/
Автор: Бессонов Л.А. Демидова И.Г. Заруди М.Е. Каменская В.П. Миленина С.А. Расовская С.Э.
Теги: электротехника электроэнергетика физика электроника теоретические основы электротехники задачи по электротехнике
ISBN: 5—06—001296—4
Год: 1988
Текст
Сборник задач
по
теоретическим основам
электротехники
Издание третье,
переработанное и дополненное
Под редакцией Л. А. БЕССОНОВА
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов
энергетических и приборостроительных специальностей вузов
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1988
ББК 31.2
С 23
УДК 621.3
Л. А. Бессонов, И. Г. Демидова, М. Е. Заруди,
В. nt Каменская, С. А. Миденина, С. Э. Расовская
Рецензент—д-р техн. наук проф. В. Л. Чечурин
(Ленинградский политехнический институт им. М, И. Калинина)
Сборник задач по теоретическим основам электротех-
С23 ники: Учеб. пособие для энерг. и приборост. спец. вузов.—
3-е изд., иерераб. и доп./Л. А. Бессонов, И. Г. Демидова,
М. Е. Заруди и др.; Под ред. Л. А. Бессонова.—М.: Высш.
шк., 1988.—543 с: ил.
ISBN 5—06—001296—4
В сборнике приведены задачи по всем разделам курса ТОЭ, даны решения
некоторых из них. В 3-м издании B-е-1980 г.) представлены новые задачи по
следующим темам: сверхпроводимость, электрические фильтры, установившиеся
режимы и переходные процессы в линиях с распределенными параметрами, а также
включены задачи на матрично-топологические методы расчета, метод интегральных
уравнений для расчета электромагнитных полей и др,
„ 2302010000 D309000000)--268 t<V7 ББК 31.2
L 001 @1)—88 IJ/"-~** 6П2Л
ISBN 5—06—001296—4
© Издательство «Высшая школа», 1975
© Издательство «Высшая школа», 1988, с изменениями
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый вниманию читателя сборник задач по
теоретическим основам электротехники соответствует программе курса
ТОЭ, утвержденной MB и ССО СССР.
Последовательность расположения материала соответствует
расположению, принятому в восьмом издании учебника по ТОЭ
Л. А. Бессонова. В третьем издании заново написаны следующие
главы: электрические фильтры, установившиеся процессы в цепях
с распределенными параметрами, переходные процессы в цепях
с распределенными параметрами, магнитная гидродинамика,
сверхпроводимость. Остальные главы подверглись переработке. Часть
задач в них заменена новыми с целью более полного охвата
материала курса. Добавлены задачи на матрично-топологическое
направление теории цепей, невзаимные и активные
четырехполюсники, цепи с операционными усилителями, активные /?С-фильтры,
метод интегральных уравнений при расчете полей. Включены
также задачи, предназначенные для решения численными методами,
и программы к ним, составленные для микрокалькулятора
«Электроника БЗ-34». Даны программы для ЭВМ серии ЕС на
алгоритмическом языке ФОРТРАН-IV. Все программы иллюстрированы
числовыми примерами.
Структура задачника оставлена прежней: сначала представлен
раздел условий задач, затем следует раздел решений и в
заключение раздел ответов. Решенные задачи составляют от 35 до 40%
от общего числа задач каждой главы. Задачи, имеющие решения,
снабжены буквой р. Рисунки в разделе условий имеют двойную
нумерацию, например рис. 10.20. Цифра до точки указывает
номер главы, после—порядковый номер внутри главы. Рисунки
в разделах решений и ответов имеют тройную нумерацию; в
разделе решений—с дополнительной буквой Р, например рис. Р. 10.20,
в разделе ответов—с дополнительной буквой О, например
рис. О.10.15.
Для облегчения пользования книгой задачи каждого раздела
разделены на группы с близкой тематикой по 4—7 задач в каждой.
Работа по написанию сборника задач распределялась между
авторами следующим образом: Л. А. Бессонов — гл. 1, 10, 15, 18,
руководство всей работой и редактирование; И. Г. Демидова —
гл. 19—26, М. Е. Заруди—гл. 8, 9, 16, 27, 28, задачи и
программы для микрокалькулятора «Электроника БЗ-34»; В. П. Ка-
менская—гл. 2, 3, 4, 14; С. А. Миленина—гл. 5, 11, 12;
С. Э. Расовская—гл. 7, 13, 17; С. Э. Расовская и И.
Г.Демидова—гл. 6.
Авторы выражают благодарность рецензенту д-ру техн. наук,
проф. Ленинградского политехнического института им. М. И.
Калинина В. Л. Чечурину за полезные замечания, учтенные при
доработке рукописи.
Замечания по книге просим направлять по адресу: 101430,
Москва, ГСП-4, Неглинная ул., 29/14, издательство «Высшая
школа».
Авторы
Глава первая
Линейные электрические цепи постоянного тока
А. Законы Ома и Кирхгофа. Источники э.д.с. и тока.
Разность потенциалов
1.1 р. На рис. 1.1,а изображен остов некоторой схемы. Токи
и /2 известны. Найти ток /3.
Рис 1.1
1.2. Две части АиВ некоторой электрической цепи (рис. 1.1,6)
соединены тремя проводами. Токи ^ = 0,1 А и /2 = 02А, резистор
имеет сопротивление #=100 Ом. Определить показание
вольтметра, имеющего внутреннее сопротивление 1000 Ом.
Рис. 1.2
1.3. На рис. 1.2, а изображен участок некоторой цепи. Известны
потенциалы <pfl = 5B и фь = 40В точек а и h. Резисторы имеют
сопротивления /?х = 8Ом и #2 = 2Ом, э.д.с. Ег= 15В и ? = 25В.
Найти ток /.
1.4. Найти значения токов /2 и /для участка цепи рис. 1.2,6.
Ток /1=10мА, резистор имеет сопротивление # = 2кОм, э.д.с.
?"= 15В, напряжение Uab = 9В. Ветвь, состоящую из резистора
сопротивлением R и источника э.д.с. Е заменить источником тока
и резистором.
1.5. Для участка цепи (рис. 1.2, в) известна разность
потенциалов Uab=l20B. Найти ток «/, если / = 20мА; /?х=1к0м;
Я2 = 2к0м; ?=18В.
1.6р. В схеме рис, 1.3, а определить потенциал точки О и
токи /х, /2, /3, если Ег=\0В\ Rt = 2KOu; ?2 = 25В; #2 = 8к0м,
JR3=12k0m; Фх = — 5В; ф2=16В; ф3 = 28В
Рис. 1.3
1.7. В схеме рис. 1.3, б определить ток /2 и потенциал точки т.
Известно, что /х = 20мА; /3 = —10мА; /?2 = 5к0м; F2=15B;
jR3=10kOm. Осуществить эквивалентную замену источника э.д.о.
на источник тока.
Рис. 1.4
1.8р. В схеме рис. 1.4, а заданы токи /f и /3, сопротивления
резисторов и э.д.с. Определить токи /4, /5, /б, а также разность
потенциалов Uab между точками а и Ь, если /j = 10 мА; /3 = —20 мА;
50 ? 20В ^ З0 ? 40В # 20
Я4 ; 5 5 в в
1.9. В схеме рис. 1.4,6 определить потенциал точки fe, если
/i=5MA;/3=— 20 мА; ^4=5к0м; /?5=Зк0м; ?5=20В,#б=2кОм.
1.10. В схеме рис. 1.5, а определить э.д.с. ?, если показание
вольтметра равно нулю. Ток источника тока /= 1 мА; R = 1 кОм.
1.11. Составить уравнения по законам Кирхгофа и определить
токи во всех ветвях схемы рис. 1.5,6, если /^ImA; J2 = 2mA;
J3 = 3mA; #4=4k0m; ,R5=5k0m; R6=6k0m; /?7==7k0m; ?4*2
1.12. Схему рис. 1.5,6 преобразовать так, чтобы она не
содержала источников тока J± и У2, Для полученной схемы
определить токи и сравнить их с токами в непреобразованной схеме.
Л* Ар Q
Рис. 1,5
1.13. Сколько уравнений следует составить для схемы рис. 1.6
по первому и второму законам Кирхгофа?
1.14р. В схеме рис. 1.7 определить токи ьо всех ветвях и
напряжение Unh между точками пик, Значение сопротивления
т
каждого резистора (Rx—Rn) дано в омах и равно номеру
соответствующего резистора, например #7 = 7Ом; #20 = 20Ом. Токи
J12—J19 даны в амперах, причем значения каждого равно номеру
источника тока, например ^15= 15 А. Э.д.с. ?а = —29 В; ?5 = 10 В;
?6=10В.
Б. Потенциальная диаграмма. Линейные соотношения
1.15р. Построить потенциальную диаграмму для схемы рис. 1.4,а.
Параметры схемы даны в условии задачи 1.8р.
, 1.16. Построить потенциальную диаграмму для контура atxk
схемы рис. 1.5,6 по данным задачи 1.11.
1.17. На рис. 1Д а изображен остов некоторой схемы. Буквами
обозначены точки соединения отдельных элементов схемы. На
рис. 1Д6, в показаны потенциальные диаграммы вдоль контура
f
oabcfo и вдоль ветви oedc соответственно. Определить значение
и направление токов в ветвях и характер элементов, включенных
на различных участках схемы.
1.18р. На рис. 1.9, б изображена потенциальная диаграмма
вдоль контура oabcdefgo скелетной схемы рис. 1.9, а. Известно,
что в ветвях af и cf включены резисторы. Определить значение
а
\
\
\
о 9
b e
"/
/
f e (
15
10
5
1 0
-5
20 о
Рис. 1.9
и направление тока в каждой ветви, а также значения элементов
схемы на всех участках. Потенциалы точек схемы: фа==3,175В;
<р6 = О,975В; ф, = 10,975 В; ф,= 15,53 В; Ф/ = 7,53 В; ф^=—2,47В.
1.19р. В схеме рис. 1.10, а сопротивление резистора R2
изменяется от 0 до оо. Записать зависимость тока 1г от тока /2
для двух случаев: 1) ?*х = 0; 2) ?"х == 10 В. Ток источника тока
; i
1.20. На рис. 1.10,6 изображена скрещенная мостовая схема.
Ток источника тока /=1А; ^! = 1Ом; R2 = 2Om; /?3 = 3Om;
j?4 = 4Om. Сопротивление резистора RH изменяется от 0 Хо оо.
Записать линейную зависимость между токами It и /4 для двух
случаев: 1) схема рис. 1.10,6 питается от источника тока; 2)
источник тока заменен на источник э.д.с. Е =* 1 В.
1.21. В одной диагонали мостовой схемы рис. 1.10, в
находится источник тока /, в другой—резистор, сопротивление
которого R изменяется от 0 до оо. Записать линейное соотношение
между напряжениями на диагоналях Ucd и Uab.
В. Входные сопротивления. Преобразование треугольника
в звезду и звезды в треугольник
1.22р. Определить входное сопротивление Rab схемы рис. 1.11,а
относительно точек а и Ь, если /?1 = 2,26Ом; Я2=ЗОм; #3=2,17Ом;
#4 = 4Ом; #5=ЗОм; #6 = 2О
Рис. 1.11
1.23. Решая задачу 1.22р (рис. 1.11, а) по определению
входного сопротивления между точками а и Ь, студент преобразовал
треугольник, состоящий из резисторов Rl9 R2, R3, в звезду и
точку О звезды, состоящей из резисторов #4, R5, /?б, соединил
с точкой О' вновь полученной звезды. Ответ он получил
неверный. В чем заключается его ошибка?
1.24. Найти входное сопротивление Rab схемы рис. 1.11,6
относительно точек а и 6, если J5 и /б—источники тока.
1.25. В схеме рис. 1.11,6 источник тока J6 заменен на
источник э.д.с. Резисторы имеют сопротивления R± = 10м; #2 = 2Ом;
/?з = 2 Ом; /?4 = 0,6Ом; #6 = 0,2Ом. Определить входное
сопротивление между точками а и Ь.
1.26. В схеме рис. 1.12, а сопротивления резисторов указаны
в омах. Определить входное сопротивление схемы относительно
точек а и Ъ.
1.27. В схеме рис. 1.12,6 сопротивления всех резисторов,
кроме двух, указаны в омах. Сопротивления двух резисторов
обозначены х. Чему равно сопротивление х, если входное
сопротивление схемы относительно точек аи b Rab = 1,50м?
1.28р. Измерение сопротивления R резистора было произведено
с помощью схемы рис. 1.12, в. В этой схеме переключатель может
находиться либо в первом, либо во втором положении.
Внутреннее сопротивление вольтметра #вн = Зк0м. Было проведено два
измерения при неизменном входном напряжении U. Когда
переключатель находился в положении 7, вольтметр показал 100 В.
При установке переключателя в положение 2 вольтметр показал
90 В. Найти сопротивление R резистора.
Рис. 1.13
1.29. На рис. 1.13, а—г изображены четыре схемы,
составленные из проволок. В местах соединений проволоки спаяны.
Определить: а) входное сопротивление между точками а и Ь
схем рис. 1.13, а, б, полагая сопротивление каждой проволоки
равным R\ б) входное сопротивление между точками а и Ъ, с и d
схемы рис. 1.13,6, считая сопротивление каждой проволоки
равным R; в) потенциалы точек с, d, e, f, g схемы рис. 1.13,2,
полагая потенциал точки а равным 18 В, а потенциал точки &
равным— 18В. Считать сопротивление каждой проволоки, кроме
10
проволок, находящихся на линии О
ложенных на линии О—О равным
горизонтальных перемычках
схемы рис. 1.13, г будет
отсутствовать ток?
1.30р. На рис. 1.14, а
изображен проволочный куб, каждое
ребро которого имеет
сопротивление R = 1 Ом. Найти
сопротивление между точками а и
Ь, а и су d и с.
1.31. Шесть проволочных
колец диаметром d, сечением
S и удельным сопротивлением
р и четыре проволоки длиной
d того же сечения и из того
же материала спаяны, как показано
сопротивление между точками а и
—0, равным ЗОм, а распо-
0,5/? = 1,5 Ом. Во всех ли
а
\
/7W
Рис. 1.14
на рис. 1.14,6. Определить
Ь проволочной фигуры.
Г. Входные и взаимные проводимости ветвей.
Теорема взаимности. Принцип наложения. Теорема вариаций
1.32р. Для схемы рис. 1.15, а найти входные и взаимные
проводимости. Значения сопротивлений резисторов в омах указаны
на схеме.
Rfi
1я6етбь 2я6етвь
1.33. В схеме рис. 1.15,6 определить входные и взаимные
проводимости g-n, g12, g13, g22, g-23, g-33. Значения сопротивлений
резисторов в омах указаны на схеме.
1.34р. Известны входные и взаимные проводимости ветвей
схемы рис. 1.15, в: gu = 0,454 См; g12 = 0,273 См; gls = 0,182 См;
?22 = 0,3635 См; ?23 = 0,091 См. Найти ток /2, если ?1=10мВ;
?2 = 6мВ; ?3 = 5мВ.
1.35. В схеме рис. 1.15, в ток /х = 4мА. Значения э. д. с. Е2
и Е3 и проводимостей даны в условии задачи 1.34р. Определить
э.д.с. Е±.
1.36. 1. На рис. 1.16,.а буквой П обозначена пассивная часть
некоторой схемы. Токи в двух ветвях схемы обозначены 1% и /2.
11
Каждый из переключателей Л* и Я2 может находиться в одном
из трех положений* В табл. 1.1 приведены данные двух режимов
работы схемы.
Полагая Е1 = ЗЕ[ и ?? = 4??, найти токи It и /2 в режиме,
когда переключатели П± и П.2 находятся в положении 3.
а)
Рис. 1.16
2. Токи в трех ветвях схемы рис. 1.16,6 обозначены /lf /2
и /3. Известны токи в трех режимах работы схемы (табл. 1.2).
Таблица 1.1
Режим
1
2
Положение Я4
2
1
Положение П2
1
2
Л, мА
/i = 80
/i = ^-80
/2, мА
/2 = 40
/2 = ~96
Таблица 1.2
Режим
Положение Пг
Положение П2
Положе-
iiije Я8
мА
/2, мА
2
1
1
200
—60
/2 = 60
/а =—120
/;=—40
Найти токи в четвертом режиме, когда все переключатели
находятся в положении 3, если El = 2E'1; E = 3E'2; EZ = 4E'9.
1.37. На рис 1.17, а изображен активный четырехполюсник А
с двумя выделенными ветвями I и 2, В исходном режиме ток
/1 = 7А. В ветвь 1 дополнительно включили резистор
сопротивлением Д#= 10м. При этом ток ветви 1 стал 5,516 А, не изменив
12
h
A
2
Рис. 1.17
направления. Определить входную проводимость первой ветви и
изменение тока Д/2 второй ветви, полагая, что взаимная
проводимость между первой и второй ветвями #12 = 0,1153См.
Д. Метод контурных токов. Метод узловых потенциалов.
Метод двух узлов. Баланс мощностей.
Замена нескольких параллельных ветвей эквивалентной
1.38р. Определить мощность, доставляемую источником тока,
в схеме рис. 1.17, б при J = Jk = 1 А; Ix = 0,3 A; R = 10Ом; Е = 3 В.
1.39. Найти токи в ветвях схемы рис. 1.18, а методом
контурных токов и методом двух узлов. Сравнить результаты.
Проверить выполнение баланса
мощности , если J = 1 А; jRt = 5 Ом;
?2=16В;
1.40. Вычислить токи в
ветвях схемы рис. 1.18,6 методом
узловых потенциалов и методом
контурных токов. Составить
уравнение баланса мощности. Исходные
а а
б)
Рис. 1.18
Рис. 1.19
данные: ?1=25В; ?2=10В; ?6 = 20В; / = 2А; #2 = 10Ом;
Я3 = 20Ом; #4 = 10Ом; #5 = 8Ом; Яб=5Ом.
1.41. В мостовых схемах рис. 1.19, а—г определить токи
в ветвях методом контурных токов и методом узловых
потенциалов. В схемах рис. 1.19, а, б в диагонали cd находится источник
тока с/= 1 А, в схемах рис. 1.19, в, г—источник э.д.с. с ?2 = 5,1 В.
13
Схемы рис. 1.19, а и б, виг отличаются полярностью э.д.с.
?б=1В. Исходные данные: R1=IOm; R2-
4 5 б
1.42р. Сколько уравнений следовало бы составить для расчета
токов в схеме рис. 1.7, если воспользоваться: а) методом узловых
потенциалов; б) контурных токов?
1.43. В схеме рис. 1.18, а заменить одной эквивалентной
ветвью: а) ветви 1 и 2; б) ветви 2 и 3. Номер ветви соответствует
номеру резистора.
Е. Активный двухполюсник. Метод эквивалентного генератора
1.44. Опытным путем был получен участок зависимости тока /
на входе некоторого активного двухполюсника в функции от
напряжения U на его зажимах (рис. 1.20, а). Рассчитать параметры
U
0,2
\
*)
Рис. 1.20
схемы замещения этого двухполюсника: а) с источником э.д.с;
б) с источником тока.
1.45. Определить ток /3 в схеме рис. 1.20,6 методом
эквивалентного генератора, если ?^ = 20 В; 7=1 А; /?1=10Ом; /?2=10Ом;
5О #15О # 5О # 5О
#3 ; 4; 5 6
1.46. Методом эквивалентного генератора определить ток /5
в диагоналях ab мостовых схем рис. 1.19, а—г. Значения
параметров даны в условии задачи 1.41.
А
а
b
Рис. 1.21
1.47р. В схеме рис. 1.21, а с помощью вольтметра с
внутренним сопротивлением Rv и амперметра с внутренним сопротивле-
14
нием RA были проведены измерения для трех сочетаний
положений переключателей Пг и Я2. Результаты измерений приведены
в табл. 1.3.
Таблица 1.3
Режим
1
2
3
Положение
пх
1
2
2
Положение П2
2
1
2
Показание
амперметра, А
0,4755
0,906
1,295
Показание
вольтметра, В
95,3
0
86,5
Определить сопротивление R резистора, внутреннее
сопротивление амперметра RAi внутреннее сопротивление вольтметра Rv,
входное сопротивление двухполюсника RByab относительно точек
а и bt напряжение на зажимах а и b при холостом ходе UabJL.
1.48р. Переключатель П в схеме рис. 1.21,6 может находиться
в трех положениях. Когда он находится в положении 1, ток
/ = /г=100мА, в положении 2 ток / = /2 = 50мА, в положении 3
ток / = /3 = 20мА. Сопротивление резистора #2=1к0м.
Определить сопротивление резистора RSy входное сопротивление
двухполюсника относительно точек а и b и напряжение холостого
хода UabK.
Ж. Передача мощности от активного двухполюсника нагрузке.
Теорема компенсации
1.49. Для двухполюсника рис. 1.22, а при изменении
сопротивления нагрузки RH была получена зависимость мощности Рю
выделяющейся в нагрузке, от Rn (рис. 1.22,6). Определить:
а) напряжение на зажимах а и b двухполюсника при холостом
ходе; б) входное сопротивление двухполюсника относительно
точек а и Ь; в) к.п.д. при 7?н = 0,5 и 2Ом.
4 RH,OM
Рис. 1.22
1.50. Какую э.д.с. должен иметь источник э.д.с, включенный
в ветвь ab (рис. 1.22, а) вместо резистора сопротивлением RK = 1 Ом,
и как она должна быть направлена, чтобы ток / этой ветви не
изменился?
15
1.51р. Определить сопротивление резистора нагрузки RH в схеме
рис. 1.10,6 (вариант 1 примера 1.20), при котором в нагрузке
выделяется максимально возможная мощность. Найти эту
мощность.
1.52. По двухпроводной линии постоянного тока с
напряжением на конце линии t/2 = 100 В передается нагрузке мощность
Рн=10кВт. При этом к.п.д. передачи у) = 0,9. Чему будет равен
к.п.д., если при той же передаваемой мощности напряжение на
нагрузке станет 200 В?
3. Задачи на различные темы
1.53р. Для схемы рис. 1.23, а записать два уравнения,
связывающие входные gllt g22 и взаимную g12 проводимости ветви
с собственными и взаимными сопротивлениями контуров /?u, R12, R22.
1.54. На рис. 1.23,6 изображен активный четырехполюсник.
В ветвях 1 и 2 протекают токи 1г и /2, положительные
направления которых указаны на
рисунке. В ветвь 2 подключили
резистор сопротивлением AR, в
/ /
?5
а)
7
А
7
?
в)
Рис. 1.23
результате чего токи 1Х и /2
изменились на А1[ и Д/2. Затем-
этот резистор перенесли из
ветви 2 в ветвь 1. При этом ток 1г
изменился на АГ[ по сравнению
с его первоначальным значением.
Определить входные
проводимости gtl и g22 и взаимную
проводимость g2, а также изменение
тока Л/г в случае, когда
резистор сопротивления AR включен
в ветвь L
1.55. На рис. 1.23, в
изображены два электрических
изолированных контура. Первый контур образован источником
напряжения (э.д.с.) иг и резисторами с сопротивлениями Rx и /?3=1Ом.
С резистора R3 снимается выходное напряжение. Второй контур
образован источником напряжения (э.д.с.) U2 и резисторами,
имеющими сопротивления R2 и R3 — 1Ом. Сопротивления
резисторов /?! и R2 могут изменяться, оставаясь всегда равными друг
другу (движки реостатов жестко соединены). Доказать, что
выходное напряжение {/вых будет равно UJU2, если сопротивление
резистора R2 при изменяющемся напряжении U2 варьировать так,,
чтобы ток /2 поддерживался неизменным и равным 1 А.
1.56. Для подсчета входных и взаимных проводимостей
симметричных схем с перекрестными связями, например схемы
рис. 1.24, я, перекрестные резисторы сопротивлением RQ делят на
неравные части х и у (рис. 1.24,6) так, чтобы точка т имела
нулевой потенциал, а токи /е = II в схеме рис. 1.24, а были равны
16
токам Ix = Iy в схеме рис. 1.24, б. После этого симметричную
относительно нулевой линии О—О схему рис. 1.24,6 заменяют ее
половиной (рис. 1.24, в). В укороченной схеме резистор
сопротивлением /?4, расположенный по линии симметрии, отсутствует»
поскольку ток через него в схемах рис. 1.24, а, б не протекает.
Входная или взаимная проводимость укороченной схемы рис. 1.24, в
Рис. 1.24
в два раза больше соответствующей входной или взаимной
проводимости исходной схемы рис. 1.24, а. Вывести формулы для
определения сопротивлений х и у и найти взаимную проводимость
между ветвью с резистором сопротивлением Rt и ветвью с
резистором сопротивлением #н в укороченной схеме рис. 1.24, в (gH1VKOp).
1.57р. На рис. 1.25, а изображен граф, в котором имеется
пять узлов и восемь ветвей. Выберем дерево графа, изображен-
В)
Рис. 1.25
ное на рис. 1.25,6, обозначим его ветви номерами 1, 2, 3, 4,
а остальным ветвям графа придадим номера 5,6,7, 8, Поставим
стрелки на всех ветвях графа (рис. 1.25,в). Сопротивления
ветвей электрической схемы, которую изображает граф, обозначим
R1—RB (проводимости g1—g8). В ветвях 5 и 7 имеются
источники э.д.с. Еъ и ?7; кроме того, в схеме имеются два источника
тока Je и /8. Составить узловую матрицу [А], заземлив узел 5,
матрицу главных сечений [QT] и матрицу главных контуров [К^
1.58. Используя топологические матрицы, составленные при
решении задачи 1.57 р, составить для схемы рис. 1.25, а
уравнения по законам Кирхгофа.
1.59. Записать уравнения по методу контурных токов в мат-
рично-топологической форме для схемы рис. 1.25, в, взяв за основу
дерево, изображенное на рис. 1.25,6, обозначив контурные токи
^55> ^66» ^77> ^ss» выбрав их положительные направления по
стрелкам на хордах 5,6,7,8 соответственно.
1.60. Для схемы рис. 1.25, в записать систему уравнений по
методу узловых потенциалов, взяв за основу узловую матрицу [А],
составленную для узлов 1—4, полагая узел 5 заземленным.
1.61. По матрице
Сечения
—1
—1
0
0
Ветви
5 6 7 8'
0 0 1
1 0 0
1 1 0
0 1 —lj
для задачи 1.57р составить матрицы [Кт] и [QT].
1.62. Заданы узловая матрица и матрица главных контуровз
1—110 0 0 0 0
0 0—1 1 1 0 0 0
[А] = 0 0 0 0—1—1 1 0
0 0 0—1010—1
Ll 00000—10 —lj
го о о 1 —1 1 о о оп
1 0 1 0 10 10 0
0—1—1—1 0 0 0 10
L1 —1 0 0 0 0 0 0 1J
Построить граф, жирными линиями выделить на нем дерево и
показать положительные направления отсчета тока и напряжения
на каждой ветви графа.
1.63. По узловой матрице
¦ 1 0 0 0 0—1—1 0
—1—1 0 0 0 0 0—1
0 0—100001
0 10 0
[А]-
о
_ о
1
о
1 1
о о
0
0
0
1
0
0
1
0
-10 0 0—1 —lj
построить граф и для него составить матрицу главных контуров,
взяв в качестве ветвей дерева ветви /, 2, 3, 4f 5.
Глава вторая
Индуктивные и емкостные элементы электрических
цепей
А. Индуктивность и взаимная индуктивность катушек
2.1р. По катушке с числом витков до = 6 протекает ток / =
= 3,2 А. Картина магнитного поля, возникающая при этом,
показана на рис. 2.1. Определить потокосцепление катушки г|э и
ее индуктивность L, если картина поля построена так, что
каждая магнитная силовая линия соответствует силовой трубке с
одинаковым значением потока АФ=10~4 Вб.
Рис. 2.1
Рис. 2.2
2.2р. Две магнитно-связанные катушки с числом витков до,- =
« 100 и ш2=150 обтекаются соответственно токами /х=10 А и
/2 = 20 А. Найти индуктивность катушек Lx и L2 и взаимную
индуктивность М, полагая, что каждая силовая линия
магнитного поля на рис. 2.2 соответствует силовой трубке с потоком
АФ=10~4 Вб.
2.3р. Вычислить взаимную индуктивность между
двухпроводной линией АС и прямоугольной рамкой тп, стороны которой
80
т
^ 40
В
2го
Рис. 2.3
Рис. 2.4
Рис. 2.5
параллельны проводам линии и равны (/ = 40 см), число витков
ш =100. Взаимное расположение линии и рамки показано на
19
рис. 2.3. Необходимые размеры на рисунке указаны в
сантиметрах.
2.4. Рассчитать индуктивность кабеля (рис. 2.4) длиной / =
= 10 км, радиусом жилы i?1 = 5vMM и внутренним радиусом
оболочки /?2 = 20 мм, не учитывая потокосцепление в телах жилы и
оболочки.
2.5. Определить взаимную индуктивность между лежащим в
одной плоскости двухпроводной линией АВ и разомкнутым
кольцевым витком с радиусом г0 (рис. 2.5), если: а) виток
неподвижен; б) виток вращается вокруг горизонтальной оси О—О' с
частотой @=1000 с; го=1 см; /?1=10 см; jR2 = 20 см. При
ro<^R1 приближенно считают, что виток находится в
равномерном магнитном поле, индукция которого равна индукции в его
центре.
Б. Индуцированные э. д. с.
2.6р. При полете самолета в магнитном поле Земли между
концами его крыльев наводится э. д. с. Определить эту э. д. с,
если поле Земли считать равномерным и имеющим индукцию
5=1,5-10~5 Тл, длину крыла самолета / = 10 м, угол между
Рис. 2.6
крыльями р=120°, скорость движения самолета v = 720 км/ч.
Вектор скорости составляет угол а = 60° с вектором магнитной
индукции (рис. 2.6).
2.7. Металлический диск радиусом г0 вращается с частотой
п об/мин в равномерном магнитном поле, направленном за
чертеж перпендикулярно плоскости диска (рис. 2.7). Вывести
формулу для определения э. д. с, наводимой между щетками,
присоединенными к точкам О и а диска.
20
2.8. Прямоугольная рамка со сторонами я = 2 см, 6 = 5 см и
числом витков w = 1 000 находится в магнитном поле. Магнитная
индукция, пронизывающая рамку, изменяется, как показано на
рис. 2.8, а. Определить наведенную э. д. с. Построить графики
e = f(t) и Ф = /(/), полагая, что постоянная составляющая
потока равна нулю, а на разомкнутых концах рамки получена э. д. с.
прямоугольной формы (рис. 2.8,6) с периодом Т = 5-10~3 с.
0,1
\\T/2=0,0f T=0t02
t.e
В
T/2
t,e
Рис. 2.8
2.9. Прямоугольная рамка со сторонами а и b и числом
витков w (рис. 2.9) вращается с угловой частотой со в равномерном
магнитном поле, имеющем индукцию В. Найти э. д. с
наведенную между разомкнутыми концами обмотки.
2.10. Прямоугольный контур abed движется в неравномерном
магнитном поле, где каждая силовая линия соответствует
силовой трубке с потоком ДФ =
= 10 Вб. На рис. 2.10нап- <?/_ a br b
равление силовой линий выб- !\
рано за плоскость рисунка. | 1*
Определить значение и нап- I
равление э. д. с, наводимых ^-
в разомкнутом контуре, если '
он переместится за время
At = 0,01 с: а) из положения Рис' 2Л0
abed в положение афгсгй±
(рис. 2.10, а); б) из положения abed в положение a2b2e2d2 (рис. 2.10, б).
2.11. По данным задачи 2.5 рассчитать э. д. с/, наведенную в
разомкнутом вращающемся витке радиусом г0, если по линии
протекает: а) постоянный ток /=10 А; б) синусоидальный ток
*= 10 sin 1000/ А.
В. Механические усилия в магнитном поле
2.12. Определить силу, действующую на сторону т рамки в
задаче 2.3р, если по проводам линии течет постоянный ток L =
= 100 А, а по рамке—ток /2= 1 А.
21
2.13. На рис. 2.11 показано расположение параллельных
проводов Л, Bf С, D двух двухпроводных линий постоянного тока
Ii в каждом из них и проводника М с постоянным током /2.
Указать провода линии с одинаковыми направлениями токов,
при которых усилие на 1 м проводника М было бы: а)
минимальным; б) максимальным. Рассчитать эти силы при а = 20 см;
/1=100 А; /2=1 А.
2.14. К точкам О и а диска (см. условие задачи 2.7)
подведено постоянное напряжение ? = 0,25 В. Сопротивление прово-
А В
а
И
т/Т
2
Рис. 2.11
Рис. 2Л2
дов i?np = 2 Ом; сопротивление участка диска между точками О
и а #д = 0,5 Ом; радиус диска г0 = 10 см. Определить силу F,
действующую на участке Оа, и частоту вращения диска п> если
J3 = 0,956 Тл. Как должна быть направлена э. д. с. для того,
чтобы диск вращался по часовой стрелке?
2.15, Рамка магнитоэлектрического вольтметра расположена
на ферромагнитном барабане (рис. 2.12) и находится в
радиальном магнитном поле с индукцией Б = 0,2 Тл. Найти
вращающий момент рамки, если по ней протекает ток 7 мА. Длина
рамки (размер, перпендикулярный рисунку) а =12 мм, ширина
6 = 25 мм, число витков ш=125.
Г. Энергия магнитного поля
2.16. Определить энергию магнитного поля катушки в
задаче 2.1р.
2.17. Рассчитать энергию магнитного поля двух магнитно-
связанных катушек задачи 2.2р.
2.18. Вычислить внутренние индуктивности на единицу длины
жилы Lt и оболочки L2 кабеля задачи 2.4, если R3 = 22 мм.
2.19р. На одном сердечнике цилиндрической формы с
площадью поперечного сечения S = 50 см2 расположены две катушки,
обтекаемые токами (рис. 2.13). Первая катушка неподвижна,
вторая может перемещаться вдоль оси х. Неподвижная катушка
с током It создает магнитное поле. Зависимость составляющей
магнитной индукции, направленной вдоль оси х, выражена
соотношением Б = е~ЗАГ Тл. Определить силу, действующую на вторую
катушку, если /я=10 А; ку2 = 20.
22
2.20. Рассчитать энергию, которую необходимо затратить на
создание магнитного поля с индукцией В0 = 0,8 Тл в
тороидальном сердечнике сечением S = 10 см2 и длиной средней линии
/ср = 25 см. Кривая намагничивания приведена на рис. 2.14.
У
0J 0,2 0,3
х,М
0,8
0,6
OS
0,2
/
/
/
Рис. 2.13
200 400 h,A/M
Рис. 2.14
Д. Емкость как параметр электрической цепи
2.21р. Рассчитать емкость кабеля (см. рис. 2.4) по данным
задачи 2.4, если относительная электрическая проницаемость
диэлектрика кабеля ег = 4.
2.22. Напряженность электрического поля в плоском
конденсаторе ? = 2104 В/см, площадь пластин S = 200 см2, расстояние
между ними d=l см, ег = 4 (рис. 2.15,а). Определить
напряжение, заряд и емкость конденсатора.
10
8
6
4
2
*)
\
\\
\
\
—^.
— I
10 20 30 40 50tW°C
б)
Рис. 2.15
2.23. Вычислить емкость конденсатора, если известно, что до
начала его разряда напряжение на нем было 100 В; кривая
тока разряда приведена на рис. 2.15,6.
2.24. Найти ток, протекающий через конденсатор емкостью
20 мкФ, если напряжение на нем изменяется по закону u(t) =
= 100 sin 1000* В.
2.25. Подсчитать электрическую энергию конденсатора: а) в
задаче 2.22; б) в задаче 2.23.
2.26. Энергия двух одинаковых параллельно включенных
конденсаторов №э=1 Дж (рис. 2.15, в). Напряжение на них U =
j= 1 кВ. Определить емкость каждого конденсатора.
23
' ' Глава третья
Электрические цепи однофазного
синусоидального тока
А. Мгновенные значения синусоидального тока
напряжения и мощности. Активные, реактивные,
комплексные сопротивления и проводимости.
Символический метод расчета
3.1. Известно, что в момент времени * = 0 мгновенное
значение синусоидального тока 1 = 5 А и достигает положительного
максимума через ^ = 2,5 мс. Период Т = 0,02 с. Определить
амплитудное значение тока, начальную фазу и угловую частоту.
Записать выражение для мгновенного значения тока и построить
ее график.
3.2р. По RC-иепи (рис. 3.1) протекает синусоидальный ток с
амплитудным значением /^ == 1,41 А; / = 50 Гц. Найти
мгновенные значения приложенного к цепи напряжения и, напряжений
на конденсаторе ис и резисторе и#, если jR = 100 Ом; С = 31,8 мкФ.
Построить графики мгновенных значений тока, приложенного к
цепи напряжения и мощности.
3.3р. Катушка, индуктивность которой L=100 мГн,
включена последовательно с резистором сопротивлением R = 10 Ом
(рис. 3.2). Рассчитать мгновенные значения тока i и
приложенного к цепи напряжения и, если э. д. с. самоиндукции eL =
= 100 sin (ЗШ +30°) В. Построить графики мгновенных
значений тока, напряжения на катушке индуктивности и э. д. с.
самоиндукции.
Рис. 3.1
Рис. 3.2
Рис. 3.3
3.4р. Для определения параметров катушки (R, L) измерены
подведенное к катушке напряжение и ток в ней (рис. 3.3) при:
а) /1==0; ?^ = 100 В; /х = 1 А; б) /2 = 500 Гц; ?/2=100 В; /2 =
*= 0,5 А. Рассчитать R, L п показание амперметра при fz =
= 1000 Гц; G3=100 В.
3.5. В схеме рис. 3.4 протекающий ток отстает от
приложенного к цепи напряжения на 45°; # = 50 Ом; С = 3,18 мкФ; / =
s= 500 Гц. Определить индуктивность L, приложенное
напряжей / У
ние йас и ток в цепи /, если {Уд& = 315 В. Записать выражение
для комплексного сопротивления цепи.
24
3.6. В схеме рис. 3.5 при разомкнутом выключателе сдвиг
фаз между током / и напряжением на входе О <рг = 60°. Найти
сдвиг фаз между ними при замкнутом выключателе.
R
Рис. 3.4
Рис. 3.5
3.7. При каком значении емкости конденсатора С в цепи
рис. 3.6 ток в ветви с катушкой будет в три раза больше тока
в ветви с конденсатором. Определить комплексные значения
входного сопротивления ZBX и входной проводимости YBX. Исходные
данные: Ях = 9 Ом; Я2 = 3 Ом; L = l,28 мГн; ? = 500 Гц.
3.8. Найти комплексные значения входной проводимости и
входного сопротивления, а также мгновенные значения прило-
ь
•I
Рис. 3.6
Рис. 3.7
Рис. 3.8
женного напряжения и токов в ветвях цепи рис. 3.7, если
проводимости ветвей и = 0,01 См, 6 = 0,02 См, а действующее значе-
.ние тока на входе /=1 А.
3.9. К входным зажимам цепи рис. 3.8 приложено
напряжение a = 282sin(co? + 30°) В. Ток, протекающий через конденсатор,
? = 1,41 cos со/ А; Хс = 73,5 Ом; XL = 50 Ом. Определить
комплексное сопротивление, заменяющее сопротивление Z и состоящее
из последовательно соединенных активного и реактивного
сопротивлений. Рассчитать токи 1Х и /2, а также активную и
реактивную проводимости двух параллельных ветвей, с помощью
которых можно заменить данную цепь.
Б. Векторные и топографические диаграммы
ЗЛО. Построить векторную диаграмму токов и напряжений
по результатам расчета предыдущей задачи для цепи,
приведенной на рис. 3.8.
3.11. Параметры схемы рис. 3.9: 7^=10 Ом; С =159 мкФ;
7?2=10 Ом; 1 = 31,8 мГн; ?„=100 В; / = 50 Гц. Рассчитать
25
токи в ветвях: а) с помощью закона Ома; б) методом контурных
токов; в) методом двух узлов. Построить векторную диаграмму
токов и топографическую диаграмму.
3.12р. В цепи рис. 3.4 измерены ток / = 2 А, напряжения на
входе Uac=l00 В, на катушке ?/аЬ = 173В, на конденсаторе
Ubc=l00 В. Построить векторную диаграмму напряжений и
определить комплексное сопротивление катушки.
Рис. 3.9
Рис. ЗЛО
3.13. Определить показания амперметров А2 и А3 по
известным значениям Аи Л4, Аь (рис. ЗЛО), если /i = 5,64 А; /4 = 4 А;
/5 = 3 А.
3.14. В цепи рис. 3.11 измерены все токи и напряжения:
/i = /a = /8 = 2 А; ^& = [/&,= 100 В; f/flc=141 В. Построить
векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму, приняв
<рь = 0. Найти Z1% Z2, Z3 и ZBX.
h
Рис. 3.11
3.15. С помощью топографической и векторной диаграмм
определить в приведенной на рис. 3.12 цепи токи /1э /2 и
напряжение на входе цепи Ul9 если ток /3 = 1 А. Сопротивления
элементов цепи в омах указаны на схеме.
В. Активная, реактивная и полная мощности в цепи
переменного тока
3.16р. Определить активную, реактивную и полную мощности
в цепи по данным задачи 3.2р.
3.17р. Рассчитать параметры схемы замещения пассивного
двухполюсника при замене его: а) последовательно включенными
активными реактивным сопротивлениями; б) параллельно
включенными активным и реактивным сопротивлениями. Показания
26
приборов в схеме рис. 3.13: 17 = 80 В; Р = 102 Вт; / = 1,6 А.
Учесть, что при включении конденсатора небольшой емкости
параллельно входным зажимам двухполюсника показание
амперметра уменьшается.
3.18. Для увеличения коэффициента мощности coscp в
электрическую цепь включают конденсатор. Определить coscp по
данным задачи 3.3р. Для cos ф = 0,865 рассчитать емкость
конденсатора, который следует включить в цепь: а) последовательно с
источником питания; б) параллельно ему.
Рис. 3.13
3.19. Коэффициент мощности нагрузки, состоящей из
последовательно соединенных активного и индуктивного
сопротивлений, равен 0,8. Как следует изменить индуктивное сопротивление,
чтобы при его параллельном включении с тем же активным
сопротивлением значение coscp не изменилось?
3.20. Потребляемая активная мощность цепи рис. 3.14 равна
150 Вт. Определить показания приборов и проверить баланс
мощностей, если R = 50 Ом; XL = 43,25 Ом; Хс = 86,5 Ом.
Рис. 3.15
Рис. 3.16
3.21. Комплексы полных мощностей генераторов в схеме
рис. 3.15 §х = 250 +/1250 ВА; Sa = 375 + /125 B-A; Д =
= 12,75е-/7в8°45'в А; индуктивное сопротивление XL= 10 Ом.
Найти Ёи ?2, /2, /3, Хс, R.
3.22. На рис. 3.16 показана часть электрической цепи, для
которой/lS=10e/370 A; /3-8e-/15° A; Zx = 2 Ом; Z2= l,8e-/44° Ом.
Определить показание ваттметра.
27
Г. Резонансы и частотные характеристики
3.23р. Конденсатор емкостью С =1000 пФ имеет добротность
Q == 1000 и работает на частоте /=1 мГц. Определить параметры
последовательной и параллельной схем замещения этого
конденсатора.
3.24р. Потери в обмотке катушки на частоте / составляют
10 Вт при напряжении 100 В и токе 1 А. Рассчитать
добротность катушки для данной частоты и параметры
последовательной и параллельной схем замещения.
3.25. Чему равна добротность Q: а) последовательного
резонансного контура, если добротности конденсатора и катушки
соответственно равны Qx и Q2; б) параллельного резонансного
контура, составленного из тех же элементов? Учесть, что при
резонансе co0L = 1/(сооС); эквивалентная проводимость двух ветвей
8* = Sc + S6 Q=l/[1/K^9)]-
3.26р. В последовательной резонансной цепи /? = 2 Ом; С =
= 100 мкФ; L = 40 мГн. Определить резонансную частоту,
добротность контура, полосу пропускания и зависимость полосы
пропускания от добротности контура. Построить резонансную
кривую ///тах = / (я) в относительных единицах, где п = со/оз0.
При U = 10 В построить векторные диаграммы напряжений для
частот соо/2, оо0, 2о0.
3.27. Выбрать параметры индуктивной катушки для
последовательного резонансного контура, обеспечивающие полосу
пропускания от /х = 148 кГц до /2 = 152 кГц.
-ом Емкость конденсатора С=10~8 Ф.
3.28. Для измерения параметров ка-
I тушки применяют Q-метр, принцип дей-
оп ствия которого основан на явлении резо-
Рис з 17 нанса напряжений. Схема прибора
показана на рис. 3.17. Известно, что при
резонансе напряжений отношение напряжения на конденсаторе к
напряжению на входе Umn/Uab= 100; С= 10000 пФ; /=10 кГц.
Определить параметры катушки.
3.29. При резонансе ток в цепи рис. 3.17 равен 0,1 А при
напряжении на входе 12 В. Добротность контура Q = 3. Найти
напряжение на всех элементах и ток в цепи при со = 2со0 и том
же значении напряжения.
3.30. В резонансном режиме электрическая цепь, собранная
по схеме рис. 3.17, позволяет увеличить подведенное
напряжение в Q раз и повернуть его на угол ф = —90°. Напряжение
Umn = UabQe-№°°. Какими должны быть параметры цепи, чтобы
при резонансной частоте соо=106с~1, напряжении на входе Uab =
= 10 В и потребляемой мощности 1 Вт получить на выходе
?/ЛЯ = 1000 В?
3.31. Параметры цепи рис. 3.18: 7? = 10 Ом; L = 40 мГн;
С =100 мкФ; (/=16,6 В. Определить резонансную частоту и
построить графики зависимости /1Э /2, Uab от /.
28
3.32. Рассчитать резонансную частоту цепи, состоящей из
параллельно включенных конденсатора емкостью 100 мкФ,
катушки индуктивностью 40 мГн и резистора сопротивлением 10 Ом.
Построить векторную диаграмму токов при G = 46 В.
Рис. 3.18
Рис. ЗЛ9
3.33. В цепи рис. 3.19 / = 8 А; /?1 = 4 Ом; R2^2XL. При
резонансе токов амперметр показывает 5 А. Рассчитать токи в
остальных ветвях, а также сопротивления Хс, XL, R2.
3.34. В цепи рис. 3.20 ^ = ^ = 20 мГн; С = 200 мкФ; R =
= 2 Ом. Определить резонансные частоты и токи в режиме
резонанса напряжения при ?/ = 20 В.
Рис. 3.20
Г. Г
» о—4
4)
Рис. 3.21
3.35р. Построить частотные характеристики входных
сопротивлений и проводимостей для цепей рис. 3.21, а, б, если L =
= 40 мГн; С =100 мкФ. Записать условие возникновения резо-
нансов для этих цепей.
*;
Рис. 3.22
3.36. Какие двухполюсники из приведенных на рис. 3.22, а—г
имеют одинаковые частотные характеристики? Качественно
постройте их.
3.37. Известно, что цепь состоит из четырех реактивных
элементов. В этой цепи возникает три резонанса, причем первым
наступает резонанс токов. Качественно построить частотную ха-
29
рактеристику такой цепи. Составить несколько схем, дающих
такую же характеристику..
3.38. Качественно построить частотные характеристики цепей,
приведенных на рис. 3.23, а, б.
-да-да
Рис. 3.23
Д. Магнитно-связанные цепи
3.39р. На рис. 3.24 показаны схема соединения и намотка
катушек, имеющих общий сердечник (здесь и далее цепи
линейные). Определить одноименные зажимы катушек. Привести
электрическую схему цепи с учетом взаимной индуктивности. Вывести
выражение для входного сопротивления цепи, если известны
параметры катушек Rl9 Li9 R2, L2 и взаимная индуктивность М.
Рис. 3.24
Рис. 3.25
Составить эквивалентную схему замещения данной цепи без
магнитных связей.
ЗЛО. Определить напряжение и2 в цепи рис. 3.25, если
известны М18, М24 и i1 = Imsin(dt А.
3.41. Активная мощность цепи, состоящей из двух
последовательно соединенных магнитно-связанных катушек, при их
встречном включении в 10 раз больше, чем при согласном.
Рассчитать активное сопротивление второй катушки, если Rt = 2 Ом;
Х^Ю Ом; Х2 = 20 Ом; ХМ = Ю Ом.
3.42. Какое сопротивление Z следует включить в схему
рис. 3.26 последовательно с Х2, чтобы напряжение на Х2 было
равно нулю при /3 = 5 А? Построить топографическую
диаграмму. Определить напряжение на входе схемы и токи в ветвях.
Исходные данные: R1 = X1 = X2 = 5 Ом; Х3 = 4 Ом; Хм = 2 Ом.
3.43р. На рис. 3.27 изображена схема, в которой к входным
зажимам трансформатора, имеющего параметры Rl = 2,3 Ом;
30
Х1==8 Ом; Xj~10 Ом; Хм = 8 Ом, присоединена нагрузка Z.
Найти сопротивление нагрузки исходя из условия выделения в
ней максимальной активной мощности. Рассчитать токи
трансформатора, построить векторную диаграмму, составить баланс
активной мощности и схему замещения трансформатора без
магнитной связи при (/1=100В.
Рис. 3.26
Рис. 3.27
3.44. Рассчитать токи в ветвях и напряжения Uac, Ubc в
цепи, приведенной на рис. 3.28, если / = 20 А; /?х = 4,9 Ом; Хс =
151 О Д 51 О X Q О Х10 О Х 3 О
= 15,1 Ом; Я2 = 5,1 Ом; XLi = 6 Ом; ^=10 Ом;
b
с
= 3 Ом.
а!*
«г
Рис. 3.29
3.45. Составить эквивалентную схему замещения цепи рис. 3.29
без магнитных связей, если известны Ru Ll9 /?2, L2, R39 L3, a
M M M M
Рис. 3.30
Рис. 3.31
3.46. Определить показания вольтметра и ваттметра в цепи
рис. 3.30: а) при разомкнутом выключателе; б) при замкнутом
выключателе. Параметры схемы: R1 = R2= 10 Ом; Хг = Х2 = 10 Ом;
?=141 В; коэффициент связи К = 0,8. Во втором случае
составить баланс активной мощности для ветви с R2 и Х2.
31
3.47. При расположении катушек на разветвленном
сердечнике нахождение одноименных зажимов производят для каждой
пары катушек. Определить одноименные зажимы катушек на
рис. 3.31. Для каждой пары ввести свое обозначение
одноименных зажимов.
Рис. 3.32
Рис. 3.33
3.48. Рассчитать емкость конденсатора, при которой в цепи
рис. 3.32 наступит резонанс.
3.49. Какой коэффициент связи двух магнитно-связанных
катушек следует выбрать для того, чтобы в цепи рис. 3.33
установился резонанс токов?
Параметры схемы: 1х=16мГн; L2 =
= 9,55 мГн; С = 2 мкФ; / =
= 1000 Гц.
3.50. Рассчитать емкость
конденсатора, при которой
возникнет резонанс в первичной
обмотке трансформатора (рис. 3.34),
если Хг = 47,5 Ом; Х2 = 30 Ом;
i?2 = 5 Ом; #„ = 35 Ом;
= 25 Ом; ¦
;
Хм =
Рис. 3.34 #25 Ом; „ м
; / = 1000 Гц; Хс^ = 0.
Найти токи в обмотках трансформатора в условиях резонанса
при ?=100 В; /?1==10 Ом.
3.51р. При каком значении емкости конденсатора С2 ток в
цепи рис. 3.34 достигнет максимального значения? Определить
ток /2. Данные для расчета взять из предыдущей задачи, XCi
считать равным нулю.
Е. Задачи на различные темы
3.52р. Определить ток в сопротивлении Z6 (рис. 3.35), если
Zx = 6 Ом; Za = —/20 Ом; Z3 = Z4 = Z5 = 12 Ом; Z6 = /2,5 Ом;
?=104е-'30° В. Задачу рекомендуется решать методом
эквивалентного генератора.
3.53р. Для измерения параметров конденсаторов применяют
мостовую уравновешенную схему (рис. 3.36). Вывести условия
равновесия схемы (отсутствие тока в ветви прибора) и найти
емкость конденсатора Сх, тангенс угла потерь tg б, если f = 1000 Гц;
С4 = 0,1 мкФ; /?2=160 Ом; /?3 = 3200 Ом; #4 = 40 Ом.
32
Рис. 3.35
Рис. 3.36
3.54. Измерение параметров катушки Rx и Lx можно
произвести с помощью мостовой схемы рис. 3.37 (мост Андерсона).
Вывести уравнения равновесия моста и записать выражения для
R L
Указание. Рекомендуется преобразовать треугольник сопротивлений
doc в звезду.
3.55. Определить ток 75 в схеме рис. 3.38, если J = 12,6е'18°30' А;
XL = 8 Ом; Хс = 4 Ом; Ях = 8 Ом; #2 = 4 Ом; i?3 = 2,4 Ом.
Рис. 3.39
3.56. Часть схемы рис. 3.39, а, обведенную пунктиром и
представляющую собой активный двухполюсник, заменили эквива-
33
лентным генератором, изображенным на рис. 3.39,6. Найти Z2,
Ё и токи в ветвях исходной схемы, если / = 8,4е'70° A; ZB~
= 13,6е-/28°20/ Ом; Zi = 6e/30° Ом; Z3=10e/37° Ом; Z4 = 3 Ом;
Z5 = 4e>90° Ом.
3.57S Рассчитать токи в ветвях схемы рис. 3.40, если R± =
^=ЗОм; Il = 4Om; #2 = 5 Ом; Хс = 5 Ом; /?3=ЮОм; Ё =.
^= 120е/30° В; / = 30,6е-/93° А.
3.58. Определить напряжение на зажимах источника тока в
цепи рис. 3.41, если XC = XL = R.
Рис. 3.42
Рис. 3.43
3.59. Построить дуальную цепь по отношению к планарной
(рис. 3.42), у которой ?= 100 В; /?=^ЮОм; /, = 31,8 мГн;
С = 636 мкФ; f = 50 Гц; ?2=;/50 В. Рассчитать параметры
дуальной цепи, приняв R/gB = L/CB = LjC=l9 и убедиться, что
закон изменения контурных токов в исходной схеме и узловых
потенциалов в дуальной одинаков.
3.60. Построить дуальную цепь по отношению к цепи,
приведенной на рис. 3.43.
Глава четвертая
Четырехполюсники и круговые диаграммы
А. Определение параметров пассивных
и активных четырехполюсников
4.1. Записать уравнения четырехполюсника через Л-, Z-, У-,
Я-, G-, В-параметры*.
4.2р. Определить Л-параметры четырехполюсника, схема
которого приведена на рис. 4.2: а) используя законы Кирхгофа;
б) при режимах холостого хода и короткого замыкания.
* Все задачи в этой главе и их решения предусматривают выбор
положительных направлений токов и напряжений в соответствии с рис. 4.1, а для
А-параметров, с рис. 4.1,6 для Y-t Z-, H-t G-параметров и с рис» 4.1, в для
^-параметров»
34
4.3. Рассчитать Z-, У-, #-, G- и Б-параметры для
четырехполюсника предыдущей задачи,
4.4. Определить Л-, Z-, Я-параметры четырехполюсников, схемы
которых показаны на рис. 4.3, а, б.
т if
m L
иг\ v,\
а)
п
т L
п
Рис. 4.1
4.5р. На рис. 4.4 приведена диаграмма напряжений U1Q = f/lx;
U20 = U2K и тока /io = /ix симметричного четырехполюсника,
работающего в режиме холостого хода. Найти Л-параметры
четырехполюсника, если известно, что по модулю [/1Х = 100 В; /72Х = 200 В;
Л, = 2,5 А.
т
г
и20
Рис. 4.2
Рис. 4.3
Рис. 4.4
4.6р. Рассчитать Z-параметры симметричного
четырехполюсника, если известно, что в режиме холостого хода при включении
четырехполюсника по схеме рис. 4.5, а показания вольтметра и
амперметра на входе ?/! = 70,7В; /х = 5 А; вольтметра на выходе
t/2 = 56 В. Показания
ваттметров: Рх = 250 Вт; Р2 =
= 120 Вт. Определение знака
аргумента произвести по
осциллограмме рис. 4.5,6.
4.7. Определить А-пара-
метры трансформатора на
рис. 4.6.
4.8. Рассчитать
Z-параметры трансформатора в задаче
4.7; если i?i=10 Ом; Хг =
=60 Ом; #2 = 8 Ом; Х2 =
=40 Ом; Хж = 30 Ом.
4.9. Рассчитать F-napa-
метры четырехполюсника на
рис. 4.7. Сопротивления в
омах указаны на схеме.
4.10. Выразить Z-, F-, Я-, Б-параметры через Л-параметры.
4.11. Выразить Л-, Z-, Я-параметры четырехполюсника через
35
Wt
сопротивления прямого, обратного холостого хода и короткого
замыкания.
4.12. При питании четырехполюсника со стороны первичных
зажимов были измерены Ul9 /х, Рг в двух режимах: а) в режиме
холостого хода ?/1х = 100 В; /1х = 1 А; Р1х = 0; б) в режиме
короткого замыкания ?/1к= 100 В; /1к= 1,41 А; Р1к= 100 Вт. В обоих
случаях характер сопротивлений емкостный. При питании со
стороны вторичных зажимов при закороченных первичных U2K = 100 В,
/2К = 1 А; Р2к=100Вт. Известно, что ZlK/Z2K = Zlx/Z2x.
Рассчитать сопротивления прямого, обратного холостого хода и
короткого замыкания. Определить по ним Л-, Z-, Я-параметры
четырехполюсника. Найти характеристические сопротивления Zcl и Zc2.
Рис. 4.6
Рис. 4.7
Рис. 4.8
4.13. Для симметричного четырехполюсника рис. 4.8 определить
сопротивления холостого хода и короткого замыкания; Л- и
Z-параметры четырехполюсника; характеристическое
сопротивление Zc\ постоянную передачи g = a+jbt если четырехполюсник
нагружен на характеристическое сопротивление.
4.14. Вычислить А-параметры симметричного
четырехполюсника, нагруженного на согласованную нагрузку ZH = ZC = 500 Ом,
с помощью которого осуществляется задержка синусоидального
сигнала на четверть периода без его ослабления.
Б. Т- и П-схемы замещения четырехполюсника
4.15. Выразить сопротивления Zlf Z2, Z3 Т-схемы замещения
(см. рис. 4.3, а) и сопротивления Z4, Z5, Z6 П-схемы замещения
четырехполюсника (см. рис. 4.3,6) через Л-параметры.
4.16. Рассчитать сопротивления Т- и П-схем замещения
четырехполюсника по Л-параметрам, найденным в задаче 4.5р.
4.17. Заменить четырехполюсник, приведенный на рис. 4.7,
П-схемой замещения.
4.18. Выразить сопротивления Т- и П-схем замещения
четырехполюсника через Z-параметры.
4.19. Рассчитать сопротивления Т-схемы замещения
трансформатора задачи 4.8 по его Z-параметрам.
4.20. Для некоторого симметричного четырехполюсника из-
36
вестны уравнения, записанные в Я-форме:
/а = -2/1—/0,05(/2.
Определить сопротивление Т-схемы замещения.
4.21. Для ослабления сигнала в нагрузке между нагрузкой
и источником питания включен симметричный четырехполюсник
(аттенюатор). Вычислить параметры Т-схемы замещения, если он
нагружен на согласованное сопротивление Zn = Zc = 200 Ом, а
сигнал нужно ослабить на 0,5 Н D.34 дБ) без задержки во времени.
В. Схемы соединений четырехполюсников
4.22р. Схему рис. 4.7 можно рассматривать как каскадное
включение двух четырехполюсников, собранных по Т-схеме.
Определить А-параметры эквивалентного четырехполюсника по Л-пара-
метрам каждого из них. Сопротивления элементов в омах даны
на рисунке.
i
II
•-о
Рис. 4.9
4.23. Рассчитать Л-параметры результирующего
четырехполюсника, которым можно заменить каскадно включенные
четырехполюсники по схемам рис. 4.9, а, б, если каждое сопротивление
равно 10 Ом.
Рис. 4.10
4.24. При параллельном, параллельно-последовательном и
последовательно-параллельном соединениях нескольких
четырехполюсников должно выполняться условие регулярности—токи,
проходящие через оба первичных (а также оба вторичных)
зажима, соответственно равны по значению и противоположны по
направлению. Определить, какие из приведенных на рис. 4.10, а—в
четырехполюсников удовлетворяют этому условию.
37
4.25. Два четырехполюсника, каждый из которых соединен
по схеме рис. 4.7, включены параллельно (рис. 4.11). Полагая
известными У-параметры каждого из них, определить F-параметры
эквивалентного четырехполюсника.
и,
о, Г—П
Z"
№
Рис. 4.11
Рис. 4.12
и:
С
о,
i<
=//
t
\
J
<H"
IU"
1
4.26. Два четырехполюсника соединены последовательно по
схеме рис. 4.12, и им соответствуют уравнения
-/loo -/то Лил.
-/100 A00 — /100)J L/Jf
"Ю + /10 5 + /10 ] Г/Л
15+ /10 10 + /10J L/2J#
Рассчитать Z-параметры эквивалентного четырехполюсника.
4.27. Какую форму записи
уравнений удобнее применить
для отыскания параметров
эквивалентного четырехполюсника,
{/г которым можно заменить два
последовательно-параллельно
соединенных четырехполюсника
по схеме рис. 4.13? Найти соот-
Рис. 4.13 ношения между параметрами
этих четырехполюсников.
Г. Четырехполюсник как согласующее звено
между источником энергии и нагрузкой
4.28р. Источник э. д. с. Е == 100 В с внутренним
сопротивлением #в = 1 Ом нагружен на резистор сопротивлением RH = 9 Ом.
Чтобы мощность в нагрузке была максимальной, между
источником и нагрузкой включено согласующее звено—симметричный
четырехполюсник.
1. Определить Л-параметры этого четырехполюсника 2. По
полученным значениям Л-параметров рассчитать сопротивления
Т-схемы замещения. 3. Найти мощность, выделяющуюся в
нагрузке, в двух случаях: а) согласующий четырехполюсник
отсутствует; б) при наличии согласующего четырехполюсника.
4.29. Какие сопротивления Т-схемы четырехполюсника нужно
взять для согласования сопротивления нагрузки ZH = 27 + /6 Ом
за
с внутренним сопротивлением источника ZB = 3 + / Ом, чтобы
мощность в нагрузке была максимальной?
Указание. Реактивные составляющие сопротивлений источника и
нагрузки следует рассматривать как части продольных сопротивлений Т-схемы
четырехполюсника.
4.30. Между активной нагрузкой RH и источником энергии
с внутренним сопротивлением RB = 2 Ом включен трансформатор,
параметры и сопротивления схемы замещения которого известны
из задачи 4.19. Какие дополнительные сопротивления необходимо
включить в продольные плечи Т-схемы замещения трансформатора,
чтобы мощность в нагрузке была максимальной? Определить Rn.
4.31р. Рассчитать комплексное сопротивление нагрузки из
условия выделения в ней максимальной мощности. Внутреннее
сопротивление источника энергии ZR = 1 + / Ом. Между нагрузкой
и источником включен идеальный трансформатор (Ri = R2 = 0;
коэффициент связи k=l) с коэффициентом трансформации п =
= wjw2= l/5f где wu w2 — число витков первичной и вторичной
обмоток.
4.32. Внутреннее сопротивление генератора ZB = 2 + / Ом,
сопротивление нагрузки ZH = 72 + /10 Ом. Определить коэффициент
трансформации идеального трансформатора, включенного между
генератором и нагрузкой, а также дополнительное
сопротивление Zaon, включенное последовательно с нагрузкой, при
выделении в нагрузке максимальной мощности.
Д. Невзаимные и активные четырехполюсники
4.33р. Для активного четырехполюсника (рис. 4.14) найти
Л-параметры, токи /1к, /2К и записать расчетные уравнения для
определения ?/х и /1э если ^ = 100 В; ?2 = 50 В; ?3 = /50 В;
Z1 = Z3= 10 Ом; Z2 = /10 Ом.
4.34. На рис. 4.15 приведены схемы управляемых источников: на
рис. 4.15, а — источник напряжения, управляемый током (ИНУТ);
на рис. 4.15, б — источник тока,
управляемый напряжением (ИТУН);
на рис. 4.15, в—источник тока,
управляемый током (ИТУТ); на
рис. 4.15,2 — источник
напряжения, управляемый напряжением
(ИНУН). Записать уравнения этих
четырехполюсников в матричной
форме.
4.35р. 1. Записать У-, Z-,
Л-матрицы идеального гиратора,
если проводимость гиратора G. 2. Определить входное
сопротивление гиратора, если он нагружен на сопротивление ZH= 1/(/соС).
4.36. Два каскадно включенных идеальных гиратора с прово-
димостями, равными Gt и G2, нагружены на сопротивление ZH
-39
(рис. 4.16). Какую проводимость Gx надо выбрать, чтобы входное
сопротивление всей схемы было в 4 раза больше сопротивления
нагрузки, если G2==4?
4.37р. Показать, что четырехполюсник, состоящий из двух
каскадно включенных идеальных гираторов при ZH = oo с прово-
и
5)
Рис. 4.15
6)
димостями, равными G1=\y G2 = n (рис. 4.16), эквивалентен
идеальному трансформатору, подчиняющемуся уравнениям 01=п021
/1 = ~/2, где п—коэффициент трансформации.
4.38р. Реализовать гиратор с помощью управляемых
источников ИНУТ и ИТУН.
4.39р. Связь между малыми приращениями входных и
выходных величин электронной лампы (рис. 4.17) задана уравнением
Aia = kUagi + &ucS. Составить схему замещения лампы с помощью
управляемых источников. Сеточным током пренебречь.
Рис. 4.16
Рис. 4.17
Рис. 4.18
4.40р. Связь между малыми приращениями входных и
выходных величин транзистора, включенного по схеме с общей базой
(рис. 4.18), выражается линейными уравнениями, записанными
с помощью Z-параметров:
Д«1 = #ид**1 + #12Д''2; A)
Au2 = R21Mt + R22M2. B)
Составить Т-схему замещения транзистора с управляемыми
источниками и определить сопротивления схемы замещения.
Е. Круговые диаграммы
4.41р. При постоянных значениях частоты и приложенного
к схеме рис. 4.19 напряжения сопротивление резистора нагрузки
40
меняется от 0 до оо. При этом (Ух = 100 В; Хх = 10 Ом; /?х- =ч
= 10 Ом.
1. Показать, что для тока в нагрузке /н, тока на входе цепи /\ и
напряжения на катушке ОL могут быть построены круговые
о т
Рис. 4.20
диаграммы. 2. Рассчитать данные для построения круговых
диаграмм /\ и UL. 3. По круговой диаграмме тока 1г определить Ilt
coscp, Р, Q при /?н = 10 Ом.
4.42р. Схема рис. 4.20 позволяет при постоянном выходном
напряжении 0тп менять его фазу от 0 до п. Показать это, если
R1=zR2 = R3:=zRi а модуль Хс меняется от 0 до оо.
Рис. 4.21
Рис. 4.22
4.43. Схема рис. 4.21 питается от источника синусоидального
тока J = 20e''45° A; Zx = 10 Ом; Z2 = /10 Ом. Построить
геометрическое место концов вектора тока /2 при: a) ZH = /XL; б) ZH = JR.
4.44. Построить геометрическое место концов вектора
напряжения Отп в схеме рис. 4.22 и определить наибольшее значение
этого напряжения, если известно, что схема питается от источ-
Рис. 4.23
ника э.д.с, Z = 5+ /8,65 Ом, а в режиме резонанса напряжение
<УЯЯ=173В.
41
4.45. В режиме короткого замыкания (^с = 0) токи в
ветвях схемы рис. 4.23 по модулю равны; / = 31,5 А; /1=10 А;
/2 = 23,5 А. Построить геометрическое место концов вектора тока.
Рассчитать емкость в резонансных режимах, если схема питается
от источника э.д.с. г/х = 200 sin 3140^ В.
4.46. Построить геометрическое место концов вектора тока 1±
и напряжения 0аЪ в схеме рис. 4.24 при изменении
сопротивления нагрузки от 0 до оо, если схема питается от источника тока
/ = 10 А и источников э.д.с. ?^ = 100 В, E2 = j 100 В одинаковой
частоты. При этом ZX = Z2 = 5 Ом; Z3 = 10 Ом; Z4 = /10 Ом.
Глава пятая
Электрические фильтры
А. Общая методика анализа фильтрующих свойств
реактивного четырехполюсника
5.1р. Четырехполюсник, изображенный на рис. 5.1, в теории
фильтров называют полузвеном или ~| -звеном. Считая Z$ и Z2
идеальными реактивными сопротивлениями и пользуясь
соотношением chg = ch(a + jb)=VADy показать, что в полосе прозрач-
т ности (а = 0) должно выполняться соотно-
9 шение
т. е. Zx и Z2 различны по знаку, причем
\ZA<L\Z I.
1° °2Г 5.2р. Пользуясь условием E.1), опре-
Рис. 5.1 делить, к какому типу фильтров по
полосе прозрачности относятся полу звенья,
изображенные на рис. 5.2, а—е. Выразить граничные частоты через
LuC.
42
5.3. Симметричный четырехполюсник, собранный по Т- или
П-схеме, можно рассматривать в виде каскадного согласованного
соединения двух одинаковых полузвеньев (рис. 5.3, а, б). Полоса
прозрачности такого четырехполюсника
совпадает с полосой прозрачности одного
полузвена.
С учетом решения задачи 5.2р
определить, к какому типу фильтров по
полосе прозрачности относятся симметричные о-
четырехполюсники, изображенные на рис.
5.4, а — г, 5.5, а—г.
5.4. Для четырехполюсника рис. 5.6
заданы: L1 = 4-10~3 Гн; С1 = 0,4-10"в Ф;
La = 2-10-3 Гн; С2 = 0,2.10 Ф.
Найти граничные частоты полосы проз-
рачности. Как они изменятся, если Lly
Сг и L2, C2 поменять местами?
Рекомендуется воспользоваться решением задачи
5.2р.
5.5. Показать, что характеристические сопротивления
полузвена (см. рис. 5.1) в области прозрачности имеют активный
характер. Воспользоваться соотношениями
7 7 1/7 7 • 7 7 Л/~7 7~~" (Ъ 1 -аЧ
где Zlx—входное сопротивление четырехполюсника со стороны
зажимов / — V при разомкнутых зажимах 2—2r\ Z1K—входное
L L С С
U/2
о—<
о—
'с
2L
С
о
С/2
Рис. 5.4
сопротивление со стороны 1 — /' при замкнутых накоротко 2—2'\
Z2X> 22к—сопротивления, аналогичные Zlx и Z1K, но относительно
зажимов 2—2'.
Показать, что в полосе затухания: 1) характеры Zcl = Zj и
продольного сопротивления Z1 одинаковы; 2) характеры Zc2 = Zn
и поперечного сопротивления Z2 одинаковы.
43
5.6р. Пользуясь выражением ch g = }^AD и условием E.1),
показать, что для реактивного полузвена (см. рис. 5.1)
справедливы следующие соотношения:
L/2\ ф
:2С
в)
г
Т.
Рис* 5.6
Рис. 5.5
г)
Рис. 5.7
в полосе прозрачности
Ь = ±arcsin
в полосе затухания
a = archl/r|Z1/Z2| (при различных знаках Z* и Z2); \
Ъ =±90° j Eи3)
а = arch K| Zx/Z21 (при одинаковых знаках Zx и Z2). \ -
Ь = 0 j (Ь*4)
5.7р. Для четырехполюсника, изображенного на рис. 5.7,
построить зависимости а (со), b (о), Zc(co). Параметры элементов:
L1 = 5.10~3 Гн; L2=15.10-3 Гн; С1 = 0,5-10~6 Ф.
Б. Фильтры типа к
5.8. Полузвено (см. рис. 5.1) принадлежит к типу &, если
при чисто реактивных сопротивлениях Zx и Z2 выполняется со-
44
отношение
ZxZ2^k2 = const, E.5)
где k = VziZ2— величина, не зависящая от частоты.
Симметричные Т- и П-фильтры принадлежат к типу ky если
они составлены из согласованно включенных полузвеньев типа k
(см. рис. 5.3). Значение k в этом случае совпадает со значением k
составляющего полузвена.
Определить, какие из фильтров, изображенных на рис. 5.2,
5.4, 5.5, 5.6, относятся к типу к. Для каждого фильтра типа к
выразить k через параметры элементов.
5.9. Показать, что для полузвена (см. рис. 5.1) типа k в
полосе прозрачности, согласно E.1),
IZJO; E.6) |Z2|>?. E.7)
5.10. Показать, что для полузвена (см. рис. 5.1) типа k:
а) ZTZn = /e2; E.8)
б) в полосе прозрачности ZTmax = &; Znmm = ky
где Zjmax — наибольшее значение характеристического
сопротивления Zcl = ZT\ Znmin — наименьшее значение характеристического
сопротивления Zc2 = Zn.
5.11р. Получить зависимости а (со), 6 (со), ZT(co), Zn(co) для
полузвеньев, изображенных на рис. 5.2,6, в; построить графики
этих зависимостей. Принять L = 5-10~3 Гн; С = 0,5-10~6 Ф.
5.12. Пользуясь результатами, полученными при решении
задачи 5. Ир, построить графики а (о), ft (со), Zc (со) для
симметричных фильтров, изображенных на рис. 5.4, в, г и рис. 5.5, а, б.
Принять L = 5-10 Гн; С — 0,5- 10"в Ф. Построить графики
зависимостей от частоты коэффициента передачи напряжения при
согласованной нагрузке i\v=.-f
5.13. Для ФНЧ типа k, содержащего три каскадно включенных
П-звена, при согласованной нагрузке на частоте со = 2,2-104 рад/с
известно отношение напряжений на входе и выходе U2/U1 = 0fl.
Определить частоту среза фильтра.
5.14. Сколько Т- или П-образных звеньев должен содержать
ФНЧ типа &, чтобы на частоте со = V^2coc затухание а>5 Нп?
5.15. ФВЧ собран из двух Т-звеньев типа fe, имеет частоту
среза сос=Ы04 рад/с. Чему равно затухание фильтра на
частоте со = 0,5 • 104 рад/с?
5.16. Показать, что четырехполюсник, изображенный на рис. 5.8,
является фильтром типа k при выполнении соотношения L1C1 =
= L2C2. Пользуясь условием E.6), выразить граничные частоты
и ширину полосы прозрачности через параметры Llf Cly L2, C2.
Определить ZT и Zn на частоте соо= l/j/"L1C1= l/}/"L2C2.
5.17. Из двух полузвеньев (рис. 5.8) собран Т-фильтр. Полоса
прозрачности ограничена частотами сох = 1-10* рад/с; со2=1,25х
45
X 104 рад/с. Характеристическое сопротивление фильтра на
частоте ©0 = 1Л»>1<о2 ZT(co0) = 50 Ом. Пользуясь результатами решения
задачи 5.16, рассчитать параметры элементов фильтра.
Рис. 5.8
Рис. 5.9
5.18. Для полузвена, изображенного на рис. 5.9, при 1гСг =а
s= L2C2 выразить граничные частоты полосы прозрачности через
параметры элементов. Найти Zt и Zu на граничных частотах и
при со = 0, со = оо; определить
характер ZT и Zn в полосе
затухания.
5Л9. Из двух
полузвеньев предыдущей задачи (рис.
5.9) собран симметричный
фильтр. Его граничные
частоты 0^=1.104 рад/с; со2 =
= 1,25 • 104 рад/с. Наименьшее
значение
характеристического сопротивления в полосе
прозрачности Z<?min = 50 Ом.
Определить схему фильтра,
о—
L
12/2-
-2С
L
° 1
—О—]
Z9/2 <L/2
1
П
4/
Рис. 5.10
значения Lb Cf, L2, C2, a
также коэффициенты
затухания и фазы для следующих частот: 0,750^; 1,1©!; 1,2сох; 1,5©^;
5.20р. Два Т-фильтра типа k—ФНЧ и ФВЧ (рис. 5.10, а, б) —
нагружены на резистор нагрузки сопротивлением Zn = k—y ZXZ2.
Для каждого фильтра получить зависимость коэффициента
передачи напряжения Ku^UjUi от относительной частоты со/соо
(gH= 1/j/lC). Построить графики этих зависимостей, сравнить
их с аналогичными зависимостями в согласованном режиме.
В. Фильтры типа т
5.21р. На рис. 5.11, а изображен четырехполюсник,
представляющий собой каскадное соединение двух полу звеньев. Первое
полузвено из сопротивлений Zu Z2 является полузвеном типа k.
Продольное сопротивление второго полузвена
Zim = mZiy E.9)
где т< 1—положительное число.
46
Сопротивление поперечной ветви второго полузвена
т
т. е. поперечная ветвь представляет собой последовательное соеди-
нение двух сопротивлений Zt m -, имеющего тот же характер,
что Z-l и ZJm и совпадающего по характеру с Z2.
Показать, что при выполнении E.9), E.10) &-полузвено
(Zx, Z2) и m-полузвено (Zim, Z2m) (рис. 5.11, а) соединены
согласованно. Получить выражения для характеристических
сопротивлений четырехполюсника рис. 5.11, a Zn и Zum и отношения
Znm/Zn через Z19 Z2, m.
Показать, что полосы прозрачности полу звеньев одинаковы.
Примечание. Полузвено т с параметрами, определяемыми по E.9) и
E.10), называют последовательно-производным, а соответствующееk-полузвено—
его прототипом.
5.22. Для fe-полузвена-прототипа (см. рис. 5.2,6),
рассмотренного в задаче 5.lip, при L = 5-10~3 Гн; С = 0,5- 1СГ6 Ф построить
схему последовательно-производного m-полузвена (рис. 5.11, а)
и определить параметры ее элементов. Взять т = 0,6.
Построить частотную зависимость характеристического
сопротивления m-полузвена Znm(w) (рис. 5.11, а) в полосе прозрачности;
совместить ее с зависимостью Zn(co) прототипа из задачи 5.11р
(см. рис. Р.5.8 и табл. Р.5.2). Провести сравнение построенных
зависимостей Znm(o)) и Zn(co) с точки зрения их равномерности
в полосе прозрачности.
Расчет Znm(o)) рекомендуется провести по выражению B) (см.
решение задачи 5.21 р) с учетом того, что в рассматриваемом
случае Zf/Z2 = —l/(co2LC) = — (оH/о)J, где со0 — частота среза
прототипа, а следовательно, и т — полузвена.
5.23. В условиях предыдущей задачи построить зависимость
Znm (<*)) в полосе прозрачности при т = 0,4; 0,8. Сравнить их
с зависимостью Znm(<*>) при т = 0,6 (рис. 0.5.2,6). Какое из
рассмотренных значений т наиболее целесообразно для
обеспечения меньшей зависимости характеристического сопротивления Znm
от частоты о в полосе прозрачности?
47
5.24р. На рис. 5.11,6 изображено каскадное соединение k-(Ziy ZJ-
и m(Zlm, 22дг)-полузвеньев. Сопротивления m-полузвена связаны
с сопротивлениями fe-полузвена следующими соотношениями:
Z2m = Z2/m; E.11)
' ! > EЛ2)
mZi
где m< 1—положительное число, т. е. продольная ветвь
m-полузвена представляет собой параллельное соединение двух
сопротивлений mZ1 и j m 2 Z2, причем mZ^ имеет тот же характер,
что и Zx\ . __ ^ Z2 совпадает по характеру с Z2.
Примечание. Полузвено т- с параметрами, определяемыми E.11) и
E.12), называют параллельно-производным.
Показать, что полузвенья рис. 5.11,6 при выполнении E.11)
и E.12) соединены согласованно. Выразить через Zlt Z2, m
характеристические сопротивления четырехполюсника рис. 5.11,6
ZTm и ZT, а также отношение ZTm/ZT. Показать, что полосы
прозрачности полузвеньев одинаковы.
5.25. Для &-полузвена-прототипа рис. 5.2,6 (ФВЧ),
рассчитанного в 5. Пр, построить схему параллельно-производного
m-полузвена (рис. 5.11,6) при т = 0,6.
Построить график зависимости характеристического
сопротивления m-полузвена от частоты ZTm(co) в полосе прозрачности;
совместить его с графиком ZT(&) для прототипа (см. рис. Р.5.8
или табл. Р.5.2). Сравнить ZTw(co) и ZT (со) с точки зрения
меньшей зависимости от частоты.
5.26р. Получить зависимости от частоты (графические)
коэффициентов затухания ат (со) и фазы Ьт (со) для т-полузвеньев
задач 5.22 и 5.25 (схемы и параметры элементов полузвеньев
приводятся в ответах к задачам 5.22 и 5.25).
5.27. Симметричный фильтр содержит включенные согласованно
два fe-полузвена и два последовательно-производных m-полузвена,
рассмотренных в задаче 5.22 (схема прототипа дана на рис. 5.2,6,
схема m-полузвена — на рис. О.5.2,а).
Изобразить схему фильтра, получить для него зависимость
а (о), воспользовавшись известными зависимостями ak((o) и ат(ы)
для составляющих полузвеньев, где ак — коэффициент затухания
/г-полузвена [^(со), см. рис. Р.5.7 или табл. Р.5.2]; ат —
коэффициент затухания m-полузвена [ат{®), см. рис. Р.5.13 или
табл. Р.5.4].
5.28. Изобразить схему симметричного фильтра, составленного
из согласованно включенных двух параллельно-производных
m-полузвеньев задачи 5.25 (схема m-полузвена дана на рис. О.5.4,я)
и двух &-полузвеньев-прототипов.
48
5.29. Найти параметры последовательно-производного
полузвена типа т при т = 0,6 для ^-прототипа рис. 5.2,в (рассмотрен
в задаче 5.Пр).
5.30. Определить схему и параметры
последовательно-производного и параллельно-производного m-полузвеньев для прототипа
рис. 5.2,г. Для каждого случая построить симметричный фильтр,
содержащий согласованно включенные два fe-полузвена и два
т-полузвена.
Г. Пассивные /?С-фильтры
5.31р. Для четырехполюсников, изображенных на рис. 5.12,
а—зу получить выражения: а) передаточной функции Н(р) =
= U2{p)/U1(p) при разомкнутых зажимах 2—2'\ б) передаточной
НИ з
1 5) 2
У II f о МНИ=И о о-
с> Г т t j т Т j t
' г) z i д) 2 1
Ь/2 \°2
Ж) jj
Рис. 5.12
функции Yi2(p) — Iz(p)/Ui(p) при коротком замыкании зажимов
2—2' (операторной ззаимной проводимости)*; в) зависимости от
частоты модуля комплексного коэффициента передачи напряжения
Н(d)) = \U2/U1\ при холостом ходе зажимов 2—2'.
Построить графики зависимостей #(*), где x =
a>RC—относительная частота; при этом для схем рис. 5.12,в—ж принять
R1 = R2 = R; С1 = С2 = С. Для каждого четырехполюсника
выразить через R, С граничные частоты полосы пропускания, приняв,
что на граничной частоте согр Я(согр)/Ятах = 1/V^ 0,707, где
Ятах — наибольшее значение Я в полосе пропускания. К какому
* Положительное направление для /2(/7) —в зажим 2, как это принято
при записи F-формы уравнений четырехполюсника»
49
типу фильтра по полосе пропускания относится каждый из
рассмотренных четырехполюсников?
5.32. Однозвенный ФНЧ (рис. 5.12,а) нагружен на резистор
RH. Получить выражение амплитудно-частотной характеристики
Я(со) = |^/2/^/1|. Как зависит частота среза фильтра от величины
RJR (относительного сопротивления нагрузки)? Сравнить частоты
среза при Ru — R и Rn — oo.
5.33. Для однозвенного ФВЧ (рис. 5.12,6) известны R= 10 кОм;
С = 0,1 • 10~6 Ф. Сопротивление нагрузки фильтра может изменяться
в пределах: 7?н = оо~20 кОм. Как при этом изменяется ширина
полосы задерживания фильтра?
5.34р, Полосовой фильтр, изображенный на рис. 5.13, является
частным случаем фильтра рис. 5.12,5, рассмотренного в задаче
5.31 р: сопротивления элементов низкочастотного звена в т раз
больше сопротивлений элементов высокочастотного звена
(т—положительное число); частоты квазирезонанса обоих звеньев
одинаковы и равны oH = l/(jRC).
Оценить влияние параметра т на избирательные свойства
фильтра: ширину полосы пропускания и эквивалентную
добротность. Построить графики Я (со) = |[/2 (ja))/U1 (/со) | прит=0,5;2; 10.
С R
о
Рис. 5.13 о \ 1 о Рис. 5.14
5.35. Пользуясь данными табл. Р.5.5 (схема е), оценить
влияние параметра т (положительное число) на избирательные
свойства полосно-пропускающего фильтра, изображенного на рис. 5.14:
эквивалентную добротность и ширину полосы пропускания.
5.36. Передаточная функция полосно-заграждающего фильтра,
собранного по схеме рис. 5.12,я/е, при определенном выборе
параметров элементов обладает важным свойством: корни
многочлена числителя (нули передаточной функции) являются
комплексно-сопряженными. Благодаря этому свойству данная схема
широко используется при построении активных фильтров с
передаточными функциями, обладающими комплексно-сопряженными
полюсами (признак высокой степени избирательности фильтра).
Пользуясь данными табл. Р.5.5 (схема ж), для фильтра,
представленного на рис. 5.15, получить условие, которому должен
удовлетворять параметр т (т—положительное число), чтобы
нули передаточной функции фильтра Я (р) = U2 (p)/U1 (р) были
комплексно-сопряженными.
Построить и сравнить графики АЧХ фильтра Я((о/(оо) при
т — 2: 1/2; 1/9; 1/16. Как зависит от значения т минимальный
уровень АЧХ Ят1п = Я((оо), а также частота квазирезонанса со0?
Можно ли, изменяя параметр /я, снизить до нуля уровень Яш1д?
50
tmC
5.37* Исследования схемы полосно-заграждающего фильтра
(рис. 5.15) показывают, что изменением параметра т нельзя
снизить до нуля минимальный уровень АЧХ фильтра в полосе
задерживания (см. ответ к задаче 5.36.)
Эта задача может быть решена путем
включения указанного фильтра в мостовую
схему (рис. 5.16), причем параметры резис-
тивного делителя напряжения
удовлетворяют УСЛОВИЮ Rj(Rt + R2) — ^min- ДЛЯ РИС»
5.16 #min = 2/3 (см. ответ задачи 5.36).
Получить выражение передаточной
функции Нм(р) = ивых(р)/ивх(р) заданного мостового фильтра и
построить соответствующую АЧХ #м(х), где x — aRC.
5.38. Полосно-пропускающий фильтр рис. 5.12,е является
составной частью мостового полосно-заграждающего фильтра,
Рис. 5.15
О—*
Рис. 5.16
Рис. 5.17
представленного на рис. 5.17. Пользуясь данными табл. Р.5.5
(схема ё), получить выражение для передаточной функции
мостового фильтра Ны (р) = С/вых (p)/UBX (p) и построить график
соответствующей АЧХ.
Д. Активные /?С-фильтры
5.39. Составной частью большого класса активных фильтров
являются усилитель с большим коэффициентом усиления \i (\х =
= 103~105) и JRC-четырехполюсник в цепи отрицательной
обратной связи (рис. 5.18,а). Показать, что если усилитель
инвертирует сигнал (?/вых = — [хGх), то передаточная функция системы
518 К() и()и()
р (вх [х) р фу
рис. 518,а К(р) = иъых(р)/иъх(р) связана с передаточной
функцией #С-четырехполюсника цепи обратной связи Н (р) = U3 (p)/(/4 (р)
соотношением
К(р) = —1/Н(р). E.13)
Считать коэффициент усиления усилителя \i—>oo, входное
•сопротивление усилителя (относительно зажимов 1 — /') JRBX=oo,
выходное сопротивление (относительно зажимов 2—2') RBUX = 0.
Примечание. Из E.13) следует, что рассматриваемая система позволяет
менять местами нули и полюсы передаточной функции. Это свойство
используется при построении активных /?С-фильтров,
51
'дых
5.40. Известно, что избирательные свойства четырехполюсника
выше, если его передаточная функция обладает
комплексно-сопряженными полюсами, причем чем ближе полюсы к мнимой оси,
тем избирательность выше. Передаточные функции пассивных
RC-цеиеи таким свойством не обладают, однако некоторые из
/?С-четырехполюсников при
определенном выборе параметров
могут иметь передаточные
функции с
комплексно-сопряженными или даже мнимыми нулями
(см. задачи 5.36 — 5.38). При
включении таких
четырехполюсников в цепь обратной связи
усилителя по схеме рис. 5.18,а,
согласно E.13), результирующая
передаточная функция обладает
комплексно-сопряженными или
мнимыми полюсами.
В цепи обратной связи
усилителя с коэффициентом
усиления (jt ^> 1 включен полосно-
Рис. 5.18
заграждающий RC-филътр (R =
= 1001/2кОм; С= 1010-9 Ф)
(рис. 5.18,6). При условии, что
усилитель инвертирует сигнал, а
его параметры i?BX-+oo, RBhiX=
= 0, получить выражение
передаточной функции и построить
график АЧХ фильтра К (со) — вых Vy .
Рекомендуется воспользоваться данными табл. Р.5.5 (схема ж).
5.41р. Полосио-пропускающий активный фильтр задачи 5.40
обладает невысокой избирательностью, о чем свидетельствует
график АЧХ, приведенный на рис. 0.5.8. Это объясняется небольшой
разницей в значении коэффициента обратной связи Н (со) [Я (со) —
модуль комплексного коэффициента передачи /?С-четырехполюсника
цепи обратной связи] в пределах полосы пропускания и вне ее.
В полюсно-нулевом представлении низкая избирательность
объясняется значительной удаленностью полюсов К (р) или нулей
Н (р) от мнимой оси.
Избирательность на квазирезонансной частоте можно
теоретически неограниченно увеличить за счет частичной компенсации
отрицательной обратной связи положительной обратной связью.
Схема, реализующая такую компенсацию, представлена на рис. 5.19
(предполагается, что усилитель инвертирует сигнал). Напряжение
положительной обратной связи снимается с резистивного делителя
напряжения
R2: U3=
коэффициент положительной обратной связи.
52
Построить АЧХ активного фильтра К (о) = | UBUJUBX | при
Y = 0,4; 0,5. Параметры ЯС-четырехполюсника те же, что и в
задаче 5.40.
С/2
Рис. 5.19
5.42 р. На входе активного фильтра задачи 5.40 каска дно
включен двухзвенный ФНЧ (рис. 5.20), выделенный на схеме как
четырехполюсник А в отличие от /?С-четырехполюсника цепи
обратной связи,
обозначенного Б) #д = #б = о—и—h+ч—1* i 1 { 1—о
= 100/2 кОм; СА = СБ=
= 5-10"9 Ф.
Получить выражение
для передаточной функции
всего устройства К (р) =
= ^вых (Р)/Увх {р)>
ПОСТРОИТЬ его АЧХ К (со) и
сравнить ее с АЧХ
входного ФНЧ Ял(со).
5.43. При построении
активных фильтров на
операционных усилителях
(ОУ) обратная связь
чаще осуществляется
путем включения
пассивного i^C-четырехполюс-
ника параллельно
усилителю (на рис. 5.21
четырехполюсник Б).
Считая коэффициент
усиления ОУ \i —¦> оо
(действительное
значение \i« 100 000, входное
сопротивление #вх-^оо, выходное сопротивление #вых«0),
показать, что комплексный коэффициент передачи активного фильтра,
построенного по рис. 5.21,
К (/о)) = UBUJUBX = - Y12A/Y12By E.14)
Рис. 5.20
/
'¦2ЛЗ
б-
А
HA(Ju)
«3
г'
ч
и*
ОУ
л
Б
Рис. 5.21
53
где Yi2A, У ив—комплексные взаимные проводимости
четырехполюсников А и Б.
5.44р. В активном фильтре, построенном по схеме рис. 5.21,
в качестве четырехполюсников А к Б взяты четырехполюсники
задачи 5.42р (см. рис. 5.20). С учетом E.14) получить выражение
передаточной функции
фильтра и построить
соответствующую АЧХ.
5.45. По структурной
схеме рис. 5.21 построить ФВЧ
с передаточной функцией вида
В цепи обратной связи
(четырехполюсник Б на рис.
5.21) включить
четырехполюсник но схеме рис. 5Л2,ж
(табл. Р.5.5) с параметрами #1 = #2= 100)^2 кОм; С1 = С,/2 —
==2,5.Ю-9 Ф.
Схему четырехполюсника А подобрать из приведенных в
табл. Р.5.5. Найти параметры ее элементов.
5.46. Рассчитать передаточную функцию активного фильтра,
изображенного на рис. 5.22, построить его АЧХ К \ в
где о)о=1/G?С). Определить
тип фильтра. Рекомендуется
воспользоваться данными
табл. Р.5.5 (схема з).
5.47р. На рис. 5.23,а
изображен активный фильтр на
ОУ с многоконтурной
обратной связью. Параметры
элементов: #1=10кОм; i?2 =
*= 256,5 Ом; Св = Сь =
=5.1(ГбФ; Я5 = 400 кОм.
Параметры ОУ: р,—>оо,
/?вх —> оо (относительно
зажимов а и Ь), /?вых « 0
(относительно зажимов end).
Получить выражение для
передаточной функции
фильтра К(р)= ивых [p)/Un (р),
построить соответствующую АЧХ, назвать тип фильтра,
определить ширину полосы пропускания.
Рекомендуется иметь в виду, что ОУ может быть представлен
эквивалентной схемой рис. 5.23,6, на которой зажимы ab
разомкнуты, а между зажимами cd включены последовательно
идеальный источник э. д. с. Евых и резистор /?вых.
54
5.48. Для фильтра с многоконтурной обратной связью (рис.
5.24) известны: JR1 = /?4=10/]/'2 кОм; #3 = 3,535 кОм; С2 =
= 0,8-10~6 Ф; С5 = 0,2-10-6Ф. Параметры ОУ: |х->оо; RBX-> oo;
Определить тип фильтра, граничные частоты полосы
пропускания, построить его АЧХ /С(со)= и№
Рис. 5.24
Рис. 5.25
5.49. Для активного фильтра, изображенного на рис. 5.25,
получить выражение передаточной функции К (р) = ?/вых (p)/UBX (/?),
определить тип фильтра и граничные частоты полосы пропускания.
Параметры элементов: С1 = С3 = С4 = 0,5 мкФ; #2 = 47,14 кОм;
#5 = 212 кОм. Параметры ОУ: \х—> оо; #вх~^оо; #выхя*0.
Глава шестая
Трехфазные цепи
А. Симметричная нагрузка и режимы,
возникающие при обрывах проводов
6.1 •: Ламповая нагрузка питается от сети, система линейных
напряжений которой симметрична (С/л = 220 В). В каждую фазу
включено по одной лампе на номинальную мощность 50 Вт и
номинальное напряжение 220 В (рис. 6.1,а).
о)
Рис. 6.1
Определить фазные и линейные токи, напряжение на каждой
лампе и показания ваттметров Pt и Р2> если нагрузка соединена:
56
а) звездой, как показано на рисунке; б) звездой, обрыв фазы С
в точке М\ в) треугольником. По найденным показаниям
ваттметров найти мощность, потребляемую трехфазной нагрузкой в
каждом случае. Для всех случаев построить топографические
диаграммы и векторные диаграммы токов.
6.2. Симметричная нагрузка соединена треугольником и
питается от сети, линейные напряжения которой симметричны и равны
220 В (рис. 6.1,6). Сопротивление каждой фазы нагрузки Z =
= 22е^'30° Ом. Определить фазные и линейные токи, напряжения
на каждой фазе и показания
ваттметров Рг и Р2 при: а)
нормальной работе, как
показано на рисунке; б) обрыве
линейного провода в точке М;
в) обрыве фазного провода в
точке N.
По найденным показаниям
ваттметров рассчитать
мощдой фазы приемника
Z 4 /2 О
ность, потребляемую
нагрузкой во всех случаях.
Построить топографические
диаграммы и векторные
диаграммы токов.
6.3. Фазное напряжение
трехфазного генератора
промышленной частоты /7гф =
= 120 В. Сопротивление каж-
1=12 + /16 Ом; сопротивления проводов
ф р ^ / р
линии Z = 4 + /2 Ом (рис. 6.2,а). Определить емкость С
конденсаторов каждой фазы, включенных на приемном конце линии
для увеличения coscp приемника до единицы. Найти фазное
напряжение ?/нф на зажимах приемника при отсутствии
конденсаторов и напряжение U'n§ при их наличии.
Рис. 6.3
6.4. Фазное напряжение вторичных обмоток трансформатора,
соединенных треугольником, равно 220 В (рис. 6.2,6).
Сопротивление фазы нагрузки Zj = 30+ /60 Ом, сопротивление подводящих
проводов Z = 2 + /4 Ом. Считая ?/^5 = 220e'30° В, определить токи
в проводах линии, фазах трансформатора и нагрузки, напряже-
56
ния на фазах нагрузки при: а) нормальной работе; б) обрыве
фазы АВ трансформатора в точке М.
6.5р. Симметричная нагрузка питается от сети, система
линейных напряжений которой симметрична; ?/л = 220 В. Показание
ваттметра (рис. 6.3,а) составляет 2520 Вт; показание амперметра
равно 20 А. Найти активную, реактивную и полную мощности
трехфазной нагрузки. Определить фазные сопротивления, считая,
что нагрузка соединена: а) звездой, б) треугольником.
6.6. Симметричный приемник электрической энергии соединен
звездой (рис. 6.3,6). Сопротивление фаз приемника Z = 6 + /8 Ом.
Система фазных напряжений нагрузки симметрична; ?/ф —100 В.
Рассчитать показания ваттметра при двух различных
положениях переключателя. Воспользовавшись показаниями ваттметра,
определить активную, реактивную и полную мощности приемника.
6.7. Симметричный приемник соединен треугольником. Система
линейных напряжений симметрична; (/л = 220 В. Ваттметры,
включенные в цепь рис. 6.3,в, дают показания Рг = 3 кВт; Р2 = 0.
Определить комплекс фазного сопротивления.
Б. Режимы при несимметричном источнике
или несимметричной нагрузке
6.8р. Трехфазный трансформатор, вторичные обмотки которого
соединены звездой, питает симметричный приемник (рис. 6.4,я).
Сопротивления фаз приемника Z = 4 + /3 Ом. Фазное напряжение
трансформатора (/ф = 380 В. Найти фазные токи и напряжения,
построить топографические диаграммы и векторные диаграммы
токов, если обмотки трансформатора соединены: а) правильно, как
A h
а)
Рис. 6.4
показано на рисунке; б) ошибочно: концы х и у первой и
второй фаз трансформатора соединены с началом третьей фазы С,
приемник подключен к зажимам Л, В и г трансформатора.
6.9. При соединении звездой вторичных обмоток
трансформатора, фазные напряжения которого симметричны ([7Лч. = 220 В),
допущена ошибка: конец х первой фазы соединен не с концами
у и г последующих фаз, а с началом фазы В (рис. 6.4,6).
Трансформатор нагружен на симметричную нагрузку, соединенную
треугольником; Z=10e'30° Ом. Определить фазные, линейные
напряжения и токи, построить топографическую диаграмму и
векторную диаграмму токов.
57
6.10р. Фазные напряжения приемника, соединенного звездой,
UA = l00 В; UB=l00e-i90° В; 0с= 150е''135° В. Сопротивление
фазы В ZB = 8—/6 Ом. Какими должны быть сопротивления ZA
и Zc, чтобы система токов была симметрична? Найти линейные
напряжения. Построить топографическую диаграмму и векторную
диаграмму токов.
6.11. Линейные напряжения приемника, соединенного
треугольником: 6^л=100 + /200 В; 0вс = — 300 В. Проводимость
фазы С A YCA = 0,4-/0,3 См. Найти проводимости фаз АВ я ВС,
если фазные токи приемника симметричны. Определить линейные
токи, построить топографическую диаграмму и векторную диаграмму
токов.
Рис. 6.5
6.12. Система фазных напряжений генератора, соединенного
звездой, симметрична; ?/ф=120 В. Фазные сопротивления
приемники ZA = ZB = 10 Ом; Zc=10e-''90° Ом. Сопротивления
проводов линии и нулевого провода ZJI = 2e'600 Ом; Z0 = 4e'30° Ом
(рис. 6.5,а).
Определить фазные токи, ток в нулевом проводе, фазные
напряжения на нагрузке. Построить топографическую диаграмму и
векторную диаграмму токов. Найти показание ваттметра.
6.13. Фазные напряжения несимметричного источника,
соединенного звездой (рис. 6.5,6), VA = 220 В; ?/я = 220е'30° В; 0с =*
= 180е'120° В. Сопротивления фаз приемника, соединенного звездой,
Z^=10e-/30° Ом; ZB=\0 Ом; Zc = 5e-'90° Ом.
Определить показания всех приборов в схеме, если: а) между
нулевыми точками генератора и приемника включен вольтметр
(рис. 6.5,6); б) вольтметр, включенный между нулевыми точками
генератора и нагрузки, заменен амперметром. Для обоих случаев
построить топографические диаграммы и векторные диаграммы
токов.
6.14р. К источнику несимметричной системы линейных
напряжений присоединена несимметричная нагрузка, соединенная
звездой (рис. 6.6,а). Параметры схемы: 0АВ = 80 В; UBC = 6Oe-&°° В;
Z^=10e/30° Ом; ZB = 5e~/60° Ом; Zc=10 Ом. Определить
активную, реактивную и полную мощности нагрузки. Построить
векторные диаграммы напряжений и токов.
58
6.15. Система фазных напряжений источника, соединенного
треугольником, симметрична; UAB = 22Oel3O° В. Симметричная
нагрузка соединена звездой; Z = 3 + /4 Ом (рис. 6.6,6).
Несимметричная активная нагрузка соединена треугольником; /?х= 100 Ом;
#2 = 20 Ом; R3 = 50 Ом. Сопротивление проводов линии 1Л =
= 3+/3 Ом. Определить токи в проводах линии.
а)
Рис. 6.6
6.16. К симметричному трехфазному генератору, соединенному
звездой (?/^ = 100 В), подключены два потребителя, также
соединенные звездой (рис. 6.7,а). Параметры схемы: Zx = 10 Ом;
Z2 = — /10 Ом; Z3 = /10 Ом; Z4 = 10 Ом; Z5 = /10 Ом; Z6 = — /10 Ом.
6)
Рис. 6.7
Рассчитать токи в цепи и напряжение UOxO при разомкнутом
выключателе. Определить ток в перемычке при'замкнутом
выключателе, если: a) Z0 = 0; б) Z0=14,6 Ом.
Указание. При выполнении п. а) и б) воспользоваться методом
эквивалентного генератора.
6.17. Проволочный реостат, индуктивная катушка (активное
сопротивление катушки /?к = 0) и конденсатор соединены
треугольником (рис. 6.7,6). Приборы, включенные в цепь, дали
следующие показания: [/лл=100В; UBC=l50 В; UCA=l20 В;
/в=15 А; /с=12 A; Pw = — 600 Вт. Определить сопротивления
фаз нагрузки. Построить топографическую диаграмму и векторную
диаграмму токов. Задачу рекомендуется решать графически.
59
В. Цепи с магнитно-связанными ветвями
6.18р. Симметричная нагрузка Z = 20 + /20 Ом соединена
треугольником и питается от сети, система линейных
напряжений которой симметрична; ГУл = 220 В (рис. 6.8,а). Каждый провод
линии обладает индуктивным сопротивлением Х?=10 Ом.
Сопротивление, обусловленное взаимной индукцией между любой парой
А1
а)
Рис. 6.8
проводов, Хм = 5 Ом. Определить линейные и фазные токи,
фазные напряжения нагрузки и падения напряжения в проводах
линии. Построить топографическую диаграмму и векторную
диаграмму токов.
6.19. Решить предыдущую задачу при условии, что в фазе А'В*
нагрузки произошел обрыв.
6.20р. Система линейных напряжений (рис. 6.8,6), к которой
подключен приемник, соединенный треугольником, симметрична;
UAB = 200 В. Активное сопротивление резистора R =10 Ом,
индуктивные сопротивления катушек Х1 = Х2=10 Ом (активные
сопротивления катушек #к = 0). Сопротивление, обусловленное
взаимной индукцией, A^ = 5 Ом. Найти фазные и линейные
токи. Построить топографическую диаграмму и векторную
диаграмму токов.
а)
Рис. 6.9
6.21. Система фазных напряжений генератора симметрична:
UA=l00 В (рис. 6.9,а). Сопротивления фаз приемника,
соединенного звездой, jR = 5 Ом; Х1 = Х2=10 Ом; Хс = 20 Ом.
Сопротивление, обусловленное взаимной индукцией, Хм = 8 Ом.
Определить токи в ветвях цепи и показание вольтметра, включенного
между нулевыми точками генератора и приемника. Построить
топографическую диаграмму и векторную диаграмму токов.
60
Г. Круговые диаграммы
6.22р. Система фазных напряжений источника симметрична
(рис. 6.9,6); [)л=100 В. Сопротивления фаз С и В приемника
R = 30 Ом; XL = 40 Ом. Модуль сопротивления ZH = ze~"'60° фазы А
приемника изменяется в пределах от 0 до оо. Построить
круговые диаграммы тока 1А и напряжения Uo'o между нулевыми
точками приемника и источника.
6.23. Сопротивление резистора R (рис. 6.10,а) меняется от
0 до оо. Фазные напряжения источника, соединенного звездой,
симметричны; Л/ф = 100 В. Индуктивные сопротивления приемника
Ао-
АО-
со
Рис. 6.10
Х^ = 30 Ом. Построить круговую диаграмму смещения нейтрали
и круговую диаграмму тока в фазе А. Чему равны фазные
напряжения и ток в фазе А при ^ = 5,78 Ом?
6.24. Сопротивления резисторов нагрузки, включенных в фазы
Л, В и С, R =12 Ом; емкостные сопротивления Л'1=16 Ом;
Х2 = 9 Ом (рис. 6.10,6). Фазное напряжение симметричного
источника, соединенного звездой, ОА = Ю0 В; индуктивное
сопротивление катушки XL меняется от 0 до оо. Построить круговую
диаграмму смещения нейтрали и круговую диаграмму
напряжения на фазе А нагрузки.
Д. Метод симметричных составляющих
6.25р. Разложить несимметричную систему фазных напряжений
0Лу 0в и 0с на симметричные составляющие аналитическим и
графическим методами (рис. 6.11,а). Модули фазных напряжений
{/л=100 В; UB=l50 В;
Uс = 75 В. Найти симмет- +; ™<>w/. Генератор Двигатель
ричные составляющие системы
линейных напряжений.
6.26. Трехфазный
электрический двигатель,
соединенный звездой, подключен к
несимметричному источнику,
линейные напряжения
которого [/Лд = 320е/22°35' В; Рис. 6.11
а)
61
G5С = 266е->'90° В; UCA = 320е>157°25* В. Фазное сопротивление
двигателя токам прямой последовательности Zx = 4 + /4 Ом, а
токам обратной последовательности !Z2 = 0,23+ /0,55 Ом.
Рассчитать токи во всех фазах двигателя.
6.27. К симметричному трехфазному идеальному генератору,
соединенному звездой, подключен трехфазный двигатель, также
соединенный звездой. Фазное напряжение генератора ОАО = 220 В.
В линейном проводе А произошел обрыв (рис. 6.11,6).
Определить фазные токи, фазные и линейные напряжения двигателя,
а также напряжение между точками А и А', если фазное
сопротивление двигателя токам прямой последовательности Zx = /9 Ом,
токам обратной последовательности Z2 = /2 Ом.
1
"iff
Рис. 6.12 Рис. 6.13
6.28р. В цепи схемы рис. 6.12 фазное напряжение трехфазного
симметричного генератора {/ф = 100В. Сопротивления фаз
приемника 7?^ =10 Ом; RB — 20Ou; Rc==30 Ом. Сопротивление
проводов линии Zj = A + /)Om; сопротивление нулевого провода
ZH = 2 + /2 Ом. Сопротивления каждой фазы генератора токам
прямой, обратной и нулевой последовательностей соответственно
Zri = /3OM; Zr2 = /2OM; Zrt = /1OM. Пользуясь методом
симметричных составляющих, определить токи в проводах линии.
6.29. Трехфазный симметричный генератор, соединенный
звездой, питает симметричную нагрузку, также соединенную звездой
(рис. 6.13). Фазное напряжение генератора ?/ф=100В, фазные
сопротивления нагрузки 7?ф = 20 Ом. Сопротивление проводов
линии Zj! = 2 +/2 Ом; сопротивление заземления нулевой точки
генератора Z3r = 5 Ом. Сопротивление каждой фазы генератора
токам прямой последовательности Zri = /3 Ом; токам обратной
последовательности Zrt =/2 Ом; токам нулевой последовательности
Zr0 = /l Ом. Методом симметричных составляющих определить
токи в проводах при замыкании на землю фазы С в точке М.
Е. Вращающееся магнитное поле
6.30р. Оси двух одинаковых круглых катушек (рис. 6.14,я)л
сдвинуты в пространстве на 90°. По катушкам протекают
синусоидальные токи с равными амплитудами и одинаковой частотой,
62
Доказать, что если токи в катушках: а) совпадают по фазе,
то вектор магнитной индукции результирующего поля в точке О
пульсирует в определенном направлении (найти положение оси
пульсации вектора магнитной индукции); б) сдвинуты по фазе
на 90°, то магнитное поле в точке О характеризуется вращающимся
вектором магнитной индукции Во. Определить 50, если магнитная
индукция по продольной оси первой катушки B1=^Bmsmayt.
<§>
®
S)
Рис. 6.14
6.31. Оси двух одинаковых катушек сдвинуты в прострастве
на 60° (рис. 6.14,6). По катушкам протекают токи i1~Im sin со/,
/2 = /^sin(o)/+ 120°). Определить амплитуду Во вектора магнитной
индукции результирующего магнитного поля в центре катушек,
если амплитуда вектора магнитной индукции каждой катушки
равна Вт.
6.32. Провода круглого сечения трехфазной линии передачи
расположены в воздухе, как показано на рис. 6.14,6. Токи в проводах
образуют симметричную систему: i1=Im sin со/; t2=/IBsin((o/ —120°);
i3 = Imsm(a)t + 120°). Доказать, что магнитное поле в точке О,
находящейся в центре тяжести треугольника ЛВС,
характеризуется вращающимся вектором магнитной индукции Во.
Определить В0 и_скорость его вращения, если расстояние между проводами
d = 50V~3 см, амплитуда тока в проводах //л = 1000 Л, частота
/ = 50 Гц.
Глава седьмая
Периодические несинусоидальные режимы
в линейных электрических цепях
А. Разложение несинусоидальных токов и напряжений
в ряд Фурье. Действующие и средние значения.
Коэффициенты, характеризующие форму
7.1. Напряжение изменяется по законам, указанным на
рис. 7.1, а—г. Для этих рисунков требуется: а) качественно
определить, какие гармоники присутствуют при разложении в ряд
Фурье; б) рассчитать действующее и среднее значения напряжения
63
путем непосредственного интегрирования; в) найти действующее
значение напряжения, учитывая три первых члена ряда Фурье*.
Примечание. Для рис. 7.1, а принять а = 0; я/б; я/2.
7.2р. В схеме двухполупериодного выпрямления, построенной
на тиристорах, напряжение на чисто активной нагрузке имеет
и
Umax
и
Umax
Umax
Г
Ж
гп
я/г
ж дтт/г гж
з)
cot
ЯГ Jir/Z Ж
г)
Рис. 7.1
Рис. 7.2
вид, указанный на рис. 7.2, а. Считая а = я/6, разложить кривую
в ряд Фурье, ограничившись тремя первыми гармоническими
составляющими ряда.
7.3. Разложить в ряд Фурье периодические кривые,
показанные на рис. 7.2, б—г, предварительно определив, какие гармо-
U
2
1
О
-2
2
1
О
-0J5
20
I, A
г
2
7?
г т
' 2
Ж
f
т t
бI0
Рис. 7.3
ники присутствуют в разложении. Построить
амплитудно-частотный спектр этих функций.
* Разложение кривых дано в кн.: Бессонов Л. А* Теоретические
основы электротехники.—М.: Высшая школа, 1984, табл* 7,1.
7.4р. Определить коэффициенты амплитуды ka, формы &ф и
искажения ки для зависимости, показанной на рис. 7.2,6.
7.5. Для кривых, представленных на рис. 7.3, а—в,
определить: а) действующее значение тока; б) постоянную составляющую
тока и среднее значение тока по модулю; в) для кривой рис. 7.3, а
среднее значение тока за полупериод; г) коэффициенты формы
и амплитуды.
Б. Применение рядов Фурье для расчета электрических цепей,
содержащих несинусоидальные источники тока и э.д.с.
7.6. К схеме рис. 7.4, а подведено напряжение, изменяющееся,
как показано на рис. 7.2, б. Ограничившись тремя гармоническими
составляющими воздействующего напряжения, определить
мгновенные и действующие значения тока в схеме и напряжения на
элементах. Рассчитать мощность (активную, реактивную и полную),
развиваемую источником; ?/^ = 314 В; ©=108с; R = 10 Ом;
1 = 5мГн; С = 66,7мкФ.
7.7р. Схема рис.7.4, б питается от источника периодического
несинусоидального тока частотой / = 50 Гц, изменяющегося, как
показано на рис. 7.2, в. Ограничившись тремя составляющими
ряда Фурье в выражении для /(/), найти токи в ветвях схемы,
активную и полную мощности, развиваемые источником. Построить
график iL = f{t)\ /« = 2 А; # = 20 Ом; 1 = 31,8мГн; С=159мкФ.
7.8. Схема рис. 7.4, в питается от источника несинусоидальной
периодической э.д.с, график которой показан на рис. 7.2, г.
Частота источника питания /=1,59 105 Гц; Ет = 6 В.
Ограничившись тремя составляющими ряда Фурье в выражении для e(t),
определить мгновенное и действующее значения напряжения на
выходе схемы. Построить график этого напряжения в функции
времени. Параметры цепи: С = 10~4 мкФ; L= 10 мГн; М = 5 мГн;
# 10О
7.9. Рассчитать мгновенное значение тока в индуктивной
катушке и построить график его в функции времени (рис. 7.5, а),
если e(*) = 100 + 50sin(©/ —30°)В; /(*) = 10 + 5sin2©f A; R2 =
= coL=1/(o)C) = 10 0m; /?х = 5Ом.
7.10р. Определить мгновенное значение напряжения umn(i)
на зажимах источника тока (рис. 7.5, б) и его активную и полную
мощности, eMH<?@ = 100 + 50sinBa>* + 30°) В; /(f) = 6+lcoso>/ A,
Параметры цепи на частоте со: R1 = RZ = coL= 1(Шм; ЩюС) =20 Ом.
65
7.11р. На вход четырехполюсника, собранного по П-схеме
(рис. 7.5,в), подано напряжение u1(t)y изменяющееся по закону,
указанному на рис. 7.1,в; Um = 50B\ /=159,1 Гц. Найти
мгновенное и действующее значения напряжения на нагрузке
#н = 20Ом, ограничившись четырьмя гармоническими составляю-
8)
щими воздействующего напряжения. Построить линейные спектры
входного иг и выходного и2 напряжений. Параметры
четырехполюсника: jR = 40Om; С=16,7мкФ; ?=10мГн.
В. Резонансные явления при несинусоидальных токах
и напряжениях. Показания измерительных приборов* ;
7.12р. На входе цепи рис. 7.6, а действует источник напря- *-
жения, содержащий первую (со= 103 с"), третью и пятую
гармонические составляющие. Между входом и нагрузкой RH = 80 Ом
включен электрический фильтр; Lf = La=10 мГн. Подобрать
емкости конденсаторов С* и С2 так, чтобы в нагрузку не
проходили токи третьей и пятой гармоник. Определить отношение
напряжений UH/UBxl по первой гармонике.
7.13. На вход цепи рис. 7.6,6 подано напряжение u(t)=5 +
+ 3 sin AСШ + 30°) + 2 sin 5000* В. Подобрать индуктивности
катушек Ьц и L2 так, чтобы в нагрузке присутствовала лишь
постоянная составляющая спектра. Параметры цепи: С1 = С2=10мкФ;
/?н = 0,1 кОм. Рассчитать мгновенные значения токов i1(t) и i2(t)
* Приборы магнитоэлектрической системы показывают постоянную
составляющую, приборы электромагнитной и электродинамической
систем—действующее значение, ваттметр электродинамической системы«- среднюю мощность,
66
и показания амперметров и ваттметра электродинамической
системы.
7.14. На вход цепи рис. 7.6, в подано напряжение u(t) = 100+
+ 50 sin3000* + 30sin(9000/ —45°) В. Подобрать емкости
конденсаторов Ci и С2 так, чтобы в нагрузку не проходили постоянная
составляющая и третья гармоника напряжения, а первая
гармоника проходила без искажения. Параметры схемы: L=10mFh;
#н=100Ом. Определить мгновенные значения токов tx@; h(t)\
i3(t) и показания приборов электродинамической системы.
а)
Рис. 7.7
7.15. Рассчитать мгновенное значение напряжения на
конденсаторе ис (/) (рис. 7.7, а) и построить его график. Найти показания
вольтметра электромагнитной системы и ваттметра
электродинамической системы. Параметры схемы: /(/)=5 + 10sinA000/+30°) А;
^(/) = 50+100 sin B000/ — 45°) В; Lx = 30 мГн; L2=10 мГн;
С = 33,ЗмкФ; R =10 Ом.
7.16. Резистивно-емкостная нагрузка питается через
трансформатор от источника тока / (t) = 5 + 6 sin со/ + 3 cos 2co/ A
(рис. 7.7,6). Определить мгновенное значение напряжения umn{i),
а также показания вольтметра и ваттметра электродинамической
системы. Параметры цепи: @/^ = 8 Ом; coL2=:2 0m; коэффициент
связи обмоток трансформатора k = 0,25; i?H = 3 Ом; 1/(<оСн) = 2 Ом.
L,
X
а)
Рис. 7.8
7.17р. Рассчитать мгновенные значения токов во всех ветвях
схемы рис. 7.8, а, а также активные и полные мощности обоих
источников. Параметры цепи: ех (i) = 100 + 60 sin (cctf + 30°) В;
*,(') = 20+ 30cos2ю* В; # = 6 Ом; ©^=1 Ом; coL2 = 3 Ом;
1/(о)С) = 4 Ом.
7.18. В цепи рис. 7.8,6 e±{t) = 20 + 30sin(ш/ — 15°) +
+ 20sinBсо/ + 450) В; e2(t)=l0B. Параметры цепи: cdL{ = 2Om;
o)L2= 1/(соС) = 6 Ом; R=\0 Ом. Определить показания
вольтметра и амперметра электромагнитной системы.
67
Г. Расчет простейших электрических цепей
с несинусоидальными источниками тока
и э.д.с. без разложения в ряд Фурье
7.19. Цепь рис. 7.9, а питается от источника тока /(/)',
изменяющегося за период Г = 0,02 с, как показано на рис. 7.9 6.
Построить график напряжения u(t) на зажимах источника тока
за период Т. Параметры цепи: R = 30 Ом; L = 0,l Гн.
ift)
U(t)
t
o—
I
d)
L,A
-1
,/
e)
Рис. 7.9
7.20р. Построить /Л = /(/), iL = f(t) и ic = f(t) для схемы
рис. 7.9, в, если к ней подводится напряжение, изменяющееся
за период Т = 6 мс (рис. 7.9, г). Параметры схемы: /? = 100 Ом;
L = 0,l Гн; С=1 мкФ. При построении считать, что ток в
индуктивной катушке не имеет постоянной составляющей.
7.21. Ток iR(i) в схеме рис. 7.9,5 меняется по периодическому
(Т = 0,02 с) закону (рис. 7.9, е). Определить закон изменения
тока на входе i(t), если Я = 30 Ом; С =100 мкФ.
Д. Несинусоидальные токи и напряжения в трехфазных цепях
7.22. Фазовая э.д.с. симметричного трехфазного генератора,
соединенного звездой, содержит первую, третью и пятую
гармоники с амплитудами ?1Л = 49,5 В; ?3w = 42,4 В; ?5{? = 27,4 В.
Определить показания вольтметров электромагнитной системы,
если вольтметр V± включен на фазовое напряжение, а вольтметр
У2—на линейное.
7.23. Фазовые токи в симметричной нагрузке, соединенной
треугольником, содержат первую и третью гармоники. Амперметры
6S
электромагнитной системы, включенные в фазу нагрузки и
линейный провод, покажут соответственно /Л1 = 10 А; 1А2= 13,85 А.
Рассчитать амплитуду первой и третьей гармоник фазового тока.
7.24р. Определить мгновенное значение напряжения uaf9
активную и полную мощности трехфазной системы (рис. 7.10, а), если
uAB = (\00sm(dt + 2Qsin5(ui) В; сопротивления для первой
гармоники # = 8 Ом; XL = 6 Ом; Хс = 30 Ом.
Рис. 7.10
7.25. Найти токи в линии и нагрузке схемы рис. 7.10, а
(см. задачу 7.24р), если в фазе аЬ в точке d произошел обрыв.
7.26. Определить показание вольтметра электромагнитной
системы, включенного между нулевыми точками симметричного
трехфазного генератора и симметричной нагрузки (рис. 7.10,6,
выключатель в положении 1), если eA(t) = 100sincoi + 20sin3(nt —
— 5 sin5o>^ В, сопротивления для первых гармоник ZA = ZB = ZC =
= 3 + /4 Ом. Найти показание амперметра электромагнитной
системы, включенного вместо вольтметра (выключатель в
положении 2). Считать внутреннее сопротивление вольтметра
бесконечно большим, а внутреннее сопротивление амперметра равным
нулю.
Рис. 7.11
7.27. Определить показания вольтметра и амперметров
электромагнитной системы в схеме рис. 7.11, а. Э.д.с. фазы А еА имеет
форму, указанную на рис. 7.11,6. Параметры симметричной
нагрузки на основной частоте: oL = 9 Ом; 1/(соС)-= 30 Ом;
Я = 10 Ом; #0 = 1 Ом.
7.28. Э.д.с. фазы А симметричного трехфазного источника,
соединенного звездой, eA(t) = 100 sin cot + 50sinC(o/ + 30°) +
69
+ 30sinE<Df—45°) + 20sinG©/ + 60o)+10sin(9©/ + 45°) В. Чему
равно линейное напряжение uBC(t)}
7.29. К симметричному трехфазному источнику, соединенному
звездой, подключен трехфазный двигатель, обмотки которого также
соединены звездой. Э.д.с. фазы А источника еА (t) = 180 sin co^ +
+ 50sin5atf В. Сопротивление фазы двигателя на частоте со токам
прямой последовательности Z1 = jQ Ом, а токам обратной
последовательности Z2 = /l Ом. Найти мгновенное и действующее
значения тока фазы В.
Е. Амплитудно-модулированные колебания
7.30р. На выходе схемы напряжение изменяется по закону
и (t) = 100 sin 900t+ 100 sin 1100/ В. Построить график этого
напряжения в функции времени и определить период возникающих
биений.
7.31. Источник модулированного напряжения u(t) —
= 10 cos 104^ sin 106^ В питает последовательный резонансный
контур, настроенный на частоту со = 106 с; добротность контура
Q = 100, сопротивление резистора Я = 10 Ом. Определить закон
изменения тока в цепи.
7.32. Напряжение, модулированное по амплитуде, имеет вид
a@ = 10sinA04f —45°)+4sin(9.103* + 45°)— 4smA1.103*+45°) В.
Построить график этого напряжения в функции времени.
7.33. Источник тока j (t) = 0,1 A— 0,5 sin 2-104*) sin 50-104* A
питает последовательный резонансный контур, настроенный на
частоту со = 50-104 с. Добротность контура Q = 100; i? = 10OM.
Рассчитать действующие значения тока и напряжения на зажимах
источника тока.
Глава восьмая
Переходные процессы
в линейных электрических цепях
с сосредоточенными параметрами
А. Классический метод
/. КС-цепа
8.1. Конденсатор емкостью С = 0,1 мкФ разряжается на
резистор сопротивлением R = 1 кОм. Напряжение на конденсаторе
непосредственно до коммутации t/Co = 100 В (рис. 8.1, а). Найти
напряжение ис@+) и ток tc@+) непосредственно после
коммутации. Определить закон изменения напряжения ис (t) и тока ic (t)
после коммутации и построить графики этих величин во времени.
Подсчитать энергию, израсходованную в резисторе за время
полного разряда конденсатора.
