио-
стационарными подгруппами G-действия на S^xD^ Но G(ArjУ) = Gx (~) Gy
есть в точности та подгруппа в G, которая сохраняет линейную
оболочку векторов х и у. Таким образом, если х и у линейно
зависимы, то G(x,y) сопряжена с О (ft — 1), а если х я у линейно
независимы, то G(XtU) сопряжена с О (и — 2). Таким образом, 0(п)-
пространство 2,Т~1 имеет всего два типа орбит, а именно
О (л)/0 {п - 1) m S" и О (л)/0 (л - 2) я« Vn, s.
Перейдем теперь к исследованию пространства орбит действия
группы G = O(n) на S"-1 xDn(n .>2). Пусть D2 с Dn —диск, на-
натянутый на первые две координатные оси; положим * = A, 0) е
е S1 с D8 и D' ={(#• b) e D2: b ss 0}. Каждую точку пространства
S"-1 х D" можно действием некоторого элемента из О (п) перевести
в точку, лежащую в {*} х D". Потом, действуя на эту точку эле-
элементом стационарной подгруппы G* = O(n —1), можно перевести
ее в точку (*, у) е {*} X D2. Так как вектор у полностью опреде-
определяется своей длиной и углом, который он образует с вектором *,
и так как эти характеристики не меняются при действии элемен-
элементами группы G на (*, у), то |*}xD2 пересекает каждую орбиту
в пространстве S"'1 x D" ровно один раз. Следовательно, {*} х D2 есть
сечение G-пространства S"-1 x D™. Таким образом, (S" x D")/O (я)я«
f*=i Di, и ясно также, что при этом гомеоморфизме факторпрост-
ранство (S"xS"~1)/O(tt) соответствует дуге D! HS1. Так как гомео-
гомеоморфизм фй должен индуцировать гомеоморфизм пространства

64 ГЛ. I. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИИ
(S"-1xSn-1)/O(n) на себя, то I%l~i/O(n) есть объединение двух
двумерных дисков по общей дуге на их границах. Следовательно,
S^~'/O(n)«=i D2. (Это можно усмотреть также из некоторых
общих фактов, которые мы изложим в последней главе.)
Напомним, что для п 5= 2 и подгруппы О (п — 2) группы О (п)
мы имеем F@(n — 2), Е|л~') = 2* = L (k, 1). Нам понадобится
также тот факт, что F (О (п — 1), Е|П~1)=Е]. Далее, 2] полу-
получается склеиванием двух экземпляров пространства S° x D1 по
гомеоморфизму ф*: S° x S0 -> S° x S0, являющемуся ограничением
отображения <р: RxR-vRxR, заданного матрицами
i oj-
ф,ет_П
Отсюда, очевидно, следует, что
2ieT t=& S° x S11=& {две окружности},
^нечет1=^ ^ •
8. Еще два примера
В предыдущем параграфе мы привели несколько примеров
действий, которые, сами не являясь ортогональными, тем не
менее имеют много общего с ортогональными действиями. В этом
параграфе мы приведем два примера, показывающие, что, вообще
говоря, действия компактных групп на евклидовом пространстве
или шаре могут довольно сильно отличаться от ортогональных
действий.
(А) Пример Флойда — Ричардсона. Для построения этого при-
примера мы сначала изложим некоторые основополагающие факты
0 группе SOC). Пусть Н —тело кватернионов; интерпретируем
сферу S3 как (мультипликативную) подгруппу в Н, состоящую
из кватернионов единичной нормы. Определим действие S3 на Н
посредством сопряжения: (q, q')\—+qq'q-x; рассматривая Н как
вещественное четырехмерное евклидово пространство, увидим, что
это действие ортогонально, так как оно сохраняет норму. Ясно,
что все точки подпространства R cz H, порожденного единицей
1 е Н, неподвижны относительно этого действия, поэтому орто-
ортогональное дополнение этого подпространства (т. е. подпростран-
подпространство, порожденное элементами i, j, k) инвариантно относительно
указанного действия. Таким образом, возникает трехмерное орто-
ортогональное представление группы S3, которое определяет хорошо
известный гомоморфизм /: S3->-SOC). Ядро этого гомоморфизма
есть в точности { — 1, ljeZ8, и так как обе группы S3 и SOC)

8. ЕЩЕ ДВА ПРИМЕРА 65
трехмерны, то из теоремы об инвариантности области *) следует,
что гомоморфизм / эпиморфен. Таким образом, f является накры-
накрывающим отображением, и потому S3 можно отождествить с уни-
универсальной накрывающей группой группы SOC).
Обозначим через / икосаэдральную подгруппу группы SO C)
(т. е. максимальную подгруппу, которая переводит в себя ико-
икосаэдр или, эквивалентно, двойственный ему додекаэдр, с центром
в начале координат). Основной необходимый нам факт состоит
в том, что нормализатор группы / есть сама /. Это следует из
точного описания всех подгрупп группы SOC) (см., например,
Вольф [1]), показывающего что между / и SOC) вообще нет
подгрупп.
Мы будем пользоваться также тем обстоятельством, что /
совершенна, т. е. / совпадает со своим коммутантом [/, /]. Это
легко установить непосредственно, выписав образующие и соот-
соотношения группы /. Другой путь состоит в том, чтобы заметить,
что в додекаэдр можно вписать пять правильных тетраэдров и
что действие группы / на этих пяти объектах задает изоморфное
представление группы / на знакопеременную группу степени 5
(Кокстер [1]), а затем использовать общеизвестный факт о про-
простоте этой группы.
Заметим также, что в додекаэдр можно вписать куб, поэтому
можно предположить, что / содержит повороты на 180° вокруг
координатных осей, порожденных элементами /, /, k.
Положим //==/~1(/), так что /'—-подгруппа порядка 120
группы S3. Заметим, что, так как iii = i, iji~1 = — /, iki~1=^
= —k, то /(/) есть поворот на 180° вокруг прямой Ri. Анало-
Аналогично для /(/) и для f(k). Таким образом, i, /, k лежат в /', и
потому (— \) = iji~1j~1 лежит в [/', /']. Следовательно, Г/[Г, I'"*=**
<*«//[/, /] —тривиальная группа.
Рассмотрим теперь пространство смежных классов 28 =
= SOC)//^S3//'. Так как я, (Е3)^/', имеем Я^!8)^/'/[/', /']=«
=«0. Так как 23 — трехмерное многообразие, то из теоремы двой-
двойственности Пуанкаре следует, что 23 есть целочисленно гомо-
гомологическая сфера.
Рассмотрим действие группы / на многообразии 23. Ясно,
что /' (и потому /) сохраняет метрику, индуцированную с мет-
метрики на S3 накрывающим отображением S3->-S3//' = 23. В силу
результатов § 5 множество F(I, 23) = ./V (/)// = /// состоит в точ-
точности из одной точки. Так как / сохраняет метрику, то суще-
х) Теорема об инвариантности области (Дольд [1], с. 99) утверждает, что
если ? —открытое подмножество в 5?" и <р: Е -*¦ Rn —непрерывное взаимно
однозначное отображение, то ср(?) открыто в R". Поскольку kerf—дискретная
подгруппа, найдется такая открытая окрестность U единицы leSs, что f\U
взаимно однозначно. Следовательно, /(S3) содержит открытую окрестность еди-
единицы eeS0C), и потому /(S3) = SOC). — Прим. перев,
8 Г. Бредон

66 ГЛ I ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
ствует открытый фехмернын диск U с центром в этой точке,
инвариантный относительно действия группы /. Таким образом,
группа / действует без неподвижных точек на ацикличном трех-
трехмерном многообразии Е3 — U с краем. (Заметим также, что это
действие является дифференцируемым.)
Можно доказать, что указанное действие группы / на 23 — U
является симплициальным относительно некоторой симплициаль-
ной структуры на Z3 — U. Это следует, например, из общей
теоремы Ян га [4] о дифференцируемых действиях. Этот факт
легко следует также из того, что S3 можно наделить такой струк-
структурой правильного многогранника (К о к стер [1]), в которой
левые и правые сдвиги элементами /' будут клеточными (а в соот-
соответствующем подразделении— даже симплициальными) отображе-
отображениями. Однако простейший способ состоит, по-видимому, в клас-
классическом описании «сферического пространства додекаэдра» 23
(см. Зейферт и Трельфалль [1]) как правильного доде-
додекаэдра (с внутренностью), противоположные грани которого
отождествляются посредством поворота на я/5 радиан (и отра-
отражения в центральной плоскости, параллельной этим граням), и
рассмотрении на этом пространстве очевидного действия группы /
(более удобного, чем описанное нами). (Последние два способа
по существу эквивалентны, так как на самом деле додекаэдр
есть клетка старшей размерности многогранника S3 и является
фундаментальной областью относительно правых сдвигов элемен-
элементами группы /', приводящих в конечном счете к указанному
отождествлению точек границы этой области.)
Рассмотрим джойн1) Л = /#B3 — U) (т. е. объединение 60
конусов2) над 23 — U с диагональным действием группы /. Так
как пространство А ациклично и односвязно, то оно стягиваемо.
Кроме того, /-действие на А не имеет неподвижных точек. Пусть
К — некоторое (возможно, пустое) симплициальное разбиение
с тривиальным /-действием. Тогда возникает действие группы /
на стягиваемом конечном симплициальном разбиении В = К*А,
множество неподвижных точек которого есть К-
Каждый такой пример следующим образом мгновенно позво-
позволяет нам построить пример аналогичного действия на диске.
Выберем симплициальное вложение разбиения В в триангулиро-
триангулированное евклидово пространство (или сферу) с линейным и сим-
симплициальным действием группы /. Например, можно считать В
симплициальным подпространством границы <ЗД полного сим-
симплекса Д, имеющего те же вершины, что и В. В силу известной
теоремы Уайтхеда [1] вторая регулярная окрестность D под-
1) Определение и свойства операции джойн • см. на стр. 68, а также
в книге Рохлина и Фукса [1J, с. 48, — Прим. ред.
Е) Напомним, что 60 = ord/.—Прим. ред.

8. ЕЩЕ ДВЛ ПРИМЕРА 67
пространства В в дД есть диск соответствующей размерности. Кроме
того, F(/, D) есть регулярная окрестность разбиения К в F (/, дД),
и потому она деформационно ретрагируется на К- Таким образом,
получена следующая теорема.
8.1. Теорема. Для любого (в том числе и пустого) конечного
клеточного разбиения К найдется такое действие икосаэдральной
группы 1 на диске D" (п велико), что F (/, D") гомотопически
эквивалентно пространству К-
Для случая F=0 этот пример был построен Флойдом и
Ричардсоном [1].
Замечание. Этот пример является единственным (с точно-
точностью до тривиальных модификаций) известным примером действия
компактной группы на диске, не имеющего неподвижных точек.
Можно пытаться строить другие такие примеры, рассматривая
пространства смежных классов G/H с компактной G, являющиеся
целочисленно гомологическими сферами. Однако, как доказал
Бред он [4], из всех таких пространств лишь SOC)// не явля-
является сферой, и известно, что если G/H — сфера, то G-действие
на ней эквивалентно ортогональному, см. Монтгомери и
Самельсон [ 1 ], Борель [3], Понсе [2] (доказательство этого
факта вытекает из классификации всех таких пар (G, Я), что
G/H является сферой).
Замечание. Хотя множество неподвижных точек может
иметь гомотопический тип любого конечного клеточного разбие-
разбиения, его топологический тип не может быть столь произвольным.
Например, все компоненты множества неподвижных точек опи-
описанного действия имеют одну и ту же размерность, и вполне
правдоподобно, что это справедливо для любых действий ком-
компактных групп на сферах, дисках или евклидовых пространст-
пространствах. В случае дифференцируемого действия в касательном про-
пространстве в каждой неподвижной точке возникает представление
действующей группы, и Смит [10] высказал гипотезу, что в любых
двух неподвижных точках соответствующие представления эквива-
эквивалентны (известно, что это утверждение справедливо для дифферен-
дифференцируемых действий связных компактных группI).
. (В) Пример Коннера — Флойда. Здесь мы укажем, как по-
построить действие без неподвижных точек циклической группы Ъг
на евклидовом пространстве (заметим, что на диске такого дей-
действия не может быть в силу теоремы Брауэра о неподвижной
точке). Позже мы докажем теорему Смита, из которой следует,
!) В своей фундаментальной работе Агья и Ботт [3] доказали гипотезу
Смита для циклической группы простого нечетного порядка, гладко действую-
действующей на сфере S2" с ровно двумя неподвижными точками. Затем Милнор обоб-
обобщил их результат на произвольную циклическую группу сохраняющих ориен-
ориентацию диффеоморфизмов, действующих свободно всюду, кроме двух точек.—
Прим. ред.
3*

70 ГЛ. I. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
..., xr, Xj), где Х{ е R*, и триангулируем R*', сделав (первое) бари-
барицентрическое подразделение триангуляции, возникающей из про-
произведения R*x...xR* триангулированных пространств. Опреде-
Определим вложение g: K^-Rkr формулой g(x) = (f(x), /T(.t), fT2(x), ...
..., fTr~l(x)). Оно эквивариантно, и легко проверить, что g —
симплициальное отображение относительно первого барицентри-
барицентрического подразделения триангуляции К (детали см. Ф л о м л [9]).
Обозначив через U вторую регулярную окрестность множества
g(K) в Ukr, имеем T(U) = U. Тогда U —стягиваемое открытое
подмножество в Rftr, на котором Ъг действует (дифференцируемым
образом) без неподвижных точек, и это же верно лля U х'к'
с любым i и тривиальным действием Ъг на R'. Но известно, что
U xR гомеоморфно евклидову пространству (см. М а к м и л л а н
и Зиман [1] и Столлингс [I]).
Взяв произвольное конечное симплициальное разбиение L,
мы можем заменить S3 пространством S3*L и, проделав с ним
описанные выше конструкции, получить такое действие группы
Ъг на евклидовом пространстве, множество неподвижных точек
которого гомотопически эквивалентно L. Итак, доказана следую-
следующая теорема.
8.3. Теорема. Для любого натурального г, не являющегося
степенью простого числа, и любого конечного симплициального раз-
разбиения L существует такое т, что для любого п^т простран-
пространство R" допускает автогомеоморфизм периода г, множество непод-
неподвижных точек которого имеет тот же гомотопический тип, что
и L (включая случай Ь=ф). Щ
Замечания. К истер [1] улучшил вышеизложенную кон-
конструкцию вложения и доказал, что для L = 0 можно взять т = 8.
Известно, что в случае дифференцируемого действия т не может
Сыть меньше 7 (Смит [10]). Коннер и Монтгомери [2],
модифицировав изложенные конструкции, построили на некотором
евклидовом пространстве действие группы SO C) без неподвижных
точек. Они использовали имеющее степень 0 отображение в себя
построенного в конце § 4 пятимерного представления группы
SO C) (первоначально найденное Флойдом [12]). Эти конструк-
конструкции обобщили на действия групп SOBга+1), яэ=1, братья Сян
[4], которые, исследуя действие подгрупп, показали также, что
любая связная компактная некоммутативная группа Ли может
действовать без неподвижных точек на некотором IR" (однако,
как мы увидим позже, для торов это неверно). Снова, используя
джойн с конечным симплициальным разбиением L, можно пост-
построить действие, множество неподвижных точек которого гомото-
гомотопически эквивалентно L- Окончательный результат, приводимый
нами без доказательства, следующий.
8.4. Теорема. Если G — связная компактная некоммутативная
группа Ли, то для любого (а том числе и пустого) конечного

9, НАКРЫВАЮЩИЕ ДЕЙСТВИЯ 71
симплициального разбиения L существует, действие группы G на
евклидовом пространстве достаточно большой размерности, мно-
множество неподвижных точек которого гомотопически эквивалент-
эквивалентно L.
Замечание. Эти примеры убедительно показывают, что
в общем случае о группах преобразований нельзя сказать почти
ничего. Однако если ввести некоторые ограничения, то удается
доказать несколько сильных теорем. Например, мы получим
некоторые важные результаты о действиях р-групп и торов.
Можно также доказать сильные теоремы о действиях с орбитами
малой коразмерности, или с множествами неподвижных точек
малой коразмерности, или с небольшим числом типов орбит и т. д.
Некоторые из этих ситуаций мы изучим в следующих главах.
9. Накрывающие действия
Пусть задано накрытие р: Х'-уХ некоторого G-пространства
X. Естественно спросить, продолжается ли G-действие на X до
действия на X' какой-либо группы G', накрывающей группу G.
На протяжении всего параграфа предполагается, что G —груп-
—группа Ли (на самом деле мы используем лишь тот факт, что связная
компонента Go единицы группы открыта в G и обладает односвяз-
ной накрывающей). Мы предполагаем также, что X связно и
локально линейно связно.
Рассмотрим сначала случай, когда группа G связна; пусть
G* — ее универсальная накрывающая с проекцией л: G*-*-G.
Пусть е и е* — единицы групп G и G* соответственно, и пусть
х'о — такая точка из X', что р (х'о) есть отмеченная точка х0 про-
пространства X. Пусть, далее, в: Gx Х->Х — данное G-действие на X.
Так как включение {е*} х X'->G* x X' индуцирует изомор-
изоморфизм фундаментальных групп, то в группе лх (X, х0) имеем
(в • (я X р))# (я, (G* X X', е* X х'о)) = р* (щ (X', *,',)).
В силу основной теоремы теории накрывающих пространств')
отсюда следует существование единственного отображения в*:
G*xX'->-X', накрывающего отображение 9 и переводящего
е*хх'{> в х'о. Мы утверждаем, что в*—действие.
Для доказательства этого заметим, что отображение в* (е*, •):
X'-vX' накрывает тождественное отображение пространства X
и переводит точку х'о в х'о; следовательно, оно само является
тождественным отображением. Аналогично каждое из двух отоб-
1) Эта теорема гласит, что если р: (X', х^)->-(Х, х0) — некоторое накрытие
и f' (Y* (/о)-»" (X' -f)—такое отображение, что /+, (лх (Y, (/„)) сг р^ (л, (X', *,',)),
то существует такое единственное отображение /': (У, уо)~>~(Х'< х'и), что
р ./'=/.— Прим. переа.

72 ГЛ. I. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
ражений G* X 6* X Х'-кХ', соответственно переводящих (g*, h*,
х') в в* (g*, в* (/i*, л;')) и 9*(g*h*, x'), накрывает одно и то
же отображение G X G X Х-+-Х и переводит (<?*, е*, х'о) в х'о. Поэто-
Поэтому они совпадают и, следовательно, в* является действием.
Более того, 9* не зависит от выбора точки х'о, так как для
любого накрывающего действия и любой точки л'о обязательно
6*(е*, х'о) = х'о.
Мы утверждаем, что действие в* коммутирует с любым сколь-
скольжением Т (т. е. преобразованием Х'->Х', накрывающим тожде-
тождественное отображение). Чтобы доказать это, рассмотрим отобра-
отображение G*xX'->X' вида (g*, х') >-^ Т Щ* (g*, ТУ)- Оно накры-
накрывает в и переводит (е*, х') в Т-1в*(е*, ТУ) = Т' *ТУ *=х'.
Следовательно, это отображение есть в*, и потому в* (g*, ТУ) =
= TQ*(g*, x'), что и утверждалось.
Предположим теперь, что группа G действует эффективно
(это не ограничивает общности), и пусть С —факторгруппа груп-
группы G*, эффективно действующая на X'. Тогда С накрывает G,
и ядро отображения G'-+G состоит из скольжений1) накрываю-
накрывающего пространства X'.
Если G-действие на X имеет неподвижную точку х, то слой
/г1 (х) инвариантен относительно G'. Поскольку группа С связна,
а слой р 1 (х) дискретен, то С оставляет множество р (х) пото-
поточечно неподвижным. Отсюда следует, что элементы ядра ker (G' ->G)
являются тривиальными скольжениями, и потому G' — G. Итак,
доказана следующая теорема.
9.1. Теорема. Пусть G — связная группа Ли, эффективно дей-
действующая на связном и локально линейно связном пространстве X, и
пусть X'' -*¦ X — некоторое накрытие пространства X. Тогда суще-
существует группа G', накрывающая группу G и обладающая эффек-
эффективным действием на X', накрывающим данное G-действие на X.
При этом группа G' и ее действие единственны. Ядро гомомор-
гомоморфизма G' -*-G есть подгруппа группы скольжений накрытия Х'->Х
(в частности, если накрытие X' -> X конечнолистно, то конечно-
листно и накрытие G' ->G). Если G имеет в X неподвижные
точки, то G' = G и F (G, X') есть полный прообраз множества
F(G, X). 1
Теперь обсудим действия несвязных групп Ли G. Пусть Go —
компонента единицы группы G. Сначала рассмотрим случай, когда
G имеет в X неподвижную точку х0. Пусть х'о — точка из X',
накрывающая хо\ выясним возможность существования накрываю-
накрывающего действия, оставляющего х'о неподвижной.
Заметим, что G действует на лх(Х, х0) как подгруппа ее группы
автоморфизмов, причем Go действует тривиально. Положим У =
==Р#(Я1 (-^'> *6)) с лх (X, #о)- Из теории накрывающих про-
Вообще говоря, не всех..—Прим, перев.

». НАКРЫВАЮЩИЕ ДЕЙСТВИЯ 73
странств следует, что для данного g e G отображение Bg: X-+-X
накрывается отображением 8g: Х'-*-Х', для которого 0g (х'о) = х'о
тогда и только тогда, когда (Qg)#(J) cz J. Таким образом, отоб-
отображения 8g существуют для всех g тогда и только тогда, когда
группа J инвариантна относительно G-действия на nt(X, х0).
Считая последнее условие выполненным, определим действие
6': GxX'-^-X', полагая 6' (g, x') = B'g(x). Ввиду единственно-
единственности отображений 6g для проверки того, что 8' есть действие,
достаточно лишь установить его непрерывность. Но, как легко
видеть, его ограничение Go х X' -*- X' есть отображение из теоре-
теоремы 9.1, которое, следовательно, непрерывно. Поскольку для
любого элемента geQ отображение 6' представимо в виде ком-
композиции
заключаем, что отображение в' непрерывно на каждом из под-
подмножеств gG0 х X' и, следовательно, всюду. Мы доказали сле-
следующий результат.
9.2. Теорема. Пусть G —группа Ли (не обязательно связ-
связная), действующая на связном и локально линейно связном прост-
пространстве X, и пусть задано накрытие р: X' -> X пространства X.
Пусть, далее, выбрана точка х'о е X', проектирующаяся в точку
х0 е X, являющуюся неподвижной точкой данного G-действия на X.
Тогда и только тогда существует (единственное) G-действие на
X', оставляющее неподвижной точку х'о, когда подгруппа р# (ях (X1,
х'о)) группы ях (X, х0) инвариантна относительно G-действия на
ni(X, х0). 1
Рассмотрим теперь случай, когда группа G не является связ-
связной и не имеет в X неподвижных точек. Так как общий случай
довольно сложен, мы предположим, что пространство X микро-
односвязно1) и, следовательно, обладает универсальным накрытием
р: Х*-*-Х, и мы изучим сначала возможность поднятия действия
на X*. Мы предполагаем также, что G действует на X эффективно.
Для любого ggG гомеоморфизм Qg: X-> X можно накрыть
гомеоморфизмом X* -у X* в силу односвязности пространства X*.
и любые два таких поднятия отличаются на скольжение.
Взятые для всех g^G, эти поднятия образуют подгруппу G'
группы Нотео(Х*), причем имеется естественный эпиморфизм
G'-^-G, ядро которого есть в точности группа А скольжений
(отметим попутно изоморфизм Amnt(X)). Мы должны наделить
!) Точнее, предполагается, что пространство X является связным, локально
линейно связным и микроодносвязным. Напомним, что топологическое простран-
пространство X называется микроодносвязным, если у каждой точки х s X есть такая
окрестность U, что гомоморфизм nx{U, х) -»-п1(Х, х) тривиален (см. Рохлин
«Фукс [1J). — Прим. ред.

74 ГЛ. I. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИИ
G' топологией (разумеется, для дискретной группы G это делается
тривиально). С этой целью заметим, что из 9.1 следует существо-
существование канонической подгруппы Go группы G, проектирующейся
в Go и топологизированной таким образом, что эта проекция
является накрытием. Покажем, что Go есть нормальный делитель
группы G'. Действительно, выберем geC и рассмотрим под-
подгруппу gG'og1 группы С. Ясно, что из Go на этой подгруппе
индуцируется топология, в которой gGog^1 накрывает группу Go.
В силу утверждения теоремы 9.1 об единственности, подгруппы
Go и gGog~l действуют на X* одинаково, поэтому подгруппы Go
и g'Gog совпадают, т. е. Go есть нормальный делитель группы
G'. Очевидно, группу G можно топологизировать, считая Go с
вышеописанной топологией открытым множеством в G'. Тогда G'
становится группой Ли, связная компонента единицы которой
есть Go, и 1 -*-А-*¦ Gr-*¦ G-*¦ 1 —точная последовательность топо-
топологических групп, где группа А^яДХ) дискретна.
Более общий случай регулярного накрытия р: X' -*¦ X тоже
поддается изучению. Напомним, что для регулярного накрытия
имеем X'я« X*/N, где N —нормальный делитель N^nt (X1) группы
ях(Х), и чю группа скольжений такого накрытия есть Д' = Д/АЛ
(Иными словами, регулярность эквивалентна транзитивности дей-
действия группы скольжений на слое.) Если N оказался также
нормальным делителем группы G', то мы имеем точную последо-
последовательность 1 -v A/N -v G'/N -*¦ G -*-1. Более того, группа G'/N
действует на X' —X*/N, и это действие накрывает G-действие
на X. Обратно, если G-действие на X накрывается действием
группы, накрывающей (с учетом возможной несвязности группы
G) группу G, то эту накрывающую можно расширить, включив
туда скольжения. Тогда А' есть ядро проекции этой расширенной
группы G" на группу G, так что имеем точную последователь-
последовательность 1->-А'-*-G"-*-G->-1. Применяя вышеуказанные замечания
к накрытию Х*->Х', получим точную последовательность I -*¦
-*¦ N -*• G'-*¦ G"-+¦ 1 (где G', очевидно, есть определенная выше
первоначальная накрывающая группа, поскольку она эффективно
действует на X*, накрывает G-действие на X и содержит А).
Таким образом, С'^б' /N, и ситуация свелась к описанной выше.
Тому факту, что W —нормальный делитель в G', можно дать
следующую геометрическую интерпретацию. Пусть А' —множество
классов сопряженности элементов из А; его можно отождествить
с множеством [S1, X] классов свободно гомотопных отображений.
Аналогично Nct=&[Sl, X'], и включение N а А индуцирует отоб-
отображение Л/с->-Ас, совпадающее с каноническим отображением
[S1, X']->[S\ X]. При этом группа G действует на fS\ X] оче-
очевидным образом, и из стандартной теории накрытий следует, что
соответствующее G-действие на А0 получается поднятием элемен-
элементов из G наверх в С и сопряжением ими элементов из А (оче-

9. НАКРЫВАЮЩИЕ ДЕЙСТВИЯ 75
видно, что на Ас это отображение определено корректно). Так
как N есть нормальный делитель в А, то из всего сказанного
выше следует, что /V тогда и только тогда будет нормальным
делителем в G', когда G-действие на [S1, X] сохраняет там (не
обязательно поточечно) образ множества [S1, Х']^№. Все сде-
сделанное выше мы суммируем в следующей теореме.
9.3. Теорема. Пусть G —группа Ли (не обязательно связ-
связная), действующая на связном, локально линейно связном и мик-
роодносвязном пространстве X. Пусть, далее, X' -> X — регулярное
накрытие пространства X с группой скольжений А'. Необходимым
и достаточным условием существования группы G', накрывающей
(в смысле накрытия несвязных пространств) группу G, и эффек-
эффективного G'-действия на X', накрывающего G-действие на X, явля-
является сохранение G-действием на множестве [S1, X] (классов свободно
гомотопных отображений) образа множества [S1, Х'~. (Заметим,
что если группа абелева, то сформулированное условие эквивалентно
сохранению при G-действии образа отображения Н1(Х')-^-Н1(Х).
При этом для максимальной') из таких групп G' имеется точная
последовательность 1 -> А' -> G' -v G ->-1 Щ
(Читателю будет полезно рассмотреть случай конечной груп-
группы G. Утверждение, что G' можно взять равной G, в общем слу-
случае заведомо ложно: читатель легко построит соответствующие
контрпримеры.)
Имеется несколько случаев, когда можно устроить каноничес-
каноническое поднятие гомеоморфизмов, что приводит нас к построению
накрывающего действия исходной группы; одна из таких ситуаций
описана в теореме 9.2. Другой такой случай возникает при рас-
рассмотрении двулистного ориентирующего накрытия над неориен-
тируемым многообразием. Пусть М — неориентирусмое многообра-
многообразие, М'->М — его ориентирующее двулистное накрытие, и пусть
группа Ли G (не обязательно связная) действует на М. Применим
к этой ситуации теорему 9.3 с учетом того, что образ отображе-
отображения [S1, M'J-^fS1, /If] в точности состоит из классов, представи-
мых петлями, сохраняющими ориентацию. Так как, очевидно,
любой гомеоморфизм сохраняет множество таких классов, то из
9.3 следует, что имеется накрывающее действие группы G', вклю-
включаемой в точную последовательность 1 -»- Z2 ->¦ G' -> G ->-1. Но
имеется расщепляющий гомоморфизм С-э-Хг. ЯДР° которого
состоит в точности из элементов g', сохраняющих ориентацию.
(Так как связная компонента единицы лежит в ядре, то этот го-
гомоморфизм непрерывен.) Таким образом, подгруппа группы G',
состоящая из сохраняющих ориентацию элементов, изоморфно
отображается на G, так что имеем следующее утверждение.
') Г' смысле олелукшшго частичного порядка: Ci> Ga, если существует
эпиморфизм Qx-t-G-i-—Прим, перев.

76 ГЛ. I. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
9.4. Следствие. Если группа Ли G (не обязательно связ-
связная) эффективно действует на неориентируемом многообразии М,
то на его двулистном ориентирующем накрывающем многообра-
многообразии М' имеется единственное накрывающее действие той оке самой
группы, для которого соответствующие гомеоморфизмы сохраняют
ориентацию многообразия М'. |
Замечание. В некоторых из этих теорем за счет некоторо-
некоторого усложнения доказательств можно ослабить требование, что G
есть группа Ли, однако наиболее общие условия нам неизвестны.
Теоремы 9.1 и 9.2 мы считаем фольклорными. В частном случае
компактной группы Ли G и конечнолистного накрытия локально
компактного пространства теорему 9.1 доказали К и стер и
Манн [1] методом, отличающимся от нашего. Теорему 9.2 для
случая универсального накрытия доказали Коннер и Монтго-
Монтгомери [1], а общий случай получил Коннер и Реймонд[1].
Более общий вариант следствия У.4 имеется у Бредона [3].
Теорема 9.2, кажется, никем не был) отмечена.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I
1. Пусть X— некоторое G-пространство и N — нормальный делитель груп-
группы G. Покажите, что имеются канонически индуцированное G/N-действие на
XIN и естественный гомеоморфизм (X/N)/(G/N)=a X/G-
2. Для G-пространства X и А с X положим GA — {g e G , g(a) = a для
всех as Л}. Покажите, что:
(i) А е= В => GA => Ов;
(И) Я с К=$ХН =>ХК.
Кроме того, положив А' = Х А, докажите, что:
{\и)А'=>А;
(v) (A U В)'= А'{} В',
и, следовательно, при нетривиальном действии группы G соответствие A i—>¦ А'
задает операцию замыкания *).
3. Покажите, что в примерах § 7 орбиты, соответствующие граничным точ-
точкам пространства D2 = 2^"~~'/О (п), имеют орбитный тип сферы S" =
= О (п)/О (п — 1), а орбиты, соответствующие внутренним точкам,—орбитный
тип многообразия Штифеля Vn, 2 = O (п)/О(п — 2).
4. Пусть G —компактная группа, и пусть ^ — множество всех G-орбитных
типов. Топологизируем 1fQ, введя туда наименьшую из всех топологий, в кото-
которых для каждой подгруппы ffcC множество всех типов, не превосходящих
type {G/H), замкнуто. Докажите, что для любого G-пространства Х каноничес-
каноническое отображение X/G-*-%o, сопоставляющее каждой орбите ее тип, непре-
непрерывно. (Указание. Для каждой подгруппы Ясй рассмотрите образы мно-
множеств Xя в X/G.)
й) Разумеется, эта операция не обязана быть операцией замыкания, инду-
индуцированной топологией пространства Х. — Прим. перев.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I 77
5. Определим G-орбшпную структуру как хаусдорфово пространство К
с отображением т: Y -*-^а (см. упражнение 4), и орбитную структуру на
G-пространстве X как каноническое отображение т: X/G -»¦ WQ *). Пусть
f: Y ->- X/G—непрерывное отображение; покажите, что орбитная структура
на индуцированном 2) ё'-пространстве f*X канонически эквивалентна орбитной
структуре т»/: Y -*-<gQ.
Пусть Yit i = \, 2,—два пространства с фиксированными G-орбитными
структурами. Говорят, что отображение Fx->-F2 сохраняет G-орбитную струк-
структуру, если диаграмма
X /
коммутативна. Эквивариантное отображение f: Х1-уХ2 одного G-пространства
в другое называется сохраняющим орбитную структуру, если индуцированное
им отображение XJG -*¦ X2/G сохраняет G-орбитную структуру. Покажите,
что эквивариантное отображение тогда и только тогда сохраняет орбитную
структуру, когда его ограничение на любую орбиту из Ху является гомеомор-
гомеоморфизмом на ее образ (лежащий в Х2).
6. Пусть К — симплициальное разбиение и G — дискретная группа, сим-
плициально действующая на К- Покажите, что первое барицентрическое под-
подразделение К' разбиения К обладает следующим свойством (где jeG, a a —
симплекс из К')'
(*) Если g(o") = a, то g \ а есть тождественное отображение.
Докажите также следующую теорему об эквивариантной симплициальной
аппроксимации. Пусть дискретная группа G симшшциально действует на сим-
плициальных разбиениях К и L, и пусть G-действие на L удовлетворяет
условию (*) (где а теперь —симплекс из L). Предположим, что /: ! К ' -*¦ I L -: —
эквивариантное отображение ассоциированных с К и L полиэдров. Тогда для
некоторого г существует симплициальная аппроксимация g: Kr -*¦ L (где Кг
есть r-е барицентрическое подразделение разбиения К) отображения /, которая
эквивариантна и такова, что отображение g: \ К ! -*¦ \ L \ эквивариантно гомо-
гомотопно /. (Указание. Возьмите по одной вершине из каждой орбиты G-
действия на вершинах из Кг, определите на этих выбранных вершинах под-
подходящее g и продолжите его эквивариантным образом.)
7. Рассмотрите 5-мерное представление группы SO C), изложенное в конце
§ 4. Постройте такое эквивариантное собственное отображение /: R5->|R5, что
jf-i(O) = O и deg/ = O. (Указание. Рассмотрите множество F (Zz Ф 2г> R-)
и вне него сечение действия, построенное в § 4. Используйте следствие 3.4.)
8. Докажите, что теорема 2.3 Титце — Глисона справедлива также для
вполне регулярных пространств X и их компактных инвариантных подпро-
подпространств А. (Указание. Используйте конструкцию Стоуна — Чеха биком-
бикомпактного расширения пространства X.)
9. Покажите, что если группа G компактна, то окрестность любой орбиты
в любом G-пространстве содержит инвариантную окрестность. (Указание.
Используйте теорему 3.1.)
10. Пусть группа G компактна, и пусть /: X-*-Y — эквивариантное ото-
отображение одного G-пространства в другое, сохраняющее орбитную структуру.
Докажите, что индуцированное отображение /': X/G -*-Y/G тогда и только
тогда открыто, когда / открыто.
х) Каноническое отображение т: XjG-^tQ естественно назвать классифи-
классифицирующим отображением орбитной структуры. — Прим. ред,
2) См. § 6, п, (В). — Прим. перев.

78 УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I
11. Пусть G—компактная группа и X— некоторое G-пространство. Дока-
Докажите, что если /: X -*¦ X— такое эквивариантное отображение, что диаграмма
Х-+Х
X/
X/G
коммутативна, то / — эквивалентность G-пространств.
12. Пусть Н, К сг 0 — компактные группы. Покажите, что соответствие
а~1К i—*- r?' и определяет гомеоморфизм
(G/K)H=F(H, G/K) -=- MapG (G/H, G/K)
пространства неподвижных точек Я-действия на G/K с пространством эквива-
риантных отображегшй G/H-*-G/K, налелеш/ым компактно открытой тополо-
топологией.
13. Пусть компактная группа G действует на метрическом пространстве X.
Докажите, что существует эквивалентная метрика, инвариантная относительно
данного G-действия. Найдите пример, показывающий, что, вообще говоря, рав-
равномерное построение такой метрики невозможно (т. е. что эти две метрики
определяют разные равномерные структурыI).
!) То есть, что тождественное отображение не будет взаимно равномерно
непрерывным. — Прим. перев.

Глава II
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ G-ПРОСТРАНСТВ
В этой главе мы изучим действия компактных групп Ли
с общей точки зрения, в противовес изучению действий на много-
многообразиях или действий некоторых специальных групп Ли.
Эта глава содержит четыре основных теоремы. Первая из них —
теорема существования трубчатых окрестностей—доказана Монт-
Монтгомери и Ян том [1] и Мостовым [1]. Этот фундамен-
фундаментальный результат дает возможность изучать окрестности орбит
в G-пространствах. Излагается он в §§ 4 и 5, после данных
в §§ 1—3 основополагающих сведений о расслоениях и скрученных
произведениях. Этот результат применяется в § 6 для сравнения
фундаментальной группы G-пространства с фундаментальными
группами его орбит.
Вторая основная теорема есть доказанная Пале [3] теорема
о накрывающей гомотопии. Она излагается в § 7, а применяется
в § 8 для изучения G-пространств с конической структурой орбит.
Третья основная теорема — теорема классификации, доказанная
Пале [3], — излагается в § 9, а применяется в § 10 для дока-
доказательства четвертой основной теоремы: теоремы Мостов а [1]
об эквивариантном вложении. Последняя утверждает, что любое
сепарабельное метрическое пространство, на котором компактная
группа Ли G действует так, что там имеется лишь конечное число
типов орбит, может быть эквивариантно вложено в евклидово
пространство с ортогональным действием группы G.
Всюду, за исключением § 5, наше внимание будет сосредо-
сосредоточено на действиях компактных групп Ли.
1. Расслоения
В этом параграфе мы дадим определение и изложим простей-
простейшие свойства расслоений. Мы не будем в этой книге углубляться
в теорию расслоений, отсылая за этим читателя к книгам Стин-
рода [1J и Хьюзмоллера [1] (отметим, однако, что в по-
последней эффективным G-пространством названо то, что мы назы-
называем свободным G-пространством).

80 ГЛ. II, ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 0-ПРОСТРАНСТВ
Пусть К —-топологическая группа и /'' — эффективное правое
/С-пространство. Пусть, далее, л и В —два хаусдорфовых прост-
пространства.
Расслоением над базой В с тотальным пространством X,
слоем F и структурной группой К называется отображение р: Х-*~В
вместе с таким семейством Ф определенных для некоторых откры-
открытых множеств U из В гомеоморфизмов ц>: FxU ~~p-l(U), каждый
из которых называется картой над соответствующим U, что:
A) Для любой карты q> s Ф диаграмма
и
коммутативна.
B) Любая точка базы Ь обладает окрестностью, на которой
определена карта семейства Ф.
C) Если <р: FxU-*-p-1 (U) — карта семейства Фи V a U —
открытое множество, то ограничение карты ф на подмножество
FxV есть карта семейства Ф.
D) Если ф, г|э = Ф — две карты над одним и тем же 11, то
существует такое (непрерывное) отображение б: U-^K, что
\р(Д и) = ф(/-9(и), и) для любых fef и u^U. Это отображе-
отображение 6 называется функцией перехода от карты ф к карте гр.
E) Семейство Ф является максимальным среди всех возмож-
возможных семейств, удовлетворяющих вышеперечисленным условиям.
Замечание. Так как К действует на F эффективно, то
ясно, что отображение 8 из D) од'означно определяется отобра-
отображением ф-1-^. Кроме того, отображение ф»^ индуцирует ото-
отображение U -*- Map (F, FxU) = Map (F, F) x Map (F, U), переводящее
и в (8 (и), с„), где с„ — постоянное отображение F-*-V, cn(F) = u.
Хорошо известно (см., например, Дугунджи [1]), что если
множества отображений наделены компактно открытой топологией,
то это отображение непрерывно (и «равенство» есть гомеоморфизм).
Следовательно, если К имеет компактно открытую топологию,
то 8 автоматически будет непрерывным (по поводу других «хо-
«хороших» топологий в К см. Арене [1]).
1.1. Теорема. Пусть р: X-*-В — расслоение со слоем F и
структурной группой К, и пусть G —некоторая группа, дейст-
действующая на F слева. Если G- и К-действия на F коммутируют
(т. е. (gf)k = g(Jk)), то существует единственное G-действие на X,
накрывающее тривиальное G-действие на В и такое, что все
карты ф: FxU'-*¦ /г1 (U) эквивариантны (где G-действие на FxU
имеет вид (g, (f, u))t-^{gf, и)).
Доказательство. Очевидно, что требуемое G-действие
определяется условием эквивариантности карт, так что достаточно

2. СКРУЧЕННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 81
проверить лишь его независимость от выбора карты над U. Иными
словами, достаточно проверить эквивариантность всех отображе-
отображений ср-1^: FxU-^FxU. Но g(<Q-4f(f, u)) = g(f-B(u), и) =
= (?(/-9(«)), «) = ((§/)-в (и), u) = qr-4p(gf, м). = ф-НИ§(Л и)). 1
Главным G-рагслоснием, где G—-топологическая группа, назы-
называется расслоение со слоем G, на котором структурная группа G
действует правыми сдвигами (т. е. элемент g структурной группы
переводит точку g' слоя в точку g'g; этим определяется правое
действие).
Так как обычное действие группы С на себе левыми сдвигами
коммутирует с правыми сдвигами, то из теоремы 1.1 вытекает
следующий результат.
1.2. Следствие. Для любого главного G-расслоения р: Х-*-В
существует каноническое свободное G-действие на X, накрывающее
тривиальное действие на В (и на слое совпадающее с действием
левыми сдвигами). Отображение р: Х-+В индуцирует гомеомор-
гомеоморфизм X/G<=aB и потому может рассматриваться как проекция
на пространство орбит, ассоциированное с данным G-действием. Щ
Замечание. В § 5 мы докажем теорему Глисона [1], из
которой следует, что если X — вполне регулярное пространство,
на котором свободно действует компактная группа Ли G, то X
есть тотальное пространство некоторого главного G-расслоения.
Таким образом, в этом случае понятия главного G-расслоения и
свободного G-действия канонически эквивалентны.
2. Скрученные произведения и ассоциированные расслоения
Пусть X —правое G-пространство, a Y — левое G-пространство.
Определим левое G-действие на XxY, считая, что g переводит
(х, у) в (xg-1, ay). Назовем скрученным произведением XXqY про-
пространств X и Y пространство орбит этого действия. Иными сло-
словами, XXqY есть факторпространство пространства XxY по
следующему отношению эквивалентности: для любых фиксирован-
фиксированных хеХ, ^eF,geG точки (xg, у) и (х, gy) эквивалентны. Класс
эквивалентности (орбита) точки (х, у) обозначается через [х, у),
так что ix, y] = [x', у'] тогда и только тогда, когда найдется
такое g^G, что х' =-xg~x и у' =gy. Заметим также, что [xg, z/]=
= \х, gy].
Эта конструкция функториальна, т. е. эквивариантное отобра-
отображение /: Y->-Y' одного левого G-пространства в другое индуци-
индуцирует отображение I^Xq/: XxQY-+XxaY', переводящее [х, у]
в [*» fy\ Аналогично для правых G-пространств Х, X' эквива-
эквивариантное отображение Х->Х' индуцирует отображение Хх0У->
^X'xqY.
2.1. Предложение. Если отображение f открыто, то и
отображение ixXaf открыто.

82 ГЛ II. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 0-ПРОСТРА1ТГ.ТВ
Доказательство немедленно вытекает из коммутативности диа-
диаграммы
ХХуШ1 XxY'
I |
XxoF—— XxaY'
с учетом того, что вертикальные стрелки — открытые отображения, g
В частности, отображение пространства Y в точку индуци-
индуцирует открытое отображение X XqY-*- X Xq*^ X/G.
Последнее можно рассматривать также как отображение орбитных
пространств, индуцированное эквивариан i ной проекцией ХхУ-> К.
Аналогично можно построить открытое отображение X х qY -> Y/G.
Если X и Y — соответственно правое и левое /(-пространства,
а X — еще и левое G-пространство (причем, как всегда, левое и
правое действия на X коммутируют), то XxKY допускает левое
G-действие вида g[x, y] — [gx, у]. Аналогично, если Y — правое
//-пространство, то таковым является и XxKY\ соответствующее
действие есть [х, y]h = [x, yh].
2.2. Предложение. Пусть л—правое G-пространство.
Отображение X х а G -*~ X вида [х, g] i—>¦ xg является эквивариант-
ным гомеоморфизмом правых G-пространств, и обратное отобра-
отображение есть х i—»¦ [х, е].
Доказательство. Очевидно, что оба отображения коррект-
корректно определены и взаимно обратны. Непрерывность первого из отобра-
отображений следует из непрерывности действия XxG->-X и открытости
проекции XxG-*-XxaG, а непрерыгность второго очевидна. Щ
2.3. Предложение. Если X —правое Н-пространство,
Y — левое Й- и правое К-пространство, a Z —левое К-простран-
ство, то имеется канонический гомеоморфизм
(XxHY)xKZ ^XyH{YxKZ),
задаваемый формулой
И*. У], *]~[х, \У, г]].
Доказательство. Отображение определено корректно, так
как оно переводит элемент [[x/r1, hy\krl, kz]1 = [[xh-1, hykr1], kz\
в элемент [лг/г1, [hyk~l, fe]] = [x/i-1, h[yk~\ kz]] — \x[y, г]]. Его
непрерывность следует из того, что композиция (XxY)xZ-+
->-(XxtlY)xZ-»-(X xHY)xKZ — открытое отображение (поскольку
соответствующие проекции на пространства орбит открыты). Оче-
Очевидно, что теми же свойствами обладает и обратное отображение. §
Напомним следствие 1.2: если р: X -*- В — главное /(-расслое-
/(-расслоение, то на X имеется свободное левое /(-действие, и проекция р
устанавливает гомеоморфизм пространства орбит Х/К этого дей-
действия и базы В.
2.4. Теорема. Пусть р: Х->В— главное К-расслоение, и
пусть дано правое К-пространство F. Отображение л: FX

2. СКРУЧЕННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 83
-v В вида я (f, х) — р (х) является расслоением со слоем F и струк-
структурной группой К; оно называется F-расслоением, ассоциирован-
ассоциированным с главным К-расслоением. Если ср: К х V -> p~l (U) — карта
главного расслоения над U, то композиция
является картой ассоциированного расслоения. (Заметим, что
Ф(Л «) = [Л Ф(е, «)]•)
Доказательство. Первое отображение приведенной выше
композиции есть гомеоморфизм из предложения 2.2, второе —
гомеоморфизм из предложения 2.3, а третье — гомеоморфизм
в силу 2.1. Последнее, четвертое, отображение, индуцированное
включением р"]((/)-^Х, есть в силу 2.1 вложение в Fx^X,
и его образ есть все я^/), так как все отображения коммути-
коммутируют с очевидной проекцией на U.
Если ср и г|}~две карты над U главного расслоения, а 8:
U -*¦ К — функция перехода (так что г|э(?, м) = ср(&6 (и), и)), то
= [/, 8(и)ф(в, и)] = [/-9(ы), Ф(е, и)]=«Ф(/-в(и), и)
(по определению левого /^-действия на X), поэтому 8 есть функ-
функция перехода от <р к а|).
Так как любой набор карт, удовлетворяющий условиям A) —
D) определения из § 1, очевидно, содержится в единственном
максимальном таком наборе (см. Стинрод [1]), то теорема
доказана. §
2.5. Лемма. В условиях теоремы 2.4 диаграмма
FxX -5-^X
FxKX -^B
является диаграммой, определяющей индуцированное расслоение.
Доказательство. Так как диаграмма коммутативна, воз-
возникает непрерывное отображение из FxX в тотальное простран-
пространство расслоения, индуцированного из расслоения р: Х-^-В отоб-
отображением я, и легко видеть, что возникающее отображение
является взаимно однозначным соответствием (так как К дейст-
действует на X свободно). Осталось проверить, что оно открыто. С этой
целью мы проведем локальное рассмотрение данной диаграммы.
Если открытое множество U а В мало1), то возникает диаграмма
FxKxU ^ KXU
\ IproJ
^ U,
*) То есть над ним имеется карта. — Прим, перев.

84 ГЛ. II. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ О-ПРОСТРАНСТВ
в которой левое вертикальное отображение имеет вид (/, k, и) н—*¦
•—»-[/> {k, ")]•—>-(/&, и). Следовательно, индуцированное расслое-
расслоение—это в точности FxKxU, и интересующее нас отображение
имеет вид (/, k, u)>-*(fk, k, и). Но отображение, обратное этому,
есть (/, k, и) к-*¦ (fk'1, k, и), и оно непрерывно. |
Замечание Если группа К компактна, то это утверждение
можно доказать также, исходя из упражнения 10 главы I.
Следующая теорема является основным результатом теории
расслоений.
2.6. Теорема. Пусть р: X-*¦ В — главное К-расслоениег
а У—левое К-пространство. Определим правое К-действие на Y,
полагая yk = k~1y. Тогда имеется естественное взаимно однознач-
однозначное соответствие между К-эквивариантными отображениями /:
X-+-Y и сечениями f ассоциированного Y-расслоения л: Yxj<X-*-
->-?. Это соответствие задается равенством f (p (*)) = [/(*), х].
Доказательство. Если f: X->Y — эквивариантноеотобра-
эквивариантноеотображение, то соответствие х\—*~\f(x), x] задает отображение /': Х->
УХ и так как
fac] = [*/(*). kx\ = \f(x)k-\ kx]^[f(x), x]=*f'(x),
то /' индуцирует отображение/: В = X/K-^-YxkX, являющееся,
очевидно, сечением расслоения Х->Б и описываемое равенством
f(P (*)) = [/(*). х].
Если f — сечение, то п ((/°р) {х)) = р(х). Из леммы 2.5 следует,
что в этом случае имеется единственное эквивариантное отобра-
отображение 6: X-*-YxX, для которого диаграмма
чб
ь ¦ ''
коммутативна. Таким образом, 8 имеет вид б (х) = (/ (х), х), где
f: X->Y удовлетворяет равенству / (р (x)) = [f(x), x]. |
Оставшаяся часть этого параграфа будет посвящена изложе-
изложению материала, который до главы V нами использоваться не
будет, но зато там будет играть очень важную роль.
Пусть S и Т — две топологические группы, и пусть А —пра-
—правое S-пространство, а А'—правое Т-пространство. Предположим,
что А локально компактно, и рассмотрим пространство
Map (Л, А') непрерывных отображений Л—>-Л', наделенное ком-
компактно открытой топологией. Зададим левое (ЗхТ)-действие на

2. СКРУЧЕННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 85
Map (Л, А') формулой ((s, t)f) (a)=*f (as)t~\ где / s Map (A, A'I).
Предположим теперь, что px- X-*-В — главное S-расслоение, а ру:
Y'-*-В — главное 7-расслоение. Тогда их произведение ХхУ->
->-ВхВ является главным EхТ)-расслоением. Его ограничение
на диагональ пространства В является главным (SxT)-paconoe-
нием над В, тотальное пространство которого есть
Для (х, у)еД положим р (х, у) = Рх(х) = Ру(у)- Как обычно,
в силу 1.2 пространство А снабжается каноническим левым
EхТ)-действием, определяемым формулой (s, t)(x, y) = (sx, ty).
Мы рассмотрим ассоциированные расслоения AxsX и А'хтУ
над В. Под отображением ц>: AxsX->-А'хГУ над В мы пони-
понимаем отображение, коммутирующее с проекциями на базу В.
2.7. Теорема. В описанной выше ситуации имеется канони-
каноническое взаимно однозначное соответствие между множеством отоб-
отображений <р: AxsX-^-A'xtY над В и множеством (SxT)-$Keu-
вариантных отображений ф: А->Мар(/4, А'). Это соответствие
характеризуется равенством <р[а, х] = [ц>(х, у) (а), у\. Таким
образом, каждое из этих множеств находится во взаимно одно-
однозначном соответствии с множеством сечений ср ассоциированного
расслоения Map (Л, A')Xsxt&-+ В, и это соответствие описыва-
описывается равенством <р(р(х, у)) = [ц>(х, у), (х, у)].
Доказательство. Заметим, что диаграмма
А —У
I \Ру
ХР-Х-.В
является диаграммой, определяющей расслоенное произведение,
так что проекция A-vX является расслоением, индуцированным
из расслоения pY отображением рх- В частности, А-*¦ X — откры-
открытое отображение. Таким образом, ЛхД~>ЛхХ и композиция
jt: AxA-+AxX-+AxsX (где \х (а, (х, у)) — [а, х]) — тоже откры-
открытые отображения.
Пусть нам дано эквивариантное отображение ф: Д->
->Мар (Л, Л'). Отобразим Л х А в Л' х ГУ по формуле (а, (х, у)) и—*
*—-[ц>(х, у) (а), у\. Если (х, у) и (х\ у')—два элемента из А, то
y' = ty для некоторого t^T. Так как
ty)(a), ty) = [$(x, y)(a)t-\ ^] = [ф(дс, у) (а), у]
2) Проверим корректность этого определения. Положим F — (slt tj) f.
Тогда ((s2, h) F) (a) = F {as2) & = (((s,, ty) f) (as2)) t^ = (f ((as2) st) t^) t? =
=/ («(Vi)XW1- Следовательно, (s2, tt) ((sL, I1)f) = ((si, B)(slt tx)) f.—Прим.
ped.

«О ГЛ. II. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ G-ПРОСТРАНСТВ
в силу эквивариантности отображения ф, то построенное отобра-
отображение АхА-^А'хтУ пропускается через АхХ. Более того,
так как ф(я-1х, г/) (as) = ф (лг, у) (а), то построенное отображение
пропускается даже через AxsX- Иными словами, имеется отобра-
отображение ф: А х SX -*¦ А х тУ, для которого <р[а, х] — [ц>(х, у) (а), у]
(где ру(у) = Py(x)). Так как ц: Ах&->-Ах$Х — открытое отобра-
отображение, то ф непрерывно, и так как Рх(х) = Ру(у), то ф —отобра-
—отображение над В.
Предположим теперь, что ср нам дано, и рассмотрим диаграмму
Так как ф является отображением над В, то точка (у>ц)(а,
(х, у)) — ф [а, х1 проектируется *) в точку рх (х) = р у (у)
базы В, т. е. квадрат коммутативен. Правый нижний четырех-
четырехугольник—это диаграмма из леммы 2.5, определяющая расслоен-
расслоенное произведение, поэтому существует единственное отображение
г\: Л х Л-> Л'х К, не нарушающее коммутативности диаграммы.
В силу коммутативности левого треугольника отображение г\
имеет вид т) (а, (х, у)) — (ц'(а, (х, у)), у) с некоторым г\': ЛхА->
-*-А. В силу «экспоненциального закона»2) отображение ф: А->
->Мар(^, А'), заданное формулой ц>(х, у) (а) = г\' (а, (х, у)),
непрерывно. Коммутативность верхнего треугольника дает нам
равенство q>[a, х] = [ц>(х, у) (а), у].
Вышеописанная диаграмма может рассматриваться также как
диаграмма, в вершинах которой находятся (S х Т)-пространства
с очевидными действиями, поэтому отображение т] эквивариантно,
и потому
(q>(sx, ty)(as-1), ty) = T}(as-\ (sx, ty)) = r\((s, t), (a, (x, //))) =
= tD(a, (x, г/))) = (ф(х, y){a)t-\ ty).
Полученное равенство равносильно эквивариантности отображе-
отображения ф, и потому завершает доказательство первой части теоремы.
Вторая часть следует из 2.6. Щ
!) Правой стрелкой.— Прим. перев.
2) Экспоненциальным законом называется равенство Мар(/1, Map (В, С)) =
= Мар(ЛхВ, С), где все пространства Map наделены компактно открытой
топологией. Название этого закона связано с тем, что Map (A", Y) часто обо-
обозначают через У , так что экспоненциальный закон есть равенство (гомеомор-
(гомеоморфизм) (Св)А=СВх А. Отметим, что этот закон имеет место, если пространство В
хаусдорфово и локально компактно, см. Рохлин и Фукс [1], с 53.—
Прим. перев.

8. СКРУЧЕННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ С КОМПАКТНОЙ ГРУППОЙ 87
Полезно отметить, что установленное соответствие между ср и
Ф носит «локальный» характер. Так как оба расслоения над
некоторым открытым UaB тривиалпзуклся, то (при выборе
для каждого расслоения карты над V) ср есгь просто отображе-
отображение ср: Лх{/->-A'xU, коммутирующее с проекциями на V.
Следовательно, (в силу экспоненциального закона) найдется
такое ср: (У^>-Мар(Л, Л), что ср(а, и) = (ф (и) (а), и) для всех
аеЛ, u e ?/, так что ср есть сечение расслоения-произведения
Map (Л, A')xU -+U. Читатель может проверить, что именно это
соответствие и дается теоремой 2.7 (если исключить из послед-
последней утверждения о ф). Заметим также, что гомотопии отображе-
отображений над В отвечает гомотопия сечений (это следует из 2.7).
Если подпространство W cr Map (А, А') инвариантно относи-
относительно (S х Г)-действия (т е. инвариантно относительно компо-
композиции S-действия на А с Г-действием на Л'), то отображению ср
над В, ограничения которого на слои лежат в W, соответствует
сечение подрасслоения WXsxt&~+ В В частности, пусть А и
Л' —два левых G-пространства с G-действием, коммутирующим
соответственно с 5- и Т-действиями. Тогда каждое из пространств
AxsX и А'ХтУ каноническим образом становится левым G-npo-
странством в силу 1.1. Пространство Шар0 (А, А') = Map (Л, А')
G-эквивариантных отображений является EхТ)-инвариантным
(так как S- и Т-действия G-эквивариантны). Кроме того, отобра-
отображение AXsX--*-А *ХТУ тогда и только тогда G-эквивариантно,
когда его ограничения на слои лежат в MapG (Л, Л') Отсюда
получается следующий результат.
2.8. Следствие. Если в условиях теоремы 2.7 А и А' явля-
являются такими левыми G-пространствами, что каждое из двух
{правых) S- и Т-действий коммутирует с соответствующим
G-действием, то теорема 2.7 устанавливает взаимно однозначное
соответствие между множеством G-эквивариантных отображе-
отображений ср: AxsX -+-A' ХтХ над В и множеством сечений ср ассоции-
ассоциированного расслоения Map0 (Л, A')xsxt&-*-B. gf
Отметим также, что 2.8 позволяет установить взаимно одно-
однозначное соответствие между множеством G-эквивариантных гомо-
топий отображений AxsX-*- А' ХтУ над В и множеством гомо-
топий сечений расслоения Марс (Л, A'
3. Скрученные произведения с компактной группой
В этом параграфе будем рассматривать компактную группу G
и изучать лишь скрученные произведения вида GxHA, где На
a G — замкнутая подгруппа и Л —левое Я-пространство. Частично
этот случай рассматривался в § 6 гл. I. Легко видеть, что левые
сдвиги превращают Gx^ в левое G-пространство, именно:
[' Dte'' 4

88
ГЛ. II. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ О-ПРОСТРАНСТВ
3.1. Предложение. Пусть К с И — замкнутые подгруппы
группы G. Для любого левого К-пространства В отображение
GxKB-+ GXn(HxKB), переводящее [g, b] в [g, [e, b]], является
G-эквивариантным гомеоморфизмом.
Доказательство. Описанное отображение является ком-
композицией
GxKB *"¦ (GxHH) ХКВ-**¦ GxH (HX «В)
гомеоморфизмов из предложений 2.2 и 2.3 соответственно. §
Напомним, что так как группа Н компактна, то отображе-
отображение ie: /4->-GX///4, ге(а) = [е, а], является Я-эквивариантным
вложением. (Оно является вложением также в случае, когда
G->-G/H — расслоение, так как тогда GxhA~ассоциированное
расслоение в силу 2.4. Поэтому ie является вложением и в слу-
случае, когда G есть группа Ли (не обязательно компактная), а Я —
ее замкнутая подгруппа. Возможно, впрочем, что ie всегда явля-
является вложением).
Заметим, что отображение GxhA-^G/H, заданное формулой
[g, a]\—*-gH, является G-эквивариантным; при этом прообраз
точки HIH есть ie(a) = {[e, а]|аеЛ}. Следующее предложение
обращает это утверждение.
3.2. Предложение. Пусть X—некоторое G-пространспюо,
a f: X -> G/H — эквивариантное отображение. Положим А =
= f~l(eH). Тогда А является Н-инвариантным подмножеством,
а отображение ф: GXnA~+ X, y[g, a] = g(a), — 9KeueapuaHmHbiM
гомеоморфизмом.
Доказательство. Очевидно, что ср определено корректно,
а его непрерывность следует из коммутативности диаграммы
Чтобы доказать, что образ отображения ф есть все X, выберем,
такой jeX, что f(x)—gH, и заметим, что f(g~1x) = eH, так что
g-ЧЕвА и х = §(^-1х) = ф[§, g-Щ.
Чтобы доказать, что <р взаимно однозначно, предположим,
что q>[g, a] = (f>[g', а']. Тогда ga = g'a', так что gH =»g(f(a))
f) f{'')'(f(')) h l'
] f[g ] g g g g(f())
f{g) f{g'a')=*g'(f(a'))=xg'H, т. е. элемент h = g-lg' лежит
в Я. Следовательно, ga — g'a' = gha', так что a —ha' и fg', a'] =
= [g7r\ ha'] = [g, а], что и требовалось.
Для завершения доказательства теперь достаточно проверить,
что отображение ф замкнуто. Но это следует из коммутативно-
коммутативности приведенной выше диаграммы с учетом того, что А замкнуто
в X и GxA-^-X замкнутое отображение в силу 1.1.2. |

4. ТРУВКИ И СРЕЗЫ 89
3.3. Предложение. Вложение ie\ A-+GxHA индуцирует
гомеоморфизм А/Н-»-(G х я-<4)/0 (который имеет вид Н(а)>—*-
*-+G[e, a]).
Доказательство. Напомним, что вложение ie: A-+GXhA
является Я-эквивариантным. Следовательно, образ любой Я-ор-
биты пространства А содержится в некоторой Я-орбите (и, сле-
следовательно, в некоторой G-орбите) пространства GxHA> так что
фигурирующее в теореме отображение определено корректно.
Кроме того, оно непрерывно в силу коммутативности диаграммы
A -v GxHA
1 I
A/H-+(GxHA)/G
Так как проекция GxA-y- А Я-эквивариантна, то она инду-
индуцирует отображение GxhA-*- А/Н. Это отображение имеет вид
[g> a]1—"На и потому включается в коммутативную диаграмму
GXHA\
I \
(GxHA)/G~>- А/Н
При этом отображение, заданное горизонтальной стрелкой,
является обратным к исходному отображению, а его непрерыв-
непрерывность следует из коммутативности последней диаграммы. Щ
Замечание. Пусть f: G* -> G — некоторый изоморфизм и
H = f(H*). Очевидно, что если А* ->А — гомеоморфизм, то любое
Я-действие на А индуцирует Я*-действие на Л*, причем про-
пространства G*Xh*A* и GXhA эквивалентны. Применяя это рас-
рассуждение к внутреннему автоморфизму, задаваемому некоторым
g^G, мы видим, что, имея Я-действие на А, можно построить
gHg^-действие на копии А* пространства А, причем имеет место
эквивалентность GXhA^GXkA* (где K = gHg~r) двух G-npo-
странств.
Поставим себе задачу найти стационарную подгруппу неко-
некоторой точки скрученного произведения GXhA. Очевидно, доста-
достаточно исследовать лишь точки вида [е, а]. Ясно, что тогда и
только тогда g <= G|,, ai, когда [е, a] = g[e, a] = [g, а]. А это
означает наличие такого ЛеЯ, что (/г1, h(a)) = (g, а). Отсюда
следует, что g<^Ha, и потому для пространства Gx^A имеем
C.4) Glt, в] = Я„.
4. Трубки и срезы
Пусть G — компактная группа, X — некоторое G-пространство,
и пусть Р а X — орбита типа G/H с некоторым Я. Трубкой
вокруг Р (или G-трубкой вокруг Р) мы называем G-эквивариант-

ГЛ. II. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ О-ПРОСТРАНСТВ
90
ное вложение ф: GxhA-^-H (где Л —некоторое Я-пространство)
на открытую окрестность множества Р в пространстве X.
Заметим, что в этой ситуации любая G-орбита в Gx#.A про-
проходит через точку вида [е, а] с некоторым а ~ А. Выберем ае А
так, чтобы ср[е, в]бР, и положим х = (р[е, а]; тогда P — G(x).
Из C.4) следует теперь, что Gx = G[e, а] — НааН. Но группы
Gx и Я сопряжены1), поэтому в силу 0.1.9 Gx — Ha = H. Следо-
Следовательно, любая такая точка а е А неподвижна относительно Я-дей-
ствия.
Так как ie: A->GxhA есть Я-вложение, то для случая, ког-
когда ф —трубка, композиция ц>че: Л-vX тоже является Я-вложе-
нием. Очевидно, в этом случае без ограничения общности можно
считать, что Ас: X. Это приводит нас к следующему определению.
4.1. Определение. Пусть X —некоторое G-пространство,
и пусть хеХ. Подмножество S пространства X, такое, что
xeS и GX(S) = S, называется срезом (G-пространства Х) в точ-
точке х, если отображение GXa_S-^-X вида [g, s]V-*g-(s) является
трубкой вокруг G(x).
4.2. Теорема. Пусть X — некоторое G-пространство, и пусть
д:е5сХ. Положим Н = Gx. Следующие условия эквивалентны:
(i) Вокруг G (х) существует такая трубка ф: G х.нА-*-Х,
что ф[е, a] = S.
(ii) S — срез в точке х.
(iii) G (S) — открытая окрестность множества G(x), допуска-
допускающая такую эквивариантную ретракцию f: G(S)-*-G (x), что
Доказательство. Из (i) следует (ii) просто в силу того,
что в (i) вместо А можно подставить 5. Чтобы вывести (iii) из
(ii), предположим, что 5 есть срез, и определим f: G(S)~^G(x)
как отображение, замыкающее до коммутативной диаграмму
G х hS •* G (S)
I ^ ./
G/H—^ 0(х)
(напомним, что H = GX). Тогда / (g (s)) = g (x) и f, очевидно,
обладает требуемыми свойствами. Наконец, если / такое, как
в (iii), то ф: GXfjS-+ X является трубкой в силу предложе-
предложения 3.2. §
Из импликации (ii)->-(iii) легко получается следующий факт.
4.3. Следствие. Если S — срез в точке х, то g(S)—cpe3
в точке g(x). Щ
Следующая теорема дает другую характеризацию срезов.
Так как орбитиый тип У есть О//У, см. IАЛ, —Прим. перее.

4. ТРУБКИ И СРЕЗЫ 91
4.4. Теорема. Пусть К—некоторое G - пространство, и
пусть х е S с. X. Предположим, что:
(i) S замкнуто в G (S);
(ii) G (S) — открытая окрестность множества G(x);
(Hi) GX(S) = S;
(iv) g(S)ftSфф=эg<=Gx.
Тогда S есть срез в точке х. Верно и обратное: любой срез удов-
удовлетворяет этим условиям.
Доказательство. В силу (i) н (iv) постоянное отображе-
отображение S-*¦ \х\ cz G {х) удовлетворяет условиям следствия 1.3.3 и
потому однозначно продолжается до эквивариантного отображения
/: G(S)-+G(x), заведомо являющегося ретракцией. Если х =
= /(gs) = g(/(s))=g(*). то g e= G*, и g.s е= S в силу (Ш). Следо-
Следовательно, f-1 (x) = 5, так что S есть срез. Для доказательства
обратного подберем какую-нибудь эквивариантную ретракцию
f: G (S)-^-G(x)% для которой /-1(л;) —S. Ясно, что тогда и только
тогда gseS, когда x = f(gs) = g(f(s)) = g(x), что в свою очередь
эквивалентно условию g^Gx. jj
Напомним, что каждое Я-эквивариантное отображение/: А—>
-> А' индуцирует G-эквивариантное оюбражение 10 XHf'- G Хя^->-
->G хн А'> которое открыто, если открыто отображение /, см. 2.1.
4.5. Теорема. Пусть К а Н с G — компактные группы, и
пусть X, А, В — соответственно G-, Н- и ^-пространства.
Пусть, далее, ср: G х н А-+¦ X — трубка вокруг G(x). Если для
некоторого а<=А отображение г|>: Н х к В ->А —трубка вокруг
Н (а), то композиция
0: G х* В - G хн (Я ХКВ) i^-tG х„А -*-Х
является трубкой вокруг бф \е> а\. (В этой композиции первое
отображение есть гомеоморфизм из 3.1.)
Доказательство. Очевидно, что отображение в является
вложением, и оно открыто в силу 2.1. Кроме того, G9[e, a\ =
= G[e, а], так как ф —эквивариантное вложение, a G[e, a] = Ha.
Но подгруппы На и К группы Я сопряжены (по определению
трубки вокруг Н (а)I), поэтому G<p[e uj имеет орбитный тип
G/K. §
4.6. Следствие. Если S—срез G-пространства Х в точке х,
a S' — срез Gx - пространства S в точке s e S, то S' — срез
G-пространства Х в точке s. Ц
Следующий факт мгновенно получается из 3.3.
"¦) Действительно, из того, что * есть К-трубка вокруг Н (а), следует, что
Н (а) имеет //-орбитный тип ЩК. Сопряженность подгрупп На и К следует
теперь из 1.4.4.—Прим. перев.

92 ГЛ II. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ О-ПРОСТРАНСТВ
4.7. Предложение. Если S — срез G-пространства Х в точ-
точке х, то естественное отображение S/Gx -v X/G является гомео-
гомеоморфизмом.
5. Существование трубок
В этом параграфе мы докажем существование трубок вокруг
каждой орбиты вполне регулярного G-пространства, где G —ком-
—компактная группа Ли. Для этого нам понадобятся некоторые све-
сведения из элементарной дифференциальной геометрии, которые мы,
однако, постарались свести к минимуму. Заметим, что в основном
в этой книге мы будем иметь дело с такими ситуациями (локаль-
(локально гладкими действиями), где гарантировано существование трубок
с рядом хороших свойств.
Первая часть необходимой нам информации содержится в сле-
следующей лемме.
5.1. Лемма. Пусть G — компактная группа Ли, ортогональ-
ортогонально действующая на R", и пусть у0 е R" - точка, стационарная
подгруппа которой есть Н. Пусть, далее, yeR"- нормальное
пространство к орбите G (v0) в точке v 0 (заметим, что V про-
проходит через начало координат ') и потому является подпростран-
подпространством в R"). Тогда существуют такая окрестность U точки
еН е G/H, такое локальное сечение a: U -*- G и такое число
е > 0, что отображение a (U) x Ve -*¦ Rn, являющееся ограничением
действия GxRn->R", есть гомеоморфизм на открытую окрест-
окрестность точки v0 в R" (здесь через Ve обозначена ^-окрестность
точки v0 в V).
Доказательство. Зададим в некоторой окрестности U
точки еН <= G/H такое дифференцируемое сечение а, что ст(еЯ) = е.
Так как отображение GxRK->R" дифференцируемо, из § 5 гл. О
следует, что G/H -*¦ G (v0) есть диффеоморфизм. Следовательно,
отображение действия a(U)x{v0} ->G {vQ)?^G/H, будучи обрат-
обратным к отображению сг, является диффеоморфизмом на U и, сле-
следовательно, его дифференциал в точке (е, v0) есть изоморфизм
на касательное пространство к орбите G (v0) cz R" в точке v0. Анало-
Аналогично дифференциал отображения {е\ х V -*¦ V cr R" в точке (е, v0)
является изоморфизмом на нормальное пространство V к орбите
G (у0) в точке v0. Отсюда следует, что дифференциал отображения
o(U)xV-+R" устанавливает изоморфизм касательного простран-
пространства в точке (е, B0)ea([/)xF с касательным пространством
в точке v0 e R". Из теоремы о неявной функции следует теперь,
что отображение a (U) X V -*¦ Rn определяет диффеоморфизм неко-
некоторой окрестности точки (е, v0) на окрестность точки v0. Щ
1) Это следует, очевидно, из ортогональности действия группы G на
— Прим. ред.

5. СУЩЕСТВОВАНИЕ ТРУБОК 93
5.2. Следствие. В условиях теоремы 5.1 отображение
' ~ -*¦$" вида \g, v]-*-gv индуцирует для достаточно малого е
гомеоморфизм пространства G x #VE х) на открытую окрестность
G(Ve) точки G(v0) в к*.
Доказательство. Пусть U czG/H такое же, как в 5.1;
рассмотрим компактное множество К — G — о (U)H. Тогда K(vo)cz
c|Rn — \v0) и К (v0) = P| К (С), где С пробегает все компактные
окрестности точки и0 в jR*. Так как все множества К (С) ком-
компактны, то, как известно, любая окрестность множества К (v0)
содержит некоторую окрестность вида К (С). Отсюда следует,
что для достаточно малых С имеем К(С)[\С = ф. В частности,
K(Ve)(]Vs= ф для достаточно малого е. Предположим теперь,
что для каких-то и и о' из Vs имеем g (о) = g' (vr). Тогда g~1g'(v') =
= v, так что g~lg' ф К. Следовательно, g~lg' е о (U)H, т. е.
g'==go(u)h для некоторых u^U, ЛеЯ. Поэтому go(u)h(vf) =
= g(v), так что о (и) (h(v')) = v. Далее, так как группа H — Gv
действует на V ортогонально, то Я (Ve) = Vs. Следовательно,
равенство о (и) (h (v')) = e (v) влечет в силу 5.1 равенства а(и)=е
и h(v') = v. Таким образом, имеем [g, v] = [go(u), h(v')] =
= [ga(u)h, v'\ = [g', с'], откуда следует, что для малых г иссле-
исследуемое отображение является взаимно однозначным соответствием.
Так как отображение G x Ve ->- G (Fe) непрерывно и замкнуто,
то таким же является и отображение Gx#Vs-^G(Ve). Наконец,
так как в силу 5.1 множество G(Ve) есть насыщение открытого
в Un множества o(U)(V?), то оно само открыто в R". §
5.3. Следствие. В условиях следствия 5.2 отображение
G (У8) ->¦ G (v0) вида g (v) i—*¦ g (v0) при малых г является корректно
определенной эквивариантной ретракцией. Щ
Докажем теперь основной результат этого параграфа.
5.4. Теорема. Если G — компактная группа Ли, а X — вполне
регулярное G-пространство, то вокруг любой орбиты пространства
X существует трубка.
Доказательство. Пусть Я — стационарная подгруппа
некоторой точки хо^.Х. В силу 0.5.2 существуют такое ортого-
ортогональное представление группы G на (R" и такая точка v0 e R",
что Gv =Н. Устроим отображение <р: G (х0) ^ G (v0) cz iR", считая
Ф (g (xo))= g (l'o)• В силу теоремы Титце — Глисона 1.2.3 и упраж-
упражнения 8 гл. I существует зквивариантное продолжение t|>: X-^-R"
отображения ф. Выбрав е таким, как в 5.3, положим W — ty1 (G (VE))-
Тогда множество G (W) = W открыто в X и композиция
W -^ G(V8)->G(y0) — G(x0) является, очевидно, эквивариантной
ретракцией 2). g
I) Здесь Vecz V~ шар радиуса е с центром в точке ио. — Прим. ред.
а) И потому в силу 4.4 вокруг G (*u) существует трубка. — Прим. перев.

94 ГЛ. IT. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ О-ПРОСТРАНСТВ
Замечания. Впервые для ражного частного случая свобод-
свободного действия существование трубок доказал Глисон [1].
В общем случае (при несколько более сильных, чем у нас,
ограничениях) соответствующий результат Пыл впервые получен
Монтгомери и Янгом[1], использовавшими теорему о селек-
селекции Майкла. Вскоре Мостов [1J дал доказательство, по суще-
существу не отличающееся от приведенного нами. Идея применения
эквивариантной ретракции принадлежит Пале [3, 4].
Из существования трубок вытекает следующий результат.
5.5. Следствие. Для любой орбиты Р во вполне регулярном
G-пространстве Х, где G — компактная группа Ли, найдется
такая ее окрестность, что для любой орбиты Q, лежащей в этой
окрестности, имеем type (QK= type (P). Более точно, для любой
окрестности U единицы е группы G и любой точки хеХ
найдется такая окрестность V точки х, что для любой точки
i/eV найдется элемент и е U, удовлетворяющий условию
lG G
urGjU
Доказательство. Если Р = G(х) и f: G(S)-*¦ G(x) — экви-
вариантная ретракция с S=f~1(x), то / переводит любую орбиту
G(y)czG(S) в орбиту G(x), так что type(G(#))Sstype(G(*)).
Если y = us<^US, то Gy^uGstr1, a Gscz G{(S) = GX, так что
G |
y |
5.6. Следствие. Пусть G — компактная группа Ли и Н —
ее замкнутая подгруппа. Тогда для любой окрестности U единицы
е группы G существует такая окрестность W a U единицы е,
что для любой подгруппы К группы G, удовлетворяющей соот-
соотношению К cz WH, найдется такой элемент u<=U, что
и-Щи cz H.
Доказательство. Пусть X — пространство всех замкну-
замкнутых подмножеств пространства G/H (с хаусдорфовой метрикой
d(A, B) = maxd(a, БL-гпах^(Л, Ь)), и пусть х — точка {еЩ
пространства X. Тогда (левое) G-действие на G/H индуцирует
G-действие на X, причем GX = H. Пусть нам дана окрестность U
единицы eeG, и пусть V — окрестность точки хеХ, удовлетво-
удовлетворяющая заключению следствия 5.5. Очевидно, можно найти столь
малое W cz U, что л юбое замкнутое подмножество простран-
пространства G/H, содержащееся в WH/H, является точкой множест-
множества V. Далее, если KczWH, то у = КН/Н — точка множества V»,
и, очевидно, К cr Gr Следовательно, найдется такой uet/,
что wxK])u(^u'1GyU<z:Gx = H. §
Замечание. Следствие 5.6 останется справедливым и без
требования компактности группы G, достаточно потребовать лишь
компактности группы Н. Доказательство этого более общего
результата, использующее некоторые сведения из римановой
геометрии, нашли Монтгомери и Циппин [4]. Приведен-
Приведенное доказательство для случая компактных групп принадлежит

S. СУЩЕСТВОВАНИЕ ТРУБОК 95
Мостову [1]. Аналогичное доказательство для некомпактных
групп получил позже Пале [1].
Пусть G —компактная группа Ли и KczHczG — ee замкну-
замкнутые подгруппы. Как было показано в § 5 гл. I, действие группы
N (К) на пространстве (G/H)K, вообще говоря, не транзитивно.
Тем не менее это действие в некотором смысле близко к транзи-
транзитивному, что показывает следующий результат.
5.7. Следствие. Пусть К а Н cz G — компактные группы
Ли, и пусть N (К) действует на G/H посредством левых сдвигов.
Тогда пространство (G/H)K/N (К) орбит этого действия конечно.
Доказательство. Предположим, что KgH = gH, так что
g^KgczH. В силу 5.6 имеется такая окрестность W единицы
йеО, что если для некоторой подгруппы L имеем L cz
czz(W [)H)(g-1Kg) = W (g-^OH, то найдется элемент йеЯ,
удовлетворяющий соотношению h~xLh cz g~xKg- В силу непрерыв-
непрерывности умножения и компактности группы g~xKg можно найти
такую окрестность V единицы е, что V~xg~xKgV с Wg^Kg.
Пусть g' = gveEgV, и пусть Kg'H — g'H, т. е. v~xg-xKgv cz H.
В силу сказанного выше найдется такой h ее Н, что h~xv~xg-xKgvh cz
czg~xKg, т. е. gvhgr1 <e: N (К). Следовательно, g'H = gvH cz
cz N {K)gH, т. е. g'H лежит в N (/С)-орбите элемента gH ее (G/H)k.
Но из того, что gVH/H есть окрестность точки gH в простран-
пространстве G/H, следует, что каждая N (/()-орбита в пространстве
(G/H)K открыта (и замкнута) *). В силу компактности простран-
пространства (G/H)K отсюда следует, что их конечное число. Ц
Важным следствием теоремы о существовании трубок явля-
является тот факт, что если все орбиты G-пространства имеют один
и тот же тип, то проекция на пространство орбит является рас-
расслаивающим отображением.
5.8. Теорема. Пусть G —компактная группа Ли, и пусть
X — вполне регулярное G-пространство, все орбиты в котором
имеют один и тот же тип G/H. Тогда орбитное отображение
X-+-X/G является расслоением со слоем G/H и структурной
группой N (Н)/Н (действующей на G/H посредством правых сдви-
сдвигов). Обратно, каждое такое расслоение может быть получено
описанным способом.
Доказательство. Обратное утверждение следует из 1.1.
Чтобы доказать первую часть, заметим, что любая трубка в X
имеет вид G х я А с некоторым А. Но G[ei „j = Hacz H, и из
сопряженности подгрупп G[,, а| и Н следует, что На = Н для
всех ае.А. Иными словами, на А должно быть тривиальное
Я-действие. В этом случае имеется эквивариантный гомеомор-
гомеоморфизм GXh Ae*si(G/H)xА и, отождествляя А с его гомеоморфным
х) Замкнутость каждоП орбиты следу 'т m того, ч-.о от явпотс-л допол-
дополнением к объединению всех остальных (открытых) орбит. —Прим. первв.

96 ГЛ. II. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ О-ПРОСТРАНСТВ
образом А/Н f^(GxH A)/G в пространстве орбит, получим разло-
разложение в прямое произведение
Если фл и фв — два таких разложения, то коммутативность
диаграммы
позволяет построить отображение 6: А |") В -*¦ Homeo0 @/H) (где
фв'фл(^Я, x) — (%(x)gH, х)), непрерывное в компактно открытой
топологии на группе автоэквивалентностей пространства G/H.
Осталось лишь заметить, что в силу 1.4.3 имеем Homeo0 (G/H) *=«
N(H)H 1
( 1
Бор ель [5] заметил, что G-пространство Х, все орбиты
которого имеют тип G/H, можно расслоить другим способом, но
с той же структурной группой N (#)/#. Это расслоение описы-
описывается следующей теоремой.
5.9. Теорема. Пусть G — компактная группа, X —такое
G-пространство, все орбиты в котором имеют один и тот же
тип G/H, и пусть N = N (Н) — нормализатор подгруппы Н
в группе G. Тогда отображение G Хд» Хн -> X (переводящее [g, x]
в g(x)) есть гомеоморфизм. Следовательно, если G —группа Ли
(так что отображение G-+-G/N есть расслоение), то тотальное
пространство расслоения над G/N со слоем Xм, ассоциированного
с главным расслоением G^-G/N, эквивалентно пространству X.
Доказательство. Отображение Gx^Хн->X сюръективно,
непрерывно и замкнуто (потому что отображение GxX-^-X
замкнуто, а Хн — замкнутое в X подмножество). Итак, достаточно
установить лишь его инъективность.
Допустим, что g(х) = g' (х'), где х и х' лежат в X" (и, следо-
следовательно Gx — H = GX'). Положим n = g~Lg', так что п(х') = х.
ТогдаН = Gx^Gn{X') — nGx>n~1 = nHn~1, т. е. nsN. Следовательно,
[g. x] = [gn, л-1*]-^', х'\ 1
5.10. Следствие. В условиях теоремы 5.9 включение Хн cz X
индуцирует гомеоморфизм XH/N ^ X/G.
Доказательство. Отображение XH/N-+GxNXH является
гомеоморфизмом в силу 3.3, a (Gx^ X^jG^X/G — в силу 5.9. |

6. ПОДЪЕМ ПУТЕЙ 97
, 6.11. Следствие. В условиях теоремы 5.9 положим К =¦ N/H.
Тогда отображение (G/H) х #ХЯ ->• X, определенное формулой
[gH, x]->-g(x), есть эквивалентность G-пространств.
Доказательство. Так как Я действует на Хн триви-
тривиально, то
G XNX л* ((G х X»)lH)l{NlH) «* ((G/JV) x X»)/(N/H). |
5.12. Следствие. Пусть выполнены условия следствия 5.11.
Для любого G-пространства Y имеется взаимно однозначное соот-
соответствие между G-эквивариантными отображениями X-+-Y и
К-эквивариантными отображениями Хн -*- Vя, и это соответствие
задается ограничением отображения X-+-Y на Xй.
Доказательство. Имея К-эквивариантное отображение
/: XH-*-YH, определим отображение /': Х-»-У как композицию
X^(G/H)XkXh -+(G/H)XkYh -*-Y (последнее отображение есть
y]>-*g(y))- Тогда для х е Хн имеем f (g(x)) = g(f(x)), так
Хя / |
/ / |
Заметим, что в описанной ситуации группа К = N (Н)/Н дей-
действует на Хн свободно, и соответствующее пространство орбит
XйIК в силу 5.10 гомеоморфно пространству X/G. Применяя
к этому действию теорему 5.8, получаем главное К-расслоение
лх: X"-+X/G (причем пх является ограничением на Хн орбит-
ного отображения X->X(G)). Комбинируя это рассуждение
с 5.12 и 2.6, получим следующий результат.
5.13. Теорема. Пусть G — компактная группа Ли и X —
вполне регулярное G-пространство, все орбиты в котором имеют
один и тот же тип G/H. Положим К = N (Н)/Н. Для любого
G-пространства Y имеется взаимно однозначное соответствие
между G-эквивариантными отображениями /: X -*• Y и сечениями
f YH-расслоения YH XKXH-*- X/G, ассоциированного с главным
К-расслоением пх: ХЯ->Х/С. Это соответствие описывается
равенством ~f(nx(x)) = [f(x), х], где х<=Хн. |
Читатель легко покажет, что 5.13 является также непосредст-
непосредственным следствием из 2.8.
6. Подъем путей
В этом параграфе мы используем конструкцию среза для
доказательства теоремы Монтгомери и Янга [1] о том,
что если X —некоторое G-пространство с компактной группой
Ли G, то любой путь в пространстве X/G допускает подъем
в пространство X. Начнем со случая, когда X/G есть дуга.
6.1. Лемма. Пусть G — компактная группа Ли, а X —неко-
—некоторое G-пространство. Если пространство орбит X/G гомео-
гомеоморфно отрезку 1 = [0, 1], то орбитное отображение л: X->X/G
обладает глобальным сечением.
4 Г. Бредои

98 ГЛ. II. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ С-ПРОСТРЛНСТВ
Доказательство. В силу 1.1.3 пространство X компактно,
поэтому оно вполне регулярно х), и, следовательно, допускает
срез в каждой точке.
Заметим, что нам достаточно доказать лишь то, что в окре-
окрестности каждой точки из X/G существует (локальное) сечение. Дей-
Действительно, если a,-: [i/n, (/+ 1)/п]->Х — локальные сечения для
i = 0, 1, ..., п — 1, а элементы g,- е G таковы, что g0 = е и gpi (i/n) =
= о,--! (i/n), I <; t <: n — 1, то отображение а: I ->• X, определенное
формулой o(t) = g0gl ••¦giOi(t) для i/n^t^(i-\-l)/n, является
глобальным сечением. Аналогично, если в окрестности любой
точки некоторого открытого множества / с I существует (локаль-
(локальное) сечение, то существует глобальное сечение над всем /.
Теперь, используя двойную индукцию —по размерности и по
числу компонент группы G — мы предположим, что утверждение лем-
леммы справедливо для действий всех собственных подгрупп группы
G. Рассмотрим множество F = Ха и его образ f*cl = X/G, являю-
являющийся замкнутым подмножеством. Действие группы G на X — F
не имеет неподвижных точек, и его пространство орбит есть I — F*.
Выберем точку y^X—F, и пусть S — срез в этой точке. Так
как ЬуфО, a S/Gy — содержащая точку у* = я (у) дуга вблизи у*
(поскольку S/Gy «a G (S)/G в силу 4.7), то индуктивное предполо-
предположение, примененное к Содействию на S, влечет существование
вблизи точки у локального сечения для орбитного отображения
S-+S/Gy и, следовательно, для орбитного отображения X —F->-
->¦ I — F*. Как показано выше, наличие (для каждой точки у е
eX-f) таких локальных сечений эквивалентно наличию гло-
глобального сечения орбитного отображения X — F—>-I — F*; обо-
обозначим2) его через С czX—F. Так как С замкнуто в X — F,
то C = C'\jF тоже замкнуто в X. Очевидно, что С пересекает
каждую орбиту ровно в одной точке и потому в силу 1.3.2 является
сечением. |
6.2. Теорема. Если X есть G-пространство с компактной
группой Ли G, то любой путь /: I -> X/G можно поднять в X,
т. е. существует такой путь /': 1->-Х, что Лх •/'=/.
Доказательство. Рассмотрим G-пространство /*Х, инду-
индуцированное из X отображением / (см. § б гл. I); напомним, что
(f*X)/G ^I. Коммутативность диаграммы
/* V h V
А —> Л
оЦ \Ях
I ^ X/G
где а: !->/* (X) —сечение орбитного отображения, влечет, что
f'=fl.a есть искомое поднятие отображения. |
!) По известной теореме о том, что компактное хаусдорфово пространство
нормально (и тем более вполне регулярно).—Прим. перев.
2) См. замечание после 1.3.2. —Прим. перев.

6. ПОДЪЕМ ПУТЕЙ 99
6.3. Следствие. Пусть X — линейно связное G-пространство
с компактной группой Ли G. Если в X имеется хотя бы одна
линейно связная орбита (например, группа G связная или Xй Ф ф),
то фундаментальная группа пространства X отображается на
фундаментальную группу пространства X/G эпиморфно. В част-
частности, в этом случае из односвязности пространства X следует
односвязность пространства X/G.
Доказательство. Выберем хеХ так, что орбита G(х)
линейно связна, и положим х* — л(х). Возьмем такую петлю
/: I->X/G, что f(Q) = f(\) = x*, и рассмотрим ее поднятие /: 1->~Х.
Компонируя в случае необходимости /' с подходящим элементом
из G, можно считать, что /' ф) = х. Пусть k: I ->- G (х) — путь из
f'(l) в х. Ясно, что композиция путей f-k (сначала /', а потом k)
есть петля с началом и концом в точке х, проектирующаяся
в петлю f'lx*, гомотопную петле f. §
6.4. Следствие. Пусть G — компактная группа Ли. Если
G-пространство Х линейно связно, микроодносвязно и вполне регу-
регулярно, то пространство X/G микроодносвязно.
Доказательство. Выберем точку хеХ, рассмотрим окре-
окрестность V* точки x*eX/G и положим V =яг1A/*). Пусть U —
такая окрестность точки х, что (/сУ и гомоморфизм л,?/-*-л,1/
тривиален. Пусть, далее, S —срез в точке х; можно считать, что
S a U. Точка х неподвижна относительно действия группы Gx
на S, так что ее можно рассматривать как связную G^-орбиту
в S; поэтому щ (S, x)-+ ^ (S (Gx, x*) = n1(G(S)/G, x*) — эпимор-
эпиморфизм. Из коммутативности диаграммы
n^S, х) -^(V, x)
n,(G(S)/G, x*)->ni(V*, x*)
следует теперь тривиальность нижнего отображения. Щ
6.5. Следствие. Пусть G — компактная группа Ли. Для
любого линейно связного G-пространства X гомоморфизм Н1 (X; (Ej)-*-
->¦ Н1 (X/G; (Q) эпиморфен (рассматриваются сингулярные гомоло-
гомологии с рациональными коэффициентами).
Доказательство. Из формулы универсальных коэффициен-
коэффициентов следует изоморфизм Н1(Х; (Е|)«^Я1(Х; Z)®CQ- Возьмем ае
?еЯ1(Х/6; Z)- По теореме Гуревича а представим петлей f: I->
->X/G. Накроем эту петлю путем f: 1-+X. Если /'@) и /'A)
не лежат в одной и той же компоненте связности их общей орбиты,
то подберем такой g^G, что /' (l) = g/' @). Предположим, что gn
лежит в той же компоненте единицы группы G1). Тогда точки
!) Такое п для данного geG всегда существует, так как в силу компакт-
компактности группы G группа G,'Ga является конечной, где Go — компонента еди-
единицы группы G. — Прим. ред.
4*

100 ГЛ. II. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ G ПРОСТРАНСТВ
g"-1!' A) =gnf'(O) и /'@) лежат в одной и тоЛ же компоненте
орбиты G (/' @)), и потому в этой opf ите имеется путь k H3g"-lf A)
в f @). Тогда композиция путей f -gf "g2f •... 'gn~lf • k есть петля,
проектирующая в петлю /»/•...•/• 1, гомотопную петле /". Сле-
Следовательно, элемент па е Й, (X/G, Z) есть образ некоторого эле-
элемента группы Я, (X), так что элемент a<g)q = (na)ig)(q/n) лежит
в образе гомоморфизма Я, (X; Ж)®(Е)->-Я1(Х/О; Z)®&J, и потому
этот гомоморфизм зпиморфен. Щ
7, Теорема о накрывающей гомотопии
Этот параграф посвящен доказательству теорем типа теоремы
о накрывающей гомотопии для орбитного отображения X^-X/G,
полученной Пале [3]. Здесь мы будем пользоваться обозначе-
обозначениями и терминологией из упражнения 5 гл. 1; при этом вместо-
«G-орбитная структура» мы будем писать просто «орбитная струк-
структура», если из контекста ясно, о какой группе G идет речь. Сна-
Сначала докажем одну теорему о G-пространствах, орбитная струк-
структура которых разлагается в прямое произведение некоторой
орбитной структуры на единичный интервал I.
7.1. Теорема. Пусть Y — вполне паракомпактное топологи-
топологическое пространство1), и пусть G —компактная группа Ли. Пусть,
далее, на некотором пространстве W задано такое G-действие,
пространство орбит которого есть Fxl, т. е. W/G = Yxl, при-
причем орбитная структура на последнем разлагается в композицию
YхI-*¦ Y — <?о, где Yxl-*-Y — проекция (т. е. каждое множе-
множество вида {у} х I состоит из одних и тех же орбитных типов).
Пусть, наконец, л: W ->Ух1— проекция на пространство орбит.
Тогда существует такое G-пространство Х, что, во-первых, имеется
гомеоморфизм X/G «=» Y, во-вторых, орбитная структура на X
имеет вид X/G «=; Y -^~ <^о и, в-третьих, имеется эквивалентность
G-пространств ф: W — X х I {где G действует на I тривиально),
включаемая в коммутативную диаграмму
W
\
/
Ух I
Более того, в качестве X можно взять просто п~1(Ух{0}); при
этом отображение ф|п(Кх{0}): X-+-X является включением
*.— (*, 0).
*) То есть каждое открытое подпространство пространства У параком-
пактно, — Прим. перев.

7. ТЕОРЕМА О НАКРЫВАЮЩЕЙ ГОМОТОПИИ 101
Доказательство. Сначала отметим, что последняя часть
заключения теоремы следует из всего остального, так как ф уста-
устанавливает эквивалентность между л (Y х {0}) и X х {0}. Мы будем
отождествлять У с Ух{0} и X = n~1(Y) с Хх{0}.
Проведем доказательство посредством двойной индукции: по
размерности группы G и по числу ее компонент. Предположим,
таким образом, что требуемое утверждение справедливо для дей-
действий всех собственных подгрупп группы G. Обозначим через F
гомеоморфный образ множества Xе в пространстве Y, так что
We = n-1(Fxl).
Доказательство состоит из четырех частей, в которых будет
сделано следующее.
В части А мы из индуктивного предположения выведем спра-
справедливость теоремы для вышеописанного действия на малой окре-
окрестности точки (у, t), имеющей вид произведения окрестностей
точек у и /, где у е Y — F.
В части В мы докажем справедливость теоремы для действия
на UуЛ, где U — малая окрестность точки j/eK-f,
В части С докажем справедливость теоремы для действия на
(Y-F)xl.
В части D мы закончим доказательство.
A. Выберем y^Y — F и t^\. Пусть tw<= W— точка, проек-
проектирующаяся в точку (у, t)^Yxl, и пусть S —некоторый срез
в точке w. В силу 4.7, мы можем отождествить S/Gw с G (S)/G cz
czFxI, причем срез S можно выбрать так, что S/Gw = Ux[a, b],
где 11 — окрестность точки у в пространстве Y, а [а, Ь]— содер-
содержащий точку t отрезок из I. Так как Gw=fcG, то индуктивное
предположение влечет существование такого О„,-пространства Т,
что T/Gw — U и имеется б^-эквивалентность S^=iTx[a, b], при
которой проекции S ->¦ S/Gw отвечает очевидное отображение Т х
х[а, b]-+-Ux[a, b]. Следовательно, имеются G-эквивалентности
G(S)^GXowSwGxOw(Tx[a, b])^(GxawT)x[a, b], очевидно,
коммутирующие с проекциями на Uх[а, Ь].
B. Пусть i/eF-F. Обычным образом, используя компакт-
компактность отрезка I (и результаты части А —прим. перев.), покроем
множество {у}XI множествами вида Ux[i/n, (i+l)/n], 0<t=s?
s?.n— 1, где U — такая окрестность точки i/еУ, что имеют
место G-эквивалентности яг1 (?/х[t/л, (г + 1 )/«])->^(f/xfi/n})x
X[i/n, (г + 1)/п]. Следовательно, для любого i G-пространства
п-1 (Uх{i/n}) и п-1 (Ux{{i-\- l)/n}) эквивалентны, так что выше-
вышеописанные эквивалентности можно заменить эквивалентностями
вида фг: n^(Ux[i/n, (i+ l)/n] ^n-1 (U)x[i/n, (i-\-l)/n] (отожде-
(отождествляя U с Ux{0}). Ясно, что отображение 90<pi' переводит мно-
множество n-^t/jxjl/n} в себя. Взяв прямое произведение этого
отображения и тождественного отображения \[\щ, <цп\ отрезка
[1/п, 2/п], получим отображение t^: л"' F')xll/n, 2ln\-*-jvl (U)x

102 ГЛ. II. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ G-ПРОСТРАНСТВ
х[1/«, 2/«]. Заменим ф1 отображением ф^^'Ф^ ясно, что ф„
и ф! совпадают на их общей области определения. Продолжая
этот процесс, изменим отображения ф; таким образом, чтобы
любые два из них совпадали на их общей области определе-
определения и, следовательно, все вместе давали эквивалентность фу:
л (U х !)->я (U)xI- Очевидно, можно считать, что <ри (х) =
= (лг,О) для 1бя-'((/х{0)).
С. Так как по условию Y — F паракомпактно, то сто можно
покрыть локально конечным семейством {Va\a ^ А] таких откры-
открытых множеств, для каждого из которых имеется эквивалентность
Фу : я (Va х 1) -у я (VrX) х I, нормализованная условием фу (х) =
= (х, 0) для х е я-1 (Vax{0|) и как всегда коммутирующая
с проекцией на пространство орбит Vaxl. Вполне упорядочив
множество А, положим Ua= (J Vg. Построим индуктивно такие
р <а
эквивалентности фу , чтобы при Р<а на множестве (Ур —
— у Vy имело место равенство фив = Фиа- Предположим,
3<у
что Фс/. построены для всех Р < а. Если а — предельный ординал,
то Uа = (J Up. Для у е Ua найдется такая его окрестность N
в У, которая пересекается лишь с конечным числом множеств Vy,
где 7<С а. Если Р и Р' таковы, что оба они больше всех этих
элементов у, то, по нашему предположению, ц>ц и ц>ц совпа-
совпадают на л~](.?х1). Поскольку Ua— \\ (Ур, то мы можем поло-
Р <а
жить фу = lirn фу и получить эквивалентность над Uaxl.
а э-*^ р
Предположим теперь, что для а имеется предшествующий эле-
элемент а'. Положим Ua' = U и Va' = Vy так что Ua = U[}V. Оче-
Очевидно, что достаточно построить фууу, совпадающее с фу на
(U-V)xl. Положим г|> = фу.фу!: я-1 (U f] V)xl -- я-1 (t/fl V)x I
и определим г^р- л-1 (U (] V)x F-^-я^1 (U П V) формулой я|з(л:, t) =
— (г|), (х, t), t). Заметим, что г)), (х, 0) = х.
Так как, по предположению, пространство U\JV нормально,
то существует такое отображение /: U\jV-*-l, что /=1 в неко-
некоторой окрестности множества U — V и / = 0 в некоторой окрест-
окрестности множества V — U.
Положим г|з' (х, t) = Dli(x' f(nxH, 0 и заметим, что ф':
л (U f] V) xl -*¦ я (U П V)X I эквивариантно, непрерывно и нак-
накрывает тождественное отображение пространства @ П V)xl. Следо-
Следовательно, г|з' является эквивалентностью в силу результатов
упражнения 11 гл. I (на самом деле обратное к 1|з' отображение
получается из ijr1 так же, как ty' из ¦$).

7. ТЕОРЕМА О НАКРЫВАЮЩЕЙ ГОМОТОПИИ ЮЗ
Рассмотрим теперь отображение ip'°<pv: л^1 ((U (] V)xI)->,
-t-n-ifl(}V)xl. На той окрестности множества U — V, где/= 1,
имеем \|/ • q>v = ty> tpv = фУ. Аналогично на той окрестности мно-
множества У —(У, где/ = 0, имеем г))'-фк= 1 •фк = ф1/-Следовательно,
мы можем определить отображение
Фи(л;), если п(х) <= ((/ — V)xl,
<Pt/UV (*) =
если л (х) е ((/ П V) х I,
если л (х) е (У — ?/) х I.
Теперь, проходя ординалы в порядке возрастания, мы полу-
получаем G-эквивалентность <$y-f- л~х ((У — F)xl) -^ п-1 (Y — F)xl,
коммутирующую с проекциями на (У —F)xl.
D. Так как л (F х I) в точности есть множество неподвижных
точек G-действия на W, то проекция л гомеоморфно отображает
его на Fxl. Аналогично n~1(F)^/\
Следовательно, фр можно определить, потребовав коммутатив-
коммутативность диаграммы
„-i(F xi)
FX.I
Положим Фк = фк-/гиф/;- Тот факт, что это отображение взаимно
непрерывно и, следовательно, является эквивалентностью, выте-
вытекает из изложенной ниже леммы, которая, таким образом, пол-
полностью завершает доказательство теоремы 7.1. |
7.2. Лемма. Пусть G —компактная группа, а X и У — два
G-пространства. Пусть, далее, эквивариантное отображение ф: X—
— Xе-*- Y и отображение г|х X/G-»- Y/G, для которого ^(XG/G)cz
с YGjG, таковы, что диаграмма
Кг |у
X/G -*. Y/G
коммутативна. Продолжим ф на все X, полагая ц> (х) = лу1 г|злх (х)
для х е X. Тогда построенное так отображение X ->¦ У непрерывно.
Доказательство. Пусть хеХй; положим y = q(x)^YG.
В силу 1.3.1 базис фильтра окрестностей точки у имеет вид пу (N),
где N пробегает все окрестности точки nY(y). Но ф-1(лу (N)) =
= nxty'1 (N) является окрестностью точки х, как это следует из
непрерывности отображения o|), так что ф непрерывно в точке х. Q
Пусть X и У —два G-пространства. Напомним, что отображе-
отображение XlG-^-YlG называется «сохраняющим орбитную структуру»,
если оно коммутирует с отображениями %x/G- X/G-^-Wq и

104 ГЛ. II. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ О-ПРОСТРАНСТВ
-Wg, классифицирующими орбитные структуры (см. упраж-
упражнение 5 гл. I). Эквивариантной гомотопиеи называется эквивариант-
ное отображение Xxl-v У, где XxF несет G-действие (g, (x, t))>—*¦
<—* (gx, t). Заметим, что (X х I)/G *=« (X/G) х I, так что если диаграмма
(X/G)xI-»y/G
JProJ ,xr/G
Л/О to q
коммутативна, то гомотопия (X/G)xI-vF/G сохраняет G-орбитную
структуру. Следующая теорема о накрывающей гомотопии была
доказана Пале [3].
7.3. Теорема. Пусть G — компактная группа Ли и X, Y —
два G-пространства, и пусть пространство X/G вполне параком-
пактно. Пусть, далее, /: X -*¦ Y — эквивариантное отображение и
/': X/G-^-Y/G —индуцированное им отображение. Пусть, наконец,
F': (X/G) х I -*¦ Y/G — такая сохраняющая орбитную структуру
гомотопия, что F'(x*, 0) = f (в частности, f сохраняет орбит-
орбитную структуру). Тогда существует эквивариантная гомотопия
F: X х I ->¦ У, накрывающая гомотопшо F', и такая, что F (х, 0)=/.
Более того, если имеется два таких поднятия гомотопии F', то
одно из них является композицией другого с автоэквивалентностью
пространства Xxl, накрывающей тождественное отображение
пространства (X/G)xl и тождественной на Хх{0}.
Доказательство. Рассмотрим G-пространство f'*Y, инду-
индуцированное из У отображением /'. В силу универсальности инду-
индуцированного пространства, существует единственное эквивариант-
эквивариантное отображение ср: Х->/'*У, для которого диаграмма
коммутативна. (Более точно, /'*у={(**, j/)e(X/G)X У \f'(x*) = y*}>
где у*— орбита точки у и ср задается формулой cp(x) = (x*, f(x)).)
В силу упражнения 5 гл. I, ср сохраняет орбитную структуру;
кроме того, оно накрывает гомеоморфизм X/G-*-(f'*Y)/G. Следо-
Следовательно, ф —непрерывное взаимно однозначное соответствие. Из
упражнения 10 гл. I следует, что ср — открытое отображение, и
потому оно является эквивалентностью. Таким образом, диаграмма
X-i У
1 г *
X/G -L Y/G
определяет расслоенное произведение.

8. КОНИЧЕСКИЕ ОРБИТНЫЕ СТРУКТУРЫ 105
Рассмотрим индуцированное G-пространство W = F'*Y. Ясно,
что W/Gp^(X/G)'x.I и прообраз1) в W множества (X/G)x{0} есть
индуцированное G-пространство f*Yf^X. В силу 7.1 получаем
Wf^Xxl, так что имеется коммутативная диаграмма
Xxl - У
X/G х I -- Y/G
где F (x, O)=f(x) по построению.
Любое другое поднятие F,: Хх1~>У отображения F' пропу-
пропускается через индуцированное G-пространство F'*Y ^ Хх\, по-
поэтому Fl есть композиция Хх\ -*• Xxl — У. Так как г|) накрывает
тождественное отображение пространства (X/G)xl, то оно является
эквивалентностью, см. упражнение 11 гл. I. Щ
7.4. Теорема. Пусть G — компактная группа Ли и X —неко-
—некоторое G-пространство. Пусть, далее, В — вполне паракомпактное
пространство с заданной G-орбитной структурой В-^-7/а- Если
/о " /i — два отображения из В в X/G, между котор>лми имеется
сохраняющая орбитную структуру гомотопия, те индуцированные
G-проапранства f$X и f*X эквивалентны, причем эта эквивалент-
эквивалентность коммутирует с проекциями на пространство орбит В каж-
каждого из этих расслоений.
Доказательство немедленно вытекает из теоремы 7.1, приме-
примененной к индуцированному G-пространству F*X, где F: Вх1->
-vX/G —данная гомотопия. (Это легко следует также из
7.3.) 1
Гипотеза. Пусть G —компактная группа Ли и W — компакт-
компактное G-пространство. Предположим, что W/G устроено так же, как
цилиндр некоторого отображения, причем на каждой образующей
этого цилиндра все точки, исключая, быть может, точку нижнего
основания, имеют один и тот же орбитный тип. Наша гипотеза
состоит в том, что W эквивалентно цилиндру некоторого эквива-
риантного отображения, возникающего из структуры цилиндра
отображения на W.
8. Конические орбитные структуры
Теперь мы применим теорему о накрывающей гомотопии к ис-
исследованию G-пространств, орбитные структуры на которых яв-
являются коническими. Пусть R+ — множество неотрицательных
вещественных чисел. Определим открытый конус С°В над прост-
пространством В как факторпространство C°J3 = ExR+)/(Bx{0}); его
1) При проекции на пространство орбит. —Прим. перев.

Юб ГЛ. II. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ О-ПРОСТРЛНСТВ
вершину (точку, соответствующую множеству Вх{0}) мы будем
обозначать через bo.
8.1. Определение. Пусть xY: У-*-%?а и тв: fi->??0 — две
G-орбитные структуры, и пусть ^еУ. Пара (У, ту) называется
конической G-орбитной структурой с базой (В, тв) и вершиной г/0,
если имеется такой гомеоморфизм h: C°B-^*Y, где h(bo)=yo, что
диаграмма
1
5ХВ со
- 5q
коммутативна.
Разумеется, это означает, что пространство У наделено струк-
структурой конуса, причем на каждом его луче все точки (кроме вер-
вершины) имеют один и тот же орбитный тип. Так как ту —клас-
—классифицирующее отображение орбитной структуры, то из его непре-
непрерывности следует, что орбитный тип точки у0 не превосходит
орбитного типа любой другой точки пространства У.
Очевидный пример конической орбитной структуры доставляет
нам любое ортогональное действие на евклидовом пространстве.
8.2. Теорема. Пусть (У, ту) и (W, tK') — dee конические
орбитные структуры соответственно с вершинами у0 и ш0 и
базами В и D. Пусть f: W -> У — сохраняющий орбитную струк-
структуру гомеоморфизм на открытую окрестность U точки у0, пере-
переводящий w0 в г/о- Тогда существует сохраняющий орбитную струк-
структуру гомеоморфизм пространства W на У, совпадающий с f на
некоторой окрестности точки w0.
Доказательство. Мы можем считать, что Y = C°B и
W = C°D. Образ множества Bx[0, t] в С°В мы будем обозначать
через Вх[*, t]\ кроме того, множество Вх@, ос) мы отождествим
с подпространством С°В — \Ь0} с С°В.
Предположим сначала, что выполнены следующие пять условий:
@ Вх[*, 8]czim/;
(И) f(Dx[; 2])cBx[*. 8);
(ш) 5Х[*. 5]c/(Dx[*, 2));
(iv) f(Dx[*, 1])сВх[*, 2);
(v) fix[•, l]c/(Dx[*. 1))
(см. рис. II. 1). Так как f есть гомеоморфизм на открытое мно-
множество, содержащее Вх[#, 8], то /(Dx{l})cBx(l, 2) и f(Dx{2})cz
сВхE,8) (по той причине, что, например, f(Dx{l}) в точности
состоит из граничных в С°В точек множества f(Dx[*, 1]).
Обозначим через sA образ множества А а С°В при отобра-
отображении (Ь, О1—+ф, st). Рассмотрим рис. II.2. Положим Р =

8. КОНИЧЕСКИЕ ОРБИТНЫЕ СТРУКТУРЫ
=/(Dx[*. 2])-2/(Dx[*, 1J) и Q = 2/(Dx[*, l])-
Определим ф: R+->K+ формулами
t/2
107
1]).
ДЛЯ
10 для 4:
'. для 5 •
t.
(b, ф (t)) индуцирует гомеоморфизм
fl,2])^Dx[l, 2].
Тогда отображение (b, t) <
Далее, так как / есть гомеоморфизм, то Р Л Q обладает в Q ок-
окрестностью-произведением вида D х I (поскольку все эти гомеомор-
гомеоморфизмы сохраняют «концы» и орбитные структуры). Следовательно,
Рис. II. 1.
l)^Q\jP^Dx[\,2\. Но C°B = f(Dx[*, 1 ])UQU 2QU
U(Ox[*, l])U(Dx[l,2])U(Dx[2,4])U(Dx[4,8J)U...=
= C°D. Так как этот гомеоморфизм по построению сохраняет
орбитную структуру и является продолжением отображения
/(Dxf*, 1]), то все доказано.
Теперь мы должны показать, что введение условий (i) — (v)
не ограничивает общности. С этой целью введем новую парамет-
параметризацию конических структур на Y и №.
Рассмотрим заданную на В функцию a8(fr) = sup {/| {fr}x[*, t]cz
dim/} со значениями в расширенной вещественной прямой. Так
как функция а8 полунепрерывна снизу, то существует такая
непрерывная функция а8: fi-vR, что 0 <а8 (Ь) < а8 (Ь) для всех
йеВ (см. Дугунджи [1], с. 170). Положим Ba> — {(b, t)cz
czC°B' t^aa(b)} и Вгх, = int Ва,- Тогда Ва, czimf. Используя
обратный к / гомеоморфизм, можно точно так же построить непрс-

108
ГЛ. П. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Й-ПРОСТРАНСТВ
рывную функцию р*2: D->iR, где р (d) sgsup {/ |/(dx[*, t]) cz Ba,},
и определить множества Dp,= \(d, t) e CD ,/<p2(d)} и Dp2 =
= intDg,. Тогда мы получим, что f{D^) a Baa. Аналогично можно
найти такие функции 0<а1<а2<а4<а8 и 0<Pi<P-2> что
b&X f(D^)czBa: и Ба, с / (DPl). Очевидно, что, устроив
\
Рис. II. 2.
такую новую параметризацию конусов У и f, в которой аг и р\
будут «поверхностями уровня» и, конечно, в которой Ва. = Вх
х[*, г] и Dp; = Dx[*, г], мы удовлетворим условиям (i) — (v). Щ
Заметим, что если Л —замкнутое инвариантное подмножество
G-пространства Х, то факторпространство Х/А является G-прост-
ранством с неподвижной точкой {Л}.
Сформулируем основной результат этого параграфа.
8.3. Теорема. Пусть X есть G-пространство с компактной
группой Ли G, и А — его замкнутое инвариантное подмножество.
Пусть, далее, орбитная структура на (X/A)/G является кониче-
конической с вершиной {А}* и паракомпактной базой. Пусть, наконец,
U аХ — такая инвариантная открытая окрестность множества А,
что орбитная структура на (U/A)/G является конической с вер-
вершиной {Л}* и вполне паракомпактной базой (причем эта кониче-
коническая структура, вообще говоря, никак не связана со структурой
конуса на (X/A)/G). Тогда U и X являются эквивалентными G-npo-
странствами, причем эта эквивалентность может быть выбрана
тождественной на некоторой окрестности множества А.

8. КОНИЧЕСКИЕ ОРБИТНЫЕ СТРУКТУРЫ 109
Доказательство. В силу 8.2 имеется сохраняющий орбит-
ную структуру гомеоморфизм /: (U/A)/G ^ (X/A)/G, тождествен-
тождественный на некоторой окрестности точки {А}*. По этой причине f
индуцирует гомеоморфизм F: U/G -- X/G, сохраняющий орбитную
структуру и тождественный на некоторой окрестности множества А.
Более того, из доказательства теоремы 8.2 следует существование
такого е>-0, что F является тождественным отображением при
/<е, где ? —параметр, возникающий из конической структуры
на (U/A)/G. Пусть F[0, <j — ограничение отображения F на множе-
множество тех точек из U/G, конический параметр которых лежит
в [0, /]. Тогда отображение F[o. е] накрывается отображением F'[0<Ei,
тождественным на соответствующей части пространства U а X.
По теореме 7.3 о накрывающей гомотопии мы можем, очевидно,
продолжить Ffo.ei до отображения F{0,28]> накрывающего отобра-
отображение F[o, 2e]- Продолжая этот процесс, мы в конце концов полу-
получим отображение F', накрывающее отображение F. Так как F есть
гомеоморфизм, сохраняющий орбитную структуру, то F'— экви-
эквивалентность (открытость отображения F' следует из упражне-
упражнения 10 гл. I). |
8.4. Следствие. Пусть М — многообразие, являющееся G-npo-
странством с компактной группой Ли G. Пусть, далее, х0 — непод-
неподвижная точка этого действия, а орбитная структура на M/G
является конической с вершиной xt. Если в окрестности точки х0
имеется такая система локальных координат, в которой G дей-
действует линейно, то G-пространство М эквивалентно евклидову
пространству с этим линейным G-действием. Щ
Некоторым обобщением этого следствия является следующий
результат.
8.5. Следствие. Пусть М есть G-многообразие с компакт-
компактной группой Ли G. Предположим, что орбитная структура на
M/G является конической с вершиной х§ и что в точке х0 имеется
срез V, эквивалентный евклидову пространству с линейным G^-дей-
G^-действием. Тогда М эквивалентно (как G-пространство) простран-
пространству GxQxV. |
Замечание. Позже мы увидим, что предположения о линей-
линейности действия в некоторой координатной системе (как в 8.4)
или на некотором срезе (как в 8.5) эквивалентны предположению
о том, что G-действие дифференцируемо в некоторой окрестности
точки х0 (в некоторой гладкости на этой окрестности).
Замечание. Теорему 8.2 по существу обнаружили Куан
и Реймонд [1] и Куан [2]. Очевидно, в ее формулировку
(и доказательство) можно ввести различные специальные структуры,
постоянные вдоль лучей. Отметим, например, импликацию тео-
теоремы 8.3 для G-пространств, являющихся цилиндрами (с «нижним
основанием» А) эквивариантных отображений.

ПО ГЛ. II. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ С-ПРОСТРЛНСТВ
9. Классификация О-пространств
В этом параграфе мы изложим данную Пале [3] конструкцию
«классифицирующего пространства» для С-действий, где G — ком-
компактная группа Ли. Так как результаты этого параграфа, равно
как и следующего, не будут использованы в остальной части
книги, то его можно не читать. Нам, однако, кажется, что этот
материал заслуживает большего внимания, чем ему обычно уде-
уделяется, и что читателю будет полезно усвоить его. В этом пара-
параграфе мы считаем G компактной группой Ли. Под «размерностью»
пространства здесь понимается его «размерность по покрытиям».
Для начала изложим некоторые предварительные сведения.
Следующие две леммы хорошо известны, но мы затрудняемся дать
точную ссылку и потому наметим доказательства.
9.1. Лемма. Пусть X — паракомпактное пространство, раз-
размерность которого не превосходит п, и пусть \L\ — некоторый
(п— \)-связный полиэдр. Тогда любое отображение замкнутого под-
подпространства Acz X в полиэдр ' L \ продолжается до отображения
всего пространства X.
Доказательство. Пусть ср: А->|L\ — данное отображение;
рассмотрим открытое покрытие {ф-1 (St о)} множества А, где v
пробегает все вершины из L. Так как dimX^n, то можно найти
покрытие # = {?/} пространства X, вписанное в {qr^Stu)} (т. е.
для любого U ен 1С найдется вершина Vu со свойством ср (О (~| А) с
a St %) и такое, что размерность нерва К (U) этого покрытия
не превосходит п. Пусть \fu\- подчиненное этому покрытию раз-
разбиение единицы и g: X -»-1 К {21) | — соответствующее отображение J),
т. е. g{x) = 2 fu (x) V¦ Пусть К (U \А) — соответствующее подмно-
подмножеству А симплициальное подпространство нерва К(#); по опреде-
определению оно порождено такими симплексами (Uo, ... , Ur), что Uo |~| ...
...[\иг(]Аф0. Отметим, что <p {U0[\ ... [\Urf] A) a St vUo[)---
... [)StV[jr; при этом непустота большего множества экви-
эквивалентна тому, что Vu0, • ¦ • , Уцг — вершины некоторого симплекса
из L. Для у е К (U \ A), y = ^ avll, положим ф {у) = ^аиуи е L.
Тогда для ф: \K{2?\A)\-*-L имеем f(gr(a)) = 2/с/ (a)vu- Если
fu (я) ф 0, то а е U П А, т. е. ф (а) ее St vL/. Отсюда следует, что
vu e supp ф(о), где через suppz обозначен наименьший симплекс,
содержащий точку z. Поэтому ф(?(а)) *= supp(p(a), и потому
«отрезок», соединяющий <p{g{a)) с ц>(а), лежит в L. Таким обра-
п
1) Более подробно, если ке П Ua., то g(x) есть точка нерва К (#)>
( = о
лежащая в симплексе с вершинами Ua , ... , Uan и имеющая в этом симплексе
барицентрические координаты /,, (х), ... , /,, (а:). — Прим. перев.

9. КЛАССИФИКАЦИЯ «-ПРОСТРАНСТВ Ш
зом, между fpg и ф имеется гомотопия вида (a, f)-*¦ 1ц> (а)-^
-j- A — 0 (ф (g{a))). Из стандартных соображений теории препят-
препятствий следует, что отображение ф подполиэдра ' К (U I А) | поли-
полиэдра ! К (U) \ в (и — 1)-связный полиэдр \L\ продолжается до отоб-
отображения \K(U)-~*-\L\. Поэтому ф-g: Л-vJLj продолжается
до отображения X —»-1L j. Но так как \L\ есть абсолютный окрест-
ностный ретракт, а X— бинормальное пространство1) (так как X
паракомпактно), то отображение ф: A-*-\L\, гомотопное отобра-
отображению ф°д, тоже продолжается на всё X (см. Спеньер [1],
с. 78). 1
9.2. Лемма. Пусть В — паракомпш.тное пространство, раз-
размерность которого не превосходит п, и пусть |: Е -*~ В — расслое-
расслоение, слоем которого является компактный (п— \)-связный полиэдр.
Тогда любое сечение о расслоения \ над замкнутым подпростран-
подпространством А а В можно продолжить на всё В.
Доказательство. Покроем В локально конечным набором
{Са} замкнутых множеств, над каждым из которых g тривиально.
Вполне упорядочив множество индексов, положим Аа = A \J (J Ср;
при этом Аа замкнуто в силу локальной конечности покрытия.
Продолжим о на Аа индуктивно следующим образом: если а
определено на Лр при Р<сх и а —предельный ординал, то Аа =
= М Лр, и непрерывность сечения о на этом объединении сле-
Р < а
дует из локальной конечности покрытия {Са\. Если же элементу а
предшествует элемент р, то Аа= А$[]С$. Так как с тривиально
над Ср, то а СрП^р продолжается на Ср в силу 9.1, что опре-
определяет продолжение сечения а на всё А,г. Щ
Будем говорить, что С-пространство имеет тип G/H, если все
орбиты в нем имеют тип G/H. Более общо, пусть 2 с Гё0 — неко-
некоторый набор типов; мы скажем, что G-пространство Х имеет
тип i], если каждая орбита в нем имеет тип, лежащий в V.
Мы сосредоточимся на случае, когда набор 21 конечен, и будем
в этом случае использовать запись У. — {ИЛ, ..., Hk), где Ht —
представители стационарных подгрупп соответствующих (попарно
различных) типов. Положим Х(Н\ = |ieX type G (x) = type (G/H)\.
9.3. Теорема. Пусть Н czG — замкнутая подгруппа; положим
К = N (Н)/Н. Пусть, далее, ?: Е-*-В — главное К-расслоение,
тотальное пространство которого Е является компактным («— 1)-
связным полиэдром. Тогда ассоциированное G/H-расслоение Y =
= (G/H) :• кЕ-*-В обладает следующим свойством. Пусть X — любое
паракомпактное G-пространство типа G/H, для которого
dXGn. Тогда любое эквивалентное отображение ф: A-+Y
I) То есть пространство X X i нормально. —Прим. перее.

112 ГЛ. II. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СПРОСТРАНСТВ
замкнутого инвариантного подмножества A cz X продолжается
до эквивариантного отображения ф: X -»- Y.
Доказательство. В силу 5.13 эквивариантные отображе-
отображения <р: А -+¦ Y находятся в естественном взаимно однозначном
соответствии с заданными над A/G сечениями ^-расслоения
YH Х^ХН -*¦ X/G, ассоциированного с главным расслоением Хн->-
->X/G. Очевидно, однако, что YH = КхкЕ?ыЕ. Следовательно,
любое такое сечение продолжается на всё В в силу 9.2. Щ
Установим теперь существование расслоений, удовлетворяющих
условиям теоремы 9.3. Так как любая *) группа Ли вкладывается
как подгруппа в ортогональную группу, то можно считать, что
K = N (Н)/Н есть подгруппа в О (г) для некоторого г. Пусть
О (г)хО(п) с= О (г + п) — стандартное вложение. Тогда отображение
Е = ({е} х О (п))\О (г + п) -v (К X О («))\О (г + п) = В
(рассматриваются пространства правых смежных классов) является
главным /("-расслоением и, как хорошо известно, Е есть (ft—1)-
связный полиэдр. (Это можно доказать, рассматривая расслоения
O(t + n+l)/O(n)->-O(i + n)/O(n) со слоем О(?" + « + 1)/О(/ + п) =
= S'+« для t = 0, 1, ... , г-1.)
Заметим, что на пространстве Y — (G/H)Xf( E имеются левое
G-действие и правое О (г + п)-действие. Более того, соответству-
соответствующее действие группы GxO(r-\-n) на Y транзитивно. Следова-
Следовательно, пространство Y = (G/H)XкЕ, удовлетворяющее условиям
теоремы 9.3, является пространством смежных классов компакт-
компактной группы Ли GxO(r + n). В силу 5.3 У можно вложить как
эквивариантный окрестностный ретракт в евклидово простран-
пространство, несущее ортогональное действие группы GxO(r + n) и, сле-
следовательно, группы G. Этот факт будет важен в дальнейшем.
Замкнутый конус CY над G-пространством У является G-npo-
странством и определяется как фактор пространство [0, 1]хК/{0}х
XY, где G действует на [0, 1] тривиально. Образ точки (t, у)
будет обозначаться через ty и вместо Оу мы будем писать просто 0;
это вершина конуса.
Следующая лемма играет основную роль при доказательстве
теоремы классификации.
9.4. Лемма. Пусть Н с G, п и Y такие же, как в 9.3, и
пусть Y вкладывается как эквивариантный окрестностный рет-
ретракт в евклидово пространство с ортогональным G-действием.
Пусть, далее, X —такое G-пространство, что X/G метризуемо
и dim X/G <; п. Пусть, наконец, АаХ — инвариантное замкнутое
подмножество, и пусть q>: A -+GY — такое эквивариантное отоб-
отображение, что ф-1 @)П-Х(Н) = Ф- Тогда <р продолжается до экви-
Компактная. — Прим. первв.

