А.Садбери
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И ФИЗИКА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
М.: Мир, 1989
Книга английского автора представляет собой оригинальный курс,
включающий современную квантовую механику и одновременно теорию
элементарных частиц. Главное внимание уделено логике изложения и
рассмотрению идей, а не деталей математического аппарата. Используется чисто
алгебраический подход с пространством векторов состояний и алгеброй
линейных эрмитовых операторов в нем. Обсуждаются различные интерпретации
квантовой механики; излагаются основы квантовой теории поля и релятивистской
квантовой механики.
Для студентов, аспирантов и научных работников физических и
математических специальностей.
Оглавление
Предисловие переводчика 5
Предисловие автора 7
Глава 1. Частицы и силы взаимодействия 11
А. Анализ вещества 11
§1.1. Молекулы и атомы 11
§ 1.2. Электроны, протоны и нейтроны 13
§ 1.3. Нейтрино 18
§ 1.4. Античастицы; барионы и лептоны 20
§ 1.5. Кварки и лептоны 25
§ 1.6. Экспериментальное наблюдение частиц 31
Б. Анализ сил 32
§1.7. Типы сил 32
§ 1.8. Частицы, переносящие силы разных типов 35
Рекомендуемая литература 55
Задачи к главе 1 55
Глава 2. Квантовая статика 57
§ 2.1. Несколько примеров 58
§ 2.2. Пространство состояний 66
§ 2.3. Результаты экспериментов 71
§ 2.4. Наблюдаемые 78
§ 2.5. Наблюдаемые для простой частицы, движущейся в пространстве 89
§ 2.6. Комбинированные системы 100
Приложение: свойства эрмитовых и унитарных операторов 108
Основные положения главы 2 110
Рекомендуемая литература 111
Задачи к главе 2 111
Глава 3. Квантовая динамика 114
§3.1. Уравнения движения 114
§ 3.2. Инвариантности и константы движения 127
§ 3.3. Группы операций 146

§ 3.4. Гейзенберговская картина 154
§ 3.5. Временная теория возмущений 156
§ 3.6. Фейнмановская формулировка квантовой механики 172
Основные положения главы 3 177
Рекомендуемая литература 178
Задачи к главе 3 178
Глава 4. Конкретные квантовые системы 185
§4.1. Угловой момент 185
§ 4.2. Сложение угловых моментов 199
§ 4.3. Двухчастичные системы 206
§ 4.4. Атом водорода 212
§ 4.5. Гармонический осциллятор 219
§ 4.6. Операторы уничтожения и рождения 224
Основные положения главы 4 239
Рекомендуемая литература 239
Задачи к главе 4 239
Глава 5. Квантовая метафизика 245
§ 5.1. Вероятностные формулировки классической и квантовой механик 245
§ 5.2. Квантовая теория процесса измерения 254
§ 5.3. Скрытые переменные и локальные теории 266
§ 5.4. Альтернативные формулировки квантовой механики 276
§ 5.5. Интерпретации квантовой механики 288
Основные положения главы 5 307
Рекомендуемая литература 308
Задачи к главе 5 308
Глава 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц) 312
§6.1.Изоспин 312
§ 6.2. Странность 327
§ 6.3. Восьмеричный путь 336
§ 6.4. Адронная спектроскопия 352
§ 6.5. Цветные силы 364
§ 6.6. Электрослабое взаимодействие 373
§ 6.7. Последующее развитие теории 384
Рекомендуемая литература 391
Задачи к главе 6 392
Глава 7. Квантовые поля 396
§7.1. Полевые операторы 396
§ 7.2. Уравнение Дирака 410
§ 7.3. Динамика полей 424
§ 7.4. Калибровочные теории 436
§ 7.5. Скрытая симметрия 443
§ 7.6. Квантовая ароматодинамика 451
Основные положения главы 7 456
Рекомендуемая литература 457

Задачи к главе 7
Приложение I. Алгебра 3-векторов и 4-векторов
Приложение II. Свойства элементарных частиц
Приложение III. Коэффициенты Клебша — Гордана
Ответы и указания к задачам
Литература
Предметный указатель
Предметный указатель
457
460
464
466
471
476
481
Аддитивные квантовые числа 24, 141
Адроны 29
Активные преобразования 144, 145
Алгебра Ли 148
Алгебраическая формулировка
квантовой механики 277
а-лучи 16
а-частицы 14
Амплитуда вероятности 166
— волны 59
Антикоммутатор операторов 213
Антикоммутационные соотношения
227
Антилинейный оператор 138
Антинейтрино 20
Антипротон 21
Антисимметричное состояние 104
Антиунитарный оператор 138
Ароматы 30
Асимптотическая свобода 370
Атом водорода 212—218
Атомы 12
Атомная теория 12
Атомный помер 16
Барионное число 24
Барионы 23
Белла неравенство 272—276
— постулат 296
— теорема 275
Бозоны 48, 105, 107
Боттомоний 363, 372
Бра-вектор 82, 83
Брейта — Вигнера формула 353, 354
Брейт-вигнеровское распределение
Броуновское движение 12
Векторное представление 194
Векторы состояний 67
Весовая диаграмма 340
Вигнера теорема 138, 181
— Эккарта теорема 203, 204
Виртуальные фотоны 45
Внутреннее произведение 69
Внутренняя четность 197
Волна-пилот 270
Волновая функция 60
Волновой пакет 98, 99
Восьмеричный путь 336—352
Время жизни ядра 17
Вторичное квантование 405, 421
Выпуклое множество 247
Галилея группа 152, 183
Гамильтона уравнения 116, 155
Гамильтониан 115, 116
Гармонический осциллятор 219
трехмерный 221
Гейгеровские счетчики 32
Гейзенберговская картина 154
Гейзенберговское уравнение
движения 155
Гелл-Манна ^.-матрицы 337
Генератор 147
Глизона теорема 286
Глобальная симметрия 445
Глэшоу — Илиопулоса — Майани
механизм 383
Глюболы 54
Глюино 390
Глюоны 368, 369
Голдстоуна теорема 447
Голдстоуновские бозоны 449
Гравитино 390
Гравитон 48

Грина функция 409
Группа вращений 148
— инвариантности 153
— Ли 147
— симметрии 153
Группы операций 132, 146
Двойное лучепреломление 72
Действие 172
Дейтрон 317
8-функция Дирака 95
Дирака уравнение 410—422, 427
Дифракция 38
электронов 58
28
Донери — Лойнжера — Проспери
теорема 263
Евклидова группа 152
Закон сохранения барионного числа
24
лептонного числа 24
Зарядовое сопряжение 320—322
Зеемана эффект 242
Излучение абсолютно черного тела
35
Изовекторный оператор 323
Изоскалярный оператор 323
Изоспин312—326
Изоспиновые преобразования 314
Изоспиновый мультиплет 315, 317
Изотопы 18
Импульсная волновая функция 97
Инвариантная масса 357
Индетерминизм 289, 290
Интерпретация квантовой механики
292
буквальная 295
использующая ансамбли 300
квантово-логическая 304
минимальная 292
объективная 296
оперирующая
относительным состоянием 302
множеством миров 302
со скрытыми переменными
306
стохастическая 307
эпистемная 299
Интерференция 38
Инфинитезимальный оператор 129
Ионы 16
Иордана алгебра 278
Искровая камера 31
Истинность 30
Кабиббо угол 331
Калибровка 437
Калибровочные бозоны 55
Канонические коммутационные
соотношения 97
Картина взаимодействия 157
Квант энергии 36
Квантовая ароматодинамика 54, 451
— логика 280, 287
— хромодинамика 54,442
— электродинамика 54, 433
Квантовые ноля 397
Кварки 28—30, 344
Кварковое строение частиц 344—350
Кет-вектор 82, 83
Кинетическая теория 11
Классическая логика 287
— механика 245
Клебша — Гордона коэффициенты
203
Клейна — Гордона уравнение 409—
412, 427
Ковариантный 4-вектор 462
Когерентная волна 38
— суперпозиция 118, 260
Кокварки 391
Колептоны 391
Комбинированные системы 253
Коммутатор операторов 87
Коммутационные соотношения 97,
143, 144
канонические 97
основные 144
Коммутирующие операторы 80

Комптоновское рассеяние 40, 58
Константа движения 130
Континуальный интеграл 173
Контравариантный 4-вектор 461
Конфайнмент кварков и глюонов 54,
371
Коулмена—Мандулы теорема 388
Красота 30, 360, 363
#-числа 80
Левые частицы 198
Ленца вектор 213
Лептонное число 24
Лептонный ток 326
Лептоны 23
Ли алгебра 148, 390
— группа 147
— супералгебра 389
Лоренцев скаляр 461
Лоренцево преобразование 462
Максвелла уравнение 396
Масса покоя 18
Матрица плотности 248
Матрицы 80
Мезоны 29
Метасостояние 246, 285, 287
Молекулы 11
Мультипликативные квантовые
числа 141
Мюон 25
Мюонное нейтрино 25
— число 26
Наблюдаемые 78
Нарушение
СР-инвариантности 335
Нейтрино 19, 21
Нейтрон 18
Некогерентная суперпозиция 118,
260
Неопределенность наблюдаемой 84
Неприводимая система операторов
204
Неприводимый изоспиновый
оператор 322
Несепарабельность 291
Нётер первая теорема 429
— теорема для трансляций 432
Неупругое рассеяние 354
Нечетная перестановка 106
Нормальное упорядочение 400
Нормированная волновая функция 61
Нормированный вектор состояния 70
Нуклон 313
Нуклон-нуклонное рассеяние 318
Нулевой вектор 68
Обращение времени 137—139
Объединение 281
Оператор обмена 104
Операторы рождения и уничтожения
225
Операционализм 289
Орбитальное состояние 206, 210
Орбитальный угловой момент 189
Ортогональная группа 152
Ортогональное дополнение 283
Ортонормированная система 70
Очарование 30, 360, 361
Паровоздушная камера 31
Парциальный след 254
Пассивные преобразования 144, 145
Паули матрицы 192, 193
— принцип 108
Перенормировка 435, 436
Пересечение 281
Периодическая система элементов
12,13,217
Пионы 52
Плотность лагранжиана 425
— состояний 93
Повышающий оператор 186
Позитивизм 288
Позитрон 20
Позитроний 232
Поколения частиц 30
Полностью антисимметричный
вектор состояния 105, 106
— симметричный вектор состояния
105, 106
Поляроид 61

Понижающий оператор 186
Постоянная Планка 36
Правила суперотбора 286
Правило А/ = 1/2 330
— спина и статистики 192
— суммирования по повторяющимся
индексам 460
Правые частицы 198
Прагматизм 289
Приведенная масса системы 207
Принцип верификации 288
— наименьшего действия 173
— неопределенности 42, 43
— суперпозиции 69, 70
Проективное пространство 280
Проективный постулат 76, 255, 291,
292
Проекционный оператор 75
Пространственная инверсия 136
Пространство состояний 68
Протон 17
Прямая сумма решеток 286
Пуанкаре группа 388, 389
Пуассона скобки 155
Пузырьковая камера 31
Радиоактивность 16, 58
Радиоактивный распад 325
Радиус действия сил 35, 51
Размерность пространства состояний
71
Редуцированные матричные
элементы 205
Резонансы 355
Решетка 281
— атомная 285
— неприводимая 285
— ортокомплиментарная 283
Рождения оператор 225
Салама — Вайнберга гамильтониан
377
теория 377—384
экспериментальное
подтверждение 383
Самосопряженное представление 342
Самосопряженный мультиплет 321,
322
Свобода воли 290
Связанное состояние 215
Семейства частиц 30
Сечение рассеяния 355
Сильное взаимодействие 34
Симметричное состояние 104
Скобки Ли 148
Скорости распадов 319
Скрытая симметрия 446
Скрытые переменные 266
Слабое взаимодействие 34
Слабый нейтральный ток 382
Слетеровский детерминант 106
Сложение угловых моментов 199—
205
Смешанное состояние 247, 249
Собственное состояние системы 73
Собственные значения 78
Совместные наблюдаемые 85
Соотношение неопределенностей 88,
98
Сопряженное представление 341
Состояние квантовой системы 67
Спектр атома 15
— испускания 354
— поглощения 354
Спин 191
Спиновое состояние 206, 208
Спинор 193
Спинорные волновые функции 193
Спиральность частиц 198
Спонтанно нарушаемая симметрия
446
Среднее значение наблюдаемой 84
Статистика Бозе — Эйнштейна 108
— Ферми—Дирака 108
Статистический оператор 248
Стоуна—фон Неймана теорема 98
Странность 26, 327—335
Струи частиц 372
Субструктура 391
Супералгебра Ли 389

Суперсимметрия 3 8 8—3 90
Сцинтилляционные счетчики 31
с-числа 80
Таблица истинности 287
Тау-лептон 26
Тензор интенсивности поля 441
Тензорное произведение 102, 103
Теория с неабелевой калибровкой 51
Тождество Якоби 88
Ток вероятности 123
Тритий 18
Угловой момент 134, 135, 185—193
внутренний 207
орбитальный 189—203
сложение 199—205
Угол рассеяния 14
Универсальность слабых
взаимодействий 327
Унитаритарная операция 128
Унитарный оператор 128
Уничтожения и рождения операторы
224, 225
Упругое рассеяние 353
Уравнение неразрывности 122, 271
Уравнения движения 114, 115
Фазовое пространство 245
Фактор фазового объема 163
Фейнмана постулат 174
Фейнмановская формулировка
квантовой механики 172
Фейнмановские диаграммы 41
Фермионы 105, 107 Фотоны 37
Фотоэлектрический эффект 36
Фотоэмульсии 31
Фундаментальное представление 340
Фурье-образ 91
Хиггса механизм 449—454
— потенциал 454
Хронологическое произведение 167
Цвейга правило 373
Цвет 29, 364
Чармоний 363
Частица J/\|/361, 362
Черенковские счетчики 32
Четная перестановка 106
Четность 136
— зарядового сопряжения 231
Чистое состояние 247, 249
Ширина резонанса 355
Шредингера уравнение временное
115
стационарное 119
Шредингеровская картина 154
Шредингеровский парадокс 257—259
Штерна—Герлаха эксперимент 188,
189
Эйлера теорема 149
Эйнштейна — Подольского — Розена
парадокс 267
Эксперимент с двумя щелями 39
Экстремальная точка 247
Электромагнитные потенциалы 397
Электронное нейтрино 26
— число 26
Электрослабое взаимодействие 373 -
383
несохранение четности 373
распад пионов 376
Электрослабые силы 35, 50
Эмпиризм 28S
Энергия связи 17
Эренфеста теорема 121
Эрмитов генератор 134
— оператор 78, 81
Эрмитово сопряжение 81, 82
Дпро 15
Янга—Милса теория 437

Предисловие переводчика
Предлагаемая вниманию читателя книга А. Садбери представ-
представляет собой существенно переработанный автором на основе
впечатляющих достижений современной физики элементарных
частиц традиционный курс квантовой механики, адресованный
в первую очередь студентам-математикам. Пожалуй, здесь пра-
правильнее говорить даже не о переработке, а о создании нового
оригинального курса.
Основную идею автора — изложить формализм квантовой
механики не на основе традиционно используемого в учебниках
по квантовой механике экспериментального материала по атом-
атомной и молекулярной спектроскопии, ядерной физике и физике
твердого тела, а на основе интереснейшего экспериментального
материала по физике элементарных частиц, — несомненно надо
всячески приветствовать не только с чисто научных позиций, но
прежде всего по педагогическим соображениям.
Автор найдет немало последователей среди преподавателей
квантовой механики у нас в СССР и не только занятых обуче-
обучением студентов-математиков, которым в первую очередь автор
адресует свою книгу. Квантовую механику в настоящее время
преподают и в виде части курса общей физики, и здесь тоже
педагогические находки автора будут очень полезны.
Помимо этой своей весьма привлекательной особенности
книга А. Садбери обладает тем очевидным достоинством, что
изложение в ней математически намного более строго, чем
принятое в настоящее время в традиционных курсах квантовой
механики. Полно и очень удачно с точки зрения переводчика
изложены, в частности, вопросы, касающиеся математической
структуры пространства векторов состояний — основного объек-
объекта математического формализма квантовой теории, а также
проблема собственных функций непрерывного спектра гамиль-
гамильтониана, проблема построения пространств векторов состояний
для многочастичных квантовых систем и др. Удачно и полно
изложена теория инвариантностей и сохраняющихся величин
с привлечением элементов теории групп и алгебр Ли.
Принятый в настоящей книге чисто алгебраический подход
к изложению квантовой механики, восходящий к известному
фундаментальному учебнику Дирака, переплетается с широким
использованием техники операторов рождения и уничтожения.

Предисловие переводчика
В книге А. Садбери читатель не найдет описания традицион-
традиционных решений дифференциальных уравнений Шредингера для
одномерных задач и центрального потенциала. Даже спектр
атома водорода получен в книге без каких-либо волновых функ-
функций, чисто алгебраически, следуя старой не очень известной
работе Паули. Изложение основ квантовой теории поля (теории
калибровочных полей, квантовой хромодинамики и квантовой
ароматодинамики) замкнуто и доступно даже самому неподго-
неподготовленному читателю. Особенно математически четко и удачно
изложена теория уравнения Дирака.
Специальная большая гл. 5 посвящена трудным вопросам
физической интерпретации квантовой теории, вызывающим
большой интерес особенно у большинства начинающих изучать
квантовую физику, а также у всех тех, кто с ней поверхностно
знаком. Изложение в этой главе проведено на высоком научном
уровне (автор книги сам работает в данном направлении). По-
Помимо общеизвестных вопросов (парадокс Шредингера с кош-
кошкой, парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена, теория де-
Бройля — Бома о волне-пилоте, теории скрытых параметров)
в гл. 5 много места уделено менее известным современным
работам Белла (неравенство Белла), а также довольно мало
известным работам по трехзначной квантовой логике (Бирк-
гоффа и фон Неймана).
Изложение в книге отличается той особенностью, что все
важные утверждения автор оформляет в виде четко сформули-
сформулированных теорем.
Оригинальная и интересная книга А. Садбери несомненно
будет благосклонно встречена читателями. Хотя книга в первую
очередь окажет несомненную пользу студентам-математикам,
к которым обращается автор, но она будет полезна также очень
многим и, конечно, всем тем, кто серьезно интересуется совре-
современной квантовой механикой и физикой элементарных частиц.

Предисловие автора
Эта книга адресована читателю, который, во-первых, хочет, бу-
будучи образованным человеком, получить обзор современного
состояния знаний об основных элементах окружающего нас
материального мира и, во-вторых, имеет логический склад ума
и может проследить за математическими рассуждениями авто-
автора, но обладает слишком малыми знаниями по физике и не хо-
хочет слишком глубоко вникать в ее предмет. При работе над
книгой автор представлял себе такого читателя, каким является
студент-математик, начавший слушать на третьем году обуче-
обучения курс лекций по квантовой механике, который составляет
часть образования математиков в университетах Великобрита-
Великобритании. Лишь небольшая часть студентов-математиков имеет на-
намерение серьезно углубиться в этот предмет, поэтому представ-
представляется разумным дать широкий обзор интересующих их вопро-
вопросов, вместо того, чтобы пытаться заложить серьезную основу
для последующей работы в области квантовой теории.
По указанной причине в настоящей книге главное внимание
уделено связному изложению основных теоретических представ-
представлений квантовой механики и физики элементарных частиц.
Экспериментальные детали, математическая строгость доказа-
доказательств и объяснение сложных алгебраических выкладок нахо-
находятся на втором плане, чтобы читатель мог сосредоточить свое
внимание на концептуальной стороне изложения. Однако автор
надеется, что привел в своей книге достаточно эксперименталь-
экспериментальных данных для обоснования всех главных утверждений теории,
что его математика честная, все пробелы специально оговорены
и несогласованности, которые могли бы озадачить или поста-
поставить в тупик студентов-математиков, отсутствуют. Автор на-
надеется также, что задачи, помещенные в конце каждой главы,
позволят читателям проверить, насколько они поняли основные
концепции.
Такой подход к изложению квантовой теории заставил ав-
автора опустить некоторые вопросы, которые обычно включают
в традиционные курсы квантовой механики. Например, в книге
практически совсем не обсуждается теория рассеяния и лишь
очень бегло рассматривается дифференциальное уравнение Шре-
дингера. Эти вопросы нужны тем, кто собирается в дальнейшем
работать в данной области, но они не требуются для объясне-

Предисловие автора
ния результатов исследований, в которых они служат только
вспомогательными орудиями. Вместе с тем имеются концеп-
концептуальные проблемы, которые могут быть опущены физиками,
работающими в этой области, но которые представляются на-
намного более важными наблюдателю, желающему глубже понять
общие проблемы теории. Эти метафизические проблемы часто
вызывают большой интерес у студентов, которые находят, что
они недостаточно рассмотрены в имеющихся учебниках кванто-
квантовой механики (возможно потому, что их обсуждение оказывает-
оказывается либо незавершенным, либо неубедительным, а иногда по
обеим этим причинам). В книге таким проблемам посвящена
гл. 5; она действительно имеет незавершенный характер и, воз-
возможно, изложение покажется неубедительным.
Читатель гораздо чаще начинает чтение книги по физике
или математике, чем успешно заканчивает его. Это свойство
человеческой натуры учтено в настоящей книге, в которой
имеется несколько мест, где читатель может закончить чтение,
чувствуя, что он достиг конца пути. Затем путь можно продол-
продолжить, но уже на другом уровне понимания. В гл. 1 дано общее
описание строения материи, приводящее к необходимости вве-
введения кварков и лептонов, а также обзор основных идей кван-
квантовой механики. Этот материал окажется знакомым многим
студентам, но не всем; он включен в книгу для того, чтобы
сделать ее доступной для тех студентов-математиков, которые
либо не изучали физики, либо уже забыли все, что знали о ней,
а также с учетом обычных жалоб, что в книгах по физике эле-
элементарных частиц всегда предполагается, что читатель уже
знает об элементарных частицах. К концу первой главы чита-
читатель узнает, какие известны элементарные частицы и какие
имеются взаимодействия между ними.
Следующие гл. 2 и 3 книги содержат изложение основ кван-
квантовой механики в формализме векторов состояний с привлече-
привлечением стандартной интерпретации. К концу гл. 3 читатель озна-
ознакомлен с основными постулатами квантовой теории и с основ-
основными элементами ее математического аппарата. В гл. 4 про-
продолжается изложение математического формализма квантовой
механики; эту главу следует рассматривать как введение к
последующим главам книги, так как в ней закладываются
основы того математического формализма, который исполь-
используется в гл. 6 и 7 (теория углового момента и теория операторов
уничтожения и рождения). В гл. 4 читатель знакомится также
с теорией атома водорода, имеющей самостоятельный интерес.
Последние три главы книги предлагают читателю три неза-
независимых путешествия, которые он может совершить в любой по-
последовательности. В гл. 5 мы возвращаемся к основам теории,
изложенной в гл. 2 и 3, но эти основы рассматриваются более

Предисловие автора
критично. Однако это путешествие кончается в заболоченной
речной дельте, где основной поток разделяется на девять само-
самостоятельных протоков. В гл. 6 мы возвращаемся к вопросам,
кратко изложенным в гл. 1, но теперь язык квантовой механики,
которым читатель овладел в гл. 2 и 3, позволяет дать более
подробное описание элементарных частиц. Операторы рождения
и уничтожения используются для упрощенного квантовополе-
вого рассмотрения сил взаимодействия элементарных частиц
без включения пространственных координат и времени. Кон-
Концепции собственно квантовополевой теории излагаются в гл. 7.
Первая часть этой главы является по существу продолжением
формального изложения квантовой механики, прерванного в
конце гл. 4. Во второй части гл. 7 объясняется, как квантовая
теория поля применяется в физике элементарных частиц в фор-
форме квантовой хромодинамики и квантовой ароматодинамики.
Она представляет собой третий подход к теоретическому описа-
описанию элементарных частиц.
Хотя изложение в настоящей книге и не формально аксиома-
аксиоматическое, но оно организовано так, что в нем выделен основной
логический скелет, состоящий из постулатов (четко формули-
формулируемых в книге) и цепочки предложений (названных теорема-
теоремами), которые выводятся из этих постулатов. Основные логиче-
логические моменты каждой главы перечисляются в конце каждой
главы (за исключением глав 1 и 6). Приводимые в книге мате-
математические доказательства не столь строги, как могли бы быть,
зато физические рассуждения проводятся намного более строго,
чем обычно. Математический стиль книги главным образом
алгебраический. Он основан на использовании коммутационных
соотношений; понятие волновой функции фактически не тре-
требуется при таком подходе. (Даже спектр атома водорода опи-
описан, следуя оригинальному алгебраическому методу Паули, ко-
который был развит раньше метода, основанного на уравнении
Шредипгера.) Но поскольку полное исключение волновых функ-
функций из квантовой механики сильно обеднило бы се и так как
студенты вероятнее всего встретятся с ними в других работах,
волновые функции включены в изложение, но только как при-
примеры типа векторов состояний, причем обосновываются обычные
предположения о свойствах волновых функций (например, вид
граничных условий для уравнения Шредингера).
Мнения преподавателей квантовой механики относительно
уместности использования формализма векторов состояний в
вводном курсе квантовой механики разделяются и несомненно
еще долго будут разделяться. Преподаватели, которые подобно
автору первоначально изучали квантовую механику по дира-
ковским бессмертным «Принципам», не сомневаются, что фор-
формализм векторов состояний может служить наилучшим введе-

10 Предисловие автора
нием в предмет. Из уважения к другой части преподавателей я
должен сказать, что эта книга может показаться слишком труд-
трудной тем студентам, которые не прошли первый курс квантовой
механики, основанный на формализме волновых функций. Фор-
Формально изучение квантовой механики по данной книге не тре-
требует знания физики; единственные необходимые знания матема-
математики ограничиваются векторной алгеброй и векторным анализом.
Вместе с тем, читателю, не знакомому с линейной алгеброй,
возможно покажутся трудными отдельные места. Желательно
также знакомство с элементами теории групп и аналитической
механики. До гл. 7 единственное, что используется из специаль-
специальной теории относительности, — это соотношение A.5), связы-
связывающее энергию и импульс. В гл. 7 от читателя требуется зна-
знание формализма 4-векторов и уравнений Максвелла.
Символ ¦ обозначает конец доказательства теоремы (или
конец утверждения, доказательство которого дано выше). Ком-
Комплексное сопряжение обозначается чертой сверху (а не звез-
звездочкой).
Автор хочет поблагодарить Марка Лоусона, Криса Кларка,
Ричарда Кроссли, Питера Ландсхоффа, Яна Друммонда, Дже-
Джереми Роджерса, Стивена Мак Гахана, Элисон Рамсей, Клиф-
Клиффорда Бишопа, Денниса Кронина, Ролланда Холла, Энн Томп-
Томпсон и Стива Робертса, которые прочли отдельные части рукопи-
рукописи и сделали полезные замечания. Автор благодарен также
Службе научной информации ЦЕРН'а (Женева) за предостав-
предоставление фотографий и разрешение их использовать. Наконец, ав-
автор хочет выразить признательность за тщательную работу по
изданию книги Саймону Кейплину и за внимание и терпение
Шейле Шеперд и другим сотрудникам издательства Кембридж
юниверсити пресс.
Йорк, июль 1985 г. Тони Садбери

Глава 1
Частицы и силы взаимодействия
Настоящая книга в основном посвящена фундаментальным ча-
частицам, из которых построена вся материальная Вселенная, и
силам взаимодействия этих частиц друг с другом. Чтобы иссле-
исследовать поведение частиц и даже просто объяснить их названия
(т. е. охарактеризовать свойства, отличающие частицы разных
типов), требуются теоретические рамки квантовой механики,
которой посвящена большая часть настоящей книги. Тем не
менее, прежде чем начать преодолевать трудности формальной
квантовой теории, мы сначала изложим современные представ-
представления о структуре материи и совсем кратко расскажем, на чем
основано убеждение, что эти представления верны. Мы опишем
важнейшие фундаментальные частицы, со свойствами которых
читатель познакомится более детально в последующих главах
книги, и охарактеризуем силы, действующие между ними; об-
обсуждая последние, мы предложим читателю первое качествен-
качественное знакомство с концепциями квантовой механики.
А. Анализ вещества
§ 1.1. Молекулы и атомы
Согласно очень старой идее, пришедшей в западный мир от
древних греческих философов, живших за несколько веков до
Платона, вещество состоит из мельчайших простых частиц не-
немногих различных типов, и все многообразие окружающих нас
веществ объясняется различием способов, которыми указанные
частицы соединяются друг с другом. Эта идея оставалась чисто
умозрительной вплоть до второй половины XIX в., когда оказа-
оказалось возможным связать ее с законами физики и химии.
Законы теплоты, в частности закономерности поведения га-
газов, можно объяснить на основе законов механики, предполо-
предположив, что вещество состоит из огромного числа частиц, называе-
называемых молекулами, которые в газе находятся в хаотическом дви-
движении. Такое объяснение поведения газов и других тел было
продемонстрировано мощными средствами статистической меха-
механики, созданной Максвеллом, Больцманом и Гиббсом, и назы-
называется кинетической теорией теплоты. Характерная его особен-
особенность, обычно рассматриваемая как выдающееся достижение

12 Га. 1. Частицы и силы взаимодействия
теории, состой г в сокращении числа первичных необьяененных
физических концепций: это объяснение позволяет тепло и темпе-
температуру отождествить с чисто механическими характеристиками
(тепло оказывается полной кинетической энергией системы ча-
частиц, а температура — средней кинетической энергией отдельной
частицы). Но это чисто теоретическое объяснение, и оно не счи-
считалось достаточным, чтобы поверить в реальность существова-
существования молекул. Для этого требовалось доказательство другого
рода. Такое доказательство дало броуновское движение, при ко-
котором движущаяся в жидкости крупинка пыльцы растения со-
совершает внезапные и случайные перемены направлений своего
движения, обусловленные тем, что ее толкают с разных сторон
молекулы жидкости. В 1905 г. Эйнштейн показал, что наблю-
наблюдаемые количественные характеристики броуновского движения
можно объяснить, предположив, что жидкость состоит из мель-
мельчайших частиц, и использовав те же методы и допущения ста-
статистической механики, которые используются в кинетической
теории.
Из химии в физику пришло представление, что молекулы
сами состоят из более мелких составных частей. Любое обычное
вещество является физической смесью химически чистых ве-
веществ, которые в свою очередь могут являться комбинациями
конечного числа химических элементов. Законы Дальтона обра-
образования химических соединений A803 г.) легко объяснить, если
предположить, что молекулы данного химического соединения
все одинаковы и каждая из них состоит из более мелких частиц
(называемых атомами), характерных для химических элементов,
входящих в данное химическое соединение. В этом суть так
называемой атомной теории в химии. Исторически эта теория
предшествовала кинетической теории теплоты, но она дает бо-
более глубокий уровень понимания (рассматриваются атомы, а не
молекулы) и более простую картину, в рамках которой число
различных типов фундаментальных частиц оказывается равным
не огромному числу различных химических соединений, а срав-
сравнительно небольшому числу химических элементов (классиче-
(классическое их число равно 92, но теперь оно несколько больше с уче-
учетом сравнительно недавно искусственно созданных химических
элементов).
Тем не менее число основных составных частей материи,
равное 92, довольно велико. Кроме того, атомы не являются
лишенными каких-либо свойств частицами материи; они отли-
отличаются друг от друга, как отличаются между собой химические
свойства элементов. Это стало особенно ясным после открытия
периодической системы химических элементов Менделеева
(рис. 1.1), в которой отдельные элементы расположены по стро-
строкам и столбцам таблицы в порядке возрастания их атомной

§ 1.2. Электроны, протоны и нейтроны 13
массы, служащей мерой массы отдельного атома. В таблице
элементов Менделеева элементы, стоящие в каком-либо опре-
определенном столбце, имеют сходные химические свойства, которые
постепенно и регулярно изменяются по мере перемещения вниз
по столбцу. В каждой строке тоже наблюдается постепенное
изменение (в частности, изменение валентности) при перемеще-
перемещении вдоль строки, причем это изменение также оказывается
регулярным. Такой характер изменения свойств химических
''¦ Не
I I Be ВС \ ! > Г Nc
Nj Mg Al Si V S Cl A
К Са Sc Ti V С; Мп Ft- ( e Ni C'u Zn Ga Gc As Sc Br Kr
Rb Sr Y Zr Nb Mo Ic Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Те I Xe
Cs Ba La. ... Hf la W Re Os !r Ft Аи Hg T! Pb Bi Po At
Fr Ra Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf ...
Рис. 1.1. Периодическая система химических элементов.
элементов позволяет предположить, что атомы должны обла-
обладать определенной внутренней структурой, которой они отли-
отличаются друг от друга, причем атомы элементов, стоящих в од-
одном и том же столбце, должны иметь сходную структуру, и эта
структура изменяется регулярным образом при перемещении
слева направо по таблице.
§ 1.2. Электроны, протоны и нейтроны
Первой открытой субатомной частицей был электрон (сим-
(символ е~); об его открытии заявил Дж. Дж. Томсон в 1897 г.
Большое число электронов покидает металлы при нагревании,
при сообщении металлам отрицательного электрического заряда,
а также когда на них падает свет. Эти частицы отклоняются
электрическими и магнитными полями; направление отклонения
показывает, что электрон обладает отрицательным электриче-
электрическим зарядом. Измеряя отклонение электронов в магнитном
поле, можно определить отношение К заряда электрона к его
массе. Измерить непосредственно заряд электрона очень труд-
трудно. Но из ряда косвенных экспериментов (из законов электро-
электролиза Фарадея, из экспериментов Вильсона и Милликена с элект-
электрически заряженными каплями воды или масла в электрическом
поле и др.) известно, что наблюдаемые электрические заряды
всегда оказываются целыми кратными некоторой основной ве-
величине е, значение которой в единицах СИ равно 1,6-10~19 Кл.
Предполагая, что эта величина равна заряду электрона, можно
вычислить массу электрона, которая, таким образом, равна

14 Гл. 1. Частицы и силы взаимодействия
m = е/к = 9,1 ¦ 10 ~28 г. Она составляет ничтожную долю (около
5,5-10~4) массы самого легкого атома — атома водорода.
Поскольку электроны способны отделяться от совершенно
разных веществ, следует предположить, что они имеются внут-
внутри атомов всех химических элементов. Вместе с тем нормаль-
нормальный атом любого химического элемента электрически нейтра-
нейтрален: следовательно, он должен содержать некоторую положи-
положительно заряженную субстанцию, способную компенсировать
электрический заряд его электронов. Поскольку электроны
очень легки, эта положительная субстанция должна быть от-
ответственна за большую часть массы атома.
В модели «пудинга с изюмом» Дж. Дж. Томсона атом пред-
представляет собой облако положительно заряженной субстанции,
внутри которой движутся по своим орбитам электроны. Как
показали эксперименты Резерфорда по рассеянию а-частиц,
такая картина неправильна. Альфа-частицы представляют со-
собой положительно заряженные частицы (с электрическим заря-
зарядом 2е и массой, примерно равной массе атома гелия), испус-
испускаемые радиоактивным радием. Гейгер и Марсден по предло-
предложению и под руководством Резерфорда изучали движение пуч-
пучка а-частиц, падающих на тонкий листок золотой фольги. По-
Поскольку электроны, имеющиеся в атомах фольги, намного легче
а-частиц, столкновение с ними оказывает лишь ничтожно малое
воздействие на движение а-частиц. Основное воздействие на
движение а-частиц обусловлено электрическим отталкиванием
от массивного положительно заряженного компонента в атоме.
Если бы этот компонент был равномерно распределен по объе-
объему атома, как в модели Дж. Дж. Томсона, то большинство а-
частиц встречало бы его на своем пути и отклонялось им. Но
вследствие большой диффузности этого компонента, силы, дей-
действующие на а-частицы, были бы малы и поэтому последние
отклонялись бы только на очень малые углы. Результаты Гейгера
и Марсдена противоречат такому представлению. В их экспе-
экспериментах большинство а-частиц двигалось прямолинейно сквозь
золотую фольгу, совсем не отклоняясь. Но среди тех а-частиц,
которые отклонялись, оказалась довольно большая доля частиц,
отклоняющихся на большие углы, а некоторые а-частицы даже
меняли направление своего движения на противоположное.
Резерфорд объяснил все эти результаты, сделав предполо-
предположение, что а-частицы не «протискиваются» сквозь большие
разреженные атомы, а сталкиваются с малыми твердыми объ-
объектами, имеющимися внутри атомов, состоящих в основном из
пустого пространства. Резерфорд показал, что распределение
а-частиц, рассматриваемое как функция их угла отклонения
(угла рассеяния), очень хорошо согласуется с распределением,
рассчитанным согласно допущению, что как сама а-частица, так

§ 1.2. Электроны, протоны и нейтроны 15
и положительная часть атома являются точечными частицами.
Этот результат привел Резерфорда к формулировке его «плане-
«планетарной» модели атома, уподоблявшей атом Солнечной системе.
Согласно этой модели, положительный заряд атома сконцен-
сконцентрирован в малом ядре, вокруг которого обращаются электроны
подобно планетам, движущимся по своим орбитам вокруг Солн-
Солнца; при этом электростатическое притяжение ядром отрицатель-
отрицательно заряженных электронов в атоме играет роль гравитацион-
гравитационного притяжения Солнцем планет Солнечной системы.
Модель атома Резерфорда столкнулась с двумя трудностя-
трудностями. Первая состоит в том, что электрическое притяжение не
во всем подобно гравитационному, поскольку первое сопровож-
сопровождается магнитным взаимодействием, которому нет аналога в
гравитации. Согласно максвелловской теории электромагнитно-
электромагнитного поля, ускоренно движущаяся электрически заряженная ча-
частица, например электрон в атоме Резерфорда, окружена из-
изменяющимся электрическим полем, которое рождает изменяю-
изменяющееся магнитное поле, которое в свою очередь рождает изме-
изменяющееся электрическое поле, и т. д., и это приводит к рожде-
рождению волн в форме электромагнитного излучения, уносящего
энергию от ускоренно движущейся заряженной частицы. Таким
образом, электрон в атоме Резерфорда должен потерять свою
энергию и упасть на ядро.
Вторая трудность модели Резерфорда связана с природой
излучения, которое может испускать атом. Оно испускается
всякий раз, когда электрон, движущийся в атоме по таинствен-
таинственно стабильной орбите, получает дополнительную энергию от
какого-нибудь источника и затем теряет ее, испуская электро-
электромагнитное излучение только вполне определенной частоты,
характерной для атома данного типа. Множество излучаемых
атомом частот называется спектром атома; спектр атома водо-
водорода, например, состоит из частот
где R — некоторая константа, a m, n — положительные целые
числа. В картине Резерфорда движущегося по орбите элект-
электрона, который в принципе может иметь любую частоту обраще-
обращения вокруг ядра, не содержится ничего, что позволило бы понять
дискретное множество чисел, подобных A.1).
Указанные трудности модели атома Резерфорда были раз-
разрешены путем пересмотра основных концепций классической
механики, который осуществила квантовая теория. Оказалось,
что структура «атом = ядро + электроны» вполне достаточна
для объяснения химических индивидуальностей элементов, так

16 Гл. 1. Частицы и силы взаимодействия
как химические свойства атомов можно объяснить исходя из
расположения электронов в них (в гл. 4 это качественно
разъяснено). Модель Резерфорда показала, что важнейшей
характеристикой атома является электрический заряд его ядра
(в единицах заряда электрона е), который равен числу элект-
электронов в атоме. Последнее число можно интерпретировать как
номер элемента при последовательной нумерации элементов по
строкам в периодической системе элементов; оно называется
атомным номером химического элемента и обычно обозна-
обозначается символом Z.
На этом все, однако, не заканчивается. Ядро, хотя и малое,
имеет внутреннюю структуру. Если бы оно ею не обладало,
нам пришлось бы считать, что 92 различным типам атомов
соответствует 92 типа различных ядер. Помимо связанных с та-
таким представлением теоретических затруднений вскоре появи-
появились и непосредственные экспериментальные доказательства,
даваемые явлением радиоактивности, показавшим, что ядро
атома действительно состоит из более мелких частиц.
Радиоактивные вещества испускают три разных типа излу-
излучений, известных как а-, р4- и 7"ЛУЧИ- Альфа-лучи состоят из
положительно заряженных частиц с зарядом 2е, которые, как
теперь установлено, являются ядрами атомов гелия. Бета-лучи
состоят из потоков электронов, а у-лучи представляют собой
электромагнитное излучение очень высоких частот. Вещества,
испускающие ct-лучи или 6-лучи, изменяют свою химическую
природу. Если какой-нибудь атом химического элемента с атом-
атомным номером Z испускает а-частицу, то он теряет заряд 2е и
заряд его ядра становится равным (Z— 2)е. Таким образом, он
становится атомом элемента с атомным номером Z— 2 и с
двумя лишними движущимися по орбитам внутри него элект-
электронами (которые вскоре отрываются от этого атома после ис-
испускания радиоактивного излучения). Аналогично, если атом
испускает электрон в виде частицы его р-излучения, ядро дан-
данного атома теряет заряд —в и атом становится атомом элемен-
элемента с атомным номером Z + \ с избыточным положительным
зарядом +е, так как оп имеет на один электрон меньше (такие
электрически заряженные атомы называют ионами). Таким об-
образом, источником радиоактивности атома является атомное
ядро, которое, как непосредственно представляется, содержит
внутри себя с.-частииы и электроны.
Процесс испускания ядром частицы называется распадом
ядра. Радиоактивный распад существенно непредсказуем: не-
невозможно определить, когда распадется данное конкретное
ядро. Но можно сделать определенные утверждения о величине
вероятности распада: для каждого типа радиоактивных ядер
существует константа т, характеризующая вероятность того,

§ 1.2. Электроны, протоны и нейтроны 17
что ядро данного типа распадется в течение малого интервала
времени dt, которая равна dt/x (радиоактивный распад отно-
относится к тому типу случайных процессов, которые в теории ве-
вероятностей называют процессами Пуассона). Таким образом,
из большого числа N одинаковых радиоактивных ядер за время
dt распадется Ndt/x; поэтому изменение числа ядер взятого
типа равно
dN = — Ndt/x. A.2)
Следовательно, число ядер, не распавшихся к моменту време-
времени t, равно
N = Nue-'l\ A.3)
где Л^о—• число ядер, имевшихся в момент t = 0. Константа т
называется временем жизни ядра.
Масса любого ядра очень близка к целому кратному А мас-
массы ядра атома водорода, причем А всегда больше, чем атомный
номер Z. Это наводит на мысль, что ядро атома водорода яв-
является фундаментальной частицей, называемой протоном (сим-
(символ р), каждое атомное ядро как будто состоит из А протонов
и А — Z электронов, необходимых для того, чтобы электрический
заряд ядра был равен как раз Ze. Разумеется, массы атомов
не складываются просто из масс составляющих его частиц, как
можно было бы ожидать, исходя из этой картины, т. е. масса
ядра не равна точно Апгр + (А—Z)me, где тр и те — массы
протона и электрона. Она должна быть немного меньше послед-
последней величины, как это объясняется в специальной теории отно-
относительности, утверждающей, что масса эквивалентна энергии
в согласии со знаменитой формулой Е = тс2. Таким образом,
если протоны и электроны ядра притянутся друг к другу и слип-
слипнутся в один комок, то ядро будет иметь меньшую энергию, чем
в случае, когда эти частицы отделены друг от друга, так как
для их разделения необходимо затратить определенную работу
против сил, удерживающих эти частицы в ядре. Следовательно,
масса ядра должна быть немного меньше суммы масс его со-
составных частей. Разность называется энергией связи данного
ядра.
Однако рассматриваемая простая картина ядра пе верна.
Как будет показано в гл. 4, угловой момент ядра имеет такое
значение, которое соответствует не 2A—Z частицам, а только
А частицам. Таким образом, мы по-прежнему считаем, что элек-
электрический заряд ядра состоит из зарядов Z протонов, но допол-
дополнительная масса ядра обусловлена А — Z частицами некоторого
нового типа, масса каждой из которых близка к массе протона и
которые не имеют электрического заряда.

18 Гл. 1. Частицы и силы взаимодействия
Эта новая частица — нейтрон (символ п). Вопрос о сущест-
существовании нейтрона был поставлен еще Резерфордом в 1920 г., но
нейтрон был открыт Чэдвиком только в 1932 г. (хотя и Резер-
форд, и Чэдвик думали вначале, что нейтрон состоит из протона
и электрона и не является истинной фундаментальной частицей).
Ядра, содержащие одинаковое число протонов, но различные
числа нейтронов, называют изотопами. Они ответственны за су-
существование различных физических форм химических элементов.
Обычно используется символ атомного ядра АХ, где X — символ
соответствующего химического элемента, а Л — полное число про-
протонов и нейтронов, имеющихся в нем. Если желают указать от-
отдельно числа протонов и нейтронов в ядре, то приведенный сим-
символ усложняют и используют вместо него символ azXa-z- Так,
например, 3iH2 обозначает изотоп водорода, ядра которого со-
содержат по одному протону и по два нейтрона (называемый
тритием).
На данном этапе мы имеем очень простую картину мира, по-
построенного из трех типов элементарных частиц. Все вещества со-
состоят из молекул; молекулы состоят из атомов; атомы содержат
электроны, вращающиеся по орбитам вокруг массивных атомных
ядер, которые в свою очередь состоят из протонов и нейтронов.
§ 1.3. Нейтрино
При всей кажущейся простоте этой картины, объясняющей яв-
явление радиоактивности, остается все же трудность, связанная с
объяснением р-излучения при радиоактивных распадах ядер:
если ядро не содержит электронов, откуда тогда берутся элек-
электроны в р-лучах, испускаемых ядрами? Другой серьезный вопрос
о таких радиоактивных распадах возникает при рассмотрении
скоростей испускаемых электронов.
Допустим, что ядро А распадается с образованием ядра В и
испусканием электрона:
А->В + е". A.4)
Применим к этому процессу законы сохранения энергии и им-
импульса. Энергия и импульс каждой рассматриваемой частицы
даются релятивистскими формулами
Е = л/р2с2 + т2с*, A.5)
Р = #. A-6)
где Е, р и v — энергия, импульс и скорость частицы соответст-
соответственно, m — масса частицы (точнее масса покоя) и с — скорость
света. Если начальное ядро А покоилось, то закон сохранения

§ 1.3. Нейтрино 19
импульса требует, чтобы испущенный электрон и конечное ядро
В имели равные и противоположные импульсы. Обозначим через
р величину этих одинаковых импульсов; тогда закон сохранения
энергии дает
1.7)
Таким образом, импульс р можно однозначно определить через
массы /н.\, /нв и >пе ядер А, В и электрона. Следовательно, все
электроны, испущенные покоящимся ядром А, должны иметь
одну и ту же энергию
2 'J i 2\
Х Ш~ + mt
_ (mA-mg + ,
Со-
2/и,
Эксперименты же показывают, что электроны, испускаемые при
каждом конкретном р-распаде, имеют разную энергию, изменяю-
п{Е)\
Рис. 1.2. Электронный спектр при р-распаде. Величина n(E)dE обозначает
долю испущенных при распаде ядра электронов, имеющих энергию, заклю-
заключенную между Е и Е + dE.
щуюся от минимальной энергии тес2 до максимального значе-
значения, которое совпадает с тем, которое мы только что вычислили
(рис. 1.2). Таким образом, создается впечатление, что энергия
не сохраняется при р-распаде. Чтобы разрешить эту трудность,
в 1930 г. Паули предположил, что недостающая энергия уносит-
уносится еще одной гипотетической частицей, которая в рассматривае-
рассматриваемых экспериментах не наблюдалась, так как она электрически
нейтральна и очень слабо взаимодействует с веществом. Суще-
Существование этой частицы разрешает также трудность, связанную
с экспериментально наблюдаемым различием углового момента
начального ядра и углового момента конечного ядра и испускае-
испускаемого электрона. Паули назвал эту частицу нейтрино (символ v),

20 Гл. 1. Частицы и силы взаимодействия
хотя теперь но причине, которая станет ясной в следующем па-
параграфе, она известна под названием антинейтрино (символ v).
Следовательно, реакцию распада A.4) следует записать в виде
A->B-|-e- + v. A.9)
Простейшим примером этой реакции служит распад нейтрона,
который, находясь вне атомного ядра, оказывается нестабиль-
нестабильным и распадается на протон, электрон н антинейтрино с време-
временем жизни около 15 мин:
n->p + e- + v. A.10)
Поскольку энергии электронов, испущенных при распаде
A.9), могут быть как угодно близки к значению A.8), которым
они обладали бы, если антинейтрино не испускалось, то энер-
энергии испущенных антинейтрино должны быть очень близки к ну-
нулю. Согласно формуле A.5), последнее возможно только при ус-
условии, что масса покоя нейтрино m равна нулю. В этом случае
формулы A.5) и A.6) дают v = с; таким образом, антинейтрино
должны двигаться со скоростью света.
Поскольку антинейтрино очень слабо взаимодействует с дру-
другими частицами материи, его существование не было подтвер-
подтверждено независимыми экспериментами вплоть до 1956 г., когда
Рейнес и Коуэн наблюдали очень редкие процессы, происходя-
происходящие, когда антинейтрино сталкиваются с ядрами (см. реакцию
A.15) в следующем параграфе).
§ 1.4. Античастицы; барионы и лептоны
Движение элементарных частиц, которыми мы здесь занимаем-
занимаемся, следует описывать, используя специальную теорию относи-
относительности, как мы делали выше, и квантовую механику, о кото-
которой рассказывается ниже в этой книге. Впрочем, в большей ча-
части книги квантовая механика развивается в нерелятивистской
форме, хотя в гл. 7 и показано (правда, на элементарном уров-
уровне), как нерелятивистскую квантовую механику и специальную
теорию относительности можно объединить в рамках реляти-
релятивистской квантовой теории поля. Мы увидим, что такое объеди-
объединение в частности требует, чтобы для элементарной частицы
каждого типа существовала частица другого типа с теми же
механическими свойствами (т. е. массой и спином), но с проти-
противоположным электрическим зарядом. Такую частицу называют
античастицей первоначальной частицы.
Античастица для электрона называется позитроном (символ
е+). Теоретически необходимость его существования стала ясной

§ 1.4. Античастицы; барионы и лептоны 21
через два года после того, как Дирак1) в 1928 г. получил свое
знаменитое релятивистское квантовое уравнение, описывающее
электрон. Позитрон был экспериментально обнаружен Андерсо-
Андерсоном в 1932 г. Когда электрон и позитрон сталкиваются, они мо-
могут уничтожить друг друга; при этом их масса превращается в
энергию электромагнитного излучения. Наоборот, при опреде-
определенных условиях электроп-позитронные пары могут образовы-
образовываться из излучения. Такие рождающиеся пары оставляют ха-
характерные следы на фотографиях, полученных в пузырьковых
камерах. Будучи противоположно заряженными, электрон и по-
позитрон в магнитном поле движутся по противоположно искрив-
искривленным траекториям, образуя на снимках характерные развилки
в виде рогов оленя, как это можно видеть на рис. 1.3.
Античастица, соответствующая протону, называется антипро-
антипротоном (символ р). Она может быть получена только вместе с
протоном в процессе рождения пары, подобной только что опи-
описанной электрон-позитронгюй паре (хотя энергия для ее созда-
создания и не обязательно берется из электромагнитного излучения,
а может оказаться кинетической энергией другой бомбардирую-
бомбардирующей мишень частицы). Поскольку протон во много раз массивнее
электрона, для создания протон-аптипротонной пары требуется
во много раз больше энергии, чем для создания электрон-
позитронной пары, и такая энергия не была достигнута в экспе-
экспериментах в физике элементарных частиц вплоть до 1955 г.
Хотя нейтрон и нейтрино и не обладают электрическими за-
зарядами, для них тоже существуют античастицы п и v. Эти анти-
античастицы отличаются от своих частиц не электрическим зарядом,
а другими характеристиками, которые проще всего понять на
примере радиоактивного [3-распада и других аналогичных про-
процессов следующим образом.
Как и электроны, позитроны также испускаются некоторыми
радиоактивными ядрами, и их испускание тоже сопровождается
испусканием некоторых других частиц с нулевой массой покоя;
эти последние частицы называют теперь нейтрино. Например,
существует радиоактивный изотоп кислорода, ядра которого со-
содержат 8 протонов и 6 нейтронов и распадаются в ядра азота,
состоящие из 7 протонов и 7 нейтронов:
14O-^HN + e+ + v. A.11)
Такой процесс аналогичен процессу обычного р-распада
14С -> I4N + е~ + v A.12)
') В первоначальной теории позитрона, развитой Дираком, которую и
до сих пор часто рассматривают как правильную, позитрон интерпретиро-
интерпретировался как «дырка» в «море» электронов, обладающих отрицательными энер-
энергиями. Никакого подтверждения этой концепции в современной теории анти-
античастиц не имеется.

_u
X
Рис. 1.3. Рождение электрон-позитронных пар (снимок ЦЕРН'а). Фотоны интенсивного поля электромагнитного излучения
рождают большое число электрон-позитронных пар, подобных отмеченным на рисунке.

§ 1.4. Античастицы; барионы и лептоны 23
(который используют, в частности, при радиоуглеродной дати-
датировке исторических и геологических событий). Причиной рас-
распада A.12) можно считать распад одного из нейтронов в ядре
14С:
n-^p + e^ + v, A.13)
который, как мы видели, является процессом, ответственным за
распад свободного нейтрона. Аналогично причиной распада
A.11) можно считать распад одного из протонов в ядре 14О:
p-^n + e+ + v. A.14)
Свободные протоны не распадаются указанным образом, так как
нейтрон имеет немного большую массу покоя, чем протон, и в
процессе A.14) нарушался бы закон сохранения энергии. Од-
Однако внутри атомного ядра энергия нейтрона уменьшается на ве-
величину потенциальной энергии внутриядерных сил притяжения,
и рассматриваемый процесс может происходить. (Это показы-
показывает, что распад нейтрона, как в процессе A.11), нельзя считать
доказательством того, что нейтрон является составным объектом,
состоящим из протона и электрона; протон и нейтрон следует
рассматривать как равноправные частицы.)
Рассмотрим теперь процесс, в котором Рейнес и Коуэн впер-
впервые наблюдали антинейтрино. В этом процессе антинейтрино, по-
полученные из распадов, подобных A.12), сталкивались с прото-
протонами, рождая при этом нейтроны и позитроны:
p + v->n + e+. A.15)
Аналогичный процесс можно наблюдать и с нейтрино:
n + v-^p + e-. A.16)
Однако процесс, подобный A.15), но с заменой антинейтрино на
нейтрино (т. е. при использовании частиц, получаемых при рас-
распаде 14С, а не при распаде 14О) не происходит; не наблюдается
и процесс, подобный A.16), но с заменой нейтрино на антиней-
антинейтрино. Все это доказывает, что нейтрино и антинейтрино дей-
действительно различные частицы; мы получаем также способ опи-
описывать указанное различие.
В процессах A.13) — A.16) участвуют частицы двух различ-
различных типов: сравнительно тяжелые частицы п и р и легкие ча-
частицы е~~, е+, v и v. Первые называются барионами, а вторые—•
лептонами (от греческих слов «тяжелый» и «легкий»). В каж-
каждом из рассматриваемых процессов участвует по одному барио-
ну до начала процесса и после процесса. Таким образом, число
барионов сохраняется. Это утверждение не справедливо в отно-
отношении лептонов, так как в процессах принимают участие и анти-
античастицы. Но если при подсчете лептонов в начале и в конце

24
Гл. 1. Частицы и силы взаимодействия
процесса позитрон и антинейтрино учитывать с отрицательным
знаком, то полное число лептонов в реакции тоже будет сохра-
сохраняться в каждом рассматриваемом процессе.
Чтобы все было окончательно ясно, введем в рассмотрение
еще одну характеристику, называемую лептонным числом, и
припишем электрону и нейтрино значение этого числа -f-1, а
позитрону и антинейтрино — значение —1; остальным частицам
припишем значение 0. Лептонным числом совокупности частиц
будем называть сумму лептонных чисел отдельных частиц ана-
аналогично тому, как определяется полный электрический заряд
совокупности частиц. Таким образом, имеется еще один фунда-
фундаментальный закон природы — закон сохранения лептонного чис-
числа— наряду с законом сохранения электрического заряда.
Подобные соображения можно применить и к барионам. Ес-
Если мы припишем протону и нейтрону значение барионного числа
+ 1, их античастицам значение —1, а всем остальным частицам
значение 0, то барионное число тоже будет сохраняться во всех
процессах.
Указанные три сохраняющиеся величины (электрический за-
заряд, лептонное число и барионное число) называются аддитив-
аддитивными квантовыми числами.
Выводы: четыре основные частицы. Характеристики рассмот-
рассмотренных выше элементарных частиц приведены в табл. 1.1.
Таблица 1.1. Свойства четырех основных элементарных частиц
и их античастиц
Частица
(:штичлсгпца)
Электрон е~
Позитрон е +
Протон р
Антипротон р
Нейтрон п
Антинейтрон п
Нейтрино v
Антинейтрино v
.Масса.
лив
0,511
938,3
939,6
0
Заряд
]
+ 1
+ 1
— 1
0
0
0
о
Лсптокное
ЧИСЛО
+ 1
— 1
0
0
0
0
¦1-1
--1
ное
ЧИСЛО
0
0
-н
1
+ 1
1
0
0
Год от
теоре ги-
ческиго
1928
—
1928
1920
1928
1930
1980
фМТПЧ
экспери-
эксперимента чь-
ного
1897
1931
1911
1955
1932
1956
1954
1954
Единицей массы, обычно используемой для элементарных ча-
частиц, является мегаэлектронвольт (МэВ). На самом деле это
не единица массы, а единица энергии. Один электронвольт (эВ)
равен энергии, приобретаемой электроном при ускорении его
разностью потенциалов 1 В. Один мегаэлектронвольт равен мил-

§ 1.5. Кварки и лсптоиы 25
лиону электронвольт: 1 МэВ —1О'; эВ. Эту единицу можно ис-
использовать в качестве единицы массы, так как масса и энергия
эквивалентны в силу релятивистской формулы Е = тс2. (Вооб-
(Вообще говоря, единицу массы следует обозначать символом МэВ/с2,
но с2 опускают, так как физики-теоретики считают, что с = 1, во
всяком случае, с = 1 световому году в год.) Отношение единицы
МэВ к обычной единице массы следующее: 1 МэВ = 1,78- ICh30 кг.
Но лучше всего представлять себе значение единицы МэВ сле-
следующим образом. Надо помнить, что электрон имеет массу, при-
приближенно равную 0,5 МэВ, а масса протона и нейтрона пример-
примерно равна 103 МэВ.
Используются и большие единицы массы (и энергии): ГэВ
(= 103 МэВ) и ТэВ (= 106 МэВ).
§ 1.5. Кварки и лептоны
Четыре частицы, приведенные в табл. 1.1, казалось, могут слу-
служить основой для описания окружающего нас мира, которая
очень проста и в то же время достаточна для описания всех
форм материи, известных до 1935 г. Вместе с тем наблюдения
космических лучей и эксперименты на ускорителях элементар-
элементарных частиц открыли существование других частиц вещества на
том же элементарном уровне, что и рассмотренные четыре основ-
основные частицы. Эти новые частицы не являются составными ча-
частями обычной материи, так как они очень быстро распадаются
(имеют времена жизни от 10~~(i до 1О 10 с) па протоны, нейтроны,
электроны и нейтрино; тем не менее они с голь же фундамен-
фундаментальны, как и четыре основные элементарные частицы.
Первой из новых частиц явился мюон (символ \i~). Данная
частица во всех отношениях подобна электрону, кроме значения
массы A06 МэВ); она в отличие от электрона нестабильна
(имеет время жизни 2-10~6 с) и распадается в процессе
,u~->e- + v + v. A.17)
Впрочем последний распад не очень существенно отличает
мюон от электрона, так как он является просто следствием боль-
большей массы мюона, которая делает возможным данный распад.
Как и электрон, мюон имеет единичный отрицательный элек-
электрический заряд; имеется и соответствующая положительно за-
заряженная античастица |.i+. Лептонпое число мюона тоже равно
+ 1, и легко убедиться, что в процессе A.17) лептонпое число
сохраняется. На самом деле реакция A.17) дает несколько уп-
упрощенное представление о мюонном распаде, так как не только
электрон имеет своего двойника в мюопе, по также и нейтрино
имеет копию в виде другой частицы, которая называется мюон-
ным нейтрино (символ vp,). Первоначально открытое нейтрино,

26 Гл. 1. Частицы и силы взаимодействия
описанное в § 1.4, называют электронным нейтрино (символ ve),
чтобы отличить его от мюонного нейтрино. Различие двух типов
указанных нейтрино проявляется в различии процессов, в кото-
которых они участвуют. Каждое нейтрино может реагировать только
со своим собственным заряженным лептоном (т. е. с электроном
или мюоном). Так наблюдаются реакции
Ve + n^PteJ A.18)
vM + п-> р + ц ,
но не существует реакций
Когда нейтрино и антинейтрино, появляющиеся в мюонном
распаде A.17), были идентифицированы как электронное
и мюонное нейтрино, то оказалось, что распад A.17) на самом
деле имеет следующий вид;
^-^е- + гй + *е. A.20)
Экспериментальные факты, представленные реакциями
A.18) — A.20), можно объяснить, подразделяя единое лептонное
число на два отдельных квантовых числа, называемых электрон-
электронным числом и мюонным числом, и приписывая частицам е~ и ve
значение электронного числа + 1 и значение мюонного числа 0,
а частицам ц~ и v^ — значение электронного числа 0 и мюонного
числа -\-1, причем при переходе от частиц к античастицам зна-
значения обоих чисел изменяются на обратные как обычно. Тогда в
процессах A.18) — A.20) электронное и мюонное числа сохра-
сохраняются по отдельности.
В 1975 г. был открыт лептой третьего типа, известный под
названием тау-лептона (символ т~, античастица т+). Имеется
также нейтрино третьего типа vT, связанное с данным лептоном.
Существует и новое сохраняющееся квантовое число, относящее-
относящееся к тау-лептону и его нейтрино.
В первых экспериментах с космическими лучами в конце
40-х гг. кроме мюона были открыты также новые барионы. Вско-
Вскоре выяснилось, что они характеризуются еще одним новым кван-
квантовым числом, называемым странностью (экспериментальные
свидетельства существования квантового числа странности более
сложны, чем для лептонных чисел; о них говорится в § 6.2). Эти
частицы, так же как протон и нейтрон, обладают ненулевыми
значениями барионного числа (в отличие от лептонного числа
барионное число не подразделяется на отдельные квантовые чис-
числа). Новых барионов имеется намного больше, чем новых лепто-

§ 1.5. Кварки и лептоны 27
Странность S
\
Заряд Q
s =¦-- о -V——— V-
5 = - 1
2 = - 1 Q - n 0 - • i
Рис. 1.4. Октет барионов; частицы имеют времена жизни порядка 10~10 с.
,-.Ju. \ ' '•
д= \ л*
Рис. 1.5. Декаплет барионов; частицы имеют времена жизни порядка 10~23 с,
кроме бариона п~, время жизни которого порядка 10~10 с.
нов, и они более сложным образом связаны друг с другом. Связь
между различными барионами лучше всего можно видеть из
диаграмм, подобных приведенным на рис. 1.4 и 1.5, в которых
координатами служат странность и электрический заряд, при-
причем использована косоугольная система координат. Мы видим,
что рассматриваемые частицы распадаются на группы, которые
изображаются простыми геометрическими фигурами (эти диа-
диаграммы имеют математический смысл, о котором рассказано в
гл. 6). В диаграммы на рис. 1.4 и 1.5 включены только самые

28 Гл. 1. Частицы и силы взаимодействия
легкие частицы; известно несколько других групп частиц, кото-
которые также образуют подобные геометрические фигуры.
В точности те же аргументы, которые использовались выше
для доказательства того, что атом обладает внутренней структу-
структурой, можно применить теперь к рассматриваемым барионам. Ба-
рионов слишком много, чтобы их можно было рассматривать как
элементарные частицы, причем имеющиеся для них геометриче-
геометрические фигуры, изображенные на рис. 1.4 и 1.5, как и периодиче-
периодическая система элементов, явно свидетельствуют, что должны су-
существовать какие-то внутренние характеристики указанных ба-
рионов, изменяющиеся систе-
систематически при переходе от ба-
риона к бариопу. Кроме того,
как показывают эксперименты
по поведению протонов и ней-
нейтронов во внешних электро-
электромагнитных полях, эти частицы
имеют распределения электри-
чсского заряда и магнитного
q---\ q'~i момента по области линейных
Рис. 1.6. Кварки. размеров порядка Ю-13 см (в
отличие от лептонов, которые
ведут себя как идеальные точечные частицы — по крайней мере
до масштабов порядка 1СН6 см). Наконец, еще одну аналогию
с исследованиями по структуре атома дали эксперименты, в ко-
которых очень быстрые электроны сталкивались с покоящимися
протонами и нейтронами, так же, как в случае а-частиц в экс-
экспериментах Резерфорда; в этих экспериментах неожиданно
большая доля электронов отклонялась на большие углы. Как
эксперимент Гейгера — Марсдена, доказавший существование
внутри атома твердого маленького ядра, указанные эксперимен-
эксперименты по рассеянию электронов на протонах и нейтронах показали,
что внутри барионов имеются другие еще меньшие частицы.
Расположение бариопов в узлах диаграмм «заряд — стран-
странность» на рис. 1.4 и 1.5 можно объяснить, если считать, что каж-
каждый барион состоит из трех малых частиц и что существуют три
типа указанных малых частиц со значениями заряда и странно-
странности, приведенными на рис. 1.6. Эти малые частицы называют
кварками (название заимствовано из романа Джеймса Джойса
«Поминки по Финнегану»). Чтобы образовать протон и нейтрон,
требуются только два типа кварков. Они называются и- и d-
кварками (символы и и d). Барионы с ненулевым значением
странности содержат кварк третьего типа, который называется
s-кварком (символ s) ')•
') От английских слов up (вверх), down (вниз) и strange (странный).—
Прим. перев.

§ 1.5. Кварки и лептоны 29
Для всех кварков барионное число равно 1/3, так что три
кварка вместе могут образовать объект с барионным числом +1.
Всевозможные комбинации кварков трех типов дают все значе-
значения заряда и странности, приведенные на рис. 1.5. Дополнитель-
Дополнительные частицы, показанные на рис. 1.4, появляются по той при-
причине, что кварки обладают еще одной характеристикой — спи-
спином. Для барионов, изображенных на рис. 1.5, спины всех
составляющих их кварков направлены одинаково. На рис. 1.4
показаны барионы, для которых спины двух составляющих их
кварков направлены противоположно.
Барионы, находящиеся в вершинах треугольника на рис. 1.5,
составлены из трех тождественных кварков, спины которых на-
направлены одинаково и которые, как показано в гл. 6, движутся
по одной и той же орбите внутри бариона. Имеется, однако, фун-
фундаментальный закон, называемый принципом запрета Паули
(см. § 2.6). который утверждает, что тождественные частицы не
могут находиться в одном н том же состоянии движения. Следо-
Следовательно, кварки в рассматриваемых барионах не могут быть
на самом деле тождественными; должна существовать еще одна
какая-то характеристика кварков, которой они различаются ме-
между собой. Эту характеристику называют цветом; каждый из
кварков u, d и s на рис. 1.6 существует в трех формах, т. е. как
бы имеются красные, голубые и желтые кварки.
Обычно читателя предупреждают, что понятие «цвет кварка»
не должно пониматься буквально. Автор сомневается, что такое
предупреждение действительно необходимо. Более важно под-
подчеркнуть, что цвета кварков имеют то сходство с видимыми цве-
цветами, что любой цвет есть некоторая смесь трех первичных цве-
цветов, причем выбор последних произволен: любой цвет можно
рассматривать как первичный ').
Аналогично тому как три кварка могут объединяться с обра-
образованием бариона, кварк может объединяться с антикварком с
образованием частицы, обладающей нулевым барионным чис-
числом. Такие частицы называют мезонами (от греческого слова
«средний»; массы мезонов имеют промежуточные значения ме-
между массами лептонов и барионов). Образованные из u-, d- и
s-кварков мезоны показаны на рис. 6.7; они образуют такую же
гексагональную структуру, как октет барионов, с одной допол-
дополнительной частицей. Барионы и мезоны вместе называют адро-
нами (от греческого «сильный» — причина будет объяснена в
§1-7)/
В 1974 г. была открыта первая частица еще одной но-
новой группы адронов. Частицы этой группы обладают новым
!) Полного произвола, однако, нет, так как нельзя, скажем, взять пер-
первичные цвета все из нижней или все из верхней части видимого спектра. —-
Прим. перев.

30
Гл. 1. Частицы и силы взаимодействия
квантовым числом, названным очарованием; последнее перено-
переносится четвертым кварком — очарованным кварком (символ сI);
остальные квантовые числа очарованного кварка такие же, как
для и-кварка. Три кварка с участием кварков четвертого типа
вместе образуют новые барионы, обладающие очарованием (зна-
(значение которого для барионов может быть равно 0, 1, 2 и 3 в со-
соответствии с тем, сколько очарованных кварков входит в состав
бариона). Аналогичным образом очарованный кварк с антиквар-
антикварком любого типа может образовать очарованный мезон.
Квантовые числа, значения которых различают типы квар-
кварков (например, странность или очарование), называют арома-
ароматами. Четыре кварка u, d, с и s можно объединить в две пары
с одинаковыми свойствами, различающиеся только ароматом:
пара (с, s), как представляется в настоящее время, является ко-
копией пары (и, A), как пара лептонов (и, ytl) является просто тя-
тяжелой копией пары (е, ve). Указанные группы подобных частиц,
различающихся только значениями масс и ароматом, называют
поколениями или семействами.
Еще две группы частиц, открытых в 1979 н 1984 гг., показали,
что существуют пятый и шестой кварки b и t. Их ароматы ино-
иногда называют красотой и истинностью, но, к сожалению, чаще
используют менее удачные термины придонный и вершинный2).
Все известные кварки и лептоны приведены в табл. 1.2.
Таблица 1.2. Кварки и лептоны
Пептоны
Кварки
1
е~
Ve
U
d
Семейства
о
х
с
S
3
т_
t
ь
Электрический
заряд
1
0
2/3
-1/3
Ни один из кварков в свободном состоянии никогда не на-
наблюдался в отличие от лептонов. Полагают, что силы, связы-
связывающие кварки друг с другом в адронах, не уменьшаются, а воз-
возрастают с расстоянием, так что ни один кварк не может выйти
из адрона и стать свободной частицей.
Из трех пар кварков и лептонов одна пара тех и других —
кварки и и d и лептоны е~ и ve — необходимые составные части
окружающего нас мира, причем мир, построенный только из них,
') От английского charm — очарование. — Прим. перев.
2) Английские слова beauty (красота) и bottom (дно) и слова truth
(истина) и top (вершина) начинаются с одинаковых букв, — Прим, перев-

§ 1.6. Экспериментальное наблюдение частиц 31
представляется вполне возможным во всех отношениях. Причи-
Причины существования остальных пар кварков н лептонов и связь
между ними в настоящее время не известны.
§ 1.6. Экспериментальное наблюдение частиц
Самые прямые и наиболее информативные методы наблюдения
элементарных частиц — те, в которых частица оставляет види-
видимый след. Перечислим такие экспериментальные методы.
1. Паровоздушная камера. Когда заряженная частица вы-
высокой энергии проходит через слой вещества, она выбиЕ5ает элек-
электроны из атомов вещества, встречающихся на ее пути, оставляя
после себя след положительных ионов. В воздухе, содержащем
пересыщенные пары воды, указанные ионы служат ядрами кон-
конденсации пара и становятся видимыми в виде следа из мельчай-
мельчайших капелек воды.
2. Пузырьковая камера. В этой камере используется тот же
принцип, что и в паровоздушной камере, но пересыщенный водя-
водяной пар заменен перегретой жидкостью при температуре выше
точки кипения. В этом случае также ионы, образованные в следе
заряженной частицы, оказываются ядрами, на которых начи-
начинается кипение, и след частицы становится видимым в виде до-
дорожки маленьких пузырьков. В настоящее время пузырьковая
камера для большинства целей заменила паровоздушную ка-
камеру.
3. Искровая камера. В ней используется тот принцип, что
электрический разряд в газе происходит легче, если газ содер-
содержит ионы. Когда заряженная частица пролетает через вещество,
содержащееся между двумя пластинами, на которые сразу после
пролета частицы подают большую электрическую разность по-
потенциалов, разрядная искра между пластинами проходит по ос-
оставленному частицей следу, состоящему из ионов, что делает
след частицы видимым. Расстояние между пластинами должно
быть сравнительно малым; искровые камеры обычно имеют боль-
большое число пластин.
4. Фотоэмульсии. Заряженные частицы так же, как свет,
действуют на бромид серебра; поэтому они оставляют запись
своего пути в фотоэмульсии точно так же, как падающий свет
оставляет в ней след, который превращается в фотографическое
изображение. Такое свойство фотографической эмульсии оказа-
оказалось особенно полезным для регистрации космических лучей
(чрезвычайно высокоэнергетических частиц, прилетающих из
внешнего космического пространства в верхние слои атмосферы
Земли).
Другими типами детекторов частиц являются: 1) сцинтилля-
ционные счетчики, в которых используется тот факт, что некото-

3:2 Гл. 1. Частицы и силы сзаимоОейсгвия
рыс полимерные материалы нсиускакл вспышки света, когда че-
через них проходят заряженные частицы; 2) черепковские счет-
счетчики, использующие характерное электромагнитное излучение,
которое испускается заряженной частицей, движущейся в про-
прозрачной среде со скоростью, большей скорости света в среде;
3) гейгеровские счетчики, принцип работы которых подобен
принципу работы искровой камеры, но используется разрядный
ток, а не видимая искра. Приборы и аппараты указанных трех
типов называют «счетчиками», так как они просто регистрируют
прохождение частицы через прибор, по не дают никакой инфор-
информации о траектории частицы.
Большинство указанных методов экспериментального наблю-
наблюдения частиц дают прямую информацию только об электрически
заряженных частицах; нейтральные частицы можно наблюдать
только косвенными методами по их действию на заряженные ча-
частицы и атомные ядра. Характеристики внутренней структуры
заряженных частиц можно измерить с помощью изучения сле-
следов, оставляемых ими в приборах первого типа: заряд можно
измерить по кривизне следа в магнитном поле; импульс — но
плотности ионизации в среде, энергию — по расстоянию, кото-
которое частица проходит до остановки в камере.
Б. Анализ сил
§ 1.7. Типы сил
Перейдем чеперь от рассмотрения структуры материн к иссле-
исследованию се поведения. Способ исследования материи с помощью
разделения ее па все более мелкие составные части, который об-
обсуждался в первой части этой главы, обязательно включает про-
процесс объяснения поведения материи на данном уровне ее рас-
рассмотрения с помощью известного поведения ее на нижележащем
уровне. Мы фактически встретили уже два примера такого поло-
положения вещей. Во-первых, кинетическая теория теплоты, которая
объясняет термодинамическое поведение 1макроскопических тел
на основе исследования механического движения их молекул;
квантовая теория объясняет сходным образом химические свой-
свойства вещества с помощью движения электронов внутри атомов и
молекул вещества. Во-вторых, излучение звезд, которое объяс-
объясняется с помощью реакций, происходящих с ядрами атомов ве-
вещества этих звезд.
Поскольку различные формы материн изучают разные нау-
науки, в результате такого рода построений сокращается число на-
наук— так в приведенных выше примерах теория теплоты заме-
заменяется механикой, химия — атомной физикой и астрономия ча-
частично заменяется ядерной физикой. Но такая замена больше

§ 1.7. Типы сил 33
кажущаяся, так как хотя понятия науки более высокого уровня
можно анализировать с позиций более фундаментальной науки,
но первые нельзя отбросить без потери понимания, достигнутого
этой наукой более высокого уровня. Тем не менее в принципе
можно представить себе ступени анализа, в которых социология
сводится к психологии, психология — к физиологии, физиоло-
физиология— к биологии, биология — к химии, химия — к физике. (Та-
(Такой взгляд на науку называют «редукционизмом» те, кто его не
придерживается, и «объединением наук» — те, кто его разде-
разделяет.)
Имеется и другое направление анализа материи, которое при-
применяется к ее поведению на заданном уровне и имеет целью
представить поведения материи как комбинацию определенных
основных типов поведения. Цель всегда состоит в сокращении
числа независимых законов природы; для этого необходимо по-
показать, что либо некоторые законы можно свести к другим, либо
два данных закона можно объединить, т. е. показать, что оба
они являются разными аспектами одного и того же скрытого яв-
явления. Такого рода объединение законов произошло, когда Фа-
радей и Максвелл показали, что электрические и магнитные
силы взаимосвязаны; пример сведения одного закона к друго-
другому— объяснение Максвеллом световых явлений с помощью
объединенного электромагнитного взаимодействия.
На уровне основной четверки элементарных частиц, описан-
описанных в § 1.4 (протоны, нейтроны, электроны и нейтрино), в ре-
результате применения такого рода анализа мы приходим к сле-
следующим четырем типам фундаментальных сил.
1. Гравитация. Гравитационные силы действуют на все ча-
частицы, но, так как они очень слабы по сравнению с другими ти-
типами сил, они играют важную роль только в тех случаях, когда
рассматриваются огромные коллективы частиц. Таким образом,
гравитационные силы господствуют в астрономии, они важны и
при описании поведения обычных макроскопических тел, но ими
можно полностью пренебречь при рассмотрении отдельных эле-
элементарных частиц.
2. Электромагнетизм. Электромагнитные силы действуют на
все заряженные частицы, а также на нейтроны, так как послед-
последние обладают магнитным моментом. Указанные силы удержи-
удерживают частицы в атоме и ответственны за все конфигурации, ко-
которые электроны образуют в атомах, а следовательно, за хими-
химические свойства; они также ответственны за силы, действующие
между атомами и молекулами. Таким образом, все макроскопи-
макроскопически наблюдаемые силы сводятся к гравитационным и элек-
электромагнитным. Именно силы этих двух типов обусловливают
поведение «и башмаков, и судов, и сургуча, и капусты, и ко-
королей».

34
Гл. 1. Частицы а силы взаимодействия
о. Силы слабого взаимодействия. Они действуют на вес ча-
частицы и ответственны за элементарные процессы типов A.11) —
A.16). Их наиболее важное макроскопическое проявление — в
явлениях радиоактивности. Они также играют роль катализато-
катализаторов цепочки ядерных реакций, происходящих внутри звезд.
4. Силы сильного взаимодействия. Они не. действуют на леп-
тоны, а действуют только на протоны и нейтроны (вообще на ба-
рионы и мезоны — именно по этой причине последние объеди-
объединяют под названием «адронов»). Эти силы удерживают протоны
и нейтроны вместе в ядрах, но становятся несущественными на
расстояниях больше 10~15 м. Макроскопическое проявление ука-
указанных сил ограничено явлением радиоактивности и выделением
ядерной энергии.
Три типа сил, имеющих отношение к элементарным частицам,
можно проиллюстрировать тремя видами радиоактивности: при-
причиной а-радиоактивности являются силы сильного взаимодейст-
взаимодействия, E-радиоактивности— силы слабого взаимодействия, у-ра-
диоактивности — электромагнитные силы.
Основные сведения о четырех типах сил собраны в табл. 1.3.
Таблица 1.3. Четыре типа фундаментальных сил
Силы
Гравитационные
Электромагнитные
Слабые
Сильные
Частицы, нд
когормс
действуют
все
электрон
протон
нейтрон
все
протон
нейтрон
!';|дн\'с
дейетп-пя
СО
СО
10"'" М
10 '"м
.'Гягеисцп-
пость '¦¦
ю-'19
7 • 10"
4- 10""'1
1
* Единица интенсивности равнп/tc/iri, г де/i —постоянная Планка,
с —скорость света.
Приведенные значения интенсивности и радиуса действия от-
отдельных типов сил взяты из сравнения их действия между двумя
протонами. В некотором смысле все эти силы подобны обычным
ньютоновским силам, которые могут действовать между двумя
протонами и которые изменяются с расстоянием г между прото-
протонами так, как если бы выводились из потенциальной функции
V{r) = -^-, A.21)
где п — положительное целое число. Таким образом, приближен-
приближенно можно считать, что силы обратно пропорциональны некоторой

§ 1.8. Частицы, переносящие силы разных типов 35
степени расстояния и содержат множитель, экспоненциально
убывающий на расстояниях больше некоторого фиксированного
расстояния R, называемого радиусом действия сил. Интенсив-
Интенсивность сил в A.21) характеризуется константой k. Отметим, что
силы слабого взаимодействия представляются не столь уж сла-
слабыми. Причина кажущейся слабости этих сил кроется в их очень
малом радиусе действия, а не в их действительной малости.
При переходе на уровень кварков и лептонов возникает до-
дополнительное упрощение: электромагнитные силы и силы сла-
слабого взаимодействия можно рассматривать как разные аспекты
одних и тех же сил, называемых электрослабыми. Объединенная
теория этих сил дана Вайнбергом и Саламом. Но прежде чем
рассмотреть, как происходит это объединение, необходимо за-
заняться более подробным описанием физической природы сил,
действующих между элементарными частицами.
§ 1.8. Частицы, переносящие силы разных типов
Два типа сил, упомянутых в предыдущем параграфе, — грави-
гравитационные и электромагнитные силы ¦— обычные для макроско-
макроскопической физики. В пей они описываются с помощью концепции
поля. Силовое поле — это векторнозначная функция точки про-
пространства F(r), характеризующая силу, которую испытывает ча-
стииа, помещенная в точку г. При таком определении поле пред-
представляется как существующее лишь гипотетически. Но после-
последующее развитие теории поля, в особенности максвелловской
теории электромагнетизма, дало основание приписывать полю
собственное независимое физическое существование. Ибо, во-
первых, теория Максвелла показала, что передача электриче-
электрического действия от одного материального тела к другому требует
конечного времени и, во-вторых, что в силу этого поле следует
рассматривать как объект, обладающий энергией и импульсом
даже в тех точках пространства, где нет вещества.
Поле — непрерывная функция точки пространства, поэтому
его энергия и импульс непрерывно распределены в пространстве;
они подобны распределениям энергии и импульса сплошной сре-
среды и полностью отличаются от энергии и импульса системы дис-
дискретных точечных частиц. Тем не менее изучение двух, казалось
бы не связанных, явлений — излучения черного тела и фотоэлек-
фотоэлектрического эффекта — привело к удивительному и загадочному
заключению, что, хотя энергия поля и не может быть локализо-
локализована в точках, она существует в виде отдельных дискретных па-
пакетов.
Проблема излучения абсолютно черного тела привела к уста-
установлению теоретического противоречия электромагнитной теории
со статистической механикой, служащей основой кинетической

36 Гл. 1. Частицы и силы взаимодействия
теории теплоты. Рэлей и Джине применили обе эти теории к ис-
исследованию изолированной системы, состоящей из вещества и
находящегося с ним в равновесии излучения при некоторой фик-
фиксированной температуре (например, внутри закрытого тигля, в
котором устанавливается устойчивое равновесное состояние и
энергия, которую вещество теряет на излучение, в точности рав-
равна энергии, которую оно приобретает, поглощая излучение). Рэ-
Рэлей и Джине рассчитали распределение энергии по частотам из-
излучения. Но полученный ответ оказался абсурдным: полная энер-
энергия излучения бесконечно велика, другими словами, равновесие
между веществом и излучением в любой изолированной полости
невозможно при любой фиксированной температуре: вещество
всегда должно охлаждаться до абсолютного нуля, теряя всю
свою энергию в форме излучения.
В 1900 г. Планк нашел простую теоретическую формулу для
функции распределения излучения абсолютно черного тела по
частотам, находящуюся в прекрасном согласии с эксперимен-
экспериментальными данными, и показал, что эта формула вытекает из
электромагнитной теории и статистической механики, если вме-
вместо предположения о том, что энергия является непрерывной ве-
величиной, как считали Рэлей и Джине, сделать предположение,
что она принимает значения, кратные некоторой определенной
минимальной величине, названной Планком квантом энергии.
Величина этого кванта зависит от частоты излучения; если ча-
частота равна v, то квант энергии равен
E = hv, A.22)
где h — универсальная постоянная, названная постоянной План-
Планка. Все сказанное выше относится к энергий, которой обмени-
обмениваются вещество и излучение. В 1905 г. Эйнштейн, исследуя тео-
теоретические выводы работы Планка, показал, что на ее основе
можно сделать более сильное допущение, что энергия излучения
всегда существует только в виде дискретных квантов. Эйнштейн
обосновал это допущение, показав, как с его помощью можно
объяснить фотоэлектрический эффект!).
При фотоэффекте электроны испускаются поверхностью ме-
металла, когда на нее падает электромагнитное излучение. При
этом эффект наблюдается только при условии, что частота излу-
излучения больше некоторого порогового значения v0 (которое зави-
зависит от природы металла). Если указанное условие удовлетво-
') Объяснение Эйнштейном фотоэффекта нельзя рассматривать как до-
доказательство существования фотонов. Действительно, фотоэлектрический эф-
эффект можно столь же успешно объяснить и на основе допущения Планка,
что только обмен энергией происходит квантами ftv. Статья Эйнштейна
(см. [93]) в основном касалась выяснения свойств самого излучения. Обзор
всех доказательств существования фотонов приведен в работе [89].

