/
Текст
Д Р. ЭЛЛИС
УПРАВЛЯЕМОСТЬ
АВТОМОБИЛЯ
Перевод с английского канд. техн, наук Г. К. Мирзоева
Москва • «Машиностроение» • 1975
6Т2.1
Э47
УДК 629.113.075
Редактор д-р техн, наук Я. М. Певзнер
VEHICLE DYNAMICS
Professor], R. Ellis, M.Sc. (Eng.), Ph.D„ F.I.Meeh.E
Advanced School of Automobile Engineering, Cranjicld
LONDON
BUSINESS BOOKS LIMITED
--------------------------------------------------------—
Эллис Д. P.
Управляемость автомобиля. Пер. с англ. М., «Машинострое-
ние», '1975.
216 с. с ил.
В книге рассматриваются управляемость и устойчивость автомобиля, а также
влияние на них его конструктивных параметров. Приведены методы и конкретные
примеры моделирования автомобиля на аналоговых ЭВМ. Особое внимание уделено
работам Кор йельской авиационной лаборатории, имеющим большое научное значение.
Автор книги — один из ведущих английских ученых, директор Высшей школы
автомобильных инженеров Кренфилда.
Книга представит интерес для научных и инженерно-технических работников, за-
нимающихся вопросами управляемости и устойчивости автомобиля.
31803-
038(01)-75
6Т2.1
© 1969 John Ronaine Ellis. © перевод на русский язык,
издательство «Машиностроение», 1975 г.
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Глава 1
Ь — ширина протектора;
С — тангенс угла наклона касательной к кривой зависимости боковая си-
ла — угол увода в начале координат (коэффициент сопротивления
уводу);
d — высота протектора;
EI — модуль изгиба коронной части шины;
h — деформация протектора относительно траектории центра колеса;
k — боковая жесткость шины;
I — половина длины контактной площадки;
L — свободный периметр шины;
L' — условная длина, применяемая в теории шин;
N— стабилизирующий момент управляемого колеса;
р — давление воздуха в шине;
p(s) — боковая распределенная нагрузка;
Pz(s) —вертикальная распределенная нагрузка;
PI — максимальная величина Pz(s)-,
q — боковое перемещение коронной части шины относительно обода ко-
леса;
R — радиус колеса;
s — расстояние, измеряемое вдоль коронной части шины;
Т— сила натяжения коронной части шины;
х — перемещение вперед центра колеса;
х —длина волны колебаний;
X — тяговая сила;
У — боковая сила;
у — боковое перемещение центра колеса;
2 — вертикальная нагрузка на шину;
а — угол увода колеса;
(р — угол развала колес;
ц — коэффициент трения;
р — радиус траектории шины во время поворота
1/<т2=Л/7";
I — обозначение установившихся величин
SS
Глава 2
а — линейная скорость вдоль оси х;
Ь — линейная скорость вдоль оси у\
с —линейная скорость вдоль оси г,
3
р — угловая скорость вокруг оси х;
q — угловая скорость вокруг оси у;
г — угловая скорость вокруг оси г;
и — суммарная скорость вдоль оси х;
г — суммарная скорость вдоль оси у;
w — суммарная скорость вдоль оси г;
U — мгновенная скорость начала координат в направлении оси х;
V — мгновенная скорость начала координат в направлении оси у;
W — мгновенная скорость начала координат в направлении оси г;
А" — внешняя сила, направленная по оси х;
Y — внешняя сила, направленная по оси у;
Z — внешняя сила, направленная по оси г.
L — внешний момент относительно оси х;
Л1 — внешний момент относительно оси у;
N — внешний момент относительно оси г;
т — масса кузова;
1Х — момент инерции относительно оси х;
1у — момент инерции относительно оси у;
h — момент инерции относительно оси г;
Руг — произведение инерции относительно осей у и г;
Рхх — произведение инерции относительно осей х и г;
Рху — произведение инерции относительно осей х и у;
ф — угол поворота вокруг оси 2;
О — угол поворота вокруг оси у,
Ф — угол поворота вокруг оси х.
Глава 3
а — расстояние от центра тяжести до передней оси;
Ь — расстояние от центра тяжести до задней оси;
С/— характеристика шин о_0 передних колес;
Сг — характеристика шин Wda)a=0 задних колес:
Iz — полярный момент инерции;
I — база автомобиля: I = а + Ь;
т — масса;
Vp = 0/V/cJp; N6 = dN/dX. Nr = ON/dr.
t — время;
2/ и 2/j — колея соответственно передних и задних колес;
U — поступательная скорость автомобиля;
V — боковая скорость автомобиля;
х — перемещение вперед центра тяжести относительно неподвижной сис-
темы координат;
у — боковое перемещение центра тяжести относительно неподвижной сис-
темы координат;
Гр = дУ/(Э₽; УБ = йК/дб; Уг = BY/dr,
гл/ —угол увода передних колес;
аг — угол увода задних колес;
₽ = V/U-,
б — угол поворота передних колес;
4
ф — угол отклонения продольной оси автомобиля;
г — угловая скорость поворота автомобиля;
| — обозначение установившихся величин.
SS
Глава 4
а — расстояние от центра тяжести до передней оси тягача;
Ъ — расстояние от центра тяжести до задней оси тягача;
С\, Cg, С3— характеристики шин соответственно передней и задней осей тягача и
оси прицепа;
d — расстояние от центра тяжести тягача до сцепного устройства;
е — расстояние от центра тяжести прицепа до сцепного устройства;
h — расстояние от центра тяжести прицепа до оси прицепа;
/1 — момент инерции тягача относительно вертикальной оси, проходящей
через центр тяжести;
— момент инерции прицепа относительно вертикальной оси, проходящей
через центр тяжести;
/1 = а + Ь-, /2 = е + h;
OTJ — масса тягача;
тг — масса прицепа;
г— угловая скорость поворота тягача;
г' — угловая скорость поворота прицепа;
U — поступательная скорость тягача;
И — поступательная скорость прицепа;
И — боковая скорость тягача;
V' — боковая скорость прицепа;
X — сила в сцепном устройстве, действующая вдоль продольной оси тягача;
Xi, Xs, Х3—тормозные силы соответственно на передних и задних колесах тяга-
ча и колесах прицепа;
У — сила в сцепном устройстве, направленная перпендикулярно продоль-
ной оси тягача;
6 — угол поворота управляемых колес;
<р — угол между тягачом и прицепом.
Глава 5
Н — высота центра тяжести кузова относительно начала координат;
ki — боковая жесткость шины;
kv — вертикальная жесткость шины;
К — действительная жесткость пружины;
Ki — боковая жесткость главных пружин подвески;
Кч — вертикальная жесткость главных пружин подвески;
Kz — эффективная жесткость пружины, приведенная к колесу;
dL/dq — угловая жесткость;
2/ — колея;
— расстояние между амортизаторами;
tm — расстояние от начала координат до центра тяжести полуоси;
2/s— рессорнаяколея;
Z — вертикальная реакция на опорной поверхности;
<р — угол крена кузова;
<Р1 и <р2 — углы наклона соответственно передней и задней подвесок.
5
Глава 6
AT — стабилизирующий момент колес;
Л — расстояние между центрами подрессоренных и неподрессоренных масс
в направлении оси г;
= dt/dp; L„ = dL/dq-,
Np — dNjdp-, — dh'/drp;
Yv = ЙГ/дф;
Ef и 8r — коэффициенты поворота соответственно передних и задних колес
в результате крена.
Глава 7
Приведены только специфичные обозначения в связи с применением анало-
говых машин. Обозначения, используемые в уравнениях механики, аналогичны
приведенным в предыдущих главах.
Ах — масштаб, связывающий напряжение с физической переменной;
CR — постоянная времени интегратора;
1/CR- временной масштаб интегратора;
RfIR- усиление суммирующего блока;
V i — входное напряжение цепи;
Vo — выходное напряжение цепи;
X и Y — напряжения, соответствующие перемещениям х и у;
X и Y — напряжения, соответствующие скоростям х и у,
X и У — напряжения, представляющие ускорения х и у,
т — коэффициент масштаба времени.
Глава 8
Используются обозначения предыдущих глав. Там, где невозможно напря-
жения обозначить соответствующей строчной буквой, применяются буквы-симво-
лы физических величин, но с чертой наверху, например:
V — боковая скорость центра тяжести автомобиля;
V —напряжение, соответствующее боковой скорости.
Глава 9
Используются обозначения гл. 1, 2, 5 и 6.
ВВЕДЕНИЕ
Предмет «Динамика автомобиля» рассматривает движение
автомобиля в зависимости от способа управления им и воздей-
ствий неровностей дороги.
Несмотря на то что все автомобили создаются для удовлетво-
рения транспортных потребностей людей, главным критерием
оценки легкового автомобиля является личное мнение водителя,
тогда как грузовые автомобили должны дополнительно удовлет-
ворять требованиям экономики перевозок.
Блок-схема одной из возможных систем автомобиль — води-
тель (рис. 1) показывает, что на водителя воздействуют наблю-
даемая им дорожная обстановка, шум, вибрации, реакции авто-
мобиля на управление, аэродинамические силы и их моменты и
неровности дороги. В этих условиях водитель должен управлять
автомобилем при помощи органов управления таким способом,
который приемлем для него самого, пассажиров и других участ-
ников движения.
Так как водитель ответственен за принимаемые им решения,
необходимо учитывать его оценку качеств автомобиля, которая
является субъективной. Следовательно, если известны конкретные
условия данной страны, то могут быть созданы автомобили, кото-
рые будут удовлетворять требованиям большинства потребителей.
«Оптимальный» для местных условий автомобиль может быть
неудовлетворительным для других условий; например, мало веро-
Рис. [. Одна из возможных схем управ-
лении автомобилем, включающая води-
теля
Рнс. 2. Часть схемы управления
автомобилем, рассматриваемая
в книге
7
динамических характеристик автомобиля. Зависимость деформа-
ции шины от вертикальной нагрузки (рис. 1.1, а) практически
линейна при ее рабочих значениях и определяется давлением
воздуха в шине. При статическом нагружении шина в большин-
стве случаев проявляет такие же свойства, как и пружина, и, как
следовало ожидать, максимальные величины поперечной и про-
дольной сил ограничены скольжением шины в контакте. При этих
испытаниях замечено некоторое взаимное влияние сил и дефор-
мации; например, приложение силы в горизонтальной плоскости
увеличивает вертикальную деформацию шины при постоянной
нагрузке. Хотя эти изменения вертикальной деформации малы, их
наличие свидетельствует о том, что существует связь между пере-
мещениями шины, рассматриваемыми при изучении плавности
хода и управляемости автомобиля, даже если не принимать во
вниманиехарактеристики подвески.
1.2. Испытания катящейся шины. Реакции
опорной поверхности
Если шину повернуть относительно траектории движения, то
вследствие ее деформации и смещения контакта появятся боковая
сила и момент, который стремится повернуть колесо в направ-
лении качения (рис. 1.2). Передняя часть контактной площадки
параллельна направлению движения, а ее задняя часть изгибается
в сторону средней плоскости колеса вследствие проскальзывания
элементов шины. Для малых углов увода контактная площадка
практически параллельна направлению качения, но по мере уве-
личения угла 6 зона проскальзывания перемешается вперед, и при
6 = 12 — 15° проскальзывает вся контактная площадка, а боковая
сила достигает максимальной величины. Распределение сил в
контакте шины с дорогой показано на рис. 1.2 [1.1]. При малых
углах увода боковые силы возрастают от передней части кон-
тактной площадки к задней, точка приложения результирующей
боковой силы смещается и создается стабилизирующий момент
относительно вертикальной оси. Для типичной автомобильной
шины распределение вертикальной нагрузки примерно одинаково,
а наличие продольных сил в площадке контакта шины с плоско-
стью дороги объясняется деформацией криволинейной поверхно-
сти шины в ней. Рост боковой силы при увеличении угла увода
замедляется вследствие проскальзывания шины, которое начи-
нается в задней части контактной площади и распространяется на
ее переднюю часть по мере увеличения угла а. Если к колесу
прикладывается продольная сила, то ее элементарные силы рас-
пределяются аналогично элементарным боковым силам.
Вертикальная сила влияет на величину боковой силы при
любых углах увода. На рис. 1.3 приведен типичный комплексный
график, который отражает эти изменения для шины легкового
автомобиля малого класса.
10
рис 1.2. Деформация шины при повороте
на 2 н 10°- и распределение сил в кон*
тактной площадке:
а — в — распределение соответствен ко боко
ной, тяговой и нормальной сил; г — пере-
мещения шины по дороге
Рис. 1.3. Комплексный график зави-
симости боковой силы У от угла уво-
да а и нормальной нагрузки 2. при
малой скорости качения шины по су-
хой бетонной поверхности (только
положительные ветви характеристик:
шина 5,50X12; обод4‘/г7; р =
= 1,25 иге/см2; <р = 0)
Рис. 1.4. Влияние давления воздуха в
Шине на боковую силу ¥ при постоянной
нормальной нагрузке (шина 5,50X12,
обод 41/1Л Ф = О, Z = 360 KrcJ:
— область давлений. превышающих рабо-
чие; // — область рабочих давлений
Рис. 1.5. Влияние угла развала <р на
боковую силу У (шииз 5,50X12, обод
р = 1,75 кгс/с№, Z = 360 кгс)
При умеренном повышении давления воздуха в шине возраста-
ет боковая сила и боковая жесткость шины, но, как видно
из рис. 1.4, чрезмерное увеличение давления в шине бесполезно,
поскольку при этом уменьшается контактная площадка, что
сводит на нет преимущества, получаемые от увеличения боковой
жесткости. В плохих дорожных условиях (грязь, мягкий снег)
повышенное давление в шине может быть целесообразным, так
как в этом случае деформация протектора под действием дав-
ления воздуха способствует очистке рисунка шины.
1.3. Силы и моменты, действующие на шину
Устойчивость автомобиля в основном определяется начальным
углом наклона кривой зависимости боковой силы от угла увода,
называемым коэффициентом сопротивления уводу. Когда необ-
ходимо исследовать влияние больших углов увода, используют
соответствующие коэффициенты, полученные по эксперименталь-
ным данным, что обеспечивает удовлетворительную точность.
Стабилизирующий момент повернутого колеса — следствие сме-
щения точки приложения боковой силы; поэтому он достигает
максимального значения раньше боковой силы, после чего пони-
жается, так как уменьшается плечо приложения этой силы. Плечо
стабилизации шины — термин, используемый для обозначения
отношения стабилизирующего момента к боковой силе. Стабили-
зирующий момент имеет второстепенное значение при описании
поведения автомобиля с закрепленным рулевым управлением, но
становится первостепенным при определении нагрузок в механиз-
ме рулевого управления.
Вследствие наличия угла развала колес создается боковая
сила, которая составляет примерно пятую часть боковой силы,
возникающей при таком же угле увода для шин с диагональным
расположением корда, и несколько менее для шин с радиальным
расположением корда. Как показано на рис. 1.5, максимальная
величина боковой силы мало меняется при наличии угла развала
колес. Если на колесо действует тяговая или тормозная сила, то
боковая сила значительно уменьшается при любых углах увода
(рис. 1.6); этот эффект — следствие использования местных сил
Рис. 16. Уменьшение боковой силы У
при постоянном угле увода а вслед-
ствие приложения тяговой силы X
(шина 7,00X14, р = 1,75 кгс/см2,
<р = О, Z = 410 кгс)
„иепления за счет тяговых сил, в результате чего уменьшаются
сиЛ л сцепления, которые могут быть реализованы в боковом
направлении. Поэтому колесо начинает скользить при меньших
углах увода.
Когда колесо и шина рассматриваются как часть автомобиля,
очевидно, что боковая сила, необходимая для управления автомо-
билем и его стабилизации, будет изменяться вследствие перерас-
пределения нагрузки, изменения развала колес, давления воздуха
в шине и величины тяговой силы, поэтому было бы желательно
представить эту связь в логической форме, удобной для решения
задач управляемости. Ниже показан способ представления харак-
теристик шин в виде производных, который удовлетворяет этим
требованиям при небольших отклонениях шины от состояния
равновесия.
Запись выражения для боковой силы в производных в общем
виде
У = adY/da + q>dY/dq> -I- pdYjdp + .. . и т. д.
основывается на допущении, что каждая частная производная
постоянна и независима от других переменных, а это неправильно
для данного случая. Например, производная dY/da— О, если нет
вертикальной нагрузки на контактную площадку, и дУ/да^= О,
когда имеется вертикальная нагрузка на колесо.
При анализе экспериментальных характеристик шин стано-
вится очевидным необходимость установления граничных условий
по вертикальной нагрузке и давлению воздуха в шине:
р = ро 0; Z = Zo 0; а = 0; <р = 0.
Тогда уравнение в производных может быть преобразовано
так:
У = u(Cq + dCjdp&p + dC/dZ&Z + ...) +
+ ф(дУ/дф|ф_о + d2Yjdifdp^p 4- cPYjdqdZ^Z
В этом уравнении имеется ряд основных параметров характе-
ристики шины, катящейся с уводом:
Со — степень изменения боковой силы от угла увода шины при
стандартных нагрузке и давлении воздуха;
дС/др — изменение коэффициента сопротивления уводу вслед-
ствие небольших изменений давления воздуха в шине;
dC/dZ— изменение коэффициента сопротивления уводу в ре-
зультате небольшого приращения нагрузки и т. д.
Этот список переменных при желании можно расширить.
Описанный выше метод дает возможность экстраполировать
имеющиеся данные по конкретной шине для условий, при которых
ец1е не были проведены испытания, что обеспечивает информацию,
Необходимую для решения поставленной задачи.
13
1.4. Замечание
Предшествовавший текст должен дать общее представление
о типичных результатах, получаемых при испытаниях шин. Когда
приводятся числовые значения каких-либо физических величин,
то это относится только к испытуемой шине и не может быть
использовано в других случаях. Однако в результате их рассмот-
рения можно получить общее представление о возможном эффекте
при изменении главных параметров шины.
1.5. Шина на автомобиле
Устойчивость автомобиля рассматривается в зависимости от
характеристики пары колес (передних или задних), при этом час-
то используется суммарная характеристика двух колес. Таким
образом, влияние тяговой силы, а также перераспределения
нагрузки и изменения угла развала колес, возникающих вслед-
ствие крена кузова, учитывают отдельно для каждого колеса,
затем величины, найденные в этих условиях, складывают и полу-
чают характеристику оси в целом. Обычно величины, определен-
ные таким образом, имеют меньшее значение, чем можно было
бы ожидать в результате беглого ознакомления с характеристи-
ками шин. Для иллюстрации этого положения рассмотрим влия-
ние перераспределения вертикальной нагрузки между колесами,
возникающего во время установившегося поворота автомобиля
с зависимой подвеской, в двух случаях: когда колеса катятся сво-
бодно и когда к колесам, связанным дифференциальным при-
водом, приложена тяговая сила, необходимая для движения
автомобиля.
Рис. 1 7. Зависимость суммарно)- боко-
вой силы 1 от угла увода и при пере-
распределении норм алый „ нагрузки Z
vea-ду левыми и правыми колесами
(суммарная боковая сипа получена про-
стым сложением боковых сил)
Рис. 1.8. Действительная' зависи-
мость боковых сил 1 от угла уво-
да а
14
Рис. 1.9. Влияние тяг ивой силы Л па боковую силу К при постоян-
ных углах укола « (Ц = 0,8)
Управляемость автомобиля зависит от боковой силы, созда-
ваемой парой колес, и, таким образом, влияние перераспреде-
ления нагрузки, изменение угла развала и тяговой силы рас-
сматривают отдельно для каждого колеса, после чего эти пара-
метры суммируют для передней и задней осей.
На рис. 1.3 показано ожидаемое изменение боковой силы для
типичной шины при изменении нагрузки в обе стороны от рабо-
чей, равной 270 кгс. График на рис. 1.7 получен из графика на
рис. 1.3 при условии, что общая нагрузка на ось остается неиз-
менной и равной 540 кгс, но меняется распределение нагрузки
между колесами; изменения показаны с приращением нагрузки
90 кгс. Следовательно, при отсутствии перераспределения нагруз-
ки и угле увода 2° возникает боковая сила 105 кгс, а при увеличе-
нии нагрузки на одно из колес на 180 кгс и том же угле увода
действует боковая сила 93 кгс. На рис. 1.8 приведено типичное
перераспределение нагрузки, возникающее в процессе установив-
шегося поворота автомобиля, и показано, что боковая сила, дей-
ствующая на ось, будет меньше, чем можно было бы ожидать при
беглом рассмотрении характеристик шин. Подобное явление от-
мечается и в том случае, если подвеска допускает изменение угла
развала колес при повороте автомобиля.
Наличие тяговой силы также является причиной уменьшения
боковой силы на ведущей оси, и это особенно заметно при низком
коэффициенте сцепления. На рис. 1.9 показано влияние тяговой
силы на боковую силу отдельно взятой шины, при этом сделано
Допущение о возможности применения эллипса трения к соотно-
шению между боковой и тяговой силами. Боковую силу для оси
ПРЧ любых условиях перераспределения нагрузки между колесами
15
находят сложением сил, действующих на каждое колесо. Рис. 1.10
служит примером такого сложения при различном перераспреде-
лении нагрузки. Было принято, что зависимость боковой силы от
тяговой для оси ограничивается скольжением одного из колес оси;
в противном случае комплексный график при большом перерас-
пределении нагрузки мог бы быть распространен за нулевую ли-
нию боковой силы.
Величина боковой силы катящегося колеса в основном опреде-
ляется упругими свойствами шины и формой контактной пло-
щадки при уводе колеса. Очевидно, что скорость качения не
должна влиять на боковую
силу, возникающую при
постоянном угле увода. Это
положение соответствует
большинству результатов
испытаний шин, хотя в не-
которых статьях о высоко- |
скоростных испытаниях их I
на барабане отмечается, 4
что скорость качения влия- §
ет на боковую силу при 4
данном угле увода вслед- |
ствие инерции коронной час-
ти шины.
ё
I
Рис. LH Влияние различных фак-
торон на сопротивление качению:
а — скорости движения: б — тнгвдаЛ
силы; / — шины с диагональным кор-
дом; 3 — шнны с радядльным кордом
3 — шины гоночных автомобиле!)
кгс/гс
16
Сопротивление качению шины в области рабочих скоростей
шины мало, но оно резко возрастает, когда скорость превышает ]
величину, запроектированную для шины (рис. 1.11). Этот быстрый
рост сопротивления связан с появлением «стоячей волны» на
шине, образующейся тогда, когда скорость достигает значения,
при котором возникают резонансные колебания элементов шины.
Изготовители шин обычно указывают верхний предел скоро-
сти, допустимый для данной шины.
1.6. Сцепление шины с дорогой
Одной из главных переменных является характеристика трения
между шиной и дорогой, которая непрерывно изменяется при
эксплуатации автомобиля. Это изменение, конечно, неизбежно, и
рис. 1-12, а и б приводится без дополнительных комментариев.
Рис 1.12. Влияние различных факторов на удельную боковую силу,
действующую на шину с гладким протектором.
я — состояния дорожной поверхности; б — замедления заторможенного ко-
леси со скорости 4Я км/ч. ! — сухой асфальт, скорость 16 км/ч. 2 — мокрый
Сетон, скорость 32 км/ч; 3 — мокрый булыжник нлн асфальт, скорость
14 км/ч
1 7. Неоднородность шин
Как и все изделия, колеса и шины обладают различными
свойствами при одинаковом внешнем виде. Информация о раз-
2 Заказ 2003 17
Рис. 1 13. Характерные графики изменения боковой силы У и ста-
билизирующего момента шины с радиальным кордом, катящейся
по прямой
а — палые изменения, б — большие изменения; / — колесо вращается
против часовой стрелки; 2 — колесо вращается по часовой стрелке
личин между разными экземплярами однотипных шин не
публикуется их изготовителями, но испытания, проведенные
автором, показали, что этот фактор нельзя игнорировать, хотя
число таких испытаний недостаточно для обычного статистическо-
го анализа. Имеются сведения о том, что на ранней стадии про-
изводства шин со стальным радиальным кордом отмечались
изменения боковой силы и стабилизирующего момента по пери-
метру шины. Эти изменения различны при вращении шины по
часовой стрелке и против нее (рис. 1.13).
Изменение радиальной силы и биение колеса, приведенные
на рис. 1.14, указывают на неоднородность изготовления шин
| с диагональным кордом. Биение колеса объясняется неконцентрич-
ностью обода колеса и ступицы, возникающей в результате
несоосного монтажа обода правильной круглой формы на ступице
Рис 1,14 Изменение параметров, ха-
рактеризующих шину.
о радиапьноА силы, б — радиального
биения, в местности
18
или его овальности.' В обоих случаях при вращении колеса изме-
няется сила, действующая в контакте колеса с дорогой. Кроме
того, обод колеса может быть смонтирован так, что будет проис-
ходить боковое биение, увеличивающее действительный угол
развала колеса, а следовательно, и изменение боковой силы при
качении. J3а обод размером 12 дюймов при боковом биении 2,5 мм
и небольшой скорости движения действует циклически изменяю-
щаяся боковая сила, равная примерно 18 кгс. Эта сила зависит от
скорости и может рассматриваться как результат бокового пере-
мещения шины относительно дороги, совершаемого по цикличе-
скому закону.
1.8. Динамическая реакция шин
В предыдущем разделе были рассмотрены установившиеся
величины боковой силы, возникающей при качении колеса с уво-
дом. Однако при изменении угла увода или нагрузки шина дол-
жна пройти некоторое расстояние, прежде чем боковая сила
достигнет нового установившегося значения. При мгновенном!
изменении любого из параметров, например при ступенчатом
увеличении или уменьшении угла поворота колеса, боковая сила
изменяется примерно по экспоненциальному закону, и расстояние,
которое шина должна пройти до момента, когда сила будет отли-
чаться не более чем на 1/е (36,8%) от новой установившейся
величины, равно приблизительно статическому радиусу шины
(рис. 1.15).
Если угол поворота меняется по синусоидальному закону,
боковая сила и стабилизирующий момент смещаются по фазе
относительно угла поворота, и величина как силы, так и момента
зависит от длины волны, выраженной через расстояние, проходи-
мое шиной (рис. 1.16).
Неровности поверхности дороги вызывают изменения верти-
кальной нагрузки, вследствие чего изменяется боковая сила, дей-
ствующая на шину. В этом случае результаты испытаний пока-
зывают, что боковая сила, создаваемая шиной, катящейся
с постоянным углом увода при синусоидальном изменении
вертикальной силы, изменяется не по синусоидальному закону
(рис. 1.17).
Рас. ].)5. Нарастание боковин силы
' в зависимости от пройденного пути
чри ступенчатом повороте колеса на
* (шина 5,50X12. обод р =
= 1,4 кгс/смг, Z — 360 кгс. <f = Of
а*
19
Рис 1.16. Боковин сила, стабилизирующий момент и их фазовые углы при си-
нусоидальном повороте колеса с амплитудой ±4° (шина 7.5X14, р
= 1,7 кгс/см2. Z = 490 кгс)
! — устат)вн1шиися hq.ihhhhb боковой силы или стабилизирующего момента
Рис. LI7 Изменение боко-
вой силы и ее средней вели-
чины F, р при синусоидаль-
ном перемещении г = г0 -+-
+ г] sin tt)C
о — мн; б — колеса I при не
денная частота равна отноше
нню угловой частоты коле
баний колеса к его поступи-
те чьед В скорости!; / зона
испытаний
1.9. Испытания шин
Прежде чем использовать экспериментальные характеристики
шин, целесообразно рассмотреть методы, применяемые при испы-
таниях. Большинство экспериментальных характеристик шин
получено при испытаниях на цилиндрическом барабане, исполь-
зуемом в качестве опорной поверхности. При подобных испыта-
ниях не воспроизводятся условия в контакте колеса с дорогой,
которые имеют место во время эксплуатации, поэтому к резуль-
татам эксперимента следует относится осторожно, особенно если
данные получены при высоких скоростях качения. Были сконструи-
рованы стенды с плоской контактной поверхностью. Одной из
первых конструкций такого типа были лабораторный стенд, соз-
данный автором в начале 50-х годов, и дорожные гесторы,
построенные Корнельской авиационной лабораторией и Ассоциа-
цией инженеров-исследователей примерно в то же время.
1.10. Уточнения, связанные с действием
тяговой силы
Предельную величину боковой силы при действии на колесо
тяговой или тормозной силы можно определить приближенным
методом, если допустить, что шина может реализовать предельную
силу в любом направлении; при этом следует учитывать, что мак-
симальная величина силы не может превышать определенное
значение как в поперечном, так и в продольном направлениях
(рис. 1.18). Тяговая сила на шине возникает вследствие приложе-
ния момента к центру колеса, в то время как боковая сила
обусловливается деформацией шины относительно дороги. Таким
образом,утяговая сила уравновешивается реакцией в контакте, и
в предельном случае всегда- будет происходить скольжение шины
в продольном направлении. Если То — боковая сила, возникаю-
щая при данном угле увода в условиях свободного качения колеса
то боковая сила при тяговой силе X и том же угле увода может
быть приближенно найдена построением эллипса, малая ось кото-
рого равна УО, а большая Хтах:
(W+WW=i-
На рис. 1.19, а изображена характеристика шины при нулевой
тяговой силе, а на рис. 1.19, б приведены эллипсы возможных
боковых сил при различных тяговых силах. В этом примере
тяговая сила при скольжении была принята равной максимальной
боковой силе. Корректность такого допущения зависит от кон-
струкции шины и рисунка протектора, в особенности при низком
коэффициенте сцепления. На .рис. 1.19, в показан комплексный
гРафик зависимости между боковой силой, углом увода и тяговой
силой.
21
Рис. 1.18. Применение принципа эл-
липса трения к боковой силе К, кото-
рую можно использовать для управ-
ления автомобилем при приложении
к колесу тяговой или тормозной силы:
/ — тяговый режим; И — тормозной ре-
жим
Рис. 1.19. Зависимости боко-
вой силы К:
а — от угла увода а при сво-
бодком качении: д — от тя-
говой силы А' при постоянных
углах увода а; в — комплекс-
ный график боковой силы
тяговой силы Аг и угля уво-
да а
1.11. Некоторые теории увода колеса
Предпринимался ряд попыток создать математическую модель
пневматической шины, в особенности в отношении ее грузоподъем-
ности и способности воспринимать боковые силы. Хотя все эти
модели напоминают упрощенную шину, не следует думать, что
схемы, показанные на рис. 1.20, являются механическими эквива-
лентами шин, которые, особенно при диагональном расположении
корда, представляют собой сложную резино-кордную оболочку.
В большинстве случаев математический анализ основывается
на том, что коронная часть шины лежит на упругом основании,
образуемом боковыми стенками шины с ободом колеса, который
служит базой или местом заделки упругого основания.
При одном из способов описания шины принимается, что ее
коронная часть является натянутой нитью (рис. 1.20,а), уравне-
ние ее прогиба, известное из сопротивления материалов, имеет вид
-T-^~ + kq = p(s). (1.1)
При другом описании шины ее коронная часть рассматривает-
ся как балка, также поддерживаемая сплошным упругим осно-
ванием (рис. 1.20,6). В этом случае прогиб определяется из
выражения
Eld*q/ds* + kq = p(s). (1.2)
Комбинируя обе приведенные выше идеализации, получаем
следующее уравнение:
Eld*qjdtf—Tdlqjds2 + kq = p{s}. (1.3)
Некоторые параметры, например k и EL могут быть измерены
непосредственно при испытаниях шин.
Главное различие между уравнениями (1.1) и (1.3) с физиче-
ской точки зрения заключается в следующем: у модели с нитью
Риг 1.20. Некоторые модели шины:
Модеть с натянутой нитью; б — мо-
с балкой на упругом основании
Рис. 1.21. Боковая деформация q корон-
ной части шины 6,50X16 (р=2Л кгс/см2)
при приложении сосредоточенной боко-
вой силы L:
I — шина £ диагональным кордам 2 — ши-
на с радиальным кордом
23
средняя линия шины может иметь прерывистый наклон, что не-
возможно в случае учета изгибной жесткости.
На рис. 1.21 изображены кривые поперечной деформации шин
с диагональным и радиальным расположением корда, возникаю-
щей при приложении боковой силы в некоторой точке экватори-
альной линии. Эти экспериментальные результаты показывают,
что нет большой разницы в том, какая принята идеализация, и что,
если правильно выбрана величина подкасательной, то любая шина
может быть адекватно представлена моделью с натянутой нитью.
Ниже рассматриваются теории моделей шин с натянутой нитью
и балкой. Для малых углов увода модель шины с нитью дает
хорошее представление о механизме возникновения боковой силы
у шины. При использовании модели с балкой необходимо приме-
нять разложение в ряд для получения зависимости между боковой
силой и углом увода.
V 1.12. Модель шины с натянутой нитью
Если коронную часть шины представить в виде экваториаль-
ного растянутого кольца, поддерживаемого в боковом направле-
нии упругим основанием, то можно составить уравнение, описы-
вающее интенсивность внешней нагрузки. Большая часть окруж-
ности шины не нагружена внешними силами и
— Тй2д/(№ + ЛЛ=0. (1.4)
Форму деформированной экваториальной линии шины удобно
изучать, задаваясь деформацией передней и задней частей кон-
тактной площадки. Решение дифференциального уравнения этого
типа хорошо известно и может быть выражено как в гиперболи-
ческой, так и экспоненциальной формах:
q = A es,<J + В (1.5)
где о—длина подкасательной экспоненциальной кривой, назы-
ваемая «длиной релаксации».
Рассмотрим новую переменную S':
S' = 0 при <? = %;) 6)
S' = L при q = q2. )
После подстановки этих равенств получим
е-Л” " '
Так как £ ~ 5,5 Л и а ~ R, выражение упрощается:
q = qxe~ s"t’ 4- ^2Й1Ь'— L,/o.
Принимая центр контакта за новое начало координат, полу-
чаем в переднем направлении S' = 0, когда s = /, и S' = L, когда
24
s = L 4- I или S' = s — /. Следовательно, от центра контактной
площадки вперед вдоль периметра шины боковое перемещение
q — <?! e<f— п—<?2e<s—*-(pg)
Это уравнение относится к передней половине периметра нена-
груженной коронной части шины.
Для задней ненагруженной ветви коронной части шины в
точке, расположенной непосредственно перед входом в контакт,
S' = О, когда s = —L — /. Равенство S' = L, когда s = —I, опре-
деляет точку протектора, лежащую непосредственно за контакт-
ной площадкой. Таким образом,
S' =s L + Г,
следовательно,
q = t/| е-<'+'-+п « + g2e's+,)'n. (1.9)
Уравнение (1.9) описывает участок коронной части шины за
контактнойплощадкой.
При качении колеса обязательным условием является непре-
рывность коронной части шины. При качении шины все точки
экваториальной линии последовательно вступают в контакт
с опорной поверхностью, и, таким образом, точка на свободном
периметре, находящаяся непосредственно перед контактной пло-
щадкой, становится точкой внутри ее, после того как шина пере-
катится на небольшое расстояние. Это возможно только в том
случае, если контактная площадка и свободная экваториальная
линия имеют одинаковый угол наклона в передней точке контакта.
Дифференцируя уравнение (1.8) и принимая = О,
получаем
dq/ds\,„( = — qja. (1-10)
Аналогично уравнению (1.9) в задней точке контактной
площадки
d<7/ds|s=_; = <7г/о.
При малых углах увода положение любой точки экваториаль-
ной линии колеса остается постоянным относительно опорной
поверхности в процессе прохождения ею через контакт, т. е.
относительного проскальзывания не происходит.
Пусть нагруженное колесо, повернутое на постоянный угол,
катится до тех пор, пока не будут достигнуты установившиеся
условия, при этом «заделка» колеса воспринимает боковую силу
и стабилизирующий момент. Деформация центра контактной пло-
щадки шины относительно обода колеса, как и боковая сила, бу-
дет возрастать по экспоненциальному закону. Следовательно,
непрерывное измерение того или иного параметра сводится к оп-
ределению «длины релаксации». Вообще изменение любого
25
Рис. 1.22. Два варианта определении бо-
ковой силы К
Таким образом, в первом случае
—i
У = k qds + fej qds.
параметра U, возникающее
после внезапной смены одних
установившихся условий каче-
ния колеса другими, будет
происходить примерно по экс-
поненциальному закону:
u=uoe~Sn.
Боковая сила, развиваемая
шиной при деформации, мо-
жет рассматриваться как вос-
станавливающая сила между
шиной и ободом колеса или
как суммарная сила, прило-
женная в контакте (рис. 1.22).
L+I
(1-11)
где первый интеграл есть сила, возникающая вследствие дефор-
мации шины в контакте, а второй — сила, возникающая в резуль-
тате деформации шины вне контакта.
Во втором случае
Y=j'p(s)ds. (1.12)
—I
Подставив в уравнение (L.12) значение p(s) из уравнения (1.1),
получим
Г=А qds—k I' (T№)d2qlds2ds,
—< —I
или
I
Y — k f qds—
—i
Подставив из уравнения (1.10) изменение деформации в точках
I и —I, будем иметь
t
Y = k qds + kcfa+ q2). (113)
Момент, возникающий вследствие деформации шины, может
быть записан также в двух различных формах, что приводит
к аналогичным результатам. Рассмотрим сумму моментов восста-
навливающих сил между шиной и ободом колеса:
i+l г>
N = k f flxds.
где х — плечо приложения элементарной силы kqds.
26
Сумма моментов сил,
относительно ее центра,
действующих в контактной
I
N = J sp(s)ds,
—/
площадке
(1.14)
или
I I
V = J sqds—Ag2J sd2q;(!s2ds.
Интегрируя по частям, получаем
t
N = k J sqds— fed2 (sdq/ds — J dqfdsds}1
или
N = k j sqds—ko2(sdq/ds—q)f_r
"4
Подставив значение dqfds из уравнения (1.10), можно написать
i
N^k^sqds+kn{l + n){qi~q2). (1.15)
Если неподвижная шина нагружена небольшой боковой силой
(рис. 1.23), то q\ = qz = q. Тогда из уравнения (1.13) и (1.15)
имеем
(1.16)
N-O. I
Условия приложения к неподвижному колесу момента в гори-
зонтальной плоскости показаны на рис. 1.23. откуда —qt = qz —
= al. Следовательно,
Для шины, катящейся с постоянным углом увода (рис. 1.23, в),
условия непрерывности дают
tga а= =
Подставив это выражение в уравнения (1.13) и (1.15), получим
У = 2ka(i 4-a)z; |
N------2kla (F{3 + c\i + о)]. |
(1.18)
Эти уравнения показывают, что для малых углов увода боко-
вая сила и стабилизирующий момент возрастают линейно по мере
увеличения угла увода. Из рис. 1.3 следует, что это справедливо
для малых углов (примерно +4°). Однако местное проскальзы-
вание, которое происходит сначала в задней части контактной
площадки, а затем распространяется на ее переднюю часть по
мере увеличения угла увода, нарушает условие линейности для
боковой силы и момента, вследствие чего применение этой теории
ограничивается малыми углами увода.
1.13. Замечания о боковой жесткости шины
Величины k и а были измерены в ряде экспериментов, при
этом было обнаружено, что для авиационных шин, нагруженных
номинальной нагрузкой, а = (0,6 — 0,9) R.
Рис. 1.24. Эксперименталь-
ное определение боковой
жесткости шины
k - YfZiRtf.
f — остаточная жесткость; / -
<мюрв, поддержи ва юща я ш и к у
по окружности мил см ли л и-
ного радиуса ft*
Величина к линейно возрастает с повышением давления
воздуха в шине (рис. 1.24), а при нулевом давлении характеризует
остаточную жесткость каркаса шины.
1.14. Модель шины с балкой на упругом основании
В этом случае балка, имеющая характеристику коронной части
шины, поддерживается упругими боковыми стенками. Работа
резины протектора, находящейся между каркасом шины и поверх-
ностью дороги, принимается аналогичной работе ряда отдельных
полосок резины, ширина каждой из которых равна As. Согласно
28
теории упругости боковая сила, возникающая при деформации
полоски высотой d при ширине протектора В,
ДУ =----^_Д5,
2(l+m)d
где у — смещение коронной части шины относительно опорной
поверхности; т — коэффициент Пуассона.
Решение уравнения (1.2) для балки бесконечной длины со
сосредоточенной нагрузкой Y, приложенной в точке s = О, имеет
следующий вид:
q = —- (пУ/2k)e~ns(cos ns + sin ns}.
где
n* = k}El.
Разлагая это выражение в ряд и пренебрегая членами третьего
порядка и выше, получим
q= — (nY/2k){l~nW). (1.19)
Это приближенное решение для сосредоточенной нагрузки
используется для определения деформации коронной части шины
под действием неравномерно распределенной нагрузки.
Рассмотрим качение колеса с уводом. Допустим, что коронная
часть каркаса шины приняла параболическую форму с нулевой
деформацией в передней и задней частях контактной площадки.
Резина протектора, следуя за каркасом, под действием сил в кон-
такте будет смещаться в поперечном направлении на величину,
пропорциональную элементарной боковой силе, до тех пор, пока
последняя не достигнет значения силы сцепления. С этого момен-
та элементарная боковая сила зависит от произведения элемен-
тарной вертикальной силы и коэффициента сцепления. Следова-
тельно, силу, возникающую в результате деформации резины
протектора, можно определить, если известны перемещение резины
протектора в контакте с дорогой и деформация коронной части
каркаса шины.
Если принять параболическое распределение давления по дли-
не контактной площадки, то элементарная вертикальная сила
в любой точке по ее длине
дД$)=4К(5/2/){1-5/2/).
Максимальное давление связано с вертикальной нагрузкой:
^ = 3Z/4W.
Тогда элементарная боковая сила, которая может быть достиг-
нута прежде, чем наступит полное скольжение,
p(s) = ppjs) = 4[1рг(5/20 (1 —-s/2l). (1.20)
29
Рис. 1.25. Схема опреде-
ления боковой силы ка-
тящейся шины, предло-
женная Фиалой:
н Аг — деформации эк-
ваториальной линии про-
текторе в передней н зад-
ней частях контакту, v —
деформация экваториальной
линии каркаса шины, 21 —
длина контакта: — рас-
стояние от точки до точ-
ки начала скольжения ши-
ны в контакте
Если ввести коэффициент пропорциональности Со, то местная
сила трения может быть выражена через максимальную дефор-
мацию
pp2(s)fe = Coh„(s).