9. КЛАССИФИКАЦИЯ fl-ПРОСТРАНСТВ ИЗ
вариантного отображения г|х X -*¦ CY, для которого \|з-1 @) П Х{Н) =
Доказательство. Используя координаты на конусе, пред-
представим ф в виде ф(а)=/(аN(а), где f: Л->-[0, 1], 9: Л —Z-v7;
здесь Z = /~1@). Обратно, любая такая пара эквивариантных
отображении задает отображение, удовлетворяющее наложенным на
Ф условиям. Если type G (а) < type G/Я, то f(a) — O, так как в Y
имеются лишь орбиты типа G/H Так как множество всех орбит
типа, меньшего чем type G/H, замкнуто (его дополнение открыто в
силу 5.5), то ф продолжается на него нулем. Следовательно, мы можем
считать, что А содержит все орбиты типа, меньшего чем type G/H.
Так как множество всех орбит типа, не превосходящего typeG/Я,
тоже замкнуто (см. упражнение 4 гл. I), то и множество А {] Х{Н)
замкнуто. Кроме того, Л |~| Х(#) с: X —Z. Так как X,/./,— ХШ)
состоит из орбит меньшего типа, то Х{Н) — XiH) a Z. Следова-
Следовательно, отображение Q\A — Z продолжается на (A — Z)[} Х^)
в силу теоремы 9.3 (примененной к A f| XiH) — Z — (A (]Х{Н)) и
X[ff) — Z = X{ff)). Кроме того, / продолжается на А[}Х{[!) в силу
классической теоремы Титце, примененной к индуцированному
отображению пространств орбит. При этом можно добиться того,
чтобы / было отлично от нуля во всех точках множества Х(#>:
действительно, можно прибавить к f вещественную (эквивариант-
ную) функцию, равную нулю в точности на А (напри-
(например, взять расстояние до точки A/G в некоторой метрике на X/G)
и затем поделить эту сумму на большое число с тем, чтобы она
не превосходила единицу. В силу существования таких продолже-
продолжений отображений / и 9 мы без ограничения общности можем
считать, что A id Хм-
По условию Y вкладывается в евклидово пространство Rm
с ортогональным G-действием и обладает в !Rm окрестностью,
эквивариантно ретрагирующейся на Y. Следовательно, отображе-
отображение 8: A-+-Z — Y продолжается до отображения X — Z-^-Rm
в силу теоремы Титце — Глисона 1.2.3. Воспользовавшись имею-
имеющейся ретракцией, мы можем продолжить 0 до отображения
8': W -*-Y, где W — некоторая открытая окрестность множества
A— Z в пространстве X —Z. Так как / есть 0 на множестве Zu
Z zd А П(Х — W), то / можно продолжить нулем на множество A U
U (X — W) и, следовательно, эквивариантно продолжить до отобра-
отображения /':Х->'0, 1] по классической теореме Титце, примененной к
пространствам орбит (или непосредственно по теореме Титце —
Глисона). Тогда отображение г|з: X-*-CY, определенное форму-
формулой ty(x) — f (x) 6' (х), и есть желаемое продолжение отображе-
отображения ф. §j
Сделаем теперь отступление для того, чтобы обсудить понятие
джойна нескольких G-пространств. Если Yv ... , Yk — некоторые

114 ГЛ. П. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ G-ПРОСТРАНСТВ
С-пространства, то CY1xCY2x...xCYk — тоже G-пространство.
Канонические отображения СУ/-»-[О, 1]= I индуцируют отобра-
отображение CY1x...xCYk-+lx...xl = lk вида Aлух, ..., tkyk)»—* (tlt ...
... , tk). Джойн У, *...*УЙ пространств УА есть прообраз при этом
отображении стандартного симплекса Д*~* а I*; иными словами,
он состоит из точек Aлух, ... , tkyk), для которых ?//=1. Оче-
Очевидно, что стационарная подгруппа точки джойна (^г/ц .... tkyk)
есть в точности
Нам необходимо изучить некоторое подпространство джойна.
Определим джойн Пале Ух © ... © У/, как подпространство джойна
Kj*...*yfe, состоящее из точек (^,г/,, .... ^t/fe), удовлетворяющих
условию G(ixu V*) = <-4- для какого-нибудь такого /, что
Aф0. Заметим, что в этом случае С^, ... , t^^czG,,. для всех
тех /, что t/фО. Кроме того, джойн Пале является инвариант-
инвариантным подпространством и, следовательно, G-пространством.
Замечание. П а л е [3] назвал эту конструкцию приведенным
джойном, однако этот термин мы считаем неудачным в силу того,
что он уже использован для обозначения другого понятия.
9.5. Теорема. Пусть ? = (#,, ... , #*), где Hi —попарно
несопряженные замкнутые подгруппы из G, и пусть Ki~N (Hi)/Hi.
Положим Yl = (G/Hi)XK.Ei, где Е t — тотальное пространство
главного К г расслоения, являющееся компактным (п—\)-связным
полиэдром. Предположим, что У,- вкладывается как эквивариант-
ный окрестностный ретракт в евклидово пространство с орто-
ортогональным G-действием. Положим У = У, ©... ® Yk. Пусть X —
такое метризуемое G-пространство типа V, что dimX/Gsgrt.
Тогда любое сохраняющее орбитную структуру эквивариантное
отображение (р: A-*-Y замкнутого инвариантного подмножества
A cz X можно продолжить до сохраняющего орбитную структуру
эквивариантного отображения i|): X —*- У.
Доказательство. Рассмотрим отображение <р: Л->У =
= Ух © ... © Yk a CYt *... * CYk, и пусть ср,-: А -*¦ CYt — его компо-
композиция с проекцией на CYh Представим <р,- как ср,- («) = /,- (а) 0,- (а),
где Д-: Л —>- [0,1] и 6г: Л —/,7'@)->-У,- —эквивариантные отображе-
отображения. Мы утверждаем, что если аеЛП Х,нл, то /,¦ (а) >0; действи-
действительно, в противном случае найдется такой индекс \Ф1, что /у(а)>0
и Go = G(p(a) = Ge/(a) ~ H/ (где ~ есть знак сопряженности), что
противоречит условию Ga^Hii^Hj при 1ф]. Следовательно.
функция fi положительна на А{]Х^ц.) В силу 9.4 отсюда сле-
следует, что ер,- обладает эквивариантным продолжением ф<: Х->
^CY вида <р* (*)=#(*) еН*). где Д'>0 на Х{н1у

9. КЛАССИФИКАЦИЯ G-ПРОСТРАНСТВ 115
Положим hi = fi/2 fl, % (x) = Ы (x) Q'c (x), ^ (x) = (г|),, ..., %):
X->-CY1«...*CYk. Тогда ^hi — \, и потому имеем отображение
t|>: X -v Yx #... * Yk. Для at <= X(//.j имеем G* сG^, (дг) <= Cj,. <*> ~ Я,-
(так как ft,-(x) =^ 0), поэтому G^{x) = G^.{x) и G* = G,j,{j:). Первое
из этих равенств влечет, что т]з отображает X в У\ ®... ® Fft,
а второе —что г|з сохраняет орбитную структуру. Щ
9.6. Определение. Любое G-пространство Y типа S =
= (#!, ..., Я^), удовлетворяющее заключению теоремы 9.5, назы-
называется п-у ниве реальным пространством для G-структур
типа 2-
9.7. Теорема. Пусть S = (H]( .... Нк), и пусть Y есть
п-универсальное пространство для G-структур типа ?. Тогда
Y/G является пространством, классифицирующим G-структуры
типа V, что означает следующее:
(i) Пусть X — метризуемое G-пространство типа v, для кото-
которого dimX/Gs^n. Тогда существует такое сохраняющее орбитную
структуру отображение /: X/G -> Y/G, что X эквивалентно над
X/G пространству f*Y («над X/G» означает, что эквивалентность
коммутирует с проекциями на X/G).
(п) Пусть W — метризуемое пространство с dimW^n —1.
Если f0, fa W -*- Y/G — отображения, индуцирующие на W одну
и ту же орбитную структуру, то G-пространства /0 и fl тогда
и только тогда эквивалентны над W, когда между /0 и /а имеется
сохраняющая орбитную структуру гомотопия.
Доказательство. Для доказательства (i) заметим, что из
9.5 вытекает существование сохраняющего орбитную структуру
эквивариантного отображения X->F. Оно индуцирует отобра-
отображение /: X-*-f*Y, где /: X/G-vV/G —индуцированное отобра-
отображение одного пространства орбит в другое. Тогда / сохраняет
орбитные типы, и диаграмма
X—f*Y
\ /
X/G
коммутативна, так что / есть эквивалентность (открытость отоб-
отображения / следует из упражнения 10 гл. I).
Для доказательства части (ii) рассмотрим эквивалентность
h: fbY-*-f\Y над W. Пусть Х = МД —цилиндр отображения h и
А — объединение оснований этого цилиндра. В силу 9.5 объеди-
объединение канонических отображений foY-^-Y и f\Y-*-Y продол-
продолжается до сохраняющего орбитную структуру отображения X->Y.
Индуцированное отображение W x I «« X/G -*¦ Y/G задает, оче-
очевидно, требуемую гомотопию между /0 и fv Обратное легко сле-
следует из 7.4. |

118 ГЛ. II. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ G-ПРОСТРАНСТВ
10. Линейные вложения G-пространств
В этом параграфе мы из результатов предыдущего параграфа
выведем известную теорему Мостова [1] о том, что если G—
компактная группа Ли, то любое конечномерное сепарабельное
метрическое G-пространство с конечным числом орбитных типов
допускает эквивариантное вложение в некоторое евклидово про-
пространство с ортогональным действием группы G. (Обратное тоже
верно, см. упражнение 2.) Изложенный здесь материал в даль-
дальнейшем использоваться не будет, но при изучении гладких дей-
действий мы снова обратимся к этой тематике, так как наличие
гладкой структуры приводит к важным следствиям.
10.1. Теорема. Пусть G — компактная группа Ли, и пусть
X — конечномерное сепарабельное метрическое G-пространство
с конечным числом орбитных типов. Тогда существует его экви-
эквивариантное вложение в некоторое евклидово пространство с орто-
ортогональным действием группы G.
Доказательство. Пусть X имеет тип У> = (Н1, ..., Hk),
где Hi — попарно несопряженные замкнутые подгруппы из G.
Из упражнения 3 следует, что пространство X/G тоже конечно-
конечномерно. Положим dimX/G = «. Хорошо известно, что в этом слу-
случае имеется вложение /х: X/G-+RQ в некоторое U9 (достаточно
взять <7 = 2п + 1, см. Гуревич и Волмэн [1]).
Из конструкций § 9 следует, что построенное после теоремы
9.3 пространство Y является пространством смежных классов
группы GxO(r-{-n) и, следовательно, пространством орбит неко-
некоторого ортогонального ОхО(г + «)-действия. Следовательно, мы
можем считать пространства Yt из 9.5 эквивариантно вложен-
вложенными в единичные сферы Sm'~' евклидовых пространств Rm;
с ортогональными G-действиями. Тогда CYt сС'и имеет место
эквивариантное вложение
Y = Y1®...®YkczCYlx...xCYkczDmix...xDm»czR'n,
где т яж ^ т{ и G действует диагонально.
В силу 9.5 существует сохраняющее орбитную структуру
эквивариантное отображение /2: X -*¦ Y cz Rm. Определим отобра-
отображение /: X-*-R?xRm = R^+m формулой f(x) = (f1(x*), fj(x)I).
Считая, что G действует на R9 тривиально, получим, что отобра-
отображение / эквивариантно. Так как Д — вложение, то f/G = (Д, /2/G) —
тоже вложение. Наконец, так как f сохраняет орбитные типы,
то оно инъективно. Из упражнения 10 гл. I следует теперь, что
/ есть гомеоморфизм на свой образ. |
г) Напомним, что ** обозначает образ точки isA при проекции X ¦
¦X/G.—Прим. ред.

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ II 117
10.2. Следствие. Если в дополнение к условию теоремы 10.1
пространство X локально компактно, то вложение можно выбрать
замкнутым.
Доказательство. Одноточечная компактификация Х{]{*\
пространства X удовлетворяет условиям теоремы 10.1 и, следо-
следовательно, вкладывается в некоторое Rp. Точка * является, оче-
очевидно, неподвижной точкой G-действия, откуда легко следует,
что сдвиг пространства |RP, переводящий образ точки * в 0, —
эквивариантное отображение. Следовательно, можно считать, что
при вложении точка * попадает в начало координат. Тогда отоб-
отображение Rp —{0} в себя, заданное формулой yi—^y/'y 2, эквива-
риантно и переводит Х = Х — {0} в замкнутое подмножество про-
пространства Up- 1
Замечание. Изложенное здесь доказательство теоремы 10.1
значительно отличается от ее первоначального доказательства,
данного Мостовым [1]. Два изложения метода Мостова см.
в работах Пале [3, 4].
Отметим, что ортогональное представление группы G, в про-
пространство которого осуществляется вложение из теоремы 10.1,
зависит лишь от размерности пространства X/G и от орбитных
типов G-пространства Х.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ II
1. Пусть Q —компактная группа Ли и X—односвязное G-пространство.
Покажите, что если имеется «-компонентная орбита, то порядок любого эле-
элемента группы щ (X/G) не превосходит числа п.
2. Покажите, что ортогональное действие на R" имеет лишь конечное
число орбитных типов. (Указание. Рассмотрите в Rn единичную сферу и
действие на ней стационарной подгруппы каждой точки.)
3. Пусть компактная группа Ли О действует на сепарабельном метриче-
метрическом пространстве X. Докажите, что dim X/G^ dim X.
4. Пусть компактная группа Ли G действует на вполне регулярном про-
пространстве X таким образом, что все орбиты имеют один и тот же тип G/H.
Обозначим через Т какой-либо максимальный тор группы G, а через N — его
нормализатор в группе G. Покажите, что отображение Gx v XT ->-X (перево-
(переводящее [g, х] в g (х)) является проекцией расслоения со слоем НЦЫ Л И)-
Кроме того, докажите, что каноническое отображение X/N -*¦ X/G есть гомео-
гомеоморфизм.
5. Пусть К и Я —замкнутые подгруппы компактной группы G. Пусть,
далее, g: X -*¦ В — расслоение со слоем G/H и структурной группой N(H)/H,
а Т): У -*¦ В — расслоение со слоем G/K и структурной группой N (К)/К. Рас-
Рассмотрим канонические левые действия группы G на прострлнствах X и Y,
орбитами которых являются соответственно слои расслоении | и т], см. 1.1.
Пусть Map0 (*, r\) — множество всех эквивариантных отображений X ->- Y над
В (т. е, эквивариантных отображений, коммутирующих с проекциями на В).
Постройте такое расслоение Мара (', т^) над В со слоем (G/K)H и структурной
группой' N (H)lHx.N {К)/К (действующей эффективно), что Г (Map0 (%, т))) =
= Map (|, г)), где Г — функтор сечений и равенство множеств устанавливается
каноническим соответствием.

118 ГЛ. П. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ О-ПРОСТРАНСТВ
6. Пусть 2г действует на сепарабельном метрическом пространстве -К раз-
размерности п. Покажите, что X допускает эквивариантное вложение в простран-
пространство R3ra+2, на котором действие группы 2г меняет знак первых га+1 коорди-
координатах и оставляет без изменения последние 2я+1 координат.
7. Пусть X—тотальное пространство главного G-расслоения над В. Рас-
Рассмотрим X как (левое) G-пространство, a Х-*-В— как проекцию на пространство
орбит. Пусть, далее, Я czG—замкнутая подгруппа и У—пространство орбит
Я-действия на X. Покажите, что индуцированное отображение К ->- В является
проекцией ассоциированного Я\0-расслоения, где ti\G— пространство пра-
правых смежных классов группы G по подгруппе Я и структурная группа G дей-
действует на H\G правыми сдвигами.
8. Пусть р: W -*¦ В—главное G-расслоение, и пусть А и А'— два правых
G-пространства. Следуя §2, зададим на ЛХЙ7 и A'xW G-действия. Покажите,
что переход к пространствам орбит устанавливает взаимно однозначное соответ-
соответствие между эквивариантными отображениями if: AxW -*• A' xW, коммутирую-
коммутирующими с проекциями на W, и отображениями г];': AXqW-+A'X.qW над В.
Если, кроме того, А локально компактно, то покажите, что экспоненциальный
закон устанавливает взаимно однозначное соответствие между вышеописанными
отображениями г|) и отображениями г|)": W -*¦ Map (А, А') (где G действует
на Map (Л, А') посредством формулы (g (/)) (а) = f (ag) g) и что теорема 2.6
задает взаимно однозначное соответствие между такими отображениями и сече-
сечениями t|) ассоциированного расслоения Map (Л, A')XqW -*• В. Используйте это
для того, чтобы дать другое доказательство теоремы 2.7. (Указание. Пере-
Переходя к теореме 2.7, положите G = SxT и № = Д.)
9. Пусть X—некоторое G-пространство и Я сг G — замкнутая подгруппа.
Покажите, что G-пространство GXjjX эквивалентно G-пространству (GjH)xX
с диагональным G-действием.

Глава III
ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДЕЙСТВИЙ
КОМПАКТНЫХ ГРУПП
В этой главе мы изучим взаимоотношение между гомологиями
тотального пространства, пространства орбит и множества непод-
неподвижных точек действия конечной группы. Основным средством
изучения связи тотального пространства с пространством орбит
является трансфер, представляющий собой гомоморфизм одной
гомологической (или когомологической) группы в другую и на-
направленный навстречу гомоморфизму, индуцированному проек-
проекцией на пространство орбит. Что же касается множеств непод-
неподвижных точек, то здесь основными инструментами являются
точные последовательности Смита, возникающие при изучении
действий конечных циклических групп простого порядка.
Изложение будет вестись наиболее элементарным из всех
возможных способов. В последующих главах мы вернемся к этой
тематике и, предполагая у читателя более глубокое знание
алгебраической топологии, получим более сильные методы иссле-
исследования указанных связей.
Мы начнем с изложения теории Смита и понятия трансфера
для симплициальных действий на абстрактных симплициальных
комплексах. Этот материал достаточно элементарен для того,
чтобы быть включенным в начальный курс теории гомологии,
и мы верим, что он должен присутствовать в инструментарии
каждого тополога.
В §§ 6 и 7 мы используем (как это сделал Смит) метод Чеха,
позволяющий распространить эти результаты на более широкий
класс пространств.
Последние три параграфа содержат несколько экскурсов
в смежные области, причем каждый из них использует теорию,
развитую в первых семи параграфах. В § 8 содержатся резуль-
результаты Смита и Милнора о группах, свободно действующих на
сферах. В § 9 изложена теорема Ньюмена в интерпретации
Смита, утверждающая, что действие компактной группы Ли на
многообразии не может иметь равномерно малые орбиты. В § 10
изложены теоремы типа Смита о действиях торов.

120 ГЛ. III. ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
1. Симплициальные действия
Условимся о терминологии и обозначениях, следуя в основ-
основном Спеньеру [1]. Под симплициальным комплексом К мы
понимаем абстрактный симплициальный комплекс; таким обра-
образом, К есть множество (возможно, бесконечное), в котором задано
семейство непустых подмножеств. При этом элементы множества К
называются вершинами, а указанные подмножества — симплексами,
и требуется следующее:
A) любая вершина содержится в некотором симплексе;
B) любое непустое подмножество симплекса есть симплекс.
Непустое подмножество симплекса называется гранью этого
симплекса. Симплициальное отображение одного симплициалыюго
комплекса в другой —это заданное на множестве вершин отобра-
отображение, переводящее симплекс в симплекс.
Каждому симплициальному комплексу К отвечает его топо-
топологическая реализация или полиэдр. Этот объект является топо-
топологическим пространством, обозначаемым через | К \. Определение
и свойства этой конструкции см. у Спеньер а [1]. При этом
мы считаем, что в \К\ введена слабая топология, т. е. некоторое
подмножество F тогда и только тогда замкнуто в \К\, когда для
любого симплекса s комплекса К пересечение F П I s; замкнуто
в | s I.
Барицентрическое подразделение (или первый производный
комплекс) симплициального комплекса К есть симплициальный
комплекс К', вершинами которого являются симплексы из К,
а симплексами— множества (s0, ..., sn), где s,- —такие вершивы
комплекса К' (т. е. симплексы из К), что после некоторого пере-
переупорядочения имеем s0 cz s, с ... cr sn (т. е. s,- — грань симплекса
S/+1). Имеется канонический гомеоморфизм \К'^^1К\-
Пусть теперь дана дискретная группа G. (Мы почти всюду
будем рассматривать конечные группы G.) Если G симплициально
действует на симплициальном комплексе К, т. е. любое соответ-
соответствующее преобразование является симплициальным отображе-
отображением, то К называется симплициальным G-комплексом.
Рассмотрим следующие условия, накладываемые на симпли-
симплициальный G-комплекс /С.
(A) Для любого jeG и любого симплекса s из К все точки
множества s Г| g s неподвижны относительно G.
(B) Если g-0, ..., gn — элементы группы G, a (v0, vu ..., vn)
и (gvo< ••¦» gvn)— Два симплекса из К, то существует такой эле-
элемент g^G, что g уг = gi Vt.
Очевидно, ни одно из этих условий не обязано выполняться.
Например, ни одно из них не выполняется для циклической
перестановки вершин двумерного симплекса, и условие (В) не
выполняется даже для его барицентрического подразделения.

1. СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ДЕЙСТВИЯ 121
Заметим, что условие (А) эквивалентно условию
(А') Если v и gv лежат в одном симплексе, то v — gv.
Чтобы вывести (А') из (А), положим s = (g~1v, v) и увидим,
что g тривиально действует на v = sf\gs. Чтобы вывести (А) из
(А'), выберем v<=sf\gs и заметим, что тогда (и, gv)ags, так
что в силу (А') имеем gv = v.
Отметим, кроме того, что из (В) следует (А') и, следовательно,
(А), так как, если v и gv лежат в одном и том же симплексе,
то (у, v) и (у, gv) являются симплексами в К, поэтому есть
такое g' e G, что v = g'v и gv = g'v, и потому gv = g'v = v.
1.1. Предложение. Для любого симплициального G-комп-
лекса К индуцированное действие на барицентрическом подразде-
подразделении К' удовлетворяет условию (А). Если (А) выполняется для
G-действия на К, то (В) выполняется для G-действия на К'¦
Доказательство. Вершина s комплекса К' является
симплексом s комплекса К, и если s и gs лежат в одном симп-
симплексе из К', то s есть грань симплекса gs (или наоборот). Но
так как, очевидно, G-действие сохраняет размерности симплексов
из К, то s = gs, откуда следует первое утверждение.
Предположим теперь, что К удовлетворяет условию (А).
Справедливость условия (В) для К' докажем индукцией по п.
Пусть (s0, slt ..., sn) — симплекс из К'. Изменив порядок, можно
считать, что в К имеем soczs1cz...czsn-l<^sn. Предположим,
что (goso, ¦¦¦, gnSn) — тоже симплекс из К'- По предположению
индукции найдется такой элемент geG, что grsi=gr,S; при 0=^:
=g;t<n. Действуя на симплекс (goso, ...,gnsn) элементом g~x,
получим, что (s0, slt ..., sn-lt g'sn) есть симплекс из К'; здесь
g'=g~1gn- Так как симплексы s^ комплекса К расположены
в порядке возрастания (или по крайней мере неубывания) раз-
размерностей, то socz s1cz...czsn-!czg'sn. Но тогда sn_j czsn(]g'sn,
поэтому g' тривиально действует на sn_x в силу (А), и потому
g' тривиально действует на всех s,-, i<cn. Так как g'=g~lgn,
то giSi = gsi=g,lsi для i<.n. Поэтому gnSi = giSi для всех L §
1.2. Определение. Если К — такой G-комплекс, что дей-
действие любой подгруппы группы G удовлетворяет условию (В), то
G-комплекс К называется регулярным С:комплексом, а действие
группы G — регулярным G-действием.
Итак, любое симплициальное действие становится регулярным
при переходе ко второму барицентрическому подразделению.
Следовательно, с топологической точки зрения предположение
о регулярности не ограничивает общности.
Для регулярного G-комплекса К определим симплициальный
комплекс K/G следующим образом. Вершины в K/G — это в точ-
точности орбиты v* — G(v) действия группы G на множестве вершин
комплекса К, а симплексами комплекса K/G являются такие
подмножества (Vo, ..., v%), что (vQ vn) — симплекс в К (это

122 ГЛ. Ш. ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
,*.
означает, что существуют такие представители и,- классов и?
при этом вовсе не требуется, чтобы все наборы представителей
классов v* были симплексами). В этом случае говорят, что симп-
симплекс (v0, ..., vn) из К лежит над симплексом (uj, ..., и„) из
K/G. (Заметим, что вышеприведенное определение имеет смысл
для любого симплициального действия, но для нерегулярных
действий мы будем использовать его крайне редко.)
Далее, если (иа, ..., vn) и (до„, •••> ш„) —два симплекса из К
над одним и тем же симплексом (v*, ..., v%) — (w$, ..., w%) из
K/G, то в силу регулярности (w0, ..., wn) — g(vQ, ..., vn) для
некоторого g^G. Следовательно, симплексы надданным симп-
симплексом из K/G образуют орбиту действия группы G на симп-
симплексах комплекса /С.
Очевидно, что соответствие v >—^ v* определяет симплициаль-
ное отображение K-+-K/G и, следовательно, непрерывное отобра-
отображение | К | -> | /C/G;, а соответствие G ( ? М,-) >-* 2 ^G (u<)= 2 ^°*
определяет отображение |/(|/G->-|/C/G|, даваемое факторизацией
Более того, в силу регулярности горизонтальная стрелка явля-
является взаимно однозначным соответствием. Далее, отображение
| К | -*¦ | K/G | сюръективно, и из определения слабой топологии
(Спеньер [1]) следует, что оно наделяет \K/G\ фактортополо-
гией (это верно для любого сюръективного симплициального
отображения). Отсюда следует, что горизонтальная стрелка явля-
является гомеоморфизмом \K\/Gf^\K/G\. Кроме того, из регулярности
(на самом деле из (А)) следует, что i Ка \ = \К\а, где Ка — под-
подкомплекс в К, состоящий из всех симплексов, поточечно непод-
неподвижных относительно G.
2. Трансфер
Пусть G —конечная группа, К — регулярный G-комплекс,
а С (К) — комплекс ориентированных цепей на К (см. Спеньер
[1]). Тогда на С (К) индуцируется G-действие вида g[v0,..., vn] =
= [gvo> • • • > gy/»]> поэтому С (К) является модулем над групповым
кольцом ZG группы G (элементы этого кольца суть формальные
суммы 2] ngg с целыми ng). Норма а е ZG есть по определе-
gefi
нию сумма всех элементов группы G, т. е. о= ^ g, при этом
gee?
для любой цепи с^С(К) имеем ac — ^gc. Образ аС(К)<^СК
гомоморфизма а: С {К)-*-С (К) есть подкомплекс.

2. ТРАНСФЕР 123
Аналогично, если L с К — подкомплекс, инвариантный отно-
относительно действия группы G, то G действует на С (К, L) =
= С (К)/С (L) и аС(К, L) является подкомплексом в С (К, L).
Пусть я: K^-K/G — каноническое симплициальное отображе-
отображение. Индуцированное им цепное отображение С (К, L)-*-
-yC(K/G, L/G) обозначим тоже через я.
2.1. Лемма, kei {а: С (К, L)-+C(K, 1)} = кег{я: С (К, L)-»-
-+C(K/G, L/G)}.
Доказательство. Пусть s —симплекс из K/G, и пусть
Sj, ..., sn — симплексы из К, лежащие над s. В силу регуляр-
регулярности мы можем ориентировать s и s,- так, что я: Si->-s сохра-
сохраняет 5ти ориентации.
Так как {s^ ..., sn} есть орбита G-действия, то n = \G\/\GSl\,
где | G | обозначает порядок группы G. Очевидно, что достаточно
ограничиться лишь цепями c='S\tiiSi. Тогда яс = Bге>Mг. так что
пс = 0 тогда и только тогда, когда 2п' = ^- Заметим также, что
go (с) = о (с), и так как G переставляет s,- транзитивно, то най-
найдется такое целое т, что ac = m Vs;. Суммируя коэффициенты
в обеих частях этого равенства1), получаем \G\^Ani = mn =
= m|Gj/;GSi|.
Следовательно, m = |Gs, 1^]п,-, и стс = О тогда и только тогда,
когда т = 0 или, эквивалентно, 2га»==0. |
(Заметим, что при замене кольца Z произвольным кольцом Л
лемма 2.1 будет справедливой при условии, что |G| не является
делителем нуля в Л.)
Из 2.1 следует, что существует канонический цепной изомор-
изоморфизм
аС(К, L)^C(K, L)/kera = C(/C, D/кегя^С (K/G, L/G),
так как я, очевидно, эпиморфно. Композиция \х: C(K/G, L/G)^
— •аС(К, L)aC(K, L) изоморфизма, обратного к этому, с вклю-
включением с* = пс i—•• ас индуцирует гомоморфизм
IV H(K/G, L/G)-+H(K/L),
называемый трансфером. Разумеется, я индуцирует отображе-
отображение я*: Н (К, L)-v Я (/C/G, L/G). Заметим, что для с* = яс имеем
я[х (с*) = ла(с) = | G | я (с) =! G \с*, так как я»^ = я. Кроме того,
по определению цж — ос. Таким образом,
.^H» = |G|: Я(/С/С L/G)-+H(K/G, L/G),
B2) а, = 2 ?*: Я (/С, Ц-+Н (К, L).
gsfi
То есть рассматривая образы обеих частей равенства при гомоморфизме
Zi 2 nsgi—*¦ S ng. —Прим, перев,

124 ГЛ. III. ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
Можно определить [х для любой группы коэффициентов, обычным
образом тензорно помножив группу цепей на группу коэффици-
коэффициентов, и формулы B.2) останутся справедливыми и в этом общем
случае.
Заметим также, что образ отображения \х в точности состоит
из цепей, неподвижных при действии группы G. Следовательно,
для индуцированного G-действия на гомологиях имеем imp,* с
с Я (К, L)a • Очевидно, что ограничение я* на Я (К, L)a удов-
удовлетворяет равенству
B.3) n,n, = |G|: H(K, L)°-
Вместе с B.2) это влечет следующую теорему.
2.4. Теорема. Пусть А —поле, характеристика которого
взаимно проста с jG' или равна нулю. Тогда п*: Я(К, L; Л)е-v
->H(K/G, L/G; Л) и ц,: Н(K/G, L/G; А)-»Н(К, L; Л)° суть
изоморфизмы. Кроме того, ядро гомоморфизма л^: Н (К, L; А)-*-
-*¦ Н (K/G, L/G; Л) совпадает с ядром гомоморфизма ал. Щ
Обобщим вышеизложенное, рассматривая подгруппу Я груп-
группы G и диаграмму
К
симплициальиых отображений. (Мы не требуем, чтобы подгруппа Я
была нормальным делителем в G.) Как и раньше, обозначения
п0, пн и я<з/# используются и для индуцированных цепных
отображений. Положим аЛ= 2 h и ао= ^ g.
H g
Определим цепное отображение v^arn'- С (K/G, L/G)-+-
-> С (К/Н, L/H) как отображение, замыкающее до коммутативной
диаграмму
C(K/G, L/G) -^ С (К/Н, L/H)
I* 1*
ооС(К, L) -^ oHC(K, L)
поэлементно имеющую вид
па (с) >— пн (с')
I 1
ст0 (с) н— ан (с')
где с' = V gjC;, a {§¦,-} — семейства представителей правых смежных
классов G по Я-

3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТОГО ПЕРИОДА 125
Далее, я0/я (я// (с')) = я0 (с') = тпа (с), где m = ,G \/\ H |. Таким
образом, имеется естественный гомоморфизм —трансфер
B.5) (цо.,,/),: H(K/G, L/G)-+H(K/H, L/H),
для которого
B.6) (па/н), (цо/д)«, = i G |/| Я |: Я GC/G, L/G) -> Я (/C/G, L/G)
для любой группы коэффициентов.
Замечания. В приведенной общности трансфер был описан
Флойдом [5] и Коннером [1], см. также Флойд [10] и
Бредон A3!. Ранее трансфер был определен для накрытий
Экманом [1, 2] и Ляо [1], см. также Стинрод и Эпстейн
Эти результаты легко переформулировать для групп когомо-
логий. Так, для любой группы коэффициентов А отображение fx
индуцирует коцепное отображение Hom(fx, A): Horn (С (К, L), А)-*-
-*- Нот (С (K/G, L/G), А) и, следовательно, гомоморфизм групп
когомологий ц*: Я* (К, L; А)-> Н* (K/G, L/G; А). Аналоги фор-
формул B.2) имеют вид
)* = | G |,
n*ii* = ((хя)* = а* = ^ g*-
Справедлив также очевидный аналог теоремы 2.4. Аналогично
очевидным образом дуализируется обобщение fxQ/H гомомор-
гомоморфизма [I.
Отметим также естественность трансфера. Это означает, что
если /: (К, L)-*-(K', L') — эквивариантное симплициальное ото-
отображение, индуцирующее отображение /: (K/G, L/G) ->
->-(K'lG, L'/G), то диаграмма
H(K/G, L/G)J±H(K'/G, L'/G)
H(K,L) i. H(K',L')
коммутативна. Очевидно, это справедливо уже для цепей, так
как \if (лс)=}гя/ (c) = af (c) = /(ac)=/jin (с). Аналогичные утверж-
утверждения справедливы также для общего случая трансфера B.5) и
для когомологического случая.
3. Преобразования простого периода
Здесь мы сосредоточим свое внимание на мультипликативной
группе G простого порядка р и будем изучать лишь когомологий
с коэффициентами в Zp. Пусть /( — регулярный G-комплекс. Для
простоты обозначений вместо K/G мы пишем просто К* и отож-
отождествляем К°/G с его (гомеоморфным) образом в /<*.

126 ГЛ. III. ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
Пусть g —фиксированный образующий группы G. В группо-
групповом кольце ZPG рассмотрим элементы о= 1 + ? + ¦ • ¦ + ёг^1 и
т=1— g. Так как gP=\, то стт = 0 = тст. Так как мы рассматри-
рассматриваем всё над полем 2,Р и так как (—1)'кТ )=1 mod/?, то а=
= тр~1. В частности, при р = 2 имеем ст = т.
Для р = т' положим р = тр~', так что т = Э и ст = т.
Пусть L с /С — инвариантный подкомплекс. Заметим, что
L°=L{\Ka- Рассмотрим цепные подкомплексы рС(К, L; Zp)
в С(/(, L; Zp) для каждого р = т', 1=сг'^р—1. Областью коэф-
коэффициентов всегда будет служи ib поле Zp; оно обычно не будет
фигурировать в обозначениях, за исключением тех случаев,
когда это желательно подчеркнуть.
Основным результатом этого параграфа является следующая
теорема.
3.1. Теорема. Для любого р = т/, l=s;/<;p — 1, последова-
последовательность цепных комплексов (с коэффициентами в Ър)
0^рС(К, L)®C(Ka, LG)^C(K, L)-^-pC(K, L)-*-0
точна. Здесь i —сумма вложений, а р задается формулой с>—*-рс.
Доказательство. Очевидно, достаточно рассмотреть лишь
те я-мерные цепи, которые целиком лежат в орбите какого-
нибудь симплекса s из К, не лежащего в L. При этом возможны
два случая; либо s лежит в К°, либо нет. Для s^Ka имеем
rs = 0, так что ps = 0 = ps, и все доказано.
Если же s не лежит в Ка, то и-мерная цепь в G(s) имеет
вид ^Plnigis, п; е Zp, и однозначно определяется элементом 2 nigi
группового кольца Л = ZpG. Поэтому достаточно установить точ-
точность последовательности
С этой целью заметим, что все ее члены являются Zp-вектор-
ными пространствами и что i мономорфно, а р эпиформно. Поэ-
Поэтому достаточно установить равенство dimpA + dimpA = dim Л =
= р, где dim —размерность Zp-векторного пространства. Рассмот-
Рассмотрим подпространства т'Л, 1 =scis^p— 1. Ядро оператора т: Л->Л
состоит из элементов с одинаковыми коэффициентами, и, следо-
следовательно, оно одномерно и порождается элементом о= 1+? + ...
. .. + g'p~1- Таким образом, dimxA = dim Л— 1. Но для всех /
имеем ker т = Zpff с т'Л, так как 0 = т''~1 = т.'тр~'~1. Поэтому, более
общо, dimT'+1A = diiTiT(T'A) = dimT'A—1. Так как dimA = p,
отсюда следует, что di m т'Л = p — i. |
3.2. Определение. Для р = т', l^ts^p —1, положим
№ (/С, L; ZP) = H(pC(K, U Zp)).

3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТОГО ПЕРИОДА 127
Эта градуированная группа называется специальной гомологиче-
гомологической группой Смита.
Замечание. Важно иметь в виду, что мы использовали
группу рС(К, L; Zp), а не группу рС(К, L) (g) Zp-
Обычным образом, короткая точная последовательность из
3.1 индуцирует длинную точную гомологическую последователь-
последовательность.
3.3. Теорема. Для р = т'\ lsgis^p — 1, имеется точный
треугольник (коэффициенты — из поля ХР)
H{K,L)
где степень гомоморфизмов i* и р* есть О, а степень гомомор-
гомоморфизма 6.,. есть —1. Щ
Эти последовательности (треугольники) называются последо-
последовательностями Смита. Обычно они используются при р = а и
р = т.
Хотя большинство групп Смита нельзя интерпретировать
в более привычных терминах, для группы На (К, L) это сделать
можно. С этой целью заметим, что отображение а: С (К, L; Хр)-*-
-*-С(К, L; Zp) обладает тем же ядром, что и композиция
С (К, L; ZPI~C(K, Ka[)L; ZP)~C(K*, Ka\jL*; ZP)
(в противоположность § 2). Это следует из того, что если s —
симплекс из К — L, то a(^lnigis) = (^tni)a(s) = 0 тогда и только
тогда, когда или ^щ = 0, или s е К° ¦
Следовательно, соответствие ас i—*¦ л/ (с) устанавливает изо-
изоморфизм образов этих отображений. Переходя к гомологиям, по-
получим
C.4) Н°(К, L; ZP)^H(K\ Ka \}L*; ZP).
Более того, ясно, что диаграмма
C.5)
0-+хС(К. L)@C(Ka, L°) -> С (К, L) ^ аС (К, L) -*-0
j Оф incl | л | =5
0-+C(Ka[)L*,L*) ->C(K*,L*) '-C(K*, KG[)L*)-+0
коммутативна и, следовательно, индуцирует гомологическую
лестницу, которую мы здесь не приводим.

128 гл. ш. гомологическая теория
Обозначив для краткости рС(К, L; Ър) через С(р), заметим,
что при р > 2 диаграммы
0^С(т)©С(/Сс, L°) -> С (/С, L) - — С (ст) - • О
C.6) J т"-2©0 \ т""8 | incl
0->С(а)фС (Ка, LG)-»C (К, L) -Х- С (т) - - 0
()ф(Ка, La)-+C(K, L) Х-С(т) -—О
C.7) \ П.о1®1 | 1 | г""»
О->С(тHС(/С°\ LG)->C(/(, L) °-C(ff) ~0
коммутативны. Возникающие гомологические лестницы приводят
к установлению взаимосвязей между последовательностями Смита
для р = а и р = т.
Заметим, что из C.1) для всех j, lsS/^p, вытекает точ-
точность последовательности
K, L)-*-0.
Поэтому имеется точный треугольник
нЛк,ь)
где горизонтальная стрелка имеет степень —1, а остальные —
степени 0.
Эти результаты очевидным образом переносятся на когомоло-
гии. Так, можно определить специальные когомологические группы
Смита Яр (/С, L\ Zp) =Н* (рС (К, L; ЪР)\ Z,,) как гомологии ко-
цепного комплекса Hoin(pC(/C, L; ZP)ZP)- (Мы используем здесь
обозначения Спеньера [1], с. 306.)
Последовательность 3.1 дуализируется в точную последова-
последовательность коцепных комплексов, и переход к гомологиям дает
точный треугольник Смита для когомологических групп
H*(K,L)
C.9) р/ N*
где гомоморфизмы /* и р* имеют степень 0, а гомоморфизм б* —
степень -{- 1. Сходным образом дуализируется треугольник C.8).

4. ЭЙЛЕРОВЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ И РАНГИ ' 129
Изоморфизм аС(К, L\ ZP)^C(K*, Ka\jL*; Zp) влечет изомор-
изоморфизм
(ЗЛО) Н%(К, L; ZP)^H*(K\ Ka[}L*\ ZP),
двойственный изоморфизму C.4).
Группы Смита естественны. Более точно, эквивариантное сим-
шшциальное отображение /: (К, L)-*-(K', V) индуцирует гомо-
гомоморфизмы групп Смита /,: Н" (К, L) -*¦ Н« {К', L') и /*: Щ (К', U) -*•
->~Нр(К, L). Очевидно, что эти гомоморфизмы коммутируют
с гомоморфизмами в последовательностях Смита.
Более того, отметим (для удобства дальнейших ссылок), что
если /0 и Д — эквивариантные симплициальные отображения (К, L)-*-
-+-(K',L') пар регулярных G-комплексов, являющиеся смежными,
т. е. для любого симплекса s из К (или из L) /0 (s) и f\ (s) лежат
в одном симплексе из К' (или из L'), то индуцированные цепные
отображения /0, fx: С (К, L)-+C(K', L') эквивариантно цепно
гомотопны. Для доказательства этого упорядочим вершины комп-
комплекса K/G. Это упорядочение индуцирует упорядочение вершин
любого симплекса s из К, и полученные упорядочения симплек-
симплексов эквивариантны относительно G-действия на К- Теперь для
s = [v0, ..., vn] с данным порядком вершин положим Ds =
п
-= 2 (—!)'IM>. -..JoVhfiVh ¦¦-, /if»]- Очевидно, что Dd + dD=
1 = 0
= /i — /о и что Dg = gD. (Это все верно, конечно, и для любой
группы G, но будет использоваться лишь для рассматриваемого
случая группы G простого порядка р.) Так как симплициальное
отображение D эквивариантно, то Dp = pD для всех р = т' и,
следовательно, D индуцирует цепную гомотопию между ограни-
ограничениями /0 и Д на подкомплекс рС(К, L). Следовательно, смеж-
смежные эквивариантные отображения /0 и fx индуцируют одно и то же
отображение НР(К, L)^-HP(K', L') для любого р (и аналогично
в когомологиях).
4. Эйлеровы характеристики и ранги
Здесь мы применим развитую в § 3 алгебраическую технику
для описания более явных связей между группами Н (К), Н (Ка)
и Н(К*), открытых Флойдом [3]. Как и в § 3, через К обо-
обозначается регулярный G-комплекс, где G —циклическая группа
простого порядка р, а К* есть K/G- Областью коэффициентов
гомологических групп является, как всегда, поле Zp. Через
rk Hi (К) обозначается ранг (т. е. размерность) Zp-векторного про-
пространства Hi {К)-
4.1. Теорема. Пусть К — конечномерный регулярный G-комп-
лекс, и пусть La К — инвариантный подкомплекс. Тогда, для любого
б Г. Буьдон

130 гл. ш гомологическая теория
целого й^О й любого р — т', l^i^p—1, имеем
гк Нрп (К, L) + 2 гк И, (KG, LG) ^ Ц rk Я,- (К, L).
В частности, если правая часть конечна, то такова же и левая
часть, поэтому для всех i^n конечен и ранг rk#,(/C*, L*\}K°)-
Доказательство. Точность последовательности
Н?+, (К, L) -> Hf (К, L) 0 Н, (Ka, La) -> Я,- (К, L)
(из 3.3) показывает, что
rkHf(K, Lj + rkHiiK0, La)^rkH?+l(K, L) + rbHi(K, L)
(напомним, что р и р можно поменять местами) Положим а; =
= rk Hi {Ka, La), bt = rk Hi (К, L), с, = rk Hf (K, L), c,- = rk Hf {K, L).
Тогда имеем
D.2)
~T~ &n+%h ^a ^Я+2*1-1 "Т" "n+
Далее, если 2 ^ бесконечна, то теорема тривиально верна
Предположим, что для г2*л имеем Ь,<оо. Для «+2A
имеем Cn+tkn = 0, так что в последнем неравенстве обе части
конечны. Отсюда следует, что и в предпоследнем неравенстве обе
части конечны, и т. д. Следовательно, во всех неравенствах из
D.2) фигурируют конечные величины Сложив эти неравенства и
приведя подобные, получим с-\- ^ а,-^^]Ьг, что и утвержда-
лось. Последнее утверждение теоремы следует из того, что в силу
C.4) имеем Ht(K*, L* [) К°) ъ* Н? (К, L). |
4.3. Теорема. Пусть К — конечномерный регулярный G-комп-
лекс, и пусть LczK — инвариантный подкомплекс. Предположим, что
rkHi(K, UZpXoo, и nycmbx(K,L)='Z(—iyrkHi(K,L\Zp)~
эйлерова характеристика пары (К, L). Тогда
В частности, % {Ка, L°) == х (К, L) mod p.
Доказательство Для начала отметим, что все эйлеровы
характеристики определены. Из 4.1 следует, что rk H (K°, L°) <!oq

4. ЭЙЛЕРОВЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ И РАНГИ 131
и гк//(/(*, L* \]Кв)<оо. Из точности треугольника
H{K*,L*)
H(K*L*UK6)^H(L*UKG,L*)~H(Ke,Le)
следует, что гкН{К*, L*)<.oo, что и требуется. Мы восполь-
воспользуемся тем обстоятельством, что если
В
есть точный треугольник градуированных абелевых групп с deg/ =
= O = degg и degh = — 1, то %{В) = %(А) + %(С). Этот хорошо
известный факт следующим образом вытекает из того, что при
переходе к гомологиям эйлерова характеристика не меняется
(см. С п е н ь е р [1], с. 225). Рассмотрим треугольник как цепной
комплекс. Его гомологии тривиальны, и, следовательно, его эйле-
эйлерова характеристика есть 0. Применительно к градуированным
группам А, В, С это дает равенство %(В) — %(А) —%(С) — 0, что
и утверждалось.
Из точности первого треугольника следует теперь, что
Х(К*. L*) = %(K*, L*[]KG) + %(Ka, La). (I)
Полагая % (p) = X Шр {К, L)), из точности последовательности Смита
(см. 3.3) при р = а получим, что
X(К, L) = %(<У) + Х(г) + %(Ка, L°). B)
Аналогично из C.8) получаем
C)
Складывая B) и C) и приводя подобные, получим равенство
Х(К, L) = px(G)-{-%(ka, La). Используя A) и тот факт, что х(о) =
= Х(К*, L*\}Ka) в силу C.4), имеем Х(К, L) = p(i(K*. L*) -
б*

132
ГЛ Ш. ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
Замечание. Результаты этого параграфа и их обобщение
на случай локально компактных пространств получил Ф лойд [3].
Дальнейшие обобщения дал Хеллер [2], см. также Су он [2].
Нетрудно доказать эти результаты, так же как и результаты
следующего параграфа, используя вместо гомологии когомологии.
Читатель, имеющий лишь начальное топологическое образование,
может проделать это упражнение в качестве практикума по кого-
мологиям.
Б. Гомологические сферы и диски
Здесь мы применим результаты предыдущего параграфа к изу-
изучению частных случаев: действиям на гомологических сферах,
дисках и ацикличных комплексах.
5.1. Теорема. Пусть G — некоторая р-группа (р —простое).
Если К — конечномерный регулярный G-комплекс, являющийся Хр-го-
мологической п-мерной сферой (т. е. Н (К; Zp) ^ Я (S"; Ър)),то
для некоторого г, —1=е;г<сп, комплекс Ка является %р-гомоло-
гической г-мерной сферой {где г = ~ 1 означает, что Ка пусто).
При этом, если р нечетно, то п — г четно.
Доказательство. Так как любая р-группа разрешима1)
(на самом деле она даже имеет нетривиальный центр), то в G
имеется нормальный делитель С ф \е\. Так как F(G, K) — F(G/G',
F(G', К)), можно, используя индукцию по порядку группы G,
свести все к случаю циклической группы порядка р. В этом слу-
случае из 4.1 следует, что rkH(Ka)^rkH(К) = 2. Но случай
гкЯ(/С°) = 1 невозможен, так как тогда х(Кв)= 1фО, 2 mod р,
что противоречит 4.3. Если р нечетно, то из yv (/(с) = %(/() modp
следует, что п — г четно. j§
Пара (К, L) называется ХР-гомологическим п-мерным диском,
если Hi {К, L; Хр) = 0 для 1фп и Нп (К, L; ZP)^ZP. Почти
так же, как и теорему 5.1, но чуть более просто, можно дока-
доказать следующий результат.
5.2. Теорема. Пусть G — некоторая р-группа (р — простое),
и пусть К — конечномерный регулярный G-комплекс, а L — его инва-
инвариантный подкомплекс. Если пара (К, L) является ХР-гомологическим
п-мерным диском, то для некоторого г, — 1 sg г ^= п, пара (Ка, L°)
является Хр-гомологическим r-мерным диском. При этом, если р
нечетно, то п — г четно. |
Теперь мы покажем, как устроить канонический изоморфизм
Нп(К, L)^НГ(Ка, La) в ситуации теоремы 5.2. Аналогичное
возможно сделать и для теоремы 5.1. Мы сосредоточим наше
внимание на случае, когда G есть циклическая группа порядка р.
*) И даже нильпотентна. — Прим. перев.

5. ГОМОЛОГИЧЕСКИЕ СФЕРЫ И ДИСКИ 133
Сначала отметим, что композиция Нп(К, L)p~Hn(K, ?.)'*-
1хНп{К, L) есть в точности операция умножения на р, где р = т
или р = о. Но элементы группы G действуют на Нп(К, L) три-
тривиально, так как ZP не допускает автоморфизмов порядка р.
Поэтому, очевидно, р индуцирует нулевое отображение Нп (К, L) ->
->#„(/(, L), так что iHcpHl=0.
Если г = п, то отображение Нп(К°, L°)-+Hn{K, L) должно
быть изоморфизмом в силу того, что Hn+i(K, L) = 0 по 4.1.
Если же г <Ln, то из точности последовательности
0-+№(К, L)±Hn(K, Ц~?--Н1{К, L)
следует, что i* инъективно и, следовательно, р*=0 (так как
t,p#=O). Аналогично в размерности п имеем ^„,=0. Следова-
Следовательно, /*: Нрп{К, L)-*Hn(K, L) — изоморфизм.
Анализ последовательностей Смита показывает, что
б,: HUK, L)~H*n-i(K, L),
б,: Ю+ЛК, L) ~Нг{Ка, LG)
— изоморфизмы, где т] = р для четных п — г и п = Р Для нечет-
нечетных га —г (в последнем случае обязательно р — 2). Поэтому ком-
композиция
E.3) Нп (К, L) ^ Hi (К, L) -*=• Я8 _ 1 (/С, L) -=. ...
и представляет собой требуемый явный изоморфизм. На первый
взгляд кажется, что этот изоморфизм зависит от того, выберем
мы р = о или р — х. Но нетрудно проверить, используя C.6) и
C.7), что в обоих случаях получается один и тот же изоморфизм.
Отметим, что в частном случае теоремы 5.2, при Ь = ф и
л = 0, из конечномерности и Zp-ацикличности комплекса К сле-
следует Zp-ацикличность (и непустота) комплекса Кв, где G есть
р-группа Для комплекса K*=K/G справедлив и более сильный
результат.
5.4. Теорема. Пусть G —некоторая конечная группа и К —
конечномерный регулярный G-комплекс. Если К, ацикличен {над
кольцом целых чисел), то K/G тоже ацикличен.
Доказательство. Сначала докажем, что для любого про-
простого р комплекс К* Zp-ацикличен. Кроме того, ограничимся
пока рассмотрением р-группы G. Для нормального делителя

134
ГЛ III. ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
G' cG имеем KiG^(KlG')l(GiG'), и индукцией по порядку группы О
всё сводится к случаю циклической группы порядка р. В -,том
случае из 4.1 при р = о и любом п^О имеем И „{К*, Кв\ Zp) =
— Н°(К; Zp) = 0. Так как комплекс К° Zp-ацикличен, то К*
тоже Zp-ацикличен.
В случае произвольной конечной группы G обозначим через Р
ее силовскую р-подгруппу. Тогда в силу сказанного выше К/Р
Zp-ацикличен. Из B.6) следует, что композиция гомоморфизмов
'H(K/G\ Ър)-+ Н(К/Р; Zp)-» Я (K/G; Zp) является умножением на
\G\J\P\. Так как jG|/|P| взаимно просто ери Я,-(Л7Я; Zp) = 0
при г>0, то K/G Zp-ацикличен (уже для всех р).
Индуцированная короткой точной последовательностью 0->Z p-
-"¦• Z-* Zp-*¦ О последовательность Нп(К*; Z)p-Hn{K*; Z) —
->//„(/(*; Zp) = 0 точна, поэтому Я„ (/("*; Z) —делимая группа.
Но так как из B.2) следует, что композиция Нп{К*; Z)->
->Нп(К; Z)->Hn{K*\ Z) (где Нп(К; Z) = 0) есть умножение на
\G\, то Н„(К*\ Z)=»0 при п>0. |
Замечание. Теоремы 5.1 и 5.2 фактически доказал Смит[1].
Приведенные доказательства принадлежат Флойду [3], а рас-
рассуждения после 5.2 тесно связаны с методом Смита. Теорему 5.4
доказал Флойд [10].
Следующая теорема аналогична теореме 5.4, но условие конечно-
конечномерности заменяется в ней условием на множества неподвижных
точек, что обеспечивает более сильное заключение. Полезно рас-
рассмотреть частный случай свободного действия.
5.5. Теорема. Пусть К —регулярный G-комплекс, где G —
конечная группа, и L — инвариантный подкомплекс. Если для дан-
данного простого р имеем Я,-(/(р, Lp\ Zp) = 0 для is^n и всех р-под-
групп Р группы G (включая Р = {е\), то и Нг(К*, L*\ Zp) = 0
для i «?. я. Еели же это выполняется для всех простых р и, кроме
того, Hi (К, L; Zp) = 0 при i ^ п, то Hi (К*, L*\ Zp) = 0 для i < п.
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 5.4,
достаточно рассмотреть лишь случай, когда G есть циклическая
группа простого порядка р, и мы дадим доказательство лишь
в этом случае. Выберем k^n и предположим, что доказано ра-
равенство Hf (К, Ц = 0 при i<.k и р = а или р = т. Из точности по-
последовательности Смита 0 = Hk (К, L) -*¦ Щ (К, L)-> Я?_ i (К, L) ©
фЯ^-Д/С0, LG) = 0 следует, что Hpk{K, L)=0. Поэтому, индук-
индуктивно, Ht(K*, Ka U L*)«йН° (К, L) = 0 при /<;/г. Так как по
аксиоме вырезания Hi{Ka[)L*, L*)wHi(Ka, La) = 0 при i^n,
то из точности последовательности Я,- (Ка U L*, /,*) -*¦ Ht (К*, L*) ->
-+Ht(K*, Ka[)L*) следует, что Hi {К*, L*\ ZP) = 0 при t<n.
Теперь, обычным образом используя инлуктпные аргументы,
легко показать справедливость теоремы для всех р-групп G.

6. ТЕОРИЯ ЧЕХА И G-ПОКРЫТИЯ
135
В общем случае доказательство проводится точно так же, как
доказательство соответствующего утверждения в 5.4, и мы не
будем его повторять. Щ
6. Теория Чеха и (/-покрытия
В следующем параграфе мы покажем, как, используя чехов-
чеховские гомологии и когомологии, обобщить результаты предыдущего
параграфа на действия на довольно большом классе топологиче-
топологических пространств. В этом параграфе мы изложим необходимые
сведения о теории Чеха и покрытиях G-пространств. Мы считаем,
что читатель знаком с построением теории Чеха, например, по
книге Стинрода и Эйленберга [1]. Отметим, что, за един-
единственным исключением, мы будем работать лишь с самоиндекси-
самоиндексированными1) открытыми покрытиями: это упростит обозначения
и позволит нам избежать логических трудностей. Все пространства
предполагаются паракомнактными и хаусдорфовыми.
Прежде всего мы опишем подходящие типы открытых покры-
покрытий паракомпактного G-пространства Х; при этом на протяжении
всего параграфа G предполагается конечной.
Если # —открытое покрытие пространства X, то для ^eG
семейство gU = \g(U) j U e У.) — тоже открытое покрытие. Если
gU = U для всех g^G, то U называется инвариантным покры-
покрытием. Для двух покрытий U и ^ покрытие U П *1Г = {U f| V |
(/ей, I/ e "Ч") вписано, как в 21, так и в \?'J. Очевидно также,
что Р| g# — инвариантное покрытие, вписанное в 21. Кроме
того, это покрытие является локально конечным, если таковым
является U. Таким образом, для паракомпактного X локально
конечные инвариантные покрытия кофинальны2) в семействе всех
покрытий пространства X.
Назовем пространство X финитным, если оно удовлетворяет
«условию Суона», т. е. если в любое его покрытие можно вписать
конечномерное подпокрытие (размерность покрытия —это размер-
размерность его нерва, т. е. число, на единицу меньшее максимального
числа (нетривиально) пересекающихся элементов покрытия). Оче-
Очевидно, что если dim#sg;n, то dim f~] gU <; (п -f-1) G| — 1. В
гее
частности, если X финитно, то конечномерные инвариантные по-
покрытия кофинальны в семействе всех покрытий. Отметим два
х) Покрытие \Ua} называется самоиндексированным, если при а Ф р имеем
иаф Uf,- —Прим. перев. щ
2) Напомним, что подмножество А частично упорядоченного множества В
называется кофинальным в (В; >:), если для любого b e В найдется такой
ае Л, что a'^sb. — Прим. перев.

138
ГЛ. III. ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
важных класса финитных пространств: компактные пространства и
конечномерные пространства.
Пусть 21 — локально конечное инвариантное покрытие про-
пространства X, и пусть /= \fu | U e 21) — подчиненное этому покры-
покрытию разбиение единицы. Тогда / называется С-разбиением единицы,
если fgU {gx) = fu(x) для всех g, x и U.
По любому разбиению единицы /={/t/}. подчиненному инва-
инвариантному покрытию 21, можно построить G-разбиение /', пола-
полагая fh (х) = -G- ^ fgu
8
Действительно,
Гни (hx) = jqj 2 fghu ighx) = -щ ^ h'и (g'x) = f'u (x),
g g'
что и утверждалось.
Пусть теперь К {21) — нерв инвариантного покрытия U про-
пространства X (т. е. К (U) — симплициальный комплекс, верши-
вершинами которого являются элементы U Ф ф покрытия 21, а симп-
симплексами—такие наборы (?/„, ..., Un), что Uo(] ... (]ипФФ).
Тогда К(^) обладает канонической структурой G-комплекса. Пусть
/ = {/,.' есть G-разбиение единицы, подчиненное покрытию U, и
пусть /: Х-»-| К {21) j — ассоциированное отображение вида /(х) =
= 2/^ (*) ^- Тогда / эквивариантно, так как f (gx) = ]>]fu{gx)U =
= 2] /Уу (gx) gU^Ytfu {x) gU = gJ]fu (x) U = gf (x).
и и и
Рассмотрим симплициальный комплекс L и непрерывное ото-
отображение k: X-*-\L\. Обозначим через k'L покрытие простран-
пространства X, элементы которого суть прообразы открытых звезд вер-
вершин полиэдра \L\. Если L есть G-комплекс и k — эквивариантное
отображение, то kxL — инвариантное покрытие. Кроме того, если L
удовлетворяет условию (А') § 1, то ему удовлетворяет и нерв
К {k~lL). Аналогично регулярность G-комплекса L влечет регу-
регулярность нерва К (/r'L). (Для доказательства этого факта полезно
переформулировать для нерва покрытия условия (А') и (В) § 1
непосредственно в терминах покрытия, см. ниже.)
Возвращаясь к эквивариантному отображению /: _Х-*-\ К{21)|,
отметим, что f'xK{22) вписано в 21 (на самом деле /"'К{21) есть
покрытие открытыми множествами U' = \х \ fv {x) Ф 0} с U). Пусть
L —второе барицентрическое подразделение комплекса К(#);

Й. ТЕОРИЯ ЧЕХА И в-ПОКРЫТИЙ 137
отметим, что полиэдры \L\ и |K(#)i идентичны. Тогда j~lL —
инвариантное покрытие, вписанное в 21, и его нерв К {f~lL) наде-
наделен канонической структурой G-комплекса. Кроме того, так как
конечномерность К {21) влечет конечномерность L, то конечномер-
конечномерность U влечет конечномерность f~l (L).
Инвариантное покрытие U назовем G-покрытием (иногда упот-
употребляют термин примитивное покрытие), если его нерв удовлет-
удовлетворяет условию (А) § 1; иными словами, выполняется следующее
условие.
Для любых ?/<=# и g^G из Uf]gU^0 следует, что 11 =
U
g
Назовем G-покрытие U регулярным, если его нерв —регуляр-
—регулярный G-комплекс, т. е. если для любой подгруппы Н группы G
выполнено следующее условие.
Если для элементов Uo, ..., Un покрытия U и элементов
Ао, ..., hn группы Н имеем Uof\ ... f) Un Ф Ф Ф ho(Jo ft ... [\hnUn,
то найдется такой элемент h^H, что hUt = hiUi для всех i =
= 0, 1, .... п.
Из сказанного выше вытекает следующий результат.
6.1. Теорема. Пусть X — паракомпактное G-пространство,
где G —конечная группа. Тогда семейство всех локально конечных
регулярных G-покрытий кофинально в семействе всех покрытий
пространства Х.Если, кромг того, X финитно, то в семействе
всех покрытий кофинально также семейство всех конечномерных
регулярных G-покрытий. |
Для G-покрытия U пространства X обозначим через UjG мно-
множество орбит G-действия на U (т. е. U e U определяет элемент
V ^lUIG и U" = V тогда и только тогда, когда U = gV для неко-
некоторого g). Через Uо обозначим покрытие пространства X/G мно-
множествами вида U* = G (U)/G, индексированное, однако, элемен-
элементами множества UIG (таким образом, если G (U) = G(V), но для
любого g имеем U=/=gV, то U* и V* считаются различными эле-
элементами покрытия Uo). Так как индексированное покрытие и
ассоциированное с ним самоиндексированное покрытие вписаны
друг в друга, то индексация не влияет на группы гомологии или
когомологий. Очевидно, что таким путем можно получить любое
покрытие ®)Р пространства X/G, так как *V = (я-1бГ) 0, Если ир-
иррегулярное G-покрытие пространства X и Uo, ..., [/„ — такие его
элементы, что U*(]...f\U% = 0, то найдутся такие gt e G, что
gaUo П • ¦ ¦ П gnUn Ф Ф. откуда в силу регулярности покрытия U
следует, что орбита симплекса (g0Un, ..., gnUn) в нерве К (Щ
однозначно определяется симплексом ((/*, •••> U*n) нерва КB1а).
Итак, мы доказали следующий факт.
6.2. Предложение. Если U — регулярное G-покрытие про-
пространства X, то соответствие {gU \g<^G}-+U* = G (U)/G задает
изоморфизм симплициальных комплексов К (&Q/G -^ К (#а)« Ц

138 ГЛ. III. ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
Мы нуждаемся еще в нескольких замечаниях относительно
G-покрытий. Пусть U и *JC —два таких G-покрытия, что У" впи-
вписано в U. Мы утверждаем, что существует') эквивариантное впи-
вписывание р: ^if-b-U; это означает, что V а р (V) и р (gV) = gp (V).
Чтобы доказать это, выберем по представителю каждой орбиты
G-действия на У и на этих представителях определим р произ-
произвольно (но так, что V а р (V)). Если gV=g'V, где У —один из
этих представителей, то (g^g'p (V) П р (V)) =э (g~ig'V) П V = V Ф ф,
так что gp (V) = g'p (V). Следовательно, можно эквивариантно
продолжить р на всё ^°, полагая
Итак, множество G-покрытий, частично упорядоченное посред-
посредством эквивариантных вписываний, является направленным мно-
множеством. Для множества же просто инвариантных покрытий это,
как легко видеть, неверно. По этой причине мы в качестве основ-
основного понятия используем G-покрытия, а не инвариантные покры-
покрытия.
Разумеется, вписывание р: ®\P-^>-U определяет симплициаль-
ное отображение р: К (Х1°)->К (#), которое будет эквивариант-
ным при эквивариантности р. Напомним также, что любые два
вписьпания р0, pt: x\P-^-U индуцируют смежные отображения р0
и р! (см. Стинрод и Эйленберг [1], с. 292).
Напомним теперь определение чеховских гомологических и
и когомологических групп. Для удобства мы ограничимся рас-
рассмотрением таких пар (X, А), что X — паракомпактное простран-
пространство и Л —его замкнутое подмножество. Для открытого покры-
покрытия U пространства X обозначим через К (U \ А) подкомплекс комп-
комплекса К {U), состоящий из таких симплексов (Un, ..., Un), что
иоГ\...[\ип[]Аф ф, а через К (U \ А) обозначим соответствую-
соответствующий полный подкомплекс в К B1), состоящий из всех тех симп-
симплексов (Uo, ..., Ua), что и,Г\Афф и ио()...пипфф.
Если р: ®1Р-*- U — вписывание, то индуцированное симпли-
циальное отображение р: К (ЧР) -> К (U) переводит К ff \ А)
в К (U | А) и К СТ! А) в К {U | А). При этом любые два таких
вписывания р, q: ^iP^-U индуцируют смежные отображения р,
q: К(^°|Л)-»-К(йГ|/4) и K(Ti Л)—v К (Zf | Л). Таким образом,
имеются корректно определенные гомоморфизмы Н (К (*^),
К CV I А)) -> Н (К (И), К (U А)) и Н* (К (U), К (U \ А)) -»-
->Я*(КEТ), KC^J\A)). Аналогичным образом вместо К вез-
везде можно ставить К. Поскольку А замкнуто, то определить
1) Вписывание р: V -> U — это соответствие, сопоставляющее каждому
1/еУ такое р (V) е U, что Vczp{V). Ясно, что такое р (V) выбирается,
вообще говоря, неоднозначно, поэтому для V, вписанного в U, имеется много
вписываний. — Прим. перев.

6. ТЕОРИЯ ЧЕХА И С-ПОКРЫТИЯ 139
чеховские гомологии и когомологии можно так:
Н(Х, А) = ПтН(К(Щ, К {U\ A)),
Н*(Х, A) = \\mH*(K{U), К (U\ А)),
где пределы берутся по направленному множеству всех покры-
покрытий U (или, разумеется, по кофинальному подмножеству этого
множества)х). Покажем теперь, что при использовании К вместо К
мы получим те же самые группы. Это можно доказать стандарт-
стандартным способом, установив кофинальность множества тех покрытий,
для которых К = К, что сделано в книге Стинрода и Эй лен-
бе р га [1] для компактных пространств. (Нетрудно, однако,
обобщить их доказательство на случай паракомпактных про-
пространств, и это хорошо известно.) Однако этот способ не совсем
подходит для наших целей; более удобно вывести желаемый
результат из следующей леммы, позволяющей вписывать «подхо-
«подходящие» покрытия для всех подпространств А с X одновременно
и «эквивариантно».
Напомним, что вписывание р: ®T-*-U покрытия **)Р в покры-
покрытие U называется звездным, если из V f] V Ф ф следует, что
V'czp(V) (см. Дугунджи [Р, с. 167). В этом случае говорят
также, что **№ звездно вписано в U.
6.3. Лемма. Пусть U —некоторое покрытие пространства X
и р: ^V-*¦ U — звездное вписывание. Тогда для любого подмноже-
подмножества А пространства X образ отображения р: K(*V\A)->-
-*- К (U | А) содержится в К(#|Л). Если, кроме того, X — пара-
компактное G-пространство и U — его G-покрытие, то существует
G-покрытие "У, допускающее эквивариантное звездное вписывание
р: 4°^U.
Доказательство. Если (Уо, ..., Vn) — симплекс из
К(Т\А) (т. е. У,{]Афф и У0П-..(]УаФф), то Voczp(Vt)
для всех г. Поэтому p(V0){\...f\p(Vn) zd Vo =d 1/„П А Ф 0 и,
следовательно, (p(V0)> •••> Р(Уп)) — симплекс из К {U \ А).
Докажем последнее утверждение. Покрытие U без ограниче-
ограничения общности можно считать локально конечным. Пусть f есть
С-разбиение единицы, подчиненное покрытию U, а /: Х->[К(#)| —
ассоциированное с ним эквивариантное отображение. Пусть L —
второе барицентрическое подразделение нервз К (#); положим
**Т = ]-lL. Тогда ^]Р является G-покрытием, которое, как изве-
известно, звездно вписано в U (см. Дугунджи [1], с. 167 — 173).
Существование эквивариантного звездного вписывания следует
из рассуждений, приведенных после 6.2; более точно, на пред-
1) Более подробно о чеховских когомологиях см. Дольд [1], с. 343 и
далее. — Прим. перев.

140
ГЛ. III. ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ставителях V G-орбит на ^F выберем р так, чтобы для любого V
условие V П V Ф ф влекло включение V а р (V), и продолжим р
на всё V, полагая p(gV) = gp(V). |
Нам понадобится также следующая алгебраическая лемма.
6.4. Лемма. Пусть D — некоторое направленное множество и
\Аа, /а,р} и \Ва, gai$) — обратные системы абелевых групп над D
(так что заданы гомоморфизмы /а,р: А$-*-Аа и ga$: Bp->-Ba для
Р>а). Пусть {па: Да-+-Ва} — гомоморфизм обратных систем
(т. е. ga.$®$ = 6а/а,р)- Предположим, что для любого индекса а
имеется такой индекс р>а и такой гомоморфизм па$: В$-*-Аа,
что диаграмма
коммутативна. Тогда индуцированное отображение 6: МтАа-*-
-»-НтВа является изоморфизмом.
Аналогичное утверждение (с поворотом стрелок) справедливо и
для прямых пределов прямых систем.
Доказательство. Пусть Ka = ker9a и Са = сокег 8а, так
что для любого а последовательность 0->-Д"а->-Ла->-Ва->-Са->0
точна. Если р таково, что р>а и имеется гомоморфизм /ia,g. то,
очевидно, индуцированные отображения К$-*-Ка и Ср-»-Са три-
тривиальны, так что имеем диаграмму
0-
- Вл
¦Ср-^О
1°
Будем писать Р^>а, если как /Ср-*-/Са, так и С$^>Са — нуле-
нулевые отображения. (Так как для любого а найдется Р^>а, то,
в частности, Пт/Ср = 0=:ПтСр. В случае прямых систем отсюда
вытекает требуемый результат, так как функтор прямого пре-
предела точен. Это верно также в случаях, когда точен функтор
обратного предела; например, когда Ла и Ва есть конечномерные
векторные пространства над полем. Этот случай достаточен для
наших целей, однако мы все же дадим доказательство в самом
общем случае. Оно взято из работы Бредона [16], с. 12.)
Если а = {аа\ е 1пп Аа (т. е. /а, вЯр = аа для всех р>а), и
если 8а = 0, то для всех |3 имеем аре/Ср, и для Р^>а имеем
ca = /aiPap = 0, так что а — О и, следовательно, 8 есть мономор-

в. ТЕОРИЯ ЧЕХА И 0-ПОКРЫТИЯ
физм. Пусть теперь Ь = {ba\ e Игр Ва. Если р" >а, то ba = ga, рЬр =
= 9а (aa) для некоторого J) a? ен Ла. Выберем для каждого a
такое «а. и если р*^>а, то положим fla = /a,pQp- Определение
корректно, так как при у>р*^>а имеем
, v
- *р = О,
и потому 0 = /a,p(fp,Y(a^)-op) = /:aiY(a;)-/a,p(a3) по определе-
определению отношения Р^>а. Кроме того, для р*^>а имеем ба(аа) =
= 6a/a,p(ap) = ga,p6p(Op)=ga,pbp = &a. И ДЛЯ ЛЮбоГО у > а (ВЗЯВ
р*>у) имеем /„, Y (aY) = fa, Y/Y, p (fly) = /a, p (а@_) = аа. Следовательно,
a = {aa} определяет такой элемент группы lim Aa, что 8(а) = Ь. Щ
Заметим теперь, что из 6.3 и 6.4 следует, что для паракомпакт-
ногоХ и замкнутых подмножеств А, В из X, взятых для всех покры-
покрытий U, включения пар (К {U\ А), К(# | ?))->(К(#|Л), К(#|Б))
индуцируют изоморфизмы предельных гомологических и когомо-
когомологических групп этих симплициальных пар,
Н(А, B) = \imH(K(U\A), K(U\B)),
Н*(А, B) = \imH* (K(U\A), K(U\B)).
/Здесь использован тот очевидный факт, что Н(А, В) канониче-
канонически изоморфна группе lim Н (К (Ц \ A), K(#|fi)) и аналогично
для когомологий, так как А и В —замкнутые множества; см.
Стинрод и Эйленберг [1], с. 303.)
Важность для нас лемм 6.3 и 6.4 обусловлена следующим
предложением и его следствиями 6.6 и 6.7.
6.5. Предложение. ПустьU — покрытие G-пространства Х,
и пусть А с X — замкнутое инвариантное подпространство. Тогда
существует бТ>, вписанное в М и такое, что К (*VJ \ Aa) a
а К (У31 А)° с К (Т | АО) и К (V \ X") с: К (Ч^а = К (Т \ Х%
Доказательство. Можно считать, что U есть G-покры-
тие. Первое включение означает, что если У(]АаФф (где Уе
е ^i/3), то gfV = V для всех ^, что по определению всегда выпол-
выполнено для G-покрытий. Второе включение означает, что если V П
{\Афф и gV — V для всех g, то У{\А°Фф. Равенство озна-
означает, что V П Xе Ф ф тогда и только тогда, когда gV = V для
всех g. Для х е X — Xе обозначим через Vх маленькую (содер-
(содержащуюся в некотором элементе покрытия И) окрестность точки х,
инвариантную относительно С-действия и такую, что gVx П Vx —
= 0 для g^Gx. Заметим, что gVx[\g'Vхф ф тогда и только
тогда, когда gVx — g'Vx и g(x) = g' {x). Для леХс обозначим
Именно, a^=ha aba. —Прим. перге.

14? ' ГЛ. Ш. ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
через Vх маленькую инвариантную окрестность точки х, и если
х е Ха — А, то потребуем соблюдения равенства Ух(]А = ф. Тогда
окрестности Vх и их образы при сдвигах элементами группы G
образуют, очевидно, требуемое G-покрытие *i-v. |
Замечание. Очевидно, что в ситуации предложения 6.5
имеем К(*^\А)а = К(^"\АО).
Из 6.3 — 6.5 получаем (см. доказательство теоремы 6.7) сле-
следующую теорему.
6.6. Теорема. Если X — паракомпактное G-пространство,
а А а X — замкнутое инвариантное подпространство, то имеются
канонические изоморфизмы
H(XG,
Й*(Х<>, AG)**l\mH*(K(lt)a, K(U\A)G),
где U пробегает все G-покрытия пространства X. §
6.7. Теорема. Пусть X — паракомпактное G-пространство
и А а X — замкнутое инвариантное подпространство. Тогда
имеются естественные изоморфизмы
Н(Х*, А*иХа)^\т\Н(К(Ю/О, (К {U \ А) U К (U)G)jG\
Н*(Х*, A*[}X°)**limH*(K(U)/G, (К (U \ А) [} К (U)G)lG),
где U пробегает все G-покрытия пространства X.
Доказательство. Если U регулярно, то изоморфизм
К (U)/G «=; К {Ua) из 6.2 индуцирует, очевидно, изоморфизм
(К {U i А) 1) К (U | XG))IG ъ* (К {U \ A U XG))/G *ы К {21 а ! (Л * U XG)).
Таким образом, фигурирующие в формулировке группы гомоло-
гомологии (и когомологий) изоморфны соответствующим группам,
построенным посредством пары (К {U)IG, (К (U \А) [] К (U \ XG))/G).
В силу 6.5 имеется кофинальная система G-покрытий U, для
которой
(К (U)IG, (К (U \A) U К (Ц | XG))IG) с
с (К (U)IG, (К {U i A) U К {2l)G)lG)^
a{K(U)lG, (KBl A)\)K(U\X°))IG).
В силу 6.3 имеется такое вписанное в U покрытие ^V и такое
эквивариантное вписывание, которое переводит пары, фигурирую-
фигурирующие в правой части (и, следовательно, в середине) для покры-
покрытия бТ>, в пары, фигурирующие в левой части для покрытия U.
Из 6.4 следует теперь, что эти включения индуцируют изомор-
изоморфизмы предельных групп гомологии и когомологий. Щ
Замечание. Разумеется, в 6.6 и 6.7 можно брать пределы
по любой кофинальной системе G-покрытий, поэтому можно огра-

7. СЛУЧАЙ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ '43
ничиться регулярными (и конечномерными для финитного X)
покрытиями, хотя мы и не утверждали, что в 6.5 можно найти
регулярное *}Р. Возможно, что имеется кофинальное множество
регулярных покрытий "Х1Р, для которых включения из 6.5 являются
равенствами. Однако доказать это трудно, и в этом нет необхо-
необходимости. В случае циклической группы простого порядка покры-
покрытия со сходными свойствами построил Смит [1], назвавший их
«специальными покрытиями».
Отметим, что если /: Х-»-К —эквивариантное отображение G-
пространств, a U есть G-покрытие пространства Y, то f~l7l =
= {/-'?/1 U e U\ является G-покрытием пространства X, регуляр-
регулярным в случае регулярности U. Отсюда вытекает естественность
конструкций, основанных на переходе к пределу по множеству
всех G-покрытий или регулярных G-покрытий.
7. Действия конечных групп на произвольных пространствах
Здесь мы используем идеи § 6 для распространения результатов
предыдущих параграфов на действия конечных групп в более
широком классе топологических пространств.
Пусть X — паракомпактное G-пространство, где G — конечная
группа, и А ег X — замкнутое инвариантное подпространство.
Пусть, далее, U — регулярное G-покрытие пространства X. Име-
Имеется трансфер ц?: Я (К (#)/G, К (U \ A)/G)-+H(K (#), K(U\A)),
удовлетворяющий условию B.2). Если ^ — регулярное G-по-
G-покрытие, вписанное в 21, то имеется эквивариантное вписывание р:
®iP-*-U, так что возникает диаграмма
Я (К (*F)/G), К (Т | A)/G) ^ Н (К D/=), К (Г \ А))
Н (К (ff)/G), К {U | A)/G) Ь. н (К {U), К {U \ А)),
коммутативная в силу естественности трансфера, причем верти-
вертикальные отображения не зависят от выбора р в силу того, что
смежные эквивариантные симплициальные отображения К (^ ) -*¦
->-КB0 индуцируют смежные отображения KC^/G-vK (U)jG.
Переход к пределу дает трансфер щ: Н(Х*, Л*)-»-Я(Х, А)
(где X* — X/G и Л* = A/G), для которого справедлив аналог фор-
формулы B.2)
я*И* = | G |: Я (X*, Л*) - Я (X*, Л*),
^Ло, = 2^*: Я(^, ^)^Я(Х, Л).
Подобным образом строится аналог обобщенного трансфера B.5)
и его дуализация в когомологиях. Следующая теорема очевидна.
7.2. Теорема. Пусть G — конечная группа, X — паракомпакт-
паракомпактное G-пространство и A cz X — инвариантное подпространство.

144 гл. ш. гомологическая теория
В этом случае для гомологии Чеха справедлива теорема 2.4 с заме-
заменой пары (К, L) парой (X, Л). Аналогичное утверждение спра-
справедливо и для когомологий Чеха. Щ
Теперь рассмотрим обобщение последовательностей Смита.
Итак, G есть циклическая группа простого порядка р, и мы рабо-
работаем лишь с коэффициентами в %р, если специально не оговорено
противное.
Пусть U — некоторое G-покрытие пространства X. Рассмотрим
специальные группы ЯР(К(#), К(#|Л)), Я?(К (#), К {U \ Л)),
где р = т', lsgt^p— 1. Как показано в § 3, эквивариантные
отображения индуцируют гомоморфизмы этих групп. Так как
любое G-покрытие *\р, вписанное в И, допускает эквивариантное
вписывание, то возникают индуцированные гомоморфизмы
нцк(Ф), к(Ч
Н*р (К (И), K(
При этом любые два эквивариантных вписывания индуцируют
смежные эквивариантные симплициальные отображения и инду-
индуцированные цепные отображения эквивариантно цепно гомотопны.
Как указывалось в § 3, отсюда следует, что построенные выше
индуцированные гомоморфизмы гомологических групп не зависят
от выбора эквивариантного вписывания. Следовательно, можно
определить группы
( ) (@ K{U\A)),
G.3) , —
Щ{Х, Л) = НтЯг(К(#), К(И\А)),
где U пробегает все G-покрытия пространства X.
Так как треугольники Смита 3.3 и C.9) естественны (в силу
6.6), то возникают индуцированные треугольники
Й(Х,А)
G.4) J^
Н*(Х,А)
G.5)
Так как функтор прямого предела точен, то треугольник G.5)
для паракомпактного X и замкнутого А всегда точен. Для

Т. СЛУЧАЙ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ 14.к
точности треугольника G.4), однако, на X нужно наложить неко-
некоторые ограничения. Так как функтор обратного предела точен
на категории конечномерных векторных пространств над полем,
в данном случае — над полем 2Р (см. Стинрод и Э й лен-
бе р г [1], с. 283), то треугольник G.4) заведомо будет точен
для компактного X и замкнутого А (так как в этом случае
семейство конечных G-покрытий кофинально).
Очевидно, обобщается и треугольник C.8), а такжэ его кого-
когомологический аналог. Этого объяснять мы не будем.
Заметим, что изоморфизм На (К (U), К {U \ А))*& Н (К {2l)lG,
(К (U \ A) U К (U)e)/G) (см. C.4)) естественен, как и двойственный
ему изоморфизм C.10). Поэтому в силу 6.7 имеем изоморфизмы
G 6) Н°(Х, А)ъН(Х*, А*\)Х*),
Щ(Х, А)**Й*(Х*, А*[)Х%
Более того, гомологические (и когомологические) диаграммы,
индуцированные диаграммой C.5), естественны, как и изомор-
изоморфизм вырезания H(Ka\]L*, L*)<^H(Ka, L°). Следовательно, из
C.5), 6.6 и 6.7 получаем коммутативные диаграммы
...-+Н°п + х{Х, А)-+Н1(Х, А)@Нп{Х°,
G.7) 1» Joei
Й
-+йя(х; а*)^йп(х*, л*и
и
...->Я"(Х*. А*{]Ха)-+Нп(Х*, А*)^
G.8) Н К
...~»НПо(Х, А)
Аналогично, имеются коммутативные диаграммы, индуциро-
индуцированные диаграммами C.6) и C.7).
Теперь мы займемся обобщением результатов §§4 и 5. Эти
результаты переносятся в основном на когомологии финитных про-
пространств X и их замкнутых инвариантных подпространств А
(вместо пар (К, L)) и, за двумя исключениями, на гомологии ком-
компактных пар (X, А). Чтобы избежать возможного неправильного
толкования соответствующих результатов, мы всюду приводим
полные формулировки. В основном все доказательства проводятся

Нв ГЛ. III. ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
по аналогии с доказательствами соответствующих результатов
§§ 4 и 5, и мы даем их лишь в случае крайней необходимости.
7.9. Теорема. Пусть X — финитное G-пространство, где
G — циклическая группа простого порядка р; пусть АаХ — замк-
замкнутое инвариантное подпространство. Тогда
гкЯр(Х, А) + 2 гкЙ*(Ха, Аа)^ 2 гкЙ'(Х, А).
Если X компактно, то соответствующее утверждение справедливо
и для гомологии.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 4.1.
Однако здесь нам придется воспользоваться индукцией вниз от
бесконечности. Итак, предположим, что Н'(Х, Л) = 0 npn/SsAf.
Мы утверждаем, что тогда и Я'р (X, Л) = 0 = Я'(Х°, Аа) при
i^N. Действительно, если это не так, то существует конечно-
конечномерное G-покрытие U пространства X, столь мелкое, что (при
/С=К(#) и L==K(#|i4)) гомоморфизм Яр (/С, L) © Я' {KG, Lc)->
-+-Нр(Х, А)фН1(Хв, Аа) нетривиален при некотором i^N.
Рассмотрим коммутативную диаграмму
р(К, L)^Hrp(K, L) = 0
Hlp(X, A)SHl(XG, AaN~-Hfl+i(X, A)-+Hrp(X. A),
в которой горизонтальные необозначенные отображения представ-
представляют собой композиции кограничных гомоморфизмов б*: Я'р-^Я^1
и H'~-^H'p+i и где г > dim К. Так как Н1 {X, Л) = 0, то ниж-
нижняя строка диаграммы состоит из мономорфизмов, что противо-
противоречит нетривиальности левого вертикального отображения.
Доказательство гомологического случая оставляется читателю.
Оно использует доказательство теоремы 4.1, которая, конечно,
сама является частным случаем теоремы 7.9. Щ
7.10. Теорема. Пусть G — циклическая группа простого по-
порядка р, X — финитное G-пространство и А — его замкнутое инва-
инвариантное подпространство. Если rkH*(X, A; Zp)<co, mo
Х(Х, А) + (р-\)%{Хв, Аа) = рх(Х*, А*), где х-определенная
посредством чеховских %р-когомологий эйлерова характеристика.
Если X компактно, то аналогичное утверждение верно и для гомо-
гомологии. Щ
7.11. Теорема. Если G—некоторая р-группа (р —простое)
и X — финитное G-пространство, являющееся чеховской Ър-когомо-
логической п-мерной сферой1), то для некоторого г, —l
») То есть Й* (X; ZP)^>H* (S«; Ър). — Прим. перев.

7. СЛУЧАЙ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ 147
Xе является чеховской Хр-когомологической г-мерной сферой. Ана-
Аналогично, если А а X —такое замкнутое инвариантное подпрост-
подпространство, что (X, А) —чеховский Ър-когомологический п-мерный
диск, то для некоторого г, О^г^п, пара (Ха, Аа) является
чеховским Tjp-когомологическим r-мерным диском. В обоих случаях,
если р нечетно, то п — г четно. Если X компактно, то аналогич-
аналогичные утверждения справедливы и для чеховских гомологии. Щ
Заметим, что изложенные после теоремы 5.2 соображения
позволяют явно описать изоморфизмы, устанавливаемые теоре-
теоремой 7.11. Обобщая доказательство теоремы 5.4, получим следую-
следующий факт.
7.12. Теорема. Пусть G — некоторая конечная группа,
а X —такое финитное G-пространство, что Н* (X; Z) = 0. Тогда
и H*(X/G; Z) = 0. |
Пример. Тот факт, что аналог теоремы 7.12 не верен для гомо-
гомологии даже в случае компактных пространств, показывает сле-
следующий пример. Рассмотрим S2 как (неприведенную) надстройку
над единичной окружностью S1 комплексной плоскости. Пусть
/: S2 -> S2 — надстройка над отображением S1->S1 вида г>—>г3.
Тогда степень отображения f равна 3 и, очевидно, { коммутирует
с антиподальным отображением g: S2->-S2. Теперь, рассматри-
рассматривая S2 как Ж2-пространство, где образующий группы Z2 дейст-
действует как g, можно построить Ж2-пространство 2 как обратный
предел последовательности ...—-S2-'-S2 '-S2. Тогда E/Z2 есть
обратный предел последовательности ... ^- Р2 --*- Р2 •-*• Р2. Таким
образом, #2B; Z) = 0, так как эта группа является обратным
пределом последовательности . ..-3-Z -Z J-Z, и, следовательно,
2 ациклично над Z- Но /*: Р2->Р2 индуцирует изоморфизм в го-
мологиях (так как 3^1 mod2), и потому Я, B/Z2; Z)^Z2-
(Заметим, что тем не менее 2 не является Z2-au,HMH4HbiM, так
как Я2B; Z2)^Z2.) Можно доказать, что для компактного X
верен и гомологический аналог теоремы 7.12 при условии, что X
гомологически ацикличен над Zp для всех простых р. Это сле-
следует из того, что компактное пространство с тривиальными
Zp-гомологиями Чеха для всех р имеет тривиальные целочислен-
целочисленные гомологии Чеха (для когомологий аналогичное утверждение
неверно). Последнее, однако, доказать нелегко, и так как мы
не будем пользоваться этим утверждением, то /юказательства мы
не даем. Подобное сказанному выше можно отнести и к следую-
следующей теореме, доказательство которой вытекает из доказательства
теоремы 5.5.
7.13. Теорема. Пусть G — конечная группа, X — параком-
пактное G-пространство и А— замкнутое инвариантное подпро-
подпространство. Предположим, что для данного простого р и любой

148
ГЛ. III. ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
р-подгруппы Р группы G имеем Н'(ХР, Ар; Zp) = 0 при всех i^
Тогда Н'(Х*, A*; Zp) = 0 для всех tag я. Если же это верно для
всех простых р и, кроме того, Н'(Х, A; Z) = 0 для всех i^n,
то Н'(Х*, A*; Z) = 0 для всех г«?я. |
Наиболее интересное приложение этой теоремы и идущего
ниже следствия возникает в случае свободного действия. В этой
ситуации утверждения будут использованы в следующем параграфе
для изучения групп, свободно действующих на сфере.
7.14. Следствие. Пусть G —конечная группа, X и Y — na-
ракомпактные G-пространства и f: X ->- F — эквивариантное
отображение. Предположим, что для данного простого р и любой
р-подгруппы Р группы G отображение f*: H'(YP\ Zp)->
->Я'(ХР; Хр) — изоморфизм при /<я и мономорфизм при i = n.
Тогда (//G)*: H'(Y*; ХР)^Н{(Х*; 1р)-тоже изоморфизм при
i<Cn и мономорфизм при i = п для любой р-подгруппы Р из G.
Если же это справедливо для всех простых р и, кроме того,
*: Hl(Y; Z)^-H'(X; Х)—тоже изоморфизм при /</г и моно-
мономорфизм при i — n, то это верно и для (//G)*: Й'{У*\ %)-*¦
->Я'(Х*; Z).
Доказательство. Это легко следует из теоремы 7.13,
примененной к паре (Mf, X), где М/ —цилиндр отображения
/: X -*¦ Y, и точности последовательности
...-*¦ Я'-1 (X) -> Я' (Mh X) -*. Я' (Y) '- Й' (X) -»-...
пары (Mf, X) (кроме того, надо рассматривать аналогичные
конструкции для отображений X*->F* и Xp-+Yp), где Mf за-
заменено своим деформационным ретрактом Y. |
7.15. Следствие. Пусть G — конечная группа, свободно дей-
действующая на связных компактных пространствах X и Y. Пред-
Предположим, что Й'(Х; Z) = 0 и H'(Y, Z) = 0 для всех i, 0</</г.
Тогда для i<.n имеется канонический изоморфизм H'(X/G; Z)«=*
я« Я' (Y/G; Z). Аналогичное верно, если везде заменить Z полем %р-
Доказательство. Устроим диагональное G-действие на
XxY и рассмотрим эквивариантные проекции X-«-XxF->-V.
Они индуцируют в когомологиях изоморфизмы в размерностях,
меньших п, и мономорфизмы в размерности п. В силу 7.14 это же
верно для индуцированных отображений X/G -*- X XqF-v Y/G
пространств орбит. |
Замечание. Так как X и Y компактны, то, применяя тео-
теорему об универсальных коэффициентах, можно доказать справед-
справедливость заключения следствия 7.15 для произвольных коэффи-
коэффициентов. Заметим также, что такие G-пространства Х с когомо-
логиями, тривиальными в размерностях, меньших п, существуют

8. ГРУППЫ, СВОБОДНО ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА СФЕРАХ 149
для любого га; достаточно в качестве X взять джойн п-\-\
экземпляров группы G. Следствие 7.15 показывает, что группа
H'(X/G; Z) при i<in полностью определяется группой G. Эта
группа называется i-й когомологической группой Н1 (G; Z)
группы G. Она, разумеется, может быть определена чисто алгеб-
алгебраически и с коэффициентами в произвольном G-модуле (см. К ар-
тан и Эйленберг [1] и Мак лейн [1]).
Замечание. Можно попытаться распространить кое-какие
результаты на гомологии, используя гомологии Чеха с компакт-
компактными носителями. Они определяются как Нс (X, А) = Him H (В, С),
где (В, С) пробегает пары всех компактных подпространств из
(X, А). При этом точность последовательности Смита имеет место
для всех пар G-пространств (Х, А). Разумеется, для доказатель-
доказательства большинства результатов пришлось бы использовать индук-
индукцию от бесконечности, как это делалось в доказательстве многих
теорем. Это потребует введения ограничения, аналогичного ко-
конечномерности пространства X и достаточного для того, чтобы
обеспечить равенство Hf(X*, A*[)Xa) = 0 для достаточно боль-
больших L Мы не будем развивать изложение в этом направлении,
так как когомологические результаты по крайней мере не слабее
гомологических, и к тому же значительно проще.
Замечание. Примеры § 7 гл. I показывают, что использо-
использование поля ХР в теоремах 7.9 и 7.11 существенно. Аналогично
примеры § 8 гл. I показывают, что результаты, аналогичные
теоремам 7.9 и 7.11, нельзя, вообще говоря, перенести на дей-
действия групп не простого порядка. Предположение о финитности
пространств тоже существенно. Чтобы доказать это, заметим, что
предел S°° последовательности вложенных сфер S1 cz S2 cz ... (рас-
(рассматриваемый как клеточный комплекс) допускает свободную
инволюцию (антиподальное отображение). Кроме того, клеточный
комплекс S^0 стягиваем, так как все его гомологические группы,
очевидно, равны нулю. Пусть /^ — некоторый полиэдр. Тогда
джойн SCO*K тоже стягиваем и допускает инволюцию с множест-
множеством неподвижных точек К и пространством орбит Р°°*К. Заме-
Заметим также, что (Sc°*K)xSn есть га-мерная гомологическая сфера,
допускающая инволюцию с множеством неподвижных точек KxSn.
Итак, утверждения 7.9 — 7.12 утрачивают истинность при отказе
от предположения финитности.
8. Группы, свободно действующие на сферах
В этом параграфе мы обсудим проблему описания тех ком-
компактных групп Ли G (включая конечные группы), которые могут
свободно действовать на некоторой га-мерной сфере S".
Если га четно, то проблема почти тривиальна, так как из тео-
теоремы Лефшеца о неподвижной точке следует, что в этом случае

'50 гл. ш. гомологическая теория
каждый элемент g^e группы G должен обращать ориентацию.
Так как композиция двух обращающих ориентацию гомеомор-
гомеоморфизмов сохраняет ориентацию, то группа G должна быть Z2
или 0.
Если п нечетно, то проблема становится значительно более
сложной, и фактически окончательно ее решение до сих пор
не дано. Сначала мы докажем один хорошо известный результат,
первоначально полученный Смитом [71, который можно найти
во многих источниках, см., например, Картан и Эйлен-
берг [1], с. 428.
8.1. Теорема. Группа ZP©ZP не может свободно действо-
действовать на финитной Ър-когомологической п-мерной сфере У]л.
Доказательство. Пусть ./V > п — нечетное целое число.
Рассмотрим стандартное действие группы Zp на сфере S^ (дей-
(действие образующего группы задается диагональной комплексной
матрицей diag (е2л'/Р, ..., е2п1'р), действующей на С X... X € = С* г>
idSn, где N = 2k — l. Тогда, очевидно, G = ZP © Zp стандартным
образом свободно действует на S^xS^, и пространство орбит
этого действия есть LwxLA', где LN = SA7ZP- Зададим диагональ-
диагональное G-действие на произведении1) Hnx(SNxSN) и рассмотрим
эквивариантные проекции
2" J- Е" х SN х S^ — S" x SN.
В когомологиях /* является изоморфизмом в размерностях,
меньших N, a ft*—изоморфизмом в размерностях, меньших п, и
мономорфизмом в размерности п. Из следствия 7.14, применен-
примененного одновременно к / и h, заключаем, что Я" B"/G; Zp) содер-
содержит подгруппу, изоморфную группе Н" (LN xLN\ Zp). Напомним,
что H'(LN\ Zp) = Zp при OsS/^yV и Я'(ЬЛ>; ZP) = 0 при осталь-
остальных i (это следует, например, из анализа последовательности
Смита Zp-действия на SN, а также может быть доказано многими
другими способами). Из формулы Кюннета (Спеньер [1], с. 318)
следует^ что Hn{LNxLN; ZP)^ZP9...©ZP (я+1 раз). По-
Поэтому Hn(Zn/G; Zp) должна содержать подгруппу, изоморфную
ZP©ZP. (Если 2И = 5Я, то 2"/G —топологическое многообразие,
что противоречит тому известному факту, что Нп(М"; Zp)««Zp
или Нп{М"; Zp) = 0 для любого га-мерного многообразия Мп.
В общем случае мы получим противоречие, используя теорию
Смита.)
Пусть Zp^>KczG = Zp@Zp, так что G/K^Zp. Тогда К сво-
свободно действует на 2" и G/K свободно действует на 2п/К, при-
причем пространство орбит этого действия есть B"//C)/(G//<) я« 2л/0.
1) Предполагается, что G свободно действует на J^. — Прим. перев.

8. ГРУППЫ, СВОБОДНО ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА СФЕРАХ 151
Применяя 7.9 к обоим этим действиям и используя тот факт,
что для свободного действия Н% является группой когомологий
пространства орбит, получим, что (над полем Zp) rk H" (Zn/G) «с
==Srk Нп BЛ//С) sgrk Н" BЛ) = 1, что противоречит установленному
выше. Щ
Более сильный результат, также полученный Смитом, приво-
приводится в упражнении 10. Там же намечен другой метод доказа-
доказательства.
Так как абелева группа циклична тогда и только тогда, когда
она не содержит подгрупп вида Zp © Zp ни для какого простого р,
то имеет место следующая теорема.
8.2. Теорема. Если конечная группа G может свободно дей-
действовать на финитной целочисленно когомологической сфере, то
любая абелева подгруппа группы G циклична. Щ
Группы, каждая абелева подгруппа которых циклична, в точ-
точности есть группы с периодическими когомологиями (см. К ар-
тан и Эйленберг[1], с. 317). Как доказал Су он [I], любая
такая группа может свободно действовать на компактном полиэдре,
являющемся целочисленно гомологической сферой. Не все такие
группы, однако, могут свободно действовать на настоящей сфере,
так как в чтом случае они должны удовлетворять следующему
ниже дополнительному условию, найденному Милнором [1].
Заметим, что это условие исключает возможность (свободного)
действия на сфере ряда групп, удовлетворяющих заключению
теоремы 8.2; например, диэдральных групп1) порядка 2г с нечет-
нечетным г.
8.3. Теорема. Если на сфере S" свободно действует группа G,
то любой элемент порядка 2 этой группы лежит в ее центре.
Доказательство. Пусть g e G — элемент порядка 2 и
/eG —любой другой элемент. Если fgфgf, то из того, что G
действует свободно, следует, что равенство fg(x) = gf (х) не может
выполняться ни для какого х (= S". Так как f — гомеоморфизм, то
его степень есть ± 1. Поэтому 8.3 вытекает из следующей теоремы.
8.4. Теорема. Пусть g: Sn-^-S"— гомеоморфизм периода 2
без неподвижных точек. Если для некоторого отображения /: S"—>-S"
и всех х е S" имеем gf (x)^fg(x), то степень отображения f
четна.
Доказательство. Пусть G — \е, g\ &&%.,. Положим М —
= (S"xS")— А, где Л = {(л:, х) \ х е S"\ —диагональ. Определим
G-действие на М, полагая g(x, y) = {gy, gx). Заметим, что Ма =
= \(х, g(x)). х е S"} сг М. Мы утверждаем, что Ма — деформа-
1) Группа диэдра Dm порядка 2т определяется для любого целого поло-
положительного т. Она состоит из tscex элементов вида {а1 Ь', 0 sg i < т; / = 0, 1},
подчиненных соотношениям ат = \, &2=1, ba=a~1b. Геометрически группа Dm
реализуется как группа симметрии правильного m-угольника. — Прим. ред.

!52
ГЛ. III. ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ционный ретракт пространства М. Действительно, рассмотрим
точку (х, у) <= М, где х е Sn, i/eS", хфу. Для 0<:/<;1 опре-
определим F(i, х, у) как такую точку сферы S", в которой прямая,
соединяющая1) точки х и /# + A— t)g(x), пересекает множество
S" — \х); см. рис. 111.1. Легко видеть, что отображение 1хМ->Л1
вида (t, х, у) t—¦ (х, F (t, х, у)) является сильной деформационной
ретракцией М на Ма.
Рис. III. 1.
Итак, включение Ма'-*- М индуцирует изоморфизм в кого-
мологиях.
Возьмем в качестве области коэффициентов поле Z2; тогда
неравенства из теоремы 7.9 и изоморфизмы G.6) при А = ф дают
изоморфизм H'(M/G, Мс)я&Н'о(М) — 0 для всех L
Следовательно, включение Ma^-M/G индуцирует изоморфизм
Н' (M/G) *=« hl (Мв) для всех i (это можно вывести также непо-
непосредственно из следствия 7.14, примененного к включению Ма -*¦ М).
Из коммутативности диаграммы
H*(M)
#•№
следует, что л% есть изоморфизм.
Так как G свободно действует на 5", то коммутативность
диаграммы
О -> Нп (S"/G) -> Нп (S»/G) 0 ->...
(частного случая диаграммы G.8)) показывает, что гомоморфизм я*
тривиален (так как т = а, то Нп (S")->¦ Я'^(S") есть изоморфизм,
и потому второе отображение в нижней строке тривиально;
см. также следующее после 5.2 обсуждение, где установлен двой-
двойственный результат для гомологии).
>¦) В пространстве Rn+*.—Прим. перев,

8. ГРУППЫ, СВОБОДНО ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА СФЕРАХ 153
Определим теперь эквивариантное отображение <р: Sn->-M
формулой <р(х) = (/(*), gfg(x)). Коммутативность диаграммы (ко-
(коэффициенты в Z2)
НЦМ) -2^№(S«)
влечет ф*==0. Обозначив через р: M-+-S" проекцию (х, y)t—*x,
получим, что / = рф, так что /* = ф*р* = 0: Н" (S"; Z2) -> Нп (S"; Z2),
откуда следует четность степени отображения /. Щ
Замечание. Теорема 8.4 и, следовательно, 8.3, будет верна
также при замене сферы S" любым п-мерным многообразием 2",
имеющим те же Ж3-гомологии, что и S". Доказательство этого
факта требует использования некоторых более глубоких резуль-
результатов алгебраической топологии, чем использованные выше, так
как мы должны заменить геометрические соображения рис. II 1.1
более общими алгебраическими соображениями. Мы, однако,
кратко наметим доказательство этого более общего результата.
Детали можно найти у Милнора [1]. Очевидно, достаточно
доказать лишь то, что включение Ма cz M индуцирует изомор-
изоморфизм в 22-когомологиях. Последнее можно доказать, показав,
что проекция р: М—>-2" есть расслоение со слоем 2"— {точка}.
(Это — простое геометрическое рассуждение.) Очевидно, что Ма
есть сечение расслоения р. Используя теоремы двойственности
Лефшеца и Пуанкаре, мы увидим, что слой 2" — \лочка} Z2-au.HK-
личен, и из теоремы Вьеториса об отображении1) следует, что р
индуцирует изоморфизм в Ж2-когомологиях, обратный к которому
индуцирован включением МааМ. Доказательство Милнора
использует сингулярные гомологии. Мы вместо этого должны
были бы использовать когомологии Чеха для того, чтобы иметь
возможность применить результаты § 7 непосредственно. В слу-
случае сингулярных гомологии тот факт, что лм индуцирует изомор-
изоморфизм, требует более обстоятельного доказательства. Подчеркнем,
что любое доказательство теоремы 8.3 должно как-то использо-
использовать «геометрию» ситуации, так как из упомянутого результата
Су он а [1] следует, что теорема 8.3 неверна для действий на
полиэдральных гомологических сферах (не многообразиях).
Замечание. Ортогональные свободные действия конечных
групп на сферах полностью классифицированы в книге
Вольфа [1], включающей более раннюю работу Винсента. Там
дано очень простое необходимое условие на группы, могущие
свободно и ортогонально действовать на какой-либо сфере: именно,
любая подгруппа порядка pq (где р и д — не обязательно различ-
') Имеется в виду теорема Вьеториса — Бегля; см. Спеньор J1J, с, 445,—
Прим. перев.

154
ГЛ. III. ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ные простые числа) должна быть циклической. (Для разрешимых
групп это условие является также достаточным.) Долгое время
держалась гипотеза о том, что группа, могущая действовать на
сфере свободно, может действовать на сфереJ) свободно и орто-
ортогонально. Недавно'П е т р и [1, 2] и Р. Ли независимо опровергли
ее, построив свободное действие неабелевых групп порядка pq
(р и q — различные простые числа) на подходящих сферах. По-
Построение этих примеров использует теорию неодносвязных пере-
перестроек Уолла [3J и лежит вне поля нашего зрения.
Перейдем теперь к изучению нашего вопроса для компактных
групп Ли положительной размерности. В этом случае имеется
следующий окончательный и простой ответ. Обозначим группу
комплексных чисел (соответственно кватернионов) единичной нормы
через S1 (соответственно S3). Мы считаем, что S1czS3, и пусть
Л/(S1,) — ее нормализатор, который в точности есть группа, порож-
порожденная подгруппой S* = {а-\-Ы{аг-\-Ъ'1 = \\ и элементом / и
состоящая из двух компонент: S1 и /S1.
8.5. Теорема. Если компактная группа Ли G положительной
размерности может свободно действовать на сфере, то G изо-
изоморфна некоторой подгруппе группы S3. Более точно, имеется
лишь три возможности: Gp^S1, G?^A/(S1), G = S3.
Доказательство. Группа G не может содержать в каче-
качестве подгруппы двумерный тор, так как она не может содержать
подгруппу Z2 © Z2. Следовательно, G имеет ранг 1. Мы восполь-
воспользуемся тем, что имеется лишь три связные компактные группы
Ли ранга 1, именно, S1, S3 и SO C) (последняя двулистно накры-
накрывается группой S3).
Итак, содержащая единицу компонента Go группы G может
быть лишь одной из трех этих групп. При этом случай G0 = SOC)
невозможен, так как SO C) содержит Z2®Z22). Пусть сначала
G0 = S'. Рассмотрим на S1 сопряжение элементом g <= G — Go.
Имеется лишь две возможности: gtg1=t или gtg~i = t'1- В пер-
первом случае g коммутирует с S1. Пусть п — наименьшее из таких
натуральных чисел, что gn~S\ и пусть h s S1 — такой элемент,
что hn = gn. Тогда для k = gh~l имеем gS1 = kS1 и /г" = 1. Поэтому
k и некоторый элемент порядка п группы S1 порождают подгруппу
группы G, изоморфную Zn@Zn. что противоречит теореме 8.1.
Таким образом, остается лишь вторая возможность: gtg^ — t'1
для всех /eC0 = S1. Отсюда, очевидно, следует, что G/Ge есть
группа порядка 1 или 23). Предположим, что G=^=G0 = S' и что
g<=G — G0. Тогда gtg~l =/-! для (еС, и g2 e Go. Далее, g2 =
=g(g2)g'1 = (gi)~1, так как g2 a G0) поэтому g2= ± 1. Если§*=1,
!) Вообще говоря, другой размерности. — Прим. перев.
2) Подгруппа целочисленных диагональных матриц. — Прим. ред.
3) Заметим, что g-tg '2 =g (gig) gl=--gt~lg~x = t, и поэтому, согласно пре-
предыдущему рассуждению, g- e $1, — Прим. реО,

9. ТЕОРЕМА НЬЮМЕНА 155
то Z20Zi>«^{ + l. —1, g, ( — l)g\(^G, что противоречит 8.1.
Следовательно, g2 — — 1. Теперь, переводя jb je S3, получим
изоморфизм G^yV(S').
Предположим теперь, что G0;=«S3. Хорошо известно, что лю-
любой автоморфизм группы S3 является внутренним. (Этот факт
вытекает из теории классификации связных компактных групп
Ли, но мы наметим прямое доказательство. Любой автоморфизм
Ф переставляет однопараметрические подгруппы в S3 и, так как
все они есть окружности, то имеется естественная метрика, сох-
сохраняемая автоморфизмом ср. Отсюда следует, что на касательном
пространстве к S' в единице автоморфизм ф индуцирует ортого-
ортогональное отображение. Далее, группа всех внутренних автомор-
автоморфизмов действует на этом касательном пространстве как группа
S3/{ — 1, 1}^=«SOC). Следовательно, если есть автоморфизмы, не
являющиеся внутренними, то среди них есть автоморфизм, дей-
действующий на этом касательном пространстве как - / е О C).
Отсюда следует, что отображение g>—* g~l является автоморфизмом,
а это неверно.) Итак, для любого элемента g^G — G0 существует
такой элемент 4eG0, что элемент gh-1 коммутирует с Go. Но
тогда, рассуждая так же, как в случае G0 = S\ получим, что
(при йфйо) в G есть подгруппа, изоморфная Ъп ф Zn. Следова-
Следовательно, если G0 = S3, то G = G0.tk
9. Теорема Ньюмена
В этом параграфе мы докажем теорему Ньюмена [1] в
интерпретации Смита [4]. Она утверждает, что действие ком-
компактной группы Ли (в частности, конечной группы) на многооб-
многообразии не может иметь «равномерно малых» орбит.
Пусть л: X -> У — некоторое отображение, и В с Y — замкнутое
подмножество. Положим А = п~1 (В). Для покрытия UTJ простран-
пространства У обозначим через пл^° покрытие пространства X прооб-
прообразами элементов из ЧР. Предположим, что отображение л
сюръективно.
9.1. Лемма. Пусть U — такое покрытие пространства X,
что канонический гомоморфизм Нп(К(%), К (U i А)) -> Н" (X, А)
эпиморф^н. Если существует таков покрытие СХР" пространства
У, что л-{(Т) вписано в U, то л*: Hn(Y, B)-+Hn(X, Л)—
эпиморфизм.
Доказательство. Отметим канонический изоморфизм
К (п~хЧ") ^ К СЬ°) и заметим, что гомоморфизм л*: Н"(У, В)->
-+Н"(Х, А) есть прямой предел системы гомоморфизмов
Я" (К (Ч1 -). К (*!>'¦ | В)) *=• /У" (К (л ' (Т), К (л ^Т \А) Н"(Х, А).

'56 ГЛ III. ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
Так как п~х^1р вписано в U, то имеем диаграмму
Я» (К (Я), К (Ц , А)) ->- Я" (К (я l T), К (л ••Tl Л)-*»#»(*, Л)
f* f я»
Я" (К (Т), К C^. В) v Я" (У, В),
из коммутативности которой следует, что эпиморфность компо-
композиции отображений верхней строки влечет эпиморфность гомомор-
гомоморфизма л*. §
9.2. Теорема. Пусть X—финитное пространство и А —
его замкнутое подпространство. Фиксируем простое р и предпо-
предположим, что*Н'(Х, А\ Zp) = 0 при i>n и Нп(Х, A; ZP)^ZP.
Предположим также, что для любого собственного замкнутого
подмножества СсХ гомоморфизм ограничения Н" (X, А; %р) ->.
—>-Нп(С, С [) A; Zp) тривиален. Пусть U — такое покрытие про-
пространства X, что Я"(К(#), К(#:Л); ZP)-+H"{X, A; Zp) есть
эпиморфизм. Тогда на X не существует эффективного Zp-действия,
относительно которого А инвариантно, и такого, любая орбита
которого целиком цмеищется в каком-либо элементе покрытия U.
Доказательство. Предположим, что такое действие
существует, и введем обозначение G = ZP. Тогда любая орбита
содержится в некотором насыщенном открытом множестве, лежа-
лежащем в каком-то элементе покрытия U. Образы этих открытых
множеств при проекции Х->-Х* определяют покрытие ^ про-
пространства X*, причем лг1*]/0 вписано в U. По 9.1 отсюда следует
эпиморфность гомоморфизма л*: Нп(Х*, А*)-*-Нп{Х, А) (коэф-
(коэффициенты в Zp).
Из теоремы 7.9 следует, что Н1Р(Х, Л) = 0=Я' (Ха, Аа) при
i>n, и точность последовательности Смита показывает, что
Нп(Ха, /Iе) = 0 (по предположению о гомоморфизме ограничения).
Диаграмма G.8) превращается в диаграмму
Un(X*, A*[)XG)->-Hn(X*, Л*)->0
НЦХ, A)—S1 -Н"(Х, Л)-*Я?(Х, Л)-»-О,
коммутативность которой влечет равенство Н"(Х, Л) = 0, так
что а* — эпиморфизм. Точность последовательности Смита 0 =
= Ях(Х, А)->Н'(Х, А)!-~Нпа(Х, А)~+0 показывает, что г*—
изоморфизм. Композиция о*(*: Я" (X, Л)-^-Я"(Х, Л) есть в
точности 2ef* Но так как группа Я" (X, А)^ЪР не имеет
автоморфизмов порядка р, то g* = l, и потому ст*1*=р = 0, что
противоречит чпиморфности а*. (Заметим, что эти результаты
можно получить также, следуя 5.2.) |

9. ТЕОРЕМА НЬЮМЕНА 157
9.3. Теорема. Пусть X — финитное пространство и А —
его замкнутое подпространство. Предположим, что Н' (X, Л; Z) = О
при i>n и Нп(Х, A; Z)«=Z- Предположим также, что для
любого собственного замкнутого подмножества С cz X гомоморфизм
ограничения Йп(Х, A; Z)^Hn(C, С (] A; Z) тривиален. Пусть
U — такое покрытие пространства X, что Нп (К (#), К (U | Л); Z) ->
->-//" (X, A; Z) есть эпиморфизм. Тогда никакая компактная
группа Ли не может эффективно действовать на X так, чтобы
А было инвариантным и любая орбита умещалась в каком-либо
элементе покрытия 21.
Доказательство. Используя точную последовательность
0-^-Z->-Z->ZP—>-0. легко видеть, что все условия наследуются
для поля коэффициентов Zp. Так как любая компактная группа
Ли содержит циклическую группу некоторого простого порядка р,
то теорема вытекает из 9.2. Щ
9.4. Теорема. Пусть М—связное топологическое п-мерное
многообразие. Тогда одноточечная компактификация многообразия
М допускает такое конечное открытое покрытие 21, что никакая
компактная группа Ли не может эффективно действовать на М
таким образом, что каждая орбита содержится в некотором эле-
элементе покрытия U.
Доказательство. Предположим сначала, что М ориенти-
ориентируемо, и пусть X —одноточечная компактификация многообразия
М, причем Л = {оо}. Тогда Нп(Х, А)^Ъ и Н'(Х, Л) = 0 при
/ > п. Кроме того, если V с М — открытый n-мерный диск, то вклю-
включение (X, Л) с (X, X — V) индуцирует изоморфизм H"(Dn, <ЭВ")я«
я«Я"(Х, X — V)~'Hn(X, А). (Эти факты хорошо известны и
следуют из теоремы двойственности Лефшеца, см. Спеньер [1],
с. 382. Их легко установить также довольно элементарным не-
непосредственным рассуждением.) Для любого собственного замкну-
замкнутого подмножества С а X можно найти открытый n-мерный диск
V а X — С, и коммутативность диаграммы
Нп(Х, X-V)—^—Hn(X, A)
О = Нп (С, С) = Н" (С, C(](X-V))-+ Нп (С, С О А)
влечет выполнение условий теоремы 9.3. Это завершает доказа-
доказательство в ориентируемом случае.
Чтобы изучить неориентируемый случай, отметим сперва, что
имеется простое, явно конструируемое покрытие U ориентируемого
многообразия, удовлетворяющее условиям теоремы 9.3, где (X, Л)
то же, что и раньше. Чтобы построить его, выберем п-мерный
диск DcM; пусть An + 1—стандартный (п-\- 1)-мерный симплекс
с вершинами vQ, vit ..., ул+1, и пусть /: X-^дА11*1 — отображение,

158
ГЛ. III. ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
являющееся гомеоморфизмом пространства int D на дополнение
к v0 и переводящее X — 'mtD в v0. Положим Ui — f-1 (St vt). Тогда
покрытие U = \Ui\i — 0, \,...,п-\-\) удовлетворяет, очевидно,
требованию Hn(K{U), К (U \ А)) — Нп (X, А).
Пусть теперь М — неориентируемое многообразие, и пусть L —
полиэдр, полученный из дАп добавлением ребра (w, и0); см. рис. III.2.
Пусть D и D' — два таких л-мерных диска в М, что Dcz'mtD',
и пусть h: M-+-L отображает int D гомеоморфно на 5An+1 — {vo\,
дГ) в v0, int D' — D — в открытый интервал (w, v0) и M — 'mtD' —
в w (см. рис. III.2, где иг — точки, отображающиеся в и,-).
Рис.Ш.2.
Пусть ^ — покрытие прообразами открытых звезд вершин поли-
полиэдра L. Мы утверждаем, что на М нет никакого эффективного
действия компактной группы Ли, любая орбита которого умеща-
умещается в каком-либо элементе покрытия U. Предположим, что име-
имеется такое действие какой-то группы G. Тогда, очевидно, образ
диска D при преобразовании любым элементом группы G пересе-
пересекается с D, и G (D) a D'. В силу компактности существует такая
связная открытая окрестность V диска D, что G (V) cz int D'.
Так как любой образ окрестности V (при сдвиге) пересекается
с D, то G (V) связно. Поэтому мы можем положить V = G(V).
Но тогда V является ориентируемым многообразием1) и U [\V
есть покрытие множества V того же типа, что и построенное
выше покрытие ориентируемого многообразия. Отсюда следует,
что G действует на V тривиально. Но это противоречит следующе-
следующему результату, доказанному также Ньюменом [1].
9.5. Теорема. Если компактная группа Ли G эффективно
действует на связном топологическом п-мерном многообразии М,
то Ми нигде не плотно.
Доказательство. Пусть D есть «-мерный диск, лежащий
в Мв. Подняв при необходимости действие в ориентирующее
двулистное накрытие с помощью 1.9.4, можно считать М ориен-
ориентируемым. Как и раньше, отобразим М в dA"+I так, что M — D
переходит в v0. Возникающее открытое покрытие одноточечной
1) Так как V cz intD'.—Прим. перев.

10 ДЕЙСТВИЯ ТОРОВ г 159
компактификации X многообразия М позволяет привести ситуацию
к противоречию с теоремой 9.3 (при А = {оо}) так же, как это
было сделано при анализе ориентируемого случая теоремы 9.4. |
Замечание. Теорема 9.5 есть частный случай более сильной
теоремы Смита, утверждающей, что если G —циклическая группа
порядка р, то Ма есть обобщенное многообразие над Ър. Это
утверждение носит название «локальной теоремы Смита» и может
быть найдено в работах Бор ел я [5], Бредона [3, 13] и
Смита [2]. Однако теория обобщенных многообразий в этой книге
не рассматривается. Можно дать не зависящее от 9.3 прямое
доказательство теоремы 9.5, используя последовательность Смита.
Современную трактовку этого материала в духе первоначальных
идей Ньюмена см. у Дресса (lj. Изложенный здесь метод Смита
является, однако, значительно более широко приложимым.
9.6. Следствие. Пусть М —связное многообразие, на кото-
котором, задана метрика. Тогда существует такое е > 0, что любое
действие компактной группы Ли G на М обладает орбитой
диаметра, большего чем е.
Доказательство. Пусть {?/„,..., Un}— такое, как в 9.4,
покрытие пространства MUi00}. где оэе[/0. Тогда компактное
множество M — Uo лежит в объединении Ux U ... [)Un. Обозначим
через В? (х) замкнутый шар радиуса е с центром в точке х и
выберем е>0 так, что для любой точки х^М — Uo найдется
такое /, 1 sg i^n, что В2е (х) cr Ut. Предположим, что G действует
на М и diamG(j/)^e для всех у^М. Тогда для всех у имеем
G (у) а Вк (у). Если хе= Ве(у)- Uo, тог/еВе(х) и G (у)сВе(у) cz
cz Bit (x) cr Ui для некоторого i. Если же для некоторого у имеем
Be (у) — Uo = ф, ю G (у) а Ве(у) c^Un. Итак, мы пришли к про-
противоречию с выбором покрытия {Ui\. В
9.7. Следствие. Никакое действие компактной группы Ли
G на R" со стандартной метрикой не может иметь орбит,
диаметры которых равномерно ограничены.
Доказательство. Следуя 9.6, выберем е>0 для M = Rn,
и пусть число N ограничивает диаметры всех орбит данного
действия G группы G на R". Определим новое действие
полагая B'g (х) = д^
что противоречит 9.6. Щ
10. Действия торов
В этом параграфе мы установим результаты для действий
тороь, аналогичные теоремам 7.10 и 7.11. Основные причины,
побудившие нас привести эти результаты, состоят в том, что они

160 ГЛ. III. ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
будут использованы в двух последующих главах. Сначала мы
приведем для действий торов следствия, немедленно вытекающие
из предыдущих параграфов. Для большинства приложений их
вполне достаточно, но мы также используем прямые методы,
получив при этом более сильные результаты. Обозначим через Т
окружность со стандартной групповой структурой, так что произ-
произведение Т* k экземпляров группы Т есть /г-мерный тор.
10.1. Лемма. Для любого простого р множество элементов
группы Тк, порядки которых являются степенями числа р, плотно
в Т*.
Доказательство. Достаточно показать, что объединение
всех р-подгрупп группы Т* плотно в Т*. Это в свою очередь
следует из соответствующего утверждения для окружности (k=l),
где оно очевидно. |
10.2. Теорема. Пусть группа G = T* действует на финитной
целочисленно когомологической п-мерной сфере X. Предположим, что
это действие имеет лишь конечное число орбитных типов и что
Н* (Xе; Z) — группа конечного типа. Тогда найдется такое г с
четным п — r, —Х^г^п, что Xе — целочисленно когомологическая
r-мерная сфера.
Доказательство. Пусть р — простое число, и пусть Нъ ...
..., Нт — изотропные типы1). Так как элементы группы G, поряд-
порядки которых являются степенями числа р, плотны в G, то среди
них существует элемент g, не лежащий ни в какой подгруппе Ht.
Тогда XG = Xs, и из 7.11 следует, что Х° есть Zp-когомологи-
ческая /умерная сфера, где — 1<гр^л и п — r четно для
нечетного р.
Предположим, что Х°Фф, и рассмотрим когомологии прост-
пространства Ха по модулю некоторой его точки Р. Мы утверждаем,
что группа Н (Xе, Р\ Z) не имеет р-кручения. Действительно,
если бы эта группа имела р-кручение, то в силу ее конечной
порожденности она содержала бы в качестве прямого слагаемого
подгруппу 2 л /2г1- Тогда точность последовательности
влечет нетривиальность обеих групп Й1~х(Ха\ Zp) и Н'(Xе; Zp),
а это противоречит тому, что Xе есть Zp-когомологическая сфера.
Так как это утверждение справедливо для всех р, то Н' (Ха,
Р; Z) — свободная абелева группа, равная нулю при 1фгр для
всех простых р (это следует из рассмотрения вышеприведенной
1) То есть Hi .... Нт — все стационарные подгруппы (напомним, что О
коммутативна).—Прим. перев.

10. ДЕЙСТВИЯ ТОРОВ 161
последовательности) и имеющая ранг 1 при i — rp. Следовательно,
число г — гр не зависит от р, причем —l^r^n, и число п — г
четно. |
Аналогично доказывается и следующая теорема.
10.3. Теорема. Пусть группа G = T* действует на финит-
финитном целочисленно когомологическом п-мерном диске (X, А), где А
замкнуто в X. Предположим, что Н* (Xе, Аа\ Ъ)—группа конеч-
конечного типа и что данное действие имеет лишь конечное число орбит-
ных типов. Тогда существует такое г с четным n — r, O^rs^n,
что (Xе, Аа) есть целочисленно когомологический r-мерный диск. §
Для большинства наших целей достаточно этих двух резуль-
результатов, однако они недостаточно сильны для вывода из них, напри-
например, того факта, что множество неподвижных точек действия
тора на евклидовом пространстве ациклично над целыми числами
(даже в предположениях конечности числа орбитных типов и
гладкости действия). Поэтому мы сейчас разовьем технику, на-
направленную непосредственно на изучение действий торов. При
этом нам придется предположить, что имеющийся у читателя
запас основных топологических сведений несколько шире, чем
считалось раньше, именно, он включает в себя теорию изомор-
изоморфизма Тома —Гизина для ориентированных расслоений на диски.
Пусть окружность Т действует на паракомпактном простран-
пространстве X; при этом, как обычно, мы отождествляем Х} с подпро-
подпространством пространства орбит Х* = Х/Т. Пусть, далее, Мп —
цилиндр проекции я:Х->-Х*. Обозначим через F вложенное в Мя
пространство Х!'х1, рассматриваемое как цилиндр отображения
я | Хт, и положим X' = X U F, так что X' деформационно ретра-
гируется на X. Рассмотрим тройку (Мя, X', F). Когомологическая
последовательность этой тройки и три точные последовательности
пар этой тройки образуют коммутативную «косу тройки», см.
рис. III.3.
Рис. III. 3.
Далее, мы можем заменить пары (X', F) и (Л1Л, F) соответст-
соответственно парами (X, X1) и (X*, X1). Кроме того, абсолютные группы
когомологий пространств МЛ, X' и F можно заменить соответст-
соответственно абсолютными группами когомологпй пространств X*, X и
§ Г. Бредон«

162 ГЛ. III. ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
Хт. Для вычисления когомологий пары (Мя, X') мы используем
следующую лемму.
10.4. Лемма. Если Т действует полусвободно (т. е. свободно
вне X1), то для любых групп коэффициентов имеется изоморфизм
Й'(МЯ, X') ^ Н'~2 (X*, X''). Для произвольного же Т-действия
с конечным числом орбитных типов такой изоморфизм имеется
лишь для рациональных коэффициентов.
Доказательство. Пусть N* пробегает множество всех
замкнутых окрестностей множества Xх в X*. Если N — часть
цилиндра Мя, лежащая над N*, то #*(Х*, XT)^=;lim H* (X*, N*)
и Н* (Мя, X') ^ Ит Н* (Мя, N\jX'). (Этот хорошо известный
факт почти мгновенно вытекает из определения чеховских кого-
когомологий и теоремы о связи двойных и повторных пределов. Дока-
Доказательство близких фактов имеется у Бредона [13], с. 52, и
Спеньера [1], с. 411.) Далее, мы можем вырезать из N* окре-
окрестность множества Хт и из Л7—окрестность множества F.
В силу 11.5.8, отображение Мя — F-+X* — Хт является в слу-
случае полусвободного действия расслоением на двумерные диски,
причем расслоение на граничные окружности есть X' —F->-X* —
— Хт. Ориентируемость этого расслоения следует из того, что
оно является главным Т-расслоением. Требуемый изоморфизм
вытекает теперь из относительного варианта изоморфизма Тома —
Гизина для расслоений на диски. (Мы предполагаем его извест-
известным. Для абсолютного случая в сингулярной теории этот мате-
материал изложен у Спеньера [1], с. 335, и доказательства легко
переносятся и в теорию Чеха. Достаточно общий случай имеется
также у Бредона [13], с. 1502).)
Переходя к случаю конечного числа орбитных типов, заметим,
что Т содержит циклическую подгруппу Н, содержащую все ста-
стационарные подгруппы, кроме самой Т. Так как Т действует
в когомологиях тривиально, то из 7.2 для рациональных коэф-
коэффициентов следует изоморфизм Н'(Мп, X') тЙ' (Мя/Н, Х'/Н).
Но так как MJH — цилиндр отображения Х/Я->-Х/Т = Х*,
а Т/Я действует на Х/Н полусвободно, то требуемый изоморфизм
вытекает из уже рассмотренного случая полусвободного дейст-
действия. Щ
Замечание. Можно доказать, что вторая часть леммы 10.4
справедлива и без предположения о конечности числа орбитных
типов.
Используя эти изоморфизмы, косу рис. II 1.3 в каждом из двух
случаев леммы 10.4 можно превратить в косу рис. II 1.4.
Из нее можно извлечь следующую точную последовательность
(коэффициенты произвольные для полусвободного Т-действия и
См. также Дольд [1J, с. 385 и далее. —Прим. иерее.

10. ДЕЙСТВИЯ ТОРОВ Ifi3
принадлежат некоторому полю характеристики нуль для дейст-
действия с конечным числом орбитных типов)
Ю.5. ...^-^Й'(Х* C#<*v/a
где q* = /*л* = л*/* на рис. III.4. Эта последовательность назы-
называется последовательностью Смита —Гизина. Ее впервые получил
Бредон [8] из спектральной последовательности Фари, см. также
Бредон [13], с. 165. Точность последовательности Смита — Гизина
легко доказывается диаграммным поиском по диаграмме рис. 111.4.
Рис. 111. 4.
(См. также Уолл [1] для обобщения на диаграммы кос.) Отме-
Отметим, что гомоморфизм (л* есть просто умножение на некоторый
элемент группы Н2 (X* — X1) — эйлеров класс; это следует из ана-
аналогичного факта для классической последовательности Гизина.
Для простоты обозначений мы изучили лишь абсолютный
случай. Ясно, однако, что для инвариантного замкнутого под-
подмножества А а X сказанное выше позволяет построить следующую
последовательность Смита — Гизина:
10.6. ...~+Нг(Х*, Л*[])(, )
->Я«(Х*, А*\)ХТ)Эй'(ХТ, Лт)~^//<-'(X*, Л*1)^т)-^...
Используя эту точную последовательность так же, как раньше
мы использовали последовательность Смита, можно доказать для
действия окружности теоремы, аналогичные теоремам § 7. Для
того чтобы использовать индукцию от бесконечности, мы должны
наложить условия, гарантирующие равенство Н' (X*, Л* \J XT)=0
для достаточно больших /. Очевидно, что для этого достаточно
конечномерности пространства X, и этого условия достаточно для
большинства приложений. Для полноты картины мы, однако,
докажем, что достаточно лишь финитности пространств X и X*.
(Мы не выясняем того, следует ли финитность X* из финитности X,
однако это верно в двух важных частных случаях: для компакт-
компактных пространств и для конечномерных сепарабельных метриче-
метрических пространств, см. упражнение 3 гл. II.) Итак, будет дока-
доказало следующее предложение.
6*

164 гл ит гомологическая теория
10.7. Предложение. Пусть окружность Т действует на
пространстве X так, что имеется лишь конечное число орбитных
типов, и пусть X и X* финитны. Пусть, далее, АаХ —такое
замкнутое инвариантное подпространство, что Н'(Х, Л) = 0 при
i>n. Тогда Н!(Х'\ Л') = 0 при i>n и Н'(Х*, А*[]ХТ) = 0
при i^n. Это справедливо как для рациональных, так и для
целых коэффициентов.
Доказательство. Для любой конечной подгруппы К
группы Т имеем ii'(X/K, Л//() = 0 при/>п. Для случая рацио-
рациональных коэффициентов это следует из 7.2.
Для случая целых коэффициентов мы можем, рассуждая по
шпукцпи, считать, что К есть циклическая группа простого
порядка р. Тогда Н'(Х/К, А/К; Z;,) = 0 при />п в силу 7.9 и
точности последовательности тройки (Х/К, А/К [) Хк/К, А/К)
Отсюда следует, что группа Н' (Х/К, А/К; Zp) р-делима при i>n,
и стандартные рассуждения с трансфером показывают, что эта
группа тривиальна (см. доказательство теоремы 5.4, а также
упражнение 9). Таким образом, все сводится к случаю полусво-
полусвободного действия J)
Предположим, что Н'-ЦХ*, A* [) ХТ)@Н!(ХТ, Ат)ф0 для
некоторого г>п. Тогда композиция (отображений последователь-
последовательности Смита — Гичина)
Й1-1 (X*, A* U Хт) 0//'<,Yr, ^т) ~^ Н'-1 (X*, A* U
состоит из мономорфизмов. Поэтому достаточно доказать, что
любой заданный элемент P,,g№+1(X*, A* \J Xt) аннулируется
достаточно большой степенью гомоморфизма jii*. Но C0 лежит
в образе группы Ныг(Х*, A*\JN*) для достаточно малой замк-
замкнутой окрестности N* множества А'1 и соответствует при изо-
изоморфизме вырезания некоторому элементу Ре№'+1(Х*-(/*,
(A* U N*) — (/*), где U* —некоторая открытая окрестность мно-
множества X1 в N*. (В случае теории Чеха можно взять U* лежащей
внутри N*, но :> данном случае и этом нет необходимости.) Мы
воспользуемся тем, что ,и* есть умножение на некоторый элемент
<х0 ge И-(X* — Хт). Итак, м-* (Ро) является образом элемента оф
в группе Hhs(X*, A*\jX7), где а— ограничение элемента а0 на
группу Н'г (X* — U*) Так как замкнутое подмножество финитного
пространства является, очевидно, финитным, то достаточно дока-
доказать след>ющую лемму.
См. коиец дсжаза;ельс1ва леммы [иА, — Прим. пе/хо.

in действия торов 165
10.8. Лемма. Пусть В — замкнутое подмножество финитного
пространства Y. Для любых $<^H'(Y, В) и a^H'(Y), где
i > 0, найдется такое k, что ак$ = 0.
Доказательство. Существует такое конечномерное покры-
покрытие U пространства Y, что а и Р являются соответственно обра-
образами элементов а' -- Н'К B1) и р'е//'(КB), К(И\В)). Тогда
(а')*Р' = 0 при ki + j >• dim U, откуда следует, что а'гР = 0. |
Из 10.6, 10.7 и доказательства теоремы 4.1 легко извлечь
доказательство следующей теоремы.
10.9. Теорема. Пусть окружность Т действует на X так,
что имеется лишь конечное число орбшпных типов, и пусть X и
X* финитны. Пусть, далее, А с: X — замкнутое инвариантное
подмножество. Тогда, с коэффициентами в поле рациональных
чисел (Q, имеем
ЦХ*, А*[}ХТ) + ^ хкН"^' (Х^, Лт)< ? гкН"^!(Х, А).
i -^ 0 ( = 0
Если группа Н* (X, А) конечно порождена над {Q, то таковы и
группы Н* (XT, АТ) и Н*(Х*, Л*) и, кроме того, %(Х, А) =
Х\ ЛТ) |
Х( ) |
Замечание. Теорема 10.9 справедлива и без предположе-
предположения о конечности числа орбитных типов, это же верно в отноше-
отношении всех остальных результатов, использующих лишь рациональ-
рациональные коэффициенты A0.10—10.12).
Для удобства назовем Т'-прсстранство X T''-финитным, если
пространство орбит любого подтора финитно.
10.10. Следствие. Для Т*'-финитного пространства X тео-
теоремы 10.2 и 10.3 останутся верными, если в их формулировке
везде заменить целые коэффициенты рациональными. Щ
10.11. Следствие. Пусть окруохность Т действует на финит-
финитном пространстве X так, что имеется лишь конечное число орбит-
орбитных типов, и пусть X и X* финитны. Пусть, далее, А а X —
замкнутое инвариантное подмножество. Предположим, что
Н'(X, А; (Е)) = 0 для всех нечетных (соответственно четных) /.
Тогда HJ (Xх, Лт; (Q) — 0 для всех нечетных (соответственно чет-
четных) j и справедливо равенство
%rkfl'(X\ Лт; (Q)= ? г к #<¦(*. A; (Q).
Доказательство. Первая часть немедленно следует из 10.9.
Что касается второй части, заметим, что из 10.9 следует равен-
равенство Н> (X*, Л*иХг) = 0 для четных / и что последовательность
Смита расщепляется на короткие точные последовательности
'** (X*,

ГЛ. III. ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
166
Итак, гкЯ2'(Хт, Л^ + гкЯ2'-1^*, А* [} X1) = гкЯ2'(Х, А) +
+гкЯ2'+1 (X*, A* U Xх), откуда, после сложений и сокращений,
следует желаемое равенство. §
10.12. Теорема. Пусть 2 есть 1к-финитное Т'-простран-
ство, являющееся рационально когомологической п-мерной сферой.
Предположим, что на 2 имеется лишь конечное число орбитных
типов и нет неподвижных точек. Для подтора Я с Т'; размер-
размерности k — 1 обозначим, через г (Я) такое целое число, заключенное
между —1 и п, что 2 я есть рационально когомологическая г-мер-
г-мерная сфера. Тогда н + 1 = ^] (г (#) + 1). где суммирование ведется
н
по всем (k— \)-мерным подторам ЯсТ*.
Доказательство. Так как множество элементов всех под-
групп-окружностей плотно в Т'", то имеется такая окружность,
скажем, S, действие* которой не имеет неподвижных точек. Точ-
Точность последовательности Смита — Гизина показывает, что
&'BH/S; (Q) = (Q при i=0, 2, 4,..., п - 1 и Я' B"/S; (Q) = 0
при других I. Заметим, что точка х е 2 тогда и только тогда
неподвижна относительно действия некоторого подтора коразмер-
коразмерности 1, когда ее орбита имеет размерность 1 (и, следовательно,
совпадает с S (х)). Это в свою очередь равносильно тому, что
образ х в 2/S неподвижен при (Т'75)-действии. Кроме того, мно-
множества неподвижных точек 2я попарно не имеют общих точек.
Следовательно, множество B/S)T Is является дизъюнктным объ-
объединением множеств вид 2я/5. Как и выше,
0 в остальных случаях..
Итак, J)rk/7''B/S; (Q) = («+l)/2 и
где первое равенство вытекает из 10.11 и очевидной индукции. |
Замечание. Теорему 10.12 впервые получил Боре ль [5].
Эта теорема легко обобщается и на случай наличия неподвиж-
неподвижных точек, что и сделал Борель, но для нас интересен лишь
рассмотренный случай. Борель доказал также аналогичное утвер-
утверждение для действия группы Ър 0•• • • © ZP.
10.13. Теорема. Пусть окружность 1 действует на прост-
пространстве X так, что имеется лишь конечное число орбитных типов,
и пусть X и X* финитны. Пусть, далее, A cz X—замкнутое
инвариантное подмножество. Если группа Н* (X, A; Z) конечно
порождена, то таковы же и группы Н* (Хт, Лт; Z) и Н* (X*,
A*; Z).