§ 1.8. Частицы, переносящие силы разных типов
37
рено, то излучение любой заданной частоты выбивает из металла
электроны со скоростями, принадлежащими некоторому интер-
интервалу, величина которого зависит только от этой частоты
(рис. 1.7). При изменении интенсивности излучения изменяется
число выбитых электронов, но не изменяются их скорости. Эйн-
Эйнштейн объяснил все указанные экспериментальные факты сле-
следующим образом. Пусть для высвобождения какого-то одного
электрона из конкретного металла требуется количество энер-
энергии W; оно может быть раз-
различным для разных электро-
электронов металла, но обязательно
должно быть больше некото-
некоторого минимального значения
Wo, характерного для данного
металла. Предположим также,
что излучение частоты v со-
состоит из набора объектов (на-
зываемых фотонами), каждый
из которых имеет энергию hv.
Тогда если hv < Wo, то один
фотон не может передать ка-
какому-то электрону энергию,
достаточную для того, чтобы
он мог покинуть металл. Та-
Таким образом, объясняется су-
Часглогпа
Рис. 1.7. Фотоэлектрический эффект
(заштрихованная область изображает
возможные значения скоростей испу-
испущенного электрона и частоты па-
падающего излучения).
ществование пороговой часто-
частоты, причем она равна v0 =
= Wo/li. Если hv > W, то электрон, поглотивший фотон, приоб-
приобретает достаточную энергию, чтобы он мог покинуть металл;
кроме того, у него остается еще некоторое количество энергии,
которое проявляется в виде его кинетической энергии после вы-
вылета из металла. Таким образом, скорость электрона может быть
вычислена по формуле
±mv2 = hv — W^hv — Wo = h(v — vo)i A-23)
поэтому максимальная скорость электронов полностью опреде-
определяется частотой v. Наконец, при увеличении интенсивности из-
излучения увеличивается число фотонов и, следовательно, возра-
возрастает число электронов, которые выбиваются излучением.
Этих расуждений почти достаточно, чтобы доказать, что элек-
электромагнитное поле состоит из материальных частиц, — почти, но
не совсем, так как фотоны не имеют определенных положений в
точках пространства, как частицы, и сохраняют полевые харак-
характеристики даже поодиночке, будучи каждый размазанным по
всему пространству. Кроме того, каждый фотон сохраняет то

38
Гл. 1. Частииы и силы взаимодействия
свойство поля, что он может быть уничтожен противоположным
полем; так фотоны обнаруживают типично волновые явления —
дифракцию и интерференцию.
Дифракцию демонстрируют волны, когда они сталкиваются
с препятствием. При этом препятствие не вырезает резко часть
волнового фронта; вместо этого волны распространяются повеем
направлениям от каждой точки кромки препятствия. В резуль-
результате края тени, отбрасываемой препятствием, не будут резкими;
тень будет иметь размытую границу, ширина которой пропор-
пропорциональна длине волны.
Расстаяни.?
от источники
Рис. 1.8. Монохроматическая волна.
Интерференция наблюдается при волновом движении любого
вида, когда волны от какого-либо источника могут достигать точ-
точки пространства двумя различными путями. Явление интерфе-
интерференции проявляется наиболее просто, когда волны монохромати-
монохроматические, т. е. когда они повторяются регулярно с определенными
частотой и длиной волны. Тогда в любой момент времени воз-
возмущение будет функцией расстояния от источника типа показан-
показанной на рис. 1.8. Высота гребней волны может уменьшаться с уве-
увеличением расстояния от источника, но расстояние между сосед-
соседними гребнями всегда равно длине волны А. В фиксированной
точке возмущение изменяется со временем по простому гармо-
гармоническому закону. Чтобы интерференция действительно произо-
произошла, волна должна быть когерентной, т. е. картина волны дол-
должна сохраняться на достаточно больших расстояниях и в тече-
течение больших промежутков времени. (Строго монохроматичная
волна всегда когерентна. Некогерентная волна почти монохро-
матична, но ее регулярные изменения, показанные на рис. 1.8,
нарушаются случайным образом, как показано на рис. 1.9.)
Если две волны приходят в одну точку по двум различным
путям, то возмущение в точке будет алгебраической суммой воз-
возмущений от двух волн. Если указанные волны исходят из одного
и того же источника и являются частями одного когерентного

§ 1.8. Частицы, переносящие силы разных типов
39
волнового цуга, то результат их интерференции будет зависеть от
разности расстояний, которые проходят обе волны от источника
до данной точки. Если оно равно целому числу длин волн, то ко-
колебания в обеих волнах будут в фазе, т. е. волны будут дости-
Рис. 1.9. Некогерентная волна; нарушения, подобные случившемуся в точ-
точке X, приводят к тому, что расстояние между соседними гребнями иногда
может отличаться от X.
гать гребня или впадины одновременно, а следовательно, будут
усиливать друг друга. Но если разность пройденных волнами
расстояний равна половине нечетного числа длин волн, то коле-
Интепсивность
L плис кости ВС
Рис. 1.10. Эксперимент с двумя ще-
щелями. В точке X разность путей
АН2 + Н2Х—{АН1 + Н,Х) равна од-
одной длине волны; в точке У раз-
разность путей AHl+HiY—(AH2 +
+ IUY) равна половине длины
волны.
бания, обусловленные одной волной, достигнут гребня в тот мо-
момент, когда колебания другой волны достигнут впадины, а сле-
следовательно, одна волна уменьшит возмущение, создаваемое дру-
другой, и даже может полностью его погасить. Это иллюстрирует
рис. 1.10, где показана схема эксперимента с двумя щелями, в

40 Гл. 1. Частицы и силы взаимодействия
котором волны от источника А могут достичь линии ВС на эк-
экране, только пройдя через одну из двух щелей Hi или Н2 в пре-
препятствии, расположенном между источником и экраном. В точке
X на линии ВС разность длин путей равна AHiX— АН2Х; если
она равна целому числу длин волн, возмущение в точке X будет
большим; если она равна половине нечетного числа длин волн,
возмущение в точке X будет малым. На рис. 1.10 показана зави-
зависимость интенсивности волны от положения точки на линии ВС,
которая связана с амплитудами колебаний в этих точках.
Заметим, что в рассматриваемом эксперименте с двумя ще-
щелями наблюдается также дифракция, которая происходит на от-
отверстиях Н\ и #2. Вообще, где бы ни наблюдалась дифракция,
она всегда сопровождается интерференцией: всякий раз, когда
пучок волн заходит в область тени от препятствия, происходит
интерференция волн, приходящих от различных точек кромки
препятствия. Дифракция является причиной появления светлого
пятна в центре тени, отбрасываемой диском малого размера. Во-
Вообще, какова бы ни была форма препятствия, наблюдается кар-
картина чередующихся полос большой и малой интенсивности на
краю тени. Эту картину можно усилить, если препятствие имеет
регулярную структуру, подобную последовательности параллель-
параллельных штрихов дифракционной решетки. Аналогичная дифракцион-
дифракционная картина наблюдается, например, при прохождении рентге-
рентгеновских лучей через кристалл. Регулярно расположенные атомы
кристалла создают препятствие; при этом выходящие из кри-
кристалла рентгеновские лучи концентрируются по некоторым дис-
дискретным направлениям, в которых электромагнитные волны уси-
усиливают друг друга; в остальных направлениях волны практиче-
практически полностью гасят друг друга.
Такие явления, характерные для волн, трудно примирить с
представлением, что электромагнитное излучение состоит из от-
отдельных частиц—фотонов. Но, после того как были открыты
волновые свойства электронов, эти явления перестали служить
основанием для выделения фотонов среди других элементарных
частиц. В 1927 г. Дэвиссон и Джермер показали, что пучок элек-
электронов после прохождения через кристалл создает такую же ди-
дифракционную картину, как пучок рентгеновских лучей. Электрон
ведет себя как волна, длина которой определяется импульсом
электрона, согласно соотношению, предложенному ранее описы-
описываемых экспериментов де Бройлем:
р = А/Я. A.24)
Дифракция на кристаллах показала, что и электроны, и фо-
фотоны одинаково ведут себя как волны; еще одно доказательство
того, что их природа очень близка, дало комптоновское рассея-
рассеяние, доказавшее, что и электроны, и фотоны одинаково ведут

§ 1.8. Частицы, переносящие силы разных типов 41
себя как точечные частицы. Комптон исследовал воздействие на
свободные электроны падающей на них плоской волны монохро-
монохроматического излучения, скажем частоты v и направления рас-
распространения к. Он обнаружил, что каждый электрон после
столкновения движется так, как если бы он столкнулся с части-
частицей с энергией hv и импульсом hvk/c, причем энергия и импульс
при столкновении сохраняются. Импульс, приобретенный элек-
электроном, может иметь компоненту, перпендикулярную к, и его не-
невозможно предсказать. Этот импульс связан (в силу закона со-
сохранения импульса) с импульсом фотона, который рождается
при столкновении и вылетает
в определенном направлении.
(Это противоречит предсказа-
предсказаниям классической теории вза-
взаимодействия заряженной час-
частицы с электромагнитным по-
полем, согласно которой частица
должна приобрести импульс в
направлении к и испустить
излучение в виде сферической Рис. 1.11. Фейнмановская диаграмма,
ВОЛНЫ ) иллюстрирующая электромагнитные
Поскольку выше мы опре- силы- дейстэ7екТОнамиеЖДУ ДВУМЯ
делили поле просто как поле
сил, действующих на заря-
заряженную частицу, сказать, что поле состоит из фотонов, все
равно, что сказать, что причиной силы, действующей со
стороны поля на заряженную частицу, является поглощение
ею фотона или столкновение с ним, как при фотоэффекте
или при комптоновском рассеянии. Таким образом, элек-
электрическое отталкивание двух электронов можно себе предста-
представить так, как это показано на рис. 1.11. Один электрон испускает
фотон и испытывает при этом отдачу; другой электрон погло-
поглощает этот фотон и приобретает его импульс. (Рисунки, подобные
рис. 1.11, называют фейнмановскими диаграммами.)
Теперь мы завершили полный круг в нашем рассмотрении
сил и вернулись к доныотоновской точке зрения, согласно которой
силы не существуют отдельно от вещества, а представляют со-
собой действия частиц вещества друг на друга при их непосред-
непосредственном контакте. Но такая точка зрения возникает только це-
ценой признания законности существования очевидно противоре-
противоречивых свойств материи, которая ведет себя и как частицы при
одних обстоятельствах, и как поля при других.
Бор и Геизенберг основали предложенное ими объяснение ука-
указанных противоречивых свойств материи на том принципе, что
невозможно указать ни одной физической системы, имеющей не-
независимое существование отдельно от ее наблюдателя. На ми-

42 Гл. 1. Частицы и силы взаимодействия
кроскопическом уровне, которым мы сейчас занимаемся, физи-
физические процессы, используемые для наблюдения некоторой си-
системы, обязательно включают взаимодействие наблюдателя с си-
системой, величина которого лишь может быть сведена к минимуму
порядка постоянной Планка h. Последнее означает, что лишь с
большими оговорками можно предположить, что обнаруженное
экспериментально свойство действительно относится к исследуе-
исследуемой системе, как это было в классической физике. В экспери-
эксперименте обнаруживают свойство, характеризующее совместно ис-
исследуемую систему и прибор. Так, эксперимент, предназначен-
предназначенный для изучения волн, демонстрирует волновые свойства, а экс-
эксперимент, предназначенный для изучения частиц, демонстрирует
корпускулярные свойства. Оба типа свойств противоречат друг
другу и не могут наблюдаться одновременно; но они, конечно, не
противоречат друг другу, если их рассматривать не как свойства
одного квантового объекта, а как свойства комбинированного
объекта «система -(- прибор», поскольку они фактически отно-
относятся к разным объектам.
Чтобы проиллюстрировать последнее положение, вернемся к
эксперименту с двумя щелями (рис. 1.10) и пучком электронов,
испускаемых источником А, проходящих через щели Н\ и #2 и
падающих на флуоресцирующий экран ВС. Этот эксперимент
предназначен для наблюдения волновых свойств, и он обнару-
обнаруживает волновое поведение электронов в виде интерференцион-
интерференционной картины на экране ВС. Эту картину можно объяснить, лишь
предположив, что волна проходит одновременно через обе щели.
Но частица должна проходить либо через одну, либо через дру-
другую щель. Такое поведение можно продемонстрировать, только
если существенно изменить эксперимент и поставить детекторы
у каждой из щелей. Тогда детектор будет регистрировать ча-
частицу либо в щели Н\, либо в щели Я2, но не одновременно в
обеих щелях. Но теперь, разумаеется, интерференционная кар-
картина будет утрачена. Сама интерференционная картина тоже
косвенным образом указывает на корпускулярное поведение ис-
исследуемых частиц, так как на самом деле она не непрерывная,
а составлена как изображение на экране телевизора из множе-
множества точек, создаваемых вспышками от отдельных электронов.
Но объяснить эту интерференционную картину на основе допу-
допущения, что каждый из электронов прошел либо через одну, либо
через другую щель, совершенно невозможно.
Гейзенберговский принцип неопределенности дает количест-
количественное выражение указанных представлений. Он утверждает,
что невозможно провести такой эксперимент, в котором обнару-
обнаруживались бы частицы с точными значениями как координаты х,
так и импульса п в направлении х. Всегда проявятся неопреде-
неопределенности в обеих этих величинах, так что координата будет ле-

§ 1.8. Частицы, переносящие силы разных типов 43
жать в пределах конечного интервала Ах, а импульс в конечном
интервале Ар. Принцип неопределенности Гейзенберга утвер-
утверждает, что обе эти неопределенности подчиняются неравенству
Ах-Ар>±, A.25)
так что они не могут одновременно обращаться в нуль.
Гейзенберг первоначально объяснял принцип неопределенно-
неопределенности на основе представления о неконтролируемом изменении им-
импульса, которое вносится при определении кординаты частицы,
как будто частица обладает определенными значениями коорди-
координаты н импульса, но мы не можем их измерить вследствие дей-
действия нашего прибора на частицу. Принципы квантовой меха-
механики, сформулированные впоследствии, полностью отрицают, что
частица может иметь одновременно определенные значения ко-
координаты и импульса. Когда мы производим эксперимент с
целью измерения одной из этих величин, мы можем получить
для нее определенное значение, но это значение непредсказуемо.
Такое приписывание определенного значения одной из величин
для частицы и составляет суть явления неконтролируемого дей-
действия процесса наблюдения на исследуемую частицу. Как мы
увидим в § 2.4, поскольку неравенство A.25) можно вывести из
основных принципов квантовой механики, неопределенности Ах и
Ар служат статистической мерой разбросов точных значений х
и р, которые частица может принять при проведении отдельного
измерения.
Принцип неопределенности можно также рассматривать как
выражение конфликта волновых и корпускулярных свойств. Ес-
Если воспользоваться соотношением де Бройля A.24) и выразить
импульс через длину волны, то принцип неопределенности A.25)
примет вид
~
A.26)
где k = Х-1 — волновое число (число длин волн, укладывающих-
укладывающихся на единице длины). Можно доказать, что неравенство A.26)
автоматически удовлетворяется для любой непрерывной функ-
функции х, если считать Ах мерой интервала х, в котором функция
принимает заметные значения, и Aft — мерой интервала k, харак-
характеризующего суперпозицию волн с волновыми числами k (т. е.
представляющую данную функцию суперпозицией функций вида
sinBnftx)). Таким образом, неравенство A.26) выражает преде-
пределы, до которых возможно одновременное описание и корпуску-
корпускулярных свойств (с помощью функции, которая локализована при
определенных значениях координаты х) и волновых свойств (с

44 Гл. 1. Частицы и силы взаимодействия
помощью функции, сосредоточенной при определенных значе-
значениях волнового числа k).
Интуитивно ясно, что соотношение такого типа должно су-
существовать, так как любая рассматриваемая функция обяза-
обязательно должна принимать ненулевые значения на некотором ин-
интервале значений х (по крайней мере размером в несколько длин
волн), чтобы существовало хотя бы приближенное повторение
длины волны. По аналогии все сказанное можно отнести и к
функции времени, поэтому должно быть справедливо соответст-
соответствующее неравенство
/\/-Av>1^-) A.27)
где v — частота какого-то процесса, изменяющегося со време-
временем. Используя соотношение Планка A.22), связывающее ча-
частоту и энергию, получаем
Д*-Д?>^. A.28)
Однако трудно дать интерпретацию неравенству A.28) в
рамках квантовой механики, поскольку в отличие от координаты
х частицы время не является ее свойством. Соотношение неоп-
неопределенностей A.28) не носит характера четкого и простого ут-
утверждения, которое можно строго вывести из основных постула-
постулатов квантовой теории, как соотношение неопределенностей A.27).
Тем не менее соотношение A.28) проявляется всюду в квантовой
механике.
Соотношение неопределенностей позволяет понять, как диа-
диаграмма рис. 1.11 может описывать наряду с силами отталкива-
отталкивания также и силы притяжения. В таком виде, как она изобра-
изображена на рис. 1.11, эта диаграмма казалось бы допускает только
отталкивание; как отдача первого электрона, так и столкнове-
столкновение фотона со вторым электроном стремятся удалить электроны
друг от друга. Тем не менее притяжение между электроном и по-
позитроном можно описать следующим образом. Электрон испу-
испускает фотон в направлении, противоположном направлению на
позитрон, и испытывает отдачу в сторону позитрона. Данное ут-
утверждение основывается на большой степени определенности им-
импульса фотона. Согласно принципу неопределенности, в коорди-
координате испущенного электроном фотона имеется большая неопре-
неопределенность: он может оказаться и с другой стороны позитрона,
столкнуться с ним и отбросить его по направлению к электрону.
Все это изображено на рис. 1.12, где обе волнистые линии отно-
относятся к одному и тому же фотону. Тем не менее описанный про-
процесс притяжения электрона и позитрона обычно представляют с

§ 1.8. Частицы, переносящие силы разных типов
45
помощью топ же диаграммы (рис. 1.11), что и процесс отталки-
отталкивания.
Таким образом, две частицы могут обмениваться фотоном,
импульс которого может быть направлен в любом из двух на-
направлений вдоль прямой, соединяющей указанные частицы. Ка-
Какая из обеих возможностей реализуется, зависит, как и в класси-
классической механике, от природы сил; в частности, в случае сил
электромагнитного взаимодействия — от того, имеют ли частицы
электрические заряды одно-
одного или противоположных зна-
знаков.
В процессах, представлен-
представленных на рис. 1.11 и 1.12, фото-
фотоны обладают определенной
потенциальной энергией, по
классическим представлениям
связанной с силами взаимо-
взаимодействия между электронами,
поэтому их энергия не равна
энергии свободно движущего-
движущегося фотона. По указанной при-
причине такие фотоны называют
виртуальными (в отличие от
«реальных»). Эти фотоны не
могут существовать сами по
себе, а должны в конечном счете захватываться какой-либо за-
заряженной частицей, т. е. они составляют часть одного из описан-
описанных процессов ').
Приведенное наглядное описание сил диктуется формализ-
формализмом квантовой теории поля. В этой книге невозможно показать
во всех деталях, как работает эта теория. Но некоторые ее ма-
математические особенности, которые проявляются на диаграммах
рис. 1.11 и 1.12, будут разъяснены в § 6.5, а в гл. 7 кратко опи-
описано, как они используются в квантовой теории поля.
Основными событиями при электромагнитных взаимодейст-
взаимодействиях частиц, согласно обсуждаемой картине, являются акты ис-
испускания и поглощения фотонов заряженными частицами. Каж-
Каждое такое событие изображается вершиной на фейнмановской
Рис. 1.12. Иллюстрация электромаг-
электромагнитных сил притяжения между элек-
электроном и позитроном.
>) Часто утверждают, что в указанных процессах закон сохранения
энергии нарушается на величину Д? за время At, причем А? и At удовле-
удовлетворяют неравенству A.28). Это неправильно. В данных процессах не со-
сохраняется лишь кинетическая энергия; как и в классической механике пол-
полная энергия равна сумме кинетической и потенциальной, и закон сохранения
энергии выполняется точно во все моменты времени. Может показаться, что
он не выполняется лишь потому, что энергия не всегда имеет определенное
значение.

46 Гл. 1. Частицы и силы взаимодействия
диаграмме. Интенсивность сил взаимодействия между двумя ча-
частицами определяется интенсивностью поля, прямо пропорцио-
пропорциональной числу испускаемых или поглощаемых фотонов. Таким
образом, чем больше сила, действующая на частицу пли с кото-
которой она сама действует, тем больше фотонов данная частица ис-
испускает или поглощает. Следовательно, заряд частицы пропор-
пропорционален вероятности испускания или поглощения этой частицей
фотона.
/в г
Рис. 1.13. Основные события для электромагнитных взаимодействий.
Два основных события, в которых участвуют электроны, по-
позитроны и фотоны, показаны на рис. 1.13, а и б. На рис. 1.13, в
и г показаны два других основных события: аннигиляция элек-
электрона и позитрона с образованием фотона и рождение электрон-
позитронной пары из фотона. Последние события не могут про-
происходить с реальными частицами (см. задачу 5); одна из уча-
участвующих в них частиц должна быть виртуальной и участвовать
в другом основном событии, чтобы завершить тем самым реаль-
реальный процесс, подобный процессу, показанному на рис. 1.14, кото-
который иллюстрирует возможную последовательность событий, от-
отвечающую за комптоновское рассеяние.
Различие между диаграммами, изображенными на рис. 1.13, а
и 1.13, в, состоит в том, что выходящая на рис. 1.13, а из вер-
вершины электронная линия заменена на рис. 1.13, в входящей в
вершину позитронной линией. Такую замену всегда можно де-
делать в любой вершине фейнмановской диаграммы. Таким об-
образом, мы приходим к еще одному условию для изображения
указанных диаграмм. Стрелки, которые мы ставили до сих пор
на линиях диаграммы, на самом деле не нужны, надо просто
считать, что время всегда течет на диаграмме слева направо.

§ 1.8. Частицы, переносящие силы разных типов
47
Вместо этого стрелки на диаграммах используют, чтобы обозна-
обозначать электронные и позитронные линии: каждую электронную
линию снабжают стрелкой в направлении времени, а каждую
позитронную линию — стрелкой против направления времени.
Тогда основная вершина изображается одной диаграммой, пред-
Рис. 1.14. Комптоновское рассеяние.
ставленной на рис. 1.15, причем линии на ней могут иметь лю-
любые направления. Конкретная фейнмановская диаграмма содер-
содержит сплошные линии, изображающие как электроны, так и пози-
позитроны, причем стрелки всегда
продолжают друг друга от од-
одного до другого конца линии.
Так, процесс комптоновского
рассеяния, показанный на
рис. 1.14, изображается диа-
диаграммой, приведенной на рис.
1.16,о. (Можно, например,
представить себе, что такой /^ "\
процесс относится только к ^-^ \^^
одному электрону, который на
каком-то этапе процесса дви- Рис 1.15. Основная вершина элек-
жется вспять во времени и по- тромагнитного взаимодействия,
этому является позитроном.)
Другой возможный процесс для комптоновского рассеяния по-
показан на рис. 1.16,6. Оба этих процесса изображаются одной
диаграммой, представленной на рис. 1.16, в. Основы математи-
математической теории фейнмановских диаграмм описаны в гл. 6.
Развитые до сих пор представления можно применить к лю-
любому из типов фундаментальных сил, перечисленных в § 1.7.
Каждый из них связан со своей частицей, играющей для них
роль фотона и являющейся квантом поля данных сил. Частицы,
переносящие взаимодействия, принадлежат к классу, называе-

48 Га. 1. Частицы и силы взаимодействия
мому бозонами. В отличие от этого частицы, которые рассматри-
рассматривались в части А этой главы, называют фермионами. Характер-
Характерные особенности этих двух классов частиц описаны в § 2.6.
Гравитационные силы, поскольку они подобны электромаг-
электромагнитным силам, по предположению связаны с частицей, называе-
называемой гравитоном, которая как фотон движется со скоростью
света. Однако следует учитывать следующие два обстоятельства.
Во-первых, ввиду крайней слабости гравитационных сил между
в
Рис. 1.16. Окончательный вид диаграмм комптоновского рассеяния.
элементарными частицами гравитоны до настоящего времени
экспериментально не наблюдались и вряд ли будут обнаружены
в будущем. Во-вторых, классическая (т. е. не квантовая) теория
гравитации не подобна электромагнитной теории и требует при-
привлечения общей теории относительности. Проблема объединения
теории гравитации с квантовой теорией пока полностью не раз-
разрешена, поэтому нет еще абсолютной уверенности в том, что гра-
гравитоны действительно требуются теории (хотя это представляет-
представляется крайне вероятным).
Силы слабого взаимодействия связаны с тремя бозонами, на-
называемыми W+, W~ и Z0. Частицы W± обладают электрическими
зарядами, как это указывает верхний индекс, и, когда они ис-
испускаются или поглощаются какой-либо третьей частицей, они
изменяют ее природу. Обмен \У±-частицами ответствен за про-
процессы, подобные A.16), как это иллюстрирует рис. 1.17.
Соответствующий процесс, в котором тоже участвует \V~-4a-
стица, можно указать н для распада нейтрона. Этот процесс по-
показан на рис. 1.18. В нем электрон-антинейтринная пара ро-

§ 1.8. Частицы, переносящие силы разных типов
49
ждается из \У~-частицы, которая до того была испущена ней-
нейтроном.
Как объяснено выше, интенсивность силы пропорциональна
вероятности, с которой частица, оказывающая силовое действие,
испускает соответствующий бозон. Таким образом, ввиду
слабости сил слабого взаимо-
взаимодействия распад, изображен-
изображенный на рис. 1.18, является
редким событием, поэтому
нейтрон имеет большое время
жизни.
Диаграмма на рис. 1.18 по-
построена с учетом того же ус-
условия, которое введено выше
для электромагнитных процес-
процессов: фермионная линия со
стрелкой, направленной про-
против направления времени, изо-
изображает античастицу. Обрати-
те внимание, что диаграмма,
представленная на рис. 1.18,
получается из диаграммы, изображенной на рис. 1.17, заменой
направлений нейтринной линии на обратное.
Поскольку нейтрон и протон не являются элементарными ча-
частицами, процессы, изображенные на рис. 1.17 и 1.18, не являют-
Рис. 1.17. Диаграмма для процесса
n + v->-p + e-.
Рис. 1.18. Диаграмма для процесса n-»-p+e~
ся фундаментальными; они могут быть сведены к процессам, в
которых участвуют кварки, являющиеся составными частями
протона и нейтрона. Меняя d-кварк на u-кварк, можно нейтрон
превратить в протон. Поэтому оба события, представленные вер-
вершинами n->-p-f-W- на рис. 1.17 и 1.18, можно интерпретировать
па кварковом уровне как одно событие d—*-u-f-W-, как эт0

50 Гл. 1. Частицы и силы взаимодействия
показано на рис. 1.19. Мы видим, что испускание и поглощение
кварком \У±-частицы изменяет его аромат.
Все основные события для сил слабого взаимодействия на
кварк-лептонном уровне представлены вершинами на рис. 1.20.
Как и основные вершины электромагнитного взаимодействия,
они могут встретиться на фейнмановских диаграммах с любыми
Рис. 1.19. Представление вершины п ->- р -f- W~ диаграммой на кварковом
уровне.
направлениями входящих и выходящий линий. Вершины с уча-
участием 20-частицы, в которых фермион (кварк или лептон) сохра-
сохраняет неизменной свою природу, ответственны за силы взаимо-
взаимодействия фермионов друг с другом, подобные силам электромаг-
электромагнитного взаимодействия, обусловленным событиями, в которых
s < |
Г W- ¦• W* ' Z° <Z°
Рис. 1.20. Вершины основных событий для слабого взаимодействия-, кроме
приведенных следует учитывать события, в которых участвуют мюон и
т-частица вместо электрона, а также s- и с-кварки вместо d- и и-кварков.
участвует фотон. Действительно, в теории Вайнберга — Салама
электрослабых сил Z°-4acraua тесно связана с фотоном. Новая
характерная особенность процессов с участием 2°-частицы со-
состоит в том, что обусловленные ею силы могут действовать так-
также и на нейтрино. Открытие таких сил, действующих на ней-
нейтрино, дало первое прямое экспериментальное подтверждение
теории Вайнберга — Салама в 1974 г. Частицы W-- и 2° экспе-
экспериментально наблюдались только в 1983 г.
Вершины, показанные на рис. 1.20, относятся только к пер-
первому семейству кварков и лептонов. Для остальных семейств

§ 1.8. Частицы, переносящие силы разных типов 51
имеем полностью аналогичную картину: например, вершины для
второго семейства получаются из вершин, изображенных на
рис. 1.20, заменой соответствующих частиц (е~ на цг, ve на Уц,
с! на s и и на с). Существуют также вершины, в которых участ-
участвуют частицы разных семейств, примером которых является вер-
вершина, показанная на рис. 1.21, а. В результате процессов, вклю-
включающих указанные вершины, частицы более высоких семейств
распадаются в частицы первого семейства. Так, все адроны, со-
содержащие странный (s), очарованный (с), красивый (Ь) и ис-
истинный (t) кварки, в конечном счете превращаются в нуклоны.
\ \ X
Г Г X
Рис. 1.21. Остальные вершины электрослабого взаимодействия.
В объединенной теории Вайнберга — Салама электрослабого
взаимодействия основная электромагнитная вершина, изобра-
изображенная на рис. 1.15, учитывается вместе с вершинами слабого
взаимодействия, показанными на рис. 1.20. Так как W—частицы
обладают электрическим зарядом, имеются вершины, в которых
участвуют эти частицы и фотон, как показано на рис. 1.21,6.
Имеются также вершины, в которых фотон заменяет 2°-частицу,
и, наконец, имеются вершины с четырьмя линиями, в которых
участвуют четыре бозона. Существование указанных вершин, в
которых участвуют только полевые кванты, характерно для ма-
математической структуры рассматриваемой теории, являющейся
теорией с неабелевой калибровкой. Смысл этого термина будет
объяснен в гл. 7.
Как отмечалось выше, интенсивность сил взаимодействия
пропорциональна вероятности основного события, которое изо-
изображается вершиной фейнмановской диаграммы, описывающей
взаимодействие. Другая характеристика сил взаимодействия,
приведенная в табл. 1.3, — их радиус действия; ее также можно
объяснить с помощью представления об обмене полевыми кван-
квантами, иллюстрируемом фейнмановскими диаграммами. Силы
электромагнитного взаимодействия, имеющие бесконечный ра-
радиус действия, обусловлены обменом фотонами, которые дви-
движутся со скоростью света и потому имеют нулевую массу покоя.
В 1935 г. Юкава предположил, что бозон с ненулевой массой по-
покоя [I, движущийся медленнее, чем со скоростью света, не может
столь же далеко, как фотон, удалиться от частицы, которая его

52 Гл. 1. Частицы и силы взаимодействия
испустила до момента поглощения другой частицей. Поэтому
силы взаимодействия, обусловленные обменом таким бозоном,
должны иметь конечный радиус действия R, который связан
с массой A соотношением
R = —, A.29)
где h = h/2n (постоянная h в квантовой механике встречается
чаще, чем /г). Обратно пропорциональная зависимость радиуса
действия сил от массы бозона, фигурирующая в A.29), харак-
характерна для квантовой механики. Вообще малые расстояния
соответствуют большим массам или, согласно принципу экви-
эквивалентности массы и энергии, высоким энергиям и большим
импульсам. Об этом свидетельствуют соотношение де Бройля
A.24) и соотношение неопределенностей A.25).
Р
Рис. 1.22. Диаграммы для ядерных сил.
Предложение Юкавы было выдвинуто при попытке найти
теорию сильного взаимодействия. Радиус действия i?=l(H5 м,
приведенный для этих сил в табл. 1.3, согласно A.29), означает,
что соответствующий полевой квант должен иметь массу ц, =
= 200 МэВ. Частицы примерно такой массы, обладающие также
другими нужными свойствами полевого кванта сил сильного вза-
взаимодействия, были экспериментально открыты вскоре после
предсказания Юкавы. Ими оказались пионы (символы лг, л°,
л+). Пионы ответственны за силы сильного взаимодействия ме-
между барионами, как это иллюстрируют фейнмановские диаграм-
диаграммы на рис. 1.22. Вместе с тем на более глубоком уровне, учиты-
учитывающем кварковую структуру адронов, оказывается, что пионы
не являются элементарными бозонами, а каждый из них состоит
из кварка и антикварка. Процесы, изображенные на рис. 1.22,
можно считать проявлениями более сложного процесса, диа-
диаграмма которого приведена на рис. 1.23, описывающего взаимо-
взаимодействие между кварками. Силы взаимодействия барионов, диа-
диаграммы для которых показаны на рис. 1.22, теперь выступают
как проявление действия сил между отдельными кварками, удер-
живаюших кварки вместе внутри барионов подобно тому, как

§ 1.8. Частицы, переносящие силы разных типов
53
межмолекулярные силы (вандерваальсовы силы), которые свя-
связывают конденсированное вещество, оказываются проявлением
действия более фундаментальных электромагнитных сил, удер-
удерживающих электроны и ядра внутри атомов.
Полевые кванты сил межкваркового взаимодействия, пред-
представленные спиральными линиями на рис. 1.23, называются:
глюонами. Испускание и поглощение кварком глюона не изме-
изменяет аромата кварка, но изменяет его цвет. Имеется шесть глюо-
нов, соответствующих шести возможным изменениям, первич-
первичного цвета; кроме того, имеются еще два глюона, которые не ме-
меняют цвет кварка. Математическое описание связи этих восьми
Рис. 1.23. Диаграмма для ядерных сил на кварковом уровне.
глюонов с цветами кварков дано в гл. 6; там показано, что- глго-
оны образуют такую же гексагональную фигуру, как восемь ба-
рионов, показанных на рис. 1.4 (глюоны относятся к цвету, а
диаграмма на рис. 1.4 — к аромату).
Основная вершина, ответственная за силы, действующие ме-
между кварками, показана на рис. 1.24, а. Вероятность изображае-
изображаемого события, а следовательно, интенсивность сил, определяется,
цветом кварка так же, как интенсивность электромагнитных сил,,
действующих на частицу, определяется величиной электрического1
заряда. Глюоны тоже следует рассматривать как цветные ча-
частицы (так как они переносят цвет от одного кварка к другому),,
поэтому они испытывают действие тех же сил, что и кварки. Сле-
Следовательно, должна существовать трехглюонная вершина, пока-
показанная на рис. 1.24,6. Кроме того, имеется четырехглюонная;
вершина (рис. 1.24,в), подобная четырех-IF-частичной вершине
для электрослабых сил; теория межкварковых сил также являет-
является теорией с неабелевой калибровкой.

51
Гл. 1. Частицы и силы взаимодействия
Подобно одиночным кваркам свободные одиночные глюоны
непосредственно никогда не наблюдались, н можно предполо-
предположить, что они никогда не будут наблюдаться, так как силы, ко-
которые связывают их в адронах, не убывают, а возрастают с уве-
увеличением расстояния, и глюокы не могут вылетать из адронов.
(Вместе с тем выдвинуто предположение о существовании ча-
частиц, образованных из одних глюоиов, без кварков; такие ча-
частицы называют глюболами.) Указанное характерное свойство
и 6 о
Рис. 1.24. Основные вершины для цветных сил.
удержания (конфайнмента) кварков и глюонов в адронах дол-
должно рассматриваться как сложный (до снх пор не доказанный)
вторичный эффект действия первичных фундаментальных сил,
которые на больших расстояниях убывают обратно пропорцио-
пропорционально квадрату расстояния; глюоны являются безмассовымн
частицами, как и фотоны.
Квантовая теория электромагнитных сил, которая дала нам
парадигму способа описания сил посредством фейимановских
диаграмм, называется квантовой электродинамикой (КЭД). По
аналогии теорию межкварковых сил называют квановой хромо-
динамикой (КХД). Объединенную теорию электрослабых сил
иногда называют квантовой ароматодинамикой. Характеристики
Таблица 1.4. Фундаментальные силы и их бозоны
Силы
Гравитационные
Электрослабые
Квантовохромо-
динамические
Частицы, на которые
они действуют
все
лептоны и кварки
кварки
Калибро-
Калибровочные
бозоны
гравитон
фотон Y
W*
2П
8 глюо-
глюонов
Масса
0
0
81 Гэв
93 Гэв
0
Открытие
теорети-
ческое
1900
1968
1968
1974
экспери-
менталь-
ментальное
1857
1983
1983

Задачи к главе 1 55
всех рассмотренных сил и связанных с ними бозонов (которые
называют калибровочными бозонами, так как обусловленные
ими силы описываются калибровочными теориями) приведены в
табл. 1.4. В табл. 1.2 и 1.4 указаны все частицы, которые в на-
настоящее время считают элементарными.
Рекомендуемая литература
Более полное описание структуры материи на элементарном уро-
уровне можно найти в книгах Эйнштейна и Инфельда [32] (посвя-
(посвященной общей структуре физических теорий), Вайнберга [99]
(посвященной первым субатомным частицам), Дэвиса [27],
Полкинхорна [76], Додда [31] (повышенного уровня сложно-
сложности) и Саттона [92]; см. также книгу О'Брайена [69]. Изложе-
Изложение квантовой механики на элементарном уровне можно найти
в книгах Андраде, Сильвы и Лошака [4], Жукова [105] и Пол-
Полкинхорна [77]. Особенно рекомендуем читателю изложение кван-
квантовой теории Гейзенбергом [52] и теории фейнмановских диа-
диаграмм — Фейнмапом и др. [35].
Задачи к главе 1
1. При электролизе ионы металла, находящиеся в растворе, при-
притягиваются к отрицательно заряженной пластине (катоду). Со-
Согласно закону Фарадея, возникает электрический ток
FMv
/ = ¦
At
где М — масса осажденного на катоде металла за время t, v —
целое число, характеризующее валентность металла, А — атом-
пая масса металла, F — постоянная, равная 9,65• 107 Кл/кг, если
ток / измеряется в кулонах в секунду. Вычислите число Авогад-
ро (число атомов атомного веса Л, содержащихся в массе, рав-
равной А кг).
2. Рассчитайте массу электрона в килограммах. (Заряд в
1 Кл, проходящий разность потенциалов 1 В, приобретает энер-
энергию 1 Дж. Скорость света равна 3-Ю8 м/с. Все остальные вели-
величины найдите в настоящей главе.)
3. Электрон в гравитационном поле удерживается между
двумя пластинами, находящимися друг от друга на расстоянии
10 см, действующим на него электрическим полем. Рассчитайте
разность потенциалов.
4. Выведите формулу A.8) для энергии электрона, образую-
образующегося при гипотетическом распаде A.4).
5. Покажите, что электрон и позитрон не могут аннигилиро-
аннигилировать друг с другом с образованием только одного реального

56 Гл. 1. Частицы и силы взаимодействия
фотона, так как при этом не будут выполняться законы сохране-
сохранения энергии и импульса. Убедитесь, что эти частицы могут ан-
аннигилировать с образованием двух реальных фотонов и нари-
нарисуйте фейнмановскую диаграмму такого процесса.
6. Докажите, что потенциал У (г) = qe~^r/г удовлетворяет
уравнению V2V = n2V при г Ф О и что для произвольной области
R, содержащей точку г = О,
VF • dS = й2 \ Vdh — Anq,
dR R
где dR — граница области R.

Глава 2
Квантовая статика
В этой главе излагается математический формализм, применяе-
применяемый в квантовой механике для описания произвольной физиче-
физической системы. При этом применяется чисто дедуктивный подход:
сначала описаны используемые математические объекты, пере-
перечислены их свойства и дана строгая математическая формули-
формулировка основных постулатов теории, относящихся к физической
системе, а также установлена связь этих постулатов с вышеупо-
вышеупомянутыми математическими объектами. Затем выводятся след-
следствия из сформулированных постулатов в форме, пригодной для
сравнений с результатами экспериментов. Основные постулаты
справедливы только в той степени, в которой их следствия со-
согласуются с экспериментальными фактами, — другими словами,
единственное подтверждение справедливости постулатов состоит
в том, что они работают. Каких-либо строгих доводов, позволяю-
позволяющих логически перейти от экспериментальных фактов к основ-
основным принципам теории, не существует.
Такой способ изложения материала отражает общую логиче-
логическую структуру научных теорий, хотя, конечно, ставит в трудное
положение студента, которому предлагают принять некоторые
довольно странные утверждения, не указывая причин, требую-
требующих так поступить. Автор постарался смягчить эту ситуацию и
подвести читателя к постулатам квантовой механики, используя
некоторые рассуждения, основанные на результатах известных
экспериментов. Необходимо помнить, однако, что эти рассужде-
рассуждения отличаются по своей природе от тех, которые основываются
на уже принятых постулатах. Рассуждения, предшествующие по-
постулатам, не являются доказательствами, и читатель имеет пол-
полное право признать их неубедительными. С другой стороны, рас-
рассуждения, вытекающие из постулатов, наоборот, автор считает
доказательствами, и если читатель сочтет эти доказательства не-
недостаточными, то виноват будет либо автор, либо читатель.
Утверждения, которые должны доказываться, вынесены в фор-
формулировки теорем. Конец доказательства каждой теоремы
отмечен знаком Ш. Иногда доказательство утверждения содер-
содержится в тексте, предшествующем его формулировке в теореме;
в каждом таком случае знак ¦ помещен сразу после формули-
формулировки теоремы.

58 Гл. 2. Квантовая статика
Рассуждения, приведенные в § 2.1, полностью первого (эври-
(эвристического) типа. Строгое математическое изложение начинает-
начинается с § 2.2.
§ 2.1. Несколько примеров
Описание частиц и их поведения, представляемое квантовой ме-
механикой, принципиально вероятностной природы. Квантовая тео-
теория не делает определенных высказываний о том, что произойдет
при данных физических условиях, а указывает только, какие со-
события при этих условиях в принципе возможны и насколько ве-
вероятно каждое из них. Выше уже приводились примеры явлений,
которые требуют такого вероятностного подхода.
1. Радиоактивность. Как уже указывалось на с. 16, невоз-
невозможно заранее предсказать, в какой момент времени распадает-
распадается данное радиоактивное ядро. Два одинаковых ядра могут су-
существовать в течение разных промежутков времени до своего
распада, и какого-либо различия между короткоживущим и дол-
гоживущим ядрами не обнаружено. Единственное утверждение,
которое можно сделать о рассматриваемом ядре, — указать ве-
вероятность, с какой оно распадается за данный интервал времени.
2. Комптоновское рассеяние. Реакция электрона на равно-
равномерно распределенную в пространстве плоскую волну электро-
электромагнитного излучения непредсказуема: после встречи с ней он
может рассеяться в любом направлении. Заметим, что такого по-
поведения следует ожидать, если излучение описывается как ис-
испускание корпускулярных фотонов. Невозможность предсказать
результат столкновения электрона с фотоном следует из незна-
незнания точного положения фотона. Но, если электромагнитное излу-
излучение рассматривать как поле, вероятностная природа эффекта
Комптона представляется более фундаментальной.
3. Дифракция электронов. Вероятностные идеи позволяют
разрешить противоречие между понятиями частицы и поля, или
волны. Когда пучок электронов проходит через кристалл и па-
падает на фотографическую пластинку, возникающая при этом ди-
дифракционная картина не является на самом деле непрерывной;
она составлена из множества точек так же, как фотография в
газете. Каждая точка обусловлена одним электроном, падающим
на пластинку. Дифракционная картина является статистиче-
статистическим эффектом, возникающим от большого числа электронов;
каждый электрон движется как частица, но его движение может
быть предсказано только в том смысле, что вероятность того, что
он движется к светлой части дифракционной картины, велика,
а вероятность его движения к темной части мала. Таким обра-
образом, движение электрона должно описываться некоторым ве-
вероятностным распределением его положений в пространстве,

§ 2.1. Несколько примеров 59
т. е. существует функция плотности вероятности р(г), такая, что
вероятность того, что электрон будет обнаружен в малом объ-
объеме dV около точки г, дается выражением p(r)dV.
Рассмотрим теперь явление интерференции, чтобы выяснить,
что оно говорит о виде функции р(г). Возьмем волну, имеющую
некоторую фиксированную частоту v. Волна не обязательно свя-
связана с перемещением точек материальной среды (мы говорим о
«волнах преступности» или «волнах тепла»). Вообще, любую ве-
величину, зависящую от координат точки пространства и от вре-
времени, можно назвать волной. Обычно ее называют «возмуще-
«возмущением». Сказать, что волна имеет частоту v, значит утверждать,
что она колеблется во времени с частотой v и с амплитудой А и
фазой ф, которые могут изменяться от точки к точке. Таким об-
образом, в точке г возмущение имеет вид
f (г, 0 = А (г) cos (©/ + ф (г)), B.1)
где со = 2лл\ Удобно выразить рассматриваемое возмущение с
помощью комплексных чисел в виде
f(r, 0 = Re[i|5(r)e-/B<]. B-2)
где
1|)(г) = Л(г)е-''/'<г> B.3)
(выбор множителя е~ш, а не е'а', в выражении B.2) произво-
произволен). Для многих типов волновых явлений интенсивность волны
в точке г, т. е. плотность энергии возмущения, пропорциональна
квадрату амплитуды:
M2(r) = fc|i|>(r)l2. B.4)
Пусть теперь две волны одной и той же частоты v, но с раз-
разными амплитудами Л] (г) и Л2(г) и разными фазами ф} (г) и
</>2(г) налагаются друг на друга в одной и той же области про-
пространства. Тогда полное возмущение от обеих волн в точке г в
момент времени t будет равно
f (г, 0 = Л,-(г) cos (at + ф1 (г)) + Л2 (г) cos Ы + ф2 (г)) =
= Re[{iMr) + iMr)}e-*<*], B-5)
где i|)i и гр2 определены выражением B.3); полная интенсивность
равна
/ (г) = ^ | -ф! (г) + -ф2 (г) |2. B.6)
Полная интенсивность не равна сумме интенсивностей отдель-
отдельных волн: она больше ее, когда -фi и i|J имеют одинаковое на-
направление, если их рассматривать как векторы на комплексной
плоскости, т. е. когда оба колебания находятся в фазе друг с
другом, и меньше, когда г{>1 и i|J имеют противоположные

60 Гл. 2. Квантовая статика
направления, или когда оба колебания находятся в противофазе.
Таким образом, формула B.6) дает строгое математическое
описание явления интерференции.
Тот факт, что электроны обнаруживают интерференционную
картину, заставляет предположить, что распределение плотно-
плотности вероятности р(г) (которое, как и /(г), является положитель-
положительной функцией, указывающей, насколько велико действие волны
в точке г) должно интерпретироваться с помощью амплитудной
и фазовой функций, которые можно объединить в одну комп-
комплексную функцию i|)(r). Тогда распределение вероятности дает-
дается выражением
р(г) = 6К(г)!2. B.7)
Функция г|) называется волновой функцией электрона.
Согласно формуле B.7), вероятность того, что электрон мо-
может быть обнаружен в области V, равна k\ \ty(r) \2dV. Если об-
область V совпадает со всем трехмерным пространством, то рас-
рассматриваемая вероятность должна быть равна единице, так как
электрон находится в какой-то точке бесконечного пространства.
Таким способом можно определить значение константы k.
После этого формула B.7) принимает следующий вид:
р{г)==АШ^. B.8)
\
где интеграл берется по всему пространству.
Чтобы формула B.8) имела смысл, интеграл в знаменателе
должен иметь конечное значение, т. е. функция гр должна быть
квадратично-интегрируемой. При развитии математического фор-
формализма квантовой механики необходимо потребовать, чтобы
функция ip была сколь угодно большое число раз дифференци-
дифференцируемой, причем функция, полученная из нее умножением на г,
тоже должна обладать свойствами функции тр. Поэтому нало-
наложим на функцию ф следующие требования:
W1) функция гр квадратично-интегрируема, т. е. \|i|)|2dV< oo;
W2) функция г|з имеет равномерно непрерывные частные про-
производные всех порядков, которые тоже квадратично-интегри-
квадратично-интегрируемы;
W3) если f(r) обозначает произвольный полином от г, то
функция /"Ф квадратично-интегрируема.
Под волновой функцией мы всегда будем понимать функцию
\р, удовлетворяющую требованиям Wl —W3. Хотя, строго говоря,
они не необходимы, но позволяют существенно упростить изло-
изложение общей теории. В частных проблемах часто бывает удобно

§ 2.1. Несколько примеров 6t
ослаблять указанные требования; этот вопрос рассматривается
в § 2.5.
Отметим, что плотность вероятности B.8) не изменится, если
функцию г|) умножить на любое комплексное постоянное число
с Ф 0. Таким образом, до тех пор пока речь идет о координате
частицы в пространстве, описание данной частицы с помощью
функции ci|)(r) эквивалентно ее описанию с помощью функции
ty (г). Поэтому допустимо считать, что \ 11|) |2 dV = 1, что удобно,
так как формула B.8) при этом упрощается. Волновая функция,
удовлетворяющая указанному условию, называется нормирован-
нормированной.
4. Поляризация фотона. В качестве другого примера вероят-
вероятностного описания поведения частиц, которому можно дать ма-
математическую формулировку, рассмотрим фотоны пучка поляри-
поляризованного света. Согласно классическому описанию светового
луча, он представляется в виде электромагнитной волны и со-
состоит из колеблющихся электрического и магнитного полей, пер-
перпендикулярных друг другу и направлению луча. При этом мож-
можно рассматривать только вектор электрического поля; в каждой
точке луча этот вектор лежит в плоскости, перпендикулярной на-
направлению луча. Если в данной точке луча электрический век-
вектор колеблется вдоль некоторого фиксированного направления
в указанной плоскости, то свет называют плоскополяризованным
(так как прямые линии, вдоль которых колеблются электриче-
электрические векторы в различных точках луча, параллельны друг другу
и вместе образуют плоскость); направление электрического век-
вектора называют направлением поляризации.
Поляроид, или поляризационный фильтр, представляет собой
слой вещества, состоящего из кристаллов, ориентированных
вдоль какого-то фиксированного направления, называемого осью
фильтра. Фильтр полностью пропускает поляризованный свет,
если направление поляризации света параллельно оси фильтра,
и не пропускает его, если указанные направления перпендику-
перпендикулярны друг другу. Если свет поляризован вдоль направления, со-
составляющего угол 0 с осью поляроида, последний уничтожает
компоненту электрического вектора, перпендикулярную к оси по-
поляроида. Таким образом, если электрический вектор света непо-
непосредственно перед поляроидом колебался по закону
Е (t) = Ео cos at B.9)
и если Ео = Ei'+ Е2, где вектор Ei параллелен и Е2 перпенди-
перпендикулярен оси поляроида соответственно, то непосредственно по-
после прохождения поляроида свет будет обладать электрическим
вектором
E@ = E1cosra^. B.10)

62
Гл. 2. Квантовая статика
Таким образом, свет, выходящий из поляроида, всегда поляри-
поляризован параллельно его оси. Интенсивность вышедшего света про-
пропорциональна квадрату амплитуды колебаний электрического
вектора и определяется величиной |Ei|2. Следовательно
(рис. 2.1),
12=cos2e. B.11)
интенсивность прошедшего света
интенсивность падающего света
Рис. 2.1.
Что можно сказать о фотонах в таком пучке света? Каждый
отдельный фотон либо поглощается поляроидом, либо проходит
] через него и, так как все фото-
фотоны одинаковы, нельзя предска-
предсказать с определенностью, что про-
изойдет с отдельно взятым фото-
фотоном. Можно только определить
вероятность того, что данный фо-
фотон пройдет через поляроид. По-
Поскольку интенсивность света про-
пропорциональна числу фотонов,
доля фотонов, прошедших через
поляроид, равна cos2В. Это и
есть вероятность того, что от-
дельный фотон пройдет через по-
ляроид ').
Фотоны, которые проходят че-
через поляроид, образуют пучок
с другим направлением поляризации, отличным от направления
поляризации первоначального светового пучка. Таким образом,
прохождение через поляроид изменяет состояние поляризации
фотона.
Самым общим состоянием поляризации когерентного пучка
монохроматического света является не плоская, а эллиптическая
поляризация. Если фиксировать оси хну на плоскости, перпен-
перпендикулярной направлению распространения света, то х- и у-ком-
поненты электрического вектора в любой точке колеблются не-
независимо и в общем случае имеют разные фазы:
Es(t) = Ex0cos№ + 4>x), Ey(t) = EyQcos (at+ фи) B.12)
(свет плоскополяризован, если фх = фу). Это означает, что конец
вектора Е(/) описывает эллипс на плоскости ху. Как и выше
при рассмотрении волн, амплитуды и фазы можно объединить,
чтобы получились комплексные числа:
= Ехе~
с2 = Еуе
-1Ф,
B.13)
') См. ниже замечание о вероятности.

# 2.1. Несколько примеров 63
Тогда электрический вектор дается выражением
Е (/) = Re foe"™]. B.14)
где
Ч^сП + СаЬ B.15)
а интенсивность света пропорциональна величине
Ф-* = |с,|2 + |с2|2 B.16)
(черта сверху обозначает комплексно-сопряженную величину).
Отдельный фотон в таком пучке может быть описан с помощью
величин, относящихся ко всему пучку; различать отдельные фо-
фотоны в пучке невозможно. Таким образом, поляризация фотона
характеризуется вектором Е(/) или (если задана частота ш) по-
постоянным вектором гр. Но если вектор -ф умножить на какое-ни-
какое-нибудь действительное число г, то влияние этой процедуры на пу-
пучок будет состоять только в изменении его интенсивности, т. е.
числа фотонов в пучке. Таким образом, фотон в пучке, описывае-
описываемом вектором гф, находится в том же состоянии поляризации,
что и фотон в пучке, описываемом вектором t|>. Далее, если век-
вектор ij) умножить на комплексное число вида е'е, то влияние этой
процедуры скажется только на изменении фазы колебаний (т. е.
момента времени, когда конец вектора Е проходит через опреде-
определенную точку эллипса), но не на форме эллипса. Оказывается,
что фазу колебаний отдельного фотона определить невозможно
(фаза и число фотонов в пучке связаны соотношением неопреде-
неопределенностей) ; поляризация фотона определяется исключительно
заданием формы кривой, описываемой концом электрического
вектора. Поэтому вектор e'°i|) характеризует то же состояние по-
поляризации фотона, что и вектор i|>.
Предлагаемое математическое описание состояния поляриза-
поляризации фотона, движущегося в направлении z, можно резюмировать
следующим образом.
1. Каждое состояние поляризации описывается вектором ф
вида B.15) (этот вектор мы называем вектором, поляризации).
2. Если ¦$ — такой вектор, а с — любое комплексное число, то
вектор ci|) описывает то же состояние поляризации, что и век-
вектор ф.
Замечание о вероятности. Поскольку понятие вероятности
играет фундаментальную роль в квантовой механике, может по-
показаться удивительным, что мы предполагаем, что читатель уже
знаком с ним, и не даем строгого определения этого понятия.
Дело в том, что полное непротиворечивое определение понятия
вероятности дать невозможно. Как и для остальных первичных
понятий физики п математики, самое большее, что можно

64 Гл. 2. Квантовая статика
сделать, это дать частичное, неявное определение, перечислив
основные свойства вероятности, т. е. определить ее аксиома-
аксиоматически.
Определим вероятность физического события а, которое бу-
будем описывать как результат эксперимента Е. Такая вероятность
зависит, очевидно, от условий, имевшихся перед началом экспе-
эксперимента, т. е. от состояния г|э изучаемой системы; поэтому обо-
обозначим эту вероятность pE(a\^i). Свойства указанной вероятно-
вероятности, или основные аксиомы для нее, следующие:
Р1. Пусть Е — эксперимент, возможными результатами кото-
которого являются числа ось ..., а,,, причем эти результаты полны
и взаимно исключающие, т. е. при проведении эксперимента мо-
может наблюдаться одно и только одно из указанных чисел. Ве-
Вероятность результата ос,- при заданном начальном состоянии -ф
дается вещественным числом /??(a,-|\|)), удовлетворяющим двум
условиям:
2)
Р2. Если а,-, а/, ..., аг — различные возможные результаты
эксперимента Е, то вероятность того, что один из них будет
наблюдаться при заданном начальном состоянии ф, равна
рЕ{щ или о,- или ... или a r\ ф) = рЕ (а,-1 \р) + ... + Рг (а, | ф).
B.17)
РЗ. Пусть Е и F— два независимых эксперимента, т. е. нет
причинного влияния одного из них на другой и нет общего при-
причинного влияния на оба этих эксперимента. Тогда, если ось • • •
.. ., ост — возможные результаты эксперимента Е, а Рь . . ., ря —
возможные результаты эксперимента F, то вероятность того, что
результатом эксперимента Е (с начальным состоянием i|j) будет
а; и результатом эксперимента F (с начальным состоянием ф)
будет Р/, равна
Р4. Пусть эксперименты Е и F проводятся таким образом,
что начальное состояние эксперимента F определяется резуль-
результатом эксперимента Е. Пусть фа — начальное состояние для экс-
эксперимента F, возникшее после проведения эксперимента Е с ре-
результатом а. Тогда начальные состояния для эксперимента Е
будут начальными состояниями для комбинированного экспери-
эксперимента Е Ф F, и вероятность того, что Е будет иметь результат a
и одновременно F будет иметь результат р, при данном началь-

§ 2.1. Несколько примеров 65
пом состоянии г|) равна
РЕфР{а и №) = PE{*WPF{b\4>a)- B-19)
Если множество возможных результатов эксперимента бес-
бесконечно, то вероятность следует рассматривать как меру на мно-
множестве результатов, т. е. как функцию, заданную на его подмно-
подмножествах, как это подробно объясняется в учебниках по теории
вероятности (см., например, [45]). Пусть, например, Е — экспе-
эксперимент по измерению координаты частицы, и пусть начальное
состояние частицы характеризуется нормированной волновой
функцией \|з(г); тогда основное вероятностное утверждение кван-
квантовой механики формулируется следующим образом:
рЕ (частица будет найдена в области V \ ip) = \ | ip (г) J2 dV. B.20)
Из аксиом Р1 — РЗ следует, что если эксперимент Е повто-
повторяется независимо очень много раз с одним и тем же началь-
начальным состоянием г|э, то с вероятностью, близкой к единице, доля
экспериментов с результатом а будет близка к р?(а|г|з). Напом-
Напомним читателю, что если известно, что вероятность случайного со-
события равна единице, то такое событие практически всегда про-
происходит при каждом отдельном испытании. Ясно, как измерить
вероятность какого-либо конкретного результата измерения: экс-
эксперимент следует повторить много раз, тогда вероятность ре-
результата а будет пропорциональной числу случаев, когда этот
результат действительно наблюдается. Полученное таким обра-
образом число, разумеется, не будет соврешенно точно давать значе-
значение измеряемой вероятности, но оно будет очень близко к нему
(это самое большее, что можно сказать о вероятности резуль-
результата экспериментального измерения какой-либо величины).
Часто утверждают, что понятие вероятности приложимо толь-
только к экспериментам, которые можно повторить неограниченное
число раз (или что имеются два типа вероятности, из которых
тип, относящийся к единичным событиям, не имеет отношения к
физике). Такое разделение вероятности на типы мотивируют же-
желанием принимать за значимые только проверяемые высказыва-
высказывания; а, как мы только что видели, единственный способ прове-
проверить вероятностное высказывание об исходе какого-то экспери-
эксперимента состоит в повторении эксперимента большое число раз и
наблюдении доли возможных благоприятных исходов. Но любой
эксперимент можно повторить лишь конечное число раз, а ко-
конечную последовательность повторений эксперимента можно рас-
рассматривать и как единичный эксперимент, которому тоже надо
приписать вероятность, вопреки высказанному выше суждению.
Поэтому различие между двумя типами вероятности логически
весьма шаткое.

66 Гл. 2. Квантовая статика
Другая точка зрения на вероятность (обычно не принимае-
принимаемая в учебниках по физике) состоит в том, что любая вероят-
вероятность относится к одному единственному событию: утверждение
о вероятности какого-то события это утверждение о степени убе-
убежденности данного человека в том, что это событие действитель-
действительно произойдет. Это логически неприступная точка зрения, хотя
она очевидно и несостоятельна, если считать законы природы
объективными.
Принятая в данной книге точка зрения на вероятность со-
состоит в следующем. Утверждение о вероятности какого-либо
результата эксперимента содержит в себе как степень убежден-
убежденности разумного индивидуума в таком результате, так и выска-
высказывание о частоте наблюдения данного результата в серии по-
повторений эксперимента, но не может быть сведено к одному из
этих двух положений. Наша точка зрения учитывает оба аспек-
аспекта вероятности, но не следует из них; она разъясняет смысл
вероятностного высказывания, но не дает ему определения.
Попытки определить вероятность более четко, чем мы су-
сумели это сделать, обычно приводят либо к логическому кругу
(апеллируют к «правдоподобию»), либо к мистике (включают
такие понятия как «склонность к чему-либо», которые не яснее,
чем сама вероятность). Это не означает, что вопрос о том, какой
смысл имеет или должна иметь вероятность, не интересен или не
важен. Но ответ на этот вопрос, если он существует, не может
влиять на аксиоматические свойства вероятности, сформулиро-
сформулированные выше, поэтому мы можем продолжить наше изложение,
не останавливаясь больше на вопросе о смысле вероятности.
§ 2.2. Пространство состояний
Мы располагаем двумя примерами квантовомеханических систем,
свойства каждой из которых описаны математически. В каж-
каждом из них имеется математический объект, который описывает
состояние свойств системы, которыми мы интересуемся. Так, со-
состояние электрона в том, что касается его координаты (не учиты-
учитывая все остальные свойства, которые он может иметь), описы-
описывается волновой функцией г|)(г), в то время как свойство поля-
поляризации фотона (не учитывая его положения и считая, что он
имеет определенное направление движения) описывается векто-
вектором i|). (Слово «состояние», которое уже несколько раз было ис-
использовано в этой книге, следует пока понимать в его обычном
смысле, скажем, когда мать с порицанием говорит своей дочери-
подростку: «Посмотри, в каком состоянии твоя комната». Ниже
будет дано строгое определение этого термина; пока мы этого
не можем сделать.) Объекты i|)(r) и ф математически весьма
различны (как и следовало ожидать, так как положение в про-

§ 2.2. Пространство состояний 67
странстве и поляризация — совершенно разные физические свой-
свойства), но они имеют некоторые общие черты, обязательно
присутствующие при описании любой квантовой системы. При-
Приступим к абстрактному описанию этих общих характеристик, ис-
используя в качестве примеров координату электрона и поляриза-
поляризацию фотона. (Хотя мы и будем игнорировать все остальные свой-
свойства каждой из указанных систем, мы будем рассматривать их
как примеры полных физических систем. Так, в настоящем пара-
параграфе «электрон» — это частица, обладающая определенным по-
положением в пространстве, но лишенная каких-либо внутренних
характеристик, поэтому будем называть такую частицу простой.
«Фотон» для нас — это частица с поляризацией, не обладающая
каким-либо положением в пространстве или фиксированным на-
направлением движения. В § 2.6 мы обсудим, как объединять раз-
различные свойства квантовой системы.)
Поскольку желательно построить теорию, пригодную для
возможно более широкого класса физических систем, все рассу-
рассуждения будем вести на абстрактном математическом уровне.
В частности, не будем точно определять математические объек-
объекты, которыми будем оперировать, а будем довольствоваться про-
простым перечислением тех свойств, которыми они должны обла-
обладать, чтобы описывать квантовую систему. Такие абстрактные
математические объекты будем обозначать символами |tf>>.
Скобки |> у такого символа указывают на то, что символ харак-
характеризует состояние квантовой системы подобно тому, как в ру-
рукописи подчеркнутые символы обозначают векторы. Даже когда
мы будем рассматривать вполне определенную физическую си-
систему и нам будет точно известно, чем являются на самом деле
математические объекты, мы все равно будем продолжать ис-
использовать указанные абстрактные обозначения. Они обладают
тем же преимуществом, что и единые обозначения, используемые
для трехмерных векторов, которые не связывают вектор с какой-
либо определенной системой координатных осей.
Математические объекты |г(>> называют векторами состояний.
Математические свойства, которыми мы их наделяем, кратко
формулируются так: эти величины должны образовывать комп-
комплексное векторное пространство, обладающее внутренним про-
произведением. Утверждение, что объекты образуют комплексное
векторное пространство, означает, что над ними можно произво-
производить следующие две операции.
S1. Умножение на скаляр. Если |гр> — вектор состояния,
ас — любое комплексное число, то имеется и вектор состояния
|ф>
S2. Сложение. Если |i|)i> и |г|J> — любые два вектора со-
состояний, то имеется вектор состояния \\$ц) + |^2>-

68 Гл. 2. Квантовая статика
Указанные две операции подчиняются следующим простым
правилам:
Ф2) = 1^) + М),); B.21)
2) I ih> + (I Ь) + 1Ь)) = (I Ь) + I ^2» + I -Фз>: B-22)
3) с A1|>,> + 11|за» = с ] г|),> + с ] г|J); B.23)
4) (с, + с2) 11|з) = с, | ф> + с,21 -ф); B.24)
5) с1(с2|г()» = (с1с2IФ>; B-25)
6) если с = 0, то произведение с|гр> всегда есть один и тот
же объект, называемый нулевым вектором, который обозначает-
обозначается 0.
Множество 91 всех векторов состояний с учетом и нулевого
вектора называется пространством состояний. (Заметим, что ну-
нулевой вектор не следует сопровождать значком |> и считать век-
вектором состояния. Немного ниже мы объясним, почему надо так
поступать.) Пространство состояний для координаты электрона
образуют все возможные волновые функции -ф (г), удовлетворяю-
удовлетворяющие требованиям Wl—W3 (с. 60); пространство состояний для
поляризации фотона образуют все возможные векторы поляри-
поляризации вида B.15). Предоставляем читателю проверить, что ука-
указанные математические системы действительно удовлетворяют
аксиомам S1 и S2 с обычным определением сложения и умноже-
умножения на скаляр.
Свойство S1 подразумевает, что для описания векторов со-
состояний требуются комплексные числа. В наших двух примерах
электрона и фотона использование комплексных чисел отражало
тот факт, что мы имели дело с колебательными явлениями. Для
обоих примеров справедливо также и то, что если |i|)>— любой
вектор состояния, то произведение его на скаляр c|if>> описывает
то же физическое состояние системы, что и вектор |i|)>. Мы пред-
предположим, что последнее утверждение справедливо для произ-
произвольной квантовой системы. (Можно подумать, что тогда
умножение на скаляр не имеет смысла вводить, но важность ис-
использования этой операции становится очевидной, когда мы рас-
рассматриваем сложение: сумма |ipi>+c|\JJ> не обозначает то же со-
состояние, что и сумма |if>i> + |i|J>, если с ф 1.) Теперь легко убе-
убедиться, что нулевой вектор не описывает какое-либо физическое
состояние системы (если бы он его описывал, то он описывал бы
любое состояние, являясь скалярным кратным любого вектора
состояния). Это также характерная особенность наших двух
примеров: если вектор поляризации равен пулю, то электриче-
электрического поля нет, а потому нет фотона; если волновая функция
равна нулю, то нет никакой вероятности обнаружить электрон в
какой-либо точке пространства, я потому нет и электрона.

§ 2.2. Пространство состояний 69
Свойство S2, т. е. возможность производить сложение, состав-
составляет суть специфического квантовомеханического поведения. На-
Например, именно свойство сложения, или суперпозиции, двух волн
приводит к явлениям интерференции, столь характерным для
квантовой теории. Утверждение, что сложение состояний всегда
возможно, называется принципом суперпозиции. Он тесно свя-
связан с вероятностной природой квантовой механики. Например,
в случае электрона, если i|)i(r)—волновая функция, локализо-
локализованная в области V\, и гр2(г) —волновая функция, локализован-
локализованная в области Уг, то сумма i|)i + ^2 — волновая функция, описы-
описывающая состояние электрона, который может быть найден и в
области V\, и в области V2.
Вообще сумма |i|5i>+|i|52> описывает состояние квантовой
системы, в котором она может вести себя и так, как если бы она
описывалась вектором состояния
описывалась вектором состояния
i|)i>, и так, как если бы она
¦ф2>. Используя комплексные
коэффициенты, можно образовать вектор состояния Ci|i(>i>
+ с2|^2>, который описывает состояние, в котором относитель-
относительная вероятность указанных видов поведения системы опреде-
определяется отношением величин коэффициентов С\ и с2. Точную фор-
формулировку обсуждаемого свойства мы проведем ниже; такая
формулировка требует еще одного математического свойства
пространства состояний, которое мы сейчас рассмотрим.
S3. Внутреннее произведение1). Для любых двух векторов
состояний \ф} и [if> существует комплексное число (Ф\^У, назы-
называемое их внутренним произведением, которое удовлетворяет
следующим условиям:
I) если | ф) = с, | гр,) + с21 г|J), то
с2(Ф \xb2); B.26)
B.27)
т. е. если | ф) — с^ | ф\)-\- c2\ ф2), то
(ф | г(>) = С] (ф{ | ty) -j- с2 (ф21Ф); B.28)
3) для любого |i|)> справедливо неравенство
(ф|г|5)>0; если <-ф J -ф> = 0, то | -ф> == 0. B.29)
Для двух рассмотренных выше систем внутреннее произве-
произведение определяется следующим образом.
Для состояний координаты электрона, когда векторы состоя-
состояний являются волновыми функциями, внутреннее произведение
определяется интегралом
" >(r)dV; B.30)
') В советской литературе чаще применяется термин скалярное произ-
произведение. — Прим. перев.

70 Гл. 2. Квантовая статика
этот интеграл берется по всему пространству. Можно показать
(задача 2.1), что приведенный интеграл сходится, если функции
ф и if> квадратично-интегрируемы.
Для состояний поляризации фотона, движущегося в положи-
положительном направлении оси г, когда векторы состояний являются
векторами поляризации ty = С\\ 4- c2j, внутреннее произведение
определяется как обычное скалярное произведение векторов:
(ф№) = ф.у. B.31)
В дальнейшем для состояний поляризации фотона мы будем
пользоваться кет-обозначениями (т. е. символами |>) и общий
вектор состояния поляризации фотона будем записывать в виде
\^) = с1\фх) + с2\фу), B.32)
где \фху и \фуу обозначают состояния с векторами поляризации
i и j. Формула B.32) имеет тот физический смысл, что самое об-
общее колебание электрического вектора в световой волне, распро-
распространяющейся в положительном направлении оси z, является су-
суперпозицией колебаний в направлениях осей х и у с различными
амплитудами и фазами.
Сделанные утверждения о свойствах векторов состояний со-
составляют суть первого постулата квантовой механики.
Постулат I (принцип суперпозиции). Векторы состояний лю-
любой квантовой системы составляют комплексное векторное
пространство, обладающее внутренним произведением, т. е.
удовлетворяют условиям S1-—S3. Всякий ненулевой вектор
состояния |г|)> описывает физическое состояние системы, при-
причем каждое ненулевое скалярное кратное вектора |гр> опи-
описывает то же состояние. Каждое состояние системы описы-
описывается некоторым ненулевым вектором состояния и кратными
ему векторами, но не может быть описано никакими другими
векторами.
Часто удобно ограничить выбор вектора состояния, предна-
предназначенного для описания конкретного состояния квантовой си-
системы, наложив требование, чтобы он удовлетворял условию
(¦ф|о|)> = 1. Такой вектор состояния называют нормированным.
Указанное требование не определяет вектор состояния одно-
однозначно, так как его можно умножить на комплексное число вида
е{ф (называемое фазовым множителем).
Два вектооа состояний \ФУ и !г|)> называются ортогональны-
ортогональными друг другу, если (<?|i])) = 0. Система векторов состояний
Kni), !фг>, • .. называется ортонормированной, если
1 при i = j,
0 прй 1ф1 B-33)

§ 2.3. Результаты экспериментов
Система векторов состояний |%> называется полной, если лю-
любой вектор состояния |i|>> системы можно выразить в виде
1Ч>> = с1Ы + с2|1>2>+ .... B.34)
Если векторы |г|з,-> ортонормированы, то коэффициенты в разло-
разложении B.34) даются выражениями
с, = <1Ш>. B-35)
Предположим, что в пространстве состояний любой системы су-
существует ортонормированная полная система векторов состоя-
состояний. Число элементов в ортонормированной полной системе
называется размерностью пространства состояний. Если размер-
размерность пространства состояний бесконечна, т. е. правая часть раз-
разложения B.34) является бесконечной суммой, то естественно
возникает вопрос о сходимости. Мы не будем останавливаться
на этом вопросе (см. замечание о гильбертовом пространстве в
конце § 2.5). Ниже в этой главе будут приведены доказатель-
доказательства, справедливые для конечномерных пространств состояний,
а затем (в § 2.5) будут сформулированы без доказательств ре-
результаты, справедливые для бесконечномерных пространств со-
состояний.
§ 2.3. Результаты экспериментов
Второй общий принцип квантовой механики дает формулировку
утверждения о физическом смысле векторов состояний и о том,
как они связаны со свойствами системы, находящейся в дан-
данном состоянии. Как было показано выше, эти свойства, вообще
говоря, не известны с определенностью; можно только указы-
указывать вероятности, с которыми эксперименты, предназначенные
для их обнаружения, дают данный конкретный результат.
Предположим, например, что фотон, состояние поляризации
которого описывается вектором состояния |\|з>, падает на поляри-
поляризационный фильтр с осью, совпадающей с осью х, и мы хотим
узнать, пройдет ли он через фильтр. Если фотон поляризован
вдоль оси фильтра, т. е. |т|>> = |</>*>, то ответ будет определен-
определенным и утвердительным. Если фотон поляризован перпендику-
перпендикулярно оси фильтра, так что |\|з> =\фу}, то ответ будет тоже оп-
определенным и отрицательным. В общем случае, когда |i|3> =
= ci|i|)x> + с2|г|5у>, пучок света, прошедший через поляроид,
имеет меньшую интенсивность, доля которой от первоначальной
(см. B.И)) равна
р=М*+|с2|« ' B>36)
поэтому р характеризует вероятность того, что отдельный фотон в
пучке пройдет через рассматриваемый поляризационный фильтр.

72 Гл. 2. Квантовая статики
Если фотон прошел через фильтр, то он стал поляризованным
строго в направлении оси х; это состояние поляризации фотона,
связанное с проведенным экспериментом, называется «собствен-
«собственным состоянием», соответствующим полученному при экспери-
эксперименте результату, состоящему в прохождении фотона через по-
поляроид. Собственное состояние \фх) возникает с вероятностью/?;
система до экспермента находилась в состоянии, описываемом
вектором состояния |if>>; для вероятности р имеем, очевидно, сле-
следующее выражение:
р= <ФЩ>> • B-37)
Собственное состояние, соответствующее результату экспери-
эксперимента, заключающегося в непрохождении фотона через поля-
поляроид,— это состояние поляри-
поляризации, параллельной оси у.
Оно описывается вектором со-
состояния \фу); вероятность та-
такого результата эксперимента
Кристалл // определяется внутренним про-
произведением <$v|i|)>. Этот ре-
результат отличается от резуль-
результата, соответствующего про-
прохождению фотона через поля-
поляроид, так как при таком ре-
Рис. 2.2. Двойное лучепреломление, зультате эксперимента фотон
не появляется в соответствую-
соответствующем собственном состоянии; вместо этого фотон разрушается
экспериментом. Возникает затруднение, нежелательное на дан-
данной стадии рассуждений. Нам требуется такая система, с кото-
которой можно было бы экспериментировать и которая, хотя и могла
бы изменяться в процессе эксперимента, но после него остава-
оставалась бы в целости. Поэтому мы теперь вместо поляризационного
фильтра рассмотрим кристалл с двойным лучепреломлением. Та-
Такой кристалл, подобный исландскому шпату, имеет различные
показатели преломления для света, поляризованного в направ-
направлениях осей х и у (эти оси внутренне присущи кристаллу, как
ось поляроида — поляроиду). Узкий пучок света, входящий в
кристалл с двойным преломлением под некоторым углом, выхо-
выходит из него расщепленным на два пучка, как показано на рис. 2.2.
Один пучок Вх поляризован в направлении оси х, а другой Ву —
в направлении оси у. Отдельный фотон первоначального пучка
выйдет из кристалла по пути Вх, если до падения на кристалл
его вектор состояния был равен \фх), и вдоль пути Ву, если его
вектор состояния был равен \фу}. Если же вектор состояния фо-

§ 2.3. Результаты экспериментов 73
тона до падения на кристалл был равен |гр>, то фотон с вероят-
вероятностью р (даваемой выражением B.37)) пойдет по пути Вх (при
этом его вектор состояния станет равным \фхУ) и с вероятностью
1—р пойдет по пути Ву (его вектор состояния станет равным
\Фу»-
Поляризационный фильтр и кристалл с двойным лучепрелом-
лучепреломлением иллюстрируют различие между двумя типами экспери-
экспериментов, которые имеют место как в классической, так и в кван-
квантовой физике. Эксперимент первого типа позволяет определить
какое-то свойство системы, причем система после эксперимента
сохраняет то свойство, которое определялось. Таким образом,
если эксперимент сразу же повторить, то будет получен тот же
результат. Например, эксперимент по определению импульса ча-
частицы путем измерения времени пролета ею известного расстоя-
расстояния— это эксперимент первого типа. К первому типу относится
и эксперимент по определению направления поляризации фотона
путем наблюдения результата прохождения его через поляриза-
поляризационный фильтр. В экспериментах второго типа свойство, подле-
подлежащее определению, изменяется при проведении эксперимента;
величину этого изменения можно рассчитать, но существенный
момент состоит в том, что при повторном проведении экспери-
эксперимента сразу же после первого экперимента над той же системой
получается результат, отличный от результата первого экспери-
эксперимента. Например, эксперимент по измерению импульса частицы
путем наблюдения ее соударения с частицей известной массы —•
это эксперимент второго типа. К числу экспериментов второго
типа относится и эксперимент по определению направления по-
поляризации фотона путем наблюдения прохождения его через кри-
кристалл с двойным лучепреломлением. Ради простоты ниже рас-
рассматриваются только эксперименты второго типа.
Вообще собственным состоянием квантовой системы, над ко-
которой проводится данный эксперимент, называется состояние,
для которого результаты эксперимента можно предсказать с
полной определенностью. Собственное состояние невырождено,
если оно является единственным состоянием, для которого может
наблюдаться данный результат эксперимента; в этом случае го-
говорят, что и сам результат эксперимента невырожден.
Теперь можно сформулировать общее положение о том, ка-
какие можно сделать предсказания относительно результатов экс-
эксперимента.
Постулат II. Пусть а — невырожденный результат экспе-
эксперимента Е, произведенного над квантовой системой, a \tya) —
нормированный вектор состояния, описывающий собственное
состояние системы для результата а. Тогда, если система до
эксперимента находилась в состоянии |г|)>, то вероятность

74 Гл. 2. Квантовая статика
того, что эксперимент даст результат а, определяется выра-
выражением
B-38)
Приведенное ниже положение на самом деле является след-
следствием определений «собственное состояние» и «эксперимент вто-
второго типа», но мы сформулируем его как самостоятельный по-
постулат, предваряя последующее его обобщение.
Постулат III. Предположим, что Е — эксперимент второго
типа. Если в эксперименте Е получен результат а, то сразу
после проведения эксперимента система будет находиться в
собственном состоянии, соответствующем результату а.
Чтобы сформулировать более общее утверждение, следует
учесть вырожденные результаты эксперимента, т. е. результаты,
которым соответствует более чем одно собственное состояние.
Пусть векторы состояний |i|)i> и |a|J> описывают два собствен-
собственных состояния системы для эксперимента Е, каждому из кото-
которых соответствует один и тот же результата. Согласно предыду-
предыдущему параграфу, суперпозиция Ci \\\>]У + c2|ih) описывает со-
состояние, которое обладает характеристиками и того и другого
собственных состояний с вероятностями, определяемыми коэф-
коэффициентами С\ и с2. Но в том, что касается результатов экспери-
эксперимента Е, характеристики обоих собственных состояний одинако-
одинаковы, так что суперпозиция также обладает ими; поэтому рас-
рассматриваемая суперпозиция также должна быть собственным
состоянием эксперимента Е с результатом а. Таким образом, мно-
множество 9}а всех векторов состояний, которые описывают собст-
собственные состояния для эксперимента Е, соответствующие резуль-
результату а, обладает тем свойством, что если |i|)i> и |"ф2) являются
векторами состояний из 9'а, то вектор С\ |^1> + c2|i|J> тоже бу-
будет вектором состояния из 9>а- Другими словами, Р'а является
векторным подпространством пространства состояний 91. Оно на-
называется собственным пространством эксперимента Е, соответ-
соответствующим результату а.
Если теперь |г|з> — любой вектор состояния, не содержащийся
в собственном пространстве 9>П, то его можно записать в виде
суммы вектора состояния из 9'rL и вектора, ортогонального лю-
любому вектору из 9*0.- Чтобы доказать это, рассмотрим ортонорми-
рованную полную систему векторов состояний |i|)i>, |i|>2>, ... в
собственном пространстве 5^г/ и запишем
11> = S Ci | г|)«) + | i|/), B.39)

§ 2.3. Результаты экспериментов
75
где с; = <ip,-|ip>. Тогда слагаемое |г|/> будет ортогонально каж-
каждому вектору | г|),->, а следовательно, любому вектору из 9"а. Пер-
Первое слагаемое в B.39), принадлежащее к пространству ЯРа, на-
называется ортогональной проекцией |\|з> на 9*а и обозначается
-ф>- B-40)
Ситуация схематически изображена на рис. 2.3, где пространство
6?а изображено как плоскость в обычном трехмерном векторном
пространстве.
Рис. 2.3. Проекционный оператор.
Оператор Ра, называемый (ортогональным) проекционным
оператором на пространство 9"а, является примером очень важ-
важного математического объекта — линейного оператора. Линей-
Линейным оператором А в пространстве векторов состояний назы-
называется правило, которое сопоставляет каждому вектору со-
состояния |\|з> некоторый другой вектор состояния Л|г|з> таким
образом, что выполняется условие
А(а\1р) + Ь\ф)) = аА\Ъ) + ЬА\ф) B.41)
для любых двух векторов состояний |-ф> и \<j>) и произвольных
комплексных чисел а и Ь. Легко видеть, что оператор Ра являет-
является линейным оператором.
В таких ситуациях, когда не существует единственного соб-
собственного состояния, соответствующего результату а экспери-
эксперимента Е, постулат II следует обобщить, оговорив, какой именно
вектор |г|)а> из собственного пространства Фа используется в
B.38). Вектор состояния Ра\^У является вектором из 9"а, бли-
ближайшим к вектору состояния |т|)> (в некотором совершенно оп-
определенном математическом смысле, см. задачу 3), поэтому,
казалось бы, очевидно, что именно он и должен быть выбран.
Однако вектор состояния Pa|ij3> не нормирован; внутреннее про-
произведение его самого на себя равно J) | ct |2, или <-ф | /-"^ | г|з>. Учи-
Учитывая это обстоятельство, приходим к следующей общей форму-
формулировке постулата, касающегося результатов эксперимента.

76 Гл. 2. Квантовая статика
Постулат II (продолжение). В общем случае, когда резуль-
результат а эксперимента Е вырожден, векторы состояний, описы-
описывающие соответствующие собственные состояния для экспе-
эксперимента Е, образуют подпространство 9>а пространства век-
векторов состояний. Вероятность наблюдения результата а, когда
до проведения эксперимента система находилась в состоянии,
описываемом вектором состояния |гр>, дается выражением
Р*Ы*) = Щ?$*-. B.42)
где Ра — оператор ортогональной проекции на подпростран-
подпространство 9"а.
Заметим, что с использованием ортонормпровапной полной
системы векторов состояний |ipi>, |i|J>, ... в пространстве 9"а.
выражение B.42) можно представить в виде
Таким образом, утверждение B.42) действительно является об-
обобщением утверждения B.38) на случай, когда имеется несколь-
несколько собственных состояний.
Необходимо теперь точно указать, в каком из возможных соб-
собственных состояний эксперимента окажется система после про-
проведения эксперимента. Здесь снова следует обратиться к состоя-
состоянию Pa\i>).
Постулат III (продолжение). Если а— результат экспери-
эксперимента, то сразу после проведения эксперимента система пе-
перейдет в состояние, описываемого вектором состояния
\
Этот постулат называют проекционным постулатом1).
Из постулатов II и III можно вывести некоторые свойства
векторов состояний, описывающих собственные состояния экспе-
эксперимента Е (собственных векторов эксперимента Е).
Теорема 2.1. Если эксперимент Е всегда даст определенный
результат, то:
1) собственные векторы состояний, соответствующие разным
результатам данного эксперимента, ортогональны друг другу;
2) собственные векторы эксперимента Е образуют полную
систему.
Доказательство. 1) Пусть |фа> и |г|)р> — собственные векто-
векторы, соответствующие разным результатам аир. Предположим
') Этот постулат сформулирован Дираком; часто ошибочно его припи-
приписывают Дж. фон Нейману.

§ 2.3. Результаты экспериментов 77
сначала, что аир невырождены. Тогда в случае, когда система
находится в собственном состоянии, описываемом вектором
|г|)р>, эксперимент с определенностью даст результат |3; поэтому
вероятность результата а равна нулю. Следовательно, согласно
выражению B.38), <ta|^p> = 0.
В случае когда результат а вырожден, согласно выражению
B.42), следует заключить, что <г|)р| Ра|\|зр> = 0. Вместе с тем,
как уже отмечалось непосредственно перед выражением B.42),
где |0> = Pa|ipp>. Из свойства положительности внутреннего
произведения (см. B.29)) и из условия <if>p | Ра | фз> = 0 тогда
следует, что ¦Ра|'фр) = 0; другими словами, вектор состояния
|г|)р> ортогонален любому вектору состояния |\|за> из 9^а.
2) Пусть аи а2, ... — всевозможные результаты эксперимента
Е. Если все они невырождены, то пусть |ifi>, |a|J>, •••—-норми-
•••—-нормированные векторы состояний, описывающие эти собственные со-
состояния. Пусть |г|з> — произвольный вектор состояния; тогда
можно рассмотреть следующий вектор состояния:
H>/> = H>)-(eili|>1> + c2|i|>2)+ ...), B.45)
где d = <\|>(|г|з>. Если этот вектор состояния |i|/> не нулевой, он
должен описывать некоторое возможное состояние нашей систе-
системы. Поскольку векторы состояний ]-ф(-> нормированы и взаимно
ортогональны, <г|)г|г|/}=0 при любом i, а следовательно, ве-
вероятность наблюдения результата at равна нулю, если система
находилась до эксперимента в состоянии, описываемом вектором
состояния |г|/>. Но поскольку эксперимент должен дать какой-то
результат, отсюда следует, что вектор состояния |г|/> не может
описывать какое-то состояние системы, поэтому |г|/> = 0, со-
согласно постулату I. Следовательно, произвольный вектор состоя-
состояния |i|;> можно разложить по собственным векторам состояний
[Ч><>-
В общем случае эксперимента с вырожденными результа-
результатами следует обратиться к проекционным операторам Рь
Р2, . •., соответствующим результатам ai, сс2, ..., и рассмотреть
вектор состояния
1^') = 1^>-(Л№> + Л>1^>+ -..). B.46)
Согласно первой части данной теоремы, векторы состояний
Р,|г|)> ортогональны друг к другу. Следовательно,
р.р/|1|,)=0, если 1фу, B.47)
в то же время
Р\ РЛЪ). B.48)

78 Гл. 2. Квантовая статика
Используя эти результаты, из B.46) заключаем, что Р;|ф> = 0
при любом L Следовательно, согласно B.43), вероятность на-
наблюдения результата а,- равна нулю, поэтому, как и выше,
|г|/> = 0. Таким образом, и в данном случае произвольный век-
вектор состояния |ij)> можно представить в виде суммы собствен-
собственных векторов состояний, которые, следовательно, образуют пол-
полную систему. ¦
В дальнейшем в настоящей книге, как это обычно принято,
мы не будем делать различий между состояниями и векторами
состояний. Так, мы будем обсуждать «ортогональные состояния»,
«полную систему состояний» и будем говорить, что система на-
находится «в состоянии |-ф>». В тех случаях, когда могут возник-
возникнуть недоразумения, мы будем возвращаться к более педантич-
педантичному стилю, использованному в двух последних параграфах.
§ 2.4. Наблюдаемые
Наблюдаемой в квантовой механике называют любую физичес-
физическую величину, которую можно измерить в эксперименте одного
из двух рассмотренных в § 2.3 типов, причем результатами экс-
эксперимента обязательно должны являться действительные числа
(их называют измеряемыми значениями наблюдаемой). Возмож-
Возможные результаты измерений наблюдаемой называют ее собствен-
собственными значениями; каждое из них соответствует некоторому соб-
собственному состоянию (или, возможно, некоторому набору собст-
собственных состояний). Из собственных значений и собственных со-
состояний наблюдаемой можно построить для любой наблюдаемой
А соответствующий ей линейный оператор А; он описывает на-
наблюдаемую математически, аналогично тому, как векторы со-
состояний описывают состояния квантовой системы.
Пусть |if)i>, |^2>, ••• — полная система собственных состоя-
состояний наблюдаемой Л, и пусть аи а2, ... — соответствующие соб-
собственные значения. Определим оператор А следующим образом.
Если для произвольного состояния разложение имеет вид
1Ф> = С1|ф1>+С2|1|32>+ •••,
то результат действия оператора А на это состояние следующий:
А | ф) = Cla, | *h> + с2а21 ЧJ) + . . . • B.49)
Таким образом, |г();> и а, являются собственными векторами и
собственными значениями оператора А в строгом математиче-
математическом смысле, т. е.
A\^i) = al\^i). B.50)
Линейный оператор называют эрмитовым, если он удовле-
удовлетворяет требованию
\Ъ) B.51)

§ 2.4. Наблюдаемые 79
для любых двух состояний \фУ и |г()>. Докажем, что построен-
построенный нами оператор для наблюдаемой является эрмитовым.
Теорема 2.2. Если А— наблюдаемая, то описывающий ее опе-
оператор А, определяемый B.49), эрмитов.
Доказательство. Согласно теореме 2.1, можно считать, что
все собственные состояния |г|5;> в B.49) ортогональны друг другу.
Возьмем любые два состояния \ф} и | -ф> и разложим их по со-
состояниям |г|),->:
\Ф)=ЦЬ1\Ъ), |*>=Ес/|г|L). B.52)
Используя свойства B.26) и B.28) внутреннего произведения,
получаем формулы
{Ф\А\Ъ)=21а1Ь1с1,
<г|>|Л"|0)=Еа,сА.
Поскольку собственные значения а< вещественны, отсюда не-
непосредственно приходим к соотношению B.51). В
Для конечномерного векторного пространства справедлива
теорема, обратная теореме 2.2. Согласно известной теореме ли-
линейной алгебры, в таком пространстве любой эрмитов оператор
имеет вещественные собственные значения, а его собственные
состояния образуют полную систему. Следовательно, любой та-
такой оператор обладает всеми свойствами наблюдаемой. (Анало-
(Аналогичная теорема справедлива и в случае бесконечномерных век-
векторных пространств, но формулировать ее следует более осто-
осторожно, см. § 2.5.)
В качестве примера наблюдаемой рассмотрим величину Рх
для светового пучка, характеризующую долю света, которая про-
проходит через поляроид с осью, направленной вдоль оси х. С клас-
классической точки зрения величина Рх может принимать любые
значения от 0 до 1; для плоскополяризованного света, направле-
направление поляризации которого составляет угол & с осью х, величина
Рх имеет значение cos2 &. Но для одного фотона, который либо
проходит через поляроид полностью, либо вообще через него не
проходит, рассматриваемая доля может быть равна только 1
или 0. Таким образом, собственные значения наблюдаемой Рх
равны 1 и 0. Оператор Р, согласно B.49), действует следующим
образом:
Рх(с1\Фх)+с2\фу)) = с1\фх). B.54)
Наряду с наблюдаемой А можно также рассмотреть наблю-
наблюдаемую f(A), где f — любая функция вещественной переменной.
По определению измерение наблюдаемой f(A) производится пу-
путем измерения наблюдаемой А и вычисления функции f от ре-
результата такого измерения. Таким образом, наблюдаемая f(A)

80 Гл. 2. Квантовая статика
имеет в точности те же собственные состояния, что и наблюдае-
наблюдаемая А, и собственные значения f(a), где a — собственные значе-
значения наблюдаемой А. Если наблюдаемая f(A) —An, то соответ-
соответствующий оператор действует на собственные состояния таким
же образом, как оператор А, примененный п раз:
^ {). B.55)
Поскольку собственные состояния наблюдаемой А образуют
полную систему, то получаем Ап = Ап. Вообще если f — произ-
произвольный полином,то
ИЛ) | Ъ) = f (a,) | Ч>,> = f (А) I фг), B.56)
поэтому
f(A) = f(A). B.57)
Если функция f не является полиномом, то формулу B.57) мож-
можно считать определением функции f(A) эрмитова оператора Л.
Наблюдаемые и соответствующие им операторы часто назы-
называют q-числами, чтобы подчеркнуть тот факт, что их алгебра от-
отлична от алгебры обычных комплексных чисел, которые в про-
противоположность первым называют с-числами. В частности, ре-
результат умножения двух ^-чисел может зависеть от порядка, в
котором они перемножаются. Операторы А и В, для которых по-
последнее не справедливо, называют коммутирующими, т. е. эти
операторы удовлетворяют условию
АВ = ВА. B.58)
Обычное комплексное число с (с-число) можно рассматривать
как оператор специального вида, действие которого состоит в
умножении каждого вектора состояния на с. Это оператор, крат-
кратный единичному оператору; он коммутирует со всеми операто-
операторами.
Операторы и матрицы. Операторы в пространстве состояний
фотона часто удобно представлять матрицами типа 2X2. Про-
Произвольному состоянию [if>> = С]\фху -f- С2\ФУУ можно сопоставить
двухкомпонентный вектор-столбец
У с9 )
тогда если состоянию А |ф) = с{\фх} + С2\ФУ) сопоставить век-
вектор-столбец с', то оператору Л будет соответствовать матрица А,
такая, что
с' = Ас. B.59)

§ 2.4. Наблюдаемые 81
Например, наблюдаемой Рх будет соответствовать матрица
B.60)
Вообще для любой квантовой системы с конечномерным про-
пространством состояний при фиксировании любой конкретной пол-
полной системы состояний |t|)i>, ..., |ifn> устанавливается опреде-
определенное соответствие между ее состояниями и векторами-столб-
векторами-столбцами: если |t|)> = Ci|t|)i> -f • ¦ • + сп\^п), то соответствующий век-
вектор-столбец состоит из чисел с,-. При этом любому оператору А
соответствует матрица А, связывающая векторы-столбцы, состав-
составленные для |т|з> и л ["ф>, как в B.59). Иначе матрицу А= (а,-/)
можно определить с помощью соотношений
, ?иЪ) B.61)
где /= 1, . .., п. Если полная система |^i>, ..., |t|)n> ортонор-
мирована, то матричные элементы а.ц в B.61) даются следую-
следующими выражениями:
аи = (^\А\$,). B.62)
Формулы B.61) и B.62) справедливы и в случае бесконечно-
бесконечномерных пространств состояний. Они показывают, что оператор А
однозначно определяется набором чисел <^,|А|^/>, составленных
для произвольной ортонормированнои полной системы состояний
|^i>, |^2>, .... Эти числа называют матричными элементами
наблюдаемой А. В квантовой механике термин матричный эле-
элемент А используется в более широком смысле для обозначения
любого выражения вида <<?]A|i|)>, где ]^>> и [-ф> — любые два со-
состояния.
Эрмитово сопряжение. Для любого оператора X, действую-
действующего в пространстве состояний, определим оператор Х+, назы-
называемый эрмитово сопряженным оператором для оператора X,
с помощью формулы
ШШ B.63)
Так как любой оператор однозначно определяется своими мат-
матричными элементами, формула B.63) полностью определяет опе-
оператор Х^. Оператор X называют эрмитовым, если
Х = Х*; B.64)
оператор X называют унитарным, если
=1 и XX* =1. B.65)

82 Гл. 2. Квантовая статика
Эрмитовы и унитарные операторы являются аналогами действи-
действительных чисел и комплексных чисел, по модулю равных единице,
соответственно; такими числами, в частности, являются собствен-
собственные значения указанных операторов. В приложении в конце
этой главы дано доказательство указанного факта и приведены
некоторые другие свойства этих операторов.
Можно определить также эрмитово сопряженный вектор для
вектора состояния |л|)>; для этого следует рассмотреть отобра-
отображение, которое каждому вектору состояния \ф} сопоставляет
комплексное число Сф|^>. Такое отображение обозначается сим-
символом <г|з| и называется бра-вектором; обычный вектор состоя-
состояния |if)> в противоположность этому называется кет-вектором1).
Любой линейный оператор X, действующий в пространстве
состояний, можно применить к бра-вектору <t|)| и получить дру-
другой бра-вектор <^|X, который формально определяется простым
замыканием скобок: <г|)|Х — отображение, сопоставляющее лю-
любому вектору состояния \ф} с-число (\$\Х\ф).
Если определить эрмитово сопряжение с-числа просто как
его комплексное сопряжение, то можно сформулировать сле-
следующее общее правило для вычисления эрмитова сопряжения
произведения произвольного набора объектов, которые могут
быть с-числами, кет-векторами, бра-векторами и операторами:
Эрмитово сопряжение произведения любого числа объектов
равно произведению эрмитово сопряженных им объектов,
взятых в обратном порядке.
Данное правило включает формулу B.63) и другие приводи-
приводимые ниже формулы, в которых с обозначает произвольное с-чис-
с-число, ]ф) — любой вектор состояния, а X — любой оператор.
Теорема. Имеют место соотношения:
= cX^, B.66а)
(XYf = У+Y1"; B.666)
эрмитово сопряжение c\ty) есть c(i|)|; B.66b)
эрмитово сопряжение Х\^) есть (ф|^+- B.66г)
Доказательство. Формула B.66а) непосредственно следует
из B.63), а утверждение B.66в) —из B.28). Доказывая утверж-
утверждение B.66г), введем обозначение |%> = X|i|)>; тогда имеем
поскольку это справедливо для всех кет-векторов \ф}, получаем
') От первой и второй половин английского слова bracket (скобка).—
Прим. перев.