70
8.2. Конденсатор емкостью С = 2 мкФ (рис. 8.1,6)
подключается через резистор сопротивлением /? = 0,5 кОм к источнику
э.д.с. e(t). 1. Полагая э.д.с. е (t) = E =100 В, найти закон
изменения напряжения на конденсаторе uc(t) и тока в цепи ic{t).
Построить графики этих величин во времени для: а) ис@_) =
= UCO = 0\ б) uc@_) = UCQ=l00 В; в) wc@J = (/C0 =—100 В.
2. Решить задачу при условии, что e(t) — 100|/2sinA03/ + 45°) В.
Рис. 8.1
8.3. Найти закон изменения во времени напряжения на
конденсаторе ис (t) и токов во всех ветвях схемы (рис. 8.2, а) после
коммутации (переключатель переводится из положения 1—0 в
положение 2—0). Построить графики этих величин во времени.
Задачу решить для трех вариантов (табл. 8.1). Считать R± = R2 =
= 1 кОм; С = 20 мкФ.
Таблица 8.1
Вариант
а
б
в
et (О. В
200
200
200 sin A00*+45°)
е2 (t), в
0
200
100
8.4. Найти напряжение и ток в ветви с конденсатором С
(рис. 8.2,6) после коммутации при: a) R1 = R2 = Rs=iRi= 1 кОм;
5)
Рис. 8.2
б) #1 = #4=1 кОм; R2 = /?з=1,5 кОм. Считать С = 0,66 мкФ;
?=150 В.
71
8.5. Найти напряжение на конденсаторе и токи в ветвях после
подключения к схеме источника тока /(/). Включение источника
тока на схеме рис. 8.3, а соответствует размыканию
выключателя. Рассмотреть два случая: 1) j(t) = J=l мА; 2) /(/) =
= F~2sinA0(tf—45°) мА. Данные схемы: Я = 20 кОм; С = 0,5 мкФ.
6)
Рис. 8.3
8.6. Найти напряжение на конденсаторе uc(t) и ток i(t)
в диагонали схемы (рис. 8.3, б) после коммутации, считая, что
схема питается от источника: а) постоянной э.д.с. ? = 100 В;
б) постоянного тока /=0,4 А. Данные схемы: Rx = RA = 200 Ом;
Я2 = #з = 300 Ом; #5 = 250 Ом; С = 20 мкФ.
Рис. 8.4
8.7р. Методом эквивалентного генератора найти ток i (t) в
диагонали схемы рис. 8.4, а после коммутации при: a) j1(t) = J1 =
=0,2 A; /2(f) = /t = 0,l А; б) h(<) = 0; /„(*) = 0,1 sinA04^—16°) А.
Данные схемы: ?х = 300 Ом; #2 = #3 = 200 Ом; С = 0,5 мкФ.
8.8р. Методом эквивалентного генератора рассчитать
напряжение uab(t) после размыкания контакта, считая, что в схеме
рис. 8.4,6 включены источник постоянной э.д.с. и источник тока:
а) ?=100 В; /(*) = /=0,5 А; б) ?=0; /@=0,335 sinA04*+ 13°) А.
Данные схемы: i?1 = 300 Ом; #2 = #3 = 200 Ом; С = 0,5 мкФ.
8.9р. Простейшее неидеальное интегрирующее звено (/?С-це-
почка) (рис. 8.5, а) в момент времени ? = 0 подключается к
источнику э.д.с. Elf а через время t = T после этого—к источнику
э.д.с. Е2. Определить напряжение на выходе звена uBblK(t) = uc(t)
и ток в цепи i(t) после коммутаций и построить графики
изменения указанных величин во времени, если: a) ?i=100 В;
72
?2 = 0; б) Ег=№ В; ?2 = 200 В; в) Е1=100 В; ?2 = —100 В.
Расчеты выполнить для 7 = 0,1 и 0,03 с. Данные схемы:
R=\ кОм; С =100 мкФ.
Построить графики изменения напряжения на выходе
идеального интегрирующего звена (рис. 8.5,6) при выполнении условий
п. а) — в). Идеальное интегрирующее звено получено добавлением
к схеме рис. 8.5,а усилителя с коэффициентом усиления k=\
и введением обратной связи.
В)
8.10р. В цепи при ^ = 0 происходит замыкание, а через время
t = T после этого — размыкание выключателя (рис. 8.5, в). 1.
Рассчитать напряжение на конденсаторе и построить график его
изменения во времени после первой и второй коммутаций для
Т = 0,1 и 0,03 с, считая R = R1 = 2k0m; С=100мкФ, ?=150 В.
2. Полагая, что включение и отключение периодически
повторяются, найти напряжение на конденсаторе в установившемся
режиме. В расчетах считать время включенного и отключенного
состояний одинаковым: Г = 0,1 с.
2. RL-цепи
8.11. В цепи происходит переключение выключателя из
положения 1—0 в 2—0 (рис. 8.6, а). Найти ток и напряжение на
индуктивной катушке после коммутации и построить графики
изменения этих величин
в функции времени,
считая, что: a) e(t) = E =
= 100 В; б) e(t) =
=200 sin ЮН В; в) e(t) = e(t)(f
= 200sinA04 + 45°) В.* VJ
Для случая а)
подсчитать полный заряд и
энергию, выделяющуюся на
резисторе после коммутации, р
В)
Данные схемы: R = 10 Ом;
L= 1 мГн.
8.12. В цепи (рис. 8.6,6) переключение выключателя
происходит из положения 1—0 в 2—0. Рассчитать ток в цепи и
напряжение на индуктивной катушке и резисторах R и Ri после
73
коммутации. Построить графики этих величин в функции времени*
Задачу решить для трех вариантов (табл. 8.2). Данные схемы:
#1==40 Ом; 7? = 10 Ом; L = l мГн.
Таблица 8.2
Вариант
а
б
в
<?i (/), В
100
100
200 sin A04/+45°)
e2(t), В
0
100
100
8.13. Найти ток и напряжение на индуктивной катушке после
коммутации (рис. 8.7, а), построить графики этих величин во
времени, полагая, что: а) *(*) = ?= 100 В; /@ = 0; б) *(*) = ?= 100 В;
Рис. 8.7
/() = у = Ю А; в) в(/) = ?= 100 В; /(*) = / = —10 А; г) *(<)=*
= 200 sin 104*; / (t) = J= 10 А. Данные схемы: R = 10 Ом;
L-1 мГн.
8.14. Определить ток в первичной обмотке и напряжение на
вторичной обмотке воздушного трансформатора (рис. 8.7,6) после
размыкания контакта при: а) /(/) = «/= 10 мА; б) /'(/)== 10 ]/х
XsinA0^ + 45°) мА. Данные схемы: # = 100 Ом; 1^ = Ьг= 10"» Гн;
М=5.10 Гн.
а)
Рис. 8.8
8.15. Рассчитать токи в ветви с индуктивной катушкой iL(t)
и в диагонали схемы *"д(*) (рис. 8.8, а) после коммутации,
полагая, что схему питает источник: а) постоянного тока J = 3 A;
б) постоянной э.д.с. Е= 10 В. Данные схемы: R1 = R2^=-Rz=l0 Ом;
74
8.16р. Найти токи в ветви с индуктивной катушкой iL(t) и
в диагонали iA(t) схемы рис. 8.8,6 после коммутации, полагая,
что схему питает источник: а) постоянной э.д.с. е (t) = ?" = 300 В;
б) синусоидальной э.д.с. е(t) = 250 sinB00* + 45°) В. Данные
схемы: # = 100 Ом; L = l Гн.
8.17р. Определить напряжение uab(t) после размыкания
контакта, полагая, что в схему рис. 8.9, а включены источники,
R
и8ыХ
Рис. 8.9
у которых^ а) e(t)=E = \O В; /(*) = /= 1 А; б) е(/)=? = ЮВ;
/(/) = 2j/sinE00f—45°) А. Данные схемы: ^ = /?3=10Ом;
R2 = 5 Ом; L = 0,01 Гн.
8.18. 1. Простейшее неидеальное дифференцирующее звено
в момент времени t = 0 подключается к источнику э.д.с. Е1У
а через время t = T после этого—к источнику э.д.с. Е2 (рис.8.9, б).
Найти ток i(t) и напряжение на выходе uBblx(t) после
коммутаций, построить графики этих величин в функции времени для:
а) ?1=100 В; ?2 = 0; б) ?х=100 В; ?а = 200 В; в) ^ = 100 В;
Е2 = —100 В. Расчеты выполнить для Т=10~3; 5 • 10~4 с. Данные
схемы: #=100 Ом; L = 0,l Гн. 2. Построить графики изменения
напряжения на выходе при выполнении условий пунктов а)—в)
для идеального дифференцирующего звена, т. е. если uBUX = duBJ/dt.
"ah
Щ
Ua
0 Т 2Т JT t
8Л9. Пассивный двухполюсник (рис. 8.10, а) при ^ = 0
подключается к источнику э.д.с. e1(t)y а через время t± после этого —
к источнику э.д.с. e2(t). Определить ток и построить его
зависимость от времени после первой и второй коммутаций, полагая:
a)
б)
—1\
75
e2{t) = E2\ t1 = T/A. Исходные данные: Rx=l Ом: L==10 3 Гн;
Г = 2я.1О с; Е1а = 20 В; Е2=\0 В.
8.20р. На вход пассивного двухполюсника подается
напряжение от низкоомного потенциометра (рис. 8.10,6). В начальный
момент времени t = 0 подвижный контакт включает первую
ступень потенциометра с напряжением и&. Затем через равные
промежутки времени Г, 27, ..., kT контакт замыкает вторую,
третью, ..., k-ю ступени потенциометра (рис. 8.10,в). Найти ток
в цепи двухполюсника после первой, второй, третьей и k-й
коммутаций, полагая, что сопротивление резистора R^>Rn. Данные
схемы: Д = 1 кОм; L = 0,l Гн; ид=1 В; Г = 10 с.
3. RCC- и RLL-цепи
8.21. Предварительно заряженный до напряжения UCIO
конденсатор Сх подключается к пассивной схеме (рис. 8.11, а).
Рис. 8.11
Рассчитать напряжения на конденсаторах С± и С2, токи во
всех ветвях и их производные непосредственно после коммутации.
Определить изменения во времени токов и напряжений на
конденсаторах и построить графики переходных процессов после
коммутации. Исходные данные: Rt = R2 = 1 кОм; Сх = С2= 100 мкФ;
(/С10 = 100 В.
8.22. Найти значения напряжений на конденсаторах, токов
во всех ветвях и их производных в схеме рис. 8.11,6
непосредственно после коммутации. Определить uci(t), uC2(t), МО» МО»
МО ПРИ* a) e(t) = E =10 В; б) в@ = 22,3sin A00/ — 27°). В.
Данные схемы: R1 = R2=\00 Ом; С1 = С,= 100 мкФ.
Рис. 8.12
8.23. Рассчитать напряжения на конденсаторах и токи в
ветвях схемы рис. 8.12, а после коммутации, полагая: а) ег (t) = E=
76
= 100 В; б) e2(/) = 123sinA00^ —43°) В. Данные схемы: С± =
= 20 мкФ; С2 = 30 мкФ; #х = 500 Ом; #2 = 400 Ом.
8.24. Рассчитать токи в ветвях и напряжения на
индуктивных катушках схемы рис. 8.12,6. Задачу решить для трех
вариантов (табл. 8.3). Данные схемы: R1=R2=l0 Ом; Lx=L2=0,l Гн.
Таблица 8.3
Вариант
а
б
в
*i @. в
100
100
300 1^2 sin A0^ + 45°)
с2 @, В
0
100
0
J, A
0
—10
0
8.25. Найти напряжение иаЪ (t) после коммутации и построить
график его изменения во времени, если схема (рис. 8.13)
подключена к источнику: а) постоянной
э. д. с. Е = 200 В; б) постоянного тока
«/ = 2 А. Данные схемы: #х = #2=
= 200 Ом; R =100 Ом; L^ = L% =
=L3 = 0,01 Гн; /И = 0,005 Гн.
4. RLC-цепи
8.26. Определить ток в контуре,
напряжения на конденсаторе и
катушке после коммутации (рис. 8.14, а).
Построить графики изменения этих величин во времени при:
а) С=1 мкФ; L = 0,01 Гн; # = 250 Ом; б) С= 1 мкФ; L =
=0,01 Гн; #=100 Ом; в) С=1 мкФ; L = 0,01 Гн; # = 200 Ом.
Для всех случаев ток источника тока J = 1 А.
Рис. 8.13
fit
Рис. 8.14
8.27р. Найти напряжение на конденсаторе и ток в
индуктивной катушке после коммутации в цепи рис. 8.14,6, полагая:
а) е(?) = ? = 200 В; ас@) = 0; С = ^ мкФ; L = ~ Гн; Rt = R2 =
= R3 = R = 2 кОм; б) *(*) = ? = 100 В; ис@) = 100 В; С=5 мкФ;
/ С\ 1 | тт * Z? О 1 vf^lV/r* D Z? О
77
Таблица 8.4
Вариант
а
б
в
г
e{t), В
100
200
200 cos ЮН
—100
/ @. А
0
10
10
20Vr2s?nA03~45°)
8.28. Найти значения начальных (при t = 0+) токов в ветвях
и их производных, а также напряжений на всех элементах цепи
(рис. 8.15, а). Задачу решить для четырех вариантов (табл. 8.4).
Параметры схемы: /?х = /?а = /?а = ЮОм; С= 100 мкФ; L = 0,01 Гн.
а)
Рис. 8.15
8.29. Определить корни характеристического уравнения и
начальные значения свободных составляющих 1ш@+) и *Ссв(°+)
непосредственно после коммутации, полагая, что схема рис. 8.15,6
питается от: а) источника э. д. с. е (t) = E= 160 В; Rt = 0; б)
источника тока /(*) = /= 10 А; в) источника э. д. с. e(t) = 260 В; #х=
= 10 Ом. Параметры схемы: i?2 = jR3 = #5 = #6 = ЮОм; #4=5 Ом;
L = 3,75 мГн; С = 88 мкФ.
Указание. Для случая в) характеристическое уравнение рекомендуется
составлять по определителю системы, найденному из уравнений для свободных
контурных токов.
8.30р. Рассчитать начальные значения (при ? = 0+) свободных
составляющих токов в ветвях и напряжения на конденсаторе
после подключения к цепи источника синусоидальной э. д. с.
(рис. 8.16, а).
Комплексные амплитуды принужденной синусоидальной
составляющей после коммутации известны: иС{П=90&30° В; ILm= 18е-'30°А.
Задачу решить для: а) /@ = 0; б) j(t) = J = \8 А, если R± =
*=#2 = Яз = #4=Ю Ом.
8.31р. Резонансный контур с малым затуханием (рис. 8.16, б)
подключают к источнику синусоидальной э.д.с. e(t)=Em sin ((o/+\|>).
78
Определить напряжение на конденсаторе и ток после
коммутации при: а) о) = оH = 1/|/С; Q == —1? > 1; 6<о)о, где 6=
= R/BL); б) о) = со0 = 1/|/УГС; /? = 0. Построить графики
изменения указанных величин во времени для со = (оо и г|) = 0.
Л>. R L
Рис. 8.16
8.32. Найти ток в индуктивной катушке iL после замыкания
выключателя и построй!ь график его изменения во времени для
случаев, когда число последовательно включенных одинаковых
jRC-ячеек: а) л=2; б) я=4; в) д=оо. Параметры схемы рис. 8.17, а:
# = 100 Ом; С = 0,5 мкФ; L = 62,5 мГн; /=1 А.
I, L
Рис. 8.17
8.33р. Рассчитать напряжение на конденсаторах после
коммутации при следующих параметрах схемы рис. 8.17,6: a) R1=R2=
=800 Ом; /?з = ^4 = Ю0 Ом'> ^1 = ^2 = О»01 Гн» С3 = С4 = 1 мкФ»
? = 60 В; б) #! = 2^2=1600 Ом; /?, = 4/?4 = 400 Ом; Lf = 2L2 =
= 0,02 Гн; С4 = 4С3=1 мкФ; ? = 41,3 В.
5. Д^а с емкостными контурами и индуктивными сечениями
8.34. Составить уравнения и по ним определить начальные
значения: а) напряжений на конденсаторах схемы рис. 8.18, а
при C1 = C2 = C3 = Ct = C; ?х=100 В; ? = 50 В; б) токов в
катушках схемы рис. 8.18,6 после размыкания контакта при
Z7 л г\ "D . Г 1 Л • D D D D Е) 1 С\ Г^лл* Т / Т Т Г
JD =^U D, и = 1 г\, Jt\i — ?\2 — A3 — А4 — *\ — А^ >^м» ^1 — -?-'2 — ^3 — ^А — и*
79
Указание. При решении таких задач можно пользоваться обобщенными
законами коммутации: законами сохранения (непрерывности) заряда и потоко-
сцепления. При этом следует учитывать, что алгебраическая сумма зарядов
на конденсаторах, присоединенных к любому узлу емкостного контура (или
контура из конденсаторов и источников э. д. с), непрерывна. Аналогично,
алгебраическая сумма потокосцеплений катушек, входящих в индуктивные сечения
(или сечения из катушек и источников тока), в любом замкнутом контуре,
состоящем из индуктивных катушек, непрерывна.
5)
Рис. 8.18
8.35р. Найти ток в цепи i(t) и напряжение на выключателе
uab(t\ после его размыкания, построить графики изменения токов
во времени при следующих параметрах схемы рис. 8.19, a: a) 7?х=
= 100 Ом; #2 = 300 Ом; ^ = 1а = 0,01 Гн; М=0; б) #х =/?2 =
= 100 Ом; ^ = 12 = 0,01 Гн; М=0; в) ^=100 Ом; #2=300Ом;
Ii:=L2== 0,01 Гн; М = 0,0025 Гн. Во всех случаях э. д. с. ?=200 В.
а)
Рис. 8.19
8.36. Рассчитать ток i2(t) во вторичной катушке и
напряжение и12 (t) после коммутации при: а) согласном включении
катушек (рис. 8.19,6); б) встречном включении катушек
(предположить, что «вывернута» первая катушка). Данные схемы: R±=R2=
^=100 Ом; L± = L2 = 0,01 Гн; М =0,005 Гн; У=1 А.
8.37. Определить токи в магнитно-связанных катушках после
коммутации, полагая, что коэффициент связи катушек: a) k =
= М/У 1^ = 0,5; б) & = 0; в) k=l. Параметры схемы рис. 8.20,
а: 7?1==/?2= 150 Ом; ?i = ?2=150 В.
8.38. Найти напряжения на конденсаторах после коммутации
(рис. 8.20,6), полагая, что э. д. с. имеют следующие значения:
а) Е1=Ю0 В; ?2 = 0; б) ^=100 В; ?2 = — 100 В; в) Et=E2=
Рис. 8.20
= 100 В. Параметры схемы: Ri = R2 =1000 Ом; С1 = 1 мкФ;
С2 = 3 мкФ.
8.39. Определить напряжения на конденсаторах (рис. 8.21)
после коммутации при: а) ? = 200 В; R1 = 400 Ом; б) ? = 200 В;
Т^-^оо. Параметры схемы: R2 =
= 100 Ом; Сх = 4мкФ; С2=1мкФ.
Б. Операторный метод
8.40. Составить в общем
виде выражения для операторных
сопротивлений цепей рис. 8.22, Рис. 8.21
а—г и операторных проводимо-
стей цепей рис. 8.22,5—з. Убедитесь путем расчета, что
входные сопротивления цепей, составленных из параллельно
включенных цепочек рис. 8.22, а, б и последовательно включенных
цепочек рис. 8.22,д,е при CR—L/R активны и равны R. Будут ли
в таких цепях происходить переходные процессы?
Рис. 8.22
8.41. На вход пассивного четырехполюсника (рис. 8.23, а)
подключается: а) источник э. д. с. е (t) = их; б) источник тока / (t) =
= ij. Найти операторные коэффициенты передачи: a) U2(p)/U1(p);
б) и%[рIШ.
81
8.42р. Рассчитать коэффициент передачи пассивной цепи (рис.
8.23, б) и составить ее схему так, чтобы при подключении на вход
источника постоянной э. д. с. e(t) = U1 получить на выходе
напряжения вида: a) W2 = f/Ie~a/; б) w2 = [/1(l—e-a').
-О
у
.о-
п
а)
Ь)
Рис. 8.23
8.43. Найти операторное выражение для входного тока I (р)
и его изменение во времени i(t) после подключения источника
э. д. с e(t) к цепи рис. 8.24, а, полагая: а) e(t)—E=lQO В;
б) e(f) = 100e-*°e* В; в) e(t) = 10Qt В; г) e(t) = №V2x
х sin A00* — 45°) В. Входное операторное сопротивление цепи
Zn(p) = p+100.
8.44. Найти операторное напряжение на выходе U2(p) схемы
рис. 8.24,6 и его выражение во времени щ (t) после коммутации.
Таблица 8.5
Рис. 8.24
Вариант
а
б
в
г
0,1
0,1
0,1
0,1
Hi). A
cos\00t
sin 100*
Задачу решить для четырех вариантов (табл. 8.5). Коэффициент
передачи пассивного звена Кх (р) = U2 (p)/It (p) = 1О0р/(р + 100).
i
h
-а-
"\
-р-
-о-—
Пп
Рис. в.25
8.45р. Источник постоянной э.д.с. Е подключают к цепочке
из п одинаковых линейных четырехполюсников (рис. 8.25),
обладающих детектирующим действием (сигналы проходят только от
входа к выходу). Найти коэффициент передачи Un+i{p)lU1(p)
всей цепи, полагая, что коэффициент передачи &-го
четырехполюсника Kk(p) = l/{Tkp+ 1), где k =1, 2, ..., п. Определить
напряжение на выходе схемы при ? = 0 и t-+oo. Для п = 3
найти операторное напряжение на выходе и его выражение во
времени.
8.46р. Операторное выражение для входной проводимоств
двухполюсника (рис. 8.26) имеет вид YBX(p)= 2 ^" . Найти
приближенное выражение для тока во времени после
подключения к цепи источника постоянной э. д. с. Е, используя
разложение изображения тока по обратным степеням р.
S)
Рис. 8.26
Рис. 8.27
8.47. Операторным методом рассчитать ток на входе схемы
рис. 8.27, а после коммутации. Задачу решить для трех
вариантов (табл. 8.6). Данные схемы: jR = 100 Ом; L—1 Гн.
Таблица 8.6
Вариант
а
б
в
«1 @, в
100
100
100
e»(t), в
0
—100
100 V 2 sin A00^ + 45°)
8.48р. Определить напряжение на конденсаторе uc(t) и ток
i2(t) после коммутации операторным методом: а) учитывая
внутреннюю э. д. с; б) приведя
сначала задачу к нулевым f ^+ 2
начальным условиям.
Параметры схемы рис. 8.27, б:
г> г> __ 9Г)П Ом* С =
= 1О-42Ф; ?=100 В.
8.49р. Найти ток в цепи
i(t) и напряжение между
контактами и12 (t) после
размыкания контакта в
схеме рис. 8.28, а
операторным методом: а) с учетом внутренней э. д. с; б) приведя
сначала задачу к нулевым начальным условиям. Исходные
данные: R1 = R2=l Ом; L = 2 Гн; ?=100 В.
5)
Рис. 8.28
83
8.50. Составить уравнения для операторных токов и
потенциалов в схеме рис. 8.28, б по методу: а) контурных токов; б)
узловых потенциалов. Записать в общем виде операторные выражения
для напряжений на индуктивном и емкостном элементах схемы.
Рис. 8.29
8.51. Составить выражение для операторного напряжения
U12(p) (рис. 8.29,а) при: e{t) = E\ j(t) = J\ б) e(t) = E; j(t) =
8.52р. Найти токи одинаковых магнитно-связанных контуров
после коммутации (рис. 8.29,6) при: а) сильной связи между
контурами (kttl); б) слабой связи (k<^l); в) в отсутствие
потерь (/? = 0).
В. Метод интеграла Дюамеля
8.53. Для цепей рис. 8.30, а—д найти реакции на действие
единичного ступенчатого напряжения иг (t) — 1 (t), т. е.
переходные характеристики цепей по току (переходные проводимости)
g(*) = MOh<*>=!<*> И по напряжению k(t) = u2(t)\ut(t)ssl{U. Для
Рис. 8.30
тех же цепей определить реакции на действие единичного
импульсного напряжения Ui(t) = 8(t)t т. е. импульсные
передаточные характеристики kb(t) = u2(t)\aiit)-b{t).
Указание. Для нахождения переходных характеристик (переходных
функций) цепей необходимо рассчитать переходный процесс, возникающий при
подключении ко входу цепи источника постоянного напряжения Е=1 В,пола-
84
гая начальные условия нулевыми. Для определения импульсных характеристик
следует рассчитать переходный процесс при воздействии на вход схемы
импульсной (в виде б-функций) э. д. с. Импульсную характеристику можно
определить и как производную во времени от переходной характеристики.
8.54. Для цепей рис. 8.31, а —г при ?>0 найти реакции
на действие единичного ступенчатого тока i1(t) = l W> T- е- пере-
е)
Рис. 8.31
ходные характеристики по току h(t) = i2(t)\liit)=i{t) и
напряжению ki(t) = u2(t)\iiit)=ut).
Указание. Для определения переходных характеристик необходимо
рассчитать переходный процесс при подключении ко входу схемы источника
постоянного тока J = 1 А, полагая начальные условия нулевыми.
8.55. Найти взаимную переходную проводимость gn(t) между
первой (ветвь с RJ и второй (ветвь с R2) ветвями рис. 8.31, д,е.
Указание. Для расчета взаимной переходной проводимости следует
определить переходный ток в ветви с R2 при включении в ветвь с /?i
источника постоянной э. д. с. Е—\ В.
Таблица 8.7
Вариант
8.56. Рассчитать напряжения на выходе дифференцирующего
(см. рис. 8.30, а) и интегрирующего (см. рис. 8.30,6) звеньев.
Задачу решить для пяти
вариантов (табл. 8.7). В расчетах
считать 6=1 с, где 6=1/(#С)
(см. рис, 8.30, а) или 8 = R/L
(рис. 8.30,6).
Примечание. Функция / (/) = 1 (t)
обозначает единичный скачок, т. е.
/@=0 при /<0_ и/(/) = 1 при/^>0+.
8.57. Определить напряжение
между контактами uBK(t) и ток в
индуктивной катушке iL(t) после
размыкания, считая, что на входе схемы рис. 8.32, а действует
источник тока: a) j(t) = J-l (t)=O,l-l(t) А; б) /@=0,1 (е~1оЛ—
—е2000-1(ОА; в) /@=0,lsinl00M@ А. Параметры схемы:
R = 100 Ом; L=l Гн.
а
б
в
г
Д
—100-1 (/)
100-1 {t — tj)
loo/. 1@
100е-2М@
A00— 100г2).1(
85
8.58р. Найти ток в цепи рис. 8.32,6 и построить график его
изменения во времени, полагая, что входное напряжение имеет
форму, изображенную на рис. 8.33, а—г.
Параметры схемы: i? = 0,5 кОм; С=1
мкФ.
8.59р. Определить ток в цепи схемы
задачи 8.58р при условии, что
начальное напряжение на конденсаторе Uco=
= 100 В. Расчеты выполнить при
формах входного напряжения,
изображенных на рис. 8.33, а, в.
8.60р. К последовательному резонансному контуру (рис. 8.34, а)
с малыми потерями (Q5>> 1) подключают импульсные источники
э.д. с, графики э. д. с. которых показаны на рис. 8.34, б, в. Найти
Рис. 8.32
и,в
U =100
50
и,в
(/=100
50
0 0,5 tflt
а)
0 0t5ti=1t,1Q*u
5) '
0 0t5triyQ-*G
3)
О ¦ 0,5tj=! t,10'36
г)
fr ъ
Рис. 8.33
а)
f)
Рис. 8.34
выходное напряжение u2(t) и построить график его изменения
во времени, полагая, что частота синусоиды, заполняющей
импульс, @ = 0H =
где &=1, 2, 3,
а время tt кратно 2я/о0, т. е. f1==fe—,
Г. Метод дискретных преобразований
8.61р. В цепи рис. 8.35 переключение выключателя
происходит циклически с периодом Т. Первая часть периода, во время
которой конденсатор заряжается (переключатель в положении
0—1)У имеет длительность t±9 вторая (переключатель в
положении 0—2)—(T—tJ.
Считая сначала конденсатор разряженным, найти закон
изменения напряжения на конденсаторе для любого цикла и оценить
минимальное число циклов, при котором достигается установив-
86
шийся, периодически повторяющийся переходный процесс.
Параметры цепи: R1 = 2R2 = 2 кОм; С = 5 мкФ; ?=100 В.
8.62. К входу цепи рис. 8.36 начиная с момента времени
/ = 0 на время tx подключают источник э.д. с. e1(t)f а затем на
время /2—источник э.д.с. e2(t). Переключение контакта из
положения 1—2 в 1—3 и обратно происходит с периодом t±+t2.
Рис. 8.35
Построить график напряжения на входе цепи и10 в функции
времени и найти закон изменения напряжения на выходе и для
любого интервала времени, включая установившийся
периодический режим, если: a) e1(t) = E; e2(t) = 0; t1 + t2 = T; /х = 0,8 Г;
б) еЛ(/) = ?; М0 = 0; ^ = ^ = 0,5 Т; в)М*) = 2?; e2{t) = E;
/l==/g = 0,5 71. Принять ?=100 В; T = 2,5-10 с; #=16 Ом;
1 = 0,1 Гн.
8.63. По данным задачи 8.62 определить закон изменения
тока для любого интервала времени, включая установившийся
периодический режим, если e1(t)=e2(t) = Emsm(io0tJt-\\));t1==t2=
=Т; оH = 2п/Г0, где ^ = 100 В; То = 27 = 2,5• Ю с. Параметры
схемы: # = 2 Ом; L = 4-10-3 Гн.
Построить графики напряжения на входе и тока в цепи,
если: а) г|) = 0; б) г|) = я/2; в) установившийся режим наступает
после первой коммутации. Для всех случаев найти среднее
значение тока в установившемся режиме.
ЗЕ
2Е
Е
0
т
2Т
пТ
й)
t
0
т
гт
S)
Рис.
пт
8.37
0 Т 2Т ПТ
8.64. Определить закон изменения напряжения на выходе
цепи (рис. 8.36) при подаче на ее вход дискретно изменяющихся
с интервалом времени Т напряжений ивх = и10, форма которых
показана на рис. 8,37, а—в.
87
Д. Метод переменных состояния*
8.65. По законам Кирхгофа составить уравнения состояния
цепей рис. 8.38, а, б после коммутации и уравнения связи
выходной переменной и2 с переменными состояния и внешними
воздействиями.
Рис. 8.38
8.66р. Методом приведения к резистивной цепи составить
уравнение состояния цепи рис. 8.39 после размыкания контакта
и уравнение связи выходной переменной и2 с переменными
состояния и внешними воздействиями.
8.67. Составить уравнение состояния цепи рис. 8.40 после
ее переключения с e1(t) на e(t) и уравнение связи iRf iCy iL
Рис. 8.39
Рис. 8.40
с переменными состояния и внешними воздействиями.
Вычислить коэффициенты уравнений при С =1/16 Ф; L== 1/6 Гн;
А1=А2 = /?3==2 ОМ.
8.68р. Для цепи рис. 8.40 (см. условие задачи 8.67) найти
W)» *с@ и uL,(t) п°сле коммутации, если: a) e1(t) = E1 = 20 В;
e(t)=O; б) ^@ = 0; e(t) = E = — 20 В; в) ^@ = ^ = 20 В;
e(t)=:E = —2Q В. Параметры цепи: С =1/16 Ф; 1 = 1/6 Гн;
/?1 = ^2 = /?3 = 2 Ом.
8.69. Для послекоммутационной цепи рис. 8.41 методом
переменных состояния определить uc(t) и iL(t), полагая e(t) = E =
= 10 В; / (t) = J = 10 А; С= 1/8 Ф; L= 1/2 Гн; /?1== #2=Я3=2 Ом.
Задачу решить при следующих начальных условиях: а) ис@)=з
=0; ^@) = 0; б) ^.@)^10 В; ^ = @) = -5 А.
* Во всех задачах настоящего раздела предполагается, что в качестве
переменных состояния выбраны напряжения на конденсаторах и токи в
индуктивных катушках*
88
8.70. Для послекоммутационной цепи рис. 8.41 методом
переменных состояния рассчитать uc(t)y iL(t), iR(t), ic{t) и uL(i)9
полагая е(г) = 20е-*< В; / = 0; С =1/16 Ф; 1=1/6 Гн; R1 = R2^
-^#3 = 2 Ом.
Решить задачу при следующих начальных условиях: а) ис@) =
= 10 В; iL@) = 5 А; б) мс@) = 40/3 ~ '
= 30 В; tL@) = 15 А; г) мс@) =
=40 В; iL{0) = 0.
8.71. Для цепи рис. 8.41 найти
iR(t) и uL(t) при действии
только одного источника, форма
сигнала которого представляет
ступенчатую единичную 1 @ или
импульсную 6 @ функцию, т. е.
определить переходные и импульсные
характеристики цепи. До подключения источника считать
начальное состояние цепи нулевым.
Задачу решить при: а) е@ = 1@; /@ = °; б) е@ = 0; /@ =
Рис. 8.41
у р р
= 1@; в) ??(*) = 6(/);
гА—k-i
1 I
QJL.J
г—1
1 = 0;' г) e(t) = O\ /@ = 6@. Параметры
цепи: С= 1/16 Ф; L=l/6 Гн;
Г) Г) D Q fYiv/r
Г\ ^ i\.) — /\ з — « V-/М.
8.72. Для цепи рис. 8.42
составить уравнение состояния, вы-
j(t) числить переходную функцию eW *
) и найти uci(t)f uC9(t) и /?@ при
следующих условиях: 1) внешние
воздействия после коммутации
отсутствуют [е @ = 0; / @ = 0],
начальное состояние задано: иС1 @) =
uh =1 В; иС2@)=0; ^@)=0 или
Рис 8.42 wci@) = l В; иС2@) = — IB; it,@) =
= 0; 2) в цепи действуют
импульсные источники: в @ = 6@; /@ = 0 или е@ = 0; /@ = 6@.
До включения источников считать состояние цепи нулевым.
Параметры цепи: СХ = С2= 1/3 Ф; L = 3 Гн; i?1 = JRa=l Ом.
Е. Численные методы*
8.73р. Для послекоммутационной схемы цепи рис. 8.38, а
составить дифференциальное уравнение относительно напряжения
на выходе u2(t). Численно найти закон изменения u2(t) после
коммутации от ? = 0 до t = 5 с, полагая /?х = /?2 = 103 Ом; С =
= 10~3 Ф; /@=0,(Ш А.
8.74. Для схемы цепи рис. 8.38, б составить
дифференциальное уравнение относительно напряжения на выходе и2 (t) и с
шагом /i = 0,25 с решить его для интервала времени ^ = 0 — 2,5 с,
полагая R1 = R2~0,2 Ом; L = 0,l Гн; ^ = 0; г = 5 + 5е~0>5/ В.
* При решении рекомендуется пользоваться программами, приведенными
в приложении 4.
89
8.75. Для схемы цепи рис. 8.40 после ее переключения с
ex{t) на e(t) составить дифференциальное уравнение относительно
напряжения на конденсаторе uc(t) и решить его при 7?1 = /?2==
= #з = 2 Ом; 1=1/6 Гн; С= 1/16 Ф; ^ = 20 В; е2 = —10 В.
8.76. Для цепи рис. 8.42, образовавшейся после коммутации,
составить дифференциальное уравнение и численно с шагом h =
=0,1 с найти изменение тока iL(t) для
интервала времени t = 0—1 с, полагая
е = 0; / = 0; ис1@) = 1 В; иС2@) = 0.
Параметры цепи: Ci = C2= 1/3 Ф;
L = 3 Гн; i?i = i?2=l Ом. Выполнить
решение задачи с шагом Л = 0,05 с.
Оценить погрешности полученных реше-
й h 01 005
g
р у р
ний с шагами h = 0,1; 0,05 с по сравне-
нию с точным решением (см. задачу
8.72).
\^^ 8.77. Импульс напряжения и (t) (рис.
02 04 06 08 Не 8*43^ воздействует на пассивный двух-
' ' ' ' ' полюсник, переходная характеристика
Рис. 8.43 которого g(t) = l —е~ш. Представив
график u(t) рядом дискретных
значений с шагом h = 0,1 с, найти изменение входного тока в
интервале / = 0 -т-1 с.
Глава девятая
Спектральный метод анализа
линейных электрических цепей
А. Частотные характеристики цепей
9.1. Найти выражение для комплексной функции передачи
четырехполюсника /C(/o)) = f/2(/co)/f/1(/(o) (рис. 9.1, а). Построить
графики амплитудно- и фазочастотных характеристик передачи
г
OHZD-
J
а) .
Рис. 9.1
/С((о) и фа при a) R±=R2=R; б) R2^Ri=R9 полагая /? = 10кОм;
С=10мкФ.
9.2. Найти выражения для входной проводимости У (/со) —
s=a I± (/о))/^! (/©) и комплексной функции передачи К (/со) =з
90
= J72(/(o)/f/1(/(o) для цепи рис. 9.1,6 при условии, что L/R =
9.3. Показать, что для пассивного двухполюсника,
содержащего помимо активных сопротивлений сколько угодно емкостных и
индуктивных накопителей энергии, действительная частотная
характеристика входного сопротивления /?(со)— четная, а мнимая
частотная характеристика X (со) — нечетная функции со.
Аы
д) в)
Рис. 9.2
9.4р. Пассивные двухполюсники (рис. 9.2, а—г) состоят только
из реактивных элементов. Показать, что угол наклона частотной
характеристики Л"(о) при любой частоте со положителен, т.е.
9.5. Определить комплексную функцию передачи /((/«) =
^=U2(j'(^)/U1(j(o) мостовой схемы рис. 9.3,а и убедиться, что ее
R L
Рис. 9.3
амплитудно-частотная характеристика К (со) не зависит от частоты.
Найти частотную зависимость времени задержки t3 (ю)= | d(pk(a>)/da) |,
полагая R = 1 Ом; L= 1 Гн.
9.6. Определить фазочастотную характеристику ф^ (со) функции
передачи сигналов напряжения по линии без потерь длиной /,
согласованной на конце. Используя зависимость Ф^(со), рассчитать
время задержки t3 сигналов в конце линии. Параметры линии
на единицу длины Lo и Со считать известными.
9.7. Найти выражения и построить графики амплитудно- и
фазочастотных характеристик цепи, пропускающей в диапазоне
частот от 0 до сос сигналы со входа на выход без искажений
(идеальный фильтр),
9.8р. Для последовательного резонансного контура с большой
добротностью Q (рис. 9.3,6) рассчитать точное и приближенное
(при Q^>1) выражения для коэффициента передачи /С (/со) =
91
9.9р. Определить полосу пропускания цепей рис. 9.4, а, б,
полагая /? = 1Ом; 1 = 0,1 Гн; С=10мкФ.
Указание. Полосой пропускания считают область частот, в которой
/С (со)//( (о))тах меняется в отношении 1/У 2.
JL JL L L
а) 6)
9.10. Комплексное сопротивление нелинейного инерционного
сопротивления (например, дуги, термистора) относительно малых
наложенных синусоидальных колебаний можно представить
линейным сопротивлением Z (/со) = Y+fa>r—, где
Т—постоянная времени, обусловленная
тепловыми процессами; Rcy RA—статическое и
дифференциальное сопротивления для заданного
режима работы (точки U 2, 3 в. а. х. на рис. 9.5).
Построить годограф Z(/со) при: а) /?д =
I =_1 Ом; с = ЗОм; 7= К) с; б) Яд = 0;
Рис. 9.5 яс==1ом; Т=1СГ3с; в) #д = 0,5 Ом; Яс =
= 1,5 Ом; Т = 10-3с.
Примечание. Под годографом понимают кривую, соединяющую концы
векторов Z(/<o) на комплексной плоскости.
Б. Спектры периодических и апериодических сигналов
9.11. Показать, что спектр Se((d) напряжения e(t) =
= г ^~т(тг) (гауссов импульс) выражается такой же по
виду функцией. Как связана ширина импульса e(t) с шириной
его спектра Se (со)? Определить спектр Se @) при a) tx —> 0;
б) /i—>оо, Л—*оо, если i4/^ = B|/2jc = const.
Примечание. Ширина кривой, описываемой функцией Гаусса,
определяется значениями абсцисс, при которых ее амплитуда изменяется в е^2раз.
9.12. Сигнал e(t) представляет собой периодическую
последовательность прямоугольных импульсов напряжения (рис. 9.6).
Представить его рядом Фурье в комплексной форме записи.
9.13. Для периодической последовательности импульсов
напряжения e(t) (см. условие задачи 9.12) построить графики спектров
амплитуд и фаз. При построении считать время импульса
фиксированным, а период Т определить из условия: а) Т = 2tx\ б) Т = 4t±;
в) 7>*i.
9.14. Для последовательности импульсов напряжения,
рассмотренной в задаче 9.12, построить график спектров амплитуд,
92
полагая фиксированным период Т = 4я-10 Зс. Длительность
импульса: a) *i = 772; б) ^ = Г/4; в) t^T.
9.15. Найти связь составляющих мощности сигнала в задаче
9.12 с комплексными составляющими спектра.
7 '
Рис. 9.6
tf О j
I
а)
*/ <
5)
Рис. 9.7
9.16. Найти спектральную характеристику S(/co) одиночных
прямоугольных импульсов напряжения (рис. 9.7, а, б). Построить
графики спектров амплитуд и фаз. Показать, что S@)
определяется площадью импульса.
-at
гМ
Ь)
Рис. 9.8
6(t)
д)
9.17. Найти спектры экспоненциального импульса напряжения
(рис. 9.8, а), скачка напряжения в виде ступенчатой (рис. 9.8, б)
и б-функций (рис. 9.8, в).
9.18р. Найти спектры импульсов напряжения, формы которых
приведены на рис. 9.9, а—в.
1
Z "Z ... J ^
0
a)
Рис. 9.9
9.19. Определить распределение энергии в спектре и полную
энергию для следующих апериодических сигналов e(t): а) 6-функ-
ции (рис. 9.8, в); б) прямоугольных импульсов (см. рис. 9.7, а, б);
в) экспоненциального импульса (рис. 9.8, а); г) спектра, задан-
93
ного аналитически: на участке от со = 0 до (о = (оо/2 S (со) = 1; на
участке от со = соо/2 до со = о)о S((o) = |/*2A—<о/(оо); на участке
со = о)о до со = оо S (со) = 0.
9.20р. Приближенно рассчитать ширину спектра A/i
импульсных сигналов конечной длительности (рис. 9.10, а—в).
а)
t, t
5} '
Рис. 9.10
в)
tf t
Примечание. Под шириной спектра понимают полосу частот, в которой
сосредоточена основная энергия сигнала (~0,9й?).
В. Корреляционные функции детерминированных
и случайных сигналов и их спектры
9,21р. Найти автокорреляционную функцию R(t) для
следующих сигналов: a) e(t) = E0; б) е (/) = Ет cos (со*—ф); в)
прямоугольного импульса амплитудой Е и длительностью *х; г) е(*) =
= 6(*), где 6(*) — б-функция.
9.22. Определить автокорреляционную функцию периодического
сигнала напряжения e(t), представленного конечным рядом Фурье:
е @ - Ео + Eim sin (со* + <Pi) + E2m sin B<ot + ф2) = 10 +
+10 sin A00*—30°) + 5 sin B00* + 30°) В.
Вычислить среднеквадратическое значение e2(t), т. е. среднюю
мощность сигнала.
9.23. Случайный стационарный сигнал напряжения
определяется выражением e(t)=Emsm((S)t + <p), где ЕтУ со—постоянные
величины; ф—случайная величина.
Найти автокорреляционную функцию
сигнала.
9.24р. Автокорреляционная функция
R (т) случайного сигнала напряжения
e(t), полученная в результате
обработки опытных данных, представлена на
рИС# 9.11. Найти среднеквадратическое
значение e2(t), среднее значение e(t)\
приближенна оценить время корреляции
Л
%0 ~~ R @) *
9.25е Рассчитать взаимную корреляционную функцию Re, {
сигналов напряжения e(t) и тока /(*), полагая: a) e(t)=E\
94
i (t)=Im sin И+Ф,); 6) e (t)=EM cos И-Ф,); i (t)=Im cos B©*—<pj;
в) e(t) = Emcos(G>t—q>e)\ i(*) = /mcos(a>f—«p,.).
9.26р. Рассчитать взаимную корреляционную функцию Ke,/(t)
импульсов напряжения e(t) и тока t(/), представленных на
рис. 9.12, а—г.
II
-*, о t,
а)
t,o t, t
-J I
*l t
S)
IS(t)
I6(t-t0)
t, t о ц t
8)
Рис. 9.12
9.27р. Предложить способ определения коэффициента
передачи K{j<u) = 02(j(u)/U1(j(u) линейного четырехполюсника, внутри
которого имеется источник помех, значительно превышающих по
амплитуде входное напряжение ul(t) = Ulmsma)t. Считать, что
входной сигнал и помехи не коррелированы
между собой.
9.28р. Найти энергетический спектр G(co)
детерминированных сигналов следующего
вида: a)e(t) = E0; б) e{t) = Eim соз(со^ — <рх);
в) e(t)=E0+
cos(*©!<—
где
2@ п)
0; ^, fe=lf 2t 3
9.20р. Определить энергетический спектр G(co) случайного
процесса, автокорреляционная функция которого представляет
собой «узкий» импульс.
9.30. Энергетический спектр G(co) случайного стационарного
процесса построен по опытным данным (рис. 9.13). Найти
среднюю мощность процесса.
Г. Прохождение периодических, апериодических
и случайных сигналов через линейные цепи
9.31. Рассчитать напряжение на входе схемы рис. 9.14, а,
к которой подключен источник периодического тока /(/),
изменяющегося в соответствии с рис. 9.14, б, считая: а) T=2t1\ б) Г=4^.
95
При расчете использовать комплексное представление ряда Фурье.
Параметры схемы: /?=1Ом; ?=1Гн; Т = 6,28с; 1т = 2А.
Расчет ограничить определением пятой гармоники.
9.32р. Рассчитать напряжение на входе схемы рис. 9.14, а при
воздействии импульса тока прямоугольной формы (рис. 9.14, в).
Расчет провести двумя способами: а) по переходной или
импульсной характеристике цепи; б) методом периодизации, т. е. полагая,
что импульсы повторяются с периодом T^>ti. При расчете этим
методом ограничиться первыми пятью гармониками разложения
в ряд Фурье периодизированной кривой.
j
t, T t о tf t
б) д)
Рис. 9.14
9.33р. На пассивный двухполюсник воздействует импульс тока
малой длительности (рис. 9.15,6). Найти напряжение на входе,
если частотная зависимость активной составляющей входного
сопротивления двухполюсника задана графически (рис. 9.15, а).
При решении использовать графоаналитический метод трапеций.
Исходные данные: Ro= 1,57 Ом; % = 100 рад/с; со2 = 2%; J / (t) dt—
^0=1Кл.
9.34р. Определить форму сигнала на выходе идеального
низкочастотного фильтра при воздействии на входе: а) импульса
напряжения в виде б-функции #i @ = 6@; б) единичного скачка
напряжения ut(t)~ 1 @- Передаточная функция фильтра К (/со)=
=Ке~№» при о)^о)с; Д"(/о)) = 0 при со > <ос. При каких условиях
передача указанных сигналов не будет искажена?
SL)Ac
7
О i О
a)
0,5
*, t
S)
Рис. 9.16
5)
9.35. На вход четырехполюсника рис. 9.16, а воздействует
прямоугольный импульс напряжения амплитудой Um= 1 В и
длительностью /х=1с (рис. 9.16,б). Параметры четырехполюсника:
96
/?=1М0м; С=1 мкФ. Определить выражения для модуля и
аргумента спектра напряжения на выходе.
9.36. Импульс тока ] (t) с заданной в виде графика
спектральной плотностью S-(co) (рис. 9.16,в) проходит по резистору
сопротивлением #=10 Ом. Найти энергию, которая выделится в
резисторе при воздействии импульса.
a)
В)
9.37р. Импульс прямоугольной формы амплитудой ? = 2В и
длительностью ?х=1с (рис. 9.17,а) воздействует на
четырехполюсник (рис. 9.17,6). Определить, какая часть энергии импульса
выделится в нагрузке. Задачу решить, используя теорему Рей ли.
Сопоставить решение с результатом, полученным при
интегрировании по времени. Параметры четырехполюсника и нагрузки:
С=1 мкФ; Я = 1 МОм.
9.38р. Импульс прямоугольной формы длительностью tx
(рис. 9.17, а) подан на вход последовательного резонансного
/?1С-контура (рис. 9.17,в) высокой добротности (q= ^ ^>П-
Найти выражение для тока в контуре после подачи импульса
в случае, когда период собственных колебаний контура Т =
9.39. Некоторую функцию времени с ограниченным спектром
(ему соответствует полоса частот от 0 до /с) требуется передать
без потери информации с помощью чисел через равные интервалы
времени. Через какие наибольшие интервалы времени следует
изменять и передавать значения функции?
9.40. Для схемы четырехполюсника рис. 9.17, в составить
передаточную функцию K(j®) = U2(j<u)/U1(j<u) и по ней найти
значение переходной функции четырехполюсника h(t) при ? = 0, оо,
т. е. й@) и А(оо).
9.41. Для пассивного четырехполюсника опытным путем
получена переходная характеристика h(t) = \—е~а*. Определить
передаточную функцию /С (/со) этого четырехполюсника.
9.42р. На вход цепи рис. 9.18, а поступает случайный сигнал
u(t)y энергетический спектр которого можно считать постоянным,
т.е. Gn (со) = Go В2/с. Найти энергетический спектр G/(o) и
корреляционную функцию /?/(т) тока в цепи.
9.43. На вход пассивного четырехполюсника (рис. 9.18,6)
поступает случайный сигнал их (t) с энергетическим спектром Gal (со).
Выбрать амплитудно-частотную характеристику коэффициента
97
*¦ П* и>\
л
передачи /С(<о) так, чтобы энергетический спектр выходного
напряжения соответствовал спектру белого шума, т.е. Gu2(o)) = Go.
9.44. Линейный четырехполюсник
, , представляет собой идеальный фильтр
низких частот. Найти энергетический
спектр и корреляционную функцию
выходного напряжения, полагая, что
п) ' w на вход фильтра подается шумовое
Рис. 9.18 напряжение иг(г) со спектром
Gal @) =G0 (белый шум). Передаточная
функция идеального фильтра дана в задаче 9.34р.
Глава десятая
Синтез двухполюсников и четырехполюсников
А. Возможность реализации двухполюсников по заданному Z(p).
Определение элементов двухполюсника
10.1. Проверить, удовлетворяют ли приведенные выражения
для входного сопротивления двухполюсника Z (р) условиям физи-
5р2+1 ^ч 3 + 22 + 4+8
ческой реализуемости: а) ф^; б)
p3 + j02 + 4p + 4
' р3 + 8р2 + ЗОр+16 *
10.2р. Методом Штурма проверить, выполняется ли условие
Нег(/<о)>0для двухполюсника, у которого Z(/?)= ^^^
10.3. Можно ли осуществить двухполюсник из элементов L
и Г огни- я^ ?(п\- (Р2+1)(Р2+9) . бч 7/яч (р2 + 0,25)(р2+2)
и С, если, а) /(/>) р(р2+4)—» б) Z(W- РBр2+3)
р + р
10.4р. Может ли двухполюсник состоять иэ элементов R и С,
если: a) Z(p)=^±i; 6) i^2
10.5. Из каких элементов составлен двухполюсник, если его
нули /?! = —1, /?3 = —3, р5 = —5, а полюсы /?2 = —2, /?4 = —4,
10.6. Может ли двухполюсник состоять из элементов R и L,
р B + 0,02/;) ^
?
10.7р. Является ли двухполюсник с Z(p) = 2P2^~\^
двухполюсником минимального реактивного сопротивления?
10.8. У некоторого двухполюсника нули входного
сопротивления р! = — 1, /?3 = —2 и полюсы р2,4 = —1±2/. Является ли
он двухполюсником минимального реактивного сопротивления?
98
Б. Составление входных сопротивлений двухполюсников
10.9р. Составить входное сопротивление Z(p) двухполюсника
в виде отношений двух полиномов, нуль которого рх — —1, а
полюсы р2 = 0 и р4 = —1,5. Вычет функции Z(p) в полюсе /?2 = 0
равен 10/3.
10.10. Составить выражение для Z(p) двухполюсника, нуль
которого рг——1, а полюс р2 = —1/3. Вычет функции Z(p) в
полюсе р2 = —1/3 равен 2/9.
10.11р. Составить выражение Z(p) двухполюсника, нули
которого /?i = 0, /?3, б==±/\ полюсы /?2,4= ± /0,578 и вычет функции
Z(p) в полюсе /?2 = 0,578 равен 2.'
10.12. Составить Y (р) двухполюсника, который имеет два нуля
на мнимой оси ±/ и три полюса @, 2/, —2/). Вычет функции
Y (р) в полюсе /? = 0 равен 1, а в полюсе p=2j равен 1,5.
В. Реализация Z(p) лестничной схемой,
путем последовательного выделения
простейших составляющих и методом Б руне
10.13. На рис. 10.1, а изображена лестничная схема. На
рисунке числовые значения индуктивности катушек даны в генри,
емкость конденсаторов—в фарадах, активные сопротивления
резисторов—в омах. Записать выражение для входной
проводимости схемы в виде
непрерывной дроби *. Л-ч и
10.14р. У некоторой лест- f ¦ «
ничной схемы выражение для
входного сопротивления
представлено в виде непрерывной
дроби: 0—
1 а)
рЛ j Рис. юл
1
2р + 3
Составить лестничную схему и найти числовые значения ее
элементов.
10.15. Для некоторой лестничной схемы входная
проводимость дана в виде непрерывной дроби. Составить схему и найти
числовые значения ее элементов, если
10.16. Реализовать лестничной схемой двухполюсник, для
которого: a) Z(P) = Ot2^o,3p> б> z(l)= 1°ОО?оГ+/4Ор+рз+Р '
* На всех рисунках этой главы приняты те же размерности для R, L, С.
99
10.17. Реализовать двухполюсник с Z(p)=6^v^2 : а) путем
последовательного выделения простейших составляющих; б)
лестничной схемой.
10.18. 1. Путем последовательного выделения простейших
составляющих реализовать двухполюсник, имеющий
р(Зр*+\)
Убедиться в том, что реализация лестничной схемой, в
каждой ветви которой имелось бы по одному элементу (R, L, С), для
данного случая невозможна.
2. Реализовать методом выделения простейших составляющих
ЮЛ9р. Методом Бруне реализовать двухполюсник, входное
сопротивление которого
10.20. Реализовать методом Бруне двухполюсники, имеющие
следующие входные сопротивления: а) 2р+2р+4* б) р2+р+1 '
10.21. Реализовать методом Бруне двухполюсники, заданные
рз i 5p2 i 2р+1 *>\ 4р3 + 4р2 + 4р + 3
входными сопротивлениями: а) и 21. \\ '» б) 3 Г Тi >
4З+62 + 9+1 Р Р -
Г. Реализация двухполюсника по временному отклику.
Связь между действительной и мнимой частями
10.22р* При нулевых начальных условиях на вход пассивного
двухполюсника поступает ток i(t)=100t от источника тока
(рис. 10.1,6). При этом напряжение на входе u(t) = lO*t—103х
ХA—е~100'). Составить схему двухполюсника и определить его
параметры.
10.23. Для некоторого двухполюсника комплексное
сопротивление на частоте со Z(/co) = А (со) + /5 (со). Известно, что Л(со) =
-со2/(И-(о2). Найти В (со).
Указание. При решении воспользоваться соотношением В(сос) =
dco, в котором после интегрирования заменить сос на со.
_2_ С А (со)
10.24. Для некоторого двухполюсника А (со) = R™_^ ^2.
Определить соВ (со) при со—* оо.
Указание. При решении воспользоваться соотношением со? (ю) =
2 р
100
Д. Некоторые особенности преобразования треугольника
в звезду и звезды в треугольник. Эквивалентные замены.
Дополняющие и взаимно обратные двухполюсники
10.25р. На рис. 10.2, а изображена Т-схема (звезда), в плечах
которой имеются резистивные, емкостные и индуктивные элементы.
Проводимости лучей звезды Y1 = a\ Y2 = jk2a; У3 = — jk3a, где
&2> ^з—числовые коэффициенты. Показать, что для этой схемы
Zfa Z,
Рис. 10.2
физически невозможно реализовать ее П-эквивалент (схему
рис. 10.2,6) при k2 и kzy одновременно не равных нулю и друг
другу.
10.26. На рис. 10.2,в изображена П-схема, состоящая из ре-
зисторного, индуктивного и емкостного элементов. Сопротивления
элементов схемы указаны на рисунке. Показать, что при любых
значениях числовых коэффициентов kb и kQy не равных нулю и
друг другу, Т-эквивалент схемы рис. 10.2, г физически
реализовать из линейных пассивных элементов невозможно.
10.27р. На рис. 10.3, а изображено
последовательно-параллельное соединение сопротивлений, где Z± и Z2—некоторые
частотно-зависимые сопротивления: а—числовой коэффициент.
Показать, что для любых частот этому соединению соответствует
участок цепи рис. 10.3,6. Коэффициенты Ьу с, d выражены через
коэффициент а следующим образом: Ъ = а A + а), с = A + аJ,
d=l + a.
10.28. Вывести формулы, которые позволяют осуществить
эквивалентный переход, справедливый для любых частот, от схемы
рис. 10.3, в к схеме рис. 10.3, г.
101
10.29. Используя преобразование звезды в треугольник,
треугольника в звезду и эквивалентные преобразования,
рассмотренные в задачах 10.27р и 10.28, привести к каноническому виду
с минимальным числом индуктивных и емкостных элементов схему
рис. 10.3, д. Параметры схемы: L[ = /4 = 2,5 Гн; Ц=\,25 Гн;
L4 = L5 = 0,5 Гн; Le = l Гн; L10 = 0,25 Гн; С = 2,25 Ф.
10.30. Задан двухполюсник, содержащий в общем случае резис-
тивные, индуктивные и емкостные элементы. Его входное
сопротивление Zx. Двухполюсником, дополняющим исходный, называют
двухполюсник с входным сопротивлением Z2, который, будучи
включен последовательно или параллельно с исходным, дополняет
полное входное сопротивление до чисто активного.
В качестве примера на рис. 10.4, а изображен исходный двухполюсник,
а на рис. 10.4, б —дополняющий. Если их соединить последовательно, то
результирующее сопротивление будет чисто активное. Схема, характер элемен-
Ж)
Рис. 10.4
тов и числовые значения параметров дополняющего двухполюсника зависят от
схемы, характера элементов и числовых значений параметров исходного
двухполюсника. Элементы дополняющего двухполюсника дуальны элементам
исходного (индуктивный элемент Ьг схемы рис. 10.4, а заменен на емкостный С2
в схеме рис. 10.4, б) и по значению таковы, что сопротивление элемента
исходной схемы, умноженное на сопротивление соответствующего элемента
дополняющей схемы, равно R2, где R— произвольное активное сопротивление.
Например, /coLx-t-tt-^jR2, откуда C2 = Li/R2. Параллельное соединение Ьг и Сг
/С0С2
в исходной схеме заменяют последовательным соединением C2 = L1/R2 и L2 ==
==Cxi?2 в дополняющей схеме. Последовательное соединение Lx и Сг в исходной
схеме заменяют параллельным соединением C2 = L1/R2 и L2 = CiR2 в
дополняющей схеме. Резистивные сопротивления оставляют без изменения.
Руководствуясь сказанным, убедиться в том, что
двухполюсник рис. 10.4, г является дополняющим для двухполюсника
рис. 10.4, в при их последовательном соединении.
10.31р. На рис. 10.4, д изображен двухполюсник в виде
последовательного соединения элементов R, Lt и Сг. На рис. 10.4, е
дана схема дополняющего двухполюсника. Убедиться в том, что
параллельное соединение двухполюсников рис. 10.4, д, е имеет
чисто активное сопротивление.
10.32. Составить схему дополняющего двухполюсника для
рис. 10.4, ж так, чтобы при последовательном соединении исход-
102
ного и дополняющего двухполюсника результирующее
сопротивление было чисто активным.
10.33р. Два дуальных двухполюсника с входными
сопротивлениями Zx и Z2, причем Z1Z2 = R2 (R — некоторое заданное число,
имеющее размерность
сопротивления), называют взаимно
обратными. Между взаимно
дуальными элементами обратных
двухполюсников существует
такое же соотношение, как и между
входными сопротивлениями.
Составить двухполюсник,
взаимно обратный данному на Рис. 10.5
рис. 10.5, а. Определить
параметры его элементов через параметры исходного двухполюсника
и коэффициент преобразования R. Показать, что произведение
входных сопротивлений дуальных двухполюсников равно R2.
Е. Проверка возможности реализации четырехполюсника
по его параметрам
10.34р. Проверить, могут ли выражения, приведенные для
Z-параметров, соответствовать некоторому физически
осуществимому четырехполюснику: Ztl = p p ; Z12 = Z22 = ^—.
10.35. Некоторый четырехполюсник имеет следующие Z-napa-
метры: Zff = ¦ , , 1Ч ; Z12 = Z22 = —r-r-.
F n p(p+1) 12 22 p + i
Проверить, выполняются ли для данного случая условие
Геверца и условие вычетов.
10.36. Некоторый четырехполюсник имеет следующие У-пара-
метры: a) YllL = p\ —Y12 = j
-У —i-- У -
Проверить, соответствуют ли они физически осуществимому
четырехполюснику.
Ж. Определение типа четырехполюсника
по его передаточной функции
10.37р. Передаточная функция по напряжению некоторого
согласованно нагруженного четырехполюсника Кп = рр*1
Р +Р +
Выяснить, является ли этот четырехполюсник
минимально-фазовым.
10.38. Дано выражение для передаточной функции по
напряжению при холостом ходе на выходе до и после сокращения на
103
общий множитель
Проверить, может ли приведенное выражение быть
передаточной функцией неуравновешенного четырехполюсника, в котором
входной и выходной контуры имеют общую точку.
10.39, Может ли передаточная функция Кцх =
принадлежать лестничной схеме, состоящей только из
элементов R и С?
10.40р. Задана передаточная функция по напряжению
некоторого четырехполюсника до и после сокращения на общий
множитель:
к р3(р+1)(р2+р+1) _
A
Проверить, может ли эта функция быть передаточной
функцией лестничной схемы.
3. Реализация четырехполюсника Г-схемой
10.41. Реализовать четырехполюсник с передаточной функцией
по напряжению при холостом ходе Ки — А 2,q , , в виде
х op -j- Ур -f- 1
Г-схемы рис. 10.5, а. Составить эквивалентные схемы, используя
в качестве дополнительных полиномов: a) Q = 6/?+ 1; б) Q = /?+ 1;
в) Q = p + 0,5.
10.42. Для некоторого четырехполюсника Ки = 2 , п , ,.
X р -f- 11/7 —j— 1
Реализовать четырехполюсник в виде Г-схемы рис. 10.5, б. Для
сопоставления с ответом взять дополнительный палином Q = /? + 5.
10.43р. Передаточная функция четырехполюсника задачи 10.42
записана в нормированном виде. Она нормирована при
безразмерной частоте оH = 104 и безразмерном сопротивлении #0=103.
Схема соответствующего четырехполюсника с нормированными
параметрами изображена на рис. 0.10.5, а. Требуется перейти
от нормированных параметров этой схемы к ненормированным.
10.44. Реализовать передаточную функцию четырехполюсника
д^х == 4 аТ7 Tj у полагая, что первый нуль дополнительного
полинома Q (р) находится посередине между нулями KUyi, а второй
нуль равен сумме полюсов KUx.
10.45р. Четырехполюсник рис. 10.6, а служит для амплитудной
коррекции. Он нагружен на сопротивление R, его входное
сопротивление равно R. Сопротивления Zx и Z2 взаимно обратны:
Z1Z2 = /?2. Если Zx образовано параллельно соединенными Rx и Lt
(рис. 10.6, б), то Z2—это последовательно соединенные R2 и С2
(рис. 10.6, в). В этом случае затухание четырехполюсника а =
104
= lni[/1/f/2 характеризуется кривой рис. 10.6, г. При (о = О
а = 0, с ростом со а увеличивается..Если Zx образовано параллельно
соединенными Rx и С1 (рис. 10.6, <Э), то Z2—это последовательно
соединенные R2 и L2 (рис. 10.6, е). Соответствующая зависимость
а = /((о) изображена' на рис. 10.6, ж. Затухание а уменьшается
с ростом со. Вывести формулы для определения Zx и Z2
четырехполюсника рис. 10.6, а, полагая заданными сопротивление
нагрузки R и затухание четырехполюсника а при двух значениях
частоты для следующих случаев: а) форма зависимости а = /(ю)
(Of
г)
а(о)
afcof)
ж) "'
*>
Рис. 10.6
соответствует кривой рис. 10.6, а; значения а заданы при coifa^)]
и <os[a(<o,)]; б) форма зависимости a = f (о) соответствует кривой
рис. 10.6, ж\ значения а заданы при со = 0 [а@)] и ^[а^)].
Учесть, что затухание четырехполюсника рис. 10.6, а
определяется через его параметры Zx и R (вывод см. в [3]): еа =
\1 ZR\
И. Задачи на различные темы
10.46р. Напряжение на выходе Г-образного четырехполюсника
рис. 10.7, а при холостом ходе на выходе и подключении его
к единичному напряжению Ux = 1 В изменяется во времени
следующим образом: щ(*) = 0,448(е-3>83'—е6'17-') В. Составить
полную схему четырехполюсника.
10.47, Для четырехполюсника рис. 10.7, б сопротивление Z^
представляет собой входное сопротивление источника питания,
подключенного к зажимам 1—1\ Z2 = r2—сопротивление нагрузки,
105
подключенной к зажимам 2—2. Взаимная проводимость между
ветвями 1 и 2 yi2 = h(p)/^i(p)' Вывести формулу для
определения сопротивления Z3 = Z12.
10.48. Для четырехполюсника рис. 10.7, б Z1 = l Ом; Z2 = p;
У П2- Найти Z3.
В)
10.49. При аппроксимации по Баттерворсу нормированной
передаточной функции низкочастотного фильтра, изображенной
на рис. 10.7, в, было получено выражение
где р — \х\ х = о)/оH; со0—безразмерная величина, равная частоте
среза фильтра. Найти затухание фильтра а с указанным К(р)
при частотах, равных соо и 2со0.
10.50. Определить степень полинома Баттерворса, которым
аппроксимирована передаточная функция низкочастотного фильтра
с характеристикой \K(jx)\ = f(x) (рис. 10.7, в), если известно,
что при х = 2 затухание а = 42 дБ.
Глава одиннадцатая
Установившиеся процессы в электрических цепях,
содержащих линии с распределенными параметрами
А. Первичные и вторичные параметры линии
11.1р. Для воздушной двухпроводной линии длиной / =
= 500 км известны погонные параметры: R0 = 2 Ом/км; Go =
= 0,5-10 См/км; C0 = 5-10-9 Ф/км; L0 = 2,5.10~3 Гн/км.
Определить ZB, y = OC + /P, Уф, X и коэффициент передачи напряжения
ku = \UjUi\ при согласованной нагрузке на частотах 0^ = 0; со2=
= 314 рад/с; со3 = 4000 рад/с; со4= 104 рад/с. Построить графики
зависимостей а (со), Р(со), аф(со), ^(со), |ZB|((o).
11.2. Для однородной линии на частоте /= 1000 Гц постоянная
распространения у = A,5 + /8я) • 10~3 км, волновое сопротивление
ZB = 600 е-/3° Ом. Найти у и ZB на частотах / = 50 Гц и / = 0.
11.3. Для кабельных линий ввиду близкого расположения
прямого и обратного проводников в диапазоне сравнительно невысо-
106
ких частот C00 Гц—6 кГц) погонное индуктивное
сопротивление (oL0 много меньше погонного активного сопротивления, а
емкостная проводимость озС0 значительно больше проводимости
утечки Go. Поэтому при приближенных расчетах можно считать
L0^0, G0^0.
На частоте f = 1 кГц коэффициент затухания кабельной линии
а = 6-10~2 Нп/км. Чему равны коэффициент фазы на этой же
частоте и постоянная распространения у = а+/Р, на частоте
f = 4 кГц?
11.4. Определить погонные параметры кабеля, если на частоте
(о=1000 рад/с ZB = 500e-/45°; у = (|Л2 + / |Л5). 10~2 км.
11.5. Кабельная линия имеет следующие параметры: Ro =
= 10 Ом/км; G0^0; Lo~°; С0 = 40-10~9 Ф/км. В согласованном
режиме при со =1000 рад/с источник отдает активную мощность
Рх= 100 Вт. При этом мощность в нагрузке Р2 = 5,91 Вт.
Рассчитать длину линии, напряжения и токи на входе Uu 1±
и выходе ?/2, /2, а также сдвиг фаз между входным и выходным
напряжениями.
Б. Искажения сигнала, передаваемого по линии.
Линия без искажений
11.6р. По воздушной линии связи с параметрами #0=2,5 Ом/км;
G0 = bl0"e См/км; 10=1,9-10-3 Гн/км; С0 = 8-10~9 Ф/км
передается сигнал в диапазоне 100 Гц —10 кГц (звуковые частоты).
Какова наибольшая длина линии, если допустимое затухание
а/^3,3 Нп? Для найденной длины линии определить время
распространения сигнала по линии. Назвать причины отличия
формы сигналов на выходе и входе линии.
11.7р. Катушку какой индуктивности необходимо дополнительно
включить на каждом километре длины линии, заданной в
задаче П.бр, чтобы она стала неискажающей? Как при этом
изменятся дальность передачи /тах (наибольшая допустимая длина
линии при затухании 3,3 Нп) и фазовая скорость? Чему равно
время распространения сигнала по линии длиной /тах?
11.8. На входе кабельной линии с параметрами Ro = 23 Ом/км;
G0 = 0,7-10-6 См/км; L0 = 0,6-10~3 Гн/км; С0 = 36-10-9 Ф/км,
/ = 50 км действует напряжение иг{1) = 500sin5000? В.
При условии, что линия работает в согласованном режиме,
определить активные мощности, потребляемую нагрузкой Ря
и теряемую в линии РП0ТеРь> а также к. п. д. передачи энергии
от источника к нагрузке ч\. Как изменятся значения Ян, Рпотерь>
т) после включения на каждом километре длины линии
дополнительных катушек для обеспечения неискажающей передачи (в
согласованном режиме)?
11.9р. Какой наибольшей длины может быть кабельная линия
с параметрами, заданными в предыдущей задаче после включения
дополнительных катушек, обеспечивающих неискажающую пере-
107
дачу сигнала, чтобы удовлетворялись два условия: 1) затухание
а4пах<3,3 Нп; 2) время распространения сигнала по линии
не должно превышать Л/тах = 0,15 с?
В. Распределение по линии мгновенных
и действующих значений тока и напряжения
11.10. На входе однородной линии с параметрами #0 = 2 Ом/км;
G0 = 0,5-10~6 См/км действует постоянное напряжение U1=l кВ.
Линия нагружена на резистор Rh = VRo/Gq. Длина линии / =
= 500 км.
Записать и решить для этого случая телеграфные уравнения
линии. На основании полученных решений построить графики
распределения по линии напряжения и тока U(x), /(#), где х —
расстояние, отсчитываемое от входа линии. Чему равно входное
сопротивление линии? Определить мощность Ри развиваемую
источником, и мощность Р2, потребляемую нагрузкой, а также
к, п. д. передачи энергии от источника к нагрузке г).
11.11. На входе линии с параметрами, заданными в задаче
11.1 р, и длиной / = X действует напряжение их (t) = 500 sin 4000* В.
Линия нагружена на резистор ZK = ZB.
Рассчитать мгновенные значения напряжения и тока в конце
u2(t), i2(t)> а также тока на входе i±(t) линии. Построить
графики распределения по линии мгновенных значений напряжения
для моментов времени ^ = 0, /2 = я/D(о); t3==n/Ba))\ *4 = я/(о.
Рекомендуется воспользоваться результатами решения задачи
11.1р, приведенными в табл. Р. 11.1.
11.12. Как изменится режим в нагрузке задачи 11.11, если
длина линии уменьшится вдвое? Изменится ли при этом мощность,
отдаваемая источником и к. п. д.?
11.13. В условиях задачи 11.11 изменилось сопротивление
нагрузки: ZH = 2ZB. Рассчитать мгновенные значения напряжения
и тока в конце линии, а также в точках, отстоящих от нагрузки
на расстояниях # = Я/4; я/2. Определить к. п. д. передачи
энергии от источника к нагрузке, сравнить его с к. п. д. в
согласованном режиме.
11.14. Для линии с параметрами ZB = 713e-'5'65° Ом; у =
— A,4 +/14,2)-10 км, / = Я, нагруженной на резистор ZH = 2ZB,
известна комплексная амплитуда напряжения на нагрузке 02т =
= 327,6 В. Записать выражения для мгновенных значений
напряжения и тока падающей и отраженной волн в середине линии
ИпадС '/2)> 'падС Щ* "отр (<, //2), *отр (U //2).
11.15. Линия с параметрами ZB = 713e"/6° Ом; у —
= A,4 + /14,2)-10" км; 1 = Х на конце разомкнута. Найти
мгновенные значения напряжения в конце и тока в начале
линии при напряжении на входе u1(t) = 500 sinШ В.
11.16р. На входе кабельной линии длиной / = 55,5 км
действует напряжение иг (t) = 500 sin 1000* В. Ток на входе при корот*
108
ком замыкании tlK@ = I sin A000^ + 21,5°) А, а при холостом
ходе *lx(*) = lsinA000* + 68,5°)A.
Определить первичные параметры линии Ro, LO1 Go, Co и
мгновенные значения тока и напряжения в конце линии при
согласованной нагрузке. Известно, что длина линии меньше Я/2.
11.17. При каком сопротивлении нагрузки линии с ZB =
= 500е~''4б° Ом; Y = 0,02e'45° км; / = ty8 в нагрузке выделяется
наибольшая мощность? Чему она равна, если напряжение на
входе **!(*) = 500 sin со* В, а внутреннее сопротивление источника
близко нулю?
Г. Линия без потерь
11.18. На входе линии с параметрами 10 = 2-10~ Гн/км;
Со = 8 • 10~9 Ф/км; Ro = 0; </0 = 0; / = 130 км действует напряжение
их (*) = 500 sin Bят-4167)* В. В конце линии: a)ZH = ZB; б) ZH==oo;
в) ZH = 0.
Определить ZB, уф, X и записать выражения для мгновенных
значений напряжения и тока в нагрузке u2(t), i2(t) в случаях
а)-в).
11.19. В условиях задачи 11.18 произошло изменение частоты
источника питания на 3 % (новое значение частоты / = 4167-1,03 =
= 4292 Гц). Во сколько раз изменится при этом амплитуда
напряжения в конце линии, если: a) ZH = ZB; б) ZH = oo?
11.20р. На входе линии без потерь с волновым сопротивлением
ZB = 500 Ом; Уф==250 103 км/с; / = 62,5 км действует напряжение
ui @ = 500 V 2 sin Bл;-2500) t В. Линия нагружена на индуктивное
сопротивление Zn = jZB. Определить напряжение на нагрузке (/„,
ток на входе /х. Построить графики распределения по линии
действующих значений напряжения и тока. На каком расстоянии
от нагрузки расположены ближайшая пучность и ближайший
узел напряжения?
11.21. В условиях задачи 11^20 в конце линии включено
емкостное сопротивление ZH = — /J/^ 3ZB. Определить напряжение и ток
в нагрузке.
11.22. Входное сопротивление линии без потерь длиной / =
= 62,5 км при ZB = 500 Ом ZBXl = — /134 Ом. Рабочая длина
волны в линии Я, = 100 км. Определить модуль и характер
сопротивления нагрузки.
11.23. Определить комплексное сопротивление отрезка линии
без потерь с ZB = 500 Ом, нагруженного на ZH=ZB/2, длиной:
a) /«ty2; б) / = Я/4; в) Z = fy8.
11.24. Входное сопротивление нагруженного отрезка линии
без потерь длиной /=C/4) Я с волновым сопротивлением ZB==400 Ом
ZBX1 = 200 +/200 Ом. Определить активную и реактивную
составляющие сопротивления нагрузки.
11.25р. Для согласования линии без потерь, обладающей
волновым сопротивлением ZB1= 100 Ом, с нагрузкой (ZH = RH = 400 Ом)
109
между основной линией и нагрузкой включен четвертьволновый
отрезок линии без потерь с волновым сопротивлением ZB2. В
основной линии наблюдается режим бегущей волны. Определить ZB2
и напряжение на нагрузке ?/2, если на входе линии напряжение
?/i= 100 В.
11.26р. Рассчитать входное сопротивление линии без потерь
и сопротивление нагрузки, если известно отношение комплексов
напряжения падающей и отраженной волн (комплексный
коэффициент отражения) на входе линии Гг = 0отп/0пг^ = — V3e"~/45°-
Длина линии / = (9/16) Я, волновое сопротивление ZB = 400 Ом.
Глава двенадцатая
Переходные процессы в цепях
с распределенными параметрами
А. Волновой метод
12.1р. Линия без потерь с волновым сопротивлением ZB=400 Ом
длиной / = 300 км в момент времени / = 0 подключается к
источнику постоянной э. д. с. ? = 500 В. Скорость распространения
электромагнитной волны в линии считать равной скорости света.
Получить выражения для мгновенных значений напряжения
и тока в конце и середине линии (х = 1, я = //2), построить
соответствующие графики. Рассмотреть следующие случаи нагрузки
линии: a) Zn = ZB; б) ZH = oo; в) ZH = 0. В каких режимах
переходный процесс имеет ограни-
L j ченную длительность, а в
каких — протекает теоретически
бесконечно долго?
Zg z* 12.2. В условиях предыдущей
задачи ZH = 2ZB. Построить
графики распределения по линии
мгновенных значений
напряжения и тока и(х)у i(x) для
момента времени / = 2,5 l/v.
Рис. 12.1 12.3р. Линия без потерь
бесконечной длины в момент
времени /=0 подключается к источнику постоянной э. д. с. ? = 400 В.
На расстоянии / = 600 м от входа линии последовательно
включена сосредоточенная индуктивность L=l,6 мГн (рис. 12.1).
Построить эпюры распределения по линии мгновенных значений
тока и напряжения для момента времени / = 1,5 l/v, если ZB=-
= 400 Ом; t> = 3.108 м/с.
12.4. В условиях задачи 12.3 на расстоянии / от входа линии
параллельно ей включена сосредоточенная емкость С=0,01 • 10~6 Ф.
Построить графики и(х), i(x) для момента времени ? = 3«10~6 с.
ПО
/'
1
\°
1
2'
| у У f
Lr ' -.
X
X
12.5р. На вход линии без потерь длиной / = 3000 м
подключают источник постоянной э. д. с. ? = 500 В с внутренним
сопротивлением /?BH = ZB. В исходном состоянии параллельно входным
зажимам линии включен конденсатор емкостью С = 0,04- 10~6Ф.
Конец линии разомкнут (рис. 12.2). Построить графики
распределения по линии мгновенных значений напряжения и тока для
моментов времени t1 = l/v,
/2=1,5//у. Принять ZB=
= 500 Ом; у = 3.108м/с.
12.6. В условиях
задачи 12.5р линия нагружена
на ZH = ZB. Получить
функции распределения по
лиV
нии мгновенных значений
напряжения и тока для Q .^
12.7. Линия без потерь Рис- 12-2
длиной /= 1500 м, на конце
которой включен конденсатор емкостью С = 1,25-10~9 Ф, в момент
времени/ = 0подключаются к источнику постояннойэ. д.с. ?"=600В;
ZB = 400 Ом; v~3-108 м/с. Определить мгновенное значение
напряжения на конденсаторе в интервале 0 —3l/v. Для t = 8-lO'6 с
построить распределение по линии мгновенных значений
напряжения.
12.8р. По окончании переходного процесса, рассматриваемого
в задаче 12.7, параллельно конденсатору подключают катушку
индуктивностью L = 0,8-10~3 Гн. Построить эпюры распределения
мгновенных значений напряжения и тока по линии для /=2,5- 10~6с.
12.9. Линия без потерь длиной /, разомкнутая на конце, в
момент времени / = 0 подключается к источнику постоянной
э. д. с. Е. Через интервал времени 2т = 2//у последовательно с
источником Е включают еще один такой же источник. Показать,
что в этом случае переходный процесс имеет органиченную
длительность. Рассчитать, чему она равна. Построить графики
временных зависимостей напряжения и тока в точках # = 0, х = //2,
х = 1. Рекомендуется воспользоваться результатами решения задач
12.1р или 12.11р.
12.10. На входе линии без потерь длиной /, разомкнутой на
конце, действует прямоугольный импульс напряжения амплитудой
Е и длительностью: a) 2x = 2l/v\ б) 4т = 4//и. Определить
напряжение, возникающее в конце линии, построить его графики для
случаев а) и б). Рекомендуется воспользоваться решением задачи
12.1р или 12.11р.
Б. Операторный метод
12.11р. Отрезок линии без потерь длиной / с параметрами
Lo, Co нагружен на произвольное операторное сопротивление
Z2(p) (рис. 12.3).
111
Определить передаточную функцию отрезка линии ()
— U2(p)/U1(p) и операторное входное сопротивление ZEX(/?) =
=Ui(p)/Ii(P)- Получить операторные выражения для напряжения
и тока в точке, отстоящей от входа линии на расстоянии х при:
a) ZH = ZB; б) ZH=oo; в) ZH = 0; r) ZH = 2ZB; дJн=1/(Ср)
(емкостная нагрузка). По найденным изображениям записать
соответствующие функции времени u(t, x), i\t, x). Для случаев г) и д)
получить временные зависимости напряжения на нагрузке u2{t).
Л с
А2'
Рис. 12.3
Рис. 12.4
12.12. Линию без потерь длиной / с волновым сопротивлением
ZB, нагруженную на ZH, в момент времени ? = 0 подключают к
источнику, обладающему постоянной внутренней э. д. с. Ей
внутренним сопротивлением ZBH=ZB (рис. 12.4). Показать, что при
сопротивлении ZH активного характера переходный процесс имеет
конечную длительность. Получить выражения для мгновенных
значений напряжения и тока в точке х при: a) ZH = ZB; б) ZH = oo;
в) ZH = 0; r)ZH = 2ZB.
12.13. В условиях предыдущей задачи в конце линии включена
катушка индуктивностью L = 0,5-10~3 Гн; / = 300 m;Zb = 500Om;
у = 3-108м/с; ?=100 В. Определить напряжение на катушке
и2 (t) и ток на входе ix (t) в переходном режиме. Построить эпюру
распределения по линии мгновенных значений напряжения для
?=1,5 т, где т—время прохождения волны по линии.
12.14. Источник, обладающий постоянной внутренней э. д. с.
? = 500 В и внутренним сопротивлением ZBYl — ZB, в момент
времени t = 0 подключают
к линии без потерь
длиной / = 600 м. Линия
нагружена на резистор
сопротивлением ZB =
=500 Ом. Параллельно
линии в ее середине
включена сосредоточенная ем-
Рис- 12-5 кость С = 2-1 О"9 Ф (рис.
12.5). Найти напряжения
на нагрузке и2(t) и конденсаторе uc(t). Построить эпюры
распределения по линии мгновенных значений напряжения для ^ = 0,5т;
/2=1,5т; /3 = 2т; ?4 = 2,5т, где т—время прохождения волной
ъ ?°
112
половины длины линии. Скорость распространения волны по
линии а = 3-108 м/с.
12.15. Конденсатор емкостью С = 0,0Ы0~6 Ф, заряженный до
напряжения (/0=120 В, в момент времени * = 0 подключают к
двум параллельно соединенным линиям с волновыми
сопротивлениями ZBl = 300 Ом; ZB2 = 450 Ом (рис. 12.6). Линии нагружены
согласованно. Скорость перемещения волны в линиях i> = 3-108 м/с.
Рис. 12.6
Рис. 12.7
Длина первой линии /х = 300 м, второй /2 = 600 м. Рассчитать
напряжения на нагрузках линий uH1(t); нн2@ и на конденсаторе
МО-
12.16р. На входе линии без потерь включены последовательно
источник постоянной э. д. с. ? и резистор сопротивлением ZB.
Сопротивление нагрузки также равно ZB (рис. 12.7).
В момент времени / = 0 параллельно нагрузке подключают
незаряженный конденсатор С. Считая, что до коммутации в линии
был установившийся режим, определить напряжение на нагрузке
и входе линии в переходном режиме. Построить эпюры
распределения по линии мгновенных значений напряжения для tx = 0,5//и;
*2 = 0,75//и при / = 300 м; ZB = 500 Ом; у = 3-108 м/с; ? = 500 В;
С = 4-10-9 Ф.
U,(V игШ
\zt
Рис. 12.8
Рис. 12.9
12.17. Получить выражения u(t, x)9 i(t, x) для рис. 12.8
после коммутации, считая режим до коммутации установившимся.
Линия потерями не обладает. Принять ? = 500 В; ZB = 500 Ом;
113
Рис. 12.10
L = 0,001 Гн-, v = 3.10s м/с; / = 600 м. Найти зависимость от
времени напряжения на входе игA).
12.18. Определить ток через резистор #H = ZB(pHC. 12.9), если
?=1200 В (постоянная э. д. с), Rm = Zj2. Параметры отрезка
линии без потерь: ZB = 400 Ом; / = 300 м; у = 3-108 м/с. До
коммутации режим был
установившимся.
12.19p.fB цепи, изображенной
на рис. 12.10, до коммутации
был установившийся режим.
Линия потерями не обладает,
? = 500 Ом; /=1500 м; v =
' =3-108 м/с; L = 0,0025 Гн. По-
L - лучить выражения для
мгновенных значений напряжения и
тока в произвольной точке на
линии.
12.20. В условиях задачи 12.19р (рис. 12.10) в момент
времени / = 0 к разомкнутому концу линии подключают конденсатор
емкостью С = 10~8Ф, заряженный до напряжения UCQ = 2Е. Пост-
//2
роить графики и(х), i(x) для ^ = 0; t2 = •—'$ ta = l/v, а также
зависимость от времени напряжения в конце линии u2(t).
В. Формирование импульсов с помощью заряженного
отрезка линии
12.21р. Отрезок линии без потерь длиной / = 300 м заряжен до
напряжения ?/0 = 4 кВ (рис. 12.11). В момент времени t = 0 один
из концов линии (на рис. 12.11 правый; х = /) замыкается на ре-
аистор сопротивлением #H = ZB = 400 Ом. Скорость
распространения волны в линии 1> = 3-108 м/с.
Рис. 12.11
Рис. 12.12
Найти ток *"„(/), возникающий в нагрузке, и напряжение на
разомкнутом конце линии ^@, построить их графики.
12.22. В условиях предыдущей задачи в момент времени t = 0
к обоим концам отрезка линии подключают резисторы
сопротивлением RH = ZB (рис. 12.12). Определить форму и длительность
114
импульсов тока, ix(t)9 *2@» возникающих в нагрузках. Сравнить
L2(t) с импульсом тока в нагрузке предыдущей задачи (см.
рис. Р. 12.10, б). Построить графики и(х)> i(x) для /х = 0;
JZ1 HI 1L 1
у р
= ZB, а левый
+ + + + +
12.23. В условиях задачи 12.21р к правому концу отрезка
линии подключают резистор сопротивлением
конец замыкают
накоротко. Найти ток /н(<) в
переходном режиме,
построить его график.
12.24. В условиях
задачи 12.21 р в момент
времени t = 0 к левому концу
отрезка линии подключают
незаряженный конденсатор
С = 2,5-10"9 Ф, а к право- Рис 12.13
му концу — резистор
сопротивлением ZB (рис. 12.13). Определить напряжение на
конденсаторе в переходном режиме uc(t) и построить его график.
t=0
Г. Каскадное, последовательное и параллельное
соединения двух линий
12.25р. В момент i = 0 к разомкнутому концу линии без
потерь подключают отрезок линии с теми же параметрами той же
длины, разомкнутый на конце (рис. 12.14).
Построить графики распределения мгновенных значений напря-
жения и тока по линии для /i = 0; t2 = -^- ; /3 = ~; /4 = 1,5 l/v;
tb = 3l/v. Чему равна длительность переходного процесса?
Принять ? = 500 В; ZB = 500 Ом;
/= 1500 м; 1> = 3-108 м/с.
12.26. В условиях задачи
12.25р (рис. 12.14)
подключаемый отрезок линии на конце
замкнут накоротко. Получить
выражения для мгновенных
значений напряжения и тока в
произвольной точке линии.
Рис. 12.14 12.27. В условиях 12.25р (рис.
12.14) подключаемый отрезок
линии на конце нагружен на ZR. Построить графики
распределения по линии мгновенных значений напряжения и тока для ? = 0;
, 1/2 , l
т=—\ *=—. Определить длительность переходного процесса.
12.28. Линия без потерь длиной 2/ нагружена на ZB. На входе
линии действует источник постоянной э. д. с. Е с внутренним
сопротивлением ZB. В момент времени / = 0 в среднем сечении
115
линии параллельно ей подключают: а) незаряженный конденсатор
рис. A2.15, а); б) резистор сопротивлением ZB (рис. 12.15,6); в)
короткозамкнутую перемычку (рис. 12.15, в).
Получить рыражения для мгновенного значения напряжения в
произвольной ^очке линии. На первом участке линии (от
источника до места коммутации)
расстояние следует отсчитывать от
источника и обозначить хг\ на
втором участке—от места
коммутации и обозначить х2.
Построить качественно эпюры
распределения мгновенных
значений напряжения по линии для
*,
Режим для коммутации считать
установившимся.
12.29. В условиях задачи
12.28 (рис. 12.15, в) выходные
зажимы линии разомкнуты.
Получить выражение для
мгновенного значения напряжения в
конце линии u2(t), если: а) в
исходном состоянии ключ
разомкнут, режим установившийся;
в момент времени ? = 0 ключ
замыкается; б) в исходном
состоянии ключ замкнут, режим
установившийся, при / = 0ключ
размыкается. В каком случае
переходный процесс имеет ограниченную длительность? Построить
графики u2{t).
12.30. Две линии без потерь с волновыми сопротивлениями
ZB± и ZB2 каждая длиной / соединены каскадно (рис. 12.16). На
Рис. 12.15
Рис. 12.16
Рис. 12.17
входе первой линии включен источник постоянной э. д. с. с
внутренним сопротивлением, равным ZBl. Выходные зажимы второй
линии замкнуты накоротко. В исходном состоянии в месте стыка
линий существует короткозамкнутая перемычка. При t = 0 про-
116
исходит обрыв перемычки. Получить выражения для мгновенных
значений напряжения на входе первой линии их {г) и тока в конце
второй линии i2(t). При этом считать скорости распространения
электромагнитных волн в обеих линиях одинаковыми; принять
^В2 — 2в1/3.
12.31р. К двум одинаковым линиям без потерь с волновым
сопротивлением ZB длиной /, соединенным последовательно, в
момент времени ? = 0 подключают источник постоянной э. д. с.
Е (рис. 12.17). Одна линия нагружена на резистор
сопротивлением Zn = ZBy зажимы другой замкнуты накоротко. Определить
мгновенные значения напряжения на нагрузке первой линии
uH(i) и тока в конце второй линии i2(t).
Чему равна длительность переходного процесса в каждой из
линий? Сравнить их (скорость распространения электромагнитной
волны в линиях v считать
известной).
12.32. В условиях задачи 12.31 р
(рис. 12.17) выходные зажимы
второй линии разомкнуты.
Рассчитать мгновенные значения
напряжений на нагрузке первой линии
ын (/) и разомкнутых зажимах
второй линии uz(t).
12.33. Две одинаковые линии
без потерь с волновым
сопротивлением ZB длиной / соединены
параллельно. Первая линия
нагружена на ZB, а зажимы второй разомкнуты (рис. 12.18).
В момент времени ( = 0 к входным зажимам линий
подключают источник постоянного тока J. Получить выражения для
мгновенных значений напряжений на входе линий иг{1) и на
выходных зажимах линий uH(l), uz(t).
Рис. 12.18
Глава тринадцатая
Нелинейные электрические цепи постоянного тока
А. Построение характеристик нелинейных цепей.
Расчет токов и напряжений графическим методом
в цепях с одним источником
13.1р. Построить входную в.а.х. [/ = /(/) схемы рис. 13.1, а.
В.а.х. нелинейных резистивных элементов НРХ и НР2 даны на
рис. 13.1 б; # = 5 Ом.
13.2. Три одинаковые лампы накаливания соединены, как
показано на рис. 13.2, а. Определить ток в неразветвленной части
схемы, если ток в лампе 1 равен 0,3 Л. В.а.х. одной лампы
дана на рис. 13.2, а. Построить входную в. а. х. схемы.
117
20
13.3р. Туннельный диод, в. а. х. которого изображена на
рис. 13.2, б, соединен последовательно с источником э. д. с. Е = 1 В
и резистором сопротивлением R. Сопротивление R изменяется от
О до оо. Построить график
и,в\1—| \HPi | _ | зависимости тока / в схеме
рис. 13.2, б от
сопротивления R.
13.4. Схема и в. а. х.
HP те же, что и в задаче
13.3р, но э. д. с.
изменяется от 0 до 1,4 В; R =
= 100 Ом. Построить
зависимость / = /(?).
13.5. На рис. 13.3, а представлена схема термокомпенсации
измерительного прибора. Сопротивление рамки прибора /?пр,
"Ijjj
л
HPZ
а)
Рис. 13.1
?
0,2
г—
[
3
2
3-
j
/
7
ю га и,в
а)
i
\
/
0,8 ЩВ ,
Рис. 13.2
B0M
ч
Rnp
******
0 20 40 SO 80T,°C 0 20 40 60 80 Ц
5) г)
Рис. 13.3
выполненной из медной проволоки, зависит от температуры
(рис. 13.3, б). Последовательно с рамкой включена цепочка
термокомпенсации, состоящая из параллельно соединенных терми-
стора сопротивлением RT и манганинового шунта сопротивлением
Rm. Зависимости RT и Rm от температуры Т приведены на
рис. 13.3, б. Построить зависимость общего сопротивления от
118
температуры и убедиться, что оно будет стабильным в диапазоне
температур 0 < Т < 100° С.
13.6. На рис. 13.3, в представлена схема, используемая для
определения постоянной времени термистора, который включен в
одно плечо моста (в. а. х. термистора дана на рис. 13.3, г),
Rx = 30 кОм; /?2=10 кОм; ?/вх=120 В. Определить: а)
сопротивление #3, при котором мост сбалансирован, т. е. ?/вых = 0;
б) напряжение ?/вых, если ?/вх уменьшится на 20 В. В обоих
режимах найти стати
тивления термистора.
I
jRct и дифференциальное /?диф сопро-
1}мА\
80\
m
О
и\
о
/\
If
II
1
а)
16
5)
2k
Рис.
Q
13.4
13,7р. На рис. 13.4, а представлена цепь, содержащая пози-
стор СТ5-1, в. а. х. которого показана на рис. 13.4, б, и
резистор сопротивлением R (позистор—терморезистор с
положительным температурным коэффициентом в определенном диапазоне
напряжений U; в данном случае при U > 4 В). Подобрать
значение R так, чтобы цепь могла быть использована как
стабилизатор тока. Построить входную в. а. х. / = /(f/) и определить ток
стабилизации /сг.
13.8. Для стабилизации тока в нагрузке #н (рис. 13.4, в)
используются параллельно включенные позистор, в. а. х.
которого дана на рис. 13.4, г, и резистор сопротивлением R.
Подобрать значение R так, чтобы ток / был постоянен при
изменении напряжения на позисторе от 3 до 10 В. Найти ток
стабилизации /ст. Определить пределы изменения напряжения U
на входе, при котором ток / в цепи неизменен; 7?н=100 Ом.
13.9. Одна из схем стабилизации напряжения на термисторе
приведена на рис. 13.5, а. Так как в. а. х. используемого
термистора ТП6/2 (рис. 13.5,6) не имеет вертикального участка, то
последовательно с ним подключается резистор сопротивлением
R2. Найти сопротивление R2 и стабилизированное напряжение
UCT на нагрузке RH==l кОм. Напряжение на входе меняется на
±10% от номинального, равного 20 В. Подобрать сопротивле-
119
ние JRi, если при минимальном напряжении на входе ток через
термистор /т=1 мА. Проверить, изменится ли напряжение на
нагрузке при возрастании входного напряжения до максимума.
1,МА
\
Z <t 6
Рис. 13.5
13ЛОр. Триод 6С19П включен в цепь по схеме рис. 13.6, я.
Анодные характеристики лампы показаны на рис. 13.6,6. Считая,
что ток сетки весьма мал (/с<^/а), определить ток в анодной
цепи /а, напряжение на аноде Ua и нагрузке сопротивлением i?a,
если ?а = 250 В; /7^= 1210 Ом; #2 = 40 Ом; /?а = 2500 Ом.
/
(/*
^
1R I
'
I
50 100 150 ZOO Ua,B
5)
Рис. 13.6
13.11. Подобрать сопротивление /?а (рис. 13.6, в) так, чтобы
при возрастании напряжения на сетке до (/с=16 В ток в
анодной цепи не превышал 60 мА; ?а = 250 В. Анодные
характеристики лампы даны на рис. 13.6, б. При наименьшем из
выбранных значений Ra построить зависимость напряжения на нагрузке
(/#а от сеточного напряжения ?/с.
Б. Метод эквивалентного генератора.
Метод одновременного холостого хода двух ветвей
13.12р. В схеме рис. 13.7, а определить все токи. Ё.а.х. HP
изображена на рис 13.7, б (кривая /). Параметры схемы: ?х= 18 В;
?2 = 6 В; J=l А; Ях = 3 Ом; #2 = 6 Ом.
13.13. Рассчитать ток в HP (рис. 13.8, а) и мощность,
выделяющуюся в нем. Параметры цепи: ? = 30 В; J = 2A; 7?х = 4Ом;
R2=l Ом; #з = 3 Ом; #4=^2 Ом. В. а. х. ЯР дана на рис. 13.7, б
(кривая 1).
120
1
О
Рис. 13.7
/Г
л
—^
8 12 U}B
S)
13.14. Определить ток в HP схемы рис. 13.8, б и значения
статического Rct и дифференциального /?ДИф сопротивлений при
этом токе. В.а.х, HP дана
на рис. 13.7, б (кривая 2);
? = 20 В; J = 5 Aj^-ЗОм; Е\
R2 = 2 Ом. Как изменятся ток (Ч ^
в ЯР и значения #ст и /?днф,
если изменить полярность
источника тока?
13.15. Рассчитать ток в
HP (рис. 13.9, а) при
питании схемы от источника: а)
э.д.с. ? = 24 В; б) тока Рис. 13.8
/=2 А. В.а.х. HP дана на
рис. 13.9,6; /?1 = /?2 = 4 Ом; #3 = 3 Ом; #4 = 1 Ом. Определив
режим работы HP, найти токи в остальных ветвях схемы.
6)
Рис. 13.10
12!
13.16р. Определить токи во всех ветвях схемы рис. 13.10, а.
В а.х. ЯР3 и НР2 одинаковы и даны на рис. 13.7, б (кривая
1); ?=10 В; / = 2 А; /?1 = 4Ом; Я2 = 2Ом; #3 = ЗОм.
13.17. В схеме рис. 13.10,6 рассчитать токи во всех ветвях.
В. а. х. двух одинаковых нелинейных элементов даны на рис. 13.7, б
(кривая 1)\ ? = 20 В; / = 3 А; #1 = Да = #8 = 2 Ом.
В. Замена нелинейного активного двухполюсника
эквивалентным. Метод двух узлов.
Расчет разветвленной цепи
13.18р. Заменить нелинейный активный двухполюсник
(рис. 13.11, а) эквивалентным и определить его параметры. В. а.х.
нелинейных элементов даны на рис. 13.11, б; ?==30 В; У = 1 А.
«-о а
2
J
20
-2
НРг
щ
40
<•
и,д
S)
Рис. 13.11
13.19. Решить задачу 13.18р, изменив полярность источника
тока /, т. е. определить: а) э. д. с. эквивалентного источника
э.д. с. ?э и в. а.х. нелинейного элемента, соединенного с ним
-20
20
-2-
40 U7B
Рис. 13.12
последовательно; б) ток эквивалентного источника тока /э и
в. а. х. нелинейного элемента, включенного параллельно ему.
13.20. Заменить две параллельные ветви схемы рис. 13.11, вэкви-
валентной, определив э. д. с. ?э и в. а. х.' нелинейного элемента
122
эквивалентной ветви; Е1 = ?2 = 30В. В.а.х. НРг и #Р2данына
рис. 13.11, б.
13.21р. Определить токи в задаче 13.18р при условии, что ток,
подтекающий к двухполюснику на рис. 13.11, а, равен нулю.
13.22. Рассчитать токи в схеме
рис. 13.12, а, если ^ = 30 В;
?2 = 35 В; R2 = 5 Ом. В. а. х.
одинаковых элементов НРг и НР2
даны на рис. 13.12,6.
13.23. Решить задачу 13.21р,
изменив полярность источника
тока J (в схеме рис. 13.11, а ток
/ = 0).
13.24р. Определить токи в вет- Рис- I3-*3
вях схемы рис. 13.13. В.а.х.
трех одинаковых нелинейных элементов представлена на рис.
13.12, б. Исходные данные: Ег= 10В;?2 = 20 В; / = 1 А; # = 5Ом.
Г. Аналитический расчет нелинейных цепей
13.25. Две лампы накаливания, включенные параллельно
через резистор сопротивлением R = 50 Ом, подсоединены к
источнику э.д.с. ? = 0,68 В (рис. 13.14). В.а.х. ламп можно выра-
'вых
Рис. 13.14
зить аналитически: /1 = 0,06f/1+ \0~zU\\ /2 = 0,04C/2 + 0,6- 10~3f/|
(ток—в амперах, напряжение—в вольтах). Определить ток и
напряжение в лампах.
13.26р. На рис. 13.15, а представлена схема, позволяющая
произвести операцию перемножения иг и U2. В схеме используют
варисторы (полупроводниковые резисторы) с квадратичной
зависимостью тока от приложенного напряжения: I = BU2. Показать,
что при подаче на вход напряжения, как показано на рисунке,
ток через амперметр будет пропорционален произведению
напряжений иг и U2.
13.27. Показать, что напряжение на выходе схемы рис. 13.15, б
пропорционально произведению напряжений 1/г и [/2, если в.а.х.
цепочки, состоящей из последовательно соединенных диода Д и
резистора сопротивлением R, описывается квадратичной
зависимостью 1=ви*(и ии)
123
Д. Цепи с идеальными диодами
13.28р. На рис. 13.16, а изображена часть диодного
функционального преобразователя, приблизительно реализующая в. а. х.
в виде параболы. Полагая, что диоды имеют идеальные в. а» х.
а)
Рис. 13.16
U
Рис. 13.17
(рис. 13.17, а), подобрать значения сопротивлений/?, R19 R2 так,
чтобы в. а.х / = /([/) схемы описывалась зависимостью, которая
аппроксимирует функцию /=10~~3?/2 в диапазоне 0<(/<30 В
тремя линейными участками; ?^=10 В; Я2 = 20 В.
13.29. На рис. 13.16, б показана часть диодного
функционального преобразователя. Полагая в. а.х. диодов идеальными
(рис. 13.17, а), построить
Ь в.а.х. / = /((/) всей
схемы; ?х = 20 В; ?2 = 50 В;
?3 = 40 В; ?4 = 80 В; # =
= 100 Ом; Ях = 50 Ом;
=80 Ом.
13.30. Для
функционального преобразователя,
схема которого дана на рис. 13.16,6, подобрать значения
сопротивлений Я, Rl9 R2, RS9 R* так, чтобы в. а. х. / = /(?/) схемы
описывалась зависимостью, которая аппроксимирует кубическую
параболу / = 10/3 (ток —в амперах, напряжение—в вольтах)
пятью линейными участками в диапазоне—100 < U < + 100 В;
?^ = ?3 = 30 В; ?2 = ?4 = 60 В. В.а.х. диодов идеальны (рис.
13.17, а).
13.31р. К зажимам а и Ь схемы рис. 13.17,6 от не
показанного на рисунке источника э.д.с. подводится напряжение Uab.
Сопротивление R и э.д.с. Е± источника постоянной э.д.с.
заданы и неизменны. К точке d подтекает, а от точки с оттекает
ток /. Построить зависимость тока / от напряжения Uab. В.а.х.
диода идеальна.
13.32. Решить задачу 13.31р при условии, что э.д.с. Ьх
изменила свое направление на противоположное.
Глава четырнадцатая
Магнитные цепи
А. Неразветвленные магнитные цепи
14.1 • На стальном кольцевом магнитопроводе равномерно
Намотана обмотка с числом витков до = 300. При / = 0,2 А
магнитная индукция внутри обмотки (по длине средней силовой
линии) имеет то же значение, что и при / =
=200 А, но без стального сердечника.
Определить магнитную индукцию,
намагниченность и относительную магнитную
проницаемость стали. Средний диаметр кольца dcp =
=23,9 см.
14.2. На магнитопровод, выполненный из
стали марки Э41* (табл. 14.1), сечением Рис. 14.1
S = 5 см2 и длиной средней силовой линии
/ср = 20 см намотана обмотка с числом витков w =100. Найти
ток в обмотке, необходимый для создания в магнитопроводе
потока Ф = 6,6-10~4 Вб (рис. 14.1).
В, Тл
0,25
0,4
0,6
0,7
0,8
0,9
Н, А/м
50
64
88
113
138
170
В, Тл
1,0
1,1
1,2
1,25
1,3
1,35
Я, А/м
210
250
390
530
700
1000
В, Тл
1,4
1,42
1,45
1,5
1,56
1,6
Я-102, А/м
15
20
28
42
60
78
Таб л
В, Тл
1,65
1,7
1,75
1,8
1,9
2,0
ица 14.1
н. ю», а/м
10
13
18
23
34
70
14.3. Определить пределы изменения индукции в
магнитопроводе (см. условие предыдущей задачи), если ток в обмотке
изменяется от 0,5 до 2,5 А.
14.4р. На магнитопровод, размеры которого в миллиметрах
приведены на рис. 14.2, намотана обмотка с числом витков w— 100.
По обмотке протекает ток 2 А. Определить магнитную индукцию
в воздушном зазоре. Площадь сечения воздушного зазора считать
равной площади сечения магнитопровода.
14.5. Как следует изменить зазор магнитопровода в задаче 14.4р,
чтобы поток в нем стал равным Ф = 5,5 10~4 Вб?
14.6. Как следует изменить толщину пакета листов стали маг-
* Если не будет оговорено, то в остальных задачах считать магнитолрово-
ды выполненными из стали той же марки. Характеристика стали дана в
табл, 14.1.
125
нитопровода в задаче 14.4р, чтобы поток в нем стал равным Ф =*а
= 5,5-Ю-4 Вб?
14.7. Левый магнитопровод (рис. 14.3) имеет воздушный зазор
6 = 0,1 мм, правый—без зазора. Размеры магнитопроводов: 1г =?
20 | 30
3ul
20
tt
4
Л
—
101
Рис. 14.2
Рис. 14.3
= /2 = 20 см; S1 = S2 = S6 = 5 см2. Магнитный поток первого маг-
нитопровода Ф1=1,2-10~4 Вб. Определить м.д. с. обмотки и
магнитный поток второго магнитопровода.
Б. Разветвленные магнитные цепи
14.8. На среднем стержне симметричной магнитной цепи рис. 14.4
расположены две обмотки с w1 = 2b0 и ш2 = 75, обтекаемые током
2 А. Размеры магнитной цепи в миллиметрах указаны на рисунке.
Толщина пакета листов стали 25 мм.
Определить магнитные потоки в стержнях
магнитопровода: а) для указанной
цепи; б) для той же цепи, если ширина
среднего стержня станет равной 10 мм.
14.9. На рис. 14.5, а показан разрез
четырехполюсной машины постоянного
тока. Наличие симметрии позволяет
рассчитать магнитную цепь пары полюсов
как неразветвленную, состоящую из
участков: 1) ярма длиной /2=15 см
ю
.40
20
w9
Рис. 14.4
нескольких
и сечением
разнородных
выполненного из стали марки 10 880;
45,
1,6
1,2
у
1
—эп
1088
-—
1
0
25 50 НгА/М
5)
Рис. 14.5
2) двух полюсов длиной /1 = 4,5 см и сечением Sx = 60 см2
каждый; 3) якоря длиной /3 = 7 см и сечением S3 = 36 см2, выполнен-
126
ного из листовой стали Э12; 4) двух воздушных зазоров шириной
6 = 0,2 см и сечением S6 = 66 см2.
Наличие зубцов на якоре учтено увеличением ширины
воздушного зазора. Определить м.д. с. обмотки полюса, если в зазоре
необходимо создать магнитный поток Ф0=10~2 Вб. Коэффициент
рассеяния обмотки ?с=1,2. Расчет вести по потоку Фо,
проходящему по якорю и воздушным зазорам, и по потоку &сФ0/2,
проходящему по ярму и полюсам. Кривые намагничивания
используемых материалов даны на рис. 14.5,6.
14.10. Магиитопровод (рис. 14.6) изготовлен из материала
с относительной магнитной проницаемостью |хг = 100. Магнитная
индукция в правом (третьем) стержне магнитопровода В = 0,4 Тл.
10
30
20
20
10
4
20
Рис. 14.6
Рис. 14.7
Рис. 14.8
Найти: а) магнитные сопротивления стержней магнитопровода
ЯМ1» ^мг» #мз*> б) магнитное напряжение Uuab; в) магнитные потоки
в стержнях Фи Ф2, Ф3; г) м. д. с. обмотки /2до2. Толщина пакета
листов стали 20 мм; размеры на рисунке даны в миллиметрах.
14.11. Определить ток /3 в обмотке магнитопровода на рис. 14.7,
если wB= 100; I1w1 = 10,5 А; индукция в воздушном зазоре 5б = 0.
Толщина пакета листов стали 20 мм,
размеры магнитопровода на рисунке
указаны в миллиметрах.
14.12р. Построить зависимость потока
Ф от магнитного напряжения UMab (вебер-
амперную характеристику участка
магнитной цепи (рис. 14.8), если длина
магнитной цепи /ср = 20 см, ширина зазора
6 = 0,2 мм, сечение магнитопровода и
зазора SX=S2= 5 см2; м.д. с. /ш = 200 А.
Рассмотреть следующие варианты. 1. Поток
направлен от а к Ь: а) ток втекает в
зажим п\ б) ток втекает в зажим т. 2. Поток направлен от Ь
к a: sl) ток втекает в зажим п\ б) ток втекает в зажим т.
14.13. На рис. 14.9 показана разветвленная магнитная цепь,
размеры которой даны в миллиметрах. Толщина пакета листов
стали равна 20 мм. На первом и третьем стержнях
магнитопровода расположены обмотки с числом витков шх = 100, ш3 = 40;
направление токов в обмотках указано на рисунке.
Рис. 14.9
127
Рассчитать магнитные потоки в стержнях и магнитное
напряжение иыаЪ, если: а) /1=1,2А; /3 = 0;б) /^О; /3=1А; в) /х =
= 1,2 А; /,= 1 А.
14.14р. В магнитной цепи (рис. 14.9) известны 7^= 120 А;
ф3 = ф2—0,5 • 10~4 Вб. Определить ток в обмотке третьего стержня
и потоки в стержнях, если ау3=100.
14.15. На средний стержень магнитопровода (рис. 14.9) намо-
тана обмотка, направление м. д.с. которой совпадает с
направлением потока Ф2. Найти м. д. с. /2оу2, если /3^3 = 20 А; 1{Шг = 120 А;
Ф Ф
Б,Тл
6,
•о,1
В. Магнитные цепи, содержащие ферромагнитные сердечники
с прямоугольной петлей гистерезиса
14.16р. Тороидальный сердечник прямоугольного сечения
(рис. 14.10, а) выполнен из материала, имеющего петлю
гистерезиса прямоугольной формы (рис. 14.10,6). Сердечник находится
в состоянии,
характеризующемся отрицательной остаточной
индукцией В = — Вг. Построить
график зависимости B = f(R),-
где R—расстояние от оси
сердечника до рассматриваемой
точки, если: а) по проводу, прохо-
UJ дящему через отверстие в сер-
Рис. 14.10 дечнике, пропустить ток / =
= 151 А; б) этот ток отключить.
Провод и сердечник соосны. Размеры на рис. 14.10, а даны в
сантиметрах.
14.17. На рис. 14.11 приведена часть магнитного
запоминающего устройства, выполненного на ферритовых сердечниках
прямоугольного сечения с ППГ, показанной на рис. 14.10,6. Внешний
m
10
20
20
Рис. 14.11
Рис. 14.12
диаметр сердечника D = 5 мм, внутренний d = 3,0- мм, высота
сердечника /г = 2мм. Магнитное состояние сердечников было таким:
сердечники 1 и 3 имели отрицательную остаточную индукцию
— Вп сердечники 2 и 4—положительную остаточную индукцию
+ Вг. Каким будет магнитное состояние сердечников, если: а) по
проводам протекают токи /1=13 А; /2 = 0; /3 = 3 А; /4 = 8 А;
б) протекающие токи отключить?
128
14.18р. На рис. 14.12 изображен разветвленный магнитопровод
из материала с ППГ, приведенной на рис. 14.10,6. Под действием
тока /, протекающего по обмотке первого стержня, магнитопровод
перемагничивается от —Вг до + Вг. Построить зависимость
магнитных потоков Ф1э Ф2, Ф3 от тока /, если w=\QQ. Размеры
магнитопровода на рисунке даны в миллиметрах.
Г. Постоянные магниты
14.19. На рис. 14.13, я показан постоянный магнит из платино-
железного сплава. При намагничивании промежуток между его
полюсами заполняется магнитно-мягким материалом, который
вынимается после снятия намагничивающей обмотки. Найти
отношение длины воздушного зазора
б к длине средней силовой линии
/ср магнита, при котором
индукция в воздушном зазоре В =
= 0,45Тл, считая SU = S6. По-
токами рассеяния пренебречь.
Кривая размагничивания
приведена на рис. 14.13,6.
14.20. Постоянный магнит
aj
Hc,ka/m loo 50
В,Т/1
0,4
0,2
Рис. 14.13
(рис. 14.13, а) имеет /ср = 20см;
6 = 2,75 см. Для увеличения
магнитной индукции в воздушном зазоре часть его заполнили
магнитно-мягким материалом. Определить длину оставшегося
воздушного зазора, если значение индукции увеличено на 0,05 Тл.
Коэффициент возврата материала магнита /С = 2-10~6 Гн2/м.
Глава пятнадцатая
Нелинейные электрические цепи
переменного тока в установившемся режиме
А. Цепи с неуправляемыми нелинейными
индуктивными катушками и конденсаторами.
Расчет по мгновенным значениям величин
15.1. На рис. 15.1, а—в изображены вебер-амперные
характеристики индуктивной катушки при трех способах
кусочно-линейной аппроксимации. Соответствующие им значения потокосцепле-
ния и тока даны в табл. 15.1. К зажимам индуктивной катушки
подведено напряжение Umcos(dt. Полагая активное сопротивление
индуктивной катушки равным нулю, построить кривую тока в цепи
в функции cot для трех способов аппроксимации. Амплитуда
напряжения ит=Ш0 В; со =1000 с.
15.2р. Через индуктивную катушку, зависимость if> = /(i)
которой изображена на рис. 15.1,6, ву протекает синусоидальный ток
129
Параметры
1|5, В-С
U А
рис. 15.1
а
0,9475
0
,а
Ь
1
1
рис. 15
0
0
с
,95
,05
1,6
d
1
1
е
-о,
о,
Точки
945
05
0
0
на
рис.
/
,9525
,1
15.
т
1
1
Таблица
п
0,945
—0,05
0,
-0,
15.1
о
9525
1
/m sin со?. Построить кривую изменения напряжения на
индуктивной катушке в функции со? для этих двух случаев, если 1т = 1 А,
(о=1000 с.
15.3. На рис. 15.2, а—в изображены кулон-вольтные
характеристики нелинейного конденсатора при трех способах кусочно-
линейной аппроксимации. Соответствующие значения заряда q
и напояжения и поивелены r тябл. 15.2. Пплягяя итп ток- rrnrv.
линейной аппроксимации. Соответствующие значения заряда q
и напряжения и приведены в табл. 15.2. Полагая, что ток, про-
/7 П i a
а)
В)
текающий через конденсатор, изменяется по закону Im cos Ы9 где
/^ = 0,001 А и со = 103 с, построить график изменения
напряжения на конденсаторе в функции со? для трех способов
аппроксимации.
15.4. К нелинейному конденсатору, кулон-вольтная
характеристика которого показана на рис. 15.2,6, в, подведено
синусоидальное напряжение Um sin со? = 1 sin 1000? В. Построить кривую
тока, протекающего через конденсатор, для кривых q = f(u),
изображенных на рис. 15.2,6, в.
130
Таблица 15.2
Параметры
<7-Ю6, Кл
и, В
рис. 15.
а
0,945
0
2, а
Ь
1
1
рис. 15
0
0
с
95
05
.2,6
d
1
1
—0
0
Точки
е
,9525
,05
0
0
на
рис
1
,9525
,1
15.
т
1
1
2, в
0
—0
п
,945
,05
—0
—0
о
,9525
,1
15.5р. Построить кривые изменения во времени потокосцепле-
ния ф тока i и напряжения и на индуктивной катушке в схеме
рис. 15.3, а. Характеристика ip = /(i) изображена на рис. 15.3,6;
^ = 0,015 В-с. График действующей э. д. с. e = f(t) изображен на
рис. 15.3,б; ?„=100 В. Период 7 = 9-10 с; 7?= 1000 Ом.
Рис. 15.3
Т/2
в)
15.6. Построить кривые изменения во времени заряда q,
напряжений ис на нелинейном конденсаторе и тока в цепи рис. 15.4, а,
если e(t) = Emsin<at; ?„ = 2000 В; qm=10s Кл; Я = 103 Ом;
ю=105 с~х. Зависимость q — f{uc) показана на рис. 15.4,6.
Z п
>П eft)
а)
IK-
Рис.
15.4
1
а
h
о—
с
0
Рис. 15.5
15.7р. Схема рис. 15.5, а питается от источника
синусоидального тока ^ = 0,1 sin 104/ А. Характеристика индуктивной
катушки о|> = /(*') изображена на рис. 15.5,6; г|)от == 0,853• 10~з В-с;
i? = 100 Ом; 1/(соС) = 100 Ом. Построить графики iu uc, i> ucd>
иаЪ, i2 в функции оо^.
15.8р. На вход схемы рис. 15.6, а поступает ток /* треугольной
формы (рис. 15.6, б) с амплитудой /w = 2,29 мА. Период Т = 0,01 с.
Вебер-амперная характеристика индуктивной катушки ty = f(i)
показана на рис. 15.5,6. Исходные данные: г|)Л = 0,0025 В-с;
131
# = 1000 Ом; L = 0,773 Гн. Построить графики il9 иаеУ ucd9 i, я|>,
иаЬ в функции ®t.
15.9. На вход схемы рис. 15.7, а поступает синусоидальный
ток i1 = //asino)f; /^ = 6,83 мА; со = 104 с. Индуктивность
катушки L = 0,1465 Гн; R = 1465 Ом. Кулон-вольтная
характеристика нелинейного конденсатора изображена на рис. 15.7,6, где
qm= 10~7 Кл. Построить кривые il9 uaci i, ucd, uab, q в функции со*.
Z
q
6)
и
Рис. 15.6
Рис. 15.7
15.10. На вход схемы рис. 15.7, а подается ток llf имеющий
треугольную форму (см. рис. 15.6,6), с амплитудой 1т =
= 1,455-10-» А. Период Т = 6,28.10~4 с; 1 = 0,1465 Гн; Я =
= 1465 Ом; (о=104 с; qm*=l-l0~* Кл. Построить графики iu
ии i9 ucd, uab, q в функции cof.
а)
Рис. 15.8
15.11. На вход схемы рис. 15.8, а воздействует синусоидальное
напряжение uab = Umsmmt\ Um=\ В; # = 1 Ом; со = 371 с".
Вебер-амперная характеристика индуктивной катушки изображена
на рис. 15.5,6; i|)w = 0,00251 В-с. В.а,х. нелинейного резистора
дана на рис. 15.8,6. Построить графики изменения токов i2, i
и ii в функции (ot.
Рис. 15.9
15.12р. На вход схемы рис. 15.9, а воздействует
синусоидальное напряжение иаЪ = Um sin at; Um = 1 В; о> = 474 с; ^ = 3 Ом.
Вебер-амперная характеристика индуктивности катушки изобра-
132
жена на рис. 15.5, б; ^ = 0,001 В-с. В. а. х. нелинейного резистора
дана на рис. 15.9,6. Построить графики изменения токов ix, i2
и t, напряжений ucd и иас и потокосцеп-
ления if» в функции Ы.
15.13. Магнитный усилитель, схема
которого изображена на рис. 15.10,
выполнен на магнитопроводах с идеально
прямоугольной кривой намагничивания (см.
кривую рис. 15.5,6). Поток насыщения
одного магнитопровода Ф = 1,7•10 В•с;
^ = 400; ауо= 1600; (о = 314 с; Е0 = 3 В;
Я* =100 Ом; /?0 = 50Om;(/to = 40B.
Определить законы изменения токов ix и i0 в
функции at и коэффициент усиления по
мощности k*P.
Рис. 15.10
Б. Цепи с неуправляемыми нелинейными резисторами.
Расчет по мгновенным значениям величин
15.14. В схеме рис. 15.11, а последовательно включены
источник синусоидальной э.д.с. e(t) = Emsm((dt + \р), где Ет=\27 В
и т|) = 45°, источник постоянной э.д.с. ?0 = 50 В, идеальный полу-
. h ид
i
а)
проводниковый диод (рис. 15.11,6) и резистор сопротивлением
R = 1 кОм. Построить графики изменения тока i и напряжения
ид на диоде в функции со*.
El Г ^ц
15.15. Условие то же, что и в задаче 15.14, но э.д.с. Ео
изменила направление на противоположное.
* См.: Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники.— М.:
Высшая школа, 1967. С 328.
133
и напряжений на
15.17, но еМ) =
15.16р. Условие то же, что и в задаче 15.14, но в цепь
включена индуктивная катушка с L = 1,59 Гн; со = 628 с (рис. 15.11, в).
15.17. В схеме рис. 15.12, а резисторы имеют сопротивления
/?i= 100 Ом; Я2=120 Ом; ^(O^Osin©/; ея @=17 sin©* В;
?0 = 5 В. Построить графики токов ilf i2t i3
диодах Идх, ид2 в функции at.
15.18. Условие то же, что и в задаче
s= 17 sin (со/+ 90°) В.
15.19р. На рис. 15.12,6 изображена мостовая схема
двухполупериодного выпрямления. Э.д.с. источника e(t) = Emsin(dt.
Нагрузка образована резистором сопротивлением R и катушкой
индуктивностью L. Вывести формулу для мгновенного значения
тока в нагрузке и показать, что среднее его значение за
полупериод равно B/я) (EJR) и не зависит от L.
15.20. На рис. 15.12,в показана схема однополупериодного
выпрямления, в которой нагрузка R шунтирована конденсатором
для сглаживания пульсаций. Полагая диод идеальным, а э. д. с.
источника e{t)—Emsmii)ty вывести формулы для определения
времени открытия и закрытия диода. Построить кривые изменения
токов iCf iRj i и напряжения на конденсаторе ис в функции со/.
Рассчитать значения углов открытия и закрытия диода при R =
= 1 кОм; С =18 мкФ; со = 314 с.
Рис. 15.13
15.21р. На рис. 15.13, а изображена схема двухполупериодного
выпрямления, в которой резистор R шунтирован конденсатором
для уменьшения пульсаций выпрямленного напряжения; е =
= Emsm(ut. Построить графики изменений во времени напряжения
на конденсаторе ис, тока через конденсатор ic, тока через
резистор iRy тока i, напряжений на диодах 1 и 2 ил и и^. Вывести
формулу для среднего значения и напряжения 'на на'грузке за
период (оно же среднее за полпериода).
15.22р. На рис. 15.13,6 показана схема двустороннего
амплитудного ограничителя напряжения, которая состоит из
полупроводниковых диодов i и 2, линейного резистора R и двух
источников постоянного напряжения Е± и Е2. Полагая ?'i = 3?I2>0,
построить график зависимости напряжения на выходе ивых = иы
от напряжения на входе ивх = иаЬ для положительных и
отрицательных значений иаЪ. К зажимам ab подключен источник э. д. с.