И». ДЕЙСТВИЯ ТОРОВ 167
Доказательство. Докажем сначала, что для группы Zp cr T
группа Н* (Х/Хр, А/Хр; Z) конечно порождена. (Заметим, что
это —частный случай упражнения 1.) Композиция гомоморфизмов
H*(X/ZP, AlZP\ Z)^H*(X, A; Z)-+H*(X/ZP, A/ZP; Z), со-
согласно свойству трансфера, есть гомоморфизм умножения на р,
образ которого конечно порожден, так как этот гомоморфизм
пропускается через конечно порожденную группу. Поэтому до-
достаточно доказать, что ядро умножения на р есть конечно поро-
порожденная группа. Но это следует из точности последовательности,
индуцированной коэффициентной последовательностью О—>-Z-*-Z->
->-Zp->-0, так как группа H* (X/Zp, A/Zp; Z) конечно порождена
в силу 7.9. Используя индукцию, легко показать, что группа
Н* (XlZn, AlZn\ Z) конечно порождена для любой циклической
подгруппы Zn с: Т. Итак, задача сведена к полусвободному дей-
действию. Но в этом случае все следует из точности последователь-
последовательности Смита — Гизина с целыми коэффициентами с использованием
индукции от бесконечности и точности последовательности тройки
(X*, A* U Хт, Л*) (сравните с доказательством предложения 10.7). §
10.14. Следствие. Если пространство X Тк-финитно, то
утверждения теорем 10.2 и 10.3 являются верными и без пред-
предположения о конечности числа орбитных типов. Щ
Пример. Тот факт, что требование конечности числа орбит-
орбитных типов в теоремах 10.2 и 10.3 необходимо, показывает сле-
следующий пример. Пусть в 10.3 гс = 0 и А = ф; зададим действие
TxS1-^S1 группы Т на S1 (=Т) формулой (г, г')>-*гпг'. Окруж-
Окружность S1 с таким действием обозначим через S1 (п). Отображение
z>—»г2 задает эквивариантное отображение /: S1 (nJ-^-S1 Bn).
Пусть, далее, Р2 —проективная плоскость с тривиальным Т-дей-
Т-действием, и пусть X — объединение (телескоп) цилиндров отображе-
отображений джойнов
Р2 * S1 A) х±1 Р2 * S1 B)' *i Р2 * S1 D) L*J...
Тогда X односвязно и ациклично над Z (так как 1*/ индуци-
индуцирует в когомологиях тривиальное отображение), поэтому X стя-
стягиваемо. Но XT«=sP2x[0, oo) имеет нетривиальные гомологии,
Й
Ц J
Пусть х — неподвижная точка этого Т-пространства X, и пусть
Xj —копии Т-пространства X, где точке х е X отвечает точка
X; е Xt. Приклеим каждое X,- к вещественной прямой, отожде-
отождествляя точку Xj с числом г. Возникшее пространство Y снова
стягиваемо, но группа Я2 (Ут; Z) есть прямое произведение счет-
счетного множества экземпляров группы Za и, следовательно, не
является конечно порожденной. Это показывает, что условие
конечности числа орбитных типов существенно и в 10.13. (Легко

168 ГЛ. II! ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
доказать, однако, что для компактного X такая неприятность не
может случиться.)
Замечание. Теоремы, сходные с теоремами этого параграфа,
впервые получили Коннер [3] и Флойд [9]. См. также Б о-
рель |5].
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ III
1. Пусть G— конечна» группа и К — конечномерны"! регулярный G-комп-
G-комплекс. Докажите, что из конечной порожденное™ группы Н (К\ Z) следует
конечная порожденность группы // (K/G; Z)- Обобщите этот результат на
когомологии финитных G-проегранств
2. Выведите из ">.1 юорему 5.2; сделайте это и для обобщений этих
результатов на фин 1тные (i-пространства (ем. 7 11).
3. Пусть G— циклическая группа порядка р и К — конечномерный регу-
регулярный G-комплекс. Предположим, что К является 2п"гомологической п-мер-
ной сферой и что KG есть Z^-гомологическан /--мерная сфера. Покажите, что
1 Ър для 1=0,
Hi [К/G; Zp)^=l Ър для г + 2Щ^п,
[ 0 для остальных i.
Если К—целочисленно гомологическая «-мерная сфера, то (без каких-либо
предположений о Ка) покажите, что при четном п—г имеем
Z для i = 0, п,
Ър для «=г + 2, г + 4 п—2,
0 для остальных i,
а при нечетном п—г (и, следовательно, при р — 2)
Z для i = 0,
p Для i = /- + 2, л + 4 я —1,
С: для остальных i.
Докажите также, что при р = 2 число п —; тогда и только тогда четно,
когда G действует на //„ (К; -Ъ) тривиально Сформулируйте аналогичные
утверждения для когомологий и докажите их для финитных пространств.
4. Покажите, что последовательность 3.1 точна и для произвольных
коэффициентов при условии, что L гэ Л и о есть один !П элементов а, т,
a p—другой Докажите, что это верно и для произвольной циклической
группы G при условии, что она свободно действует на множестве симплексов
из К, не лежащих в L.
5. Рассмотрим следующее условие на G-комплекс К: если (и, v) и (gu, v)
— ребра в К, то или git-—и, или gy = o. Покажите, что это условие влечет
регулярность и что обратное неверно Покажите также, что действие на вто-
втором барицентрическом подразделении комплекса К всегди удовлетворяет этому
условию.
6. Пусть U — локально конечное G-покрытие G-пространства Х. Покажите,
что оно обладает минимальным инвариантным подпокрытием. Покажите, что
если к тому же U — минимальное сам-шндексиро;<алное покрытие, то K(#)/G=a
^ К (Ua)
7. Обобщите 7.14 на случа : отображений /: (X, A)-*-(Y, В) замкнутых пар
паракомпактных G-проетряпств. (Указание. Если >': А ~+ И —ограничение
отображения /: X -г У, то как включение (Л, А)-*-\,М/- JX, Му), так и ре-

УПР^ЖНГНИЯ К Г.ЧЛВГ III 169
Тракция (Mf, Mf')-*(''. IS) индуцируют в когомологиях изоморфизмы.
Затем рассмотрите точную последовательность тройки (Mf, Mf' (J X, Mf').
8. Пусть G— циклическая группа простого порядка р, и пусть ? — такое
связное компактное свободное G-пространство, что //'(?) = 0 при 0 < I < /V)
Положим B = E/G. Эквиняриантная проекция (Хх?, AGxE)->-(A, AG) инду-
цируег отображение (X Xq E, X хВ)-*-(Х*, Х°) пространств орбит (где
X—некоторое G-пространство). Покажите, что для п^.ракомпактного X индуци-
индуцированное отображение //'(А'*, А'6) -*¦ II' (XxG П, XGxB) является изомор.
(])измом при i<N и мономорфизмом при i = /V (коэффициенты из Ър или Z)-
Докажите, что если X финитно и //'(A; Zp) = 0 при />« (где n<N), то
ограничение H'(XxGE; Zp) ->¦ //': (Х°хВ; Zp) является изоморфизмом при
n<i<N — 1 и эпиморфизмом при !=я. (Указание. Воспользуйтесь
упражнением 7. Отмстим, что этот факт является основой мощного метода
исследования преобразовании простого периода, которые мы изучим позже.
Для этого, однако, потребуется знание теории спектральных последователь-
последовательностей.)
9. Пусть конечная группа G действует ня финитном пространстве А, и
пусть A cz X—замкнутое инвариантное подмножество. Предположим, что
Я'(A, A; Z) = 0 при i>n. Покажите, что "/< (А/<7, A/G; Z) = 0 при i > л.
10. Покажите, что не существует такого полусвободного (%р ф 2р)-действия
на финитной 2р-когомологическо: /i-мерной сфере А, которое имеет множест-
множеством неподвижных точек Zp-когомологическую г-мерную сферу F, где —1 =-5
==;/¦< я- (Указание. Применив при необходимости двойную надстройку,
можно считать, что г5=1. Пусть G = GixG2, где G,- — циклическая группа
порядка р. Заметим, что F=a= (AG')G2. Рассмотрите проекцию A -+-X/G, как
Go-эквивариантное отображение и изучите гомоморфизм последовательностей
Смита (для О2-действия), индуцированны;"] этим отображением.)
И. Докажите, что конечная группа G, которая может свободно действовать
на компактной целочисленно когомологической n-мерной сфере 2", имеет
периодические когомологии периода л+1. т. е. Н'(G; Z) = H'+n+i (Q; 2) для
всех i > 0. (Указание. Взяв джойн нескольких экземпляров сферы 1,п,
унидим, что G может свободно действовать и на когомологической /V-мерной
сфере 2W со сколь угодно большим N. Рассмотрите скрученное произведение
2™xG2w и его проекции на S"/G и S^/G, являющиеся расслоениями со
слоями соответственно 2 и 2Л. Затем изучите последовательности Гизина
этих отображений.)
12. Пусть группа G = S3 единичных кватернионов действует на параком-
пактном пространстве А полусвободно. Получите следующую точную после-
последовательность Смита—Гизина (с произвольными коэффициентами)
...->#<• (А*, Х°)-+Н1(Х)-+Н'-ЦХ*, AG)©//'(XGH-№'+1(A:*, XG)->-...
Обобщите ее на случай пары (А, А), где Л —замкнутое инвариантное
подмножество в X.
13. Пусть X—такое финитное пространство, что группа //'(A, Z) конечно
порождена. Предположим, что G — Zp, р — простое, действует на А так, что
индуцированное G-действие на Я* (A; Z) тривиально. Покажите, что )((А) =
=% (Xе). (Указание. Воспользуйтесь теоремой 7.2 и упражнением 1.)

Глава IV
ЛОКАЛЬНО ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
В этой главе мы приступаем к систематическому изучению
действий компактных групп Ли на многообразиях. За неболь-
небольшими исключениями, результаты, изложенные в этой главе,
являются довольно общими. Наше изложение посвящено локально
гладким действиям, соответствующую категорию можно считать
эквивариантным аналогом категории Тор топологических много-
многообразий. (Мы оставляем без доказательства ряд глубоких резуль-
результатов об этой категории действий: именно, не доказываются
результаты, несправедливые для произвольных действий компакт-
компактных групп Ли на многообразиях, однако нам кажется, что изу-
изучение категории локально гладких действий в будущем докажет
свою плодотворность.)
Локально гладкие действия определяются в § I, где показы-
показывается также, что такие действия на IR" имеют лишь конечное
число орбитных типов. Ориентируемость множеств неподвижных
точек и связанные с этим вопросы рассматриваются в § 2. Поня-
Понятия главных, исключительных и особых орбит вводятся и изу-
изучаются в §§ 3 и 4. В § 5 доказывается теорема, позволяющая
сводить некоторые ситуации к случаю, когда главная стационар-
стационарная подгруппа конечна. Параграф 6 посвящен одному результату
Бореля о действиях на сфере, которые имеют лишь один орбит-
ный тип. Некоторые общие факты о множестве неглавных орбит
изложены в § 7. В § 8 мы доказываем теорему Монтгомери,
Самельсона и Янга о том, что локально гладкое действие на R",
имеющее лишь орбиты коразмерностей 1 и 2, ортогонально.
Теорема Коннера и Монтгомери о том, что действия торов уст-
устроены довольно просто, доказывается в § 9. В § 10 мы доказы-
доказываем теорему Манна о том, что действие на ориентируемом мно-
многообразии с конечно порожденными группами гомологии имеет
лишь конечное число орбитных типов.
Все многообразия предполагаются паракомпактными, незави-
независимо от того, оговаривается это специально или нет.

1. ЛОКАЛЬНО ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ 171
1. Локально гладкие действия
Пусть G — компактная группа Ли и М — некоторое G-npocr-
ранство. Обозначим через Р некоторую орбиту типа G/H, и пусть
У —евклидово пространство с ортогональным действием группы
Я. Линейной трубкой вокруг орбиты Р в пространстве М назы-
называется трубка (G-эквивариантное вложение на открытую окрест-
окрестность орбиты Р) вида q>: GxHV -> М. Если х = ср[е, у] —точка
орбиты Р, то точка v неподвижна относительно //-действия и,
так как на У сдвиг, переводящий у в 0, эквивариантен, то без
ограничения общности можно считать, что у — О.
Пусть S — срез пространства М в точке х. Назовем срез S
линейным, если канонически ассоциированная с ним трубка
GXахS-*¦ М, [g, s]>—*-g(s), эквивалентна линейной трубке, т. е.
если Gx-пространство S эквивалентно некоторому ортогональному
G-пространству. Заметим, что II.5.2 утверждает существование
линейной трубки вокруг любой орбиты ортогонального действия
1к" (в следующей главе мы покажем, что это верно и для любого
дифференцируемого действия).
Назовем G-пространство М локально гладким, если вокруг
любой орбиты существует линейная трубка.
Так как Gx^V есть У-расслоение над G/H, то оно является
многообразием. Следовательно, если М локально гладко, то оно
должно быть топологическим многообразием. Категория всех
локально гладких G-действип является, следовательно, эквива-
риантным аналогом категории Тор топологических многообразий.
Если G-пространство М локально гладко, то для любой непод-
неподвижной точки х е М найдется инвариантная окрестность, G-дей-
ствие на которой эквивалентно ортогональному. Следовательно,
в локально гладком случае Ма есть топологическое подмного-
подмногообразие в М.
Если взять открытые конусы над пространствами из приме-
примеров § 7 гл. I, то получатся такие действия на евклидовом про-
пространстве, множества неподвижных точек которых не являются
локально евклидовыми в начале координат. Следовательно,
не все действия на многообразиях являются локально гладкими.
1.1. Предложение. Если М —локально гладкое G-прост-
G-пространство и К cz G — замкнутая подгруппа, то М есть локально
гладкое К-пространство.
Доказательство. Пусть Р — некоторая G-орбита в М типа
G/H. Рассмотрим G как орбиту (Gx Содействия (заданного левыми
и правыми сдвигами) и напомним, что тогда G можно вложить
в некоторое R" как орбиту некоторого ортогонального (G X Содей-
Содействия; см. § 5 гл. II. Ограничим это действие на КхН и рас-
рассмотрим орбиту КН точки е в Сек". (Отмстим, что стационар-
стационарная подгруппа этого действия в точке с ость \{l, tx)\l <^К[\И)

172 ГЛ. IV. ЛОКАЛЬНО ГЛАДКИЙ ДЕЙСТВИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
и, следовательно, изоморфна К{\Н.) В силу II.5.2 е-шар Ve
в нормальном пространстве к КН в R" в точке е есть срез этого
(/СхЯ)-действия на jRn. Теперь ясно, '-то W = Ve П G есть срез
(/(хЯ)-действия на G в точке е. Далее, W эквивалентно (как
(/(хЯ)-пространство) пересечению Ve с касательным простран-
пространством к G (при достаточно малых е) и, следовательно, W явля-
является срезом группы G в точке е для этого (Кх //)-действия.
Положим L = K(]H. Так как (/С х Я)-действие на G задает
на ней левое К- и правое Я-действия, то L = K(]H действует
на W, (/, w)>-»lwl-1
Считая, что L действует на К правыми сдвигами, на Я —ле-
—левыми (откуда возникает L-действие на W X Я вида (/, (w, h)) i—*¦
i—»¦ (lwl~l, lh)) и используя сказанное выше, увидим что отобра-
отображение ср: KXi. (IF хЯ)->0 вида ср[&, (да, h)\ = kwh есть (КхН)-
трубка в G вокруг КН.
Пусть теперь гр: GxHU-±-M — линейная трубка вокруг дан-
данной орбиты Р, и пусть x = ty[e, 0] (напомним, что H = GX).
Тогда композиция
(KxL(Wx Я)) х „ ?Д*//У- GxnU -^ М
является /С-зквивар:Ентнь'м р^сжсшлм на открытое множество
в силу II.2.1. Но
и индуцированное отображение 8: КX /. (W x U) -> М имеет вид
6[^, (w, и)] = г|;[ф[^, (ш, е)], «] = tp|'to, и]. Следовательно, 6 есть
/С-эквивариантный гомеоморфизм на открытую окрестность К-
орбиты точки 0 [е, (е, 0)] = -ф[<?, 0] = х. Так как W и [У —ортого-
—ортогональные L-пространства (при диагональном L-действии на W xU)
и так как L = K[\H = Кх, то 0 есть линейная /(-трубка вокруг
К(х) в М. 1
Замечание. Это предложение является, конечно, тривиаль-
тривиальным следствием теоремы, которую мы докажем в главе VI, о том,
что дифференцируемое действие локально гладко. Читатель,
хорошо знакомый с дифференциальной геометрией, возможно,
предпочтет этот подход.
Так как ортогональное G-действие имеет лишь конечное число
орбитных типов (см. гл. II, упражнеш!(> 2) и так как типы ста-
стационарных подгрупп G-действия на GxHV возникают из соот-
соответствующих типоз подгрупп для Я-действия на V, то отсюда
легко вытекает следующий результат.
1.2. Предложение. Пусть М — локально гладкое G-npocm-
ранство и С — компактное подмножество в М. Тогда число орбит-
орбитных типов тех орбит, которые пересекаются с множеством С,
конечно. V

1. ЛОКАЛЬНО ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ 173
Замечание. Этси результат справедлив и для произволь-
произвольного действия компактной группы Ли на многообразии (и даже
на обобщенном многообразии), но соответствующее доказательство
значительно сложнее. Общий результат получен Мостовым [2],
Флой дом [8] и Манном [1]. Изложение этого результата
имеется в книге Бореля [5], гл. VI, VII. Доказательство сле-
следующего ниже результата позаимствовано у Флой д а [ i 1 ] и
содержит некоторые аспекты доказательства общего результа-
результата.
1.3. Теорема. Пусть М — паракомпактное топологическое
многообразие с тривиальными 1,р-когомологиями для всех простых
р (например, /\4=|R"). Тогда любое локально гладкое действие
тора на М имеет лишь конечное число орбитных типов.
Доказательство. Пусть хх, х2, ... — последовательность
точек из М с попарно различными стационарными группами.
Так как множество всех замкнутых подмножеств тора Т является
компактным метрическим пространством относительно хаусдор-
фовой метрики d{A, В) = max d (a, B)-\-maxd(A, b), то можно
считать, переходя при необходимости к подпоследовательности,
что Т Х{ сходятся к (обязательно подгруппе) G с. Т. В силу II.5.6
и коммутативности группы G для больших i имеем Tv. c:G.
Можно считать это справедливым и для всех i. Допустим, что
нам удастся доказать равенство F(TXi, M\ — F(T.V., /W) для доста-
достаточно больших i и /. Тогда ТХ[ оставляет неподвижной точку х/,
так что ТХ[ с Тх., и аналогично 7Y. с ТХ[ для достаточно боль-
больших i и /, что противоречит нашему предположению. Таким обра-
образом, все сводится к следующей лемме.
1.4. Лемма. Пусть М такое оке, как в 1.3, и пусть G—
компактная группа Ли, локально гладко действующая на М.
Пусть, далее, {G,-|i=l, 2, .. .\ — некоторая поел довательность
подгрупп группы G, сходящаяся к G. Тогда для достаточно боль-
больших i и j имеем F(Gj, M)=F(G,-, M).
Доказательство. Сначала отметим следующи! факт
Пусть S — тор, действующий на М, и пусть К^ с Кг а ... — после-
последовательность его р-подгрупп (р — фиксированное простое число),
сходящаяся к S. Тогда /'(/С,, М) гэ F(К.,, Vf)-з ... есть после-
последовательность Жр-ацикличных (и следовательно, связных) много-
многообразий с Р| F(/(,-, M) = F(S, M). Однако размерность dim/-'(Л",-, Л/)
с ростом i становится постоянной и, следовательно, по теореме
об инвариантности области, начиная с некоторого i, все множе-
множества F (Ki, M) совпадают Сле^с'г.толыю, F(S, M) есть Zp-ацик-
лично.1 многообразие (для всех р). Заметим также, что F (G, М) =

174 ГЛ. IV. ЛОКАЛЬНО ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
Теперь мы докажем лемму индукцией по dimG. Можно счи-
считать, что dimG>-0. Переходя при необходимости к подпоследо-
подпоследовательности, можно считать все F (G,-, М) попарно различными.
Так как {G,-} сходится к G, ясно, что порядки | G,-! групп Gt
стремятся к бесконечности (где !G,-| = oo при dimG,->0). (Чтобы
увидеть это, возьмите пересечения групп Gt с единичной компо-
компонентой группы Go группы G и рассмотрите их проекции на неко-
некоторую подгруппу-окружность группы Go.) Следовательно, мы
можем выбрать такие подгруппы Я,- групп G,-, что порядок группы
Hi есть степень некоторого простого р (причем р, вообще говоря,
зависит от i) и что | Hi | стремятся к бесконечности (так как
наибольший примарный делитель числа п стремится к бесконеч-
бесконечности при стремлении п к бесконечности). Переходя к подпоследо-
подпоследовательности, мы можем считать, что последовательность \Hi}
сходится к замкнутой подгруппе ScC. Тогда dim5>0 в силу
того, что | Hi | стремится к бесконечности. При необходимости
пересекая Ht с компонентой единицы группы S, мы можем счи-
считать S связной группой и, следовательно, тором.
Так как G действует локально гладко и, следовательно, имеет
лишь конечное число орбитных типов вблизи любой данной непо-
неподвижной точки х, то для больших i вблизи х имеем F (Hi, M) =
= F(S, M). Но оба эти множества —связные многообразия,
поэтому F (Hi, M) = F(S, М) для больших i. Тогда для боль-
больших i имеем F (Gh M) = F(Gh F (Hi, M)) = F(Gh F(S, M)) =
*= F ((GiS)/S), F(S, M)). Так как dim G/5< dimG, то согласно
индуктивному предположению для достаточно больших i множе-
множество в правой части этого равенства не зависит от i, что проти-
противоречит нашему предположению о том, что все множества
F (Git М) различны. |
Замечание. В § 10 мы докажем результат Манна [2]
о том, что заключение теоремы 1.3 истинно для всех ориенти-
ориентируемых многообразий с конечно порожденными группами гомо-
гомологии.
Из 1.3 и III.10.14 вытекает
1.5. Следствие. Если М —ацикличное (над целыми числами)
паракомпактное многообразие (например, M = R"), и если тор Т
действует на М локально гладко, то МТ тоже ациклично (над
целыми числами). Щ
Пусть ф: G хй V -v V — линейная трубка с ср[е, OJ = x. Пред-
Представление группы GX = H на V называется представлением на
срезе в точке х1). Мы не называем его срезом представления
изотропии2) в точке х, так как нельзя указать способа, одно-
однозначно (с точностью до линейной эквивалентности) определяю-
1) В оригинале a slice representation at x. — Прим. персе.
*) В оригинале the slice representation atх.—Прим. перев.

2. МНОЖЕСТВА НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК 1?3
щего представление по точке х. К тому же на самом деле неясно,
имеет ли-, место эта однозначность. (Мы, однако, отметим, что
для дифференцируемого действия, когда ср должно быть диффео-
диффеоморфизмом, представление на срезе однозначно определяется
точкой х). В случае, когда х — неподвижная точка, этот вопрос
сводится к вопросу о том, будут ли два топологически эквива-
эквивалентных представления компактной группы Ли линейно эквива-
эквивалентны, что в общем случае неизвестно.
Мы закончим этот параграф замечанием об определении
локально гладких действий на многообразиях с краем. Здесь
надо требовать, чтобы для орбит Р, лежащих в дМ, трубки
имели вид ф: Gx# У+^-М, где ср[е, 0]еР, V+ обозначает полу-
полупространство Xj^O в R" = V (л:,: —первая координата) и Я дей-
действует на V+ ортогонально. (Разумеется, так как У+ должно
быть инвариантным, то группа Н должна оставлять хг-очъ непод-
неподвижной.)
2. Множества неподвижных точек отображений
простого периода
В этом параграфе мы установим некоторые результаты о мно-
множествах неподвижных точек локально гладких действий на М
циклической группы G простого порядка р. Наш первый резуль-
результат гласит, что если М ориентируемо и р нечетно, то Ма тоже
ориентируемо. Это неверно для р = 2, что показывает пример
инволюции (х0: хл : х2: х3) <—*• (— хп: хх: хг: х3) на вещественном
проективном пространстве IRP3, множество неподвижных точек
которой есть объединение точки и RP2.
2.1. Теорема. Пусть G — конечная группа нечетного порядка
или тор, и пусть G локально гладко действует на п-мерном
ориентируемом многообразии М. Тогда каждая компонента мно-
многообразия Ма ориентируема.
Доказательство. Случай тора сводится к случаю р-груп-
пы, так как каждая компонента пространства Ма является также
компонентой множества неподвижных точек некоторой группы
порядка pk (см. доказательство теоремы 1.4). Кроме того, оче-
очевидная индукция (использующая тот факт, что группа нечетного
порядка разрешима) сводит случай конечной группы нечетного
порядка к случаю циклической группы G порядка р, которым
мы и займемся.
Пусть х е М — неподвижная точка, и пусть ее компонента
в Ма имеет размерность г. Пусть (/ — содержащий х открытый
«-мерный шар, на котором G действует ортогонально (такой шар
существует в силу локальной гладкости действия). Обозначим
через М+ одноточечную компактификацию многообразия М, так
что jW+=« Af и{°о}- Так как (М+, M+ — U) есть когомологическая

176 ГЛ. IV. ЛОКАЛЬНО Г'ПткИГ ТНПГ.ТППЯ Н\ МНОГООРРАЗТТяХ
клетка в силу теоремы вырезания, то замечание после II 1.5.2
(переформулированное для когомологий), устанавливающее изо-
изоморфизм 111.E.3), показывает, что имеется коммутативная диа-
диаграмма (где область коэффициентов есть Zp и В = М *¦ — U)
Hr(Ml, В°)~. На+\М+, В) ^ ...^Я?(М+, В) ^Нп(М+, В)
Hr (Ail, оо) б*. я;+ ' (М+, оо) «1 ... il #? (М+, оо) -'"- Я" (М+, оо)
(вертикальное отображение справа есть изоморфизм в силу ориен-
ориентируемости М). Далее, Н" (М+\ oo) = Zp. Изложенные после
II 1.5.2 (и в доказательстве теоремы II 1.9.2) рассуждения, исполь-
использующие последовательности ^мита, показывают, что гомомор-
гомоморфизм 1% в нижней строке есть изоморфизм. Анализ диаграммы
показывает теперь, что Нг (М%, (М± — 1))с')-*-Нг{М%, оо) есть
мономорфизм.
Если F — содержащая х компонента в М° и /v = F[J {оо}, то
отображение //•-: M.I-+F,., переводящее все остальные компоненты
множества Ма в со, является ретракцией. Поэтому возникает
коммутативная диаграмма
Zp^Hr(F,, F+-UG)~-Hr(Ml, (M+-Uf)
Hr {F.v, оо) A Hr (Ma+, oo)
V
откуда следует, что Hr (F+, оо)фО, и поэтому F ориентируемо
(так как р нечетно). Щ
Заметим, что эти рассуждениях) применимы и для случая
р = 2 (но это, конечно, не дает ориентируемости). Рассмотрим
эту ситуацию более подробно в случае, когда М компактно
(исключительно для удобства). Пусть бг обозначает композицию
//'(Л4с)-^я;+ЧМ) —... —Яр(М)^Я"(М)(при'р = 2 имеем
р = а). Мы показали, что отображение 8г/? нетривиальной,
следовательно, есть изоморфизм в случае, когда F — компонента
М° и М ориентируемо (или р = 2). Далее, имеется изоморфизм
Hr (MG) ^Yl Hr (F) с каноническими вложениями $ (и проек-
F
циями —ограничениями Hr {Ma)^>-Hr (F), индуцированными
включениями F а М°). Пусть 0^=1еЯ" (М) — «ориентация» над
%р2), и пусть Яр е Hr (F) — индуцированная ориентация много-
1) Начиная с момента, когда G считается циклической группой. — Прим.
перев.
-) Далее ориентируемым многообразием М над Zp будет называться ори-
ориентируемое в обычном смысле многообразие, если р нечетно, и любое много-
многообразие, если р —2. — Прим. ред.

2. МНОЖЕСТВ \ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК ^
образия F, где F — некоторая r-мерная компонента простран-
пространства М<;, При этом %'р выберем так, что Вг[р(к'р) = к. Положим
V= Jf(K-} g= Hr (Ma). Фиксируем г, возьмем /--мерные компо-
компоненты F,, ..., Fk пространства Ма и рассмотрим элемент а —
к
= 2 °/V., a;e:ZP, группы Нг(Мв). Ясно, что 8Г (к) = (? а,) Я.
i= \ '
Далее, гомоморфизм б*: НГ(М°)-+-Нго+' (М) аннулирует а лишь
в том случае, если это делает 8, т. е. лишь при 2«,- = 0&ZP.
Так как диаграмма 111.G.8) в нашем случае принимает вид
Йг(М)-°» Нг(Ма) —НГ+ЦМ*
'л» 1@, 1) j=
то элемент а является образом элемента группы Hr (M*) лишь
при б*(а) = 0, т. е. лишь при 1]а;=0. Итак, мы доказали сле-
следующую теорему.
2.2. Теорема. Пусть М — компактное ориентируемое (над Zp)
многообразие, на котором локально гладко действует циклическая
группа G простого порядка р. Тогда Ма Х,,-гомологично нулю
в М* = M/G в следующем смысле: пусть г — некоторое целое число,
и пусть Fx, ..., Fk суть г-мерные компоненты множества Ма.
Тогда существуют такие ненулевые классы ?ч:еЯ'(Р;; ZP), соот-
соответствующие классам lki<=Hr(Ma\ Zp), что если ?а;А,-е
e=im(W'(M*; Zp)-+Нг (Мс; ZP)), то Vfli = 0sZp. 1
Отметим, что для гомологии аналогичное утверждение указы-
указывает на существование таких ненулевых классов щ е Hr(Fi, Zp)
и такого класса ц'еЯ,(А1'-УР;; Zp) (возможно, нулевого),
с образами щ и (.1 в группе НГ(М°), что fx + SM'» переходит при
гомоморфизме Яг(М°)->/7г(УИ*) в нуль.
2.3. Следствие. Компактное ориентируемое над Zp много-
многообразие не допускает никакого локально гладкого действия группы
простого порядка р, имеющего в точности одну неподвижную
точку. |
2.4. Следствие. Если локально гладкая инволюция на ком-
компактном многообразии М имеет лишь изолированные неподвиж-
неподвижные точки, то число последних четно. Щ
2.5. Следствие. Пусть М — ориентируемое над Zp компакт-
компактное многообразие, и пусть г — максимальная размерность компо-
компонент пространства Ма. Предположим, что Ми имеет лишь
одну г-мерную компоненту, обозначенную через F. Тогда F не
является ре трактом пространства М*.
Доказательство. Если F —ретракт пространства М*, то
ИГ(М*\ Zp)->//''(F; Zp) — эпиморфизм, так как ретракция инду-

1?8 ГЛ. IV. ЛОКАЛЬНО ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
цирует правый обратный этому гомоморфизм. Но так как все
компоненты из М°, кроме F, имеют размерность, меньшую чем г,
то Hr(F\ Zp) = Hr(Ma; ZP), что противоречит теореме 2.2. |
Замечания. Теорему 2.1 доказал Смит [2]. Мостов заме-
заметил, что данное Смитом доказательство теоремы 2.1 доказывает,
по существу, теорему 2.3. Теорема 2.2 и ее следствия взяты из
работы Бредона [3], где спрашивалось также, можно ли рас-
распространить эти результаты на произвольные р-группы. То, что
этого сделать нельзя, показывает пример отображения (z0 :z1 :z2)>—»
i—*¦ (Zo: — Z2: г,) пространства (DP2 в себя, имеющего период 4 и
единственную неподвижную точку A :0:0) (пример взят у Кон-
нера и Флойда [8]). Аналогично отображения СР3->-СР8 вида
(г0: гг: г2: г8) .—¦ (г0: г2: гя: гг) и (г0: гг: z2: гя) >— (z0: zx: гг: сог3),
где со —первообразный кубический корень из единицы, задают
действие группы порядка З4, имеющее единственную неподвиж-
неподвижную точку A:0:0:0). Тем не менее Коннер и Флойд [8]
высказали гипотезу об истинности следствия 2.3 для гладких
действий циклических групп, порядок которых есть степень нечет-
нечетного простого числа. Позже эту гипотезу доказали Атья и
Ботт [2] и Коннер и Флойд [9]. Справедливы ли более
широкие обобщения теоремы 2.2 для действий циклических групп
порядка pr, p>2, —остается неизвестным.
Мы закончим этот параграф достаточно простым глобальным
вариантом теоремы Я н г а [2]; ее далеко идущее обобщение будет
дано в главе V. Для его мотивировки отметим, что множество
неподвижных точек инволюции на сфере является Z2-KorOM°"'ro-
гической сферой. Кроме того, примеры § 7 гл. II показывают,
что это множество неподвижных точек может иметь коразмер-
коразмерность 2 и обладать нечетным кручением в гомологиях. Следую-
Следующий результат показывает, что в коразмерности 1 такого быть
не может.
2.6. Теорема. Пусть группа G = Z2 локально гладко дейст-
действует на компактной целочисленно когомологической п-мерной сфере 2
так, что dim2c=n —1. Тогда 2е является целочисленно кого-
когомологической {п—Х)-мерной сферой, a S* ациклично над целыми
числами и обладает сечением в 2.
Доказательство. Мы знаем, что Я* B°; Z2)*=«
ж Н*($п~1\ Z2). Точность последовательности 0 -> Нп~х (Ц°; Z2)-*-
-*-#"B, 2G; Z2)-^#*B; Z2)-^0 пары B, 2") и изоморфизм
двойственности Александера Я" B, 2G; Z.) =« Яо B — 2е; Z2)
показывают, что 2—2й состоит из двух компонент. Пусть Мх
и М2 — замыкания этих компонент, так что M,|JM2 = 2 и
УИ1ПМ2 = 2(;. Рассматривая окрестность любой точки множе-
множества 2°, увидим, что G переставляет Мх и М„ и, следовательно,
Aii^Mg»* 2*. Наличие отображения Z-*-2*^Alj, показывает,

3. ГЛАВНЫЕ ОРБИТЫ '79
что Mi есть ретракт сферы 2, поэтому Я* B*; Z) является
прямым слагаемым группы Я* B*; Z), и потому 2* ациклично.
Теперь из двойственности Пуанкаре —Лефшеца Я' B°; Z) «=»
»Я'B*, 2G; 2)^Я„-,-(Е*; Z) следует, что 2° имеет те
же целочисленные когомологии, что и (п— 1)-мерная сфера. |
3. Главные орбиты
В этом параграфе мы докажем существование максимального
орбитного типа для локально гладкого действия на связном мно-
многообразии и обсудим некоторые следствия этого. Подобно боль-
большинству результатов этой главы, данный результат может быть
доказан и без предположения о локальной гладкости (см. Монт-
Монтгомери [6]), однако сделать это значительно труднее. В этом
параграфе G обозначает компактную группу Ли, действующую
на гс-мерном многообразии М локально гладко и так, что М* =
= M/G связно.
3.1. Теорема. Для G-действия на М существует максималь-
максимальный орбитный тип G/H (т. е. любая стационарная подгруппа
содержит подгруппу, сопряженную с Я). Объединение М(Н) орбит
типа G/H открыто и плотно в М, и его образ М*н) в М* =
— M/G связен.
Доказательство проводится индукцией по размерности п
многообразия М. Используя индуктивное предположение, мы
сначала докажем требуемый результат «локально». Рассмотрим
некоторую линейную трубку Gy.KV->М. Тогда К действует
на V ортогонально, и потому это действие можно считать откры-
открытым конусом над действием группы К на единичной сфере 5
пространства V. Далее, dimS<dimM (на самом деле dimV<
<dimG, если только Кфй) и К действует на S локально
гладко в силу II.5.2. По предположению индукции, существует
такая подгруппа Я группы G, что S{H) открыто и плотно в S
и S*h) связно. (Здесь имеется одно исключение: S есть нульмер-
мерная сфера и К действует на S тривиально, но тогда все
орбиты /С-действия на V тривиальны.) Тогда Ущ) и ]/*щ — откры-
открытые конусы без вершин соответственно над Sul) и S*H) или, в слу-
случае Я — К, имеем V(H) = V и V*H) = V. Следовательно, V*h) связно,
открыто и плотно в У*, и все другие /(-орбиты в V имеют
строго меньший- тип (по предположению индукции или просто
в силу II.5.5 и того, что VlH) плотно). Пусть /(//. — другой
орбитный тип /(-действия на V. Тогда, сделав при необходимо-
необходимости сопряжение, можно считать, что HczLczK и НфЬ. Тогда
Я и L отличаются друг от друга либо размерностью, либо чис-
числом компонент и, следовательно, не могут быть сопряжены в G.
Так как подгруппы группы К, сопряженные в К, сопряжены и

180 ГЛ IV ЛОКАЛЬНО ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
в G, то отсюда следует, что (G > А V)[H) = GXk (V,//,). Кроме
того, (G Хд- V)?n) *=» У'ии при гомоморфизме (GX/f V)* «а V* из
II.3.3, так что I/*/ связно, открыто и плотно в (GxA-V)*.
Итак, для каждой точки х е /И мы нашли окрестность (/?czM*
точки лг* и такое связное, открытое и плотное в U* подмноже-
подмножество №*, что все лежащие в нем орбиты имеют один и тот же
тип, а все остальные орбиты в t/f имеют строго меньший
тип.
Для произвольной подгруппы Я группы G обозначим через
С(Я1 замыкание множества \п\М()гг Тогда инцидентность х* е (?(ffl
равносильна том), что W"i состоит туз орбит типа G/H и, следо-
следовательно, С(я>1э(Л. Следовательно, С(#) одновременно и замк-
замкнуто и открыто, откуда следует, что С(#) = М* для некоторой
(уже фиксированной) подгруппы Н с G и что ClA-, = (J для /С,
не сопряженной с И. Тогда М*н> открыто, так как М*?;, Л ^'* =
= IF?, а также плотно. Кроме того, все остальные орбиты имеют
тип, меньший чем G/H. Наконец, если D — компонента множе-
множества М*Ц), то, так как W* связно для любого х, то D открыто
(и замкнуто) в М*. Следовательно, М*н) = О связно. Щ
Максимальный орбитнып тип, существование которого установ-
установлено в 3.1, называется главным орбитным типом, а орбиты этого
типа называются главными орбитами. Соответствующие стационар-
стационарны! подгруппы называются главными стационарными подгруппами.
Если Р — главная орбита и Q —любая орбита, то имеется экви-
вариантное отображение P-+-Q. Если P^G/H и Q^^G/K, то Н
сопряжена с некоторой подгруппой группы К, поэтому без огра-
ограничения общности можно считать, что KzdH. Тогда эквивариант-
ное отображение P^>-Q является проекчией G/H-+G/K со слоем
К/Н. Если ditnP >dirnQ (т. е. dim/(/#>0), то Q называется
особой орбитой. Если dimP = dimQ, но Р и Q не эквивалентны
(т. е. проекция P-^Q является нетривиальным накрытием, так
что множество К/Н конечно и нетривиально), то Q называется
исключительной орбитой.
Суммируем некоторые элементарные факты, которыми мы
будем пользоваться в дальнейшем.
3.2. Теорема. Пусть хеМ, K = GX и V —линейный срез
в точке х. Пусть, далее, ceF. Тогда:
(i) К (v) есть главная, исключительная или особая орбита К-дсй-
ствич на V соответственно тому, является ли G(v) главной, иск-
исключительной или особой орбитой G-действия на М.
(И) Если Н cz К — главная стационарная подгруппа К-действия
на V (и, следовательно, главная подгруппа G-действия на М), то
орбита G (х) тогда и только тогда неособа {т. е. главная или
исключительная), когда множество V/H конечно. В этом случае И
есть нормальный делитель в К и в точности '.шляется подгруппой
неэффективности К-действия на V.

3. ГЛАВНЫЕ ОРБИТЫ 18]
(Hi) Орбита G(x) тогда и только тогда главная, когда K — Gx
действует на V тривиально. В этом случае GxKV = (G/K) X V.
(iv) (GxAK)l/o=GxAyK = (G//C)xVK.
(v) Если H —главная стационарная подгруппа К-действия
на V, то (GxKV)lH] = GxKVim-
Доказательство. Пусть орбита К {is) главная в V, и пред-
предположим (мы можем это сделать), что Н = Kw a Kv. Так как
GXk(V{h)) открыто в GxKV и состоит из орбит типа G/H, то Н
является главной стационарной подгруппой G-действия на М.
Так как орбита K{v) является главной, исключительной или
особой соответственно тому, будет ли множество К/Н тривиаль-
тривиальным 1), конечным и нетривиальным или бесконечным, то отсюда
следует (i). Отсюда немедленно вытекает также (v). Утверждение
(iii) очевидно, так же как и первая часть утверждения (и). Далее,
если множество К/И конечно, то /(-орбиты на V тоже конечны
и срез в точке v есть в точное;и малая открытая окрестность
точки из V. Следова1елыго, (в этом случае) Ы переводит некото-
некоторое открытое множество на себя и поюму действует на V триви-
тривиально. Отсюда легко следует, что И есть в точности неэффектив-
неэффективная часть /(-действия на V и, в частности, Я —нормальный дели-
делитель в К- Отсюда следует (и). Если G (v) — орбита типа G/K, то
К^Gvc К, откуда Gv — K (т. е, ое VK). Отсюда вытекает (iv). Щ
Заметим, что если М есть, например, сфера, то в силу 3.2A II)
главная орбита лежит в сфере М, обладая там окрестностью-
произведением. Это —сильное ограничение на возможность быть
главной орбитой. (Отсюда следует, что главная орбита стабильно
параллелизуема и, следовательно, ксе ее характеристические
классы равны нулю.)
Теперь мы приступим к более внимательному изучению строе-
строения орбит локально гладких действий.
3.3. Теорема. Пусть К —подгруппа группы G, и пусть
М(ю — множество точек, лежащих на орбитах типа G/K. Тогда
М(ю-топологическое многообразие (локально замкнутое в М), и
его замыкание М(/о состоит из точек орбит типа, не превосходя-
превосходящего тип G/K- Проекция на пространство орбит М^ —*¦ М*ю
является расслоением со слоем G/K и структурной группой N (К)/К-
Доказательство. Если xe;/W(Ab то type G(x)sg type G/K
в силу 11.5.5. При type G (x) = type G/K любая орбита из М{К)
вблизи G(x) имеет тип не меньший, чем тип орбиты G(x), и, сле-
следовательно, имеет тип, равный типу орбиты G(x). Поэтому М{К)
открыто в М{К) и, следовательно, оно локально замкнуто в М.
Любая орбита Р из М{:<] обладает линейном трубкой вида GxKV.
Очевидно, что подмножество этой трубки, состоящее из орбит
То есть оди..элементным. — Прим перев.

182 ГЛ. IV. ЛОКАЛЬНО ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
типа G/K, есть в точности Gxк VK i=^G/Kx VK и, следовательно,
является многообразием в силу того, что VK — линейное подпро-
подпространство в V. Последнее утверждение следует из II.5.8 (или
непосредственно из вышеизложенного). Щ
3.4. Лемма. Для любой подгруппы KczG и любой К-орбитьс
в М найдется такая ее окрестность, в которой лежит лишь
конечное число компонент множества MiK).
Доказательство. Индукцией по dim/W можно установить
справедливость этого утверждения для действия на линейном срезе
единичной сферы. Из компактности следует теперь, что это верно
на сфере глобально и, следовательно, верно и в ассоциированной
линейной трубке. Щ
3.5. Лемма. Пусть С cz M локально замкнутой инвариантно.
Тогда dim С = max dim (С f)M{K)) и dim С* = max dim (С* flMfk)),
где К пробегает все подгруппы группы G.
Доказательство. Так как размерность —понятие локаль-
локальное, то мы можем считать, что в С имеется лишь конечное число
орбитных типов. Теперь мы докажем лемму индукцией по числу
попавших в С орбитных типов. Пусть подгруппа L czG такова,
что С П M{i) Ф ф и что никакая орбита большего типа не лежит
в С. Тогда M(i\{\C открыто и, по предположению индукции,
dim (С — M(/.,) = max {dim (С Л М/с) | К и L не сопряжены}. Но
dim С = max jdim (С — M(i>), dim(Cn^f(/.))}, см. Гуревич и
Волмэн [1], с. 55, что и доказывает лемму (утверждение о С*
доказывается тем же способом). §j
3.6. Теорема. Пусть К —некоторая подгруппа группы G.
Если D— компонента множества Мдо, то dim(D — ?>)<; dimD.
Следовательно, dim (М*ю — М*ю) < dim М*ку
Доказательство. Заметим, что орбитные типы в D—D
строго меньше, чем тип G/K. В силу 3.5 достаточно доказать,
что если К — собственная подгруппа группы L, то dim(Df\MfL))<^
<С dim D. Взяв линейный срез в точке орбиты из D (] M*d, можно
свести ситуацию к случаю L = G (и к ортогональному действию);
иными словами, достаточно показать, что dimMG<.dimD (где D
состоит из орбит нетривиального типа). Но если S —сфера в орто-
ортогональном дополнении к М° (в ортогональном случае), то S* ("|
П D cz S*k) — многообразие, a D — в точности произведение N1° и
(S*n^)xK+, так что dimDs=dimyWG+l. Щ
Для подгруппы К группы G положим
В,к) = {х ен MiK)! dim G (х) < dim G/K},
Е(К) = {хе М{К) | dim G (лг) = dim G/K, но type G (x) ф type G/K}.
Заметим, что оба множества В{К) и В{К) [)Е{к)~М{К) — М(ю замк-
замкнуты. Если Я —главная стационарная подгруппа, то

8. ГЛАВНЫЕ ОРВИТЫ 1&3
и, таким образом, B{lh есть в точности множество точек особых
орбит, а Е(Н) есть множество точек исключительных орбит. Для
главной подгруппы Н мы положим В = В,Н) и Е = ЕШ).
3.7. Предложение. Для любой подгруппы KaG имеем
dimB(K)^d\mMiK) — 2, dim ?,#)< dim ЛГ,Ю — 1.
Доказательство. В силу 3.5 достаточно доказать, что
dimE(Ar) ПЛ4A))йС<ЛтЛ4(А-, — 2 (и аналогично для Е{К)). Однако
В(юГ\Мщ есть расслоение над В*юA М*ы со слоем G/L. В силу
3.6 имеем
dim (В(Ю П М(ц) < dim (Bfr, П M?d)+
+ dim (G/L) < dim MfK) + dim (G/L) - 1 =sS
=sS dim MfK) - 1 + dim (G/K) - 1 = dim M{K) - 2.
Другое неравенство доказывается аналогично. Щ
3.8. Теорема. Если d — размерность главной орбиты (т. е.
наибольшая из размерностей всех орбит), то dimM*=n — d и
d\m(B* \JE*)^n~d~ I. Объединение всех неглавных орбит раз-
размерности, не превосходящей t, есть замкнутое множество размер-
размерности, не большей чем п — d -f-1 — 1. Таким образом, dim В =^ п — 2
и dim (Я U ?)«?"-1-
Доказательство. Если Я —главная стационарная под-
подгруппа, то MiH) открыто и, следовательно, «-мерно. Так как
М{И) расслаивается над Мщ) со слоем G/H, то dim Л1*я> = я —¦ d.
В силу 3.6 dim (В* U ?*) «s^rc — d— 1 и, следовательно, прост-
пространство М* = М*н) U В* U Е* (п — ^)-мерно. Предпоследнее утвер-
утверждение следует из 3.5 (см. доказательство теоремы 3.7), а послед-
последнее утверждение — из предпоследнего или непосредственно из 3.7. g
В дальнейшем нам понадобится следующий факт.
3.9. Предложение. Пусть К —подгруппа группы G. Пред-
Предположим, что М(ю имеет размерность k. Тогда
H"(G(MK)+, oo; Z2)=^0.
Доказательство. Рассмотрим множество C — G(MK), яв-
являющееся в точности объединением всех орбит, тип которых не
превосходит типа G/K. Положим N = N(K) и рассмотрим скру-
скрученное произведение GXnMk. Это — многообразие, так как оно
расслаивается над G/N со слоем Мк. Пусть ср: Gx?jMK-*-C —
отображение вида cp(g, x) = g(x). Далее, Gxjv(Mk f\M{Kt) есть
открытое подмножество в GxNMK, и в силу 11.5.9 ср отображает
его на М(а-) гомеоморфно. Пусть V с: GXa' (Мк(]М{ю) — открытая
^-мерная клетка, и пусть W — компонента множества GxnMk,
содержащая V (так что W — связное ^-мерное многообразие).
Пусть, далее, V' = <p(V) — гомеоморфный образ множества V
в М(ю сг С. Отображение ср (являющееся собственным) и вложе-
вложения образуют коммутативную диаграмму (где + обозначает одно-

184 гл. iv. локально гладкий депстрлтя на многообразиях
точечную компактификацшо, и область коэффициентов есть Z2)
Нк (С+, С+ - V") ? Н" (W+, W+ - V)
I !
Нк(С+, оо) -ф* Hk(w\, оо),
откуда следует, что Н'(С±, оо; Z^^O, как и утверждалось.
Замечание. Для дальнейших ссылок отметим, что, слегка
модифицировав доказательство предложения 3.9, можно получить
следующий результат. Пусть Л —такое замкнутое множество,
содержащее G (МК), что существует ^-мерное многообразие U,
являющееся открытым подмножеством в А и такое, что U а А П
Г)М(К), где & = dim MlK). Тогда Н'!(Аи оо; Х2)ф0. Более того,
если U неориентируемо, то Hk (A+, со; Z) содержит 2-кручение.
Предположим, что G (х) — исключительная орбита, и пусть S —
линейный срез в точке х. Если Я с: Gx — главная стационарная
подгруппа G.v-действия на 5, то в силу 3.2 Н есть в точности
неэффективная часть G^-действия на S и, следовательно, Gx/H
есть конечная группа, действующая на S эффективно. Если S *
имеет в S коразмерность 1,toG(a") называется специальной исклю-
исключительной орбитой. В этом случае Gx/H имеет порядок 2 и
действует па S отражением в гиперплоскости SG*. Следовательно,
множество SE точек специальных исключительных орбит открыто
в ? и имеет размерность d-f-dim S — 1 =d-\-(n — d) — 1 —п — 1.
Если х лежит в исключительной орбите, не являющейся специ-
специальной, то для среза S в точке х множество G (S),q % = G (S **) имеет
размерность dim G(x) + dim SGx<c d-\-{n — d — 1) = я— 1. Отсюда
следует, что
к '
3.11. Предложение. Если М ориентируемо, то все его глав-
главные орбиты ориентируемы. Если, кроме того, главные орбиты
связны (так что и все орбиты связны), то специальные исключи-
исключительные орбиты неориентируемы.
Доказательство. Главная орбита Р = G/H обладает в ори-
ориентируемом многообразии М окрестностью-произведением, так что
Р ориентируема. Если QmG/K, К гз Я — специальная исключи-
исключительная орбита и G/H связно, то Q обладает окрестностью вида
GXkV ?ы (G/H) Xk/iiV и K/Hp^Xi обращает ориентацию прост-
пространства V. Так как эта окрестность ориентируема и G/H связно,
то группа К/Н должна обращать ориентацию многообразия G/H.
Следовательно, многообразие G/K = (G/H)(K/H) неориентируемо. Щ
Следующий результат показывает, что в большинстве интерес-
интересных случаев множество SE пусто.

4. ЧАСТЬ МНОЖЕСТВА М*. ЯВЛЯЮЩАЯСЯ МНОГООБРАЗИЕМ 185
3.12. Теорема. Если /УХ(Л1; Z2) = 0 " главная орбита связна
(а потому и все орбиты связны), то специальных исключительных
орбит нет (т. е. йхтЕ^п — 2).
Доказательство. Из двойственности Пуанкаре следует,
что //"^(М-и оо; Z2) = 0. Пусть К — стационарная подгруппа
точки специальной исключительной орбиты. Тогда пространство
М(К) («—1)-мерно, и из 3.9 следует, что Hn~l (D+, оо; 2,2)Ф®,
где D = G(MK). Из точности последовательности Ж2-когомологий
0 = Нп-1(М+, оо) -> Я"-1 (D+, оо) -> Нп (М+, D+)->tf"(M+, оо)-»-0
тройки (М+, D+, оо) следует, что Z2-MOfly^b Ип (М — D; Z2) **«
«a#4(/W+, D+; Z2) имеет размерность 3=2. Следовательно, мно-
множество D несвязно. Так как орбиты связны, то отсюда следует
несвязность множества М* — D*. Но множество U* cz M* — D*
главных орбит связно по 3.1 и плотно в М* (и, следовательно,
в М*—D*), так что М* — D* связно; получили противоречие. Щ
Замечание. Основные результаты этой главы были дока-
доказаны в большей общности Монтгомери, Самельсоном и
Циппиным [1J и Янгом [2J. См. также Монтгомери [6].
4. Часть множества М*, являющаяся многообразием
В этом параграфе, как и в предыдущем, G будет означать
компактную группу Ли, локально гладко действующую на «-мер-
«-мерном многообразии М так, что М* связно. Через d будет обозна-
обозначаться максимальная из размерностей орбит, так что dimM* =
= я — d. Сначала мы исследуем вопрос о том, насколько М*
похоже на многообразие с краем. Разумеется, М* не есть много-
многообразие с краем, простейший пример этого дает антиподальное
отображение пространства R3 в себя. Мы, однако, докажем полез-
полезный элементарный результат, что если из М* удалить некоторое
замкнутое подмножество коразмерности ^ 3, то оставшаяся часть
будет многообразием с краем.
4.1. Лемма. Если n — ds^2, то М* — многообразие с краем.
Доказательство. Обозначим коразмерность главной
орбиты через k = n — d (т. е. k — размерность пространства орбит).
Локальную структуру пространства М* мы исследуем индук-
индукцией по k следующим образом. Любая линейная трубка в М
имеет вид Gx^V, при этом (G Хд-У)* я« V* есть открытый конус
над S, где S —единичная сфера в V. Но dimM* = dim V* =
= dimS*+l- Если k = 0, то /И* дискретно, и если М — сфера,
то М* — одна или две точки (последнее в случае M^S°). Поэ-
Поэтому при k—\ M* локально устроено как открытый конус
нал одной или двумя точками и, следовательно, является одно-
одномерным многообразием с краем. Для случая, когда М есть сфера

!8в ГЛ. IV. ЛОКАЛЬНО ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
и k=l, пространство М* есть связное компактное одномерное
многообразие и, следовательно, есть дуга окружности. Если же
k = 2, то М* локально устроено как конус над дугой окружно-
окружности и, следовательно, есть многообразие с краем. Щ
4.2. Лемма. Пусть KczG, и пусть D —компонента прост-
пространства М*ю, размерность которой не меньше чем n — d — 2.
Тогда в окрестности любой точки из D пространство М* есть
(п — d)-мерное многообразие с краем.
Доказательство. Достаточно рассмотреть линейную
трубку GxKV вокруг орбиты точки из D. Так как (GxKV){K) =
= GxKVK = (G/K)xVK, то d\mVK-^=n-d-2. Кроме того,
dim V* = п — d. Если W — ортогональное дополнение к VK в V,
то V*^W*xVK и dimW* = dimV*-dimVK<:(n-d) —
— (n — d — 2) — 2. В силу 4.1 W есть многообразие с краем, и,
следовательно, (G xKV)* ^ V* я« W* x VK — тоже многообразие
с краем. |
4.3. Теорема. Пусть С* cz M* — объединение по всем К cr G
всех тех компонент пространства М*ю, размерность которых не
превосходит п — d — 3. Тогда С* — замкнутое множество, dim С* ^
t^n — d — З и пространство М* — С* есть (n — d)-MepHoe много-
многообразие с краем.
Доказательство. В силу 3.6 С* есть объединение замы-
замыканий компонент, фигурирующих в условии теоремы, и в силу
3.4 и локальной конечности числа орбитных типов, это семей-
семейство замыканий компонент локально конечно. Следовательно, С*
замкнуто. В силу 3.5 dim С* sg n — d — 3. Дополнение к С*
состоит из точек тех компонент пространства М*ю, размерность
которых не меньше чем n — d — 2; поэтому заключение следует
из 4.2. |
Следующий результат показывает, что в большинстве инте-
интересных ситуаций многообразие М* — С* ориентируемо.
4.4. Теорема. Если Hl (M: Z>) = 0 и если все орбиты связны,
то (в обозначениях п:еорс.\:ы 4.3) //1 (М* — С*; Z.2)=0 и много-
многообразие М* — С* ориентируемо.
Доказательство. Отмстим точку в М* — С* и рассмот-
рассмотрим коммутативную диаграмму (где С с М — прообраз множества
С* аМ*)
п^М-С) -»- Я,(УИ-С; Z)
ni(M*-C*)-^H1(M*-C*; Z)
По II.6.3 я# —эпиморфизм. Горизонтальные отображения эпи-
морфны по теореме Гуревича, поэтому и я* — эпиморфизм. Из
формулы универсальных коэффициентов (или из анализа точной
гомологической последовательности, индицированной точной после-

4. ЧАСТЬ МНОЖЕСТВА М", ЯВЛЯЮЩАЯСЯ МНОГООБРАЗИИVI 187
дователыюстью коэффициентов1) 0 -> Z -^- Z -*- Z2 -»¦ 0) следует,
что гомоморфизм #i(-; Z)-*^^-; Z2) — эпиморф'изм, и рассуж-
рассуждения с коммутативной диаграммой, аналогичные вышеприведен-
вышеприведенным, позволяют установить эпиморфность гомоморфизма
HY (М - С; Z2) -»- Я! (М * - С*; Z2). Далее, dimC=scd + («-d-3) =
= « — 3 (см. доказательство 3.7), поэтому из теоремы двойствен-
двойственности Пуанкаре и точности последовательности тройки (М+, С+, оо)
следует, что
//х (М - С; Z2) я« Я"-1 (М+, С,.; Z,) ^ ЯлЛ (М+, оэ; Z2) я«
^Я^УИ; Z2) = 0.
Таким образом, группа Я!(М* —С*; Z2), являясь эпиморф-
ным образом тривиальной группы, тривиальна. Отсюда следую-
следующим образом выводится ориентируемость многообразия М* — С*:
если М* — С* неориентируемо, то пх (М* — С*) допускает в каче-
качестве факторгруппы группу Z2, поэтому прокоммутированная
группа пх(М* — С*), т. е. группа И1(М* — С*; Z). допускает
группу Z2 в качестве факторгруппы. Следовательно, умно-
умножение на 2 в группе Н, (М* —С*\ Z2) не эпиморфно, и точность
последовательности Н1(М*-С*\ Z) -^Ях (М* -С*; Z)->-
-^-Я1(М* — С*; Z2) противоречит тривиальности правой группы.
Другой способ доказательства ориентируемости многообразия
М* — С* — использование Zjj-двойственности Пуанкаре. |
4.5. Следствие. Если Н1(М; Z2) = 0 и все орбиты связны,
то любая орбита (максимальной) размерности d ориентируема.
Доказательство. Замечания в конце доказательства тео-
теоремы 4.4 позволяют установить, что многообразие М ориенти-
ориентируемо. Главная орбита G/H ориентируема в силу 3.11. Пусть
К^> Я, и пусть Q ^ G/K есть орбита размерности d. Тогда
линейная трубка вокруг Q имеет вид GxKV «=* (G/Я) х а:/яУ\
см. 3.2. Так как эта трубка ориентируема, то конечная группа
К/Н должна сохранять ориентацию на (G/H)xV. Если Q =
= (G/H)/(K/H) неориентируемо, то К/Н обращает ориентацию на
G/H и, следовательно, на V. В силу 3.12, дополнение множества
{GxKV)H = GxK(V[m) имеет коразмерность 5з2, и это же верно
для дополнения к V — Ун в V. Следовательно, Vп открыто,
связно и плотно в V, и К/Н обращает и его ориентацию. Поэ-
Поэтому (GX/<V)n^ V'h неориентируемо. Но это невозможно, так
как оно является открытым подмножеством многообразия М* —
— С*, ориентируемого в силу 4.4. §
Замечания. Более общие варианты теорем 4.1 и 4.3 можно
найти у Бредона [1, 5]. В случае M = Rn или /W = S" следст-
следствие 4.5 было доказано Монтгомери [5, 6J несколько иным
1) См. До ль д. [1J, с. 195. — Прим. ред.

188 г Л IV ЛОКАЛЬНО ГЛ\ЛКИВ ЯГ.ПСГПИЯ Н\ МНОГООБРАЗИЯХ
методом, и наша теорема 4.4 аналогична одной приведенной там
теореме.
Примеры. Пусть G = SOC), Я=~-50B) и N = N{H). Тогда
G/H^S\ G/N ^Р* и N/H^Z2- Пусть N действует на S2
посредством гомоморфизма N -> N/H и антиподального УУ/Я-дей-
ствия на S2. Положим М = G xA'S2 = (G/H) :<Z.S2 «^S2x ZS2 (где
Z2 действует антнподально на каждом из сомножителей много-
многообразия S2xS2). Тогда М ориентируемо, так как Z-, сохраняет
ориентацию многообразия S2xS2, ко М* ^-S2//V «« Р2 неориенти-
руемо. Это показывает, что для доказательства теоремы 4.4
недостаточно одной лишь ориентируемости многообразия М.
Пусть теперь N действует на S:i посредством композиции
гомоморфизма N-+-N/H и Л'/Я-депствпя па S:1, являющегося
отражением относительно экваториальной двумерной сферы.
Конечно, М* ^Sa/A' «« Da ориентируемо. Однако на М имеются
как главные (/-орбиты типа G/H^S2, так и (специальные)
исключительные G-орбиты G/N *& Р-. Отсюда следует, что ориен-
ориентируемость многообразий М и М* — С* недостаточна для дока-
доказательства следствия 4.5 при наличии специальных исключитель-
исключительных орбит. Если, однако, SE = fn, то из доказательств следствия
4.5 следует, что ориентируемости М и М* — С* уже достаточно
для доказательства следствия 4.5.
Следующий результат показывает, что довольно часто М*
становится многообразием с краем уже после удаления подмно-
подмножества коразмерности 4, а не 3.
4.6. Теорема. Пусть Hl(M\ Z2) = 0 и все орбиты связны.
Пусть, далее, С* — объединение по всем К cz G всех тех компо-
компонент пространств УИ(:/<), размерность которых не превосходит
n — d — 4. Тогда С* замкнуто, dim С* ^ и — d ~ 4 и М* — С* —
такое ориентируемое (n — d)-мерное многообразие с краем, что
Н1{М*-С*\ Z.) = 0.
До к а з а те л ьство. Мы укажем, как модифицировать дока-
зательство теоремы 4.3 применительно к данному случаю. Пред-
Предположим сначала, что нам задано такое локально гладкое дей-
действие на сфере S, пространство орбит которого 5* имеет раз-
размерность 2. Тогда в силу 4.1 пространство S* есть двумерное
многообразие с краем, и в силу 11.6.5 имеем Я,(^*; (!!;) = 0.
Отсюда следует, что S* есть S'-, D2 или Р2. Вспомнив доказа-
доказательство леммы 4.2, увидим теперь, что если М*—С* не явля-
является многообразием с краем, то там есть точка, окрестность
которой гомеоморфна произведению конуса над Р2 на евклидово
пространство. Удаление из М*—С* любого множества коразмер-
коразмерности 3 оставит его неориентируемым, что противоречит 4.4. Щ
4.7. Следствие. Предположим, что М компактно и одно-
связно, что d = n — 3 и что все орбиты связны. Тогда М* —
односвязное трехмерное многообразие с (возможно, пустым) краем.

6. РПДУКППЯ К КОИРЧПОП ПОДГРУППЕ 18^
5. Редукция к конечной главной стационарной подгруппе
В этом параграфе мы докажем теорему Б ре дон а [2, 5],
позволяющую в ряде случаев сводить изучение действий на сфе-
сферах или евклидовых пространствах к ситуации, когда главная
стационарная подгруппа конечна.
Мы и здесь предполагаем, что G —компактная группа Ли,
локально гладко действующая на я-мерном многообразии М
таким образом, что М* связно. Размерность максимальной орбиты
обозначается через d.
Сначала докажем следующий технический факт.
5.1. Лемма. Если KczG, то N (К) действует на Мк
локально гладко.
Доказательство. Так как в силу 1.1 А'(Л") действует
на М локально гладко, то мы без ограничения общности можем
считать, что К —нормальный делитель группы G. Если точка х
неподвижна относительно /(-действия и L = GX (так что KczL),
то линейная трубка вокруг G (х) имеет вид GX/.V.
Так как /( — нормальный делитель, то K[g, v] = \Kg, v] =
= [gK, v] = [g, Kv], откуда следует, что (G x /Y)* = GxL (VK).
Но это есть линейная трубка вокруг G (х) в Мк. Щ
Следующая теорема является основным результатом этого
параграфа.
5.2. Теорема. Пусть Н — главная стационарная подгруппа
и Т — максимальный тор в Н. Обозначим через Nil объединение
тех компонент множества МТ, которые имеют непустое пересе-
пересечение с М(н)- Тогда естественное отображение ср: Мо /N (Т) —*¦
-*¦ MlG есть гомеоморфизм множества главных орбит N/Т-дейст-
N/Т-действия на Мо на множество главных орбит G-дсйствия на М.
Доказательство. Пусть N = N (Т). Линейная трубка
вокруг главной орбиты имеет вид G XHV «a (G/H) х V, и множе-
множество лежащих на пей неподвижных относительно Т-действия
точек есть (N (Н)/Н) х V «» (N/(N П Н)) х V в силу замечаний § 5
гл. I. Поэтому (N/(N П Н)) X V есть линейная трубка для /V
в Мо. Отсюда следует, что MjH)lN ^M(H)lG (и это множество
связно, открыто и плотно в М*). Замыкание множества mJh)
лежит в Мо, и ф переводит его в замкнутое множество, содер-
содержащее М?н) и, следовательно, отображает его на всё /И*. Кроме
того, Mai) открыто в Ml и состоит из А7-орбит N/(N П Н). Так
как по условию Мн имеет общую точку с каждой из компонент
Т Т Т
множества Мо и так как /W<#)//V связно, то и Mo/N связно.
Кроме того, N/(N f\ H) — главный орбитный тип /V-действия на
Мо ¦ (В ч--,-п!.ч"ги, каж'ая компонента пространства Мо имеет
m — п — и + Jiiii Л7(Л' ['] II) — n — d-{- dim N/T. Если

190 ГЛ. IV. ЛОКАЛЬНО ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ ИЛ МНОГООБРАЗИЯХ
/(гэЯ — стационарная подгруппа, имеющая тот же ранг, что
и Я, так что Т есть также максимальный тор группы К, то /V
действует на (G/K)T транзитивно. Поэтому на множестве таких
орбит ф будет инъективным.
Пусть теперь D cz М — множество таких точек х, что группа Gx
имеет больший ранг, чем /У. Тогда D содержится в множестве
точек В с особыми орбитами G-действия на М. Кроме того, если
х ^ D (]М0, то Gxf\N содержит мгксимальный тор группы Gx,
содержащий Т (и потому имеет больший ранг, чем Я), так что
N(x) —особая Л'-орбита в Ml. В силу II.5.7 для каждой группы
/С id Я в (G/KI имеется лишь конечное число /V-орбит. Следо-
Следовательно, прообраз каждой точки при отображении ф конечен,
и, как замечено выше, ф взаимно однозначно на (Mo —D)lN.
Так как ф естественно продолжается на одноточечную ком-
пактификацию, то оно собственное и, следовательно, замкнутое
отображение. Поэтому для локазательства того, что ф —гомео-
—гомеоморфизм, достаточно доказать, что оно взаимно однозначно.
Пусть i*efl* и ц>-1(х*) = \х-1, ..., хк}, k>\. Пусть (/,, ...
..., Uk — попарно непересекающиеся окрестности точек X; =
^.Nil/N. Так как ф замкнуто, то существует такая открытая
связная окрестность V* точки х* еЕ М, что ф-1 (V*) czU1\J...\J Uk.
Положим Vi = ц>-1 (V*) П Ui. Пусть я: М ->М* — проекция на
пространство орбит, и пусть V = лг1 (V*). Так как D [\ Ml состоит
из точек особых орбит N-действия, то каждое множество У,- —
— (D/N) непусто, так что множество (J (V/ — (D/N)) несвязно.
i
Так как ф — собственное отображение, взаимно однозначное на
Mq/N — D/N, то там ф является гомеоморфизмом. Поэтому V* —
— D* я«ф а (V* - D*) = |J (V, — (D/N)) несвязно. Далее, V* связно
t
и Df\V состоит из точек особых орбит G-действия на V. По
множество У*я) главных орбит в V связно и плотно в V* и,
следовательно, плотно в V* — D*. Поэтому V* — D* связно.
Полученное противоречие доказывает, что ф — гомеоморфизм.
Осталось показать, что ф переводит главные орбиты в глав-
главные орбиты. Из сказанного выше следует, что орбита Q e Ml/N
является главной, если орбита ф(B)еМ* главная. Предполо-
Предположим, что Q — главная Af-орбита, и рассмотрим ф(<2) е М*. Тогда
найдется такая точка х, что ф (Q) = G (х), причем х можно выбрать
так, что Я является стационарной подгруппой Я = Gy = Ky
группы K = GX, действующей на линейном срезе в точке х. Тогда
Т оставляет неподвижным отрезок 5 между хну, так что х е
еМоГ и, следовательно, Q = N(x). Кроме того, К/Н есть глав-
главная орбита /С-действия на S, так что К/Н ориентируема в силу

I. МДУКЦИЯ К КОНЕЧНОЙ ПОДГРУППЕ 191
3.11. Так как Q —главная орбита, то N (}Н = N[}К, и мы
должны показать, что К = Н. Далее,
{KlH)T ** ((N П К) Н)/Н ъ (N П K)/(N П Я) = {точка}.
Если dim Н = dim К, то (К/НO = К/Н, так что Н^К. Если
dim К > dim H, то любая компонента пространства К/Н имеет
положительную размерность. Так как в группе Т элементы про-
простых порядков образуют плотное множество, то имеется один из
них, например t, не лежащий ни в одной из (конечного числа)
собственных стационарных подгрупп группы Т, действующей на
К/Н. Но тогда t имеет на К/Н те же неподвижные точки, что и
Т, а именно —лишь одну неподвижную точку, что противоречит
следствию 2.3. (Имеются и другие доказательства этого резуль-
результата, использующее более глубокие факты теории групп Ли.) |
Замечание. Особые орбиты N (Г)-действия на /И,[ соот-
соответствуют при отображении ф, очевидно, тем орбитам G-действш!
на М, стационарные группы которых имеют ранг, больший чем
rk Я Поэтому ф переводит особые орбиты в особые орбиты.
Однако оно может переводить исключительные N (Г)-орбиты в осо-
особые G-орбиты в М.
Так как Г —компонента единицы группы H(]N, то индуци-
индуцированное N (Т)-действие на MJ имеет конечную главную стацио-
стационарную группу, которая есть (H(]N)/T.
Пример. Вообще говоря, MJ не совпадает с Мт. Пример
:того дает U B)-действие на СР2 = М, возникающее из стандарт-
стандартного включения U B) a U C); иными словами, G = U B) действует
на первых двух однородных координатах точки г = (г0 :гх: г2) е
<= СР2- Мы можем считать, что 2]i2*:2=l' откуда следует, что
G-орбиты в точности соответствуют точкам с |г2| е[0, 1]. Поэтому
соответствие г\—-\z%\ индуцирует гомеоморфизм CP2/G-^[0, 1].
Орбита | г21 = 0 есть в точности (СР1 я« S2, и ее стационарная
группа есть U(l)xU(l). Орбита | г21 = 1 является точкой. Орбиты
с 0 < | г21 < 1 являются трехмерными сферами со стандартным
действием группы G = UB) и стационарной группой 11A) х{е}.
Последние и являются главными орбитами, и главная стацио-
стационарная группа Н = Т = U A)х{е) является сама своим собствен-
собственным тором. Заметим, что на каждой главной орбите S3 j=« U B)/U A)
группа Т имеет множество неподвижных точек, представляющее
собой окружность, и, как легко видеть, эта группа на двумер-
двумерной сфере —орбите i га| = 0 —имеет ровно две неподвижные точки.
Отсюда нетрудно вывести (это, впрочем, делается и непосредст-
непосредственно), что множество неподвижных точек Г-действия на (DP2 = М
есть объединение двумерной сферы (которая есть MJ) и точки
MT/N(T). Поэтому есть объединение дуги (гомеоморфной M/G)
и точки.

192 ГЛ. IV. ЛОКАЛЬНО ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
Заметим, однако, что если M = Sn или М— R", то из III. 10.10
и 1.3 следует, что Мт связно, так что в этих случаях М„г = Мт.
Пример. Пусть связная группа G действует на M = G соп-
сопряжениями. Стационарная группа любой точки является ее
централизатором и имеет тот же ранг1), что и G. Так как
в G есть точки (они называются регулярными), централизаторы
которых являются максимальными торами, то главной стаци-
стационарной подгруппой является максимальный тор Т группы G,
и главные орбиты в точности состоят из регулярных точек.
Далее, Мт является централизатором тора Т и, следовательно,
есть в точности Т2). Факторгруппа N {Т)/Т называется группой
Вейля группы G, и она действует на Гэффективно. Так как М1 связ-
связно, то М„г = /Иг, поэтому из 5.2 следует, что любые два элемента
из Т, сопряженные в G, на самом деле сопряжены некоторым
элементом группы Вейля. Из этой же теоремы 5.2 следует, что
регулярные точки, лежащие вторе Г, в точности есть точки, имею-
имеющие относительно действия группы Вейля тривиальные стационар-
стационарные группы. Разумеется, этот факт теории компактных групп Ли
хорошо известен и может быть доказан и непосредственно. (Заме-
(Заметим, однако, что в этом примере все главные стационарные под-
подгруппы, а потому и все стационарные подгруппы, имеют макси-
максимальный ранг; поэтому большинство трудностей доказательства
теоремы 5.2 исчезнет). Этот пример приведен здесь лишь для
того, чтобы указать, что теорема 5.2 может рассматриваться
как обобщение упомянутого классического результата.
Напомним, что dim MG =sS dim (B* \j ?*) =^n — d — 1. Если
Г'— максимальный тор в G и действие эффективно, то простым
индуктивным рассуждением, использующим теоремы II 1.10.12 и
III. 10.2 (или обычную теорию представлений), примененные
к единичной сфере линейного среза в неподвижной точке 7"-дей-
ствия, можно показать, что dim MT' «?n — 2rk 7". Следующий
результат Бредона [5] улучшает оба эти неравенства (см. 5.4
ниже) и демонстрирует полезность техники редукции к конечной
стационарной группе.
5.3. Теорема. Пусть Н — главная стационарная группа
локально гладкого G-дсйствия на п-мерном многообразии М, а
d = dim G/H — размерность главной орбиты. Положим г = rk G —
— rk Я, и пусть 7" — максимальный тор в G. Тогда dimMr'sS
^n — d — r3). Кроме того, если М есть п-мерная рационально
гомологическая сфера, то это неравенство справедливо и в случае
МТ' = ф (где надо считать, что dim7kf7' = —1).
1) См. 0.6.4. —Прим. перев-
2) См. 0.6.7. — Прим, rupee.
3) Предполагается, что Л1 г- '";.-- Прам персе.

5. РЕДУКЦИЯ К КОНЕЧНОЙ ПОДГРУППЕ 193
Доказательство. Мы докажем требуемое неравенство
индукцией по n = dimM. Сначала мы сведем его к случаю конеч-
конечной группы Н. Пусть х — точка той компоненты пространства Мт',
которая имеет наибольшую размерность. Можно считать главную
стационарную группу HczGx стационарной подгруппой точки
линейного среза в точке х; обозначим через Г максимальный
тор в Я. Тогда )сеИ(я), и потому компонента пространствам7*',
содержащая х, содержится в MJ. Положим N = N (T). По индук-
индуктивному предположению, примененному к Л7Г-действию на MJ,
заключаем (ввиду конечности группы (N (]Н)/Т), что dimM7"' =
= dim(MJ)r'Tsg(n - d + dim(NjT)) - dim (N/T) - r = n - d - г, как
и утверждалось. Если М — рационально гомологическая сфера
с Мт' = ф, то Мт — MJ — тоже рационально гомологическая
сфера по III. 10.10, и можно применить приведенные выше рас-
рассуждения.
Итак, мы можем считать группу Н конечной, так что d =
= dimG и r = rkG. Предположим сначала, что МТ'ФФ и что
х — точка компоненты максимальной размерности пространства
Мт'. Пусть 5 —линейный срез в точке х\ заметим, что T'czGx,
и поэтому rkG.v = r. По предположению индукции, примененному
к сфере S, имеем dimSr'=g;[n — dimG (x)] — dimG.v — rk G.v = n —
— d — r. Пусть ns: S-vS/G* —проекция на пространство орбит.
Если К a G — подгруппа максимального ранга, то N G") дейст-
действует на @//<")г'транзитивно. Таким образом, n$(ST')^Sr'/(N(T)' (]
П Gx) и, так как группа Л^ (Т')/Т конечна, то dim S7' = dim ns (ST>).
Аналогично dimM7' = dim nM(MT'). Далее, лм (М'г) в точности
состоит из тех орбит, стационарные группы которых имеют ранг
г, поэтому канонический гомеоморфизм S/GX^GS/G индуцирует
гомеоморфизм %(Sr')«^ nas ((GSO"'). Следовательно,
dim MT' = dim (GS)T> = dim nQS (GS)T' ==
= dim ns (ST>) = dim ST' ^ n - d - r,
что и утверждалось.
Предположим теперь, что М — рационально гомологическая
сфера с Мт' = ф. Так как случай г=1 тривиален, то перейдем
сразу к г>1. В силу III.10.12 (это легко следует и из III.8.1)
существует такой подтор Т" cz 7" коразмерности I, что Мт"Фф.
Если х ~ Мт", то группа Gx имеет ранг г — 1, и Т" есть ее макси-
максимальный тор. Пусть S —линейный срез в точке х. Тогда прост-
пространство ns (ST")^ST"/(N (T") П G.v) имеет ту же размерность, что
и ST". По индуктивному предположению, примененному к G.v-дей-
ствию на единичной сфере среза, имеем dim ST"^~:[п — dim G (x)\ —
— dimG.v —(/¦ —l) = n —d —r +1. Снова используя то, что
nos ((GS)T") состоит в точности из тех орбит в GS, стационар-
стационарные группы которых имеют ранг г — 1 ( = гкОЛ), получаем кано-
1 Г. Брсдоы

194 ГЛ. IV. ЛОКАЛЬНО ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
нический гомеоморфизм Jias((GS)r")^ns(T"). Кроме того,
nas((GS)T")^(GS)r"/N (T") и, следовательно, это пространство
имеет ту же размерность, что и пространство MT"/N IT"). Итак,
dim MT"/N (T") = dim nas((GS)T")= dimns(ST") = dim ST" < n —d~
— /¦+!¦ Если /г — размерность максимальной орбиты А/ (Г")-дей-
ствия на Мт", то сНгтШ7'" = dim (MT"/N (Г")) + k^n — d — r+l +
-f-&. Поэтому индуктивное предположение, примененное к дей-
действию группы N(T")zdT" на МТ", влечет — l = dim7Wr' =
uTT'd k)k\d Щ
()( Щ
5.4. Следствие. Если G действует на G/H эффективно,
то dim G/H Зг rk G -}- rk H. Следовательно, при эффективном G-
действии на М в условиях теоремы 5.3 имеем п — d — г ^п — 2rkG.
Доказательство. Второе неравенство есть просто пере-
переписанное первое неравенство, которое будет иметь место') в силу
того, что на главной орбите эффективного G-действия группа G
действует эффективно. (Иначе нашелся бы нормальный делитель,
оставляющий поточечно неподвижным некоторое открытое всюду
плотное множество.) Для доказательства первого неравенства
применим теорему 5.3 к действию максимального тора Т груп-
группы Н на пространстве G/H. Так как (G/H)T = N ^Г) Н/Н, то rk G —
- rk Я< dim (N (T)/(N (T) П Я)) = dim ((N (Г) Н)/Н) = dim (G/H)T <
«? dim G/H - dim T - rk T sg dim G/H - 2 rk H. |
6. Действия на S" с единственным орбитным типом
Теперь мы исследуем такие действия компакшых групп Ли
на сферах, которые имеют ровно один орбитный тип. Хотя мы и
предполагаем локальную гладкость действия, использоваться она
будет весьма незначительно и на самом деле легко может быть
опущена. В следующем параграфе мы применим результаты этого
параграфа в частном случае ортогонального действия, в котором
доказательство проще. По этой причине мы приводим доказатель-
доказательство следующего результата сначала для ортогонального случая,
а потом излагаем модификацию, необходимую для доказательства
общего случая.
6.1. Теорема. FlycnibG—компактная связная группа Ли, эффек-
эффективно и локально гладко действующая на п-мерном многообразии М,
являющемся односвязной рационально гомологической п-мерной сфе-
сферой. Предположим, что это действие имеет ровно один орбитный
тип. Тогда либо G действует на М транзитивно, либо G дей-
действует на М свободно и является одной из групп: S1, S3 или
S0C). Если, кроме того, М есть Хъ-гомологическая п-мерная
сфера, то в случае нетранзитивного действия G=?SOC).
Если считать доказанным первое утверждение следствия.—Ярил, перев.

6. ДЕЙСТВИЯ НА S» С ОДНИМ ОРБИТНЫМ ТИПОМ 195
Доказательство. Как уже говорилось, сначала мы рас-
рассмотрим случай ортогонального G-действия на M — S" и вместо М
для простоты будем писать 5'.
Предположим, что все орбиты нм„>ют тип G/H, и пусть TV =
= N(H)uK = N/H. В силу 11.5.10 и 11.5.11 имеем SH/N^S/G =
= S*, причем SH->-S* в точности есть главное /(-расслоение,
возникающее из G/Я-расслоения S->S*. Так как пространство
G/H связно, а сфера S односвязна, то из точности гомотопической
последовательности расслоения SH^-S* следует, что группа К
свята. Так как К действует на сфере SH свободно, то по II 1.8.5 К
есть либо тривиальная группа, либо S1, либо S3. Свободные К-
действия на G/H и на SH задают свободное (К X /^-действие
на (G/H)xSH. Пространство орбит диагснального /(-действия
на (G/H)xS" в точности есть (G/H)xKSH, и в силу 11.5.9 имеем
(G/H)Xk Sh i=^S. Включение диагональных /(-орбит в (КхК)-
орбиты задает отображение ц>: S ->-((G/H)/K)x(SH/K)^G/H xS*,
являющееся, очевидно, расслоением со слоем К X к К = К и струк-
структурной группой КхК (см. гл. II, упражнение 7). Если группа К
тривиальна, то S^^G/N xS*, откуда следует, что G = N = Н.
Если K = Sl, то стандартные рассуждения с точной Zp-когомоло-
гической последовательностью Гизина расслоения <р доказывают,
что кольцо когомологий Н* (G/N xS*; Z2) порождается единствен-
единственным элементом и степени 2; т. е. 1, и, и2, ... , иг — множество
всех ненулевых элементов в Н* (G/HxS*\ Z2) и иг+1 = 0
(см. Спеньер [1J, с. 621). Из формулы Кюннета (с коэффици-
коэффициентами в Z2) получаем, что
Я2 (G/N X S*) ^ [Я2 (G/N) g) Я0 (S*)] Э
© [Я0 {G/N) Э Я2 E*)] ъ* Н * (GIN) © Я2 E*),
где разложение в прямую сумму индуцировано разложением
пространства G/NxS* в прямое произведение. Если Н2 (G/N)=^=0,
то и лежит в образе гомоморфизма Я2 (G/N)-*~ Я2 (G/N xS*).
Но тогда W тоже лежит в образе этого гомоморфизма (и deg«r =
= 2г), откуда следует, что dim G/N = dim (G/N xS*). Но тогда S*
есть точка, т. e. G действует на S транзитивпо. Если же G
действует на 5 не транзитивно, то G/N должно быть точкой ').
Поэтому G = N, и группа Я, будучи нормальным делителем в G
и, следовательно, стационарной подгруппой каждой точки, должна
быть тривиальной2). Поэтому G = K — Sl. Случай /( = S3 разби-
разбирается точно так же, как и предыдущий, только и — элемент сте-
степени 4.
Если действие не транзитивно, го H'2(G/N) =0, поэтому H'l{Q/N X S*)-
(S*)=: {"}. ii следовательно, dim {G/N x S*) = dim S*.— Прим. перев.
Так как О действует эффективно. —Прим. через.

196 ГЛ. IV. ЛОКАЛЬНО ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
Ортогональный случай нами разобран, и теперь мы перейдем
к общему случаю. Теперь уже пространство Мн не обязано быть
сферой, оно может быть даже несвязным, так что для доказа-
доказательства придется искать другие аргументы. Для начала вместо Мн
рассмотрим Мт, где Г—максимальный тор в Н. Действие группы
N (Т)/Т на Мт имеет в силу 5.2 лишь один орбитный тип, и,
следовательно, все стационарные группы конечны. Из II 1.10.12
следует, что ранг группы N (Т)/Т должен быть равен 0 или 1.
Таким образом, либо rkG = rk#, либо rkG = rk#+l, откуда
следует, что группа К== N (Н)/Н либо конечна, либо имеет еди-
единичный ранг1). Если К конечна, то М" — накрытие простран-
пространства М*. Так как в силу II.6.3 пространство М* односвязно,
то любая компонента пространства Мн является сечением проек-
проекции М-+М*. Но тогда Н* (М*) есть прямое слагаемое группы
Н* (М), откуда следует, что dim М = dlmM*. Итак, группа К =
— N(H)/H имеет ранг 1. Пусть М? — некоторая компонента
пространства М", и пусть Кг сг К — подгруппа, переводящая М?
в себя. Тогда M^/Ki = MH/K = M* (так как М* связно). Пусть
А\ — прообраз группы Кл при гомоморфизме АТ(Н)^>-К- Анало-
Аналогично построенному в ортогональном случае отображению <р
построим отображение i|): M-^G/N^X M*, являющееся расслое-
расслоением со слоем Ki- Так как М* = М^/К односвязно и М? связно,
то группа /(, связна. Так как rk /С, = 1, то Кх есть одна из групп
S1, S3 или SO C) (заметим, что SO C) является трехмерной рацио-
рационально гомологической сферой). Точность гомотопической после-
последовательности расслоения я|; влечет односвязность G/A',xM*.
Следовательно, многообразия G/N{ и М* орентнруемы. Рассмат-
Рассматривая для расслоения г|; последовательность Гизина с рациональ-
рациональными коэффициентами, увидим, что кольцо Н* (G/NlXM*; (Q)
порождается одним элементом и. Рассуждая теперь так же, как
в ортогональном случае, увидим, что либо G действует транзи-
тивно, либо G = Nlt так что Я = {<?} и, следовательно, G = K.X,
т. е. G есть S1, S3 или SOC). Если, кроме того, М есть Z2-
гомологическая сфера, то G^SOC), так как SO C) содержит
группу Z2 © Z2> которая не может свободно действовать на сфере
в силу II 1.8.1. Ц
Замечания. Эту теорему доказал Бор ель [5] (при не-
несколько более слабых предположениях). Имеется обобщение,
данное Коннером [7] (см. также Бор ель [о]), в котором
предположение о единственности орбитного типа заменено более
слабым предположением о том, что размерности всех орбит равны
(т. е. В — ф). Заключение тоже ослаблено и утверждает лишь,
что все стационарные группы конечны. Доказательство этого
*) Для понимания дальнейшего следует иметь в пиду, что М* — компактное
многообразие (см. 2.3) без края (см. II.5.10).—Прим. перев.

в. ДЕЙСТВИЯ НА S" С ОДНИМ ОРВИТНЫМ ТИПОМ 197
обобщения хотя и сходно с доказательством теоремы 6.1, но тре-
требует, по-видимому, использования значительно более глубоких
результатов алгебраической топологии, по этой причине мы его
здесь не приводим. При этом доказательство Коннера не исполь-
использовало предположения об односвязности; другое доказательство
этого результата имеется у Бредона [6J. Хотя доказательство
Бредона сильно отличается от доказательства Коннера и концеп-
концептуально проще (оно аналогично доказательству теоремы 5.2), оно
довольно запутано и тоже использует некоторые сильные резуль-
результаты, выходящие за рамки нашего рассмотрения.
Укажем теперь, как освободиться от условия связности в тео-
теореме 6.1. Следующий результат фактически является обобщением
теоремы II 1.8.5.
6.2. Теорема. Пусть компактная группа Ли G (не обяза-
обязательно связная) аффективно и локально гладко действует на сфере S12.
Предположим, что dimG>0 и что данное дейстие имеет ровно
один орбитный тип. Тогда либо G действует на Sn транзитивно,
либо G действует на S" свободно. Таким образом, G есть либо
S1, либо S3, либо нормализатор N (S1) подгруппы S1 груп-
группы S3.
Доказательство. Обозначим S" через М. Предположим,
что действие не транзитивно. В силу II 1.8.5 достаточно доказать,
что G действует на М свободно. Пусть Go — содержащая единицу
компонента группы G, и пусть Н cz G — стационарная подгруппа.
Трубка вокруг любой орбиты имеет вид G/HxV. Так как мно-
множество G0/(G0 П Я) X V открыто в этой трубке, то его можно взять
в качестве трубки для Go-действия на М. Главной стационарной
группой этого действия является Go П П. По тем же причинам
для любого элемента g es G группа G0(](gHg~1) также является
главной стационарной подгруппой этого О0-действия, так что Gof] Я
и GoOigHg'1) сопряжены в Go. Таким образом, Go-действие на М
тоже имеет лишь один орбитный тип G0/'G0(]H, и в силу 6.1
Gon^ = je}1). Аналогично G0H — подгруппа группы G и
(G0H/Н) х V — трубка для С0Я-действия на М. Поэтому замечания,
аналогичные вышеприведенным, показывают, что ОоЯ-действие
имеет лишь один орбитный тип G0H/H я« Go, причем Go есть S1 или S3.
Следовательно, для доказательства тривиальности группы Я
достаточно рассмотреть случай G — G0H, чем мы и займемся.
Итак, G/H есть S1 или S3, и М* (теперь) односвязно в силу
II.6.2. Из точности последовательности Гизина сферического
расслоения М-+М* вытекает, что кольцо Н* (М*) порождается
одним элементом и степени 2 (для GlH — S1) или 4 (для G/H = Sa).
Пусть р — простое число, делящее порядок группы Я, и пусть
Р — силовская р-подгруппа группы Н. (Заметим, что в случае
Отсюда слоду<.-т, что группа 11 конечна. ¦ Прим. перев.

198 ГЛ. IV. ЛОКАЛЬНО ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
ортогонального действия в нижеследующих рассуждениях можно
вместо Р брать Я.) Из теорем Силова легко следует, что
(G/H)P = (N (P)H)/H^(N(P))/(N(P)(]H) и что это пространство
есть Zp-гомологическая сфера размерности 0, 1, 2 или 3, лежащая
в G/H, т. е. в S1 или в S3. Отсюда вытекает, что (/V (P))/(N (P) f] H) ^
p«S'\ где 0<г<3. Далее MP-+MPIN (Р) «=* М* есть расслоение
со слоем N (P)/(N (Р) П Н), и его тотальное пространство Мр есть
Zp-гомологическая сфера. Так как М* не является точкой1),
то Мр связно2). Так как М* односвязно, то N (P)/(N (Р)[)Н)
связно. Следовательно, N (Р) {] Go действует на N (P)/(N (Р) П Н)
транзитивно, и так как H[\G0 = {е}, то N(P)f\G0^N (P)/(N (Р) П Н)
есть либо S1, либо S3 (так как это пространство само является
группой). Отсюда следует также, что УИР->М*-—главное
(N (Р) П б0)-расслоение. Далее, если G0^G/H есть S1, то и
N (Р) П Go есть S1, и если Go = G/H есть S3, то N (Р) П Go есть
либо S1, либо S3. Предположим, что G/H = SS и что N(P)f\G0
есть S1. Тогда точность Zp-когомологи ческой последовательности
Гизина (Л/(Р)ПС0)-расслоения Мр->М* влечет Я2(М*; Х,,)фО,
а это противоречит сделанным ранее выводам о кольце Н* (М*).
Следовательно, N (P)[)G0 = G0, так что Gocz N (Р). Но связная
группа не может нетривиально действовать на конечной группе.
Следовательно, любой элемент группы Go коммутирует с любым
элементом группы Р, т. е. Р лежит в централизаторе Z группы Go.
Так как Zf\H содержит любую силовскую подгруппу группы Н,
то она имеет тот же порядок, что и Н, и, следовательно, Н есть
нормальный делитель в G0H = G. Поэтому Н является стационар-
стационарной подгруппой каждой точки многообразия М, и потому она
тривиальна, что и утверждалось. |
Конечно, теорема 6.2 справедлива и для конечной группы G.
Это означает, что имеющее лишь один орбитный тип действие
конечной группы на сфере свободно. Это утверждение, однако,
тривиально, так как главная стационарная подгруппа действия'
конечной группы тривиальна (см. 3.2).
6.3. Следствие. Пусть компактная группа Ли G локально
гладко действует на М. Предположим, что в некоторой окрестно-
окрестности орбиты G (х) некоторой точки х е М имеется ровно два
орбитных типа. Пусть у — точка главной орбиты в линейном
срезе в точке х. Положим К = Gx, H = Gy. Тогда имеет место
одна из следующих ситуаций.
(i) К действует транзитивно на единичной сфере (гомеоморф-
ной К/Н) ортогонального дополнения к VK в пространстве V, и
вблизи х* пространство М* является многообразием с краем М*ю.
г) Так как G-деиствие не транзитивно.—Прим. перев.
2) Так как М* связно, то dimM*>0; поэтому и dim Ml > 0, и из
Н° (Мр; Zp) = Ъу следует, что Мр связно. —Прим. перев.

7. КОМПОНЕНТЫ ПРОСТРАНСТВА В\)Е 199
(ii) H является нормальным делителем в К и подгруппой неэф-
неэффективности К-действия на V. Кроме того, группа К. либо
конечна, либо есть одна из трех групп S1, S3, N (S1).
Кроме того, множество точек х, удовлетворяющих условию
теоремы, открыто и плотно в В[]Е.
Доказательство. В силу 3.2 имеем (G хkV)[K) = G хк (Vк)
и (G XkV)u — G X/f (V(//)), и по условию эти множества заполняют
всё G(V). Следовательно, V = VK (J V^пьтак что ^ имеет на У
лишь два орбитных типа, один из которых — неподвижные точки.
Пусть W — ортогональное дополнение к VK в V. Тогда /С-дсйствие
на единичной сфере пространства V имеет лишь один орбитный
тип — К/Н. Поэтому из 6.2 следует, что имеет место одна из ситуа-
ситуаций (i) или (ii). Очевидно, что множество точек х е^ М, удовлет-
удовлетворяющих условию следствия, в точности есть множество тех
точек из В[)Е, орбиты которых локально максимальны (в В[]Е).
Так как семейство орбитных типов локально конечно, то множе-
множество всех таких точек, очевидно, открыто и плотно в В[)Е. §
7. Компоненты пространства В[}Е
В этом параграфе мы применим теорему 5.2 к получению
некоторых результатов о множестве В (J Е неглавных орбит ло-
локально гладкого действия на евклидовом пространстве |R". Наш
первый результат гласит, что при наличии стационарных точек
множество В \J E связно. Оно будет связным также в случае,
когда ранг главной стационарной группы меньше, чем ранг
группы G.
Наиболее общие условия, при которых В[)Е связно, неиз-
неизвестны, и ниже мы увидим, что оно может быть несвязным. Мы
изучим также вопрос о компактности компонент множества В (j?.
Мы покажем, что любая такая компонента состоит из одной-
единственной орбиты. Более того, если такая орбита особая, то
она является неподвижной точкой, вне которой при условии
dim М* > 1 группа G действует свободно.
Как обычно, мы обозначаем через М га-мерное многообразие,
на котором локально гладко действует компактная группа Ли G,
причем максимальная размерность орбит есть d.
Нам необходима следующая лемма.
7.1. Лемма. Пусть G —компактная группа Ли, и пусть
7" — ее максимальный тор. Тогда любая р-подгруппа Р a G сопря-
сопряжена некоторой подгруппе группы N (Т").
Доказательство. Положим N = N G") и рассмотрим
(G/N)T\ Если T'gN — gN, то g~lT'gcz.N, откуда в силу того,
что 7" есть содержащая единицу компонента группы /V, следует,
4Toge:iV. Итак, (G/NO' = N/N есть точка. В силу III. 10.9 по-
получаем %(GjN) = l. (Заметим, что на самом деле G/W рацио-

200 ГЛ. IV. ЛОКАЛЬНО ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
нально ациклично.) Далее, %((G/N)P)^%(G/N)^l mod/5 и,
следовательно, (G/N)p Ф 0, т. е. Р сопряжена некоторой под-
подгруппе из N. |
7.2. Теорема. Пусть М — целочисленно ациклично {напри-
{например, M = (Rn), и пусть либо существуют неподвижные точки G-дей-
ствия на М, либо ранг главной стационарной подгруппы не макси-
максимален (либо то и другое вместе). Тогда множество В{]Е связно.
Доказательство. Пусть Н — главная стационарная группа,
и пусть rk Я < rk G. Пусть Т — максимальный тор в Я и Т гэ Т —
максимальный тор группы G. Многообразие Мт' ациклично1) и
потому связно, и лежит в В. Заметим, что G (Мт>) состоит в точ-
точности из тех точек, стационарные группы которых имеют макси-
максимальный ранг. Однако в точности из тех же точек состоит Go (MT'),
где Go — компонента единицы группы G. Следовательно, множе-
множество G (MT') = G0(MT') связно. Предположим теперь, что теорема
справедлива для случая конечной группы Я. Тогда из 5.2 сле-
следует, что (В[}Е)(]МТ связно. Следовательно, для любого g^G
множество g ((В {] Е) f] Мт) [} G (Мт') связно. Объединение таких
областей по geG в точности есть B\JE\JG (MT') = B\jE
(в силу 5.2), поэтому В U Е связно, что и утверждалось. Следо-
Следовательно, достаточно доказать теорему для случая, когда Я ко-
конечна. С этой целью рассмотрим сначала какую-нибудь точку
хеВ. Тогда Gx содержит окружность S, лежащую в некотором
максимальном торе Т" группы G. Тогда Ms => Мт", и Ms связно.
Следовательно, Ms [] G(MT') = MS{JG(MT") есть связное подмно-
подмножество из В, содержащее и х, и G(MT'). Теперь рассмотрим
точку х<=Е. В этом случае группа Gx конечна. Обозначим че-
через Р ту ее силовскую р-подгруппу, порядок которой не делит
порядок группы Я. Тогда Р не сопряжена никакой подгруппе
группы Я и, следовательно, Мр cz B{] E. В силу 7.1 имеется
такой максимальный тор T"czG, что Р с N (Т"). В силу III.7.11
(при А—ф и я = 0) заключаем, что (Мт")р = Мт" Л Мр непусто
и, кроме того, Мр связно. Так как G (MT")~G (М'г), то Мр [}
U G(MT') — связное подмножество из В[]Е, содержащее и х, и
G(MT'). Таким образом, любая компонента множества В (J Е
содержит связное множество G(Mr), поэтому B\JE связно.
Случай наличия неподвижной точки х0 (при этом подгруппа Я
может иметь и максимальный ранг) разбирается аналогично, но
более просто: множество G(MT') заменяется точкой х0. Щ
Замечание. Для конечной группы G, действующей без не-
неподвижных точек, этот результат не имеет места. Это показывает
пример (см. 1.8.3) действия группы Ze = Z2©Z3 на M = R" без
неподвижных точек. По теореме Смита III.7.11 оба множества ^
См. Ш.Ю.З. — Прим. перее,

7. КОМПОНЕНТЫ ПРОСТРАНСТВА B\jE 201
и М^3 не пусты. Кроме того, они не пересекаются, и их объеди-
объединение в точности есть множество всех неглавных орбит. Кажется
правдоподобным, однако, что при отсутствии неподвижных точек
множество В [j E не может иметь компактных компонент. Следую-
Следующая теорема представляет собой частичный результат в этом на-
направлении. (Случай d = n — \ опущен по техническим причинам.
В § 8 мы изучим этот случай полностью.)
7.3. Теорема. Пусть М целочисленно ациклично, и пусть
d<Ln — \. Пусть, далее, С — компактная компонента множества
В U Е. Тогда С в точности есть некоторая орбита G (х), причем
rkGx = rkG. Если орбита G (х) особая (т. е. G имеет больший
ранг, чем ранг главной стационарной группы), то х — неподвиж-
неподвижная точка, G действует вне х свободно и G изоморфна либо S1,
либо S3, либо нормализатору подгруппы S1 группы S3 (при усло-
условии, что G действует эффективно).
Доказательство. Пусть ieC. Мы можем считать, что
вблизи орбиты G (х) имеются орбиты ровно двух типов, так как
в силу 6.3 такие точки х плотны в В \J E и, следовательно, в С.
Положим t{ = Gx, и пусть Н а К — главная стационарная группа
К-действия на срезе в точке х (и, следовательно, G-действия
на М). Пусть Т — максимальный тор в Я. Можно считать (пере-
(переходя при необходимости к близким точкам), что вблизи N (Т)х
имеются орбиты ровно двух типов. В силу 5.2 для доказатель-
доказательства того, что С в точности состоит из точек некоторой G-орбиты,
достаточно доказать, что С(]МТ в точности состоит из точек не-
некоторой /V (Г)-орбиты и, следовательно, достаточно рассмотреть
случай, когда группа Я конечна (см. 1.5). К этому же случаю,
очевидно, сводится и доказательство равенства rkH — rkG.
В случае dim/(>0 обозначим через 7" максимальный тор в К.
Так как М1" связно и не пересекается с главными орбитами, то
оно лежит в С и, следовательно, компактно. Так как Мт' ацик-
ациклично, то оно есть просто точка. Однако любая орбита из С,
лежащая вблизи G (х), имеет тип G/K и, следовательно, содер-
содержит неподвижные точки 7"-действия. Поэтому C = G(x). Так как
(G/K)T'^(N(T')K)/K = N{T')/(N(T')(]K) есть в точности точка,
и так как УУ (Г') содержит максимальный тор группы G, то К
имеет тот же ранг, что и G (и в этом случае N (Т") с=
с Я).
Предположим теперь, что группа К конечна. Пусть Р~ такая
силовская р-подгруппа в К, порядок которой не делит порядок
группы Я. Как и выше, заключаем, что C = G(x) и что (G/K)p
есть точка. Если dimG>0, то эйлерова характеристика прост-
пространства G/K есть нуль, так как она есть нуль для его универ-
универсального накрывающего пространства. Следовательно, Os=%(G//()==
— %((G/K)P) = 1 mod p, что невозможно. Поэтому группа G должна
быть конечной, и снова заключаем, что rk/C==rkG.

202 ГЛ. IV. ЛОКАЛЬНО ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
Это заканчивает доказательство того, что С = G (х) и что под-
подгруппа K.—Gx группы G имеет максимальный ранг. Предполо-
Предположим теперь, что орбита G (х) особая. Пусть V — линейный срез
в точке х. Тогда в силу 6.3 возможны лишь следующие слу-
случаи:
(i) К действует на единичной сфере пространства V транзи-
тивно.
(и) Я —нормальный делитель в К, действующий на V три-
тривиально. Кроме того, К/Н действует на V — {л:} свободно, и К/Н
есть либо S1, либо S3, либо нормализатор подгруппы S1 группы S3
(так как dim К/Н >0).
В случае (i) имеем dimV* = l, так что и dimM* = l. Следо-
Следовательно, n — d=\, а этот случай мы исключили. Следовательно,
возможен лишь случай (и), так что rk G = rk К — 1 +rk Я.
Предположим, что точка х не неподвижна и что rkG>l.
Рассмотрим действие максимального тора Т' группы К (и, сле-
следовательно, группы G) на G/K. Множество его неподвижных точек
N (T')I(N (T')f\K) конечно. Рассматривая сферу вокруг какой-
нибудь неподвижной точки и применяя III.10.12, мы видим, что
в Т' имеется такой подтор Тх коразмерности 1, что dim (G//C)r<>0.
Но тогда Мг> есть ацикличное многообразие1) положительной
размерности, не являющееся по этой причине компактным. Так
как Мт> связно, то оно должно иметь общие точки с некоторой
главной орбитой вблизи G(x). Это означает, что тор Г, сопряжен
некоторому максимальному тору Т группы Я, поэтому мы можем
считать, что 711 = Г. Поэтому dim (G/K)T >0. В силу 5.2 N (Т)
действует на (G/K)T транзитивно. Так как "dim N (Т) (х) >0, то
точка х не является неподвижной при действии А/ (Т)/Т на Мт.
Так как rk К = 1 -\-rk Я, то точка х лежит также в особой орбите
этого действия. Итак, для того чтобы показать, что х — непод-
неподвижная точка, достаточно рассмотреть случай, когда Я конечна.
Если х — неподвижная точка относительно компоненты Go еди-
единицы группы G, то она единственная такая точка, так как
х — единственная неподвижная точка Т'-действия. Так как G
переставляет неподвижные точки Go-действия, то G оставит точку х
неподвижной. Таким образом, для того чтобы доказать неподвиж-
неподвижность точки х, достаточно ограничиться случаем, когда группа G
связна.
Итак, предположим, что Я конечна и что G —связная группа
(и, следовательно, rk G = 1 = rk /С). Предположим, что х не является
неподвижной точкой, и, следовательно, что КфС; тогда должно
быть G = S3 или G = SOC). Так как (G/KO' состоит из одной
точки, то К zd N (Т') и, следовательно, К = N (Т'). Если G = S3,
*) Без края.— Прим. перец.

7. КОМПОНЕНТЫ ПРОСТРАНСТВА BUS 203
то рассмотрим ее центр L = {—1, l\czK- Тогда (G/K)L = G/Kя«Р2.
Так как ML Ж2-ациклично, то ML должно пересекаться с неко-
некоторой главной орбитой вблизи G(x). Однако тогда L а Н, откуда
следует, что L тривиально действует на М, так как L —нормаль-
—нормальный делитель в G. Таким образом, группа G, действуя эффек-
эффективно, должна быть группой SOC), причем K = N(f') и Г'—-
= SO B). Если элемент k принадлежит компоненте К — Т' группы
К и если^еТ', то ki^t1 ~1. Итак, tkt~1 = fk, откуда следует,
что Т' действует транзитивно сопряжением на окружности
К — Т'. Поэтому нормальная конечная подгруппа Н а К должна
содержаться в 7". Однако, как легко видеть, К/Н изоморфна
N G"), а последняя не изоморфна нормализатору подгруппы S1
группы S3 (например, она содержит группу Z2(BZ2, тогда как
нормализатор подгруппы S1 группы S3 ее не содержит). Таким
образом, предположение, что х не является неподвижной точкой,
оказалось неверным.
Согласно 6.2 нам теперь известно, что группа G = K есть
либо S1, либо S3, либо нормализатор подгруппы S1 группы S3, и
она действует вблизи х свободно вне х. Остается показать, что
это верно всюду, т. е. что все другие орбиты являются главными;
но это непосредственно следует из 7.2. §
Укажем теперь некоторые нерешенные проблемы, непосред-
непосредственно связанные с материалом, изложенным в этой главе. Все
эти проблемы связаны между собой и, как кажется автору, имеют
достаточно глубокую природу. Пусть G —компактная группа Ли
(возможно, конечная). Проблемы представляют интерес даже
в случае циклической группы G (но не такой, порядок которой
есть степень простого числа).
Проблема 1. Если группа G действует на диске D" с нача-
началом координат в качестве неподвижной точки, то будет ли
SIh]1 Ф ф для такой Нф-G, что D"//> Ф (/)? Будет ли это выпол-
выполняться в случае, когда действие на границе S" ортогонально?
Проблема 2. Если группа G действует на диске D" и если
F(G, D") с int D", может ли F(G, D") содержать более чем одну
точку?
Проблема 3. Если группа G действует на S" XI, то может ли
множество F неподвижных точек пересекаться с S"x{OJ и не пе-
пересекаться с S"x{l}. Может ли это выполняться, если действие
ортогонально на обоих концах интервала? (Заметим, что если бы
последнее было возможно, то тогда существовало бы такое дей-
действие на Sn+1, что F (G, S"+1) имело бы компоненты неравной
размерности).
Проблема 4 (Реймонд). Пусть группа G действует на R"
с неподвижной точкой х. Если и"н)ФФ, должна ли точка х
принадлежат!) замыканию множества

204 ГЛ. IV. ЛОКАЛЬНО ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
8. Действия с орбитами коразмерности 1 или 2
В этом параграфе мы будем рассматривать локально гладкие
действия на связном n-мерном многообразии М с главными орби-
орбитами коразмерности 1 или 2, т. е. с пространством орбит размер-
размерности 1 или 2. Мы покажем, что эти действия на евклидовом
пространстве эквивалентны ортогональным действиям.
Сначала изучим случай, когда максимальная размерность d
орбиты есть п —1. Тогда, согласно 4.1, М* —одномерное много-
многообразие с краем. Пространство U* главных орбит открыто, связно
и плотно, и U* также должно быть локально связно в М*. (Это
будет ясно, если обратить внимание на часть многообразия над
открытым связным подмножеством многообразия М*.) Тогда U*
должно представлять собой в точности внутренность связного
одномерного многообразия М* с краем.
8.1. Теорема. Предположим, что многообразие М не ком-
компактно и d — n—\. Если любая орбита является главной, то
Mf^G/Hx'R с тривиальным действием на JR. В остальных слу-
случаях М эквивалентно GXkV, где V —евклидово пространство
и К действует на V ортогонально и на единичной сфере из V
транзитивно. Если М— евклидово пространство, то K — G и
MmV.
Доказательство. Согласно сделанному выше замечанию
M*«=iR тогда и только тогда, когда все орбиты главные. В этом
случае М есть расслоение над R со слоем G/H. Так как такое
расслоение должно быть тривиальным, то первое утверждение
теоремы доказано. В остальных случаяхх) М* должно быть лучом
[0, с»), и лишь концевая точка не является образом главной
орбиты. Линейная трубка вокруг неглавной орбиты имеет вид
GxKV, и так как V* одномерно, то К действует на сферах из V
с центром в начале координат транзитивно. Так как М* есть
конус с вершиной, соответствующей неглавной орбите, то из II.8.5
следует, что М эквивалентно описанной линейной трубке. Далее
GXk {0} = G/K есть ретракт пространства GxKV, так что если
М — евклидово пространство (или хотя бы Ж2-ацикличное прост-
пространство), то G/K — точка. |
Замечание. Предположим, что мы находимся в условиях
второй части теоремы 8.1, и пусть D —единичный диск из V,
так что его край есть орбита К-действия типа, скажем, /С/Я.
Тогда GxkD есть расслоение на диски над G/K, и тотальное
пространство соответствующего расслоения на граничные сферы
есть QxK (K/H)?**G/H. В этом расслоении проекция G/H-^-G/Кв
точности есть каноническое эквивариантное отображение. Таким об-
образом, GxkD — цилиндр эквивариантного отображения G/H -*-GlK.
*) То есть когда М* не гомеоморфно R. — Прим. ред.

8. ДЕЙСТВИЯ С ОРБИТАМИ КОРАЗМЕРНОСТИ 1 ИЛИ 2 205
8.2. Теорема. Пусть М компактно и d = n — \. Если любая
орбита является главной, то М есть G/H-расслоение над M*?^Sl
со структурной группой N (Н)/Н. В остальных случаях имеется
лишь две неглавные орбиты типов, скажем, G/Ki, i = 0, 1, где
Ki гэ Н (здесь Н — главная стационарная группа). Более того,
подгруппы Ki можно выбрать так, что М эквивалентно объеди-
объединению двух цилиндров отображений G/H^-G/Ki, i = 0, 1.
Доказательство. Первое утверждение очевидно, так как
в этом случае M*^S1. Во втором случае имеем М* = [0, 1], и
орбитные типы G/Ki соответствуют концам г = 0, 1 отрезка М* =
= [0, 1]. Часть пространства М, расположенная над[0, 1), удов-
удовлетворяет условиям теоремы 8.1, и легко доказать, что часть про-
пространства М, расположенная над [0, 1/2], эквивалентна цилиндру
Mf0 отображения /0: G/H ^-G/Ko. Аналогично, расположенная над
[1/2, I1 часть пространства М эквивалентна цилиндру отображе-
отображения ft: G/H->G//Ci. Следовательно, М эквивалентно объединению
Мк \JmMf , где ф: G/H->- G/H — некоторая эквивалентность. Далее,
LJ Z.I
Ф должно быть правым сдвигом Rn • : gH-^gn~lH на некоторый
элемент n$=N{H), см. 1.4.3. Положим К[ = п~1Кхп:эН и опре-
определим f'i, потребовав коммутативности диаграммы
G/H '
G/H ¦?'-. G/Кг
(Напомним, что правое вертикальное отображение имеет вид
gK\'—"gK'iii1 =gn~1Ki-) Имеется эквивалентность ty.M.'^M,
совпадающая с ф на «верхнем основании» G/H. Следовательно,
Mf=^Mf0 [)<fMf i=&Mf UqMf', и желаемый результат получается
при замене подгруппы Кг сопряженной подгруппой К[. Щ
Теперь изучим случай d = n — 2. Если У—-линейный срез
в точке х е М и 5 —единичная сфера в V, то вблизи х про-
пространство М* является открытым конусом над S*. Таким обра-
образом, пространство орбит имеет «локально коническую» структуру.
Заметим, что если d — n — 2 и G(x) — особая орбита, то dimS>l,
так что S* есть дуга (так как S не расслаивается над окруж-
окружностью). С другой стороны, если G (х) — исключительная орбита,
то S есть окружность и Gx действует (эффективно) либо как
циклическая подгруппа группы вращений, либо как некоторая
диэдральная группа (группа симметрии правильного многоуголь-
многоугольника), так как эти группы, и только они, являются конечными
подгруппами группы 0B). Если Gx действует циклическим обра-
образом, то S* есть окружность, а в остальных случаях S* есть
дуга, и очевидно, что тогда х принадлежит замыканию множе-
множества SE. Итак, мы имеем следующее предложение.

206 ГЛ. IV. ЛОКАЛЬНО ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
8.3. Предложение. Если d — n — 2, то край двумерного
многообразия М* в точности есть B*\jSE*. jj
Обозначим через С* множество тех точек х* сн дМ*, в любой
близости которых тип орбит в дМ* непостоянен. Так как орбит-
ная структура является локально конической, то в угом случае
множество С* дискретно.
8.4. Лемма1). Если i*eC*-SE*, то размерность орбиты х*
строго меньше размерности любой близкой к х* орбиты.
Доказательство. Перейдя при необходимости к срезу,
мы можем считать х неподвижной точкой и М евклидовым про-
пространством2) с ортогональным G-действием. Пусть Go — компонента
единицы группы G. Если лемма неверна, то MGo одномерно и
Al = Ma"XW, где W — ортогональное дополнение к Мс">, причем
Go действует на единичной сфере пространства W транзитивно.
Кроме того, G/Go должно (нетривиально) действовать на Ма°. Но
отсюда, очевидно, следует, что W (если отбросить начало) состоит
из специальных исключительных орбит G-действия на М, что
противоречит условию. §
Мы подошли к основному результату этого параграфа.
8.5. Теорема. Предположим, что d = n — 2 и что М цело-
численно ациклично. Тогда М «=; R" и действие эквивалентно орто-
ортогональному действию.
Доказательство. Пусть Я —главная стационарная под-
подгруппа. Покажем сначала, что множество В* [} Е* связно. Если
rk#<rkG, то это следует из 7.2. Если rk# = rkG, то из 1.5
и 5.2 следует, что достаточно рассмотреть случай п — 2 и конеч-
конечной группы G. В этом случае M^iR2 в силу известных теорем
характеризации плоскости, см. Уайлдер [1]. Возьмем в про-
пространстве орбит М* две неглавные орбиты а* и Ь* и обозначим
через а некоторую соединяющую их дугу, внутренность которой
лежит в множестве U* главных орбит. (Напомним, что в нашем
случае орбита является главной тогда и только тогда, когда ее
стационарная группа тривиальна.) Пусть я —проекция на про-
пространство орбит. Тогда со = п-1 (а) есть граф в плоскости М, вер-
вершины которого лежат в орбитах а* и Ь*. Так как а* и Ь* не
есть главные орбиты, то в графе со из каждой вершины исходит
по крайней мере два ребра. Следовательно, со содержит простую
замкнутую кривую и потому разбивает плоскость М; при этом
хотя бы одна из компонент множества М — со ограничена. Так
как G переставляет ограниченные компоненты множества М — со,
то как объединение V ограниченных компонент, 1ак и объедине-
объединение W неограниченных компонент множества М — со являются
насыщенными множествами. Поэтом\ М* — а= V* (J W* и У*П
>•) Предполагается, что rf—;л--2 Прим черев
*) С началом в точке х. — Прим. перев.

в. ДЕЙСТВИЯ С ОРБИТАМИ КОРАЗМЕРНОСТИ 1 ИЛИ « 207
П W* — 0. Итак, дуга а разбивает пространство М*. Так как
внутренность дуги а лежит внутри М*, то как а*, так и Ь*
лежат на краю многообразия М*. Но множество V* [)а компактно,
поэтому а* и Ь* лежат в одной и той же компоненте края. Так
как дМ* состоит из неглавных орбит, то наше утверждение
доказаноJ).
Мы продолжим доказательство для случая, когда G связна,
а затем укажем, как освободиться от этого ограничения.
Если О связна, то в силу 4.4 имеем НхЩ*; Z2) = 0. Кроме
того, М* либо замкнуто, либо имеет связный край. Из класси-
классических теорем о двумерных многообразиях следует теперь, что М*
гомеоморфно либо плоскости, либо полуплоскости.
Если М* — плоскость, то в силу сказанного выше множество
В* U Е* содержит в точности одну орбиту2) типа, скажем, G/K.
В этом случае М* обладает конической орбитной структурой
с вершиной на этой орбите, и из 11.8.5 следует, что M* = GxKV,
поэтому G = K действует ортогонально. В силу 8.3 для связной
группы G это невозможно.
Итак, М* есть полуплоскость («/3=0 в плоскости \(х, у)}), и
множество В*{]Е* состоит из граничных точек (г/=0). Из 8.3
и 3.12 следует теперь, что Е* — ф, т. е. дМ*=В*.
Как и раньше, достаточно доказать, что М* имеет кониче-
коническую орбитную структуру. Иными словами, надо найти такую
точку а* е В*, что на каждой из двух компонент множества
В* — {а*\ орбитный тип постоянен.
Как и в лемме 8.4, обозначим через С* множество тех точек из Б*,
вблизи которых орбитный тип орбит из В* непостоянен. Пусть
а —такая дуга в В*, концы которой а* и Ь* лежат в С*, а внут-
внутренность не пересекается с С*. Пусть G/K — тип орбит, соответ-
соответствующих внутренним точкам дуги о, и пусть k = dimG/K; поло-
положим Л = я-1(а), аЛ ^я-1^*) U я-1 F*), и пусть А' = А-дА.
В силу 8.4 dimdA<ik. Далее, А' есть связное (&+1)-меРное
многообразие, так что Я*+1(Л, дА; Z2)«^Z2. Так как dimd/lsg
— 1, то имеется коммутативная диаграмма (коэффициенты в Z2)
+, В+ - А') '*• Н^1 (В+, оо)
!- Га
(А, дА) ~ Я*+1 (А)
где все отображения индуцированы включениями. (Так как А
компактно, то мы пишем А вместо (Л+, оо).) Пусть [iA e
*) Попутно мы доказали, что кпя» дМ* связен. — Прим. перев.
2) По лемме 8.3 имеем SF.* \j Ь* •-¦ Jj, и но ЗЛО dim E* =0. Hot*
--B*{JE* связно. — Прим. персе.

208 ГЛ. IV. ЛОКАЛЬНО ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
(i, го) —образ нетривиального элемента группы
firftil(B+, В — А') при отображении /*. Тогда 1А{\иА)ф0.
Если Л, —прообраз другой такой дуги из В*, то коммута-
коммутативность диаграммы
B,, B+-A')->Hk->A{B., со)
J А
показывает, что iAl (\iA) = 0. Следовательно, для разных А эле-
элементы цл различны.
Так как М — В расслаивается над М* — В* «=«к2 со слоем
G/H и, следовательно, содержит G/H в качестве деформационного
ретракта, то из теоремы двойственности Лефшеца (при q-^.n — 2)
следует, что
ЙЦВ+, оэ)ъ Й**1 (М+, B,r)^Hnq-l{M-B)^Hn^-l(GlH).
Так как группа Я* (G/H; Z2) конечно порождена, то отсюда
следует, что множество С* конечно. Следовательно, имеется дуга
(или точка) т в В*, концы которой лежат в С* и которая содер-
содержит все точки из С*.
Пусть D — являющаяся двумерной клеткой окрестность дуги т
в пространстве М*, см. рис. IV. 1. Тогда D есть сильный дефор-
деформационный ретракт пространства
. «льАъ&ЛАЫл t ¦¦•:-¦¦.< , Л1*, причем имеется деформация,
^::'[};:-0^:Жг-;- Ш^О^Ш^":"-*, сохраняющая орбитнуюструктуру.
^Ш^&'-ЗШ'^-Х^ЩмМ^^:''. По теореме о накрывающей гомо-
М '^'' топии 11.7.3 подпространство лг' (D)
V:;<-": есть деформационный ретракт про-
й-. странства М, и потому оно ацик-
* лично. Так как, варьируя D, мы
получим фундаментальную систе-
Рис. IV. I. му окрестностей п ' (D)} множе-
множества л••' (т), то НЦя-у(%); Z2) = 0
при <7>0. В силу сказанного выше отсюда следует, что С* есть
либо точка, либо пустое множество. Следовательно, М* имеет
коническую структуру и требуемое утверждение получается
из II.8.5.
Нам осталось изучить случай несвязной группы G. Рассмот-
Рассмотрим G/Go-действие на M/Go. Так как оно сохраняет локально
коническую структуру на M/Go, то, используя описание дей-
действий конечных групп на дугах и на окружности (см. упражне-
упражнение 3), заключаем, что это действие локально гладко. Предпо-
Предположим сначала, что Go действует нетривиально, так что M/Go

8. ДЕЙСТВИЯ С ОРБИТАМИ КОРАЗМЕРНОСТИ I ИЛИ 2 209
есть полуплоскость. Тогда на границе этой полуплоскости любой
элемент группы G/Go должен действовать либо тривиально, либо
отражением. Если элемент geG оставляет d(M/G0) поточечно
неподвижным, то он также оставляет поточечно неподвижным и
всё M/GQ. Это легко доказать, используя соображения локальной
гладкости (или можно тривиально продолжить действие на дру-
другую полуплоскость и использовать теорему Ньюмена II 1.9.5).
Таким образом, G/Go, действуя на M/Go эффективно, есть либо
тривиальная группа, либо группа Z2- Если G/Go (=«2», то на
д (M/Go) имеется единственная неподвижная точка. (Заметим,
что Ма° либо есть точка, либо целиком лежит в д (M/Go), при-
причем в первом случае G сохраняет эту точку.) Из локальной глад-
гладкости действия следует теперь, что (M/G0)a — одномерное много-
многообразие с краем, являющимся одно а точкой, совпадающей
с (M/G0)a(]d(M/G0). Так как M/G = (M/G0)/(G/G0) односвязно
в силу II.6.3, то оно есть полуплоскость, и его край является,
очевидно, объединением двух лучей, один из которых — простран-
пространство орбит G/Co-действия на d(M/G0), а другой — множество непод-
неподвижных точек G/Go-действия на M/Go. (Это следует из теории
Смита или из того, что В* [j E* связно.) Отсюда легко вытекает
требуемый результат. Случай тривиальной группы G/Gn, т. е.
случай G = G0, был разобран раньше.
Если Go действует на М тривиально, то G, действуя эффектив-
эффективно, должна быть конечной группой, действующей на M«=:|R2.
Тогда, по аналогии со сделанным выше, можно рассмотреть
подгруппу G+ d G преобразований, сохраняющих ориентацию,
а затем рассмотреть действие на M/G+ группы G/G+ (тривиальной
или изоморфной группе Z2)- (Заметим, что M/G+ есть плоскость
и что вне некоторой точки группа G+ действует свободно. Это
следует из ряда сделанных выше замечаний). Детали мы остав-
оставляем читателю, отсылая его к упражнению 4. Щ
Замечания. Случай d = п — 1 имеется у Хофмана и
Мостерта [2], Монтгомери и Циппина [2, 4] и Мостер-
та [1] (без предположения локальной гладкости). Теорему 8.5
доказали Монтгомери, Самельсон и Янг[2]. Аналогичное
исследование для случая действия на сфере с неподвижными
точками и с d = n — 3 провели Монтгомери и Янг [3].
Теперь мы сосредоточим наше внимание на компактных
многообразиях с d = n — 2. Доказательство следующего резуль-
результата принадлежит по существу Монтгомер и, Самельсону
и Янгу [2] и может использоваться в качестве альтернативного
подхода к части доказательства теоремы 8.5.
8.6. Теорема. Предположим, что группа G связна и что
d — n — 2. Предположим такоке, что М — компактное связное
многообразие с Нг(М; Z) = 0 и что действие имеет особые орби-
орбиты. Тогда Е* = 0 и М* есть двумерный диск с границей В*.