§ 2.4. Наблюдаемые 83
следовательно, <х|—эрмитово сопряжение для вектора |х> =
= Х\\!р). Наконец, чтобы доказать B.666), примем |со> = К|/
тогда
где в последнем равенстве использовано B.66г). Поскольку при-
приведенная формула справедлива для всех \ф} и |t|)>, из нее непо-
непосредственно следует B.666). ¦
Все приведенные утверждения можно перевести на язык мат-
матриц и векторов-столбцов и векторов-строк. Как отмечалось выше,
векторы состояний можно представлять векторами-столбцами, а
операторы — квадратными матрицами; тогда произведение X\ty)
будет просто результатом матричного умножения. Представляя
бра-вектор (ф\ вектором-строкой, величины <^|X]t|i> и <<?|г|)>
тоже можно представить как результат соответствующих мат-
матричных умножений. Операция эрмитова сопряжения оператора
сводится к транспонированию его матрицы и комплексному со-
сопряжению ее элементов. Получаем следующую таблицу соответ-
соответствий матричных обозначений и обозначений квантовой меха-
механики.
Квантовая механика Матричные обозначения
вектор состояния [ -ф) вектор-столбец а
бра-вектор (г|з | вектор-строка а
внутреннее произведение (ф | ф) Ь -а
оператор X квадратная матрица X
эрмитово сопряженный оператор Х+ X
Правило для эрмитова сопряжения произведения величин в
квантовой механике можно рассматривать просто как правило
транспонирования произведения в матричной алгебре.
Используя бра-векторы, можно вывести полезную формулу
для разложения вектора состояния по полной системе. Для дан-
данных бра-вектора (ф\ и кет-вектора |г|з> можно образовать опера-
оператор |^><^|, определенный следующим образом:
(\Ъ)(Ф\)\%) = (Ф\%)\^). B.67)
Пусть теперь |гE,> обозначает полную ортонормированную си-
систему состояний. Тогда утверждение, что любое состояние |t|)>
можно разложить по состояниям \tyi), вместе с формулой для
коэффициентов разложения [см. B.34) и B.35)] можно пред-
представить операторной формулой
Z 1^X^1=1, B.68)
i
где 1 — единичный оператор.

84 Гл. 2. Квантовая статика
Статистические свойства наблюдаемых. Если квантовая си-
система находилась до измерения в состоянии |i|)>, то значение
наблюдаемой Л, полученное при ее измерении в этом состоянии,
является случайной величиной с законом распределения вероят-
вероятностей B.42), причем а теперь понимается как значение наблю-
наблюдаемой А. Среднее для данного распределения, т. е. значение,
полученное при усреднении по большому числу измерений, про-
произведенных над идентичными системами, приготовленными в од-
одном и том же состоянии, называется ожидаемым, или средним
значением наблюдаемой А и обозначается <Л>. Стандартное от-
отклонение, являющееся мерой разброса результатов измерения,
называется неопределенностью наблюдаемой А и обозначается
АЛ; неопределенность определяется как квадратный корень из
среднего значения величины (А — <Л>J.
Среднее значение и неопределенность можно выразить через
оператор А для наблюдаемой и вектор состояния |а|5> для си-
системы следующим образом.
Теорема 2.3. Если вектор состояния |v|;> нормирован, то <Л)
и АЛ вычисляется по формулам
<Л) = A|з|Л|1|)), B.69)
Л Л2 = <-ф | Л21 г];) — (Ч> | Л | $J. B.70)
Доказательство. Пусть |г|з,-> — некоторая полная система соб-
собственных состояний наблюдаемой Л, соответствующих собствен-
собственным значениям а,. Разложим ji|)> в сумму X с(-|г|зг). Тогда d =
= <'Ф<|'Ф>> и> следовательно, вероятность того, что при измере-
измерении А получим значение а,, равна |сг|2 (если все а, различны;
в противном случае вероятность равна сумме соответствующих
|с,|2). Таким образом, среднее значение наблюдаемой А равно
Полагая |</>> = |г|)> в B.53), убеждаемся, что последняя сумма
действительно равна величине <i|)|A|i|)>.
Чтобы найти АЛ, следует применить полученный результат
для вычисления среднего значения величины (Л — (А)J. Имеем
функцию от Л с соответствующим оператором (А — <Л>J. Сле-
Следовательно,
лл2 = (-ф | (Л — (л»21 ф> =
= <Ч> | Л21 Ч>) - 2 (Л> <ф| А | ф) + (ЛJ <ф | ф> = (у | Л21 ф) - (ЛJ,
поскольку |г()> — нормированный вектор состояния. Тем самым
доказана формула B.70). ¦
В качестве примера рассмотрим среднее значение наблю-
наблюдаемой Рх в случае фотона. Когда фотон плоскополяризован под

§ 2.4. Наблюдаемые 85
углом 6 к оси х, его вектор состояния \ty) = cos 0\фх) +
+ sin6|<^>; следовательно, среднее значение величины Рх равно
<^> = <4>I^K> = cos2e, B.71)
т. е. оно равно классическому значению величины Рх для пучка
света в рассматриваемом состоянии.
Совместность наблюдаемых. Вследствие того, что процедура
измерения наблюдаемой оказывает влияние на квантовую си-
систему, измерить одновременно две различные наблюдаемые не-
невозможно. Действительно, для измерения двух наблюдаемых
пришлось бы прибегнуть к различным экспериментам, и изме-
измерение одной из них могло бы изменить результат измерения дру-
другой. Например, возьмем наблюдаемую Рх для фотона. Она могла
принимать значение 1, когда фотон поляризован параллельно
оси х, и значение 0, когда он поляризован в перпендикулярном
направлении. Возьмем другую наблюдаемую Ре, аналогичную
наблюдаемой Рх, но для оси, составляющей угол 8 с осью х.
Тогда если при измерении наблюдаемой Рх получим значение 1,
то измерение наблюдаемой Ре должно дать тот результат, что
фотон поляризован либо параллельно, либо перпендикулярно
наклонной оси; тогда последующее повторное измерение наблю-
наблюдаемой Рх не даст снова значение 1, так как фотон не будет с
необходимостью проходить через поляроид с осью, направлен-
направленной вдоль оси х.
Две наблюдаемые называют совместными, если измерение
одной из них не влияет на результат измерения другой описан-
описанным образом. Следовательно, условие совместности наблюдае-
наблюдаемых А я В состоит в том, что если провести три измерения: сна-
сначала наблюдаемой Л, затем наблюдаемой В и снова наблюдае-
наблюдаемой А, то повторное измерение наблюдаемой А даст в точности
тот же результат, что и первое ее измерение.
Высказывание о совместности наблюдаемых легко трансфор-
трансформировать в высказывание о соответствующих им операторах.
Теорема 2.4. Наблюдаемые А я В совместны тогда и только
тогда, когда операторы А я В коммутируют друг с другом.
Доказательство. Покажем, что оба утверждения теоремы эк-
эквивалентны утверждению, что существует полная система состоя-
состояний, которые являются одновременно собственными состояниями
и для А, и для В.
Предположим сначала, что наблюдаемые А я В совместны и
что произведены три указанных выше измерения. После первого
измерения наблюдаемой А система перейдет в некоторое соб-
собственное состояние |г|)а> наблюдаемой А, соответствующее изме-
измеренному собственному значению а. После проведения последую-
последующего измерения в этом состоянии наблюдаемой В система

86 Гл. 2. Квантовая статика
перейдет в некоторое собственное состояние наблюдаемой Б. Од-
Однако проведенное вслед за этим второе измерение наблюдаемой Л
обязательно даст снова значение а, если наблюдаемые А и В
совместны, так что система снова окажется в собственном со-
состоянии наблюдаемой А, не обязательно в том же, какое было
первоначально, но с тем же собственным значением а. Пусть те-
теперь [фу}, |<^2>, ••• обозначает некоторую полную систему соб-
собственных состояний наблюдаемой В; тогда можно рассмотреть
сумму
\^a) = cl\<j>1) + c2\<j>2) + ...; B.72)
здесь каждый коэффициент с,- отличен от нуля только в том слу-
случае, если измерение наблюдаемой В может перевести систему
в соответствующее состояние \fi). В этом случае, как мы только
что убедились, состояние ]<?,•> должно быть также собственным
состоянием наблюдаемой А с собственным значением а. Следо-
Следовательно, подпространство У^ собственных состояний наблюдае-
наблюдаемой А, соответствующих собственному значению а, должно
иметь полную систему состояний, образованную из состояний,
которые одновременно являются собственными состояниями на-
наблюдаемой В. Поскольку произвольное состояние всегда можно
представить как сумму состояний, взятых из различных под-
подпространств 9?а, отсюда следует, что все пространство состояний
системы должно обладать полной системой состояний, образо-
образованной из одновременных собственных состояний наблюдаемых
А и В.
Наоборот, если существует полная система таких состояний,
то каждое подпространство Уа содержит полную систему соб-
собственных состояний наблюдаемой В. Следовательно, любое со-
состояние из 9*а останется в SPa, если его спроецировать на неко-
некоторое подпространство собственных состояний наблюдаемой В.
Таким образом, если первое измерение наблюдаемой А даст ре-
результат а и переведет систему в подпространство 9"а, то после-
последующее измерение наблюдаемой В оставит ее в подпространстве
9"а, а потому второе измерение наблюдаемой А тоже дает ре-
результат а. Таким образом, если указанная полная система со-
состояний существует, то наблюдаемые А и В совместны.
Операторы АВ и ВА одинаково действуют на любое одновре-
одновременное собственное состояние наблюдаемых А и В. Следова-
Следовательно, если имеется полная система таких состояний, то АВ =
= ВА. Наоборот, предположим, что АВ = ВА и состояние |фа>
является собственным состоянием для наблюдаемой А с соб-
собственным значением а. Тогда
Ъ ^ = аВ\№, B.73)
т. е. состояние fi^a) также будет собственным состоянием на-
наблюдаемой А с собственным значением а. Таким образом, one-

§ 2.4. Наблюдаемые 87
ратор В действует как эрмитов оператор внутри подпростран-
подпространства 9"а, поэтому подпространство ??а обладает полной системой
собственных состояний наблюдаемой В (если подпространство
??а конечномерно; случай бесконечномерных пространств рас-
рассматривается в следующем параграфе). Таким образом, как
прежде, все пространство состояний обладает полной системой
одновременных собственных состояний наблюдаемых А и В. Ш
Отметим свойство коммутирующих операторов, которое ис-
использовалось при доказательстве:
Предположим, что операторы А и В коммутируют. Тогда если
|ifi> — собственное состояние оператора А, соответствующее
собственному значению а, то таковым будет и состояние
.8|г|)>. Следовательно, оператор В действует как оператор,
определенный в собственном пространстве U'a-
Пространство ??а называется инвариантным относительно дей-
действия оператора В.
Доказательство теоремы 2.4 показывает, как можно разли-
различать вырожденные собственные состояния наблюдаемой, т. е.
собственные состояния, соответствующие одному и тому же соб-
собственному значению. Для этого следует определить для этих со-
состояний значения второй наблюдаемой, совместной с первой.
Если два одновременных собственных состояния наблюдаемых Л
и В соответствуют одному и тому же собственному значению, то
обязательно должна существовать третья наблюдаемая С, сов-
совместная с первыми двумя, но обладающая отличными от них соб-
собственными значениями для указанных состояний или для их ли-
линейных комбинаций (так как если не существует эксперимента,
способного различить два состояния, то речь идет об одном фи-
физическом состоянии). Если два состояния имеют одни и те же
собственные значения трех наблюдаемых А, В и С, то должна
существовать четвертая наблюдаемая D, обладающая отлич-
отличными от них собственными значениями, и т. д. Систему совмест-
совместных наблюдаемых называют полной, если никакие два состоя-
состояния не имеют одинаковых собственных значений для всех этих
наблюдаемых; поэтому задание собственных значений всех на-
наблюдаемых однозначно определяет любое состояние. Это можно
использовать для точного определения состояния: состояние
квантовой системы — это совокупность собственных значений
какой-нибудь полной системы совместных наблюдаемых.
Коммутатором двух операторов Л и В называют оператор
[А, В] = АВ — ВЛ. B.74)
Из теоремы 2.3 следует, что если операторы Л и В эрмитовы, то
эрмитовым будет и оператор i[A, В]. Поэтому его можно

Гл. 2. Квантовая статика
рассматривать как оператор некоторой наблюдаемой, которую
обозначим i[A, В]. Эта наблюдаемая характеризует степень не-
несовместности наблюдаемых А и В, как это показывает следую-
следующая теорема.
Теорема 2.5. (Обобщенное соотношение неопределенностей.)
Для любого состояния системы справедливо неравенство
AA-AB^±.\(i[A, B])\. B.75)
Доказательство. Пусть ]г|)>— рассматриваемое состояние,
А1=А — <Л> и В\ = В — <В>, а \ф) — состояние
B-76)
где х — произвольное действительное число. Тогда
B.77)
поскольку операторы А\ и В\ эрмитовы. Составляя внутреннее
произведение векторов B.76) и B.77), получаем
(Ф IФ) = (Ф И!| г))) - х<г|) |? [Д, В"] |-ф> + X2(Ц |Щ|
Но [Ль Б:] = [Л, 5], так как средние (А) и <В> являются с-чис-
лами и поэтому коммутируют с любыми операторами. Следова-
Следовательно,
(Ф \Ф) = (А*) - х (i [А, В)) + я* (В*) = АЛ2 - х (I [А, В]) + х
B.78)
где использовано определение неопределенностей. Но так как
(Ф\Ф) ^ 0 при всех х, квадратичное выражение B.76) либо не
имеет действительных нулей, либо имеет один совпадающий
нуль; поэтому
(i[A, В]J<4АЛ2АВ2
(так как Ь2^4ас), что и доказывает неравенство B.75). В
Знания коммутаторов наблюдаемых часто достаточно для оп-
определения их свойств. Коммутаторы удовлетворяют следующим
простым алгебраическим тождествам:
[В, А] = - [А, В), B.79)
[А, ВС] = [А, В]С+В[А,С], B.80)
[А, [В, С}] + [В, [С. А]] + [С, [А, В]] = 0. B.81)
Последнее из них известно как тождество Якоби,

§ 2.5. Наблюдаемые для простой частицы, движущейся в пространстве 89
§ 2.5. Наблюдаемые для простой частицы,
движущейся в пространстве
В предыдущем параграфе рассмотрен случай конечномерного
пространства состояний квантовой системы; теперь необходимо
обобщить полученные результаты и распространить их на слу-
случай бесконечномерных пространств, таких, как пространство со-
состояний волновых функций простой частицы, движущейся в
трехмерном пространстве. Все самое существенное можно проил-
проиллюстрировать, рассматривая функции одной переменной, т. е. вол-
волновые функции частицы, движущейся в одном измерении. Рас-
Рассмотрим пространство Ж комплекснозначных функций if) одной
действительной переменной х, которые удовлетворяют одномер-
одномерному варианту требований Wl— W3 (с. 60): любая функция г|з
должна быть бесконечное число раз дифференцируемой и ква-
SCO
| ty (х) |2 dx
— оо
сходится, причем функции xnty(x) и г|5<л> (л:) тоже обладают ука-
указанными свойствами при любом п. Внутреннее произведение в
пространстве Ж определяется следующим образом:
B.82)
Определим два эрмитовых оператора Я и К посредством соот-
соотношений
= xty(x), B.83)
Очевидно, что оператор X эрмитов по отношению к внутреннему
произведению B.82), а в эрмитовости оператора Я легко убе-
убедиться, интегрируя по частям и используя тот факт, что функция
'ф(х) стремится к нулю при я-^+оо, так как интеграл
\ip(x)\2dx сходится. Но ни один из операторов Я и Я не об-
— оо
ладает полной системой собственных векторов состояний; вооб-
вообще каждый из них не имеет ни одного собственного вектора. Ко-
Конечно, можно указать такую функцию &k{x), что Яък = ke^, a
именно функцию &k{x) =eikx, но она нам не подходит, так как
не принадлежит к пространству Ж. Вообще не существует непре-
непрерывных функций, удовлетворяющих уравнению Х-ф = aty при лю-
любом значении а.
Способ обойти указанную трудность состоит в следующем.
Функцию Ek{x) надо рассматривать не как вектор состояния, а

90 Гл. 2. Квантовая статика
как бра-вектор, а именно как отображение <е*|, которое сопо-
сопоставляет произвольной волновой функции 1|з комплексное число
оо
<в*№>= 5 eTWtfW^. B.85)
— оо
Такое отображение существует, т. е. соответствующие интегралы
сходятся для любого действительного k. Теперь можно положить
(ek\K = k(ek\ B.86)
в том смысле, что
для всех |г|)>еЖ. Вследствие B.86) отображение <gft| можно
назвать собственным бра-вектором для оператора К- Можно
также найти собственные бра-векторы и для оператора X; ими
являются отображения <ба|, определенные соотношениями
<ва1Ф> = Ф(а). B-87)
Таким образом, отображения (ба | определены при всех дей-
действительных а, причем
<6а|* = а<6а|. B.88)
Такие обственные бра-векторы для оператора Я образуют
полную систему в следующем смысле. Поскольку они нумеруют-
нумеруются непрерывными собственными значениями, суммы по собствен-
собственным значениям, имеющиеся в конечномерном случае, должны
быть заменены интегралами. Таким образом, соответствующее
разложение по полной системе имеет вид
оо
<1>1= \ ca(&a\da. B.89)
— оо
Следовательно,
оо
<Ш>= [ са(да\ф)с1а B.90)
для всех |^)eF. Если <г(з| обозначает сопряженный бра-век-
бра-вектор для кет-вектора |г|)>еЖ и если коэффициенты са опреде-
определены как
с« = Ф(а), B-91)
то формула B.90) непосредственно следует из определения вну-
внутреннего произведения B.82). Таким образом, разложение B.89)
возможно для всех таких бра-векторов <а|)|, поэтому собствен-
собственные бра-векторы <ба| образуют полную систему для них.

§ 2.5. Наблюдаемые для простой частицы, движущейся в пространстве 91
Аналогично собственные бра-векторы <е&| тоже образуют
полную систему. Чтобы убедиться в этом, необходимо восполь-
воспользоваться следующей теоремой из фурье-анализа.
Теорема о фурье-образе. Пусть ty(k) — фурье-образ функ-
функции г|)(х), определенный формулой
оо
$ №) = —?=¦ [ ty(x)e~ikxdx. B.92)
У2я J
Тогда если функция ty(k) принадлежит пространству Ж, то
фурье-образ ty(k) существует, причем
оо
¦ф (jc) = —7^=- \ y(k)eikxdk. B.93)
— 00
Применяя эту теорему к B.89), имеем
оо
-ф (jc) = ^ ckeikxdk, B.94)
1 _
где с = —т=г-ib(k). Тогда для всех U)eF имеем
V 2я
оо со оо
о—гкхф (х\ dx dk, — \ сh(fzrh \ ф)dfz* B 95)
— ОО — ОО — ОО
следовательно,
|= \ ck{4\dk. B.96)
Заметим, что не каждый бра-вектор (т. е. линейное отобра-
отображение из F вС) типа <ф|, где |г()> — некоторый элемент из Ж,
и не каждый бра-вектор можно разложить по системам {<ба|}
пли {|ей|}. Они являются полными системами только для разло-
разложений бра-векторов <t|)[, сопряженных кет-векторам.
Вообще любой эрмитов оператор может иметь как обычные
собственные значения, соответствующие собственным векторам,
как в предыдущем параграфе, так и обобщенные собственные
значения, соответствующие собственным бра-векторам, которые
мы только что рассмотрели. Указанные собственные значения
называют дискретными и непрерывными собственными значе-
значениями соответственно. Ибо в случае, когда пространство состоя-
состояний удовлетворяет определенным техническим требованиям1),
') Оно должно представлять собой сепарабельное гильбертово простран-
пространство, т. е. в нем существует плотное подпространство.

92 Гл. 2. Квантовая статика
можно показать, что имеется счетное множество собственных
значений первого типа и континуальное множество веществен-
вещественных собственных значений второго типа, т. е. они образуют на-
набор (возможно бесконечного числа) интервалов. Множество
всех собственных значений обоих типов называется спектром опе-
оператора. Предположим сначала, что все собственные значения не-
невырождены. Пусть |г|),-> (?=1, 2, . ..)—собственные векторы,
соответствующие дискретным собственным значениям а,, и пусть
<^а| — собственные бра-векторы, соответствующие непрерывным
собственным значениям а; тогда должным образом нормирован-
нормированные указанные векторы и отображения образуют полную систему
в том смысле, что если \ty}— произвольный вектор из &, то со-
соответствующий ему бра-вектор можно представить в виде
o<1Mrfa' B-97)
причем коэффициенты с,- и са даются выражениями
с«=ЫФ>, св = (фа|г|>). B.98)
Если имеются также и вырожденные собственные значения, то
следует рассмотреть полную систему коммутирующих операто-
операторов, которые имеют как дискретные, так и непрерывные собст-
собственные значения.
Формулы B.97) и B.98) позволяют произвести нормировку
собственных бра-векторов <г|за]. Такая нормировка не является
внутренне присущим свойством <ipa|, рассматриваемых как бра-
векторы, но позволяет сопоставить их оператору А, собственны-
собственными бра-векторами которого они являются. Ибо если S = f{A) —
любая функция оператора А, то отображение <t|)a| будет также
собственным бра-вектором и для оператора В с собственным
значением p = f(a). Если указанную функцию можно обратить
и рассмотреть а как функцию р, то разложение B.97) можно
записать в виде
где р (|3) = da/dfi. Последнюю формулу можно привести к виду
B.97), но выраженному через р:
где Со=Л|>р|1|Л и использовано сокращенное обозначение
<^| = ?(Р)(Фа<Р)|' B.101)
причем
!

§ 2.5. Наблюдаемые для простой частицы, движущейся в пространстве 93
Будем говорить в этом случае, что собственные бра-векторы
(tya] нормированы по отношению к оператору А (соответственно
(¦фр | нормированы по отношению к оператору В). Функция р(E)
называется плотностью состояний (точнее плотностью собствен-
собственных состояний оператора А относительно собственных состояний
оператора В).
Предположим теперь, что рассматриваемый оператор пред-
представляет наблюдаемую А. Тогда непрерывные собственные
значения, как и дискретные, имеют тот физический смысл, что
они являются возможными значениями наблюдаемой А; но ве-
вероятностное утверждение B.42) должно быть обобщено на не-
непрерывные значения. Таким образом, постулат II следует теперь
расширить следующим образом.
Постулат II (продолжение). Пусть а — невырожденное не-
непрерывное собственное значение для наблюдаемой А и
(i>a\—соответствующий собственный бра-вектор, нормиро-
нормированный относительно оператора Л. Тогда если система нахо-
находится в состоянии |-ф>, то вероятность того, что измерение на-
наблюдаемой А даст результат, заключенный в интервале от а
до а -f- da, равна рл (ос |i|))rfoc, где
^(а^)=1%т1г- BЛ02)
Отметим, что если применить постулат II к оператору В =
= f(A) и выразить вероятность через собственные бра-векторы
<ifia|, нормированные по отношению к оператору В, то получим
B.103)
где р ¦— плотность состояний.
Вследствие справедливости выражений B.97) и B.98) ос-
остается в силе утверждение, что среднее значение наблюдаемой
А в состоянии |г|)> равно <i|)|A|\l)>, а следовательно, неопреде-
неопределенность дается формулой B.70).
Постулат о состоянии системы, возникающем сразу после
проведения измерения, формулируется немного сложнее.
Постулат III (продолжение). Если измерение дало резуль-
результат, лежащий в интервале от ai до ос2, то непосредственно по-
после измерения система перейдет в состояние, которое полу-
получается из |г|)> ортогональным проецированием на подпро-
подпространство состояний, ортогональных всем состояниям |г]/>,
удовлетворяющим условию
= о.

94 Гл. 2. Квантовая статика
Ниже мы покажем, что существует удобный менее строгий ва-
вариант данного утверждения, который по существу ему эквива-
эквивалентен.
Вернемся теперь к операторам X и R, определенным в B.83)
и B.84), которые действуют в пространстве функций одной дей-
действительной переменной. Предположим, что они соответствуют
наблюдаемым X и К, относящимся к частице, движущейся вдоль
некоторой прямой. Как было показано выше, каждый из этих
операторов обладает непрерывным спектром, состоящим из всех
действительных чисел, с собственными бра-векторами (8а\ и
<8й | соответственно. Согласно B.102), если система до измере-
измерения находилась в нормированном состоянии |if)>, то плотность
вероятности измерения значений наблюдаемой X дается выра-
выражением
р(а) = |<6а|ф)|2 = |г|)(а)|2. B.104)
Сравнивая эту формулу с B.7), видим, что наблюдаемую X мо-
можно отождествить с координатой частицы.
Чтобы идентифицировать наблюдаемую К, заметим, что соб-
собственные бра-векторы (гк\ можно рассматривать как функции,
а именно Ek(x) =eikx, хотя данные функции и не принадлежат
нашему пространству состояний. Причина, по которой мы их из
него исключили, состоит в том, что невозможно умножить функ-
функцию tk(x) на константу и получить функцию •§, для которой вы-
Soo
| г|з |2 dx = 1; таким обра-
— со
зом, для любой такой функции величина |г|з(я) |2 не может быть
плотностью вероятности. Однако, так как можно проинтегриро-
проинтегрировать ji|)|2 по любому конечному интервалу, данную величину
можно интерпретировать как относительную плотность вероят-
вероятности в том смысле, что
а.
\ I Ф I2 dx
вероятность того, что а, < X < а2 а, ,п i nc\
вероятность того, что а3 < X < а4 а* '
Таким образом, функцию ty(x) = eikx можно рассматривать как
волновую функцию частицы, для которой все положения оди-
одинаково вероятны. Такая функция в действительности представ-
представляет собой периодическую волну с длиной волны X = 2n/k; сле-
следовательно, согласно соотношению де Бройля A.24), частица
соответствующая указанной волне, имеет импульс

§ 2.5. Наблюдаемые для простой частицы, движущейся в пространстве 95
Но число k является собственным значением оператора R, по-
поэтому наблюдаемая К пропорциональна импульсу частицы.
Таким образом, обобщив понятие состояния, мы нашли соб-
собственные состояния наблюдаемой К- Они описываются не век-
векторами состояний, согласно исходной концепции, а бра-векто-
бра-векторами. Тем не менее с такими бра-векторами связаны функции,
которые можно интерпретировать как волновые функции, пред-
представляющие истинные векторы состояний.
Обобщив понятие состояний для собственных состояний на-
наблюдаемой К, распространим это обобщение на состояния на-
наблюдаемой X. «Волновая функция» е«(д:) для собственного со-
состояния наблюдаемой К получилась у нас из представления ве-
величины <ей]г|з> с помощью интеграла B.85). Чтобы построить
подобную функцию для наблюдаемой X, нужно представить
| тоже в виде интеграла, с некоторой функцией 8а{Х):
)$(x)dx. B.107)
Но этого сделать нельзя; такой функции Ьа(х) не существует.
Тем не менее удобно считать, что она все же имеется, формально
записав
ба (х) = 6(х — а),
где б — 8-функция Дирака, которая по предположению обладает
следующими свойствами:
д(х) = 0 при хфО; B.108)
ь
6(x)dx=l при — а<0<Ь; B.109)
ОО
\ f(xN(x)dx = f@) для любой функции /. B.110)
— оо
Очевидно, это противоречивые свойства для истинной функции;
тем не менее б-функция полезна для сокращенной записи при
проведении преобразований выражений, содержащих интегралы
определенного типа. Любое равенство, в котором встречается эта
функция, должно быть проинтегрировано, чтобы оно приобрело
смысл. В качестве примера использования б-функции запишем
теорему B.93) о фурье-образе в следующем виде:
— y). B.111)
В классической физике б-функцию можно представить себе как
плотность распределения массы одномерной системы, представ-

У6 Гл. 2. Квантовая статики
ляющей собой точечную частицу единичной массы, помещенную
в начало координат. В квантовой механике функцию 8(х — а)
можно рассматривать как волновую функцию, описывающую ча-
частицу в таком состоянии, когда она с определенностью может
быть найдена в точке с координатой х = а.
Нет ни физических, ни математических оснований считать
функции гк(х) —eikx и 8а(х) —8(х — а) истинными волновыми
функциями квантовой системы. Первая функция описывает ча-
частицу в состоянии, когда ее с одинаковой вероятностью можно
найти в любой точке бесконечной прямой. Вторая характеризует
частицу в состоянии, когда ее положение известно с абсолютной
точностью. Впрочем здесь речь идет об удобной идеализации, от-
отвечающей бесконечно точному измерению. Такое идеальное из-
измерение можно рассматривать как предел последовательности
все более и более уточняемых реальных измерений; соответст-
соответственно состояния, описываемые «волновыми функциями» гь и ба,
можно рассматривать как пределы последовательностей истин-
истинных состояний. Дираковскую б-функцию также можно считать
пределом последовательности истинных функций; подробнее это
разъяснено в работе [63].
С помощью понятия обобщенных состояний, характеризуе-
характеризуемых обобщенными волновыми функциями, постулат о результа-
результатах измерения непрерывной величины можно сформулировать в
точности так же, как для дискретной величины. Например, для
импульса постулируем, что если результат его измерения есть р,
то после измерения частица будет находиться в состоянии, ха-
характеризуемом волновой функцией eikx, где р = tik.
В случае частицы, движущейся в трехмерном пространстве,
основными наблюдаемыми будут ее декартовы координаты х, у,
z, которые кратко обозначим xi (i= 1,2,3), и компоненты ее им-
импульса рх, ру, рг или pi (i = 1, 2, 3). Обобщая результаты рас-
рассмотрения одномерного случая, получаем для соответствующих
операторов, действующих на волновые функции \|з(г), выраже-
выражения
хъ xb) = Xity{xu x2, х3), B.112)
jM> = -'ft|Jp BЛ13)
Эти операторы являются компонентами векторных операторов г
и р = \
В качестве полной системы совместных наблюдаемых теперь
можно взять наблюдаемые х\, х% хъ. Соответствующие им опе-
операторы Xt очевидно коммутируют друг с другом; их одновремен-
одновременными собственными значениями будут всевозможные тройки дей-
действительных чисел а.\, а2, яз, т. е. компоненты любого вектора а.
Одновременный собственный бра-вектор, соответствующий ука-

§ 2.5. Наблюдаемые для простой частицы, движущейся в пространстве 97
занным собственным значениям, обозначим (ба | и будем счи-
считать, что он определяется соотношением
(ба | Ф> = Ф (а) = J ф (г) в (г — a) dV, B.114)
где второе равенство является просто определением трехмерной
б-функции.
Другую полную систему совместных наблюдаемых состав-
составляют ри р2, рз- Возможными одновременными собственными зна-
значениями для них будут компоненты любого вектора ftk; им со-
соответствуют одновременные собственные бра-векторы (е^ |, ко-
которые определяются соотношением
(r)e-ik-rdV. B.115)
Распределение вероятностей значений импульса р описывается,
таким образом, функцией плотности вероятности / (р) = | (е^ \^>) |2,
где р = Як. Следовательно, состояние частицы можно также опи-
описать функцией ф (р) = (вк 11|з), зависящей от импульса р, наряду
с обычной волновой функцией г()(г), зависящей от координаты г.
В таких случаях говорят, что имеют дело с различными пред-
представлениями одного и того же вектора состояния |г|)>. Представ-
Представления подобны разным системам кординатных осей (соответст-
(соответствующим различным базисам) для векторов в конечномерном
пространстве. Функцию Ф(р) (по существу фурье-образ функ-
функции "ф(г)) часто называют волновой функцией в пространстве
импульсов, или импульсной волновой функцией. Здесь мы стал-
сталкиваемся с тем фундаментальным обстоятельством, что коорди-
координата и импульс частицы в квантовой механике имеют одинако-
одинаковый статус.
Чтобы проиллюстрировать статус этих величин, положим те-
теперь в основу теории одной частицы не сами операторы x-t и pi,
определенные в B.112) и B.113), а коммутационные соотноше-
соотношения, которым они удовлетворяют.
Постулат IV. Компоненты векторов координаты и импульса
частицы в трехмерном пространстве описываются операто-
операторами Xi и pi, удовлетворяющими коммутационным соотноше-
соотношениям
[*i,*l] = O = [fii,fil], B.116)
[*{, Р,] = Мц. B.117)
Частица, не обладающая внутренней структурой, не имеет на-
наблюдаемых, совместных со всеми Xi или со всеми р,-.
Соотношения B.116), B.117) называются каноническими
коммутационными соотношениями. Частицу называют простой,

98 Гл. 2. Квантовая статика
если она характеризуется только наблюдаемыми xi и р,-, удовле-
удовлетворяющими этим коммутационным соотношениям, и не имеет
других наблюдаемых, совместных с xt или р,-.
Постулат IV на самом деле эквивалентен определениям
B.112), B.113). Действительно, мы уже убедились, что из посту-
постулата III непосредственно следует, что пространство состояний (по
существу) изоморфно пространству волновых функций, в котором
операторы xi и р,- определяются соотношениями B.112), B.113).
В этом состоит утверждение теоремы Стоуна — фон Неймана
(см. [59], с. 201). Большая часть дальнейших рассуждений в
этой книге основана непосредственно на коммутационных со-
соотношениях B.116), B.117), т. е. мы не используем специаль-
специальный вид операторов B.112), B.113). Конечно, последние фор-
формулы абсолютно необходимы для большинства конкретных при-
приложений квантовой механики.
Из формулы B.117) для коммутатора непосредственно полу-
получаем
('[*./>*]> = <-Л>=-ft, B.118)
т. е. в силу B.75) получаем соотношение
Ах- Др^у/г, B.119)
которое является первоначальным гейзенберговским соотноше-
соотношением неопределенностей A.25).
Соотношение B.119) можно понимать как устанавливающее
связь между волновой функцией -ф (г) и волновой функцией в
импульсном пространстве <^(р). Пример такой связи приведен
на рис. 2.4. На нем изображена функция г|), зависящая от х, т. е.
одномерная волновая функция, которую, согласно B.94), мож-
можно представить в виде
сю
*(*) = \ ckeikxdk, B.120)
где k = px/h и ck =ф(рх)/2я. Таким образом, функция tp (at) яв-
является суперпозицией простых гармонических функций eikx.
В рассматриваемом примере коэффициенты разложения ck ве-
вещественные, и их значения сконцентрированы в некотором ин-
интервале переменной k размером Ak. Различные осцилляции eikx
в функции \р(х) взаимно гасят друг друга вне интервала пере-
переменной х размером Ах, причем Дх-Д& « 1/2. Напротив, внутри
указанного интервала они усиливают друг друга и в результате
образуют локализованную волновую функцию. Волновая функ-
функция рассматриваемого типа называется волновым пакетом.

§ 2.5. Наблюдаемые для простой частицы, двиокущейся в пространстве 99
Начиная с этого момента нам нет необходимости педантично
различать наблюдаемые и операторы. Мы будем использовать
одинаковые слова для них обоих ((например, будем говорить,
что наблюдаемые «коммутируют») и применять одинаковые обо-
обозначения для наблюдаемых и их операторов (т. е. опустим кры-
крышечки над буквами, обозначающими операторы).
Замечание о гильбертовом пространстве. Как отмечалось на
с. 60, требование, чтобы волновая функция удовлетворяла усло-
условиям Wl —W3, является слишком жестким. Причина наложения
Re ф(х)
Рис. 2.4. Волновой пакет.
на волновые функции указанных условий состоит в том, что та-
таким образом получается пространство состояний, в котором опе-
операторы xt и pi и все их произведения строго определены. Но если
мы и дальше станем работать с этим пространством, то вскоре
обнаружим, что оно имеет целый ряд серьезных недостатков.
В частности, в нем имеются фундаментальные последовательно-
последовательности Коши из функций, которые не сходятся к какому-либо пре-
пределу в рассматриваемом пространстве. Обычно же принято ра-
работать с пространством, которое обладает свойством полноты,
т. е. с таким пространством, которое включает в себя пределы

100 Гл. 2. Квантовая статика
всех последовательностей Коши, образованных в нем. Простран-
Пространство с указанным свойством называют гильбертовым. Самое ма-
малое гильбертово пространство, включающее в себя наше про-
пространство волновых функций, есть L2(R3), т. е. пространство всех
квадратично-интегрируемых функций. Такое пространство дей-
действительно часто берут в качестве истинного пространства со-
состояний квантовой частицы, хотя оно имеет тот существенный
недостаток, что многие интересующие нас операторы теперь не
определены на нем полностью. Поэтому необходимо оговаривать
область определения каждого рассматриваемого оператора. Ука-
Указанное обстоятельство очень сильно затрудняет использование
имеющихся математических теорий. Обзор теории гильберто-
гильбертовых пространств можно найти в работе [59].
Наш подход можно формализовать, если обратиться к тео-
теории оснащенных гильбертовых пространств. Таким простран-
пространством называют цепочку пространств 9>аЖ(^:9>*, где Ж —
гильбертово пространство, 9°— плотное подпространство в Ж и
&*— пространство непрерывных линейных функционалов над 9*
(у нас 9Р — пространство волновых функций и 91* — пространство
бра-векторов). В указанной теории рассматриваются обобщенные
состояния, подобные собственным состояниям координаты и им-
импульса, которые мы здесь ввели. Обзор теории оснащенных гиль-
гильбертовых пространств и ее применений в квантовой механике см.
в работах [15, 17].
§ 2.6. Комбинированные системы
Предположим, что система состоит из двух или большего числа
составных частей, каждую из которых можно рассматривать как
самостоятельную систему. Рассмотрим, например, систему из не-
нескольких частиц, движущихся в трехмерном пространстве, или
систему, представляющую собой световой пучок, состоящий из
многих фотонов, движущихся в г-направлении, или же комби-
комбинированную систему, составленную из обеих вышеуказанных си-
систем. Объясним, как описывать состояния такой системы с по-
помощью состояний ее составных частей.
Начнем с рассмотрения системы, составленной из двух ча-
частей 5 и Т, которую назовем комбинированной системой ST. Обе
части можно объединить. Предположим, что система 5 находит-
находится в произвольном состоянии \ф}, а система Т-—в произволь-
произвольном состоянии |ф>. Обозначим полученное состояние полной си-
системы символом ^М'ф). Тогда если фиксировать состояние \ф},
то состояния |<?>|i|)> комбинированной системы будут взаимно
однозначно соответствовать всем возможным состояниям под-
подсистемы Т. Предположим, что соотношения между этими состоя-
состояниями системы ST такие же. как между соответствующими со-

§ 2.6. Комбинированные системы 101
стояниями системы Т. Если состояние |г|з> есть линейная комби-
комбинация состояний |г|I> и |фг>, то состояние |0>|ф> будет той же
самой линейной комбинацией состояний |^>|Ф1> и |^>|ф2> и
(если состояние \ф) нормировано) внутреннее произведение со-
состояний |^>|ipi> и |^>i|J> равно внутреннему произведению со-
состояний |t|)i> и |i|J>. Аналогично можно рассмотреть состояния
системы S, скомбинированные с каким-либо одним фиксирован-
фиксированным состоянием системы Т. Таким образом,
+ с3\ф)\^2), B.121)
с21 ф2)) | ф) = сх | <?,) | ф) + с2! <?2) | ф), B.122)
(^11Ф2>; B.123)
выражение в левой части B.123) является внутренним произ-
произведением состояний |^>|ipi> и |^>[^2>- Отсюда можно вывести
(см. задачу 2.18), что
(#i! (Ь I) (I Ф2) I ф2» = <^i I ф2)<*1 I Ч>2>. B-124)
Соотношения B.121), B.122) показывают, что состояние
]^|| можно в некотором определенном смысле рассматри-
рассматривать как произведение состояний |<?> и |ф>. На физическом язы-
языке соотношения B.121), B.122) означают, что любой экспери-
эксперимент, который можно произвести над одной подсистемой, можно
произвести в присутствии второй подсистемы без какого-либо
воздействия на вторую подсистему или со стороны второй под-
подсистемы на первую.
Не всякое состояние комбинированной системы можно пред-
представить в виде произведения | ФУ\^У, так как, согласно принципу
суперпозиции, возможны состояния вида |^>|ф)+ |^')|ф'), ко-
которые нельзя представить в виде одного произведения. Предпо-
Предположим, что система ST не имеет никаких других состояний, кро-
кроме требуемых принципом суперпозиции. Тогда любое состояние
системы ST можно представить в виде
¦•• • B-125)
Пусть |<?i>, |^2>, ••• — некоторый полный набор состояний си-
системы S, |г|I>, |г|з2>, ... — полный набор состояний системы Т и
пусть
ZM> Z |>
Тогда
^E/>. B.127)

102 Гл. 2. Квантовая статика
Таким образом, состояния |^><>|i|>/> образуют полный набор со-
состояний системы ST.
Пусть 9> и ST обозначают пространства состояний систем 5
и Т соответственно. Пространство состояний комбинированной
системы ST обозначим символом 9> ® 2Г и назовем тензорным
произведением пространств & и 3~. Если 9* и ?7" конечномерны,
то размерность пространства 9"®Sr равна произведению раз-
размерностей пространств 93 и <Г.
Операторы, заданные в индивидуальных пространствах со-
состояний & и ?Г, могут очевидным образом действовать и в про-
пространстве 9"'® ?Г'. Если А — оператор в пространстве 9> к В —
оператор в ЗГ, то по определению')
р)). ( }
Тогда все операторы, действующие в пространстве 91, комму-
коммутируют со всеми операторами, действующими в пространстве в
&~. В случае операторов, представляющих наблюдаемые, это от-
отражает тот факт, что на результаты экспериментов, производи-
производимых над системой S, не влияет состояние системы Т. Полный
набор совместных наблюдаемых для комбинированной системы
ST может быть составлен путем объединения полного набора та-
таких наблюдаемых для системы 5 с полным набором соответ-
соответствующих наблюдаемых для системы Т.
Посмотрим теперь, как все изложенное применить к системе,
составленной из двух частиц, движущихся в трехмерном про-
пространстве. Так как полный набор совместных наблюдаемых для
одной частицы состоит из компонент ее векторов положения г,
то полный набор наблюдаемых для комбинированной системы
из двух частиц дается их двумя векторами положения Г[ и г2.
Следовательно, состояние системы из двух частиц полностью ха-
характеризуется значениями указанного полного набора операто-
операторов и представляет собой произведения собственных бра-векто-
бра-векторов Fai|FaL'|; выражаясь другими (более обычными) словами,
оно описывается функцией г|:(гь г2) двух векторов положения Г|
и г2. Последняя физически интерпретируется аналогично волно-
волновой функции для одной частицы, а именно величина |ф(гь
г2)|2dV\dVi есть вероятность того, что частица 1 будет найдена
в объеме dV\ около точки гх и одновременно частица 2 будет
найдена в объеме dV2 около точки г2.
') Строго говоря, для обозначения операторов в обеих частях формул
B.128) надо использовать разные символы, поскольку эти операторы дей-
действуют в разных пространствах; для операторов в левых частях B.128) сле-
следовало бы использовать обозначения /1 ® 1 и 1 ® В. Однако принятие здесь
обозначения удобны \\ че приводят к недоразумениям.

§ 2.6. Комбинированные системы 103
Таким образом, в рассматриваемом случае комбинированной
системы из двух частиц пространство 9* ® %Г образовано из
функций ip(ri, r2), удовлетворяющих требованиям, аналогичным
приведенным в § 2.2 для случая волновых функций одной части-
частицы. Пусть -ф 1, ^2, ... — произвольный полный набор одночастич-
ных волновых функций. Разлагая функцию гр (гь г2) в ряд по
функциям v|),-(ri) с коэффициентами, зависящими от г2, а затем
разлагая сами указанные коэффициенты по функциям г|)/(г2),
придем к следующему разложению
1>(ri, r2)= Z cl7iMri)V2). B-129)
а
Таким образом, произведения функций грг (i*i)tJ?j (Г2) образуют
полный набор функций в пространстве 9'<Е> °Г', соответствующий
полному набору состояний |<^/>]г|5/>, рассмотренному выше для
комбинированной системы общего вида: в случае волновых
функций тензорное произведение сводится к обычному произве-
произведению.
Обобщение приведенных рассуждений на систему, состоящую
из нескольких подсистем, не вызывает затруднений. Можно рас-
рассмотреть тензорное произведение 9>\ ® . .. ® 9>п из п пространств
состояний, элементами которого являются линейные комбинации
произведений |^i>|if>2> . . . |г|з„>, где каждое |г|з,> берется из со-
соответствующего пространства 9";. В случае системы, составлен-
составленной из п частиц, движущихся в обычном трехмерном простран-
пространстве, пространство состояний комбинированной системы состоит
из волновых функций гр(гь . . . , г„).
Развиваемый формализм можно применить не только к си-
системе, состоящей из разных объектов, но также к системе, обра-
образованной из одного объекта, рассматриваемого в нескольких
разных аспектах. Например, чтобы полностью описать фотон,
следует учитывать не только его состояние поляризации, но так-
также и его состояние движения в трехмерном пространстве. Таким
образом, полное пространство состояний фотона дает произведе-
произведение 9>®Т, где 9" — двумерное пространство поляризационных
состояний, а ?Г — пространство волновых функций частицы, дви-
движущейся в трехмерном пространстве. Поскольку в Э7 имеем пол-
полный набор, образованный двумя состояниями \фх) и \фу}, со-
состояние в пространстве 91 ®2Г общего вида можно записать сле-
следующим образом:
m = Z (а, I Фх) IЬ) + bt I фу) | ф|», B.130)
i
где состояния |\p,-> обозначают какой-либо полный набор вол-
волновых функций. Состояние B.130) можно записать в виде

104 Гл. 2. Квантовая статика
двухкомпонентной волновой функции:
i
где -фх (г) = ? aibfr) и г|J(г)= ? b$t (r).
Тождественные частицы. Если обе подсистемы одинаковы,
как в случае системы, образованной из двух тождественных ча-
частиц, то в пространстве состояний комбинированной системы,
т. е. в пространстве 9'®9), где 91—-пространство состояний для
одной частицы, можно рассмотреть оператор обмена X, который
переставляет друг с другом состояния обеих частиц:
B-132)
Хотя не каждое состояние двухчастичной системы можно пред-
представить в виде произведения |$>|ф>, но соотношения B.132)
вполне достаточно для однозначного определения оператора X,
так как каждое состояние двухчастичной системы можно пред-
представить в виде суммы состояний указанного вида. Но если две
системы действительно одинаковы, то невозможно отличить со-
состояние |<^>|^> от состояния |я|>>|0>; для того чтобы сказать, ка-
какая из частиц находится в состоянии |<?>, необходимо обладать
каким-то способом, с помощью которого можно было бы разли-
различать эти частицы. Но постановка на частицах каких-то меток
означала бы, что частицы все же отличны одна от другой. Сле-
Следовательно, если |W> — произвольный вектор состояния в про-
пространстве 9*®$*, то Х|\Р> — вектор, описывающий то же физи-
физическое состояние, а следовательно, фактически тот же самый век-
вектор. Тогда из постулата I можно вывести следствие, что вектор
X\W) кратен вектору |ЧГ>:
X\W) = e\W). B.133)
Но Х2=1, поэтому е2 = 1; следовательно, единственно возмож-
возможные значения е равны +1.
Состояние, для которого е = 1, называют симметричным; оно
является суммой состояний вида
\Ф)\Ъ) + \Ъ)\Ф)- B.134)
Состояние, для которого е = —1, называют антисимметричным;
оно должно быть линейной комбинацией состояний вида
B.135)
Векторы состояний B.134), B.135) описывают состояния, в ко-
которых две частицы находятся в двух разных состояниях |^> и
|> но невозможно сказать, какая именно частица находится в

§ 2.6. Комбинированные системы 105
данном состоянии. Как раз в этом состоит правильный способ
описания двух действительно тождественных частиц.
Итак, мы показали, что любое физическое состояние должно
быдъ либо симметричным, либо антисимметричным; но не мо-
может представлять собой суперпозицию симметричного и анти-
антисимметричного состояний. Если бы были возможны симметрич-
симметричные и антисимметричные состояния одной системы, то это проти-
противоречило бы принципу суперпозиции. Следовательно, для си-
системы из частиц каждого конкретного типа либо все состояния
симметричны, либо все они антисимметричны. Другими словами,
пространством состояний системы из двух тождественных частиц
является не произведение 9>®97, а либо его подпространство
симметричных состояний, либо его подпространство антисимме-
антисимметричных состояний. Какая из указанных двух возможностей
осуществляется, зависит от типа частиц: «частицы материи», об-
обсуждавшиеся в части А гл. 1 (лептоны, барионы и кварки), кото-
которые называют фермионами, всегда описываются антисимметрич-
антисимметричными двухчастичными состояниями; «частицы сил взаимодей-
взаимодействия», обсуждавшиеся в части Б гл. 1 (фотоны, W±-, 7°-частицы
и глюоны), которые называют бозонами, всегда описываются
симметричными двухчастичными состояниями.
Все сказанное естественным образом обобщается на систему
из п частиц. В пространстве, являющемся n-кратным тензорным
произведением <8>" 9* = 9* <8>... <8> 9*, для каждой пары индексов
I, / можно рассматривать оператор обмена Хц, который меняет
местами состояния частиц нумеруемых индексами i и /:
B.136)
Тогда если \Чт}^®п9> обозначает состояние системы п бозо-
бозонов, то
|?) B.137)
для всех пар i, j. Такой вектор состояния называется полностью
симметричным. Если ] "ЧУ> обозначает состояние системы п фер-
мионов, то
Х{,\ЧГ)=-]ЧГ> B.138)
для всех пар i, /. Такой вектор состояния называется полностью
антисимметричным.
Производя последовательно некоторое число перестановок
состояний отдельных частиц, можно состояния |ф1>, . . . , |фя>
переставить в любом другом порядке и получить последователь-
последовательность состояний |г|)РA)>, ..., |фР(л)>, где р — некоторая переста-
перестановка символов A, .. ., п). Таким образом, имеем оператор Хр

106 Гл. 2. Квантовая статика
для каждой перестановки р:
••• NW- B-139)
Перестановка р называется четной или нечетной в зависимости
от того, четно или нечетно число перестановок пар, с помощью
которых она образована. Сигнатура перестановки, обозначаемая
символом е(р), равна 1, если р — четная перестановка, и —1,
если она нечетная. Теперь формулы B.137), B.138) можно пред-
представить в виде двух следующих утверждений:
если состояние {Ч*} полностью симметрично, то
B.140)
если состояние ]ЧХ> полностью антисимметрично, то
Хр|Ч') = е(р)|П B.141)
где р — любая перестановка. Каждое полностью симметричное
состояние является суммой состояний вида
5(|ф,)... Ц>„», B.142)
где 5=2] Ар; каждое полностью антисимметричное состояние
р
должно быть суммой состояний вида
Л(|1|),)... | Ч>„», B.143)
где Л = Xе(р)Хр. Если векторы состояний |г|з,-> являются вол-
р
новыми функциями, формула B.143) дает следующее выраже-
выражение для произвольной я-частичной функции:
(г 1 г„) = ? е (р) -фр A) (п) ... г|зр-(„) (г„) =
p
(Г,) ... 1|)! (Г„)
B.144)
такая функция называется слетеровским детерминантом.
Положения, сформулированные в этом параграфе, можно
подытожить следующим образом.
Постулат V. Если две системы 5 и Г образуют комбиниро-
комбинированную систему ST, то пространство состояний системы ST
является тензорным произведением пространств состояний
подсистем S и Т.
Каждая элементарная частица является либо фермионом,
либо бозоном. Состояние системы многих тождественных ча-
частиц полностью антисимметрично, если они фермионы, и пол-
полностью симметрично, если они бозоны.

§ 2.6. Комбинированные системы 107
Фермионы и бозоны подчиняются различным вероятностным
законам, отличным от законов для классических частиц. Рас-
Рассмотрим элементарную задачу теории вероятностей о двух части-
частицах, случайным образом помещенных в два ящика разного цве-
цвета. Какова вероятность того, что: а) обе частицы находятся в
желтом ящике? б) обе находятся в голубом ящике? в) имеется
по одной частице в каждом ящике? В квантовом аналоге этой
задачи имеем две частицы, которые могут занимать два ортого-
ортогональных состояния | ф) и |г|з> (т. е. для каждой частицы ее про-
пространство состояний 91 двумерно и состоит из двух состояний
\ФУ и |г|з>, которые образуют полный набор), причем предпола-
предполагается, что все двухчастичные состояния одинаково вероятны.
Пусть теперь \ф} соответствует желтому, а |г|з> — голубому ящи-
ящику. Тогда можно задать те же вопросы, что и выше. Можно
показать (задача 5.2), что рассматриваемые вероятности пропор-
пропорциональны размерностям соответствующих подпространств —
другими словами, игнорируя возможные суперпозиционные со-
состояния, надо просто подсчитать числа независимых состояний в
точности так же, как подсчптывается число способов размеще-
размещения двух шаров по двум ящикам.
Пространство состояний, которое прежде всего приходит в го-
голову, а именно пространство ff'®^, подошло бы в том случае,
если бы частицы были различными. Тогда имеются четыре орто-
ортогональных двухчастичных состояния:
\Ф)\Ф), 1ФIФ), 1<Ш>. \^)\Ф)- B.145)
Если частицы бозоны, имеются три ортогональных состояния:
\Ф)\Ф), 11>>И>>, \Ф)\^) + \Ъ)\Ф). B.146)
Наконец, если частицы являются фермпопами, то будет только
одно состояние
\Ф)\^)-\^)\Ф)- B.147)
Следовательно, вероятности, которые мы определяем (полагая,
что B.145) соответствует случаю классических частиц), равны:
II I- • II • I ¦ I
Классические частицы 1/4 1/4 1/2
Бозоны 1/3 1/3 1/3
Фермиопы 0 0 1
Таким образом, бозоны с большей вероятностью, чем классиче-
классические частицы, занимают одинаковое состояние; они как бы при-
притягиваются друг к другу. Фермиопы, напротив, вынуждают друг
друга находиться в разных состояниях. Указанное свойство фер-
мионов составляет принцип запрета Паули.

108 Га, 2. Квантовая статика
Теорема 2.6. (Принцип запрета Паули). Два тождественных
фермиона не могут занимать одно и то же состояние. В
Принцип Паули играет ключевую роль в объяснении струк-
структуры атомов, проявляющейся в их различных химических свой-
свойствах.
Говорят, что фермионы подчиняются статистике Ферми — Ди-
Дирака, а бозоны — статистике Бозе — Эйнштейна.
Если частица составная, подобно атому или атомному ядру,
то тип ее статистики (т. е. является она фермионом или бозо-
бозоном) определяется типами статистики составляющих ее частиц.
Рассмотрим сначала частицу Р, составленную из двух частиц А
и В. Состояние двух частиц типа Р сводится к состоянию двух
частиц типа А, объединенных с двумя частицами типа В. Опера-
Операция ХР, переставляющая частицы Р, представляет собой произ-
произведение (коммутирующих друг с другом) операций Хл и Хв, пе-
переставляющих друг с другом частицы А и частицы В соот-
соответственно. Но в результате действия оператора Хл состояние
умножится на сигнатуру ел, где
+ 1, если А бозон,
— 1, если А фермион;
аналогично в результате действия оператора Хв состояние умно-
умножится на сигнатуру ев. Следовательно,
еР = еАев, B.149)
г. е. частица Р будет бозоном, если обе частицы А и В бозоны
или обе они фермионы, и частица Р будет фермионом, если одна
из частиц Л и В бозон, а другая — фермион. Общее утверждение
имеет следующий вид.
Теорема 2.7. Комбинированная система из m бозонов и
п фермионов будет бозоном, если п четное, и фермионом, если п
нечетное. В
Таким образом, поскольку кварки и антикварки являются
фермионами, мезоны (составленные из кварка и антикварка,
т. е. из двух фермионов) будут бозонами, а барионы (состав-
(составленные из трех кварков) будут фермионами. Альфа-частица (об-
(образованная из двух протонов и двух нейтронов, т. е. из четырех
фермионов) будет бозоном и т. д.
Приложение: свойства эрмитовых и унитарных операторов
Эти свойства формулирует следующая теорема.
Теорема
1. Собственные значения эрмитова оператора вещественны.
2. Собственные значения унитарного оператора по модулю
равны единице.

Приложение 109
3. Пусть \ф) и |я|)> — собственные векторы произвольного
оператора А, соответствующие различным собственным значе-
значениям. Если оператор А эрмитов или унитарен, то состояния | ф)
и |\|з> взаимно ортогональны.
4. Если оператор Н эрмитов, то оператор ён унитарен.
Доказательство. 1. Пусть Я обозначает какое-нибудь собст-
собственное значение эрмитова оператора Н и пусть |г|з> — соответ-
соответствующий ему (ненулевой) собственный вектор. Тогда
Взяв эрмитово сопряжение указанного равенства, получим
<ф|Я = ЦЧ>|. B-П2)
Умножая B.П1) слева на <г|э| и B.П2) справа на |ф>, получаем
B.пз)
Поскольку ji?>> ненулевой вектор, отсюда заключаем, что Я = Я,
т. е. что Я вещественное. ¦
2. Пусть Я — какое-нибудь собственное значение, а |г|з> — со-
соответствующий ему собственный вектор некоторого унитарного
оператора U. Тогда
U | ф) = Я | ф),
B.П4)
Перемножив эти уравнения, получим
+U B.П5)
Поскольку f/+f/=l, a | г|))—ненулевой вектор, отсюда заклю-
заключаем, что [Я| = 1. ¦
3. Предположим, сначала, что А=Н, где Н — эрмитов опе-
оператор. Тогда
Н\ф) = Цф), Я[ф) = [х|ф), B.П6)
где Я и [х, — вещественные. Умножая приведенные уравнения на
(Ф\ и <ij)| соответственно, получаем
B.П7)
B.П8)
а, следовательно,
B.П9)
Поскольку Хф\х, из B.П7) и B.П9) следует, что

110 Гл. 2. Квантовая статика
Предположим теперь, что А = U, где U — унитарный опера-
оператор. Тогда
и\ф) = е1а\ф), B.П10)
и\$) = е*\Ъ), B.П11)
где а и р — вещественные. Взяв эрмитово сопряжение от
B.П11), получим
+ = е-'э<1|)|. B.П12)
Перемножив B.П10) и B.П12) и использовав тот факт, что
UfU = 1, имеем
Поскольку е'а =#= ег|3, отсюда следует (^|^)
4. Пусть |ф!>, |i|52>, ... — полная система собственных со-
состояний оператора Н, соответствующих собственным значениям
Хи К2, ..., и пусть U = еш. Тогда
а, следовательно,
<Ф„ I ^+ I Фт> = е-Л«бт„ = <г|>„ | е"'1'» | t|;m>.
Таким образом,
и поэтому
Поскольку состояния |фт> образуют полную систему, заклю-
заключаем, что UfU= 1. ¦
Основные положения главы 2
Постулат I. Принципы суперпозиции 70
Поступат II. Результаты эксперимента 73, 76, 93
Постулат III. Проекционный постулат 74, 76, 93
Постулат IV. Координата и импульс частицы 97
Постулат V. Комбинированные системы 106
Теорема 2.1. Собственные состояния образуют ортогональную
полную систему 76
Теорема 2.2. Оператор наблюдаемой эрмитов 79
Теорема 2.3. Среднее значение и неопределенность 84
Теорема 2.4. Совместные наблюдаемые и коммутирующие
операторы 85
Теорема 2.5. Обобщенное соотношение неопределенностей 88
Теорема 2.6. Принцип запрета Паули 108
Теорема 2.7. Статистика комбинированной системы 108

Рекомендуемая литература 111
Рекомендуемая литература
Классическое изложение квантовой механики, до настоящего
времени непревзойденное в отношении изящества представления
общей структуры теории (несмотря, а возможно и вследствие
свободного обращения с математическими тонкостями), принад-
принадлежит Дираку [30]. Другие замечательные учебники, отличаю-
отличающиеся тщательностью изложения основных концепций квантовой
механики, написаны Паули [70а], Бомом [18] и Готфридом
[47]. Можно также особо рекомендовать учебник Фейнмана
и др. [35].
Математически строгое изложение квантовой механики мож-
можно найти в книгах Неймана [93а] и Яуха [59]. В них развивает-
развивается альтернативный подход, базирующийся на строгой математи-
математической теории гильбертовых пространств, отличный от подхода,
излагаемого в этой главе; в отношении этого последнего см. ра-
работы Бема [17] и Боголюбова и др. [16].
Задачи к главе 2
1. Докажите, что совокупность всех волновых функций, удовле-
удовлетворяющая требованиям Wl —W3 (с. 60), образует комплексное
векторное пространство и что B.30) действительно можно взять
в качестве определения внутреннего произведения.
2. Пусть Ра — проекционный оператор, соответствующий ре-
результату а эксперимента Е. Покажите, что
1) Pl = Pa,
2) если а и |3 — различные результаты эксперимента Е, то
РаРр = 0;
3) если результат а невырожден и ему соответствует норми-
нормированное собственное состояние |"фа), то
^а I Ч') = ("Фа I -Ф) I Фа>;
4) Ла/Эа=1, где суммирование ведется по всем результатам
эксперимента Е.
3. Пусть |г|з> — произвольный вектор состояния, а |^>> — про-
произвольный элемент из собственного пространства ^а; пусть так-
также 16о> = | ^> — Ра | Ф> и 10> = | ф> — [ ФУ, где Ра — проекцион-
проекционный оператор на пространство 3fa. Покажите что
(в | в» (во | во).
(Последнее неравенство доказывает, что вектор Pal1!3) является
самым близким к |ф> элементом из ff'a-)
4. Некоторая квантовая система может находиться только в
двух состояниях | On) и |oi>, которые являются нормированными
собственными состояниями наблюдаемой А, соответствующими

112 Гл. 2. Квантовая статика
собственным значениям 0 и 1. Другая наблюдаемая В описы-
описывается оператором В, определенным соотношениями
7|ао>-24/|а1), B|a1) = 24/|a0>-7|a1).
Найдите собственные значения и собственные состояния наблю-
наблюдаемой В.
Представьте, что система наблюдалась в состоянии |ао>, когда
измерялась наблюдаемая В, причем сразу после этого измере-
измерения было произведено измерение наблюдаемой А. Найдите ве-
вероятность того, что измерение наблюдаемой А дает результат 0.
5. Пусть А и В —две наблюдаемые для системы, обладаю-
обладающей двумерным пространством состояний, и пусть проводятся
одно за другим три измерения: наблюдаемой А, наблюдаемой
В и снова наблюдаемой А. Покажите, что вероятность того, что
повторное измерение наблюдаемой А дает тот же результат, что
и первое ее измерение, не зависит от начального состояния си-
системы.
6. Для произвольного оператора А покажите, что оператор
Л'М имеет неотрицательные собственные значения.
7. Покажите, что если Н — эрмитов оператор if ji|)> — соб-
собственный вектор оператора Н, соответствующий собственному
значению Е, то <-ф | еш = е'?<ф |.
8. Покажите, что нормированное состояние |\р> будет собст-
собственным для наблюдаемой А тогда и только тогда, когда
||| Н|ч
9. Найдите неопределенность наблюдаемой Рх для поляри-
поляризации фотона в направлении оси х, если фотон поляризован под
углом 0 к оси х.
10. Пусть Ре — наблюдаемая для поляризации фотона вдоль
оси, составляющей угол 0 с осью х (так что Ре = Рх при 0 = 0).
Покажите, что наблюдаемые Ре и Рф совместны тогда и только
тогда, когда 0 — ф — }/2пп при некотором целочисленном п.
11. Докажите неравенство
где А и В — любые две наблюдаемые и {А, В} = АВ + ВА.
12. Убедитесь, что формулы B.69) и B.70) для среднего зна-
значения и неопределенности остаются справедливыми для наблю-
наблюдаемой А, обладающей непрерывными собственными значе-
значениями.
13. Проведите формальные преобразования с использованием
б-функции и выведите формулу Планшереля
где ty(k) — фурье-образ функции

Задачи к главе 2 113
14. Покажите, что, если f — функция, имеющая простые пули
в точках xi (т. е. f(xi) = О, a f {xi) =7^=0), то
»(*-*,)
\f'(xi)\ '
15. Для частицы, движущейся в одном измерении, найдите
неопределенность Ад;, считая, что частица описывается гауссов-
ской волновой функцией ty(x) = B/яа2)'/<ехр(—х2/а2). Пока-
Покажите, что фурье-образ указанной функции имеет в точности та-
такой же математический вид и докажите, что произведение Ах-Ар
принимает минимальное значение в этом состоянии.
16. Исходя из коммутационных соотношений для операторов
х и р, покажите, что
{ih) [р, хп] = — пх" ¦'.
Выведите отсюда, что если / — полином по х\, х2, х3, то из ком-
коммутационных соотношений B.116), B.117) следует [pi, f] =
= —ifi df/dxi.
17. Пусть D = r-p. Если / обозначает произведение т опе-
операторов пространственных координат и п операторов импуль-
импульсов, покажите, что
[D, f] = — in (m - п) f.
18. Выведите соотношение B.124) из B.121) — B.123).
19. Пусть X—фермион, обладающий /г-мерным простран-
пространством состояний. Какова размерность пространства состояний
для системы, образованной из г частиц типа X? Каков будет от-
ответ, если X — бозон?

Глава 3
Квантовая динамика
В предыдущей главе рассматривалось состояние системы в оп-
определенный момент времени, а также результаты мгновенно про-
проведенного над системой эксперимента и его влияние на систему.
В настоящей главе мы опишем, как система изменяется (эволю-
(эволюционирует) в интервале между проводимыми над ней экспери-
экспериментами, отвечая на силы, действующие на нее в течение срав-
сравнительно длительного промежутка времени. Обсуждение будет
достаточно общим и применимо к любой квантовой системе, опи-
описываемой векторами состояний произвольного типа (поляриза-
(поляризационными векторами, волновыми функциями и т. д.).
§ 3.1. Уравнения движения
Временная эволюция квантовой системы характеризуется урав-
уравнением, описывающим изменение ее вектора состояния во вре-
времени; такое уравнение является квантовым аналогом класси-
классических уравнений движения. (Термин «уравнение движения» ис-
используется для обозначения любого уравнения, описывающего
временные изменения состояния системы; этот термин не озна-
означает, что речь идет о движении в классическом смысле «измене-
«изменения пространственного положения».) Указание на то, каким дол-
должно быть квантовое уравнение движения, дает планковское фун-
фундаментальное соотношение Е = hv, которое применимо к любой
системе и связывает энергию Е системы с частотой v колебаний,
ассоциированных с этой системой. В гл. 2 при объяснении, как
амплитуда и фаза колебания могут быть описаны одним комп-
комплексным числом, отмечалось, что зависимость от времени харак-
характеризуется простым гармоническим множителем e~2aivt. Таким
образом, исходя из соотношения Планка, можно заключить, что
если система имеет энергию Е, то ее вектор состояния |^@> в
момент времени t должен содержать множитель е~2яМ = e~lEtlh,
C.1)
Но энергия есть наблюдаемая системы, поэтому если система
имеет определенную энергию Е, то ее состояние должно быть
собственным состоянием этой наблюдаемой. При этом из соот-
соотношения C.1) следует, что вектор состояния в момент времени t
отличается от вектора состояния в момент времени t = О только
скалярным множителем, являющимся с-числом, и оба эти век-
вектора описывают одно и то же физическое состояние. Поэтому

§ 3.1. Уравнения движения По
собственное состояние энергии называют стационарным состоя-
состоянием.
Чтобы установить, как самое общее состояние системы эво-
эволюционирует во времени, надо сделать следующее дополнитель-
дополнительное предположение: до тех пор, пока систему не возмущает ка-
какой-либо эксперимент, эволюция состояния системы линейна, т. е.
если |ф@)> = Ci |\|)i>-f-с2|г|J> и к моменту t состояния |i|3i> и
г|J> проэволюционировали в состояния |^i@> и |iM0>> то
г|з(О)> проэволюционирует к этому моменту времени в состоя-
состояние |яИО> = ci l^i @) + с2|г|5г(О>- Другими словами,
C.2)
где U(t) —некоторый линейный оператор. Поскольку соотноше-
соотношение C.1) справедливо для любого вектора |г|з(О)>, являющегося
собственным состоянием энергии, оператор U следует считать
функцией от оператора Н, представляющего энергию, следую-
следующего вида
U(t) = e-t»m. C.3)
Обычно этот закон эволюции формулируют в форме дифферен-
дифференциального уравнения.
Постулат VI. Пусть |^@)— состояние системы в момент
времени t. Тогда до тех пор, пока система не будет возму-
возмущена каким-либо экспериментом, состояние |i|)@> будет удо-
удовлетворять дифференциальному уравнению
«7?-^-1 а|>(/)) = Я | !>(*)>, C-4)
где Я-—оператор, описывающий полную энергию системы.
Это общее утверждение, устанавливающее вид уравнения
движения в квантовой механике, подобного уравнению второго
закона Ньютона в классической механике. Уравнение движения
C.4) называют временным уравнением Шредингера. Оператор
// называют гамильтонианом рассматриваемой системы; зада-
задание его аналогично заданию сил, действующих на систему в нью-
ньютоновской механике. Фактически именно так и получается, так
как полная энергия включает в себя потенциальную энергию,
т. е. знание полной энергии эквивалентно знанию сил.
Гамильтониан получил свое название от гамильтоиовой фор-
формулировки ньютоновской классической механики, которую легче
всего сопоставить с квантовой механикой. В гамильтоновой фор-
формулировке конфигурация и скорость механической системы опи-
описываются некоторым числом координат {q\, . . . , qn) и соответ-
соответствующими им обобщенными импульсами (ри ..., рп). Движе-
Движение системы определяется некоторой функцией H{qx, ..., qn,

116 Гл. 3. Квантовая динамика
Ри ••-, рп), называемой гамильтоновой функцией, значениями
которой являются значения полной энергии системы; соответ-
соответствующие уравнения движения называют уравнениями Гамиль-
Гамильтона:
dq. дН dPi дН
dt dpt ' dt
C.5)
Таким образом, состояние системы в классической механике ха-
характеризуется значениями переменных (q\, . .. , qn, pi, . . . , рп)",
в квантовой же механике оно характеризуется вектором состоя-
состояния |я|)>. Произвольное наблюдаемое свойство классической си-
системы представляется определенной функцией f(qu ¦ ¦ ¦ , qn.
Р\, . . ., рп); в квантовой механике наблюдаемая представляется
определенным оператором, действующим в пространстве состоя-
состояний. В обоих случаях поведение системы определяют дифферен-
дифференциальные уравнения первого порядка, связывающие скорость из-
изменения состояния системы с конкретной наблюдаемой Н.
В случае одной частицы, движущейся в трехмерном простран-
пространстве, классическое состояние задается вектором координаты г и
вектором импульса р. Если на частицу действует сила F(r), по-
получаемая из потенциала V(r), так что F = —VV, то гамильто-
нова функция имеет вид
Я (г, p)=j?- + V(r). C.6)
В квантовой механике оператор, соответствующий этой наблю-
наблюдаемой, можно построить, подставляя вместо векторов г и р опе-
операторы г и р (см. текст после B.112), B.113)). Вектор состояния
|г|)(?)> в рассматриваемом случае будет волновой функцией
г|з(г, /), изменяющейся со временем. Таким образом, в квантовой
механике соотношение C.6) следует заменить на дифферен-
дифференциальное уравнение в частных производных
1ПЖ = --^^ + У{г)Ъ. C.7)
В случае системы из п частиц, движущихся под действием
известных сил, получаемых из потенциала V(ru . . . , г„), так что
сила, действующая на k-ю частицу, равна F& = —X'kV (где V& =
= d/drk), уравнение для временной волновой функции г|)(п, ...
. . . , г„) имеет следующий вид:
">4r = -i?rV?*- ... —?-V& + V*. C.8)
Предположим теперь, что гамильтониан Н обладает дискрет-
дискретным спектром, так что мы имеем полную систему собственных
состояний |^>i>, |i|>2>, •••. соответствующих собственным значе-

§ 3.1. Уравнения движения 117
ниям энергии Е\, Е2, . ¦. . Тогда состояние |i|>U)> можно разло-
разложить в ряд по указанной полной системе с коэффициентами, за-
зависящими от t:
при этом, согласно уравнению C.4), получим
Отсюда, приравнивая коэффициенты при различных |oj)m>, по-
получаем
а потому
cm[@ = e"'Bm'/AcIB@). C.10)
Таким образом,
|1|>й>=1:е-и»\@)|+я). C.11)
Мы получили результат, совпадающий с формулами C.2) и
C.3); таким образом, эти формулы действительно следуют из
постулата VI.
В качестве примера, иллюстрирующего влияние временной
эволюции состояния системы на результаты измерения наблю-
наблюдаемой, рассмотрим систему, которая первоначально находилась
в собственном состоянии |г|)о> некоторой наблюдаемой А, при-
причем |я|>о> не является стационарным состоянием, а дается супер-
суперпозицией двух различных стационарных состояний:
l*o> = ci|i|I) + c2| фа). C.12)
Предположим, что все три состояния |г|зо>, |^i> и |г|з2> норми-
нормированы, так что
|с,|2 + |с2|2=1. C.13)
Тогда вероятность того, что измерение наблюдаемой А в момент
времени t даст тот же результат, который мы имели для нее
первоначально, равна
<1>о I * @> I2 = I <Ч»о I (ci*-'*'/* I Ч>,> + с2е-^Ш \ 4,,» f =
= 11 с, |2 e-W* + | c212 e-'^V* |2, C.14)
поскольку <г|зо|^>1> = ft и {"^о^г) = c2. Используя соотношение
C.13), последний результат можно представить в виде
I2 = 1 - 41 с, |2 i с212 sin2 [± (?, - ?2) //й]. C.15)

118 Гл. 3. Квантовая динамика
Таким образом, значение наблюдаемой А колеблется во времени
с частотой
Заметим, что если бы энергия системы была измерена в мо-
момент времени / = 0, когда состояние системы описывалось выра-
выражением C.12), то измерение изменило бы состояние системы од-
одним из двух возможных способов, и далее было бы два альтер-
альтернативных течения временной эволюции. С вероятностью |ci|2 в
момент времени t = 0 измерение дало бы значение Е\ и состоя-
состоянием системы стало бы |i|)i>; к моменту времени t это состояние
проэволюционировало бы в состояние e"iE'tlh\ ipi). С вероят-
вероятностью |с2[2 измерение при t = О дало бы значение Е2 и со-
состоянием системы при / = 0 стало бы | ip2>; к моменту времени /
оно превратилось бы в состояние e~iEi>h\ ф2). Таким образом, в
момент времени t имелись бы два состояния
е-<Е,г/й| ^^ c вероятностью | с1|2,
с вероятностью | с212
вместо одного состояния
Cle-"W*| ф,) + с2е-'*=«* | ф2>. C.18)
Если теперь измерить наблюдаемую А в момент времени /, то
вероятность того, что мы получим то же значение наблюдаемой,
которое она имела первоначально, будет равна |<фо|ф1>|2 =
= |ci|2 в первом случае C.17) и | <-ф01 яр2>2 = | с2 J2 во втором
случае. Отсюда заключаем, что полная вероятность равна
|с1|2-к1|2 + |с2|2-|с2|2 = |с1Г + |с2|"- C.19)
Полученный результат следует сравнить с C.14) и C.15). Мы
видим, что колебания в C.15) полностью исчезли. Эти колеба-
колебания являются результатом интерференции между двумя состоя-
состояниями e~iExtlh\ty\) и e~iE-flh\ 'ФгХона происходит, когда состояния
складываются когерентно, как в C.18). В C.17) состояния
складывались некогерентно. Математическое различие между
когерентным и некогерентным сложением определяется разли-
различием формул C.14) и C.19).
В случае системы п частиц, определяемой уравнением Шре-
дпнгера C.8), решение C.11) можно записать в виде
Ф (гь • • •, г„, /) = Z eriRmmcm @) ф,„ (г„ . . •, г„), C.20)
m
где ^т удовлетворяют уравнению
C.21)

§ 3.1. Уравнения движения 119
которое называют стационарным (не зависящим от времени)
уравнением Шредингера. Функции г|)т можно построить методом
разделения переменных (задача 3.4). Если гамильтониан систе-
системы обладает непрерывным спектром, то сумму в выражении
C.20) следует заменить интегралом:
4>(г„ ..., г„10 = 5е-'в"Чв(г„ .... rn)dE. C.22)
Положив E = (i>h, ф(ти ..., тп, co) = /ii|)?(r1) ..., г„), получим
-Ф (гь . . ., г„, t) = \ е-мф (п г„, со) rfco, C.23)
так что в рассматриваемом случае разложение C.11) соответст-
соответствует решению дифференциального уравнения с помощью фурье-
преобразования по времени t.
Простейшей из «-частичных систем является одна частица,
движущаяся в трехмерном пространстве и не подверженная дей-
действию каких-либо внешних сил. Гамильтониан такой системы
имеет вид Н = р2/2/п. Поскольку он является функцией импуль-
импульса, каждое собственное состояние импульса будет и его собст-
собственным состоянием. Как отмечалось в предыдущей главе, истин-
истинных собственных состояний для импульса не существует, но су-
существует выражение для волновой функции, соответствующее
разложению по собственным состояниям импульса, а именно
формула фурье-преобразования по г:
г|> (г, t) = J ф (р', /) e<e'-r/*dy. C.24)
(Здесь использовано обозначение р' для переменной интегриро-
интегрирования, чтобы избежать смешивания с оператором импульса.) Ре-
Решение уравнения Шредингера, соответствующее разложению
C.24), в том смысле, в каком C.11) соответствует C.9), имеет
вид
Ф (г, 0 = J -Ф (РО ехр { | (р' • г - -j? /) } сРр'. C.25)
Скорость изменения среднего значения. Теорема 3.1. Пусть
А — произвольная наблюдаемая. Если состояние |яИО> изме-
изменяется со временем, согласно постулату VI, то среднее значение
наблюдаемой А в указанном состоянии изменяется согласно
уравнению
±(А) = (±[Н, А]). C.26)
Доказательство. Среднее значение в момент времени равно
<Л> = <*(/) | Л | тр С0>- C.27)

120 Гл. 3. Квантовая динамика
Имеем уравнение
Взяв эрмитово сопряжение последнего, получим
поскольку оператор Н эрмитов. Таким образом, для C.27)
имеем
= [4(Ф @1 н] А | ч> (/)} + (ф @ И [- i-
я-№ ^ 1^@)=D-[я, л]).
Применим теорему 3.1 к случаю простой частицы, движущей-
движущейся в трехмерном пространстве в потенциале V(r). Для такой си-
системы
(Здесь и везде далее подразумевается суммирование по повто-
повторяющимся индексам, см. приложение I.) Используя тождество
B.80) и явный вид операторов для компонент импульса B.113),
получаем
[Я, х,] = -^ (р, [р„ х,] + [Pi, xt) Pi) + [V, х,] = -?р„ C.29)
а также
[V, Pl]^=v[-ih<?-] + in-?-№) = m§-^
так что
[Н, Pt] = [V, Pi] = ifi^. C.30)
Подставляя C.29) и C.30) в уравнение C.26), приходим к про-
простым уравнениям
4 (F), C.32)
где F — классическая сила, действующая на частицу. Таким об-
образом, уравнения движения для средних значений получаются

§ 3.1. Уравнения движения 121
усреднением значений правых и левых частей классических
уравнений движения.
Из уравнений C.31) и C.32) можно получить классические
уравнения для точечной частицы, если считать, что она описы-
описывается стягивающейся в точку волновой функцией, т. е. что ее
волновая функция является локализованным волновым пакетом.
Точное утверждение сформулировано в следующей теореме.
Теорема 3.2 (Эренфеста). Если волновая функция частицы
обращается в нуль вне выпуклой области V, в которой сила F
приближенно постоянна, то частица ведет себя как классиче-
классическая частица с вектором положения <г> и подчиняется класси-
классическому уравнению движения
m-^-(r) = F((r». C.33)
Доказательство. Из уравнений C.31) и C.32) имеем
m^f(r) = <F(r)>. C.34)
Если я|э обозначает нормированную волновую функцию частицы,
то формула B.69) для среднего значения дает
(r)l2F(rKr. C.35)
Так как силу F по предположению можно считать постоянной в
области V, которая содержит вектор <г>, поскольку эта область
выпукла, то можно заключить, что
(F (г)) « F «г» \ | ф (г) р dh = F «г», C.36)
v
так как функция я|э нормирована. ¦
Условия теоремы Эренфеста, вообще говоря, не могут вы-
выполняться для всех моментов времени, как в этом можно убе-
убедиться, исследуя изменение со временем неопределенности коор-
координаты частицы. Рассмотрим, например, свободную частицу
(F = 0), так что в силу C.32) вектор <р> остается постоянным.
Возьмем только первые компоненты Х\ и р\ векторов г и р. Из
формулы B.70) для неопределенности вместе с уравнением
C.26) получаем
-? (A*,2) = Gf[#, *,2])-2<*,>4<*i>. C.37)
± (Ар,2) = (| [Я, р,2]) - 2 <Pl) ±(Pl). C.38)
Так как Н коммутирует с pi, уравнение C.38) показывает, что
Api2 есть константа движения. Проводя вычисления, подобные

122 Гл. 3. Квантовая динамика
приведшим к соотношению C.29), получаем
\П , Х\ \ = \X\P\ -
поэтому
bPi*i>--|-<*i><Pi>, C-39)
а следовательно,
C.40)
Таким образом, средние значения и неопределенности компо-
компонент импульса постоянны, но неопределенности координат, во-
вообще говоря, увеличиваются со временем и волновой пакет рас-
расплывается.
Ток вероятности. Временное уравнение Шредингера для од-
одной частицы, движущейся в потенциале У (г), имеет вид C.7)
Умножив это уравнение на i|) и взяв мнимую часть, получим
Т П [* Ж + * #1 = - -ШГ ^Ф - *^], C.41)
что можно переписать в виде
4?-+V.j = 0, C.42)
где
Р = I "Ф I
= -ViIm f*v*l- C-43)
Здесь p — плотность вероятности: если бы очень много частиц
двигались в потенциале V одновременно и независимо наподо-
наподобие облака пыли, то р (практически с полной определенностью)
было бы плотностью массы пыли (если принять полную массу
пыли равной единице). Уравнение C.42) в механике жидкости
известно как уравнение неразрывности. Оно требует, чтобы век-
вектор ] интерпретировался как плотность потока, описывающего
течение в пространстве величины, имеющей плотность р. При-
Причину такой интерпретации можно увидеть, если проинтегриро-
проинтегрировать уравнение C.42) по некоторой области V и использовать

§ 3.1. Уравнения движения 123
теорему о дивергенции; тогда получим
.dSt C.44)
V dV
где dV — граница области V. Таким образом, полная вероят-
вероятность того, что часгица находится в области V, уменьшается со
скоростью, определяемой потоком вектора j через границу об-
области V наружу. Можно представить себе вероятность, пере-
переносимую вектором j. (Для классического облака пыли имели бы
j = pv, где v — ноле скоростей пыли в рассматриваемой точке.)
Поэтому вектор j называют током вероятности.
Граничные условия для уравнения Шредингера. Как было
показано (см. C.20), C.21)), определение временной эволюции
волновой функции системы нескольких частиц сводится к по-
построению решений стационарного уравнения Шредингера C.21),
т. е. к нахождению собственных функций и собственных значе-
значений гамильтониана этой системы. В следующей главе будет ис-
исследована алгебраическими методами эта проблема отыскания
собственных значений и собственных состояний для нескольких
интересных физических систем. Но в общем случае проблема
отыскания собственных функций и собственных значений требует
решения дифференциальных уравнений. Поскольку данная кни-
книга посвящена в основном принципам теории, а не изложению
методов вычислений, мы отсылаем читателя к другим книгам
(см., например, [18, 87]), в которых подробно изложены методы
решения дифференциального уравнения Шредингера. Здесь же
ограничимся строгой математической постановкой задачи и
сформулируем граничные условия, которым должна удовлетво-
удовлетворять волновая функция.
Простейший случай представляет одна частица, движущаяся
в одном измерении. Для нее стационарное уравнение Шредин-
Шредингера принимает особенно простой вид
?- + П*Н = ?Ч>- C-45)
Будучи элементом из пространства состояний W, определенным
условиями W1—W3 (с. 60), функция ф должна быть квадра-
квадратично интегрируемой и равномерно непрерывной; поэтому она
должна удовлетворять условиям
¦ф (*)-»• 0 при х -»-±оо. C.46)
Это единственные граничные условия для дифференциального
уравнения C.45). Иногда эти условия оказываются слишком
ограничительными: как мы видели в § 2.5, эрмитов опе-
оператор может не иметь собственных функций в пространстве,

124 Г л 3. Квантовая динамика
определенном условиями Wl—W3; тогда необходимо рассмат-
рассматривать не собственные функции, а собственные бра-векторы. По-
Последние являются функциями i\ тоже удовлетворяющими урав-
уравнению C.45), но с условиями
со
\ ф (х) ф (х) dx < оо при всех fef. C.47)
В частности
-^-->0 при *-*±оо. C.48)
Если гамильтониан Н является оператором, действующим в
пространстве состояний Ж и переводящим гладкие функции в
гладкие функции, то потенциал V(x) тоже должен быть гладкой
функцией от х. Физически это разумное условие. Вместе с тем
часто удобно рассматривать разрывные потенциальные функ-
функции; такие потенциалы оказываются хорошими моделями для
реальных физических ситуаций и для них получаются уравне-
уравнения Шредингера, которые можно точно разрешить. Чтобы рас-
рассматривать разрывные потенциальные функции как операторы,
необходимо использовать специальное пространство волновых
функций; налагаемые на волновые функции условия зависят от
характера разрывов потенциальной функции. (Это не связано
с какими-то отступлениями от основных физических принци-
принципов; следует помнить, что мы всегда имеем дело с некоторым
упрощением реальной физической ситуации, в которой потен-
потенциальная функция на самом деле гладкая и волновые функции
принадлежат стандартному пространству состояний W.)
Мы рассмотрим только потенциалы, которые обладают раз-
разрывами в виде простых скачков в конечном числе точек х\, ...
.. ., хп, а в остальных точках гладкие. Расширим пространство
W до пространства 9°, на котором оператор
определен и эрмитов. Очевидно единственные необходимые из-
изменения относятся к точкам разрыва функции V(x); предполо-
предположим поэтому, что функции, образующие пространство состояний
9°, гладкие всюду, за исключением точек х\, ..., хп. Тогда если
Ф(х) и ty(x) —любые две функции из 9°, рассматриваемые как
векторы состояний |^> и |г|з>, то
\ W{^^ }, C.50)

§ 3.1. Уравнения движения 125
где х0 = —оо, хп+\ = оо. Интегрируя первые слагаемые в фигур-
фигурных скобках по частям и сравнивая полученный результат с
>, получаем
[%?1 C.5D
где A,f обозначает скачок функции f в точке хс
C.52)
Если оператор Н эрмитов, то правая часть формулы C.51) дол-
должна обращаться в нуль для любых функций <ф и яр из 93. Наибо-
Наиболее естественным образом этого можно добиться, если потребо-
потребовать, чтобы все функции в 9* были непрерывны и имели непре-
непрерывные производные. Тогда, чтобы функции в 9" оставались в 9°
после действия на них оператора Я, необходимо наложить сле-
следующее условие на вторые производные: они должны иметь раз-
разрывы, в точности компенсирующие разрывы в потенциальной
функции V. Таким образом, пространство 9* должно состоять из
функций, удовлетворяющих условиям
1) ар и ар' непрерывны при xt C.53)
2) ¦?rbtf = (AtV)$, C.54)
где штрихи обозначают дифференцирование по х. Условие
C.54) —только первое из цепочки условий, налагаемых на раз-
разрывы высших производных функций -ф. Приведенные условия
удовлетворяются автоматически, если функция г(> является су-
суперпозицией решений уравнения Шредингера C.45), каждое из
которых удовлетворяет условиям непрерывности C.53).
Если необходимо построить собственные бра-векторы, сле-
следует решать проблему отысканием функции ар, удовлетворяющей
соотношению
-W-0 + V*]rf* = ? $ №dx для всех ф s 9>.
— оо — оо
C.55)
В этом случае те же граничные условия C.53) возникают как
условия, необходимые для того, чтобы соотношение C.55) было
эквивалентно уравнению Шредингера C.45) (задача 3.12).
Рассмотрим, например, потенциал V(x) в виде простой сту-
ступенчатой функции с одной точкой разрыва при х — 0:
( 0 при *<0,
1¦ ' \ Vo при х > 0.