134
15.23. На вход схемы рис. 15.13,6 поступает синусоидальное
напряжение амплитудой 100 В (пунктирная кривая на рис. 15.14, а).
На выходе схемы получено напряжение, изображенное сплошной
линией на рис. 15.14, а. Определить ?1? Е2 и сопротивление R
резистора схемы рис. 15.13,6, полагая, что токи через
полупроводниковые диоды не должны превышать 1 мА.
/
-20
-CZD-
Рис. 15.14
15.24р. На рис. 15.14,6 изображена схема двустороннего
амплитудного ограничителя тока. В ней имеются полупроводниковые
диоды 1 и 2, резистор сопротивлением R и источники тока Jt
и J2. К зажимам а и Ь присоединен источник э. д. с., напряжение
которого можно менять. Полагая J2 = 2,AJl, построить зависимость
тока / от напряжения иаЪ при положительных и отрицательных
значениях иаЬ.
В. Цепи с управляемыми нелинейными трехполюсниками.
Расчет по мгновенным значениям и линейным схемам
замещения для малых переменных составляющих токов
и напряжений
15.25. Кремниевый транзистор включен по схеме с общим
эмиттером (рис. 15.15, а) и служит для усиления мощности. Входные
и выходные характеристики транзистора показаны на рис. 15.15, б, в.
Сопротивление резистора в цепи базы #б = 66,6 Ом; Е6 = 5 В;
?н = 35 В. Сопротивление нагрузки #н=140 Ом. Сопротивление
135
резистора Ru в данной задаче положить равным нулю: Определить
ток нагрузки iK и ток базы 1$.
15.26р. Условие то же, что и в предыдущей задаче, но в цепь
эмиттера включен резистор сопротивлением /?д= 10 Ом, с помощью
которого в схеме осуществлена отрицательная обратная связь.
Найти токи /б и
irk
Рис. 15.16
15.27. На рис. 15.16, а изображена схема замещения
транзистора с общей базой для малых переменных составляющих токов
и напряжений на низких и средних частотах. Вывести формулы
для расчета сопротивлений гк, гб, гэ и коэффициента усиления а
через Я-параметры.
15.28. На рис. 15.16, б показана схема замещения германиевого
транзистора для малой синусоидальной составляющей при
относительно высоких частотах. Транзистор включен по схеме с общей
базой, внутреннее сопротивление генератора /?г, сопротивление
нагрузки Rn, емкость коллекторного перехода С. Полагая
амплитуду входной э. д. с. Ег достаточно малой, составить уравнение по
методу узловых потенциалов.
а)
О 80 160
В)
Рис. 15.17
В)
15.29. На рис. 15.17, а изображена схема лампового усилителя.
В схеме использована лампа 6С2С, анодные характеристики
которой представлены на рис. 15.17,6. Исходные данные: ?*а0= 180 В;
RH = 12,85 кОм; ис0 = — 1 В. Определить внутреннее сопротивление
лампы Ri9 крутизну характеристики S и коэффициент усиления \i
для малых по амплитуде переменных составляющих токов и
напряжений.
136
15.30р. На рис. 15.17,в изображена схема замещения
транзистора для малых переменных составляющих. Транзистор соединен
по схеме с общим эмиттером. Полагая известными проводимости
Y6, Y9, YK схемы замещения транзистора, э. д. с. управления ?у
и коэффициент усиления транзистора по току а, составить
сигнальный граф и по нему найти ток в нагрузке.
Рис. 15.18
15,31. Известны параметры схемы замещения транзистора Y9,
Уб* Yk> CK, включенного по схеме с общей базой (рис. 15.18, а),
коэффициент усиления транзистора по току а и частота со сигнала
на входе. Вывести формулы для определения У-параметров (Fn,
У121 ^2i> ^22) невзаимного активного четырехполюсника, которым
может быть (в расчетном смысле) заменен транзистор для малых
переменных составляющих.
15.32р. На рис. 15.18,6 дана схема трехполюсника, где
показано три узла @, 1 я 2). Базисный узел 0 является общим для
входного {1—0) и выходного B—0) контуров. Нагрузка,
проводимость которой Ун, включена между узлами 2 и 0. Приняв
положительные направления токов и потенциалов в соответствии с
рисунком, вывести формулы для входного сопротивления,
коэффициентов усиления по напряжению и току с использованием формулы
для двойного алгебраического дополнения и матрицы узловых
проводимостей. При составлении матрицы узловых проводимостей
в нее не включать проводимость нагрузки YH.
1,МА
30
го
to
о
Рис. 15.19
SO 100 и,в
Рис. 15.20
15.33. Для схемы лампового усилителя с обратной связью
(рис. 15.19) составить укороченную матрицу узловых проводимостей
и, воспользовавшись ею, определить коэффициент усиления напря-
137
жения Ки, если St—крутизна характеристики первой лампы;
S2—крутизна характеристики второй лампы; Y'aKy
Y"m—проводимости анод—катод первой и второй ламп. При решении
использовать низкочастотную схему замещения лампы.
15.34. В схеме рис. 15.17, а в анодную цепь лампы 6С2С
включен источник постоянной э. д. с. ?а0 = 275 В и вместо 7?н —
нелинейный резистор, в.а.х. которого показана на рис. 15.20, а.
В сеточной цепи имеются источники постоянной (Uc0 =—3 В)
и синусоидальной (ис~ = 3 sin co? В) э. д. с. Анодные характеристики
лампы изображены на рис. 15.17,6. Построить зависимость
анодного тока fa в функции со/.
15.35. В схеме рис. 15.20,6 в анодную цепь лампы 6С2С
включены источник постоянной э. д. с. ?дО = 235 В, источник
синусоидальной э. д. с. ea(t) = 100 sin at В и нелинейный резистор, в. а. х.
которого изображена на рис. 15.20, а; ?/с0 = — 2 В. Построить
зависимость ia = f(®t).
Г. Расчет по первым гармоникам и действующим значениям
15.36. В табл. 15.3 приведены соответствующие друг другу
значения тока и потокосцепления для некоторой катушки со
стальным сердечником, полученные опытным путем при постоянном
токе. Выразить аналитически полученную зависимость i = /(i|))
и, пользуясь ею, построить в. а. х. I = f(U) по первым гармоникам,
полагая, что потокосцепление я|? изменяется во времени по
синусоидальному закону, а частота со= 100 с.
Таблица 15.3
Таблица 15.4
<ф, В-с
0
1
1,5
2
2,5
i, мА
0
1,5
4 15
9
16,85
Е, кВ/см
0
0,067
0,208
0,755
2,75
if, мкКл/см2
0
0,5
1
1,5
2
15.37. Опытным путем была снята зависимость напряженности
поля Е от заряда q для диэлектрика триглицинсульфата,
употребляемого для нелинейных конденсаторов (табл. 15.4).
1. Считая, что эта зависимость описывается выражением ?*==
= aq + bqb, определить коэффициенты а и Ь. 2. Полагая, что
площадь пластин конденсатора S = 10 см2 и заряд конденсатора
меняется во времени по закону q = Qm sin at, где со =1000 с; d =
= 0,1 см—расстояние между пластинами, построить в.а.х. по
первым гармоникам тока и напряжения.
15.38. Полагая, что конденсатор предыдущей задачи соединен
последовательно с линейным резистором R~5Q кОы, построить
138
в. а. х. последовательного соединения по первым гармоникам при:
а) (о=1000 с; б) со = 2000 с.
15.39. Схема на рис. 15.21, а состоит из индуктивной катушки
без потерь, линейных конденсаторов, емкость которых Сг и С2,
и резистора R3. Значения сопротивлений линейных элементов
известны: ХСх = 30 Ом; XCi = 100 Ом; RB = 100 Ом. В. а. х. по первой
гармонике индуктивной 'катушки изображена на рис. 15.21,6.
Схема питается от источника синусоидального тока.
Задаваясь значениями тока 1г от 0 до 1,7 А, построить
векторные диаграммы для всей схемы и по ним графики зависимости
напряжения Uab от тока 1г и сдвига фаз между 1)аЬ и Д.
80
40
a)
7
L
+
UhB
80
40
\J
1
? 0,8
в)
Рис. 15.21
f,2 IuA
0,4 0,8
S)
Рис. 15.22
15.40р. Схема рис. 15.22, а состоит из нелинейного
конденсатора, в. а. х. которого по первой гармонике представлена на
рис. 15.22,6, индуктивной катушки, конденсатора и двух
резисторов. Значения сопротивлений по первой гармонике: XL = 50 Ом;
ХСз = 40 Ом; #! = 20 Ом; Rz — 30 Ом. Схема питается от
источника синусоидального тока 1г.
Задаваясь значениями тока /± от 0 до 1,45 А, построить для
каждого его значения векторную диаграмму токов и напряжений
и по ним зависимости напряжения Uab от тока 1г и сдвига фаз
между СаЪ и 1г.
15.41. Индуктивная катушка без потерь, линейный конденсатор
и резистор присоединены к источнику синусоидального
напряжения частотой 50 Гц (рис. 15.23, а). В. а. х. индуктивной катушки
по первой гармонике изображена на рис. 15.21,6.
Пренебрегая высшими гармониками, найти такие значения
емкости С конденсатора и сопротивления R резистора, при
которых триггерный эффект на увеличение тока происходит при
напряжении (/1 = 32 В, а на уменьшение тока—при [/2=18 В.
139
Построить в масштабе векторную диаграмму до и после скачка
тока для некоторого произвольного значения напряжения,
находящегося между их и 02.
15.42. Феррорезонансный стабилизатор (рис. 15.23,6) состоит
из линейного конденсатора и индуктивной катушки с нелинейной
в. а. х. Емкостное сопротивление по первой гармонике Хс = 237 Ом.
В. а. х. по первой гармонике индуктивной катушки показана на
V IA
Рис. 15.24
рис. 15.23, в. К выходным зажимам а и Ь может быть подключена
нагрузка. Построить зависимость действующего значения
напряжения первой гармоники на выходе от действующего значения
первой гармоники напряжения на входе для трех случаев: а)
холостого хода; б) когда к зажимам а и Ь подключена индуктивная
нагрузка 500 Ом; в) когда к
зажимам а и Ь подключена активная
нагрузка 500 Ом.
15.43. На рис. 15.24 изображена
схема диэлектрического усилителя.
На ее вход (зажимы а и Ь)
воздействует некоторое малое постоянное
напряжение ивх, дополнительное к
постоянному напряжению Uo. Изменяя мвх,
можно управлять падением
напряжения переменного тока на резисторе сопротивлением Rx (на зажимах
end). Индуктивность Lo представляет собой большое
сопротивление для переменного тока и поэтому практически исключает
прохождение его через источник постоянного напряжения.
Конденсатор емкостью Сх препятствует протеканию постоянного тока
через источник синусоидальной э. д. с. Параметры Ьг и Сг выбирают
так, чтобы в контуре, по которому протекает переменный ток
(Lx, Rly Ci и нелинейный конденсатор), имел место резонанс
напряжений по первой гармонике при ивх = 0. Тогда появление
напряжения ивх приводит к выходу схемы из режима резонанса,
что сопровождается резким изменением тока через JR*.
Полагая, что кулон-вольтная характеристика нелинейного
конденсатора задана в виде a = ashf$<7, значения t/0, ЕтУ со, а и р
известны, вывести соотношение между Lf и С1э которое должно
выполняться для нормальной работы схемы.
140
15.44. 1. В схеме рис. 15.25, а параллельно соединены
управляемая нелинейная индуктивная катушка и конденсатор С. Схема
питается от источника синусоидального тока J, действующее
значение которого поддерживается неизменным и равным 2А. В. а. х.
нелинейной индуктивной катушки при различных значениях тока
управления (тока подмагничивания) /0 изображены на рис. 15.25,6.
Построить зависимость напряжения Uab на зажимах а и Ь в
функции тока управления /0.
В)
2. В схеме рис. 15.25, в ток источника синусоидального тока
J = 2A, сопротивление резистора # = 42 Ом, емкостное
сопротивление Хс = 22,7 Ом. Семейство в.а.х. управляемой нелинейной
индуктивной катушки изображено на рис. 15.25, б. Ток
управления /0 = 0,2А. Определить напряжение VаЬ на зажимах а и Ъ
источника тока.
15.45р. Индуктивная катушка со стальным сердечником питается
от источника синусоидального напряжения 100 В (действующее
значение). Через нее течет ток /=0,1 А. Мощность, потребляемая
от сети, Р = 1,58 Вт; активное сопротивление обмотки /? = 20 Ом,
индуктивное сопротивление рассеяния Xs = 50 Ом. Найти потери
в стали сердечника, обусловленные гистерезисом и вихревыми
токами, ток, вызванный потерями в стали, и намагничивающий ток.
15.46. С повышающим трансформатором, отношение числа
витков которого ш2/шх =10, провели опыт холостого хода и опыт
короткого замыкания. Опыт холостого хода проведен при ?/1х =
= 100 В; /1х = 0,2 А; Р1х = 3 Вт (Р1х—мощность холостого хода).
Опыт короткого замыкания вторичной обмотки—при /У1к=10 В;
/1К = ЗА; Р1к=15Вт.
Определить активные сопротивления Rr и R2 первичной и
вторичной обмоток, потери в стали сердечника при номинальном
режиме [Рс, индуктивные сопротивления XS1 и XS2J
обусловленные потокосцеплениями рассеяния. При решении полагать, что
сопротивление вторичной обмотки, приведенное к числу витков
первичной, равно сопротивлению вторичной обмотки, т. е.
(J
()
15.47р. Однофазный трансформатор со стальным сердечником
работает при первичном напряжении 380 В и вторичном—-6600 В.
141
Он сконструирован таким образом, что тепловые потери при
номинальной нагрузке в первичной и вторичной обмотках практически
равны [при этом R2=^Ri(w2/w1Jy а индуктивное сопротивление
рассеяния вторичной обмотки XS2, умноженное на квадрат
отношения числа витков (wjw2)*f равно индуктивному сопротивлению
рассеяния первичной обмотки: XC2{wJw^% = XS1\.
Для определения XS1; XS2, Rt и R2 к первичной обмотке
трансформатора подвели пониженное напряжение 38 В при
номинальной частоте, а вторичную обмотку закоротили накоротко;
измерили ток 1± в первичной обмотке и потребляемую из сети
активную мощность Р. Вывести формулы для расчета Rl9 R2, XS1> XSi
по данным опыта.
Д. Частотные характеристики
15.48. Электрическая цепь рис. 15.26, а состоит из
нелинейного конденсатора с кулон-вольтной характеристикой ис =*
=aqB (a = 4/3 В/Кл3), линейной индуктивной катушки с индуктив-
\е(О
у ф«»
tt)
а
\CftJ
В)
Рис. 15.26
ностью L= 1 Гн и источника синусоидальной э.д.с. e(t) = Em
Полагая Ет = 2 В, a (o = var, построить зависимость амплитуды
первой гармоники заряда Qm нелинейного конденсатора от
частоты (О.
15.49р. Для цепи рис. 15.26, в, состоящей из нелинейной
индуктивной катушки и линейного конденсатора емкостью С, в
которой действует источник синусоидальной э.д.с. е (t) = Ет cos at,
построить зависимость амплитуды первой гармоники потокосцеп-
ления ipm индуктивной катушки от частоты со при неизменных
Ет и С. Считать, что мгновенное значение потокосцепления
связано с мгновенным значением тока через индуктивную катушку
соотношением / = а^3([а]==А-В~§-с"~3). При построении принять
142
15.50р. В электрическую цепь рис. 15.26,6 дополнительно
включен резистор сопротивления i? = 0,l Ом. По-прежнему а = -^С\
?Л = 2В. Вывести уравнение резонансной кривой 1ф|Я = / (со),
полагая, что частота со изменяется от 0 до оо. Принять RC = 0,182 с.
Воспользовавшись резонансной кривой tym = f(<o) для цепи без
потерь, полученной при решении предыдущей задачи, построить
резонансную кривую для цепи с потерями.
15.51. В электрическую цепь рис. 15.26, а (см. задачу 15.48)
включен еще резистор сопротивлением R. Считая, что кулон-
вольтная характеристика нелинейного конденсатора описывается
уравнением uc = aq3, где а = 4/3 В/Кл, вывеети формулу для
частотной характеристики QOT = f (со) по первой гармонике и,
приняв L=l Гн; # = 0,2 Ом и Ет = 2 В, построить эту
характеристику.
15.52р. Электрическая цепь та же, что и в задаче 15.49 р
(рис. 15.26, в), но нелинейная индуктивная катушка подмагни-
чивается постоянным током /0 такого значения, что/0/# = 6.
Полагая, что обмотка подмагничивания и основная имеют по одному
витку, а вебер-амперная характеристика нелинейной индуктивной
катушки описывается выражением i + /0 = я^3> aa = yC;?^ = 2B,
построить зависимость амплитуды первой гармоники потокосцеп-
ления ^т в функции частоты со.
15.53р. Нелинейные конденсатор с кулон-вольтной
характеристикой ис = axqz и индуктивная катушка с вебер-амперной
характеристикой t = a2i|K присоединены к источнику синусоидального
напряжения e(t) = Emslncot (рис. 15.26, д). Полагая ?^ = 2В,
построить резонансную зависимость амплитуды Qm первой
гармоники заряда на нелинейном конденсаторе от частоты со.
Е. Метод малого параметра
15.54. Схема рис. 15.27, а содержит источник постоянной э.д.с.
?, резисторы сопротивлением R и R± и нелинейный конденсатор
с кулон-вольтной характеристикой uc = a'q + b'q*. До замыкания
выключателя Вх выключатель В2 находился в замкнутом
состоянии и в схеме был установившийся режим. Методом малого
параметра определить закон изменения заряда q во времени t при
замыкании Вх, ограничившись первым приближением и приняв
4@) = А (рис. 15.27,6).
15.55р. В схеме рис. 15.27, а выключатели В± и В2 находятся
в разомкнутом состоянии; в схеме имеют место нулевые
начальные условия. При ^ = 0 выключатель В2 замыкается и нелинейный
конденсатор начинает заряжаться. Как и в предыдущей задаче,
uc = a'q + b'qz. Составить дифференциальное уравнение
относительно заряда q и решить его методом малого параметра,
ограничившись первым (не нулевым) приближением.
15.56р. До замыкания выключателя В в цепи рис. 15.27, в
143
был установившийся режим. Составить дифференциальное
уравнение относительно потокосцепления г|> и решить его методом
малого параметра, ограничившись вторым приближением, т. е.
учитывая члены с \i2. Считать, что зависимость потокосцепления г|)
от тока i описывается уравнением i = a4b4
Рис. 15.27
15.57р. Электрическая цепь состоит из конденсатора емкостью С
и индуктивной катушки, вебер-амперная характеристика которой
описывается формулой / = ashpi|). Обозначив $^> = х, ap/C = wg
и полагая при малых х sh х » х + х3/3! решить уравнение
свободных колебаний методом малого параметра, ограничившись первым
приближением. Начальные условия: *@) = М; л;'@) = 0.
15.58. Схема рис. 15.27, г состоит из источника постоянного
тока J — Iky линейных резисторов сопротивлением R и нелинейной
индуктивной катушки. Показать, что переходный процесс в этой
схеме, вызванный замыканием выключателя, описывается
уравнением
dx/dt + ax+^=0. A)
Начальное условие #@) = l. Через х==ур обозначено потоко-
сцепление. Ток i связан с потокосцеплением if> соотношением
/ = m|) + &i|K; a-\-b = J; a = aR/2; p = W?/2. Решить уравнение A)
методом малого параметра.
15.59. Схема рис. 15.27, д состоит из источника постоянной
э.д.с. Е, линейного резистора сопротивлением R, линейного
конденсатора емкостью С, нелинейной индуктивной катушки с вебер-
амперной характеристикой i = m|; + ?n|K. До размыкания
выключателя в схеме был установившийся режим. Приняв некоторое потоко-
сцепление % нелинейной индуктивной катушки за базисное,
выразить потокосцепление в относительных единицах л: = 'ф1 = 'ф/'ф0;
показать, что уравнение относительно х при разомкнутом выклю-
144
чателе имеет вид
d2x
A)
где со§ = а/С; ~^—1/6. Методом малого параметра решить
уравнение A) при начальных условиях х@)=А и х'@) = 0, где Л —
1 " F
корень уравнения А + -Д-А3 = р.
о uJxty
Ж. Некоторые энергетические соотношения
15.60р. На рис. 15.28 изображены две петли гистерезиса одного
и того же ферромагнитного материала, полученные при одной
и той же максимальной индукции. Сплошная кривая снята при
Рис. 15.28
Рис. 15.29
бесконечно медленном изменении магнитного поля, пунктирная —
при синусоидально изменяющейся магнитной индукции и частоте
/1 = ЮО Гц.
Полагая, что потери на гистерезис пропорциональны первой
степени частоты, а потери на вихревые токи—второй, определить
потери в ферромагнитном сердечнике объемом 10 см3 при частоте
f2 == 200 Гц, считая, что распределение поля по сечению,
максимальное значение и форма индукции во времени такие же, как
и при /х = 100 Гц, а потери, обусловленные магнитной вязкостью,
на низких частотах не имеют существенного значения.
15.61. Для некоторого равномерно намагничиваемого
ферромагнитного материала потери на частоте /a(f8= 1,3^) на 50%
больше, чем на частоте /,. Во сколько раз частота /3 больше /4,
если при ней потери в четыре раза больше, чем при /х? Во всех
случаях форма индукции и ее амплитуда одинаковы.
15.62. На рис. 15.29, а дана схема электрической цепи,
состоящей из источника синусоидальной э.д.с. г (t)=Em sin at, резистора
сопротивлением R и нелинейной индуктивной катушки, зависи-
145
мость потокосцепления г|э от тока / которой изображена на
рис. 15.29, б. На рис. 15.29, в показан характер изменения тока
во времени. Доказать, что активная мощность, доставляемая
источником синусоидальной э.д.с, равна тепловым потерям в
резисторе R за 1 с.
15.63. К нелинейному конденсатору с безгистерезисной
характеристикой подводятся мощность W± на частоте /х и мощность Wo
на частоте /0- Кроме частот ft и /0 в цепи действуют токи и
напряжения частот f+=fi + fo и /:_=/i—/0. Токи остальных частот
подавлены идеальными фильтрами. Пользуясь теоремой Менли
и Роу, вывести формулы для определения мощности W+ на
частоте /+ и мощности W__ на частоте /_.
15.64р. К нелинейному конденсатору с безгистерезисной
характеристикой подводится мощность на двух частотах: мощность W±
на частоте f и мощность Wz на частоте 3/. Выяснить, какая
мощность отдается нелинейным конденсатором на частотах 4f и 2/.
При решении полагать, что токи всех частот, кроме /, 2/, 3/ и 4/,
подавлены идеальными фильтрами.
15.65. К нелинейной индуктивной катушке с безгистерезисной
характеристикой подводятся мощность Wt на частоте / и
мощность W2 на частоте 2/. Показать, что если токи всех частот,
кроме /, 2/, 3/, 5/, подавлены идеальными фильтрами, то исходя
из теоремы Менли и Роу нельзя определить, какие мощности Wz
и РГ4 отдаются нелинейной индуктивной катушкой на частотах
3/ и 4/.
3. Появление посторонних составляющих потока, заряда
и тока при отсутствии выпрямителей.
Метод гармонического баланса
15.66р. На рис. 15.30, а изображена индуктивная катушка
с замкнутым (без воздушного зазора) ферромагнитным сердечником.
Вебер-амперная характеристика сердечника приближенно может
быть описана формулой
i = a sh |3я|). К зажимам а и
Ь этой катушки подведено
напряжение, содержащее
первую (частота со) и
вторую (частота 2со)
гармоники: и = Ulm cos coi +
-f- U2m cos B(о^+ ф)» Так
Рис. 15.30 как в цепи нет
выпрямителей, среднее за период
2 jt/co значение тока равно нулю, что вызывает появление
среднего за период 2я/о> потокосцепления a|v
sin ®t
Вывести зависимость <ф0 от
146
и ср.
15.67. По индуктивной катушке с замкнутым ферромагнитным
сердечником (рис. 15.30, а) протекает ток i = Ilms\n(xit + I2mX
XsinBco/ +ф2), не содержащий постоянной составляющей.
Показать, что потокосцепление г|) будет содержать постоянную
составляющую i|v Вывести формулу для определения if>0, полагая, что
вебер-амперная характеристика ферромагнитного сердечника
приближенно может быть описана выражением ty = ai—W3, а
максимальное значение тока в процессе работы не превышает значения
15.68. Нелинейный конденсатор с кулон-вольтной
характеристикой, приближенно описываемой выражением uc = ashfiq,
присоединен к источнику периодического напряжения, среднее
значение которого за период частоты со равно нулю. Заряд
конденсатора изменяется во времени так, что содержит первую (Qlm slnai)
и четвертую [Q4OT sin Dotf + ф4)] гармоники. Показать, что среднее
значение напряжения на конденсаторе за период 2я/о равно нулю,
если заряд конденсатора имеет постоянную составляющую Qo; Q=;
= Qo + Qim sm ®t + Qim sin D<«rf + ф4). Вывести формулу
зависимости Qo от Qlw, Q4OT и ф4.
15.69. На нелинейный резистор с симметричной
характеристикой i = аи3 воздействует напряжение и = Uim sin Ы + U2m Bсо/+ф).
Показать, что через резистор протекает постоянная составляющая
тока, и вывести формулу для нее.
15.70р. В схеме рис. 15.30, б э.д.с. источника содержит
первую и вторую гармоники: е(t) == Elmsln(ut + E2msmB(ot + ty).
Нелинейный резистор имеет симметричную характеристику i=aa3,
резистор сопротивлением R имеет линейную в.а.х. Пренебрегая
гармониками выше второй, составить уравнения для определения
постоянных составляющих токов и напряжений в цепи для
первых и вторых гармоник.
И. Зависимость постоянной составляющей потока (заряда)
от переменной составляющей
15.71.
нием Rt
стояиной
точник синусоидальной
э.д.с. е (t) = Em • sin со/
соединены
последовательно. Число витков обмотки
индуктивной катушки w =
= 500, площадь
поперечного сечения сердечника
S = 4 см2, длина средней
магнитной линии / = 25 см.
Кривая намагничивания материала сердечника приближенно
описывается формулой H = ashfiBt где Я—в А/м;а = 7А/м; р = 6Тл~х;
В—в Тл. Определить постоянную составляющую BQ, амплитуду
В схеме рис. 15.31, а линейные резисторы сопротивле-
и R29 нелинейная индуктивная катушка, источник по-
э.д.с. Ео и ис-
Рис. 15.31
147
Рис. 15,32
первой гармоники Вт переменной составляющей индукции в
сердечнике в установившемся режиме при разомкнутом и замкнутом
выключателе, если #! = /?,= 100 Ом; ?Л = 48 В; со = 314 с;
?0 = 14,3 В.
Указание. Задача сводится к трансцендентному уравнению.
15.72. Определить постоянную составляющую Qo и амплитуду
первой гармоники Qm заряда на нелинейном конденсаторе в схеме
рис. 15.31, б при замкнутом и разомкнутом выключателе в
установившемся режиме; ?0 = 200 В; ?„ = 341 В; /^ = ?, = 5 кОм;
@=3140 с. Кулон-вольтная
характеристика нелинейного конденсатора
выражена аналитически: w=30sh@,4x
Xl0e<7), где и—в В; q—в Кл.
15.73р. В схеме рис. 15.32 к
источнику тока / = Jo + Jm sin • (со? + ф)
присоединены три параллельных
ветви: ветвь с активной проводимостью
G, конденсатор емкостью С,
нелинейная индуктивная катушка с вебер-амперной характеристикой,
описываемой выражением i = ashfh|). Полагая, что потокосцепление
¦ф = i|H-f-i|^sin(D/, вывести формулу, с помощью которой можно
определить зависимость постоянной составляющей потокосцепле-
ния г|}0 от амплитуды первой
гармоники переменной
составляющей потокосцепления -фот,
а также от безразмерных па-
раметров G/(coC), P/(<o2C), а.
К. Исследование
устойчивости положения
равновесия.
Автоколебания
15.74р. На рис. 15.33, a
изображена схема
релаксационного генератора на
нелинейном резисторе(неоновой
лампе) с S-образной в.а.х.
На рис. 15.33, б
и3—напряжение зажигания,
иТ—напряжение гашения. Положим, что
и3 в а раз больше иг, т. е.
и3 = аиг, э.д.с. Е источника э.д.с. в Ъ раз больше иг, т. е. Е=Ьиг.
Нагрузочная прямая на рис. 15.33, б проходит через точки ?, 0
и 0, E/R, пересекая падающий участок в.а.х. нелинейного
резистора в точке п. Примем дифференциальное сопротивление на
участке ef (рис. 15.33, б) равным ai?, где a < 1.
Вывести формулу для определения периода колебаний Т =
= fi+ t2 (рис. 15.33, в). Схема замещения для зажженного состоя-
Ш
Рис. 15.33
ния неоновой лампы изображена на рис. 15.33, г.
Дополнительная э.д.с. ?доп = т? совместно с резистором сопротивлением aR
описывает участок fe в.а.х. нелинейного резистора. Считая а = 3;
Ь==6; т = 0,166 и положив, что точка п делит отрезок и3 — s на
части 1:3, вывести формулы для определения R и С, при которых
период колебаний составляет Т секунд.
15.75. На рис. 15.34, а изображена схема, состоящая из
источника тока «/, резистора сопротивлением R, индуктивной
катушки L и туннельного диода, в.а.х. которого показана на рис. 15.34,6.
Схема рис. 15.34, в эквивалентна схеме рис. 15.34, а (? = #/
При каких значениях индуктивности ка- 1мА[
тушки L положение равновесия будет '
неустойчивым?
15.76. Релаксационный генератор
на туннельном диоде (рис. 15.34, в)
имеет следующие данные: R — 40 Ом;
L = 9 мГн; ? = 0,4 В. В.а.х.
туннельного диода изображена на рис. 15.35.
Вывести формулу для определения
колебаний, считая дифференциальное
сопротивление на участке 1—2 в.а.х. диода
равным а, а на участке 3—4 равным Ь.
Емкость туннельного диода Сд
настолько мала, что напряжение на диоде может
изменяться практически скачком.
Построить в функции времени кривые тока *,
напряжения иА на диоде и напряжения
uL на индуктивной катушке.
15.77р. На рис. 15.36, а изображена схема LC-генератора на
туннельном диоде. Резисторы Ri и R2 служат для настройки схемы
по постоянному току (чтобы точка равновесия находилась на
падающем участке характеристики). Емкость блокировочного
конденсатора Cg достаточно велика, чтобы закорачивать зажимы а и b
на частоте генерации. На рис. 15.36, б показана схема замещения
0,2
"о
— л
0,4
0,6
0,8 U,d
Рис. 15.35
149
диода при работе на падающем участке. В этой схеме емкость Сд
конденсатора может составлять от нескольких единиц до
нескольких сотен пикофарад, сопротивление резистора R'—от долей ом
до 1 Ом; /?ДИф« 1 —500 Ом; г = Ядиф—#'. Полагая
сопротивления резисторов Riy R2 и э.д.с. Е выбранными таким образом, что
единственная точка равновесия находится на падающем участке
в.а.х. диода, и используя эквивалентную схему рис. 15.36, в,
вывести формулу для соотношения между параметрами, при которых
наступит самовозбуждение.
15.78. Вывести дифференциальное уравнение для лампового
генератора с колебательным контуром в анодной цепи,
воспользовавшись обозначениями на рис. 15.37, а и полагая, что
зависимость анодного тока от сеточного напряжение известна. Эта схема
соответствует малым переменным составляющим; на ней не
показан источник э.д.с. в анодной цепи.
15.79р.. На рис. 15.37, б изображена схема IC-генератора на
транзисторе с трансформаторной обратной связью. На рис. 15.37, в
показана схема замещения его для малых переменных
составляющих. Составить уравнения по методу контурных токов для схемы
рис. 15.37, в.' Записать определитель этой системы уравнений Д
и из уравнений 1тД = 0 и ReA = 0 найти угловую частоту
возникающих автоколебаний и соотношение, которое должно
выполняться между параметрами схемы для существования
автоколебаний. При решении учесть, что между параметрами схемы
замещения имеет место соотношение RK^>R6^>RB.
15.80. На рис. 15.38, а изображена схема генератора на
транзисторе с емкостной обратной связью. Источник э.д.с. смещения
150
на рисунке не показан. Схема замещения для исследования
условий возникновения автоколебаний приведена на рис. 15.38, б.
Воспользовавшись этой схемой, составить определитель Д системы
уравнений по методу контур-
г®! 1
II"
ных токов, приравнять нулю
его действительную и
мнимую части и записать выра-
жение для угловой частоты
возникающих автоколебаний.
Вывести условия,
накладываемые на соотношения меж-
ду параметрами схемы, при
которых автоколебания
существуют. При решении учесть, что R
равным RK.
а)
рИСф is.38
R*> Rm =
принять
Л. Электрические цепи с операционными усилителями*
15.81р. Показать, что схема рис. 15.39 может выполнять
функции конвертора отрицательного сопротивления.
Рис. 15.39
Рис. 15.40
15.82. Показать, что для схемы рис. 15.40 ZBX =
т. е. схема может выполнять функции инвертора отрицательного
сопротивления.
15.83. Показать, что входное сопротивление схемы рис. 15.41
ZBX = ¦ * ^ 4, т. е. схема может выполнять функции инвертора
положительного сопротивления.
15.84. Показать, что передаточная функция полосового фильтра
(рис. 15.42)
К(р) =
* При решении задач 15.81р — 15.89р полагать, что ОУ обладают
идеальными свойствами, т. е. что их входные сопротивления бесконечно велики,
входные токи и входные напряжения стремятся к нулю и коэффициент усиления
(передаточная функция ОУ) не зависит от частоты и стремится к бесконечности.
151
15.85. Показать, что в схеме рис. 15.43 ср2 — фхA + RJR2),
т. е. схема может выполнять функции источника напряжения,
управляемого напряжением. Здесь <px, ф2—потенциалы точек 1 и 2.
Рис. 15.41
Рис. 15.42
15.86р. Показать, что с помощью схемы рис. 15.44 можно
/ R R \
реализовать отрицательную емкость, равную— ( -^- Сг + -^-С2 ),
если параметры Rly R2, Cl9 C2 таковы,
что квадрат угловой частоты источника
питания co2=l/(i?1C1/?2C2).
15.87р. Доказать, что входное
сопротивление схемы рис. 15.45 ZBX = /?4 +
'6/Х _\ г) г) r> n TrrvTjr D D D D
"~\~ ?\ 2?\ q\*i fJ ИрИ /\ii\4 /\2Г\з«
15.88. Показать, что схема рис. 15.46
позволяет реализовать продольное
сопротивление между точками / и 2Z12 = i?6 +
+pCR2Rt> если R2 = Rti (т. е. схема
позволяет реализовать продольный незаземленный индуктивный
элемент с потерями).
Рис. 15.43
Рис. 15.44
Рис. 15.45
15.89р. Показать, что схема рис. 15.47 реализует
регулируемый одним резистором i?4 индуктивный элемент с потерями, у
которого L = CRXR2{\ +|i) ^
и R =
152
15.90р. На рис. 15.48 изображена схема автоколебательной
системы. Она содержит два ОУ и четыре резистора; k и
а—некоторые числовые коэффициенты (k < 1; а< 1). Устойчивые
автоколебания в схеме возникают за счет того, что в ней имеются
обратные связи, а ОУ не идеальны (коэффициент усиления каж-
Рис. 15.46
Рис. 15.47
дого из них зависит от частоты: К(р) =kj(\ + /гс), где
k0—коэффициент усиления ОУ при со==0; т—величина, по размерности
обратная частоте, при которой коэффициент усиления ОУ
уменьшается на 3 дБ).
Рис. 15.48
Рис. 15.49
1—а
Показать, что автоколебания возникают при k= 1 , и частота
автоколебаний (оо= —
15.91 р. На рис. 15.49. изображена схема полосового R-фильтра.
Она содержит ОУ A и 2) и пять резисторов Rt—#&. Внешних
конденсаторов в схеме нет. Схема выполняет функции фильтра,
так как коэффициент усиления каждого ОУ зависит от частоты:
/С (р) =yq^— (учитываем первый доминантный полюс каждого ОУ).
1. Составить схему замещения фильтра, в которой выходная цепь
каждого ОУ замещена источником напряжения, управляемым
153
напряжением, и малым выходным сопротивлением #вых. 2. Вывести
формулу для передаточной функции фильтра, полагая, что
входное напряжение фильтра создается источником напряжения, а
фильтр работает в условиях холостого хода. 3. При &0 = 2-10б;
т=0,0307 с; R1=0fi кОм; Яа=0,1 кОм; RB=9,9 кОм; #4=0,09кОм;
Rb = ю кОм; RBhlx = 0fi75 кОм подсчитать числовое значение
передаточной функции при / = 50 кГц.
Глава шестнадцатая
Переходные процессы в нелинейных
электрических цепях
А. Расчет переходных процессов
в цепях первого порядка
16.1р. Найти изменения тока и потокосцепления в цепи
рис. 16.1, а после коммутации, используя кусочно-линейную
аппроксимацию вебер-амперной характеристики нелинейной
индуктивной катушки. Задачу решить для следующих значений макси-
1м
й)
0 hmhm hml
Ь)
Рис. 16.1
мального потокосцепления (рис. 16.1,6): a) tym = tylm) б) i|^ = i|J,/f
в) +e = *8«.
16.2р. Подключение цепи рис. 16.1, а к источнику э. д. с. e(t),
форма которой показана на рис. 16.1, в, происходит при тех же
условиях, что и в
предыдущей задаче. Определить
изменения тока и
потокосцепления во времени, полагая
Т^772
Рис. 16.2
мирована п€ливомом вида i(u) —
с решевйем- линейной F = 0) задачи.
16.3. Определить
изменение напряжения на
нелинейном резисторе после
коммутации цепи (рис. 16.2; а).
В. а. х. резистора
аппроксиbu2. Полученное решение
154
16.4. Найти изменение напряжения при разряде нелинейного
конденсатора (рис. 16.2, б), кулон-вольтную характеристику
которого при «с<? можно представить в виде q(uc) = Coiic — -gCouc-
Задачу решить аналитически для: а) а = 1/2; б) а = 0 (линейный
конденсатор). 1О ,
16.5. Рассчитать ток в цепи после коммутации (рис. 15.«3, а),
воспользовавшись методом графического интегрирования. В. а. х.
нелинейного резистора показана на рис. 16.3, б. Параметры цепи:
# = 200 Ом; 1=10Гн; ? = 300 В.
а)
О 100 200 300 ин В
Рис. 16.3
Рис. 16.4
16.6. Методом интегрируемой нелинейной аппроксимации найти
изменения во времени тока и потокосцепления после коммутации
цепи (рис. 16.4). Вебер-амперная характеристика нелинейной
индуктивной катушки задана выражением *=675г|L, где i—в А;
^_B В-с. Параметры схемы: #=200 Ом; ?=100В.
16.7. Решить предыдущую задачу графоаналитическим мезодом
Волынкина.
16.8. Решить задачу 16.6 методом последовательных
интервалов. Результаты расчета сравнить с аналитическим решением.
0,2 Ofi 0,6 0,8 Ifl 12 iHA
Ь) '
Ь)
Рис. 16.5
16.9. Найти ток через резистор (после коммутации цепи
(рис. 16.5, а). Задачу решить методом последовательных
интервалов и сравнить результат с аналитическим решением методом
кусочно-линейной аппроксимации. В. а. х. диода в проводящей
области показана на рис. 16.5, б. Сопротивление диода в
непроводящей области считать бесконечно большим. Исходные данные:
*@ = 100sin314fB; Я = 35,5Ом; С = 70мкФ.
16.10р. Найти изменение во времени напряжения на
нелинейном конденсаторе при его разряде (рис. 16.6, а), полагая, что
155
дифференциальная емкость конденсатора определяется выражением
-pL==C0( 1—я-jr) • Задачу решить в общем виде методом изоклин
для: а) а =1/2; б) а = 0. Сравнить полученные графические
решения с аналитическими (см. задачу 16.4).
16.11р. Определить изменения тока во времени после
коммутации цепи рис. 16.6,6. Задачу решить методом изоклин, если:
а) в.а.х. резистора линейна, т. е. u(i)=-Roi] б) в. а. х, резистора
нелинейна u(i) = aim, гдет = 2; 1/2.
5)
Рис. 16.6
Рис. 16.7
16.12. Найти ток после коммутации цепи рис. 16.7, а. Задачу
решить методом изоклин, если: а) в.а.х. резистора u(i) = RJ;
б) в.а.х. нелинейного резистора u(i) = ai2.
16.13. Определить зависимость скорости изменения
напряжения на конденсаторе в функции напряжения duc/dt = f(uc) и
построить фазовые портреты для: a) uc(t) = ±UCQ\ б) мс(/) = ±а/;
в) uc(t) = bt2; г) uc = e±at; д) uc(t)=l — e'at; e) uc@ = sin(o^;
ж) uc(t) = e±cctsin<ut.
16.14. Построить фазовые портреты изменения напряжения на
конденсаторе при его разряде (рис. 16.7,6), если: а) емкость
конденсатора С0 не зависит от напряжения; б) емкость конденсатора
нелинейно зависит от напряжения: ^^- = Со П—
а)
Рис. 16.8
16.15р. Построить фазовые портреты изменения напряжения
на конденсаторе (рис. 16.8, а), если: a) R(i) = R0 (линейный
резистор); б) в.а.х. нелинейного резистора i=au2; в) в.а.х.
нелинейного резистора задана графически на рис. 16.8, б.
16.16р. Построить график изменения напряжения на
конденсаторе во времени, используя фазовый портрет генератора
релаксационных колебаний (см. п. в) предыдущей задачи).
156
16Л7р. Показать, что точка равновесия (# = 0) в задаче 16.15р
для случая в) неустойчива в малом.
Б. Расчет переходных процессов
в цепях второго порядка
16.18. Качественно построить фазовые портреты y = f(x), где
x=i,y=di/dt, полагая зависимость тока известной (рис. 16.9, а—и).
Определить характер особых точек.
е)
и)
Рис. 16.9
16.19. Качественно построить по фазовым портретам y = f(x),
где х=ис> y = duc/dt зависимости во времени напряжения на
конденсаторе и тока в нем.
Фазовые портреты y = f(x)
приведены на рис. 16.10, а, б.
16.20р. Определить характер
переходного процесса при
разряде конденсатора (рис. 16.11, а).
Задачу решить методом фазовой
плоскости при: а) С (а)=С0;
ЯО б) С)С # 0
Рис. 16.10
/()
16.21. Методом фазовой плоскости определить характер
переходного процесса при разряде нелинейного конденсатора
р ) ()
б) С{и)=С0; #0 =
Начальные значения: i^@) =
= Uco; q @) = q0. Параметры
схемы: &о = 1 Ом; Lo = 1 Гн; Со =
К
Ч
Чо
а)
\Цев
в)
(рис. 16.11,6). Кулон-вольтная характеристика конденсатора
показана на рис. 16.11,6. Рассмотреть два случая: а) ЯО
157
б) Яо = 0. Параметры схемы и начальные условия: R0=lOu;
10=1Гн; q@) = qo=l Кл.
16.22р. Построить фазовые портреты изменения напряжения
на конденсаторе (рис. 16.12, а) после коммутации, если: а) в. а. х.
резистора линейна; б) в. а. х.
резистора нелинейна и задана
графически (рис. 16.12,6).
В обоих случаях принять
МО)=-*/«.
Примечание. При
построении фазовых траекторий удобно
пользоваться методом Льенара.
Рис. 16.12
а)
16.23р. Найти закон
изменения огибающих амплитуд
заряда конденсатора после коммутации (рис. 16.13, а). Задачу решить
методом медленно меняющихся амплитуд при: а) &0Ф0\ Q =
V"lTc
= r J" °^> 1; 6) /?e = 0. Анализ изменения амплитуд во времени
провести с помощью фазовой плоскости.
1 \d
а)
Рис. 16.13
Рис. 16.14
16.24. Определить закон изменения заряда на нелинейном
конденсаторе после коммутации (рис. 16.13,6), полагая uc(q) = q/C0+
+ р<73. При решении воспользоваться методом, медленно
меняющихся амплитуд. Начальные условия: uc@) = UCQ; q(O) = qo.
16.25. Найти закон изменения амплитуд вынужденных
колебаний в контуре без потерь (рис. 16.14, а) при подключении его
к источнику э.д.с. e(t) = Emsin<dt, полагая: а) <о = со0; б) (дф&0,
где €oo=l/KLoCo—резонансная частота контура. Задачу решить
методом медленно меняющихся амплитуд.
16.26р. Определить изменение амплитуд напряжения на
конденсаторе после коммутации (рис. 16.14,6), если уравнение цепи
описывается выражением L0Cb -^f—kx(I—k2u2c) 4f + ис = 0, где
ki и k% зависят от параметров управляемого нелинейного
активного двухполюсника. Отношение kxlVhjZ^<^\%
В. Численные методы
16.27. Для цепи рис. 16.2, а найти закон изменения тока I и
напряжения и на нелинейном резисторе во времени на интервале
jf=sO4-O,15 с, полагая ?=10 В; L = 0,l Гн. В.а.х. резистора
158
() где а=1; 6 = 0,1; *—в А; и—в В. Полученное
решение нелинейной задачи сравнить с решением линейной ф — 0).
16.28. Рассчитать время, за которое ток в цепи рис. 16.3, а
достигнет после коммутации значения ^ = 0,8 А. В.а.х.
нелинейного резистора и (i) = 200t^2; Е = 300 В; R = 200Ом; L = 10 Гнв
16.29. Для цепи рис. 16.4 численно определить закон
изменения потокосцепления катушки *ф и тока в ней i во времени на
интервале / = 0ч-0,Зс при ?==100В; # = 200Ом; в.а.х. 1(ф) =
= 675г|Д где i —в А; ф—в Вб.
16.30. Для цепи рис. 16.5, а численно с шагом h = 1/1200 с
найти закон изменения напряжения на конденсаторе после
коммутации, полагая, что в.а.х. диода задана кусочно-линейной
зависимостью. При этом если wB^0, то #в (*"н) = #в пр = 35 Ом,
если ив<0, то RB(iH) = RB06p= 1000 Ом. Параметры цепи: Е =
= 100В; # = 35,5Ом; С = 70мкФ.
16.31. Автоколебательная система с мягким возбуждением
рис. 16.14,6 описывается уравнением Ван-дер-Поля
где х = ис\ г = (Оо/; о)о = ]/ 1/(L0C0); 8 = 0,2. Полагая x = a(t)sinT,
где а(х)—медленно меняющаяся амплитуда, определить
уравнение для огибающей а(х) и решить его численно с шагом А = 0,5
при: 1) 0<|а0|<2; 2) |ао|>2 (а0 — начальная амплитуда).
16.32. Автоколебательная система с жестким возбуждением
рис. 16.14, б описывается уравнением вида
где х = ис; т = соо/; (oQ = ]/rl/(L0C9). Полагая x = a{x)s'mx9 где
а(т)—медленно меняющаяся амплитуда, найти уравнение для
огибающей а(т) и возможные установившиеся значения амплитуд
^1Уст» 02усТ; характеризующие устойчивый и неустойчивый
предельные циклы. Считая 8=0,1; р=0,14, численно с шагом 6=0,5
найти законы установления амплитуд (фазовые траектории) при
различных начальных значениях: а) ао = 2; б) ао = 2,4.
Глава семнадцатая
Анализ линейных электрических цепей
методом графов
А. Направленные графы (линейные графы сигналов)
1, Составление графа и определение передачи схемы
с одним источником энергии
17.1р. Составить граф схемы рис. 17.1, а и определить
взаимную проводимость gu. Проводимость ветвей g1=g2 = g3==g^ =
= g5 = l>r6=l См. При решении воспользоваться двумя способами:
а) упрощением графа путем последовательного исключения узлов;
б) использованием общей формулы передачи графа (правило Мэ-
зона).
17.2. Составить граф схемы рис. 17.1,6 и определить ток /3
в диагонали моста при питании цепи от источника: а)
синусоидальной э. д. с. Ё= 10 В; б) синусоидального тока J =4 А.
Параметры схемы: Уг = — \2 См; У2 = У4 = 2См; У3=1 См; У5 = /4См.
Рис. 17.1
Рис. 17.2
17.3. Дана система уравнений, соответствующая некоторой
электрической цепи:
24/i—5/2 + 4/3=15?i;
Ю/х + З/з—4/3 = 0.
Начертить граф этой цепи и определить входную проводимость giim
17.4. Определить передачи сигнала в графе рис. 17.2: а) от
узла Xi к узлу л:4; б) от узла лг* к узлу л:6. Проверить
правильность решения, составив и решив аналитически соответствующие
графу уравнения.
17.5. Составить граф схемы рис. 17.3, а и определить
взаимную проводимость g3, если R1 = 2 0wi R2 = R3 = ЗОм; #4=1 Ом;
Я5 = 4Ом.
17.6. Схема рис. 17.3, б питается от источника
синусоидального напряжения. Составить граф этой схемы и найти 713.
Параметры схемы: /?г = 0,8Ом; XL2 = XC2 = R2 = 4: Ом; #3 = 2Ом.
160
2. Объединение нескольких истоков графа в один
17.7р. Составить граф схемы рис. 17.4, а без предварительного
составления уравнений, используя метод: а) контурных токов;
б) узловых потенциалов. Определить ток /5,'если Rx — Rz^R* —
= ЗОм; #з=1 Ом; Я5 = 2Ом; ? = 45 В; / 5А
Рис. 17.4
17.8. Составить граф схемы рис. 17.4, б, взяв за основу метод:
а) контурных токов; б) узловых потенциалов. Найти для обоих
случаев ток /4. Проверить правильность решения, рассчитав ток
/4 методом эквивалентного генератора. Параметры схемы: Ег =
--= 12 В; ?2=18В; J = 3A; R1 = R2 = R3 = R^Rd = R6= 10Ом.
3. Графы четырехполюсников
17.9р. Начертить графы четырехполюсника, соответствующие
А- и Я-формам записи.
17.10. Начертить графы четырехполюсника, соответствующие
Z- и F-формам записи.
л
Рис. 17.5
17.11р. Составить граф четырехполюсника, эквивалентного двум
каскадно соединенным (рис. 17.5, а), используя Я-форму записи
параметров исходных и эквивалентного четырехполюсников.
161
17.12. Составить граф четырехполюсника, эквивалентного двум
каскадно соединенным (рис. 17.5, б), используя Л-форму записи
параметров исходных и эквивалентного четырехполюсников.
Определить передачи ветвей эквивалентного графа.
17.13. Составить граф, соответствующий двум параллельно
соединенным четырехполюсникам (рис. 17.6, а), воспользовавшись
а)
Рис. 17.6
У-формой записи параметров. Проверить решение аналитически.
Найти передачи ветвей.
17.14р. Построить граф цепи, состоящей из трех смешанно
соединенных четырехполюсников (рис. 17.6, б).
4. Анализ электронных схем в линейном режиме
17.15р. Для схемы усилительного каскада (рис. 17.7, а)
составить граф и определить коэффициент усиления по
напряжению ka.
'вы*
Рис. 17.7
17.16. Воспользовавшись схемой усиления для малых
сигналов, представленной на рис. 17.7, б, составить граф и определить
коэффициент усиления по напряжению ка1 = ивык/ивх.
Рассматривая схему как катодный повторитель, найти по составленному
графу коэффициент усиления ka2 — uK/uBX. Параметры лампы S и
Ri9 а также сопротивления резисторов схемы RK и Rn известны.
17.17р. Составить граф для усилительного каскада рис. 17.8, а
и определить коэффициент усиления по напряжению. Параметры
ламп Sjl, giU S2, gi2 и схемы gQ, gi9 gn известны,
162
17.18р. Полупроводниковый триод включен по схеме с общей
базой. На рис. 17.8,6 изображена его эквивалентная схема для
переменных составляющих. Составить граф этой схемы и
преобразовать его, приводя к Я-форме записи.
Рис. 17.8
Б. Ненаправленные графы
17.19р. Рассчитать определитель схемы рис. 17.9, а
следующими способами: а) как сумму величин всех возможных деревьев;
б) используя разложение определителя по узлу; в) используя раз-
2
~ b I d
Z
й)
Рис. 17.9
ложение определителя по путям между двумя узлами; г)
используя разложение определителя по ветви. Буквами обозначены
проводимости каждой ветви,
кружками—узлы схемы.
17.20р. Схема рис. 17.9, б
питается от источника тока.
Определить показание вольтметра,
используя теорию ненаправленных
графов. Параметры схемы: gx =
=g3 = 1 См; g2 = 2 См; g4 = 0,5 См;
J = 5 A.
17.21. Решить задачу 17.2,
воспользовавшись теорией ненап- Рис. 17.10
равленных графов.
17.22. Определить входное сопротивление RBX схем: а)
рис. 17.10, а; б) рис. 17.10,6. Проводимости ветвей в сименсах
указаны на чертеже.
163
17.23. Рассчитать входную Уп и взаимную Y13 проводимости
лестничной схемы рис. 17.11, а. Параметры схемы: gi:=gz=::gs=s
s= coC = 1 См.
t
sfc
Рис. 17.11
17.24. Определить показание вольтметра в схеме рис. 17.11,6.
Параметры схемы: Е = 100 В; R1 = XM = 5 Ом; XL1 = XC = R2 =
= 10 Ом; XL2=15 Ом.
Указание. Рекомендуется
предварительно упростить электрическую схему, исключив
магнитную связь между индуктивными
катушками.
?L ибих 17.25р. На рис. 17.12 дана схема
усилительного каскада с емкостной связью.
Найти комплексный коэффициент
усиления по напряжению К* Параметры схе-
п 171О мы: лампа 6Н8 (R— ЮкОм; (ы = 20);
Рис. 17.12 по--- ~ ~ ~
&
а ;с
С0=100пФ; / = 2кГц.
Глава восемнадцатая
Электрические цепи с изменяющимися
во времени параметрами
А. Установившиеся процессы в цепях с периодически
изменяющимися параметрами при наличии источников
электрической энергии
18.1. К источнику постоянной э. д. с. ?0=1 В подключен
резистор, сопротивление которого R0(l—msinco^) изменяется во
времени (рис. 18.1, а). Глубина модуляции т<0,1. Известно, что
протекающий по цепи ток содержит постоянную
составляющую 1,0032 мА и синусоидально изменяющуюся составляющую
0,08 sin со/мА. Определить RQ и т.
18.2. Цепь рис. 18.1,6 питается от источника постоянного
тока J. Индуктивная катушка имеет индуктивность L(t),
изменяющуюся во времени. Сопротивление резистора jR постоянно.
Составить дифференциальное уравнение относительно тока i% через
индуктивную катушку.
164
18.3р. В цепи рис. 18.1,<з ток через индуктивную катушку
h = ^20 + hism ®t + ^22cos ®t\ L @ = A> + ^i sin 2соЛ Определить
закон изменения во времени тока /(*).
= 0,5мс.
Опретип.
а)
18.4. В цепи рис. 18.2,а ?=100 В; 1 = 0,1 Гн, а
сопротивление резистора R (t) изменяется во времени в соответствии
с рис. 18.2, б,* так что R1 = 200 Ом; jR2 = 100 Ом; -
делить изменение тока и
напряжения на индуктивной
катушке в установившемся режиме для
первого @—т) и второго (т—2т)
интервалов времени.
18.5. Если в цепи рис. 18.2, а
частоту изменения
сопротивления резистора увеличить (т. е.
уменьшить т), то ток будет мало
изменяться в течение каждого
полупериода. Составить
трансцендентное уравнение для
определения Т, ИСХОДЯ ИЗ ТОГО, ЧТО Рис. 18.2
отношение тока в конце
первого полупериода в установившемся режиме работы к току в начале
первого полупериода равно 0,9.
18.6. По данным задачи 18.4 найти активную мощность,
потребляемую цепью.
18.7р. К источнику постоянного тока / = 10 мА подключены
(рис. 18.2, в) конденсатор емкостью С=1 мкФ и резистор
сопротивлением R(t)y скачкообразно изменяющимся во времени от
() р р
! до /?2=1к0м. Время, равное полупериоду
изменения R(i), т=1мс (рис. 18.2,6). Составить уравнение для
напряжения на конденсаторе ис в установившемся режиме.
Сначала решить его в общем виде, затем для заданных значений
параметров.
18.8. Найти активную мощность, доставляемую в цепь
источником постоянного тока по данным задачи 18.7р. Решить задачу
в общем виде.
18.9. В электрической цепи рис. 18.2, г сопротивление
резистора R постоянно, индуктивность катушки L(t) = LQ(l +/г sin со/),
где k < 1; e(i) = E + Emsin(®t + г|э). Представив ток в цепи в виде
/ / 2 /
( m( |
i = /0 + /n sin at + /l2 cos at + /2l sin
/22 cos 2©/ и используя
у
метод гармонического баланса, вывести формулы для определения
165
амплитуд гармоник тока /ш /12, /21-, /22. Найти зависимость
постоянной составляющей потокосцепления i|H в функции /0 при
установившемся режиме.
18.10, Для цепи рис. 18.2, г по данным задачи 18.9
определить ток и постоянную составляющую потокосцепления % при
Е =10 В; ? = 0; Я = 2Ом; coL0=100m; ©=1000 с.
т 18.11. По данным задачи 18.10 найти i = f(t) и о|H, считая,
что в цепи кроме синусоидальной э.д. с, действует и постоянная
э.д.с. ?-7,06 В.
Б. Параметрические колебания
18Л2р. В параметрическом генераторе (рис. 18.3, а) 1 =
= 100 мГн. В.а.х. нелинейного резистора R{i) характеризуется
Таблица 18.1 табл. 18.1.
Емкость конденсатора меняется во времени
по закону С =С0—ДС cos 2cot (рис. 18.3,6),
гдеС0=10мкФ. Полагая ДС/С0<^1,
определить: а) минимальное значение АС, при
котором в цепи возбуждаются параметрические
колебания с частотой о> = l/VLC0 = 1000 с;
б) амплитуду тока в цепи при со = 1000 с;
АС/С0 = 0,08.
18.13. В параметрическом генераторе задачи 8.12р емкость
конденсатора стала изменяться скачкообразно (рис. 18.3, в).
и,
0
0
1
3
в
,3
,2
,3
0
0
0
0
А
,1
л
,3
jc-
Рис. 18.4
Емкость конденсатора уменьшается скачком, когда заряд на нем
имеет максимальное значение (положительное или отрицательное),
и увеличивается скачком, когда заряд проходит через нулевое
значение (рис. 18.3, г). Полагая AC/C0 = 0fi8 и считая, что
амплитуда тока /ЛЛ — 0,1635 А, подсчитать энергию, вводимую
в цепь за 1 с, при указанном характере изменения емкости
конденсатора.
18Л4р. В параметрическом генераторе (рис. 18.4, а) накачка
энергии осуществляется путем скачкообразного изменения
индуктивности L на AL с частотой 2со, в два раза большей частоты
изменения тока. Индуктивность увеличивается скачком на AL,
когда ток принимает амплитудное значение, и уменьшается
скачком на AL, если i = 0 (рис. 18.4, б, в). Данные схемы: С = 10 мкФ;
2l00
0
Исходя из баланса энергии по первой гармонике определить
значение AL, при которой амплитуда первой гармоники тока
в цепи равна 0,1 А, если частота <о= 1000 с.
')
Рис. 18.5
18.15р. На рис. 18.5, а изображена схема параметрического
генератора, где Ео—источник постоянной э. д. с. смещения,
обеспечивающий работу полупроводникового диода в запертом
состоянии; /н — источник синусоидального тока с амплитудой /Н/л
и частотой о)н. Источник тока /н обеспечивает накачку энергии
в колебательный контур на частоте сон, в два раза большей
частоты о)р, генерируемой параметрическим генератором.
Колебательный контур состоит из индуктивности L и емкости
p-n-перехода полупроводникового диода, работающего в запертом
состоянии благодаря наличию EQ. В качестве полупроводникового
диода часто берут германиевый (кремниевый) диод емкостью
Ca^20-f-40 пФ. Емкость диода является функцией напряжения
на нем ад (рис. 18.5,6). Напряжение на диоде ид — — Ео — iHR —
— L-jjj- является функцией времени, вследствие чего зависимость
емкости р-я-перехода также является функцией времени
(рис. 18.5, в). Из-за периодического изменения емкости с часто-
167
той о)н генератор тока накачивает энергию в колебательный
контур. Колебательный контур для частоты генерации представлен
на рис. 18.5, г, где Сг—усредненная за период емкость Сд
полупроводникового диода, гэ—некоторое эквивалентное
сопротивление контура. Колебания будут незатухающими, если гэ = 0.
Требуется: а) сформулировать условия, при которых схема рис. 18.5, а
может работать в качестве параметрического генератора; б)
записать последовательность расчета схемы при известной
характеристике Сд = /(ад) и заданной частоте сор. Емкость Сд в схема
рис. 18.5, г может изменяться и в соответствии с рис. 18.5,E.
В. Исследование устойчивости режимов работы цепей
с периодически изменяющимися параметрами
18.16р. На рис. 18.6, а изображена электрическая цепь,
состоящая из линейных и неизменных во времени L и R и
изменяющейся во времени С = С0A—mcos2<ot).
Полагая m<kl, составить уравнение относительно заряда q
d2Y\
на конденсаторе и свести его к уравнению Матье ^4 +
+(a+16/7cos2t)T] = 0. За-
писать коэффициенты а и
p уравнения Матье через
L, R, Со, т и со.
18.17. В цепи рис.
а) 6) 18.6, a Co =10 мкФ, L =
Рис. 18.6 =0,1 Гн; m = 0,05; R =
= 2Ом (см. задачу 18.16р).
Будет ли режим работы цепи устойчив, если частота изменения
параметра: а) 2со = 2000 с; б) 2со = 1414 с?
18.18р. На рис. 18.6, б изображена электрическая цепь,
состоящая из линейных и неизменных С, R и изменяющейся во
времени L = Lo A —т cos 2(ot). Полагая глубину модуляции
индуктивности т<^1, составить уравнение относительно заряда q на
конденсаторе, перейти от него к уравнению для приращения
заряда и, введя подстановку, аналогичную проведенной в задаче
18.16р, прийти к уравнению Матье для приращений. Выразить
коэффициенты аир уравнения Матье через Lo, R, С, со, т.
Г. Некоторые явления в цепях с периодически
изменяющимися параметрами
18.19р. Источник синусоидальной э.д, с. e==Emsma)t
подсоединяют в момент времени ? = 0 к индуктивной катушке L без
потерь (рис. 18.7, а). При этом потокосцепление if> = 0.
Индуктивность L изменяется скачками: во все нечетные vполупериоды
она равна L0 + AL, во все четные—равна LQ—AL (рис. 18.7,6).
Показать, что в рассматриваемом идеализированном режиме
работы ток, проходящий по цепи, имеет постоянную составляю-
168
щую (среднее за период 2я/а> значение)
18.20р. Источник синусоидального тока / (/) = fm sin со/ в
момент времени t = 0 присоединяют к конденсатору без потерь
(рис. 18.7, в). При этом заряд q = 0. Емкость конденсатора С
изменяется скачками: во все нечетные полупериоды она равна
С0 + АС, во все четные — равна Со—АС (рис. 18.7, г).
Показать, что в рассматриваемой идеализированной схеме
напряжение на конденсаторе имеет постоянную составляющую
/ с
(среднее за период 2я/со значение) Uc =
0
18.21р. Электрическая цепь рис. 18.8, а образована
источником постоянного тока /0, источником синусоидальной э. д. с.
e(t) = Emsin((x)t + ф), линейными и постоянными во времени R
и С, изменяющейся во времени L(t) = LQ(l + msino)/). Частота
модуляции индуктивности равна частоте источника еA). Цепь
обладает примечательным свойством: при определенных условиях
кривая зависимости постоянной составляющей потокосцепления
•ф0 индуктивного элемента от протекающего по нему постоянного
тока /0 имеет отрицательный угол наклона (рис. 18.8, б), т. е.
коэффициент Ь в выражении я|H = а + Ыо отрицателен.
Вывести условия, при которых это явление имеет место. Для
упрощения выкладок достаточно учитывать лишь первую
гармонику тока i (высшие гармоники относительно мало сказываются
на числовых результатах). Написать выражения для
коэффициентов а и Ь в уравнении 1|H=а+Ь/0.
18.22. Проверить выполнение условий задачи 18.21 р и
записать аналитическое выражение \|?0 = а+Ь/0 для цепи рис. 18.8, а
при # = 1,4 Ом; со-100 с; coLo = 100 Ом; 1/(<оС) = 97 Ом;
т = 0,3165; Е,п = 2 В.
169
Глава девятнадцатая
Электростатическое поле
А. Интегральные соотношения между зарядом,
напряженностью поля и потенциалом
19.1. Два точечных заряда qx = q = 10~10 Кл и q2
расположены на оси х. Их координаты х1 = 0; х2=\2 см. Окружающей
средой является воздух. Определить координаты точки т(хт)9
в которой напряженность электрического поля Е = О (точка
ветвления силовых линий), и точки п(хп)у в которой напряженности
У
в
\-d-
1
d
t
л
6)
Рис. 19.1
поля, создаваемые каждым зарядом, равны и направлены
согласно. Вычислить напряженность поля в точке п{Еп) и силу,
действующую на заряд q±—(Fj). Качественно построить картину
поля. Задачу решить для: a) q2 = 4qm, б) q2 = —4q.
19.2. Электрическое поле создается положительным зарядом
Q = 1,6 -10~10 Кл. Электрон (q = —1,6-10~19 Кл) достаточно
медленно перемещается по пути abca (рис. 19.1, а). Подсчитать
работу, которую необходимо затратить на каждом участке пути, а
также полную работу на пути abca. Указать, за счет действия
каких сил может быть совершено такое перемещение на каждом
участке пути. Все расстояния на рисунке даны в сантиметрах.
19.3р. Точечный заряд q помещен в начале сферической
системы координат. Напряжение между точками a (jRa = 3 см;
9Й = 45°; а, = 0) и Ь (Rb = 7 см; еь = 180°; аъ -90°) t/eb = 25 В.
Определить значение напряженности поля в точке с (Rc = 5 см;
9<?:=-270о; а^ = 0) и ее направление, если окружающей средой
является воздух.
19.4. Вдоль оси z цилиндрической системы координат
расположена бесконечно длинная заряженная нить. Напряженность
-> ->
поля в точке р (гр — 20 см; 0^ = 0) Ер = г° -500 В/м. Рассчитать
напряжение между точками т (/^=10 см; aOT = 270°) и п (гп=^
= 30 см; а„=135°).
19.5. Бесконечно длинный проводящий цилиндр радиусом
го = ЗО мм расположен в диэлектрике (8Г = 5). Какой заряд на
единицу длины можно сообщить цилиндру, если пробивная
напряженность диэлектрика ?пр = 20-104 кВ/м?
170
19.6р. У коаксиального кабеля длиной / = 10 м радиус
внутренней жилы гх = 2 мм, радиус внешней оболочки г2 = 5 мм. Под
какое напряжение можно включить кабель, если максимальная
напряженность поля не должна превышать \'з пробивной
напряженности, равной 2-Ю4 кВ/м?
19.7. Уединенный проводящий шар радиусом R0 = 5 см,
поверхностная плотность заряда которого сг = 0,Ы0~6 Кл м2,
помещен в минеральное масло (ег = 3). Построить графики изменения
модуля градиента потенциала | grad ф | и потенциала ср внутри и
вне шара в функции расстояния R от его центра, приняв ф=0
при R = oo. Определить напряжение между точками, одна из
которых лежит на поверхности шара, а другая находится на
расстоянии 10 см от его поверхности. Вычислить емкость шара.
19.8р. Заряд равномерно распределен с плотностью р =
= 10~4 Кл/м3 по объему бесконечно длинного цилиндра радиусом
Гц — Ь мм. Диэлектрическая проницаемость окружающей среды и
цилиндра е0.
Найти закон изменения потенциала внутри и вне цилиндра и
построить график ф =/(/-), приняв ф = 0 при г = 0. Вычислить
разность потенциалов между точками, лежащими: а) на оси
цилиндра и его поверхности; б) на поверхности цилиндра и на
расстоянии а =10 мм от поверхности (а — расстояние по нормали
к поверхности цилиндра).
19.9. Между двумя концентрическими сферическими бесконечно
тонкими проводящими поверхностями, расположенными в
вакууме, равномерно распределен заряд, объемная плотность
которого р = 2-10~6 Кл/м3. Радиус внутренней поверхности а= 10 см,
радиус внешней поверхности & = 20 см. Найти напряженности
поля в точках Л, В и С, если расстояния от центра сфер до
указанных точек RA = 5 см; RB=\5 см; /?с = 25 см.
19.10. Два длинных разноименно заряженных параллельных
тонких провода расположены в воздухе на расстоянии 2d = 600 см
друг от друга (рис. 19.1, б). Линейная плотность заряда
т = 10~9 Кл/м. Считая, что ф = 0 при # = 0, у = 0, получить
аналитические выражения зависимостей ф^/^х, у, г) и grad ф =
= /2(А:» У у z)- Вычислить напряженность электрического поля
в точке В, используя: а) выражение для gradcp; б) теорему
Гаусса. Координаты точки В: хв = 0; zB = 0; ув = 40 см. Построить
эквипотенциаль, для которой ф = 25 В.
19.11. Электрический диполь, состоящий из зарядов + Ц =
— 10~9 Кл и —q = —10~9 Кл, расположен в вакууме.
Расстояние между зарядами d=l мм (рис. 19.1, в). Определить
потенциалы и векторы напряженностей поля в точках А и В,
сферические координаты которых 7?^, = 0,1 м; 8^ = 0°;ад = 0°; RB — 0,l м;
6д = 30°; ав = 90°. Потенциалы точек, удаленных в бесконечность,
принять равными нулю.
19.12р. Два бесконечно длинных проводящих цилиндра с
параллельными осями расположены в воздухе (рис. 19.2, а).
Радиусы цилиндров: гг = 2 см; г2 = 4 см; расстояние между геомет-
171
рическими осями 2# = 8 см. Напряжение, приложенное к
цилиндрам, ?/12=100 В. Определить: а) положение электрических осей;
б) напряженность электрического поля в точке т\ в) поверхностную
плотность заряда в точке т; г)
емкость на единицу длины
цилиндров.
19.13. Бесконечно длинный
проводящий цилиндр радиусом
гг = 1 см расположен внутри
другого бесконечно длинного
проводящего цилиндра радиусом г2 =
= 3 см. Расстояние между
геометрическими осями цилиндров
Ь=1,5см (рис. 19.2,6). Область
между цилиндрами заполнена диэлектриком (&г = 4). К цилиндрам
приложено напряжение U12 = 200 В. Найти: а) положение
электрических осей; б) напряженность поля в точке т\ в) емкость на
единицу длины цилиндров.
Б. Дифференциальные соотношения между плотностью
заряда, напряженностью поля и потенциалом
19.14. Между двумя концентрическими цилиндрическими
электродами, расположенными в вакууме, потенциал меняется по
9 Ь\
Рис. 19.2
закону ц> =
где г—расстояние до оси цилиндров;
Со
d
х
?/¦>
2а
а, Ь, с—числовые коэффициенты. Найти законы распределения
Е, divf, rot E и объемной плотности заряда р между электродами.
19.15. Потенциал между плоскими электродами,
расположенными в вакууме (рис. 19.3, а), меняется в функции расстояния
х по закону (p = axs + bx + c, где а = — 6,28-108 В/м3; Ь =
= — 9,42-105 В/м2; с = —12-102 В/м. Электроды представляют
собой квадраты со стороной / = 0,1 м. Расстояние между ними
d = 0,5-10 м. Пренебрегая краевым эффектом, найти полный
объемный заряд, скопившийся между электродами.
19.16. Бесконечно длинный слой воздуха (рис. 19.3,6)
равномерно заряжен; объемная плотность р = —10~4/A2я) Кл/м3. Тол-
172
щина заряженного слоя 2а = 10 мм, ширина h^>a. Построить
графики изменения модуля напряженности поля и потенциала
в функции координаты х при 0<#<oo. Принять ф = 0 при
х = 0.
19Л7р. Бесконечно длинный диэлектрический (ег = 4) цилиндр
кругового сечения радиусом а = 0,5 см заряжен и находится
в воздухе. Объемная плотность заряда р является функцией
расстояния от оси цилиндра: p = kr> где /е = 1/Dя) Кл/м4. Найти
законы изменения потенциала ф внутри и вне цилиндра в
функции расстояния г от оси, приняв ф = 0 при г = 0. Определить
конфигурацию и положение эквипотенциальной поверхности, для
которой ф = —2 В.
19.18. Шар из диэлектрика (ег = 3) заряжен и расположен
в воздухе. Объемная плотность заряда является функцией
расстояния R от центра шара: p = kR, где & = 1/A0я) Кл/м4. Радиус
шара Rq^I см. Найти законы изменения потенциала ф и
напряженности поля Е внутри и вне шара в функции расстояния R
от его центра. Принять ф = 0 при R = oo. Рассчитать
напряжение между точками А и B(UAB)y сферические координаты
которых /?л = 5- Ю-3 м; 04=180°; ел = 60"; 7?^ = 2-10~2 м; 6л = 90°;
ал = 90°.
19.19. Две протяженные тонкие проводящие пластины
расположены в воздухе под углом а0 друг к другу (рис. 19.3, в).
Потенциал первой пластины Ф! = 0, второй пластины y2 = U.
Пренебрегая краевым эффектом, определить законы распределения
Ф и Е в областях: а) 0 < а < а0; б) а0 < а < я; в) я < а < 2я.
Качественно построить картину поля.
19.20. Две тонкие проводящие конические поверхности
расположены в вакууме. Вершины конусов изолированы друг от
друга (рис. 19.3, г). Потенциал первой поверхности ф! = ?/,
второй поверхности ф2 = 0. Пренебрегая краевым эффектом, найти
законы распределения ф и Е между поверхностями. Качественно
построить картину поля.
В. Граничные условия. Многослойные диэлектрики
и конденсаторы
19.21. Напряженность равномерного электрического поля в
трансформаторном масле Е1 = 10б В/м. Угол между вектором
напряженности и нормалью к поверхности стеклянной пластины ах = 30°
(рис. 19.4, а). Размеры пластины в направлении осей у и г
достаточно велики. Найти напряженности поля, а также углы
падения и преломления в стекле и в воздухе (а2 и а3).
Относительные диэлектрические проницаемости масла и стекла соответственно
8rl = Z,0J Sr2— '•
19.22. Вектор электрического смещения равномерного поля
в воздухе Dx= 1,77-Ю" Кл/м2, а напряженность поля в
диэлектрике ?2 = 8-103 В/м (рис. 19.4,6). Определить относитель-
173
Масло Стекло Воздух
?г/
Y/////7///////
о
ж
40
20
1
J
/
ную диэлектрическую проницаемость гп, если угол падения
^ = 20°.
19.23. Между одной из пластин плоского конденсатора и
наполнителем (парафином, ег1 = 4,3) образовался слой воздуха
(рис. 19.4, в). Площадь сечения пластин конденсатора S = 200cm2,
толщина слоя парафина ^ = 0,5 см, толщина воздушного слоя
<1 = 0,1 см. Пробивные напряженности для парафица и для
воздуха соответственно ?пр1=15-103 кВ/м; Япра = 3-103 кВ/м.
При каком напряжении f/np этот конденсатор будет пробит?
Какое напряжение выдержит конденсатор без указанного дефекта
(принять расстояние между
пластинами d = 0,6 см)? Считая, что
конденсатор включен под
постоянное напряжение ?/ = [/пр/2,
построить графики распределения
Ф, Е, Р и D в функции
расстояния х (расстояние от левого
электрода) для конденсатора: а)
с воздушным зазором; б) без
воздушного зазора. Принять ср = О
при х = 0. Для конденсатора с
воздушным зазором найти
плотность связанных зарядов на
поверхности парафина. Вычислить
емкость конденсатора с воздушным
зазором и без него.
19.24. На рис. 19.4, г
приведен график потенциала поля
плоского трехслойного конденсатора ф = М*). Ось х направлена
нормально к пластинам конденсатора. Точка *=--0 находится
на внутренней поверхности левой пластины. Построить графики
E = f2(x)\ D = f3(x) и определить емкость конденсатора С, если
известно, что в его изоляции имеется воздушная прослойка, а
площадь пластин S = 0,04 м2.
19.25. Радиус внешней жилы цилиндрического конденсатора
г2=-5,44 см, длина конденсатора 1 = 20 см, относительная
диэлектрическая проницаемость диэлектрика ег = 2. Подобрать
оптимальное значение радиуса внутренней жилы г19 с тем чтобы
конденсатор выдерживал наибольшее напряжение. Вычислить
пробивное напряжение конденсатора ?/пр, если пробивная
напряженность электрического поля ?1пр = 2-104 кВ/м. Найти зависимость
удельной плотности энергии электрического поля в функции
расстояния от оси цилиндров w3 = f(r) и вычислить полный запас
энергии поля W3, если напряжение на конденсаторе равно ?/пр/2.
19.26. Сферический конденсатор с двухслойным диэлектриком
имеет радиус внутренней сферы а =10 мм, а радиус внешней
сферы а = 20 мм. Относительная диэлектрическая проницаемость
внутреннего слоя ег1 = 5. Радиус поверхности раздела
диэлектриков х. Разрез конденсатора показан на рис. 19.5, а.
2 х,см
Рис. 19.4
174
Требуется: а) подобрать ег2 внешнего слоя и толщины слоев
Дх и Л2 так, чтобы наибольшая напряженность внутреннего слоя
была равна наибольшей напряженности внешнего слоя, а
наименьшая напряженность внутреннего слоя — наименьшей
напряженности внешнего слоя; б) найти наибольшую и наименьшую
напряженности электрического поля в каждом слое, если
диэлектрик сбг = 5 расположен во внешнем слое [радиусы слоев
j
•so
i
0
0
|
/
t
2
a)
,-'
J
Рис. 19.5
остаются такими же, как в случае а)], а заряд конденсатора
равен Ю"8 Кл. Для случаев а) и б) качественно построить
графики напряженности поля в функции расстояния от центра
сфер E = f(R). Вычислить емкости конденсаторов.
Г. Поля простого и двойного заряженного слоев
19.27. Заряд равномерно распределен с плотностью о =
= 10~8 Кл/м2 по поверхности бесконечно тонкого круглого диска
радиусом jRo = O,1 м, расположенного в воздухе. Для точек на
оси z, нормальной к поверхности диска и проходящей через его
центр при z = 0, определить зависимости потенциала и
напряженности поля и функции координаты z. Построить графики ф = /х (z);
E = f2(z) и указать особенности поля простого заряженного слоя.
19.28р. Диполи, расположенные в вакууме, образуют двойной
заряженный слой, имеющий форму диска радиусом jR0. Оси
диполей перпендикулярны поверхности диска. Плотность
положительных зарядов а+, отрицательных зарядов а", а расстояние
между ними /. При этом а = const, /<^^0- Для точек на оси z,
нормальной к поверхности диска и проходящей через его центр
при z = 0, найти зависимость потенциала и напряженности поля
в функции координаты z. Качественно построить графики ф =
Ы) E f()
175
19.29. Электрет на основе полимера (га = гогг) имеет форму
диска радиусом Ro и толщиной d (рис. 19.5, б). Одна его
поверхность металлизирована и заземлена. Средой, окружающей
устройство, является воздух. В расчетном отношении электрет может
рассматриваться как два слоя поверхностных зарядов,
распределенных с плотностями а± и а2, находящихся на расстоянии I друг
от друга. При этом аг > 0, а2 < 0; |аа|<|а1|; d<^R0\ l<^d.
Определить зависимость E = f(z) для: a) //2<z<oo; б) —1/2 <
<z<//2; в) — (d—l/2)<z<—1/2.
Указание. Рекомендуется рассматривать поле электрета как сумму
полей двойного и простого заряженных слоев.
Д. Метод изображений
19.30. Какая сила действует на точечный заряд Q= 10~10 Кл,
расположенный в воздухе на расстоянии d = 5 см от: а) плоской
проводящей поверхности; б) поверхности стеклянной (е^ = 6) очень
толстой пластины? Вычислить работу, затрачиваемую при
удалении заряда в бесконечность (для обоих случаев).
19.31р. Вблизи безграничной плоской поверхности раздела
двух диэлектриков с &ri и гг2 расположен точечный заряд
Q=10~9 Кл. Необходимые расстояния даны на рис. 19.5, в.
Вычислить напряженность поля в точках a, b, cy d. Точку Ь
следует рассматривать как точку, принадлежащую двум средам.
Построить график E = f(x).
19.32. Электрический диполь (q=lO~10 Кл; 1 = 20 мм)
расположен нормально к плоской поверхности раздела двух
диэлектриков (рис. 19.5, г). Доказать, что поле в каждой среде можно
рассчитывать как поле диполя, расположенного в однородной
среде с соответствующей диэлектрической проницаемостью.
Вычислить фл и ЕЛу если d=\0 см, заряд q находится в среде с ег1.
19.33р. Две плоскости образуют двугранный угол, равный 45°
(рис. 10.6, а). Область, расположенная внутри это угла, запол-
нена воздухом. Остальная часть
пространства заполнена проводя-
щей средой. Через точку т (гт=
= 5,22 см; aOT = 22,5°) параллель-
но проводящим поверхностям про-
ходит прямой тонкий бесконечно
длинный провод, линейная плот-
ность заряда которого т = 2-10~9
Кл/м. Определить
поверхностную плотность заряда в точке а.
19.34р. Две параллельные безграничные проводящие
плоскости отделены друг от друга слоем изоляции (ег = 3), толщина
которого 1,5 см. Параллельно проводящим поверхностям
расположен тонкий прямолинейный проводник (рис. 19.6, б), линейная
плотность заряда которого т=10~9 Кл/м. Найти напряженность
176
i
—1
1,0
X а
поля и поверхностную плотность связанных зарядов в точке а.
Линейные размеры на рис. 19.6, б даны в сантиметрах.
19.35. Бесконечно тонкий провод, линейная плотность заряда
которого т, расположен в воздухе параллельно заземленному
проводящему цилиндру радиусом г0 (рис. 19.7, а). Определить
силу, действующую на единицу длины провода, с которой он
притягивается к цилиндру. Вычислить потенциал точки Л.
15
30
19.36р. Точечный заряд Q=10~9 Кл расположен в воздухе
на расстоянии d = 20 см от заземленного металлического шара
радиусом #0=10 см (рис. 19.7,6). Качественно построить
картину электростатического поля. Найти расстояние h от заряда Q
до точки ветвления Ь. Определить напряженность поля в точке а.
19.37. Заземление шара, описанного в задаче 19.36р,
отключено. Вычислить напряженность поля в точках а и Ь, если
расстояние /i = 0,512 м. Найти поверхностную плотность заряда
в точках а и с.
Е. Поле системы заряженных тел.
Формулы Максвелла
19.38р. Два цилиндрических бесконечно длинных провода
расположены на изоляторах вдоль проводящей стены (рис. 19.7, в).
Необходимые размеры указаны в сантиметрах. Радиус первого
провода гг = 0у8 см; радиус второго провода г2 = 0,4 см.
Окружающей средой является воздух. Первый провод присоединен к
положительному полюсу источника, э.д.с. которого Е = 200 В.
Отрицательный полюс источника э.д.с. заземлен. Второй провод
изолирован от источника и от земли. Вычислить напряжение U12
между первым и вторым проводами.
19.39. Емкостные коэффициенты трехжильного
экранированного кабеля с симметричным расположением жил C^=20- 100Ф/м;
fikm — —5-100 Ф/м. Экран кабеля заземлен. Первая жила
присоединена к положительному полюсу источника, э.д.с. которого
? = 200 В, а отрицательный полюс заземлен. Вторая жила в
результате аварии замкнута на экран, а третья — изолирована.
Определить заряды на единицу длины и потенциалы всех жил.
177
У
f
в
Воздушный
s?
о}
Рис. 19.8
19.40. Рассчитать частичные емкости Сп, С22, С12 и рабочую
емкость Ср на 1 м длины двухпроводной воздушной линии.
Расположение проводов и необходимые геометрические размеры в
сантиметрах даны на рис. 19.7, в. Радиусы проводов: >v-=0,8 см;
г2=:0,4 см.
Указание. Под рабочей емкостью Ср понимают отношение абсолютного
значения линейной плотности заряда на одном из проводов линии к
напряжению между проводами :Ср = т/(/12.
Ж. Метод разделения переменных
19.41. В диэлектрике плоского конденсатора (ег = 4)
появилось длинное цилиндрическое воздушное включение диаметром
2а =1 мм. Расстояние между пластинами конденсатора ^ = 20мм
(рис. 19.8,а). Пробивные
напряженности для диэлектрика и
воздуха соответственно равны 12-Ю3
и 3-Ю3 кВ/м. Определить рабочее
напряжение (/р, под которое может
быть включен конденсатор, если:
а) в его изоляции есть
указанное отверстие; б) отверстие
отсутствует. Принять отношение
пробивного напряжения к рабочему
в обоих случаях равным трем. Качественно построить картины
линий D, Е и Р для поля конденсатора с цилиндрическим
отверстием в изоляции.
19.42. В стеклянную изоляцию плоского конденсатора
запрессован цилиндрический проводник диаметром d = 2 мм. Ось
проводника параллельна пластинам конденсатора. Пробивная
напряженность стекла Euv—\b\Qz кВ/м, а расстояние между
пластинами конденсатора h = 40 мм. Под какое напряжение может быть
включен: а) этот конденсатор; б) этот же конденсатор, но без
проводника в изоляции? Принять отношение пробивного
напряжения к рабочему в обоих случаях равным трем. Качественно
построить картину поля конденсатора с цилиндрическим
проводником в изоляции.
19.43р. В равномерное электрическое поле внесен длинный
диэлектрический (ег = 4) цилиндр радиусом го = 2 см (рис. 19.86).
Окружающей средой является воздух. Найти напряженность
внешнего равномерного поля Ео и напряженность поля внутри
цилиндра Eh если напряжение между точками В и A UBA = 26 В.
Цилиндрические координаты точек А и В: гА=1 см; ал = 60°;
/ d — тг СМ, У*fi — 1 оО .
19.44. Диэлектрический (ег/ = 8) цилиндр внесен в равномерное
поле напряженностью ?0=103В/м (рис. 19.8,6). Окружающей
средой является диэлектрик (гге = 2). Определить поверхностную
плотность связанных зарядов асв в точке а = 0. Качественно
построить графики E = fl(x); D = /2(х), Е = /3(у), D = /4(у).
178
19.45. В равномерное поле напряженностью ?0=105 В/м
помещена длинная стеклянная трубка (ег = 5) так, что ее ось
перпендикулярна внешнему полю. Внутренний радиус трубки а = 2см,
внешний Ь = 3 см (рис. 19.9, а). Окружающей средой внутри и
вне трубки является воздух. Внутри стеклянной трубки (вдоль
ее оси) проходит длинный цилиндрический провод радиусом
•в
Г.
а)
Рис. 19.9
го = 0,1 см. Вычислить напряженность электрического поля ЕА
на поверхности провода в точке Л. Найти напряженность
электрического поля в той же точке Е'А, если провод удален.
Указание. Воспользоваться аналогией с расчетом цилиндрического
магнитного экрана.
19.46. В равномерное поле напряженностью ?*0 = 2 -105 В/м
внесен проводящий заряженный шар радиусом Ro = 1 см
(рис. 19.9,6). Заряд шара Q = 10~8 Кл, окружающей средой
является воздух. Получить закон распределения плотности заряда а
в функции полярного угла 6 и построить график а = /@).
Качественно начертить картину поля и указать на ней точки с
наибольшей и наименьшей напряженностью. При какой
напряженности внешнего поля напряженность поля в одной из точек на
поверхности шара достигает значения пробивной? Пробивная
напряженность воздуха ?пр = 3-103 кВ/м.
19.47. Диэлектрический (eri = 3) шар радиусом а = 2 см
расположен во внешнем равномерном поле (рис. 19.9, в). Разность
потенциалов между точками А и В срл — Ф# = 5 В. Сферические
координаты точек А и В\ RA = l см; Эл = 60°; ал = 90°; /?5 = 4 см;
65 = 30°; ав = 90°. Окружающей средой является воздух.
Определить модули векторов смещения в точках Л и В.
3. Графическое построение картины поля
19.48. На рис. 19.10, а изображена картина электрического
поля у края плоского конденсатора. Линейные размеры на
рисунке даны в масштабе 1:1. Напряжение между пластинами кон-
179
денсатора ?/=120 В. Определить по картине поля значение Е
в точках /—4.
19 49р. Графическим методом построить картину
электрического поля между двумя параллельными бесконечно длинными
проводящими цилиндрами, заряженными разноименно (см. рис. iM.i,a).
Радиусы цилиндров г1 = 2 см, га = 4 см, расстояние между их
геометрическими осями 2# = 8 см. Полагая диэлектрическую
проницаемость среды равной е0) по картине поля найти емкость
между цилиндрами на 1 м длины. Полученный результат
сопоставить с результатом решения задачи 19.12р.
/77
\
ч
Jy
,-zn.
ou
\
-40-30-20 ~fО О /0 20 J0 к
Рис. 19.10
19.50. Графическим методом построить картину
плоскопараллельного поля электродов (рис. 19.10,6), между которыми
расположены два диэлектрика (ег1=*1; ег2 = 2). По картине поля
определить емкость между электродами на 1 м их длины, считая,
что геометрические размеры даны в масштабе 1:1.
19.51. К электродам, расположенным в воздухе, приложено
напряжение ?/ = 300 В (рис. 19.10, в). Размеры на рисунке даны
в миллиметрах. Длина электродов в направлении,
перпендикулярном чертежу, /=1м. Графическим методом построить
картину поля и, пользуясь ею, определить: а) Е в точке Л; б) UAB\
в) а в точке С; г) потоки векторов Е и D в одной силовой трубке,
т. е. ANE и AND; д) заряд Q, скопившийся на поверхности
электрода.
180
И. Метод конформных преобразований
19.52р. Определить поле на плоскости z, если поле на
плоскости W равномерно и преобразование осуществлено с помощью
функции 2 = 2sinO,5№\ Выбрать форму электродов и построить
картину поля на плоскости г, полагая, что потенциальной
функцией является функция: а) ?/; б) V.
19.53. Определить поле на плоскости z и построить семейство
линий U = const и V = const, если преобразование на плоскость
W осуществляется с помощью функций: a) W = l/z; б) W =
= z + a2/z, где а = const (преобразование Жуковского). Для случая
а) рассчитать линейный коэффициент преобразования M=Mda.
19.54. Определить поле на плоскости z, если преобразование
на плоскость^ W осуществляется с помощью функций: a) z = ew/1°;
б) z=lO]/rW; в) z = 5W2. Для случая в) получить уравнения
силовых и эквипотенциальных линий на плоскости z, принимая
за потенциал U.
jy
0/////////////////////,
%\\\W\\\\\\\N
jy
+
e
н
b
h
c
az x
Рис. 19.11
19.55. Два бесконечно длинных плоских электрода
расположены в воздухе под углом 143° (рис. 19.10, а). Размеры в
плоскости чертежа даны в масштабе ml = l мм/дел. Напряжение
между электродами 50 В. Правый электрод заземлен.
Используя преобразование W = lO\nz, найти напряженность
электрического поля и потенциал в точке /^(^ = 30 мм; yk = 40 mm), a
также поверхностную плотность заряда в точке т(хт = —40 мм;
ут = 30 мм).
19.56. Плоскопараллельное поле в областях, изображенных
на рис. 19.11, а—в, отобразить на верхнюю половину плоско-
181
Таблица 19.1 сти W. Определить аналитическую
функцию, с помощью которой может быть
выполнено это преобразование, учитывая, что
точке гх соответствует точка Wly а точке
z2—точка W2. Для всех вариантов гг = О,
#х = 0; значения z2 и W2 приведены в
табл. 19.1.
19.57. Составить выражение dz/dW
для случая, когда поле на плоскости z
создается двумя линейными зарядами в точках аг и а2 (рис.
19.11, г), заряженной полоской be и диполем в точке d. В поле
имеется точка ветвления силовых линий е.
Вариант
Рис.
Рис.
Рис.
19.11,
19.11,
19.11,
а
б
в
4
2
/8
16
8
—4
К. Метод интегральных уравнений
19.58р. На расстоянии h от плоской границы раздела двух
сред расположен точечный заряд q. Воспользовавшись методом
интегральных уравнений, определить закон распределения
плотности связанных зарядов на поверхности раздела сред (?св = /(г)
h/2
сг2
Рис. 19.12
и вычислить связанный заряд qs, находящийся на поверхности
внутри окружности радиусом гг. Расчет выполнить для двух
случаев: а) обе среды являются диэлектриками (ег1 и ег2) (рис. 19.12, а);
б) в нижнем полупространстве диэлектрик (ег2) заменен
проводящей средой.
19.59. Определить аналитическую зависимость и построить
график распределения плотности связанных зарядов на
поверхности раздела двух диэлектриков (ег1=1; ег2 = 4), если
электрическое поле создается точечным зарядом ^ = 6,28-10~8 Кл,
находящимся в плоскости хОу, и бесконечно длинной диэлектрической
нитью, расположенной перпендикулярно плоскости чертежа,
заряженной с линейной плотностью т = 3,14-10~6 Кл/м (рис. 19.12,6).
Расстояние h = 2 см.
19.60р. Бесконечно длинный незаряженный полуцилиндр
радиусом а расположен на проводящей плоскости и находится во
внешнем равномерном поле напряженностью ?0 = 90 кВ/м. Опре-
182
делить закон изменения сгсв на цилиндрической поверхности
в функции координаты а для трех случаев: а) полуцилиндр
выполнен из стекла (ег2 = 5), окружающая среда—воздух (ег1=1)
(рис. 19.12, в); б) полуцилиндр заполнен воздухом (ег2=1),
окружающая среда—стекло (ег2 = 5) (рис. 19.12, в); в) полуцилиндр
выполнен из меди, окружающая среда — воздух.
19.61р. Прямолинейный проводящий цилиндр длиной/ = 60 см
и радиусом го = 1 см (рис. 19.13, а) заряжен и расположен в
диэлектрике (гг = 4,5). Потенциал цилиндра относительно бесконечно
А о
1/2
а)
б)
L/2
Рис. 19.13
удаленной точки ф0 = 100 В. Определить закон распределения
линейной плотности заряда вдоль оси цилиндра т = / (г), его
полный заряд Q и емкость С. Найти аналитическую зависимость и
построить график изменения потенциала поля в диэлектрике
Ф = /(/-) при 2 = 30 см.
19.62. Два одинаковых цилиндрических электрода,
расположенных в воздухе, присоединены к источнику постоянной э.д.с.
(рис. 19.13,6). Потенциалы электродов фл = ф0; фд = —ф0;
фо= 100 В. Длина каждого электрода / = 60 мм, радиус
сечения г0 = 1 мм. Расстояние 1г = 20 мм. Перемещая электрод В вдоль
оси у, можно управлять распределением линейной плотности
заряда т(г) на оси электрода А и изменять его полный заряд.
Пренебрегая влиянием соединительных проводов, определить: а)
законы распределения т вдоль оси каждого электрода и их заряды
QA и QB, если расположение электродов соответствует рис. 19.13, б;
б) закон распределения т вдоль оси электрода А, если электрод В
удален в бесконечность.
Глава двадцатая
Электрическое поле постоянного тока
А. Законы Ома, Кирхгофа и Джоуля — Ленца
в дифференциальной форме
20.1. В проводящей среде с удельной проводимостью у =
= 3 • 107 См/м потенциал изменяется по закону ф = —4 • \0~2х —
—3-10~2#, где х и у—координаты прямоугольной системы
координат. Подсчитать ток, протекающий через прямоугольную площадку
длиной 2 см и шириной 1 см, которая расположена параллельно
оси z и составляет угол 30° с осью х (рис. 20.1, а).
30
У
ь
1
\
Ю
X
Рис.
2
V
\
20.1
1
If
"V
В)
IT
«к
Oh
ср=0Ч
г)
20.2. Потенциал постоянного электрического поля, созданного
в проводящей среде с удельной проводимостью y=10~4Cm/m,
изменяется по закону ср ~сх2—о/2 + d, где х> у—координаты точки
в прямоугольной системе координат; с=1 В/м2; d =
2B—числовые коэффициенты.
-> -*
Найти законы изменения плотности тока б и div6 в
зависимости от координат точки. Подсчитать ток, протекающий через
квадратную площадку со стороной а = 50 см, которая
расположена параллельно плоскости zOy и находится на расстоянии
6=10 см от нее (рис. 20.1,6).
20.3р. Стальная пластина представляет собой 3/4 Диска с
концентрически вырезанным круглым отверстием (рис. 20.1, в).
Внутренний радиус диска R± = 1 см, внешний R2 = 2 см. Толщина
пластины постоянна. Между электродами 1 и 2 поддерживается
постоянная разность потенциалов. Найти разность потенциалов
<Pi—Фг>если наибольшее значение плотности тока бтах = 5 • 106 А/м2,
а удельная проводимость стали у=107См/м.
20.4. Плоская алюминиевая пластина представляет собой х/4
диска с концентрически вырезанным круглым отверстием.
Внутренний радиус диска i?i = 5 см, внешний R2= 10 см (рис. 20.1, г).
Толщина пластины постоянна. Между краями, ограниченными
радиальными прямыми ab и cd> поддерживается постоянная
разность потенциалов. У края аЪ потенциал ср = О, у края cd потен-
184
циал ф = 0,01 В. Удельная проводимость алюминия у =
= 3,3-107 См/м. Найти зависимость модуля плотности тока в
функции расстояния от центра диска. Построить график 6 = /(г).
20.5. Пластина в задаче 20.4 имеет толщину h = 2 мм. Под
действием разности потенциалов между краями ab и cd через
пластину протекает постоянный ток / = 200 А. Вычислить
наибольшие значения плотности тока и удельных тепловых потерь.
20.6. Водоподогреватель представляет собой металлический
заземленный цилиндрический бак диаметром D=l ми высотой h.
Дно и крышка бака выполнены из изолирующего материала. Для
подогревания воды в бак коаксиально с ним вставляют
цилиндрический электрод диаметром D2 = 20 см. Водоподогреватель
присоединен к однофазному трансформатору промышленной частоты,
один полюс которого заземлен.
Построить график зависимости удельной активной мощности
в функции расстояния от оси цилиндров. Считая, что нагрев
происходит только за счет токов проводимости, определить время,
необходимое для нагрева воды в баке от 20 до 100 °С, если
действующее значение приложенного напряжения [/ = 220 В.
Удельную проводимость воды (у = 1 См/м) считать не зависящей от
температуры.
Б. Определение проводимостей и токов утечки
20.7. Плоский конденсатор с двухслойным диэлектриком имеет
площадь обкладок S = 20 см2, толщину слоев dx = 1 см, d2 = 0,5 см,
удельные проводимости слоев уг= 10~9 См/м, у2 = 5-10~9 См/м.
Определить проводимость утечки через изоляцию конденсатора.
Найти напряжения на каждом слое изоляции, если конденсатор
включен под постоянное напряжение t/ = 200 В.
20.8. Цилиндрический конденсатор имеет два слоя
несовершенной изоляции. Удельные проводимости внутреннего и
внешнего слоев диэлектрика Vi= Ю~8 См/м; т, = 10-7См/м. Радиусы
обкладок конденсатора (рис. 20.2, а) и цилиндрической
поверхности, разделяющей диэлектрики, гг = 5 см; г2 = егг; г3 = ег2
(е—основание натуральных логарифмов). Длина конденсатора
/ = 50 см. Определить постоянное напряжение, под которое может
185
быть включен конденсатор, при котором ток утечки через него
не превышает 1,5 мкА.
20.9. Между цилиндрическими электродами (рис. 20.2,6)
расположены два несовершенных диэлектрика с удельными проводи-
мостями 71=10~4См/м; 72 = 2-10~4 См/м. Радиусы электродов
г2 = 1 см; г2 = 2 см, их'длина / = 20 см. К электродам
приложено постоянное напряжение V = 100 В. Определить полный ток
утечки между электродами и плотности тока в точках А и В.
20.10р. Радиус внутреннего электрода сферического
конденсатора Rx = 2 см, радиус внешнего электрода R2 — 5 см. Удельная
проводимость диэлектрика 7=Ю~10 См/м. К электродам
конденсатора приложено постоянное напряжение ?/ = 3000 В. Найти
зависимость модуля плотности тока в функции расстояния от
центра сфер, подсчитать ток утечки через несовершенную
изоляцию и вычислить наибольшие удельные тепловые потери в
единицу времени.
20.11. Радиус внешнего электрода сферического конденсатора
R2=\0 см. При условии, что плотность тока утечки на
поверхности внутреннего электрода должна быть наименьшей при
неизменном приложенном напряжении и проводимости среды,
определить радиус внутреннего электрода Rl9 Найти проводимость
утечки через несовершенную изоляцию конденсатора, если
удельная проводимость изоляции y = 5-1010 См/м.
20.12. В несовершенной изоляции плоского конденсатора,
обладающей удельной проводимостью y=10~7 См/м, просверлено
цилиндрическое отверстие диаметром 2d = 0,4 см (рис. 20.2, в).
Размеры конденсатора в сантиметрах указаны на рисунке.
Конденсатор включен под постоянное напряжение С/= 200 В.
Пренебрегая краевым эффектом, определить ток утечки,
протекающий через площадь сечения конденсатора плоскостью A BCD,
если: а) цилиндрическое отверстие в изоляции заполнено
воздухом (y2 = 0); б) в цилиндрическом отверстии находится
изолирующий материал с удельной проводимостью у2 = 10~6 См/м; в)
цилиндрического отверстия в изоляции нет. Качественно построить
картины поля для каждого случая.
В. Метод изображений
20.13. Найти радиус Ro полусферического заземлителя,
погруженного в глинистый грунт, если через него протекает ток / =
= 105 А, а максимальное шаговое напряжение не превышает
?/ = 50 В. Шаг человека принять равным 0,8 м. Удельная
проводимость глинистого грунта у = 5-10~2 См/м.
20.14. Для определения удельного сопротивления грунта
в него помещена металлическая полусфера радиусом /?0 = 25 см
(рис. 20.3, а). Через заземлитель пропускают ток / = 5 А.
Электростатический вольтметр, присоединенный к двум зондам, которые
отстоят от центра полусферы на а = 50 см, 6=100 см,
показывает напряжение 40 В. Считая, что второй электрод удален
186
достаточно далеко и его влиянием можно пренебречь, рассчитать
удельную проводимость грунта.
20.15. Заземление выполнено в виде полой металлической
сферы радиусом а = 0,2 м, расположенной в грунте на
расстоянии d=10 м от его поверхности (рис. 20.3,6). Удельная
проводимость грунта 7= 10~2См/м. Определить сопротивление заземле-
а)
777777/
y777aY/
У/Л
////Л
5)
Рис. 20.3
в)
ния Rlf считая заряды сферы и ее зеркального изображения
сосредоточенными в центрах сфер. Сравнить найденное значение
с сопротивлением RQ металлической сферы, расположенной в грунте
на весьма большой глубине от поверхности. Качественно
начертить картину линий плотности тока для заземления,
изображенного на рис. 20.3,6.
Указание. Под сопротивлением заземления понимают сопротивление
среды между данным электродом и электродом, удаленным в бесконечность.
20.16р. Заземлитель представляет собой цилиндрическую трубу,
расположенную в грунте (рис. 20.3, в). Длина трубы /— 1 мм, ее
внешний диаметр d = 40 мм. Удельная проводимость грунта у =
= 2-10~2 См/м. Определить сопротивление заземления.
20.17. В проводящей среде с удельной проводимостью Yi =
= 10~5 См/м расположены два длинных проводящих цилиндра,
находящихся под постоянным напряжением. Расположение
проводов и необходимые геометрические размеры в миллиметрах
указаны на рис. 20.4, а. Найти напряженность электрического поля
в точке а, если ток утечки между цилиндрами на 1 м их длины
составляет 100 мА.
187
20.18. Параллельно безграничной плоскости двух
несовершенных диэлектриков с удельными проводимостями уг = 10~10 См/м и
72 = 4-10~10 См/м расположены два длинных провода круглого
сечения. Радиусы проводов /^ = 0,5 мм; г2=1 мм. Расположение
проводов и геометрические размеры указаны на рис. 20.4,6
в миллиметрах. Определить проводимость между проводами на
1 м длины. Вычислить ток утечки между проводами, считая, что
линия включена под постоянное напряжение 100 В. Найти
плотность тока утечки в точке а.
20.19р. Полусферической заземлитель радиусом Ro
расположен в грунте (рис. 20.4,в). Расстояние от центра полусферы до
поверхности раздела двух слоев различного грунта а. Удельные
проводимости слоев грунта уг и y2J при этом уг > y2-
Постоянный ток, стекающий через заземлитель в грунт, /1# Определить
закон изменения потенциала в функции расстояния. Принять
потенциал ф = 0 при R = oo.
Г, Расчет постоянного электрического поля
в неоднородной проводящей среде
20.20. Коаксильный кабель с радиусом внутренней жилы
т± — 5 мм, радиусом внешней оболочки г2 = 20 мм и длиной /= 1 мм
включен под постоянное напряжение (/=100 кВ. Вследствие
неравномерного нагрева изоляции ее удельная проводимость
увеличивается от внешней оболочки к внутренней жиле по закону
у = Уо{1 + г1/г), где rx<r<r2i Yo=1O~1oCm/m.
Подсчитать проводимость изоляции, ток утечки через
несовершенную изоляцию кабеля и мощность, идущую на нагрев
изоляции.
20.21р. Между электродами сферического конденсатора
находится диэлектрик, удельная проводимость которого меняется
в функции расстояния R от центра сфер по закону y = yo/R, где
Ri< R < R2; Yo= Ю~4 См/м. Радиусы внутренней сферы
соответственно ^х=1 см; /?2 = 5 см. Ток утечки через несовершенную
изоляцию / = 0,2 А.
Найти закон изменения потенциала между электродами, если
известно, что внешний электрод заземлен. Определить
напряжение между электродами и проводимость утечки конденсатора.
20.22. В плоском конденсаторе с несовершенной изоляцией
вследствие нагрева одного из электродов удельная проводимость
меняется по закону у = у0 A + kx)f где х— координата
прямоугольной системы координат (рис. 20.5, a); y=10~10Cm/m; & = 20m~1.
Относительная диэлектрическая проницаемость sr = 4. Расстояние
между электродами d = 0,5cM. Конденсатор подключен к
источнику постоянной э.д.с. 200 В. Пренебрегая краевым эффектом,
найти закон изменения плотности объемного заряда и закон
изменения потенциала в зависимости от расстояния х.
20.23. Плоский конденсатор (рис. 20.5, а) заполнен
неоднородным несовершенным диэлектриком, абсолютная диэлектрическая
188
проницаемость которого ea = eoeri(l + kx2), где sri и k —
постоянные величины. Удельная проводимость у = const. Конденсатор
подключен к источнику постоянного напряжения U. Расстояние
между электродами d. Определить закон распределения
плотности объемного заряда между электродами р(х).
20.24. В жидкий несовершенный диэлектрик помещены два
плоских электрода, к которым приложено постоянное
напряжение U (рис. 20.5, а). За счет осаждения примеси удельная
проводимость диэлектрика меняется по закону Y = Yo A—ky)y а
aeons'
L
0 х
6)
5)
Рис. 20.5
лютная диэлектрическая проницаемость га — const. Найти закон
распределения плотности объемного заряда между электродами
Р(*. У)-
20.25р. В цилиндрическом конденсаторе с несовершенной
изоляцией вследствие неравномерного нагрева относительная
диэлектрическая проницаемость меняется по закону er = erlB + kr), a
удельная проводимость меняется по закону Y — YiC^—kr), где
erl = 5; Yi= Ю~9 См/см; ? = 0,1 см; г—в см. Радиус
внутреннего цилиндра а = 5 см, радиус внешнего цилиндра 6= 10 см.
Длина конденсатора /=1 м. Конденсатор включен под постоянное
напряжение /7=1 кВ. Найти закон распределения объемного
заряда и закон распределения плотности тока в функции
расстояния от оси цилиндра. Вычислить ток утечки.
Д. Графический метод построения картины
плоскопараллельного электрического поля
20.26. Для исследования электрического поля в
электролитическую ванну погружены два металлических электрода (рис. 20.5, б).
Внешний электрод представляет собой полый круглый цилиндр,
а внутренний является эллиптическим цилиндром. Размеры
электродов указаны на рисунке в миллиметрах.
Графическим путем построить картину электрического поля
между электродами и определить проводимость между электродами
на 1 м длины, если удельная проводимость электролита у = 2 См/м.
189
Найти емкость между электродами на 1 м длины, если электроды
расположены в воздухе. Краевым эффектом можно пренебречь,
так как длина цилиндров достаточно велика. Вычислить
напряжение между точками Л и В, если к электродам приложено
постоянное напряжение 300 В. Координаты точек А и В: хА = 0;
ул=\8мм; хв= — 34мм; ув = 0.
20.27. Два металлических электрода выполнены в виде
одинаковых эллиптических цилиндров и расположены по отношению
друг к другу так, как показано на рис. 20.5, в. Размеры
электродов указаны на рисунке в сантиметрах. Удельная
проводимость среды, находящейся между электродами, много меньше
удельной проводимости самих электродов. К электродам подведено
постоянное напряжение. Построить графическим путем картину
электрического поля. По картине поля найти точки, где плотность
тока имеет наибольшее значение.
Глава двадцать первая
Магнитное поле постоянного тока
А. Закон полного тока
21.1. Вдоль прямолинейного цилиндрического полого
биметаллического провода протекает постоянный ток / = 200 А.
Наружный проводник—медный
(ум=:57-106 См/м),
внутренний
проводник—латунный Gл = 30-106 См/м).
Радиус внутренней
полости г0 = 3 мм, радиус
цилиндрической
поверхности, разделяющей медь и
латунь, г± = 6 мм;
внешний радиус г2 = 9мм.
Направление тока в
проводе совпадает с
положительным направлением
оси Z цилиндрической сие-
8)
темы координат (рис.
21.1, а).
Рис. 21.1 Найти зависимость
модуля напряженности
магнитного поля в функции расстояния от оси провода H = f(r)
для областей 1, 2, 3 и 4. Пользуясь найденными зависимостями,
определить выражения для rot H в этих областях и сопоставить
их со значением плотности тока в каждой области. Построить
графики \H\ = f(r) и |rot#| = /(r) при 0<г<ооФ
190
21.2. Радиус внутренней жилы коаксиального кабеля го = 5 мм,
внутренний радиус оболочки гг= 10мм (рис. 21.1,6). Жила и
оболочка выполнены из стали, относительная магнитная
проницаемость которой [дг = 100. Ток в жиле и оболочке кабеля
/ = 31,4 А. Направления тока в них указаны на рисунке.
Выбрать внешний радиус оболочки г2 так, чтобы плотность
тока в оболочке была такой же, как и в жиле. Найти
зависимость модуля магнитной индукции в функции расстояния от оси
кабеля при 0<г<оо.
21.3р. В прямолинейном цилиндрическом проводе радиусом
а = 20 мм имеется цилиндрическое отверстие круглого сечения
радиусом & = 5 мм. Расстояние между осями цилиндров й=\0шм
(рис. 21.1, в). Вдоль провода в направлении «от нас» протекает
постоянный ток плотностью 8 = 5-105А/м2. Найти значения
вектора напряженности магнитного поля внутри отверстия, а также
в точках А и В. Координаты точек А и В: хл~0; ул~ — 10 мм;
хв = 40 мм; ув = 0.
21.4. В прямолинейном цилиндрическом проводе радиусом
а = 30 мм имеется цилиндрическое отверстие круглого сечения
(рис. 21.1, в). Вдоль провода протекает постоянный ток / = 700 А.
Известно, что напряженность магнитного поля на оси провода
# = *600А/м, а напряженность магнитного поля на оси отверстия
#2 = i2400A/m. Найти радиус цилиндрического отверстия и
расстояние между осями провода и отверстия.
21.5. Вдоль трех прямолинейных длинных параллельных
проводов протекают токи /х = /2 = 0,5А; /3=1 А (рис. 21.1, г).
Расстояние между проводами d= 1 м. Определить силы, действующие
на единицу длины каждого провода Fx, F2> F3y и индукцию В в
точке 0, если провода расположены в воздухе.
Б. Закон Био — Савара — Лапласа
21.6. Рассчитать и построить графики распределения
индукции В по оси х в магнитном поле постоянного тока / = 1 А,
протекающего вдоль: а) отрезка прямолинейного провода длиной
/ = 0,2м (рис. 21.2, а); б) бесконечно длинного прямолинейного
провода. В обоих случаях расстояние А = 0,1м, окружающей
средой является воздух.
21.7. Вдоль прямоугольной рамки со сторонами а = 3см,
6 = 4 см, расположенной в воздухе, протекает постоянный ток
/ = 20 А (рис. 21.2,6). Число витков рамки w=l0. Найти
магнитную индукцию в точках р и q, ее значение и
направление.
21.8. Постоянный ток /=10 А протекает вдоль одновиткового
контура, показанного на рис. 21.2, в. Найти магнитную
индукцию в точке О. Контур расположен в воздухе. Радиус витка
а= 10 см.
191
21.9р. Постоянный ток / = 5 А протекает вдоль рамки,
выполненной в виде правильного многоугольника, вписанного в
окружность радиусом а=10см. Число сторон многоугольника п = 6,
число витков рамки ш = 5. Определить напряженность магнитного
поля в центре многоугольника.
В. Скалярный магнитный потенциал
и магнитное напряжение
21.10. Вдоль цилиндрического прямолинейного провода
протекает постоянный ток / = 300 А. Направление тока в проводе
показано на рис. 21.2, г. Ось z цилиндрической системы координат
перпендикулярна плоскости
чертежа и направлена к
читателю. Воспользовавшись
уравнением Лапласа,
получить зависимость скалярного
магнитного потенциала фм=
=fi(r> a> z) и его градиента
grad Фм = /2(г, а, z) от
координат. Считать фм = 0 в
точках, лежащих на эквипотен-
циали Ох.
21.11. Вдоль
цилиндрического прямолинейного
провода протекает постоянный
ток. Направление тока в
проводе показано на рис.
21.3, а. Магнитное напряже-
Ь
1/2.
а)
b .
р
I
5)
г'
р
а и Ь
Рис. 21.2
ние между точками
по пути асЬ ?/ма6 = 30А.
Определить напряженность
магнитного поля в точке d. Цилиндрические координаты точек:
га = 30 см; аа = 0; гь= 10 см; аь= 120°; г,=20 см; ас = 30°; ^=45 см;
270°
b
0
d
?
\
t
г
X
Ho
I i
\
У
ft
^ i
, s)
в
X
в)
Рис. 21.3
21.12. В постоянном равномерном магнитном поле
напряженностью Я0=г-100 А/м расположен медный бесконечно длинный
192
цилиндрический провод, вдоль которого протекает постоянный
ток / = 10 А (рис. 21.3,6). Найти два возможных значения
магнитного напряжения между точками А и С (UMlAC и UM2AC).
Рассчитать магнитное напряжение UmAB и градиент скалярного
магнитного потенциала в точке A grad<pMi4. Координаты точек:
хл=10см; уА==0\ #? = 20 см; ув = 0; хс = 0; ус = — 20 см.
21.13р. Вдоль двухпроводной линии протекает постоянный ток
/ = 36 А. Направление тока в проводах линии показано на рис.
21.3, в. Расстояние между осями проводов d—\ м.
Определить магнитное напряжение между точками М и N,
М и Р. Координаты точек: % = 0,5м; ум = 0,5м; xN = 0;
yN = 0,5 м; хР = — 0,5 м; уР = — 0,5 м. Качественно построить
картину магнитного поля двухпроводной линии.
Указание. При решении выбрать путь интегрирования, соединяющий
точки М и N, М и Р так, чтобы он не пронизывал контур с током.
b, с
6th~
6)
Г. Векторный магнитный потенциал
21.14. В магнитном поле, созданном в неферромагнитной среде
и подчиняющемся цилиндрической симметрии, векторный
потенциал изменяется по закону А = z° (ar2 + Ь In r + с). Определить
законы распределения индукции и
плотности тока в функции коорди- , kxJ^
нат.
21.15р. Вдоль длинного
цилиндрического стального провода
протекает постоянный ток. Радиус
провода го= 1 см. Относительная
магнитная проницаемость стали jxr = 50.
Средой, окружающей провод,
является воздух. Проекция векторного
магнитного потенциала на ось z
меняется в функции расстояния от оси
провода внутри провода по закону А1 =
= — 6,28г2 Вб/м, а вне провода по
закону Ло = — 25,1-Ю In г/0,01—
—6,28- Ю- Вб/м.
Найти законы изменения модулей
напряженности поля и вектора
намагниченности в функции расстояния
от оси провода. Построить графики
H = f1(r) и J = /,(/-) при 0<г<оо.
21.16. Вдоль длинной стальной
шины в направлении оси z
протекает постоянный ток /==100 А. Относительная магнитная
проницаемость стали [хг = 300. Толщина шины 2а =1 см, ее высота
Л=10см (рис. 21.4, а). В плоскости zOr, составляющей угол 30°
с плоскостью zOyy находится одновитковая квадратная рамка со
193
стороной ab = 2 см. Сторона ab параллельна оси Oz и находится
на расстоянии /=1,5 см от поверхности шины.
Найти зависимость проекции векторного магнитного потенциала
на ось z в функции координаты у и построить график A=f(y)
при 0<у<оо. Принять Л = 0 при у = 0. Пользуясь полученной
зависимостью A = f(y), подсчитать магнитный поток, сцепленный
с рамкой. Построить след эквипотенциальной поверхности, для
которой А = — 75- К) Вб/м.
21.17р. Вдоль длинной плоской стальной шины, показанной
на рис. 21.4, а в двух проекциях, в направлении оси z протекает
постоянный ток /. Толщина шины 2а = 4 мм, высота шины h = 40 мм.
Относительная магнитная проницаемость стали [хг = 20. Средой,
окружающей шину, является воздух. Известно, что разность
векторных магнитных потенциалов между точками тип
Ат—An = k-10~6 Вб/м. Координаты точки т: хт = 0; ут = 1мм\
zm = 0. Координаты точки п: хп = —10 мм; уп = 5 мм; zn= 100 мм.
Считая Л=0 при у = 0у определить ток /, протекающий вдоль
шины.
21.18. Вдоль длинного цилиндрического алюминиевого провода
радиусом го=2 см протекает постоянный ток / = 628 А (рис. 21.4, б).
В радиальной плоскости zOr находится рамка, представляющая
собой трапецию со стороной аЬ=15см, высотой h = 5 см и
углами adc — 45° и bed = 60°. Сторона аЬ параллельна оси провода
и находится от нее на расстоянии h — Ъ см.
Найти зависимость проекции векторного потенциала на ось z
в функции расстояния от оси провода для областей 1 и 2 (внутри
и вне провода) и построить кривую A =f(r) при 0 < г <оо.
Принять Л = 0 при г = 0. Воспользовавшись результатами расчета,
подсчитать магнитный поток Ф, сцепленный с рамкой. Вычислить
разность векторных магнитных потенциалов между точками,
находящимися на расстоянии 1 см от оси провода, и точками,
расположенными на расстоянии 1 см над поверхностью провода.
Построить эквипотенциальную поверхность, на которой А =
= —1,78.10~4 Вб/м.
21.19. Вдоль длинного цилиндрического провода радиусом
го = 3мм, расположенного в воздухе, протекает постоянный ток
(рис. 21.4, в). Разность векторных магнитных потенциалов между
точками а и Ь Аа—Аь =1-2,73• 10~6 Вб/м.
Найти разность скалярных магнитных потенциалов между
этими же точками. Цилиндрические координаты точек а и Ь:
га = 4мщ аа = 30°; га = 0; гь = 20мм; аь=150°; гь=100мм.
21.20. Радиус внутренней жилы коаксильного кабеля го = 5 мм,
внутренний радиус оболочки гг— 10 мм, внешний радиус оболочки
г2=11,2мм (см. рис. 21.1,6). Жила и оболочка кабеля
выполнены из меди. Вдоль кабеля протекает постоянный ток, плотность
которого в жиле и оболочке 6 = 40-104 А/м2. Направления тока
в жиле и оболочке указаны на рис. 21.1,6.
Определить зависимость проекции векторного магнитного потен-
194
циала на ось г в функции расстояния от оси кабеля, полагая
Л = 0 при х = 0.
21.21. Вдоль проводов двухпроводной линии (рис. 21.5, а)
протекает постоянный ток / = 50 А. Направление тока в проводах
линии показано на рисунке. Линия выполнена из круглого
медного провода диаметром 2а = 4 мм. Расстояние между проводами
линии 2d = 0,5 м.
а)
6)
Для точек плоскости zOx найти зависимость проекции
векторного магнитного потенциала на ось г как функции координаты х
при изменении л: от 0 до d—а. Принять Л = 0 при х = 0. Найти
внешнюю индуктивность линии на 1 км длины, воспользовавшись:
а) выражением для векторного потенциала; б) формулой Ф — j В dS.
s
Указание. Под внешней индуктивностью следует понимать
индуктивность, обусловленную магнитным потоком, проходящим в пространстве между
проводами линии.
21.22. Провода высоковольтной линии выполнены из медного
провода диаметром с/0=10мм. Расстояние между проводами
D = 3m. На тех же опорах расположены провода линии связи.
Расположение проводов линий и геометрические размеры в метрах
указаны на рис. 21.5,6.
Найти взаимную индуктивность между высоковольтной линией
и линией связи на 1 км длины. При решении воспользоваться
зависимостью векторного потенциала как функцией расстояния
от оси провода: A=f(r).
21.23. Вдоль кругового витка радиусом # = 0,1 м протекает
постоянный ток / = 10 А. Поперечные размеры сечения проводника
малы по сравнению с радиусом витка (рис. 21.5, в). Средой,
окружающей виток, является воздух.
Найти вектор-потенциал точки а. Провести через эту точку
линию равного векторного потенциала. Цилиндрические
координаты точки а: га = 0,2м; аа = 60°; 2а = 0,4м. Определить
векторный магнитный потенциал и магнитную индукцию в центре витка.
.195
Д. Метод изображений
21.24. В массивной чугунной плите на расстоянии Л=15см
от ее поверхности просверлен цилиндрический канал и проложен
изолированный провод, вдоль которого протекает постоянный ток
/=10 А (рис. 21.6, а). Относительная магнитная проницаемость
чугуна [лг= 10.
Для точек плоскости у = 0 построить зависимости
напряженности магнитного поля и магнитной индукции от расстояния вдоль
У
V///////A
= OQ
У////////// К
'///А
\W\v
6)
'гг
8)
'////////S///S А
Рис. 21.6
оси x: H = f1(x) и B = f2(x). Найти значение и направление силы,
действующей на 1 м провода. Толщиной изоляционного слоя
между стенками канала и проводом пренебречь.
21.25р. Прямолинейный длинный провод, вдоль которого
протекает ток / = 60 А, расположен в воздухе параллельно плоской
поверхности стальной (|хг —+¦ оо) плиты на расстоянии h = 2 см от
нее (рис. 21.6,6). Определить напряженность магнитного поля
в точках а и Ь, координаты которых ха = 0\ уа = 0; л;ь = 3см;
21.26. Вблизи плоской поверхности стальной (fxr-^oo) плиты
в воздухе расположена треугольная рамка, вдоль которой
протекает ток /;=1А. Расположение рамки и геометрические размеры
в сантиметрах указаны на рис. 21.6, г. Определить магнитную
индукцию в точке А.
21.27. Параллельно безграничной плоскости раздела двух
ферромагнитных сред (|xri = 50; (jtr2 = 150) расположены два
изолированных провода, образующих двухпроводную линию.
Расположение проводов и геометрические размеры в миллиметрах указаны
196
на рис. 21.6, в. Радиусы проводов равны 1 мм. Рассчитать
внешнюю индуктивность линии на 1 м ее длины.
21.28. Длинный ферромагнитный цилиндр (^xri =19) радиусом
г0 = 3 см и прямолинейный медный провод расположены в воздухе
(Ит2=1) на расстоянии й=10см параллельно друг другу
(рис. 21.6,5). Вдоль провода протекает ток 7 = 100 А. Вычислить
Н и В в точках 0, а, Ь. Качественно начертить графики
зависимостей H = f1(x); B = f2(x). Учесть, что в точке а индукция имеет
два значения.
Указание. При решении рекомендуется использовать аналогию с
соответствующей задачей электростатики, заменив в расчетных формулах х на /,
а га на l/jie.