210 ГЛ. IV. ЛОКАЛЬНО ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
Доказательство. Из II.6.5 следует, что М* есть Da,
Sa или Р2. Из 3.12 и 8.3 следует, что дМ* = В* =?=ф. Следо-
Следовательно, M*t=&D2, и надо доказать лишь, что Е* = ф. Пусть
т —дуга в М*, внутренность которой лежит в пространстве
главных орбит, один конец —в В*, а другой —в Е*. Из дока-
доказательства теоремы 8.2 следует, что множество А = п-1 (т) есть
объединение двух цилиндров, А = MV\J М$, где ср: P-+-Q и
ij>: P-+S — эквивариантные отображения главной орбиты в исклю-
исключительную орбиту Q и особую орбиту S. В силу 4.5 многообразия
Р и Q ориентируемы. Если ср есть й-кратное накрытие, то имеет-
имеется точная последовательность (пары (Мч, Р))
... -^Я*-2 (Q; Z) ф* Н"-2 (Я; Z) ->¦ Я"-1 (Мф, Р; Z) -*¦ Я"-1 (Q; Z) = 0.
Так как Р и Q —связные ориентируемые (« — 2)-мерные много-
многообразия, то первые две группы являются бесконечными цикли-
циклическими, и ф* есть просто умножение на k, так KaKdegcp = &.
Следовательно, Н^ЦА, Мф; Х)^Н"-1(М!(„ Р; Ъ)^Ъг Но /Иф
содержит S в качестве деформационного ретракта,п,сИгп S^n — 3.
Следовательно, H^iA; Z)^Zft. Так как Я"^; Z)f^H1(M;
Z) = 0, то точность последовательности
о^я"-1^; г)->ял-1(^; Z)-+Hn(M, a- z)-> ...
показывает, что группа Яв(М —Л; Z) ^^ H" (M, A; Z) имеет кру-
кручение, что невозможно. Щ
Используя аналогичные рассуждения, мы теперь покажем,
что и в общем случае для компактного ориентируемого много-
многообразия /И можно получить довольно полную информацию о мно-
множестве исключительных орбит.
8.7. Теорема. Пусть группа G связна, и пусть М —связное
компактное ориентируемое многообразие. Предположим, что вклю-
включение некоторой главной орбиты Р в многообразие М индуцирует три-
тривиальный гомоморфизм Hl(P\ Z)-*^x(Af; Z) {это выполняется,
если найдется такая орбита Q, что Hi (Q; Z) = 0; например,
если М°фф). Предположим также, что d = n — 2. Тогда:
(i) если Hl(M; Z) не имеет 2-кручения, то специальных
исключительных орбит нет;
(п) если есть особая орбита, по нет специальных исключи-
исключительных орбит, то гкНхЩ; Z) = сНтЯ1 (М*; Z2). « если Q1,...-
¦ •-, Qm — исключительные орбиты, лежащие внутри М*, и каж-
каждое каноническое отображение P-*-Qi является к-кратным нак-
накрытием, то подгруппа кручения группы НХ(М\ Z) есть Z* ©,...
®г
Доказательство. Замечание в скобках справедливо в силу
того, что включение РаМ пропускается через люГую орбиту Q,

8. ДЕЙСТВИЯ С ОРБИТАМИ КОРАЗМЕРНОСТИ ! ИЛИ 2 211
так как Р можно считать лежащей в трубке вокруг Q, а трубка
ретрагируется naQ. Заметим, что если двумерное многообразие М*
замкнуто, то теорема становится бессодержательной*), поэтому
будем считать, что М* имеет край дМ* = В* [} SE* Ф ф. Обозна-
Обозначим через A* cz M* множество, являющееся объединением дуг,
составляющих край дМ* вместе с
s дугами, концы которых лежат на
дМ*, и вместе с т такими дугами,
каждая из которых соединяет одну
из m исключительных орбит в int M*
с краем дМ*; при этом внутрен-
внутренности этих s + m дуг лежат в мно-
множестве главных орбит. Кроме того,
число s и соответствующие s
дуг выберем так, чтобы М* — А* Рис Iv 2
было гомеоморфно плоскости R2.
Тогда s = dim/7, (M*\ Z2)> независимо от того, ориентируемо
многообразие М* или нет (см. рис. IV.2). Положим А = п'1 (А*).
Тогда М — Ap=i(М* — А*) х Р^К2 х Р; по условию отсюда сле-
следует, что гомоморфизм Н1(М — А; Z)->-#i(M; Z) тривиален.
По теореме двойственности Пуанкаре — Лефшеца получаем, что
и гомоморфизм Йп'х{М, A; Z)-*-Hn-1(M; Z) тривиален. Анало-
Аналогично, так как М — А связно, то Нп(М, A; Z)^>-Hn(M; Z) есть
изоморфизм. Поэтому ограничение Нх (М; Z)^='Hn-1(M; Z)->
-*-Нп~1(А; Z) тоже есть изоморфизм.
Если БЕфф, то из 3.11 следует, что А содержит множество
вида I х Q, где Q — специальная исключительная неориентируемая
орбита. Из замечания после 3.9 следует, что Я™ (Л; Z) имеет
2-кручение, откуда следует (i).
В случае (ii) мы имеем В* = дМ*. Обозначим через Ах часть
множества А, лежащую над В*, а через Л2 — часть множества А,
лежащую над остальными дугами. Тогда dim(Al(]A2)^.n—3 и
dim Als^n — 2. Из точности последовательности Майера — Вьето-
риса следует теперь, что Hn~l (A; Z) ^ #л~' (А2; Z) и аналогично,
что эта группа разлагается в прямую сумму подгрупп, являю-
являющихся гомологическими группами соответствующих дут. Напом-
Напомним, что ii силу 3.11 Р ориентируемо. Исходя из доказательства
следствия 4.о и используя тот факт, что Qt — изолированная
точка в Е*, легко доказать, что любая орбита Qt ориентируема.
Из доказательства теоремы 8.6 следует, что дуге из В* в Q/
отвечает прямое слагаемое Zk, группы Hn~l (A; Z) = Нп~х (А2; Z)
Гак как по 8.3 в этом случае SE* = 0 и Й* = ф .— Прим. псрев.

212 ГЛ. IV. ЛОКАЛЬНО ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
Аналогично легко доказать, что каждой дуге с концами в В*
отвечает прямое слагаемое, изоморфное Z, откуда следует тео-
теорема. Щ
Замечание. Ясно, что для групп G, заданных в явном
виде, анализ действий с d = n—2 может быть продвинут значи-
значительно дальше. Так, Реймонд [2] и Орлик и Реймонд[1]
полностью классифицировали действия окружности на трех-
трехмерных многообразиях, и Орлик и Реймонд [3J проделали
аналогичное исследование для действий двумерного тора на
четырехмерных многообразиях.
Теперь мы кратко коснемся случая локально гладкого дей-
действия связной компактной группы Ли G на M = S"(n>2) при
d = n — 2. Можно показать, что при пФЗ обязательно есть особые
орбиты, что мы и предполагаем. Тогда по 8.6 имеем М* = D2,
B*=dD2 и Е* = ф. Рассмотрим множество С* тех точек из
B* = dD2, вблизи которых орбитный тип орбит из В* непостоя-
непостоянен. Пусть с —количество точек множества С*.
Примеры § 7 гл. I SO (я)-действия на е!""""'(Я5э3) пока-
показывают, что с может быть нулем и действие может не быть
ортогональным.
Приведем пример, когда с=1. Положим G=UB) и напом-
напомним, что имеется гомоморфизм G—vSOC), ядро которого есть
центр группы U B). Посредством этого гомоморфизма группа G
действует на R3, и имеется стандартное U B)-действие на R4 = (D2.
Поэтому возникает диагональное действие группы G = UB) на
сфере S6 с: R3xiR4. Действие на R3
индуцирует на S- транзитивное дей-
действие, стационарной группой кото-
рого является максимальный тор
U(l) x U(l) группы U B). Действие
на к4 индуцирует на S3 транзитив-
транзитивное действие со стационарной груп-
рис [у. з п°й U A) = U A) х {e^S1. Так как
G^,y) = Gx[\Gy, то при уфО груп-
группа GUi у) либо конечна, либо есть окружность S1. На мно-
множестве же S2 X iO}cSs группа G действует транзитивно со
стационарной подгруппой U(l) x 11A). Так как после некоторого
сопряжения подгруппа U(l) x \е] будет иметь тривиальное пере-
пересечение с подгруппой U(l) х U(l), то главная стационарная
подгруппа тривиальна. Из 8.3 и 8.4 и того факта, что Е* = (/),
следует теперь, что орбитная структура имеет такой вид, как
на рис. IV.3 (где указаны стационарные подгруппы).
Для с = 2 пример дается очевидным (SO (m) x SO (л))-дейст-
вием на Sm+n a Km x R" х 1У. Другим примером является дей-
действие на компактификации пространства из примера § 4 гл. 1.

9. ДЕЙСТВИЯ НА ТОРАХ 213
Для с = 3 пример дается (SO (л) х SO (m) x SO (r) )-действием
на Sm+n'-r-1 a R" x Rm x R'.
Монтгомери и Янг высказали гипотезу, что всегда с^З.
Кроме того, нам кажется, что примеры § 7 гл. I являются един-
единственными примерами локально гладких, но не ортогональных
действий при d — n—2 (для случая с = 0 это доказано Бредо-
ном [11, 12]. Некоторые частные случаи мы обсудим в главе V).
9. Действия на торах
Несмотря на то, что действия на сферах могут быть довольно
сложными, действия на торах устроены довольно просто, что
мы и покажем в этом параграфе. Именно, если связная ком-
компактная группа Ли G действует на торе Т*, то, как мы покажем,
сама эта группа есть тор, причем действует она свободно и
и проекция на пространство ее орбит является триви-
тривиальным главным расслоением. Этот результат установили К о н-
нер и Монтгомери [1], изучавшие более общий случай дей-
действий на компактных асферических многообразиях (т. е. на мно-
многообразиях, все гомотопические группы которых, кроме первой,
тривиальны). Позже Коннер и Реймонд }1] продолжили эти
исследования значительно дальше, заполнив при этом пробел
в первоначальной работе Коннера и Монтгомери. Мы сосредото-
сосредоточим наше внимание на действиях на торах; в этом случае воз-
возможно более простое изложение, использующее теорему Ньюмена
(§ 9 гл. III). В этом параграфе мы не предполагаем локальную
гладкость действия, и на самом деле доказываемые здесь резуль-
результаты не зависят от остальных результатов этой главы.
9.1. Предложение. Пусть на пространстве X действует
линейно связная группа G, и пусть Н с: G — стационарная под-
подгруппа некоторой точки хеХ. Тогда И действует на пх (X, х)
внутренними автоморфизмами.
Доказательство. Пусть [л — петля с началом и концом
в х, и пусть АеЯ. Так как группа G линейно связна, то петля
h\x свободно гомотопна петле \л. Но это означает, что гомотопи-
гомотопические классы [,и] и h.% [\i] сопряжены в группе щ (X, х). Щ
9.2. Теорема. Пусть компактная группа Ли G эффективно
действует на М = Т1, и пусть леМ-неподвижная точка этого
действия. Тогда G действует на nt (M, х) эффективно.
Доказательство. Напомним, что единичная компонента
группы G действует на щ (М, х) тривиально. Так как подгруппа
группы G, тривиально действующая на пг (М, х), одновременно
открыта и замкнута, то достаточно доказать, что если G дей-
действует на щ (М, х) тривиально, то и сама G тривиальна. Уни-
Универсальное накрывающее пространство над М есть Rh, и можно
считать, что OeR* проектируется в х. В силу 1.9.2 G-действие

214 ГЛ. IV. ЛОКАЛЬНО ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
можно поднять на R'% причем 0 будет его неподвижной точкой.
Действие группы G на щ (М, х) можно отождествить с сопряже-
сопряжением элементами группы G преобразований группы A = Z* —
группы скольжений универсального накрывающего простран-
пространства. Тогда из тривиальности G-действия на щ(М, х) следует,
что G коммутирует с Д. Заметим, что фундаментальной областью
для Д является куб I* с: К*, где I = [0, 1]. Пусть А = G {V1) с: к*,
тогда А— компактное инвариантное подмножество. Для любого
' имеем у е D (г) для некоторых ге!'иОеД. Тогда G (у) =
D (г))= D (G (г)) cz D (А), поэтому
diam G (у) < diam D (А) = diam A
для всех у. Таким образом, диаметры орбит действия на ]R*
в совокупности ограничены, что противоречит теореме Ньюмена
Ш.9.7. 1
9.3. Теорема. Если связная компактная группа Ли G эффек-
эффективно действует на М = Т*, то G есть тор, и действие свободно.
Доказательство. Если Я —стационарная подгруппа неко-
некоторой точки ^EjM, то из 9.1 и коммутативности группы п1 (М, х)
следует, что Я-действие на лх (М, х) тривиально. Поэтому в силу
9.2 Я —тривиальная группа. Следовательно, G действует сво-
свободно. В силу 1.9.1, данное G-действие можно поднять до дей-
действия на R* группы G', накрывающей группу G. Если G' содер-
содержит некоторую компактную подгруппу, то она содержит и цик-
циклическую подгруппу Я простого порядка. Тогда в силу III.7.1
Я-действие на R* имеет неподвижные точки и, следовательно,
Я-действие1) на М тоже имеет их. Но тогда Я действует на М
тривиально (так как G действует свободно) и, следовательно,
Я лежит в ядре накрытия G'-^-G. Но это ядро вкладывается
в группу A = Zft, что противоречит конечности группы Я. Так
как универсальная накрывающая компактной полупростой группы
Ли сама компактна, то G не может содержать таких подгрупп,
и, следовательно, G есть тор, см. 0.6.10. (
9.4. Лемма. Если окружность S эффективно действует на
М = Т*, то для любой точки х е М включение S (х) ->¦ М инду-
индуцирует мономорфизм пх (S (х)) -*- щ (М).
Доказательство. Из 1.9.1 следует, что существует един-
единственное эффективное действие группы S' на R*, накрывающее
данное действие. Из доказательства теоремы 9.3 следует, что S'
не может быть окружностью, поэтому S'«=*|R. При этом теорема
1.9.1 устанавливает включение ядра гомоморфизма R-»-S в группу
скольжений Д накрытия R*->M. Это включение можно (при
выборе отмеченной точки х) отождествить с отображением
*) Н действует на М посредством гомоморфизма // с: G' -+-G.—Прим. псреа.

9 ДЕЙСТВИЯ НА ТОРАХ 215
щ (S) -v я, (ЛТ), индуцированным отображением S -> S (х) с Л1,
поэтому гомоморфизм щ (S (х)) ->яг (М) мономорфен >) §
Замечание. Изложенные результаты верны, конечно, и
в случае, когда М— такое пространство, что для некоторого г
пространство 1гхМ есть тор (или, на самом деле, когда XxAf
с-сть тор для некоторого X), так как все теоремы можно приме-
применить к действию на ТгхМ, тривиальному на Тг. Это, конечно,
не значительное обобщение, но оно будет удобно для использо-
использования в изложенных ниже индуктивных рассуждениях. Отметим,
что все исследуемые пространства являются евклидовыми окрест -
ностными ретрактами, поэтому для них сингулярные когомологии
совпадают с чеховскими. Если читатель пожелает, то он может
считать действия локально гладкими, так что уги пространства
будут многообразиями.
9.5. Теорема. Если mop G действует на торе М = Т*, то
проекция л: /И —>• УИ* на пространство орбит является триви-
тривиальным главным G-расслоением; таким образом, имеется эквива-
эквивалентность M^GxM*, где М* — пространство с тривиальным
G-действием.
Доказательство. Сначала мы сведем теорему к случаю,
когда G — окружность. Пусть G = G'xS, где S— окружность.
Предположим, что нам известна эквивалентность M^G'xM',
где М' = М/С. Тогда S действует на М' свободно (в силу изло-
изложенных выше соображений и замечания или непосредственно).
Следовательно, если М' *=> Sx(M'/S), то М «а С X S x (M'/S) m
e^GxM*.
Итак, предположим, что G = S' и что М после умножения
его на некоторый тор само становится тором. В частности, л1 (М) —
свободная абелева группа и л;(УИ) = 0 при г>1. Так как S1
действует на М свободно, то проекция М -*¦ М* — главное S'-pac-
слоение. Из 9.4 и точности гомотопической последовательности
О -> я2 (М*) ->¦ Л1 (S1) ->~ я, (М) -v ях (М*) ->0 следует, что л,- (М*) =
== 0 при i>\ l). Так как группа щ (М) абелева, то такова и
Ял (М*). Далее, универсальное накрывающее пространство над
М* ациклично и конечномерно, поэтому в силу теории Смита
группа скольжений не содержит элементов конечного порядка.
Итак, nl(M*)—-свободная абелева группа, и поэтому короткая
точная последовательность 0-> лх (81)-»-я1(УИ)-> лх (М*)-*-0 рас-
расщепляется. Так как в этой последовательности все группы абе-
левы, то л( можно заменить на Н1. Применив к новой последо-
последовательности функтор Нот (•, Z) и учитывая, что Я1 (¦; Z) =
1) Заметим, что S->-S(x) есть гомеоморфизм по 9.3. — Прим. перев.
2) Из приведенных автором условий следует, конечно, только, что я2 (М*) = 0.
Равенство л,-(/И*) --0 при ?>2 вытекает из точности следующего отрезка го-
гомотопической последовательности расслоения: jij (Л4)-»-я.^ (М*) ->- л,-,., (S1) —
Прим. ред.

216 ГЛ. IV. ЛОКАЛЬНО ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
= Нот (Н1 (•), Z), получим расщепляющуюся точную последова-
последовательность 0-+Hl(M*\ Z)-^H1(M\ Z)->H1(S1; Z)->0. В част-
частности, получаем, что включение S1 ->- М индуцирует эпиморфизм
групп когомологий.
Включение слоя индуцирует коммутативную диаграмму после-
последовательностей Гизина (с коэффициентами в Z)
fP- (М*) -»- Я1 (М) -*¦ Н° (М*) ш- Я2 (/И*)
О = Я1 (*) -> Я1 (S1) -> Я0 (*) -> Я2 (*) = 0.
Анализ диаграммы показывает, что ю — 01).
Рассмотрим теперь универсальное З^расслоение S^-vCP00
(можно использовать расслоение S2V+1->(DPV с большим N).
Имеются классифицирующее отображение qr. M*->(DP°° и ком-
коммутативная диаграмма
4 I
Индуцированное отображение последовательностей Гизина
задает диаграмму
Я0 (?:РЮ) -^ Я2
Я°(М*)->Я2(Л1*)
коммутативность которой влечет ф* = 0. Так как (DP" есть
K(Z, 2), то гомотопические классы отображений из М* в (СР°°
соответствуют элементам группы Я2 (М*)\ при этом классу [ф]
отвечает элемент ср* (и), где и е Я2 ((DP00) — образующий. Таким
образом, отображение ф гомотопно постоянному и, следовательно,
расслоение М-+М* тривиально. |
Замечание. Очевидно, что большая часть вышеизложенного
доказательства стандартна и читатель с хорошей топологической
подготовкой сумеет его сократить. Более эффективный вариант
по существу того же доказательства имеется у Коннера и
Монтгомери [1].
10. Конечность числа орбитных типов
Здесь мы докажем теорему Манна [2], утверждающую, что
любое действие на ориентируемом многообразии с конечно порож-
порожденными гомологиями имеет конечное число орбитных типов.
!) Действительно, Я1 (S1) ->- #° (*) — изоморфизм, поэтому Н1 {М) -*¦
-*¦ 11° {М*) - эпиморфизм, — Прим. псреа.

10. КОНЕЧНОСТЬ ЧИСЛА ОРБИТНЫХ ТИПОВ 217
Как обычно, мы ограничимся случаем локально гладкого дейст-
действия, хотя результат справедлив и без этого ограничения. Мы
скажем, что М — многообразие конечного типа, если все группы
Hi (М; Z) конечно порождены.
10.1. Лемма. Пусть М — ориентируемое многообразие конеч-
конечного типа. Для любой компактной окрестности С бесконечной
точки оо е М+ существует такая окрестность С czC точки сю,
что гомоморфизм Н* (С, сю; Z)-+H*(C, сю; Z) тривиален.
(Иными словами, М+ когомологически локально связно (clc) в сю).
Доказательство. Если С" cr int С, то, как хорошо известно,
образ гомоморфизма Я* (М+, С) -+¦ Н* (М+, С") конечно порожден.
(Это следует из того, что М является clc в любой размерности;
доказательство есть, например, у Бредона[13], с. 77. Здесь
мы отметим лишь, что это легко доказать в случае триангулиру-
триангулируемого многообразия М. В этом случае, переходя к подразделе-
подразделению, можно найти такой конечный полиэдр КаМ, что К а
а М+ - С" и М+ - С с= int/C. Тогда группа Я* (М+,М+- int К) конеч-
конечно порождена,и исследуемый гомоморфизм пропускается через нее.)
По условию группа Я' (М,., сю)f^Hn-i(M) конечно порож-
порождена и из коммутативности диаграммы
Н'(М+, со)->Я'(С, оо)-> Я'*1 (М+, С)
I- I I
Я'(М+, со)-^Яг (С',оо)-*-Я'+1 (М+, С)
следует, что образ гомоморфизма Я' (С, со)-»-Я' (С, сю) конечно
порожден. В силу непрерывности чеховских когомологий
ПтЯ'(С, оо) = Я'(оо, оо) = 0. Таким образом, любой элемент
из образа гомоморфизма Н'(С, оо)-»-Яг' (С, сю) переходит в нуль
при дальнейшем ограничении на подходящую меньшую окрест-
окрестность точки оо. Так как образ этого гомоморфизма конечно
порожден, то мы можем перевести в нуль одновременно все его
элементы. |
10.2. Следствие. Заключение леммы 10.1. справедливо и
для группы коэффициентов Zp, причем равномерно по р.
Доказательство. Предположим, что лемма 10.1 спра-
справедлива для двух включений С" czC' czC. Коэффициентная
последовательность 0->Z->Z->Z;,->0 индуцирует коммутатив-
коммутативную диаграмму
НЧС, оо; ZP)->#+1(C, oo; Z)
\ 1°
Н1(С, сю; Z)^Hl(C, сю; ZP)-> #+1 (С, оо; Z)
1° . J
//'(С, оо; Z)->tf'(C", oo; Z,)

218 ГЛ. IV ЛОКАЛЬНО ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
и диаграммный поиск показывает, что гомоморфизм Я' (С, со; Zp)->
-¦*?['{С, оо; Zp) тривиален. |
Заметим, что так как в этом контексте применима формула
универсальных коэффициентов, то !0.2 справедливо для любой
области коэффициентов, но мы не будем этим пользоваться.
10.3. Лемма. Пусть М — произвольное п-мернос многообра-
многообразие. Предположим, что группа G — Ър действует на М и что
Со zd C1 zd ... id С„+1 — такая последовательность компактных
инвариантных окрестностей точки сое/И.., что гомоморфизмы
Н* (Ct, оо; 2Р) ->-//* (С,ч,, оо; %р) тривиальны для всех i. Тогда
гомоморфизм Н* (С$, со; ZP)-> Я* (С%+\, со; Zp) тривиален.
Доказательство. На самом деле мы утверждаем, что
(над полем Zp) гомоморфизм Яр""''+ 1 (Со, г;о) j) Я*~' + 1 (С,?, схэ) ->
-*-Hp~i + l (Ch <yjKH"~i + l (С?, оо) тривиален какдляр = т,
так и для р = 0. Это утверждение бессодержательно1) при i = 0
и будет доказано индукцией по L Последовательности Смита
приводят к диаграммам
Яр (Со, оо) 0 Н (Clt,
со)-+Йпр-' (С,, oo)®Hrl-l(Cf,
оо)
оо)
—¦Яр"' '
и'1 —'
'о
l-'l
(Со,
(Сь
оо)
оо)
1о
1 |
Я-' (С/+1, со) ->ЯГ' (С,+1, со) 0 Я""' (С?+,, со),
поиск по которым устанавливает справедливость заключения. §
10.4. Теорема. Пусть компактная группа Ли G локально
гладко действует на ориентируемом п-мерном многообразии М
конечного типа. Тогда в М имеется компактное подмножество К,
имеющее общие точки с каждой компонентой множества непод-
неподвижных точек действия любой конечной р-подгруппы группы G,
и это множество К можно выбрать не зависящим от р.
Доказательство. Пусть М н = Со :э С, zd ... — такая после-
последовательность компактных окрестностей точки оо ~ М+, что
гомоморфизмы Н* (Ci, со; %р) ->¦ Я* (С,-+1, со; Zp) тривиальны
для всех i и всех р. Такая последовательность существует в силу
10.2, и ясно, что она может быть выбрана G-инвариантной.
Пусть Р с G —некоторая р-подгруппа. Нам достаточно доказать,
что ни одна из компонент множества Мр не лежит в С +1 п2).
Пусть Мо ~ компонента многообразия М, содержащая компо-
компоненту F множества Мр. Так как Р обладает композиционным
рядом нормальных делителей3), то в Р имеется нормальный
1) Но тривиально верно.—Прим. перев.
2) Тогда можно положить К - М, - int С „. — Прим. перев.
{П \ 1)
^ Поскольку конечная р-группа ии.пхюгемша. - Прим. перец,

10. КОНЕЧНОСТЬ ЧИСЛА ОРБИТНЫХ ТИПОВ 219
делитель Plt действие которого на Мо эквивалентно эффектив-
эффективному Zp-действию на нем1). Пусть Мг — компонента многообра-
многообразия Ми', содержащая F. Тогда Р действует на Мх (причем Рх
действует там тривиально), так что в Р имеется нормальный
делитель P2zdPu действие которого на Мг эквивалентно эффек-
эффективному Zp-действию на нем; пусть Мг — компонента множе-
множества УИГ2, содержащая F. Так как размерности множеств Mt
строго убывают, то процесс оборвется на некотором Mk — F
с некоторым ks^n. Теперь очевидное индуктивное применение
леммы 10.3 влечет тривиальность гомоморфизмов H*(Mii+,
оо; Хр)-*- Н* (C(n + l)i(]Mit+, go; Zp). Следовательно, гомомор-
гомоморфизм Я* (F+, схз; ZP) ->¦ Я* (СП F+, с»; Zp), где С = С(Л+1)Я,
тривиален. Так как F ориентируемо в силу 2.1 (или /0 = 2),
то Нт (F+, со; Z)^H0 (F; Хр)ф0, где /и = dim Л Поэтому
F^C. §
10.5. 1 еорема. Локально гладкое действие тора Т на ориен-
ориентируемом многообразии М конечного типа имеет лишь конечное
число орбитных типов.
Доказательство. Предположим индуктивно, что каждый
собственный подтор S тора Т имеет на М лишь конечное число
орбитных типов. Отсюда, из III. 10.13 и двойственности Пуанкаре
следует, что F(S, М) имеет конечный тип. Выберем К cz M так,
как в 10.4. Фиксируем простое р, и пусть Р1 а Р2 с.. — после-
последовательность р-групп, сходящихся к тору S а Т. Тогда
ц М) =5 F (P2, M) zd ... — последовательность многообразий с
h M) = F(S, M). Так как каждая компонента множества
F (Pit M) имеет общие точки с К, то последовательность {F(Ph M)\
стабилизируется. В частности, любая компонента множества
F (S, М) пересекается с К. Дальше доказательство ведется так
же, как доказательство теоремы 1.3 (и леммы 1.4), с небольшими
изменениями, которые читатель сможет проделать без особого
тРУДа- 1
Замечание. Имеется теорема М о с т о в а [2], относящаяся
исключительно к теории групп Ли и утверждающая, что резуль-
результаты, аналогичные теореме 10.5, справедливы для действий
любых компактных групп Ли G, если они верны для торов.
Теорема Мостова утверждает, что если с<? — некоторый класс
подгрупп данной компактной группы Ли G, замкнутый относи-
относительно сопряжения, и если множество {С [}Т \С е^"}, где Т —
максимальный тор группы G, конечно, то Й' содержит лишь
конечное число классов сопряженных подгрупп. Изложение этого
Случай Р1 = Р не исключается. — Прим. перев.

220 ГЛ. IV. ЛОКАЛЬНО ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
результата есть у Боре л я [5], гл. VII, и здесь мы повторять
его не будем.
Замечание. Если М неориентируемо, то для справедливо-
справедливости теоремы 10.4 (и, следовательно, 10.5) достаточно потребовать,
чтобы М и его ориентирующее двулистное.накрытие М' имели
конечный тип. Чтобы доказать sto, заметим, что для р = 2 тео-
теорема 10.4 справедлива и без предположения об ориентируемости.
Если р — нечетное и Р — некоторая действующая на М р-группа,
то рассмотрим даваемое следствием 1.9.4 Р-действие на М'. Так
как порядок группы Р нечетен, то ясно, что М'р есть полный
прообраз множества Мр. Требуемый результат следует теперь
из теоремы 10.4, примененной одновременно ко всем простым
числам и данному накрывающему действию. Теорема 10.5 так-
также верна, так как ее вывод из 10.4 не использует ориентиру-
ориентируемости.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
1. Покажите, что главная стационарная подгруппа локально гладкого
действия компактной абелевой группы Ли тривиальна.
2. Пусть компактная группа Ли G локально гладко действует на Sn~l
или R", и пусть Н — главная стационарная подгруппа. Положим л —rkG —
— rk Й. Покажите, что dim G -с ((n — r) (n — r -\-1))/2.
3. Покажите, что локально гладкое действие конечной группы G на
окружности S1 эквивалентно ортогональному действию (и, в частности, что G
есть циклическая или диэдральпая группа).
4. Покажите, что локально гладкое действие на R2 эквивалентно ортого-
ортогональному действию.
5. Если окружность S1 локально гладко действует на трехмерном ком-
компактном многообразии М, имеющем те же гомологии, что сфера S3, то либо
M«=S3, либо это действие имеет неподвижные точки.
6. Пусть компактная группа Ли локально гладко действует на связном
ориентируемом многообразии М конечного типа. Покажите, что в М есть
компактное подмножество, имеющее общие точки с каждой компонентой мно-
множества В U Е неглавных орбит, и что, следовательно, имеется лишь конечное
число таких компонент
7. Пусть на сфере S4 задано локально гладкое действие группы SOC)
с главными орбитами размерности 2. Покажите, что это действие эквивалентно
ортогональному действию на S4cR3Xk2, являющемуся суммой стандартного
представления на R3 и тривиального представления на к2.
8. Пусть на S4 задано локально гладкое EОC))-действие с главными
орбитами размерности 3. Покажите, что главная стационарная группа есть
Ъг О TLi и что имеется ровно две особые орбиты, каждая из которых — проек-
проективная плоскость.
9. Пусть на S5 задано локально гладкое EОC))-действие с главными
орбитами размерности 2. Покажите, что F (SOC), S5) = S2 и что все орбиты,
не являющиеся неподвижными точками, есть двумерные сферы.
10. Пусть компактная связная группа Ли G локально гладко действует
на таком л-мерном многообразии М, что Hi (М; 2г) = 0- Докажите, что п —
— dim E четно.
11. Пусть на ориентируемом «-мерном многообразии М задано локально
гладкое действие связной компактной группы Ли G, и пусть размерность

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV 221
главных орбит этого действия есть п. — 2. Предположим, что М Фф и что
М* есть кольцо. Покажите, что если группа лх (М) абелева, то в int M* нет
исключительных орбиг. (Указание. Рассмотрите накрытия над М* и инду-
индуцированные из них проекцией М -»- М* накрытия над М.)
12. Пусть компактна;! группа Ли локально гладко действует на Мп так,
что Hi(M~n; Z-2)=0, и пусть главная орбита этого действия есть S2*. Пока-
Покажите, что все неглавные орбиты являются неподвижными точками и что раз-
размерность каждой компоненты множества есть п — 2k—1.
13. Пусть на S" или R" задано действие компактной группы Ли G с
главной стационарной подгруппой //. Пусть Т — максимальный тор в Я, и
пусть (G/H)T связно. Покажите, что для любой орбиты Q множество Q
связно.

Глава V
ДЕЙСТВИЯ С НЕБОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОРБИТНЫХ
ТИПОВ
В этой главе мы докажем и используем несколько классифи-
классификационных теорем, касающихся в основном локально гладких
действий с двумя или тремя орбитными типами.
В § ! мы докажем эквивариантный аналог теоремы Брауна
о кромке. Однако в последующих параграфах используется лишь
неэквивариантный случай.
В § 2 мы изучим такие действия на сферах, для которых
множество неподвижных точек имеет размерность, максимально
возможную для данной размерности главной орбиты.
В § 3 мы изложим некоторые основополагающие факты о ре-
редукции структурной группы расслоения. Эти сведения мы при-
применим в § 4 для доказательства «теоремы о трубке», утверждаю-
утверждающей, что если пространство орбит некоторого б-действия является
многообразием с краем, и имеется лишь два орбитных типа
(один из которых соответствует точкам края), то часть G-прост-
ранства, расположенная над кромкой, имеет структуру цилиндра
некоторого эквивариантного отображения. Этот результат в ло-
локально гладком случае есть аналог относительно простой теоремы
о трубчатой окрестности в гладком случае и является основным
в оставшейся части главы.
В §§ 5 и 6 мы докажем две классификационные теоремы
о таких действиях с двумя орбитными типами, что пространство
орбит есть многообразие с краем. Вторая из этих теорем ана-
аналогична теореме Ениха и братьев Сян, доказанной ими в гладком
случае. Классификация автоэквивалентностей таких действий
дана в § 7. В §§ 8 и 9 эти результаты применяются к изучению
эквивариантного водопроводного соединения и действий на много-
многообразиях Брискорна.
В §§10 и 11 изучаются такие действия, пространства орбит
которых стягиваемы и которые имеют лишь три орбитных типа,
один из которых — класс неподвижных точек.

I. ТЕОРЕМА ОБ ЭКВИВАРИАНТНОЙ КРОМКЕ 223
I. Теорема об эквивариантной кромке
Хорошо известный результат Брауна [1] утверждает, в част-
частности, что край топологического многообразия (паракомпактного)
с краем обладает кромкой, т. е. окрестностью-произведением.
Здесь мы докажем зквивариантный аналог этой теоремы.
Напомним, что G-орбитной структурой на пространстве X
называется отображение пространства X в множество <?о G-орбит-
ных типов. Вообще, если на пространстве X задано «структур-
«структурное отображение» X-*¦ S со значениями в некотором раз навсегда
фиксированном множестве 5, то мы будем называть X структу-
ризованным пространством. Структуризованное пространство
будет обозначаться тем же символом, что и исходное; структур-
структурное отображение будет подразумеваться. Говоря об отображении
структуризованных пространств, мы будем иметь в виду непре-
непрерывное отображение, коммутирующее со структурными отобра-
отображениями. Положим 1 = [0, 1] и J=[0, 1). Если X— структуризо-
структуризованное пространство, то мы считаем таковым и пространство
XxJ, задав на нем структурное отображение композицией про-
проекции XxJ-vX со структурным отображением на X.
Пусть X — структуризованное пространство и В cz X — его
подпространство (наследственно структуризованное). Мы скажем,
что В обладает кромкой (в X), если имеется такой гомеоморфизм
(структуризованных пространств) h: BxJ->-U, где U — содержа-
содержащее В открытое подмножество из X, что h(b, 0) = b. Далее, В
локально обладает кромкой (в X), если любая точка из В имеет
в В окрестность, обладающую кромкой в X. Мы покажем, что
замкнутое подмножество паракомпактного структуризованного
пространства X, локально обладающее кромкой, обладает кром-
кромкой в X глобально. В нашем доказательстве мы следуем Брауну
[1] с небольшими модификациями, и добавление «структуры»
нигде не вносит сложностей *).
Мы всюду предполагаем, что X— структуризованное параком-
пактное пространство и что В — его замкнутое подмножество.
Для отображения (я: В^-\ положим U^ — {b <= В ||х ф) >0} и
Sp = {(b, t) е В х J \ / < \л (Ь)}. При этом S^ называется веретено-
подобной окрестностью множества U^x{0}. Заметим, что [/ц есть
множество типа Fa (счетное объединение замкнутых множеств).
Кроме того, если U — открытое типа Fa множество в В, то U
паракомпактно, см. Дугунджи [1], с. 165, и является ненуле-
ненулевым множеством некоторой функции В-+1 (см. Дугунджи [1],
с. 148). Отсюда легко следует, что веретеноподобные окрестности
множества Ux{0\ в 5xJ образуют для открытого множества U
типа Fa базовую систему окрестностей.
1) Доказательстьо этого результата можно найти также в книге К е я ¦
дыш [1]. — Прим. перев-

224 ГЛ. V. ДЕЙСТВИЯ С НЕБОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОРБИТНЫХ ТИПОВ
Взяв такое же ц, как выше, и положив (ц/2) (Ь) => fi (Ь)/2,
определим отображение фA: SxJ->-BxJ, полагая
t (b, t) при (b, t) <ф. S»,
Фм(Ь, 0- (&. 0) при Ф, 0eS,/2,
( F, 2/ - ц (Ь)) при F, /jeS,- S^.
Заметим, что ср^ сохраняет «вертикали» и, следовательно,
сохраняет структуру. Отметим также, что ср^,: BxS — 5ц/2->-
-»- В х J — гомеоморфизм.
1.1. Лемма. Пусть U —открытое типа Fa подмножество
из В, и пусть Ыг и JV2 — открытые окрестности множества
Ux{0} в BxS. Пусть f: N\-+-N\ — такой (сохраняющий струк-
структуру) гомеоморфизм, что f\Ux{0} есть тождественное отобра-
отображение. Тогда существуют такой гомеоморфизм /': N1-^~Ni и
такая открытая окрестность V множества Ux{0} в Л/"Х П А^2,
что: __
(a) /' и f совпадают на N1 — N1;
(b) /'; V = ] у.
Доказательство. Имеется такое отображение ц: В->1,
что [/^ = 0 и Sp с: Nx fl N2. Пусть ^ = 5^/2, положим
1.2. Лемма. Пусть Ux и 11% — два открытых множества
типа Fa из В, и пусть К cz Ulf}U2 — замкнутое относительно
иг П U2 множество. Пусть заданы такие гомеоморфизмы ft,-: Ut x
xJ --> Wiy где Wt —некоторые открытые окрестности множеств
Ui в X, /=1, 2, что h; (и, 0) = ы. Тогда существует такой
гомеоморфизм h't: ll^xi ^ W2, что:
(a) если и е U2, то hi (и, 0) = и;
(b) найдется окрестность V множества Кх{0} в (их[]и2)х3,
для которой h'i \ V ==hx \ V.
Доказательство. Положим В' — Uj\J U% (В' не замкнуто
в X). Забудем для удобства об оставшейся части множества В,
так что ниже все замыкания берутся относительно В' (или
B'xJ). Так как В' паракомпактно, то в нем найде!СЯ такое
открытое множество U типа Fo, что KczU и U cz 11г{\ ?/2!).
Положим W = Wx П ^2 и заметим, что hi1 (W) а В X J — открытая
окрестность множества Ux{0\. Отсюда следует, что имеется
такая открытая (веретеноподобная) окрестность Л^ множества
Ux{0} в В'хЗ, что / = Лг1Л3 — корректно определенный гомео-
х) Напомним, что все пространства у нас хауедорфовы и что хаусдорфово
паракомпактное пространство нормально.—Прим. персе.

!. ТЕОРЕМА ОБ ЭКВИВАРИАНТНОИ КРОМКЕ 225
морфизм пространства A^cZJxJ на пространство jV2 /(i)
где N2 = f(N1). В силу 1.1 имеется такой гомеоморфизм /':
Л^-5* Л^, что f и / совпадают на Л^ —iVj и /' | V = lv для неко-
некоторой открытой окрестности V множества Ux{0\ в B'xJ. Поло-
Положим
K{x) для ^e
Легко видеть, что hi обладает требуемыми свойствами (включая
сохранение структуры), g
Замечание. Более подробное доказательство лемм 1.1 и
1.2 читатель найдет у Брауна [1].
Предположим, что U открыто в В и что к. U x J -> X
(k(u, 0) = и) — кромка. Пусть b0 e Uj_ и пусть W— такая откры-
открытая окрестность точки Ьо ъ X, что Wczk(Ux3). Тогда имеется
такая функция ц: В->-1, что ^еУ,, (т. е. (хF0)^=0 и КEй)сг
с: W). Но тогда k(Sil) = k(Sil). Теперь отображение h: U^xJ ->¦ X
вида ft F, /) = ^ (&, [х F) ^) определяет кромку множества U^,
обладающую тем дополнительным свойством, что для любого
открытого V czUy, имеем h(Vx3)f]B = V-
Назовем кромку (открытого множества из В), обладающую
этим свойством, нормальной кромкой.
1.3. Лемма. Пусть U1 и U^ — два открытых множества
типа Fg из В, и пусть hi: UiXi ^Wt cz X — нормальные кромки
(i=\, 2). Положим U — U1[)U2. Тогда существует такая нор-
нормальная кромка h: Uxi -^ W cz W^U W%, что h\(U1 — U2)xi =•
h\(UUJl
Доказательство. Как и в доказательстве леммы 1.2,
положим В' = U1 U U2 = U (так что В' паракомпактно) и будем
брать замыкания относительно В'. Мы можем представить В'
в виде В' = О1[] 02, где О,- открыты в В' и О, с Uh Положим
К = 61Г\б2- В силу 1.2 мы можем считать, что на некоторой
открытой окрестности V множества Кх{0} гомеоморфизмы hx и
h2 совпадают. Положим V1 = {Ol — K)Xi. Тогда множество
KiV-дпВ' =01 — К не пересекается с О2 —0^ Поэтому ((О2 —
не пересекается с (О2 — OjxjO}. Так как
1)(Mi)) р ( jj}
B'xJ паракомпактно и, следовательно, нормально и так как
О, — O1zdO2~-К, то имеется такая открытая окрестность Va
множества {О2 — К)хЩ в B'xJ, что Л2(У2)ЛМУХ) = ф.
Зададим на Vt [} V \j V2 отображение k, полагая k\Vx = h1\ Vx,
A|Va = /i2|V2 и k\ V = ht\ V = ht\ V. Тогда k непрерывно, открыто
и взаимно однозначно, т. е. является гомеоморфизмом на под-
подмножество. Так как В' паракомпактно, то имеется функция -п.:
В' -*-1, нигде не равная нулю и такая, что Sn cz Vx (J V (J V%.
8 Г. Бредон

Ив ГЛ. V. ДЕЙСТВИЯ С НЕБОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОРБИТНЫХ ТИПОВ
Кроме того, имеется такая функция т.: В'->-1, что %(Ь) — \ для
b <= Ul — U.i и т F) = 0 для ? ?Е Ог. Положим jn = max (т, ц).
Тогда S^c VjU Уги V, функция ц нигде не равна нулю и
ц ф) = ] для b e= U-i— U2. Отображение /г вида /г (b, t) = k ф, ц ф) t)
удовлетворяет, очевидно, всем требуемым свойствам. |
1.4. Т е о р е м а. Если В — замкнутое подмножество параком-
пактного пространства X, локально обладающее в X кромкой,
то В обладает кромкой в X глобально.
Доказательство. Покроем подпространство В открытыми
множествами, обладающими в X кромкой. Образы кромок обра-
образуют открытое в X покрытие подпространства В. Добавив к этому
покрытию множество Х—В, получим открытое покрытие прост-
пространства X, в которое впишем некоторое локально конечное
покрытие ai-J. Переходя к покрытию, ассоциированному с разбие-
разбиением единицы, подчиненным покрытию "У^1), получим покрытие
пространства X открытыми множествами типа Fa. Итак, возни-
возникает семейство \Va} открытых подмножеств пространства X,
являющееся локально конечным и таким, что каждое множество
Уа — ^аГ\В есть Fa и обладает в X нормальной кромкой. Образ
кромки множества Ua можно считать лежащим в Va. Вполне
упорядочим множество индексов и положим V'a = И Vp и U'a =
= U Up — V'af)B. Мы индуктивно построим нормальную кром-
ку hf U'f,x J-*-X с образом, лежащим в Vp. При этом для
будет выполняться следующее условие: /ig = ha на
- U
Э<х<а /
Предположим, что для всех р < а кромки ftp определены.
Если а —предельный ординал, то U'a= (J с/р. Если be,U'a, то
Р<а
имеется окрестность N точки b в U'acz В, пересекающая лишь
конечное число множеств ?/р с Р<«. Если элементы т, т' <а
оба больше таких р, то hx и h%- совпадают на NxJ. Следова-
Следовательно, определено отображение ha= lim hx. Легко видеть, что ha
непрерывно, открыто и взаимно однозначно, и потому является
гомеоморфизмом на свой образ, лежащий в V'a. Из того, что
семейство \Va} локально конечно в пространстве X, следует, что
ha — нормальная кромка. (Заметим также, что U'a суть множества
типа Fg.)
Если же элемент а следует за элементом р, то положим
U1 = U\i и U2 = Uq, так что U1[}U.i = U'a- Используя 1.3, мы
1) То есть полагая Va=-(pa (О, 1J для каждой функции (j4a этого разбие-
разбиения единицы. — Прим. перев.

!. ТЕОРЕМА ОБ ЭКВИВАРИАНТНОП КРОМКЕ 227
можем определить па на UaXi, считая, что ha совпадает с %
на (?/, — U2)x J = F/p — i/p)xJ, что завершает шаг индукции.
(Сравните с доказательством теоремы 11.7.1, пункт С.) Щ
Замечание. Браун [1] дал доказательство для метриче-
метрического пространства X и произвольного В. Заметим, однако, что
из локального существования кромки следует, что В локально
замкнуто. Следовательно, В есть замкнутое подмножество откры-
открытого множества из X (а X, будучи метрическим, паракомпактно),
так что случай, рассмотренный Брауном, следует из изложенного.
1.5. Теорема. Пусть компактная группа Ли G локально
гладко действует на (паракомпактном) многообразии М с краем В.
Тогда существует такой эквивариантный гомеоморфизм h из В х i
на открытую окрестность множества В в М, что h (b, 0) = b,
где G действует на 5x1 по формуле g(b, t) = (g(b), t).
Доказательство. Из локальной гладкост и действия легко
следует, что утверждение теоремы верно локально. Следовательно,
B/G локально обладает в M/G кромкой с данной орбитной струк-
структурой на M/G. Следовательно, B/G обладает кромкой в M/G, и
теорема следует теперь из теоремы Пале II.7.1 о накрывающей
гомотопии. |
Мы воспользуемся здесь возможностью привести следующую
теорему, не относящуюся к изложенному материалу. Она хорошо
известна, но мы не знаем удобного для ссылки источника. Эта
теорема будет несколько раз использована в этой главе.
1.6. Теорема. Любое (паракомпактное) многообразие М (воз-
(возможно, с краем) имеет гомотопический тип клеточного прост-
пространства.
Доказательство. Мы лишь наметим доказательство этого
известного факта. Многообразие М можно считать связным и,
следовательно, его можно вложить как замкнутое подмножество
в некоторое евклидово пространство R". Так как М есть абсо-
абсолютный окрестностный ретракт (см. Ханне р [1]), то имеются
окрестность U множества М в R" и ретракция г: U-+M. Далее,
IR" можно триангулировать так, что М будет лежать в некотором
подкомплексе L, лежащем в U. Можно (индуктивно) добавить к L
клетки таким образом, чтобы аннулировать ядро гомоморфизма
г#: Лщ. (L) -> я# (М) и таким образом продолжить отображение г
на новое клеточное пространство К. Иными словами, имеется
такое клеточное пространство К, что К гэ L и г продолжается до
отображения .¦: К-+-М, индуцирующего мономорфизм пщ (/()->
-*-Лх(М). Так как s^i#= 1„, щ), (где i: M -+-К — включение), то
s# — изоморфизм с обратным i#. Таким образом, is: К-*-К —сла-
—слабая гомотопическая эквивалентность (т. е. отображение, индуци-
индуцирующее изоморфизм гомотопических групп) и, следовательно,
is является гомотопической эквивалентностью, так как Л" —кле-
—клеточное пространство (см. Спеньер, [1J, с. 531). Если ср: К-*-
а*

230 ГЛ. V ДГ-ПСТВНЯ С НЕБОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОРШТТНЫХ ТИПОВ
физма. Следовательно, имеется относительная последовательность
Гизина
...->-Ht(M-Ma, S")-*-Hi(M*
-> //,_„_! (М * - М°, х) -*- Я,_, (М-Ма, Srf) ->...
(где точки х е М* — Ма отвечают орбитам Sd в М — Ма). Легкое
индуктивное рассуждение с учетом A) показывает, что
Hi(M* — Ма, А') = 0 для всех г, так что М* — М° — ацикличное
пространство. По теореме о кромке имеем М* «=; М* [J (Мах I), и
М* гомотопически эквивалентно своей внутренности М* — Ма,
так что (с) доказано.
Заметим, что главное расслоение, с которым ассоциировано
расслоение М — Ма-*-М* — Ма, имеет вид М" — Ма-+М* — Ма
и является N (#)/#-расслоением. Кроме того, так как G дей-
действует на G/H = S'' ортогонально, то N (Н)/Н = (GlH)H — сфера.
Положим К = N (Н)/Н, так что К есть S°, S1 или S3, и пусть
Вк — классифицирующее пространство группы К- Тогда описанное
главное расслоение индуцируется отображением М* — Ма->-Вк.
Так как М* — Ма имеет гомотопический тип клеточного прост-
пространства и так как группа пх (Вк) действует на группах п; (Вк)
тривиально, то препятствия к деформации данного отображения
в постоянное лежат в группах Н'(М* — МС", я,-(Вл-)) = 0. Следо-
Следовательно, расслоение М" — Ма-+М* — Ма тривиально. Обозна-
Обозначив через С а М" cz M его сечение, получим, что замкнутое
множество С = С'[}Ма является в силу 1.3.2 сечением проекции
М-^-М*, что доказывает утверждение (d).
Для доказательства утверждения последнего абзаца теоремы
предположим, что имеется два удовлетворяющих условию теоремы
действия на многообразиях, скажем, Мх и М,, причем М* «=* /И|.
Пусть CiCzM'1 (i = l, 2) —сечения, существующие в силу (d);
при этом гомеоморфизму пространств орбит соответствует гомео-
гомеоморфизм Cl^Ci. В силу 1.3.4 этот гомеоморфизм однозначно
продолжается до гомеоморфизма М, я*=*Л12. Предположим теперь,
что X — некоторое ацикличное (п — с()-мерное многообразие с краем,
и, положив М =<5(Drf+1xX), зададим G-действие на М, считая,
что G действует на D^'1 ортогонально, а на X тривиально. Так
как М = д (Drf+1 X X) = (Sd xX)\J (D"-1 X дХ) и D^ l/G я« [0, 1 ], при-
причем SG соответствует подмножеству {0}, то по теореме о кромке
имеем
Если М односвязно, то в силу II.6.3 таково же и М*. Если
^M* односвязно, то из теоремы ван Кампена следчет1), что
!) Здесь М представлено как М -=^д (DdrlxX)^{Sd\X) U (W
Прим. перев.

3. РЕДУКЦИЯ СТРУКТУРНОЙ ГРУППЫ 231
группа л, (М) порождается своими подгруппами— образами групп
я, (Srf X X) «=* щ (S") и пг (Drf+1 X дХ) я« Л! ((ЭХ). Но гомоморфизмы
щ (Sa) -> л, (Dd+1) и Я1 (дХ) -*- Я1 (X) тривиальны, откуда следует
тривиальность группы л, (М). Щ
Как доказал Кон не л [1], компактное стягиваемое ^-мерное
многообразие X с краем S*, кфЗ, 4, есть диск D*. (Кроме
того, при к>Ъ край стягиваемого ^-мерного многообразия есть
сфера S* тогда и только тогда, когда он односвязен.) Так как
(п — с0-мерный диск, очевидно, соответствует случаю ортогональ-
ортогонального действия из теоремы 2.1, то имеем следующий факт.
2.2. Следствие. Пусть G локально гладко действует на
п-мерной гомотопической сфере М с главной орбитой размерно-
размерности d. Предположим, что dim Ма = n — d— l ф2, 3. Данное дей-
действие тогда и только тогда эквивалентно ортогональному, когда
Ма я« S""^1. Если n — d— 1 5г5, то Ма я« S"-^1 тогда и только
тогда, когда Мв односвязно. В общем случае при n — d — \^b
такое действие вкладывается в ортогональное G-действие на Sn+1.
Доказательство. Для доказательства последнего утвер-
утверждения заметим, что М* лежит как М*х{1/2} в X = М* х i.
Тогда X есть стягиваемое (п. — d+ 1)-мерное многообразие, край
которого дХ = (дМ* X J) U Щ* X di) есть удвоение многообразия
М* и, следовательно, односвязен по теореме ван Кампена. Поэтому
X^D"~d+1. Соотпетствующее G-действие на (л + 1)-мерном много-
многообразии будет теперь ортогональным, пространство его орбит
будет X, и ограничение этого действия на М* X {1/2} с: X эквивален-
эквивалентно первоначальному действию. §
2.3. Следствие. Если группа G — S1 действует на п-мерной
гомотопической сфере М, пфА, Ъ, и если Мв я^Б", то Mi=«
?=«S"cr(R"+1 и действие эквивалентно ортогональному действию
на Sn, индуцированному вращениями пространства первых двух
координат. |
Замечания. Теорему 2.1 доказал Бредон [2] (см. также
Бредон [4]) без предположения локальной гладкости. В этом
случае доказательство значительно сложнее, так как априори Ма
не есть многообразие (и на самом деле оно является лишь обоб-
обобщенным многообразием), и описать главные орбиты труднее.
Имеются очевидные аналоги теоремы 2.1 для действий на гомоло-
гомологических дисках и евклидовых пространствах, доказывающиеся
фактически тем же способом.
3. Редукция структурной группы
В этом параграфе мы установим несколько фундаментальных
фактов о редукции структурной группы расслоения и докажем
некоторые важные для нас результаты, в учебной литературе
не изложенные.

232 ГЛ V ДЕЙСТВИЯ С НЕБОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОРПИТНЫХ ТИПОВ
Пусть Г— топологическая группа и pY: У -*¦ В — главное
Т-расслоение. Пусть, далее, 5 — замкнутая подгруппа группы Т.
Под S-редукцией данного расслоения мы понимаем главное S-pac-
слоение рх- Х-*-В вместе с S-эквивариантным отображением!
над В, так что имеется коммутативная диаграмма
Если X задано, то f называется S-редукцией расслоения У к рас-
расслоению X.
Две S-редукции (X, /) и (X', р) называются эквивалентными,
если существует S-эквивариантное отображение ф, включаемое
в коммутативную диаграмму
Так как ф должно накрывать тождественное отображение базы
В, то ф —гомеоморфизм.
Поскольку, имея дело с ассоциированными расслоениями,
удобно использовать и левые, и правые действия, в этом пара-
параграфе мы будем применять символ S X для обозначения прост-
пространства орбит левого 5-действия на X, в отличие от нашего
обычного обозначения.
Из 11.2.2 следует, что Т X т У -*~ У — гомеоморфизм. Кроме
того, отображение T-*-S\T открыто, и потому в силу II.2.1 и
индуцированное отображение Т х т У -*-(S\T) x т У открыто. Сле-
Следовательно, очевидное индуцированное отображение S\Tf=^
«=s S'\ (T X г y)~*-(S\T) X г У взаимно однозначно, непрерывно
и открыто и, таким образом, является гомеоморфизмом. Поэтому
проекция S\y -*¦ Т\У >=& В может рассматриваться как проекция
в ассоциированном E\Т)-расслоении (S\T)XjY-+B. Так как
S\X?^B, то 5-редукция /: X-+Y индуцирует коммутативную
диаграмму
в
Следовательно, a,: B^S\X f-~ S У есть сечение E^Г)-расслоения
SYB

8. РГЯУКЦИЯ СТРУКТУРНО!! ГРУППЫ
233
Заметим, что если S — компактная группа Ли, то в силу II.5.8
T-*-S\T есть (главное) расслоение.
3.1. Теорема. Предположим, что естественная проекция
Т -v S\T является расслоением. Тогда соответствие, сопоставляющее
S-редукции f: X-*-Y сечение af: B^^S X ~S\Y, является взаимно
однозначным соответствием между классами эквивалентности
S-редукций главного Т-расслоения Y-+B и классами эквивалентности
сечений ассоциированного S\T-расслоения (S\T) х т Y?*=>S\Y-У-В.
Доказательство. Из того, что T-*-S\T есть главное
расслоение, следует, что и Тхт Y-*-(S\T)Xr Y — тоже главное
расслоение, так как локально оно имеет вид Т X U ->- (S\T) X U.
Следовательно, проекция на пространство орбит Y-^-S Y есть
проекция расслоения. Пусть or: B-*-S\Y — некоторое сечение, и
пусть a*Y есть S-расслоение над В, индуцированное отображе-
отображением о из расслоения Y-+S\Y. Тогда имеется коммутативная
диаграмма
9
Так как по условию qa: В-
то диаграмма
-В есть тождественное отображение,
коммутативна. Следовательно, (a*Y, g) есть 5-редукция рассло-
расслоения Y~*-B, для которого og — a. Если /: X-+-Y — некоторая
S-редукция с 0у=а, то, используя универсальное свойство инду-
индуцированного расслоения, получим диаграмму 5-пространств
коммутативность которой позволяет установить эквивалентность
5-редукций (X, /) и (o*Y, g). I
Замечание. Если /: X->-Y — некоторая S-редукция и F:
X х I -> Y — некоторая 5-эквивариантная гомотопия над В, то F,
очевидно, индуцирует гомотопию сечений расслоения S\Y-*-B.
Обратно, так как расслоение над В х I есть произведение неко-
некоторого расслоения над В на отрезок I (для паракомпактного В),

234 ГЛ. V. ДЕПСТППЯ С НТ-ПОЛЫИИМ ЧИСЛОМ ОРПИТПЫЧ ТИПОВ
то, очевидно, любая гомотоиия сечений индуцирована
S-жвивариантной гомотопией X х I -*¦ У над В, где В паракомпактно.
3.2. Теорема. Пусть Н —замкнутая подгруппа компактной
группы Ли G. Пусть, далее, T = N(H)/H и S а Т — замкнутая
подгруппа. Пусть, наконец, X ->- В и Y-+-В — главные соответст-
соответственно S- и Т-расслоения. Сопоставим каждой редукции /: X-+-Y
эквивариантное отображение /': (G/H) X s X-*-(G/H) X т Y над В,
полагая f'[gH, x] = [gH, f(х)]. Тогда ft—-f является взаимно
однозначным соответствием между S-редукциями расслоения Y
к расслоению X и G-эквивариантными отображениями ассоци-
ассоциированных (G/H)-расслоений над В.
Доказательство. Ограничение отображения f на множе-
множество неподвижных точек //-действия задает Т'-эквивариантное
отображение TXsX->-TxtY- Включение Х->ТхД вида
х>—*-[е, х] 5-эквивариа;:т;;о, и, следовательно, имеется S-экви-
вариантная композиция X-^-TXsX-*-TXtYs=>hY. |
Пусть теперь Л —локально компактное пространство, явля-
являющееся эффективным правым Т-пространством, где Т ~ произволь-
произвольная подгруппа полугруппы Map(Л, Л) с компактно открытой
топологией. Пусть S —подгруппа в Т, и пусть X и X'— главные
S-расслоения над В. Рассмотрим ассоциированные Л-расслоения
AxsX и А х лX'. (Заметим, что их структурную группу мож-
можно расширить до группы Т, так как /IXsX^^Xr^XsX^
&& А х т (Т х s X).) Любому отображению <р над В
s
\в/
отвечает в силу 11.2.7. сечение ф ассоциированного (Map (Л, Л))-
расслоения Map (Л, А) х sxs&-*-B. Отображение ср назовем Т-
эквивалентностью, если ассоциированное с ним сечение ф лежит
в подрасслоении Т X sx$ А->-5. (Используя карты на (Map (Л, Л))-
расслоении, возникающие из карт на X и X', легко проверить, что
Ф— эквивалентность тогда и только тогда, когда ф есть послойное
преобразование элементами группы Т.) Аналогично ф называется
5-эквивалентностью, если ф есть сечение расслоения S x sxs&->~B.
Замечание. Из того, что Т = МаргG\ Т), легко следует,
что ф тогда и только тогда является Т-эквивалентностыо, когда
оно индуцировано Т-эквивариантным отображением Т X s X —*¦
-+Т X s X' над В. Аналогично ф тогда и только тогда является
5-эквивалентностыо, когда оно индуцировано S-эквивариантным
отображением X—>-Х' над В. Ясно, что отображение, обратное
к Т- (или 5-)эквивалентности, само является Т- (или S-) экви-
эквивалентностью.
Следующий результат —основной в оставшейся части главы.

4 ЛЕММЛ О ВЫПРЯМЛЕНИИ И ТЕОРЕМА О ТРУБКЕ 235
3.3. Теорема. Пусть Т — топологическая группа и S — такая
ее замкнутая подгруппа, что Т -v S\T — расслоение. Предположим,
что включение S cz T есть слабая гомотопическая эквивалентность.
Пусть дано паракомпактное пространство В, имеющее гомото-
гомотопический тип клеточного пространства. Тогда:
(a) Любое Т-расслоение над В обладает S-редукцией, и любые
две такие редукции S-эквивариантно гомотопны эквивалентным
S-редукциям.
(b) Пусть А — правое Т-пространство, и пусть X и X' —- глав-
главные S-расслоения над В. Тогда любая Т-эквивалентность ср:
AxsX-^-AXsX' гомотопна (в классе Т-эквивалентностей) неко-
некоторой S-эквивалентности. При этом предполагается, что А —
локально компактное пространство и что группа Т снабжена
компактно открытой топологией.
Доказательство. Предположим, что В — клеточное про-
пространство. Так как все гомотопические группы пространства S Т
тривиальны, то все препятствия к построению сечения в любом
(З.Т)-расслоении над В равны нулю, и точно так же равны нулю
и препятствия к построению гомотетии между двумя такими
сечениями. Теперь (а) следует из теоремы 3.1 и сделанного после
нее замечания. Аналогично нет препятствий к деформации сечения
расслоения Т X sxs A->5 в сечение расслоения SxsxsA->-B.
В силу § 2 гл. II такой гомотопии между сечениями отвечает
гомотопия между Г-эквивалентностями А X s X -v Л х s X'; отсюда
следует (Ь). Щ
Использование теории препятствий для получения требуемых
результатов возможно и в случае, когда В паракомпактно и лишь
гомотопически эквивалентно клеточному пространству С. Напри-
Например, пусть h: C-+-B — гомотопическая эквивалентность с обрат-
обратным отображением k: B-y-C, и пусть W = S\Y есть (S Т)-рас-
слоение, ассоциированное с главным Т-расслоением Y над В. Тогда
h* W обладает сечением, потому и k*h*W обладает сечением. Но ясно,
что W ^k*h*W, так как ftfc~l и В паракомпактно. Аналогично
обстоит дело с парой (Г х sxs A, SxsxsA) расслоений над В.
Замечание. Предположение о том, что 7->S T есть рас-
расслоение, не используется при доказательстве утверждения (Ь).
Утверждение (а) тоже может быть доказано без этого предполо-
предположения, если использовать теорию классифицирующих пространств,
но мы в этом не нуждаемся.
4. Лемма о выпрямлении и теорема о трубке
Пусть G —компактная группа Ли и Н с К — ее замкнутые под-
подгруппы. Рассмотрим каноническую проекцию л: Gill -*¦ (ЦК, и
пусть М„ = (С/Я)х1 (J (G/K) — ee цилиндр. Тогда Мп есть
ЯХ{0}

236 ГЛ. V. ДЕЙСТВИЯ С НЕБОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОРБИТНЫХ ТИПОВ
G-пространство, пространство орбит которого Мп канонически
гомеоморфно отрезку I посредством проекции (G/H) х I —>• I. Мы
будем отождествлять М? и I.
Пусть Homeof (Мя) обозначает группу (относительно компо-
композиции) автоэквивалентностей над I пространства Мя (т. е. группу
G-эквивариантных гомеоморфизмов, индуцирующих на простран-
пространстве орбит тождественное отображение). Эта группа снабжена
компактно открытой топологией, которая в силу того, что Мп
есть компактное метрическое пространство, совпадает с тополо-
топологией равномерной сходимости. Очевидно, что Homeof (Мя) — топо-
топологическая группа.
Напомним, что группа N (H) f] N (К) действует на G/H и G/K
правыми сдвигами (т. е. Rn(gH) = gn~1H и т. д.) и что диаграмма
G/H -n- G/K
G/H -1 G/K
очевидно, коммутативна. Поэтому на Мя возникает индуци-
индуцированное (N (Я) П N (/^-действие, ядро которого, очевидно,
есть Н. Таким образом, имеется мономорфизм (N (Н) П N (К))/Н ->
-> Homeof (М„), который мы будем считать включением1).
Следующий результат является основным в оставшейся части
главы. Причины, по которым он назван именно так, выяснятся
позже.
4.1. Лемма о выпрямлении. Подгруппа (N (Н) (] N (К))/Н
является деформационным ретрактом группы Homeof (УИ-Г).
Доказательство. Сначала мы дадим геометрическое опи-
описание группы Homeof (Мя). Заметим, что G-пространство Мя
обладает сечением «/, задаваемым смежным классом единицы, т. е.
J = ({е#}х@, 1])и{бК}. Пусть J( — точка сечения /, соответ-
соответствующая точке t^l = M%; иными словами, Jt = (eH, t) при t^O
и J0 = eK- Любому ф е Homeof (Мя) отвечает другое сечение ср (J),
и так как ср сохраняет стационарные подгруппы, то
{t] при t^O,
при / = 0.
Наоборот, любое такое сечение индуцирует в силу 1.3.4 неко-
некоторую автоэквивалентность. Более того, соответствие между сече-
сечениями и автоэквивалентностями будет взаимно непрерывным, если
снабдить пространство сечений топологией равномерной сходи-
*) То есть cqaTaerCfl, что (N{H)(\N(K))/H есть подгруппа в Homeof
Прим. пере».

4. ЛЕММА О ВЫПРЯМЛЕНИИ И ТЕОРЕМА О ТРУБКЕ 237
мости. Для простоты обозначений мы пишем ф (t) вместо
записываем его в координатах, полагая (p(t) = (%, t) для
где %<=N(H)/H.
Рассмотрим в Мя подпространство Q — ((N(H)/H)x@, 1])U
U (N (К)/К) с Мя которое, вообще говоря, не компактно. Поло-
Положим Q0 = N (K)/K czQ. Мы можем рассматривать Homeof (М„)
как подпространство функционального пространства (Q, Qoy1-O)cz
с=(Мя, G//C)'1-0». Заметим, что (N (H)(]N (K))/H = (JV (Я)/Я) П
On-1 (N(K)/(K). Далее, (N(H)(]N(K))/H обладает в N(Н)/Н
трубчатой окрестностью U (в качестве которой можно взять вокруг
этой орбиты линейную трубку для ((N (Н) (~) N (К))/'#)-действия на
N (Н)/Н левыми сдвигами). Очевидно, что имеются такая малая
трубчатая окрестность V и такая деформация F: (N (Н)/Н) х I ->
-+N(H)/H, что
F(x, 0) = x,
F (x, t) = х для х ф U,
F(x, t) = x для x?E(N(H)[]N(K))/H,
F(v, l)eE(N(H)f}N(K))/H для ueV.
Определим деформацию D: QxI->-Q равенствами
D(x, s, t) = (F(x, t), s) для xeiN(H)/H и
Тогда D индуцирует деформацию D': (Q, <?„)('• °'x I ->(<?, Qn)">0
функциональных пространств, именно, D' (i|j, 0 (s) = D (^ (s), 0-
Очевидно, что она ограничивается до деформации D^. Homeof (Mn) x
XI -> Homeof (Мл). Далее, для ф <= Homeof (Мя) положим g (ф) =
== sup {s>0 | 0 < t <s =} ф/ е V[. Тогда g, очевидно, есть полу-
полунепрерывная снизу положительная вещественнозначная функция на
метрическом пространстве Homeof (Мл). По теореме Даукера
(см. Дугунджн [1], с. 170) на Homeof (Мя) имеется такая
непрерывная функция /, что 0 < / (ф) •< ? (ф) для всех ф. В част-
частности, заметим, что для 0<s*S/ (ф) имеем Dl (ф, 1) (s) = D (q>(s), 1) ==
= (/7(ф„ 1), s)e=((N(H)r\N(K))/H)x{s].
Определим операцию умножения элемента х е Мя на число
г е I просто как операцию умножения отрезка I на число г и
подразумевая при г = 0 каноническую проекцию M^-^-G/K cz Мя.
Заметим, что (ириг = 0) это умножение не сохраняет подпро-
подпространства Q, и это основная причина для введения деформации Ь,.
В тех же, что и выше, обозначениях определим другую дефор-
деформацию D2: Homeof (Мл) xI-> Homeof (Мя), где
D Гш t)(s)J
aWl П> \ (s//(ср) f) ?>, (Ф.

238 гл. v. действия с небольшим числом орвитных типов
Тогда D2(cp, 0) = ?),(Ф, 1), D2((p, 1) (s) = (s//(q>)) ¦Dl (<р, 1)/(Ф) для
s«g/((p). Второе равенство означает, что (N (Я)/Я)-координата
постоянна, и для малых s она лежит в (N (Я) П А^ (К))/Н. По этой
причине мы можем устроить «деформацию Александера» D3:
Homeof (Мя) х I -»- Homeof (Мя), полагая
S) ДЛЯ гф\,
для ^=1.
Тогда О3(ф, 0) = О2(ф, 1), О3(ф, 1)(в) = (п(ф), s), где число
и (ф) е (/V (Я) П Л' (К))/Н не зависит от s.
Из последнего утверждения следует, чтоО3(ф, 1) лежит в под-
подгруппе (N (Я) П N (К))/Н группы Homeof (Мя). Теперь из Dlt D2
и Da можно склеить желаемую сильную деформационную ретракцию
пространства Нотео?(УИя) на подпространство (N (H)f\N(K))/H. Щ
Хотя мы считали Я подгруппой в К и л: G/H —*-G/K — кано-
канонической проекцией, можно (и удобно для формулировок и при-
приложений) освободиться от этого условия. Итак, предположим
теперь, что л: G/H -*-G/K — некоторое G-эквивариантное отобра-
отображение с произвольными Я и К- Тогда в силу 1.4.2 я имеет вид
n = Ro"H с некоторым a^G, определенным с точностью до эле-
элементов подгруппы К. Положим К'^а^Ка, К' гэ Я, и пусть
я' = R?' н — каноническая проекция. Так как диаграмма
**
коммутативна, то имеется G-эквивариантный гомеоморфизм Мя"*&
*=а Мя над !, приводящий к изоморфизму Homeof (М.-t') ^^
«=« Homeof (Мя). Этот изоморфизм отображает подгруппу (N (Я) (]
(]N(K'))/H на некоторую подгруппу S (я) группы Homeof (Мя),
являющуюся там деформационным ретрактом. На самом деле
очевидно, что группа
S (л) = (N (Я) П Л/ (К'))/Н = (М (Я) П а-1 N (К) а)/Н
действует на Мя посредством коммутативной диаграммы
GIH л~-^ G/K
G/H ---^з G/K
где neJVW)'iV(/O

4. ЛЕММЛ О ВЫПРЯМЛЕНИИ И ТЕОРЕМА О ТРУБКЕ 239
4.2. Теорема (о трубке). Пусть G —компактная группа Ли,
и пусть W есть G-пространство с пространством орбит \хВ,
где В — связное локально связное паракомпактное пространство,
имеющее гомотопический тип клеточного пространства. Предпо-
Предположим, что все точки из {0}хВ имеют орбитный тип G/K,
а точки из (О, 1]х В — орбитный тип G/H. Тогда имеются жви-
жвивариантное отображение л: G/H -+-G/K, единственное с точностью
до эквивалентности главное S-расслоение Х-+В (где S = S(n)), и
G-эквивариантный гомеоморфизм MnX$X^*W, коммутирующий
с каноническими проекциями на пространство 1хВ. Кроме того,
отображение <p = nxslx'- G/HXsX-*-G/Kxs X задает G-эквива-
риантный гомеоморфизм f: Мф -^ Мя X s X «=* W над 1хВ. (Таким
образом, если Wo и W^ — подпространства в В, лежащие соответ-
соответственно над {0} хВ и {1} х В, то имеются жвивариантное отобра-
отображение г|э: Wх -*- Wo и эквивалентность М^ ^~ W над I X В двух
G-пространств, продолжающая тождественные отображения про-
пространств Wo и Wv)
Доказательство. Для доказательства нам будет удобно
выбрать подгруппу Н а К некоторым специальным образом так,
чтобы в качестве я можно было взять каноническую проекцию.
С этой целью выберем точку 1»еВ,й пусть йёУ —точка, проек-
проектирующаяся в @, b) elxB — W*. Будем считать, что GW = K, и
пусть Л —срез в точке ше?. Выберем в качестве Н стацио-
стационарную подгруппу1) некоторой точки йе^. (Заметим, что так
как точку w можно менять, действуя на нее любым элементом
группы N (К), то мы можем свободно заменить Н любой под-
подгруппой, сопряженной с Н некоторым элементом группы iV (К)).
Если точка й'еЛ находится близко к точке а, то Ка' сопряжена
в К с подгруппой группы Ка = Н; но, так как Ка'~Яв группе G,
то Ка' ~ Н и в группе К. Это рассуждение показывает, что
группа Н «работает» для всех точек из В, близких к Ь. Так как
пространство В связно, то выбор точки b <ee В не влияет на
выбор группы Н. А4ы теперь фиксируем такую подгруппу На К,
и пусть я: G/H-^f-G/K — каноническая проекция.
Далее, можно выбрать срез А лежащим над множеством вида
[0, 2e]xU cz I хВ, где (У —связная окрестность точки b в множе-
множестве В. Над @,2е)хС/ /(-орбитный тип локально постоянен (как
было отмечено выше) и потому в силу линейной связности постоя-
постоянен. Следовательно, часть множества А, расположенная над
@, 2к) xU, есть /<7#-расслоение. Далее, U можно выбрать настолько
малой, что над \e\xU это расслоение будет тривиальным. А тогда
по теореме о накрывающей гомотопии оно будет тривиальным и
над @,2е) х U. Следовательно, это расслоение обладает таким
Для G-действия — Прим. пере*.

240 ГЛ. V ДЕЙСТВИЯ С НЕБОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОРВИТНЫХ ТИПОВ
лежащим в А сечением, стационарная подгруппа каждой точки
которого есть Н. Добавив к сечению часть множества А, лежа-
лежащую над {0}xU (которая в точности есть ЛК), мы получим такое
сечение пространства W над [0,2е) X U, стационарная группа
каждой точки которого есть либо Н, либо К. Ограничив это
сечение на [0, е]хО и применив теорему о накрывающей гомо-
топии к части пространства W, расположенной над [е, l]xU, мы,
наконец, получим такое сечение С пространства W над IxU,
что стационарная группа любой точки из С есть либо К, либо Н.
Рассмотрим композицию р: W ->¦ I x В -*¦ В. Очевидно, что
G-пространство MaxU имеет над IxU сечение такого же типа,
как построенное выше сечение для pl(U). В силу 1.3.4 канони-
каноническое отображение одного такого сечения в другое влечет экви-
эквивалентность Л!л xUf^-p'1 (U), коммутирующую с проекциями на
IxU (и с проекциями на U).
Отсюда следует, что р: W -*-В есть расслоение со слоем Мп и
структурной группой Т= Homeo? (Мя). Пусть Y —> В — возникаю-
возникающее из р главное Т-рясслоение, так что W я« Мя ХтУ и проекция
%W-*-lxB индуцирована каноническим отображением Мп-*-1
(т. е. она имеет вид МЯХ TY-*¦ I x TY ^ I хВ).
В силу 3.3 и леммы о выпрямлении 4.1 существует 5-редук-
ция X-+Y, где S = (N(H)pN(K))(H и Х-+ В -главное 5-рас-
слоение. Возникает индуцированный G-эквивариантный гомеомор-
гомеоморфизм MnXsX^-МлХ т Yp^W, коммутирующий с проекциями на
\ХВ.
Для доказательства оставшейся части теоремы заметим, что
5-действие на Мл сохраняет там структуру цилиндра отобра-
отображения. В частности, 5-действие коммутирует с проекцией л. Следо-
Следовательно, отображение ях1х^ G/HxX~>G/Kx.X эквивариантно
и индуцирует отображение <р = я х <,-1 х'- G/H XSX^>-G/KX $ X. Опре-
Определим G-эквивариантное отображение /: Му-*-М„х$Х полагая,
f([gH, x], t) = [(gH, t), х] при * =^ 0 и f{[gK, x]) = \gK, x] при
t — О. Над малым открытым множеством U с В это в точности
есть то очевидное отображение, которое переводит цилиндр МЛХ1и
(отображения nxlu' G/HxU-*-G/KxU) в MnxU. Далее, поло-
положив Р = (G/H х [0, 1 ]) + G/K (знаком + обозначено дизъюнктное
объединение), получим, что Мя несет фактортопологию, индуци-
индуцированную канонической проекцией Р-*-Мп. Далее, МЛх1и как
множество есть в точности Мя X U, но топология в нем есть фактор-
топология, индуцированная проекцией PxU->-MnxU, Используя
теперь то, что оба зти пространства хаусдорфовы и, кроме того,
Р компактно, легко получаем, что PxU-+¦ МяXО — замкнутое
отображение. Поэтому MnxU обладает фактортопологией, инду-
индуцированной проекцией PxU-vMaxU. Следовательно, ,
и потому / — гомеоморфизм. Щ

4. ЛЕММЛ О ПЫПРЯМЛЕНИИ И ТЕОРЕМА О ТРУБКЕ 241
Очевидно, что проекция л: G/H-+-G/K из 4.2 определена одно-
однозначно с точностью до эквивалентности (т. е. с точностью до ком-
композиции с эквивалентностями как области определения, так и
области значений) G-пространства №. Естественно спросить, на-
насколько однозначно определяется я орбитными типами G/H и G/K.
Можно показать, что во многих интересных случаях я опреде-
определяется однозначно с точностью до эквивалентности. Следующий
результат содержит некоторую полезную информацию об этом.
4.3. Предложение. Пусть Я и К —замкнутые подгруппы
компактной группы Ли G. Тогда имеется естественное взаимно
однозначное соответствие между классами эквивалентности экви-
вариантных отображений G/H-^-G/K и орбитами (N(H)/Hx
X iV (КIК)-действия на (G/K)". Имеется также взаимно однознач-
однозначное соответствие каждого из этих множеств с классами одновре-
одновременной сопряженности в G пар (Я\ К'), где Н' а К' и Н' сопря-
сопряжена с Н, а К' сопряжена с К.
Для Я cz К тогда и только тогда имеется в точности один
класс такой сопряженности, когда (G/K)H — (N (Я) N (К))/К. В част-
частности, это так, если N (Я) действует на (G/K)H транзитивно,
что всегда имеет место для связного (G/K)H.
Доказательство. Напомним, что Rf" н *—*¦ Ь~гК — взаимно
однозначное соответствие между Map0 (G/H, G/K) и (G/K)H (см.
гл. I, упражнение 12). Посредством композиции G-отображений
группа N (Н)/Н = Map0 (G/H, G/H) действует на Map0 (G/H, G/K)
справа, а группа N (К)/К — слева. Так как Ra'KRb' HRc'H =
= Rah" *—* cr^a^K, то возникающее (N (K)/KxN (Я)/Я)-действие
на Map0 (G/H, G/K) соответствует каноническому (Af (H)/H x
x N (К)IK)-действию на (G/K)H (где N (Н)/Н действует слева,
а N (К)/К —справа). Отсюда следует первое утверждение. Если
Н а К, то орбита еК этого действия на (G/K)H в точности есть
(N (Н) N (К))/К, откуда следует первая часть второго абзаца тео-
теоремы. Если множество (G/K)H связно, то N (Н) действует на нем
транзитивно в силу того, что такое действие всегда имеет лишь
конечное число орбитных типов, см. II.5.7.
Перейдем к соответствию с классами пар (Я', Д")- Сопоставим
каждой такой паре класс канонической проекции Re" : G/H'-+-
-vG/Д". В силу 1.4.2 так можно получить любое (с точностью
до эквивалентности) отображение1) G/H-+G/K. Если Н" — аН'сг1
и К" — аК'аг1, то диаграмма
G/H' ^ G/K'
Эквивариантное. — Прим. перев.

242 ГЛ. V. ДЕЙСТВИЯ С НЕБОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОРБИТНЫХ ТИПО8
коммутативна, так что две проекции Re эквивалентны между
собой. Обратно, если пары (Я", К") и (Я', К') приводят к экви-
эквивалентным отображениям, то имеются такие элементы a, b e G,
что диаграмма
G/H' ^ G/K'
G/H" —е- G/K"
коммутативна. Но тогда Ra'H —R^1, и потому в силу 1.4.2
найдется такой ^ е /(", что b — ka. Таким образом, Н' — сгхН"а
и K' = b-Wb = a-1k-Wka = a-1K"a, так что (Я', К') и (Я", К")—
одновременно сопряженные пары. §§
В дальнейшем для нас будет наиболее интересен случай, когда
G с= О (п), К = G П О (п — 1), Я = G П О (п — 2) и G действует на S"-1
транзитивно. В этом случае (G/K)H = (S"-1I1 есть сфера, содер-
содержащая (S"-1H <" —2> = SJ. Следовательно, множество (G/K)ff связно,
так что в этом случае имеется единственное с точностью до экви-
эквивалентности эквивариантное отображение G/~H -*-G/K.
5. Классификация действий с двумя орбитными типами
Пусть X— данное (паракомпактное) многообразие с краем В.
Пусть G — компактная группа Ли и Не. К —ее замкнутые под-
подгруппы. Предположим, что на X имеется орбитная структура,
сопоставляющая орбиты типа G/K точкам множества В а X и
орбиты типа G/H — точкам множества Х — В. В этом параграфе
мы классифицируем G-пространства W над X, т. е. классифици-
классифицируем G-пространства W с данным сохраняющим орбитную струк-
структуру гомеоморфизмом W/G—-X. Разумеется, классифицируем мы
такие действия с точностью до эквивалентности над X.
Заметим, что W здесь не предполагается многообразием. Хотя
наше исследование ограничивается в основном случаем локально
гладкого действия на многообразии W, это предположение не
упрощает изложение (см. замечания к примеру 5.2).
По теореме о кромке, мы можем представить X как объеди-
объединение X, U ([0, 2] X В) множеств, пересечение которых есть {2}хВ;
при этом {0} х В отождествляется с В. Положим Хх --- Хг (J ([ 1, 2] х В),
так что Х = Хх U ([0, 1] хВ). (Отрезок [1,2] будет использован
ниже для описания гомотопии.) Положим В1 = {1}хВ.
Пусть W — некоторое G-пространстпо над X, и п: W -> X —
данная проекция. Тогда р^В-^В есть б/К-расслоение со струк-
структурной группой /V (К)/К. Обозначим это расслоение буквой а
(от слова «сингулярный»). Аналогично р~гХх ->• X, есть G/Я-рас-
слоение со структурной группой JV (Н)/Н, обозначаемое буквой р
(от слова «регулярный»). По теореме 4.2 о трубке имеются экви-

Б. ДЕЙСТВИЯ С ДВУМЯ ОРБИТНЫМИ ТИПАМИ 243
вариантное отображение -ф: р~1 (Ву)-+- р-1 (В) пал, В и такая экви-
эквивалентность МфЯ^р'1 (I хВ) над IxB, которая продолжает кано-
каноническое отождествление верхнего основания цилиндра /W,t с p~i(Bl)
(и аналогично для нижнего основания). Таким образом, W экви-
эквивалентно над X объединению тотального пространства Е (р) =
=/?"' (А',) расслоения р с цилиндром М$ эквивариантного отобра-
отображения г|?: Е (р : Вх) = р~х (В^)-+ р-1 (В) = Е (а) над В. (В этом пара-
параграфе мы обозначаем тотальное пространство расслоения о через
Е (о), и т. д.)
Итак, с точностью до эквивалентности любое такое G-прост-
ранство W над X можно построить следующим образом: зададим
G/Я-расслоение р над Xu G//(-расслоение а над В и эквивариант-
ное отображение г|х Е (р | Вх)-*-Е (о) над В. Построим W как
факторпространство объединения E(p){JM$ по отождествлению
подпространства Е (р | В,) из Е (р) с верхним основанием ци-
цилиндра Мф.
Обозначим через Map0(pi В,, а) множество всех эквивариант-
ных отображений т|): Е (р ] Вх)-+Е (о) чад В. С учетом гого, что
Map0 (G/Я, G/K)^(G/K)", из 11.2.8 следует, что имеется расслое-
расслоение p. = MapG (р | Вх, а) (зависящее от р j В, ист) над В со слоем
(G/K)" и структурной группой N (Н)/Н X N (К)/К, при этом имеется
каноническое взаимно однозначное соответствие Mapff(p|fij, <r) *-¦
«-* Г (р.) между эквивариантными отображениями над В и сече-
сечениями расслоения \ь. Кроме того, как показывает замечание
после II.2.8, эквивариантные гомотопии между отображениями
соответствуют гомотопиям между сечениями. Поэтому множество
л0Г (ц) гомотопических классов сечений расслоения ц находится
во взаимно однозначном соответствии с множеством классов экви-
вариантной гомотопности над В отображений Е (р | Bj) -> Е (о)
над В.
Итак, мы показали, как по данным расслоениям р и о (опре-
(определяющим расслоение jx) и сечению чр е Г (\х) построить G-прост-
ранство W (р, ст, ijj) над X. Покажем теперь, что с точностью до
эквивалентности W определяется лишь гомотопическим классом
[¦ф| е тт0Г (р.) сечения г|).
Пусть г|H и ijI — эквивариантно гомотопные отображения, и
пусть F: E (p J Bt) x I —*-Е (о) — соответствующая гомотопия над В.
Положим F' (х, t) = (F (л-, t),t), так что F': Е (р ! В,) X I -> ? (о) X I —
эквивариантное отображение над Bxl. Тогда У = (? (р) X I) U Мр-
есть G-пространство над Хх\ с орбитой структурой, индуциро-
индуцированной проекцией на X. Но часть пространства К, лежащая над
Хх{0}, в точности есть W (р, о, г|'„), а часть над Хх{1} есть
W (p, a, tf>i). Следовательно, они эквивалентны по теореме Пале
о накрывающей гомотопии, см. 11.7.1.
Имеются и другие очевидные избытки в задании данных
(р, а, -ф). Действительно, пусть q>: Е (р) -> Е (р) — автоэквивалент-

244 гл. v. действия с небольшим числом орбитных типов
ность над X и 8: Е (а) ->¦ Е (о) — автоэквивалентность над В. Тогда
коммутативность диаграммы
где ф' есть ограничение отображения ср на Е (р ¦ #,), влечет экви-
эквивалентность МЧ'т1-{) —-¦ My, и склеивание этих пространств по экви-
эквивалентности ф: Е (р) -у Е (р) индуцирует эквивалентность W (р, а,
ф'грв) -^. W (р, а, г))) G-пространств над X.
Примечание. Здесь мы считали, что композиция ф'-фО дей-
действует так: сначала ф', потом i|), потом 0 (т. е. так, как было бы,
если писать отображения справа от аргумента). Это не соответ-
соответствует нашим обычным соглашениям, и мы извиняемся за это
перед читателем. Причина этого состоит в том, что эквивариант-
ное отображение G/H -+-G/K и др. являются правыми сдвигами.
Если мы не будем пользоваться этим соглашением, то может воз-
возникнуть путаница.
Итак, имеется композиционное действие
в: Map0 (р, р) х Map0 (p j Вио)хMap0 (а, о) -*¦ Map0 (p | Вх, а).
В силу П.2.8 эквивариантным отображениям отвечают сече-
сечения расслоений, что приводит к отображению
в: Т(Мара(р, р))хТ(и)хТ(Мара(а, а))-»-Г(ц);
при этом для слоев в соответствует обычному действию
N (Н)/Н х (G/K)" х N (КIК -> (G/K)H.
Описанное действие на Г (ц) индуцирует действие на тт0Г (ц), и
так как при действии на отображение гомотопными элементами
получим гомотопные отображения, то имеем действие
60: я„Г (Марс (р, р))Хл0Г (а) хя0Г (Мар° (о, а))->я0Г(ц).
Для гомотопического класса [г|)] е л0Г (\i) отображения г|з е (f)
через [г|)]* будет обозначаться орбита элемента [ij>] при действии в0.
Мы показали, что, с точностью до эквивалентности над X,
W (p, a, ty) зависит лишь от р, а и \ty]*. Итак, мы можем обозна-
обозначать через W (р, о, [г|э]*) соответствующий класс эквивалентности
G-пространств над X.
Замечание. Ясно, что замена расслоений ршо эквивалент-
эквивалентными расслоениями каноническим образом индуцирует новые ц
и в0. Следовательно, зависимость G-пространства W (р, о, [t|)]*)
от р и а по сути дела есть зависимость лишь от классов (G-экви-

5. ДЕЙСТВИЯ С ДВУМЯ ОРБИТНЫМИ ТИПАМИ 245
вариантной) эквивалентности [р] и [а] расслоений р и а над Хг
и В соответственно. Кроме того, так как главное расслоение,
соответствующее G/Я-расслоению р, получается просто переходом
к множеству неподвижных точек Я-действия на X (в силу 11.5.11)'),
мы можем рассматривать [р] как класс эквивалентности соответ-
соответствующих главных N (Я)/Я-расслоений или, в силу теоремы клас-
классификации расслоений, как гомотопический класс [р]е [Xlt В,\{нун],
где Bn(H)/h — классифицирующее пространство группы N (Н)/Н.
(Заметим также, что вместо Xj здесь можно брать X, так как
при желании р можно рассматривать как расслоение над X.)
Аналогично можно интерпретировать а как гомотопический
класс [о] <= [В, BN (.К)/К].
5.1. Теорема (первая теорема классификации). Пусть даны
регулярное расслоение2) р и сингулярное расслоение2) а. Тогда
сопоставление [ij)|*i—*¦ W (р, о[^]*) устанавливает взаимно одно-
однозначное соответствие между множеством орбит &0-действия на
я„Г (\х) (где \x=MapG{p \ В,, а)) и множеством классов эквивалент-
эквивалентности над X G-пространств над X с данными регулярным и
сингулярным расслоениями.
Доказательство. Для начала заметим, что вполне может
случиться так, что для данных р и а расслоение \i не допускает
сечения. Это означает просто, что р и а несовместны в том смысле,
что над X не существует G-пространств с данными регулярным
и сингулярным расслоениями.
Выше мы уже доказали, что фигурирующее в формулировке
соответствие корректно определено и сюръективно. Поэтому
осталось доказать, что если W (р, а, ty) и W (р, а, ф) эквива-
эквивалентны над X, то [if]* = [q>]*. Итак, пусть имеется эквивариант-
ное отображение /: Е (р) (J М^-+Е (р) U Л1Ф над X (являющееся,
следовательно, эквивалентностью G-пространств), где <р, i|): E (p,Sx)—>-
->?(а) суть G-эквивариантные отображения над В.
Для любой точки ЬеВ часть цилиндра М$, лежащая над
lx{b\, эквивалентна как G-пространство над 1 цилиндру Мп неко-
некоторого -жвивариантного отображения я: G/H-+-G/K. (На самом
деле, заменив при необходимости Я и К сопряженными им под-
подгруппами, можно считать я канонической проекцией.) Так как /
есть эквивалентность части цилиндра Мф лежащей над 1х{6},
с частью цилиндра УИФ, лежащей над lx{b}, то последняя также
эквивалентна цилиндру Мл. Следовательно, и М^, и Мф можно
рассматривать как Мл-расслоения над В со структурной группой
S = S(n). (Здесь использованы обозначения § 4, т. е. S = (N (Я) Л
f\N(K))/H, если считать я канонической проекцией.)
1) А также II.5.10. — Прим. перев.
2) То есть расслоение над X (или над Х^. — Прим. перев,
3) То есть расслоение над В.—Прим. перев.

246 ГЛ. V. ДЕЙСТВИЯ С НЕБОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОРБИТНЫХ ТИПОВ
Так как ограничение /': М$-> Mtf отображения / есть экви-
эквивалентность G-пространств над Bxl, то она является Г-эквива-
лентностыо (в терминологии § 3), где Т = Homeof (Мл). Из 3.3 и
4.1 следует, что /' гомотопно в классе Т-эквивалешпностей неко-
некоторой S-эквивалентности/!: М^-ь-Му. Обозначим через F: 1х.Мф->
-*-Мф эту гомотопию, так что F (О, x) = f'(x) и F(l, x) = f[(x).
Но 7-эквивалентность обязательно G-эквивариантна, поэтому F
есть эквивариантная гомотопия. Далее, расслоения р|([1, 2]хВ)
и [1, 2J X (р | В,) эквивалентны. Используя этот факт и рассмат-
рассматривая р j В, как верхнее основание цилиндра М$, определим
F': [1,2]хЕ(р\В1)-+[1,2\хЕ(р' BJ- формулой F' (t, x) = (t,
FB — t, х)). Тогда F' можно рассматривать как автоэквивалент-
автоэквивалентность пространства ? (р ¦ ([1, 2] хВ)) над [1,2)хВ, совпадающую
с / (а также с /') над |2}хВ и совпадающую с f\ над {1}хВ.
Склеивая отображения / над X — Х.г, F' над [1,2]хВ и f\ над
[О, 1] х В, получим эквивалентность Е (р) (J Мф ¦-- Е (р) (J 7ИФ, иро-
должающую 5-эквивалентность f[: Мф->/Иф.
Отсюда следует, что мы с самого начала могли считать огра-
ограничение /': Мф-^-Мф отображения / S-эквивалентностью. Но
тогда, как легко видеть, /' есть отображение цилиндров отобра-
отображений, индуцированное коммутативной диаграммой
(Коммутативность диаграммы следует из того, что /' есть 5-экви-
5-эквивалентность; основной момент состоит в том, что S сохраняет на
слоях структуру цилиндра отображения.) Отсюда следует, что ф
и -ф лежат в одной и той же орбите действия в и, следовательно,
что [ф]* = Гф]*. 1
Замечание. Как показывает доказательство, если ф, гр:
Е (р I Bt) -*- Е (а) — эквивариантно гомотопные (и, следовательно,
приводящие к эквивалентным G-пространствам) отображения, то
они лежат в одной и той же орбите действия в. Следовательно,
Ф получается из а|) композицией с автоэквивалентностями про-
пространств Е (р) и Е (а). На самом деле можно показать, что экви-
эквивариантно гомотопные отображения ф и гр отличаются друг от
друга лишь автоэквивалентностью пространства Е (р). Это сле-
следует из того (см. II.5.7), что каждая компонента множества (G/K)"
лежит в некоторой (N (#)/#)-орбите.
Теперь мы применим теорему к некоторым специфическим
примерам.
5.2. Пример. Пусть (G, К, Н) = (\]{п), U(n-l), U(« —2)).
Заметим, что данные орбитные типы имеет диагональное U (/?)-
действие на S4"'1 сгСхС"» и его пространство орбит есть диск D3

S. ЯЁПСТВИЯ С ДВУМЯ ОРБИТНЫМИ ТИПАМИ 247
с краем S-, в точности сосгоящим из особых орбит U (n)/U(n— 1)«=*
«iS2" (что читатель может проверить сам, ср. § 7 гл. I).
Рассмотрим теперь некоторое G-пространство W над D3 с дан-
данной орбитной структурой. В силу 4.3 имеется единственное с точ-
точностью до эквивалентности эквивариантное отображение
я: U(n)/U(n-2)-»-U(n)/U(/i-l),
Если я —каноническая проекция, то Мя — линейная (замкнутая)
трубка вокруг орбиты U (n)/U (п-~ 1). Отсюда следует, что любое
такое G-пространство W является D/г — 1)-мерным многообразием
с локально гладким G-действием. Очевидно, что N (Н)/Н «« U B)
и что N(K)/K^ U A)^SJ. Далее, множество [D3, Вщ?)} содер-
содержит ровно один элемент [р]. Кроме того, элемент [a] =[S2, Bv (п] «=s
^Я2E2; я1 (S1)) «и Я2 (S2; Z)^Z характеризуется своим классом
Чженяс1[0] = [о!,= Я2(82; Z)^Z. Так как (U(ft)/U(/i-1))и<"-2> =
==(S2«-i)U(,i-2) = S3) то ^ = д,{црс? (р | S2> ff) есть некоторое S3-pac-
слоение над S2 (при любом выборе расслоения а). В силу тео-
теории препятствий имеется взаимно однозначное соответствие
я0Г (fi) «-» Я2 (S2; ^2(S3)) = 0. Следовательно, каждое такое U (п)-
пространство W над D3 полностью определяется характеристи-
характеристическим классом с, (о) главного S1-расслоения, соответствующего
(U (и)/U (п— 1))-расслоению а из особых орбит над S2. Далее,
пусть 7' = {diag(l, г2, ..., г„) — U (п)\ — максимальный тор группы
U (« - 1); тогда (U (н)/и (л - 2))г - ф, (U (n)/U (n - 1))г -
-= (U(rt)/U(rt-l))u<«-') = S1. Следовательно, WT ~>S2 в точности
есть главное 51-расслоенне, соответствующее расслоению а. Так
как с± (о) — дилеров класс этого S'-расслоения над S2, то
из точности последовательности Гизина следует, что Я2(№г; Z) --
= Zft, где ^ =! Ci (a) . Следовательно, U^r есть трехмерная гомо-
гомологическая сфера (и, следовательно, настоящая сфера)') тогда
и только тогда, когда cl(a) =±1. Поэтому, если W — гомологиче-
гомологическая сфера, то WT —тоже гомологическая сфера в силу III.10.2
и, следовательно, ^(^ = ±1. Далее, пусть/: D3-> D3 — отраже-
отражение диска D3 относительно диска D2. Тогда возникает расслоен-
расслоенное произведение
D3 -L D3
Очевидно, что инвариант [cr] = ct (а) пространства f* (W) равен
взятому с противоположным знаком соответствующему инварианту
G-пространства W.
1) Так как имеется главное Si-расслоение W -» S2. — Прим. перев.

248
ГЛ. V ДЕПСТПВД С HI-ВОЛЫШЩ ЧИСЛОМ ОРППТНЫХ ТИПОВ
Следовательно, с точностью до отражения диска D3 любое
такое U (п)-действие на гомологической сфере в точности есть
линейное действие, описанное выше.
Аналогично изложенному, любое Sp (га)-действие над D5 со
стационарными типами Sp(ra—1) и Sp(n — 2) полностью описы-
описывается характеристическим классом [o-]e#4(S*; n3(S3))^Z глав-
главного 53-расслоения над S4, соответствующего расслоению из осо-
особых орбит. Опять-таки, с точностью до отражения диска D5
имеется лишь одно такое действие на гомологической сфере, и
это есть диагональное Sp (л)-действие на S8n~l а И" X И" (удвоен-
(удвоенное стандартное представление группы Sp(«)).
Замечание. Аналогичный примеру 5.2 случай О (^-дей-
(^-действия над D2 со стационарными типами О(п— 1) и О(п — 2) более
интересен для нас, так как он включает в себя экзотические при-
примеры § 7 гл. I. Однако более удобно рассмотреть этот случай
с другой точки зрения, что мы и сделаем в §§ 6 и 7. Несмотря
на это, интересно проанализировать и этот случай с изложенной
точки зрения, так как при этом хорошо проявляется роль дей-
действия 0О на л0Г (ji), и мы приглашаем читателя сделать это.
Упражнение 1 дает другой пример ситуации, в которой действие 60
играет важную роль.
Замечание. Если множество В не связно, то в доказатель-
доказательстве теоремы 5.1 необходимо выбирать для каждой компоненты
из В свою проекцию я: GjH-^>-GlK. Формулировка теоремы 5.1
от этого, однако, не меняется. Более того, нет необходимости
даже в том, чтобы все компоненты из В имели один и тот же
орбитный тип, т. е. для разных компонент из В подгруппы К,
могут быть различными (несопряженными). Изменения, которые
при этом необходимо ввести в доказательство, очевидны. Тео-
Теорема 5.1 обобщается и на этот случай, если ее (очевидным обра-
образом) правильно переформулировать.
6. Вторая теорема классификации
В формулировке теоремы классификации 5.1 в явном виде
участвует сингулярное расслоение а. Иногда это удобно, в част-
частности, в примерах (подобных 5.2), где о несет полную или почти
полную требуемую информацию. В других случаях, однако,
использование такой теоремы затруднительно. В этом параграфе
мы докажем вторую теорему классификации, в формулировке
которой не участвует сингулярное расслоение, но которая имеет
свои преимущества; в частности, для стягиваемого пространства X
она приобретает очень простой вид.
Мы сохраняем обозначения § 5. В частности, группы Н с
cKczG раз и навсегда фиксированы. Многообразие X имеет
край В, и орбитная структура на X та же, что в § 5.

6. ВТОРАЯ ТЕОРЕМА КЛАССИФИКАЦИИ 249
Сначала обсудим необходимый для дальнейшего технический
момент. Пусть У — некоторое G-пространство над X с проекцией
р: У-*-Х. Тогда для любой компоненты Bt края В проекция
р-1 (I х В{) ->-В1 есть Мя-расслоение, где я: G/H —>-G/K — некото-
некоторое (зависящее от ;) эквивариантное отображение; этот факт сле-
следует из теоремы 4.2 о трубке. Такое отображение я определено
лишь с точностью до автоэквивалентностей пространств G/H и
G//C; иными словами, с точностью до соответствующей ему
(в силу 4.3) орбиты (N (H)/HxN (Ю/КПействшя на (G/KI'. Назо-
Назовем G-пространство У собственным (относительно Н и К), если
(для любого i) отображение я можно сделать канонической про-
проекцией G/H-+-G/K. В силу 4.3, если (G/K)H связно, то все G-npo-
странства над X собственные, и это будет выполняться во всех
случаях, с которыми мы будем иметь дело. Если В связно, то К
можно заменить такой сопряженной подгруппой, что данное Y
станет собственным относительно новой пары (Н, К), но одно-
одновременно для всех Y этого сделать нельзя.
Если В не является связным, то можно считать К переменной
подгруппой, разной для разных компонент; понятие собственного
пространства обобщается на этот случай очевидным образом. Так
как мы не нуждаемся в таком обобщении, то мы не будем этого
делать, чтобы не вводить запутывающих обозначений, однако
будет ясно, как сделать соответствующую модификацию.
Рассмотрение только собственных G-пространств Y над X равно-
равносильно, в терминологии Ениха [1], рассмотрению тонких орбит-
ных структур на X. Заметим также (из доказательства 4.2), что
У есть собственное G-пространство над X тогда и только тогда,
когда для некоторой точки г/.е У, стационарная подгруппа кото-
которой Gu есть К, группа Я является стационарной группой дей-
действия группы К на срезе в точке у (над каждой компонентой
пространства В).
В дальнейшем изложении в этой главе через я: G/H-+-G/K
будем обозначать каноническую проекцию. Положим также
S = (N(H)f\N(K))/H и N = N(H)/H.
Пусть У — собственное G-пространство над X с проекцией р: У->Х.
Пусть р —то же G/Я-расслоение р~1Х1->-Х1, что в § 5. Для даль-
дальнейшего будет удобно ввести в рассмотрение главные расслоения.
Пусть Р -> Xj — главное yV-расслоение, ассоциированное с расслое-
расслоением р. Таким образом, мы имеем эквивалентность
h: G/HxN Р^-р'1Х1
G-пространств над X,. В силу теоремы о трубке 4.2 и предполо-
предположения о собстшчшости У существуют главное S-расслосние Q-+B
и эквивалентhociь k': Мл х5 Q —• р ! (I xВ) G-пространств над I x В.

250 ГЛ. V. ДЕЙСТВИЯ С НЕБОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОРБИТНЫХ ТИПОВ
Так как G/H можно рассматривать как верхнее основание ци-
цилиндра М„, то k' сводится к эквивалентности k: G/HXsQ *-Р (S)
G-пространств над Вг. Обозначим через Р1 часть пространства Р,
лежащую над В cz Х%. Тогда
/' = /г-^: G/HxsQ-^G/HxNPl
представляет собой G-эквивариантное отображение (эквивалент-
(эквивалентность) над Вх. Согласно 3.2 /' единственным образом соответст-
соответствует S-редукции /: Q—*-P\ расслоения Pt к расслоению Q. Итак,
G-лространство Y, с точностью до эквивалентности над X, можно
построить следующим образом.
Пусть задано G/Я-расслоение р над Хг, ассоциированное
с главным JV-расслоением Р-*-Х1. Пусть также дана S-редукция
(Q, /) пространства Рг (части пространства Р над BJ. Этому
соответствует G-эквивариантное отображение
над Вг. Теперь можно построить (собственное) G-пространство
Y(p, (Q, f)) = {MKxsQ)[)f(G;HxNP)
над X.
Очевидно, что если 5-редукцию (Q, /) изменить при помощи
эквивалентности, то Y (p, (Q, /)) заменится эквивалентным G-npo-
странством над X.
Предположим теперь, что <peMapG(p, р). [Заметим, что это
единственным образом соответствует (например, согласно 3.2)
автоэквивалентности Р-+-Р главных ./V-расслоений над Хи кото-
которую мы будем по-прежнему обозначать через ф.] Если ср,: Р,-+•
—>- Р — ограничение отображения ср, то склеивание тождественного
отображения на MjtXsQ и ф на G/HXnP, очевидно, порождает
эквивалентность
К(р, (Q, f))^Y(p, (Q, /ф1))
(здесь, как в § 5, композиция /гр, действует слева направо).
Заметим, что S N = (N (H)(]N (К)) N (Н), и вспомним, что
согласно 3.1 S-редукция (Q, /) задает сечение теГ(т|'В,), где ц
есть (S\УУ)-расслоение, ассоциированное с р. (Итак, тотальное
пространство расслоения т) есть (S N)xNP.) Кроме того, т зави-
зависит только от класса эквивалентности редукции (Q, /). Компози-
Композиция сечения т с ограничением ф, отображения ф определяет дей-
стьие
Ф: Г(т1|В1)хМар«(р, Р)^Г(г1;В1).
Если рассматривать элементы из Map'7 (р, р) как сечения расслое-
расслоения Мар°(р, р) со слоем N — N (Н)/Н, то
Ф: Г От, BJ х Map''' (р, р) -+ Г (ц , В,)

6. ВТОРЛЯ ТПОРПМЛ КЛАССИФИКАЦИИ 251
послойно представляет собой в точности каноническое действие
правыми сдвигами S N xN-*-S .N.
На основании замечания перед теоремой 3.2 гомотопия сече-
сечения т индуцируется S-эквивариантной гомотопией Qxl-^P^ ото-
отображения /, т. е. G-эквивариантной гомотопией
(G/HxsQ)xl-»G/HxNPl
отображения /' над Вх. Легко видеть, почти так же, как и в до-
доказательстве 5.1, что это изменение отображения /' изменяет
Y (P> (Q> /)) только внутри класса эквивалентности над X (это
же можно заметить, если показать, что гомотопные сечения рас-
расслоения г] В, лежат в одной и той же орбите действия Ф). Обо-
Обозначим индуцированное действием Ф действие на гомотопических
классах через Фо: я„Г (ц Бх) хя0Г (Марс(р, р))->-я0Г (rj \Вг). Итак,
мы показали, что Y (р, (Q, /)) с точностью до эквивалентности
над X зависит лишь от р и от орбиты [т.]*, где т е я0Г (т) j В,)
есть сечение, соответствующее S-редукции (Q, /) при действии Фп.
Пусть ^(р, т*) —класс эквивалентности G-пространств над X.
(Как и в § 5, эквивалентность между р и р' индуцирует канони-
каноническую эквивалентность между соответствующими г|, Фо и [т]*,
так что важен лишь гомотопический класс [р]е[Хь Bx].
Предположим теперь, что Y (р, (Qo, /„)) и Y(p, (Q,, /,)) экви-
эквивалентны над X посредством отображения
(Мя х s Qo) U ф/Н х кР) " (Мя х s <?х) U ,1@/Н х NP),
которое, как и в доказательстве теоремы 5.1, может быть выбрано
S-зквивалентностыо над IxB. Если ср — его ограничение на
G/HXa'P, а г)) —его ограничение вида G/HxsQ0-^GjHXsQu T0
имеем коммутативную диаграмму
/о А
G/Н>;АР-*- G/HхкР
Следовательно, S-редукции (Qlt /,) и (Qo, /ocp) эквивалентны. Сле-
Следовательно, сечения т0 и т, расслоения грВ,, соответствующие
этим редукциям, лежат в одной и той же орбите действия Ф.
Итак, мы доказали следующую теорему.
6.1. Теорема (вторая теорема классификации). Пусть даны
замкнутые подгруппы Й с К группы G, u пусть пространство X
такое же, как и выше. Пусть дано регулярное расслоение р (т. е.
G/Н'-расслоение над X со структурной группой N (Н)/Н), пусть
ц — ассоциированное с ним расслоение со слоем (N (Н) П Л/" (К)) N (Н),
и пусть Фо — вышеопределенное действие группы я„Г (MapG (p, р)
на я0Г(т)!В,). Тогда сопоставление \х]* \—-Y(p, fxj*) устанавли-
устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством

252 ГЛ. V. ДЕЙСТВИЯ С НЕБОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОРБИТНЫХ ТИПОВ
я0 Г (ц I Лх)/Ф0 и множеством классов эквивалентности над X
собственных G-пространств над X, имеющих в качестве регуляр-
регулярного расслоения данное расслоение р. Щ
Замечание. Теоремы, аналогичные теореме 6.1, доказаны
у Ениха [1] и братьев Сян [4] в случае (более простом) диф-
дифференцируемого действия. Читатель может обнаружить в этих
статьях (особенно в последней) некоторые неточности. Например,
в работе братьев Сян элемент [т] е я0Г (ц \ Вг) называется «скру-
«скручивающим инвариантом», и используется так, как если бы он
действительно был инвариантом, хотя на самом деле это не так.
Сильный вариант теоремы 6.1 в гладком случае будет доказан
в § 6 гл. VI.
Теорема 6.1 приобретает довольно простой вид (обнаруженный
Енихом) для стягиваемого пространства X. В этом случае р есть
тривиальное расслоение (и его тривиализация по существу един-
единственна), а следовательно, таковы же расслоения ц и t||5j. По-
Поэтому я0Г (л ifi,)=[5i, (N(H)[)N(K)),N(H)l Кроме того MapG(p, p)
является тривиальным N (Я)/Я-расслоением над Xt, и любое
отображение Х1->Л^(Я)/Я гомотопно постоянному отображению,
поэтому
я0Г (MapG (p, р)) «а я0 (N (Н)/Н),
где справа стоит группа компонент линейной связности простран-
пространства N (Н)/Н (т. е. факторгруппа группы N (Н)/Н по ее единич-
единичной компоненте). Действие Фо, очевидно, индуцируется дейст-
действием правыми сдвигами группы N — N (Н)/Н на S\H = (N(H)(]
f]N (K))\N (H). Итак, имеем следующий результат.
6.2. Следствие. В условиях теоремы 6.1 и при стягиваемом
X множество классов эквивалентности собственных G-пространств
над X находится во взаимно однозначном соответствии с множе-
множеством.
[В, (N (H)[\N (K))\N (H)]/no(N (Н)/Н). Щ
6.3. Пример. Пусть (G, К, Н) = (О(п), О(п-1), О (л-2))
и X = D2.
В силу 4.3 любое такое действие над D2 является собствен-
собственным и, очевидно, является локально гладким действием на неко-
некотором Bп — 1)-мерном многообразии. Тогда N = N (Н)/Н «=: О B) и
S = (N (H)(}N(K))/H^О (l)xO(l)^Z2@Zo. Таким образом,
S\N — UP1 ^ S1 с обычным О B)-действием. Заметим, что под-
подгруппа 0A) с: О B) действует на S1 отражением. Поэтому группа
no(N)^Z2 действует на [S\ S\N]f^[Sl, SX]?=«Z, переводя т
в —т. Следовательно, [S1, S\N]/no(N) есть множество Z+ неот-
неотрицательных целых чисел. Примером рассматриваемых действий
над D2 является О (я)-действие на H2kn~l, описанное в § 7 гл. I,
и мы покажем, что соответствующий инвариант этого действия

6. ВТОРАЯ ТЕОРЕМА КЛАССИФИКАЦИИ 253
на 2|"—' со значением в Z1" в точности есть \k\. Другой метод
доказательства того, что О (л)-действия на 2|л~' исчерпывают
все такие действия над D2, мы дадим в § 7. Разумеется, наш
инвариант можно вычислить непосредственно, используя явное
описание действия, однако мы предпочитаем следующий обходной
путь. Пусть Y\n~x —фиксированное О(л)-пространство с данным
инвариантом ?eZ+ = [S\ S\N]/no(N). Рассмотрим множество
неподвижных точек F(O(n — 2), Y'in~l). Имеем 0B)х0(л •—2) cr
с: О (п), и сомножитель О B) можно рассматривать как N (H)/H.
Аналогично 0A)х0A)х0(л~2)с0(я), и ОA)хОA) можно
рассматривать как (N (Н) П N (К))/Н — S. Очевидно, что О B) дей-
действует транзитивно как на F(O(n — 2), О (п)/О (п — 2)), так и на
F(O(«-2), O(n)/O(rt-1)) и потому F{O(n), Yln~1)jO(n-2)
канонически отождествляется с Yln~~l/O(n). Кроме того, оче-
очевидно, что лежащий в множестве [S1, (О A)хОA))\О B)]/л0@ B))
инвариант О B)-действия на F(O(n— 2), Yfl~1) в точности есть k.
Итак, отсюда следует, что имеет место эквивалентность К^яа
f^F{O{n — 2), Yf~V) О B)-пространств над D2. Так как имеется
также эквивалентность S|«^F(O (« —2), SI""), то достаточно
ограничиться лишь случаем п — 2.
Для &>0 рассмотрим отображение fk: D2->-D2 вида /*(г) = г*.
Имеется диаграмма
D2 -k- D2
2л—1
и лежащий в [S1, S\N]/n0 (N) инвариант О (/г)-пространства fkYj
есть, очевидно, jk. Следовательно, имеем эквивалентность /;
f^Yfr1 О (п)-пространств над D2. В частности, f'kY\n "l ^ Y2kn~\
Заметим, что fk в точности есть проекция на пространство орбит
действия группы Z* на диске D2. Следовательно, пространство
Yf~x^fkY'\n~x несет (Z/гХО (п))-действие и, кроме того, сомно-
сомножитель Z* оставляет неподвижной орбиту О(«)/О(« — 2) над нулем
О е D2 и действует свободно вне этой орбиты. Для п = 2 это мно-
множество неподвижных точек Z/гДействия (и действия любой нетри-
нетривиальной подгруппы из Zft) есть О B) == S1 + S1. По теореме Смита
III.7.11 пространство Y% не может быть сферой при кф\. Итак,
диагональное линейное О B)-действие на S3 <= R2 ф R2 должно
быть эквивалентно О B)-действию на Y\ (напомним, что 2* тоже
есть линейное О B)-пространство). На многообразии S3czCx(D
данное линейное ОB)-действие порождается 8ОB)-действием z(s, t) =

254 ГЛ. V. ДЕЙСТВИЯ С. НЕВОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОРБИТНЫХ ТИПОВ
= (?s, zt), где 2eS' = SOB), и О A)-действием, которое задается
инволюцией (s, t)>—*¦ (s, i). Замена координат
u = (s-it)IV2, w = ( +H)lV2
преобразует это действие в действие, у которого в^действие то
же самое, а О A)-действие задается инволюцией (и, v)t—*-(v, a).
В этих координатах окружности « = 0 и о = 0 образуют (вместе)
главную орбиту О B)-действпя, и мы можем считать, что эта
орбита соответствует нулю 0 s D2.
Далее, линзовое пространство Lft = L (k, 1) представляет собой
факториространетво S3/Zft, где Ъь — подгруппа группы S1, дей-
действующей вышеупомянутым образом. Пусть \и, v] обозначает
точку пространства Lk, которая является Zft-орбитой точки
(и, о) s S:i. Так как Ъъ — нормальный делитель в 0B), то суще-
существует индуцированное (О B)/2*)-действие на пространстве Lk.
Далее, отображение г>—*zk, очевидно, индуцирует изоморфизм
О B)/Zfr—>-О B) и, таким образом, мы можем рассматривать это
действие на hk как О B)-депствие. (Итак, S1 действует на Lk но
формуле г[и, v]=[zUfcu, zllkv\ и 0A) действует по формуле
[ц, o]i—>[v, и].) Рассмотрим отображение <р: Ь^-^З3,
Ф[н, о]=(ы*. »*)/(; «.** + ! f ,2*I/2-
Это отображение, очевидно, ОB)-эквивариантно. Если ср[м, и] =
= ф[«', v'], то существует такое действительное число ^>0, что
(tu')u = uk и (tv')k = v>!. Так как
1 =; н2; + 'v ? = I tu' 2 +, tv' |2 = Р (!«' |2 +' v' j2) = t\
то t=\. Итак, [и, v] = [u', coy'], где со —некоторый корень k-u
степени из единицы.
Далее, отображение [и, и] -*•[«, сои] определяет Zft-действие
на Lft, и ф можно рассматривать как проекцию на пространство
орбит этого Zft-действия. Более того, это Z^-действие коммути-
коммутирует с данным О B)-действием, так что совместно они определяют
(Z*xO B))-действие на LA.
Диаграмма
L*/0B) iDa = S3/OB)
коммутативна и, очевидно, является диаграммой, определяющей
расслоенное произведение. О B)-орбита {[«, v] u=0 или v — 0}
неподвижна при Х*-действии на Lk, и очеьидно, что никакая

в. ВТОРАЯ ТЕОРЕМА КЛАССИФИКАЦИИ 255
другая О B)-орбита не переводится в себя никаким нетривиаль-
нетривиальным элементом ш <= %ь. Это означает, что Z* действует на L&/O B)
свободно вне единственной неподвижной точки. Таким образом,
Lft/O B) представляет собой циклическое 6-кратное накрытие
пространства D2, разветвленное над точкой 0.
Отсюда следует, что Lfe/O B) =« D2 (что можно увидеть непосред-
непосредственно) и что отображение г|з в вышеупомянутой диаграмме
можно представить в виде fk: D2 -*¦ D2. Следовательно, О B)-
пространства Lk и Y\ изоморфны. Так как пространства Lk отли-
отличаются друг от друга порядком k группы Ht (Lft), то У|я«2|
для всех k (интересно отметить, что этот факт указывает на то,
что использованное здесь определение пространства L (k, ^экви-
^эквивалентно определению пространства 2|). Как отмечалось выше,
это означает, что и в общем случае имеется изоморфизм Y\n~l «=*
^1>1п~1О (я)-пространств над D2. Мы доказали следующий
результат, который дает классификацию О (л)-пространств над D2
в форме, удобной для некоторых приложений.
6.4. Теорема. Рассмотрим О (п)-пространства над D2 со
стационарными типами О(п— 1) над S1 = 5D2 и О (л —2) над
D2\S1 = intDa, n'^2. Любое такое пространство Y эквивалентно
над D2 пространству 2|л~1 для некоторого k^O. Более того,
для этого к мы имеем Н1^"; Т)^Ъ, («==Z при 6 = 0), где Н =
= О(я —2). Таким образом, О (п)-пространства над D2 классифи-
классифицируются первой группой гомологии множества неподвижных точек
О (п — 2)-действия. Щ
На самом деле мы также показали, что такое О (п)-действие
на 2|"-1 можно продолжить до (Z^xO («))-действия с F CLk,
2|"-1)!^0(п)/0(л — 2). В частности, если k нечетное, то Ък
действует на 2* «=* S5 с множеством неподвижных точек О C)/О A)«а>
я«КР3. (Мы вновь будем рассматривать эти Zfe-действия в § 9
с другой точки зрения.) Эти примеры впервые построил Хирцеб-
рух, рассуждая в духе § 9 (см. Хирцебрух и Мейер [1]) и
ответил при помощи них на вопрос, поставленный в работе
Бредона [12]. Также Янг [7] независимо от этих авторов дру-
другими методами нашел такие примеры.
Замечание. В этом параграфе и в § 5 мы предполагали,
что X — многообразие с краем В. Однако мы не использовали
полностью это предположение. (Хотя именно этот случай наиболее
интересен.) Очевидно, достаточно, чтобы X представляло собой
метризуемое пространство, а В — замкнутое подпространство,
локально связное, имеющее гомотопический тип клеточного прост-
пространства и обладающее в X кромкой Например, X может быть
диском D'", а В с; S — замкнутой полусферой.

256 ГЛ. V. ДЕЙСТВИЯ С НЕБОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОРБИТНЫХ ТИПОВ
7. Классификация автоэквивалентностей
Пусть группы G zd К ^> Н и пара (X, В) такие же, как в § 6.
Пусть Y — собственное G-пространство над В. В этом параграфе
мы покажем, как классифицировать автоэквивалентности прост-
пространства У над X с точностью до эквивариантной гомотопии над
X. Мы можем считать, что Y имеет вид У = У(р, (Q, /)) в обо-
обозначениях § 6. Таким образом, Р — главное iV-расслоение над Хх
(где N = N (H)/H), p — ассоциированное G/Я-расслоение G/H хА-Р->-
-*-Nlt a /: Q^-P есть 5-редукция ограничения Рг расслоения Р
на Вх (где S = (N (H)f]N (К))/Н) и Y = (M^XsQ) Ur (G/HxNP),
где /': G/HXsQ^G/HXnP индуцируется отображением / п
n: GlH^-GlK— проекция.
Пусть \ — расслоение G/H x s Q ->- Bt и Map0 (g, ^ — расслое-
расслоение (определенное в II.2.8), сечения которого представляют собой
эквивариантные автоотображения расслоения Е над В1. Это рас-
расслоение имеет слой N, и его можно также рассматривать как
расслоение А/-эквивалентностей расслоения | над Вх (см. § 3).
Теперь очевидно, что / индуцирует изоморфизм
Марс а, ') ^ Мара (р, р) | В,
расслоений над Ви который можно рассматривать как отождеств-
отождествление (фиксировав /). Далее, S-эквивалентности расслоения Е
образуют подрасслоение расслоения Мара (|, |), имеющее слой S.
(По определению это расслоение обладает эффективной структур-
структурной группой SxS, действующей на слое S посредством правых
и левых сдвигов, но легко видеть, что она может быть сведена
к группе S, действующей с помощью сопряжения. Аналогичное
имеет место и для расслоения Map0 (p, р). Однако это нам не
понадобится.) Обозначим указанное подрасслоение S-эквивалент-
ностей через
&, l)czMap°(p, p)\B1.
Далее, предположим, что мы имеем автоэквивалентность ср: Y —>-Y
над X. Согласно 3.3 и 4.1 ф|1хВ эквивариантно гомотопно
некоторой S-эквивалентности. Далее, часть пространства Y над
[1, 2Jxfi эквивалентна [1, 2]x(G/HXNP1) ^[l, 2]x(G/#xsQ).
Пусть {ср,} — соответствующая гомотопия, заданная на MnXsQ
(где фо = ф). положим 'ф; = фгф^1. Продолжим % на [1, 2]х
X(G/HXsQ), положив \pt (s, x) = (s, i|>/,2-v> (*))• Далее, продолжим
Ф^ на [1, 2]x(G/Hx,sQ). положив фг = г|;,ф. Так как ф< = ф над
{2}хВ, то ipt продолжается над X посредством отображения ф
над Хо. Итак, ф гомотопно над X (в классе автоэквивалентнос-
тей) отображению ф1? которое представляет собой некоторую S-
эквивалентность над 1хВ. Аналогично можно видеть, что если
две автоэквивалентности пространства Y над X, которые являются

7. КЛАССИФИКАЦИЯ АВТОЭКВИВАЛЕНТНОСТЕЙ 257
S-эквивалентностями над 1x5, эквивариантно гомотопны над X,
то они гомотопны в классе автоэквивалентностей, являющихся
S-эквивалентностями над I х В. Пусть Homeo^ (Y) обозначает
группу автоэквивалентностей пространства Y над X. Пусть
Г (Map0 (р, p), S-Mapa (I, |)) — множество тех сечений N-расслое-
ния Map0 (p, р) над Хи которые над BL принимают значения
в S-расслоении S-Map° (?, ?) над Bv Итак, мы доказали следую-
следующую теорему.
7.1. Теорема. Естественное отображение
щТ{Марв(р, р), S-MapG(%, |))-^ я0 HomeoJ (У)
является взаимно однозначным соответствием. Щ
Здесь л0 Homeox (У) можно рассматривать как множество клас-
классов эквивариантной гомотопности над X автоэквивалентностей
пространства Y. Следующий факт полезен для описания того, как
расслоение S-Мар0 (|, |) лежит в расслоении Мара (р, р).
7.2. Предложение. Предположим, что в вышеописанной
ситуации расслоение р тривиально. Пусть для данной его тривиа-
лизации S-редукция f: Q->-Pl задает отображение т.: B1-*-S/N
так, как в § 6 (т. е. т — индуцированное сечение тривиального
S .А/-расслоения rijB,). Тогда, с учетом индуцированной тривиа-
лизации NxXx данного расслоения Map0 (p, р), слой расслоения
S-Map° (g, |) над точкой b^B1 есть % (b^Sx (b).
Доказательство. Выбрав карту с центром в Ь, предста-
представим 5 как лежащий над b слой расслоения Q (такое представление
определено с точностью до правого сдвига). Относительно выбран-
выбранной карты отображение /: Q-> Р1 = N х Вх индуцирует отображение
fb- S-+N. Пусть n = fb(e), так что fb(s) = sn. Далее, 5-эквива-
лентность расслоения Q соответствует, при переходе к слою 5
над В, правому сдвигу #s (где i?i(s') = s's"). Индуцированная Л^-эк-
вивалентность расслоения р j Bt является над b правым сдвигом Rm
с некоторым tn^N. Следовательно, диаграмма
Rs{ [Rm
коммутативна. Применительно к eeS это означает, что nnvl~
= s^n, т. е. т — п lsn. Если s пробегает всю группу S, то п '¦sn
пробегает множество n~lSn = x(b) lSx(b) в силу того, что по опре-
определению т (Ь) = /i (S) — Sn. (Так как х ф) есть правый смежный
класс по 6\ то х(b)~lSxф) = тфл)хф), но мы включили S
с целью избежать неправильной интерпретации). §
9 Г. Бредом

258 ГЛ. V. ДЕЙСТВИЯ С НЕБОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОРБИТНЫХ ТИПОВ
7.3. Следствие. Если пространство X стягиваемо и инва-
инвариант [т]*е[В, S\N]/no(N) из 6.3 тривиален, то имеется
взаимно однозначное соответствие
[X, В; N, S] - л0 Нотеох (К).
Доказательство. Тривиальность элемента [т]* означает,
что сечение т: Bl-^-S^N можно выбрать постоянным отображе-
отображением, т. (Ь) = Se. При таком выборе в силу предложения 7.2 имеем
S-Mapa (|, I) = S х Bl cz N х Хх, и требуемый результат следует
теперь из 7.1. |
7.4. Пример. Пусть (б, К, Я) = (О(«), О(п-1), О(п-2)),
и пусть Х = 1, В —{0, 1}. В силу 6.2 имеется лишь одно такое
G-пространство над 1, а именно — пространство диагонального
О (п)-действия на S^'xS"-1. В силу 7.3 гомотопические классы
автоэквивалентностей пространства S" x S"-1 над I отвечают эле-
элементам множества [I, dJ; N, S] = [l, dl; 0B), ОA)хОA)]. По
любой такой автоэквивалентности можно построить О (^-простран-
(^-пространство W (ср) = S" X D" U ^S"-1 X D" над D2. Взяв композиции с обеих
сторон отображения ср с такими автоэквивалентностями простран-
пространства S^xS", которые продолжаются на S^xD", мы изменим
это О (п)-просгранство лишь в классе эквивалентности над D2.
Далее, автоэквивалентности пространства S'^xD" над простран-
пространством его орбит (которое можно отождествить с верхней полови-
половиной диска D3W) соответствуют, с точностью до гомотопии, элементам
множества [D*, S'; N, S] = nQS. Двусторонняя композиция оче-
очевидным образом задает действие 4я: no(S)x[I, dl; N, S]xno(S)->
-*-[l, dl; N, S]. Так же, как в §§ 5 и 6, легко видеть, что тогда и
только тогда W (q>) и W (if) эквивалентны над D2, когда соответ-
соответствующие гомотопические классы |/ф]е[1, dl; N, S] лежат в одной
и той же орбите действия Ч1". Детали оставляются читателю. Имея
отображение /: (I, (Л)—»-(iV, S), мы можем, умножив его слева
или справа на элемент из S, получить такое отображение/', что
/'@) = е. Ясно, таким образом, что орбиты действия W на [I, dl;
N, S\ находятся во взаимно однозначном соответствии с орбитами
группы no(S), действующей на [I, {1}, {0}; N, S, {e}] = n1(N, S, е)
сопряжениями. Так как в силу 6.2 с точностью до эквивалент-
эквивалентности S" 'xD" является единственным пространством с таким
пространством орбит D2f, то имеется взаимно однозначное соответ-
соответствие между классами эквивалентности О (/г)-пространств над D2
и множеством ях (О B), О A) хО A), е)/я„(О A)хО A))*=^ (S1, Za,
е)/Хг> где Z2 действует на S1 умножением на —1.
Теперь рассмотрим автоэквивалентность ф пространства S"x
X S", определенную в § 7 гл. I. Она имеет вид ф (х, у) = (8.v (у), х),
где 6* — отражение сферы S"Л относительно прямой Rx. Будем
считать, что Н = 0(п — 2) действует на последних л —2 коорди-
координатах, так что N ^= N (Щ[Н я^ О B) действует на первых двух

Г. КЛАССИФИКАЦИЯ АВТОЭКВИВАЛЕНТНОСТЕЙ 259
координатах. Обозначим через CcS" единичную окружность
в плоскости первых двух координат, а через С4 — полуокружность
тех точек, вторая координата которых неотрицательна. Пусть
хо = A,О)еС+. Тогда множество {(*„, у) <= S"'1xS"-1, где у <= С+]
является сечением данного О (л)-действия. Кроме того, стационарная
группа точки у^--±х0 в точности есть Н = О(п — 2). Определим
отображение /: C+~*-S1, считая f (у) е S1 = SO B), поворотом,
переводящим у в х0. Тогда для у —; С+ имеем ц> (х0, y) = {f{y)x0,
f (у) (У)) =f(y) (xo- У)- Отсюда следует, что ф соответствует (при
соответствии из 7.3) отображению /. (Мы считаем, что С+ пара-
параметризована отрезком I, где точке 0 отвечает х0, а точке 1 отве-
отвечает —х0.) Заметим, что f(C+) есть дуга, начинающаяся в е,
охватывающая половину окружности Sl = SOB) и кончающаяся
в нетривиальном элементе подгруппы Z2 группы S1. При этом
отображению ф* соответствует отображение /*, образ которого
есть дуга, начинающаяся вей обходящая окружность /г/2 раз.
Следовательно, отображения ф* дают все элементы группы
ti (S1, Z2. e)/Z2- Это означает, что любое О (л)-пространство над D2
(с данной орбитной структурой) эквивалентно О(п)-пространству
2 \п~х с некоторым k. Конечно, это же было доказано в 6.3
другим методом. Изложенный метод, данный по возможности
непосредственно (см. Бредон [11]), является, вероятно, наиболее
эффективным способом получения этого результата.
Замечание. Вышеизложенный метод по существу совпадает
с первоначальным методом классификации О (я)-пространств над
диском D2 с данной орбитной структурой. Это было сделано
в работе Бредона [11] как в топологическом, так и в гладком
случае, хотя рассматривалась в основном ситуация, когда тоталь-
тотальное пространство было гомологической сферой (в частном случае
нечетного k это эквивалентно тривиальности сингулярного расслое-
расслоения). На самом деле доказанная там теорема значительно сильнее
изложенной здесь, так как в ней рассматриваются действия общих
компактных групп Ли (и это приводит к большим трудностям).
Читатель может проверить, что этим методом можно легко про-
проанализировать и примеры из 5.2.
Замечание. Рассуждения из 7.4 показывают, что О (/^-про-
(/^-пространства Б*" и S^1 над D2 эквивалентны над D2, так как
они классифицируются элементами из ях (S1, Z2, e)/Z2- Это, конечно,
следует также из 6.4. Эквивалентность этих пространств устанав-
устанавливается перестановкой экземпляров пространства S" X D", см.
§ 7 гл. I, но это не есть эквивалентность над D2. Полезно описать
соответствующую эквивалентность в явном виде. С этой целью
определим отображение т|): S" xD"->- S" X D" формулой г|з (х, г/) =
= (*, Qx(y)). На S^'xS"-1 мы имеем ф = 7^, где Г (л-, у) = (у,х).
Заметим также, что ф2 = 1. Итак $к$(Т$У!$(Щ" ^Т

260 ГЛ V ДЕЙСТВИЯ С НЕБОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОРВИТНЫХ ТИПОВ
= 7 (ty'l )k i = "ф {tyT)k = -фф"*, поэтому диаграмма
sn-1xsn-1<p--k.sn-ixsn-1
S" JxS" ф -S" 'xS"
коммутативна. Следовательно, рассмотрев отображение я]з: Snlx
X D/t->S xD" на каждом из двух экземпляров пространства
S"-1xD", получим эквивалентность над D2 пространств Е^Г1
и г. к
7.5. Пример. Рассмотрим автоэквивалентности пространства
2а", /гфО (случай к = 0 тривиален). Сначала мы сделаем это
над D2. Как мы показали, соответствующий инвариант [т.]* е
е [S1, 5 Л/]/п0 (W) = Zf есть |/г|, так что любой его представи-
представитель т: S1-+S\N имеет степень ±: /г. Отсюда легко следует, что
часть слоя t(&)St F) я« S = О A)хО A), лежащая в компоненте
О B) — SO B) <^ S1, отображается на себя с ненулевой степенью
при обходе точкой b окружности S2 = ^D2. Но это означает, что
расслоение MapG(p, p) = OB)xD2 не обладает сечением, лежащим
в @B) — SO B)) xD2 и индуцирующим сечение расслоения
S-Map° (I, I) над S1. Но пересечение SOB)x D*f\S-MapG(l, I)
в точности есть Z2xS4 Следовательно, так как n2(S1) = 0, то
имеется ровно одна (с точностью до гомотопии) нетривиальная
автожвивалентность пространства %Т~\ кфО. На главной
орбите G/H = О (п)/О (п — 2) эта автоэквивалентность эквивалентна
правому сдвигу элементом „ _. еО B)=N (H)/H, а на любой
из особых орбит G/K = O (л)/О (п — lJ^S" — правому сдвигу
элементом — 1 е 0A ) = N (K)IK (т е. центральной симметрии).
Читатель может проверить, что отображение S"-1 x D" -->- S" x D"
вида (х, у) 1—¦ (—х, —у) индуцирует (после удвоения) такую авто-
автоэквивалентность пространства 2^"""'.
Так как эта эквивалентность сохраняет ориентацию многообразия
2*"""'', то из сказанного выше следует, что не существует меняю-
меняющих ориентацию автоэквивалентностей над D2 многообразия
V2n—1
Известно, что любой сохраняющий ориентацию гомеоморфизм
диска D2 изотопен тождественному отображению. Отсюда и из
теоремы Пале о накрывающей гомотопии (см. 11.7.3) следует, что
любая автоэквивалентность 2|п~"' -> 2|л~', накрывающая такой
гомеоморфизм, изотопна (в классе автоэквивалентностей) автоэкви-
валентностн над тождественным отображением. Следовательно,
достаточно изучить аыоэквивалентности, индуцирующие отражение

8. ЭКВИВЛРИАНТНОЕ ВОДОПРОВОДНОЕ СОЕДИНЕНИЕ 261
диска D2. Более того, достаточно рассмотреть лишь одну такую
авчоэквивалентность, так как остальные получаются ее компози-
композицией с авюэквивалентностыо над тождественным отображением.
Однако, как следует из предыдущего замечания, отображение
¦ф: S" х X 0я ->- S"-1 х D" вида ty(x, у) = (х, Ъх(у)) после удвоения
и перестановки экземпляров пространства S^xD" определяет
такую эквивалентность пространства Zf1^1. Очевидно, что на
пересечении S" ^S" х отображение i|) сохраняет ориентацию чогда
и только тогда, когда п нечетно. Следовательно, автоэквивалент-
автоэквивалентность над отражением диска D2 сохраняет ориентацию тогда и
только тогда, когда я четно. В заключение отметим, что обра-
обращающая ориентацию автоэквивалентность многообразия 2^""'
существует тогда и только тогда, когда п нечетно.
8. Эквивариантное водопроводное соединение
Пусть т„ — касательное расслоение на диски к сфере S", пусть
? (т.,;)--его тотальное пространство и р: Е (tJ-vS* — проекция.
Пусть, далее, 0я — ручной1) я-мерный диск в S". Тогда над D"
имеется карта ф вида
D»xD»-bp-i(D11)
\ /
где проекция D" X D" ->• D" имеет вид (х, у) i—*¦ у. Мы можем
рассматривать ф как вложение D" x D" в Е (т„). Пусть fx: D"X
xD"-> D'1 X D" — отображение, задаваемое формулой \i (x, у) —
= (у, х). Тогда мы можем опреде- п п
лить водопроводное соединение двух еЛ D x D
экземпляров пространства Е (х„) как
склейку Е (тл) U цЕ (т„) по подмноже-
подмножеству DraxD" (см. рис. V.1).
Более общо, мы можем опреде-
определи ib водопроводное соединение нес-
нескольких экземпляров пространства
Е (т„) согласно любому графу. Это
означает, что, имея граф Т, мы можем
каждой вершине у графа сопоставить РисУ. 1.
экземпляр пространства Е (т„) и сое-
соединить указанным выше способом пространства, соответствующие
вершинам v ц w, если v и до соединены ребром графа. Диски,
') Реализуем сферу S" в виде границы стандартного (п+1)-мерного симп-
симплекса. Подмножество Р с S", гомооморфное полиэдру, называется ручным n S",
если существует гомеоморфизм h: S"-»-S", при котором Р переходит в прямо-
прямолинейный полиэдр в некоторой прямолинейной триангуляции сферы S".—
Прим. ред.