126 Гл. 3. Квантовая динамика
Тогда при Е >• Vq общее решение уравнения Шредиигера C.45)
имеет следующий вид:
при х < О \\>(х) = Aeikx + Be~ikx, где k2 = 2/nE/h2;
при х > 0 яр (л:) = Се№ + De-'/Oe, где /С2 = 2/и (Я — V0)/h2.
Условия непрерывности налагают следующие требования па
константы А, В, С, D: из того, что функция яр непрерывна при
х = 0, следует, что А + В = С + D; из того, что функция яр' не-
непрерывна при х = 0, следует, что г'Ы — ikB = iKC — iKD.
Еще одна идеализация, которую иногда удобно принять, со-
состоит в том, что частица может находиться только в опреде-
определенной области R пространства, так что гр = 0 вне R (часто
говорят, что "У = оо вне /?"). Пусть R будет интервалом (а, Ъ)
на прямой. Тогда пространство состояний 9" будет простран-
пространством гладких функций, заданных на (а, Ь), с внутренним про-
произведением, определяемым интегралом
{х)йх. C.56)
Даже если функция V(x) гладкая на (а, Ь), необходимо нало-
наложить определенные граничные условия в точках а и Ь, чтобы
сделать гамильтониан C.49) эрмитовым. Условие того, что опе-
оператор Н эрмитов, имеет вид
#-#¦]!-»¦ <з-57>
Оно будет удовлетворено, если все функции яр из У удовлетво-
удовлетворяют условиям
яр (а) = яр (Ь) = 0; C.58)
при этом на производные функции яр никаких условий не накла-
накладывается. (Условию C.57) можно также удовлетворить, если
потребовать выполнения условий яр'(а) =гр'(&) =0 вместо ус-
условий C.58); последние более удобны, так как они делают опе-
оператор импульса р = ih d/dx эрмитовым.)
Для свободной частицы, ограниченной в своем движении ин-
интервалом (а, Ь), не подверженной действию никаких внешних
сил, гамильтониан Н = р2/2пг и уравнение Шредингера C.45)
принимает вид
с граничными условиями C.58). Решения этого дифференциаль-
дифференциального уравнения имеют вид
т|) == A sin k {x — а) + В cos к [х — а), C.60)

§ 3.2. Инвариантности и константы движения 127
где
k2 = 2mE/h2.
Граничные условия C.58) будут удовлетворены, если
В = 0, k(b — a) = nn, C.61)
где п — целое число. Таким образом, энергия Е может прини-
принимать только значения
которые образуют дискретное множество. Такая дискретность
является важным квантовым эффектом, она характерна для ча-
частицы, движения которой ограничены некоторой областью.
§ 3.2. Инвариантности и константы движения
Предположим, что исследуемая физическая система может за-
занимать любое место в пространстве. Тогда можно рассматри-
рассматривать результат перемещения всех частей системы на одно и то
же расстояние, характеризуемое вектором а. Такая операция на-
называется трансляцией. Каждому состоянию |я|э> системы будет
соответствовать некоторое другое ее состояние |i|/> в новом по-
положении. Состояние ji?'> получается, если произвести все дей-
действия, которые были проделаны для получения состояния |г|з>,
но со всеми приборами, перемещенными на вектор а. Если при-
принять теперь, что все основные законы физики одинаковы во всех
точках пространства, то представляется разумным допустить, что
никакая суперпозиция состояний не изменится в результате
трансляции, т. е.
так как, чтобы создать в новом положении состояние c1|i|>i) +
+ с21 грз), требуются в точности те же манипуляции с приборами,
которые нужны были для того, чтобы в старом положении соз-
создать состояние ci|г|51> + C2|^2>, а не отдельно состояния |i|)i>
или |г|J>. (Более общий случай рассматривается на стр. 137.) Та-
Таким образом, соответствие между состояниями |г|5> и |я|/> долж-
должно быть линейным:
I *') = ?/(Г.) 1Ф), C.64)
где U (Та)— некоторый линейный оператор, действующий в про-
пространстве состояний. Аналогично соотношения между состоя-
состояниями, выраженные их внутренними произведениями, тоже дол-
должны оставаться неизменным после трансляции, т. е.
C.65)

128 Гл. 3. Квантовая динамика
Взяв эрмитово сопряжение формулы C.64), получим
W\ = ®\[U(Tj]\ (з.бб)
Следовательно, соотношение C.65) дает
(Ф I [U (Га)]+ U (Га) \$) = {ф\ Ф). C.67)
Поскольку это соотношение справедливо для любых состояний
\ф) и |г|)>, из него следует
[?/(Га)ГС/(Га)=1. C.68)
Таким образом, оператор U (Ta) — унитарный.
Линейность и унитарность оператора U (Га) следуют из пред-
предположения, что соотношения между состояниями, имеющиеся в
фиксированный момент времени, не изменяются при трансля-
трансляции, или, другими словами, общий формализм, предлагаемый
для описания квантовой системы, инвариантен относительно
трансляций. По этой причине трансляции мы назовем унитари-
тарными операциями.
Вообще будем различать понятие операции, которая произ-
производится над самой физической системой, и понятие оператора,
который математически действует в пространстве ее векторов со-
состояний. (Такое различие связано с различием понятий состоя-
состояния и вектора состояния.) Операция называется унитарш-арной,
если она не изменяет статических законов квантовой механики,
примененных к рассматриваемой системе; такая операция пред-
представляется унитарным оператором в пространстве состояний
данной системы. Наши обозначения учитывают различие между
операциями и операторами. Так, Га обозначает операцию транс-
трансляции системы на вектора, a U{Ta) обозначает соответствую-
соответствующий этой операции оператор.
Предположим теперь, что временная эволюция системы тоже
инвариантна относительно трансляций, т. е. соотношения между
состояниями в различные моменты времени не изменяются при
трансляции. Тогда если |^(/)>—непрерывная последовательность
состояний, через которые эволюционирует состояние |я|)@)>, то
транслированное состояние U (Га) |i|>@)) будет эволюционировать
через непрерывную последовательность состояний U(Ta)\ty(t)).
Таким образом, если состояние |я|)@> удовлетворяет уравнению
Шредингера, то ему удовлетворяет и состояние U (Ta) \ ty (t)):
ih -^ [U (Га) | ф (t))] = HU (Г») I Ч> @). C.69)
Кроме этого уравнения имеем также уравнение
it, 4[U(Га) Iф (/)>] = U (Га) ih-jjflV (Л) = U (Га) Я | я|> (/)), C.70)

§ 3.2. Инвариантности и константы движения 129
так как состояние |г|з(/)> удовлетворяет уравнению Шредин-
гера. В частности, при / = 0 с учетом того, что |чИ0)> обозна-
обозначает произвольное состояние, из C.70) следует
a) = U(TJH. C.71)
Таким образом, чтобы поведение системы было инвариантным
относительно трансляций, необходимо, чтобы операторы транс-
трансляций коммутировали с гамильтонианом.
Обладает лн в действительности данной инвариантностью
физическая система, зависит от того, сколь широко мы ее опре-
определили. В классической механике, например, система, состоя-
состоящая из одной частицы, движущейся в гравитационном поле Зем-
Земли, не инвариантна относительно трансляций. Такая частица ве-
ведет себя по-разному, когда она движется вблизи или далеко от
поверхности Земли, так как гравитационное поле при удалении
от Земли становится слабее. Но если рассматриваемую систему
расширить и включить в нее Землю, то эта новая расширенная
система будет инвариантной при трансляциях: если частицу и
Землю перенести вместе в любое другое положение во Вселен-
Вселенной, то силы, действующие между частицей и Землей, останутся
теми же, так как расстояние между ними не изменится. Суще-
Существует всеобщее и сильное убеждение, которое заключается в
том, что, если включить в систему все существенное из ее окру-
окружения, трасляциопная инвариантность будет всегда восста-
восстановлена: законы физики не изменяются при переходе из одного
места пространства в другое. Это утверждение, по-видимому, яв-
является результатом длительного влияния коперникапской рево-
революции: мы твердо убеждены, что во Вселенной нет центра пли
какой-либо другой выделенной точки.
Когда а=0, трансляция, конечно, не оказывает никакого
влияния на систему; поэтому Г@) —единичный оператор. Пред-
Предположим теперь, что U{TU) является дифференцируемой функ-
функцией а, и рассмотрим оператор
A- = i^-^a)U, C-72)
называемый инфинитезимальным трансляционным оператором.
Дифференцируя C.68) и полагая а = 0, находим
D, + D? = 0. C.73)
Таким образом, оператор Dt антиэрмитов. Пусть Pi = ihDi, тог-
тогда оператор Р,- эрмитов, поэтому он может описывать наблю-
наблюдаемую.
Идентифицируем наблюдаемую Pit определенную операто-
операторами U (Га) и Di, в случае системы, состоящей из одной части-
частицы, движущейся в трехмерном пространстве. В результате

130 Гл. 3. Квантовая динамика
действия оператора U(Ta) на волновую функцию ф получается
волновая функция i|/, значение которой в точке r+а равно значе-
значению функции я|) в точке г (последнее утверждение иллюстрирует
рис. 3.1, где значения функции я|э передаются плотностью почер-
почернения в данной точке). Таким образом, имеем соотношение
г|/(г + а) = гИг), C.74)
или, учитывая, что ф' = U (Га) Ир, соотношение
= Ф(г —а). C.75)
Следовательно, учитывая определение C.72), получаем
D^ М = ж^и (г«) *] (f) U = ¦?- № (г - а)]а-о = ~ ш: W'
1 C.76)
а потому
Pt==ibDt = -ih^-. C.77)
Мы приходим к заключению, что наблюдаемые Pi являются ком-
компонентами импульса частицы.
Ф
Рис. 3.1. Действие операции трансляции на волновой пакет.
Предположим теперь, что поведение системы инвариантно
относительно трансляций, а потому справедливо соотношение
C.71). Дифференцируя его, получаем
HPt = PtH, C.78)
т. е. операторы Р,- коммутируют с гамильтонианом.
Наблюдаемая, коммутирующая с гамильтонианом, называет-
называется сохраняющейся величиной или константой движения. Из тео-
теоремы 3.1 следует, что для такой наблюдаемой среднее значение
не зависит от времени, на самом деле справедливо следующее
более сильное утверждение.

§ 3.2. Инвариантности и константы движения 131
Теорема 3.3. Если наблюдаемая А коммутирует с гамильто-
гамильтонианом, то вероятность того, что А принимает определенное зна-
значение а, не зависит от времени.
Доказательство. Пусть ?Ра—-подпространство собственных
состояний наблюдаемой А, соответствующих собственному зна-
значению а, а Ра— ортогональный проекционный оператор на 9"а-
Покажем, что оператор Ра коммутирует с гамильтонианом Я.
Если состояние |я|)а> принадлежит к 9"а, так что Л|фа>==
= а|'Фа>. то
АН\%) = НА\Ца) = аН\%), C.79)
т. е. состояние H\tya} тоже принадлежит к ??„. Но любое со-
состояние |я|)> можно представить в виде
C-80)
где состояние | i|)a) = Ра | я|з) принадлежит к S?a, а состояние | ^)
ортогонально 9"а. Тогда состояние Я | я|за) принадлежит к 9*а,
а состояние Я|я|з±) ортогонально ^а. Действительно, поскольку
| ф) — любой вектор из 9"а, то Я | ф) тоже лежит в ^а, поэтому
<*|Я|Ч>±> = <1>х1Я|#=0. C.81)
Таким образом, состояние Я|г|5а> является ортогональной проек-
проекцией состояния Я|я|5> на подпространство ^а, т. е.
НРа\Ъ) = РаН\Ъ). C.82)
Поскольку |г|5> — произвольный вектор состояния, отсюда сле-
следует, что НРа = РаН.
Воспользуемся теперь формулой B.42) для вероятности того,
что наблюдаемая А имеет значение а, и теоремой 3.1 для скоро-
скорости изменения среднего значения. Тогда находим
Теперь нам ясно, что свойство коммутативности с гамильто-
гамильтонианом важно для операторов двух различных типов: для
унитарных операторов, например описывающих действие транс-
трансляций, и для эрмитовых операторов, которые представляют на-
наблюдаемые. Свойство по-разному проявляется в обоих случаях;
общая ситуация резюмируется следующей теоремой.
Теорема 3.4. Если унитарный оператор коммутирует с га-
гамильтонианом, то он описывает некоторую физическую опера-
операцию для рассматриваемой системы, которая оставляет ее пове-
поведение инвариантным. Если эрмитов оператор коммутирует с
гамильтонианом, то он описывает некоторую наблюдаемую,
являющуюся сохраняющейся величиной. ¦

132 Гл. 3. Квантовая динамика
Обобщим рассуждение, которое в случае операций трансля-
трансляции и оператора импульса проиллюстрировало связь между уни-
унитарными и эрмитовыми операторами, и докажем следующую тео-
теорему.
Теорема 3.5. Если U(X)—семейство унитарных операторов,
зависящих дифференцируемым образом от вещественного пара-
параметра X, причем так, что U @) = 1, то оператор
C.83)
эрмитов. Если оператор U (X) описывает инвариантности Qx си-
системы, то X характеризует сохраняющуюся наблюдаемую. Ш
Во многих случаях, представляющих физический интерес,
операции Q?, образуют группу, в которой композиция операто-
операторов сводится к операции сложения параметров, т. е.
Qx°Q»x = Qa+(x> C.84)
где Qj, о Qjx—композиция операций, состоящая в осуществле-
осуществлении сначала операции Q&, а затем операции QK. В таких слу-
случаях унитарные операторы U(QX) можно выразить через эрми-
эрмитов оператор X следующим образом.
Теорема 3.6. Пусть Q% — семейство операций для какой-либо
физической системы, характеризуемых некоторым вещественным
параметром X и удовлетворяющих условию C.84), причем дей-
действие указанных операций на состояния системы описывается
унитарными операторами. Тогда эти операторы можно предста-
представить в следующем виде:
?/(Qx) = e-'w*, C.85)
где X—некоторый эрмитов оператор.
Доказательство. Чтобы упростить обозначения, будем ис-
использовать обозначение U(X) вместо U(QX). Сначала сопоста-
сопоставим операции Qx унитарный оператор U\(X). Тогда вектор со-
состояния Ui(X)Ui(\\)\ty) будет описывать состояние системы,
полученное применением к состоянию системы | ip> сначала
операции Q^ и затем операции Qi. Этот вектор состояния полу-
получается и в результате применения операции Q^+p,, поэтому он
может быть представлен как U\(X-{- \i) |if>- Следовательно,
f/, (Я + |i) I Ч>> = о (К ц) ?/, (Я) Ul (ц) [ ф>, C.86)
где в>(%, ц)—некоторое комплексное число, равное по модулю
единице; оно не зависит от |i|)>, так как оператор U\(%-\- ц) дол-
должен быть линейным. Поскольку соотношение C.86) справедливо
для любых векторов состояний |г))>, имеем
?/, (X + ц) = со (X, ц) U, (X) U, (ц). C.87)

§ 3.2. Инвариантности и константы движения 133
Можно принять, что U\ @) = 1; тогда получаем
и (Я, 0) = со@, ц)=1. C.88)
Но
со (Я, 6Я) t/, FЛ) С/, (д,) - t/t (Д)
т . Г со (X, 6Л) G, FЯ) — t/i @) "I ,, ,, ч (Э г ,, ч гт , u
= Lim —^— \\ — t/, А) = -— со (К, ц) U{ (ц) u
Введем обозначения (да>/дц) (А, 0) = а (К) и //г (dUjdix) = X; тогда
(*) + -§-]?/, (Л), C-89)
поскольку ?/i@) = 1 и и (А, 0) = 1. Введем новый оператор
U (Л) = ехр - j a (X') dV [/, (Я); C.90)
тогда
Решение этого дифференциального уравнения с дополнительным
условием G@)= 1 имеет вид
C.92)
в чем легко убедиться, используя соотношение |я|)(Л)> =
= U (к) |я|H> и уравнение
/Л^|ф(А)) = Лф(Я)), C.93)
совпадающее по виду с уравнением Шредингера C.4), если за-
заменить в последнем Н на X и t на К. Таким образом, решение
уравнения C.93) дается формулой C.3), в которой надо произ-
произвести указанную замену.
Поскольку комплексное число и (Я, ц) по модулю равно еди-
единице при всех Я и |.i, число ее (Я) является чисто мнимым, а по-
потому экспоненциальный множитель в C.90) по модулю равен
единице. Таким образом, оператор U(к) отличается от опера-
оператора Ui(k) только фазовым множителем, а следовательно, опи-
описывает ту же физическую операцию QK. Ш
Приведем пример использования формулы C.85). Положим
в ней Qk = Tm, т. е рассмотрим трансляции в направлении х.
Тогда действие операторов U(QX) на волновые функции описы-
описывается формулой C.75). Так как теперь X = —ifid/dx, то,

134 Гл. 3. Квантовая динамика
разлагая экспоненту в C.85) в степенной ряд, обнаруживаем,
что формула C.85) в рассматриваемом примере сводится к тео-
теореме Тейлора.
Эрмитов оператор X называется эрмитовым генератором се-
семейства унитарных операторов U(Q0 ¦ Вообще говоря, оператор
X не однозначно определяется унитаритарными операциями Q^,
так как всегда имеется возможность умножения унитарных опе-
операторов U(Qi) на фазовые множители со {Я). При этом к опера-
оператору X добавляется некоторое кратное единичного оператора.
Однако такую неоднозначность часто исключают, когда имеют
дело с несколькими семействами операторов Qx, которые все
вместе образуют большую группу (см. § 3.3).
Как отмечалось при доказательстве теоремы 3.6, эрмитов ге-
генератор X связан с унитарными операторами U(Q^) так же,
как гамильтониан Н связан с операторами эволюции во времени
U(t) (§ 3.1). Оператор U(t) описывает операцию преобразова-
преобразования состояния, взятого в момент t0, в состояние в момент вре-
времени t0 + t, подобную операции трансляции в пространстве, но
касающуюся времени. Таким образом, гамильтониан можно рас-
рассматривать как эрмитов генератор временных трансляций.
В классической механике, как и в квантовой теории, любое
непрерывное семейство инвариантных операций связано с не-
некоторой сохраняющейся величиной (см. [46], с. 411). В ней та-
такие инвариантности относительно трансляций в пространстве
связаны с сохранением импульса. Другим важным примером
является инвариантность относительно вращений (с одной непо-
неподвижной точкой, например началом системы координат); соот-
соответствующей сохраняющейся величиной будет угловой момент
(относительно указанной точки). Эти два примера чрезвычайно
важны, и их следует сформулировать в качестве одного из ос-
основных квантовомеханических постулатов.
Постулат VII. Трансляции и вращения являются унитари-
унитаритарными операциями, т. е. в пространстве состояний любой
физической системы, находящейся в трехмерном простран-
пространстве, определены унитарные операторы U{Ta) и U(R(n, 0)),
описывающие действие трансляции, производимой на вектор
перемещения а, и вращения вокруг оси п на угол 9. При
фиксированном п наблюдаемая, связанная с семейством
U(%) = U{T%n), равна Р-п, где Р — полный импульс системы;
наблюдаемой, связанной с семейством U(X) =U(R(n, X)),
является J-n, где J — полный угловой момент системы.
С помощью сформулированного постулата легко построить
операторы, представляющие компоненты углового момента си-
системы, состоящей из одной частицы, которая описывается вол-
волновыми функциями, если провести рассуждения, аналогичные

i,S' il.2. Инвариантности и кинстангы Оаихсния 135
использованным при получении выражений для операторов ком-
компонент импульса в C.77). Вращение R представляет собой опе-
операцию, относящуюся к трехмерным векторам. Если последние
представлять трехкомпонентными векторами-столбцами, то опе-
операция R будет матрицей типа 3X3. Например, если R описы-
описывает вращение вокруг оси г на угол 0, то
cos6 —sine О
R = R (к, 0) =
sin 0 cos 9 0
0 0 1
C.94)
Унитарный оператор U(R) действует на волновые функции ана-
аналогично тому, как действует па них трансляционный оператор
U(Ta) (см. рис. 3.1). Оператор U(R) переводит волновую функ-
функцию i|i в новую функцию i|/, значение которой в точке Rr равно
значению исходной функции ф в точке г. Следовательно,
y(R-1r) C.95)
[ср. C.75)]. В частности,
[U {R (к, 9)) ф] (х, у, z) = -ф (х cos Q + у sin 6, — х sin 9 -f у cos 9, 2).
C.96)
В силу теоремы 3.5 и постулата VII г-компонента углового
момента представляется оператором
Jz = in-c^U(R(k,Q))\^0. C.97)
Следовательно, дифференцируя соотношение C.96) по 0 и по-
полагая 9 = 0, получаем
т. е.
/г = ih iy ~?г ~ х 1^)-= хру ~~ УРх' C'98)
если использовать обычные выражения B.112), B.113) для опе-
операторов компонент импульса. Выражение C.98) представляет
собой z-компоиенту векторной формулы
J = rXp, C.99)
служащей классическим определением углового момента части-
частицы. Аналогично можно показать, что х- и «/-компоненты формулы
C.99) тоже дают соответствующие квантовомеханические опе-
операторы.
Постулат VII позволяет также построить оператор углового
момента для фотона. Рассмотрим фотон, движущийся в направ-
направлении z с состояниями поляризации | </>*> и | фу}. В результате

136 Гл. 3. Квантовая Оинамики
вращения вокруг оси г на угол 0 состояние \фх) переходит в со-
состояние с поляризационным вектором, образующим угол 0 с
осью х:
U(R(k, G))|^) = cose|^>+sin6|^). C.100a)
Аналогично получаем
U(R(k, в))\фИ)=-з1пв[фх)+со5в\фу). C.1006)
Таким образом, г-компонеита углового момента дается операто-
оператором, для которого
h I Фх) = ih 4f [cos 81 фх}+ sin 61 фу)]в_0 = ih [ фу),
Шу)=-ш\Ф,). (ЗЛ01)
Остальные компоненты углового момента относятся к состоя-
состояниям с другими направлениями движения фотона, поскольку дру-
другие вращения превращают фотон, движущийся в направлении г,
в фотон, движущийся в другом направлении.
Четность. Третьей геометрической операцией, которая очень
существенна в динамике квантовомеханической системы, яв-
является пространственная инверсия. Как и операции вращения,
она определяется относительно некоторой конкретной точки про-
пространства, в качестве которой можно взять начало координат.
Операция пространственной инверсии переводит точку г в точку
—г. Несколько легче представить себе комбинированную опера-
операцию, включающую инверсию и вращение на угол л вокруг неко-
некоторой оси п; в результате получается операция зеркального от-
отражения в плоскости, перпендикулярной вектору п. Ни одна из
рассматриваемых двух операций не может быть применена к
физическому объекту; тем не менее эти операции физические в
том смысле, что для любой физической системы можно указать
другую физическую систему, которая превращается в первую
операцией пространственной инверсии (если первая система
представляет собой частицу, находящуюся в точке г, то вторая
представляет собой частицу, находящуюся в точке —г).
Операция инверсии превращает левое в правое и наоборот.
Таким образом, утверждая, что операция инверсии является уни-
таритарной, мы тем самым утверждаем, что с точки зрения фи-
физических законов правое неотличимо от левого. Последнее пред-
представляется вполне разумным предположением. (Экономические
законы могут, конечно, дискриминировать левшу, который захо-
захочет, скажем, купить подходящую для него пару ножниц; но по-
после того как он нашел такие ножницы, пользоваться ими, со-
согласно физическим законам, будет не труднее, чем правше.)
Если согласиться с высказанным предположением, то следует
заключить, что существует некоторый унитарный оператор Р,

§ 3.2. Инвариантности и константы движения 137
который описывает действие операции пространственной инвер-
инверсии на векторы состояний; на волновые функции, например, ука-
указанный оператор действует следующим образом:
[Р^](г) = 1)(-г). C.102)
Если применить к системе операцию пространственной ин-
инверсии дважды, то система придет в свое первоначальное состоя-
состояние; таким образом, состояние Р2|ф> должно быть кратным со-
состоянию |ip>. Снабжая в случае необходимости оператор Р фа-
фазовым множителем, можно получить
Р2=1. C.103)
Поскольку в данном случае речь не идет о непрерывном се-
семействе операторов, нет и эрмитова оператора, связанного с ин-
инверсией, как в теореме 3.5. Поэтому нельзя ожидать существо-
существования сохраняющейся величины, связанной с инвариантностью
относительно пространственной инверсии. И в классической ме-
механике действительно нет такой сохраняющейся величины.
В квантовой механике условие C.103) и тот факт, что опера-
оператор Р унитарный, приводят к тому, что
Р = Р~1 = Р\ C.104)
т. е. оператор Р является одновременно и эрмитовым, и унитар-
унитарным оператором. Таким образом, оператор Р представляет неко-
некоторую наблюдаемую. Последняя называется четностью. Вслед-
Вследствие условия C.103) ее собственные значения равны ±1 (эти
собственные значения называют также четным и нечетным со-
соответственно). Если операция пространственной инверсии ока-
оказывается инвариантностью системы, то оператор Р (как унитар-
унитарный) коммутирует с гамильтонианом Я, а потому (как пред-
представляющий наблюдаемую) характеризует сохраняющуюся ве-
величину.
Обращение времени. До сих пор мы предполагали, что лю-
любая физическая операция должна представляться в пространстве
состояний линейным оператором. Основанием для такого пред-
предположения был тот аргумент, что равенство
C.105)
которое выражает соотношение между тремя состояниями |
|я|)]> и |i|J>, должно сохраняться указанной операцией. Однако
данный аргумент не учитывает различий между состояниями и
векторами состояний. Коэффициенты С\, Сг описывают соотноше-
соотношения между векторами состояний, но для соотношений между
физическими состояниями важны только квадраты их модулем"!
с,!2, |с2|2. Фазы векторов состояний важны, но только в тех

138 Гл. 3. Квантовая динамика
случаях, когда они входят в выражения для вероятностей, по-
подобные |<</>|^)|2. Таким образом, единственное свойство, которое
необходимо, чтобы описать результат действия операции, кото-
которая не нарушает законов квантовой статики, состоит в том, что
векторы состояний \Т<р), | !Гф>, описывающие состояния \<j>), |я|)>
после действия операции, должны удовлетворять условию
\(Тф\Т^)\г=\(ф\Ир)\ при всех \ф), Ц>>. C.106)
Теорема Вигнера (доказательство намечено в задаче 3.23)
утверждает, что если Т — некоторое отображение векторов со-
состояний, удовлетворяющее условиям C.106), то для каждого
вектора |ip> можно указать такое комплексное число <о (|<о| =
= 1), что отображение U, определяемое соотношением
C.107)
либо линейно и унитарно, либо удовлетворяет условию
U (с, [ Ч>,> + с2 [ г|J» = с,С/ [ Ь) + C2U | г|>2>- C-108)
В последнем случае оператор U называют антилинейным. Как
следствие условия C.106), если оператор U антилинейный, он
должен удовлетворять также условию
{Ф' I Ф')— (^ I ^}> ГДС I ^') == ^ I ^)> I "ФО == U | ф); C.109)
в этом случае оператор U называют антиунитарным.
Примером антилинейного оператора является оператор К
комплексного сопряжения, который при фиксировании любой за-
заданной полной системы состояний |ipi>, |%>, ••• определяется
следующим образом:
если | г|))= X ct | ¦фД то К \ Ф) = сг | ф;). C.110)
(Заметим, что понятие комплексного сопряжения не имеет аб-
абсолютного смысла в векторном пространстве, так как зависит
от выбора базисной системы векторов.) В более общем виде
оператор комплексного сопряжения по отношению к заданной
полной системе бра-векторов определяется следующим образом:
{¦ф; | К I 'ф) = (it1; I ¦ф)- C.111)
Если такой оператор комплексного сопряжения К построен, то
антиунитарный оператор U можно записать в форме U = KV,
где V — линейный унитарный оператор.
Единственной физической операцией, которая представляется
антилинейным оператором, является операция обращения вре-
времени. Эта операция оставляет все части физической системы в
исходных положениях, но заменяет все их импульсы и угло-
угловые моменты на противоположные. В случае системы, состоящей

§ 3.2. Пнсариинтносги и константы Овижения 139
из одной простой частицы, обращение времени представляется
оператором Г комплексного сопряжения по отношению к системе
собственных бра-векторов для координаты частицы, что эквива-
эквивалентно следующей операции комплексного сопряжения волновых
функций:
= ?(г). C.112)
Операция Т оставляет частицу в прежнем ее положении в том
смысле, что она не изменяет вероятности, с которой частица мо-
может быть найдена в данной точке пространства. Но эта опера-
операция заменяет импульс частицы на обратный, так как если
¦ф = е»1<т — собственная функция импульса с собственным значе-
значением ftk, то функция Г'ф = ?~'к'г будет собственной функцией им-
импульса с собственным значением —hk. (Точнее вероятность
того, что частица будет иметь импульс р, если она находится в
состоянии |-ф>, равна вероятности того, что она будет иметь им-
импульс —р, если она находится в состоянии Г[ф>.)
Система инвариантна относительно обращения времени, ес-
если состояния Г|г|)(—/)> представляют собой непрерывную по-
последовательность состояний (являющихся решениями уравнения
Шредингера), когда состояния |г|)(?)> являются такой непрерыв-
непрерывной последовательностью состояний. Условие такой инвариант-
инвариантности совпадает с условием инвариантности для любой другой
операции.
Теорема 3.7. Система инвариантна относительно обращения
времени, если ее гамильтониан коммутирует с антилинейным
оператором Т. В частности, система нескольких простых частиц,
движущихся под действием вещественного потенциала V{r\, . . .
..., /•„), инвариантна относительно обращения времени.
Доказательство. Пусть |г|>@>— возможная последователь-
последовательность состояний, т. е.
пусть | ф (/)) = Т | г|> (— /)). Тогда
Ш 4t I Ф @> = W ~ I Ч> (- D) = Т [- it, ^ И' (~ Ф] ,
поскольку оператор Т антилинейный, и далее
= тн | ч> (- /)) = нт | -ф (- /)> = н
так как оператор Т коммутирует с гамильтонианом Н. Таким
образом, состояния \<p{t)} тоже образуют возможную последова-
последовательность состояний, а потому рассматриваемая система инва-
инвариантна относительно обращения времени.

140 Гл. 3. Квантовая дина.иики
Гамильтониан системы нескольких простых частиц, движу-
движущихся в вещественном потенциале, дается выражением
ь2 иг
Г Г '*• ж—т^ '*¦ .—Л I T 7 / \
Это вещественный оператор, который явным образом коммути-
коммутирует с операцией комплексного сопряжения волновых функций:
т. е. операторы Н и Т коммутируют. Следовательно, рассматри-
рассматриваемая система инвариантна относительно обращения вре-
времени. №
Комбинированные системы. Если две системы 5] и S2 объ-
объединены в одну комбинированную систему S1S2, как в § 2.6, то
результат действия любой физической операции на эту комбини-
комбинированную систему можно охарактеризовать, описав действие
этой операции на каждую из систем 5i и S2- Пусть S^i и У2 —
пространства состояний систем 5i и 52 и предположим, что опе-
операция Q описывается унитарным оператором U\(Q) в простран-
пространстве 9*\ и унитарным оператором U2(Q) в пространстве 9>2- Тог-
Тогда если комбинированная система S\S2 находится в некотором
состоянии |<?>|я|)>, т. е. если система 5i находится в состоянии
\ф}, а 52 — в состоянии ja|)>, то в результате рассматриваемой
операции система SiS2 перейдет в состояние, в котором система
Si будет находиться в состоянии U\(Q) \<р}, а система S2— в со-
состоянии U2(Q)\ty}. Обозначая U(Q) соответствующий унитар-
унитарный оператор, действующий в пространстве 9^1 <8> 9*2, получаем
U(Q)l\<l>)\y)] = [U1(Q)\4>)][U2(Q)\^)]. C.114)
Оператор U(Q) называется тензорным произведением операто-
операторов U\(Q) и ?/г(ф); он записывается следующим образом:
U{Q) = UAQ)®U2(Q). C.115)
Если мы отождествим Ui(Q) с U\{Q) <S> 1, как в § 2.6 (см. при-
примечание к формуле B.128)), то можем записать
U(Q)=Ul(Q)U2(Q). C.116)
Предположим, что имеется последовательность операций Qx,
в которой Qo — единичная (тождественная) операция, как обыч-
обычно. Тогда, согласно теореме 3.5, существуют наблюдаемые Х\
и Х% для систем S\ и 5г, операторы которых являются эрмито-
эрмитовыми генераторами семейств ?/i(Qx) и U2(Qx); эти операторы
действуют в комбинированном пространстве состояний Ф\ <Э 9!>2
(см. B.128)). Эрмитов генератор X для семейства U(Q) опре-

§ 3,2. Инвариантности и константы движения 141
деляется соотношением
-~[и(Qx) |ф) |t)]^Q = ~
[и(Q) |ф) |t)] = ~ [Ux (Q0 | ф)U2
(ЗЛ17)
где использовано правило дифференцирования произведения и
тот факт, что Ui(Qo)== t/2(G0)= 1. Следовательно,
Х = Х1 + Х2; C.118)
таким образом, наблюдаемая X для комбинированной системы
равна сумме соответствующих наблюдаемых для ее подсистем.
Наблюдаемая, обладающая таким свойством, называется адди-
аддитивным квантовым числом. Итак, доказана следующая теорема.
Теорема 3.8. Если наблюдаемая является эрмитовым гене-
генератором семейства операторов, то она является аддитивным
квантовым числом. В
Таким образом, импульс и угловой момент, как и следовало
ожидать, исходя из классической механики, в квантовой меха-
механике оказываются аддитивными (векторными) величинами. Чет-
Четность, напротив, не является таковой. Так как оператор четности
сам по себе является унитарным оператором, представляющим
операцию, то, согласно соотношению C.116), для комбиниро-
комбинированной системы получаем
Р=--РХР2. C.119)
Следовательно, собственные значения четности для комбиниро-
комбинированной системы равны произведениям собственных значений чет-
четности для систем, образующих комбинированную систему. На-
Наблюдаемая с таким свойством называется мультипликативным
квантовым числом.
Преобразования наблюдаемых. Физическая операция, напри-
например трансляция или вращение, преобразует наблюдаемые си-
системы, как и ее состояния. Если А — произвольная наблюдае-
наблюдаемая, то можно построить другую наблюдаемую А', которая из-
измеряется в том же эксперименте, что и наблюдаемая Л, но со
всеми приборами, передвинутыми, например, в новое положение
на вектор смещения а. Оператор, соответствующий наблюдае-
наблюдаемой А', можно выразить через оператор для наблюдаемой А и
унитарный оператор U(Ta). Справедлива следующая теорема.
Теорема 3.9. Пусть Q — унитаритарная операция для произ-
произвольной квантовой системы, представленная унитарным опера-
оператором U(Q). Пусть А — наблюдаемая для данной системы, из-
измеряемая в эксперименте Е, а Л'— наблюдаемая, измеряемая в
том же эксперименте, но после осуществления операции Q с

142 Гл. 3. Квантовая динамика
приборами. Тогда наблюдаемая А' описывается оператором
1. C.120)
Если Qx — непрерывное семейство операций, связанных с эр-
эрмитовым оператором X, даваемым формулой C.83), то
НА'
= [Х, А]. C.121)
Доказательство. Пусть jij)a> — собственное состояние наблю-
наблюдаемой А, соответствующее собственному значению а, так что
эксперимент Е с определенностью дает результат а. Если этот
эксперимент произвести после осуществления операции Q, то его
результат тоже с определенностью будет а, так как операция Q
не нарушает физических законов квантовой статики. Во втором
эксперименте мы измеряем наблюдаемую А' в состоянии систе-
системы, характеризуемом векотором U(Q)\tya}. Следовательно, со-
состояние [/(Q)|i|>a> будет собственным состоянием для наблю-
наблюдаемой А', соответствующим собственному значению a
A'U-(Q) 11|>„> = aU (Q) | ttO = U (Q) A\^a). C.122)
Поскольку собственные состояния |al5a> образуют полную систе-
систему состояний, отсюда заключаем, что
A'U(Q) = U(Q)-A, C.123)
т. е. фактически получаем C.120).
Для непрерывного семейства операций нужно заменить Q
в C.123) на Qx. Дифференцируя полученное соотношение по X,
получаем
Так как U(Q^) = 1 и А' —А при Я = 0, то, используя C.83),
получаем
г1 А'
/А-™- =ХА-АХ. ¦
ah \=o
Из доказанной теоремы вытекают важные следствия для опе-
операций трансляций и вращений. Сначала в качестве операции Q
возьмем трансляцию на вектор смещения а и пусть A =f(r) —
произвольная функция вектора положения г. Если приборы, из-
измеряющие координаты частицы, сдвинуть в пространстве в новое
положение на вектор смещения а, то они дадут результат г' для
частицы, находящейся в точке г=г/ + а. Следовательно,
A' = f(r — &). C.124)
Положим теперь, что а = ^п; тогда имеем семейство унитарных
операторов U{T\n). Согласно постулату VII, связанный с семей-

§ 3.2. Инвариантности и константы движения
143
ством эрмитов оператор имеет вид Х=Р-п. Направив единич-
единичный вектор п вдоль i-й координатной оси, получаем
;и АК. _ _ i-ы Af
ал
dx,
= [Pt,f(r).
C.125)
-nxV,
вследствие C.121). Полагая f(r) = X/, убеждаемся, что канони-
канонические коммутационные соотношения B.117) являются частным
случаем соотношения C.125).
Будем теперь считать опе-
операцию Q вращением R и пусть
Л=т-У — компонента в на-
направлении m векторной наблю-
наблюдаемой V. Тогда если все при-
приборы повернуть в новое про-
пространственное положение вра-
вращением R, то они будут изме-
измерять компоненту наблюдаемой
V в повернутом направлении
Rm; следовательно, Рис. 3.2.
Пояснение
C.129).
к формуле
C.126)
Обозначив U(R) унитарный оператор, представляющий враще-
вращение R, из C.120) получим
U(R)\[U(P)]~1 = R~1W, C.127)
откуда
U (R) Vt
=¦ (/Г1),, V, = RitV,,
C.128)
где Rn — матричные элементы ортогональной матрицы R типа
3x3. Рассмотрим теперь семейство вращений Я (пД). Согласно
постулату VII, связанный с ним эрмитов оператор имеет вид Х=
= J-n. В соотношении C.121) производная dA'/d% теперь обо-
обозначает компоненту вектора
характеризующего скорость конца вектора V, когда он вращает-
вращается вокруг вектора п с единичной угловой скоростью (рис. 3.2).
Таким образом, соотношение C.121) приводит к векторному со-
соотношению
-ttnXV = [J-n,V]. C.130)
Поскольку п — произвольный вектор, последнее соотношение
можно также представить в виде
[/,Jj] = 'fie,/s C.131)
(см. приложение А, где объяснено обозначение е,-/*)

144 Гл. 3. Квантовая динамика
Наконец, пусть S — некоторая скалярная наблюдаемая. Та-
Такая наблюдаемая не связана с каким-либо конкретным направ-
направлением в пространстве, поэтому на нее не оказывает действия
вращение приборов в пространстве, т. е. S' = S. Следовательно,
U(R)S[U(R)rl=S,
поэтому
Г I ol А /о 1 оо\
у I, oj— U. (O.LOZ)
В частности, отсюда следует, что полученные соотношения спра-
справедливы для наблюдаемой 5, которая равна скалярному произ-
произведению каких-либо двух других векторных наблюдаемых или
абсолютному значению некоторой векторной наблюдаемой (на-
(например, расстояния г= \т\). Итак, мы доказали, что из посту-
постулата VII следует теорема.
Теорема 3.10 (основные коммутационные соотношения).
Имеют место соотношения
Г Г) ?1 1 + @Т /О I OQ\
[Ph f\ = — in ~^J~ , (o. loo)
i
[J{, Vj] = ineilkVk, C.134)
[/*, S] = 0, C.135)
в которых Р — полный импульс системы, J — ее полный угло-
угловой момент, /(г)—произвольная наблюдаемая, являющаяся
функцией вектора положения системы, V — произвольная вектор-
векторная наблюдаемая, 5 — произвольная скалярная наблюдаемая.
Активные и пассивные преобразования. В этом параграфе
до сих пор мы рассматривали операции, которые реально произ-
производятся над физической системой, так что всегда имели два со-
состояния рассматриваемой системы: состояние до и состояние по-
после осуществления операции. Задавшись конкретным способом
сопоставления состояниям системы определенных математиче-
математических объектов (векторов состояний), мы имели, таким образом,
два вектора состояний, которые связывались друг с другом уни-
унитарным оператором U (Q). Такая интерпретация оператора U (Q)
называется активной. Но этому унитарному оператору можно
дать также и пассивную интерпретацию, при которой рассматри-
рассматривается только одно состояние, но два способа приписывания век-
векторов состояний состояниям системы, причем теперь эти спо-
способы связаны рассматриваемым унитарным оператором.
Чтобы проиллюстрировать сказанное, возьмем трансляции.
Изменение
r-^r'^r + a C.136)

§ 3.2. Инвариантности и константы движения
145
описывает при активной интерпретации перемещение объекта,
при котором каждая точка объекта смещается на вектор смеще-
смещения а (рис. 3.3, а). При пассивной интерпретации изменяется
способ, с помощью которого точкам пространства сопоставляют-
сопоставляются вектора: точке, которой раньше соответствовал вектор г, те-
теперь будет соответствовать вектор г'. Такое сопоставление полу-
получается, когда начало системы координат смещается на вектор
6
Рис. 3.3. Активное и пассивное преобразования.
—а (рис. 3.3,6). Указанное различие распространяется также
и на волновые функции: если система в действительности сме-
смещается на вектор а, ее волновая функция гр становится функ-
функцией г|/, причем
ф'(г) = 1|>(г-а). C.137)
Такое же изменение происходит и при пассивной интерпрета-
интерпретации, когда координаты точки изменяются при переносе начала
координат, как показано на рис. 3.3, б. Состояние, которое опи-
описывалось в старых координатах волновой функции гр, теперь бу-
будет описываться волновой функцией г|/. Так как г|/(г') = -ф (г),
значение волновой функции в произвольной точке пространства
не изменится, хотя ее значения при определенных числовых зна-
значениях координат изменятся, например г|/A, 0, 0) Ф$A, 0, 0).
Если мы изменяем способ описания (физических) состояний
системы с помощью (математических) векторов состояний, то
следует изменить также и способ описания (физических) наблю-
наблюдаемых А (математическими) операторами!. Предположим, что
изменение характеризуется некоторым унитарным оператором
Uo при пассивной интерпретации, так что состояние, которое на-
называлось ]ф>, теперь будет называться I/o|i|>)- Рассуждая так
же, как при доказательстве теоремы 3.9, легко показать, что опе-
оператор, который теперь описывает наблюдаемую А, будет давать-

146 Гл. 3. Квантовая динамика
ся выражением
A/ = UoAUoi. C.138)
Все сказанное можно отнести и к операторам, представляющим
физические операции Q. Состояние, которое мы называли
U(Q) |a|)>, теперь будем называть U0U{Q) |i|)>. Оно должно быть
связано с состоянием ^о|ф> с помощью оператора U'(Q), кото-
который теперь описывает операцию Q:
так что
U'(Q) = UoU(Q)Uo\ C.139)
§ 3.3. Группы операций
Многие свойства операций, рассмотренные в предыдущем пара-
параграфе, следуют из того, что операции обладают математической
структурой группы. Группы операций важны в теории элемен-
элементарных частиц. Ниже дается краткий обзор некоторых общих ре-
результатов математической теории групп.
Множество G операций называется группой, если: 1) компо-
композиция любых двух операций из G принадлежит к G; 2) единич-
единичная операция (операция, оставляющая систему без изменений)
принадлежит к G; 3) каждая операция из G имеет обратную
операцию в G. Композицию операций обычно записывают как
операцию умножения и называют произведением (четвертая
групповая аксиома о том, что умножение должно быть ассоциа-
ассоциативно, автоматически выполняется для операций).
(Унитарным) представлением группы в каком-либо вектор-
векторном пространстве У называют правило, согласно которому каж-
каждому элементу Q группы сопоставляется (унитарный) оператор
U(Q), действующий в У таким образом, что
= U(Q)U(R) C.140)
для всех Q, R e G. Проективным представлением называется
правило, сопоставляющее элементам группы операторы U(Q),
при котором
<a(Q, R)U(Q)U(R), C.141)
где co(Q, R) —некоторый числовой множитель (по модулю рав-
равный единице, если операторы U(Q) унитарные). Пространство
У называют носителем представления U. Представление назы-
называют неприводимым, если оно не имеет нетривиальных инва-
инвариантных подпространств, т. е. если не существует подпростран-
подпространства пространства У (кроме 0 и самого У), которое переходит
само в себя при действии всех операторов U(Q). Такое подпро-

§ 3.3. Группы операций 147
странство было бы носителем другого (меньшего) представле-
представления рассматриваемой группы, и, таким образом, исходное пред-
представление можно было бы считать составленным из более про-
простых представлений: неприводимые представления являются эле-
элементарными строительными блоками для всего множества пред-
представлений. Два представления V\ и U2, носителями которых яв-
являются векторные пространства У\ и У2, называют эквивалент-
эквивалентными, если можно указать изоморфизм 9: У\-*-У2, при котором
6f/i(Q) = U2(QH.
Из соотношения C.75) можно видеть, что операторы U(Ta),
действующие в пространстве волновых функций, удовлетворяют
условию
U (TJb) = U (ТЛ+Ъ) = U (Га) U (Ть). C.142)
Таким образом, операторы U (Ta) образуют представление груп-
группы трансляций. Вместе с тем при доказательстве теоремы 3.6
было указано, что в общем случае операторы любой группы уни-
таритарных операций образуют только проективное представле-
представление группы (см. C.87)).
Группой Ли (я-мерной) называют группу, элементы которой
можно характеризовать п вещественными параметрами таким
образом, что если Q(|i, . . . , ?я) обозначает элемент группы, за-
задаваемый параметрами |ь . . . , ?я, и если
то параметры ?г будут гладкими функциями от |, и г},-. (Более
общее определение: группой Ли называется такая группа, ко-
которую можно разбить на подмножества, каждое из которых мо-
можно параметризовать указанным образом; подробнее см. [42].)
Представление U группы Ли называют дифференцируемым, если
функцию U(Q(gx, ..., |„)) можно дифференцировать по каж-
каждому параметру |,-; ниже будут рассматриваться только диффе-
дифференцируемые представления. При этом можно пользоваться по-
понятием эрмитовых генераторов, введенным в предыдущем пара-
параграфе. Генератором представления группы Ли G называется
оператор
* = -^-?/(Q*)k-o, (ЗЛ44)
где Qx—семейство элементов из G, характеризуемых парамет-
параметрами gi (Я.), . . . , |п(Я), являющимися гладкими функциями от %,
причем Qo — единичный элемент группы. Если считать, что еди-
единичный элемент характеризуется нулевыми значениями пара-
параметров, и если рассмотреть элементы Qh для которых все пара-
параметры равны нулю, кроме параметра |; = Я,,-, то можно по-

148 Гл. 3. Квантовая динамика
строить генератор
Х^-^иШи ...,?„)) 15(_0. C.145)
Если представление U(Q) унитарно, то, как и в случае груп-
группы трансляций, оператор X антиэрмитов (см. C.73)). Следова-
Следовательно, оператор ihX эрмитов и представляет некоторую наблю-
наблюдаемую. В литературе по физике слово «генератор» часто исполь-
используют для наблюдаемой, а не для антиэрмитова оператора X; мы
будем продолжать различать указанные операторы и называть
оператор itiX «эрмитовым генератором».
Перечислим основные математические свойства генераторов
любого представления группы Ли (доказательства см. в кни-
книге [42]).
LA1. Генераторы образуют л-мерное вещественное векторное
пространство с базисом Х\, ..., Хп-
LA2. Если X и У—генераторы, то генератором будет и ком-
коммутатор [X, Y).
Из второго свойства непосредственно следует, что коммута-
коммутаторы (Xj, Xj) можно разложить в линейные комбинации Xk, т. е.
[Xt, Xj] = E cijkXk, C.146)
где Сцк — вещественные числа.
LA3. Коэффициенты с,-,-*, входящие в C.146), одинаковы для
всех представлений группы G.
Коэффициенты djk называют структурными константами
группы G.
(Абстрактной) алгеброй Ли называют векторное пространство
А, оснащенное билинейным отображением из А\А в А, кото-
которое называется скобками Ли, обозначается символом [X, Y] и
удовлетворяет условиям
[X, Y] = - [Y, X], C.147)
[X, [У, Z]] + [Y [Z, X}] + [Z, [X, Y]] = 0. C.148)
Представлением алгебры Ли А называется правило, которое
сопоставляет каждому элементу ХеД оператор D(X), такой,
что выполняется соотношение
D([X, Y]) = [D(X), D(Y)]. C.149)
Таким образом, свойства LAI — LA3 означают, что любая
группа Ли G связана с единственной алгеброй Ли и генераторы
произвольного представления группы G образуют представление
алгебры Ли указанной группы.
Примером группы Ли является трехмерная группа враще-
вращений. Элементами этой группы являются вращения вокруг осей

§ S.3. Группы операций 149
(прямых, проходящих через начало координат) на определен-
определенные углы. Непосредственно не очевидно, что указанные враще-
вращения образуют группу. Тот факт, что они ее образуют, является
следствием теоремы Эйлера, которая утверждает, что результат
произвольного перемещения абсолютно твердого тела с одной не-
неподвижной точкой можно получить применением одного-един-
ственного поворота. В частности, произведение двух вращений
является тоже вращением. Теорему Эйлера легко доказать, если
убедиться, что группа вращений состоит из производимых над
векторами операций, задаваемых преобразованиями r-^Rr, где
R— ортогональная матрица типа 3X3 с детерминантом, рав-
равным единице.
Таким образом, элементы группы вращений можно харак-
характеризовать матрицами R(n, 6), где п — единичный вектор, на-
направленный вдоль оси вращения, а В — угол поворота, удовле-
удовлетворяющий условию —я <; 0 ^ я. В качестве параметров груп-
группы используем компоненты вектора вп = (|ь |г, |з)- Пользуясь
формулой C.145), построим основные генераторы Х\, Х%, Х3, где
A-1 = -^r?/(/?(g,,g2(g3))|EiM) = -^-?/(/?(l, в))|е=0 и т. д. C.150)
Используя правило дифференцирования сложной функции, нахо-
находим, что генератор для семейства вращений R(n, 0) вокруг оси п
равен
§2, ел3))|в=0 =
= п-Х, C.151)
что служит хорошей иллюстрацией свойства LA1 (см. также за-
задачу 3.21).
Согласно постулату VII, эрмитов генератор, соответствую-
соответствующий оператору X, есть оператор проекции углового момента
n-J, где
п- J = ihX = itin ¦ X, C.152)
или Ji = ihXi. Полагая теперь Vi = Ji в C.134), получаем
соотношение
[Х„ Xj] = elikXk, C.153)
которое иллюстрирует свойства LA2 и LA3 и показывает, что
структурные константы трехмерной группы вращений равны
Необходимо, конечно, доказать соотношение C.153) непо-
непосредственно, так как оно является свойством самой группы вра-
вращений и не связано с применениями ее в физике; другими сло-
словами, необходимо проверить, что постулат VII согласуется с тем,
что угловой момент действительно является вектором.

150
Гл. 3. Квантовая динамика
Теорема 3.11. Для любого представления группы вращений
генераторы Xi удовлетворяют коммутационным соотношениям
C.153).
Доказательство. Начнем с соотношения
SR(n, e) = R(Sn, Q)S, C.154)
справедливого для любого вращения S, которое иллюстрируется
К|п, Ох
Jt(Sn, e)Sx = S[R(n, в)х]
Рис. 3.4. Пояснение к соотношению C.154).
на рис. 3.4. Такое же соотношение должно выполняться для лю-
любого представления U:
U (S) U (R (п, В)) = U(R (Sn, 6) U (S). C.155)
Дифференцируя по 9 и полагая 9 = 0, получаем
U (S) n • X = (Sn) • XU (S). C.156)
Положим теперь S = R(m, ф). Как следует из C.129) и рис. 3.2,
±-№(т,ф)п]Ф-о = тХп. (ЗЛ57)
Таким образом, дифференцируя уравнение C.155) по ф и пола-
полагая ф = 0, имеем
(т • X) (п • X) = (п • X) (т • X) + (т X п) • X,
т. е.
[т-Х, п-Х] = (тХп)-Х, C.158)
что представляет собой другой способ записи соотношения
C.153). ¦
Теорему 3.11 можно также сформулировать следующими сло-
словами. Алгебра Ли группы вращений изоморфна пространству
трехмерных векторов со скобками Ли, определенными как век-
векторное произведение векторов.
Приведенное выше доказательство не пригодно, когда опе-
операторы U(R) образуют только проективное представление груп-
группы вращений, так как уравнение C.155) тогда будет содержать

§ 3.3. Группы операций 151
некоторый дополнительный числовой множитель. Однако можно
доказать теорему и для проективного представления, если пере-
переопределить оператор U(R), как при доказательстве теоремы 3.6.
Тогда придем к следующей теореме.
Теорема 3.12. Если оператор U(R) обозначает проективное
представление группы вращений, то всегда можно указать чис-
числовой множитель a>(R), при котором проективное представление
U'(R) = a>(R)U(R) будет иметь генераторы, которые удовлетво-
удовлетворяют коммутационным соотношениям C.153).
Доказательство. Можно использовать уравнение
U (RS) = Ti (R, S) U (R) U (S), C.159)
где r)(R, S) —некоторый числовой множитель. С помощью рас-
рассуждений, аналогичных тем, которые были использованы при вы-
выводе соотношения C.158) из C.155), из уравнения C.159) полу-
получаем
[ш • X, п • X] = (т X п) • X + а (т, п) • 1, C.160)
где
а(т, п) = .-^т,[Я(т, 8), R(n, ф)]\в_ф=0. C.161)
Из C.160) следует, что а(т, п) —чисто мнимое число, если ге-
генераторы Xi эрмитовы, причем оно является антисимметричной
билинейной функцией от m и п. Единственная такая функция,
образованная из трех векторов, имеет вид
<z(m, n) = /(mXn) -P, C.162)
где р — некоторый фиксированный вектор. Определим теперь
операторы U'(R) соотношением
U'(R(n, 6)) = eip-neU(R(n, 6)); C.163)
они образуют еще одно, проективное представление группы вра-
вращений с генераторами X' — X + гр, удовлетворяющими коммута-
коммутационным соотношениям
[m-X', n-X'] = (mXn)-X'. ¦ C.164)
Заметим, что способ переопределения операторов C.163) мо-
может привести к неопределенности, так как для углов 6 и 9 + 2я,
определяющих одно и то же вращение R(n, 6), получаем различ-
различные значения множителя e'>nS. Теорема 3.12 утверждает только,
что множитель существует, а не то, что он единственный. Из
этой теоремы не следует, что любое проективное представление
можно переопределить и превратить в истинное представление.
В приведенном доказательстве теоремы 3.12 существенно ис-
использованы специальные свойства группы вращений. Для общей

152 Гл. 3. Квантовая динамика
группы Ли всегда проективное представление можно переопре-
переопределить таким образом, чтобы его генераторы давали представ-
представление алгебры Ли группы. Физически интересный пример такой
ситуации дает галилеева группа (задача 3.24). Утверждение,
сформулированное в теореме 3.12, справедливо для класса групп
Ли, называемых полупростыми, и в некоторых случаях для их
неоднородных расширений, определяемых следующим образом.
Полупростой группой Ли называется группа, не обладающая
нормальной абелевой подгруппой (т. е. в ней не существует под-
подмножества Н a G, являющегося группой Ли и удовлетворяю-
удовлетворяющего условиям Q1Q2 = Q2Q1 для всех Qb Q2^H; QRQ~X e Я
для всех Q e G, R е Я).
Пусть G — произвольная группа Ли, a U(Q)—некоторое ее
представление, носителем которого является векторное простран-
пространство V. Неоднородным расширением группы G для V (называе-
(называемым также полупрямым произведением G и V) называют груп-
группу операций, действующих в V, определяемую соотношениями
+ u, где Q<=G, u<=V. C.165)
Обозначим указанную группу символом G X) V.
Нетрудно убедиться, что группа вращений полупростая.
В качестве примера неоднородного расширения примем, что G —
группа вращений, V — трехмерное пространство, а представле-
представление U — обычное действие вращения вокруг неподвижного на-
начала координат на векторы. Тогда неоднородное расширение
G~X)V будет образовано из операций вращений и трансляций.
Таким образом, имеем группу всех физически возможных опе-
операций, характеризующих движения абсолютно твердого тела в
трехмерном пространстве, называемые движениями абсолютно
твердого тела (каждая операция определяется только конечным
положением тела, а не его движением, переводящим тело в это
положение). Группа, состоящая из всех движений абсолютно
твердого тела и всех пространственных отражений, называется
трехмерной евклидовой группой.
Укажем следующие важнейшие семейства групп Ли.
Ортогональной группой О (п) называется группа всех вещест-
вещественных ортогональных матриц типа п X п. Унитарной группой
U(n) называется группа всех комплексных унитарных матриц
типа п"Хп. Специальной ортогональной группой SO(n) и спе-
специальной унитарной группой SU(n) называются подгруппы соот-
соответствующих групп, состоящие из матриц с определителем, рав-
равным единице. Группы SO(n) и SU(n) являются полупростыми.
Пусть R(%)—некоторое однопараметрическое семейство ор-
ортогональных матриц, причем /?@) = 1. Тогда
R(X)=,1, C.166)

§ И.З. I рцппы операции 153
Дифференцируя это соотношение по К и полагая /» = О, убе-
убеждаемся, что генератор X = dR/dk является антисимметричной
матрицей. Можно доказать, что любая антисимметричная мат-
матрица может быть получена указанным способом, а, следователь-
следовательно, алгебра Ли группы О(п) представляет собой множество всех
антисимметричных матриц типа п X ti. Эта алгебра будет также
алгеброй Ли для группы SO(n). (Соотношение между этими
двумя группами таково: группа О(п) состоит из группы SO(n)
и еще одной изолированной части; таким образом, любое непре-
непрерывное семейство элементов из О (п), содержащее единичную
матрицу, должно лежать в SO(n), а потому генераторы обеих
групп одинаковы.)
Диалогичные рассуждения показывают, что алгебра Ли груп-
группы U (п) образована из всех аптиэрмитовых (комплексных) ма-
матриц типа п X п. Наконец, формула ')
(для ее доказательства необходимо рассмотреть собственные
значения) показывает, что алгебра Ли группы SO(n) состоит
из всех антиэрмитовых матриц тина «Хп со следом равным
нулю.
В гл. 6, 7 читатель увидит, как эти группы выступают в роли
групп физических операций (для элементарных частиц). Группа
операций особенно интересна, если речь идет об операциях, ос-
оставляющих поведение некоторой физической системы инвариант-
инвариантным; в этом случае группа называется группой инвариантности,
или группой симметрии системы. Почему важно знать структуру
такой группы, объясняется следующим простым обстоятель-
обстоятельством.
Теорема 3.13. Если G — группа симметрии системы, то каж-
каждое энергетическое собственное пространство системы является
носителем некоторого проективного представления группы G.
Доказательство. Пусть U(Q)— оператор, действующий в про-
пространстве состояний системы, который представляет операцию
Q e G. Согласно теореме 3.4, поскольку Q является инвариант-
инвариантностью системы, оператор U(Q) коммутируют с гамильтонианом.
Пусть 9*Е — энергетическое собственное пространство с значе-
значением энергии Е. Тогда для любого состояния |я|)> из 9*Е имеем
//]г|5> =?'|i|)> и, следовательно,
HU (Q) I г|)> = U (Q) Н | -ф) = EU (Q) | ф), C.167)
т. е. состояние ?/(Q)|i|5> тоже принадлежит к 9*е- Таким обра-
образом, U(Q) есть оператор, действующий в 9"е, а потому это про-
') Следом tr X матрицы X называется сумма ее диагональных элементов,
равная сумме ее собственных значений. Имеет место соотношение tr(XY) =
= ir(YX).

154 Гл. 3. Квантовая динамики
странство является носителем проективного представления груп-
группы G. Ш
Важность приведенного, казалось бы тривиального, положе-
положения следует из того факта, что существует только ограничен-
ограниченное число проективных представлений у любой данной группы,
поэтому существование группы симметрии налагает ограничения
на структуру энергетических собственных пространств системы.
В частности, они могут иметь только вполне определенные раз-
размерности. Таким образом, можно сказать, что группа симметрии
«управляет» вырождением энергетических уровней системы.
§ 3.4. Гейзенберговская картина
Способ описания временной эволюции объектов, которым мы
пользовались до сих пор, известен под названием шредингеров-
ской картины. В нем состояние системы изменяется со временем,
а наблюдаемые величины, характеризуемые операторами, от
времени не зависят, что является математическим выражением
того факта, что экспериментальная процедура для определения
значения наблюдаемой всегда одна и та же. Представляется, что
это самая естественная точка зрения, но возможен и другой под-
подход. Можно считать, наоборот, что наблюдаемые изменяются со
временем — в конце концов, действительно, положение движу-
движущегося тела изменяется со временем,— а система остается неиз-
неизменной. Такой способ описания называется гейзенберговской
картиной. В ней наблюдаемые характеризуются зависящими от
времени операторами, а состояние системы описывается неиз-
неизменным вектором состояния. В гейзенберговской картине «со-
«состояние» системы является понятием, включающим в себя всю
историю системы.
Соотношение между обеими картинами дается последователь-
последовательностью унитарных преобразований при пассивной интерпретации.
Пусть U(t)=eiHt/h, где Я — гамильтониан системы. Оператор
U (t) описывает изменение состояния системы со временем t в
шредингеровской картине. Предположим теперь, что мы исполь-
используем оператор [U(t)]~l для переименования всех состояний си-
системы в момент времени t, так что состояние, которое раньше
называлось [i|)@>> теперь будет называться [U(t)]-11 *р(ф- Дру-
Другими словами, будем характеризовать каждое состояние в мо-
момент времени t, указывая вектор состояния, которым это состоя-
состояние характеризовалось в момент времени t = 0. Тогда, хотя си-
система и эволюционирует во времени, в этой новой картине ее
состояние будет представляться одним и тем же вектором со-
состояния.
Как указывалось на с. 145, изменение способа, которым век-
векторы состояний сопоставляются самим состоянием, влечет за со-

§ 3.4. Гейзенберговская картина 155
бой изменение способа, каким операторы сопоставляются наблю-
наблюдаемым. Рассмотрим наблюдаемую А и обозначим Ао оператор,
характеризующий наблюдаемую А в шредингеровской картине.
Согласно соотношению C.139), наблюдаемая А в гейзенбергов-
гейзенберговской картине должна характеризоваться оператором
Л (/) = [?/(/)]-Mot/@, C.168)
который изменяется со временем, если оператор Ло не коммути-
коммутирует с оператором U (I), т. е. если он не коммутирует с гамиль-
гамильтонианом. Используя уравнения
ih^- = UH, ih~(U-i) = -HU, C.169)
которые непосредственно следуют из экспоненциального выра-
выражения для U, непосредственно убеждаемся, что скорость изме-
изменения оператора A (t) со временем описывается уравнением
ih^ = [A,H], C.170)
называемым гейзенберговским уравнением движения.
Заметим, что уравнение C.26) для скорости изменения сред-
среднего значения является непосредственным следствием гейзенбер-
гейзенберговского уравнения движения, поскольку векторы состояний не
зависят от времени в этой картине. Вообще характерная черта
этого уравнения движения заключается в том, что операторы,
коммутирующие с гамильтонианом, представляют собой сохра-
сохраняющиеся величины.
Гейзенберговские уравнения движения тесно связаны с урав-
уравнениями движения в классической механике. В классической
гамильтоновой механике произвольная наблюдаемая характе-
характеризуется определенной функцией A(qi, . . ., qn, pi, . . . , рп) обоб-
обобщенных координат qi и обобщенных импульсов pi системы. Для
любых двух таких наблюдаемых А, В можно построить третью
наблюдаемую, называемую скобками Пуассона {А, В}, которая
определяется как
Используя скобки Пуассона, можно представить уравнение Га-
Гамильтона C.5) в следующем общем виде
*±={А,Н) C.172)
для любой классической наблюдаемой А. Скобки Пуассона об-
обладают всеми алгебраическими свойствами B.79) — B.81), ко-
которые имеют коммутаторы в квантовой механике; их значения

156 Гл. 3. Каинтоиая динамика
для основных наблюдаемых qt и р. равны
{<7/. <7/} = 0 = {р,, Р/}, {</„ Р/} = б,/- (ЗЛ73)
Сравнивая эти формулы с каноническими коммутационными со-
соотношениями B.116), B.117), убеждаемся, что существует про-
простое соответствие между скобками {А, В) в классической меха-
механике и величинами (гЙ)~'[Л, В] в квантовой механике. Гейзен-
Гейзенберговские уравнения движения C.170) при этом точно соответ-
соответствуют классическим уравнениям движения C.172).
§ 3.5. Временная теория возмущений
Соотношения C.2) и C.3) в принципе дают полное описание
временной эволюции квантовой системы, характеризуемой га-
гамильтонианом Я. Но чтобы такое описание стало реальным, не-
необходимо вычислить собственные значения и собственные состоя-
состояния оператора Я; только тогда можно записать решение C.2) в
форме разложения C.11). Примеры подобных вычислений при-
приведены в гл. 4 (которую читатель при желании может прочесть
прежде, чем приступить к изучению этого параграфа). Имеется
только сравнительно небольшое число гамильтонианов, для кото-
которых можно построить точные решения; обычно необходимо при-
прибегать к приближениям, основанным на использовании первых
членов бесконечных рядов, получаемых с помощью метода, опи-
описанного ниже в этом параграфе.
Данный метод, хотя и не дает непосредственной практиче-
практической методики для проведения вычислений, приводит к общим
формулам, представляющим значительный теоретический инте-
интерес. Такие формулы лежат в основе описания элементарных
процессов с помощью фейнмановских диаграмм, которые уже
упоминались в гл. 1. В конечном счете указанные формулы при-
привели к альтернативной формулировке квантовой механики, о ко-
которой пойдет речь в § 3.6.
Идея состоит в вычислении временных изменений, обуслов-
обусловленных данным гамильтонианом Я, с помощью собственных со-
состояний и собственных значений некоторого другого гамильто-
гамильтониана Но, используемого в качестве стандартного, или гамиль-
гамильтониана отсчета, либо потому, что он может быть разрешен
точно, либо потому, что его собственные состояния особенно
важны для эксперимента. Положим
H = H0 + eV, C.174)
где е — некоторый параметр (обычно принимаемый малым), и
разложим решение в степенной ряд по е. Введем обозначения
Ъ е"М1Н\Ъ№ C.175)
= eiH'tlhVe~ittm. C.176)

§ 3.5. Временная теория возмущений 157
Фактически мы тем самым переходим к новой картине, назы-
называемой картиной взаимодействия, которая совпадает с гейзен-
гейзенберговской картиной при Я = Но. Переходя к картине взаимо-
взаимодействия, получаем возможность исключить часть временной за-
зависимости состояний, обусловленную гамильтонианом Но, так
как из уравнения
Ш 4t I Ч> @) = (Яо + eV) h|> @> C.177)
получаем более простое уравнение движения
ih-^\q(t)) = eV(t)\^(t)) C.178)
для состояния |ф(/)>. Решение последнего уравнения очевидно
содержит е. Предположим, что это решение можно разложить
в степенной ряд по е:
|ф@)=Ев"| $„(')>. C.179)
п=0
где
|ф„@)) = 0 при п>0,
так как при / = 0 состояние |ajj> совпадает с начальным состоя-
состоянием |i|)o)> не зависящим от е. Подставляя разложение C.179) в
уравнение движения C.178) и приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях е в обеих частях равенства, получаем по-
последовательность уравнений
ib -~ \ г^о (/)> = 0, ih ~ | $, (/)> = V (/) | ^0 @>
и т. д.; л-е уравнение последовательности имеет вид
ih^\^n{t))=V(t)\^n^{t)). C.180)
Приведенную цепочку уравнений можно решить последователь-
последовательно и получить
I -Фо @> = I "Фо>, C-181)
t
\^l(i)) = ^\dtlV(tl)\%), C.182)
о
t fn h
\ dt^ ¦¦¦ \dt&Vn) ¦¦¦ УЦдШ- C-183)
0 0 0
Приближение первого порядка. Предположим, что |т|з0) обо-
обозначает произвольное собственное состояние наблюдаемой Но с

158 Гл. 3. Квантовая динамика
собственным значением Ео. В момент времени t нельзя с полной
определенностью утверждать, что при измерении Но получим ре-
результат Ео- Пусть Е — другое собственное значение наблюдае-
наблюдаемой Но, а ]т|)?> — соответствующее собственное состояние (для
простоты предположим, что собственное значение Е невыро-
невырожденно). Тогда вероятность того, что измерение наблюдаемой
Но в момент времени t даст результат Е, равна \а\{Е, t) |2, где
cii(t) с точностью до первого порядка по е дается формулой
я, (Е, t) = (ij)? [ г|> (/)) = (Ч?Е | {| to) + е | г|), (/)>},
откуда
ах{Е, /) = в(гЫЫ0>,
так как состояния |г|H> и |т|)?> ортогональны. Окончательно по-
получаем
t
а, (Е, t) = е(ЦЕ | е-™* \ ф, (t)) = ± e"iEiih \ D'? I eV (/,) |
C.184)
(Если Е принадлежит интервалу непрерывных собственных зна-
значений, вероятность того, что измерение наблюдаемой Но даст ре-
результат, заключенный между Е и E-\-dE, равна \а\{Е,
t) \2p(E)dE, где р(Е)—плотность состояний.) Матричный эле-
элемент оператора V(t), взятый между собственными состояниями
гамильтониана Но, согласно C.176), связан с матричным элемен-
элементом оператора V соотношением
<4>в IV (/) I г|H> = el (E-B'] m (#б IV | Фо>. C.185)
Если V не зависит от времени, то интеграл в C.184) легко взять,
и мы получим
-iEJIh_ -iBtJk
а,(?,/) = в<гЫУЦ>0>- ?7Г^ ¦ C-186)
Используя формулу
| е« _ е1Ф | = 2 sin [~ (9 - ф)) , C.187)
в справедливости которой легко убедиться, взглянув на тригоно-
тригонометрическую круговую диаграмму, выражение для рассматри-
рассматриваемой вероятности преобразуем к виду
4 sin2 D-аЛ
р(Е, i) = \ul(E, /)|2 = |<Ч>я|вУ|а|>о>|г й? ' (ЗЛ88)
где
a = (E-E0)lti.
Согласно постулатам II и IV, имеем вероятность того, что
измерение наблюдаемой Яо, произведенное в момент времени t,

3.5. Временная теория возмущений 159
даст значение Е при условии, ню сныема не оуде! возмущена
никаким измерением в течение интервала времени от момента О
до рассматриваемого момента t. Так как измерение в момент
времени / переведет систему в состояние |i|)?>, указанную ве-
вероятность выражают словами «вероятность того, что система
окажется в состоянии |i|)?> в момент времени /». Эта вероят-
вероятность описывает ситуации, когда происходит квантовый переход,
или «квантовый скачок», в некоторый момент времени, заклю-
заключенный между 0 и t.
Примером системы, которую можно исследовать описанным
способом, служит атом водорода. Система состоит из электрона,
протона и электромагнитного поля (поле имеет собственные сте-
степени свободы, как об этом свидетельствует существование ис-
испускаемых атомом электромагнитных волн). Пусть Яо— гамиль-
гамильтониан, который описывает электрон, протон и поле как изо-
изолированные объекты, а также описывает электростатическое при-
притяжение между электроном и протоном (собственные значения
этого гамильтониана рассматриваются в гл. 4); V — гамильто-
гамильтониан, характеризующий взаимодействие между двумя заряжен-
заряженными частицами и электромагнитным полем. В классической фи-
физике гамильтониан Яо приводит к уравнениям движения элек-
электрона и протона, решениями которых являются орбиты, подобные
орбитам Земли вокруг Солнца, и к уравнениям электромагнит-
электромагнитного поля, решениями которых являются электромагнитные вол-
волны. Учитывая V, получаем уравнения, которые описывают излу-
излучение ускоренно движущегося электрона. Квантовым аналогом
планетарных орбит являются так называемые «разрешенные ор-
орбиты», т. е. собственные состояния гамильтониана Яо; аналогами
электромагнитных волн являются состояния фотонов; аналогом
излучения ускоренно движущегося электрона являются переходы
между собственными состояниями гамильтониана Яо. Такие пе-
переходы происходят потому, что под действием полного гамильто-
гамильтониана Яо + &V собственное состояние |i|)o> эволюционирует к мо-
моменту t в состояние |яро> + е|тМ0>; если l^o> — «возбужденное
состояние», т. е. состояние с собственным значением гамильто-
гамильтониана Яо, большим минимального, то |г|э?> будет состоянием,
описывающим состояние системы из электрона и протона, кото-
которое тоже является собственным состоянием для гамильтониана
Яо (имеющим меньшее собственное значение по сравнению с соб-
собственным значением для |г|зо>) и состояние электромагнитного
поля, содержащего один фотон. Переход из |т|эо> в \^>е} проис-
происходит квантовым скачком из высокого электрон-протонного со-
состояния в низкое, сопровождаемым испусканием фотона.
Приведенное описание, разумеется, можно обобщить и при-
применить к любому атому или молекуле, или к распаду радиоак-
радиоактивного ядра или произвольной нестабильной субатомной ча-

160 Гл. И. Квантовая динамика
стицы. Пока неясно, что постулаты квантовой механики в том
виде, как мы их сформулировали до сих пор, достаточны, чтобы
сделать определенные выводы в отношении вероятностей рас-
распада; в частности постулат III относится к измерениям, произво-
производимым в некоторые определенные моменты времени; нестабиль-
нестабильную же систему необходимо наблюдать непрерывно, чтобы опре-
определить момент времени, когда она распалась. Чтобы учесть это
обстоятельство, обобщим постулат III следующим образом.
Постулат III (продолжение). Если за наблюдаемой Нв не-
непрерывно следить и если полный гамильтониан системы
имеет вид H = H0-\-eV, то система будет совершать спон-
спонтанные переходы между собственными состояниями Но. Ве-
Вероятность того, что за время t произойдет переход из состоя-
состояния \^о) в состояние |гре>, равна
р(Е, 1) = \(ЪЕ\е-"*\Ъ0)\г. C.189)
Это положение, а также и остальное содержание постулата III
подробно обсуждается в гл. 5.
Формула первого порядка C.188) для вероятности перехода
содержит два множителя: 1) квадрат матричного элемента
<i|)?|eV|i|)o>, который служит мерой величины сил, описываемых
V и связывающих состояния |г|H> и |г|)?> друг с другом, и 2) за-
зависящий от времени множитель, который одинаков для всех про-
процессов и зависит только от разности «энергий» Е — Eq. (Исполь-
(Используемая здесь терминология не точна, так как Е и Ео — собствен-
собственные значения оператора Но, который не является оператором
полной энергии системы. Тем не менее обычно используют та-
такую терминологию.) Зависимость второго множителя от со —.
— (Е — Е-))/Ь, представлена на рис. 3.5. Виден хорошо выра-
выраженный центральный пик, который становится вес выше и уже
с увеличением времени t, и быстрый спад при больших со, кото-
который происходит по закону 1/ш2 при всех t. Полная площадь под
кривой равна
sin2 f-i-соЛ <*> .
sirr х , яг .„ 1nm
~^~dx"=T' C.190)
Во многих ситуациях состояние |г|)?> является одним из мно-
множества состояний, принадлежащих области непрерывных значе-
значений Е. Так, при распаде возбужденного состояния атома водо-
водорода вектор состояния |фя> описывает низкоэнергетическое со-
состояние атома и один фотон, который может иметь любую энер-
энергию. (Здесь используется термин «энергия», который отождест-
отождествляется с «собственным значением оператора Яо»; ниже мы бу-
будем поступать так без дальнейших оговорок.) В рассматривае-

§ 3.5. Временная теория возмущений
161
мом случае вероятность р(Е, t) следует умножить на плотность
состояний р(?), которая зависит от гамильтониана отсчета Но.
Физически важной величиной является полная вероятность того,
что переход произойдет в какое-нибудь состояние с энергией, за-
E-Ea
Рис. 3.5.
ключенной в некотором конечном интервале [Е\,Е2]. Эта ве-
вероятность равна
P{t)= \ p(E,
=4- (
(В2
da>, C.191)
где
Если Ео не принадлежит интервалу [?ь Е2], то область ин-
интегрирования в C.191) не будет содержать центрального пика
(рис. 3.5). Лишь в пределах этого пика подынтегральная функ-
функция существенно зависит от ш; если / достаточно велико по срав-
сравнению с 2я/ш, то в хорошем приближении множитель sin2A/2«0
в C.191) можно заменить на его среднее значение 1/2 и полу-
получить
P(t)
А2 )
М (а)
<
const
C.192)
Таким образом, вероятность перехода в состояние с «энергией»,
отличной от ее начального значения Ео, оказывается постоянной,
и она мала, если разность «энергий» велика.

162 Гл. 3. Квантовая динамики
С другой стороны, если выполняется условие Е\ -< Еа -< Е2,
то область интегрирования в интеграле C.191) содержит цен-
центральны]! пик (см. рис. 3.5) и последний дает доминирующий
вклад в интеграл. Если функция М(со) слабо изменяется в зави-
зависимости от со, то ее можно заменить константой в области пика,
который становится все уже по мере увеличения t. Таким обра-
образом,
C.193)
где Г = Bп/Й2) М @) и
sin2 С/2@0 , _ 1 1
5 6tO) ^-* ' ,
СО ЯШ1 Я(л>2
причем /( мало и почти постоянно.
Формула C.193) показывает, что с точностью до малого сла-
слагаемого, быстро принимающего постоянное значение, вероят-
вероятность перехода в состояние с энергией, близкой к начальной
энергии Ео, непрерывно возрастает со временем. Следовательно,
существует постоянная вероятность перехода в единицу времени,
которая равна Г. Разумеется, это утверждение не может быть
справедливым при очень больших /, так как вероятность не мо-
может быть больше единицы. Причина такой очевидной несогласо-
несогласованности состоит в том, что при вычислении плотности вероят-
вероятности по формуле C.188) мы не нормировали состояние
|г|)G)>, так как оно содержит члены более высокого порядка по
8. Таким образом, формула C.193) справедлива только в низ-
низшем порядке по Г (которое содержит множителем е2). Заметим,
что экспоненциальный закон распада A.3) дает вероятность рас-
распада за время t в виде
P(t)=\-e-vt, C.194)
где Г = т~1, которая также в первом приближении при малых Г
сводится к постоянной вероятности распада в единицу времени.
Фактор фазового объема в формуле для скорости распада.
Если для вычисления скорости распада, например для процесса
распада частицы X
Х-^А + В, C.195)
использовать формулу C.193) первого порядка теории возмуще-
возмущений, то скорость распада пропорциональна величине
М @) =| (АВ (EQ) I eV [ X) f p (EQ), C.196)

§ 3.5. Временная теория возмущений 163
где Ео— энергия частицы X, |АВ(?10)> — состояние частиц А и
В с энергией Ео, р(Е0) —энергетическая плотность состояний си-
системы двух частиц АВ. Указанные состояния для процессов рас-
распада составляются из собственных состояний импульсов обеих
частиц А и В, так как в большинстве теорий эти состояния дают
постоянные матричные элементы <АВ(?0) | V\X). Таким обра-
образом, скорость распада пропорциональна энергетической плотно-
плотности собственных состояний импульсов, которая называется фак-
фактором фазового объема.
Вычислим фактор фазового объема для покоящейся неста-
нестабильной частицы X (когда, согласно закону сохранения импуль-
импульса, частицы А и В имеют равные и противоположные импульсы
±р). Собственное значение гамильтониана Но для состояния си-
системы АВ дается релятивистской формулой
= л/{т\с4 + р Vj + V(m2Bc4 + р2с2), C.197)
где р = |р|. Состояния системы АВ нормируются по отношению
к компонентам импульса р, для которых произведение диффе-
дифференциалов можно представить в виде
dpldp2dp3 = p2dpdQ, C.198)
где o?Q(— sin 9 dQ d<f> в сферических координатах) —элемент те-
телесного угла в направлении импульса р. Энергетическая плот-
плотность состояний р(Е) определяется соотношением
dptdp2dp3 = р (Е) dE dQ,
так что
C.199)
Используя формулу C.197), получаем
dp ^ dp ) —Р \ЕА + Ь
в
В распаде C.195) начальная энергия Е(, = тхс2. Следовательно,
плотность р(Ец) можно представить как функцию суммарной
энергии Ел + Ен =-- тхе" и Еа — Ей = (т\ — ml) с", так что
4mx
C.201)
Модуль импульса р можно найти из C.197) (или используя че-
тыре-векторы) в виде
Р == -к— [(тх + т,к -j- та) (тх 4- >па ~ гп») (тх — Шк 4- inti) X
Х(«Х —«А —/Ив)]"-.