Коэффициент Со, являющийся также измерителем боковой
силы, приходящейся на единицу площади контактной площадки,
равен £/2(1 + ц).
Максимальное боковое перемещение протектора hm(s) может
быть определено в любой точке по длине контактной площадки,
так как p2(s) является функцией положения точки по ее длине.
Для определения деформации коронной части каркаса исполь-
зуют уравнение (1.19). На рис. 1.25 показана деформация каркаса
шины, имеющая параболическую форму с нулевыми значениями
в передней и задней частях контактной площадки; следовательно,
я из уравнения (1.19) соответствует 1//. Перенося начало коорди-
нат в переднюю точку контактной площадки, получаем
9(s)=x(y/Co)(s/20(l-s/20,
где
X = 2iiWC0/k.
В передней части контактной площадки нет относительного
перемещения шины и дороги, так как боковая сила недостаточна
для создания скольжения; поэтому
Af(s) =stga.
Если боковая сила ограничена условиями скольжения, то
положение зоны контакта зависит от местного коэффициента тре-
ния. Из рис. 1.25 имеем
ftr(s) =hm(s) +</(s)
и
Ar(s) — <?(s) = (4ррг6/Со) (s/2/) (1 — s/2l).
30
Величина боковой силы пропорциональна площади, ограничен-
ной кривыми h и q, т. е. /пропорциональна
9(s)] ds + f [ft, (s) — <7(s)] ds
° 4
или
Г = [ [s tg a - x (У/Со) (s/2/) (I - s/2/)] ds +
0
2/ _
+ f 4pp2{ft/C0) (s/2/) (I —s/2/)ds. (1.21)
Точка, в которой начинается скольжение, определяется пере-
сечением прямой, характеризующей деформацию шины, катящей-
ся без скольжения, с кривой ее наибольшего бокового перемеще-
ния hr в задней части контактной площадки (рис. 1.25):
sb = 2[-2С0Р tga/(2pp,ft- у/)
и
ft6 = sfctg a.
Тогда
У = , ‘ 2CqP tg a----------tg2 a(2^-X/) +
1 + 7.1/3 A
16C ’Г
+ —^— tg3«(2npzft-X/) , (1.22)
£J
где
A = lfy,2p2b2 + 16pp2ftx/ + (2x02
и
В = ЗА(4рргЬ + 2x().
Так как решение этого уравнения возможно только методом
последовательного приближения, предлагается следующее при-
ближенное выражение:
y = 2CiFtga
С* Г3 tgaa
С/ tgJ a
6(нл/)г ’
(1.23)
где
C,=C0/(l.+ x//3).
Как для а = 0, так и для атах приближенное выражение дает
те же величины У, dYfdau d2У/da2, что и первоначальное уравне-
ние. Однако эти уравнения имеют тот недостаток, что боковая
сила, вычисленная по ним, получается как разность больших
чисел.
31
Ниже дается метод расчета боковой силы и стабилизирующего
момента с использованием приведенных выше уравнений. Вводит-
ся новая переменная ап, индекс которой показывает, что она при-
нимает значения 1,2, 3, так что tg а = an(npzb/2Cil). Тогда
упрощенное уравнение для боковой силы будет иметь вид
Y = 2ppzbl(an/2—a2/8 + о‘/9б): (1.24)
дУ/дап = рр2ЬЦ\— ап/2 -Ья^/16). (1.25)
Числовое решение этих уравнений приведено в табл. 1.1. Угол
наклона кривой зависимости боковой силы от угла увода может
быть определен из выражения
tg р = [дУ/да^^РгЫ.
По мере увеличения угла увода точка В (рис. 1.25) движется
по направлению к точке А до тех пор, пока они не совместятся и
вся контактная площадка не будет скользить; тогда
1g
Стабилизируюшиймомент
21
Л( = | (dY/dsHs— l}ds (1.26)
или, если подставить приближенное выражение для dY/ds,
Л/-2/3( + У" - (1.27) X ' 2(№Ьр I2(PP/>T
Подставив новую переменную ап, введенную для облегчения
расчетов, получим
Л' = »ргЬ12(ип/3-а2/4 + ^/16-^/192), (1.28)
и наклон кривой, описываемый вспомогательным уравнением,
определится как
dN/da„ = рргЫ2(1/3— aJ2 + За^/16-а?/48). (1.29)
Таким образом, наклон кривой стабилизирующего момента
может быть найден из уравнения
tg Pi = (^/^ап)4р^№.
Таблица 1.1
Вспомогательная переменная ап 1 0 1, 1 2 is 1 4
Боковая сила У,'2рргЫ 0 37/96 7/12 21/32 2/3
tg Р - ... 1/2 9/32 1/8 1/32 0
Поворачивающий момент N !^p.pzbP. 0 9/256 1/48 1/256 0
tg Pi .. 1/12 0 1/48 1/96 0
32
Дифференцируя уравнение (1.28) и приравнивая его нулю,
можно определить максимальный стабилизирующий момент
Wmax = 9^№/64,
который действует, когда tg а = npzb/2Cil.
ч
1.15. Наклоненное колесо
При качении наклоненного колеса средняя линия контактной
площадки принимает форму эллиптической кривой. Если эллипс
заменить параболой с той же кривизной при вершине, то уравне-
ние деформированной экваториальной линии шины в контакте
будет иметь вид
9(s) = <Р (2P/R0) (s/2l) (1-s/2/), (1.30)
где <р — угол наклона колеса; /?о — радиус шины; Rtff— расстоя-
ние от вершины параболы до оси колеса.
Тогда уравнение деформированной экваториальной линии
шины вследствие деформации ее от наклона колеса и изгиба будет
иметь следующий вид:
<7(s) = (2Г‘<р//?0 + ХГ/С0) (sj2i) (1 -s/2/), (1.31)
как и при выводе уравнения боковых сил
ft, = <7(s) 4-Лт.
Считая, что боковая сила пропорциональна площади, заклю-
ченной между кривыми й и q, получаем
sb
И = Со J [hf—q (s)] ds + Co J [Л,—q (S)J ds.
о
Интегрирование дает
Y = 2Cl/3<p/3/?0 + 2C}Ptg a—C?/3 tgs a/ф + С3/* tg3aM>8, (1.32)
где
ф = \i.pzb—CtPtfl2R0.
Можно опять использовать табл. 1.1, если p.pzb заменить на
V и добавить величины, не зависящие от угла увода.
Угол увода будет максимальным, когда линия АВ станет каса-
тельной к параболе максимальной деформации:
tg атак = 2цр//С|/ + /<р/Л0.
Стабилизирующий момент вследствие наклона колеса пропор-
ционален статическому моменту площади, ограниченной кривыми
J1 и q,
N = (2Ctl3 Ig a)/3—Ci/’ tg2a/ip + C?/5 tg3 a/2if®—C*/6tg* a/12$3.
(1.33)
3 Заказ 2001 33
(1-34)
Максимальный стабилизирующий момент
он возникает при
tga = црг6/2С,1—/<р/4/?0.
Следовательно, для наклоненного на угол <р колеса, катяще-
гося прямо, этот угол положителен, если колесо наклонено
в сторону, противоположную действию силы; в этом случае
У =
N— 0.
Рассмотрим качение колеса по окружности радиусом р. Так
как экваториальная линия шины, в контакте имеющая кривизну
траектории, не совпадает со средней плоскостью шины, то возни-
кает боковая сила, которая пропорциональна площади, ограничен-
ной кривой и прямой, соединяющей переднюю и заднюю точки
контакта:
У= (1/2)С,рг(б—sinfi), (1.35)
или
у 2С,/3;зр.
где б —угол, образованный прямыми, соединяющими центр ок-
ружности с передней и задней точками контакта.
В этих условиях стабилизирующий момент не возникает.
Боковая сила при движении колеса направлена к центру
кривизны траектории и может быть уравновешана при таком угле
наклона колеса, когда точка пересечения продолжения оси колеса
с опорной поверхностью совпадает с центром траектории. Колесо
в этом случае является основанием катящегося конуса.
1.16. Другие методы расчета
Приведем метод расчета боковой силы и стабилизирующего
момента при наличии тяговой силы. Основные допущения — нор-
мальное давление по длине контактной площадки распределяется
по параболическому закону и при максимальной боковой дефор-
мации шины средняя линия этой площадки имеет форму пара-
болы. Боковая деформация в передней части контакта нарастает
линейно до тех пор, пока не достигнет максимальной величины,
определяемой параболической кривой, после чего она уменьшается
и становится в некоторой точке, находящейся на расстоянии L'
вне контакта, равной нулю (рис. 1.26).
Расстояние L' введено для приведения в соответствие резуль-
татов расчетов стабилизирующего момента по этому методу
с результатами испытаний подобных шин.
Деформация в задней части контакта имеет сложную форму.
Когда точка А находится ниже нулевой точки 0 (рис. 1.26, а),
34
Рис. 1.26. Форма боковой деформации, принятая Бергманом [1.11] для полу-
чения выражений, описывающих боковую силу и момент
в которой линия, проведенная из точки Е, касается параболиче-
ской кривой максимальной боковой деформации, тогда боковая
деформация упрощенно изображается двумя прямыми линиями.
Если линия деформации передней части контакта пересекает
параболу выше нулевой точки, то кривая боковой деформации
имеет более сложный вид (рис. 1.26,6): парабола от точки А до
точки В пересечения линии АЕ с параболой и прямая на уча-
стке BE.
Для малых углов увода в первом случае получаем следующие
уравнения:
Y=(l/2}kvbsaL/a; (1.36)
N = (1 /12) kybsaL'a (2L'~6l + 2sa), (1.37)
где ky — удельная боковая жесткость шины.
Для больших углов (рис. 1.26, б)
Y = {H2)kybsaL'a -I- (2цЧЬ/0 (sb—s0)[(sb + s0)/2 +
+ (si + SbSa -f- S^)/6Z]—kybsoa(sb—sa)/(L’—so)[£'— (s6 4- sJ/2]; (1.38)
= (llt2)ksbsaL'a(2L'—Gl + 2sa) + (ц.'р2Ь/4Р)
—su) (2£ (si + StSa + si) — (sb—s0) (si + si + 4[2) ] —
—[ftgbsaa (Sj—sa) /12 (£ —s„)J [(s6 4- sfl) (6£ 4- 6/) 4- ss 4* SjSa + so — 12L f]„
(1-39)
где ц'— коэффициент трения в боковом направлении.
Используемые в расчетах коэффициент трения в боковом на-
правлении и удельная боковая жесткость шины учитывают нали-
чие тяговой силы:
/ = [И= — '2^УФ/Х; (1.40)
(1.41)
гДе ц —статический коэффициент трения шины с дорогой; Yv —
боковая сила, возникающая вследствие наклона колеса; ky0— на-
чальная удельная боковая жесткость шины; и — коэффици-
енты изгибной жесткости соответственно в вертикальном и про-
дольномнаправлениях.
3* 35
Тяговая сила влияет также на коэффициент эластичного плеча
стабилизации;
е = 80 + e^X/Z, (1-42)
где ео—начальный коэффициент эластичного плеча стабилиза-
ции; е* — изменение е вследствие действия тяговой силы.
Для получения параметров рассматриваемой шины необходи-
мо провести ряд испытаний, чтобы определить величины устано-
вившихся сил и моментов и статических жесткостей, после чего
расчетным путем может быть исследовано поведение этой шины
при различных тяговых силах.
1.17. Теория неустановившегося увода колеса
В предыдущих разделах был предложен ряд моделей шины и
рассмотрена боковая сила, возникающая при качении шины с по-
стоянным углом увода. Эти модели могут быть также использо-
ваны при рассмотрении влияния пульсирующего возмущения на
боковую силу, если сохраняются условия непрерывности свобод-
ного периметра шины непосредственно перед контактом и перед-
ней части контакта.
Рассмотрим модель шины с натянутой нитью, так как она
является простейшим математическим аналогом и все параметры
ее могут быть определены во время испытаний.
Введем переменную h (рис. 1.27), которая связывает эквато-
риальную линию коронной части шины с траекторией движения
ступицы колеса; и йг — значения новой переменной соответ-
ственно в передней и задней точках контактной площадки. Рас-
смотрим колесо с шиной, центр которого смешен от траектории
движения на величину у и обод которого повернут на некоторый
угол а. Длина контактной площадки равна 2/.
Общее смещение экваториальной линии равно деформации q
относительно обода колеса плюс смещение sa оси колеса относи-
тельно дороги:
h = 9+i/ + 5a. (1-43)
Phv 1.27 Модель шины
для исследования неус-
таиовившихся режимов
качения
36
Угол наклона экваториальной линии равен углу наклона ее
относительно обода колеса плюс угол поворота последнего отно-
сительно дороги:
dh/dx — dq/ds + а, (1-44)
так как ds/dx^ 1 для малых углов а.
Для передней части контактной площадки
fti = ?i + У +
t/ftj/djc = dqjds + а,
где
, dhjdx = (dh/dx)t и dqjds — (dq/ds)t.
Ранее было показано, что
dqjds — —qt/o-,
следовательно,
dhjdx = —«у ।/а + а.
Из этих уравнений получаем
dqjdx + q Ju = а—ida/dx—dy/dx (1.45a)
или
dhjdx + ftj/o = y/a + (/ + o)a/n. (1.456)
Уравнения (1.45a) и (1.456)—эквивалентные формы выраже-
ния смещения передней части контактной площадки соответствен-
но относительно обода колеса и траектории движения.
Для малых углов увода, как это было принято ранее, каждая
точка экваториальной линии сохраняет свое первоначальное
положение относительно опорной поверхности, проходя через всю
контактную площадку. Это условие определяется соотношением
ktx, s) = hffjx' +s);
х' = х—I,
где s) ~ функция траектории и расстояния вдоль эквато-
риальной линии, отсчитываемого от центра контактной площадки.
В общем случае пусть Л, q, у и а будут переменными траек-
тории, тогда
q(x, s) =h(x, s) — у(х] ~sa(x). (1.45в)
Как q, так и Л зависят от положения точки на экваториальной
линии и на опорной поверхности, в то время каку и а. определяю-
щие положение ступицы, являются функцией траектории и не
зависят от формы экваториальной линии.
37
Уравнения боковой силы и стабилизирующего момента могут
быть написаны в параметрах траектории:
t
Y = k J <7(jc. sjds + fcofajx) 4-9,(х)]; (1.46)
t
N = k J' sq(x, sids + Ao^ + o)^^)— fl2(x)]. (147)
Анализ уравнения (1.45в) показывает, что функция q(x, s)
содержит у(х), а(х) и /, которые определяют соответственно
боковое перемещение цапфы, угловое перемещение колеса и длину
контактной площадки. Так как длина контактной площадки
является примерно линейной функцией вертикальной нагрузки, то
боковую силу и стабилизирующий момент можно исследовать
в том случае, когда они непрерывно меняются. При исследовании
каждой переменной в отдельности уравнения могут рассматри-
ваться как линейные.
1.18. Синусоидальное изменение угла увода
Примером синусоидального изменения угла увода могут
служить вынужденные колебания колеса по синусоидальному
закону относительно траектории его центра, когда оно удержи-
вается таким образом, что не возникает бокового перемещения
ступицы.
Если х есть длина волны колебания, измеренная на опорной
поверхности, ах - текущая координата центра колеса, то
а(х) = aosin bx,
где
Ь = 2л/х и у (х) = 0.
Уравнение (1.456) движения передней точки контактной пло-
щадки имеет следующий вид:
dhjdx + Ajo = [(/ + о)/о] do sin bx.
Умножив обе части уравнения на ех/а и интегрируя, получим
/ц = а0 t (sinbx—(Tbcosfrx). (1-48)
Деформация экваториальной линии относительно обода
q(x, s) = h (х, s) — y(x)—sa (x),
а из условия непрерывности имеем
h(x, s) =hI(x/ + s)
и
?(*, s) = gn^ + a- [sin b(x' + s) —ab cos b(x' + s)]—sct0 sin bx.
1 + (fib3
38
Когда 5 = /,
(х) = + [sin b (x' + 0 —ofc cos b (xz 4- 0]—/a0 si n bx,
I -ba2^3
а когда s = —I,
q2(x) = а°(* + д) [sinfr(xf—0— abcosb(x'—0] + /aosinfejc.
1 + oW
Подставив эти величины в основное уравнение для боковой
силы, получим
I
У = j ls*n b(x' + s) — о facos b(x' + s)ds—
—1
1
—Aa0 sin bx |* sds + feo [qt (x) + i?2(x)].
—i
После интегрирования и преобразований можно написать
У = ~~~~ ([( 1 /&—o2fa) sin bl cos bl + о (cos2 bl—
— sin2 bl)] sin bx—[2a sin bl cos bl + o2 fa cos2 bl + 1/ft sin2 bi] cos bx}.
Проверим, дает ли это уравнение в условиях установившего
угла увода те же величины, что были получены ранее для постоян-
ного угла увода. Пусть Ьх = л/2 и b -> 0; тогда sin fa/-* Ы, а
cos Ы -* 1 и
У| =2йа0(/4-а)2.
Это согласуется с уравнением боковой силы для постоянного
угла увода, которое было получено выше.
Уравнения (1.45) и (1.46) могут быть использованы для вывода
уравнений боковой силы и стабилизирующего момента в случае
синусоидального поворота колеса, бокового и вертикального пере-
мещений способом, описанным выше. При ступенчатом изменении
одной из переменных может быть использовано соответствующее
уравнение для h\. Отдельные решения могут быть просуммирова-
ны, например, при одновременном изменении угла увода и боко-
вого перемещения шины.
1.19. Упрощенные уравнения реакций
При исследовании управляемости автомобиля для получения
характеристик неустановившегося увода шин удобно использовать
характеристики установившегося увода с учетом запаздывания.
Анализ уравнения боковой силы при синусоидальном повороте
колеса показывает, что оно содержит члены как с синусом, так
и с косинусом; следовательно, боковая сила
Y = С(а—В«),
39
где С — коэффициент сопротивления установившемуся уводу;
В — коэффициент, обеспечивающий необходимое изменение боко-
вой силы и фазового угла.
Коэффициенты С и В получают при испытаниях шин. Угол
поворота может быть записан в виде функции длины траектории,
как в первоначальном уравнении, или в виде функции времени.
1.20. «Шимми» колеса
Явление «шимми» колеса может рассматриваться в двух
разных аспектах: кинематическом и динамическом. Кинематиче-
ское «шимми» — следствие боковой податливости шины и нали-
чия зазоров оси, динамическое — взаимодействие инерционных
моментов колеса и рулевого управления относительно шкворня
с моментом, возникающим при неустановившемся движении ко-
леса относительно опорной поверхности.
Рассмотрим кинематическое «шимми» колеса.
На рис. 1.28, а показано движущееся вперед колесо со скоро-
стью U, повернутое на угол а. Допустим, что деформация шины
начинается в передней точке контактной площадки.
Таким образом.
dq = —ds sin а
или, для малых углов,
а = —dqlds.
Если колесо катится по траектории радиусом р (рис. 1.28,6)
с деформацией q в точке под осью колеса, уменьшающейся до
нуля на расстоянии о', то
р2 = о<2+ (р—<7)2,
следовательно,
Рис. 1.28. «Шимми» колеса, обусловленное кинематикой шины, имеющей боко-
вую эластичность (кинематическое «шимми»)
40
Подставив значение р, получим
dajds = 2q/c'2.
После дифференцирования имеем
d2a/ds2~ (2}c'2)dqlds.
Подставив значение dqjds, можно написать
d2a/ds2 = —2а/о'2.
Это уравнение описывает простое гармоническое движение
с длиной волны s = V 2ло'.
Кривая боковой деформации q (рис. 1.28, в) смещена на 90'
относительно кривой угла поворота а. Аналогичный анализ можно
провести, используя модель шины с натянутой нитью для случая
вынужденных колебаний колеса.
При рассмотрении динамического «шимми» колеса упрощен-
ные уравнения движения могут быть получены при анализе систе-
мы, показанной на рис. 1.29. Колесо и рулевое управление рас-
сматриваются как система с одной степенью свободы колебаний
вокруг оси шкворня. Как было показано раньше, при таком виде
движения боковая сила и стабилизирующий момент определяются
по формулам
У = С(а—Ba); N =dNfda \ (а — В'а).
SS
Боковая сила действует в центре контактной площадки, и гак
как ее средняя линия не обязательно прямая, то нельзя исполь-
зовать эластичное плечо стабилизации шины, определенное при
установившемся движении колеса. Таким образом,
<JcB + dN.'aa | В')а + (7с + dJV/da | ) = 0,
SS SS
где /0 — момент инерции колеса.
На основании этого уравнения можно сделать заключение, что
Демпфирование шины зависит от В и В' и может быть отрица-
тельным при некоторых обстоятельствах, когда амплитуда коле-
баний увеличивается со временем.
Факторы, вызывающие динамическое «шимми» колеса, следую-
щие: большое механическое плечо стабилизации; недостаточно
вязкое или сухое трение в системе; малая жесткость рулевого
управления; небольшая жесткость поцвески и передней части
Рис 1.29. Упрошенная модель для ис-
следования динамического «шнммня
с одной степенью свободы
41
кузова в поперечном направлении; обратимость рулевого управ-
ления.
Кроме «шимми» двух видов, зависящего от характеристики
катящейся шины, колебания могут возникать от дисбаланса колес,
неоднородности изготовления шины или дорожных возмущений.
Эти колебания по характеру аналогичны колебаниям системы со
многими степенями свободы, имеющей характеристики жесткости
шин, показанные на рис. 1.1.
1.21. Приведение сил и моментов,
действующих на колесо
Характеристики шин часто получают измерением сил и момен-
тов, необходимых для удержания центра колеса в определенном
положении в данных условиях испытаний. Однако, если тре-
буется определить силы, управляющие движением автомобиля,
или силы в рулевых тягах, то измеренные силы и моменты должны
быть заменены эквивалентными силами и моментами, отнесенны-
ми к осям координат автомобиля и оси шкворня. Эквивалентность
сил и моментов, приложенных к колесу, опорной поверхности и
вдоль осей, легко установить с помощью рис. 1.30.
Пусть dXg, dYg и dZg— элементарные силы, действующие
в контактной площадке; тогда (рис. 1.30, а)
= J Yg = [ dY£; Ze = , dZe;
Lg = 4 ydZs; Mg = C—xdZg, Ng = j —ydXe);
интегрирование проводится по всей контактной площадке.
Силы и моменты, приложенные к контактной площадке, урав-
новешиваются силами и моментами, действующими на оси
автомобиля (рис. 1.30, б):
= У,=Л,; Z5 = Ze;
Ls = Lg—YgRcosq — ZgR sin <p; Ms = Mg + Xs/?cos<p;
Ns = Ne + XgR sin <p.
Переход от осей координат, связанных с колесом, к осям
координат автомобиля необходим для преобразования резуль-
татов испытаний колеса в форму, удобную для изучения управ-
ляемости автомобиля (рис. 1.30, в) :
Xs = Xai Ys = y„cos(p—ZupSinqj; Zs = Z^cos <p + Va, sin
Li = La\ Л4, = Alices <p—Nw sin cp; = N^cosq) + M№ sin <p.
Определение сил и моментов, приложенных к оси шкворня,
которая, как правило, имеет наклон в двух плоскостях, лучше
всего производить методом преобразований, описанным в гл. 2.
42
Рис. 1.30. Силы и моменты, действующие на колесо
а — силы и моменты, действующие в контакте колеса и равные сумме як
элементарных величин; б — перенос сил й моментов, действующих в
контакте, в систему координат автомобиля; ₽ — силы н моменты» обычно
получаемые при испытании шин
1.22. Заключение
Выше было рассмотрено, каким образом возникают силы
в процессе увода шины, и влияние ряда переменных, таких как
угол развала колес, нагрузка и тяговая сила, на основную
зависимость боковой силы от угла увода. Дополнительно были
рассмотрены некоторые математические модели шин и выведены
уравнения боковой силы для установившегося и неустановив-
шегося движений. Эти модели интересны, несмотря на свою про-
стоту и на то, что они не могут быть использованы для конструи-
рования шины или предсказания ее качеств без знания некоторых
экспериментальныхданных.
При изучении управляемости и устойчивости автомобиля
должны рассматриваться характеристики шин. При этом можно
применять линейную модель автомобиля для исследования устой-
чивости, или систему с большими перемещениями, позволяющую
рассматривать вопросы управляемости автомобиля в условиях
предельного сцепления шин. При линейной модели необходимы
характеристики шин для малых отклонений относительно некото-
рых начальных условий, тогда как для модели с большими
перемещениями требуются полные характеристики шин при раз-
личных нагрузке, угле развала колес, тяговой силе и сцеплении
колес с дорогой. В этом случае боковую силу и стабилизирующий
момент удобно выражать в виде функциональных рядов, в кото-
рых длина контактной площадки и внутреннее давление воздуха
в шине являются параметрами. На основании зависимостей между
вертикальной нагрузкой, давлением воздуха в шине и длиной
контактной площадки, определяемых при испытании шины,
катящейся в установившихся условиях, находят необходимые
коэффициенты.
При исследовании управляемости автомобиля с помощью
цифровых вычислительных машин такой способ представления
шин удобен для программирования. Для моделирования на ана-
логовых машинах обычно необходимо использовать функциональ-
ный преобразователь для описания характеристики свободно
катящегося ненаклоненного колеса, дополнительный блок, учиты-
вающий изменение наклона колеса, и блок, который преобразует
суммарный выход двух блоков в зависимость от величины тяговой
силы.
Введение в изучение поведения шин не содержит исчерпы-
вающих материалов, в нем скорее рассматриваются некоторые
аспекты, представляющие интерес при исследовании динамики
автомобиля. Комментарии и описания должны показать пример-
ное влияние изменения внешних условий на характеристики шин,
чтобы читатель, изучая упрошенные теории, мог сам оценить
важность этих условий для управляемости и устойчивости
автомобиля.
44
1.23. Литература
1.1. Ellis J. R., Ph. D. Thesis University of London, 1960.
1.2. Fonda A. G. Tyre Tests and Interpretation of Experimental Data. Proc. I.
Meeh. E. (A. D.), 1956.
1.3. Research on Road Safety, Under Edition. J. B. Behr. H.M.S.O. 1963
1.4. Gough V. E. et al. Tyre Uniformity Grading Machine — SAE 322.A.
1.5. Lippmann S. A. Forces and Torques Associated with Roughness
in Tyres — SAE 322.D.
1.6. Ginn J. L. et al. The B. F. Goodrich Tyre Dynamics Machine—SAE
490.B
1.7. Metcalf W. H. Effect of a Time Varying Load on Side Force Generated
by a Tyre Operating at Constant Slip Angle — SAE 713.C.
1.8. Ellis J. R. The Dynamics of Vehicles During Braking. Simposium on
Control of Vehicles During Braking and Cornering. Proc. I. Meeh. E. (A. D.), 1963.
1.9. Hadekel R. The Mechanical Characteristics of Pneumatc Tyres. Ministry
of Supply, T.P.A.3., 1950.
1.10. Fiala E. Seitenkrafte am Rollenden Lultreilen.— V.D.I.Z., 1954, N 29.
1.11. Bergman W. Theoretical Prediction of the Effect of Traction on Cornering
Force — SAE, 1960, June.
1.12. Segel L. Lateral Mechanical Characteristics of Non — Stationary Pneu-
matic Tyres. Cornell Aeronautical Laboratory Inc. Report YD-1059-F-1.
1.13. Kantrowicz A. N.A.C.A. Report 686, 1941.
Глава 2
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА
Прежде чем приступить к изучению управляемости и устой-
чивости автомобиля при действии боковых сил, сделаем краткий
обзор теорем прикладной механики, которые наиболее часто
используются в последующих главах.
Принцип системы координат, зафиксированной на кузове,
хорошо известен и в данных условиях имеет большое преимуще-
ство, так как моменты и произведения (центробежные моменты)
инерции кузова в этом случае остаются постоянными и не зависят
от его положения в пространстве.
В первой части этой главы выведены уравнения движения
системы координат, зафиксированной на кузове, которые впо-
следствии будут использованы в гл. 3, 4 и 6.
При подстановке в уравнения числовых значений часто обна-
руживается, что оси координат не совпадают с теми, относительно
которых были измерены или вычислены моменты и произведения
инерции.
В помощь при расчетах, связанных с переносом осей,
даны соответствующие теоремы и таблицы направляющих
косинусов.
В конце рассматриваются математические критерии устой-
чивости системы.
2.1. Система координат, зафиксированная
на автомобиле
На рис. 2.1 изображена система взаимно перпендикулярных
осей х, у и 2.
Рассмотрим произвольную точку (х, у, г), у которой
составляющие линейной скорости а, Ь, с относительно начала
координат направлены параллельно соответственно осям х, у и z.
Кроме того, система координат может иметь угловые скорости р,
q, г вокруг соответственно осей, х, у, z.
Положительное направление линейной скорости — от начала
координат; положительное направление вращения — по часовой
стрелке, если смотреть от начала координат в положительном на-
правлении осей.
Пусть и, v, w будут скоростями точки Р, направленными па-
раллельно соответственно осям х, у, г; тогда имеем:
46
скорость, парал-
лельная оси х,
u = a—ry+qz;
скорость, парал-
лельная оси у,
v = b—рг + гх\
скорость, парал-
лельная оси z,
w = с— qx + ру.
Уравнения (2.1) определя-
ют скорость точки, движущей-
ся в системе, начало коорди-
нат которой зафиксировано.
Если система координат мо-
жет перемещаться с мгновен-
ными скоростями U, V, W на-
чала координат в направлении
х, у, z, то суммарная скорость
сти начала координат и скорости этой точки
мы координат. Следовательно,
Рис. 2.J. Система координат, зафиксиро-
ванная на теле
точки Р будет равна сумме скоро-
относительно систе-
u — U + а—ry+qz't
v = V + b—pz + rx\
w = W + с—qx + ру.
(2.2)
Уравнения (2.2) определяют скорости точки, движущейся
в системе координат, имеющей свободу линейного перемещения
и вращения. Если система координат зафиксирована на жестком
теле, то а = 6 = с = 0. В этом случае
и — U—ry + qz\
v = V—pz + rx;
w = V7—qx + ру.
(2-3)
Пусть и, v, w — ускорения точки Р жесткого тела. Тогда
du
и = ~^~ = U—ГУ—ry = qz + qz;
dv
v =---= v-~pz—pz + rx+ rx;
dt
w — —— = W—qx—qx + py + py,
где x = и; у = v; z = w, a p, q, r — угловые ускорения точки отно-
сительно соответствующих осей.
47
Подставив соответствующие значения в уравнения ускорений,
получим
u = (j—rV + qW— (<7г + гг)*+ (flp— г) у + (rp + q)z;
v = V— pW + rU— (p2 + r2)y + (rq + p)z+ \pq + r)x;
w = W —qll + pV— (p2 + q2}z + (pr~ q}x 4- (qr + p)y
(2-4)
Уравнения (2.3) и (2.4) описывают скорости и ускорения точки
Р(х, у, z) твердого тела, когда оси координат зафиксированы на
нем и линейные скорости осей равны U, V, W, а их угловые ско-
рости соответственно р, q, г.
Для точки с постоянной массой произведение массы на уско-
рение равно результирующей силе, приложенной к точке. Согласно
принципу Даламбера внешние силы и моменты, действующие на
тело, уравновешиваются силами инерции. Пользуясь рис. 2.1,
напишем формулы для суммарных внешних сил в направлении
осей х, у, г:
SX = Edznu;
= Sdnw;
SZ = Sdmui;
и для суммарных внешних моментов вокруг соответственно осей
х, У, z:
XL = Xdm(yw—zv}\
ХМ — Xdm (zu—xw);
XN = Xdrnixv — yu).
(2.5)
Система координат может быть зафиксирована в любой точке,
обеспечивающей удобство определения ускорений. Уравнения
(2.4) определяют компоненты ускорений, когда оси зафиксиро-
ваны на жестком движущемся теле; положение начала координат
определим как центр масс тела, так, чтобы
Xdmx = Xdm у = Xdmz = 0.
Моменты и произведения инерции жесткого тела могут быть
определены следующим образом^
tn = Xdm = суммарная масса;
момент инерции относительно оси х
!Я = А= Xdm (у2 + г2,.
момент инерции относительно оси у
1У = В = Xdm (х2 + г2);
(2-6)
48
момент инерции относительно оси г
!г = С = Zdmfx2 + /г);
произведение инерции относительно осей у и z
PUI = D = 'S.dmyz;
(2.6)
ирон введение инерции относительно осей хи z
Рхг — F. = Zdmxz;
произведение инерции относительно осей х и у
Pxu = F = Xdmxy.
Подставляя уравнения (2.4) в соответствующие выражения
(2.5) и группируя их члены, получим
2X = m(l>—rV+qW);
= m(V—pW + rU);
YZ = rn(W-qU + pV)-
2L = Ap— (B—C)rq ±D(r2 — q2) —E(pq + r) + F(pr— q);
IN = Bq— (C—A)rp 4- E(p2—r2)— F(qr + p) + D(qp—r);
2ЛГ = Cr— (A—B) qp + F{q3 —-p2) — D (rp + q) + E {rq — p).
При рассмотрении управляемости автомобиля и его реакций
обычно принимают, что отсутствуют перемещение вдоль оси
z(W = 0) и вращение вокруг оси y(q = 0), т. е. вертикальные пе-
ремещения, а галопирование автомобиля не учитывают. Тогда
получаем упрощенную систему уравнений
2X = m(t7—гУ);
= щ (У+ <(/);
EL = Ар + Dr2— Er + Fpr;
(2-8)
2W = Cr—FfP—Dpr—Ep.
Для тела, симметричного относительно плоскости xOz,
D = 0.
2.2. Моменты и произведения инерции
Уравнения (2.6) определяют моменты и произведения инерции
тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей, выбран-
ных произвольно. Анализ выражений произведений инерции
показывает, что знак их членов зависит от положения осей. Сле-
довательно, они могут быть расположены так, что все произведе-
ния инерции будут равны нулю.
4 Заказ 2003
49
Рис. 2.2. Параллельное неремешение и поворот системы координат
Если тело имеет плоскость симметрии и две оси (х, у) рас-
положены в ней, то произведения инерции Рхг, Pyz равны нулю,
так как каждому элементу массы на расстоянии +2 от этой пло-
скости противостоит элемент на расстоянии — г от нее. Если
существуют две взаимно перпендикулярные плоскости симметрии
и выбранные оси лежат в этих плоскостях, то все произведения
инерции равны нулю. Выбранные таким образом оси являются
главными осями тела, а соответствующие моменты инерции —
главными моментами инерции.
Если известны моменты и произведения инерции тела относи-
тельно осей координат с началом в его центре тяжести, то
соответствующие величины для систем с осями, параллельными
первоначальным, могут быть определены, как показано на
рис. 2.2, а. Моменты lx, Iy, A, Рху, Pxi, Pyz известны.
Пусть новые параллельные оси расположены на расстоянии х',
у', г' от соответствующих осей первоначальной системы; тогда
71- = 1dm [(</ + у')2 + (z 4- г')2] = Zdrn(y2 + г2) +
+ 1dm \ у'2 + г'2) -р 2y'ldmy + 2z'ldrnz.
Но
Id ту — Idmz — О,
следовательно,
/(- = 7х + т(</'2 + г'2);
также
= /„ + гн(х2-Ег'2);
и
/ - = !г + т (х'2 + у'2}.
50
Соответствующие произведения инерции определяют по фор-
мулам
Рх- ч- = Edm (ж -I- дг') {у + у')
или
+ "«V;
Рч-г- = Руг + my'z‘\
Рх'г- = РХ1 4- mx'z'.
Когда производят перенос моментов и произведений инерции
из зафиксированной на теле системы координат с началом в цен-
тре тяжести в повернутую систему с тем же началом координат,
целесообразно использовать направляющие косинусы, связываю-
щие оси (табл. 2.1). Пусть х, у, z—первоначальные оси, а х', у\
Z'— повернутые оси (рис. 2.2, б).
Таблица 2.1
Новые Первоначальные координаты
координаты 1 X ♦ £ Т
1 X «I 1 1 Yi
у' «2 Рг Y2
2' г «з Рз « Уз 1
Уравнения новых координат имеют следующий вид:
x' = tltX + ₽!{/ + y,Z-
if = а2х + psi/ -I- y3z;
г' = a3x + p3t/ +?3z.
где
а®+.а|+ a® = 1;
Т1+Тг2 + Т1=1-
Кроме то го,
a? + P? + Y?=l;
а1+₽г + ?г= I;
a’ + P« + T>- I.
Так как оси x и у взаимно перпендикулярны, то
Pi Vi + РаУб + РзУз = 0;
«1?! + «гТ? + “зУз = 0;
tl|Pl + (Ьр2 + °зРз “ 0-
4
51
1
Для определения момента инерции тела относительно повер-
нутой оси х' в величинах моментов и произведений инерции отно-
сительно первоначальных осей х, у, z возьмем элементарную мас-
су dm, расположенную в точке Р (рис. 2.2, б); тогда
/x-=2dm(/>7V)2,
или
Ix. = 2dm(0Ps—О№) = 2dm [(хг + if 4- zs) — (а.х + р1У + у^)2] =
= 2dm [(х2 + у2 + z2) (а2 4- Р[ 4- (се, х 4- ^у + у^)2].
Так как
1=а* + ₽2 + у2,
то
+ Р(/^ + —20 ,у [Р уг—20,0]? ху—За^Р xz.
Следовательно, в том случае, когда оси х, у, z являются глав-
ными осями тела,
Аналогично,
!у, = а21х 4- ppj, +уг/г;
Iz- = Оз/Х + РзЛ, + 7зАг-
Произведение инерции относительно повернутых осей
Р^у = 2dmx'//',
или
Рх-у = 2 dm (а 4- Р, у + т,z) (a2x + $2у 4- y2z)
и,окончательно,
Рх-у- = 2dm (a1a2x2 4- PiPz!/2 4-?Iy2z2) 4- (а^г 4- аД) X
X Sdmxt/ 4- (а^г 4- а2у1) 2dmxz 4- (р^ + P2Y1) Sdmi/г.
Подставив значения 2dmx2H т. д., получим
v = — а{а21х—р^г/у—4- Pw(a(p2 + «А) 4-
+ Р «(“iTs + CsYi) + Pyz (Pi V2 + ₽2?l)-
Если первоначальные оси являются главными, то
Рх.у. = _ а}а21х— Р^—у^г//,
PX’z----PiPs/j—7173^
р^.г.= _a2a3/x—РгРз/у—уг7эЛ-
52
2.3. Углы автомобиля
В разделе 2.2 направляющие косинусы были рассмотрены
в общем виде. Теперь получим направляющие косинусы для авто-
мобиля, выраженные через углы, на которые связанная с кузовом
система координат поворачивается относительно зафиксированной
системы координат. Пусть вначале обе системы координат совпа-
дают. На рис. 2.3 показаны начальное и окончательное положе-
ния этих систем. Окончательное положение было получено после-
довательным вращением системы координат вокруг осей Zo, f/i и х2.
Повернем систему координат, связанную с кузовом, по часовой
стрелке, если смотреть из точки О, на угол ф вокруг оси z0, и пусть
полученные оси будут Zo, X], (рис. 2.3, а).
Тогда
х0 = х1соБф—у} sin ф;
i/o = jci Sin ф + у i cos ф;
Z0-=3j.
Затем повернем систему координат, связанную с кузовом,
вокруг оси </1 на угол 6. Получим оси х2, ух, zs (рис. 2.3, б). В этом
случае
Xj = x2cos0 + z2 sin В;
yi = Уъ
Zi = z2cos 0—х2 sin 8.
Рис. 2.3. Последовательный поворот взаимно перпендикулярных осей.
а — первый поворот Н8 угол V вокруг ОСИ 2С; б — второй поворот иа угол 6 вокруг
осн Рь о — третий поворот на угол ф вокруг осн х?
53
Повернув далее систему координат на угол ф вокруг оси х2,
получим третью систему с осями х2, Уз, £з (рис. 2.3, в). Таким
образом,
х2 = х3;
У2 = </з cos Ф—гз S'n
22 = Z3 COS ф + Уз sin ф.
Связь между координатами хо, уо, £о и Хз, уз, г3 приведена
в табл. 2.2. Соответствующее выражение расположено в строке
или столбце. Так как величины х0, уо, z0, Хз, уз, 2з являются векто-
рами, то преобразования, касающиеся линейных или угловых
скоростей, производятся с помощью косинусов.
Таблица 2.2
Новые координаты Перзоначальные координаты
л (или Ао) у (или >о) г (нлн z0)
х3(или х') cos ф cos 9 1 1 sin ф cos 9 I 1 — sin 9
cosipsin0sinq>- —sin ф cos <p 1 г» 1 sin ф sin 0 sin ф + + cos ф cos ф i i cos 0 sin ф
23(или z') cos ф sin 0 cos ф + + sin ф sin q i л । sin ф sin 0 cos ф + + cos ф sin ф i t cos 0 COS ф
Так, линейные и угловые скорости относительно осей, зафик-
сированных на кузове, получают из табл. 2.2 с помощью
горизонтальныхстрок:
линейные скорости
Уз = t/ocosipcos0 + sin ф cos 0—lysine;
V3 = U0(cos ip sin 0 sin ф—sin ip cos ф) + Vo(sin ip sin 6sin<jp-j-
+ cos ip cos ф) + W70 cos Osin ф;
IV3 = (/O(cos ip sin 6 cos ф -f- sin ip sin <p) + V0(sin ip sin 0 cos <p -p
+ cos ip sin ф) + iV0cos Geos q>;
угловые скорости
Pa = PoCosipcos0 + yosinipcos0—rosin0 и т. д.
Для обратной связи используют столбцы табл. 2.2, т. е.
sin 0-|- V3 cos 0 sin ф-|-TV3 cos 0 cos ф и т. д.