262
ГЛ. V. ДЕЙСТВИЯ С НЕБОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОРБИТНЫХ ТИПОВ
Рис. V. 2.
используемые для водопроводного соединения, соответствующего
ребру (v, w), можно выбрать не пересекающимися с дисками,
отвечающими другим ребрам, так как при таком соединении
отождествляется не более двух точек дизъюнктного объединения
пространств Е (т„). Результат этого соединения, обозначаемый
через Р2п (Т), является 2п-мерным многообразием с краем. (В глад-
гладком случае это многообразие об-
обладает углами, которые можно
сгладить стандартным способом.
Здесь мы не описываем этот
процесс').) Ясно, как строго опи-
описать это многообразие, и мы не
будем делать это. Рисунок V. 2
достаточно хорошо проясняет это.
Наиболее важные частные слу-
случаи возникают, когда Т есть
дерево (связный граф без циклов),
и этими случаями мы и огра-
ограничимся. Некоторые классы де-
деревьев имеют значение первосте-
первостепенной важности (по причинам,
здесь не излагаемым), мы изобра-
изобразили эти деревья (с их стандартными обозначениями) на рис. V.3,
где k означает число вершин2). В частности, на рис. V.1 изобра-
изображено многообразие Р2 (А2), а на рис. V.2 —P2(D6).
Рассмотрим стандартное действие группы О (п), О (п) а
сО(л+1), на сфере S" и индуцированное действие на Е (хп).
Пусть ± х0 — две неподвижные точки О (п)-действия на 8Л. Тогда
группа О (п) действует па каждом из касательных дисков в х0 и
в — х0. Очевидно, что при этом проекция касательного диска
в х0 на сферу S" является эквивариантным отображением. Сле-
Следовательно, для О (п)-инвариантного диска D" с: S" с центром
в х0 карта <р: D™ x D" -*¦ Р'1 (Dn) может быть выбрана О (^-ин-
(^-инвариантной, где О (п) действует на D"xDn диагонально. Так как
р,: D" х D" —>- D" X D" эквивариантно относительно диагонального
действия, то возникает индуцированное О (п)-действие на прост-
пространстве Р2л (А2) = Е (тлI1ц? (тя). Каждый из экземпляров прост-
пространства Е (т„) имеет еще по одной неподвижной точке — точке
— х0 е S", и эти точки можно использовать для дальнейшего
водопроводного соединения. Итак, для любого k на Р2п (Aft)
возникает естественное О (п)-действие. Это рассуждение не
годится для других графов, так как в этих случаях нам
') См. Коннер и Флойд [8], § 3. — Прим. перге.
*) См. стр. 39. —Прим. перев.

8. ЭКВИВЛРИЛНТНОЕ ВОДОПРОВОДНОЕ СОЕДИНЕНИЕ 263
для Еодопроводного соединения не хватает неподвижных точек
на S". Однако неподвижные точки О(п— 1)-действия на S"
образуют окружность, так что Р2п (Т) допускает О (п — ^-дей-
^-действие уже для любого графа Т. Вообще говоря, надо уточ-
уточнить порядок, в котором ведутся операции водопроводного со-
соединения вокруг неподвижных точек этой окружности,
однако для графов рис. V.3 в этом нет необходимости.
gh(k=6,7,8)
Рис. V. 3.
В этом параграфе мы интересуемся в основном О (^-прост-
(^-пространствами дР2п (Ak). Сначала мы покажем, как вычислить гомо-
гомологии пространства дР2п (Т) для любого дерева Т. Ясно, что
объединение нулевых сечений S" дисковых расслоений Е (т„) есть
деформационный ретракт пространства Р'2п (Т) и что это объеди-
объединение гомотопически эквивалентно букету k экземпляров сферы S",
где k — число вершин графа Т. Следовательно, Я,-(Я2" (Г)) есть
свободная абелева группа с k образующими (нулевыми сечениями)
при i — n и тривиальная группа при остальных i. Если ns&2,
то многообразие Р2п(Т) односвязно, и, следовательно, ориенти-
ориентируемо; очевидно, что и многообразие Р2 (Т) ориентируемо. (На
самом деле легко видеть, что многообразия Р2п (Т) параллелизуемы
для всех «S= 1.)
Рассмотрим более общий случай. Пусть М2п — компактное
ориентируемое 2/г-мерное многообразие с краем В9"-1, и пусть
Hi (М) — свободная абелева группа при i = n и Я,-(М) = 0 при
[фп. Мы покажем, как вычислить Н*{В). С этой целью рас-
рассмотрим коммутативную диаграмму двойственностей Пуанкаре —
Лефшеца
...-> Hi (В) -+ Н,(М) ->Я,(М, В)-^Н^(В) -v...
...->¦ Я2"-'-1 (В) -*¦ Я2"-' (М, В)-*- Я2"-'' (М) -»-Я2"-'(В)-+...

264 ГЛ. V. ДЕЙСТВИЯ С НЕБОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОРБИТНЫХ ТИПОВ
Из нее следует, что группы Ht (В) и Н' (В) тривиальны для
i^=0, п— 1, п и In — 1. Кроме того, имеется диаграмма
0->- Нп(В) -> Нп(М) ±>-Нп(М, В)-*-Н„„1(В)-^0
0-+HnSl(B)-+-H"(M, В)^- Нп(М) -+¦ Нп(В) ->0
Для вычисления групп Нп(В) и Нп-1{В) достаточно, очевидно,
знать матрицу гомоморфизма /* в некоторых базисах свободных
абелевых групп Н„(М) и Н„(М, В) ранга к. Эквивалентно,
достаточно уметь описывать гомоморфизм А/.,..
Так как #„. (М) — свободная абелева группа, то гомоморфизм
вычисления Нп (М)-*- Нот (Н„ (М), Z) есть изоморфизм. Напом-
Напомним, что он задается операцией ^-умножения соt—>a>^(-), где
мы отождествляем группу Но {М) с Z- Следовательно, достаточно
описать гомомо[физм \|;: Нп (М) ->- Нот (Н„ (М), Z), задаваемый
формулой г|:(а)(Р) = А/* (а) ^ р, где а, р е Нп (М). Вспомним
теперь, что гомоморфизм А'1 есть (в обоих случаях) ^-умноже-
^-умножение на фундаментальный класс (ориентацию) [М] е Н2п(М, В),
т. е. А (со) = со rs [M]. Так как индекс пересечения а ¦ $ циклов
а, реЯ„ (М) есть а • р = Д-1 (А (а) w А (Р)), то
а ¦ Р = (А (а) w Д (р)) ^ [Af] = А (а) ^ (А (Р) ^ [Л!]) =
= А (а) ^ р = /*А (а) ^ р = А/, (а)л. р = ^ (а) р.
Следовательно, если в группе Нот(Я„(Л1), Z) выбрать базис,
двойственный к некоторому выбранному базису свободной группы
Н„ (М), то матрица отображения if> будет в точности матрицей
пересечения в многообразии М относительно выбранного базиса
группы Нп(М). Так как а-Р = (—1)"Р-а, то эта матрица сим-
симметрична для четных п и кососимметрична для нечетных п.
Возвращаясь к многообразию М = Рг"(Т), заметим, что
в качестве базиса группы Нп(М) можно взять фундаментальные
классы нулевых сечений всех экземпляров пространства Е (т„).
Итак, любой вершине vit г = 1, ..., k, дерева Т отвечает базис-
базисный элемент а,- еЕ Н„(Р2" (Т)). Далее, число а,--а,- можно вычис-
вычислить, зная структуру пространства ?(т,.,), и это число еаь ri. 2
(знак зависит от ориентации пространства Е{хп)) при четном п
и, очевидно, аг-а; = 0 при нечетном /?. Так как при четном п
меняющее сомножители отображение (л: D" x D" —> D" x D" сохра-
сохраняет ориентацию, то ориентации всех пространств Е(тп) можно
выбрать так, что а,--с,-= 2 для всех i. Если 1ф], то из геомет-
геометрических соображении очевидно, что а,осу==±1, если v и Vj
соединены ребром в Т, и а,-ау = 0 в противном случае. Кроме
того, qcj • (—ку)== — ща.]. Следовательно, при четном а с учетом

8. ЭКВИВАРИЛНТНОЕ ВОДОПРОВОДНОЕ СОЕДИНЕНИЕ
265
того, что Т — дерево, элементы at можно выбрать так, что
2, если i = j,
1, если 1ф\ и (vh Vj) есть ребро в Т,
О в остальных случаях.
Следовательно, матрица пересечений для дерева Ak имеет размер
kxk и вид
2 1
12 1 О
1 2 1
О
1 2 1
1 2
О 1
—1 0 1
— 1 о
О
(п четно)
—1 0.
(п почетно)
Легко вычислить, что при четном п определитель этой мат-
матрицы есть k-\-l. Из точности приведенных выше последователь-
последовательностей следует теперь, что Я.,„, (dPim (А,;)) = 0 н Я2т_, (дРш (Ак))
есть группа порядка k-\-l. На самом деле об этой группе мо.кпо
сказать и больше, по и имеющейся информации достаточно для
доказательства следующего результата.
8.1. Теорема. О(п)-пространство дР2п (А^) эквивалентно
О (п)-пространству 2//+V из § 7 гл. I.
Доказательство. Пусть я ^2. Действие группы О (я) с:
сО(п+1) на Е(хп) эквивалентно1), очевидно, действию на про-
пространстве ортогональных 2-реперов из Kn+1. Отсюда следует, что
любая стационарная подгруппа группы О (п) либо сопряжена
с О (га —2) (если репер и неподвижный вектор О (я)-действия ка
|1<Л|' порождают трехмерное подпространство), либо сопряжена
с О(я —1). Отсюда следует, что существует канонический гомео-
гомеоморфизм F(O(n-2), дР2п (А*))/О B) «« dPin (Aft)/O (я) (ср. с 6.3),
при котором орбиты типа ОB)/ОA) соответствуют орбитам типа
О (я)/О (п — 1). Ясно также, что имеется каноническая эквива-
эквивалентность О ('^-пространств F(Q(n-2), дР2п (Aft)) ^ дР* (\k).
Как показано выше, при га>2 имеем Я, (дР2п (А*)) = 0, и отсюда
следует (например, на основании IV.4.1, IV.8.3 и 11.6.5) гомео-
гомеоморфизм (?Я2" (At)/O (n) «a D2, причем орбиты типа О(я)/О(я — 1)
соответствуют граничным точкам. Это верно и для я = 2, что
следует из сделанных выше замечаний (конечно, это нетрудь-о
проверить и непосредственно). Следовательно, к пространству
дР2п (А/,) применима теорема 6.4, и так как группа Я, (дР4 (А*))
имеет порядок /г+1, то требуемый результат следует из 6.4.
') Автор имеет в виду действие на подпространстве единичных касатель-
касательных векторов к S". — Прим. перев.

266 ГЛ. V. ДЕЙСТВИЯ С НЕБОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОРБИТНЫХ ТИПОВ
Случай п = 1 также следует отсюда с учетом того, что для
любого п имеется эквивалентность ОA)-пространств F(O(n — 1),
дР*»(\к))ъдР*{Ак). |
Замечания. Из 8.1 следует изоморфизм #2m-i @Pim (Ак)) «а*
*=«Zfc+i, легко устанавливаемый и непосредственно. Из 8.1 сле-
следует также, что для четного k и любого т пространство
дР4т+2 (А*) гомеоморфно сфере S4m+1. Для k = 2 мы получа-.м
знаменитую сферу Кервера, обладающую для подходящих значе-
значений т экзотической дифференцируемой структурой. Рассмотрев
матрицу пересечений для Е8, увидим, что при т :> 2 многообра-
многообразие dPim (Е8) гомеоморфно стандартной сфере S4m '. (При /л=1
многообразие <9Я4(Е8) есть неодносвязная гомологическая трех-
трехмерная сфера. На самом деле это пространство Пуанкаре доде-
додекаэдра SOC)/I.) Для всех' /л 3*2 многообразие дРш (Е8) есть
экзотическая сфера, называемая «сферой Милнора». На самом
деле теорема 8.1 используется главным образом для описания
гладких структур на 2|" "'. (Разумеется, существует и гладкий
аналог теоремы классификации.) Мы обсудим это в главе VI.
Рассмотренное выше приложение операции водопроводного соеди-
соединения к изучению групп преобразований впервые дал Хирцебрух,
более обширное изложение имеется у Хирцебруха и
Me й е р а [1].
9. Действия на многообразиях Брискорна
Пусть k — неотрицательное целое число, и пусть п^2. Обо-
Обор
значим через W\n~x множество всех тех точек (г0, zlt ..., г„)
комплексного (п-\- 1)-мерного пространства, которые лежат на
пересечении поверхности Vln, заданной уравнением z + z
% 0 й * ! |2 | |2 f
р
+ г% = 0, со сферой иг'.* = ! г0 |2 + | zx |2 + - ¦•+ znf=\. (Можно
рассматривать и случай & = 0, где г*=1, если задать сферу
уравнением, например, !' г -2 = 2. Для k Ф 0 радиус не имеет зна-
значения. Однако случай k — Q требует специального исследования,
и так как он не имеет первостепенного значения, мы рассмотрим
его в упражнении 4.)
Ясно, что единственной особой точкой поверхности V*" явля-
является начало координат. Кроме того, если z = (z0, ..., г„) е
е VT-{0}, то для />0 формула l{t, z) = (t\, tkzx, ..., tkzn)
задает такую кривую на VT, что dlX(t, z)f/dt>0. Следова-
Следовательно, эта кривая нигде не касается единичной сферы |iz!|2=l,
поэтому VI" пересекает эту сферу трансверсально. Итак, Wln~1
есть Bп — 1)-мерное многообразие. Рассматривая О (п) как под-
подгруппу группы U (п), зададим О (л)-действие на координатах
*1. •¦•» */>¦ Многообразие Wl" инвариантно относительно этого

9. ДЕЙСТВИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ БРИСКОРНА 267
действия. Если положить zj — Xj-\-iyj, то это О (п)-действие на
(*!, ..., х„) и (уи ...,уп) будет совпадать со стандартным
О(п)-действием. Следовательно, это О (п)-действие на ©я+1 можно
рассматривать как такое действие на R2xR"xR*, которое три-
тривиально на R2 и представляет собой стандартное диагональное
действие на R"xR", иными словами, оно является суммой три-
тривиального двумерного (вещественного) представления с удвоенным
стандартным представлением. Отсюда следует, что стационарные
подгруппы О (п)-действия на (D"+1 сопряжены с подгруппами
О(п), О (я — 1) и О(п —2). Кроме того, точка (г0, гг, .... гп)
тогда и только тогда неподвижна, когда гх = г2 = ...«= г„ = 0, так
что в W'ln~~i нет неподвижных точек.
Нам необходимо следующее описание орбит линейного
О(п)-действия на (D" = R"XR".
9.1. Лемма. Если О(п) действует на С" как подгруппа
группы U (л), п ^ 2, то проекция на пространство орбит может
быть отождествлена с отображением С"-*• V = {(/", n)R
X С11 М-! =^ г }• заданным формулой
Доказательство. Положим zj = Xj-\-iyj, z = (zx, ..., zn),
х = (хи ..., хп), у = (у1, ..., Уп). Тогда числа г = ; г |2 = | ¦* !2+
+ \\у и n = Zi-\-... + z'n^lxf — \\yf + 2i(x, у) являются инва-
инвариантами данного действия. Кроме того, по г и р, восстанавли-
восстанавливаются 1x1, \у'г и (х, у). Если х' и у'— другие два вектора
с f х':! = | х||, 1 у' i = |у | и (х, у) = (х', у'), то, как известно из
элементарной линейной алгебры, существует ортогональное пре-
преобразование R"-^-R", переводящее (х', у) в (х, у). Очевидно,
что ! ц | ^ г, и легко догадаться, как, варьируя первые две коор-
координаты вектора z, при равных нулю остальных координатах,
получить любую пару (fi, г), удовлетворяющую такому неравен-
неравенству. Щ
Рассмотрим отображение <р: D^|"-vS*1 вида ф(г0, ..., г„) =
= (?!, ..., г„)/(| zi I2 +...+! zn i2I/2- Оно О (п)-эквивариантно, и мы
утверждаем, что его можно считать проекцией на пространство
орбит Zft-действия на W'f вида (со, (г0) ..., zn)) >—* (сого, г1У ..., гп),
где со*=1. Для доказательства этого докажем сначала, что q>
сюръективно. Пусть (ult ..., ип) е S"; если выбрать v0 e (D так,
что «* = — (UJ+ ••¦ +"«)> то расстояние от начала координат до
точки Я (t, и) = (/2«0, /;'ы1( ..., ^*ыл) (= С" с ростом / растет от О
до оо. Поэтому найдется такое t>0, что h(t, и) е W*" и
ф(Я(/, ы)) = («3, ..., и„). Предположим теперь, что для двух точек
г = (г0, ..., г„) и v = (и0, ..., и„) многообразия W*" имеем
Ф (г0, ..., г„) = (f {vо, ..., о„). Тогда, очевидно, найдется такое

268 ГЛ. V. ДЕЙСТВИЯ С НЕБОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОРБИТНЫХ ТИПОВ
t > 0, что о,- = tkzi i = 1, 2, ..., п. Но тогда и* = — (v\ + ...
= — /2* (z* + • ¦ • + г») = tikz*, так что *% = со?,,, где со - неко-
некоторый корень k-й степени из единицы. Так как обе точки (г0, ..., гп)
и (<bw0, fi, .... vn) = (t%, tkzx, ..., tkzn) = K{f, z) лежат в Wl"'*
и так как 1Я(/, г)|| строго возрастает с ростом t,rot=l. Следо-
Следовательно, (г0, zlt ..., г„) = (сои0, и,, ..., vn), поэтому ф можно рас-
рассматривать как проекцию на пространство орбит данного Zft-дей-
ствия на W^~ . Это Zs-действие коммутирует с вышеописанным
О (п)-действием, и единственная Zft-инвариантная О (л)-орбита есть
{(О, zlt ..., г„) s Н^Г} (это множество является орбитой в силу
9.1).
Итак, Z/гДействие на Wt" й/О (п) имеет ровно одну неподвиж-
неподвижную точку и вне этой точки действует свободно. Так как ф сохра-
сохраняет О (д)-орбитные типы, то диаграмма
ту/ -Л -1
W k
2л—1
>
определяет расслоенное произведение. В силу сделанных выше
замечаний ijj есть проекция разветвленного ^-кратного цикличе-
циклического накрытия над диском D2 с ветвлением в нуле (соответствую-
(соответствующем орбите WT ^S2"). Это означает, что Wf l;O(n)^D2 и
что с учетом этого гомеоморфизма отображение гр: D2->D2 имеет
вид г>—> zk. В силу 6.3 имеем эквивалентности W" я« Y'f'1 «=s
я« ЕГ"^1 О(/г)-пространств. Итак, мы доказали следующую теорему.
9.2. Теорема. Если k=^=0, то О(п)-пространс;ибо 2Г из
§ 7 гл. I эквивалентно О (п)-пространству W'i"^1. Щ
9.3. Следствие. Если п и k нечетны, moW^'1 гомеоморфно
сфере S2". ?сш п четно, то Hn^{WTx) = Zk и Я,-A7Г)==0
при 1^0, п — 1, 2л —1. Кроме того, Wl^L{k, I). §j
3 а м е ч а и и е. Многообразия WT ввел Брискорн [ 1 ],
использовавший их для исследования топологических свойств
изолированных особенностей алгебраических многообразий. Ему
принадлежит следствие 9.3. Приложение этих конструкций
к группам преобразований, и наоборот, было получено X и р це-
брухом [2J (см. также Хирцебрух и Мей ер [1]). Исследо-
Исследование значительно более общего и полезного класса многообразий
с изолированными особенностями можно найти у Мил нора [7].
Заметим, что многообразия W|"-1 обладают и дополнительными
симметриями, не охватываемыми описанными О(п)- и Zs-действиями.
Действительно, формула (г, (г0, г^ .... г„)) ь-* (ггг0, z"zu ..., z"zn)

9. ДЕЙСТВИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ БРИСКОРНА 269
определяет S'-действие на WT'1* коммутирующее с данным
О(п)-деиствием. Следовательно, на Win~l имеется S'x О (^-дей-
(^-действие. Ядро этого действия в точности есть подгруппа порядка 2
с образующей (—1, —/). Заметим, что в наиболее интересном
случае нечетного п элемент (—1, —/) не лежит в компоненте
единицы группы S1xO(«). Следовательно, для нечетного п
включение SO (л) с О (я) индуцирует изоморфизм S'xSC^n)^
— (S1xO(«))/Z2')> так что эффективная часть данного действия
есть действие связной группы S'xSO^).
Эти действия на Wf позволяют, посредством использования
некоторых стандартных конструкций, строить ряд интересных
примеров, и мы дадим их краткое описание. Для простоты
считаем k = 3 и л = 3. Пусть со —примитивный кубический корень
из единицы, и пусть
Г1 О 01
т]= о 1 ОеО(З),
[о о -U
Тогда со и т] коммутируют2), и преобразование con имеет на W^^S5
порядок 6. Далее, сот] (г0, г,, гг, г3) = (сог0, zu г2, —га), так что
неподвижные точки преобразования con. образуют подмножество
№.,^0B) ^ziS1-\-S1. Если вырезать инвариантный диск с центром
в некоторой неподвижной точке этого Z,f действия на S5, то получим
Ze-действие на D3, множество неподвижных точек которого есть
D' + S1. Умножив это пространство на отрезок I с тривиальным
Ze-fleHCTBHeM, получим Za-действие на D6 с множеством непо-
неподвижных точек D2 + (D1xS1). При этом часть этого множества,
лежащая в крае S5 = dDe, есть S1 + (S° xS^^S' + S' + S1.
Пусть теперь С1 и С2 —непересекающие 5-мерные клетки,
являющиеся в S5 окрестностями лежащих в компоненте D2 двух
неподвижных точек этого Ze-действия. Мы можем считать, что
D6 есть куб, и что С, и С2 — его противоположные грани. Мы
можем склеить бесконечно много экземпляров таких кубов (каж-
(каждый следующий получается из предыдущего отражением относи-
относительно свободной грани Q) и считать, что они сходятся к бес-
бесконечно удаленной точке, см. рис. V.4. Отсюда возникает Zu-дей-
ствие на D6 с множеством неподвижных точек F, которое является
объединением диска D2 и последовательности цилиндров D'xS1,
сходящейся к некоторой точке диска D2, см. рис. V.5. Часть
множества F, лежащая в крае Ss = dDe, является объединением
окружности и последовательности окружностей, сходящейся к точке
1) Здесь Z2={(— 1. —/}. A, 1)}. — Прим. перев.
2) Здесь под со понимается преобразование, определенное после 9.1.—
Прим. перев.

270
ГЛ. V. ДЕЙСТВИЯ С НЕБОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОРБИТНЫХ ТИПОВ
$той окружности. Если взять клетки-окрестности С1 и С2 вокруг
точек компоненты D'xS1, то можно аналогичной процедурой
получить Ze-действие на D6, множество F неподвижных точек
Рис.У. 4.
которого имеет вид, указанный на рис. V.6. Имеются и другие
очевидные возможности. Эти действия локально гладки везде, за
исключением одной точки. Аналогичным способом можно построить
Рис. V. 5.
Рис. V. 6.
дикие действия, склеивая вместе Ze-действия на De, являющиеся
конусами над первоначальным Ze-действием на S5 (множество
неподвижных точек которого есть i-^ + S1). Проделав это, получим
Ze-действия на D8, множества неподвижных точек которых имеют
вид, указанный на рис. V.7 и V.8.
Мы дали эти примеры для того, чтобы показать, насколько
сложными могут быть топологические (не локально гладкие) дей-
действия. Это же относится к действиям на крае S5 и к действиям
на S8, получающимся удвоением действия на D6.
Теперь кратко рассмотрим произвольные многообразия Бри-
скорна. Итак, положим а = (а0,..., а„), где а,- — натуральные числа,
1
™'1
и обозначил? через W™'1 пересечение сферы рг|| = 1 с алгебраи-
алгебраическим многообразием в (С"+\ определенным уравнением г°» -J-
^' +... -\-гап--=0. Мы ограничимся следующим результатом.

». ДЕЙСТВИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ БРПСКОРНА
27!
9.4. Теорема. Если а0 взаимно просто с любым a/t />0,
то для любого элемента реЯ' (W^1* Z), 0 < i < 2я — 1, имеем
Доказательство. Положим а = аоа1 ... ап. Для точки
z = (z0, Zl, ..., г,)е^ и />0 рассмотрим вектор (f/i:% ...
..., f'unzn) = С . Норма этого вектора отлична от нуля и строго
возрастает с ростом t. Поэтому существует и единственно такое
значение t, для которого этот вектор задает точку на единичной
сфере S'M~1c=(D'1. Пусть q>: W^-vS" — отображение, сопостав-
сопоставляющее точке г эту точку. Как и выше, легкие вычисления пока-
показывают, что ф можно отождествить с проекцией на пространство
Рис. V. 7.
Рис. V. 8.
орбит Zao-действия (со, (z0, гх, ..., гп)) *~* (coz0, г,, ...,г„) на
W^. Заметим, что на W^1 имеется также S1-действие (г, (г(),...
..., г,,)) I—•¦ (za/a°z0, ..., za/anzn). Если со— примитивный корень
степени а0 из единицы, то соа/а° — тоже примитивный корень сте-
степени а0 из единицы, и соа/а' = 1 для всех i>0 в силу того, что
а0 взаимно просто с каждым ah i > 0. Следовательно, это Б^дей-
ствие содержит данное Zoo-действие (с точностью до автомор-
автоморфизма группы Za0), поэтому Za0 действует на Hi(W^'~1; Z) три-
тривиально. Отсюда и из III.7.1 следует, что композиция Я,- (W'a1)->
-> Н{ (S2") -> Ht (Wl") гомоморфизма, индуцированного орбитной
проекцией Zao-действия на Wa", с трансфером представляет собой
гомоморфизм умножения на а0, который, таким образом, является
нулевым при 0<1<2л —1. |
9.5. Следствие. Если имеется не менее двух таких значе-
значений i, для которых каждое из чисел а{ взаимно просто со всеми а}
при j ФI, то W^1 — целочисленно гомологическая B« — 1)-мерная
сфера. |
Замечание. Этот результат является частным случаем тонкой
теоремы Ми л нор а [7] (см. также Брискорн [1] и Хирце-

272 ГЛ V. ДЕЙСТВИЯ С НЕБОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОРБИТНЫХ ТИПОВ
брух и Мейер [1]). Можно показать (см. указанные работы)
что многообразие W^1 односвязно (на самом деле (п — 2)-связно)
при «2гЗ, и, следовательно, в условиях следствия 9.5 оно гомео-
морфно сфере S2". В указанных работах определена также и
дифференцируемая структура на W™'1. В трехмерном случае, при
я = 2, многообразие W^, вообще говоря, не односвязно, даже
в условиях следствия 9.5. Например, можно показать, что
№'а, з, в) — пространство Пуанкаре додекаэдра SOC)/1.
10. Действия с тремя орбитными типами
Для обоснования выбора материала этого и следующего пара-
параграфов рассмотрим многообразие Брискорна W'jj,""^1, являющееся
множеством тех точек (и, v, гх, ..., г„) е (Сл+2, которые одновре-
одновременно лежат на сфере | и j2 + j v i2 +1 г2 i2 + ... +! гл |2 = 1 и алгеб-
алгебраическом многообразии «p-fw? + Zi + ... -\-z% = 0, где р и q —
натуральные числа. (Заметим, что сюда входит и случай q = 2,
изученный в § 9.)
Группа О(п), действуя на {{гл, ..., г„)\, действует и на W^j;
при этом, как и раньше, стационарные типы этого действия
суть О (и), О(п — 1) и О (я —2). Задав координаты и и v точки
из W^f1, мы увидим, что ими однозначно определяются числа
\z1f + '...+\zn?^\-(\u? + \vf) и г?+...+*]} = — («* + »?), и
из 9.1 следует, что отображение -ф: W^1-*-^* вида (и, v, zu..., г„)|—*•
i—*¦ (и, у) можно отождествить с проекцией на пространство орбит
этого О(/г)-действия, если описать образ отображения if). Так как
| up + V | = | г,1 + ... + г\ ! < Iг, |2 + ... +! г J2 = 1 - (I и |2 + \v ;2), то
образ отображения г|з состоит лишь из пар (и, и), удовлетворяю-
удовлетворяющих неравенству | up-\-vg j + | и f-\-\v ;2=<; 1. Легко видеть, что
при nS=2 любая такая пара есть образ некоторой точки из
Wp"^1. Более того, легко видеть, что это неравенство тогда и
только тогда становится равенством, когда вещественная и мнимая
части вектора (zlt ..., zn) зависимы как векторы из R", т. е. тогда
и только тогда, когда соответствующая О(л)-орбита не является
главной (т. е. ее стационарный тип есть О (л) или О (л— 1)).
Можно показать, что неравенство j uP-\-vg |-f-| и |2 + lf|2=^ I
определяет четырехмерный диск в (В2. Один из способов доказа-
доказательства этого состоит в рассмотрении действия мультипликатив-
мультипликативной группы |R+ положительных чисел на пространстве С2, задан-
заданного формулой t(u, v) = (tvu, tpv). Так как при фиксированных
и a v, (и, о)ф0, функция № \ up + V \ + г2г? \ и \2 + t2*> j v p моно-
монотонно возрастает с ростом t, то найдется ровно одно значение t,
для которого значение этой функции есть 1. Аналогично, имеется
ровно одно значение /, для которого [ tgu !2 + I fv l2 = № | и j2 +
-\- 12р\ v f = 1. Следовательно, для любых {и, v)^=0 траектория

10 ДЕЙСТВИЯ С ТРЕМЯ ОРБИТНЫМИ ТИПАМИ 273
этого потока пересекает каждую из поверхностей | и? -f- vi | +1 и р Ч-
-f-1 v j2 = 1 и | и j2-)-! у ;2 = 1 ровно в одной точке. Используя этот
факт, легко построить гомеоморфизм области, заданной неравен-
неравенством | u.p-\-v'i! +1 и |2 + ! v f *g; 1 (т. е. образа отображения г|)), на
единичный диск ! и ;2 -f-! v ;2 ^ 1.
Пространство неглавных орбит можно отождествить с множе-
множеством F(O(n — I), WPn^l)/O(l), являющимся в точности простран-
пространством орбит инволюции (и, v, г) >¦—> (и, v, — 2) на Wp, q = {(и, v, z) s
ез :L3|, « Г2 + , v !? + |2|i2= 1, «р-|-у'? + г2 = 0[. Кроме того, множе-
множество F(O(n), W'o'j1) можно отождествить с F(OA), W3p,q). Как
и в § 9, заключаем, что отображение ср: Wp,?->SS, переводящее
точку (м, v, z)<EiW"PiQ в точку(Гг*», Pff)sS3 (что однозначно
определяет число />0), можно отождествить с проекцией на
пространство орбит этой инволюции. Тогда F = F@A), WPtV),
рассматриваемое как подпространство пространства орбит, есть
{(и, и) sS3; up-\- и1? = 0}. Если изменить координаты в S3 умно-
умножением координаты v на корень степени q из—1, то множество F
запишется в виде F = \(u, »)eSs up = V?}. Пусть а и Ь — такие
однозначно определенные положительные числа, что a2-{-b2=l
и аР = Ь1?. Тогда множество
\(ae2!tix, be2My)^S3\px
есть образ при экспоненциальном отображении ^-^-S'xS1 aSa
множества всех прямых с угловым коэффициентом p/q, которые
проходят через точки (т/р, 0), iheZ. Если числа р и q взаимно
просты, то этот образ совпадает с кривой в S3, являющейся тори-
ческим узлом типа (р, q).
Итак, пространство орбит О (л)- действия на WPn^x есть диск D4,
внутренние точки которого имеют орбитный тип О(п)/О(п — 2);
в крае S3 этого диска есть одномерное многообразие, состоящее
из неподвижных точек (в нашем случае это торическое зацепле-
зацепление типа (р, q)), а остальная часть края S3 состоит из орбит
типа О (п)/0(п — 1). Обобщая эту ситуацию введением дополни-
дополнительных координат, на которых группа О (я) действует тривиально,
можно показать, что пространство орбит является многомерным
диском и неподвижные точки образуют лежащее в крае этого
диска подмногообразие коразмерности 2 (относительно края).
Перед рассмотрением общей ситуации г) докажем один общий
факт, который позволит при классификации действий с данной
орбитной структурой ограничиться действиями без неподвижных
точек.
10.1. Предложение. Пусть G — компактная группа Ли.
Пусть X — локально компактное пространство с данной орбитной
>) Имеется в виду общий случай действия с тремя орбитными типами, —
Прим. перев.

274 гл. v. действия с небольшим числом орвитных типов
структурой X-v^0, и пусть F —замкнутое подпространство
пространства X, состоящее из неподвижных точек (точек-орбит,
имеющих тип G/G). Тогда отбрасывание множеств неподвижных
точек задает взаимно однозначное соответствие между классами
эквивалентности G-пространств над X и G-пространств над X — F.
Доказательство. Пусть У есть G-пространство над X —F.
Тогда проекция Y-*¦ X — F на пространство орбит — собственное
отображение, и, следовательно, оно может быть продолжено до
отображений одноточечных компактификаций Y+-*(X — F)+. Суще-
Существует также сохраняющее орбитную структуру отображение
Х-*-(Х —/¦")+> переводящее/7 в со. Следовательно, G-пространству У
над X — F можно сопоставить G-пространство W над X, являю-
являющееся расслоенным произведением
W—-Y+
Обратно, если W — некоторое G-пространство над X, то, рас-
рассматривая F как подпространство в W, мы получаем G-про-
G-пространство Y = W'—F над X — F. Очевидно, что ^'эквивалентно
над X построенному выше расслоенному произведению W (см. гл. I,
упражнение 10). |
Замечание. В дифференцируемом случае предложение 10.1,
вообще говоря, неверно, и для получения соответствующего резуль-
результата необходимо тщательно изучать строение трубчатой окрест-
окрестности множества неподвижных точек. В связи с этим некоторые
теоремы, приведенные в работе братьев С я н [4] неверны, как
сообщил нам У.-К. Сян.
В оставшейся части этого параграфа мы будем считать, что
Хт — компактное стягиваемое m-мерное многообразие, т^4,
с ориентированным краем В1"-1. Так как многообразие X ком-
компактно и стягиваемо, то В, очевидно, представляет собой цело-
численно гомологическую сферу. Пусть также Ат~3 а В — ориен-
ориентированное подмногообразие размерности т — 3 (возможно, дикое1)),
и пусть {Аа) —его компоненты. Снабдим Хт О (я)-орбитной струк-
структурой (я 5=2), которая приписывает тип О(п)/О(п — 2) простран-
пространству int X, тип О («)/О (п — 1) пространству В — А и тип О(п)/О(л)
пространству А. (Нас прежде всего интересует случай, когда
Xm = Dm и А связно.)
Далее, В обладает в X кромкой, откуда следует, что Х—А —
стягиваемое (открытое) многообразие с краем В — А. Таким обра-
образом, согласно 6.2, классы эквивалентности О (п)-пространств над
*) Обсуждение диких и ручных вложений можно найти, например, в моно-
монографии Келдыш [\].—Прим. ред.

10. ДЕЙСТВИЯ С ТРЕМЯ ОРБИТНЫМИ ТИПАМИ 275
X —Л (и, следовательно, О (п)-пространств над X согласно 10.1)
находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами мно-
множества
1В-А, (ОA)хОA))\ОB)]/я„(ОB))^
где Z2 действует на Я1 (В —Л; Z) посредством автоморфизма
k>—* — k группы коэффициентов Z и, следовательно, переводит
y<=Hl(B-A\ Z) в -у.
Вспомним, что, согласно двойственности Пуанкаре —Лефшеца
и точности гомологической последовательности пары пространств
(В1"-1, Ат~а), мы имеем двойственность Александера
Я1 (В- А)ъНт^(В, А)**Ят-3(Л)**Я°(Л)**П Я0(Аа)^ЦЪ.
Пусть при этом изоморфизме элементу у^ Я1 (В — А) соответа-
вует элемент {уа\, где уа е Хя&Н0(Аа). Заметим, что изменение
ориентации многообразия Ла изменяет знак элемента уа, т. е.
конкретный изоморфизм Н1(В — A)?=&J^Z зависит от выбора
а
ориентации многообразия, но больше нигде этот выбор роли не
играет. Также заметим, что Z2-fleftcTBHe на НХ{В — А) приводит
к одновременному изменению знаков элементов уа.
Теперь, предположим, что а еЛа- точка, в которой Аа является
ручным, т. е. существует полудиск D+ в Хт, дающий локальную
систему координат относительно а, а именно
где а —начало координат и В(] D+ = Dm-1 = {x^ D+\xm =
{ }
П? {?|2 1 }7()
пусть MY —соответствующее О (и)-простраиство над X, которое
зависит только от it у. В силу естественности очевидно, что огра-
ограничение Н° (Аа) ^-Н° (От~3) переводит уа в соответствующий инва-
инвариант (с точностью до знака) О (п)-действия на части простран-
пространства Му над D+. Теперь рассмотрим двумерный диск
С = {х <= D+ | Xj = ... = Xm_s = 0, 4,_2 + ХЪ- 1 + Xfn = 1},
и пусть 2 — часть пространства Му, лежащая над С. Очевидно,
что часть пространства Му, лежащая над D+, эквивалентна как
О (л)-пространство произведению диска Dm~3 и конуса над 2.
Также очевидно, что ограничение

276 ГЛ. V. ДЕЙСТВИЯ С НЕБОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОРВИТНЫХ ТИПОВ
сохраняет инварианты этих действий. Итак, 2я^2|"~' согласно
6.3, где k = \y^\ (считаем, что уаеZ). Если кф\ и и четное,
то 2 не является гомологической сферой, так что Му не является
многообразием вблизи данной точки а е Аа. Аналогично, если
Ь,ф\ к п нечетное, то 2°A) ^ 2^""~3 не является гомологиче-
гомологической сферой, так что М°(|) не является многообразием вблизи а
(и, таким образом, О (и) действует вблизи а не локально гладко).
С другой стороны, если k=\, то S — ортогональное О (/^-прост-
(/^-пространство, и поэтому О (п) действует локально гладко на Му вблизи а.
Очевидно, что если О (я) действует локально гладко, то А
вложено локально плоско. Итак, для локально гладких действий,
для всех а обязательно уа = ±:1. Более того, знаки с точностью
до одновременного изменения знака являются инвариантами дей-
действия (изменение ориентации многообразий Аа изменяет только
соответствие между действиями и наборами знаков).
Назовем действие над Хт послушным1), если ya = dr.l для
всех а. Это понятие имеет смысл, даже если А — всюду дико вло-
вложенное подмногообразие. Мы доказали следующую теорему.
10.?. Теорема. Пусть Хт — компактное стягиваемое т-.черное
многообразие с краем Bm~l, ms?4, и пусть Ат~3 — замкнутое под-
подмногообразие в В-1 с k компонентами Пусть Хт имеет О («)-
орбитную структуру, определенную выше. О (п)-пространство М
над X локально гладко тогда и только тогда, когда А локально
плоско и действие послушно. Вообще, если действие на М послуш-
послушное, то оно локально гладко везде, за исключением тех точек А,
вблизи которых А дикое {не являющееся локально плоским). Более
того, существует в точности 2* классов эквивалентности послуш-
послушных действий над (X, В, А). Таким образом, если А локально
плоское, то существует в точности 2k~l классов эквивалентности
локально гладких действий над {X, В, А). Щ
Замечание. В гладком случае и для связного Л эти резуль-
результаты получены братьями С я н [4] и независимо от них Е н и-
хом [1], см. об этом случае § 7 гл. VI.
Теперь вкратце рассмотрим случай т = 3, который был исклю-
исключен в предыдущем изложении. Здесь Л —конечное множество,
состоящее из k точек в Вг = дХ3 (и, следовательно, локально
плоское). Теперь, инвариант у принадлежит группе Н1(В — А)^^
f=^Hl(B, Л)я«Я0(Л) и соответствует набору k целых чисел уа с=
е Н„(Аа), где ?уа = 0 (определенных только с точностью до одно-
одновременного изменения знака). Снова, действие локально гладко
тогда и только тогда, когда уа = ±1 для всех а, и k должно
быть четным, так как 2] Уа — 0. Итак, локально гладкое деист-
В оригинале «amenable» — Прим. перев.

10. ДЕЙСТВИЯ С ТРЕМЯ ОРБИТНЫМИ ТИПАМИ 277
вне классифицируется над X разбиением множества А на два
подмножества, состоящих из k/2 элементов каждое. Так как
любые два таких разбиения могут быть переведены друг в друга
с помощью гомеоморфизма тройки (X, А, В), то отсюда следует,
что (для данного k) все эти О (п)-пространства эквивалентны (не
над X). Итак, мы доказали следующую теорему.
10.3. Теорема. Пусть X3 — компактное стягиваемое трех-
трехмерное многообразие с краем В2, и пусть А — множество, состоя-
состоящее из k > 0 точек в В'2. Пусть Xs имеет О (п)-орбитную струк-
структуру, определенную выше. Если k четное, то существует в точности
/? ] \
0 классов эквивалентности над X локально гладких О(п)-про-
странств над X, и все эти О (п)-пространства эквивалентны (не
над X). Для нечетного k не существует локально гладких О (^-про-
(^-пространств над X. |
Интересно рассмотреть аналогичную ситуацию, когда Xs =
= D:V = \(х, у, г) з D:!! г Э= 0}, В2 = Щ- П S2 и Л состоит из k внут-
внутренних точек двумерного диска В2. Пусть D2 = {(x, у, 0) б D+).
Наделим D+ обычной О (я)-орбитной структурой, т. е. структурой
со стационарными типами соответственно О (л), О (я — 1), О (я — 2)
на А, В —A, D+ — В. Тогда локально гладкое О (п)-пространство
над D+ будет многообразием с краем, который является частью,
лежащей над D2. Как было отмечено, общее рассуждение приме-
применимо и к этому случаю. Теперь О (га)-пространство W над этой
орбитной структурой определяется с помощью инварианта (с точ-
точностью до знака)
где S1 = 5fi = 5D2. Итак, у соответствует (при этом изоморфизме)
множеству, состоящему из целых чисел уа s Яо (Аа) и числа б е
EflJS1), где 6 = —2 ?«> и это множество определяется только
с точностью до одновременного изменения знаков уа и 6. Снова
Ya = _".';. 1 для локально гладких действий. Также очевидно, что | б
является инвариантом для О (п)-пространства dW (части W, лежа-
лежащей над D2), т. е. имеем изоморфизм dW ?ы Ъ21~~1 двух О(п)-
пространств. Если нам даны числа б = — 2^« и ^- то $ = &_ —
— &+, где k+ и k- — количества знаков + и — среди уа. Если мы
допустим произвольные эквивалентности (т. е. эквивалентности
над гомеоморфизмами тройки (D+, В2, А)), то числа 'б| и k, оче-
очевидно, окажутся единственными инвариантами. Кроме того, k'^s
йг|б| и k — б — четное число. Итак, мы доказали следующую
теорему.
10.4. Теорема. Рассмотрим вышеупомянутые О (^-простран-
(^-пространства над (Dit, В2, А), где А состоит из й>0 точек, лежащих
в intВ2. Пусть б5= 0 — целое число. Если &S=6 и k — 8 — четное,

278 ГЛ. V. ДЕЙСТВИЯ С НЕБОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОРБИТНЫХ ТИПОВ
то существует единственное (не над D+) локально гладкое О (я)-
пространство над (D1, В2, А) с краем, эквивалентным О(п)-про-
странству 21"~\ Если &<б или если k~5 нечетно, то такого
локально гладкого О (п)-пространства не существует. Щ
Замечание. Заметим, что 10.4 дает другое описание О(«)-
пространств 2ln~i над D2. Читатель может проверить, например,
что случай & = 83г0 из 10.4 описывает О(л)-действие на прост-
пространстве (Ся+\ ограниченное на подмножество
Кроме того, случай k = б s= 2 описывает О (п)-действие на водо-
водопроводном соединении Р2п (Aft_j). Нетрудно построить также явные
примеры для всех й^8 с четным k — 8.
П. Заузленные многообразия
Пусть 2* cr S*+2 — связное ориентируемое подмногообразие
(возможно, дикое) (& + 2)-мерной сферы, и пусть «5=2. Тогда,
согласно 10.2, существует единственное (с точностью до эквива-
эквивалентности над D''3) послушное О(я)-пространство M2n+k B*)
над D*+3 (с орбитной структурой, такой же, как в § 10, т. е.
стационарные типы суть О(п) на 2*, О(п — 1) на S*+2 — 2* и
О (л —2) на int(D*+3)). Также напомним, что, согласно 10.2, если
2fe вложено локально плоско, то M2n+k B*) есть единственное
локально гладкое О(и)-многообразие над (Dk+3, S*+2, 2*). В этом
разделе мы обратимся к изучению такого пространства Min+k B*)
с упором на нахождение условий, при которых оно представляет
собой сферу.
Хотя нас прежде всего интересует локально гладкий случай,
будет представлять некоторый интерес (и не составит больших
затруднений) рассмотреть также некоторые аспекты дикого случая.
Итак, пусть W с 2* — (замкнутое) подмножество диких точек,
т. е. множество точек, в которых 2* не является локально плоским.
Для удобства гомологических вычислений мы предположим, что
W' ФИУ*, хотя в действительности это не является необходимым.
В тех случаях, когда понятно, о чем идет речь, положим
М = M2n+k B*) и будем отождествлять 2* с подпространством Л1(> <">
пространства М. Через С обозначим часть М, лежащую над S*+2.
11.1. Теорема. Если W Ф ?k, то M — W — односвязноепрост-
односвязноепространство.
Доказательство. Для удобства дальнейших рассуждений
заметим, что мы будем доказывать зту теорему, не предполагая 2*
связным. Теперь M — W —многообразие размерности 2n-\-k^s
Ss4 + &> и 2* — W есть ^-мерное локально плоское подмногооб-
подмногообразие. Отсюда следует, что отображение пх(М — !•)-*• n^(M — W)

It. ЗЛУЗЛЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 279
сюръективно (в действительности оно является изоморфизмом).
Далее, С — 2 (будучи пространством 5л+1-расслоения над S*+2 — 2)
является (n + k+ 1)-мерным многообразием, локально плоско вло-
вложенным в М — 2. Если я ^3, то Bя-}-&) — ("¦ + & + 1) = « — 1 5г2,
так что jtj (М — С)-»-ях (М — 2) — сюръективное отображение.
Однако А1 — С представляет собой пространство (О(и)/О(п — 2))-
расслоения над R*+3, и поэтому отображение nt (О (я)/О (п — 2)) ->
->- я, (Л1 — W) (индуцированное включением любой главной орбиты)
сюръективно. Но так как существует главная орбита в линейном
диске в М с центром в любой точке из М — 2, то это включе-
включение, очевидно, индуцирует тривиальный гомоморфизм фундамен-
фундаментальных групп.
Теперь рассмотрим случай п = 2. Заметим, что
М - С я« Г<к+3 х О B) я« C*+3 х S1) + (R*+s хS1).
Кроме того, С—2 является пространством (ОB)/ОA))-расслое-
ния над S*+2 —2*. Проекция OB)->OB)/OA)?=«SI представляет
собой гомеоморфизм на каждой из двух компонент группы 0B).
Отсюда следует, что замыкания Xt и Х2 в М— 2 двух компо-
компонент множества М—С являются многообразиями, каждое из кото-
которых имеет внутренность, гомеоморфную IR^xS1 и (общий) край
С —2. Так как С —2, являющееся пространством 81-расслоения
над связным множеством S*+2 —2*, связно, то отсюда в силу тео-
теоремы ван Кампена следует, что ях(Л1 —2) порождается образами
двух экземпляров группы я, (,Rfe+3 x S1) я« я, (S1). Так как соответ-
соответствующие окружности являются компонентами главной орбиты
О B)-действия, то отсюда следует, как и раньше, что фундамен-
фундаментальная группа отображается в я, (М — W) тривиально. Щ
11.2. Теорема. Предположим, что W Ф 2*. Если X* есть Z2-
когомологическая (по Чеху) сфера, то и M2n+h B*) представляет
собой Ъ^-кого мо логическую сферу. Если 2* — целочисленно когомо-
когомологическая сфера и п четное, то и M2nJth B*) — целочисленно кого-
когомологическая сфера.
Доказательство. Для упрощения обозначений используем
V V
когомологии с компактными носителями. Итак, Ht (U) = Я* (U+, со)
для локально компактного пространства U; это также можно
определить непосредственно, используя когомологии Александера —
Спеньера или когомологии с коэффициентами в пучке; см.
Спеньер [1] и Бредон [13]. Для компактной пары (X, А)
существует канонический изоморфизм Н* (X, А) ^ Н? (X — А).
Здесь мы рассматриваем когомологии с коэффициентом в группе Z2
для первой части теоремы и в группе Z — для второй части.
Пусть j:eHs-W, и пусть (/ — окрестность точки х в М,
являющаяся открытым Bл-|-&)-мерным диском, на котором О (л)
действует ортогонально. Пусть 0* a D*+3 — пространство орбит

280 ГЛ. V. ДЕЙСТВИЯ С НЕБОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОРБИТНЫХ ТИПОВ
окрестности U. Тогда V* есть окрестность точки i*eP-I^c
cSw = (?D*+3 в D*+s, являющаяся открытым полудиском.
Далее, U — С представляет собой пространство (О(п)/О(п — 2))-
расслоення над U* — 5*+2я«/?*+3, содержащееся в пространстве
(О (п)/О (п - 2))-расслоения М — С над D*+8 —S*+2^3?*13. Так как
эти расслоения тривиальны, то, очевидно, включение U — C-*-
-+-Н — С (являющееся гомотопической эквивалентностью) инду-
индуцирует изоморфизм Я* (?/ — С)-> Н%(М —С). Применяя теорему
двойственности Пуанкаре, получаем, что это включение индуци-
индуцирует изоморфизм И* (U — С) — Н* (М — С). Пусть теперь (/еЕ-
другая точка; можно считать, что у^.11. Так как U f) Sft есть
открытая ^-мерная клетка и так как пространство S* — {у) аци-
ациклично, то имеем изоморфизм Щ (U(\Щ -— Н*B — \у\). Далее,
С — S есть пространство (S"-1 = О (я)/О (я — 1))-расслоения над
Sfe 2 —2 со структурной группой 0A)?*=: N (О (л — 1))/О(«— 1),
действующей на S" антиподальной инволюцией. Для четного п
антиподальная инволюция сохраняет ориентацию сферы S", так
что данное расслоение ориентируемо, а если группа коэффициен-
коэффициентов есть Z2> то это расслоение ориентируемо (в смысле теории
когомологий) *) для любого п. (Для дальнейших ссылок укажем,
что отмеченное обстоятельство является единственной причиной,
по которой мы требуем четности числа п в случае когомологий
с коэффициентами в Z.) В окрестности точки х имеется подрас-
слоение U[\C — S-v(/*nS*+2 — S^Rfe+2-Rft этого расслоения,
и включение индуцирует отображение последовательностей Гизина
...^Hic{Rk<2-<Rk)-+Hic(U()C-2)-*Hcc--n-1(R'i+2-Rk)-+...
Гомоморфизм Щ AR*+2 - Rk) -+ Н*с (S"+2 — 2)> является изоморфизмом
по теореме двойственности Пуанкаре —Александера, поэтому
Hf(U(]C — I.) —Я* (С — S) — изоморфизм в силу леммы о пяти
гомоморфизмах.
Суммируя все сказанное выше и используя коммутативность
диаграммы
\
х) Автор имеет в виду следующее определение. Расслоение Е со слоем S"
называется ориентируемым, если существует такой элемент и е Нп (?), что
!*(г;) = уя, где Yn e Hn (S") — образующий и (': S" -*¦ Е — включение,— Прим.
перев.

11. ЗЛУЗЛЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 28]
заключаем, что Я* (U {] С) - Н* (С — {у\) — изоморфизм. Аналогично
коммутативность диаграммы
...-*#c(?/-C)-v Hlc{U) -+ Hi{U-C) -+...
влечет Я? (?/) «=> Я? (М - {у}).
Но и^и2п+к, откуда следует, что Я* (М)р^ Я* (S2*+*). |
Отметим следующее обращение этого результата.
11.3, Теорема. Если М2"+* B*) есть Ъ2-когомологическая
сфера, то и 2* есть 22-когомологическая сфера. Если п четно и
М2п+* B*) есть целочисленно когомологическая сфера, то и 2* есть
целочисленно когомологическая сфера.
Доказательство. Пусть Т — максимальный тор группы
О (я). Если п четно, то Т не сопряжен ни с какой подгруппой
группы О (п — 1), так что М0(п) = Мт. Для произвольного п рас-
рассмотрим подгруппу L = O A) хОA)х.. .хОA) с: О («) (п сомно-
сомножителей) группы О (л). Тогда L не сопряжена ни с какой под-
подгруппой группы О (я — 1), так что М° {п) = ML. Требуемый резуль-
результат следует теперь из II 1.10.2 и III.7.11. Щ
11.4. Теорема. Пусть п четно, и пусть 2* — целочисленно
когомологическая k-мерная сфера, вложенная в Sft+2 так, что имеет
там не более одной дикой точки (или для случая k = 1 имеется
лишь конечное число диких точек). Тогда M2""i*BA');=«S2'H'fc.
Доказательство. Если диких точек нет, то утверждение
следует из 11.1, 11.2 и обобщенной гипотезы Пуанкаре (см.
Кон не л [1]), справедливой здесь в силу неравенства 2n-f k S» 5.
Пусть теперь w es 2* — единственная дикая точка. Из 11.1 следует,
что л, (М — {до}) = 1. Кроме того, из доказательства теоремы 11.1
следует, что если U с D'" — некоторый малый диск с центром
в точке w*, то часть пространства М — \w), лежащая над U — \w*},
односвязна (так как в доказательстве теоремы 11.1 связность
пространства 2* не использовалась). Поэтому в силу 11.1 и 11.2
прост panel во М — {w] —стягиваемое открытое многообразие, одно-
связное на бесконечности. Поэтому по теореме Зибенманна [1],
имеется гомеоморфизм М — {w} ^и2п+к, и потому/W я» Sa"+*. Если
й=1 и 2fe имеет конечное число диких точек, то, очевидно, до-
достаточно показать, что в окрестности каждой из этих точек М
является многообразием. Но очевидно, что 2 можно так пере-
переложить, не меняя вложения вблизи фиксированной дикой точки w,
что 2 будет иметь лишь одну дикую точку w. Так как эта опе-
операция меняет многообразие М лишь вдали от точки w, то отсюда
следует требуемый результат1). Щ
Индукцией по числу точек. — Прим, не рев,

282 ГЛ. V. ДЕЙСТВИЯ С НЕБОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОРБИТНЫХ ТИПОВ
Например, имеется О B)-действие на S5, соответствующее дикому
узлу, изображенному на рис. V.9. Заметим, что для подобных
изображенному на рис. V.10 диких узлов, являющихся бесконеч-
бесконечными суммами ручных узлов, соответствующее О (я)-пространство
является бесконечной связной суммой локально гладких О («)-
пространств. Например, клеверный лист (торический узел типа
C.2)) отвечает в силу результатов § 10 О (я)-многообразию
2зЛ +' я« Wl" + ' (см. 9.2), где О (я) действует посредством стан-
стандартного вложения О (п) а О {п-\-\). Очевидно, что дикий узел
рис. V. 10 отвечает бесконечной эквивариантной связной сумме
(по дискам вокруг неподвижных точек) многообразий 2^" + 1.
Для случая я = 2 интересно отметить, что подгруппа SO B) группы
Рис. V. 9. Рис. V. 10.
О B) действует на 2|j линейно (см. упражнение 2) и имеет то же
множество неподвижных точек, что и группа 0B). Соответствую-
Соответствующая бесконечная связная сумма в точности есть линейное SO B)-
действие на S6. Легко видеть, что для этого О B)-действия (отве-
(отвечающего рис. V.10) мы имеем S6/SO B) «=* S4, и эта сфера S4
(с данной орбитной структурой) в точности есть удвоение диска
D4«=sS5/O B). Таким образом, узел рис. V.10, рассматриваемый
в сфере S4, становится ручным, так как он отвечает множеству
неподвижных точек (лежащему в пространстве орбит) линейного
SO B)-действия на S5. (Разумеется, тот факт, что 21 становится
ручным в S4, легко доказать и непосредственно.)
Теперь мы займемся вычислением когомологий пространств
Л42л+1B1) для случая, когда п нечетно и 2 = 21 —ручной узел
в сфере S3 сг D4. Пусть М3 B) — двулистное накрытие над S3,
разветвленное над узлом 2. (Это есть 0A)-пространство над S3,
и оно не является О A ^пространством над D4.)
11.5. Теорема. Пусть п нечетно и k—l. Предположим,
что 2— ручной узел Тогда Hl (M2n+1 B); Z) = 0 при 1ф0, п+ 1,
2я + 1. Кроме того, Нп^ (УИ2л+1 B); Ъ)^Нг (М3 B); Z).
Доказательство. Заметим сначала, что из теоремы следу-
следуют изоморфизмы
Я/лл2я+1 /у\- ч/\ ~^ нл+11M'inJri (УЛ- 1\ ^^

t!. ЗАУЗЛЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 283
так как в силу 11.2 группа Ял+1 (Мгп+1 B); Z) конечна1).
Кроме того, порядок группы Н^М3^)), как известно, есть
А(—1), где Л (/) —полином Александера узла 22).
Наши вычисления сначала будут следовать доказательству
теоремы 11.2. Единственным местом, где используется четность
числа п, является тот факт, что S"~ ^расслоение С— 2 над S3 — 2
для четного п ориентируемо. Этот факт позволяет использовать
последовательности Гизина. Для нечетного п это расслоение не-
ориентируемо, но тем не менее по-прежнему имеет место диа-
диаграмма последовательностей Гизина
где Н* (¦; ZT) есть когомологии с локальными коэффициентами
и где во всех остальных группах когомологии коэффициенты
целые. (Локальная система групп обязана своим появлением
гомоморфизму 1Г1(83-2)^-Я,E3-1; Z) - Z-^Z3^ Aut (Z)).
Далее, Hc^ — R1; ZT) «= 0 «=* /f^S3 - 2; ZT) в силу того, что
в коэффициентном расслоении ZT имеются сечения с компактным
носителем. Используя теорему двойственности Пуанкаре (см. Б р е-
дон [13]), получаем, что Hif^-R1; Xх) ^ Я^К3-^; Zx)^>
w Я2 (S1; ZT) = 0. Следовательно, HI (k3 - К1; ZT) ->• № (S3 - 2; ZT)
есть мономорфизм.
Применяя лемму о пяти гомоморфизмах к рассмотренной выше
диаграмме точных последовательностей Гизина, получаем, что
Hi (U П С — 2) -*-Н'с{С — 2) есть изоморфизм при j < п и мономор-
мономорфизм при / = п.
Для диаграмм, использованных в доказательстве теоремы 11.2,
получаем, что H{(U Г| С)-*-Ы(С — {у}) есть изоморфизм при/<п
и мономорфизм при / = /г. Аналогично заключаем, что H'C{U)-*-
->Яс(М —{»}) есть изоморфизм при j = n и, следовательно, что
v
Н'(М) = 0 при 0</<;/г. Из теоремы двойственности Пуанкаре
и формулы универсальных коэффициентов следует теперь, что
Я'(М) = 0 для /ф0, п, п+1, 2/1+1. В силу 11.2 М есть
:) Так как эта группа конечно порождена и М2™4 (^) есть 2
гическая сфера. — Прим. перев.
2) См. Кроу элл П., Фокс Р. Введение в теорию узлов. — М.: Мир
1967.- Прим. ред.

284 гл. V. ДЕЙСТВИЯ С НЕБОЛЬШИМ ЧИСЛОМ ОРБИТНЫХ ТИПОВ
Z..j-когомологическая сфера, так что эта группа должна быть
конечной группой нечетного порядка для / = n, « + 1. Снова
применяя формулу универсальных коэффициентов и теорему двой-
двойственности Пуанкаре, получаем теперь, что эта группа тривиальна
для / — п. Пусть хфу — дв? точки из 2. Тогда Н> (М — {у), {х}) = О
для }фп-\-\, и осталось вычислить эту группу для 1 = п-\-\.
Выберем в группе О (л) ее подгруппу — окружность Т, являю-
являющуюся диагональю в произведении 1 X SO B) X SO B) х... X SO B) с:
сОA)хОB)х...хОB)сО(п) (здесь присутствует (я —1)/2
экземпляров группы SO B)). Рассматривая действия группы Т на
многообразии Штифеля О (п)/О (я —2) 2-реперов в R" и (п — ^-мер-
^-мерной сфере О (я)/О (я — 1), мы увидим, что Т действует полусвободно
на каждой орбите из М и, следовательно, Т действует на М
полусвободно. Кроме того, Т не имеет неподвижных точек на
главных орбитах и имеет ровно две неподвижные точки (антипо-
дальные) на сфере S"~\ причем ОA)-действие на Мт перестав-
переставляет эти точки. Отсюда следует, что Мгя«М3B). Кроме того,
так как Т действует полусвободно, то имеется последовательность
Смита — Гизина (для когомологий с коэффициентами в Z)
(см. III.10.6), где Х = М — {у} и Х* = Х/Г. Как мы уже видели,
группы //< (X, {х}) тривиальны при 1фп-\-\, и аналогично
Н1(ХТ, \х}) = №(М3 B)-{у\, {х}) = 0 при 1ф2. Отсюда очевид-
очевидным индуктивным рассуждением, использующим последователь-
последовательность Смита — Гизина, получаем изоморфизмы
{x}),
откуда следует изоморфизм Нп+1 (М2л+1 B)) ^H2{MSB)). |
Замечания. Эти соотношения между узлами и О (^-много-
(^-многообразиями первоначально отметили Ених [1] и братья Сян [4]
в гладком случае. Вычисление гомологии для k=l другим мето-
методом дал X и р цеб р у х[2]. В этой же работе Хирцебруха описана
гладкая структура многообразия М2"^1) для четного я и глад-
гладкого 2. Случай k>\ впервые был разобран в работе Бредона [26].
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ V
1. Рассмотрим над D'xS1 такое О (п)-пространство, у которого на S^xS1
стационарный тип есть О (п—1), а на внутренности многообразия D^xS1 ста-
стационарный тип есть О(п — 2). Покажите, что, с точностью до эквивалентности
над D^xS1, имеется ровно 4 таких действия и что эти действия отличаются
одно от другого тривиальностью или нетривиальностью регулярного или сингу-
сингулярного расслоения р или а. Покажите, следуя 6.1, что тем но менее множе-

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ V 283
ство я0Г(т]'б,) гомотопических классов редукций структурной группы рас-
расслоении р В, к (.V (О (я — 2)){]N (О (га— 1))/О(я -2) бесконечно
2. Рассмотрим О (З)-пространство ?& из § 7 гл. I с нечетным k (напомним,
что y'k^W'k; см. 9.2). Покажите, что подгруппа SO C) с О C) транзитивна
на каждой ОC)-орбите и, следовательно, что SOC) имеет то же пространство
орбит, что и 0C) (а это пространство есть D2). Покажите, что тем не менее
все эти SO (З)-действия эквивалентны линейному SO (З)-действию на EJ«=S5.
Читатель, хорошо знакомый с исключительной группой Ли G2, может анало-
аналогичным образом показать, что действие подгруппы G2 с О G) на Yk' для не-
нечетного k имеет те же орбиты, что и О G)-действие, но эквивалентно линей-
линейному действию на Щ3 яз S1'. (В частности, отсюда для нечетного к следуют гомеомор-
гомеоморфизмы 1йяк8оиЕА'«г813без использования обобщенной «гипотезы» Пуанкаре.)
3. Пусть Ат"я — подмногообразие сферы Sm-1. Рассмотрим О (^-простран-
(^-пространство W над Dm, у которого стационарный тип на А™ есть 0(«), на Sm J —
— Ат'3 есть 0(я —1) и на Dm — S есть О (re —2). Покажите, что для не-
ориентируе.мого Ат~3 такие О (л)-действия не являются локально гладкими.
4. Рассмотрим О (п)-пространство W\a~x, являющееся пересечением
в Cn+1 = {(^о, zp ••¦> гп)} алгебраического многообразия 1 +2?-(-...-f-Zn = О
со сферой ; z0 2 ••]- iz1]2Jr... + \znl" = 2. Положим Zj = х,- + iyj, х = (.г,, ..., х„) е
eR", У — (у\, ..., !/JeR". Покажите, что отображение (г0, х, у)\—*¦
1—*¦(!. О, у/ у ) определяет эквивариантную ретракцию пространства W^n~l
на свою орбиту. Выведите отсюда эквивалентность О (п)-пространств W^""»»
?=кО (п)Хо ,п_ i)Sn, где О(п— 1) действует на S" посредством включения
О(п)сО (п-г 1). Докажите также эквивалентности О (п)-пространств W^" ~~' ««
osS"xS"asi;f ~', где 0(п) действует на S™xS" диагонально.
5. Проверьте утверждения из замечания после теоремы 10.4.
6. Пусть Хт— стягиваемое компактное многообразие с краем В 1. Пусть
Yfi-t—цслочисленно гомологическая сфера, локально плоско вложенная
в В'1. Покажите, что над Хт имеется единственное локально гладкое
U (л)-пространство, для которого стационарные типы на ?ш 4, В — уу-* и
Хт — В»1 суть соответственно U (n), U(n—1) и U(rc —2). Докажите анало-
аналогичный результат для Sp (п)-пространств над Хт, где множеством неподвиж-
неподвижных точек будет уже целочисленно гомологическая сфера Y.m 6 с Вт 1.
(В гладком случае этот результат не имеет места.)
7. Рассмотрим 0(л + 1)-пространства Xft = O(n+1)XO (f!)E|"~', где х|п" '
есть О (п)-пространство из § 7 гл. 1. Покажите, что для всех нечетных к про-
пространства X/, эквивалентны. (Соответственно они эквивалентны и для всех чет-
четных k.) В частности покажите, что для нечетного k X/i=aSnxS'2n 'l.
8. Пусть 0 = 0 (я-И), К=0(л—1) и Я = 0(я —2), л=э2. Рассмотрим
G-пространства над ли'ком Dft+i с орбитными типами G/K над Sk и G/1I над
D*1'1. Покажите, что при 6 5=3 такие G-пространства над Dfcul классифици-
классифицируются элементами группы я^ (S2), в то время как при k = 2 они классифи-
классифицируются элементами множества У- Покажите, что если X — некоторое такое
G-пространство с fe5=2, то О (/г + 2)-пространство О (ге + 2)Х0(„ ¦ ^Х эквива-
эквивалентно пространству О (я + 2)х0 (n_ ijS""*, где О(л—1) действует на
§шк 1 cz Rn+* = R"~1xiR*+1 как сумма стандартного и тривиального пред-
представлений.
9. Для п 5= 2 рассмотрите диагональное действие группы U (л) на S4"lc
сС"ХС", пространство орбит этого действия есть D3. Покажите, что классы
эквивариантной юмотопности над D3 авточквивалентностей таких U (я)-прост-
рангтв находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами группы
щ (U B)) «= Ъ-

Глава VI
ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
Для понимания этой главы необходимо знание элементарной
дифференциальной геометрии. Кое-что из необходимого материала
напоминается в § 1 для того, чтобы ввести терминологию и
обозначения, но этот материал нельзя считать самостоятельным
введением в дифференциальную геометрию.
В первых четырех параграфах мы докажем некоторые основ-
основные факты, касающиеся дифференциальной топологии гладких
действий компактных групп Ли. Например, мы докажем в § 2
теорему существования и единственности инвариантных трубча-
трубчатых окрестностей. В § 3 доказывается общая теорема, которая
позволяет заменить некоторые типы изотопии эквивариантными
изотопиями. В § 4 мы докажем теорему Пале и Мостова о глад-
гладком эквивариантном вложении и применим ее к доказательству
теоремы о гладкой эквивариантной аппроксимации непрерывных
эквивариантных отображений и гомотопий.
В § 5 будет детально изучена индуцированная функциональ-
функциональная структура очень простого типа пространства орбит. Этот
факт используется в § 6 для того, чтобы доказать гладкий ва-
вариант теоремы о классификации действий над многообразием
с краем, изученной в §§ 5 — 7 гл. V для топологического случая.
Это, в свою очередь, применяется в § 7, чтобы получить резуль-
результаты Ениха о заузленных многообразиях, которые в топологи-
топологическом случае обсуждались в §§ 10 и 11 гл. V.
В последних четырех параграфах нам понадобится значительно
более глубокое знакомство с дифференциальной топологией.
В § 8 изучаются инволюции на сферах с использованием инва-
инварианта Иллса — Кюйпера, результатов § 7 и инварианта Браудера
и Петри (мы строим его видоизмененный вариант). В § 9 дока-
доказаны некоторые результаты о полусвободных действиях окруж-
окружности на сферах и дисках. В §§ 10 и 11 используется эквива-
риантная теория для сравнения представлений в двух неподвиж-
неподвижных точках некоторого гладкого действия.

1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ И ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ 287
1. Функциональные структуры и гладкие действия
В этом параграфе мы дадим обзор некоторых элементарных
определений и фактов из дифференциальной геометрии. Мы пред-
предполагаем, что читатель уже знаком с этим материалом; и он
приводится здесь только для связности изложения, введения
обозначений и выделения специальных важных для нас понятий.
Многие доказательства и поясняющий материал будут опущены,
так что читателю не следует считать этот раздел введением в диф-
дифференциальную геометрию или дифференциальную топологию.
Следуя Хохшильду [1], определим функциональную струк-
структуру на топологическом пространстве X как отображение sFx<
которое ставит в соответствие каждому открытому множеству
U а X подалгебру <У'х (U) алгебры всех непрерывных вещественно-
значных функций на U, и которое удовлетворяет следующим
условиям:
A) Подалгебра aFx([/) содержит все постоянные на U функции.
B) Если V czU, то ограничение функции / е cfx(U) на V лежит
в SX(V).
C) Если U — [}Ua есть произвольное объединение открытых
множеств, то отображение /: i/-*-[R принадлежит eFx(U) тогда
и только тогда, когда ограничение / на каждое Ua принадлежит
U)
(
Иными словами, Ух есть пучок алгебр, являющийся подпуч-
подпучком пучка ростков непрерывных вещественнозначных функций
на X, содержащим постоянный подпучок.
Функционально структуризованное пространство (X, аГх) есть
пространство X с функциональной структурой J~x на X. Мор-
физм ср: (X, oFx)-*¦'(?> <^y) одного функционально структуризо-
ванного пространства в другое есть такое отображение ср: Х->-К,
что композиция /i—>/•ф функций с отображением ср переводит
oFy (U) в of х (ф 4J) для каждого открытого U czY. Очевидно,
изоморфизм определяется как морфизм, имеющий обратный
морфизм.
Если ср: Х-*- Y — отображение и «F —функциональная струк-
структура на X, то мы можем определить на Y функциональную струк-
структуру ф.^, полагая (Ф*зГ) (U) состоящим из всех таких непре-
непрерывных функций /: G->К, что />ф ?Е ^(ф-1^/). Эта структура
Ф^^2" называется «функциональной структурой на Y, индуциро-
индуцированной отображением <р из структуры af"». Очевидно ф: (X, aF)->-
-^-(У, ф^-оГ) есть морфизм.
Если ф: X—>F — отображение и ©7 —функциональная струк-
структура на Y, то мы можем определить функциональную струк-
структуру ф*^ на X, полагая (ср*<^) ((/) состоящим из таких функций
/: U—*-R, которые локально являются композицией отображения ф
с членом структуры <& (т. е. для каждого хе(У существуют

288 ГЛ. VI. ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
такие окрестность UxcU точки х, открытое множество V сг У,
содержащее ц>(Ух), и элемент gе$(V), что f = g'<p на Uх. Тогда
ф: (X, ц '''<??) -н»(У, q7) есть морфизм. Назовем <§*<?/ «функцио-
«функционально!! структурой на X, индуцированной отображением ф из
структуры <з7». Наиболее интересно использовать это понятие
в случае подпространства. Если А а X — подпространство и
of — функциональная структура на X, то мы обозначим через afA
образ i*of, где i: А -+X — включение. Таким образом, для откры-
открытого множества U cz X алгебра аГд (A f| U) состоит из таких функ-
функций /: ApiU-y-U, что для каждого а е А (] U существуют окрест-
окрестность V точки а в X и продолжение отображения f\A{]V до
элемента алгебры JF(V). Если А открыто, то oFА(А{\11) =
= aF (Af\U), так что JF'А представляет собой ограничение струк-
структуры of на открытые подмножества множества V.
По определению, С^-функциональная структура на |R" ставит
в соответствие открытому множеству U cz Rn алгебру вещественно-
значных С^-функций на U. С-многообразие размерности п (или
гладкое п-мерное многообразие) представляет собой паракомпакт-
ное хаусдорфово пространство Мп, наделенное такой функцио-
функциональной структурой aF, что (Мп, aF) локально изоморфно (кп, С00),
т. е. каждая точка х е М имеет такую открытую окрестность О,
что (U, afu) изоморфно (V, C'v), где V cz U" — некоторое откры-
открытое множество. Отображение ф: U-+V, осуществляющее такой
изоморфизм, называется картой, a aF называется С™-структурой
на М. Для гладких многообразий М" и Nn морфизм ц>: M-*-N
их данных С^-структур называется просто гладким отображением
(или С°°-отображением, или дифференцируемым отображением).
Изоморфизм ф называется диффеоморфизмом.
Рассмотрим полупространство R+ = {(х1У ..., хп) е R" | х, ^ О}.
Будучи подпространством пространства R", оно наследует (^-функ-
(^-функциональную структуру, которую мы будем также обозначать С°°.
По определению, С^-многообразие с краем представляет собой
наделенное функциональной структурой паракомпактное хаусдор-
хаусдорфово пространство (М, aF), которое локально изоморфно прост-
пространству (R", С°°). Край (возможно, пустой) состоит из таких
точек, которые переводятся картами в точки гиперплоскости
хг = 0, и является гладким (п— 1)-мерным многообразием с инду-
индуцированной структурой. Если это не будет особо оговорено, то
в этой главе слово «многообразие» будет обозначать С -много-
-многообразие без края.
Если Мт и Nn — два С^-многообразия (без края), то сущест-
существует единственная С°°-структура на MxN, такая, что если соот-
соответственно ф: U-*-Rm и ¦f: V ->- kn — карты в М и N, то
фХф: U X V ->jRm+" — карта в /VI хАЛ Эта структура возникает,
когда рассматриваются произведения гладких многообразий.

!. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ И ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ 289
Напомним, что группа Ли G имеет единственную С°°-струк-
туру, для которой отображение GxG-+G вида (g, h)>—*gh~l,
является гладким. Гладким действием группы Ли G на гладком
многообразии М мы называем такое действие в: GxM->-M,
которое является гладким отображением. В действительности
достаточно, чтобы каждое Qg: М -> М было гладким, но этот факт
трудно доказать, и мы не будем рассматривать этот вопрос,
см. Монтгомери и Циппин [4].)
Конечно, основным примером гладкого действия является
каноническое действие главной линейной группы GL (л) на R".
Далее, GL (л) есть открытое подмножество пространства R (всех
лхл-матриц над R) и наследует его С°°-структуру. Гладкость дей-
действия в: GL (л) XR" -*¦ R" очевидна. Гомоморфизм групп Ли авто-
автоматически является гладким отображением (§ 5 гл. 0), и отсюда
следует, что действие GxR"-»-E", заданное любым представле-
представлением G-»-GL (n), является гладким. Другие примеры можно найти
в предыдущих главах. Например, действия группы О (л), данные
в § 7 гл. I, и ее действия на многообразиях Брискорна, построен-
построенные в § 9 гл. V, являются гладкими.
Так же, как и в § 1 гл. II, определим Сот-расслоение, потре-
потребовав дополнительно, чтобы база В и слой F представляли собой
С^-многообразия, а структурная группа была группой Ли (это
иногда можно ослабить), действующей гладко на F; кроме того,
потребуем, чтобы функции перехода U-*-K были гладкими.
В этом случае тотальное пространство X расслоения имеет кано-
каноническую С^-структуру, которую мы определим, потребовав,
чтобы карты ф: F X 0 -*¦ р~х (U) были изоморфизмами функцио-
функциональных структур.
Если у: R-»- М — гладкая кривая на многообразии М, причем
у(О) = р, и если / есть С°°-функция, определенная на открытой
окрестности точки р, то мы можем определить производную функ-
функции / в точке р по направлению у следующей формулой:
При этом Dy называется также касательным вектором к у в точке р.
Тогда D = OY —дифференцирование алгебры ростков гладких
вещественнозначных функций в точке р, т. е. D удовлетворяет
условиям
A)
B)
где a, b^R nf, g — гладкие вещественнозначные функции, опреде-
определенные вблизи точки р.
Используя локальную координатную систему хх, ..., хп вблизи р,
мы можем, рассматривая / как функцию от хк, ..., хп, записать
10 Г. Гмкдоп

290 ГЛ. VI. ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
кривую у как отображение t>-^-(x1(t), ..., xn(t)). Тогда
Ц р Ж t-o'
так что Dy =
y
р
где а,- = ^
Также
±
где
\р| |?
ц,- —кривая, заданная координатами Xj (t) = 8i,jt. Отсюда следует,
что множество касательных векторов D к кривым в точке р
образует векторное пространство с базисом д/дх1г ..., д/дхп. Это
векторное пространство называется касательным пространством
ТР(М) к М в точке р. На самом деле, нетрудно показать, что
оно совпадает с векторным пространством всех дифференцирова-
дифференцирований алгебры ростков гладких вещественнозначных функций
в точке р. (Это связано с тем, что мы имеем дело с С°°-случаем.
В С^-случае, где k конечно, последнее векторное пространство
намного больше, чем касательное пространство,.) Объединение
Т (М) — У Тр (М) можно превратить в векторное расслоение
рем
над М, называемое касательным расслоением к многообразию М,
(гладкое расслоение со слоем R" и структурной группой GL (п)).
Если <р: М-у N —гладкое отображение многообразий, то суще-
существует индуцированное отображение cps: T (M)-*-T (N), переводя-
переводящее Тр (М) в Гф(/)) (N), называемое дифференциалом и определяемое
следующим образом: если у: Ц-^М — гладкая кривая с у(О) = р,
то положим (pJS(Dy) = D(i.'y. Итак, если g: (/-»-[R гладкое и U —
окрестность точки ц> (р), то
Ф* (Dy) (g) = Dfy (g) = ddt g (Ф (y (t)))t = о = Dy (g. ф).
*
Равенство (ф*1>) (g) = D(g°q>) показывает, что дифференциал q>,
корректно определен. Если у: R-+M — гладкая кривая, то оче-
очевидно, что y*yj[) — Dy. Если отображение ср: УИ->Л/ гладкое и
каждое индуцированное отображение ф^: Тр (М) -> Тф (р) (N) — моно-
мономорфизм, то ф называется иммерсией или погружением. Если ф
кроме того инъективно, то ф называется вложением. Если ф кроме
того есть гомеоморфизм на свой образ ф (М), то ф (М) называется
подмногообразием') многообразия А^ (в смысле дифференциальной
топологии); в этом случае из теоремы о неявной функции следует,
что ф: М -*¦ ф (М) — диффеоморфизм, где ф (М) имеет функциональ-
функциональную структуру, индуцированную функциональной структурой
на N.
1.1. Лемма. Если Э: RхМ-*¦ М — гладкое действие аддитив-
аддитивной группы вещественных чисел на гладком многообразии М,
х) Примером вложения, не определяющего подмногоипразие, может служить
^рациональная обмотка тора. — Прим. перев.

1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ И ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ 291
то множество неподвижных точек М" совпадает с множеством
тех точек р е М, для которых касательный вектор к кривой
тр: R->M нулевой, где xp(t) = S(t, p) = e/(p) = /(p).
Доказательство. Если реМ5, то хр — постоянная кри-
кривая в точке р и Dt =0. Обратно, предположим, что Dx = 0.
Для s€e2 имеем rs[pP)(t) = Ofis(p) = Qs(xp(t)), так что rsip) = SS'Xp.
Итак, ?>,в(р) = (в,),(О.) = (9,Ы0) = 0 для всех s e R. Далее,
если /: ?/->-R есть С^-отображение, определенное вблизи р,
то для достаточно малых s мы имеем
d f (8 (/>)) J / (B* (p))t = o = DXsipj (/) = 0,
dt f (8, (/>)), =. s = Jr /
откуда следует, что ^i—>/(8/(р)) постоянно (в подходящей окрест-
окрестности нуля). Применяя это к координатным функциям в коорди-
координатной окрестности точки р, мы получим, что 11—»• 6/ (р) постоянно
(вблизи t = 0 п, следовательно, для всех t, так как 8^ = 0^8/).
Таким образом, р —неподвижная точка. §
Предположим, что в: G х М -> М — гладкое действие группы
Ли G на гладком многообразии М. Тогда орбитное отображение
л: M-*-M/G индуцирует на M/G функциональную структуру,
которую мы назовем индуцированной гладкой структурой. Таким
образом, функция /, отображающая открытое множество U cz M/G
в R, называется гладкой тогда и только тогда, когда f°n: я~1F')->-
-+¦ R — гладкая функция. Следует особо подчеркнуть, что исполь-
использование этой терминологии не означает, что M/G является мно-
многообразием (так как обычно это не выполняется). Например, если
М = R2 и G = Z2 действует посредством (х, у) >—»- (— х, — у), то M/G
гомеоморфно к2, но гладкая структура на M/G, индуцированная
структурой гладкого многообразия М, не является структурой
гладкого многообразия. С другой стороны, если M = R2 и G = Z2
действует посредством (х, у) >—*¦ (х, —у), то M/G гомеоморфно
полупространству R+ и, как это в действительности может быть
показано, диффеоморфно R1. (Этот замечательный факт не так
легко заметить. Он представляет собой частный случай результа-
результатов, доказанных в § 4, но для читателя будет хорошим упраж-
упражнением попытка доказать его самостоятельно.)
Пусть G — группа Ли; напомним, что каждый касательный
вектор X в точке геб есть касательный вектор X = D\x к един-
единственной однопараметрическои подгруппе ух: R -*- G (т. е. ух (s + 0 =
= yx(s)Yx(t))- Отображение Te(G)-^G, переводящее X в УхA),
называется «экспоненциальным отображением»; итак ехр (X) =
= Vx(l)- Так как %( f (yx(st))t = o = s-*(f(yx(t))t = o = sX, то мы
видим, что ysx(t) = yx(st), и ехр (sX) = yx (s). Итак, дифференциал
ехр..: отображения ехр переводит касательный вектор к кривой
10*

292 ГЛ. VI. ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
si—»- sX в Dy —X. Однако это отображение представляет собой
каноническое отождествление касательного пространства в точке О
вещественного векторного пространства с самим векторным про-
пространством. Итак, при этом отождествлении дифференциал ехр*:
Te(G)->-Te(G) является тождественным отображением. Следо-
Следовательно, ехр диффеоморфно отображает некоторую окрест-
окрестность начала координат 0 в Те (G) в окрестность точки
е в G.
Далее, пусть Н — замкнутая (следовательно, являющаяся
группой Ли) подгруппа группы G. Тогда Те(Н) можно отожде-
отождествить с подпространством пространства Те (Н) касательных век-
векторов к однопараметрическим подгруппам группы G, лежащим
в Н. Пусть У— дополнительное подпространство; рассмотрим отоб-
отображение <р: Te(G) = V xTe(H)-*-G, заданное формулой <р(Х, Y) =
= ехр (X)-ехр (К). Посмотрев на каждый сомножитель, увидим,
что дифференциал ср* в начале координат такой же точно, как
дифференциал для ехр; т. е. ф* = 1 на Te(G). Итак, ф является
диффеоморфизмом некоторой окрестности начала координат О
на окрестность единицы е е G. Если задать в Те (Н) и в У
системы координат, то ф будет индуцировать такую систему коор-
координат xlt ... , хк, уг, ... , yh в G с началом е, что левые смежные
классы по Н задаются координатными плоскостями ^ = 6,, ...
... , xk — ck (Cj —постоянные). Сужая при необходимости область
определения этих координат, легко видеть, что подпространство
У] = 0, ... , yh = 0 определяет локальное сечение С в е для левых
смежных классов по Н (т. е. для канонического отображения л:
G-+-G/H). Далее, функция, определенная вблизи е на G, является
постоянной на левых смежных классах по Н тогда и только тогда,
когда она не зависит от координат г/,, ... , yh. Отсюда следует,
что отображение л переводит С диффеоморфно на некоторую
окрестность точки еН е G/H, где G/H имеет функциональную струк-
структуру, индуцированную отображением я из функциональной струк-
структуры на G. Отсюда следует, что G/H представляет собой гладкое
многообразие. Из коммутативности диаграммы
GxG -> G
(для всех гладких J) и определения функциональной структуры
на G/H можно вывести, что естественное действие G на G/H
является гладким.
1.2. Теорема. Если GхМ-*-М — гладкое действие и х^М,
то каноническое отображение ах: G/Gx-> M, определяемое как
ax(gGx) = g(x), есть вложение.
Доказательство. Так как левые сдвиги пространства
G/Gx и операции g: M-*-M, где ge^G, являются диффеоморфиз-

2. ТРУБЧАТЫС ОКРЕСТНОСТИ 293
мами, то, очевидно, достаточно показать, что дифференциал отоб-
отображения о* в eGx является мономорфизмом. Если X — касательный
вектор в eGx к G/Gx, то X получается (с помощью дифференциала
проекции G—>~G/GX) из касательного вектора Y в точке е группы G.
Кроме того, Y представляет собой касательный вектор Y = Dy
к некоторой однопараметрической подгруппе у: R-*-G группы G.
Если X переходит в OgT.v (М), то и Dy переходит в 0. Тогда
согласно 1.1 точка х должна быть неподвижной при левом дей-
действии группы R, индуцированном гомоморфизмом у: /?->G. Итак,
образ у принадлежит Gx, и поэтому у переводится в постоянную
кривую посредством проекции п: G->-G/Gx. Следовательно, Х =
= л* (Dy) — Dn.y = 0, что и требовалось доказать. |
1.3. Следствие. Если компактная группа Ли действует
гладко на гладком многообразии М, то каждая орбита G (х) явля-
является подмногообразием многообразия М и отображение ах: GlGx^>-
-*- G (х) является диффеоморфизмом. Щ
2. Трубчатые окрестности
Как и в предыдущем параграфе, мы будем считать, что чита-
читатель уже знаком с элементарной дифференциальной геометрией
и в частности, с понятием риманова многообразия и геодезических
линий; или, по крайней мере, что он согласен принять на веру
те несколько свойств этих понятий, которые нам понадобятся.
Пусть М — гладкое многообразие. Предположим, что G гладко
действует на М. Под (гладким) G-векторным расслоением е на М
мы будем понимать такое гладкое векторное расслоение (т. е. рас-
расслоение со слоем W1 и структурной группой GL (п)) вместе с гладким
действием группы G на тотальном пространстве Е (г) с помощью
послойных отображений (линейных на слоях), что проекция п:
Е (е) -v M эквивариантна. Основным примером, конечно, является
касательное расслоение Т (М), на котором G действует посредством
дифференциала данного действия на М.
Скалярным умножением на е называется отображение, которое
«гладким образом» ставит в соответствие каждой точке реМ
скалярное умножение (положительно определенную симметричную
билинейную форму) <•, • )р на слое Fp^n-1(p). В терминах
карт ф: UxRn — я-1(С/), скалярное умножение (•, -)р задается
положительно определенной симметрической матрицей [ait/ (p)]
для каждой точки pet/; т. е.
<ф(Р. (*i. ••• • *«)). Ф(Р. G/i, ••• . yn)))P='^xiaij(p)yj.
i.i
Гладкость скалярного умножения означает, что коэффициенты мат-
матрицы aitj (p) являются гладкими функциями точки р в U. Ска-

294 ГЛ. VI. ГЛАДКИЕ'ДЕЙСТВИЯ
лярное умножение (•, • > на ? называется инвариантным (отно-
(относительно данного G-действия), если
для всех v, w^Fp и всех реМ.
Легко видеть, что скалярные умножения на ? соответствуют
гладким редукциям структурной группы GL (п) расслоения |
к группе О(п). Нам этот факт не понадобится.
Гладкое G-векторное расслоение е вместе с инвариантным ска-
скалярным умножением на g будем называть евклидовым G-расслое-
нием на М.
2.1. Теорема. Пусть G — компактная группа Ли, гладко
действующая на М, и пусть ? — некоторое G-векторное расслоение
на М. Тогда на | существует инвариантное скалярное умножение.
Доказательство. Сначала покажем, что существует (неин-
(неинвариантно) скалярное умножение. С этой целью рассмотрим
локально конечное покрытие {Ua} многообразия М открытыми
множествами, над которыми существуют карты фа: UaxRn-+
-э-я-1^). Над каждым Ua мы можем определить скалярное
умножение < •, ¦ )а с помощью карты сра, т. е. задав его единичной
матрицей. Тогда, если {/„} —гладкое разбиение единицы, подчи-
подчиненное покрытию {Ua}, положим (v, w)p = ^lfa(p) (v, w)a<p для
a
v, w f= Fp, что, очевидно, определяет скалярное умножение на ?.
Теперь определим на | новое скалярное умножение, положив
{v, w}p= \(gv, gw)g(p)dg.
а
Для h^G имеем
{hv, /гш}Л(р)= \(ghv, ghw)gh[p)dg= \(gv, gw)g{p)dg={v, w}p,
a a
так что операция {•, •} инвариантна.
Так как подынтегральная функция является гладкой по р и g,
то отсюда следует, на основании 0.3.3, что операция {•, •} задает
гладкую функцию. Более того, эта функция {•, ¦} очевидно, сим-
симметрична, билинейна и положительно определена потому, что
{v, v\p= \{gv, gv)g(p)dg>Q для с^=0в силу положительности
а
подынтегральной функции. §
Римановой метрикой на М называется гладкое скалярное
умножение на касательном расслоении Т (М) многообразия М.
Итак, мы показали, в частности, что гладкое G-многообразие М
имеет инвариантную риманову метрику, если группа G компактна.
Говорят, что при такой метрике группа G действует посредством
изометрий.

2. ТРУБЧЛТМП ОКРЕСТНОСТИ 295
Если X е Гр (М), где М — риманово многообразие, то суще-
существует единственная геодезическая кривая ух- U-+M, для кото-
которой ух@) — р, и касательный вектор DVY в точке р есть X. Здесь
открытое множество U a R берется в качестве естественной обла-
области определения геодезической кривой. Очевидно, ysX (t) — yx (si)
и экспоненциальное отображение определяется формулой ехр (X) =
= 7хA)- Это отображение в М определено на некоторой открытой
окрестности W аТ (М) нулевого сечения. Кроме того, ехр явля-
является гладким отображением.
Заметим, что касательное пространство к Г (М) в точке р
нулевого сечения (которое мы отождествляем с М) разлагается
в прямую сумму Тр (Т (М)) = Tv 0 Th (пространств вертикальных
и горизонтальных векторов), где пространство Tv состоит из каса-
касательных векторов к ТР(М) czT (M) и, следовательно, канонически
изоморфно ТР(М), а Th состоит из касательных векторов к нуле-
нулевому сечению М и, следовательно, также канонически изоморфно
ТР(М). Ограничение дифференциала отображения ехр на Tv,
очевидно, в точности совпадает с отождествлением Тъ с Тр (М),
так как ^/(ехр (/X)), = 0 = ^/(yx (*))* = о ==*(/)• Кроме того, ехр
является тождественным отображением на нулевом сечении и,
следовательно, ехр*|!ГЛ есть каноническое отождествление Th
с ТР(М). Так как дифференциал представляет собой линейное
отображение касательного пространства в некоторой точке,
то отсюда следует, что в точке ре/И с учетом вышеука-
вышеуказанных разложения и отождествлений Тр (Т (М)) = 7^, @ Г,, =
=» Тр (М) 0 Тр (М), дифференциал ехР;)!: Тр (М) ф Тр (М) -»- Тр (М)
совпадает с отображением, задающим сложение векторов в век-
векторном пространстве Тр (М).
Предположим теперь, что G гладко действует на М и что
данная римансва метрика на М G-инвариантна, Тогда, так как
геодезические линии и экспоненциальное отображение в терминах
римановой метрики определены канонически, то отображение ехр
вместе с его естественной областью определения эквивариантно
относительно действия группы G на Т (М) посредством дифферен-
дифференциала G-действия на М. Вышеизложенные факты, касающиеся
экспоненциального отображения— это и есть все, чем мы будем
пользоваться в дальнейшем.
Пусть G гладко действует на М, и пусть A cz M — гладкое
инвариантное замкнутое подмногообразие. Тогда Т (А) является
подрасслоением ограничения Т (М)' А. Фактор-расслоение Л/(Л) =
—(Т (М) | А)/Т (А) называется расслоением, нормальным к А в М
и, очевидно, является гладким векторным G-расслоением над А.
Если М — риманово многообразие и G действует посредством
изометрий, то Т (А) имеет ортогональное дополнение Т (АI-
в Т (М); А, и Т (A)L канонически изоморфно N (А) и представляет

296 ГЛ. VI. ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
собой евклидово G-расслоение на А. Под открытой инвариантной
трубчатой окрестностью подмногообразия А в М мы будем под-
подразумевать гладкое G-векторное расслоение ? над А и эквивари-
антный диффеоморфизм <р: Е($)-*-М на некоторую открытую
окрестность подмногообразия А в М, такой, что ограничение <р
на нулевое сечение А расслоения | совпадает с включением А
в М. Если ? —евклидово G-расслоение над А, то ограничение
такого диффеоморфизма ф на расслоение D (!) -> М, слоем которого
является единичный диск, называется замкнутой инвариантной
трубчатой окрестностью подмногообразия А. Согласно 2.1, любая
открытая инвариантная трубчатая окрестность «содержит» замк-
замкнутую инвариантную трубчатую окрестность, если G —компактная
группа.
2.2. Теорема. Если компактная группа Ли G гладко дей-
действует на М и если А — замкнутое инвариантное подмногообразие,
то А имеет в М открытую инвариантную трубчатую окрест-
окрестность.
Доказательство. Мы можем предположить, что G дейст-
действует посредством изометрий относительно некоторой римановой
метрики на М. Итак, мы можем рассматривать нормальное рас-
расслоение N (А) как ортогональное дополнение к Т (А) в Т(М)\А.
Тогда экспоненциальное отображение определяется на некоторой
открытой инвариантной окрестности U множества А в N (А) и
это отображение exp: U-+M эквивариантно. Для аеЛ диффе-
дифференциал
exp*: Ta(N (А)) = Na(А) ф Та (А) = Та (М) -v Та (М)
есть тождественное отображение. Итак, существует меньшая инва-
инвариантная открытая окрестность V множества А в N (А), на кото-
которой ехр# представляет собой изоморфизм на касательном про-
пространстве в каждой точке окрестности V. Это означает, что
exp: V -v M есть иммерсия. Так как А замкнуто, то очевидно,
что окрестность может быть взята настолько малой, чтоехр~'(/1)=/1-
Так как на А отображение ехр тождественное, то из леммы 2.3
(которая будет доказана позже) следует, что существует еще мень-
меньшая инвариантная окрестность W множества А в Л/ (А), на кото-
которой ехр представляет собой вложение. Определим функцию /:
Л-vR, положив f (а) равным вгрхней грани множества тех дей-
действительных чисел, для которых открытый шар радиуса г, лежа-
лежащий в N (А), лежит в W. Тогда f(ga) — f(a) для всех а<= А и
geG и f является полунепрерывной снизу положительной функ-
функцией на А. По теореме Даукера (см. Дугунджи [1], с. 170)
существует такая непрерывная функция h на А, что 0<.h(a)<C
</(а). Согласно теореме о гладкой аппроксимации, мы можем
считать, что ft— гладкая функция. Используя нормированный ин-
интеграл на G, определим гладкую функцию k: A-*-U следующим

2. ТРУБЧАТЫЕ ОКРЕСТНОСТИ 297
образом:
]h{ga)dg.
в
в
Тогда 0<k(a)<\f(ga)dg = f(a)\dg = f(a) и k(ga) = k(a) для
о в
всех g eG.
Далее, определим г|з: N (Л)->-УУ (А) формулой
^ A+<»1/2
где л — проекция N(A)-*-A. Тогда \|з — эквивариантный диффео-
диффеоморфизм на свой образ, который является открытым множеством
{v <= N(A)\lul<k(n(v))}.
Итак, ф=«ехр°'ф: N(A)-*- М представляет собой открытую инва-
инвариантную трубчатую окрестность подмногообразия А. Щ
Как было указано, мы еще должны доказать следующую лемму.
2.3. Лемма. Пусть X и Y — метрические пространства, и
пусть f: X -> У — локальный гомеоморфизм (т. е. каждая точка
х <= X имеет открытую окрестность, которая гомесморфно ото-
отображается на открытое множество в У). Предположим, что f
взаимно однозначно на подпространстве АаХ и что /-1/ (А) — А.
Тогда А имеет открытую окрестность U, на которой f представ-
представляет собой гомеоморфизм на f (U).
Доказательство. Положим B = f(A)czY. Мы можем,
не нарушая общности, предположить, что f — сюръективное ото-
отображение. Тогда для каждой точки i/eF существует точка «еХ
такая, что f(x)*=y и / гомеоморфно отображает некоторую окрест-
окрестность точки у в окрестность точки х, так что вблизи каждой
точки у можно определить отображение, обратное к /. Так как
пространство У паракомпактно, то мы можем найти локально
конечное покрытие {Ua\ пространства У и такие открытые отобра-
отображения ga: Ua-*-X, что отображения fga являются тождествен-
тождественными на каждом Ua. Пусть {Fa}—такое покрытие пространства У,
что Va с: Ua. Пусть W — множество таких точек у е У, что если
у <= Va П Vp, то g-x (у) = g-p (у). Тогда отображения ga \Va[\W
склеиваются и вместе определяют такое отображение g: W-*-X,
что fg=lw Так как /-1 (В) = А и отображение f\A взаимно
однозначно, то W zd В.
Мы утверждаем, что множество W открыто. Чтобы увидеть
это, возьмем у е W и положим g (у) = х, так что / (х) = у. Пусть
Af — открытая окрестность точки х, на которой отображение /
взаимно однозначно. Предположим, что y^Va (]...[}Vak, но что
у (ф Ур для р Фах, ..., аА. Тогда существует открытая окрест-

298
ГЛ. VI. ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
ность М точки у, не пересекающаяся ни с одним таким множе-
множеством Vp. Более того, так как ga-(y) = x, то мы можем взять
окрестность М настолько малой, что ga. (M) cz N. Далее, если
геМ и если ga.(z)=?ga.(z), то, так как / взаимно однозначно
на N, имеем z — fga.(z)=^=fga.(z) = z; тем самым мы пришли к про-
противоречию. Итак, MczW и W открыто, что и требовалось доказать.
Далее, отобрал-е.ше g открыто, так как g = ga на каждом
открытом множестве VaflW. и потому g(W) — открытое множе-
множество, содержащее А. Кроме того, отображение / взаимно одно-
однозначно на g(W), потому что fg=\w. Так как отображение /
открыто, то оно представляет собой гомеоморфизм из g(W) на W,
и отображение, обратное ему, есть g. Щ
2.4. Следствие. Гладкое действие компактной группы Ли
локально гладко.
Доказательство. Пусть G действует на G/H посредством
левых сдвигов, и пусть | — (гладкое) евклидово G-расслоение над
G/H. Пусть V—слой над точкой еН/Н; заметим, что Н действует
на V ортогонально. Каноническое отображение г|з: GxuV -*¦ Е Q,),
определенное как ty[g, v] = g(v), представляет собой согласно
II.4.4 эквивалентность G-пространств. Итак, если GX = H и
ср: Е (ё)->М — инвариантная трубчатая окрестность орбиты G (х)
(существующая согласно 1.3, 2.1 и 2.2 для некоторого такого |),
то <р-г|) есть линейная трубка вокруг G (х) в смысле § I гл. IV. Щ
Для удобства будущих ссылок напомним, что GX//V есть рас-
расслоение над G/H, ассоциированное с гладким главным Я-расслое-
нием G-+-G/H, и так как Н действует на V гладко, то сущест-
существует каноническая гладкая структура на GxHV. Так как ото-
отображение -ф: GxwV->•?(!) накрывает тождественное отображение
пространства G/H и является диффеоморфизмом на слое V, то
оно, очевидно, является диффеоморфизмом. Итак, трубка (p°\J):
G х nV ->- М есть диффеоморфизм на открытую окрестность данной
орбиты G (л:). Ниже мы используем этот факт. Заметим, что тем
самым мы показали, что локально гладкое G-пространство (G —
компактная группа Ли) есть в точности такое G-пространство,
каждая орбита которого имеет открытую инвариантную окрест-
окрестность, обладающую такой О^-структурой, в которой G действует
гладко. Это согласуется с термином «локально гладко» (хотя
«локально сглаживаемо» было бы точнее). Результаты типа IV. 1.1
о том, что ограничение локально гладкого действия на подгруппу
остается локально гладким, теперь тривиально следуют из этих
замечаний и 2.4. Определенно неверно, что локально гладкие
действия являются (глобально) гладкими в некоторой дифферен-
дифференциальной структуре. Действительно, существуют топологические
многообразия, допускающие локально гладкие действия, но не
допускающие никакой дифференцируемой структуры. Существуют

J. ТРУБЧАТЫЕ ОКРЕСТНОСТИ 299
также гладкие многообразия, не допускающие никаких гладких
Б^действий, хотя соответствующие им топологические многообразия
допускают локально гладкие S'-действия (см. 9.6).
Заметим, что если peMQ, то, применив 2.1 и 2.2 к А={р\,
получим доказательство существования таких локальных коор-
координат с центром в точке р, в которых действие группы G задается
ортогональным представлением. Этот результат впервые был по-
получен Бохнером [ 1 ].
Из того, что трубка cp*i|) в доказательстве 2.4 есть диффеомор-
диффеоморфизм, и того, что (бХя^)(Я1Л=!@/Я)хУн, мы получаем следую-
следующий результат (см. IV.3.3).
2.5. Следствие. Пусть G — компактная группа Ли, гладко
действующая на М. Тогда подпространство М(н)> состоящее из
точек орбит типа G/H, есть гладкое подмногообразие (локально
замкнутое) многообразия М и представляет собой гладкое
G/H-расслоение над пространством своих орбит УИ*я). |
Теперь перейдем к вопросу о единственности инвариантных
трубчатых окрестностей. Две инвариантные трубчатые окрестности
ф: Е (|) -*• М и ф: Е (ц) -*¦ М замкнутого инвариантного подмного-
подмногообразия A cr M называются эквивариантно изотопными, если
существуют инвариантные трубчатые окрестности qy Е (?) -> М
подмногообразия A, t e[О, I], и эквивалентность гладких вектор-
векторных расслоений 6: Е (?) -> Е (г\), такая, что <pi = (p, cpo = i])-8 и
отображение [0, 1 ] х Е (|) ->- М вида (/, v) >—* % (и) гладко. На осно-
основании стандартных утверждений, которые мы опустим, можно
предположить, что <pt не зависит от t для всех t, находящихся
вблизи 0, соответственно для всех t вблизи 1; отсюда легко
вывести, что изотопия представляет собой отношение эквивалент-
эквивалентности между инвариантными трубчатыми окрестностями подмного-
подмногообразия А. (Определение изотопии замкнутых инвариантных
трубчатых окрестностей то же самое, за исключением, конечно,
дополнительного требования, чтобы б было эквивалентностью
О (п)-расслоений.) Заметим, что необходима G-эквивариантность
отображения 8.
2.6. Теорема. Если G —компактная группа Ли, действую-
действующая гладко на М, и если А а М — замкнутое инвариантное под-
подмногообразие, то любые две (открытые или замкнутые) инвариантные
трубчатые окрестности многообразия А эквивариантно изотопны.
Доказательство. Заметим, что, как следует из доказатель-
доказательства 2.2, существует инвариантная трубчатая окрестность много-
многообразия А, образ которой содержится и в образе ф, ив образе г|з.
Так как изотопия является отношением эквивалентности, то доста-
достаточно ограничиться случаем, когда образ ф содержится в образе ty.
(В частности, определено i|rV Е (\)-*-Е (i\).) Тогда формула

300 ГЛ. VI. ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
имеет смысл ')• Нам необходимо изучить отображение ф/(-), когда
t приближается к 0.
Пусть р s Л и пусть хъ ..., хт — локальные координаты
в открытой окрестности U с: А точки р. Пусть ylt . ., уп — коор-
координаты в R" (слое расслоений \ и ц). Используя карту для ц,
мы можем считать, что Е (ц \U) = U x R". Тогда хъ ..., хт,
уи ..., уп можно рассматривать как локальные координаты на М
с центром в р, используя г|х UxRn-*-M в качестве карты (таким
образом, -ф в этих координатах является тождественным отобра-
отображением). Используя карту Е (| | V) >=& U x R" для |, мы можем
представить ф в окрестности точки р ее A cz E (?) следующим
образом: ц>(х, у) = (к(х, у), ц(х, у)), где Х(х, у) = (%1(х, у), ...
..., Хт(х, (/))eR", \х(х, у) = (цх(х, у) \in(x, t/))eR". Так
как ф(л;, 0) = (л:, 0), то Х(х, 0) = х и jj, (x, 0) = 0.
Итак,
Ф/(лг, y) = ty(-f ty~l(p(x, ty)) = (X(x, ty), (~ц(х, ty)}
(это равенство определено для достаточно малых t^O). Далее,
функция Х(х, ty) коррек!но определена и является гладкой отно-
относительно х, у, t даже для / = 0. Так как \х(х, 0) = 0, то по теореме
Тейлора мы можем записать
V-i (x, у)= 2 ai. i (х) У/ + 2 @''А * (¦*• •'¦/) fWft»
где со;,/,* — гладкие функции и atj (х) = (дц1/ду^ (х, 0). Итак,
определена функция •- \it (x, ty)— Л«/,/ {х)у/ -\-t )o)Uii(i, ty) у/ук,
i j. k
гладкая относительно х, у, t даже для ^ = 0. >олее того ц>0(х,у)==
— (х, Lx{y)), где Lx: R"->R"— линейное отображение, заданное
матрицей [аг>/ (х)]. Далее, Lx есть в точности дифференциал ото-
отображения yi—"\i(x, у) в точке у = 0, которая является неособой,
так как дифференциал отображения ф в точке (х, 0) задается
неособой матрицей
Г/ 0
I* Lx
Итак, б == г|з—Jqj0: E (с,) -v ? (ц) представляет собой эквивалентность
векторных расслоений, заданную в этих координатах формулой
6 (х, у) — (х, Lx(y)) (так как отображение г|з в использованных
координатах является тождественным).
Это рассуждение завершает доказательство для случая откры-
открытых трубчатых окрестностей. Чтобы перейти к случаю замкнутых
трубчатых окрестностей (где g и т] являются теперь евклидовыми
J) В этой формуле операция умножения на число 1 // определяется по-
послойно.— Прим. ред.

S. ТРУБЧАТЫЕ ОКРЕСТНОСТИ 301
G-расслоениями), достаточно показать, что эквивалентность экви-
вариантных GL (п)-расслоений 6: Е (?) -> Е (ц) эквивариантно
изотопна эквивалентности О (я)-расслоений. На самом деле изотопия
будет канонической и будет проходить через GL(n)-эквивалент-
GL(n)-эквивалентности.
Напомним некоторые факты из линейной алгебры. Каждой
положительно определенной симметрической вещественной мат-
матрице Q можно единственным образом сопоставить такую поло-
положительно определенную симметрическую матрицу Р, что P2 = Q,
т. е. P = Qi/2. (Пусть Т — ортогональное преобразование базиса,
приводящее Q к диагональному виду, т. е. TQT' = d\ag(X1, ..., Я„),
где Яг>0. Тогда матрица Р = О}12 однозначно определяется тем,
что ТРТ' = diag("|/Xt, ..., У%).). Более того, отображение Q>—*¦
i—*-Q}i2 — гладкое относительно матричных коэффициентов. Очеви-
Очевидно также, что если Рг и Р2 — положительно определенные сим-
симметрические матрицы, то такова же будет их любая выпуклая
линейная комбинация tP1-\-(\ —f)Рг, O^t^l. Далее, для про-
произвольной неособой матрицы В образуем положительно опреде-
определенную симметрическую матрицу В'В. Положим Р — (B'B)i/2 и
0=ВР-\ Тогда 00' = BP^P-W = В(Р^В' = В(В'В) *В' = ВВ'1 X
хВ'В' = /, так что О —ортогональная матрица. Очевидно,
матрицы Р и О гладко зависят от В. Разложение В = 0Р, где
О —ортогональная, а Р — положительно определенная симметриче-
симметрическая матрица, единственно, так как для любого такого разложе-
разложения имеем В'В = (ОР)'(ОР) = Р'О'ОР = РО'ОР = Рг, и, следова-
следовательно, Р = {В'ВУ12. В частности, разложение В = ОР естественно
относительно ортогональной замены базиса. Так как | и т) яв-
являются О (п)-расслоениями, то 8: Е (?) -*- Е (ц) может быть един-
единственным образом представлено в виде
6: ЕA)^ЕA)~^Е(ц),
где отображение 9' на каждом слое задается положительно опре-
определенной симметрической матрицей, a G" — ортогональная эквива-
эквивалентность. Кроме того, б' и 6" —гладкие (так как О и Р гладко
зависят от b <= В) и G-эквивариантные отображения (так как раз-
разложение В — ОР сохраняется при ортогональных преобразованиях).
Итак, если положить 6* = 9о «(й)'4-A — t) I), то получим искомую
изотопию между б и ортогональной эквивалентностью 6". Щ
Замечание. Наше рассуждение о существовании и един-
единственности трубчатых окрестностей по существу совпадает с рас-
рассуждениями Ми л нор а [3]; также см. Лен г [1]. Из теоремы
Тома (см. М и л н о р [3]) следует, что если многообразие А ком-
компактно, то данную замкнутую трубчатую окрестность много-
многообразия А можно перевести в любую другую замкнутую труб-
трубчатую окрестность при помощи объемлющей изотопии I x M—>-М,

302 ГЛ. VI. ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
которая постоянна по I вне некоторой компактной окрестности
многообразия А. Нетрудно доказать существование эквивариант-
ной модификации этого результата, но мы опустим это доказа-
доказательство по двум причинам: во-первых, оно аналогично доказа-
доказательству теоремы, которая будет доказана в следующем параграфе;
а, во-вторых, эквивариантный результат получается из неэкви-
вариантного посредством применения следующего параграфа.
3. Интегрирование изотопии
Пусть М — гладкое многообразие. Изотопия многообразия М
представляет собой такое гладкое отображение qp: [ XM-+-M,
что каждое ф^: М-^М — диффеоморфизм, где ц>((х) = ц>((, х) и
Ф; не зависит от t в некоторой окрестности бив некоторой
окрестности ]. (Без ограничения общности можно предположить,
что ф0— тождественное отображение.) Если группа G гладко
действует на многообразии М, то множество фс = {х е М | ф, (gx) =
~g4>t(x) для всех /е! и всех g-eG} является замкнутым
инвариантным подпространством многообразия М и называется
подпространством эквивариантности изотопии ф. Если ф°=М,
то изотопия ф называется «эквизариантной». Следующий резуль-
результат позволяет заменить изотопии некоторого типа эквивариант-
ными изотопиями.
3.1. Теорема. Пусть ф — изотопия многообразия М, и
пусть G — компактная группа Ли, действующая гладко на М.
Предположим, что ф0: М-*-М эквивариантно и что М — ф°
имеет в М компактное замыкание. Тогда существует эквивариант-
ная изотопия о|) многообразия М, совпадающая с ф на I x фй и
такая, что ¦фо = фо-
Доказательство. Рассматривая композицию изотопии ф
с ф^1, мы можем считать, что ф0 — тождественное отображение.
Так как ф — одно и то же для t, находящихся вблизи 0, а также
вблизи 1, оно очевидным образом может быть продолжено до
гладкого отображения ф: R х М^-М (так несколько удобнее).
Пусть F: R x M->R xM — диффеоморфизм, определенный фор-
формулой F (t, x) = (t, ф (/, л:)). Применяя дифференциал F% отобра-
отображения F к векторному полю d/dt на КхУИ, мы получим вектор-
векторное поле X = Fit.(d/dt) на RxM. R-компонента поля X есть,
очевидно, d/dt. Интегральные кривые поля X представляют
собой образы относительно F интегральных кривых поля d/dt,
т. е. кривые t\—*¦ (t, q>(t, x)).
¦ Используя нормированный интеграл на G, определим на
RxM новое векторное поле Y посредством формулы

3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИЗОТОПИИ 303
(это интеграл векторнозначного отображения из G в Т«, Х)
Тогда
Y(t. их) = Jff, (*</. g-x hX))dg = \ {hg)* (X{t. g-i*))dg = h
G G
откуда следует, что поле У инвариантно относительно канони-
канонического G-действия на Г(КхТИ). Так как R-компонента поля X
постоянна и равна d/dt и так как действие группы G на Т (RxM)
сохраняет эту компоненту, то R-компонента поля У также сов-
совпадает с d/dt.
Предположим, что лгеср0. Тогда F(t, x)=gF(t, g~xx) для
всех t, поэтому X,,. ^=gr* (X{t, g-iX)), и следовательно, Yu, *>«=
— Xu, x).
Далее, интегральные кривые векторного поля У локально
существуют в силу теоремы существования для обыкновенных
дифференциальных уравнений (см. например, Стер нберг [1],
с. 102). Так как У имеет К-компоненту d/dl и, следовательно,
не имеет особенностей, то каждая интегральная кривая в конце
концов оказывается вне компактного множества I X (М — int (ф°)).
Так как вне этого компактного множества Y — X, то интеграль-
интегральные кривые векторного поля У определены глобально. Это
значит, что существует такое гладкое действие G: Rx(RxM)->-
—>- (К х Л4) группы R на RxM, что векторное поле, касательное
к орбитам (возникающее из поля d/dt на группе) есть У. Так
как R-компонента поля У есть d/dt, то диффеоморфизм (t, x) \—-
i-*@{t, @, х)) имеет вид 0(/, @, x)) = (t, i|)(/, х)), и отобра-
отображение а|),: xi—*ty(t, x) должно быть диффеоморфизмом простран-
пространства М. Далее, t>—>6(^,@, x)) = (t, %(x)) есть интегральная
кривая поля У с началом в @, х) и 11—*¦ F (t, x) = (t, (ft(x)) —
интегральная кривая поля X с началом в точке @, сро(л:)) =
= @, х). Отсюда следует, что при х е ф° имеем tyt(x) — 4>t(x)
для всех t. Так как поле У G-инвариантно, то отсюда следует,
что г|з —эквивариантная изотопия, f
Проиллюстрируем полезность теоремы 3.1, применив ее для
доказательства следующего факта.
3.2. Следствие. Пусть G — компактная группа Ли, гладко
действующая на М, и пусть х и у — точки, принадлежащие одной
и той же компоненте множества Мс неподвижных точек. Тогда
существует эквивариантная изотопия iJj: 1 X М ~>- М, где % — тож-
тождественное отображение и ipj (x) = у. Более того, изотопию -ф
можно выбрать постоянной по t вне некоторого компактного
множества.
Доказательство. Мы предполагаем известным тот стан-
стандартный факт, что существует такая (неэквнварнантная) изотопия
Ф, которая является постоянной (следовательно, эквивариантной)
вне некоторого компактного множества и которая перемещает х

304 ГЛ. VI. ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
вдоль некоторого пути в MG в точку у. Так как М—ф° имеет
тогда компактное замыкание и так как х е= ф° (путь ф/ (х) при-
принадлежит Мс), то результат следует из 3.1. |
Замечание. Напомним тот факт (упомянутый в § 2), что
две замкнутые трубчатые окрестности точки у взаимно изотопны,
посредством объемлющей изотопии, постоянной вне компактного
множества. Тогда применение теоремы 3.1 показывает, что верен
и эквивариантный аналог этого предложения. Итак, мы вывели
из 3.2, что г^ можно считать отображающим данную окрестность-
диск точки х ортогонально на любую данную окрестность-диск
точки у (где предполагается, что G действует ортогонально на
обоих этих дисках).
4. Эквивариантные гладкие вложения и аппроксимации
В этом параграфе мы докажем теорему, полученную незави-
независимо Мостовым [1] и Пале [2] и утверждающую, что ком-
компактное многообразие с гладким действием компактной группы
Ли G может быть гладко вложено в пространство ортогонального
представления группы G. Более сильные результаты, аналогич-
аналогичные теореме вложения Уитни, были получены Вассерманом
[2], причем условие компактности было ослаблено до условия
конечности числа орбитных типов, но мы не будем здесь обсуж-
обсуждать эти достижения. Теорема вложения применяется для того,
чтобы показать, что эквивариантное отображение может быть
аппроксимировано эквивариантно гомотопным ему гладким ото-
отображением; см. Бредон [12] и Вассерман [2].
Главным случаем следующей теоремы является, конечно, тот
случай, когда М = К = N — компактное многообразие.
4.1. Теорема. Пусть G — компактная группа Ли, гладко
действующая на многообразия М. Пусть, далее, К —компактное
инвариантное подпространство многообразия М и N =э К — откры-
открытая инвариантная окрестность К- Тогда существуют такое
ортогональное действие группы G на некотором евклидовом про-
пространстве R" и такое гладкое эквивариантное отображение
б: M->-|R", которое является вложением (в гладком смысле) на
К и нулем вне N.
Доказательство. Пусть Н — замкнутая подгруппа группы
G. Согласно 0.5.2 существуют такое ортогональное представление
группы G на некотором евклидовом пространстве Vo и такая
точка v0 е Vo, что Gv = Н. Предположим, что нам дано ортого-
ортогональное представление группы G на некотором евклидовом про-
пространстве V zd V. Согласно 0.4.2 существует ортогональное
представление группы G на некотором пространстве W = V0 ©V,
продолжающее //-действие на V. Тогда G действует ортогонально
на W = Vo © V посредством суммы этих двух представлений.