164 Гл. 3. Квантовая динамика
Значения фактора фазового объема больше для малых масс ni\
и пгв, поскольку для них модуль импульса р больше. Таким об-
образом, имеем правило:
скорость распада больше для распадов, которые высвобо-
высвобождают больше кинетической энергии.
Сформулированное правило справедливо и для распадов более
чем на две частицы.
Приближение второго порядка. Формула второго порядка,
полученная из C.183), имеет вид
= 7^2-*°"* dt2 dt{V (/2) V (/,)[ %). C.202)
Если ее использовать для расчета вероятности перехода в не-
некоторое данное сотояние |г|)?>, то в результате получим
p(E,t) = \a (Е, t) f = | а, (Е, t) + а2 (Е, t) \\ C.203)
где
ап(Е, 0 = е"<аЫЧ>„@>. C.204)
Предположим, что оператор Яо обладает полной системой соб-
собственных состояний |if)ft> с собственными значениями Ей (здесь
приводится формула только для дискретного случая, но ее легко
обобщить и на непрерывный случай). Таким образом, можно ис-
использовать разложение B.68) для единичного оператора и вве-
ввести полную систему состояний |а|)?> в формулу C.202); тогда
получим
.-tEtlh ~ I1 ^
а2{Е, t) = 2^r\dt2\dt,YJ^bV(t2)\ifk>($k\*V{h)\^). C.205)
Используя C.185), выделим временную зависимость подын-
подынтегрального выражения и после этого проведем интегрирования.
В результате получим
а2(Е, /) = 2 <i|5?|eV I Ч>*><4>* leK | -фо> ?fe I ?p X
k
~1ЕоЧн p~iEt/h -iEk4h
^ik—}¦
Слагаемые в фигурных скобках имеют вид отношения, входя-
входящего в C.186); они связаны с функцией, иллюстрированной на
рис. 3.5, если взять для каждого из них квадрат модуля. Каж-
Каждое из этих отношений существенно только в том случае, когда

§ 3.5. Временная теория возмущений 165
его знаменатель мал. Таким образом, второе слагаемое в фи-
фигурных скобках дает существенный вклад только при Ek да Е,
т. е. только для немногих значений k. Первое же слагаемое дает
вклад для всех k, если только Е да Ео. Следовательно, в хорошем
приближении второе слагаемое можно вообще отбросить. Тогда
величина а2(Е, t) имеет в точности ту же зависимость от вре-
времени, что и величина а\{Е, t), определяемая формулой C.186),
но множитель (т^еУ^о) B #i теперь следует заменить на вели-
величину
V ЛЬ_ I p.V I ФЛ/ib, I „т/1 1ЬЛ
C.207)
к
— Eo
Интерпретация: амплитуды переходов. Полный результат
расчета по теории возмущений для вероятности перехода из со-
состояния |г|H> в состояние |т|эе> за время t приводит к формуле
р (/) = | a (t) |2 = | a, (t) + а2 (/)+... f, C.208)
где
t
tu C.209)
= 1п \
= ^щг \ dh \ dt, Y, ^Е 18^ ^ I ФйХФа leV (/,)! Фо), C.210)
к
t ln
l г г
о о
. . . (t|>*, |et? (^)| г|з0). C.211)
(Приведенные формулы немного отличаются от формул C.186)
и C.205), так как в них опущен общий фазовый множитель
e-iEt/h^ не оказывающий влияния на вероятность.) Величина a(t)
ответственна за полную вероятность, поэтому формула C.208)
имеет следующую естественную интерпретацию. К моменту вре-
времени s полная вероятность перехода системы из состояния |т|з> в
состояние \ф} за интервал времени dt равна | (ф\ a (s) \\p)\2dt.
Величина a\{t), определяемая выражением C.209), ответствен-
ответственна за вероятность того, что произойдет прямой переход из |г|H>
в |т|)?> в некоторый момент времени t\, заключенный между 0 и
t; величина a2(t) в C.210) ответственна за вероятность того, что
произойдет переход из состояния |г|H> в некоторое другое

166 Гл. 3. Квантовая динамика
состояние |ipft>B некоторый момент времени tu а затем произой-
произойдет переход из состояния |г|)ь> в состояние |г|)?> в более поздний
момент времени t2, и т. д.; величина ап в C.211) представляет
вероятность непрямого перехода, состоящего из п этапов.
Фактически, разумеется, каждая величина аи сама по себе
не дает вероятности, а является комплексным числом, квадрат
модуля которого равен вероятности. Для квантовой механики
характерно, что она имеет дело с такими комплексными числами,
которые надо складывать и умножать так, как если бы они были
вероятностями. Такие числа называют амплитудами вероятно-
вероятностей. Амплитуда вероятности для какого-либо процесса, состоя-
состоящего из двух последовательных этапов, равна произведению ам-
амплитуд вероятностей для отдельных этапов; амплитуда вероятно-
вероятности для процесса, который имеет некоторое число альтернатив-
альтернативных возможных путей, равна сумме амплитуд вероятностей для
отдельных путей. Когда вероятность вычисляется как квадрат
модуля такой суммы амплитуд вероятностей, возникают пере-
перекрестные члены, описывающие интерференционные эффекты, ти-
типичные для квантовой физики.
Как было показано выше, в случае амплитуд a\(t) и a2(t)
интерференционные эффекты гарантируют, что вероятность пе-
перехода из |t|30> в |т|)?> ничтожно мала, если только их «энергии»
(собственные значения для Но) не равны приближенно друг дру-
другу; это остается справедливым и для амплитуд an(t) высоких
порядков. Таким образом, вероятность того, что промежуточные
состояния |г|1/г> в формулах C.210) и C.211) возникают при дей-
действительных переходах из состояния |i|H>, очень мала. Тем не
менее амплитуды вероятностей для переходов в эти состояния
дают важные вклады в полную амплитуду вероятности для ре-
реально происходящего перехода в состояние |if>E>- Подобные не-
ненаблюдаемые переходы называют виртуальными.
Дайсоновское представление разложения по теории возму-
возмущений. Полученное выше решение уравнения C.178):
можно представить следующим рядом:
rt=0 0
... V(h)\%). C.212)
Входящий в правую часть п-кратный интеграл берется от про-
произведения операторов V(tn) . .. V(t\) по области в R", образо-

§ U.S. Временная теория возмущений 167
ванной из точек t\, . . . , 1„, удовлетворяющих условиям
< ...</„</. C.213)
Всего имеется п\ подобных областей, соответствующих п\ воз-
возможным перестановкам времен t\, . . . , tn, которые вместе со-
составляют область 0 ^ ti ^ t. Геометрически речь идет о расчле-
расчленении л-мерного куба на п\ л-симплексов (п-симплексом назы-
называется //-мерный аналог тетраэдра). В интеграле C.212) можно
провести соответствующую замену переменных /ь ¦ ¦ ¦ , tn и све-
свести исходное интегрирование к интегрированию по соответствую-
соответствующему симплексу; при этом множители V(ti) как бы перестав-
переставляются между собой. Можно определить хронологическое произ-
произведение п зависящих от времени операторов X[ti) следующим
образом:
l[X(tx) ... X(ln)]=X(ltl) ... X{Un),
где
/;,</г-2< ... </,га. C.214)
Тогда интеграл в C.212) можно представить в виде
dtl ... dtJ[V{tn) ... У ft)] | ipo), C.215)
где R — любая из упомянутых выше симплексных областей. По-
Поскольку вместе они составляют кубическую область 0 ^ tt sc; t,
то сумма всех интегралов вида C.215) дается интегралом по
л-мерному кубу:
\ dt{ ... dtJ[V(tn) ... К (/,)] =
R R
= 5 dtx ... \dtJ[V{tn) ... У(/,)] = тГиК(ПЛЧ 1, C.216)
причем в последней формуле символ хронологического произве-
произведения Т понимается более широко. Поскольку все интегралы
C.215) равны, каждый из них равен их сумме C.216), деленной
на п\; следовательно, можно подставить указанную сумму в фор-
формулу C.212) и получить
' \п~1
\ПП„г) !¦„> =
=; т [схр(ж \ v(//) dt

168 Гл. 3. Квантовая динамика
Эта формула не только изящна, но и весьма полезна в кванто-
квантовой теории поля. Она иллюстрирует соотношение, имеющееся
между решением C.212), даваемым теорией возмущений, и экс-
экспоненциальным решением дифференциального уравнения, ана-
аналогичного уравнению C.4), легко получаемым, когда оператор
в правой части заменен константой.
Экспоненциальный распад. Как показано выше, в первом
порядке теории возмущений имеем следующую формулу для ве-
вероятности сохранения нестабильного состояния:
P*(t)=l-P(t)=\-Yt. C.218)
С точностью до членов первого порядка по Г эта формула сов-
совпадает с экспоненциальной формулой
P*(t) = e~vt, C.219)
которая получается, если квантовые переходы считать классиче-
классическим стохастическим процессом Пуассона, как это сделано при
обсуждении радиоактивности на с. 17.
Выведем теперь экспоненциальный закон распада из кванто-
квантовой механики с помощью рассуждений, хотя и не очень строгих,
но не ограниченных лишь первым порядком теории возмущений.
Покажем также, что использование приближений при таком вы-
выводе неизбежно, так как закон распада в квантовой механике
не может быть строго экспоненциальным.
Как и выше, будем считать, что нестабильное состояние |ipo>
является собственным состоянием гамильтониана отсчета Но и
распад обусловлен малым добавочным членом &V в полном га-
гамильтониане Я = Я0 + е1/. Возьмем состояние
l4>i) = VH>o>; C.220)
переопределяя е в случае необходимости, можно сделать со-
состояние jipi) нормированным. Состояние |i|)i> следует представ-
представлять себе как состояние системы, в которое она переходит сразу
после распада. Оно не обязательно должно быть собственным
состоянием гамильтониана Но (например, если нестабильная ча-
частица распадается на две различные частицы, следует ожидать,
что они будут отдаляться друг от друга после распада). Таким
образом, следует предположить, что состояние |ipi> принадле-
принадлежит пространству состояний 9', образованному из состояний про-
продуктов распада, и гамильтониан Яо действует в пространстве 9".
Состояния продуктов распада должны существенно отличаться
от состояния |г|зо>, так что состояние |ipo) должно быть ортого-
ортогонально подпространству 9". Таким образом, можно считать, что
полное пространство состояний будет прямой суммой 9а 5) 9",

§ 3.5. Временная теория возмущений 169
где 9^0 — одномерное подпространство, содержащее состояние
Так как оператор V эрмитов, имеем
^я|з01 ]/1 г|51) = /г|5, | У | я|з0) = 1. C.221)
Поэтому состояние Flipi) по необходимости должно иметь ком-
компоненту в Я'о. Предположим, что это единственная отличная от
нуля компонента состояния V\ty{) (этого всегда можно добить-
добиться, изменяя способ разбиения полного гамильтониана на #о и
V). Теперь оператор V полностью определен формулой C.220)
и соотношением
V | ф'> = <Ч>, | -Ф01 -фо>, C.222)
выполняющимся для всех ]¦$>'} ^9"'. Состояние системы в мо-
момент времени t можно записать в виде
>o> + l *'(*)>, C-223)
где \ty'{t)} ^9"; подставляя в уравнение движения, получаем
% 41 Ф' @) = (Но + еУ) {/ (t) \%) + | г|/ (/))} =
C.224)
Отсюда, приравнивая по отдельности коэффициенты при компо-
компонентах из 9^0 и 9", имеем
Ш -§ = Eof it) + е (ф, | tf @>, C.225)
Ш 4" I ? @) = е/ (/) | ifc) + Но | Y @>. C-226)
После умножения на интегрирующий множитель eiH°tlh второе
уравнение легко проинтегрировать и получить формулу
t
IV W>=ж SЛ^" (/Л) е"'Яо (i~r)/ft I ^j)' C-227)
о
которая выражает состояние продуктов распада в виде суперпо-
суперпозиции состояний, по одному для каждого момента времени f,
заключенного в интервале @, /): состояние, соответствующее
моменту времени ?, описывает возможность того, что состояние
I"Фо> распадается в состояние |ipi> в промежуток времени ме-
между f и f + dt', и состояние распада, которое эволюциониро-
эволюционировало за время t — V под влиянием гамильтониана Но. Коэффи-
Коэффициент при этом состоянии является произведением функции /(/')
(амплитуда вероятности того, что состояние |i|H> сохранится до
момента времени f) и амплитуды распада (ih)~ledt'.

170 Гл. 3. Квантовая динамика
Подставляя C.227) в C.225), приходим к следующему инте-
гродифференциальному уравнению для амплитуды нераспада
fit)-
t
^T?\dt', C.228)
о
где
F (t) = eiE°mf (t), C.229)
<7@ = е'ад*<а|31|в-'Яо'/*|1|>1>. C.230)
Здесь q(t) — амплитуда вероятности наблюдения продуктов рас-
распада в их начальном состоянии |i|)i> в момент времени t. Если
продукты распада быстро удаляются, то амплитуда q(t) равна
нулю после истечения очень короткого времени т. Посмотрим,
имеет ли уравнение C.228) решение F(t), которое медленно из-
изменяется на временном масштабе порядка т. Если функция F
удовлетворяет этому условию, то интеграл в C.228) можно заме-
заменить на AF(t), где А= \ q{t')dt', и уравнение принимает вид
4^ § C.231)
Таким образом, условие, наложенное на функцию F(t), будет
удовлетворено, если величина е2А/Н2 мала по сравнению с т~'
или (так как А порядка т) если величина е/Й мала по сравне-
сравнению с т.-1. Если это действительно так, то существует решение
для F(t) экспоненциальной формы и вероятность того, что не-
нестабильное состояние не распадется к моменту времени t, дается
выражением
f 2 = e-M, C.232)
где Х = 2Яе[е2А/П2].
Полученный результат, разумеется, приближенный. В приня-
принятой модели из уравнения C.228) непосредственно следует, что
экспоненциальный закон распада должен нарушаться при ма-
малых значениях времени, так как, согласно этому уравнению, про-
производная F'(t) должна обращаться в нуль при t = 0. В других
вычислениях было показано, что экспоненциальный закон нару-
нарушается также при больших значениях времен (см. [36, 71]).
Имеется общее соображение, показывающее, что временная
эволюция состояния не может быть строго экспоненциальной.
Предположим, что состояние |i|>n> эволюционирует в состояние
Ж
e~v'. C,233)

§ 3.5. Временная теория возмущений
171
где у = ('/гГ + iE0)/H— некоторое комплексное число. При
t <. 0 имеем
(to I t (/)> = (to I е" ""'* 1to) "¦= (to I еШ1" | фо> = (to I t (-/)> = е",
так что
(ф01 ф @) = ехр [- (iibV + 4" г I ^l) | ^ 1. C-234)
причем последнее соотношение справедливо при всех значениях
времен t. Разложим теперь состояние |г|)о> по собственным со-
состояниям точного гамильтониана:
C.235)
Тогда
= (to
to) =
Следовательно, с помощью формулы обратного фурье-преобра-
зования B.93) получаем
<3-237>
Так как энергия системы всегда ограничена снизу некоторым
минимальным значением Екши то плотность р{Е) должна обра-
обращаться в нуль при Е <С Емян; согласно же C.237), она строго по-
положительна при всех Е.
Рис. 3.6. Брейт-вигнеровское распределение.
Формула C.237) дает так называемое брейт-вигнеровское
распределение энергий, которое иллюстрируется на рис. 3.6. Хотя
оно и должно обрезаться слева при некотором значении энер-
энергии, приближенное согласие с ним было обнаружено для очень
многих квантовых систем, проявляющих экспоненциальный за-
закон распада, который обычно оказывается приближенно спра-
справедливым для нестабильных систем. Параметр Г называют ши-
шириной распределения. Обратную пропорциональность Г времени
жизни т = А/Г часто приводят в качестве примера «соотношения

172 Гл. 3. Квантовая динамика
неопределенностей время — энергия». Следует заметить, однако,
что Г не является неопределенностью АЕ. Для распределения
C.237) неопределенность АЕ в действительности бесконечно ве-
велика.
§ 3.6. Фейнмановская формулировка квантовой механики
В предыдущем параграфе мы видели, что вероятность события
в квантовой механике ведет себя странным образом. Если собы-
событие может происходить в результате осуществления разных по-
последовательностей промежуточных событий, то его полную ве-
вероятность нельзя вычислить по классической формуле, по кото-
которой вероятности альтернативных процессов складываются, а ве-
вероятности последовательных процессов перемножаются. Вместо
этого такую вероятность надо вычислять по аналогичной фор-
формуле, в которой, однако, вероятности заменены амплитудами —
комплексными числами, модули квадратов которых дают вероят-
вероятности.
В фейнмановской формулировке квантовой механики эти ам-
амплитуды вероятностей играют основную роль: фейнмановская
теория с самого начала основным физическим процессам припи-
приписывает амплитуды вероятности. В случае системы, состоящей из
одной простой частицы, «основным процессом» считается тот же
процесс, что и в классической механике: перемещение частицы
из точки Г], в которой она находилась в момент времени t\, в
другую точку г2, в которой она окажется в момент времени t2,
при ее движении по определенной траектории г(/). Следова-
Следовательно, амплитуда вероятности должна быть функцией всей
траектории {r(t): t\ ^t ^t2}; такую функциональную зависи-
зависимость мы будем обозначать [г(/)].
В классической механике важной функцией траектории ча-
частицы является действие S, которое определяется как интеграл:
t,
S([г (/)])= J L (г@, r{t))dt, C.238)
где L — функция координат и скорости частицы, называемая ла-
лагранжианом. Конкретный вид функции L определяют силы, дей-
действующие на частицу; для частицы массы гп, движущейся в по-
потенциале V(г), лагранжиан дается выражением
L = ±-m? — V(r). C.239)
Лагранжиан L, а следовательно, и действие 5 определены для
любой механической системы; если конфигурацию системы ха-
характеризовать обобщенными координатами qi, . . . , qn, то ла-

§ 3.6. Фейнмановская формулировка квантовой механики 173
гранжиан L будет функцией, зависящей от q\, ..., q,, и ци ...
.. ., qn; в большинстве случаев он равен разности кинетической
и потенциальной энергий системы, как в выражении C.239).
Функция S является интегралом по времени от функции L, как
в выражении C.238). Важность действия S объясняется тем, что
любая система, подчиняясь своим уравнениям движения, дви-
движется по траектории, соответствующей минимуму действия 5
(точнее его стационарному значению); в этом состоит принцип
наименьшего действия.
Фейнман постулировал, что амплитуды вероятностей для всех
траекторий системы равны по модулю, но их фазы даются зна-
значениями действия (в единицах постоянной Планка ft, имеющей
ту же размерность, что и действие). Таким образом, по Фейн-
ману, амплитуда вероятности для траектории с действием S про-
пропорциональна eiSfh. Полная амплитуда вероятности того, что ча-
частица из точки тА, где она находилась в момент времени tA, пе-
переместится в точку г в, в которой она будет находиться в момент
времени tB, должна быть равна сумме амплитуд вероятностей
для всех возможных путей, т. е. для всех траекторий г(/), удо-
удовлетворяющих условиям r(tA) =Га и r(tB) = гв. Так как эти
траектории образуют бесконечное непрерывное множество, ука-
указанная сумма должна быть некоторым интегралом, поэтому пол-
полная амплитуда вероятности имеет следующий вид:
/ (гА, tA\ rB, tB) = J eiS (Ir mthd [r (/)], C.240)
где интеграл берется по всем траекториям с заданными конеч-
конечными точками Гл и тв в заданные моменты времени tA и tB-
Интеграл C.240) называют континуальным интегралом, или
интегралом по путям. Его можно определить как предел инте-
интегралов, взятых по полигональным путям, в следующем смысле.
Разобьем интервал [tA, tB] на N интервалов посредством выбора
промежуточных моментов времени tA — t$, . . . , tv = tB. Обозна-
Обозначим указанное разбиение символом D. Если задано D и заданы
N + 1 точек гА = Го, Гь ..., Глг = гв, можно определить полиго-
полигональную траекторию r(t), которая проходит через точки г„ в
моменты времени tn и имеет постоянную скорость в промежутках
между такими точками:
г @ = г„ + / ~!Ht (rn+1 - г„) при *„<*<*„+,. C.241)
п +1 п
Пусть 5о(г0, ..., rN)—действие для рассматриваемой полиго-
полигональной траектории и пусть
Г Г i „ , Л rf3ri й3Гд, ,
г /_ и. . — j. \ \ дуп I . С /«• *• ^ I L N—\
* D \Т Л' * Л» *¦ В* * В/ \ Лг I A *^Z) I10» •*•) '/УМ ^— ¦ • ¦ ~~т? )
C.242)

174 Гл. 3. Квантовая оинамики
где
(/п — масса частицы). Континуальный интеграл 1 {гд, tA\ rB, tB)
определяется как предел интеграла Id при бесконечно мелком
разбиении D, т. е при л^-оо и max(/«+i — tn)-^-0. (Множители
Ki, как следует из доказательства теоремы 3.12, необходимо вво-
вводить, чтобы континуальный интеграл / был непрерывной функ-
функцией от г в.)
Очевидно имеются серьезные математические трудности, свя-
связанные с существованием данного предела. Мы будем их игно-
игнорировать и поступим здесь чисто формально, не пытаясь рассу-
рассуждать строго. Тогда можно сформулировать основное до-
допущение, которое необходимо сделать для произвольной
механической системы.
Постулат Фейнмана. Рассмотрим механическую систему, ха-
характеризуемую координатами, обозначаемыми сокращенно q.
и наделенную динамикой, определяемой функционалом дей-
действия S[q(t)\. Тогда амплитуда вероятности того, что систе-
система совершит движение по траектории q{t), равна
exp[j-S[q(t)]]d[q(t)]. C.244)
Фейнмановский постулат в сформулированном виде можно
применить только к системам, имеющим аналоги в классической
механике, а не к чисто квантовомеханическим системам, с кото-
которыми мы еще встретимся в последующих главах, подобным ча-
частице со спином или с другими внутренними степенями свободы.
Постулат Фейнмана обобщается на такие системы в квантовой
теории поля (§ 7.3).
Посмотрим теперь, как из постулата Фейнмана можно выве-
вывести уравнение движения обычной квантовой механики.
Теорема 3.14. Пусть S([r(tf)]) —действие для простой части-
частицы, движущейся в потенциале У (г) (см. C.238), C.239)), и
пусть I(rA, tA; rB, tB) ¦—амплитуда вероятности, даваемая конти-
континуальным интегралом C.240). Рассмотрим функцию
ф(г, 0 = /(г0, k, r, t) C.245)
при некоторых фиксированных r0, to- Если функция -ф удовлетво-
удовлетворяет условиям Wl —W3 (стр. 60), то она удовлетворяет уравне-
уравнению Шредингера C.7).
Доказательство. Рассмотрим построение функции -ф (г, t +
4- Ы) как континуального интеграла. Он равен пределу сово-
совокупности интегралов, построенных для различных разбиений D
интервала |7о, t-j-&]. Если 8i достаточно мало, то можно рас-

§ 3.6. Фепнмановская формулировка квантовой механики 175
сматривать только последний интервал разбиения [t, t -f- Ы].
Тогда амплитуда /в(г0, t0; r, t + 8t] дается интегралом C.242),
взятым по полигональным траекториям, каждая из которых идет
из точки (го, t0) в некоторую точку (г', t), где r/ = r;v_i, и отрез-
отрезка прямой, соединяющего точки (г', t) и (г, t ~\- Ы). Если теперь
разбить траекторию на две примыкающие друг к другу части, то
действие для нее будет суммой действий для обеих частей, как
это следует из C.238). Таким образом, из C.242) получаем
/D (г0, t0; r, t-\-bt) =
jfSD(r0, .... rv_2, r'
-^--p-, C.246)
где
(^Г- C.247)
Здесь Sir', г) —действие на прямолинейном отрезке траектории
от (г',/) до (г,1-\-Ы), которое равно
5 (г', г) = U (д/ г) - W (г', г) б/, C.248)
где
t + bt t + Ы
U Г 1 ¦ 2 ,,, Г 1 Ст — г'у ,,, m(r — r'J
C.250)
таким образом, обе величины U и W зависят только от г и г' и
не зависят от 6t.
В пределе, когда разбиение интервала [t0, t] становится бес-
бесконечно мелким и последний интервал (t, t -j- 6^) фиксирован,
формула C.246) дает
V. C.251)
Если функция ф непрерывна, то в пределе при 6^-^-0 правая часть
последней формулы стремится к ф(г, t). Учитывая, что функция

176 Гл. 3. Квантовая динамика
eix2 интегрируема и интеграл от нее равен
C.252)
(см. задачу 35.1), получаем
Lim — eix^ = (ш)'/2 б (jc). C.253)
0 а
а->0
а
Действительно, если f — произвольная ограниченная непрерыв-
непрерывная функция, то
Lim-j- J f(x)eixVdx = Um jj / (ay) e^7dy = (inI'2 f @) C.254)
— oo — oo
(более строгое доказательство см. в задаче 35.2). Полагая
с2 = 2h8t/m и рассматривая компоненты вектора г — г', с уче-
учетом C.253) получаем
-r'J) = ('
Таким образом, правая часть формулы C.251) действительно
стремится к т|з(г, t) при б^->-0. (Именно по этой причине были
введены множители Кп в основную формулу C.242) для конти-
континуального интеграла.)
Воспользуемся теперь разложением
ф (г, t + Ы) = ¦ (г, 0 + 4г б/ + ° ^б^2) ^3-256)
для функции г|>(г, t + 8t) и найдем производную dty/dt, диффе-
дифференцируя формулу C.251) по б/ и устремляя затем б/ к нулю.
В результате дифференцирования получаем
C.257)
где
[--^-^(г/, г)],
Вводя обозначение V для дифференцирования по г', имеем
, C.258)

Основные положения главы 3 177
поэтому выражение C.257) можно переписать в следующем
виде:
Если функция т|з удовлетворяет условиям, налагаемым на волно-
волновую функцию, то х? достаточно быстро убывает при больших г'
и можно применить теорему Грина, чтобы преобразовать выра-
выражение C.259) к окончательному виду
Переходя к пределу при 6f->-0 с учетом C.255), убеждаемся,
что интеграл в C.260) сводится к значению выражения в фигур-
фигурных скобках, взятому при г' = г. Поскольку W(r,r)=V(r),
окончательно приходим к уравнению
h
которое совпадает с уравнением Шредингера. ¦
Основные положения главы 3
Постулат III (продолжение). Вероятность переходов 160
Постулат VI. Невозмущенная временная эволюция 115
Постулат VII. Трансляции и вращения 134
Постулат Фейнмана 174
Теорема 3.1. О скорости изменения среднего значения 119
Теорема 3.2. (Эренфеста) 121
Теорема 3.3. Наблюдаемые, коммутирующие с гамильтониа-
гамильтонианом Н, имеют постоянные вероятности 131
Теорема 3.4. О связи соотношения [Я, X] = 0 с унитарностью
и эрмитовостью X 131
Теорема 3.5. Об эрмитовом генераторе для семейства уни-
унитарных операторов 132
Теорема 3.6. Унитарные операции могут быть представлены
операторами e~iXX!h 132
Теорема 3.7. Обращение времени 139
Теорема 3.8. Эрмитовы генераторы представляют аддитивные
квантовые числа 141
Теорема 3.9. Преобразование наблюдаемых 141
Теорема 3.10. Основные коммутационные соотношения 144
Теорема 3.11. Коммутаторы для генераторов обычных пред-
представлений группы вращений 150
Теорема 3.12. Коммутаторы для генераторов проективных
представлений группы вращений 151
Теорема 3.13. Энергетические собственные пространства яв-

178 Гл. 3. Квантовая динамика
ляются носителями представлений группы симметрии 153
Теорема 3.14. Вывод из фейнмановского постулата уравнения
Шредингера 174
Рекомендуемая литература
Учебники и книги по квантовой механике, указанные в конце
гл. 2, относятся и к настоящей главе. Имеется много учебников
(например [87]), в которых читатель может найти детальные
вычисления для конкретных гамильтонианов. Взаимосвязь тео-
теории групп и квантовой механики детально прослежена в одном
из первых учебников по квантовой механике — в книге Вейля
[101]. Среди других учебников, посвященных теории групп и
квантовой механике, укажем книги Гилмора [42] и Корнуэлла
[23]. По поводу фейнмаиовской формулировки квантовой меха-
механики см. книгу Фейнмана и Хиббса [34].
Задачи к главе 3
1. Пусть квантовая система может находиться только в двух со-
состояниях |ао> и |ai>, которые являются нормированными соб-
собственными состояниями наблюдаемой А с собственными значе-
значениями 0 и 1 соответственно. Оператор Гамильтона задается сле-
следующими выражениями
//|ao) = a|ao>+p|a,), Я| a,) = PI ao> +«I a,),
где а и р — вещественные числа. Считая, что в момент t = 0 си-
система находилась в состоянии |ао>, покажите, что в момент вре-
времени t она будет находиться в состоянии e~'at(cos(fit\ о о) —
— fsin(PO|ai>)"
Наблюдаемую А измерили в момент времени t = Т, но ре-
результат измерения потеряли. Ее измеряют снова в момент вре-
времени t= 27\ Найдите вероятность того, что результат второго
измерения будет равен нулю.
2. Предположите, что три нейтрино, упомянутые в гл. 1, яв-
являются различными состояниями одной частицы, будучи собст-
собственными состояниями эксперимента, результаты которого обо-
обозначим ve, Vfx и Vi, причем эти состояния не стационарны. Пред-
Предположите также, что массы (собственные значения энергии) ука-
указанной системы не равны точно нулю. Пусть |i|);> (i = 1, 2, 3) —
нормированные собственные состояния энергии, соответствую-
соответствующие собственным значениям т-с2, и предположите, что собствен-
собственные состояния эксперимента «по определению типа нейтрино»
равны

Задачи к главе 3 179
Считая, что в момент времени /—0 система находилась в со-
состоянии электронного нейтрино (е-нейгрино), найдите вероят-
вероятность того, чго в момент / она будет обнаружена а) в состоянии
ц-нейтрино, б) в состоянии т-нентрпно.
3. Квантовая система может находиться в двух состояниях
|\|>i> и hh), которые являются собственными состояниями га-
гамильтониана, соответствующими собственным значениям Е\ и
Ео- Наблюдаемая А имеет собственные значения ±1 в своих соб-
собственных состояниях [ui±> = 2^1/2(|o|5i> ± |^2>). Пусть наблю-
наблюдаемая А измеряется в момент времени t = 0. т, 2т, .... Пусть
(нормированное) состояние системы в момент t = 0 непосред-
непосредственно перед проведением первого эксперимента дается суммой
С\ H'i> + C2|i|>- Если рп — вероятность того, что измерение в мо-
момент времени / = пх даст результат А = 1, покажите, что
,оп+1==-2~A — cos a) + рп cos а,
где а = (Е[ —?)т/Й, и выведите отсюда, что
р„ = -2-A — cosna) + -?НС1 + c2|2cosna.
Чему равна указанная вероятность в пределе л->оо при
фиксированном / = пх? (См. теорему 5.7).
4. Покажите, что если временное уравнение Шредингера
C.8) имеет решение вида xF(ri, . . . , rn)f(t), то функция W дол-
должна быть собственной функцией гамильтониана и f = e~~iEi/h,
где Е — собственное значение, соответствующее функции W.
5. Для произвольной наблюдаемой А покажите, что тлАЯ ^
^ УгЙ, где Я — гамильтониан и хА = |^<Л>/Л|-1АЛ.
6. Предположите, что [Я, А] = —iXHA, и покажите, что
АЛ = Ce7J, где С — произвольная постоянная.
7. Найдите уровни энергии частицы, движущейся в трехмер-
трехмерном пространстве, ограниченной стенками кубического ящика с
длиной стороны а и не подверженной действию никаких других
сил.
8. В момент времени t = 0 волновая функция свободной ча-
частицы массы т, движущейся в одном измерении, равна *Фо(л;) =
= G(x, а0) (ао/л/я)~112ех.р(—х2/2ао). Переходя от функции ^0(*)к
ее фурье-образу (см. задачу 2.15), найдите волновую функцию
в момент времени t и покажите, что \^(х, t)\ = G(x, a), где
a2 = al + ti2t2/m2al
9. Найдите выражение для плотности тока вероятности для
волновой функции ty(x) = Aeikx -j- Be~ikx и покажите, что оно
совпадает с выражением для плотности тока двух пучков клас-
классических частиц, движущихся в противоположных направлениях,

180 Гл. 3. Квантовая динамика
с плотностями |/1|2 и \В\2. Останется лн это утверждение спра-
справедливым, если k заменить на k' во втором слагаемом?
10. Частица движется вдоль оси х в потенциале, который об-
обращается в нуль при х <с а и при х > Ь, и пребывает в стацио-
стационарном состоянии. Считая, что волновая функция в областях,
где потенциал равен нулю, дается выражениями ty(x) = Ae~ikx-\-
_[_ Beikx при х < а и ty(x) = Ce~ikx при х > b, покажите, что
|Л|2= |Л|2 + \С\2. В чем физический смысл такого равенства?
(См. задачу 9.)
11. Пусть V(x) —функция, бесконечное число раз дифферен-
дифференцируемая всюду за исключением конечного числа точек хи По-
Покажите, что если функция г|> является суперпозицией решений
уравнения Шредингера C.45) и удовлетворяет условиям непре-
непрерывности C.53) в точках xi, то функция \\i бесконечное число раз
дифференцируема в точках Х[.
12. Пусть функция if(jt) является собственным бра-вектором
для гамильтониана Н = p2/2m -J- V (х), так что она удовлетво-
удовлетворяет условиям C.55) при всех ф, удовлетворяющих условиям не-
непрерывности C.53). Покажите, что функция г|> удовлетворяет
уравнению Шредингера C.45) в том и только в том случае, если
она удовлетворяет также условиям C.53).
13. Частица массы m движется в одном измерении в потен-
потенциале, имеющем форму барьера величины Vo на интервале 0 ^
=Sj х =SC а, причем в остальной области потенциал равен нулю.
Найдите собственную функцию гамильтониана, предположив, что
она имеет вид erikx -j- Beikx при i<0 и вид Ce~ikx при х > 0.
(Такую функцию можно рассматривать как волновую функцию
частицы, падающей на барьер слева; имеется вероятность \В\2,
что частица отразится от барьера, и вероятность \С\2, что она
пройдет через него. Тот факт, что \С\2ф0 даже при Е < Vo,
когда классическая частица не могла бы проникнуть сквозь
барьер, называется квантовым туннельным эффектом.)
В случае Е > Vo найдите отношение вероятности того, что
частица будет найдена внутри интервала [0, а], и вероятности
того, что она будет обнаружена на интервале такой же длины
в области х > а. Найдите предел при Й-»-0 указанного отно-
отношения и сравните его с отношением времен, необходимых клас-
классической частице с энергией Е для прохождения данных интер-
интервалов.
14. Частица движется в трехмерном пространстве в потен-
потенциале, который обращается в нуль в некоторой области D. Она
может находиться в стационарном состоянии, для которого вол-
волновая функция в D равна 1|з(/") ~f(r)eikr, где / — вещественная
функция скалярной переменной, a k — вещественная постоянная.
Найдите функцию f и энергию состояния. (Используйте соотно-
соотношение V2f (r) =f" (r) + 2f (r) /г.)

Jadcvtu ,ч' г/шве З 181
Найдите выражение для тока в D. Можно ли взять в каче-
качестве области D всю прямую за исключением некоторой окрестно-
окрестности начала координат?
15. Найдите <л;> и Ах для n-го стационарного состояния сво-
свободной частицы, движущейся в одном измерении внутри интер-
интервала [0, а]. Покажите, что при п ->¦ оо указанные величины при-
принимают классические значения.
16. Покажите, что если система инвариантна только относи-
относительно трансляций в направлении п, то компонента импульса
р-п вдоль него сохраняется.
17. Покажите, что система, состоящая из одной свободной ча-
частицы, движущейся в трехмерном пространстве, инвариантна от-
относительно трансляций.
18. Найдите функцию U{Ta) V(U(Ta)]~\ предположив, что
частица движется в потенциале V'(r). Выведите отсюда, что та-
такая квантовая система инвариантна относительно трансляций
только в том случае, если на частицу не действуют никакие си-
силы. Справедливо ли это утверждение в классической механике?
19. Постройте трансляционные операторы для системы, со-
состоящей из двух простых частиц, движущихся в трехмерном про-
пространстве. Считая, что на них действуют силы, обусловленные
потенциалом V(ri, r2), найдите условия, которые надо наложить
на потенциал, чтобы рассматриваемая система была инвариант-
инвариантной относительно трансляций.
20. Для фотонов, движущихся в 2-направлении в некоторой
среде, состояния \фх} ± i\<f>y} являются собственными состоя-
состояниями для гамильтониана с энергиями Е+ и ?"_. Покажите, что
такая система инвариантна относительно вращений вокруг оси г,
и опишите, как будет изменяться поляризация плоскополяризо-
ванного света, падающего на среду в z-направлении.
21. Покажите, что оператор вращения R(n, 0) можно пред-
представить в виде R(n, 0)х = xcos 8 -j- (x-n)n(l — cos 0) + n X
Xx sin 6 и убедитесь, что генератор вращений вокруг оси п, дей-
действующий в пространстве волновых функций, равен n-J, где
J=— iftrX V.
22. Оператор V называется четным, если он удовлетворяет
условию PV = VP, и нечетным, если он удовлетворяет условию
PV = —VP. Покажите, что оператор координаты и оператор им-
импульса являются нечетными, а оператор углового момента яв-
является четным. Покажите, что среднее значение оператора У в со-
состоянии |i|)> обращается в нуль, если оператор V нечетный и
|i|)> является собственным состоянием оператора Р.
23. Теорема Вигнера. Пусть |ч|>>->-| Ггр)—некоторое отобра-
отображение пространства состояний, удовлетворяющее условию
|<Г<?|7\|з>| = |<<?|^>1 ПРИ всех i^> и Ю- Восполните пробелы
приводимого ниже доказательства того, что всегда можно

182 Гл. 3. Квантовая динамика
указать такие фазовые множители oj(ij)), которые делают ото-
отображение |ф>-> ?/|ф> = со("ф) | 7\|з> либо линейным, либо анти-
антилинейным.
Возьмите ортогональный базис | ярг) и примите, что | <$>tj) =
= I Ф;) + I 'Ф/)- Покажите, что существует отображение U, для
которого справедливо соотношение U \ <j>it) = | Гф(-) + ytj \ фу), где
Уц—1 и г/1;-=1. Пусть 11) = X с« I ¦ф/) — произвольный вектор;
тогда отображение ?/|?) можно определить так, что ?/|?) =
= И ci I ^ФгХ где Ci = 1 и |с;| = |сг|. Покажите, что либо
Ci — сг (в таком случае сг можно назвать «линейной коорди-
координатой»), либо Ci — QCi, где со == Cj/cj (тогда ci можно назвать
«антилинейной координатой»), и что если c-t — линейная, а су- —
антилинейная координаты, то либо c[ — y~ij(jiCi, либо ct = уцш/.
Выведите из этого заключения, что существует вектор, i-я и /-я
компоненты которого либо обе линейные, либо обе антилиней-
антилинейные. Рассматривая векторы состояний ||> и Ci|^i> -f- dt\$i), по-
покажите, что все векторы имеют t-e координаты одного типа (ли-
(либо линейные, либо антилинейные), и придите к заключению, что
отображение U либо линейное, либо антилинейное.
24. Пусть ?/(Я)—семейство несингулярных операторов, за-
зависящих от вещественного параметра Я. Покажите, что
(d/dX) [U(X)]-l = U~-l(dU/d%)U-K
25. Пусть Qx — группа операций, различаемых вещественным
параметром Я и удовлетворяющих условию Qx+u- =Q\Qn- Пусть
U — некоторое представление этой группы в векторном про-
пространстве V с генератором X; пусть Ло — произвольный опера-
оператор, действующий в V, и А (Я) = U(Qx)A0 [U(Qx)]^1. Покажите,
что dA/dk= [X,A(l)] при любом Я.
26. Пусть U(Q) =U(R(k, 0)) и А — произвольный оператор.
Составляя дифференциальное уравнение для оператора
U(B)A[U(B)]~l, покажите, что (считая Й = 1)
h, Uz, ¦¦¦, Uz, Л] ...]],
re = l
где /г-е слагаемое в сумме является л-кратным коммутатором.
27. Для системы п бесспиновых частиц оператор U (Bv) оп-
определен соотношением
U (By) ф (гь ..., г„) = ехр {/ (mlrl + ... + mnrn) • v} ф (r1; ..., г„),
где mi, . . . , m,i — масса частиц. Покажите, 4To[t/(fiv)]~1pjt/(fiv);=
= р(. _|_ rmv, и выведите отсюда, что оператор U(BV) представ-
представляет операцию приведения системы в движение со скоростью v.

Задачи к главе 3 183
Группа Галилея состоит из трансляций Тя вращения R и
временных трансляций Тт, а также бустов Bv, которые являются
следующими преобразованиями пространства-времени R4:
Т& : (t, г) -> (/, г + a); R: (t, r) -> (t, Rr);
Тх: (t, r)~>(t + т, г); Bv : (t, r) -> (f, г + vt).
Покажите, что операции Га и Ву коммутируют друг с другом
и U (Ta)U (Bv) = wf/ (BV)U (Та), где |ш|=1. Найдите эрмитовы
генераторы для операторов бустов U (Bv).
28. Покажите, что множители w(Q,R) в определении проек-
проективного представления C.141) удовлетворяют условию
co(Q, RS)a(R, S) = (u(Q, R)co(QR, S), и если w(Q, R) =
= Q(Q)Q{R)/Q{QR) для некоторой функции 0', заданной на груп-
группе, то существует истинное представление, соответствующее
каждому проективному представлению.
29. Пусть U — представление группы G в комплексном век-
векторном пространстве V. Для любых QeGn оеУ определите
оператор T(Q, v), действующий в пространстве V Ф С, с по-
помощью соотношения Т(Q, v)(w, с) = (U(Q)w + cv, с). Пока-
Покажите, что Т является представлением неоднородного расшире-
расширения Gy^)V. Выведите отсюда, что алгебра расширения G X) V
изоморфна алгебре L Ф V, где L — алгебра Ли группы G, и най-
найдите скобки Ли.
30. Пусть U — унитарное представление группы G в вектор-
векторном пространстве V. Покажите, что если W — инвариантное под-
подпространство данного представления, то его ортогональное до-
дополнение WL тоже инвариантно. Выведите отсюда, что в случае
конечномерного пространства V оно может быть представлено
прямой суммой V = V\ Ф ... Ф Vn, где каждое V/ — носитель не-
некоторого неприводимого представления G. (Такое представление
U называется полностью приводимым.)
На примере представления Т из задачи 29 покажите, что не-
неунитарное представление не обязательно должно быть пол-
полностью приводимым.
31. Покажите, что пространство трехмерных векторов можно
рассматривать как алгебру Ли со скобками Ли, даваемыми век-
векторным произведением.
Пусть Й(а)—матрица типа 3X3, определяемая соотноше-
соотношением Q (а) х = а X х, где а и х — трехмерные векторы. Покажите,
что матрица fi(a) антисимметрична и что [О,(а), п(Ъ)] =
= Q(aXb). Выведите отсюда, что алгебра Ли группы SOC)
изоморфна алгебре Ли трехмерных векторов.
32. Частица массы m с электрическим зарядом е движется
в одном измерении на интервале длины а под действием по-
постоянного электрического поля Е. Первоначально она на-
находилась в собственном состоянии кинетической энергии г

184 Гл. 3. Квантовая динамика
собственным значением Ek = k2n2fr2/2ma2, где k — произвольное
целое число. Найдите с точностью до первого порядка теории
возмущений по е2 вероятность того, что по истечении времени t
кинетическая энергия частицы будет равна Ei, где I "Ф k.
33. Система описывается гамильтонианом Я0 + еУ и совер-
совершает квантовые переходы между собственными состояниями га-
гамильтониана Но- Пусть |i|)i>, |^2> и |ф3> — три таких состояния,
соответствующие собственным значениям Ei, причем ?3 — Е2 =
= Еч — Ei=E=?^0. Считая, что V не зависит от времени и
<г|J) V]i|)i> = 0, а система находится в состоянии )ф]> в момент
времени t = 0, найдите вероятность того, что система будет об-
обнаружена в состоянии |ф2> в момент времени t в первом неис-
чезающем порядке теории возмущений.
34. Система совершает переходы между собственными со-
состояниями гамильтониана Но под действием зависящего от вре-
времени гамильтониана Но + eVo cos at. Выведите формулу для ве-
вероятности перехода из состояния |ipi> в состояние |ф2> за вре-
время t, где |i|3i> и |if>2> — собственные состояния гамильтониана Но,
соответствующие собственным значениям Е\ и Е2- Покажите, что
эта вероятность мала всюду, за исключением области Е2—-Е\ са
ж hw. (Таким образом, заряженная частица, находящаяся в пе-
переменном электрическом поле частоты v, обменивается с ним
энергией только порциями, кратными кванту энергии Е = liv.)
35. Восполните пробелы доказательства теоремы 3.14.
1. Рассмотрев интеграл по треугольному контуру с верши-
вершинами в точках О, R и R + Ш, покажите, что
\
о
exp (ix2) dx = -K (in)
2. Пусть ф — интегрируемая функция вещественной пере-
ф (х) dx == k < оо и существуют ин-
-оо
Ф (х) dx и \ ф (х) dx. Пусть / — произвольная не-
0 J-oo
0
прерывная функция вещественной переменной и пусть I (s;a,b)=
f (х) эф (sx) dx. Покажите, что
а
а) если 0 < а < Ь, то / (s; а, Ь) —>¦ 0 при s —> оо;
б) если а < 0 < Ь, то / (s; а, Ь) -> kf @) при s —> оо.
Выведите отсюда, что lim [эф (sx)] = kb{x).

Глава 4
Конкретные квантовые системы
В этой главе подробно исследуются математические свойства
операторов, которые представляют физические наблюдаемые,
рассмотренные в гл. 2 и 3. В частности, мы найдем собственные
значения и соответствующие им собственные векторы для каж-
каждого такого оператора и тем самым дадим полное описание со-
соответствующих физических наблюдаемых.
§ 4.1. Угловой момент
В § 3.3 показано, что компоненты углового момента Jx, Jy, Jz,
являющиеся эрмитовыми генераторами группы вращений трех-
трехмерного пространства с одной неподвижной точкой, удовлетво-
удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:
[Jx, Jy] = ih]z, [Jy, Jz] = Шх, [Jz, Jx] = itiJy. D.1)
Поскольку никакие два из этих операторов не коммутируют друг
с другом, они, вообще говоря, не имеют одновременных собствен-
собственных значений. Однако оператор
Р = Рх + Ру + Рг D.2)
коммутирует с каждым из операторов Jx, Jy, Jz, в чем легко убе-
убедиться непосредственно, используя тождество B.80) для комму-
коммутатора произвольного оператора с произведением операторов.
Следовательно, можно искать одновременные собственные зна-
значения оператора J2 и оператора одной из компонент углового
момента, например компоненты Jz.
Рассмотрим физическую систему, для которой операторы J2
и Jz образуют полную систему коммутирующих наблюдаемых,
так что имеем полную систему состояний \%, \х), являющихся од-
одновременными собственными состояниями указанных операто-
операторов, соответствующими собственным значениям % для J2 и |.i
для ]г:
J2|A, |л)=А|А, ц), 1г\К ti)=!x|A, v). D.3)
Рассмотрим операторы
= Jx±iJy. D.4)

186 Гл. 4. Конкретные квантовые системы
Операторы /+ и /_ эрмитово сопряжены друг другу:
J+ = Ji, D.5)
и их произведения можно выразить через операторы J2 и /г:
V- =J2 - ]1 + >lJz> D-6)
/_/+ = J2 - 1\ - hJz. D.7)
Из коммутационных соотношений D.1) можно получить вы-
выражения для коммутаторов операторов /+ и /_ с оператором ,/г:
[/„ J+] = hJ+, D.8)
[/„ /_] = - /г/_. D.9)
Важнейшие свойства операторов J± следующие:
1. Состояния /±|А,, ц> являются собственными состояниями
оператора J2 с собственным значением К. D.10)
Так как оператор J2 коммутирует с операторами J±, то
PJ±\K |а> — /*J2| Л., v) = U±\K ц).
2. Либо J+\X, ц> = 0, либо /+|Я, [я> является собственным со-
состоянием оператора Jz с собственным значением \х,-\-%. D.11)
Из выражения D.8) имеем
U+ I Л, ц> = (/+/2 + М+) | К \х) = ([я + А) /+ | К, ц>.
3. Либо 7-|А,, |х> = 0, либо состояние J-\X, ц> является соб-
собственным состоянием оператора /z с собственным значением
ц — й.
JJ |Л, A> = (/_/г-Й/_)|Л, ц> = (ц-й)/-|Я,, ц>. D.12)
Свойства D.11), D.12) легко доказать исходя из D.8) и D.9).
Благодаря свойствам D.11) и D.12) операторы /+ и /_ на-
называют повышающим и понижающим операторами для опера-
оператора Jz- Формально можно написать
J±\%, [л) = с±|л, ix ±Ь). D.13)
Чтобы найти значения коэффициентов с±, воспользуемся тем, что
состояния |Я, (х> нормированны, а потому, вводя обозначение
|<?±> = J±\X, [я>, имеем
— У| — й/г) j Л, [г) = Я-(х2-
от
D.15)
где при написании третьего равенства использованы соотноше-
соотношения D.5) и D.7). Аналогично получаем

§ 4.1. Угловой момент 187
(Можно однозначно определить только модули коэффициен-
коэффициентов с±, так как вектор состояния определен лишь с точностью до
произвольного фазового множителя.)
Из D.14), используя свойство положительной определенности
внутреннего произведения B.29), заключаем
Я - ц2 — цП > 0, D.16)
l-|_i2-!xft = 0<=4f+) = /+|A, [i) = 0. D.17)
Аналогично из D.15) находим
А - ц2 + цП > 0, D.18)
>_) = /_|А, ц) = 0. D.19)
Соотношений D.11), D.12) и D.16) — D.19) достаточно, что-
чтобы найти все возможные значения % и ц. Из D.11) видим, что
если /+|Я, |х> не равно нулю, то собственное значение ц опера-
оператора /г сопровождается более высоким собственным значением
ц + ft, которое в свою очередь может сопровождаться собствен-
собственным значением ц -j- 2ft и т. д. Собственные значения как бы под-
поднимаются по ступенькам лестницы, каждая высотой ft, и оста-
останавливаются только тогда, когда достигают максимального зна-
значения [.(макс, ДЛЯ КОТОРОГО
= 0. D.20)
Такое максимальное значение обязательно должно существо-
существовать, так как если бы \а увеличивалось неограниченно, то оно до-
достигло бы значения, нарушающего неравенство D.16). Согласно
соотношению D.17), это максимальное значение связано с Л со-
соотношением
^ = М-макс (М-макс + ft) D.21)
(значение % одинаково для всех состояний лестницы ]Х, |х>,
У+|Я, |х>, . . . в силу D.10)).
Аналогично понижающий оператор порождает последователь-
последовательность собственных значений, спускающихся вниз от ц по сту-
ступенькам, каждая высотой ft, и достигающих минимального зна-
значения Цмин, иначе будет нарушено неравенство D.18); для этого
минимального значения имеем условие
J-\K Шган> = 0, D.22)
поэтому, согласно D.19),
Я- = М-мин (м-мин — ft)- D.23)
Из D.21) и D.23) непосредственно находим, что
(Цмакс + М-мин) (fWe. ~ М-мин + Й) = 0. D.24)

188 Гл. 4. Конкретные квантовые системы
Так как |лмакс> |лми„, то из D.24) следует, что \хшш = — [гмакс.
Если положить [Лмакс = М, то разность между (лмакс и (ЛМ1Ш будет
равна 2//г. Мы приходим от цмин к |лмакс, поднимаясь по сту-
ступенькам высоты Й; следовательно, 2/ должно быть неотрицатель-
неотрицательным целым числом. Из D.21) находим тогда, что значение А, рав-
равно /(/+ 1)Й2- Значения ц, которые соответствуют ступенькам на-
нашей лестницы собственных значений оператора /г, равны —/Й,
(—/+ 1)Й, ..., (/-— 1)Й, /Й. Никакие другие значения ц невоз-
невозможны для состояний с одним и тем же собственным значением
оператора J2, так как мы начали с произвольного собственного
значения оператора Jz и показали, что оно принадлежит указан-
указанной последовательности.
Наконец, отметим, что если бы мы взяли какое-нибудь со-
состояние |Х, |л> и применили к нему сначала повышающий опера-
оператор /+, а затем понижающий оператор /_ или наоборот, то вслед-
вследствие D.6) и D.7) мы вернулись бы обратно к некоторому
кратному исходного состояния. Таким образом, на лестницу со-
состояний с заданным значением Я можно натянуть такое про-
пространство состояний &, что операторы Jx, Jy, /z будут действо-
действовать внутри него.
В дальнейшем мы перейдем от обозначений Ьцк обозна-
обозначениям / и пг, причем Я = /(/-т-1)Й и ц = mti и будем писать
|/т> вместо |/(/+1)Й2, тй>. Полученные результаты можно
сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема 4.1. Возможные собственные значения оператора J2
равны /(/+ 1)Й2, где 2/ — неотрицательное целое число. Каж-
Каждому такому собственному значению соответствует 2/ -j- 1 собст-
собственных состояний \jrriy, пг = —/, / + 1, . • •, /— 1, /, на которые
компоненты вектора углового момента J действуют следующим
образом:
Jz\jm) = mh\jm), D.25)
/± | jm) = V(/(y+i)_m(m±i) Л | /m ± 1), D.26)
где
Ниже в этой главе будем предполагать, что основные физиче-
физические единицы выбраны так, что Й = 1.
Подтверждение полученным результатам дает эксперимент
Штерна — Герлаха, в котором пучок атомов или других частиц
проходит через область пространства вблизи полюса магнита и
попадает на экран, на котором пучок оставляет след (рис. 4.1).
При этом обнаруживается, что пучок расщепляется на несколько
отдельных пучков, так что след от частиц на экране разбивается
на несколько отдельных пятен. Пятна располагаются на равных
расстояниях друг от друга вдоль направления, параллельного

§ 4.1. Угловой момент
189
оси магнита, симметрично по обе стороны от точки, в которой
пересекает экран линия первоначального пучка.
В классической физике вращающийся электрически заряжен-
заряженный объект создает вокруг себя такое же магнитное поле, как
магнит с магнитным моментом (равным произведению силы маг-
магнитного полюса на длину магнита), пропорциональным его вну-
внутреннему угловому моменту (т. е. угловому моменту относитель-
относительно центра масс объекта). При движении вблизи полюса магни-
магнита такой объект отклоняется
на величину, пропорциональ-
пропорциональную компоненте углового мо-
момента, параллельной оси маг-
магнита, скажем компоненте /z-
Таким образом, эксперимент
Штерна — Герлаха, в котором
пучок частиц расщепляется
вдоль 2-направления на 2/+1
отдельных пучков, так что все-
всего получается 2/ -f- 1 возмож-
возможных значений величины откло-
отклонения отдельной частицы, по-
показывает, что имеется только
2} + 1 возможных значений Рис. 4.1. Эксперимент Штерна —
компоненты углового момента Герлаха.
Jz для каждой частицы.
Число / характеризует тип частиц в пучке; оно называется
спином частицы.
Орбитальный угловой момент. Для простой частицы, не на-
наделенной никакими внутренними свойствами, и в частности не
обладающей спином, угловой момент относительно начала дает-
дается классическим выражением J = г X Р- Этот угловой момент
называется орбитальным и часто обозначается буквой L. Как
было показано выше (с. 135), для рассматриваемой системы ве-
величина L совпадает с угловым моментом, определенным посту-
постулатом VII. Соответствующий оператор (мы полагаем Й = 1)
дается формулой
L = - гг X V- D.27)
В сферических координатах г, 8, ф для операторов Lz, L± и L2
имеем следующие выражения
^ '-^Г- D-28)
D.29)
D.30)
L2=-^
sin2 6 [ \

190 Гл. 4. Конкретные квантовые системы
Собственные функции оператора Lz, определенного выражением
D.28), имеют вид -ф(г) = f{r,Q)eimip. Поскольку координаты г, 9,
<Р + 2л соответствуют той же точке пространства, что и коорди-
координаты г, 9, ф, приведенная функция не должна измениться, если
угол ф увеличить на 2я; следовательно, число m должно быть
целым (не полуцелым). Аналогично можно рассмотреть опера-
оператор L2, определяемый выражением D.30). Он представляет со-
собой угловую часть лапласиана V2, и его исследование показы-
показывает, что его собственные значения равны 1A -f- 1), где I — целое
число (снова целое, а не полуцелое). Одновременные собствен-
собственные функции операторов L2 и Lz имеют вид
К,* (9, *) = />? (cos 8) е* D.31)
где пг = — /, —/+1, ¦••, I, a Р?— присоединенные полиномы
Лежандра. Функции Уш называют сферическими гармониками.
Иногда удобно рассматривать также пространственные гармо-
гармоники
Slm(r,Q,t) = rlYlm(Q,<l>). D.32)
Единственное специальное свойство указанных функций, ко-
которое нам потребуется, дается следующей теоремой.
Теорема 4.2. Пусть г|? — собственная функция оператора L2,
соответствующая собственному значению /(/-f-1). Тогда функ-
функция я|э имеет четность (—\I, т. е.
= ф(-г) = (-1)Ч(г). D.33)
Доказательство. Рассмотрим функцию
ф (Г) = (х + iyY = rl sin'Qetl*.
Используя выражения D.28) и D.30), легко убедиться, что
Ь2Ф = /(/+1)Ф, ЬгФ = 1Ф. D.34)
Следовательно,
п поэтому
Ь1~тФ (г) = rlYim (9, ф) = Slm (r). D.35)
Поскольку Ф является полиномом степени /, имеем
Ф(-г) = (-1|
Оператор четности Р коммутирует с операторами вращений, а
следовательно, и с операторами компонент углового момента,
т. е. в частности с понижающим оператором L-, поэтому из со-
соотношения D.35) следует, что пространственная гармоника

§ 4.1. Угловой люмен i
Sim(r) удовлетворяет соотношению
Sim(-r) = (~l)lSlm(r). D.36)
Но любая собственная функция оператора L2, соответствующая
собственному значению /(J-fl), может быть представлена в
виде
? ][-<fm(r)S,m(r), D.37)
где fm{г) —некоторые функции г = |г|. Следовательно, из D.37)
непосредственно получаем
Поскольку собственные значения оператора L2 имеют вид
1A-\~\), где / — неотрицательное целое число, одновременные
собственные состояния \jm) для операторов J- и /г, для кото-
которых у (а следовательно, т) равно полуцелому числу (половине
нечетного целого числа), нельзя реализовать с помощью волно-
волновых функций. Вместе с тем операторы, удовлетворяющие комму-
коммутационным соотношениям для компонент углового момента и об-
обладающие такими полуцелыми собственными значениями, имеют
определенный математический смысл (он явно выражен в фор-
формулах D.25) и D.26)), и физические состояния, соответствую-
соответствующие этим собственным значениям, действительно встречаются
в природе. Они наблюдаются для частиц, для которых экспери-
эксперимент Штерна — Герлаха дает расщепление на четное число пуч-
пучков (как на рис. 4.1, где число пучков равно 6, так что 2/ + 1 =
= б и у = 5/2).
Спин. «Внутренний» угловой момент частицы, который про-
проявляется в эксперименте Штерна — Герлаха, называется спином
частицы (то же название используется и для числа /). Речь
идет об угловом моменте, которым частица обладает даже в том
случае, когда она покоится, т. е. когда для нее компоненты им-
импульса р имеют нулевые собственные значения, и поэтому произ-
произведение гХр равно нулю. При описании эксперимента Штер-
Штерна — Герлаха мы неявно считали, что спин рассматриваемого
объекта подобен моменту количества движения классического
вращающегося тела относительно его центра масс, получаемому
путем сложения величин вида г X Р для всех частей тела (г —
вектор положения отдельной части относительно центра масс).
В случае составной частицы, например атома в квантовой меха-
механике, тоже имеет смысл говорить о моменте количества движе-
движения относительно центра масс и можно отождествлять послед-
последний со спином. Но все это не относится к ситуации, когда спин

192 Гл. 4. Конкретные квантовые системы
I равен полуцелому числу, так как угловой момент относительно
центра масс получается сложением орбитальных угловых момен-
моментов, обладающих целочисленными собственными значениями, и,
как будет показано в следующем параграфе, при этом могут по-
получиться только целые значения углового момента. Но так как
частицы с полуцелым спином действительно существуют, сле-
следует сделать вывод, что частица может иметь спин, который не
связан с движением ее частей относительно центра масс. В част-
частности, истинная элементарная частица (не имеющая внутренних
составных частей) тоже может обладать спином ').
Имеется общее правило, устанавливающее связь спина ча-
частицы с ее статистикой (т. е. с тем, является ли частица фер-
мионом или бозоном). Эта связь доказывается специальной тео-
теоремой в релятивистской квантовой теории поля, но здесь мы
примем ее в качестве фундаментального закона природы.
Правило спина и статистики: спин любого бозона равен це-
целому числу; спин любого фермиона равен полуцелому числу.
Среди частиц, описанных в гл. 1, все фермионы (барионы,
лептоны и кварки) имеют спин 1/2; калибровочные бозоны (фо-
(фотон, W±-, 2°-частицы и глюоны) имеют спин 1; мезоны (я, К и
г}) имеют спин 0. Но существуют и другие барионы и мезоны,
имеющие спины, отличные от 1/2 и 0.
Частицы со спином 1/2. При / = 1/2 существует два возмож-
возможных значения /га, а именно т = ±1/2; упростим еще больше наши
обозначения и соответствующие собственные состояния опера-
оператора Jz обозначим просто символами | +> и | —> (часто их назы-
называют состояниями со спином «вверх» и со спином «вниз»). Со-
Согласно D.25), D.26), получим, что компоненты углового момен-
момента J действуют на указанные состояния следующим образом:
|> /J) l+>
^ Z I ~T~/ ~o~ ' ~T~/> *^2 I /
Матрицы, представляющие компоненты углового момента (см.
§ 2.4), являются компонентами векторной матрицы V20:
О 1 \ /0 — i\ (\ 0 \
), аг = [ , ; D.39)
о/ г V о —1/ v
') Собственно говоря, в этом нет ничего удивительного, если учесть, что
механика и геометрия взаимосвязаны, о чем уже шла речь в § 3.2. Геометри-
Геометрически вращения нельзя свести к трансляциям; соответственно нельзя и ожи-
ожидать, чтобы угловой момент можно было свести к импульсу. Такая точка
зрения общепризнана в классической механике и восходит к Эйлеру.

§ 4.1. Угловой момент 193
они называются матрицами Паули. Произведения этих матриц
даются формулами
ох2 = оу* = ог2=1, D.40)
вхОу = — оуах = iaz D.41)
и формулами, получаемыми циклической перестановкой х, у, z
из последней формулы. Таким образом, имеем
<*iOt = 6f/ + Ыцквк, D.42)
или
(a-o)(b-o) = a-b + i(aXb)-o. D.43)
Общее состояние частицы со спином 1/2 (пока речь идет
только о спиновом состоянии) дается суперпозицией й|+> +
+ С\ |—>. Такой вектор состояния называется спинором. Реаль-
Реальная частица обладает не только спиновыми свойствами, но так-
также свойствами, связанными с ее движением в трехмерном про-
пространстве и описываемыми волновой функцией ф(г). Как и в
случае фотона (с. 104), оба этих аспекта можно учесть, если счи-
считать коэффициенты й и с2 волновыми функциями; таким обра-
образом, полное пространство состояний частицы со спином 1/2 об-
образуется спинорными волновыми функциями ^i(r)|+) +
+ ^2(г) |—>, которые можно также записывать в виде
Операторы вращений. Пусть п — произвольный единичный
вектор; тогда n-J — эрмитов генератор вращений вокруг оси п.
Таким образом, согласно теореме 3.6, оператор, представляю-
представляющий вращение на угол 0 вокруг оси п, дается выражением
U(R{n, e)) = e-i9n-J. D.44)
В случае частицы со спином 1/2 экспоненту можно преобразо-
преобразовать, используя соотношение
(П.аJ=\, D.45)
которое непосредственно следует из соотношения D.43). Полу-
Получаем
U(R(n- 9)) = е-'АШп-о = cos i/2e -j-in-a sin l/2Q. D.46)
Заметим, что U = —1, когда 0 = 2я. На первый взгляд это ут-
утверждение кажется ошибочным, поскольку вращение на угол 2я
должно совпадать с операцией тождественного преобразования
и можно ожидать, что последнее будет представлено единичным
оператором. Однако, поскольку вектор состояния —|^> опи-
описывает то же состояние, что и вектор |ij)>, тождественную

194 Гл. 4. Конкретные квантовые системы
операцию можно представить также оператором —1. Операторы
D.46) дают пример проективного представления группы враще-
вращений, рассмотренного в § 3.3, которое нельзя переопределить и
сделать истинным представлением. Так всегда происходит, когда
/ равно полуцелому числу, как в этом легко убедиться, рассмот-
рассмотрев действие вращения вокруг оси z на состояние \jm}:
U (R (к, 0)) | jm) = е~ш* \ jm) е~шв | jm) = - | jm) при 6 = 2я, D.47)
поскольку m тоже равно полуцелому числу.
Пользуясь терминологией, введенной в § 3.3, полученные ре-
результаты в отношении операторов вращений можно сформулиро-
сформулировать следующим образом.
Теорема 4.3. Для каждого собственного значения /(/+1)
оператора J2 имеется B/ + 1)-мерное проективное представле-
представление группы вращений, на котором оператор J2 действует как не-
некоторое кратное единичного оператора. Указанное представле-
представление единственно (с точностью до преобразования подобия). Оно
является истинным представлением в том и только том случае,
если / — целое число. ¦
Обозначим рассматриваемое представление (а также вектор-
векторное пространство, на котором оно действует) <?>/. Это представ-
представление характеризуется набором матриц 2I (R) типа B/+ 1) X
ХB/+1) с матричными элементами d!mn(R) (m, п = — /, ...,/),
где R обозначает произвольное вращение, причем
U(R)\jm)= I d'nm(R)\jn). D.48)
я-—/
Представление характеризуется также набором трех матриц,
представляющих генераторы и образующих матричный вектор
t; = {tlx, t!y, t'z) с матричными элементами t'nm, где
/
J|/, m)= ? t'nw|//t> D.49)
n-—/
(t/ — 1/2o в случае, когда /=1/2). Из D.25), D.26) легко найти
явные выражения для матричных элементов
{t!±)nm = (f'x ± it'y)nm = */iU+l)-m(m±l) йп. m ± ь D.50)
= т6пт- D-51)
На первый взгляд может показаться, что одно очевидное пред-
представление группы вращений не содержится в представлениях
теоремы 4.3, а именно векторное представление, для которого
пространство представления образовано обычными трехмерными
векторами и операторы вращения действуют так, что поворачи-
поворачивают эти векторы в обычном геометрическом смысле. Другими

§ 4.1. Угловой момент 1 vjr>
словами, можно указать полную систему трех состояний |.v>,
\у), |z>, соответствующих единичным векторам i, j, k, и произ-
произвольное вращение, например вокруг оси г, представить унитар-
унитарным оператором U(R(k, 8)), определенным соотношениями
U(R(k, Q))\x) = cosQ\x)+smQ\y),
U-(R (k, 0)) | у) = - sin G | x) + cos 91 y), D.52)
?/(#(k,9))|z) = |z>-
Дифференцируя по & и полагая 8 = 0, получаем правила дей-
действия генератора /г:
/г|х) =-•/!//), /г|//)=-/|л->, /2|г) = 0. D.53)
Аналогичные формулы можно получить и для генераторов Jx
и /у.
Покажем, что рассматриваемое представление совпадает с
представлением теоремы 4.1 для / = 1. Определим состояния
| lm> следующим образом:
| 1, ± 1) --- -JL( | л-) ± i1 г/)), 1 1, 0) = | z); D.54)
тогда, согласно D.53), получаем
/2|1,±1)=±|1±1), /2| 1,0) = 0, D.55)
т. е. формулу D.25) в случае /== 1. Для генераторов 1Х и /;/
имеем формулы, аналогичные D.53), и легко получить формулы
D.26) в случае /= 1. Таким образом, рассматриваемое вектор-
векторное представление изоморфно представлению ?D\.
Группа вращений и группа Sf/B). В случае когда j = 1/2,
унитарный оператор U(R), представляющий вращение, можно
отождествить с матрицей типа 2X2, как в D.46). Естественно,
эта матрица унитарна. Кроме того, ее детерминант равен еди-
единице, как это следует из очевидного тождества
detl
D.56)
Яо "г % й| la
щ + ia2 a0 — а3
справедливого для любого (комплексного) скаляра ао и любого
вектора а. Наоборот, любая унитарная матрица типа 2X2 с де-
детерминантом, равным единице (т. е. любой элемент группы
5GB)), может быть представлена в виде D.46) и, следова-
следовательно, может представлять некоторое вращение. Но если мы
ограничим значения угла 0 интервалом 0 ^ 8 < 2я, то получим
только половину элементов группы SUB); остальные матрицы
соответствуют углам 8, заключенным в интервале 2я sj 0 ^ 4я.
Таким образом, для любого вращения можно указать две мат-
матрицы типа 2X2; если вращение R(n,Q) можно представить

196 Гл. 4. Конкретные квантовые системы
матрицей ?/(п,6), то его можно также представить и матрицей
/7(п, 9 + 2я) = -1/(п, 9). D.57)
Но каждая матрица из SUB) соответствует только одному вра-
вращению.
Указанное двухзначное представление вращений элементами
группы 5/7B) математически описывается отображением ф из
5/7B) на группу вращений, сопоставляющим каждой матрице U
из 51/B) вращение ф(и), которое данная матрица представ-
представляет; тогда из D.57) заключаем, что ф(—/7) =<f>(U). Вращение
<P(U) можно проще всего определить с помощью множества V
эрмитовых матриц типа 2X2, обладающих нулевым следом;
любая такая матрица имеет вид
/ по а, — icto \
= аа, D-58)
V. а, + ta-2 — а3 )
где п[, а2, «з — тройка вещественных чисел, так что V — трех-
трехмерное вещественное векторное пространство, которое можно
отождествить с пространством обычных векторов а. Согласно
D.43), получаем
tr (АВ) = 2а • Ь, если Л = а-а и В = Ь-а, D.59)
так что скалярное произведение векторов в пространстве V
дается следующим внутренним произведением:
(А, В) = \ it {А, В). D.60)
Если теперь U—произвольный элемент из группы 5С/B), а
X — некоторая произвольная матрица типа 2X2, то можно оп-
определить матрицу ф(и)Х равенством
<I>(U)X = UXU*. D.61)
Матрица ф(и)Х эрмитова, если эрмитова матрица X, в силу то-
тождества {XY)^ = Y^X^; причем эта матрица имеет такой же след,
как и матрица X, так как
trX, D.62)
поскольку матрица /7 унитарна. Таким образом, отображение
ф{и) переводит векторное пространство V само в себя. Кроме
того, согласно D.60), имеем
(А,В), D.63)
так что ф (U) является некоторым ортогональным оператором,
действующим в пространстве V. Из D.61) непосредственно сле-
следует, что ф(и\и2) =ф{и{)ф(и2), так что отображение ф яв-
является гомоморфизмом группы 5f/B) в группу ортогональных

§ 4.1. Угловой момент 197
операторов, действующих в V. Приведенное выше замечание,
основанное на D.46), можно выразить теперь в терминах тео-
теории групп, сказав, что образом отображения ф является группа
всех вращений пространства V, причем ядро ф содержит ровно
два элемента ± 1 (см. задачу 5).
Внутренняя четность. Пространство состояний частицы со
спином дается произведением 9®Ж, где 9*—«внутреннее»
(спиновое) пространство, a W — пространство волновых функ-
функций. Операторы вращений действуют в пространстве W, пере-
переводя функции -ф(г) в функции ty(R~lr), и действуют в простран-
пространстве 91 как операторы D.44). Аналогично оператор четности Р,
который действует в пространстве W, переводя функции -ф (г) в
функции if (—г), должен действовать также в пространстве 9*.
Оператор Р коммутирует со всеми вращениями, а следовательно,
и с операторами углового момента; таким образом, подобно опе-
оператору J2 он имеет только одно собственное значение в простран-
пространстве 9. Так как Р2 = 1, это собственное значение равно ±1. Как
и значение спина, оно служит характеристикой типа частицы.
Эта характеристика называется внутренней четностью. Ею об-
обладают даже частицы с нулевым спином, когда пространство 9
одномерно и произведение 9 ® Ж изоморфно Ж. Таким образом,
если считать вектор состояния частицы со спином / B/ + ^-ком-
^-компонентной волновой функцией, подобной спинорной волновой
функции, которая введена выше для частицы со спином 1/2, то
действие оператора четности на нее можно представить в виде
= eif(-r), D.64)
где е — внутренняя четность рассматриваемой частицы.
Среди частиц, рассмотренных в гл. 1, массивные фермионы
имеют положительную четность, их античастицы — отрицатель-
отрицательную четность, калибровочные бозоны и легкие мезоны также
имеют отрицательную четность. Нейтрино не имеют внутренней
четности, как мы это сейчас объясним.
Безмассовые частицы. Спиновое пространство частицы можно
отождествить с пространством собственных состояний импульса
с собственным значением 0. Это пространство переводится само
в себя вращениями; следовательно, операторы вращений, а по-
потому и операторы компонент углового момента определены в
этом пространстве, и оно должно быть пространством, описан-
описанным в теореме 4.1.
Эти соображения неприменимы к безмассовым частицам, дви-
движущимся всегда со скоростью света, а потому не обладающим
собственными состояниями с нулевым импульсом. Для таких ча-
частиц невозможно отдельно рассматривать спиновое простран-

198
Гл. 4. Конкретные квантовые системы
ство, в котором действуют вращения, так как при вращениях обя-
обязательно должен поворачиваться любой ненулевой импульс ча-
частицы. Можно лишь рассматривать пространство ^р собствен-
собственных состояний импульса, соответствующих некоторому ненуле-
ненулевому значению импульса р. Это пространство инвариантно
только относительно вращений вокруг направления вектора р, а
значит является носителем оператора p-J, где р — единичный
вектор в направлении р. Но в этом пространстве не определены
операторы других компонент углового момента. (Последние,
Зеркало
Рис. 4.2. Действие отражения на спиральность частицы.
хотя и имеются в полном пространстве состояний частицы, не
оставляют пространство ?% инвариантным.) Наблюдаемая p-J
называется спиральностью частицы. Так как она является ком-
компонентой углового момента, ее собственные значения должны
быть целыми или полуцелыми, но они не должны пробегать все
значения —/, ..., /. Для более полного объяснения этого вопроса
необходимо обратиться к теории релятивистских преобразований
(к группе Пуанкаре), см. гл. 17 в работе [23].
Среди безмассовых частиц, которые рассматривались в гл. 1,
гравитон имеет спиральность ±2, фотон ±1, нейтрино —1/2 и
антинейтрино +1/2. Нейтрино вращаются вокруг направления
своего движения подобно левому винту, поэтому их называют
левыми частицами; антинейтрино, напротив, являются правыми
частицами.
Операция отражения в плоскости, параллельной вектору р,
примененная к частице с импульсом р, оставляет ее импульс
равным р, но меняет спиральность частицы на обратную; эта
операция превращает левую частицу в правую и наоборот
(рис. 4.2). Таким образом, данную операцию нельзя применить
к нейтрино, так как не существует правых нейтрино. Отражение

§ 4.2. Сложение угловых моментов
199
в плоскости можно получить путем комбинирования операций
четности и вращения на угол я в этой плоскости. Так как опе-
операцию вращения можно применить к любому состоянию, мы за-
заключаем, что оператора четности в пространстве состояний ней-
нейтрино не существует.
Таблица 4.1. Значения спина и четности частиц
Спин
Сгшральность
Четность
Кварки u, d, s, с, b, t
Октет барионов п, р, Л, 2, S
Декаплет барионов Д, 2*, В", Q
Заряженные лептоны е~, ц~, х~
1/2
1/2
3/2
1/2
±1/2
±1/2
±1/2, ±3/2
±1/2
Античастицы фермионов всегда имеют тот же спин, что и частицы, но
противоположную четность
Нейтрино ve, v^, vT
Антинейтрино ve, v^
Гравитон
Фотон
W*-, 2°-частицы
Глюоны
Октет мезонов я, К,
К, л
1
1
0
-1/2
+ 1/2
+ 2
±1
0, ±1
±1
0
-\-
—
—
—
Значения спина и четности элементарных частиц приведены
в табл. 4.1. Некоторые приведенные значения четности являют-
являются просто общепринятыми, так как внутренняя четность частицы
не всегда имеет абсолютный смысл (см. [41]).
§ 4.2. Сложение угловых моментов
Рассмотрим две системы (которые будем называть «частица-
«частицами»), обладающие векторами угловых моментов Ji и J2. Как
разъяснено в § 3.2, эти моменты можно использовать в качестве
коммутирующих наблюдаемых комбинированной системы, угло-
угловой момент которой равен J = Ji -f- J2. Развитую выше теорию
углового момента можно применить к обоим угловым моментам
Ji и Лг, а также к полному угловому моменту J. Выясним, как
связаны между собой эти моменты.
Поскольку мы интересуемся только угловыми моментами, бу-
будем считать, что других наблюдаемых нет, т. е. что Ji2 и J\z об-
образуют полную систему наблюдаемых для частицы 1 и J22 и /22
аналогичную систему для частицы 2. Предположим, что наблю-
наблюдаемая Ji2 принимает только одно значение /i(/i + 1) (т. е. ча-
частица 1 имеет спин j\), так что пространство состояний 9"i для
частицы 1 будет B/i -f- 1) -мерным пространством с полной

200
Гл. 4. Конкретные квантовые системы
системой состояний \j\tnC), где т\ (принимающее значение —/ь
—/i + 1, . . . , /i) —собственное значение наблюдаемой Jiz. Ана-
Аналогично предположим, что частица 2 имеет спин /2, т. е. имеет
B/2-f-1)-мерное пространство состояний 9" 2 с полной системой
состояний | /У«2> (т-2 = — /2, ..., h) ¦ Тогда пространством со-
состояний двухчастичной системы будет 9*\ ® З'ч; размерность
этого пространства равна B/i -f- 1) B/2 + 1), и состояния
|/!«?)>|/2т2>, которые будем обозначать кратко \\\гп\, /2т2>, об-
образуют в нем полную систему. Поскольку /i и /2 фиксированы,
Рис. 4.3. Диаграмма одновременных собственных состояний наблюдаемых
hz И Joz.
указанные состояния можно характеризовать собственными зна-
значениями т\ и 1Щ\ таким образом, J\z и J2z образуют полную си-
систему коммутирующих наблюдаемых для комбинированной двух-
двухчастичной системы []\2 и /22 кратны единичному оператору).
Рассмотрим теперь операторы полного углового момента J2
и /г, действующие в пространстве 9"\ <8> 9- Поскольку Jz = hz +
+ Лг, каждое состояние |/imb /г/И2> будет собственным для опе-
оператора /г с собственным значением т\ + т2. При фиксирован-
фиксированном собственном значении М оператора 1г имеем несколько соб-
собственных состояний, так как существует несколько пар (mi, m2),
для которых nil + т2 = М; различные возможности иллюстри-
иллюстрируются на рис. 4.3, где видно, что среди состояний \\\in\, /2от2>
имеется одно, для которого М = \\ + /г, два, для которых М =
= h + h — Ь ТРИ> Для которых М = /i + \i — 2, и т. д., пока не

§ 4.2. Сложение угловых моментов 201
достигнем значения М = /i — /2 (при /i > /2) или значения М —
=/2 — /i (при /2>/i). Если будем дальше последовательно
уменьшать Л/ каждый раз на единицу, то число состояний для
каждого значения М будет оставаться неизменным, пока не бу-
будет достигнуто значение —|/i — /2|. После этого число состоя-
состояний будет уменьшаться каждый раз на единицу по мере умень-
уменьшения М, пока, наконец, мы не получим одно состояние с М =
Пусть 2?>м — подпространство в пространстве 93\®9>2, на-
натянутое на состояния \\\т\, /2т2>, для которых Ш\ + пг2 = М;
пространство &м содержит все собственные состояния наблю-
наблюдаемой Jz с собственным значением М. Таким образом, повы-
повышающий оператор 7+ отображает &м в SZm+i- Мы видели, что
при |/i — /2| ^ М ^ /i + /2 размерность пространства ЗСМ боль-
больше (на 1) размерности пространства ЗСм+i', следовательно, опера-
оператор /+ должен иметь нулевой вектор в 2?м, т. е. состояние \W),
для которого 7+|xF> = 0. Используя соотношение /_/+ = J2—
— /г2 — Jz, получаем отсюда, что этот нулевой вектор является
собственным состоянием оператора J2, соответствующим соб-
собственному значению /(/+ 1) при J = М. Согласно теореме 4.1,
указанное состояние располагается наверху лестницы одновре-
одновременных собственных состояний операторов J2 и Jz, имеющих одно
и то же собственное значение /(/+ 1) оператора J2 и собствен-
собственные значения оператора Jz в интервале от ¦—/ до /. Каждая
лестница соответствует своему значению /, заключенному между
l/i — /г| и /! + /2; состояния, соответствующие ступенькам такой
лестницы, иллюстрируются на рис. 4.4, где каждая точка обозна-
обозначает одновременное собственное состояние наблюдаемых J2 и /г;
точка с координатами (/, М) изображает собственное состояние
с собственными значениями 7G+1) и М.
На рис. 4.4 каждый горизонтальный ряд соответствует пол-
полной системе состояний соответствующего подпространства 3Lm\
каждый вертикальный столбец обозначает лестницу состояний,
описанных в теореме 4.1. Пусть 3)] — подпространство, натяну-
натянутое на состояния данной лестницы; согласно теореме 4.3, опера-
операторы вращений действуют в этом подпространстве в соответст-
соответствии с B7+ 1)-мерным представлением группы вращений.
Результаты этих рассуждений можно суммировать в виде
следующей теоремы.
Теорема 4.4. Пусть Si и S2-—две системы, для каждой из ко-
которых 2-компонента углового момента образует полную систему
наблюдаемых, а собственные значения квадрата углового мо-
момента J2 равны /i (/1 + 1) для S\ и /2(/г + 1) для S2- Тогда соб-
собственные значения квадрата полного углового момента J2 для
комбинированной системы 5i52 равны 7G + 1), где J=\jl —
I | I 1 / /

202
Гл. 4. Конкретные квантовые системы
С использованием символов представлений группы враще-
вращений теорему 4.4 можно выразить в следующем виде:
Dh ® Dh ~ D{ w; I 0 ... 0 Dh+k. Ш D.65)
Эту теорему легко обобщить на случай, когда системы Si и
S2 имеют более одного собственного значения для операторов
Ji2 и J22. Например, если система Si имеет собственные значения
т
X
31,
Рис. 4.4. Диаграмма одновременных собственных состояний наблюдаемых
J2 и h.
/i(/i + 1) и /i'(/i'+ 1) Для оператора Ji2, то ее пространство со-
состояний будет прямой суммой 9*\ = ?Е>и Ф ^/2> поэтому
д>
1
V М
... ф
D.66)
Такой случай возникает при объединении трех или большего
числа систем с угловыми моментами. Сначала нужно объеди-
объединить две системы Si и S2, а затем добавить к ним третью си-
систему S3. Например, если /[ = /2 = /3 = 1, то получаем простран-
пространство состояний
= 0, ф;@о 0 0, 0 02) 0 @, 0 02 0 03). D.67)

§ 4.2: Сложение угловых моментов 203
Заметим, что поскольку орбитальный угловой момент характе-
характеризуется целыми значениями /, объединяя любое число систем
с орбитальными угловыми моментами, можно получить систему
только с целыми значениями /. Тем самым мы получаем под-
подтверждение замечания, сделанного на с. 192, о том, что полуце-
полуцелый спин нельзя объяснить с помощью орбитального движения.
Рис. 4.3 и 4.4 иллюстрируют две различные полные системы
состояний для комбинированной системы S\S2, соответствующие
правой и левой частям формулы D.65). На рис. 4.3 иллюстри-
иллюстрируются исходные состояния \}\Ш\, j2nb}', на рис. 4.4 — состояния
|/М>. Все рассматриваемые векторы состояний считаются нор-
нормированными. Состояния каждой полной системы соответствуют
различным собственным значениям двух эрмитовых операторов,
поэтому они ортонормированы. Любое состояние можно разло-
разложить по одной из указанных полных систем; в частности, каж-
каждое состояние \1\Ш\, j2m2} можно представить в виде следующей
линейной комбинации:
Z/M|) D.68)
JM
Выражения для коэффициентов с]М можно получить, составляя
внутренние произведения D.68) с состоянием \JM}\
u j2m2). D.69)
Коэффициенты cJM называют коэффициентами Клебша— Гор-
дана. Процедура их вычисления описана в задаче 4.6. В ней
имеется произвол в выборе фаз коэффициентов, который связан
с тем, что векторы состояний \JM} определены с точностью до
произвольных фазовых множителей. Фазы коэффициентов Клеб-
ша — Гордана можно фиксировать таким образом, чтобы эти
коэффициенты были вещественными. В конце этой книги приве-
приведена таблица простейших коэффициентов Клебша — Гордана.
Поскольку коэффициенты Клебша — Гордана связывают ме-
между собой две ортонормированные полные системы состояний,
они являются элементами некоторой унитарной матрицы (строч-
(строчки которой характеризуются индексами JM, а столбцы — индек-
индексами m\tn2). Но так как коэффициенты Клебша — Гордана ве-
вещественны, указанная матрица ортогональна. Таким образом,
имеем соотношения
AМЦ\ти i2m2){J'M'\htnu /2m2) = 6/r, 5Мм', D.70)
>;, }2т'2) = Ьт ;б ,. D.71)
У, М
Теорема Вигнера — Эккарта. Не только состояния, но и
наблюдаемые можно подвергать вращениям. Например, в § 3.2

204 Гл. 4. Конкретные квантовые системы
рассматривается система наблюдаемых К<, составленных из
компонент операторного вектора, которые поворачиваются вра-
вращениями. Показано, что соответствующим преобразованием для
наблюдаемой А будет преобразование А ->• U{R)A [U{R)\~l с
инфинитезимальным аналогом А ->¦ [/,-, А] (см. теорему 3.9).
Если Vi — компоненты операторного вектора, то трехмерное про-
пространство операторов, образованное из линейных комбинаций
компонент Vi (т. е. система операторов a-V), инвариантно отно-
относительно указанных преобразований. Все эти положения можно
обобщить. Компоненты вектора эквивалентны базисным состоя-
состояниям системы с угловым моментом /= 1, так что пространство
операторов a-V ведет себя как пространство Ж)\. При обобще-
обобщении рассмотрим пространство операторов, соответствующих лю-
любому представлению 3)j.
Неприводимой системой операторов (относительно группы
вращений) спинового типа / называется система 2/ -f- 1 операто-
операторов Tim (m = —/, ..., /), удовлетворяющих коммутационным
соотношениям
[/*, Т'т] = тТ!т,
[/±, Т'т] = V/(/+l)-m(m±D Т'т ± и D.72)
где J — полный угловой момент системы. Соотношения D.72)
являются обобщениями формул C.131), которые следуют из
этих общих формул, если положить Т'о = Кг, Т'±\ = Vx ± iVv
(см. D.54)). Соотношения D.72) можно записать также в виде
[J, T'm] = I t'nnJ'nl D-73)
они эквивалентны соотношениям
U (R) 7lmU (R)~l = Е d'am (R) Т'п, D.74)
п
где d'mn(R) — матрицы, представляющие вращения R в пред-
представлении k>j (см. D.48)), а вектор t'nm, определенный в D.49),—
вектор матриц компонент углового момента в указанном пред-
представлении.
Приведенная ниже теорема утверждает, что результат при-
применения операторов указанной неприводимой системы к состоя-
состояниям квантовой системы с угловым моментом /' соответствует
объединению этой системы с другой системой с угловым момен-
моментом /.
Теорема 4.5 (Вигнера—Эккарта). Пусть Т>т — неприводи-
неприводимая система операторов спинового типа /, а \jrna} — собствен-
собственные состояния некоторой системы коммутирующих операторов,
включающей в себя операторы J2 и /г, причем /(/+1)—соб-
/(/+1)—собственное значение оператора J2, m — собственное значение one-

§ 4.2. Сложение угловых моментов 205
ратора /г, а а— собственное значение всех остальных операто-
операторов. Тогда матричные элементы операторов Т'т пропорциональ-
пропорциональны коэффициентам Клебша — Гордана:
(j"m"a" \T'm\ j'm'a') = (j"m" | jm, j'm') {j"a" || V || /V), D.75)
где величины (j"a"\\Ti\\j'a'} не зависят от т, in', m".
Доказательство. Рассмотрим B/ + 1) Bj' + 1) состояний
T'm I i'm'a'). В пространстве, натянутом на эти состояния, можно
построить операторы компонент Ji, которые действуют как опе-
операторы компонент углового момента на индекс т, и аналогич-
аналогичные операторы компонент J2, которые действуют на индекс т'.
Действие истинных операторов углового момента описывается
формулой
iPm | fm'a') = [J, Рт] | j'm'a') + Pmi | j'm'a') = (/, + /2) Pm \ j'm'a'),
D.76)
т. е. состояния T'm\ j'm'a'} ведут себя как рассмотренные выше
состояния-произведения, описывающие систему частиц со спи-
спинами / и j'. Следовательно, по аналогии с D.68), D.69) эти со-
состояния можно записать в виде линейных комбинаций:
Рт | fm'a') = Z (JM I jm, j'm')\JMa')u D.77)
/, м
где состояния |/Ma'>i ведут себя как двухчастичные состояния
с определенным полным угловым моментом, т. е. являются соб-
собственными состояниями операторов J2 и 1 г. Поскольку опера-
операторы J2 и Jz эрмитовы, получаем
(i"m"a'\JMa')=0, D.78)
если выполняется хотя бы одно из неравенств / ф ']" и М ф т".
Кроме того,
U"m"a"\J+J \i"m"a').
(j"m" + la" Ii"m" + la^i = r (r + \)-?>1т"+ i) =
(Г«'а'|(л»-/;-/«)|Гт-аО, _,,,„„ , ,, - ,
j"(r+l)-m"(m" + l) —<' m a \1 m a)i-
Таким образом, рассматриваемая величина не зависит от т".
Обозначив ее </"а"||Г'||/'а/>, получаем из соотношений D.77) и
D.78) формулу D.75). ¦
Величины {j"a"\\T'\\j'a'} называются редуцированными мат-
матричными элементами.