У автомобиля, движущегося по гладкой дороге, не наблюдается
галопирования или крена; следовательно, величины sin 0, sin ф,
cos 9, cos ф могут быть заменены соответственно 9, ф, 1, 1, в резуль-
тате чего соотношения, приведенные выше, упрощаются.
54
рис. 2.4. Перемещение и поворот
осей. необходимые для определе-
ния моментов и произведений
инерции
Если рассматривается симметричный относительно плоскости
xOz автомобиль, крен которого происходит относительно оси, не
являющейся главной осью кузова, то положение осей можно
определить перемещением их параллельно главным осям кузова,
чтобы начало координат было расположено так, как показано
на рис. 2.4, а затем повернуть ось х' до совмещения с осью крена.
Следует отметить, что на рис. 2.4 оси координат повернуты на 180°
вокруг оси х. В этом положении положительное направление
совпадает с тем, которое принято в динамике автомобиля. Такое
вращение не влияет на выводы, сделанные выше, оно сделано
просто для удобства.
1. Смещение осей х и z на величины х' и г' относительно осей,
проходящих через центр тяжести:
lx' = Iх 4” mzi;
}s' = + m (*i + г?);
/г< = I г + тхс,
Рх-г- = — rnxiZi;
PtSI'^Py'Z-=0.
2. Поворот оси х' на угол 0 в положение х" влияет на момент
инерции и произведение инерции РХ'у . Так как положение
ос и у' и z' после этой операции осталось неизменным, то соот-
•зетствующие моменты инерции также не изменились.
Направляющие косинусы определяются из основного выраже-
ния приравниванием фиф нулю (см. табл. 2.2):
cos в 0 —sin в
0 1 0
sin 0 0 cos В.
Используя выведенные ранее формулы, получаем
= (/х + >п4)со5гв + (/л + т^)з1п В + 2/пх,г1 cos 6 sin в;
Рг~г. = — а^з/х—0^4—у|Уз/г. + рх.у. (ctlp3 + +
+ Ру'г'(₽1Тз +₽3Tf) + E’x-i''(aJ-y3 -Ь азу,);
55
или
Рхг- = cosO sin 0[(/х + /nz?)— (/г + mxf)] + fees2 0—sin" 0) ( — rnx^J;
следовательно,
Рх«г. = 1/2[/х—/г + xi)]sin26—mxjZ[COs26.
Надо отметить, что вертикальная ось не обязательно является
Главной осью автомобиля.
Направляющие косинусы могут быть также использованы при
переносе сил и моментов, действующих в контакте шины с доро-
гой, на оси автомобиля.
2.4. Устойчивость динамической системы
Система считается устойчивой, если она возвращается в поло-
жение равновесия в течение определенного времени после
возмущения.
Уравнения движения автомобиля могут быть в большинстве
случаев преобразованы в систему линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами. В такой системе каж-
дая составляющая движения будет меняться по закону ew и ус-
тойчивость системы будут определяться коэффициентом К. Таким
образом, если А есть действительная и положительная величина,
то система неустойчива, так как движение будет расходящимся.
Действительная и отрицательная величина Я показывает, что си-
стема со временем возвращается в устойчивое положение. Если
коэффициент А представляет собой комплексное число, то его поло-
жительная действительная часть свидетельствует о наличии
расходящихся колебаний, а отрицательная действительная — о
наличии затухающих колебаний.
Следовательно, если из характеристического уравнения систе-
мы определены величины А, то анализ корней дает полную
информацию относительно устойчивости системы. Когда известны
числовые значения величин, входящих в уравнение, этот метод
является наиболее простым и при использовании стандартных
программ цифровых вычислительных машин обеспечивает быст-
рое выполнение расчетов с заданной точностью. Практический
опыт такой числовой оценки показывает, что если имеется соот-
ветствующая вычислительная машина, то можно рассмотреть
влияние нескольких переменных на устойчивость автомобиля при
минимальных затратах труда и времени.
Если цифровые вычислительные машины отсутствуют, то
существует числовой метод для нахождения корней полинома,
который подробно описал Н. W. Turnbull [2.2]. Если приходится
решать уравнение четвертой степени, часто встречающееся при
изучении устойчивости автомобиля и во многих других случаях,
то его можно преобразовать в биквадратное; когда это невозмож-
56
но, предлагается следующее приближенное решение. Пусть тре-
буется найти числовое решение уравнения
№ 4- Д X' 4~ Д^Х2 -р Д]Х + До = 0.
Рассмотрим уравнение вида
(X2 4- /пХ + п) (X2 4- т'Л 4- п') = 0
или
М + (т 4- т')Х3 4- (тт' 4- гг 4- п) X2 4- (/пн 4- пт’) X 4- пп' = 0.
Приравняем соответствующие коэффициенты первоначального
иполученногоуравнений:
Да = т 4- т'\ А3 = тт' 4- п 4- п';
At = тп' + т'п‘, А0 = пп'.
Допустим, что значение п находится между О и АО, и вычислим
п, т, т'. Подставив значение
п
в выражение для Д|, получим
А, = т 4- т'п.
п
Далее, подставив т' = А3 — т, будем иметь
4 о
---—п
п
После подстановки значений и, п', т, т' в уравнение для Да,
получаем новую величину Д^ = Да, которая может быть достаточ-
но близка к Да. В этом случае принятые коэффициенты квадрат-
ных уравнений считаются удовлетворительными, и К может быть
определена как корни этих уравнений. Если числовое значение
А'2 недостаточно близко к Да, то расчет повторяют, приняв другое
значение п, до тех пор, пока не будут выполнены требуемые усло-
вия. На практике с помощью этого метода можно быстро получить
необходимый результат.
При анализе устойчивости автомобиля в общем виде уравнение
собственной частоты следует преобразовать в полиномную форму
и тогда, рассматривая коэффициенты полинома, можно опреде-
лить необходимые и достаточные условия для получения отрица-
тельных корней.
Пусть характеристическое уравнение в форме полинома имеет
следующий вид:
ДЛХП4-ДП—1Х” 1-р - - - 4-Д [Х-р До = О,
где Ап — положительная величина.
57
Тогда по Раусу, необходимое, но недостаточное условие
устойчивости заключается в том, чтобы все коэффициенты А были
положительны. Система будет устойчивой, если определитель и его
миноры положительны:
Т । = Ц
Ди-i Ап
Аг-з А„_?
Тз
Ап—1
А',—з
Ап— 5
А„
А„-г
А„—4
Ап—1
АП-з
Ап-з
Д
ДП—7
Ап—1
Ап -4 А„—з
Ап—g А -б
О
АП
Ап-2
Ап—4
Метод составления определителя следующий: An-i — коэффи-
циент, располагаемый в верхнем левом углу; коэффициенты пер-
вого столбца уменьшаются на два порядка, т. е. 4п-з. Дп-s и т. д.
В каждой строке вправо от первого столбца порядок А увеличи-
вается на единицу. Ноль подставляется в том случае, если индекс
меньше нуля или больше п.
Так как Tn = A0Tn-i, очевидно, что для устойчивости системы
АО должно быть положительным, и это было сформулировано
как необходимое условие. Раус также показал, что число корней
с положительной действительной частью уравнения неустойчивой
системы равно числу изменения знаков в полиноме.
Характеристические уравнения четвертой степени представляют
особый интерес при исследовании динамики автомобиля:
Д4^ + Д2Х^ + Д2ЙЛ л- + До = 0.
Условия устойчивости при положительном Ао будут следую-
щими:
Л=Л3>0;
Г2 =
Дз Д<
А । А?
->0;
Тз =
Дз Д 4 В
Д| Д2 Дз
0 До Д i
Следовательно,
7"з = Д ,T2—ДдД
58
Таким образом, Тг должно быть положительным, когда Т3,
До и Ai положительны, и простейшая система критериев будет
следующей:
Дз 0>
А, >0;
До > 0;
AsAjiAi — AjA?—AifAj > 0.
Если три первых неравенства удовлетворяются, то из четверто-
го следует, что для устойчивости системы необходимо, чтобы
Аг > 0. Однако обратное утверждение не верно. Если Д4 = 1, то
уравнение может быть записано так:
Х5 -f- Д3Х3 + Д^Х® + Д |Х. -f- Дд = 0,
при этом для устойчивой системы должно быть
As > 0;
До>0;
AsA$Ai—ДоЛз—>0.
2.5. Критерии критической устойчивости
Если известно, что система устойчива в некоторых условиях,
то ее устойчивость в других условиях можно оценить без деталь-
ного рассмотрения всех неравенств. Такой метод пригоден для
оценки влияния изменения одного параметра системы.
Допустим, что в некоторых условиях система устойчива и все
корни характеристического уравнения отрицательны или имеют
отрицательную действительную часть. Пусть один параметр
меняется до тех пор, пока не наступят критические условия. Тогда
существуют две возможности:
1. Действительные отрицательные корни равны нулю.
2. Действительная часть пары комплексных корней равна
нулю. Можно показать, что знак действительных корней в системе
с меняющейся устойчивостью меняется при АО — 0.
Поскольку комплексные корни сопряженные, то во втором
случае они будут равны ±йо. Тогда уравнение четвертой степени
будет иметь вид
Д4<1И + 1Дз<о® + Д»<й® + с*Д |й) + До = 0-
Приравниваем нулю действительную и мнимые части урав-
нения:
Д4ьИ + Дг«2 + До = О
и
Дэ(1)3 + Д,© = 0
59
или
<о2= — Д,М3.
Подставив значение ы2 в первое уравнение, получим
ДхДгДз—Д<ДГ—ДдДз =0,
следовательно,
Гэ=0.
На основании проведенного анализа можно сделать вывод,
что в любом полиноме критерием для существования пары мнимых
корней является равенство нулю предпоследнего минора опреде-
лителя 7'п_1 (где п — порядок полинома).
2.6. Литература
2.1. Duncan W. J. Principles of The Control and Stability of Aircraft. Cambridge
University Press.
2.2. furnbull. H. W. Theory of Equations. Oliver and Boyd, Ltd.
Глава 3
УПРАВЛЯЕМОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ
«ПРОСТЕЙШЕГО» АВТОМОБИЛЯ
Представление об управляемости и устойчивости автомобиля
можно получить, исследуя модель, в которой отсутствует подвеска
и, следовательно, кузов не может иметь крена. Такая элементар-
ная система позволяет изучить влияние характеристик шин и по-
ложения центра тяжести автомобиля на его установившиеся ре-
акции при управлении и сделать ряд интересных выводов.
3.1, Модель с неподвижными осями координат
Одно из первых исследований принадлежит Рокаду, который
рассматривал поступательное движение автомобиля с постоянной
скоростью U при небольших угловых отклонениях продоль-
ной оси.
Пусть х, у — координаты центра тяжести автомобиля. Перед-
няя ось находится на расстоянии а от центра тяжести, а задние
колеса — на расстоянии b от него.
Координаты передних колес будут следующими (рис. 3.1):
JCi.z = х + a cos 4 ± tf sin if '-х 1 а ± lf4;
,2 = У + о sin 4' ± Gcos 4 ' у + оф ± tf.
Угол увода передних колес получается как отношение боковой
скорости к поступательной минус угол поворота продольной оси:
а = (dyjdt)/(dxldt —4,
но
dx/dt a U,
следовательно,
а 1= at = (у + с4) —S’-
Следует заметить, что для малых угловых перемещений углы
увода передних колес одинаковы.
Координаты задних колес:
х3,4 = х—6 cos 4 + /rsin4 х- b Т /,4;
1/3 4 = у—b sin 4 ± trcos4 л у—64 ± tr.
Угол увода задних колес
аз,4 = = (dy/dt) {dx/dl) —4,
61
или
Of
Рис. 3.1. Модель для исследования
курсовой устойчивости автомобиля,
имеющего свободу бокового движе-
ния в поворота
U
ч>-
Допустим, что углы увода ма-
лы, тогда боковые силы пропор-
циональны им.
Пусть С/ и Ст — тангенсы на-
чальных углов наклона кривой
зависимости боковая сила —
угол увода соответственно для
передней и задней осей; тогда
уравнения движения имеют вид:
ту = Cfdf + Crar + У;
/гф = aCfdf— bCfaf + N,
где У и N — соответственно внешняя боковая сила и момент от-
носительно центра тяжести.
Подставив значения а/ и аг в уравнение (3.1), получим
ту = (С, + С,) + (aCf- - (С, 4- C,W + У;
= (aCj-bC^ + (a^Cs + ^C,)-L (aCf-bCr)q + N.
Подставив
(3.2)
в уравнения (3.2), получим
{С, + С,} -£-] у-(Cf + Сг)]ф = У;
Г_ (aCf- bCf)-£-] у + [/гОа- (a*Cf 4- b2Cr}~ + (аС,- &С,)]ф = N.
Собственную частоту системы можно найти с помошью
определителя
т^-(С/ + Сг)А
-{aCf-bCr}^-
Пусть
~(aCf—ЬСГ)— + (Cf + Cr);
lzD2~(a2C} + d3Cr)-£ -I- (aCf- bCr)
= 0. (3.3)
Ci=Cf + Cf; C> = aCf— £€,; C3 = a^Cf + b2C„
тогда
fsmD2^ (mC3 + /ZC,) ^- + mCs+ = 0.
62
Следовательно,
Так как введение операторной формы предполагает наличие
экспоненциального решения уравнения движения, достаточно рас-
смотреть возможные величины D при определении устойчивости
движения.
Следует заметить, что величины С/ и Сг отрицательные, так
как (см. гл. 1) боковая сила, возникающая при повороте колеса,
является восстанавливающей силой, направленной в сторону рав-
новесного положения. Следовательно, С| и Сз также отрицатель-
ны, тогда как Cj может иметь оба знака. Масса и момент инер-
ции — положительные величины.
Система будет устойчива, если величины D будут действитель-
ными и отрицательными или комплексными с отрицательной дей-
ствительной частью. Таким образом, сумма тС3 + /2С| должна
быть отрицательной — условие, которое всегда удовлетворяется,
а величина
4/гт [/пС.,+ (С|Сз
L \ и* J.
должна быть положительной.
Рассмотрим это выражение, подставив значения Сь С3, С3:
41^ Гт (аС}- ЬС,} + <Ct + Cf}^Cf+^}-{aCf^_ > Q
или
mU2(aCf — bCt) + C,Cr(a + by > 0.
Это условие будет удовлетворяться, если
1ЛСг|>|йС/|.
Если неравенство не удовлетворяется, это означает, что
существует критическая скорость поступательного движения; при
движении со скоростью выше критической автомобиль неустойчив,
а при движении со скоростью ниже ее он устойчив:
и.
CjCf(a+by
т (aCf — ЬСГ)
(3-6)
«Простейший» автомобиль с закрепленным рулевым управле-
нием будет устойчив при всех скоростях движения, если по абсо-
лютной величине произведение расстояния от задней оси до центра
тяжести автомобиля на коэффициент сопротивления уводу задних
колес будет больше произведения расстояния от передней оси
автомобиля до центра тяжести на коэффициент сопротивления
уводу передних колес.
63
При невыполнении этого условия автомобиль будет устойчив
в том случае, если его скорость не превышает величины, получае-
мой по уравнению (3.6).
Это основное положение устойчивости автомобиля представля-
ет большой интерес, так как показывает, что у автомобиля с оди-
наковыми шинами на всех колесах центр тяжести должен быть
смешен вперед относительно середины базы. Влияние тяговой
силы на ведущих колесах на устойчивость автомобиля может
быть исследовано также при помощи приближенных соотношений
между боковой и тяговой силами, приведенных в гл. 1.
3,2. Модель с осями координат, зафиксированными
на кузове
В качестве примера использования системы координат, зафик-
сированной на кузове автомобиля, рассмотрим модель с двумя
степенями свободы:
m(V + t/r)=SV; ,„7.
I’5-' )
/Z = 2W.
Определим силы, возникающие на колесах передней и задней
осей автомобиля (рис. 3.2).
Углы увода осей
У—Ьг
тогда
tn (Р + Ur) = Cjdf + Crar;
fEr = aCfaf—bCraf
или
m(V + Ur) = (Cf +Cr) (V/U) + (aCf— bCr) (rlU) -СД
Zy = (aCf~ bCr) (VIU) + (a2Cf + b2Cr) (rjU)—aCf&,
где С— начальный угол наклона кривой зависимости боковой
силы от угла увода, т. е.
С = д¥/да 10. j.
Если VIU= р, то 2У и S/V могут быть выражены следующим
образом:
SY = Л) - Р + —/Ч й> С;
dp дг
2W = . Р + ^-г + ДУ б.
Йг йб
64
Рис. 3.2. Модель с осями координат, зафиксированными на
кузове (передние и задние колеса для каждой оси автомо-
биля заменены одним колесом, имеющим свойства пары за-
мененных им колес)
Пусть
dY)d(> = Y, и dNjd$ = N$ и т. д.,
тогда
dY/dfi = Ур = С{ + Cr; dN/d$ =N^ = aCt—bCt;
dY/dr = Yr = а^~^Сг ; dN/dr = Nf = + ;
dY’db = Ув=----Cf; дМ/дб =N6 = —aCh
где С — отрицательная величина.
Такая запись может быть использована для упрощения урав-
нений движения:
т(Р + Ur) = У₽₽ -f- Y,r + Ув6; | (3 8)
/Z = A/P₽ + /V/ + tffifi. I
Эти уравнения связываются с уравнениями (3.1) соотноше-
ниями
г
Ф = Фо+j rdt ’
у = j (V cos ф 4- U sin ф)dt. (3.9)
о
3.3. Установившиеся реакции на поворот
управляемых колес
Установившиеся реакции автомобиля характеризуют конечные
условия движения автомобиля, возникающие через некоторое вре-
мя после начала маневра.
Примем, что колесо повернуто на определенный угол и зафик-
сировано в этом положении. При установившемся движении
угловое ускорение и ускорение бокового перемещения становятся
5 Заказ 2003
65
равными нулю, а угловая скорость характеризует поворот
автомобиля:
г = У = 0 и r=UjR,
где R — радиус поворота.
Таким образом,
т^ЬУ^ + М
О = N$ + Nrr + /Ve6
или
(mU—Yf) U/R - У = У6б (3.10)
и
Тогда установившиеся реакции будут следующими:
по уводу
Р/ s! Yr}-NY6 ’
по угловой скорости
(З.И)
(3.12)
r/е =да)/б
—^гЛа +
~f^(mU-YJ-Nf rp
Боковое ускорение, возникающее при установившемся пово-
роте, получается умножением реакции по угловой скорости на U.
Следовательно,
(U2/R) /б
— УД —
(3.13)
Реакция по кривизне поворота
I — У=У. +
(!//?)/« = - - ft 6 ---- (3.14)
или
('"И’тгЬ;- (315)
где
НЛ^-УрЛ^) '
Другое выражение для А может быть написано в величинах
коэффициентов сопротивления уводу шин передних и задних
колес:
tn f а b \
(а + ЬУ Cr Cf /’
(3.17)
66
или, так как а и b определяют положение колес относительно
центра тяжести автомобиля,
А 1 (
g(a + b) С,
Cf /
(3.18)
где WfH Wr—нагрузки соответственно на переднюю и заднюю
оси.
3.4. Статический запас устойчивости и точка
нейтральной поворачиваемое™
Понятие «статического запаса устойчивости» взято из авиаци-
онной практики. Когда автомобиль движется с некоторым углом
увода, то возникающие боковые силы создают поворачивающий
момент относительно центра тяжести
N = (aCf—6Сг)р = Л/Д
а внешний поворачивающий момент, действующий относительно
центра тяжести автомобиля, создает реакцию
N ext = Л/ рр.
Знак N# зависит от отношения величин аС/и ЬСГ, которые обе
имеют отрицательный знак. Момент от передних колес aCf увели-
чивает угол р, а момент от задних ЬСГ уменьшает его.
Уравнение для может быть преобразовано следующим
образом:
\ Ci+ Cr I J
Сг а ...
где - —---у — статический запас устойчивости.
Так как
Ур = Cf + Сг,
то статический запас устойчивости определяется выражением
—(з.19)
Следовательно, статический запас устойчивости зависит от
знака и величины поворачивающего момента и суммарной боковой
силы и является измерителем устойчивости автомобиля.
На продольной оси автомобиля может быть найдена такая
точка, в которой боковые силы шин, вызванные их уводом можно
уравновесить одной силой, равной сумме сил, приложенных
к колесам. Эта точка называется точкой нейтральной поворачи-
ваемости автомобиля. Расстояние указанной точки от центра тя-
жести автомобиля может быть найдено по формуле
аС/ — ЬСг _ Na
-(С + С,) “
5'
67
Введем безразмерный коэффициент CT/(Cf + Ст) точки ней-
тральной поворачиваемости и, используя его, получим следующее
выражение:
д __ m /статический запас устойчивости\ (3 20)
\ коэффициент точки нейтральной поворачиваемости/
Реакция по кривизне траектории зависит от А: когда А поло-
жительно, эта реакция положительна при любых скоростях;
если А отрицательно, то реакция меняет знак, что указывает на
начало неустойчивости при U2 = — (1/Д). Очевидно, что критиче-
ская скорость, найденная таким образом, идентична полученной
ранее при рассмотрении устойчивости.
Если NO и Yr выразить через коэффициенты сопротивления
уводу шин и координату центра тяжести, становится очевидным,
что обе эти величины малы; тогда формула для реакции по кри-
визне траектории может быть записана так:
(l//?)/6 (3.21)
UNr
3.5. Установившиеся реакции на внешнюю боковую силу
и поворачивающий момент
При действии боковой силы в центре тяжести автомобиля
уравнение (3.10) принимает вид
(щ[/-Гг)^-У3р = У; 1
(^Nr)UiR—N^ = 0, |
а реакции по уводу и угловой скорости поворота определяются
выражениями
JL =_______________ • (3 23)
3^-1---------. (3.24)
При действии поворачивающего момента относительно центра
тяжести
(mU~Yf)U/R_Y^, 1
( —N,)U/R~= J ' '
тогда реакции по уводу и угловой скорости поворота будут
< j-tt tnN—Yr (3.26)
-N^mU-Yr)~Y^r ' $
U/R (3.27)
N 5 Г
68
По этим уравнениям можно определить угол, на который надо
повернуть управляемые колеса, чтобы нейтрализовать угловую
скорость, возникающую от внешней боковой силы и момента.
Таким образом, приравняв угловую скорость, вызванную боковой
силой и моментом, к угловой скорости, обусловленной поворотом
управляемых колес, получим
(-Л/ iFe + /Ш) б = - (N^Y +
или
-(V+rpAf)
-N&Yt +N6Y?'
(3.28)
Если управляемые колеса автомобиля, на который действуют
внешняя сила Y и момент N, повернуты на угол 6, то поворота
автомобиля происходить не будет, а реакция по уводу будет равна
сумме реакций от поворота колес, боковой силы и момента. Следо-
вательно, автомобиль будет сохранять постоянный угол поворота
продольной оси, но будет смешаться в сторону от направления
движения под углом, определяемым реакцией по уводу. Это
смещение может быть компенсировано поворотом автомобиля на
угол увода относительно направления движения в противополож-
ном направлении. Такое движение будет аналогично управляемо-
му движению автомобиля при воздействии аэродинамических сил
вследствие бокового ветра. Движение автомобиля по косогору
можно рассматривать как движение при внешнем моменте, рав-
ном нулю, и боковой силе, равной составляющей веса автомобиля,
параллельной опорной поверхности.
3.6. Угол Аккермана
Если моменты сил, приложенных к передним и задним коле-
сам, относительно центра тяжести равны, то
ЛЧ = 0 и Er = (JV3/t/)=0.
Установившаяся реакция
управляемых колес
по угловой скорости на поворот
или
г I _ aUCf
fi | — a*Cf + lfiCr ’
ss
(3.29)
aCf = MJ., так как N& = 0.
где
69
Следовательно,
f|=f- <3-30’
Если простейший автомобиль поворачивается таким образом,
что центр поворота расположен на линии, проходящей через
заднюю ось и перпендикулярной к базе автомобиля, а передние
колеса повернуты так, что их плоскости перпендикулярны лини-
ям, соединяющим центр каждого колеса с центром поворота, то
средний угол поворота равен ///?. Этот угол поворота колес
называется углом Аккермана. Следует заметить, что когда угол
наклона реакции по угловой скорости равен углу Аккермана,
величина А равна нулю.
3.7. Реакции, выраженные через характеристики шин
При исследовании реакций автомобиля часто их удобнее вы-
ражать через координаты центра тяжести и характеристики шин,
так как они являются наиболее легко изменяемыми параметрами.
Реакции на поворот управляемых колес надо относить к их углам
поворота; угол поворота рулевого колеса более показателен, так
как эта величина является связующим звеном автомобиля с води-
телем. Соответствующее преобразование может быть проведено
при помощи передаточного числа G рулевого управления. Обо-
значим через 6S угол поворота рулевого колеса;
тогда
I _ 1 [ aC/mC2 + WCfCr________1
6S I G L bCt)mU^ + PCfCr J’
SS
r I = J_ Г__________UlCfir_________1.
| G L (uQ—frCr)mt/2 + /aCfCr ]’
SS
Wfij =-L[-------------icj£l---------'
XRlf G (aCf—bCr)mU^ + RCfCr
ss
o!Y I =__________&Cf+b4:r .
P | laCf— b€r)mb'2 + PCfCr ’
SS
rfY I = GfaCj-bCr) .
' | (aCf—Kr}mU^ + RCfCr '
SS
RW 1 — mlfl— (aCf—bCr)
ss (aCf—bCr) mlft + PC fCr
I ___________U(Cf+Cr)
(aCf—bCr}mL^ + KiCr
SS
(3.11a)
(3.12a)
(3.14a)
(3.23a)
(3.24a)
(3.26a)
(3.27a)
70
3.8. Расчет установившихся реакций на поворот
управляемых колес
Для иллюстрации метода расчета рассмотрим автомобиль со
следующими параметрами: т = 149 кгс-с2/м; / = 3 м; С/ =
= —8150кгс/рад; /2 = 346 кгс • м • с2; Сг= —8100кгс/рад.
Проведем расчет для трех положений центра тяжести:
1. а = 1,35 м.
2. Центр тяжести расположен так, что aCf = ЪСТ\
3. а = 1,65 м.
Реакция по угловой скорости на поворот колес
Согласно приведенным данным lCfCr— 2,0 • 108; Ур =
= - 16 250 кгс/рад; l2CfCr= 6,0 • 108.
Таблица 3.1
а = 1,35 м; aCf—ЬСГ= 2340 кгс-м/рад
V. . (aCt+ bCr)mU2l\№ [l2CfCr+ (aCf—bCr)mU2]/W . (1IR) /б рад/м г/6 1[с 1 1 1 0 15 0 ’ 225 0 0,34' 0 0,78 6,0 6,78 . 0,33 0,30 0 4,45 6 1 । 1 1 1 30 45 900 2025 1,34 3,02* 3,15 7,0 9,15 13,0 0,22 0,15 ,5 6,8 1 | 60 3600 5,36 12,5 18,5 0,11 6,6
aCf= ЬСГ Таблица 3.2
(1 /R) /б рад/м. . л/б 1/с 1 0,33 ... .0 1 1 1 0,33 5 1 1 J 0,33 0,33 10 15 __L_ । 0,33 20
Таблица 3.3
а= 1,65 м; aCt—ЬСГ= 2620 кгс-м/рад
(aCr—bCr)mU*[\(F ' 0 — 0,8в|—3,5о|—Z.ssl—14,0
[l2CrCr+(aCf— bCr)mUmW.......................6,0 5,12 2,50|—1,85 —8,0
(1/Я)/б рад/м. 0,33 0,39 0,80|—1,08 —1,25
.г/6 1/с.....................................0 5,75 24,4
Установившиеся реакции по кривизне и угловой скорости на
поворот управляемых колес показаны на рис. 3.3 и 3.4.
Реакция по уводу
aCfmU2 + blCfCr
l-CfCr + mU2 (aCf—bCr)
71
Рис. 3.3. Установившаяся реакция авто-
мобиля по кривизне траектории для двух
положений центра тяжести:
/ — автомобиль с нейтральной поворачивав
мастью
Рис 3 4 Установившаяся реакция ав-
томобиля по угловой скорости пово-
рота
Таблица 3.4
а= 1,35 м; aCf= - 11 000 кгс-м/рад; blCfCr= 3,38-10s
U в м/с .
ml/2/10=
aCftnU2! 10s ....
(aCfmU2 + blC(Cr)/W
₽/&
I I I I I
0 15 30 45 60
.0 0,34 1,34 3,02 5,36
0 —3,74 —14,8 —33,2 —59,0
+3,38|—0,36 —ll,42|—29,82|—55,62
+0,561—0,053 -1,25 —2,22 —3.06
I I I I I
Таблица 3.5
a=l,52 m; aCt— — 12400 кгс-м/рад; blCfCf= 3,06- IO8
flC»ml/2/108 . . 0 -4,2 —16,6 —37,5 —66,5
(aCfml/2+ blCtCr)/W . . . +3,061-1,14]—13,54]-34,44]—63,44
P/6 . ____+0,51|—0,2 —2,3 —5,8 —10,7
I । । । ।
Таблица 3.6
a = 1,65 m; aCf= — 13 700 кгс-м/рад; blCfC, = 2,76- 10s
aCpnLMlV . (aCpnlA + blCfCr)IW , —4,8 —19,0 . +2,76|—2,04|—16,2 —42,9 —40,1 —76,0 —73.2
B/6 . . . +0,45|—0,40 —6,5 1 1 1 +21,7 +9,15
3.9. Характеристики неустановившейся реакции
Уравнения движения автомобиля с двумя степенями свободы,
включающие внешние боковую силу и момент, имеют следующий
вид:
т<У + Ur) = Увр + Угг + Уйб + У;
lxr = N^ + Nrr + Nt6 + N.
72
Если подставим 0 = Р'/Т'до
mV— Гр -у 4- (mU—Y,)r = У6б + Y,
—N? + Ij—Nrr = JVe6 + N.
(3.31)
В этом виде левые части уравнений соответствуют уравнению
(3.8). Рассмотрим отдельно поведение автомобиля при уводе и при
повороте вокруг вертикальной оси, прежде чем перейдем к полной
модели с двумя степенями свободы. Такой метод дает возможность
оценить значение каждого из параметров.
3.10. Автомобиль, обладающий только свободой увода
Движение автомобиля с уводом, вызванным действием боковой
силы, происходит при равенстве нулю угловой скорости поворота
(г=0) и закрепленном рулевом управлении (6 = 0).
Тогда
U
Решение этого уравнения:
(3.32)
Так как Ур — действительная отрицательная величина, то V
возрастает с увеличением г (рис. 3.5). Время реакции определяет-
ся как время, за которое боковая скорость достигнет величины на
1/е (36,8%) меньше установившейся: t\/e = —mUlYp.
Изменение боковой скорости во времени
1/ = -ехр[(Уй/т(/)/]. (3.33)
tn
Боковое смещение автомобиля, вызванное возмущением,
получается интегрированием боковой скорости по времени:
i
г = fVdt = Т7 (f- (3.34)
о
Рис 3 5 Изменение скорости оскового
перемещения V по времени системы с од-
Нси степенью свободы (свобода бокового
перемещения)
73
Желательно, чтобы боковое смещение автомобиля с закреплен-
ным рулевым управлением было минимальным. Смещение будет
наименьшим, когда установившаяся реакция по уводу мала, а
постоянная времени велика. Эти требования несколько противоре-
чивы, так как при большой постоянной времени суммарная боко-
вая жесткость должна быть мала, тогда как малая установившая-
ся боковая скорость может быть достигнута при большой величи-
не Уц. Рассмотрение этих требований подсказывает, что жела-
тельно, чтобы установившаяся боковая скорость была минималь-
на, так как в этом случае боковое смещение автомобиля за время
запаздывания реакции водителя также будет наименьшим.
3.11. Автомобиль, обладающий только свободой поворота
Угловая реакция на поворот управляемых колес при отсутствии
бокового смещения подобна крутильным колебаниям тела, за-
крепленного в центре тяжести и колеблющегося под действием
двух пружин, расположенных на расстояниях а и b с двух сторон
от точки крепления:
/Гг— Nrr = Уе6 4- У,^, (3.35)
где — восстанавливающий момент, создаваемый шинами при
изменении углового положения автомобиля.
Следовательно,
У,Ф= (—аС,+ ЛСг)4'
и
У4 = _у?.
Если допустить, что автомобиль вначале не имел углового от-
клонения,то
t
ip = [ rdt
Ji
и уравнение (3.35) может быть преобразовано так:
М’ —ад—= Увб. (3.36)
Kodhu характеристического уравнения будут
Величина rfr всегда положительна; следовательно, если Уф
также положительно, то один из корней будет положительным и
движение автомобиля будет расходящимся, т. е. неустойчивым.
Когда Nj, равно нулю, один из корней уравнения тоже равен
нулю, и система будет нейтрально устойчивой. Если .V t отрица-
телен, но |4УфА| < JVJ , система будет монотонно приближаться
к положению равновесия; если |4Уф/7| > N,, система будет со-
74
вершать затухающие колебания. Следовательно, Л4 может рас-
сматриваться как «упругая постоянная» системы, а Уг— как
коэффициент демпфирования. Величина NT является функцией,
которая при принятых постоянных характеристиках шин умень-
шается при увеличении скорости автомобиля:
Л4 =-^(а2С) + bsCr).
Таким образом, очевидно, что демпфирование системы умень-
шается с увеличением скорости автомобиля и переход от апериоди-
ческого движения к колебательному будет происходить,
когда
или
N2 = — 4NJZ
(агС/ + ^Сг)2
$Iz(aCf- -ЬСГ)
(3,38)
где Uf— скорость, при которой у автомобиля, обладающего
свободой поворота, но не имеющего бокового смещения, происхо-
дит переход от апериодического движения к колебательному.
Если ограничиться рассмотрением отрицательного Ns, (или
положительного Лгр), то возможные угловые перемещения будут
происходить с затуханием по экспоненциальному апериодическому
или колебательному закону.
При апериодически изменяющейся реакции коэффициенты К
отрицательные, и реакция по угловой скорости на внезапный сту-
пенчатый поворот управляемых колес
г = (?У6б/2р4) (е-ь,(—е-*-'),
(3.39)
где
Рг = (Л4/2/гр+(ад)
И
м = (^/2/J —р; Х2 = (Л/г/2/г) + р.
Времяреакции
4 = 4 = 1/^2’
Если N.-, равно нулю, то /\ — бесконечности, а 4 = 4/47,и
установившееся движение не возникнет.
Условием перехода к колебательному движению служит ра-
венство 4 = 4 = I2/Nr- Таким образом, возможная величина /\
меняется от бесконечности до 2ljNT,тогда как 4 находится в пре-
делах ОТ 7г/Л\дО 2IJNT.
Если 4 заменить на mk2, где k — радиус инерции относительно
вертикальной оси, то получим приближенное выражение для по-
стоянной времени
где k2fab ~ 1, так что t --------.
:а
75
Реакция по угловой скорости при колебательном движении
Г = (Л?6б//г)[ ехр7' Ipcos(₽' + Ч>)-t^/2/Jcos(р/—ЧР)]L
1 р V J¥?/4/*+p2 I
(3.41)
где
tg<P = — Р4/Ч-
Период колебаний реакции можно определить, сравнивая урав-
нение движения автомобиля, обладающего только свободой по-
ворота, с типичным уравнением колебаний системы с одной
степенью свободы:
ф 4- 2гаф + = О-
Если С — коэффициент демпфирования и К—крутильная
жесткость, то
о С , К
2п= — , Р* = —
Решение уравнения колебаний дает
ф = e~nt [Я cos р2—n2t + В sin Ур2—п311,
откуда собственная частота колебаний
<о2 = (р2—га2)
или
w = pjzl - (п/р)2.
Тогда
р — — N^/i2
и,следовательно,
n/p = V
При скорости автомобиля, которая соответствует переходу
от апериодической реакции к колебательной, период колебаний
системы с демпфированием будет равен бесконечности, откуда
п]р~ 1; но
jy_____oKf + &СГ
7 ~ l'rllz(aCr+t£y
следовательно,
n!p = VT!U. (3.42)
3.12. Автомобиль с одной степенью свободы
Исследование реакции автомобиля с одной степенью свободы
лучше всего резюмировать, цитируя Милликена и др.
Реакция по скорости бокового увода является сходяшейся
и экспоненциальной. Ее установившаяся амплитуда определяется
76
отношением U/Уд, время реакции равно mUjY^, а характер
типичен для динамической системы первого порядка, состоящей из
массы и демпфера вязкого трения.
Характер движения при повороте вокруг вертикальной оси
типичен для динамической системы второго порядка, состоящей
из массы, пружины и демпфера вязкого трения. Движение будет
сходящимся, если значение N $ отрицательно, и расходящимся,
если значение Аф положительно. В первом случае движение
будет апериодическим при малых скоростях и при небольших от-
рицательных значениях Аф и колебательным при высоких ско-
ростях и больших отрицательных значениях Аф .
Время реакции зависит в основном от отношения момента
инерции к коэффициенту демпфирования при повороте и растет
с возрастанием скорости движения. Собственная частота колеба-
ний определяется отношением Nк моменту инерции и не зависит
от скорости движения. Коэффициент демпфирования является
функцией демпфирования при повороте, момента инерции и Аф ;
он уменьшается при увеличении скорости движения и статическо-
го запаса устойчивости. Коэффициент демпфирования равен
единице при переходной скорости, больше ее при более низких
скоростях и меньше ее при более высоких скоростях.
3.13. Неустановившиеся реакции автомобиля
с двумя степенями свободы
Уравнения движения могут быть решены обычными методами,
применяемыми для решения дифференциальных уравнений. Наи-
более удобна операторная форма Лапласа, так как в операторных
уравнениях учитываются начальные условия. Однако этот метод
является весьма трудоемким. Когда необходимо оценить влияние
изменения различных конструктивных параметров автомобиля на
его реакции, в особенности, когда это делается на стадии проекти-
рования, предпочтительно использовать методы аналогового моде-
лирования.
3.14. Частота собственных колебаний системы
При изучении частот собственных колебаний системы с двумя
степенями свободы используется запись уравнений в производных
[3.2], что дает возможность исследовать влияние различных пара-
метров автомобиля. Характеристическое уравнение получают из
уравнения (3.8), записанного для переменных риг:
(mUD—Ур) р + (mU ~Yr)r = 0;
—As₽ 4- (4Р—Nr)r = 0, (3.43)
откуда
D2— (Y^/mU + А,//г) D +
+ (УрА,—А3Уг)/тШ24-Ар//г = 0.
77
Это уравнение аналогично уравнению системы с подрессорен-
ной массой и линейным демпфированием:
D2 4- 2nD + р2 = 0.
Коэффициент демпфирования равен —Yp/mU—NrHz,a упругая
постоянная составляет (У[-,Nr—Np Yr}/mUIz+ N^)IZ. Когда коэф-
фициент демпфирования выражен через сопротивления уводу
коэффициента шин,
2« ------a2Cf + &Cr (з 44)
mfJ Ufz
Если принять, что Cf = Сг, то центр тяжести находится б сере-
дине базы автомобиля и /г = ml2/4; тогда
2п = —4Cf!mU.
Упругая постоянная может быть записана в следующем виде:
а _ /Цу, ! aCf-bCr
F mW, Л
(3.45)
Корни характеристического уравнения
= —н_|- J n2—p2.
Так как n всегда положительно, то условие устойчивости при
всех скоростях движения будет следующим: |dCz|> |аС,|. Если
это условие не удовлетворяется, то, как и раньше, получаем крити-
ческую скорость движения
U2
' m(aCf—ЬСГ)
Оба члена уравнения (3.44)
одинаково меняют свои числовые
коэффициента демпфирования
значения, так как эти члены
обратно пропорциональны
поступательной скорости
движения автомобиля. Е1ри
малых скоростях движения
упругая постоянная уравне-
ния (3.45), которая обратно
пропорциональна U2. имеет
относительно большое зна-
чение. С увеличением посту-
пательной скорости она
Рис. 3.6. Кривые жесткости для
р азличн ы.х у слови Л:
I — (flCy — — по/южятельнзя
нечечнаа, г — ЪС?; 3 —
— отрицательная цели
чина. - коэффициент дечпфнрива-
ни н
78
уменьшается до постоянной величины, которая может быть как
положительной, так и отрицательной, что соответствует недоста-
точной или излишней поворачиваемости автомобиля. Следова-
тельно, в определенных условиях упругая постоянная может быть
отрицательной. На рис. 3.6 показаны коэффициент демпфирования
и упругая постоянная, определенная при тех же числовых значени-
ях, для которых были рассчитаны установившиеся реакции. На
этом графике отчетливо видно изменение упругой постоянной в за-
висимости от скорости. Числовые значения коэффициента демп-
фирования одинаковы для всех трех приведенных случаев.
Когда р2 = п2, колебательный закон движения меняется на
экспоненциальный.
Таким образом,
p?nt = (YrimU + NJIJ2. (3.46)
С учетом приближенного значения lz, использованного ранее,
pirit = (iCf/mU)2. (3.47)
Эта величина эквивалентна упругой постоянной [уравнение
(3.45)] в том случае, когда постоянный член равен нулю и учтены
принятые допущения. Следовательно, реакция автомобиля будет
изменяться по экспоненциальному закону при положительном
значении N р, и по синусоидальному при Йц 0. Ниже дано при-
ближенное вычисление корней с использованием числовых вели-
чин приведенных ранее примеров, когда U = 30 м/с (U меньше
рассчитанной критической скорости устойчивости):
а = 1,35 м; Х1.2 = 3,6 ± 2,6 г,
aCf = bCr', Xi,2 = 3,58, приближенно Х1.2 = —3,24;
а = 1,65 м; Zi,2 = 6,37; —0,82.