4. ЭКВИВАРИАНТНЫЕ ГЛАДКИЕ АППРОКСИМАЦИИ 305
Рассмотрим отображение <р: G х н V -*¦ Vo © V =» W, определенное
равенством y\g, v] = go(va + v). Если <p[g, v] = q>\g', v'], то
g(vo + v)=g' (vo + vr), так что g?'К) = i>0 и g-y (у') = v. Итак,
h = g~1g' ееН к h(v') = v, поэтому [g, v\ = [gh, h~1v] = \gt, v'],
и потому ф есть взаимно однозначное соответствие. Так как
GXtfV имеет дифференцируемую структуру, индуцированную
дифференцируемой структурой многообразия GxV, и так как
отображение, задающее действие G х V -> W, гладкое, то отсюда
следует, что q> — гладкое отображение.
Стационарная подгруппа точки [е, v] есть Hv, и она же является
стационарной подгруппой точки vo-\-v ^W. Итак, ф диффеомор-
фно отображает орбиту точки [е, v] на G(vo-\-v) (согласно 1.3).
Дифференциал отображения ф в силу этого взаимно однозначен
на касательном пространстве к орбите в точке [е, v]. Однако
нормальное пространство к орбите точки [е, v] является подпро-
подпространством пространства V, и ф отображает его взаимно одно-
однозначно и аффинно в W, тогда как ф* взаимно однозначно на
всем касательном пространстве к GxHF в [е, v]. Согласно
эквивариантности дифференциал ф„. взаимно однозначен всюду,
поэтому ф — взаимно однозначное погружение. Так как ф, оче-
очевидно, собственное отображение, то оно является вложением
(важно только то, чтобы ф было вложением вблизи нулевого
сечения G/H).
Пусть s > г > 0, и пусть f: R -»¦ R — такая гладкая функция,
что
/@ = 1 для t^r,
/(*)=?0 для t<s,
/@ = 0 для /Sss.
Определим г|з: G Хн^-^й7 формулой
v] = f(\v\-)-(pTg, v].
Тогда отображение tp эквивариантно, является вложением для
||i>;i<;r и нулевым отображением для :iw||^s.
Далее, если х <= М и GX = H, то G(x) имеет инвариантную
трубчатую окрестность вида G XhV. Так как i|)[g, v] = 0 для
[yjl^s, то г|з можно продолжить нулем на все оставшиеся точки
из М. Аналогично, отображение G Хя^-^R. заданное формулой
[^> v]'—*¦/( il v 'is/r), продолжается до эквивариантного отобра-
отображения т: M-+-R, которое является ненулевым в точности тогда,
когда [\v;\<ir (где G действует на R тривиально.)
Иными словами, для любой точки хеМ мы нашли такое
ортогональное представление группы G на евклидовом простран-
пространстве Wх, такое гладкое эквивариантное отображение ijv M -*¦
—*¦ Wх, являющееся вложением на некоторой открытой окрест-
окрестности Ux множества G (х), и такую гладкую эквивариантную

306 ГЛ. VI. ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
функцию %х: M-+-R, что Тд. отлична от нуля в точности на Ux.
Более того, мы можем предположить, что tyx (у) = 0 для точек у,
находящихся вне любой заранее заданной окрестности мно-
множества Vх.
Если К а М — любое компактное инвариантное множество,
то К может быть покрыто конечным числом таких открытых
множеств, т. е. KczUxl\J ... \}UXh, и можно считать, что каж-
каждое отображение % обращается в нуль вне данной окрестности
N множества К. Отображение G: М-v №*, ф.. .ф №*AфК* вида
8 (х) = A|)л, (х),... , гр^. (х), хХ1 (х),... , тл.,( (х))
является гладким и эквивариантным. Если х, у е U (УДГ1 и если
8(х) = 6(г/), то для некоторого ; имеем тХ1(х) = rVj (//) ^ 0, а это
означает, что х, г/ е t/Xj и, следовательно, что х = у, так как
i|>.Vj взаимно однозначно на Uxv Так как дифференциал отобра-
отображения tyXi взаимно однозначен на UXi, то отсюда следует, что
эквивариантное гладкое отображение Q является вложением на
окрестности множества К и обращается в 0 вне N. Щ
Для дальнейшего наиболее важным приложением теоремы
о гладком вложении является теорема о гладкой аппроксимации.
Когда мы говорим, что отображение <р: M-+N может быть «ап-
«аппроксимировано» отображением -ф: М -+-N (с некоторыми свой-
свойствами), мы подразумеваем, что для данной метрики на N и для
данной положительной функции е: УИ-»-К+ отображение \|) таково,
что dist (i|)(x), ф(х))<е(х) для всех х е М. Это понятие не зави-
зависит от специального выбора метрики на N.
4.2. Теорема. Пусть G — компактная группа Ли, гладко
действующая на многообразиях М и N, и пусть ср: /W-vjV —
эквивариантное (непрерывное) отображение. Тогда ср м<>жет быть
аппроксимировано гладким эквивариантным отображением г|х
M-*-N, которое эквивариантно гомотопно отображению ср посред-
посредством гомотопии, аппроксимирующей постоянную гомотопию.
Более того, если ц> уже гладкое на замкнутом инвариантном
множестве Acz M, то отображение г|з может быть выбрано так,
что оно на А совпадает с ф и гомотопия между ц> и а|з там
постоянна.
Доказательство. Идея доказательства состоит в том, чтобы
гладко вложить Af в ортогональное представление на Rre, ап-
аппроксимировать ф отображением в R" и усреднить эту аппрокси-
аппроксимацию по группе для того, чтобы получить эквивариантную ап-
аппроксимацию в R", а затем уже применить проекцию нормальной
трубки к N a R". Для большинства целей (например, если М
или N компактны) этого рассуждения достаточно для доказатель-
доказательства, но в общем случае мы должны преодолеть некоторые тех-

4. ЭКВИВАРИАНТНЫЕ ГЛАДКИЕ АППРОКСИМАЦИИ 307
нические трудности, так как N, вообще говоря, нельзя вложить
в представление.
Пусть К — компактное инвариантное множество в М, и пусть
V zd ф (К) — такое открытое инвариантное множество в N, что V
компактно. Пусть 8: A^-^-R" —эквивариантное гладкое отображение,
которое является вложением на окрестности множества V. Пусть
t/ —такая открытая инвариантная окрестность множества К, что
V компактно и U cz ф (V). Аппроксимируем отображение 6ф:
Af-^-R" таким отображением X: M-+-W, что:
A) к гладкое на окрестности множества К,
B) А, = 8ф на {M-U)[]A.
Напомним конструкцию такой аппроксимации (см. Мил-
нор [2]). Пусть Vx — такая окрестность точки леМ и Хх:
Ух ->• R — такое отображение, что:
(i) Если х е А П U, то VxaU и %х — гладкое локальное про-
продолжение отображения 0ц> \ A f] Vx (которое существует по опреде-
определению для достаточно малых Vх).
(И) Если хевМ — U, то VX = M~K и K = 4\VX.
(iii) Если x^U — A, то VxczV — А и 1Х (у) = 9ф (х) (т. е.
Хх — постоянная функция на Vx).
Пусть {/„} — гладкое разбиение единицы, подчиненное некото-
некоторому локально конечному покрытию, вписанному в покрытие
{V'х\; обозначим через cci—-х (а) отображение вписывания.
Положим b(y) = '?jfa(y)Xx{a)(y). Это отображение, очевидно,
удовлетворяет нашим требованиям, и степень аппроксимации
отображением X отображения 6ф может быть сделана настолько
точной, насколько мы' пожелаем, если взять окрестности Vx
достаточно малыми для точек xe.il.
Теперь определим jj,: M-^R" равенством
Тогда n(hx) = '\)gX(g-'ihx)dg = ^(hg)'k(g-1x)dg — hii(x), так что
\l — эквивариантное отображение. Далее, для точек у, пробегающих
все G(x), имеем \\ii(x)-^(x)\\^\\(gX(g-1x)-g(Q<f)(g-lx))dgl^
«s; max \\X(y) — (9ф)(г/)||1), так что |х аппроксимирует бф настолько
точно, насколько мы пожелаем. Более того, (х —гладкое отобра-
отображение на некоторой окрестности множества К и равно 8ф на
(M-U)[)A.
Далее, так как 6 — вложение на некоторой окрестности мно-
множества V , то отсюда следует (как в доказательстве 2.2), что
1) Здесь использовано то обстоятельство, что G действует на R" ортого-
ортогонально. — Прим. перев.

308 ГЛ. VI. ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
существует инвариантная трубчатая окрестность множества 6 (V)
в R". Кроме того, \i можно предположить настолько точной
аппроксимацией отображения 6ф, что для х е 9-1(F) каждый
отрезок между ц (х) и 6<р (х) лежит в этой трубчатой окрестности
(напомним, что ц, (х) = бср (х) для х^ M — U). Пусть г — (гладкая
инвариантная) ретракция этой трубчатой окрестности на б (V).
Тогда отображение r\: M->R", заданное формулами
ГЦ(Х) ДЛЯ JIEf'tH,
для дсеМ-t/,
является аппроксимацией отображения бф, и отображения х}(:
M-*-Ra, заданные формулами
/л I ¦ \"f vi i v* "/ "f v"// ДЛЯ X S ф ('jt
^ fi (л:) = бф (л:) для х е= /W — с/,
определяют гомотопию между T] = Tit и бф = тH. Так как % = 9ф
вне 0, то мы можем единственным образом Еернуть r\t назад,
превратив его в %: M-+N, так что 6ф/ = т1, и % = ф вне ?Л
Полагая ip = ij>i, заметим, что
(a) %f гладкое на окрестности множества К
(b) ¦ф = ф на (М — U)\JA.
Кроме того, г|з, очевидно, эквивариантно, и с его помощью
можно аппроксимировать ф настолько точно, насколько это будет
необходимо (аналогично, готопия ify аппроксимирует постоянную
гомотопию).
Чтобы завершить доказательство, выберем инвариантную непре-
непрерывную функцию /: M-v[R+, являющуюся бесконечной в беско-
бесконечно удаленной точке (например, возьмем метрику на одното-
одноточечной компактификации (M/G)+ и положим f(x)— l/dist(x*, oo)).
Пусть Ki — f ([2г, 2i + 1 ]) и L,- = f ([2t — 1, 2/]) — компактные
инвариантные множества, заполняющие М. Положим К= U Ki
и L= U L{. Очевидно, мы можем одновременно аппроксимировать
Ф на каждом из попарно непересекающихся компактных мно-
множеств Kt и получить такую аппроксимацию (и гомотопию) 1|/ ото-
отображения ф, которая гладка в некоторой окрестности множества
К. и которая на А совпадает с ф. Аналогично, можно аппрокси-
аппроксимировать г|)' таким отображением г|з": M-+-N, которое гладко
на некоторой окрестности множества L и совпадает с т|/ на глад-
гладком замкнутом инвариантном множестве А[]К- Так как г|з" = г|)'
на К, то \|>" гладко всюду и совпадает с ф на А. Щ
4.3. Следствие. Пусть G, М, N такие же, как и в 4.2.
Тогда любое эквивариантное отображение M-+-N эквивариантно
гомотопно гладкому эквивариантному отображению. Кроме того,
если два гладких аквивариантных отображения M^-N жвивари-

5. СТРУКТУРЫ НА НЕКОТОРЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ОРБИТ 309
антно гомотопны, то между ними имеется и гладкая жвивари-
антная гомотопия.
Доказательство. Первое утверждение вытекает из 4.2.
Для доказательства второго утверждения заметим, что данную
гомотопию можно считать постоянной (по t) вблизи концов отрезка
и, следователвно, можно продолжить до отображения RxM->-A/.
Вторая часть следует теперь из теоремы 4.2, если в последней
положить Л = {0, 1\хМ. |
5. Функциональные структуры на некоторых
пространствах орбит
В следующем параграфе мы докажем гладкий аналог теоремы
§ 6 гл. V о действиях с двумя орбитными типами. Наш вариант
этой теоремы отличается от варианта Е н и х а [1 ] и является более
сильным —этот параграф содержит некоторые нужные для дальней-
дальнейшего вычислительные леммы.
Сначала проиллюстрируем трудности в доказательстве глад-
гладкого аналога теоремы V.6.1, рассмотрев простой случай инволюции
х>—»¦ — х на R; см. также Е н и х[1]. Обозначим это действие через в.
В этом примере R+ = [0, оо)есть сечение этого действия, и оно
может быть отождествлено с пространством орбит. Ених выбрал
на орбитном пространстве дифференцируемую структуру, заданную
этим отождествлением. Итак, проекцию на пространство орбит
R->R+ можно рассматривать как отображение х\—»- |л;|. Пусть,
например, /: R+->R+ — диффеоморфизм/ (х) = х-\-х2. Теорема о клас-
классификации, которой мы интересуемся, есть классификация дейст-
действий над R+, т. е. каждый из классифицируемых объектов пред-
представляет собой действие вместе с диффеоморфизмом пространства
орбит на пространство R+, и они будут классифицированы с точ-
точностью до эквивариантного диффеоморфизма, коммутирующего
с отображениями в R+. Итак, (в, 1) и (в, /)— такие объекты.
Мы утверждаем, что они не эквивалентны, т. е. что не сущест-
существует эквивариантного диффеоморфизма f: R-vjR, который накры-
накрывает /: R+->R+. Действительно, очевидно, что f должно иметь вид
х>—*-х(\ + \х\) или хь->-хA + |л;|), но ни одно из этих отобра-
отображений не принадлежит С00. С другой стороны, мы действительно
не хотим различать (9, 1)и(в, /). Чтобы обойти эту техническую
трудность, Ених дает классификацию только с точностью до тех
диффеоморфизмов модели (здесь R+) пространства орбит, которые
сильно изотопны тождественному отображению. (Сильная изото-
изотопия—это изотопия, оставляющая неподвижным край). С нашей
точки зрения, однако, мы привели этот пример для иллюстрации
того, что орбитное пространство имело неправильную дифферен-
дифференцируемую структуру. Вместо того, чтобы использовать сечения
для определения структуры, мы используем естественно опреде-

310 ГЛ. VI. ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
ленную структуру, индуцированную орбитным отображением
из структуры на многообразии. В вышеупомянутом примере,
мы утверждаем, что эта структура будет получена, если рассмат-
рассматривать xi—»i!eR+ как орбитное отображение и утверждаем, что
это исправит аномалию. Это требует подтверждения, которое мы
теперь проведем в общем случае.
В этом параграфе мы считаем, что G — замкнутая подгруппа
группы О (/г), транзитивно действующая на S4. Пусть(Xj,..., хп,
й,..„ ут) — координаты в R"+m. Будем считать, что G действует
посредством включения G cz О (п) на координатах xv ... хп и три-
тривиально на координатах yv ..., ут. Пусть я: R"+m -*- Rn+m/G — орбит-
орбитное отображение: оно задает на R"+m/G индуцированную функцио-
функциональную структуру (т. е. / — гладкая функция на кп+т/й тогда
и только тогда, когда /»я— гладкая функция). Пусть
8: R*+m->-R+xRm
— отображение вида В(хх, ..., х„, ух, ..., ут) = (г2, уг, ..., ут), где
гг — х\ -\-...-\-х%. Очевидно, существует единственное отображение
Ф такое, что диаграмма
коммутативна. Более того, ср — гомеоморфизм и морфизм функцио-
функциональных структур. Докажем, что ср — диффеоморфизм (и, следова-
следовательно, что |R"+ffi7G — гладкое многообразие с краем); см. след-
следствие 5.4.
Предположим, что/: R+XRm->-R — некоторая данная функция,
и пусть h: Rm+1 = R x Rm -*¦ R определено следующим образом: h (x, yv
..-, Ут) = }(х2, Ух, ..., ут)- Заметим, что, кроме того h(x, ylt ...
• ¦-, Ут) = №)(х, 0, .... О, ух, ..., ут).Очевидно, что имеют место
следующие импликации
/еГ (R+ хRm) => (/9) е С°°(R"+m) =>h^C°°(Rm+1).
5.1. Теорема, /i6= О(Rm+1) =>/<= C^CR+xR").
Доказательство. Сначала покажем, что если h есть С00-
функция, то и / есть С°°-функция в том смысле, что частные про-
производные по координате х пространства R+ при х = 0 рассматри-
рассматриваются как односторонние производные. Далее, докажем тот
хорошо известный факт (лемма 5 2), что из этого утверждения
следует, что / есть С^-функция в обычном смысле, т. е. что /
локально продолжается до гладкой функции на RxR"*.

6. СТРУКТУРЫ НА НЕКОТОРЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ОРБИТ 311
Очевидно, что отображение / гладкое всюду, за исключением,
может быть, точек края {л: = 0}. Предположим индуктивно, что
функция Df существует и непрерывна, когда оператор D — моном
от д/дх, д/дуъ ..., д/дут, включающий д/дх не более чем k— 1
раз. Будем говорить, что такая функция принадлежит классу
С*~'- °°. Это, очевидно, выполняется для /, если k—l.
Так как h — четная функция от х, то ее частные производные
по х нечетного порядка обращаются в нуль при х = 0. Итак,
при у = (у1У ..., ут)мы имеем разложение Тейлора
h(x, y) = ^L J^A
где г(х, у) есть С^-функция, и мы считаем 2n>k, пэ=2. Так
как функция г четная по х, то мы можем положить г(х, у) =
= s (х2, у), где s есть Ck- °°-функция в силу индуктивного
предположения. Итак,
/(*, у)-ft @, у)+'ЩА ^^
Пусть D — моном от д/дх, д/дуг, ..., д/дут, в который д/дх вхо-
входит k раз. Положим Х = д/дх и запишем оператор D в виде TXU,
где Т не содержит оператора д/дх. Применяя оператор U к ра-
равенству A), мы увидим, что
Uf(x, y) = x"Us(x, y)+g(x, у),
где g принадлежит классу С1- со. Итак, достаточно показать, что
отображение TX(xnUs) существует и непрерывно (при х — 0).
Далее X(xnUs)x^0= lim xnUs/x = Q, так как п^2. Кроме того,
дг-^О
ТХ (xnUs)x-.o = 0. При хфО функция $(х, у) принадлежит
классу С", поэтому X (xnlls) = nxn~1Us + x"XUs (для хфО) и,
следовательно,
TX(xnUs) = nxn~1TUs + xnDs (для *^0).
Достаточно показать, что при х, стремящемся к нулю, этот образ
равномерно стремится к нулю в компактной окрестности Л^ точки
@, у0). Так как функция TUs непрерывна (в силу индуктивного
предположения), то достаточно показать, что, при X-+-Q, xnDs
стремится к нулю равномерно в окрестности N. Далее, так как
г (х, y) — s (х2, у) принадлежит классу С00, то для х Ф 0
(Dr) (х, у) = Bх)* (Ds) (x\ у) + х\ (х, у),
где т) включает только те производные от s, порядок которых
в X ниже k, и, следовательно, г) есть ограничение на хфО
непрерывной функции (в силу индуктивного предположения).

312 ГЛ. VI. ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
Отсюда следует, что функция Bл;)* (Ds) (х2, у) ограничена в любой
компактной окрестности точки @, у0). Так как 2я>/г, то отсюда
вытекает, что в любой компактной окрестности точки @, у0),
при .v-^-0, xtn (Ds) (х2, у) стремится к нулю равномерно, и, сле-
следовательно, что хп (Ds) (x, у) равномерно стремится к нулю
в окрестности Л' при х-^-0, что и требовалось доказать. Щ
Как уже было отмечено, здесь доказано лишь, что / принад-
принадлежит классу С30 в очевидном смысле, когда частные производ-
производные д/дх представляют собой односторонние частные производные
при х — 0. Чтобы установить совпадение с обычным понятием,
мы должны показать, что функция / локально продолжается
до С30-функции на Rm+1. Предположим, что мы можем найти
Сда-функцию ф на Rn+1 (с координатами х, ylt ..., ут), такую,
что
для всех i и у. Тогда, положив f(x, y) — q(x, у) для х<0, мы
немедленно получим, что / е С°° (Rm+1) (изменение порядка диф-
дифференцирования законно и для /, и для ср). Итак, достаточно
доказать следующую лемму.
5.2. Лемма. Предположим, что дана последовательность
С™-функций g0, glt g2, ...: Rm->R. Тогда существует такая
С03-функция <р: Rm+1->|R (с координатами х, уг, ..., ут на Rm+1),
что -^ @, yv ..., ут) = gi(ylt ..., ут) для всех i и всех у еRm.
Доказательство. Достаточно найти такую функцию ф,
чтобы утверждение леммы было верно в кубе | х | < 1, | ух | <
< 11 • • •. I Ут | < 1. так как мы можем склеивать такие функции,
используя разбиение единицы (в любом случае лемма будет
нужна нам только локально). Пусть В: R-+-R+ — такая С°°-функ-
ция, что
II, если точка х принадлежит
некоторой J) окрестности О,
О, если |*|>1.
Мы зафиксируем эту «промежуточную функцию» раз и навсегда.
Пусть D —моном от д/дх, d/dylt ..., д/дут степени Ь, степень
которого относительно д/дх есть d. Пусть п>6 и а>0; рас-
рассмотрим функцию D (-j gn (у)х"В (ах)\. Это сумма d+l функций
вида
Ki (У) x^WBW (ах) = xn-dhn,j (у) (ахуВ^1 (ах),
Фиксированной,—Прим. перев.

5. СТРУКТУРЫ НА НЕКОТОРЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ОРБИТ 313
где OsS/sSd и С^-функции hnj зависят от g,n что дает явное
выражение для D. (Существует только конечное множество моно-
нов степени Ь и, следовательно, нужно рассматривать только
конечное множество функций й„,у. Их явное выражение для нас
не важно.)
Заметим, что функция z'B({){z) ограничена, так как она обра-
обращается в нуль при j2|>l. Отсюда следует, что существует
такая константа Мп, не зависящая от а, / и от монома D
(порядка Ь<Сп), что
\hnJ(y)(ax)/BW{ax)\<Mn/n для |г/,-!<1.
Так как п — dSsl, то, после умножения на хп~а и сложения
^n функций, при ,-jcI<:1 и j^js^l имеем
"В (ах)
<Мп\х\.
Положив ап = 2пМ„, мы видим, что при |г//|^1
<; 2~п, когда | х | *s 2~п/Мп = \/ап,
= 0, когда |*|> 1/а„,
так как В (апх) = 0 для ап ! х | > 1.
Пусть
1
Для любого монома D степени Ь ряд
со ft оо
2j D(pn = 2j Dq>n -f- \j Рфя
таков, что |Офп1<1/2" при п^Ь-\-\ (и |г/,-:^1). Таким обра-
образом, этот ряд равномерно сходится (в кубе) и, следовательно,
со
сходится к Оф, где ф= 2 Ф«- Итак, ф есть С°°-функция.
/¦1 = 0
Положив D = dd/dxd и вспоминая, что S(anx)=l для х,
достаточно близких к 0, получим, что Dy @, y)=gd(y)- I
Вспомним теперь обозначения, введенные в предыдущей тео-
теореме 5.1.
5.3. Следствие, f е С33 (R+ х Rm) тогйа и только тогда,
когда fb e Сет (хп+т). |
5.4. Следствие. Отображение <р: P"+m/G-vK+хRm представ-
представляет собой диффеоморфизм и, следовательно, iR"+m/G является
гладким многообразием с краем. Щ

314
ГЛ. VI. ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
В силу этого результата, мы можем (для удобства обозначе-
обозначений) отождествить R"+m/G с R+xRm посредством <р и, таким обра-
образом, проекция на пространство орбит отождествляется с 8.
Предположим далее, что /: R+х Rm->-R+х R™ — некоторый диф-
диффеоморфизм (для дальнейшего достаточно, чтобы он был опреде-
определен на некотором открытом множестве, а не глобально). Пред-
Предположим, что точки края неподвижны относительно /, т. е.
/(О, у) = @, у). Положим f(x, y) = {fQ{x, у), Д (х, г/)) е R+х Rm.
Определим отображение г|х Кл+/П -> R"+m, полагая ty(x, у) =
= (%(х, у), ^,(х, y))^RnxRm, где
*М*. y) = h(fx 2, у).
5.5. Теорема. Отображение \|) представляет собой эквива-
риантный диффеоморфизм, накрывающий f (т. е. 6i|j = /6).
Доказательство. Очевидно, что отображение ty экви-
вариантно, и оно накрывает /, поскольку
Ч (х, У) = (II ^о (х, У) Р, % (х, у)) = (/о (;1 х.«, у), U 0 х .*, у)) = /б (х, у).
Так как / — диффеоморфизм, сохраняющий орбитную структуру,
то i|), очевидно, — взаимно однозначное соответствие. Чтобы про-
проверить, что i|) — диффеоморфизм, используем теорему Тейлора и
запишем
fo(x, j/)=/o(O, у)+хд?@, y) + x*k(x, у),
где k есть С°°-функция. Так как /0 @, </) = 0и (поскольку / — диф-
диффеоморфизм) с(у) = (dfjdx) @, у) > 0, то мы можем пере-
переписать это равенство в виде: /0 (х, у) = хс (у) A + xh (x, у)), где h
ecib С^-функция. Таким образом, для хеК имеем
щ (/«(*", У)I/2 = х (с (у)I" A + x*h (х
и, следовательно, для * = (*lf ..., хп) е R" имеем
откуда видно, что % есть С^-отображение. Более того, легко
проверить (это мы оставляем читателю), что якобиан отображе-
отображения г|) нигде не равен нулю. Следовательно, г|з — диффеоморфизм.
(Альтернативно, можно заметить, что -та конструкция, приме-
примененная к /~\ дает air1). Щ
Замечание. Теорема 5.1 доказана Уйти и [1]. Лемма 5.2
представляет соПой очень частный случай теоремы продолжения
Уитни (см. Мальгранж [1|), но мы захотели включить доста-
достаточно простое доказательство этого частного случая, Есть общая

6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ О-МНОГООБРАЗИЯ 315
гипотеза, которая включает 5.1 как очень частный случай и
которая формулируется следующим образом. Пусть компактная
группа Ли G действует на R" посредством некоторого линейного
представления. Из классической теоремы Гильберта о базисе
в теории инвариантов, см. Be иль Г1], следует, что существует
конечное число plt ..., рк однородных полиномов R"-vR, кото-
которые инвариантны относительно G и таковы, что если р: R"-»-
—>-R —произвольный инвариантный полином, то p = q(p1, ..., pk)
для некоторого полинома q: R*->R. Гипотеза состоит в том, что
любая инвариантная Сет-функция g: R"->R имеет вид g —
— f (Pit •••, Pk) для некоторой С°°-функции /. Это, очевидно,
дает очень сильные ограничения на функциональную структуру
пространства орбит гладкого действия.
6. Специальные G-многообразия
Пусть G — компактная группа Ли, гладко действующая на
многообразии М. Пусть G/H — главный орбитный тип; предполо-
предположим, что Р pa G/K — такая неглавная орбита, что в ее окрестности
существует в точности два орбитных типа. Тогда Р имеет глад-
гладкую трубчатую окрестность, которая эквивариантно диффеоморфна
Gx*:Rfe, где К действует ортогонально на R*. Можно предполо-
предположить (после сопряжения), что Я —главная стационарная группа
действия группы К на R*. Согласно IV.6.3 существует в точности
две возможности; здесь мы предположим, что выполняется пер-
первая из них, т. е. мы предположим, что k = n~\-m и что К дейст-
действует на R* посредством некоторого представления K-*-O(ri)cz
czO (k) и ее действие транзитивно на единичной сфере S"
ортогонального дополнения R"x{0} к множеству неподвижных
точек (R*)* = {0}xRm. Тогда Н можно считать прообразом группы
О (п — 1) при гомоморфизме К -> О (п). Далее, группа N (Н) Л N (К)
действует справа на GXa-R* (см. упражнение 1&), и мы можем
считать это действие гладким.
Мы будем говорить, что М — (гладкое) специальное G-много-
образие (см. Ених [1]), если существует не более двух орбитных
типов вблизи каждой орбиты и если вышеупомянутые условия
выполняются для каждой неглавной орбиты. В этом случае
M/G — топологическое (т+1)'меРное многообразие с краем (соот-
(соответствующим неглавным орбитам).
Зададим на M/G функциональную структуру, индуцированную
функциональной структурой на М. Далее, если f — вещественно-
значная функция на Gx^-R*, инвариантная относительно действия
группы G, то ее поднятие на GxRfe не зависит от G-координаты,
и, следовательно, / — гладкая функция тогда и только тогда,
когда ее ограничение на слой R* —гладкая функция. Итак,
вблизи орбиты типа G/K функциональная структура фактормного-

316 ГЛ. VI ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
образия совпадает с функциональной структурой, индуцирован-
индуцированной с R* посредством орбитного отображения (R* -v Uk/K «=«
(GRkG
()
Из 5.4 можно сделать вывод, что фактормногообразие M/G—
гладкое (т+1)-мерное многообразие с краем.
Далее, пусть X —данное гладкое (т+ 1)-мерное многообразие
с краем В. Мы хотим классифицировать гладкие специальные
G-многообразия над X. Иными словами, мы будем рассматривать
пары (М, ф), где М — гладкое специальное G-многообразие и ср:
М -*¦ X — гладкое отображение, которое пропускается через фак-
фактормногообразие M/G таким образом, что индуцированное отобра-
отображение ф*: M/G-+X есть диффеоморфизм. Две такие пары (М, ф)
и (N, ij>) называются эквивалентными, если существует такой
эквивариантный диффеоморфизм ц: М-+- N, что диаграмма
М
X
коммутативна. При этом, как и в § 6 гл. V, мы просто будем
говорить, что «М и А' эквивалентны над X», подразумевая
существование отображений ф и tj).
Рассмотрим теперь доказательство классификационной теоремы
V.6.I. Напомним, что для формулировки и доказательства послед-
последней надо прежде всего выбрать главную стационарную под-
подгруппу Н, а затем выбрать для каждой граничной компоненты Ва
многообразия В стационарную подгруппу Ка- Затем надо рас-
рассмотреть собственные специальные G-многообразия М над X
(т. е. такие, что вблизи точек из Ва многообразие М, как и вы-
выше, имеет вид GX/feR*a, где стационарная подгруппа группы Ка
на срезе R*a есть Н). (Такой выбор Ка и Н временный, и он
не будет влиять на утверждение нашей основной теоремы 6.2.)
В V.6.1 предполагалось, для удобства рассуждений, что группы
/С = /Са одни и те же для всех а, однако очевидно, как сделать
обобщение (как и утверждалось там).
Несколько небольших рассуждений (использующих, напри-
например, теорему о гладкой аппроксимации 4.2 и ее следствие 4.3)
убедят читателя в том, что единственная трудность в проведении
доказательства теоремы V.6.1 в гладком случае заключается
в нахождении гладкого аналога «теоремы о трубке» V.4.2.
(Читателю может показаться, что и это рассуждение также три-
тривиально следует из теоремы 2.2 об инвариантной гладкой труб-
трубчатой окрестности, но, в действительности, это не так. В самом
деле, было бы ошибочным использовать дифференциальную

в. СПЕЦИАЛЬНЫЕ G-МНОГООБРАЗВД 317
структуру Ениха на M/G, как было бы сделано при доказательстве
нашей главной теоремы 6.2.)
Пусть (М, ф) — гладкое специальное G-многообразие над X,
и пусть А— у1 (В) есть объединение неглавных орбит. Тогда
Л—замкнутое подмногообразие многообразия М. Пусть | —
евклидово G-расслоение над Лит: Е (|) -*¦ М — инвариантная
трубчатая окрестность многообразия А. Каноническое отображе-
отображение Е (Q-rR+xB, переводящее вектор v из слоя над точкой
а^А в (it», ф(а)) индуцирует диффеоморфизм E(Q/G^>R+xB
в силу предшествующих рассуждений и 5.4.
Используем это обстоятельство, чтобы отождествить Е (|)/G
с R+xS. Таким образом, т индуцирует т*: R+xB-»-X (посред-
(посредством отображения ф*: M/G ^>Х, которое, в данный момент, мы
также рассматриваем как отождествление). Заметим, что т* (О, Ь) =
— Ь и что т*—диффеоморфизм на свой образ (открытое множе-
множество). Итак, т* — гладкая кромка множества в X. Далее, глад-
гладкая модификация «теоремы о трубке» V.4.2 утверждает не только
то, что такая трубчатая окрестность т существует, но что най-
найдется такая трубчатая окрестность, для которой т* совпадает
с любой заранее выбранной гладкой кромкой X: |R+xB->X. Для
простоты обозначений мы будем рассматривать Е (?) как под-
подпространство W многообразия М (посредством вложения т), так
что т будет рассматриваться как включение, и аналогично т*:
R+xB->-X будет рассматриваться как включение. (Так как Я —
данная заранее выбранная кромка, то было бы более логично
рассматривать Я, как включение, но это усложнило бы нижесле-
нижеследующие обозначения.)
Мы знаем (в основном из 2.6), что существует гладкая изо-
изотопия
F: (R+xB)Xl-*X,
где
I(s, b) для t = 0,
Ms, b) для /=1,
(О, Ь) для s = 0 и всех t
(и, конечно, F(•, t) — диффеоморфизм на свой образ для каж-
каждого t, т. е. F (•, 0 представляет собой кромку). Если мы смо-
сможем накрыть эту изотопию эквивариантной изотопией многооб-
многообразия М, то для t= 1 мы получим искомую трубчатую окрестность
множества А над данной кромкой Я, множества В в X. Итак,
достаточно будет доказать следующий результат.
6.1. Теорема. При вышеуказанных условиях существует
(гладкая) эквивариантна» изотопия F: W х I -»- М инвариантных
трубчатых окрестностей многообразия А — ц, ' (В), которая
накрывает F.

318
ГЛ. VI. ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
Доказательство. Пусть 6еВ, и пусть Rm?^U' cz В—
малая координатная окрестность точки ЬеВ. Далее, часть под-
подпространства W из М, расположенная над R+x?/' c= R+xB <= X,
имеет вид Gxk(U"xU'), где /Сс=О(п) действует на R" ортого-
ортогонально и на S"-1 транзитивно. Итак, часть пространства W xl,
находящаяся над R+xt/'xI, имеет вид GXkIWxU'xl); чтобы
избежать неприятностей в граничных точках, можно расширить I
до (R, если это понадобится.
Пусть U cz U' — координатная окрестность точки Ь, и пусть
е>0 настолько мало, что F([0, 2ь)х(Ух1) cz R+xt/'. Часть
пространства Мх\, расположенная над [0, 2e)xUx\, есть
GXk(DxUx\), где D czR" — открытый шар радиуса BБI/2.
Пусть Е: R+xBxl-*-XxI — вложение, определенное формулой
? (s, ft, t) = (F(s, b, t), t). Тогда из 5.5 следует, что на [0, 2е]х
xUxl отображение Е накрывается /С-эквивариантным вложе-
вложением Dxt/xI-vR"xL'xI, которое является тождеством как на
{0}х^х1, так и на DxUx{0} и которое коммутирует с проек-
проекциями на I (поскольку эти свойства выполняются для Е). Так
как конструкция GxK(-) функториальна, то это вложение инду-
индуцирует G-эквивариантное вложение
-*- G х к (Rn х V х I) ^ qr1 (R+ х U') х 1,
накрывающее Е.
Далее, ф-1 (@, оо)хU)^G/Hх@, oo)xU, и М — А — гладкое
G/Я-расслоение над Х—В со структурной группой N(H)/H.
Гладкое эквивариантное отображение ф-1 (@, оо) х 11) х I ->
-+(М — А)х\, накрывающее Е, определяется своим ограничением
на \еН\ х @, оо) х U х I, и это будет гладкое поднятие отображения
? | @, oo)xUxl в главное (Л; (Я)/Я)-расслоение (М — А)их\ над
(X — B)xl, сравните с II.5.13. Таким образом, ясно, что огра-
ограничение ф-^О, е]х?/)х1->-Мх I вышеуказанного вложения,
склеенное с тождественным отображением на ф-1([0, oo)xU)X
Х{0}, может быть продолжено до гладкого эквивариантного
отображения
Ёи: ^(U+xUjxl-
которое накрывает Е на R+xt/xI. Далее, отображение Еи
является вложением, так как оно гладкое, накрывает вложение
и сохраняет орбитные типы. Заметим, что Е (х, 0) = (х, 0) и что
Ёи(а, t) = (a, t) для йеЛ.
Пусть 0 и У—такие открытые множества в В, для которых
имеются вложения Ёи и Ev, аналогичные определенным выше.

в. СПЕЦИАЛЬНЫЕ G-МНОГООБРАЗИЯ
319
Покажем, как построить такое вложение Ёццу Пусть
6 = E~V'EU: Ф ] (К+ х (U П V)) XI -> ф-1 (R+ X (I/ П V)) XI
— отображение, представляющее собой автоэквивалентность,
накрывающую тождественное отображение. Оно, очевидно, имеет
вид 8(,г, /) = @1(х, 0, 0- Пусть /: U |~| V -v I — такое гладкое
отображение, что /=1 на некоторой окрестности множества
U — V и / = 0 на некоторой окрестности множества V — U. Пусть
/': ф-1 E+ x(U П V))->-1 — композиция /'=/• (проекция) »ф; опре-
определим отображение
6'(*. *) = (в,(*. f'(x)t, *)),
представляющее собой другую автоэквивалентность пространства
Ф (R+ х (U П V)) XI, накрывающую тождественное отображение
пространства R+X(f/fl V)xl.
Далее, положим
' U'' V
(х, t) ¦¦
Eu(x,t), если ф (х) е IR+ х (t/ - У),
?V°8'(x, /), если ф(л:)еК+х(^П1/),
?v(-^, 0. если <р (*) е= R+х (У - */)•
Очевидно, что это отображение обладает искомыми свойствами.
Теперь, используя локально конечное покрытие простран-
пространства В и обычную индуктивную процедуру, можно построить
эквивариантное вложение
Ё: 1^х1 = ф-1(К+хВ)х1->-Мх11
накрывающее Е и такое, что Ё (х, 0) = (х, 0) и Ё(а, t) = (a, t)
для аеЛ. (Индуктивное рассуждение то же самое, которое дано
в доказательстве 11.7.1, и мы его не будем повторять.) Так как
Ё накрывает Е, то оно имеет вид Ё (х, t)=*(F(x, t), t) hF явля-
является искомой изотопией, накрывающей F. |
Как уже было отмечено, этот результат позволяет нам повто-
повторить доказательство теоремы классификации V.6.1 в гладком
случае. Заметим, что гладкая классификация в точное и совпа-
совпадает с топологической классификацией, так как, например, мно-
множество классов гладкой гомотопности гладких сечений совпадает
с множеством гомотопических классов непрерывных сечений
(гладкого многообразия). Вместо того, чтобы формулировать этот
результат, мы суммируем предыдущую информацию в следующей
теореме. Вначале введем некоторые обозначения и понятия.
Пусть <MCO{G, X) обозначает множество (гладких) классов
эквивалентности над гладким многообразием X с краем В спе-
специальных гладких G-многообразий над X,.

320 ГЛ. VI. ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
Для топологического многообразия X с краем В назовем
G-пространство W над X специальным топологическим G-много-
образием над X, если орбитный тип над Х — В постоянен, а
орбитный тип над каждой компонентой из В постоянен и таков,
что каждая неглавная орбита имеет окрестность, которая
может быть наделена структурой гладкого специального G-много-
образия. Тогда очевидно, что W —топологическое многообразие
и что G действует на нем локально гладко. Более того, группа
S(n)~((N(H) П N (К))/Н из § 4 гл. V действует на дисковом
расслоении Мя над G/K посредством эквивалентностей ортого-
ортогонального G-расслоения. Обозначим через о/Н° (G, X) множество
классов топологической эквивалентности над X специальных топо-
топологических G-многообразий над X. Для гладкого многообразия X
обозначим через Х° соответствующее топологическое многообра-
многообразие1). Следующая теорема является прямым следствием те-
теоремы классификации V.6.1 и представляет собой ее гладкий
аналог.
6.2. Теорема. Пренебрегающее отображение oMco{G, X)-*-
-v &Ч° (G, Хо) представляет собой взаимно однозначное соответ-
соответствие. §
Для ясности мы переформулируем этот результат следующим
образом.
6.3. Теорема. Пусть X — топологическое многообразие с краем,
и пусть М — специальное топологическое G-многообразие над X.
Для любой С^-структуры на X {если она существует) найдется
такая Ст-структура на М, в которой G действует гладко и
которая индуцирует данную структуру на X. Более того, если
задана структура на X, то эта структура на М единственна
с точностью до эквивариантного диффеоморфизма над X. Щ
Например, (специальное) О (я)-многообразие 2i"~1 над D2 из
§ 7 гл. 1 имеет, в силу своей конструкции, дифференцируемую
структуру, в которой О (п) действует гладко. Аналогично, мно-
многообразие Брискорна W2?~l (§ 9 гл. V) по определению несет
данную гладкую структуру, и водопроводное соединение (§ 8 гл. V)
дает, после сглаживания углов, гладкую структуру на дР2" (А^).
На основании V.8.1 и V.9.2 О (^-многообразия 2*"-', Wf~]
и дРг" (Afc_i) топологически эквивалентны над D2. Следовательно,
соглаенд 6.3 они также гладко эквивалентны над D2.
Напомним, см. § 7 гл. I, что для нечетного k многообразие
2|т~3 — топологическая сфера. Его дифференцируемая структура
может быть определена из любого из вышеупомянутых трех ее
описаний (см. С я н У.-К. и С я н У.-И [3], Б р и с к о р н [1], X и р-
То есть Хц—это X с ^забытой» гладкой структурой, — Прим. перел.

6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ G-МНОГООБРАЗИЯ 321
цебрух и Мейер [1] и Бредон [19]). Простейшим методом
является задание дифференцируемой структуры при помощи опи-
описания многообразия Е^т~3 как dPim~2 (Ak.j), так как в этом
случае легко вычисляется инвариант Арфа (см. две последние
ссылки). Оказывается, что
. „ . стандартная сфера для k == ± 1 mod 8,
4/71—о^ '
k ' сфера Кервера для k = ± 3 mod 8.
Сфера Кервера представляет собой по определению многообразие
дРш~2 (А2). Иногда она стандартна (например, в размерностях
Am — 3=1, 5, 13, 29, 61), но известно, что она экзотическая,
когда т не является степенью числа 2; см. Браудер [1].
Рассмотрим вкратце классификацию гладких автоэквивалент-
автоэквивалентностей специального G-многообразия М над X. Топологический
случай рассматривался в V.7.1, и будет представлять небольшую
трудность доказательство гладкого аналога этого результата.
Часть рассуждения следует заменить следующими замечаниями:
предположим, что для евклидовых С-расслоений |, ц над А нам
даны две инвариантные трубчатые окрестности а: Е (?) -*¦ М и
т: Е(ц)-+М множества А, которые индуцируют одну и ту же
кромку подпространства В в X. Тогда, так как индуцированная
кромка определяет длину векторов в ?, т], то а^т сохраняет
норму. Доказательство первой части теоремы единственности
2.6 инвариантных трубчатых окрестностей предусматривает изо-
изотопию между а и т.6, которая индуцирует тождественное отобра-
отображение на X, где 9 —изоморфизм векторных расслоений. Так как
б должно сохранять нормы, то оно представляет собой изомор-
изоморфизм ортогональных расслоений. Это заменяет рассуждение
о гомотопности с S-эквивалентностью в доказательстве V.7.I.
Остаток доказательства очевиден, и его можно опустить. Снова,
классификация в гладком случае аналогична классификации
в топологическом случае. Обозначив через п0 Diffeox (M) мно-
множество классов гладкой изотопии над X автоэквивалентностей
многообразия М над X, мы получим следующую теорему.
6.4. Теорема. Если М —гладкое специальное G-многообразие
над X, то пренебрегающее отображение
п0 Diffeo х (М) -+ п0 Homeo х (М)
представляет собой взаимно однозначное соответствие. |
Замечание. Не представляет никакого труда распростра-
распространить результаты этого параграфа на случай специальных О- мно-
многообразий с краем. В этом случае X будет иметь на границе
«угол», который разделяет дХ на две части, причем одна часть
\\ Г. Бредон

322 ГЛ. VI. ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
В соответствует неглавным орбитам, а другая часть соответствует
дМ. Например, X может быть полудиском {л;<= Dm+1 \хх^0\,
где В = X П Sm и ф (дМ) = {х<ее Dm+11 хг = 0}.
7. Гладкие заузленные многообразия
В этом параграфе мы будем изучать такие гладкие действия
группы G = O(n), n^2, на компактных многообразиях М,
которые имеют три орбитных типа: неподвижные точки, сферы
О (я)/О (п — 1) и главные о] биты О (п)/О (п — 2). Предположим,
кроме того, что орбитное пространство M/G топологически пред-
представляет собой стягиваемое многообразие, край которого соот-
соответствует особым орбитам, а множество неподвижных точек
Ма cz M/G соответствует связному ориентируемому подмногооб-
подмногообразию края коразмерности 2, см. §§ 10 и 11 гл. V. Назовем
такое О (п)-многообразие О (п)-заузленным многообразием.
Из рассуждений § 10 гл. V видно, что в окрестности непо-
неподвижной точки из М группа О (п) действует посредством удво-
удвоенного стандартного представления; его можно рассматривать
как каноническое действие группы О (и) на C = R"xR". Выберем
инвариантную трубчатую окрестность ЕA-)->~М множества М°,
где | — евклидово G-расслоение над Ма. Структурная группа
расслоения, очевидно, является централизатором подгруппы
О (п) с U (п) с О Bп) в группе О Bл), и легко видеть, что этот
централизатор есть группа О B), действующая на С посредством
умножения на скаляры и комплексного сопряжения. (Если мы
интерпретируем О (^-представление в |R2n как матричное умно-
умножение на (пхл)-матрицы в пространстве (я х 2) —матриц, то
структурная группа 0B) будет действовать на нем посредством
правого умножения.)
7.1. Лемма. G-расслоение \ над Ма тривиально.
Доказательство. Рассмотрим такое множество А векто-
векторов г = (г1г ..., г„)еС", где z = x-\-iy, что \х\—\=\у\ и
(х, у)=0. Тогда структурная группа 0B) расслоения | сохра-
сохраняет А. Более того, А является главной орбитой G-действия,
и данное на нем О B)-действие совпадает с действием на много-
многообразии G/H правых сдвигов на элементы группы О B) «а N (Н)/Н,
где Н — 0(п — 2). Считая, что EfflcM и, следовательно, что
Е (|)/G с M/G, получим, что объединение этих множеств А опре-
определяет расслоение Q над копией множества М° в int M/G и
представляет собой в точности ограничение расслоения главных
орбит. Так как M/G стягиваемо, то это расслоение Q тривиально,
и поэтому является ассоциированным главным О B)-расслоением
QH над копией множества М°. Однако в силу вышеприведенных
замечаний с этим главным расслоением ассоциировано и |. §

7. ГЛАДКИЕ ЗАУЗЛЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 323
Итак, мы имеем представление трубчатой окрестности мно-
множества М° в М в виде С"хЛ1с, где G = O(n) действует на ©"
так, как указано выше. Далее, согласно V.9.1 орбитное отобра-
отображение (D"->(D"/G может быть отождествлено с 6: ?,п -+¦ R+ х (D ->•
->R+xR2, переводящим г=>(г1, ..., г„) в (jzii4 —2 I2'! • г? + ...
,..-\-Zn\ Читатель может непосредственно проверить, используя
§ 5, что 8 задает индуцированную функциональную структуру
в (C/G на дополнении /с Об С/С (Это без сомнения неверно
в начале координат, где, возможно, существует угол или клюв.
Однако мы практически ничего не знаем об индуцированной
структуре на C/G в начале координат, и поэтому мы не будем
делать попыток классифицировать такие О (я)-многообразия М
над X, как мы это делали в топологическом случае в § 10 гл. V.)
Далее, гомеоморфизм
6* х 1: (<D"/G) xM°-> (R+ хС) хМв
определяет дифференцируемую структуру на окрестности мно-
множества MG в M/G (заданную выбранной трубчатой окрестностью
множества М°). Так как эта структура совпадает с индуциро-
индуцированной структурой на M/G — МС/, то мы можем склеить их и
получить дифференцируемую структуру на всем M/G, которая
превращает его в гладкое многообразие с краем, причем Ма —
гладкое подмногообразие края коразмерности 2. Заметим, что
9: (D"-*-iR+xG эквивариантно относительно действия на С струк-
структурной группы О B) расслоения | и очевидного гладкого О B)-
действия на R+x€- Итак, определение этой дифференцируемой
структуры на M/G не зависит от тривиальности расслоения §
или использования специальной (гладкой) тривиализации.
Хотя эта структура на M/G не является естественной, она,
очевидно, определена однозначно с точностью до диффеоморфизма
(сохраняющего подмногообразие Ма) на основании теоремы един-
единственности для инвариантных трубчатых окрестностей; см. заме-
замечание в конце § 2. (Ситуация здесь такая же, какая имеет место при
«сглаживании угла» в произведении двух многообразий с краем.)
7.2. Теорема. Сопоставление многообразию М пары (M/G, Ма)
с описанной выше дифференцируемой структурой определяет взаимно
однозначное соответствие между множеством классов эквивариант-
ной диффеоморфности О (п)-заузленных многообразий М и множе-
множеством классов диффеоморфности пар (X, 2), где X—компактное
стягиваемое гладкое многообразие с краем, а 2 — связное, кораз-
коразмерности 2, ориентируемое подмногообразие многообразия дХ.
Доказательство. Сначала покажем, что любая такая
пара (X, 2) реализуема. Пусть R2 х 2 а дХ — трубчатая окрест-
окрестность многообразия 2 в дХ. Для точки р е 2 отображение огра-
ограничения Я1 (дХ — 2) ->/f' (Slx{p|) представляет собой изомор-

324 ГЛ. VI. ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
физм (см. § 10 гл. V). Пусть а <= Я1 {дХ — 2) — образующий, соот-
соответствующий образующему le/f'fS1). Отображение
Я1 (дХ - 2) -> Я1 (S1 х 2) ^ Я1 (S1) ф Я1 (Б)
переводит а в (ц р*) для некоторого р". Далее, элемент р е Я1 B) ==
= [2, S1] индуцируется некоторым гладким отображением /:
2-i-S1. Рассматривая R2 как С, легко видеть, что отображение
R2 х 2-> R2 х 2 вида (z, q)<-+{zf(qYl,q) индуцирует на Я1 (Sxx 2) =
= Я1 (S1) ф Я1 B) отображение (i, f>) >—*¦ (i, 0). Отсюда следует,
что мы можем взять трубчатую окрестность R2x2c=dX таким
образом, что р = 0. Также мы можем предположить, что она
расширяется до трубчатой окрестности R+xR2x2 многообразия
2 в X. На основании рассуждений § 10 гл. V и согласно 6.3
существует единственное О(п)-многообразие Mj над X —2, соот-
соответствующее инварианту ±а^Н1(дХ — 2). Часть многообразия Мх
над (R+ х R2 — {0}) х 2 соответствует инварианту (i, 0) е Я1 (S1) ©
©Я1B) = Я1E1х2)я«Я1(^(К+хК2-{0})х2). Однако О (^-под-
(^-подмногообразие (Сл —{0})х2 многообразия (D"x2 также имеет этот
инвариант. Итак, Мг может быть склеено с С" х Б с помощью
некоторого эквивариантного диффеоморфизма над (R+xR2 — {0})x2,
и это, очевидно, дает искомое О (/г)-многообразие, соответствующее
паре (X, 2).
Далее, пусть М и N — два О(п)-заузленных многообразия.
Выберем инвариантные трубчатые окрестности множеств непод-
неподвижных точек и, следовательно, ассоциированные дифференцируе-
дифференцируемые структуры на орбитных пространствах М* и N*. Предпо-
Предположим, что h: M* -*-N* —диффеоморфизм, переводящий М° в №.
Далее, данные трубчатые окрестности в М и N индуцируют труб-
трубчатые окрестности многообразия Ма в М* и многообразия №
в W*. Применив к h подходящую изотопию, мы можем считать,
что h ортогонально переводит эту трубчатую окрестность в М*
в соответствующую трубчатую окрестность в jV*. (Сделаем это
для замкнутой трубчатой окрестности и затем перейдем к внут-
внутренности.) Над этими трубчатыми окрестностями h, очевидно,
может быть накрыт эквивариантным диффеоморфизмом hlt так
как обе эти трубчатые окрестности тривиальны и имеют вид
Слх2, где 2 яаУИе«=! №. Над дополнениями М* — Ма и N* — №
диффеоморфизм h может быть накрыт эквивариантным диффео-
диффеоморфизмом h%: М — Мв -> N — № на основании теоремы 6.3 о клас-
сиффикации специальных G-многообразий, см. § 10 гл. V. Итак,
T|3 = V1/ii представляет собой сохраняющую орбиты автоэквива-
автоэквивалентность части многообразия М над дополнением многообразия М°
в его трубчатой окрестности, которая диффеоморфна (К+ х R2 — {0}) х
ХМ°. Из 6.4, V.7.1, V.7.2, рассуждений из V.7.5 и изоморфизма
[D2xMc,

7. ГЛАДКИЕ ЗАУЗЛЕННЫЕ МНОГООВРАЗИЯ 826
следует, что ty изотопно в классе автоэквивалентностей, сохра-
сохраняющих орбиты, тождественному или антиподальному отображе-
отображению в слоях пространства СхЛ10. Используя такую изотопию,
мы очевидно, можем найти сохраняющую орбиты автоэквивалент-
автоэквивалентность ф части многообразия М над трубчатой окрестностью
R+xR2xMG (включающей нулевое сечение Ма), которая совпадает
с i|) вне некоторой меньшей замкнутой окрестности А множества Ма.
Тогда отображение h: M-^-N, определенное как /цф на JR+X
XJR2xM° и как /~z2 на Ма — А, представляет собой эквивариант-
ный диффеоморфизм. |
Теперь мы ограничимся рассмотрением случая, когда простран-
пространство орбит представляет собой диск. Итак, пусть 2*ciS*+2 — гладкое
связное ориентируемое подмногообразие. В силу 7.2 существует
О (/г)-заузленное многообразие M2"+*B*), соответствующее паре
(Dft+3, 2*), и оно единственно с точностью до эквивариантного
диффеоморфизма.
В следующем параграфе мы намерены рассмотреть случай
О (л)-заузленных многообразий М с краем, где Ма будет теперь
диффеоморфно (с вышеопределенной структурой) множеству D^4 =
= {(Xj х*+4)е О"+4|хА+45э0}, где (dM)/G будет соответство-
соответствовать диску D''+8 (т. е. Xft+4 = 0), множество особых орбит будет
соответствовать множеству В «= S*+8 fl D*+4, а множество неподвиж-
неподвижных точек М° будет соответствовать подмногообразию Wk+1 а В,
которое связно, ориентируемо и трансверсально к d? = S*+2.
Нетрудно проверить, что в этом случае вопрос сводится к тому,
чтобы показать, что существует О (п)-многообразие M2n+k+1 (WM)
с краем, соответствующее паре (D?+4, WA+1) и единственное с точ-
точностью до эквивариантного диффеоморфизма. Очевидно, что
dMu+k+i (fl7*+i) ^ м*п+" (dWk+1).
Напомним, см. V.11.2, что если 2* есть 22-гомологичес-
кая сфера, то и М2л+* B*) — тоже Ж2-гомологическая сфера.
Аналогично, легко видеть, что если W+1 Z2-aiiHMH4H0, то и
M2n+k+1(Wk+1) 22-ациклично. Точно так же это выполняется для
целых коэффициентов при четном п.
Рассмотрим вкратце вопрос об ориентации. Выберем ориен-
ориентации для S*+2 (и следовательно, для D*+8) и для 2* с S*+2.
Если п — четное, то структурная группа 0B) сохраняет ориен-
ориентацию пространства С", так что ориентация на 2* индуцирует
каноническую ориентацию на ©лх2* и, следовательно, также
на М2л+*B*). Если п — нечетное, то 0(п)/0(п — 2) не допускает
автоэквивалентности, меняющей ориентацию; это доказывается
посредством явного описания действия на 0(п)/0(п — 2) группы
0B)я«А/ @(п — 2))/0 (п — 2), так что мы можем задать на ней
раз и навсегда каноническую ориентацию. Итак, если п нечетное, то
ориентация пространства D' индуцирует ориентацию на УИ2"+* B*).

326 ГЛ VI. ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
Таким образом, ориентированное многообразие 2* в ориенти-
ориентированной сфере S*+2 соответствует ориентированному многообразию
M2n+k B*) с ориентированным множеством неподвижных точек 2*
и ориентированным пространством орбит, при этом ориентация
пространства М2л+* B*) и ориентация пространства 2* канони-
канонически связаны, причем для четного п так, как указано выше.
Итак, существуют четыре возможные «ориентации» на О (я)-зауз-
ленном многообразии, соответствующие четырем ориентациям пары
(S*+2, 2*).
Замечание. Результаты этого параграфа получены Е нихом
[1] и братьями Сян [4]. Аналогичные результаты в случае U(п)-
или Sp (я)-действий для гладкого случая неверны, даже если 2
(коразмерности соответственно 3 или 5 в сфере)— сфера. Здесь
имеет место существенное отличие от топологического случая,
см. упражнение 6 гл. V.
8. Группы инволюций
Пусть 0 <с k < п — фиксированные целые числа; рассмотрим
множество всех гладких инволюций Т (Т2 = 1) на сфере S" (ориен-
(ориентированной) с ориентированным множеством неподвижных точек 2й
размерности k. Напомним, что 2* представляет собой ^-мерную
Ж2-гомологическую сферу. С точностью до эквивалентности, сохра-
сохраняющей (и для S", и для 2*) ориентацию, они образуют абелеву
полугруппу относительно операции связной суммы, которая опреде-
определяется следующим образом: предположим, что даны две инволюции
7\ и Т2 на S" с множествами неподвижных точек 2* и 2*. Пусть
на W задана инволюция
\Ху, ..., Хп) I *¦ (Jfj, ..., X/j, -^ftui ¦¦•» Хп)\
выберем канонические ориентации на R" и на множестве непод-
неподвижных точек R*. Пусть ф;: R"-vS" —инвариантные трубчатые
окрестности точек р,-е 2*, сохраняющие обе ориентации (т. е.
отображения jRn —>-S" и (R*->2* сохраняют ориентации). Пусть т:
R" —{0}->1кл —{0} задается формулой %(х1, ..., хп) = (—хи х2, ...
• ••, *„)/2 х?. Тогда связная сумма (S", Tlt 2?) # (Sn, Tt, 2$)
(или просто Тх # Т2) определяется как (Sn — {Pi})[}$(Sn — \p2})
с инволюцией T^IJT^» где ¦ф = ф2тф71: ф! (К" — {0})->ф2(К" — {0}) (не-
(несколько менее точно, если D; = ф,- (D"), то связная сумма есть склейка
(S" — int DJ U (S" — int D2) посредством эквивариантного меняющего
ориентацию линейного отображения dDl^dD2). Из 3.2 и сле-
следующего за этим пунктом замечания получаем, что связная сумма
определяется однозначно с точностью до сохраняющего ориента-
ориентацию эквивариантного диффеоморфизма. Конечно, инволюция на

8. ГРУППЫ ИНВОЛЮЦИЯ 327
(Sn, T,, 2?) # (Sn, T2, Sj) эквивалентна инволюции на S" с непод-
неподвижным множеством, диффеоморфным 2* # 2*.
8.1. Лемма. Пусть Т— гладкая инволюция на S"xl, сохра-
сохраняющая оба конца. Пусть F — множество неподвижных точек, и
пусть Fi = F{\ (S"x{/}) для / = 0, 1. Тогда (/\ Fo, Fx) имеет
Хо-когомо.югии тройки (S*xl, Sftx{0}, S''x{l}) для некоторого k,
— l^k-'ln, и F ориентируемо. (Мы подразумеваем, что это
заключение истинно для всех трех абсолютных групп когомологий
и также для относительных групп пар (F, Fo), (F, Ft) и 'F, Fq^F^.)
Доказательство. Из теории Смита следует, что Fn имеет
те же ^"Когомологип, что и сфера S* для некоторого k, которое
мы зафиксируем. Так как Н* (S"xl, S" x \0); Z2) = 0, то из III.7.9 '
следует, что H*(F, Fo\ Z2) = 0. Поэтому F связно при A>0hF
должно пересекаться с Srax{l}. (Аналогичный факт имеет место
и для & = 0.) Аналогично, Н* (F, Fx; Z2) = 0. Итак, F, Fn и Ft
имеют те же Z-2-когомологии, что и сфера S*, и включения FuaF
H^cf индуцируют изоморфизмы Za-когомологий. Таким образом,
очевидно, что группа H'(F, F0\jfi\ Z2) равна 0 для i=/=\, k-\-\
и равна Z-2 для t = I, k-\-1. В случае, когда k—\,F представляет
собой двумерное многообразие с Fo^S1^/^, и вычисление кого-
когомологий показывает, что /r^S1xI. Щ
В оставшейся части параграфа будем считать, что я^5 й
0 <;&<«¦ Пусть 71 —гладкая инволюция на (ориентированном)
многообразии S;'xl с ориентированным множеством неподвижных
точек F размерности &+ 1, и пусть Fn и Fx имеют такой же смысл,
как в 8.1. Придадим парам (S;x{0}, F0) и (S"x{l}, FJ индуци-
индуцированные ориентации. (Таким образом, в частности, каноническое
отождествление S"^-S'!x{/} сохраняет ориентацию для j = 0 и
меняет ее на противоположную для г = 1.)
Предположим, что (S", То, 2„*) и ¦ (S", Tx, Sf)- инволюции
с ориентированными множествами неподвижных точек 2*. Тогда
мы скажем, что они L-эквивалснтны, если существует инволюция Т
на S^xl с таким ориентированным множеством неподвижных
точек F, как указано выше, и (Sn, Го, 2j)^(S'Jx{0}, T, Fo) и
(S", Tlt 2*) я« — (S" x {1}, Т, Fj), где «=s означает гладкую экви-
эквивалентность, сохраняющую ориентацию инволюций (с ориентиро-
ориентированным пространством и ориентированным множеством неподвиж-
неподвижных точеч), а знак «минус» указывает на обращение обеих ориен-
ориентации. Будем через Ф* обозначать множество классов L-эквива-
лентности всех инволюций на ориентированной n-мерной сфере
с ориентированным /г-мерным множеством неподвижных точек.
8.2. Теорема. Множество Ф" представляет собой абелеву
группу onwocutti'M'.'HO связной суммы ;)ля 0<^.k<'n, n" 5. Инволю-
Инволюция (S", Т, 2") представляет собой нулевой элемент этой группы

328
ГЛ. VI. ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
тогда и только тогда, когда Т может быть продолжена как глад-
гладкая инволюция на диск Dn+I =э S". Обратный элемент задается
обращением ориентации.
Доказательство. Главное состоит в доказательстве того,
что связная сумма корректно определяет операцию на множестве Ф?.
Итак, предположим, что (S"xl, T, F) и (S*xl, T', F') реализуют
^эквивалентность между инволюциями То и Тг и соответственно
между То и Т{. Так как k>Q, то F и F' связны и пересекаются
с обоими краями на основании 8.1. Таким образом, в F суще-
существует гладкая дуга А, соединяющая точку, принадлежащую
S"x{0}, с точкой, принадлежащей Snx{l}, и трансверсальная
¦ к границе; аналогичная дуга А' существует в F'. Тогда можно
взять инвариантную трубчатую окрестность N дуги А (она должна
иметь вид ЛхК" с канонической инволюцией на R", относительно
которой неподвижно Rft) и аналогичную окрестность N' дуги А'.
Очевидным образом мы можем использовать N и N' для того,
чтобы склеить S" х I — А с S" х I — А' эквивариантно относительно Т
на первой окрестности и относительно Т" — на второй. Таким
образом, получим такую инволюцию / на многообразии Wn+1
(ориентированном, с ориентированным множеством неподвижных
точек), что {dW, I) «^ То # Т'о — Т1 # Т[. В силу теоремы об
/i-кобордизме (см. Ми л нор [5]) легко видеть, что W^S^xI и,
следовательно, инволюция То # То L-эквивалентна инволюции
Очевидно, инволюция (Sn, T, 2*) L-эквивалентна стандартной
линейной инволюции с множеством неподвижных точек S* с: S"
тогда и только тогда, когда Т продолжается до инволюции на Dra+1.
(Для доказательства прямого утверждения «накроем» S" со стан-
стандартной инволюцией «шапочкой» на конце L-эквивалентности; для
доказательства обратного утверждения удалим открытый диск из
int Dn+1.) Пусть (Sn, T, Б*) —инволюция; обозначим через D"
инвариантный диск вокруг точки, принадлежащей 2*, и рассмот-
рассмотрим инволюцию Txl на К = (S" — int D") х I с эквивариантно
сглаженным углом. Тогда на основании теоремы об /г-кобордизме
K^Dn+1, и на границе инволюция в точности есть (S", Т, Б*) #
4± — (S", Т, 2*). Так как линейное действие на любом из «сла-
«слагаемых», очевидно, не меняет связной суммы, то из этих заме-
замечаний следует искомый результат. |
Эти группы Ф1, очевидно, представляют основной интерес при
изучении гладких инволюций сфер. Для п>2й достаточно много
информации о них было получено ранее Джонсом [2]. Докажем
три общих результата, касающихся этих групп, два из которых
покажут, что многие из этих групп бесконечны.
Ясно, что если мы рассмотрим инволюции на гладких ориен-
ориентированных гомотопических сферах, то получим аналогичные

8. ГРУППЫ ИНВОЛЮЦИЙ 329
группы в". Очевидно, что существует точная последовательность
0->ф?->в?->в", где в" —группа ориентированных гомотопиче-
гомотопических сфер относительно связной суммы. Так как вл —конечная
группа, то некоторый кратный любого элемента из ®? является
элементом группы ф?.
8.3. Теорема. Для 1 ^k«?п инволюция Т': (г0, ..., г2„+1)¦—¦*¦
(z0, ..., z2k, — г2й+1, • ¦ •. — 22n+i) на многообразии Брискорна
+ i (см. § 9 гл. V) определяет элемент в 04*il, порядок
которого либо бесконечен, либо делится на 2а*Bа*~1— 1)ак, где
ak—l для четных k и ak = 2 для нечетных k. Заметим, что,
так как Wtn+{ представляет собой Dп + \)-мерную сферу Кер-
вера, то удвоение этого элемента всегда принадлежит под-
подгруппе ФЙ±{.
Доказательство. Множество неподвижных точек этой
инволюции есть W\k + l. (Заметим, что группы гомологии много-
многообразия W\k + | имеют 3-кручение согласно § 7 гл. I). В доказа-
доказательстве будем использовать ^-инвариант Иллса и Кю fi-
fine p a [1] (также см. Монтгомери и Янг [7]). Нам будут
нужны только следующие свойства инварианта \i. Он определен
(в частности) для гладких ориентированных Za-гомологических
Dk — 1)-мерных сфер 2, которые ограничивают спинорные много-
многообразия. Он принимает значения в (Q/Z и является гомоморфиз-
гомоморфизмом (относительно связной суммы). Существует формула, выра-
выражающая fx через классы Понтрягина и сигнатуру ограничиваемого
спинорного многообразия W. Нам это будет нужно только в том
случае, когда W — либо параллелизуемое многообразие, либо
Z2-гoмoлorичecкий (и, следовательно, рационально гомологиче-
гомологический) диск, и в этих случаях nB) = a(W)/bi, <= (EJ/Z, где a(W) —
сигнатура многообразия W (т. е. сигнатура формы пересечений
на H2k(W\ (Q)) и bk = — 2*k+1B*k-1-\)ak. (Конечно, a(W) = 0 и,
следовательно, ц,B) = 0, если W есть Z2-гoмoлoгичecкий
диск.)
Для данной инволюции на Wln + i мы используем тот факт,
что множество неподвижных точек есть W\k~xяаЗР4*(А2) и что
12 11
матрица формы пересечений многообразия Р4*(А2) есть .
(см. § 8 гл. V и V.9.2). Итак, ст(Р4*(А2)) = 2.
Предположим, что m[Wln+i; Т] = 0 в б^!}. Тогда инволю-
инволюция на m-кратной связной сумме многообразий Wt"+i ограничи-
ограничивает такую инволюцию на 6*я+2, множество неподвижных точек
которой заведомо представляет собой Zjj-гомологический 4&-мерный
диск. Итак, mWf~l = Wt1'''1 #...# Wg* (m раз) ограничивает
Za-гомологический диск, так что ц {mW\k ~') = 0. Однако отсюда

330 гл vt. гладкий действия
следует, что Q = m\i(wlk' 1) = та(Р41! (Aj)/bk = 2m/bk в (Q/Z, а это
означает, что Ьк/2 — делитель числа т. Щ
Замечание. Это не лучшее, что можно сделать. Например,
можно также использовать Я-инвариант Милнора, который опре-
определен, в частности, для всех Жг-гомологических Dk — 1)-мерных
сфер и задает гомоморфизм h 6S-i->(Q/Z, после перехода к мно-
множеству неподвижных точек. Мы отсылаем читателя к Илсу и
Кюйперу[1] за определением этого инварианта и сравнением
его с [д,. В малых размерностях ц дает лучшую информацию,
чем к, но, вообще говоря, вместе они дают лучшую информацию,
чем каждый из них в отдельности. Например, в случае & = 6,
используя Я-инвариант, можно описанный в теореме 8.3 делитель
увеличить в 691 раз.
На самом деле, можно предположить, что элементы, рассмот-
рассмотренные в 8.3, имеют бесконечный порядок. При я = & это можно
показать с помощью метода, который мы используем для того,
чтобы доказать следующий результат.
8.4. Теорема. Для &5г2 инволюция Т: (и, v, гг, ..., г*)н->.
>—*¦ (и, v, гг,..., zk г, — гц) на сфере Брискорна W?*s+1 (см. § 10 гл. V)
определяет элемент бесконечного порядка в &Ц~\-
Доказательство. Пусть 2n^k + 2, и пусть G = ОBп — k).
Рассмотрим G-многообразие W\"{~\ где G действует как ОB«— k)
на последних 2n — k координатах1). Заметим, что стационарные
типы этого действия суть G, К = OBn — k— 1) и Н = ОBп — k — 2).
Рассматривая это, легко видеть, что представление группы G
в окрестности неподвижной точки есть сумма удвоенного стан-
стандартного представления с тривиальным B?+ 1)-мерным представ-
представлением, а срез представления изотропии группы К есть сумма
стандартного представления с тривиальным Bk-\- 1)-мерным пред-
представлением.
Итак, пространство орбит X = W^^llG с топологической точки
зрения есть B& + 2)-мерное многообразие с краем В. Заметим,
что при возрастании п (и, соответственно, при увеличении G),
орбиты не изменяются и, следовательно, пространство X не зави-
зависит от п. Кроме того, заметим, что F{K, Wlns~l) = Wf^+1 несет
индуцированное действие группы Z-> ^ N (К)/К, соответствующее
данной инволюции Т на Wl^+1. Таким образом, существует кано-
каноническое отождествление пространства орбит инволюции Т с про-
пространством В особых орбит: W'l^+l/Tf^B = дХ. Так как fcs=2,
то (см. V. 11.1) №з*в+1 и Wa?s+1 односвязны. Так как существуют
неподвижные точки, то из II.6.3 следует, что X и В односвязны.
Далее, мы утверждаем, что X ациклично и, следовательно, является
И тривиально на первых 2п + /г координатах.—Прим. перев.

8. ГРУППЫ ИНВОЛЮЦИЙ 331
диском. Чтобы убедиться в этом, заметим, что все орбиты группы G
являются Bп — k — 3)-связными, поэтому для i ^ 2п — k — 3 в силу
теоремы Вьеториса —Бегля об отображениях имеем Я'(Х; Z)?=«
**H*(WlTl> Z); см. Спеньер [1], с. 445. Далее, в силу V.9.5
№з?5~! является гомотопической сферой. Таким образом, если
взять 2п — k — 3ssdimX = 2& + 2, то X окажется стягиваемым.
Так как В односвязно, то Х?«D2*+2.
Итак, повторяется ситуация из §7. Пусть S2*-1c:S2*+I обозначает
подмногообразие, соответствующее многообразию F(T, f^)
f + m
= Wf!,~1 в W%,+ 1/T = B**Sm\ В обозначениях § 7 имеем
Взяв m-кратную связную сумму этих многообразий относительно
окрестностей неподвижных точек, получим, очевидно, что
для любого целого т>0.
Теперь предположим, что m[Wf^\ T] = 0 в &Ц-\. Это озна-
означает, что существует инволюция 7" на D2ft+2, которая продолжает
инволюцию, заданную на m^U+'^S**4. Тогда F*^F(t\ D2'1'4)
есть Zg-гомологический диск. Далее, пространство D2*+2/T" одно-
связно, и можно показать, что его целочисленные гомологии три-
тривиальны (см. упражнение 3 гл. III). Таким образом, D2ft+2/T"
представляет собой B? + 2)-мерный диск, и Р* с: О2*+2/Г', оче-
очевидно, имеет край
Иными словами, mS2*-1 c= Saft+1 есть край Z2-roMoлогического диска
f2k (— jJft+2_ на основании § 7 отсюда следует, что
in
-1) ^ Min~l (dF2k) ** dM
Более того, как отмечено в § 7, Min (F2k) Z2-aцикличнo. В част-=
ности, сигнатура многообразия М4п (F2k) равна 0, поэтому для
ц-инварианта Иллса — Кюйпера получаем:
т|Я(^8-1) = и('"^зГ1) = 0 в (Q/Z.
С другой стороны, легко видеть, что Wl%~' ограничивает парал-
лелизуемое многообразие сигнатуры ±8; см. Б рис корн [1]
и Ми л нор [7). (В этом легко убедиться, показав, что О Bп—1)-
многообразие r)P'"(Es) соответствует торическому узлу типа C, 5)
и поэтому эквивалентно многообразию Wl%~~' (см. §§ 10 и 11 гл V),
а также с помощью нетрудного и хорошо известного вычисления

332 ГЛ. VI. ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
сигнатуры многообразия Pin(Es); (см. Хирцебрух [2]). Итак,
Н-О^м) —— 8/Ь„, так что Ьп — делитель числа 8/л. Однако Ь„
строго возрастает при возрастании п, а п произвольно и не зави-
зависит от т. Это противоречие показывает, что ни одно кратное
данной инволюции на Wl^1 не может быть продолжено на D2*+2. |
Замечание. Существует тесная взаимосвязь между выше-
вышеизложенным доказательством и понятием сигнатуры узла; см.
Эр л [1, 2]. Например, вместо сигнатуры узла можно использо-
использовать технику вышеизложенного доказательства для того, чтобы
показать, что любой нетривиальный торический узел в S3 имеет
бесконечный порядок в группе Фокса —Милнора кобордизмов
узлов; см. Ми л нор [6]. Можно надеяться, что в случае коразмер-
коразмерности 2 Фп—2 может быть полностью вычислена; см. Левин [2].
Наш следующий результат по существу получен Браудером
и Петри [1], которые построили некоторый инвариант для инво-
инволюций определенного типа. Мы дадим более сильную геометри-
геометрическую конструкцию этого инварианта. Кроме того, область опре-
определения нашего инварианта будет отличаться от области опреде-
определения инварианта Браудера и Петри (в их конструкции ниже-
нижеследующее (а) заменяется требованием того, чтобы МТ было
рационально гомологической Bk — 1)-мерной сферой, где 1гфп,
а в (Ь) нет необходимости).
В дальнейшем будем предполагать, что Г —сохраняющая
ориентацию гладкая инволюция на замкнутом ориентированном
D« — 1)-мерном многообразии М, для которой:
(a) Мт есть такое гладкое Bk — 1)-мерное многообразие, что
Ни-*п(Мт\ (Е)) = 0.
(b) Существует ненулевое векторное поле |, нормальное к Мт
в многообразии М.
(c) Существует такое ориентированное 4л-мерное многообра-
многообразие W, что dW = M и что Т можно продолжить до гладкой инво-
инволюции на W.
Заметим, что W и Мт могут быть неориентируемыми. Кроме
того, Мт (и М) может быть несвязным и k может меняться в зави-
зависимости от компоненты; при этом условие (а) должно быть спра-
справедливо для каждой компоненты в отдельности.
Предположим, что W имеет такой же смысл, как в (с), а ?
имеет такой же смысл, как в (Ь). Тогда ? можно продолжить до
поля |г, нормального к WT в W, возможно имеющего особенности.
Предполагая, что поле \г мало (это не повлияет на рассуждения),
мы можем применить к |j экспоненциальное отображение, и тем
самым получим сдвинутый образ WT (|x) многообразия W в W.
Более того, слегка заменив ?lt можно предположить, что WT (|x)
трансверсально пересекаег WT. Тогда WT CtWT (Hj) есть замкнутое
Dk — 4«)-мерное многообразие, нормальное расслоение которого,

s. группы инволюций 333
естественно, является ограничением удвоенного нормального рас-
расслоения многообразия WT в W. При этом ориентация много-
многообразия WT f] WT(?х) канонически индуцируется ориентацией много-
многообразия W. Любое другое продолжение ?2 поля |, такое, что
WT (?2) трансверсально многообразию WT, гомотопно полю ?г, и
гомотопию можно видоизменить (сделать ее трансверсальной) так,
чтобы получить кобордизм между WT f\WT (|j) и WT (]WT (g2).
Так как сигнатура есть инвариант кобордизма, то сигнатура
многообразия WT f] WT (?j) зависит только от WT и от (ненулевого)
класса гомотопий нормального поля | к Мт в М. Обозначим
эту сигнатуру через o(WT ¦ WT, ?). Рассмотрим, далее, симметрич-
симметричную билинейную форму (ос, Р) = а-Гр, задаваемую пересечением
циклов из группы Hin(W\ (Q). Сигнатуру этой формы обозначим
через Sgn (T, W). Положим
1(М, Т, l) = o{WT-WT, g)-SgnG\ W).
Мы утверждаем, / (М, Т, ?) не зависит от выбора W. Действи-
Действительно, если Wx — другое ограничивающее многообразие, удовлетво-
удовлетворяющее условию (с), то X = W U (— №\) есть замкнутое многообра-
многообразие с инволюцией. Если g —некоторое ненулевое поле, нормальное
к многообразию Мт в M = W f)Wv то ясно, что
o{XT.XT)~e{WT-WT, l)-a(wl-W\ I).
Более того Sgn (Г, X) = SgnG\ W)-Sgn(T, WJ; см. Атья и
Зингер [2], с. 167 и Хирцебрух [3]. Наибольший интерес
для нас представляет случай, когда M — dW — рационально гомо-
гомологическая сфера; для этого случая последняя формула очевидна.
На основании теоремы Атьи и Зингера о G-сигнатуре (см. Атья
и Зингер [2], с. 162, а также Хирцебрух [3] и Ених и
Осе а [1]) имеет место равенство SgnG\ Х) = а(Хт • Хт)\ отсюда
следует, что I(M, T, 5) не зависит от W.
Заметим, что мы не предполагали М связным. Очевидно, что
инвариант I(M, T, I) аддитивен относительно дизъюнктного
объединения.
8.5. Лемма. A). Если инволюция (М, Т) является границей
инволюции (W, Т), такой, что Hik-in{WT\ (Q) = 0, где dim№r = 2?
(т. е. это равенство выполняется индивидуально для каждой компо-
компоненты многообразия WT с соответствующим k), то a (WT ¦ WT, I) = О
для любого | и, следовательно, I (М, Т, |) = — Sgn (T, W).
B) В общем случае I (M, Т, |) не зависит от \.
Доказательство. Сначала покажем, что из A) следует B).
Пусть ? и У — два ненулевых нормальных поля к МТ в М. Рас-
Рассмотрим W = Мх\ с полем | на Л4гх{0} и полем |' на Мгх{1}
и с инволюцией Txl. Для множества неподвижных точек WT =

334 ГЛ. VI. ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
= Мтх1 в силу предположения (а) имеет место равенство
Так как H2n(W) = H2n(M х1)^Я2л (М), то геометрически оче-
очевидно, что форма пересечений на W нулевая. Тогда в силу A)
имеем
0 = — SgnCTxl, W) =
(O}{l}' %
Итак, достаточно доказать A).
При доказательстве части A) мы будем предполагать, что
читатель знаком с теорией <5?-ряда и с теоремой Хирцебруха
о сигнатуре; см. Атья и Зингер [2], с. 156х). Через У обо-
обозначим самопересечение WT [)WT (?t) для некоторого подходящего
продолжения gj поля |; напомним, что У не пересекается с М = 3W.
Кроме того, dimY — 4k — An. Пусть i: Y-+Wr — включение. Нор-
Нормальное расслоение подмногообразия Y в WT изоморфно ограни-
ограничению на Y нормального расслоения v подмногообразия WT bW.
Так как «5? задается мультипликативной последовательностью, то
,#(У) = /*(т), где % = %$[/т)%(р)-г. (Это - неоднородные абсо-
абсолютные классы рациональных когомологии.) Итак, o(WT ¦ WT, ?) =
= a(Y) = L (Y) = 2ik^nX (У) [У] = 22*-?ni* (т) [У] = 22*-2«т (t, [У]).
Однако по предположению г'* (У) е H^-in (WT; (Е)) = 0 и, следова-
следовательно, a(WT-WT, g) = 0. |
Так как 1 (М, Т, ?) не зависит от 5, то будем его обозначать
теперь через I(M, T). Заметим, что из определения немедленно
следует, что этот инвариант аддитивен относительно связной суммы,
так же как и относительно дизъюнктного объединения (где сумма
берется в тех точках, которые принадлежат компонентам множеств
неподвижных точек одной и той же размерности).
Предположим, что (М, Т) и (Mr, T") — инволюции на Dп — 1)-
мерных гомотопических сферах с Bk— 1)-мерными множествами
неподвижных точек. Также предположим, что (М, Т) L-эквива-
лентна инволюции (М', Т'). Если (М, Т) ограничивает некоторую
инволюцию на некотором ориентированном 4я-мерном многообра-
многообразии, то и (М', Т') ограничивает некоторую инволюцию на неко-
некотором ориентированном 4/г-мерном многообразии. Таким образом,
в этом случае и для пфк определены оба инварианта I(М, Т)
и / (М', Т"). Более того, из определения L-эквивалентности и из
8.5 немедленно следует, что I (М, Т) — I (М', 7")=0. Итак,
/ определяет аддитивный целочисленный инвариант на его под-
подгруппе определения в в^Г}; &=?«.
J) См. также Сто н г [2], с. 208, и Ми л н о р Дж., Ста шеф Дж. Лекции
о характеристических классах.—М.; Мир, 1979, с. 184.—Прим. ред.

9. ПОЛУСВОБОДНЫЕ ДЕЙСТВИЯ ОКРУЖНОСТЕЙ 335
8.6. Теорема. Для кфп инволюция (и, v, гх, ..., гщ-д1—*-
h-* (и, v, гг, ..., гй_,, — гк1 ..., — z-*n-i) на сфере Брискорна W$"{~x
определяет элемент бесконечного порядка в в^'г].
Доказательство. Достаточно показать, что инвариант /
не равен нулю для рассматриваемой инволюции. Будет несколько
более удобным рассматривать соответствующую инволюцию Т на
многообразии dPin (E8); см. § 8 гл. V. (Как было отмечено выше,
на основании классификации заузленных многообразий можно
показать, что dPin (Е8) эквивалентно, как О Bп —1)-многообразие,
многообразию WjJV1. Мы считаем, что это так, но заметим, что
при вычислении инварианта / (дР4" (Е8), Т) этот факт не будет
использоваться.) Инволюция Т канонически продолжается на
Р4л(Е8). Более того, Н2п (Р4" (E8)) — свободная абелева группа
ранга 8; она порождается восемью 2я-мерными сферами, которые
используются при определении водопроводного соединения; см. § 8
гл. V. В силу этого очевидно, что индуцированная инволюция Г*
на Н2„ (Pin (Е8)) есть Т* (а) = (—1)*сс. Таким образом, матрица
билинейной формы (а, Р)—аТ^ есть умноженная на (—1)*
матрица пересечения для Pin (E8), и поэтому имеет сигнатуру ±8.
Заметим, что множество неподвижных точек инволюции Т
на Р4п(Е8) есть Р2*(Е8). Далее, многообразия Р4"(Е8) и Р4"-2(Е8)
параллелизуемы, и поэтому нормальное расслоение пространства
Р4л~2 (Е8) в Р*п (Е8) стабильно тривиально. Однако каждое стабильно
тривиальное двумерное расслоение само тривиально, так как оно
ориентируемо и классифицируется своим классом Чженя с,, кото-
который стабилен. Итак, подмногообразие P2k (Е8) с: Р4»-2 (Е8) с Pin (E8)
имеет ненулевое нормальное поле (действительно, его нормальное
расслоение тривиально), и потому его самопересечение может быть
выбрано пустым. Таким образом, по определению инварианта /
имеем /(<5Р4"(Е8), T) = -SgnG\ Р4" (Е8)) = ±8. |
9. Полусвободные действия окружностей
В этом параграфе мы будем рассматривать гладкие полусво-
полусвободные (т. е. свободные вне множества неподвижных точек) дей-
действия окружности S1 на дисках и гомотопических сферах. Пред-
Предположим, что S1 полусвободно действует на Б" с множеством
неподвижных точек Б*. Случай k — n — 2 был уже рассмотрен
з 6.3 и V.6.2 (см. также V.2.2). Таким образом, мы можем счи-
считать, что k<C.n — 2. Далее, 2* —целочисленно гомологическая
сфера, но она может не быть односвязной. Примеры даются под-
подходящим S1 = SO B)-действием на многообразии Брискорна W?[1~l,
оставляющим неподвижным многообразие W|,B, и связными сум-
суммами таких действий. Однако здесь мы не будем касаться этого,
и предположим далее, что 2* — гомотопическая сфера. Анало-

336 ГЛ. VI. ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
гично, рассмотрим полусвободные действия на D", оставляющие
неподвижным некоторый диск D*. Все результаты этого пара-
параграфа имеют аналоги для полусвободных 53-действий, и мы пре-
предоставим читателю восполнить очевидные недостающие детали.
9.1. Теорема. Пусть S1 действует на D" полусвободно и
гладко, оставляя неподвижным k-мерный диск D* (вложенный любым
способом в D"). Предположим, что «5=7. Тогда это действие
гладко эквивалентно ортогональному действию.
Доказательство. Как уже отмечалось, мы можем пред-
предположить, что k<.n — 2. Пусть р — внутренняя точка диска D*,
и пусть В" a int D" — инвариантный замкнутый диск, являющийся
такой окрестностью точки р, на которой S1 действует ортогонально
(такая окрестность существует в силу теоремы 2.2 об инвариант-
инвариантной трубчатой окрестности). Пусть X = D" — int Вп, и пусть Хо =
= дВ" и X1 = dDn — две граничные компоненты пространства X.
Далее, Вп П D* — замкнутый ^-мерный диск в int D*, и так как
любой такой диск переводится в стандартный концентрический
диск некоторой объемлющей изотопией, то X (] Dk я« S* х[0, 1].
Таким образом, существует такая гладкая функция ср: X[)Dk->
-*-[0, 1], что ф = 0 на XoflD*, ф=1 на Хх fl D* и ф не имеет
критических точек. Очевидно, что, используя склейки, мы можем
продолжить ф до такой гладкой функции ф: X-v[0, 1], что ф = 0
на Хо, ф = 1 на X] и ф не имеет критических точек на Хо, Хг
или на X П D* и, следовательно, на окрестности этих множеств.
Усредняя, мы получим гладкую функцию г|э: Х->[0, Г, вида
¦ф (х) = \ ф (gx) dg, которая инвариантна, равна 0 на Хо и 1 на Хх
и не имеет критических точек на некоторой окрестности мно-
множества (XflD^UXoUX!.
Положим W = (X — D^/S1; это открытое (п — 1)-мерное мно-
многообразие с граничными компонентами WQ = (Хо — Dfe)/S' =
= (дВп - D*)/S' и Wl = (X1 — D")/S1 = (dDn- dD^/S1. Так как
функция г(з инвариантна, то она индуцирует гладкую функцию
¦ф*: W->-[0, 1], которая равна 0 на Wo, 1 на IF, и критические
точки которой содержатся в компактном множестве, лежащем
в MW.
Очевидно, что мы можем модифицировать г|з* и, следовательно,
г|з, изменяя ее только на некотором компактном подмножестве
множества int W таким образом, что новая функция г|)* будет
иметь только невырожденные критические точки, см. М и л н о р [5].
Мы предположим, что это сделано.
Далее, используя любую инвариантную риманову метрику
на D", рассмотрим градиентное векторное поле grad г|) на X.
Траектории этого поля в D* Л X идут из D* П ^о в D* П Хх и,
следовательно, существует такая окрестность множества D* П X,
на которой траектории проходят из Хо в Хх. (Если читатель

9. ПОЛУСВОБОДНЫЕ ДЕЙСТВИЯ ОКРУЖНОСТЕЙ 337
предпочитает, то можно начинать с ф, определенной на инва-
инвариантной трубчатой окрестности множества D*fl^ в X; и тогда
это будет совсем очевидно.) Далее, поле grad г|э инвариантно отно-
относительно ЗЧдействия и, следовательно, индуцирует векторное поле ?
на W, которое, очевидно, градиентноподобно для -ф*; см. Ми л нор
[5], с. 25. (На самом деле ? есть grad \[з* в очевидной индуцирован-
индуцированной римановой метрике на W.) Кроме того вне некоторого ком-
компактного множества траектории поля \ проходят из №0 в №,.
Итак, даже если W некомпактно, то траектории поля | или
любого векторного поля, которое совпадает с с вне некоторого
компактного множества в int W, никогда не выходят из W, т. е.
они проходят из Wo или в Wx (за конечное время), или выхо-
выходят из критических точек или входят в критические точки (когда
время стремится к ±оо).
Так как k<C.n — 2, то X — D*~Dn — D* односвязно, и вклю-
включение S""*-1 ->¦ X — D* сферы в плоскость, нормальную к D*,
индуцирует гомологический изоморфизм и, следовательно, является
гомотопической эквивалентностью. Аналогичные замечания можно
сделать относительно Хо—D* и Хг — D*. Так как эти простран-
пространства являются главными 51-расслоениями, то отсюда немедленно
вытекает, что включения Wo-*-W и Wx-*~W представляют собой
гомотопические эквивалентности, и гомотопический тип этих про-
пространств такой же, как у Sn~*~1/S1«B!(DP'"~1, где r — (n — k)/2. Итак,
(W, Wo, Wi) — односвязный /г-кобордизм.
Отсюда очевидно, что в данном случае можно повторить дока-
доказательство теоремы об /г-кобордизме, данное Милнором [5]; тем
самым гарантируется существование модификации 9*: W-y[0, 1]
функции 1);* (и модификации поля ?, которую мы здесь не учи-
учитываем), причем модификации задаются только в некотором ком-
компактном подмножестве множества int W таким образом, чтобы
новая функция 6* не имела критических точек и принимала
на Wo значение 0, а на Wi значение 1. Взяв композицию функ-
функции б* и орбитного отображения и используя то, что 8*=\|)*
вне компактного множества, получим инвариантную гладкую
функцию 6: Х->[0, 1], не имеющую критических точек и прини-
принимающую на Хо значение 0, а на Хх значение 1. Тогда grad 6 —
инвариантное векторное поле, все траектории которого проходят
из Хо в Хг. Отсюда немедленно следует, что существует эквива-
риантный диффеоморфизм Х?=&Хох[0, 1] = дВ"х[0, 1], являю-
являющийся продолжением тождественного отображения на Х0 = дВп.
Так как S1 ортогонально действует на Вп, то отсюда следует,
что данное действие на D" = Вп [} X гладко эквивалентно этому
ортогональному действию Щ
Замечание. Очевидно, что метод доказательства теоремы
9.1 можно индуктивно перенести на любой орбитный тип для
того, чтобы доказать общую теорему об эквивариантном /i-кобор-

338 ГЛ VI. ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
дизме. Однако необходимые предположения настолько сильны,
что вряд ли целесообразно давать общую формулировку или
доказательство такой теоремы.
Пусть S1 = SO B) действует на R" как сумма r-кратного стан-
стандартного представления с тривиальным /е-мерным представлением,
где n = 2r-\-k. Очевидно, что, с точностью до ортогональной экви-
эквивалентности, это единственное ортогональное полусвободное S1-
действие на R", оставляющее неподвижным R*. Обозначим огра-
ограничение этого действия на единичны!! диск D" через D*.
Удалив диск с центром в неподвижной точке некоторого дей-
действия на гомотопической сфере, мы видим, что из 9.1 вытекает
следующая теорема. Скрученной /с-мерной сферой назовем гомото-
гомотопическую ^-мерную сферу, которая является результатом склейки
двух ^-мерных дисков посредством диффеоморфизма их границ.
Напомним, что для кфЪ, 4 любая гомотопическая ^-мерная сфера
есть скрученная ^-мерная сфера.
9.2. Следствие. Пусть S1 действует гладко и полусвободно
на гомотопической п-мерной сфере 2" (п^=7), имея множеством
неподвижных точек некоторую скрученную k-мерную сферу Тогда
это действие гладко эквивалентно S]-deucmeuio на Dnk[)ltD'k, где
ср: dDl-*-dDi —некоторый эквивариантный диффеоморфизм1). §
Так как любое такое отображение ф продолжается до экви-
вариантного гомеоморфизма пространства D? посредством взятия
конуса, то мы имеем следующий результат.
9.3. Следствие. Пусть S1 действует на 2" как в 9.2. Тогда
это действие топологически эквивалентно ортогональному дей-
действию на S" {т. е. действию на dD^+l), и эта эквивалентность мо-
может быть сделана диффеоморфизмом вне некоторой точки. Щ
Замечания. Случай k = 0 теорем 9.1 и 9.2 рассмотрен
Стюартом [3]. Коннелл, Монтгомери и Янг[1] дока-
доказали теорему, аналогичную теореме 9.1, для случая действий на R",
используя технику леммы о поглощении. Из их результатов сле-
следует усиленный вариант теоремы 9 3. Можно другим способом
разложить полусвободное действие на 2", а именно, вырезать
трубчатую окрестность множества неподвижных точек и исполь-
использовать для описания дополнения теорему об /г-кобордизме. Этот
метод в некоторой степени использован Браудером [2], кото-
который применил его для того, чтобы доказать, в частности, суще-
существование бесконечного множества экзотических примеров для
n==4m+l- Другие экзотические примеры полусвободных S-дей-
ствий на гомотопических сферах были построены Бредоном
[18, 19] и Монтгомери и Янгом [5].
х) Имеется в виду, что на каждом из дисков S1 дспствуеч ортогонально.—
Прим. перге.

I. ПОЛУСВОБОДНЫЕ ДЕЙСТВИЯ ОКРУЖНОСТЕЙ 339
Используя Z2-flencTBHe, индуцированное данным 81-действием,
можно при помощи теоремы 8.6 доказать существование беско-
бесконечного множества экзотических примеров полусвободных 8х-дей-
ствий на S4. Однако следующая теорема даст несколько луч-
лучшие результаты (заметим, что для доказательства этих результа-
результатов мы не предполагаем полусвободности действия).
9.4. Теорема. Пусть S1 действует гладко и нетривиально
на ориентированной гомотопической сфере Е4™-1, и пусть это дей-
действие продолжается до гладкого действия на некотором ориенти-
ориентированном параллелизуемом многообразии Win, где 3№ = 2. Тогда
сигнатура a(W) многообразия Win есть инвариант действия
на 2 in-K
Доказательство. Предположим, что H=dW, причем W
параллелизуемо и вЧдействие продолжается на W. Мы должны
показать, что a(W) = a(W). Положим Y = W[}(— W). Тогда
У— ориентированное почти параллелизуемое многообразие, на
котором действует S1, и мы должны показать, что а(У) = 0.
Используем замечательную теорему Атья и X и рцебр у х а [2],
которая утверждает, что если замкнутое спинорное многообра-
многообразие У (т. е. У— ориентируемое многообразие слм>2(У) = 0) допу-
допускает нетривиальное гладкое 51-действие, то /1-род этого много-
многообразия равен О, /4(У) = 0. Далее, для почти параллелизуемого
4п-мерного многообразия У имеем w2(Y) = 0 и р{ = 0, 0<i<rc,
где. Pi — рациональные классы Понтрягина. Но a(Y) — L(Y),
а А (У) в наших условиях должен быть ненулевым кратным числа
Понтрягина р„(У)[У]; см. Хирцеблрух [1]. Следовательно,
ст(У) есть рациональное кратное числа А (У), которое равно нулю,
если S1 действует на У гладко и нетривиально. Действительно
о(У) = — 22л+1 Bп'х— \)А(У), где У— почти параллелизуемое замк-
замкнутое 4я-мерное многообразие.) Щ
Замечание. Этот инвариант можно обобщить, используя
рациональный fi-инвариант Иллса —Кюйпера. Обобщенный инва-
инвариант можно определить таким же образом, как это сделали
Ил л с и Кюйпер[1] (также см. Монтгомери и Янг [7]),
но со значениями в кольце рациональных чисел, а не в группе
к (Q/Z. Он определяется для того же класса Dп—1)-мерных
многообразий, что и обычный инвариант, но при условии, что S1
действует на этих многообразиях гладко. Его можно вычислить
с помощью некоторого спинорного 4я-мерного многообразия W
(с S1-действием), границей которого является данное многообра-
многообразие. Разность значений этого инварианта, вычисленных с помощью
4и-мерных многообразий W и W', таких, что dW=dW, есть
в точности кратное Л-рода замкнутого спинорного многообразия
W[}(—W), и эта разность равна 0, так как S1 нетривиально
действует на этом многообразии. Таким образом, это рациональ-
рациональное число \i@W), вычисленное с помощью W, есть инвариант

340 ГЛ. VI. ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
S'-действия на 0W. Если 6W — гомотопическая сфера, то для
вычисления можно использовать любое ограниченное ею спинор-
ное многообразие с З^действивм. Если W параллелизуемо, то
при данном п инвариант ii(dW) в точности равен сигнатуре o(W),
умноженной на постоянный1) множитель, так что этот инвариант
обобщает инвариант из теоремы 9.4.
9.5. Следствие. Существует бесконечное множество различ-
различных полусвободных S1-deucmeuu на S4" с множеством неподвиж-
неподвижных точек, диффеоморфным сфере S4*~\ для любых 1 <&<я.
Доказательство. Рассмотрим B« + 1)-мерное представле-
представление группы S1 = S0B), являющееся суммой (n — 'k)-кратного стан-
стандартного представления и тривиального Bk + 1)-мерного пред-
представления. Оно индуцирует полусвободное 81-действие на много-
многообразии2) Pin(Ea), оставляющее неподвижным Р4*(Е8). (Это же
имеет место при k—l, но тогда край <ЗР4(Е8) не является одно-
связным.) Так как дР4л(Е8) и dPif! (E8) — гомотопические сферы,
то некоторые кратные их (относительно связной суммы), скажем,
r-кратные, являются стандартными сферами (например, если п = 3
и k=*2, то подходит г ==6944). Итак, r-кратная эквивариантная
связная сумма этого действия на dPin (E8) представляет собой
полусвободное действие на S4", оставляющее неподвижным S4*
и ограничивающее в^действие на параллелизуемом 4п-мерном
многообразии W = rPin (Е8), которое имеет сигнатуру a (W) = ± 8г.
Связные суммы / экземпляров этого действия, для / = 1, 2, 3, ...,
различаются тогда с помощью инвариантов o(jW) = ±8rj. |
Замечание. Из теоремы 9.1 следует, что для п ^ 6 классы полу-
полусвободных ориентированных эквивариантно диффеоморфных S1-
действий на ориентированных гомотопических n-мерных сферах,
оставляющих неподвижной скрученную fe-мерную сферу, обра-
образуют абелеву группу в? (S1) относительно связной суммы. Дока-
Доказательство теоремы 9.5 показывает, что данное действие на dPin (Et)
имеет бесконечный порядок в Q\nkz\(Sl) для l<fe<«.
9.6. Следствие. Существует сглаживаемое многообразие М12,
которое допускает эффективное локально гладкое полусвободное
Sl-deucmeue, но не допускает никакого нетривиального гладкого
81-действия ни в какой дифференцируемой структуре.
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 9.5,
возьмем связную сумму г экземпляров канонического полусво-
полусвободного вЧдействия на Р12(Е8), оставляющего неподвижным Р8(Е8),
с таким г, что пЭР12 (Е8) я» S11 (подходит /- = 992). Пусть М12 =
= rP12 (E8) U D12 —гладкое почти параллелизуемое многообразие
с сигнатурой ±8гфО. На D12 возьмем конус пал данным дсй-
') То есть не зависящий от выбора параллелизуемо!о многообразия f.—
Прим. перев.
•) См, § 8 гл. V, — Прим. перев.

10. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧКАХ 341
ствием на гдР12 (E8)*=«Sn. Тогда в силу 9.3 действие на Мп
будет локально гладким.
Так как #4(М12; Щ)) = 0 = Я8(М12; (Q), то отсюда следует, что
для любой дифференцируемой структуры на М12 число А(Мп)
есть ненулевое кратное числа а(Мп)ф0 и, следовательно,
А(Мш)=?0. (Альтернативно, можно использовать то, что А (М)
есть топологический инвариант пространства М, так как рацио-
рациональные классы Понтрягина являются топологическими инва-
инвариантами многообразия1).) В силу теоремы Атья и Хирце-
бруха [2], цитированной в доказательстве теоремы 9.4, отсюда
следует, что М12 не несет никакого гладкого 8г-действия ни
в одной дифференцируемой структуре. (Альтернативное доказа-
доказательство может быть основано на том, что М12 почти паралле-
лизуемо в любой дифференцируемой структуре, так как оно 5-
связно и n5(SO A2)) = 0. Итак, 9.6 действительно является след-
следствием теоремы 9.4.) |
10. Представления в неподвижных точках
Пусть G —компактная группа Ли и пусть в: GxM-vM—
гладкое действие группы G на многообразии М. Если х<=М —
неподвижная точка, то индуцированное действие группы G на
касательном пространстве Тх (М) есть представление 6* группы
G. (Заметим, что если М снабжено инвариантной римановой
метрикой, то в* — ортогональное представление.) Пусть хну—
неподвижные точки; сравним представления Ох и @у. Если х и
у принадлежат одной и той же компоненте множества М°, то
очевидно, что в* и @у эквивалентны, поэтому нас не будет инте-
интересовать случай, когда М° связно. Чаще всего мы будем огра-
ограничиваться случаем, когда G = ZP или G = SJ.
Подходящим средством для изучения этого вопроса является
эквивариантная /(-теория. Нам понадобятся только некоторые
элементарные свойства /(-теории и, в основном, будет достаточно
книги Атья [2]. Мы будем пользоваться и ортогональной /(-тео-
/(-теорией, обозначаемой через КО, и унитарной /(-теорией, обознача-
обозначаемой через KU Для утверждений, применимых и к тому, и
к другому случаю, мы будем использовать обозначение К-
Напомним вкратце некоторые факты, которые понадобятся
в дальнейшем. Если X — компактное G-пространство, то Ка(Х) —
факторгруппа свободной абелевой группы, построенной на клас-
классах эквивалентности [I] векторных G-расслоений l (вещественных
для KOq(X) и комплексных для KUQ(X)) над X по подгруппе,
порожденной элементами [1фг|] — [§] — [т^]. Полученная фактор-
1) См. Новиков СП. Топологическая инвариантность классов Понт-
Понтрягина.—ДАН СССР, 1965, 163, с, 298 — 300. — Прим. перев.

342 ГЛ. VI. ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
группа обладает кольцевой структурой, индуцированной тензорным
умножением векторных G-расслоений. Для точки * кольцо Ка(*)
в точности есть кольцо R(G) [ = RO(G) или RU (G)] представле-
представлений группы G, которое аддитивно изоморфно свободной абелевой
группе, порожденной неприводимыми представлениями группы G.
Заметим, что Kq —контравариантный функтор. Для любого X
проекция е: Х-*-* индуцирует из любого представления р группы
О векторное G-расслоение е* (р) над X. Эта конструкция опре-
определяет гомоморфизм е*: R(G) = Kq{*)^>-Kq(X). Заметим, что е*
есть мономорфизм на прямое слагаемое в случае, когда в X
имеются неподвижные точки, но в общем случае, при Xе = ф,
это неверно. Положим /fG(X) = cokere*. Далее, для любого век-
векторного G-расслоения \ над компактным G-пространством Х
существует такое векторное G-расслоение ц, что | © х\ есть
произведение пространства X с некоторым представлением р и,
следовательно, [|фг)] = е*[р]е Ка(Х)\ см. Атья [2]. Отсюда
следует, что любой элемент группы Ка(Х) имеет вид [|] — s* [p],
где | — некоторое векторное G-расслоение и р —некоторое пред-
представление. Отсюда следует также, что для векторных G-рассло-
G-расслоений | и х] над X равенство [|] = |/п] в Kq{X) имеет место тогда
и только тогда, когда \ и ц стабильно эквивалентны, т. е. когда
существует такое прелставление р, что расслоения 1-фе* (р) и
г]фе*(р) эквивалентны.
Пусть SX —(неприведенная) надстройка над пространством X
с вершинами w0 и wt. Включение &,•: {Wi}-*-SX индуцирует
гомоморфизм bf: Kg (SX) -> Ка (Wi) «^ R (G), и мы определим
Р: Ко (SX) ->R (G) как разность bf — bo. Так как ftfe* = l, то
Ре*=О и, следовательно, гомоморфизм р пропускается через
Ka(SX).
10.1. Предложение. Последовательность K^^
Ка() точна.
Доказательство. Заметим, что эта последовательность
получается из последовательности Майера —Вьеториса, если
R(G)®R{G) заменить группой R(G), но желательно иметь и
прямое доказательство. Гомоморфизмы e*bf индуцируются посто-
постоянными отображениями Х->да,-е SX; так как оба эти отобра-
отображения эквивариантно гомотопны, то &*Ь'о =г*Ь* и, следовательно,
е*р=О. Предположим, что е*[ро] = е*[р1]. Тогда е*р0 стабильно
эквивалентно расслоению г*р1; иными словами, найдется такое
представление р, что е* (рофр)«^в* (р1фр). Далее, проекция
конуса СХ в вершину индуцирует из р,-фр векторное G-рассло-
G-расслоение l,i над СХ, и ?0 эквивалентно |х над границей X конуса
СХ. Следовательно, ?0 и |х можно склеить и получить тем самым
векторное G-расслоение над SX. Очевидно, что Р (?) = Ь* (?) —
b*0 [][] [][] I

10. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧКАХ 34°
Если ? —векторное расслоение над X/G, то расслоение, инду-
индуцированное из I проекций X-+X/G, есть векторное G-расслоение
над X. Оно индуцирует гомоморфизм у: К (X/G)—>- Ко (X), кото-
который в случае свободного G-действня на X является изоморфиз-
изоморфизмом, обратное отображение в этом случае строится посредством
перехода к пространству орбит G-действия на тотальном прост-
пространстве векторного G-расслоения над X.
Пусть теперь ?0 ->¦ Ва — главное универсальное G-расслоение,
где классифицирующее пространство Ва является клеточным
пространством с конечными остовами. Пусть В^ есть й-мерный
остов пространства Ва, а ?с*} — его прообраз. В основных инте-
интересных для нас случаях, когда G = 2P или G — S1, в качестве
Eq можно взять бесконечномерную сферу S00 = И S2/J+1. В специ-
специальном случае Х — Е^ мы пишем ak вместо е* и Рд. вместо р,
так что последовательность теоремы 10.1 принимает вид
Ко {SEW) *k-*R (О *»¦ Ко (E(ok)) = К №).
Мы будем использовать для ak и рА верхний индекс с в случае
унитарной /(-теории и верхний индекс г в случае ортогональной
/(-теории.
10.2. Теорема. Пусть 6: G х М -*¦ М — гладкое действие
компактной группы Ли на односвязном многообразии М, и пусть
к и у — неподвижные точки. Предположим, что Н'(Ва; {л,(М)}) =
= 0 при 1 s^i=^m, где {щ (М)} — локальная система групп на Ва,
заданная действием группы ^ (BQ) ^ G/Gn на щ (М), индуциро-
индуцированным действием 6. Тогда ат(®х — 9у) = 0.
Доказательство. Заметим, что если группа G связна,
то локальная система групп постоянна. Если группа G конечна,
то эти группы когомологий совпадают с алгебраическими кого-
мологиями Н' (G; {л,- (М)}) группы G с коэффициентами в G-
модуле {nt(M)\.
Рассмотрим постоянные отображения /0: EQ-*-{x) cz M и
fi. EQ-+\y\ cz M. Мы попытаемся устроить эквивариантную гомо-
топию F между f0 и /t на m-мерном остове: F: E^xl-*- M.
В силу II.2.6 эта задача эквивалентна задаче построения такого
сечения над B(om)xl расслоения над Вах\ со слоем М, ассоци-
ассоциированного с главным G-расслоением ?ох1->-Вох1, которое
продолжает данное сечение над Вах{0, 1}. Препятствия к этому
лежат в группах HU1{BQXA, dl); {щ (М)}) = Н' (Ва\ {л,-(М)}),
l^i^m. По условию, эти группы тривиальны, так что требу-
требуемая гомотопия существует.
Далее, F индуцирует эквивариантное отображение г|з: 5?о")->-
-+М, переводящее вершину w0 в х, а вершину w1— в у. Обозна-
Обозначим через т векторное G-расслоение над SE(/P\ индуцированное

344 ГЛ VI. ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
отображением \]э из касательного к М расслоения. Представление
в слое расслоения т над точкой w0 есть @х, а в слое над точкой
wx есть @у. Следовательно, Щ [т.] = Qx и Ь* [т] = &у, поэтому р"т [т] =
= ®у — ®х и, следовательно, ат аннулирует этот элемент. Щ
Теперь мы применим эту теорему к частным случаям G = ZP
и G = S' (при этом в данный момент р не обязано быть простым).
Интерпретируем Zp как подгруппу группы S1 комплексных чисел
единичной нормы. Пусть ?" —одномерное комплексное представ-
представление вида tn (г) • (w) = znw, где zeZ, (или S1) и ш е (D. Для
G = ZP имеем tn*=tn+p и 1, ?, ..., f-1 представляет собой
полный набор неприводимых комплексных представлений группы
ZP- Кроме того, tn есть n-кратная тензорная степень представ-
представления t. Следовательно, кольцо представлений группы ZP есть
RU{Zp) = Z[ty(\-tP). Аналогично, /?O'(S1) = Z[^, t1] есть кольцо
полиномов Лорана от переменной t. Аугментация RU^G)->Z
имеет вид RU (G) — KUа {*)-+-KU (*)*=« Z и сопоставляет каждому
представлению его размерность. Ядро этого гомоморфизма назы-
называется «идеалом аугментации» и обозначается через / (G). Оче-
Очевидно, что I(G) = (l-t)RU(Q) для G = ZP или G^S1.
Для дальнейших ссылок дадим краткое описание веществен-
вещественного случая. Для G = ZP или S1 представление tn-\-t-n является
комплексификацией вещественного двумерного представления,
переводящего г = е1в в элемент
Гсоз пв sin nfll
L — sin пв cos лвJ
группы 0B). Для нечетного р или для G = S1 так получаются
все неприводимые представления. Для четного р представление
tpf2 является комплексификацией вещественного представления
z = «1""pi-»(-1)e0A). Следовательно, в случаях G = ZP
(с любым р) и G = S1 гомоморфизм комплексификации RO (G) -*¦
-+RU(G) инъективен, и его обрез состоит из таких представле-
представлений p<=RU(G), что р = р. Здесь р — представление, сопряженное
к представлению р; сопряжение имеет вид t *—*¦ f-1.
Далее, для G = ZP в качестве Яо"' можно взять S2"-1
(а для G = S1 можно взять ElSn~l) = Е(§п~2) = S8"-1) с действием, зада-
задаваемым комплексным n-мерным представлением nt. В книге
Атья [2], с. 84, из точности последовательности пары (D2", S3"-1)
выведена точность последовательности
О _* KVa {SEf-") -> RU (G) ф~ RU (G) ^ KUa (fig"») -* 0.
Отображение ф есть умножение на ^
«* A — t)n. Следовательно, для 0 = 8' имеем
ker aL-i = ker aa,_2 - / (S1)" = A - 0"W (S1).

10. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧКАХ 345
так как fis2""" = ВЧ"~2). В книге Атья [2] с. 85, доказано, что
для G = Z2 ограничение KUa(ET~i))-*-KUa(Elan~2)) есть изо-
изоморфизм. Аналогичное доказательство можно провести и для
общего случая G = ZP. Следовательно, и для G = XP имеем
ker c4-i = ker с&,_2 = / (ZP)e = A - t)"RU (ZP).
Из 10.2 и этих фактов выводится следующий результат.
10.3. Теорема. Пусть © — гладкое действие группы G на
односвязном многообразии М, имеющее (по крайней мере) две непод-
неподвижные точки х и у. Если G = Ър или G = S1, а также если Н' (Ва;
{я,- (М) \) = 0 при 1 < t =ss 2л - 2, то элемент вх — @у <= RU (G)
делится на A —t)n. Щ
Заметим, что для G = Ъ
для нечетного i,
где Г = 1—g и Af = I +g + . ¦¦ + gp~1 — операторы в nt(M), при-
причем g e G = Zp —образующий. Если G = SJ, то В0 = СРСО и
W (Ва; {л,- (Ж)}) = 0 для нечетных i и W (Ва; {я,- (М)}) ?=« я,- (М) для
четных I. На самом деле, при G = S1 для выполнения заключения
теоремы 10.3 достаточно, чтобы группы я,-(УИ) были конечны при
четных I и is^2n — 2. Это и некоторые другие улучшения теоремы
обсуждаются в § 11. В каждом специальном случае всегда удается
проверить делимость на A—/)", но для G = ZP это, как правило,
довольно трудоемкая процедура, так как RU (%р) не есть кольцо
с однозначным разложением на множители. Для большинства
случаев достаточно приводимого ниже следствия, которое к тому
же удобно для приложений. (Более общий результат в случае
степени простого числа имеется у Бредона [22].)
10.4. Следствие. Пусть в условиях теоремы 10.3 G = ZP,
где р — простое число. Тогда @х — &у делится на рп, где h =»
= [(n—l)/(p —l)j, m. e. h есть наибольшее целое число, не пре-
превосходящее (п — \I(р — 1).
Доказательство. Так как tp=\, то {\—ty делится на р.
Следовательно, / (Zp)p с pi (ZP) (на самом деле здесь имеет место
равенство, см. Бредон [22]). Кроме того,
-1' с: pi {ЪР) I {ЪрУ-1 = Р/ {ЪРУ с рЧ (Zp).
и индуктивное рассуждение показывает, что
/ (ХР)"р-^1 = / (Ър)»*"-1"!'-» cz phl (ЪР).
Следовательно, для п — I 7--h(p — \) имеем: A—/)" делится на
A —t)hP~ha, а последний полином, в свою очередь, делится на ph. Щ

346 ГЛ. VI. ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
В следующем параграфе мы несколько улучшим результаты
10.3 и 10.4, используя для этого /СО-теорию. В случае р = 2 эти
улучшения достаточно существенны.
Замечания. Заметим, в частности, что в условиях следст-
следствия 10.4 разность размерностей множеств неподвижных точек
в точках х и у делится на ph, а при нечетном р даже на 2рн.
Заметим также, что доказательстсо следствия 10.4 доставляет
легко применимый критерий того, что элемент ср (t) е / (Zp) типа
&х — ®у делится на A-0" в кольце RU (Zp) = Z[t]!(l — Щ,
где р — прсстсе. А имегно, если заранее известно, что q>(t)
должно делиться на A—0" (например, если в этом частном слу-
случае применима теорема 10.3), то после умножения ф (t) на A —/)',
где г—такое число, что n-{-i — h(p—l)-\-l, h — целое, резуль-
результат должен делиться на ph. Обратное также верно, что нетрудно
доказать, используя тот факт, что / (ZP)P= pl (Zp); иными сло-
словами, если A — 0'Ф @ делится на ph и если ф A) = 0, то <p(i)
делится на (\—t)n, где n — h(p—l) — i-\-l. Желательно проил-
проиллюстрировать это рассуждение примером. Предположим, что
группа Z5 действует на 10-мерном многообразии М, и мы хотим
проверить, существуют ли такие неподвижные точки х и у, что
@x==S + t2 + t3 и ву = б + 2*2 + 2/3. Тогда положим q,(t) = ex —
~ey = 2-t2-t3 = (\-t)B + 2t + t2). Если М есть 2-связное
многообразие, то ф(^) должно делиться на A — tJ. Тот факт,
что 2-\~2tJrt2 не делится на \—t, не препятствует этому. На
самом деле, применяя полученный раньше критерий, подсчитаем,
что A - /Kф (t) = A - 3/ + З/2 - /3) B - /2 - Р) = — Ы + Ы* делится
на 5. Это свойство совместимо с делимостью ф (/) на A — /2)
(в действительности делимость следует из этого свойства). На
самом деле, можно проверить, что
Ф @ = B - /2 - /3) = A - О2 A + 2/+ 2/» + /»).
С другой стороны, если М есть 4-связное многообразие, то ф (t)
должно делиться на (I—/K. Имеем
A - 02ф @ = A - 2/ +12) B -12 - i3) = 1 - 4t +12 +13 + /*;
это выражение не делится на 5, следовательно, ф(^) не делится
на (l-tK.
11. Уточнения, использующие ортогональную А^-теорию
В этом параграфе мы изложим некоторые уточнения резуль-
результатов § 10, полученные в результате использования /(О-теории.
Получим также некоторые улучшения, предположив, что каса-
касательное расслоение многообразия М стабильно делится на р над
jfe-мерным остовом; иод этим мы подразумеваем, что ограничение

11. УТОЧНЕНИЯ. ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ /CO-ТЕОРИЮ
847
касательного расслоения Т (М) на ^-мерный остов многообра-
многообразия М, сложенное с некоторым тривиальным вещественным век-
векторным расслоением, эквивалентно прямой сумме р экземпляров
некоторого вещественного векторного расслоения.
Для дальнейших ссылок напомним, что группы
я« пл_! (О (оо)) задаются следующей таблицей: см., например,
Хьюзмоллер [1], с. 341.
п (mod 8)
КО (S«) == л„ j (О (со))
0
Z
1
Ъг
2
Ъг
3
0
4
г
5
0
6
0
7
0
8
г
Мы будем рассматривать такие векторные G-расслоения над
G-пространством X, для которых ассоциированные векторные
расслоения тривиальны. Для изучения этих расслоений рассмот-
рассмотрим пространство Map(G, e; O(N), I) отображений 0: G-*-O(N),
где 6(е) = /, с компактно открытой топологией. Пусть G дейст-
действует на нем посредством формулы (gQ) (К) = 6 (hg) 9 (g). Читатель
может непосредственно проверить, что таким образом определя-
определяется действие. Следующий результат достигается простым вычи-
вычислением, которое мы оставим читателю.
11.1. Предложение. Если X есть й-пространсп:во, то
существует естественное взаимно однозначное соответствие между
структурами на X х RN ортогональных векторных G-расслоений
над X и эквивариантными отображениями 6: X->Map(G, e\
O(N), I). Если б: xi—*ЬХ —некоторое эквивариантнос отображе-
отображение, то соответствующее действие группы G на Xx'\sN задается
формулой g (х, v) = (gx, 0х (g) ¦ v). |
Очевидно, что гомотопия между такими отображениями опре-
определяет на lxXx'RN структуру векторного G-расслоения, так что
гомотопные отображения определяют эквивалентные векторные
G-расслоения.
Рассмотрим пренебрегающее отображение
11.2. Лемма. Если G — Zp, где р нечетно, то для любого п
отображение г|)B/!) тривиально.
Доказательство. Для G-действия на /@(S?<;m)) оче-
очевидно, что образ гомоморфизма ty{m) состоит из элементов, инва-
инвариантных относительно этого действия. Поэтому достаточно
показать, что группа KO{SE{an))G тривиальна для G = ZP в слу-
случае нечетного р. Далее, мы можем считать, что ?¦(?"' есть джойн
Zp-^S2", имеющий гомотопический тип одноточечного объедине-
объединения р — 1 экземпляров сферы S2". Более того (работая в качего-

348 гл. vi. гладкие действия
рии пунктированных пространств), имеем:
КЬ{8Е%а))ъ[Е12п)\ 0(оо)]ъН2п(Е%п); я,„@(оо))).
Единственным нетривиальным случаем является тот случай,
когда n = 0 (mod 4); при этом KO{SE%n))^ H2n(E%n); Z2)^
f=^(Z2)p'1- Можно представлять себе, что эта группа порождается
классами когомологий yh двойственными к 2я-мерным сферам
где g — образующий группы Zp. Далее, yt, ..., ур-1 образуют
базис и ур =— (Yi + • • • + Vp-i)• Кроме того оператор g переводит
V« B У'п (индексы взяты mod р). Так как р нечетно, то легко
проверить, что это действие на группе (Z2)p~1 не имеет непод-
неподвижных точек, кроме нуля. Щ
Для G = ZP имеем E^-^S21-1 и
= ^6(S2"); эта группа есть Z2 для «sal (mod 4), 0 для л = 3
(mod 4) и Z для четных п. Обозначим через tppm) индуцирован-
индуцированное отображение (G = ZP)
ipp • KOa{SEo )
и заметим, что для нечетного р это отображение тривиально,
за исключением случая m = 3 (mod 4).
11.3. Теорема. Если р нечетно, то firk_l (kertyj*-1'^
с= / (Zp)^*», г5е ц (А) = 2 [Л/4]+ 2.
Доказательство. Сначала покажем, что C?_, (kerо^*-1')с
с /(ZpI1'*'. Пусть I — векторное G-расслоение над SE*e~l), где
¦ф[?] = 0. Тогда векторное расслоение, ассоциированное с ?, ста-
стабильно тривиально. Прибавление к | тривиального G-расслоения
не изменит его образа при P^_j, так что мы можем по существу
считать, что ассоциированное с ? векторное расслоение есть
S?g*~1)xRa', причем N может быть взято сколь угодно боль-
большим. Итак, в силу предложения 11.1, расслоение | соответст-
соответствует эквивариантному отображению 6: SE'a ~ 1)->- У = Map (G, е;
О (Л/), /). Так как G = ZP, то У ^O(N)x...xO(N) (р-1 раз).
Можно рассматривать 6 как эквивариантную гомотопию ?о~"х
Xl~*-Y между двумя постоянными (соответственно в 8 (ш0) и
Q (Wj)) «концевыми» отображениями. На основании II.2.6 эту
гомотопию можно в свою очередь рассматривать как сечение над
(Б0Х<31) u(S(?~nXl) ассоциированного У-расслоения над бох1.
Таким образом, препятствия к продолжению ограничения
Q\SE{q~2) до отображения 0': SE^-i-У для некоторого n^k

11. УТОЧНЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ КО-ТЕОРИЮ 349
лежат ъН1(Ър\ \щ (У)}) для ?<г==?«. Однако л,- (К) = л,- (О (Л')) 0
©... © п,- F (Л/)), и мы можем взять N настолько большим,
чтобы все эти группы были стабильными. Так как р нечетно,
то эти группы препятствий нетривиальны только для / = 3
(mod 4). Таким образом, существует продолжение для я, являю-
являющегося наименьшим целым числом, таким, что n^k — l и л = 2
(mod 4). Продолжение 8' порождает структуру векторного G-pac-
слоения г) на SE{a]xRN, имеющего в вершинах w0 и wt те же
представления, что и |. Итак, Р?_, [?] — $гп [r\] e ker о/ с ker а* =
= / (Zp)("+2)/2. Легко проверить, что (я + 2)/2 = ц(А:).
Так как о|)(*~1) = О для нечетного k в силу леммы 11.2, то
достаточно показать, что %_{(kert|>(p*- 1)) = Р^_Л (ker ij)**-11) для
четного k. Здесь ^"'^S*, и Б^~1! = S*~'/Zp-линзовое
пространство. Следовательно, существует отображение '1*
->?^) степени 1, и композиция S* = S?i?*~ n-
-»-S?c-l) = S* имеет тогда степень р. Отсюда следует, что образ
отображения я*: ^б (SB^~1>)-»-^6(S?b*~10 содержит подгруппу
((~l))- Коммутативность диаграммы
КО (SB,
(Jfe-1)
показывает, что р (ker i|5p) c= p (ker -ф + Im у) = р (ker i|)), что и явля-
является искомым результатом. |
Заметим, что последнюю часть этого доказательства можно
применить к случаю р = 2 для того, чтобы показать, что
р (ker г(з3) = р (ker г);), так как ^*~ " = г|з(*), k — нечетное.
11.4. Следствие. Если р — простое нечетное и в — гладкое
действие группы Ър на таком односвязном многообразии М, что
Н' (Zp; {л,-(/И)})=0 для I ^i^k— 1, то для любых двух непод-
неподвижных точек х и у представление 6X — Qy делится на A —/)M*-i>
в RU (Ър)- Более того, если касательное расслоение многообра-
многообразия М стабильно делится на р над k-мерным остовом, то ®х —
— в^ делится на (l-t^^K Здесь ц(?) = 2[&/4] + 2.
Доказательство. Рассмотрим построенное ранее эквива-
риантное отображение SE'a ~ °->М. Касательное расслоение Т (М)
индуцирует векторное G-расслоение т на SEla"u, причем
?>k-i[t] = ex-Qy. Если k^O (mod4), то t^*" u = 0, и можно
применить теорему 11.3. Если же & = 0 (mod 4), то \x(k — 1) =

350
ГЛ. VI. ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
— k/2, и в силу теоремы 10.3 отсюда следует искомый результат.
Что касается последней части теоремы, то по условию г|)р[т] = 0,
поэтому можно применить теорему 11.3. §
Используя технику доказательства следствия 10.4, после
непосредственных вычислений получим следующее улучшение
следствия 10.4.
11.5. Следствие. В условиях следствия 11.4, если р —
нечетное простое число, то 0Х — &У делится на р?-1*-ч в общем
случае и на pX[k) всегда, когда касательное расслоение многообра-
многообразия М стабильно делится на р над k-мерным остовом. Здесь
X(k) [k{2Z] 1
[p)] 1
Укажем, что замечания к следствию 10.4 дают более общий
и легко применимый метод использования значительно более
точной информации, содержащейся в следствии 11.4.
Перейдем теперь к случаю р = 2. В этом случае E^ — S"
и Бс!)==КР". Для данного я обозначим через Ф(«) число таких
целых чисел /==0, 1, 2, 4 (mod 8), что ls^ts^n. Числа Ф (п)
задаются следующей таблицей
п
Ф(л)
1
1
2
2
3
2
4
3
5
3
6
3
7
3
8
4
k + 8
Ф(?) + 4
Далее, известно, что КО (RP") — циклическая группа порядка
2Ф<"), порождающаяся элементом ar (I —1)\ см., например,
Хьюзмоллер [1J, с. 342. Таким образом, гомоморфизма^:
R (Z.,) -> KOZ2 (Sn) имеет ядро ker arn = 2* («>/ (Z,) с RO (Z.2) =
= /??/(Z2).
11.6. Теорема. Пусть в — гладкое действие группы Z2 на
таком односвязном многообразии М, что Н' (Z2; {я,-(М)}) = 0 для
I ^is^k—1. Тогда для любых неподвижных точек х и у, Qx —
— @у делится на 2ф{к~1). Если касательное расслоение много-
многообразия М стабильно делится на 2 над k-мерным остовом, то
®х — ®у делится на 2Ф<*>.
Доказательство. Первая часть теоремы следует из при-
приведенных выше замечаний и теоремы 10.2. Заметим, что имеется
аддитивный изоморфизм / (Z2) ^ Z- Кроме того, стабильное
представление группы Z2 полностью определяется кратностью
собственного значения —1, и поэтому &X — Qy можно рассматри-
рассматривать как разность этих кратностей в точках х и у. Более того,
это есть в точности разность размерностей компонент многообра-
многообразия М^2, содержащих точки у и х.
Для того чтобы доказать вторую часть теоремы, напомним
(см. доказательства теоремы 11.3 и следствия 11.4J, что из пред-

п. уточнения, использующие ко тг.орто 351
положений вытекает существование векторного Ж2-расслоения ?
на Sk = SE<2~~i) (с неподвижными точками ш0 и доЛ с тривиаль-
тривиальным ассоциированным векторным расслоением, и такого, что
P*_i [|] = вЛ — ®у. Оно порождает такое эквивариантное отобра-
отображение 8: S*->Map(Z2. в> O(JV), I)^^O(N) (относительно инво-
инволюции A i—- А'1 на О (Л')), что разность кратностей собственного
значения —1 пространств 9 (w0) и 0 (Wj) равна 0X — QU.
Таким образом, достаточно показать, что для любого такого
эквивариантного отображения 6: Sk-+O(N) разность кратностей
собственного значения —1 в пространствах 8(а>0) и 6@^) делится
на 2ф{к). Для того чтобы доказать это утверждение, можно
выбрать N сколь угодно большим. Как и раньше, попытаемся
продолжить 6 до 6': Sk+l = SE%^-*-O(N). (В нашем случае проще
считать препятствия к продолжению классом [6]ел4(О(#)), так
как если это препятствие есть 0, то 8 можно продолжить на
одну полусферу как отображение, а затем на другую полусферу
по эквивариантности. Если k е=2, 4, 5, 6 (mod 8), то nk(O(N)) —
— О, и продолжение существует. В противном случае отображе-
отображение 6,: Sk-*0BN), переводящее q в ^ . х , эквивариантно
и для него [6j] = 0 e яй@ BN)). Итак, существует продолже-
продолжение 6J: Sk+1->-0 BN)- Разность кратностей собственного значе-
значения — 1 в точках ш0 и wl для б! в два раза больше, чем для 0;
но 2ф(*-1) = 2-2ф(*' и в этом случае. Последовательным приме-
применением этого рассуждения мы можем в конце концов свеа и
вопрос к случаю, когда Ф(&) = Ф(&—1); т. е. &s=3, 5, 6, 7
(mod 8). В этом случае (новое) отображение 0 соответствует век-
векторному 22-расслоению ц на Sk = SE%~ ]) и p^_i [11] <= kerc4_i =
_ 2Ф(*- D/ (Z2) = 2'1>(*)/(Zi{). Однако это есть в точности разность
кратностей собственного значения —1 пространств б(ш0) и8(а/1),
что и требовалось доказать. Щ
Перейдем теперь к случаю Б^действий. Напомним, что для
/~, oi r-Bn— 1) гЧ2я — 2) г-2п — 1
0 = S имеем Ьа = Ьв =Ь , что можно рассматри-
рассматривать как джойн S^.-.^sS1 n экземпляров группы S1 с диаго-
диагональным действием. Тогда S2n, как надстройка S2" = SS2"-1 =
= SE{a"~2\ будет всегда нести S1-действие, имеющее две непод-
неподвижные точки w0 и tt>j. Как и в случае группы Z2> удобнее будет
использовать теорию препятствий непосредственно. Таким обра-
образом, если X — некоторое S^npocrpancTBo и ф: S2"^-X —эквива-
—эквивариантное отображение, то ф можно эквивариантно продолжить
на S22 = S2" *S1->- X только если \ц>] = 0 (= л2„(Х). Обратно,
если [ф| = 0, то ф можно продолжить как отображение на конус
S2" * \е) с: S2'h2 и, далее, в силу 1.3.3 продолжить единственным
образом до эквивариантного отображении S-"i2->-A. Итак, класс

352 ГЛ. VI. ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
[ф] е nin (X) есть единственное препятствие к продолжению
Sa2X
на
Далее приведем рассуждение, которое позволит нам уничто-
уничтожить препятствие [ф], если оно имеет конечный порядок. Пусть
р?: San->S2" —отображение, которое является надстройкой над
джойном п экземпляров отображения S1—v-S1 вида z\—*-zq. Для
Б'-пространства М через M{q) обозначим М, снабженное 81-дей-
ствием, индуцированным исходным действием посредством гомо-
гомоморфизма S1—>-S вида 2 1—>zq. Очевидно, если ф: S2n->M экви-
вариантно, то и Ф°р?: S2"->- M{q) эквивариантно. Так как
отображение р? имеет степень qn, то [ф = р?] = 0, если [ф] имеет
порядок q в щп{М).
Более того, если co@eZ[^, t-1] = RU (S1) — представление
в неподвижной точке х многообразия М, то представление
в точке х многообразия М{д) есть в точности a>(tq). Следующая
лемма показывает, что эта замена не изменяет делимости на
0-0*.
11.7. Лемма. Полином f(t) делится на (l—t)k тогда и
только тогда, когда f(tq) делится на (\—t)k.
Доказательство. Положим s=\—t и g(s)~f(\—s) =
= f(t). Положим, далее, /? = A — sL — 1 — h(s), где полином h
имеет простой нуль в точке s = 0. Тогда порядок нуля в точке
s = 0 полинома /(^) = /(A — s)*) = /(l —h(s))= g(h(s)), очевидно,
равен порядку нуля полинома f(t) = g{s). Щ
Если S1 действует гладко на многообразии М с неподвижными
точками х и у и если щ(М) конечны для четных i при г^
sg 2я — 2, то приведенные выше рассуждения позволят нам
построить эквивариантное отображение S2/!->iW(ft), переводящее
w0 в х и wL в у, для некоторого k. Кроме того изменение дей-
действия не изменяет порядка делимости ®х — Оу на A—/), и, сле-
следовательно, @х — @у делится на A-~^)л в силу рассуждений
§ Ю.
Пусть / (t) — полином наименьшей степени, полученный умно-
умножением Qx — 0j,eZ[/, t-1] на некоторую степень переменной t.
Так как представление @х — ®и вещественно, то соответствующий
ему полином Лорана инвариантен относительно замены /i—*-t~l,
и, следовательно, полином f (t) имеет четную степень, а его коэф-
коэффициенты обладают формальной двойственностью Пуанкаре1).
1) Напомним, что полиномом Пуанкаре ориентированного m-мерного много-
многообразия М называется полином Р (М, 0 = S(—1)' г,/', где г;~ранг группы
гомологии Ht(M; (Ц) и (Q — поле рациональных чисел. Из теоремы двойствен-
двойственности Пуанкаре следует, что г^ = лт_г-. По аналогии, говорят, что коэффициенты
некоторого полинома P(/)=Xpf'' удовлетворяют условию двойственности
Пуанкаре, если Pj = (—U'"Pm <> Для всех i, гдеш— степень полинома Р (t).—
Црим. ред.

II. УТОЧНЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ КО-ТЕОРИЮ 363
Частное g{t) — f(t)(l—t)~n, очевидно, тоже удовлетворяет усло-
условию двойственности. Если п нечетно, то g(t) имеет нечетную
степень, и поэтому в силу двойственности g(l) = 0. Итак, g(t)
делится на \—t. Отсюда следует, что при выполнении опи-
описанных выше условий Qx — Qy делится на A — /)л+\ если п
нечетно.
Предположим теперь, что п четно и, в дополнение к указан-
указанным выше условиям, что касательное расслоение многообразия М
стабильно тривиально над 2л-мерным остовом. Тогда отображе-
отображение S2"-viW(ft) индуцирует над S2" векторное S'-расслоение,
ассоциированное векторное расслоение которого стабильно три-
тривиально. В силу предложения 11.1 это отображение порождает
эквивариантное отображение 8: S2n -*¦ Map (S1, e; O(N), I) = QO(N)
для некоторого большого N.
Тогда элемент [6] е пгп (QO (N)) = п2п+1 (О (N)) — единственное
препятствие к продолжению отображения 6 до эквивариантного
отображения S2n+2->-QO(yV). Так как п четно, то эта группа для
достаточно большого N есть либо 0, либо Z2- Покажем теперь,
как обойти это препятствие. Пусть Я: QO (N) -»- QO (N) задано
формулой (Я (со)) (g) *= ®(g2). Определим гр: S8"->-QO(yV) как ком-
композицию i|> = A,°6°p2. Тогда tyx(g) = Qpiw(g2), и легко проверить,
что отображение гр эквивариантно. Структура векторного SJ-pac-
слоения на S^xR^, индуцированного отображением \р, задается
формулой g(x, v) — (gx, 9Р,(*)(?2) -v), и поэтому представления на
слоях в точках x~w0 и x = w-l можно получить из исходных
представлений, заменив / на t2. Так как р2 имеет степень 2", то
0 = [г|:] е я2„ (QO (N)), и поэтому t|) можно продолжить на S2n+2.
Отсюда следует, что (®х — Qu) (t2) делится на A — /)л+1 и, следо-
следовательно, (Qx — Qu)(t) делится на A — t)n+1. Однако тогда оно
делится также на A — t)n+2 в силу того, что коэффициенты удов-
удовлетворяют двойственности Пуанкаре для случая нечетного п.
Таким образом, мы доказали следующую теорему.
11.8. Теорема. Пусть в — гладкое действие группы S1 на
многообразии М. Предположим, что я,- (М) конечны для всех
четных i, таких, что 2sgt^2n —2. Тогда 9Х — ву делится на
A — ^)и<"-1> для любых двух неподвижных точек х и у. Если каса-
касательное расслоение многообразия М стабильно тривиально над
2п-мерным остовом многообразия М, то ®X — Qy делится на
(\-t)a{n). Здесь со (я) = 2[л/2]4-2. |
Замечания. Большая часть материала §§10 и 11 взята
из статьи Бредона [22], но здесь мы включили также "некото-
"некоторые отсутствующие там усиления результатов. Кроме того,
в упомянутой статье изучены некоторые вопросы, которые встре-
встретятся нам в дальнейшем, а также рассмотрены некоторые явные
примеры. Часть этих примеров и приложений мы обсудим в сле-
следующей главе.
12 Г, Бр«д<ш

354 ГЛ. VI. ГЛАДКИЕ ДЕЙСТВИЯ
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
1. Пусть G = Za действует на R посредством отображения х\—»-—х. Рас-
Рассмотрим для вещественного числа г > 0 отображение fr: R-*-R+, такое, что
п фг
fr (x) = \xir. Тогда fr разлагается в композицию />: R—• R/G—-R+, где фг —
гомеоморфизм. Зададим на J2/G дифференцируемую структуру &', потребовав,
чтобы отображение ер,, было диффеоморфизмом. Показать, что 3F — естественная
дифференцируемая структура тогда и только тогда, когда г имеет вид r — 2/n
для некоторого целого положительного п. (Под «естественной» мы подразуме-
подразумеваем такую дифференцируемую структуру на R/G, что каждый эквивариантный
диффеоморфизм R->-R индуцирует диффеоморфизм на R/G.)
2. Назовем дифференцируемую структуру на Ц/G из упражнения 1 подни-
поднимаемой, если каждый диффеоморфизм R/G -> R/G индуцируется эквивариантным
диффеоморфизмом R-»-R. Показать, что структура Э-г поднимаема тогда и
только тогда, когда г имеет вид г = 2т для некоторого целого положитель-
положительного т. (Таким образом, индуцированная структура 3~\ есть единственная
структура, которая одновременно является естественной и поднимаемой.)
3. Доказать утверждение (сделанное в конце § 7) о том, что аналог резуль-
результатов этого параграфа неверен для U (п)- или Sp (п)-действий. (Указание.
Рассмотрите, например, ограничение на II (n) cz О Bя) с: О B/г+ 1) ОBл+1)-
действия на ?^" + 1.)
4. Показать, что группа Ф|, описанная в § 8, имеет элемент, порядок
которого либо бесконечен, либо делится на 8. (Указанно. Продолжите инво-
инволюцию на Wi| = Ejj с множеством неподвижных точек L C, 1) до инволюции
на S<\)
б. Показать, что группа Ф^_а содержит подгруппу, изоморфную
кег {2: 0"->0n}. (Таким образом, Ф2 содержит элемент порядка 2.)
6. Определить гомоморфизм Ф^_^-*¦&"• который продолжает тождествен,
ное отображение на подгруппе, определенной в упражнении 5. Аналогично, по
казать, что группа в" изоморфна некоторому прямому слагаемому группы 0^_
7. Показать, что существует бесконечное множество таких различных глад-
гладких полусвободных 83-действий на S4/J *, множество неподвижных точек которых
есть сфера любой коразмерности, кратной восьми.
8. Пусть р — нечетное простое число, а т} — вещественное двумерное пред-
представление %] = t-\-tx группы %р. Пусть п—данное целое положительное число;
положим h = \nl(p—1)]. Показать, что для достаточно больших N существует
гладкое действие 0 группы %р на S2nxSjV, множество неподвижных точек кото-
которого представляет собой такое дизъюнктное объединение S^ + Sft сфер, что
если xeSa и у s S*, то 0Х — Qy = ph B — т)) в RO (Zp)- Отсюда следует, что
если а^Ъ, то а — 6=»2рл. Заметим, что в силу этого следствие 11.5 дает для
делимости 0^ — ©^ наилучший возможный результат. (Указание. Исполь-
Использовать тот факт, что / (Zp)'' 'P~1>+1 = pf!l (Zp); сравнить с доказательством
следствия 10.4. Следует также заметить, что если р е RU (Zp) лежит в Imf^
то p(g)p лежит в Im $rm. Сначала рассмотреть случай n=h(p — 1)+1.)
9. Предположим, что 2з действует гладко на S8xS8. Показать, что пред-
представления группы Zs во всех неподвижных точках эквивалентны друг
ДРУГУ-
10. Рассмотрим многообразие Штифеля Vn,2 = SO (n)/SO (n — 2) для п^Ю.
Показать, что для любой гладкой инволюции на нем, имеющей хотя бы одну
изолированную неподвижную точку, все остальные неподвижные точки также
являются изолированными
11. Пусть Z.i действует гладко на многообразии, являющемся группой
§U (п) для п^=Ъ, 5. Показать, что представления во всех неподвижных точках

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Vt 355
эквивалентны. (Указан и с. Использовать тот факт, что для (<2я ji(-(SU(n)i
есть 0 для четного i и Z Для нечетного (.)
12. Пусть УМ8 —связная сумма нескольких экземпляров S4x 4. Предпо-
Предположим, что 2б действует гладко на УМ8 и имеет только изолированные непод-
неподвижные точки. Показать, что представления во всех неподвижных точках
эквивалентны друг другу.
13. Пусть M=S LxS 2x ... xS *, где щф2. Предположим, что S дей-
действует гладко и полусвободно на М. Показать, что все компоненты множества
неподвижных точек F имеют равные размерности. Построить пример, показы-
показывающий, что это неверно, если /2; ==2 для некоторого ( (например, построить га кое
гладкое полусвободное в^действие на S2xS5, чтобы множество неподвижных
точек F было дизъюнктным объединением S'-f-S6).
14. Пусть X — некоторое G-пространство; предположим, что заданы две
структуры ортогонального G-расслоения на XxKN, соответствующие эквива-
риантным отображениям 6 и 0' пространства X в Map (G, е; О (N), /), как и
в предложении 11.1. Показать, что эти G-расслоения ортогоналыю эквивалентны
над X тогда и только тогда, когда существует такое отображение ф: X -*¦ О (N)
что Ь'х lg) = <p{gx) Ьх (g) ф (*)~1 для всех х е X и g e G.
15. Пусть G zd К—компактные группы Ли, и пусть К действует ортого-
ортогонально и транзитивно на S". Пусть i>o = @, ... О, 1) е S" "*; положим Н = KVn.
Если я: G/H -*¦ G/K—проекция, то цилиндр отображения Мп эквивалентен,
как G-пространство, пространству Gx^ D". Любая точка пространства GxK D"
имеет вид [g, v], где t/eRs . Показать, что в этом описании правое действие
группы S (n) = [N (H)[\N (К)]/Н индуцируется отображением (\g, v\, s) <—>
i—»¦ [gs, v] для s e N (H) fl N (К) иле Rv0. Показать, что оно отображает
слой D" над gK в слой над gsK посредством kv i—> sr^-ksv и, следовательно,
что действие является гладким тогда и только тогда, когда отображение
Sn 1-*-Sn~1 вида kv01—*¦ s lksv0 ортогонально. (Заметим, что, по-видимому,
можно доказать, что на самом деле это условие всегда выполняется. Однако
пока не существует никакого изящного или легкого доказательства этого факта,
и это, возможно, зависит от трудности классификации однородных про-
пространств К/И, представляющих собо;"i сферы. С другой стороны, это условие
легко проверить для всех частных случаев, представляющих интерес в этой
книге.) ^
12*

Глава VII
КОГОМОЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА МНОЖЕСТВ
НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
В этой главе мы вернемся к изучению взаимосвязи между кого-
когомологическими структурами пространства и когомологическими
структурами множеств неподвижных точек Zp-действий и S'-дей-
ствий на этом пространстве, и получим при этом более глубокие
результаты, чем в главе III. Метод, которым мы здесь пользуемся,
изобрел Борель [4, 5]; основы этого метода изложены в § 1.
Несколько более общие неравенства для рангов когомологиче-
когомологических групп, полученные Хеллером, Суоном и автором, доказаны
в § 2.
В §§ 3 и 5 мы исследуем действие на проективных простран-
пространствах (вещественных, комплексных, кватернионных и плоскости
Кзли) и рассматриваем примеры, иллюстрирующие теоремы § 4.
Общая теорема о действиях на пространствах Пуанкаре дока-
доказана в § 6. В § 7 доказана общая теорема об инволюциях, из
которой следует, что инволюция на пространстве Пуанкаре нечет-
нечетной эйлеровой характеристики обладает (непустым) многомерным
множеством неподвижных точек.
Действия на произведении двух сфер изучаются в §§ 8 и 9,
а действия окружности на произведении нескольких нечетномер-
ных сфер —в § 10.
В § 11 когомологическая техника применяется к изучению
конусов отображений с целью получения некоторых результатов
об эквивариантных отображениях сфер с линейными инволюциями.
1. Предварительные сведения
Для компактной группы Ли G обозначим через Eq-^-Bq уни-
универсальное главное G-расслоение, где классифицирующее про-
пространство Во является клеточным комплексом, Af-мерный остов Bq
которого конечен для всех N. Пусть Eg— прообраз подпростран-
подпространства Вд\ заметим, что Ее компактно и Л/-универсально. В этой
главе для нас наибольший интерес будут представлять случаи

1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 357
G=»ZP и G = SJ. Для паракомпактного G-пространства Х положим
Xg =XxgE'g, так что Хв есть пространство ассоциированного
расслоения над Вд со слоем X.
Так как для паракомпактных пространств чеховские и пучко-
пучковые когомологии совпадают и так как Xq паракомпактно, то
имеется спектральная последовательность Лере (для любой группы
коэффициентов К)
E[-q = Hr{BNa\ Н"(Х; К)) => Hr+q'(Х#; К),
где система групп коэффициентов Н"{Х; К) локально постоянная,
но несет каноническое действие группы я1(В^)я«я0 (G). (Обосно-
(Обоснование этого в рассматриваемой общности имеется у Бредона
[13], с. 140—145.)
Анализ спектральных последовательностей этих расслоений
показывает, что при п > N ограничение Нп (Xg+1; К) -> Н" (х?; К)
является изоморфизмом. По определению положим Нп (Xq; К) =
= \ипЙп(Х'а; К}- (Неясно, совпадают ли так определенные группы
с обычными группами чеховских когомологии пространства Xq
в случае, когда пространство ХхЕо не паракомпактно, но по-
поскольку такой случай нам не встретится, мы не будем исследо-
исследовать этот вопрос.)
Используя стабилизациюх), нетрудно определить предельную
спектральную последовательность Е['я*=п {Ва\ Нч (X; К))=>
=>Hr+g (Xo; К). На самом деле этот предельный переход отнюдь
не является необходимым техническим средством. Читатель без
труда проверит, что2) все рассуждения останутся справедливыми
при замене пространства Ха с достаточно большим УУ простран-
пространством Хо. Аналогично, для замкнутого инвариантного подпро-
подпространства A cz X имеется спектральная последовательность
Е[-" = Нг{Ва- Н"(Х, Л; K))=>H^q(Xa, Ao; К).
На протяжении этой главы множество Xе неподвижных точек
G-действия на X будет обозначаться через F, так что F = Xa,
а пространство орбит —через X*, так что X* = X/G. Мы будем
считать F подмножеством как в X, так и в X*. Заметим, что
XqziFg = FxBo.
При переходе к пространству орбит эквивариантная проекция
Хх?а-*-Х индуцирует отображение ср: XG^X*.
1.1. Предложение. Пусть G = ZP, где р — простое число.
Тогда для любого замкнутого инвариантного подпространства
!) То есть вышеупомянутый изоморфизм ограничения.—Ярил, перев.
2) При фиксированном значении r-\-q. — Прим. перев.

358 ГЛ. VII. КОГОМОЛОГИИ МНОЖЕСТВ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
Л из X и любой группы коэффициентов гомоморфизм <р*:
НЧХ*, A* \JF)-*Hl (Хо, Aq[]Fq) является изоморфизмом. Ана-
Аналогичное верно для G — S1 и рациональных коэффициентов.
Доказательство. Для G — Ър это следует из упражнения 8
гл. III, и аналогичное доказательство проходит для G = S1. Чтобы
дать прямое доказательство, заметим, что гомеоморфизм
(GIH) х в Ес ^ (G х с Еа)/Н ъ* Еа/Н я» Вн
влечет для любой точки ieXc образом х* е X* гомеоморфизм
qr1 (х*) f=&BOx. Следовательно, для х* <^F множество ф^*)
ациклично (над (Q для G = S1), и требуемый результат следует
теперь из теоремы Вьеториса — Бегля, см. Бред он [13J, с. 142.
(При этом используется тот факт, что, например, группа Н'(Х*, F)
изоморфна группе когомологий пространства X* — F с носителями
в семействе тех подмножеств из X*—F, которые замкнуты
в X*.) И
Используя предложение 1.1 и точность последовательности
пары (Ха, FQ), мы получаем следующую основную точную после-
последовательность
A.2) ...-»-#* (X*, F) - Нк (Хо) ?* Нк (F0) ^
определенную для G = ZP, где р —простое число, и произвольных
коэффициентов, а также для G = SX и рациональных коэффици-
коэффициентов.
Все члены когомологической последовательности пары (XQ, FQ)
являются левыми модулями над Н* (Хо) посредством w-умноже-
ния, и все гомоморфизмы — модульными гомоморфизмами (правда,
связывающий гомоморфизм— лишь с точностью до знака). Проек-
Проекция Xq^-Bq индуцирует гомоморфизм Н* (Ва)-*-Н* (Ха), кото-
который (в силу 1.1) превращает все члены последовательности A.2)
в Н* (Во)-модули; при этом ;'*, /* и (с точностью до знака) б*
суть модульные гомоморфизмы.
Более общо, если A cz X — замкнутое инвариантное подмно-
подмножество, то, по аналогии с A.2), имеется точная последователь-
последовательность Я*(?о)-модулей:
A.3) ...-»-?*(X*. A*{jF)-^H
Обычно будут использоваться случаи, когда А = ф или Л—точка
из F.
Теперь перейдем к теореме Лере —Хирша. Пусть (Y, У) —
пара расслоений над пространством В с проекцией р: Y^-B и

1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 359
слоем-парой (X, АI). Пусть далее Л —область главных идеалов.
Под когомологическим расширением слоя мы понимаем такой Л-
модульный сохраняющий градуировку гомоморфизм 0: Я* (X, А;
Л)-»-Я* (К, У; Л), что для любой точки йеВ композиция
Й*(Х, А; Л) e>H*(Y, У; Л)->Я*(Хй, А»; Л) гомоморфизма 6
с ограничением на слой (Хь, Аь) над точкой 6еВ является изо-
изоморфизмом; см. Спеньер [1], с. 331. Важно отметить, что 8
не обязан сохранять произведения.
Следующая теорема выполняется и в более общей ситуации,
однако в случае чеховских когомологий, если не налагать на
(X, А) или В некоторых довольно сильных условий, возникают
технические трудности. В достаточном для наших целей случае,
когда В —конечное клеточное пространство, доказательство
довольно просто.
1.4. Теорема (Лере—Хирш). В описанной выше ситуации
предположим дополнительно, что X паракомпактно, А замкнуто
и В — конечное клеточное пространство. Пусть 0 — когомологиче-
когомологическое расширение слоя с базовым кольцом Л; предположим, что
Н* (X, А; Л) — свободный А-модуль. Тогда отображение
Н*(В; А)®АН*(Х, A;A)-*H*(Y, У; Л)
вида р ®а<—*¦ р* (Р) w 6 (а) является изоморфизмом Я* (В; А)-мо-
дулей.
Доказательство. Заметим, что Y паракомпактно и V
замкнуто в Y. Мы докажем теорему посредством индукции по
размерности и числу клеток пространства В. Итак, достаточно
доказать теорему для объединения В = В' (J ф D", предположив ее
справедливой для В', При этом, в силу гомотопической инва-
инвариантности рассматриваемой ситуации, можно считать, что2) В =
= B'[}Dn; B'f]Dn^Sn-1. Так как dirnS"-1 < dim В, то для
§л-1 теорему можно считать справедливой. Для диска D" теорема
тривиальна. Имеется точная последовательность Майера —Вьето-
риса (с коэффициентами в Л)
..._>#< (В) -+ й1 (вг) е й1 (D») -> н1 (s*-1) ->#'41 (В)->-...,
которая останется точной и после тензорного умножения3) всех
ее членов на Я* (X, А) в силу того, что эта абелева группа
является свободным Л-модулем. Гомоморфизм, определенный
1) То есть р~1 (Ь) «= X, а р~г F) П V =» А для любой Ь е В. — Прим. перев.
а) Имеется в виду следующее рассуждение. Если <р: Sn х -» В' не инъек-
тивно, то возьмем новое В' = В' [] ф (Drt—D"), где D" —маленький открытый
диск n Int D", так что В — В' [} ф D", где S'~B' и B'fjD" —S" 1.— Прим.
перев.
>*) Над А.-—Прим. иерее,

360 ГЛ. VII. КОГОМОЛОГИИ МНОЖЕСТВ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
в теореме, отображает эту последовательность в последователь-
последовательность Майера —Вьеториса для частей пары (Y, Y'), расположен-
расположенных над В' и над D" соответственно, и результат следует теперь
из леммы о пяти гомоморфизмах. Щ
В частности, отсюда следует, что в рассмотренной ситуации
к пространству Fe = F у Ва применима формула Кюннета. Таким
образом,
ti*(Fa, Fq[}Ag; Л)ъЙ*(Ва\ A)®AH*(F, F(]A; A)
в случае, когда Л —поле или, более общо, когда группа
Н* (F, F[\A; Л) —свободный А-модуль.
В теореме 1.4 наибольший интерес для нас представляет слу-
случай расслоения Ха-+Ва или (Ха, Аа)-+Ва (для большей акку-
аккуратности надо было бы рассматривать для каждого N расслоения
X'g-^B'g). Кроме того, будем рассматривать в основном случай
поля коэффициентов Л. В этом случае когомологическое расши-
расширение слоя существует, очевидно, тогда и только тогда, когда
ограничение на типичный слой Н* (Ха, AQ; Л)->- Н* (X, А; Л)
эпиморфно. В этом случае говорят, что слой (X, А) вполне него-
негомологичен нулю в расслоении (Хо, Аа).
Напомним, что для нечетного р имеется изоморфизм Н* (B-j ;
Zp)^ZP[s, t\l(s2), degs=l, deg/ = 2 и t = $(s), где 0-гомо-
0-гомоморфизм Бокштейна, ассоциированный с коэффициентной после-
последовательностью 0->Zp->-Zp2->-Zp—>-0. Для р = 2 имеем
Я*(%; Z4)^Z2[*], deg*=l. Кроме того, Я* (BS1; Z)**Z[t],
deg^ = 2. Эти обозначения мы сохраним на протяжении всей главы.
Для произвольной группы коэффициентов К, на которой дей-
действует группа G — Zp с образующим g, имеем
Н'(Ва; К):
ker T для i — О,
kerT/lmN для г>0 четного,
kerN/lmT для />0 нечетного,
где Т — 1 — g и Af = 1 + g + g2 + • • ¦ + Яр ~- соответствующие опе-
операторы на Л'. Заметим, что, в частности, если /С есть Zp-вектор-
ное пространство, то гк Н'(Ва; К)^ткКа~ткЙ° (Ва; К) для
всех !.
1.5. Теорема. Пусть группа G = ZP, p —простое, действует
на финитном пространстве X. Пусть, далее, A cz X — такое
замкнутое инвариантное подмножество, что Н'(Х, A; Zp) = 0
при i>n. Тогда /*: Й" (Хс„ Аа; zp)-+Hk(FQ, Fo[]Aa; ZP) есть
изоморфизм при k>n. Если при этом слой (X, А) вполне не %р-
домологичен нулю в (Ха, Ад), то /'* — мономорфизм Оля всех /г,

!. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 3*И
так что последовательность
О^НЦХа, Ло; ZP)l-H"{Fa, FQ[\Aa; Ър) ->
-+-НМ(Х*, A*[jF; ZP)->0
точна. Аналогичное справедливо и для G = Sl и рациональных коэф-
коэффициентов в случае, когда пространство X* также финитно и
число орбитных типов конечно.
Доказательство. Первая часть заключения следует из
точности последовательности A.3) и того вытекающего из II 1.7.9,
III.7.6 и III.10.9 (для G = SX) факта, что Н'(Х*, A*[}F) = 0 при
i>n. (По поводу доказательства последнего факта в рамках
излагаемой теории, в противовес теории Смита, см. Бредон [21],
с. 249. При этом для случая G = SJ удается снять ограничение
конечности числа орбитных типов.)
Если слой (X, Л) вполне негомологичен нулю, то в силу 1.4
Н* (Ха, Аа) есть свободный Н* (?о)-модуль. Для любого а е
ей'(Х*, Л* U F) найдется такое достаточно большое г, что
fa = 0, поэтому tri* (а) = 0. Следовательно 1), i* (а) = 6 для всех а,
и потому /'* — мономорфизм, g
Напомним (см. гл. III), что пространство называется финит-
финитным, если в любое его покрытие можно вписать конечномерное
покрытие.
1.6. Теорема. Пусть группа G = ZP, p —простое, действует
на финитном пространстве X, и пусть А а X —такое замкну-
замкнутое инвариантное подмножество, что ^rkН' (X, Л; ZpXoo.
Тогда следующие утверждения эквивалентны.
(a) Слой (X, А) вполне не 2р-гомологичен нулю в (Ха, Аа).
(b) Действие группы G на группе Н* (X, Л; Zp) тривиально
и спектральная последовательность Е['" = Hr {Bq\ Нч (X, Л; Zp))=>
z^>Hrq+q(Ха, Ло; ЪР) расслоения (Ха, Аа)-+Ва вырождается.
(с) 2 гк #<• (X, а; ъР) =- 2гк & (F> F n A; ъР).
Аналогичное справедливо и для группы G = Sl и рациональных
коэффициентов в случае финитного X* и конечност i типов орбит
G-действия.
Доказательство. Краевой гомоморфизм Нч(Ха, Ло)->-
-*¦ Е%" -*-Н" (X, А) есть в точности гомоморфизм ограничения на
слой. Кроме того, E°q = H°(BQ; Н" (X, А)) = {Н" (X, А))а. Сле-
х) Так как i* (а) — элемент свободного Н* (Во)-модуля Н* (XQ,
Прим. перев.

362 гл. vir. когомологии множеств неподвижных точек
довательно, условие (а) эквивалентно тому, что G действует hi
Нч (X, А) тривиально и что все коциклы из Е°2'" доживают до Е ,-.
Из наличия мультипликативной структуры в спектральной после-
последовательности следует, что эти условия в совокупности эквива-
эквивалентны условию (Ь).
Из 1.5 следует, что (над ZP) гкН"(Ха, Aa) = vkHk{Fa, Fa{\
П AQ) при k>n. Но
rk Н" (Ха, Аа)= >] rk ?*Г'-' < ^ rk ?$"'•' =
&(Х, А))^%тк(Н1(Х, А))а < ? rk Я' (X, Л)
и при условии (Ь) все неравенства превращаются в равенства
(в силу мультипликативных свойств дифференциалов спектраль-
спектральной последовательности). Так как ранг группы Hk(Fa, Faf] Aa) =
= ф (Я*-'"(Ва) <8> #' (F, F П Л)) равен ? rk Я; (Z7, Z7 П Л), то отсюда
следует, что (Ь) эквивалентно (с), g
2. Некоторые неравенства
В этом параграфе мы докажем несколько неравенств, обоб-
обобщающих неравенства Флойда II 1.7.9.
2.1. Теорема. Пусть группа G = Zp, где р —нечетное про-
простое число, действует на финитном пространстве X, и пусть
А а X — замкнутое инвариантное подмножество. Предположим,
что 2]rk#'(X, A; Zp) < оо и что слой (X, А) вполне не Хр-го-
мологичен нулю в (Ха, Ао). Тогда для любого k имеем
2 rk HMi{F, Ff]A;ZP)^^] rk HMi (X, A; ZP).
В частности, если группа Я* (X, A; Zp) тривиальна в нечетных
размерностях, то это же верно и для группы Н* (F, Ff\A; Z,,).
Доказательство. Для удобства обозначений мы опустим А
и область коэффициентов. Напомним, что Нт (Хд) фильтруется под-
подмодулями FkHm{XQ), npR3T0ME^Q = (FgHr"!(Xa))/(Fg-1Hrd-Q(Xa)).
Очевидно, что изоморфизм теоремы 1.4 Лере—Хирша сохраняет
эту фильтрацию. На самом деле это изоморфизм фильтрованных
групп, так как гомоморфизм ассоциированных градуированных
групп в точности есть изоморфизм E\'q ^iEr^q. (См. Бред он
[13], добавление. При этом нашему Fk в указанной книге соот-
соответствует Fm^k.) Фильтрация группы Я* (BG) (8) Я* (X) имеет вид
/7*= © (Я* (Во) ® НЦХ)). При этом Я* (Бо)-действие сохраняет

2. НЕКОТОРЫЕ НЕРАВЕНСТВА 363
фильтрацию, так что Н* (Ва) состоит из элементов нулевой филь-
фильтрации.
Отображение Нт (Ха) -»- Нт (Fa) тоже сохраняет (или, что то
же самое, не уменьшает) фильтрацию. Так как для больших т
это есть изоморфизм (но не изоморфизм фильтрованных групп),
то для больших т горизонтальные отображения следующей диаг-
диаграммы эпиморфны
Нт (X0)//Vi Нт (Ха) - Ят (Fa)/Fk-lH'" (Fo)
К (Fo).
Вертикальные отображения ф и т}з суть умножения на seE H1(B0).
Следовательно, im ф отображается на im t|j эпиморфно. Но
Hm+1(X0)/Fk^Hm^ (Ха) ъ* © (Hm-i+l (Ва) 0 № (X)), и образ гомо-
морфизма ф состоит из членов с четным m — q. Взяв т — k
четным, получим, что размерность пространства \тц> есть
V rl< Я*"*2'' (X) для г^О. Аналогичное верно и для ijj, откуда
следуют требуемые неравенства. |
Наложив некоторые ограничения на целочисленные когомоло-
гии пространств, можно усилить теорему 2.1, получив следую-
следующую теорему, доказанную Хеллером [2J и Суоном [2]. Заме-
Заметим, что она справедлива и при р — 2, в то время как теорема
2.1 для р = 2 неверна.
2.2. Теорема. Пусть группа G = XP, где р —простое число,
действует на конечномерном пространстве X, и пусть А а X —
замкнутое инвариантное подмножество. Предположим, что G дей-
действует на Н* (X, А\ Z) тривиально. Тогда
rk HMi(F, F(\A; ZP)^S Ц rk HMi (X, A; ZP).
Доказательство. Как и раньше, при доказательстве будем
опускать обозначение А. Так как X конечномерно, то Нт(Х*, F;
Z) = 0 для Гольших т и, следовательно, /*: Hm(XQ\ Z)->
-+Hm(FQ\ Z) есть изоморфизм при больших т (m>dimX). Так
как для больших т имеем Н'п (X хЕа; Z) = 0, то композиция
(являющаяся умножением на р) Нт (Ха\ Z) -> Нт (X х EQ\ Z)->
-*~Нт(Ха; Z) гомоморфизма, индуцированного проекцией ХхЕа-+
-*-Х(], с трансфером, тривиальна; поэтому умножение на р анну-
аннулирует группу H'"(XQ; Z), которая, следовательно, является Zp-
еекторным пространством.

364 ГЛ. VII. КОГОМОЛОГИИ МНОЖЕСТВ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
Так как G действует на Я* (X; Z) тривиально, то, как пока-
показывает подсчет,
pf,Q rjfr ( В ¦ p[Q t V. *W\\ ?~*^
( НЦХ; Z) для r = 0,
^1 Hi{X; Z) <8> Zp для г>0 четных,
V
l Я*(Х; Z)*ZP для г>0 нечетных.
Вычисляя размерности векторных пространств, получаем (для
большого т и четного m — k)
&\m(H(XQ;
2S-'-'< Ц dim
Zp) + dim
2 ^^; Zp).
Аналогично,
откуда требуемые неравенства следуют ввиду того, что /* ото-
отображает Нт (Ха; Z)/Fk^ на Нт (Fa; Z)//7*-, эпиморфно. |
Замечание. Теорему 2.2 можно доказать и для финитного X,
а не только для конечномерного, но при этом возникают дополни-
дополнительные технические трудности, связанные с тем, что группы
Я*(Х*, F\]A*\ Z) (а также Н*(Х, A; Z) и т. д.) могут быть
отличны от нуля в сколь угодно больших размерностях. Эти
трудности преодолеваются использованием того факта, что ука-
указанные группы не имеют р-кручения и р-делимы.
Описанные затруднения, однако, не возникают при доказа-
доказательстве теоремы методом С у о н а [2], который аналогичен нашему,
но более алгебраичен. Следовательно, для доказательства дан-
данного частного результата метод Суона предпочтительнее. Наш
метод имеет, однако, то преимущество, что позволяет доказать
аналогичный результат и для G = S\ чего нельзя сделать мето-
методом Суона.
3. Zp-действия на проективных пространствах
Пусть р — простое число. Мы будем писать X~pY, если X
и Y имеют изоморфные кольца Zp-когомологий. Аналогично, мы
пишем X ~р Р" (л), если Я* (X; ЪР) «* ЪР[аЩа^1), где п « deg a.

3. Zp-ДЕЙСТВИЯ НА ПРОЕКТИВНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 365
Итак, для п=1, 2 или 4 X имеет соответственно то же кольцо
Zp-когомологий, что и РР\ СРЛ или НРЛ. Для п = 8 и h = 2 про-
пространство X имеет то же кольцо Zp-когомологий, что и проек-
проективная плоскость Кэли Cay P2. Если р = 2, то перечисленные
примеры дают полный список возможных значений п и при /is*2.
Если р нечетно, то п должно быть четным для h 5э= 2 и имеются
примеры (см. §4) таких пространств X, что X ~р Р2 (л) для любых
нечетных р и четных п. Следующая теорема Бредона [10, 21]
является основной в теории Zp-действий на проективных про-
пространствах.
3.1. Теорема. Пусть группа G = XP, где р — простое число,
действует на финитном пространстве Х~рРл(/г). Тогда F либо
пусто, либо является дизъюнктным объединением компонент
Fi~PPhl («>)> где /г+1 = S№+I) " nt^n. Число компонент
не превосходит р. Для нечетного р и h^2 все числа пищ четны.
Кроме того, если щ = п для некоторого i, то ограничение
Я"(Х; Zp)-*¦ Йп (Ft; Zp) есть изоморфизм.
Доказательство. В силу теорем Смита мы можем счи-
считать, что h ^2. Пусть Fo — некоторая компонента множества F,
и пусть х е Fo. Рассмотрим спектральную последовательность
пары (Хо, х0) с коэффициентами в ЪР- Так как Ър не допускает
автоморфизмов периода р, то G действует на Н* (X, х) триви-
тривиально. Пусть а<^Нп{Х, х) — образующий. Тогда 1 (х)а<= И°(Во)(х)
(g) Hn (X, п) = ?г'я есть коцикл, доживающий до Ет, так как
E%q = 0 при q<Cn. Но тогда, однако, и любой коцикл 10а1
доживает до Есо, откуда следует, что спектральная последова-
последовательность вырождается. Следовательно, слой (X, х) вполне него-
негомологичен нулю в (Хо, ха) в силу 1.6. Имеется единственный
элемент аеЯя(Х0, х0), ограничение которого есть a^HnjX, x).
В силу 1.4 группа Н* (Ха, ха) является свободным Н* (Во)-
модулем, порожденным элементами а, а2, ..., ah.
Для нечечного р группа Н* (/•", х) в нечетных размерностях
тривиальна в силу 2.1. Приводимые ниже соображения отно-
относятся к случаю нечетного р и четных размерностей, что объяс-
объясняет отсутствие seW'(Bo) в фигурирующих формулах.
Пусть /0: BQx(F0, x) = {(F(l)a, ха)-+(Х0, ха) — включение;
положим
/* (а) = 1 0 bn + t® bn-d + t*(g) bn^d + .. . + /* (g) Ьп-М, A)
где Ь{ е Я' (Fo, x), bn^M#0 и d есть 1 или 2 соответственно
для р — 2 или нечетного р. Положим Ь — Ьп-ы и заметим, что
» — M = deg^>0. Мы утверждаем, что Z^-алгебра Н* {FQ, x)
порождается элементом Ь.

366 ГЛ. VII. КОГОМОЛОГИИ МНОЖЕСТВ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
Действительно, /о в точности есть композиция отображения
/* с проекцией группы И* (FQ, ха) на ее прямое слагаемое
Н* ((F0)a> Xq)- Так как в высоких размерностях /* сюръективно
в силу 1.5, то таково же и /о. Но образ гомоморфизма /о порож-
порождается над Н* (Ва) элементами jo (а), /о (а2), ..., fo(ah), откуда
следует, что Н* (Fo, x) порождается как Ж;,-алгебра элементами
bi формулы (I).
Далее, так как в высоких размерностях /о — эпиморфизм, то
для достаточно больших г имеем
Г+* (g) Ь = /§ (AjTa + A2tr~ma2 + ... + Ahtr-hm*mah), B)
где т = n/d и At e ЪР- Преобразовав правую часть равенства B)
с использованием равенства A) и сравнивая коэффициенты при
tr+k, увидим, что А1=1. Удалив этот член из обеих частей равен-
равенства B), получим
f+* (х) Ь - /1 (trd) = /5 (А4г-то.г + ... + Ahf-hm+mah).
С другой стороны, умножив A) на V и изменив порядок сла-
слагаемых, получим
/0* (Щ - Г+* (g) Ъ = V (х) Ъп + Г+1 (Я) Ьа-„ + ¦¦¦ +1^*-1 (g) &»-(*-«*
Из двух последних равенств следует, что
<г О Ь» + • • ¦ +1'*"-1 <g> Ья-,»-1 w = - /о Шг то? +... + Ahtr-"m^a").
Если мы, используя A), преобразуем правую часть этого равен-
равенства и сравним коэффициенты при одинаковых степенях t, то
получится выражение каждого из элементов bn, bn-a, ..-, &n-(*-i)rf
как полинома от остальных элементов bt (включая Ъ = Ьпы),
не имеющего линейных членов1). Итак, Ьп (k-w<i~полином от Ь —
= bn-kd и, следовательно, произведение скаляра на некоторую
степень элемента Ь. Аналогично, bnik.2)(i — полином от b и
bn-(k-i)d и, следовательно, полином от Ь, и т. д. Таким образом,
каждый bt есть скалярное кратное степени элемента Ь, и, следо-
следовательно, Zp-алгебра Н* (Fo, x) порождается элементом Ь.
Отсюда следует, что F0~/)P/'»(n) для некоторого /г0 и для
no = degbsgn. Если р нечетно, то no — n — 2k четно даже для
Ао=1
Равенство h-{-1 =^(Л,-+ 1) ~~ эт0 просто переписанное равен-
равенство 1.6 (с), а последняя часть заключения теоремы следует из
приведенного выше доказательства.
Осталось доказать, что F состоит не более чем из р компо-
компонент. Для этого рассмотрим проекцию я: Н* (Ва) (§Я* (/;, х)-*-
Так как dimbi>dim6/ при t> j. — Прим. nepee.

3. Zp-ДЕИСТВИЯ НЛ ПРОЕКТИВНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 367
-*~Н* (Во) (§) Я0 (F, х), которая является кольцевым гомомор-
гомоморфизмом.
Положим л/* (а) = tm (g) с, так что л/* (fa') = lim+r (g) с'. Так как
п эпиморфно, а /* эпиморфно в больших размерностях, то эле-
менхы с, с2, ..., сн порождают Zp-векторное пространство H°(F, х).
Так как ср = с, то гк/У°(/\ х)^р — 1 и, следовательно, F состоит
не более чем из р компонент. Ц
Заметим, используя канонические кольцевые изоморфизмы,
что с = (с,,г2, ...)^ZP®ZP®...^H0{Fl)®H°(F2)®... Отсюда
и из сказанного выше следует, что все с( е ZP попарно различны
и отличны от нуля (кроме того, можно опустить х и рассматри-
рассматривать с0 как нуль).
Замечание. Для 22-Действий на RP" эту теорему доказал
Смит [10], используя геометрические соображения, сводящие
эту теорему к теореме Смита о действиях на сферах. Эти сооб-
соображения Су [3] распрос)ранил на случай пространств, имеющих
те же когомологии, что и RPA. В общем случае доказательство
дано у Бредона [10, 21]. Там же доказаны и остальные резуль-
результаты этого параграфа.
Замечания. Теорему 3.1 можно интерпретировать следую-
следующим образом: если алгебра И* (X; Zp) порождается одним эле-
элементом, то это же верно и для когомологии каждой компоненты
множества F неподвижных точек любого Zp-Действия на X.
В работе Бредона [21] высказывалась гипотеза, что если
Н* (Х\ Zp) порождается не более чем k элементами, то это же
верно и для каждой компоненты из F. Контрпример к этой гипо-
гипотезе будет построен в конце § 10. Однако возможно, что гипо-
гипотеза справедлива в случае, когда слой X вполне негомологичен
нулю в Ха, и это —трудная нерешенная проблема.
Для более детального изучения действия на проективных
пространствах мы используем операции Стинрода Напомним
кратко их необходимые нам свойства. Стандартным источником
для ссылок является книга Стинрода и Эпстейна [1].
Для р = 2 существуют естественные гомоморфизмы
Sq<: Hn(Xy A; ZJ^-H»+'(X, A; Z2)
со следующими свойствами:
(а) 5<т°=1;
О при i
(с) Sq"{xy)= 2 Sil' (x)Sqki(y) (формула Картана).

368 ГЛ VII КОГОМОЛОГИИ МНОЖЕСТВ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
Из (с), в частности, следует, что если degx=l, то
Из соотношений Адема (см. цитированный выше источник),
являющихся трудным следствием указанных свойств, следует,
что если X ~2 Рл (п) и h 2? 2, то п есть степень числа 2. (На
самом деле известная теорема Адамса [1] утверждает, что п =
= 1, 2, 4 или 8.) Другой полезный факт, касающийся этих опе-
операций, состоит в том, что Sql есть гомоморфизм Бокштейна,
ассоциированный с коэффициентной последовательностью
Для нечетного простого р имеются естественные гомоморфизмы
Pi. Ljn I V Л. Т \ v Ljti-\-2t{P—1) / у А- 77 \
р. П (Л, Л, /,pJ->-/7 (Л, Л, ?р),
для которых
(а) Рр=1;
/к\ р< / \_| *р ПРИ 2i = degx,
" \ 0 при 2/>degA:;
(с) Я*(ху)= 2PiWPJ''^ (формула Картана).
р
/•=0
В частности, если degx = 2, то Р'р{хк) *=L \xk^i{P-^. Что
касается соотношений Адема, то мы будем пользоваться лишь
следующим их следствием: PPPP = 2PP.
Для дальнейших целей нам необходимо вычислить действие
операции Рр на группе Я4 (НРЛ; Zp). В связи с этим возьмем
образующий шЯ1 (СР2Л+1; Zp) и заметим, что Рр(хг) = 2xf+1
(в силу сказанного выше). Далее, имеется каноническое расслое-
расслоение /: СР2Л+1->-1НРЛ со слоем S2, причем f*: Я4 (HPft; Zp)->
-v Я4 (CP2*+1; Zp) есть изоморфизм. Выберем образующий у е
е Я4 (НРЛ; Zp) такой, что f*(y) = x2. Тогда, используя естест-
естественность операций Р{р, получаем Р1р (у) = 2г/<"+1)/2.
Пусть теперь пространство X таково, что Х~РНРЛ, и пусть
геЕЯ4(Х; ZP). Тогда PpPlp(z) = 2РР (г) = 2г? в силу (Ь). Но
Рр (z) = Az(p+i)/2 для некоторого А е Zp, так как в группе
Н*р+*(Х; Zp) других элементов нет. По формуле Картана полу-
получаем, что
2гр — р1 (Дг (р+и/2\ _ а р*~ 2(р—ц/2р 1 tz\ __

». Zp-ДЕЙСТВИЯ НА ПРОЕКТИВНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 369
Если /i5?p (так что гр^=0), то отсюда следуем, что А2 = 4
и, следовательно, что Л = ±2. Следовательно, при /гЗ? р имеем
Рр (г) = ± 2г("+1)/2. С другой стороны, имеются примеры прост-
пространств Х^зНР* (так что /i = 2<3=*p), для которых Pz(z) — 0\
см. § 4.
3.2. Теорема. Если группа G = Z2 действует на финитном
пространстве X ~2 Рл (/г), где h ^ 2, то выполняется одно из сле-
следующих ниже условий:
A) р=ф и h нечетно.
B) F связно и F~2PA(m), где п=*т или п = 2т.
C) F алеет две компоненты Ft и F2, где Ft ~2 Р* (п) и h =
= А1 + Л2Н-1 (з5есь ft; может быть равно 0 или 1).
Кроме того, в случае B) ограничение Нп (X; Z2) -*¦ Я" (f; Z8)
является изоморфизмом.
Доказательство. В силу 3.1 F имеет не более двух
компонент, и хотя бы одна из этих компонент не ациклична.
Пусть Fo — одна из компонент множества F; предположим, что
Fo r^2 Р* (т), где k Зг 1 и т<Сп. Докажем, что тогда имеет место
случай B) с п = 2т. Так как Аэ=2, то, как мы знаем, п есть
степень числа 2, и на самом деле есть одно из чисел 1, 2, 4, 8.
Вместо рассмотрения общего случая (который имеется у Бредона
[10]) мы сосредоточимся на случае п = 4 — типичном.
Мы воспользуемся обозначениями, введенными при доказа-
доказательстве теоремы 3.1. Итак, элемент а<=Я4(Х0, ха) при огра-
ограничении на слой переходит в образующий ней1 (X, х), где
х е Fo. Положим
где Ci<=H'(F, x) и стф0. Из доказательства теоремы 3.1 сле-
следует, что с0 порождает группу H°(F, x) и, следовательно, со — 0
тогда и только тогда, когда F связно. Допустим, что соф0.
Если т=1 или т = 3, положим /=1, а для т = 2 положим
/ = 2. Вычислим Sq' (а). Так как i<4, to Я4+г(Х0, *о) состоит
лишь из двух элементов: 0 и /'а. Однако, как показывает вычи-
вычисление, элемент /* (Sgla) = 5^' (/* (а)) не содержит членов, содер-
содержащих с„- Итак, Sq'(a) = 0. Далее, /о (a) = /4 m® Ь + (*). где
0=?b^Hm(F0, x), и (*) есть сумма членов вида /4~*®ЬЛ, k>m.
Тогда по определению числа t имеем
/о* (Sq'a) = Sq' (/? (а)) - /*-m+' ® Ь + (*) # 0
и, следовательно, S^ (a) # 0. Полученное противоречие доказы-
доказывает, что множество F связно.
Так как F связно, то Fr^>2pb(m), и т есть степень числа 2
в силу того, что ft;ss2. Мы должны показать, что т^=1. Дей-

370 ГЛ. VII КОГОМОЛОГИИ МНОЖЕСТВ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
ствительно, если т=\, то
/* (а) = /8 (х) Ь +12 <g> b2 + / (g) Ь3+ 1 (g) ft4,
где Ь порождает группу Я1 (F, х; Z2) и bt есть 0 или Ъ1. (На
самом деле /;3 и Ь4 нас не интересуют.) Как и выше, 5<7* (а) есть
либо 0, либо la и, следовательно, Sq1 (/* (а)) = /'* (S^a) есть
либо 0, либо tj*(a). Легко видеть1), что
Sq11* (а) = /4 (х) 6 + /3 (g) b2 + /2 0 ft3 + / (g) S^/163-
Таким образом Sq1 j* (а)фО, и из формулы Sq1]* (a) = tj* (a)
получаем, что Ь2 = Ь2 и либо Ь3 = 64 = 0, либо ЬЯ = Ь3, Ь4 = Ь*.
Как и выше, ясно, что Sg2 (a) есть либо 0, либо t2a. Если Ь3 =
= 0 = Ьи то
*
/* (a)) = <5 ® ft + /4 (g)
^2/* (a) = ^B <
что невозможно.
Если же bi — b', i = 3, 4, то
Sq2 (/* (a)) = lb (g) й + /* <g) Ь2 + ^2 (g) Ь4 + < (g) 6е,
p\* (a) = ^ (x) b + /4 (x) b2 + /:i (g) fe3 +1 (g) fe5,
что снова противоречит тому, что Sq2 (а) есть либо 0, либо t2a.
Для доказательства последнего утверждения достаточно пока-
показать, что2) /* (a) = P (g) Ь+1 €5 Ь2. Альтернативой является лишь
равенство /* (а) = /2 0 Ь, но в этом случае Sq- (/* (а)) = t4 eg) /; -f
+ /2 ® Ь2, т. е. S^2 (/* (а)) не есть ни 0, ни /*/* (а).
Тот факт, что если h четно, то F-Фф, следует из теоремы
Флойда III.7.10 о том, что %(F) = x(X)z= I (mod 2) для четного h.
Легко дать и прямое доказательство этого утверждения, доказав
вырождение спектральной последовательности. |
Замечание. Если X —конечное клеточное пространство
с тем же колыюм целочисленных когомологий, что и J-P', h 5= 2,
то для любой циклической группы множество неподвижных точек F
не может быть пустым. Это следует из того более сильного факта,
что любое отображение Х->Х имеет неподвижную точку. Доказа-
Доказательство последнего — элементарное упражнение на применение
операции Р'л и теоремы Лефшеца о неподвижной точке.
Замечание. Случай B) теоремы 3.2 при п = т реализуется,
очевидно, тривиальным действием, и для случая замкнутого мно-
многообразия X это единственно возможная реализация. Однако для
пространств вида (DP/!xDr имеются нетривиальные возможности
х) Здесь нам пришлось несколько уточнить ход рассуждений автора. —
Прим. перев.
2) Здесь через Ь обозначен образующий bibll'!{f, x; U- — Прим. перев.

3. Zp-ДЕПСТВИЯ НЛ ПРОЕКТИВНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 371
для реализации этой ситуации. Удивительные примеры такого
рода будут приведены в следующем параграфе.
3.3. Теорема. Пусть группа G = Z2 действует на финитном
пространстве X-~^2Р'1 (п), где h$s2, n>=2 и Рфф. Тогда
Нп (X; Z4) «^ Z4. Если n > 2, то G действует на Нп (X; Z4) три-
тривиально. Если п = 2 (т. е. Х~г([)РА), то G нетривиально дей-
действует на Я2 (X; Z4) тогда и только тогда, когда F~S,!RPA.
Доказательство. Так как п^2, то Н'(X; Z2)=0 при
нечетных i. Итак, имеется точная последовательность
0-+Йа(Х; Za) 9-Нп(Х; Хд — Н"(Х; Z2)->0.
Отсюда, с учетом того, что qnjx Нп (X; Zd-*-H"(X\ Z\) есть
умножение на 2, следует, что Нп(Х, Z4)«=;Z4- Рассмотрим спект-
спектральную последовательность расслоения (Ха, хо)-*-Ва с коэффи-
коэффициентами в Z4- Имеем
йя(Ха, ха\ ZJ ** Щ-а = Н° (Ва; Нп(Х, х; Х^)^Нп(Х, х; Z4)G,
и эта группа есть Z2 или Zi в зависимости от того, нетривиально
или тривиально действует группа С. Как и выше, пусть а —
образующий группы Н" (Ха, ха; Z2) #=« Z2. Из точности последо-
последовательности
О -»- Н" (Ха, ха\ Za) -»¦ Я" (XG, x0; Z4) -»-
хо\ 2,)8A-Нп+1(Х0, ха; Z2)
следует, что S^1 (ос) = 0 тогда и только тогда, когда G действует
на Нп(Х, х\ Z4) тривиально. Если «>2, то H'(F, x; Z2) = 0 при
нечетных i, см. 3.2, так что /* (Sqla) = Sq1 (j* (a)) = 0 и, следова-
следовательно, S^1(a) = 0 в силу мономорфности /*.
Если л = 2 и Я1 (F, x; Z2) = 0, то Sq1(a)=0 по аналогичным
соо'ражениям. Если же п = 2 и Я1 (F, x; Z2)#0, то, как отме-
отмечено в доказательстве теоремы 3.2, /* (a) — t ® b-\-1 ® Ь2 и, сле-
следовательно, /* E</! (а)) = S^1 (/* (ct)) = Р 55 Ь + / ® Ь2 =# 0. |
Вернемся к случаю нечетного простого р. Наш первый резуль-
результат усилит ограничение на число компонент множества F.
3.4. Теорема. Пусть р —нечетное простое число, и пусть
группа G = ZP действует на финитном пространстве Х^рНР'1.
Предположим, что или п^р, или Х=НРЛ или, более общо1),
что Рр (а) = ±" 2а(р+ 1>/2, где а — некоторый образующий группы
Я4(Х; Т,р). Тогда F состоит не более чем из (р+ 1)/2 компонент.
I) Взгляните на текст перед теоремой 3,2, — Прим. перев.

372 ГЛ. VII. КОГОМОЛОГИИ МНОЖЕСТВ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
Доказательство. В случае (р + 1 )/2>Л теорема триви-
тривиально верна1), так что мы можем считать, что а^ + МфО. Для
образующего аеЯ*(Х0, ха; Zp) имеем /* (а) = t2 ® с + (*), где
с е Я0 (F, х) и (*) содержит члены, у которых второй сомножи-
сомножитель имеет положительную степень. Так же, как и в 3.1, можно
доказать, что Zp-векторное пространство Н° (F, х) порождается
элементами с, с2, с3, ...
Так как Рр(а) при ограничении на X переходит в Рр(а)=*
±2<+1/2, то
Рр (а) =
где Ai eZ/, и Ло = ± 2. Итак,
причем Рр (/* (а)) = Рр (t2 ® с + (*)) = 2tp~x ® с + (*). Таким образом,
ЛоС(р+1)/2_|_Л2с<р-1^2 + ... + /1^^ = 26, и так как Л0 = ±2, то
из этого уравнения можно выразить с^+Х)'2 через С, /<(р-)-1 )/2-
Итак, с, с2, ..., с("~1)/2 порождают Zp-векторное пространство
Я°(^, х\ Zp), что и утверждалось. |
В двух следующих теоремах мы сосредоточимся на случае
р = 3. Имеются аналоги этих теорем и для произвольного нечет-
нечетного р, справедливые, однако, при более сильных предположе-
предположениях, см. Бред он [10].
3.5. Теорема. Пусть Q = XS действует на финитном про-
пространстве Х~3НРЛ. Тогда в F имеется не более одной компо-
компоненты Fo, такой, что ^о^зНР*, k^l. Все остальные компо-
компоненты имеют <Ц?-тип {или ацикличны).
Доказательство. При Л < 3 утверждение теоремы вытекает
из равенства rk#*(X; Z3) = rk#*(F; Z3). Если же h:?.-3, то
а3Ф0, где a i= H*(X; Z3) — образующий, и, следовательно, Р\ (а) =
= ± 2а2. Поменяв при необходимости знак, мы можем считать,
что Р^(а) = 2а2. Пусть Fo и Fx — две компоненты из F, имеющие
HP-тип. Выберем xeF0, и пусть ае#4(Х0, х0; Z3) — элемент,
переходящий при ограничении на X в элемент а. Тогда /* (а) =
= ^®с+1 ®Ь0+\ ® &, + (•), где ce=fi°(F,x), b0 е Я" (Fo, x),
6Х е Я4 (Ft) и (*) состоит из членов, не входящих ни в одну из
этих групп. При этом cbo = O и сЬ1ф0) (так как с мультиплика-
мультипликативно порождает H°(F, х)). Далее, Р\ (а) = 2а2 + At2a с некото-
некоторым AeZ3. Так как P\{t2) = 2ti, то
!) Так как число компонент не превосходит h, см. конец доказательства
теоремы 'ЗЛ.—Прим. перев.

». Zp-ДЕЙСТВИЯ НА ПРОЕКТИВНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 373
/* (Р1 («)) = 2 (/* (а))« + АР}* (а)
= 2 (/* <g>
Сравнение членов, содержащих Ьо, влечет теперь равенство Л=0,
после чего сравнение членов, содержащих Ьи приводит к про-
противоречию. |
3.6. Теорема. Пусть Za действует на финитном простран-
пространстве X~sHPft, где h^s3 или h = 2 и Р\(а)~±2а2 {например,
Х = НР2). Пусть, далее, Fo — такая компонента множества F, что
F0~3C:P*, k^2. Тогда Н*(Х; Z3)->tf4(f<>; Z») «v«<> изоморфизм.
Доказательство. Выберем x^F0, и пусть образующий а
тот же, что и раньше. Как и выше, имеем Р! (а) = 2а2 + АРа
с некоторым Л se Z3- Мы можем записать также, что /о(а) =
== / ® b + B -g) Ь2, где й — образующий группы Н2 (Fo, x\ Z3) и
BeZ3' Мы должны доказать, что В#0. Имеем
Р' (/• (а)) = ^3 ® Ь +1 <g> б3 + 2Б ® ft*,
и этот элемент равен элементу
b -|- B + Л В) /2 ® Ь2 + 45/ ® 6а + 2В2
Следовательно, Л = 1 и 2 + ЛВ = 0, откуда В = — 2. §
3.7. Следствие. Пусть G —конечная группа, порядок кото-
которой есть степень числа 3, и пусть G действует на финитном
пространстве Х~31Н,Р\ где /г 5*3 (или h = 2 и Р1(а) = ±2а2).
Тогда множество F = Х° содержит не более одной компоненты
типа HP. Более того, если Fo — такая компонента из F, что
^о~з?Р*. &Ss2, то ограничение Н1 (X; Х3)->-Н*(Рп; Zs) есть
изоморфизм.
Доказательство. Известно, что G обладает фильтрацией
G = G0 гз G, гз G., =э ...гэ GA = {e}, где G;/Gi+1^Z3. Первое утвер-
утверждение теоремы легко доказать теперь по индукции. Что касается
второго утверждения, то обозначим через Ft компоненту множе-
множества F (Gh X), содержащую Fo, так что Fo с F, с: F2 а ... a Fr = X.
Тогда Ft есть компонента действия группы Z3^Gi/Gin на Fl+1.
Так как rk H* (Fo)^3, то зто же неравенство справедливо и для
любого F, и, следовательно, ни одно из множеств Ft не есть ни
S2, ни S4. Если множества Ft и F,+, либо оба имеют СР-тип, либо
оба имеют НР-тип, то H*{Fin; Z3)-> Я4 (Ft; Z8) есть изоморфизм
в силу 3.1. Из естественности операции Р;\ следует также, что
Рз(«/) = Jz2a], где аг е; Н*(Р{; %3) — образующий и Z*1/ имеет } 'Р-тип.
Следовательно, при переходе от Ft к Fi-X в случае, когда Ft имеет

374 гл. vii. когомологии множеств неподвижных точек
¦'•Р-тип и /¦'(_! с F (Z3, Ft) имеет ,Р-)ип, можно применить тео-
теорему 3.6, что и дает требуемый результат. Щ
Замечание. Естественно спросить, не будет ли верен аналог
следствия 3.7 для действий р-группы с рф2,3. Ответ на этот
вопрос неизвестен.
4. Несколько примеров
В этом параграфе мы дадим несколько примеров, иллюстри-
иллюстрирующих теоремы предыдущего раздела.
Введем в |RPft, (СР/г и HP'2 однородные координаты точки х,
полагая х-=(х0 :xi:...: xh). Кроме того, считаем НРЛ правым про-
проективным пространством, т. е. {qo:q1:...:qh) = (qoq:q1q:...:qhq),
Чф0.
«Линейные» действия окружности {г е С ¦; г! = 1) и, следова-
следовательно, любой группы Zp на пространствах С-Р'1 и ЦРЛ даются
формулами
У
где at — целые числа. (Это действие может обладать ядром, по
которому обычно будет производиться факторизация.) Имеется и
аналогичное действие группы Z2 на ?Р . В частности, отображе-
отображение (<70: ql:...: qh) i—*- (iq0: Щ\ ¦¦¦¦'¦ Щи) определяет на HPft инволю-
инволюцию с F = (DPA. Аналогично, на (СРЛ имеется инволюция (го:г1 :...
...:zh)<-+B0:2l :...:zh), для которой F = jRP\
Анализируя вышеописанные действия простым перебором, можно
показать, что для Х=КРЛ, ©Рл или НРЛ эти действия дают при-
примеры большинства возможностей (все возможности при р = 2,3)
для F, соответствующих утверждениям 3.1, 3.2, 3.4 и 3.5.
Рассмотрим теперь несколько действий на проективной плос-
плоскости Кэли СауР2. Напомним ее определение. Числа К эли можно
определить как пары (а, Ь) кватернионов, где сложение произ-
производится покоординатно, а умножение определяется формулой
(а, Ь) (с, d) — (ac — db, da-\-bc). Для числа Кэли х = (а, Ь) положим
х = (а, — Ь) 1Л \х\ = (|а|2-)- |ЬJI/2, так что хх=\х\2 = хх. Кроме
того, \ху\ = \х\ \у\. Умножение чисел Кэли неассоциативно,
но любые два элемента лежат в ассоциативной подалгебре. Более
того, имеется «тождество Муфанг» (zx) (уг) = z (xy) г. Для более
основательного знакомства с числами Кэли мы рекомендуем статью
Керт иса [1].
Для любого отображения АхВ^-С имеется очевидное инду-
индуцированное отображение джойна А*В в надстройку SC(которое
пропускается через S (А х В)). Для действий группы на пространст-
пространствах А, В, С, относительно которых отображение АхВ-^С экви-
вариантно, индуцированное отображение А*В->SC тоже экви-
вариантно. Операция умножения на множестве чисел Кэли еди-

4. НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ 375
ничной нормы задает отображение S7 ¦ ST-^-S7, которое, таким
образом, индуцируеч «отображение Хопфа» ф: S15 = S7 * S7 ->- SS7 = S8.
Теперь Сау Р- определяется просто как конус отображения ф.
Для построения различных примеров действия групп на Cay Р-
мы предпочитаем использовать это определение. Другой подход
основан на том факте, что Cay P2 есть однородное пространство
F4/Spin (9).
Теперь мы опишем несколько действий на Cay P2. Для ква-
кватерниона т единичной нормы и числа Кэли с = (а, Ь) положим
т(с) = (тйт, tbx'1). Ясно, что это — автоморфизм алгебры Кэли,
определяющий 83-действие на S7(npH этом—1 = S3 действует три-
тривиально, так что эффективным действием является 5ОC)-действие).
Умножение S7xS7->-S7 эквивлриантно относительно этого дейст-
действия и, следовательно, имеется индуцированное эквивариантное
отображение S15-^-S8, на конусе которого Cay P2 действует S3.
Если х— автоморфизм порядка р (или порядка 4 для р = 2), то он
порождает Zp-действие на Сау Р2, для которого /Г = НР2.
Другой пример: пусть со —число Кэли порядка1) р, и пусть
со действует на S7 по формуле с—* соссо. Кроме того, пусть w
действует на S7xS7 по формуле (Cj, c2)i—»¦ (сое,, с2со). Тогда умно-
умножение S7xS7^>-S7 эквивариантно в силу тождества Муфанг
и, следовательно, оно индуцирует Zp-действие на Сау Р2. Чтобы
описать множество неподвижных точек F, заметим, что если век-
вектор ceS' перпендикулярен и к 1, и к со, то С = — с и 2-••=
= \c-\- со|2 = (с + со) (с + ы) = 2 + ссо + с5с. так что ссо = о?с. Итак,
для точек с из этой пятимерной сферы имеем шею = с. Если же
ceS' лежит в плоскости, порожденной векторами 1 и со, то соссо —
= со2с совпадает с точкой с тогда и только тогда, когда /?¦—2.
Так как на S7 x S7 описанное выше действие не имеет неподвиж-
неподвижных точек, то F есть объединение вершины конуса отображения
S7 * S7 -+SS7 и надстройки над множеством неподвижных точек
отображения с\—»- соссо. Итак,
| {точка} + S8 для р = 2,
~\ {точка}+ Se для р>2.
Легко видеть, что это действие является гладким в некоторой
гладкой структуре на Сау Р2. Заметим, что для р = 3 эта ситуа-
ситуация иллюстрирует следствие VI.10.4 и показывает, что условие
в последней части следствия VI. 11.5 нельзя отбросить. Заметим
также, что никакое гладкое действие группы Z3 на Сау Р2 не может
иметь F вида {точка}+ Sr, где г Ф 6, так как г должно делиться
на 3 в силу VI. 10.4 и в тоже время должно быть четным числом,
меньшим 8 в силу 3.1. (Это утверждение допускает и чисто кого-
1) То есть со? =» 1. — Прим. перев.

376 ГЛ. VII. КОГОМОЛОГИИ МНОЖЕСТВ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
мологическое доказательство, см. упражнение 10.)Случай г = 0
отбрасывается теоремой Коннера и Флойда [8], с. 170; срав-
сравните с доказательством теоремы 9.3.
Приведем теперь другой класс примеров Zp-действий с нечет-
нечетным р. Вспомним построенное в § 7 гл. I отображение 6:
S"-1 -*- О (п), переводящее х в Вх, где Ьх — отражение относительно
прямой Rx. Вспомним также отображение -ф: S"-1 x S"-1 ->¦ S"-1,
г|з(х, у) = Ьх (у), имеющее бистепеньB, —1)для четного п и бисге-
пень@, 1)для нечетного п. Следовательно, инвариант Хопфа ото-
отображения ср: S2n~1 = S"~1*S"-1-*-SS'!~1 = S'', индуцированного ото-
отображением г|>, равен —2 или 0 в зависимости от того, четно
или нечетно число п. Обозначим через Х„ конус отображения ф.
Итак, для нечетного р мы имеем
{ Р2 (п) при четном п,
п~ р \ Sn V S2" при нечетном и.
Пространство Хо состоит из трех точек. Далее, г|з эквивариантно
относительно обычного О (л)-действия на S" и диагонального
действия на S'^xS". Следовательно, возникает (З(п)-действие
на Хп. Если G с: О (п) и F (G, R") = R*, то, очевидно, F (G, Х„) = Хк.
Следовательно, для четных к и л, Os^ks^n, и нечетных р име-
имеется такое Zp-действие на Х„~РР2 («), что F = Хк^рР2 (k). Эти
примеры реализуют ограничения, которые в принципе можно ожи-
ожидать при исследовании действия групп чисто когомологическими
методами. Например, группа Z3 действует на Х4~3НР2 так, что
F — Xo состоит из трех точек. Это показывает, что условие на зна-
значение операции Р'р в теореме 3.4 необходимо и что Рз = О на Х4.
Аналогично, Zs-действие на Х4, для которого F —Х2, показывает
необходимость условия на значение операции Р;' в теореме 3.6,
так как отображение Я4(Х4; 7,3)->-Н* (Х^, Z3) тривиальное, потому
что оно пропускается через группу Я4 (Х3; Z3) = 0; см. также
упражнение 2.
Мы закончим этот раздел примерами, показывающими суще-
существование достаточно интересных действий даже для X^PF, т. е.
для случая, когда ограничение Н* (X; Zp)-+H* (F, Zp) является
изоморфизмом.
Чтобы построить первый такой пример, рассмотрим S'-дрй-
ствие на (D2 = R* вида г(гх% z2) = (z2zlt z3z2). Добавив бесконечно
удаленную точку, получим линейное действие на S4. Пусть
A a S4 — орбита точки A, 1), так что Л = {Сг2. ?3) ¦г\ = \\, и
заметим, что А не пересекается ни с одной из двумерных сфер
F2 — {(zi, 0)[, F3 = \@, z%)\, являющихся множествами неподвиж-
неподвижных точек, соответственно, действий подгрупп 1~, и Z3- Далее,
орбита А обладает инвариантной трубчатой окрестностью U я«
ЛИ^^К3 в S4 и S4-?/«*S2xD2. Это множество S2xD2

4. НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ
877
содержит обе двумерные сферы F2 и /;3. Мы хотим найти (с точ-
точностью до знака) степень включения S2«=jF2 cz S2 xD2. Однако
эта степень есть, очевидно, коэффициент зацепления сферы
F2«rfS2 и окружности i4^SJ в сфере S4. Далее, F2 ограничивает
трехмерный диск D3 = {(z1( zi)\zi?i--Q (ZjER)}, который пересе-
пересекает А в трех точках {(ш2, 1)|со3=1} и все числа пересечения
имеют один и тот же знак. Итак, коэффициент зацепления ра-
равен 3, и потому степень включения F2c;S2xD2 равна 3. Ана-
Аналогично, степень включения f3 с S2 x D2 равна 2. Следовательно,
подгруппа Z2 (соответственно Z3) действует на S2xD2, и при
этом F^S2 лежит в S2xD2 со степенью 3 (соответственно 2).
Аналогичные построения приводят к Zp-действиям на S2xD2,
причем F?%iS2 лежит в S2xD2 со степенью q, взаимно простой с р.
Все эти примеры являются, конечно, нетривиальными приме-
примерами к теоремам Смита и теоремам 3.1 и 3.2B) с h=\. Мы
дадим теперь обобщение этих примеров для й>1. Рассмотрим
многообразие Брискорна W4pn+l, заданное в ?Jл+2 уравнениями
\ l >|2 i
| |1i2+ ... +|22л;2=1,
где р и q — неравные простые числа. Напомним, что оно всегда
является гомотопической сферой. Пусть S1 с: SO B) X ... XSO B)c=
a SO Bп) — диагональная окружность; заметим, что она действует
на Wp"+' полусвободно с F = Wlp ч ^ S1 (при этом F задается
уравнениями г,- = 0). Умножение координаты и на корень р-й
степени из 1 определяет на W4n+' Zp-действие, которое ком-
коммутирует с 81-действием и имеет множссчвом неподвижных точек
многообразие W4n~l, заданное уравнением « = 0. Заметим, что
jj74n-i р ^ а= ф. Инвариантная трубчатая окрестность U окруж-
окружности Wlp имеет вид S'xR4", и ее дополнение IP»-1 — U t=&
р« S4" х D2 содержит множество W4" ¦' неподвижных точек Zp-дей-
ствия. Мы профакторизуем теперь это дополнение по ^-действию.
Имеется эквивариантное включение S4"~1->-S4'IxD2, являющееся
гомотопической эквивалентностью. Отсюда следует, что X =
= (S4" X D2)/S' гомотопически эквивалентно пространству СР2"
(на самом деле, используя теорему об s-кобордизме, можно дока-
доказать, что X^ СР2"-1 кD2, по крайней мере при пф2). Имеется
такое индуцированное Zp-действие на X, что /r = /'(Zp, X) —
= W4"-'/S1. Напомним, что Н2п (W*qn-U, Ъ)^ЪР и что в осталь-
остальных размерностях W4n~l имеет те же гомологии, что и S4".
Используя спектральную последовательность (или последователь-
последовательность Гизина) 51-расслоения W4"~1-*-F, легко показать, что
H*(F; T)^Z[x, y]/(x"-qy, г/2)Лде deg^ = 2 и degy = 2n. Это
81-расслоение лежит в 81-расслоении S4/!"xD2-^-X, и из срав-
сравнения спектральных последовательностей следует теперь, что
степень включения /; с: X есть ±q. Иными словами, гомоморфизм

378 ГЛ. VII. КОГОМОЛОГИИ МНОЖЕСТВ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧВК
Z^Hin-2(X; Z) -> Я4"-2 (F; Z)^Z есть умножение на ±q.
(Отсюда следует также, что степень включения Win-{ a Sin~l x
xD2 есть ~-hq.) Так как /?~р;СР2л~1<-^рХ, то это иллюстрирует
3.1 и 3.2B) в «очевидно тривиальном» случае. Мы надеемся, что
эти примеры заставят читателя более внимательно взглянуть на
теоремы § 3.
5. Действия окружности на проективных пространствах
Очевидно, что для Б'-действий на рационально когомологи-
когомологических проективных пространствах можно доказать теорему,
аналогичную теореме 3.1. В этом параграфе мы изучим S'-дей-
ствия на цеяочисленно когомологических проективных простран-
пространствах. Запись X ~2 У будет означать, что X и Y обладают
изоморфными (включая градуировку) кольцами целочисленных
когомологий, а запись X r^^ph(n) будет означать, что Я* (X; Z)«=<
^^'E[a]/(ahil), где dega = «. Напомним, что для h Зг2 такие X
существуют лишь при я = 2, 4, 8, а для А^З —лишь при п = 2,
4; см. Адаме [1] и Стиирод и Эпстейн [1].
5.1. Теорема. Пусть X¦^^Р'1 (п), п четно, и пусть на X
задано ^-действие с конечным числом орбитных типов. Предпо-
Предположим, что пространства X и X/S1 финитны. Тогда множество
F = Xsi непусто и состоит из компонент Fi^-g'9'ч (nt) с четным
rii^n и с h+l = ^(hi + l). При этом, если для некоторого i
имеем nt = n и 1ц^-.\, то ограничение Нп (X; Z)->#" (Z7,-; Z)
является изоморфизмом.
Доказательство. Заметим, что в рассматриваемой доволь-
довольно общей топологической ситуации применимость общей формулы
универсальных коэффициентов не доказана; по этой причине мы
в доказательстве нигде не используем рациональные коэффи-
коэффициенты. Тем не менее формула универсальных коэффициентов
для группы Ър справедлива в силу того, что она вытекает из
точной последовательности групп коэффициентов 0->Z->Z->-
-*-Zp-*-0. Заметим, что в силу III.10.13 группы Н* (F; Z) име-
имеют конечный тип, и в силу ШЛО. 7 имеем If (F; Z) = 0 при
i>nh. Пусть q — нечетное простое число, настолько большое,
что подгруппа Z? cz S1 не содержится ни в какой стационарной
подгруппе, кроме самой S1 и, кроме того, что группа Я* (F; Z)
не имеет (/-кручения. Тогда F (Zg, X) =F — F (S\ X). Далее,
Z, действует на Я*(Х; Z) тривиально, и спектральная последо-
последовательность (с целыми коэффициентами) расслоения ^2a~^"^Z
вырождается, мак как у всех ненулевых элементов члена Е.с обе
степени четны. Отсюда следует непустота множесиза F = t (Хя, X),

в. действия окружности на проективных пространствах 379
так как группы Я* (F% ; Х)^^Н*(Хг ; Z) в высоких четных
размерностях нетривиальны.
Из 3.1 следует, что Н'(F; Z9) = 0 при нечетных i и что
rk H* (F; Zq)=hJrl. Так как Н* (F; Z) не имеет ^-кручения, то
тк Н* (F; Z)=/i+l. Если бы для некоторого простого р группа
Я* (F; Z) имела р-кручение, то имело бы место неравенство
rk H*(F; ZP)>TkH*(F; Z) = ft + 1 = rk Я* (X; ZP). Но так как
F = F (Zpr, X) для некоторого г, то это противоречило бы (после
применения очевидного индуктивного рассуждения) теореме II 1.7.9.
Следовательно, Я* (F; Z) — свободная абелева группа ранга /г+1-
Пусть Fn — некоторая компонента из F. Индуктивно применяя
теорему 3.1 для данного простого р, получим, что Far^pPk (щ).
Следовательно,
HIP 1\^№ ПРИ г=0> Ш< 2т> •¦•' km<
\*д в остальных случаях,
и число m четно, т^п. Мы должны показать, что если элемент
b является образующим группы Hm(F0; Z)?«Z, то и элемент
bk е Нкт (Fo; Z) — тоже образующий. Но если Ьк делится на
некоторое простое р, то H*\F0; %p) имеет не ту, что нужно,
кольцевую структуру. Следовательно, Fn~-gVk(т). Осталось
доказать, что если т — п и &S=1, то гомоморфизм 2,?ы Нп (X;
2,)->-Hrl (Fo; Z)«==Z есть изоморфизм. Но это справедливо для
Zp-коэффициентов с любым простым р, что легко доказывается
использующим 3.1 индуктивным рассуждением, и потому верно
и для целых коэффициентов. Щ
Заметим, в частности, что если Х~2СРЛ, то F = {JFt
с F{ ~z CP"', где h + 1 = Ц (hi + 1), причем Я2 (X; Z) -> Я2 (Fh Z)
есть изоморфизм при ft,- s= I •
5.2. Теорема. Пусть Х^^^^Р'', h^=2, и пусть на X зада-
задано ^-действие с конечным числом орбитных типов. Предположим,
что X и X/S1 финитны. Тогда в F имеется не более одной ком-
компоненты Fo, для которой Fo<~^2 -|P*> k^\; остальные компо-
компоненты имеют &Р-тип (или ацикличны). Если /¦'„'-^HP*, &S»1>
тоН*(Х; Z)->//4(^oi Z) есть изоморфизм. Если Fj^^gCP*'
k^2, то коядро ограничения Z^#4(X; Z)-^-Hi(F1; Z)«^Z
конечно, и его порядок взаимно прост с 6.
Доказательство. Так как /7(Z3r, X) = F для некоторого
г, то наличие не более чем одной такой компоненты FQ, что
F0^2,"rP''> следует из 3.7. Остальные утверждения о типах
компонент множества F следуют из 5.1. Если Ft ~^ ъРА, ?5=2,
то Я'(Х; X3)^-Hl(Fx; Zs) — изоморфизм в силу 3.7, а для Z2

380 ГЛ. VII. КОГОМОЛОГИИ МНОЖЕСТВ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
изоморфноеть доказывается на основании теоремы 3.2 и индук-
индуктивного рассуждения, использующего 3.1. Следовательно, гомо-
гомоморфизм Z^Hl(X; Z)-^H4(Fl; Ъ)^Ъ является умножением
на некоторое целое число, взаимно простое с 2 и 3. |
Замечание. Можно ожидать, что отображение Я4(X;Z) -*¦
-*-Hx{Fx\ Z) является изоморфизмом, но неизвестно, так ли это.
Теорема 5.1 и первая часть теоремы 5.2 взяты у Бредона [10].
Случай X^^СР* ранее рассмотрел Су [3], используя геометри-
геометрические аргументы для редукции этого случая к случаю действия
на гомологической сфере.
Возвращаясь к общей ситуации теоремы 5.2, выберем обра-
образующий ее Нп(X; Z). Спектральная последовательность (над Z)
расслоения XSi->Bs', будучи в нечетных размерностях тривиаль-
тривиальной, распадается в серию точных последовательностей
Следовательно, элемент ае№(^; Z) накрывается элементом
а. ез Н" (XS'\ Z), и а определен однозначно с точностью до целого
кратного элемента C^K-lefffXs,; Z). Переводя элемен-
элементы 1, а, ..., ан, соответственно, в элементы 1, а, ..., ah, получим
когомологическое расширение слоя, откуда на основании теоремы
Лере —Хирша 1.4 заключаем, что //*(XS.; Z) есть свободный
модуль над H*(Bs>\ Z)^Z[t] с базисом 1, а, а2, ..., а\
Применив к а гомоморфизм /*: H*(Xs'] Z)->W*(/rs>; Z),
получим /* (a) = tn/2 ®с + (*), где с е Я0 (F; Z) и (*) состоит
из членов, у которых вторые сомножители имеют положительную
степень. Для некоторой компоненты Ft из F обозначим через
С/ е Я0 (/у, Z) ограничение элемента с на Ft и заметим, что
ввиду канонического отождествления Я0 (Ft; Z) ^^ Z элементы с*
можно считать целыми числами.
5.3. Предложение. Пусть р —простое число. В приведен-
приведенных выше обозначениях компоненты Fi и Fj множества F(S1, X)
лежат в одной и той же компоненте множества F (Zp, X) тогда
и только тогда, когда Ci^Cj (modp).
Доказательство. Ограничение элемента а на (Ft)st есть
/л/2 0С| = С;(л/201. Если хеFh то отсюда следует, что ограни-
ограничение элемента а на xs< = Bs' есть Citnl2. Так как универсальное
пространство E-g можно выбрать совпадающим с Esh то возни-
возникает коммутативная диаграмма
By ?»X7 ~~*~Xs> ^ Bst
tun t
х-.

5. ДЕЙСТВИЯ ОКРУЖНОСТИ НА ПРОЕКТИВНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 381
которая индуцирует коммутативную диаграмму
W*(SS.; Z)~tf*(*s.; Z)->//*(xZp; ZP)**H*(BZp; Zp)
Нижний гомоморфизм переводит / в соответствующий образую-
образующий группы Н2(В2~, Zp)^Zp, который мы обозначим снова
через t для нечетного р и через Р для р = 2. Пусть а'е
е //" (Х^ ; Z,,) — образ элемента ее; заметим, что а' при ограни-
ограничении дает образующий а' е: Н" (X; Zp), являющийся Zp-редукцией
элемента а. Из коммутативности диаграммы следует, что а'
переходит в элемент с;/';/- (niod p) группы Й*(В^: ^Р) (или
в с{г" при р = 2). Однако образ элемента а' при гомоморфизме
/*: H*(XZp; ZP)^H*(F(ZP, X)Zp; ZP) ^ Я* (%р! ZP) <g>
<8) Я* (F (ZP, X); ZP) есть /»* (g) d + (*), где de=H°(F (ZP, X); ZP),
откуда следует, что «часть» элемента d, соответствующая содер-
содержащей х компоненте из F (Zp, X), в точности есть с( (mod p).
Отсюда следует, что если Ft и Fj лежат в одной компоненте
множества F (Zp, X), то ct = Cj (modp), а обратное следует из
того, что отвечающие различным компонентам «части» элемента d
различны в силу того, что d мультипликативно порождает кольцо
H°(F(ZP, X); Zp). |
Следующий факт доказал У.-И. Сян. Этот факт допуска-
допускает очевидное обобщение на Zp-действия, действия торов и
т. д.
5.4. Предложение. В указанных выше обозначениях гомо-
гомоморфизм /*: Й* (Xs<; Z) ->¦ Я* (^s'J Z) является мономор-
мономорфизмом, и имеет место кольцевой изоморфизм H*(X$i\ Z)^
[ ]П@
Доказательство. Для когомологий с рациональными
коэффициентами гомоморфизм /* есть мономорфизм в силу 1.5,
так что если бы можно было применить формулу универсальных
коэффициентов, то отсюда следовала бы мономорфность /* над
целыми числами1). В общем случае требуются более тонкие
соображения. Для данного элемента группы Я* (Xs>; Z) можно
выбрать такое достаточно большое простое р, что образ этого
элемента отличен от нуля в группе Я* (Х% ', Zp). Кроме того,
р можно выбрать так, что ^(Zp, X) = F(S1, X), так что требуе-
требуемый результат вытекает теперь из теоремы 1.5 об этом Zp-действии
Так как Х&1 не имеет кручения. —Прим, перев.

382 ГЛ. VII. КОГОМОЛОГИИ МНОЖЕСТВ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
с последующим использованием коммутативности диаграммы,
связывающей S1- и Zp-действия.
Докажем вторую часть предложения. Пусть /,: (/'*)$¦ с Xs<—
включение. Тогда /f(a-c;0= ?Ак®Ь*, где AkeEH*(BSu Z),
а b,^Hr4(Fi\ Z)-образующий. Итак, jf ((a-cit)flt+]) = (jf (а —
— clt)ht+l —0, поэтому ограничение элемента ] j (a — c;t)hi-±x на
каждую компоненту множества Fs> тривиально, и потому /*
переводит этот элемент в нуль. Но так как /*— мономорфизм,
то [1 (a — Cit)hi " ' = 0. Этот элемент есть многочлен степени
Л +1=2(^ + 1) относительно а, и коэффициент при ал+1
равен 1, так что а/" выражается через \, а, ..., ah. Тем самым
полностью описывается структура кольца Н* (XSi\ Z). 1
Обозначим через iift эндоморфизм z>—»¦ г* группы S1, рас-
рассматриваемый как ее вещественное двумерное представление.
Тогда, в обозначениях ч 10 гл. VI, ц1'= t'<-\-1 ''.
В оставшейся части этого параграфа мы предполагаем, что
Xr^^({;Ph и что X есть замкнутое многообразие с локально
гладким Б'-действием. Пусть /-"о — некоторая компонента из F,
и пусть j;eF0. В нормальной плоскости к Fo, проходящей
через х, возникает представление v группы S1. Его можно пред-
представить в виде D = 2T)m'i гДе '"( — отличные от нуля целые числа.
У.-И. Сян утверждал, что для гладкого действия множество \т{)
совпадает, с точностью до знаков, с множеством вида {ct — co\hi + ],
где d — определенные выше целые числа. Позже Петри [3]
нашел контрпример к этому утверждению. Мы, однако, докажем
в этом направлении один частный результат в локально гладком
случае. Более сильные результаты в гладком случае имеются
у Петри [3].
5.5. Теорема. Для локально гладкого S1 -действия на X ^у (СРЛ
в приведенных выше обозначениях имеет место формула
где 2 т)т' есть представление в слое нормального к Fo расслоения.
Доказательство. Вместо S1 будем писать G. Рассмотрим
элемент р = (а-c0tfo Ц (а -cot)hi + ' группы H2h(Xc\ Z). Пусть
i фО
D2h — инвариантный 2/г-мерный диск в X с центром в точке к е Fo, и
пусть U — еговну[реннос1ь. Тогда X — U^gW1-1, Fq — U^^CP11''1
и Fi = Fi — U ^2§}Phi. Так же, как и в 5.4, можно доказать, что при
ограничении на (F — U)a элемент р1 переходит в нуль группы
Я* ((F — U)a; Z) и, следовательно, р1 переходит в куль группы

5 ДЕЙСТВИЯ ОКРУЖНОСТИ НА ПРОЕКТИВНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 383
H*((X-U)a; Z). Итак, найдется элемент те=Я2Л(Вс, So""; Z),
накрывающий элемент $ при гомоморфизме Я2'1(Оо\ Sc)^
f=^Hih{Xa, {X — U)a) -> H2h(Xa). Включение слоя индуы рул
коммутативную диаграмму
где левое отображение — изоморфизм в силу тривиальности спект-
спектральной последовательности расслоения (D"c\ S'g1 ""')->• Be. Далее,
i* (P) = aft s H2h [X) — образующий, поэтому т — образующий груп-
группы я2М0бЛ, s^'1).
Положим F П Ь2/1 = D2h». Ограничение на FQ индуцирует
диаграмму
Я2Л (Хо) /?„ Я2" ((F0)o) с Я* (BQ) (g) Я* (Fo),
Но
/J(a) = Cb*(g>l + l®bo,
где hn^H2(F(); Z)— образующий и 60 = 0 при /го = 0. Из опреде-
определения элемента Р следует, что
/§ (Р) = A (8) 6„)"» П [(с« - с,-) / ® 1 + 1 0 Ьор + ' =
Поэтому образующий т переходит в элемент YY (со~С«)А'+'
группы Я2-'1»1 (Ва) <Э^2/1"(О2"», S2h»-1)?^Z. Далее, G-прост-
ранство (D2A, S2'1) можно рассматривать как произведение
нескольких экземпляров пространства (D2, S1) с представлениями
вида ц1"' или тривиальными представлениями. Используя теорему
Кюннета, мы видим, что достаточно доказать, что для представ-
представления цт, тфО, образующий группы Н'2 (Do, So) переходит
в элемент ±т группы Я2 (Ва) (g) Я°({0}) p^Z (Тривиальные
сомножители в представлении могут дать лишь увеличение раз-
размерности множества неподвижных точек.) Так как точка {0|
есть эквивариангиы ' деформационный ретракт диска D2, то
исследуемый гомоморфизм в точности есть гомоморфизм ср точной

38'» ГЛ. VII. КОГОМОЛОГИИ МНОЖЕСТВ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
последовательности
Но для H = GlZm^S1 имеем Sla = S1 x 0 Ea «=s S1 x H B2m <=« ВЪт.
Следовательно, Я2(Sh; Z)*»«H2(B%m\ Z)^Zm, откуда следует
требуемый результат. |
5.6. Предложение. Для локально гладкого &1-действия на
замкнутом многообразии Х<^2СРЛ в приведенных выше обозначе-
обозначениях предположим, что \х\ — Fo есть изолированная неподвижная
точка и что представление в касательном к х пространстве
имеет вид ?т)т'. Тогда каждое т; делит некоторое Cj — c0.
Доказательство. На самом деле мы докажем больше.
Пусть fflEZ-одно из mi, и пусть N — компонента множества
F Bт, X), содержащая х. Тогда N есть многообразие положи-
положительной размерности, на котором действует S1 (причем под-
подгруппа Zm действует тривиально). В силу следствия IV.2.3, при-
примененного к подгруппе ZpCzS1 с большим р, это Б'-действие
должно иметь более одной неподвижной точки и, следовательно,
N имеет общие точки с другой компонентой Ft множества F =
— F($l, X). (Заметим, что это единственное место, где мы вос-
воспользовались тем, что Fo — {x\ — изолированная неподвижная
точка.) Пусть ср: l-^N— дуга между х и некоторой точкой (/е
eFjflN- Отображение ср однозначно продолжается до эквива-
риантного отображения IxS1-*-X, где G = S* действует на S1
посредством представления цт. Стягивая края цилиндра I x S1,
получим эквивариантное отображение if: S2 ->- X, где S1 дейст-
действует на S2 надстройкой над цт и где для полюсов и, v сферы Sa
имеем \р(и) = х, ty(v)=y.
Теперь мы можем нормировать а и, следовательно, с*, при
помощи выбора as Я2 (Хо, xq), откуда получим со = 0. Имеем
ij)*(o) = do', где а и а'—образующие соответственно групп
Н2(Х, х) и Н1 (Sa, и), a d e Z — «степень» отображения г|). Мы
утверждаем, что c1r=±dm (т. е. c1 — c0 = ±dm в ненормиро-
ненормированном случае).
Для доказательства этого рассмотрим коммутативную диа-
диаграмму
H*(Xo,xQ) *L ¦ H2(Sh, uQ)
1/ф » If
Я2 ((FJq) ^ Я» (Во) <g) Я0 (v) ** Я2 (Ва)
По определению элемента сх имеем \\ (а) = с^0 1 +(*), и этот
элемент переходит в cj e Я2 (Во)- Но i|)g (а) — единственный эле-
элемент, дающий при ограничении на слой элемент г|з* (а) = da' e
еД2E!, и). Следовательно, ^§(а) = йа', где а' при ограничении

6. ДЕЙСТВИЯ НА ПРОСТРАНСТВАХ ПУАНКАРЕ 386
на слой дает а'. Из теоремы 5.5, примененной к действию на S2,
следует, что /* (a') = :t mt s Я2 (BQ), так что j*yp% (a) = ± dmt s
еЯ2(Ва). Следовательно, cl = ±dm в силу коммутативности
диаграммы. |
Замечание. Интересно рассмотреть построенный в § 4 при-
пример Э^действия на S2xD2 в свете теорем 5.5 и 5.6, хотя это
многообразие и не замкнуто. В этом случае, как и в 5.6, можно
доказать, что с1—co = db6 и что представление группы S1 в каж-
каждой неподвижной точке есть тJ 3 Ч3- Отталкиваясь от этого
примера, Петри [3J построил гладкое 51-действие на ОР3 ровно
с четырьмя неподвижными точками х,-, 0-:^1-^3, где со = О,
^ = 7, с2 = 6, с3 = 1. При этом соответствующие представления
в точках х0 и хх имеют вид т]2 фт]3 к&ц1, а в точках х2 и х3—
ВИД if 0 if ©Г]8.
6. Действия на пространствах Пуанкаре
Пусть К — некоторое поле. Пара (X, А), где А а X — замкну-
замкнутое подмножество, называется парой Пуанкаре формальной раз-
размерности п над полем К, если она удовлетворяет следующим
условиям:
(i) Группа Н* (X; К) конечно порождена.
(п) Если i>n, то Н'(Х, А; /С) = 0, а Нп(Х, А; К)^К.
(Hi) Для всех / ^-умножение Й* (X; К)(&Нп-1(Х, А; К) -*•
->Я"(Х, А; /С)я«/( является невырожденным спариванием (т. е.
спариванием двойственности) ').
Су [4] предположил, что для Zp-действия на финитном про-
пространстве Пуанкаре X (т. е. пары Пуанкаре (X, А) с А = ф)
над полем Ър каждая компонента множества неподвижных
точек F тоже есть пространство Пуанкаре над Zp. Для локально
гладких (на самом деле любых) действий на замкнутом много-
многообразии Мп это утверждение очевидно и неинтересно, так как
в этом случае F должно быть замкнутым многообразием. Однако
даже для гладких действий на пространствах типа MnxDr эта
гипотеза весьма нетривиальна и представляет собой значитель-
значительный интерес.
Эта гипотеза была доказана Бредоном [10, 21] в предпо-
предположении, что слой X вполне негомологичен нулю в Хо. Здесь
мы приведем доказательство этой теоремы в более общем, отно-
относительном случае. Несмотря на кажущуюся простоту этого
!) Сказанное означает, что ft-векторные пространства Я' (X, К) и
Нп ' (X, А; К) изоморфны и билинейный функционал ^-умножения невы-
рожден —Прим. перев.
А;2 13 Г. Бредон

386 гл. vn. когомологии множеств неподвижных точек
результата, он представляет собой довольно мощный инструмент
и является наиболее сильным из известных общих фактов о струк-
структуре кольца когомологий множества неподвижных точек. Ника-
Никакого дальнейшего продвижения по части гипотезы в общем слу-
случае достигнуто не было, и весьма сомнительно, что это удастся,
главным образом потому, что очень трудно доказать что-либо
в случае, когда X не является вполне негомологичным нулю
в Хо.
6.1. Теорема. Пусть (X, А)—финитное пространство
Пуанкаре формальной размерности п над полем %р. Предположим,
цто G — Z,p действует на X так, что А инвариантно и слой X
вполне не Хр-гомологичен нулю в Ха. Тогда для любой компо-
компоненты Fo множества F = Х° пара (Fo, Fo f| А) есть пара Пуан~
каре формальной размерности г sg:« над ХР- Если рф2, то
п — г четно. Если г — п, то F = F0, так что F связно, и ограни-
ограничения Я* (X; ХР)-*Н* (F; ЪР) и И* (X, A; ХР)-+Н* (F, FО А; Хр)
суть изоморфизмы. Аналогичные утверждения верны и для S^-deu-
ствий и поля рациональных чисел (т. е. р — 0), если и X, и
X/S1 финитны.
Доказательство. Мы дадим доказательство для нечетных
простых р, так как этот случай наиболее труден. Доказательство
для р = О и р = 2 по существу получается из этого простым
выбрасыванием символа s из всех формул. (Доказательство для
р — 2 и А = ф явно дано у Бредона [21].) Далее областью
коэффициентов для групп когомологий всегда будет поле Хр.
Прежде всего, мы нуждаемся в следующем факте.
6.2. Лемма. Пара (X, А) вполне негомологична нулю
в (Ха, Ао).
Доказательство. В силу естественности изоморфизма
двойственности Я' (X, Л)^Нот (Я""' (X), Zp) группа G дейст-
действует на Я* (X, А) тривиально. Предположим (индуктивно), что
в спектральной последовательности расслоения (Ха, Аа)-+Ва
все дифференциалы dr, r<k, тривиальны, a dk тривиален на
элементах, у которых градуировка по слою больше, чем I. Для
а^Н'(Х, А), афО, мы можем считать элемент 1®а элемен-
элементом группы Р°-1ъЕ021ъН0(Ва)($Н1(Х, А). Тогда dft(l(g)a)=.
^C(g)C, где С <= Н" (BQ) и ееЯ-ы(Х, А). Если С и с-нену-
с-ненулевые элементы, то найдется такой элемент 6 еЯп-'+*(Х) (при
этом deg Ь > 0, так как i < п), что cb Ф 0. Тогда 0 = dk (I (x) ab) —
= (dk(\ (g)a))(l (g)b) = C®cb=^0 по предположению индукции1)
и в силу того, что X вполне негомологичен нулю в Ха2). Это
1) Первое равенство.—Прим. перев.
?) Второе равенство. — Прим. перев.

6 ДЕЙСТВИЯ НА ПРОСТРАНСТВАХ ПУАНКАРЕ 387
противоречие доказывает, что dk (I (x)a) = 0, откуда следует, что
4 = 0. i
Возвращаясь к доказательству теоремы 6.1, выберем x<=F0
и интерпретируем Я* (Fo, x) как внутреннее прямое слагаемое
группы Я* (F, х); аналогичное проделаем с группой Я* (Fo, Fu\] A).
Заметим, что, используя гомоморфизм Я* (X, *)-*-Я*(Х), можно
устроить w-умножение Я* (X, х)(9уН*(Х, Л)->Я*(Х, А) лаже
в случае, когда хфА. Это же верно, конечно, и для других
пар.
Многие используемые здесь w-умножения неявно будут как
раз такими.
Пусть г —наибольшее из тех чисел, для которых Hr (Fo,
ро(]А)фО. Мы должны доказать, что ранг группы Hr(F0, Fon<4)
равен 1 и что если b<=H'(Fn, Fa(]A), где i<Cr и ЬфО, то
найдется такой элемент се Hr~' (Fa, x), что ЬсфО, где be e
е Hr (Fo, Fof\ А). (Этого достаточно, так как отсюда следует, что
гомоморфизм двойственности Я' (Fo, Fn f| А) -*¦ Нот (Hr~' (Fo); Ър)
мономорфен и, следовательно, rk Я* (Fo, Fn П Л) «S rk //* (Fo); это
верно и при Я* (Fo, Fon^) = O. Но rkH*(F, F (] A) = rk Я*(Х, Л) =
= rk Я* (Х) = гкЯ*(/г) в силу 6.2 и 1.6, откуда следует в свою
очередь, что гомоморфизм двойственности есть изоморфизм.) Что
касается последнего утверждения, то достаточно найти такой
c^HJ(Fn, x), что ЬсфО хотя бы для какого-нибудь />0, так
как повторным применением этого рассуждения мы в конце
концов получим элемент группы Hr (Fn, F0(]A).
Пусть ср: Я* (X, Л)->Я*(Х0, Аа) — когомологическое расши-
расширение слоя. Обозначим ограничение на типичный слой через /*:
Я* (Хо, Аа)-^ Н* (X, А), так что t*q> = 0. Так как композиция
X-*-Xq->-Bq пропускается через точку, то i* (stx) = O и /* (fa) =0
для всех а <= Я* (Ха, Аа). Ограничение Н* (Xq, хо)->Я* (X, х)
мы обозначи-м тоже через i*. Нам будет удобно выделить сле-
следующее утверждение.
6.3. Лемма. Пусть sv/>ф(й;) gЯ* (Хо, Аа) — однородный
элемент с а0ф0 и cleg ао <С п. Тогда существует такой элемент
а(ЕЕЙ*(Ха, ха), dega>0, что 0ф 1* (а) е Я* (X, х) и 0ф
#я1/'ф(а,-)еЯ*(Хс, Аа).
Доказательство. Так как degа0<п, то существует такой
элемент сей* (X, х), deg a>0, что аапф0. Пусть ссе
е Я* (Хо, ха) — любой элемент, переходящий в а при ограничении
на слой. Тогда i* (ocV ^'ф (a,-)) = (* (a)ao = aao#0. Но в этом слу-
случае элемент sa^^'fpte) при ограничении на слой дает не разный
V. 13*

388
ГЛ. VII. КОГОМОЛОГИИ МНОЖЕСТВ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
нулю элемент s (g) аа0 члена Е[2'* *= Е^, * спектральной последо-
последовательности расслоения (Ха, Аа)-*-Ва и, следовательно, сам
элемент sa?rf4p(u,-) не может быть равен нулю. Щ
Возвращаясь к доказательству теоремы, предположим, что
0^/?еЯ*D F0(]A)czH*(F, F[)A). Так как /* есть эпимор-
эпиморфизм в высоких размерностях, мы можем найти целое k и такие
элементы а(, й,'еЯ*(Х, А), что Р<g> b = j* [?*'' ((p{at) + s(p (a't))].
Умножив это равенство на s, получим
s/*(gN = /*(s2://«p(e*))- 0)
Так как умножение на t мономорфно, то в этом равенстве сте-
степень элемента t можно сократить, и мы можем считать, что
а0ф0.
Предположим, что в равенстве A) degao<«. Тогда в силу
6.3 имеется такой элемент а <= Н* (Ха, х0), что ях?*'ф (щ)Ф 0.
Положим
где Ь,-, b'i^H*(F, x). Так как /*— мономорфизм, то
0 ф }* (as>: ftp (at)) - 2 (/' <g) 6, + si; ® &J) (sf (g) ft) =
и, следовательно, ЬффО для некоторого f.
Далее, это равенство невозможно при degfr = r. Следовательно,
degb = /-=^>degao = n в A) B)
(Заметим, что при рф2, deg t = 2 из A) следует, что n — r — 2k
четно.)
Предположим, что rk Hr (Fn, Fof|^t)>l, и пусть b и Ь' —
независимые элементы из Hr(F0, F0[\A). На основании A) и B)
можно записать:
rf* <g) 6 = /* (sv /'Ф (a,)), sf* (x) 6' = /* (sv /'ф (fl;)),
где а0ф0 и «о#0 — элементы степени п. Так как гкЯ"(Х, Л) =
-я 1, то мы можем заменить 6' таким его скалярным кратным,
чтобы имело место равенство а'о = ао. Тогда
-Ь') = /• (s/ф (а, - а[) + st\ (a, - a|) + ...),
где deg (ai — a't) = n — 2i<C п. Но это, после сокращения некото-
некоторой степени элемента t, противоречит утверждению B). Итак,
мы доказали, что rk Hr(Fo, Fof]A)—\.
Фиксируем теперь элементы Ь е Hr (Fo, F0D^), ЬфО, иЬ'е
<^H9(F0, F0(]A), где q<r. Как и в A), можно найти такие а\,
что stm (g) b' = j* (sv f9 (a/')), a'o Ф 0.

7. ТЕОРЕМА ОБ ИНВОЛЮЦИЯХ 389
Если dega6<n, то, как показано выше, существует такой
элемент Ь" е Я* (Fo, х), что Ь'Ь"фО, что и требуется. Итак,
пусть degflo = «. Умножив при необходимости Ъ' на ненулевой
скаляр, мы можем считать, что а'о = ао1). Итак, O^=s^0b —
— stm 0 b' = /* (sVJ/'ф (af)), где степень каждого элемента a,r =»
=? Qj-fl; меньше чем п, так как ао=О. В силу 6.3, найдется
такой элемент а е Я* (Хо, #о), что as? ^'ф (а?) ?= 0. Положив
У* (а) = in*1 ® Ь/ + s^ (g) fej), где bt и 6J лежат в Я* (F, *), получим
ft*) (stk <g> 6 - sP <g) 6') = 2 (±
в силу того, что элемент b <=Hr (Fo, Fo (] Л) переходит в нуль
при его w-умножении на любой элемент из Я* (F, х). Следова-
Следовательно, для некоторого i имеем bib'фО, что завершает доказа-
доказательство того, что (Fo, FU[\A) есть пара Пуанкаре над Zp.
Предположим теперь, что п = г, и пусть 0^&еЯ" (FO, Fo f) ^4).
Исходя из A) и B), получаем 1 (g)b = j* (у (а0) + sy (а'о) + t<p (cij) -j-
+ s^(ai)-t-...), где а0ф0. Из коммутативности диаграммы
Н*(Х0, AQ)-^H*(FQ, (F(]A)a)
Н*(Х, А) — H*(F0, F0(]A)
с учетом того, что i* (ц> (а0) + sq> (а'о)-\-...) = i* (<р (а0)) *= а0, сле-
следует, что элемент аоеЯга(Х, А) переходит в b^Hn(F0, F0[)A),
ЬфО. Так как (X, Л) —пара Пуанкаре, то ограничения Я* (X)-*-
->Я*(^0) и Н*(Х, A)-+H*(F0, F0(]A) мономорфны. Так как
rk Я* (Fo, Fo П А) = rk Я* (Fo) s?rk Я* (F) = rk Я* (X) = rk Я* (X, Л),
то они должны быть изоморфизмами. Итак, rk Я* (Fo) = rk Я* (X) =«
— rk Н* (F), откуда следует, что F0 = F. |
7. Теорема об инволюциях
В этом параграфе мы докажем простую, но важную теорему
об инволюциях и выведем из нее несколько следствий. Имеются
аналогичные результаты о Zp-действиях, р > 2, но они не столь
интересны и полезны, как при р = 2.
Пусть X — паракомпактное пространство и Т: (х, у) i—*¦ (у, х) —
инволюция на ХхХ. Напомним определение квадратов Стинрода,
см. Стинрод и Эпстейн[1]. Сначала строится естественное
-1) Автор имеет в виду формулу stk ® b = sV *'ф {а$. Прим. перев,
13* Г. Бредом

390 ГЛ. VII. КОГОМОЛОГИИ МНОЖЕСТВ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
отображение (не гомоморфизм)
Р: Й"(Х; 2^Я!л((ХхХ)а; Z2),
для которого 1*Р(й) = йХйеЯ2л(ХхХ; Z2), где /: ХхХ->
-*- (X х Х)а — включение типичного слоя, a G — Z2 — {T}. Затем
элемент Sqk (а) е Ял+* (X; Z2) задается равенством
j*p (a) = S *""* ® 5<?* (а) е= Я* (Ва; Z2) <g> Я* (Д; Z2),
где Д с: X хХ—диагональ (множество неподвижных точек инво-
инволюции Т на ХхХ) и /: БохА = До-*-(ХхХ)а — включение.
У Стинрода и Эпстейна [1] отображение Р определя-
определяется лишь для регулярных клеточных комплексов, но в силу
его естественности оно легко может быть продолжено до отобра-
отображения групп чеховских когомологий паракомпактных пространств.
Так как это продолжение может не быть для читателя самооче-
самоочевидным, то мы напомним конструкцию отображения Р и ука-
укажем, как его продолжить на чеховские когомологии, в конце
параграфа. Пока же будем считать, что все это известно.
Предположим, что на самом X задана инволюция, обозначае-
обозначаемая также через Т. Определим отображение h: X-»-XxX фор-
формулой h (x) = (х, Тх) и заметим, что h эквивариантно. Возникает
индуцированное отображение ho: XQ->(XxX)a расслоений над
Во. и диаграмма
X -L Xa J-Fa=B
коммутативна; здесь F — множество неподвижных точек отобра-
отображения Т: Х-*-Х и k: F -> X f=& Д — включение.
Пусть естественное отображение Q: Я" (X; Ъ^-^-Нгп{Хо\ Z2)
определено формулой Q(а) = h%P (а) и d: X-+-X хХ— диагональ.
Тогда h = A х Т) d; следовательно, i*Q (а) = i*h*GP (a) = h*i*P(a) =
= h* (а х а) = d* (а х Т*а) = а • Т*а. Кроме того, /*Q (а) = j*h%P(a) =
1 g ^* *Р (а) = A (g) Л*) Ц /'" (g) Sql (a) = ^ ^"-' (g) А:* E^'(а)) =
|
Суммируя сказанное выше, получаем следующий результат.
7.1. Теорема. Для любой инволюции Т на паракомпакшном
пространстве X существует такое естественное отображение Q:
Нп (X; Z2)->-^2" (XQ; Z2) {не являющееся гомоморфизмом), что
i*Q(a)=a-T*aeEll2n(X; Z2) и j*Q (a) = ?*"-' (g) S<?'' (a|F) е
(F; Z2). |
7.2. Следствие. Для любого а^Нп(X; Z2) элемент а¦ Т*ае
е Я2" (X; Z2)° = Я0 (Во; Я2" (X; Z2)) = ?2'2" начального члена
спектральной последовательности расслоения Ха->Ва является

7. ТЕОРЕМА ОБ ИНВОЛЮЦИЯХ 391
циклом всех дифференциалов этой спектральной последователь-
последовательности.
Доказательство. Этот элемент есть образ элемента Q(a)
при гомоморфизме ограничения. |
Заметим, что в случае, когда G действует на Н2п (X; Z2)
тривиально, этот элемент обычно обозначается через 1 ®а-Т*ае.
®()
7.3. Следствие. Предположим, что G = "Z2 действует на
финитном пространстве X и что слой X вполне негомологичен
нулю в Ха. Тогда ограничение любого класса неНп(X; Z2)>
такого, что а2 Ф О, на множество F нетривиально.
Доказательство. В этом случае Т* = 1, так что i*Q(a) =
= а2ф0. Так как /*—мономорфизм, то 0Ф j*Q (a) = ?tn~l (g)
§§Sql(a\F) и, следовательно, a\FфО. |
Следующая теорема дает достаточное условие существования
неподвижных точек, а также указывает нижнюю границу для
размерности множества F.
7.4. Теорема. Пусть Т — инволюция на таком финитном
пространстве X, что Н'(X; Z2) = 0 при i>2n. Предположим,
что Т* — тождественное отображение группы Н2п (X; Z2) (напри-
(например, это так при Н2п (X; Z2) ^ Z2). Пусть, далее, элемент а е
еЯ"(Х; Z2) таков, что а-Т*афО. Тогда множество F непо-
неподвижных точек инволюции Т непусто и элемент a\F e Hn (F; Z2)
отличен от нуля.
Доказательство. В силу 7.2 элемент 10а-Т*а есть
цикл всех дифференциалов и представляетJ) элемент Q (а) е
e№"(Xo; Z2). Отсюда следует, что элемент t§<)a-T*a <=
<=Hi(Ba)§<)H2n(X; Z2) = E\'2n тоже есть цикл всех дифферен-
дифференциалов и, следовательно, доживает до Ей "• Но этот элемент
представляет элемент tQ (а) е Я2л+! (Хо; Z2), так что tQ (а) Ф 0.
Так как в силу 1.5 /* есть изоморфизм в размерностях, боль-
больших 2п, то /у* (Q (а)) = /* (^Q (a)) ^ 0, и, следовательно, /* (Q (a)) ^
^=0. Из 7.1 следует, что a|F=^=0. В частности, Рфф.Щ
7.5. Следствие. Пусть Т —инволюция на финитном про-
пространстве X~2SnxSn. Если Г*: Й(X, Z2)-*Hn (X; Z2) от-
отлично от тождественного отображения, то F ~2 S".
Доказательство. Пусть а и Ь — образующие группы
Нп(Х; Z2), где а2 = 0 = Ь2 и аЬфО. Так как Т*ф\,
1) Имеется в виду, что в биградуированной группе Е^ ', присоединенной
к группе Н* (Xq, Z.At элемент 1 (g)a -T*a соответствует элементу Q{a),—
Прим. перев,
13**

892
ГЛ. VII. КОГОМОЛОГИИ МНОЖЕСТВ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
может сохранять а и Ь одновременно, и можно считать, что
Т*аФа. Тогда Т*а = Ь или Т*а = а-\-Ь, так что в обоих случаях
а-Т*афО. Но тогда a\F^=0 в силу 7.4. Так как Hn(F\ Z2)?*
=^0#tf<>(^; 2,)t TO 2^rkH*(F; Z2)<4 в силу 1.6, и в силу
III.7 10 rkH*(F; Z2) = x(^) = xW = ° (mod2). Следовательно,
7.6. Следствие. Пусть X —финитное пространство Пуан-
Пуанкаре над Z2 формальной размерности 2п и Т — инволюция на X.
Предположим, что эйлерова характеристика %(Х) нечетна. Тогда
Рфф и ограничение Нп{Х; X^)^-Hn{F, Z2) нетривиально.
Доказательство. Рассмотрим невырожденную билинейную
форму (a, b)*=a-T*b<=H2n{X; Z,)^Z2 на Нп(Х; Z2). Она сим-
симметрична х), так как b-T*a = T* (b-T*a)-=T*b-a = a-T*b. Из не-
нечетности %(Х) следует нечетность ранга группы Нп (X; Z2).
Предположим, что (а, а) = 0 для всех а. Тогда в некотором
базисе данная форма представима симметрической матрицей В
над Zjj с нулями на диагонали и с detB^O, detJ3eZ2- Оче-
Очевидно, можно считать, что В получена Z2-peflyKu,Heii из целочис-
целочисленной кососимметрической матрицы А (с элементами 0, 1 и —1).
Так как число строк матрицы А нечетно, то det А = —det (—Л) =
= — det (Л')= — det А, так что det/l = O. Но так как В есть
22-редукция матрицы А, то и detB = O.
Полученное противоречие показывает, что найдется такой эле-
элемент а, для которого 0ф(а, а)=а-Т*а, откуда в силу 7.4 сле-
следует требуемое заключение. |
Замечание. Следствие 7.6 первоначально получили К о н н е р
и Флой'д [8], с. 114, используя методы теории кобордизмов.
Соответствующий результат в общем случае получил Б р едон [21].
Следуя обещанному, наметим теперь конструкцию отображе-
отображения Р. Для G = Z2 триангулируем E — Eq так, чтобы оно было
регулярным G-комплексом (например, было бесконечным джойном
шестиугольников). Пусть W — симплициальный цепной комплекс
W = C%(E) и е: W->Z — аугментация; заметим, что е°Т = е.
Пусть К — симплициальный комплекс. Наделим ! К : >'; К | х Е
клеточной структурой, возникающей из произведения симплици-
альных комплексов, и обозначим полученное клеточное простран-
пространство через К~хКхЕ. Зададим G-действие на К х КхЕ формулой
(х, у, е)\—*-(у, х, Те), Так как Е — регулярный G-комплекс, то
(!/C|x|/C|x?)/G наследует клеточную структуру; соответствующее
клеточное пространство обозначим через (КхК)а- Заметим, что
цепной комплекс клеточного пространства КхКхЕ можно отожде-
отождествить с С* (К) 0 С* (К) <8> W. Кроме того, его Т-инвариантные
1) Первое равенство следует из того, что Нгп (X; Z2) = Zt- — Прим. перев.

7. ТЕОРЕМА ОБ ИНВОЛЮЦИЯХ 393
цепи можно очевидным образом считать цепями клеточного раз-
разбиения (Кх К)а-
Для коцепи и: Cn(/C)-»-Z2 положим Р (и) — и ® и ® е, так что
Р (и) (с, ® с2 ® w) = и (сг)и (с2)е(ш). Так как Р(и)>Т = Р(и), то
Р(ы) можно считать клеточной коцепью Р (ы) еС'" {(КхК)о\ Z2)-
В книге Стинрода и Эпстейна [1], с. 100, доказано, что
отображение Р: Сп (К; Z2) -> C2n ((/*С x /Qg; Z2) индуцирует отобра-
отображение (естественное для симплициальных отображений) Р:
Н" (К: Ъг)-+Н2п((КхК)а', Z2). и мы не будем приводить здесь
это доказательство. (При этом на К не нужно налагать никаких
условий конечности.) Отсюда можно определить операции Стин-
Стинрода на К, как это сделано в начале параграфа.
Предположим теперь, что X — паракомпактное пространство и
что 2l—\U)— его локально конечное покрытие.
Пусть локально конечное покрытие аУ° —{V} вписано в покры-
покрытие V, и пусть р: "Ч/° -> U — вписывание. Возникает индуцирован-
индуцированное симплициальное отображение р: КС1>°) |->| К (Щ\. Пусть
f ~{fu\ и g={gv} — разбиения единицы, подчиненные соответст-
соответственно покрытиям U и "ХУ\ и пусть /: А" —*-^ К.(йГ)| и |: Х-+
—И КС^О! — соответствующие симплициальные отображения. Далее,
для любой точки хеХ точки Pg(x) = Vgv(x)p(V) и f(х) =
= v^(x) 1/ лежат в одном и том же симплексе (?/„, Ut, ..., Vk)
комплекса К(#), где ?/; — элементы покрытия U, содержащие
точку х. Следовательно, отрезок, соединяющий pg(x) и f (х), лежит
в | К (Щ |, что позволяет установить каноническую гомотопию
между f и pg. Поэтому /х/ и pgxpg эквивариантно гомотопны,
и потому (fxf)a гомотопно отображению
Отсюда и из естественности отображения Р для симплициальных
отображений следует, что диаграмма
нп(к(и)) -^н2п ((к(<и) х к(и))е)
нп
коммутативна. Поэтому можно перейти к прямому пределу и
получить отображения
Нп (X) ~ limЯ"(КBГ))->НтЯал((К{Щх К(U))a)->Й2п ((ХхХ)а),
композиция которых определяет отображение Р для когомологий
Чеха. (Последнее отображение, вообще говоря, не является изо-

394 ГЛ. VII. КОГОМОЛОГИИ МНОЖЕСТВ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
морфизмом, но это не важно.) Тот факт, что все требуемые свой-
свойства отображения Р переносятся в теорию Чеха, является легким
упражнением и доказываться здесь не будет.
8. Инволюции на пространстве S" X S
В этом и следующем параграфах мы изучим Zp-дейетвия на
пространствах S"xS"! или, более общо, на пространствах с теми
же кольцами когомологий, что и у S"xSm. Так как желательно
отделить случай р = 2 от случая нечетного р, то в этом пара-
параграфе мы сосредоточимся лить на инволюциях.
8.1. Теорема. Пусть группа G = Z2 действует на финитном
пространстве X^2SnxSm, n^m. Если Рфф, то выполняется
одно из следующих условий:
A) F^^S"xSr, 0sg<7<". O=ssr<m;
B) F~2P2(<7)#(-P2(<7))> n^q~ 1,2,4 или 8;
C) F~tp»(q), n>q; .
D) F~2Р2(<7)+{точка}, n>q;
E) F~2S? + Sr, O^q^m, 0«sr<m;
F) F-^S*1).
Доказательство. Так как x (Л = X № = 0 (mod 2) и
rk #*(/•"; Z2)*s;4, то или F^S*, или слой X вполне негомоло-
негомологичен нулю в Ха*). В последнем случае из 6.1 следует, что F
есть пространство Пуанкаре над Z2- Список A)—E) просто пере-
перечисляет все возможные кольца когомологий, удовлетворяющие
этому условию и неравенствам II 1.7.9. (Неравенство n>q в C)
и D) и неравенства в E) следуют из некоторых дополнительных
соображений. Их легко получить, рассматривая спектральную
последовательность расслоения Ха—+-Во. Например, неравен-
неравенства (Б) следуют из того, что образы при гомоморфизме /* обра-
образующих кольца когомологий пространства X порождают кольцо
когомологий пространства F. См. также доказательство теоремы
8.3.) 1
Отметим, что в случае B) кольцо Н* (F; Z2) порождается
такими классами и и v степени q, что uv — О и ы2 = — у2ф0.
(Разумеется, над Ъ± знак роли не играет.)
Конечно, эта теорема дает слишком поверхностную информа-
информацию и не интересна с точки зрения гладких действий на настоя-
настоящих произведениях сфер. Она была первоначально доказана
Су [4] до того, как стала известна теорема 6.1 о пространствах
х) В случаях C) и D) тоже q = l, 2, 4, 8. Это следует из теоремы
Адаме а [1]. — Прим. перге.
2) См. теорему 1.6. — Прим. персе.

8. ИНВОЛЮЦИИ НА ПРОСТРАНСТВЕ S»XS™ 395
Пуанкаре и, следовательно, требовала рассмотрения ряда частных
случаев.
Возможно, при первом взгляде на список из 8.1 может пока-
показаться, что не все случаи из него реализуются. Однако известно,
что есть примеры, реализующие все случаи, причем, за исключе-
исключением случая D), все эти примеры возникают из действий на на-
настоящих произведениях сфер; см. Су [4] и Бредон [21]. Остав-
Оставшаяся часть этого параграфа будет посвящена обсуждению
наиболее интересных примеров (некоторые из которых являются
новыми) и получению о таких действиях более глубоких резуль-
результатов, чем теорема 8.1. Мы ограничимся в основном случаем
гладких действий на S"xSm или, более общо, на S"xSmxR*.
Мы начнем с построения примеров случая B). Для q=\, 2,
4 или 8 рассмотрим ^-мерное векторное расслоение Хопфа цх)
над S? и обратное к ц расслоение г\* (т. е. г|* и т) задаются
противоположными элементами группы n9_t@(q)).) Тогда рас-
расслоение г| ф Ti* тривиально. Пусть е —тривиальное одномерное
расслоение и \х — тривиальное ^-мерное расслоение, k^O. На
Bq-\-kJr 1)-мерном векторном расслоении т] ф е ф г\* ф ^ зададим
инволюцию, которая тождественна на г\ ф е и равна ¦—1 на слоях
расслоения г\* ф \х. Ограничение этой инволюции на ассоцииро-
ассоциированное сферическое расслоение есть инволюция на S?xS2?+*, мно-
множество неподвижных точек которой F есть пространство расслое-
расслоения S(r]©e), являющееся связной суммой Р2 (q) # (—Р2(<7)), где
Р2(<7) есть RP2, (DP2, HP2 или СауР2 для q соответственно равного
1, 2, 4 или 8. Заметим, что для q=\ множество F есть бутылка
Клейна.
Отталкиваясь от этого примера, дадим конструкции аналогич-
аналогичных примеров в других размерностях. Предположим, что нам
даны инволюция Т на S"xSm и такая инволюция на S", что
проекция S" х Sm ->• S" эквивариантна и Т на слоях линейна.
Пусть Y и У*—две копии пространства D"+1xSm; положим
X = Y U TY*. Обозначив через у* элемент из У*, соответствующий
элементу уеУ, увидим, что соответствие у+-*-у* определяет
на X инволюцию, продолжающую инволюцию Т на S"xSmcrX
и обладающую тем же самым множеством неподвижных точек F,
что и инволюция Т. Далее, X есть пространство 8т-расслоения
над S"+1, и проекция X-^Sn+1 эквивариантна. Если это расслое-
расслоение тривиально, т. е. X^S^xS, то мы можем продвинуться
еще на один шаг, применив изложенную конструкцию уже к X.
Для рассмотренной инволюции на S2xS*+* с множеством не-
неподвижных точек F — СРа # (— СР2) это построение приводит
г) То есть т) — такое векторное расслоение, для которого ассоциированное
расслоение на единичные сферы есть р: S2^~1-*-Si и инвариант Хопфа Н (р)
есть 1 (см. Стинрод [1], § 20). —Прим. перев.

396 ГЛ. VII. КОГОМОЛОПШ МНОЖЕСТВ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
к расслоению X->S3, которое тривиально в силу того, что
щ (О (/г+ 5)) = 0. Следовательно, имеется такая инволюция на
S3xS*+4, что /Г = СР2 # (— СР2). Проделав еще раз указанную
конструкцию, получим 5*+4-расслоение X над S4. Следовательно,
X~zS4xS/(+4( причем F = CP2#(—CP2)- Препятствие к триви-
тривиальности этого расслоения, и, следовательно, к итерированию кон-
конструкции, лежит в группе я3(О(й + 5))=#=0. Это препятствие на
самом деле отлично от нуля (см. 8.2) и, более того, X не может
иметь даже гомотопического типа пространства S4xS*+4. Оттал-
Отталкиваясь от такой инволюции на S4xS8+ft, что F = HP2#(—1;Р2),
этим способом можно построить инволюции на S" х S8+* с F =
= HP2 # (—HP2) для п = 4, 5, 6, 7. Кроме того, получается инво-
инволюция с таким F на некотором 58+6-расслоении над S8.
Другой класс примеров доставляют инволюции на X = S (г\ ®
ф е ф ц)~2S4хSq+k, k>0, с множеством неподвижных точек
S (¦ц ф е) = Р2(д) # (—Р2(?)). Эти пространства не могут иметь
гомотопический тип S?xS*+*, так как операция Sq2: Hq+k(X; Z4)->-
->ЯМ+&(Х; Z2) ненулевая.
Следующая теорема проясняет ситуацию с этими примерами
и показывает, что последние исчерпывают все возможности для
q—\, 2 или 4.
8.2. Теорема. Пусть Z2 действует на финитном простран-
пространстве X~2S" xS"\ п^т, и пусть F^2P2(q) # (—P2(q)) (так что
<7=1, 2, 4, 8). Если операция Sqn: Hm(X; Z2)-+Нт+п (X; Z2)
тривиальна, то q^n<C.2q^m, а если она нетривиальна, то
п<С.т и n = q или n = 2q.
Доказательство. Если Sqn нетривиальна, то п<с.т, так
как иначег) X и S™ x Sm имели бы разные кольца когомологий.
Пусть xef, и пусть аеЯ" (Хо, ха) и Ре Нт (Хо, х0) — эле-
элементы, дающие при ограничении на X образующие аи 6 кольца
Н* (X, х)г), так что Н* (Ха, х0) — свободный модуль над Я*(бо) =
= Z2M с образующими а, р и ар. Мы можем написать
/* (а) = Atn-q ®
/* (Р)=ат-? ®
где Л, В, С, DeZa, u, v<=Hq(F, x) и 0фт^Нм(Р, х). Так
как /*—эпиморфизм в высоких размерностях, то Ли и Су порож-
порождают Нч (F, х) и, следовательно, они линейно независимы. Следо-
Следовательно, Л«-1==С и q^n^m. Так как /* (оф) = /m+*
!) То есть при п —т. —Прим. перев.
2) Напомним, что слой X вполне негомологичен нулю в Хо; см. сноску 8)
на стр. 394.—Прим. перев.

8. ИНВОЛЮЦИИ НА ПРОСТРАНСТВЕ S^XS™ 397
так как элемент ар" не является линейной комбинацией (над Я* (Ва))
элементов а и р, то иьф О и, следовательно, w — uv.
Так как а2 = 0 и 2n==sn + m, то а2 —линейная комбинация
(над Н* (Ва)) элементов а и р. Но /* (а2) =/2"-2? <g> и2, откуда
следует, что ы2 = 0. Если бы и2 было нулем, то кольцо Я* (F; Z2}
не было бы таким, как в условии теоремы. Следовательно, v2 = w.
Предположим теперь, не ограничивая общности, что гомомор-
гомоморфизм Sqq: Нт(Х\ Z2)-*-Hm+g (X; Z2) тривиален, в противном
случае q = n, и доказывать нечего. Итак, Sq9 ф) есть линейная
комбинация (над Н* (Ва)) элементов аир. Но
-D[m-q))t>"-* ® w.
Так как в это равенство не входит и, то Sq9 ф) выражается
исключительно через C, но тогда обязательно ?)#0 и, кроме
того, m^2q. Кроме того, отсюда следует, что В = 0, так как
иначе можно вместо р взять р — tm-"a, и новое D станет равным
нулю. Итак, имеем /* (а) = tn-v ® и, /* (р) = ^"-? ® у + ^m~2? ® он,
где u2 = 0, «и = ю = У2. Если q<.n<C.2q, то S<?", будучи разло-
разложимой операцией (так как п не есть степень числа 2), действует
на Нт(X) тривиально. Итак, осталось доказать, что n^~2q и
что Sqn^0 на Н* (X) при n — 2q. Итак, предположим, что
n>2q или что n = 2q, но операция S<72?: Нт(X)->-Нт+п(X)
тривиальна. Тогда S<729(P) — линейная комбинация (над Н* (Ва))
элементов аир. Но
Как и выше, из того, что в правую часть не входит и, следует,
что Sq24ф) зависит лишь от р. Но отсюда следует, что
m — q\ Im —q\ . fm —
Но хорошо известно (см. Стинрод и Эпстейн [1], с. 5),
что L(.js=l (mod 2) тогда и только тогда, когда в двоичное раз-
разложение числа k входит 2'. Непосредственная проверка четырех
возможностей для q и 2q в двоичном разложении числа т — 2q
показывает, что вышеописанное сравнение никогда не имеет
места. |
Замечание. Для д = 8 случай n — 2q невозможен, так как
гомоморфизм Sq16: Нт (X; Z2) -»- Ят+16 (X; Z2) тривиален в силу

398 гл. vn. когомологии множеств неподвижных точек
теоремы Адамса [1], поскольку Н' (X; Z2) = 0 при m<.i<.
<ffi+16. Отсюда следует, что конструкция, приведенная перед
8.2, начатая с такой инволюции на S8xS16+fe, что F = CayP2#
# (—СауР2) должна встретить препятствие прежде, чем она дой-
дойдет до S15xSie+*. Следовательно, эта конструкция должна закон-
закончиться указанной инволюцией на S"xS16+* для л = 8, 9 или 11,
где следующий шаг обязательно приведет к нетривиальному ргс-
слоению над S"+1. Мы высказываем гипотезу, что на самом деле
реализуется лишь случай п = 8.
Рассмотрим теперь случай C) теоремы 8.1, ограничиваясь
лишь примерами; см. также упражнение 5. Пусть т —касательное
расслоение к S" и е —тривиальное (&+1)-мерное расслоение,
k^O, тогда расслоение т@е тривиально. Возьмем на S" стан-
стандартную инволюцию с множеством неподвижных точек S2 и рас-
рассмотрим ее дифференциал на т. Распространим возникшую инво-
инволюцию на всё т@е, считая, что на е она есть —1. Полученная
инволюция индуцирует инволюцию на SnxSn+* = S(T©e), для
которой F есть ^-расслоение, соответствующее касательному рас-
расслоению к S2, так что F = !RP3. Этот пример построил Су. Исполь-
Используя тот факт, что (ОР3 расслаивается над S4 со слоем S2, С у [8]
построил аналогичный пример действия на S4xSm, /п^5, F =
= (DP3; см. также § 9. Для больших т конструкцию, изложен-
изложенную перед 8.2, можно применить для построения таких инволю-
инволюций на S"xSm, что F = (DP3 и п = 4, 5, 6 и 7. При п = 8 возни-
возникает препятствие к итерированию этой конструкции, но можно
показать, что оно тривиально, так что имеется и пример такого
действия на S8xS'". Возможно, что такие примеры существуют
для всех п 5s 4.
Примеры действий на S"xSm, реализующих случай D) тео-
теоремы 8.1, не известны, но известны примеры таких действий на
многообразиях с требуемыми кольцами когомологии. Для инво-
инволюции A i—- /Н группы SU C) ~ 2$я х S5 множество F есть объеди-
объединение F = (DP2 + {точка}, а для канонической инволюции симмет-
симметрического пространства SU C)/SO C) ~2 S2 x S3 множество F есть
jRP2 + {точка}. Следующая теорема значительно ограничивает класс
таких инволюций, действующих на настоящем произведении сфер.
8.3. Теорема. Пусть Z2 гладко действует на SnxSm. Пред-
Предположим, что F~2(P2(<7) + {точка}). Тогда для п, т и q имеются
лишь следующие возможности: либо q = 2 и (п, т) = C, 4), либо
9 = 4 и (п, т) = E, 8), F, 8), F, 9), G, 8), G, 9), G, 10).
В частности щф\ и цфЬ.
Доказательство. Для применения когомологических мето-
методов удобно выколоть из SnxSm изолированную неподвижную
точку и таким образом рассмотреть инволюцию на пространстве
X~Sn\/Sm с F~2P2(?). Пусть x<=F, и пусть элементы ае
е Н" (Ха, ха) и ре Нт (Ха, ха) при ограничении на X дают

В. ИНВОЛЮЦИИ НА ПРОСТРАНСТВЕ S^xS"» 899
образующие а и b группы Н* (X, х). Обозначим через и образую-
образующий группы Hg(F, х). Тогда элементы
/* («) = At"-9 <g> u + Btn~M <g> и2,
/* (P) = Ctm-q ® u + D^m-2? ® и2
линейно независимы над H* (Ba), так что ЛО — ВС Ф 0 е Z2.
В частности, обязательно n^q. Если n = q, то обязательно,
/* (а) = 1 <?) и, откуда следует, что а при ограничении на F дает и,
что противоречит равенству й! = 0 в силу того, что и2 =^0. Итак,
q <. п *с т.
Применив VI.11.6 к исходному гладкому действию HaS"xSm,
заключаем, что 2q (разность размерностей компонент множества F)
делится на 2Ф(Л). Итак, для q=\, 2, 4, 8 число п не превосхо-
превосходит соответственно 1, 3, 7, 8. Но при <?=1, 8 это противоречит
полученному выше неравенству q<Cn. Кроме того, для <7 = 2
имеем л = 3, а для <7 = 4 число п — одно из чисел 5, 6, 7.
Так как п ¦< 2q, то для независимости элементов /'* (а) и у* (Р)
необходимо выполнение неравенства m^2q. Осталось доказать,
что m — n<iq. Предположим, что m — n^q, и заметим, что
гомоморфизм Sq9: Hn (X, х) ->- Hn+q (X, x) тривиален даже при
т = п + q. Отсюда следует, что Sq4 (а) зависит над Я* (Во) лишь
от а 1). Но /* {a) = tn-4 (g> u, так как п < 2q, поэтому /* (Sq4a) *=
М ^Л К>1 // jL-ttl~Q /О, 1,2 тю o/mtinliT пт **
= S^* (/* (а)) = ( ч) tn <S> u-\-tn'q 0 и2 не зависит от /* (а); полу-
получили противоречие. Ц
Перейдем к случаю E) теоремы 8.1. Так как S(?4-S?«^S°xS'?,
то случай q — r неинтересен. Вспомним, например, доказательство
теоремы VI. 11.6, содержащее построение эквивариантного отобра-
отображения <р: Sn->-0(m+l) для большого т, где образующий Т е Z2
действует на S" линейно с двумя неподвижными точками w0 и
wu а на О(т+1) — по формуле Г(Л) = Л х. При этом отображе-
отображение ф было таким, что
7° 1
—' m-гЛ
для всех —1^9. r^m, где г— 7 кратно 2Ф(">. По теореме VI.4.2
о сглаживании можно считать, что ср гладко (его можно взять
постоянным вблизи wQ и wx). Тогда для гладкой инволюции
Т (х, у) = (Тх, ф (х) ¦ у) на S" x Sm множество неподвижных точек F
есть S? + Sr. Заметим, что при /• = —1 это дает пример случая F)
из 8.1. Для q, г=Ф — 1 эти пимерры реализуют случай E) из 8.1
и делают это наилучшим способом в силу теоремы VI. 11.6, кото-
которую мы зде-сь переформулируем следующим образом.
') То есть не зависит от р. При m~-n>q это очевидно из соображений
размерности, а при m = n-\-q — из тривиальности Sq4 на Х. — Прим. перев.