206 Гл. 4. Конкретные квантовые системы
§ 4.3. Двухчастичные системы
Полное пространство состояний системы двух частиц имеет вид
(?\ ® Wx) ® {9>2 ® ЗГ2) = (^ ® ^2) ® (Жх ® ЗГ2), D.79)
где 5*1 и 5^2 — спиновые пространства обеих частиц, а Ж\ и Ж%
(оба пространства изоморфны Ж) ¦— пространства их волновых
функций. Назовем состояние в пространстве 9"i ® 9*2 спиновым
состоянием, а состояние в пространстве 7fl ® Ж2 — орбитальным
состоянием. Таким образом, базисные состояния двухчастичной
системы являются произведениями спинового и орбитального
состояний (общее состояние есть суперпозиция таких состояний-
произведений).
Рассмотрим сначала орбитальные состояния. Пространство
Ж\ ®Ж2 является пространством волновых функций вида -ф (гi,
г2), где ri и г2— векторы координат обеих частиц. В классиче-
классической механике при рассмотрении системы двух частиц полезно
перейти от переменных п и г2 к вектору координаты центра
масс R и вектору относительной координаты г, которые опреде-
определяются следующим образом:
jr D.80)
г = г,-г2, D.81)
где пц и 1П2 — массы частиц, а М = Ш\-\- ш2. В квантовой меха-
механике наряду с подобной заменой переменных векторов коорди-
координат одновременно следует произвести замену импульсных пе-
переменных, выражающихся через частные производные коорди-
координат; используя правило дифференцирования сложной функции
при вычислении частных производных, для импульсов, связан-
связанных с R и г, получаем следующие выражения:
* + р* D-82)
D.83)
Будем считать, что силы, действующие на частицы, полу-
получаются из некоторой потенциальной функции У(гь г2), т. е.
даются выражениями
*.—?¦• '.--
тогда получим следующее выражение для гамильтониана:

§ 4.3. Двухчастичные системы 207
который можно также выразить в новых переменных следую-
следующим образом:
я=-ж + |г + 1/{К'г)' D-86)
где
— = — + — ; D.87)
величина |i называется приведенной массой системы.
Предположим теперь, что две частицы составляют изолиро-
изолированную систему, т. е. что каждая частица испытывает только
силу, действующую на нее со стороны другой частицы. Согласно
третьему закону Ньютона, силы, действующие на обе частицы,
равны и противоположны, поэтому, согласно D.84), получаем
-^ = -#- D-88)
дГ[ dr2 v '
Вследствие равенства D.82) отсюда следует, что dV/dR — 0,
т. е. V является функцией только г. Таким образом, вид гамиль-
гамильтониана D.85) совпадает с видом гамильтониана для двух (фик-
(фиктивных) частиц — одной массы М, расположенной в центре масс
R, движущейся как свободная частица, и другой массы ц, дви-
движущейся в поле сил, создаваемых потенциалом У (г).
Полный орбитальный угловой момент двухчастичной систе-
системы равен
L = г, X Р, + г2 X Р2 = R X Р + г X Р. D.89)
Согласно D.80) — D.83), он представляет собой сумму орбиталь-
орбитального углового момента, связанного с R, т. е. момента количества
движения центра масс, и углового момента, связанного с г, яв-
являющегося внутренней величиной для двухчастичной системы.
Последняя величина (гХр) называется внутренним угловым
моментом.
Рассматриваемая замена переменных показывает, что про-
пространство Ж\®Ж% можно представить как пространство З^внутр®
®Ж^. м, где З^внутр и Жц.м — пространства волновых функций,
аргументами которых являются г и R соответственно. Полное
пространство состояний двухчастичной системы можно теперь
представить в виде, полностью аналогичном выражению для од-
одной частицы, т. е. в виде
9>®Жц.и, где 9> = 9>1®9>2®Уту1р. D.90)
Сосредоточим теперь свое внимание на внутреннем пространстве
&, считая что фиксирована некоторая волновая функция t|H(R)
в пространстве Wlx. M (обычно в качестве ф0 берут собственную
функцию полного импульса с собственным значением 0).

208 Гл. 4. Конкретные квантовые системы
Таким образом, полный внутренний угловой момент двух-
двухчастичной системы получают сложением трех угловых момен-
моментов, а именно обоих спиновых моментов и относительного орби-
орбитального углового момента гХр- Поскольку собственные зна-
значения последнего равны /(/+1), где / — целое число, то со-
составная частица, образованная из двух частиц, имеет целый
спин, если составляющие ее частицы обе имеют либо целые,
либо полуцелые спины, и имеет полуцелый спин, если одна из
двух частиц имеет целый спин, а другая — полуцелый. Полу-
Получаем правило, напоминающее правило для комбинированной
системы, составленной из фермионов и бозонов (теорема 2.7),
и убеждаемся, что оно не противоречит правилу о спине и ста-
статистике. Обобщая рассуждения очевидным образом на систему,
составленную из п частиц, получаем также оправдание для
сделанного на с. 17 утверждения, что экспериментальные значе-
значения спинов ядер не согласуются с предположением, что ядра
состоят из протонов и электронов. Например, если бы ядро 3Не
состояло из трех протонов и одного электрона, то его спин был
бы целым, тогда как на самом деле спин такого ядра равен 1/2.
Если обе частицы в нашей системе одинаковы, то возмож-
возможные состояния системы удовлетворяют требованиям статистики
(т. е. требованию, чтобы состояние системы было симметрич-
симметричным либо антисимметричным). Если поменять местами i*i и г2,
то вектор координаты центра масс R не изменится (поскольку
Ш\ = Шч в случае тождественных частиц) и, таким образом,
пространство состояний Жц. м никак не изменится. Следова-
Следовательно, необходимо рассмотреть только пространство 9>\®9>2®
<8> Ж'внутр, т. е. произведение спиновых пространств и относи-
относительного орбитального пространства. Если обе частицы фер-
мионы, то состояние системы должно быть антисимметричным,
поэтому либо спиновое состояние должно быть симметричным,
а орбитальное состояние — антисимметричным, либо наоборот.
Если обе частицы — бозоны, то спиновое состояние и орбиталь-
орбитальное состояние либо оба симметричны, либо оба антисиммет-
антисимметричны. Рассмотрим теперь отдельно спиновые состояния и ор-
орбитальные состояния и сформулируем замечания, следующие
из их симметрии или антисимметрии.
Рассмотрим спиновые состояния. Предполагая, что частицы
двухчастичной системы обладают одинаковыми спинами /,
имеем 9"i « 9*2 ~ SD\. Требуется определить, какое из состоя-
состояний в произведении 3)j <8> S), симметрично, а какое антисим-
антисимметрично. Ответ дается следующей теоремой.
Теорема 4.6. В произведении SDj®3)j симметричными со-
состояниями являются состояния, для которых / = 2/, 2/ —2
а антисимметричными — состояния, для которых / = 2/ — 1,
2/-3, ....

§ 4.3. Двухчастичные системы 209
Доказательство. Поскольку операторы Ji и J2 действуют на
отдельные спиновые состояния одинаково, оператор обмена
удовлетворяет коммутационным соотношениям
VI __ IV VI IV /Л Q1\
Следовательно, Xi = ЗХ; в частности, оператор X коммутирует
с повышающим и понижающим операторами J+. Отсюда сле-
следует, что если в лестнице состояний с данным значением /
встречается симметричное состояние, то все состояния в ле-
лестнице должны быть симметричны; аналогичное утверждение
справедливо в отношении антисимметричных состояний.
Пусть ЗСМ, как на рис. 4.4, обозначает подпространство ли-
линейных комбинаций состояний \j\tn\, /2т2> с данным значением
М == гп\ -f- m2. Оператор X переводит подпространство ZM само
в себя. Поскольку этот оператор коммутирует с оператором /+,
то единственное состояние |г|зм>, имеющееся в 2?м и удовлетво-
удовлетворяющее условию /+|ij)m> = 0, является собственным состоя-
состоянием оператора X, т. е. оно либо симметрично, либо антисим-
антисимметрично. Поскольку это состояние располагается на самом
верху лестницы ?D\j с / = М, то все состояния этой лестницы
либо симметричны, либо антисимметричны.
Пусть теперь M = 2j— 2k -f- 1 > 0. Тогда подпространство
2?м будет иметь k симметричных состояний \jnii, /т2>+
jm.2, }т{у и k антисимметричных состояний \jm\, jm2} —
jm.2, jm\), причем все эти состояния линейно независимы.
Если M = 2j — 2k, то пространство 3?м также содержит k сим-
симметричных и k антисимметричных состояний, а кроме того, до-
дополнительное симметричное состояние \jm, jtn), где m = j — k.
Чтобы охватить указанные числа симметричных и антисиммет-
антисимметричных состояний, лестницы SDj должны быть образованы по-
попеременно из симметричных и антисимметричных состояний, на-
начиная с лестницы i252/, которая состоит из симметричных со-
состояний, так как ее верхнее состояние |//,//> симметрично. Так
убеждаемся в справедливости утверждения теоремы. ¦
В частности, при / = 1/2 состояние с / = 0 (для которого
спины «антипараллельны») антисимметрично, а состояния
/ = 1 (с «параллельными» спинами) симметричны. При / = 1
состояния с / = 0 и 1 = 2 симметричны, а состояния с / = 1
антисимметричны. Последний факт можно интерпретировать
вследствие имеющегося изоморфизма между ЗЬХ и векторным
представлением как свойство произведений двух векторов: ска-
скалярного произведения (соответствующего представлению 2Dq),
которое симметрично (т. е. коммутативно), и векторного произ-
произведения (соответствующего представлению 2Ь\), которое анти-
антисимметрично (антикоммутативно).

210 Гл. 4. Конкретные квантовые системы
Рассмотрим орбитальные состояния. Для них справедлива
следующая теорема.
Теорема 4.7. В пространстве орбитальных состояний с отно-
относительным орбитальным угловым моментом / орбитальное со-
состояние с четным / симметрично, а с нечетным / — антисиммет-
антисимметрично.
Доказательство. Если заменить друг на друга тх и г2, то г
преобразуется в —г. Следовательно, на пространстве Ж^нутр опе-
оператор обмена X совпадает с оператором четности Р:
= гИ-г). D.92)
Таким образом, сформулированное в теореме утверждение сле-
следует из теоремы 4.2. Ш
Пример. Предположим, что элементарная частица распа-
распадается на два мезона я0. Тогда ее спин должен быть целым
и четным. Действительно, вследствие сохранения углового мо-
момента спин распадающейся частицы должен быть равен внут-
внутреннему угловому моменту состояния 2л!°. Так как каждый
пион имеет спин 0, то имеем только одно орбитальное состоя-
состояние; поскольку пионы являются бозонами, оно должно быть
симметричным, следовательно, согласно теореме 4.7, внутренний
угловой момент / должен быть четным.
Действительно, существует мезон р°, который обладает спи-
спином 1 и распадается на л+ + я~, но никогда не распадается на
2я°.
Теорема 4.7 позволяет определять значение внутренней чет-
четности двухчастичных систем. Как отмечалось выше, в случае
одной частицы, имеющей пространство состояний 9? <8> W, опе-
оператор четности Р действует в спиновом пространстве 9° так же,
как в пространстве волновых функций Ж. Двухчастичную си-
систему, имеющую спиновое пространство состояния 9° = 9'\®
® 9*2 ® Жвнутр, можно рассматривать аналогично. В этом по-
последнем пространстве оператор четности Р уже не является
кратным единичному оператору, так как в пространстве вну-
внутренних ВОЛНОВЫХ фуНКЦИЙ Жеиутр ОН ПврвВОДИТ if1 (г) В ij> (—г).
Из теоремы 4.2 следует тогда, что собственные состояния чет-
четности являются одновременно и собственными состояниями от-
относительного орбитального углового момента /. Обычно эти со-
состояния и представляют интерес, так как может быть только
одно значение /, при котором частицы действительно связаны
друг с другом и образуют составную частицу; вообще, энергия
(а потому с учетом соотношения Е = тс2 и масса) составной
частицы может зависеть только от /. Для таких собственных
состояний, поскольку четность является мультипликативным
квантовым числом, теорема 4.2 приводит к правилу, формули-
формулируемому следующей теоремой.

§ 4.3. Двухчастичные системы 211
Теорема 4.8. Внутренняя четность произвольного двухча-
двухчастичного состояния равна 8i82(—1)', где ei и ег — внутренние
четности обеих частиц, а I — их относительный орбитальный
угловой момент. ¦
Примеры. 1. Относительный орбитальный угловой момент
кварка и антикварка в я-мезоне должен быть четным. Действи-
Действительно, кварк и антикварк имеют противоположные внутрен-
внутренние четности, так что внутренняя четность пиона равна —(—1)'.
Но пион обладает отрицательной внутренней четностью, по-
поэтому / должно быть четным.
Как будет показано в следующих двух параграфах, двух-
двухчастичная система обладает самой низкой энергией обычно в
состоянии с / = 0; поэтому считают, что это утверждение спра-
справедливо в отношении мезонов л, К и г|, которые являются са-
самыми легкими частицами, образованными из кварка и анти-
антикварка.
2. Дейтрон d — ядро дейтерия (тяжелого водорода) имеет
спин 1. Он может образовать «атом» с лг-мезоном, относитель-
относительный орбитальный угловой момент которого равен 0. Такой «атом»
распадается на два нейтрона:
5x~ + d-+n + n. D93)
Считая, что гамильтониан для такого процесса инвариантен от-
относительно пространственных отражений, приходим к заклю-
заключению, что дейтрон должен иметь положительную внутреннюю
четность.
Действительно, если гамильтониан инвариантен относитель-
относительно отражений, то четность сохраняется. Согласно теореме 4.8,
внутренняя четность двухнейтронного конечного состояния 2п
реакции D.93) равна (—1)', где / — относительный орбиталь-
орбитальный угловой момент. Внутренняя четность начального состоя-
состояния реакции D.93) равна еле<*(—•1)° = -—е^. Следовательно,
&d = (—1)'+1. Используем теперь сохранение углового момента.
Поскольку и спин пиона, и относительный орбитальный угло-
угловой момент оба равны 0, полный угловой момент начального
состояния равен спину дейтрона, т. е. равен 1. Конечный пол-
полный угловой момент равен сумме полного спина, который ра-
равен 0 или 1, и относительного орбитального углового момента
/. Поскольку нейтроны являются фермионами, их конечное со-
состояние в реакции D.93) должно быть антисимметричным. По-
Поэтому спиновое состояние будет антисимметричным, если пол-
полный спин равен 0 (вследствие теоремы 4.6), так что орбиталь-
орбитальное состояние должно быть симметричным и, согласно теоре-
теореме 4.7, момент / должен быть четным. Таким образом, полный
угловой момент равен 1. Следовательно, полный спин должен

212 Гл. 4. Конкретные квантовые системы
быть равен 1, спиновое состояние симметрично, а орбитальное
состояние антисимметрично, момент / нечетный, поэтому внут-
внутренняя четность дейтрона равна (—1)'+1 = +1.
§ 4.4. Атом водорода
В этом параграфе мы найдем энергетические уровни (т. е. соб-
собственные значения гамильтониана) для системы, образованной
из двух частиц, притягивающихся друг к другу силами, об-
обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними.
Это упрощенная модель атома водорода, для которого такими
силами являются силы электростатического притяжения, дей-
действующего между электроном и протоном (мы пренебрегаем
магнитным взаимодействием между протоном и электроном и
испускаемым ими излучением).
Поскольку силы зависят только от модуля вектора расстоя-
расстояния между частицами г = п— г2, проблему двух частиц можно
свести к проблеме одной частицы. Таким образом, будем искать
собственные состояния в пространстве Ж'внутр (т. е. простран-
пространстве собственных функций г|)(г)) для гамильтониана
Я = 4г -. D.94)
так как функция V(r)=—у/г является потенциалом сил
F = -^-f = -VK. D.95)
Здесь 7~~константа в законе обратной пропорциональности
квадрату расстояния (для атома водорода у = е2/4ле0, где е —
заряд электрона), (д, — приведенная масса системы (см. D.87)),
а р —относительный импульс (см. D.83)). Переменные г и р
можно рассматривать как векторы координаты и импульса од-
одной частицы; в частности, они удовлетворяют основным комму-
коммутационным соотношениям B.116), B.117).
Рассматриваемая частица притягивается к фиксированной
точке пространства (началу координат) силой D.95). При клас-
классическом рассмотрении такая частица должна двигаться по
замкнутой орбите, представляющей собой плоский эллипс, один
из фокусов которого находится в начале координат. Другими
возможными траекториями движения частицы являются не-
незамкнутые орбиты, двигаясь по которым частица бесконечно
удаляется от начала координат. Орбиты указанных двух ти-
типов различаются знаком энергии Е = Я(р,г), которая являет-
является константой движения. Если Е < 0, то, согласно D.94), рас-
расстояние г не может стать бесконечно большим, поэтому частица
движется по замкнутой эллиптической орбите. Форма и ориен-

§ 4.4. Атом водорода 213
тация орбиты характеризуются векторными константами дви-
движения: вектором углового момента L = rXp, который перпен-
перпендикулярен плоскости орбиты, и вектором Лапласа — Рунге —
Ленца (короче «вектором Ленца»)
M = pXL-fr, D.96)
который направлен вдоль большой оси эллипса. Размер и фор-
форма эллипса определяются заданием энергии Е и абсолютной
величины вектора М; большая полуось эллипса равна у/\Е\,
а эксцентриситет равен |M|/yh-
Векторную величину М можно использовать также при изу-
изучении рассматриваемой системы в квантовой механике. Од-
Однако, так как р и L не коммутируют друг с другом, произве-
произведение операторов в D.96) требует дополнительного определе-
определения. Чтобы получить эрмитовы операторы, произведение АВ,
имеющееся в классическом выражении, в квантовой механике
следует заменить симметризованным произведением у {АВ +
+ ВА), для которого мы используем сокращенное обозна-
обозначение
{А, В} = АВ + ВА D.97)
(эту величину называют антикоммутатором операторов А и В).
Таким образом, для компонент квантового вектора Ленца
имеет выражения
Mt = ±-Bllk{p{,Lk}--2Z-Xt. D.98)
Итак, приходим к следующей теореме.
Теорема 4.9. Гамильтониан Я, даваемый выражением D.94),
относительный угловой момент L и вектор Ленца М, даваемый
выражением D.98), удовлетворяют коммутационным соотноше-
соотношениям
[Я, L{] = [Я, М{] = 0, D.99)
[Lt, LJ = ihei!kLk, D.100)
[Lt, M,] = inBllkMk, D.101)
[Mit Mj\ = - 2\iihzmLkH; D.102)
L-M = M-L = 0, D.103)
M2 - 2цЯ (L2 + /г2) = yV- D.104)
Доказательство. Так как гамильтониан Я является скаляр-
скалярной наблюдаемой, он коммутирует с полным угловым момен-
моментом, согласно теореме 3.9. Очевидно гамильтониан коммути-

214 Гл. 4. Конкретные квантовые системы
рует также со спиновым угловым моментом и с угловым мо-
моментом движения центра масс, так что он коммутирует со
всеми тремя компонентами момента L. Следовательно, вос-
воспользовавшись правилом B.80) для коммутатора произведения
операторов, имеем
[Н, Mi] - i- еф {[Н, Pl], Lk) - 1Y { [р„ xjr]} -
х,х, )
LL^ D.105)
1
1
где использована формула C.133) для коммутаторов с р/. Об-
Обратимся теперь к формуле
Lk = 4lmXlPm = 4lmPmXl D.106)
и представим первое слагаемое в правой части D.105) в виде
1 /X: X: \ 1 ( Х,Х[
2" ^Y6//fe ^T5" X'Pm + PmXl ~Р>~) = Т ШЧ (bUblm — bimb,i) | p —
m,
откуда заключаем, что оно сокращается со вторым слагаемым
в D.105).
Таким образом, доказано соотношение D.99). Следующие
две формулы можно получить как частные случаи основного
коммутационного соотношения C.134), поскольку единственной
существенной частью углового момента является L. Соотноше-
Соотношение D.102) получается в результате простых преобразований,
которые состоят в следующем. Сначала вычислим коммутаторы
[pt, Mi] = ih (ptPl - рЧц + Ш-ЬИ-^- xtxt) , D.107)
Из последнего соотношения (вспоминая, что r-L = p-L = 0)
получаем
-2й-Ь-. D.109)
Подставляя выражение D.98) для Mi и используя соотноше-
соотношения D.107) и D.109), находим
и М,] = if, (- р2 + 3fxY/r) Lk + у iUm {pt, M/}. D.110)
Используя теперь явное выражение для М], убеждаемся, что
eJ№ {Pi, Mt) = (- 2р2 + 2my/r) Lk, D.111)

§ 4.4. Атом водорода 215
так что
*W [Mit М,) = 2/ft (- p2 + 2цу/г) Lk = 2/Й (- 2цЯ) Lft. D.112)
Отсюда после умножения на e,7ft получаем соотношение D.102).
Чтобы доказать соотношения D.103) и D.104), запишем
оператор Mi в виде
-vy-^-. D.113)
Поскольку р • L = г • L = 0, имеем
М • L = г^р^Ц = у е,/йр, [Lft, Li] = -j ihp ¦ L = 0.
Наконец, вычисляя произведение MiMj с помощью D.113)
и используя основные коммутационные соотношения, получаем
соотношение D.104). ¦
Связанным состоянием называется стационарное состояние,
соответствующее отрицательному собственному значению га-
гамильтониана Я; связанные состояния являются квантовыми со-
состояниями, отвечающими замкнутым орбитам классической ме-
механики. Найдем теперь все связанные состояния атома водо-
водорода, воспользовавшись теоремой 4.9.
Пусть $е — пространство собственных состояний гамильто-
гамильтониана Я, соответствующих фиксированному собственному зна-
значению Е. Если эти состояния связанные, можно записать
—-2ц? ==х2, где х—вещественное число. Поскольку операторы
L и М коммутируют с гамильтонианом Я, они оставляют про-
пространство $е инвариантным; как для операторов, действую-
действующих в пространстве 3§е, для них справедливы коммутационные
соотношения D.100), D.101) и
[Mt, M,] = №\lkLk. D.114)
Рассмотрим теперь операторы
P = 4"(L + x-IM), Q = -i-(L-x~1M). D.115)
Согласно D.100), D.101) и D.114), для них имеем следующие
коммутационные соотношения:
[Ph Pj] = iheijkPk, D.116)
[Qt,Qf] = itiemQk, D.117)
[Pi, Qj] = 0.
Из соотношений D.103), D.104) получаем
p2_Q2 = 0, D.118)
P2 + Q2 = ^-|ft2. D.119)

216 Гл. 4. Конкретные квантовые системы
Из соотношений D.118), D.119) непосредственно следует,
что операторы Р и Q удовлетворяют коммутационным соотно-
соотношениям для угловых моментов. Согласно теореме 4.1, заклю-
заключаем тогда, что собственные значения операторов Р2 и Q2
даются формулой /(/+1)Гг2, где 2/ — некоторое целое число.
Соотношения D.118), D.119) показывают, что эти собственные
значения равны друг другу и даются выражением
1 \! i Ч 4х2Й2 4 ' ^ '
Следовательно,
р__^_ (
П~~ 2ц ~ 2B?+ IJ Ь2 ' K
Поскольку любая компонента векторного оператора Р ком-
коммутирует с любой компонентой векторного оператора Q, любое
собственное пространство оператора Рг остается инвариантным
при действии оператора Q, а потому оно содержит полностью
лестницу 2/ + 1 собственных состояний оператора Q3. Таким
образом, пространство 2Ве должно представляться произведе-
произведением ,3)j <8> SDj, т. е. оно подобно спиновому пространству двух
частиц, обладающих одинаковым спином /, с операторами угло-
угловых моментов Р и Q. Полный спин дается суммой L = Р + Q.
Согласно теореме 4.4, его собственные значения равны /(/ -f- 1),
где / = 0, 1, ..., 2/.
Вводя обозначение п = 2/ и вспоминая, что у = е2/4ле0, по-
полученный результат можно сформулировать в виде следующей
теоремы.
Теорема 4.10. Собственные значения энергии связанных со-
состояний атома водорода равны
Е = ~ D.122)
где п — положительное целое число. Состоянию, характеризуе-
характеризуемому числом п, соответствуют состояния с относительными ор-
орбитальными угловыми моментами / = 0, 1, ..., п—1. Н
Посмотрим теперь, как квантовая механика объясняет
спектр атома водорода, который уже упоминался в гл. 1. Ча-
Частоты \т„, даваемые формулой A.1), связаны с разностями
энергий Еп, даваемых формулой D.122), соотношением Планка
En-Em=^hvmn, D.123)
если/? = |1е4/(8е02Й3). Полученная в квантовой механике формула
для R прекрасно согласуется с экспериментально измеренным
значением этой константы. Таким образом, энергия каждого
фотона испускаемого атомом излучения с частотой vmn пред-

§ 4.4. Атом водорода 217
ставляет собой энергию, потерянную атомом водорода при пе-
переходе из одного связанного состояния в другое. (Как отмеча-
отмечалось в § 3.5, связанные состояния, которые мы нашли, не яв-
являются в строгом смысле стационарными состояниями, по-
поскольку мы не учли слагаемое в гамильтониане, описывающее
взаимодействие атома с электромагнитным полем, которое вы-
вызывает квантовые переходы между связанными состояниями.)
Состояние с наименьшей энергией называется основным состоя-
состоянием; оно является истинным стационарным состоянием.
Периодическая система химических элементов. Имеется тес-
тесная связь между набором связанных состояний атома водо-
водорода, описанным в теореме 4.10, и периодической системой хи-
химических элементов Менделеева. Можно считать, что каждый из
Z электронов в основном состоянии атома с атомным номером
Z находится в одном из состояний |n/m>|s>, где \nlm} — одно
из связанных состояний атома водорода (т = —/, ..., / — соб-
собственное значение оператора Lz), a |s> — спиновое состояние.
Согласно принципу запрета Паули, все электроны в атоме
должны находиться в разных состояниях. Так как существует
только два спиновых состояния, то в одном и том же орбиталь-
орбитальном состоянии \nlrriy могут находиться не более двух электро-
электронов. По мере увеличения Z состояния атома водорода запол-
заполняются в порядке, иллюстрированном на рис. 4.5, где приве-
приведены соответствующие химические элементы; их порядок сле-
следует сопоставить с порядком элементов в периодической си-
системе (см. рис. 1.1).
Такое описание основных состояний атомов называется их
построением по «принципу заполнения». Последний был бы
полностью оправдан, если бы электроны в атоме действитель-
действительно двигались независимо друг от друга в фиксированном поле
ядра; тогда гамильтониан был бы суммой членов вида D.94),
по одному на каждый электрон. В таком случае стационарные
состояния атома являлись бы просто произведениями одноэлек-
тронных состояний, независимо от числа электронов в атоме.
В действительности электроны в атоме отталкивают друг друга,
так что каждый электрон движется не просто в поле ядра, а
в поле, создаваемом другими электронами. При этом гамильто-
гамильтониан атома уже не является простой суммой одноэлектронных
слагаемых. Успех принципа заполнения можно объяснить,
только предположив, что эффект взаимного отталкивания элек-
электронов в атоме можно свести к эффекту взаимодействия их с
некоторым постоянным «средним» полем, имеющимся в атоме,
причем электроны можно рассматривать как облако отрица-
отрицательного заряда, которое защищает («экранирует») поле ядра.
Оно создает эффективный сферически-симметричный потенциал,

218
Гл. 4. Конкретные квантовые системы
который, хотя и не совпадает с потенциалом D.94), обратно
пропорциональным квадрату расстояния, но имеет похожие
собственные значения. Таким образом, состояния электронов
в таком поле тоже можно представить символами \nltrC), как
n
n
n
n
H
n
n
H
t
j
Li
Na
-4,
К
Rb
= 6,
Cs
Fr
/я
He
Be
^-
0
0
^^
/ = q
Mg
Ca
Sr
,-^
/
Ba
^
/ =
Ra
0
"¦—.
^*
в
Al
0
0
^*
0
Ga
In
Tl
—•»,
n
С
л
Si
Ge
Sn
n
Pb
N
= 3
P
—>
= 4
As
~-»
= 5
Sb
—к
= 6
Bi
0
s
Те
Po
1
F >
1
Cl
1
Br
1
I
1
At
A
*¦ —'
Kr
Sc—Ni
.
X'e
¦—¦'
Rn
*' -
n= 4
Y-Pd
n - 5
La
Та —Pi
Cu
/ =
Ag
Cc
Au
n = 6. / =
Ac Th
2
Zn
Cd
2
Hg
2
n = 4, /= 3
Pr—Yb Lu Hf
Рис. 4.5. Принцип заполнения одноэлектронных состояний в атоме. Для
каждого / имеется 2B/+1) состояний, которые следует заполнять.
и состояния атома водорода, но энергетические собственные
значения таких состояний несколько изменятся; в частности,
состояния с одним и тем же значением / не будут иметь оди-
одинаковую энергию. Наблюдается тенденция увеличения указан-
указанного различия энергий с ростом п, так что порядок расположе-
расположения энергетических собственных значений на самом деле ока-
оказывается таким, как показано на рис. 4.5.

§ 4.5. Гармонический осциллятор 219
§ 4.5. Гармонический осциллятор
Гармоническим осциллятором называется частица, которая при-
притягивается к фиксированной точке О силой, прямо пропорцио-
пропорциональной расстоянию частицы от точки О. Рассмотрим сначала
одномерную задачу. В классической теории частица в этом слу-
случае характеризуется единственной координатой х, которая удов-
удовлетворяет уравнению движения вида
-^- = -^х, D.124)
где о — угловая частота осциллятора. Гамильтониан такой си-
системы имеет вид
^ ^2. D.125)
Квантовомеханические собственные значения этого гамиль-
гамильтониана можно найти с помощью алгебраического метода, ко-
который мы уже использовали для углового момента в § 4.1. По-
Положим
а = /гп;— & ~im&x)' а+ = i^l— (Р + itn&x); D.126)
тогда из коммутационного соотношения [x,p] = ih получаем
[а, а+]=1, D.127)
и гамильтониан Я можно выразить через операторы а и cv сле-
следующим образом:
Я = ft© (tfa + у) . D.128)
Используя соотношения D.127), D.128), получаем
[Н, а] == Л© [а*, а]а = — fma D.129)
и аналогично
[Я, а+] = Гкоа+. D.130)
Пусть |ф> обозначает собственное состояние гамильтониана
Н, соответствующее собственному значению Е. Тогда из соот-
соотношения D.130) заключаем, что состояние а+| ф) есть соб-
собственное состояние гамильтониана Я, соответствующее соб-
собственному значению Е -4- ftco (при условии, что я+1 ф) Ф 0), так как
На* | гр ) = {а^Н + ftcoa+) | гр ) = (Е + М а+1 г|)). D.131)
Аналогично, используя D.129), можно показать, что «|ф> яв-
является собственным состоянием гамильтониана Я с собствен-

220 Гл. 4. Конкретные квантовые системы
ным значением Е— ftco (если только а|\|>>=^0). Пусть |</>> =
= а |ф>, тогда
ф) = ^7-4- DЛ32)
если состояние |г|>> нормированно. Отсюда в силу положитель-
положительной определенности внутреннего произведения получаем
Е^ЧцГю, D.133)
поэтому
Е 7|) 0 D.134)
Можно далее показать, что Я =//со (аа+— 1/2) и применить
те же рассуждения к состоянию а+ | ф); тогда получим
?> —V2ft<» и Е = — 72/№^=>-а+[ф> = 0. D.135)
Таким образом, для каждого определенного собственного
значения Е можно указать спадающую цепочку собственных
значений Е — ft со, Е — 2ftco, ..., получаемую путем повторного
применения к соответствующему собственному состоянию по-
понижающего оператора а, и восходящую цепочку Е -f- ftco, E +
+ 2ftco, ..., получаемую путем применения повышающего опе-
оператора а+. Спадающая цепочка должна кончиться, иначе бу-
будет нарушено неравенство D.133). Это может произойти, толь-
только если она достигнет собственного состояния |ф>, для кото-
которого а|ф> = 0. Тогда, согласно D.134), собственное значение
окажется равным '/а^со. С другой стороны, восходящая це-
цепочка никогда не может оборваться, так как тогда существо-
существовало бы собственное состояние |г|з>, удовлетворяющее условию
а+|аф)=0. При этом, согласно D.135), мы имели бы собствен-
собственное значение, которое нарушало бы неравенство D.133). Та-
Таким образом, собственные значения гамильтониана Я равны
'/г/ш, 3/2h(ii, ..., (п-\- 1/2)Н(о, ....
Согласно формуле D.128), если к любому собственному со-
состоянию гамильтониана Я применить сначала понижающий
оператор а, а затем повышающий оператор a"s то мы снова
возвратимся к исходному состоянию (некоторому кратному
ему). Таким образом, в случае одной бесспиновой частицы, для
которой х (или р) образуют полную систему коммутирующих
наблюдаемых, имеется только одно собственное состояние, со-
соответствующее каждому собственному значению гамильтониана
Я. Обозначим \п} нормированное собственное состояние, соот-
соответствующее собственному значению (п+ '/2) ftco; тогда опера-
операторы а и а+ действуют на него следующим образом:
a\n) = ca\n-l), |a+|n) = dn|n+l), D.136)

§ 4.5. Гармонический осциллятор 221
где с„ и й„ — некоторые коэффициенты. Чтобы их найти, заме-
заметим, что
| сп |2 = < п | а+ а | п) = (п | (-^— - - J | n ) = rt=cfn_iCn(/г | «)=rf«-iCn.
D.137)
Можно так выбрать фазы коэффициентов сп и dn, чтобы сде-
сделать коэффициенты сп и dn вещественными и положительными;
тогда получим сп = л/п и drt = Vrt + 1-
Подводя итог, сформулируем следующую теорему.
Теорема 4.11. Гамильтониан гармонического осциллятора
имеет собственные значения {п -\- {/2)Ьы, где п — любое неот-
неотрицательное целое число. Этот гамильтониан можно предста-
представить в виде
Н = (tfa + у) Л®,
причем входящие в него операторы а, а+ удовлетворяют комму-
коммутационному соотношению
[а, а+] = 1
и действуют на собственные состояния |и> гамильтониана Я
следующим образом:
а\п) = л/п\п- 1), а+|гс) = У(«+ 1)|«+ О- ¦ D.138)
Трехмерный гармонический осциллятор. Классическое урав-
уравнение движения трехмерного гармонического осциллятора имеет
вид
^ = -со2г. D.139)
Компонента i этого уравнения относится к г'-й координате
Xi (i=\, 2, 3). Таким образом, каждая координата xt в от-
отдельности удовлетворяет уравнению простого гармонического
осциллятора D.124). Гамильтониан трехмерного осциллятора
Я==~Й~ + 1Гт(й2г2 D.140)
представляет собой сумму трех слагаемых, каждое из которых
совпадает по виду с одномерным гамильтонианом D.125).
Имеются три повышающих и три понижающих оператора:
¦г), D.141)
удовлетворяющих коммутационным соотношениям

222 Гл. 4. Конкретные квантовые системы
Выражая гамильтониан D.140) через эти операторы, получаем
о. D.143)
Каждый повышающий оператор порождает последовательность
энергетических собственных состояний:
^ D.144)
где |0> — единственное основное состояние, удовлетворяющее
условиям
a1|0) = fl2l0> = Q3|0> = 0. D.145)
Общее собственное состояние гамильтониана Я имеет вид
| //««> =—7====- Г«,+)' WT (V)" I() >: D.146)
оно соответствует собственному значению энергии ? = (/-{-
-\-гп -\-п + 3/2)Ьм. Таким образом, энергетические собственные
значения трехмерного гармонического осциллятора можно пред-
представить формулой Е = (N + 3/г)йо), где Af —произвольное не-
неотрицательное целое число. Число независимых собственных
состояний, соответствующих данному N, равно числу способов,
которыми ,У можно записать в виде N = I-\-m-\-п, и равно
1Л(ЛГ+ l)('V + 2). В этом легче всего убедиться, рассматривая
угловые моменты состояний.
Компоненты (орбитального) углового момента имеют вид
где использованы соотношения D.141) и D.142). Квадрат угло-
углового момента поэтому равен
L2 = - П2 {a*aka*ak - a*aka*a,)
и его можно представить в виде
L2=-tf[A^A~N{N+ 1)], D.148)
где
A = alah D.149)
Поскольку Я является скалярной наблюдаемой, она должна
коммутировать с операторами углового момента, поэтому лю-
любое собственное пространство гамильтониана Я можно разбить
на пространства 2Dt, являющиеся собственными пространствами
оператора L2, соответствующими собственным значениям

# 4.5. Гармонический осциллятор 223
/(/+1). Будучи скалярным произведением, оператор А тоже
скаляр (хотя и не является наблюдаемой, поскольку он не
эрмитов) и коммутирует с оператором L2, так что он сохраняет
собственные значения оператора L2. Кроме того, так как опе-
оператор А является произведением двух понижающих операто-
операторов, он уменьшает значение N на 2. Таким образом, если
имеется состояние \nV), соответствующее собственным значе-
значениям п и /(/+ 1) для операторов N и L2, то имеется также и
4
i * • » » 6
6ф 5
- * а * в * 4
4 ф * * * 3
2 V • 1
1 «_ —---4—1 —; О
• * *
в * *
^ : I 1 I 1
12 3 4 5 6
(.; 1 ? ~ я + J
Рис. 4.6. а — атом водорода; б — трехмерный гармонический осциллятор.
состояние А\пГ), соответствующее собственным значениям
п — 2 и /(/+!)> если только А\п1}Ф0. Согласно D.148),
имеем
<л/|Л+Л|пО = п(л+ 1) — 1A+ 1). D.151)
так что аналогично D.133), D.134) получаем
л>/ и л = /<=^Л|л/>==0. D.152)
Поскольку число состояний с собственным значением п опера-
оператора N увеличивается с ростом п, оператор А (отображающий
большее пространство на меньшее) должен иметь нулевой век-
вектор \nly среди собственных векторов оператора N. Тогда из
D.152) следует, что для этого вектора п = I. Применяя по-
повторно оператор Л+ к указанному состоянию, строим из него
состояния \nl} при п = /, / + 2, / + 4, ... . Таким образом, для
каждого п существует последовательность состояний \nl) с
/ = п, п — 2, ... . Но не существует состояния с 1 = п—1, так
как в противном случае вектор A\nl} был бы ненулевым (со-
(согласно второй половине утверждения D.152)) и для него вы-
выполнялось бы равенство N = п — 2 = 1—1, что противоречит
первой части утверждения D.152).
Структура множества стационарных состояний трехмерного
гармонического осциллятора показана на рис 4.6,6. На
рис. 4.6, а для сравнения показаны состояния атома водорода.

224 Гл. 4. Конкретные квантовые системы
§ 4.6. Операторы уничтожения и рождения
Все рассмотренные до сих пор квантовые системы состояли из
фиксированного числа частиц, между которыми действовали
заданные силы (т. е. задавались гамильтонианами). В клас-
классической механике так определяется практически любая физи-
физическая система. Но если мы желаем описывать процессы, по-
подобные упомянутым в гл. 1, например распад нейтрона на про-
протон, электрон п антинейтрино, мы должны рассматривать
системы, число частиц в которых может изменяться. В этом па-
параграфе мы разовьем формализм, позволяющий изучать си-
системы с переменным число частиц, который в математическом
отношении подобен формализму, использованному в предыду-
предыдущем параграфе для описания гармонического осциллятора.
Бозонные системы. Рассмотрим систему, составленную из
переменного числа неразличимых частиц, и предположим, что
эти частицы являются бозонами. Пусть 91 — пространство со-
состояний одной частицы. Тогда пространство состояний для двух
частиц будет симметричным подпространством пространства
^®^, какое обозначим символом Я'УЯ' или V2^. Общее
симметричное пространство r-частичных состояний обозначим
символом V^5; оно является подпространством пространства
®г^, образованным симметричными состояниями. Полное про-
пространство состояний нашей системы с переменным числом ча-
частиц имеет вид
^ = r®^eV^®W®..., D.153)
где У — одномерное подпространство, содержащее одно состоя-
состояние |0>, в котором нет ни одной частицы {вакуумное состоя-
состояние). Отметим, что состояние |0> описывается ненулевым век-
вектором состояния и его не следует путать с нулевым вектором
состояния 0.
Пусть |ф>е^ — любое одночастичное состояние, а <Ш^ —
подпространство пространства Щ, образованное многочастичны-
многочастичными состояниями, в которых каждая отдельная частица находится
в одном н том же состоянии |г|з>. Тогда состояния |0>, |i|)>,
|2i|)>, ... образуют некоторый базис в °U^, причем
обозначает «-частичное состояние. Таким образом, простран-
пространство 41^ имеет ту же математическую структуру, что и про-
пространство состояний гармонического осциллятора; поэтому
можно рассмотреть операторы а^ и аф+, соответствующие по-
понижающему и повышающему операторам для гармонического

§ 4.6. Операторы уничтожения и рождения 225
осциллятора:
V" / D.154)
Тогда, как и для гармонического осциллятора, имеем комму-
коммутационное соотношение
К, V] = l. DЛ55)
Оператор о^ называют оператором уничтожения, а оператор
а + — оператором рождения.
Эти операторы можно обобщить так, чтобы они действовали
во всем пространстве 41. Для этого возьмем какую-нибудь пол-
полную систему состояний, например систему т|з, ф{, . . . , ф^Л,
имеющую и частиц в одном и том же состоянии |г|з> и m ча-
частиц в m различных состояниях I г|^ V ортогональных |ф>. Бу-
Будем считать, что операторы уничтожения и рождения аи и at
действуют на каждое такое состояние так, как если бы игно-
игнорировались частицы, находящиеся в состояниях, отличных от
>
Можно дать более общее определение оператора уничтожения
а^, как оператора, действующего в произведении пространств
D.157)
Оператор а^, задаваемый D.156), получается из оператора
D.157) путем ограничения действия последнего симметричным
подпространством пространства ®"^ (доказательство см. в за-
задаче 28).
Пусть |^i>, |i|J>, ••• обозначают некоторую полную систему
состояний пространства У. Для каждого состояния |%> имеем
свое пространство гармонического осциллятора 4lt и свои опе-
операторы уничтожения и рождения^, и а*. Пусть \п\п2 .. .> —
состояние, в котором имеется щ частиц в состоянии |г|з,-> (i—
= 1, 2, ...); данные состояния образуют полную систему со-
состояний в пространстве <М, и мы имеем
all...nl...) = V5]^:«,-l...>, Dл58)
а^|...п,...) = л/я/+1 |...я,+ !..¦>.

226 Гл. 4. Конкретные квантовые системы
Отсюда следует, что
Отождествляя состояние | п\П2 ¦ ¦ •> с произведением состоя-
состояний |rt]>|rt2> •¦•. где \тУ ^%i, приходим к изоморфизму
® ... . D.160)
Другими словами, справедлива следующая теорема.
Теорема 4.12. Пространство состояний переменного числа
бозонов фиксированного типа можно отождествить с простран-
пространством состояний фиксированного числа различимых гармониче-
гармонических осцилляторов, взятых по одному на каждое независимое
состояние бозона. ¦
Если частицы не взаимодействуют друг с другом, энергия
«-частичного состояния равна сумме энергий отдельных частиц.
Таким образом, если |тр>— некоторое собственное состояние
одночастичного гамильтониана с энергией Е, то состояние |яф>
будет собственным состоянием полного гамильтониана с соб-
собственным значением пЕ. Сравнивая такую систему с гармони-
гармоническим осциллятором, обладающим собственными значениями
(tt + '/2)ft© и описываемым гамильтонианом {аУа + 1/2) На, ви-
видим, что рассматриваемый гамильтониан в подпространстве
<U^ можно записать в виде
Н = Еа^\. D.161)
Если в качестве одночастичных состояний |ор,-> возьмем все
собственные состояния одночастичного гамильтониана с энер-
энергиями Ei, то многочастичное состояние \щп2 ¦ ¦ ¦> будет обла-
обладать энергией п\Е\ + п^Е^ + ... ; следовательно, полный га-
гамильтониан должен иметь следующий вид:
#=Е?аЧ- D.162)
Фермионные системы. Если частицы являются фермионами,
то пространство /--частичных состояний будет антисимметрич-
антисимметричным подпространством произведения пространств ®Г9>; обозна-
обозначим его символом АГ9'. Полное пространство состояний тогда
имеет вид
... D.163)
В таком случае подпространство Ш ^, образованное состоя-
состояниями, в которых все частицы находятся в одном и том же со-
состоянии |ф>, будет двумерным: поскольку в состоянии |г|з> мо-
может находиться не более одной частицы, единственными воз-
возможными состояниями являются вакуумное |0> и одночастич-
ное |\|э>. В случае фермионной системы, как и в случае бозон-

§ 4.6. Операторы уничтожения и рождения 227
ной системы, можно рассмотреть операторы уничтожения и
рождения а^ и aj. Чтобы исключить возможность образования
двух частиц в одном состоянии, потребуем, чтобы оператор а^
превращал состояние |ф> в нулевой вектор. Таким образом,
для состояния общего вида, в котором I ^ Y | ф', V ... — состоя-
состояния, ортогональные состоянию |ф>, имеем
C) 0 /||^) |ф|^)
Построенные операторы уничтожения и рождения не удовлет-
удовлетворяют коммутационным соотношениям D.127) для операто-
операторов гармонического осциллятора, но удовлетворяют аналогич-
аналогичным антикоммутационным соотношениям
Они удовлетворяют также условиям
Фермионный оператор уничтожения а^ можно определить
как оператор, действующий в произведении пространств ®п9>
аналогично тому, как определяется в D.157) бозонный опера-
оператор уничтожения:
D.167)
Пусть теперь |i|)i>, |i|52>, •¦• — некоторая полная ортонорми-
рованная система одночастичных состояний. Для каждого из
этих состояний | -ф> можно построить пару соответствующих
операторов уничтожения и рождения at и аг+, каждая из кото-
которых удовлетворяет соотношениям D.165), D.166). Покажем,
что все операторы щ антикоммутируют друг с другом. Пусть
так что
(в выражении для оператора ав появляется знак «минус», так
как оператор а6+ равен а.1" + ia^)- Легко убедиться, что опера-
операторы аф и ао удовлетворяют соотношениям D.165), D.166). По-
Получаемые четыре системы соотношений (для ah aj, аф и ае)

228 Гл. 4. Конкретные квантовые системы
приводят к следующим коммутационным соотношениям:
{а.+, а,} = &ф D.168)
{аь, а!} = {а], а]} = 0, D.169)
показывающим, что операторы а,- действительно антикоммути-
руют друг с другом. Того, что фермионные операторы а^ и af
антикоммутируют друг с другом, можно было бы ожидать за-
заранее. Действительно, состояния а^аУ | -ф) и а^а^'ф ) отли-
отличаются перестановкой двух частиц, а потому они действитель-
действительно различаются множителем —1.
Выражение D.162) для гамильтониана системы невзаимо-
невзаимодействующих частиц справедливо как для бозонов, так и для
фермионов. Изоморфизм D.160) для фермионов тоже имеет
место, но теперь каждое пространство °Ui является не про-
пространством гармонического осциллятора, а двумерным про-
пространством, натянутым на состояния |0> и |г|з<>.
Антикоммутационные соотношения D.168), D.169) показы-
показывают, что фермионные операторы рождения полностью симмет-
симметричны фермионным операторам уничтожения (по крайней мере
в случае конечномерных пространств); для бозонных операто-
операторов рождения и уничтожения такой симметрии нет. В случае
бозонов все операторы уничтожения обладают единым вектором
состояния |0>, а именно вакуумным состоянием; бозонные опера-
операторы рождения таким состоянием не обладают. В случае фер-
фермионов, напротив, операторы рождения, как и операторы уничто-
уничтожения тоже обладают единым полностью заполненным состоя-
состоянием | О) = аг+.. .aN^\ 0), где N — размерность пространства
одночастичных состояний У. Состояние |й> единственное, в ко-
котором заняты все одночастичные состояния. Таким образом, лю-
любое состояние можно получить, применяя операторы уничтоже-
уничтожения к полному состоянию |О>, так же как и применяя операторы
рождения к вакуумному состоянию |0>. Операторы уничтожения
частиц можно рассматривать как операторы рождения «дырок»
в состоянии |Q>, и в некоторых случаях (например, в полупро-
полупроводниках) такие дырки действительно ведут себя как частицы.
Если первоначальные частицы электрически заряжены (как
электроны в полупроводниках), то дырки ведут себя как частицы
противоположного заряда.
Системы из частиц разных типов. Состояния системы, обра-
образованной частицами разных типов, можно описать, обобщая
многочастичные состояния, рассмотренные выше. Если Л,
В, ... — типы частиц, а 9"к, 3"ъ, ¦¦¦ — их пространства состоя-

§ 4.6. Операторы уничтожения и рождения 229
ний, то полное пространство состояний комбинированной си-
системы будет произведением
<г/= <г/А ® <г/в ®— D.170)
где
г=0
г = 0
если Х-бозон, D.171)
если X — фермион D.172)
(суммы здесь понимаются как прямые суммы векторных про-
пространств).
Для каждой частицы X и для каждого состояния |ф> е <?х
можно построить операторы уничтожения и рождения ах^ и
ахг|Л которые действуют в пространстве Ш так же, как в про-
пространстве Шх- Следовательно, пространство Ш обладает пол-
полной системой состояний вида
аА1+аА2+...аш+аВ2+...|0>, D.173)
где ах1+, яХ2+> ... — операторы рождения частицы X в раз-
различных состояниях, а |0> — вакуумное состояние в простран-
пространстве Ш, являющееся произведением вакуумных состояний в
пространствах Щк, Шъ, .... Построенные таким образом опе-
операторы рождения, относятся к разным частицам и коммути-
коммутируют друг с другом.
Существует другое описание, которое можно использовать,
когда частицы комбинированной системы все являются фор-
мионами или все являются бозонами: пространство Ш в D.170)
можно заменить тогда пространством
оо
Ш'= 2 УЧ^аФ^в®. ..) в случае системы бозонов D.174)
(в случае системы фермионов символ V нужно заменить сим-
символом Л). Другими словами, одночастичные пространства со-
состояний можно объединить вместе в одно большое одночастич-
ное пространство, в котором разные частицы А, В, ... будут
разными состояниями одной базовой частицы, которая рас-
рассматривается как бозон (или фермион) при образовании мно-
многочастичных состояний. Имеется естественное соответствие ме-
между состояниями в пространствах °U и Щ': состоянию типа
D.173) в пространстве 41, которое можно записать в виде
.), D.175)

230 Гл. 4. Конкретные квантовые системы
где 5 — оператор симметризации B.142), соответствует состоя-
состояние
5(|А1)|А2)...|В1)|В2)...) D.176)
в пространстве <JU' (в случае системы фермионов оператор 5
надо заменить на оператор антисимметризации B.143)). Та-
Таким образом, пространства Ш и 41' одинаково пригодны для
описания одной и той же физической системы. Но в случае си-
системы фермионов оба этих описания приводят к разным опе-
операторам рождения, так как пространство Ш' обладает струк-
структурой типа D.174), поэтому все операторы рождения в нем
должны антикоммутировать друг с другом (даже когда они
относятся к разным частицам). Таким образом, выбор описа-
описания (с помощью Ш или °U') оказывает влияние на свойства
операторов уничтожения и рождения.
Описание с помощью пространства 41' (приводящее к анти-
коммутирующим операторам) используется всегда для фермио-
фермионов и их античастиц. Следовательно, если ферм ион А имеет
пространство состояний д"А, его античастица А — пространство
состояний ^д, то пространство состояний системы с перемен-
переменным числом частиц А и А имеет вид
оо
П=Елг(ЛФ"^а). D.177)
г = 0
Оба типа описания можно совмещать. Например, при рассмот-
рассмотрении системы из пар частиц и античастиц, считают, что опера-
операторы рождения различных пар коммутируют между собой,
хотя рассматривают полное пространство состояний Тк ®
®Тъ® ¦¦¦, где каждое пространство Тх имеет вид D.177).
Зарядовое сопряжение. Поскольку частица и ее античастица
обладают одинаковыми массой и спином, их пространства со-
состояний изоморфны: если |Хф> — произвольное состояние ча-
частицы X, то ее античастица X обладает соответствующим со-
состоянием |Хф>. Оператор зарядового сопряжения С представ-
представляет указанные пары состояний, например переводит каждую
частицу в ее античастицу, не изменяя спинового состояния и
волновой функции:
С|Хф) = |Х>), С|Хо|)) = |Хг|)). D.178)
Таким образом, С определяется как оператор, действующий в
пространстве ^аФ^а. Данное определение можно очевидным
образом обобщить на произвольные многочастичные состояния
из пространства состояний Та, считая, что в любом многоча-
многочастичном состоянии оператор С одновременно переводит все од-

§ 4.6. Операторы уничтожения и рождения
231
ночастичные состояния с частицами в соответствующие одно-
частичные состояния с античастицами и наоборот.
Аналогично оператору четности оператор зарядового сопря-
сопряжения удовлетворяет условию С2 — 1, причем он тоже оказы-
оказывается одновременно и унитарным, и эрмитовым. В случае ча-
частицы X, отличной от ее античастицы, условия D.178) позво-
позволяют однозначно определить оператор зарядового сопряжения
с вышеуказанными свойствами, так как фазы состояний для X
всегда можно подобрать таким образом, чтобы выполнялись
условия D.178). Но, если частица совпадает со своей антича-
античастицей, оператор зарядового сопряжения следует определять
иначе. Действие оператора зарядового сопряжения на произ-
произвольное состояние |Хф> частицы X в этом случае должно да-
давать то же самое физическое состояние, т. е. вектор состояния
С|Хф> должен быть кратным вектору |Хг|з>; следовательно,
вектор |Хг|з> должен быть собственным вектором оператора С.
Поскольку С2 = \, для зарядовой четности возможны только
два собственных значения, равные ±1. Собственное значение
оператора С является свойством частицы X, подобным ее вну-
внутренней четности; оно называется четностью зарядового сопря-
сопряжения и обозначается цс- Такая четность определена только
для полностью нейтральной частицы X, т. е. частицы, для ко-
которой все аддитивные квантовые числа, подобные электриче-
электрическому заряду или барионному числу, равны нулю; в противном
случае античастица этой частицы отличалась бы от нее. Зна-
Значения зарядовой четности цс для полностью нейтральных ча-
частиц приведены в табл. 4.2.
Таблица
Частица
4.2. Значения
Фотои
—1
четности зарядового сопряжения
2»-частица
— 1
ла-мезон
+ 1
11-мезои
+ 1
Если существует строгая симметрия между материей и анти-
антиматерией (как можно ожидать, исходя из классической элек-
электродинамики, в которой положительные и отрицательные за-
заряды выступают равноправно), операция зарядового сопряже-
сопряжения должна быть инвариантностью системы; оператор С дол-
должен коммутировать с гамильтонианом, и четность цс должна
быть сохраняющейся величиной. Зарядовая четность действи-
действительно сохраняется в сильных, электромагнитных и гравита-
гравитационных взаимодействиях; сохранение зарядовой четности на-
накладывает ограничения на возможные типы процессов с уча-

232
Гл. 4. Конкретные квантовые системы
стием элементарных частиц, аналогичные ограничениям, нала-
налагаемым требованием обычной четности.
Пример: аннигиляция позитрония. Позитронием называется
связанное состояние электрона и позитрона — фактически это
атом водорода с протоном, замененным на позитрон. Но в от-
отличие от атома водорода позитроний не обладает устойчивым
основным состоянием, так как электрон и позитрон могут анни-
аннигилировать друг с другом с образованием фотонов. Этот элек-
электромагнитный процесс инвариантен относительно зарядового
сопряжения, следовательно, зарядовая четность цс в нем сохра-
сохраняется.
Пространство состояний позитрония является частью двух-
двухчастичного пространства, построенного из одночастичных про-
пространств 9>®9°, где 9°— пространство состояний электрона, а
9* — пространство состояний позитрона; таким образом, это
пространство построено из состояний |е~ф> и |е+ф>. Так как
пространства 93 и 9" изоморфны, то сумму 9° Ф 9° можно отож-
отождествить с произведением *&®9°, где *8 — некоторое двумерное
пространство («зарядовое пространство») с базисными со-
состояниями |е~> и |е+>. Зарядовое сопряжение действует в про-
пространстве 9>, заменяя друг на друга состояния |е~) и je+). Та-
Таким образом, двухчастичные состояния, которые симметричны
или антисимметричны в зарядовом пространстве, будут соб-
собственными состояниями оператора С с собственным значением
т]с = +1 (в случае симметричных состояний) и цс = —1
(в случае антисимметричных состояний). Двухчастичные со-
состояния должны быть полностью антисимметричными; следова-
следовательно, если спин-орбитальное состояние симметрично (/ чет-
четное и s=l или / нечетное и s = О, где / — относительный
орбитальный угловой момент, a s — полный спин), то четность
Tic должна быть равна —1. Если спин-орбитальное состояние
антисимметрично (/ нечетное ns=l или / четное и s = 0), то
четность цс должна быть равна -)-1. Если позитроний находит-
находится в своем основном состоянии, то 1 = 0, согласно теории атома
водорода; отсюда получаем цс = —1, если спины параллельны
(s = l) и т)с = +1, если они антипараллельны (s=0).
Когда электрон и позитрон аннигилируют друг с другом и
превращаются в п фотонов, у состояния, образующегося после
процесса аннигиляции, зарядовая четность равна (—1)", по-
поскольку для одного фотона Цс = —1. Закон сохранения энергии-
импульса запрещает значение я = 1 (в собственной системе от-
отсчета позитрония фотон обладал бы нулевым импульсом), так
что наименьшие возможные значения п равны 2 и 3. Инвариант-
Инвариантность относительно зарядового сопряжения приводит в этом слу-
случае к тому, что позитроний распадается на два фотона, если

§ 4.6. Операторы уничтожения и рождения 233
спины электрона и позитрона в нем антипараллельны, и на три
фотона, если спины параллельны. Поскольку фактор фазового
объема больше для двухфотонного распада, последний должен
происходить быстрее, поэтому основное состояние с параллель-
параллельными спинами живет дольше, чем основное состояние с антипа-
антипараллельными спинами.
В процессе аннигиляции позитрония сохраняется также и
обычная четность; в случае двухфотонного процесса она позво-
позволяет получить информацию о поляризации фотона. Четность ос-
основного состояния (/ = 0, s = 0) позитрония равна —(—1)' =
— —1, так как электрон и позитрон, будучи фермионными ча-
частицей и античастицей, обладают противоположными внутрен-
внутренними четностями. Таким образом, двухфотонное состояние дол-
должно обладать обычной четностью, равной —1, и угловым момен-
моментом, равным 0. Допустим, что один из фотонов находится в соб-
собственном состоянии импульса с собственным значением к; тогда,
если позитроний до распада покоился, другой фотон должен об-
обладать импульсом —к. Таким образом, оба фотона должны об-
обладать противоположными компонентами углового момента на
направление импульса к, так как полный угловой момент равен
0; следовательно, спиральности фотонов должны быть равны.
Таким образом, обозначая состояния фотонов |р±>, где р —
импульс, а + — спиральность фотона, и учитывая, что фотоны
являются бозонами, получаем двухфотонное состояние вида
+ |-k->|k->). D.179)
Действие оператора четности на однофотонное состояние состоит
в том, что его импульс изменяет направление на обратное, а
компоненты углового момента остаются неизменными (так как
Р коммутирует с J), т. е. оператор четности изменяет знак спи-
спиральности:
Р|р±>=-|-р + ) D.180)
(знак минус в правой части появляется потому, что фотон обла-
обладает отрицательной внутренней четностью). Таким образом, что-
чтобы двухфотонное состояние D.179) имело отрицательную чет-
четность, необходимо положить а = —|3.
Спиральность фотона связана с его поляризацией. Оператор
Jz для фотона, движущегося в z-направлении, определен в
C.101), т. е. однозначно определена связь спиральности фотона
с состояниями поляризации \фх} и \фу}. Таким образом, можно
найти собственные состояния спиральности

234 Гл. 4. Конкретные квантовые системы
Двухфотонное состояние D.179), записанное через эти состояния
при а = —р, имеет вид
\kx)\-ky)-\ky)\-kx) + \-ky)\bx)-\-kx)\ky. D.181)
Следовательно, оба фотона, образующиеся при аннигиляции, по-
поляризованы в перпендикулярных направлениях.
Взаимодействия с изменением числа частиц. Операторы
рождения и уничтожения можно использовать при построении
гамильтонианов, описывающих взаимодействия, изменяющие
число частиц.
Например, предположим, что каждая частица обладает од-
одномерным пространством состояний (т. е. пренебрежем спино-
спиновым состоянием и волновой функцией частицы; будем называть
эти отбрасываемые степени свободы кинематическими). Тогда
для частиц А, В, ... можно рассмотреть операторы рождения
аА+, ав+, ... и построить полную систему состояний вида
imA' nB' •-)=V(^n-)(aAT(V)-|0)- DЛ82)
Обозначим Ех энергию единственного состояния частицы X. Тог-
Тогда при отсутствии взаимодействия между частицами гамильто-
гамильтониан имеет вид
Яо = ?АаАХ + Еаав*ав +... D.183)
(см. D.162)). Опишем теперь взаимодействие частиц, добавив
к гамильтониану D.183) дополнительное слагаемое еУ и исполь-
используя временную теорию возмущений.
Предположим, например, что имеется пять частиц А, В, С, D
и а и пусть оператор V имеет вид
V = аАас*аа* + aBaD*aa + ав*асаа + aB^aDaJ D.184)
(оператор V безразмерен и потому параметр разложения е,
который в данном случае называют константой связи, имеет раз-
размерность энергии). Оператор V эрмитов, так как является сум-
суммой W + №+. Предположим, что начальное состояние ] "фо> =
= |Л>; тогда, согласно C.182) и C.176), в первом порядке тео-
теории возмущений получаем
| $ (t)\ = J- f dfie«Wft yg-ншй | ,fo) = _L f dtj
ih ti> ih 0J
Таким образом, в результате взаимодействия D.184) происходит
распад
. D.186)

§ 4.6. Операторы уничтожения и рождения 235
Очевидно за этот распад ответственно первое слагаемое в гамиль-
гамильтониане D.184), описывающее процесс уничтожения частицы А
и одновременного рождения частиц С и а. Согласно теории, раз-
развитой в § 3.5, если ЕА Ф Ес + Еа, интеграл в выражении D.185)
очень мал, и распад практически не происходит. Предположим,
что частица А до распада покоилась, поэтому Ек = ткс2; тогда,
так как энергия движущейся частицы имеет по крайней мере ве-
величину тс2, условием возможности распада частицы А служит
неравенство
с + та. D.187)
Если это неравенство не удовлетворяется, то слагаемое в V, опи-
описывающее процесс D.186), все же может давать вклад в про-
Рис. 4.7. Диаграммы для слагаемых оператора V в D.184).
цессы более высоких порядков. Возьмем теперь в качестве на-
начального состояние |АВ> и рассмотрим состояние, имеющееся во
втором порядке теории возмущений, а именно
t и
I ^2 @ > = -щ* \ dt, \ dt2e<™> Ve~lH'4AB ) D.188)
о о
(см. C.183)). Согласно выражению D.184), имеем
У|АВ) = |ВСа), D.189)
V|BAa) = |AB) + |CD); D.190)
таким образом, состояние второго порядка D.188) должно быть
кратным состоянию |CD>; рассматриваемое взаимодействие, как
видим, ответственно за процесс
A+B->C + D. D.191)
Приведенные формулы можно иллюстрировать диаграммами.
Четыре слагаемых в операторе V можно изобразить четырьмя

236
Гл. 4. Конкретные квантовые системы
диаграммами, показанными на рис. 4.7, которые иллюстрируют
процессы уничтожения и рождения, описываемые операторами
в каждом отдельном члене (диаграммы следует читать слева на-
направо). Как видим, имеем четыре типа вершин, которые можно
объединять в сложные диаграммы, подобные изображенной на
рис. 4.8, представляющей процесс D.191). Наличие двух вершин
в последней диаграмме пока-
показывает, что рассматривается
процесс второго порядка тео-
теории возмущений. Две полови-
половины диаграммы (разделенные
штриховой линией) иллюстри-
иллюстрируют два равенства D.189) и
D.190), описывающие вклады
теории возмущений. Сама
штриховая линия соответст-
соответствует промежуточному вирту-
виртуальному состоянию |ВСа>,
входящему в D.189) и D.190).
Рис. 4.8. Диаграмма процесса А +
+ В -*¦ С + D второго порядка тео-
теории возмущений.
Аналогичным образом мож-
можно построить диаграммы, ил-
иллюстрирующие любой процесс,
имеющийся в любом порядке теории возмущений. Эти фейнма-
новские диграммы уже рассматривались в гл. 1.
Вычисляя интеграл в D.188), находим для амплитуды про-
процесса A + B-^C-j-D во втором порядке по е выражение
o-i(EA+EB)t
D.192)
(ЕА
~Ea)(EA + ER-Ec~ED)
_ -t(Ec+ED)t
(EA-Ec-Ea)(EB-ED
¦]¦
Если энергия Ea велика по сравнению сей энергиями частиц
А, В, С и D, так что отношение ЕА/Еа есть величина порядка
е/ЕА, то второе слагаемое в выражении D.192) третьего порядка
малости, а первое слагаемое можно приближенно представить
в виде
е2 е
-i(Ek+EB)t _e-i(EC+BD)t
-EC- ED
D.193)
Получаем с точностью до знака такое же выражение, как для
амплитуды первого порядка, которую можно получить, если рас-
рассмотреть гамильтониан вида Н = Но-\- e'V, в котором
УГ== йАавйсЧ+ + «a%4«d- D-194)
е' = -Ё

§ 4.6. Операторы уничтожения и рождения 237
Гамильтониан e'V называют эффективным гамильтонианом, а
параметр е' — эффективной константой связи. Два слагаемых в
операторе V изображаются двумя вершинными диаграммами
на рис. 4.9. Они описывают процессы, происходящие при непо-
непосредственном контакте четырех частиц.
Эквивалентность между гамильтонианом D.184) и эффектив-
эффективным гамильтонианом D.194), когда энергии частиц малы по
сравнению с Еа, хорошо иллюстрирует обратно пропорциональ-
пропорциональную зависимость радиуса действия сил от массы переносящей
в
а,' ая' avaD
Рис. 4.9. Диаграммы для слагаемых оператора V в D.194).
эти силы частицы ос, которая обсуждалась в гл. 1. Энергия Еа
порядка пгас2. Энергия Е, которая много меньше чем Еа, связана
с импульсом порядка Е/с, а потому с длиной порядка hc/E, ко-
которая много больше длины ft/mac, характеризующей радиус дей-
действия сил, согласно формуле A.29). Поэтому силы заметно дей-
действуют только в том случае, когда частицы находятся в непо-
непосредственном контакте, что иллюстрируют диаграммы на
рис. 4.9.
Если принять во внимание также возможные кинематические
состояния частиц, то следует рассмотреть гамильтониан вида
D.184) при А —С и В = D. Тогда будем иметь свой оператор
уничтожения а,м для каждого состояния |г|),-> частицы А, и опе-
оператор V будет содержать слагаемые вида
^«а/Ч'- D.195)
описывающие элементарные процессы испускания частицей А по-
полевого кванта а, причем после процесса испускания частица А
переходит в новое состояние. Диаграмма, аналогичная изобра-
изображенной на рис. 4.8, тогда характеризует процесс, в котором обе
частицы А и В обмениваются своими состояниями, т. е. эта диа-
диаграмма описывает силы взаимодействия между частицами. Если
обе частицы А и В-—электроны, а частица а— фотон, то эти
силы будут силами электромагнитного взаимодействия, дейст-
действующими между электронами.

238 Гл. 4. Конкретные квантовые системы
Такой способ описания взаимодействия между частицами со-
составляет суть квантовой теории поля, о которой мы полнее рас-
расскажем в гл. 7, хотя действительно полное ее изложение выходит
за рамки данной книги. Теория поля требует, чтобы операторы
уничтожения и рождения всегда появлялись в форме квантового
поля, т. е. в виде линейной комбинации
относящейся к состоянию |\|з,-> частицы X и к состоянию |i|^) ее
античастицы X. Состояния |i|i.\ и | "ф^ \ одинаковы для бозонов,
а для фсрмионов они различаются спиновым состоянием. Со-
Состояние |т]^\ получается из состояния \^>Л заменой собствен-
собственного состояния с определенным значением спиральности на соб-
собственное состояние с противоположным ее значением.
В гл. 6 мы расскажем, как описывать фундаментальные вза-
взаимодействия между частицами, не учитывая их кинематические
состояния, когда адекватной оказывается модель, описанная на
стр. 234 (в которой предполагается, что каждая частица имеет
только одно состояние). Квантовое поле для частицы X тогда
имеет вид
<?х = ах + а_+; D.197)
мы будем называть его редуцированным квантовым полем. Лю-
Любой гамильтониан взаимодействия следует строить из подобных
операторов1). Тогда автоматически будет учитываться, что вза-
взаимодействие, содержащее вершину фейнмановской диаграммы,
описывающую испускание определенной частицы, содержит так-
также вершину, в которой испускание заменено поглощением ее
античастицы, и наоборот.
Гамильтониан взаимодействия D.184), который мы исполь-
использовали в иллюстративных целях, не удовлетворяет требованию,
чтобы он был построен из квантовых полей. Его следует заме-
заменить гамильтонианом
У = 1фа + Гфа\ D.198)
где
Оператор / называется током, соответствующим взаимодей-
взаимодействию, переносимому частицами а. Низкоэнергетический эффек-
эффективный гамильтониан, построенный для гамильтониана D.198)
:) Гамильтониан свободных частиц D.183) нельзя построить таким спо-
способом, но это различие гамильтонианов Но и eV искусственное в излагаемом
упрощенном формализме; оно исчезает, если отказаться от предположения,
что каждая частица имеет только одно состояние (см. задачу 31).

Задачи к главе 4 239
и соответствующий гамильтониану D.194), можно выразить че-
через оператор /:
V' = //+. D.200)
Последние три главы этой книги практически независимы друг
от друга. Читатель, который не удовлетворен беглым изложе-
изложением в данном параграфе н интересуется дальнейшим разви-
развитием математического формализма квантовой механики, может
сразу перейти к описанию квантовой теории поля в гл. 7. Чита-
Читатель, который хотел бы подробнее ознакомиться с теорией эле-
элементарных частиц, должен обратиться и к гл. 6, в которой он
найдет приложение теории, изложенной в гл. 2—4. Но эта тео-
теория, как наверное уже обратил внимание читатель, содержит
некоторые неясные моменты, поэтому гл. 5 посвящена изложе-
изложению более глубокого взгляда на основные концепции квантовой
механики.
Основные положения главы 4
Связь спина и статистики 192
Теорема 4.1. Собственные значения углового момента 188
Теорема 4.2. Четность орбитальных состояний 190
Теорема 4.3. Представления группы вращении 193
Теорема 4.4. Сложение угловых моментов 201
Теорема 4.5. Теорема Вигнера — Эккарта 204
Теорема 4.6. Симметрия спиновых состояний 208
Теорема 4.7. Симметрия орбитальных состояний 210
Теорема 4.8. Внутренняя четность двухчастичного состояния
211
Теорема 4.9. Коммутационные соотношения операторов для
атома водорода 213
Теорема 4.10. Энергетические уровни атома водорода 216
Теорема 4.11. Энергетические уровни гармонического осцил-
осциллятора 221
Теорема 4.12. Бозоны и гармонические осцилляторы 226
Рекомендуемая литература
Материал настоящей главы подробно освещается в большинстве
учебников квантовой механики. См. рекомендованную литера-
литературу к гл. 2 и 3.
Задачи к главе 4
1. Для простой частицы, движущейся в пространстве, пока-
покажите, что волновая функция г|)/т (г) = х2 -{- у2— 2z2 представ-
представляет одновременное собственное состояние операторов J2 и /г
с собственными значениями /(/+ l)ft2 и trih, где числа / и т

240 Гл. 4. Конкретные квантовые системы
требуется определить. Постройте функцию с тем же самым соб-
собственным значением для J2 и максимальным собственным значе-
значением Jz.
2. Покажите, что имеется 21 -\- 1 независимых полностью
симметрических тензоров til...il [ir= I, 2, 3], удовлетворяющих
условию J^jt/i^... it = 0, и что функции f(r) = til...ilXii...Xil
являются собственными функциями оператора J2 с собственным
значением /(/+1)Й2. (Рассмотрите V2/.)
3. Покажите, что для системы с угловым моментом / собст-
собственные состояния оператора n-J имеют вид U(R)\jm}, где R —
вращение, переводящее ось z в ось п. Получите отсюда, что ве-
величина \a!'mn(R)\2 равна вероятности того, что измерение на-
наблюдаемой n-J даст значение rih после того, как измерение на-
наблюдаемой /г дало значение mh.
Как эти результаты согласуются с тем, что вращение R оп-
определено не однозначно?
4. Пучок электронов, находящихся в собственном состоянии
оператора /г с собственным значением ]/2Й, попадает в прибор
Штерна — Герлаха, измеряющий компоненту спина вдоль оси,
составляющей угол 8 с осью z, и разделяющий частицы на два
различных пучка в соответствии со значением этой компоненты.
Найдите отношение интенсивностей выходящих из прибора пуч-
пучков.
5. Пусть U и А — матрицы типа 2X2, причем U =
= cos (Чф) + i (n • a) sin С/гЭ). А — a ¦ а, где п — некоторый еди-
единичный вектор. Покажите, что t/A?/+= а'• а, где а' получается
вращением вектора а вокруг оси п на угол 9. Выведите отсюда,
что гомоморфизм ф в D.61) отображает группу SUB) на груп-
группу, изоморфную SOC). Покажите, что ядром отображения яв-
является множество {±1}.
6. Для спинового пространства состояний i?)/i(g)-0;2 двух ча-
частиц со спинами /i и /2 покажите, что состояние |/i/i>|/2/2> яв-
является одним из собственных состояний |/М> операторов пол-
полного углового момента J2 и /г. Действуя на указанное состояние
понижающим оператором /_ = /i_ + /2_, найдите выражения для
коэффициентов Клебша — Гордана <//—\\jitni, ]im?) для соот-
соответствующих значений rti\ и т2. Найдите состояние |/— 1, /— 1>
(ортогональное к состоянию |/, /—1>) и с его помощью выве-
выведите выражения для коэффициентов Клебша — Гордана </—1,
/—l|/i^i, /2^2>- Продолжите это рассуждение и покажите, что
/, M)(JM— I \]\mu i2m2) = r(jl, m{ + \){JM\ixmx-\- 1, j
+ r (l2, m+\)(JM\ }{mu j2m2
где r (j, m) = V< (/ + 1) — m (m — 1).

Задачи к главе 4 241
Вычислите коэффициенты Клебша — Гордана (} /
3Лтз> Для всех соответствующих значений т\, пг2 и пц.
7. Сколько независимых состояний, соответствующих полному
угловому моменту /, где 0 ^ I ^ 3, и данному значению наблю-
наблюдаемой /г, имеет система, образованная из трех частиц, каждая
из которых обладает угловым моментом / и не имеет никаких
других свойств.
8. Покажите, что пять операторов
±2i +
дх ~ дхду дуЧ
образуют неприводимую систему операторов спинового типа 2.
Найдите отношение средних значений оператора Го для пяти
собственных состояний оператора Jz для частицы с орбитальным
угловым моментом 2.
9. Электрон в состоянии атома водорода с п = 3, / = 2 обла-
обладает полным угловым моментом 5/2. Вычислите необходимые ко-
коэффициенты Клебша — Гордана и найдите отношение средних
значений координаты z в собственных состояниях оператора /г
с собственными значениями 5/2 и 3/2. Чему равны средние зна-
значения координат хну для указанных состояний?
10. Покажите, что в состоянии с угловым моментом 0 сред-
среднее значение любого векторного оператора равно нулю. Выведите
отсюда, что частица со спином 0 не обладает магнитным момен-
моментом и электрическим дипольным моментом.
11. Покажите, что в пространстве произвольного неприводи-
неприводимого представления группы вращений любой векторный опера-
оператор кратен оператору J.
12. Пусть |±1>, |0> — три собственных состояния оператора
Jz с орбитальным угловым моментом 1. Покажите, что средние
значения г2 и г2 в указанных состояниях связаны соотношениями
13. Атом водорода помещен в однородное электрическое по-
поле величины Е, направленное вдоль оси z. Обозначая состояния
квантовыми числами п, I, m, найдите отношения вероятностей
Рп первого порядка теории возмущений для переходов из со-
состояния \п, 1 = 2, гп) в состояния \п, 1 = 1, т> при m = 0, ±1.
14. Пусть Sm, (— /i < mx < /2) и Tm2 (— /2 < m2 < /2) — произ-
произвольные неприводимые системы операторов спиновых типов Д
и /2. Покажите, что операторы
m\, m2

242 Гл. 4. Конкретные квантовые системы
образуют неприводимую систему операторов спинового ти-
типа /.
15. Частица А со спином 1/2 распадается на две частицы В
и С, причем частица В имеет спин 1/2, а частица С — спин 1.
Чему равны возможные значения относительного орбитального
углового момента частиц В и С? Считая, что относительный ор-
орбитальный угловой момент равен 0 и частица А находится в
собственном состоянии г-компоненты спина с собственным зна-
значением + 1/2, найдите вероятность того, что г-компонента спина
частицы В тоже имеет значение +1/2.
16. т)-Мезон является нейтральной частицей с отрицательной
четностью. Покажите, что он не может распадаться па два я°-
мезона, если четность сохраняется.
17. Предположив, что два нейтрона могут образовать связан-
связанное состояние с полным угловым моментом 1, покажите, что оно
должно иметь отрицательную четность.
18. Покажите, что частица, которая распадается на два я°-
мезона, обладает четным целым спином.
19. Распад л°—>~2у происходит в результате электромагнит-
электромагнитного взаимодействия (сохраняющего четность). Считая фотоны
обычными (массивными) частицами со спином 1, покажите, что
их относительный орбитальный момент равен 1.
20. Покажите, что в р-мезоне (/р = 1~') кварк и антикварк
имеют параллельные спины.
21. Выведите коммутационные соотношения D.107), D.108)
и формулу D.104).
22. Эффект Зеемана. Гамильтониан атома, помещенного в
магнитное поле В, направленное вдоль оси г, имеет вид Яо +
+ [iBLr, где Но — гамильтониан атома, приведенный в § 4.4, L —
относительный орбитальный угловой момент и ц — некоторая
константа. Каковы стационарные состояния и энергетические
уровни этого гамильтониана?
23. Покажите, что если атом водорода распадается из воз-
возбужденного состояния, испуская один фотон, то значение / для
него равно ±1.
24. Экспериментатор тщательно приготовляет частицы мас-
массы m в первом возбужденном состоянии (с энергией 3/2/ш) в од-
одномерном гармоническом потенциале V(x) = '/г^со2*2; при этом
он чихает и резко сдвигает центр потенциала на малое расстоя-
расстояние а в сторону. Пока он сморкается, проходит время т. После
этого он сразу возвращает центр потенциала в прежнее положе-
положение. Найдите в низшем порядке по а вероятности Рп и Р2 того,
что осциллятор будет оставаться в своем основном состоянии и
во втором возбужденном состоянии. Покажите, что вероятность
того, что он будет в своем /г-м возбужденном состоянии порядка
а2(п-1).

Задачи к главе 4 243
25. Пусть z — произвольное комплексное число. Рассмотрите
состояние | z ) = exp (ztf+} 10) гармонического осциллятора. Пока-
Покажите, что <Zi|z2> = exp(zi, z2) и среднее значение энергии в со-
состоянии |z> равно (|г|2 +'/2)Йсо, где со— частота осциллятора.
Если осциллятор находится в состоянии |zo> в момент t = О,
найдите вероятность того, что он снова окажется в состоянии
|zo> в момент времени /.
26. Покажите, что девять операторов atay. -f- ajait /(ata;- —
— a}a,-) представляют сохраняющиеся наблюдаемые для трех-
трехмерного гармонического осциллятора и что, будучи умножен-
умноженными па мнимую единицу i, они образуют алгебру Ли, изоморф-
изоморфную алгебре Ли группы U C).
27. Пусть 9" — пространство одночастичных состояний, обла-
обладающее полной системой состояний |г|з*>, и пусть а,- — соответ-
соответствующие операторы уничтожения, действующие в пространстве
Щ с неопределенным числом частиц. Если Я— одночастичный
гамильтониан, покажите, что гамильтониан, действующий в про-
пространстве °Ы, для системы невзаимодействующих друг с другом
частиц дается выражением ? ц (я|зг | Я | гр/) а^а{.
28. Пусть | ф) —«-частичное состояние | г|>г1 \ . . . I г|э,- \, где
состояния \tyt) образуют ортонормированную систему и набор
индексов {ii, . . . , in} содержит г различных индексов, образую-
образующих группы по k\, . . . , kr равных индексов. Пусть 5= 2^Р —
оператор симметризации. Покажите, что ( W | S+S | х? ) = п\ kj. . . .
. . . kr\ Выведите отсюда, что оператор уничтожения аф в D.156)
является ограничением оператора D.157) на симметричное под-
подпространство пространства ® п9".
29. Выведите выражение D.192).
30. Если гамильтониан имеет вид Я0 + е1/, где Яо дается
формулой D.183) и V = W^+W, где W = аАас^аа* + авaD+aa +
+ aDaE+aF+, покажите, что вероятность процесса А + В->-С-}-
+ Е + F имеет порядок е6 и нарисуйте соответствующую фейн-
мановскую диаграмму.
31. Пусть axi — оператор уничтожения частицы X в состоя-
состоянии i. Примем, что определение квантовых полей можно обоб-
обобщить, включив в него операторы вида фХ1 = X/ (aj/ax; "Ь $ца- -+).
Покажите, что можно указать такие матрицы ац и C,/, что га-
гамильтониан Яо для свободных частиц в D.183) можно записать
в виде Ei^xt + ^x/)-
32. Рассмотрите модельную систему, составленную из заря-
заряженной частицы X и ее античастицы X, взаимодействующих с
фотоном y. причем каждая из этих частиц может находиться

244 Гл. 4. Конкретные квантовые системы
только в одном состоянии и гамильтониан имеет вид Я0 + еУ,
где
Но = Ех ОхЧ + ах+ах) + ?аЧ> V = Фх+хК
а и а+ — операторы уничтожения и рождения, а фх и <j> — по-
полевые операторы: ^>х = ах -\- а^, ф=ау + я7т- Постройте фейн-
мановскую диаграмму низшего порядка для процесса Х + Х-^-
—>¦ 2у и составьте точное выражение для амплитуды этого про-
процесса в момент времени /.

Глава 5
Квантовая метафизика
Концептуальная основа современной кванто-
квантовой механики так же нездорова, как была кон-
концептуальная основа исчисления бесконечно малых
ко времени появления знаменитой критики Бер-
Беркли.
Хилари Путам, 1965 г.
То обстоятельство, что адекватное философ-
философское обоснование [квантовой механики] столь
долго складывалось, несомненно, объясняется тем,
что Нильс Бор внушил целому поколению физи-
физиков-теоретиков, что эта работа уже проведена
пятьдесят лет назад.
Мюррей Гелл-Манн, 1979 г.
Как убеждают приведенные цитаты, читатель, считающий, что
квантовую механику трудно понять, находится в хорошей ком-
компании. В настоящей главе обсуждаются некоторые основные
трудности обоснования квантовой теории и намечаются пути их
устранения. В главе содержится также изложение существую-
существующих альтернативных формулировок квантовой механики, кото-
которые эквивалентны (по крайней мере математически) формули-
формулировке, изложенной в гл. 2 и 3.
§ 5.1. Вероятностные формулировки классической
и квантовой механик
а. Классическая механика. В классической механике состояние
системы полностью характеризуется значениями координат и им-
импульсов (<7ь . . . , qn, р\, . . ¦ , рп), которые в совокупности обозна-
обозначим (q, p). Множество всех возможных значений этих величин
называется фазовым пространством системы; оно является клас-
классическим аналогом пространства состояний в квантовой меха-
механике. Мы обозначим фазовое пространство символом 2Р.
Чтобы иметь возможность сравнивать детерминированные ут-
утверждения классической механики с существенно вероятност-
вероятностными утверждениями квантовой механики, обратимся к более
общему описанию классической системы, когда имеющаяся ин-
информация о системе не столь определенна, чтобы однозначно
указать одно классическое состояние, а известна только вероят-
вероятность распределения значений (q, p). Разумеется, это более реа-
реалистичное описание данных, которые мы имеем на практике в
отношении состояния системы, так как любой реальный метод
приготовления системы не может обеспечить получение беско-
бесконечно точных значений q и р. Таким образом, мы определяем

246 Гл. 5. Квантовая метафизика
экспериментальное метасостояние (или просто метасостояние) 1)
как некоторую вероятностную меру, заданную на фазовом про-
пространстве. Мерой называется неотрицательная вещественнознач-
ная функция, определенная на соответствующим образом подо-
подобранных подмножествах пространства 9>. Достаточно, однако,
представлять себе меру просто как некоторую неотрицательную
вещественнозначную функцию р, заданную на пространстве 9* и
удовлетворяющую условию нормировки
\; E.1)
при этом функция р может концентрироваться на одной точке,
т. е. вырождаться в 6-функцию. В таком случае мерой под-
подмножества ?s^ называем число
9{E)=\9dqdp. E.2)
Наблюдаемые в классической механике представляются ве-
щественнозначными функциями, зависящими от q и р. Мета-
Метасостояние р определяет вероятности различных значений на-
наблюдаемой A(q, p): вероятность того, что значение наблюдае-
наблюдаемой лежит в заданном интервале, равна
p(q, p)dqdp. E.3)
A-'(A)
Следовательно, среднее значение наблюдаемой Л в метасо-
стоянии р дается выражением
< Л >р = J A (q, p)p (q, p) dq dp. E.4)
Эту формулу для среднего значения произвольной наблю-
наблюдаемой можно взять в качестве основного положения теории,
так как формула для вероятности E.3) следует из E.4), если
Л заменить на %д(Л), где %д — характеристическая функция
интервала Д:
 при Л<=Д,
О при АфА. к '
В дальнейшем нам понадобится тот факт, что задание распре-
распределения вероятностей р эквивалентно заданию средних значе-
значений <Л>Р для всех наблюдаемых, так как, взяв в качестве Л
') В математических дискуссиях по основам механики метосостояния
часто называют «состояниями»; при этом, однако, подразумевают определен-
определенные ответы на вопросы, которые мы пока хотим оставить открытыми.

§ 5.1. Вероятностные формулировки 247
в частности характеристическую функцию %е для произволь-
произвольного подмножества Е<=,@, получаем из E.4) вероятность того,
что (q,p)^E. Таким образом, экспериментальное метасостоя-
ние можно определить и как функцию, которая приписывает
каждой наблюдаемой А определенное среднее значение <Л>„.
Пусть pi и р2 — два метасостояния, a w\ и w2—два веще-
вещественных числа, удовлетворяющие условиям
0^.wh w2^.l, Wi -}- w2= I- E.6)
Тогда распределение
p = WiPi + w2p2 E.7)
тоже будет некоторым метасостоянием. Пусть Е{ и Е2 — две
экспериментальные процедуры, которые приготовляют метасо-
метасостояния pi и р2 соответственно; тогда и метасостояние Шф! +
+ w2p2 можно приготовить, скажем, путем подбрасываний не-
несимметричной монеты, которая имеет вероятность w\ упасть
одной стороной (тогда надо пользоваться процедурой Е\) и
вероятность ш2 упасть другой стороной (тогда надо пользовать-
пользоваться процедурой Е2). Метасостояние E.7) называют смешанным
состоянием. Чистым состоянием называют такое метасостояние,
которое нельзя представить в виде E.7). Нетрудно убедиться,
что распределение р для чистого состояния должно быть скон-
сконцентрировано на какой-нибудь одной точке фазового простран-
пространства, т. е. должно быть 6-функцией. Таким образом, чистое
состояние, соответствующее определенной точке фазового про-
пространства,— это то, что в начале этого параграфа мы назы-
называли просто «состоянием».
Множество элементов векторного пространства, содержащее
все линейные комбинации своих элементов вида E.7) с коэф-
коэффициентами, удовлетворяющими условиям E.6), называется
выпуклым множеством. Элемент, который нельзя записать в
виде такой невырожденной линейной комбинации, называется
экстремальной точкой данного множества. Таким образом, чи-
чистые состояния являются экстремальными точками выпуклого
множества экспериментальных метасостояний.
Временная эволюция классической системы характеризуется
движением точки (q, p) в фазовом пространстве, описываемым
уравнениями Гамильтона C.5). Отсюда следует, что распреде-
распределение вероятностей р изменяется согласно уравнению
где H(q,p) — гамильтониан системы, а фигурные скобки —
скобки Пуассона C.171).