3.15. Движение при повороте управляемых колес
Параметры движения, являющегося результатом поворота
управляемых колес и аэродинамического возмущения, могут быть
получены решением дифференциальных уравнений. Для их реше-
ния успешно применяются хорошо известные преобразование
Лапласа и операторный метод Хэвисайда. Метод Лапласа являет-
ся предпочтительным при решении этих уравнений. Для демон-
страции этого метода рассмотрим ступенчатый поворот управляе-
мых колес:
mt's — У,-, tttU—Yr fi
—Л-S—/vr ~r
1/s,
(3.48)
N6
где s — оператор Лапласа.
Тогда
P sRmGs—(f^~.Vr) + FJI
(3-49)
79
и
-г = Л/а(^-Гв)+У6/Ур
s[(mt/s—Кр)(/г5—Nr) +NfilmU—1Q] ‘ '
Используя данные предыдущего примера, когда а = 1,35 м и
U = 30 м/с, получаем
77 1,8s—25,3
P~s(s2 + 7.2s + 19,6) ’
ИЛИ
В = —**29 1.29(5 + 3,6) +6,35
з + (3 + 3,6)? + 2.6!
откуда
Р;----1,29+ 1,29 е-3-6' cos 2,6/ + 2,35 е-3-6' sin 2,6/ (3.51)
и, аналогично,
г = 6,5—6,5 е-3-6'cos 2,6/ + 3,25e~3-ef sin 2,6/. (3.52)
Для случая, когда а = 1,65 м, (7 = 30 м/с, имеем
₽ = —6,48—1,29 е-6-37' +7,77 (3.53)
г = 24,4—3,3 е~е-)7/—21,1 е-°-®2'. (3,54)
Ступенчатый поворот управляемых колес был выбран в каче-
стве примера, так как постоянная часть уравнений может быть
легко проверена при помощи таблицы установившихся реакций.
3.16. Влияние тяговой силы
До сих пор автомобиль с двумя степенями свободы рассматри-
вался в предположении, что он находится в состоянии свободного
качения, так что поступательная скорость автомобиля не влияла
на характеристики шин. В действительности автомобиль должен
развивать тяговую силу для преодоления сопротивления движе-
нию, которая меняет характеристики шин ведущей оси (см.
гл. 1). Это влияние рассмотрено автором [3.3]. В качестве примера
взят автомобиль со следующими параметрами:
Вес автомобиля в кгс •......................................1450
Распределение веса в %. .........................50 и 50
База в м. . . 3,05
Gf в кгс/рад . .. .4540
Gr в кгс/рад............................... . .4680
Сила сопротивления движению в кгс (Uв км/ч). .9+0.035/72
Коэффициент сцепления для дороги:
сухой...................................................0,8
мокрой. .0,3
Если принять, что между коэффициентом сопротивления уводу
и тяговой силой существует эллиптическая зависимость, как опи-
80
V, ffM/v
Рис. 3.8. Коэффициент сопротивления
уводу, полученный по рис. 3.7 для
двут коэффициентов сцепления:
Рис. 3.7. Определение действительного
коэффициента сопротивления уводу ав-
томобиля, если известно сопротивление
движению автомобиля:
I — сопротивление движению; 2 в 3 — ко-
эффициеит сопротивления уводу Cf соотнес
ственно при |Л •= 0,3 и р — 0.8
Рис. 3.L0. Влияние тяговой силы на
статический запас устойчивости авто-
мобиля:
J — с передними ведущими колесами,
2 — с задними ведущими колесами
Рис. 3.9. Определение критической ско-
рости автомобиля с задними ведущими
колесами
6 Заказ 2СШ
сано в гл. 1, то получим две кривые коэффициентов сопротивления
уводу шин: С/ при р = 0,3 и р = 0,8 (рис. 3.7). На том же графике
нанесена кривая сопротивления движению автомобиля в зависи-
мости от скорости движения. Зависимость между скоростью дви-
жения и коэффициентом сопротивления уводу шин получаем,
найдя сопротивление движению автомобиля при данной скорости,
после чего определяем коэффициент сопротивления уводу при
данной тяговой силе (рис. 3.7 и 3.8).
В условиях свободного качения автомобиль устойчив при всех
скоростях движения, но если задняя ось будет ведущей, то Ст
будет уменьшаться с увеличением скорости и автомобиль может
стать неустойчивым в диапазоне возможных скоростей движения,
несмотря на то, что удовлетворяет критериям устойчивости при
свободном качении. Используя кривые на рис. 3.8, можно вычис-
лить по формуле (3.6) критические скорости движения для р =
= 0,3 и ц = 0,8. Полученные кривые критической скорости в зави-
симости от поступательной скорости автомобиля нанесены на
рис. 3.9. Проведем прямую 3 равных скоростей по осям координат:
пересечение этой линии с кривыми 1 и 2 критической скорости да-
ет действительную критическую скорость автомобиля в данных
условиях. Автомобиль с задними ведущими колесами абсолютно
устойчив до скорости 131 км/ч при р = 0,8 и до 80 км/ч при
р = 0,3. При скоростях, больших чем эти, устойчивость автомоби-
ля зависит от скорости и, следовательно, колебательный характер
изменения реакции становится экспоненциальным. Критическая
скорость при р = 0,8 равна 178 км/ч, а при р = 0,3 составляет
117 км/ч. Аналогичный автомобиль, но с приводом на передние
колеса, будет устойчив при всех скоростях.
При расчете статического запаса устойчивости также видна
его зависимость от скорости движения (рис. 3.10). Изменение по-
ложительного знака на отрицательный указывает, что колеба-
тельный характер изменения реакции становится экспоненци-
альным.
3.17. Избыточная и недостаточная поворачиваемость
Понятия избыточной и недостаточной поворачиваемости
введены М. Оллеем и касались установившейся траектории авто-
мобиля при действии боковой силы, приложенной в центре
тяжести (рис. 3.11).
Установившиеся реакции «простейшего» автомобиля полу-
чаются из уравнений
Следовательно,
—yrf + (m£7—Уг)л = У;
— Удр—7,г = 0.
(3.55)
—У.УГ
Ид^.+ ^дС^'-К)
82
и
} ^г + Л^(ти-Уг) '
Анализируя рис. 3.11, можно отметить, что при нейтральной
поворачиваемости установившаяся реакция по угловой скорости
на боковую силу равна нулю, при избыточной — отрицательна, а
при недостаточной —положительна. Реакция по угловой скорости
поворота зависит от знака Np, и, следовательно, понятие избы-
точной или недостаточной поворачиваемости также может быть
использовано при рассмотрении установившейся реакции на
поворот управляемых колес и возможности неустойчивого движе-
ния в случае увеличения скорости автомобиля.
Математическое описание характеристик автомобиля при дей-
ствии боковой силы дает возможность распространить понятия
избыточной и недостаточной поворачиваемости на установившие-
ся реакции на поворот управляемых колес. Из уравнения (3.12а)
следует
ci Gr[ l!CrCr-j-m^(aCf—bCr) 1
I Ч L’lCfCr J’
ss
ИЛИ
— ЬСГ)
1С}СГ
Если известен радиус установившегося поворота, то
6 = 6(1/7?) I
S3
1С>С,
(3.57)
Угол поворота колес при известном боковом ускорении
б = G(L’2//?) 7/62
m(aCf — ЬСГ)
1С/СГ _
(3.58)
Рнс. 3.11. Определение поворачиваемости авто-
мобиля в зависимости от траектории, по кото-
рой он следует при приложении боковой силы
У в центре тяжести:
7 — избыточная поворачиваемость; J — нейтраль-
ная поворачиваемость. 3 — нед.оствтсгчнея повора-
чиваемость
6’
83
Из уравнения (3.56) имеем
д&{дг I = G Гl/U + mb'<aCf + bCA 1_
1 L iCfCr J
ss
при нейтральной поворачиваемости
dtydr]~Gl/U.
ss
Рассмотрим влияние небольшого изменения угловой скорости
поворота Дг от /у до г2. По теореме Тейлора
бГ1 = б„ + дб/дг [ Дг;
следовательно,
|6г-6г.| = <36/с>Г|Г1 |г2—п|.
Если нейтральная поворачиваемость определяется как
дб/дг| = Gl)U, то большее значение производной соответствует
SS
недостаточной, а меньшее — избыточной поворачиваемости.
Хотя уравнения были выведены в величинах угловой скоро-
сти, аналогичные результаты получаются также из уравнений
(3.57) и (3.58). Таким образом, если
I бг.-8п1 > GI/U | г2-П| - недостаточная
1 * 11 1 поворачиваемость, ^д^
| 6. | < GlIU I г2—[-> избыточная
1 1 ' 1 z поворачиваемость.
3.18. Испытания автомобиля
Различают два типа испытаний автомобиля при установив-
шемся движении: поворот с постоянным радиусом и различными
скоростями движения и поворот с различными радиусами при
постоянной скорости. Имеющаяся аппаратура для измерения
угловой скорости или бокового ускорения автомобиля позволяет
успешно применять любой из этих способов.
3.19. Поворот с постоянным радиусом
При этих испытаниях автомобиль движется с разными скоро-
стями по кругу, радиус которого известен. Реакция при нейтраль-
ной поворачиваемости для траектории данной кривизны харак-
теризуется горизонтальной прямой независимо от того, что
измеряется: скорость движения, угловая скорость или боковое
ускорение (рис. 3.12). Реальный автомобиль является более слож-
ной системой, чем его модель с двумя степенями свободы, и
вследствие нелинейности характеристик шин и свойств подвески,
перераспределения нагрузки и тяговой силы в результате испы-
84
Рис. 3.12. Определение поворачиваемости
автомобиля при испытаниях с постоянным
радиусом поворота:
I - нейтральная поворачиваемость автомобиля
при движении по кругу диаметром 15D м; 2 —
нейтральная поворачиваемость автомобиля при
движении по кругу диаметром 60 м; 3 — недо-
статочная поворачиваемость, переходящая в из-
быточную при повышении скорости автомобиля.
4 — недостаточная поворачиваемость, увеличи-
вающаяся с повышением скорости автомобиля
таний получается кривая линия. Автомобиль обладает недоста-
точной поворачиваемостью, если наклон кривой зависимости угла
поворота рулевого колеса от скорости положителен, и избыточной
поворачиваемостью, если наклон этой линии отрицателен. Анало-
гичные положения справедливы и при испытании с измерением
угловой скорости и бокового ускорения.
3.20. Поворот с постоянной скоростью
Испытания автомобиля с постоянной скоростью являются более
показательными в отношении его поведения на дороге, чем испы-
тания с постоянным радиусом поворота, так как автомобиль вхо-
дит в поворот с примерно постоянной скоростью и водитель
плавно поворачивает рулевое колесо на определенную величину.
Реакция при нейтральной поворачиваемости автомобиля имеет
вид линии с постоянным наклоном. Если наклон кривой, получен-
ной в результате испытаний, больше, чем наклон линии, харак-
теризующей реакцию при нейтральной поворачиваемости для
данной скорости движения, то автомобиль имеет недостаточную
поворачиваемость; меньший, но положительный, наклон кривой
указывает, что автомобиль обладает избыточной поворачиваемо-
стью докритической скорости, тогда как отрицательный наклон
свидетельствует о неустойчивости движения (рис. 3.13).
Рис 3.13. Определение поворачиваемости
автомобиля при испытании с постоянной
скоростью:
/ — избыточная поворачиваемость, которая
переходят в недостаточную и которая возрас-
тает с увеличением скорости автомобиля; 2—
нейтральная поворачиваемость; 5 — недо-
статочная поворачиваемость, переходящая в
избыточную при больших скоростях авто-
мобиля
85
По результатам испытаний могут быть получены и другие
характерные кривые реакций, например, линия с увеличивающим-
ся наклоном на рис. 3.13. У автомобиля, обладающего реакцией
такого типа, при малых радиусах поворота необходимо колеса
поворачивать на больший угол. В определенных условиях, когда
достигается предел по сцеплению передних колес, они будут сколь-
зить по прямой.
3.21. Аэродинамический эффект
При движении автомобиля в нестационарном воздушном пото-
ке возникают боковая сила, кренящий и поворачивающий мо-
менты, вследствие того что воздушный поток не параллелен
направлению поступательного движения автомобиля. На рис. 3.14
показано направление осей координат, расположенных на
уровне опорной поверхности с началом координат в центре
прямоугольника, образованного точками контакта колес:
сила = коэффициент X площадь поперечного сечения автомо-
биля X скоростной напор;
момент = коэффициент X плечо приложения силы X попереч
ное сечение X скоростной напор.
Следовательно,
сила сопротивления ~СХА — pU'1.
(3.60)
Если площадь поперечного сечения А в м; V— относительная
скорость воздуха в км/ч; р — плотность воздуха, то
Ц' \2
сила сопротивления = 0,48Сх4 I—-1 ; (3.6Г)
мощность, затрачиваемая на преодоление сопротивления, =
= O,OI78CtA i -^-f л. с.; (3.62)
поворачивающий момент = С г,-А pU'~l — (3.63)
= 0(48C.vA | Г I кгс м.
>. Ю }
(3.64)
Аналогичные выражения можно получить для других сил и
моментов.
На рис. 3.15 приведены типичные результаты испытаний
в аэродинамической трубе модели легкового автомобиля в */4 на-
туральной величины. Не следует предполагать, что эти результаты
можно непосредственно использовать для всех автомобилей, тем
не менее коэффициенты боковой силы и поворачивающего мо-
мента, полученные при многочисленных испытаниях как самих
автомобилей, так и их моделей, имеют аналогичный характер.
86
Рис. 3.14 Система координат для определении аэродинамических
сил и моментов:
! — сила бокового ветра; Н — равнодействующая аэродинамических сил
III — боковая сила; /V — сила сопротивления движению; V — подъемная
сила
Поворачивающий момент зависит от положения начала координат
(в данном случае в середине базы автомобиля), и его удобно
определять как момент боковой силы, приложенной в точке, не
совпадающей с началом координат и часто называемой центром
давления кузова. Тогда поворачивающий момент относительно
центра тяжести кузова есть произведение боковой силы и расстоя-
ния по горизонтали между центрами давления и тяжести. Анало-
гичные замечания относятся и к кренящему моменту, который
Рис. 3 1а. Типичные кривые коэффициентов сил И моментов, леи-
ствмошлх на автомобиль при боковом ветре (сюлЛены при испы-
тании модели!
87
определяют относительно продольной оси, проходящей на уровне
опорной поверхности, и который должен быть отнесен к оси крена;
(U'
(3.65)
(U' \2
-^-1 кгс; (3.66)
(г/ \2 „
(3.67)
(£/z \2
t кгс-м; (3.68)
\2
кгс-м; (3.69)
/ t/z 2
кренящий момент = 0,48СдД/ (------Г кгс* м, (3.70)
где t — средняя колея автомобиля.
3.22. Заключение
В этой главе были рассмотрены условия управляемости и
устойчивости «простейшего» автомобиля. В результате можно
сделать следующие основные выводы;
1. Автомобиль будет устойчив при всех скоростях движения,
если произведение коэффициента сопротивлению уводу задней
оси и расстояния от задней оси до центра тяжести больше произ-
ведения аналогичных величин для передней оси.
2. Переход к неустойчивому движению означает изменение
знака установившихся характеристик на обратный.
Были рассмотрены проблемы управляемости при воздействии
на автомобиль внешних сил, таких как ветер. Как правило, нельзя
определить установившийся угол поворота управляемых колес,
который необходим для получения определенного положения про-
дольной оси и бокового смещения.
На реальном автомобиле следует учитывать перераспределе-
ние нагрузок на обеих осях и влияние тяговой силы на ведущей
оси.
3.23. Литература
3.1. Rocard Y. Dynamic Instability, Crosby Lockword and Son, Ltd.
3.2. Whitcomb D. W., Milliken W. F. Design Implications of a General Theory
of Automobile Stability and Control. Proc. I. Meeh. E. (A.D.), 1956.
3.3. Ellis J. R. Oversteer and Understeer,— «Automobile Engineer», 1963, May.
Глава 4
АВТОМОБИЛЬ С ПОЛУПРИЦЕПОМ
Автомобиль с полуприцепом состоит из двух частей. Тягач
является обычным двухосным автомобилем, который поддер-
живает передний конец полуприцепа при помощи опорной
площадки или поворотного круга, имеющего свободу вращения
в вертикальной и горизонтальной плоскостях; задний конец полу-
прицепа опирается на ось.
Поскольку система состоит из двух частей, необходимы три
степени свободы для ее описания в случае движения с устано-
вившейся поступательной скоростью. Одной из особенностей
поведения автомобиля с полуприцепом является его склонность
к складыванию, т. е. к быстрому изменению взаимного располо-
жения гягача и полуприцепа, что иногда возможно при торможе-
нии. Для анализа явления складывания необходимо ввести
дополнительное уравнение динамического равновесия системы
в продольном направлении, а также использовать характеристики
шин, описывающие их поведение вплоть до начала скольжения и
учитывающие влияние тяговой силы.
Складывание и реакции на управление автомобиля с полу-
прицепом можно изучать, используя основные уравнения, написан-
ные в системе координат, зафиксированной на кузове. При
больших перемещениях и неустановившейся поступательной ско-
рости движения уравнения будут нелинейными, а коэффициенты
сопротивления уводу шин необходимо заменить уравнениями,
описывающими поведение шины. Устойчивость автомобиля и реак-
ции на поворот управляемых колес рассматривают, используя
линейные уравнения, полученные при допущении, что перемеще-
ния малы, а поступательная скорость постоянна. Эта модель
применяется для вывода уравнений движения, которые при
необходимости можно изменять.
При этом, так же как и для простейшей модели автомобиля
не учитывают ширину системы, а ось заменяют одним колесом
(рис. 4.1). Систему можно рассматривать как две раздельные
системы, связанные между собой силами в поворотном круге или
соединительном шкворне.
Уравнения тягача:
т —Vr) = — .Yj cos б—X2 4- X;
Щ] (V + Цг) + /г(«г) + Xj sin б—У;
ltr = (aj) —bfofcts) 4- aXi sin б 4- dY.
(4-1)
89
изучения складывания и движения с большим углом увода шин
Уравненияполуприцепа:
m2 (£/'—V'r') = — Х3—Y sin if—Xcos if;
(4.1
m2 (V' + U'r') = f3 (u3) 4- Y cos if — X' si n if;
/у =—hf3(u3)—e(—Feos if 4-X sin if).
Угол между продольными осями тягача и прицепа
=4>о 4-J (г—r')dt, (4.2)
и
следовательно,
г ri
dl
Две части автопоезда соединены между собой поворотным
кругом или шкворнем, поэтому скорости шкворня в любой системе
координат должны быть одинаковыми. Из плана скоростей
(рис. 4.2) следует:
t7z = <7cosip— (V—dr)sinif; ]
V' + er' = [7 sin f + (У—dr)cos if, |
отсюда ускорения
U' = Ucos if—£7(r—r')sin if— (1 —dr) sin if —
— (V—dr)(r—jgcosif;
V' — U sin if + U(r—Hcosif 4- (Г—dr)cos ф—
— (У—dr) (r—r') sin if—er'.
90
Подставив в уравнение движения вместо U' и V их значения,
получим четыре уравнения, описывающих основное движение со-
члененного автопоезда, который может разгоняться или тормозить,
но при этом могут скользить одна или несколько осей:
(«4 + m^U—m2esin фг' = (т1 + m>dr2—
—т, е cosifr" — Xtcos6—-Х2—X3cos ip + f3(a3)sinip;
(rrij + m2) V—m2dr—m2e cos iprz = — (/щ + tn2) Ur +
+ rfc₽sinipr/2 + ^(сц) +f2(a2) +f3(a3)cosip-l-X1sin6-l-
+ X3 sin Ф; । (4 5)
—m2dV + (Л + m2d2)r 4- m2ed cos tpr' = m2dUr—
—m2ed sin фг'2 4- (сц) —b/2(a2) —tff3(ajcos ф 4-
4- oa1 sin 6—dX3 sin ip;
—m2e sin ip U—/«2ecos фЙ 4- m#d cos ipr + (/2 4- rntf^r’ =
= m2e cos ipt/r—m2esinipV7 4- m2edsin ipr2— (h 4-e)/3(a3).
Углы увода шин:
V 4" Иг e,
с,------------0;
«г ~ (4-6)
V' — hr' Г sin if + (V — dr) cos ip—(/i + e) r
U3 =----------—-------------- ------- ------—.
«" Ucos ip — (V—dr)sin ’p
Зависимость боковой силы от угла увода при торможении
определяем методом, описанным в гл. 1. Для ее определения
используем полином
f(a) — C1a4- С3а3.
Автором была исследована устойчивость автомобиля при
торможении [4.3]. Было принято, что автомобиль, двигаясь по
криволинейной траектории, тормозит, при этом блокируются или
задние колеса тягача, или колеса полуприце-
па. Используя эти уравнения для программы
цифровой вычислительной машины, можно
рассчитать траекторию сочлененного автопо-
езда. На рис. 4.3 приведены некоторые резуль-
таты; очевидно, что интенсивное складывание
автопоезда происходит в том случае, когда
заблокированы задние колеса тягача, в ре-
зультате чего он полностью разворачивается
Рис 4 2 План скоростей в точке сцепки тягача с полу-
прицепом
t= ЗС
Рис 413. Некоторые данные, полученные с помощью не-
линьпноп модели, о движении автомобиля по кривой по-
стоянного радиуса и торможении различными способа-
ми с замедлением
о — незаторможенный автомобиль; й — заблокированы ьОлега
полуприцепа, в — заблокированы задние колеса тягача, г —
заблокированы передние к >леса тягача
вокруг полуприцепа. При блокировке колес полуприцепа склады-
вание происходит менее интенсивно, и прицеп разворачивается во
внешнюю сторону относительно криволинейной траектории.
4.1. Линеаризованная модель автомобиля
При малых изменениях движения автомобиля и постоянной
поступательной скорости можно сделать следующие упрощения:
опустить уравнение поступательного движения, принять cos ф = 1
и sin ф = ф и пренебречь произведениями всех производных. По-
ступательная скорость перестает быть переменной; следовательно,
в таких членах, как Ur, ее можно рассматривать как коэффициент
при г.
Для нулевых начальных условий
Г
Ч = J (Г—Г }dt,
о
откуда
г' = г—4
и
(4.2а)
Вводя эти упрощения в уравнения (4.5) и (4.6) и записывая
боковые силы шин как Са с соответствующими индексами,
92
получаем
V + ar Л V—br
«I “ ~;——о 1 «2 =-
У 2 И
Матрица этих уравнений будет следующей:
(Щ] + ш2) D—
Cj + C^-j С3
— т2 (d е) D + {тх + —
oCi — ЬС'2 — (d + е + /t) С3
U
—itizdD —
af^ — bC^ilC.,
U
{/] + tn>d (d + f)]D—rritdU —
&Ct + №C2 + d(d + e + h)Cs
U
— mseD + [д _}_ mag _p ey| £) __ m2p(J _
(fi + e) (d 4 e + h) C3
to U
Co _
„ , V~(d + e + /i)r+ (Л + е)ф
Из " ¥ П-----------------------------
U
(4.6а)
4.2. Установившиеся реакции на поворот управляемых колес
При установившемся движении производные от V, г и ф равны
нулю, т. е.
_ < 1 + С; ~г С3
~й
aCj-^bC^dCj,
U
h + e „
~д~Сз
(гП] + m2)U—
ОС» bCj (cf Ч” £ +/1) Cg fy
~ — 3
—m2dU—
и-Су + tPC^-i-d (d 4- f+ft)C3
-----------— — dC3
— m2eU—
----(ft + e) (4 + е + Л)Са +
Разделив третий столбец на и, вычтем его из первого столбца,
и далее, умножив третий столбец на (d + е + h)IU, сложим его со
вторым столбцом; тогда получим
С । + Cj
и
—дС] + ЬС2
~U~
О
(т,+/»>)£/-°С1^С* -С8
йСз
—m2et/ (ft + e)Cs
Из этих уравнений могут быть получены установившиеся
реакции на поворот управляемых колес. При постоянном угле 6
поворота передних колес автомобиля имеем:
установившаяся скорость бокового смещения
V'/б
S3
_________UC, {[mjali + m^hia + d^U^ + ltltbCs}
V2 |т1 /2(аС, ~ЬС2) 4--ЬС2) + d£С\ + С,)] | + I21^0'
(4.7)
установившаяся реакция по угловой скорости
I _ _______________________UCtCjljli_________________________ .
и2 |mlf2(flCI-tC2)+m2hI(aC|-y?2) + rf(Cj С2)]| +/f/гС,Сг ’
(4-8)
установившийся угол между продольными осями тягача и
прицепа
I ___________________________L^CiC^e/,_________________________
j СЪО2 |m] ГддС] -ЬС2) + m.h [сС1 -bCj + d(Cl + C2)]f + 12С,С2С3 '
(4-9)
где /1 = а + b и /2 = е + h.
94
Уравнения, аналогичные этим, для одиночного автомобиля
были выведены в разделе 3.7; сравнивая их, видим, что условия
нейтральной, недостаточной и избыточной поворачиваемости спра-
ведливы также для автомобиля с полуприцепом.
Реакция по угловой скорости сочлененного автомобиля, обла-
дающего нейтральной поворачиваемостью, так же как реакция
по угловой скорости одиночного автомобиля, должна линейно
возрастать по мере увеличения скорости, а это возможно, если
(mil2 ; п2Л) (aCi—ЬС2) +m2hd(Ct + C2) > 0 (4.10)
или
__f-Q ^C; + Сд)
т/2 + т211
Если удовлетворяется неравенство (4.10), то автомобиль
обладает недостаточной поворачиваемостью. Величина аС\ — ЬС2
может быть положительной или отрицательной, тогда как сумма
С[ + С2 отрицательна всегда; следовательно, для обеспечения
недостаточной поворачиваемости величина аС\ — ЬС2 должна
быть положительной и такой, чтобы
flCi— ЬС2 > +
tftJi+mnh
Если это неравенство не выполняется, то с увеличением
скорости знаменатель выражения для реакций автомобиля может
стать равным нулю; при этой скорости автомобиль с закреплен-
ным рулевым управлением будет неустойчив. Критическая
скорость
ис = 1/ ----------------—__L2------------- (4.11)
г 4" ^2h) (йС| —бСд) 4-m2/i4(Cj + Сд)
4.3. Расчет установившейся реакции на угловой
скорости поворота
Тягач
= 277 кгс-с2/м;
а — 1,14 м;
ft = 1,6 м;
Ci = — 10 550 кгс/рад;
С2 = — 31 100 кгс/рад;
/, =414 кгс-м-с2;
4= 0; 0,6; 1,2; 1,8; 2,4 м.
Полуприцеп
т? = 925 кгс-с2/м;
с + /г = 6 м;
е= 1,5; 3,0; 4,5; 6 м;
С3 = —25 900 кгс/рад;
/2 = 4850 кгс м-с2.
h = 3 м.
lil2C}C2= 1,48-1О’°;
/1/2С[С2 = 5,5- 109;
aCi- ЬС2 = 37 670;
95
гщ1г + tn2h = 1685 4- 2810 = 4495;
+ (аС\—ЬС^ = 1,7- 10s;
m,hd{Cl + С 2) - — d-2810-41 650= - -1,17 ЮМ.
Таблица 4.1
d m2hd (С\ + С2) . . . (т^12+ m2h) X X (аС, —t>C2) + +m2hd (C [ + C2) « 0 1,7- 10s «.6 —0,726-108 0,974-10s 1,2 — 14,5 0,25- 10s Ю5 1,8 -2,15- -0,45- 10s 10s 1 -2,885- • 10s 1 -1,18- 10° (D (П) (Ш)
d = 0 Таблица 4.2
U в м/с Ui . 7/2X(HI) Z,( 2C(C2 + (VI) . <l/«)/fi r/S 1 1 1 0 6 0 36 0 4-0,611-1010 . . 1,48-ю10 2,09-1010 0,370 0,263 0 1,56 12 144 4-2,45-IO10 3,93-Ю10 0,140 1,64 1 18 324 4-5,5- Ю10 6,98-IO10 0,079 1,38 (IV) (V) (VI) (VII)
d = 0,6 м Таблица 4.3
U* X (III) 1 h^lC2 + (VI II) <1^)6 1 1 ! 0 0,35-1010 . . . 1,48-1010 l,83-1010 0,370 0,300 0 1,8 1 1 1,4-Ю10 2,88-Ю10 0,190 2,28 4 1 3,6-Ю10 (VIII) ,64-Ю10 I — 0,118 2,12 1
d = 1,2 м Таблица 4.4
£/2Х(Ш) Zfz2C[C2 + (IX) r/S 1 I 1 0 0,09-ю10 . 1,48-Ю10 1,57-Ю10 0,370 0,350 0 2,1 i । । 0,36-Ю10 1,84- IO10 0,298 3,58 0,811010 2.29-1010 0,240 4,32 1 (IX)
rf= 1,8 м Таблица 4.5
X (Ш) ZfZ2CIC2+ (X) (l/«)/6 r/6. 1 [ 1 0 — 0,162-Ю10- 1,48-Ю1 ° 1,32-Ю10 0,370 ’ 0,417 0 2,5 1 ; t -0,648-Ю10 0,83-IO10 0,664 8 — 1 1,46- Ю10 ’ 0,02-Ю10 24,5 495 (X)
Расчеты реакций автомобиля приведены в табл. 4.1—4.5.
96
Условием нейтральной поворачиваемости является
(m,/2 + m2fi) (аС\—ЬС2) = —m2hd(Cl + С2).
Критическое расстояние от центра тяжести автомобиля до
поворотного круга dc = 1,45 м (рис. 4.4).
Критическая скорость
Рис. 4Л. Влияние располо-
жения поворотного круга
На установившуюся реак-
цию по угловой скорости
/ — зона обычных конструкций
18,2 м/с.
'i<2c,c,
0,45-10е
4.4. Неустановившиеся реакции
Неустановившиеся реакции сочлененного автомобиля приве-
дены в табл. 4.6 и 4.7 как корни характеристического уравнения
для двух скоростей движения 9 и 18 м/с и некоторых случаев
расположения поворотного круга и груза на полуприцепе.
t/=9 м/с
Таблица 4.6
I I I II
BffM Д=1,2 м Д=1,8 м Д=2,4 м
ч—i—i—I-
1 5 —8,38 —
- 1,6*
-13,6
—6,0
3,0 —6,0 —1,3* —0,56* II
—1,8* —9,3 —11
— 9,3+3,231 —6,3±1,1 — 5±0,5t|'
1,2м d=l,8M d=2,4M
I I
4,5 —2,2±l,2i* —
— 11,2±3,9i |
6,0 —l,2±l,5t*
— 13,3+3i
I
* Наименьший отрицательный корень.
7 Заказ 2003
97
t/= 18 М/С
Таблица 4.7
е I I I I I I I
вм 4=1,2м 4=1,8м 4 = 2,4м вем 4 = 1 , 2 м 4=1.8м 4 = 2,4 м
____।___________!_________I________|| I__________।_________I________
I I I II । I I
1,5 —2,8* — — 4,5 —1,1±2,2«*
1—4,0 ‘ —5,6±5,2i
I— 4,0±3, 4i 6,0 —0,6±2t*
3,0 -2,3±2,lt*|—0,01* 1,3** -6,8+5,8»
I 1-6 -7,2
4,3±4,3i — 2,7±3,7< —2,4+3,6<
* Наименьший отрицательный корень.
•* Положительный корень (условие неустойчивости).
При смещении поворотного круга и груза вперед все корни
действительные и отрицательные при малых скоростях движения;
они становятся соответственно действительными и комплексными
с увеличением скорости. Смещение груза назад уменьшает демп-
фирование системы.
Перемещение поворотного круга по направлению к задней
оси тягача также ведет к уменьшению члена в комплексных кор-
нях, учитывающего демпфирование. Демпфирование зависит еще
и от скорости движения автомобиля. Абсолютная величина дей-
ствительных корней при той же нагрузке, расположенной
посредине прицепа, и сдвиге назад поворотного круга уменьшает-
ся до тех пор, пока при скорости 18 м/с не начнется неустойчивое
движение.
4.5. Заключение
В этой главе были освещены вопросы управляемости автомо-
биля с полуприцепом, причем установившиеся характеристики
рассмотрены с точки зрения недостаточной и избыточной повора-
чиваемости. При помощи модели показано влияние блокировки
задних колес тягача и колес полуприцепа на складывание. Уста-
новлено, что блокировка задних колес тягача вызывает интен-
сивную потерю устойчивости, которая становится бесконтрольной.
Блокировка оси полуприцепа также вызывает складывание
автопоезда, но характер движения здесь другой и эти условия не
так катастрофичны.
4.6. Литература
4.1. Jindra F. Tractor and Semi-Trailer Handling. «Automobile Engineer»,
1963, October.
4.2. Hales F. D. The Lateral Stability of a Simplified Articulated Vehicle.
Symposium on the Control of Vechicles during Braking and Cornering I. Meeh. E.
1963. June.
4.3. Ellis J. R. The Dynamics of Vehicles during Braking. Symposium on the
Control of Vehicles during Braking and Cornering. 1963, June.
4.4. Ellis J. R. Articulated Vehicle Ride and Handling.— «Automobile Engi-
neer», 1966, November.
98
Глава 5
МЕХАНИКА ПОДВЕСКИ
В предыдущих главах управляемость и устойчивость одиноч-
ного автомобиля и автомобиля с полуприцепом рассматривались
без учета подвески. При исследовании подвески можно устано-
вить, что в случае крена изменяются угол развала и угол пово-
рота колес, а следовательно, и реакции автомобиля. В этой главе
приведен анализ работы подвески, чтобы показать возможные
перемещения колес реального автомобиля.
5.1. Понятие «ось крена»
Традиционно принималось, что автомобиль кренится относи-
тельно «оси крена», которая определяется как ось, соединяющая
две воображаемые точки — «центры крена» передней и задней
подвесок. Центр крена находим как мгновенный центр вращения
подвески при допущении, что колеса жесткие и не перемещаются
в бок по опорной поверхности. Даже при таких допущениях, при
которых практически рассматривается экипаж, движущийся по
рельсам, центр крена, как правило, не остается на месте при
перемещении подвески. Если же учитывать радиальную и
боковую деформацию шин, то очевидно, что использование центра
крена нецелесообразно и истинное движение кузова может быть
описано только в результате динамического анализа движения
автомобиля.
Понятие центра крена подвески применяют для определения
эффективной жесткости пружин и амортизаторов при крене и
вертикальных перемещениях кузова. Жесткость пружин и амор-
тизаторов используется для первоначальной оценки сил и момен-
тов, возникающих при крене подрессоренных масс на малые углы.
Для больших перемещений выводятся уравнения движения под-
вески, при этом принимается, что кузов и подвеска имеют свободу
вращения, а также вертикального и бокового перемещений,
определяемых кинематикой системы. Кроме того, учитывается
боковая и вертикальная жесткости шины.
5.2. Центр крена
На рис. 5.1, а показана подвеска рычажного типа, в которой
колеса и шины заменены жестким звеном CDE. Точки С и Л
являются верхним и нижним шарнирами стойки подвески, а Е —
7* 99
Риг. 5.1. Определение центра крена подеески на поперечных
рычагах
Рис. 5.2. Некоторые типичные подвески и их центры кре-
на Ц.К:
а — на двух параллельных поперечных рычагах: б — свечная;
я — на одном продольном рычаге; ? — с жесткой балкой; <3 “
на одном поперечном рычаге: е — рычажно-свсчная
центром контактной площадки шины. Внутренние шарниры рыча-
гов AD и ВС подвески прикреплены к кузову.
Центр крена кузова О] находим как мгновенный центр вра-
щения кузова следующим образом. Центр вращения звена CD
определяется продолжением рычагов AD и ВС до пересечения
в точке О2, из которой проводим линию О2ЕО[ до пересечения
с соответствующей линией противоположных рычагов подвески
в точке Oj. На рис. 5.1,6 подвеска изображена в несколько
утрированном виде, чтобы показать, что центр крена рычажной
подвески не обязательно фиксированная точка. На рис. 5.2 при-
ведены центры крена подвесок различных типов, находящихся
в равновесии.
5.3. Угол развала и поперечное перемещение колес
Рассматривая рычажную подвеску (рис. 5.3), зафиксируем
кузов в определенном положении, а рычаг AD повернем на не-
большой угол. Линия перемещения точки контакта Е будет пер-
пендикулярна линии 02Е. На плане скоростей отрезок а^,
перпендикулярный AD, соответствует скорости точки D. Так как
кузов неподвижен, то точка Ъ\ совпадает с точками О и аь а точ-
ка С будет иметь скорость относительно точки В, вектор которой
перпендикулярен ВС. Направление вектора скорости перемещения
точки С относительно точки D будет перпендикулярно DC; отсюда
определяем точку с(. Направление вектора скорости перемещения
точки Е относительно точки С перпендикулярно СЕ, а относи-
тельно точки D вектор скорости движения точки Е перпендикуля-
рен DE-, следовательно, точка е2 также найдена. Таким образом,
точка Е перемещается по наклонной линии Ое2, перпендикулярной
к линии 02Е. Коэффициент бокового перемещения колеса при его
вертикальном перемещении равен e^lOei. Этот коэффициент
назовем коэффициентом поперечного перемещения при вертикаль-
ном перемещении кузова. Так как звено CDE вращается, то угол
развала колес будет изменяться, и коэффициент развала колес при
вертикальном перемещении кузова будет равен (C\d\!CD) (1/Oei)
Из схемы рычажной подвески следует, что вращение нижнего
рычага AD, сопровождающееся вращением в том же направлении
противоположного рычага A'D', вызывает перемещение точек
контакта колеса Е в Ё и Е' Б Е' соответственно с правой и левой
сторон.
Повернем систему по часовой стрелке вокруг точки Оь сохра-
няя точки контакта колес на их первоначальном уровне. Так как
мгновенные центры вращения О2, Е и О\ находятся на одной
линии, то коэффициент поперечного перемещения шины при
крене кузова относительно точки Ot будет равен нулю. Коэффи-
циент развала колеса при этом будет равен векторной сумме
коэффициентов развала колеса при вертикальном перемещении и
при вращении системы вокруг точки Оц
101
Если центр тяжести кренящегося кузова не совпадает с цент-
ром О], то происходит боковое перемещение центра тяжести.
5.4. Эффективная жесткость пружин
Из рассмотрения уравнений работы могут быть получены
эффективная жесткость подвески при крене и вертикальной
деформации. Пружина закреплена в точке В (рис. 5.3) на кузове
и в точке G на нижнем рычаге подвески. Отрезок Og2 есть
в масштабе скорость точки G, а отрезок Og\ — составляющая ско-
рости в направлении GB.
Пусть
OgtlOei = п;
следовательно,
Z = —Sn
и
dZ/dz = —S dn/dz—ndS/dz, (5.1)
где 5 — сила пружины.
Таким образом,
Кг = dZIdz = — (S dn/dz 4- Кпг).
Отрицательный знак показывает, что направление движения
подвески вниз принято положительным.
При крене кузова колеса не перемещаются в вертикальном
направлении, так как кузов вращается только вокруг точки
Введем индекс / для левой части подвески, а индекс г — для
правой:
L(OexIOxE) — St{—Ogj) + Sr( + Ogi).
Пусть
«q, = Og!/(Oe1/O1E');
тогда
L = SZ(— Лф) 4- Sr( + ziq,).
Дифференцируя по углу крена <p, получаем
dL/d<$ = S,d(—пф) /dtp + Srd( 4- n^) jdq 4- (—n^dSJdfp +
+ ( + n4J)dSr/6tp.
Если допустить, что положительное и отрицательное переме-
щения подвески симметричны, то выражение может быть
упрощено:
dL/d<f = 2Кп^. (5.2)
Заметим, что эффективная вертикальная жесткость увеличи-
вается при сжатии подвески, если пружины закреплены указан-
ным выше способом, и, следовательно, возрастает жесткость под-
102
Рис. 5.3. Перемещение кузова при крене относительно центров О[ и
и план скоростей рычагов подвески
вески, приведенная к колесу, по мере увеличения вертикальной
деформации подвески.
5.5. Угловая жесткость зависимой подвески
Угловую жесткость зависимой подвески определяют методом
относительного вращения кузова и балки моста вокруг центра
крена, который при этом принимают расположенным на линии,
соединяющей переднюю и заднюю проушины рессоры над сере-
диной моста (см. рис. 5.2, г).
Так как колеса не деформируются, то
= (5.3)
5.6. Метод равновесия сил
Силы в подвеске могут быть определены из условий стати-
ческого равновесия системы. На рис. 5.4 показана система, нахо-
дящаяся под действием вертикальной нагрузки. Стойка подвески
103
Рис. 5.4. Схема сил, действующих
в подвеске (три силы, приложен-
ные к колесу, пересекаются в точ-
ке О)
CDE находится в равнове-
сии под действием показан-
ных сил; сила, действую-
щая на верхний рычаг, на-
правлена по ВС, следова-
тельно, силу, приложенную
в точке D, можно получить
из векторной диаграммы.
Нижний рычаг AD находит-
ся в равновесии под дейст-
вием силы, приложенной в
точке D, и силы пружины.
Взяв сумму моментов отно-
сительно точки А, получим
S = Q-^. (5.4)
а
5.7. Подвеска Макферсона
В качестве еще одного примера применения плана скоростей
проведен анализ рычажно-свечной подвески. Качание рычага AD
(рис. 5.5) относительно неподвижной рамы АВ дает на плане
скоростей Od. Точка В является верхней точкой крепления под-
вески, а С — точкой звена CD, совпадающей при данном поло-
жении подвески с точкой В. Точка С скользит относительно точ-
ки В и ее скорость направлена вдоль отрезка CD; в то же время
Рве 5.5. Схема рычажно-свечной подвески (пружиня
'. становлена между точками С и D) и план скоростей
104
точка С вращается относительно точки D. Следовательно, на
плане скоростей можно определить точку с. Точка Е вращается
относительно точек С и D одновременно и ее суммарная скорость
будет Ое2. Вертикальная линия Ое\ является вертикальной ско-
ростью точки Е.