Е. Метод разделения переменных
21.29. Бесконечно длинный прямолинейный цилиндрический
стержень из магнитодиэлектрика (\ir = 9) радиусом а = 5 мм
расположен в равномерном магнитном поле. Ось стержня
перпендикулярна линиям магнитной индукции внешнего поля 50.
Магнитный поток, проходящий через
продольное сечение стержня
длиной 1 см,
перпендикулярное к линиям В, Ф = 5-10~5
Вб. Определить индукцию
С
N
]
'at
внешнего поля Бо.
Вычислить объемную плотность
энергии wM в цилиндрическом
стержне.
21.30. Прямолинейный
цилиндрический стальной
провод радиусом а = 5 мм
расположен в равномерном
магнитном поле напряженностью
Я0=1000А/м (рис. 21,7, а).
Относительная магнитная
проницаемость стали ^г=10.
Вдоль провода протекает
постоянный ток / = 100 А,
направление которого указано
на рисунке. Найти
напряженность магнитного поля в
точках 1, 2 и 3. Расстояния
г2 = г3= 10 мм.
21.31. Стальной шар (|in=28) радиусом 2 см обвит витком
тонкой проволоки, плотно прилегающим к поверхности шара,
и помещен в равномерное постоянное магнитное поле
напряженностью Я0 = 5000А/м так, что плоскость витка перпендикулярна
силовым линиям поля (рис. 21.7, б). Окружающей средой является
воздух: |хгг=1.
]
Рис. 21.7
точек от оси провода /^ =
197
Определить потокосцепление витка. Найти напряженность
магнитного поля внутри шара Hh а также в точках А, В и С,
находящихся в воздухе у самой поверхности шара. Координаты точек:
# = 2 см; 6л = 0°, 9^=30°, ес = 90°. Качественно построить
картины линий магнитной индукции Л, напряженности поля Я и
—>-
намагниченности J.
21.32. Стальной эллипсоид вращения (|ir = 31) расположен
в постоянном равномерном магнитном поле напряженностью
#0 = 20 000А/м так, что его большая ось а совпадает с
направлением поля. Оси эллипсоида а = 5см; Ь = с = 3см. Окружающей
средой является воздух.
Рассчитать коэффициент размагничивания N99 напряженность
размагничивающего поля Яэо и магнитную индукцию внутри
эллипсоида Вэ[. Сравнить найденные значения с соответствующими
значениями для шара, выполненного из той же стали (Nm, #Шо, Bmi).
Как изменится магнитная индукция внутри эллипсоида, если
его повернуть на 90° вокруг малой оси?
Указание. Напряженность размагничивающего поля Яо= Яо — Н^.
21.33. Внутри длинной металлической трубы (а = 3 см; b = 5 см)
расположен прямолинейный медный провод радиусом го = О,1см
с током / = 3,14 А (рис. 21.7, в). Ток в проводе направлен «от нас».
Описанное устройство находится во внешнем равномерном поле
напряженностью Но = 1 000 А/м. Определить векторы
напряженности поля в точках р и q, если труба выполнена: а) из стали
((лг = 250); б) из меди. Координаты точек р и q ар = 0> ад = —90°;
rp=zrq=l см. Вычислить запас энергии Ww на единицу длины
магнитного поля, заключенного внутри металлической трубы,
если #0 = 0.
21.34. Магнитный экран представляет собой стальную трубу
с внешним диаметром 26 = 10 см и внутренним диаметром 2а = 8 см.
Относительная магнитная проницаемость стали [хг=100. Внутри
трубы находится медный провод диаметром й = 4мм, вдоль
которого течет постоянный ток / (рис. 21.7, в). Ось провода совпадает
с осью экрана. Экран с проводом находятся во внешнем
равномерном магнитном пЬле напряженностью H0 = i-10 000 А/м.
Известно, что в точке с координатами г = 3,11 см, а = 90°
напряженность магнитного поля // = 0. Определить значение и направление
тока в проводе. Построить график зависимости модуля магнитной
индукции в функции расстояния г от оси провода при а=±90°.
Указание. Сначала построить графики для внешнего поля и поля,
созданного током /, а затем для результирующего поля.
21.35р. Лабораторная установка для исследования магнитных
экранов представляет собой электромагнит, между полюсами
которого создается равномерное постоянное магнитное поле. В это
поле помещают исследуемый экран (рис. 21.7, г). Экран выполнен
разъемным. Внутри экрана в плоскости, перпендикулярной сило-
198
вым линиям, находится катушка, подключенная к баллистическому
гальванометру, на рисунке не показанному.
С помощью описанной установки был исследован стальной
сферический экран с внешним радиусом 6 = 5 см и внутренним
радиусом а = 4 см. Средний диаметр катушки, находящейся внутри
экрана, ?) = 6см. Число витков катушки оу=10. Относительная
магнитная проницаемость стали j.ir = 20.
Установить, при каком расположении щели между двумя
половинами экрана относительно направления силовых линий
экранирование наиболее эффективно. Определить отклонение луча а
баллистического гальванометра при переключении тока в обмотке
возбуждения электромагнита с +/ на —/. Баллистическая
постоянная установка С^ = я|>/ос = 1,8-10~6 Вб/дел. Напряженность
внешнего равномерного магнитного поля Но = 10 000 А/м. Расчет
провести для случая наивыгоднейшего расположения экрана.
Ж. Графическое построение картины
магнитного поля и ее использование
21.36. На рис. 21.8, а изображена картина магнитного поля
двухпроводной линии постоянного тока, построенная так, что
магнитные потоки всех силовых трубок равны. Линейные размеры
на рисунке даны в масштабе 1:1. Ток в линии /=16 А.
Направление тока в проводах показано на рисунке. Окружающей средой
является воздух.
Приняв фм = 0 для эквипотенциальной линии, проходящей
через начало координат, указать значение фм в амперах у каждой
эквипотенциальной линии. Пользуясь картиной поля, определить
разность скалярных магнитных потенциалов между точками А и В>
напряженность поля в точке С; магнитный поток, пронизывающий
пространство между проводами линии на единицу длины.
21.37р. На рис. 21.8,6 изображена картина магнитного поля
трехпроводной линии, расположенной в воздухе; все
геометрические размеры даны в сантиметрах. Для каждой
эквипотенциальной линии указано значение скалярного магнитного потенциала
в амперах.
Определить значение и направление токов в проводах линии.
Пользуясь картиной поля, найти магнитную индукцию в точке А
и сопоставить ее с индукцией в этой же точке, найденной в
результате сложения трех векторов, определенных по закону
полного тока.
21.38. На рис. 2.18, в изображен разрез магнитной цепи*. Все
размеры даны в миллиметрах. Длина магнитопровода в
направлении, перпендикулярном плоскости чертежа, / = 40 см. Магнито-
провод выполнен из стали, относительная магнитная
проницаемость которой принимается равной бесконечности. Обмотка w1
расположена на двух полюсах и имеет по 50 витков на каждом.
* При решении магнитное поле считать плоскопараллельным.
199
Пользуясь графическим методом, построить картину магнитного
поля, т. е. семейство эквипотенциальных линий и линий
магнитной индукции, так, чтобы магнитные потоки всех силовых
трубок были равны.
По картине поля определить:
а) магнитное сопротивление
воздушного зазора в среднем
стержне (с учетом скоса полюса); б)
индуктивность двух
последовательно соединенных катушек wt
Bwx= 100); в) взаимную
индуктивность между основной
обмоткой, расположенной на
верхнем полюсе N (^ = 50), и
витком wi9 плотно прилегающим
к поверхности нижнего полюса
S (а>,= 1).
21.39. На рис. 21.8, г
изображена магнитная цепь
электроизмерительного прибора. Все
размеры даны в миллиметрах.
Толщина магнитопровода в
направлении, перпендикулярном
плоскости чертежа, / = 50 мм.
Магнитная проницаемость стали
магнитопровода принимается
равной бесконечности.
Магнитное поле воздушного зазора
создается двумя катушками wt
по 25 витков в каждой,
расположенных на крайних
стержнях. Число витков поворотной
рамки 0^ = 5. Пользуясь
графическим методом, построить
картину магнитного поля ввоз-
душном зазоре между полюсами
электромагнита с соблюдением
тех же условий, что и в
предыдущей задаче.
По картине поля определить:
а) магнитное сопротивление
воздушного зазора между
полюсами; б) взаимную индуктивность
М между обмоткой wt и
поворотной рамкой w2y при а = 0,
30, 60, 90°. Построить
зависимость M=f(a). При решении
магнитное поле считать
плоскопараллельным.
200
Глава двадцать вторая
Основные уравнения переменного
электромагнитного поля
А. Уравнения Максвелла
22.1. В поле плоского конденсатора помещен несовершенный
диэлектрик с удельной проводимостью y = 10~4 См/м и
относительной диэлектрической проницаемостью ег = 6. Конденсатор
включен под напряжение u = Umsm<ut. Расстояние между
пластинами конденсатора d —3 см. Считая, что гг и у не зависят от
частоты, вычислить амплитуды плотностей токов смещения 8тт
и проводимости 8,лпр для следующих частот: 0; 300 Гц; 300 МГц.
Амплитуда приложенного напряжения f/^ = 3000B.
22.2. К плоскому конденсатору с воздушной изоляцией
приложено напряжение, изменяющееся по закону м= 6000 sin A0б?+60°) В.
Пластины конденсатора имеют форму дисков и расположены
на расстоянии d = 2 см
друг от друга. Найти
выражение для мгновенных
значений напряженности
магнитного поля в точках,
лежащих между
пластинами конденсатора на
расстоянии г от оси
симметрии.
22.3. Между
электродами плоского конденсатора
расположено кольцо
прямоугольного сечения, изго- рис< 22.1
товленное из
несовершенного диэлектрика (рис.
22.1, а). Относительная диэлектрическая проницаемость
несовершенного диэлектрика ег = 4, удельная проводимость у = 2 • 10~5См/м.
Цилиндрическая область внутри кольца заполнена воздухом.
Расстояние между пластинами конденсатора d = 0,5 см, внутренний
радиус кольца г-=2 см, а внешний радиус г2 = 4 см. Средой,
окружающей кольцо, является воздух. Конденсатор подключен к
источнику синусоидального тока i = 0,5 sin (co?+47°3O') д? частота
которого / = 9-104 Гц.
Пренебрегая краевыми эффектами внутри и вне конденсатора,
получить выражения для мгновенных значений напряженности
магнитного поля Я и rot Я в точках, лежащих между
пластинами конденсатора на расстоянии г от оси симметрии.
22.4. Цилиндрический конденсатор имеет два слоя
несовершенной изоляции. Радиус внутреннего цилиндра го = 1 см, радиус
поверхности раздела двух диэлектриков гх = 2 см, внутренний
радиус внешнего цилиндра г2 = 2,5см. Длина конденсатора
201
2а
а/2
е—
м
N
L т
В
к п
2Ь
2а
1 = 20 см. Относительная диэлектрическая проницаемость
внутреннего слоя ?г1 = 5, его удельная проводимость Yi=8,66-10 5 Cm/m,
относительная диэлектрическая проницаемость внешнего слоя
ег2 = 3, его удельная проводимость у2 = 3-10- См/м. Конденсатор
подключен к источнику синусоидального тока i = 0,628 sin cot A,
частота которого f = 18-104 Гц. Найти выражения для мгновенных
значений Е и D в функции расстояния г от оси цилиндров для
каждого слоя изоляции. Определить мгновенное значение
напряжения между электродами конденсатора.
22.5. По прямолинейному весьма длинному проводу протекает
постоянный ток /=10 А. В одной плоскости с проводом
расположена прямоугольная
одновитковая рамка
(рис. 22.1, б), две
стороны которой
параллельны оси провода. Длина
каждой стороны /=10
см. Две другие стороны,
перпендикулярные оси
провода, имеют длину
с = 2 см каждая. Рамка
движется вдоль оси х с
ускорением а = 0,5 м/с2.
Начальное положение
рамки хо = 2 см.
Найти зависимость
э. д. с, наводимой в рамке, в функции расстояния от оси
провода. Вычислить значение этой э. д. с. в тот момент, когда
ближайшая сторона находится на расстоянии х = 6 см от оси провода.
22.6р. Прямолинейный весьма длинный провод и
прямоугольная одновитковая рамка расположены в одной плоскости
(рис. 22.1, в). Размеры рамки: 6 = 50 см; с = 30 см. Вдоль провода
протекает синусоидальный ток f= 10 sin 10* А. Рамка движется
со скоростью v = 80 см/с в направлении, перпендикулярном оси
провода.
Написать выражение для э. д. с, наводимой в рамке, если
в начальном положении при * = 0 ближайшая сторона находится
на расстоянии а =10 см от оси провода. Найти мгновенное
значение э. д. с. в тот момент, когда ближайшая сторона находится
на расстоянии х=20 см от начального положения.
22.7. Кольцо радиусом i?0 = 40 см выполнено из тонкой
изолированной проволоки и короткими проводниками (длиной
проводников можно пренебречь) присоединено к зажимам
электромагнитного вольтметра (рис. 22.2, а). Сопротивление вольтметра
бесконечно велико. Кольцо помещено в равномерное магнитное поле,
индукция которого изменяется по закону 5==?0,1 sinlOOn/ Тл.
Определить мгновенное значение rot? и найти показание
вольтметра.
Рис. 22.2
202
Б. Теорема Умова—Пойнтинга
22.8р. Вдоль цилиндрического прямолинейного полого
стального провода (у = 5-105 См/м), расположенного в воздухе,
протекает постоянный ток / = 94,2 А. Внутренний радиус провода
гх = 1 см, внешний радиус г2 = 2см. Известно, что
тангенциальная составляющая вектора Пойнтинга на внешней поверхности
провода Ut = 1,5-102 Вт/м2.
Найти угол ф, который составляет вектор Пойнтинга с
нормалью к поверхности провода. Построить график зависимости
модуля вектора Пойнтинга в функции расстояния от оси провода
для трех областей: а) внутри провода; б) в теле провода; в) вне
провода.
22.9. Коаксиальный кабель с двухслойным диэлектриком имеет
радиус внутренней жилы /*0 = 5 мм, радиус поверхности раздела
двух диэлектриков гх = 21,8мм, внутренний радиус оболочки
г2 = 40мм. Относительные диэлектрические проницаемости
внутреннего слоя диэлектрика eri = 5y внешнего слоя ег2 = 2. Кабель
находится под постоянным напряжением U = 100 кВ. Вдоль жилы
и оболочки кабеля протекает ток /=100 А. Подсчитать потоки
вектора Пойнтинга через поперечное сечение каждого из слоев
изоляции и найти мощность, передаваемую кабелем от источника
к приемнику.
22.10. Для кабеля, описанного в задаче 22.9, выбрать толщину
внешней оболочки А так, чтобы потоки вектора Пойнтинга через
боковые поверхности жилы и оболочки были равны. Подсчитать
потоки вектора Пойнтинга через боковые поверхности жилы и
оболочки на 1 м длины кабеля. Жила и оболочка кабеля
выполнены из меди (y = 57- 106 См/м). Вдоль жилы и оболочки протекает
постоянный ток /= 100 А.
22.11. Двухпроводная линия выполнена из медных проводов
радиусом го= 1 см. Расстояние между осями проводов d = 200 см
(рис. 22.2, б). Линия находится под постоянным напряжением
()=100кВ. Вдоль проводов линии протекает постоянный ток
/ = 200 А.
Построить графики распределения модуля вектора Пойнтинга
в направлении осей а: и г: a) Yl = f1(x) при —99 см < х < +99 см;
б) П = /2(г) при — оо<г< + оо.
22.12. Две длинные параллельные шины служат прямым и
обратным проводами (рис. 22.2, в). Шины находятся под
постоянным напряжением U, вдоль них протекает ток /. Геохметрические
размеры заданы, при этом 2a<^h; 2b<<^h. 1. Пренебрегая
потерями в шинах, определить потоки вектора Пойнтинга через
поперечное сечение диэлектрика, находящегося между шинами —
$Slf!dS, и через квадратный контур klmn—^S2UdS^. 2. Полагая
удельную проводимость материала шин равной у, найти потоки
вектора Пойнтинга через боковую поверхность шины J53ff<i?H
через вертикальную плоскость MN — jS4ndS на единицу длины.
203
Глава двадцать третья
Переменное электромагнитное поле
в однородной и изотропной
проводящей среде
А. Установившиеся процессы при распространении
плоской электромагнитной волны в проводящем
полупространстве
23.1. Плоская электромагнитная волна проникает в толстую
металлическую плиту (у = 2-107 См/м; |лг=1). Фазовый фронт
волны параллелен поверхности плиты. На глубине z = 1 мм
мгновенное значение магнитной индукции Вг= 12,56sin(о)^ + 30°) Тл.
Угловая частота оI = 314с~1. Записать выражение для
мгновенного значения плотности тока на глубине z2 = 5 мм, если угловая
частота станет равной со2 = 2826 с.
23.2. Плоская электромагнитная волна проникает из воздуха
в проводящую среду (y = 1 См/м; ц,г=1). Фазовый фронт волны
параллелен поверхности проводящей среды. На расстоянии 10 см
от поверхности напряженность электрического поля меняется по
закону E1 = Emsm(<dt+ 30°) В/м. В момент времени ? = 0 на
глубине z = 25 см Е2 = —10 В/м. Частота колебаний /=107 Гц.
Записать выражения для мгновенных значений напряженности
магнитного поля на поверхности (Яо) и на расстоянии Z! = 10cm
от поверхности (Ht). Вычислить значения Яо и Н1 для t± = 0,5 • 10~7 с.
23.3р. Плоская электромагнитная волна проникает из воздуха
в металлическую плиту (у = 5-106 См/м; [хг=1). Фазовый фронт
волны параллелен поверхности плиты. Частота колебаний / = 5 кГц.
Амплитуда плотности тока на поверхности &т = 5-У2-105 А/и2,
Определить активную мощность Р9 поглощаемую слоем металла
толщиной 0,5 см и площадью 1 м2. Найти эквивалентную глубину
проникновения электромагнитной волны h и ее длину л в металле.
23.4. Какую минимальную толщину А должен иметь медный
лист (y = 5,6-107 См/м), предназначенный для экранирования
внешнего пространства от электромагнитного поля частотой f= 105 Гц,
если напряженность поля на внешней поверхности должна
составлять не более 5% от напряженности поля на внутренней
поверхности экрана? Электромагнитную волну считать плоской;
отраженной волной пренебречь.
Б. Поверхностный эффект в плоском теле
23.5р. Стальная пластина G = 4-10* См/м; |шг = 200) находится
в переменном магнитном поле, изменяющемся во времени по
синусоидальному закону с частотой / = 500 Гц (рис. 23.1, а). Ее
поперечные размеры: 2а — 1 мм; h = 50 мм. Напряженность маг-
—>• -»
нитного поля на поверхности пластины #а = /20е'Чб° А/м. Найти
204
действующее значение магнитного потока, проходящего через
поперечное сечение пластины. Построить график зависимости модуля
действующего значения плотности вихревых токов от координаты z.
23.6. Магнитопровод трансформатора собран из листовой
трансформаторной стали G = 2-106 См/м; ^г = 500). Толщина листов
2ах = 0,5 мм. Для уменьшения потерь на вихревые токи был собран
другой магнитопровод из листов толщиной 2а = 0,2 мм.
Во сколько раз уменьшились потери на вихревые токи при
той же средней индукции, если синусоидальный магнитный поток
меняется с частотой / = 2 кГц? Во сколько раз изменится при этом
отношение напряженности магнитного поля на поверхности
пластин к напряженности магнитного поля в средней плоскости
k = Ha/H0?
23.7. Для нагрева перед поверхностной закалкой в переменное
магнитное поле помещена стальная G = 5-106 См/м; (лг = 300)
полоса размерами 2а = 4 мм; h = 5 см; / = 20 см (рис. 23.1, 6).
Удельная теплоемкость стали с = 0,1 ккал/(кгград), ее удельная
плотность g- = 7,9-103 кг/м3. Действующее значение напряженности
внешнего магнитного поля 5-Ю3 А/м, частота колебания 1,5 кГц.
Вычислить толщину слоя металла Д, в котором модуль плотности
вихревых токов 8Z составляет не менее 20% от модуля
плотности вихревых токов на поверхности 8а. Найти модуль вектора
Пойнтинга на поверхности (Па) и на глубине, равной A (Ylz).
Определить время, за которое поверхностный слой полученной
толщины нагреется от 20 до 720 °С. Теплоотдачей пренебречь.
Учесть, что при ра>2 | shpa | ж shka\ thpa^l, где pa = ka +
+ jka.
23.8. Вдоль уединенной плоской медной (у = 5,6 • 107 См/м)
шины в направлении оси х протекает переменный ток i =
= 111 sinF280/—8°) А (рис. 23.1, в). Размеры поперечного
сечения шины: 2а = 0,2 см; h = 4 см.
205
Найти значение и направление вектора Пойнтинга на
поверхности шины (Па) и вычислить потери мощности в шине на 1 м ее
длины. Записать выражение для мгновенного значения
магнитного потока, пронизывающего контур ОАВСО. Определить
активное сопротивление R и внутреннюю индуктивность 1ВН этой шины
на 1 м ее длины при протекании по ней синусоидальных токов
частотой /х = 103 Гц и /2= 10б Гц. Вычислить сопротивление шины
#пост на 1 м ее длины при постоянном токе.
У
23.9р. В открытом прямоугольном пазу ротора электрической
машины расположен медный (у = 5,6-107 См/м) провод
прямоугольного сечения (рис. 23.2, а). Размеры поперечного сечения
провода: h = 2 мм; а = 20 мм. Вдоль провода в направлении оси х
протекает переменный ток, меняющийся во времени по закону
t = 28,2 sin (со/—30°) А. Частота / = 50 Гц.
Принимая относительно магнитную проницаемость стали ротора
jxr = оо и полагая, что провод заполняет паз полностью, построить
графики распределения действующих значений плотности тока и
напряженности магнитного поля по сечению провода. Определить
активное и внутреннее индуктивное сопротивления провода на 1 м
его длины. Вычислить сопротивление провода на 1 м его длины
при постоянном токе.
23.10. Две медные (v = 5,6-107 См/м) плоские шины толщиной
2а = 2 мм и шириной к = 2 см расположены параллельно друг
другу на расстоянии 2й = 2 мм (рис. 23.2, б). По обеим шинам
в направлении оси х протекают одинаковые переменные
синусоидальные токи. В точках средней плоскости левой шины
напряженность магнитного поля меняется по закону Н = 670 sin C140/+
+ 46°) А/м.
Построить график зависимости мгновенных значений
плотности тока от координаты z для момента времени, при котором
плотность тока во всех точках внутренней поверхности левой
шины обращается в нуль.
Указание. Сначала получить зависимости H = fx(z) и E = f2(z) для
случая, когда по двум параллельным шинам протекают равные токи в одном
направлении.
206
23.11. Две латунные шины (у = 3 -107 См/м) толщиной 2а = 0,2 см
и шириной /i = 3 см расположены параллельно друг другу на
расстоянии 26 = 0,3 см и служат прямым и обратным проводами
(рис. 23.2, б). Определить комплексное значение полного
сопротивления петли длиной 1 м при частоте 2 кГц. Какой ширины hx
нужно взять шины и на каком расстоянии 2Ь1 друг от друга
следует их расположить, чтобы при частоте 5 кГц комплексное
значение полного сопротивления петли длиной 1 м оставалось
прежним? Учесть, что при 2/?а>2 \\\2ра&\.
В. Поверхностный эффект в цилиндрическом теле
23.12. Вдоль цилиндрического медного провода (у = 5,6- 107См/м)
диаметром 2г0 = 1 см протекает синусоидальный ток частотой
/ = 1 кГц. Действующее значение плотности тока на оси провода
бо= 105 А/м2.
Построить в масштабе графики распределения плотности тока
и напряженности магнитного поля в функции расстояния г от
оси провода. Вычислить действующее значение полного тока,
протекающего через поперечное сечение провода.
23.13р. Вдоль цилиндрического уединенного стального
провода (y = 2« 10е См/м; ц,,. = 100) протекает синусоидальный ток
частотой / = 50 Гц. Радиус провода го = 5 мм.
Какой ток можно пропустить вдоль провода, если плотность
тока ни в одной точке сечения не должна превышать 106 А/м2?
Вычислить модуль вектора Пойнтинга на поверхности провода и
найти удельные потери мощности на 1 м его длины.
23.14. Вдоль цилиндрического стального провода G= 107 См/м;
|лг = 20) диаметром 0,5 см протекает синусоидальный ток / = 20 А.
Построить график плотности тока на оси провода от частоты
для 0,1; 1,0; 10 кГц. Определить частоту, при которой
плотность тока на оси в любой момент времени противоположна
плотности тока на поверхности. Найти активное сопротивление R
и внутреннюю индуктивность LBH провода при 0,1, 1,0, 10 кГц.
Сравнить их с сопротивлением RQ и индуктивностью Lo при
постоянном токе. Построить графики R/Ro и L/Lo в функции частоты.
Частоту отложить в логарифмическом масштабе.
23.15. Вдоль цилиндрического уединенного медного провода
радиусом а1==0,5 см протекает переменный ток, f = 0,5 кГц.
Медный провод G = 5,6-107 См/м) необходимо заменить стальным
(у = 107 См/м) так, чтобы при указанной частоте активное
сопротивление стального провода было равно активному сопротивлению
медного провода. Найти радиус стального провода а2. Вычислить
сопротивления обоих проводов на единицу длины провода при*
а) / = 0; б) / = 500 Гц.
Указание. Считать, что входящие в выражение для активного
сопротивления стального провода функции Бесселя нулевого и первого порядков
первого рода приближенно равны.
207
23.16р. С целью индукционного нагрева длинный
ферромагнитный цилиндр (у= ГО7 См/м; \ir= 10) помещен в переменное маг-
.нитное поле, направленное вдоль его оси. Радиус цилиндра а= 1 см.
Частота переменного поля / = 1 кГц. Действующее значение
магнитного потока, проходящего через поперечное сечение цилиндра,
Ф = 3,1410-5 Вб.
Построить график распределения магнитной индукции по
сечению цилиндра B = f(r). Вычислить относительную комплексную
магнитную проницаемость.
23.17. Для ферромагнитного цилиндра, описанного в задаче
23.16р, построить график распределения плотности вихревых токов
по сечению цилиндра 8 = /(/-). Определить толщину слоя металла
Л, на котором плотность тока уменьшается в е раз, и сравнить
ее с глубиной проникновения h плоской электромагнитной волны
в металл. Найти разность потенциалов между точками тип,
находящимися на поверхности цилиндра (рис. 23.2, в).
23.18. Длинный ферромагнитный цилиндр (у = 0,5 • 107 См/м;
|ЛГ = 50) расположен внутри индуктора. Индуктором является
длинная прямая катушка, выполненная из медной трубки, с
числом витков на единицу длины до//=100 витков/м. Действующее
значение тока, протекающего вдоль катушки, / = 50 А; его частота
/ = 0,8 кГц. Радиус ферромагнитного цилиндра го = 8мм.
Построить график зависимости модуля вектора Пойнтинга
в функции расстояния г от оси цилиндра. Подсчитать удельные
активные потери на вихревые токи в цилиндре на 1 м его длины.
Г. Переходные процессы при распространении
плоской электромагнитной волны в проводящей среде
23.19р. В результате включения внешнего постоянного во
времени магнитного поля возникает плоская электромагнитная волна,
которая распространяется в проводящем полупространстве. Фронт
волны параллелен поверхности проводящей среды. Волна
распространяется в направлении оси г прямоугольной системы
координат. Удельная проводимость среды у, абсолютная магнитная
проницаемость \ха9 напряженность магнитного поля на
поверхности проводящей среды Яо.
Найти законы изменения напряженностей магнитного и
электрического полей как функции координат и времени, если
внешнее поле включается в момент времени t — 0 при нулевых
начальных условиях.
23.20. Рассмотреть процесс установления постоянного
магнитного поля (см. рис. 23.1, а), создаваемого внешним источником
в бесконечно длинной проводящей полосе, ширина которой
намного больше толщины (h^>2a). Удельная проводимость
материала 7» абсолютная магнитная проницаемость \ia. Внешнее
магнитное поле включается в момент времени t = 0. До включения
магнитного поля полоса не была намагничена. Напряженность
магнитного поля на поверхности проводящей полосы На. Найти
208
законы изменения напряженности магнитного и электрического
полей как функции координат и времени.
23.21р. Плоскую медную (у = 5,7-107 См/м; \ia = \x0) шину
подключают к источнику постоянного тока / = 0,1 А. Ширина
шины h = 5 см, толщина 2а = 2 мм. Найти законы изменения во
времени напряженности магнитного поля и построить графики
H = f(t) для точек поперечного сечения шины с координатами
2 = 0; z = 0,5a, z = 0,75а, z = a.
Глава двадцать четвертая
Переменное электромагнитное
и полупроводящей среде
поле в диэлектрике
А. Распространение плоской электромагнитной волны
в однородных и изотропных диэлектрике
и полупроводящей среде
24.1. Плоская электромагнитная волна распространяется в
воздухе в направлении оси z. Комплексная амплитуда вектора
напряженности магнитного поля Я/Л = /-10~2А/м. Определить
действующее значение напряжения между концами А и В прямолинейного
стержня длиной /== 1 м, расположенного в плоскости: а) хОу
(рис. 24.1, а); б) yOz.
Рис. 24.1
24.2. Плоская электромагнитная волна распространяется в
воздухе по направлению оси z. В момент времени / = 0 в точке а
напряженность магнитного поля #fl = #/wsin30° = 2A/M. Длина
волны X =• 4000 м. Определить мгновенные значения напряженностей
электрического и магнитного полей в точках а и Ъ через tx = 10~i? с.
Точка b находится на линии движения волны позади точки а на
2 км.
24.3. Плоская электромагнитная волна проникает из воздуха
в минеральное масло (sr —2,25). Фазовый фронт волны
параллелен поверхности масла. Длина волны в воздухе Я=1м. Найти
значение модуля вектора Пойнтинга в точке, находящейся на
глубине 33,3 см, в момент, когда напряженность магнитного поля
209
/.МГц
400
1000
8500
8
53
50
41
г
,5
1
1
8
См/м
,14
,3
,83
на поверхности проходит через положительный максимум и
равна 5-10~3А/м. Определить частоту изменения вектора Пойнтинга
во времени.
24.4. Плоская электромагнитная волна проникает из воздуха
в полупроводящую среду. Удельная проводимость среды у =
= 3- 10~3См/м, относительная диэлектрическая проницаемость
ег = 3, относительная магнитная проницаемость (лг=1. Фазовый
фронт волны параллелен поверхности среды. Напряженность
электрического поля на поверхности меняется по закону Ео =
= 100 sin C- 107? + 60°)В/м. Записать выражение для мгновенного
значения напряженности магнитного поля Ht(t) в точках,
находящихся на расстоянии 0,5 м от поверхности.
24.5р. Плоская электромагнитная волна проникает из воздуха
в морскую воду (у= 1См/м; ег = 80; (лг= 1). Фазовый фронт волны
параллелен поверхности моря. Определить мгновенное значение
вектора Пойнтинга на поверхности, если
Таблица 24.1 плотность тока проводимости на
глубине 2!= 10 см меняется по закону ^^
= 10sinA09/ — 30°)А/м.
24.6. С целью исследования
теплового действия ЭМП диапазона СВЧ на
организм человека рассчитать зависимость
удельных тепловых потерь в функции
частоты p = f(f) в слое мышечной ткани
толщиной 1 см, полагая электромагнитную волну плоской и
напряженность электрического поля на поверхности слоя Ео = 1 В/м.
Построить график /? = /(/). Зависимости er = f1(f) и Y = /2(/) Аля
мышечной ткани приведены в табл. 24.1.
Б. Переход плоской электромагнитной волны
из одной среды в другую
24.7р. Плоская линейно поляризованная волна падает из
воздуха на плоскую поверхность стекла под углом ср=63°25' (рис. 24.1, б)
и полностью проходит в стекло. Напряженность электрического
поля в воздухе ?=10мВ/м. Считая стекло идеальным
диэлектриком, имеющим неограниченную толщину, вычислить среднее за
период значение вектора Пойнтинга в нем. Определить среднее
за период значение П в этом же стекле, если напряженность поля
падающей волны и угол падения останутся прежними, а плоскость
поляризации будет повернута на 90°. Найти волновые векторы
падающей и прошедшей волн (К+ и Кп), если со = 6- 108с.
Указание. Волновым вектором называют вектор, совпадающий по
направлению с вектором Пойнтинга и равный коэффициенту распространения
для данной среды.
24.8. Электромагнитная волна переходит из одного
диэлектрика (еп = 2) в другой (ег2 = 8} через плоскую границу. Плоскость
210
поляризации волны составляет угол 30° с плоскостью падения.
Напряженность электрического поля падающей волны на
поверхности раздела сред Ё+ @) = 5е'45°В/м, а угол падения ф = 30°.
Определить модули векторов напряженности электрического и
магнитного полей отраженной и прошедшей волн на той же
поверхности: Ё~ @), Н~ @), ?п@), Яп@). Найти угол падения <рх,
при котором отраженная волна не содержит параллельно
поляризованной компоненты.
24.9. Плоская электромагнитная волна проникает из воздуха
(гп=\) в трансформаторное масло (е,.2 = 2,25), в котором
расположена квадратная рамка со стороной d — 1 см и числом витков
w=l (рис. 24.1,в). Плоскость рамки совпадает с плоскостью
поляризации прошедшей волны. Угол преломления 6 = 23°10'.
Действующее значение напряжения на зажимах рамки U2= 10 мкВ,
частота /=10 ГГц. Определить действующее значение напряжения
на зажимах рамки Uu если она повернута относительно стороны
а и расположена в воздухе так, что ее плоскость совпадает с
плоскостью поляризации падающей волны. Построить фазовые
фронты падающей, отраженной и прошедшей волн.
24.10. С целью исследования электрических свойств
стеклопластика в диапазоне миллиметровых волн опытным путем
найден коэффициент отражения RL для плоской волны, падающей
на его поверхность из воздуха. При угле падения ср = 45° R±=—0,4.
Считая стеклопластик идеальным диэлектриком, определить его
диэлектрическую проницаемость sr.
24.11р. Электромагнитная волна падает на плоскую границу
раздела двух диэлектриков (рис. 24.1,6). Мгновенное значение
напряженности электрического поля падающей волны при г = 0
?+@, 0=75-10-3sin2:rtl09/B/M. Угол падения ср = 53°10'.
Диэлектрические проницаемости сред ег1 = 4,5, ег2 = 2. Записать
выражение для мгновенного значения напряженности поля
неоднородной поверхностной волны Еп(х, z, t). Вычислить фазовую
скорость поверхностной волны уфп и сравнить ее с фазовыми
скоростями в первой и во второй средах иф1 и v$2. Определить
критический угол полного внутреннего отражения фкр.
24,12. Диэлектрическая проницаемость стекловолокна
сердечника световода ег1 = 2,56, а его оболочки ег2 = 2,25. Определить
критический угол полного внутреннего отражения сркр. Построить
график зависимости глубины проникновения h неоднородной
поверхностью волны в оболочку в функции угла падения ер, если
Ф меняется от фкр до 90°. Расчет выполнить для красного
светового луча, приняв его длину волны в вакууме Я = 0,65мкм.
Вычислить минимальную толщину оболочки Amin, полагая Amin =
5 u
Указание. Глубину проникновения h приближенно рассчитать так же,
как для случая падения плоской волны на плоскую поверхность раздела сред:
/i=l/а.
211
?г2
24.13. Плоская электромагнитная волна распространяется
вертикально и проникает из воздуха в дистиллированную воду.
На глубине 10 см мгновенное значение напряженности
электромагнитного поля ?2@ = 2-10-6sin3.109*B/M.
Считая воду диэлектриком (ег = 81), определить мгновенные
значения напряженностей электрического E±(t) и магнитного Нх{{)
полей на высоте 10 см над
поверхностью воды.
л\ ш 24.14. Плоская электро-
j магнитная волна
распространяется нормально к плоской
границе раздела двух
несовершенных диэлектриков
(рис. 24.2, а). Комплексная
амплитуда напряженности
а) д) электрического поля на гра-
Рис. 24.2 нице сред Ёт @) = 2 мВ/м,
угловая частота со = 3 • 108 с.
Комплексные диэлектрические проницаемости сред на указанной
частоте &г1 = 2—/0,2; 8,2 = 4—/2. Найти комплексные амплитуды
напряженности электрического поля и волновые векторы
падающей, отраженной и прошедшей волн. Вычислить комплексные
показатели преломления (пг и п2) и фазовые скорости (v^x и v$2)
для каждой среды.
24.15. Рассчитать используемые в медицине для целей
диагностики коэффициенты отражения R и преломления Т на границе
биологических тканей. Определить R и Т при нормальном
падении плоской волны на поверхность раздела кожи (среда /) и
мышечной ткани (среда //) при частоте /= 1 ГГц. Для указанных
сред на заданной частоте еп=45; era=50; Yi=0,95Cm/m; y*= 1,3Cm/m.
В. Расчет электромагнитного поля в слоистых средах
методом направленных графов
24.16р. Плоская электромагнитная волна падает нормально на
поверхность раздела двух сред (рис. 24.2, а), комплексные
диэлектрические проницаемости которых гп=2—/0,2; 8Г2 = 4 — /2.
Составить направленные графы, предназначенные для расчета
напряженностей электрического поля отраженной Е" и прошедшей Ёп
волн по заданной напряженности поля падающей волны ?+, если
волна переходит: а) из среды / в среду //; б) из среды //
вереду /. Найти передачи ветвей графов.
24.17р. Плоская электромагнитная волна (рис. 24.2,6) падает
нормально на пластину идеального диэлектрика еп, окруженную
воздухом (8Г1 = 8гз=1)' Пользуясь методом направленных графов,
определить коэффициент радиопрозрачности Т и коэффициент
отражения пластины R.
212
Указание. Под коэффициентом радиопрозрачности Т понимают
отношение напряженности поля прошедшей через пластину волны к напряженности
поля падающей волны: Т = Ёи/Е+. Под коэффициентом отражения понимают
отношение напряженности поля отраженной от пластины волны к
напряженности падающей волны: R — E-/E+.
24.18. Электромагнитная волна проникает из воздуха (гп = \)
в сосуд с водой (рис. 24.2,6). Стенки сосуда плоские и
выполнены из диэлектрика (&г2). Диэлектрическая проницаемость воды
8,3 = 81. Длина волны в воздухе Х=12мм. Определить
диэлектрическую проницаемость гг2 и
минимальную толщину стенки
d, при которых отражение от- 8гГ1 fa fa ?f' sn=1 fa fa fa <?¦/-/
сутствует и волна полностью
проходит в воду. Считать, что
h^>d\ потерями в стенках
сосуда и воде пренебречь.
24.19. Составить
направленные графы для расчета коэффи- Рис. 24.3
циентов прохождения и
отражения плоской волны при нормальном падении на плоские
идеальные диэлектрики: а) двухслойный (рис. 24.3,а); б) трехслойный
(рис. 24.3,6). Определить передачи ветвей графов, считая угловую
частоту, диэлектрические проницаемости и толщины слоев
диэлектриков заданными.
24.20. Воспользовавшись графом задачи 24.16р [случай а)],
рассчитать напряженность электрического поля прошедшей волны
?п, если напряженность поля падающей волны Е+ и передачи
ветвей графа известны.
7
Л
fa
d2
Ж
d3
I I
)
Ж
fa
d2
Ш
fa
dj
Ж
fa
d2
ю
Г. Квазистатическое электрическое поле в вязкой среде
и несовершенном диэлектрике
24.21. Плоский конденсатор, заполненный вязким
диэлектриком, включен под напряжение и= 100K2sin25- 103?B.
Расстояние между пластинами й = 2,5см. Статический коэффициент
поляризуемости диэлектрика а = 5, постоянная времени поляризации
то = 4-1О~^с. Определить относительную комплексную
диэлектрическую проницаемость вязкого диэлектрика е,., ее вещественную
(е'г) и мнимую (&г) части на заданной частоте, при <о = 0 ио=оо.
Построить графики зависимостей от частоты е'г и гг. Вычислить
удельные активные потери мощности.
Указание. Под статическим коэффициентом поляризуемости понимают
коэффициент поляризуемости диэлектрика в электростатическом поле.
24.22. Цилиндрический конденсатор заполнен вязким диаэлект-
риком, статический коэффициент поляризуемости которого а = 5,
а постоянная времени поляризации то = 4-1О~3 с. Радиус
внутреннего цилиндра конденсатора а = 5см, внутренний радиус
внешнего цилиндра 6= 15см, длина конденсатора / = 20 см. Конден-
213
сатор подключен к источнику синусоидального напряжения
a = 200/2sin25(MB.
Найти комплексы модулей векторов напряженности
электрического поля, смещения и поляризации у поверхности внутреннего
электрода на заданной частоте и при со = О (U = 200 В). Для
частоты со = 250 с" построить векторную диаграмму, на которую
нанести D, ес?, Р.
24.23, Двухпроводная линия расположена в воздухе на
расстоянии h= 100 см от стены. Расстояние между проводами й=200см
(рис. 24.4, а). Материалом стены
является диэлектрик с
потерями. Радиусы проводов линии
го = О,4 см. Свойства сред
характеризуются следующими
величинами: yx = 0; ег1=1; у2=
= 2-10-8См/м; ег2 = 2.
Линия находится под нап-
иг
а)
S)
Рис. 24.4
ряжением и = 100 j/2sin 1,13 х
X Ю3Ш. Определить
комплексную проводимость утечки Yo, активную проводимость Go и емкость
Со на 1м длины линии. Вычислить плотность полного тока утечки
в точке а (8а).
24.24. Плоский конденсатор заполнен несовершенным
диэлектриком с удельной проводимостью 7= Ю~ См/м и относительно
диэлектрической проницаемостью 8^ = 5 (рис. 24.4,6). Расстояние
Рис. 24.5
между пластинами с? = 2мм, площадь пластин S= 100 см2.
Конденсатор подключают через резистор R = 3 МОм к источнику
постоянного напряжения ?/0 = ЗкВ. Найти законы изменения во времени
напряженности электрического поля, плотности тока проводимости,
плотности тока смещения, плотности свободных зарядов на
пластинах конденсатора и связанных зарядов у пластин в диэлектрике.
Задачу решить классическим методом.
24.25р. Шар из несовершенного диэлектрика, свойства которого
определяются у{ и га{1 расположен в реальной среде,
характерий ( 245 ) Р В
р
зующейся у
214
у{ а{ р р рд, рр
и гае (рис. 24.5, а). Радиус шара а. В момент вре-
мени t = 0 при нулевых начальных условиях включается внешнее
поле с постоянной напряженностью Ео. При отсутствии шара
внешнее поле равномерно. Найти законы изменения потенциалов
внутри и вне шара как функции координат и времени.
24.26. В несовершенном диэлектрике, характеризующемся уе
и гге, оказалось длинное цилиндрическое воздушное включение
(у/==0; ег/=1) радиусом а (рис. 24.5,6). В момент времени /=0
при нулевых начальных условиях включается постоянное
внешнее поле, равномерное в отсутствие воздушного включения.
Напряженность поля ?0. Найти законы изменения потенциалов и
плотностей тока проводимости внутри и вне цилиндрического
включения как функции координат и времени.
Глава двадцать пятая
Запаздывающие потенциалы
переменного электромагнитного поля
и излучение электромагнитной энергии
А. Запаздывающие электродинамические потенциалы
25.1. Линейная плотность заряда бесконечно длинной оси,
расположенной в воздухе, меняется по закону т=10~9х
X sin C• W't + 60°) Кл/м. Записать выражение для мгновенного
значения скалярного потенциала ср(/) для точек, находящихся
на расстоянии гг— 82,8м от заряженной оси, полагая, что при
г0 = 20 м ф = 0.
г э т
Рис. 25.1
25.2. Линейная плотность заряда бесконечно длинной
заряженной оси, расположенной в вакууме, меняется во времени по
закону т —тоA + М). Найти выражения для скалярного ср и
векторного А электродинамических потенциалов как функций
координат точки и времени. Считать, что Л = 0; ф = 0 при г = г0.
25.3р. Вдоль отрезка тонкого прямого провода длиной d/,
расположенного в воздухе, протекает синусоидальный ток
(рис. 25.1, а), комплексная амплитуда которого 1т, а длина вол-
215
ны К. Записать выражения для комплексных амплитуд векторного
Ат и скалярного ут потенциалов для точки а, координаты
которой Ra9 вв1 аа.
24.4. Вдоль отрезка провода длиной ^/ = 0,15м,
расположенного в диэлектрике (ег = 4), протекает ток i = 10 + 5- 108?А.
На расстоянии Л = 0,15 м от него расположен точечный заряд
<7=1О~9Кл (рис. 25.1,6). Найти законы изменения во времени
—>¦ —>-
векторного потенциала A (t) и напряженности поля Е (t) для
точек k и т.
Б. Излучение электромагнитной энергии
25.5. Вдоль отрезка тонкого прямоугольного провода длиной
dl = 1 м, расположенного в воздухе, протекает ток i = 15 • sin 2я • 106А
(рис. 25.1, а). Определить амплитуды напряженностей магнитного
и электрического полей в точках а и Ь. Координаты точек а и Ь:
Ra = 30 м; Qa = 30°; аа = 0; Rb = 30 км; 0Ь = 30°, аь = 90°.
Вычислить комплексную амплитуду векторного потенциала в точке Ь и
время запаздывания tb.
25.6. Вдоль отрезка провода длиной d/=10cM протекает
синусоидальный ток частотой / = 3-107Гц (рис. 25.1, а). Известно,
что в точке а, сферические координаты которой Ra= 100 м; 0а=9О°;
ал = 30°, вектор Пойнтинга меняется по закону Пл = 5-10~~3х
Xcos2(co?—30°)Вт/м2. Написать выражение i(<ut) для тока в
излучающем проводе. Построить полярные диаграммы напряженности
электрического поля ?F) для точек, находящихся на расстоянии
/?!=¦ 100м и i?2=lM от него.
25.7р. Антенна, расположенная в воздухе и излучающая
энергию при частоте f1=l МГц, имеет действующую высоту /гх=^ 20 м.
1. Какой ток нужно пропустить через антенну, чтобы излучаемая
ею мощность была равна Р = 4,4 кВт? 2. Какой высоты h% следует
взять антенну, чтобы при частоте /\2=10МГц и при том же токе
антенной излучалась та же мощность?
25.8. Магнитный излучатель (рис. 25.1, в) представляет собой
круглый экранированный виток радиусом го=1 см,
расположенный в воздухе. Вдоль витка протекает синусоидальный ток
i' = 0,lxsinFjt- 109? + 60o) А. Определить Ет и Нт для точки а,
сферические координаты которой Ra = 5,55 м; 6а = 30°; аа = 90°.
Построить диаграммы направленности магнитного излучателя в
полярной и экваториальной плоскостях для точек, находящихся
на расстоянии R = 5,55 м от него.
25.9. Вдоль круглой рамки радиусом г = 0,1 м, расположенной
в воздухе, протекает синусоидальный ток с частотой /=107 Гц
(рис. 25.1, в). В точке а, координаты которой Ял=100м; 0^=30°;
-%- ->
аа = 60°, Ета = а° • 2,06 • 10~4е~''11б° В/м. Определить мгновенное
значение вектора Пойнтинга П (со?) в этой точке и полную мощность
излучения Ps.
216
Глава двадцать шестая
Электромагнитные волны
в направляющих системах
А. Электромагнитное поле в волноводах
26.1р. В прямоугольном волноводе (рис. 26.1, а) сечением
ах Ь = 8,64x4,32 см требуется возбудить волну типа Я10. Как
для этой цели следует расположить электрический (штырь) и как—
магнитный (петлю) излучатели? Найти критическую длину волны
^> длину волны в свободном пространстве X и длину волны в
д)
волноводе Хв при частоте генератора / = 3-109Гц. Может ли
распространяться в данном волноводе волна типа Я10? Определить
мощность, передаваемую ею вдоль волновода, если максимальная
напряженность магнитного поля Нт = 30 А/м. Вычислить фазовую
и групповую скорости и расстояние, на которое переместится
энергия вдоль оси г за один период колебания.
26.2. Прямоугольный волновод имеет ширину сечения а = 1,07 см
и высоту 6 = 0,43 см. Определить типы поперечных электрических
волн, которые могут распространяться вдоль этого волновода,
если частота питающего генератора / = 20-109Гц.
26.3. Вдоль прямоугольного волновода (рис. 26.1, а) сечением
8,64x4,32 см распространяется электромагнитная волна типа Я10.
Диэлектриком волновода является воздух. Частота питающего
генератора / = 3109Гц. Максимальная напряженность магнитного
поля в волноводе Я/д = 25А/м. Рассчитать мгновенные значения
составляющих напряженностеи электрического и магнитного полей,
а также плотности тока смещения в диэлектрике.
26.4. В стенках волновода, вдоль которого распространяется
волна Я10, сделаны шесть щелей (рис. 26.1,6). Указать, какие
щели являются неизлучающими (НИ) и какие—излучающими (И).
26.5. На рис. 26.1, в изображена структура электромагнитного
поля для волны, распространяющейся в прямоугольном волноводе
сечением 4,04x2,02 см. Определить тип волны и ее критическую
длину.
217
26.6*. В прямоугольном волноводе сечением 4,75x2,2 см
возбуждается поперечная магнитная волна Еп. Частота питающего
генератора / = 1010 Гц. Амплитудное значение продольной
составляющей напряженности электрического поля в центре сечения
волновода Етг = Ь-104 В/м. Определить амплитуды составляющих
напряженностей электрического и магнитного полей: ЕтхУ Ету9
Нтх, Нту, Hmz. Найти мощность, переносимую в волноводе
волной Ег1.
26.7. В прямоугольном волноводе сечением 4,75x2,2 см
возбуждается поперечная магнитная волна типа Ег1. Частота
питающего генератора /=1010 Гц. Амплитуда продольной составляющей
напряженности электрического поля в центре сечения волновода
Emz = 5-104 В/м. Стенки волновода покрыты серебром, удельная
проводимость которого 7 = 6,6-107 См/м. Диэлектриком волновода
является воздух. Определить потери мощности в стенках
волновода на 1 м длины и вычислить коэффициент характеристического
затухания а. Как следует расположить электрический (штырь) и
как—магнитный (петлю) излучатели для возбуждения волны
указанного типа?
Б. Электромагнитное поле в объемных резонаторах
26.8. Объемный резонатор (рис. 26.2, а) имеет форму куба с
ребром 6 см. В резонаторе возбуждается электромагнитная волна
типа H10i. Максимальная амплитуда напряженности электричес-
Рис. 26.2
кого поля ?max = 2-104 В/м. Диэлектриком резонатора является
воздух. Найти резонансную частоту, резонансную длину волны
и максимальную мощность электромагнитного поля.
26.9. Определить, на каком наименьшем расстоянии d следует
расположить поперечные металлические диафрагмы в
прямоугольном волноводе шириной а ==13 см и высотой 6 = 6,4 см, чтобы
превратить его 'в объемный резонатор, настроенный на частоту
f = 3«109 Гц для возбуждения электромагнитной волны типа ?т.
* В задачах 26.1—26.6, 26.8, 26.9 считать стенки волноводов и объемных
резонаторов выполненными из сверхпроводящего материала.
218
26.10. На рис. 26.2,6 приведены графики изменения
составляющих векторов ? и Я в функции координат х, */, г для
прямоугольного резонатора, размеры которого а =^20 см; Ь = 8см;
d= 10 см. Диэлектриком резонатора является воздух.
Максимальная амплитуда напряженности электрического поля ?тах= Ю4В/м.
Определить тип волны, возбуждаемой в резонаторе. Вычислить
потери мощности в его стенках Рт, если добротность резонатора
Q104
Глава двадцать седьмая
Движение заряженных частиц в электрическом
и магнитном полях
А. Движение заряженных частиц в электрическом поле
27.1. В однородное электрическое поле плоского конденсатора
влетает электрон, скорость которого v0 направлена вдоль оси у
(рис. 27.1). Найти наибольшее напряжение на конденсаторе, при
4-
i-J-J--
d
1
I
Рис. 27.1
Рис. 27.2
котором электрон еще пролетит через пространство между
пластинами. Расстояние между пластинами d, ширина пластин /.
Эффектом искажения поля у края конденсатора пренебречь.
27.2р. На пути летящей прямолинейно вдоль оси х со
скоростью vQ частицы с зарядом q и массой т находится
потенциальный барьер, выполненный в виде трех плоских сеток,
расположенных перпендикулярно движению (рис. 27.2). Боковые сетки
заземлены, а на среднюю подан положительный потенциал <р1в
Сумеет ли преодолеть потенциальный барьер, т. е. пролетит ли
насквозь: а) отрицательно заряженная частица (q < 0); б)
положительно заряженная частица (q > 0)? Зависят ли скорость
частиц на выходе системы и время их пролета от знака заряда?
27.3. В центре сферического двойного слоя толщиной d<^Rt
помещен источник, испускающий заряженные частицы в
радиальном направлении (рис. 27.3). На внутренней поверхности двойного
219
слоя существует отрицательный заряд с поверхностной
плотностью —а, на внешней. +<j.
Считая обе поверхности слоя проницаемыми для частиц,
определить: а) условие отражения от двойного слоя частицы с
зарядом + q и массой т, движущейся от центра в радиальном
направлении со скоростью iv> б) характер движения частицы, если
условие отражения выполняется; в) скорость движения
положительно заряженной частицы после пролета двойного слоя, если
условие отражения не выполняется.
Рис. 27.3
Рис. 27.4
27.4. Источник задачи 27.3 помещен эксцентрично и
испускает отрицательно заряженные частицы (q < 0) массой т,
движущиеся со скоростью v0 вдоль оси х (рис. 27.4). Определить
скорость и угловое отклонение частицы от первоначальной траектории
после ее пролета через двойной слой, полагая d^R^
27.5. Покажите, что изменение кинетической энергии частицы
массой т и зарядом qly движущейся со скоростью Цси
прошедшей в электростатическом поле путь между точками 1 и 2,
определяется разностью потенциала между этими точками. Чему
пропорциональна скорость отрицательно заряженной частицы,
начавшей движение из состояния покоя в точке поля, где
потенциал равен нулю?
27.6. Считая, что скорость отрицательно заряженной частицы
определяется значением потенциала в данной точке (см.
задачу 27.5), найти угловое отклонение частицы при прохождении
через проницаемую границу двух эквипотенциальных областей
(рис. 27.5). Такие области можно создать, если на обе стороны
граничной поверхности нанести весьма тонкий двойной слой
зарядов.
27.7. Определить приближенно траекторию электронов,
движущихся в поле двух коаксиальных цилиндров. До входа в
область, занятую полем, электроны двигались в плоскости,
проходящей через ось цилиндров, прямолинейно и параллельно оси.
Картина эквипотенциалей в плоскости движения показана на
рис. 27.6.
220
Указание. При построении траекторий заменить распределение
потенциалов ступенчатой функцией и использовать закон преломления, полученный
в предыдущей задаче.
27.8р. Потенциал поля вдоль оси х, созданный двумя парами
противоположно заряженных тонких осей (рис. 27.7), меняется
по закону ф = ах2. Как будет двигаться частица с зарядом + q
и массой т, имеющая в начале координат скорость v0,
направленную вдоль оси xf если полная энергия частицы W~mvl/2<
< qtp (ft)? Устойчиво ли движение частицы вдоль оси х?
У\
<р2
Рис. 27.5
Рис. 27.6
Рис. 27.7
27,9р. Частица зарядом q2 и массой т движется со скоростью
v<^c в поле неподвижного точечного заряда ql9 Определить
характер движения частицы для случаев, когда: а) заряды qx и q%
имеют разные знаки; б) заряды q1 и q2 одного знака.
Б. Движение заряженных частиц в магнитном
и скрещенных полях
27.10. Определить соотношение между кулоновскими и
магнитными (электродинамическими) силами для двух точечных зарядов
цх и q2i движущихся прямолинейно и параллельно друг другу
с одинаковой скоростью v<^c. Расстояние между зарядами г.
Как направлены эти силы, если q1 = q2?
27.11р. Источник заряженных частиц создает пучок, в котором
все частицы зарядом q и массой т имеют одно и то же
направление скорости—вдоль оси х (рис. 27.8). При движении частицы
попадают в зазор постоянного магнита, в котором создано
однородное магнитное поле с индукцией 5, направленное
перпендикулярно движению частиц за плоскость чертежа—«магнитная
стенка». 1. При каких наибольших скоростях vmax заряженные частицы
еще отражаются от «магнитной стенки»? 2. Зависит ли условие
отражения от знака заряда? 3. На какой угол отклонится
траектория заряженных частиц, движущихся со скоростями v=lOvmdLXt
после пролета «магнитной стенки»?
27.12р. В однородном магнитном поле с индукцией В в точке
О помещен источник, испускающий одинаковые частицы зарядом q
221
и массой m. Источник испускает частицы под углом а к
направлению силовых линий (рис. 27.9). 1. Определить траекторию
движения частиц. 2. Показать, что при малых углах а магнитное
поле обладает фокусирующим действием. 3. Будет ли движение
частиц при а = 0 устойчивым?
27.13. По данным задачи 27.12р определить магнитный момент
создаваемый движущимися ззряженными частицами. Зависят ль
значение и направление магнитного момента от знака заряда?
в
X X
X X
X X
X X
X X
X
X
У
1
0
X '
X
X
X
Рис. 27.8
Рис. 27.9
X X X X X
X X X X X
X X X X X
в2
Рис. 27.10
27.14. По обе стороны плоской границы созданы различ*.
однородные магнитные поля Bt и 52, силовые линии которы.
направлены за плоскость чертежа (рис. 27.10). Найти траекторию
движения частицы зарядом +q и массой т, испускаемой
источником в точке О, если начальная скорость частицы v0 направлена
перпендикулярно силовым линиям и граничной плоскости. Задачу
решить для: а) #2 = 25!; б) 52=1,25^. Зависит ли направление
средней скорости вдоль оси х (скорости дрейфа) от знака заряда?
Bit)
а)
5)
Рис. 27.11
У
Рис. 27.12
Рис. 27.13
27.15. Частица зарядом q и массой т движется в однородных
электрическом (Е) и магнитном (В) полях, имеющих одинаковое
направление (рис. 27.11,а). 1. Качественно описать движение
положительно заряженной частицы, если ее начальная скорость
в точке О направлена под острым углом а к силовым линиям.
2. Изменится ли характер движения частицы, если поля В и Е
антипараллельны (рис. 27.11,6)?
222
27Л6р. Для определения массы т заряженных частиц
используется трохотрон (один из типов масс-спектрометров), названный
так потому, что частицы в нем под действием взаимно перпенди-
кулярных однородных электрического (Е) и магнитного (В) полей
движутся по трохоидальным траекториям.
Показать, что пучок частиц с одинаковым отношением q/m при
любых значениях начальной скорости v> вектор которой лежит
в плоскости yOz (рис. 27.12), под действием скрещенных полей
Е и В вновь пересечет ось у в точке Ог. Найти зависимость
фокусного расстояния / от Е, В и q/m. Зависит ли фокусирующее
действие скрещенных полей Е и В от знака заряда?
27.17. Частица зарядом q движется равномерно и
прямолинейно со скоростью v<?c в скрещенных электрическом (Е) и
->• -» ->
магнитном (В) полях. Какие поля (Е' и В') обнаружит
наблюдатель, движущийся вместе с частицей?
27.18р. В некоторой области пространства (рис. 27.13) создано
ально-симметричное нарастающее во времени магнитное поле
—>•
• </, которое индуцирует вихревое электрическое поле E(t).
^итая, что в момент начала возбуждения поля электрон в точке А
находился в состоянии покоя, найти условие его движения по
круговой орбите со скоростью v<^c.
Глава двадцать восьмая
Основы магнитной гидродинамики.
Сверхпроводимость
А. Уравнениия магнитной гидродинамики,
равновесные конфигурации, волны, течения
28.1р. При высокой проводимости (y = oo) скорость движения
всей плазмы в скрещенных магнитном и электрическом полях
совпадает со скоростью дрейфа заряженных частиц—электронов
и ионов. Найти значение и направление составляющей скорости
дрейфа vu перпендикулярной линиям В. Показать, что направле-
—> —>->•
ние ?>! совпадает с [ЕВ]. Оценить значение v при В= 1 Тл; Е =
= 1 В/м.
28.2. Показать, что движение плазмы с высокой проводимостью
(у = оо) в магнитном поле физически можно объяснить движением
вместе с ней магнитных силовых линий, т.е. эффектом
«вмороженного» в плазму поля. Используя закон электромагнитной
индукции в дифференциальной форме и условие идеальной
проводимости (y = oo), получить уравнение движения такой плазмы с
«вмороженным» в нее полем.
28.3р. Показать, что уравнение, описывающее движение иде-
223
Рис. 28.1
ального (y = oo) жидкого проводника с «вмороженным» полем
(см. задачу 28.2), с учетом уравнения непрерывности для сжима^-
d /~Ъ \ [ ~в _\ -*
мои жидкости эквивалентно уравнению тг — = — V ) v»
d д /-» \ dt\9J \P I
Tg^TjF+v^V)—материальная (полная) производная, выражак.
щая изменение J5/p выбранного движущегося элемента про^
дящей жидкости.
28.4. Используя результаты решения задачи 28.Зр, найти з* -
симости магнитной индукции В и магнитного давления .
функции плотности р жидкой ид.
ной проводящей среды (плаз!^
у = оо), если: а) плоский слой т^
сжимается поперек магнитной -
б) плоский слой плазмы сжим.;
вдоль силовых магнитных jfc
в) плазма сжимается изотропно {
рическое сжатие).
28.5. Приближенно оценить время
проникновения (диффузию)
магнитного поля в неподвижный (и = 0)
сгусток плазмы высокой, но конечной (у Ф оо) проводимости
(рис. 28.1,а), если: а) сгусток сферический радиусом RQ\ б) сгусток
тороидальный с радиусом поперечного сечения г0.
28.6. 1. Оценить время проникновения внешнего магнитного
поля в тороидальный сгусток плотной водородной
высокотемпературной плазмы с 7= 15-10е К, если радиус поперечного сечения
тора го=1 м (рис. 28.1,6), а средняя проводимость при этой
температуре примерно равна проводимости меди при комнатной
температуре [у = 5-107 (Ом-м)*]. (Параметры такой
высокотемпературной плазмы приближаются к параметрам, при которых
может начаться реакция термоядерного синтеза.)
2. Найти время затухания магнитного поля Солнца, если его
радиус /?о = 700000 км, а средняя проводимость солнечной плазмы
примерно в 50 раз меньше проводимости меди при комнатной
температуре. Считать в обоих случаях ц,а = |л0 = 4я-10~7 Гн/м.
28.7р. 1. Определить общие условия, при которых плотная,
хорошо проводящая плазма, находящаяся без движения (и = 0),
в магнитном поле не испытывает действие магнитных сил
(условия «бессилового» поля). Силой тяжести пренебречь. 2. На
основании найденных условий показать, что магнитное поле из силовых
линий в виде спиралей, образованных при определенных
условиях наложением однородного поля соленоида и поля тока в
протяженном цилиндрическом сгустке плазмы (рис. 28.2),
является «бессиловым», если внутри сгустка Bz = BmJ0($r)\ Ba =
= BMJ1($r)\ 5r = 0, где J0($ryy J1(fir) — функции Бесселя; г, а,
г—цилиндрические координаты; р—константа.
224
28.8. Высокотемпературная плазма может в течение
некоторого времени удерживаться от соприкосновения со стенками силь-
м магнитным полем. Метод магнитной изоляции плазмы от
нок реализуется, например, в токамаке (рис. 28.3) — устройстве,
тоящем из тороидальной камеры 7, внутри которой в плазмен-
Рис. 28.2
сгустке 3, как во вторичной обмотке трансформатора,
индуцируется ток. Магнитное поле этого тока вместе с внешним полем
дополнительных катушек 2, намотанных на тороид, создает
результирующее поле в виде спиральных линий.
Оценить минимальное значение индукции Smin, необходимое
для удержания водородной плазмы с концентрацией электронов
и ионов ne = ni= \5-lO2Q 1/м3 и температурой Те = Т,.= 108 К.
28.9. Какая из приведенных на рис. 28.4, а—в равновесных
конфигураций хорошо проводящей жидкости (плазмы) устойчива
в магнитном поле? Считать, что магнитное поле ^
сосредоточено у границы и не проникает внутрь
плазмы.
Рис. 28.5
28.10. Внутри цилиндрической вертикально расположенной
проводящей трубы с внутренним радиусом R течет жидкая струя
немагнитного металла радиусом г0 (рис. 28.5). По внутреннему
(жидкому) и внешнему проводникам в противоположных
направлениях проходит постоянный ток /. Взаимодействие тока с
собственным магнитным полем приводит к радиальному сжатию жидкого
проводника — пинч-эффекту.
1. Найти распределение давления по сечению жидкого
проводника. 2. Как изменится распределение давления внутри провод-
225
ника, если ток по внутреннему проводнику потечет в весьма
тонком поверхностном слое? 3. Будет ли равновесие жидкого
проводника устойчивым по отношению к случайно возникшему
изгибу проводника или уменьшению его сечения («перетяжке»),
если: a) rQ « R; б) rQ<^R? 4. Предложите способ борьбы с
неустойчивостью.
28.11. Качественно рассмотреть волновые процессы,
происходящие в плазме с 7 = 00, находящейся в однородном магнитном
->•
поле 50, при двух различных по типу малых возмущениях поля
->¦
(Ь): а) линии поля смещаются (изгибаются) в поперечном направ-
B0 + b
)
\
1
к j
1 j
i J
i i
[ i
Ионизирован-
Рис. 28.8
Рис. 28.7
лении (рис. 28.6,а); б) линии поля смещаются параллельно самим
себе (рис. 28.6,6).
Оценить скорости поперечных (альфвеновских) волн vA
[случай а)] и продольных (магнитозвуковых) волн vm [случай б)],
сравнивая переносимую с волной энергию (в единице объема)
pQv2/2 с магнитной энергией [случай а)] или с суммой магнитной
энергии и энергии, затраченной на
сжатие [случай б)]. Процесс сжатия
полагать адиабатным с уы = ср/суж2.
28.12. Простейшая схема магнито-
гидродинамического генератора,
позволяющего преобразовать тепловую
энергию непосредственно в электрическую,
показана на рис. 28.7.
1. Определить э. д. с,
индуцированную генератором, полагая, что в
канале равномерно со скоростью v движется слабоионизирова-
нный (с проводимостью у) газ. Магнитное поле В направлено
поперек газовой струи. 2. Оценить максимальную удельную (на
единицу активного объема генератора) мощность при В=1 Тл;
a =500 м/с; 7 = 40 (Ом-м).
28.13р. В плоском канале шириной 2 d, длиной L вдоль
оси х движется упорядоченно (ламинарном) в поперечном магнитном
поле Во проводящая жидкость с проводимостью 7» плотностью р
и кинематической вязкостью v (рис. 28.8).
Рис. 28.8
226
Найти распределение скоростей по сечению канала, полагая
течение жидкости стационарным. Скоростной напор Ар ^(разность
давлений на входе и выходе) считать известным. Силой тяжести
жидкости пренебречь. В качестве граничного условия принять
условие прилипания жидкости к стенкам канала.
Б. Сверхпроводимость
28.14р. Как было установлено опытами (Мейснер, Оксенфельд)
массивное тело, находящееся в относительно слабом магнитном
поле (меньшем критического Якр) (рис. 28.9,а), при переходе его
вещества в сверхпроводящее сое- + +
тояние «выталкивает» из себя oQ(HQ)
линии магнитной индукции
(рис. 28.9,6), т.е. ведет себя
как идеальный диамагнетик с
И/ = 0 (В,. = 0).
Показать, что: а) подобное
поведение сверхпроводника не
является следствием того, что
Y=oo (р = 0); б) условие В?- = О
должно рассматриваться при а)
построении теории как дополни- Рис 2g.9
тельное.
28.15р. Показать, что: а) после удаления сверхпроводящего
односвязного тела, например шара (рис. 28.9,6), за пределы
пространства, занятого магнитным полем, в нем не могут
существовать какие-либо стационарно протекающие токи; б) токи могут
стационарно протекать, если из области, занятой магнитным
полем, удалить двусвязное сверхпроводящее тело, например
массивное кольцо.
28.16. Внутри массивных сверхпроводников поля Е и В равны
нулю. 1. Сформулировать граничные условия для векторов Е и В
на поверхности сверхпроводника. 2. В условиях задачи 28.14р
найти закон изменения внешнего поля Не у поверхности
сверхпроводящих тел, имеющих форму: а) длинного цилиндра, ось
которого перпендикулярна внешнему однородному полю //„;
б) длинного цилиндра, ось которого совпадает с полем Яо; в) шара.
28.17. Найти полный магнитный момент М, созданный
поверхностными токами сверхпроводящего шара радиуса RQ,
помещенного в практически однородное поле длинного (ftj S> 2R±) соленоида
с числом витков w1 и током 1г (рис. 28.10).
Определить индуктивность соленоида с внесенным внутрь него
сверхпроводящим шаром при Ro < Rx.
28.18. Определить распределение индукции по сечению
сверхпроводящей: а) тонкой пленки Ba<XL); б) тонкой круглой нити
227
Рис. 28.10
Bro^^L) (рис. 28.11), где %L—характерная толщина слоя
массивного сверхпроводника, занятого поверхностными токами.
Решения
Глава первая
1.1р. Мысленно рассечем схему рис. 1.1,а плоскостью,
проходящей через ветви с токами 11У /2, /3. Все, что находится по
одну сторону от этой плоскости, можно рассматривать как
некоторый узел. Алгебраическая сумма токов, входящих в этот узел,
равна нулю: 1г + 12—/3 = 0- Отсюда /3 = /1 + /2.
1.6р. В соответствии со схемой рис. 1.3,а по закону Ома
запишем выражение для каждого тока: 11 = ((р1—<Po + ?i)?i» А =
= (ф2—Фо — Ei)g2> /з = (фз—Фо)?з> где gly g2 и gz—проводимости
ветвей.
Учтем, что, по первому закону Кирхгофа, /1 + /2 + /3 = 0.
Отсюда
Подставляя найденное значение ф0 в формулы для токов,
получим /1 = — 0,125 мА; /2 = — 1,78 мА; /3 = — 1,905 мА.
1.8р. Так как ^ + ^ + ^ = 0, то /2 = — 1г—/8=Ю мА. Для
нахождения токов /4, /5, /6 составим два уравнения по первому
и одно по второму законам Кирхгофа: /з + /4 = /5; /6 + /х ==/4;
/4/?4 + IbR5 + I6R6 = ?6—Еь. Отсюда
/в = —10влА;/в = 0;фа=ф&—/в/?в—/4/?4=фь—50В;1/вЬ = —50 В.
1.14р. Всего ветвей в схеме в =20, в том числе с источниками
тока бит = 8. Следовательно, неизвестных токов 20—8=12. Узлов
у в схеме 12. По первому закону Кирхгофа следует составить
у— 1 = 12—1 = 11 уравнений, по второму закону—одно: в—вит—
— (у—1) = 20—8 —A2—1) = 1.
Так как в узлах ту пу k, l неизвестно только по одному току,
то, по первому закону Кирхгофа,
11= «/15 «/17 ~ э1\ /20 = /j ¦+-»/12 = —20;
/ц = —Л*—'i2 = —26; /10 = /u + J17 = -9.
Для узлов g', h, d, by /, e, а определим неизвестные токи /9,
/8, /6, /4, /2, /3, /5, выразив их через найденные ранее и через
ток /7:
/9 = 27-/7; /8 = 2-/7; /в = 21 —/7; /4=:_3 + /7;
/3 = -1+/7; /5=19-/7; /2=34—/7.
229
Убедимся, что для узла с получим тождество 5
С целью определений тока /7 составим уравнение по второму
закону Кирхгофа для контура feacghdbf:
Подставляя в это уравнение токи, выраженные через /7, найдем:
/7 = 572/44 =13 А; /9=14 А; /8 = —11 А; /6 = 8 А;
/4=10 А; /2 = :
Потенциал точки п
А; /,= 12 А; /5 = <
и характер
<р,В
О
-20
-40
-ВО
-80
1
с
(f
\
i
{а
- 6
/
/
Подставляя числовые значения токов и сопротивлений
резисторов, получим фи = фй—37; Unk = —37 В.
1.15р. Из решения задачи 1.8р известны токи в ветвях схемы
рис. 1.4,а: /4=10 мА; /5 = —10 мА; /6 = 0. Потенциальная
диаграмма изображена на рис. Р. 1.1,а. Потенциалы Ф^ = 0; ч>ь — ус,
так как /в = 0; фа ——Ее = —40 В; q>e = q)d + IbR5 =—40 — 30 =
= _70 В; <ра = уе + Е5 = —50 В; фс = фа + /4#4 = 0.
1.18р. В соответствии с рис. 1.9,а,б определим токи в ветвях
включенных элементов. Сопротивление участка оа
Roa = 5 Ом. На этом участке ток
течет от точки а к точке о и
составляет 3,175/5 = 0,635 А.
Сопротивление участка ab Rab = 10 Ом. Ток
течет от а к b и равен C,175 —
—0,975)/10 = 0,225 А. Между точками
b и с включен источник э. д/с. с
? = 10 В. Сопротивление участка cd
Rcd = 3 Ом. Ток по ветви fedc течет
от точки f к точке с и равен 1,52 А.
Ток диагональной ветви cf течет от
точки с к f и равен 1,31 А (найден по
закону Ома для узла с).
Сопротивление ветви cf Rcf = 2fi3 Ом.
1.19р. В обоих случаях
зависимость между токами /х и /2 линейна
и имеет вид 11 = а + Ы2.
Коэффициенты а и b определим из опытов
короткого замыкания и холостого хода
второй ветви.
При ?1==0 и /?2 = 0 /а = 1, /х = 0;
Поэтому 1 = а + 0, 0 = а + Ь-1. Решив
найдем а=1, Ь = —1, 1г = \—/о.
/2 = 2, 1г = — 1 А; при Я2 = оо /2 = 0;
f 0. Ток /х = 1 —1/2.
резисторов /?4, Rroy Ra, на рис.
из резисторов /?45 = 13,03 Ом,
при /?2 = оо /2 = 0, /х = 1
два уравнения совместно
При ?^0 и /?2 = 0
/х=1, откуда —1=а + 26, \=а
1.22р. Звезду, состоящую из
1.11 ,а заменим на треугольник
230
#5в = 6,52 Ом и /?64 = 8,67 Ом (рис. Р. 1.1,б). Резистор R2 и
параллельный ему Ri5 заменим одним, сопротивление которого
равно 2,44 Ом, резистор Rn и параллельный ему i?56 —
резистором сопротивлением 1,63 Ом, резистор Rx и параллельный ему
Я„4— резистором сопротивлением 1,79 Ом. Входное сопротивление
^=1,243 Ом.
1.28р. Обозначим показание вольтметра в положение 2 через
Uv. В этом положении через вольтметр и резистор R течет
одинаковый ток, поэтому отношение напряжения на резисторе к
напряжению на вольтметре (U — Uv)/UV = R/Rv- Отсюда R =
= Rv[{U/Uv)—l] = 3000A00/90—1)-333 Ом.
1.30р. Для каждого из трех случаев в одном из ребер,
наиболее удаленном от плоскости симметрии (по обе стороны от ко-
ч
0,2
X) 0,5
г OJS
0,5
0,5
Рис. Р.1,2
торой значения токов по соответствующим ребрам одинаковы),
зададимся произвольным током, например /= 1 А. Затем,
используя законы Кирхгофа и условия симметрии, найдем токи в
остальных ребрах. После этого определим разность потенциалов между
заданными точками и входной ток. Частное от деления разности
потенциалов на входной ток даст искомое сопротивление.
Распределение токов при питании между точками а н b
показано на рис. Р. 1.2,я; Rab = 5/Q Ом. Распределение токов при
питании между точками а не дано на рис. Р. 1.2,6; Rac = 3/4: Ом.
На рис. Р. 1.2,6 показано распределение токов в ребрах куба
при питании между точками d и с\ Rdc = 7/\2 Ом.
1.32р. Для определения gn и g12 задаемся током 1-Х А
в ветви 2 и подсчитаем, какой источник э. д. с. следовало бы для
этого включить в ветвь 1: Е1= 1 -2 + 1,667-1 =^3,667 В A,667 А—
ток, текущий в ветви /; 0,667 А—ток, текущий в ветви 3).
Отсюда
gu= 1,667/3,667 = 0,454 См; g12 = 1/3,667 = 0,273 См;
g13 = 0,667/3,667 = 0,182 См.
Для подсчета g22 и gos исключим из схемы источник э. д. с.
Ег, а в ветвь 2 подключим некоторый источник э.д. с. Е2.
Значение этой э.д. с. берем таким, чтобы в этом опыте ток /х= 1 А.
При этом /3 = 0,33 А; /2= 1,333 А; ?2 = 3,666 В. Следовательно,
gM= 1,333/3,666 = 0,3635 См; g23 = 0,33/3,666 = 0,091 См.
231
1.34р. В соответствии с рис. 1.15,в запишем выражение для
тока /2. Соответствующие слагаемые правой части берем
положительными, если они создают ток, направленный согласно току /2:
/i = - ?i?i2+ ?«&.—?*&* = -0,273-10 + 5-0,091-6.0,3635 =
= —4,445 мА.
1.38р. В соответствии со схемой рис. 1.17,6 ток I=I1 + J =
= 1,3 А. Разность потенциалов между точками аи b фа = <р&—Е+
-\-lR\ Uab = IR—?=10 В. Мощность, доставляемая источником
тока, Pm=UabJ = 10 Вт.
1.42р. а) В схеме рис. 1.7 всего один контур, не содержащий
источников тока, поэтому для нее можно составить только одно
уравнение методом контурных токов. При записи этого уравнения
следует учитывать падение напряжения, вызванное контурными
токами от имеющихся в схеме восьми источников тока. Ток Jk
каждого источника тока должен замыкаться по ветвям, в которых
не содержится других источников тока, кроме этого, б) По методу
узловых потенциалов следует составить 11 уравнений (число узлов
в схеме равно 12).
1.47р. Для первого режима составим два уравнения:
= 0,4755.
Для второго режима составим одно уравнение:
UаЪ х
Для третьего режима имеем два уравнения:
=1'295-
Совместное решение пяти уравнений дает R= 100 Ом: Ra =0,5 Ом;
#р, = 200 Ом; Явхв1(=10 Ом; ?/вЬх=Ю0 В.
1.48р. Для первого режима Ii=Uabx/RBxab ;для второго режима
h = UabJ(R2 + R*xabY> Для третьего режима/3 = [/(^ ^)
Следовательно, Uabx=-Y^jfjT^ 10° B; ^BXfl&=
i?3 = 4 кОм.
1.51р. Нагрузка Rn должна быть согласована с входным
сопротивлением RBXab, т.е. Rn = Rbxab- Так как схема питается от
источника тока, то
п (Ri-\-Rb)
^4—(^1 + ^4)^2 _ 1 Г). П _
1.53р. Составим уравнения для схемы рис. 1.23, а по методу
контурных токов, полагая, что в левом контуре имеется э. д. с. ?п,
а в правом э.д.с. ?22: Rain + Rnhz^Eu'* R2J11 +#22^22 = ?22-
232
Определитель Д =
R11R22
сначала раскроем по элементам первой
строки /?nAii+ ^12^12 = А, а затем по элементам второй строки
Я21А21+ R22&22 = &- Здесь &km—минор вместе с принадлежащим
ему знаком. Разделим каждую из строчек на А и учтем, что
Akm/A = gkm. В результате получим искомые зависимости:
R21S2I+ R22§22:== I-
1.57р. Узлы 1—4 графа рис. 1.25, в (рис. Р. 1.3, а) обведем
кружками и составим [Л]-матрицу, поставив в ее клетки -f 1 для
ветвей, стрелки на которых выходят из соответствующих кружков:
Ветви
Узлы
1
= 2
3
4
г 1
—1
0
0
L о
2
0
1
0
0
3
0
0
1
0 -
41
01
0!
0;
-1!
5
1
— 1
0
0
6
0
1
—1
0
7
0 -
0
1
—1
8
-1
0
0
1-
Для дерева, изображенного на рис. 1.25, б, главные сечения будут
совпадать с кружками, показанными на рис. Р. 1.3, а и
использованными при составлении [Л]-матрицы. Каждое главное сечение
о о 4vi
Рис. Р. 1.3
рассекает одну ветвь дерева, а остальные—хорды. Номер главного
сечения соответствует номеру ветви дерева. Плюс I в клетках
[<2г]-матрицы ставят для рассекаемой этим сечением ветви дерева
и для всех ветвей связи, стрелки на которых ориентированы
относительно поверхности сечения, так же как и стрелка на
рассекаемой этим сечением ветви дерева. Поэтому
Ветви
Сечения -12 3 4; 5
1 0 0 01—1
0 1 0 0!—1
= 2
3
4
8
1
0
0 0 10! 0—11 0
L0 0 0 1! 0 0 1 —U
6 7
0 0
1 0
Для дерева рис. 1.25, б главные контуры изображены на
рис. Р. 1.3, б. Каждый главный контур содержит по одной хорде
233
(остальные его ветви—это ветви дерева). Номер главного контура
соответствует номеру хорды. Направление обхода каждого
главного контура (и направление контурного тока) соответствует
стрелке на хорде этого контура. В соответствии с рис. Р. 1.3, б
Ветви
Контуры
5
= 6
7
8
" 1
1
0
0
L—l
2
1
—1
0
0
3
0
1
—1
0
415
oil
oio
— 110
liO
6
0
1
0
0
7
0
0
1
0
8-
0
0
0
1-
Глава вторая
2.1р. Потокосцепление катушки равно алгебраической сумме
потоков, пронизывающих отдельные ее витки:
32.10-4 Вб.
Индуктивность катушки L = i|V/ = 32-10~4/3,2= 10~3 Гн= 1 мГн.
2.2р. Потокосцепление первой катушки
где Фп—поток, создаваемый током 1Х и пронизывающий только
первую катушку; Ф12—поток, создаваемый током 1Х и
пронизывающий обе катушки.
Индуктивность первой катушки определим из равенства $1г =
L1 = ^11/I1 = w1(O11 + O1^/Ii. A)
Потокосцепление второй катушки
где Ф22 — поток, создаваемый током /2 и пронизывающий только
вторую катушку; Ф21 — поток, создаваемый током /2 и
пронизывающий обе катушки.
Индуктивность второй катушки
^2 = ^2(Ф22+Фа1)//2. B)
Взаимную индуктивность катушек найдем из соотношений
Ц12 = М1г; фя1 = Л4/а, C)
где i|>i2 = te^la; ^21 = ^Ai-
Отсюда
*12/^l=*2l//2 ИЛИ Ш2Ф12/^1 = ^1Ф21/^. D)
Из условия задачи известна сумма потоков
Ф12 + Ф21==4.10-4 Вб. E)
Решив совместно уравнения D) и E), получим
Ф1я=1о-*Вб; Ф21 = 3.10-4 Вб.
234
Согласно уравнениям A), B) и C),
Li = .оо.AО-+ю-*) =2мГн.
М= jQ—=1,5 мГн.
2.3р. Взаимная индуктивность
где /—ток линии; w—число витков рамки; Фр83 —
результирующий поток, пронизывающий рамку и равный алгебраической
сумме потоков от проводов Л и С.
Рамка находится в неравномерном
поле, поэтому сначала ищем поток
через элементарную площадку
рамки ds = ldx от тока линии А:
где BA = \i0HA — вектор магнитной
индукции от тока / линии А.
Положительное направление век-
—>- —> —> ->
торов ds, Вл и Вс (Вс — вектор
индукции от тока линии С) указано на рис. Р.2.1. Напряженность
магнитного поля определим по закону полного тока: \jHdl = I,
Напряженность на расстоянии R от оси провода находим из
выражения HA2nR=I, откуда HA = I/BnR).
Так как dx = dR<'cos<x> то
An
Am
Аналогично определяем поток от провода С:
Cm
dR poll , Cm
ln
_ С ц0// dR poll , Cm
J
Сп
При указанных на рис. Р.2.1 направлениях Вл, Вс и ds оба
потока положительны (BAds>0 и Bcds>O)y поэтому
результирующий поток
4^.
АтСп
235
Взаимная индуктивность
6>4-10 6 Гн-
2.6р. Э. д. с, наведенная в проводнике длиной dl, движущимся
со скоростью v в постоянном во времени магнитном поле, е =
= B\dlV].
Для равномерного поля e = BlaVny где В — индукция
равномерного поля; /а—длина активной части проводника;
Vn-—нормальная составляющая скорости движения проводника.
Для данного случая е = В1^Уп = В21 sin у Fcos(90°—а)=45мВ.
2.19р. Сила, действующая на подвижную катушку, может быть
выражена как производная от магнитной энергии двух магнитно-
связанных катушек по координате х. Магнитная энергия двух
магнитно-связанных катушек с учетом направлений токов в
катушках
Следовательно, | F \ = dWjdx.
Индуктивности /а и L2 не зависят от взаимного расположения
катушек, т. е. не являются функциями координаты х. Функцией
этой координаты будет взаимная индуктивность катушек М =
= ^12/^1 = w2SB/I1 = w2Se~'3x/I-i. Сила, действующая на вторую
катушку, F = dWjdx = 3I2WiSe-** = 3e-*x H.
2.21 р. Емкость между двумя проводящими телами,
разделенными диэлектриком,
J
Edl
l
где q—заряд на одном из тел; U12 — разность потенциалов между
ними; Е—напряженность поля; га = гогг—абсолютная электри-
ческая проницаемость диэлектрика; ds—элемент поверхности; dl —
элемент пути от тела 1 к телу 2.
Напряженность электрического поля кабеля (и цилиндрического
конденсатора) Е = д/Bпг1га). Тогда
2.3,14-10*-4-8,86-10-г2
In 4
236
_, ф
Глава третья
3.2р. Расчет проведем по мгновенным значениям тока и
напряжений. Мгновенное значение тока в цепи
i=zlmsmcx>t= 1,41 sin314^ А.
Мгновенное значение напряжения на резисторе
uR = Ri = RImsm®t=Ulsm3Ut В;
на конденсаторе
dt = — -±Imcos(ot + Ci = UlsinCHt—90°) В,
где 1/((оС) = хс—емкостное сопротивление; хс = 314.31 8-10-6 ==
= 100 Ом.
Постоянная интегрирования Сх = 0, ввиду того что при
синусоидальном токе и установившемся процессе в цепи напряжение
на конденсаторе, так же как и напряжение на всех остальных
элементах, не имеет постоянной составляющей.
На входе цепи
uc = RIm sin со/ — jjg- cos со/ = zlm sin (cot + <p),
где z =
= 141 Ом;
= —45°
Следовательно, и = 200sinC14/—45°) B.
Мгновенное значение мощности в цепи
р = ш = 1,41 sin314f.200 sin C14*—45°) =
= [100—141 cosF28/—45°)] ВА.
Графики мгновенных значений и> /, р приведены на рис. Р.3.1.
3.3р. Задачу решаем символическим методом:
дифференциальные уравнения, связывающие
мгновенные значения тока,
напряжения и э. д. с, заменяем
алгебраическими уравнениями относительно
комплексных амплитуд этих
величин.
Э. д. с. самоиндукции eL
связана с протекающим по катушке
током i соотношением eL = — L ~-jj,
или в комплексах ELm= Im(— /coL),
где <oL = XL—индуктивное
сопротивление.
Комплексная амплитуда тока
Рис. Р.3.1
/ _ Elm _
й /coL
100е>30°
— /coL —/314.100.10-»
А.
A)
237
Мгновенное значение напряжения на входе цепи
что соответствует алгебраическому уравнению относительно
комплексных амплитуд тока 1т и напряжения на входе 0т:
Um = ImR + IJaL = Im(R + /coL) = />/ф = ImZ,
где z—модуль комплексного сопротивления; Z—комплексное
сопротивление цепи; ф—аргумент. Определим z и ср:
0-3J = 33 Ом; A)
tg <p = coL/R = 31,4/10 = 3,14; ф = 72°20'.
Таким образом,
(У^ = 3,18е>120О.ЗЗе/72°20' = 105е'192С20' В. B)
Для перехода от комплексных амплитуд тока и напряжения
к их мгновенным значениям обе части равенств A) и B)
умножаем на &®*7 а затем берем их мнимую часть:
Im [ImeI(ut] = Im [3,18е/12°се^];
f = 3,18 sin (о/+120°) A.
Аналогично получим и = 105 sin (со/+ 192°20') В.
3.4р. Комплексное сопротивление цепи Z = zefa является
коэффициентом пропорциональности между комплексами действующих
значений приложенного к цепи напряжения (/ = (/е/'ф« и тока
откуда z = U/I\ Ф = Фа —Ф/.
Комплексное сопротивление катушки запишем как
где z = VWTM\ Ч Ф = ^/^.
При /1 = 0 ©L = X? = 0 и z1 = U1/I1 = R; R = 100/1 = 100 Ом.
При /2 = 500 Гц
22 = f/2//2 = j/^ТЖ- ЮО/0,5 = 200 Ом;
Х? = 1/1|=Л2 =173 Ом;
23114500=55-10-8 Гн = 55 мГн.
При /3= 1000 Гц
/"+Bя/з^J = 358 Ом.
Показание амперметра I3 = U3/z3= 100/358 = 0,28 А.
3.12р. На комплексной плоскости отложим произвольно вектор
тока / = /. Вектор напряжения на конденсаторе Ubc отстает от
238
вектора тока / на 90°. Положение векторов Uac и Uab определим
из условия 0ас=^0аЬ+ 11ЬсУ делая засечки при построении двух
окружностей радиусами R1^=Uab и R2 = Uac> проведенных из
конца и начала вектора Ubc (рис. Р.3.2).
По теореме косинусов найдем иасуЦ)Г
^ ' uab
=0,865,
откуда а = 30°, ф-60°. Тогда L^6=173e'e0° В.
Комплексное сопротивление катушки Z=
= ?/вЬ// = 32,3 + /75Ом.
3.16р. Под активной мощностью цепи
синусоидального тока понимают среднее значение
мгновенной мощности р за период Т:
т
l41
%
ос
Рис. Р.3.2
=100 Вт,
т. е. активная мощность равна постоянной составляющей
мгновенной мощности (см. рис. Р.3.1).
Полная мощность S — UI(S = P при со$ф = 1); S == 141 В-А.
Реактивная мощность Q = ^7/ sin ф == 100 вар.
В комплексной форме записи
§ = tf/ = P + /Q=141e-''«° В-А;
Р = Re [[//] = Re [141е-/«°. 1] = 141 cos 45° = 100 Вт;
Q = Im [Ш] = Im [141e-/«°-1] = 141 sin 45° = 100 вар,
где / — сопряженный комплекс тока.
3.17р. а) Параметры схемы замещения двухполюсника при
последовательном включении активного и реактивного
сопротивлений определим по показаниям приборов на основании следующих
зависимостей:
P = ?//cos<p,
cos ф = Pi(UI) = 102/(80 ¦ 1,6) = 0,8;
г = U/I = 50 Ом; R = zzos<p = 4:0 Ом;
X = г sin ф = yz2 — R2 = 30 Ом.
Характер реактивного сопротивления уточним по знаку угла ф
из векторной диаграммы на рис. Р.3.3, где Г2 и Г2—возможные
положения вектора тока относительно напряжения на входе
цепи Uu соответствующие емкостной (Q и индуктивной (/2)
нагрузкам.
При включении ветви с конденсатором ток на входе
двухполюсника увеличится при емкостном и уменьшится при
индуктивном характере нагрузки: /i + /c = /i; |^i|>|/i|; /2 + ^ = ^1".
\n\<\hi
239
Известно, что при включении конденсатора небольшой емкости
ток на входе цепи уменьшается. Это соответствует индуктивному
характеру нагрузки, т. е. угол ф > 0. В этом случае
двухполюсник может быть заменен последовательно
включенными сопротивлениями: Z = R +
= 40 + /30 Ом.
б) Коэффициент мощности и характер
нагрузки R и X при параллельном
включении не меняют своих значений.
Следовательно, аргумент комплексной
проводимости цепи равен—<р. Проводимость цепи
равна сумме проводимостей ветвей:
Рис. Р.З.З '
*=уcosф = 0,016 См; & =
откуда у = I/U = 1,6/80 = 0,02 См; ? =
inq) = 0,012 См; 7 = 0,016-/0,012См,
что соответствует параллельно включенным активному (jR = 1 /g" =
= 62,5 Ом) и индуктивному {XL = 1/6 = 83,3 Ом) сопротивлениям.
3.23р. Добротностью конденсатора при последовательной схеме
замещения называют отношение напряжения на емкостном
сопротивлении к напряжению на активном сопротивлении:
QC = UClUR = Хс/#посл = 1/(©СЯ по„).
Под добротностью контура при параллельной схеме замещения
понимают отношение тока через емкостное сопротивление к току
через активное сопротивление:
Параметры контура: Хс= 159 Ом; #ПОсл=0Л59 Ом; RntLV=l59 кОм.
3.24р, Добротность катушки
QL = coL//?nocJI; QL = #nap/(coL) = l/(oL^nap).
=:10 Ом; coL = 99,5 Ом; Q = 9,95;
= 500 с
Параметры контура: 1
#пар=Ю00 ОМ.
3.26р. Резонансная частота контура
Добротность контура Q = co0L/JR = 10.
Резонансная кривая может быть построена по уравнению
и U
"»
п
п
A)
где <й/(о0 = п, или в относительных единицах—по уравнению
(рис. Р.3.4)
W= г , , х«- B)
240
По определению полосы пропускания из уравнения B) имеем
1
или 1 /Q = /22—1/я2; —l/Q = n1 — 1/пг.
Отсюда пгп2 = 1 или
п2—^ = @H—со1)/соо= 1/Q,
где сох и (о2—граничные частоты полосы пропускания.
Решая совместно уравнения C) и D), находим
~ЦД—1]«475 с;
C)
D)
3.35р. В электрической цепи, составленной из п реактивных
элементов, возникает не более п—1 резонанса. Резонансы тока
и напряжения чередуются между собой.
Если в цепи есть путь для
прохождения постоянного тока, т. е. при со = О
ZBX = 0 (частотная характеристика
начинается с нуля), то первым наступает
резонанс токов, если нет (при (о = 0
2вх = оо), то первым наступает резонанс
напряжений.
В рассматриваемых схемах
возникает по одному резонансу: резонанс
напряжений в схеме рис. 3.21, а и резонанс
токов в схеме рис. 3.21, б. Частотные характеристики входных
сопротивлений и проводимостей для этих схем приведены
соответственно на рис. Р.3.5, а, б. Условие возникновения резонансов:
a)cooL-l/(cooC); б) оз0С= l/(co0L).
0,6
0,2
/
У
Л
\
К.
1 ^
0,4 0t8 f,2
Рис. Р.3.4
Рис. Р.3.5
3.39р. Одноименными зажимами катушек являются зажимы
1 я 2. Схема цепи приведена на рис. Р.3.6, а. Входное
сопротивление магнитно-связанной цепи ZBX O1
241
Запишем уравнения цепи в соответствии с законами Кирхгофа:
A)
B)
C)
ИЛИ
D)
E)
Решив уравнения относительно тока /, получим
j ^ U(Z1+Z2-2ZM)
откуда
Подставив значение тока /2 из уравнения A) в D) и тока /*
из уравнения A) в E), найдем
u=izM+i2(z2-zM).
Этим уравнениям соответствует схема рис. Р.3.6, б.
3.43р. Выделим ветвь тп с сопротивлением Z, а остальную
часть схемы будем рассматривать как активный двухполюсник.
Если обозначить входное сопротивление двухполюсника со
стороны выходных зажимов через Z2BX, то передача максимальной
активной мощности от двухполюсника нагрузке происходит при
условии, что активные сопротивления у Z и Z2BX равны, а
реактивные сопротивления равны по модулю, но противоположны по
знаку. Значение Z2BX определим из пассивной схемы двухполюсника
,([/, = 0) при ?, = #„.
По законам Кирхгофа,
242
При совместном решении этих уравнений получим
Z = Z*BX = 2,12-/2,6 Ом.
Таким образом, сопротивление нагрузки равно сопряженному
комплексу входного сопротивления:
Хм
Ri+xi
где 7?вн, Хвп—активное и реактивное сопротивления, вносимые
во вторичную обмотку.
j
If Rf Xj-Хц I2
Рис. Р.3.7
Совместно решая уравнения
0 = I2(Z+jX2)-I1jXM,
найдем токи в обмотках трансформатора:
A)
B)
Определим баланс активной мощности. Мощность, получаемая
из сети,
Р = f/^ cos ф1= 100.21,9 = 2190 Вт.
Мощность, поглощаемая в первичной цепи,
рг = i*r1 = 21,92- 2,3= 1095 Вт.
Мощность, поглощаемая во вторичной цепи,
Мощность, потребляемая во вторичной цепи, передается из
первичной вследствие явления взаимоиндукции и может быть
определена как Р2 = 1гХм12 cos (l[jXM\ ^ /2) = 1095 Вт.
Векторная диаграмма приведена на рис. Р.3.7, а.
24а
Составим схему замещения трансформатора. Прибавим к
уравнениям A), B) соответственно ± jXMi1 и ±jXMI2. Тогда
уравнения примут вид
U1 = i1R1 + I1j(X1-XM) + (I1-I2)jXM; C)
0 = /2Z + IJ (X2-XM) + (I2-l\) jXM. D)
Уравнениям C) и D) соответствует схема рис. Р.3.7, б, в
которой токи l\ и /2 рассматриваются как контурные.
3.51р. Максимальное значение тока /2 (режим частного
резонанса) получим при наименьшем значении входного сопротивления
со стороны вторичной обмотки трансформатора. Это достигается
при чисто активном сопротивлении, а именно: если Z2BX = R2BX±
± ]'X2Tixy то для условия резонанса необходимо, чтобы Х2ВХ — О
(метод определения Z2BX рассмотрен в решении задачи 3.43р).
Совместное решение двух уравнений, записанных для данной цепи,
дает следующие условия:
Ё2 = Ш2+ Ru+ JX.-X^-IJX^ A)
O^h(Ri + lX1)-fjXM; B)
Условие резонанса:
Подставляя числовые значения в уравнения A) и C), получим
С2==9мкФ; /2= 1,2Л.
3.52р. Выделим ветвь с сопротивлением Z6. Оставшуюся часть
схемы, представляющую собой активный двухполюсник, заменим
эквивалентным генератором. Э. д. с. эквивалентного генератора
равна напряжению холостого хода (ветвь с Z6 разомкнута) на
зажимах тп\Ёъ = 0тпх. Внутреннее сопротивление генератора
равно входному сопротивлению по отношению к зажимам тп.
Схему рис. 3.35 заменим схемой рис. Р.3.8, а. Искомый ток /6 =
^¦^бД^вх+^е).
Для определения напряжения холостого хода Umnx следует
сначала рассчитать токи в схеме рис. Р.3.8, б. Ток на входе схемы
Токи в ветвях:
zs+z4 . З3е^зо° А
Z + Z1+Z2 *>Ме Ав
Напряжение
244
Входное сопротивление определим в соответствии со схемой
рис. Р.3.8, в, в которой треугольник сопротивлений Z3, Z4, Z5
предварительно преобразован в звезду:
= 6 Ом;
Z3+Z4+Z5
= 6 Ом;
= 10,9е-/13°Ом.
¦ = 4,87е-°А.
Искомый ток
3.53р. Условия равновесия схемы:
/„ = 0 при фи = ф„; A = /i; /2 = /1
Отсюда Rx=RiRJR3 =
Тангенс угла потерь
Глава четвертая
4.2р. а) Выберем направление токов и напряжений согласно
рис. 4.1, а и составим для данной схемы уравнения по законам
Кирхгофа таким образом, чтобы 1)г и 1г были выражены через 09
и /2 и параметры схемы. Сравним коэффициенты в уравнениях,
записанных через Л-параметры, с коэффициентами в уравнениях,
составленных для данной схемы.
245
Л-форма записи уравнений (основная форма):
O^Aupi + AtJjX
ii-AtlUt + Ajt. I ([)
По законам Кирхгофа,
= #, + /?/,; )
\ B)
Сравнение коэффициентов в уравнениях A) и B) дает
^u=l; Ai2 = RОм; Л21=1/(-/Хс)См;
б) Режим холостого хода (/2 = 0). Из уравнения A)
^Лх==: ЛцС/2Х; ^
1 —A U (
yix — л^и 2Х. j
Из схемы рис. 4.2
откуда Лп=1; A2i= l/(—/Хс)Смч
Режим короткого замыкания @2 = 0). Из уравнения A)
игк^Ап12к; | E)
*¦ 1к <га22* 2К# /
Из схемы рис. 4.2
откуда Л12 = /?Ом; Ai2 = (R — jXc)/(—jXc).
4.5р. В режиме холостого хода (/2 = 0) при Л-форме записи
уравнений (/1х = Лпг/2Х; I1X = A21U2^
Запишем те же зависимости, пользуясь векторной диаграммой:
100 = Лп200; — /2,5 = Л21200, откуда Лп = 0,5; Л21==— /0,0125 См.
Известно, что Л-параметры четырехполюсника подчиняются
уравнению ЛцЛ22—Л12Л21=1. Для симметричного
четырехполюсника А±1 = А22, поэтому Л22 = 0,5; Л12 = — /60Ом.
4.6р. В режиме холостого хода при Z-форме записи уравнений
Ulx^=ZllLilx\ U2x = Z2Jlx. Определим комплексные значения тока
и напряжения. Из осциллограммы следует, что f/lx = 70,7B.
Сдвиг фаз между током и напряжением на входе найдем из
соотношения cos ф1 = Р1/((/1х/1х) = 0,707, что соответствует углу
45°
246
Знак угла уточним из осциллограммы: /1х = 5е-'*45° А.
Сдвиг фаз между током и напряжением на выходе получим из
соотношения cos ф2 = Р2/((/2х/1х)^ 0,446, что соответствует углу
Ф2 = 60°30'.
Из осциллограммы следует, что /7,х = 56е'18°30'В. Поэтому
Z11 = 1/1x//1x=10+/10Om;
. =E + /10)OM.
Для симметричного четырехполюсника
Z2a = Zu= 10 +/ЮОм;
Z12 = Z21 = 5 +/ЮОм.
4.22р. Представим исходный четырехполюсник в виде двух
каскадно включенных четырехполюсников (рис. Р.4.1). Для
каждого четырехполюсника запи-
шем расчетные уравнения с ^ 4' [~^ 20^\ // /"
Л-параметрами в матричной °* I^^^T^^Y
ф
Лпараметрами в матричной . ITi^iY-,,
форме записи. \Щ \ zz40 \ul\\ui
Для первого четырехпо- о 1 1 I «
люсника | l { !
Рис. Р.4.1
^i J L A2i A
для второго четырехполюсника
\
0l
г; ,
A
U
A'n\[i;
При каскадном включении U'2 = U'i и Г2 = Г[. Заменим
напряжение и ток на выходе первого четырехполюсника напряжением
и током на выходе второго. Подставив выражение B) в A),
получим запись уравнений для результирующего четырехполюсника:
11 А"ХА Г^/г]
21 ^22 J L'2 J
Л Л | Л ' Л" А ' Л" | А ' А" I I Т1" \
Л " Л г Л» , и t „ I I // I
Следовательно, Л1Х = Л^Лп + А'1%А1 =—0,5; Л12 = А'пА12+
+ Л;2Л22 =/30Ом; Л21= А'21А1г + А22А'21 = /0,025 См; А22 = А21-А12 +
+ Л22Л22 = —0,5.
4.28р. 1. Л-параметры четырехполюсника определим следующим
образом:
а) из условия согласования внутреннего сопротивления
источника с входным сопротивлением четырехполюсника, нагруженного
на RR:
р 7 Т? ^i ^и
в 1вх -^ibx > —~i z : 1
247
б) из условия согласования нагрузки с входным
сопротивлением четырехполюсника со стороны выходных зажимов:
A21RB + Лп '
в) из условия симметрии четырехполюсника: ЛП = Л22;
г) из уравнения связи Л-параметров: А1гА22—Л12Л21=1.
Совместное решение уравнений дает следующие выражения для
Л-параметров: Лп = 0; А12 =—1/Л21 = ± jVRkRb-
2. Расчет сопротивлений 7-схемы замещения:
откуда Zt = — Z3; Zx = Z2 = ± ]hb
Таким образом, сопротивления схемы замещения реактивные^
равные по значению, но различные по характеру. Схему можно
рассчитать при Z1 = Z2 = \У RHRB = /3 Ом; Z3 = —/3 Ом; Zx = Z2=
= — /ЗОм; Z8 = /3Om.
3. а) Мощность, выделяющаяся в нагрузке без согласующего
четырехполюсника, Р2 = I2RH = UfRj(RB + #„)"а = 900 Вт.
б) Мощность, выделяющуюся в нагрузке при наличии
согласующего четырехполюсника, собранного по Г-схеме с параметрами
Z1 = Z2 = j3Om\ Z3 = — /ЗОм, определим следующим образом:
^ _ ;50Д.
4.31р. Из условия согласования источника энергии с
нагрузкой входное сопротивление четырехполюсника, представляющего
собой идеальный трансформатор, нагруженный на ZH, должно
быть равно сопряженному комплексу сопротивления источника:
Z1BX = Z: = 1—/Ом;
У идеального трансформатора потери в обмотках отсутствуют
(Ri = R2 = 0) и коэффициент связи обмоток k=l (отсутствуют
потоки рассеяния), поэтому
0г1\ = иЛ; A)
[ ТТ d®U ТТ ^Ф22 гТч <Ъ
(так как в данном случае и1 = w± -^; с/2 = (о2~^ ; ФП = Ф
/*i//*2 = t/2/^i = ^2М = 1/п = Д//, - /х//2. C)
Тогда ZlBK = U1/I1 = U2n/I2/n = U2n2/I2 = Zl{n2, т. е. сопротивление
нагрузки имеет такой же характер, как и входное сопротивление:
248
4.33р. Расчетные уравнения для активного четырехполюсника,
приведенного на рис. 4.14, запишем с помощью У-параметров:
h = ^21^1 + ^ 22^2 +
где2^к^1к—часть тока Д, вызванная э. д. с, находящимися
внутри четырехполюсника; ^EKY2K — часть тока /2, вызванная
теми же э. д. с. Эти токи могут быть определены из условия
одновременного короткого замыкания входных (тп) и выходных
(pq) зажимов четырехполюсника, т. е. при U1 = U2 = 0. Обозначим
2л к' 1к==*1к» 2j к 2к z=z *2к*
Для данной схемы /1К= 1,41е-'82° А; /2к=-4,06е^113° А. Эти токи
имеют то же направление, что и токи /х и /2.
Подставим значения токов при коротком замыкании в
уравнение A):
'l Мк== *llVl ~1~ ^12^2» \ /о\
Правая часть этих уравнений ничем не отличается от правой
части уравнений, записанных для пассивного четырехполюсника.
Следовательно, Ylly У12, У21, У22 — параметры пассивного
четырехполюсника (при Е1 = Е2 = Е3=^0).
По условию задачи следует определить не У-, а Л-параметры.
Для данной схемы A = D=l—/; В = 20—/10Ом; С = —/0,1См.
Расчетные уравнения в Л-форме записи:
4.35р. 1. Гиратор обладает свойством инверсии сопротивления
нагрузки. У гиратораЛп = А22 = 0. Входное сопротивление гиратора,
нагруженного на ZH, ZBX- A12/(A21ZH)= 1/(G2ZH), где A21=G; I/A 12=G.
Тогда Ui = -jri2, I1=-GU2 и матрица гиратора с Л-параметрами
[А] = ^ . Уравнения гиратора через У-параметры (с учетом
изменения направления тока /2): I1 = GU2\ /2 = — GU^ Матрица
с У-параметрами
Ч-°о о]-
Л-матрица гиратора для Z-параметров
Го -1/G]
LZJ-[l/G О J-
2. ZBX = 1/(G2ZH) = j
где Lb = QG*.
249
4.37р. Для определения Л-параметров результирующего
четырехполюсника, эквивалентного двум каскадно включенным гира-
торам, используем Л-матрицы гираторов:
что соответствует Л-матрице идеального трансформатора.
4.38р. Z-матрицу гиратора можно представить как сумму двух
матриц:
l/G О
l/G O
° -
[o
0
Эти матрицы соответствуют двум последовательно-последовательно
включенным четырехполюсникам, удовлетворяющим уравнениям
01 = Q\ 02 = -q-I1\ U1——q"Ii\ ^2^0 и являющимися источниками
напряжения, управляемыми токами. Таким образом, гиратор
реализуется схемой, приведенной на рис. Р.4.2, а. У-матрицу
гиратора можно также представить как сумму двух матриц:
Г 0 G] ГО G] Г 0 0
Эти матрицы соответствуют параллельно включенным
четырехполюсникам, удовлетворяющим уравнениям 1г = ои? /2 = 0 и /х = 0,
U? U,
Рис. Р.4.2
/2 = — GU1 и являющимися источниками тока, управляемыми
напряжением (рис. Р.4.2, б).
4.39р. Если Aua = U2; At = /2; &uc = U1; Aic = i1 = 0y то
уравнения лампы как четырехполюсника могут быть записаны с
помощью F-параметров:
/.J
Эти уравнения соответствуют схеме замещения с источником тока,
управляемым напряжением (рис. Р.4.3, а). Внутреннее
сопротивление лампы Ri=l/gi. Если источник тока заменяют источником
э.д.с, то получают схему замещения с источником напряжения,
управляемым напряжением (рис. Р.4.3, б). Здесь ix S S
250
4.40р. Транзистор является невзаимным четырехполюсником,
так как /?i>^/?2i- Добавим в уравнение B) ±Rlz&ix. Тогда
система уравнений будет иметь вид
Auz = RltMx -f- Ri2M2 -г (#2i —#i2) A'V .B)
Обозначим jR21 — #i2 = /?,„. В результате получим
"Дих1 /г/?и /?121 , го
иг и,
Эти уравнения соответствуют двум последовательно
включенным четырехполюсникам: взаимному четырехполюснику, который
может быть представлен
Г-схемой замещения, и ис- /,
точнику напряжения, уп- ^"
равляемому током (рис. .
Р.4.4, а). Сопротивления ;1
Г-схемы замещения Zx —
— гъ, Z2 — rK, Z^ = r6i они
выражаются через Z-napa-
метры: гэ = /?п — R12; rK =
управляемого источника
e = Rm&il = Rm&i3. Источник э.д.с. можно заменить на источник
тока (рис. Р.4.4, б). В этом случае RJrK=a—коэффициент
усиления по току.
Рис. Р.4.3
Рис. Р.1.4
4.41р. 1. Если выражение для тока (напряжения) в
комплексной форме записи имеет вид
О
или 6 = n
где векторы М, iV, О* постоянны, коэффициент k меняется от 0
до оо, угол г)) постоянен и не равен 0 или ±180°, то
геометрическим местом концов вектора тока (напряжения) является дуга
окружности (круговая диаграмма). При г^ = 0, ±180°
геометрическим местом концов вектора тока (напряжения) будет прямая
линия (линейная диаграмма).
251
Используя метод эквивалентного генератора, заменим схему,
за исключением ветви резистора переменного сопротивления jRh,
эквивалентным генератором с э.д.с. ЁЭУ равной напряжению
холостого хода 0тпх на разомкнутых зажимах резистора
переменного сопротивления Ёъ = 0тпх = - » _Лу Ri> и входным сопротив-
лением Z2 вх = п ]! -х .
Входное сопротивление схемы относительно зажимов
переменного сопротивления определим из исходной схемы при замене
имеющихся в ней источников энергии их внутренними
сопротивлениями (для источников э.д.с. ZB = 0, для источников тока
ZB = oo). Тогда ток в нагрузке
2 ВХ
т. е. конец вектора тока /н скользит по дуге окружности,
хордой которой является вектор ?/Z2BX, а направление касательной
определяется углом i[) = cpH—Ф2Вх-
В линейных цепях ток (напряжение) в любой ветви связан
с током в другой ветви линейным соотношением. Например, ток
на входе цепи и напряжение на индуктивном сопротивлении
связаны с током в нагрузке соотношениями 11 = а-\-Ып; UL=c-{-dIH.
Коэффициенты а, Ь, с, d найдем при режимах холостого хода
(#н = оо) и короткого замыкания CRh^O)-
В общем виде получим
B)
Приведенные выражения свидетельствуют о том, что
геометрическим местом концов векторов /\ и UL также являются дуги
окружностей.
2. Для построения круговых диаграмм рассчитаем следующие
режимы цепи:
а) режим холостого хода:
^ u/i f В;
б) режим короткого замыкания:
AK = #i/(/*i) = 10e-/90° A; 0LK = U1 = 100 В;
в) режим для определения входного сопротивления Z2BX отно-
252
сительно зажимов тп:
Отсюда
-/900
7
-/45»
1+*е-'45°
ЮО — 70,7е>45°
А;
В.
Строим круговую диаграмму для 1г. Окружность проводим
по хорде abf являющейся разностью векторов /1к и /1х и
касательной, проведенной под углом г|) к продолжению хорды в
точке Ь. Центр окружности О лежит
на пересечении перпендикуляра,
проведенного из середины хорды,
и перпендикуляра к касательной
(рис. Р.4.5.)
Для построения линии
переменного сопротивления (ЛПС) на хорде
от конца вектора тока холостого хода
(точка а) откладываем в масштабе
модуль сопротивления Z2K (отрезок
ас). Затем от конца этого отрезка
под углом г|) проводим ЛПС.
3. При #н=10 Ом по
круговой диаграмме найдем /^в.Эбе-^А;
cos ф = 0,46; Рг == U1I1 cos <p = 400 Вт;
Q = 800 вар.
4.42р. Круговую диаграмму
напряжения Umn строим, исходя из
выражения для дуги окружности в общем виде (см. решение задачи
4.41р):
Касательная ь
Рис. Р.4.5
Режим холостого хода (хс = оо):
• . « •
Фя = Фа» 4>тх = 4>nx — IlxRl = ^n
= Фях—!"• 0тпх = —
Режим короткого замыкания (хс = 0):
Определим входное сопротивление относительно зажимов Ьп:
253
Рис. Р.4.6
—0° = — 90°. Дугу
окружности строим в соответствии с
выражением
и = _?+
тп 2 '
Круговая диаграмма
приведена на рис. Р.4.6.
Глава п я тая
5.1р. Для рассматриваемого четырехполюсника Л=(Z1+Z2)/Z2;
D=l.
Уравнение ch g = V AD = V^Zx + Z2)/Z2 = VT+Zjzl имеет место
б
при любом направлении передачи.
В области прозрачности (а = 0) ? = а + jb = /6; ch g = ch /6 =
= cos 6 = j/"l + Zx/Za. Последнее уравнение имеет смысл лишь
в том случае, когда V1
Z/j
Полоса
прозрачности
—вещественное число, по модулю
Z/j
Полоса
^прозрачности
со
' Z2/J*-1/coC
Рис. Р.5.1
Рис. Р.5.2
не превышающее 1. Для этого подкоренное выражение должно
удовлетворять системе неравенств 0< 1 + -^- < 1, откуда —1 <
5.2р. Для рис 5.2, a Z1 = ja>L; Z2 = — j'-^? . Из рассмотрения
частотных зависимостей Zjj и Z2//, построенных на рис. Р.5.1,
следует, что зона прозрачности ограничена частотами со1 = О и
о)о= 1/|/ТС (на частоте о)о |Z1| = |Z2|)> т. е. схема является ФНЧ.
/coL
Для рис. 5.2, в Z1=/[(oL— 1/((оС)]; Z2=
L/C
Согласно рис. Р.5.2, полоса прозрачности ограничена частотами
254
и оJ, определяемыми из уравнения |Z1| = |Z2| или
соС
L/C
coL— 1/(coC)
L
coL
coC — Г С *
Следовательно (рис. Р.5.2),
1
'©iC'
1
с •
с •
2У LC
©, = "
A)
Рассматриваемая схема является полосно-пропускающим фильтром.
Из аналогичных построений следует, что на рис. 5.2,6 дан
ФВЧ, частота среза сос = о0 = 1/УLC, на рис. 5.2, г—ПЗФ,
граничные частоты определяются выражениями A), на рис. 5.2, д —
ППФ, полоса прозрачности ограничена частотами сох == l/1/^ZIC;
щ=У21УrLCy на рис. 5.2,е—ФВЧ, частота среза сос = ]/2/j/LC.
5.6р. Для четырехполюсника рис. 5.1 ^ = (Z1+Z2)/Z2; D= 1.
Тогда chg=ch (a+jb)=VAD = V(Z1+Z^/Z2 =Vl+ZJZ2;"ch acosb +
+jshasmb = V
В
j+ ZJZ2. B)
В полосе прозрачности # = 0; sha = 0, cha—l.
По V
B),
V
cos2b— 1 =
= — sin2b\
= ±K — ^г^2. Так как в полосе прозрачности, по условию
E.1), ZjZ2<0f то smb = ±y\Z1/Z2\. Таким образом, в полосе
прозрачности коэффициент фазы полузвена связан с комплексами
Zx и Z2 выражением 6 = ± arcsin K| Zx/Za | .
В полосе затухания а^=0. Здесь необходимо выделить два
случая.
1. Знаки Z2 и Z2 различны, или —• < 0. Согласно E.1), для по-
лосы затухания | ZJZ21 > 1. Тогда 1 + Z!/Z2 = 1 — | Zi/Za | < 0 или
У\ + ZJZ2 = ±}У\ZJZ21 — 1 . С учетом последнего выражения
в соответствии с B)
j chacosb = 0;
\shasinb=±K|Z1/Za|—
Так как ch
sinb = 1. Тогда
C)
то из C) имеем cosb = 0; b= ±90°,
из второго уравнения C) следует, что sha =
—1; ch2a = |Z1/Z2|.
255
Таким образом, при различных знаках Zx и Z2 в полосе
затухания
= ±90°.
2. Знаки Zx и Z2 одинаковы, т.е. -±- > 0. В этом случае 1+
>0, aVl + Zi/Z2—вещественное число. Тогда, согласно B),
shasinf? = 0;
ch a cos b = V
Так как в полосе затухания sha^O, то из E) имеем 6 = 0;
L/Z2; ch2a=l + Z!/Z2; sh2a = ZJZ2. Тогда
в полосе затухания
Lz = arshV\ZjZ2\\
cos b = 1; ch a =
Lf Cf
\U
Полоса
прозрачности
CO
a = ars
5.7р. Заданный симметричный фильтр
расщепляется на два полузвена (рис.
Р.5.3, а). Комплексы продольного и
поперечного сопротивлений полузвена равны
Zx = /coZ^—/ -^- ; Z2 == /o)L2. Частотные за-
висимости —I- (со) и -4- (со) построены на
рис. Р.5.3. б. Согласно рис. Р.5.3, б,
полоса прозрачности полузвена, а следова-.
тельно, и заданного симметричного
фильтра ограничена частотами cot и со2.
Нижняя граничная частота coj определяется
из условия |Zi| = |Z,| ши^;^ — Z2 (рис.
Р.5.3, б):
1 1
Рис. Р.5.3
, 1_ ^ . 0
= 1 • 104 рад/с.
Верхняя граничная частота ш2 находится из условия Zx = (
F = 2-104 рад/с.
Таким образом, данный четырехполюсник является полосовым
фильтром.
Расчет зависимостей а (со), Ь(о) ведем по выражениям E.2)—
E.4), учитывая, что фильтр содержит два полузвена:
и Z2 раз-
Г 2 arch V\ ZJZ21 при 0 < о < o)i (знаки ,
,ч I личны; рис. Р.5.3, б);
{2 arsh V\ ZJZ21 при co2 < со < oo (знаки Z± и Z2
одинаковы; рис. Р.5.3, б).
ч
256
to
ел
1
со-Ю4, рад/с
Z Z 1
Zo . л
-7^ = 0)L2, Ом
/
7ч 7, -1- 7Л
^Ю ^1Т^2 q
V Z10ZlK\ = \Zc\, Ом
Характер Zq
t 2 arch x 0—(Ox;
а, Нп = ч 0 0i—ш2;
V 2 arshx 02—oo
I —180° 0—©и
by град =ч —2arcsinx 0i—02;
V 0 02—oo.
0
00
0
— oo
00
0,4
480
60
420
450
0,8
. 210
120
90
137
0,9
177
135
42
86,5
Емкостный
00
00
—180
3,4
—180
1,32
1,5
—180
1,14
1
—180
1,0
150
150
0
0
Полоса прозрачности
1,2
106
180
74
89
1,4
73
210
137
100
1,6
45
240
195
93
1,8
21
270
249
72
02
2,0
0
300
300
0
Активный
1
0
—180
0,77
0
—100
0,56
0
—70
0,432
0
—52
0,28
0
—31
0
0
0
2,1
9,7
315
325
56
Таблица
2,4
36,7
360
397
120
2,6
53
390
443
153
Р.5.1
3,0
83
450
533
211
Индуктивный
0,18
0,32
0
0,32
0,54
0
0,36
0,6
0
0,44
0,8
0
В полосе прозрачности при сох < о ^ со2 а = 0, Ь (со) =
= —2 arcsin \r\ Z,rZy \ . Отрицательный знак в выражении для Ь (со)
выбран после качественного построения векторной диаграммы
полузвена в области прозрачности (рис. Р.5.4, б). При ее
построении учитывалось, что в полосе прозрачности (см. рис. Р.5.3,6)
продольное сопротивление Zx
имеет емкостный, поперечное Z,—
индуктивный, а сопротивление
согласованной нагрузки — активный
:=/?/у характер. Эквивалентная схема
полузвена в полосе прозрачности
изображена на рис. Р.5.4, а.
Сдвиг фаз между иг и 02 на
рис. Р.5.4, б обозначен &/2, "так
как он соответствует полузвену.
В полосе затухания при 0 ^
^ со < colt когда Zx и Z2 имеют
различные знаки (см. рис. Р.5.3, б),
согласно E.3) и рис. Р.5.4, б,Ь (со) =
= const = b (cox) = —2 arcsin I =
s) = —2-90° = —180°. При о > со2,
Рис. Р.5.4 когда знаки Zx и Z2 одинаковы, в
соответствии с E.4)
Ь (со) = const = 0.
Так как характеристическое сопротивление заданного фильтра
Zc равно характеристическому сопротивлению Zr полузвена (см.
2С;0м
10* рад/с
со W]рад/с
Рис. Р.5.5
рис. Р.5.3, а), то зависимость Zc (со) строим по выражению
где Zlx==
В полосе затухания характер Zc аналогичен характеру Zf (рис.
Р.5.3,6). Расчет зависимостей а (со), b(co), Z^(co) сведен в табл.
Р.5.1. По данным табл. Р.5.1 на рис. Р.5.5, а, 6 построены
соответствующие графики.
258
5.11р. Для обеих схем k = VL,C= J/^JLiLi, = 100 Ом.
Граничные частоты фильтров определяем из условия | Zx К k или
\Zt\>k.
Зависимости а (а)) получаем по выражению E.3), так как для
^-фильтров знаки Zx и Z2 различны на всех частотах.
а,Нп
л
и
-30
-60
Ьгград
7
¦0,5
\
/ Z
/
(
3 со /Ofpt
IZ2I<K
Полоса
затухания
Полоса
прозрачности
Рис. Р.5.7
Зависимости Ъ (о) в
полосе прозрачности определяем
по выражению E.2); знак в
E.2) выбирают после
построения векторных диаграмм
фильтра, нагруженного
согласованно.
В полосе затухания,
согласно E.3), &(со) = ±90°.
Знак Ь((д) в последнем
случае находим по знаку Ь(со)
на граничной частоте.
Зависимости Zj (со) и Zn (со)
строим по выражениям ZT =
1^ —
Zn = k2/Zj. В полосе
прозрачности ZT и Zn активны,
в полосе затухания характер
ZT совпадает с характером
продольного сопротивления
Zt, Zn имеет
противоположный характер.
Для фильтра типа k> согласно E.2), E.3), K = ]/r\Z1/Z2\ =
Схема рис. 5.2, #(ФВЧ). Согласно рис. 5.1, Zx = — j-^ ; Z2 =s
= /<oL; к = К[Z^Z, [= l/(coKIC) = co0/co, где co0=l/KIC=2x
XlO4 рад/с; ^ = Kl/C= 100 Ом.