248 Гл. 5. Квантовая метафизика
б. Квантовая механика. Статистический оператор. Макси-
Максимально доступная информация о системе в квантовой механике
заключена в ее векторе состояния |г|>>. Проводя параллель с
приведенной выше вероятностной трактовкой классической ме-
механики, покажем теперь, как в квантовой механике можно опи-
описать систему, имея информацию, меньшую максимальной. Пред-
Предположим, что нормированный вектор состояния системы яв-
является одним из векторов |г|>1>, ..., |г|>п> с вероятностью р,-
выбора вектора |г|>,->. Статистическим оператором системы (на-
(называемым также матрицей плотности) называется оператор
/г
р=?р/1ч>/Хч><|. E.9)
Так как числа р,- вещественные, этот оператор р эрмитов. Он
позволяет находить вероятности значений наблюдаемых в рас-
рассматриваемом состоянии.
Теорема 5.1. Пусть р—-статистический оператор системы,
когда вероятность того, что измерение наблюдаемой А даст
значение а, равна
(\) t()
где Ра — проекционный оператор на собственное пространство
наблюдаемой А, соответствующее собственному значению а.
Среднее значение наблюдаемой А равно
E.11)
Доказательство. Пусть |г|э>— некоторый нормированный век-
вектор состояния и X = |i|)><i|)|; пусть Y — любой другой оператор.
Тогда если {|<?<:>}—полная ортонормированная система состоя-
состояний, то
tr(*y)=E<*<i^4&>=Z<*m**x*j*>=<*m*>, E.12)
i I
где использована формула B.68). Вероятность того, что изме-
измерение наблюдаемой А дает результат а, когда система описы-
описывается статистическим оператором р, можно выразить через
вероятности пребывания системы в отдельных состояниях |г|),->
следующим образом:
Рл(а\?)== Z! (вероятность того, что система находится в со-
стоянии | г|з<» рА (а | ф,) = ? Pi < t«• I Pa IЬ ) =
согласно E.12); таким образом, имеем

§ 5.1. Вероятностные формулировки 249
Соответственно среднее значение наблюдаемой А дается фор-
формулой
Полагая в E.11) Л = 1 ив E.10) Р(Х=|Ф><'Ф|. получаем
условия
trp=l, E.13)
<-ф|р|г|))>0; E.14)
последнее справедливо для всех |-ф>. Оператор р, удовлетво-
удовлетворяющий неравенству E.14), называется положительным. Мно-
Множество всех положительных эрмитовых операторов со следом,
равным 1, является выпуклым.
Говорят, что система находится в чистом состоянии, если ее
статистический оператор совпадает с экстремальной точкой
указанного множества; в противном случае система находится
в смешанном состоянии. Выпуклое множество линейных комби-
комбинаций статистических операторов и чистые состояния играют в
квантовой механике такую же роль, как в классической меха-
механике.
Теорема 5.2. 1) Экспериментальная ситуация, в которой ста-
статистический оператор р] наблюдается с вероятностью w\, a
статистический оператор р2 с вероятностью w2, описывается
статистическим оператором Wipi + к'гРг-
2) Система находится в чистом состоянии тогда и только
тогда, когда ее статистический оператор имеет вид |
Доказательство. 1) Пусть
В рассматриваемой ситуации вероятность того, что состояние
системы будет |г|>,->, равна W\pi, а вероятность того, что оно бу-
будет \ф/У, равна тючЦ\- Таким образом, статистический оператор
имеет следующий вид:
I
2) Поскольку оператор р эрмитов, он обладает полной си-
системой собственных векторов |¦<?,¦>, поэтому его можно пред-
представить в виде
Е. EЛ5)
где Л,-/?г—1, так как trp=l. Если состояние чистое, то толь-
только одно из чисел р,- отлично от нуля; тогда р имеет вид

250
Гл. 5. Квантовая метафизика
Наоборот, пусть
Подставляя вместо р выражение E.15), получаем
E.16)
=U E-17)
здесь знак равенства на втором этапе достигается только тогда,
когда для некоторого i
так как в противном случае в произведении появляются поло-
положительные перекрестные члены. Если условие E.18) выпол-
выполнено, то |^i>=|i|)>, поэтому pi = р. Таким образом, либо
н р,=р,
E.19)
I P2 I ^ ) < 1 И р2 = Р.
либо
Однако
1=<Ц)|р|ф> = а»1<ф|р1|ф> + ш2<1|)|р2|Ф); E.20)
поскольку wx -f w2 = 1, отсюда следует заключить, что
AHPii1l') = (UlP2ial')=l и Pi = Рг = Р- Таким образом, стати-
статистический оператор p=|it>><if>| описывает чистое состояние. ¦
Из уравнения Шредингера и его эрмитова сопряжения по-
получим уравнение движения для статистического оператора
E.21)
, p].
Воспользовавшись решением C.2), C.3) уравнения Шредин-
Шредингера, получаем
'н«*()|Я«* E.22)
Сравнение вероятностных формулировок классической и
квантовой механик проведено в табл. 5.1.
Характерная особенность квантовой механики, не имеющая
аналога в классической механике, состоит в физическом влия-
влиянии процедуры измерения на состояние системы. В обеих меха-
механиках можно, конечно, учесть результат проведенного измере-
измерения путем соответствующего изменения метасостояния р, так
как вероятностный характер р означает, что мы имеем непол-
неполное знание о системе, а любое измерение по своей природе
улучшает это знание. Например, в классической механике точ-
точное измерение величин q и р увеличивает наше знание системы

§ 5.1. Вероятностные формулировки
251
Таблица 5.1. Вероятностные формулировки классической
и квантовой механик
Чистое состояние
Общее метасостояние
Условие того, что со-
состояние чистое
Уравнение движения
Наблюдаемая
Среднее значение
Классическая механика
Точка (q, p) фазового
Плотность вероятности
Р (<7- Р)
\pdqdp—\
р = б-функции
1-<*¦«•>
Функция A (q, р)
\ Ар dq dp
Квантовая механика
Вектор состояния | г|))
Положительный эрмитов
оператор р
trp = l
р = | Ф) (Ф | (ранг опера-
оператора р равен 1)
Эрмитов оператор А
tr (Ар)
до того максимального предела, когда оно может быть описано
б-функцией, а не размазанной плотностью р, которая имелась
до проведения измерения. Но здесь изменяется не состояние
системы, а состояние наших знаний о ней: экспериментальное
метасостояние системы изменяется, так как результат измере-
измерения можно рассматривать как дополнительный элемент в экс-
экспериментальном приготовлении системы. Вообще можно произ-
произвести измерение и не учесть его результата; такое измерение
не изменяет вероятности, и следовательно, не влияет на метасо-
метасостояние р.
В квантовой механике ситуация более сложная. Акт изме-
измерения оказывает физическое воздействие на систему, и метасо-
метасостояние изменяется даже в том случае, если результат измере-
измерения мы в дальнейшем не будем принимать во внимание. Изме-
Изменение статистического оператора в результате произведенного
над системой измерения определяется следующей теоремой.
Теорема 5.3. Если р— статистический оператор системы не-
непосредственно до проведения измерения некоторой наблюдае-
наблюдаемой А, то непосредственно после акта измерения статистиче-
статистический оператор системы будет равен
р'=5>арЛ» E.23)
а
где Ра — проекционный оператор на собственное подпростран-
подпространство наблюдаемой А, соответствующее собственному значению
а, суммирование ведется по всем собственным значениям на-
наблюдаемой А.

252 Гл. 5. Квантовая метафизика
Доказательство. Предположим сначала, что система нахо-
находилась в чистом состоянии |г|>> перед актом измерения, так что
р=|г|)><г|э|. После акта измерения, согласно постулатам II и
III (стр. 76), система перейдет в собственное состояние Pa\ty)> с
вероятностью Сф|Ра|ф>- Вектор состояния, получаемый после
нормировки вектора Pa|i|)>, имеет вид
g#f=T; E.24)
1фа)= /7-g#f=T;
V< Ф I Лх 1Ф >
следовательно, статистический оператор после измерения дает-
дается выражением
Р'=Е<Ф1^а1Ф>1*а><Фа1==ЕЛ11Ф><Ф|/)а, E.25)
а
так как оператор Ра эрмитов.
Рассмотрим теперь общий случай, когда р= Ер< 1'Ф<)( Фг I-
С вероятностью р,- статистический оператор после акта изме-
измерения дается выражением
Z^)(b\Pa, E.26)
а
поэтому полный статистический оператор равен
pEp^
Теорема 5.1 показывает, что распределения вероятностей
экспериментально измеряемых значений наблюдаемых одно-
однозначно определяются статистическим оператором р. Но вероят-
вероятности pi нахождения системы в определенных состояниях не
определяются однозначно оператором р, так как различные
распределения вероятностей по состояниям могут описываться
одним и тем же статистическим оператором. Например, пусть
пространство состояний я-мерно и |i|>i>, ..., |г|)„>— некоторая
полная ортонормированная система состояний в нем. Предпо-
Предположим, что мы знаем, что система находится в каждом из этих
состояний с одинаковой вероятностью; тогда статистический
оператор равен
|Jt»){'M = jl, E.27)
согласно B.68). В точности тот же статистический оператор
получается, если исходить из любой полной ортонормированной
системы состояний и считать, что они занимаются системой
равновероятно. Можно считать, что этот статистический опера-
оператор характеризует полное незнание нами состояния, в котором
находится система.

§ 5.1. Вероятностные формулировки 253
Данный статистический оператор можно использовать для
доказательства следующей теоремы.
Теорема 5.4. Пусть А и В— две наблюдаемые, причем на-
наблюдаемая А коммутирует с наблюдаемой eiHt/hBe~wt/tl. Пред-
Предположим, что мы произвели измерения наблюдаемой А в мо-
момент времени / = 0 и наблюдаемой В в момент времени t.
Тогда распределение вероятностей получения различных ре-
результатов при измерении наблюдаемой В не зависит от того,
было ли произведено предварительно измерение наблюдае-
наблюдаемой А.
Доказательство. Пусть р — начальный статистический опе-
оператор. Если не производится измерения наблюдаемой А, то
статистический оператор в момент времени / равен e-intih^eiHt/h
и вероятность того, что измерение наблюдаемой В дает ре-
результат р, равна
где Рр — проекционный оператор, соответствующий значению р.
Если же в момент времени ^ = 0 было произведено измерение
наблюдаемой А, то непосредственно после измерения статисти-
статистический оператор будет равен ^РарРа (суммирование ведется
по собственным значениям а наблюдаемой А); данный опера-
оператор эволюционирует в оператор e~ilitlh'YJPapPaeiHtlh, так что
теперь вероятность получения результата C при измерении на-
наблюдаемой В в момент времени t будет равна
D (f{ /^ "f г I > Р р~ tfitih P r\0 piiil\h I \r-
Оператор eiHt/hP$e-'Ht/h является проекционным оператором на
собственное пространство оператора eiHt/hBe~iHt/h, поэтому он
коммутирует с оператором А, так как собственные простран-
пространства оператора e'Ht/hBe~iHt/h инвариантны относительно комму-
коммутирующего с ним оператора А. Следовательно,
2 (р, /) = tr ГZ Ра2eiH"hP&e- iml»p\ = tr [Ppe- iHt'hpel
(так как Т,Ра2 = Zl^>a== !)¦ Получается в точности такая же
вероятность, как в случае, когда предварительного измере-
измерения наблюдаемой А в момент t = 0 не производилось. ¦
Комбинированные системы. Рассмотрим систему, составлен-
составленную из двух подсистем S и Т, с пространством состояний
9* ® &~. Статистический оператор р для такой комбинирован-
комбинированной системы будет тогда положительным эрмитовым операто-
оператором, действующим в пространстве 91'<?>Т'. Пусть {|<?,->}—не-

254 Гл. 5. Квантовая метафизика
которая полная ортонормированная система состояний в про-
пространстве &, a (j^i)}—подобная система в ?Г. Тогда след про-
произвольного оператора Q в пространстве 9'®Т дается выраже-
выражением
tr Q = Z< Ч>/1<*/1 G I*/>!*,>• E-28)
Пусть А — некоторая наблюдаемая системы Т. Если ее рас-
рассматривать как наблюдаемую для комбинированной системы,
то она будет представляться оператором \®А, действующим
в пространстве 9?®?Г. Следовательно, среднее значение этой
наблюдаемой равно
= Z < ч-/1 < ь \p\i>i)A\ ^ > --= Z < Ф/1 trs (р) • а | ч>, > =
/ /
)/4]. E.29)
Здесь trs(p)- - оператор, действующий в пространстве Т и оп-
определяемый следующим образом:
trs(p)l4>>=Z<*Jp(l^>K». E-30)
i
где бра-вектор для 9" рассматривается как отображение
<^|: Ф®Т-+-ЗГ очевидным образом (т. е. как отображение,
переводящее состояние Ix)!1!5) B состояние (9^|х) |Ф))- Рассмат-
Рассматриваемый оператор можно представить в виде
Оператор trs(p) называют парциальным следом статистиче-
статистического оператора р. Согласно E.29), он является статистическим
оператором для системы Т, рассматриваемой самостоятельно.
§ 5.2. Квантовая теория процесса измерения
Наиболее глубокое различие между квантовой механикой и
классической механикой состоит в учете особой роли процесса
измерения, которую он играет в квантовой механике. И дело
здесь не только в том, что процесс наблюдения физической си-
системы в квантовой механике неизбежно изменяет свойства си-
системы — последнее справедливо и в классической физике, так
как каждое наблюдение неизбежно включает в себя взаимо-
взаимодействие между прибором и наблюдаемой системой- —но также
п в том, что эти изменения состояния системы регламенти-
регламентируются фундаментальными постулатами теории. В результате

§ 5.2. Квантовая теория процесса измерения 255
мы имеем два различных закона, управляющих изменениями
состояния системы. Первый дается уравнением Шредингера
(постулат VI), которое характеризует поведение системы до
тех пор, пока она не возмущена каким-либо экспериментом по
измерению физической величины. Такое поведение полностью
детерминированно, так как зная начальное состояние системы,
получаем однозначное предсказание будущего ее состояния.
Второй закон — проективный постулат, который управляет си-
системой, когда она подвергается акту измерения. Он имеет прин-
принципиально вероятностную природу и описывает непредсказуе-
непредсказуемые изменения в системе, возникающие в ней в результате
проведенного измерения.
Такая ситуация весьма неудовлетворительна для фундамен-
фундаментальной физической теории. Прибор является физической си-
системой, а эксперимент — физическим процессом; поэтому и при-
прибор, и эксперимент сами должны подпадать под действие урав-
уравнения Шредингера. Как это разумное требование примирить
с проективным постулатом? Другими словами, что отличает
физический процесс, являющийся экспериментом по измерению
физической величины, который управляется проективным по-
постулатом, от физического процесса, который управляется урав-
уравнением Шредингера?
Ответ Бора на этот вопрос состоит в следующем. Кванто-
Квантовая механика применима только к микроскопическим систе-
системам, т. е. к намного более мелким объектам, чем приборы,
используемые для проведения экспериментов над микроскопи-
микроскопическими системами. Прибор должен быть макроскопическим,
т. е. достаточно большим, чтобы его свойства непосредственно
воспринимались экспериментатором так, как это имеет место
в классической физике. Таким образом, по Бору, любой при-
прибор всегда должен описываться классической механикой. Как
уравнение Шредингера, так и проективный постулат приме-
применимы только к микроскопическим квантовым системам, причем
последний вступает в игру только тогда, когда квантовая си-
система взаимодействует с классическим прибором.
Такая точка зрения разделяет окружающий нас физический
мир на два типа объектов — квантовые и классические, причем
каждый подчиняется своим собственным характерным законам.
Она, разумеется, открыта для возражений, подобных тем, ко-
которые были сделаны выше. Как решить, является ли данный
конкретный объект классическим или квантовым? Ведь клас-
классический прибор всегда можно описать как собрание кванто-
квантовых объектов; почему же квантовая механика не применима
к нему?
Рассмотрим теперь детально идею о том, что квантовая ме-
механика, будучи фундаментальной теорией, должна быть при-

256 Гл. 5. Квантовая метафизика
меннма ко всем физическим системам, и обсудим подробнее
квантовую механику процесса измерения, чтобы выяснить соот-
соотношение между уравнением Шредингера и проективным посту-
постулатом. Пусть 9> обозначает пространство состояний некото-
некоторого квантового объекта, над которым производится экспери-
эксперимент, и пусть s4- — пространство состояний экспериментального
прибора (также рассматриваемого как квантовая система). По-
Посмотрим, как изменяется состояние комбинированной системы,
составленной из объекта и прибора, в пространстве состояний
9>® S&. Пусть |it>i>, |г|з2> ^ 91 — два собственных состояния
микрообъекта, соответствующие двум различным результатам
рассматриваемого эксперимента; после наблюдения этих ре-
результатов прибор будет находиться в двух разных состояниях
| oti> и |а2> соответственно (которые описываются, скажем,
различными положениями стрелки прибора). Предположим,
что прибор первоначально находился в состоянии |ао>. Экспе-
Эксперимент состоит в создании условий, позволяющих объекту и
прибору взаимодействовать друг с другом таким образом, что
если состояние объекта до эксперимента было |i|>i>, то после
эксперимента объект все еще будет находиться в состоянии
|i|>i>, а прибор покажет соответствующий результат, т. е. бу-
будет находиться в состоянии |ai>. Подобным образом, если пер-
первоначально состояние объекта было |г|э2>, то состояние при-
прибора изменится и станет |<х2>. Таким образом, во время экспе-
эксперимента гамильтониан должен быть таким, чтобы выполнялись
условия
где т — время, затраченное на эксперимент, ()j и Ог — некоторые
фазы.
Предположим теперь, что до эксперимента микрообъект на-
находился в состоянии
Ho> = c,|i|51> + c2|i(J>; E.33)
тогда после эксперимента объект и прибор вместе перейдут в
следующее состояние:
= e'0-d | ih > | a, > + e'%2| а|>2 > | а2 >. E.34)
Постулат II, примененный к этому состоянию, утверждает, что
если эксперимент произведен над прибором, чтобы определить
показания его стрелки (например, путем фотографирования
стрелки), то результат будет cci с вероятностью |ci|2 и аг с
вероятностью | с212- Если результат будет есь то, согласно про-

§ 5.2. Квантовая теория процесса измерения 25/
ективному постулату, состояние комбинированной системы, со-
составленной из объекта и прибора, после того, как сняты пока-
показания прибора, будет |i|)i)|ai>, поэтому состояние микро-
микрообъекта будет |i|>i>.
Таким образом, применение уравнения Шредингера к ком-
комбинированной системе, составленной из объекта и прибора,сво-
прибора,сводится к применению проективного постулата к одному микро-
объекгу. Но это не разрешает трудности, связанной с проек-
проективным постулатом, так как, для того, чтобы интерпретировать
результат E.34), полученный при применении уравнения Шре-
Шредингера к комбинированной системе из объекта и прибора, мы
должны были все равно использовать проективный постулат,
правда теперь уже на уровне прибора. Конечно, последний
можно заменить уравнением Шредингера, примененным ко
всему тому, что использовалось для наблюдения прибора (на-
(например, к фотоаппарату, который фотографировал положение
стрелки), и тогда проективный постулат надо было бы приме-
применить к состоянию комбинированной системы, составленной из
фотоаппарата, прибора и микрообъекта. И так можно продол-
продолжать до бесконечности. Мы должны были бы включить в рас-
рассмотрение оборудование для проявления пленки и в конечном
счете глаз и мозг экспериментатора, который просматривал
пленку. Очевидно мы все равно никогда не избежим необхо-
необходимости использовать проективный постулат на некотором
этапе, хотя уравнение Шредингера и будет применяться на
всех предыдущих этапах. Мы все равно должны будем разде-
разделить мир на две области — квантовую и классическую с раз-
различными законами в разных областях. Возражение, выдвину-
выдвинутое против такого деления, частично устраняется приведенным
рассуждением, так как оно показывает, что нет необходимости
давать точное определение границе между квантовой механи-
механикой и классической механикой. Неважно, где провести эту
границу, конечный результат будет один и тот же.
Шредингеровский парадокс с кошкой. Одно из предложений
состоит в том, чтобы считать, что граница между квантовой и
классической областями проходит по границе человеческого
сознания, так что деление между квантовым и классическим
следует идентифицировать как деление между телом и разу-
разумом. С этой точки зрения полный квантовомеханический век-
вектор состояния должен описывать состояние квантового объекта,
прибора и мозга экспериментатора. Проективный постулат
тогда необходимо применить в тот момент, когда эксперимен-
экспериментатор узнает о конкретном состоянии своего мозга. Такая точ-
точка зрения приписывает специальные метасостояния человече-
человеческому мозгу и подкрепляется старой философской идеей, назы-

258 1л. 5. Квантовая метафизики
ваемой декартовым дуализмом, согласно которой еознапп" и
материя являются двумя отдельными объектами, причем созна-
сознание имеет особую связь с человеческим мозгом.
Щредингеровский парадокс с кошкой предназначен для ил-
иллюстрации противоречивости такой крайней точки зрения.
Пусть кошка закрыта в ящике вместе со следующим «адским
устройством»; один атом радиоактивного вещества с периодом
полураспада, равным 1 часу, т. е. с временем жизни (In 2) ч,
помещен рядом с гейгеровским счетчиком, который включен в
такую схему, что, когда в нем происходит разряд, запаянная
стеклянная ампула разбивается и из нее вытекает ядовитый
газ, убивающий кошку. Пусть |г|э>— состояние атома до его
распада, а |г|/> — состояние его после распада, так что со-
состояние )i|)> одного изолированного атома эволюционирует к
моменту времени t в состояние
е-*Ц>>+ Vl-e-2^!^')' E.35)
где у = 1/2 1п 2 ч. Под действием гамильтониана такого ад-
адского устройства к моменту времени t начальное состояние
|ф>| живая кошка) системы атома и кошки эволюционирует в со-
состояние
е~^*\-ф)\ живая кошка) + -\J\ — e~v'11[/) | мертвая кошка) E.36)
(состояние | мертвая кошка) описывает разрядившийся счетчик
Гейгера, разбитую ампулу и запах горького миндаля). Пока
мы не применим проективный постулат, мы не можем сказать,
жива или мертва кошка в момент времени /. Согласно сообра-
соображениям, изложенным в предыдущем абзаце, проективный по-
постулат не может быть применен до тех пор, пока эксперимен-
экспериментатор не провзаимодействует с системой; таким образом, кош-
кошка придет в определенное состояние только в тот момент, когда
будет открыт ящик. Даже если будет установлен факт смерти
кошки и наблюдатель заключит отсюда, что атом распался в
течение часа, рассматриваемая интерпретация квантовой меха-
механики настаивает на том, что состояние смерти кошки наступило
именно в момент открытия ящика.
Парадокс Шредингера с кошкой был существенно развит
Вигнером. Предположим, что прошел еще 1 час после откры-
открытия ящика и вы вошли в комнату посмотреть, что стало с кош-
кошкой. Вы ничем не отличаетесь от того наблюдателя, который
уже открывал ящик, спустя первый час. Вы будете считать, что
кошка находится в суперпозиционном состоянии типа E.36),
которое вы спроектируете на состояние жизни или смерти толь-
только в тот момент, когда информация о состоянии дел достигнет
вашего сознания. Однако, если вы заранее узнаете у первого

§ 5.2. Квантовая теория процесса измерения 259
наблюдателя, что он обнаружил, когда открыл ящик, вы мо-
можете считать, что проектирование произошло в более ранний
момент времени: кошка была уже тогда либо жива, либо
мертва, и вы теперь просто об этом узнали. Впрочем, можно
поступить иначе и считать первого наблюдателя частью физи-
физического мира, которую нужно описывать собственным векто-
вектором состояния, как любой другой объект; в таком случае и он,
и кошка, и атом будут пребывать в следующем суперпозицион-
суперпозиционном состоянии:
Y 1^I живая кошка) | счастливый наблюдатель) +
+ ifl V)! мертвая кошка) [ печальный наблюдатель). E.37)
Реальное состояние кошки теперь зависит от того, применяется
ли проективный постулат к состоянию вашего сознания или к
состоянию сознания любого другого лица. Но тогда почему же
не к кошачьему сознанию?
Очевидно вся эта дискуссия совершенно бесплодна. Появ-
Появляется искушение сделать заключение, что суперпозициониое
состояние |Ф>+|ЧГ> просто означает, что состояние есть либо
|Ф>, либо \W), и эксперимент просто состоит в обнаружении
того, какая из этих гипотез правильная. Но при таком понима-
понимании суперпозиции не может быть никаких интерференционных
эффектов, характерных для квантовой механики. Например, в
эксперименте с двумя щелями в качестве состояний |ф> и |ЧГ>
можно рассматривать волновые функции, описывающие про-
прохождение электрона через первую или через вторую щель.
Предположение, что |Ф>+|ЧГ> означает либо состояние |ф>,
либо состояние \W) («электрон прошел либо через щель А,
либо через щель В»), не приводит к объяснению интерферен-
интерференционной картины, получаемой при рассмотрении суперпозиции
Ф> + W}. Вообще, интерпретируя состояние |Ф>+|ЧГ> как
«либо Ф>, либо |Ч;>», мы теряем различие между состояниями
Ф> + eiQ\W) для разных фаз 9. Это различие отчетливо про-
проявляется, если рассмотреть статистические операторы в обеих
рассматриваемых ситуациях. Когда состояние описывается
вектором (l/V2 )(|Ф) + е'9| W)), статистический оператор имеет
вид
= y I ф><ф 1 + т1 Ч'Х'Т' I + Т (°1'' 11^><ф I + в"'9 |O><W |». E.38)

260 Гл 5. Квантовая метафизика
Когда состояние есть «либо |Ф>, либо j^F>» (с равной вероят-
вероятностью), оно описывается статистическим оператором
р' = 4-|Ф)(Ф1 + 71ЧгH1Ч. E.39)
Интерференционные эффекты определяются дополнительными
слагаемыми, входящими в E.38). Состояние E.38) представ-
представляет собой когерентную суперпозицию двух состояний, а со-
состояние E.39) — некогерентную суперпозицию в том же смысле,
что и на стр. 118.
Тем не менее очевидно, что различие между состояниями
>+|ЧО и «|Ф> или |ЧО» не проявляется в макроскопиче-
макроскопических системах типа только что рассмотренной. Интерферен-
Интерференционные явления не наблюдаются с кошками, и если состояние
мира является суперпозицией |-ф>| живая кошка) + |г|/>| мерт-
мертвая кошка), то, по крайней мере для всех практических целей,
мы должны приписать ему смысл «либо живая кошка, либо
мертвая». Посмотрим теперь, как все это можно подкрепить
рассуждениями ортодоксальной квантовой механики.
Свойства макроскопического прибора. Рассмотрим снова си-
ситуацию, описанную на стр. 256, когда прибор вначале находил-
находился в состоянии |осо>, а объект — в суперпозиционном состоя-
состоянии ИЛ)= X! С; |я()г), где | а|),-)— собственные состояния экспе-
эксперимента. Начальный статистический оператор дается выраже-
выражением
Ро = I Ф> I «о) («о I <Ф I = I *> <г|>1 ® I «о)(«о I- E.40)
Парциальный след этого оператора, совпадающий со статисти-
статистическим оператором системы, составленной из одного объекта,
имеет вид
trA (Ро) = S (Фп I Ро I Фп),
п
где \фп} — какая-то полная система состояний прибора. Таким
образом,
trA (Pa) = S ! Ч>> (Фп I «о> («о I Фп) (Ф I = I Ч>> <Ч>>, E.41)
где использовано соотношение 21 фп)(фп | = 1 и тот факт, что
состояние |<хо> нормировано. Мы получили в точности тот ста-
статистический оператор, который должны были приписать объ-
объекту, если бы он находился в состоянии |г|з>. После акта изме-
измерения возникает корреляция между состояниями прибора и со-
состояниями объекта, так что состояние комбинированной си-
системы, составленной из прибора и объекта, описывается векто-

§ 5.2. Квантовая теория процесса измерения 261
ром состояния
Е'в E.42)
а статистический оператор дается выражением
9 = \^)(W\=Zolc!ei^-el)\%) KXaylty). E.43)
Парциальный след этого оператора равен
, E-44)
(так как различные состояния |а,-> прибора ортогональны
друг другу); таким образом,
trA(p)=?lc,P|i|>,><i|><|. E.45)
Мы получили статистический оператор для системы, состоя-
состоящей из одного объекта, описывающий ситуацию, когда имеют-
имеются вероятности (с,-J пребывать объекту в состояниях |if><>.
Итак приходим к формулировке следующей теоремы.
Теорема 5.5 (об измерении). Если две системы S и А взаимо-
взаимодействуют таким образом, что каждому состоянию |^;> си-
системы 5 соответствует определенное состояние |сх;> системы
А, то статистический оператор tr.\(p) системы S воспроизводит
действие проективного постулата, применяемого к акту изме-
измерения, производимого над системой S, находившейся до изме-
измерения В СОСТОЯНИИ | 0|)) = Yj i cl I 'Ф»)- И
Отметим, что статистический оператор E.43) не позволяет
сделать заключение, что после измерения состояние системы
5 будет одним из состояний |г|);> с вероятностью |с,|2. Такое
заключение можно сделать только после применения проек-
проективного постулата к состоянию прибора. (В этой связи сле-
следует напомнить о сделанном на стр. 252 замечании о неопре-
неопределенности статистического оператора.) Метасостояние системы
5, находясь в котором она не имеет определенного состояния,
но является частью большой системы, которая находится в чи-
чистом состоянии, называется несобственным смешанным состоя-
состоянием.
Учтем теперь, что прибор является макроскопической си-
системой. Это означает, что каждая различимая конфигурация
прибора (например, положение его стрелки) не является от-
отдельным квантовым состоянием прибора, а соответствует неко-
некоторому широкому набору квантовых состояний (сказав, что
стрелка находится против определенной отметки шкалы, мы

262 Гл. 5. Квантовая метафизика
никоим образом ничего не утверждаем о состоянии движения
каждой отдельной молекулы стрелки). Таким образом, в вы-
вышеприведенном рассуждении начальное состояние прибора
| схо> следует заменить некоторым статистическим распределе-
распределением по микроскопическим квантовым состояниям |а0, s>; на-
начальный статистический оператор не дается выражением E.40),
а равен
Ро= Zftl^lao.^S.sK'tl- E.46)
Каждое состояние прибора |cxo,s> будет реагировать на каж-
каждое собственное состояние |i|v> объекта тем, что превратится
в некоторое другое состояние jet,-, s>, которое является одним
из квантовых состояний, макроскопическое описание которого
состоит в указании, что стрелка занимает положение /; точнее
имеем формулу
еШф (| Ч>,> | а0, s> |) = в'9'. * | ф,> | аи 5). E.47)
Ооратим внимание на появление фазового множителя, который
зависит от индекса s. Разности энергий квантовых состояний
|а0, s> с учетом времени % должны быть такими, чтобы фазы
0,-, s (mod 2я) были случайно распределены между 0 и 2я.
Из формул E.46) и E.47) следует, что при |'Ф)= 2q |о|>г)
статистический оператор после измерения будет даваться сле-
следующим выражением:
E.48)
s, i, j
Так как из E.48) получаем тот же результат E.45), то видим,
что статистический оператор E.48) воспроизводит действие
проективного постулата, примененного к данному объекту. Он
также практически воспроизводит действие проективного по-
постулата, примененного к одному прибору («практически» в том
смысле, что речь идет о «макроскопической» наблюдаемой).
Такая наблюдаемая не различает разные квантовые состояния
прибора, соответствующие одному и тому же макроскопиче-
макроскопическому описанию, т. е. матричные элементы этой наблюдаемой
между состояниями | i|)<> | a,-, s> и 11|)/> | а/, г> не зависят от г и s.
Среднее значение такой макроскопической наблюдаемой А
равно
tr (рЛ) = Е psctdfi' ^ *-9/. *) <ад s | (^! А | Ь) I а/, *) ==
¦5, I, !
= Z Cilfltt S pj ^ *~в<> °\ E.49)
г, / s

§ 5.2. Квантовая теория процесса измерения 263
Так как фазы 6,-, 4- распределены случайным образом, суммы
по s обращаются в нуль при i =ф /; следовательно,
tr (РЛ) = ? | с, |2 аи = tr (р'Л), E.50)
i
где
р'=Ек,|2л1Ф»)КЖ»К^1- E-51)
!, S
Получаем статистический оператор, который воспроизводит
действие проективного постулата, применного к прибору. Если
стрелка прибора наблюдается в положении i, состояние при-
прибора при некотором s будет |а,-, s), причем вероятность того,
что оно будет именно состоянием |а«, s>, равна вероятности
того, что до акта измерения было состояние |а0, s>. Таким об-
образом, приходим к формулировке следующей теоремы.
Теорема 5.6. Пусть квантовая система взаимодействует с
макроскопическим прибором таким образом, что возникает
хаотическое распределение фаз состояний прибора. Пусть р—
статистический оператор прибора после измерения, рассчитан-
рассчитанный с использованием уравнения Шредингера, а р' — статисти-
статистический оператор, полученный в результате применения проек-
проективного постулата к оператору р. Тогда невозможно произ-
произвести такой эксперимент с макроскопическим прибором, кото-
который зарегистрировал бы различие между р и р'. 1
Для широкого класса приборов доказано, что хаотичность
в распределении фаз, о которой идет речь в теореме 5.6, дей-
действительно имеет место, если при проведении очередного изме-
измерения прибор эволюционирует необратимым образом.
Это так называемая теорема Данери — Лойнжера — Прос-
пери [26].
Непрерывное наблюдение. До сих пор в этом параграфе мы
концентрировали все свое внимание на отдельном акте изме-
измерения или на таком процессе измерения, который происходит в
течение малого промежутка времени по сравнению с характер-
характерным временем эволюции квантовой системы. Если эта времен-
временная эволюция изучается с помощью эксперимента, производи-
производимого в течение длительного временного интервала, в течение
которого состояние системы заметным образом изменяется, как
например, при определении скорости распада нестабильной ча-
частицы или системы, то следует использовать последнюю часть
постулата III (стр. 160). При этом возникает еще один вопрос:
о совместимости процедуры измерения с уравнением Шре-
Шредингера.
Процесс непрерывного наблюдения системы в течение опре-
определенного интервала времени нельзя свести к серии последо-

264 Гл. 5. Квантовая метафизика
вательных кратковременных измерений, как показывает сле-
следующая теорема.
Теорема 5.7 (о непрерывно наблюдаемом котелке, который
никак не закипает). Пусть А — наблюдаемая квантовой си-
системы, имеющая собственные значения 0 и 1. Предположим,
что измерения наблюдаемой А производятся в моменты вре-
времени 0 = to, t\, . . ., tit = Т на временном интервале [О, Т] и
проективный постулат применяется после каждого такого из-
измерения. Пусть рп — вероятность того, что измерение в момент
tn дает результат 0. Тогда, если jV-^oo, причем так, что
max(pn+l — рп)-+ 0, то
Pn-Po-^0 E.52)
(так что, если система находилась в собственном состоянии
наблюдаемой А в момент времени t = 0, она будет иметь то
же значение наблюдаемой Айв момент времени t = Т).
Доказательство. Пусть Ро обозначает проекционный опера-
оператор на собственное пространство наблюдаемой А, соответ-
соответствующее собственному значению 0, и пусть Pi = I — Ро обо-
обозначает проекционный оператор на собственное пространство
с собственным значением 1. Пусть рп — статистический опера-
оператор, характеризующий состояние системы непосредственно пе-
перед измерением в момент времени tn. Тогда, согласно теореме
5.3, статистический оператор после измерения дается выраже-
выражением
o + pfinPi, E.53)
так что статистический оператор, характеризующий состояние
системы непосредственно перед измерением, производимым в
момент времени tn+i, будет равен
Pn+l=e~irhn9'neiH\ E.54)
где Н — гамильтониан системы, a xn = tn+\ — tn. Заметим, что
если оператор р„ равен сумме k слагаемых вида | "ф><*ф), то
оператор pn+i будет суммой не более чем 2k таких слагаемых;
поскольку ро = |г|зо><фо|, отсюда следует, что оператор р„ яв-
является суммой конечного числа указанных слагаемых. Согласно
E.54), имеем
Ря+1 = р;-«п[^.Р;] + ОЮ- E-55)
Так как Р02 = Р0Р, = 0) то
Рфп+ Л = РоРпРо - «„ [Р0НР0, РоРпРо] + О (т„2). E.56)

§ 5.2. Квантовая теория процесса измерения 265
Следовательно, вероятность того, что измерение в момент вре-
времени tn даст результат 0, равна
Pn+i = tr (Pn+iPo) =
= tr (Po9nPo) - ixn tr [PQHP0, PoPnP0] + О (Trt2), E.57)
причем второе равенство справедливо потому, что Р* = Р0
Учтем теперь, что оператор РфпРо равен сумме конечного чис-
числа слагаемых вида |'ФХ'Ф> и для любого оператора X справед-
справедливо соотношение
tr (JT14|»><4> |) = <Ч» |-Ж" I -Ф> = tr A -ф><4> IJT). E.58)
Следовательно, след коммутатора в E.57) обращается в нуль,
поэтому
Рп+1 = Рп + О(хЛ E.59)
Обозначим максимальное значение хп через х (т = max тл);
тогда существует такая постоянная k, что
E.60)
поэтому
ЛГ-1 ЛГ-1
Pn — Ро = ? (Pn+i—Pn)<*kT Z =ктТ-+0
rt=0 n=0
при т->-0. Ш
При непрерывном наблюдении систему подвергают специ-
специально придуманным повторным взаимодействиям, которые вы-
выясняют, не изменилась ли эта система; например, нестабиль-
нестабильная частица, пролетающая через пузырьковую камеру, подвер-
подвергается таким взаимодействиям при каждом столкновении с мо-
молекулами жидкости в камере. При таких экспериментальных
условиях теорема 5.7 утверждает, что распад нестабильной
частицы будет замедлен практически непрерывным проектиро-
проектированием ее вектора состояния. Но этот эффект слишком мал,
чтобы его можно было экспериментально измерить.
Аронов и Варди [1] показали, что для любой данной по-
последовательности состояний можно построить непрерывную
последовательность измерений, заставляющих систему следо-
следовать через эту последовательность состояний. Интересная осо-
особенность такого процесса состоит в том, что если указанная
последовательность является последовательностью состояний
координаты (т. е. речь идет о траектории частицы в простран-
пространстве), то конечное состояние приобретает фазовый множитель
eis B согласии с постулатом Фештмана, где 5 — значение дей-
действия для этой траектории.

266 Гл. 5. Квантовая метафизика
В ситуациях, когда система непрерывно связана с прибо-
прибором, который фиксирует ее распад, можно использовать по-
последнюю часть постулата III (стр. 160). Этот постулат утверж-
утверждает, что если pi,— проекционные операторы на собственные
пространства рассматриваемого эксперимента, то статистиче-
статистический оператор в момент времени t дается формулой
Р @ = Е Pte-{Hti* p @) е'«/*Р,. E.61)
Если все это применить к комбинированной системе, состав-
составленной из прибора и объекта, а не к одному объекту, получит-
получится примерно такой же эффект (т. е. можно доказать прибли-
приближенный вариант теоремы 5.5 об измерении, см. [91], и в слу-
случае непрерывного измерения).
Сила утверждения теоремы 5.7 о непрерывно наблюдаемом
котелке состоит в том, что часть постулата III, относящуюся к
непрерывному наблюдению (см. E.61)), нельзя вывести из ее
первой части (проективного постулата, стр. 76), относящейся
к мгновенному акту измерения. Казалось бы теорема 5.5 об
измерении показывает, что формулу E.61) можно взять в ка-
качестве фундаментального исходного положения и из него вы-
выводить проективный постулат, так как прибор можно рассмат-
рассматривать как непрерывно наблюдаемый объект. Однако формула
E.61) имеет ту неприятную особенность, что определяемый ею
статистический оператор р(/) не удовлетворяет никакому диф-
дифференциальному уравнению; поэтому если в формулу E.61)
подставить p(s) вместо р@),то она не даст результат p(s-f^).
Следовательно, эволюция статистического оператора в течение
времени t после завершения его эволюции в течение времени s
не совпадает с эволюцией в течение полного времени s -f- /.
Другой аспект данной особенности состоит в том, что эволю-
эволюция системы начиная с момента времени t определяется не
только ее состоянием в момент t, но также и всеми теми со-
состояниями, через которые система проходила до момента вре-
времени t.
Таким образом, постулат III приводит к трудностям. В § 5.5
мы обсудим предложения, которые позволяют его вообще от-
отбросить.
§ 5.3. Скрытые переменные и локальные теории
Можно встать на точку зрения, что обсуждавшиеся в преды-
предыдущем параграфе трудности связаны исключительно с тем, что
квантовомеханическии вектор состояния не дает нам всех све-
сведений о состоянии системы: что существуют другие перемен-
переменные, скрытые от нас в настоящее время, называемые скрытыми

jji' 5.И. Скрытые неременные и локальные теории 267
переменными, значения которых полностью характеризуют со-
состояние системы и определяют ее будущее поведение более
полно, чем это позволяет сделать квантовая механика. Серьез-
Серьезный аргумент в пользу существования таких дополнительных
скрытых переменных выдвинули Эйнштейн, Подольский и Ро-
Розен в 1935 г.
Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена. Рассмотрим
электрон и позитрон, рожденные одновременно (см. рис. 1.3) в
состоянии с полным спином 0. Согласно теореме 4.6, это спино-
спиновое состояние представляет собой антисимметричную комбина-
комбинацию спиновых состояний двух частиц со спином 1/2, т. е. будет
иметь вид
^ E.62)
где | f> и j |> — одночастичные собственные состояния компонен-
компоненты спина sz с собственными значениями +1/2 и —1/2 соответст-
соответственно, причем в двухчастичном спиновом состоянии E.62) спи-
спиновое состояние электрона записано первым множителем.
Так как состояние с нулевым угловым моментом инвариант-
инвариантно относительно вращений, оно должно иметь вид E.62) неза-
независимо от того, какая ось использована для определения базиса
одночастичных спиновых состояний. Таким образом, можно так-
также записать
|Ч0=^=-(|-*>1«-)-|«->|-*», E-63)
где |—»-> и |-<-> — одночастичные собственные состояния компо-
компоненты спина sx.
Предположим теперь, что электрон и позитрон движутся в
противоположных направлениях, пока не удалятся друг от дру-
друга на большое расстояние, а затем производится измерение
г-компоненты спина электрона. Таким образом, измеряется на-
наблюдаемая sz(e~) полной системы; после такого измерения со-
состояние системы спроектируется на некоторое собственное состоя-
состояние данной наблюдаемой: если измерение даст значение +1/2,
то после акта измерения система перейдет в состояние |f>||>.
Это означает, что позитрон будет находиться в состоянии ||> и
измерение z-компоненты его спина sz(e+) с полной определен-
определенностью даст значение —1/2. Заметим, что эта информация о по-
позитроне получена посредством эксперимента, произведенного над
электроном, находящимся на большом расстоянии от позитрона,
без какой-либо возможности физически влиять на него. Эйн-
Эйнштейн, Подольский и Розен заключили поэтому, что обнаружен-
обнаруженный в описываемом эксперименте результат в отношении пози-

268 Гл. 5. Квантовая метафизика
трона (а именно что s2(e+) =—1/2) должен быть реальным
объективным фактом, который имел место и до проведения экс-
эксперимента с электроном.
Предположим теперь, что в эксперименте над электроном из-
измеряли не 2-компонеиту, а х-компоненту его спина. Тогда из
E.63) следует, что состояние системы будет спроектировано либо
на состояние |->->|-«->, либо на состояние |-<->|->->, так что пози-
позитрон будет иметь теперь определенное значение х-компоненты
sx(e+). Такое состояние позитрона также должно было сущест-
существовать до проведения последнего эксперимента. Следовательно,
до эксперимента позитрон имел определенные значения и sz(e+),
и sx(e^). Но это несовместные наблюдаемые, и они не имеют
одновременных собственных состояний: нет такого квантовоме-
ханического состояния, в котором они обе могли бы иметь опре-
определенные значения. Эйнштейн, Подольский и Розен сделали от-
отсюда заключение, что квантовомеханическое описание неполное
и имеются «элементы реальности», которые квантовая механика
не учитывает.
Прежде чем приступить к описанию попыток превращения
квантовой механики в более полную теорию, как того требует
приведенный аргумент, рассмотрим более подробно, как ситуа-
ситуацию Эйнштейна, Подольского, Розена (ЭПР) объясняет орто-
ортодоксальная квантовая механика. После эксперимента, проведен-
проведенного над электроном, вся система действительно перешла в соб-
собственное состояние |f>||>, если измерялась наблюдаемая sz(e~)
и было получено ее значение +1/2, или в собственное состояние
I"*")!-*-), если измерялась наблюдаемая sx(e-) и было получено
ее значение —j—1/2. Это означает, что после эксперимента пози-
позитрон находится в определенном состоянии, либо ||>, либо |<->
соответственно, и это состояние отлично от того, в котором пози-
позитрон находился до эксперимента. Но это не означает, что состоя-
состояние позитрона было изменено экспериментом, проведенным над
электроном, так как позитрон вообще не имел какого-либо оп-
определенного состояния до проведения эксперимента. Если все же
настаивать на том, что позитрон должен как-то описываться от-
отдельно, то следует обратиться к его стастистическому опера-
оператору. Согласно E.62) и E.63), этот оператор (до эксперимента)
дается выражением
pe+ = tre+|40<44 = 72(l t>(t l + l i)(i W= E.64)
= 1/2A-*><-Ч + 1«-Х«Ч). E-65)
т. е. равен единичному оператору, умноженному на 1/2, в дву-
двумерном спиновом пространстве позитрона. Рассмотрим теперь
статистический оператор позитрона непосредственно после про-
проведения эксперимента, но до того, как информация о его резуль-

§ 5.3. Скрытые переменные и локальные теории 269
тате дойдет до позитрона. Если в эксперименте с электроном из-
измерялась компонента sz, то состояние позитрона было бы либо
|f>, либо \\} с равной вероятностью, и статистический опера-
оператор имел бы вид E.64). Если же в эксперименте с электроном
измерялась компонента sx, то состояние позитрона было бы либо
|—>->, либо |<-> с равной вероятностью, и статистический опе-
оператор имел бы вид E.65), т. е. в точности тот же, что в преды-
предыдущем случае и до проведения эксперимента с электроном. Хотя
эти три ситуации (до эксперимента, после эксперимента по из-
измерению sz и после эксперимента по измерению sx) по-разному
описываются с использованием состояний позитрона, но они все
соответствуют одному и тому же статистическому оператору, и
между ними нет никакого экспериментально наблюдаемого раз-
различия. Таким образом, нет никакого экспериментально обнару-
обнаруживаемого действия на расстоянии между электроном и удален-
удаленным позитроном, т. е. эксперимент ЭПР нельзя использовать для
передачи информации со скоростью больше скорости света.
Первоначально парадокс ЭПР формулировался его авторами
не для спиновых состояний, а для волновых функций. Пусть две
простые частицы описываются волновой функцией
¦ф (г, г2) = 6 (л:, — х2) ф1 (уь г) ф2 {у2, z2), E.66)
где ф\ и ф2— хорошо разделенные волновые пакеты. Зависи-
Зависимость от Х\ можно представить в виде суперпозиции собственных
функций б(xi — а) оператора х,\\
оо
б (Х[ — х2) = ^6 (хх — а) 6 (х2 — a) da. E.67)
— оо
В таком случае, если была измерена координата х\ и было об-
обнаружено, что она имеет значение а, то из проективного посту-
постулата следует, что волновая функция двухчастичной системы пре-
превратилась в функцию 6(лг1 — а)б(х2—а)фхф2, т. е. координата
х2 с определенностью тоже имеет значение а. С другой стороны,
мы можем также представить Ь(х\ — х2) в виде суперпозиции
собственных функций eipx'lh оператора р{:
-**dk. E.68)
Тогда получаем, что если измеряется импульс р\ и обнару-
обнаруживается, что его значение %k, то волновая функция гр равна
eikx,e-ikx^^2 и импульс р2 с полной определенностью имеет зна-
значение —%k. Такие же рассуждения, как для спиновых состояний,
приводят к заключению, что частица 2 имеет определенные ко-

270 Гл. 5. Квантовая метафизики
ординату и импульс, что противоречит принципу неопределен-
неопределенности.
Рассмотрим теперь, как можно было бы усовершенствовать
квантовую механику, чтобы превратить ее в более полную тео-
теорию в смысле Эйнштейна, Подольского и Розена. Какими дол-
должны быть скрытые переменные? Наиболее очевидной формой та-
такой полной теории, возможно, является теория, описывающая
квантовые частицы как состоящие из еще более мелких состав-
пых частей, координаты и скорости которых являются скрытыми
переменными. Поведение квантовой частицы может тогда опре-
определяться точной конфигурацией этих составных частей. В этом
случае вероятностная природа современных квантовых законов
была бы обусловлена недостаточным знанием этой конфигура-
конфигурации. Однако, хотя такие составные част л квантовых частиц дей-
действительно были обнаружены (кварки), пег никаких эксперимен-
экспериментальных данных, что они ведут себя иначе, чем исходные кван-
квантовые частицы.
Характерные особенности квантовой механики (в частности,
интерференционные эффекты) затрудняют построение теории
скрытых переменных в описанном выше смысле. Долгое время
думали даже, что доказана теорема (фон Неймана), что ника-
никакая теория такого типа не может воспроизвести все следствия
квантовой механики. Но это доказательство оказалось ошибоч-
ошибочным, как показывает следующий контрпример.
Теория волны-пилота де Бройля — Бома. Рассмотрим отдель-
отдельную простую частицу, движущуюся в потенциале К (г). Предпо-
Предположим, что частица описывается в момент времени I не только
волновой функцией т|з(г, t), но также некоторым вектором q(t),
и волновая функция удовлетворяет обычному уравнению Шре-
дингера
а вектор q удовлетворяет уравнению
dt ~ p(q, t) • l
где j и p — плотность тока вероятности и плотность самой ве-
вероятности, рассмотренные в § 3.1:
E.71)
Предположим теперь, что в момент времени t = 0 имеем
большое число таких частиц, каждая из которых описывается од-
одной и той же волновой функцией \\i{r, 0), но своим вектором q.

§ 5.3. Скрытые переменные и локальные теории 271
Пусть доля частиц, для которых значение этого вектора лежит
в объеме dV, содержащем точку q, равна o(q, 0)dV; пусть эта
доля в момент времени t равна o(q, t)dV. Тогда, если считать q
координатой частицы, можно рассматривать весь коллектив ча-
частиц как жидкость с плотностью а и полем скоростей u = j/p
согласно E.70). Последние величины должны удовлетворять
уравнению неразрывности
т. е.
.2L +у. („„) = (), E.72)
Уравнение неразрывности имеет единственное решение о (г, /),
если заданы а (г, 0), j(r, t) и p(r, t). Этому уравнению удовле-
удовлетворяет также решение 0 = р, так как при этом уравнение E.73)
превращается в уравнение неразрывности C.42), которое, как
было показано, язляется следствием уравнения Шредингера
E.69). Следовательно, если распределение значений q по части-
частицам описывается в момент t = 0 функцией р, то оно будет ха-
характеризоваться этой функцией и во все последующие моменты
времени.
Таким образом, мы можем предположить, что каждая части-
частица, волновая функция которой удовлетворяет уравнению Шре-
Шредингера E.69), имеет определенную координату q в простран-
пространстве и любое паше экспериментальное устройство, создающее
частицы с волновой функцией \|:> производит частицы с опре-
определенным распределением их координат; доля этих частиц
|i|)(q) PrfK находится в объеме dV около точки q. Это справед-
справедливо, если экспериментальное устройство, создающее частицы
с полножж функцией ф, с вероятностью ') |ty(q) \2dV производит
частицы в объеме dV. Так как величины if> и q эволюционируют
во времени, согласно детерминированным уравнениям E.69),
E.70), такое распределение сохранится во все моменты времени,
если оно имелось в какой-то начальный момент.
Если такую теорию рассматривать серьезно как теорию эле-
элементарных частиц, то следует обязательно показать, как в ней
реализуется возможность появления коллективов частиц, описы-
описываемых одной и той же волновой функцией г|з, но имеющих раз-
разные распределения в пространстве, отличные от распределения
|г|)|2. Никаких экспериментальных указаний на такую возмож-
возможность не существует. Важность рассматриваемой теории, одна-
') Все рассуждения можно провести так же успешно, оперируя с ве-
вероятностями, я пе с долями пясти!'. Мы предпочитаем говорит!, о долях
частиц для удобства тех читателей, которые еше не вполне осг.ошшп-
с теорией вероятностей.

272 Гл. 5. Квантовая метафизика
ко, состоит вовсе не в том, что она может действительно рассма-
рассматриваться как серьезный кандидат на детерминированную тео-
теорию микрочастиц, а в том, что самим своим существованием
она демонстрирует, что действительно можно создать теорию со
скрытыми переменными, полностью совместную с квантовой ме-
механикой.
Обсуждаемую теорию можно обобщить на дискретные кван-
квантовые числа, подобные спину, по существу связывая их с про-
пространственными переменными для приборов, которые произво-
производят их измерение [10]. Можно также такую теорию обобщить
на системы из нескольких частиц, но при этом возникает одна
очевидная трудность. Рассмотрим, например, систему двух ча-
частиц. Переменными будут qi и q2, а двухчастичная волновая
функция имеет вид i|)(ri, г2). В качестве уравнений движения сле-
следует рассмотреть двухчастичное уравнение Шредингера и два
уравнения
dt ~~f' dt
где
Здесь ji, а следовательно, dqi/dt может быть функцией q2: дви-
движение первой частицы зависит от положения второй частицы.
Таким образом, имеется мгновенное действие на расстоянии ме-
между двумя частицами, и оно должно наблюдаться даже в том
случае, когда вообще не будет никакого потенциала V(ru r2)
сил взаимодействия между частицами. Это является отражением
корреляций между частицами, возникающих в формализме кван-
квантовой механики, оперирующем с волновыми функциями. В част-
частности, волновая функция ЭПР E.66) демонстрирует такого рода
корреляции между отдельными частицами.
Покажем теперь, что мгновенное действие на расстоянии не-
неизбежно для всякой теории со скрытыми переменными, которая
приводит к тем же следствиям, что и квантовая механика.
Неравенство Белла. Рассмотрим ситуацию, в которой экспе-
эксперименты проводятся над двумя разделенными в пространстве
частицами, и выведем следствия из допущения, что результаты
эксперимента, проведенного над одной из частиц, определяются
только самим этим экспериментом и не зависят от результатов
эксперимента, который может проводиться над другой частицей.
В этом состоит предположение о локальности теории. Ниже бу-
будет показано, что требование локальности накладывает такие ог-
ограничения на корреляции между экспериментами, производи-
производимыми над разными частицами, которые противоречат предсказа-
предсказаниям квантовой механики

§ 5.3. Скрытые переменные и локальные теории 273
В принципе между локальностью и детерминизмом связи нет.
Свойством локальности может обладать теория, которая делает
только вероятностные высказывания в отношении результатов
экспериментов. Ее можно развить следующим образом. Пред-
Предположим, что вероятности определяются некоторым числом пере-
переменных, совокупность которых обозначим символом X (в случае
двух разделенных в пространстве частиц эти переменные могут
состоять из переменных, описывающих индивидуально обе ча-
частицы, и переменных, описывающих общие устройства, оказываю-
оказывающие одновременное действие на обе частицы). Тогда для каждого
эксперимента Е можно указать вероятность рЕ(а\Х) получения
результата а, когда переменные имеют значения X. Теория бу-
будет локальной, если эксперименты Е и F, которые разделены в
пространстве, независимы в смысле теории вероятностей. Со-
Согласно РЗ (стр. 64), отсюда заключаем, что
Ре® р (а© р | X) = рЕ (а | X) рР (Р | X). E.75)
Любая локальная теория, которая воспроизводит все пред-
предсказания квантовой механики в отношении эксперимента ЭПР
для разделенных двух частиц со спином 1/2, будет эквивалентна
детерминированной теории. Пусть в эксперименте Е измеряется
компонента спина электрона в определенном направлении, а в
эксперименте F измеряется компонента спина удаленного на
большое расстояние позитрона в том же направлении. Обозна-
Обозначим стрелками f и \ два возможных результата измерений. То-
Тогда, поскольку полный спин равен нулю, нам известно, что экс-
эксперименты Е и F всегда будут давать противоположные резуль-
результаты; согласно теории вероятностей,
®1) = 0- E-76)
Пусть р(Я) —плотность вероятностей, характеризующая вероят-
вероятность того, что переменные имеют значения X; тогда полная ве-
вероятность E.76) равна
в(Л !*)Pf(t \X)p(k)dX. E.77)
Так как полная вероятность равна нулю, подынтегральное вы-
выражение, будучи положительным, должно всюду обращаться в
нуль. Следовательно,
либо р (М = 0, либо /)B(f | Я.) = 0» либо pF(f \X) — 0. E.78)
Аналогично заключаем, что
либо р(А,) = О, либо рЕ{\ |Я) = 0, либо рР{\\ X) = 0. E.79)

274 Гл. 5. Квантовая метафизика
Поскольку эксперимент Е имеет только два результата \ и f,
имеем эквивалентные утверждения
m = i. E-80)
Из E.78) — E.80) следует, что если р(Я) Ф0, то все четыре ве-
вероятности должны быть равны либо 0, либо 1. Следовательно,
для всех значений X, которые возможны в действительности, ре-
результаты экспериментов полностью определяются значением X.
Таким o6pa3Oivf, если считать, что на распределение вероят-
вероятностей скрытых переменных не оказывает влияние то, какой
эксперимент производится над частицами, то мы придем к вы-
выводу, что должны рассматриваться только детерминированные
теории.
Предположим, что каждая из двух удаленных друг от друга
частиц может быть подвергнута одному из трех экспериментов
А, В, С, каждый из которых может дать только два результата
(скажем «да» или «нет»). Тогда в детерминированной локаль-
локальной теории результат эксперимента А над частицей 1 опреде-
определяется свойством системы, которое обозначим ец\ это перемен-
переменная, которая может принимать значения + и —. Имеем также
аналогичные переменные Ъ\, с\, а?. Ь2, с2. Предположим теперь,
что эксперимент А всегда дает противоположные значения для
двух частиц; тогда а\=—а2. Аналогично будем считать, что
эксперименты В и С тоже дают противоположные результаты
для обеих частиц, т. е. Ь\ = —&2 и С\ = —с2.
Рассмотрим теперь частицы, которые приготовляются с фик-
фиксированной вероятностью наборов значений а, Ь п г. Пусть
Р(а = 1,6 = 1) обозначает вероятность того, что частица имеет
указанные значения a w Ь. Тогда
Р(Ь=\, с=—1) = Р(а=1, 6=1,с = —1) + Р(«=—1,* = 1,
с = —1)<Р(а=1, Ь=1) + Р(а=—1, с = —1). E.81)
Следовательно, когда пары частиц приготовляются с противо-
противоположными значениями а, Ь и с, имеем
Р (&, = 1, с, = 1)"< Р (а, = 1, -ft.. = —1) + Р fa, = -1, с, = 1).
E.82)
Каждое слагаемое в правой части этого неравенства дает ве-
вероятность результата эксперимента, проведенного над различ-
различными частицами; поэтому неравенство можно проверить даже
в том случае, когда эксперименты А, В, С не могут быть прове-
проведены одновременно над одной частицей.
Неравенству E.8?) не удовлетворяют вероятности, рассчитан-
рассчитанные согласно правилам квантовой механики, в следующем слу-
случае. Предположим, что две частицы со спином 1/2 приготовляют-

§ !).,'!. Скрытые переменные и локальные теории 275
сн в состоянии с полным спином, равным 0, как рассмотренные
в начале этого параграфа электрон и позитрон; тогда мы знаем,
что измерение компоненты спина в любом данном направлении
даст противоположные результаты для обеих частиц. Пусть А,
В, С обозначают эксперименты по измерению компонент спина
вдоль трех осей, лежащих в одной плоскости, причем пусть угол
между осями А и В равен 6, а угол между осями В и С равен ф.
Вычислим вероятность р(Ь[ = 1, с2 = 1), входящую в левую
часть неравенства E.82); ее следует интерпретировать как ве-
вероятность того, что оба измерения компонент спикои частиц 1 и
2 вдоль осей, угол между которыми равен </>, дадут один и тот
же результат +1/2. Возьмем в качестве осп для частицы 1 ось г;
тогда если при измерении компоненты спина частицы 1 вдоль
указанной оси получим значение 1/2, то после измерения ча-
частица 1 перейдет в собственное состояние |f>, а частица 2 — в
собственное состояние ||>. Собственные состояния измерения,
произведенного над частицей 2, получаются поворотом состояний
| f > и | j> на угол ф (скажем вокруг осих); таким образом, соб-
собственное состояние, соответствующее собственному значению
+ 1/2, имеет вид
I + (ф)) = е~1ф1'| f > = [cos (%ф) + 2iJx sin ОШ I f ) =
72#|t>-Wsin(V2*m>, E-83)
где использованы D.46) и D.38). Следовательно, искомая ве-
вероятность равна
/>(*, = 1, c2=l) = 1/2l(+WII>l2 = 1/2sin2A/2^) E.84)
(так как вероятность результата +1/2 для частицы 1 равна
1/2). Аналогично можно вычислить входящие в E.82) вероят-
вероятности
Р (а, = 1, Ь2 = -1) = >/2 cos2 C/29)
Таким образом, неравенство E.82) сводится к неравенству
sin2 (>/2ф) < cos2 G29) + cos2 [72 (9 + ф)],
или к неравенству
cos 9 + cos <? +cos (9+ <?)>— 1, E.85)
которые не выполняются при 9 = ф = Зя/4. В результате при-
приходим к следующей теореме.
Теорема 5.8 (Белла). Пусть две удаленные одна от другой
частицы могут быть подвержены одному из трех двузначных
экспериментов, и один и тот же эксперимент, производимый над
обеими частицами, всегда дает противоположные результаты.
Если частицы описываются локальной теорией и тип экспери-

2?6
Гл. 5. Квантовая метафизика
ментов, которые мы собираемся произвести над ними, не влияет
на вероятности обнаружения тех или иных свойств, то вероят-
вероятности результатов экспериментов удовлетворяют неравенству
E.82).
Это неравенство не выполняется в квантовой механике для
системы двух частиц со спином 1/2, имеющих полный спин, рав-
равный 0. В
Неравенство Белла E.82) подвергалось проверке в ряде экс-
экспериментов; все они, кроме одного, показали (при одном несу-
несущественном дополнительном допущении), что это неравенство не
Источник I
СличайO6//z переключатель
или
.:и!.яризяи,ион!1ыи
прибор
прибор
Рис. 5.1. Эксперимент Аспекта.
выполняется (см. работу [21]). Квантовая механика предска-
предсказывает более сильные корреляции между частицами, чем ло-
локальные теории; если бы неравенство Белла подтвердилось в
эксперименте, то не могли бы существовать квантовые корреля-
корреляции, так что экспериментальное наблюдение нарушений неравен-
неравенства E.82) более важно, чем ненаблюдение их.
Эксперименты проводились с электрон-позитронными парами
(как описано в этом параграфе), с протонами и с поляризован-
поляризованными фотонами (см. задачу 9). Условие, что состояние частиц
не зависит от измерений, которые будут проводить над ними,
гарантировалось в экспериментах над фотонами [5], в которых
фотон мог попасть либо в прибор А, либо в прибор В; фотоны
влияют друг на друга, когда они находятся в полете. Это иллю-
иллюстрирует принципиальная схема установки, показанная на
рис. 5.1.
§ 5.4. Альтернативные формулировки квантовой механики
Математический формализм квантовой механики оперирует с
большим ассортиментом объектов — векторами состояний, вну-
внутренними произведениями, эрмитовыми и унитарными операто-

$ 5.4. Формулировки квантовой механики 277
рами, группами инварнантностей и т. д. Весь этот набор объек-
объектов связан воедино. В обычной интерпретации квантовой меха-
механики, принятой в этой книге, такая связь проявляется в том, что
все объекты определяются через векторы состояний, рассматри-
рассматриваемые в качестве основных объектов. Однако математический
формализм квантовой теории можно построить по-другому и
взять в качестве исходного любой другой из перечисленных
объектов и определить через него все остальные. Проблема ин-
интерпретации квантовой механики в этом случае может столк-
столкнуться с дополнительными трудностями. Поэтому начнем с того,
что кратко опишем альтернативные математические формули-
формулировки квантовой механики, прежде чем перейти к обсуждению
возможных интерпретаций квантовой теории.
Алгебраическая формулировка. Вместо того, чтобы исходить
из векторов состояний, можно начать строить теорию, положив
в основу операторы. Элементы такого подхода к конкретным
квантовым системам уже использованы в этой книге. Например,
в постулате IV, характеризующем систему из одной частицы, мы
не описывали пространство состояний системы и способ, каким
операторы х, и pi действуют в этом пространстве; вместо этого
мы постулировали некоторые соотношения, которым должны
удовлетворять операторы (а именно канонические коммутацион-
коммутационные соотношения), и вывели свойства векторов состояний из
этих соотношений. Согласно теореме Стоуна — фон Неймана,
пространство состояний в этом случае по существу определяется
однозначно с помощью задания коммутационных соотношений,
которым удовлетворяют операторы. В других случаях (напри-
(например, в теории углового момента) ситуация не столь проста, но
тем не менее также в качестве исходных берут соотношения для
операторов, которые непосредственно не подразумевают конкрет-
конкретного пространства, в котором они действуют. Можно рассма-
рассматривать операторы, образующие некоторую группу, например
группу вращений, или операторы, составляющие некоторую ал-
алгебру Ли, или же операторы, удовлетворяющие определенным
коммутационным соотношениям, например коммутационным со-
соотношениям, подобным соотношениям для компонент углового
момента (как мы видели, они связаны друг с другом). В любом
случае алгебраические соотношения между операторами приво-
приводят к проблеме, которую следует решать путем отыскания неко-
некоторого линейного представления рассматриваемой алгебраиче-
алгебраической системы.
Подход, развитый Иорданом, берет в качестве основных объ-
объектов эрмитовы операторы, которые способны представлять на-
наблюдаемые. Основные алгебраические операции между такими
операторами можно моделировать с помощью операций сложе-

Гл. 5. Квантовая метафизика
ния и умножения, которые определены также для классических
наблюдаемых; таким образом, оказывается возможным постро-
построить общую механическую теорию, включающую в себя как част-
частные случаи классическую и квантовую механики, причем разли-
различие между ними проявляется как различие между структурами,
существующими в рамках одной алгебраической теории. В ор-
ортодоксальной квантовой механике произведение двух наблюдае-
наблюдаемых А и В нельзя всегда характеризовать произведением опера-
операторов ЛВ, так как последнее неэрмитово, если А и В не комму-
коммутируют между собой. Иордан взял в качестве произведения двух
произвольных наблюдаемых А я В наблюдаемую, которой соот-
соответствует оператор
^ E.86)
Это произведение обладает свойством коммутативности и удо-
удовлетворяет условию
А*(А2*В) = А2*{А* В), E.87)
где А2 = А * А. Алгеброй Иордана называется векторное про-
пространство, в котором определено коммутативное (но не обяза-
обязательно ассоциативное) билинейное умножение А * В, удовлетво-
удовлетворяющее уравнению E.87); другими словами, это алгебра, произ-
произведение элементов в которой моделируется антикоммутатором
операторов. Она аналогична алгебре Ли, в которой произведе-
произведение моделируется коммутатором ').
Алгебра Иордана эрмитовых операторов обладает также сле-
следующим свойством:
А2 + В2 = 0 =*- А = В = 0. E.88)
Если произвольная алгебра Иордана удовлетворяет последнему
условию, ее называют формально вещественной. В формально
вещественной алгебре Иордана для степеней одного и того же
элемента выполняется ассоциативный закон умножения; значит,
в такой алгебре можно определить все функции наблюдаемых,
соответствующие функциям одной вещественной переменной.
Общую механическую теорию можно теперь строить с по-
помощью задания набора наблюдаемых й, образующих алгебру
Иордана, с единичным элементом 1. Значения наблюдаемых вво-
вводят с помощью понятия метасостояния (обычно называемого
') Не всякая алгебра Иордана представляется линейными операторами
с йордановским произведением, даваемым антикоммутатором. Алгебры, для
которых такие представления невозможны, исключительны: существует
только одна такая алгебра среди конечномерных формально вещественных
алгебр Иордана, которая проста г, алгебраическом смысле (не имеет не-
нетривиальных идеалов).

§ 5.4. Формулировки квантовой механики 279
«состоянием», хотя это и может повести к путанице). Метасо-
стояние определяется как линейное отображение a: Q->R, удо-
удовлетворяющее условиям
(т(Л2)>0, аA)= 1, E.89)
где а(Л)—среднее значение оператора А в метасостоянин а.
Таким образом, метасостояиия образуют выпуклое множество.
Чистые состояния определяются как экстремальные точки этого
множества, как в § 5.1.
Предположим на время, что алгебра Иордана Q конечно-
конечномерна. Тогда если она изоморфна алгебре эрмитовых операто-
операторов, действующих в некотором векторном пространстве, то мета-
состояние а с необходимостью должно иметь вид
ст(Л) = 1г(Лр), E.90)
где р — эрмитов оператор, удовлетворяющий условию 1гр=1,
причем а будет чистым состоянием тогда и только тогда, когда
р = 11р><г|з [, где |гр> — некоторый вектор. Таким образом, век-
векторы состояний естественным образом появляются в рассматри-
рассматриваемой алгебре наблюдаемых. С другой стороны, если алгебра
Иордана Q ассоциативна, она должна быть изоморфна алгебре
функций на некотором конечном множестве X; тогда метасо-
стояние должно иметь вид
а(А)= S А(х)р(х), E.91)
lei
где р — некоторая функция, заданная на X. Метасостояние а
будет чистым состоянием тогда и только тогда, когда функция
р (х) будет отличной от нуля только для одного элемента х е X.
В бесконечномерном случае следует наложить определенные
топологические ограничения на алгебру Иордана и формулу
E.91) заменить формулой
^(x)p(x)dx, E.92)
где p(x)dx — вероятностная мера на множестве X; таким обра-
образом, появляется фазовое пространство классической механики в
ассоциативной алгебре наблюдаемых. Если алгебра Иордана Q
изоморфна алгебре операторов, действующих в пространстве со-
состояний, то чистые состояния для Q не будут находиться во вза-
взаимно-однозначном соответствии с векторами состояний, а будут
содержать дополнительные элементы, соответствующие собствен-
собственным бра-векторам операторов с непрерывным спектром.
Современные исследования по алгебрам Иордана концентри-
концентрируются вокруг так называемых С*-алгебр, в которых операция

280 Гл. 5. Квантовая метафизика
произведения моделируется просто умножением операторов. Эти
алгебры особенно полезны в случае систем, обладающих бес-
бесконечным числом степеней свободы, в частности в теории поля.
Квантовая логика. Существенное неудобство в использова-
использовании векторов состояний для описания физических состояний си-
системы состоит в том, что соответствие между ними и физиче-
физическими состояниями не взаимно-однозначно. Если мы хотим иметь
один математический объект для описания конкретного физиче-
физического состояния, мы должны потребовать, чтобы все кратные
данного вектора состояния были эквивалентны между собой, и
работать с соответствующими классами эквивалентностей, кото-
которые являются одномерными подпространствами, или лучами
пространства состояний. Последние оказываются объектами из-
известной математической теории — проективной геометрии.
Проективное пространство можно определить как множе-
множество одномерных подпространств векторного пространства, эле-
элементы которого в данном контексте называются точками. Пря-
Прямой в проективном пространстве называется множество лучей,
содержащихся в произвольном двумерном подпространстве век-
векторного пространства; плоскостью называется множество лучей,
содержащихся в произвольном трехмерном векторном подпро-
подпространстве, и т. д. Все это легко себе представить на примере
векторного пространства R3, в котором каждый луч идентифи-
идентифицируется с точкой его пересечения с некоторой фиксированной
плоскостью в R3, не проходящей через начало координат (при
этом следует отбросить те лучи, которые лежат в двумерном
векторном подпространстве, параллельном рассматриваемой
фиксированной плоскости; они образуют так называемую «пря-
«прямую на бесконечности»).
Проективное пространство можно определить по-другому, не
прибегая к помощи векторного пространства, а используя ак-
аксиомы проективной геометрии. Для проективной плоскости они
формулируются следующим образом:
Ш. Любые две точки лежат на единственной прямой.
П2. Любые две прямые пересекаются в единственной точке.
ПЗ. Существуют прямая и точка вне прямой.
П4. Каждая прямая содержит по крайней мере три точки.
Эти аксиомы оперируют только со следующими понятиями:
«прямая», «точка»; «лежит на» (понятия «пересекает» и «содер-
«содержит» можно свести к понятию «лежит на»). Таким образом, по
существу структуру проективной плоскости можно описать, пере-
перечислив все ее точки и ее прямые и сказав, какие точки лежат
на каких прямых. Будем использовать запись P<Cl, если Р —
точка, /—прямая и если Р лежит на /. Тогда проективная пло-
плоскость будет множеством S" (точек и прямых), снабженным со-

§ 5.4. Формулировки квантовой механики 28i
отношением <, которое можно установить между некоторыми
парами элементов из рассматриваемого множества. Можно так-
также использовать соотношение ^, которое означает «< или =»,
в обычном смысле. Добавим теперь к !?' еще два элемента 0 и Л
и построим множество S, в котором определены соотношения
О =?С х и х ^ II для любого элемента х из 2?; тогда соотношение
=SJ будет удовлетворять следующим условиям:
L1. х ^ х для всех .te^?.
L2. х^.у и у ^ z =$~ х ^ г.
L3. х^у и у^х=^х~у.
L4. Для любых х,у^3? можно указать элемент x\jy,
который удовлетворяет требованиям х ^х\/у, y^xVy, 1^ги
у ^ г =>х\/у ^.z.
L5. Для любых х, у (= 3? можно указать элемент -\хАу, ко-
который удовлетворяет требованиям хЛу^х, хЛу^у и z^.x
и z $^у=>
Множество ,??, снабженное соотношением^ и удовлетворяю-
удовлетворяющее условиям LI—L5, называется решеткой. Элементы х V у
и х А у называются соответственно объединением (или наимень-
наименьшей верхней гранью) и пересечением (или наибольшей нижней
гранью) элементов х и у. На проективной плоскости х А у яв-
является прямой, содержащей х и у, если х и у — различные точ-
точки; если х — точка, а у — прямая, то xV у будет равно у, если
х лежит на у, а в противном случае будет равно П; если х и
у — различные прямые, то xVi/ равно П. Аналогично хАу бу-
будет точкой пересечения х и у, если х и у — различные прямые;
если х — точка, а у — прямая, то х А у равно х, если х лежит
на у, а в противном случае равно 0; если х и у — различные точ-
точки, то х А у равно 0.
Система аксиом проективного пространства (любого числа
измерений) получается, если аксиому П2 заменить аксиомой:
П2'. Прямая и точка, не лежащая на этой прямой, лежат
в единственной плоскости.
Когда проективное пространство S изоморфно пространству
лучей некоторого векторного пространства над некоторым по-
полем (или другой алгебраической структурой) F, тогда и F и
размерность пространства можно восстановить, исходя из гео-
геометрической структуры пространства S. (Алгебраическая струк-
структура F определяется геометрическими свойствами пространства
S; например, если в S справедлива теорема Дезарга, то множе-
множество F обладает свойством ассоциативности, а если в 5 спра-
справедлива теорема Паппа, то множество F будет полем.)
Определение проективной плоскости с помощью решетки
можно обобщить на проективное пространство 5 любого числа
измерений, добавляя плоскости, трехмерные пространства и

282 Гл. 5. Квантовая метафизика
т. д. к lS в качестве элементов решетки. Если ?> является множе-
множеством лучей некоторого векторного пространства V, то соответ-
соответствующая решетка будет решеткой подпространств простран-
пространства V, упорядоченных понятием включения; тогда «пересече-
«пересечение» двух подпространств определяется как обычное пересече-
пересечение и их «объединение» как линейная сумма:
М < N -фф- М ? N, M/\N = M[\N, M\/N = М + N, E.93)
где М-\-N = {и-\-v; яеМ, v <= N}, а М, N — произвольные
подпространства в V.
Решетки встречаются не только в проективной геометрии, но
и в теории множеств, а также в логике; все эти теории тесно
связаны друг с другом. Множе-
Множество всех подмножеств данного
множества образует его решет-
решетку, если считать, что оно упоря-
упорядочено с помощью понятия
включения; при этом «пересече-
«пересечением» и «объединением» будут
обычные пересечения и объеди-
объединения подмножеств:
= SU^- E.94)
РИС- 5'2- ?р"РбутивностиКОНа ДИС" Множество высказываний, упо-
рядоченное операцией имплика-
импликации, тоже образует решетку, если оно замкнуто относительно
конъюнкции («и») и дизъюнкции («или»),которые дают следую-
следующие определения «пересечения» и «объединения»:
имплицирует Q,
\ = Р или Q. E.95)
(Чтобы удовлетворить условию L3, в качестве элементов решет-
решетки следует взять классы эквивалентности высказываний, по-
получающиеся, если считать, что Р эквивалентно Q при P<^-Q.)
Решетки E.94) и E.95) отличаются от решетки подпро-
подпространств E.93) тем, что удовлетворяют закону дистрибутив-
дистрибутивности
*AQ/Vz) = (*A*/)V(*Az). E.96)
Этого закона лишена решетка подпространств векторного про-
пространства, в чем легко убедиться, если взять в качестве М, N,
Р три одномерных подпространства двумерного пространства
(рис. 5.2). Тогда имеем М AN = М /\ Р = 0, так что справа
в E.96) получаем 0; в то же время N-\-Р равно всему про-
пространству, так что левая часть в E.96) равна М.

§ 5.4. Формулировки квантовой механики 283
В решетках подмножеств и высказываний существуют эле-
элементы 0 и 1, удовлетворяющие условиям 0 ^ х и х ^ 1 при
всех х. Действительно, в случае подмножеств пространства X
в качестве 0 можно взять пустое множество и в качестве 1 —
все пространство X. В случае высказываний в качестве 0 мож-
можно взять класс противоречивых высказываний и в качестве 1 —
класс тавтологий. В указанных решетках каждый элемент х ас-
ассоциируется с некоторым элементом х', таким, чтобы удовлетво-
удовлетворялись условия
OL1. (*')' = *;
OL2. хУх'=\;
OL3. х < у <=h t/ < х'
(в случае подмножеств множества X в качестве S' нужно взять
дополнение X — 5; в случае высказываний в качестве Р' надо
взять отрицание «не Р»). Решетка, удовлетворяющая условиям
OL1—OL3, называется ортокомплиментарной. Решетка под-
подпространств векторного пространства будет ортокомплиментар-
ортокомплиментарной, если пространство V снабжено внутренним произведением.
Тогда М' будет оотогональным дополнением М1 = {и : (и, v) =
= 0, Vv^M].
Решетку высказываний можно поставить во взаимно-одно-
взаимно-однозначное соответствие с подпространствами пространства состоя-
состояний квантовой системы, если рассмотреть для любого подпро-
подпространства М ортогональную проекцию всего пространства со-
состояний на М. Проекцию осуществляет эрмитов оператор Рм,
имеющий собственные значения 0 и 1 и представляющий по-
поэтому некоторую наблюдаемую, принимающую эти значения. Мы
ставим в соответствие подпространству М высказывание «Рм
принимает значение 1» (короче «Рм = Ь>). Это высказывание
считается истинным, когда квантовая система находится в со-
состоянии, принадлежащем подпространству М. Если взять дру-
другое подпространство N, то пересечение Mf\N будет состоять из
одновременных собственных состояний операторов Рм и PN, для
которых оба высказывания «Рм = 1» и «PN—\» истинны. На
указанное сходство решетки подпространств и решетки выска-
высказываний обратили внимание в свое время Биркгофф и фон Ней-
Нейман, которые предположили, что обе решетки должны иметь
одинаковую интерпретацию во всех отношениях, так что «объ-
«объединение» двух подпространств должно соответствовать дизъ-
дизъюнкции соответствующих высказываний: подпространство М +
+ N должно соответствовать высказыванию «Рм = 1 или PN =
= 1». Невыполнимость дистрибутивного закона тогда показы-
показывает, что высказывания в квантовой механике не подчиняются
классической логике; в этом Биркгофф и фон Нейман видели

284 Гл. 5. Квантовая метафизика
суть объяснении всех трудностей в понимании квантовой меха-
механики.Чтобы проиллюстрировать, как разрешаются при этом под-
подходе некоторые проблемы квантовой механики, которые уже об-
обсуждались в начале этой главы, рассмотрим два вектора состоя-
состояний | ф) и |г|)>. Одномерные подпространства Р и Q, их содер-
содержащие, можно идентифицировать с высказываниями: «система
находится в состоянии |</>>» или «...в состоянии |ф>». Двумерное
подпространство N, натянутое на |<^> и |г|з>, является решеточ-
решеточным «объединением» PVQ, которое следует идентифицировать
с дизъюнкцией соответствующих высказываний: «система нахо-
находится в состоянии \ф)» или «...в состоянии |i|)>». Это высказы-
высказывание следует считать истинным всегда, когда состояние систе-
системы принадлежит N, т. е. когда оно является суперпозицией со-
состояний }ф) и |т|э). В § 5.1 мы отказались от такой интерпре-
интерпретации квантовомеханической суперпозиции состояний на том
основании, что она приводит к игнорированию интерферен-
интерференционных эффектов в квантовой механике, но такого заклю-
заключения нельзя сделать, если в логике отсутствует дистрибу-
дистрибутивный закон. Действительно, вернемся к рассуждению по по-
поводу эксперимента с двумя щелями. Состояния |^>> и |г|з> яв-
являются волновыми функциями ф{г) и i|)(r), описывающими вол-
волны, исходящие из щелей А и В соответственно. Когда открыты
обе щели и электрон попадает на флуоресцирующий экран, на
экране наблюдается интерференционная картина. В такой си-
ситуации волновая функция равна сумме ^-Ь'Ф; подвергается со-
сомнению интерпретация, согласно которой электрон находится
либо в состоянии \ф}, либо в состоянии |i|)>, т. е. проходит либо
через щель А, либо через щель В. В результате получаем сле-
следующее рассуждение:
A) Волновая функция равна <? + г|з и имеет место интерфе-
интерференция.
B) Следовательно, можно сделать предположение, что
электрон проходит либо через щель А, либо через щель В и
имеет место интерференция.
C) Следовательно, электрон либо проходит через щель А
и наблюдается интерференция, либо проходит через щель В и
наблюдается интерференция.
Однако обе альтернативы C) ложны. Следовательно, пред-
предположение B) должно быть ложно. При переходе от B) к C)
очевидным образом используется дистрибутивный закон:
(Р или Q) и /? = (Р и R) или (Q и /?). E.97)
Для квантовомеханической решетки подпространств про-
пространства состояний вместо дистрибутивного закона справедлив
более слабый закон
x. E.98)

§ 5.4. Формулировки квантовой механики 285
Решетка, для которой справедлив такой закон, называется ор-
томодулярной. Два элемента ортомодулярной решетки назы-
называются совместными, если
(хАу)\/(хЛу') = х. E.99)
Если это свойство имеет место, то подрешетка, порожденная х
и у, будет дистрибутивной. Дистрибутивной будет также и под-
подрешетка, порожденная любым числом совместных элементов.
Значение этого обстоятельства для квантовой механики состоит
в следующем. Если бы в квантовой механике можно было опре-
определить, истинно или ложно некоторое число высказываний, с по-
помощью одного и того же экспериментального прибора, то кван-
квантовая механика подчинялась бы классической логике. Центром
решетки называется множество ее элементов, которые совмест-
совместны со всеми элементами решетки. Решетка называется неприво-
неприводимой, если ее центром является множество {0, 1}.
Атомом в решетке называется такой элемент а, для которого
справедливо утверждение
х<а=^л: = 0 или х = а. E.100)
Решетка называется атомной, если для каждого элемента х су-
существует атом а со свойством а<1 Таким образом, решетка
проективной геометрии является атомной, причем ее атомами
являются точки; атомной является и решетка подпространств
векторного пространства, а также решетка подмножеств дан-
данного множества. Если элементы решетки рассматривать как вы-
высказывания, то ее атомами будут взаимоисключающие высказы-
высказывания, которые образуют полные утверждения в системе.
Теория ортомодулярных ортокомплиментарных решеток уста-
устанавливает общие рамки физических теорий, включая классиче-
классическую и квантовую механики. Метасостояние можно определить
как функцию а, отображающую решетку на единичный интер-
интервал [0, 1] и удовлетворяющую требованиям:
A) cr(O) = O, cr(l) = l; E.101)
B) *</=*cr(*V#) = or(*)-fcr(sr); E.102)
C) a(x) = a(y) = l=>a(xVy) = l. E.103)
Из этих требований (а также из их обобщений на бесконечные
счетные подмножества) следует, что 0 является метасостоянием
типа, уже рассмотренного выше. Если решетка дистрибутивна
и обладает свойством полноты, то каждое счетное подмножество
в ней имеет наименьшую верхнюю грань; тогда такая решетка
является решеткой подмножеств некоторого пространства, а 0 —
вероятностной мерой на этом пространстве. Таким образом, ди-
дистрибутивная решетка соответствует классической механике.

286 Гл. 5. Квантовая метафизика
Простой логической (в смысле теории решеток) характеристики
решетки подпространств пространства состояний квантовой ме-
механики не существует. Однако теорема Глизона утверждает, что
метасостояния о в такой решетке ') должны иметь следующий
вид:
= tr(PMp), E.104)
где р—¦ некоторый эрмитов оператор, удовлетворяющий усло-
условию tr р = 1.
Правила суперотбора. Подход с помощью теории решеток
позволяет построить физически разумное обобщение квантовой
механики. Решетка подпространств состояний нсприводима;
рассматриваемая как логика, она максимально неклассичиа—
каждое высказывание несовместимо с любым другим высказы-
высказыванием. Можно построить приводимую решетку, которая содер-
содержит высказывания, подчиняющиеся классической логике, на-
наряду с высказываниями, ей не подчиняющимися. Если даны две
решетки 3?\ и S2, то можно определить их прямую сумму как
декартово произведение Й^Х.З'г с упорядочением
(%,, А-2)<(г/ь у2) <=> хх < ух и .v2<y2- E.105)
Эта прямая сумма обладает нетривиальным центром, состоя-
состоящим из четырех элементов @,0), @,1), A,0) и A,1). Два не-
нетривиальных высказывания @,1) и A,0) подчиняются класси-
классической логике в отношении всех других высказываний.
Если &\ и i?2 обозначают решетки подпространств двух
векторных пространств состояний 9*\ и У2, так что их атомами
являются все одномерные подпространства в ff'] и 5^2, то
атомами прямой суммы будут эти последние атомы и никакие
другие. В частности, эта прямая сумма не содержит элементов,
соответствующих суперпозициям, составленным вектором из 9*\
и вектором из ^2. Таким образом, прямая сумма описывает си-
систему, для которой принцип суперпозиции не справедлив: век-
векторы состояний системы принадлежат пространству 9Р\ ф^г, но
они ограничены подпространствами 9>\ и #V Суперпозиции век-
векторов, взятых из различных подпространств, не описывают ка-
какие-либо физические состояния.
Правила, ограничивающие указанным образом возможные
состояния квантовой системы, называются правилами супер-
суперотбора. Существует свое правило суперотбора для каждого из
абсолютно сохраняющихся дискретных квантовых чисел, а имен-
') Эту решетку точнее можно назвать решеткой замкнутых подпро-
подпространств гильбертова пространства.