5.8. План скоростей относительно произвольного
центра вращения
Допустим, что кузов вращается вокруг произвольной точки О
(рис. 5.6), которая не является центром крена подвески. В этом
случае необходимо прибегнуть к методу последовательного при-
ближения, уравнивая скорости точек С и D при рассмотрении их
Рис. 5.6. Схема возникновении бокового перемещения
точек контакта колее при вращении кузова относительно
произвотьноч точки О и план скоростей, построенный
методом последовательных приближений
вначале как принадлежащих кузову, а затем — колесу, имеющему
свободу вращения и бокового скольжения. Контрольным условием
при этом является равенство нулю вертикальной скорости точки
контакта. Несомненно, что широкое использование понятия центра
крена объясняется простотой построения плана скоростей. Метод
анализа подвески без рассмотрения центра крена приведен в раз-
деле 5.19.
5.9. Сопротивление амортизаторов крену
Сопротивление амортизаторов, зависящее от скорости крена,
является важной составляющей общего сопротивления крену.
Если допустить, что амортизаторы создают сопротивление, про-
порциональное относительной скорости поршня и цилиндра, то
поглощаемая энергия будет пропорциональна квадрату этой
скорости. При известных точках крепления амортизаторов сопро-
тивление крену можно определить, приравнивая работу, совер-
шаемую при крене, поглощенной энергии, а также получить
зависимость угловой жесткости амортизаторов от скорости
крена р.
105
5.10. Угол крена
На рис. 5.7, а схематично показано положение оси крена, пред-
ставленной как прямая, соединяющая центры крена передней и
задней подвесок, а на рис. 5.7, б изображена схема сил и момен-
тов, возникающих при крене. Ось крена наклонена к горизонтали
на угол 9. Пусть Н — длина перпендикуляра, опущенного из
центра тяжести подрессоренных масс ms на ось крена; hf и
Рис. 5.7. Расположение подрессоренных и неподрессоренных масс; силы
п моменты, вызывающие лрен кузовотносительно оси крена
106
hr — длины перпендикуляров, опущенных из центра тяжести
неподрессоренных масс передней и задней осей на ось крена.
Рассмотрим реакцию кузова на силу У, действующую в на-
правлении оси у. Эта сила создает постоянный угол крена неболь-
шой величины, так что перемещением воображаемой оси крена
можно пренебречь. Сила У8, которую можно рассматривать как
результат действия на автомобиль бокового ускорения, создает
боковые силы в центрах крена:
(5.5)
При наличии бокового ускорения возникают боковые силы Yuf
и ¥ит передних и задних неподрессоренных масс. Следовательно,
боковая сила, действующая на шины, Yf = У( + У2 — У5/ + Уи/
для передней подвески и Уг — Уз + Yt = Ysr + YUT для задней
подвески.
Момент относительно оси крена, возникающий в результате
действия инерционного момента подрессоренных масс, момента
силы тяжести и момента сил инерции неподрессоренных масс.
£ = УД + + yufftf—Yurh„
где последний член записан с отрицательным знаком, так как
центр задних неподрессоренных масс расположен ниже оси крена.
Однако сопротивление крену зависит от общей угловой жесткости
при скорости крена, равной нулю; следовательно,
Приравнивая приведенные выше выражения, получаем уста-
новившийся угол крена
(г =----+ ---- 6
(dLldtf)f+ (dLld^r— trisgH
В динамических условиях следует рассматривать полное урав-
нение, описывающее крен относительно оси крена.
5.11. Перераспределение нагрузки между шинами
В общем случае для определения вертикальных составляющих
сил, действующих в контакте шины с дорогой, необходимо рас-
смотрение уравнений движения всего автомобиля.
Однако, если допустить, что автомобиль движется по гладкой
горизонтальной поверхности, и пренебречь деформацией шин, то
для малых перемещений возможен упрощенный анализ. Заменим
подрессоренные массы их реакциями на подвеску, возникающими
вследствие перемещения этих масс. Реакции сводятся к боковой
107
силе, приложенной в центре крена, и моменту, обусловленному
угловой жесткостью упругих элементов подвески и сопротивлени-
ем амортизаторов крену.
Рассмотрим, например, переднюю подвеску (рис. 5.8). Боковая
сила
i7) + Уе + } sf + Кц = 0.
Взяв сумму моментов относительно точки контакта левого коле-
са (при этом и h2f — расстояния от опорной поверхности
соответственно до массы muf и точки Olf), получим
= -у- [ —5 \ Аг + I j -I- (d£/^<p)/(р + (dL/dp)}tpl (5.7)
Очевидно, что AZ будет положительным для левой стороны и
отрицательным для правой.
5.12. Поворот задней оси при крене рессорной подвески
Если листовая рессора применяется в качестве упругого
и направляющего элементов подвески, то можно с удовлетвори-
тельной точностью получить траекторию перемещения свободного
Рис. 5 У Схема дтн определения поворота оси при крене
автомобили с рессорной подвесков
108
конца рессоры, заменив ее кинематическим рычагом, длина кото-
рого равна 3/4 длины рессоры. Листовая рессора, широко приме-
няемая в задних подвесках, кинематически может быть пред-
ставлена в виде многозвенника (рис. 5.9). Рессора условно
показана в верхней части схемы. Точка А — неподвижный конец
рессоры, a FE — ее серьга. Мост крепится к рессоре сверху. Пусть
et и е2 — расстояния от центров проушин рессоры Л и £ до сред-
ней линии коренного листа рессоры, и /2 — расстояния от Л и £
до начала участка крепления моста к рессоре.
На схеме положения точек A, F и Е соответствуют их истин-
ным положениям, АВ = 3/4 Ц и точка В расположена на */г О
ниже средней линии листа, ED = 3/4/2 и точка D находится на
'/2 е2 ниже средней линии листа. Точка С расположена на прямой
BD прямо под осью моста. Мгновенный центр вращения точки С
лежит на продолжении линии ВС на расстоянии ZiZ2/(Z] + /2).
Перемещение точки С будет чистым вращением относительно это-
го мгновенного центра. Следовательно, точка С перемещается
вперед при движении рессоры вниз. При крене кузова вертикаль-
ные перемещения подвески ±б„ эквивалентны углу крена
8vfts и сопровождаются поворотом оси моста в горизонтальной
плоскости на угол &hlts. Этот поворот равноценен повороту колес.
Коэффициент поворота при крене равен б^/бщ.
5.13. Динамика подвески
Для рассмотрения динамических свойств подвесок различных
типов из уравнения Лагранжа были выведены уравнения движе-
ния подвески.
Если рассматривается система, способная рассеивать энергию,
то уравнение Лагранжа будет иметь вид
~Т~ (+“Г = Qi’ (5'8)
di дд; 1 dgl
где Т — кинетическая энергия системы; V— потенциальная энер-
гия системы; F — диссипативная функция системы; qi—обобщен-
ная координата и Qi — обобщенная сила или момент.
В конкретном уравнении qi становится конкретной координа-
той у, z, ф и т. д., a Qi — силой У, Z или моментом Qv и т. д.
Таким образом, необходимо описать подвеску с учетом достаточ-
ного количества координат, определяющих ее возможные пере-
мещения (степени свободы), и подставить эти значения в обоб-
щенное уравнение.
5.14. Уравнения движения подвески с качающимися осями
Общий вид подвески показан на рис. 5.10. Так как было
принято, что мгновенный центр вращения кузова не совпадает
с его центром тяжести, то кинетическую энергию кузова необ-
109
Рис. 5.10. Схема подвески с качающимися осями
ходимо выразить в величинах абсолютной скорости центра тяже-
сти и относительной скорости его вращения вокруг мгновенного
центра (рис. 5.11):
Vй = (z + //rpsinrp)2 + (# + #<pcos <р)2
и
Ts = — - rnЛ’2 + — Iq2.
Подставив значение v, получим
Ts = -у- ms(г2 + у2 + 2хЯ<р sin <p 4- 2yHq>cos<p + №<p2) + /<p2.
Кинетическую энергию полуоси получаем аналогичным обра-
зом. Общая кинетическая энергия будет равна сумме кинетиче-
ской энергии кузова и полуосей:
Т = ~ms(z2 + у2 4- 2ztf<p sin <р + 2yHq cos tp + №<р2) + /<р2 +
+ 4ГЛ1«(г5 + Р2 + 2г<тф1 COS <Р1 + 2ytm(p'[ sin ЧР1 + +
H---- ^Ч5 I + + у2 + 2г^тЧ!2 COS f- X
X sirup. + + -7 'q^2- (5-9)
Потенциальная энергия подвески — это энергия, запасенная
в пружинах; ее определяют методом возможных перемещений.
ПО
При выборе начала отсчета вер-
тикальных перемещений в точке,
в которой скорости кузова и по-
луосей одинаковы, на пружины
подвески не влияет перемешение
этой точки, они нагружаются
только при вращении кузова
или полуоси. Кроме того, потен-
циальная энергия изменяется
вследствие смещения центра тя-
жести узла, обусловленного его
поступательным перемещением
или вращением. Таким образом,
изменение потенциальной энер-
гии кузова в результате перемещения центра тяжести
Vs = ms [z + Н (1 —cos ф)] g.
Однако, если начальное положение рассматривается как
положение равновесия под воздействием силы тяжести, то потен-
циальной энергией от подъема кузова можно пренебречь, и тогда
Vs = rn/7(1—cos<f)g.
Рис, 511. Скорость центра тяжести
подрессоренных масс
Потенциальная энергия полуосей
vu= (sin<pl —sincpO-
Изменение длины левой основной пружины подвески равно
произведению рессорной колеи ts и разности углов крена кузова
и наклона полуоси. Сила, возникающая при этой деформации,
дает момент относительно точки О, который равен силе, создавае-
мой пружиной, умноженной на рессорную колею:
= -у- —ф J2 + -L(ср — ф2)2------у kv(z—ф\t +
-г М)~ + — + + —ф]7?о — \)' +
+ — kt (у—ф2/?0 + ^г)2 —(1 —cos ф) + mugtm sin ф J —
(5.10)
где f(f)—функция, описывающая возможные неровности опор-
ной поверхности; X] и Хг—возможные боковые перемещения ко-
леса, создаваемые опорной поверхностью.
В выражении (5.10) вертикальная деформация шин является
следствием вертикального перемещения точки О и перемещения
колеса при наклоне полуоси.
Рассеивание энергии в системе осуществляется амортизато-
рами. При наличии у концов амортизаторов относительной ско-
111
рости возникает сила, которая приложена на плече, равном
расстоянию между точками крепления амортизаторов,
г=^-с^(ф-т;)а+~с^(ф~’рог. (5-и)
Уравнения движения подвески получаем дифференцированием
уравнений кинетической энергии поочередно по каждой скорости
и последующим дифференцированием полученных уравнений по
времени. В результате этого получаем выражения
d ( дТ X d 1 дТ \ d / дТ \
---( - ' I. — — > —— } и т. д.,
di \ дг / dt \ dtp ] di \ ду /
соответствующие первому члену уравнения Лагранжа в обычных
координатах. Другие члены уравнения находим дифференцирова-
нием соответствующих уравнений. Таким образом, получаем ряд
дифференциальных уравнений, число которых соответствует числу
координат.
После подстановки z вместо обобщенной координаты имеем
(ms + 2m.l)z + sirup + cos cos <pf -f-
••, , - ,2 , . ,2 ,
+ COS ф3 + 1 sin <pj —sin ф3 + 2йрг—
—M (ф i — фг) = (f + fat) + Qz- (5-12)
Подстановка у вместо дг-дает
-р 2m„)у !- tnjftp cos ф—sin ф + I sin ф [ —
-- , , • ,1 , ,2 ,
—mJmTjsinrpj 4-т^ф! cosqh —rnufm<₽2 cos«p2 —
—(<Рь + ф«) + Ъ^У — kitfyi— ^2) + Qy
Уравнение с ф будет иметь вид
niJSz sin ф + mJIyCQS ф 4- (/ + /ns№)<p +
+ (2ф —<p 1' — фз) —
—msgH sin ф + CCd (2ф—(pj — qjg) = Qq,.
Уравнение с ф, для левой полуоси
—^гАгсозф! +тХ1/51Лф; +(i + mX)Ti —
—С^(ф— Ф()—/и,(ф“ Ф1)— М(г—Ф1^) +
+ ktRc (ф 1 Ra—у) cos ф [ = fevtfrt—MoXj + Qv;
Соответствующее уравнение для правой полуоси с ф
г, 5ф2 — ш[лгту51‘Пф2+(1 + т[111,п)ф2—
—Ctd (ф—ф ?) —Kuis (ф — фа) + kvt(z + ф^) 4-
+ Мо(ф2^о—у)—ти^тсозф^ =
— kvtf2t + k;R /г + Qq,'.
112
Если рассматриваются малые перемещения системы, то урав-
нения можно линеаризовать, при этом пренебрегаем всеми про-
изведениями производных и принимаем sin <р = <p, a cos <р = 1. Все
члены, содержащие внешние силы, могут быть объединены с Q,
а член mugtm cos 2 , учитывающий параметры полуосей, опу-
скаем. Уравнения с этими изменениями даны в матричной форме
на стр. 114 [см. уравнение (5.13)].
Несмотря на то, что боковая жесткость шины была учтена
в системе и рассматривалось ее влияние на колебания подвески
неподвижного автомобиля, больший интерес представляет иссле-
дование этого фактора при движении автомобиля. В гл. 1
описывалось влияние бокового перемещения катящейся шины и
было показано, что сила уменьшается по экспоненциальному
закону по мере перемещения колеса вперед; следовательно, влия-
нием неустановившихся боковых сил можно пренебречь. Это
устраняет столбец и строки в матрице [см. уравнения (5.13)], где
оператор D = d/dt.
В качестве примера рассмотрим подвеску со следующими
параметрами, пренебрегая боковым перемещением шин: вес под-
рессоренного кузова 272 кгс; его масса ms = 227/9,81 кгс • с2/м;
момент инерции кузова при крене относительно центра тяжести
7=11 кгс • м • с2; вес колеса и узла полуоси 33 кгс; ти =
= 33/9,81 кгс-с2/м; момент инерции узла полуоси / = 0,69 кгсХ
Хм • ч2; I = 0,85 м; tm = 0,67 м; td = 0,61 м; ts = 0,55 м; K.v -
= 900 кгс/м; kv = 3720 кгс/м; С = 60,5 кгс • рад/м.
Подстановка этих значений в линейные дифференциальные
уравнения движения дает следующие частоты собственных
колебаний, которые обычно получают при помощи цифровых элек-
тронно-вычислительных машин:
7?! = —1,097 ± 4.547;
Di= —1,394 ± 6,187;
О3 = —5,460 ± 35,36/;
О4= —12,33 ± 40,46/,
где действительная часть D является демпфирующим фактором, а
мнимая часть — угловой частотой колебаний.
Из уравнений движения также можно определить перемеще-
ние системы при установившемся движении. В этом случае все
производные от координат будут равны нулю и линеаризованные
уравнения (5.13) движения подвески с качающимися осями при-
нимают другой вид (см. уравнение (5.14) на стр. 115].
Если не учитывать боковой жесткости шин, то получим урав-
нения (5.15), которые приведены на стр. 115.
Рассмотрим подвеску, на которую действует боковая сила
(рис. 5.12). Согласно принципу Деламбера, внутренними силами,
такими, как силы или реакции пружин, можно пренебречь. Целе-
сообразно также принять, что перемещения системы малы, а сле-
8 Заказ зооз 1 13
(ms + 2ти)О2 + + 2/?0 0 0 -(matmD* + kvt) + (mJmDs + kut} г Qz
0 (ms + 2mjD2 + + 2Л/ + mbHD* —kiRo —^iRo У QB
0 A-mHD2 (i+msHt}D1 + + 2Ct3dD + + 2Kvt2s—msgH -(Ct2aD + Kvt2) —(Ct2dD + Kvt2) Ч> = Qg> ; (5.13)
— (mJnP1 + + kvt) — ^/?0 -(CtlD + KB^) [(< + tnut?n)D2 + + C^D + fc/ + + fyRoi 0 ч>; Q -
+ + 4- ' ^{Rq -(Ctfo + Kvt2) 0 lU + m^JD2 + +CtdD + Kttt2s + + q>2 Q . <₽2
СЮ * 2А„ 0 0 —V + kJ 0 0 2kt 0 0 2Kj2—tnsgfi -ktR0 —KJ2 -Mo -V
0
0 2Kj2s—msgH
—kJ —KJ2 KJ
и— СД + kJ —KJ2
—kJ + kj z Qz
—k^Ro — k(Ro У Qs
-kj2 -KJ, Ф = Q<p
V+V + Mo 0 <₽I Q<f>[
0 KJs + kJ2 4- k/Ko <P2
(5.14)
-kJ + kJ z Q.
KJ2, -KJ2 Ф Q<p
+kj2 0 - Ф1' Q , fi
0 V+V ф2 *2
(5,15)
Рис. 5.12. Внешние реакции, вызванные
боковой силой, приложенной в центре
тяжести подрессоренных масс
довательно. конфигурация подвески будет меняться незначитель-
но. Если внешние силы действуют так, как показано на схеме, то
Qi = 0; QV = YH;
Q^=Y{R0~Y/2(H + R0)-,
Q^y'2R0-YI2(H + R0),
а сумма проекций сил на горизонтальную плоскость
y;+y;=y.
Решение уравнений (5.15) может быть записано в следующей
форме:
Д
SS
I Ла d
<р| =—;
ss ss
<Рг
ss
Л
Д ’
где А — определитель системы; Ai — определитель системы, по-
лученный подстановкой обобщенных сил Qz, Q? и т. д. в первый
столбец левой части матрицы; Дг — матрица с силами, подстав-
ленными во второй столбец, и т. д.
Для справедливости такого типа решения необходимо, чтобы
удовлетворялись определенные условия, наиболее важным из
которых является А =# 0.
Решая таким образом уравнения в общем виде, получаем
установившиеся величины, выраженные через Qz и т. д.
+ --Q
’•’г)
(V1+V*)
(5.16)
(5-17)
Подстановка соответствующих значений Qz и других величин
дает перемещение в установившихся условиях. Подставив выра-
116
жения, приведенные выше, для случая действия боковой силы
получим
Rot;
=YHk.fi
Z
Таким образом, имея соответствующую систему уравнений,
можно описать как динамические, так и статические состояния
подвески. Заметим, что подъем кузова при подвеске с качаю-
щимися осями под действием боковой силы является следствием
разницы боковых сил, возникающих на колесах.
5.15. Уравнения движения зависимой подвески
Для зависимой подвески может быть составлена система урав-
нений, аналогичная системе для качающейся оси. Как и в преды-
дущем случае, система координат, закрепленная на кузове, имеет
свободу вертикального и бокового перемещений. Пружина с жест-
костью Ki имитирует боковую упругость подвески. Используя
метод, примененный ранее (рис. 5.13), имеем
Т = у ms (г2 у2 4- 2zff(p sin <р 4- 2yffq> cos ф 4-
+ W) + -у /ф2 + у- tnu (г'г + Л + у- (5.18)
V = -у Мг-/ + *s (<Р ~ ф')]2 +
-г'-МФ~ф')]2 + -у*Л1/-/г) +
+ у + у Ч? +
+ A fe0(z' -ФЧ 4- ftt)2 4- -у k„(z' + ф7 4- fj)2-
——cos ф). (5.19)
Рис 5.13, Схема зависимой подвески
117
Рис. 5.14. Относительные скорости
на концах амортизаторов
На многих автомобилях амор-
тизаторы наклонены на угол 0, как
показано на рис. 5.14.
Приведя возможные перемеще-
ния кузова и балки оси к перемеще-
ниям точек крепления амортизато-
ров и спроектировав на их ось пере-
мещения, получим относительное
перемещение концов амортизатора:
6t = (/?!<₽ + у cos 0 4- z sin 0) —
— (/?2<р' 4- у' cos 0 + zz sin 0).
Дифференцированием получаем скорость
в| = + Я[<р + wcosB--[/9 sin 0 + z sin 0 +
+ z0 cos 01 — (/?2ф' 4- 4* <Z cos 3 —
— t/z6 sin 0 4- zzsin 0 -f- z'Q cos 0).
В обычной подвеске целесообразно принять изменения и /?2
малыми, чтобы можно было пренебречь их производными;
тогда
Si —/?2<pz 4- (у—/)cos0 4- (Z—z')sin 0;
аналогичное уравнение может быть получено для правого амор-
тизатора:
6г = —/?гФ/4- (у—г/) cos О— (г—z')sin0.
Отсюда, диссипативная функция
F =-1-Сб?4-у CSt (5.20)
Уравнение движения получается подстановкой соответствую-
щих производных в уравнение Лагранжа:
4- sin <р 4- Яф2соя <р 4-
4- 2КР (z—zz) 4- 2С sin2 0 (г—г') = Qx;
rnfy 4- т,.Н<ф cos ф—msH<$2sin ф 4- Kt(y—у') 4-
4- 2Ccos 0 [/?1ф—Ягф7 4- (у—i/)cos6] = QB;
mjlz sin ф 4- m^Hy cos ф 4- (14- msH2)tp 4-
4- 2Kvt s (Ф—<p') —msgH sin ф 4- 2C [/??ф—
-ВДф'4 (ff—yz)/;iCOS0] = Qv;
118
muz'—2Kv(z—z') + 2kvz'—2C sin2 0(2—г') =
= Qz' —kv(f it + fit);
tnay'— Ki (y—y') +2kt(— R&f' + /) — 2C cos 0 [7? <p—
— T?2*₽/ + (У—J/'jcos 0]= Qh- 4- kiffii 4- A2); ,
itp'—2K^(q> — qj') + 2^^^—y') 4-
+ 2ЛДгф' + 2C[₽i><p'—RiRtff— (y—?)/?2cos6] =
= Qq>'——A2) +Лс((/[Г—f2f). (5.21)
При малых перемещениях около положения равновесия произ-
ведением переменных можно пренебречь и принять, что cosq>—>- 1,
a sin <р -> ф.
Линеаризованные уравнения движения зависимой подвески
имеют вид уравнения (5.22).
Для жесткой в боковом направлении зависимой подвески
автомобиля с жесткими в боковом направлении шинами уравне-
ния движения могут быть записаны в виде уравнения (5.23).
Установившиеся реакции при постоянных силах и моментах
могут быть найдены заменой производных нулями, как и в пре-
дыдущем примере [см. уравнение (5.24)].
5.16. Вращающееся колеса
Рассмотрение динамики подвески было ограничено плоскими
моделями, в которых не учитывался поворот колес передней
управляемой оси автомобиля. Однако при движении автомобиля
имеется связь между изменением угла развала колес и их пово-
ротом вследствие действия гироскопического момента колес.
Рассмотрим автомобиль, движущийся со скоростью (7 м/с. При
повороте колеса относительно шкворня создается момент, который
стремится наклонить колесо. Гироскопический момент в верти-
кальной плоскости равен (1Р U6/R) ,где ip — полярный момент
инерции колеса; 6 — угол поворота колеса в горизонтальной
плоскости.
Аналогично при изменении угла развала колес создается гиро-
скопический момент, действующий на систему рулевого управ-
ления.
Гироскопический момент в горизонтальной плоскости равен
U
5.17. Рулевой механизм
В целях изучения колебаний управляемых колес рулевой меха-
низм может быть заменен двухмассовой системой с определенной
крутильной жесткостью. Момент инерции колес берется относи-
119
гс о (ms£P + + 2Csin2x XQD + 2KV) 0
0 Im J)1 + 2C cos20 XO+A'i)
fl (msilt^ + 2CRl < , cosGD)
— (2Cstn2i)x X D+ 2Kt,) 0
0 — (2Ccos5fl« + + Ki)
0 — (2C₽J cos 90)
0 - (2Csin!flx ' D + 2KV) 0 0 z Qz
(rti(№ + + 2C/?t cos (IP) 0 — (2Ccos2l»D + + K|) — (2CR2 cos (IP) У Q*
[(A + m/P)D2 + + 2CRfD + + 2\Л2— 0 — {2CRt cos Of)) - (2C/?,ff2Z?4- + *K$ <P
0 Im„DJ + + 2C sin2 ч Х(Ю + + 2 (/Q, 4- A\,)| 0 0 z' 2=1 Q, (5.22)
— (2C7?, cosOD) 0 (m„D2 + 2Ccos2G .»• [)+Ki + 2k}) ( 4-2Cfis cos fi£)— y' Qy
— (2CRlRtD + 0 (+ 2C/?scos©0 — —2ktRa) — [iD24-2C/?]D + + 2(Kvt2s + + kDl2 j Ф'
+ 2C sin2f)P 4- 4-2/Q, G 0 (/ + ms№)0’4- + 2CR2tD j-2Kvtl — —msgH — (2Csin2 GD 4-2Kt,) 0 0 — (2CR^R1D + + 2Kt.f2) 2 Ф =Z Qz <гФ (5.23)
— (2C sin2 OD 4-2K„) 0 muD2 4- 2C sin2 0P4- 4- 2{KV + kv) 0 2f Qz-
0 -(2C/?,/?2D + 2/(c/2) 0 iD®4-2C/?^D4- +2(V*+V2) Ф'
2K„ 0 0 -2Kt.
0 l\l 0 0
0 0 0
-2KO 0 0 2(KO—M
0 -Kt 0 0
to 0 0 -2A'?2 0
0 -Kt 0 0 0 0 0 2 У Ф г' = Су Су1 * О о (5-24)
К/ + —2feiR0 у'
2(k„'; + ^(2 + Ф Qv.
+ V?o)
тельно осей шкворней, а полярный момент инерции рулевого
колеса умножается на квадрат передаточного числа рулевого
механизма.
5.18. Нелинейности
Для проведения анализа уравнения подвески были линеари-
зованы. При малых перемещениях эта линеаризация оправдана
и дает возможность определить частоты собственных колебаний
подвески. Учет нелинейностей, вызванных переменной жесткостью
пружин подвески, характеристиками амортизаторов, различными
при сжатии и отбое, ограничителей хода подвески, статическим
трением и отрывом колес от опорной поверхности, осуществляется
подстановкой соответствующих величин вместо постоянных.
В этих случаях поведение подвески лучше исследовать с помощью
цифровых или аналоговых вычислительных машин.
5.19. Производные подвески
Так как перемещения подвески можно описывать не только
относительно центра крена, то начало координат можно располо-
жить в произвольной точке кузова. Описание перемещений
подвески относительно выбранного таким образом начала коор-
динат будем называть «производными подвески».
Схемы, необходимые для расчета с использованием цифровых
вычислительных машин, показаны на рис. 5.15. Если кузов пере-
мещается в вертикальном направлении с определенной скоростью
(рис. 5.15,6), то элементы подвески будут иметь боковую у' и уг-
ловую ср' скорости. Символы у, z обозначают координаты точек
в системе координат кузова, а у', z' — координаты точек относи-
тельно теоретического центра контакта колеса.
Приравнивая скорости точек /, 2 и 3, 4, направленные вдоль
верхнего и нижнего рычагов, получаем:
для верхнего рычага
i/cosO,—<p'(z2cos0| + y-i sin 0,) = —z sin 0,;
для нижнего рычага
l/cos02—<j/(.?3COS02 — y3sin0,) = —zsin02.
Для удобства пользования перепишем эти уравнения так:
cos0, —(ZjCosO, 4- yt sin О,)
cos б2 — (г3 cos 0j—у'з si п Ь2)
откуда
у'= (Aj/A)z
и
<р' = (Д 2/Д) г,
где А, Д[, Дг имеют значения, описанные в предыдущих разделах.
122
t
Рис. 5.15. Определение производных подвески:
а — скорости точек Л 4 н 5, определяемые из центра кузова О, и скорости то-
чек ? и 3, определяемые на центра контакта колесу с дорогой; б — скорости то-
чек /—5 при вертикальных перемещениях точки О; е — скорости точек Л 4 и
5 прн их повороте относительно точки О
Производные подвески будут иметь следующий вид:
коэффициент поперечного перемещения подвески по верти-
кальному перемещению кузова
ду'/дг = ду'/дг = Д^Д;
коэффициент крена подвески по вертикальному перемещению
кузова
ду'/дг = ду'/дг = Да/Д.
Относительная скорость концов пружины
dl/dt = (z + 1/з<р') sin И3— (у'—Z3<p')cos 03.
Подставив производные подвески, получим изменение длины
пружины
dl/dt = z [sin в3(1 4- узду' /дг) —
—cos 63 (ду' /дг—2з<Эф'
тогда коэффициент изменения длины пружины по вертикальному
перемещению кузова
dl/dz = (dl/dt) (dt/dz) = (1 /г) dl/dt.
123
или
dljdz = cos 03 (1 — уздф Idz)
—sin03(dy' jdz—z'3d<p'Idz). (5.26)
Если скорость крена кузова <р (рис. 5.15, в), то, приравнивая
скорости точек, направленные вдоль рычагов, получаем:
для верхнего рычага
у COS0! — ф’ (Z2 COS0! sinO,) =
= Ф(£! cos0[ + yi sin 0j);
для нижнего рычага
y"cos02—ф (z3cos02—у'ъ sin 0S) =
= —ф(г4 cos 02 + у* sin02)
или
cos©! —(zicos01 + у2 sin О О 1 у"
COS 02 —(z3 COS 02 — Уз sin 02) ] ф'
= r(z1cos61+ У! sinej 1^ (5
I — (zt cos 0a + y4 sin 02) J
Заметим, что характеристическое уравнение будет такое же,
как и в предыдущем случае:
у7ф=Аз/Д; ф7ф = Д4/Д.
Таким образом, коэффициент поперечного перемещения
подвески по крену кузова
йу7<?ф = Дз/Д;
коэффициент крена подвески по крену кузова
(Эф'/дф = Д4/Д;
коэффициент изменения длины пружин подвески
dl/dq> = (1/ф) dl/dt =cos03(z5—
—ду'/дф + гздф'/дф) + sin03(y6 + y^p7<M (5.28)
Перемещения подвески могут быть также описаны способом
«мгновенных центров вращения». Если три тела движутся в пло-
скости, то относительные мгновенные центры вращения находятся
на одной прямой. Эта теорема использована при построении
диаграммы (рис. 5.16, а) для случая вертикального перемещения
начала координат.
Находим зЛ — мгновенный центр поворота стойки подвески
относительно кузова; Js расположен в бесконечности на линии,
124
ф
Рис. 5.16. Мгновенные центры вращения кузова:
а — при вертикальных перемещениях; 6 — прп крене
параллельной опорной поверхности; i/3 должен лежать на линии,
проходящей через мгновенный центр zh параллельно опорной
поверхности; 3/6 расположен в шарнире между колесом и ползу-
ном; находится в бесконечности на прямой, перпендикулярно
к опорной поверхности.
Следовательно, J3 лежит на пересечении линий, проходящих
через центры ih, з/еи зА.
Так как z — скорость точки 3/3, то коэффициент изменения
угла развала колеса
2<Эч>7<Эг = г/( 3/5 3/]),
откуда
dq'fdz = —-— ;
3^5 зЛ
ду'/дг (5.29)
Л эЛ
При крене центр (/5 будет совпадать с центром вращения
кузова, остальные центры определяются так же, как в предыду-
щем случае. Новое положение центра ]/3 находится аналогично,
как показано на рис. 5.15, б.
125
Линейная скорость точки 3/5 будет <р(1/зз^5)- Таким образом,
скорость изменения угла развала колес
Ф' = Ч>44
8'В З7 Г
ИЛИ
(5.зо)
3*1 ЗМ
также
‘ t_ ' (1^6 ds) (Ja 3^s)
У ~ ds d,
И
dy'idy = <|/s , (5.3!)
3/5 3-^1
Хотя производные подвески могут быть получены из плана
скоростей, этого не рекомендуется делать, так как в данном случае
приходится пользоваться методом последовательного приближе-
ния для уравнивания выражений скоростей кузова и подвески.
5.20. Установившиеся перемещения кузова,
полученные при помощи производных
Запись в производных может быть применена для получения
установившихся перемещений кузова. Шины принимаются жест-
кими, но получаемые результаты необходимо сравнивать с резуль-
татами предыдущего раздела, где учитывалась упругость шины
как в вертикальном, так и в боковом направлениях.
Обобщенное выражение для работы при сжатии пружин,
т
работа = dl Kdl.
о
Угол крена (рис. 5.17, а). Рассмотрим суммарную работу, про-
изводимую при сжатии пружин и перемещении шин на dy\u dy'2.
Тогда
Л1, Afi
— dli I Kidi}—^2*^2 3" Y\dyi + Y2dy3 = 0.
6 0
Применяя запись в производных для перемещения пружины
и колес, получим
dl = (dl/d<f)dif
и
126
Рнс. 5 17. Схема для определения производных подвески:
а — при крене кузова, в — при вертикальных перемещениях ку-
зова
Следовательно,
Л/,
d<p — (ад<р) )’ Kjdif —
о
— (dl2/dff) Л2-П2 + Yidy'^dtf + Y2dy2(d<f>
С
(5.32)
Для выражения А/ может быть использована теорема Тейлора
А/ = Д/р + ydl/d(p + zdt/dz 4- ...
Общее выражение (5.32) дает возможность вычислить угол
крена при любых нелинейных упругих элементах подвески и ее
несимметричных производных.
Если К\ = К2 — постоянная жесткость, то
К {[(d/t/d<p) (Д/Jo + (d/2/d<p) (Д/2)0] + <р ((d/[/f?g))! +
+ (dl2ldtf)] + z [(d/lZdq >) (a/b'dz) + (a/»/d<p) (dl2/dz)}] =
= Y{ (dy,ldw) + Yi (dyM. (5.33)
При малых углах крена и симметричной подвеске
(Д/^о = (ДА)0;
dl[/dff= —d/2/d<p;
dljdz = dl2fdz
и
Ф 2К(<М/й<₽)2
(5.34)
127
Вертикальные перемещения кузова (рис. 5.17,6). Запишем урав-
нение в производных
— (д1,/дг)\ Kidly— $l2/dz) J +
+ Y'idy'i/дг + Y'2dy2/dz + mg =0.
При линейных характеристиках пружин подвески
К + dl2>dz(Д/г)п] + ф {{dlildz) (dltldy) +
+ (dl2/dz) (d/2/d<p)] + z[(dli/dz}3 + (dls/dz)2]} = Yidyi/dz +
+ Yidy'z/dz + mg.
(5.35)
(5.36)
При симметричном нагружении статическое равновесие опре-
деляется уравниванием начальных сил пружин и силы тяжести:
К [dlJdzfMifo + dl2/dz(M2)0] = mg
2t\(dl/dzf
(5.37)
Перераспределение нагрузки между колесами может быть
определено при помощи уравнения суммы моментов относительно
начала координат. Если принять, что начало координат распо-
ложено в центре тяжести кузова, и пренебречь массой подвески,
то при действии боковой силы'Т, возникающей, например, вслед-
ствие бокового ускорения и приложенной в начале координат,
имеем
у=у;+у;;
mg —~ Z । +
YiZ, + Y2z2 = Z\yx + Z2y2,
(5.38)
где у, z — координаты точек контакта колес.
Этот анализ можно легко распространить на угол крена всего
автомобиля, суммируя характеристики каждой из подвесок.
5.21. Заключение
Понятия центра крена подвески и оси крена кузова базируются
на следующих допущениях: 1) колеса и шины не деформируются
под действием приложенных нагрузок; 2) колеса не переме-
щаются в боковом направлении относительно дороги.
Хотя эти допущения не корректны, следует иметь в виду, что
отношение деформации шин к деформации подвески при верти-
кальном нагружении составляет обычно 1:5, а боковые переме-
щения шин относительно дороги в основном малы. Поэтому
пользоваться осью крена целесообразно для оценки в первом
128
приближении нагрузок на колеса и подвеску, ее жесткости и угла
крена кузова. Преимуществом является также сравнительная
простота плана скоростей, подвески. Если, например, принято, что
кузов вращается относительно какого-то другого центра, например
центра тяжести, план скоростей усложняется, так как колеса име-
ют свободу бокового перемещения.
Динамической моделью подвески часто пользуются для нахож-
дения частоты собственных колебаний или реакции на возмуще-
ние. В этом случае достаточно линеаризованных уравнений
движения. Уменьшая частоту возмущений до нуля, легко получить
установившиеся перемещения всех частей с помощью сил, дей-
ствующих в плоскости дороги в процессе поворота и изменения
угла развала колес. Нелинейные характеристики, обусловленные
конструкцией упругого элемента и амортизатора, а также трением,
могут быть включены в анализ при допущении малых перемеще-
ний относительно положения равновесия или при применении
аналоговых или цифровых вычислительных машин для расчета
динамических реакций.
При изучении передней подвески динамические свойства
рулевого управления и управляемых колес могут быть представ-
лены отдельной системой, в которой учитываются жесткость и
инерция рулевого управления, приведенные к управляемым коле-
сам. Вследствие поворота вращающихся при движении автомоби-
ля колес с угловой скоростью изменения угла развала колес
возникает гироскопический момент относительно оси шкворня и
гироскопический момент в плоскости изменения угла развала
колес.
5.22. Литература
5.1. Hales F. D. A Theoretical Analysis of the Lateral Properties of Suspen-
sion Systems. Proc. I. Meeh. E. (A.D.). 1964—1965, vol. 179 2A № 2.
5.2. Ellis J. R. An Introduction to the Dynamic Properties of Vechicle Suspen-
sions. Proc. I. Meeh. (A.D.). 1964—1965, vol. 179 2A, № 3.
9 Заказ 2U03
Глава 6
УПРАВЛЯЕМОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ АВТОМОБИЛЯ,
ОБЛАДАЮЩЕГО СВОБОДОЙ КРЕНА
6.1. Характеристики подвески
Если известны характеристики подвески автомобиля, то урав-
нения движения могут быть записаны с учетом крена кузова и
соответствующих изменений нагрузки и положения колес авто-
мобиля.
Допустим, что автомобиль движется по горизонтальной
поверхности с установившейся скоростью, отсутствуют верти-
кальные перемещения и вращение кузова относительно попереч-
ной оси, а результирующее движение складывается из враща-
тельного вокруг вертикальной оси и бокового движения автомо-
биля и крена его подрессоренных масс. Вместо оси крена, соеди-
няющей центры крена передней и задней подвесок, проведем ось,
параллельную опорной поверхности. Эта новая ось проходит через
точку пересечения вертикали, на которой лежит центр тяжести
автомобиля с осью крена. Примем эту точку (рис. 6.1) за начало
системы координат.
Если начало координат О расположено непосредственно под
центром тяжести автомобиля, то рассматриваемый автомобиль
может быть представлен двумя массами ms и ти, расположенны-
ми таким образом, что сумма их моментов относительно центра
тяжести автомобиля равна нулю. Уравнения (2.2) определяют
скорость любой точки тела, так что скорость центра тяжести
подрессоренных масс ms
t\ = V 4- ph + rc.
Следовательно,
vs = V 4- ph 4- ph + rc 4- rc.
где
й = 0 и c = U.
Тогда
с, = V’ 4- ph 4- rc 4- Ur. (6.1)
Аналогично скорость центра тяжести неподрессоренных масс
ти, расположенного на оси х,
yu = V—re-, —re + Ur,
так как —е = U.
130
Рис. 6.1. Система координат автомобиля с тремя степе-
нями свободы:
/нН — соответственно передан# и задний центра креыа;
п? — масса автомобиля; mg — подрессоренная масса; ты —
неподрессоренная масса
Тогда
ХУ = msus + muvu,
или
ХУ = (ms + ти) (V + Ur) + mshp + (msc—mue) г,
но
msr = тие
и
ms + ти = т.
Окончательно
ХУ = т (V + Ur) + mshp. (6.2)
Рассмотрим третье уравнение в системе уравнений (2-5):
S/V = Zdm(xv — у и); (6.3)
общее выражение для у и и дано в уравнениях (2.4).
В описываемой модели автомобиля вертикальная плоскость,
проходящая через его среднюю линию, является плоскостью сим-
метрии; следовательно, для всего автомобиля
Xdm(/i= Edmx =0
и
- - —msh.
9'
131
Подставляя значения v и и при отсутствии вращения вокруг
поперечной оси и вертикальных перемещений (q = 0, w = 0),
получим
(6.4)
Первое уравнение системы (2.5) является общим выражением
кренящего момента вокруг оси х:
XJ —zv).
Подстановка значений w и v дает для подрессоренных масс
SLs = —Р /+А (V -Н Ur)
(6.5)
и для неподрессоренных масс, которые не кренятся,
Lu=P'„r.
Но в этой лодели ял одрессоренные массы лежат на оси х,
поэтому
И—О.
Следовательно, инерционные реакции в боковом направлении
и при поворотах относительдо вертикальной и продольной осей
будут следующими:
SF = rn (V + Ur) + m/ip’,
= I xp—P^r + mjiiy + Ur),
(6.6)
где Iz — момент инерции всего автомобиля относительно оси z;
lx— момент инерции подрессоренных масс относительно оси х.
Таким образом,
lx — Icg,. +
Л«= —mshc,
где Icgs— момент инерции подрессоренных масс относительно их
центра тяжести; h — отрицательная величина (см. схему на
рис. 6 1), поэтому произведение инерции тоже отрицательно.
6.2. Внешние силы
Внешние силы, действующие на автомобиль, в основном были
рассмотрены в гл. 3. Для малых отклонений автомобиля от прямо-
линейного движения силы, создаваемые шинами, могут быть
приняты пропорциональными перемещениям. В литературе опи-
сана следующая степень усложнения проблемы, при которой
учитывается влияние стабилизирующего момента во время пово-
рота колес, изменение их угла развала и сопротивления качению
Г32
при увеличении или уменьшении вертикальной нагрузки на коле-
со, а также влияние поворота колес при крене кузова [6.1]. Исполь-
зуя принятые обозначения, получаем
ду' d<i>f
Yf = Craf Ч-----—f- <p;
йф^ дф
дУ' dq>'
Уг=Сга, + —
дф °Ф
ЙЛТ
ATf =-----af.
f daf {
Тт $AT
ATr=-----ar;
dar
X. = -^^Zft
f dZf !
V—br
nl =----------------e.cp.
где в/ и ег — коэффициенты поворота соответственно передних и
задних колес при крене.