259
Граничные частоты полосы прозрачности из условия \Z2\
определены по рис. Р.5.6, б. На частоте среза co0=l/J/LC;
" На рис. Р.5.6, в построена векторная диаграмма фильтра
(рис. Р.5.6, а), согласованного в полосе прозрачности. Согласно
х рис. Р.5.6, в, Ь<0. По-
2>Ом ~ .. I vZ/7 этому в полосе
прозрачности & (со) = —arcsinx; на
частоте среза Ъ (соо) =
=—arcsin 1 =—90°. В
полосе затухания Ь (со) =
= const = 6 (соо) = —90°.
Зависимости а (со), Ъ (со),
ZT(co), Zn(co) по данным
табл. Р.5.2 построены на
рис. Р.5.7, Р.5.8.
Схема рис. 5.2, в (ППФ).
Продольное сопротивление
Zx = / (coL— 1/©С);
поперечное сопротивление Z2 ==
¦150
100
¦50
-50
-100
-150
s
f
/
/
1
w
X
2
J со-10*pat
Рис. Р.5.8
=— (рис. Р.5.9,а). Граничные частоты полосы
(О
Рис. Р.5.9
прозрачности из условия I
ласно которому
(щЬ—l /КС) = — k = — УТ/С\
\ щЬ— 1/(со2С) = k = VUC\
найдены по рис. Р.5.9,б,
сог^~l=r(V$— 1)^ 1,236-104 рад/с;
2 JLC
со2= I— (K5+ 0 « 3,236-10* рад/с;
2 у JLLj
coo = l
= 2 • 104 рад/с.
260
Таблица Р.5.2
со-1С4, рад/с
х = соо/со
„ ( archx 0—соо;
\ 0 соо—оо
(_90° 0 —соо;
Ь, град=< . и
\—arcsmx соо—оо
Zi//=l/(coC), Ом
\Zt\ = \V№-\Zi\21 Ом
Характер Zj
|Zn|-^2/lZT|, Ом
*о Характер Zn
0
00
00
—90
00
00
0,4
5
2,3
—90
—500
490
Полоса затухания
0,8
2,5
1,56
—90
—250
230
1,2
1,6
1,05
—90
—166
133
1,6
1,25
0,67
—90
—125
75
1,8
1,1
0,45
—90
—111
50
1,9
1,05
0,3
—90
—105
32
Емкостный
0
20
43
75
133
203
310
Индуктивный
соо
2,0
1
0
—90
—100
0
2,1
0,95
0
—72
—95
30
2,4
0,8
0
—55
—83
55
3,0
0,66
0
—42
—67
72
3,5
0,57
0
—35
—57
74
4
0,5
0
—31
—50
82
5
0,4
0
—24
—40
90
Активный
оо
330
181
134
122
116
109
Активный
Векторные диаграммы фильтра (нагруженного согласованно) в
полосе прозрачности построены на рис. Р.5.10, б, г. Диаграмма
рис. Р.5.10, б соответствует области частот о\—со0, где Zx имеет
емкостный характер (рис. Р.5.9, б), a Z2— индуктивный,
Эквивалентная схема фильтра на этих частотах (рис. Р.5.10, а)
совпадает со схемой ФВЧ.
6)
lZ2
кг
и2
6)
Рис. Р.5.10
В диапазоне частот ооо—оз2, согласно рис. Р.5.9, б, Zx—имеет
индуктивный характер, a Z2—емкостный. Эквивалентная схема
фильтра при этом (рис. Р.5.10, б) совпадает со схемой ФНЧ.
Соответствующая векторная диаграмма дана на рис. Р.5.10, г.
Согласно рис. Р.5.10,а,г, в полосе прозрачности
6 И
J
— arcsinx при сох—соо;
arcsin>c при со0—со2;
6@)!) = —arcsinl=—90°;
Ь (оо2) = + arcsin 1 = +90°;
в полосе затухания
в диапазоне 0—о)! Ь (со) = const = Ь (coj = —90°;
в диапазоне (о2 — оо Ь (со) = const = b (co2) = +90°,
где у.^ЩЦ\1\
Расчет зависимостей а (со), 6(<о), ZT(co), Zn(co) сведен в табл. Р.5.3,
по данным которой на рис. Р.5.11,а,б построены соответствующие
графики.
5.20р. Задаемся комплексом ?/2. Пользуясь законами Ома и
262
Таблица Р.5.3
со-104, рад/с
^ = q>L—1/(cdC), Ом
%=V \Zi/Z2\ =\Zx\lk
@ coi —co2;
a, Hn = <! u /0 — соь
arch к <
V \co2— oo
r—90° 0—соь
1—arcsinx coi — coo;
b, град=^агС51п>с щ^ыг;
\+90° соз—оо
|ZtMK*2-|Zi|2, Om
Характер Zt
|Zn|-^/|ZT|, Ом
Характер Zn
0
<— 00
00
00
—90
00
0,4
—480
4,8
2,5
—90
470
1
—150
1,5
0,95
—90
112
1,2
—106
1,06
0,36
—90
35
Емкостный
0
21,3
89
284
Индуктивный
0)!
1,236
—100
1
0
—90
0
Полосе
1,3
—89
0,89
0
—63
46
прозрачности
Щ
2,0
0
0
0
0
100
со2
3,0
83
0,83
0
55
55
3,236
100
1
0
90
0
Активный
00
219
100
191
00
Активный
3,3
104
1,04
0,28
90
30
3,5
118
1,18
0,59
90
63
3,7
131
1,31
0,77
90
85
4,0
150
1,5
0,96
90
112
5,0
210
2,1
1,37
90
185
Индуктивный
334
160
119
89
54
Емкостный
Кирхгофа, находим соответствующий комплекс 0г:
02
= 2
Zi+ZH
Z2) + 2 iyZjZ^Y + 2 (У ZjZ%y + 1.
Для ФНЧ (рис. 5.10, а) ^ = jWLC = /2 (-?-V; l/"|i =!-?¦ = fa;
2т1—2т]3J
A)
Для ФВЧ (рис. 5.10,6)
И*
f(CO/CD0J '
1
со
VA —
к — 2х3J
B)
По выражениям A) и B) на рис. Р.5.12, а, б построены графики
зависимостей /С^((о/соо) с учетом того, что в A) г) = (о/со0, а в B)
1,0м
¦0,5
Ь,град
90 Н5
60\t
30
о
-JO
-60
-90
MfCO)
Ь(ш)л
Ъ(со)
1 | / J со-10] рад/с
Рис. Р.5.11
х = со0/(о. Максимальное значение Китлх= 1,557 достигается при
1 К/3
На рис. Р.5.12, а, б представлены частотные зависимости
коэффициента передачи напряжения при согласованной нагрузке
и1 \Zh-Zc
Так как для ФНЧ a = 2arch—, для ФВЧ a = 2arch-^, то
с учетом соотношений arch# = — \n(x—Vх*— 1); е-2агсЬл' = (д;—
264
— yx2—lJ получим:
^/^)) «3,
ФВЧ *- = (•?-/(?)'-l)\ D)
Пунктирные кривые на рис. Р.5.12, а,б построены по
выражениям C) и D).
1,557
0,5
О
1
V}5
]f27Jt
1,557
-
]
/
/
//
//
IKj"
i
i
( ,
2 co/oj»
го
0
1
\QJ0
f
¦i
CJ
Рис. Р.5.12
5.21р. Характеристические сопротивления полузвеньев,
составляющих четырехполюсник рис. 5.11, а, со стороны зажимов 3—3\
согласно E.1а),
zT =
i; zTm=V(zlm + z2m) zlm =
-VI
Таким образом, ZTm = ZT; следовательно, полузвенья рис. 5.11, а
соединены согласованно. В этом случае характеристическое
сопротивление четырехполюсника рис. 5.11, а со стороны зажимов
1 — Г совпадает с характеристическим сопротивлением &-полу-
звена с той же стороны:
265
Характеристическое сопротивление четырехполюсника со
стороны зажимов 2—2' равно характеристическому сопротивлению
Znm /ft-полузвена:
С учетом E.9) и E.10)
V ZjZ«2 I I . /1 2\ Zl I '7 11 _J_ /I *-м2\ 1 I /1\
П/л — r- ¦¦ — I * ~T" \ •*• ^~~ifl ) ~j~ I — Zfi 1 ~f~ ^ 1 Til j -y- I • V /
Тогда
Покажем, что полосы прозрачности полу звеньев при
выполнении E.9) и E.10) одинаковы. По условию E.1), в полосах
прозрачности] для &-полузвена — 1 ^ ZJZ2 ^ 0, для т-полузвена
На граничных частотах отношения ZJZ2 и ZlmIZ2m обращаются
в 0 либо в —1; согласно E.9) и E.10),
__ m2Zi/Z2 (Ъ
В соответствии с C) при ZJZ2 = 0 Zlm/Z2w = 0, при ZJZ2 = —l
Zlm/Z2m = —1, т. e. ZJZ2 и ZlmIZ2m обращаются в 0 и в —1 при
одних и тех же частотах. Следовательно, граничные частоты
рассматриваемых полузвеньев одинаковы.
5.24р. Характеристические сопротивления полузвеньев со
стороны зажимов 3—3' (рис. 5.11,6) определяются так:
У Z1Z2 у у 7j
п — _ г ^
' ит Vi+zlm/z2m'
Подставляем в последнее соотношения E.11) и E.12), в результате
получаем ZUm = Zn.
Характеристические сопротивления четырехполюсника рис.
5.11,6: со стороны зажимов 1 — Г
zT - V(zx+z2) zx=Vzxz2 V i + zjz,,
со стороны зажимов 2—2'
zTttl=V{zlm + z2m)zlm=V^
266
В соответствии с E.11) и E.12)
Последнее выражение совпадает с A) решения 5.21р;
следовательно, здесь также справедливы выводы, сделанные в
решении 5.21р и позволившие утверждать, что полосы прозрачности
каскадно включенных полузвеньев одинаковы.
5.26р. Расчет зависимостей ат (со) и Ьт (со) для /п-полузвена
проведем по методике, рассмотренной в задачах 5.6р, 5.7р. В
соответствии с соотношениями E.2) — E.4):
в полосе прозрачности ат (со) = 0; Ьт (со) = ± arcsin |/"| Zlm/Z2m\\
знак в последнем выражении выбираем после построения
векторных диаграмм полузвена в полосе прозрачности, учитывающих
характер Zlm и Z2m\
в полосе затухания:
при $^0
Kle/Zfe|; B)
при
(й) = ±90° [знак определяется знаком 6 (ш) на
соседней граничной частоте];
В отличие от фильтров типа &, для которых отношение ZJZ2
всегда отрицательно, у фильтров типа т отношение Zlm/Z2m в
полосе затухания может быть и положительным и отрицательным.
Для расчета по выражениям A) — C) необходимо знание
частотной зависимости Zlrn/Z2m(o)) *. Последняя в соответствии с C)
решения задачи 5.21р определяется зависимостью ZjZ2 (со)
полузвена-прототипа :
D)
Обычно зависимость | ZJZ2 \ (со) или | ZJZX \ (со) известна из
предварительного расчета полузвена-прототипа.
При нахождении зависимости -=^- (со) следует принимать во
внимание то, что отношение ZimIZ2m меняет знак на частоте со^,
* Так как отношение Zim/Z2m (со) для последовательно-производного и
параллельно-производного m-полузвеньев одинакового зависимости я/л(со) и ^^ (со)
в обоих случаях одинаковы,
267
при которой знаменатель D) обращается в нуль:
A — ^2) ¦+^ (wj — О или y (coj = г——2' E)
Поэтому: а) на частоте со^ Zlm/Z2m = оо и согласно B), C)
затухание, вносимое m-полузвеном при со^, также бесконечно
велико *; б) на частоте со зависимость Ьт((д) изменяется скачком
на ±90° [см. B), C)].
Таким образом, рекомендуется такая последовательность
расчета ат{а>) и Ьт(со):
у
1) определяем зависимость ^(со) для полузвена-прототнпа.
В рассматриваемом случае ZJZ2 = (со0/соJ, где со0 — частота среза
для прототипа, а следовательно, и для производного т-полузвена;
у
2) по выражению D) рассчитываем зависимость ~^~ (со).
Частоту со^ находим по E); в рассматриваемом случае на
частоте со^
= -1/0,64;
т — о, 6
сооо = 0,8со0 = 0,8-2-104= 1,6-104 рад/с;
3) качественно строим частотные зависимости Zlm (со) и Z2m (со)
для одного из типов m-полузвена (последовательно-производного
или параллельно-производного). На рис. P.5.12,tf построены Zlm (со)
и Z2m (со) для параллельно-производного m-полузвена. При
построении учтено, что продольная ветвь (Zlm) содержит параллельно
включенные индуктивный Llm = L , 2- и емкостный С1т = Cm
элементы, которые на частоте 0)^ = 0,80H вступают в резонанс
токов; поперечная ветвь Z2m содержит индуктивный элемент L2m =
= Llm\ на частоте среза со0, по условию E.1), \Z2/n\ = \Zlm\.
Согласно рис. Р.5.12,в, в полосе затухания 0—со0 при 0 < со <
< со^ Zlm и Z2m имеют индуктивный характер, -~— > 0; при сото <
< со < со0 Zlm имеет емкостный характер, a Z2m — индуктивный;
у
-—- < 0 в полосе прозрачности со > со0, Zlm имеет емкостный,
Z2m — индуктивный характер;
4) на основании результатов п. 3 по B), C) получаем
окончательные расчетные соотношения для ат(со):
ом И = | arch V\ ZxJZ-ш I; о)^—со0;
I 0 : 0H—оо;
* В случае последовательно-производного m-полузвена бесконечно
большое затухание имеет место при Z2m~0 (резонанс напряжений в поперечной
ветви), а в случае параллельно-производного полузвена —при Zlm = 0 (резонанс
токов на продольном участке).
263
5) для выяснения знака Ьт (со) в полосе прозрачности
качественно строим векторную диаграмму нагруженного согласованно
m-полузвена. При построении учитываем, что в рассматриваемом
случае ZAm имеет емкостный, Z2/72 — индуктивный, а сопротивление
нагрузки—активный характер.
При этом эквивалентная схема /n-полу звена совпадает со
схемой прототипа в полосе прозрачности (см. рис. Р.5.6,а).
Соответствующая векторная диаграмма представлена на рис. Р.5.6, <?,
согласно которому Ь < 0. Поэтому расчет 6от(со) в полосе
прозрачности ведем по выражению
Ьа (со) = - arcsinKl Z1/72/Z2J;
на граничной частоте Ьт(<х>0) = — arcsin 1 =—90°;
в полосе затухания, согласно E.3), E.4),
для соо—сото Zlm/Z2m<0;
I = —90°;
для
—О Zlm/Z2m>0,
Расчет ат (to) и Ьт (to) по изложенной методике сведен в табл. Р.5.4,
по данным которой на рис. Р.5.13 построены соответствующие
графики (сплошные кривые).
Рис. Р.5.13
5.31р. Схема рис. 5.12, в. а) При разомкнутых зажимах 2—2'
задаемся напряжением на выходе U2(p) и, пользуясь законами
Ома и Кирхгофа, рассчитываем соответствующее напряжение на
269
К
\o
cd
H
3°
tic
s
хан
§
8
3
8
со"
см"
—«
см
о
см"
а>
~ч
00
t^
CD
'—|
ю
см
*~*
оо
о
о
о
о
•&
го
си
3
8
2,56
^~"
о
о>
о
S3
о
0,72
,64
о
?
О
О
CD
О
S
О
о
3
II
3
1 w
II
(Ml iH
с
о"
1
•*•
о
0,8
1
1
,36
1
CM
т*
TJ
8
CD
со
О
CD
О
,56
О
CD
CO
О
a
3
'CO)
1
о"
1
II
!
о
со
сож
о
0,43
г--
CD
о"
О
—
CD
ю
см"
8
ю
CN
,13
СО
00
О
S
о
о
&
Ii
о
о
о
о
о
о
со
оо
2,74
8
ю
•-<
О
S
о
о
,59
о
Ч з° 8
f ' 1
8 о
О 3 3 •
2* ^
со а
го го о
II
с
о
1
1
С?
О
5
4
СМ
см
CD
S
S
1
S
1
!
О
о
о
о
о
о
1 3° 8
1 'в1
о 383°
с
со
о «J
Ц 7 •
О 1
i
II
го
си
и*
i
270
входе Ut
Р '" RRCC P '
где щ2_ ! • fi_g
где w.-^CA, P-
б) При коротком замыкании
зажимов 2—2' задаемся током на
выходе 12(р) (рис. Р.5.14).
Соответствующее напряжение на входе
= Y2i (р) = Г12 (/,) =
в) Комплексный коэффициент передачи четырехполюсника в
режиме холостого хода
IЯ (/со) I = Я (со) =
где со/со0 = л;.
При R1 = R2 = R, Сг = С2 = С (о0 =
По выражению A) в табл. Р.5.5 построен график Н(х)у
характер этой зависимости свидетельствует о том, что
рассматриваемая схема является ФНЧ. Найдем частоту среза x1 = colRC из
условия Я (х^ =
1
271
Vl+74
са1 = 0,39/(/?С).
Разновидности
рис. 5.12
Н (р), соо
Уи(р)
ФС Шр)
LA г
о—i|—j. о
И/?
Н(р)-
fff h 1
<оо=1/(/?С)
1
R1R2C1
1
R1R2
1 ?<
H о
П
' %•
г)
Я(р)=-
H(p)=
Yi,(p)=-
Ri+Rt
Г
1<
X-
P2+
272
Таблица Р.5.5
н(»\=
График Н (х)
н[*.
Vl+x*
Н{^
0)/@0
н(
«(
'?
V
V
1
(¦-а)'-
)=
@)/@0J
' / 0J\
/A-
1
яы =
х-
У (l_*)i
Я|
X
X-
Н(х) =
1
О 1
Н(х)=~,
1
±
п
0 0,39
/
/F
1
J
1
3A
0 0,302 1
2 x=goRC
2 2,67 X'CORC
Rf=R2~R} Cf~Co~C
3 3,302 х-CORC
273
Разновидности
рис. 5.12
Н(р), щ
(P)
\и'(р} ±
иг(р)
Ж)
H(p)=i
—
R1R2C1C2
Mp+-
R1R2
H(p)==
a>o=l/(/?C)
Схема рис. 5.12,3. Эта схема представляет собой параллельное
соединение двух Т-образных четырехполюсников, изображенных
на рис. Р.5.15, а, б. При этом через
параметры составляющих
четырехполюсников наиболее просто
определяются F-параметры сложного
четырехполюсника .
Для подсхемы рис. Р.5.15, а
Т /7т / \ -I
1 UC ,f 2
о 1| 1 1| о
\и/р) \\Rt \иг(р)
о * о.
R R
\и,(р) =4=
Ср~
AсР
Р+-
Рйс. Р.5.15
R+-
R+cj
274
Для подсхемы рис. Р.5.15, б
Продолжение к табл. Р.5.5
и i/ (l~~*2J+a2*2
HCxh
)/
- '+*2
График Н
H-xzl
ft+mz+x
4
7
1
J
I
I
0 1
1
I
\
\,
0 1
^
2
2
; Cf=C2=C
-—¦ **
J x=coRC
^-—
F-параметры сложного четырехполюсника:
Y* (P) = У% (P) + Y'n (p); Y12 (p) = Yb (p) + Y% (p).
С учетом R1 = R/2, C1 = 2C
P+RC
1-
B)
где 1/(/?С)=соо.
Согласно У-форме записи уравнений четырехполюсника,
/2 (р) = У2 х (р) t/x (p) + F^ (p) t/2 (Р) • D)
При разомкнутых зажимах 2—2' [/2 (р) = 0] из B)—D) следует
—(О2 +0H
i—
l—
L
/A—J
E)
275
График Н(х), построенный по выражению E), дан в табл.
Р. 5.5; схема обладает свойствами полосно-заграждающего фильтра.
Расчет остальных схем рис 5.12 проводится аналогично.
Выражения #(/?), Y12 (/?), Я (со) для четырехполюсников рис.
5,12, а—з приведены в табл. Р.5.5. Там же даются
соответствующие графики Я(х), где х = ю/оэ0 = ©jRC (для схем рис. 5.12,6—ж
при R1 = R2 = R, С1 = С2 = С),
5.34р. В общем выражении Я (со), полученном для схемы рис.
5.12, д (см. табл. Р.5.5), учитываем, что при R1 = R, CX = C,
cdO2 = cdo = l/(RC)\ р = ю0 (#С + RC + RC^ =
m
2+1
Последнее выражение достигает максимального значения при
х= 1 [со= 1/(/?С)], когда знаменатель его минимален, причем
Дтах = 2-4-1/ ' ^огда для гРаничных частот полосы пропускания
справедливо уравнение
Aа)
или
Нижнюю граничную частоту (х± < 1) определяем из уравнения
*г—1/*! = —B+1/т), B)
а верхнюю граничную (х2> 1)—из уравнения
х2—1/х2 = 2+\/т. C)
Из B) и C) получаем
Ширина полосы пропускания &х = х2—х1 = 2+1/т.
Частотная зависимость Aа) по виду сходна с зависимостью
от частоты модуля комплексного коэффициента передачи
последовательного i^LC-контура, если выходное напряжение снимается
276
с R (рис. Р.5.16):
°*: _=
V ' \соо со
где (o0 = \IVLC] Q = ^-w- добротность контура.
В выражении Aа) добротностью является QBK= . Так
же как и для ^JLC-контура, в рассматриваемом случае с ростом
Q9K кривая Н (со/(о0) становится острее, j : и
Ширина полосы пропускания Ах = х2 —
i = 2+ 1/пг = 1/Q3K обратна
эквивалентной добротности. '"' ^'' ;
При т = 1 Q9K = 1/3, Дх = 3 [этому
случаю соответствует график Н (х) схемы д)
табл. Р.5.5]. С ростом m Q3K увеличивает- Рис. Р.5.16
ся, однако она не может быть больше
1/2. Следовательно, относи-
пшх1'_— тельная ширина полосы
пропускания Дл: > 2 (Дсо > 2озо).
н/нт
0,5
выражению Aа) на
рис. Р.5.17 построены графи-
i
| 1и ш Н(х)/НтйХ для т = 0,5;
! 2; 10.
и / 2 3 ^ х=ш/ш0 5.41р. Передаточная функ-
Рис. Р.5.17 ция /?С-четырехполюсника
цепи отрицательной обратной
связи согласно данным табл. Р.5.5 (схема ж)
В соответствии с рис. 5.19
e(P) = U2(p)-U3(р) = t/BbIX(р)Я(р)-
Результирующая передаточная функция четырехполюсника цепи
обратной связи Uoc (p)/UBUX (p) = Н (р)—7- Передаточная функция
активного фильтра, по E.13),
~7 р*+У 2щр + ш§
При y = 0,4
/C6p'+293M»g+i A)
277
при у = 0,5
B)
В последнем случае К (р) имеет мнимые полюсы /?it2i=±/o3o,
/С (соо) = 00.
Графики К(®)/КтаХ1 соответствующие выражениям A) и B),
построены на рис. Р.5.18 (кривые 1 и 2).
А\
J ! "
-^ 1
=====
1
±
/2
H/co/cjcp)
1 г
Рис. Р.5.18
0,5 1 1,5 Z CO/u)cp
Рис. Р.5.19
5.42р. Передаточную функцию всей системы выразим через
передаточные функции четырехполюсников А и Б НА{р) и НБ(р):
при условии, что усилитель инвертирует сигнал.
Согласно данным табл. Р.5.5 (схемы в и ж),
соол
A)
=о)оБ=(о0= 1000рад/с
и многочлены знаменателей Ял (р) и ЯБ (/?) одинаковы: аБ = У2.
Следовательно,
СОо
B)
Хотя выражение B) для К (р) аналогично выражению A)для
передаточной функции входного двухзвенного ФНЧ Нл(р), но
качество фильтрации активного фильтра выше. Полюсы К{р) —
комплексно-сопряженные [определяются нулями передаточной
функции НБ (/?)], а Нл(р)—вещественные.
На рис. Р.5.19 для сравнения изображены частотные
характеристики НА ^ ~ J и К { ^- J, где сос—частота среза, соответствующая
\_с / \ с у
уровню 1//2. Для Ял(со) (ос
278
0,4со0, для /С (со) сос = со0.
5.44р. Согласно табл. Р.5.5 (схемы в и ж) с учетом
обозначений рис. 5.16
(Сб/2)Л
RbCb
*i2B\f;- p+2/RbCb
По условию, Ra = Rb, Са = Сб. Тогда выражения в
знаменателях передаточных функций Y12A (p) и Y12B (p) одинаковы
(полюсы Y12A (p) и Y12B (p) равны). Следовательно,
2
Y12A(P)
Y1%b(p)'
яъсъ
где соо = 1/ 2/(/?БСБ) = 1000 рад/с.
Полученное для К (р) выражение совпадает с B) решения 5.42р,
поэтому АЧХ /((со/(о0), построенная на рис. Р.5.19, справедлива
и в этом случае. Активный фильтр, так же как и фильтр задачи
5.42р, является ФНЧ.
Необходимо иметь в виду, что в рассматриваемом случае
емкостный элемент СА/2 четырехполюсника А может быть исключен,
так как он работает в режиме короткого замыкания.
Таким образом передаточная функция вида B) в задачах 5.42р
и 5.44р реализована по двум различным схемам. Реализация по
схеме рис. 5.17 предпочтительнее по ряду причин. Одной из них
является меньшее число элементов.
Рис. Р.5.20
5.47р. Переходим от заданной схемы к эквивалентной
расчетной схеме (рис. Р.5.20), учитывая рис. 5.23,6. Считаем также,
что входное напряжение /7ВХ обусловлено идеальным источником
Э. Д. С. ?'Вх = ^вх-
Искомая передаточная функция К (р) = /!ых , ' *
27Э
Так как коэффициент усиления ОУ j^t = -—Щ? > оо, а вели-
чина ?вых конечна, то фа—Фь = 0 или (pa = q>b, Ч>а(р) = Ч)ь(Р)-
Таким образом, при заданной э. д. с. Евх(р) э. д. с. ЕЪЪ1Х(р)
такова, что Фа(/?) = Фь(р)- Этим условием и определяется
передаточная функция системы.
Составляем для эквивалентной схемы рис. Р.5.20 систему
уравнений по методу узловых потенциалов относительно
изображений. При этом принимаем Фь(р) = 0, а точку а считаем узлом:
J_
1
A)
При фа (р) = <р6 (р) = 0, (pc(p) = UBax(p) система A) принимает вид
иАР)(
B)
J
Делим уравнения системы B) на t/BX (p) и решаем относительно
()*/ ()
1
1^2 П Г Г
+% 5 3 4
где
и г Г
5 3 4
С учетом числовых значений параметров схемы получаем
со0 = 20 рад/с; асоо=1 рад/с; (ко0 = 20 рад/с.
Следовательно, а =1/20; р=1;
20
*(Р) D)
АЧХ, соответствующая C) и D), имеет вид
К( х__§_ 1 20 .-.
280
сходный с частотной характеристикой фильтра на ^LC-контуре
(см. рис. Р.5.16) с добротностью Q = 20.
Таким образом, схема обладает свойствами
высокоизбирательного полезно-пропускающего фильтра с центральной частотой
оH = 20 рад/с (/0 = 3,2 Гц). Ширина к
полосы пропускания Асо —gH/Q= 20
= 1 рад/с (Д/= 0,159 Гц).
График /С (со/со0), построенный по
выражению E), дан на рис. Р.5.21.
Глава шестая
6.5р. Показание ваттметра
pw = ^вс1 a cos фх - UBCIA sin фн.
Из векторной диаграммы рис. Р.6.1
найдем epi = 90° — <рн. Реактивная °
мощность трехфазной нагрузки
Определим аргумент нагрузки:
A i
sin фн = Р^/([/д/л) = 0,574; фн = 3
Активная мощность системы
Р = \Гз UJ^ cos фн = 6240 Вт.
Полная мощность системы
В-А.
JBC
а) При соединении нагрузки звездой фазное
сопротивление
Ом.
Рис. Р.6.1
б) При соединении нагрузки треугольником фазное сопротивление
^/ Ом.
6.8р. а) Фазные наряжения на нагрузке симметричны и равны
фазным напряжениям трансформатора:
0Ах = 0ао> = Ш В; ^ = ?/яО' = 380е-/120° В;
UCz = Uco> = 380e''120° В.
Фазные токи также образуют симметричную систему:
в 0/ А; /с = 76е/83°10' А.
Векторная диаграмма токов построена на рис. Р. 6.2, а.
281
б) Электрическая схема показана на рис. Р.6.2, б. Определим
смещение нейтрали нагрузки. Так как Уфл = ^фя = ^фс==^ф» т0
О ' —.
_ 254e~/60° В.
Рассчитаем фазные напряжения на нагрузке и токи в
каждой фазе:
0 0; UBO> =0B—UO'x = 33Se-il*l° В;
^° В; /л = ?/ло'Дф = 67е/4°10/ А;
Векторная диаграмма токов показана на рис. Р.6.2,в.
Ь)
6. Юр. Определим ток в фазе В нагрузки: JB = UB/ZB = 10е-'53° А.
При симметричной системе токов 1А = а1в; 1с — аЧв, где
а—оператор трехфазной системы.
Найдем токи и сопротивления в фазах А и С:
1А = 10е/«7° А; /с = 10е-3° А;
ZA = UA/1A = Юе-^67" Ом; Zc = Uc/Ic = 15e-/52° Ом.
Рассчитаем линейные напряжения:
O ; UBC =UB-Uc = 232e-i^' В;
Векторная диаграмма токов изображена на рис. Р.6.3, а.
6.14р. Определим линейное напряжение:
Найдем фазные напряжения на нагрузке:
О АО' = & АО — йо'О =
282
При этом ?/лс=1ООе-/37СВ; Гл = 0,1е-/30° См; YB = 0}2e^ См;
Ус = 0,1 См.
Подставив числовые значения, получим Оао' = 57е/2°50' В;
> 3" В; Осо' = Ь№ш°у В.
Рассчитаем фазные токи:
IA = UAO'YA = 5,7e-w°">' А; /B = 4,6e-/127e А;
/с = 6,66е'11005' А.
Активная мощность трехфазной системы
Р = Uao'Ia cos Фл + Ubo'Ib cos Фв + Uco'Ic cos Фс = 777 Вт-
Реактивная мощность трехфазной системы
Q = Uao'Ia sm Фл + Ubo'Ib sm Фя + Uco'Ic sm Фс = 70>^ вар.
Полная мощность
S = KP* + Qa = 779 B-A.
Векторная диаграмма напряжений и токов изображена на рис.
Р.6.3,6.
6.18р. Заменим треугольник нагрузки А'В'С эквивалентной
звездой:
Пусть иАЯ = 22Ое!'зо° В. Осуществим развязывание магнитно-
связанной цепи. Получим трехфазную цепь, не содержащую
магнитно-связанных элементов (рис. Р.6.3, в). Сопротивление каждого
линейного провода Z4 = j(X4—Хм). Так как нагрузка источника
симметрична (Za) = Zkl + ZA), система фазных напряжений на ней
также симметрична (Uao' = 220/^3= 127 В) и расчет токов
можно вести для каждой фазы отдельно:
,5е/59°45'А.
Найдем токи в фазах В и С:
/ / 0°15' А; /с =
283
Рассчитаем фазные напряжения и токи в нагрузке:
Ua'B' =IAZK-iBZK = 15бе/"в«' В;
lA.B. = Ua>b>/Za = 155е>'14°45728,2е'*450 = 5,5е-/30°15' А.
Исходя из симметрии нагрузки получим
= 155е'*134°45' В; 1В.С- = We->'120O = 5,5e-'*150°15' А;
1сА' = /We'*12°o = 5,5e/89°45' А.
Падение напряжения в линии
О / / IcjXM = /Л/Х, + (/5 + /
В.
Аналогично, 17Вв' = 47,5е-/9°в1Б' В; L/Cc = 47,5e/149°45/ В.
Топографическая диаграхмма и векторная диаграмма токов
изображена на рис. Р.6.4, а.
a) S) s+j
Рис. Р.6.4
6.20р. По второму закону Кирхгофа,
вс =
Полагая 0АВ = 200 В и решая систему уравнений относительно
фазных токов, получим IAB = UAB/R = 20 А; 1ВС = —11,5+ /20 =
= 23е>'120° А; 1СЛ = 11,5 + /20 = 23е/60° А.
Определим линейные токи:
' A;
'с — ^са ^йс==23 А.
Топографическая диаграмма и векторная диаграмма токов
построены на рис. Р.6.4, б.
284
6.22р. Строим круговую диаграмму тока IА. При изменении
сопротивления ZH по модулю в какой-либо ветви от о до оо ток
в любой m-ветви этой схемы
'тк * тх
f т
1_|_^н.е/(Фн"Фвх) '
где /;лх—ток в /n-й ветви при ZH = oo; ImK—ток в m-й ветви при
ZH = 6; ZBX—входное сопротивление цепи относительно зажимов,
к которым присоединена нагрузка ZH.
Рис. Р.6.5
Для нашей схемы 1Ах = 0. Для определения 1Ак
воспользуемся методом эквивалентного генератора: I'ak = Uao'JZBx- В
соответствии со схемой рис. Р.6.5, а
Оао'х = Оав + IJXl = 236е-/5°40/ В.
Входное сопротивление в соответствии со схемой рис. Р.6.5, б
v _ *!XL .
Ток короткого замыкания /Лк = 9,85е-'Ч2°4()/ А. Угол af> =
= Фн—Фвх = —60°—37° = —97°. Круговая диаграмма тока 1А
показана на рис. Р.6.5, в.
Строим круговую диаграмму напряжения Uo'o. При изменении
сопротивления ZH по модулю в какой-либо ветви от 0 до оо
напряжение на любом участке этой схемы
uah=ut
abx '
285
где Uabx—напряжение на зажимах рассматриваемого участка при
ZH=^oo; UabK—напряжение на зажимах рассматриваемого участка
при ZH = 0.
В соответствии со схемой рис. Р.6.5, a Uo>ox — EB—IxjXL =
= 138е>170°10'В. Напряжение (/О'Ок = ^л=100В- Сопротивление
ZBX = 24e'37° Ом, угол я|; = — 97°. Круговую диаграмму
напряжения Оо'о совместим с топографической диаграммой потенциалов
(рис. Р.6.5,г). При изменении ZH от 0 до оо точка О' будет
скользить по дуге окружности от точки А до точки т.
6.25р. Запишем фазные напряжения в комплексной форме:
0А= ЮОе'300 В; ?/в = —150 В; {/с = 75е'6°в В.
Рассчитаем симметричные составляющие фазного напряженияз
UАо = V*фА + UB+ Uс) = lOe/i5°° В;
0А1^ифл + аив + аЮс)^105е-^° В;
UA2 = V, Фа + *UB + аОс) = 39е/43° В.
Зная симметричные составляющие фазного напряжения 0А9
найдем симметричные составляющие фазных напряжений 0в и Uci
(>во = (Усо = f/ло = Юе/^оо В; [/В1 = а.[/Л1=ю5е-'171в В;
0В2 = аОА2 = 39е/163° В; UC1 = at/^ = 105е/69° В;
Симметричные составляющие линейных напряжений получим
по симметричным составляющим фазных напряжений:
Vabo = Vao -0 во = 0; 0ВС0 = ^>сло = 0;
UA1-UB1 = 105V3e-i2l° В; 1/^Л = 1>Л-1/В1= _
= 391/е-/13° В; UBC1 = a*UABi= 105/Зе'*1410 В;
слг лв1 в В; ^2==а2^в2==з91/3е-/ю70 В.
Определим графически симметричные составляющие фазного
напряжения 0л. На рис. Р.6.6, а показано построение Оло; на
рис. Р.6.6, б—построение UAl; на рис. Р.6.6, в — построение 0А2.
6.28р. Примем фазу А за основную и будем искать токи /Ао,
fA1, IA2. Составим три независимые схемы для прямой (рис. Р.6.7, а),
обратной (рис. Р.6.7, б) и нулевой (рис. Р.6.7, в)
последовательностей. Так как источник э. д. с. симметричный, он не содержит
обратной и нулевой последовательностей; 0±, 02 и UQ—симмет-
ричные составляющие напряжения Ua'O'- По законам Кирхгофа,
A)
Выразим напряжения на несимметричной нагрузке через
составляющие прямой, обратной и нулевой последовательностей
-V
/'¦
6)
Рис. Р.6.6
для токов и напряжений:
Оа'О' = I'aRa, 0г + 02 + 00 = (/х + /, + /0) RA;
B)
= {l\a +
Решив систему уравнений B), найдем:
/2 g \-
' °
¦ /
Г 0
Rc.
¦" 2
("
Подставив выражения C) — E) в систему уравнений A) и введя
дополнительные обозначения Zo =;
287
, получим
I'M (Zrl + Z, + Zo) + iA2Z2 + /^ = ЁА;
fMZi + /* (Zr2 + Za + Zo) + /^ = 0; [ F)
I'aiZ* + hex + IAo Br0 + Z, + Z0+ 3ZN) = 0.
Подставив числовые значения в систему F), найдем
симметричные составляющие тока 1А:
/Л1 = 5,26е-/15°10' А; /Л2= 1,475е-/5°45' А;
Определим искомые токи:
А;
15
6.30р. а) Токи t'1 = //7zsin0^; i2 = Im sin at] следовательно, В { =s
s=Bmsinco/; B2 = Bms\n(di.
Диаграмма векторов магнитной индукции показана на рис.
Р.6.8 для момента времени t = Г/4. Результирующая магнитная
индукция Во = VВ\ + В\ = Втyr2sm at.
Определим угол, под которым в каждый
момент времени расположен вектор Во относительно
оси первой катушки: tga = В2/В1= 1; а = 45°.
Угол а не зависит от времени; следователь-
Рис Р.6.8 но> поле не вращающееся, а пульсирующее.
б) Токи i1 = Im sin со/; i2 = Im sin (at—90°);
отсюда Вг = В/л sin 0/; В2 = Вт sin (co^—90°).
Результирующая индукция
\оС
+ Bi = BmVsm*(ot + sm*(®t—90е)-В/л.
При
(со/ - 90 °) _ sin (со* - 90 °) f 6
8Ш0/ "cos(©/-90°)" gl0)? Уи j а^-°)Г ^U •
Угол а меняется с течением времени, поле вращается с
угловой частотой со = 2я/.
Глава седьмая
7.2р. Так как при двухполупериодном выпрямлении период
напряжения на нагрузке в два раза меньше периода
напряжения источника питания, то искомая кривая будет содержать
постоянную составляющую и четные гармоники синуса и косинуса.
288
Постоянная составляющая
2Я
If*
= л" j u
О
tt + a
я/6
Амплитуда синусной составляющей четной k-й гармоники
2я
Гя
Л
\ sina
я/6
к 2л;
\ sinco^ sin^co^dco^— \ sinco^ smka^tdcot
L
»ta(*+!)T
—l
Амплитуда косинусной составляющей четной й-гармоники
«/«
1 Г
Л^=:— \ U (<i)t) COS k(x)t d (dt =z
n j
*я 2я
\ sinco^cos^co^dcof— V sinco^cosftco^dco^
k—\
k+i
Используя полученные выражения и подставляя значение k
= 2, 4, ..., получим
и (o)/) = i^2L [1,866 — @,166 sin 2a>* + 1,53 cos 2Ы +
+ 0,233 sin 4co* + 0,377 cos Ш+ ...)].
7.4р. Действующее значение напряжения
я
\ с и
Среднее по модулю значение UCV4 = — \ max (o/dco/ = -
2 •
289
Действующее значение первой гармоники ?/1 = 2[/тах/(К'2я) =
!= 0,45f/max. Таким образом, _&а = UmajU = УЗ, К^ = ?//?/ср м =
s=2/l/=l,15; Ли = 1/1/г/ = ]/2/3/я = 0|78.
7.7р. Мгновенное значение тока источника
/ (t) =l* +Lsl( sin ©* — ¦i sin
= 1 + 0,64 sin 314/—0,32sin628^,
где со = 2я/ = 314 с
Расчет цепи производим для каждой гармоники в отдельности.
Расчет постоянной составляющей. Параметры цепи: /@) = 1 А;
# = 20 Ом; coL = O; 1/(соС) = оо.
W \o(o)
«J-fl?
¦^
fl
Рис. Р.7.1
Схема цепи представлена на рис. Р.7.1, а. Ток источника тока
замыкается по ветви с индуктивной катушкой, так как
сопротивление этой ветви равно нулю; iL @) = /@) = 1 A; iR @) = 0;ic @) = 0.
Напряжение на зажимах источника тока ui0)=0.
Расчет по первой гармонике. Параметры цепи: j1(t) = 0i6Ax
X sin 314* А; # = 20 Ом; oL=10Om; 1/(coC) = 20 Ом. Расчет
проводим в комплексной форме для амплитуд. Схема цепи показана
на рис. Р.7.1, б.
Амплитуда тока источника
Напряжение на зажимах источника
m U)
1> = ^(Лх = -
1 т (!)
0,64
0,64
0,64
'—с\ —/4*»°
'0,05 —/0,1+/0,05"
В,
0,05-/0,05
где Увх—суммарная проводимость трех параллельных ветвей.
Ток fRm {1-ч = [/mn-JJR = 0,455e/'45° А; ток Imn\ = Um
s= 0,91e"~/45° А; ток ICm A) = Um A)/(— jxc) = 0,455e/135° А.
Расчет по второй гармонике. Параметры цепи! /а(^) =
= —0,32 sin 628^ A; R = 20 Ом; 2coL = 2O Ом; 1/BшС) = 10 Ом.
Расчет проводим в комплексной форме для амплитуд (рис. Р.7.1, б).
Амплитуда тока источника */^B) = —0,32 = 0,32е/180° А.
Напряжение на зажимах источника
о I 0,32е/180°
0,05 — /0,05 + /0,1 ",05+/0,05""
s=4,55e>'135° A.
290
Определим токи в ветвях схемы:
IRm A) = 0,227е/»«в A; JLm (Я = 0,227е>"в А;
Найдем мгновенные значения токов:
iR (*) = 0,455 sin C14* + 45°) + 0,227 sin F28* + 135°) А;
iL @ = 1 + 0,91 sin C14*—45°) + 0,227 sin F28* + 45°) A;
ic(t) = 0,455 sin C14*+ 135°)+ 0,455 sin F28* —135°) A.
График тока iL = f(a>t) показан на рис. Р.7.2. Первая гармоника
тока проходит через нуль при ф1=+45°, вторая гармоника—
при ф, = —45°/2 = —22,5°.
1,5
1
0,5
-0,5
Ч
7W,
90"
Аи
36Q°Q)t
Рис. Р.7.2
Для расчета мощности источника тока вычислим действующие
значения тока источника и напряжения на его зажимах:
/@) = 1 А; /A)^0,454А; /B) = 0,226е/»ов А;
^2)= 1,12 A; t/@) = 0; Ц{1) = 6,Ш«О В;
В; ?/ = К^о, + f/?i, + ?/?« = 7,2 В.
Тогда мощность
Р = ^@)^@ + f/i ^i cos фх + UB)I{2) cos ф2 = 6,44 • 0,454 cos 45° +
+ 3,22-0,226cos45° = 2,587 Вт; S = t// = 7,2.1,12 = 8,1 B-A.
7.10р. Расчет ведем для каждой гармоники в отдельности.
Расчет постоянной составляющей. Его осуществим по схеме
рис. Р.7.3, а. Сопротивление постоянному току индуктивной
катушки равно нулю, конденсатора—бесконечности. Схема
представляет собой единственный контур, по которому течет ток /@).
Напряжение
и«л<о) = — е@) + /@)(#1 + #я) = — ЮО+ 6-20 = 20 В.
Расчет по первой гармонике. Расчет проводим в комплексных
амплитудах по схеме рис. Р.7.3, б. На частоте о источник э.д.с.
не работает; следовательно, в схеме он представлен своим нулевым
291
внутренним сопротивлением (короткое замыкание зажимов
источника э.д.с). Амплитуда тока в комплексной форме Jт[1) =
= 1е>90° А. Напряжение Vmna) = Jm{1)Zmmn, где ZBXmn = R2 +
{*+^/$$] =30Qm; Ояя{1) = ЗОе1п*Ъ. Мгновенное
знаj2coL
чение wenA) = 30sin(<o< + 90°) В.
f/7
Рис. Р.7.3
Расчет по второй гармонике. Расчет осуществляем в
комплексных амплитудах по схеме Р.7.3, в. На частоте 2ш источник
тока не работает; следовательно, в схеме он представлен своим
бесконечно большим внутренним сопротивлением (обрыв на
зажимах источника тока). Амплитуда э.д.с. в комплексной форме
-™ = 3,54е-/»вА.
<2>
Ток в контуре
1 т B> "" «1 + /2coL —/Д2соС) "~ 10+/20 — /10'
Напряжение Umn{2) = Ukni2) (рис. Р.7.3, в); следовательно,
0тп B) = — 1т B) (— //2(оС) = 35,4е/A80О-15О-90°) = 35,4е/75° В;
итп B) = 35,4 sin Bco* + 75°) В.
Окончательно напряжение
и,пп @ = итп @) + ияп (i) + итп B) = 20+30 sin (со* + 90°) +
Активная мощность источника тока
10
^•1=270 Вт
(ток источника тока по второй гармонике равен нулю; <Pi = 0).
Полная мощность
7.11р. Мгновенное значение напряжения на входе
четырехполюсника
= 15,9+ 25 cosarf + 10,6 cos2co^ — 2,12cos4co/ =
= 15,9 + 25 sin(©* + 90°) + 10,6 sin Bco< + 90°) + 2,12 sin D<o?—90°).
292
Выразим U1 через 02, обозначив сопротивления
четырехполюсника в комплексной форме: Z4 = — jXCy Z5 = R, Z6 — jXL:
Ux = 02 + I\Z, = U2 + (I\ + /2) Z, = U2 + (UJZ6 + U2/Rti) Z4 =*
= U2(l + Zj
Отсюда напряжение на нагрузке
l-Xc/XL-jXc/R№ •
Воспользуемся этой формулой при расчете и2 для каждой
составляющей входного напряжения. (Обратим внимание, что
Z5 не влияет на значение 02.)
Расчет постоянной составляющей. Параметры схемы: ui{0) =
= 15,9 В; Хс = 1 /(соС) = оо; Xl = mL = 0. Напряжение на
нагрузке м2@) = 0.
Расчет по первой гармонике. Расчет ведем в комплексных
амплитудах; 01т A) = 25/ = 25е>90° В. Параметры схемы: ХС{1) =
== 1/(соС) = 6О Ом; XtA)=rcoL=10 Ом; i?H = 20 Ом. Напряжение
-/121° R.
/ f?^
^2^A)— 1_60_.60 — — 5—3/"" 5 83e''211° "~
10 ; 20
Щ a) (t) = 4,29 sin (©<—121°) B.
Расчет по второй гармонике. Напряжение на входе Ulm B) =
= 10,6/ == 10,6е/90° В. Параметры схемы: Хс B) = 1/BсоС) - 30 Ом;
XIB)=2cuL = 20Om; Rh = 20Om. Напряжение на нагрузке
, 30__.30~ —0,5 — /1,5
20 У 20
Щ B) @ = 6,7 sin Bco^—161,6°) В.
Расчет по четвертой гармонике. Напряжение на входе
Vimu) = — /2,12 = 2,12е-/в0° В. Параметры схемы: Хсш = 1/DшС) =
= 15Ом; XID) = 4(oL-:40 0m; #h = 20Om. Напряжение
ez>lzez>ue9 17е-/39'8° В
/у 9
U2mu)~ 15 . 15 — 0,625-/0,75 ~ 0 97бе-/50'2° ~"Z
1^40"~;20
Напряжение на нагрузке
1/2D,@ = 2,17 sinDco/ — 39,8°) В.
Окончательно напряжение на выходе
Щ @ = ^ (о) @ + «2 A) (/) + B) (/) + и2 @ (/) =s
= 4,29 sin (со/—121°) + 6,7 sinBa>/— 161,6°) +
+ 2,17 sin D(о/ — 39,8°) В.
293
Действующее значение напряжения
U 2пг A) ! U'ът B> , U2т D)
2 ' 2 ' 2
четырехполюс25
20
15
10
5
Спектры напряжений на входе их и выходе
ника показаны на рис. Р.7.4, а, б.
7.12р. Для того чтобы в нагрузку не проходили третья и
пятая гармоники, оба контура (последовательный и параллельный)
должны быть настроены в резонанс: один—
на частоте 3<о, другой — на частоте 5со.
Рассмотрим два решения.
1. Параллельный контур ЬгС± настроен
в резонанс на частоте Зсо: {/(ЗсоЬ^ =
= 3©^ =1/30 См. Отсюда Сх = 11,1 мкФ.
На частоте Зсо сопротивление-
параллельного контура Zt C) — оо (резонанс токов).
Последовальная цепь L2C2 настроена в
резонанс на частоте 5со: 5coL2 = 1/EсоС2) =
= 50 Ом. Отсюда С2 = 4 мкФ. На
частоте 5(о сопротивление последовательной
цепи Z2E) = 0 (резонанс напряжений);
следовательно, пятая гармоника тока
пройдет по Z2 минуя Rn.
Для определения UH/UBX A) найдем
зна0
>в
15
10
5
со
-
-
т
2@ Jco 4co
Т . т
00
6)
Рис. Р.7.4
р
чения Zx и Z2 по первой гармонике:
/10 (-/90)
Zkd= /Ю-/90 =
Z2A) = /10 —/250 =
В результате получим
/240 Ом.
г/ /г/ 1
H BXA) |Z2H
AI
1 no
— 1 ,UO.
2. Параллельный контур настроен в резонанс на частоте 5соз
х = 4мкФ; последовательный—на частоте Зоз: С2=11,4мкФ.
Вычислим сопротивления Zx, Z2 и Z2H на частоте о:
Zx (i) = /Ю,4 Ом; Z2A) = —/80Ом; Z2HA) = 40 |^&-/«° Ом.
Тогда
ВХ A)
2Н A) I
A) I
1 1Q
7.17р. Расчет постоянных составляющих (со = 0). Расчет
проводим по схеме рис. Р.7.5, а. Параметры схемы: е1@) = Ю0 В;
е2@) = 20 В; R = 6 Ом; coL1 = coL2 = O. 1/(соС) = оо. Ток t1@) =.
294
Расчет по первой гармонике {частота со). Его проводим по
схеме рис. Р.7.5, б в комплексной форме. Амплитуда Elmii)=.
= 60е/30° В; e2(t) не содержит составляющей частоты со, поэтому
вместо нее в расчетной схеме короткое замыкание (ZBH = 0).
Сопротивление параллельного контура ZBXab=oo (резонанс
токов). Определим токи:
- 2Ое-/во- А; 1Ъл A) = 0аЬт
JL
/coL, - JL) = 20е'»'в А.
Расчет по второй гармонике (частота 2со). Его ведем по
схеме рис. Р.7.5, в в комплексной форме. Амплитуда Е2т{г)=гь
Рис. Р.7.5
t= 30e/90° В; ex(t) не содержит составляющей частоты 2<о.
Комплексное сопротивление средней ветви Z = /2coL1—^^ = /2 — /2 = 0
(резонанс напряжений в ветви); следовательно, ток по левой
ветви не пойдет (левая ветвь шунтирована средней): 11тB) = 0;
hm B) = — hm B) = Ё*т <2)/(/2@Ai) = 5 А. Рассчитаем мгновенные
значения токов:
i± (t) = 20 A; i2 (t) = 20+20 sin (c^—60°) + 5 sin 2оз* А;
is (t) = 20 sin (©/ + 120°) — 5 sin 2®t A.
Определим мощности источников:
= 20-20 + 75 cos^90° = 400 Вт.
Проверка. По балансу активных мощностей потребляемая
мощность PR = il@)R = 2400 Вт равна сумме мощностей источников
Рг + Р2. Определим полные мощности:
2 = 763 B-A.
7.20р. По закону Ома, ток iR = u/R. График iR = f(t) дан на
рис. Р.7.6,а. Ток iL = —\tiLdt. График iL = f(t) показан на
рис. Р.7.6, б (кривая проведена с учетом отсутствия постоянной
составляющей).
295
Для интервалов времени 0—1, 2—4, 5—6 мс график тока
tL—парабола; для интервалов времени 1—2 и 4—5 мс—прямая.
Ток ic = C-^. График ic = f(t) представлен на рис. Р.7.6,6.
7.24р, Соединение треугольник —
треугольник заменим соединением
ю\-~я—n звезда—звезда. Определим э.д.с. фаз
40
генератора:
100
20 .
100
=r sin E@^+150°) B;
з
JS.si
?=¦sin Eco^—90°) B.
10
01 | з | б 'J7mg
^ ' 6j Найдем сопротивление фазы
нагрузки, соединенной треугольником,
Рис. Р.7.6 по перВОй и пятой гармоникам:
Щ = /6 — /30 = — /24 Ом;
Рассчитаем сопротивление фазы нагрузки, соединенной
звездой, по первой и пятой гармоникам:
Расчет по первой гармонике токов и напряжений:
1 / ?^CT1 57,74е-'0° ¦_ с 1сл.»
'Aml:=la0'mi= R+Z(i) 8-/8 ~D'le/
= б, le/»e8e-/»»e = 40,8е-/"° В;
Кia0-ml e/"e = 70,5е-/«° В;
- 70,5е-/«в/24е-/»в = 2,93е/»в А;
= 2,93е-/«* А;
( + ,90О = 80,7е-/34° В.
296
Расчет по пятой гармонике токов и напряжений:
f _f ЁАт, _ 1/°
'ЬстЪ '
Мгновенное значение напряжения
ад/= 80,7 sin (о* —34°)+ 15,9 sin
Активная мощность
1 ^r\c m i ^ EAmrJАтЬ
- cos цI-\- о 2
= 1,025е-/»в8е/"° =8,2е/»в В;
i/e0.m,e-/"° = 14,2e/«»e В;
= 14,2е/«°/24е/»»в = 0,59е-'"в А;
115°30')В.
Ф, = 650 Вт.
i|^jL^iL^800B.A.
Полная мощность
/"pi ~pi
^Ат\ , ^ Атъ
7.30р. С учетом соотношения
получим выражение
и @ = 200 cos 100* sin 1000/ В,
где 100 с"—частота Q огибающей колебания u(t)] 1000 c" —
несущая частота о. Период огибающей T0 = 2jx/Q== 0,0628 с,
период несущей Тн = 2я/о)= т
= 0,00628 с. График и =
= /(?) показан на рис.
Р.7.7, период биений Т6
равен половине периода
огибающей: Т6 = 0,0314 с.
200
-200
Глава восьмая
Рис. Р.7.7
8.7р. Применяя метод
эквивалентного генератора, построим расчетную схему замещения
(рис. Р.8.1).
а) По методу наложения:
где
аЬ х | иаь х \ Ugh х а дсг Д.
2/ ^1+^2
297
Таким образом, /@ = 0,18 + 0,45е-10*' А.
б) В схеме замещения включен эквивалентный источник
синусоидальной э. д. с.
-Uabmx-J2m R+R+Rjx-\995e " В.
Соответственно uabx(t)= 19,5 sin A (И—45°) В.
После коммутации
»'(*) ='пр @ +'с» (') = *.
где /„р (*) = /,(*) = 0,1 sinA0«*__ 16°) А;
Л 10*с; Л = 1-@+)-*п
~{—Т3 + r1 + r2 J-».p(O+) = -0,
В результате получим t@ = 0,1 sinA0*if—16°)—0,0687е-10''А.
х
s*Wf[ iVltj
'W
Рис. Р.8.1 Рис. Р.8.2
8.8р. а) Применяя метод эквивалентного генератора, получим
расчетную» схему замещения с эквивалентным источником тока
(рис. Р.8.2), в которой при ? = 0 контакт размыкается и
T Ri+Rs
где
-в 40В; Л = ^ @+)-"аьпР @+) = -40 В;
б) Решение аналогично п. а), но эквивалентный источник тока
содержит синусоидальную составляющую /в:
Л.«=4-1 Г^ i = 0'1А« y« = O,lsinlO*./A;
«aeDp==12,7sinA0*/-18°30')B; ий5пр@+) = -4В;
Следовательно, ыаЬ (Q = 12,7 sinA0*^—18°30') + А&~ь-™**В.
298
8.9р. а) После первой коммутации при
ис @ = 100— 100е-10< В; i = C^f- = O.le0' A;
uc (Г) = 100A— е-107")в-
После второй коммутации при t^T
где
Таким образом, ис@ = 100A—е-"г)е-1в<'-г> В; i@ =
= — 0,1 A—е-1°2")е-10<'-г)А.
б) При 0<^<Т для случаев б) и в) решение аналогично.
При t^T
ис (i) = 200—100A +e-»r)e-ioia-r) В;
в) При
ис @ = —100 + 100 B-е- i°r) е-юа-т) в;
/(/) = _0,1 B—е-к»г) е-10"") А.
Графики переходных процессов при Т = 0,1 и 0,03 с показаны
для случая а) на рис. Р.8.3, а,б.
д)
Рис. Р.8.3
Убедимся, что схема рис. 8.5,6 представляет собой
интегрирующую цепь. Действительно, составляя уравнение для входного
контура, получим Ш +ис — ивых = ивк.
299
Учитывая, что t = C-^ и при k=l мвых = ис, находим
RC- аи™* =~-ивх. Следовательно, ивых=-^г \ uBXdt. В соответствии
с этим выражением построены графики uBVlx=f(i) на рис. Р.8.3, в—д
для случаев а) — в).
8.10р. 1. Решение аналогично решению первой части задачи
8.9р. При 0</<Т ас( 5 25'В )
Рис. Р.8.4
при t^T uc(t) =
= 100 — 25 A— е-1ОГ)е-7'5<'-Г) В.
2. После многократных
коммутаций в цепи устанавливается
периодический режим (рис. Р.8.4).
Обозначим через иг напряжение
на конденсаторе в момент
замыкания выключателя Bп = 2пТ, а
через и2—напряжение на
конденсаторе в момент размыкания ип±л =
= Bп+1)Т, т. е. Ul{t2n) и аа =
(^ )
B« + l)-
При рассмотрении установившегося режима целесообразно
вести отсчет времени не после первой коммутации, а от начала
замыкания (размыкания) выключателя.
Если обозначить через V время, отсчитываамое от момента
замыкания, т. е. от t2n, то напряжение на конденсаторе в этой
области изменяется по закону
"зам (О = ипп + (иг—мпр1) е*'',
где апр1 = 75В; /?, = —Юс.
К моменту размыкания (tr— T) напряжение на конденсаторе
достигнет значения и2, т. е.
"зам G1) = иа = "npi + ("i — "nPi)ePl 7 ='"ПР1 A — е"»г) + "iePl r-
Подставляя в это выражение числовые значения, получим
и2 = 47,5 +0,368а,.
Аналогичные уравнения можно составить, когда выключатель
разомкнут, обозначая через Г время, отсчитываемое от момента
размыкания:
где ипр2=100В; Р2 = — 5,7 с.
К моменту замыкания (t"=T) напряжение на конденсаторе
равно и19 т. е.
ИразG1) = ="пр2A— &*т) + щеР»т и ^ = 52,5 + 0,475^.
Решив оба уравнения относительно «^ и м2, получим w1 = 91B;
и2=81 В. Следовательно, в моменты времени, когда контакт
замкнут, ^зам=75+ 16е~10t' В, а когда разомкнут, то uva3 =
-100 — 19е-'*^В.
300
8.16р. а) Ток
где
,/г-зл
= -0,5;
3R
= — 150с~1# В результате получим iL @ = 2—0,5е~150'А. Ток
1'д@ = *%дпр + ^2ер1'' Значения принужденных токов во всех ветвях
схемы, рассчитанные по схеме замещения (рис. Р.8.5, а), а также
напряжения источников приведены на рисунке в амперах и воль-
а)
Рис. Р.8.5
тах. Расчет полных токов во всех ветвях схемы непосредственно
после коммутации (? = 0+) выполнен с помощью схемы замещения
(рис. Р.8.5,б) для момента времени / = 0+:/дпр= 1 A; i„@+) =
= 0,75А; Ла = —0,25; *д(*) = 1— 0,25e~i50^A.
Аналогично решается задача для случая б)з
*'д @ = 0,5 sin B00*—8°)+0,07е-1б0'А.
8.17р. Применив метод эквивалентного генератора, получим
расчетную схему замещения (рис. Р.8.6) с нулевыми начальными
условиями, в которой при / = 0
контакт размыкается.
а) Ток эквивалентного источника
тока
Напряжение на выключателе
после размыкания контакта
Рис. Р.8.6
= R1R9/{R1 + RZ); л = — (R* + R9)/L = — Ю'с. Следовательно,
uab(t) = 5 +5е~103/ В. Для случая б) решение аналогично
решению п. а):
ад& @ = 2,5+3,12 sin E00*—71°20')+0,45e-i°3'B.
8.20р. Входное напряжение uab(t), заданное в виде
ступенчатой функции (рис. Р.8.7, а), можно представить как сумму после-
301
довательно включаемых постоянных напряжений и& (рис. Р.8.7,
б—д). Напряжение в любой момент времени обусловлено суммой
предшествующих напряжений, т. е. щъ = иг + щ + •.. + uk. Для
определения тока в любой момент времени (после коммутации)
используем метод наложения. Найдем ток 4it вызванный первой
коммутацией:
где Л1 = г\@+)
вательно, it = 1
4
1пр(+)
е-10^ мА.
^—R/L = — 104c"s. Следо-
0 111 hT t
"I u\
о 2ТЬ' t °
г)
Ток i29 вызванный няпряжением иа, будет таким же, как и
ток i^ но сдвинутым во времени на Т. Таким образом,
После второй коммутации суммарный ток
i*z = к + h = 2—е~хо4 A + е1о4г) мА.
После k-ft коммутации при kT ^t
мА.
Выражение в квадратных скобках представляет собой
геометрическую прогрессию со знаменателем е1о4г.
Возможна и иная запись выражения для тока ik%. Если вести
отсчет времени от начала каждого импульса (обозначение f на
рис. Р.8.7, в—д), то время ty отсчитываемое от первого
включения, можно записать в виде t = (k — 1) Т + t\ В результате получим
8.27р. Составим характеристическое уравнение:
= 0
или
1
= 0.
302
Для случая а) л = — б-КРс"; р^— 16'103e~J; для случая б)
А,» = —S±/4 = —lO'i/lO8^-1.
а) Напряжение на конденсаторе и ток в катушке определим
из выражений
ис @ = «с пр @ + Аге*' + Аг&*' - мс пр@ + 2
'i @ ='/ пр (О НЬ ВгвР^ + В2е»«; - /? пр @ + 2 B
Возможны два способа расчета Л.-, Bt.
1. Найдем А,-, Б,- из уравнений
где
= 50-10 А;
Значение г'с@+) определим из уравнений, составленных по
законам Кирхгофа для послекоммутационнои схемы при ? = 0+;
откуда tc@+) = 25-10-3A.
Значение ^@+) вычислим из уравнения
откуда «z@+) = —50 В. Соответственно Л^ = —120; Л2 = 20; Вг
г=30-10~3; В2 = —30-Ю". Окончательно получим
2. Постоянные Л h Bt можно определить путем совместного
решения уравнений для uc(t) и iL(t) при ^ = 0+. При этом не
требуется рассчитывать производные напряжения на конденсаторе и
тока в катушке для ^ = 0+. В результате получим
Л1 + Л2 = ас@+) — «Спр@+)--100; A)
B1 + fl2 = «'L@+)-^np@+) = 0. B)
Дополнительные связи между Л1? Вх и Л2, В2 найдем по
уравнению, составленному по закону Кирхгофа для отдельных (i-x)
303
свободных компонент напряжения uci и тока iLi. Выбрав на по-
слекоммутационной схеме контур, содержащий L и С, получим
Таким образом,
{pJLBi + Rfii-Ai-pflRzA) eV = О,
откуда В:= р р/ TSA:. Из этого уравнения при i = l9 2
А2Т Pi**
Решив совместно уравнения A) — D), вычислим Лх = —120;
Л2=20; ^ = 30-10; В2 = — ЗО-Ю.
б) В этом случае корни характеристического уравнения
комплексно-сопряженные.
1. При этом способе целесообразно искать решение для uc(t)
в виде
ис (t) = ис пр (t) + Ае-м sin (©0/ + v),
где uCllv = 0\ iL пр = ?//?= 1 А. Определим Л hv из уравнений
Отсюда
Л = 100|/2; tgv = —I; v = + 135°;
ис (t) = 100 V2 е-1°°* sin A0^ + 135°) В.
Аналогично, f? @ = 1+ е0'' sin 10^ А.
2. При совместном решении уравнений ис (t) = uc np(t)
+ JZAfiPi* и lLit) = iLn9{t)+ S 5ге^ для * = 0+
A)
B)
D)
Решив уравнения A)—D), получим
304
Таким образом,
= 100|/e-i°3'cosA03/-M5o)B;
i' m = l + e-108' e/1° ~e —= 1 +e~103'-sinl03*A.
8.30р. Свободные составляющие напряжения на конденсаторе
и тока в катушке при f = 0+ найдем непосредственно по законам
коммутации.
а) В этом случае
Начальные значения свободных составляющих токов в
остальных ветвях определим по схеме замещения для свободных токов
при t = 0+ (рис. Р.8.8, а), которую рассчитаем по методу наложе-
ния. Результаты расчета частичных свободных токов при / —0+
указаны непосредственно на схемах рис. Р.8.8, б, в, где
значения токов даны в амперах, а напряжений — в вольтах,
б) Решение аналогично решению п. а):
"ссв@+) = -225В; ;1св@+)=0; ^1св@+) = 7,5 А;
*Я8св@+) = —7.5А; 1"я4св@+)=15А;
*'*св@+) = 7,5А; tCcB@+) = 15A.
8.31р. Выражения для определения напряжения и тока на
конденсаторе для случаев а) и б) имеют вид
"с @ = "с лр (t) + ис св (t) = Uс пр т sin (со/ + фс пр) +
— 8CAe~6t sin (®ot + v) + cooC • Ae~6t cos (<oQt + v).
По условию, Q^>1 и б<^соо, поэтому
где
(uCUc пр т cos (at + (рс пр) + (xHCAe~6t cos
w = /npOT; оHСЛ = /свя.
v),
305
Использовав законы коммутации ис @+) = ис @_) = 0; ic @+)=
=iL@+)—0, получим
Uс пр т sin Фс пр + Л sin v = 0; A)
®CUC пр ,л cos фс np -h со0СЛ cos v = 0. B)
Из уравнений A) и B) следует tg <pCnp = ii tg v.
По УСЛОВИЮ, Q^>1 И CO = (D0, ПОЭТОМУ 9cnp^vJ A ttUcnpm*
-'пр т = •'ев т*
Таким образом, для заданных условий независимо от
начальной фазы э. д. с. e(t) значение амплитуды свободного тока при
t = 0+ равно и противоположно по знаку
амплитуде установившегося тока.
Найдем выражение для тока в контуре и
напряжения на конденсаторе при <ф = 0,
со = со0. При со — со0
cd0L=1/(<d0C); ZBX = i
Рис. Р.8.9 tc(f) = ^.(l_е-6,
ис (t) = — EQ A — е~6/) cos co0/ В,
Огибающие тока ic и напряжения ис изменяются по одному и
тому же экспоненциальному закону (рис. Р.8.9).
б) При конечном значении б, но 6f<^l, после разложения
экспоненты в ряд получим
uc(t) « — EmQ8t cos (x)ot « |^-^cosco0f.
При б —> 0 (jR -> 0) этот ход процесса имеет место для всех t.
8.33р. Характеристическое уравнение имеет вид
= 0,
Тзр+l
где T^RJL
После преобразований получим
pf. = —1,62-10* с; Р2 = — 7,38-104 с;
:з = «с4 = ^спР+Л1е^ + Л2е^; ^спР- RiR2 , Зр , р =10В''
R1+R2
Ai + A2 = uC3@+)—аСпр@+) = —10; Л^
d^ ^ +' dt ^ +* С v>
^•?^==: — 1 ?)(; ¦*^2=== » * ^С4:^—i ^^ — 1 ^,i е * ~у /Lуiо, * \j,
306
8.35р. а) Ток в цепи после коммутации
Е
Использовав обобщенный закон коммутации ф @+) = ф @_),
найдем i@+):
откуда f(O+) = lA; i41 = t1@+) —flnp@+) = 0,5 A.
Следовательно, t(/)==0,5 + 0,5e'10Н А. Напряжение на
выключателе иаЪ(t) = R2i + L2^= 150-f 50e-21°4zf B.
б) Решение аналогично решению п. а):
При заданных условиях Л2 = 0, т. е. процесс устанавливается
мгновенно.
Определим t@+) из условия непрерывности потокосцсплэния:
{L± + L2+ 2M) i @+) = 1x4 @_) + L2L2 @.) + Мi\ @_) + Mi2@_);
откуда /@+) = 1 А; Л3 = 0,5 А.
Следовательно, f (/) = 0,5 + 0,5e-1»e'104 A.
Напряжение на контактах
uab(t) = R2i+(L2 + M)§= 150+ 50е-*-* В.
Графики изменения токов во времени для первых двух случаев
приведены на рис. Р.8.10,а, б.
8.42р. а) Применив преобразование Лапласа, найдем
При синусоидальном напряжении на входе, заменив р на /со,
получим
307
Если считать, что a=l/(RC)> то К (/со) =
может быть составлена из JRC-цепи (рис. Р.8.11, а),
б) Для этого случая
и схема
Полагая a = &/L, определим
*(/©)=¦
*
В этом случае схему можно составить из RL-цепк (рис. Р.8.11,6).
l,A
Чл.
Jrh=t
i,A
AL
1,=12SL
о о
о t,c о t,c о
а) б) а)
Рис. Р.8.10 Рис. Р.8.11
8.45р. Коэффициент передачи Unu\1^ = Кг (р) /С2 (р)... Яя (р) =
Операторное выражение для напряжения на выходе
Un+i(P)=p{TlP+l)(T2p+l)...(Tnp+iy
Применим предельные соотношения [p
^«+i(p)]p->o=^^+i<0^oo. Отсюда ara+1@+) = 0; mw+i(oo) = ?.
Операторное выражение для напряжения на выходе третьего
звена
Применив формулу разложения, получим
8.46р. Изображение входного тока
308
Для получения разложения изображения по обратным степе-
поделим числитель на знаменатель. В результате получим
Учитывая, что l/p-^-1; \lp2-^-t\ l/ps^-t2/2\y определим
выражение для тока
Полученное выражение пригодно для описания переходного
процесса при t да l/а. При больших t (t —> оо) i (t) —* 0, так как
8.48р. а) По методу двух узлов
Е 1 ,
где и г @) = Е;
Перейдя к оригиналам, получим ис (г) = 50 + 50e~100t В; /2 (^) =
= 0,25 + 0,25e-100t A.
Рис. Р.8.12
Рис. Р.8.13
б) Применим метод эквивалентного генератора. Найдем
напряжение на выключателе до коммутации: u12(t) = E. Составим
расчетную схему с нулевыми начальными условиями (рис. Р.8.12),
из которой получим
A;
8.49р. а) По закону Ома,
[см. п. а)].
где i@) = ?//?, = 100 А.
Следовательно, i@ = 50 + 50e-( А; ы12 (*) = 50 + 50е~* А.
б) Для расчета напряжения между контактами, используя
метод эквивалентного генератора, составим схему замещения с ну-
309
левыми начальными условиями (рис. P.8.13J. В этой схеме ток
эквивалентного источника тока /в@ — E/R2 = 100 А. По закону
Ома, в операторном виде после размыкания контакта
Соответственно I&(p) = U12(p)/R1; I2(p) = Ui*(p)/(R* + pL).
Следовательно, H12(f) = 50 + 50e-* В; iR2(t) = 50 — 50е~' А.
Истинный ток через резистор R2 (с учетом тока, протекающего
в цепи до коммутации)
-* A.
8.52р. а) Операторные уравнения имеют вид
Будем искать решение для Ui(p) +12(р)] и [11(р)—12(р)]>
Сложив и вычтя эти уравнения, получим
(n) = Uca
Hl
__ UCO «2_
где k = L/M\ 6it 2 = /?/2LA + k)\ cooi, 02= 1/[(^C) A =F k)\ =o)q/1 + fe;
O
Использовав таблицу изображений и соответствующих
оригиналов, найдем:
б) При й<^1, 6i«S2 = 6, со01 ^>бх; со02^>62, соо1 «со02 = соо
310
в) При # = 0, бх = б2 =
В этом случае после коммутации возникают незатухающие
колебания различных частот.
8.58р. Представим напряжение на входе в виде суммы двух
составляющих иг и и2, сдвинутых во времени (пунктир на
рис. Р.8.14,а—г). В интервале и
времени от 0 до tx действует
напряжение и19 а при t^tx—сумма
Ток в цепи определим по фор- о
муле Дюамеля, используя
переходную проводимость g(t), найден- -и
ную в задаче 8.53 (см. рис. 8.30, в).
Для рис. 8.33, а при 0^ t^t±
Uj
t/'
a)
и, и2 /
у
\
s)
при
=0,1е-10'*
A;
для рис. 8.33,6 при O
t
при
уууУ/
ш
и
/
У/У
т
к
Г/Г-
7
8) г)
Рис. Р.8.14
0,1) A;
t
для рис. 8.33,в при
при t^ti
n
^-^ A;
(l—е-10'*) А;
— 0,1 [1-е-1
А;
]
для рис. 8.33, а при 0^^^^
*@ = 0,05j/2sinA04 + 45°) —0,05е03' А;
при t^ tx
/(O = O,O5e-lo3<^-V —O,O5e-lo8t A.
В последнем случае задача решается проще без помощи интеграла
Дюамеля, например классическим методом в сочетании с методом
наложения.
311
8.59р. Применим метод эквивалентного генератора. В
результате получим схему замещения, в которой начальные условия
нулевые, а эквивалентная э. д. с. e(t) = u(t)—UC0 (рис. Р.8.15).
v 2R По методу наложения найдем i(t) для слу-
i—** СИ—| чая, когда u(t) задано рис. 8.33, а:
Ф_]_ ПРИ 0<*<*i
т J i (t) = (U-Uco) g @ = 0;
Рис.Р.8.15 ПРИ '>'*
Если u(t) задано рис. 8.33, в, то:
при ()<*<*!
t
i{t)^-Ucog(t)+\u1(x)g(t-x)dx = Oile-^4O1l(l-e-^i) A;
о
при t^ ti
t t
i{t)^-UC{ig{t)+\u{{x)g{t-x)dx+\u2{x)g{t~x)dx^
о и
^ — О^е-^' + ОЛе-103^-^ А.
8.60р. Проще всего решить задачу с помощью классического
метода в сочетании с методом наложения. При воздействии
импульса, изображенного на рис. 8.34, б, в интервале времени от 0 до tf
= Е + Ае~ 6t sin (co0* + v),
св
где 8 = R/BL); coo/
Определим А и v из уравнений
E + A sinv = u2@+) = 0; A)
= 0. B)
с
Отсюда A cosv = ?«0, так как, по условию, б^са0;
@0
»90°; sinv^l; A — —E. Следовательно, u2(t) — E(l—e"*' cosco0^).
При t = tt
u2 (tt) = E A — е-ы cos (oog = E A —e-^)\
при t^ti
u2 (t) = u2 (t±) e-« с-'*) cos (o0 (<—^ = ? [e-6 c-'O—e-*<] cos ca0?.
Для прямоугольного радиоимпульса, изображенного на
рис. 8.34,в, решение аналогично решению задачи 8.31р:
при 0<*<*1
@
при ^i
и2 Ц) = — EQ A — е-«0 е~б «-'*> cos со0^;
График u2 = f(t) показан на рис. Р.8.16.
312
8.61р. Пусть для любого &-го цикла, где k = n+ 1, а п = 0у
1, 2, ..., напряжения иСз (т) и иСр(т) означают напряжения на
конденсаторе при его заряде и разряде. Время т = ?—пТ будем
отсчитывать от начала &-го цикла (рис. Р.8.17). Обозначим
искомые значения напряжений в начале &-го и (&+ 1)-го циклов через
ис{п) и ас(д + 1).
В случае заряда и разряда конденсатора при
при
где 61 = l/(R1C)\ 62=1/(#аС); uCa(t1) = E(l—e-*A) + uc(n)e-6A.
По закону коммутации, напряжение на конденсаторе в конце
&-го цикла равно напряжению в начале следующего (k + 1)-го цикла,
т. е. ucv (Т) = ис (п + 1). Отсюда ис(п +
Если а = ? A — е~6^) е^7*"^,
& = e-6i'ie-6«G'"^), то выражение для
разностного уравнения, связывающего
между собой напряжения на конденсаторе
в начале каждого периода, имеет вид
ис[п+ 1]—Ьис[п] = а,
где ис[п] — решетчатая функция.
Для его решения воспользуемся дискретным преобразованием
Лапласа или эквивалентным ему Z-преобразованием. Если
функции ис[п] соответствует изображение U*c(z) = 2 г~пи>с[пЪ то»
по теореме сдвига, ис[п+ 1] -f- zUc(z), так как, по условию,
Uс [0] = 0, а -г- аг/(г — 1). В результате получим Щ (г) = агЦг — 1) X
X(z—ft). Применив обратное преобразование, найдем
Окончательно получим:
при О^т^ tx
при
( ) j? A —е
Установившийся периодический режим соответствует п —*» оо
и 6—^0. Подставим в полученные выражения числовые значения:
исз(т, п) = 100+[44,6A— 0,67") — 100]е-100т В;
ыСр(т,/1) = [18 + 36,5A— 0,67")] е-2оо(т-2.юз)В#
Изменение напряжения на конденсаторе для первых шести
циклов показано на рис. Р.8.17.
313
Предельные (установившиеся) значения при разряде и заряде
конденсатора: ис (п)п-><» =44,6 В; ис Уг)п-+ оо = 54,5 В. Для оценки
минимального числа циклов nmin, при котором приближенно
достигается установившийся режим, примем Ъп = 0,05. При этом
8.66р. В качестве переменных состояния цепи выберем вектор
М *= I 1 » гДе xi = ис\ Х2= Н* Соответственно dxjdt = dujdt =
= ic/C и dxjdt = dijdt = uL/L. Вектор внешних воздействий
(источников) [z] = \ г , z1 = e> z2 = j, вектор выходной переменной
(j/] = [r/i]. По условию задачи, «/1 = иа,
Рис. Р.8.17
Рис. Р.8.18
Уравнения состояния и связи выходных переменных имеют вид
А Г«/1
; A)
B)
где [Щ=
Элементы матриц можно определить методом наложения при
рассмотрении эквивалентной схемы, которую получим, если заменим
в послекоммутационной схеме емкостный элемент источником
напряжения с э. д. с ис, а индуктивный элемент источником тока
с током iL (рис. Р.8.18). Из уравнений A) и B) следует, что
x2
И Т. Д.
Элементы матриц mn, ml2, ..., nlu /z12, ... можно найти при
рассмотрении схемы рис. Р.8.18, полагая в ней все источники,
кроме одного, нулевыми. Например, считая е = 0, / = 0, tL = 0,
314
получим ic = — uc/(R2 + R3). Следовательно, тп = — -g-
Полагая e = 0, / = 0, ис = 0, получим
R-> . 1 R
1 1
R2+R3
и т. д.
В результате,
r duc'
dt
L dt
Г 1 1 1
С Ri-rR2
Т Г) _j_ Г)
T"\ AIT
CR2+R3
R2 + R3 У-
e
f
(i)
8.68р. Уравнения состояния и связи выходных переменных
имеют вид
^ ; A)
B)
где
[л:] = .с —
переменные состояния цепи; |_z] = [?J — внешнее
г/г
воздействие; [у] =
h
—выходные переменные.
При заданных параметрах цепи [М] = ^ -,о ; [Лг] = Ы;
-
1
4
1
4
1
4
1
2
1
2
—3
ГО"
(см. задачу 8.67).
Решение уравнения A) запишем в виде
t
[х] =eCAf3t [x@)] +
(т)] dr,
C)
где первое слагаемое, определяемое начальным состоянием цепи,—
реакция цепи при нулевых источниках [z]=0, второе слагаемое,
характеризуемое действием источников,— реакция цепи при
нулевом состоянии [*@)] = 0; eW — переходная матрица состояния
цепи, элементы каждого столбца которой представляют собой
соответствующие реакции на единичное начальное состояние.
315
В данном случае первый столбец eW реакции — переходные
напряжение uc(t) и ток iL(t) при ис@)= 1 В, iL@) = 0; второй —
при ис@) = 0; ^@) = 1А. Для определения eW найдем
собственные значения Х( матрицы [М], совпадающие с корнями
характеристического уравнения цепи Р(^) = 0:
ИЛИ
откуда XL = —6; Я2 = —16.
По формуле Сильвестра, для различных
1=1
п
где [Л (К()\ -
1 /i
При п = 2
_е-6^ Г 12 81_е^Г 2 81
- 10 ' [—3 —2J Ю 1—3 —12J ~~
ГA,2е~6'—0,2е"ш) @,8е"в*—0,8е60 1
- [(—0,3е-6* + 0,3е-160 (—0,2е~6Ч l,2e"ie'J'
Переходную функцию е[м^ с матрицей [М] порядка п для
различных %1 можно найти, воспользовавшись ее общим
выражением
где [М]2 = [М][М]; [М]3 = [М]2[М] и т. д.; а0, alf ..., ап^—
функции времени, подлежащие определению. Учитывая, что е1** =
= aol + аДх + а.2Ц + ... + an_1'kt}-xy и составляя п уравнений для
всех Я,., определим а0, ах, ..., а„_1. При п = 2, Ях = —6, Х2 = —16
откуда ао= 1,6е-/—0,6е~16'; a]L = 0,le~e* — 0,1е~1в*. Соответ-
316
ственно
ef—0,8е-1в() 1
)J*
_ГA,2е-«—0,2е-16') @
Ц—0,3e-6t + 0,3e-le<) (—0,2е~6' + l,2e~ie*)
а) Решения уравнений A) и B) при е = 0 принимают вид*
[х] = eWt [х@)]; [у] = [Р] е[*1' [х@)],
где по законам коммутации
В результате получим
In =
1 1
т т
4 2
X
A,2е-6*—0,2е-ш) @,8е-6'—О^е
(_0,3e~e< + 0,3e"let) (—0,2e~6t+ l,2e
X
4^*~6f 24е~16*
б) При ?i = O, ис(О) = О и ^(О) = О имеем нулевые начальные
условия. Поэтому решение уравнения A) при е = Е^=—20
принимает вид
t
[х] = J eW </-T)[tf] [z (%)] dx =
о
„(—0,Зе-6 ^-т> + 0,Зе-18 (^т
г ^
—120
X
120
—10+ 16е"в<—
— 5—4е-в* + 9
* В п. а) и б) напряжения даны в вольтах, токи—в амперах.
317
Соответственно найдем решение 'уравнения B);
Г 1 1
Г—10+ 16et — бе
L—5—4e-^-r9e-J
Выражение для переменных состояния и выходных
переменных при постоянных источниках можно получить и иным путем.
Действительно, решение уравнений A) и B) при постоянных во
времени источниках (г не зависит от t) и нулевом состоянии цепи
[х@)]=0 принимает вид
о
([1] — e-
[у] =
1 [N] [z] = (eW—[1]) [M] [N] [г]; C)
[N] [z] + [Q] [z]9 D)
где [Щ~1==
—матрица, обратная матрице [Л!]; Adj [M] —
присоединенная (взаимная) матрица, которая получается из
исходной заменой каждого элемента его алгебраическим дополнением и
последующим транспонированием; det — определитель матрицы
Для рассматриваемого случая
И = [*] = [-20],
— L—3 —18J ~9б[ 3-4J'
Подставив [М] \ [Л/], [Р], [Q], eW и [г] в выражение для
выходных переменных D), получим тот же результат, что и ранее,
в) В этом случае решение представляет собой сумму решений
п. а) и б). Сложив матрицы, получим
8e~6t — 48e~u\
8.73р. При составлении дифференциальных уравнений цепи
можно пользоваться их символической формой, рассматривая
оператор дифференцирования d/dt как алгебраическую величину р
и, обратно, р как d/dt. В этом случае выражению u1 = L~
эквивалентно выражение uL = pLiu a ic = С — — ic = рСис. Со-
318
ответственно
• _ _L . _ _L •
где pL, \1{рС)—символические (операторные) индуктивные и
емкостные сопротивления; рСу l/(pL) — символические (операторные)
проводимости.
Для составления дифференциальных уравнений цепей можно
воспользоваться любым методом расчета на синусоидальном токе,
заменяя в уравнениях для комплексных амплитуд Z(/a>) на Z(p),
р на d/dt, р2 на d2/dt2 и т. д.
Для рис. 8.38, а после коммутации u = u2 = Z(p) /, где Z(p)=
1 \„
Следовательно,
?! + /?2) Cp + 1] и - (RtR2Cp + /?2) /;
Подставив в последнее уравнение числовые значения, получим
^+0,5^ = 5-103 + 5.103f.
В нормальной форме ^jj- = f(u> 0» г^е
f(u, t)^—0,5u + b-W3 + 5.l04. A)
При численном интегрировании уравнения A) считают, что
время t и переменная u(t) изменяются дискретно с шагом /M=^h.
Если известны значения tn и u{tn), то по ним могут быть
найдены значения ttl+1 — tn-\-h и приближенно после
интегрирования A) u(tn + 1), где я = 0, 1, 2, ... . Проинтегрировав A), найдем
f(u, t)dt.
В явном методе Эйлера функция f(u, t) полагается постоянной
внутри интервала tn — tn+1 и равной ее значению в начале
интервала, в неявном—в конце. В результате для явного метода un+i =
= un + hf(unJ ttl), а для неявного un+1==un + hf(un+1, tn + 1). Метод
Эйлера обобщается для системы уравнений вида
¦#=/(*. о,
где х=(ху у> г, ...)—вектор переменных состояния, в качестве —
г—х компонент которого может быть принята искомая величина х,
ее первая производная y = dx/dt, вторая производная z=dy/dt
319
и т. д. вплоть до (г—1)-й производной, где г—порядок
уравнения.
Для числовых расчетов уравнения A) воспользуемся
программой М2 (см. приложение 4), составленной по неявному методу
Эйлера, полагая ^0 = 0; h = 0,5; xQ = u@) = 0\ я^^О.5; ос = 0;
C = 0; & = 5-103; jB = 5 -103. Здесь шаг А «1/D^), а начальное
Г) О
условие и0 = д \_* j @), так как ис @) = 0 по закону
коммутации. Результат расчета по программе Л12 следующий:
tn, с...0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
иП) В...0 2 4,6 7,68 11,1 14,9 18,9 23,1 27,5 32 36,6
Глава девятая
9.4р. Для рис. 9.2, а # (©)=©?; dx/d® = L > 0; для рис. 9.2,6
() 1/(С) d/d\/(CJ>Q; для рис. 9.2, в х((д) = ыЬ —
— 1/((оС); dx/6/o)-L+l/(Cco2)>0; для рис. 9.2, г *(©) = —
фо "" (l-oJLCJ >U-
Сложные схемы, содержащие только реактивные сопротивления,
можно представить как совокупность схем рис. 9.2, а—г. Поэтому
и для них dx/da) > 0.
9.8р. Коэффициент передачи
[R + / (coL — 1 /соС] '
Если резонансная частота ^=\VLC, а добротность Q =
/Т/с ^
l
co*J[l-l/(co*J]
Для Q^> 1 резонансная кривая имеет острый максимум, т. е.
при малом отклонении частоты Дсо от резонансной К (со) меняется
существенно. Это позволяет упростить выражение для /((/со).
Заменим в области со/сор = 1 выражение, содержащее частоту,
линейным приближением. Для этого разложим в ряд Тейлора
соотношение, данное в круглых скобках. При
©p J
где ? = —-Q—обобщенная расстройка контура. Соответственно
S20
9.9р. Для резонансного контура с большой добротностью
(рис. 9.4, a) /C(©)max==/C(©p)«Q, так как Q = J/L/C/? = 1OO (cm.
решение задачи 9.8р).
Найдем обобщенную расстройку контура ? =—— Q, соответст-
вующую границе полосы пропускания. В результате получим
К
Отсюда 6=1; 2Лсо = o>p/Q = Я/L = 10 с; 2Дсо/сор=: l/Q = 0,01, т. е.
2До) = 0,01о)р.
Аналогично решается задача и для цепи рис. 9.4, б:
ц (/@) - (^2__aJL2)+y3(oLi? """ со2 со
где & = R/L. Таким образом,
гдС()тах С()
Полоса пропускания лежит между а> = 0 и о) = о)с, где сос
находится из условия К (сос)//С @) = 1/К2.
В результате
(сос/бL + 7 Ю/6J +1=2; сос == 0,3756 = 3,75 с.,
9.18р. Для трапецеидального импульса (рис. 9.9, а)
cos Т-
1
Е_
2
sin-
co2
4 4
Полагая ?2 = 0, получим спектр треугольного импульса (рис. 9.9, б):
Etx sin2 co^/4
= 2 (со^/4J-
Для обоих случаев S@) равна площади импульса.
Для прямоугольного импульса (рис. 9.9, в) с высокочастотным
заполнением
СО t\
S (/©) = $ е (t) e-'™ dt = J E sin <o0fe-/«" Л =*
— со О
h
= ? 5 sino)o^(sinco^—/ cos <ut)dt.
о
Таким образом,
321
где
к
Sa (со) = Е ^ sin co0t sin cat dt =
о
o — CD2
(со sin coo^ cos co^—о)о cos o)Qt1 sin с&М;
Sp(o)) = ? \ si
о
Е ;Н—*
0H —ОJ
Соответственно
S (со) = — jAo2, + cog cos2 соо/х + со2 sin2 coo^ >
О)о — ОJ
-^ —2со§ cos соо^ cos со*!—2со0со sin coo^ sin co^.
При о—>со0, раскрывая неопределенность по правилу Лопи-
таля, получим
S (ш0) =—з l/cog^f+sin2 сд0^—о&о^ sin
@
По условию задачи, tjT = 2. Поэтому
О, cosco0^= 1 и
44
О)о— ОJ
l (рис. Р.9.1);
1
9.20р. Для всех трех импульсов Afx« l/fle Убедимся в
правильности этого соотношения для прямоугольного импульса. Из
решения задачи 9.19 следует S2 (со) =-^-A—coscofj). Поэтому
где Sio)^—интегральный синус [ ^~^dx.
и
Так как полная энергия прямоугольного импульса W = ЕН1У то
W(to) 2
2
Характер изменения энергии иллюстрируется рис. Р.9.2. При
построении графика интегральный синус можно представить в виде
ряда
Из рисунка видно, что при <»==<», W {©^ « 0,9W.
ЗЙ2
9.21р. Найдем автокорреляционную функцию R (т.) для
сигналов, соответствующих случаям а) и б):
т
R(%)= lim -7jr[e(t)e(t—x)dt.
Г-»- со Q
При таком определении R(x) имеет смысл мощности сигнала.
S(co)
1
0,9
Ofi
О?
QJ5 1 1,5 Z
Рис. Р.9.1
/i
i
/
/
¦¦ —
moss
7 г з
Рис. Р.9.2
а) Для e(t) = .
R(t)=z lim -
б) Для е (t) — Em cos (<ut—ф)
т
R(x)= lim ^r\Emcos((dt—9)?wcos[«
со (^ — т) —
COS (ОТ.
Таким образом, автокорреляционная функция гармонического
сигнала не дает никакой информации о его начальной фазе,
в) Для сигналов конечной длительности
= 5 e(t)e(t—T)dt=
В этом случае R (т) имеет физический смысл энергии сигнала
при различных по времени сдвигах сигнала относительно его копии.
Для прямоугольного импульса длительностью txR (т) =
= ?»№—М) при |т|<*1; Д(т) = 0 при |T|>/i.
Автокорреляционная функция R(%) пропорциональна
заштрихованной на рис. Р.9.3, а площади.
г) Если сигнал e(t) дан в виде б-функции, то и
автокорреляционную функцию R{x) получим в виде б-функции. Это следует
непосредственно из определения R(x).
График автокорреляционной функции для всех четырех
случаев показан на рис. Р.9.3, б.
323s
9.24р. Для решения задачи используем предельные соотношения
Время корреляции т0 = ° R (Q—.
Интеграл подсчитаем графоаналитическим способом (рис. Р.9.4),
применяя кусочно-линейную аппроксимацию R(x). В результате
получим
Следовательно, то = 0,6 с и можно считать, что через это время
~. Таким образом, сигналы e(t) и e(t + %) взаимно
независимы.
9.26р. Взаимная корреляционная
функция двух импульсов малой
длительности
\
-J -1 -/ О Т;1 2 3 X
Рис. Р.9.4 Здесь Re,i(T) имеет размерность
энергии.
Для двух прямоугольных импульсов (рис. 9.12, а) решение
аналогично решению задачи 9.21р:
Ret .(т) = ?У4±- при
при
324
Для рис. 9.12, б
что сле-
е^ ,(т)
0
дует из фильтрующего свойства б-функции.
Таким образом, взаимная корреляционная функция
повторяет форму импульса напряжения.
Аналогичный результат получим и для рис. 9.12, в. Так как
i(t) = I8(t—tQ)9 то Reti(T) = Ie(%+t0). В этом случае функция
Re,i{i) также повторяет форму импульса напряжения, но со
смещением на tQ влево (рис. Р.9.5, а).
г
о t0
t
a)
tg 0 t,
-3t.
/fe
"ec
3t, t
Для рис. 9.12, г функция 1??, ,-(т) имеет вид, показанный на
рис. Р.9.5, б.
9.27р. На выходе четырехполюсника имеем сумму двух
сигналов: полезного un(t) и шумового um(f)9 т. е. u2(t) = un(t) + um(t).
В качестве входного сигнала используем сигнал u1(^) = t/rt cos со/.
Тогда полезный сигнал на выходе un(t) = UmK(<u)cos[<dt + <p((d)].
Для выделения полезного сигнала на фоне помех определим
взаимную корреляционную функцию входного иг(г) и выходного
u2(t) сигналов. Учтя при этом, что, по условию, помехи и
полезный сигнал не коррелированы, получим
j т) dt = ^ К N cos [сот + <р, (о)].
При т=0
при т = т1 =
Из этих выражений следует, что модуль К (со) и фазу р*()
коэффициента передачи цепи при любой частоте гармонического
сигнала можно найти по значениям корреляционных функций при
т = 0 и t = Tj = k/B)
325
Действительно,
Rn
Заметим, что корреляционные функции /?„,, „а@) и /?Я|, ^(xj
можно определить не только расчетом, но и непосредственно из
опыта.
9.28р. По определению, энергетический спектр
G(©)= lim
r->oo
Г /2
где Sr(/©)= J e{t)e-Wdt.
-Г/2
Кроме того, спектр G (со) связан преобразованием Фурье с
корреляционной функцией jR(t)—теорема Винера — Хинчина:
0(ю)=
а) Использовав выражение для корреляционной функции R (т)
из решения задачи 9.21р, найдем
С(ю)=
(рис. Р.9.6, а).
То, что интеграл j е-'ютЛ = б((о), где б (со)—б-функция, сле-
дует из «физических» соображений. Действительно, указанный
интеграл соответствует комплексному преобразованию Фурье нуле-
11 .ll 11
о
а)
5) в)
Рис. Р.9.6
вой гармоники единичной амплитуды, спектр которой состоит из
одной спектральной линии при со = 0, т. е. определяется б-функцией.
б) Автокорреляционная функция (см. задачу 9.21р) /?(т) =
Е2
= -^cosci>1t. Следовательно,
2
G(g>)= C^
2 Г °°
—оо
(рис. Р.9.6, б).
326
в) Решение для случая, когда e(t) представлена рядом Фурье,
есть следствие наложения полученных ранее решений, т. е.
(со
(рис. Р.9.6, в).
9,29р. Считаем R (х)« G06 (t), где Go= $ R (T) dr> 6 (х) —б-функ-
-00
ция. Следовательно,
G((o)=
Р 1
б(т)cosooxdx—/ j 6(x)sincoxdx =G0(cos0°—/sinO°) = Go,
o -oo J
так как 8-функция обладает фильтрующим свойством, а именно
Г
= G0
оо
1
J
ж.
о t,
У/л
т
а)
со
В данном случае то = О и интеграл определяется значением
функции при то = О. Поэтому cosx0=l, sinxo = O. Таким
образом, энергетический спектр белого шума
не зависит от частоты и равен площади
под кривой, являющейся
корреляционной функцией.
9.32р. Для приближенного расчета
напряжения на входе схемы считаем, что
и импульс тока повторяется с периодом
Т (рис. Р.9.7, а). Выберем период
повторения Т = 4^ = 6,28 с, что во много
раз больше постоянной времени цепи.
При таком выборе Т можно
использовать данные расчета предыдущей задачи.
Точное решение:
15
0,5
где
--5.
-0,5
-7
5
\
N
1,57
(
б)
Рис. Р.9.7
Графики точного (кривая 1) и
приближенного (кривая 2) решений
приведены на рис. Р.9.7, б.
9.33р. Для импульса малой длительности можно приближенно
считать, что ik(t) ttQ08(t), где 8(t) — 8-функция. Спектр тока
) = Q0, спектр напряжения на входе ?/(/о>) = J (/co)Z(/(o), где
327
Применив обратное преобразование Фурье, получим
во оо
и @ = -^ У U (/со) е'®' <fo = -§- J [/? (©) cos со*—X (о) sin со*] da>,
СО
так как ) [R (<o) sin&t+X (со) cos ю*] do) = 0 (как интеграл в беско-
— со
нечных пределах от нечетной функции).
В подынтегральном выражении
для u(t) оба члена представляют
собой четные функции
относительно о; следовательно,
00
-50
wot
Рис. Р.9.8
— X (<о) sin cof] do.
Учтем, что и @ = 0 при *<()•
Тогда при замене t на—* функция Х(со) поменяет знак и
По условию задачи, R (to) имеет вид трапеции. Поэтому
С1
-1
sm
Подставив числовые значения, получим
sinl0°* sin 50^
Для построения графика и (t) (рис. Р.9.8) удобно пользоваться
таблицами функций sin*/*.
Примечание. Любую по виду функцию R (со) можно приближенно
заменить несколькими трапециями. Тогда u(t) « JjUkt, где «^ — решение для
&-й трапеции.
9.34р. Спектральная плотность напряжения на выходе фильтра
а) При Ul
(рис.
-©С
328
Из решения следует, что выходное напряжение имеет вид
импульса длительностью 2я/о>с и амплитудой kayjn. С ростом
полосы пропускания фильтра длительность импульса уменьшается,
и2
/г
Рис. Р.9.9
а амплитуда растет. При шс —* оо напряжение на выходе иг (t)
б) Единичная функция 1@= \ 8(t')dt'f поэтому при
— 00
МО = 1@
7 ,ч С ka>c sin (о с (V — t$) л* k Г я t с: // / \1 /nfIrt nnn /?\
ц I ij = I ¦ — ОХ = — I -л" -{- о1 СЭС (I—*з/ I \P«*C. Jr .c/.v/, С//»
— 00
где Si шс (t—13) = С ^-~ йл: — интегральный синус. При
о
сос—>• оо напряжение на выходе и2 (t) —* 1 (t—13).
9.37р. Спектр тока в нагрузке
2A + /©) •
J
Спектр прямоугольного импульса
с ,.л...в* I sin 0)^/21
откуда
329
По теореме Рейли, энергия, выделяющаяся в нагрузке,
где T = RC/2.
Подставляя числовые значения, получим 1^ = 10""ве" Вт.
Рассчитаем энергию, выделяющуюся в нагрузке, при
непосредственном интегрировании по времени. Найдем ток в нагрузке при
где Т = RC/2 = 1 с.
При * > tx
Энергия, выделяющаяся в нагрузке,
= $ Rit(t)dt+ ^
о о ^
т. е. получаем тот же результат, что и при использовании
теоремы Рейли.
9.38р. Спектральная плотность импульса напряжения
e-/~ (см. задачу 9.16).
При ш = «р = 2я/Г = л/^
Спектральная плотность тока
где Y (/©) = -
Для контура с Q^>1 (см. задачу 9.8р)
1 1
где 2Aeon = (op/Q—полоса пропускания.
330
Соответственно
с... ,.,. . с .. .
S, (/со) * Г (/со) SUt (,%) =
2Etl
.я
Перейдем к изображению тока по Лапласу:/(p) = S/(/со) |(-©=р.
Найдем оригинал и возьмем его мнимую часть. В результате
получим
^—90°),
9.42р. Энергетические спектры тока и напряжения связаны
соотношением Gi (о) = Y2 (ш) Gv (со), где Y2 (со) = У (/со) Y (—/со).
,Gt(C0)
0J
а)
0 t
д)
о
6)
Рис. Р.9.10
Определим комплексные проводимости цепи:
Отсюда
(рис. Р.9.10, а).
Корреляционную функцию найдем по теореме Винера — Хин-
чина:
На рис. Р.9.10, б, в показаны корреляционные функции
напряжения #„(т) и тока /?/(т).
Глава десятая
10.2р. Согласно методу Штурма, исследуемую функцию
представим в виде
где пх (/?), тх (р) — полиномы с четными степенями р; п2 (/?), т, (р) —
полиномы с нечетными степенями р. Заменив в уравнении р на
/со, найдем
ReZ (ко) — П} (/0)) щ (/0))"~П2 ^/{0) m2 (/Q))
Следовательно, ReZ(/co)^0 при /г^!—/г.т2 =
331
Величина Ро является функцией со2 = х; функцию Р0(®2)=Р0(х)
называют первой функцией Штурма. Предполагается, что
функция Ро (х) не имеет кратных и нулевого корней. Производную от
Ро по х называют второй функцией Штурма Рг(х) =Р'0(х). Третьей
функцией Штурма является остаток от деления Р0(х)/Р1(х),
взятый со знаком минус. Деление прекращают, когда степень остатка
станет ниже степени делителя на единицу. Четвертой функцией
Штурма Р3(х) называют остаток от деления P1{x)/P2(x)J взятый
со знаком минус. Деление прекращают при том же условии.
Последующие функции Штурма рассчитывают до тех пор, пока в
результате деления не будет получена вещественная величина.
После нахождения всех функций Штурма определим их знаки
при х~хг = 0 и х = х2—оо. Этим значениям х соответствуют
частоты 0 и оо. Составим таблицу знаков функций Штурма при
х1 = 0 и х2 = оо (табл. Р.10.1).
Таблица Р.10.1
X
ж2—»¦ оо
Р, W
Ро(х)
+
Pi(x)
+
Р2{х)
±
Р3(х)
±
W
2
1
Подсчитаем число изменений знака Wx в первом ряду
таблицы при ^ = 0и число изменений знака W2 во втором ряду
таблицы при х2—*оо. Для рассматриваемого случая Wt = 2y W2=l.
Если разность W1 — UPa = О (в нашем примере она равна 2— 1 = 1),
то при изменении л; от 0 до оо, а следовательно, и изменении со
от 0 до оо исследуемая функция Ро(х) = п1т1—п2т2 не меняет
знака. Это означает, что если функция Рь(х) положительна при
х = х1 — 0, то она положительна и во всем диапазоне изменений
л; от 0 до оо. Если же W1 — УР2Ф0, то при некотором х
функция Р0(х), а следовательно, и ReZ(/<o) изменяют знак. При этом
условие ReZ(/co)^0 не выполняется во всем диапазоне частот.
Руководствуясь изложенным, проверим, выполняется ли условие
ReZ(/o)>0 для Z (р) = ?+?^Х%Х\ ' Обозначим
= x*—Зх3
Первая функция Штурма (заменили р на jo)P0(x)
х2 + 2х + 1, вторая />! (х) = 4х3 — 9х2 + 2х + 2.
Разделим Р0(х) на Pi(x):
Р0(х)
1
15
11
8
Третья функция Штурма равна остатку от деления Ро (х) на Р1
332
взятому со знаком минус:
8 л 8 ф
Разделим Pt(x) на Р2(х):
Рг(х) __ 4*3
1164 181
_64 4Ы6 19-19 * 361
\5~ 11 "" 19Х 19-19 + Р2 (х)
19 15 И
1б* ~Т^~8"
Четвертая функция Штурма равна остатку от деления Рг(х) на
Р2{х)у взятому со знаком минус:
г, , ч П64 , 181
Разделим Р2(х) на Ps(x):
19 2_\Б _1_1
Р2(х) 16х 8 х 8
Р*(х)
1164
181
19.19-19 29Л9>19
' 16-1164 Х+ 16-1164 '
30 857
16-1164
Пятая функция Штурма равна остатку от деления Р2(х)/Р3(х),
взятому со знаком минус:
Р (Х) 30857
r*W" 16-1164 *
Составим таблицу знаков функций Штурма и числа перемен
знаков (табл. Р. 10.2).
Таблица Р.10.2
X
X—>- 00
+
Pi(x)
+
р.
РА*)
+
W
РА*)
+
РА(Х)
+
W
2
2
Разность Wx—№2 = 2—2 = 0; следовательно, ReZ(/co)>0.
10.4р. В обоих случаях можно, так как нули и полюсы
расположены на отрицательной действительной оси и ближайшей к
началу координат особой точкой является полюс.
10.7р. Является, так как такой двухполюсник не имеет
полюсов на мнимой оси (нули ри 3 = —0,5±/0,5; полюсы р2л 4 = —1 ± j).
10.9р. Полагая Z(p)= .^!jj * , найдем вычет Z{p) прир = 0
и приравняем его к 10/3: ?/1,5 = 10/3. Отсюда & = 5.
10.11р. Полагая
SP + /0,578) (р - /0,578)
2+1/3 •
333
найдем вычет Z (р) в полюсе р2 = / 0,578 и приравняем его к двум.
В результате получим уравнение для определения k: k(l—0,334)/2=
=2, откуда & = 6.
10.14р. За исходную при составлении непрерывной дроби
примем схему рис. Р. 10.1, а. В соответствии с этой схемой
Так как Z1 = p, то сопротивление Zx представляет собой
сопротивление катушки индуктивностью 1 Гн, К2 = /?; следовательно,
проводимость Y2 представляет собой конденсатор емкостью 1 Ф,
Рис. Р. 10.1
Z3=l— резистор сопротивлением 1 Ом и т. д. Искомая
лестничная схема изображена на рис. Р.ЮЛ, б.
10.19р. Согласно методу Бруне, в выражении для входного
сопротивления заменим р на /со и выделим действительную и
мнимую части:
Минимум ReZ(/co), равный^улю, имеет место при о>§ = 2. При
этом Im Z (/о) = К/2; p = ilV% чему соответствует ^ = (^1*!, где
где ^ = ^/4 = 1^2/2^2 = 0,5. Реализуем Z^-pL^
. Проводимость оставшейся части
На мнимой оси имеются полюсы /? = ±/]/л2. Им соответствует
последовательный колебательный контур индуктивностью L2 =
= A/2)ай и емкостью Са= l/(o§L2. При этом
= 1; 12 = 0,5 Гн; С2=1 Ф; /? = /
334
Проводимость У (р) = 2р/(р2 + 2). Осталось реализовать Y2(p) =
= У0(р) 2НГ9 = Г1Г~# ^й соответствуют последовательно
соединенные L3 = —0,25 Гн и jR3 = 0,25 Ом. В результате получим
схему рис. Р. 10.2, а. Так как отрицательную индуктивность из
одних линейных элементов осуществить нельзя, перейдем к схеме
с идеальным трансформатором (рис. Р. 10.2, б), для которой L4 =
= Z.1 + L1= 1 Гн; Lft = I2 + ?3 = 0,25 Гн; С2==1 Ф; #3 = 0,25 Ом;
Л1== L> === 0 5 Гн#
L, Lr
n'S
10.22р. Определим
1Q7
жения U (р) =
изображения тока /(/?)= 100//?2 и напря-
р2(р + 100) • Отсюда Z (/?) =• 1+OtOlp . Схема
двухполюсника показана на рис. Р. 10.2, в.
10.25р. В соответствии с формулами перехода от Т- к П-схеме
запишем выражения для проводимостей У4 и Ys схемы рис. 10.2, б
через проводимости Ylt У2 и Y3 схемы рис. 10.2, а:
i + /
ak3
A)
B)
Из формулы A) следует, что действительная часть У4
отрицательна при kz > k2y а из формулы B)—что действительная часть
Уб отрицательна при k2 > kz. Таким образом, при любом
соотношении между k2 и къ{к2фкъ) нельзя физически из линейных
пассивных элементов осуществить У4 или У5. Формула для У6 не
дана, так как при осуществлении У6 препятствий не возникает.
10.27р. Сопротивление последовательно-параллельного
соединения на рис. 10.3, а
__ aZ1+Z2(\+a)
Сопротивление параллельного соединения на рис. 12.3, б
2
B)
335
Входные сопротивления схем рис: 10.3, я, б должны быть
одинаковы при всех возможных частотах. Следовательно, должны
быть равны и коэффициенты при соответствующих членах
числителей и знаменателей выражений A) и B):
bd л cd с л
Решим эти уравнения относительно Ь, с, d: b = a(l + a); с —
= A+йJ; d=l + a.
10.31р. Входная проводимость двухполюсника на рис. 10.4, д
Входная проводимость двухполюсника на рис. 10.4, е
1 1 /Г
Входная проводимость при параллельном соединении
двухполюсников
10.33р. В соответствии с правилом составления дуальной
схемы на рис. 10.5, а в двух контурах ставим точки 1 и 2, а во
внешней области—точку 3. Эти точки будут узлами дуальной схемы.
Проведем линии между точками /, 2, 3 через элементы исходной
схемы, которые заменим на дуальные. Заменив Ьг на С2, Сг на
L2 и 7?г на R2y получим схему рис. Р. 10.3, а. Значения С2, L2 и
i?2 найдем, исходя из того, что произведение сопротивлений
взаимно дуальных элементов должно быть равно R2:
Входное сопротивление исходного двухполюсника Zi = /< +
+ 14-/(йС /? * Входная проводимость дуального двухполюсника
относительно узлов 7 и 3
Произведение ZXZ2 = Z2 pr- = #2.
336
10.34р. Проверим, выполняется ли условие k1k2--rkl2'^0 в
полюсе /? = 0. Вычеты Zn, Z12, Z22 при /7 = 0 равны 1. Условие
вычетов в полюсе /7 = 0 выполнено, так как I2—12 = 0. Выясним,
выполняется ли условие Геверца гиг22—г\2^0:
/0)
= 1; 2-1 — 1
р= /©
Условие Геверца выполняется. Каждое из сопротивлений Zli9
Z12 = Z22 удовлетворяет условиям, накладываемым на входные со-
Рис. Р.10.3
противления двухполюсников. Поэтому приведенные выражения
для Zu, Z12, Z22 могут соответствовать некоторому физически
осуществимому двухполюснику, схема которого изображена на
рис. Р. 10,3 б.
10.37р. Не является, так как его нули ри 3 = 0>5 ±/0,865
находятся в правой полуплоскости (рис. Р.10.3, в).
а) 6)
Рис. Р. 10.4
10.40р. Может, так как кроме выполнения общих требований,
которым должна удовлетворять передаточная функция
четырехполюсника, приведенная в условии задачи функция имеет нули в
левой полуплоскости (рис. Р.10.3, г).
10.43р. Для перехода от нормированных параметров (#н, LH,
Сн) к ненормированным (R, L, С) воспользуемся соотношениями
= RHR0, L =
= CH/((o0/?0). Схема с ненормированными
параметрами изображена на рис. Р. 10.4, а.
337
10.45р. а) Сопротивление
B)
Возведем B) в квадрат и запишем его при частотах ю2 и о)х:
C)
Поделим C) на D) и определим 1 + -я- '
С02
Из E) следует, что решение возможно, если а< 1.
По найденному значению 1 + RJR подсчитываем R. Из C)
определим Ьг:
G)
Сопротивление
б) Сопротивление
7
Из соотношения ea = 11 + ZAJ следует, что
—• (И)
Согласно A1), при со = О находим 1+ /?i//?=ee@>. Таким
образом,
#1==[е««»— l]R. A2)
По условию, при некоторой частоте <о3 известно затухание
а(ш1). Подставив эти данные в A1), определим Сх:
С 3=5
338
Сопротивление
Следовательно,
10.46р. Определим изображение напряжения на выходе:
A4)
,17)(р + 3,8
2 + 30р+100'
Изображение входного напряжения U1(p) = \/p.
, , U2(p) Юр
функция по напряжению *«х = цШ =
Передаточная
Ш (Н)(р)
Выберем дополнительный полином Q — p+ 10. Его корень
р = —Ю находится в промежутке между корнями —3,83 и —26,17.
Числитель и знаменатель Ки разделим на полином р+ 10.
Дальнейшую реализацию осуществим так же, как и в задаче 10.41.
В результате получим Z1 = (M — N)/Q = р + 10; Z3 = -g- = ^Q-.
Полная схема четырехполюсника изображена на рис. Р. 10.4, б.
Глав а одиннадцатая
11.1р. Требуемые величины сведены в табл. Р. 11.1, по данным
которой на рис. Р. 11.1, а, б и Р. 11.2 построены соответствующие
графики.
Таблица Р.11.1
со, рад/с
Zo~ RQ + j(x)LOi Ом/км
Уо= (Go + /o)Co). 10 ~6, См/км
у— у1 Z Ул* Ю~3 км
а-Ю-3, Нп/км
р.Ю-3, рад/км
Уф, КМ/С
Я, км
ZB = Y Zo/Y0, Ом
0
2
0,5
1
1
0
0
00
2000
0,606
314
2 + /0,785
0,5 + /1,57
1,088 + /1,357
1,088
1,357
231,4.103
4627
1136е->25'5°
0,59
4000
2+/10
0,5+ /20
1,398 + /14,2
1,398
14,2
281,7.103
442,25
713е-'5'65°
0,497
10 000
2+ /25
0,5 + /50
1,6 + /35,37
1,6
35,37
282,7
177,5
707е->'2°
0,449
11.6р. По известным величинам ROy Lo, Go, Co определяем
постоянную распространения y = a+j$ для нижней и верхней
гармонических составляющих передаваемого сигнала. Результаты
расчета сведены в табл. Р. 11.2.
Допустимую длину линии, при которой затухание не
превышает 3,3 Нп, находим исходя из наибольшего значения
коэффициента затухания атах = 2,94 • 10 Нп/км (атах соответствует верх-
339
Таблица Р.11.2
/, Гц
со, рад/с
Z0 = R0 + ja>L0, Ом/км
y0 = (G0 + /coCo)-10-6, См/км
7-1/"^Уо = (а + /Р).1О-3, км-*
а-Ю-3, Нп/км
р.Ю-3, рад/км
Уф = со/р.103; км/с
А^ = (/тах/^ф)-Ю-3, с
100
628
2,5 + /1,193
1 +/5,024
l,906rf/2,99
1,906
2,99
209,4
5,36
10.103
6,28.10»
2,5+/119,3
1+/502,4
2,94+ /245
2,94
245
255
4,4
ней частоте в спектре передаваемого сигнала Д,= 10-103 Гц):
fW'max = 3,3 Нп; /тах = 3,3/B,94 • 10~3) = 1122 км.
Как видно из табл. Р.11.2, фазовые скорости, а следовательно,
и время распространения по линии различных гармонических
составляющих сигнала
различны. Поэтому за время
распространения принимаем
наибольшее, соответствующее нижней
частоте /х = 100 Гц: иф1 = 209,4 х
X 103_км/с; Д/1 = /шая/1>ф1=5,36х
20
20
10
5000
<У
10000 ш,рад/с
J00
200
100
ЗН1000 4000
10000 со, рад/с
314
Рис. Р.11.1
10' 10* 109ufi
Рис. Р.11.2
=10 1Q3
= 255-103 км/с;
Для верхней частоты
А^ = /тах/^2 = 4,4.10~3 с.
Ввиду разницы во временах распространения по линии
различных гармоник фазовые соотношения между гармоническими
составляющими сигналов на входе и выходе различны, поэтому
форма выходного сигнала отлична от формы входного, т. е. имеет
место искажение сигнала, называемое фазовым искажением.
Кроме того, причиной искажения передаваемого сигнала
является зависимость от частоты коэффициента затухания a
(см. табл. Р.11.2).
340
В данном случае волновое сопротивление также является
функцией частоты, что.не позволяет согласовать линию с нагрузкой
во всем рабочем диапазоне частот.
11.7р. В данном случае L + ?доп= R0C0/G0 = 2,5.8 • 10~9/A • 10~6)==
= 0,02 Гн; 1ДОП = 0,02—1,9-10 = 18,M0 Гн. .
После включения дополнительной катушки а = l/"#0G0 =
= 1,591 • 10~3 Нп/км (не зависит от частоты);
р = со l/"(L0 + L^) Co = со К0,02-8.10"9= со К160 • 10~12 рад/км;
^ = @/C = 79-103 км/с.
Фазовая скорость уменьшилась более чем в два раза. Теперь
она не зависит от частоты.
Наибольшая допустимая длина линии, при которой затухание
напряжения (тока) в согласованном режиме не превышает 3,3 Нп
4пах = 3,3/а = 3,3/1,591-10~3 = 2074 км. До включения LAon Zraax =
= 1122 км (см. решение П.бр). Следовательно, дальность передачи
возросла в 1,85 раза. Время распространения сигнала по линии
длиной 2074 км А/= /тах/иф = 2074/G9-103) = 26,25-10~3 с.
До включения Laon время распространения сигнала по линии
такой же длины составило бы
ДГ = 2074/B09,4-103) « 10-10 с.
Таким образом, включение дополнительных катушек привело
к значительному снижению фазовой скорости, а следовательно,
к увеличению времени распространения сигнала по линии (более
чем в 2,5 раза).
11.9р. После включения дополнительных катушек
0--3 Нп/км;
+ LAon)C0 = 4,846-103 км/с.
Первое условие соблюдается при длине линии
4пах = (а0шах/а = 3,3/D,012- КГ») = 822 км.
При этом время распространения сигнала по линии
А^х = /шах/^Ф = 8,22/D,846-103) = 0,169 с,
т. е. второе условие не удовлетворяется. Исходя из него
наибольшая длина линии Гтах = А/тахиф = 0,15-4,846• 103 = 727 км. Таким
образом, /тах = 727 км.
11.16р. Входные сопротивления линии при коротком
замыкании и холостом ходе:
^вх к = 0ln/hm к = 500е/71е'*21О30/ = 500е~/21^ Ом;
ZBXX = Ulm/ilm х = 500е/°/1е''68'50 = 500е-/*8>5° Ом;
ZB = VZB%KZBX х = 500е-^°Ом; th yl = j/ZBX K/ZBX x =
-= ^/"e-/21,5o/e-/68,5° __ le/23'5°.
Так как th yl = ~. — = ——. , то e2^ = , ,, Y, = ^ .—r .
341
Последнее выражение приводим к показательной форме записи,
учитывая, что определенному положению вектора на комплексной
плоскости соответствует бесконечное множество комплексных
0 чисел, отличающихся
аргументуJz6\ том ка целое число 2я. Поэтому
* гл{ е2^ = е2а^2^ = 4 74е^90° + 2пп) *
tn следовательно, 2<х/ = 1п 4,74 =
|,> | "I =1,556; 2р; = 90°+2шг; а/«
' ' ^0,78; р/ = 45° + пя.
^ По условию, длина линии
ийн=500//2 I < V2. Тогда р/ < я, т. е. р/ =
= 45° = 0,78 рад, откуда
///=///?
я/г я/* я/у
Рис. Р. 11.3
г= 0,78/55,5 ^ 1,41 • 10 Нп/км;
Р = р/// =
*= 0,78/55,5 = 1,41 • 10 рад/км.
Т = 0,41 +
+ /1,41)-10-* км.
Первичные параметры линии:
= 2- 10-2e/45°-500e-/45° = 10e/° Ом/км;
= 0,4.10-V90° = 40 10-e/ См/км; G0 = 0; С0 = 40 10-9Ф.
Мгновенные значения напряжения и тока на нагрузке в
согласованном режиме
u2{t) = U mle~at sin (at— fit);
Учтя, что a/ =Д78; e~a/ = 0,459; p/ = 45°, получим
= 229,36 sin (со/—45°) В;
i2 (/)=0,46 sin g>*A.
11.20р. Определяем длину волны: ^ = уф// = 250-103/2500=
= 100 км. Относительная длина линии 1/Х = 62,5/100 = 5/8.
Заменим индуктивное сопротивление нагрузки эквивалентным коротко-
замкнутым отрезком линии с теми же параметрами, что и
основная линия (рис. Р. 11.3, а). Длину эквивалентного отрезка А/э
находим из уравнения
2Вх . = /г. tg -^ Д/э = Za = jZB; fg ^ Мэ = 1;
342
После такой'замены приходим к случаю линии короткозамкну-
той на конце длиной V = 1 + А/эк = 5Л/8 + Л/8 = ЗЛ/4 (рис.Р.11.3, а).
В точке, отстоящей от фиктивного кольца линии на расстоянии
у'' = У + к/8 (у—расстояние от действительной нагрузки),
справедливы уравнения для комплексов напряжения и тока
.cosfo', j
а для соответствующих модулей (действующих значений)
I(y') = I2\™s№\, J
где /2—комплекс тока в точке у' = 0. Согласно A),
Тогда
= 5001 sin Ру' | = 500] sin
; 1
J
На рис. Р.11.3,б по выражениям B) построены эпюры U(y'),
I (у'). Часть эпюр, расположенная левее сечения у' = Д/ЭК = Л/8
(где сосредоточена действительная индуктивная нагрузка),
справедлива для заданной линии с сосредоточенной нагрузкой.
Напряжение и ток в нагрузке найдем по B):
UB = 5001 ship -|-| = 500 sin -J = 500/^2 В;
j i I ft Л
Ток на входе /х = 0.
Согласно рис. Р. 11.3,6, ближайшая к нагрузке пучность
напряжения расположена на расстоянии Л/8=1,5км, а
ближайший узел—на расстоянии Л/8 + Л/4 = 37,5 км от нагрузки.
11.25р. Входное сопротивление нагруженного
четвертьволнового отрезка линии ZBX = Z|2/ZH; для обеспечения в основной
линии режима бегущей волны должно выполняться равенство ZBX=
= ZB1 = 100 Ом. Следовательно,
2В2 = Vz^Xh = VZ^J* = /100-400 = 200 Ом.
При этом ввиду отсутствия потерь в основной линии
действующее значение напряжения на входе согласующего отрезка
линии U (к/4) будет равно напряжению на входе Ut = 100 В.
Примем начальную фазу комплекса U (Л/4) равной нулю:
343
Этот комплекса связан с комплексом напряжения на нагрузке
известным соотношением
с учетом Р=—т = у
Тогда для напряжения на нагрузке получаем
/V - t/ (Х/4) . Ю0е/°
11.26р. Входное сопротивление линии
Z^J 4 lie MX I U 1 JJA /y
*1 (^пад!—L/oTpl)/^B * — ^OTpl/^пад! * *l
= 400 ^ s 629е-/28° = 556-/295 Ом.
Выразим коэффициент отражения от нагрузки Г2 = U
через коэффициент отражения на входе линии Тг:
Следовательно,
О)противление нагрузки
Z- = 2BTTfT==ZB "Г^ТЖ = 2Zb = 800 Ом.
Глава двенадцатая
12.1р. По условию, в момент коммутации f = 0+ напряжение
на входе линии скачком возрастает на Е, т.е. u1(t) = E-1 (t).
Возникает падающая волна, расчет которой ведем с помощью
эквивалентной схемы рис. Р. 12.1, а. Пока в линии существует
волна одного направления, ее входное сопротивление в любом
сечении равно ZB. Поэтому на рис. Р. 12.1, а линия по
отношению к выходным зажимам заменена на ZB. Учитываем, что иг (t) =
344
= «па«(*, *) U=o = E • 1 @. Согласно рис. Р. 12.1, a, ix (t) = ut
;(')и(вдно
„ад()ио(вдно
В точке, отстоящей от входа на расстоянии х, напряжение и
ток изменяются во времени по тому же закону, что ut(t) ni1(t),
Рис. Р.12Л
но с запаздыванием на время t = x/v:
*W(', x) = E.l(t—x/v); A)
We. *) = т~- Ht—x/v). B)
Независимо от вида нагрузки выражения A) и B) определяют
режим работы линии от момента коммутации до момента t = l/v,
когда падающая волна достигает
конца линии. Дальнейший рас- 1>и
чет зависит от значения и ха- E/z
рактера сопротивления
нагрузки. О
а) В этом случае отражен- .
ной волны не возникает; выра- E'/z
жения A) и B) справедливы и
при t>l/v. Графики u(t)y i(t)
при х = //2, х = 1 построены на
рис. Р. 12.2. В момент t = l/v =
= 300/C00- 103) = Ь10~3 с по
всей линии устанавливается
напряжение ? = 500 В, ток / = ?/ZB = 500/400 =1,25 А.
Переходный процесс заканчивается.