400 ГЛ. VII. КОГОМОЛОГИИ МНОЖЕСТВ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
8.4. Теорема. Пусть Z2 действует на S"xSm гладко, и
пусть множество неподвижных точек этой инволюции есть
F^2S''xSr, <?SbO, rSsO и п^т. Тогда г ~q делится на 2Ф(Л). |
Замечание. Несколько более слабый результат имеет место
и для негладких действий, а также действий на пространствах
более общего вида: S"xSmxR*; см. Бредон [21].
Случай F) из 8.1 может реализоваться двумя различными
способами. Во-первых, может оказаться, что п = т и Z2 действует
на#я(Х; Z2) нетривиально. В этом случае, в силу 7.5, имеем
q = n. Во-вторых, может оказаться, что Z2 действует на Й" {К; Z2)
тривиально, но спектральная последовательность обладает нену-
ненулевым дифференциалом. При этом возникает пример, аналогичный
построенному выше (где /-" = S9 + Sr приг = — 1). Можно ожидать,
что <7+1 будет делиться на степень числа 2 (зависящую от п),
возможно, даже на 2Ф(П). При некоторых дополнительных огра-
ограничениях такая теорема (скорее всего, не лучшая из возможных)
доказана Бредоном [21]. Доказательство основано на детальном
изучении спектральных последовательностей расслоении Ха,
(Ха, Fa) и X0 — Fq и взаимосвязей между ними. Это —единствен-
—единственное известное нам нетривиальное доказательство (результатов
такого типа) в случае нетривиальной спектральной последователь-
последовательности, но мы его здесь не приводим.
9. Действия группы Ър на S"xSm
Основная информация о Zp-действиях на SnxS"*, где р — не-
нечетное простое число, содержится в следующей теореме. Условие
конечной порожденное™ введено исключительно для удобства.
Теорему можно доказать и без него, но ценой значительно более
сложных рассуждений.
9.1. Теорема. Пусть группа G — Хр, где р — нечетное простое
число, действует на финитном пространстве X ^р Sn x Sm, п^т.
Предположим, что группа Н* (X; Z) конечно порождена. Если
F ф ф, то возможны лишь следующие случаи:
A) F^~>pSgxSr, и числа n — q и т — г неотрицательны и
четны;
B) F~pP3(q), n, m, q четны, q<n;
C) F^pP2(q)-\-{точка}, п, т, q четны, q<n;
D) F^->pS?-j-Sr и либо п, т, q, r четны и m^q, m^r,
либо п четно, т, q, г нечетны и m^sq, m^r, либо т четно,
п, q, r нечетны и n^q, n^r;
E) Fr^yS4, n четно, т нечетно, q нечетно.
F) F~pS'?-f [точка\, п—т, п нечетно, q четно, q<.n, p = 3;
G) F^pP2 (q), п = т, п нечетно, q четно, q<Cn, p = 3.

9. ДЕЙСТВИЯ ГРУППЫ %р НА S"XS>» 40!
Кроме того, если X=xS"xSm, то в случаях F), G) имеем
n = m=l, 3, 7.
Доказательство. Если слой X вполне не Zp-гомологичен
нулю в Ха, то в силу 2.1 и 6.1 (а также после небольших уси-
усилий для доказательства неравенств из D) и неравенства q<Cn
в C); см. доказательство теоремы 8.3) мы должны иметь следую-
следующую альтернативу: либо реализуется один из случаев A) —D),
либо найдется такое q, что rk Нч (F; Zp) = 2 и гк Нгч (F; Ър) = 1,
и достаточно домазать, что в последнем случае F имеет то же
кольцо когомологий, что и в случае A) при r = q. Соответствую-
Соответствующее доказательство аналогично первой части доказательства тео-
теоремы 8.2; легко показать, что в Нч (F; Zp) имеются образующие
и, v с u2 = 0, иифО и v% = Auv, A e Zp, причем АфО для
четных q. Полагая w = v — 1/2Au, получим u2 = 0 = w2 и ииифО,
так что F~pS'?xS'?.
Итак, предположим, что X не является вполне не Zp-гомоло-
гичным нулю в Ха, так что rk#*(F; Zpj^S1). Предположим
сначала, что G действует на Н* (X; Zp) тривиально, например,
пфт. Тогда в спектральной последовательности расслоения
(Ха, хо)->Ва имеются нетривиальные дифференциалы2), и из
мультипликативных свойств спектральной последовательности
вытекает, что первый такой дифференциал есть d=dm-n+1: ?m-n+1 ->
->-?mZn+i.", который, с учетом изоморфизма Ef*<^Em
имеет вид
d: Н°(Ва)<8>Нт(Х, х)-^Нт~п^(Ва) ® Н«(Х, х).
Пусть d(l ®Ь) = Л <8>а, где а, 6=^0 и А е Hm~n+1 (BQ; Zp),
АфО. Тогда т нечетно, поскольку для четного т имеем 0 =
= d A ® Ъг) = 2 A ® Ъ) (Л ® а) = 2Л ® ab Ф 0.
Из конечной порожденности группы Я* (X; Z) легко следует,
что этот дифференциал индуцируется из дифференциала целочис-
целочисленной спектральной последовательности. В силу того, что
Н'(Во\ {Н"(Х; Z)}) = 0 при нечетных i, то отсюда следует8),
что п должно быть четным. Итак, в Zp-спектральной последова-
последовательности имеем d(\ <g) b) = tr <S) а, где r = (m —л + 1)/2 и, следо-
следовательно, d (tl (8> b) = гы ® а и d (stl ®Ь) = — str+i <g> а. Таким
образом, две строчки спектральной последовательности аннули-
аннулируются4) и строчка Et'n + m доживает до Е^п + т. Отсюда сле-
1) В силу Ш.7.9 и 1.6 — Прим. перев.
2) В силу 1.6 — Прим. перев.
8) С учетом нетривиальности дифференциала. —Ярил, перев.
*) При переходе к члену Ет-п. — Прим. перев.

402 ГЛ. VII. КОГОМОЛОГИИ МНОЖЕСТВ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
дует, что rkH*(F, х\ Zp) = l и, следовательно, что F^pS4 для
некоторого q. Так как %(F)^%(X) = 0 (modp), то q нечетно, и
мы получаем случай E).
Предположим теперь, что G действует на Я* (X; %р) нетри-
нетривиально. Тогда п — т. Положим Т=\—g*, где g — образующий
группы G. Тогда Тр = 0 и, следовательно, kerT=^0. Итак, в под-
подходящем базисе {а, Ь\ пространства Нп(Х; Zp) имеем g*(a)=a,
g*(b) — b — a (в силу того, что det (g*) = (det (g*))p = det (gP)* = 1
и g* ФI). Далее, g* — тождественное отображение группы
Я2Л (X; Zp), так что ab = g* (ab) = a(b — a) = ab — а2, откуда а- = 0.
Если п четно, то b2 = g* (b2) = (b — aJ = b2 — 2ab + a2 = b2 — 2ab,
так что ab = 0. Но это противоречит двойственности1), так что п
должно быть нечетным и аЬфО. Простым вычислением легко
установить, что N == 1 +g* + (g*J + ... + (g*P~1) = 0.
Пусть х е F; рассмотрим Zp-когомологическую спектральную
последовательность расслоения (Ха, ха)—уВа. Так как N = 0
и \тТ = кегТ?=&2,р порождается элементом а, то простран-
пространство Н*{Ва\ Нп{Х, x)) = kerT=-Hn(X, x)°^Zp тоже порож-
порождается элементом, отвечающим классу #, и пространство
Я2'41 (BQ; Йп (X, х)) = Я" (X, je)/Im Т = Я" (X, х)/Йа (X, xf я« Zp по-
порождается элементом, отвечающим классу 6еЯ(Х, х). Так как
элемент c = ab порождает группу Н'2п(Х, х), то он задает обра-
образующий группы Н'(Во', Н2п(Х, х)) для любого i. Вычисление
умножения в кольце Я* (Ва; -)^H*(G, •), данное Карта-
ном и Эйленбергом [1J, с. 307, показывает, что умножение
на (ей2(BQ; Zp) — изоморфизм.
Пусть а0 — элемент группы ?а' " ?« Я" (X, х)°, отвечающий
элементу а; пусть Ьо е ?.1'" я« Я" (X, х)/Нп(Х, х)а — класс эле-
элемента Ь, и пусть с0 е ?.°'2"я« Я2" (X, х) —элемент, отвечающий
элементу c = ab. Тогда /'а0 порождает ?а'' ", /1Ь0 порождает
?2' + 1'"> ^со порождает ff' 2л и sfct) порождает Ef + l'2". Вычис-
Вычисление умножения в Ег показывает, что aobo = sco. (Можно пока-
показать, что san = 0, что sbo — tao для р = 3 и sbn = O для р>3, по
мы в этих фактах не нуждаемся.) Рассмотрим дифференциал
dn+1: ?а =cnj-i-»-?n.|.| =-с-г вида а,1+1 (с0) = Л/ а0
с некоторым А<=ЪР- Тогда 0 = dn+1 (со60) = Л/1л+1)/2а0Ь0, откуда
следует, что /1=0 и, следовательно, спектральная последователь-
последовательность вырождается. Отсюда вытекает, что rk//*(F; Zp) = 3. Так
как х(-F) — X(-^)^0 (modp), то х(-^) = 3 и р = 3. Пусть ? и
!) Так как а и Ь —базис в Я" (X; Zp). то аЬфО в силу того, что а'2 = (
и Л ~„ S" X S". — Прим. перев.

9. ДЕЙСТВИЯ ГРУППЫ 1„ НА S"XS>» 403
г —те размерности, обе четные и, возможно, равные, в которых
Я* (F, х; Z3) Ф 0. Так как умножение на / есть, очевидно, моно-
морфный эндоморфизм группы Н* (Ха, ха), то из доказательства
теоремы 1.5 следует мономорфность отображения /'*.
Имеется точная последовательность
и>-с +л (Ло дго)->с >-U;
определим элементы аеЯ*(Ха, ха) и РеНп+1 (Ха, х0) как
образы соответственно элементов а0 и Ьо, и выберем элемент у е
е№"(Ха, хо), дающий при ограничении на X элемент с0. Тогда
23-базис для Я* (Ха, ха) имеет вид {/'а, /'р, *'y, s/'y}. Кроме
того, аР=^ + &1л+1)/2а. где 4eZ3. (Кроме того, sa = 0 и &р = fa,
но этими фактами мы не воспользуемся.)
Ясно, что каждый из элементов /'* (а) и /* ф) представляется
в виде суммы тензорных произведений, каждое из которых вклю-
включает в себя хотя бы один мультипликативный образующий кольца
H*(F, x). (Отсюда следует, что q<.n1).) Если ^ = 0 или г = 0,
то мы приходим к случаю F). Итак, пусть 0<iq^r, и пусть
u^Hq(F, x) и »eff'(F, x) — образующие. Положим
/* (a) = Asl*'0u + Bsf'(g>v,
где 2q'=n — q-l, 2r' = n — r—l и А, В, С, DeZ3. Так как
<7=eS г, то иу = 0 = у2. Так как ар ф0, то 0ф]'* (сф) = ACstn-'Hglui
и, следовательно, и2ф0 и А, СфО. Таким образом, мы пришли
к случаю G). Интересно отметить, что, обозначив через рз Z3-
гомоморфизм Бокштейна, имеем /* ф3 (а)) = рз (/* (а)) Ф 0, и, сле-
следовательно, Р3 (а) = ± р. (На самом деле, при нашем выборе
образующих ps(a) = p.)
Чтобы доказать последнее утверждение, возьмем стандартные
образующие a, 6eH"(S"xS"; Z) и положим g* (а) = Аа + ВЬ,
g* (b) = Ca-\-Db, так что AD — BC—1. Так как собственные зна-
значения оператора g* суть кубические корни из единицы, то его
след есть A-\-D — — 1. Отображение
S"xS'! s.S«xS» proil.S"
имеем бистепень (А, В), поэтому инвариант Хопфа индуцирован-
индуцированного отображения S2/!+1 = S" * S" ->¦ SS" = Sn+1 равен АВ. Другая
проекция даст отображение с инвариантом Хопфа, равным CD.
Следовательно, при пф\, 3, 7 числа АВ и CD четны, что про-
противоречит системе равенств AD — BC=\ и A-\-D = — 1. |
Действительно, q^n, q четно и п нечетно.—Прим. перев.

404 ГЛ. VII. КОГОМОЛОГИИ МНОЖЕСТВ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
Замечание. Предположим, что X финитно и что при нечет-
нечетном п имеется аддитивный изоморфизм Н* (X; Z3) «=« Н* (Sn xS"; Zs)-
Предположим, что Z3 действует на X так, что индуцированное
действие на Нп(Х\ Z3) нетривиально, и пусть F~3P2(<?) ПРИ
2q>n. Тогда, как и в данном выше доказательстве, для подхо-
подходящего u<=H9(F,x) имеем /* (a) =s/»'(x)«. Полагая Р=>{53(а)>
гле рз — гомоморфизм Бокштейна (что мы можем сделать), имеем
У* (P) = ^'+'(g)«. Следовательно, /* (ар) — st"-?(x)и2, и этот элемент
не зависит ни от /* (а), ни от у* ф). Отсюда следует, что сф при
ограничении на слой дает нетривиальный элемент группы Е\^ы=*
— Е\'2п <ы Н2п (X, х; Ъъ)- Так как этот элемент в точности есть ab,
то отсюда следует, что аЬфО. Следовательно, X имеет то же
кольцо Zs-когомологий, что и S"xS". Эти рассуждения аналогичны
доказательству общей теоремы о действиях окружности, см.
Бредон [23], и будут важны для построения одного из следую-
следующих ниже примеров.
Для реализации случая B) из 9.1 заметим, что (DP3 есть про-
пространство расслоения на единичные сферы, возникающего из трех-
трехмерного расслоения т) над S4. Пусть (д. —такое стабильное веще-
вещественное четномерное расслоение над S4, что тHц тривиально.
Так как игнорирующий комплексную структуру гомоморфизм
KU (S4) -»- /(б (S4) является изоморфизмом, то ц допускает ком-
комплексную структуру. Поэтому имеется полусвободное Б^действие
и, следовательно, Zp-действие на S4xSm = S(t)©jx), для которого
F = S (г\) = (DP3. Эта конструкция проходит для четного т^=8.
В силу VI. 11.1 такие 8х-расслоения Т10ц находятся во взаимно
однозначном соответствии с эквивариантными отображениями S4-v
-^-Map(S1, e; O(m+l), /) = Q0(m+l) с тривиальным действием
на S4. Так как n4(QO(m4-1)) = п5@(т+1))==0, то это отобра-
отображение может быть продолжено до эквивариантиого отображения
S6 = S1*S4->-QO (m+ 1). Таким образом, S1 действует полусвободно
также на SexSm, ffl^8 — четное, причем F = ?)P3.
Нам неизвестны примеры, реализующие случай C) теоремы 9.1.
Для р = 3 имеем следующую теорему.
9.2. Теорема. На S"xSm не существует никакого гладкого
2,3-действия, для которого F ~3 [точка] + Р2 (q).
Доказательство. Напомним, что п, т и q — четные и
q<n^m. Согласно VI. 11.5 q должно делиться на З^^, а не-
несложное вычисление показывает, что это невозможно. Щ
Примеры, реализующие случай D) теоремы 9.1, можно найти
в упражнении 8 гл. VI. Примеры, реализующие случаи D) и E),
можно построить, используя VI. 11.1, с помощью техники, анну-
аннулирующей препятствия; см. доказательство теоремы VI. 11.6.
Чтобы построить примеры, реализующие случай F), положим
п=1, 3 или 7 и будем рассматривать S'!xS" как нодпростран-

9. ДЕЙСТВИЯ ГРУППЫ Zv НА S"XS™ 4С5
ство пространства S"xS'!xS'!, состоящее из таких троек (х, у, г),
для которых {xy)z=\. В случае п = 7, для чисел Кэли, напом-
напомним, что любые два элемента принадлежат ассоциативной под-
подалгебре (см. Кертис [1]) и, так как г = (ху)~1, то для таких
троек имеем (xy)z = x(yz) и z(xy)=l. Перестановка (х, у г) >—>
i—- (г, х, у) определяет такое гладкое Ж3-Действие на S"xS", что
F я« \x e S" | х3 = 1} я« {точка} -f- S"- Другое описание этого при-
примера см. Су [4].
9.3. Теорема. Пусть Z3 гладко действует на S"xS" так,
что F~3 {точка} -f-S?. Тогда q = n — \.
Доказательство. Напомним, что л = 1, 3 или 7. Так как
q — четное в силу теоремы 9.1, то q = 0, если « = 1 *). Кроме того,
q — О или q — 2, если п — 3. Если « = 7, то ^ делится на 3 со-
согласно VI.11.5 и, следовательно, q либо равно 0, либо 6. Таким
образом, мы должны исключить случай q = 0 (F состоит из трех
точек), если п — 3 или п — 7. Предполагая, что <7 = 0 и удалив
диски с центрами в трех неподвижных точках, мы увидим, что
утроенное стандартное Zs-действие на S5 (для п = 3) или S13 (для
п — 7) будет ограничивать свободное ориентируемое Z:,-действие.
Иными словами, это стандартное действие будет иметь порядок 3
в приведенной группе бордизмов &% (X-J- Однако известно, что
порядок этого элемента равен З2 для п = 3 и З4 для п — 7; см.
Коннер и Флойд [8], с. 150. Щ
Наконец, вернемся к случаю G) теоремы 9.1. Этот случай
рассматривался в соответствующей литературе. Чтобы построить
пример, будем считать, что Z3 гладко действует на S3xS3 так,
что F = {точка} + S2, как было построено выше. Удалив изолиро-
изолированную неподвижную точку или открытый диск с центром в ней,
получим действие группы Z3 на пространстве Y гомотопического
типа S3 V S3 с множеством неподвижных точек S2. Пусть <р: S3->-
-> S2 с Y — отображение Хопфа. Пусть, далее, Z3 действует на
S5 = S1*S3, оставляя неподвижной S3: попробуем продолжить <р
до эквивариантного отображения -ф: S5->K. Так как S2 гомото-
пически тривиальна в У, то 0 = [(р|ел3(У), и, следовательно,
Ф можно эквивариантно продолжить на Z3 * S3 cz S1 * S3 = S5. Един-
Единственное препятствие к продолжению ф на S5 лежит тогда в
НоМ (Z3: ^ц(У))- (Теория этого вопроса рассматривается в ра-
работах Бредона [14, 17], но в этом простом случае продолжение
легко построить из конкретных соображений.) Так как я4(У)?«
яа пА (S3 \/S3)^« n4(S3xS3)?«Z2 0Z2, то группа препятствий
обращается вО и продолжение существует. Положим X=Y U^D",
тогда на X имеется Z3-действие с F = S2Uq>D4 = CP2. На основа-
основании замечания, следующего за теоремой 9.1, имеем X ~3S3xSs.
Попробуем улучшить этот пример. Заметим, что я.5(К)л*
*) Напомним, что q<in, см. 9.1. — Прим. перев.

406 ГЛ. VII. КОГОМОЛОГИЙ МНОЖЕСТВ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
я« jt5(S3 х S3) я« Z(i)n5(S3x S3) яа Z@Z2v?Z2- Кроме того можно
считать, что свободное слагаемое порождается отображением, по
которому приклеена клетка старшей размерности пространства
S3xS3. Обозначим соответствующий элемент через ст. Очевидно,
что порожденное им прямое слагаемое состоит из инвариантов
Za-действия на п5(У). Далее, [Щ на самом деле есть инвариант
этого действия, так как g»i|: = i[)-g~i|) для §е2з> Кроме того,
¦ф допускает такую эквивариантную модификацию, что элемент [tf>]
группы n5(S3\/S3) изменяется на утроенное кратное любого на-
наперед заданного инвариантного элемента. Изменив ориентацию
на S5, тем самым мы изменим также знак элемента [Щ. Итак,
можно считать, что [ip] == сг или [г|з] = О. Однако случай [лр] = 0
невозможен, так как тогда X ~ S3 V S3 V Se не будет иметь нужного
кольца когомологий. Таким образом, [г|э] можно принять равным а,
и тогда X будет иметь гомотопический тип пространства S3xS3.
Заметим, что (DP2 нельзя вложить в замкнутое многообразие,
гомотопически эквивалентное пространству S3 x S3, поэтому нельзя
сконструировать гладкий вариант такого примера. Вероятно также,
что не существует никакого топологического действия на S3xS3,
гомотопически эквивалентного этому действию.
Подобный пример возникает из Zs-действия на S7 x S7, для
которого F = {x} + S6. Здесь существует отображение ср: Su->-Se
с инвариантом Хопфа, равным 2, и его можно эквивариантно
продолжить на S13 = S1 * S11-+¦ K = S7xS7 — {x}. (В этом случае
существование продолжения очевидно, так как л12 (S7 \/ S7) я«
яаяи (S7 xS7) = 0.) Как и раньше, продолжение \р: S13->-F можно
выбрать так, чтобы X = Y[}$DH имело гомотопический тип про-
пространства S7xS7. Более того, /7 = SeU(pD12—3Р2F).
Замечание. Большая часть теоремы 9.1 доказана Су [4],
но так как он допустил ошибку в знаке, то случай G) необходимо
было пересмотреть. Теорема 9.3 была сформулирована в статье
Бредона [21] и доказана в его же статье [22]. Очевидно, ана-
аналог теоремы 9.1 выполняется для Б'-действий и над рациональ-
рациональными числами, но тогда случаи F) и G) не имеют места.
10. Действия окружности на произведениях
нечетномерных сфер
Предположим, что X~qSxSx... xS"*, где я, — нечетные
числа, и что S1 действует на X и имеет там конечное число орбит-
ных типов, причем X и X/S1 финитны. Очевидно, что на произ-
произведениях сфер существуют действия-произведения. Другими инте-
интересными примерами являются действия посредством сопряжения
подгрупп-окружностей связной группы Ли L на пространстве
группы L. В этих случаях множество неподвижных точек F имеет
то же кольцо рациональных когомологий, что и произведения k

10. ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕЧЕТНОМЕРНЫХ СФЕР 407
нечетномерных сфер. Естественно возникает вопрос о том, всегда ли
это имеет место; см. Бредон [22, 23]. Ниже будет приведен
контрпример, но легко доказать, что это утверждение справедливо
в предположении, что слой X рационально вполне негомологичен
нулю в Ха. Заметим, что это условие выполняется, когда пх =~с
=С?2 ==?... s^nft и nx-\-n2>nk, так как тогда Я* (X; (Q) поро-
порождается трансгрессивными классами, которые при трансгрессии
должны переходить в нуль при Рфф.
10.1. Теорема. Пусть S1 действует на X~-qSn«xS"*x...
...xS"*, где все л, — нечетные, и пусть это действие имеет конеч-
конечное число орбшпных типов. Пусть, далее X и X/S1 финитны.
Предположим, что слой X рационально вполне негомологичен нулю
в Ха- Тогда F^nS'1 xS'2х...хSr*, где г^щ —нечетные.
Доказательство. Пусть классы alt ..., ak — базис внеш-
внешней алгебры Я* (X; (Q), где n, = dega,-. Пусть a,- = tp(a,-), где ф —
когомологическое расширение слоя; положим /'* (ос,-) = У] tg0bii Q,
q
где frJi?e^"r2e(F; ffi)). Так как a^.-.a,, при ограничении на
слой дает произведение агаг... ak Ф 0, то 0 Ф /* (axa2...<zk) =
= i\Sty<?®^i.?V"(-S '?®^*'?V и< следовательно, некоторое про-
произведение &i, ,^2,4i...bk. qk не равно нулю. Поэтому элементы
Ь\,ч, .... bk.q. порождают внешнюю алгебру, которая должна
совпадать с Я* (F; (С)), так как обе эти алгебры имеют один и
тот же ранг, равный 2* = rk И* (X; (Q). Таким образом F ^'q Sr' х...
...xSr*, где ri = degbi^i = ni — 2qi. §
При соответствующих допущениях можно доказать такой же
результат для случая, когда слой X целочисленно вполне него-
негомологичен нулю в Хо. Для того чтобы теорема об универсаль-
универсальных коэффициентах была верна для поля рациональных чисел,
будем включать в последующие рассуждения условие компакт-
компактности. Будут добавлены и другие необходимые для применения
этой теоремы условия; например, будут рассматриваться локально
гладкие действия на открытых или замкнутых многообразиях.
Заметим также, что нужные условия на множества неподвижных
точек действия группы Ър1 выполняются для локально гладких
действий на компактных многообразиях.
10.2. Теорема. Пусть G = SJ действует на компактном
пространстве X r^^ S x S х... х S"*, где все щ нечетные, и имеет
там конечное число орбитных типов. Предположим, что слой X
рационально вполне негомологичен нулю в Хо. Также предположим,
что для каждого простого числа р и целого положительного числа i

408 ГЛ. VII. КОГОМОЛОГИИ МНОЖЕСТВ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
группы Н* (F (ZPi, X\\ Z) имеет конечный тип. Тогда F>~^2,Srtx
XS'2X . ..xSr*, где г;<Я; — нечетные.
Доказательство. Для данного простого числа р рассмот-
рассмотрим F,- = F(ZP, X). Имеет место неравенство гкЯ*(Х; Zp)Ss
;s=rk Я* (F,-; ZP)- Так как пространство F,- имеет конечный тип,
то rk//*(F,-; Zp) 3srk Я* (F,-; (Q), где равенство имеет место тогда
и только тогда, когда F,- не имеет р-кручения в гомологиях.
Однако S1 действует на F,- с множеством неподвижных точек
F = F(SX, X) и, следовательно, rk#*(F;; (Gj)s=rk//* (F; Q) =
= rktf*(X; (E)) = rk H* (X; Zp). Итак, во всех формулах имеют
место равенства, и F,- не имеет р-кручения. Отсюда следует, что
Zp-редукция Н* {Ff, Z)->¦ Я* (F;; Zp) есть эпиморфизм и что
кроме того квадраты нечетномерных классов в Я* (F; Zp) равны
нулю (что тривиально, если рф2).
Мы утверждаем далее, что F; имеет такое же кольцо Zp-кого-
мологий, что и произведение к нечетномерных сфер. Докажем
это утверждение, применив индукцию по i. Итак, пусть K = F;;
рассмотрим Zp-действие на Y с множеством неподвижных точек
K = Fi.n. Так как это действие можно продолжить до действия
окружности, то действие на Я* (У; Z) тривиально. Рассмотрим
спектральные последовательности Ef*(Lp) и Е*' * (Z) расслоения
У7 ^-В7 с коэффициентами из Z» и Z соответственно. Как
iLp tup l T r
было показано выше, rk Я* (Y; Zp) = rk Я* (/С; Zp), поэтому спек-
спектральная последовательность Ef * (Zp) вырождается. Так как
Efb(Z)-+-EVb(ZP) —мономорфизм при а>0, то отсюда следует,
что ?** (Z) также вырождается. В частности, краевой гомомор-
гомоморфизм Я* [Уг ; Z) ->• ?*' * (Z) «=* Я* (У; Z) эпиморфен и, следова-
следовательно, Я* [Y% ;2)->-Я*(У; Zp) — тоже эпиморфизм. Теперь
попробуем повторить доказательство теоремы 10.1 для Zp-коэф-
фициентов. В силу сделанных выше замечаний а,- е Я* (Yg ; Zp)
можно выбрать так, чтобы они были элементами из Я* {Y-g ; Z).
Следовательно, /* (а,-) принадлежит образу гомоморфизма
(K; Zp)
(последний изоморфизм следует из того, что К не имеет р-круче-
р-кручения). Таким образом /* (а{) включает в себя только нечетномер-
ные классы в Я* (К', Zp). Отсюда очевидно, что для доказатель-
доказательства требуемого утверждения можно повторить доказательство
теоремы 10.1. Так как F = F(S\ X) = F iZP«, X\ для каждого р

10. ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕЧЕТНОМЕРНЫХ СФЕР 409
и достаточно больших i, то заключаем, что F не имеет кручения
и F ~р Sri х S'2 X... х Sr* для каждого простого числа р (причем rt
могут зависеть от р).
Выберем классы ы1( «2, ..., uk<~H*{F\ Z), задающие базис
внешней алгебры Я* (F; (Q). Существует единственное минималь-
минимальное прямое слагаемое А пространства Я* (F; Z), содержащее ыг;
при этом очевидно, что, изменяя щ, можно считать щ %-базисом
пространства А. Так как тогда Zp-редукции этих щ Zp-незави-
симы, то они образуют базис внешней алгебры Я* (F; Zp)f^
mH*(F; Z)®ZP- Пусть Л —внешняя алгебра от элементов щ\
рассмотрим канонический гомоморфизм Л->• Я == Н* (F; Z), который
является мономорфизмом, так как A(g)(Q->Я®(EJ — изоморфизм.
Будем считать Л->Я включением. Для каждого простого
числа р рассмотрим диаграмму
0->-Л X A->-A(g)ZP->0
I 4 h
Я/Л -г. я/Л
с точными строками и столбцами. Ее анализ показывает, что
факторгруппа Я/Л р-делима для всех р. Так как Я/Л —конечно
порожденная группа, то отсюда следует, что Я/Л = 0, поэтому
л=я = я*(/г; Z). 1
Пример. Пусть т — касательное расслоение сферы S8, и
пусть е — тривиальное двумерное векторное расслоение над S8.
Пусть S1 действует тривиально на т и нетривиально на е над
тривиальным S1-действием на S8. Отображение <р: S*xS5->S8
имеет степень 1; пусть т] = ср* (т ф е) — расслоение над S3 x S5,
индуцированное из расслоения т0е, с очевидным БЧцействием,
и пусть X = S (ц) — тотальное пространство сферического расслое-
расслоения, ассоциированного с т). Так как т0е тривиально, то Х<*=>
?=«S3xS6xS9. Множество F неподвижных точек Б^действия на X
есть расслоение 5 (ф*т) над S3xS5, слой которого есть 7-мерная
сфера, и из рассмотрения спектральной последовательности этого
расслоения следует, что Hl(F\ (C!)^(Q для г = 0, 3, 5, 10, 12, 15,
и H'(F, (G)) = 0 вр всех остальных случаях. При этом только
в группе Я15 (F; (Q) произведения не равны нулю. Этот пример
показывает, что фигурирующее в теореме 10.1 условие того, что
слой X вполне негомологичен нулю в Хо, нельзя опустить. Заме-
Заметим, что л,- (F) 0 (Q «* CQ для i = 3, 5 и 7 и равно нулю во всех
остальных случаях и что произведение Уайтхеда (л3 (F) 0 (Q) х
X (лв (F) (g) (Ej) -*¦ л7 (F) (х) (Ej нетривиально. Это ответ на вопрос,
поставленный Б р е д о н о м [23].
14 i • Ьрсдон

410 ГЛ. VII. КОГОМОЛОГИИ МНОЖЕСТВ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
§ П. Приложение к эквивариантным отображениям
Предположим, что заданы линейные инволюции на S" и на
Sm, и что мы имеем эквивариантное отображение ср: Sm->-S'!.
Тогда существует инволюция на конусе отображения X = S" (J <rDmrI,
множеством неподвижных точек которой является конус ограни-
ограничения отображения ср на множество неподвижных точек в Sm.
Ввиду этого интересно изучить инволюции на таких простран-
пространствах.
11.1. Теорема. Предположим, что Т — инволюция на финит-
финитном пространстве X с множеством неподвижных точек F. Пусть
j;eF; предположим, что
Я; (X, х; „,,. .
О во всех остальных случаях
и что операция Sqk: Нп(Х, x; Z2)-*-Hn+k(X, x; Z2) нетривиальна.
Предположим также, что
Н' (F, х; „.
""'"' ' 0 во всех остальных случаях
и что кфг. Тогда q-\-r*^n. Если r<k, то 2r = k и операция
Sqr: Hi(F, x; Z2) -»- H9+r (F, x; Z2) нетривиальна. Если r>k, mo
r=*k-\-2ki для некоторого целого г>0. (Исключается также воз-
возможность того, что &>О, но г = О и Hq(F, x; Z3) «=*Z2 0Z2-)
Доказательство. Используя информацию о структуре
алгебры Стинрода, мы получаем, что k — некоторая степень числа 2
и что на самом деле k—\, 2, 4 или 8. Пусть а^Нп(Х, х) и
() е Я"+* (X, х) — образующие, так что b = Sqk (а). Пусть ые
е Н9 (F, х) и v ge №+r (F, х) — образующие. Пусть a ge Я (Хо, ха)
при ограничении на слой переходит в а; положим p = Sgrft(a)e
е //"+* (Хо, ха), при этом р при ограничении на слой переходит в Ь.
В силу теоремы Лере—Хирша 1.4 Я* (Ха, ха) есть свободный
модуль над Я* (Ba) — Z2[t] с базисом {a, P}.
Сначала предположим, что либо r~>k, либо r^k, но Sqr(u) = 0.
Тогда Sq'(u) = 0 для 0<г==??. Заметим теперь, что /* (а)
не может быть равно ни tn~9(>§u, ни tn'4-r^v, ибо, если бы это
имело место, то элементы /* (Р) = /* (Sqk (a)) = Sqk (j* (a)) и /* (a)
были бы линейно зависимы над Я* (Во). Итак, /* (a) = tn~9 (x)
0u^./M-'-(g)t) и, в частности, n^q-\-r. Далее, для г<& либо
Sql (a) = t'a, либо S^''(a) = 0. Однако
/* (Sq' (с.)) = S<?' (/* (ос)) = {П . qj tn~9'' ® « Ji¦!'' ,' ^j l"~q'rJri® v<

П. ПРИЛОЖЕНИЕ К ЭКВИВАРИАНТНЫМ ОТОБРАЖННПЯ.М 411
Отсюда следует, что (n~q\ = (n~"q~r\ (mod2) для всех 0<j<&
и что (так как $ = Sqk(a)) {n"q\^[n~q~r\ (mod2). Если поло-
жить k = 2m, то последняя формула означает, что двоичные раз-
разложения чисел п — q и n — q — r совпадают до /л-ro члена, а т-е
члены различны. Итак, г — k-\-(высшие степени числа 2); т. е.
r — k-\-2ki для некоторого г>0, так как гфк.
Если r>k, то теорема доказана. Если /¦<?, то полученное
выше противоречие показывает, что Sqr(u) = v. Таким образом,
г есть некоторая степень числа 2, и мы должны показать, что
2r = k и что n^q-\~r. Далее, /* (а) Ф1п-ч ® и, так как иначе
•Sqr (а) и а были бы линейно независимы, вопреки тому, что
г < k. Кроме того, /* (а) Ф tn~4~r (x) v, так как в противном слу-
случае Р = Sqk (а) и а были бы линейно независимы над Я* (Ва).
(Это рассуждение показывает также, что гфО.) Таким образом,
снова имеет место равенство
и, следовательно, n~^.q-\-r. Предположим, что 2г •< k. Тогда
Sqv(а) равно либо 0, либо 12г(а). Однако
Г
и так как (n~qj^(n~q)-\-(n~^~j(mod2) для г, равного
некоторой степени числа 2, то это приводит к противоречию;
сравните с доказательством теоремы 8.2. |
Перейдем теперь к приложениям угого результата к изуче-
изучению эквивариантных отображений сфер. Для любого п обозначим
через
''"[о /B+1_J
отражение на первых и координатах сфе|)Ы S"c:R'!+1. Тогда
F (Т S") я« S"~tt
П.2. Теорема. Пусть ср: (Sm+1, Ta)^(Sm, Тт)-жвива-
риантное отображение; допустим, что 0ф[ц>] е п\ = lim я„+1 (S").
Тогда либо u — w ==0 (mod 4), либо u — w=\.B последнем
случае ограничение ср°: sm~w -*¦ Sm~w на множество неподвиж-
неподвижных точек имеет степень вида 41 -\- 2. Более того, если ифха, то
uSs2.
Доказательство. Пусть у е Sm+1 — неподвижная точка;
положим x = (f(y). Так как H*(S'a, xQ; Z2) порождается над
14*

412 ГЛ. VII КОГОМОЛОГИИ МНОЖЕСТВ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
Я* (Во; Z2) элементом степени т, то отображение <р5: #*(S<?, Xq)-*-
->-#*(Sg+1. Уа) тривиально. Так как /* —изоморфизм в высших
размерностях, то отображение (<рй)*: Н* (Sm~w, х; Z2)->H*(Sm-"+1,
у; Z2) тривиально. Это значит, что deg<p° четно при и — да=1.
Если X = SmU<pDm+2 — конус отображения ф, то множество
неподвижных точек F = Xa есть Sm-W [} фо Dm~u+2. Так как О Ф
Ф [ср] е п{ я» Za» то отсюда следует, что 5^2: Нт (X; Z2)->-
->-//m+2(X; Z2) —изоморфизм. Итак (даже если и — ш=1), для
инволюции на X выполняются условия теоремы 11.1 при п — т,
k = 2 и г = \u — w — 2\. Таким образом, существуют две возмож-
возможности: гэ= 2 (mod4) (что включает случай r = k) и г=\, где
Sql действует на F нетривиально. Случай г зз 2 (mod 4) дает
ц — w==sO (mod4). Предположим далее, что г = 1; это значит, что
и — w=l, или u — w = 'i.
Если и — ш = 3, то фе: Sm-№-2->Sm-ei —несущественное отоб-
отображение, вопреки тому, что Бдгф0 на F. Таким образом, и —
— до = 1, и поэтому неравенство Бд1ф0 эквивалентно тому, что
Ф°: Sm'w -> Sm~w имеет степень вида 4/ + 2, degфG = 2 (mod 4).
(Это утверждение следует непосредственно из того, что Hl{F, x\ Z)^
^Za для i**m — w+l и Н(F, x; Z) = 0 во всех остальных слу-
случаях, где d = deg ц>°, и того, что Sq1 есть Z2-гoмoмopфизм Бок-
штейна.) Последняя часть теоремы следует из неравенства q +
+ г<;п теоремы 11.1, где Ь,фг. Щ
Точно таким же способом случаи & = 4 и k = 8 теоремы 11.1
приводят к следующим двум результатам. Читатель может про-
проверить, что случай k = 1 не представляет никакого интереса.
11.3. Теорема. Пусть ф: (Sm+3, Ta)->(Sm,Tw) — эквшариант-
нве отображение; предположим, что [ф] е Пз *^ Хы — нечетное
кратное образующего. Тогда либо u — ws=0 (mod 8), либо и —
— w = 2. В последнем случае О Ф [ф°] е л\ ?« Z2- 5олее того, ес^ги
ифт, то «Ss4. |
11.4. Теорема. Пусть ф: (Sm+7, rH)-^(Sm, Тю)-эквива-
риантное отображение; предположим, что [ф] ел'^ Z24o — нечет-
нечетное кратное образующего. Тогда либо u — ws=0 (mod 16), либо
u — w — 4. В последнем случае [фс] еяз^Z24 — нечетное кратное
образующего. Более того, если ифт, тои^8. |
Замечание. Теорема 11.1 была доказана Бредоном [10].
Описанное выше приложение к эквивариантным отображениям
взято из работы Бредона [21], где теорема 11.2 по небреж-
небрежности неправильно доказана. Если эти результаты скомбиниро-
скомбинировать с гомотопическими методами, то можно получить много дета-
детализированной информации об эквивариантных отображениях
сфер с линейными инволюциями. Некоторые сведения об этом
можно найти в работах Бредона Л5, 20].

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VII 413
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VII
1. Показать, что множество неподвижных точек любого 2б"Действия на
Cay P2 имеет по крайней мере две компоненты.
2. Предположим, что Zs действует на финитном пространстве К ~3 HP2
так, что F~jCP2- Предположим, что Р\—0 на X. Показать, что гомоморфизм
Я*(Х; Za)-*-#*(f; Z8) тривиален.
3. Привести пример полусвободного З^действия с множеством непод-
неподвижных точек F = CP2 на таком пространстве X, кольцо целочисленных кого-
мологий которого совпадает с кольцом целочисленных когомологий букета
s*vse
4. Пусть р— нечетное простое число; предположим, что Zp действует на
финитном пространстве Х~р№' и что имеется в точности (р + 1)/2 компонент
F( множества неподвижных точек F. Показать, что найдется такая компонента
Fo, что Fo-^pHP* для некоторого k^O.
5. Пусть 2г действует на финитном пространстве X~2SnxSm, лг?/п;
предположим, что F~2PS(<?). Доказать утверждение теоремы 8.1 о том, что
п> q. Если n<.2q, то показать, что 2q^m<iZq.
6. Предположим, что X—финитное пространство, имеющее то же кольцо
Za-когомологий, что и произведение 2k экземпляров сферы S". Предположим,
что G = Z2 действует на X и что гк(Ял(Х; Zt))a = k. Показать, что Xе
непусто и что оно имеет то же кольцо Z2¦кoгoмoлorий, что и произведение k
экземпляров сферы S".
7. Пусть, для /•=!-, 3 или 7, <р: (Sm+r, Tu)->-(Sm, Tw)—эквивариантное
отображение, где Г„ определено, как в § 11. Предположим, что [ip]ejij-
нечетное кратное образующего и что ыг?г(так что u = w в силу результатов
§ 11). Показать, что [<р°] е п' также представляет собой нечетное кратное
образующего.
8. Пусть X ~р L2n+1 для нечетного простого числа р, что означает нали-
наличие кольцевого изоморфизма Н*(Х; 7,р)^1,р[а, 6]/(а2, bn+l), где dega=l
и Ь = $р(а) (здесь f5p есть Zp-гомоморфизм Бокштейна). Показать, что если Zp
действует на финитном пространстве X ~р L2", то F либо пусто, либо пред-
представляет собой объединение самое большее р компонент Fj ~„ L ' , где
?№ + 1)-Л+1.
9. Пусть X ~р L2" для нечетного простого числа р, что означает наличие
кольцевого изоморфизма Н * (X; Zp)l=aZp[ct, Ь]/(а2, Ьп+Х, abn), где dega=l
и Ь — $р(а). Показать, что если Zp действует на финитном пространстве Х~
~в L2", то множество F неподвижных точек непусто и представляет собой
объединение самое большее р компонент Fi, где Ft ~p L ' и Fj ~p L ' для
<^1 и s(*,+iH+i.
10. Предположим, что Z3 действует на финитном пространстве Х~зСауР2
и что F несвязно. Показать, что либо F~3 {три точки}, либо F ~3 {точ-
{точка}+Sa.
11. Предположим, что Za действует на таком финитном пространстве X,
что имеют место изоморфизмы градуированных групп (только аддитивно)
Я*(Х; Zi)cb,H*(Sn\/Sn+k; Za) и H*(F; Z2)«=>#* (S^VS9"'; Z2)- Предполо-
Предполоge + & П <к SqrO F
(; i)(/ a) ( 2 (V 2) рд
жим, что <7sgrt<;<7-r-''sera + &' Показать, что если г<к, то Sqr=O на F,
а если г = й, то Sqr=Q на /•' тогда и только тогда, когда S<7* = 0 на X.
12. Построить компактное пространство X~yS3\/S1!!, имеющее инволюцию
с F«jCP2- Показать, что такое пространство X не может иметь гомотопический
тип букета S3\/S5.
13. Показать, что если Г —инволюция нч S^xS6, для которой
то 'Г действует на Я3 (S:ixSri, Z) нетривиально.

414 ГЛ. Vtl КОГОМОЛОГИИ МНОЖЕСТВ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК
14. Пусть S1 = U A) cz U C) действует посредством сопряжения на X =
= SUC) ~™ S3xS5. Показать, что это—полусвободное действие с F «з S1 X S*.
Пусть cteW'j^s,; Z)=«Z—такой единственный (с точностью до знака)
элемент, что его ограничение дает образующий группы Н3(Х; Z) *== Z. Пока-
Показать, что при подходящем выборе образующих ueli1(F; Z) и »e№(f; g)
имеет место равенство /* (а) = 1 (х) v-\-t ® и.
15. Показать, что RPn не допускает нетривиального полусвободного дей-
действия окружности.
16. Пусть Т—свободная инволюция на замкнутом ориентируемом 4л-мерном
многообразии Мт. Рассмотрите форму пересечений (х, у) = х- Ту на Hin(Min; Z).
Показать, что эта билинейная форма симметрична и четна (т. е. (х, х) четно
для всех х).
17. Определим З'-действие на S3xS3 формулой г (р, q) — (p, pzp~lqz~l).
Показать, что множество неподвижных точек есть FsbS'xS3. Показать, что
это действие продолжается на S5xS3 таким образом, что оно свободно вне
S3xS3 и, следовательно, оно имеет то же множество неподвижных точек.
(Заметим, что первоначальное действие преднамеренно построено так, что оно
имеет ядро Z2-) Для * е F обозначим через а е Н3 ((S5x S:i)G; xQ Щ,
вёЯ1)?, х; Z) и v<=H»(F, x; Z) единственные с точностью до знака обра-
образующие. Показать, что при подходящем выборе образующих в //*(#0; Z)®
(g)W*(F, к; Z) имеем /* (<х) = 1 ® и+2/ ® и. (Отсюда, в частности, следует,
что построенное действие не эквивалентно обычному действию-произведению
на S6Xf3)- Показать, что для любого элемента р" е Я* ((S6xSaH, xQ\ J,\
дающего при ограничении образующий группы //5(S5xS3; Z), имеем /• (Р) =
= ± (mt (g) v + 2 (т—l)^2(g)u), где т — некоторое (произвольное) число, зави-
зависящее от выбора элемента C. В частности, р можно выбрать так, что /* ф) =
= t®v. Для л^2 построить аналогичные 51-действия на S2«+1 X S3 с / я»
««S1xS31 которые на уровне когомологий (даже рациональных) отличаются от
произведений S'-действий на S2n+1 и S3.
Показать, что, тем не менее, построенное первоначально действие эквива-
эквивалентно некоторому действию-произведению. Почему это не противоречит полу-
полученному утверждению о (произвольно) продолженном на S6xS3 действии?

ЛИТЕРАТУРА »)
Адаме (Adams J. F.)
1. On the non-existence of elements of Hopf invariant one. —Ann. Math.,
1960, 72, p. 20—104. (Русский перевод: Адаме Дж. Ф. О несущество-
несуществовании отображений с инвариантом Хопфа, равным единице.—Матема-
единице.—Математика, 1961, 5, № 4, с. 3—86.)
Альфорд (Alford W. R.)
1. Uncountably many different involutions of S3.—Proc. Araer. Math. Soc,
1960, 17, p. 186—196.
Арене (Arens R.)
1. Topologies for homeomorphism groups.—Amer. J. Math., 1946, 68, p.
593—610.
Армстронг (Armstrong M. A.)
1. The fundamental group of the orbit space of a discontinuous group. —
Proc. Cambridge Philos. Soc., 1968, 64, p. 299—301.
Ать я (Atiyah M. F.)
1. Characters and cohomology of finite groups. — Inst. Hautes Etudes Sci. Publ.
Math., 1961, 9, p. 23—64.
2. К-Theory. — N. Y\: Benjamin, 1967. (Русский перевод: Ать я М. Лекции
по К-теории.— М.: Мир, 1967).
Ать я, Ботт (Atiyah M. F., Bott R.)
1. A Lefschetz fixed point formula for elliptic complexes, I. — Ann. Math.,
1967, 86, p. 384—407.
2. A Lefschetz fixed point formula for elliptic complexes, II: Applications.—
Ann. Math., 1968, 88, p. 451—491.
3. Заметки о теореме Лефшеца о неподвижной точке. —Математика, 1966,
10, № 4, с. 101—139.
Ать я, Зингер (Atiyah M. F., Singer 1. М.)
1. The index of elliptic operators, I. —Ann Math., 1968, 87, p. 484—530.
(Русский перевод: Ать я М., Зингер И. Индекс эллиптических опе-
операторов, I. - УМН, 1968, 23, № 5, с. 99—142.)
2. The index of elliptic operators, III. —Ann. Math., 1968, 87, p. 546—604.
(Русский перевод: Ать я М., Зингер И. Индекс эллиптических опе-
операторов, I, III.-УМН, 1969, 24, № 1, с. 127—182.)
3. The index of elliptic operators, IV, V.-Ann. Math., 1971, 93, p. 119—
149. (Русский перевод: Ать я М., Зингер И. Индекс эллиптических
операторов. —УМН, 1972, 27, № 4, с. 162—188.)
Ать я, Сегал (Atiyah M. F., Segal G. В.)
1. The index of elliptic operators, II. —Ann. Math., 1968, 87, p. 531—545.
(Русский перевод: Ать я М., Сегал Г. Индекс эллиптических опе-
операторов, И. — УМН, 1968, 23, № 6, с. 135—150.)
Ать я, Толл (Atiyah M. F., Tall D. О.)
1. Group representations, X-rings and the J-homomorphism. — Topology, 1969
8, p. 253—298.
Работы, добавленные при переводе, отмечены звездочкой.

416 ЛИТЕРАТУРА
Атья, Хирцебрух (Atiyah M. F., Hirzebruch F.)
1. Vector bundles and homogeneous spaces. —In: Proc. Symp Pure Math.,
8"Providence, Rhode Island: Amer. Math. Soc, 1961, p. 7—38. (Рус-
(Русский перевод: Атья М., Хирцебрух Ф. Векторные расслое-
расслоения и однородные пространства.—Математика, 1962, 10, № 2, с.
3—39.)
2. Spin-manifolds and group actions.— In: Essay on Topology and Related
Topics, Memoir» dedies a Georges de Rham. Berlin; N. Y.: Springer-Verlae,
1970. p. 18-28.
Бек (Beck A.)
1. On invariant sets. —Ann. Math., 1958, 67, p. 99—103.
Берштейн (Berstein I.)
1. Involutions with non-zero Arf-invariant. — Bull. Amer. Math. Soc, 1968
74, p. 678—682.
Б инг (Bing R. H.)
1. A homeomorphism between the 3-sphere and the sum of two solid horned
spheres. —Ann. Math., 1952, 56, p. 354—362.
2. Inequivalent families of periodic homeomorphisms of Ea,~Ann. Math.,
1964, 80, p. 78—93.
Богомолов Ф. A.
1. О действиях окружности на гладких нечетномерных сферах.—Матем.
заметки, 1969, б, с. 401—408.
Б о р е л ь (Borel A.)
1. Some remakrs about Lie groups transitive on spheres and tori.—Bull.
Amer. Math. Soc, 1949, 55, p. 580—586.
2. Le plan projectif des octaves et les spheres comme espaces homogenes —
С. г. Acad. Sci. Paris, 1950, 230, p. 1378—1381.
3. Les bouts des espaces homogenes de groupes de Lie.—Ann. Math., 1953.
58, p. 443—457.
4. Nouvelle demonstration d'un theoreme de P. A. Smith. —Comment. Math.
Helv., 1955, 20, p. 27—39.
5. Seminar on Transformation Groups.—Princeton, N. J.: Princeton Univ.
Press, 1960.
Б о x н e p (Bochner S.)
1. Compact groups of differentiable transformations.—Ann. Math., 1945, 46,
p. 372—381.
Бохнер, Монтгомери (Bochner S., Montgomery D.)
1. Groups of differentiable and real or complex transformations.—Ann. Math.,
1945, 46, p. 685—694.
2 Locally compact groups of differentiable transformations.—Ann. Math.,
1946, 47, p. 639—653.
3. Groups on analytic manifolds. —Ann. Math., 1947, 48, p. 659—669.
Б pay дер (Browder W.)
1. The Kervaire invariant of framed manifolds and its generazation. — Ann,
Math., 1969, 90, p. 157—186.
2. Surgery and the theory of differentiable transformation groups. — In: Proc.
Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-
Verlag, 1968, p. 1—46.
3. Free Zp"actions on homotopy spheres. — In: Topology of manifolds. Chicago;
Illinois: Markham Publ., 1970, p. 217—226.
Б pay дер, Ливси (Browder W., Livesay G. R.)
1. Fixed point free involutions on homotopy spheres.— Bull. Amer. Math.
Soc, 1967, 73, p. 242—245.
Браудер, Петри (Browder W., Petrie Т.)
1. Semi-free and quasi-free Sl-actions on homotopy spheres.— In: Essay en
Topology and related Topics. Berlin; N. Y.: "Springer-Verlag, 1970, p.
136—146.

ЛИТЕРАТУРА 417
2. Diffeomorphisms of manifolds and semi free actions on homotopy spheres. —
Bull. Amer. Math. Soc, 1971, 77, p. 160—163.
Браудер, Петри, Уолл (Browder W., Petrie, Т., Wall С. Т. С.)
1. The classification of free actions of cyclic groups of odd order on homotopy
spheres. —Bull. Amer. Math. Soc, 1971, 77, p. 455—459.
Браун (Brown M.)
1. Locally flat embeddings of topological manifolds.— Ann. Math., 1962, 75,
p. 331—341.
Бредон (Bredon G. E.)
1. Some theorems of transformation groups.— Ann. Math., 1958, 67, p. 104—118.
2. Fixed point sets and orbits of complementary dimension. —In: Seminar on
Transformation groups. Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press., 1960, Ch. XV.
8. Orientation in generalized manifolds and applications to the theory of
transformation groups. —Michigan Math. J., 1960, 7, p. 35—44.
4. On homogeneous cohomology spheres.— Ann. Math., 1961, 73, p. 556—565.
Б. On the structure of orbit spaces of generalized manifolds. — Trans. Amer.
Math. Soc, 1961, 100, p. 162—196.
6. Transformation groups with orbits of uniform dimension. —Michigan
Math. J., 1961, 8, p. 139—147.
7. On a certain class of transformation groups.—Michigan Math. J., 1962,
9, p. 385—393.
8. Cohomology fibre spaces, the Smith —Gysin sequence, and orientation In
generalized manifold.—Michigan Math. J., 1963, 10, p. 321—333.
9. A new treatment of the Haar integral. —Michigan Math. J., 1963, 10,
p. 365—373.
10. The cohomology ring structure of a fixed point set. —Ann. Math., 1964,
80, p. 524—537.
11. Transformation group» on spheres with two types of orbits. — Topology,
1965, 3, p. 103—113.
12. Examples of differentiablegroup actions.— Topology, 1965, 3, p. 115—122.
13. Sheaf Theory, —N. Y.: McGraw-Hill, 1967.
14. Equivariant cohomology theories.— Bull- Amer. Math. Soc., 1967, 73,
p. 266—268.
15. Equivariant stable stems.—Bull. Amer. Math. Soc, 1967, 73, p. 269—273.
16. Cosheaves and homology. —Pacif. J. Math., 1968, 25, p. 1—32.
17. Equivariant Cohomology Theories. —Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1967.
18. A П^-module structure for 6„ and applications to transformation groups. —
Ann. Math., 1967, 88, p. 434—448.
19. Exotic actions on spheres.— In: Proc. Conf. Transformation Groups, New
Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 47—76.
20. Equivariant homotopy. —In: Proc. Conf. Transformation Groups, New
Orleans, 1967. Berlin; N. Y.; Springer-Verlag, 1968, p. 281—292.
21. Cohomological aspects of transformation groups. —In: Proc. Conf. Trans-
Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag,
1968. p. 245—280.
22. Representations at fixed point of smooth actions of compact groups.—
Ann. Math., 1969, 89, p. 515—532.
23. Homotopical properties of fixed point sets of circle groups actions, I.—
Amer. J. Math., 1969, 91, p. 874—888.
84. The set of non-principial orbits of an action on ?". —Proc. Amer. Math.
Soc, 1969, 23, p. 254—252.
25. Another exotic action on En. — Proc. Amer. Math. Soc, 1970,25, p. 437—438.
26. Regular О (n)-manifolds, suspensions of knots, and knot periodicity. —
Bull. Amer. Math. Soc, 1973, 79, p. 87—91.
Б р едок, Рей мон д, Уильяме (Bredon G. E., Raymond F., Williams R. F.)
1. p-adic groups of transformations.—Trans. Amer. Math. Soc, 1961, 99,
p. 488-498.

418 ЛИТЕРАТУРА
Брискорн (Brieskorn E.)
1. Beispiele zur Differentialtopologie von Singularitaten. — Invent. Math.,
1966, 2, S. 1—14.
Вальдхаузен (Waldhause > F.)
1. Ober Involutionen der 3-Sphare. —Topology, 1969, 8, S. 81—91.
Вассерман (Wasscrman A.)
1. Cobordism of group actions. — Bull. Amer. Math. Soc, 1966, 72, p. 866
—869.
2. Equivariant differential topology. —Topology, 1969, 8, p. 127—150.
3. A product theorem for equivariant bordism. —In: Topology of manifolds.
Chicago, Illinois: Markham Publ., 1970, p. 317—318.
В ей ль (Weyl H.)
1. The Classical Groups.—2nd ed.—Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press,
1946. (Русский перевод: В ей ль Г. Классические группы, их инва-
инварианты и представления.—М.: ИЛ, 1949.)
В и к (Vick J. W.)
1. An application of K-theory to equivariant maps, —Bull. Amer. Math. Soc,
1969, 75, p. 1017—1019.
Вольф (Wolf J. A.)
1. Spaces of constant curvature—N. Y.: McGraw-Hill, 1967.
Герман (Hermann R.)
1. On the existence of a fundamental domain for Riemannien transformation
groups. — Proc. Amer. Math. Soc, 1962, 13, p. 489—494.
Гиффен (Hiffen С. Н.)
1. The generalized Smith conjecture.— Amer. J Math., 1966, 88, p. 187—198.
2. Cyclic branched coverings of doubled curves in 3-manifolds. — Illinois J.
Math., 1967, 11, p. 644—646.
3. Weakly complex involutions and cobordism of projective spaces.—Ann.
Math., 1969, 90, p. 418—432.
4. Smooth homotopy projective spaces.— Bull. Amer. Math. Soc, 1969, 75,
p. 509—513.
5. Desuspendability of free involutions on Brieskorn spheres.—Bull. Amer.
Math. Soc, 1969, 75, p. 426—429.
Г л и с о н (Gleason A. M.)
1. Spaces with a compact Lie group of transformations. —Proc. Amer. Math.
Soc , 1950, 1, p. 35—43.
2. On groups of homeomorphisms. — In: Algebraical and Topological Founda-
Foundations of Geometry. Oxford: Pergamon Press, 1962, p. 39—44.
Глисон, Пале (Gleason A. M., Palais R. S.)
1. On a class of transformation groups. —Amer. J. Math., 1957, 79, p. 631—648.
Глюк (Gluck H.)
1. Piecewise linear groups and iransformation groups.— Trans. Amer. Math.
Soc, 1970, 149, p. 585—593.
Гольбер (Golber D.)
1. P. A. Smith theory and torus actions on a product of two odd spheres.—
In: Topology of manifolds. Chicago, Illinois: Markham Publ., 1970,
p. 265—267.
Гольдштейн, Линингер (Goldstein R. Z., Lininger L. L.)
1. Action on 2-connected 6-manifolds. — Amer. J. Math., 1969, 91, p. 499—504.
2. Stability in spin structures. — In: Topology of manifolds. Chicago, Illinois:
Markham Publ., 1970, p. 268—273.
Грей (Gray W. J.)
1. Topological transformation groups with a fixed end point. —Proc. Amer.
Math. Soc, 1967, 18, p. 280—294.
Г р и в ер (Greever J.)
1. Stationary points for finite transformation groups. —Duke Math. J., i960,
27, p. 163—170.

ЛИТЕРАТУРА 419
Гуревич, Волмэн (Hurewich W., Wallman H.)
1. Dimension theory.—Princeton, N. Y.: Princeton Univ. Press, 1948. (Рус-
(Русский перевод издания 1941 г.: Гуревич В., Волмэн Г. Теория
размерности.—М.: ИЛ, 1948.)
Джонс (Jones L. Е.)
1. A converse to the fixed point theory of P. A. Smith, I. —Ann. Math.,
1971, 94, p. 52—68.
2. A converse to the fixed point theory of P. A. Smith, II; —Indiana Univ.
Math. J., 1972, 22, p. 309—325.
Дик (torn Dieck T.)
1. Faserbundel mit Gruppenoperation. — Arch. Math. (Basel), 1969, 20,
S. 136—143.
2. Bordism of G-manifolds and integrality theorems —Topology, 1970, 9,
p. 345—358.
3. Actions of finite abelian p-groups without stationary points.—Topology,
1970, 9, p. 359—366.
Дольд А.
1*. Лекции по алгебраической топологии. — M.: Мир, 1966.
Дресс (Dress A.)
1. Newman's theorem on transformation groups.—Topology, 1969, 8, p. 203.
Дугунджи (Dugundji J.)
1. Topology.—Boston, Massachusets: Alvyn & Bacon, 1966.
Дьедонне (Dieudonne J.)
1. On topological groups of homeomorphisms. — Amer. J. Math., 1948, 70,
p. 659—680.
E н и x (Janich K.)
1. Differenzierbare Manningfaltigkeiten mit Rand als Orbitraume differenzier-
bare G-Manningfaltigkeiten ohne Rand. —Topology, 1966,5, S. 301—320.
Ених, Occa (Janich K., Ossa E.)
1. On the signature of an involution. —Topology, 196, 8, p. 27—30.
Зейферт (Seifert H.)
1. Topologie dreidimensionaler gefaserter Raume. — Acta Math., 1932, 60,
S. 147—238.
Зейферт, Трельфалль (Seifert. H., Threllfall W.)
1. Lehrbuch der Topologie. —Bronx, N. Y.: Chelsea, 1947. (Русский пере-
перевод издания 1934 г.: Зейферт Г., Трельфалль В. Топология.—
М.; Л.: ГОНТИ, 1938.)
Зибенманн (Siebenmann L. С.)
1 On detecting Euclidean space homotopically among topological manifolds. —
Invent. Math., 1968, 6, p. 245—261.
Иллс, Кюйпер (Eells J., Kuiper N. H.)
1. An invariant for certain smooth manifolds. —Ann. Math., 1962, 60,
p. 93—110.
К а лаби (Calabi E.)
1. On differentiable actions of compact Lie groups on compact manifolds.—
In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. —Berlin; N. Y.:
Springer-Verlag, 1968, p. 210—213.
Карта н, Эйленберг (Cartan H., Eilenberg S.)
1. Homological Algebra.— Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, 1956.
(Русский перевод: Картан А., Эйленберг С. Гомологическая
алгебра.— М.: ИЛ, 1960.)
К ару б (Karube Т.)
1. The local structure of an orbit of a transformation group. — Proc. Japan
Acad., 196!, 37, p. 212—214.
Келдыш Л. В
1* Топологические вложения в евклидово пространство. —М.: Наукя,
1966.

420 ЛИТЕРАТУРА
Кервер, Милн op (Kervalre M. A., Milnor J.)
1. Groups of homotopy spheres, I. —Ann. Math., 1963, 77, p. 504—537.
Керекьярто (Kerekjarto R.)
1. Ober die periodischen transformationen der Kreisscheibe und der Kugel-
flache.—Math. Ann., 1921, 80, S. 36—38.
Кертис (Curtis С W.)
1. The four and eight square problem and division algebras. In: Studies in
Modern Algebra (ed. A. A. Albert), vol. 2. Math. Assoc. of Amer. Studies
in Math., N. Y.: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1963.
Кинг (King L. M.)
1. Slices in transformation groups. —Trans. Amer. Math. Soc, 1970, 147,
p. 381—388.
Киносита (Kinoshita S.)
1 On knots and periodic transformations. — Osaka J. Math., 1958, 10,
p. 43—52.
К истер (Kister J. M.)
1. Differentiable periodic actions on ?8 without fixed points.—Amer. J.Math.,
1963, 85, p. 316—319.
Кисте p, Манн (Kister J. M., Mann L.)
1. Isotropy structure of compact Lie groups on complexes.—Michigan Math.
J., 1962, 9, p. 93—96.
2. Equivariant imbeddings of compact abelian Lie groups of transformations.—
Math. Ann., 1962, 148, p. 89—93.
К ли (Klee V. L., Jr.)
1. Fixed-points sets of periodic homeomorphisms of Hilbert space. — Ann. Math.,
1956, 64, p. 393—395.
К ok стер (Coxeter H. S. M.)
1. Regular Polytopes. —London: Methuen, 1948.
Коннел (Connell E. H.)
1. A topological /i-cobordism theorem for n 5= 5. — Illinois. J. Math., 1967,
11, p. 300—309.
Коннел, Монтгомери, Янг (Connell E. H., Montgomery D., Yang
C.T.)
1. Compact groups in ?".— Ann. Math., 1964, 80, p. 94—103. Correction.—
Ann. Math., 1965, 81, p. 194.
Коннер (Conner P. E.)
1. Concerning the action of a finite group.—Proc. Nat. Acad. Scl. USA,
1956, 42, p. 349—351.
2. On the action of a finite group on S»xSn. —Ann. Math., 1957, 68,
p. 586—588.
3. On the action of a circle group.—Michigan Math. J., 1957, 4,
p. 241—247,
4. A note on theorem of Mostow. —Proc. Amer. Math. Soc, 1958, 9,
p. 467—471.
5. On a theorem of Montgomery and Samelson. — Proc. Amer. Math. Soc,
1958, 9, p. 464—466.
6. A note on a theorem of Liao. —Proc. Amer. Math. Soc., 1959, 10,
p. 730—733.
7. Orbits of uniform dimension.—Michigan Math. J., 1959. 6, p. 25—32.
8. Transformation grcups on а К (я, 1), II.—Michigan Math. J., 1959, 6,
p. 413—417.
9. Retraction properties of the orbit space of a compact topological transfor-
transformation group. —Duke Math. J., 1960, 27, p. 341—357.
10. A bordism theory for actions of an abelian group. —Bull. Amer. Math.
Soc., 1963, 69, p. 244—247.
11. Diffeomorphisms of period two. — .Michigan .Math. J., 1963, 10, p. 341—352.
12. Seminar on Periodic Maps. — Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1967.

ЛИТЕРАТУРА 421
13. Lectures on the Action of a Finite Group. —Berlin; N. Y.: Springer -
Verlag, 1968.
Коннер, Монтгомери (Conner P. E., Montgomery D.)
1. Transformation groups of /((it, 1), I.—Michingan Math. J., 1959, 6,
p. 405—412.
2. An example for SOC).— Proc. Nat. Acad. Sci., USA, 1962, 48,
p. 1918—1922.
Коннер, Реймонд (Conner P. E., Raymond F.)
1. Action of compact Lie groups on aspherical manifolds. — In: Topology of
manifolds. Chicago, Illinois: Markharn Publ., 1970, p. 227—264.
Коннер, Флойд (Conner P. E., Floyd E. E.)
1. Orbit spaces of circle groups of transformations.— Ann. Math., 1958, 67,
p. 90 — 98.
2. A note on the action of SO C).—Proc. Amer. Math. Soc, 1959, 10,
p. 354 — 360.
3. On the construction of periodic maps without fixed points.— Proc. Amer.
Math. Soc, 1959, 10, p. 354 — 360.
4. Fixed point free involutions and equivariant maps.—Bull. Amer. Math.
Soc, I960, 66, p. 416 — 441.
6. Fixed point free involutions and equivariant maps, II. — Trans. Amer.
Math. Soc, 1962, 105, p. 222 — 228.
6. Differentiable periodic maps. —Bull. Amer. Math. Soc, 1962, 68, p. 76 — 86.
7. Periodic maps which preserve a complex structure.— Bull. Amer. Math.,
Soc, 1964, 70, p. 574—579.
8. Differentiable Periodic Maps. —Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1964.
(Русский перевод: Коннер П., Флойд Э. Гладкие периодические
отображения —М.: Мир, 1969.)
9. Maps of odd period. —Ann. Math., 1966, 84, p. 132—156.
Конрад (Conrad B.)
1. Extending free circle actions on spheres to S3-actions. —Proc. Amer. Math. Soc,
27, p. 168—184.
Кошул (Koszul J. L.)
1. Sur certains groupes de transformations de Lie. Geometrie differentielle.—
In: Colloq. Int. Cent. Nat. Rech. Sci. Strasbourg, 1953, p. 137—141.
2. Lectures on Groups of Transformations (Tata Inst. for Fundamental Res.).
— Bombay: Tata Inst., 1965.
Крэгс (Craggs R.)
1. Involutions of the 3-sphere which fix 2-spheres.—Pacific J. Math., 1970,
32, p. 307 — 321.
К у M.-K- (Ku M.-C.)
1. Cohomology structure of orbit spaces. — In: Hung-Ching Chow 65th Anni-
Anniversary Volume. Taipei, Taiwan: Math. Res. Center, N'at. Taiwan Univ.,
1967, p. 89 — 96.
2. On the action of compact groups. — In: Proc. Conf. Transformation Groups,
New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 19G8, p. 381—400.
К у M.-K., Ky Х.-Т. (Ku.M.-C, Ku Н.-Т.)
1. The Lefschetz fixed point theorem for involutions. — In: Proc. Conf. Trans-
Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag,
1968, p. 341—342.
2. Semi-free differentiable actions of S1 on homofopy Dft + 3)-spheres.—Michi-
3)-spheres.—Michigan Math. J., 1968, 15, p. 471-476.
3. On the nonexistence of free differentiable S3-actions on homotopy spheres.
— Proc. Amer. Math. Soc, 1969, 21, p. 101-103.
4. Free differentiable actions of Sl and S3 on homotopy 11-sphpres.—Trans.
Amer. Math. Soc, 1969, 1-lii, p. 133—149.
5. A note on the index of a G-manifold. — Proc. Amer. Math. Soc, 1969,
22, p. 600 — 602.

422 ЛИТЕРАТУРА
К у Х.-Т. (Ku H.-T.)
1. An Euler characteristic formula for compact group actions. — In: Hung-
Ching Chow 65th Anniversary Volume. Taipei, Taiwan: Math. Res. Center,
Nat. Taiwan Univ., 1967, p. 81—88.
2. Examples of differentiable involutions. — In: Proc. Conf. Transformation
Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 214—
219.
3. The fixed point set of Xp in a C* (mlt ..., mq_x; Z^)-space. — In: Proc.
Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-
Verlag, 1968, p. 319-324.
4. A generalization of the Conner inequalities. — In: Proc. Conf. Transforma-
Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968,
p. 401 — 414.
К у Х.-Т., М а н н, С и к с, С у (Ku H.-T., Mann L. N., Sicks J. L., Su J. C.)
1. Degree of symmetry of a product manifold. —Trans. Amer. Math. Soc,
1969, 146, p. 133—149.
К у а н (Kwun K. W.)
1. An involution of the я-cell.—Duke Math. J., 1963, 30, p. 443 — 446.
2. Uniqueness of the open cone neighborhood. —Proc. Amer. Math. Soc,
1964, 15, p. 476 — 479.
3. Involutions of the n-cell. — In: Proc. Conf. Transformation groups, New
Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 343 — 344.
4. Non-existence of orientation reversing involution on some manifolds.—
Proc. Amer. Math. Soc, 1969, 23, p. 725 — 726.
5. Piecewise linear involutions of SlxS2.—Michigan Math. J., 1969, 16,
p. 93 — 96.
6. 3-manifolds which double cover themselves. — Amer. J. Math., 1969, 91,
p. 441-452.
Куан, Рей мо нд (Kwun К. W., Raymond F.)
1. Mapping cylinder neighborhoods —Michigan Math. J., 1963, 10, p. 353—357.
Лазаров, Вассерман (Lazarov С, Wasserman A.)
1. Cobordism of regular O(n)-manif Ids. —Bull. Amer. Math. Soc, 1969, 75,
p. 1365—1368.
Ландвебер (Landweber P. S.)
1. Fixed point free conjugations on complex manifolds. —Ann. Math., 1967,
86, p. 491—502.
2. Conjugations on complex manifolds and equivariant homotopy of MU.—
Bull. Amer. Math. Soc, 1968, 74, p. 271—274.
3. On equivariant maps between spheres with involutions.— Ann. Math.,
1969, 89, p. 125—137.
4. On symmetric maps between spheres and equivariant K-theory. — Topology,
1970, 9, p. 55-61.
Л афт (Luft E.)
1. On contractible open topological manifolds.— Berlin; N. Y.: Springer-Ver-
Springer-Verlag, 1971.
Левин (Levine J.)
1. Spaces with involutions and bundles over Pn, —Amer. J. Math., 1963, 85,
p. 516-540.
2. Knot cobordism groups in codimension two. — Comment. Math. Helv.,
1969, 44, p. 229-244.
Ленг (Lang S.)
1. Introduction to Differentiable Manifolds. — N. Y.: Wiley (Interscience),
1962. (Русский перевод: Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых
многообразий. —М.: Мир, 1967.)
Ли К. Н. (Lee С. N.)
1. Equivariant homology theories. — In: Proc. Conf. Transformation Groups,
New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 237-244.

ЛИТЕРАТУРА 423
Ли P. (Lee R.)
1. Non-existence of free differentiable actions of S1 and Z2 on horaotopy
spheres. —In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967.
Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 208 — 209.
2. Differentiable classification of some topologically linear actions.—Bull.
Aimer. Math. Soc, 1969, 75, p. 441—444.
3. Piecewize linear classification of some free Zp-actions on S4*+3. —Michigan
Math. J., 1970, 17, p. 149—159.
Л и в с и (Livesay G. R.)
1. Fixed point free involutions on the 3-sphere. — Ann. Math., 1960, 72,
p. 603-611.
2. Involutions with two fixed points on the three-sphere.—Ann. Math., 1963,
78, p. 582—593.
Ливси, Томас (Livesay G. R., Thomas С. В.)
1. Free Z2-and Zs-actions on homotopy spheres.— Ann. Math., 1963, 78,
p. 582-593.
Линингер (Lininger L. L.)
1. On topological transformation groups.—Proc. Amer. Math. Soc, 1969, 20,
p. 191 — 192.
2. Action on S4.—Topology, 1970, 9, p. 301—308.
Лумис (Loomis L. H.)
1. An Introduction to Abstract Harmonic Analysis. —Princeton, N. J.: Van
Nostrand —Reinhold, 1953.
Льюис (Lewis G.)
1. Free actions on S«xS" —Trans. Amer. Math. Soc, 1968, 132, p. 531—540.
Лэчер (Lacher R. C.)
1. Some wild spheres and group actions. — Fundam. math., 1970, 67,
p. 195 — 202.
Л я о (Liao S. D.)
1. A theorem of periodic transformations of homology spheres.—Anne Math.,
1952, 56, p. 68 — 83.
Майерс, Стинрод (Meyers S. В., Steenrog N. E.)
1. The group of isometrics of a Riemannian manifold.— Ann. Math., 1939,
40, p. 400-416.
M а к л е й и (MacLane S.)
1. Homology — N. Y.: Academic Press, 1963. (Русский перевод: Маклейн С,
Гомология. —М.: Мир, 1966.)
Макмиллан, Зиман (McMilla ¦ D. R. J., Zeeman E. С.)
1. On contractible open manifold. —Proc. Cambridge Philos. Soc, 1962, 58,
щ p. 221-229.
Манкхольм (Munkholm H. J.)
1. Borsuk — Ulam type theorem for proper Zp-actions on (mod p homology)
n-spheres.— Math. Scand., 1969, 24, p. 167 — 185.
Мальгранж (Malgrange B.)
1. Ideals of Differentiable Functions. —London; N. Y.: Oxford Univ. Press,
1966. (Русский перевод: Мальгранж Б. Идеалы дифференцируемых
функций. —М.: Мир, 1968.)
Манн (Mann L. N.)
1. Compact abelian transformation groups. — Trans. Amer. Math. Soc, 1961,
99, p. 41—59.
2. Finite orbit structure on locally compact manifolds.—Michigan Math. J.,
1962, 9, p. 87 — 92.
3 Actions of elementary p-groups on SnxSm.—Michigan Math. J., 1964, 11,
p. 47 — 51.
4 A note on counting isotropy subgroups.—Proc Amer, Math. Soc, 1965,
16, p. 467-480.

424 ' ЛИТЕРАТУРА
5. Differentiable actions of compact abelian Lie groups on S". — Proc. Amer.
Math. Soc, 1965, 16, p. 480 — 484.
6. Gaps in the dimensions of ft-ansformation groups.-—Illinois J. Math., 1966,
10, p. 532—546.
7. Dimensions of compact transformation groups. —Michigan Math. J., 1967,
14, p. 433-444.
8. Gaps in the dimensions of compact transformation groups.— In: Proc. Conf.
Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag,
1968, p. 293-296.
9. Further gaps in the dimensions of transformation groups.— Illinois J. Math.,
1969, 13, p. 740—766.
Манн, Су (Mann L. N.. Su J. C.)
1. Actions of elementary p-groups on manifolds.—Trans. Amer. Math. Soc,
1963, 106, p. 115—126.
Медрано Лопес де (Medrano Lopez de, S.)
1. Involutions on homotopy spheres and homology 3-spheres. —Bull. Amer.
Math. Soc, 1967, 73, p. 727—731.
2. Some results on involutions of homotopy spheres. — In: Proc. Conf. Trans-
Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag,
1968, p. 167-174.
3. Involutions on Manifolds.—Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1971.
Мейер (Mayer К. Н.)
1. Fixpunktfreie Involutionen von 7-Spharen. —Math. Ann., 1970, 185,
S. 250-258.
M и л но p (Milnor J.)
1. Groups which act on S» without fixed points. — Amer. J. Math., 1957,
79, p. 623 — 630.
2. Differential Topology: Lecture Notes by J. Munkres. — Princeton, N. J.:
Princeton Univ. Press, 1958.
3. Differentiable Structures: Lecture Notes. — Princeton, N. J.: Princeton
Univ. Press, 19C1.
4. Some free actions of cyclic groups on spheres. — In: Differential Analysis.
Bombay Colloq. London; N. Y.: Oxford Univ. Press, 1964, p. 37 —
42.
5. Lectures on the ft-cobordism theorem: Princeton Math. Notes.—Princeton,
N. J.: Princeton Univ. Press, 1965. (Русский перевод: Ми л нор Дж.
Теорема об Л-кобордизме. —М.: Мир, 1969.)
6. Infinite cyclic coverings. — In: Gonf. Topology of Manifolds. Prindle, Weber
and Schmidt, 1968, p. 115—133.
7. Singular Points of Complex Hypersurfaces. —Princeton, N. J.: Princeton
Univ. Press, 1968. (Русский перевод: Милнор Дж. Особые точя
комплексных гиперповерхностей. —М.: Мир, 1971.)
Милнор, Орлик (Milnor J., Orlik P.)
1. Isolated singularities defined by weighted homogeneous polynomials.—
Topology, 1970, 9, p. 385 — 393.
Минами (Minami H.)
1. A Kunneth formula for equivariant K-theory. —Osaka J. Math., 1969, 6,
p. 143—146.
Миелин (Mislin G.)
1. Raiime mit Operatorengruppen und Cohomologie. — Comment Math. Helv.,
1968, 43, p. 331—340.
Мой с (Moise E.)
1. Periodic homeomorphisms of the 3-sphere. —Illinois J. Math., 1962, 6,
p. 206 — 225.
Монтгомери (Montgomery D.)
1, Pointwise periodic homeomorphisms..— Amer. J. Math., 1937, 69, p.
118—120.

' ЛИТЕРАТУРА 425
2. Topological groups of differentiable transformations. — Ann. Math., 1945,
46, p. 382-387.
3. Simply connected homogeneous spaces. — Proc. Amer. Math. Soc, 1950, I,
p. 467 — 469.
4. Finite dimensionality of certain transformation groups.— Illinois J. Math.,
1957, 1, p. 28-35.
6. Groups on R* or S*.—Michigan Math. J., 1959, 6, p. 121 — 130.
6. Orbits of highest dimension, —In: Seminar on Transformation Groups.
Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, I960, Chapter IX.
7. Compact groups of transformations. — In: Differential Analysis, Bombay
Colioq. London; N. Y.: Oxford Univ. Press, 1964, p. 43 — 56.
Монтгомери, Мостов (Montgomery D., Mostow G. D.)
1. Toroid transformation groups on euclidian space. —Illinois J. Math., 1958,
2, p. 459 — 481.
Монтгомери, Самельсон (Montgomery D., Samelson H.)
1. Transformation groups on spheres.— Ann. Math., 1943, 44, p. 454—470.
2. A theorem on fixed points of involutions in Ss. —Canad. J. Math., 1955,
7, p. 208 — 220.
3. Examples for differentiable group actions on spheres. — Proc Nat Acad
Sci. USA, 1961, 47, p. 1202—1205.
4. On the action of SOC) on S". — Pacific J. Math., 1962, 12, p. 649 — 659.
Монтгомери, Самельсон, Циппин (Montgomery D., Samelson H.
Zippin L.)
1. Singular points of a compact transformation group. — Ann. Math., 1956,
63, p. 1—9.
Монтгомери, Самельсон, Янг (Montgomery D., Samelson H.,
Yang С. Т.)
1. Exceptional orbits of highest dimension. — Ann. Math., 1956, 64,
p. 131 — 141.
2. Groups on En with (n — 2)-dimensional orbits. — Proc. Amer. Math. Soc.,
1956, 7, p. 719 — 728.
Монтгомери, Циппин (Montgomery D., Zippin L.)
1. Topological transformation groups, I. —Ann. Math., 1940, 41, p. 778 —
791.
2. A class of transformation groups in ?". —Amer: J. Math., 1943, 65, p.
601—608.
3. Examples of transformation groups.—Proc Amer. Math. Soc, 1954, 5,
p. 460 — 465.
4. Topological Transformation Groups. —N. Y.: Wiley (Interscience), 1965.
Монтгомери, Янг (Montgomery D., Yang С. Т.)
1. The existence of a slice.—Ann. Math., 1957, 65, p. 108—116.
2. Orbits of highest dimension. — Trans. Amer. Math. Soc, 1958, 87,
p. 284—293.
3. Graups on S" with principal orbits of dimension n—3, I, II. —Illinois J
Math., 1960, 4, p. 507 — 517; 1961, 5, p. 206 — 211.
4. A theorem on the action of SOC). — Pacific J. Math., 1962, 12, p
1385—1400.
6. Differentiable actions on homotopy seven spheres.—Trans. Amer. Math
Soc, 1966, 122, p. 480 — 498.
6. Differentiable transformation groups on homotopy spheres.—Michigan
Math. J., 1967, 14, p. 33 — 46.
7. Differentiable actions on homotopy seven spheres, II. — In: Proc. Conf.
Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag,
1968, p. 125-134.
8. Free differentiable actions on homotopy spheres, —In: Proc. Conf. Trans-
Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Sprinper-Verlag,
1968, p. 175—192.

426 . ЛИТЕРАТУРА
М о с т е р т (Mostert P. S.)
1. On a compact Lie group acting on manifold. —Ann. Math., 1957, 6§,
p. 447 — 455.
2. Some simple observations about Ap-actions. —In: Proc. Conf. Trans-
Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag,
1968, p. 415-417.
Мостов (Mostow G D.)
1. Equivariant embeddings in euclidean space.—Ann. Math., 1957, 65,
p. 432 — 446.
2. On a conjecture of Montgomery. —Ann. Math., 1957, 65, p. 513 — 516.
3. Compact transformation groups of maximal rank. —Bull. Soc. Math. Belg.,
1959, 11, p. 3 — 8.
H а г а н о (Nagano T.)
1. Transformation groups with (n — l)-dimensional orbits on non-compact
manifolds. —Nagoya Math. J., 1959, 14, p. 25 — 38.
Нейман (Neumann W. D.)
1. 3-dimensional G-manifolds with 2-dimensional orbits.— In: Proc. Conf.
Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Ver-
lag, 1968, p 220 — 222.
Ньюмен (Newman M. H. A.)
1. A theorem on periodic transformations of spaces. — Quart. J. Math., Oxford
Sen, 1931, 2 p. 1—9.
Орлик (Orlik P.)
1. On the extensions of the infinite cyclic group by a 2-manifold group,—
Illinois J. Math., 1968, 12, p. 479-482.
2. Smooth homotopy lens spaces.—Michigan Math. J., 1969, 16, p. 245 — 255.
3. Examples of free involutions on 3-manifolds. —In: Proc. Conf. Transfor-
Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968,
p. 205-206.
4. Weighted homogeneous polynomials and fundamental groups. — Topology,
1970, 9, p. 267-274.
5. On the Arf-invariant of an involution. —Canad. J. Math., 1970, 22,
p. 519 — 524.
Орлик, Реймонд (Orlik P., Raymond F.)
1. Actions of SOB) on 3-manifolds. — In: Proc. Conf. Transformation
Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 196»,
p. 297-318.
2. On 3-manifolds with local SO B)-action. —Quart. J. Math., Oxford Eer.,
2, 1969. 20, p. 143—161.
3. Actions of the torus on 4-manifolds, I. —Trans. Amer. Math. Soc, 1970,
152, p. 531—559.
Орлик, Рурк (Orlik P., Rourke С. Р.)
1. Free involutions on homotopy Dk + 3)-spheres.—Bull. Amer. Math. Soc.»
1968, 74, p. 949 — 953.
Occa (Ossa E.)
1. Fixpunktfreie Si-act ionen. —Math. Ann., 1970, 186, S. 45 — 52.
Пак (Рак J.)
1. Actions of circle groups on spheres and lens spaces.— Bull. Soc. Roy. Sci.
Liege, 1966, 35, p. 14 — 21.
2. Action of Tn on cohomology lens spaces. —Duke Math. J., 1967, 34, p,
239—242.
Пале (Palais R. S.)
1. On the existence of slices for actions of non-compact Lie groups.—Ann.
Math., 1961, 73, p. 285 — 323.
2. Imbedding of compact differentiable transformation groups in orthogonal
representations. —J. Math. Mech., 1957, 6, p. 673 — 678.
3. The classification of G-spaces.—Mem. Amer. Math. Soc, 1960, N36,

ЛИТЕРАТУРА 427
4. Slices and equivariant imbeddings. — In: Seminar on Transformations
Groups. Princeton. N. J.: Princeton Univ. Press, 1960, Ghapter VIII.
6. Epmvalence of nearby differentiable actions of a compact group. —Bull
Ame'r. Math. Soc, 1961, 67, p. 362—364.
6. enactions of compact Lie groups on compact manifolds are (^-equivalent
to C°°-actions. —Amer. J. Math., 1970, 92, p. 748 — 760.
Пале, Ричардсон (Palais R. S., Richardson R. W., Jr.)
1. Uncountably many inequivalent analytic actions of a compact group on
R". — Proc. Amer. Math. Soc, 1963, 14, p. 374 — 377.
гле, Стюарт (Palais R. S., Stewart Т. Е.)
1. Deformations of compact differentiable transformation groups.— Amer.
J. Math., 1960, 82, p. 935 — 937.
2. The cohomology of differentiable transformation groups.—Amer. J. Math.,
1961, 83, p. 623 — 644.
Петри (Petrie T.)
1. The existence of free metacyclic actions on homotopy spheres.— Bull.
Amer. Math. Soc, 1970, 76, p, 1103 — 1106.
2. Free metacyclic group actions on homotopy spheres. —Ann. Math., 1971,
94, p. 108—124.
3. Smooth Sx-actions on homotopy complex projective spaces, and related
topics. —Bull. Amer. Math. Soc, 1972, 78, p. 1056—1059.
4. Representation theory, surgery and free actions on finite groups on varieties
and homotopy spheres. —In: The Steenrod Algebra and its Applications.
Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1970.
Понсе (Poncet J.)
1. Groupes de Lie compacts de transformations.—C.r. Acad. Sci. Paris, 1957,
245, p. 13-15.
2. Groupes de Lie compacts de transformations de l'espace euclidien et les
spheres comme espaces homogenes.—Comment. Math. Helv., 1959, 33,
p. 109—120.
3. Groupes de transformations d'un sphere de cohomologie.— Comment. Math.
Helv, 1961, 36, p. 148—153.
П о н т р я г и н Л. С.
1. Непрерывные группы. —М.: Наука, 1973.
Раис (Rice P. M.)
1. Free actions of Z4 on S3. —Duke Math. J., 1969, 36, p. 749 — 751.
де Р а м (de Rham G.)
1. Sur les complexes avec automorphismes. — Comment. Math. Helv., 1940,
12, p. 191—211.
Реймонд (Raymond F.)
1. The orbit space of totally disconnected groups of transformation on mani-
manifolds.—Proc. Amer. Math. Soc, 1961, 12, p. 1—7.
2. A classification of the actions of the circle on 3-manifoIds. —Trans. Amer
Math. Soc, 1968, 131, p. 51—78.
3. Exotic PL-actions which are topologically linear.— In: Proc. Conf.
Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag,
1968, p. 339 — 340.
4. Topological actions do not necessarily have reasonable slices. — In: Proc. Conf.
Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag,
1968, p. 345.
5. Cohomological and dimension the oretical properties of orbit spaces of
p-adic actions. —In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans,
1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 354—365.
Реймонд, Уильяме (Raymond F., Williams R. F.)
1. Examples of p-adic transformations groups.—Ann. Math., 1963, 78,
p. 92—106.

428 ЛИТЕРАТУРА
Ричардсон (Richardson R. W., Jr.)
1. Actions of the rotation group on the 5-sphere. — Ann. Math., 1961, 74,
p. 414—423.
Роде с (Rhodes F.)
1. On lifting transformation groups. —Proc. Amer. Math. Soc, 1968 19,
p. 905—908.
2. Homotopy groups of transformation groups. —Canad. J. Math., 1969, 21,
p. 1123—1136.
Розен (Rosen R. H.)
1. Examples of non-orthogonal involutions of euclidean spaces. — Ann. Math.,
1963, 78, p. 560—566.
Рольфе (Rohlfs J.)
1. Verallgemeinerte Morse Theorie. —Collect. Math., 1969, 20, S. 6—47,
Рохлин В. А., Фукс Д. Б.
1*. Начальный курс топологии: Геометрические главы. — М.: Наука, 1977.
Себастьяни (Sebastiani M.)
1. Sur l'invariant d'Eilenberg —Maclane d'un groupe fini operant sur une
sphere.—С r. Acad. Sci. Pans, Ser. A—B, 1966, 262, p. A897—A900.
Сегал (Segal G.)
1. Equivariant /(-theory. — Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 1968, 34,
p. 129-151.
Смит (Smith P. A.)
1. Transformations of finite period, I, — Ann. Math., 1938, 39, p. 127—164.
2. Transformations of finite period, II. —Ann. Math., 1939, 40, p. 690—
711.
3. Fixed point theorems for periodic transformations.—Amer. J. Math., 1941,
63, p. 1—8.
4. Transformations of finite period, III: Newman's theorem, —Ann. Math.,
1941, 42, p. 446—458.
6. Periodic and nearly periodic transformations.—In: Lectures in Topology
Ann Arbor, Michigan: Univ. of Michigan Press, 1941, p. 159—190.
6. Stationary points of transformation groups. —Proc. Nat. Acad. Sci. USA,
1942, 28, p. 293—297.
7. Permutable periodic transformations. —Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1944,
30, p. 105—108.
8. Transformations of finite period, IV: Dimension parity. — Ann. Math.
1945, 46, p. 357—364.
9. Orbit spaces of abelian p-groups. —Proc. N'at. Acad. Sci. USA, 1959, 45,
p. 1772—1775.
10. New results and old problems in finite transformation groups. —Bull.
Amer. Math. Soc, 1960, 66, p. 401—415.
11. Orbit spaces of finite Abelian transformation groups.— Proc. Nat. Acad.
Sci., USA, 1961, 47, p. 1662—1667.
12. The cohomology of certain orbit spaces.— Bull. Amer. Math. Soc, 1963,
69, p. 563—568.
13. Periodic transformations of 3-manifolds. — Illinois J. Math., 1965, 9,
p. 343—348.
14. Abelian actions on 2-manifolds. — Michigan Math. J., 1967, 14, p. 257—275.
Смит, Ричардсон (Smith P. A., Richardson M.)
1. Periodic transformation of complexes.— Ann. Math., 1937, 38, p. 611—633.
Спеньер (Spanier E. H.)
1. Algebraic Topology. —N. Y.: McGraw-Hill, 1966. (Русский перевод:
Спеньер Э. Алгебраическая топология.—М.: Мир, 1971.)
Стернберг (Sternberg S.)
1. Lectures on Differential Geometry.— Prentice-Hall, \. J.: Englewood
Cliffs, 1964. (Русский перевод: Стернберг С. Лекции по дифференци-
дифференциальной геометрии.—М.: Мир, 1970.)

ЛИТЕРАТУРА 429
Стинрод (Steenrod N. Е.)
1. The Topology of Fibre Bundles. —Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press,
1951. (Русский перевод: Стинрод Н. Топология косых произведений.—
М.: ИЛ, 1953.)
Стинрод, Эйленберг (Steenrod N. Е., Eilenberg S.)
1. Foundations of Algebraic Topology, —Princeton, N. J.: Princeton Univ.
Press, 1952. (Русский перевод: Стинрод Н., Эйленберг С. Осно-
Основания алгебраической топологии.—М.: ИЛ, 1956.)
Стинрод, Эпстейн (Steenrod N. Е., Epstein D. В. А)
1. Cohomology operations,—Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, 1951.
(Готовится русский перевод.)
Столлингс (Stallings J.)
1. The piecewise linear structure of Euclidean space. — Proc. Cambridge
Philos. Soc, 1962, 58, p. 481—488.
Стон г (Stong R. E.)
1. Stationary point free group actions.— Proc. Amer. Math. Soc, 1967, 18,
p. 1089—1092.
2. Notes on Cobordism Theory.—Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press,
1968. (Русский перевод: С т о н г Р. Заметки по теории кобордизмов. —
М.: Мир, 1973.)
3. Bordism and involutions. —Ann. Math., 1969, 90, p. 47—74.
4. Unoriented bordism and actions of finite groups,—Mem. Amer. Math.
Soc, 1970, N103.
Б. Complex and oriented equivariant bordism. — In: Topology of Manifolds.
Chicago, Illinois: Markham Publ., 1970, p. 291—316.
Стюарт (Stewart Т. Е.)
1. Lifting the action of a group in a fibre bundle. —Bull. Amer. Math. Soc,
I960, 66, p. 129—132.
2. Lifting group actions in fibre bundles.—Ann. Math., 1961, 74, p. 192—
198.
3. Fixed point sets and equivalence of differentiable transformation groups. —
Comment. Math. Helv., 1963, 38, p. 6—13.
Cy (Su J. C.)
1. On a problem of P. A. Smith. —Bull. Amer. Math. Soc, 1961, 67,
p. 422-424.
2. A note on periodic transformations.— In: Hung-Ching Chow 60th Anniver-
Anniversary Volume. Taipei, Taiwan: Acad. Sinica, 1962, p. 99—107.
8. Transformation groups on cohomology projective spaces—Trans. Amer.
Math. Soc, 1963, 106, p. 305—318.
4. Periodic transformations on the product of two spheres. — Trans. Amer.
Math. Soc, 1964, 112, p. 369—380.
5. A note on the bordism algebra of involutions.—Michigan Math. J., 1965,
12, p. 25—31.
6. On the classification of transitive effective actions on Stiefel manifolds. —
Trans. Amer. Math. Soc, 1968, 130, p. 322—336.
7. Some results on cyclic transformation groups on homotopy spheres. — In:
Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967- Berlin; N. Y.:
Springer-Verlag, 1968, p. 193—204.
8. An example.— In: Proc. Conf. Transformation Groups, New Orleans, 1967.
Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 351.
Сулливан (Sullivan R. W.)
1. Differentiable actions of classical groups on spheres. — Topology, 1970, 9,
p. 155—167.
Суон (Swan R. C.)
1. Periodic resolutions for finite groups. —Ann. Math., 1960, 72, p. 267—291,
2. A new method of fixed point theory.—Comment. Math. Helv., 1960, 34,
p. 1—16.

430 ' ЛИТЕРАТУРА
С я н У.-И. (Hsiang W. Y.)
1. On the classification of differentiable SO (n)-actions on simply connected
л-manifolds.— Amer. J. Math., 1966, 88, p. 137—153.
2. On the compact homogeneous minimal submanifolds. — Proc. Nat. Acad.
Sci. USA, 1966, 56. p. 5—6.
3. On the bound of the dimensions of the isometry groups of all possible
Riemannian metrics on an exotic sphere. — Ann. Math., 1967, 85,
p. 351—358.
4. On the principal orbit type and P. A. Smith theory of SU (p)-actions. —
Topology, 1967, 6, p. 125—135.
5. Remarks on differentiable actions of non-compact semi-simple Lie groups
on Euclidean spaces.— Amer. J. Math., 1968, 90, p. 781—788.
6. A survey on regularity theorems in differentiable compact transformation
groups. — In: Proc. Gonf. Transformation Groups, New Orleans, 1967.
Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 77—124.
Сян У.-И., Су (Hsiang W. Y., Su J. C.)
1. On the classification of transitive effective actions on Stiefel manifolds.—
Trans. Amer. Math. Soc, 1968, 130, p. 322—336.
Сян У.-К. (Hsiang W. C.)
1. A note on free differentiable actions of S1 and S3 on homotopy spheres. —
Ann. Math., 1966, 83, p. 266—272.
Сян У .-К.. Сян У.-И. (Hsiang W. С, Hsiang W. Y.)
1. Some free differentiable actions of S1 and S3 on 11-spheres. — Quart. J.
Math., Oxford Ser. B), 1964, 15, p. 371—374.
2. Classification of differentiable actions on S", R" and D» with S* as the
principal orbit type. —Ann. Math., 1965, 82, p. 421—433.
3. On compact subgroups of the diffeomorphism groups of Kervaire spheres. —
Ann. Math., 1967, 85, p. 359—369.
4. Differentiable actions of compact connected classical groups, I. — Amer. J.
Math., 1967, 89, p. 705—786.
5. Some problems in differentiable transformation groups. —In: Proc. Conf.
Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-
Verlag, 1968, p. 223—234.
6- The degree of symmetry of homotopy spheres.— Ann. Math., 1969, 89,
p. 52—67.
7. Differentiable actions of compact connected classical groups, II. —Ann.
Math., 1970, 92, p. 189—223.
Та му р a (Tamura I.)
1. Fixed point sets of differentiable periodic transformations on spheres —
J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. I, 1969, 16, p. 101—104.
Tao (Tao Y.)
1. On fixed point free involutions of S!xS2. — Osaka J. Math., 1962, 14,
p. 145—152.
Толлефсон (Tollefson J. L.)
1. Fibering 3-manifolds that admit free Z^-actions. — Trans. Arner. Maih.
Soc, 1970, 147, p. 279—287.
Томас (Thomas С. В )
1. Homotopically distinct actions of finite groups. — Illinois J. Math., 1969,
13, p. 616—623.
2. On periodic maps which respect a syrnplectic structure. — Proc. Amer.
Math. Soc, 1969, 22, p. 251—254.
3. Obstructions for group actions on S2™. —In: Algebraic К-theory and its
Geomteric Applications. Berlin; N- Y.: Springer-Verlag, 1969, p 78—
86.
Tp оттер (Trotter H. F.)
1. Periodic automorphisms of groups and knots. — Duke Math. J., 1961, 28,
p. 553-557.

ЛИТЕРАТУРА 431
У аи л дер (Wilder R. L.)
1. Topology of Manifolds. —N. Y., 1949.
Уайтхед (Whitohead J. H. C.)
1. Simplicial spaces, nuclei and m-groups. —Proc. London Math. Soc, 1939,
45, p. 243—327.
2. On involutions of spheres.—Ann. Math., 1957, 66, p. 27—29,
Уильяме (Williams R. F.)
1. The construction of certain O-dimensional transformation groups. — Trans.
Amer. Math. Soc, 1967, 129, p, 140—156.
2. Compact non-Lie groups. — In: Proc. Conf. Transformation Groups, New
Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: 1968, p. 366—369.
У итни (Whitney H.)
1 Differentiate even functions. —Duke Math. J., 1943, 10, p. 159—160.
Уолл (Wall С. Т. С.)
1. On the exactness of interlocking sequences. — Enseignement Math. [2],
1966, 12, p. 95—100.
2. Free piecewise linear involutions on spheres. —Bull. Amer. Math. Soc-,
1968, 74, p. 554—558.
3. Surgery of Compact Manifolds.—N. Y.: Academic Press, 1970.
Уоллес (Wallace A. D.)
1. Group invariant continue. — Fundam. math., 1949, 36, p. 119—124.
Уояг (Wang H. C.)
1. A new characterization of spheres of even dimension.— Indag. Math.,
1949, 11, p. 286—295.
2 Compact transformation groups of S" with an (n—l)-dimensional orbit.—
Amer. J. Math., I960, 82, p. 698—748.
Учи (Ucci J. J.)
1. On symmetric maps of spheres.— Invent Math., 1968, 5, p. 8—18.
Уэллс (Wells G. S.)
1. Immersions of G-manifolds, G finite.—Bull. Amer. Math Soc, 1968, 74,
p. 130—132.
Уэст (West J. E.)
1. Fixed points sets of transformation groups on separable infinite-dimen-
infinite-dimensional Frechet spaces.— In: Proc. Conf. Transformation Groups, New
Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968, p. 446—450.
Ф а р и (Fary I.)
1. On Hilbert's theory of closed group actions.— In: Proc. Conf. Transfor-
Transformation Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968,
p. 419—428.
Ф лой д (Floyd E. E.)
1. Some retraction properties of the orbit decomposition spaces of periodic
maps.—Amer. J. Math., 1951, 73, p. 363—367.
2. Examples of fixed points sets of periodic maps. — Ann. Math., 1952, 55,
p. 161—171.
3. On periodic maps and the Euler characteristics of associated spaces. —
Trans. Amer. Math. Soc, 1952, 72, p. 138—147.
4. On related periodic maps. —Amer. J. Math., 1952, 74, p. 547—554.
6. Orbit spaces of finite transformation groups, I. —Duke Math. J., 1953,
20, p. 563—568.
6. Orbit spaces of finite transformation groups, II. — Duke Math. J., 1955,
22, p. 33—38.
7. Examples of fixed-point sets of periodic maps, II. — Ann. Math., 1956,
64, p. 396—398.
8. Orbits of torus groups operating on manifolds. — Ann. Math., 1957, 65,
p. 505—512.
9. Fixed point sets of compact abelian Lie groups of transformations. — Ann.
Math., 1957, 65, p. 30—35.

432 ЛИТЕРАТУРА
10. Periodic maps via Smith theory. —In: Seminar on Transformation Groups.
Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, 1960, Chapter III.
11. Isotropy subgroups of toral groups.— In: Seminar on Transformation
Groups. Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, 1960, Chapter VI.
Флойд, Ричардсон (Floyd E. E., Richardson R. W.)
1. An action of a finite group on an n-cell without stationary points.—
Bull. Amer. Math. Soc, 1959, 65, p. 73—76.
Фокс (Fox R. H.)
1. On knots whose points are fixed under a periodic transformation of the
3-sphere. —Osaka J. Math., 1958, 10. p, 31—35.
2. Knots and periodic transformations.— In: Topology of 3-manifolds and
Related Topics. New Jersey: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1962,
p. 177—182.
3. Two theorems about periodic transformations of the 3-sphere.—Michigan
Math. J., 1967, 14, p. 331—334.
Форд (Ford L. R., Jr.)
1. Homeomorphism groups and coset spaces.—Trans. Amer. Math. Soc., 1954,
77, p. 490—497.
X ан н e p (Hanner O.)
1. Some theorems on absolute neighborhood retracts, —Ark. Mat., 1951, 1,
p. 389—408.
Хеллер (Heller A.)
1. On equivariant maps of spaces with operators. — Arn. Math., 1952, 55,
p. 223—231.
2 Homological resolutions of complexes with operators. — Ann. Math., 1954,
60, p. 283—303.
3. Homotopy resolutions of semi-simplicial complexes. —Trans. Amer. Math.
Soc.,'1955, 80, p. 299—344.
4. Twisted ranks and Euler characteristics. —Illinois J. Math., 1957, 1,
p. 562—564.
5. A note on spaces with operators.— Illinois J. Math., 1959, 3, p. 98—100.
X ирцебрух (Hirzebruch F.)
1. Topological Methods in Algebraic Geometry. —3rd ed. —Berlin; N. Y.:
Springer-Verlag, 1966. (Русский перевод: Хирцебрух Ф Топологи-
Топологические методы в алгебраической геометрии, —М.: Мир, 1973.)
2. Singularities and exotic spheres. —Sem. Bourbaki, 1966/1967, 19,
N 314.
8. Involutionen auf Mannigfaltigkeiten. — In: Proc. Conf. Transformation
Groups, New Orleans, 1967. Berlin; N. Y.: Springer-Verlag, 1968,
S. 148—166.
4. The signature of ramified coverings. — In: Global Analysis. Tokyo, Japan:
Univ. of Tokyo Press, 1969, p. 253—265.
Хирцебрух, Ених (Hirzebruch F., Janich K.)
1. Involutions and singularities.—In: Algebraic Geometry, Bombay Colloq.
London; N. Y.: Oxford Univ. Press, p. 219—240.
Хирцебрух, Мейер (Hirzebruch F., Mayer К. Н.)
1. О (n)-Mannigfaltigkeiten, Exotische SphSren und SingularitSten. — Berlin;
N: Y.: Spdnger-Verlag, 1968.
X и р ш Г. (Hirsch G.)
1. Sur des properietes de representations permutables et des generalisations
d'un theoreme de Borsuk. —Ann. Sci. Ecole Norm, Sup C), 1943, 60,
p. 113—142.
2. Sur les groupes d'homologie de certains complexes de recouvrement. —
Portugal Math., 1945, 4, p. 225—237.
Хирш М., Милнор (Hirsch M. W., Milnor J.)
1. Some curious involutions of spheres. — Bull. Amer. Math. Soc, 1964, 70,
p. 372—377.

ЛИТЕРАТУРА 433
Хирш М., Смейл (Hirsch M. W. Smale S.)
1. On Involutions of the 3-sphere. — Amer. J. Math., 1959, 81, p. 893—900.
X о л м е н (Holmann H.)
1. Seifersche Faserraume.— Math. Ann., 1964, «57, S. 138—166.
Хофман, Мостерт (Hofmann К. H., Mostert P. S.)
1. Elements of Compact Semigroups.—Columbus, Ohio: Merrill, 1966.
2. Compact groups acting with (n— l)-dimensional orbits on subspaces of
n-manifolds. — Math. Ann., 1966, 167, p. 224—239.
Хохшильд (Hochschild Q.)
1. The Structure of Lie Groups. —San Francisco, California: Holden-Day,
1965.
X у (Hoo S. C.)
1. Remarks on the bordism algebra of involutions. — Proc. Amer. Math. Soc,
1966, 17, p. 1083—1086.
Хьюзмоллер (Husemoller D.)
1. Fibre Bundles. — N. Y.: McGraw-Hill, 1966. (Русский перевод: Хьюз-
Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства.—М.: Мир, 1970.)
Целле (Zelle К. G.)
1. Symmetrien von Mannigfaltigkelten und charakteristishe Zahlen.—Bonn
Math. Schr., 1964, N 22.
Чернов, Марс ден (Chernoff P., Marsden J.)
1. On continuity and smoothness of group actions. — Bull. Amer. Math. Soc,
1970, 76, p. 1044—1049.
Чу (Chu H.)
1. A note on compact transformation groups with a fixed end point. — Proc.
Amer. Math. Soc, 1965, 16, p. 581—583.
2. Fixed points in a transformation group.—Pacific J. Math., 1965, 16,
p. 1131—1135.
3. On the existence of slices for transformation groups.—Proc. Amer. Math.
Soc, 1967, 18, p. 513—517.
4. A remark on a conjecture of Seifert,—Topology, 1970, 9, p. 275—281.
ly, Кобаяси (Chu H., Kobayashi S.)
1. The automorphism group of a geometric structure.—Trans. Amer. Math.
Soc, 1964, 113, p. 141—150.
Шварц А. С
1. Гомотопическая двойственность для пространств с операторами.—ДАН
СССР, 1961, 36, № 1, с. 43—46.
Шевалле (Chevalley С.)
1. Theory of Lie Groups.—Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, 1946,
(Русский перевод: Шевалле К. Теория групп Ли.—M.i ИЛ, 1948,
1958.)
Эйленберг (Eilenberg S.)
1. Sur les transformations periodiques de la surface de sphere.—Fundam.
Math., 1934, 22, p. 28—41.
2. On a theorem of P. A. Smith concerning fixed points for periodic trans-
transformations.—Duke Math. J., 1940, 6, p. 428—437.
3. Homology of spaces with operators, I. —Trans. Amer. Math. Soc,
1947, 61, p. 378—417; Errata.—Trans. Amer. Math. Soc, 1947, 62,
p. 548.
Эйленберг, Маклейн (Eilenberg S., MacLane S.)
1. Homology of spaces with operators, II.—Trans Amer. Math. Soc., 1949,
65, p. 49—99
Эк май (Eckmann В.)
1. Coverings and Betti numbers.— Bull. Amer. .Math. Soc, 1949, 55, p. 95—101.
2. On complexes with operators. — Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1953, 39,
p. 35—42.

ЛИТЕРАТУРА
(Erie D.)
Die quadratische Form eines Knotens und ein Satz fiber Knotenmannig-
faltigkeiten. —J. reine angew. Math., 1969, 236, S. 174—218.
Quadratische Forrnen als invarianten von Einbettungen der Kodimension2.—
Topology, 1969, 8, S. 99—114.
(Yang С Т.)
On a problem of Montgomery. —Proc. Amer. Math. Soc, 1957, 8,
p. 255—257.
Transformation groups on a homological manifold. — Trans. Amer. Math.
Soc, 1958, 87, p. 261—283.
p-adic transformation groups.—Michigan Math J., 1960, 7, p. 201—218.
The triangulability of the orbit space of differentiable transformation
group. —Bull. Amer. Math. Soc, 1963, 69, p. 405—408.
On the action of SO C) on a cohomology manifold.—Pacific J. Math.,
1963, 13, p. 353—359.
On involutions of the five sphere. —Topology, 1966, 5, p. 17—19.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адаме 368, 378, 394, 398
Арене 80
Атья 6, 67, 178, 333, 334, 339, 340, 341,
342, 344, 345
Борель 67, 96, 159, 166, 168, 173, 197,
220, 356
Ботт 67, 178
Бохнер 299
Браудер 321, 332, 338
Браун 223, 225. 227
Бредон 8, 21, 53, 63, 67, 125, 140, 159,
162, 163, 178, 187, 189, 192, 198, 213,
217, 231, 255, 259, 279, 283, 284, 304,
321, 338, 345, 353, 357, 358, 361, 362,
365, 367, 369, 372, 380, 385, 386, 392,
395, 404, 405, 406, 409, 412
Брискорн 63, 268, 271, 320, 331
Бухштабер В. М. 7, 8
Вассерман 304
Вейль 315
Вол мэн 116, 182
Вольф 65, 153
Глисвн 41, 45, 81, 94
Гуревич 116, 182
Джонс 328
Дольд А. 7, 36, 65, 139, 162, 187
Дресс 159
Дугунджи 51, 80, 107, 13». 223. 237, 296
Коннер 6, 7, 11, 41, 48, 53, 67, 69, 70, 76,
125, 168, 178. 197, 198, 213, 216, 262,
376, 392, 405
Кроуэлл 283
Куан 109
Кюйпер 329, 330, 339
Левин 332
Ленг 301
Ли Р. 154
Лумис 21
Ляо 125
Маклейн 149
Макмиллан 70
Мальгранж 314
Манн 76, 173, 174, 216
Мейер 63, 255, 266, 268, 271—272, 320—
321
Милнор 61, 151, 153, 268, 271, 301, 307,
328, 331, 332, 334, 337
Монтгомери 21, 53, 67, 70, 76, 79, 94, 97,
179, 185, 187, 209, 213, 216, 329, 338,
339
Мостерт 209
Мост®в 30, 79, 94, 116, 117, 173, 219, 304
Мищенко А. б. 7—8
Новиков С. П. 8, 341
Ньюмен 155, 158
Орлик 212
Осса 333
Ених 249, 252, 276, 284, 309, 315, 32Ь, 333
Зейферт 62, 66
Зибенманн 281
Зиман 70
Зингер 333
Иллс 329, 330, 339
Картан 149, 150, 151, 402
Келдыш Л. В. 223, 274
Кервер 61
Кертис 374, 405
Кистер 53, 70, 76
Кокстер 65, 66
Коннел 231. 281, 338
Пале 30, 45, 79, 94, 100, 104. ПО, 114,
117, 304
Петри 154, 332, 382, 385
По нее 67
Понтрягин 12, 21
де Рам 39
Реймонд 76, 109, 212, 213
Ричардсон 41, 53, 67
Рохлин В. А. 7, 57, 66, 73
Самельсон 67, 185, 209
Смейл 61
Смит 67, 70, 134, 143, 150 151 155, 159,
178, 367 '
Спеньер 111, 120, 122 128 131, 150, 157,
162, 195, 227, 279,'331,' 359

436
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Сташеф 334
Стернберг 303
Стинрод 79, 83, 125, 135, 138, 139, 141,
145, 367, 378, 389,390, 393, 395, 397
Столлинг 70
Стонг 334
Стюарт 338
Су 367, 380, 385, 394, 395, 398, 405, 406
Суон 132, 151, 153, 363
Сян У.-И. 8, 70, 252, 274, 276, 284, 320,
326
Сян У.-К. 70, 252, 274. 276, 284, 320. 326
Трельфалль 62, 66
Уайлдер 206
Уайтхед 66
Уитни 314
Уолл 154, 163
Фари 163
Флойд 6, 7, И, 41, 48, 53, 67, 69, 70, 125,
129, 132, 134. 168, 173. 178. 262, 376,
392, 405
Фокс 283
Фукс Д. Б. 7, 57, 66, 7S
Ханнер 227
Хеллер 132, 363
Хирцебрух 63, 265, 266, 268, 271 — 272,
284, 320—321, 332, 333, 339, 341
Хофман 209
Хохшильд 12, 25, 30
Хьюзмоллер 79, 347, 350
Циппин 21, 94, 185, 209
Шевалле 12, 25, 30
Эйленберг 135, 138, 139, 141, 145, 149,
150, 151, 403
Экман 125
Эпстейн 125, 3«7, 378, 389, 390, 393, 397
Эрл 332
Янг 6В 79, 94, 97, 178, 185, 209, 255.
329, 338, 339

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аппроксимация зквиварнантная гладкая
306
симплициальная 77
Барицентрическое подразделение 120
Бореля равенство 166
Брискорна многообразие 266 — 270
Вейля группа 35, 192
Вектор касательный 289
Веретеноподобыая окрестность 223
Вершина (симплициального комплекса)
120
Вещественное представление 20
Вложение 116
— гладкое 290
— — аквивариантное 304
— ручное 261
— эквивариантное 116
Водопроводное соединение 261
— — эквивариантное 262
Вписывание 138
— звездное 139
Вполне негомологичный нулю слой 361
— паракомпактное пространство 100
— приводимое представление 24
Вторая теорема классификации 251
Главная орбита 179, 180
— стационарная подгруппа 180
Главное G-расслоение 81
Главный орбитный тип 180
Гладкая структура индуцированная 291
Гладкое вложение 290
— действие 289
— многообразие 288
— — с краем 288
— отображение 288
— эквивариантное вложение 304
Гомологии Чеха 139
Гомоморфизм одной топологической груп-
группы в другую 14
Грань (симплекса) 120
Группа Вейля 35, 192
— Ли 30
— — полупростая 38
— — простая 38
— —, ранг 39
— общая линейная 16
— однопараметрическая 31
— ортогональная 16
— полная линейная 16
— симплектическая 19, 20
— специальная линейная 16
— спинорная 39
— топологическая 12
Группа топологическая, не содержащая ма-
малых подгрупп 29
— топологических преобразований 41
— торическая (тор) 35
— универсальная накрывающая группы
Ли 33
— унитарная 16
Группы Ли локально изоморфные 34
Действие 41
— гладкое 289
— локально гладкое 170, 171
— — — несглаживаемое, пример 340
— полусвободное 45
— послушное 276
— почти эффективное 42
— свободное 49
— транзитивное 49
— эффективное 42
—, ядро 42
Действия слабо эквивалентные 44
— эквивалентные 44
Джойн 66, 68, 114
— Пале 114
Диффеоморфизм 288
Дифференциал 290
Дифференцируемое отображение 288
Евклидово G-расслоение 295
Единицы G-разбиение 136
Закон экспоненциальный 86
Замкнутая инвариантная трубчатая окрест-
окрестность 296
Замкнутый конус 112
Заузленное многообразие 278
Звездное вписывание 139
Изотопия 302
—, интегрирование 302
Изотропии подгруппа 28
Икосаэдр 65
Икосаэдральная подгруппа 65
Иммерсия 290
Инвариант Браудера — Петри 332
— Иллса — Кюйпера 329—331, 33
— Милнора 330
2
32
339
— Милнора 330
Инвариантная риманова метрика 294
Инволюции на произведениях сфер 394 —
400
Инволюций группы 389—394
Инволюция 62
Инвариантная трубчатая окрестность 286
— — —, единственность 259
— — — замкнутая 296
— — — открытая 236
— — —, существование 296

438
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Инвариантное покрытие 135
Индуцированная гладкая структура 291
Интеграл Хаара 21
Интегрирование изотопии 302
Иррациональная обмотка тора 44
Исключительная орбита 180
— специальная орбита 184
Карта 288
Касательное пространство 290
— расслоение 290
Касательный вектор 289
Категория С-орбит 50
— типов G-орбит 51
Классификации вторая теорема 251
— первая теорема 245
Коамальгама 55
Когомологии Чеха 139
Когомологические группы Смита 128
Когомологическое расширение слоя 359
Комплекс симплициальный 120
— —, барицентрическое подразделение
120
— —, вершина 120
— —, топологическая реализации 120
Комплексификация (представлении) 20
Комплексное представление 20
Коническая орбитная структура 105, 106
Конус замкнутый 112
— открытый 105, 106
Кромка 223
— нормальная 225
Кэли проективная плоскость 375
Левое в-пространство 41, 42
Левый сдвиг 12
Лемма о выпрямлении 235
Лере — Хирша теорема 359
Ли группа 30
— — полупростая 38
— — простая 38
— —, ранг 39 •
Линейная трубка 171
Линейный срез 171
Линзовое пространство 62, 63, 254, 255
Локально гладкое действие 170, 171
— — —, несглаживаемое, пример 340
— — пространство 171
— изоморфные группы Ли 34
Максимальный тор 35
Малая орбита 155 — 159
Метрика риманова 294
Мнкроодносвязное пространство 73
Многообразие Брискорна 266 — 270
— гладкое 288
— — с краем 288
— заузленное 278
— О (л)-заузленное 278
— Штифеля 76
Множество б-инвариантнос 42
Морфизм функционально структуризован-
ных пространств 287
Мостова — Пале теорема 304
Насыщение 46
Насыщенное множество 46
Неподвижная точка 53
Неприводимое представление 24
Нерв (покрытия) 135, 136
Нормализатор 15
Нормальная кройка 226
Нормальное пространство 27
— расслоение 295
Ньюмена теорема 155
Обмотка тора иррациональная 44
Общая линейная группа 16
Однопараметрическая группа 31
Окрестность веретеноподобная 16
Операции Стинрода 369 — 371, 389 — 390
Орбит пространство 46
— —, ориентируемость 186
Орбита 46
— главная 179, 180
— исключительная 180
— — специальная 184
— малая 155—159
— особая 180
Орбитная структура 77
— — коническая 105, 106
Орбитный тип 51
— —, конечность их числа 173, 216
— — главный 180
Орбиты ограниченного диаметра 159
Ортогональная группа 16
Ортогональное представление 20
Особая орбита 180
Открытая инвариантная трубчатая окрест-
окрестность 29E
— _ _ _, единственность 299
— — — —, существование 296
Открытый конус 105, 106
Отображение гладкое 288
— дифференцируемое 288
— собственное 47
— эквивариантное 44
— экспоненциальное (ехр) 17, 31, 291
Отображения смежные 129
Пале джойн 114
Пале — Мостова теорема 304
Пале теорема классификации 79, 110, 115
— — о накрывающей гомотопии 79, 100,
104
Пара Пуанкаре 385
Первая теорема классификации 245
Перехода функция 80
Погружение 290
Подгруппа изотропии 28
— икосаэдральная 65
— стационарная 28, 44
Подмногообразие 290
Подразделение барицентрическое 120
Покрытие инвариантное 135
— самоиндексированное 135
Полиэдр 120
Полная линейная группа 16
Полупростая группа Ли 38
Полусвободное действие 45
Последовательность Смита точная гомоло-
гомологическая 127
— — — когомологическая 128
— Смита — Гизина 163
Послушное действие 276
Почти эффективное действие 42
Правый сдвиг 12
Представтение вещественное 20
— в неподвижной точке 341
— вполне приводимое 24
— комплексное 20
— на срезе 174
— неприводимое 24
— ортогональное 20
— приводимое 24

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
439
Представление присоединенное 38
— унитарное 20
Представления эквивалентные 20
Приводимое представление 24
Приклеивание эквивариантное 57
Присоединенное представление 38
Проективная плоскость Кэли 375
Произведение расслоенное 55
— скрученное 55
Производная 289
Простая группа Ли 38
Пространство вполне паракомпактное 100
— касательное 290
—, классифицирующее G-структуры данно-
данного типа 115
— линзовое 62, 63, 254, 255
— локально гладкое 171
— микроодносвязное 73
— нормальное 27
— орбит 46
— Пуанкаре 385
— структуризованное 223
— «-универсальное 115
— финитное 135
— Т^-финитное 165
— функционально структуризованное 281
Пуанкаре пара 385
— пространство 385
Ранг группы Ли 39
Расслоение 80
—, ассоциированное с главным расслое-
расслоением 83
— G-векторное 293
— —, евклидово 294
— касательное 290
— нормальное 295
— регулярное 242
— сингулярное 242
—, структурная группа 80
Расслоенное произведение 55
Расширение слоя когомологическое 359
Регулярное G-действие 121
— G-покрытие 137
— расслоение 242
Регулярный G-комплекс 121
Редукция структурной группы расслоения
231
Римаиова метрика 294
— —, инвариантная 294
Ручное вложение 261
Самоиндексированное покрытие 135
Свободное действие 45
Сдвиг левый 12
— правый 12
Сеть 43
Сечение 48
Сигнатура, инвариантность 339
Симплекс 120
Симплектическая группа 19 — 20
Симплициальная аппроксимация эквива-
риантная 77
Симплициальный комплекс 120
— —, барицентрическое подразделение
120
— —, топологическая реализация 120
— G-комплекс 120
Сингулярное расслоение 242
Скалярное умножение 293
— — инвариантное 294
Скрученное произпедение 55, 81
Слабо эквивалентный' действия 44
Слой, вполне негомологичный нулю 360
Слоя когомологическое расширение 359
Смежные отображения 129
Смита — Гизина последовательность 163
Смита специальная гомологическая группа
127
— — когомологическая группа 128
— — — —, естественность 129
— точная последовательность гомологиче-
гомологическая 127
— — — когомологическая 128
— точный треугольник гомологический
127
— — — когомологический 128
Собственное отображение 47
— G-пространство 249
Специальная гомологическая группа Смита
127
— исключительная орбита 184
— когомологическая группа Смита 128
— — — —, естественность 129
— линейная группа 16
Спинорная группа 39
Срез 90
— линейный 171
Стабилизатор 44
Стационарная подгруппа 28, 44
— — главная 180
— точка 53
Стационарный тип 51
Стинрода операции 369 — 371, 389—390
Структура орбитная 77
— — тонкая 249
— G-орбитная 77
— функциональная 287
— —, индуцированная отображением 287,
288
Структуризованное пространство 223
Структурная группа расслоения 80
— , редукция 231
Теорема классификации Пале 79, 110, ЦБ
— — вторая 251
— — первая 245
— Лере — Хирша 359
— Мостова — Пале 304
— Ньюмена 155
— об инвариантности области 65
— об эквивариантной кромке 223, 226
— — — симплициальной аппроксимации
— о трубке 239
— Пале о накрывающей гомотопии 79,
100, 104
— Титце — Глисона 45
Тип орбитный 51
— стационарный 51
Типов G-орбит категория 50
Титце — Глисона теорема 45
Тонкая орбитная структура 249
Топологическая группа 12
— —, не содержащая малых подгрупп 29
Топологическая реализация симплициаль-
ного комплекса 120
Топологических преобразований группа 41
Тор 35
— максимальный 35
Торическая группа (тор) 35
Точка неподвижная 53
— стационарная 53
Точная последовательность Смита гомоло-
гомологическая 127
— — — когомологическая 128
Точный треугольник Смита гомологиче-
гомологический 127
— — — когомологический 128

440
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Транзитивное действие 49
Трансфер 123, 125
Трубка 89
— линейная 171
—, существование 92
Трубчатая окрестность инвариантная 306
— — —, единственность 299
— — — замкнутая 296
— — — открытая 296
— — —, существование 296
Универсальная накрывающая группа груп-
группы Ли 33
Унитарная группа 16
Унитарное представление 20
Умножение скалярное 293
— — инвариантное 294
Финитное пространство 135
Функциональная структура 287
— —, индуцированная отображением 288
Функционально структуризованное прост-
пространство 281
Функция перехода 80
Хаара интеграл 21
Характеристика эйлерова 35
Чеха гомологии 139
— когомологии 139
Штифеля многообразие 76
Эйлерова характеристика 35
Эквивалентность О-пространств 44
Эквивалентные представления 20
— G-пространства 44
Эквивариантная К-теория 341
— гладкая аппроксимация 306
— симплициальная аппроксимация 77
Эквивариантно изотопные трубчатые ок-
окрестности 299
Эквивариантное вложение 116
— водопроводное соединение 262
— отображение 44
— приклеивание 57
Экспоненциальное отображение (ехр) 17,
31, 291
Экспоненциальный закон 86
Эффективное действие 86
Ядро действия 42
Д-род 339
С^-многообразие 288
— с краем 288
Ссо-структура 288
й-векторное расслоение 293
— — евклидово 294
С-действие регулярное 121
С-ннвариаитное множество 42
G-комплекс регулярный 121
— симплициальный 120
G-многообразие специальное 315
С-орбитная структура 77
С-покрытие 13/
— регулярное 137
G-пространство (левое) 41, 42
G-пространство собственное 249
G-разбиение единицы 136
К-теория эквивариантная 341
О (г^-заузленное многообразие 322
«-универсальное пространство 115
S-редукция расслоения 232
Т^-финитное пространство 165
Глен Э. Бредон
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ КОМПАКТНЫХ ГРУПП ПРЕОБРАЗОВАНИИ
М., 1980 г., 440 стр. с илл.
Редактор Ф. И. Кизнер
Технический редактор В. Н. Кондакова
Корректоры Л. Н. Ворована, Е. В. Сиборкина
ИБ 11380
Сдано в набор 27.0180. Подписано в печать 27.10.80. Бумага 60X90'/ie, тип. № 1. Литера-
Литературная гарнитура. Высокая печать. Усл. печ. л. 27,5. Уч.-изд. л. 30,74. Тираж 6 800 экз.
Заказ IVs 1238. Цена 3 р.
Издательство «Наука» , Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москв» В-71, Ленинский пр., 15.
Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного знамени Ленинградское
производственно-техническое объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького
Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли, 197136, Ленинград, П-1&), Чкаловскнй пр., 13.
Отпечатано в тин. Nt 2 изд-ва «Наука», Москва, Шубинский пер., 10. Зак. 4.