Приращение вертикальной нагрузки колес определяется мето-
дом, описанным в разделе 5.11. Если на колесах возникают боко-
вые силы при уводе, то. если пренебречь влиянием неподрессорен-
ных масс, уравнение (5.7) перераспределения нагрузки для
передних колес будет следующим:
AZf=4-(r^ + -^4>-|-^ р\
2t \ йф др /
Здесь центр крена взят, как и ранее, на уровне опорной по-
верхности, но в этом случае
133
Если рассматривается перераспределение нагрузки между
задними колесами, то
v v г- ( V—t>r „ \ , дГг .
У,Г^УГ=СГ — ---------—ф;
\ и ; "<р
задняя подвеска принята зависимой, поэтому составляющая Tsr
от изменения угла развала равна нулю.
Таким об_разом, для передних колес
dtfj dtp
, dL
ФН-------ф +
dip
dL
др
р ;
для задних колес
... 1
AZ. =--------------
2/,
V—br
—------
дк
dtp
, dL t
q>+— p
др I
Используем запись в производных, рассмотренную в гл. 3.
На рис. 6.2 показаны силы и моменты, вызывающие увод, поворот
относительно вертикальной оси и крен автомобиля при допу-
щении, что задние колеса не имеют угла развала и что при крене
поворачиваются только они:
Yz=Cf + Cr-,
Уг = (aCf—bCr)/U-,
y6 = -cf-
УФ = ^-±£_С,6,
dtff dip
. d^P) й{ЛГ) , dX , , „ , ,
W« - aCf - HC, + -LC + + — (С,Ла + CM.
Nr -3- I + + +Л£(оС 4 dc J.
U I dap dar dZ J
N6 = -aCf--------—;
’ daf ‘'dZ
d“r
134
Рис. 6.2. Силы и моменты, действующие на автомобиль с тремя степеня-
ми свободы
J — ОСЬ кгечд
При рассмотрении этих производных видно, что по сравнению
с производными для автомобиля, имеющего две степени свободы,
введены дополнительные члены.
Так, является приращением боковой силы вследствие
изменения угла развала колес, что наблюдается у этого автомо-
биля только в передней подвеске, и поворота задних колес при
крене кузова.
Уравнение для N& имеет дополнительные члены стабилизи-
рующего момента, который раньше не учитывали, и момента,
возникающего от изменения сопротивления качению вследствие
перераспределения нагрузки. Оба эти члена численно малы, но
так как производная TVp является важным параметром устойчиво-
сти и сама имеет небольшую положительную или отрицательную
величину, то эти дополнительные члены должны быть включены
в анализ.
135
Производная Nr, как правило, имеет большую отрицательную
величину, и очевидно, что дополнительные члены, учитывающие
стабилизирующий момент и перераспределение нагрузки, оказы-
вают незначительное влияние на числовую величину производной;
следовательно,
Wr^-i-(a*Cf-l-bzCr).
Рассмотрение производной момента управления N& показы-
вает, что первый член в несколько раз больше дополнительных,
учитывающих стабилизирующий момент и перераспределение
нагрузки, поэтому можно написать
We -—aCf.
Наибольшее влияние на Nф несомненно оказывает момент,
возникающий от поворота задней оси при крене, и изменение угла
развала передних колес:
ЬегС,
j ад¥' дЧ>‘{
d<p'f
Производная Np имеет незначительную величину и ею можно
пренебречь:
wp = o.
6.3. Уравнения движения
Записывая уравнения движения в производных, получаем для
поворота управляемых колес
m(V 4- Ur) 4- mjtp = 4- У,г 4-
/>—Р^Р = W₽₽ + W.r 4- Лгфф + Wft6; (6‘7)
Цр— Рхгг 4- msh (V 4- Ur) = Еф<р 4- Lpp.
Пользуясь операторной формой записи D — d/dt и т. д., можно
написать:
mUD—Yf} mU--Yr
—Wp lzD~Nr
mJiUD — PXID 4- mJiU
-
IJP—LpD—Lv
Yb
Wa
0
«. (6.8)
P
r
Ф
Эти уравнения могут быть решены обычными операторными
методами. Для решения на цифровых вычислительных машинах
136
уравнения переписывают в явной форме
это необходимо и для аналоговых машин):
(в некоторых случаях
mU 0 msh
о 4 -Рхг
tnJiU —Рхг
p + rp Yr 0 Yv Y6 P
Г = + JVp Nr 0 2V6 r
<p 0 mshU Lp Lv 0 Ф
Ф
б
Решение уравнений
для производных высшего порядка
имеет
вид
р = f 4* [ЬдЛ <p+jt>5?4 6;
Г = 2^1Д Р 4- збдД Г 4" 2^3^ Ф 4" 2^4^ ф 2^>Д 6;
ф = зЙ[Д Р + зЬ„Д г + 3^3^ ф 4" 3^4'1 ф "р З^кД
(6.9)
где Д—левая матрица первоначальной системы уравнений;
ifei — левая матрица с первым столбцом с правой стороны, под-
ставленным вместо первоначального первого столбца; [Ь2 — левая
матрица, в которой подставлен второй столбец справа вместо
первого столбца слева, и т. д.
Левый индекс в формулах (6.9) указывает столбец первона-
чальной матрицы, который замещается, а правый — столбец
правой матрицы, используемый для подстановки.
В этой форме уравнения движения применимы для моделиро-
вания, тогда как в своей первоначальной форме они могут вызвать
неустойчивость машины в процессе расчетов.
6.4. Установившееся движение
Установившиеся реакции на скачкообразный поворот управ-
ляемых колес могут быть подсчитаны, так как р = г = ф = р = 0.
Следовательно,
(6.10)
£ Ч [^г + mthU(r6.V„-^)
б -£ф [¥^г + Л’е(mU-Yr)\ + ’
SS
и з____________.
6 I 3 -+ Afp(mC-y;)] + mhU(Л/дУ,-УрЯф) ’
SS
=__________WWt-W_________________
6 + .Vp(-7.1/-У )] + mhLUNgY^-YgN^ '
ss
(6.11)
137
Если производные Ур, сокращены до их основных
членов, то можно исследовать реакции автомобиля, обладающего
свободой крена относительно оси х, аналогично тому, как ис-
следуются реакции автомобиля с двумя степенями свободы.
Таким образом,
У.ч ~ аС| - ЬСГ.
Члены, учитывающие крен автомобиля, содержат коэффициен-
ты изменения угла развала и поворота колес при крене, и
представляется интересным рассмотреть влияние каждого из
этих коэффициентов отдельно. Если передние колеса остаются
вертикальными, т. е. угол развала этих колес не изменяется, и
крен влияет только на поворот задних колес вследствие изменения
кинематики задней подвески, то
Уф = berCr = — &Уф.
Тогда
PCjCr + m(72(aCf — bCr} + nh~T~ ptrCfCr
SS ^ф
что является известным выражением для автомобиля с двумя
степенями свободы с дополнительным членом в знаменателе.
Таким образом, поворот колес при крене, увеличивающий угол
увода с увеличением крена кузова, уменьшает реакцию по угловой
скорости при постоянном угле поворота управляемых колес. Авто-
мобиль с двумя степенями свободы, обладающий избыточной
поворачиваемостью, будет иметь нейтральную поворачиваемость,
если
m(aCf—bCJ егС,Сг
или
mL (bCr—aCf)
e = - --------
mJC/Crh
(6.13)
Если передние колеса наклоняются в процессе поворота авто-
мобиля, но не поворачиваются при крене, т. е.
_ dY'f <}<?;
ГЧ> — Г—7 ’
У ф = eV ф,
то
— =--------------------^22-----------------. (6.14)
fi hU*
PCfC, + mlP (aCf~bCr) + m, IC Y
ss Sp r v
138
Автомобиль с двумя степенями свободы, обладающий избыточ-
ной поворачиваемостью, будет иметь нейтральную поворачивае-
мость, если
тЬ-ЛЬС —аСЛ
V.------£2__I___f’ id 1^
Если при крене изменяется угол развала передних колес и
происходит поворот задних колес, то условием нейтральной
поворачиваемости будет
m(aCf—ЬСГ) + /Сг(е,С, + Гф) = 0.
Выше был дан анализ автомобиля, у которого при крене
изменяется угол развала передних колес и поворачиваются задние
колеса, но точно так же может быть исследован автомобиль, у ко-
торого при крене поворачиваются передние колеса и изменяется
развал задних колес.
6.5. Пример
Рассмотрим тот же пример, что и в гл. 3.
Пусть автомобиль кренится на 0,2 рад при боковом ускорении
4,5 м/с2. Определим условия, когда при а = 1,65 м устойчивость
достигается вследствие поворота задней оси при крене:
т= 149 кгс • с2/м; ms= 134 кгс • с2/м; ти= 14,9 кгс • с2/м;а+ b = 3,0 м;
/, = 345 кгс-м-с2; Л = 0,36 м; с = —0,12 м; 1Х = 72 кгс • м • с2;
Cf= —8150 кгс/рад, Сг = —8100 кгс/рад.
Коэффициент поворота задних колес
FTljn ----
fUgthCjCr
Угловая жесткость
£/а
= —1120 кгс- м/рад;
тогда
8г mln = —0,0462.
При этой величине ег полностью нейтрализуется влияние Ар,
и автомобиль будет обладать установившейся реакцией, соответ-
ствующей нейтральной поворачиваемости. Несмотря на то что это
маловероятно, представим члены, зависящие от скорости в зна-
менателе выражения реакции по угловой скорости, в виде
Ар +9000 кгс • с2/рад. Тогда реакция по угловой скорости
г I =___________UlCfCr__________
8 I = PCfCr + [(aCf—ЬСГ) + 9000] mU* ‘
ss
139
Рис 6.3. Изменение реакций автомо-
биля при учете поворота колес при
крене:
--------- автомобиль с тремя степенями
свободы; — — — автомобиль с двумн
степенями свободы
Член с U2 будет положительным при любом значении Vp
в заданных пределах изменения положения центра тяжести, и
автомобиль будет всегда иметь недостаточную поворачиваемость.
На рис. 6.3 показаны установившиеся реакции по угловой скорости
поворота на поворот управляемых колес «измененного» автомоби-
ля и первоначальные реакции; заштрихована область возможных
изменений реакций. Следует заметить, что изменение условий
нагрузки автомобиля (только водитель или полная нагрузка)
оказывает значительно меньшее влияние при повороте колес во
время крена. Приведенные упрощенные оценки не учитывают
таких факторов, как изменение характеристик шин при перерас-
пределении нагрузки или наличии тяговой силы. Расчет в данном
случае аналогичен приведенному выше расчету автомобиля с дву-
мя степенями свободы, поэтому он здесь опущен.
6.6. Устойчивость
Необходимое, но недостаточное условие устойчивости авто-
мобиля— конечная и положительная величина установившейся
реакции; это условие было рассмотрено ранее. Раскрытие опре-
делителя характеристического уравнения дает уравнение четвер-
той степени
А4№ 4- А3Х3 + А%№ + А |Х 4- До — 0, (6.16)
где
А4 = mU (1х1г~ Р*г) —m2h2UIz;
Аз = - Ур (/х/г- P2x)~mU(Nrlx + Lpfx-mshUPJ +
4- N[iPxxmsh —m^hU (PxzmU~Yr—msh!^r^
л2 = Ур (Ntfx + LpIz - m,hUP„) 4- mU (NrLp - IXLV - PJJ 4-
4- ЛГр 11— Уг— 4- mshUlгУф;
A,---Уе-
—Np (L„tnU^Yr 4- РлгУф) — mshU(N^mU—Yr 4- /УГУФ);
Ao = — Ур (ЯД 4* mJiUNJ — [LvmU— Y,—mJiUYv).
140
6.7. Приближенное решение характеристического уравнения
Рассмотрение автомобиля с двумя степенями свободы показа-
до, что упругая постоянная неустановившегося движения имеет
такую величину, как и знаменатель в выражении для установив-
шихся реакций, а демпфирующий член зависит от боковой силы
и поворачивающего момента при боковом перемещении и повороте
автомобиля относительно вертикальной оси. Распространим это
на модель с тремя степенями свободы, которая имеет свободу
перемещения в боковом направлении, свободу вращения относи-
тельно вертикальной оси и свободу крена. Уравнение движения
данной модели описывается такими членами, как произведения
инерции и параметр подрессоренных масс (tnji).
Уравнение четвертой степени устойчивости автомобиля может
быть приближенно заменено двумя квадратными уравнениями,
одно из которых описывает боковое перемещение и поворот отно-
сительно вертикальной оси, а другое — крен:
(Л ,S2 + B.S + £,) + BsS + E2) = 0.
По аналогии с моделью, имеющей две степени свободы, пусть
упругая постоянная при повороте и боковом перемещении
£( = yp?Vr + N&(mU—Yr)—
демпфирующий член
Bi — — (4Уе + mUNr}t
а при крене угловая жесткость и коэффициент демпфирования
соответственно будут
£2 — — £<₽» В% -— — Вр.
Если пренебречь произведением инерции, то уравнение
четвертой степени устойчивости автомобиля примет следующий
вид:
А4 = UIz{mlx—
Анализ уравнения движения автомобиля с двумя степенями
свободы показывает, что эквивалентным членом в нем будет
т1Лг\ следовательно, в квадратном уравнении, описывающем
крен, членом, согласующим его с уравнением для Д4, является
Отсюда получаем следующее приближенное уравнение:
\mUIJ?— (/гГ₽ + tnUNJfr + Y$Nr + Yr) ~
---=0.
Sf J [ \ m '
(6-17)
141
Если автомобиль обладает недостаточной поворачиваемостью,
то уравнение движения будет иметь два комплексных корня
с отрицательной действительной частью, характеризующих пово-
рот относительно вертикальной оси и боковое смещение, и анало-
гичную пару корней, описывающих крен. Если установившаяся
реакция указывает на избыточную поворачиваемость автомобиля,
то корни, характеризующие поворот и боковое смещение, будут
действительными и отрицательными при скоростях, меньших кри-
тической, но один из этих корней будет менять знак на положи-
тельный при скорости, для которой установившаяся реакция
становится бесконечно большой.
6.8. Решение уравнений движения
В качестве примера использования уравнений рассмотрим
поведение автомобиля, на который воздействует внезапный порыв
бокового ветра. Допустим, что управляемые колеса закреплены
при нулевом угле поворота. Е1редварительно необходимо переве-
сти аэродинамические силы и моменты из системы координат,
используемой при измерениях в аэродинамической трубе, в систе-
му, относительно которой написаны уравнения движения. Затем
решают уравнения, допуская, что приближенные корни характе-
ристического уравнения обеспечивают приемлемую точность; да-
лее применяют преобразование Лапласа.
Параметры автомобиля: т = 89,3 кгс • с2/м; ms = 79 кгс-с2/м;
а = 1,28 м; b = 0,82 м; Lp = —214 кгс • м • с/рад; е/ = 0;
d<pj/d<p = 0,07; Pxz = —3,8 кгс-м-с2; h = 0,3 м; U = 30 м/с; Iz =
= 105 кгс-м-с2; 1Х = 28 кгс-м-с2; й/ = 0,29 м; h, = 0,12 м;
Еф = —3150 кгс-м/рад; ег = 0; dq>'/dq= 0,62.
Параметры шин: С/ = —2970 кгс/рад; dY'Jd^'^ = 240 кгс/рад;
д(АТ)/да\ =79 кгс-м/рад; Сг = —4350 кгс/рад; dY'/dtp'r =
! _________________
= 400 кгс/рад; <5(ДГ)<5а|= 127 кгс • м/рад.
Величины коэффициентов уже известны. Вместо угла увода
используем скорость бокового смешения, так как опыт показал,
что результаты легче воспринимаются в величинах скорости боко-
вого смещения, угловой скорости поворота и угла крена:
Y„ = (С, + Cr) (2970 -I- 1350) /30 = —244 кгс с/(м рад);
Nv = [aCf — ЬСГ + d(AT)/да | + d(AT) Ida | ]/U = (— 1,28 2970 + 0,82 x
X 4350 + 79 + 127)/30 = — 1.47 кгс • с/рад;
Yt = (aCf—bCr) /U =(— 1,28 2970 + 0,82 • 4350) /30 =
= —8,35 кгс-с/рад,
Nf = [a2C, + b2Cr + ад (Д7) /да I — bd (AT) /да | ]/U =
142
= (—1,28s-2970—0,822-4350+ 1,28-79—0,82-127)/30 =
= —260 кгс-м-с/рад;
Уф = —sfCf—e,C, + (5Уг/бфЭ (dq; дф) +
+ (дУг/difr) (<?фг/йф) = —0—0 + 240- 0,07 + 400-0,62 = 265 кгс/рад;
N4,= — aEfCj + be,С, — (АТ)/да | — е,д(АТ)/да | +
Г г
+ a(dYf/dqd idfVf/dq>)—b(dYr/dq>r) (<?фг/дф) = 1,28-240-0,07—
—0,82-400-0,62 =—182 кгс-м/рад;
tnji = 79-0,3 = 23,7 кгс.с2.
Следует заметить, что этот автомобиль, являющийся приме-
ром современного автомобиля малого класса с задним располо-
жением двигателя, имеет заднюю независимую подвеску на
продольных рычагах и переднюю подвеску, позволяющую колесам
поворачиваться при крене. В приведенных выше расчетах были
введены члены, учитывающие при крене поворот передних колес
и изменение угла развала задних.
Аэродинамические силы и моменты измеряют посреди базы ав-
томобиля на уровне дороги. Необходимо перенести аэродина-
мические силы и моменты в систему координат, используемую
в уравнениях движения (рис. 6.4).
Коэффициенты, измеренные в аэродинамической трубе: боко-
вой силы Су = 0,045 1 /°; кренящего момента С- = 0,030 1/°;
поворачивающего момента Сф = 0,005 1/°.
Силы и моменты, измеряемые в точке О':
Yw = ±pU*ACY-,
= — рГ^Сф/;
где U— относительная скорость воздушного потока; А — попереч-
ное сечение автомобиля; А — 1,68 м2; / — база; I = 2,1 м; t — сред-
няя колея; / = 1,23 м.
При скорости бокового ветра 9 м/с и скорости автомобиля
30 м/с относительная скорость воздушного потока
С = У 302 + 9s = 31,32 м/с.
Угол между продольной осью автомобиля и направлением
потока
arctg0,3 = 16,7°.
143
Рис. 6.4. Оси координат, используемые при изучении устойчивости автомо-
биля с тремя степенями свободы и определении действующих на него
аэродинамических сил:
/ — боковой ветер, 2 — поворачивающий момент от ветра; 5 — он ля сопротивления
движению; 4 — боковая сила от ветра; 5 — перем еще ине кузова; 6 — аэродина-
мический момент относительно поперечной оси; 7 — аэродинамический кренящий
момент
Следовательно, сила и моменты относительно точки О' будут
иметь следующие значения:
У„, = —80,2 кгс;
£ш = —65,8 кгс-м:
Na, = — 18,7 кгс-м,
а относительно начала координат О и системы осей автомобиля:
N = — Na— х.Л\..
144
Таким образом.
У ----80,2 = 80,2 кгс;
L = 65,8—0,183-80,2 = 51,1 кгс-м;
N = 18,7 + 0,235-80,2 = 37,5 кгс- м.
В дальнейшем эти возмущения будут рассматриваться как
скачкообразные возмущения, действующие на автомобиль, дви-
жущийся с закрепленным рулевым управлением.
Подставив числовые значения в уравнение движения, записан-
ное в операторной форме, получим
89,3s+ 214 2687 23,7s2—265 V
1,47 105s 4-260 3,8s2 4-182 r_
23,7s 3.8s+ 711 28s2 + 2l4s + 3150 <p
80,2
37,5
51,1
1/s. (6.18)
Для характеристического уравнения используется приближен-
ное решение
0[S2 + BiS + £\) (4js2 + &2S 4" = 0,
где
At = т/г = 9370;
В1 = — (72УО + mNr) = 48 800;
£, = УХ + -У,)—ХУФ—УХ) = 59 000;
А2 = —(msft2)/fn = 21,7;
В2 = —/.. = 214;
z р
Е2 — —£ф = 3150,
Следовательно,
2,0-105 ($2 + 5,21s + 6,30) (s2 + 9,85s + 145) = 0,
откуда
s = —3,81 и —1,35 соответственно для поворота относительно
вертикальной оси и бокового перемещения;
s = —4,87 ± 10,95 i — для крена.
Напомним, что при принятии боковой скорости в качестве
параметра были введены некоторые изменения:
У0 = Ур/(7; =
Решая уравнение относительно V, получаем
80,2 2687 23,7s2—265
37,5 105s+ 260 3,8s2+182
51,1 3,8s+ 711 28s2 +2l4s + 3150
И =
2,0-105s(s + 3,8 l)(s+ 1,35) (52 + 9,855+ 145)
^p(s)/q(s). (6.19)
10 Заказ 2003
145
Обратное преобразование этого уравнения может быть осу-
ществлено при помощи следующей теоремы.
Если f(s) есть частное от деления двух полиномов p(s)/q(s),
из которых q(s) имеет высшую степень и содержит неповторяю-
щийся коэффициент (s—а), то член в F(t), соответствующий
этому коэффициенту, может быть записан в любой из двух форм:
р(с) at , \
' е и ш ср (а)е ;
<7'(с)
где <р(а) —частное от деления p(s)
исключая (s — а).
Таким образом, когда s = О,
на все коэффициенты q(s),
80,2 2687 —265
37,5 260 182
51,1 711 3150
-------------------------------------------------е1
2,0- 10s(3,8I)(l,35) (4,87 ч- 10,95г) (4,87-10,950
или Vs=o = —1,8, что соответствует установившейся реакции.
Аналогично определяются <р(а) для а = —3,81 и —1,35, что
даетср(—3,81)е~3-8И и <р(—l,35)e_|’35f.
Когда в q(s) входят комплексные множители (s = а ± Ы), то
они могут быть рассмотрены отдельно с использованием приведен-
ной выше теоремы; соответствующий этим коэффициентам член
в F(t) будет содержать действительную и мнимую части.
Следовательно,
Г(Г) = (А + Bi)ea+b^ + (A — Bi)e^>,l>1,
или
F (0 =eat [А (е1’’14- е-'6') + цВ(е,м—е~1И(],
откуда
Fit) = 2eof(A cos bt ч- В sin Ы).
(6-21)
Полное решение уравнений получается повторным применени-
ем этого метода для получения V, г и го:
V-----1,80— 1,26е-3-8 ”4- 2,82с-1-35'-г
4-e-4.87c(0,41cos 10,95/—37 sin 10,95010—;
r = 0,174—0,0545е-3-81'—0,12e-1.3S'—
—e-4-8' f (3,2 cos 10,95/— 1,7 sin 10,950 IO-3;
Ф = —0,0210—0,030e-3-81(-i-О.ОоЗе-'.35'—
—e4-87'(10cos 10,95/ + 6,9 sin 10,950 I0~3.
146
6.9. Экспериментальное исследование автомобиля
При исследовании реального автомобиля требуется измерение
боковой скорости или ускорения, угловой скорости поворота,
скорости и угла крена, угла поворота передних колес, а также
скорости поступательного движения. Для моделирования на
аналоговых машинах надо знать соответствующие моменты
инерции автомобиля, характеристики подвески и шин и ряд дру-
гих параметров. В табл. 6.1 приведены такие данные для неко-
торых автомобилей. Необходимые приборы и аппаратура для
подобных испытаний были разработаны в Высшей школе авто-
мобильных инженеров, и некоторые результаты, полученные при
помощи этой аппаратуры, приводятся в книге вместе с резуль-
татами других исследователей. Эксперименты позволяют оценить
справедливость линейной теории, описанной в этой главе.
Первые испытания относятся к определению установившихся
реакций, в частности реакции по угловой скорости поворота и углу
крена автомобиля Моррис Минор 1000. Взвешиванием автомоби-
ля в различных положениях и состояниях определяли положение
центра тяжести подрессоренных масс и всего автомобиля. Момент
инерции при крене определяли установкой подрессоренных масс
автомобиля на ножевые опоры, а момент инерции относительно
вертикальной оси — с помощью маятниковой подвески. Центр
крена передней подвески и изменение угла развала колес при
крене находили путем анализа кинематики передней подвески.
Для измерения угла поворота задних колес при крене заднюю
рессору устанавливали на испытательный стенд, на котором ее
передняя и задняя проушины были расположены так же, как на
автомобиле, и далее записывали отношение вертикального
перемещения к продольному при вертикальном нагружении
Рис. 6.5. Экспериментальные и те< ре-
тическце установившиеся реакции по
угловой скорости для различных шви
и разного давления воздуха в них
(автомобиль О. см. табл. 6.1)
Рис. 6.6. Запаздывание по вр| чешг
поворота управляемых колес относи-
тельно поворота рулевого колеса (ав-
томобиль ГЛ см. табл. 6.1);
J “ угол поворота рулевого колеса, де-
ленный на передаточное Чйсло; 2 — дей-
ствительный угол поворота управляемых
колес
10*
147
Таблица 6.1
Параметры Автомобили
я 1 1 В 1 1 с 1 1 D Е f 1 1 G* 1 Я*» /»•
М в кгс-с2/м 1 216 1 264 1 222 90 209 юз 81 64 84
Ms в кгс-с2/м . 196 236 — 78 — 75 59,5 79,5 111
База в м . 3,00 3,03 3,05 2,18 3,20 2,26 2,28 2,03 2,38 2,70
а в м . . 1х в кгс-м-с2 . 1,47 137 1,68 123 1,50 0,96 43 1,49 1,24 12,2 77 21,4 31,8
/г в кгс-м-с2 Pxz в кгс м-с2. Колея в м: 466 .5,74 I 645 86 554 112 2,50 555 105 107 8,57 49 101 214
спереди . 1,50 1,57 1 ,28 — — — — — —
сзади . . . Угловая жесткость в кгс-м/рад: 1,43 I I 1 ,57 1,27 — —“ — — — —
спереди . 3020 5600 3960 1100 — — — —, — —-
сзади . Угол поворота при крене: 1870 1 1 1590 2700 - — — — — —
спереди. 0 0,32 0,05 0 — — — — -
сзади .... Высота центра крена в м: 0,082 1 0,02 —0,07^ 0,03 0,0125 — — — —
спереди . . . . 0,038 0,025 0,078 —— -— .— — —
сзади . . 0,35 0,47 0,51 0,29 — —‘ — — —-
/1 в м dq'/dtp: 0,385 1 0,364 1 0,534 1 0,507 — —™ — — — ’—
спереди . 0,85 0,94 0,85 0 —— — — — — —
сзади . 0 ] 0 1 0 1 0 -— — — — — — —
Коэффициент демпфирования при крене Высота центра тяжести автомобиля от опорной поверхности в м . 277 1 1 27,7 — —“ 0,473 0,421 0,421 0,510
* Двигатель расположен сзади.
** Автомобиль с приводом на передние колеса.
Рис. 6 7. Экспериментальное время ре-
акции по угловой скорости автомоби-
ля малого класса и его аналоговой
модели при различном повороте колес
(автомобиль D, см. табл. 6.1):
1 — управляемый поворот: 2 — скачкооб-
разный поворот
о
Ряс. 6.8. Экспериментальное и рассчи-
танное на ЭВМ время реакции
по крену:
1 — управляемый поворот; 2 — скачкооб*
разный поворот
Рис. 6.9, Экспериментальные записи, сделанные на автомобиле при помощи
портативной аппаратуры (скорость движения 32 км/ч).
анс — соответственно скачкообразный н синусоидальный поворот рулевого колеса: 1 —
угол поворота рулевого колеса (потенциометр); 2 — угол крена (ги| cko.i1: 3 — Ejkob. в
ускорен ле (акселерометр на 1е): 4 — угловая скорость крена (гироскоп); 5 — угловая
скорость поворота (гироскоп) £ — скорость (пятое колесо): " — время
рессоры. Характеристики шин по уводу определяли на стенде
при малых скоростях качения шины по плоской поверхности.
Характеристики амортизаторов записывались на специальном
стенде. Автомобиль испытывали при недостаточной и избыточной
поворачиваемости, что достигалось путем установки соответствую-
щего давления воздуха в шинах.
При испытании устойчивого автомобиля радиус круга был
принят равным ПО м, а скорости движения 32; 48; 64 и 80 км/ч
по сухой поверхности; при избыточной поворачиваемости
автомобиля скорость движения составляла 32 и 48 км/ч. На
рис. 6.5 сравниваются теоретические и экспериментальные
реакции.
При второй серии испытаний определяли неустановившиеся
реакции автомобиля. Во время дорожных испытаний возникли
некоторые трудности при воспроизведении скачкообразного
поворота управляемых колес. Так как рулевой механизм обладает
определенной упругостью и инерцией, очевидно, что поворот руле-
вого колеса не полностью воспроизводится управляемыми
колесами. Кроме того, следует учитывать ограничение возмож-
ности водителя при повороте рулевого колеса, так что результаты
испытаний нельзя непосредственно сравнивать с результатами
расчета на вычислительных машинах при скачкообразном пово-
роте колес. Поэтому были также рассчитаны реакции автомобиля
на «прогрессивный» поворот управляемых колес, создаваемый
при помощи потенциометра, управляемого вручную. На рис. 6.6
показаны действительные повороты рулевого колеса и управляе-
мых колес при испытаниях автомобиля, а на рис. 6.7 и 6.8 приве-
дено экспериментальное и расчетное время реакции.
Другой пример применения линейной теории управляемости —
оценка теоретических и экспериментальных реакций автомобиля
Лилман Ими. После определения характеристик автомобиля и
шин автомобиль двигался с различными скоростями при синусои-
дальном и скачкообразном повороте рулевого колеса. На рис. 6.9
показана запись, полученная при помощи аппаратуры, установлен-
ной на автомобиле. На рис. 6.10 сравниваются теоретические и
экспериментальные реакции. Так как записывался угол поворота
зо- г
-зо
Рис. 6.10 Угловая скорость поворота
автомобиля при синусоидальном по-
вороте до ус, показанном на
рис. 6 9, б (цикл равен 2,5 с):
> — дейч'иител .на я угловая сьорчсть
поворота; ? — угловая скорость,, нолу*
ченная на аналоговой машине
150
рулевого колеса, то уменьшение экспериментальной реакции и
сдвиг по фазе не являются неожиданностью, поскольку влияние
рулевого механизма не учитывалось при анализе. В этом примере
для решения уравнений движения использовалась цифровая вы-
числительная машина.
6.10. Нелинейные характеристики шин
Использование нелинейных характеристик шин, представлен-
ных в виде ряда в линейной модели, расширяет сферу расчетов и
дает возможность исследовать влияние изменения угловой жест-
кости передней и задней подвесок. Определение перераспределе-
ния нагрузки производят в соответствии с линейной теорией, но
на каждой стадии расчета находят силу на шине каждого колеса
и подставляют ее в уравнения движения. При этом появляется
возможность обнаружить потерю контакта любого из колес
с дорогой. На рис. 6.11 показано, что использование измененных
Рис. 6.11. Влияние распределения угло-
вой жесткости крена между осями с Уче-
том нелинейных характеристик шин
(dZ./3gj + dUdtp 1 = const =
= —4950 кгсмфад):
I — <3i 1= 3310 кгс-м/рад; 2 — | —
-24B0 кгс м/рад; 3 — 8L dtp) - 1630 кгс-м/рал
Г
основных уравнений позволяет лучше понять влияние распреде-
ления угловой жесткости между передними и задними колесами.
Несмотря на то что в данном случае не принималось во внимание
влияние тяговой силы, ее также можно учесть в полиноме,
описывающем боковые силы шин, расширив тем самым сферу
применениярасчетов.
6.11. Наклоненная ось крена
При исследовании влияния боковых сил на управляемость
автомобиля наклоненная ось, соединяющая центры крена перед-
ней и задней подвесок, заменялась горизонтальной осью крена
[6.6]. Характеристики шин принимались линейными и учитывалась
общая угловая жесткость при крене. Маленький реактивный
двигатель, работающий на перекиси водорода, закреплялся
в любой точке автомобиля таким образом, чтобы реактивная
струя обеспечивала тяговую силу, направленную параллельно
опорной поверхности и перпендикулярно продольной плоскости
симметрии автомобиля. Результаты испытаний вместе с данными
расчета на аналоговых машинах приведены на рис. 6.12. Действие
151
Рис. 6.12. Результаты аналогового моделирования и испытаний автомобиля
(скорость движения 14 м/с; С/=—9600 кгс/рад; Ст = —10 400 кгс/рад) по
влиянию боковой силы (автомобиль В, см. табл. 6.1):
---------- аналоговая модель; — —---- автомобиль, ! — рвсп< ложен не имитатора
гетра
аэродинамических сил, независимо от формы кузова, проявляется
в основном в виде поворачивающего и крепящего моментов, созда-
ваемых этими силами.
6.12. Влияние изменений конструкции
Параметрами конструкции автомобиля, которые легче всего
изменить, являются характеристики шин по уводу, угловая
жесткость каждой из подвесок и положение их центра крена.
Характеристики шин легко изменить, изменив давление воздуха
в них или установив другие шины. Угловая жесткость может быть
повышена установкой стабилизатора или увеличением колеи
автомобиля. Для изменения положения центра крена необходимо
изменить конструкцию или положение статического равновесия
существующей подвески.
Влияние этих изменений на траекторию автомобиля изучают
с помощью аналоговых машин. За «идеальную» траекторию
принимается траектория автомобиля при времени реакции,
равном нулю. Таким образом, при скачкообразном повороте
управляемых колес автомобиль немедленно занимает положение,
соответствующее установившемуся движению при данных возму-
щениях. Действительная траектория автомобиля не будет
совпадать с идеальной вследствие конечного времени реакции
автомобиля; расхождение может быть оценено как боковое
смещение — траекторная ошибка и как разница в положении
продольной оси — курсовая ошибка (рис. 6.13).
При уменьшении сопротивления уводу шин автомобиля,
естественно, снижается собственная частота в угловом и попе-
речном направлениях, вследствие этого при повороте автомобиля
изменяется крен кузова. На рис. 6.14 показаны одинаковые
установившиеся реакции при различных углах поворота управ-
ляемых колес.
Введение нелинейных характеристик шин (рис. 6.15) требует
некоторого увеличения утла поворота колес для получения
заданного бокового ускоре-
ния, что особенно заметно при
больших боковых ускорениях.
Нелинейная характеристика
шин также увеличивает вре-
мя реакции и уменьшает
демпфирование при неустано-
вившихся реакциях (рис. 6.16
и 6.17).
При небольшом прираще-
нии (на 4%) угла поворота ко-
лес при крене в сторону \ вели-
чения недостаточной повора-
чиваемости автомобиля умень-
шается время реакции и, сле-
довательно, траекторная и
Рис. 6.13. Определение курсовой и траек-
торной ошибок (идеальна и траектория
не имеет переходного участка):
Г — курсовая ошибка; II — траекторная
ошибка
153
Рис. 6J5, Влипнпе нелинейных харак-
теристик шин на установившуюся ре-
1каию автомобиля при перераспреде-
лении нагрузки вследствие крена (ав-
томобиль С, сч табл. 6.1);
/ — задние колеса- 2 — передние колеса
Рис. 6.14. Характеристики неустановившлхся реакций и соответствмощие курсо-
вые и траекторные ошибки при скачкообразном повороте колес и скорости
96 КМ'Ч:
-----------серийный автомобиль (скачкообразный поворот на 0.5 I, — — — _ изменен-
ный автомобиль (характеристики шин составляют 4t характернотнк шин базового авто-
мобиля: скачкообразный поворот на 0,627"); .... —измененный автомобиль (харак-
теристики шнн составляют ','г характеристик шин базового автомоб“тя- угол поворота при
крене передних колес ранен 70% угла поворота базового автомобиля, задних — ti7.3fl^,
скачк;образны 7 поворот ма 1.5")
Рис. 6.17. Неустановившиеся реакции
(условия эксперимента см. на рис. 6.16),
выраженные в величинах курсовой и тра-
екторной ошибок
Рис. 6.16. Влияние нелинейных харак-
теристик шин на неустановившиеся
реакции автомобиля, движущегося со
скоростью 27 м/с, при перераспреде-
лении натру зкп вследствие крена (ав-
томобиль С, см. табл. 6.1):
Кривая Угол поворота колес в ° Уставов] вщееся Соковое ускорение в м/с*
7 0,743 1.5
2 1.566 3,0
3 2,505 4.5
4 3.636 6.0
Рис. 6.18. Траекторные ошибки, возника-
ющие из-за изменения угла поворота ко-
лес при крене (автомобиль С, см.
табл. 6.1; условия эксперимента см. на
рис. 6.16):
--------- — коэффициент поворота передних
колес при крене 0.05 и задних и,0s.-— —
коэффициент поворота передних колес при
крене 0,07 н 3 >днпх 0.1
Рис 6 J 9. Изменение установившейся
реакции автомобиля с учетом угловых
жесткостей подвесок и нелинейных
характеристик пшн:
----------— угловая жесткость передней
подвески 3960 КГС’ м.-рэд. задней 1590 кгсХ
X м/рад;--угловая жесткость
передней подвески 4750 кгс-м/рад и зад-
ней SOD кгс* м/рад; ! — задние колеса;
2 — передние колеса
Время
Рис. 6.20. Влияние увеличения угловой
жесткости передней подвески на курсо-
вую и траекторную ошибки (автомобиль
С, см. табл. 6.1; числа у кривых—уста-
новившееся боковое ускорение^;
--------- — угловая жесткость передней
годвески 3960 кгс-м/рад, задней 1590 кгсХ
X м/рад; —------- .зова я жесткост- перед-
ней подвески 4750 кгс - м/рад, задней
300 кгс м рад
Время
Рис. 6.21, Влияние увеличения рассто-
яния между осью крена и центром тя-
жести подрессоренных масс на курсо-
вую и траекторную ошибки (числа у
кривых — установившееся боковое
ускорение):
i Высота Угловая
а центра жесткость
крена в м подвески
|в кгс-м/рад
Серийный . .------<,025 0,51 3960 ^59С
Измененный--------С,025 0,46 4750 2080
I I I
Рис. 6.23. Влияние смещения центра
тяжести вперед на 0,03 и на курсо-
вую и траекторную ошибки (числа у
кривых — установившееся боковое ус-
корение)
Рис. 6.22. Влияние наклона оси крена на
курсовую и траекторную ошибки (числа
у кривых — установившееся боковое
ускорение):
Автомобиль
Высота Угловая
центра жесткость
крена в м подвески
в кгс-м'рад
Серийный . . 'о, 025| 0,5? 3960 1590
Измененный--0,1 0,4 3100 2430
I III»
курсовая ошибки (рис. 6.18).
Перераспределение нагрузки
на колеса при крене суще-
ственно влияет на реакцию ав-
томобиля, особенно при боль-
ших боковых ускорениях, что
можно установить только в
случае, когда во внимание
принимаются нелинейные ха-
рактеристики шин (рис. 6.19 и
6.20).
В случае изменения высоты оси крена за счет снижения на
50 мм центров крена передней и задней подвесок с соответствую-
щим изменением угловой жесткости, с тем чтобы сохранить
неизменными установившиеся величины угла крена и вертикаль-
ной нагрузки на колеса, получаются те же установившиеся
реакции, что и у серийного автомобиля. Однако при этом несколь-
ко увеличивается курсовая ошибка вследствие изменения инер-
ционной связи между подрессоренными и неподрессоренными
массами (рис. 6.21).
При уменьшении угла наклона оси крена с 9 до 5,7°, что легко
осуществить изменением кинематики передней подвески, сни-
жаются курсовая и траекторная ошибки (рис. 6.22). Перемещение
центра тяжести вперед также способствует уменьшению курсовой
и траекторной ошибок, особенно при больших боковых ускоре-
ниях (рис. 6.23).
157
Изменение скорости влияет на реакции автомобиля, и так как
производная демпфирования поворота автомобиля обратно про-
порциональна его поступательной скорости, то колебательный
характер изменения реакций более вероятен при высоких
скоростях.
6.13. Заключение
При создании линейной модели автомобиля, обладающей
свободой увода, крена и поворота относительно вертикальной
оси при постоянной поступательной скорости, были сделаны опре-
деленные допущения, которые не согласуются с практикой, если
не ограничить боковые ускорения величиной 3 м/с2. При неболь-
ших боковых ускорениях расчетные установившиеся реакции
совпадают с реакциями, определенными экспериментально. Прак-
тическая оценка неустановившегося поведения автомобиля
в какой-то мере ограничивается тем обстоятельством, что импульс,
поворачивающий управляемые колеса, прикладывается к эластич-
ной системе рулевого привода, что не учитывается в уравнениях
движения. Однако, несмотря на эти допущения, практические
результаты удовлетворительно совладают с теоретическими.
Главными допущениями теории являются:
1) зависимость реакции шин от углов увода, развала колес
и вертикальной нагрузки линейна;
2) крен подрессорных масс происходит вокруг оси, параллель-
ной опорной поверхности;
3) общая угловая жесткость берется без учета ее распреде-
ления между осями.
Однако отказаться от одного какого-либо допущения трудно,
так как только при одновременном учете истинного перераспре-
деления нагрузки и изменения угла развала колес можно опре-
делить динамические нагрузки на них. Вместе с тем, если не
принимать указанных допущений, то оценки, получаемые при по-
мощи модели, лучше совпадают с практическими.
Устойчивость рассматривается при малых перемещениях отно-
сительно установившегося положения, и линейная модель позво-
ляет описать устойчивость движения автомобиля с закрепленным
рулевым управлением. Эта модель, измененная путем включения
нелинейных характеристик шин и динамического перераспреде-
ления нагрузки между колесами, дает возможность изучать
поведение управляемого автомобиля или автомобиля, находяще-
гося под воздействием внешних сил, например бокового ветра или
поперечного наклона дороги, если ограничиться малыми боковыми
ускорениями. Так как элементы модели математически просты, то
можно использовать при этом аналоговые машины.
Данная модель не приемлема для исследования управляемости
автомобиля при больших боковых ускорениях.