б) Выражения A) и B) характеризуют первую падающую
волну:
?
Е
Ml
V
1/2
V
Рис. Р.12.2
ш
i/ir
Щ
L/IT
t
t
Расчет первой отраженной волны. Режим в месте
возникновения отраженной волны в общем случае можно рассчитывать
345
по эквивалентной схеме с сосредоточенными параметрами
(рис. Р. 12.1,6), которая при ZH = oo соответствует рис. 12.1, в.
Напряжение на выходных зажимах линии 2—2'
() , l) + uoin(t,l).
Тогда
(t-t/v)-E.l(t-l/v)=*
= Е. 1 (t-l/v); iO
если для ?отр1 сохраняется положительное направление тока tnani.
В точке х с учетом запаздывания на время (/—x)/v
I 1—х\ т? А(, 2/—
Расчет второй падающей волны. Определение мпад-2 (t, x), /пад2 (t, x)
проводим по эквивалентной схеме рис. Р. 12.1, г. Она составлена
с учетом того, что вторая падающая волна возникает за счет
повторного отражения первой отраженной волны от коротко-
замкнутого входа линии:
«пад2 (t, 0) + ио,п (t, 0) = 0; ипада (/, 0) = - u0TVl (t, 0) -
2l V i a m ц"ад2(^0) ^ i (f 2/
С учетом запаздывания на время x/v
Расчет второй отраженной волны. По эквивалентной схеме
рис. Р. 12.1, д,
иг @ = 2ыпад2 (t, I) = ыпад2 (/,/) + ыотр2 (^, I);
«охр* (Л 0 = «паД2 (/,/) = -?•! (f-3//t>);
(положительные направления t0Tp2 и /пад2 считаем одинаковыми);
346
В интервале Cl/v)
u(t, x) =
t < (il/v)
К моменту t = 4l/v во всей линии н(/, л;) = 0, i(f, #) = 0, т. е.
система приходит к первоначальному состоянию, затем процесс
Х=!/2<
8Tt
а
2Е
0
с
0
у//
t
Ш
Г*1/1Г
2Т JT 4Т 5Т
ЬТ 7Т
8Tt
t
Рис. Р.12.3
повторяется с запаздыванием на время 4//и. Графики u(t), i(t)
при х = 1 и х = //2, построенные по последним выражениям, даны
на рис. Р.12.3.
в) Расчет проводится аналогично предыдущему. Рекомендуется
его сделать самостоятельно. Приводим окончательные выражения
функций:
,(,_«=?)+...].
Графики u(t), i(t) при х = //2; х = 1 построены на рис. Р.12.4.
12.3р. Время прохождения прямой волной участка линии дли-
347
ной / = 600 м т = Z/a = 600/C-108) = 2-10~6 с. В интервале 0—т
от входа линии распространяется падающая волна с
прямоугольным фронтом
(l)
В момент т достижения падающей волной сосредоточенной
индуктивности возникают отраженная (распространяется на участ-
хЧ/2
а
Е
1
E/Z6
и
1
2Е/Ц
—-—
ОХ/2 Г •
—1—г
0 Г
0
1
Vz\ 2t
1
1
J
2Т
\ j
Г
1—
ЗГ 4Т
«?
Г
1
гп.
j_J-
5Х ЬХ
шаш
t
t
О Т 2Г JT 4t 5T bt t'
Рис. Р. 12.4
ке. 0 ^ x ^ /) и преломленная (распространяется на участке х > /)
волны. Для места возникновения отраженной и преломленной
и
2Е
0t5L
tt5LX
Рис. РЛ2.5
волн в течение интервала времени т—Ъх справедлива
эквивалентная схема с сосредоточенными параметрами (рис. Р. 12.5, а).
Расчет переходного процесса для рис. Р. 12.5, а дает следующие
348
результаты:
B)
Участок линии O^x^l. Зажимы 2—2r (рис. Р. 12.5, а)
принадлежит рассматриваемому участку линии, поэтому
"ОХР 2 @ = МО — «
Согласно A), при />т uuaii2(t) = E. Тогда с учетом B) иотр2(*) =
_. ?е l V у / = иотр(<, /). Возникшая отраженная волна
распространяется по линии без потерь без затухания. Мгновенное
значение напряжения отраженной вблны в точке х запаздывает
по отношению к функции uOTV2(t) — uOTV(tt I) на время (/—x)/v:
-?
uorv(i, x) = Ee l
Множитель 1 (t—t/v) позволяет математически учесть момент
возникновения отраженной волны f t = l/v; при t < ~ иотр=0 J.
Полное напряжение на участке 0—/
u{ty *) = ыпад(г, x) + u^(U x) = E.l(t—x/v) +
2?
?е L^ v /-1 (t—t/v) = 400-1 (t—x/v)
+ 400e V 3*10 /-l(f—2- 10)B. D)
Участок линии л: > /. Этому участку линии принадлежат
зажимы 3—2' (рис. Р. 12.5, а). Напряжение us(t) может
рассматриваться как мгновенное значение напряжения преломленной
волны при %==/. Для преломленной волны отсчет расстояния
удобно вести от места ее возникновения. Обозначим хг = х—/. Тогда
и3 (t)=unv (t) 1^=0=^ (/, 0). Мгновенное значение напряжения
преломленной волны в произвольной точке хг запишем с учетом
запаздывания на время xjv:
,[>-,
-50-10* ^-
= 400[l —е ^ 3'10 У J. 1 (^ — 2- Ю-6) В. E)
Множитель 1 (t — 2-10~6) свидетельствует о том, что при /<2х
XlO~6c unv(t) = O во всех точках линии. По выражениям D) и
349
E) на рис. Р. 12.5, б построен график и(х) для момента времени
^ l5/ 3106
12.5р. После замыкания ключа, когда в линии существует лишь
падающая волна, входное сопротивление линии в любом сечении
равно ZB. Временная зависимость
напряжения на входе линии (или
на конденсаторе) может быть
получена с помощью эквивалентной схемы
:4=l IIZ, (Рис Р. 12.6. я):
рис. Р. 12.6, б, согласно
l) uOTV(ty I). Следовательно,
Тогда
/ t-(x/v) \
e^^l_e"B»/2>cJ.l(/—i
i it x) = и it x\lZ 17\
При достижении фронтом волны
разомкнутого конца линии режим на
выходе (зажимы 2—2' на рис. 12.2)
определяется эквивалентной схемой
которой щ (/) = 2ипад (t, I) = апад (t9
В точке д: мгновенное значение напряжения отраженной волны
запаздывает на время -—^:
1-х
,_. ЛЯ» у1/(_Л_^); (8)
/ // v^ и (i y\I7 /Q\ *
отр \ > / — отр \ > /'в \^/
(положительное направление /отр берем совпадающим с
направлением /пад).
По выражениям F)—(9) на рис. Р. 12.7 построены графики
"падМ» *пад(*)« "отР (х)> ^'отр (х) и результирующие зависимости
ПадМ отр() адМ ЦЙ
12.8р. Коммутация происходит в цепи с ненулевыми
начальными условиями. В исходном состоянии напряжение по всей
линии равно ?, а ток отсутствует, т. е. при ? = 0_ и (х) = Е, i(x) = 0,
ис@_) = Е. При разомкнутом ключе напряжение
35а
Включаем последовательно с разомкнутым ключом два источника
э.д. с. и'х = и'х = Е, направленные встречно (рис. Р. 12.8, а). Это не
изменит режима работы цепи как до коммутации, так и после
коммутации. Пользуясь принципом наложения, разбиваем схему
х,м
I >t4t5l/tr
1
рис. Р. 12.8, а на две (рис. Р.12.8, б, в). Коммутация в первой
схеме не приводит к возникновению переходного процесса, режим
остается таким же, как и до коммутации [и(х) = Е, i(x) = 0]. Во
второй схеме после коммутации возникает переходный процесс
при нулевых начальных условиях. Режим работы в месте
351
мутации определяется схемой с сосредоточенными параметрами
(рис. Р. 12.8, ё).
1/2
О)
2' t=0
r^i
1'
1
г
1
i/2
1/2
1
S) 2 t=0
2 К? Г\
V
t=0
Рис. РЛ2.8
Расчет переходного процесса для рис. Р. 12.8, е ведем
относительно напряжения на конденсаторе uc(t):
Z (p) =sZB +
где
2ZRC
= 0 (характеристическое уравнение),
1
1
2-400.1,25.10-»
У \2.400.1,25.10-в]
l
0,8-Ю-3-1,25-10-»
Это случай двух кратных корней:
ис (t) = ис пр + (Аг + Л,0 е^ = - ? + (Л t
352
Уравнения для определения постоянных Аг и Л2 получаем,
пользуясь начальными условиями
ис @+) = ис @_) = 0; iL @+) = iL @_) = 0;
/но и "с@)
Таким образом,
Л2—ЮМ.-О; f
Л1==?; Л2= 106?;
ис @ = -600 + 600A -Ы060е-^в^ = ^п^
где у—расстояние от конца линии.
Для бегущей волны, распространяющейся по схеме рис. Р. 12.8, в,
«падС У) = -600 + 600 [l + 106 [t-~)\ e-106^-^); A)
Выражения A) справедливы для интервала времени At = l/v
после коммутации.
Накладывая режим, рассчитанный для схемы рис. Р. 12.8, в,
на режим схемы рис. Р. 12.8, б [и(у) = Е, i(y) = 0]y получаем
выражение для напряжения и тока в исходной схеме. На участке
линии между ее концом и фронтом падающей волны (y^ = tv)
В момент времени ^ = 2,5• 10~6 с фронт падающей волны
достигает середины линии. На рис. Р. 12.8, г, д построены эпюры
распределения мгновенных значений напряжения и тока для
^ = 2,5-10~6 с с учетом выражения B).
12.11р, Основным уравнениям линии без потерь, связывающим
мгновенные значения напряжения и тока
ди (t, х) _ г di (t, х)
di(t,x) r du(t,x)
дх -~Ь° dt
при нулевых начальных условиях соответствуют уравнения для
изображений
dU (р, X) т т / \ \ /о\
dl (р, х) п ,, , . ( ...
™—=С0/7^/(р, х). J D)
353
Решения C) и D) имеют вид
U(p, х) = Л1е-^ + Л1е^; E) /(р, х) =
где 7 = Y (/?) = РVL?,=/?М ZB (p) = VQCl^Zj v = /Щ
Лх, Л2—функции оператора р, не зависящие от координаты х и
удовлетворяющие двум граничным условиям:
х = 0; f/(/7, дг) = г/1(р) = Л1 + Л,; G)
,. U (р, х) _ U (р, /) _ Л1е-*+ А^1 7 , .
где t/^p)—изображение напряжения на входе линии.
Из последнего выразим величину
— операторный коэффициент отражения от нагрузки.
Из G) и (8) получим
л ?/i (Р) л _ Ui(^
Л Л
Тогда E), F) с учетом y = p/v принимают вид
(9)
1+Г(р)е2" '
^-Г(р)е-Р^>
2
в -2р —
1 + Г(р)е
Рассматривая (9) при х = 1, находим искомую передаточную
функцию:
1+Г(р)е
Операторное входное сопротивление получаем из (9) и A0) при
х = 0:
-2Р±
7 {тл Уг{р)_7 /-ч 1+Г(р)е "
1-Г(р)е
а) При согласованной нагрузке
354
Тогда в соответствии с (9), A0)
Если оригинал изображения Ux(p) обозначить ux(t) (мгновенное
значение входного напряжения), то по теореме запаздывания для
мгновенных значений напряжения и тока в точке х справедливы
выражения и(х, t) = ux(t—x/v)\ i(t, x) = u1(t—x/v)?-. В рассмот-
ренном случае u1(t) = E-1 (/). Следовательно, u(t, x) — EA (t—x/v);
б) При ZH = oo Г (/?) = 1. Выражения (9) и A0) принимают вид
- JL 11-х jc_ _ 21-х
Для перехода к оригиналу рассмотрим выражение 1/\1 + е v )
как сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии со
2?
2?
знаменателем q = — е у
При этом
р, ^)=А^е Р » +е Р и —е""Р у — е Р v +e P v +... J.
(Па)
С Г - — - 2г~* _ <llArX 4l~x 41 + х 1
1{р, х) = -=- е " " — е " а —е " " +е~" v +е~" " +... .
pZB L J
A2а)
Оригиналы, соответствующие (Па) и A2а), представляют собой
бесконечные суммы скачков, запаздывающих друг относительно
друга:
A3)
355
в) При коротком замыкании, согласно (8), Т(р) = —1;
U(p, X)=
-2р—
1-е
Рассмотрим выражение 1/A—e~2pl^v) как сумму бесконечной
убывающей прогрессии со знаменателем е v:
Тогда
/ 2l-X \ 2/ + .V 4/-ЛГ
.epv v /_).-eP v —е Р ~ +
X 21-X
— р —— — р ——_
j "+е ° +
4tl-X 4/4-ЛГ
-РР
v +е « +е
A5)
г) При ZH = 2ZB
ГЛ^-zh(p)-^b(p) 1
W p) - 3 '
Согласно (9), A0),
-р4-
у J e v- V x
f
_n
e ye "+ " —щ- е » + . . . J;
35a
д) При ZH=l/(Cp) найдем по (8)
В соответствии с (9)
Г х il-
х)- Е'р \с~"~ р~а с~Р~
Выражение 1'( 1—-^f—е v ) можно рассматривать как
сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии со
менателем Р~7<^ е Р v (необходимо иметь в виду, что при
Re {p} > О
р + а е
х г!-х
При х =
Оригинал изображения вида — f ^~a ) можно определить по
теореме разложения (случай кратных корней):.
= i + 2e;
Р Р + а •
а У •
и т. д.
С учетом теоремы запаздывания
357
12.16р. В рассматриваемом случае коммутация происходит
в цепи с ненулевыми начальными условиями, поэтому
изображения напряжения и тока в линии удовлетворяют следующей системе
уравнений:
dU(dP;x) =-LQ[pI(Pj x)-i(x, 0)];
?l?JL , x)-u(x, 0)], A)
где i(x, 0); u(x, 0)—функции распределения тока и
напряжения по линии в момент времени, непосредственно
предшествующий коммутации. Перепишем систему A) в виде
du(?x) +LoPI(p, x) = LQi(x, 0);
dl(X) x) = Cou(x, 0). (la)
Выражения (la) представляют собой систему линейных
неоднородных дифференциальных уравнений, причем в данном случае
(когда до коммутации в линии без потерь имел место
установившийся режим постоянного тока) члены, стоящие в правой части,
не зависят от х\ действительно,
i(Xy 0) = ?/BZB) = const; u(x, 0) = Е/2 = const.
При этом системе Aа) удовлетворяет частное решение
/(/?, x) = i(x, 0)/p\ U(p, x) = u(xt 0)/р, A6)
в чем убеждаемся подстановкой A6) в Aа).
Общее решение системы однородных уравнений,
соответствующих Aа), определяется выражениями E), F) задачи 12.11р.
Поэтому общее решение Aа) может быть записано так:
U(p, x^-^L
цр, х)+ т B)
Постоянные Ах и А2 удовлетворяют следующим двум
граничным условиям:
при х = 0
——1(Р, 0)ZB-U(p, 0), —— | —+ ^ J-Zb =
при x — l
u(P,t)_ z*c~P zB . T
HP, I) 7,1 ^вСр+l ' E 1 ZBCp+l»
358
F72
Обозначив <x = 2/(ZBC), получим Л2=^ — -?i—е-*=*
Тогда изображение напряжения в линии, согласно B),
1-х
-Р-
~"(
*
его оригинал
При х = 1
при х = 0
В полученных выражениях а= 1 • 10б с; l/v — %= 1 • 10~6 с.
На рис. Р. 12.9, а, б построены эпюры распределения
мгновенных значений напряжения для и
^1 = 0,5.10-6 с, 4 = 0,75-10~6 с. ?/2
12.19р. В момент времени,
непосредственно предшествующий
коммутации, i(xy 0) = 0, и(ху 0) =
= Е. Изображения для
напряжения и тока в линии ищем в виде
t=0,5r
1/2
250В
t=0,75T
При х^=0
при х = 1
Следовательно,
0,751 1/2
Рис. Р.12.9
I
1328
1-х
E/ZB
-D
1-Х
359
u{t, x) = E.l(t)—E\l—e
t-
\-x
1-х
1-х
V
12.21р. В исходном состоянии, т. е. при / = 0, и(х, 0) = С/0;
i[xy 0) = 0. Согласно B) решения задачи 12.16р,
Уравнения для постоянных А± и Аг получим из граничных
условий: при л: = 0
, 0) = 0; ^-(Л1-Л2) = 0;
при х =
U (p, t)
—
Следовательно,
1-х l+x \
"IT Uo r~p-lT.
Un
Таким образом, в нагрузке возникает прямоугольный импульс
тока амплитудой U0/BZB) = 5 А, длительностью 21/v = 2 • 10~6 с
(рис. Р. 12.10, б).
Напряжение на разомкнутом конце линии u^t) до момента
t=l/v сохраняет докоммутационное значение, а при t=l/v=l- 10~6c
скачком падает до нуля (рис. Р. 12.10, а).
360
12.25р. Решение для каждой линии ищем отдельно. Для
первой линии расстояние отсчитываем от источника и обозначаем х1У
для второй расстояние отсчитываем
от места коммутации и обозначаем Uu
х2. В момент времени, непосредстве- 4-10
нно предшествующий коммутации:
для первой линии
и(хи 0) = ?;
i{xu 0) = 0;
для второй линии
i(x2, 0)== 0.
Изображение напряжения и тока д
в линиях:
для первой линии
для второй линии
но"
а)
t,e
1'10ь 2-/0~6t,c
5)
Рис. P.12.I0
U'(p, jc,) —
-р
- +Л4е
1
-р ¦
Постоянные Аг — Л4 определим из следующих условий:
при ^ = 0
при ^х = /, л:., = 0
= t/>, 0);
—Az = E/p\ Al=0;
A)
7 ' V^^
при
Согласно B)—C),
- = 0.
C)
36!
I
о
и
Е
Е/2
О
Е/216
и
Е/2
О
Е/2%
и
Е
Е/2
О
О
и
Е
У/////////УУ////////////А
I
L
21
21
>t=d
21 X
2L X'
21 X
21 Х<
21 х
21 х
21 х
I 21 X.
Рис. Р.12.И
.-1/2
Для первой линии
1-ХХ
Е Е ~Р~1Г
e
l-xx
Е -р1Г
3#
Е -р-Ц
^e
st-x
Р
для второй линии
—р —
—р
Е ~РТ Е
2t-X2
362
3^-^yi
По полученным выражениям на рис. Р. 12. И построены
зависимости и(х), i(x) для различных моментов времени.
Глава тринадцатая
13.1р. Сначала строим в.а.х. нелинейного резистивного
элемента НРЭУ эквивалентного параллельно соединенным НРг и НР2.
Для этого складываем абсциссы в.а.х. НРг и НР2. В результате
получим пунктирную кривую на рис.
Р. 13.1. НРЭ соединен последовательно
с резистором R, поэтому для получения
результирующей в.а.х. складываем
ординаты в.а.х. НРЭ (пунктирная
кривая) и резистора сопротивлением R =
= 0,5 Ом (прямая линия). Жирно
вычерченная кривая представляет собой
входную в.а.х.
13.3р. Ток в схеме рис. 13.2,6 оп-
¦еделим по точке пересечения в.а.х.
уннельного диода с нагрузочной
прямой, построенной по уравнению ?/д =
= Е — /д/?, где ?/д—напряжение на
диоде; /д—ток через диод. Проведем ряд нагрузочных характеристик
(рис. Р. 13.2, а) и по точкам их пересечения с в.а.х. диода опре-
SO
20
НРг
\w
Рис. Р.13.1
1}мА
J
2
1
1
1&
Л у
Г N
¦—^.
У
л4
«л—
ч\
?
[
\
\
ч
\
-—:
0,1 0/t 0,6 0,8
а)
1,0 Ц В
0 200 400 600 800 WOO R,0M
В)
Рис. Р.13.2
делим рабочий режим. При возрастании R от 0 до оо
нагрузочная прямая поворачивается против часовой стрелки, меняя
положение от вертикального до горизонтального. При 0 < R < 240 Ом
ток плавно снижается от 5 до 1,5 мА (рис. 13.2. б). При 240 < R <
363
< 1000 См для каждой нагрузочной прямой появляются три
точки пересечения с в.а.х. диода, поэтому получаются три участка
на характеристике / = /(/?); при У? > 1000Ом образуется одна
точка пересечения нагрузочной прямой с в.а.х. диода. Ток при
этом плавно уменьшается от 1 мА до 0.
13.7р. Чюбы цепь рис. 13.4, а работала как стабилизатор
тока, нужно подобрать такое сопротивление R, при котором
суммарная в.а.х. параллельной цепи имеет горизонтальный участок
(/ — const). Это достигается при равенстве сопротивления R
резистора модулю дифференциального сопротивления позистора на
падающем участке в.а.х. Следовательно, на участке 8^f/^32B
(см. рис. 13.4,6) дифференциальное сопротивление позистора /?ДИф =
= AU/AI = —600 Ом. Тогда R =-¦- | #яиф | = 600 Ом. Ток стабилизации
можно определить аналитически для любого значения
напряжения на данном участке, например для ?/ = 8В: 1ст = 1нр~\- /д =
= 80 + (8/600) • 103 = 93,3 мА. Ток стабилизации можно получить
графически, сложив ординаты в.а.х. позистора и резистора.
13.10р. При условии, что сеточный ток равен нулю, сначала
определим ток через делитель напряжения, состоящий из
резистора R1 и R2t а затем напряжение смещения ня сетке UCi равное
напряжению на R2:
Если построить по уравнению Ua = E^ — /а/?а нагрузочную
прямую на рис. 13.6,6 по точкам /а = 0; ?/а = ?а = 250В и ?/а = 0;
/а = ?а//?а = 100мА, то
получим рабочую точку при Uc =
= 8В; /а = 44мА;{/а=140В;
13.12р. Методом
эквивалентного генератора
определим ток в HP. Исключив из
схемы HP (третья ветвь обор-
Рис Р 13 3 вана), найдем параметры
эквивалентного генератора Uabx
и RBXab. Напряжение Uabx определим методом двух узлов:
Uabx =
Схема эквивалентного генератора показана на рис. Р. 13,3, а.
Рабочий режим HP найдем путем пересечения в.а.х. HP (на
рис. 13.7,6 кривая 1) с нагрузочной прямой, построенной по
уравнению UHP = Uabx—IriRliXab или UHP = 8 — 2I3, где /3 —ток
через HP. В результате получим /3 = ЗА; UIIP = Uab = 2B. Токи
в остальных ветвях определим по закону Ома:
Т / У* т г v г~ 1 *
3G4
Проверка по первому закону Кирхгофа подтверждает
правильность решения: /2— /2 — /3 — «/ = 0.
13.18р. Для расчета токов в НР1 и НР2 воспользуемся
методом одновременного холостого хода двух ветвей. Для этого
размыкаем в схеме рис. 13.10, а ветви ab и cb. Определим для
этой схемы Uabx и Ucbx (рис. Р. 13.3, б):
Линейную часть схемы по отношению к зажимам аЬ и сЬ
заменим пассивным четырехполюсником. Для этого из исходной
схемы удаляем источники, вместо которых оставим их внутрен-
,, «L *
а
WU,B
Рис. Р. 13.4
ние сопротивления. Схема, собранная из двух источников, э.д.с.
которых соответственно равны Uabx и UcbXJ пассивного
четырехполюсника и двух ЯР, показана на рис. Р. 13.4, а. Эта схема
эквивалентна исходной в отношении режимов работы НРг и НР2.
Методом двух узлов, предварительно заменив последовательно
соединенные НРХ и R9 эквивалентным НРЯ, а последовательно
соединенные НР2 и R2—ЯР4, найдем токи 1аЬ и 1сЬ. В.а.х. НРВ
и ЯЯ4 показаны на рис. Р. 13.4, б.
Строим в.а.х. Iab=f (Ube); Icb=f (Ube); Ibe=f (Ube) (рис. Р. 13.5, a)
й U U U U UU
) (р
= U
cbx
U
HPj
e) be
на основании уравнений Ube = Uabx — UHPi\
Ube = heRi- По первому закону Кирхгофа, 1аь сь ъе
Складываем кривые Iab = f(Ube) и Icb = f(Ube). Точка
пересечения суммарной кривой с характеристикой lbe = f(Ube) дает
рабочую точку (значения 1Ье и Ube) для схемы рис. Р. 13.4, а.
Про1 I
и I
точках пересечения вертикали с характеристиками Iab —
I fU / 2A / 05A (/ 05А)
сЬ
cb f(teY ab cb (Ьв )
Для расчета остальных токов обратимся к исходной схеме
рис. 13.10, а, в которой теперь известны токи в НР1 и ЯР2.
В результате получим /*л = /аЬ —/ = 0,4А; Ibd = Iab + Icb=l,9A;
1 — lbd~
Правильность расчета проверим по второму закону Кирхгофа:
аЪ
365
Значение Uab определим по в.а.х. НР± при / = 2,4 A: Uah=l 2В.
Тогда 1,2+ 1,9.4 + 0,4-3= 10 = ?. '
13.18р. Произвольно выбираем положительные направления
токов 1г и /2 (см. рис. 13.11, а). Строим зависимость токов Iu J
><
щ
2 В^к 10 1
I Г%,
\ .
ье,В
1,А
-ь
с.
1
all
Ш\
1МЁэ\ 2
1
и
-з
i
/
\
\
7 Е
А
V
N
\
Рис. Р. 13.5
б)
и /2 в функции Uab на основании следующих уравнений:
Uab = E — UHPi\ J = const; Uab = UHP2.
Зависимости /, = /([7^), / = /((/.,), I2 = f(Uab) показаны на
рис. F.Id.5,0. На основании первого закона Кирхгофа ток на
а
Г
f
2
4
ч
/
Щэ
I a
< о
К
о
Рис. Р.13.6
входе двухполюсника I = J + I2—I1, Токи построены в функции
одной и той же переменной Uab, поэтому строим зависимость
^ = /(^ь): характеристики J = f(Uab) и I2 = f(Uab) складываются
и из полученной суммы вычитается зависимость L = f(JJ л
Возможны две схемы эквивалентного двухполюсника: 1) с
источником э.д.с. Еъ и последовательно с ним соединенным НР1э
36&
(рис. Р. 13.6, а); 2) с источником тока Уэ и параллельно ему
включенным НР2, (рис. Р. 13.6, б).
Для первой эквивалентной схемы запишем уравнение UаЬ =
= E3-\-UНГ1Э- Значение Еъ определяется точкой пересечения
зависимости I — f (Uab) с осью абсцисс (рис. Р. 13.5, б); Еэ = 5 В. В.а.х.
НР1э получим на основе уравнения Uир^ = Упь — ^» сдвигая
характеристику I = f(Uab) влево на Еэ (рис. Р. 13.6, а).
Для второй эквивалентной схемы запишем уравнение I (Uab) =
— IHP(Uab) -\- JB. Ток </э определяется точкой пересечения
зависимости 1 = 1 (Uab) с осью ординат (рис. Р.13.5,б); J9= —1,8 А.
У
/ 20
-г
и,*
о)
Ь)
Рис. Р.13. 7
В.а.х. НР2Э строим по уравнению 1ИР (Uab) = I(Uab) — J9,сдвигая
характеристику I = f(Uab) вниз на величину /э. Так как ток
/э = —1,8 А отрицателен, следует характеристику I = f(Uab)
поднять вверх на +1,8 А (рис. Р. 13.6, б).
13.21р. Схема содержит узлы а и Ь. По методу двух узлов
строим зависимости 119 /2 и J в функции Uab (см. построение в
задаче 13.18р). По первому закону Кирхгофа, J+I2 = It. Точка
пересечения суммарной кривой J + I2(Uab) с кривой /1==:f(^a6)
дает рабочую точку я (см. рис. Р. 13.5, б). Координаты этой точки:
/1 = 2,5А; (/flft = 5B. Проведя вертикаль через точку /г, получим
/2 = 1,5 А (или, по первому закону Кирхгофа,/2 = /х — / = 1,5 А).
13.24р. Произвольно зададимся положительным направлением
токов в ветвях (см. рис. 13.13). Рассмотрим два способа решения
задачи.
1-й способ. Заменив ветви, содержащие НРг и ЯР2, одной
эквивалентной, построим ее в.а.х. Ii = f(Uab) (рис. Р. 13.7,а).
Для этого по уравнению Ubc = — E1 + UHP1 строим
характеристику I1 = f(Ubc) (кривая 1); по уравнению Ubc = — UHP2 —
характеристику I2 = f(Ubc) (кривая 2). По уравнению /4 = /i—/2,
вычитая из кривой 1 кривую 2, строим характеристику I4 = f(Ubc)
(кривая 3).
Заменим ветви, содержащие НР3 и /, эквивалентной, построив
ее в.а.х. /4 = /(f/eb) (рис. Р. 13.7, б) на основании уравнения
/4 = /3 — J (кривая 2). Строим характеристику 1± = {(иса) по
уравнению Uca = — E2 + ItR (прямая 3).
367
По второму закону Кирхгофа, Ubc+Uca + Uab — 0.
Полученные характеристики (кривая 3 на рис. Р. 13.7, а и кривые 2 и 3
на рис. Р. 13.7, б) можно рассматривать как зависимости
напряжений Ubc, Uab и Uca от одной и той же переменной /4.
Следовательно, для нахождения рабочей точки нужно сложить абсциссы
трех характеристик (кривая 4) на рис. Р. 13.8, а. Точка
пересечения с осью ординат (точка т) дает значение тока /4=1,ЗА.
Проведя горизонталь
через рабочую точку,
получим 0Ьс = —2,5 В;
?/„ = -13,5 В;
= 16В. Ток /
7
1>АУ /
70 JO
/
jh
1 2
Z"*"—
0 U}B
-2
Рис. Р. 13.8
г
2
\
1 \
U,B
\
(по в.а.х. при UNP =
= 2,5В); /,-/, + /,=
= 1,8А.
2-й способ. Считаем
всю схему, кроме НР3,
нелинейным активным
двухполюсником, а
НР3—его нагрузкой.
Точка пересечения в.а.х.
этого двухполюсника с
значения тока /3 и нап-
в.а.х. НР3 и определит рабочую точку
ряжения Uab на ЯР3.
Для получения в.а.х. двухполюсника произвольно зададимся
значением тока 1г. Пусть 1г = 0, тогда UHP1 = 0; Ucb = Et — UHP1 =
= ?1=ЮВ; /о = 2А (по в.а.х. HP); I^I1—I2 = 2A U
?/# 30B U U U 4QB / /
Uac =
lA
a4# 0B; Uab Uae + Ueb ; 3 4 +
В результате получим Uab = 40 В; /3 = —1 А. Задаваясь значениями
тока 1г = 0,5; 1; 2 А, найдем и другие точки в.а.х.
двухполюсника. Сведем все значения в табл. Р. 13.1.
Vab,B
40
32,5
/з, А
—1
0
25
10
В
Таблица Р.13.1
/3, A
1
3
Пересечение полученной в.а.х. с кривой НРд (см. рис. 13.8,6)
б / 2ЗА и = иаъ= 16В. Рассчитаем
b b
= 2,5В);
р
дает рабочую точку п: /3 = 2,ЗА;
остальные токи и напряжения:
/4 = /8-/=1,ЗА; Uac = Es—ItR = l3,b
/2 = 0,5А (по в.а.х. HP при
368
13.26р. Найдем токи/х и /2: I1 = B(U1 + V2J\ I2 = B-(U1—U2J.
Ток через амперметр равен разности этих токов: IA = 1г—/2= 4BU1U2.
13.28р. Выберем характерные точки, принадлежащие как
параболе, так и будущей в.а.х.: /7=10; 20; ЗОВ и / = 0,1; 0,4,
0,9 А.
При 0 < UBX < 10 В диоды Дх и Д2 заперты и ток идет лишь
по R: I = U/R. По первой характерной точке определим R = U/I=
= 10/0,1-100 Ом. При
10B<f/BX <20B диод Д1
открыт, а диод Д2 заперт,
входной ток складывается
из токов первых двух
ветвей :
0,8
0,6
U-Ег
Ofi
0,2
Значение R1 получим»
подставив в выражение для
тока параметры второй
характерной точки (/ = 0,4 А; 0 ю
U = 20 В): /?х = 50Ом.
При ?/>20В оба
диода открыты. Ток на входе
равен сумме токов всех трех ветвей:
г U , и-Ел ,
/
/
/ 2
А
/
20 U, В
а)
Рис. Р.13.9
По третьей характерной точке (/ = 0,9 A; f/ = 30 В) найдем R2 =
= 50Ом. Результирующая в.а.х. построена на рис. Р.13.9,а.
Пунктиром показаны в.а.х. отдельных ветвей, сплошной линией—
результирующая.
13.31р. По закону Ома для участка цепи ab, l~(Vab—Et)/R.
Ток определяется этим выражением при всех значениях Uab в
случае, когда диод открыт (ток источника тока проходит через
диод). Если ток / достигает значения J, диод закроется (ток J
проходит не через диод, а через источник э.д.с). Поэтому при
дальнейшем увеличении Uab ток I = J = const. График I = f(Uab)
показан на рис. Р. 13.9, б.
Глава четырнадцатая
14.4р. Задачу решаем графически на основании второго закона
Кирхгофа для магнитной цепи: Iw = Hlcv-\- 0,8-103 * В • 26 = [/м2.
Здесь первое слагаемое определяет падение магнитного
напряжения в магнитном материале, второе — падение магнитного
напряжения в воздушном зазоре. Значение индукции берется в теслах,
длина зазора — в миллиметрах. Строим вебер-амперную
характеристику магнитной цепи—Ф(?/ме). Зависимость потока от
падения магнитного напряжения в стали, построенная на основании
соотношений <b = BS, ?Ум = Я/ср, приведена на рис. Р. 14.1 (кри-
369
вая /). Зависимость магнитного потока от падения напряжения в
воздушном зазоре линейна (прямая 2). Кривая 3 является
результирующей вебер-амперной характеристикой всей цепи. Таким
образом, наблюдается полная аналогия с нелинейной цепью
постоянного тока — замена двух последовательно включенных
нелинейного и линейного сопротивлений одним эквивалентным
нелинейным. При Iw = 200А Ф = 4,85.10~4Вб; Б = 0,97Тл.
Wff'fffff
8
В
4
2
1/ /
V
/
/—
О 200 UM)A
Рис. Р.14.1
Рис. Р.14.2
14.12р. Особенностью построения вебер-амперной
характеристики ® = f(UMab) участка цепи является наличие м.д.с. При
направлении магнитного потока от а к b UMab = ±Iw + Я/ср + НЬЬ,
где -f Iw соответствует направлению тока от т к п (кривая 2
на рис. Р.14.2);—Iw—обратному направлению тока (кривая 1).
Таким образом, наличие м.д.с. приводит к смещению
вебер-амперной характеристики по оси абсцисс на отрезок, по значению
равный м.д.с. При направлении магнитного потока от Ъ к a UMab=
= ±Iw—Я/ср—Hb8, что соответствует кривым 3 и 4.
14.14р. Задачу решаем методом двух узлов. Строим вебер-ам-
перную характеристику (рис. Р. 14.3) участков цепи для
выбранных на рис. 14.9 направлений потоков и м.д.с; (D1=zf(UMab), где
UUab = I1wl—ЯЛ (кривая 1); Ф2 = /(?/мвЬ), где UMab = H2L2 + Hb8
(кривая 2). Кроме того, проводим вспомогательную кривую
Ф2—0,5-10~4Вб (кривая 3). Графическое решение ищется из
условия удовлетворения первого закона Кирхгофа
или Ф1 = BФ2—0,5.10-4)Вб,
что соответствует точке т на рисунке.
Определим Ф19 Ф2, Ф„ Uuab:
Ф1 = 3,9.10"*Вб; Ф2 = 2,2.10-4Вб; Ф3= 1,7- 10~4Вб; Uuab
Для третьего стерл^ня UMab = — I3w3 + HBl3. При Ф3 = 1,7х
X Ю-4 Вб Я3/3 = 14 А, откуда /3 = (— Umab + Я3/3)/^3 = —0,78 А,
т. е. направление тока в обмотке обратно указанному на рисунке.
14.16р. Чтобы перемагнитить сердечник от —Вг до +ВГ,
в нем необходимо создать напряженность магнитного поля Н^НС =
= 300А/м. Эта напряженность создается током линейного
провода: H = I/BnR). При /=151А перемагнитится часть сердечника,
370
ограниченная
151
2пНс~~ 2-3,14-300
= 0,08 м.
Зависимость B = f(R) приведена на рис. Р. 14.4, а.
При отключении тока магнитное состояние сердечника вновь
изменится: магнитная индукция, равная + Вп сохранится только
в той части сердечника, напряженность магнитного поля которой
¦—-_, ¦
/
4
/
/
/
2*3
\
л>
Л
\
2
0 J0 60 90
Рис. P.I4.3
В, Тл
0,25
-0,25
4 8
BJ/i
0,25
\R,CM
-0,25
I
Рис. Р.14.4
J
К, СМ
х= 500 А/м. Эта область ограничена ^г^
151
,max 2.3,14.500-
= 0,048 м. В остальной части сердечника В = — Вг (рис. Р. 14.4, б).
14.18р. Процесс перемагничивания магнитопроводов,
выполненных из материала с ППГ, происходит последовательно
начиная с внутренних слоев, имеющих меньшую длину пути
перемагничивания и в которых прежде всего достигается величина Яс.
Индукция в этих слоях изменяется от —Вг до +ВГ. Процесс
перемагничивания начинается с тока
— юо
Магнитный поток среднего стержня Ф2 = БД> = 0,5- 10~4Вб,
когда перемагнитятся все слои вплоть до контура 1п1ьхс^х* При
этом /х = HJa^c^/w = 0,54 А. Перемагничи-
вание слоев, проходящих по первому и
третьему стержням, начнется при I2z=ficlaimndjw==
=О,66А и закончится при /тах = с а* -с- 2 =
= 0,9 А. Магнитный поток QK = BrSB —
= 0,5-10~4Вб, а Ф1 = Ф2 + Ф3. Связь между
током и магнитным потоком линейная.
Если рассмотреть контур, отстоящий от
внутреннего контура на расстоянии х, то
магнитный поток, проходящий через
сечение hx, Q) = Brhx, где h—толщина пакета листов магнитопро»
вода.
12
8
Ч
0,2 0/t 0,6 0,8 1,А
Рис. Р.14.5
/
/
'/
^-
"f-
ср
371
Для создания этого потока необходим ток
j __ #с (lgpcd+ kix) __ Hclabcd , НскгФ _ j - ф
где kx и k2—коэффициенты пропорциональности. Графики Ф=/(/)
приведены на рис. Р. 14.5,
Глава пятнадцатая
15.2р. Для случая на рис. 15.1,6 на участке от —0,95 до
0,95В-с ^ = kxiy где ^ = 0,95/0,05=19. На этом участке d\p/dt=
= k^Im cos cot = 19- 103cosco^. Изменение dty/dt по такому закону
происходит на участке от— (о^1досо/1=:агсз1пО,05=2053'(рис. Р. 15.1).
На участке от 0,95 до 1В-с ty = % + k2i, где fe2 = 0,05/0,95= 1/19.
Здесь dty/dl = k2<ulm cos ®t = 52,7 cos (ot B. График изменения dty/dt
для рис. 15.1,e изображен на рис. Р. 15.2.
19000В
/90003
'12° 53'
cot
Рис. Р.15.1
Рис. Р.15.2
15.5р. К концу отрицательного полупериода ф = — tym и i=0.
В положительный полупериод в уравнении dtyldt+ Ri = e(t)
слагаемое Ri = 0 в случае, когда изображающая точка перемещается
по вертикальному участку зависимости \|> = f (i), т. е. когда
происходит перемагничивание индуктивной катушки. В этом
интервале времени dyp/dt = E; ty = Et + C, где С—постоянная
интегрирования. При t = 0 г|) = — г|эЛ, отсюда С = — г|)Л; потокосцепление я]э
изменяется по закону ij) = ?>f—tym до момента времени t1 = 2tyrn/E =
= Т/3, когда -ф достигает tym. В интервале от Г/3 до 71/2<ф=г|?|В;
/^i = g (/). Следовательно, t = E/R = 0,1 А. Графики требуемых
величин в функции t показаны на рис. Р. 15.3.
15.7р. К началу положительного полупериода ф = — tym и i=0.
Когда сердечник индуктивной катушки перемагничивается и
потокосцепление изменяется от —tym и до +tym (т. е. на 2tym), ток
t = 0 и 1г = 12. Перемагничивание происходит под действием
напряжения
ucd = Ri2 = 10 sin 104 =
•ф = \ucd dt + С = — 103 cos соt + С,
где С = —1|^—постоянная интегрирования. Если tx—время окон-
372
чания перемагничивания, то 2tym= 10 3 A—cosco/J; cos(dt1=—0,706;
о*! =135°.
Когда перемагничивание закончится, ucd спадает до нуля,
i2==0, a i=r-i1. Напряжение uab = uac + ucd. Графики искомых
величин в функции tot изображены на рис. Р. 15.4.
(л)Ь
Рис. Р 15.3
Рис. P.I5.4
15.8р. Напряжение иас = 1~ положительно и равно 0,71 В при
di/dt > 0 и отрицательно и равно —0,71В при di/dt<cQ. При
персмагничивании индуктивной катушки от —\рт до 4-4\» (за
время от 0 до fj) ток i, протекающий через нее, равен
t
нулю и i1 = i2. Уравнение для определения tx\ J ur dt = 2ф;л;
о
u# = i2R. На участке роста тока i1-==AImtjT. На участке спада
тока i1 = Iml2—\~y )'» ti — ~%T. Графики изменения всех величин
в функции t даны на рис. Р. 15.5.
15.12р. Нелинейная индуктивная катушка перемагничивается
в интервале времени отсо/ = 0 до @^= 120° под действием
напряжения ucd. Это напряжение равно напряжению на нелинейном
резисторе. За интервал времени от cot = 0 до со? = (о/х i = 0 и г\ = /2.
На начальном участке характеристики нелинейного резистора в
интервале времени от со/ = 0 до о/ = 30° u = R1i2, где #1 = 2Ом.
Напряжение ucd==-u\d = R™2 sin о/ достигает 0,2 В. В
интервале от (о/ = 30° до ю/1=120° MjJ = f/Msinco/ — /,/?. В этом случае
ток i1 = i2 остается неизменным и равным 0,1 А, поэтому w^ =
= sincof—0,3 В. Для определения (otL служит уравнение
30°
зо°
373
нли
—0,4 (cos 30° — cos 0°)— cos ®t —0,3 (co^ — л/6) = 0,948.
30°
2
Отсюда- d)t1= 120° = у я. В интервале изменений со^ от 120 до
180° ucd = 0; * = ^ =-^ sin ю? = 0,333 sin ©?. Графики изменения
всех величин в функции со/ изображены на рис. Р. 15.6.
0,7/
W5
Рис. Р.15.5
uab>B
L,A
»cd>B
1 ,
30° 120°
' G>Z89F\\J
^ Ж
Рис. Р.15<6
U)t
cot
.cot
I5.16p. Как и в задаче 15.14, проводящий период начинается
с со^ = — 68°20\ Ток имеет в своем составе принужденную и
свободную составляющие. Принужденная составляющая состоит
из постоянной и синусоидальной компонент, так что
г?
t_E1
• = 90,1 мА;
% = 50 мА;
где А — постоянная интегрирования. В показателе свободной
составляющей добавлено время со^, указывающее на то, что
переходный процесс начинается не с момента со? = 0, ас момента
©*! = — 68°20' = —1,2 рад; t = 50 + 90,1 sin co2f + Ле"
Постоянную А найдем из начальных условий, имея в виду,
что при сог = — 68°20' = —1,2 рад ток i = 0:
0 = 50—90,lsin68°20' + ^; A =33,5.
374
— A ° + со/)
Следовательно, i = 50 -^ 90,1 sin со* ~ 33,5е '" ^L . Графики
изменения требуемых величин в функции со^ даны на рис. Р. 15.7, а.
15.19р. На рис. Р. 15.7, б изображены кривые изменения
э. д. с. е, принужденного, свободного и полного токов в
функции со/.
?7f
ZlC U)t
В первый полупериод i = Im sin (cot — ф)~-Ле coL ; ф =
;^-; //Я — </></'° . В силу периодичности процесса
i (л) = i @). Поэтому
откуда
(л-Ф) +
Ыт Sin ф
A)
Среднее значение тока за полпериода (среднее за период)
Подставив в это соотношение выражение A), получим
2/т Г . coL*] 2/w 2/mz 2 ?wz 2 ?"^
cp л L ' ^ -R J ~~ я cos ф ~ л/^ л zR ~~ "л ~R~ * ^'
Среднее значение тока не зависит от индуктивности катушки,
однако от нее зависит степень пульсации тока /. Формулу B)
можно получить и проще, взяв среднее значение двухполупе-
риодно выпрямленной синусоиды и считая при этом, что
среднее значение напряжения на индуктивной катушке равно нулю.
15.21р. Графики э. д. с, напряжения на конденсаторе, тока
через конденсатор, тока через резистор R, тока 1^1с-^^я и
напряжений на полупроводниковых диодах 1 и 2 в функции at
375
показаны на рис. Р. 15.8 за первый полупериод. Диоды 1 и 3
в первый полупериод открыты в интервале времени от со^ до (dt2.
При о)^ напряжение источника становится равным напряжению
на конденсаторе:
При o)t2 результирующий ток i = C-r,Em
новится равным нулю:
ыСЕт cos coL + -
^-smcot
стаТак как процесс периодический, то ис{Ы1-\- n) = uc((ut1).
Среднее значение напряжения на нагрузке f/cp:
= ^p [cos o)^—cos (o^
03*2;
с I
Urn
<
cotf cotz cot
cot
cot
Рис. Р.15.8
1 5)
Рис. Р.15.9
15.22р. Если uBX<E2, то открыт диод 2 и ивых = ?2. При
Е б Е > E
р
uByi> Е2 оба диода закрыты и ивых =
^ З
вых 2 р
Если uBX> Eit то
/) изображена
г Byi 2 р вы
открыт диод У и Мвых==^1- Зависимость
на рис. Р.15.9, а.
15.24р. По закону Ома, I = uab/R. Если* / > 0, то ток /,
проходя через диод 2, будет направлен встречно току /2. Как только
ток / достигает значения /2, диод 2 закрывается и ток У2 течет
376
через источник э. д. с. При этом I = J2. Если напряжение иаЬ
изменит знак, то ток / станет отрицательным, т. е. при
прохождении через диод / он будет направлен встречно току Jx. При
/ = — Ух диод 1 закроется, после чего ток Jx потечет через
источник э. д. с, а ток I = — Jx. График I = f(uab) показан на
рис. Р. 15.9, б.
15.26р. Для входной и выходной цепей составим уравнения
по второму закону Кирхгофа:
/6 (R6 + RA) + иэ6 = Е6 — iK#a;
В соответствии с этими уравнениями расчет проводим методом
последовательных приближений, взяв в качестве исходного
приближения i'6 =0,023 А; 1"б/?д = 0,23 В; fK = 0,168 А, полученные при
решении задачи 15.25.
20
О
м
г
8 1Z
а)
Рис. Р.15.10
Проводим пунктирную прямую 1'б = /(Иэб) на рис. 15.15,6 и
пунктирную прямую iK = f(u9K) на рис. 15.15, в. По точкам
пересечения прямой с кривыми рис. 15.15,в на рис. Р.15.10, а строим
две зависимости i6 = f(udK) (кривые 1 и 2). Точка В определит
рабочий режим.
15.30р. Составим уравнения по методу узловых потенциалов
для схемы рис. 15.17, в:
^ii9i + ( —Ук)ф2 = —а^э —^у; A)
— ^1+^2292=^3. B)
11 — М5 !
но
Из выражений A) — C) найдем
C)
D)
E)
F)
где
377
В соответствии с уравнениями E) и F) составим граф,
изображенный на рис. Р. 15.10, б. По формуле Мезона,
ь1уьэ1ь2э
15.32р. В соответствии с методом узловых потенциалов
составим систему уравнений [У][<р] = [/]. Решим ее относительно
<Pi и ф2:
9i=^A + ^(-/J; A)
где А—определитель укороченной матрицы [У];
Akm—алгебраическое дополнение с принадлежащим ему знаком: /2 = ф2^н-
Подставим это значение /2 в уравнения A) и B), выразим /2 через /х:
/ j A^
2~
Найдем входное сопротивление между точками /—0:
1 л f\ л j_v АпА22—А12Д2г
Ai/)A+K
Величину n 22^" 12 21 обозначают через AUi 22 и называют
двойным алгебраическим дополнением; его получают из
выражения для А, вычеркивая строки 1 и 2 и столбцы 1 и 2 и
умножая на (—1I+1+2+2=1. Тогда ZBX= Аи+ГнАп'22. Коэффициент
Д + Д22УН
передачи напряжения
К __ Ф2 _ А12 ,,v
Ли~ фХ ""A W
Коэффициент передачи тока
15.40р. В качестве примера на рис. Р. 15.11, а построена
векторная диаграмма по первой гармонике при напряжении на
параллельной группе (назовем его 02), численно равном 50 В. Ток
/2 через индуктивную катушку отстает на 90° от 02 и численно
равен 50/50=1 А. Откладываем его на оси действительных
значений. Ток /3 опережает 02 на 53° и численно равен 1 А. Ток
1Х равен геометрической сумме токов /2 и /3 и по модулю
приблизительно составляет 0,6 А. Геометрически складывая G2,
напряжение на /?!, равное 12 В и имеющее одинаковое направление
378
с током Д, напряжение на конденсаторе (его находим по графику
рис. 15.22, 6, оно равно 18 В и по фазе на 90° отстает от тока /3).
Определим OBX = Uab = 58&69°. Сдвиг фаз между входным напря-
и
6)
Рис. Р.15.11
жением и током ф = 69°— 71°40' =—2°40'. Аналогичные
построения позволяют найти угол <р и напряжение Uab при других
значениях /х. Результаты подсчетов сводим в табл. Р. 15.1.
h, A
0,3
0,5
0,6
0,8
— ф, град
0,8
2
2,7
6,5
Uab, В
29
48
58
77
/ь А
1,0
1,2
1,4
Таб л
— фь град
14,5
25
38
[ица Р.15.1
Uab, В
98
126
170
15.45р. Сумма потерь в сопротивлении R и в стали
сердечника равна полным потерям: I2R + PC = P. Потери в стали
сердечника Рс — Р—/2jR = 1,38 Вт. Сдвиг фаз между напряжением
О на входе и током / найдем из выражения cos ф = Р/[//=* 0,158,
откуда ф = 80°50'. Напряжение на зажимах аЬ (рис. Р.15.11, б)
Uab = U—I(R + jXs) = 100—0,le-/80°50' B0 + /50) = 94,75е-'40 В.
Ток, обусловленный потерями в стали, Ic=zPc/Uab = 0,0146 А.
Сопротивление Rc = Ulb/Pc = 6520 Ом. Намагничивающий ток
/„=//*—/? = 0,0985 А.
15.47р. Запишем основные соотношения для трансформатора:
К (#1+ Iх si) + /<оа;1Ф = t/i; A)
/2 (R2 + jXS2) + jawp = 0; B)
/х^Ч-/2ша = />1. C)
Учтем, что при напряжении питания, сниженном в 10 раз по
сравнению с номинальным, поток в сердечнике также в 10 раз
379
меньше номинального и ток холостого хода /х« 0. В этом случае
l\ = — l\Wl/w2. D)
Подставив выражение D) в B) и решив его совместно с
уравнением A), найдем
(
Так как, по условию,
t1=OjBR1+j2XSl).
Таким образом,
/ [XS1 + XS2 (wi/w2f\ •
>J = ^i> a ^52(^
Y=~-Ul/Ily cos ф^
2RX = zcosф; 2X5l = zsinq>; XSl = j
/?1=-g-cos9; R2=^R1(wJw1Y; XS2 = XSl(wjw,J;
(wjw1J = 302.
15.49р. Полагаем i|) = tym sin ю^. Разность амплитуд напряжений
на индуктивной катушке и конденсаторе по первой гармонике
/
/
(
/
*•—
у
[У
/
О 1 2
2
1
0 12 3 4
Рис. Р.15.12
равна амплитуде воздействующей э. д. с, взятой со знаком плюс
или минус:
Плюс соответствует режиму до резонанса, минус — режиму
после резонанса. Имея в виду, что частота со должна быть больше
нуля,
Искомая характеристика показана на рис. Р.15.12, а сплошными
линиями.
15.50р. Частотная характеристика описывается уравнением
яЬ3
согЬ, = -
380
При резонансе подкоренное выражение равно нулю, поэтому
Левая часть уравнения при резонансе дает
со = ф/л. Таким образом, координаты точки резонанса co = i|)w — 2,8.
Резонансная кривая показана пунктиром на рис. Р. 15.12,'а.
15.52р. Полагая, что потокосцепление я|) имеет постоянную не
зависящую от времени составляющую \р0 и первую гармонику
^ sin со/, запишем i|) = i|H + tym sin со/. Из формулы i
= а (\р0 + i|)w sin со/K найдем
/0 =
I ja = ij)o + 1 >5i|vi|);^ A)
Можно придать отношению Ija некоторое фиксированное
значение и по уравнению A) найти зависимость \|?0 = ^ («фл) при
выбранном 10/а. Для /0/а = 6 зависимость *ф0 = / (я^) приведена
в табл. Р. 15.2.
Таблица Р.15.2
я|>/я, В-с
0
0,5
1,0
1,5
%, В-с
1,81
1,75
1,54
1,22
я|)т, В-с
2
2,5
3,0
•фо» В-с
0,89
0,612
0,437
Первая гармоника напряжения на конденсаторе равна
тг cos со/. Она имеет амплитуду т-яСФт + 4гЬоФда).
Разность напряжений на нелинейной индуктивной катушке и
на конденсаторе равна э. д. с, взятой со знаком плюс и минус:
03Y/л 4соС ^т ^°^т' — /л' ' )
По условию, За/DС) = 1. Решим уравнение C) относительно
со при Ет = 2:
(х) =
Придавая tym значения 1; 1,5; 2; ... и беря соответствующие
им значения i|>0 (при 10/а = 6) из табл. Р. 15.2, найдем по два
значения со для каждого tym. Радикал возьмем со знаком плюс,
а первое слагаемое—с двумя знаками. По результатам подсчетов
строим кривую tym = f((u) на рис. Р. 15.12, б.
15.53р. Полагаем q = Qmsin<ut. Первая гармоника напряже-
ния на конденсаторе ис — -j^iQmSinco/. Первая гармоника тока
i = dq/dt — (?>Qm cos со/ = а2г|?3. Мгновенное значение потокосцепления
ij; = (coQ/;2/a2I/3cos1/3co/. Амплитуду первой гармоники потоко-
381
сцепления найдем, разложив функцию \}з (t) в ряд Фурье:
2 Я
Я; 2
Учтем, что
Л/2
где Г((х+1), F(v4-1) и T(\i + v+2)— гамма-функции.
В рассматриваемом примере 2jx + 1 =0; \i = —0,5; 2v-J- 1 =4/3;
v= 1/6. Тогда
Г fri+ 1) Г (v+ 1) Г @,5) Г G/6) п 0,
2ГE/3)
Поэтому ^ = 40,9
/V. Первая гар-
моника напряжения на индуктивной катушке
— ^lOT cos coi = —1,1 бсо f — ) QJi3sincof.
Разность амплитуд первых гармоник напряжений на
конденсаторе и индуктивной катушке равна амплитуде э. д. с. ЕтУ
взятой со знаками плюс и минус:
Q
2
1
7
V с\т ^1Лт:
A)
Знак минус в правой части A)
соответствует режиму до резонанса, плюс—
режиму после резонанса.
Уравнение A) решим относительно
Рис. Р.15ЛЗ частоты со:
6 СО'
^ з = _!?_
Считая с1-|- = 1> поделим обе части этого уравнения на
коэффициент flJ/3/l,16 и обозначим (о' = (of^j J ' . Тогда
B)
Придавая Q различные значения, строим кривую Q//2 = /((o')
(рис. Р. 15.13). Верхняя часть кривой соответствует знаку минус,
нижняя — знаку плюс в формуле B). Поскольку предположение
о синусоидальности тока в действительности не выполняется,
анализ носит приближенный характер.
382
15.53р. Введем следующие обозначения: а —о!'/(R-- RJ; b-=
= b';(R-'r Ri); I = E (R-r Ri). Дифференциальное уравнение
примет вид -p-\-aqJ- bcf = /. Перенеся нелинейный член в правую
часть уравнения и умножив его на малый параметр ц = 1,
получим
dqfdl-\-aq = I — nbq\ A)
Положим q = qo~r t*qv Уравнение A) разобьем на два уравнения;
^+*/.=/; B)
^L + aqi = -bql C)
Из уравнения B) определим q3 = — (l—е~о/)- Решим
уравнение C) операторным методом:
Подставив qQf q1 и j.i в выражение q = q<> + \iqi, найдем
n(t) -L^bll^frat Г l_3^!|_3^e-,et S-111 e^at 32I2 [e~at
4V>-a > a* e [a 2a* J a* 8 l 2a4 e ?"fe *
15.56p. По условию,
1 = а'Ц + Ь'Ц*. A)
Запишем дифференциальное уравнение для послекоммутационнои
схемы:
dq.'dt-r Ri = 0. B)
Подставим в него выражение A): d\[fdt-\-R {а\р-{-Ь\\-2) = 0.
Нелинейный член перенесем в правую часть уравнения и
умножим на малый параметр j.i=l:
dty'dt + a'R$ = — Ь'#ф2|л. C)
Запишем выражение для -ф в виде ряда по степеням \i:
ЧЧ = ^0-Т-И1+И2Ф2- .D)
В свою очередь,
я|;2 = -ф-g
Обозначим ct'R = a, brR = b и подставим выражение для
в уравнение D):
383
Составим уравнения с нулевой, первой и второй степенями [л:
E)
F)
G)
Величина гЬ0 = Ле~а<. Постоянную А найдем по начальному
условию а'А + Ъ'А% = -,
Е
1 {Ri-\-R)bf-
Подставим выражение для ij^0 в правую часть уравнения F):
Уравнение G) примет вид
Изображение
я1р2(р) = 2&2Л3
По формуле разложения,
if>2 (t) = —5~- @,5е"~а/—еа* + 0,5
В соответствии с уравнением D) при \i =
При ^ = 0 гр = Л.
15.57р. Решим уравнение методом малого параметра с точ-
ностью до первого приближения. В уравнении -^ -f @5 ( х-\--тг ] =
= 0 o)g==aP/C. Поделим это уравнение на «о и перейдем к
безразмерному времени T = (o/f/ = ~j. В результате получим
Обозначим (— ) =п2. Тогда последнее уравнение примет вид
АЧу. у3
384
Перенесем нелинейный член в правую часть уравнения и
введем малый параметр |i([x= 1/6):
d2x
®2 + x x3
Положим Q = 1 + fJ-fll, и х — x0 + \1хг. Тогда Q2« 1 4- 2^Qt + ...,
Следовательно,
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях \х в левой
и правой частях A), получим два дифференциальных уравнения:
d хо \ у л. (о\
Пусть хо(О) = Л; Хо(О) = О. Тогда решение B) запишем следую-
3 1
щим образом: х0==Лсозт. Так как х% = -т Л3 cosx + -j Л3 cos3x,
а -г-§ = — Л cost, то уравнение C) переходит в следующее:
^ + хг = — j Л3 cos т — j A3 cos Зт + 2i\A cos т. D)
Решение уравнения D) не будет содержать векового члена,
если в его правой части отсутствует вынуждающая сила на
единичной частоте, т. е. должна быть равна нулю амплитуда выра-
/ 3 \
жения Л f 2Qj_ — -^ Л2] cost. Приравнивание к нулю амплитуды
этого выражения позволяет найти поправку ка угловую частоту
о
Q1== —Л2. При этом уравнение D) переходит в
-j-± _(- хг = —j- cos Зт. E)
Полагая решение уравнения D) в виде x1 = Bsint + Ccosx+
4-?>sin3x+ ?cos3t, найдем коэффициенты В, С, D, Е. Для этого
определим
"—Ccost—9Dsin3T—9?cos3t F)
и подставим значения d2xjd%2 и хг в уравнение E):
— В sin т— С cos т—9D sin Зт—9? cos Зт + В sin т + С cos т
cos3t= —j-cos3x.
Отсюда ?" = Л3/32 и D = 0. Имея в виду, что а:1@) = 0, получим
С ? = 0 или С = —Л3/32. Так как ^@) = 0, то i5 + 3D = 0 или
385
A3 Az
В = —3D = 0. Следовательно, хг=—-^cosт +-32"cosЗт.
Окончательное решение для первого приближения получим, если в
выражение x = xo + \ixl подставим найденные значения х0, хг и |л =
= Ve» учтем поправку на угловую частоту Qx и перейдем ко
времени /;
15.60р. Площадь статической петли гистерезиса обозначим через
SL. По данным условия, S1==600 В-А-с/м8. Площадь между
пунктирной и сплошной кривой на рис. 15.28 обозначим через S2;
численно S2 также равна 600 В-А-с/м3. Потери на вихревые токи
при одном перемагничивании на частоте /х соответствуют
площади S2. Одному перемагничиванию на частоте /2 сопутствуют по-
о
тери на вихревые токи, равные j*ft. Потери в единице объема
на частоте /2 равны SJa + -р/1> потери в объеме V равны
f SJ. + 42-flV. Следовательно, Р = F00-2004~. 2002"). 10"»=»
13,6 Вт. ' \ 100 J
15.64р. Используя первое соотношение теоремы Менли и Роу
с учетом того, что /х = / и /0 = 3/, определим
4/ 4/ /= "*" / "Г" 4/ "~Ut
Отсюда
^i-^r+1^4 = 0. A)
Применяя второе соотношение теоремы Менли и Роу, получим
0
Совместно решив уравнения A) и B), найдем
w *Lw • w Aw —П7. (Ч\
w г — 9 8 f 4 — З1 27 8* ^ '
Из соотношений C) следует, что на частоте 4/ отдается
большая мощность, чем на частоте 2/.
15.66р. Считая гр = -ф0 Ч- iplm sin co^ + i|)?wsinBcof+ ф), запишем
i/a = shp [(я|H + ф1я sin о/) + ф2Л sin Bю/ + ф)] =
= sh р (г|H + tylm sin со/) ch |3 [г|?2да sin Bсо/ + <р)] + ch (г|;0 +
+ ф1л sin со/) sh p [г|J/й sin Bco/ + <р)].
Произведя разложение в ряд Фурье, коэффициенты которого
являются бесселевыми функциями, выделим постоянную состав-
386
ляющую правой части и приравняем ее нулю. Пссле
преобразований получим
thрь = ^-^(i^m-JfH^)] sin2
Правую часть уравнения подсчитаем по известным значениям
Р, я|э1/д, yjp2mJ ф, после чего по thfh|;0 найдем |3г|;о, а по C\[з0 — \|у
15.70р. По второму закону Кирхгофа, iR + «hp = e @-
Полагаем, что напряжение на нелинейном резисторе (HP) состоит из
постоянной составляющей, первой и второй гармоник:
инр = U0 + Ulrn sin (at + а) + U2m sin Bcot + <p) = f/0 + и_.
Значения UQi Ulm, U2m> а и ф неизвестны, но
-i-= (UQ |/iJ3 = (/о + ЗЩи^ + 3f/oa^ + w3^; A)
u\ = [Ulm sin (®t + a) + f/2ei sin Bо? +- ф)]2 =
*=^.[1— cosBo)/-h2a)]-!r^|zl[l —созDшЛ-2ф)] +
+ UlMU2m [cos (co^ + Ф —a)—cosCo/ + ф + a)];
3 U2 U
u\ = T f/im sin (a)t + a) + 2m0 sin (co? + a) +
+ UlnU,m sin BЫ + Ф) + ^^ sin Ba—ф) +
¦f f/«"^»'» sin BЫ + Ф) -f V-mV^-m sin Ba—ф) +
-Ь i (/L sin B<o/ + ф) + {/1я?/?в sin (co^ + a).
После подстановки и\, и\ в уравнение A) получим
следующие пять уравнений. Для постоянной составляющей
paR + UQ = 0y B)
где
Для синусной составляющей первой гармоники
[Ran + Ulm] cos a- 3U0UlmU2m cos (Ф -a) = Е1я. C)
Для косинусной составляющей первой гармоники
[Ran + Ulm] sin a + 3U0UlmU2m sin (<p —a) = 0. D)
Для синусной составляющей второй гармоники
(Ram + U2m) cos ф + 1 ?UQU']m sin 2a = E2m cos ф. E)
Для косинусной составляющей второй гармоники
(Ram + U2m) sin ф— 1,5U0Ulm cos 2a = Е2т sin i|), F)
где п = 3f/8?/1л + 0,75?/?ш + 1,5?/f.I/le.
387
Уравнения E) и F), так же как и формулы для пит, имеют
симметричную структуру. Решение уравнений B) — F) может быть
осуществлено на ЭВМ.
15.73р. Подставим -ф = \f>0 -|- oj^^ sin co^ в формулу / = ash|3i|) и
определим связь постоянной составляющей тока /0 через обмотку
нелинейной индуктивной катушки с |3г|;о и $tym. В результате
получим
. . A)
Первая гармоника тока i через индуктивную катушку
По закону электромагнитной индукции, мгновенное значение
напряжения между точками а и Ъ
По первому закону Кирхгофа, iK = i1 + i% + if или
/0 + Im sin at cos ф + Im cos со/ sin <p = ®tym G cos cot—
] sincof. B)
Из равенства постоянных составляющих B) следует ранее
полученное соотношение A). В свою очередь, синусные и
косинусные составляющие первой гармоники равенства B) позволяют
записать два следующих уравнения:
—©¦Oh. + 2a ch рф0 [-jJ1 (/рЧ> J] = Im cos q>; C)
cd^G =*/m sin ф. " D)
Возведем в квадрат C) и D) и сложим их:
{2a ch К [-//х ОРФ.)]-©1^.}1 + (<оОфJ2 = /Ь. E)
Решим E) относительно ch
СП pip0 —
15.74р. Во время заряда конденсатора ыс = ?+Л1ер»';
C) Al = ur—E. При / = ^
Разряд конденсатора происходит в соответствии со схемой
рис. 15.33,г:
t
388
Счет времени ведется с момента начала разряда. При
= U31 ПОЭТОМУ 4 = "з + ?доп — (? + ?доп)-Щ^- ПРИ t = t2
отсюда
а
1П
l+o
Период колебаний
f b-\
T i J_ i V>C In ' " In
Определим R и С через заданные 7\ ir и ? при а = 3; 6 = 6;
а= 1/11 =0,091; m = V. = 0,166; а/A +а) = 0,0833:
T = RC [in | + 0,0833 In2,415] =i?C-0,5865;
/?С=1,71Г; # = 8ur/ir=1.33?/ir; C= 1,г
15.77р. Составим характеристическое уравнение Z(p) = 0 для
схемы рис. 15.36,6, обозначив г = Ял—R' < 0:
=0,
ИЛИ
= 0;
I±3L- a0>0, ax>0, a2 > 0;
при Д'-*0, если LXC
15.79р. Выберем направление контурных токов в соответствии
с рис. Р. 15Л4 и составим уравнения по методу контурных токов:
/<oL0)—/s/(oM = 0;
389
Оценим слагаемые по порядку малости, имея в виду, что
,<^/?$<^/?к. Составим определитель системы:
n_a) + J d L
к ^ ' ' /ооС э /соС
— R9 Re + /®^о —/<i
Приравняем к нулю его действительную и мнимую части:
A)
B)
Уравнение B) поделим на #кA—a)jR6 и, учтя малость члена
*,(!-«) *б по сРавнению с 1С и члена CJ?R(?.g)/?); по сравне-
нию с A), определим
Рис. Р. 15.14
C)
Из выражения A) получим
уравнение относительно М:
2/?
где д = -
1—а)
7?
Решение уравнения D):
E)
Так как взаимная индуктивность М действительна и
положительна, то между параметрами схемы должны выполняться
соотношения у>КЬ и &>0.
15.81р. Обозначения токов примем в соответствии с рис. 15.39.
Потенциал точки 2 <p2 = I2R2. Так как входной ток ОУ равен
нулю, то /2 = /3. Потенциал точки 3 ср3 = Ф2 + hR9\ Фх = Фз + /iZH=
= ф9+ /3^з+ ^1гн- Так как входное напряжение ОУ фх — ф2^0,
то Ф1 = Ф2 и потому /х = —/3^. Входное сопротивление ZBX =
= ф1//1 = — R2zJRh соответствует входному сопротивлению
конвертора отрицательного сопротивления.
390
15.86р. Воспользуемся обозначениями токов и напряжений на
рис. 15.44. Сопротивление параллельно соединенных Rt и Ct
п
равно . * ; сопротивление параллельно соединенных R2 и С2
1 -|- KiLip
составляет
Учтем, что U1 = U2; U2 = I2Z.yj. Входное напряжение ОУ
стремится к нулю, поэтому 11Z1 + (I1+ 1)R = O. Отсюда 11Z1 = —LR.
и и ¦ i
Входное сопротивление схемы ZBX = —1 == 11Щ = —^— ^
7 7 ~7 "
5= 4-^. Входная проводимость при /? = /со 1
Если при фиксированной частоте со параметрами Rly R29 С1У С2
распорядиться таким образом, что R1RJ21C2(u2=1, to YB3L = j<uC]
15.87р. Потенциалы узлов 1, 2, «3 на рис. 15.45 обозначены
<Pi> Ф2. Фз- Токи ветвей /t^-M ^ Y ; /2 = /i = —^-т- = i Гр Гп ;
^ то. как /,/?, = /,/?„ то /, = з-2-^С"
Входной ток /^/.-Л-Ф»^^
= RtR* входное сопротивление ZBX = q>1/IBX = R4t+ R2RACp.
15.89р. Пользуемся обозначениями на рис. 15.47. Так как
входное напряжение ОУ стремится к нулю, то /^ = /4/?3 или
/l=V4> A)
где kL = jR3/-Ri- Напряжение между узлами 3 и 2 можно записать так:
или
где
^з = (/?з + ^4)С/?. B)
По первому закону Кирхгофа, для узла 2 /i + /4 + /5 = /2-
Заменим в последней строке /х и /5 согласно A) и B). В результате
получим
где
ft8=l/(l+*l + *a). C)
С учетом A) и C) входной ток Iflx = I1 = k1kzI2. Входное
напряжение ивх = 1& + I2R^I±R2+^k\ Входное сопротив-
391
ление
Таким образом, входная индуктивность может регулироваться
резистором i?4.
15.90р. Воспользуемся обозначениями на рис. 15.48. Выразим
потенциал четвертого узла через потенциал первого узла
Знак минус в A) учитывает инвертирующее включение
первого ОУ.
Потенциал второго узла
Определим токи в ветвях. Ток /4 = ф47'ф^. С учетом A)
f — Ф2 _- Ф2 л
3 ЪлЛ-гу ^>р р
Согласно B),
Ток
Потенциал
По первому закону Кирхгофа, для узла /
/2 + /* = 0. G)
Подставив D) и C) в F), заменив ф3 на ф2 в соответствии с E)
и учтя, что kkQ^>l и ko^>l, получим
где N(p) = ap* + bp + c; (9) АГ(р) = (
=т2A + а); ft = feoT[fe(l + a) —A—а)]; c =
При возникновении автоколебаний фх является функцией временив,
а изображение фх (/) . = * фх (/?) =^=0. Поэтому в соответствии с
уравнением (8) N(p) = 0. Чтобы амплитуда автоколебаний не
возрастала и не убывала во времени, необходимо, чтобы в уравнении (9)
коэффициент 6 = 0. При этом корни уравнения (9) будут чисто
мнимыми:
6 = 0 при & = A— a)/(l + a). (9)
392
Частоту автоколебаний определим при 6 = 0, полагая /? = /со0:
L+a-
Практически k ж 10~3 -г- 2-10~2; соо составляет несколько десятков
или сотен килогерц.
15.91р. Полная схема замещения, соответствующая рис. 15.49,
изображена на рис. Р. 15.15. В ней два управляемых напряжением
источника напряжения: /((/?) ?/32 и К{р)Оъ1. Входное напряжение
—CZ)—|—СИ—Г-Н—h—С-П °
*dx
' Kfp)UJ2
Рис. Р. 15.15
(yWOst
ОУх/751, выходное К(р)Оь1. Входное напряжение ОУ2G8а,
выходное К (р) иВ2. В дальнейшем падением напряжения в малых
выходных сопротивлениях ОУ RBhLK пренебрежем и будем полагать,
что потенциал второго узла ф2» К (р) Usz и потенциал четвертого
узла q>4 = tf(p)t/ei-
Сопротивление Re—это входное сопротивление ОУ. У
высококачественных ОУ оно составляет несколько мегаом и много
больше остальных сопротивлений схемы. Так как входной ток ОУХ
стремится к нулю, то фб « ?вх. Ток 1\ — D ^2 р . Потенциал узла 1
А2Т^З
, или в числах ф! = 0,99ф2. Ток /3 = -i
Управляющее напряжение ОУ1{/51 = ф5—<f>1 = EBX—0,99ф2.
Управляющее напряжение ОУ2
или
Фз =
10
+ ф4-
^4
0,09 t •% _ 0,09
10,09 ' Us2 10,09<
Потенциал узла 4
Потенциал узла 2
фа«/С(/ю)&а1 = -
0,00892 (ф4- ф2).
A)
B)
393
Из уравнения B) определим
0,008Э260
• • 1 + /сот
+ 1+/C0T
подставив его в уравнение A), найдем передаточную функцию R-
фильтра:
Ф4
1
1 + /<*>т
0,00883^о
, A + /сотJ
1 0,00892^0
1 + /сот
Подсчитаем передаточную функцию при / = 50 кГц:
k« 2-Ю5
" 1+/2я.5.10*
Ф4 -20,68/ ?
?вх 0,00883 (—20,68/J ''
+1 + (—20,68/) 0,00892
Передаточная функция в децибелах 20 lg-~-= 17,45дБ.
Глава шестнадцатая
16.1р. а) Заменим в.а.х. я|?(/) двумя отрезками прямых I и II
(рис. Р.16.1, а). Для обеспечения наилучшего приближения
выбираем положение наклонной прямой так, чтобы существовало
равенство площадей под прямой и под кривой. После замены
действительной в.а.х. кусочно-линейной функцией решение задачи
сводится к рассмотрению двух линейных задач в областях / и //.
В области / (вертикальный участок) при 0 < / < t0
i(t) = Q
При t = 0 <ф@) = 0. Поэтому Л0 = 0. При t =
откуда to = ^o/E.
В области // при t > t0 i (t) Ф 0.
Уравнение цепи имеет вид
где 1, = D>а,-ч|>в)//1т.
Решим это уравнение относительно тока:
где Im =
394
Изменение потокосцепления ф (t) при / > t0 определим из урав-
нения ^г + тт"^^^' где
Таким образом, ^() ^im(^im%)
Графики изменения тока и потокосцепления в функции
времени приведены на рис. Р. 16.1,6.
б) Аппроксимация в.а.х. показана на рис. Р.16.1,в. В
области / (горизонтальный участок) d\p/dt = O, поэтому ток i(i) = I0
устанавливается мгновенно. В области // уравнение цепи
примет вид
где L9 = ty2m/(I2m—/о). При этом начальное условие для тока
ненулевое, т.е. i@+) = /0.
Изменение тока и потокосцепления (рис. Р. 16.1, г) найдем из
выражений
* @ = /.•-(/,.-/.) е"'/Г»;
где T9 = LJR.
в) Аппроксимирующая прямая проходит через начало
координат (рис. Р. 16.1,5). Следовательно,
16.2р. Рассмотрим случай аппроксимации в.а.х., приведенный
на рис. Р. 16.1, а. Так как Тэ<^Г/2, то можно считать, что в конце
395
первого полупериода ток и потокосцепление достигнут
установившихся значений: i(T/2) = Ilm& E/R; я|)G1/2) = 'ф1/л. Законы
изменения ty(t) и i(t) при 0<*<772 характеризуются теми же
выражениями, что и в п. а) задачи 16.1р.
При расчете тока и потокосцепления во второй полупериод
можно считать, что схема подключается к источнику э.д.с. при
ненулевых начальных условиях, а именно: ty (Г/2) = tylm;
i(T2) I
? =— Е
приВ результате решение уравнения цепи La~^-
мет вид
t-T/2
Найдем время tu при котором ток t(^) = 0. Из последнего
выражения следует, что t± = Т/2 + Тъ In 2. При t1<t<t2i (t) = 0
r\
t0 т t,t^rf^
(вертикальный участок в.а.х. от г|H до —г|H). Время t2 определим
из решения уравнения dty/dt = E. Учтя, что 'ф(^1) = 'ф0, (^)
= — г|H, получим ^2==/1 + 2я|H/?. При t2<t<T
Для следующего (третьего) полупериода решение аналогично
решению для второго полупериода с тем различием, что -ф (Т) =
=—^i/tp * (Т1)^—hm- Графики i (t) и г|э (^) показаны на рис. Р. 16.2, а.
Аналогично решается задача и для случая, когда в.а.х.
аппроксимирована, как показано на рис. Р. 16.1, в. Графики i = f1(t)
и о|) = /2(^) для этого случая даны на рис. Р. 16.2, б.
16.10р. а) Запишем уравнение цепи:
dcl J_ // J? ( d(f \ duC J_ ii О
J
396
При а =1/2
- = -0с, где Г0 =
Для удобства анализа перейдем к относительным единицам:
и*с = ис/Е\ t* = t/T0. Тогда уравнение цепи с начальным условием
ис @) = Е или Uq @) = 1 примет вид
Уравнение изоклин представим в виде
где fe = tg a.
б) Для линейного случая dq/duc = C0. Уравнение изоклин
имеет вид fe = — и*с.
ЦИННИИ! 1 И!
Awmiimuiuit
ffO
0,8
0,6
ОМ
0,2
О
Ю
Рис. Р. 16.3
Таким образом, в обоих случаях (линейном и нелинейном)
линии равных наклонов—прямые, параллельные оси абсцисс.
Задаваясь в области изменения и*с от I до 0 различными его
значениями, получим соответствующие значения &=tga и a
(табл. Р. 16.1).
Таблица Р.16.1
1
0,8
0,6
k = tga
00
-5
—1,5
a
—90°
-76°
—56°30'
*
UC
0,4
0,2
0
k = tga
—0,66
—0,25
0
a
—33°30'
—14°
0
Для линейного случая (а = 0) решение аналогично. Поле
изоклин и кривые изменения во времени напряжения при разряде
нелинейного и линейного конденсаторов показаны соответственно
на рис. Р. 16.3, а, б.
16.11р. а) Уравнение цепи имеет вид
=E или |. = ^-(/и-0,
397
где
= ЕIRо
Начальное условие: i @)=0. После введения относительных
единиц i* = i/Im\ P = t/T0 получим dP/dP=l—P.
Уравнение изоклин примет вид k=l—Р или i*=l—k.
Задаваясь значениями токов Р от 0 до 1, найдем соответствую-
ющие k и a = arctg?.
б) Уравнение цепи примет вид
dl Е — и (i)
~dt^ Lo *
В установившемся режиме di/di = O; u = Um=E; i = Im =
= (?/aI/m. Сопротивление R(Im) = Um/Im обозначим Ro.
После введения относительных
единиц Р = Ц1т, t* = t/TQy где То = LJRO,
получим di*ldi*=\—ах (i*)m, где
а
ал =-
Уравнение изоклин примет вид
k=l—a1(i*)m.
$ Задаваясь значениями i* в преде-
Тп лах от 0 до 1, определим k и а —
Рис. Р.Ш.4 =arctgfe. Характер кривых
изменения тока для tn = 2\ 0,5; 1 (линейный
случай) показан на рис. Р. 16.4.
16.15р. По закону Кирхгофа,
где ic = ^
После подстановки значений ic nib исходное выражение
получим
т duc__Fi, \ ис , h fa) Ri ] \
где T^
Бведя относительные единицы Uc = uc/E; t* = t/Tlf найдем
где k—коэффициент, определяемый видом зависимости f1 = (uc).
Обозначим х = и*с\ y = duc/dt*. Тогда уравнение фазовых
траекторий примет вид
а) Для линейного резистора i = uc/R0; i* = ilm, где
В результате
398
Фазовый портрет изменения и*с показан на рис. Р. 16.5, а, Так
как Uq@) = 0, начальной точкой траектории является точка Л.
б) Фазовый портрет изменения ис дан на рис. Р. 16.5, б.
в) Решим задачу, используя уравнение
Правую часть уравнения найдем графически. Для этого снав
чала строим суммарную характеристику, соответствующую
выражению в квадратных скобках (рис. Р. 16.5,в), а затем нелинейную
зависимость, которая определяется всей правой частью уравнения
du*c\
A
0
В x=u*
а)
~dt*
A
0
Ш
в
5)
В)
г)
Рис. Р.16.5
(рис. Р. 16.5, г). По полученной кривой найдем фазовую
траекторию, считая х = ис\ у = С^-. После коммутации рабочая точка
(точка А) движется по траектории AEBCDEB, образуя
предельный цикл. В цепи устанавливается режим релаксационных
(несинусоидальных) колебаний.
16.16р. Запишем уравнение цепи в следующем виде:
fiiic) или y = f(x).
Промежуток времени Д? между любыми двумя соседними
точками фазовой траектории, например точками хк и xk+u определим
из выражения
dxy
где
р() /()
По теореме о среднем, Л* = ф(?) (хк+1—хк), где
Если Д^ мало, то приближенно принимаем Д
05(
где
к+1к\ f/cp,(#fe+1+/ft)
Для более точного расчета времени можно применить метод
х
графического интегрирования, используя выражение t = j ф (х)dx,
х0
где х0 — начальная точка фазовой траектории. Строим кривую <р(я)
и подсчитываем графически площадь под кривой (рис. Р. 16.6, а).
Качественный характер графика uc(t) показан на рис. Р. 16.6, б.
16.17р. Если точка равновесия (точка F на рис. Р. 16.5, г)
устойчива, то любое малое возмущение режима Аис —> 0 при
399
t —> oo. Полагая ис = wco + Аис, из уравнения задачи 16,15р
получим
Здесь выражение duco/dt = f(uco) = Oy так как точка равновесия
физически соответствует установившемуся режиму постоянного
тока.
Рис. Р. 16.6
6)
После разложения правой части уравнения в ряд Тейлора
найдем C^?ttf(uC0) + f'(uCQ)Auc. Так как /(иС0) = 0, то в
результате получим уравнение для малых отклонений*
Характеристическое уравнение имеет вид
С/7-/'(«со) = 0; Pl = f'(uco)/C.
Чтобы процесс при малых отклонениях был затухающим,
необходимо соблюсти условие
или
у=о
Таким образом, необходимым условием устойчивости является
условие отрицательного наклона касательной к фазовой
траектории в точках, где она пересекает ось абсцисс. В нашем случае
это условие не выполняется, поэтому равновесие неустойчиво.
16.20р. Уравнение цепи имеет вид
где q=\idt\ со02= 1/(LOCO); 260 = Я0/
Введем относительные единицы
= dq*/dt*> получим
t* = <uQt\ (f — qlq^ Считая
400
После деления последнего уравнения на dx/dt* = y найдем
dy
260
-у—х
Для построения фазовых траекторий на плоскости у, х
используем метод изоклин. Полагая k = dy/dx, где k=tgat определим
уравнение изоклин:
fay _J \L ц ==z % ИЛИ II ==
Для качественного построения фазового портрета возможных
движений изображающих точек на плоскости у,х достаточно
построить поле наиболее характерных изоклин, а именно:
/4 V 4 / •
Рис. Р.16.7
Уравнения для этих изоклин имеют вид: 1) у = —
2б0/со0 '
2) у = 0; 3) у = -
; 4) </ = -
а) Для заданных параметров схемы 2б0/со0 = 1, поэтому
уравнения изоклин запишем в виде: 1) у = — х\ 2) у — О; 3) у — — х/2;
4) у=оо (х = 0).
Поле изоклин, построенное по этим уравнениям, и фазовая
траектория, соответствующая х — х0 (q = q0), показаны на
рис. Р. 16.7, а.
Полученная траектория указывает на то, что процесс в цепи
колебательный, затухающий. Точка О—устойчивый фокус.
б) Уравнения наиболее характерных изоклин примут вид:
1) У = оо (* = 0); 2) у = 0; 3) у = — х\ 4) у = х.
Поле изоклин и фазовая траектория для этого случая
показаны на рис. Р. 16.7, б. Траектория в виде замкнутой кривой
(предельный цикл) близка к окружности. Поэтому колебания
в цепи синусоидальные, незатухающие.
16.22р. Уравнение цепи имеет вид
401
n due
или с учетом * = ko-^jr
Введя обозначения соЦ= 1/(LOCO) и *•=«,*, получим
d^tic f ( 1 du.Q \ | 77
Полагая a: = wc, y = duc/dt*=:dx/dt*, найдем
#• Ч/'^о/Со/
После деления этого уравнения на dx/dt* = y определим
dx у У '
Функция / f =^=>) является фактически в.а.х. нелинейного
резистора, у которой масштаб тока изменен в V LQ/C0 раз. Строим
^ на фазовой плоскости зависи-
Затем по методу Льенара строим
фазовую траекторию. Для
определения отрезка фазовой
траектории в любой точке по этому
методу, например в точке А (рис.
Р. 16.8, а), проводим прямые АВ
и ВС и перпендикулярно
гипотенузе построенного треугольника
ABC—отрезок А А''. Аналогичные
построения выполняют для точки
Л' и т. д. Отрезок А А'
совпадает с направлением касательной к
фазовой траектории в точке Л, что
\zzjr следует из подобия ДЛ5С и
1 с &DAC.
а) Фазовая траектория
показывает, что переходный процесс
колебательный, затухающий
вокруг точки равновесия ис(оо) = Е
(устойчивый фокус).
б) Характер переходного
процесса зависит от начального
напряжения на конденсаторе. Для начальных напряжений,
определяемых точками Л1? Л2, А3 (рис. Р. 16.8, б), фазовые траектории -
402
сжимающиеся спирали (переходный процесс колебательный,
затухающий). Для напряжения, определяемого точкой Л4, фазовая
траектория — раскручивающаяся спираль (переходный процесс
расходящийся). Границей между ними является фазовая
траектория в виде неустойчивого предельного цикла (пунктир на рис.
Р.16.8,6).
16.23р. Уравнение цепи имеет вид
p dq
или в безразмерных величинах
где q* = q/q0] 2bQ = RjL0\ cog = 1/(LOCO).
Полагая x = q*, получим
d2x . r. / dx
Fl ил \ r\ ? dx
Приближенное решение будем искать в виде
x(t) = a (t) sin ®t + b (t) cos со/,
где а((), b(t)—медленно меняющиеся амплитуды; частота о близка
соо ибо Q^> 1.
В общем случае
F(x, dx,'dt) = F1(ay b) sinco/ + F2(a, fr)coso:tf,
где Fx(a, b), F2(a, b) — коэффициенты разложения в ряд Фурье
функции F(x, dx/dt).
а) Система автономна, и выбор фазы колебаний произволен.
Поэтому решение можно искать в виде x = a(t) sinco^, положив
6 = 0. В результате получим
F(x, dx/dt) = 2S0J = 260aco cos со/; Fx(a, 6) = 0; F2(af b) = 26oao).
Уравнения для амплитуд примут вид
da/dt = —1/2© [F2 (a, 6) + b H-co2)] = - 60a; A)
db/dt = —1/2© [Fi (a, ft) + a(©J—co2)] = 0, так как 6=0. B)
Запишем уравнения для огибающей амплитуд a (t) и частоты о:
da/d/ + 60a = 0; C)
со = о)о. D)
Решением уравнения C) является выражение а^) = Ае"^у
где А=а@)—начальная амплитуда, определяемая заданным
начальным зарядом q @) = qQ.
403
Общее решение имеет вид
() или q = qoe~b j
т. е. возникает режим затухающих синусоидальных колебаний.
б) При RQ = 0 80 = 0. Поэтому решение для амплитуд имеет
вид a(t) = A. Общее решение: ^ = ^0sincoo^. Для анализа
изменения огибающей амплитуд используем фазовую плоскость у, х,
где x = a(t); y = da/dt.
ПркЯ0ф0 у = — 80х. При R0 = 0, у = 0, х = А =а@). Фазовые
траектории для случаев а) и б) показаны на рис. Р. 16.9, а, б.
\
а@)
afo)
а)
Рис. Р. 16.9
6)
и1дст а2уст\^
Рис. Р.16.10
16.26р. Приведем уравнение цепи к виду
d2x * , 1 9\ dx
где x = uc2 ^ (O?)
Ищем решение в виде # = a sin of, полагая 6 = 0. Тогда
dx/dt = асо cos cot; x2 = 0,5аа A —cos 2co/).
Найдем Fx{a, b) и ^(а, Ь) из уравнения —k(l— x2)-? =
— ^pcos3atf, откуда F1(at 6) = 0; F2(ay 6) = —teco(l—a2/4).
Уравнения, определяющие изменения во времени амплитуд а,
Ъ и частот (о, имеют вид
Отсюда следует, что da/d^ = у A — а2/4); со = соо = 1 \V L0C0.
При установившемся режиме (da/dt = 0) получим два значения
амплитуд: alyCT = 0; a2ycT = 2 (рис. Р.16.10).
Для анализа изменения амплитуд обратимся к фазовой
плоскости у, Ху где х = а; у = da/dt. Уравнение фазовой траектории
Устойчивый режим соответствует точке, где a = a2ycT = 2, так
как здесь dy/dx < 0 (см. вывод условия устойчивости в малом в
задаче 16.17р).
404
Глава семнадцатая
17.1р. Воспользуемся системой уравнений, составленной по
методу узловых потенциалов при ф4 = 0:
<Pi (gi + 82 + 8ь) — ФА — Фз?5 = Е i8u
Преобразуем эти уравнения в форму, удобную для построения
графа. Для этого первое уравнение запишем в явном виде
относительно фх, второе—относительно ср2, третье—относительно ф3!
ф2 =
гле д -
f =
Узлами графа являются Е1У фх, ф2, ф3, /4. Составим граф в
форме причина—следствие, т. е. расположим сначала слева узел
источника, затем узлы
потенциалов, а крайним справа —
узел искомой величины /4.
Соединим все узлы ветвями с
соответствующими передачами,
используя последнюю систему рис p,i7.l
уравнений (рис. Р. 17.1). Найдем
передачи ветвей: a = b = c = d = f = m = п~ 1/3; g=l См.
а) Исключив узел ф2 как простую узловую точку, получим
граф рис. Р. 17.2, а. Заменим параллельные ветви эквивалентными
(рис. Р. 17.2, б) и исключим узел фх (рис. Р. 17.2, в, г). Две петли
заменим одной эквивалентной (рис. Р. 17.2, д). Исключив узел ф3,
окончательно упростим граф (рис. Р. 17.2, е, ж). Искомая величина
равна передаче графа (рис. РЛ7.2,ж): g4 = /4/?i= 1/4 См.
б) Согласно формуле Мезона, ё114 = ^1=^д— , где
Pk—величина k-ro прямого пути от истока к стоку, равная
произведению передач ветвей вдоль этого пути; Д—определитель графа;
Ak—алгебраическое дополнение, равное определителю части графа,
не касающейся &-го пути.
Для схемы рис. Р. 17.1
P1 = amg^ Л1==1; P2 = adng^ Да=1;
А = 1 — (db + nf + тс + mfb + cdri).
Передача графа
[ — db — nf — mc—mfb — cdn 4
405
17.7р. а) Узлами графа являются два источника сигнала:
контурная э. д. с. Eiif равная ?, и ток /, равный контурному
току /33; два неизвестных контурных тока /п и /22, а также
искомый ток /5, равный разности токов /22 и /33. Граф, соответ-
п) J
±1 *
Н В)
1l
г)
9)
I
е)
ж)
Рис. Р.17.2
ствующий схеме рис. 17.4, а, показан на рис. Р. 17.3, а. Найдем
передачи ветвей:
li~Ru~Ri+R2+Ri~ 9 '
П D 1
2 _^.
. - — 2 >
а9.ь = п— ==
3 #
Получен граф с двумя источниками сигнала. Для решения
задачи можно использовать метод наложения (найти передачи от
Рис. Р.17.3
каждого источника к стоку, а затем их сложить) или метод
объединения источников сигнала. Воспользуемся вторым методом.
Предварительно выберем базисное значение сигнала объединенного
406
источника: S = 5. От источника Еп к узлу /^ в графе рис. Р. 17.3, а
идет сигнал Ег1ап. Сохраним этот сигнал, изменив значение Е1г
на базисное f^^S, а значение a1L на а\ так, чтобы -En#n = S#n.
Тогда a'u^E^ctijS^-1. Параметр второго источника равен базисному
значению (J = S)n остается без изменения. Передачи ветвей, идущих
от источника /, не меняются. В результате получим граф с двумя
одинаковыми истоками, что позволяет их объединить (рис. Р. 17.3, б).
Передача графа рис. Р. 17.3, б
где Р1 = а'иап • 1, Дх = 1; Р2 =
л
Рис. Р.17.4
Определитель графа Л=1—avia21. Искомый ток
г gQ
^11^21 + ^1/гд21 + O-lk —" A — a12fl2l)
_ | Д
б) Пусть ф4 = 0. Узлами графа являются неизвестные
потенциалы узлов схемы срх, ф2 и ф3, узловые токи I11 = Eg1= 15 А,
/33 = — Egx-\-J = —10 А (/22 = 0), а также искомый ток /5 = — Ф2§-
Соединим узлы источников сигнала с соответствующими узлами
потенциалов ветвями с передачей bkk. Узлы потенциалов соединим
между собой ветвями обратной связи с передачами bkp и Ьр{?. Узел
/5 соединим с узлом ф2 ветвью с передачей—?5. Искомый граф
показан на рис. Р.17.4, а. Найдем передачи ветвей графа:
1 * -0 6- ft -?12-
-и,о, ^12-^-;
= 0 2; b = Sil г- ?2_
?22
2
¦ = 0,2;
й13= — = '1
0,5; ft33 = l/g,
-1/^5 = -0,5.
= 0,5;
4) = 1,5;
407
Объединим источники сигналов. Пусть базисный сигнал S = 15.
Определим передачи ветвей от объединенного источника к
соответствующим узлам:
Граф с объединенным источником показан на рис. Р. 17.4, б.
Для этого графа есть четыре прямых пути от S к /5:
*-*2 — А > з — ^зз^гз v &5/> з — *¦ >
Определитель графа
А = 1 —b12b2l—b23b32—b3JI3—b2lb32b13—b12b31b23.
Передача графа G = /5/S = 2PfeAft/A, откуда /5 = SG=1 A.
17.9р. Графы четырехполюсников строим в соответствии с
уравнениями в Л- и Я-формах;
H22U2.
1^ = 0/,+ ?>/,;
Схемы четырехполюсников с обозначениями токов и
напряжений, а также графы для А- и Я-параметров даны на рис.
Р.17.5,а—г.
17.11р. Для получения эквивалентного (объединенного) графа
сначала вычертим графы каждого четырехполюсника. Затем узлы,
отражающие один и тот
Нп,Н12
Нг,,Нп
''о
Рис.
Н„\
и,\
Р.17.5
н 1
\иг
же тип переменной (U2 и
f/i), объединим в один.
Так как Г2 = — /J, узлы
/а и Г[ соединяем ветвью
с передачей, равной —1.
Исходный граф показан
на рис. Р. 17.6, а. При
объединении узлов
предъявляют определенное
требование к форме графа
каждого четырехполюсника.
Узел стока тока
(напряжения) можно объединить лишь с узлом истока тока
(напряжения), но нельзя объединить непосредственно с узлом другого
стока тока (напряжения). Это правило соблюдено при каскадном
соединении графов для Я-параметров (UI—сток второго графа —
объединен с U2—истоком первого графа). По этой же причине
соединяют узлы Г2 и Гх ветвью с передачей —1 и стрелкой,
направленной к II (Г2 является стоком первого графа; следовательно,
для других сигналов стоком быть не может; стоком ветви —/
является Г[—узел, являющийся истоком второго графа). Это
408
правило было бы нарушено при непосредственном объединении
узлов графов, построенных для Y- или Z-параметров (см. рис.
0.17.2), например узел \]\ является стоком второго Z-графа, а
узел U2—стоком первого Z-графа (подобное объединение привело
бы к ошибочному соотношению U'2 = U"x = /iZ21 + /2^22 + Ii^n + /2Z12,
полученному из объединенного графа).
и' т' i jll nit
tyfi
т"
2
nil
Н
н'п
<
а)
Рис. P.I7.6
Го ""//о;
5)
2
<W
Исключая узел Г[, получим более простой граф (рис. Р. 17.6, б).
Применяя к нему правило Мезона, т. е. рассматривая попарно
передачи сигнала от 1[ к U[ и Г29 а также от Щ к U и Г2,
найдем значения Я-параметров для эквивалентного графа:
И =
11
тт
21
( 1 + #22#п) — #12#22
17Л4р. Существует несколько вариантов построения
эквивалентного графа. Для построения графа всей схемы воспользуемся
представлением
четырехполюсника 1 в F-, а
четырехполюсника 2 в Я-пара-
метрах (объединить узлы
t/2D и (Д2> можно, так как
U[2) — СТОК, f/а1} — ИСТОК).
Соединяем узлы /B1} и /^2)
ветвью с передачей — 1 и
стрелкой, направленной к
/ИЛ" —сток, /(!2) —исток).
Четырехполюсник 3
представляем в У-параметрах,
что позволяет объединить узлы
(эти узлы являются истоками). Учитывая, что 1г = Л1} + /13) и
/2 = /22) + /B3\ построим эквивалентный граф (рис. Р. 17.7).
17.15р. Используем S-граф лампы, основанный на
характеристике триода для низких частот: ia==Suc + g-ua; ic = 0, где iaJ ua,
*c> uc — переменные составляющие анодного тока и напряжения,
Рис. Р.17.7
и [/(х3), а также ?/B2) и f/23)
3
409
а также сеточного тока и напряжения; S—крутизна
характеристики лампы; g.^l/R. — проводимость лампы. S-граф изображен
на рис. Р.17.8, а. Добавив ветви, полученные на основании урав-
ибых
а)
S)
в)
Рис. РЛ7.8
нений, описывающих эквивалентную схему для малых сигналов
(рис. Р. 17.8, б), найдем
и -и _^_; Иы =-iR ; иа = и
вх^г + ^с' ВЫХ а а> а вых*
Построенный граф изображен на рис. Р. 17.8, в. Коэффициент
усиления по напряжению
Rc s
// р A d _|_ р \ ^а/ D D D <2
* ^ВЫХ 1^1 ¦*^Г"~Г ^ С ¦*^С'^3'^
"~~ "вх "" A l+g/#a ~~ {Rr + Rc)l(Ri + R*V
17.17р. Граф строим на основе линейных уравнений,
связывающих параметры схемы (рис. Р. 17.9):
Передача графа (коэффициент усиления по напряжению)
Прямых путей передачи два:
Определитель графа
а = 1 + (его/л) + (fiT/i/fiTi)+fei./^) + tefitei) [teo/л) + (вГй/л)]-
После подстановки значений Рк, Ак и А в выражение для
получим
" (
gQ (gl l+gl)
17Л8р. Для построения графа (рис. Р. 17.10, а) воспользуемся
системой уравнений, составленной для схемы рис. Р. 17.8, б:
Ч = 'э + (к> иэ6 = ^'э^
410
Для упрощения графа и перехода к Я-параметрам можно
воспользоваться двумя способами: 1) последовательным упрощением
графа (исключением узлов ик и i6, что довольно трудоемко);
и 2) использованием формулы Мезона.
Воспользуемся вторым способом.
"at uc2
Рис. Р.17.9
Передача от i3 к
передача от икб к иэ6
передача от i3 к iK
передача от ик6 к iK
Преобразованный граф показан на рис. Р. 17.10, б.
17.19р. Проводимость ветвей с источником тока и вольтметром
теоретически равна нулю, поэтому при расчете определителя
любым способом эти ветви следует считать разомкнутыми.
а) Найдем определитель как сумму величин всех возможных
деревьев. Вычертим сначала все возможные деревья, помня, что
дерево—это совокупность ветвей, касающихся всех узлов схемы,
но не образующих ни одного контура (рис. Р. 17.11).
Величина дерева равна произведению проводимостей его
ветвей. Тогда определитель исходной схемы
Д = abcde + bcdef + abcdg + abdef + abdeg + abdfg + bcdfg + bdefg +
+ abceg + acdef + acefg + bcefg + acdfg + abefg + adefg.
б) Вычислим определитель, используя разложение по узлу /.
К узлу / присоединены три ветви схемы: Ь, с и d. Найдем
Д = 6ДЬ + с^с + dkd + bc.\bc + bdbbd + cdAcd +• bcdkbcd>
где Ab—определитель схемы, получающейся при закорачивании
ветви b и размыкании ветвей с и d (Дс и Д^ находят аналогично);
411
Abc—определитель схемы, получающейся при закорачивании
ветвей b и с и размыкании ветви d (Abd и Д^ находят аналогично);
Abcd—определитель схемы, получающейся при закорачивании всех
трех ветвей, подсоединенных к выбранному узлу.
b d
?
ЪЫ
b d
b d
FTT ИП' ГЕ ЕЛ
e \a g \e
b . d . . b d . _ b d .
e \a \c „ \e \a \c \e
Рис Р17 11
Из рис. P. 17.12, a—в найдем Л6 = Ас = kd = aefg. Из
рис. Р. 17.12, г—е получим Abe=(a+f)eg; Aba = af(e+g)+eg(a+f);
Kd = (e + g)af. Из рис.Л7.12, яе определим Ab(?d=(a + /)
a)
T
8)
б)
f 9
в)
е)
Рис. Р.17.12
г)
Определитель исходной схемы
А = baefg + caefg + daefg + be (a+ f) eg+ bd[af {e + g) +eg(a + f)]+
в) Рассчитаем определитель, используя разложение по пути
между узлами 1 и 2 (см. рис. 17.9, а). Возможны три пути между
этими узлами. Величина пути Рк равна произведению проводи-
мостей ветвей &-го пути, отсюда P1 = abf\ P2 = c; P3 = deg.
Алгебраическое дополнение пути А^ представляет собой определитель
цепи, полученной из исходной после того, как все ветви /г-го пути
закорочены. Из рис. Р. 17.13, а найдем A1 = de + eg + dg; из
рис. Р. 17.13,б определим A2=(ab + bf + af) (de + eg + dg); из
рис. Р. 17.13, в получим А3 = ab + bf + af.
412
Таким образом, определитель исходной схемы
з
А = S РЛк = р А + р2^г + Р^з = abf {de + eg +
/<; = 1
eg + 4?)
г) Рассчитываем определитель, используя разложение по ветви а:
где До — определитель цепи, полученной из исходной при обрыве
ветви а; Д^ —определитель цепи, полученной из исходной при
закорачивании ветви а.
Рис. Р.17.13
Значение До определим из схемы рис. Р. 17.14, а. При подсчете
используем разложение определителя по пути между узлами,
к которым присоединялась ветвь а 1 и
исходной схемы: -
До = bcf {de + eg + dg) + bdefg.
Значение Да найдем из схемы г* г Л
рис. Р. 17.14, б. При подсчете ис- '
РмГ Р17 14
пользуем разложение определителя гии г-1/-1^
по путям между узлами 1 и 2:
*г*
Таким образом,
Л = bcf {de + eg + dg) + bdefg + a [bf {de + eg + dg)
17.20р. Для определения передачи графа используем
топологическое уравнение передачи:
2
2
/1
U24 /г=1
где Т — передача графа, равная отношению показания
измерительного прибора иы к активному параметру источника </; P'k —
пути передачи, равные произведению проводимостей ветвей k-vo
пути, содержащего ветвь измерительного прибора и два зажима
источника; Д/г—определитель цепи, остающейся после того, как
&-й путь передачи, включая цепи измерительного прибора, будет
замкнут накоротко.
413
Первый путь передачи содержит ветвь 12 и ветвь вольтметра:
P'i — gi (проводимость измерительного прибора равна единице).
Из рис. Р. 17.15, а, найдем А[. При закорачивании первого пути
узлы 1, 2 и 4 объединяются в одну точку и
п)
Рис, Р.17.15
g2 gg*
Второй путь передачи содержит ветви
13,32 и ветвь вольтметра: /Ji = g>2ga-
Определитель Д2=1,так как при
закорачивании второго пути все узлы схемы
объединяются в одну точку. Значение определи-
теля всей схемы подсчитаем с учетом того,
что ветви источника тока и вольтметра
размыкаются. По графу рис. Р. 17.15, б найдем Д = g4 (gxg2 + gxg3 +
+g2g3). Таким образом, передача графа
— 2 2 Ом
Показание вольтметра: U24:=JT*= 11 В.
17.25р. Как известно, комплексный коэффициент усиления
^ = ^вых/^вх- Воспользуемся схемой замещения анодной цепи для
переменной составляющей (рис. Р. 17.16, а). Представим ее в виде
Рис. Р.17.16
графа (рис. Р. 17.16, б), каждая ветвь которого характеризуется
своей проводимостью: #,.= 10~4См; ga = 5-10"* См; gc = 5- 10~5См;
о)Сс = 2я2-103-10-9 = 1,256-10-5 См; соСо = 2д2-103-100 =*
= 0,1256- 10См. Передача графа
Рассчитаем числитель и знаменатель этого выражения.
Передача имеет только один путь, содержащий ветви 12, 23 и ветвь
вольтметра: P'i = giJ(oCc. Так как этот путь закорачивает все узлы
графа, то AJ = 1.
Определитель графа найдем, воспользовавшись разложением на
пути между узлами 2 и 4. Ветвь источника э. д. с. при этом
закорачивается, а ветвь вольтметра разрывается:
Pi = gi> Ai = /coCc + g-c+/o)Co; P2 = ga; Д2 = /соСс + gc +' JoGqI
Pa — j(dCcgc; Д3=1; Р± = /соСс/соС0; Д4=1.
Отсюда
(gr
— co2CcCo
414
После подстановки числовых значений получим 71 = 0,5&Зе/*7°4а/.
Комплексный коэффициент усиления К = OBWJUBK = — \iT =
= —П,86е/'в"'= 11,86 е-/°'
Глава восемнадцатая
18.3р. По первому закону Кирхгофа,
0)
но
1 d
1 . dL\
1
di2
1— R dt L 2 v /J Л 2 Л ' i
Подставив выражение для ix в уравнение A), найдем
—5i/21
18.7р. Для цепи рис. 18.2, # справедливо уравнение
Г dtlc A-Uc — 7
Для первого интервала времени tic= JR± + А^**; рг = — l/(i?iC),
для второго ulcl=:JR2 + A2&*v-x)\ л = — l/(R2C). Составим два
уравнения для определения постоянных интегрирования:
JR±+ A1&*=JR2+ A2;
где
1
2
! —/?2) A—
- '
При заданных значениях параметров ulc = 20—18,3e~*00fB; «" =
= 10 + 5,07е-1000^-т>В. График uc = f(t) изображен на рис. Р.1&.1.
18.12р. В общем виде [3] для
возникновения параметрических колебаний с
малой амплитуды, когда
характеристика нелинейного резистора имеет
форму квадратичной параболы [в данном
случае R (i) = 2 + 100t2, т. е.
коэффициент ^ = 100, Ro = 21, необходимо вы-
полнить условие -тт-> - . Отсюда
11,87
АС 2*2
Следовательно, ЛС >
Рис. Р.18.1
415
>0,4мкФ. Квадрат амплитуды тока при co = l/j/LCo
в = 0,1635 А.
18.14р. Мгновенное значение напряжения u = R(i)i=R0i+ki3.
Положим i = Ilmsin(ut. Подставив это значение в предыдущее
выражение, получим зависимость амплитуды первой гармоники
напряжения на резисторе Ulm от амплитуды первой гармоники
тока:
При /1т = 0,1А; #0 = 2Ом; k= 100 Ulm = 0f275B. Энергия,
выделяющаяся в виде теплоты в резисторе по первой гармонике,
равна UlrnIlm/2 = 0,0138 Вт. Такое же количество энергии должно
доставляться в цепь за 1 с при модуляции индуктивности. За одно
изменение индуктивности доставляется энергия, соответствующая
kLIlm/2. За 1 с доставляется энергия, равная —гр1"^'' слеД°ва"
тельно, &L = 0,00867 Гн.
18.15р. Чтобы полупроводниковый диод работал в запертом
состоянии, необходимо выполнить условие Ео > InmVR2 + (<он1J.
Частоту параметрических колебаний оор определяют как
собственную частоту контура (см. рис. 18.5, г) при гэ = 0; юр= l/l/"LCle
В установившемся режиме работы потери энергии в резисторе
сопротивлением R должны быть равны энергии, вносимой на
частоте накачки сон генератором накачки (генератором тока fH). Если
бы емкость /?-п-перехода изменялась во времени скачкообразно
(см. рис. 18.5,5), то за один период Tv = 2n/(ov в колебательный
контур от генератора накачки доставлялась бы энергия, равная
2-Ш- -g- (вывод см. [3]), где qm—амплитуда синусоидально
изменяющегося заряда на емкости С. За 1 с в колебательный контур
доставлялась бы энергия
Z2C С Тр ~ С С 2я# V>
Но
^01^ B)
где 1т—действующее значение синусоидального тока частоты сор.
Подставляя в формуле A) эквивалент цт из уравнения B),
найдем энергию, доставляемую генератором накачки за 1 с:
Я дс 1
С сорС
Колебания будут незатухающими, если доставляемая в
колебательный контур энергия равна тепловым потерям в нем за то
416
же время:
я С o)j
ИЛИ
п 1 АС 1
При выводе формулы C) предполагалось, что емкость
конденсатора (емкость полупроводникового диода) изменялась во
времени по прямоугольному закону с амплитудой АС (см. рис. 18.5, д).
Ио в параметрическом генераторе рис. 18.5, а емкость
модулирована во времени не по прямоугольному, а по синусоидальному
закону с амплитудой АСг (см. рис. 18.5, в) и средним значением Сг.
Чтобы в формуле C) перейти от АС и С к ДСХ и Сх, надлежит
прямоугольную кривую разложить в ряд Фурье и амплитуду
первой гармоники этого ряда приравнять к амплитуде ДСХ.
Амплитуда первой гармоники ряда Фурье прямоугольного
4 4
колебания равна ДС — • Следовательно, АС — ^ДСх или ДС =
= ~ДС1. Подставив в формулу C) ^тАС1 вместо ДС, Сх вместо С
и заменив сор на сон/2, получим
Таким образом, чтобы схема рис. 18.5, а могла работать в
качестве параметрического генератора, необходимо выполнить
соотношения A), B) и D). Расчет элементов генератора по заданной
о)р и известной зависимости C = f(un) может производиться
следующим образом.
1. По характеристике C = f(Up) определим э. д. с, Ео. Берем Ео
примерно соответствующей средней точке участка наибольшей
крутизны характеристики С = 1(иД).
2. Задаваясь значением InmVrR2 + 0»н^J~ 0,8^0, строим
зависимость С = /((он0 и по ней оцениваем отношение kC1/Cl.
3. По формуле D) найдем сопротивление R.
4. Подсчитаем 1=1/@)^!).
5. Определим значение ]/~i?2+ (oHL2) и амплитуду тока накачки
, __ 0,8?0
Вычислим комплексную амплитуду /Н/Л тока источника тока:
Т __
18.16р. В уравнении L^ + R^j + ^^O заменим 1/С на
fr- A + m cos 2o)/) и вместо переменной t введем Т;=со?. Получим
417
уравнение
if R
===== rje 2 ^ T rje 20)L
где
Считаем, что заряд q в исследуемом на устойчивость режиме
равен qy (в частном случае <7у = 0). Пусть заряд получил
приращение | и q = qy + l. Составим уравнение относительно
приращения ?. Оно будет в точности повторять уравнение A):
3 § B)
R
Введя подстановку ^ ===== rje 2 ^ T = rje 20)L , от уравнения B)
перейдем к уравнению
где 4(T) = G(T)-i
В нашем случае
Положив а = -^-1
получим уравнение Матье:
^ cos 2т) t] = О,
.1Sp. Исходим из уравнения
ИЛИ
Поделим уравнение A) на
^ , /? + Ly(/) dq
Учитывая малость т, заменим щ-= L0(l-mcos2oH на
Перейдем от времени t к безразмерному времени т = со/:
Уравнение для q (и для приращения ?) имеет вид
418
-y sin 2т] [слагаемое m2 sin 4т в F(t)
(^l)] b i?BL) G()
где F(x) =
не учитываем ввиду малости ma(ma<^l)]; b = i?/BcoLo); G(t)=:
A
„ -. -~ \ F(%)dx
Введя подстановку l = v\e 2 J , получим уравнение
где
+ 2m cos 2т + ^j- sin 2т1 .
Таким образом, A (T)==^-6^1+^
— 2m—2mb2] cos 2t.
Обозначив a = -^-fe2(l + 0,5m2 + 0,5^); Ь = -^\ р=
^ ТВ (c»2L с—^—^2) ' пРиДем к Уравнению Матье
18.19р. Потокосцеиление \j) = \uL dt + A = V Em sin co^ df + A =
. Постоянную Л найдем из начального усло-
"Г/ L J~
F1!^^ F-
OJt
cot
вия \J) = 0 при / = 0:
Для первого полупериода L =
для второго L =
0—AL.
419
Ток в первом полупериоде V- = * „ ?°??! ' , во втором i11
— ^»»(^-- cos со/)
co(L0 —AL)
Кривые *ф, и?, L и f в функции со/ изображены на рис. Р. 18.2, а.
Среднее значение тока за период 2я/со
1-COS0/
18.20р. Заряд ?=\ id^ = ——- cos со/ + 4. Из начальных
условий (при / = 0 ^==0) найдем постоянную А =/,Л/со. Следовательно,
Я = -~—~-cos со/. Напряжение на конденсаторе в первом полу-
перводе «b-gfa-^ng*- -BTO»0" ¦в-
Средн-ее значение напряжения на конденсаторе
2л
Кривые i, ^, С, ас в функции со/ изображены на рис. Р. 18.2, б.
18.21р. Начальную фазу <р синусоидальной э. д. с. положим
равной нулю. Выражение для переменного тока запишем в виде
i = /^sin(co/—а). Тогда потокосцепление
¦ф = L (i + /0) = Lo A + т sin со/) [/0 + lm sin (со/—а)] = ф0 + -ф^,
где
^ A)
•ф^ = L0/0%sin со/ + LJm sin (со/—а). B)
Постоянная составляющая потокосцепления if>0 является
функцией не только постоянной составляющей тока /0, но и функцией
амплитуды и фазы первой гармоники тока, а также глубины
модуляции индуктивности. По второму закону Кирхгофа,
u1L+u1R+uxc = e> C)
но
u±L = -— = coL0m/0 cos со/ + (oL0Im cos (со?—а);
«is = ^ sin И—а); м1С =~ j f dt = — ^- /л cos (со/—а).
Подставив в выражение C) эквиваленты uiL, u1Ry и1С> получим
уравнения для синусных и косинусных составляющих:
420
Решим их относительно /mcosa:
EmR — a>LomIo ((oLo—^-
lm cosa = ^
lm
Подставив Im cos a в уравнение A), найдем
/??от — /о( coLo — -^-
bi 1 P
о о
где
LomEmR
=
b = i
Коэффициент & < 0 при выполнении следующих условий:
Возникновение падающего участка на зависимости я|H = /@
можно трактовать как появление отрицательной
дифференциальной индуктивности в линейной электрической цепи с переменным
параметром. Сделаем следующие замечания:
1) при выводе искомых соотношений предположили, что
начальные фазы источника э. д. с. и модулируемой части индуктивности
одинаковы. Однако качественно тот же результат будет получен,
если начальные фазы вынуждающей э. д. с. и модулируемой части
индуктивности различны;
2) как и для любой резонансной цепи с переменными во
времени параметрами, рассмотренный режим работы может быть
проверен на устойчивость по отношению к малым приращениям путем
сведения уравнений для приращений к уравнению Матье. Анализ
показывает, что режим работы на падающем участке зависимости
Фо = /(Л>) является неустойчивым.
Глава девятнадцатая
19.3р. Напряженность электрического поля точечного заряда
в произвольной точке
aR*). A)
421
Напряженность электрического поля в точке с
Ec = q/DmaRl). B)
Напряжение между точками а и Ь
яь яь
Л4
Яа
Получим выражение для заряда q из уравнения C) и
подставим его в уравнение B). Так как q > 0, то
B/M-
19.6р. Напряженность поля максимальна на поверхности
внутреннего цилиндра, т. е. в точках г = г1:
По условию, Етл^ = ЕП9/3. Решив уравнение A) относительно
напряжения U с учетом соотношения B), получим
i/=^r1ln-^=12,2 кВ.
19.8р. Для области, находящейся внутри цилиндра, по теореме
Гаусса,
Et2nrl = ?-nr4f
откуда Я1 = рг/Bе0).
Потенциал внутри вдливдра меняется по закону
Так как при ^=^0 потенциал ф = 0, то С1 — 0. Таким образом,
ф1 = _рг«/D8,) = — 282.10*г2 В. A)
Для области, находящейся вне цилиндра,
откуда ?2 = рго/2ге№. Потенциал % = — \ ?" dr = — |^ In г + С2.
Постоянную интегригровантгя С2 найдем из граничного условия:
при г = г0 Ф1 = Ф2- Тогда
2! рг
Окончательно гюлучим
•Р-Й111 Т"Й= 141 Ь^-70,5 В. B)
422
Пользуясь выражением A), определим ф|г=0—4>\г=го:=::^^^ В.
В соответствии с выражением B) найдем ф|г=Го—Ф \г=Го+а= 154 В.
19.12р. а) Пусть Нг иЯ2—расстояния между геометрическими
осями первого и второго цилиндров
и эквипотенциалью ф = 0 (рис. Р. 19.1).
Тогда
% =3'25 см;
=4,75 см.
Расстояние d между эквипотен-
циалью ф = 0 и электрическими осями
определим из уравнения d2 = Hl—rj;
d = 2,57 см. Найдем расстояние
между электрическими и
геометрическими осями цилиндров: Sx = Нг—d = 0?1
б) Напряжение между цилиндрами
см;
Рис. 9Л%\
, = #2-<* = 2,1
Определим расстояния а19 Ь19 я2, Ь2:
ai==ri^.Sl==l,32 см;
Ьа = гя—S2=l,82 см;
Напряженность поля в точке т
== 2й—а± = 3,82 см;
= 2d—^ = 3,32 см.
In
в) Поверхностная плотность заряда в точке т
ат = Dm = EQEm = 5,57 • 10~8 Кл/м2.
г) Ёмкость между цилиндрами на единицу длины
С — —т~~ = 33,3-10~12 Ф/м.
и, Ьга2
см.
19.17р. При определении закона изменения потенциала для
области, находящейся внутри цилиндра, воспользуемся уравнением
Пуассона, а для внешней области—уравнением Лапласа.
Так как р зависит только от координаты г, уравнение
Пуассона в цилиндрической системе координат принимает вид
J_ d f r d(p \ kr
r ~dr V ~~
Уравнение Лапласа имеет вид
г dr
B)
423
Решив дифференциальные уравнения A) и B), получим для
внутренней области
для внешней области ф2 = С31пг + С4.
Решение должно оставаться конечным на оси, поэтому Сх = 0.
Остальные постоянные интегрирования найдем из следующих
условий:
при г~0 фх=0;
при r = a D±^D%9 или ев1^. = -?вв1;
при г = а ф1 = ф2, или — -Q— = — -о—-1па+С4.
Окончательно получим С? = 0; С3 = 375 В; С4 = —2016,5 В. Законы
изменедия потенциала внутри и вне цилиндра:
Ф1==— 0,25.10V3 В; ф2 = —375lnr—2016,5 В.
Эквипотенциальная поверхность, для которой ф ——2 В,
расположена внутри цилиндра и является цилиндрической
поверхностью радиусом гт. Радиус гт найдем из уравнения —2 =
= —0,25.10^; гт^2ЛЪ~* м.
19.28р. Элемент заряженной поверхности dS создает дипольный
момент dp = Glds = r\ds, где т)—поверхностная плотность
распределения моментов диполей. Потенциал произвольной точки поля
V COS 0 л "*"
диполя ф = ^ а , где 0—угол между моментом диполя р и ра-
диусом-вектором г точки. Потенциал произвольной точки М9
созданный элементом заряженной поверхности ds,
, ri cos 0 *с
а суммарный потенциал точки, созданный всей поверхностью S,
Для двойного слоя, имеющего форму диска, из выражения A),
учитывая, что cos 0 = г/г и r] = const, получим
S
Используя полярные координаты (рис. Р. 19.2, а), найдем
2л Ло
Ш = Л?_Г Г pdpda = т|г Г 1 1
Г
J
1 приг>0;
,_*_¦ -V, .t <*>
280
424
Напряженность поля
z dz 2e0 С
Из выражений B) и C) следует, что при переходе через
двойной заряженный слой функция ф(г) терпит разрыв, а функция
E(z) непрерывна (рис. Р. 19.2, б).
\
а)
Рис. Р. 19.2
19.31р. Для расчета поля в среде с относительной
диэлектрической проницаемостью ег1 воспользуемся расчетной схемой
рис. Р. 19.3, а. Расчетный заряд Qa = Qi^rl7!r>i = — °»4' 10~9 Кл-
Расстояния от зарядов Qt и Q2 до точек а и b обозначим Ra, Ra>
*rt
Qz х ' "^ %
20
с d x
1
J
\
р
К ?, °. **
s
abed
а)
б)
Рис. Р. 19.3
Напряженность поля в точке а
ж? _ I?' . !?-_ Qt . 02^^з7,8.102 В/м.
Напряженность поля в точке Ь (считаем ее принадлежащей
среде /)
Е.=. Ц—~ %-—- = 23,25-10^ В/м.
6 4яе(Я4)? 4явA?а'
42S
Для расчета поля в среде с относительной диэйектрич-еской
проницаемостью гГ2 воспользуемся схемой рис. Р. 19.3, б. Расчетный
Напряженность поля в точках Ь, с и d (считаем точки при-
надлежащими среде 2) найдем, пользуясь выражением Е =
= Qs/Dnea2R2). В результате
получим: Еь= 1Ц25-102 В/м;
?,= 7,2-102 В/м; ?rf = 5-102
В/м. По этим данным строим
график ?=/(*), который
изображен на рис. Р. 19.3, в.
19.33р. Задачу решаем
методом зеркальных
изображений.
Расположение расчетных
зарядов определим,
осуществив последовательное
отражение относительно граней
угла. В результате получим
систему, состоящую из восьми
зарядов: одного заданного и
семи расчетных.
Поверхностная плотность заряда в
точке а равна модулю вектора
смещения в этой точке.
Пользуясь теоремой Гаусса,
найдем векторы смещения в
точке а, обусловленные каждым
зарядом, и геометрически их сложим (рис. Р. 19.4, а). При этом
)~9 Кл/м2,
где /З = а/С (рис. Р. 19.4, а).
Аналогично определим:
?>л^_?)бл = —4,43-10""9 Кл/м2; Dln + D8n= 1,32-10~
'Д, = Д,„ = 25,01 • 10"9 Кл/м2-
Следовательно, ал = —25,0Ы0"9 Кл/м2.
19,34р. Задачу решим методом зеркальных изображений.
Отражения осуществим поочередно относительно граней раздела сред
ММ и NN. Справа и слева от изоляционного слоя получим
бесконечно большое число зеркально отраженных расчетных зарядов,
расположение которых показано на рис. Р. 19.4, б. Напряженность
426
электрического поля в точке а определим как сумму напряжен-
ностей, обусловленных каждым зарядом. Так как модуль
напряженности поля резко убывает с расстоянием до заряда,
ограничимся учетом влияния конечного числа зарядов.
Напряженность поля в точке а от зарядов, находящихся справа,
Е'а = ^ {-т + Тг JT + J? ТГ+ вг) = ~~ 2я1Г?Г ' °'569'
Напряженность поля в точке а от зарядов, находящихся слева,
:_1_. 0,569.
1 2а ^ 4г! 5гх ^ 7ri 8гг
Суммарная напряженность поля в точке а ?а = 683 В/м.
Поверхностная плотность зарядов oa = Da = Eaea= 1,82-10"8 Кл/м2.
Рис. Р. 19.5
>. Качественно построенная картина поля приведена на
рис. Р. 19.5, а. Используя метод изображения в сфере, определим
расстояние между центром шара и расчетным зарядом —q: S =
= ?8/d=*OfO5 м.