При использовании модели с тремя степенями свободы не
рассматривается равновесие в продольном и вертикальном на-
158
Рис. 6.24. Положение центра тяжести н< которых типичных легковых и гру-
зовых автомобилей в чечагружгнном состоянии и при различных на1 руз-
ках (размеры в м):
с — легковой ььтомсбиль малого класса (вес снаряженного автомобиля €00 кгс);
о — легковой автомобиль среднего класса (1275 кгс}: е — фургон: г — грузовой ав-
томобиль: д — тягач с полуприцепом (вес тягача 3600 кгс); ft — высота расположе-
ния поворотного круга; О, Оп О2 и Оз — центры тяжести соответственно ненагру-
женного автомобиля, тягача, полуприцепа и груза; варианты нагрузки автомобилей
(в скобках указан суммарный вес в кгс): 1 — водитель (€70): 2 — водитель, пас-
сажир На переднем сиденья т< 70 кгс багажа (810); 3 — водитель, два пассажира н
70 кгс багажа (950); 4 — водитель (1345): 5 — водитель, два пассажира на переднем
сиденья н 70 кгс багажа (1555): 6 — водитель, три пассажира на заднем енденьи я
70 кгс багажа (1625); 7 — ненагруженный (2100); я, и /б — «вполовину груженый
(312CJ); /7. /2 и J3 — полностью груженый (4140); И — ненагруженный (3900); /5, 16
к 17 — наполовину груженый (7300}; JS, /S н Ж — полностью груженый (11 900),
21 — вена груженные тягач с полуприцепом (€250); 22 — наполовину груженые
тягач с полуприцепом (12 250); 23, 24 и 25 — полностью груженые тягач с полупри-
цепом (13 250)
правлениях и врашение относительно поперечной оси, в то время
как уравнения движения во всех направлениях связаны между
собой. Примером необходимости рассмотрения равновесия в вер-
тикальном направлении может служить подъем кузова при неко-
торых конструкциях подвески во время поворота автомобиля.
Связь между поворотом относительно поперечной и вертикальной
осей может быть нужна для решения некоторых проблем управ-
ляемости. Такие нелинейные элементы подвески, как ограничите-
159
ли хода, вступающие в работу при больших перемещениях, могут
быть тоже включены в анализ.
Устойчивость автомобиля с тремя степенями свободы и реак-
ции на управление в основном определяются теми же параметра-
ми, что и у автомобиля с двумя степенями свободы. Хотя поворот
и наклон колес при крене используются для стабилизации
автомобиля, они все же являются второстепенными факторами,
с помощью которых можно компенсировать перемещение центра
тяжести при различных условиях нагрузки. На рис. 6.24 показаны
положения центра тяжести ряда автомобилей в ненагруженном
состоянии и при различных нагрузках. Перемещение центра
тяжести автомобиля весом 600 кгс в ненагруженном и полностью
нагруженном состояниях составляет 0,7 м; центр тяжести нена-
груженного автомобиля весом 1277 кгс находится на расстоянии
1,46 м от задней оси, а у нагруженного — на расстоянии 1,25 м от
нее, т. е. смешается на 0.21 м. Рис. 6.24 дает некоторое представ-
ление о величине смещения центра тяжести, при котором автомо-
биль должен обладать хорошей управляемостью.
6.14. Литература
6.1. Segel L. The Responses of the Automobile to Steering Control. Proc. I.
Meeh. E. (A.D.), 1956.
6.2. Dreisziger J. L. Automobile Control — The Steady State Responses.—
A.S.A.E. Thesis, 1960—1961.
6.3 Drury A. Automobile Control — The Transient Responses.— A.S.A.E.
Thesis, 1962—1963.
6.4. Student Handling Report — A.S.A.E., 1964—1965.
6.5. Beauvais F. N., Garelis C., lacovani D. H. An Improved Analog for
Vechicle Stability Analysis.— S.A.E., 295-C.
6.6. Bundorf R. T., Pollock D. E., Harden M. C. Vechicle Handling Responses
to Aerodynamic Inputs.— S.A.E., 716-B.
6.7. Nordeen D. L. Vechicle Handling: Its Dependence Upon Vechicle Para-
meters — S.A.E. s. 405.
6.8. Rouse J. A. Distribution of Braking on Road Vechicles. Proc. I. Meeh. E.
>(A.D.), 1963.
Глава 7
МОДЕЛИРОВАНИЕ НА АНАЛОГОВЫХ МАШИНАХ
Необходимость использования вычислительных машин не
вызывает теперь сомнений, и при моделировании управляемости
автомобиля и работы подвески могут быть использованы как ана-
логовые, так и цифровые методы. Решение относительно исполь-
зования аналоговой или цифровой машины основывается, конечно,
на предыдущем опыте исследователя, занимающегося этой проб-
лемой.
Однако может быть выработана общая точка зрения исходя
из особенностей работы машины каждого типа.
Работа цифровых машин основана на принципе быстрого
выполнения множества операций сложения; например, умножение
по существу является повторяющимся сложением, интегрирова-
ние— процессом суммирования. Цифровые машины не работают
в реальном времени, но они могут делать логические выводы и ре-
зультаты расчета могут быть получены с любой точностью в пре-
делах возможностей машины.
Вычисления на аналоговых машинах заключаются в представ-
лении исследуемой системы в виде электрического аналога мате-
матической модели. Основные процессы, такие как сложение,
умножение и интегрирование, выполняются по времени, как неза-
висимой переменной, при использовании цепи сопротивление —
конленсатор. Точность вычислений ограничена вследствие конечной
точности элементов цепи, но точность машины в основном выше
точности информации, используемой в первоначальных уравнениях.
Нелинейные элементы представляют специальными блоками или
функциональными преобразователями. Аналоговые машины могут
входить как составные части в систему, включающую подлинные
механизмы или оператора.
Во многих случаях можно использовать любой из способов
(цифровой или аналоговый). Большинство приведенных выше
примеров было успешно решено на аналоговых машинах, но явление
складывания автомобиля с полуприцепом исследовалось на циф-
ровой машине. Цифровой метод для решения этой проблемы был
выбран из-за большого количества нелинейных элементов, необ-
ходимых для воспроизведения характеристик шин и трения
в сцепном устройстве. Поэтому, несмотря на большое время рас-
четов (60 мин), соответствующее 5 с действительного времени,
общее время, включающее написание и проверку программы для
цифровой машины и расчеты на ней, меньше времени, необходимо-
1 1 Заказ 2003
161
го для установки специальных нелинейных блоков при аналоговом
моделировании.
Оба способа не могут рассматриваться как взаимно исклю-
чающие друг друга, применение каждого из них зависит от
характера решаемой проблемы. Если в конкретном случае
необходимая информация может быть получена из рассмотрения
условий устойчивости, то достаточно решить характеристическое
уравнение, что можно сделать на цифровой машине; если иссле-
дуется влияние изменения конструкции, то оптимальное решение
легко найти при помощи аналогового метода.
7.1. Структурные схемы
В качестве примера для моделирования используем подрес-
соренную массу с одной степенью свободы:
тх + сх + kx = ft. (7.1)
Преобразуем это уравнение так, чтобы изолировать высшую
производную х; тогда
х = — (с/т}х— (k/m)x + ft/m. (7.2)
Допустим, что какими-то средствами можно выполнить
интегрирование и сложение (показано квадратами на рис. 7.1)
и умножение на постоянную (показано кружком). Тогда стано-
вятся понятными шаги на рис. 7.1. Эти шаги приводят к струк-
турной схеме или машинному уравнению.
Если переменных больше одной, то создают отдельные
структурные схемы для каждой переменной, соединяемые между
собой так, как этого требуют уравнения.
7.2. Работа машины
Основным элементом аналоговой вычислительной маши-
ны (АВМ) является усилитель постоянного тока с большим коэф-
фициентом усиления, равным 107, при очень низкой частоте, 104 —
при частоте 50 Гц и 102-—при частоте 1000 Гц. Обозначение, ис-
пользуемое для усилителя,— треугольник О, одна из вершин
которого указывает направление тока. Усилитель работает как
стабилизирующее звено цепи, в которую он включен. Так как ток,
входящий в усилитель, чрезвычайно мал, им пренебрегаем при
анализе работы машины. Основой этого анализа является закон
Кирхгоффа:
1) в замкнутой цепи алгебраическая сумма з. д. с. равна сумме
падений напряжений;
2) алгебраическая сумма токов в узле равна нулю.
Суммирующий блок. Суммирующий блок — это усилитель
с входным резистором соединенным с резистором обратной
162
Рис. 7.1. Структурная схема:
Шаг / — имеется сигнал ускорения;
шаг 2 — интегрирование с изменени-
ем знака дает — х: шаг 5 — второе
интегрирование с Изменением знака
дает дс; шаг 4 — умножение х на
коэффициент fc/m, шаг 5 — умножение
х на коэффициент с/m; шаг 5 — ум-
ея
ноженве-------* нз —I (знакомит с
m
важным принципом обратной саизн);
„ ex fcx
шаг 7 — сложение —------- н ---- в
пт m
суммирующем (и меняющем знак)
блоке; величины внешних сил прибав-
ляются на этой стадии; шаг fi —- sa-
мыкание цепи
Рис. 7.2. Суммирующие
блоки
Рис. 7 3. Интегрирующий
блок
11*
связи Rf (рис. 7.2, а). Применив второй закон Кирхгоффа для
точки А, получим
Л + IF ~ + ^'o/^F =0
или
vo=
Если используется несколько входов, каждый с отдельным
входным сопротивлением, как показано на рис. 7.2, б, то
Vo= -(RF/R^-tRF/RzW?... (7.3)
Эта схема позволяет, таким образом, складывать отдельные
напряжения с соответствующим усилением, равным RF/R-
Интегратор. Интегратор — это усилитель с входным резистором
R и емкостью обратной связи С (рис. 7.3). Для емкости степень
изменения заряда Q равна проходящему току /, и так как Q =
= CV, то / = CdVjdt. Следовательно, применяя второй закон
Кирхгоффа для точки А, можно написать
Vi/R+CdVo/dt = O.
откуда
t
Когда R в мегаомах и С в микрофарадах, произведение CR
(время разряда емкости С через резистор R) известно как посто-
янная времени (в секундах).
Блок коэффициентов. Для изменения входа на постоянную ве-
личину, меньшую 1, используют заземленный с одного конца
потенциометр, понижающий напряжение Е\ до kV\ (k < 1)
(рис. 7.4). Если потенциометр не заземлен с одного конца и
напряжение, подаваемое на этот конец, равно Кг,то
V7o = fe(Vj-V2) +V2
или
Vслоёное ойознине/ше
Рис. 7.4. Блок коэффициентов
164
Другие блоки. Описанные выше три
блока являются основными в аналоговой
машине. Однако возможна и дальнейшая
специализация операций, например умно-
жение или деление двух переменных друг
на друга. Для нелинейных функций целе-
сообразно применение специальных встав-
Рнс. 7.5. Блок дифферен-
цирования
ных блоков. Существуют также средства
для дифференцирования, но их следует не-
возможности избегать, так как при этом вносится большая погреш-
ность.
Блок дифференцирования. На рис. 7.5 показана основная цепь,
для которой второй закон Кирхгоффа, примененный к точке А,
дает
откуда
CdV1/df + Vo/^=O.
Vo= — CRdVJdt.
Однако такую цепь применять не следует, так как в ней уси-
ление увеличивается с частотой и обратная связь не обеспечивает
стабильности.
7.3. Точность
В основном точность системы зависит от статической точности
емкости и резистора и усиления в цепи усилителя. Рассмотрим
полное сопротивление цепи (рис.
выключателем 5ц и выключенным
нее, что усиление при разомкну-
той цепи Vo/Eg = —а). Напишем
отношение напряжений резуль-
тирующей цепи потенциомет-
ра — усиление обратной связи
Разделив это’ отношение на
Eg, получим суммарное усиление
У = £(/£g= — aZj/(Zf +ZJ. (7.4)
7.6) сначала с включенным
выключателем S2 (зная зара-
Рнс. 7 6. Схема для оценки точности
аналоговой системы
Далее, включив S2 и выключив применим второй закон
Кирхгоффа (сумма токов на входе):
(Г, - £е) & + (Vo- £е) /Zf = 0.
После подстановки значения ££и упрощения получим
V0[l/Zf + (1/а) (i/ZF + 1/Zj)] + Vj/Z, = 0.
Подставив выражение (7.4), можем написать
vo/v, =-Zr/Z, -L-\ (7.5)
165
Усиление Y должно быть большим, если принять, что расчет-
ное соотношение
Vo = - (ZW$)V|
является точным.
Если, например, требуемая нормальная точность аналоговой
машины составляет 0,1% при данной частоте, то усиление Y дол-
жно быть по крайней мере 103. При а= 104 Z1(ZF+ ZY) = 0,1.
Таким образом, если у системы несколько входов, каждый со-
противлением 1 МОм, и сопротивление обратной связи имеет тот
же порядок, то -может быть использовано только девять входов
(т. е. ZF— 9Zi). Точность всего модуля оборудования, состоящего
из этих элементов, будет равна примерно ±5°/о-
Поскольку аналоговая вычислительная машина является
электронной, входное напряжение различных блоков строго
ограничено. Подбор возможных напряжений для реальных вели-
чин известен как процесс масштабирования. Аналоговую модель
следует рассматривать только применительно к конкретной кон-
струкции АВМ.. В некоторых машинах максимальное напряжение
равно ±100 В, тогда как у других только ±10 В. Это не значит,
что одна машина лучше другой, так как выход во всех случаях
может быть согласован с записывающим устройством. При этом,
однако, получаются разные масштабы для различных машин, хотя
принципы масштабирования остаются одинаковыми. В разделе,
в котором описана работа машины, не упоминалось о возможных
величинах сопротивлений и емкостей. Обычно имеется ряд кон-
кретных величин. Например, в машине EMIACII резисторы и
емкости встроены в панель набора уравнений и соединяются в
процессе монтажа схемы. Типичные величины, устанавливаемые
в блоках суммирования и интегрирования, приведены на рис. 7.7.
В основном применяется два метода масштабирования.
В одном случае максимальное напряжение машины принимается
равным единице (так называемая машинная единица), в другом
используется действителньое напряжение АВМ. Далее будет при-
менен второй метод.
Рис. 7 7 Типичные величины, устанавливаемые в блоках
суммирования к интегрирования
166
Теперь в уравнение (7.2) можно подставить числовые значения
для простой системы подрессоренной массы с демпфированием.
Рассмотрим такую систему при различных коэффициентах
демпфирования и первоначальном перемещении, равном статиче-
скому прогибу. Примем т = 7,5 кгс • с2/м; k = 450 кгс/м; С =
= 90 — 0 кгс • с/м.
7.4. Масштабы
Масштабные коэффициенты и собственную частоту можно рас-
считать, используя постоянную времени, взятую из таблицы частот
собственных колебаний физической системы.
Угловая частота системы р без демпфирования и статический
прогиб 6 определяются по формулам
р = I fe/m =- V 60 = 7,75;
6max = 73/450 0,16 м.
Если демпфирование отсутствует, то скорость и ускорение при
свободных колебаниях связаны между собой зависимостями
/^гпах/ = Р^тах^ ’ (^гпах/ = Р fornaxi-
При масштабировании удобно пользоваться следующими
величинами:
Ках1 = 0,16 м;
KJ = 0,16/60 = 1,25 м/с;
|xmJ =0,16-60 = 9,6 м/с2.
Пусть выход АВМ без перегрузки будет ± 100 В. Это напряже-
ние должно представлять максимальные перемещения, скорость и
ускорение в соответствующих точках машины. Рассмотрим про-
цесс интегрирования. Пусть х, х, их — физические величины
(перемещение, скорость и ускорение), а X, X и X — электрические
напряжения, соответствующие этим величинам.
Получаем масштабные коэффициенты (м. к.):
х = где ИЛ = м. К. для перемещения (В/м);
х = Х''А^, где Л^=м. к. для скорости (В-с/м);
х = Х/Ах, где Ах = м. к. для ускорения (В-с2/м).
В рассматриваемой системе х и х связаны выражением
t
xj =xdt.
о
167
Подставив электрические значения х и х, получим
Х7ДЛ= f (X Л-WL
й
Для цепи сопротивление — емкость можно записать
Vo----±- (г,Л.
о
Равенство этих двух выражений возможно при Vo = X и
V’i = А'; тогда
—CR = AX!AX.
Таким образом, постоянная времени интегратора есть отноше-
ние масштабов напряжений рассматриваемых физических
величин, например
______ масштаб напряжения для скорости
х масштаб напряжения для перемещения
и,аналогично,
CR
масштаб напряжения для ускорения
масштаб напряжения Д1я скорости
Возвращаясь к физическим единицам перемещения скорости
и ускорения, имеем
.максимальная скорость максимальное ускорение
максимальное перемещение максимальная скорость
Одинаковое максимальное напряжение
максимальные перемещения, скорость и
тельно,
100 В представляет
ускорение; следова-
напряжение , д _ напряжение д
перемещение * скорость
напряжение
ускорение
Тогда
перемещение скорость
Ах /А v - 1/р = Л- =------*------
скорость л ускорение
С/?=1/р; CR=l/p.
х-*х Х^х
Постоянная времени интегратора в идеальном случае равна
обратной величине частоты собственных колебаний физической
системы. Так как можно получить только определенные дискрет-
ные величины CR, то из этого следует, что действительная по-
168
стоянная времени интегратора должна приближаться к идеальной
величине. В настоящем примере требуемая постоянная времени
CR = 1/1/60-0,129,
ближайшей величиной меньше ее будет
CR = 0,1.
Сравнение идеального масштаба с действительным, опре-
деляемым конструкцией машины, приведено в табл. 7.1.
Таблица 7.1
Физические величины Идеальный масштаб Действительный масштаб
0,16 м 100 0,16 -= 625 В м 500 В/:м
100 = 80 В-с/м 50 В с |'м
i,ZJ м/с 1,25
100 10 4 R.r2/\f 5 В-с2/м
9.6
Эти практические величины будут использоваться при введении
электрических уравнений, являющихся аналогами уравнений
физической системы.
7.5. Введение уравнений
После нахождения действительного масштаба напряжений
следующий шаг — создание электрических уравнений, являющих-
ся аналогами уравнений физической системы. Подставив числовые
значения,получим
х = — 12х—60х. (7.6)
Введя соответствующие напряжения, можем написать
х = Х/А/, х = Х/Л; ; х = X !А. ;
Х/А, = — 12Х]А ; — 60Х/Л,
или
Х = — 1,2Х—0.6Х.
(7-7)
Это уравнение полностью описывает физическую систему,
когда оно набрано на аналоговой машине с постоянной времени
интегратора 0.1 с. Схема машинного уравнения изображена
на рис. 7.8.
169
Рис 78. Подробная <же-
ма вычислительных бло-
ков для моделирования
системы с одной сте-
пенью свободы, состоя-
щей из масс!', пружин и
демпфера
Два суммирующих усилителя перед интегратором дают воз-
можность подавать положительный или отрицательный сигнал
в первый интегратор. На начальной стадии предпочтительно ис-
пользовать только по одному входу в каждый интегратор. Цепь
обратной связи обычно содержит нечетное число усилителей (т. е.
X находится в цепи с тремя усилителями). Коэффициент I, 2 при
X в уравнении получается установкой потенциометра на величину
0,6 (меньше единицы) и увеличением в 2 раза выхода в сумми-
рующем усилителе. Предпочтительна установка потенциометра
в положение, близкое к среднему. Начальные условия (н. у.)
получаются созданием в соответствующем блоке требуемого на-
пряжения для интегратора (X—>-Х).Это напряжение включается
автоматически, когда управление машиной переводится в поло-
жение «расчет».
7.6. Внешние возмущения
Когда на систему действует внешняя сила и физические урав-
нения содержат такие члены, как F sin со/, метод масштабирова-
ния по максимальному статическому перемещению системы может
привести к перегрузке АВМ.. В этом случае используется макси-
мальная внешняя сила.
Пусть максимальная прикладываемая сила, величина которой
меняется синусоидально с переменной частотой, равна 45 кгс.
Перемещение физической системы под действием постоянной силы
45 кгс 6 = 45/450 = 0,1 м.
Если система не имеет демпфера, усиливающий коэффициент
при резонансе равен бесконечности, но если наблюдается некото-
рое демпфирование, то получается ограниченный резонанс.
Пусть минимальный коэффициент демпфирования равен
15 кгс • с/м.
Уравнениесистемы:
тх -F сх + kx — F sin at
к
2n = с I tn; = f = F/m.
Решение этого уравнения имеет вид
х = A sin + В cos шг.
170
Подстановка значений х дает выражения для А и В, вектор-
ная сумма которых равна амплитуде колебаний. Следовательно,
Q = f!V {р2 — <а2)2 +
Величина Q будет максимальной, когда знаменатель имеет
минимальное значение. Дифференцируя знаменатель и приравни-
вая его нулю, получим
^ax = P3-2n£-
Подставив числовые значения, находим
Qmax = максимальная амплитуда = 0,39 м.
Следовательно, масштаб перемещения, необходимый для пре-
дотвращения перегрузки,
Аг = 100/0,39 = 257 В/м (принимаем 250).
Величины Ах и Ах определяют так же, как было показано
ранее. Хорошие результаты дает использование соотношений
между перемещениями, скоростью и ускорением в системе без
демпфирования. Усиление интегратора остается прежним. Урав-
нение напряжений будет иметь вид
X = — 1,2Х—0,6Х+ 6,8 sin соС
Рнс 7 9. Типичные результаты
полученные при помощи схемы,
показанной на рис 7 S
а — перемещение, скорость и ус-
корение» записанные на выходе нз
машины для свободных дечпфнро
ванных колебаний б — влияние
изменения коэффициента демп-
фирования на свободные колей л
ння; а “ частотная характерястн
на системы с одной степенью сво
боды. J — критический Коэффицн
ент Демпфировании. 2 — нормаль
ное демпфирование 3 — 1 и при
тнческого коэффициента демпфн
родання
171
Машинные уравнения получаем так же, как и в предыдущем
примере, исключая импульс 68 sin со/, который подается от
осциллятора, часто внешнего. На рис. 7.9 показаны свободные
колебания системы с различными коэффициентами демпфирова-
ния вместе с графиками установившейся реакции. Следует отме-
тить увеличение динамического коэффициента усиления при
резонансе, когда коэффициент демпфирования уменьшен до ниж-
него предела (демпфирование всегда имеется в реальной
системе).
7.7. Запись
Напряжения, представляющие физическую систему, могут
регистрироваться катодно-лучевым осциллографом, самописцем,
шлейфовыми осциллографами (фотографическими или ультра-
фиолетовыми) и двухкоординатными самописцами.
Исключая катодно-лучевой осциллограф, все остальные
приборы имеют верхний предел частоты, при котором может
производиться запись. Обычно максимальная скорость записи
двухкоординатного самописца менее 500 мм/с.
Часто применяют масштаб времени для изменения уравнения
таким образом, чтобы сигнал соответствовал характеристикам
регистрирующего прибора.
Рассмотрим переменную Т = т7, подставленную вместо
истинного времени. Тогда
dX/dt = d.X/d(T/i) = xdXldT
d^XjdP = d2X/d(7/T)2 =
Постоянные времени интегрирования, связанные с новой пере-
менной, получаются следующим путем:
t Т т
х -- ( xdt = | х:/(Т/т);
о й
следовательно,
Л/Лт= p4M;)d(r/T),
| Vidt,
и по второму закону Кирхгоффа, примененному к цепи интегра-
тора, имеем
—С/? = т.4;/Л,.
172
7.8. Пример
Чтобы уменьшить частоту в 10 раз. постоянную времени
интегрирования увеличивают также в 10 раз. В предыдущем
примере угловая частота уменьшается с 7.75 до 0.775 Гц
увеличивается с 0,813 до 8,13 с) при замене в каждом интеграторе
постоянной времени CR — 0,1 на CR = 1.
Проверка уравнений показывает, что изменение постоянной
времени не влияет на сопротивление потенциометров п усиление
суммирующих блоков. Таким же образом можно использовать
время t для переменной х в уравнении
d£y[dx£ + Adyidx + By = 0.
7.9. Две степени свободы
Система имеет п степеней свободы, если необходимо п не-
зависимых переменных координат для определения ее положения.
В этом контексте термин «координата» используется в более об-
щем значении, чем в геометрии, посколь-
ку разные координаты отсчитывают вдоль
одной и той же оси.
Этот раздел посвяшен описанию про-
цесса моделирования системы с двумя
степенями свободы на аналоговой ма-
шине.
На рис. 7.10 изображена двухмассо-
вая система с двумя пружинами и дем-
пфером, на которую действует внешнее
возмущение. Такую систему можно рас-
сматривать как простейшую модель си-
стемы подвески автомобиля, включая
шину.
Уравнения движения двух масс:
Рис. 7 10. Упрошенная схе-
ма двухмлсеовои системы,
представляющей подвеску и
шит
mtx = — kt (х—у)—С(х—уУ
т2у = fej (х—у) + С{х~у) —йг(#—Н sin at). (7.8)
7.10. Масштабирование
Полное решение уравнений вынужденных колебаний описан-
ной выше системы может быть получено математическими
методами. Однако смысл этого примера в том, чтобы показать
логический и простой подход к масштабированию системы со мно-
гими степенями свободы для использования АВМ.
Пусть Ш1 = 30 кгс-с2/м; т2 = 4,5 кгс • с2/м; С = 375 кгс-с/м;
ft, = 1800 кгс/м; ft2 = 7500 кгс/м.
Каждую массу рассматриваем изолированно от всех остальных
173
масс (в данном примере —от другой массы), находящихся в покое.
В этом состоянии рассчитываем частоту собственных колебаний и
перемещения при резонансе.
Рассмотрим главную массу
Собственная частота
p = \f k[m=\ 1800 30 = 7,75 Гц.
Следовательно, идеальная постоянная времени интегратора
\‘р= 1/7,75, но практически постоянная времени равна 0,1
(R = 0,1 МОм, С = 1 мкФ).
29^ кгс
Статическая деформация = ----------- = 0,163 м.
1800 кгс/л
Поймем максимальное перемещение при резонансе равным
0,4 м; тогда
д. = 0,1 = 25 В с/м;
х 0.4
Л--= —О.Р = 2,5 В-с^м.
* 0,4 '
Рассмотрим малую массу т2. Она колеблется между двумя
пружинами и
+ , / 69300 .г-кг
р = | = I f ------= 45,5 Гц.
’ J т, | 4,5
Идеальная постоянная времени интегратора \[р — 1/45,5 =
= 0,022, а практическая постоянная времени равна 0,02 (/? =
= 0,2 МОм, С = 0,1 мкФ). Статическая деформация малой массы
обусловлена действием обеих масс на пружину Л2:
„ , 34,5-9,81 338 пп..
Статическая деформация = — ------------------ 0,045 м.
К 7500 7500
Примем максимальное перемещение равным 0,2 м (шина
в системе подвески будет отрываться от дороги при перемеще-
ниях, значительно меньших, чем это). Следовательно,
Д„= —= 500 В/м;
9 0,2
А- =^™-0,02= 10 В-с/м;
у 0,2
А — 0,02^ = 0,2В-са/м.
у 0.2
174
Машинные уравнения всей системы, таким образом, будут:
30* = — 1800 (—--—— 375 f—--— У
2,5 \ 250 500 ' \ 25 10 J
4-5р.= 1800 ( —--—А + 375 (—---
0,2 250 500 ) \ 25
---L-7500 (У— Н sin со/)
или
Х = —0,3(2Х—У) — 0,625 (2Х—5У)
У = 0,16(2Х—У) +0,333(2Х—5У1~ 0,67 (У—Я sin го/). (7-9>
Рис. 7J1. Машинные уравнения, полученные разным^ спо-
собами:
а — суммированием членов с Л\ У и X -Ь Е {получение (X — V н
т. д. удобно при уравнении с (—У}]'» б — с использованием от-
дельных потенциометров Для каждого члена
175
Величины, заключенные в скобках, будут образовываться
суммирующими усилителями, и, так как возможные усиления
в них равны 1; 2; 5 и 10, в отношении потенциометров экономичнее
складывать (2Х — У), чем (X — 0,5 У). Аналогично, (2Х — 5У)
предпочтительнее, чем (0,1 X—0,25 У). На рис. 7.11 показано два
варианта машинных уравнений.
7.11. Диодные устройства
Во многих случаях при решении инженерных задач создание
приемлемой математической модели затруднено из-за наличия
в физической системе трения, внезапного изменения параметров,
зазора и т. п. При моделировании системы такого типа примене-
ние аналоговых машин особенно полезно, так как при помощи
диодных устройств может быть изучено действительное поведение
системы без необходимости ее упрощения до такой степени, чтобы
проблема имела известное математическое решение.
Диоды, используемые в современных АВМ, обычно являются
полупроводниками, пропускающими ток только в одном направ-
лении. Их работа аналогична работе клапана, который пропускает
поток только в одном направлении. В приведенных выше цепях
диод используется как устройство, включающее ток, в котором
положение выключателя зависит от напряжения на диоде.
Трение — наиболее часто встречающаяся нелинейность. Из-
вестен ряд схем, более или менее точно учитывающих трение.
На рис. 7.12 показана простая цепь, которая поддерживает при-
мерно постоянное напряжение на выходе, знак которого зависит
от знака напряжения на входе. На практике эта цепь может быть
неустойчива, если входное напряжение колеблется около нулевых
значений. Для обеспечения устойчивости может быть установлена
маленькая емкость (1 пФ), что показано штриховой линией
на рис. 7.12. Рассмотренная ранее система с двумя степенями
1008
Рас. 7 12. Релейная цепь —модель простого трення
176
Pile. 7.13. Реленнын блок,
соединенный с системой,
имеющей две степени
свободы
Рис. 7.14, Полупериодный выпрямитель для моделирования
12 Заказ 2003
•woe
Ряс. 7.16. Цепь с регулируемым ограничением
Рис. ;.1/. Моделирование
периодических возмуще-
ний:
I — требуемый профиль по-
верхностк; 2 — генератор
синусоидальной функции:
Л — ограничитель; 4 —
выход нз ограничителя
Рис. 7.18. Схема для получения абсолютных величин
свободы является удобной для применения простой цепи трения:
гщх^—kt(x—у)—С(х—у)—F',
+ С(х~у) ~k2(y^ft) + F, (7.10)
где F зависит от знака относительной скорости между двумя
телами.
Уравнение может быть записано в другом виде:
mtx = — (х—у) — С(X—у) — F(х—у) /1 х—у ];
m2i/ = ^(x—у) +С(х—у)— k2(y— ft) + F(x— у |.
Дополнительные члены в машинном уравнении:
X=...-F(4T/mi)(± 1);
У=...+F(.^/m2(± 1). (7.11)
Элемент симметричной релейной характеристики добавляем
в первоначальную схему уравнений (см. рис. 7.12) после сумми-
рования относительных скоростей масс. Устройство содержит
усилитель и, следовательно, происходит изменение знаков. Выход
из него соединен через потенциометр с дополнительными сум-
маторами, учитывающими линейное демпфирование (рис. 7.13).
Полупериодный выпрямитель пригоден для имитации верти-
кальной жесткости шины или других компонентов, которые могут
изменяться только в одном направлении. Заметим, что при
напряжении — е, равном нулю, мертвая зона отсутствует
(рис. 7.14). Зазор или мертвая зона могут быть получены при
помощи схемы, показанной на рис. 7.15.
Ограничивающее устройство, показанное на рис. 7.16, является
первым звеном в имитации работы шины в условиях каче-
ния с уводом и дает возможность ограничить область постоян-
ного соотношения между боковой силой и углом увода определен-
ной величиной. Другое применение этого устройства — изменение
входного сигнала на АВМ. Предположим, что возмущения, дей-
ствующие на шину от дороги, имеют форму, изображенную
на рис. 7.17. Генератор синусоидальных колебаний соединяется
с ограничителем, и выход из них подается на сумматор.
На выходе из сумматора получается требуемая возбуждающая
функция. Заметим, что при графическом описании ограничиваю-
щей схемы используются условные обозначения. Это значительно
проще, чем воспроизведение действительной цепи усилителя.
На рис. 7.18 представлена схема для получения абсолютных
величин.
7.12. Диодный функциональный преобразователь
Собирая цепь с диодами и резисторами, включающую усили-
тель, можно получить кусочно-линейное приближение любой
функции.
12*
179
Обычно большинство непрерывных кривых можно представить
таким образом, хотя кривые с резким изменением наклона,
острыми выступами и разрывами воспроизводить весьма трудно.
Пружина подвески с переменной возрастающей жесткостью яв-
ляется типичным примером, когда применяется техника воспро-
изведения кривой, наклон которой возрастает по мере увеличения
данного параметра. Для функции этого типа необходимо, чтобы
усиление усилителя возрастало с повышением входного напряже-
ния, для чего на входе в него устанавливается ряд диодов.
Типичная кривая характеристики подвески и заменяющая ее
ломаная приведены на рис. 7.19. Следует заметить, что точки
изменения наклона прямых отрезков не обязательно должны
лежать на кривой. Начальный наклон характеризуется отноше-
нием Rf/Ri-
По мере увеличения положительного входного напряжения
диодный выключатель, управляемый напряжением — 100 В, сра-
батывает при напряжении а', в результате чего цепь будет иметь
усиление (Rf/Ri + Rf/Rs)-
Уменьшение напряжения на входе ниже а дает возможность
работать цепи при Rf/Ri + Rf/Rs- Увеличив число цепей, меняю-
щих наклон кривой, последнюю можно заменить ломаной.
Во многих случаях напряжения точек излома определяются в са-
мом функциональном преобразователе, что упрощает построение
кривой.
Масштабирование системы хорошо иллюстрируется на приме-
ре ранее показанной системы с двумя степенями свободы:
—/(г) (х—у) + .. . ; |
1Щу = {(г)(х—у} 4- ... . |
(7.12)
Теперь определим соотношение между силой и напряжением
для f(z) так, чтобы допустимое напряжение в машине соответ-
ствовало максимальной силе, создаваемой пружиной.
При деформации пружины, равной 0,4 м, создается сила
в 720 кгс.
Так как это максимальные величины силы и деформа-
ции, которые могут возникнуть в системе, то приемлемыми
масштабными коэффициентами для силы и деформации пружины
будут:
по вертикальной шкале ЛЛ(г) = 1/10 В/кгс;
по горизонтальной шкале Az = 250 В/м.
Выход из функционального преобразователя можно рассмат-
ривать эквивалентным выходу из потенциометра, который, также
меняет знак прикладываемого напряжения.
Необходимо преобразовать машинные уравнения, с тем чтобы
убедиться, что вход в функциональный преобразователь соот-
ветствует шкалам перемещений для х и у.
180
Рис. 7.19. Несколько цепей с мертвой зоной совместно с основным
усилителем, обеспечивающих характеристику, приемлемую для описа-
ния пружины с нелинейной характеристикой
Машинные уравнения имеют вид
X = - {4»//«!)[Г(г) И/(г)][(Х/Лл) - (УМл.)];
У = (.^./т2)[Г(н)МГ(г1П|ХМх) - (У/Л„)].
181
Рис. 7.20 Применение функционального преобразоватегя
для моделирования пружины с нелинейно возрастающей
жесткостью
Подставив числовые значения, получим
Х =---£И_(Х—0,5Г);
300
У = ^^Г(2)(Х-0,5У).
Сравнивая системы уравнений (7.13) и (7.9) можно заметить,
что при f(z) = 720 кгс и F(z) = 72 В обе системы уравнений
идентичны.
На рис. 7.20 показана принципиальная структурная схема
машинных уравнений (7.13). Для характеристик, у которых
уменьшается наклон с увеличением входного сигнала, необходима
диодная цепь в обратной связи усилителя. Зависимость между
боковой силой и углом увода шины является типичной характери-
стикой такого вида. На рис. 7.21, а показано приближение с двумя
углами наклона, полученное путем развития простой ограничиваю-
щей схемы. Эта функция может быть воспроизведена также путем
применения цепи с мертвой зоной и подвода выходного и входного
напряжений к регулируемому ограничителю (рис. 7.21,6). При
увеличении числа диодных выключателей в цепи точность вос-
произведения функции возрастает.
Число возможных схем с использованием диодов велико, и их
комбинации могут удовлетворить различные требования при
моделировании. На рис. 7.12—7.21, на которых изображены раз-
личные схемы, отсечка, производимая диодом, считалась полной,
т. е. сопротивление диода после выключения принималось равным
бесконечности. Практически отсечка происходит не мгновенно, и
сопротивление диода после его выключения, хотя и велико, но не
бесконечно. Следовательно, кривая, характеризующая выход,
будет иметь скругление в точке перелома и выход будет немного
возрастать с увеличением напряжения.
182
(7-13)
Рис. 7.21. Метод получения кусочной функции, пригодной для простого ошь
ссшия завпснмоспг между боковой силой и углом увода шины.
д — цепь с одним усилителем для смягчения характеристики со срезом при за данной
величине выхода; б — цепь с двумя уснлителячи для смягчения характеристики; Л— ог-
раничение выхода, / — мертвая зона, 2 — ограничитель
7.13. Дифференциальные уравнения в частных производных
Дифференциальные уравнения с частными производными
могут быть приведены к машинному виду. Один из методов полу-
чения решения основан на приближении в конечных разностях.
Рассмотрим кривую с ординатами yn-i, уп и Уп+\. при х — т.
х, х + т соответственно (рис. 7.22).
Средний наклон между (х —т) их
“Г = (#п—
£7 .Г |
х—т/2
183
Рис. 7.22. Вывод уравнений
в конечных разностях
и средний наклон между хи (х + т)
-Vе =(Уп+1—Уп)Д.
дх
х+Г'2
Для второй производной рассмот-
рим интервал от х — т/2 до х + т/2:
Следовательно,
—-^-1 = --(</«+1—%Уп + Уп-l)-
ох* [ т
X
Типичным уравнением в частных
производных второго порядка
гиваемой силой Т:
является уравнение струны, растя-
д!и _ р &У
дх* Т д? ’
где р — масса единицы длины струны.
В точке на расстоянии х от одного конца струны сила от
натяжения любого элемента при малых перемещениях равна
растягивающей силе, помноженной на степень изменения наклона:
Т(д2у/дх2) .Эта сила уравновешивается силой инерции p(d2yldt2).
Пусть I — общая длина струны и пусть она будет разделена на N
отрезков. Для каждого отрезка интервал уравнения в конечных
разностях
Примем граничные условия такими, чтобы оба конца струны
имели нулевую деформацию, т. е.
Уо = Ук = 0.
Выразив через конечные разности вместо
д2у!дх2 = -^(уп+ i—2yn + Уп-1)
рт=
и подставив
т = Ж
получим
d2y!dt2
—г~(Уп+1 — 2ук + ).
рГ-
184
Рис. 7,23. Получение ма-
шинных уравнений для
уравнений в частных
производных
Для первого отрезка (n = 1)
д2у/дР = ^-(у2 —2г/0;
р/2
для второго отрезка (п = 2)
д2у!дР =-^-(ys—2«г + гц);
для третьего отрезка (п = 3)
д3у/дР = 2 № + №);
для предпоследнего отрезка (п = N — 1)
д2у]д? = 2yN_t + r/.v_2),
p/-:
где
y.v — 0,
и для последнего отрезка (п — N)
d2y!dt2 = ——(yN+ t 2//д, + yN}).
Таким образом, обычные дифференциальные уравнения для
каждого конкретного участка вдоль струны заменяют дифферен-
циальными уравнениями в частных производных. Начальные
условия, например перемещение и скорость середины струны, соз-
даются соответствующей цепью (рис. 7.23).
Глава 8
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ МОДЕЛЕЙ
АВТОМОБИЛЕЙ НА АНАЛОГОВЫХ МАШИНАХ
Исследование автомобиля с помощью аналоговых машин
особенно удобно при изучении влияния изменения параметров
конструкции. При этом создается простая модель с двумя или
тремя степенями свободы и этой линейной модели сообщается
скачкообразное возмущение от поворота управляемых колес или
бокового ветра, так что результаты, полученные на выходе АВМ,
могут непосредственно сравниваться с результатами аналитиче-
ского решения. После получения удовлетворительных результатов
моделирования могут быть вызваны возмущения, более близкие
к действительным, а также учтены нелинейности системы.
Пример, рассмотренный в этой главе, аналогичен примеру,
полное решение которого было приведено в гл. 6. Влияние
изменения конструкции показано при рассмотрении поведения
двух аналогичных в отношении аэродинамики автомобилей при
воздействии внезапного, порыва бокового ветра и ступенчатого
поворота управляемых колес.
На примере моделирования нелинейных характеристик шин и
подвески показано применение диодных функциональных преоб-
разователей.
8.1. Моделирование автомобиля (первый пример)
Приведенные в разделе 6.8 параметры автомобиля дают все
необходимые числовые величины для моделирования.
Уравнения движения при исследовании реакции автомобиля
на поворот управляемых колес и аэродинамическое возмущение
имеют следующий вид:
m(V -f- Ur) + mjvf = YaV + YTr + + У66 + К,
+ Nrr + + ,Ve6 + A/;
msh (V -f- Ur)—Pxzr +1 + Lpp + L.
(8.1)
Подставив числовые значения при поступательной скорости,
равной 30 м/с, будем иметь
V = — 0,265<р —2,69V—31,4г + 2,98<р + 0,9 + 33,36;
;=-0,011Ф-0.01 IV-2.14г-1,73<р +0,356+35.56; (8.2)
ф = — 0,835V—0,041г—25.5г— 111,8ф—7,57ф + 1.82.
186
Необходимо отметить, что возможна неустойчивая работа
АВМ при решении приведенных выше уравнений. Неустойчивость
возникает вследствие взаимной связи высших производных через
цепь, состоящую только из суммирующих блоков, если они имеют
усиление больше единицы. Вообще лучше решать уравнения
отдельно для каждой переменной. Однако неустойчивости можно
избежать, выбрав соответствующие масштабы.
Для удобства логического развития системы вернемся к рас-
смотрению двух отдельных систем: системы со свободой бокового
смещения и поворота относительно вертикальной оси и системы
со свободой крена.
Поворот и боковое смещение связаны между собой, соответ-
ствующие уравнения получаем из уравнений (8.2):
V = —2,69V—31,4г + 0,9 + 33,36;
r= —0,014V—2,44г+ 0,356 4-35,56.
Они относятся к автомобилю, у которого статическая устойчи-
вость зависит от скорости; корни характеристического уравнения
будут экспоненциальными.
Подсчитаем установившиеся реакции на поворот управляемых
колес и аэродинамическое возмущение:
V/6 | = —164 м/(с-рад); V ] =—1,41м/с.
ss ветра as
г/6 | = —15,7 1/с; г | =0,155 рад,'с.
ss ветра ss
Так как влияние бокового ветра и поворота управляемых
колес исследуется на одной и той же модели, то поворот колес
подбирают таким образом, чтобы получить сравнимые величины
Ей г. Если б = 0,01 рад, то реакция на поворот колес
V/O.OL | = —1,61 м/с;
г/0,011 =0,157 рад с.
SS
Если напряжение аналоговой машины 10 В, то напряжения,
соответствующие установившимся величинам при полном исполь-
зовании выходного напряжения машины,
V = V/4tl,
1,64 = 10/Ло
или
До = 6,1 В с/м;
аналогично
А,. = 53.8 В-с/рад.
Так как реакция была определена как экспоненциальная, по-
стоянные времени могут быть взяты равными единице и соответ-
187
ствующие целые числа приняты в качестве масштабных коэф-
фициентов.
Таким образом,
Лн = 3 В-с/м;
Лг = 50 Б-с,'рад.
Теперь вернемся к уравнению (8.2) и проверим, имеют ли чле-
ны связи в выражениях для V, г и ф приемлемые величины при
принятых масштабах. Это делается визуально. Значение ф =
= ...0,041 г становится слишком малым в величинах напряжения,
а значение г — ...0,011 ф будет сравнительно большим. Обе вели-
чины могут быть изменены введением постоянной времени
интегратора, равной 0,1, в линии ТА.
Следовательно,
Ли = 3 В-с/м; Д^ = 3 В-с/м;
Лг = 50 В-с/рад; А-г = 5 В с2/рад.
Поворот колес на 0,01 рад дает установившееся напряжение
Г | = —4,92 В;
R | =7,85 В.
Подсчитаем масштабный коэффициент для угла поворота колес
б = Д/.4е
или
4Й = 1000 В/рад.
Сила бокового ветра представлена в уравнении (8.2) как
}'/т = 0,9, а поворачивающий момент от ветра NIIZ= 0,356.
Они будут представлены в машинных уравнениях как постоянные
напряжения, которые должны быть меньше напряжения машины,
чтобы не перегрузить усилители. Запишем только эти члены:
^/4=0,9/^+--. ;
/?M; = 0,356/.4JV+ ...
или
Г== (0,9-3)!АУ < 10 В;
R = (0,356-5)MW< 10 В.
Принимаем следующие значения:
Лу= 10 В: (У/т);
.4V= 10 B:(W//E).
188
Таким образом, заменив в уравнении (8.3) физические вели-
чины их электрическими выражениями:
R/Af = 'r, R/Ar = r,
P/.4D = V; V/Aa = V;
Д/.4е = 6
и подставив масштабные коэффициенты силы и момента, получим
V/3 = — 2.69(V/3)— 31,4 (R/50) +0.9 (1/10) — 33,3 (Д/1 ООО)
и
Л/5 = — 0,014(V/3) — 2.44 (/?/50) + 0.356 (1/10) —35,5(Л/1000>
или
V = —2,69V—1,88/? + 0.27 (10)— 0.100Л; 1
_ । (о.4)
R = —0,023V—0,244/?+ 0.178(10) —0Д775Д. I
На рис. 8.1 показана структурная схема, а на рис. 8.2 — резуль-
таты аэродинамического воздействия и поворота управляемых
колес.
Из уравнений (8.2) для крена кузова первоначально получаем
<р = —7,57<р— 111.8ф + 1,82.
Угловая частота подсчитывается следующим образом:
со2 = 111,8
или
Рис. 8.1. Структурная схема модели автомобиля со смешен-
ным назад центром тяжести, обладающего свободой боко-
вого перемещения и поворота:
Nt потенциометра 1 2 5 4 5 о 16 77
Устанавливаемая 0,259 0,023 L.13 0.244 0, 100 0,173 0,27 О.[78
величина
189
Время
а)
Время
б)
Рис. 8 2 Реакции автомобиля 1 с двумя
— nt углевой скорости поворота ив скачкообразный поворот кспес; о — то же. на
ныА поворот целее; г — то же, на
степенями снобеды [cv \равнение (8.4)]
скачкообразный импульс ветра, н — по скорости бокового перемещения яз скачкообраз-
скачкообразный импульс ветра
Если угол крена не более 0,1 рад, то
«Ртах = 1 И Дф=100В/раД,
Ттах = о,1-10,95 и -4Ч = 10 В-с/рад,
ФтзК=11Л8 и дс = 1 В с2/рад.
Следовательно. CR = 0,1.
Так как скорость и ускорение, определяемые при колебаниях
без демпфирования, имеют значения больше допустимых, то при
наличии демпфирования их максимальные значения умень-
шаются:
= -7,57Ф/Аф — 111,8Ф/Аф + 1,82, А.
Приемлемым масштабом для AL будет
Ад =10 В :(£//,);
тогда
Ф=— 0.757Ф—1,118Ф+ 0,182 (10). (8.5)
На рис. 8.3 изображена структурная схема, а на рис. 8.4 пока-
зано движение автомобиля в результате внезапного аэродинами-
ческого воздействия.
Две системы машинных уравнений связывают члены уравнения
(8.2), которые не были включены в них. Записывая уравне-
ние (8.2) без уже использованных членов, получаем
И=... —0,265g.... +2,98<₽;
г=... — 0,011ф... — 1,73«р;
q> = —0,835V—0,041г... —25,5г...
(8.6)
Рис. 8.3. Моделирование крена:
№ потенциометра ................... . 7 8 18
Устанавливаемая величина . . . . ... 0.1/2 0.Г57 О, 182
192
напряжение
Время
Рис 8.4 Движение автомобиля 1 [см. уравнение (8 5)], опреде-
ляемое уравнением крена:
1 — с демпфированием; В — бел демпфирования
Рис 8 5. Доп"мнительные соединения и потенциометры для за-
вершения структурной гхемы. соответствующе!, уравнениям
(8 2} (усилители те же, что и на предыдущих схемах)
Ns потенциометра 9 II 11 :2 13 14 15
Устанавливаемая 0,794 0,055 0,0895 0.0865 0,278 0,008 0.51
величина
13 Закат 2003
Напряжение Напряжение
Рис 8 6 РеаМшш автомобиля 1 стремя степенями свободы [см.
уравнение (8 7)] на скачкообразным импульс искового ветра
я — го угловой скорости поворота г> — по скорости боковою перемете
ник, ff — по углу крена кузова
Подставив соответствующие электрические величины, опреде-
ленные ранее, будем иметь
У/3=... — 0.265Ф/1... +2,98Ф/100... ;
— 0,011Ф/1... — 1.73Ф/100,., ;
Ф/1 = — 0,8357/3 —0,041/?/5 — 25,5/?/50. . .
или
V = . .. —0.794Ф ... + 0.0893Ф-. . ,
/? = ... —0,055$--. — 0.0865Ф-..;
ф= ...—0,278V—0.008Р ..—0,51/?...
(8.7)
На рис. 8.5 показана дополнительная коррекция, необходимая
для завершения структурной схемы системы уравнений. Заметим,
что ни один из членов высшего порядка не имеет коэффициента
больше единицы; следовательно, возникновение неустойчивости
машины маловероятно. Причину этой неустойчивости можно
понять, если проследить, например, соединение линии Ф с /?.
Здесь имеется цепь, состоящая полностью из суммирующих эле-
ментов. Когда усиление в цепи такого типа больше единицы,
любой ток, текущий в ней, увеличивается по величине при каж-
дом прохождении по цепи и создает перегрузку.
Результаты моделирования влияния внезапного порыва
бокового ветра можно сравнить с решением уравнений методом
преобразований Лапласа, приведенным в гл. 6 (см. также
рис. 8.6).
8.2. Второй пример
После проверки правильности аналогового моделирования
можно поставить вопрос: что случится, если изменить конструк-
цию автомобиля?
Оставив ту же внешнюю форму кузова, рассмотрим второй
автомобиль, который отличается от первого конструктивными
параметрами, влияющими на управляемость: центр тяжести
смещен вперед; сзади установлена подвеска на одном поперечном
рычаге вместо подвески с продольными рычагами; спереди перво-
начальная подвеска заменена подвеской на двух поперечных
рычагах; давление воздуха в шинах передних и задних колес име-
ет более близкое значение. Эти изменения отражены в новых
параметрах: а = 1 м; b = 1,1 м; С/ = Сг = —4300 кгс/рад;
дф'/д<р = 0,8; = 0; dAT/da] = dAT’dri = 127 кгс-м/рад;
<ЭУ|/с?(р' = 318 кгс/рад; Ci = 0; ее = 0,08.
Вследствие изменения положения центра тяжести изменяются
силы и моменты, возникающие при боковом ветре: У = 80,3 кгс;
N = 15,2 кгс • м; L = 49,5 кгс • м.
13*
195
Рис. 8.7. Моделирование поворота и бокового перемещения изме-
ненного автомобиля:
Ns потечцнометра / 2 3 4 5 6 1С И
Устанавливаемая 0,319 0,28 0,199 0,299 0,158 0,2 0,295 0,073
величина
Новые значения коэффициентов будут следующими:
Уо=—283 кгс-с/(м-рад); jVB = 19,2 кгс-с/рад;
У?=12,7 кгс с/рад; Nr = —314 кгс-м-с/рад,
У = 603 кгс рад; = —132 кгс - м/рад.
Знак коэффициента Nv изменился по сравнению с предыдущим
примером. Известно, что при положительной величине /Vy умень-
шается реакция на поворот колес при любой скорости автомобиля
по сравнению с реакцией при отрицательном значении Nv. Следо-
вательно, принятый в предыдущем примере масштаб для поворота
относительно вертикальной оси и увода приемлем, что удобно
для сравнения результатов.
Тогда
У= — 0,265<р—3.19 V—30.3г+ 6,78^ — 48,36 + 0,9;
г= —О.ОНф -0,183V—2,99г—1,26?—406 + 0,146;
? = —0,835V—0,041г—25,5г—7,57<р—111,8<р + 1,75.
(8.8)
Необходимые изменения схемы показаны на рис. 8.7.
Для автомобиля с двумя степенями свободы
V=—3,19V—30,3г—18,36 + 0,9; '
г = 0,183V-2,99г— 406 + 0,146.
Подставив значения напряжений, получим
V/3 = -3,19(V/3) —30,3 (/?/50)—48,3(1/1000) + 0,9/(10);
Я /5 = 0.183 (V/3) — 2,99 (Я/50) — 40 (Л/ i 000) +0,146/(10)
196
или
V = —3,19V—1,82/? —0,145Д 4- 0.27;
/? = 0,305V—0,299/?—0.20Д + 0,073.
Изображенная на рис. 8.9 реакция автомобиля на скачкооб-
разный поворот колес существенно изменилась по сравнению
с реакцией, приведенной на рис. 8.2. Она быстрее достигает
установившейся величины, принимая при этом в фазе неустано-
вившегося движения значение, превышающее ее. Структурная
схема основного уравнения крена (см. рис. 8.3) не меняется, за
исключением сопротивления потенциометра 18, измененного вслед-
ствие смещения центра тяжести автомобиля.
Соединения остались теми же, что и ранее (см. рис. 8.5), но
изменились сопротивления потенциометров 11, 12 в связи с новыми
Рис. 8.8. Структурная схема уравнений движения автомобиля, при
которой устойчивость работы машины не снижается суммирующей
цепью:
X » потенциометра 12 4
Устанавливаемая 0,345 0.184 0,075 0,244 0,125 0,774 0,147
величина
V° потенциометра 8 9 10 11 12 13 14 15
Устанавливаемая 0,007 0.053 0,972 0,973 0,0025 0,139 0,178 0,161
величина
197
Время
о 1 г з с
В раЗ/с
а)
В)
8 м/с
В)
Рис. 8.9 Реакции автомобиля 2 г дв^мя степенями свободы [см уравнение (8 10)]
— пс угловой скорости поворота Ва скачкообразный поворот колес» 6 — то же, на скач
сообразный импульс бокового ветра, в — по скорости бокового перемещения на скачк
образны Л поворот колес, г — то же, на скачкообразный импульс бокопого ввтра
Ериё/с
Время
а)
Рчс 8.10 Параметры движения автомобиля 2 с тремя степенями свободы
с — угловая скорость поворота; с — скорость бокового перемещения; е — угол крена
при боковом ветре
величинами У <р и Nf. Ниже приведены величины, установленные
на потенциометрах, заменивших аналогичные потенциометры на
схемах, изображенных на рис. 8.3 и 8.5:
Потенциометр. ... .11 (см. рис. 8.5) 12 (см. рис. 8.5) 18 (см. рис. 8.3)
Установленнаявеличина 0,203 0,063 0,175
На рис. 8.10 показано влияние изменения конструкции на
поведение автомобиля при действии внезапного бокового ветра.
8.3. Другой способ получения машинных уравнений
В начале этой главы упоминалось о трудностях при связыва-
нии высших производных системы дифференциальных уравнений.
199
Для рассмотрения более простой формы машинных уравнений
уравнения движения (8.2)
I
о
0,835
—2,69 —31,4 2,98 0 0,9 33,3
— 0,014 — 2,44 — 1,73 0 0,356 -35,5
0 — 25,5 — 111.8 —7,57 1.82 0
(8.11)
где F — сила бокового ветра.
Эта система уравнений может быть представлена
в следующем
виде;
V = —3,45V—30,7г + 41,6? + 2,58? + 0,536—43,26;
г = —0,0453V—2,44г—0,14?+0,106?+ 0,356—35,86;
(8.12)
? = 2,89 V—0,128г—146,8? —9,72? + 1,385 + 35,76.
При составлении структурной схемы для этих уравнений нет
необходимости в специальных условиях для обеспечения устой-
чивой работы АВМ; следовательно, эти уравнения более удобны
для расчетов на аналоговых машинах (см. рис. 8.8). Результаты,
получаемые при использовании этих уравнений, идентичны ре-
зультатам моделирования, описанного выше.
Выбираем масштабные коэффициенты аналогично масштаб-
ным коэффициентам, принятым ранее:
А^ = ЗВ-м/с; Аг = 50 В-с/рад; Аф = 100 В/рад;
Ац = 3 В -м/с2; А^ = 5 В-с2/рад; /1^.= Ю В-с/рад.
А, = 1000 В/рад; = 1 В-с2-рад.
Следовательно, машинные уравнения будут иметь вид
V = —3,45V— 1,84/? + 1.25Ф + 0.774Ф + 0,161 (10| — 0,130Д;
/? = — 0,075V—0,244/?—0.007Ф + 0,053Ф t- 0,178(10)—0,179Д;
© = 0,973V—0,0025/?—1,468Ф—0,972Ф +0,1385(10) +0.036Д
8.4. Реальное аэродинамическое возмущение и поворот
управляемых колес
Скачкообразные аэродинамическое возмущение и поворот
управляемых колес не соответствуют тому, что бывает в дей-
ствительности. Если автомобиль выходит из-за какого-то при-
200
крытия, например с моста на открытую дорогу, действие бокового
ветра быстро возрастает и достигает максимальной величины
примерно за 0,1 с. Это действие может быть представлено при
помощи интегратора с CR = 0,1, установленного между выключа-
телем и потенциометром действия ветра. Выход интегратора огра-
ничен— 10 В с помощью одного диода. Напряжение на выклю-
чателе должно иметь обратный знак, поскольку он меняется на
интеграторе (рис. 8.11, а).
Водитель не способен мгновенно реагировать на движение
автомобиля, и характер поворота им рулевого колеса не может
быть скачкообразным. Блок запаздывания по времени может
быть выполнен с использованием компаратора, который управ-
ляется интегратором, как показано на рис. 8.11, б. Выход из ком-
Рис. 8.11. Более близкое к действительному представление аэродинами-
ческого возмущения н реакции водителя:
а наклонная характеристика воздействия ветра; б — изменяемое время за-
паздынання и наклонная характеристика воздействия управления
14 Зикзэ 2003 201
паратора интегрируется для получения наклонной характеристики
поворота управляемых колес, а выход из второго интегратора
ограничен для контроля максимального угла поворота.
8.5. Усовершенствованное моделирование шины
Можно сделать более реальную модель для исследования
управляемости, если представить отдельно работу каждой шины
как функцию угла увода, развала и нормальной нагрузки на
колесо. Если пренебречь боковой деформацией шины вследствие
действия боковой силы и изменением ее вертикальной деформа-
ции, то перераспределение нагрузки между колесами передней и
задней осей может быть получено суммированием величин, зави-
сящих от утла крена, скорости крена и скорости бокового
смещения, как это показано в гл. 6.
Углы а/ и аг также получаются суммированием соответствую-
щих составляющих, если можно принять поступательную скорость
автомобиля постоянной.
Характеристики шин по уводу можно представить двумя
способами. Характеристики можно записать в виде ряда, следуя
предложениям Фиалы, или их можно рассматривать как выход из
ряда функциональных преобразователей.
Первый способ более удобен при вычислениях на цифровых
машинах, тогда как при втором хорошо используются функцио-
нальные преобразователи, имеющиеся в аналоговых машинах.
Рассмотрим случай, когда боковая сила шины является
функцией углов увода и развала и нормальной силы:
l71 2,3,4 = f I ,2.3.4(U. ф7 ?)
Типичная характеристика, связывающая угол увода и боковую
силу (рис. 8.12, а), создается соответствующей цепью диодов для
стандартных условий нагрузки. При наличии угла развала эта
кривая смещается вдоль горизонтальной оси, но он незначительно
влияет как на наклон кривой, так и на максимальную величину
боковой силы. Следовательно, влияние угла развала можно
учесть, введя напряжение, которое будет восприниматься функ-
циональным преобразователем как угол увода. Переменная <р
(угол крена кузова) связана с углом развала колес передаточным
отношением (3tp73<pi,2,3,4)следовательно, боковая сила от углов
увода и развала колеса при нормальной нагрузке на колесо и ма-
лых перемещениях
У 1,2,3.4 = —Са| + (ЗУ /3(р')/3<р73(f)<р.
I , 2 , ), 4 I . 2.3. 4
Типичная кривая изменения боковой силы шины, установлен-
ной с постоянным углом развала, показана штриховой линией
на рис. 8.12, а. Из этого рисунка видно, что угол развала смещает
кривую на постоянную величину по горизонтальной оси. Следо-
вательно, влияние угла развала может быть учтено введением
202
Рис. 8.12. Моделирование нелинейных характеристик шин:
а — завио-мосгь Соковой силы от угла увода шины; б — изменение боковой силы при по-
Стоякных углах у&ода и развала вследствие изменения нагрузки на шнну; а — схематичное
представление боковой силы при трех переменных
фиктивного угла увода, который перемещает начало кривой в сто-
рону, противоположную точке О'. Вход в функциональный преоб-
разователь теперь будет таким:
Вход = а— (1/С) (д¥/ду') (дф'ДМф.
Коэффициент при <р получают установкой соответствующего
потенциометра для каждой шины, и боковая сила
^1.2 3.4 =Я(“ — *ф)-
Изменение нормальной нагрузки на шину по сравнению
с номинальной меняет боковую силу, как это показано на
рис. 8.12,6, где углы увода и развала приняты постоянными.
На практике можно допустить, что эта кривая охватывает все
углы увода и развала. При современном уровне знаний механики
шины это предположение можно считать целесообразным. Для
каждой шины устанавливается функциональный преобразователь,
воспроизводящий эту кривую, входом в который является — AZ.
С некоторыми допущениями боковая сила шины может быть
записана так:
Y = f (а, <р', Z) = g(а—тф) h (AZ),
где g{a, v, ф) —характеристика шины при различных углах
увода и развала, когда она нагружена номинальной нагрузкой;
/z(AZ)—изменение характеристики шины вследствие изменения
нагрузки на колесо по сравнению с номинальной.
Схематичное изображение аналоговой цепи, необходимой для
каждой шины, показано на рис. 8.12, в.
14:
203
Рис. 8.13. Моделирование влияния
тяговой (или тормозной) силы на
боковую силу шины
Стабилизирующий мо-
мент также является функ-
цией угла увода и нормаль-
ной нагрузки, но угол раз-
вала на него не влияет.
Следовательно, стабилизи-
рующий момент может быть
представлен аналогичной
цепью, но характеристики
функционального преобра-
зователя будут, естествен-
но, связаны с этим мо-
ментом.
Тяговая или тормозная сила могут быть учтены или простым
изменением боковой силы при помощи потенциометра, если тре-
буется постоянная тяговая сила, или моделированием эллипса
трения, описанного в гл. 1:
У = g-(a~v<p)/i(AZ)v(77Z).
При этом для каждой шины необходим еще один функциональ-
ный преобразователь, дающий эллиптический выход (рис. 8.13);
выход этих блоков умножается на выход блока, показанного
на рис. 8.12.
8.6. Заключение
Были исследованы некоторые возможности моделирования
управляемости автомобиля. Найденные реакции по угловой ско-
рости поворота, углу крена и скорости бокового смещения не
связаны непосредственно с перемещениями автомобиля на дороге.
Расчет движения автомобиля по дороге требует интегрирования
комбинаций скоростных реакций, а этот процесс обычно ведет
к ошибкам, так как аналоговые интеграторы реагируют на блуж-
дающие токи внутри машины. Одним из возможных способов
решения этой проблемы является сравнение действительной
траектории движения автомобиля по дороге с требуемой траек-
торией и использование ошибки, получаемой при сравнении, для
коррекции поворота управляемых колес.
Глава 9
БОЛЕЕ СОВЕРШЕННЫЕ МОДЕЛИ АВТОМОБИЛЯ
9.1. Некоторые недостатки существующих моделей
При совершенствовании управляемости автомобиля некоторые
инженеры стремятся усложнить математическую модель. Выиг-
рыш от увеличения числа степеней свободы уменьшается по ряду
причин, из которых можно указать на следующие:
1) основные перемещения кузова уже приняты во внимание:
2) при увеличении числа параметров анализ становится
менее глубоким и приходится прибегать к цифровым или анало-
говым методам, дающим только частное решение;
3) результаты испытаний автомобиля на испытательных
участках носят статистический характер и зависят от атмосфер-
ных условий и даже от темперамента водителя.
Были также предприняты попытки с различной степенью
приближения к действительности моделировать работу автомо-
биля с водителем. В этом случае водитель управлял АВМ с по-
мощью обычных органов управления автомобилем. Две из числа
наиболее сложных моделей описаны ниже. Обе являются логи-
ческим развитием модели с тремя степенями свободы: в одной
улучшено описание шин, а в другой показано влияние рулевого
механизма, рассматриваемого как динамическая система. Третья
модель рассмотрена как пример выдающегося анализа, хотя она
малоизвестна.
9.2. Автомобиль с деформируемыми шинами
Хотя колеса и шины до сих пор принимались жесткими,
известно, что в действительности зона контакта перемещается
в боковом направлении относительно обода колеса. Допустим, что
в процессе поворота автомобиля протектор деформируется отно-
сительно колеса (рис. 9.1). Тогда относительный угол увода зави-
сит от боковой скорости автомобиля и степени изменения боковой
деформации шины.
Автомобиль с двумя степенями свободы перемещений кузова
и деформируемыми в боковом направлении шинами описывается
уравнениями
m(V + Ur) = kfy, 4- kryr;
I г = ak^— bkryr. (9.1)
205
Рис. 9.1. 11екренящийся автомобиль с шинами, деформируе-
мыми в боковом направлении:
а — увеличено число степеней свободы на две вследствие вве-
дения деформирующихся в боковом направлении шин; б — у г
ругая сила, возникающая при боковой деформации, уравновеши-
вается силой, вызывающей уаод шины
Приравнивая боковые силы, действующие
к реакциям в контакте, получаем
на обод
колеса,
(9.2)
откуда
mD mU —kf
О ID —ak(
— l/U — a/U DlV + ks/Ci
— l/U b/U 0
(9.3)
Характеристическое уравнение системы:
А^Х* + АЛ1 + Д2Х.а + А] К + Д1( = О,
где
A< = m//t72;
A3~mI(kf/Cf + kr/Cr)/U;
As = mlkfkrjC£r—m (a2k; + b2kr) /[7a—I (kf + k,) /U2\
At = —mkfkr{a2/Cf + bzICr)IU + m(akt—bkr)/U +
+ Ikfkr(l/Cf+ l/Cr)/U-t
A0 = tnkfkr(alCf~b/Cr) + (a + bykfkT/U2.
206
Так как боковая жесткость и начальный наклон характеристи-
ки по уводу зависят от давления воздуха в шине, можно допу-
стить, что
Подставляя этот коэффициент в полином и приводя к единице
At, получаем
43 = 2(fe/C)U;
А2 = (k/C)2U2— (a2kf + bAk,)/! — (kf + kr)/m\
Al^-(k/C)U{a2kf+b2kr)// +
+ U(akf—bkr} //—V(k/C) (kf + kr}/m‘,
<40= (k/C)U2(akf — bkr)/i + (a + b^kfkjml.
Полином может быть преобразован в два квадратных урав-
нения:
|Л2 + (Uk/C)k~ (ask{+ b2kr)//][k2 +
+ (Uk/Qb— (fef + Ar)Ml = 0. (9.4)
Если a = b = 1/2 и kf = kT = k, то квадратное уравнение
имеет вид:
(V + (UklC)k—kP/21] [№ + (Uk'Ok—2k/т] = 0 (9.5)
и в этом частном случае квадратные уравнения дают точное
решение первоначального уравнения четвертой степени.
Изменение знака между «демпфирующими» и «упругими»
величинами происходит вследствие того, что k и С отрицатель-
ные, а их отношение поэтому положительное.
Уравнение (9.4) показывает, что когда автомобиль неподвижен,
он колеблется в поперечном направлении и вокруг оси, прохо-
дящей через центр тяжести, что легко проверить. Очевидно, что
демпфирование увеличивается вместе с поступательной скоростью,
и скорости, при которых синусоидальный характер изменения
реакции становится экспоненциальным, будут примерно следую-
щими:
v _ 2 + ЬЧ:Г _ v _ 2 . / fe? + fer
(i/Ci J I ’ (k(C) p
Если сделать допущение, что / = mPj^ в уравнении (9.5), то
скорость, соответствующая изменению реакции, будет одинакова
для обоих квадратных уравнений
Так как характеристическое уравнение будет иметь экспонен-
циальные корни при движении с большими скоростями, то автомо-
207
биль, очевидно, будет иметь такую характеристику в наиболее
важной части диапазона рабочих скоростей в отличие от модели
с жесткими шинами, при которых изменения реакций имеют или
экспоненциальный, или колебательный характер; демпфирование
при повороте относительно вертикальной оси уменьшается с уве-
личением поступательной скорости движения.
Установившиеся реакции на управление по повороту и углу
увода можно получить обычным способом из уравнения (9.6):
0 0 —1/(7 -VU mU 0 —а/t/ b/U —kf —kr —akf bkr (fen 0 0 (fc/C) V r yf = 0 0 — 1 0 6. (9.6)
Тогда V/6 =- U [mU2akf(kfC) btkfk,] (9.7)
SS mU2(akf~bkr) (k/C + Pkfkf
и r/6 =- ss Ulkikr mU^akf—bkr) (fe/C) + Pkfk,’
Реакция по угловой скорости поворота аналогична реакции
модели на жестких шинах, на основании этого могут быть
определены условия нейтральной поворачиваемости, так же как
и критическая скорость при избыточной поворачиваемости.
9.3. Модель с пятью степенями свободы
В модели, позволяющей кузову автомобиля крениться, должна
учитываться результирующая сила, возникающая от развала
колес в точках контакта с опорной поверхностью, а это трудная
задача, так как боковая деформация шины является одной из
переменных модели. Некоторые исследователи упрощают задачу,
складывая силы, возникающие вследствие деформации шины и
наличия угла развала колес, без учета их взаимного влияния
[9.2]. Это допущение соответствует нулевой деформации при нали-
чии угла развала, что было принято при аналоговом модели-
ровании:
m(V + t/r) -J- = SV;
msh (V -I- Ur) — Pxj + //p = St,,
где SV = 2 (боковая упругая сила + сила от угла развала).
208
Рис 9.2 Поворачиваю-
щий момент, получаемый
при учете перераспреде-
ления нагрузки от крена
вследствие относитель-
ного перемещения кон-
такта и колеса
Рис 9.3. Силы, действую-
щие при крене автомоби-
ля с шинами, деформи-
руемыми в боковом на-
правлении
Боковые упругие силы связаны с углом увода соответственно
передних и задних колес:
kfyf = Ct( V + a^~9f-tj(p—Л ; k,y,=Cr( V~b'~*r Er(fy
Следовательно,
SV = kf yt + kryr + (dYf/dq jOtps/dtf + dY r/d<frdfpr/dq>) <p. (9.8)
Относительные перемещения между зоной контакта и ободом
колеса приводят к необходимости пересмотра выражений
моментов, действующих на автомобиль. На рис. 9.2 показаны силы
и моменты, действующие на автомобиль, при повороте относи-
тельно вертикальной оси. Допустив, что угол поворота управляе-
мых колес мал и взяв сумму моментов относительно а,
получим
~ (f^J + 2)0 (г^I + + [ fVj (^1 — fl/ti + f^2^! +
+ + 2 AT—1 IV2) —
4
— r%l (f2 — r.Vl) + Л(^2 *Г гУз)- (9-9)
209
Крен показан на рис. 9.3; реакции опорной поверхности
определяются из уравнения моментов относительно точек прило-
жения вертикальных сил:
SL = Lytf + Еф<р.
9.4. Автомобиль со свободным управлением
Выше был рассмотрен автомобиль, при управлении которым
поворот передних колес был дискретным и необратимым. Дей-
ствительная система автомобиль — водитель несколько отличает-
ся от такого идеализированного автомобиля по ряду причин, среди
которых наиболее существенными являются упругость и инерция
рулевой передачи и поведение водителя как части системы управ-
ления автомобилем. Пока что трудно описать действительную
систему автомобиль — водитель, но граничными условиями, оче-
видно, будут, с одной стороны,— реакция при закрепленном
рулевом управлении (участие водителя сводится к возбуждению
системы), а с другой — реакция при свободном управлении, когда
водитель отпускает рулевое колесо во время маневра [9.3 и 9.4].
Если рулевое колесо не удерживается, то оно вместе с руле-
выми тягами и управляемыми колесами, вращающимися вокруг
шкворней, образует подсистему, связанную с системой управ-
ляемости через контакты шин передних колес (рис. 9.4). Демпфи-
рование и трение в подшипниках учитываются. В этом случае на
колеса автомобиля действуют следующие силы и моменты;
боковая сила, возникающая вследствие увода колеса; стабилизи-
рующий момент; боковая сила, возникающая вследствие наличия
угла развала колес; гироскопический момент, создающийся
в результате изменения угла развала колес.
Боковая сила, действующая в центре длины контакта, для
малых углов увода будет
Y = Ct ( V+Jr---+ (d¥'s/d<(
стабилизирующий момент
АТ = д АТ/да
На стабилизирующий момент не влияет угол развала колес.
Момент, создаваемый гироскопическим эффектом,
АГ = 2IlAU!R}(dWl/dtf)q.
Уравнение движения рулевого колеса
G2/(63 — вт) ± . — О
(9.10)
210
Рис. 9.4. Модель рулевою механизма с
учетом плеча стабилизации:
— полярный момент инерции колеса; f, —
момент ннерцнн колеса относительно осн
швдюрня; /д — полярный момент ннсрннн ру-
левого колеса; G — передаточное число руле-
вого механизма
и двух управляемых колес, взятых как одно целое:
Л (8 +О 4-СД ± Ffl + 2/p(U/R} (Лр,/дф)<р + — 62) +
+ (дАТ/да | — lCf) ( t/*°r—6,——7(dY'f/dq^) (3cf)tp = 0.
1 (9.И)
где /—кинематическое плечо стабилизации, обусловленное по-
ложением шкворня.
Уравнения (9.10) и (9.11) вместе с уравнениями движения
подрессоренных и неподрессоренных масс автомобиля описывают
систему с пятью степенями свободы. Полный анализ устойчивости
системы такой сложности практически нереален, и более прием-
лемым является исследование ее при помощи аналоговых машин
в комбинации с экспериментом. Из литературных источников
известно, что трение в рулевом механизме имеет большую вели-
чину, а инерция рулевого колеса невелика [9.4]. Система рулевого
управления с усилителем в данной книге не рассматривается.
211
9.5 , Модель с шестью степенями свободы
В литературе описана модель, состоящая из одной подрессо-
ренной и двух неподрессоренных масс (рис. 9.5) [9.5]. Подрес-
соренные массы имеют свободу вращения вокруг вертикальной
оси и оси крена, а также перемещения в продольном и попереч-
ном направлениях. Неподрессоренные массы могут вращаться
относительно собственных центров крена.
Уравнения движения составлены с использованием уравнений
Лангранжа. Наибольший интерес в этом анализе представляет
законченность работы, в которой использована одна из первых
Рис. 9.5. Одна из первых (наиболее сложная) модель с шестью степеня-
ми свободы [9.51
теоретических моделей, пригодных для исследования управляе-
мости автомобиля. Эту модель применяли мало, не считая не-
скольких расчетов установившегося поворота на цифровых
машинах.
В литературе дан также анализ автомобиля при помощи
векторного метода без использования понятия «ось крена» [9.6].
Этот анализ дает возможность подробно рассчитать на цифровых
машинах траекторию автомобиля при движении по дороге.
9.6 . Литература
9.1. Rocard Y. Dynamic Instability, Crosby Lockwood and Son. Ltd.
9.2. Chiesa A. Renoapoli L. Vechicle Stability Studied‘with a Non-Linear Seven
Degree Model.— S.A.E., 1967, 670476.
9.3. Segel L. On the Lateral Stability and Control of the Automobile as In-
fluenced by the Dynamics of the Steering System.— A.S.M.E. 65 — WA/MD-2.
9.4. Skinner B. The Free Control Vehicle.— A.S.A.E., Thesis, 1966.
9.5. Pacejka H. B. De bestuderung van hef gedrag van een zich over een vlakke
horizontele weg.— Technische Hogeschool., Delft, 1954.
9.6. Bergman W., Fox E. A4 Saibel E. Dynamics of an Automobile in a Corn-
ering Manoeuvre. Turin, 1961. Symposium. Mechanics of Soil-Vechicle Systems.
212
Глава 10
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Целью этой книги был подбор информации по вопросу управ-
ляемости автомобиля в минимально возможном объеме, совме-
стимом с необходимыми подробностями. Шины оказывают
значительное влияние на управляемость автомобиля, но исследо-
вание этого вопроса в основном носит эмпирический характер.
Сложность конструкции шины и разнообразие рисунков протек-
тора и состава резины делают маловероятным, что теоретический
анализ боковой реакции шины когда-либо будет проведен. Анализ,
приведенный в гл. 1, может в лучшем случае показать тенденции
в исследовании работы шин и помочь в экстраполяции резуль-
татов испытаний.
В большинстве случаев анализа движения автомобиля
с закрепленным рулевым управлением для установившихся
режимов вполне достаточно знать влияние угла поворота колес,
угла развала и нагрузки, а изменениями боковой силы и стаби-
лизирующего момента вследствие изменения угла поворота колес,
угла развала и условий нагрузки можно пренебречь. Об управляе-
мости автомобиля в том случае, когда рулевое колесо свобод-
но, упомянуто только вскользь, поскольку по этому вопросу
опубликовано мало работ, но при исследовании указанного
вопроса и изучении «шимми» колес необходимо вводить неуста-
новившиеся реакции шин.
Гл. 2 содержит сведения из механики, необходимые для
анализа. Гл. 3 и 4 лучше рассматривать как введение в изучение
управляемости. В них показано большое значение распределения
веса по осям и характер реакции автомобиля на поворот колес,
если не происходит крена кузова, шины имеют полностью линей-
ные характеристики и отсутствует перераспределение нагрузки в
поперечном направлении в процессе поворота.
Характеристики подвески рассмотрены первоначально в гл. 5
с использованием понятия «ось крена», при помощи которого
дается первая оценка различных жесткостей подвески, после чего
рассматривается созданный в Высшей школе автомобильных
инженеров в Кренфилде метод, позволяющий определять как
установившиеся, так и неустановившиеся характеристики
подвески.
Для определения неустановившихся реакций подвески в при-
емлемое время необходимо использовать электронно-вычислитель-
ные машины; установившиеся перемещения можно легко получить
213
путем расчета на логарифмической линейке. Анализ подвески дан
подробно, но без учета гироскопического момента, создаваемого
вращающимся колесом при его движении, однако этот вопрос
рассмотрен отдельно. Если в модели подвески учесть гироскопи-
ческий момент, характеристики поворота шин и упругость ру-
левого управления, то уравнения дают возможность описать
явление «шимми» и колебания колес.
Управляемость автомобиля может быть условно разделена
на три части: установившиеся реакции на управление, способ-
ность прямолинейного движения под действием внешних возму-
щений, таких как боковой ветер и поперечный наклон дороги,
и неустановившиеся реакции на управление. Разделение способ-
ности двигаться прямолинейно и неустановившихся реакций
может, на первый взгляд, показаться искусственным. Однако
в первом случае задача заключается в удержании автомобиля
внутри данной прямолинейной полосы движения, и при этом
можно использовать линейные уравнения, тогда как неустановив-
шиеся реакции на управление вводятся при маневрах с большими
боковыми ускорениями, когда должны рассматриваться нелиней-
ные характеристики шин, подвески и амортизаторов.
В гл. 6 дан анализ линейных реакций автомобиля со свободой
крена, а в конце главы упомянуто о влиянии нелинейных харак-
теристик шин при перераспределении нагрузки. Было получено
экспериментальное подтверждение этой теории, и можно считать
установленным, что теория адекватно описывает устойчивость
автомобиля.
Для того чтобы получить результаты теоретических исследо-
ваний реакций автомобиля на управление, совпадающие с дан-
ными дорожных испытаний его при ускорениях более 3 м/с2 на
гладкой поверхности, необходимо учитывать нелинейные харак-
теристики шин и жесткость рулевого управления.
Как показал анализ, проведенный в гл. 5, в случае действия
боковой силы при многих конструкциях подвески возникают
вертикальные перемещения подвески. Рассмотрение этого эффек-
та невозможно с помощью модели, в которой не учитываются
вертикальные перемещения и поворот автомобиля относительно
поперечной оси, хотя при вертикальном перемещении кузова
меняется угол развала колес. Расширение анализа путем учета
вертикальных перемещений кузова и вращения относительно
поперечной оси может дать интересные результаты, особенно для
автомобилей с качающимися осями.
Анализ управляемости автомобиля находится в начальной
стадии развития и необходимо получить значительно больше
информации, чтобы можно было описать оптимальный автомо-
биль.
В настоящее время управляемость искусственно отделена
от колебаний подвески, но очевидно, что между ними имеется
связь. Например, подпрыгивание автомобиля или колебательное
движение оси при повороте на неровной дороге, влияние неров-
214
ностей дороги, торможение или разгон и многие другие явления
могут быть субъективно описаны, но анализ их невозможен.
Некоторые важные вопросы еще остаются без ответа.
Не установлены оптимальные время реакции и величина демпфи-
рования во время движения автомобиля, при определении кото-
рых необходимо учитывать характер и навыки водителя, а также
особенности дорожных условий. Может показаться, что нет
нижнего предела для желаемого времени реакции устойчивого
автомобиля, в то время как верхний предел зависит как от дороги,
так и от водителя.
Типичный пример влияния низкой частоты при крене был
недавно приведен автором: автомобиль, имеющий тенденцию
опрокидываться на выходе из круговой развязки на дороге
показывал необычно низкую частоту при крене, равную 0,5 циклов
в секунду. Изменение конструкции задней подвески в сторону
увеличения этой частоты до 1,1 цикла в секунду привело
к устранению тенденции к опрокидыванию. Этот простой пример
показывает, что чисто математический анализ устойчивости
недостаточен и возникающие реакции должны рассматриваться
в связи с возможной частотой импульса управления. Субъектив-
ное изучение поведения водителя подсказывает, что водитель
компенсирует медленную реакцию автомобиля по угловой ско-
рости поворота и уводу при нормальном маневре на дороге, но не
может управлять таким автомобилем при недостаточном
сцеплении колес с дорогой.
Вопрос об оптимальной реакции автомобиля на управление,
на дорожные и аэродинамические возмущения исследован не
полностью. Ее оптимальность зависит не только от реакций как
таковых, но также от движений и усилий, требуемых от водителя.
Исследование этого — поле будующей деятельности инженеров и
физиологов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Условные обозначения ... 3
Введение. .............. ... .7
Глава 1. Пневматическая шина. ...... .9
Глава 2. Прикладная механика. .... .46
Глава 3. Управляемость и устойчивость «простейшего» автомобиля . .61
Глава 4. Автомобиль с полуприцепом. .... ... 89
Глава 5. Механика подвески .99
Глава 6. Управляемость и устойчивость автомобиля, обладающего свобо-
дой крена. .130
Глава 7. Моделирование на аналоговых машинах......................161
Глава 8. Исследование некоторых моделей автомобилей на аналоговых
машинах ... .186
Глава 9. Более совершенные модели автомобиля 205
Глава 10 Заключение. 213
Д. Р. Эллис
УПРАВЛЯЕМОСТЬ АВТОМОБИЛЯ
Редактор издательства Л. И. Егоркина. Технический редактор Л. А. Макарова
Корректор И. М. Борейша. Переплет художника А. С. Мунтяна
Сдано в набор 26/VIII 1974 г. Подписано в печать 13/XII — 1974 г.
Формат 60 X 90716- Бумага типографская № I. Усл. печ. л. 13,5. Уч.-нзд. л. 13,75
Тираж 12000 Заказ 2003 Цена I р. 20 к
Издательство «Машиностроение». 107885. Москва Б-78. 1-й Басманный, пер., 3
Экспериментальная тип. ВНИИ полиграфии Госкомиздата Совета Министров СССР
Москва, К-51, Цветной бульвар. 30