Найдем заряд: ^ = Q-j-==Q,5-10~9 Кл.
Расстояние от заряда Q до точки ветвления получим из
уравнения
Q Я . и п кю Мв
Напряжеиность поля в точке а
где га—расстояние от точки а до заряда Q.
19.38р. Расчетная схема дана на рис. Р. 19.5, б. Определим
потенциальные коэффициенты:
; alo = a2i = ^-ln^-12,2.109 ц/Ф,
u 21 2яе0 a32 ' ; '
427
Воспользуемся первой группой формул Максвелла:
ф1==т1а11 + т2а12; A)
ф ___ х а _|_ х а ^2)
Так как т2 = 0, то фх = Txan и хг = Фх/ап = 3,07 • 10"9 Кл/м. Из
уравнения B) найдем ф2 = т1а21 = 37,45 В. Напряжение [/12 = ф!—ф2 =
= 162,55 В.
19.43р. Потенциалы точек, лежащих внутри и вне цилиндра,
(о
B)
Так как точка В находится вне цилиндра, а точка Л—внутри
его, разность потенциалов между ними
C)
Подставив числовые значения в уравнение C) и решив его
относительно Е0У получим ?0=1000 В/м.
Напряженность поля внут-
ри цилиндра
?. = 400 В/м.
¦const
Рис. Р. 19.6
C = &obmt/(an) = 35,4-10"2 Ф/м.
19.49р. Картина
электрического поля, построенная
графическим методом,
приведена на рис. Р. 19.6. При этом
число силовых трубок т== 12,
число клеток в трубке п = 6.
Отношение ширины клетки к
ее длине b/а == 2. Емкость
между цилиндрами на 1 м длины
19.52р. Пусть z = x+jy—переменная на плоскости г; W =
t=U + jV—переменная на плоскости W. Тогда
г = 2 sin 0,5IF = 2 sin 0,5 (U + jV) = 2 sin 0,5?/ ch 0,5V +
+ /2 cos 0,51/sh 0,5V.
Приравняв вещественные и мнимые части функций z и W, найдем
х = 2 sin 0,5*7 ch 0,5V; A)
r/ = 2cosO,5t/shO,5V. B)
Возведя в квадрат и сложив уравнения A) и B), получим
4ch2O,5V + 4sh?0,5V s 1л <3)
428
Возведя в квадрат уравнения A) и B) и вычтя из
уравнения A) уравнение B), определим
? =,
_^! ?
4sin20,5?/ 4cos20,5?/
D)
На плоскости z в соответствии с выражением C) имеем
семейство эллипсов, в соответствии с выражением D)—семейство
гипербол.
Рис. Р. 19.7
Полагая U потенциальной функцией, получим картину поля
гиперболических электродов (рис. Р. 19.7, а). Полагая V
потенциальной функцией, найдем картину поля эллиптических
электродов (рис. Р. 19.7, б).
0H
Рис. Р. 19.8
19.58р. а) На основании метода вторичных источников
составим расчетную схему рис. Р. 19.8, а. Поверхностная плотность
расчетных зарядов на плоскости S а(р) = а+огсв, где or,
aCB—поверхностные плотности свободных и связанных зарядов. Для
определения а(р) воспользуемся интегральным уравнением Фред-
429
гольма второго рода:
Си COS \ ГицП J йЪ
A)
Искомой функцией является плотность расчетных зарядов
в точке истока о?р) и точке наблюдения о$\ ядром уравнения —
cos \гИнп
в котором гин—расстояние между точками истока и наблюдения;
параметром—s^g^gj; заданной функцией- eJ^ on-
gs 2ееЕ0пП, где стн—плотность свободных зарядов; ?Опн —
нормальная составляющая напряженности внешнего поля в точке
наблюдения.
В данном случае свободных зарядов на поверхности раздела
сред нет и стн = О. Нормальная составляющая внешнего поля,
т. е. поля, обусловленного зарядом q (рис. Р. 19.8, а),
Так как для плоскости cos \гшп // = cosi|) = cos90°, то
подынтегральное выражение уравнения „A) обращается в нуль и
интегральное уравнение вырождается в алгебраическое. Так как при
crH=r0 crCBH = aJIp) и i? = K/i2 + r2, плотность связанных зарядов
в точке наблюдения
Связанный заряд, находящийся на поверхности крута
радиусом г19
1 1 О)
б) Положив гаг—> с» в выражениях B) и C), получим
qh Г1 1
Задача может быть решена также методом зеркальных
изображений.
19.60р. а) Используем метод зеркальных изображений.
Дополним полуцилиндр до полного цилиндра. Отобразим расчетные
заряды и источник, создающий внешнее равномерное поле. Плот-
430
ность отображенных зарядов равна и противоположна по знаку
<5{р\ Напряженность поля, обусловленная отображенным источни-
ком, ?1 = ?10, а напряженность результирующего поля Ео + Е± =
= 2?0 (рис. Р. 19.8, б).
Определим стсв на поверхности цилиндра, воспользовавшись
методом вторичных источников и интегральным уравнением A)
решения задачи 19.59р. Преобразовав его для случая
плоскопараллельного поля, получим
<=^.
1 f g(Hp)cos(^Hn)^1
I
Так как цилиндр не заряжен, то сун = 0. Из рис. Р. 19.8, б
найдем cos у гинп ) = cos ty = rl{jBa); dl = adQ. После подстановки
в уравнение A) определим
Интеграл в правой части полученного уравнения равен нулю
вследствие симметрии в расположении положительных и
отрицательных зарядов на поверхности цилиндра. Интегральное
уравнение A) в этом случае превращается в алгебраическое.
Учитывая, что 0Свн = онр)» ?"o«H==^oCOsa, получим
При ег1 = 1; 8Г2 = 5 огсвн = 2,13- 10cosa Кл/м2.
б) Воспользовавшись выражением B), определим
tfCBH = — 2,13-Ю cos a Кл/м2.
в) Положив в соотношении B) efl2—>оо, найдем ссвн = 3,18х
XlOcosa Кл/м2. Задача может быть решена также методом
разделения переменных.
19.61р. В силу осевой симметрии поля и учитывая, что 2го<^/,
можно считать заряд распределенным вдоль оси цилиндра с
плотностью t(z).
Потенциал, создаваемый элементарным зарядом x(z)dzt в
произвольной точке М
т (z) dz
Потенциал, созданный зарядом всего цилиндра,
т (г) dz
R '
431
Поместим точку М на поверхность цилиндра. При фм = <
1 Г х (z) dz
Фо = "
Апъа
V
A)
точки наблюдения; z—координата точки
— zHJ
где zH—координата
истока; R^Vrl-\- ( H)
Уравнение A) является уравнением Фредгольма первого рода.
Для его решения разобьем цилиндр на п равных участков.
Будем считать плотность заряда каждого участка т,= const. Тогда
интеграл в уравнении A) можно заменить суммой. Расположив
точку наблюдения в середине участка и обозначив то = 4зхеа(ро,
найдем
П р
If' I
dz
B)
где t—номер участка (t = l; л); /—номер точки наблюдения
(/ = 1, п). Помещая точку наблюдения на поверхность каждого
участка, можно составить п алгебраических уравнений. Записав
их в матричной форме, получим
C)
[а/у] рассчиты-
Элементы квадратной матрицы коэффициентов
вают по формуле
т/7
i
BJ-2/+1)
I
2п
D)
Принимая п = 6 и пользуясь выражением D), получим
матрицу [я,/], которую преобразуем с учетом равенства зарядов
4,165
1,089
0,510
0,336
0,251
0,200
1,089
4,615
1,089
0,51
0,336
0,251
г4,815
= 1,34
L1
0,51
1,089
4,615
1,089
0,51
0,336
1,340
4,951
0,816 1,599
0,336
0,51
1,089
4,615
1,089
0,51
0,251
0,336
0,51
1,089
4,615
1,089
0,200'
0,251
0,336
0,51
1,089
4,615_j
0,846-1
1,599 .
5.704J
Решив матричное уравнение C), определим Tj = 0,153t0; t2=s
= 0,122т0; т8 = 0,118т0. Здесь то = 5- 10~8 Кл/м. График x = f(z)
представлен на рис. Р'. 19.9, а.
432
2/
Полный заряд цилиндра Q = — (/*1
I = 39,3- Ю0 Кл,
а его емкость С = 39,3 пФ.
Закон изменения потенциала поля вне цилиндра ф = /(г) при
2 = 0,3 м получим, пользуясь соотношением
Ф = -
п
1
dz
]/> + @,3-г)^
где г, г—в м.
д
6
А
2
Ч
(р,В
60
40
20
\
\
¦41
О 1 2 J 4 5 z-109M 0 1 2 ЗМО'Н
а) б)
Рис. Р.19.9
График <р = /(>*) приведен на рис. Р. 19.9, б.
Глава двадцатая
20.3р. Разность потенциалов связана с напряженностью
электрического поля соотношением
2
= V Е dr = E-j 2nr =-?-Ег.
V
Учитывая это соотношение, а также используя закон Ома
в дифференциальной форме, выразим модуль плотности тока
через разность потенциалов: 6 = 2у ф1^гФа * Очевидно, что б = бтах
при r = ri9 т. е. бтах = 27(ф1—ФаЖЗя-Гх). Следовательно,
разность потенциалов фх—Ф2 = Зягх• 6max/Bv) = 0,0235 В.
20ЛОр. Плотность тока утечки и функции расстояния от
центра сферического конденсатора
6 = //DяЯ2). A)
Напряжение между электродами
483
Из соотношений A) и B) получим
10-8
-7? -75-1 Я2
При R =
А/м2.
= 6max = 0,25-10 А/м2. Максимальные удельные
6 625 В Т
тепловые потери /?тах = 6тах/7 = 6,25 Вт/м3. Ток утечки / ==
= 4зх/?|бтах = 12,56 • 10~8 А.
20.16р. Применим метод зеркальных изображе-
р ний. Дополним электрод его зеркальным
изображением, расположенным над поверхностью земли
(рис. Р.20.1). Воспользуемся аналогией с
электростатическим полем. При этом приближенно
примем линейную плотность заряда цилиндра т =
= const. Найдем емкость цилиндра длиной 21 и
диаметром d, который может рассматриваться
как эллипсоид вращения. Потенциал
произвольной точки Р с координатами И а от
элементарного заряда xdx, расположенного на расстоянии
г от начала координат, d(p = xdx/Dmar)J где г = Va* + {b—xJ.
Полный потенциал точки /?, определяемой всем заряженным
цилиндром,
Рис. Р.20.1
dx
b+t+Va*+(b+t)*
где t = Q()
Потенциал на поверхности провода в его середине (при 6=0;
a = d/2) по отношению к бесконечно удаленной точке
In-
При d/l <^ 1 ф = ?/ «д7
Т" * Емкость
ния С =
цилиндра С = jj- =3
„ Проводимость электрода и его зеркального изображе-
Проводимость заземления Go == ^ d .
Сопротивление заземления /?0 = 1/О0 = 36,6 Ом.
2&.19р. Для расчета поля в среде с удельной проводимостью уг
воспользуемся схемой рис. Р. 20.2, а. Пренебрегаем взаимным
влиянием шаров и сдвигом электрических центров относительно
геометрических. Расчетный ток, стекающий со второго электрода
в грунт, I2 = kJly где *i = (Yi—T2)/(Yi + Y2); 0<^<1.
Потенциал произвольной точки М
™м 4jtyi R ~*~ 4лу! {{la—R) *¦'
434
Так как Сх = 0, то для области R0<R<a получим
l -I *»
R ^ 2a-R
Для расчета поля в среде с удельной проводимостью у2
используем схему рис. Р.20.2, б. Расчетный ток I3 = kJly где , &2 =
Рис. Р.20.2
*= 2y2/(Yi + Tt); 0 < k2 < 1. При а < R < оо
20.21р. Так как плотность тока утечки 6=^//Dл;/?2), то
напряженность электрического поля E = IR/DnR2y^),
Потенциал между электродами изменяется по закону <р =
Постоянную интегрирования С найдем из условия <р = 0 при
R
Закон изменения потенциала между электродами имеет вид
5» Ю-2
Напряжение между электродами i/ = -i—ln-^ = 256 В. Полная
431^0 А1
проводимость утечки G = //i/ = 7,82 -10 См.
20.25р. Выражая напряженность электрического поля через
ток утечки, найдем
в 6 7 то- A)
B)
435
Напряжение между электродами
7 inig=g.
Решив уравнение B) относительно тока, определим
T
а B—kb)
Закон распределения плотности тока:
Закон изменения напряженности электрического поля:
?~ V~ rB-0,lr)e
Закон распределения объемного заряда:
р =: div еаЯ = &fl div ? + Е grad etf.
F)
В данном случае имеем зависимость Ё и га только от
координаты г, поэтому
- 1 d,^,_ 180 . т
~~ г(9 — О 1/Л2» \Ч
(8)
(9)
Из выражений F), G) и (8) окончательно найдем
_ 3,18-10-»
Р
Глава двадцать первая
21.3р. Магнитное поле внутри и вне цилиндрического
провода может быть рассчитано путем наложения двух полей: поля
тока плотностью б,
протекающего вдоль монолитного
цилиндрического провода радиусом а
(напряженность Ях), и поля
тока той же плотности,
протекающего в противоположном
направлении вдоль цилиндра
радиусом Ь (напряженность Я2).
Напряженность магнитного
поля в произвольной точке О,
расположенной внутри цилиндрического отверстия,
где Hi0 =, - [б rJ/2; Ню = [б72]/2.
436
/Ж*
/
41 <о
Г
а
9\
"Л
/I
—У
а)
б)
Рис. Р.21.1
Так как r1—r2 = d = /d (рис. Р.21.1, а), то # = -тг [*(— /)d] ==
^= t -^г = i25• 102 А/м. Напряженности полей в точке А:
25-102 А/м;
= i3,13-102 А/м,
где г1А, т2А—расстояния от точки А до оси первого и второго
цилиндров. Таким образом, НЛ = Н1А + Н2А = — /21,87-102 А/м.
Модули напряженности полей в точке В:
. 102 А/м;
МО2 А/м,
где г1В и г25—расстояния от точки В до оси первого и второго
цилиндров.
В векторной форме
Н1В = — /25-102 А/м;
H2B — iH2Bsma-\- /#2Scosa = (n,51 sin 14,5° +
+ fl,51 cos 14,5°) 102 = G0,377 + 7l>46) Ю2 А/м.
Окончательно получим Яв = Н1В + Я2Й = (— /23,54 + Ю,377) х
X Ю2 А/м.
21.9р. По закону Био—Савара—Лапласа, напряженность
магнитного поля в точке О (рис. Р.21.1,6), обусловленная током
в отрезке провода pq,
где cosa! = — cosa2; h = asma1.
Из треугольника pqO найдем аг = я/2—Р/2 = я/2—я/я, так как
Р 2
Напряженность магнитного поля в точке О, обусловленная
током в рамке,
InWCOS -77
2яа sin
Т~7Гу
А/м
A/Mo
21.13р. Магнитное напряжение между точками iW и IV по
пути MIN, обусловленное током левого провода (рис. Р.21.2, а),
UulMN = Ia/360r, где а=18,5°.
Магнитное напряжение между точками М и JV по пути MkN,
обусловленное током правого провода, Ujt2MN = — /р/360°, где
Р 45°
437
Магнитное напряжение между точками М я N
Магнитное напряжение между точками М и Р (рис. Р.21.2, б)
=:-$№ (Pi—«i) = 12,5 А,
где pi==243,5a; ^=115,5°.
а)
И.Л/М'
2-Ю*
9.8 Ю*
1АП*
Л
7 I
al
Рис. Р.21.2
A b
JL iv
* I?
Рис. Р.21.3
21.15р. Так как В == rot Л, то модуль вектора магнитной
индукции внутри и вае провода найдем из выражений
=- В1а =
= 12,56г;
Определим модуль напряженности магнигного поля внутри и вне
провода:
Я1 = В1/(хв1 = 2-10вг А/м; A)
Я2 = В2/^2 = 20| А/м. B)
Пользуясь выражениями A) и B), строим график зависимости
Я=/(г) (рис. Р.21.3, а).
438
Так как индукция B = \io(H + J), то модуль вектора
намагниченности внутри и вне провода
/1 = B1/m-^1 = 9f8.10V А/м; C)
J2 = 0. D)
По уравнениям C) и D) строим график зависимости J = f(r)
(рис. Р.21.3, а).
21.17р. Проинтегрировав уравнения Пуассона и Лапласа для
векторного магнитного потенциала и определив постоянные
интегрирования, найдем проекции векторного магнитного потенциала
на ось z внутри и вне шины:
ба2 (fxa2—0,5^а1),
где \ial и ?Хд2—абсолютные магнитные проницаемости стали и
воздуха. Разность векторных магнитных потенциалов между
точками тип
Из этого уравнения определим плотность тока: 6 = 2,21-104 А/м2.
Ток, протекающий вдоль шины, / = 2a/i6 = 3,53 A.
21.25р. Воспользуемся методом зеркальных изображений.
Найдем расчетный ток /2 (рис. Р.21.3,6):
г / Ит
2 >
В силу симметрии поля в точке а напряженность На = 0. Напря-
-> -» ->
женность магнитного поля в точке b Нь = Нг-\- Я2, где
Ях = —/л* ^—^^ ^м; ^2 = ^2cosa — jH2s'ma = ix
х 2лD2+4Я») -^2«D+W) =~ Tl72~7114 A/M- Окончательно
получим Hb^H1 + H2=7\72—Ja32 A/m.
21.35р. Наивыгоднейшим является случай расположения щели
вдоль силовых линий.
Модуль напряженности магнитного поля внутри сферического
экрана
—
= 3380 А/м,
где ^д—абсолютная магнитная проницаемость стали. Сечение
рамки S = jtD2/4 = 28,2.10~4 м2. Потокосцепление рамки * =
= Я/^и;=1,2.10-* Вб.
Отклонение луча баллистического гальванометра при
переключении тока в обмотке возбуждения электромагнита с +/ на —/
2/С133
439
21.37р. По закону полного тока, I — §t Hdt. Произведя обход
вдоль замкнутого контура вокруг каждого из токов и используя
значения скалярных магнитных потенциалов, получим: /1 = 2-25 =
= 50 А; /2 = 2.5=10 А; /3 = 2B5—5) = 40 А. Ток 1г направлен
«от нас», токи /2 и /3 направлены «к нам».
Определим магнитную индукцию в точке Л, пользуясь
картиной поля. Напряженность магнитного поля # =— gradqy, НАж
»Дфм/Ая. По картине поля найдем Д<рм = 2 A; An = 0,225 м;
ВЛ = \1ОНЛ= 11Ы0" Тл. Определим магнитную индукцию в
точке Л, пользуясь законом полного тока (рис. Р.21.3, в): ВА = Вг +
+ В2 + В3, где Я, = ^^=110,5.10-2 Тл; 5^ 884х
XlO Тл; ?3 = !
Тл.
Глава двадцать вторая
22.6р. Э.д.с, наводимая переменным магнитным полем в
движущейся рамке, е = е1 + е2У где ег—э.д.с, обусловленная
изменением магнитного поля во
",Вт/мг\ 1 1 1—гп времени; е2—э.д.с,
обусловленная движением
рамки.
Применяя закон элек-т-
ромагнитной индукции,
найдем е1и Напряженность
магнитного поля определим
по закону полного тока:
H = i/2n(x+a).
Магнитный поток,
пронизывающий рамку,
по
во
К
1
\
г.см
б)
Рис. Р. 22.1
(а+с+х)
(а+х)
а+с + х
1 а + х •
Э.д.с, наводимая в рамке,
Э.д.с, обусловленная движением рамки,
1
'а+с+х
si
где Вг = |v7[2tt (a +*)]—индукция в левой стороне рамки; В2 =
= 2л (а+с+х) ~ ИНДУВДИЯ в правой стороне рамки; t = x/v. Окон-
440
чательно получим г = — Щ^ Г со In °^Ц* cos со ¦?—и
^^^l . При x = 20 см э.д.с. e = 6,32-10~6 В.
v j
\\ j j
22.8р. Плотность тока
?-_м) ^ — ?° 105 А/м2
По закону Ома в дифференциальной форме, напряженность
электрического поля
->
E = z{>Ez = 'z0~ = z0-2-l0-2 В/м.
у
По закону полного тока, напряженность магнитного поля на
внешней поверхности
А/м.
Нормальная составляющая вектора Пойнтинга (рис. Р.22.1, а)
Пя = —г°Пг = [??,.а°Яа] = — Я 15 Вт/м2.
Тангенс угла ф tgcp^iyil^ 1,5-102/15= 10, откуда ф = 84°30'.
а) В области 0<г<гх ? = 0, # = 0 и, следовательно, П = 0.
б) В области /*! < г < г2
Вектор Пойнтинга
в) В области г2 < г < с»
Для точек, лежащих на внешней поверхности провода, известно,
что nt = nz= 1,5-102 Вт/м2, Следовательно, постоянную k получим
из уравнения 22,10-4= 1*5-102, откуда ^ = 6-10" Вт. Таким
образом, вектор Пойнтинга П = г°-:-^2-— Вт/м2. График зависимости
модуля вектора Пойнтинга от координаты показан на рис. Р.22.1, б.
Глава двадцать третья
23.3р. Комплекс действующего значения модуля вектора
Пойнтинга на поверхности плиты
441
где
ZB =
U)
B)
C)
Подставив числовые значении в выражения A)—C), получим
0 Вт/м2.
Комплекс действующего значения модуля вектора Пойятинга
на глубине х = 0,5 см
^50 Вт/м2,
где
= 314 м
|в7/
Активная мощность, поглощаемая слоем металла толщиной
0,5 мм и площадью s= 1 м2,
= (П1—n2)scos45° = ni(l—e-
Вт.
Глубина проникновения электромагнитной волны в металл
Л= 1/^ = 3,18. Ю-3 м.
Длина волны X=2n/fe = 2-L0~a м.
23.5р. Среднее значение магнитной индукции по-сечению шины
hpa ^os.jo-ae/n» Тл,
где р = KfieT© е/46° = 1780е'45° м; thpa== 0,895
Действующее значение магнитного патока
Вб.
Плотность вихревых токов распределяется по сечению шины
в соответствии с законом
A)
-Ц5-0,25 О V;Z5 Z,MH О
а)
Рис, Р.23.1
442
? <*,?
Р.23.1
Z, ММ
0
0,55
0,5
6
0
1,
3,
. 104, А/м2
44е>'115°
18е/121°
Подставим числовые значения в выражение A) и результаты
расчетов, проведенных для различных значений г, запишем
в табл. Р.23.1.
По данным таблицы строим зависимость модуля действующих
значений плотности вихревых токов в функции координаты
(рис. Р.23.1, а).
23.9р. Плотность тока по сечению провода, расположенного
в пазу ротора электрической машины, меняется по закону
• chp(a— z) .jv
B)
sh pa '
а напряженность магнитного поля—по закону
rj r> sh p (a— z)
° shpo '
Здесь H = I/h—напряженность магнитного поля в точках
плоскости z = 0.
Значения гиперболических функций комплексных аргументов
вычислим по формулам
sh рх = sh kx cos kx + j ch kx sin kx\
ch px = ch kx cos kx + /' sh kx sin kx,
где х = а—z; /? = KiV\we/45°; k = \p/\Vr2.
Для нашего случая />=149е/45° м"*1; k=l05 и.
Подставляя числовые данные в выражения (I) и B),
определим б и Я для различных значений координаты z. Результаты
вычислений сведены в табл. Р.23.2.
Таблица Р.2&2
z.10-2, м
0
1
2
Н-1№, А/м
е-/3©*'
0,373е-/85°
0
6.104, А/м2
149е/45°
49е-/51°30'
36,6е-/106°
По данным таблицы строим графики H^=f1(z) и 6 = /2(z)
(рис. Р.23.1, б).
Комплекс сопротивления провода, расположенного в пазу ротора
электрической машины, на I м его длины
БН у hthpa
В нашем случае th/?a«l; Z=^= 13,3- 10е/«° Ом/м.
Активное сопротивление провода R = 9,36-10 Ом/м.
Внутреннее индуктивное сопротивление Хвн = 9,36-10~4 Ом/м.
Сопротивление данного провода при постоянном токе Rn0CT = //(vS) =?
= 4,47-Ю-4 Ом/м.
443
23.13р. Плотность тока на поверхности цилиндрического
провода
у _ qIJ0 (qr0) m
°-2ягв/1(^в)' (Ч
где Jp(qrQ)—функция Бесселя первого рода нулевого порядка;
^i(^o)—функция Бесселя первого рода первого порядка. В
нашем случае
q=V— /2я50-4яЮ-7-102-2-106 = 282е-'45° иг1.
Аргумент функций является комплексным (gro = l,4lK—/);
следовательно, и функции являются комплексными. Пользуясь
таблицами функций Бесселя, найдем модули и аргументы
функций Бесселя: J0(qr0) = 1,05е'27°; /1(^1) = 0,7е-/31°.
Подставив числовые значения в уравнение A) и решив его
относительно /, получим / = 74,5е~'18° А/м.
По закону полного тока, напряженность магнитного поля на
поверхности провода Нг0 = //Bяг0) = 2380eJ'13° А/м. Модуль вектора
Пойнтинга на поверхности провода
Н
Пг0 = ЁГОНГО = ^ Нг0 = 1190е/1з° А/м.
Потери мощности в проводе на 1 м его длины
Р = RetlrQ2nr0l = Re 1190e'*13° 2я5• 10 == 36,6 Вт/м.
23.16р. Получим соотношения, характеризующие магнитный
поверхностный эффект в цилиндре бесконечной длины. Из
уравнений
4
rot Е = — /jxaco#
найдем
у2Я + д2Я = 0, B)
где ^ = К /
—> —>-.
Так как H = z°Hy уравнение B) запишем в виде
После преобразований получим уравнение Бесселя!
1 dH лп
Его решение!
H = AJ9(qr) + BN0(qr). D)
444
Так как Afo@) — оо, а напряженность магнитного поля на оси
цилиндра Нафоо, то постоянную интегрирования В принимаем
равной 0.
Определим постоянную интегрирования Л. Пусть
На—напряженность магнитного поля на поверхности цилиндра. Тогда при
г —а напряженность На = A Jo (qa). Следовательно,
E)
F)
Из уравнений D) и E) найдем
Напряженность электрического поля
Е = — rot Н = — а0 —т~ = а0 — На
у у дг у а
Jo (qa)
Так как ф Edl = — /соФ, то после преобразований получим
(да)
Из уравнения F) и (8) определим
15— }Ла/7 —
Среднее значение магнитной индукции
^ Ф
Относительная комплексная магнитная проницаемость
^ср 2arJ1 (qa)
G)
(8)
(9)
A0)
A1)
В нашем случае ^ = 8,85е-/45°; J0(^a) = 73,05/337°;
= 70,2е/250°. Из уравнения A1) вычислим jlr = 2,2e''42\ Подставляя
числовые значения в выражение (9), найдем
закон распределения магнитцой индукции в
функции расстояния от оси цилиндра. График B = f(r)
приведен на рис. Р.23.2.
23.19р. Запишем первое и второе
уравнения Максвелла для плоской волны,
распространяющейся в проводящей среде (рис. Р.23.3, а):
—— = уЕ • A)
OZ ^ '
дЕх __ „ дНу^ ,^\ и и и
dz dt К } Рис. Р.23.2
Пользуясь операторным методом и учитывая, что в данном
445
в-п
\
rim
-so
-20
—ю
л
случае Е = Е , Н — Н найдем
После преобразований получим
Решением уравнения E) являются
где v =
Изображение напряженности электрического поля
C)
D)
E)
F)
G)
Волновое сопротивление в операторной форме
Из-за отсутствия отраженной волны Сх = 0. При 2 = 0 Н (t)=H6
и Н (р) = Н0/р, поэтому С2==Я0/р. Тогда изображения напряжен-
H-JH.
a)
Н,А/М
1
0,75
0/5
/4
\/
2.sO
в JO 20 SO iff
B)
Рис. Р.23.3
ностей магнитного и электрического полей получим в следующем
виде:
(8)
(9)
44 Ь
Пользуясь таблицами соответствия, по выражениям (8) и (9)
найдем оригиналы:
bt
(И)
где Ф ( z 2faV ) —функции вероятности ошибок.
23.21р. Воспользуемся выражениями F) и G) решения
задачи 23.19р. Постоянные интегрирования найдем из граничных
условий. При z = a
при 2 = — а
После преобразований получим выражения для изображений
напряженностей магнитного и электрического полей:
A)
B)
sh
chzVpV
yila
По таблицам соответствия определим оригиналы:
C)
D)
Из выражений C) и D) следует, что при f = oo, т. е. в
установившемся режиме, напряженность магнитного поля меняется по
сечению шины согласно закону Н (t) = Iz/Bha), а напряженность
электрического лоля остается постоянной: E(t) = I/Bhay).
Таблица Р.23.3
МО", с
1
2
10
50
00
Н (t), А/м, при
2=0
ооооо
2=0,5а
0,005
0,033
0,339
0,499
0,5
2=0,75а
0,22
0,344
0,634
0,676
0,75
г-а
1
1
1
1
1
447
Подставив в выражения C) и D) числовые значения, вычислим
Н и Е в заданных точках сечения шины в различные моменты
времени. Результаты подсчетов сведены в табл. Р.23.3.
На основании данных таблицы построены графики рис.
Р.23.3, б.
Глава двадцать четвертая
24.5р. Комплексная диэлектрическая проницаемость морской
воды
Коэффициент распространения
р =/©Кад^= а+/Р= 18,07+ /34,85 м.
Напряженность электрического поля на глубине ^ = 0,1 м
Напряженность электрического поля на поверхности
F — Elm — fiOQ7r/169*7° R/м
где p*x= 199,7°.
Волновое сопротивление
2в = ^мС= 32,02 е?*>*° Ом.
Напряженность магнитного поля на поверхности
HOm = EOm/ZE= 1,9е'^° А/м.
Мгновенное значение вектора Пойнтинга на поверхности
no{i) = Eo(t), #„(/) = 51,56—58,04 cos Bю/—47,3°) Вт/м2.
24.7р. Так как, по условию задачи, волна полностью
проходит в стекло, то поляризация волны должна быть параллельной
и угол падения равен углу Брюстера: ф = <рБр. Из соотношения
tg фБр = V~srjen находим диэлектрическую проницаемость стекла:
ег2 = 4. Волновое сопротивление стекла ZB3 = У\1а/ва = ZB1/2 =
= 188,5 Ом. При полном прохождении электромагнитное поле в
воздухе содержит только падающую волну и не содержит отра-
женной. При этом Hz = Hlu Вектор Пойнтинга в стекле П2!, =
Д
Д]; П2И =B2 fBa
ри повороте плоскости поляризации на 90°
(перпендикулярная поляризация) коэффициент прохождения
гр 2 sin 8 cos ф у
где 6 =s arc sin (Ke^e^ sin ф) = 26°35'.
448
В этом случае на основании граничных условий Ё2 = Еп =
= Е+ + Е~ = Е1У где Е+,Е~, Еп— напряженности электрического
поля падающей, отраженной и прошедшей волн соответственно
Напряженность поля в стекле Ё2 = ЁгТL = 4 мВ/м, вектор Пойнтиига
П21 = ?|/ZB2 = 0,849-Ю Вт/м2.
Так как коэффициенты затухания в обеих средах равны нулю,
то коэффициенты распространения
Yi = /Pi = /°> Кед1цд1 = /2 м-1,
Волновой вектор падающей волны
/С = (Г° sin ф + г° cos ф) /рх =?°/1,79 + ?°/0,894 м.
Волновой вектор прошедшей волны
i/l79 + ?/3,58 м.
24.11р. При sin0 = I sinф = sinФкр = Кег2/еп- Следовательно,
критический угол полного внутреннего отражения фкр =
= arcsinKer2/erl==41°30'. По условию, угол падения ф > фкр.
Поэтому 0—комплексное число. При этом sin0 = |/8rl/era sin ф= 1,2;
б = ох/2 + /0. Используя соотношения sin 6 = sin (я/2 + /0) = ch 0 и
cos 0 = cos (я/2 + 9) = —/ sh 0, найдем коэффициенты прохождения
и отражения:
т ^ 2ZB2 cos Ф = 1
х ZB2 cos rp —/ZBl sh 0 J
p ZB2cos<p + /ZBish8 __1
Ai- " ZBacos<p-/ZBlshe
Мгновенное значение вектора напряженности электрического
поля поверхностной волны
?п(.г, г, t) = jE^e~az sin ((x>t—fix).
Амплитуда напряженности поля поверхностной волны Е?п =
— Е^Тх. Коэффициент затухания a = --2-Vs\n*q> — Л/2, где ^ =
= с/[Угг1\ N2 = sr2/en. Коэффициент фазы р=^-^з1пф. Подставив
числовые значения в выражение A), получим
Еп(ху z, 0 = 78-10"8e-19'e2sinBnl0^ — 35,6х)В/м.
Определим фазовые скорости:
*>Фп = со/Р=1,76-1О8 м/с; оф1 = с/К^=1,4Ы08 м/с;
v^ = cJVer2 = 2,\2A0" м/с.
Следовательно, пф1 < уфп < уф2.
449
24.16р. а) Составим граф. Падающая волна Ё+ попадает в узел /
(рис. Р.24.1, а)*. Передача ветви g=l. Узел / соответствует
точкам, лежащим на поверхности раздела сред. Волна частично
отражается от поверхности, сигнал, соответствующий отраженной
волне, попадает в узел 2. Передача ветви равна Ri2. Кроме того,
сигнал из узла 1 проходит в узел 3, что соответствует прохож-
Ж
Ж
а)
В)
Рис. Р.24.1
© \Tt2
Рис. Р.24.6
®*»
дению волны из первой среды во вторую. Передача ветви T2i.
Полученный граф имеет один исток и два стока. Сигнал истока
Е+. Найдем сигналы стоков:
Определим передачи ветвей:
f' = 0,
б) Составленный граф изображен на рис. Р.24.1, б. Найдем
передачи ветвей графа:
7 , 1 12—
— 1 9р-/4°5'
24.17р. Граф (рис. Р.24.2) составляют аналогично графам
задачи 24.16р. Коэффициент радиопрозрачности Т = Оп = Ёп/Ё+,
где О71—передача графа от узла 1 к узлу 7, которую находим,
применяя формулу Мезона:
A)
B)
Коэффициент отражения пластины /? = G21 = ?'"'/?+, где
G21—передача графа от узла 1 к узлу 2. Учитывая, что в этом случае
п = 2; Л^Л»; A!=l— R21R23e~*vd; P2^=T2lT12R2Be-^d; Да=1;
В данном случае л=1; Pi = T21TS2e"^d; A^l; Д=1 —
e~2vd« Пользуясь формулой A), получим
т =
Номера узлов даны в кружках,
450
Д=1—R2iR2ze~2yd> B соответствии с формулой A) определим
Так как е,.з = eri, то из выражения B) имеем
Используя соотношения C) и D), получим
# = Я12+ТЯ21е-^. E)
Вычислим передачи ветвей графа:
^126^ '73'
Коэффициент распространения волны в диэлектрике
После подстановки числовых значений в выражения D) и E)
найдем Т = 0,92е-''307°; /? = 0,4е^«°.
Эта задача может быть решена также аналогично расчету
цепей с распределенными параметрами.
24.25р. Воспользуемся решением задачи для
электростатического поля. Учтем, что в квазистатическом электрическом поле
потенциал и напряженность поля являются функциями
координат и времени:
@ Л@Я0 A)
cosG. B)
Постоянные интегрирования A (t) и В (t) найдем, используя
граничные условия в квазистатическом электрическом поле.
Граничные условия запишем, применяя операторный метод. При
G/ + %iP) ERi (P) = (Уе + *аеР) ^Re (P)- D)
Подставив в уравнение D) выражения для изображений
радиальных составляющих напряженности поля в первой и второй
средах [ER.(p) и ERe(p)] и учтя, что E(p) = Ejpt получим
D /лч _ Q3?q \(У1 + Ъа1р) — {Уе + ЪдеР)]' /еч
КР) P[2(v* + eeep) + (Yi + ee/p)J ' W-
Пользуясь формулой разложения, определим
2V2+V/
<
451
Постоянная интегрирования
В (I)
G)
Подставляя постоянные интегрирования в выражения A) и B),
окончательно получим
Ф,(Д, 9- 0 =
-1 +
Tf~Те
R cos 0; (8)
/—вае yi — ye \ -•
2Ve + V/ "I
&*e + bai COS 0.
(9)
Постоянная ф0 принята равной нулю.
Глава двадцать пятая
23.3р. Скалярный электродинамический потенциал связан с
векторным потенциалом выражением div А= % ~~. В
комплексной форме
,. div.4=—/соф^Д;2. A)
п
Векторный потенциал от элемента
тока в точках, удаленных на
расстояние Ry
B)
Рис. Р.25.1
Воспользуемся сферической системой
координат. Тогда векторный потенциал
может быть разложен на две
составляющие (рис. Р.25.1):
C)
где
В данном случае
Из выражений D) — F) получим
1 д
(sin0^e).
D)
0)
F)
452
Используя выражение A), найдем скалярный
электродинамический потенциал:
• \i0Im cos 6 dl ( v ,
CD— === ~л тг ~т"
Для точки с координатами Rt и 0Х
JLLO/'W COS Qxdl / V
25.7р. 1. Сопротивление излучения для излучающего диполя
к — — ?в к2 . и;
В выражении A) длина излучающего диполя состоит из длины
антенны и длины ее зеркального изображения, т. е. l = 2h.
Сопротивление же антенны равно половине сопротивления излучающего
диполя:
R 1 2я 7 / 2ht у 4я ^
Длина волны Х1 = и//1 = 300 м.
Подставив числовые значения в выражение B), найдем
сопротивление излучения: Rs = Rm = 7 Ом.
Мощность излучения Ps=/a/?s- Отсюда / = VPs/Rs: = 2^ А,
2. Мощность излучения Ps = I2-^-ZB -jj =k-^j-.
Следовательно, для одной и той же мощности Ps длина антенны и длина
волны связаны уравнением h]l%\^= к\1%\. Для частоты /2=10
длина волны А,2^=30 м, длина антенны /i2 = /i11~ = 2 м.
Ах
Глава двадцать шестая
26.1р. Для возбуждения волны типа Н10 следует электрический
излучатель (штырь) расположить в середине широкой стороны
сечения (а), напротив его вдоль оси у. Петлю (магнитный
излучатель) помещают в середине узкой стороны (Ь) так, чтобы ее
плоскость была параллельна плоскости хоу. Критическая длина
волны
V (ml a)* + (nib)*
Учитывая, что для волны Я10 /п=1, а л = 0, получим ^крю =
= 2а =17,28 см. Длина волны в свободном пространстве X = clf =
= 10 см, где с—скорость света.
Длина волны в волноводе
453
Мощность, передаваемая поперечной электрической волной вдоль
волновода,
Волновое сопротивление для поперечной электрической волны
г = 462 Ом.
ZBTE = l/ -Н2-
вТЕ v 8
Пользуясь соотношением A), найдем Р = 385 Вт.
Групповая скорость
t>rP = сVl-(X/KvJ = 2,45-1010 см/с.
Фазовая скорость
= 3,68-1010 см/с.
За один период колебаний энергия переместится на
расстояние, равное энергетической длине волны Хэ = vrv/f~c2/XB = 8,15 см.
Глава двадцать седьмая
27.2р. Считаем поле Е между каждой парой сеток
однородным. На рис. Р.27.1,а—г показаны графики потенциалов ф(х),
поля Е(х) =— дср/дх, сил F(x) = qE(x) и скоростей v(t) =
t t
С* F (y\ С*
= V——dt + vQy где x(t)—\v(t)dt. Отрицательно заряженная
i m 0 частица преодолеет потен-
q
v
2d
q>0
v
циальный барьер при
любой начальной скорости
v0 > 0, положительно
заряженная частица
—только при
?#>'7Ф1. О)
v-
U
Это выражение следует
из закона сохранения
тх*
d 2d *
2)
Если условие A) выпол-
няется, то на выходе сис-
темы частица независимо
от знака заряда имеет та-
кую же скорость, что и на
входе (суммарное
воздействие поля сеток равно нулю). Время пролета t = 2d/vcv. При
<7 < 0 средняя скорость больше, чем при q>0 (рис. Р.27.1,г).
454
Рис. Р.27.1
Поэтому время пролета отрицательно заряженной частицы всегда
« гт . 2d
меньше, чем положительной. Для данного случая t~-
27.8р. Полная энергия частицы в
любой точке траектории (по закону
сохранения энергии)
так как при х = 0 ф@) = 0. По
условию, W < qq (± b), поэтому частица
совершает в «потенциальной яме» (рис.
Р.27.2) гармонические колебания с
периодом
Y 1
rp _i/~ft- Г dx
Рис. Р.27.2
= 2V2mi{aq)axzsmz | = nV2m/(aq).
о
Движение вдоль оси х неустойчиво. Любое отклонение вдоль
оси у будет нарастать.
27.9р. В центрально-симметричном поле потенциал Ф = ^1^2//"*
Скорость v является функцией расстояния между зарядами г и
угла поворота 8:
V=l/ (-~ПГ) + ( Г-гг) .
т \ at I \ at I
Использовав законы сохранения момента количества
движения М и полной энергии W, получим
= /пг2-^т = const;
dr \2 , I
A)
B)
Исключив из выражений A) и B) время t, найдем
dQ== dr
r2 -I / 2m w 2m<7i<72 ~ '
V Al2 г Г-
После интегрирования
— o + arccos-^^-y—~j
или у = 1 + scos @—90)—уравнение конического сечения, где
8= V 1 Л —ъ—эксцентриситет; 0О—произвольная постоянная
455
интегрирования, связанная с начальным положением частицы;
p = M2/(mqlq2)— параметр конического сечения.
а) Если заряды qx и q2 имеют разные знаки, то W < 0 и
движение происходит по эллипсу.
б) Если заряды q1 и q2 одного знака, то W > 0 и движение
происходит по гиперболе.
27.11р. 1. Заряженные частицы в однородном магнитном поле
движутся по окружностям (рис. Р.27.3, а), радиусы которых
определяются условием равенства
центростремительной силы и силы
Лоренца: mv2/R = qvB.
Следовательно, R = mv/(qB). Центры
окружности О' для q > 0 и О" для
q < 0 лежат на оси у. Условие
отражения выполняется, если
R<d, т.е. при v = vmuX
I ?
2. Условие отражения не
зависит от знака заряда (рис. Р.27.3, а).
3. Если v= 10ymax, то R = 10dL
Угол отклонения (рис. Р.27.3,6)
после пролета частицей
«магнитной стенки» определим из
выражения a = arcsin(d/i?) » 1/10 рад, так как прималыха sina^a.
27.12р. 1. Движение заряженных частиц можно представить
как суперпозицию двух независимых движений: равномерного
перемещения вдоль силовых линий магнитного поля со скоростью
1^=1/cos a и равномерного вращения по окружности радиуса
R = qvj_/(mB) вокруг силовой линии, где t;± = t;sina. (В
совокупности оба движения приводят к перемещению частиц по
винтовым линиям.)
Так как время одного оборота частицы (период ее вращения)
Т = 2nR/v_L = 2nm/(qB), то шаг винтовой линии l=v „ T = -^ v cos a.
2. При малых a cosa« 1—a2/2 и, следовательно, все частицы
с одинаковыми q/m и v, испускаемые из точки О под малыми
углами а к силовым линиям, соберутся на той же линии на
расстоянии tott-^-v (разброс порядка ~а2/2).
Движение частиц вдоль силовой линии (а = 0) неустойчиво.
После любого малого возмущения, направленного
перпендикулярно магнитному полю, частица будет двигаться по винтовой
траектории вокруг силовой линии.
27.16р. Уравнение движения частицы в скрещенных полях
do
* * dv
Е и В /п-^т- =
в данном случае разбивается на два
456
dt*
d2z
dt*
qB
m
dz
dt
qB
m.
dy1
dt
уравнения:
Перейдя к системе координат, движущейся вдоль оси у с
постоянной скоростью v = E/By т. е. введя новую переменную уг =
= у—vt, из выражений A) и B) получим
C)
D)
В уравнениях C) и D) отсутствует ?. Это означает, что
в движущейся системе координат на частицу оказывает влияние
только однородное магнитое поле, под действием которого в
системе координат (г/j, z) она будет двигаться по окружности.
Результирующее движение частицы есть наложение вращения
в плоскости yOz и поступательного (дрейфового) движения со
скоростью v = E/B вдоль оси у. Через время 7\ равное одному
обороту (период вращения), частица пройдет вдоль оси у расстояние
l=vT и вновь пересечет ось у. Так как скорость дрейфа v = Е/В
и период T = 2nm/(qB) (см. задачу 27.12р) не зависят от
начальной скорости, все частицы с одинаковым отношением q/m попадут
в точку Oj, отстоящую от начала координат на расстоянии / =
= 2nmE/(qB2).
Направление дрейфа частиц при q > 0 и q < 0 одно и то же
(ср. с задачей 27.14), так как с изменением знака заряда
меняется и направление действия электрической силы.
27.18р. Характер траектории движения электрона зависит от
соотношения между электрическими и магнитными силами. Если
силовое действие магнитного поля в зоне движения электрона
мало по сравнению с действием электрического поля, то
вихревое поле Е заставит электрон двигаться по раскручивающейся
спирали. В противоположном случае электрон будет двигаться по
сжимающийся спирали к центру. Следовательно, при
определенных соотношениях между Е и В возможно движение по
окружности. Допустим, что эти соотношения выполняются. Тогда при
круговом движении
где R—радиус окружности.
При движении электрона по окружности изменение импульса
обусловлено электрическими силами: ™ ¦ =—qE\
457
Отсюда mdv = —^-йФ и, следовательно, то(t) =^^д
По условию, начальная скорость v@) и поток Ф@) равны
нулю.
Используя уравнение A), получим
где В (г) = ф(/)/(я?!2)—среднее значение.
Это условие означает, что электрон может вращаться по
круговой орбите, если поле B(t) на орбите в два раза меньше
среднего поля внутри нее.
Глава двадцать восьмая
28.1р. При у = оо электрическое поле Е* в системе координат,
-5»
связанной с движущейся со скоростью v плазмой, должно отсут-
ствовать, т. е. ?* = E + [vB] = 0 или Е= — [vB], где Е—поле
й
[]
в неподвижной системе координат.
Если v = vL-\-v^, где v±9 v{\—составляющие, перпендикуляр-
ные и параллельные полю В, то [vB] = [v+_B] и, следовательно,
?=—[у±В]. Отсюда [?5] = — [[ч;5]В}=у_1_5г. При преобразова-
ниях векторного произведения [[иВ]?] использовано известное
тождество [\АВ]С] = Ъ(СА) — А(ВС). В результате
где ?х—составляющая поля ?, перпендикулярная В. Соответ-
-> ->•
ственно \v±\ = \E\/B.
При 5= 1 Тл ?_!_= 1В/м, ух= 1 м/с.
Существенно, что электрическое поле Е± не вызывает
электрического тока, ибо и электроны, и ионы дрейфуют в одну и ту же
сторону и, следовательно, отсутствует их относительное движение.
28.3р. Согласно правилам векторного анализа,
rot \vB] = [V \vB]] = (BV)v—(p\)B+'v(yB) — B(Щ.
Так как div5-(V5} = 0, rot[uB] = -^-, a ^ = -g-_?v)B, то
^ -5^). A)
Из уравнения непрерывности сжимаемой жидкости -^- =
==—V(py), после аналогичных преобразований следует
divo=(v5=-|^-. B)
458
Подставив выражение B) в A), найдем
Уравнение C) показывает, что значение В/р меняется в
каждой точке пропорционально растяжению (сжатию)
соответствующей «жидкой» трубки. Если р = const (жидкость несжимаема), то
пропорционально растяжению (сжатию) меняется индукция В.
28.7р. 1. В условиях магнитостатики (v = 0), если силу
тяжести не учитывать, магнитная сила
га
Чтобы FM = 0(/? = const), необходимо выполнить условие
6 = 0;
rot 5 = 0, A)
либо 6 = |35;
rot 5 = C5, B)
где C = const (или J3—скалярная функция координат).
Условие A) относится, например, к однородному полю, для
—>
которого rot 5 = 0. Более общее условие B) физически означает,
что линии тока совпадают по направлению с магнитными
силовыми линиями.
Условие B) можно привести к виду
V25 + |325 = 0, C)
если учесть, что rotrot5 = graddiv5— V25; div? = 0; |3 = const.
2. Указанные в задаче поля удовлетворяют условию B).
Действительно,
г да
дВг dBz R
r r да dz
При дифференцировании учтено, что J'0(x) = — ^i(x); J[(x)=i
X
28ЛЗр. Уравнение движения (без учета силы тяжести):
)~df== —gradp+ [65J + pvV2^o A)
459
Так как внешнее электрическое поле отсутствует, то
0 = y{B(vB)—vB2} (см. задачу 28.1р).
По условию задачи, v = vj, где vx = vx (z) и vx (± d) = 0. 3a
счет растяжения магнитных силовых линий движущейся средой
появляется составляющая поля Вх. Таким образом, суммарное
поле В = УВ22 + В1, где BZ = BO.
В условиях стационарного течения (dv/dt = 0) для
составляющих по оси л: из A) следует
^ = .g«-^. B)
Учтено, что (vB) = vxBx; Bl = B2—B2x. Решение уравнения B):
= ±a=± у -^ —
где ^пр = (х)-~г; alf2 = ±a=± у -^ —корни характе-
\ 1 у Во Ь
ристического уравнения; ЛЬ2—постоянные интегрирования,
определяемые из условия vx\z=±d=i0.
Таким образом,
/ и z \
где M = ad= у ^-~d—число Гартмана.
При М^>1 практически во всей области скорость постоянна,
за исключением пристеночного слоя толщиной порядка d/M. При
М <^ 1 скорости распределены по параболическому закону.
28.14р. При р = 0; 6=^0 ? = рб = О и rot? = 0. При этом из
—> —>• —>
уравнения Максвелла rot? = — dB^/dt следует, что dBi/dt = O и
B/ = const, но не обязательно 5, = 0, где BL—поле внутри СП.
Таким образом, из условия р = 0 следует только «вморожен-
ность» магнитного поля в проводник, а не его отсутствие.
Поэтому Bi = 0 должно рассматриваться при построении теории как
дополнительное условие.
При этом равенство Bt = 0 относится к толще массивных
сверхпроводников, исключая тонкий слой (kL ^ 10" см) у поверхности
(скин-слой). По этой причине это равенство неприменимо для
малых частиц и тонких сверхпроводящих пленок, толщина
которых соизмерима с толщиной скин-слоя (Хг).
28.15р. а) Если бы в односвязном теле в отсутствие внешнего
поля поверхностные токи существовали, то во внешнем
пространстве они создали бы исчезающее на бесконечности магнитное поле
с потенциалом фм при граничном условии д<рм/дя = 0. Но такая
460
задача имеет решение фм = 0. (Она аналогична электростатической
задаче о поле, созданном незаряженным телом с в = &а-^ =
Таким образом, такого магнитного поля быть не может, а
следовательно, не могут существовать и поверхностные токи.
б) Вторая задача (сверхпроводящее кольцо) имеет
электрический аналог. Это поле, созданное двойным заряженным слоем.
Поэтому в двухсвязном теле поверхностные токи могут
существовать в отсутствие внешнего поля.
Ответы
Глава первая
1.2. [/=0,3.91 = 27,3 В. 1.3. По закону Ома, /=-
==-2,5 А,
1Т2
1.4. По закону Ома для участка' цепи, /а=?*"""%* '—= 12мА. По первому
закону Кирхгофа, / = /2— /1==2мА. Замена источника з.д. с. на источник
Рис. 0.1.1
тока приводит к схеме рис. 0.1.1, а, где / = 7,5мА; Я = 2кОм. 1.5. / =
^"дЬ —//?а-?-//?^ = 21мА. 1.7. /2 =—ЮмА; фда=65В. После замены
А2
источника э. д. с. на источник тока получИхМ схему рис. 0.1.1,6; / = ЗмА;
R = R2. 1.9. /2=15мА; /4 = 5мА;/6 = 0; /5 =—15мА; фЛ = 20В. 1.10.? = —1В.
1.11. /в —
5id _|_ D _|_ D
А4ТД5ТА6ТА7
/7 = — 1мА.
12 В /?
A__ /_
—1 МА, /4 —
1.12. Рис. 0.1.2; ?1==
5
Е2=
= 12 В; Z?i = 5kOm; #2 = 6к0м. 1.13. По
первому закону Кирхгофа следует составить
восемь уравнений, по второму закону—четыре.
Если учесть, что токи через резисторы R7 и
b R? и токи через резисторы i?e и Rl попарно
одинаковы, то по первому закону Кирхгофа
достаточно составить шесть уравнений, а по
второму — четыре. При составлении уравнений
по - второму закону Кирхгофа контуры следует
выбирать так, чтобы были охвачены все ветви
схемы, кроме ветвей с источниками тока. 1.16.
Рис. 0.1.3, а. 1.17. Рис. 0.1.3, б; Е1=Ю В;
?2 = 24 В; ? = 48,75 В; /i=l А; /2 = 0,25А;
/3= 1,25 А; а\=10 Ом; #2 = 24 Ом; #4 =
=Я5=Ю0м; #6 = 5Ом. 1.20.1) /1=1,25 —
—1,5/4; 2) /х = 1 —4/4. 1.21. ucd=4/3Jr+ \j3uab.
1.23. Потенциал точки О не равен потенциалу точки О'. Соединить эти точки
нельзя. 1.24. Rab = R*+n Х , Д+. п - 1.25. ЯвЬ = 0,9 Ом. 1.26. Rab=-2 Ом.
рис 012
462
1.27, *=1,5 0м. 1.29. а) Для схемы рис. 1.13, a
Чт+т)
= 2 ( •j+'Z j R== 1>5^;
для схемы рис. 1.13,6 Яй& = 2 (т + Т'^'б" ) ^ = "б"^; б^ ДЛЯ схемы рис* 1>13»в
10
20
Рис. 0.1.3
В перемычках de и eft и в аналогичных перемычках нижней части схемы про-
2
текают токи / = 0,25 А. 1.31. Яа& =
ряс? 45 45 4
4-45
1 , 1
2 1 2+я
1.33. ^п = 0,
= 0,0586 См;
ме /il) =
поставлен потому,
45 "" 85
= 0,0468См; ^о2 = 0,0937 См; ^з =
—14,45 мВ. 1.36. 1. В первом
режи= E'ig12, во втором l\l = —Е^12; l\l=—-E2g22 (знак минус
См; g19 = 0,0749См; ?1
з = 0,1614См. 1.35. Е1 =
l\l
что направление
тока /2), в третьем /}п=— E'ign
Е2 встречно положительному направлению
E2g12\ 12 =—E2g22 — ?igi2- Имея в виду,
Е2, найдем /1П = — 3-80 — 4-80=-— 560мА; /2И = — 4.96 —
2. /}V = —740мА; /2V = 0; /3V = —840мА. 1.37. gn =
-0,637 А. 1.39. Uab = l,6B; /2 = 2,2A; /3= 1,2 А. Источник
что hi = 6ti\ ?2 = 4
— 40-3 =—504 м А.
= 0,269 См; Д/2 = -
тока доставляет мощность 6,6 Вт, источники э. д. с.—40 Вт;
1.40. Число уравнений, которое
следует составить для схемы рис.
1.18,6 по методу узловых
потенциалов, такое же, что и число
уравнений этой схемы,
необходимых для решения методом
контурных токов, и равно двум. При
составлении уравнений по методу
узловых потенциалов для узлов Ь
и с не следует забывать слагаемых
с фд. В соответствии с
обозначениями на рис. 1.18,6 /х = 0,15 А;
/8= 1,845 А; /4 = 0,215 А; /5=1,78А; /в=1,63А. 1.41. Ответ дан для
рис. 1.19, а. Полагаем, что токи ветвей имеют те же индексы, что и
сопротивления ветвей. Тогда /i = 0,94A; /2 —0,54 А; /3 = 0,06 А; /4 = 0,46А;
/5 — 0,4 А. 1.43. а) Замена первой и второй ветвей схемы рис. 1.18, а
эквивалентной ветвью приводит к схеме рис. 0.1.4, а; б) замена второй и третьей
ветвей схемы рис. 1.18, а эквивалентной ветвью приводит к схеме рис. 0.1.4,6.
а)
Рис. 0.1.4
463
1.44. а) ?=10В; /?1/=50Ом; б) 7 = 0,2 А; Я = 50Ом. 1.45. VаЪ х= 15В;
#вх = 25Ом; /3 = 0,5А. 1.46. Для рис. 4.19, а /5= 1,2/B,4 + 0,6) = 0,4 А; для
рис. 1.19, б /5 = —0,8/B,4+0,6)=—0,267 А; для рис. 1.19,6 /б= 1,2/B,393+0,6)«
«6,4А; для рис. 1.19,г /5 = —0,8/2,993 = —0,267А. 1.49. a)Uabx = lB;
б) $вхаЬ=\ Ом; в) г] = 1/3 при Ян=0,5Ом;г] = 2/Зпри #н = 2Ом. 1.50. Э. д. с.
? = 0,5 В и направлена от точки Ь к точке а. 1.52. т] = 36/57. 1.54. gu =
-АЛ
— А/2
A/i
(/я+д/;)д/г
/2+а/2
1.56. * =
1
= 0,5
— Re—х> Ян i укор :
; ?н1исх :
u 6H1 укор*
1.58. Уравнения по первому закону Кирхгофа [Л] [1в]т = 0:
Ветви
Узлы 12 3 4 5 6 7 8
1 г__1 0 0 0 10 0 —1-1
2 0 10 0—1 1 0 0 г/ , , г , г г , лТ
3 0 0 1 0 0—1 1 0 yi^hUhhhhl
4 L 0 0 0 —1 0 0—1 1J
Уравнения по второму закону Кирхгофа [Кт]
Ветви
4 5 6 7 8
Контуры
1 2 3
5 г 1 1 0 0 10 0 0-1
6 0—1 1 00100 г/пм//мпп/ гг лТ Л
7 0 0 1 1 0 0 10 1 iuiu*u*u*u6u*UiUs\ =°-
8 L—1 0 0 1 О О О 1J
8
1.59. В соответствии с формулой
Контуры
5
Ветви
3 4 5 6
5 г 1 1 0 0 10
6 0—1 1 0 0 1
7 0 0—1—100
8 L—1 0 0 10 0
[
1 1
0—1
0 0
1 0
0
1
—1
0
OlOOO
0 0
—1
1
10
001
0 0 0
O-i
0
0
lJ
ч
Rb
R*
0
О
О
О
rR
О
—1
1
1
О
1
о
о
о
о
I
—1
о
о
1
о
-П
о
о
1
о
о
о
1
Rs
Ri
R»
1
г о ~\л
0
0
0
0
j&
0
Rsj L—^s j
1.60. В соответствии с общей формулой [Л] [gB
имеем
Узлы
1
2
3
4
Ветви
4 5
6 7 8
г—1 0 0 0 10 0 —In
0 10 0—1 1 О О
0 0 1 0 0—1 1 О
L о о о —1 о о—1 lJ
ёь
#7
ПГ—1
0
0
0
1
0
0
L-1
0
1
0
0
—1
1
0
0
0
0
1
0
0
—1
1
0
on
0
0
—1
0
0
—1
X
464
-—10 0 0 1
IP—I и и и i и и
I 0 10 0—1 1 0
— 0 0 1 0 0—1 1
L о о о — 1 о о—1
(Г О
о
о
о
о
о6
rgi
?2
g4
?5
о -п
о
о
о
о!
gsJL О _
110 0-
[1 1 и u-i
o~o-i _? ; Wrl =
—1 О О lJ
ю
Рис. 0.1.5
Рис. 0.1.6
1.62. Граф изображен на рис. 0.1.5. 1.63. Граф показан на рис. 0.1.6.
Матрица главных контуров
-1—10 0 0 10 0 0 0-
1—10 1 0 0 10 0 0
0—11 0 000100
О 00—1—100010
L0 0 1—1—10 0 0 0 1.
Глава вторая
. 2.5. а) М^^ф-(^ -J-W
? \ JK A? /
2.4. ?=-
б)М2 = я.10-10со8 1000/Гн. 2.7. е=-^^1 В. 2.8. Рис. 0.2.1, а, б. 2.9. е =
— wwabB sin©/ В. 2.10. а) е1 = 0,4В; э. д. с. направлена по часовой стрелке;
б) е2 — —0,2 В; э. д. с. направлена против часовой стрелки. 2.11. а) е = —пяг =
-7 Гн;
= _я. Ю-6 cos 2000/В. 2.12. F^ = 2.10H. 2.13. а) Провода Л, С (В, D);
Fmin = 0,33-10- *Н; б) провода Л, В (CD); Fmax= 1,66-10-* Н. 2.14. F ==0,01 Н;
п = 500об/мин; E=Uao. 2.15. M = F6 = 5,25.10-5 Н-м. 2.16. 1Г=5,12.10-3Дж.
2.17. Wu = 0,51x7? + 0,5La/l + Af/i/a= 1,15 Дж. 2.18. ^ = 2Гм//2
Б
2.20. 1^м = /ср5^Я^ = 3.10-2Дж. 2.22. U=
= 2-104В; ^=
465
и
\idt
C=q/U=eaES/Ed=eaS/d=7l пкФ. 2.23. C=^==2—==-
<7 = \ idt подсчитывается графически. 2.24. i=-?-=-— (CU) = С —— =
J at at at
=2 cos 1(ША. 2.25. a) W3=^2/2C=:1,42-10~2 Дж; б) WQ=CU2/2=0tb-l0~2 Дж.
2.26. Емкость двух конденсаторов С2==21^э/?/2 = 2.1/106 = 2.10~6 Ф = 2 мкФ;
C/U (CU + CU)/U = 2C; C = CS/2 = 1 мкФ.
30
10
¦ П. Г
h
Рис. О.ЗЛ
Рис. 0.3.2
Глава третья
3.1. /т = 5/А;
= 314с-1. 3.5. L =
i
; /=2e-'71°30' А;
3.6. ср = 41°. 3.7. С = 26,5мкФ; ZBX = D,3+/2,88) Ом; Гвх = @,16-/0,107) См.
ДГ I .1 X
(О/ /0J
Рис. 0.3.3
3.8. 7вх = 0,0224е""/63°30'См; ZBX = 44,6e/63°3°r Ом; w = 63sin (со^ + 63°30') В;
i\ = 0,63 sin(o)/+63°30') A; ia= 1,26 sin И-2бо30') А. 3.9. Z=7,65-/38,5Om;
э' А- /о = 2,82е"";4б° А; р' = 2,5*10~3См; Ь = 4,32«10~3См.
466
3.11. /i=3,35e/45°A; /2=2,36e/90° A; /=2,36 A; cprf = O; <pc=<p,
ф^ = cp^-.-}-/^ (—jXc} = 47,2 — /23,6 В; ф# = фб~т~ /i#i = 70,8 В. Рис
3.13. 72 = 7A;78=5A. 3.14. Zi=25 + /43,2 Ом; Z2 = 43,2 + /25 Ом; Z3=—
Zbx = 68 + /18,3Om. Рис. 0.3.2. 3.15. /1=1A; /2=1,41A; UL =
3.18. а) С=120мкФ; б) С = 75мкФ. 3.19.
Увеличить в 1,78 раза. 3.20. /i = 2A; /
/2=1 А; 73=1,73А; (/!=С/2=86,5В;
P=Re [?7i] = /|/? = 150 Вт; Q = Im [EI^
^== /^у\/ ~~~У2-^*-с ""^ ' вар. о.?it d 1 •—
= 100 В; ?2 = /50В; /2 = 7,07е-'46° А;
Л; Л"с = 5Ом;/? = ЮОм.
[?/от„/2] = 630 Вт, где
1Ъ 3.25. Для а) и б)
). 3.27. ©0^= Ю6 Ом;
! = 2",82Ом." .8. ,R = 16,5Om; L =
=26,3 мГн. 3.29. / = 0,0216 А; У^ = 2,6В;
/7С = 3,9В; [// = 15,6 В. 3.30. /? = 100 Ом;
L=10 мГн; 'С=Ю0пФ. 3.31. ш0 =
= 500 с-1; 3.32. ©0=433С-1. 3.33. /^З.Збе26030'А; 72=/1,5 А; Хс=
Xjt=2,67 0m; /?2 = 5,34Ом. 3.34. (от = 500с~1; сон^=707с-1; /3
/2=:_20А; /3 = 40 А. 3.36. Рис. 0.33, а для схем рис. 3.22, а, г и рис.
B;
. 0.3.1.
/50 Ом;
3.22.
Vтп =
QQ
Рис. 0.3.4
13,3 0м;
0.3.3,6
L1
\ЬK/Щ СО
Рис. 0.3.5
для схем рис. 3.2.2, б, в. 3.37. Рис. 0.3.4. 3.38. Рис. 0.3.5, а, б. 3.40. и2 =
= /,лсо(М21 — Mis) cos со/ В. 3.41. ?>2= 10,9 Ом. 3.42. Z—jS Ом; /2 = 2 А; ?1=7 А;
[/1 = 61,8е/55°3°/В. 3.44. /1 = /Ю,2А; /2 = 20 —/10,2 А; /3= 14 —/7,14 А;
/4 = 6 —/3,06 A; 6/etf =
3.45. Рис. 0.3.6.
Рис. 0.3.6
Р2=1 32 Вт;72/?2=(/дЬ/2 cos (С
+/хХж/2 cos (lijXM; /2), т. е. 296
Вт« 163+132 Вт. 3.47. Одноименные
зажимы: *—/—2', 0—1—3'\ &—2'—3.
3.48. С=1/со2 (L1 + L2 + 2A1). 3.49.
/С = 0,52. 3.50. С = 4 мкФ; 7i = 5 Л;
/2=2,5 А. 3.54. Условие равновесия
схемы (после преобразования треугольника в звезду): (#х+/со^х)
откуда Lx = CQ-~
467
/?j=ij?».. 3.55. '»=12,6e.-/iw'A. 8.56. Z, = -
/2 = 3,25e/173'>A; /3 = 5,62e'79°A; ;4 = 25,2e'26°A;
?=130e'e7°30' B. 3.57. h= 16 е"'113" A; ?2= П.Зе"'"* A;
3.58. Оц=}—. 3.59. Рис. 0.3.7. 3.60. Рис. 0.3.8.
О
A = 6,72e'63°A;
= 22Fe'12°*0' A;
= 14,3e/e3°30' A.
Рис. 0.3.7
Глава четвертая
= А 2
923
Рис. 0.3.S
¦}¦
A)
17.
; B)
D);
; C)
; E)
4.3. Zn = -
; Z12=221 = - jXc Ом; Z22=(R - jXc) Ом; Yu =
F)
См;
R—]Хс ' —jXc
= ^~J c ; B12=R Ом; 521 = —— См; B22=l. 4.4. Для рис. 4.3, а Л-па-
раметры: Лц =
Z-параметры: Zi1 =
ZZHZZ+Z
; A12 = Z!
3
= Z2i = Z3; Z22 = Z2-\-.Zs; Я-параметры: Яи =
= — ti21=•=——=-; n22=7 . „ . Для рис. 4.3,6
^2 + Z3 ' _ . _ _ . _
7 1 1 Z Z
Л-параметры: Лп=1+-~; X12-=Z4; Л21=-7-+-у-+-7-|"; Л22=1+-^;
параметры: Zu= 4 ,
^4 + ^5 + ^6
^4 + ^5 + ^6 ' ^4 + 26 + Ze *
468
Я-параметры:
А21 = -7ТГ— ; ^22=
^ '. 4.8. Z1X = 10 + /60 Ом; Z2t = — Z12 = /30 Ом; Z22 = — (8 + /40) Ом.
/ЛЛ1
4.9. У11 = К22=г//60 Ом; Fi2~У21^//30 См. 4.10. Z-параметры определяют из
основного уравнения четырехполюсника, решенного относительно Ui и U2 с
учетом знака у /2:Z1:l = Лц/Л2ь ZI2 — | Л |/Л21; Z2\=\j A2\\ Z22 — Л22/'Л21, где
IA I А А А А 1 ?¦/ nonORfOTHLT f~J 2л I Л * Г1 - I Л I / Л * f~l
/Л I — -'*11'**22 ~"~~ ¦'*12<^*2L — • 1 d |J dlvic i jjoi. ^^Ц — ^*1 2/ ^*22' *12 — | ** 1/^*221 ^^21 ~~
— —1/Л22; H22 = A2ilA22. В-параметры: Бц = Л22/|Л|; В12 — Л12/|Л|; В21 —
= Л2]/|Л|; В22= Ап/\А\. 5/ц-параметры: Ки = Л22/Л12; К12 = —| Л |/Л12;
л ,л л ** л л Т / ZuZlK
22^=^11/^12- 4.11. Л-параметры: Лп= I/ -—-j— , или
^ ** • /А ^^_ /I / • /V ___ /I / ^» • /\ ., /I / f f |™т о f^ О Т1ДЛ T^f^T Т •
_ » '«*12 — -**11<^/2к> '*21 — **11/х> •**22 — •'*12/^1к* Сл'\\<Х UdMC 1 РЫ«
Zn = Zlx; Z12 = Z21 = VZ2X (Zlx — ZlK); Z22 = Z2x. Я-параметры: Hn = ZlR;
Я1а = —^21 = Vr(Zlx-ZlK)/Z2x; tf22=l/Z2x. 4.12. Zix = —/IOOOm; ZlK =
= 50 —/50Ом; Z2x= 100 —/100 0м; Z2k = 100Om. Л-параметры: Лп=-1; Л12 =
— 100Ом; Л21 =/0,01 См; Л22=1+/; Z-параметры: Zn-= —/100Ом; Z12----:Z21 =
= — /100 Ом; Z22= 100 —/100Ом; Я-параметры: Яи = 50 — /50 Ом; Я12 =
= —Я21 = 0,5—/0,5; Я22 = 0,0054-/0,005 См. Zcl-70,7e-/67°30'Ом; Z6,2 ==
= 119е-/22°30/Ом. 4.13. Zix = Z2x=--5 + /5Om; Z1k=Z2k = 10 + /10 Ом.
Л-параметры: Ац~ А22 = —/; Л12=10 — /10 Ом; Л21 = — 0,1—/0,1 См; Z-параметры:
Zu = Z22 = 5 + /5Om; Z12 = Zoi=--—5 + /5Om. Zc = Юе/45°Ом. g = 0,88 —/90°.
4.14. Лп = Л22-=0; Л12 —/500Ом; Л21 =/0,002 См. 4.15. Для Т-схемы Zx =
= (Л— 1)/С; Z2 = (D—1)/C; Z8=l/C; для П-схемы Z4-B; Z3 = B/(D—1);
Z6-=--B/(A—\). 4.16. Для Т-схемы Zi = Z2 = —/40Ом; Z8 = 80Om; для П-схемы
Z4 = — /60 Ом; Z6=-Ze = /120 Ом. 4.17. Z4 = /30Om; Z5 = Zq = — /20 Ом.
4.18. Для Т-схемы Zi = Zu — Z21; Z2 — Z22—-Z2u Z3= Z2i; для П-схемы Z4 =
= \Z1xZ22 — Z2i)/Z21; Z5 = \Z\\Z22 — Zi1)/(Z22 — Z2i); ZQ=(ZuZ22 — Z21j!(Z11 — Z2i).
4.19. Z1 = /?i + /(X1 —X^) = 10 + /30Om; Z2 = R2 + j (X2-XM) = 8 + / 10 Ом;
Z8 =•/*« =/30 Ом. 4.20. Zi = —/20Om;Z2 = —/20Om;Z3 = /40Om. 4.21. Zx=
= Z2 = 50Om; Zs = 385 0m. 4.23. Для рис. 4.9, a
Г2+/ 10 + /10] Г1 101 Г2 + / 30 + /20].
1/0,2 / J [0 1J — I /0,2 /3 J>
для рис. 4.9, б
Г 1 0-1Г1+/ 10 + /201Г1+/ 10 + /201
L/o,i ij L 0,1 2 J-L/0,1 / J-
4.24. Четырехполюсник на рис. 4.10,6.
/n П21_Г//30
/J~L/15
ii
У21 Y
Zn Z12-| _ rZ4 . rzn _ Г10 — / 90 5-/90
U ZJ-[/J + [ZJ-L 5-/90 110—/90
ц Я1
д 97
4.29. Z3 = — jVRJR~B = — jVzTb^ — /9Om; Z1 = Z2 = + /9Om, t. e.
в продольные ветви Т-схемы следует включить дополнительные индуктивные
сопротивления ^доп^З Ом; ^2ДОп=3 Ом. 4.30. Z2aon=/ 20 Ом; Z^R0T]=~/60 Ом,
Сопротивление RH определим из равенства Z1=j(X1—XM)=j\/r {Нх-j-R^ (/^-j-/?^
469
откуда 7?н = 67Ом. 4.32. n=I/6; Zaon = — / 46 Ом. 4.34. Для схемы рис. 4.15,а
для схемы рис. 4.15,6
для схемы рис. 4.15, в
для схемы рис. 4.15, г
^>11 = Г° о"| ГЛ 1.
/2 J [ki o\[u2y
Л 1 Го oir^l
4.36. ZBX = <
20e''d5°
= 2. 4.43. a) /a =
20e/45
(линейная диаграмма); б) /2 =
= / 100 В; Отпк = 0; if> = —150°;
^nmax==200B.4.45./lx = 10e-/45°A; IlK = 3l,Se-fl*> А;*ф = --90о; d = 160мкФ;
С2=17,7мкФ. 4.46. /lx==_—10A; ОаЬх = 200В; /1к = 15,8 e-/108°30'A; UabK =
=212е/45° В; Z2BX = 10]Л 2е/4&° Ом; ^ = —45°.
Глава пятая
5.3. Рис. 5.4, а, б—ФНЧссос = 1/1/"ГС; рис. 5.4,6. г — ФВЧссос = 1/>Л1с;
рис. 5.5, а, б— ППФ; рис. 5.5, в, г—ПЗФ. Для рис. 5.5, а —г частоты среза
определяются выражениями A) решения 5.2р. 5.4. C0i= l/]/rL1Ci = 2,5.104 рад/с;
я>2= V^C1 + C2IV(L\ + L2) CiC'2 = ' .— • 104 рад/с. Если Li, Ci и L2, C2 поменять
V
местами, то полоса прозрачности будет ограничена частотами сох =
• = 5-104 рад/с. 5.8. К типу k
.0,5
1 2 J 4(о>10*рад/с
а)
ш-fO^pad/c
Рис. 0.5.1
не принадлежат схемы рис. 5.2, д, е и 5.6. Для остальных схем fc =
5.12. Заданные симметричные фильтры расщепляются на полузвенья,
рассмотренные в задаче 5.11р. Поэтому а (со) = 2а1 (со), Ь (co)==26i (со), где ах и bt —
коэффициенты затухания и фазы одного полузвена (см. рис. Р.5.7, Р.5.11, а).
Характеристические сопротивления Т-схем совпадают с характеристическими
сопротивлениями ZT составляющего полузвена, а характеристические
сопротивления П-схем—с Zn полузвена (см. рис. Р. 5.8, Р. 5.11, б). Зависимости К и (со) =
— е-а(ы) приведены на рис. 0.5.1, а, б (рис. 0.5.1, а для ФВЧ, рис. 0.5.1,6
470
для ПФ). 5.13. сос = 2,04.104 рад/с. 5.14. п^З. 5.15. а = 5,27Нп. 5.16. Полоса
прозрачности ограничена частотами сог—со2:со2 =0,5ш0 (—У L2\Li + VL2/L1-{*4)\
ю2 = 0.5(о0 (+]/"L2/L1+]/"L2/L1-[-4). Ширина полосы прозрачности Доо—со2—coi=
= l/V"LlC~2\ ZT(u)o)^Zn(©o)-=^=^77c = VrWCi. 5.17. ^1 =
12=1.10-3Гн; Сх = 0,4 r
; С2 = 8-10-6Ф. 5Л8. ©i=-O,5
1772); а Л/^Lis +4+ V^/L2)\Z-i (cih) = Zr (а>2) = 0; Zi |@==0 -
= Z[ |(о=оо=^ =/Li/C2; Zn (coi) = Zu (co2) = oo; Zn|co=o =--Zn|(o=oo = &.
Характер Zr в полосе затухания coi — co2: в интервале coi—coo — индуктивный; в
интервале соо—-ш2 — емкостный. Характер Zn противоположен характеру Zj.
5.19. Полузвенья включены по П-схсме; Ci = 8«10~6O; Li= Ы0"Ги; С2 =
==0,4. Ю-6 Ф; Z2=20-10-yrH.
со,
а,
ь,
рад/с
Нп
град
0,75.
0
97
104
6
1,Ы04
5,23
+180
©0=1,П8.104
00
0
1,2.10*
2,06
—180
1,5.10*
0
—44
5.22. Схема m-полузвена дана на рис. 0.5.2, a: Lim=3- 10~3Гн; L2w=5,33- 10~3Гн;
^2дг = 0,3.10-6Ф. Зависимости Zam (©) и Zn (со) представлены на рис. 0.5.2,6,
1,0 м
/00-л V^-
V,2
а)
4 и-/0*рай/с
Рис. 0.5.2
5.23. Зависимости Zum (©) при т = 0,4; 0,8 даны пунктирными кривыми на
рис. 0.5.2,6, а при т = 0,6 —сплошной кривой. Для обеспечения меньшей
зависимости Znm (со) в полосе прозрачности следует взять /п —0,6. 5.25. Схема
о
о
Z//77
О
—О
4 со;/О4, рад/с
Рис. 0.5.3
m-полузвена приведена на рис. 0.5.3, a; Llm = 4,69. Ю-3 Гн; С1яг = 0,833-10~6 Ф;
L2m — 8,33« 10~3 Гн. Зависимости Zjm (со) и Zt (со) даны на рис. 0.5.3,6.
5.27. Схема фильтра дана на рис. 0.5.4, а, зависимость а (со) = 2а# (со) -\-2ат (со)—
471
на рис. Р.5.13 (пунктирная кривая). 5.28. Рис. 0.5.4,6. 5.29. Схема т-полу-
звена приведена на рис. 0.5.4, в. При т = 0,6 Llm == ml = 3• 10~3 Гн; С1т = С/ш=
fi QQQ 1П —6rf>. Г Г с: 9Я. 1П —3 Гтт. /°
= U,ooo*lU Ф, ^2/тг — *-* о,<?О« iu 1 н, ^2т
i—m2
?з« = ?/т = 8,33.10-3Гн;С3л=Ст=0,3.10-6Ф. 5.30. Схема ипараметры после-
довательно-производного комбинированного фильтра приведены на рис. 0.5.5, а,
схема и параметры параллельно-производного комбинированного фильтра — на
рис. 0.5.5,6.5.32. Я (Ji)= 1
где щ_
= A+/?//?н) ©о» При уменьшении /?н частота среза увеличивается: 5.33. о>с
Т2С I ' Л _*.
Рис. 0.5.5
1
RC
f R \
\ ^"*""Р~") " ^И Уменьшении ^н от °° Д° 20 кОм полоса задерживания
расширяется от со0=103 рад/с до 1,5соо= 1,5«103 рад/с. 5.35. Q9K = l/(m + 2);
Ал: = т + 2. 5.36. Нули передаточной функции фильтра комплексно сопряжены
при т < 1; с уменьшением /я они располагаются ближе к мнимой оси.
АЧХ фильтра Н[ ^Г)=^Н {х)=^у / ~~Х %о_ ^ч9— достигает мини-
472
при х=\ (со = соо), где coQ= ^_ —^г - Для умень-
у
т
мума /
шения уровня Ят1П(приближения нулей передаточной функции к мнимой оси)
значение т необходимо уменьшать. При т —> 0, НтЫ —> 0, однако при этом соо —> оо,
что соответствует ФНЧ. Следовательно, неограниченное приближение нулей
передаточной функции данной схемы к мнимой оси невозможно. На рис. 0.5.6
HCu)/cjff)
1
0,5
1 2
Рис. 0.5.6
J х=
1 2 J 4 x=
Рис. 0.5.7
приведены АЧХ для ряда значений т. 5.37. Ям(р) =
График Ям
, где
дан на
.2
рис. 0.5.7. 5.38. См. ответ к задаче 5.37. 5.40. К(р)=—-
где соо = }^~2/(RC) = 1000 рад/с. График соответствующей АЧХ дан на рис. 0.5.8.
к
2/2
1
°
{ i
i
I
i i
Рис.
2 J Ь)/пH
0.5.8
и
Л
с
Рис. 0.5.
"
I J
9
3co/o)Q
5.45. В качестве четырехполюсника Л выбираем двухзвенный ФВЧ по схеме г)
табл. Р. 5.5. Параметры элементов: С1 = С2 = 2,5Л0-6 Ф; #1 = 50}/Г~2 кОм;
резистор R2 не оказывает влияния на работу схемы и может быть исключен.
5.46. К(р)= 2_|_и /(рс)]2' (п°лосно-пропускающий фильтр). 5.48. К (р) =
R& 1 Ra о
с2 Ui ^+/?
где о)о =
1
*= 500 рад/с; а = У 2, RjR1 = l; К (со) = . (ФНЧ с частотой
У 1 + (со/со0L
среза соо = 500рад/с, /0^79Гц). График /((со) дан на рис. 0.5.9. 5.49. /((/?)=
473
(Сг/С4) р*
рЧ
- [ФВЧ с частотой среза о0 =
= 20 рад/с].
Глава шестая
6.1. а) РХ = Р2 = 25 Вт; б) Pi = 25 Вт; Р2 = 0; в) Р1 = Р2 = 75 Вт.
6.2. а) /ф = 10А; /Л = 17,ЗА; ?/ф = 220В; Рх= 1900 Вт; Р2 = 3800 Вт; б) UAB=
ООП R • I / 71 1 1Л R • / 1Л д , т г г « t г т ii~ л
/с = 0; >1 = 2850Вт(;'4Р2 = 0; в) U*AB = Ubc = UcA = 220B; ' /лв=~7Сл = /в =1
= /с=10А; /вс = 0; /Л=17,ЗА; Рх = Р2 = 1,9 кВт. 6.3. С=127мкФГ f/нф =
= 2O2еу8в»35'А. /Л = 4Oе-'63О25';/В = 4>7е/176035' А; Ус = 4>7е'56^35' А; /лв=0;
hc = -fa: 1ca = U\ (>л'В'=183е'30оВ; {/в-с= 183е~/9°°В; 0с>А> =
= 183е/150°В. 6.6. Р1 = 0,21кВт; Р2=1,59кВт; Р=1,8кВт; Q=2,4KBap;
S = 3kB-A. 6.7. 2==11,5е"/30°Ом. 6.9. UAB = 220B; ?>вс = — /380В; UCA =
= 440е''120°В; /лв = 22е-/з0°А; 1ВС = 38е~'120°А; /сл = 44е/9°° A; j'A =
/в = 40е^1в2°45'A; /c = 79,2e7S°5'А. 6.11. Клв = 0,315е-/85°См;
|2°См; /Л = 122,5е-/62°А; /В=122,5е-/172°А; /с=122Mе/'68° А.'
Л1. Ул = 1с>е/ А; /д = Ь,ое A, /c = i6eJ А; /0=Пе ' А;
6.13. а) (>О'О=19,2В; /Л=18,2А; /Б = 20,8А; /С = 39А; б) /л = 20А; IB J
= 22А; /С = 36А; /ою = 5,9А. 6.15. /л = 15,4е"/38°А; ^=16,5е~/163° А;
/с=15е/74°30/ А; 6.16. /1 =—17,3 А; /2=33,5е^75° А; 4=33,5е/7б? А; /4=17,ЗА-]
= 346В. a) /OiO = 17,ЗА; б) /OiO2= 10A. 6.17. Я = 20Ом; ^ = 5,5Ом;
«. 6.19. /л = /л>С'=5,38е-/81°20/ А; 1в = 1в>с = 6,26е~/153°10' А-
°31/А; 1/л^=131е^28О40'В; Ов>с - 176е-/108°10/ В; Uc>A' =
+1
ЛИС
90°
Г90*
Рис, O.6.I
= 238е/104031'В.6.21./л=10е^118°40/ А; /Б=9,14е-/54°30' А; ?с=16,2;
?/у=48В. 6.23. Круговая диаграмма смещения нейтрали приведена на
рис. 0.6.1, а, а круговая диаграмма тока /л —на рис. 0.6.1, б; 0Ао* = 132 е/41° В;
474
tfBO,= -50B; I7c0'=180e/10G°B; /л = 4,4е-/49° A. 6.24. (/O'Ox = 42,7e/lG4 B;
il:= 109°. 6.26. /Л = 57е-/55°45'А; /д= 18,9е/12Э°30' А; /c = 38,4e/l21°30' А.
6.27. JB = — j 34,7 к; /C-/34,7A; UA>o> =140B; иво>=-203ечптъ'В;
OCO> = 203 e/ll0°15' В; 1/л,в=284е/42°10' В; 1/дс=-/380В; </сл'=284е/137°Б0' В;
' 4 = 5,4е~;'32° А* //? = 5,4е~/1180^'
6.29. При ил = Ю0В
ic= 12,51 с/'5»0 А; /^ = 9,2 е/'1»0 А. 6.31. Во^-^т
2
С0Вв==с°сети'
Глава седьмая
6.32.
0 = 6.10-4Тл;
Глава седьмая
7.1. Для рис. 7.1, а: а) нечетные синусоиды; б) U = Umaxy 1—~
(при а = 0 6' = /Утах; при а = я/0 /7 =0,882t/max; при а = я/2 (/ = 0,5ioiyma
?/Ср = 0; в) при а = 0 ^У = 0,965{Утах; при а = л/6 б7 = 0,882 итлх; при а^=я/2
fy = 0,578i/max. Для рис. 7.1, б\ а) постоянная составляющая и нечетные
синусоиды; б) U = Um2ixlV~ 2\ Ucv=Umax/2',B) ?/ = 0,682?/max. Для рис. 7.1, в:
а) постоянная составляющая и косинусоиды; б) U — 0,5UmdX\ Ucv =
I,
I max -"
It
0 и2ьKиш
а)
псо
О CJ 2СОЗп)Ш ЛЬ)
5)
Рис. 0.7.1
О а
па
В)
в) и = 0144Ъитах. Для рис. 7.1, г: а) постоянная составляющая и косинусоиды;
б) ?/ = 0,707?Утах; i/cp = 0,636t/max; в) ?/ = 0,705(Утач. 7.3. Для рис. 7.2. б
м==2-!^( sin©* — — sin2©/+ 4- sin3co/+. .Л (рис. О. 7.1. а); а) для рис.7.2,в
ЗХ \ Z о У
^i С 4 i2^ + 4i3^— .. Л (рис. 0.7.1, б); для
J
рис. 7.2, г ^-^^-^^
7.5. а) Для рис. 7.3, a / = 0,632A; для
рис. 7.3,6 / = 0,652А; для рис. 7.3, в
/ = 1,46А; б) для рис. 7.3, а /0 = 0;
/ =0,2А;для рис. 7.3.6 /0 = 0,15А,
025А; для рис 7 3 в /0533А
(рис. 0.7.1,в).
20
<J0°/
58"
/~p M=0,25A; для рис. 7 3, в /0=0,533А;
/Cp м = 0,533А; в) /ср = 0,2А; г) для
рис. 7.3, а А?ф = 3,16; Ага = 3,164; для
рис. 7.3,6 ^ф = 2,608; ^4 = 3,07; для
рис. 7.3, в /гф = 2,74; 4 = 2,74. 7.6.
1@ = 14,1 sin A03/ + 45°L-9,7sinBx
ХЮ3/+ 166°) + 4,7 sin C.103^ — 45е) А;
/ = 12,5 А; «^=141 sin A0^4-45°)-J-
+ 97sinB-10J/ + 166°)-l-47sin C-103/—
— 45:)В; UR=\2bB; uL (t) =- 71 sin A03/+ 135е) +97 sin B-
+ 71 sin C-103/ + 45°) В; ч Ur = 98,5 B; tic (t) = 212
10
0
40
\
ш
Рис. 0.7.2
sin
- 104°) +
A03^
475
__45°) + 75 sin B-10»/ + 76°) + 23,5 sin C-103/ — 135°) В; Uc= 170 В;
P=1580 Вт; Q = 1230 вар; S = 2060 В-А. 7.8. ивых (/) = 0,955 sin A О6/ — 90°)+
+ 0,59sinB-106/—146°20') В; ?/вых = 0,794 В. 7.9. ^(/) = 10+10sin (со/ —
20
О
-20
-60
/
/
—
T/
\
\
\
>
/
i
Ц
2
1
О
-1
-2
/
0/
\
0tL
/
t,C
Рис. 0.7.3
— 30°)+ 2,24 sin B©/— 116°35')A; 7L=12,3A. График ^ = /(©/) показан на
рис. 0.7.2. 7.13. МО = 50 + 30 sin A000/ — 60°)+ 100 sin E000/ — 90°) мА; /а(/)=
= 50 мА; 7^i = 89 мА; 1Л2 = Ь0 мА; Pw = 0,25 Вт. 7.14. ix (/) = 0,562 sin 3000/ +
+ 0,333 sin (9000/—135°) A; i2 (/) = 0,062 sin C000/— 180°)+ 0,333 sin (9000/ +
+ 45°) A; /8 @ = 0,5 sin 3000/A; 7^ = 0,46 А; 7Лг = 0,243 А; 7_Лз = 0,354 A;
UVl = l08B; i/y2 = 35,4 В; Р^=12,5Вт. 7.15. uc (/) = 100 У2 sin A000/ +
+ 75°) + 200 sin B000/ — 135°) В; V „=
= 173 В; P^ = 500 Вт. 7.16. итп (/) =
= 42 sin (©/+ 92°44') + 44 sin B©/ —
= 177°24') В; Цтп = 43 В;Р^=9Вт.
7.18. Uv=24,2 В; 7^=1,73 А. 7.19
Рис. 0.7.3, а. 7.21. Рис. _О.7.3, б.
7.22. UVt = 50 В; UVi = 40 ]/ В. 7.2з!
+
Рис. 0.7.4
7.25.
-Г' 'iCA = 2,42 sin (©/ + ПО')
+0,48 sin Eco/ — ПО') А; 1в = 1вс^
= 3 sin (©/ — 72°) + 0,77 sin E©/ + 72°)
A; rc=5,lsin (©/+135°)+l,02sin E©/—
— 135°) А. 7.26. f/v=14,2 В; 7Л=
= 8,5 А._7.27. Uv = 47,8 В;_ 7^1 = 26,2 А; 7^2=-_1,17 А. 7.28. uBC(t) =
= 100 /sin (©/ — 90°) + 30/*3sin E©/ + 45°) + 20 У 3 sin G©/ —30°) В. 7.29.
iB @ = 30 sin (©/+150°) +12 sin E©/ + 30°) А; 7^ = 22,9 А. 7.31. /(/) =
= 0,448 sin A04/ + 26°30') sin 10е/ А. 7.32. Рис.
(/ = 2,14 В.
7.33. 7 = 0,075 A;
Глава восьмая
8.1. ис@+) = 100В;
-0,1 А; ис (/)= ЮОе0*' В; /с(/) = -0,1х
= 0,5.10-3 Дж. 8.2. 1. а) ис (/) = 100A —
— е"-108ОВ; i@ = 0,2e-03^A; б) ис(/)=100В; /@ = 0; в) «с(/)=100 —
— 200е-103/В; / (/) = 0,4е~103/ А. 2. а) «с (/)= lOOsin 103/ В; /(/) = 0,2х
Xcosl03/A; б) «c(/)=100sinl03/+10Oe"lo3/B; t@ = °»2cosl03/ — 0,2e"03/A;
B)wc(/)=100sinl03/— 100e-103^B;/(/)=0,2cos 103/+0,2e"-10^ A. 8.3. а) ис@=
^ 0/ 00^ 100^
; ix = — 0,1— 0,2
)с@
; /2 = —0,1+0,2е~100/А; /3 =
476
= —0,4е~100'А; в) ис @ = —Ю0 + ЮОе"00' В; f1 = — 0,1— O.le"00' A; i2 =
=- — O.l+O.le00' А; /8 = —0,2е00< А. 8.4. a) wc @ = 75 — 75е~10^ В;
/с@-0,05е-108/ А; б) ис (t) = 90-60e"940/f В; «с @ = 0,0375е-940' А.
с ()
8.5. 1) ыс@ = 20 — 20е-100^В;
2) wc @ = 20 sin A00* — 90°)+20е
00'
-100^
мА; ic (t) -е
00'
е-100/
мА;
мА;
*cW = l sin 100/ —e"
Хе
9'8
А; б)
B; iR(t) = l sin A00/ — 90°)+e"
мА. 8.6. a) «c@ = 20 — 20e 9'8 B; i @= 0,0408 X
В; i @-0,04е-100/ А. 8.11. a) i (t) =
04 A;
= L^=-l00Q-104 В; И7л=
= 0,05 Дж;
; б) <@=
В;
в) t = 0; ^?, = 0. 8.12. a) i@ = 10e*10*'A; uL (t) =— бООе'10*' В; w# @ =
= lOOe*10'' B; tt/?1(O = 4OOe"e'104' B; 6) i@ = — 2 + 12e-5<1°4' A; uL(t) =
СЛЛл— 5 • 1 0 / гэ. ,, /f\ orv I 1 ОПл ~" 5 • 10 * D. * i //\ ОП I /1 ЙЛл — 6 • 10*<t о.
^^ —~~\j\j\jk, D, Up \I) == ~~~<^U ~r~ 1 ZUc D , ^/?1 I* J ""^ OU —f— ^rOUt f>.
в) r@ = — 2 + 2е~5-104' A; uL(t) = — lOOe04' В;И/? (О = — 20Ч-20е-5>1°4/ В;
1*^@ = — 80 + 80e~5*10^ В. 8.13. a) iL(t) = i (t) = 10—10е~104 к; uL(t) =
I,A
30
20
10
0
-10
—licet
JIS
V/
/ °$
—v -
4
1,0
% 1
t)-
1,5 ty7T-
i i
Рис. 0.8.1
; 6)
) = 20-10е-104'А;И1@ =
Xe-10'fA; ttL@ = 100e-^4' В; г) iL (t) = 10+ 10 V~2 sin A0^ — 45°) + 10x
Xe~l04^A; uL(t) = l00V2 sin A04^ + 450) —100е"04/В. 8Л4. a) iL(t) = \0 —
— 10e-1034iA; wM@ = M-^.=500e-lo5/ мВ; б) tL (/) = 10 sin A0^+90°) —
— 10е05/мА; uM (() = — 500 sin 105/ + 500e~1(W мВ. 8.15. a) ;?@=3 — e~*A;
»д @ = 1,5 — e-< А; б) /?@ = 2 —е"^/3 A; t;l (/) = 1 +2,33e~^'3 A. 8.18. а) При
==A_е-103:г)е-1о3(^Г)А; ^вых @ =-100 (l _е-1ОЗГ)е-1ОЗ(^Г) В; б) при
л. ответ для п. а); при i^T i(t) =2 — (l +е-1ОЯГ)е()а</~Г) А;
в) при O^t^T см. ответ для п. а);
)=__Ю0B-е-103Г)х
Хе
^(
В. 8.19. а) При
BbIX (^ ()
i@ = 10V3 sin A03/-45°) +10 X
) р @ (
Хе03^А, при ^^^ i=10,42e-1°3(^-^) А (рис. 0.8.1,а); б) при
3 (/^>
(см. ответ для п. а); при
8.21. ucl@+) 100B
i (t) =
0 /
) ) р !
,6е~103 (/"^> (рис. 0.8.1, б).
= ia @+)=0,l A; t3@+)=0;
477
^f<p+) it^t> 1000 В/с; ^-(O+)=i^±l= 1000 В/с; §
= -2 А/с ; ^@+) = -3A /с; ^8@+) = 1А/с; иС1 = 72&-*-
= 45е'3^~45е2б,2/В; г3 =0,0275е-3>8Ц-0,0725е-2б'2г A; *2 = --0>017е-3'8Ч-
0,1176-26,2^ д. ;я = —0,04456-26.2/ д. 8.22. a) uCi It) = Ю—7,25e~3^ —
,75e-2«2t b; wC2(/)=:10-2,75e-3^-7,25e-26^ B; h (t) = 0t0725e-^ +
+ 0,0275e~262' A; i2 (/) = 0,0275e-38* + 0,0725e-262* A; i3 (О = 0,045е~38^ —
— 0,045e-262' A; 6) uci (t) = 10,5sin A00^ — 72°) + 5,77e-3^ + 4,23e-262^ B;
l'2==C"~dF"; ti — te—uaVRl ia=h—i2'> «C2 = «ci — #2i's. 8-23- a) wci =
= 100 —40е~100^ B; wCo==40e-83'3^ В; ^згзО.Ове00* A- i2 = —0,le-83'3' A-
6) «Cl = 86,5 sin A00^ — 88°) + 36,3e-100' B; WC2 = -_33e-83'3^ B; ix =
= 0,173 cos A00^ — 88°) — 0,0726e-100^ А; ь = 0,0825е~83'^ A. 8.24. a) it =
72538' + 275262' A; ia=ll,75e-3S^l,75e-ae2* A; i8 = — 4,5e-3s'f
4,5е-2И*А; uL1 = Li^; uL2 = L2^- ; 6) i1 = 2,75e-^ + 7,25e-262^ A;
= 4,45e-3^—4,45e-262* A; i3 =—1,7е-88*+11,7е-2в2* А; мц = —10,5x
e-ss^^jgg^e-2^ B; uL2 =—17e-38*+ 117e-262^ В- в) t'i = — 4,45e~38f +
4,45e-262^ A; ta =—l,69e-^+ll,69e-262* A; i3 = 2,76e-3^ + 7,24e-262^ A;
1==Ll4f; "i2==L2^fe 8'25' a> ^6@ = ~^-J=-30e-^^ B;
afl&(*)=—10e-2000*B. 8.26. a) t? = —fc = —0,334е-0'5-104/+1,334е-2*104'A;
==_66,7е-°'5*10^+б6,7е~2'10^ В; uL= 16,7е~0'ь'10Н~-266,7е-2>1°4/;
6) ii = ^c = le"B'108/cos5^.108/-^^e-B01'sIn5yr3".108/ A; «c =
= —115,5e'10^sln5Vr3".lW В; в) i? = — tc = A —104/) е"*04' А; ас =
^ В; tti = L^..8.28.
^@+) = 5.103A/c; ^L@+) = 0; ^ @+) =-5.10* А/с;
б) и в) wc@+) = 100 В; *? @+) = 10 А; * @+) = ic @+) = 5 A; uL@+) = 50 В;
@) 0; ^(()M1(K A/^^CM
= 0; ic@+) = 5 А; «@+) = —10А; §@+) =^@+) = 5.10з А/с; А @+)«
= —104 А/с. 8.29. а) ^ =—КРс-1; /72 = —3- Ю^; iLcB @+)=0; иСсв @+)=40 В;
б) />1 = -0,5.10»с-1; Л = -5,9.10»с-1; *iCb(O+) = O; «ссв@+) = 80 В; в) Pl =
+) = 53>3Bt 8.32.pli2 =
А; в) *?« ^^e^sinf т/^^
VL/C \ У LC
8.34, а) При * = 0_ wci@-) + «c2@-) + «ce@-) = -Ei; «с4@-)=Яа, где
^i = 50 В; 1/ся@_) = 0; «сз @^) = ^-^-^1==50B, При/=
= 0+, согласно законам сохранения заряда, для узла I
СхиС1 @+)-СаиС2 @+) = ^^! @-)-С2г/С2 @_); A)
для узла 2
С2иС2 @+)-СвиСз {0+) = С2иС2 (О.)-Сзисз @-). B)
478
По закону Кирхгофа, для емкостного контура
«С1@+) + «С2@+) + иС8@ч) = -?. C)
Из формул A) —C) следует, что нС1@+)=-0; г/С2 @+) = — 50 В: иСъ @+) =
= 0. По закону коммутации, г/С4 @+) = */Г4 @_) — Ёх= 100 В. б) При г = 0_
И@_) = »2@_) = 0; /3@-)=f://?3 = 4 A; i'4 @_) =^?/#, = 4 Л. При / = 0+,
согласно закону сохранения потокосцепления, для двух контуров
L,u @+)-L2t2 @+) = !^ @_)-L2i2 @_); (la)
?2i2 @+) + M3 @+) = L2i2 @_) + Isis @_). Ba)
По первому закону Кирхгофа, для индуктивного сечения
- h @+)-М0+) + 1я@+) = /. C*)
Из выражений Aа) —(За) следует, что i'i @+) = 1 A; i2@+)=l A; i3@+) = 3A
и, по закону коммутации, i4 @+) = i4 @_) = 4 А. 8.36. a) i2 (() -- 1,5с"-104' А;
«12 = (^2 + М)^=— 225е-104^ В; б) i2 = 0,5e-104' A; u12 = (L2 — M) ^ =
= —25е-104*В. 8.37. a) i\= 1 —0,5е-108' —0,5е'10^ A; t'2= 1-0,5е-103^ +
+ 0,5е~303< А; б) i'1==l —е'5'108' A; i'2=l А; в) «!= 1— 0,5е-750^ А;
12=1+0э5е-7?0* А. 8.38. а) ?/с = 50 — 25e-250W В; б) ис = — 50е~2500< В.
8.39. a) wCl= 160— 120е-2500^ В; уС2 = 40+ 120е-2500^ В; б) //С1 =
= 200—lG0e~2000^ В; wC2= 160е~2000^ В. 8.40. Z(p) ^
4+рС; К(р)= + +РС; F(p)=-7 f . \ . В от-
дельных /?С-, /^L-цепях переходные процессы происходят, а в общих — нет.
8 41 Я) и*(РУ- М± • л
рС 'Ч2^ ^ ' рС
100 100
.43. а) /(р) =____; i@ = 1-е-100* А; б) /(р) = -
+ 200)(p+100)>
А; в) / (р) = __-ii^__. ; i(/) = / —A—е-к»*) А;
-лоо) (р +
-90 °) + е-"» А. 8.44. a) Ut (p)=
= 10/0, +100); Н,@ = 10е—*В; б) t/f (р) = (p + 200f(°p+ ю0) ; «, @ =
в; в) ^>2 (р), (р/10^р+100) ; «. W--^L X
-х«В; г) 02 (Р) = {
+ 100) = МО-^Х
X sin A00/ + 45°)-Бе-и« В. 8.47. Для а) и б) / (р) = Ег ff + L/ @) ; a) i (A =
^»-ioof Д : ffl ¦• (Л l+90-iooi ft ¦ в) ^(г) _ ^2 (A»4-/Z.i@) 200 +/ (р-4- 100) ,
Т ' ' w R + pL -(р_/ю0)(р+Ю0)'
t @= 1 sin 1(КМ + е-м« А. 8.50. а) (^1 + ^2 + ^4) /n (p)-^/,, (p)-RtIn (p)=
479
Е/р; -R1In(p) +
iL ФУ,
(р) —токи внутренних контуров; #с @) = н42 @) =*Т5—г-пГ #з'> *i @) =
АЗ+А4
" • б) Решение аналогично решению п. а). 8.51. a) t/i2(p)==
где
@)
1/pC
ис@)
/?; У(р)=-^- ; В)
p p — /w
где ?и = ?яге/<Р?; iL@) = J; uc@) = R2 J. 8.53. Для рис. 8.30, a g(t) =
==i-e-6'; k(t) = e-6t; «=^-; для рис. 8.30, б г@=^- (l —е~*0; 4@ =
= 1—е'; 6 = /?/L; для рис. 8.30, в g(/) = ^-e<; Jfe@ = l—0,5e-w; 6 =
= 2^c ; Для рис. 8.30, г g(t)=^-(l-*-**); kW = 0,5(l + e0; « = X;
. При
для рис. 8.30, 5 g@=—т-sincoo*; ^(O = cosco0^; (oo =
=
для рис. 8.30, a ka{t) — kf(t) — — fe~bt\ для рис. 8.30, б &и (*) = 8е~0?; для
рис. 8.30, в ?а@ = 0,56е~6'; для рис. 8.30, г ka (/) = —0,56e~6'; для
рис. 8.30, a, ka(t) = — coosincoo*- 8.54. Для рис. 8.31, a Л/ (/) =iii?I=/^e~a/;
ft(/)=* 121=1 — е"б/; 8 = R/L; для рис. 8.31, б kt (t) = R (l—e-60; А (/)=
= е"^б = -5тт; для рис. 8.31, в ^/(/) =— (l +e"~6^); Л (/) = 0,5 (l —е~6/);
б = -т-; для рис. 8.31, г ki(t) = R(l—0,5е~б0> А (^) = 0,5е"'; б = -
8.55. Для рис. 8.31,
для рис. 8.31, е gi2 @=-iH-( 7ГнЧг"Б- ) е~6'; Kd7d'w • 8-56. Для
А«"Л fXA^. V.^i, l> gig ^by Q— | I Q . Q Q— I t , V /Р I Р \ Г ' °«OU» МЛ>1
рис. 8.30, a a) u2(t) = — ЮОе"* В; б) ма = 100е-<*-*1> В; в) и2= 100A —е-*) В;
г) w2 = 200e*— 100е-* В; д) и2 = 200 — 200/— 100е~* В. Для рис. 8.30, б
и2 = —100A — е-*) В; б) иа=100[1—e~«-*i>] В; в) ия= 100/—100 A —е~0 В;
480
г) u2=l00e-t— 100е-2' В; д) и2 = — 100 + 200/— 100/2+100e"* В. 8.57. а) ивх=
= 10е-100^ В; t^ = 0,1 A— е-100') А; б) ивх = 20 (е-100* — е-200') — 1000/е-100' В;
/1==1О/е-1О^ + О,1 (е-20^-е~1000 А; в) ивх=-?2г sin A00/ + 450) — 5е-100* В;
^ — --L-sin A00/ — 45°)+0,05е-100' А. 8.62. В общем виде выражение для
напряжения на выходе для случаев а) и б) имеет вид: при О^т^/i и(т, п) =
= Е + [и(п) — Е]е-6х; при /а<т<Г и(х, п) = [Е (l—e6ti) + u(n)e-6ti]x
Хе-б(т-Л), где Un=zall±L; а = ЯA-е-«0е-в(Г"Ч Ь = е^^^т^^;
т = /— пТ — время, отсчитываемое от начала &-го периода; k = n-\-\ (я =
= 0, 1, 2, 3, ...). Установившийся рэжим соответствует я—>-оо. При решении
п. в) необходимо учесть иА0П — реакцию на скачок ЕЛ (/). а) При 0<:t^/i
и(т, я) = 100 +[76,5A — 0,67*) — 100] е-160Т В; при гг<х<Т и (т, п) =
= [27,3 + 55,7A—0,67")]е~160(т~2'10) В; б) при 0<т^/х и (т, п) =
= 100 + [44,6A—0,67") —100] е~160Т В; при /х<т<Г а (т, п) = [18 + 36,5х
ХA 0,67")] е~160 (х~1'25*10~3) В; в) решение есть сумма решения п. б) и
«доп(т, n) = 100[l-e-160<x+2'5'103/l)] В. 8.63. При 0<т<Г i (т, л) =
= 9,8{sinB510r + i|)—9) + sin(9 — \|>) [1 +3,3A— 0,535")] е00т}, где т —
время} отсчитываемое от начала k-то интервала длительностью Т, ^ = /г + 1;
п = 0, 1, 2, 3, Установившийся режим соответствует п— оо; 9 = arctg—- =
т
1 р
s=78o55;. Среднее значение тока в установившемся режиме /Ср=fr \ /(т, ^)n^>cpdx.
о
OZ7 0/7
а) ^ = ^.=31,8 А; б) /ср=0; в) /ср-^ = 6,35 А, где z=
= 10,2 Ом. 8.64. Для рис. 8.37, а и любого &-го интервала времени, когда
? = л+1;л=0, 1,2, ..., при 0<:Т<Т и(т, л) = (я+1) Е+[и(п) — (п+\) Е\ ет,
где i = t — пТ—время, отсчитываемое от начала &-го интервала; и(п) —
напряжение в начале &-го интервала, определяемое из разностного уравнения и[/г+1]—
— Ьи[п] = а(п + \), в котором Ь = е~бт; а = Е{\—е-6т)] и[п] =
V n zn~1az2 a(n+l) a(\ — bn + 1) D
= 2^ Res (г_ iJ B-Ь)=я"Т=6 (i_frJ • в Результате получим и@==
(г_ iJ B-Ь)=я"Т=6
Г | e-(i+ 1) 6Г
= ? (/г+1) ^гу—e-o(t-nT) ^ для рис> g 37, б заданную
последовательность импульсов представим как сумму ступенчатой функции
(см. рис. 8.37, а) и напряжения ивхдоп = — —/, а суммарную реакцию —как
сумму реакций от ступенчатого и косоугольного воздействий. Реакция на
ступенчатую функцию найдена в п. а). Дополнительная реакция ип0П (/) =
-iL/. Для рис. 8.37, в при 0<т<Г и (т, я) = ?е~паГ+
[*/ (/г) — ?е"паГ]е"'бт. Разностное уравнение имеет вид и [я + 1) — /ш [я] =
= е-аГ. Следовательно, и (/) = ? {е-"аГ+ (' -е7") (е-"бг-е-"аГ)
I e~0(—e~aJ
481
_е
~паг1е-
е-б(/-лГI 865. для рис# 8>38,а -gj
dug
г> , р /; Для рис. 8.38, б -jf =
^l/?2 , f R2 9 867> уравне-
ние состояния цепи имеет вид
р].
^2 [ n \ R2R3 \
_ 2П
4 2
4 2
8.69. Уравнение состояния цепи имеет вид
где [х] =
Г |
к
С
-Г0 41
~L2 -2J-
Собственные
значения Я.,- матрицы [М] совпадают с корнями характеристического уравнения Р (А,)=0;
) = 0. Отсюда %?л 2 = — 4, т. е. корни уравнения
кратные. По формуле Сильвестра для кратных корней (s = 2),
1 г d
г A4-20 е-4' 4fe-4* 1
1\ -
482
Переходную матрицу е[м^ * можно найти и из выражения etMl' = осо [1] + ^ [М],
где а0, ах определяют из решения уравнений е~4* = а0 — 4аь
at |A,= -4
Отсюда ai = fe-4<; ao = (l +4/) e~4'. Следовательно, e^* = (l +4/) e~4' П *?
-i-re [-1 —6j — L -te-u A—2/)e-«Je ; lj~ X
X ^ еЕЛ*3 T [iV] [2] dx = DMi *—[!]) [^W]" [iV] M —см. решение задачи 8.68р, слу-
J* т.™ *»„, M=[^|-{
вГ1 01ПМ -41 Г0 41 Г1 01_Г15 + (-15
[0 1JJ16L 1 —2J [2 —2J [l 0j~[-~2,5 + B,5
где e^J * [jc @)] =
10е-4*
@)]+e-Wi t f e[M:i T [iV] [2] dtf
4* 4*
Просуммировав эту матрицу с матрицей, полученной при решении п. а), получим
к J ~ L-2.5+ (-2,5+100 е
е-« J *
8.70.
"с
[Ч-
_ Г D0е-4*-32е-«'—2е-"<) 1
1
20
20
?л-| Г A0е-«*+ 5e-*«l
«с = I (-1Ое-*+10е-*« Г'
«iJ L -40e~*«J
Решения п. а) и г) указывают на существенное влияние начальных
условий на характер переходных процессов. В случае а) решение содержит
принужденную составляющую и обе компоненты свободной. В случаяхб)==-г)реше-
483
ния вырожденные — отсутствует одна [случаи б), в)] или обе [случай г)]
компоненты свободных составляющих. В последнем случае принужденный режим
наступает сразу после коммутации. Кроме того, во всех решениях ii и Ui не
содержат принужденной составляющей. Это объясняется своеобразным
свойством схемы — контур R2RsC имеет коэффициент затухания l/(R2 + Rd)C—4c~1
такой же, как и коэффициент затухания e(t). 8.71. Переходные характеристики
цепи [п. а), б)] для выходных величин [#]=
решение задачи 8.68р, случай б)]
()
н [#]= ^
вычисляем по формуле [см.
[l])[M]-1[N][z], где
или
!?]• ¦*¦-[!]•
Г iR 1 _ Г @.25 —0,1е-«-0,15е-1«) ]
[uL\~[ (_0.2e-«*+l,2e-leO J ( }>
Импульсные характеристики цепи [см. п. в), г)] для ^^0 находим
дифференцированием переходных характеристик с учетом того, что -г, 1 (t)~6(t);
f (t) б (t) — f(O) 6(/). Их можно также определить непосредственно из общего
решения:
t
(t); [y]=
f **1-Г @,6е««*+2,4е-"<).1(/) 1
L 4 J "" L I-* @ + (l,2e-<*- 19,2e~160-l @ J '
Г^1_ГО,5в(О + (О,6е-«-1,6е--1(О 1
L uL\ - L—1в (/)-+ (l,2e-«+ 12,8e-"'). 1 @ J #
Для ^ > 0 члены, содержащие в решении импульсные функции, отсутствуют.
8.72. Уравнение состояния цепи имеет вид
где
= UC2 ; *=[j];
[М]-
CiRi
л
1
L
1
C2R2
1
L
Ci
1
c2
0
—
~— 3
0
1
-~~?
0
—3
3-
3
0
0
0
1
L
1 "
Ci
1
C2
0
[
-0
0
1
-3
3~
3
-j
484
Собственные значения %г матрицы \М] определим из выражения
) 0 —3"
= det (X [1] — [Af]) = det | О (Х + 3) —3 | = (к+3) (Я2 + ЗА,+ 2) = О,
1/3 1/3 X
откуда Я1 =—1; Х2 = — 2; Я3 = —3. Матрица e^* = a0 [l]+«i [M] + a2 [М]2
Г(^ + 3) О -31
_[Af]) = det О (Х+3) — 3 =
L 1/3 1/3 X J
; Х2 = —2; %з = — 3. Матрица е'ЛН* = а
[—3 О 31 Г—3 О 31 Г 8 —1 —91
О _3 3 0 —3 3 =: — 1 8 —9 .
—1/з —1/з OJL—1/з —1/з oj L 1 1 —2J
Находим а0, аъ а2 из решения уравнения е ' = ао« 1 + ссхЯ/
В результате получим
при г=1, 2,3.
Решение для а) и б) имеет вид [д:] = е'л«' [д; @)]. Для «Ci @) = 0; «С2 @) = 0;
для
=-l; tz.@) =
Ы-Ь""
При /^0+ решение имеет вид [х] = e[Mli[N] [(см. ответ задачи 8.71, случаи в) и г)].
Для e(t) = б @, /@=0
[?]-
1
L3
для 0(*)=О; /@ = 6@
«с,1 Г(Зе^ + 6е-
«с, = (-Зе-Нбе
Ul J L(—2e~* + 2e
В задачах 8.69р —8.72р числовые значения напряжений даны в вольтах,
токов —в амперах.
dti-2 a°
8.74. Дифференциальное уравнение цепи (#1 + #г) ^-jt
+ i?ii?2e, или в числах -
Напряжение
485
Программа Ml (см. приложение 4). Ввод: ^0 == 0; /i = 0,25; дг0 = 0,25*
#0 = и@) = 5; а±=1; сс = — 0,5; р = 0; Л = 3,75; Я = 5.
Результат счета:
tn9 с . . -.0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5
и2, В . . .5 5,75 6,26 6,59 6,79 6,89 6,91 6,88 6,82 6,73 6,63
8.75. Дифференциальное уравнение цепи
или в числах ^+22^?+96ас = -480; ис @)=_|s_ ех @) = 10;
Программа М4 (приложение 4). Ввод: /о = 0; ft = 0,01; х0 = % @) = 10;
Точное решение: «с — —5+24е~6*—9е~16*.
Результат счета по программам М4 (вторая строка таблицы) и Мб (третья строка):
/„•Ю-2, с .... 0 1 3 5 7,5 10 15 20 25 30
xn=uCnt В. . . .10 10 9,6 8,85 7,71 6,37 3,7 1,47—0,26 —1,56
Хп^исп* в- • • -10 9,93 9,48 8,74 7,59 6,35 3,94 1,86 0,19 —1,1 ;
Примеч ание: 1) В первых четырех столбцах h = 0,01, в остальных 0,025
2) для сокращения записей часть значений не приведено.
8.76. Дифференциальное уравнение цепи ¦^+6"^+11 "^•"Ь^1 = 0.
Начальные условия: х0 = iL @) = 0, у0—-^ @+) =HlLj1 , где uL @+) =
= ~ttci@+)-«C2@+) = —1.
Уравнение цепи
_^/п i-for (СХ , _ *ci (°+) fa@+)_«c,@+) , ^C2(Q+) O
Определение корней см. контрольный пример программы М8. Расчет % = t^
дан в программе М7. Ввод: /0 = 0; Л = 0,1; хо~6; уо = —1; zo = 3; а = 6; ?=11;
Результат счета:
*я, с 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
хп = к(*п), А. 0 —0,1 —0,17 —0,217 —0,247 0,262 —0,269—0,269—0,263
0,9 1
—0,253 —0,24
8.77. Представим зависимость и (t) дискретными значениями с шагом Я = 0,1 с
в виде таблицы, где п — номер дискреты; u(tn) — напряжение на входе в
момент времени tn\ xn = i{tn) — ток в момент времени tn. Результат счета (см.
программу М10):
п 01 2 3 4 5 6 7 8 9 10
tnf с 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
u(tn), В 05 10 8 5 2 0,5 0 0 0 0
xn = i(tn), A ... 0 0 1,84 4,36 4,55 3,51 2,02 0,93 0,34 0,13 0,046
Начальный ввод: Y0 = 0; to = O;h = Otl; x = i0 @)=0; a= 1; a,i = —1; а = 10; щ = 0;
иг = Ь. Ввод после первого счета: и2=Ю (в ячейку памяти П9); ввод после
второго счета: «з = 8 (в ячейку памяти П9) и т. д.
486
Глава девятая
9.1. #(/©) = *
= — arctg 0/2; б) К (©) = ¦
1
/г (со) sin Ф, (со). 9.5.
, ; wk @) = — arctg 0. 9.2. Y (/©) = 1 /R;
9.3. Z (/0) = #(©) + jx @) = 2 @) cos q>z @) +
И I
2 . 9.6.
d©
/. 9.7. /С (со) = I/С (/со) 1 = /С;
9.10,
П П
"l 4. 2та • Исключив © в выражениях R @) и #@)„ найдем зависимость
x((o) = f[R (©)]. В результате получим
уравнения окружностей, в соответствии с
которыми строим кривые (рис. 0.9.1). 9.11.
Se @) = Ae-°>4ti a>J. Ширина спектра 2Ц±
обратно пропорциональна ширине-
импульса 2tlt т. е. короткий импульс имеет
широкий спектр, а длинный — узкий, a) Se(a))= &^д
s= А; б) Se @) = 2кВ§ @). 9.12^ e(t)~ —Z
Л=00
= ^. V^ Sin О^Я©!?! „jQf
с„
Q0t5 П5 Z 2,5 3 Я(Ш
Рис, 0.9,1
/2= — со
i
«I
«^ i^ i? n&fMo ш tot
h h т ь h
ж.
щ-n
Рис. 0.9.2
= 2л/Г. 9.13. a) ©f =
2E_
л 2п
; при о < я©? < —- фл =
~2~' при 77 < ш± < 77 Фп=°»5ялг-я и т. д. (рис. 0.9,2, а); б) Сп=
. tin .
2E \SmT\ л 2я ,, 2я 4я
¦ ;прии < пщ < — фп=/гя/4; при -г- < пщ < — ф„ = пя/4 —
ТС tl t\ *i t\
— я и т. д. (рис. 0.9.2, б); в) рис. 0.9.2, в. Спектр становится более плотным, а
амплитуды спектра уменьшаются обратно пропорционально T/Bt1). При Т —^ со
спектр становится сплошным (непрерывным), а его амплитуды стремятся к нулю.
Поэтому вычисление амплитуды каждой отдельной гармоники теряет смысл. 9.14.
а) Рис. 0.9.3, а; решение аналогично решению п. а) задачи 9.13; б) рис. 0.9.3, б;
в) если ti—*0, а площадь под кривой при этом остается конечной, т. е.
[e(t)dt—l [импульс е (t) имеет вид б-функции], то получим равномерный
о
амплитудный спектр (рис. 0.9.3, в). 9.15. По определению, средняя мощность
PUPIJQ ТТ О 0~ I/\ — — V О~ (Т\ S1T —— .
СИ1 п.о.Jxa (Z If 1 ^п \ ** \ / "* *"~"
О /г=1
= С*П. 9.16. S(/©)= ^ e{t)e-№dt. Для рис. 9.7, a S (/to) = \ Ее~№ dt =
^F/. lSin(°^2l • nnu П ^ m / 5i
,(со) = я и т. д. Для рис. 9.7,5 S(/to) =
1> W-»'^ при
Л 2я , ч л
; ПРИ ° < 0 < 7Г ^(«) = 0; при
_<0)<_ фЛй,)=^_— „j ит. д. Так как (—-^-j^i, TO
@) E (t 5@)
S @) = E (tx), т. e. 5@) равна площади импульса. 9.17. Спектр можно
определить, применяя преобразование Фурье или преобразование Лапласа. Используя
второй метод, для рис. 9.8, а получим S (j<o) = E (p)p+jn= Д ^
/ ; s и ; ф
; ф5 @))=arcfg (— c°/a)- Для рис- 9-8'б s w
= lim f—i—Wiimf ^ > —/ /f V 5@) = 1/ш; ф5(со) =
— 1Ю
Re[S(/to)] = tt6(co), так как f ^^^я; Im [S (/to)] = — I/to. Для рис. 9.8, в
+ 00
+ 00
5(/©) = 1. 9.19. По теореме Рейли, энергия сигнала e(t) W~ \ e2(t)dt =
— 00
+ 00
1 Г
= — \ «S2 (to) dto. a) 5 (to) = 1; 52 (to) = 1 и, следовательно, W — с»; б) S2 (to) =
о
1^ = ЕЧх\ в) 52(to) = -2 2» W = -
[со0/2 со о
С Ыш+ f 2( l--)rf«|=^co0, 9.22.
О coo/2
488
^ ^ . 9.23. R (t) =
~ _?L cos сот при любой начальной фазе гармонического сигнала. 9.25. Re,,(x) =
Т
= lira \e(t) i(t+x)dt. Для случаев а) и б) Re , (т) = 0 ввиду ортогональ-
ности тригонометрических функций, входящих в подынтегральное выражение.
Е I
в) /?е>/-(т) = —^-^-cos [от—(фе —ф/)]. 9.30. Средняя мощность определяется
значением корреляционной функции при т = 0 (аналог теоремы Рейли): R @) =
= — Г G (со) dco. Подсчитав интеграл графически, получим /? @) = -L- G @) со1в
я J п
о
9.31. и(/)=.1 ? /„z,^ <*'»-**«> е'™1'. a) u (t) =--1 + 0,9 cos (f_45°) +
+ 0 402 cos ГЗ/ —72°)+ 0,25 cos E* —78°) В; б) и (Л =0,5 + 0,635 cos / +
+ 0,565 cos B*—63°) +0,286 cos C^—117°) -f-0,175 cos E/—33°) В. 9.35. SU2 (/со) =
- К (/со) Sul (/со); SU2 (со) = ' sy ' у== ; Ф^ N =-j-arctg (- со). 9.36.
00
По теореме Рейли, W=— \ R{S2i((u)d<o. Так как S, (со) задано графически,
я J
о
вычисление интеграла производим также графически, т. е. строим кривую
S2 = / (со) и вычисляем площадь под ней. ^=~ • 1 = 3,2 Вт-с. 9.39. По теореме
U* (/со) LC (/соJ
Котельникова, это время равно 1l2fz. 9.40. К (/Q>) = ^ (/u>)==LC(/cD)a +
h 0/< () 1 /)
^ (/)(/)a + /u+
Используя предельные соотношения, найдем h @)=--/< (оо)= 1; /г(оо) = /С @)=0.
9.41. К (/со) = 1- . 9.43. GU2 (со) = Gul (со) &2(со); Сп
k (со) = VO0/Gai (со). 9.44. При со < сос Gtt2 (со) =
~GU (со) ko — Goko; jR»a(T) = —\ <jo^o cos cot aco = " ' * j n^w,c
_ a0«ococ sincocx о
я сост
Глава десятая
10.1. а) Удовлетворяют; б) не удовлетворяют, с0
области 19,83 > со2 > 4; в) не удовлетворяют, так
как ReZ(/co) < 0 в области 22,7 > со2 > 4. 10.3.
Во всех трех случаях можно, поскольку нули н i
полюсы расположены на мнимой оси и чередуются. ^
10.5. Из R и L. 10.6. Может, так как нули /л = 0,
Рз = —100, а также полюс р2 = —10/3 расположены 1/г 1/7 I/? 1/71 Д I I I i
на действительной оси и чередуются, а ближай- °*-1* 2' J» ^ ' ' ' ¦ '5—г
шей точкой к началу координат является нуль, 0 12 3пШ 10,с~
10.8. Является. 10.10. Z{p)=?~L. п 8)^ п о
3/?+1 Рис. 0.9.3
489
. 10.15, Рис. 0.10.l.o.
10.16. а) Рис. 0.10.1, б; б) рис. О.ЮЛ, в. 10.17. Рис. 0.10.2, а. Для п. б) деление
возможно только при расположении полиномов по возрастающим степеням р.
10.18. 1. Рис. 0.10.2, б. 2. Рис. 0.10.2, в. 10.20. а) Рис. 0.10.3, а\ б) рис. 0.10.3, б.
10.21. а) Рис. 0.10.4, а; б) рис. 0.10.4, б; в) рис. 0.10.4, в. 10.23. В (со) =
). 10.24. со? (со) = #2/L. 10.26. Zi~ -^ =i ь""! 2 +
» ._. ^ _ 4 « t>_v_b o/—, 6 ^ Физически
Рис. 0.10.2
реализовать Z± линейными пассивными элементами невозможно при &6 > kb, a
Z2 при kb > )fe6, так как действительная часть сопротивдевшй отрицательна.
10.28. Ь = аУ4а+1); c=[aj(a+l)]2; d = a/(a+l). 10.2t. Рис. O.10.5,a.
10.30. Сопротивление
последовательно соединенных
двухполюсников (рис. 10.4,
в, г) равш Я. 10.32. Рис.
0.10.5, б. 10.35.
Выполняются; рис. О.Ш.5,*. 10.36. а)
Соответствуют; рис. 0.10.5, в;
б) соответствуют. 10.38.
Может, так как у приведенно-
го* в условии выражения нет
полюсов в правой
полуплоскости, нет полюса в нуле
и бесконечности, полюсы простые с мнимыми вычетами при
положительном вещественном р; kUyi = 0 -г- 1. До сокращения на общий множитель
коэффициенты числителя не превышают соответствующих коэффициентов
знаменателя. Схема четырехполюсника дана на рис. О.10.5, в. 10.39. Может.
10.41. а) Рис. О.10.6, а; б) рис. 0.10,6.6; в) рис. 0.106, в. 10.42. Корни
уравнения: р2- + 11р+1~01 р2~=~ОЛ; р*» —10,9. У полинома Q=p+5
S)
Рис. 0.10.3
490
Рис. О.10.7
нуль находится в промежутке между р2 и р4- В соответствии с решением за-
,ЛЛ о _ M — N p(p~\-l) N 1
дачи 10.41 найдем Zi=—-~—— . - ; Z2=-7T:=—г? • Схема четырехпо-
Q р + Ь Q р-\-Ь
люсника показана на рис. О.10.7,а. 10.44. Zi=(p + 0>625^ + 1>752)'; ** =
491
—-—й—0-Л7- -г /чпТ • Схема четырехполюсника дана на рис. 0.10.7, б.
10.47. Если входную проводимость со стороны зажимов 1 — 1 обозначить Уи,
j 27 у4 /~ ( А
то искомое сопротивление Z3=^ Цг^"» Уц=—«—h
\Г
— /1
Z J
[^] <7=^A-Z2Y12). I0.48.Z,= l/p. 10.49. а=3,01
и 18,1 дБ. 12.50.. Степень полинома Баттерворса равна 7.
Глава одиннадцатая
11.2. v = 0.339 + /1.486)-10-8 km-1; ZB = 737e~/36»3° Ом. 11.3. При
/=1 кГц р = 6.10-2 рад/км; при / = 4кГц у = A2 +/12). 10~2 км. 11.4. /?0=
= 10 Ом/км; G0 = 0; С0 = 40.10-9 Ф/км; L0 = 0. 11.5. /=100 км; {7i = 266 В;
/1 = 0,532 А; (/2 = 64,5 В; /2 = 0,129 А; р/«80°. 11.8. До подключения
/,доп Рн = 10,37 Вт; РПогерь = 724 Вт; г\ = 0,0141; после подключения /,доп
J000
/^Z7 ^^ 300 400 500 Х,КМ
1 Л
Рис. 0.11.1
-500
Рис. 0.11.2
Рн= 14,37 Вт; Рпотерь = 7,53 Вт; г] = 0,659. 11.10. Рх = 500 Вт; Р2=183,6Вт;
1-1 = 0,368; /?вх = /?в = 2000 Ом. Графики U (х) и I (х) даны на рис. 0.11.1.
11.11. МО = 0,7 sin @)^ + 5,65°) А; и2 (t) = 269 sin со/ В; /2 (/) =
=0,353 sin (со/+ 5,65°). Графики и(х) см. на рис. 0.11.2, где 1—/ = 0; 2 — / =
==я/Dсо), 3 — t = n/B(x>), 4 — / = я/со. 11.12. Напряжение (У2/я, ток /2/72 увели-
чиваются в е 2 =1,362 раза. Мощность Р2 увеличивается в еа*= 1,856 раза,
a Pi не изменится, к. п. д. т] возрастает веа'=1,856 раза. 11.13. и2 (t) =
= 327 sin со/ В; /2 (/) = 0,229sin (co/ + 5,6°) А; и (t, Я/4) = 216 cos со/ B;i(/, X/4)=
= 0,498 cos (со/+ 5,6°) А; и (/, Я/2) = —394,8 sin со/; / (/, Я/2) =
=—0,383 sin (со/+ 5,6°); т] = 0,25. В согласованном режиме г]согл = 0,29.
1Ы4. ипад(/, //2) = — 335 sin со/ В; ыОтР ('. 1/2) = —50 sin со/ В; *пад (/, //2) =
= —0,47 sin (со/ + 5,65°) А; /отр(/, 1/2)= —0,084 sin (со/ + 5,65°) А. 11.15. ия (*)=
= 417,4 sin 0/В; /х (/) = 0,395.sin (co/ + 6°) А. 11.17. ZH = 465 + /193 Ом;
Рншах = 53,46 Вт. 11.18. a) u2(t) = 500 sin (со/ — 60°); *2 (/)= 1 sin (со/ — 60°);
б) и2 (/2) = 1000 sin со/; <а (/) = 0; в) и2 @ = 0; i2 (/)= — -^==- cos со/. 11.19. а) При
изменении частоты амплитуда напряжения на нагрузке не изменится; б) с
увеличением частоты на 3% амплитуда напряжения в конце линии возрастает в
4 раза. 11.21. 6/„= 1673 В; /„=1,93 А. 11.22. ZH = —/500/3 Ом.
11.23. a) ZBX = ZH = 250 Ом; б) Zbx=1000Om; в) Zbx = 400 + /300 Ом.
11.24. #н = 400 Ом; хн = — 400 Ом.
492
Глава двенадцатая
12.2. Графики и(х)> i (х) для ? = 2,5tjv даны на рис. 0.12.1. 12.4.
Графики и(х), i(x) приведены на рис. 0.12.2. 12.6.1
0,51
Рис. 0.12.1
Рис. 0.12.2
Г --/2--^-Л1 f t-l/v
= 0,5 1-е V 3000ЛА. 12.7. «с@ = 2?М-е zbc
zbc I • 1 (t — t/v).
График и{х) для t = 8'\0-(i с дан на рис. 0.12.3. 12.9. Переходный процесс
заканчивается в момент t — 21/v — 2т.
Графики u(t), i@ см. на рис. 0.12.4.
12.10. Результирующее напряжение на
выходе: а) бесконечная последователь-
ность прямоугольных импульсов
амплитудой 2Е, длительностью 2т(рис. 0.12.5,
а)\ б) один прямоугольный импульс
амплитудой 2?, в интервале т ~- Зт
(рис. 0.12.5, б). 12.12. a) u{ty x)=
= 0,5?.1 (/—x/v)9 i(t, x) = u(t, x)/ZB\
no7R
Рис. 0.12.3
t—
; B)
1 t-~
0,5?
21—х
21-х
г) и (I, х) = 0,5Ех
x l (t-
12.13.
=0,1 [1 @+1 (*—2. Ю-6)—2е~1
график и (х) для t = 1,5 l/v =1,5-10 с. 12.14. ,
А. На рис. 0.12.6 дан
=-^[l —e zbc
¦ ) . Эпюры напряже-
_ j_ t
ния даны на рис. 0.12.7. 12.15. uc(t) = Uoe Rsc =100е 1'8#10~вВ; wHi @ =
t-Ulv ^-1Q-6 t-ljv г-2-10-6
" В; uH2(t) = UQQ яэс =100e i'8'10""", где /?э=
493
2l-X
X 2T jr
Рис. 0.12.4
(/—4-10-6)B. 12.18. /„
('""") ==1»5.l<0-0,5.1 (^-2,10-e) А. График
2Е
-ZE
иг
2Е
0
0
Г
Щ
щ
2t
ш
JT
ш
1
Jt
ш
4Х
SX
Щ
ьх
ьх
щ
It t
Рис. 0.12.5
iH(t) см. на рис. 0.12.8. 12.20. Графики и(х), i(x) см. на ри«. 0.12.9, и,
график «2@--на Рис- 0.12.9, б. 12.22. В нагрузках возникают прямоугольные
импульсы тока (рис. ОЛ2.10) амплитудой ?/0/2ZB = 5A, длительностью /Д> =
= Ы0~6с (амплитуда та же, что и в задаче 12.21р, длительность в два раза
494
MO* 2-tO'6 t,c
Рис. 0.12.8
L/2
Рис. ОЛ2.7
~E/ZA
«I
2E
0
l/ir
— ¦ m
21/lTt
Рис. 0.12.9
495
меньше). Графики и (х), i(x), даны на рис. 0.12.11. 12.23.
ил
рис. 0.12.12). 12.24.
t'O
и
Ц/2-
и
Up/2-
h
щ
У///////////А
У//////У////А
L X
^0
i
О
I X
Рис. 0.12.11
~?/0 \l-e~ czb
0
-5
,А
5
0
и
'гг=НО'6
-
\
l/'ir=f-w'6ttc
Рис. 0.12.10
ш
т
но'6
2-106
ш
tfi
Рис. 0.12.12
2-10 ° t,c
Рис. 0.12.13
Xl (/— //у) = 4.103 Vl— e l0""eJ 1 (О—4-Ю3 \1 — е 10""в )Л (/—Ю-6) В.
График uc(t) см. на рис. 0.12.13. 12.26. Для первой линии и (t, хг) =
[()()]
+ 1 ( t— ¦ г j , где a;x — расстояние, отсчитываемое от входа линии. Для
'-'• п г /9/ jc \ 1
второй линии и (/, ^2) = — 1 (/—x2/v)— 1 ( / 2 J ; i {t, x%) ==
496
"" 2Z~ V у" j ' V и— J , где х2 — расстояние, отсчитываемое от
места коммутации. 12.27. Графики и(х), i(x) построены на рис. 0.12.14. Дли-
F
тельность переходного процесса равна t/v. 12.28. а) и (t, x{) =-т>- X
t 1z*l
те CZb/2
t-(x2/v)
X
XI [t- ?f) ; в) u(t, x,) = ±1 (t) -^.
Эпюры и (х) для случаев а) —в) построенны на рис. 0.12.15, а—в,
12.29. а) Иа@ = j ^1^^^^ф^I
(рис. 0.12.16, а); б) u2{t) = EA (* —1Л(рИс. 0.12.16, б). В этом случае
переходный процесс по всей линии заканчивается в момент времени t — 31/v.
4[DL(^L(^Н
497
цесс во второй линии заканчивается в момент 21/v, а в первой—в момент
8/М 12.32. «.(О-^К^Ч)] (i)
12.33.
--^. [i @ + 1 ('-¦?•)] 5 «и @--^- [i (<~5-)+
и
Е/2-
и
е/2
Е/2 ¦
1С
Е/2
2L X
1 V
21 X
'-*
21 х
'¦¦?•
21 X
t=a
Е*
0
Е
0
V
щ
4
—
L t
6)
Рис. 0.12Л 6
Глава тринадцатая
13.2. / = 0,4 А, 13.4. Рис.
0.13.1, а. 13.5. Рис. 0.13.1, б.
13.6. а) #з=18 кОм; #ст =
= 6кОм; #диф = -л6 кОм; б)
^вых = —15 В;/?с1=11,5кОм;
ЯДИф = — 7 кОм. 13.8. /? =
=500 Ом; /ст = 30 мА; 5,5 В<
< U < 13 В. 13.9. #а= 800 Ом;
С/ст = 8,8 В; #1=940 Ом;
напряжение не изменится. 13.11.
Ra^2f5 кОм. 13.13. 7нр = 4 А;
Р = 24 Вт. 13.14. /нр = 1 А;
^ст = 5 Ом; #диф==— 1 Ом;
= 7 Ом. 13.15. а) /Нр = 2А;
/^1-4,5 A; /*2=1,5 А; /*3 =
=1 A; IRi = 3 А; б) /НР =
= 0,8 A; IRi = 2 A; /*>2 = 0,7A;
/,о3 = 0;5 A; IRi=l,3 A. 13.17.
/HPi = 3,l А; /^ = /^ = 4,3 А;
/*2 = 1,2 А. 13.19.
498
а) ?э = 20 В
?/, В
—20
—10
0
10
20
30
/, А
—3,5
-0,25
0
2
4
4,25
б) /9 = 3,5
и, в
—20
-10
0
10
20
30
А
/, А
—3,5
-3,25
0
3,25
3,5
5,5
13.20. Яэ=20 В; направлена к точке
и, в
—20
—10
0
/, А
—6,5
—3,25
0
и9 в
20
40
60
/, А
0,5
1
5
13.22. /i = 3 А; /2 = 5 А; /3 = 2 А. 13.23.
/2 = 0,46 A; t/1 = y2=10 В. 13.27. ?/вых =
13.30. Л = 1,Н кОм; Rx = Rz=m Ом; #2 =
= 2 А; /2 = ЗА. 13.25. /1 = ,;
ЪЯг2. 13.29. Рис. O.13.2, я.
= 75 Ом. 13.32. Рис. 0.13.2,6.
1А
4
2
e
71
q
/
0,k 0,8 1,1 Ufi
a)
Ряс. 0.13.1
8
?
k
2
¦«=
=====
SI
SOl°S
Рис. 0.13.2
Глава четырнадцатая
14.1. Б = 0,1 Тл; / = 799,2 А/см; цг=1000. 14.2. /=1,6 А. 14.3. В =
= 1,1 -т- 1,38 Тл. 14.5. 6 = 0,09 мм. 14.6. По кривым Ф(?/м), полученным при
5 = 5; 6; 7 см2, строится зависимость Ф (S) для /до = 200 А, откуда 5 = 5,7 см?
при Ф = 5,5«10-* Вб; толщина пакета 2,85 см. 14.7. /ш=45 А; Ф2=5,2Х
499
ХЮ~4Вб. 14.8. а)Ф
Вб; Ф2 = Ф,= 1,98-
#м2=106 Гн-1; Я
Ф2= 14,85.10-5 Вб;
14.13. а)Ф1 = 4,55.10-4Вб;
б) Ф1 = 2,12.10-4 Вб; Ф2 =
) Ф б3104
-4 Вб. 14.9. /ад =
= 4,78.106 Гн^1;
Ф3 = 8.10-5 Вб;
1210
,;I ,
А. 14.10. /?м1== 5,56-106 Гн;
b = 382 А; Ф^б.вб.И)-* Вб;
= 530,5 А. 14.11. /3 = 56,2 А.
Ф3 = 2,73.10-4 Вб; UM О&=78 А;
-4 Вб; Ф3 = 2,4.10-4 Вб; Vmab = —11 А;
4 В Ф 6 A
в) Ф1 = 4,63-10-4 Вб'; Ф2=1,8.10-4 Вб; Ф3 = 2,83.10-4 Вб; UMab = 76 A.
14.15. I2w2 = 88 А. 14.17. а) У сердечников /, 2, 3 В=-\-Вг; у сердечника 4
В = —Вг; б) у сердечников /, 2 В = -{-Вг; у сердечников 3, 4 ? = —J3r.
14.19. 6//ср = 0,14. 14.20. 5=1,33 см.
Глава пятнадцатая
15.1. Напряжение на индуктивной катушке —jt-= Umcos(at. Отсюда if=
= —— sin со/ (постоянная составляющая при установившемся режиме в потоко-
сцеплении отсутствует), или i|) = sin 1000/. Кривая, получаемая при первом
способе аппроксимации, изображена на рис. 0.15.1, а, В интервале от О
до co/1 = arcsin0,9475 = 71°30/, когда поток нарастает от 0 до 0,9475 В.с, ток
J
Рис. 0.15.1
равен нулю. Затем ток пикообразно нарастает, а в интервале от 108°30' до
180° он опять равен нулю. Кривая тока при втором способе аппроксимации
дана на рис. 0.15,1,6, при третьем—на рис. 0.15.1, в. Амплитуда тока равна
J А. 15.3. Для всех трех случаев i = dq/dt~
отсюда q = — sin со/ =
О)
cot
= 10~6 sin 1000/. В задаче цифры подобраны
так что кривая q = f((ut) имеет такую же
форму, как и кривая i|) = /(co/) на рис.
0.15.1, а, но ее амплитуда в 106 раз
меньше. Кривая ис = /(со/) соответствует кривой
i = / (со/) этого рисунка, только вместо
числовых значений тока в амперах на кривых
даны числовые значения напряжения в
вольтах. 15.4. Кривые i = /(co/) для
характеристик на рис. 15.2,6 и в такие же, как и
кривые и = /(со/) на рис. 0.15.1, только
вместо напряжения в вольтах следует
считать ток в микроамперах. Так, для кривой
рис. 15.2,6 на участке изменения q отО до
0,95-10 Кл q = kxuy где kx= 19-10~6; i'i =
= k1toUmQ,os 1000/= 19-103 cos 1000/ мкА.
По такому же закону изменяется ток в
интервале от —со/ до со/х = arosin0,05 = 3°53'.
Далее ток изменяется по закону i = 52,7 cos со/ мкА. 15.6, В уравнении
Г\
Рис. 0.15.2
.JZ. _|_ ис = е (/) напряжение ис = 0, когда заряд изменяется от ^-
до -\-qm
500
В интервале времени от со/ = 0 до Ш = 90° q——~ A — cos Ш) —qm =
= 2-10~5 A — cos со^) —10"; i = 2sincctf. В интервале времени от 0)^=90° до
0)^=180° q = qm\ i = 0; uc = 2000 sin со/ В. График изменениям, t, q, uc в функ-
6,83 мА
ции 0? изображен на рис. 0.15.2. 15.9. Амплитуда напряжения на
индуктивной катушке а>Ыт=\0 В. Нелинейный конденсатор перезарядится за
интервал времени от 0 до co^i, где co^i —45°. В этом интервале i\ = i\ i2 — 0. Графики
требуемых величин даны на рис. 0.15.3, а. 15.10. Рис. 0.15.3,6 (ток дан в
амперах, напряжение—в вольтах). Переразрядка нелинейного конденсатора
происходит за 3/8Г. Условие для нахождения /х: \ idq — 2qm. 15.11. Рис. 0.15.4.
360°
E0+eltl
Рис. 0.15.4
Рис. 0.15.5
15.13. В первом интервале времени от со/ = О до Ы = 1° ток h = 0,388 sin <ot —
^-0,727-Ш-2 A; io = —0;097 sin co^ + 0,18.10~2 А. Во втором интервале времени
от Ы = 1° до (о^1 = 26°30/ значение со^ найдено из трансцендентного уравнения
cos 0^1—0,0187со?1 = 0,884; t'i = io = O. В третьем интервале времени от a>ti
до я; ток if = 0,338 sin otf+ 0,727-Ю A; t0 = 0,097sin(o/ + 0,18M0-2 А.
Коэффициент усиления по мощности &р = 44,5. 15.14. По второму закону Кирхгофа,
iR-\-uR—e(t) + E0. Ток в цепи проходит с момента времени Ш1у когда правая
часть этого уравнения становится равной нулю, т. е. с момента, при котором
sin(©*i+45°) = — 50/127 = — 0,393; ©^ = —68°20'. Ток в цепи прекращается
при ctf2=158°20' и'вновь появляется при utf3 = 291°40\ Графики i = f (со/);
/ @ б 055 ри iR + (t)E tf
при 3
изображены на рис. 0.15.5. 15.15. При
рф
= e(t)—EOi
501
е-Е,
cot2 найдем из уравнения sin (о/+45°) = 50/127; ©ff+45° = 23°20'; cofi==— 21°40':
Gtf2 + 45°=156°40'; co*2 = lll°4O'. Графики i = f(a>*); ыд = /(©/) даны на
рис. 0.15.6. 15.17. Рис. 0.15.7; а; амплитуда i2 равна 0,183 А. 15.18. По
второму закону Кирхгофа, для левого и
правого контуров iiRi + ^jd — Ч (t) + E0;
*2#2 + Ид2 = ?о— е2 (t). Ток t*i протекает
по цепи в интервале значений cat от
—30° до 210°, когда ei(t) + E0 > 0; ток
/2 — в интервале значений со/ от 72°50' до
287°10', когда E0—e2(t) > 0. Требуемые
кривые построены на рис. 0.15.7, б. 15.20.
Рис. 0.15.8. Полупроводниковый диод
открывается при wt = (otly когда
напряжение источника питания становится
равным напряжению на конденсаторе:
U,
(Ot
Рис. 0.15.6
«с@)е
Emsine>ti.
При со/= со/2 ток через диод становится равным нулю, диод закрывается
и напряжение на нем ил~е—tic становится отрицательным. Условие
равенства нулю полного тока:
Следовательно,
cos
ttl
"Ж
В силу периодичности процесса uq @) = uq Bя) или
BСТ-С0/2)
B)
C)
Уравнения A) — C) служат для определения atff, co?2, Uc@). При
заданных числовых значениях R, to, С atf1 = 24°; со/2=100°. 15.23. ?1 = 50 В;
?1 = —20 В; jR = 80 кОм. 15.25. Рабочая то^ка соответствует положению
точки А на рис. 15.15, в; iK « 168 мА; it « 23 мА. 15.27. гА = A—Л1а)/Л22;
l—/z12rft(l—а). 15.28.'За-
502
землим узел 2 и составим два уравнения относительно щ и фз*
1 , 1
15.29. ^=
—^
15.31. Невзаимный активный четырехполюсник, каким является транзистор
е
"г
h
i
~\
uc(o)
/, Л
CUtf Q)tz
i
\
V
^
———
2tt
/kit
/oji
cot
cot
cot
10
Рис. 0.15.9
Рис. 0.15.8
Рис. 0.15.10
(схема замещения его изображена на рис 15. 18, а), имеет следующие F-napa-
метры:
Y
15.34. Рис. 0.15.9. 15.35. Рис. 0.15ЛО. Ш.36. Если для^нисашя-вебер-ампер-
ной характеристики воспользоваться формулой
|+6|3, то а==0,5 мА/(В-с); 6 = 1 мА/(В3вс3).
Для в.а.х. Iim=(±
15.37. 1. a = 0,13 кВ/(см.мкКл); 6 = 0,078
КвДсм.(мкКлM]. 2. Iim=(uQm> где Qw —
амплитуда первой гармоники заряда. Амплитуда первой
гармоники напряжения на конденсаторе U
0
100
150
200
250
hm> мА
0
1,25
3,29
7
13
503
15.38. а)
0
0
1
1
2
мА
,5
,5
6
17
56
181
В
0
,65
,86
,5
,5
и,
25
53
94
208
В
0
,8
,3
Л
0
1
1
2
мА
0
,5
,0
,5
,0
б)
и,
50
101
160
270
В
0
,4
/, мА
0
1
2
3
4
15.39.
/, А
0,1
0,3
0,5
0,7
1,0
1,3
1,7
иаЬ, в
15,7
46,5
54,2
54
57,2
65
90,5
ф, град
71,5
71,17
62,5
49,5
29,5
-2,8
—20,67
15.41. С = 25,8 мкФ; #=20,9 Ом. 15.42. Если построенные характеристики
аппроксимировать прямыми линиями, то при холостом ходе ?/Вых =
= 107,5+0,0975 UBX начиная с ?/вх = 78 В; при индуктивной нагрузке
?/вых= 102,5 + 0,12 6/вх начиная с UBX « 30 В; при активной нагрузке UBblx =
= 93+0,26 UBX начиная с UBX = 92 В. 15.43. L1==-J—+i2?l. X
»5.44.1. Рис. 0.15.11.
2. Uab — ^V 2. 15.46. Учесть, что для опыта холостого хода, проведенного
при номинальном напряжении, потери в меди первичной обмотки много меньше
потерь в стали сердечника, так как ток
UgfjyB холостого хода много меньше тока нагрузки,
рп. . . . . . а для опыта короткого замыкания, прове-
денного при сниженном в 10 раз напряже-
?#P"/l[-"-*4^ | 1 1 нии, потери в стали сердечника ничтожно
^ малы по сравнению с потерями в меди
обеих обмоток; Ri= PiJ{2l\K) = 0,833 Ом;
#2 = #i (wt/W!)* = 83,3 Ом; XS1 = 1,445 Ом;
М\ гЛН 1 1 1 XS2 = XSi (оу2МJ = 144,5 Ом; Рс =2,967 Вт.
15.48. Искомую характеристику строим по
/ ~2 J 5 ~51пА уравнению Q^-co2Qm= ± Ет (рис. 0.15.12).
и 15.51. Зависимость Qm — f((o) строим по урав-
Рис. 0.15.11 нению
\
или
504
3 /
При резонансе подкоренное выражение равно нулю: (d=Qm; Qm рез= V EJR.
Практически резонансная кривая при наличии активного сопротивления заметно
отличается от резонансной кривой при Я = 0 только в окрестности точки
резонанса. На рис. 0.15.12 пунктиром показаны две резонансные кривые при
/? = 0,2;QOT-3,16H/?=0,3;Qpe3=cope3 = 2,58. 15.54. q= (л—gj )
a = a'lR\ b = b'/R.
15.58. * = е-а' — -^ (е-** — е^).
~ cos ГЪЩ* -. 15.61. /8 = 2,36/i.
192 }^1 — Л2/8
15.62. За время / = 1с источник доставляет энергию g зх^"
15.59. ,= (^-il) cos
Рис. 0.15.13
Х(я—0^i+0,5sin2со^), где Iims — амплитуда синусной составляющей тока.
При этом в резисторе R выделится энергия -^— \ i2Rdt =
о
_ I+TV7 I + TV/ . TV7
395sin2co/j). 15.63.
2/о
2/Q
Если мощность отрицательна, то на данной частоте она
2/Q ^/1
отдается нелинейным элементом. 15.65. Первое соотношение теоремы Менли и
Роу дает тождество —WJBf) - W3/Cf) - W1/f+W1/f + W8/3f- W2/f +
^|_ W2//+IF4/B/)=0. Второе соотношение теоремы Менли и Роу
тождественного нуля не дает: 2W1/f+W2/Bf) + W2/f + 3WjDf)=0. Однако одного этого
уравнения недостаточно для определения двух неизвестных: W3 и 1^4-
15.67. ^0=0,75W?m/2m sin ф2. 15.68. th PQ0=- sin 4Ф ^fiff
где «/o> ^ъ *^4 — функции Бесселя oi мнимого аргумента. 15.69. /0 =
505
= —0,75aG?m(/2/» sin ф. 15.71. При разомкнутом выключателе Р?о = 2;
fiBm = 4, при замкнутом р?0 = 2,85; $Вт = 3,8. 15.72. При разомкнутом
выключателе PQ0= 1,66; |3Qm = 2,2. 15.75. Нелинейный резистор имеет N-образную
в. а. х. На схеме замещения для исследования устойчивости положения
равновесия (рис. 0.15.13, а) он заменен участком схемы, обведенным пунктиром. На
этом участке #диф—дифференциальное сопротивление в точке равновесия;
Ri—добавочный резистор; Сд — емкость диода. Запишем операторное
сопротивление для схемы рис. 0.15.13, а, применив критерий Гурвица. Состояние
равновесия будет неустойчиво при L > | (Ядиф — Ri) (#i + #) Сд I- При /?==50 Ом;
/?i = 2 Ом; Сд = 0,5.10-9 Ф; #диф = — 71 Ом L > 1,9 мкГн. 15.76. Первый
восходящий участок в. а. х. описываем уравнением и —at, второй —уравнением
и = ио-\-Ы. Время нарастания тока от t*i до i2 *i =
a+R
In-
h —
Время спада тока от i2 до it t2 =
a+R
In
¦. Для в. а. х. диода на
1 b + R
рис. 15.35 а=10 Ом; 6 = 50 Ом; м = 0,5 В; ^ = 0,5 мА; t'2 = 5 мА; /? = 40 Ом;
L = 9.10~3 Гн; следовательно, /i = l,8.10-4ln2,5 = 0,165 мс; ^2 = 10 1пЗ,8=
= 0,136 мс. Кривые i{t), мд @ и uL (t) изображены на рис. 0.15.13,6.
16.78.-** •'*
Глава шестнадцатая
16.3. ^ = — L (а+2ЬЕ) In (! — «/?). При м ->-?/-> оо, т. е. установившийся
режим теоретически наступает при *=оо. Если резистор линейный F = 0), то
/ = —Lalnf 1—-=г) или u = e( 1—е L ), где R = l /а. Качественные
графики u = f (t) для нединейной (кривая 1) и линейной (кривая 2) задач приве-
Рис. 0.16.1
Рис. 0.16.2
дены на рис
. O.16.L 16.4. а) * = — 701п ^~ То ( 1 — ^ j (кривая / рис.
= ?е-'/г°(кривая2рис. 0.16.2). 16.5. Строим
-^-
0.16.2); б) /=—Г01п--^- или «с =
Независимость UL{i)=E—ri—uH(i) (рис. 0.16,3, а). Так как -зг=
то tf=
й. Подсчитывая площадь под кривой !//(/) при изменении i от О
506
до i (рис. 0.16.3,6), получим зависимость*'(f) (рис. 0.16.3, в). 16.6. Уравнение
d\b
цепи после подстановки i = kty* имеет вид ——--{-Rk^ — E. Разделив
переменив
ные, получим /= _ _а ( — In "" ' '—[—rarctg—:— ), где
Графики i|)@ и i(/) даны на рис. 0.16.4 (кривые 1 и 2). 16.7. По методу Во-
лынкина интеграл уравнения цепи представляют приближенной суммой:
.. .+in)=EnM.
Графическое решение этого уравнения с шагом Д/ = 2«10~4 с приведено
на рис. 0.16.4 (кривая 3). 16.8. Вычисление для n-го интервала производим
*у?г
Ж)
/
/
Ул ft1
т
0fi0t60,8 Ifl
б)
Рис. 0.16.3
V
0.8
0,6
ОЛ
0,1
О
-Чет
/
/
1
г
в)
по формуле -фи = if>n_i + (? — Ri) M. Графическое решение этого уравнения
с шагом А^ = 2Л0~4 с показано на рис. 0.16.4 (кривая 4). 16.9.
Аналитическое решение. Заменяя в.а.х. диода в проводящей области линейной
зависимостью, что эквивалентно замене диода сопротивлением Яд — 35 Ом, получим:
при 0 < cat < 0,907я (проводящий интервал) iR (t) = 1,3 sin C14/ — 21°30') +
4-0,472е~^1'24'10" А. Численное решение. По законам Кирхгофа, ин +
U,B lRfA
0,1
0,1
cot
Рис. 0.16.5
тт \ icdt = Emsm(ut\ RiR = -— \ icdt\ in — i
ic- Заменяя интегралы сум-
o о
мами и используя в.а.х. диода, методом последовательных интервалов
вычисляем /# @ с шагом М = Т/24 (рис. 0.16 5). 16.12. Решение аналогично
приведенному в задаче 16.11р. a) i* @) = i (O)/Im = Ro/(R1 + Royt б) i0 находится
графически или аналитически из нелинейного уравнения iRi-{-ai2 = E. Поле
изоклин аналогично представленному в задаче 16.11р, однако построение зависи-
507
мости i* (t*) следует начинать не от 0, а от г*@). 16.13. Обозначим мс = #;
Ji • = у. Для построения фазового портрета определим зависимость y = f(x).
а) # = 0; х=± UCo (точки равновесия); б) у=± а при любом х\ _в) у = 2Ы,
х — Ы2. Исключив t из уравнений для у и х, получим y = 2Y~bx\ t) y=.
Рис. 0.16.6
= (о cos (ut\ я = sin oof. После возведения в квадрат найдем у2/(й2-\-х*=\
(уравнение эллипса); ж) у= =F aeTat sin г + еТа* cos t\ x = ezfat sin t. Фазовые
портреты для всех случаев приведены на рис. O.16.6, а—з. 16.14. а)
Уравнение фазовой траектории у — —х, где y = ducldt*\x — u*c\ uc~uc/Uco\t* = t/To;
T0 = RqC0; б) у = — х A-х) (рис. О.16.7,а,б). 16.18. Рис. 0.16.8, а—и.
\
i&
N
а)
Рис. 0.16.7
Точка О на рис. 0.16.8, а—б—устойчивый узел, на рис. 0.16.8,
д—неустойчивый узел, а на рис. 0.16,8, г—центр. Замкнутые кривые на рис. 0.16.8, д—
— и—предельные циклы. 16.19. Рис. 0.16.9, а, б. 16.21. Уравнение изоклин:
х/С (х) ,
-— , где k — t
о; с (<?)=-
•. Поле изоклин для cti = 0; а2 = 90°;
«з 4 = ± 45° и фазовые траектории для случаев а) и б) приведены на
рис. О.16.10, а, б. На рис. 0.16.10, в построен график С (?*) = /(<?*), 16.24. Урав-
нение цепи:
508
= 0, где x = q/q0; g>o=
1
p! = pfL. Его
решение имеет вид х = а (t) sin tot, где a (t) = A=q0; со2 =Оо +-j- Pia2. Таким
образом, имеем незатухающие колебания с амплитудой, зависящей от
начального заряда. Нелинейный эффект проявляется в зависимости частоты колебаний
ж)
Рис. 0.16.8
в)
АЛ
6)
' 1
от амплитуды. 16.25. Уравнение цепи: —-+g>o# = cdo sinco^? T&zx = qlqm\ qm—
— СиЕт; coo=l/(L0C0). Его решение имеет вид х = а (t) sinatf + 6 (() cos со/,
а) a(/) = i4 = const; 6 (/)=—соо^/2 + Ь @). Амплитуда косинусоидальнойсостав-
ляющей монотонно возрастает, так как при со=соб в цепи наступает резонанс;
б) 6уст = 0; ауст = со0/(а)'о—со2).
Глава семнадцатая
17.2. а) Граф дан на рис. 0.17.1, а; /3 = 2,34е"" 20°32' А; б) граф дан
на рис. 0.17.1,6; /3 = 3,5е-15°15' А. 17.3. ?ц = 0,05 См. 17.4. a) Ga4 =
bd(\ . б) G = - abg(e+df)
— bdc)(l—m)—gh(f+bce)
Рис. 0.17.1
17.5. ?оз = О,2 См. 17.6. У13 = 0,31е~/7°См. 17.8. /4 = 0,1 А. 17.10. Граф
четырехполюсника в Z-форме показан на рис. 0.17.2, а, граф четырехполюсника
в F-форме записи — на рис. 0.17.2,6. 17.12. Граф эквивалентного
четырехполюсника дан на рис. Р. 17.5, 6; передачи его ветвей через параметры первого
и второго "четырехполюсников: А — АхА2-\-В-^С2\ B==AiB2 + BiD2\ С=^СхА2 +
«г
1,
а)
В)
"г
Рис. 0.17.2
2. 17.18. Граф дан на рис. 0.17.2,6; передачи ветвей:
1) + П1); Yn = Y$? + Y&; Yn = YS? + Y&. 17.16. Лв1 =
SRK
/Ri' a%
- ответ
K+RH/Ri+RJRi
к задаче 17.2.17.22. a) RBX = 0,5Ом; б) /?вх = 1,75 Ом. 17.23. К11=0,715е/24°4-' См;
Г13 = 0,15бе""/38°40' См. 17.24, (/у =63,3 В.
Глава восемнадцатая
18.1. В соответствии с § 18.2 [1] /р — -^-М-}--——f-g"/tt4+•••) '» ЛЛ=
= -~ I /n+-j-+ ... J. Пренебрегая в этих выражениях слагаемыми в
скобках со степенями т выше второй, найдем Iim/Io = m/A + 0,5m2) =0,08/1,0032 =
г»
=0,0796; m = 0,08. При/п-~- = 8Л0-§ R0 = l кОм. 18.2. По первому закону
Кирхгофа, ii+ib = J (I)»
По второму закону Кирхгофа, ^/^—т [iJL (t)] или и=-5 I ^ @"jf+^2 ^7^@ I •
at Hi ^ at at j
Подстави© значение i± в уравнение A), получим L \
510
-ir + h I R + ~77L(t) I
= /?/. 18.4. В первом интервале времени tT-0,5+0,252-2000/; и1 = -50,4е-2000/;
во втором iu = l-0A073.e-im{t-X} А; и}} = 40,73 е000 (/"т) В. График ul =
= /(/) изображен на рис. 0.18.1. 18.5. Ток в первом полупериоде il ==
е ^ * Из условия задачи it*=o/it**% = (
1-е
18.6. Р= i- f ?tdT=^- Г (О,5+О,252е-2ООО0^+\ A-
о Lo о
2т
= 67 Вт. 18.8.
40J3
~
ч\
0,8
0,6
0,4
0,2
О
Рис. 0.18.1
4 8
Рис. 0.18.2
*—т) =
Па.
~
,
' ^о=^о/о+у /п. 18.10. i=0,815 sin со*+0,545cosotf-
—0,0464 sin 2co/ + 0,081 cos 2(ot А; г|?0=-8,15- Ю В-с. 18.11. i=3,53 + 0,1365x
Xsin co^ — 0,683 cos 0^ + 0,697 sin 2Ш + 0,0205 cos 2Ш А; ^0 = 354,4-10 B-c.
18.13. 3a одно скачкообразное изменение емкости конденсатора в цепь достав-
2 д^
ляется энергия &Wb^-}~--7r-. За один период изменения тока происходит
два скачкообразных изменения емкости; следовательно, энергия, доставляемая
2 j.p
за один период в цепь, равна -ут~-?г-- В 1 с со/Bя) периодов. За это время
2
в цепь доставляется энергия (мощность), равная Щ- АС —. Учитывая, 4TO^=
Со 2л
/ 2 АС
= /и/со, получим о тс "Т7"-^0»035 Вт- 18.17. На рис. 0.18.2 заштрихованы
области неустойчивой работы цепи. Если изображающая точка, соответствую*
щая подсчитанным а и q, попадает в заштрихованную область, то режим
работы окажется неустойчив, если в незаштрнхованную —устойчив, а) а ж 1,
<7 = 0,00313; режим неустойчив, так как изображающая точка находится в за-
511
штрихованной области; б) а = 2; ^ = 0,0626; режим устойчив, так как
изображающая точка находится в незаштрихованной области. 18.22. Условия задачи
18.21р выполнены; а = 0,0405 В-с, Ь = — 0,365 В-с/А.
Глава девятнадцатая
19.1. а) хт = 4 см; хп = —12 см; ?„ = -Л-125 В/м; Fx=—t-2,5.10~8 H;
б) хт = —12 см; *„ = 4см; ?„=?.1125 В/м; ?х =7-2,5.10~8 Н. 19.2. АаЬ=
= — 207-Ю-19 Дж; Л&с = 23-10-19 Дж; Л^= 184-10~19 Дж. Перемещение
на участке аЬ может быть совершено за счет действия внешних сил, а на
участке be—за счет действия сил поля. 19.4. Цтп—П0В. 19.5. т=1,66-10~4 Кл/м.
19.7. Внутри шара ф=188 В; | grad ф I = 0. Вне шара ф = 9,4/г В; | grad ф | =
= 9,4/г2В/м (г—в м); ?/12 = 94 В; C=16,7-10~12 Ф. 19.9. ЕА = 0; Ев =
= 7,85 кВ/м; ?с = 8,45 кВ/м. 19.10. Ф (*, у) = 9 In-|=|J±^- ; grad Ф=18х
j -»г з — х 3 + * 1 Г Г У У 1 \
х \l LC-^J+y2+C+^J+^J+/ I (з-*J+у2 " (з+*J+</2 J ( х
—> —>•
432 В/ ( ) Э f25 В
3 = i »4,32 В/м (х, у—в м). Эквипотенциаль ф = -)-25 В строим по
следующим данным: радиус окружности г =1,6 м; координаты центра окружности:
*! = — 3,4 м; у = 0. 19.11. фл = 0,9 В; фд = 0,78 В; ?л=Я°-18 В/м; ?в=Я°Х
Х15,6 + 0°-4,5 В/м. 19.13. а) Электрическая ось сдвинута влево относительно
геометрической оси первого цилиндра на расстояние 5 = 0,285 см; б) Ет —
= 49,7 кВ/м; в) C = 3.10"^° Ф/м. 19.14. Е = —> (Заг2 + Ь/г); div? = —9«г;
rot? = 0; р = — 9е0аг. 19.15. Q =5-10~9 Кл. 19.16. <р1= 1,5- 105jc2 В; Е1 =3х
ХЮ5а: В/м; ф2 = —15-102 B,5-103 —х) В; ?2=15.102 В/м (х—в м). 19.18. фх=
=537,5 В. 19.19. а) ф = ?7— ; ?^=— а°— ; б) <р=С/ Я"~а ; ?=a_JL- ;
7 а0 аог х т я—а0 (я—а) г
в) Ф = 0; ? = 0. 19.20. У = - ^ lniiM,; ? = ^_е° "
19.21. ?2 = 5,88.104 В/м; а2 = 58°; ?з = 22,25.104 В/м; а3=13°. 19.22. 8г2 =
= 4,56. 19.23. Для конденсатора без воздушного зазора (Jnv = 90 кВ; ? =¦
= 7500 кВ/м; JD = 28,6-10-6 Кл/м2; Р = 21,8-10 Кл/м2; ф = — 75-Ю5* В;
С= 126- Ю-*12 Ф. Для конденсатора с воздушным зазором ?/пр = 6,47 кВ;
?'параф = 348 кВ/м; ?в=1500 кВ/м; Л=1,33.10-Б Кл/м2; Рпараф = 1,015х
ХЮ Кл/м2; Рв = 0; асв = Рпараф; ФпаРаф = — 348-103* В @ < х< d{); фв =
= — 15.105л:+5760 В {йг < х < йг + с12); С = 82,2.10~12 Ф (х—в м). 19.24. С=
= 17,7-Ю-12 Ф. 19.25. гх = 2 см; (Упр = 400 кВ; шэ = 0,353/г2 Дж/м3; Г =
=0,445 Дж (г—в м). 19.26. a) er2 = 2,5; Ai = 4,l мм; А2 = 5,9 мм; С = 7,85х
ХЮ-" Ф; б) ?imax = 3,6.10» В/м, ?lmin=l,8.105 В/м; ?2тах = 0,9.10» В/м;
= 0,45.105 в/м; С = 7.10"^2 Ф. 19.27. ф = 565 (^10-2-22-| г |) В;
512
ХЮ-* H; Л-9.100 Дж; б)
19.32. фЛ^=0,09 В; ? = Я
2пг0
1л
=2_. 19.37. ?а =
V^ const
= 6,43-10-» H; A = 6,43- Ю-10 Дж.
В/м. 19.35. F = -
2-r20)'Y
В/м; ?ь = 46,7 В/м; са =—19,9х
U= const
Рис. 0.19.1
1
/
0
-2
2
-2
О
Ф
id
. 19.57. ^=
где Аъ Л2, В, С, Z), ?—точки плоскости W,
соответствующие заданным точкам плоскости г.
19.59. асв=—^ 1Л
0
Рис. 0.19.2
где х—в м.
j-9 Кл/м2; а^ = 3,03-10-9 Кл/м2. 19.39. Ti = 3,75.10 Кл/м; т2 = — 1,25х
О Кл/м; т3 = 0; фх = 200 В; ф2 = 0; ф3 = 50 В. 19.40. С12 = 0,214х
0-и ф/м; Сп=1,366-10-11 Ф/м; С22 = 0,93Ы0-п Ф/м; Ср = 0,764Х
^чхО-11 Ф/м. 19.41. а) (Ур=12,5 кВ; б) i/p =
= 80 кВ. 19.42. а) G = 100 кВ; б) <7р = 200кВ.
19.44. aCB = +b05xl0-7 Кл/м2. 19.45. ?л =
=138,4 кВ/м; ?^ = 69,2 кВ/м. 19.46. а =
=79,74.10 + 53,16. Ю-7 cos 0; Ео = 7-105 В/м.
19.47. ?л = 2,66.10-7 Кл/м2; D5= l,58*10-7
Кл/м2. 19.48. ?!=10.103В/м; ?2 = 5-103 В/м;
?з = 2,5.103 В/м; ?4=U-103 В/м. 19.50.
С = 7.10-п Ф/м. 19.51. а) ?л= 28,6-103 В/м;
б) ?/Л5=100В; в) ас = 3,55.10-7 Кл/м2; г)
= 1,69-Ю-9 Кл. 19.53. а) U = x/(x2+y2); V =
= — у1{х2-\-У2)', рис. 0.19.1, а; Ж = 1/(д:2 + г/2);
у = у—а2у/(х2 + у2); рис. 0.19.1, б. 19.54. а^
^2+^2==е^/5; t/ = ^tgF/10; б) х2— у2 =
= 100G; ^ = 50У; в) x=b(J2-y2/B0U2) (эк-
випотенциали); л: = г/2/B0У2) — 51/2 (силовые
линии). 19.55. ?fe = 4OOe~/37° В/м; фй = 18,5 В;
0^ = 3,54-Ю-9 Кл/м2. 19.56. а) г
N
1А
U2
*
Si
/2
г/.
\
\
-
4 ty/0>
513
т2
т3
т4
т5
Lt6
То
То
— То
— т0
L— т0
<yCB = f(x) приведен на рис. 0.19.2, а. 19.62. а) Каждый электрод разбиваем
на три равных участка. Обозначим линейные плотности зарядов: Ть т2, Тз-—
на участках электрода Л; — т4, — т5, — тб —на участках электрода Б.
(Номера возрастают в направлении увеличения координат z и у.)
Система алгебраических уравнений в матричной форме:
Г5 997 1,096 0,51 —0,562 —0,374 — 0,276П
l',096 5,997 1,096 -0,693 —0,405 -0,287
0,51 1,096 5,997 —0,562 —0,374 —0,276
0 553 0,654 0,553 —5,997 —1,096 —0,51
0,37 0,397 0,37 —1,096 —5,997 —1,096
_0,274 0,284 0,274 —0,51 —1,096 —5,997J
Решение системы уравнений: Т! = 0,158т0; T2 = 0,145t0; т3 = 0,158т0; т4 =
= 0,175т0; т5 = 0,138т0; т6 = 0,148т0; где то = 4яеофо = 1,1Ы0"8 Кл/м. График
зависимости х (z) для электрода А приведен на рис. 0.19.2,6 (кривая /).
График зависимости т (у) для электрода В дан на рис. 0.19.2, в; Qa = — Qb =
= Ь0,14.10-10 Кл. б) График зависимости т(г) для электрода А приведен на
рис. 0.19.2, б (кривая 2)\ Q^ = 0,847.10-7 Кл.
Глава двадцатая
20.1. / = 276А. 20.2. ?= —Т-2-10-4л;+Л2.10-VА/м2'; div6 = 0; / = 5x
Х10~6А. 20.4. 6 = 2,МО5//* А/м2 (г —в м). 20.5. 6тах = 2,88-106 А/м2; ртах =
= 2,5.105 Вт/м3. 20.6. р= 187,5.102/г2 = Вт/м3 (r-в м); Г = 0,37ч. 20.7. G =
= 1,818-Ю-10 См; ^ = 181,82 В; (/2= 18,18 В. 20.8. ?/ = 52,5 В. 20.9. / =
= 30 2Ы0-3А; 6j=7o.1,442 А/м2; tB==r*.2,884 А/м2. 20.11. #х = 5 см;
G==6,28.10-10 См. 20.12. а) / = 9,934.10-6 А; б) /= 10,013-Ю А; в) /=10х
ХЮ-6А. 20.13. #о=193см. 20.14. у= 1,99.10 См/м. 20.15. Яо = 39,8 Ом.
20.17. ?д = 43.104В/м. 20.18. G = 1,13-100 См/м; /= 1,13-10~7 А/м; ба =
= 1,08-10-6 А/м2. 20.20. G = 6,87-Ю-7 См; / = 0,0687 А; Р = 6,87 кВт.
20.22. р = 593^°1 Кл/м3; Ф = 2,07.103 In A+20*) В (*-в м). 20.23. р =
= 0. 20.26. G = 10,65 См/м; С = 4,72-10-1* Ф/м;
Глава двадцать первая
21.1. #1 = 0; го!Ях = 0; Я2 =
X 56,7-10* А/м2; #3 = —
А/м;
B-10Z Тл
= 45 А;
514
ХЮ4А/м2; Я4==31,9/г А/м; 4
= 0 (г —в м). 21.2. г2= 11,2-10-3 м.
При 0 < г < г0 В = 25,1г Тл; при
г0 < r < ri # = 6,28* Ю-*6//* Тл; при
D 313,8-Ю-5 ок , х
П < г < г2 ?= ! 25,1гТл
(г —в м). 21.4. 6 = 0,9 см; <*=1,8см,
21.5. F1==F2=7*.8,66.10~^H/m; F3 =
= — /t 17,3. Ю-8 Н/м; ^=?-2,ЗЫ0-7
Тл; ^ = (/.3,46 + /.3).10~7 Тл. 21.6.
.7. ?„ 6,6 л (« )
21.8. РВ0= 6,8-10-! Тл. 21.10.
А/м (r-в м). 21.11. Я^ = а°.31,8 А/м. 21.12. ^/мЫС =
^T А/м,
-0,2 -0,1
Рис. 0.21.1
Рис. 0.21.1. 21.7. 5^ = 6,66-Ю-3 Тл _ («к нам»];
(«от нас»).
/)
?0 = 1,Ы0 '
Фм=—47,8а А;
21.14. ? = — a°Bar+b/r)$ = — ? —. 21.16. При 0 < у < а Аг =—18,84*/2Вб/м;
при а<у<сс А2 = — F280г/+4670)• 10~7 Вб/м (у—в м); Ф = 2,16-10-7 Вб.
21.18. При 0 < г < г0 Лх =—157.10-3/-? Вб/м; при г0 < г < оо Л2 = —1256Х
() Л-963,5 X
Х10~7 Вб/м. Эквипотенциальной поверхностью является цилиндрическая
поверхность радиусом г = 5 см и с осью, совпадающей с осью провода.
21.19. фмв — фмб = — 2,83 А. 21.20. i4i==—12,56-10~ага Вб/м; Л2 = 3,14.10-6х
xfl+21nK *Л Вб/м; Л3= — 15,76-10~6+12,56- 10~2/-2 — 6,28.10 X
\ о» 1и а ]
г-вм). 21.21. А= 10-51п
Вб/м
(*—в м); LBH = 2f2 мГн/км. 21.22. М = О,965.1О-! Гн/км. 21.23. А = ^Х
X |/-[ [ Х~~0 ^""Т ?1' ^>==(^06'8' 10~8 Вб/М' где ^ и ?—полные
эллиптические интегралы первого и второго рода. Эквипотенциалью является
окружность радиусом г = 0,2 м. При r = 0; z = 0 А0=оэ; BO = 7°>6,28-IQ-Z Тл.
21.24."
X, СМ
5
10
15
20
25
Я, А/м
37,2
22,5
19,5
14,3
11,14
В. Ю-4, Тл
4,68
2,83
2,46
0,246
0,28
0,143
Провод стремится оттолкнуться от поверхности плиты с силой
F=: 0,543-Ю-3 Н/м. 21.26. ^4=2.3,65 Тл. 21.27. LBH= 15,95.10~5 Гн.
21.28. #о = 16 А/м; Ha = 22J А/м; #&=163 А/м; Я0 = 3,8.10-4 Тл; Ва1 =
= 5,43-Ю-4 Тл; Ва2 = 0,285-10-4 Тл; ?6 = 2,04.10-4 Тл. 21.29. ?0 = 0,278 Тл;
А/м; Вш/ = 0,071 Тл. 21.33. а)
Х25 А/м; б) Яр =(?. 1000—750) А/м; Я^=?.
/ 10 4
= 3,6-Ю-6 Дж/м. 21.34. / = 200 А. 21.36. фм^—фм5 = —6 А; Яс =
Ф« 8,25-Ю-7 Вб/м. 21.38. а) #м= 1,97.10е Гн-1; б) 1= 1,34.
в) М = 8,37.10-5 Гн. 21.39. а) #м = 9,7-106 Гн-1.
= 1.25—/.50 А/м; #?= —i
А/м; TTM = H|g-
= —6 А; Яс = 220 А/м;
".10~2Гн;
а, град
0
30
60
90
М.10-6, Гн
5,7
3,9
1,4
0
22.1.
Глава двадцать вторая
/.Гц
0
300
300.10б
О/в пр» А/М
ооо
5/ясм» А/М2
0
10-2
Ю4
22.2. Я = 0,132гсозA05/ + 60°) А/м (г—в м). 22.3. При 0 < г < н #i =
= a°1125,sin г (со/.+ 90°) А/м; rot Я = г°22,5 sin (со/ + 90°) А/м2; при г±<г <гг
515
#=
+45°) А/м; rot#=?°
sin (erf — 30°) В/м;
=iili sin (со/-45°) В/м; tt = 6 000sin(co*-36°40')B. 22.5. е-
; при х=6 см г = 0,167-10-б в.
22.7. rot? = —zo-31,4cosl00* В/м2; /Ук = 11,1 В. 22.9. С fldif = f П dS =
= 0,5-107 Вт; Р=107Вт. 22.10. Д=О,Змм; С UdS= [ UdS = 2,24 Вт/м,
22.11. a) n = /i(x). б) П = Мг).
л:, см
—99
—50
0
50
99
ГЫО4,
304.
215
120
215
304-
Вт/м2 •
10*
10*
г, см
00
—100
—75
—25
0
П-104, Вт/м2
0
29
49
104
120
г, см
25
75
100
00
ГЫО4, Вт/м2
104
49
29
0
«.,, 1.
Si
-iS?. 2.
Глава двадцать третья
23.1. 6=1078sin(Grf + 24o20') А/м2. 23.2. Яо = —4,8 А/м;
234 А-0 Pl h 2^ 2k h 2^
, А/м;
l ch 2^-
1,75 А/м.
23 6 Pl ul
. 2d.b. —-^^2^-005 2^! sh 2ifea2 - sin 2ka2 ~ °'/B'
¦т^= ^ х=1,09, где pi, p%—удельные потери на вихревые токи в первом и
«2 сп ра%
втором магнитопроводах; klt k2—значения k для первого и второго магнито-
проводов. 23.7. А = 0,54 мм; Па = 2,Ы04 Вт/м2; Пг = 870 Вт/м2, где г = а—А;
/=1,4 мин. 23.8. Па = — Ы7,5е/8° Вт/м2; Р=1,41 Вт/м; Ф = 8,7-10-7х
°30' Вб; i?noCT = 2,23-10-4 Ом/м.
1 Гц
103
105
/МО4, Ом/м
2,24
10,5
L.10-8, Гн/м
5,2
16,9
h sh 2pa
lp
hy sh 2pa
Z, CM
0
— a
104, А/м2
0
6,8
29,0
516
Рис. 0.23.1
23.11. Z = (l 1,5+ /22,82)-Ю-4 Ом/м; при /=5 кГц Л1==4,47 см; 2Ь=
23.12. Рис. 0.23.1; 7=10, 25 А.
Л кГц
0
0,1
10
60.105, А/м2
10,2
10,1
8,42
0,354
R/Ro
1
1,005
1,317
3,9
L/Lo
1
1
0,83
0,29
23.15. а2 = 2,69см; а) Ям-2,28-104 Ом/м; #ст = 0,442-10~4 Ом/м; б) #м =
= #ст = 2,63.10-4 Ом/м. 23.17. А = 1,7 мм; /i= 1,59 мм; 23.18. р = 207 Вт/м;
5В
г, мм
0
я/2
а
Ю5,
0
17
312
А/м2
,8
г, мм
0
го/2
го
П, Вт/м2
0
10,1
6050
71=1
BП-1J J
2/1—1 TCZ\ щауа*
23.20. H(t) = Ha\]
[CO
л = 1
Глава двадцать четвертая
24.1. а) ?/^8 = 2,67 В; б) UАВ = 0. 24.2. Еа = —\ 300 В/м; #а = — 3,46 А/м;
?#, = 1300 В/м; #ь = 3,46 А/м. 24.3. П = 6,28.10~3 Вт/м2, /=600 МГц.
24.4. #i = 0,81 sin (со*+ 14,2°) А/м. 24.6.
/, МГц
р, Вт/м*
400
0,879
1000
0,94
8500
1,69
24.8. ?- = 1,53еУ45°В/м; Й~ =0,572-10е/45° А/м^?п = 3,2е/4б° В/м; Яп =
==2,4.10-2е/4б° А/м; ф1 = фБр = 63°35/. 24.9. f/i « 6,8 мкВ. 24.10. 8Г 32
24.12. фкР = 69,63°; Amin = 0,93 мкм. 24.13. Ег (/) = 15,3-10~6 sin C-
Ф, град
69,63
70
80
90
h, мкм
1,171 0,214 0,186
+ 24Г2Г)В/м; Нг (/) = 2,63-10-8sin C-10^+165°33') А/м. 24.14. ?^@) =
= 2,474е"/б°10/ мВ/м; ?m@) = 0,532e/l49°50' мВ/м; Ё?п @) = 2 мВ/м; 1+=
= 7° @,0717 + /. 1,4) м-1; ?- = -?°.@,0717+/.1,4) м; ?"=>.@,487 + /Х
X2,04) м-1; ni= 1,4—/-0,0717; п2 = 2,04—/.0,487; ^i = 2,14.108 м/с; уф2 =
= 1,47* 10е м/с. 24.15. # = 0,0386е/151°5<)/; T = 0,966e/l06'. 24.18. 8г2 = 9;
d=l мм, 24.19. Рис. 0.24.1, а, б. Г12 =
517
т
1 ю=
1 — Т^ er2
! ¦ Q
//2
Ж
>=е с * ЁГ\ 24.20.
Ж | I
I
I
Ж
a)
Ж
-?fl
!ь
V
^
I
24.21.
p = 8,86 Bt/m3.
24.22.
518
Phc. 0.24.1
0
250
00
6
3,5
1
0
2,5
0
CD, С-*
0
250
?.Ю4, В/м
3,65
3,65
Р. Ю-6, Кл/м2
1,6
1,14 е-/,450
D.10-6, Кл/м2
1,93
1,38 е-/ 3*°
24.23. Fo= A,27+/.50,73). К)-*0 См/м; G0-l ,27- Ю-10 См/м; C0=4,49.102 Ф/м.
6Д = 14,9- Ю-8e/ б4° А/м2. 24.24. ? = 6. Ю-5 A -в/*) В/м; бпр=0,06 A —е**) А/м2;
^ 10бA^)К2
с-*. 24.26. ^ = ?0(—
где р = —
Глава двадцать пятая
25.1. ф = —25,57sin C.104 — 54,6°В). 25.2. <р = — ~^-1п-^-
-^-. 25.4. Л* = —
Рис. 0.25.1
-2.10-9)] Вб/м; ^ = ^^J ^
Ю8 (^— 1,4Ы0-9) Вб/м; ^ = ^°.45,3—9°.45,3 В/м. 25.5. В точке Л
7,88.10 А/м; ?,«6=0,347 В/м; ЯяЛ=1,56 В/м; в точке В Я/П = 4,17х
Х-7 А/м; ?me = l,54.10-4 В/м; ЛяВ = 5.10-« Вб/м; *д = 10-* с. 25.6. i =
= 73sin @)^-30°) А; Е1т = 1,375sin0 В/м; ?2д,=697. ]/ EilE_(-cos2e В/м;
рис. 0.25.1,а, б. 25.8. Ёта =а°-0,335 е-/»°в В/м; Ят6 =—°.О,915х
X Ю-3е-/120° А/м. 25.9. П = ^°.5,65.10"u cos2 (art— 115°) Вт/м2; Ps = 0,607 мВт.
Глава
26.2.
двадцать
Тип волны
н16
шестая
Лгкр, см
2,14
0,86
0,798
Тип
волны
#20
#02
1
0
р, см
,07
,43
519
Так как А, = 1,5 см, в волноводе может распространяться волна Я^.
26.3. Я2=25 cos 36,4л: sin (Ш — 51,2г) А/м; Яд.=35,4 sin 36,4л: cos (со/ — 51,2z) А/м;
Яу = 0; ?„ = —1,63- 104sin36,4л:cos (art — 51,2г) В/м; ?^ = ?^ = 0; 6СМ v =
= 2,72-103sin36,4xsin(o/-51,22) А/м2; 6СМ ЛГ = 6смг=0. 26.4. НИ — /, 5;
И — 2, 5, 4, 6. 26.5. Поперечная магнитная волна ?21; ^кр21 = 2,86 см.
26.6. Етх = 39,7.103 В/м; Ету = 18,3-103 В/м; Ядах = 72,5 А/м; Я^ = 157,5 А/м;
Нт2 = 0\ Р = 985 Вт. 26.7. /? = 9,64 Вт/м; а = 4,88.10-3 м-1. Штырь следует
расположить в центре сечения, направив вдоль оси г, а петлю—в середине
узкой стороны сечения так, чтобы ее плоскость была параллельна
плоскости уОг. 26.8. Ршах=
= 1,88 мВт.
2160 Вт. 26.9. <*=10,2 см. 26.10. Я101;
Глава двадцать седьмая
27.1. y — v у —jj- • Условие пролета: x=d/2. 1. Следовательно, ?/тах <
< —д- vl. 27.3. а) —^— < (/Лф, где при d < R разность потенциалов на
двойном слое Аф « Ed; ? = a/e0; б) частица совершает колебания внутри сферы
вдоль радиуса со скоростью vx и периодом Т « 4Ri/vi\ в) y2 = ^ "*
mv\
27'.4. Vi=^Vin-\-Vit\ y2 = f2rt + v2f> гДе Vit — Visinai; i>2f = p2sina2 (рис. 0.27.1)
Рис. 0.27.1
Так как yit =
sin at
то t>2=t>i-r—-
sin ct2
Рис. 0.27.2
. По закону сохранения энергии, mv2/2 =
и, следовательно, sina2 = -
. 27.5. naL-jmL =
mv\
1—ф2). Если Gi = — <7 < 0, ух = 0 при фх = О, то
1
и, следовательно, i>= l/ — ф. 27.6. sina^sina2 = Уф2/фх. 27.7.
Траектория движения электрона q < 0 показана на рис. 0.27.2. При построении
использован закон преломления: staa//sina/+x = y^/+i/q>/. 27.10. ркул =
^^S так как Ив=
При <7i = <72 ^кул—силы отталкивания; FM — силы притяжения. 27.13.
Магнитный момент Мм обусловлен вращательным движением частицы: MM = t5, где
то,
i = q/T = qvi[BnR) — средний ток; S = nR2. Учитывая, что Я=—Ф (см. за-
520
дачу 27.1 Ip), Мм = -^~. Магнитный момент не зависит от знака заряда и
направлен противоположно внешнему полю. 27.14. В верхней полуплоскости
частица движется по окружности радиусом R1 = mv0/(qB1), в нижней —по
окружности радиусом R2 = tnvo/(qB2) = Ri/2 (рис. 0.27.3). Поэтому средняя скорость
перемещения (дрейфа) частицы вдоль оси х
fcP = «i/@,5711+0,5712), где T1=*2nm/(qBl);
T2 = 2nm/(qB2) — время одного оборота в
верхней и нижней полуплоскостях, a) иср =
2
= ~о~ v0 « 0,2у0; б) уср » 0,07у0. Из решений
для случаев а) и б) следует, что чем меньше
АВ/В, тем меньше скорость дрейфа.
Направление скорости дрейфа зависит от знака заряда.
27.15. 1. Под действием поля В частица с
зарядом q > 0 вращается вокруг силовой линии, Рис. 0.27.3
а под действием поля Е равномерно
ускоряется вдоль кполя. Поэтому траекторией движения является винтовая линия с
линейно возрастающим шагом. 2. Если поля В и Е антипараллельны, то
сначала частица движется по сжимающейся спирали. Достигнув нулевой
скорости вдоль оси xt частица начинает двигаться в противоположном направле-
нии по растягивающейся спирали. 27.17. Е' =E-{-[vB\\ В' = В — [vE\.
Глава двадцать восьмая
28.2. Если движущийся проводник пересекает магнитные силовые линии,
то в нем возбуждается, согласно закону электромагнитной индукции, э. д. с.
Для идеального проводника (у=оо) это приводило бы к бесконечному току,
что невозможно. Поэтому движение проводника с 7=°° в магнитном поле
должно носить особый характер, т. е. быть таким, чтобы пересечения линий
поля не было. Это возможно в том случае, если проводник «увлекает» за собой
магнитные силовые линии (поле «вморожено» в проводящую среду). Математи-
_. —>
чески уравнения «вмороженного» поля следуют из уравнения rot? = — dB/dt
-> ->-> -> -»->•
с учетом того, что Е — —[vB\ (см. задачу 28.1р). В результате dB/dt — voi [vB].
Это же уравнение можно получить, если положить у = °° в уравнении B8.5) [lj.
28.4. а) При поперечном сжатии плоского слоя плазмы [?у]и = О, так как
направление сжатия (изменения) перпендикулярно скорости. Следователь но t
->
-jT- ( — )=0; J5/p = const; В ~ р; р!Л = В2/B\ха) ~ р2. Этим обстоятельством
можно, например, объяснить происхождение сильных магнитных полей в
звездах за счет гравитационного сжатия разреженного газа со слабым
«вмороженным» полем, б) При продольном сжатии магнитные силовые линии только
сокращаются в длину, но не сгущаются. Поэтому ни В, ни /?м не зависят от р.
в) При сжатии сферического сгустка В ~ 1/Я2; p = /n/u~ 1/R3; следовательно,
?~р2/3, рм~р4^3. 28.5. а) При v = 0 уравнение диффузии для плазменных
сгустков — = vMv2#i где vM= l/{y\ia) — коэффициент диффузии (магнитная
вязкость). Считаем, что на границе сгустка поле максимально: Втах = В0. Тогда
2? д*В , д*В д*В Во дВ Во п
у*В = 1 1 « —J- ; — « —- . Отсюда для сферического сгустка
дх2 ду2 dz2 Ro dt t0
tottyn-aRo (аналогичный результат см. в [I]). б) Для тороидального сгустка
^о « 1*<аУго- Для процессов, происходящих при t < t0, допустимо считать поле
«вмороженным». 28.6. i. tQ « 60 с. 2. /0 = 60.Ю*в с » 17 млрд. лет (это время
521
сравнимо с возрастом Вселенной, который, по современным оценкам,
составляет ~ 20 млрд. лет). '28.8. Основное уравнение магнитостатики gradp =—X
X [rot В• В] = — grad -75 Ь (В grad) —. В данном случае изменение вектора В
происходит только в перпендикулярном к В направлении. Поэтому (В grad) В = 0;
/ Б2 \ В2
grad Р+-Л—1=0; Р+-9—=p* = const, где р*—суммарное давление, вклю-
чая и магнитное. В данной задаче p = nekT-\-nikT = 2nkT и, следовательно,
Вт-т = Y Д й ф
2 Тл. 28.9. Для устойчивых конфигураций характерно то,
что магнитные линии обращены выпуклостью к
плазме. В связи с этим конфигурация рис. 28.4, а
устойчива; рис. 28.4, б— неустойчива; рис. 28.4, в—
безразличная. Устойчивые конфигурации
создаются, например, в так называемом антипробкотро-
не — системе из двух катушек со встречными токами
(рис. 0.28.1) и в других системах с минимумом поля
внутри. 28.10. 1. р (г) = jew — Цо —7 г2, где ртах=
2-
= Pftiax = const. 3. В ОТ-
Рис. 0.28.1
ношении изгиба при r0 « R равновесие устойчиво,
так как при малом радиальном изменении
жидкого проводника возникает возвращающая сила за
счет бокового распора магнитных силовых линий в
зазоре. При r0 < R такое равновесие может стать
неустойчивым. В отношении «перетяжек» обе конфигурации неустойчивы.
4. «Вморозить» в жидкий проводник достаточно сильное осевое поле, например
помещая всю систему в поле соленоида. 28.11. а) ?^=-
и, следовательно,
; б)
~ V Polio 2 2 од, У ро
движении слабоионизированного газа в магнитном поле на проводящих стенках
накапливаются заряды (положительные—на верхней, отрицательные—на
нижней) и образуется разность потенциалов Uo. Процесс накопления заканчивается,
когда электрическая сила ^э^Я'^Т уравновешивает магнитную FM = qvB.
Отсюда наводимая э. д. с. U0~2dBv. 2. При включении нагрузки RH пойдет
1 2d
ток /= U0/(Rbh-\-Rh)> где RBH « - — внутреннее сопротивление МГД-гене-
ратора. При
г» где VT = 2dab—активный объем
МГД-генератора. Соответственно
=^-? = 2,5 МгВт/м3. 28.16. 1. На
поверхности Et = 0; Вп = 0. 2. Не = — / sin 6, где / = —#0/A —W) —
намагниченность; 6—угол между направлением поля Но и внешней нормалью; N —
коэффициент размагничивания. Для случая а) N=1/2; для случая б) N = 0;
для случая в) N = 1/3. 28.17. 1. М = /Уш= — j^jj • -j nRl где Нг=№1й wio=
*2L; 2) А1^-А?^
1
1—-
ние
xf * —i д;"ТГ^ ) » гДе Vk==KRih1 — объем катушки. 28.18. а) Уравне;
Лондонов v2B=—^-5 при B = Bk позволяет получить ?-? = 0.
Его решение при условии Вх=.±а = В0 имеет вид В (*) = #е ; б) В = В0Х
'•(г)
)K,L{,TAeJo(r/%L)-
f)
X—,х L\ , где /0 (гАх)—функция Бесселя.
(t)
Приложения
Приложение 1. Таблица показательных и гиперболических функций
X
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
]
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4 .
1,5
1,6
1,7
,8
1,9
2,0
е*
1,0
1,10
1,22
1,35
1,49
1,65
1,82
2,01
2,22
2,46
2,72
3,0
3,32
3,67
4,05
4,48
4,95
5,47
6,05
6,68
7,39
1,0
0,905
0,819
0,741
0,67
0,606
0,549
0,497
0,449
0,407
0,368
0,333
0,301
0,272
0,247
0,223
0,202
0,183
0,165
0,15
0,135
sh*
0,0
0,10
0,20
0,30
0,41
0,52
0,64
0,76
0,89
1,03
1,17
1,34
1,51
1,70
1,90
2,13
2,38
2,65
2,94
3,27
3,63
chx
1,0
1,005
1,02
1,04
1,08
1,13
1,18
1,25
1,34
1,43
1,54
1,67
1,81
1,94
2,15
2,35
2,58
2,83
3,11
3,42
3,76
X
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2f8
2,9
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
6,0
е*
8,17
9,02
9,97
11,02
12,18
13,46
14,88
16,44
18,17
20,08
24,53
29,96
36,6
44,7
54,6
66,69
81,45
99,48
121,5
184,4
400
0,122
0,111
0,100
0,09
0,082
0,074
0,067
0,061
0,055
0,05
0,041
0,033
0,027
0,022
0,018
0,015
0,012
0,01
0,0082
0,0067
0,0025
sh*
4,02
4,46
4,94
5,47
6,05
6,70
7,41
8,19
9,06
10,02
12,25
14,96
18,28
22,34
27,29
33,33
40,72
49,74
60,75
74,2
200
4,14
4,56
5,04
5,56
6,13
6,77
7,47
8,25
9,11
10,07
12,29
15,0
18,31
22,36
27Д
33,25
40,73
49,7S
60,76
74,21
200
Приложение 2. Таблица модулей и аргументов функций Jo (qr) и Л (qr)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ы
1
1,015
1,229
1,95
3,439
6,231
11,501
21,548
40,82
77,96
149,8
Ро*
0
14,22
52,28
96,52
138,19
178,93
219,62
260,29
300,92
341,52
382,10
Ы
0
0,501
1,041
1,80
3,173
5,812
10,850
20,50
39,07
74,97
144,586
Pi
—45,00
—37,84
—16,73
—15,71
53,90
93,55
133,45
173,51
213,69
253,95
294,27
* b0 — модуль, Ро — аргумент функции
функции J\(qr)\ qr = i
524
модуль, Pi—аргумент
Приложение 3. Выражения градиента, дивергенции, ротора и лапласиана в различных системах координат
a
Операции
векторного
анализа
grad ф
divA
rot A
декартова (х, у
а
а*
дх*
¦-ЧГ+-
-> -»
/ *
а а
аг/ дг
Ay Az
52ф а2
г)
г~дг~
W
Ф
Системы координат
цилиндрическая (г, а
Т°Тг
1 а
г дг
1 а/
г дг\
-g
г
а
аг
л,
аФ
1 г аа '
г
а а
аа дг
rAa Az
1а2ф
J ' г2 аа2
5
дАг
дг
^ дг*
—> >
R*dR\R dh
сферическая (^
.p -f-8° -Q- -^2—|-с
1 а
tfsmeae -
-*• ->
DO QO
*\ "
^2sin8 /?sin8
a a
а/? аэ
Ац RAq i
i j ' r2 sin e aelw
, 6, a)
% i аф
* flsin9 aa
1 dAa
ПОЛО) ' ^Ше ^
a°
/?
а
aa
R sin 9Ла
.nOa<pN i а2Ф
1пОае] п2еа«2
Приложение 4. Пакет программ к микрокалькулятору
«Электроника БЗ-34» *
Общие указания. 1. Перед вводом программы следует нажать клавиши В/О,
F и ПРГ.
2. Ввод программы осуществляется последовательным нажатием клавиш,
записанных построчно в тексте программы.
2. Для перехода в режим счета после ввода программы следует нажать
клавиши F, АВТ и В/О.
4. Перед тем как начать счет, в регистры памяти нужно ввести исходные
данные (начальное время tOf шаг интегрирования Л, коэффициенты уравнений
а, ЬУ с, d, начальные значение х0, у0 и др.), порядок записи которых в ячейки
регистра памяти указан в каждой программе в рубрике «Ввод».
5. Пуск в режим счета по программе осуществляется нажатием клавиши
С/П (за исключением особых случаев, оговоренных в инструкциях к
программам, когда для пуска требуется нажатие двух клавиш: В/О и С/П).
6. Работу программы можно в любой момент прекратить (например, при
«зацикливании») нажатием клавиши С/П.
7. Убедиться в правильности работы программы сравнением вычислений с
данными контрольных примеров. Для сокращения записи эти данные приведены
в каждой программе с несколькими значащими цифрами.
8. Во всех программах в рубрике «Ввод» приняты условные обозначения
вида tn = U2; /1 = ПЗ; ..., означающие, что число tn вводится в ячейку памяти
П2, шаг h—в ячейку ПЗ. В рубрике «Результат» обозначения вида *Л = ИП4;
уп = ИП5 означают, что после окончания счета для вывода иа индикатор числа
хп нужно нажать клавиши ИП4, числа уп — клавиши ИП5.
9. В задачах, где решаются дифференциальные уравнения, шаг
интегрирования можно приближенно выбирать из условия h& Q - -, где /?i —
наименьший по модулю корень характеристического уравнения. Для уточнения
решения вблизи t = 0+ желательно проводить дополнительный расчет в этой
области с более мелким шагом h, определяемым наибольшим по модулю корнем.
Программа ML Расчет переходного процесса в линейных цепях, описанного
уравнением -тг -\-ах— Atat + Bz$K
Решение (неявный метод Эйлера) имеет вид х„+1 = . [xn-{-h(Aeatn-\-
+ Ве*'»)]; tn+i = *n + h; n = 0, 1,2, ... .
Ввод: ^ = П2; п = ПЗ; *„ = П4; я = П5: сс = П6; р = П7; Л = ПА; ? = ПВ.
ИПА ИПб ИП2 X Fe* х ИПВ ИП7 ИП2 х
Fe* х + ИПЗ х ИП4 + 1 ИПЗ ИПб
х + ^ П4 ИП2 ИПЗ + П2 С/П БП
00
Результат: tn+1 на индикаторе и в П2 после каждого пуска; хп+1 = ИП4.
Контрольный пример: tQ = 0; п = 0Л; хо = О; а = 2.5; а = —2; Р = —1;
Л =10; В = 20.
Получаем *i = 0.1; *i = 2.4; *2 = 0.2; x2 = 4.022.
Программа М2. Расчет переходного процесса в линейных цепях
описываемого уравнением -rr-\-ax=
* Приведенные программы пригодны и для микрокалькуляторов МК-54,
если заменить ИП на П—>»х, П на х—>- П,| на Bf; xy на<-», arcsin, arccos
и arctg на sin, cos и tg-1. Они также пригодны и для
микрокалькуляторов МК-56, если вместо русских обозначений клавиш использовать английские.
526
Решение (неявный метод Эйлера) имеет вид
^* Р'»)]; tn+i = tn + h; л = 0, 1,2,3, ,,8
Ввод: tn = U2; /г = ПЗ; х„ = П4; а = П5; а = П6; р = П7; & = ПА; Б
ИПА ИП2 х ИП6 ИП2 х Fe* X ИПВ ИП7
ИП2 х Fe* X + ИПЗ X ИП4 + 1
ИПЗ ИП5 х + -^ П4 ИП2 ИПЗ + П2
С/П БП 00
Результат: tn+i на индикаторе и в П2 после каждого пуска; дг„+1
Контрольный пример: to = O\ h = 0.1; *о = °; а = 2.5; а = —2; Р =—1;
?=10; В = 20.
Получаем: ^ = 0.1; *i=1.6; ^2 = 0.2; *2 = 2.79.
Программа МЗ. Расчет переходного процесса в линейных цепях,
описываемого уравнением -г- + ах = А + Ameat sin (co^ + if).
Решение имеет вид
a'» sin (©/„ + *)]}; in+i = tn+h; /г = 0, 1,2, iee .
Ввод: г„ = П2; Л = ПЗ; л:п = П4; а = П5; а = П6; г|5 = П7; со = П8; Л = П9;
Л,Л = ПА.
ИПА ИП6 ИП2 X Fe* X ИП8 ИП2 X ИП7
+ Fsin X ИП9 + ИПЗ X ИП4 + 1
ИПЗ ИП5 х + -5- П4 ИП2 ИПЗ + П2
С/П БП 00
Результат: tn+i на индикаторе и в П2 после кождого пуска; лгп+1 = ИП4.
Контрольный пример: to = 0; Л = 0.1; хо = 0; а = 2.5; а = 2; -ф = 0; со = 2я;
Л = 5; ЛЛ = 10.
Получаем: /1 = 0.1; *i = 0.4; /2 = 0.2; х2= 1.105.
Программа М4. Расчет переходного процесса в линейных цепях, описывав-
d2x . dx . t Л dx dy я
мого уравнением ~?р\ааЧ\~°х~А или 'аЧ==У* Ш~ —аУ—
Решение (явный метод Эйлера) имеет вид
Хп+1 = *п+ку„; Уп+1 = Уп+Ь(А — ауп — Ьхп); tn+1==tn + h; n = 0, 1, 2, iti .
Ввод: ^П = П2; Л = ПЗ; л:п = П4; уп = П5; а = П6; 6 = П7; Л = П8.
ИП4
ипо
ИПЗ
ИП7
П4
ИП5
ИП4
ИП2
X
X
ИПЗ
+
+
по
ИПЗ
П2
ИП8
X
С/П
ИП6
ИП5
БП
ИП5
00
X
П5
Результат: tn+i на индикаторе и вП2 после каждого пуска; дсп+1
ИП5
уп+1
Контрольный пример: to~O; h = 0A; дг0 = 2; уо — О; а = 3; 6 = 2; Л = 0.
Получаем: /1 = 0.1; хг = 2; yi = —0.4; /а = 0.2; дса=1.96; у2 = — 0.68.
Программа М5. Расчет переходного процесса в линейных цепях,
описываемого уравнением ^ + a~ + bx= Am sin (©/ + -ф) или ^7=^ •?=Amsin(®t+
)--ay—bx.
Решение (явный метод Эйлера) имеет вид
n = 0, 1, 2,
Ввод: *„ = П2; Я = ПЗ; х„ = П4; уи = П5; а==П6; 6 =
со = П9; <ф = ПА.
ИП4 ИПЗ ИПБ X + ПО ИП8 ИП9 ИП2 X
ИПА + Fsin X ИПб ИП5 х — ИП7 ИП4
X — ИПЗ X ИП5 + П5 НПО П4 ИП2
ИПЗ + П2 С/П БП 00
527
Результат: tn+i на индикаторе и в П2 после каждого пуска; яя+1=Ш14$
= ШЪ.
Контрольный пример: /0 = 0; /г=0.5; хо = О; */0 = 0; а=0; 6=1; Ат==1;
1; \|) = 0.
Получаем: /1==0.5; ^ = 0; t/i = 0; /2=1; х2 = 0; у2 = 0.24; tB=l.5;
0.12; г/з = 0.66.
Программа Мб. Построение графика переходного процесса вида
х @ = Л + А^*
. Решение: xn+i = x(tn+1) = A + Л1е^^+* + Л2е^«+1; *rt+1==*n + u; п=>0,
1, 2, ... .
Ввод: *„ = П2; /1 = ПЗ; Л = П4; ЛХ = П5; Л2 = П6; рх = П7; р2 = П8.
ИП2 ИПЗ + П2 ИП4 ИП5 ИП7 ИП2 X Fe*
X + ИП6 ИП8 ИП2 х Fe* X + П1
ИП2 С/П БП 00
Результат: tn+1 на индикаторе и в П2 после каждого пуска; #П+1 .
Контрольный пример: to — O; Л = 0.1; А = 2\ Аг=1; <42 =—1; pi = —2;
р2 = — 1.
Получаем: ^ = 0.1; *i=1.914; ^2 = 0.2; л:2= 1.852.
Примечание. Если необходимо найти значение х=х@),
соответствующее /о = О, то в П2 при первом счете следует внести значение (—К).
Программа М7. Расчет переходного процесса в линейных цепях,
описываемого уравнением
йъх , d2x . ,dx . л
dx dy dz л ,
или —=y;JL=zz; j^A — az—Ъу—сх.
Решение (явный метод Эйлера) имеет вид
n = 0, 1, 2, ... .
Ввод: гл = П2; Л==ПЗ; д:п = П4; уп = П5; гп = П6; а = П7; Ь = П8; с = П9;
Л==ПА.
ИП4 ИПЗ ИП5 х + ПО ИП5 ИПЗ ИП6 х
+ П1 ИПА ИП7 ИП6 X — ИП8 ИП5 X
— ИП9 ИП4 х — ИПЗ х ИП6 + Пб
ИП1 П5 ИП0 П4 ИП2 ИПЗ + П2 С/П БП
00
Результат: tn+i на индикаторе и в П2 после каждого пуска; #П+1 =
ИП5 ИП6
1 у п+1
Контрольный пример: to = O; h = 0.1; *0=10; Уо = 5> го = 2О; а = 6; 6=11;
с=гб; А = 285.
Получаем: ^ = 0.1; ^=10.5; уг = 7; 2j = 25.
Программа М8. Вычисление корней кубического уравнения вида F (х) =
= x3+ax2-\-bx-{-c = 0 на участках монотонного изменения функции методом
половинного деления.
Решение: 1) предварительно методом проб находится интервал Ах
монотонного изменения F (х), внутри которого находится искомый корень; 2)
интервал Ад: делится пополам и определяется тот полуинтервал Д*/2, на котором
функция меняет знак и т. д. В результате я+1 делений корень вычисляется
с точностью nn + i А*»
Ввод: п = П1, где п—число циклов деления; д^п = П2, где хОп—граница
интервала слева; Д# = ПЗ; *in = n4, где х1п — значение корня с точностью
^*; F(xOn) = US; F (х1п) = П6; а = ПА; $ = ПВ; с
528
ипз
Fx2
ИП4
2
ИПА
П6
П2
-5-
ИП4
Fx Ф 0
ИП6
ПЗ
X
36
П5
+
ИП5
БП
+
ипв
X
00
П4
+
Fx <0
ИП4
FL1
ИП4
30
С/П
10
X
БП
С/П
ИПС
00
Результат: Хщ на индикаторе и в П4 после отработки п циклов (при
п = 6 время счета / «2 мин).
Указание: 1) Любой пуск программы осуществляется нажатием
клавиш В/0 и С/П. 2) Перед пуском в П5 можно ввести вместо F (х0) Ф 0 любое
число, совпадающее с ним по знаку. 3) Необходимая точность вычислений
задается числом циклов: при п = 6х1п определяется с точностью 10~2A#; при
/1 = 9—с точностью ~10~3А*. 4) После нахождения первого корня xin осталь-
F (х)
ные корни могут быть вычислены из решения квадратного уравнения —b-i-=0.
X—Х\п
Контрольный пример: F (х) = #3-f 6х2+ 11#+6 == 0 имеет корни х1ч 2, з = —3;
—2; —1.
Если ввести п = 3; хо = —6; Д*=3,5 F(xo) = —60; а==6; 6=11; с = 6, то
Л1^_2.94; если л = 7, то *!==—3.02.
Программа М9, Расчет переходного процесса в линейных цепях,
описываемого уравнением
dAx . dPx , . d2x , dx
-ZF+a-W+b4F+
dx dy dz dw
или ТГУ< 57=г: 5<==a': ж-(
Решение (явный метод Эйлера) имеет вид
; Уп+1 = Уп + Ьгп
wn + bzn+cyn +
я = 0, 1, 2, ... .
Ввод: /Д = П2; /г = ПЗ; жя = П4; г/„ = П5; г„ = П6; шя = П7; й = П8;с=П9;
6 = ПА; а = ПВ.
ИП4 ИПЗ ИП5 х + ПО ИП5 ИПЗ ИП6 х
+ Ш ИПб ИПЗ ИП7 х + ПД ИП7 ИП8
ИП4 х ИП9 ИП5 х + ИПА ИП6 х +
ИПВ ИП7 X + ИПЗ X — П7 ИПД Пб
ИП1 П5 ИП0 П4 ИП2 ИПЗ + П2 С/П БП
00
Результат: tn+i на индикаторе ив П2 после каждого пуска; хп+% = ИП4;
ИП5 ИП6 ИП7
Контрольный пример: to = O; h = O.OS; хо=1О; t/0 = 20; го = 4О; wQ = S0
d = 24; c-50; 6 = 35; а=10.
Получаем: /1==0.05; *i = ll; t/i = 22; z1 = 44; Wi=— 92.
Приложение 5. Программы, используемые
в расчетах электрических цепей
В настоящее время для анализа линейных и нелинейных электрических
цепей создан ряд машинных программ, например СПАРС, НАП-2, АНП-Зидр.*
предназначенных для исследования сложных схем. Эти программы позволяют
проводить многие виды частотного и временного анализа, рассчитывать
чувствительность схемы и выполнять ее оптимизацию по выбранному критерию качества.
Однако использование их для расчета небольших схем, особенно при изучении
методов расчета электрических цепей, оказывается нецелесообразным. В то же
время при решении электротехнических задач различными методами часто
возникают проблемы при решении систем алгебраических и дифференциальных
уравнений, нахождении корней полиномов цепей третьего, четвертого и более
529
высоких порядков. В этом случае применяют стандартные подпрограммы из
библиотеки научных подпрограмм на ФОРТРАНЕ, которые поставляются
к каждой ЭВМ.
Программа решения системы алгебраических уравнений с действительными
коэффициентами *. Назначение программы. Программа предназначена для
решения системы уравнений вида
[Л][х]^[уЬ A)
где [Л] —матрица действительных коэффициентов размерностью пХп; [*]-—
вектор искомых величин; [у] — вектор правых частей.
К системе такого вида приводят уравнения, описывающие процессы в
линейных цепях постоянного тока, составленные методом узловых потенциалов,
методом контурных токов, а также по законам Кирхгофа.
Описание программы. Алгоритм решения системы алгебраических
уравнений, в основу которого положен метод Жордана**, реализован в виде
подпрограммы JORDAN:
subroutine: Jordan <a,e,m>n,b)
REAL*4 A(M,N),E(M,NbB(M)
DO 11 I =ЬМ
IF (А(Ы) -NE.O.O) GO TO 11
DO 12 J = ЬМ
IF (A(bJ) .EG. 0.0 .OR. A(Jrl) .EQ. 0.0) GO TO 12
DO 10 К « bN
С = А(ЬК)
А(ЬЮ = A(J,K)
10 A(J>K) - С
12 CONTINUE . .
11 CONTINUE
DO 5 L = 1f,M
LI » L + 1
DO 3 К = bN
3 Е(ЬК) = A(L,K)/A(UL)
DO 3 X - ЬМ
С ~ A(bL)
DO 5 J - LbN
IF (I - L) 6,7*6
6 A(bJ) » Adi J)-C*E(bJ>
GO TO 5
7 A(bJ) = E(bJ)
5 CONTINUE
DO 8 I = ЬН
8 6A) = A(bN)
RETURN
END
В списке формальных параметров подпрограммы матрица А размеромМхЫ
является входным параметром и содержит коэффициенты системы уравнений
и столбец правой части, который записан последним. Вектор В (М) содержит
при выходе из подпрограммы результаты решения. Матрица Е (М,
N]—вспомогательная. Целое число М определяет порядок системы уравнений; N= М-)-1—
число столбцов матрицы А.
Для вызова подпрограммы JORDAN, ввода исходных данных и вывода
результатов расчета создана простая программа, текст которой приводится
далее. Отметим, что данный вариант программы рассчитан на решение системы
уравнений третьего порядка. Если необходимо решить систему более высокого
порядка, то нужно изменить размерность массивов А, Е и В. В одном задании
можно решить несколько систем уравнений. Признаком окончания задания слу?
жит знак «/»»
* Первые четыре программы подготовлены Н. Г. Юрчаком.
** См.: Березин Нь С, Жидкое Ht П, Методы вычисления. Т. 1.2,— М*
Наука, 1966,
530
CD —ЙВПГт<80>7ТОШз?1Ш>СИСТЕИМ ЖНЕЙННХ УРАВНЕНИИ—
DATA END/1H//
7 READ <Ы) T
1 FORMAT (80A1)
IF (Т<1) .EQ. END) 60 TO 99?
READ (Ь2) М
N = M + 1
2 FORMAT A2)
READ <b3»ERR=8>END=99_9> <<A(bJbI=l>MbJ*bN>
3 FORMAT CG14.7)
WRITE F>4) M>((A<bJbJ=bNbI=bM>
4 FORMAT (/ » ПОРЯДОК СИСТЕМЫ =M3;// > ВХОДНАЯ МАТРИЦА А V/
> 4СШ612.5))
CALL JORDAN <A»E,M,N,B>
WRITE F,5) (ВAЫ=ЬМ>
5 FORMAT С»* РЕЗУЛЬТАТ : >//10BX>G10.3)>
60 TO 7
8 WRITE F,6)
6 FORMAT С ' ОШИБКА ВВОДА ДАННЫХ >>
999 STOP
END
Г 36,0 -10,0 —18,0] Г<рл] Г i
—10,0 21,0 — 6,0 <рь = 2
L—1в,0 -6,0 34,0 JLcpJ L--
Порядок работы с программой, 1. Составить систему уравнений A). По
методу узловых потенциалов при М=3 для некоторой задачи получим
20,0]
35,0 •
-2O,OJ
где фл, фь, <рс—искомые потенциалы.
2. На стандартном бланке записать исходные данные задачи.
3. Набить эти данные на перфокартах. На первой перфокарте набиваются
комментарии к задаче (например, фамилия студента). Это набор любых
символов, которые выводятся на печать. На последующих картах набиваются
порядок системы уравнений (вторая карта) и значения элементов матрицы А в
порядке следования по столбцам. На перфокарте можно записать три элемента,
причем под каждый из них отведено 14 позиций. Все перфокарты набиваются
с первой позиции. Результаты расчета (вектор В) выводятся в строчку.
Приведем пример решения приведенной системы уравнений.
Пример решения системы уравнений:
3
36 —10.0 —18.0
—10 21.0 —6.0
—18.П —6.0 34.0
20.0 35* —20,
/*
Результат:
1.7 2J 0.7889
Программа решения системы алгебраических уравнений с комплексными
коэффициентами. Назначении программы. Программа предназначена для
решения системы уравнений вида
[A][x] = \yh (О
где [А]—матрица комплексных коэффициентов; [д:]—вектор искомых величин;
[у]—вектор правых частей.
К системе такого вида приводят уравнения, описывающие процессы в,
линейных цепях синусоидального тока, составленные методом узловых потенциалов,
методом контурных токов, а также по законам Кирхгофа в символической
форме записи.
Для решения системы уравнений с комплексными коэффициентами также
можно использовать метод Жордана* Текст подпрограммы, реализованной на
его основе, приводится ниже.
531
Формальные параметры подпрограммы CJOR имеют те же назначения, что
и в подпрограмме JORDAN, но являются комплексными величинами;
SUBROUTINE CJOR <A>E>M>N>B>
COMPLEX A(M,N),E(M>N);B(MbC
DO 11 I =ЬМ
6 = REAL <А(Ы>)
H =AIMAG (А<Ы))
IF (G.NE.0.0 .AND. H .NE.O.O) GO TO 11
DO 12 J = ЬМ
G = REAL <AU>I))
H =AIMA6 (A(Jyl))
GN= REAL (A(IiJ))
HN=AIMAG <A(bJ)>
IF (G.EQ.O..AND,H.EQ.O..OR.GN.EQ.O..AND.HN.EQ.O.) 60 TO 12
DO 10 К = 1,N
С - A(IfK)
А<ЬК) = AU>K>
10 A(JtK) = С
12 CONTINUE
11 CONTINUE
DO 5 L = ЬН
LI = L + I
DO 3 К = 1,N
3 E<L>K> = A(L,K)/A(L?L>
DO 5 I = 1,H
С = А(Ы_)
DO 5 J = LbN
IF (I - L) 6>7?6
6 A(bJ) = A(IfJ)*C*E(L>J)
112 FORMAT <> I=M3>» J='»I3f'A(IfJ)=';614.7)
GO TO 5
7 A(bJ) = E(I?J)
5 CONTINUE
DO 8 I = lyH
8 B(I) = A(bN)
RETURN
END
Вызов подпрограммы CJOR, ввод исходных данных и вывод результатов
расчета осуществляется головной программой;
CD ПРОГРАММА РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
CD С КОМПЛЕКСНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
COMPLEX АC>4)?ЕC?4ЪВ<3)
DIMENSION ТC0)
DATA END/1H/7
7 READ <Ы> Т
1 FORMAT (80A1)
IF (T(l) .EEL END) GO TO 999
READ (i>2) M
N = M ¦ 1
2 FORMAT A2)
READ (b3,ERR=8,END=999) ((Adr J) г1=ЬМ) у J=1;N)
3 FORMAT CF10.3>G10.3>)
WRITE E>4) M,((A(ItJ)>J=bN)>I=bM)
4 FORMAT </ ' ПОРЯДОК СИСТЕМЫ =M3f// 9 ВХОДНАЯ МАТРИЦА А 41
> 4UX>(G10.3>G10.3)))
CALL CJOR (A?E»M>N>B)
WRITE E>5) (B(I)>I=1>M)
5 FORMAT С f РЕЗУЛЬТАТ : V/BXyG10.3;2X;G10.3))
60 TO 7
8 WRITE E?6)
6 FORMAT ( ' ОШИБКА ВВОД/1 ДАННЫХ П
999 STOP
END
632
Порядок работы с программой, 1. Составить систему уравнений A).
Например, по методу узловых потенциалов при М==3 для некоторой задачи получим
J
г 5-3/ 8 + 0/ 15+11/1 ГФл-| Г 0 + 20/
-17 + 9/ -6-7/ 3+2/ U = 6-10/
L 0+4/ 0+/ ~13 + 5/ J [К] l-18 + 24/
где фй, <р&, Ф* — искомые потенциалы.
2. На стандартном бланке записать исходные данные задачи. Эти данные
для программы подготавливают так же, как и в предыдущем случае: первая
карта —комментарии, вторая — порядок системы, а на последующих — элементы
матрицы А в порядке следования по столбцам. Так как матрица А
комплексная, то каждый ее элемент представляют в виде последовательности двух
действительных чисел, первое из них —реальная, а второе — мнимая часть числа.
Под каждое число отведено 10 позиций. Все перфокарты набиваются с первой
позиции.
Приведем пример решения записанной ранее системы уравнений.
Пример решения системы уравнений
3
5.0 —3.0 —17.0 9.0 0.0 4.0
8.0 0.0 —6.0 —7.0 0.0 1.0
15.0 11.0 3.0 2.0 —13.0 5.0
0.0 20.0 6.0 10.0 18.0 24.0
Порядок системы 3.
Входная матрица А
5.00 —3.00 8.00 0.000 15.0 11.0 0.000 20 0
—17.0 9.00 —6.00 —7.00 3.00 2.00 6.00 —10.0
0.000 4.00 0.000 1.00 —13.0 5.00 18.0 24.0
Результат:
3.74 —0.295
—1.40 8.60
—1.43 —1.35
Отметим, что приведенный вариант головной программы позволяет решить
систему уравнений третьего порядка. Если необходимо решить несколько систем
уравнений более высокого порядка, то текст программы нужно модифицировать
таким же образом, как и в предыдущем случае.
Программа вычисления корней полинома. Назначение программы.
Программа предназначена для нахождения корней (действительных и комплексных)
уравнений с действительными коэффициентами вида
апхПЛ'ап-1хП~1Л" • • • +Я1# + Д0 = 0 A)
с помощью стандартной подпрограммы POLRT. В основу алгоритма положен
метод Ньютона—Рафсона *. Вызов подпрограммы POLRT осуществляется
оператором
CALL POLRT (XCOF, COF, M, RR, RI, IER),
где XCOF—массив размерностью М+1, содержащий коэффициенты полинома;
COF—рабочий массив той же размерности; М — степень полинома; RR, RI —
результирующие массивы размерности М, содержащие действительную и мнимую
части корней; IER — код ошибки @ —ошибки нет, 1—М< 1, 2 — коэффициент
* См.: Светозарова Г. //., Сигитов Е. В., Козловский А. В. Практикум
по программированию на алгоритмических языках.—М.: Наука, 1980*
533
при старшей степени равен нулю, 3«—корень не определяется за 500 итераций
при пяти начальных значениях).
Приведем пример простейшей головной программы для вычисления корней
полинома третьей степени:
DIMENSION XC0FD),C0FDbRRUbRI<3)
PRINT 9
9 FORMAT(T20,ГКОРНИ ПОЛИНОМА')
READ 10,XCOF
10 F0RMATDF8.5)
CALL POLRT(XCOF,COF,:3*RR>RLIERJ
PRINT ll»RR,Rl,IER
11 FORMAT(T6,3F13.5/T6,3F13.5/T6,fIER='>l3)
STOP
END
Коэффициенты полинома четвертой степени вводятся на одной перфокарте
в порядке возрастания степени. Перфокарта набивается с первой позиции.
Каждое число записывается в десятичном формате с плавающей точкой и на
него отводится восемь позиций. Например, коэффициенты полинома *3-|-6*2 +
+ 11я+6 = 0 набиваются на перфокарте следующим образом:
LJU6. 00LJLJLJLJ11. 0LJLJLJLJ6* tfLJLJLJLJUl. ^LJLJLJ
Рассчитанные корни полинома выводятся в две строки. В первой строке
печатаются действительные части корней, а во второй*-мнимые»
Корни полинома:
— 1.0 —1.0 —3.0
0.0 0.0 0.0
Программа решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений,
составленных в форме Коши, для расчета переходных процессов. Назначение
программы. Программа предназначена для
решения методом Рунге—Кутта системы
обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка, записанных в нормальной
форме (форма Коши)
[у] = [М] [у] -f- [N] [г] A)
с начальными условиями [#@)].
Здесь [у]—вектор переменных
состояния; [y]'=[dyldx]—вектор первых
[производных [у] по х; [z]—вектор воздействующих
функций (источники э. д. с. и тока); [М]9
[N] — матрицы действительных
коэффициентов; [#@)]—вектор-столбец начальных
значений.
Для схемы рис. П.1 ? = 200 В; Li =
=L2=10-3 Гн; /?1 = /?2=4 Ом; R3 =
Рис. П.1
2
= 2 Ом;
; 12 ; 3
2 = 2«10~5; Ф уравнения, описывающие цепь, имеют вид
duCi
R1 + R2
2' dt
B)
dt% 1 „ '«,,. Ra
Обозначив tici^yi, Uqz — Уъ к=Уз\ h — yri t = x, запишем систему B)
534
в числах;
^=,-25 000^+50000 */3
^ = — 1 000 г/i—2 000t/3+2 000^4 + 200 000;
^i = -1000 #2+2000 #з—20001/4.
Начальные значения переменных состояния: i/i@) = 0; у2@)=^0;
i/4 @) = 0. В программе переменные состояния Y A)—Y D) соответствуют yi — г/4*
Описание программы. Программа состоит из основной части и трех
подпрограмм. Программа решения системы Bа). Для решения системы простых
дифференциальных уравнений первого порядка можно использовать стандартную
подпрограмму RKGS, в основу алгоритма которой положен метод Рунге—Кутта,
Обращение к подпрограмме осуществляется оператором
CALL RKGS (PR, Y, D, M, IH, F, OU, AU),
где PR —входной вектор размерностью 5, определяющий параметры интервала
интегрирования и точности и служащий для связи с подпрограммой вывода,
составляемой пользователем; PR A) — нижняя граница интервала
интегрирования; PR B) — верхняя граница интервала интегрирования; PR C) —
начальный шаг независимой переменной; PR D)—верхняя граница погрешности;
PR E) не является входным параметром; Y—массив размерности М начальных
значений (на выходе подпрограммы содержит значения переменных,
вычисленных в промежуточных точках X); D—-входной вектор весовых коэффициентов
погрешности (сумма его компонент должна быть равна единице, позже он
становится вектором производных функций у в промежуточных точках х);М—число
уравнений [системы; Ш—выходное значение числа делений начального шага
пополам (если число делений шага больше 10, то подпрограмма прекращает
работу с сообщением об ошибке); AU—вспомогательный массив размерностью
8хМ; F—название внешней подпрограммы, вычисляющей правые части системы
уравнений [список ее параметров должен быть F(X, Y, D)]; OU—название
внешней подпрограммы вывода, осуществляющей вывод результатов расчета на
печать [список ее параметров должен содержать OU(X, Y, D, IH, M, PR)].
Названия внешних подпрограмм F и OU должны быть описаны в головной
программе оператором EXTERNAL.
Приведем тексты головной программы и подпрограмм F и OU, решающих
систему дифференциальных уравнений B):
EXTERNAL F,0U
DIMENSION PRE)»YD)iDD)yAU<32)
COMMON XT
PRINT 2
2 FORMAT(T14,' МЕТОД РУНГЕ-КУТТА')
PRA)=0.0
PRB)=0.003
PRC)=0.0002
PRU>=0.01
0
YB)=0.j2f
DO 4 I=l>4
535
SUBROUTINE F(X,Y,D)
DIMENSION YD)»D<4)
DA)=-25000*Y(i}+50000*YC)
DB)=50000*YD)
DC)=-1000*YA)-2000*YC)+2000*YD)+200000
DD)=-1000*YB)+2000*Y{3)-2000«YD)
RETURN
END
SUBROUTINE DU(XfY,D,lH,N>PR>
DIMENSION PREbY<4) >DD)
COMMON A
IF(ABS(X-A)-0.0001) 8,8,6
8 PRINT 12, X,Y
12 FORMAT(T6,5F13.5)
A00001
00
6 RETURN
END
Для решения любой другой системы дифференциальных уравнений
необходимо изменить головную программу и подпрограммы F и OU.
Результаты вычислений распечатываются в последовательности х, уъ у2,
Уз, У*.
0.0 0.0 0.0 0,0 0.0
0.0002 52.0858 21.4123 30.5441 5.1069
0.0004 84.8638 92.6578 44.3972 6.7486
0.0006 96.7266 132.0818 48.8037 0.1396
0.0008 97.7438 111.2999 48.7848 -3.8700
0.0010 97.1077 77*6943 48.6024 -1.5060
0.0012 98.9598 85.2420 49.7346 2.4567
0.0014 100.9001 108.6478 50.5849 2.1000
0.0016 100.9264 114.7752 50.3520 -0.9445
0.0018 99.4915 97.5660 49.6334 -1.7062
0.0020 99.1161 88.8517 49.5905 -0.0681
0.0022 99.9901 97.0305 50.0957 1.2671
0.0024 100.6118 107.0826 50.3090 0.3666
0.0026 100.2609 105.0012 50.0632 -0.7125
0.0028 99.6467 96.7776 49.7920 -0.5855
0.0030 99.6724 95.2273 49.8691 0.2415
Программа решения системы уравнений, составленных по методу
контурных токов или методу узловых потенциалов, с использованием топологических
матриц *. Назначение программы. Матричное уравнение, составленное по
методу контурных токов, можно записать в виде
IKr] [Яв] WrV [/кк1 = [*г] [ЕВ]-[КГ] [*в] [/в]. A)
где [Кг]—матрица главных контуров; [RB]—диагональная матрица
сопротивлений ветвей; [/кк] — искомая матрица-столбец контурных токов; [/в] —
матрица-столбец токов источников тока обобщенных ветвей.
Аналогично, матричное уравнение, составленное по методу узловых
потенциалов, имеет вид
[Л] [GB] [А]Т [<р] = [Л] [/в]-[Л] [Ов] [Ел]9 B)
где [Л]—узловая матрица; [GB]—диагональная матрица проводимостей ветвей}
[ф] — искомая матрица-столбец узловых потенциалов.
* Эта программа составлена В, Ю, Масловым,
536
Описание программы. Программа состоит из основной части и
подпрограммы JORDAN. Текст основной части программы:
DIMENSION 1АC>6) ?6F) >AJF) ,ЕF) >Х<3;6) ;1ВF?3)
DIMENSION CC;4);3XC).»?RC..4)
NS = 6
NT = 3
READ (Ы) NWAR
1 FORMAT F12)
READ A,1) <(IA(I>JbJ=bNSbI « lfNT)
READ (Ь2) 6>AJ>E
2 FORMAT F610.3)
DO 20 I =bNT
DO 20 J =UNS
X(bJ) =IA(I»J)*G(J)
20 IB(J»I) =IACbJ>
DO 21 I = bNT
DO 21 J = bNT
Y = 0.
DO 22 К = bNS
22 Y = Y + X(bK)*IB<K>J>
21 C(bJ) = Y
DO 23 I = bNT
Y » 0.
DO 24 J = bNS
24 Y = Y+IA(IyJ)*AJ(J)-X(IfJ)»E(J)
23 BX(I)=Y
DO 30» I =bNT
30 C(bNT+l)=BX(I>
KS « NT + 1
CALL JORDAN (C?ER»NT>KS»BX>
IF (NWAR .EQ. 1) 60 TO 25
WRITE F>26) BX
26 FORMAT С ЗХ>' УЗЛОВЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫV/3612.5)
60 TO 27
25 WRITE Ff28) BX
28 FORMAT CX?> КОНТУРНЫЕ T0KMV/3G12.5)
27 STOP
END
Оператор 5 под управлением оператора 6 осуществляет ввод номера
варианта расчета. Первый вариант соответствует решению системы уравнений,
составленных по методу контурных токов [см. уравнение A)], второй
вариант—решению системы уравнений, составленных по методу узловых
потенциалов [см. уравнение B)]. Оператор 1 указывает размерность массивов данных
IA(M, N), G(N), AJ (N), E (N) и размерность вспомогательных массивов.
Оператор 3 NS = N задает число ветвей схемы, оператор 4 NT = M—число узлов
схемы. Оператор 7 под управлением оператора 6 осуществляет ввод по строкам
топологической матрицы, соответствующей выбранному варианту задачи.
Оператор 8 под управлением оператора 9 производит ввод соответствующих
варианту задачи одномерных матриц. Оператор 24 осуществляет обращение к
подпрограмме для решения системы линейных уравнений JORDAN.
Отметим, что эта программа носит иллюстративный характер. При большом
числе уравнений целесообразно использовать более рациональные методы,
учитывающие слабую заполненность матриц.
Пример расчета электрической цепи методом контурных токов с
использованием уравнения A) и методом узловых потенциалов с помощью уравнения B)
(N = 6, М = 3):
Номер варианта Номер варианта
1 2
Матрица [Кт] Матрица [А]
011100 00—1110
—1—10 0 10 —1 0 1 0 0 1
1 110 0 1 0 1 0 —1 0 — 1
537
Матрица [RB] Матрица [GB]
13 5 9 7 10 4 ©.167 0.2 0125 0.715 0.143 0.125
Матрица [Ев] Матрица [/в]
0 20 42 000 00—2 000
Матрица [/в] Матрица [Ев]
00—2 000 0 40 14 000
Результаты расчета: Результаты расчета:
КОНТУРНЫЕ ТОКИ УЗЛОВЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
2.77308 1.01289 1.91642 3.43114 —19.90461 —25.83291
Список рекомендуемой литературы
Учебники
1. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники: Электрические
цепи.—М.: Высшая школа, 1984.
2. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники:
Электромагнитное поле.— М.: Высшая школа, 1986.
3. Нейман Л. Р., Демирчан К. С Теоретические основы электротехники.
Т. 1, 2—Л.: Энергоиздат, 1981.
4. Теоретические основы электротехники/ Под ред. П. А, Ионкина. Т. 1,
2—М.: Высшая школа, 1976,
Учебные пособия и монографии
5. Активные #С-фильтры на операционных усилителях: Пер. с анг./ Под
ред. Г. Н. Алексакова.— М.: Энергия, 1974.
6. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи с распределенными
параметрами.— М.: Высшая школа, 1980.
7. Бессонов Л. А. Линейные электрические цепи.— М.: Высшая школа,
1983.
8. Бессонов Л. А. Нелинейные электрические цепи.— М.: Высшая школа,
1977.
9. Дьяконов В. П. Расчет нелинейных и импульсных устройств на
программируемых микрокалькуляторах.— М.: Радио и связь, 1984.
10. Кухаркин Е. С. Инженерная электрофизика. Техническая
электродинамика.— М.: Высшая школа, 1982.
11. Матханов П. Н. Основы анализа электрических цепей: Линейные
цепи.— М.: Высшая школа, 1981.
12. Методы расчета электростатических полей/Н. Н. Миролюбов, М. В. Ко-
стенко, М. Л. Левинштейн, Н. Н. Тиходеев.— М.: Высшая школа, 1963.
13. Основы инженерной электрофизики. Т. 2/П. А. Ионкин, В. Г.
Миронов, А. А. Соколов, Ф» Е, Паушканис—М.: Высшая школа, 1972»
Сборники задач
16. Сборник задач по теории электрических цепей / Под ред. П, Н. Матха-
нова и Л. В. Данилова.— М.: Высшая школа, 1980.
17. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам
электротехники/Под ред. П. А. Ионкина.— М.: Энергоиздат, 1982.
18. Шебес М. Р. Задачник по теории линейных электрических цепей,—
М,; Высшая школа, 1982.
Оглавление
Предисловие ••», •.*.*«..»*»»**«»«»t 3
Глава первая. Линейные электрические цепи постоянного тока 5
A. Законы Ома и Кирхгофа. Источники э. д. с. и тока. Разность
потенциалов ..»*..... ....... 5
Б. Потенциальная диаграмма. Линейные соотношения 7
B. Входные сопротивления. Преобразование треугольника в звезду
и звезды в треугольник 9
Г. Входные и взаимные проводимости ветвей. Теорема взаимности.
Принцип наложения. Теорема вариаций 11
Д. Метод контурных токов. Метод узловых потенциалов. Метод двух
узлов. Баланс мощностей. Замена нескольких параллельных
ветвей эквивалентной 13
Е. Активный двухполюсник. Метод эквивалентного генератора . . 14
Ж- Передача мощности от активного двухполюсника нагрузке.
Теорема компенсации » 15
3. Задачи на различные темы * . * 16
Глава вторая. Индуктивные и емкостные элементы электрических цепей 19
A. Индуктивность и взаимная индуктивность катушек 19
Б. Индуцированные э. д. с * * 20
B. Механические усилия в магнитном поле . ¦ „ 21
Г. Энергия магнитного поля . . . . •» . . . . , • . • 22
Д. Емкость как параметр электрической цепи 23
Глава третья. Электрические цепи однофазного синусоидального тока . 24
A. Мгновенные значения синусоидального тока, напряжения и
мощности. Активные, реактивные, комплексные сопротивления и
проводимости. Символический метод расчета 24
Б. Векторные и топографические диаграммы 25
B. Активная, реактивная и полная мощности в цепи переменного тока 26
Г. Резонансы и частотные характеристики 28
Д. Магнитно-связанные цепи . . » 30
Е. Задачи на различные темы * 32
Глава четвертая. Четырехполюсники и круговые диаграммы 34
A. Определение параметров пассивных и активных четырехполюсников 34
Б. Т- и П-схемы замещения четырехполюсника 36
B. Схемы соединений четырехполюсников 37
Г. Четырехполюсник как согласующее звено между источником
энергии и нагрузкой . , . . . 38
Д. Невзаимные и активные четырехполюсники 39
Е. Круговые диаграммы , „ , 40
Глава пятая. Электрические фильтры ¦ 42
А. Общая методика анализа фильтрующих свойств реактивного
четырехугольника .»,....." , „ 42
Б. Фильтры типа &*». «•»«,•,.,,,¦•,, • ¦ . • • 44
539
В. Фильтры типа т 46
Г. Пассивные ЯС-фильтры ' 49
Д. Активные #С-фильтры 5t
Глава шестая. Трехфазные цепи 55
A. Симметричная нагрузка и режимы, возникающие при обрывах
проводов 55
Б. Режимы при несимметричном источнике или несимметричной
нагрузке 57
B. Цепи с магнитно-связанными ветвями 60
Г. Круговые диаграммы 61
Д. Метод симметричных составляющих 61.
Е. Вращающееся магнитное поле 62
Глава седьмая. Периодические несинусоидальные режимы в линейных
электрических цепях 63
A. Разложение несинусоидальных токов и напряжений в ряд Фурье.
Действующие и средние значения. Коэффициенты,
характеризующие форму 63
Б. Применение рядов Фурье для расчета электрических цепей,
содержащих несинусоидальные источники тока и э. д. с 65
B. Резонансные явления при несинусоидальных токах и
напряжениях. Показания измерительных приборов 66
Г. Расчет простейших электрических цепей с несинусоидальными
источниками тока и э. д. с. без разложения в ряд Фурье .... 68
Д. Несинусоидальные токи и напряжения в трехфазных цепях . . 68
Е. Амплитудно-модулированные колебания 70
Глава восьмая. Переходные процессы в линейных электрических цепях
с сосредоточенными параметрами 70
A. Классический метод 70
Б. Операторный метод 81
B. Метод интеграла Дюамеля 84
Г. Метод дискретных преобразований 86
Д. Метод переменных состояния 88
Е. Численные методы 89
Глава девятая. Спектральный метод анализа линейных электрических
цепей 90
A. Частотные характеристики цепей 90
Б. Спектры периодических и апериодических сигналов 92
B. Корреляционные функции детерминированных и случайных
сигналов и их спектры 94
Г. Прохождение периодических, апериодических и случайных
сигналов через линейные цепи 95
Глава десятая. Синтез двухполюсников и четырехполюсников 98
A. Возможность реализации двухполюсников по заданному Z (р).
Определение элементов двухполюсника 98
Б. Составление входных сопротивлений двухполюсников 99
B. Реализация Z (р) лестничной схемой, путем последовательного
выделения простейших составляющих и методом Бруне .... 99
Г. Реализация двухполюсника по временному отклику. Связь между
действительной и мнимой частями 100
Д. Некоторые особенности преобразования треугольника в звезду и
звезды в треугольник. Эквивалентные замены. Дополняющие и
взаимно обратные двухполюсники 101
Е. Проверка возможности реализации четырехполюсника по его
параметрам 103
Ж. Определение типа четырехполюсника по его передаточной функции 103
3. Реализация четырехполюсника Г-схемой «.,*.**..«•,« 104
540
И. Задачи на различные темы . *•..'• 105
Глава одинадцатая. Установившиеся процессы в электрических цепях,
содержащих линии с распределенными параметрами 106
A. Первичные и вторичные параметры линии 106
Б. Искажения сигнала, передаваемого по линии. Линия без искажений 107
B. Распределение по линии мгновенных и действующих значений
тока и напряжения 108
Г. Линия без потерь ' 109
Глава двенадцатая. Переходные процессы в цепях с распределенными
параметрами ПО
A. Волновой метод 110
Б. Операторный метод : Ill
B. Формирование импульсов с помощью заряженного отрезка линии 114
Г. Каскадное, последовательное и параллельное соединения двух линий 115
Глава тринадцатая. Нелинейные электрические цепи постоянного тока . 117
A. Построение характеристик нелинейных цепей. Расчет токов и
напряжений графическим методом в цепях с одним источником . . 117
Б. Метод эквивалентного генератора. Метод одновременного
холостого хода двух ветвей 120
B. Замена нелинейного активного двухполюсника эквивалентным.
Метод двух узлов. Расчет разветвленной цепи 122
Г. Аналитический расчет нелинейных цепей 123
Д. Цепи с идеальными диодами • 124
Глава четырнадцатая. Магнитные цепи 125
A. Неразветвленные магнитные цепи 125
Б. Разветвленные магнитные цепи 126
B. Магнитные цепи, содержащие ферромагнитные сердечники с
прямоугольной петлей гистерезиса 128
Г. Постоянные магниты 129
Глава пятнадцатая. Нелинейные электрические цепи переменного тока в
установившемся режиме 129
A. Цепи с неуправляемыми нелинейными индуктивными катушками
и конденсаторами. Расчет по мгновенным значениям величин . . 129
Б. Цепи с неуправляемыми нелинейными резисторами. Расчет по
мгновенным значениям величин 133
B. Цепи с управляемыми нелинейными трехполюсниками. Расчет по
мгновенным значениям и линейным схемам замещения для малых
переменных составляющих токов и напряжений 135
Г. Расчет по первым гармоникам и действующим значениям .... 138
Д. Частотные характеристики 142
Е. Метод малого параметра 143
Ж- Некоторые энергетические соотношения 145
3. Появление постоянных составляющих потока, заряда и тока при
отсутствии выпрямителей. Метод гармонического баланса . . . 146
И. Зависимость постоянной составляющей потока (заряда) от
переменной составляющей 147
К. Исследование устойчивости положения равновесия. Автоколебания 148
Л. Электрические цепи с операционными усилителями 151
Глава шестнадцатая. Переходные процессы в нелинейных электрических
цепях 154
A. Расчет переходных процессов в цепях первого порядка .... 154
Б. Расчет переходных процессов в цепях второго порядка .... 157
B. Численные методы 158
Глава семнадцатая. Анализ линейных электрических цепей методом графов 160
541
А. Направленные графы (линейные графы сигналов) ,¦••••• 160
Б. Ненаправленные графы . • # • , 163
Глава восемнадцатая. Электрические цепи с изменяющимися во времени
параметрами ««..*•••• ' . . . - 164
A. Установившиеся процессы в цепях с периодически изменяющимися
параметрами при наличии источников электрической энергии . . 164
Б. Параметрические колебания 166
B. Исследование устойчивости режимов работы цепей с периодически
изменяющимися параметрами 168
Г. Некоторые явления в цепях с периодически изменяющимися
параметрами . • ¦ . • , 168
Глава девятнадцатая. Электростатическое поле 170
A. Интегральные соотношения между зарядом, напряженностью поля
и потенциалом * 170
Б. Дифференциальные соотношения между плотностью заряда,
напряженностью поля и потенциалом 172
B. Граничные условия. Многослойные диэлектрики и конденсаторы 173
Г. Поля простого и двойного заряженного слоев 175
Д. Метод изображений 176
Е. Поле системы заряженных тел. Формулы Максвелла 177
Ж- Метод разделения переменных 178
3. Графическое построение картины поля 179
И. Метод конформных преобразований 181
К- Метод интегральных уравнений 182
Глава двадцатая. Электрическое поле постоянного тока 184
A. Законы Ома, Кирхгофа и Джоуля—Ленца в дифференциальной
форме * 184
Б. Определение проводимостей и токов утечки ; . . . ¦ 185
B. Метод изображений . • . 186
Г. Расчет постоянного электрического поля в неоднородной
проводящей среде 188
Д. Графический метод построения картины плоскопараллельного
электрического поля . ¦ » 189
Глава двадцать первая. Магнитное поле постоянного тока 190
A. Закон полного тока * . , » 190
Б. Закон Био—Савара—Лапласа 191
B. Скалярный магнитный потенциал и магнитное напряжение ... 192
Г. Векторный магнитный потенциал 193
Д. Метод изображений . . * 196
Е. Метод разделения переменных . . 197
Ж- Графическое построение картины магнитного поля и ее
использование »*#•»•••*** 199
Глава двадцать вторая. Основные уравнения переменного
электромагнитного поля »,««»,*.»»••,.. * 201
А. Уравнения Максвелла , • • » , 201
Б. Теорема Умова—-Пойнтинга * 203
Глава двадцать третья. Переменное электромагнитное поле в однородной
и изотропной проводящей среде * , 204
A. Установившиеся процессы при распространении плоской
электромагнитной волны в проводящем полупространстве 204
Б. Поверхностный эффект в плоском теле * 204
B. Поверхностный эффект в цилиндрическом теле 207
Г. Переходные процессы при распространении плоской
электромагнитной волны в проводящей среде ••»•«•».•*•• . . 208
542
Глава двадцать четвертая. Переменное электромагнитное поле в
диэлектрике и пол у проводящей среде . . * 209
A. Распространение плоской электромагнитной волны в однородных
и изотропных диэлектрике и полупроводящей среде 209
Б. Переход плоской электромагнитной волны из одной среды в
другую 210
B. Расчет электромагнитного поля в слоистых средах методом
направленных графов 212
Г. Квазистатическое электрическое поле в вязкой среде и
несовершенном диэлектрике 213
Глава двадцать пятая. Запаздывающие потенциалы переменного
электромагнитного поля и излучение электромагнитной энергии ...... 215
А. Запаздывающие электродинамические потенциалы 215
Б. Излучение электромагнитной энергии 216
Глава двадцать шестая. Электромагнитные волны в направляющих
системах , . . . . » * ¦ • . 217
А. Электромагнитное поле в волноводах 217
Б. Электромагнитное поле в объемных резонаторах 218
Глава двадцать седьмая. Движение заряженных частиц в электрическом
и магнитном полях ...,...,. 219
А. Движение заряженных частиц в электрическом поле 219
Б. Движение заряженных частиц в магнитном и скрещенных полях 221
Глава двадцать восьмая. Основы магнитной гидродинамики.
Сверхпроводимость . * 223
А. Уравнения магнитной гидродинамики, равновесные конфигурации,
волны, течения 223
Б. Сверхпроводимость 227
Решения . » . • 229
Ответы • . » , 462
Приложения 524
Список рекомендуемой литературы •••»«••• 538
Учебное издание
Лев Алексеевич Бессонов, Илиада Григорьевна Демидова,
Моисей Ефимович Заруди и др.
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКИМ ОСНОВАМ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Зав. редакцией В. И. Трефилов. Редактор Е. М. Романчук.
Младшие редакторы С. А. Пацева, В. В. Пащевкова. Художественный
редактор Т. М. Скворцова. Переплет художника Ю. Д. Федичкина.
Технический редактор Н. В. Яшукова. Корректор Г. И. Кострикова
ИБ № 6116
Изд. № ЭР-438. Сдано в набор 07.08.8$. Подл, в печать 17.03.88.
Формат 60х90Ав. Бум. тип. № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая.
Объем 34,0 усл. печ. л. 34,0 усл. кр.-отт. 31,42 уч.-изд. л. Тираж
50 000 экз. Заказ № 1390. Цена 1 р. 20 к.
Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул.,
Д. 29/14
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени
МПО «Первая Образцовая типография» имени А. А. Жданова Союзполи-
графпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли. 113054, Москва, Валовая, 28