§ 5.4. Формулировки квантовой механики
но для электрического заряда, барионного числа и трех типов
лептонных чисел. Например, никогда не наблюдалась суперпо-
суперпозиция состояний, обладающих различными электрическими за-
зарядами.
Трехзначная логика. Решетку, элементы которой рассматри-
рассматривают как высказывания, иногда называют логикой. Ортомоду-
лярпая оршкомплименч арная решетка называется квантовой
логикой. Дистрибутивная ортокомплиментарная решетка назы-
называется классической логикой. Эти логики следует отличать от
других логических систем, в частности от исчисления высказы-
высказываний. В решетке высказываний, если х и у — высказыва-
высказывания, то хУ у и х А у тоже должны быть высказываниями
(«л; и у» и «х или у»), но соотношение х^у («из х следует
у»)—утверждение о высказываниях. В исчислении высказыва-
высказываний, если х и у — высказывания, то высказываниями будут так-
же х V у, х А у и соотношение х :э у («из х с необходимостью
следует у»). В исчислении высказываний понятие значение ис-
истинности играет центральную роль; каждому высказыванию
приписывается «истинное» или «ложное» значение по опреде-
определенным правилам, устанавливаемым таблицей истинности для
х\/ у, х А у и х zd у по значениям истинности для х и у. Соот-
Соотношение между двумя системами можно установить, записывая
1 вместо «истинное» и 0 вместо «ложное»; тогда определенный
способ приписывания значений истинности множеству высказы-
высказываний можно считать метасостоянием, которое принимает толь-
только значения 0 и 1. Легко показать (задача 5.13), что тогда из
требований E.101) — E.103) вытекают обычные правила при-
приписывания значений истинности для хУУ у и хАу.
Однако легко показать, что невозможно приписать значения
истинности в решетке подпространств пространства состояний
квантовой системы. (Доказательство. Пусть х — одномерное
подпространство с значением истинности о{х) = 1, а X — неко-
некоторое двумерное подпространство, содержащее х. Тогда а{Х) —
= 1. Значение истинности любого другого одномерного под-
подпространства у ^ X должно быть равно а(у) =0, так как если
а(?/) = 1, то ст(О) = в(хА у) = 1. Но можно указать ортого-
ортогональные элементы у и г, отличные от л: и такие, что yV z = X;
следовательно, а(Х) =e(yVz) =0. Приходим к противоре-
противоречию.) Другими словами, если квантовая система находится в
состоянии, не являющемся собственным состоянием наблюдае-
наблюдаемой А, то утверждение «А имеет значение а» будет и не истин-
истинны и не ложным. Чтобы ему приписать смысл, необходимо
классическое исчисление высказываний расширить, дополнив
его третьим значением истинности «не определено». Правила, по
которым теперь приписывают значения истинности высказыва-

Гл. 5. Квантовая метафизики
ниям х V у и х А у, обобщаются так, как показано в табл. Ъ.2.
Дальнейшие подробности читатель найдет в работах [75], [84].
X
У
х А у
х V у
Таблица
да
да
да
да
да
нет
нет
да
5.2. Таблица
да
неопр.
неопр.
да
нет
да
нет
да
1СТИННОСТН в трехзначной
нет
нет
нет
нет
IICI
неопр.
нет
неопр.
неопр.
да
неопр.
да
логике
неопр.
нет
нет
неопр.
неопр.
неопр.
неопр.
пеопр.
§ 5.5. Интерпретации квантовой механики
В этом параграфе мы даем обзор возможных вариантов отве-
ответов на вопросы: «Что представляет собой квантовая механика
как физическая теория?» и «Каким образом она описывает фи-
физический мир?» Прежде всего мы бегло перечислим некоторые
общие философские точки зрения в отношении смысла любой
научной теории, т. е. дадим просто список «измов». Затем, по-
после напоминания причин, по которым квантовая механика тре-
требует гораздо большего внимания к своей интерпретации, чем
классическая механика, мы рассмотрим различные приложе-
приложения таких «измов» к квантовой механике, уделив особое вни-
внимание вопросу о том, могут ли они быть согласованы друг с
другом.
Краткий метафизический словарь (используемый в утвер-
утверждениях о смысле научных утверждений).
Эмпиризмом называется доктрина, согласно которой вера
в справедливость любого научного утверждения оправдывается
только чувственным опытом. Имеется широкий набор взгля-
взглядов на то, какая именно вера требует оправдания и до каких
пределов и каким опытом. Крайнюю позицию занимает солип-
солипсизм, утверждающий, что существует только человек, а весь
остальной мир создан его сознанием.
Позитивизм провозглашает, что смысл любого научного ут-
утверждения кроется в способе его проверки (которую надо про-
проводить, обращаясь к чувственному опыту — для научных тео-
теорий это означает, проводя эксперимент). Если утверждение не
может быть проверено, то оно бессмысленно. (В этом суть
принципа верификации.) Вместе с тем следует признать, что
большая часть научных законов не проверяема, так как они
представляют собой общие высказывания и относятся к бес-
бесчисленному множеству случаев; в частности, согласно прин-
принципу верификации, эта книга полностью бессмысленна. Наи-
Наиболее реалистично связь между смыслом и экспериментом учи-
учитывает принцип фальсификации Поппера, согласно которому

§ 5.5. Интерпретации квантовой механики 289
утверждение имеет смысл только в том случае, если его можно
фальсифицировать на эксперименте; другими словами, если ут-
утверждение имеет логические следствия, которые можно эмпи-
эмпирически фальсифицировать. (Полнер на самом деле предложил
свой принцип не как условие осмысленности научного утвер-
утверждения, а как критерий того, что утверждение является науч-
научным.)
Операционализмом называется точка зрения, утверждаю-
утверждающая, что рассматриваемые в научной теории величины должны
определяться путем указания экспериментальных процедур их
измерения. Модельной теорией с такой точки зрения является
специальная теория относительности с ее операциопалистскими
определениями расстояния и времени. Более приемлемая точка
зрения состоит в том, что научная теория является гипотетиче-
гипотетически-дедуктивной системой, т. е. может оперировать с ненаблю-
ненаблюдаемыми величинами в своих основных постулатах, но должна
придавать эмпирический смысл величинам, которые выводятся
из этих постулатов. Квантовая механика служит хорошим при-
примером такой системы: вектор состояния |ij>> в ней не определен
в операционалистском смысле; только получаемые из пего ве-
величины |(^|i|)>|2 связаны с экспериментом.
Прагматизмом называется общая философская доктрина,
считающая, что смысл любого утверждения связан со способом,
которым оно ограничивает или предопределяет наши действия;
утверждение справедливо, если оно нам полезно. Инструмента-
Инструментализмом называется сходная точка зрения в отношении научных
теорий, состоящая а том, что их следует рассматривать как ин-
инструменты для выработки предсказаний о результатах экспери-
экспериментов.
Особенности квантовой механики. 1. Индетерминизм. Кван-
Квантовая механика радикально отличается от предшествующих ей
физических теорий не только тем, что ее утверждения имеют
вероятностный характер, но и тем, что эти утверждения имеют
в ней принципиально фундаментальный характер. Другие слу-
случаи использования теории вероятности в физике связаны с не-
неполным знанием ситуации; при этом предполагается, что в
дальнейшем можно получить более полные сведения, которые
исключат вероятности. Однако если квантовую механику при-
принимать как окончательную теорию, то следует считаться с тем,
что никакое дальнейшее знание невозможно.
Эту характерную черту квантовой механики не столько труд-
трудно понять, по гораздо труднее принять. До появления кванто-
квантовой механики в физической пауке господствовало основное до-
допущение, согласно которому каждое событие имеет свою при-
причину; если фундаментальные законы действительно имеют прин-

290 Гл. 5. Квантовая метафизика
циииально вероятностный характер, то отдельные аспекты яв-
явлений не имеют причин. Чувство, что принятие такого допуще-
допущения означает насилие над всей научной идеологией, было вы-
выражено Эйнштейном в его знаменитых словах: «Я не могу пове-
поверить, что Бог играет в кости». Посмотрев на эту ситуацию не-
немного по-другому, следует, однако, признать что общее утвер-
утверждение, подобное утверждению «каждое событие имеет свою
причину», следует рассматривать не как установленный факт
(который нельзя фальсифицировать), а как утверждение о на-
нашем намерении: мы собираемся искать причину любого собы-
события. Квантовая механика своим существованием заставляет
признать несостоятельность такой точки зрения.
Иногда утверждают, что индетерминизм квантовой механики
следует приветствовать как признание «свободы воли». Чита-
Читателю, который хочет разобраться в этом вопросе, следует знать,
что «свобода воли» не означает и не приводит к существованию
событий без причин. Многие философы верят, что свобода воли
совместима с детерминизмом (и даже ведет к нему; см. [13]).
Однако независимо от того, приемлем или не приемлем ин-
индетерминизм, он не поднимает никаких концептуальных проб-
проблем, специфичных именно для квантовой механики. При обсу-
обсуждении различных интерпретаций квантовой механики важно
рассмотреть, до каких пределов индетерминизм действительно
проясняет ее вероятностные утверждения и до каких пределов
он действительно имеет отношение к квантовой механике.
2. Индетерминированность. Способ, которым определенные
свойства приписываются частицам и системам в квантовой ме-
механике, является наиболее загадочным отступлением от проце-
процедур классической механики. Он имеет два следующих аспекта.
Во-первых, отрицается наличие определенных значений тех ха-
характеристик, которыми каждая частица обладает в классиче-
классической механике. Утверждается, что частица может не иметь оп-
определенного положения в пространстве или импульса (и не мо-
может обладать обоими одновременно). Особенно удивительно,
что хотя частица и может иметь определенное положение в
данный момент времени, но она не может иметь определенных
положений во все моменты времени данного интервала (т. е. не
может иметь определенной траектории), так как при этом ей
пришлось бы приписать определенные значения импульса. Мо-
Можно возразить, что положение и импульс не являются какими-
то особенными свойствами и мы не должны обязательно тре-
требовать, чтобы частица обладала ими в большей степени, чем
формой, запахом или чувством юмора; однако имеется глубоко
укоренившееся в пас чувство, что положение и импульс яв-
являются «существенными» свойствами (в противоположность

§ 5.5. Интерпретации квантовой механики 291
«случайным») и что невозможно представить себе частицу, не
обладающую этими свойствами.
Во-вторых, что более серьезно, вообще не определен статус
свойства системы (т. е. ее наблюдаемой) когда система не на-
находится в его собственном состоянии. Обладает ли в таком слу-
случае система этим свойством? Так как наблюдаемую можно из-
измерить и обнаружить, что она имеет определенное значение,
нельзя сказать, что утверждения о ней бессмысленны; с дру-
другой стороны, любое утверждение о том, что наблюдаемая имеет
определенное значение, может быть фальсифицировано соот-
соответствующим экспериментом, производимым над системой, на-
находящейся в этом состоянии.
Индетермшшрованность квантовой механики связана с ее
индетерминизмом, так как в пей действительно результаты из-
измерения не определяются однозначно вектором состоянии, ко-
который делаег невозможным приписывание системе определен-
определенных значений наблюдаемых; однако индстермшшроианность
следует отличать от индетерминизма, так как можно предста-
представить себе теорию, в которой все наблюдаемые имеют опреде-
определенные значения, по эволюция системы не определяется одно-
однозначно этими значениями.
3. Несепарабельность. Особые свойства векторов состояний
вида |^i>h|5i>+|^>2>Н12> для системы, состоящей из двух под-
подсистем, обсуждались в § 5.2 в связи с парадоксом Эйнштей-
Эйнштейна — Подольского — Розена. Когда такая система находится в
состоянии указанного вида, нельзя утверждать, что какая-либо
из подсистем находится в своем определенном состоянии, но
можно получить информацию об одной из подсистем, произ-
производя эксперименты над другой.
Таким образом, квантовая механика в принципе отрицает
возможность описания мира путем деления его на части с пол-
полным описанием каждой отдельной части---именно эту про-
процедуру часто считают неотъемлемой характеристикой научного
прогресса. Вследствие указанной характерной особенности
квантовую механику иногда называют холистической теорией.
4. Проективный постулат. Трудности, связанные с проектив-
проективным постулатом, подробно обсуждались в § 5.2. Подведем итог
этим обсуждениям.
1. Проективный постулат плохо определен; не дано точного
определения, что такое измерение, и не указан момент вре-
времени, когда происходит проекция.
2. Постулат дуалистичен, так как требует разделения мира
на (микроскопический) объект и (макроскопический) прибор.
Он также разделяет закон временной эволюции на детермини-
детерминированное уравнение Шредипгера и па вероятностный проектив-
проективный постулат.

292 Гл. 5. Квантовая метафизика
3. Проективный постулат аншкаузален: как это иллюстри-
иллюстрирует парадокс Шредннгера с кошкой, он делает физические
события следствиями их наблюдений вместо того, чтобы счи-
считать, что события наблюдаются потому, что они действительно
произошли.
4. Проективный постулат не учитывает возможности прове-
проведения непрерывных наблюдений.
При обсуждении различных интерпретаций квантовой ме-
механики мы будем уделять особое внимание способам, какими
они объясняют проективный постулат.
Девять интерпретаций квантовой механики. Интерпретация
квантовой механики — это по существу ответ па вопрос «Что
такое вектор состояния?». Интерпретации невозможно разли-
различать по чисто научным соображениям- -они lie приводят к раз-
разным экспериментальным следствиям; если бы эк> было не так,
интерпретации надо было бы считать различными теориями.
Но эти интерпретации можно сравнивать в отношении нагляд-
наглядности и удовлетворительности предлагаемых ими объяснений.
Ни одна из интерпретаций не является общепринятой. (Часто
употребляемые слова «копенгагенская интерпретация» исполь-
используют просто как синоним «ортодоксальной интерпретации» в
том смысле, в каком ее понимает сам говорящий; копенгаген-
копенгагенской называли по крайней мере четыре разных интерпрета-
интерпретации.) Ниже после описания каждой интерпретации будем фор-
формулировать основные возражения против нее. К ним не сле-
следует относиться как к окончательным или даже обязательно
правильным; читатель сам может решить, какие из возраже-
возражений неверны или не имеют смысла. Рассматривая приведен-
приведенные возражения, можно убедиться, что многие различия между
интерпретациями больше кажущиеся, чем реальные, и что при
анализе некоторых интерпретаций выясняется, что они говорят
об одном и том же, но разными словами.
1. Минимальная интерпретация. Согласно этой интерпрета-
интерпретации, которая была ярко выражена Бором не надо даже пы-
пытаться интерпретировать вектор состояния, чтобы извлечь из
него информацию о квантовом объекте; вообще не надо гово-
говорить о квантовых объектах. Вектор состояния — просто мате-
математический прием, используемый при вычислениях результатов
экспериментов; единственная цель любой научной' теории--
успешно проводить такие вычисления. Эксперименты с микро-
микрообъектами должны описываться с помощью понятий классиче-
классической физики, так как прибор является макроскопическим клас-
классическим объектом; мы не знаем, как описать наши экспе-
эксперименты с использованием таких объектов, кроме как с по-
помощью понятий классической физики. Когда мы говорим о

§ 5.5. Интерпретации квантовой механики 293
микроскопических объектах, — это просто удобный сокращен-
сокращенный способ выражать результаты наших расчетов, относящих-
относящихся к различным классическим состояниям.
Следуя этой интерпретации квантовой механики, нужно
различать процедуру приготовления системы и процедуру из-
измерения, производимого над системой. Приготовление прово-
проводят в начале эксперимента и оно описывается начальным век-
вектором состояния |г|зо> системы; измерение проводят в конце
эксперимента и его возможные исходы описываются бра-век-
бра-векторами <^i|, <^|, ••¦ • Экспериментальное устройство описы-
описывается гамильтонианом Н и моментом времени t; тогда вероят-
вероятность того, что измерение даст i-й исход, равна
Р1 = \(ф{\е-штШ?. E.106)
Заметим, что все величины |г|?о>, И » (фс\ определяются с по-
помощью макроскопических экспериментальных устройств.
Такая точка зрения разрешает все загадки в отношении
квантовых объектов, так как она провозглашает, что этих за-
загадочных объектов вообще нет. Нет и проективного постулата
так как каждый расчет относится только к данному приготов-
приготовлению и к данному измерению и его нельзя применять к чему
бы то ни было еще, что может случиться после измерения. Если
производится повторный эксперимент после измерения М, дав-
давшего результат а, то мы начинаем производить новый экспе-
эксперимент, процедура приготовления которого состоит в проведе-
проведении измерения М и отбора тех случаев, в которых результат
равен а. Нет ничего удивительного в том, что это приготовле-
приготовление связано с приписыванием системе вектора состояния \<f>i),
отличного от e~iHt>h | я|з0).
Некоторые процедуры приготовления описываются не век-
вектором состояния |а|)о>, а статистическим оператором р0 (напри-
(например, можно приготовить пучок электронов, не фиксируя их
спины). В такое случае формулу для вероятности E.106) сле-
следует заменить формулой
p, = tr[P,e-""'*poe'm/ft]. E.107)
где Pi — соответствующий проекционный оператор, приравняв
который чистому состоянию (ро = |'фоХ'фо 1), получаем E.106)
из E.107). Таким образом, в излагаемой интерпретации нет
принципиального различия между чистыми состояниями и со-
состояниями, описываемыми общими статистическими операто-
операторами; обе величины описывают процедуру приготовления. От-
Отсюда и наш термин «(экспериментальное) метасостояние»; по-
поэтому мы используем слово «состояние», относя его к стати-
статистическому оператору.

294 Гл. 5. Квантовая метафизика
Возражения. Описанную минимальную интерпретацию на-
называют «расширенным солипсизмом». Солипсист отказывается
признать, что опыт видения дерева является свидетельством
того, что дерево реально существует; он признает только чув-
чувственный опыт и ничего более. Аналогично убежденный после-
последователь минимальной интерпретации отказывается признать,
что образование трека заряженной частицы в пузырьковой ка-
камере является свидетельством существования самой заряжен-
заряженной частицы; для него реально существует только макроскопи-
макроскопическое событие. По существу речь идет о солипсизме макро-
макроскопических приборов по отношению к микроскопическим объ-
объектам, за которыми они следят, и он так же неприемлем, как
обычный солипсизм.
Кроме того, нельзя считать правильным, что единственная
цель научной теории состоит в предсказании результатов экс-
экспериментов. Почему кто-либо хочет предсказывать результаты
экспериментов? Большая часть их вообше не будет использо-
использована па практике; даже в тех случаях, когда результаты экспе-
экспериментов будут использованы, их практическая полезность не
имеет отношения к их научной значимости. Предсказание ре-
результатов экспериментов—-не цель теории; эксперименты
лишь позволяют проверить, верна ли теория. Цель теории--
познать окружающий нас физический мир.
Хотя инструменталистскую философию, которая лежит в
основе минимальной интерпретации, часто и выражают в при-
приведенной здесь форме, открытой сформулированному выше воз-
возражению, формулировки Бора не столь категоричны: «Задача
науки двояка — и расширять область нашего опыта, и приво-
приводить ее в порядок». Гейзенберг соединил боровскую точку зре-
зрения с операционалистской, к которой он пришел в связи с от-
открытием им матричной квантовой механики. Последнюю он по-
построил, рассмотрев матрицу частот спектральных линий. Гей-
Гейзенберг учил, что теория должна оперировать только с экспе-
экспериментально наблюдаемыми величинами и настаивал, чтобы
этот принцип был применен и в физике элементарных частиц
путем устранения из нее всякого упоминания о временной эво-
эволюции вектора состояний между актом приготовления и актом
измерения. Такую более радикальную форму квантовой меха-
механики он назвал S-матричной теорией и противопоставил се
квантовой теории поля. Как мы увидим в гл. 7, эта теория не
оказалась успешной теорией элементарных частиц; квантовая
теория поля в этой области одержала полную победу.
Не обязательно полностью отрицать всякую веру в суще-
существование квантовых объектов, чтобы принять предложенное
решение проблемы измерения, а именно считать, что при про-
проведении тщательного различия между процедурой приготовлс-

§ 5.5. Интерпретации квантовой механики 295
пня и процедурой измерения проективный постулат не нужен.
В ответ на вопрос: «Каково состояние системы после измере-
измерения?» — можно сказать (в частности, как это делает Марге-
нау), что истинное измерение, производимое над квантовой
системой, всегда уничтожает эту систему. Например, чтобы из-
измерить компоненту поляризации фотона, не только нужно за-
заставить фотон пройти через двулучепреломляющии кристалл
(см. рис. 2.2), но также детектировать фотон после выхода его
из кристалла, а акт детектирования (скажем, когда фотон по-
попадает на фотографическую пластинку) уничтожает фотон.
При таком подходе вообще отрицается существование изме-
измерений первого типа (стр. 73). Однако такими должны быть
измерения, производимые макроскопическими приборами, ко-
которые должны сохранять записи о результатах экспериментов.
Таким образом, обсуждаемое разрешение проблемы измерения
связано с отрицанием возможности применения квантовомеха-
нического описания к макроскопическим объектам.
Литература: [19, 72, 90].
2. Буквальная интерпретация. Этой интерпретации кванто-
квантовой механики неявно придерживаются авторы большинства
современных учебников (включая и автора данной книги).
В ней утверждается, что вектор состояния (точнее точка про-
проективного пространства) является объективным свойством си-
системы в том же смысле, в каком значения координат и им-
импульса являются объективными свойствами частицы в класси-
классической механике. Проективный постулат в излагаемой интер-
интерпретации является утверждением о реально происходящих из-
изменениях вектора состояния после акта измерения.
В этой интерпретации индетерминизм и индетерминирован-
ность просто признаются как характерные черты реально су-
существующего мира. Несепарабельность означает, что данную
интерпретацию нельзя прилагать к подсистемам полной си-
системы; нельзя утверждать, что индивидуальные объекты обла-
обладают векторами состояний, надо рассматривать вектор состоя-
состояния только всей Вселенной.
Возражения. Вектор состояния не может быть объективным
свойством системы, так как вообще невозможно на экспери-
эксперименте отличить один вектор состояния от другого. Например,
если |о|э> обозначает собственное состояние наблюдаемой А,
соответствующее собственному значению а, и если \ф) — со-
состояние, не ортогональное к |о|з>, то измерение наблюдаемой
А, которое дает значение а, не служит доказательством того,
что вектор состояния равен |г|з>, а не \ф}, так как измерение
дает в точности такой же результат, и в том случае, если си-
система находится в состоянии \ф). (Этот аргумент справедлив,
если принять, что объективное утверждение может быть прове-

296 Гл. 5. Квантовая метафизика
рено на эксперименте, но не в том случае, если только предпо-
предположить, что имеется возможность того, что оно окажется лож-
ложным. Как указал Поппер, последняя ситуация обычна в науке.)
Все неудовлетворительные черты проективного постулата,
перечисленные выше, служат возражениями против буквальной
интерпретации квантовой механики.
3. Объективная интерпретация. Буквальную интерпретацию
можно несколько видоизменить, предположив, что на вектор
состояния наложены следующие ограничения: он лежит в од-
одном из подпространств пространства состояний, и система не-
непрерывно совершает переходы между этими подпространствами
с вероятностями, определяемыми путем решения уравнения
Шредингера. Пространство состояний, таким образом, имеет
вид суммы
^ = ^,©^2®..., E.108)
где 9"i — разрешенные подпространства, и решение уравнения
Шредингера имеет вид
Ж0) = 1М')) + 1Ы0>+ .... E.Ю9)
где |я|)((/)> е 9"i. Тогда состояние системы в момент времени /
будет одним из этих состояний |"ф«@>. причем вероятность
того, что это будет состояние \tyi(t)), равна
<li(t) = <$i(t)\b(t)). E.110)
Имеем в точности то же утверждение, как в непрерывной части
проективного постулата (стр. 176; см. также E.61)). Формулу
E.110) можно вывести из следующего способа приписывания
вероятностей переходам между подпространствами.
Постулат Белла. Состояние системы в момент времени I
является одним из состояний |tf<@). T- е- одной из проек-
проекций состояния |"ф@) на подпространства 9"i. Если это со-
состояние лежит в подпространстве ff'i в момент времени t,
то вероятность того, что оно перейдет в другое подпро-
подпространство 9>j за время от t до t -\- Ы, равна (wi,-/qiNt, где
если эта величина ^ 0, E.111)
0, если эта величина < 0,
где величины дг{1) даются формулами E.110).
Приняв постулат Белла, мы можем доказать следующую
теорему.

§ 5.5. Интерпретации квантовой механики 297
Теорема 5.9. Из постулата Белла следует, что вероятность
того, что в момент времени t состояние системы будет лежать
в подпространстве S^i, определяется формулой E.110), при
условии, что сделанное утверждение справедливо в момент
времени t = 0.
Доказательство. Составим сначала дифференциальное урав-
уравнение для величин qt{t). Пусть Pi— проекционный оператор на
подпространство SPi\ тогда
I $1 (Ф = Л I Ф (Ф И »Й -^ | ф, (t)) = Р;Н | ф (*)>.
Следовательно,
it, ^SL = (#t (t) | Я,Я | ф (/))- <гр (t) |ЯЛ IФ (Ф =
<)). E.112)
Обозначим через pi(t) вероятность того, что состояние системы
лежит в подпространстве 9*1 в момент времени t. Тогда посту-
постулат Белла позволяет найти вероятность того, что состояние
будет обнаружено в подпространстве ff'i в момент времени
t + б^. Эта вероятность равна вероятности того, что рассматри-
рассматриваемое состояние будет обнаружено в подпространстве Q'i в мо-
момент времени t, минус полная вероятность того, что за время
от t до / + 6^ произойдет переход из подпространства ff'i в дру-
другое подпространство, плюс вероятность того, что за это время
произойдет переход из других подпространств в подпростран-
подпространство 9"i\
так что
dPt v (Pi Pi \ . .....
~aT = Ъ \t wll ~ ~ Wli) ' E.114)
При заданном i пусть Р обозначает множество тех /, для ко-
которых удовлетворяется первое условие в E.111), т. е. для ко-
которых мнимая часть выражения <ф;-(?) |Я|ф;(()> положительна
или равна нулю. Пусть N — множество тех /, для которых эта
мнимая часть отрицательна. Так как гамильтониан Н эрмитов,
матричные элементы <ф/|Я|ф,-> и (ф^Яф/) комплексно сопря-
сопряжены друг другу, поэтому мнимые части имеют противополож-
противоположные знаки. Таким образом,
/ е N =*> Wn = 0 и wu = О,

298 Гл. 5. Квантовая метафизика
откуда имеем
7 ^
/sP ' isN I
Полученная система дифференциальных уравнений для р,-B)
удовлетворяется функциями pt = qi(t), так как при этом пра-
правая часть принимает вид
? 2 Im [/Г1 <ф, | Я | Ц,,)] = (ift)~' ? «-Ф* I Я 1Ч>,> ~ <Ч>/1 Я | тр,»,
т. е. совпадает с правой частью уравнения E.112), так как
1 т|з (/)) = ? /1 ij)y @). Следовательно, при выполнении начальных
условий /;,-@) = <7,-@) получаем, что решение системы уравне-
уравнений E.115) имеет вид/?;(?) = <7;@- в
Имеется много возможностей фиксировать подпространства
9^1 в излагаемой объективной интерпретации. В качестве этих
подпространств можно, в частности, взять собственные про-
пространства макроскопических наблюдаемых. Можно также оп-
определить их микроскопически, например, как пространства с
определенными числами частиц каждого данного типа (напри-
(например, фотонов или фермионов). В излагаемой объективной ин-
интерпретации вообще не нужна процедура измерения или про-
проектирования, поэтому она избегает всех трудностей, связанных
с проективным постулатом.
Возражения. Так как в выражения E.110) для вероятно-
вероятностей входят все состояния |iJ5i(/)>, временная эволюция си-
системы определяется не только состоянием, в котором она дей-
действительно находится, но и всеми другими состояниями |i|\(/))-
Полное состояние \ty(t)} следует считать таким же свойством
системы, как и каждое из состояний | $/(/)>¦ Таким образом.
обсуждаемая интерпретация требует увеличения числа свойств
системы. Причем некоторые из них нельзя определить из экс-
эксперимента. Согласно рассматриваемой интерпретации, в экс-
эксперименте можно найти состояние | %(?))> лежащее в одном из
подпространств 9>i, а для описания его последующей эволюции
надо знать также и все остальные состояния | %(/)>, которые
экспериментатор не знает. (Увеличения числа свойств системы
можно избежать, если отказаться от использования дифферен-
дифференциальных уравнений для описания эволюции системы. Тогда не-
неспособность экспериментатора определить будущие вероятности
обусловлена незнанием им предыдущей истории системы.)

§ 5.5. Интерпретации квантовой механики 299
Не ясно, до какой степени эта интерпретация может быть
согласована со специальной теорией относительности. Из-за
наличия эффектов ЭПР вектор состояния следует считать опи-
сываюшим всю Вселенную, и мгновенные переходы этого век-
вектора состояния, по-видимому, противоречат тому положению,
что одновременность событий относительна.
Наконец, свобода выбора подпространств 9*1 порождает оп-
определенное сомнение в объективности существования вектора
состояния, который лежит в одном из этих подпространств.
Литература: [11].
4. Эгшстемная («субъективная») интерпретация. Вместо
того чтобы считать вектор состояния некоторым внутренне
присущим системе свойством, его можно рассматривать как
отражение уровня знаний экспериментатора о данной системе.
Тогда индетерминироваиность значений наблюдаемых объяс-
объясняется просто отсутствием полных сведений об этих значениях;
тогда и несепарабельность, и проективный постулат перестают
быть таинственными. Нет также ничего странного в том, что
вектор состояния системы изменяется после акта измерения,
так как это просто означает, что знания экспериментатора о
системе изменились; ведь цель измерения состоит в увеличении
таких знаний. Аналогично в ситуации ЭПР нет ничего стран-
странного в том, что эксперимент, произведенный над одним объек-
объектом, изменяет состояние удаленного объекта (т. е. знания на-
наблюдателя о нем). Я сам изменяю свои знания об удаленных
объектах каждое утро, когда достаю из почтового ящика га-
газеты.
Возражения. Так как эта интерпретация апеллирует к конк-
конкретному наблюдателю, ее часто критикуют, называя субъек-
субъективной. Но концепция уровня знаний имеет как субъективные,
так и объективные элементы: утверждение, что лицо Л' узнало
предложение Р, относится как к лицу (которое узнало Р), так
и к предложению (что оно истинно). Субъективные элементы
можно удалить из эпистемной интерпретации, если рассматри-
рассматривать множество всех возможных наблюдателей и определять
единый вектор состояния системы, как вектор, описывающий
максимально возможное знание о ней, которым может обла-
обладать каждый наблюдатель. Тогда вектор состояния будет
внутренне присущим системе свойством, и мы возвращаемся
к обсуждавшейся выше буквальной интерпретации.
Попытку объяснить процедуру проектирования вектора со-
состояний просто как процесс увеличения знаний нельзя считать
успешной. Достаточно рассмотреть максимально доступное
знание. Так как оно тоже изменяется, то должно изменяться и
состояние самой системы; вопрос о том, когда следует приме-
применять проективный постулат, а когда уравнение Шредингера,

300 Гл. 5. Квантовая метафизика
остается без ответа в данной интерпретации. Особенно хорошо
это иллюстрирует случай распадающейся нестабильной ча-
частицы; если наблюдатель приобретает знание о том, что ча-
частица распалась, то только по той причине, что частица дей-
действительно распалась. Это кажется более правдоподобным,
если рассматривать мгновенное измерение. Но обсуждаемую
идею трудно отличить от классического представления, что
роль измерения состоит в том, чтобы обнаружить то, что уже
истинно. При этом делают ошибку: суперпозицию |а>+|6>
подменяют смесью состояний «|а> или \Ь}».
Тем не менее если согласиться с обвинением в субъекти-
субъективизме и настаивать на том, что вектор состояния относится к
знанию конкретного наблюдателя, то возникает следующий
вопрос: «Что же в таком случае знает наблюдатель?» Если его
знание относится к системе, то мы возвращаемся либо к бук-
буквальной, либо к объективной интерпретациям. Если оно отно-
относится к результатам последующих экспериментов над систе-
системой, мы возвращаемся к минимальной интерпретации.
Литература: [53].
5. Интерпретация, использующая ансамбли. Ряд авторов
(в том числе Эйнштейн) отрицают, что вектор состояния опи-
описывает состояние отдельной системы: этот вектор они относят
только к большому числу систем, приготовленных одинаковым
образом. Такое множество систем называют ансамблем. Ве-
Вероятности |<ip|i|3/,>|2 в постулате II интерпретируются тогда как
доли систем ансамбля, для которых данный эксперимент дает
определенный конкретный результат. Системы, для которых
был получен результат ос,-, составляют подмножество первона-
первоначального множества систем, поэтому они сами образуют неко-
некоторый ансамбль. Естественно, этот новый ансамбль описы-
описывается другим вектором состояния. Таким образом, процедура
проектирования означает не прерывание действия уравнения
Шредингера, описывающего временную эволюцию ансамбля, а
просто переключение нашего внимания на другой ансамбль.
Если ансамбль Е\, состоящий из Ni систем, объединить с
другим ансамблем Е2, состоящим из N2 систем, то получится
ансамбль, который называется смесью ансамблей Ех и ?.
Пусть ансамбли Е\ и Е2 описываются векторами состояний
|i|)i> и |г|J>, тогда смесь описывается статистическим опера-
оператором
Р = Щ I *i>(^i I + о>21 Ц>2)<1>21, E.116)
где
Таким образом, в рассматриваемой интерпретации кванто-
квантовой механики, как и в минимальной интерпретации (а также

§ 5.5. Интерпретации квантовой механики 301
и в эиистемной интерпретации), нет принципиального разли-
различия между метасостояиием н чистым состоянием (т. е. между
описаниями с помощью статистического оператора и с по-
помощью вектора состояния).
Возражения. Эта интерпретация не предназначена для раз-
разрешения специфических проблем квантовой механики, а яв-
является просто способом понимания положений теории вероят-
вероятности. Что касается самого понятия вероятности, то недостатки
такой интерпретации обсуждались в гл. 2 (стр. 65). Понятие
ансамбля туманно, так ках не ясно, что означают слова «боль-
«большое чнс."и систем». Чтобы утверждениям о долях систем ан-
ансамбля можно было придать экспериментальный смысл, ан-
ансамбль должен состоять из конечного числа систем. Но тогда
имеется возможность (отдаленная, но реальная) того, что экс-
эксперименты над системами дадут доли, отличные от предсказы-
предсказываемых теорией, и мы не сможем сказать, что эти последние
определенно предсказываются теорией.
С другой стороны, если признать, что ансамбль бесконечен
и любой конечный набор его систем есть просто образец, взя-
взятый из пего, то такой ансамбль не может иметь какой-либо
эмпирической реальности: он будет чисто теоретическим по-
построением, связанным с конкретной системой в точности так
же, как с ней связан вектор состояния в буквальной интерпре-
интерпретации. Ансамбль имеет то преимущество перед вектором со-
состояния, что он существует (в теоретическом смысле) даже
тогда, когда пет вектора состояния. Например, в эксперименте
ЭПР с двумя удаленными друг от друга электронами, находя-
находящимися в состоянии с полным спином 0, ни один из электронов
не обладает определенным вектором состояния, но каждый
электрон можно связать с ансамблем, описываемым статисти-
статистическим оператором 'АО f>| |>+|-}->! f))- Но наиболее полное
возможное описание должно включать в себя полную систему
из двух электронов и приписывать ей определенный вектор со-
состояния; он имеет тот же статус, что и бесконечный ансамбль
двухэлектроппых систем.
Как и в случае эштстемной интерпретации, предлагаемое
рассматриваемой интерпретацией объяснение проективного по-
постулата не решает никаких проблем. Если ансамбль можно
подразделить па экспериментально различимые подансамбли,
то он в действительности является некоторой смесью; ансамбль,
описываемый одним вектором состояния, однороден в том
смысле, что пет обнаружимого различия между его системами.
При проведении эксперимента первоначально однородный ан-
ансамбль становится смесью. Это объективно происходящее с ним
изменение, которое нельзя объяснить просто переключением
внимания наблюдателя.

302 Гл. 5. Квантовая метафизика
Литература: [7].
6. Интерпретации, оперирующие относительным состоянием
и множеством миров. Предложенная Эвереттом интерпретация
квантовой механики, оперирующая относительным состоянием,
является вариантом буквальной интерпретации, который позво-
позволяет говорить о состояниях подсистем. Но ута интерпретация
настаивает на том, что состояние любой системы не имеет аб-
абсолютного смысла, а определяется только по отношению к со-
состоянию всей остальной Вселенной. Единственные состояния,
которые имеют абсолютный смысл, относятся ко всей Вселен-
Вселенной, включая всех наблюдателей и их сознание. Эту идею мож-
можно продемонстрировать на примере системы S, имеющей толь-
только два состояния \tyi} и |г|J>; для состояния Вселенной имеем
2), E.117)
где |ai> и |а2> — состояния остальной части Вселенной, вклю-
включая состояние прибора, показывающего различные результаты
эксперимента, собственными состояниями которого являются
|i|)i> и |г|J>. Тогда |г|з,-> — состояние системы по отношению
к состоянию ja,-> остальной Вселенной (/ = 1,2). Такая точка
зрения объясняет проективный постулат. Как условное утверж-
утверждение: если результат эксперимента а,-, то состояние системы
дается |я|)(>; эта условность включается в формализм кванто-
квантовой механики. (Условная формулировка, как и постулат III,
обращается к прошлому опыту и касается только последствий
применения формализма.) Развивая теорию фон Неймана (см.
§ 5.2) для процесса измерения, Эверетт [33] продемонстриро-
продемонстрировал состоятельность процедуры сохранения полного вектора
состояния E.117) и показал, что она может объяснять согла-
согласие между различными наблюдателями относительно того, что,
по их мнению, произошло в данном конкретном эксперименте
(несмотря на то что другая часть вектора состояния Вселен-
Вселенной описывает другой результат). Эверетт показал также, что
постулат II, относящийся к вероятностям различных результа-
результатов эксперимента, можно свести к естественному распределе-
распределению вероятностей, порожденному вектором состояния. Он счи-
считал, что этот результат означает, что «формализм сам порож-
порождает свою интерпретацию».
Интерпретация, оперирующая множеством миров, — нагляд-
наглядное изложение интерпретации, оперирующей относительным
состоянием. Она интерпретирует состояние Вселенной, описы-
описываемое вектором состояния вида E.117), как Вселенную, кото-
которая распадается на два мира, в одном из которых состояние
системы есть \^ч}; при этом эксперимент дает определенный
результат ось и все наблюдатели осведомлены об этом резуль-
результате. Во втором мире имеем все то же самое, но с заменой

§ 5.5. Интерпретации квантовой механики 303
|ipi> на |i)J>- Вообще, где бы ни требовала теория применения
проективного постулата, интерпретация, оперируюшая множе-
множеством миров, утверждает, что Вселенная распадается на па-
параллельно существующие миры, подобные встречающимся в
научно-фантастической литературе, например в романе К.Дика
«Человек в высоком замке» [29]. Интерпретация допускает
возможную интерференцию между различными слагаемыми
вектора состояния Вселенной, предполагая, что различные вет-
ветви Вселенной могут пересекаться.
Возражения. Интерпретация, оперирующая относительным
состоянием, практически не отличается от объективной интер-
интерпретации. Приняв, что вектор состояния Вселенной эволюцио-
эволюционирует только под действием уравнения Шрелипгера, такая
интерпретация не допускает индетерминизма, который тем не
менее присутствует в описании реальности каждым из наблю-
наблюдателей. Может показаться, что было бы последовательнее,
если бы формализм описывал эту реальность, а не какую-то
другую, т. е. если бы он не рассматривал части вектора состоя-
состояний Вселенной, описывающие ситуации, которые действитель-
действительный наблюдатель считает ложными. Но интерпретация, опери-
оперирующая относительным состоянием, этого не делает, чтобы не
допустить неоднозначности при применении проективного по-
постулата.
Интерпретация, оперирующая многими мирами, допускает
неправомерную подмену понятий. Сказать, что эксперимент
дал результат C в некотором параллельном мире (когда мы
убедились, что его результат есть а) — это только другой спо-
способ выразить мысль, что эксперимент мог бы иметь результат
Р, но не имел его. Мы совершенно справедливо считаем, что
«реальный мир» следует определить как мир, в котором дей-
действительно произошло то, что мы наблюдали. Тогда процедура
подразделения Вселенной на отдельные миры, из которых толь-
только один реальный, сводится к процедуре, описываемой проек-
проективным постулатом, и эта процедура должно ответить н-i во-
вопросы, когда п при каких обстоятельствах ее следует приме-
применять.
В защиту интерпретации, оперирующей многими мирами,
можно сказать, что называть событие «реальным» можно в том
случае, если оно оказывает какое-то наблюдаемое действие;
поэтому реальными надо считать экспериментальные резуль-
результаты, которые мы не наблюдали, но которые обеспечили нали-
наличие интерференционных эффектов между различными частями
вектора состояний Вселенной. Такие эффекты учитываются в
объективной интерпретации квантовой механики, в которой на
будущую эволюцию системы влияют нереализованные возмож-
возможности результатов прошлых экспериментов. Различие между

304 Гл. 5. Квантовая метафизика
последним утверждением и утверждением, что эти возможно-
возможности осуществились в альтернативном мире, только в словах.
Против обеих интерпретаций, оперируюшпх относительным
состоянием и множеством миров, можно выдвинуть то возра-
возражение, что они не позволяют представить знание, полученное
в эксперименте, Если произведенный над системой эксперимент
дал результат «ь соответствующий собственному состоянию
|i|)i>, и если |aj> обозначает соответствующее состояние при-
прибора, экспериментатора и остальной Вселенной, то отсюда
нельзя еще заключить, что состояние Вселенной есть |\))i>|ai>;
оно может быть, например, |г]з!> |aj> + hN) |осг> или |it>i>|ai>+
+ VaMh) ]«2>- Но можно сделать заключение, что относитель-
относительное состояние системы равно |i|)i>; можно также сказать, что
имеются причины, по которым наблюдатель не может вклю-
включить самого себя в теорию.
Литература: [20, 28].
7. Квантово-логическая интерпретация. Квантовая логика
(описанная в § 5.4) была развита, чтобы поддержать утверж-
утверждение, что трудности в интерпретации квантовой механики
обусловлены использованием классической логики при рас-
рассмотрении физических систем. Проводится аналогия между
логикой, геометрией и физикой: в точности так же, как евкли-
евклидова геометрия является лишь одной из возможных геометрий,
и вопрос о том, какая из геометрий является геометрией физи-
физического мира, должен быть решен эмпирически, так и класси-
классическая логика есть лишь одна из возможных форм логики, и
законы физики могут показать, что она неприменима к реаль-
реальному миру. Это как раз и происходит, когда мы интерпрети-
интерпретируем подпространства пространства состояний как высказыва-
высказывания, используя решеточные символы ^, V и Л, означающие
«следует», «и» и «или», как в § 5.4.
Такая интерпретация направлена главным образом против
индетерминированности квантовой механики. Идея состоит в
том. что системе можно приписать определенные значения
всех наблюдаемых, даже тех, которые несовместны. Пусть, на-
например, X обозначает координату частицы, движущейся в од-
одном измерении, а Р — ее импульс. Пусть р\, ро, ... обозначают
возможные значения импульса Р (значения для простоты выпи-
выписываем так, как если бы они были счетным множеством).
Тогда высказывание Х = х несовместно с каждым н:з выска-
высказываний Р = ри Р — р2 и т. д. Тем не менее высказывание
X = х совместно с высказыванием «Р = р\ или Р = р2 и т. д.»
(т. е. «Р имеет какое-то значение»), так как вследствие неди-
недистрибутивности квантовой логики высказывание
(X = х) и {Р = Р\ или Р = Рг или...)

§ 5.5. Интерпретации квантовой механики 305
не эквивалентно высказыванию
(Х = х и Р = р{) или (X = х и Р = р2) или... .
Решение проблемы индетерминированности приводит к ре-
решению проблемы измерения. Если каждая наблюдаемая имеет
определенное значение, то процесс измерения просто выявляет,
каковы эти значения, а процедура проектирования вектора со-
состояния есть просто процедура выделения истинных высказы-
высказываний в системе (процедура перехода от высказывания «Р = pi
или Р = р2 или ...» к высказыванию «Р = р\», например).
Проблему иесепарабельности можно решить аналогично. Кор-
Корреляции эксперимента ЭПР между двумя подсистемами объ-
объясняются, как корреляции между различными свойствами, ко-
которыми системы обладали со времени их совместного образо-
образования. Теорему Белла, которая в классической логике показы-
показывает, что объяснение несовместно с локальностью, можно не
принимать во внимание, так как она пользуется классической
(дистрибутивной) логикой.
Возражения. Данная интерпретация ни на чем не основана,
кроме математического каламбура. Интерпретировать опера-
операцию V (линейную сумму подпространств векторов состояний)
как логическую связь «или» значит изменить смысл «или»
столь радикально, что с этим нельзя согласиться: кроме всего
прочего в квантовой механике из утверждения «Р V Q истинно»
не следует, что «либо Р истинно, либо Q истинно». Отсюда по-
получаем, что только в очень слабом смысле квантовая логика
действительно позволяет каждой наблюдаемой иметь свое соб-
собственное значение. На стр. 287 мы уже говорили, что в кван-
квантовой логике нельзя утверждать в отношении какого-либо вы-
высказывания, что оно обязательно либо истинно, либо ложно.
Аналогия между логикой и геометрией поверхностная. Мож-
Можно сформулировать неевклидову геометрию без использования
(и даже упоминания) евклидовой геометрии, но нельзя сфор-
сформулировать квантовую логику без использования классической
логики (в качестве метатеории). Таким образом, решения про-
проблем измерения и несепарабелыюсти слишком просты; они це-
целиком определяются принятым запретом на дистрибутивность.
Если бы квантовая логика последовательно применялась как
логика в истинном смысле этого слова (т. е. как метод рас-
рассуждений), то это потребовало бы радикальной перестройки
всей математики — выполнения геркулесовой и, вероятно, не-
невозможной работы.
Если принять, что рассуждения о квантовых высказываниях
должны проводиться по правилам классической логики (так и
поступают в математической логике), то аппарат квантовой

306 Гл. 5. Квантовая метафизика
логики становится просто переформулировкой математического
формализма квантовой механики. Тогда ни о какой интерпре-
интерпретации квантовой механики нет речи. Наоборот, сам математи-
математический аппарат квантовой логики требует интерпретации.
Литература: [14,80].
8. Интерпретации со скрытыми переменными. Гипотеза о
том, что поведение квантовой системы управляется скрытыми
переменными, фактически является новой теорией, цель кото-
которой состоит в объяснении квантовой механики и которая в
принципе должна отличаться от последней в отношении эмпи-
эмпирических предсказаний. Эту гипотезу можно рассматривать
как интерпретацию, если допустить, что она не будет делать ни-
никаких экспериментальных предсказаний, отличных от предска-
предсказаний квантовой механики.
Например, теория де Бройля - Бома (см. § 5.3) становит-
становится такой интерпретацией, если считать, что в ее рамках для
любой частины, независимо от ее происхождения и прошлой
истории, плотность вероятности того, что частица находится в
точке г, дастся квадратом модуля |i|)(r)|2. (Напомним, что,
согласно этой теории, обе величины — и вектор положения и
волновая функция — являются внутренне присущими частице
свойствами.)
Интерпретация де Бройля--Бома предложена для того,
чтобы устранить элементы индетерминизма из квантовой ме-
механики. Эту цель ставят перед собой многие (но не все) ин-
интерпретации со скрытыми переменными; можно считать, ко-
конечно, что и скрытые переменные изменяются непредсказуе-
непредсказуемым образом. Определяющее свойство интерпретаций со скры-
скрытыми переменными состоит в том, что все наблюдаемые в ней
имеют точные значения, выраженные через скрытые перемен-
переменные; как и в случае квантовологической интерпретации, основ-
основной мишенью интерпретаций со скрытыми переменными яв-
является индетермпнпрованпость.
Возражения. Если скрытые переменные действительно так
скрыты, ню их невозможно обнаружить отдельно от вектора
состояния, то остается слишком мало оснований для веры в их
существование. В примере теории де Бройля--Бома предпо-
предположение о распределении координат частицы крайне неправдо-
неправдоподобно, если считать, что такие скрытые положения частицы
на самом деле существуют.
Имеется непрерывное множество интерпретаций со скры-
скрытыми переменными, примыкающих к объективной интерпрета-
интерпретации; если считать некоторые специальные подпространства в
объективной интерпретации собственными подпространствами
положений частииы, то объективная интерпретация совпадает
с интерпретацией со скрытыми переменными (см. задачу 5.14).

Основные положения главы 5 307
Теорема Белла показывает, что все эти интерпретации, де-
детерминированные или не детерминированные, должны посту-
постулировать мгновенное действие на расстоянии и потому всту-
вступают в противоречие со специальной теорией относительности.
Литература: [8].
9. Стохастическая интерпретация. Имеется формальное
сходство между уравнением Шредипгера и стохастическими
дифференциальными уравнениями, описывающими непредска-
непредсказуемые движения частицы, подверженной случайным толчкам,
подобным тем, которые испытывает плавающая в жидкости ча-
сткца цветочной пыльцы при броуновском движении. Получаем
интерпретацию квантовой механики, в которой частицы имеют
определенное положение г в каждый момент времени, и на
каждом временном интервале 8t для нее существует определен-
определенная вероятность перехода из указанного положения г на рас-
расстояние 6г.
Возражения. Как и в случае интерпретаций со скрытыми
переменными здесь нарушается теорема Белла: если считать
причиной вероятностей переходов толчки со стороны среды
(как в броуновском движении или в модели случайных флук-
флуктуации электромагнитного поля), то свойства этой среды в
сильной степени зависят от мгновенных положений удаленных
частиц. Свойства среды в отношении влияния на конкретную
частицу также зависят во все моменты времени t от вида вол-
волновой функции частицы в начальный момент / = 0. Это стран-
странно и неправдоподобно.
Литература: [40,68].
Заключение. В отсутствие экспериментальных данных интер-
интерпретация квантовой механики может быть выбрана по соб-
собственному усмотрению. Соображения, изложенные в настоящем
параграфе, показывают что выбор нужно делать между непо-
непонятной (и вызывающей возражение) минимальной интерпрета-
интерпретацией, удовлетворительной (но загадочной) объективной интер-
интерпретацией и понятной (но неправдоподобной) интерпретацией
со скрытыми переменными.
Основные положения главы 5
Постулат Белла 296
Теорема 5.1. Вероятности для статистического оператора 248
Теорема 5.2. Выпуклые линейные комбинации статистиче-
статистических операторов 249
Теорема 5.3. Влияние измерения на статистический опера-
оператор 251

308 Гл. 5. Квантовая метафизика
Теорема 5.4. Коммутирующие наблюдаемые в различные
моменты времени 253
Теорема 5.5. Взаимодействующие системы и проективный
постулат 261
Теорема 5.6. Макроскопический прибор и проективный по-
постулат 263
Теорема 5.7. Наблюдаемый котелок никогда не закипит 264
Теорема 5.8. Теорема Белла 275
Теорема 5.9. Из постулата Белла следует проективный по-
постулат 296
Рекомендуемая литература
Подробное обсуждение проблем обоснования квантовой меха-
механики можно найти в книгах Джеммера [58], Д'Эспаньи [24]
и Примаса [78]. Уилер и Зурек [102] собрали ценную коллек-
коллекцию перепечаток работ, включающую оригинальные работы по
большинству вопросов, затронутых в настоящей главе. По по-
поводу теорий измерений см. также учебник Бома [18]. О скры-
скрытых переменных и неравенствах Белла см. статьи Д'Эспаньи
[25] (популярное изложение), Белла [9], Клозера и Шимони
[21] (детальное описание экспериментов), а также книгу Бе-
линфанте [8] (очень подробный обзор). Квантовой логике по-
посвящены работы Хьюза [54] (популярное изложение), Пирона
[75] и Яуха [59].
Задачи к главе 5
1. Рассмотрите систему с пространством состояний конечной
размерности п. Утверждение, что все состояния системы равно-
равновероятны, следует понимать в том смысле, что статистический
оператор системы дается выражением р= \ | i|))(ip \d\\j, где ин-
интеграл берется по множеству единичных векторов (образующих
сферу S2n~l), a d-ty — обычная мера на S2n~l, инвариантная от-
относительно унитарных преобразований векторов |г|з>. Пока-
Покажите, что р = п + 1.
2. Докажите, что в случае системы с конечномерным про-
пространством состояний, для которой все состояния равнове-
равновероятны, вероятность того, что эксперимент дает конкретный
результат, пропорциональна размерности собственного про-
пространства этого результата.
3. Система подвергается случайным повторениям экспери-
эксперимента Е; вероятность того, что эксперимент произойдет в тече-
течение временного интервала б/, равна w 8t. Пусть эксперимент Е
имеет только два возможных результата. Покажите, что стати-

Задачи к главе 5 309
стический оператор р удовлетворяет уравнению
dp/dt = {ih)~l [Н, р] + а- BПрП - Пр - рП),
где П — проекционный оператор на одно из собственных про-
пространств эксперимента Е.
4. Пусть {|"фя>}—некоторая ортонормированпая полная си-
система состояний для системы S, а 7 — некоторая другая си-
система. Покажите, что любое состояние |ЧГ> комбинированной
системы 57' можно записать в виде j Ч;) = J] | \p,t> 19„), где
18„)— состояния системы Т. Покажите также, что когда
комбинированная система находится в состоянии | Чг), стати-
статистический оператор системы 5 равен
tr
5. Система имеет два ортогональных состояния |Ф> и
и оператор А определен так, что Л | Ф> = 14F> и Л|1Р> =
Вычислите средние значения оператора А в ситуациях, описы-
описываемых статистическими операторами р и р', даваемыми выра-
выражениями E.38) и E.39).
6. Пусть SP — фазовое пространство классической частицы,
движущейся в одном измерении, а Ж — пространство волновых
функций квантовой частицы, движущейся в одном измерении.
Для любой функции g(x,p), действующей в 5я, оператор Ag,
действующий в If может быть определен выражением
(Айф) (х) = Bл)-'1' \g(x + У2М, р) е~»ф (х + ht) dt dp.
Для заданной волновой функции г|з определите функцию g в
пространстве 5* формулой
g (х, р) = ^ ^(x—l/2hs)e-ips^> (x -f l/2fts) ds.
Покажите, что
1) Д^
2)
3)
где г); — фурье-образ функции i|).
7. Пусть 5Г—комбинированная система, описываемая га-
гамильтонианом вида Hs ® 1 + 1 <8> Яг, где Яз и Нт — операторы,
действующие в пространствах состояний 5 и 7. Покажите, что
на результат эксперимента, производимого над системой S, не
может повлиять эксперимент, производимый над системой Т.
Выведите отсюда, что никакой эксперимент ЭПР нельзя ис-

310 Гл. 5. Квантовая метафизика
пользовать для передачи сигналов со скоростью, большей ско-
скорости света.
8. Опишите эволюцию полного вектора состояний, вклю-
включающего также состояние прибора, в эксперименте ЭПР.
9. Пусть \фх} и \фу} — поляризационные состояния фотона,
движущегося н z-направлении, как в гл. 2. Покажите, что со-
состояние системы двух таких фотонов с полным угловым мо-
моментом 0 равно (l/V2 )(\Фх)\Фх) + \ФУ) \?у))- Считая, что си-
система двух фотонов находится в этом состоянии, найдите ве-
вероятность того, что один из фотонов пройдет через поляроид,
ось которого составляет угол G с осью х, если уже известно,
что второй фотон прошел через поляроид, ось которого на-
направлена вдоль оси х.
Пусть А, В и С — эксперименты по наблюдению, прошел ли
фотон через данный поляроид, причем оси А и В составляют угол
0, а оси В и С — угол <р. Пусть этот эксперимент можно проде-
проделать с каждым из двух фотонов, полный угловой момент кото-
которых равен 0. Получите вариант неравенства Белла для опи-
описанной ситуации и найдите значения углов G и </>, для которых
выведенное неравенство противоречит предсказаниям кванто-
квантовой механики.
10. Пусть, как и в эксперименте ЭПР, две удаленные ча-
частицы подвергаются независимым измерениям, каждое из ко-
которых имеет только два возможных результата ±1. Предполо-
Предположим, что в измерениях, производимых над одной частицей, мы
измеряем две величины а\ и Ь\, а в измерениях, производимых
над другой частицей, измеряем две другие величины с2 и d2.
Пусть <aiC2> — среднее значение величины а\С2 и т. д. Пока-
Покажите, что предположение, что результаты измерений опреде-
определяются независимыми свойствами частиц, приводит к неравен-
неравенству
(alC2) + (Мо> + (Ь{с2) - (Ь^) < 2
и что оно может нарушаться в квантовой механике. (Имеем
аналог неравенства Белла, который можно подвергнуть экспе-
экспериментальной проверке.) [Указание: для каждой частицы име-
имеем очевидное соотношение а\С2 + d\d% = a1c2(l— b\d2) -\-
-+- a\d2(\ + b\c2) и неравенство a\C2 ^ 1.]
11. Предположим, что в условиях задачи 10 результаты
экспериментов не определяются однозначно свойствами частиц
и частицы описываются переменными, совокупно обозначен-
обозначенными %. Пусть значения переменных определяют вероятности
результатов измерений. Пусть P(ai = l, с2 = —1; Я) — вероят-
вероятность того, что измерение величин а.\ и с2 дает результаты 1

Задачи к главе 5 311
и —1 при условии, что переменные Я имеют определенные зна-
значения, и пусть указанные переменные описываются распределе-
распределением вероятностей р(Я), так что
Р(ах = 1 и с2 = —1)= ^ Р (а! = 1, с2 = —1; X)d%,
Покажите, что предположение о независимости измерений,
производимых над обеими частицами, т. е. о существовании
вероятностей Р\ и Р2, удовлетворяющих условию
Я(ai = l, с2 = -1; Л.) = Р1(а, = 1; А,)Р2(с2 = —1; X)
приводит к такому же неравенству как в задаче 10.
12. Дана решетка подмножеств некоторого множества. По-
Постройте соответствующую решетку высказываний.
13. Постройте операции «объединения» V и «пересечения»
Л для пар элементов прямой суммы решеток.
14. Покажите, что ортомодулярная решетка непрнводима
тогда и только тогда, когда она не является прямой суммой.
15. Покажите, что если решетка имеет метасостояние а, об-
обладающее только значениями 0 и 1, то она дистрибутивна. Оп-
Определите значения а(хАу) и а(х\/у) по известным значе-
значениям а(х) и а(у).
16. Рассмотрите частицу, движущуюся в одном измерении
в потенциале V(x), описываемую волновой функцией г|з(д;).
Пусть х,г — некоторая последовательность точек на прямой, ну-
нумеруемых (по порядку) индексом п. Пусть tyn{x,t) — волновая
функция, совпадающая с функцией ty(x,t) при хп ^ х ^ хп+х и
обращающаяся в нуль при х < хп — е и х > хп+\ -\- е. Пока-
Покажите, что при использовании постулата Белла для описания
вероятностей переходов между состояниями |ф„> в пределе
е->-0 вероятность перехода из состояния |ipn+i)B |"ф/г> в тече-
течение времени 8t равна j(xn)8t, если последняя величина поло-
положительна, где / — ток вероятности для функции я[). Свяжите
полученный результат с моделью волны-пилота де Бройля —
Бома.

Глава 6
Квантовые числа
(свойства элементарных частиц)
В этой главе мы возвращаемся к рассмотрению элементарных
частиц. Применяя к ним теорию, развитую в гл. 2, 3 и 4, ра-
разовьем теперь качественное описание, приведенное в гл. 1, и
дадим количественную теорию, по крайней мере в отношении
внутренних свойств частиц, т. е. их квантовых чисел. Описание
взаимодействий элементарных частиц, которое дается в этой
главе, не в полном смысле количественное; оно представляет
собой упрощенный вариант теории, о котором упоминалось
в § 4.6.
В настоящей главе мы примем ti = 1.
§ 6.1. Изоспин
Протон обладает электрическим зарядом,а нейтрон им не об-
обладает, так что электромагнитные силы действуют на них по-
разному. Но в отношении сил сильного взаимодействия эти две
частицы ведут себя совершенно одинаково, как об этом свиде-
свидетельствуют следующие экспериментальные факты.
Во-первых, в природе существуют пары зеркальных ядер.
Имеются много пар ядер, для которых число протонов в одном
ядре равно числу нейтронов в другом. Например, ядро 3Н (три-
(трития) имеет один протон и два нейтрона, а ядро изотопа гелия
3Не имеет два протона и один нейтрон. Другие примеры таких
пар (I99Fio, 19юНе9) и A46С8, 148О6). Экспериментально обнару-
обнаружено, что структуры энергетических уровней таких пар ядер
во многом подобны, и сходство их еще увеличивается, если
учесть дополнительную электростатическую потенциальную
энергию ядра с большим числом протонов. Если гамильтониан
взаимодействия частиц в ядре представить суммой некоторого
числа слагаемых, по одному на каждую пару частиц, то станет
очевидно, что потенциал двух протонов практически такой же,
как потенциал двух нейтронов. В отношении потенциала пары,
состоящей из протона и нейтрона, никакого заключения сде-
сделать нельзя, поскольку число таких пар в обоих ядрах одина-
одинаково.
Во-вторых, имеются экспериментальные данные по рассея-
рассеянию протонов и нейтронов на ядрах, которые показывают, что
потенциал п — р практически одинаков с потенциалами п — п

§ 6.1. Изоспин 313
н р — р. В экспериментах по рассеянию частиц на ядрах опре-
определяют распределения по углам и энергиям частиц, рассеивае-
рассеиваемых в результате столкновений, так что в этих экспериментах
исследуют несвязанные состояния частиц (состояние их в ядре
связанное). В экспериментах по рассеянию было обнаружено,
что волновые функции несвязанных состояний двух протонов
без учета ихдвзаимного электростатического отталкивания оказы-
оказываются подобными соответствующим волновым функциям двух-
двухчастичной системы, состоящей из нейтрона и протона, при
условии, что сравниваются состояния с одним и тем же спино-
спиновым и орбитальным угловыми моментами. Последняя оговорка
нужна по следующей причине. Протоны являются фермионами,
поэтому имеются ограничения на возможные спин-орбитальные
состояния двух протонов, которые не надо учитывать для си-
системы из протона и нейтрона. Таким образом, следует рас-
рассматривать двухчастичные состояния, для которых спиновое
состояние симметрично (полный спин s = l), а орбитальное —
антисимметрично (относительный угловой момент / нечетный),
или двухчастичные состояния, для которых спиновое состояние
антисимметрично (s = 0), а орбитальное симметрично (/ чет-
четное). Для таких состояний рассеяние п — р оказывается та-
таким же, как рассеяние р — р.
Приведенные экспериментальные данные в отношении пар
зеркальных ядер и рассеяния протонов и нейтронов на ядрах
легко объяснить, если рассматривать протон и нейтрон как два
состояния одной частицы — нуклона и предположить, что в га-
гамильтониан сильных взаимодействий указанные состояния вхо-
входят равноправно. Тогда пространство состояний нуклона равно
{Ж®.9?)®-У, где Ж ® 91 — обычное спин-орбитальное про-
пространство состояний, а 3f— двумерное пространство состояний
с полной системой состояний {\р}, |я>}. Гамильтониан сильных
взаимодействий имеет вид Hst = Н' ® 1,где Н' — оператор, дей-
действующий в пространстве Ж®ЗР. Таким образом, оператор Hst
коммутирует со всеми операторами, действующими в простран-
пространстве У. В частности, он коммутирует с унитарными операто-
операторами U, определяемыми формулами ')
') В формулы F.1) входят суперпозиции состояний с различными
электрическими зарядами, существование которых запрещено соответствую-
соответствующим правилом суперотбора. Казалось бы, отсюда можно заключить, что
оператор U не имеет физического смысла. Но это не так. Можно рассмот-
рассмотреть фиктивный мир, в котором вообще не действуют электромагнитные
силы. В таком мире не будет и электрического заряда, а потому и связан-
связанного с ним правила суперотбора. Так как силы сильного взаимодействия

314 Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных часгиц)
где матрица
принадлежит к группе SU B) (любой унитарный оператор,
действующий в пространстве 9, кратен такому оператору U).
Таким образом, абсолютно идентичное поведение протона и
нейтрона в отношении сил сильного взаимодействия можно счи-
считать результатом инвариантности сил сильного взаимодействия
относительно группы операций, представленных формулами
F.1). Эта группа изоморфна группе SUB) и действует в про-
пространстве состояний 3? так же, как операторы вращений дей-
действуют в спиновом пространстве 91.
Поскольку мы имеем дело с непрерывной группой инва-
риантностей, ее эрмитовы генераторы, согласно теореме 3.5,
представляют собой сохраняющиеся наблюдаемые. Эти опера-
операторы действуют в пространстве состояний 3 таким же обра-
образом, как генераторы группы вращений (операторы углового
момента) действуют в спиновом пространстве SP. Таким обра-
образом, в пространстве ?У имеются три оператора I\, h, h, опреде-
определяемые матрицами '/г^ь 'А0^, 'А^з (типа 2X2), где ai — мат-
матрицы Паули D.39) (обычно обозначаемые т/, в рассматривае-
рассматриваемом контексте). Операторы Л, h, h представляют сохраняю-
сохраняющиеся наблюдаемые, которые называются компонентами изо-
спина. Протон и нейтрон являются собственными состояниями
третьей компоненты изоспина с собственными значениями +1/2
и —1/2 соответственно. Операции симметрии F.1) называют
изоспиновыми преобразованиями.
Компоненты изоспина удовлетворяют тем же коммутацион-
коммутационным соотношениям, что и компоненты углового момента. По-
Поэтому теорию, развитую в § 4.1, которая базировалась исклю-
исключительно на коммутационных соотношениях, можно применить
и к изоспину. Таким образом, можно заключить, что величина
I2 =/2i +/22 +/2з имеет собственные значения /(/+1), где
/ — целое или полуцелое число; для протона и нейтрона, изо-
спин которых мы построили с помощью модели частицы со
спином 1/2, имеем / = 1/2.
Можно вывести много следствий из закона сохранения изо-
сшша в ядерной физике. Изоспины многонуклонных состояний
получаются сложением изоспинов отдельных нуклонов в точ-
памного больше электромагнитных сил, разумно ожидать, что этот фиктив-
фиктивный мир будет хорошей аппроксимацией реального мира. В частности, если
использовать формулы преобразований F.1) для вывода следствий, не
имеющих отношения к запрещенным суперпозициям, то можно ожидать, что
такие следствия будут (приближенно) справедливы и в реальном мире.

§ 6.1. Изоспин 315
ности так же, как угловые моменты. Из инвариантности га-
гамильтониана относительно изоспиновых преобразований полу-
получаем тогда, что 2/+ 1 состояний с данным значением / должны
иметь одну и ту же энергию. Таким образом для пары зер-
зеркальных ядер CН, 3Не) пары соответствующих друг другу энер-
энергетических уровней разных ядер образуют дублеты с 7 = 1/2,
причем /3 = —1/2 для состояния ядра 3Н, и /3 = 1/2 для со-
состояния ядра 3Не. Эти пары состояний можно рассматривать,
Энергия (собственное
значение Н st)
»1М* 14О
/= 1
1 -О
Рис. 6.1. Пример изосшшового мультиплета в ядерной физике.
как получающиеся путем добавления одного нуклона (с / =
= 1/2) к двухнуклонному состоянию с / = 0 (т. е. к состоя-
состоянию, содержащему протон и нейтрон). Аналогично состояния
пары зеркальных ядер (I3C, 13N), для которых тоже /=1/2,
образованы путем добавления одного нуклона к 12-нуклонному
остову, в котором изоспины отдельных частиц скомбинированы
так, что в сумме дают / = 0.
Состояния пары зеркальных ядер (МС, ИО) образованы из
12-нуклонного остова путем добавления к нему двух нуклонов
(двух нейтронов в случае ядра !4С и двух протонов в случае
ядра ИО). Для состояний двух указанных ядер /3 = ±1, и они
должны принадлежать к триплету состояний с 1=1, который
можно образовать, складывая изоспины обоих нуклонов, до-
добавляемых к остову. Третий член этого триплета (с /3 = 0)
должен быть состоянием ядра 14N. Еще одно состояние этого
ядра 14N получается путем сложения изоспинов двух нуклонов
в состояние с / = 0. Оба этих состояния ядра 14N должны удов-
удовлетворять условию
O, F.2)
поскольку они имеют разные значения I2 и гамильтониан #st
коммутирует с I; таким образом, переходов между этими со-
состояниями в результате сильных взаимодействий происходить
не может. Реальная ситуация показана на рис. 6.1. Основное
состояние ядра 14N, которое стабильно, имеет энергию много
меньше энергий основных состояний ядер 14С и 14О; последние

316 Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
ядра нестабильны и распадаются в основное состояние ядра
14N, no только в результате действия сил слабого (а не силь-
сильного) взаимодействия (т. е. при |3-распаде). Кроме того, имеет-
имеется долгоживущее возбужденное состояние ядра 14N*, которое
распадается в основное состояние рассматриваемого ядра в ре-
результате сил электромагнитного, но не сильного взаимодей-
взаимодействия (т. е. при у-распаде). Это возбужденное состояние близ-
близко по энергии к основным состояниям ядер 14С и 14О, и разли-
различия энергий этих трех состояний определяются разностями их
электростатических энергий. Таким образом, четыре состояния
на рис. 6.1 ясно демонстрируют, как энергетические уровни га-
гамильтониана сильных взаимодействий, оказываются носите-
носителями представлений группы инвариантности SUB) в согласии
с теоремой 3.13.
До сих пор изосшшовые преобразования мы рассматривали
только для систем, составленных из нуклонов- По аналогии с
вращениями их можно отнести ко всем остальным системам
фиктивного мира, в котором действуют только силы сильного
взаимодействия, т. е., в частности, ко всем состояниям адронов.
Энергетические уровни последних, как и ядер, являются носи-
носителями представлений группы SUB), нумеруемых полным изо-
спином /. Поскольку каждое одночастичное состояние являет-
является собственным состоянием гамильтониана сильных взаимодей-
взаимодействий, адроны можно классифицировать по изоспиновым муль-
типлетам. Мультиплет для изоспина/состоит из 2/+ 1 частиц,
имеющих практически одинаковые массы (в силу релятивист-
релятивистской эквивалентности можно говорить о массе, а не об энер-
энергии). Рассматриваемые частицы не обязательно являются соб-
собственными состояниями гамильтонианов слабых и электромаг-
электромагнитных взаимодействий, поэтому равенство масс частиц в муль-
типлете только приближенное. Некоторые адронные мультип-
леты приведены в табл. 6.1. Для каждого такого мультиплета
значение /3 связано с электрическим зарядом Q частицы фор-
формулой
h = Q-^Y, F.3)
где У — целое число, характеризующее данный мультиплет. Оно
называется гиперзарядом мультиплета.
Значения изоспина адронов можно объяснить, рассматри-
рассматривая кварковый состав адронов в точности так же, как можно
понять значения изоспина ядер, исходя из их пуклонного со-
состава. Кварки и и d образуют изоспиновый дублет, причем
/з =—1/2 для d-кварка (изоспин вниз) и 13 = 1/2 для и-квар-
ка (пзоспнн вверх); для третьего кварка /3 = 0. Таким об-
образом, изоспииовые преобразования состояний адронов являют-

§ 6.1. Изоспин
317
Таблица 6.1. Примеры изоспнновых мультиплетов барнонов
и мезонов (/ — спин, Р — четность частицы)
Барионы (В = 1)
Нуклоны п, р
2"~. 2°. - +
Л°
л", л", л'1, д+ +
Ммш/ы (В = 0)
it — 0 +
1 1П0НЫ Л , Я , Л
/ к", к+
1 К", 1С
"(~, р°, р 1
м
-1/2, 1/2
-1, 0, 1
0
-1/2, 1/2
-3/2, -1/2, 1/2, 3/2
-1, 0, 1
-1/2, 1/2
-1/2, 1/2
0
-1, 0, 1
0
1/2
1
0
1/2
3/2
1
1/2
1/2
0
1
0
у
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
JP
1/2 +
1/2 +
1/2 +
1/2 +
3/2 +
(Г
0~
0~
0~
1""
Г
ся следствиями основных изоспиновых преобразований и- и
d-состояний:
f/|«) = a[U> + p|d),
f/|rf) = Y|u) + 6|d). F-4)
Каждый адронный мультиплет в табл. 6.1 следует считать
набором состояний одной частицы, подобной нуклону. Эта ча-
частица обладает полным пространством состояний вида Ж ® 91 ®
® Э'. Проведенное в § 4.6 обсуждение многочастичных состоя-
состояний показывает, что мультиплетиую частицу следует считать
фермионом, если отдельные члены мультиплета — фермионы, и
бозоном, если они — бозоны; при этом полные состояния ча-
частиц следует подчинять требованиям симметрии и антисиммет-
антисимметрии с учетом изоспиновых состояний. Барионы являются фер-
мионами, и полное состояние двух барионов, объединенных в
один мультнплет, должно быть антисимметричным (например,
иметь симметричное орбитальное состояние, антисимметричное
спиновое и симметричное изоспиновое состояния). Мезоны яв-
являются бозонами, и их полные двухчастичные состояния долж-
должны быть симметричными.
Пример 1. Дейтрон. Дейтрон (ядро атома дейтерия 2Н) яв-
является связанным состоянием нейтрона и протона. Поскольку
его образуют две частицы с изоспином 1/2, изоспин ядра /

318 Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
может равняться 0 или 1. Если бы мы имели /= 1, то рассмат-
рассматриваемое состояние должно было бы принадлежать триплету,
другими состояниями которого были бы протон-протонное и
нейтрон-нейтронное связанные состояния. Но таких состояний
в природе не существует, поэтому изоспин дейтрона должен
быть равен нулю. Таким образом, дейтрон представляет собой
антисимметричную комбинацию двух состояний с /=1/2. Из
того, что мы знаем об атоме водорода и гармоническом осцил-
осцилляторе (см. рис. 4.5), представляется разумным предположить,
что низкоэнергетическое связанное состояние дейтрона должно
иметь относительный орбитальный угловой момент / равный
нулю (интуитивно ясно, что если / отлично от нуля, то на ча-
частицы будут действовать центробежные силы, стремящиеся ра-
разорвать связанное состояние). Таким образом, орбитальное со-
состояние дейтрона должно быть симметричным. Поскольку ну-
нуклоны— фермионы, полное состояние дейтрона должно быть
антисимметричным, а, следовательно, спиновое состояние сим-
симметричным; поэтому полный спин дейтрона s — 1. Таким обра-
образом, полный внутренний угловой момент дейтрона (сумма / = 0
и s = 1) равен 1; следовательно, четногть дейтрона равна
(_!)*=+1.
Из закона сохранения изоспина получаем ряд интересных
следствий, если учесть, что оператор временной эволюции e~iHt
коммутирует с изоспиповыми преобразованиями, а потому яв-
является изоскалярным оператором — изоспиновым аналогом ска-
скалярного оператора в теории углового момента. Поэтому можно
применить теорему Вигнера — Эккарта D.75) и заключить, что
если |//з<х> — состояния набора, нумеруемые значениями изо-
спнна, его проекции и некоторой другой величины а, то
<//3а | е-im | /7 V > = й//'й/.л («II Ui (/) II а'). F.5)
Физический смысл последней формулы состоит в следую-
следующем. Поскольку изоспин сохраняется, значения величин / и /3
в момент времени t равны их значениям в начальный момент
t = 0; и так как процесс инвариантен относительно изоспино-
вых преобразований, его амплитуда вероятности не зависит
от /3.
Пример 2. Нуклон-нуклонное рассеяние. Пусть |ос>— спин-
орбитальное состояние двух нуклонов. Если оно симметрично,
то нзоспиновое состояние должно быть антисимметричным, по-
поэтому полный изоспин / должен быть равен нулю; в силу со-
сохранения изоспина значение / все время равно нулю и потому
спин-орбитальное состояние останется симметричным. Редуци-
Редуцированный матричный элемент <а|| UQ(t) ||а'> в F.5) в этом слу-
случае описывает нейтрон-протонное рассеяние в симметричных
спин-орбитальных состояниях. Если спин-орбитальное состоя-

§ 6.1. Изоспин 319
нпе антисимметрично, изоспиновое состояние должно быть сим-
симметричным, т. е. 1 = 1; таким образом, имеется три возмож-
возможных состояния, соответствующих рассеяниям р — р, п — р и
п — п, причем, согласно соотношению F.5), все эти три про-
процесса рассеяния управляются одной и той же амплитудой
(a\\Ui(t)\\a,'y. Это показывает, как зарядовая независимость
ядерных сил объясняется изоспиновой инвариантностью.
Пример 3. Скорости распадов. Каждая Д-частица распада-
распадается на нуклон и пион. Имеем реакцию
д_>М + я> F.6)
которая включает в себя шесть следующих отдельных распа-
распадов :
Рассмотрим две моды распада частицы Д+. Для исходного со-
состояния Д-частицы / = 3/2, /3 = 1/2; в силу сохранения изо-
спина это состояние превращается в нуклон-пионное состояние
с теми же значениями / и /3. Складывая изоспины нуклона и
пиона с помощью коэффициентов Клебша — Гордана, получаем
Отсюда видно, что вероятность того, что рассматриваемое со-
состояние будет наблюдаться как р + я0, равна 2/3; вероятность
того, что оно будет наблюдаться как п + я+ равна 1/3. Следо-
Следовательно, распады А+~+р-\-л° происходят в два раза чаще,
чем распады Д+ —*~п-\- я+:
где Г — скорость распада (вероятность распада в единицу вре-
времени).
Используя соотношение F.5), можно найти отношения ско-
скоростей распадов различных Д-частиц. Считая, что а и а' обо-
обозначают состояния Д и Nn соответственно, и обозначая состоя-
состояние Л-частицы с /а = т через |Д/п>, получаем
3
' I . ' F-Ю)
Nji; -г-tn e~lHi \ Ат) = 0.
Таким образом, все шесть распадов F.7) описываются одной
функцией времени /, которая, согласно § 3.5, приближенно

320 Гл. в. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
экспоненциальна:
« е-г<. F.11)
Здесь Г - полная скорость распада каждого из состоянии
|Аш>, так что, например
Г (Д+ + -> р + л+) = Г (А+ -> р + л°) + У (А+ -> п + л+). F.12)
Изоспин и зарядовое сопряжение. Утверждение, что опера-
оператор зарядового сопряжения С действует на состояния таким
образом, что переводит каждую частицу в се античастицу, не
полностью характеризует этот оператор, так как имеется не-
неопределенность в отношении возможного выбора произволь-
произвольных фазовых множителей. Эту неопределенность частично
можно исключить, если обратиться к изоспиновым преобразо-
преобразованиям.
Пусть Xm (m — —/, ..., /) — частицы, образующие муль-
типлет с изоспином /, а \Хт) — состояния этих частиц (при
заданном спин-орбиталыюм состоянии). Тогда
l\Xm) = T,tL\Xn), F.13)
п
где f — тройка матриц типа B/ -j- 1) X B/ + 1), представляю-
представляющих эрмитовы генераторы группы изоспиновых преобразований
(описываемых формулами D.50), D.51) с заменой / па /). Так
как все квантовые числа при переходе от частицы к антича-
античастице меняют знаки, состояние С\Хт) должно быть собствен-
собственным состоянием оператора /3 с собственным значением —т.
Выберем теперь фазовые множители таким образом, чтобы со-
состояния
\Х, —///>=(--1)'" С |А>л> F.14)
вели себя как состояния \Х,—т) по отношению к пзоспину:
l\X, -m)=ZtLn.-m\X, -n), F.15)
п
Применяя формулы D.50), D.51), легко убедиться, что
t-n, -т=(—1) tmn = (—I) Urn- («-1»)
Второе равенство следует из факта эрмитовости матриц t'. Та-
Таким образом, из F.15) получаем
1С|Хт) = - Z t'mnC \Xn)=~Z tLC IXn). F.17)
n n
Отсюда заключаел!, что изоспиповое преобразование R (изо-
спиновый аналог вращения па угол 0 вокруг осп п) на рас-

j!> b.l. Изоспин 32i
сматриваемое состояние действует следующим образом:
U (R) С\Хт) = ехр (Юп • I) С \ Хт) =
= Z [ехр (-йп • Т')]пт C\Xn)=Z diJM)c I *">, (б-18)
/г /г
где cfG?) = ехр (Шп-t) —матрица типа B7+1)ХB/+^.пред-
B7+1)ХB/+^.представляющая изоспиновое преобразование R. Таким образом,
построенные зарядово-сопряжепные состояния С\Хт) преобра-
преобразуются по комплексно-сопряженным матрицам представления
изоспиновых преобразований. Будем считать указанное их
свойство частью определения оператора зарядового сопряже-
сопряжения С, связанного таким образом с изоспином.
Требование F.18) не полностью фиксирует оператор С, так
как остается возможность умножить все состояния С\Хт) на
один и тот же фазовый множитель. Если мультиплет содер-
содержит частицу Х°, совпадающую со своей античастицей, то остаю-
остающийся фазовый множитель фиксируется с помощью операции
четности зарядового сопряжения цс для частицы Х°. Так как
частица Х° должна быть полностью нейтральной, для нее
73 = 0 и электрический заряд Q = 0. Таким образом, гипер-
гиперзаряд Y рассматриваемого мультиплета должен быть равен
нулю. Античастица каждой частицы Хт, принадлежащей муль-
типлету, тоже входит в мультиплет и обозначается Х_т (та-
(такой мультиплет называется самосопряженным). Из F.14) сле-
следует, что состояние C\Xtn) должно быть кратным состояния
(—\)т\Х,—т). Учитывая результат для состояния т = 0, по-
получаем
С\Хт)=(-\)тцс\Х, -т). F.19)
Таким образом, зарядовая четность цс является свойством
всего мультиплета. Часто в связи с ней рассматривают так на-
называемую G-четность, являющуюся собственным значением
оператора
G = Сешк F.20)
Можно показать (отсылаем читателя к задаче 8), что
формула F.19) означает, что С является изоспиновым анало-
аналогом отражения в плоскости (xz). Изоспиновое преобразование
в F.20) является аналогом вращения на угол л вокруг оси у,
так что G оказывается изоспииовым аналогом пространствен-
пространственной инверсии. Она коммутирует с изоспиновыми преобразова-
преобразованиями, так что каждая компонента самосопряженного мульти-
мультиплета будет собственным состоянием оператора G с собствен-
собственным значением aiic, где а зависит только от значения изоспина
7 данного мультиплета (см. задачу 9). Внутренние свойства

322
Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
частицы, касающиеся изоспина и G-четности, изображают сим-
символом Iе, подобным символу Jp, характеризующему простран-
пространственно-временные свойства частицы (ее спин и четность).Зна-
четность).Значения 1° для некоторых частиц приведены в табл. 6.2.
Таблица
Мультнплет
Я
р
со
6.2. Самосопряженные мультиплеты
(Г
0~
/О
0 +
0~
+
Неприводимые изоспиновые операторы. Поведение операто-
операторов при изоспиновых преобразованиях можно рассмотреть в
точности так же, как их поведение при вращениях. Неприводи-
Неприводимым оператором изоспинового типа I называется набор из
2/+1 операторов Q'm (m = —/, ..., /^удовлетворяющих сле-
следующим коммутационным соотношениям:
[I, a'J=I>nmQ'n
F.21)
(см. D.73)). Пример такого набора операторов дают опера-
операторы рождения ахт+ состояний мультиплета Хт с изоспином /.
Действительно, если | W} — произвольное состояние, то
вхт+140 — состояние с добавленной частицей X, и при действии
на эти состояния изоспинового оператора / получается сумма
двух слагаемых, в одном из которых / действует на состояние
l^), а в другом — на состояние частицы X:
140 = axm*l | W)
Следовательно,
140- F.22)
F.23)
Операторы уничтожения axm подчиняются другим изоспино-
вым коммутационным соотношениям, которые можно вывести,
взяв эрмитово сопряжение соотношений F.23):
[I, aXm] = — Z t'nmax« = — ? t'n
F.24)
(поскольку матрицы t; эрмитовы). Используя соотношение
F.17), приходим к заключению, что операторы уничтожения

б,I. Нзоспин
удопле:воряют в точности тем же коммутационным соотноше-
соотношениям, что и операторы Сахт^С, которые рождают антича-
античастицы в состояниях С\Хт). Наоборот, античастнчные опера-
операторы уничтожения Сах,пС подчиняются тем же коммутацион-
коммутационным соотношениям, что и операторы рождения ахт*-
Обсуждаемые коммутационные соотношения можно пред-
представить в более удобном виде, если операторы рождения aXnif
объединить в вектор-строку Ах^—~ (ах _;+, ..., ах]}, а опера-
операторы уничтожения — в сектор-столбец .<%*'> античастичные
операторы CaXi~'7C и CaKl,,C при этом объединяются в вектор-
столбец Ayrf и вектор-столбец Лх соответственно. Тогда полу-
получим очень простые формулы
[I, Лх+] - АхЧ', [i, Лх]--=--1'Ах,
! I, %] =. AXV, [I, Лг+] = - tMjt. (>6-y5)
Квантовые поля для частиц Хт определяются как опера-
операторы
которые также можно объединить в вектор-столбец Фх—Лх +
+ А%*- Операторы, эрмитово сопряженные эти?.! операторам,
можно объединить в вектор-строку Фх+. Коммутационные соот-
соотношения для квантовополевых операторов имеют следующий
вид:
[I, Фх] = ~ t'Ox, [I, Фх+] -= ФхЧ1. F.27)
Если X — самосопряженный мулыиплет, то ему соответстиуют
поля
Фхт = «х,„ + Са^С = аХп + (-\)т цсах _„+,
согласно FЛ9); таким образом, эрмитовы сопряжения указан-
указанных полей равны
*Xm+==(-l)*x,_,n. (б-28)
Особенно важными типами неприводимых пзоспипобых тен-
тензорных операторов являются изоеппповые аначогп скалярного
и векторного операторов. Изоскалярным называется оператор,
который коммутирует со всеми изоспиновыми операторами; это
просто другое название для неприводимого оператора с / = 0.
Изовекторным оператором называется тройка операторов V\,
Vx, V.3, удовлетворяющих коммутационным соотношениям
[lt,V,]--=i*UkVk. F.29)

324 Гл. 6. Квантовые числа (свойство элементарных частиц)
Это другое название (связанное с другим выбором базиса) не-
неприводимого тензорного оператора изоспннового типа / = 1,
так как из компонент такого оператора Т\п (иг = 0, zbl) мож-
можно построить компоненты изовекторного оператора У,- с по-
помощью формул
71 = -^г(Г1_1-Г1 + 1), V2 = ^j=r(P+l + P_l), VZ = T\. F.30)
Как и для обычных векторных операторов (для группы враще-
вращений), из двух изовекторных операторов V и W можно образо-
образовать изоскалярпый оператор V-W и пзовекториый оператор
VXW.
Пусть фх — вектор-столбец квантовых полей для мульти-
плета X с изосшпюм / и
F.31)
Это изовекторный оператор, так как
[h, Vxt] = [It, Фх+] //7Фх + Фх+// [Vt, Фх]==
= Фх (iht'i - i'ii'i) Фх = Фх+ (ieukt'k) Фх = ietjkVxk F.32)
и так как генераторы /', удовлетворяют коммутационным соот-
соотношениям группы SUB). Заметим, что вследствие того, что
компоненты оператора f являются эрмитовыми матрицами,
компоненты оператора Vx являются эрмитовыми операторами.
Пусть теперь (а", а0, а+)—самосопряженный изоспиновый
триплет с г|с=1. Тогда, согласно формулам F.30), квантовые
поля Фат1' описываются нзовекторным оператором А. Так как
рассматриваемый мультиплет самосопряженный, его поля бу-
будут даваться формулами F.28), из которых следует, что ком-
компоненты оператора А эрмитовы. Отсюда заключаем, что если
поля Фх и Фа коммутируют друг с другом, то оператор
А F.33)
является эрмитовым изоскаляром. Поэтому оператор F.33) мо-
можно рассматривать как часть гамильтониана, описывающего
изоспин-нивариаптное взаимодействие.
Пусть теперь Хт (/га = ±1/2) обозначает дублет нуклонов
и am (tn = 0, ±1)—триплет пионов. Тогда, обозначая, как
обычно, одним и тем же символом и квантовое поле, и частицу,
гамильтониан F.33) можно записать в следующем виде:
#' = W+tW • я,
где
N
-О-

§ 6.1. Изоспин 325
так что
л
0
У2я^
Я' =
' 2 я~ — л
i+
рл° - У2 р+ял+ + У2 л+рл- - п+пя°. F.34)
Это так называемое взаимодействие Юкавы — Кеммера. Полу-
Получен гамильтониан сильных взаимодействий, действующих ме-
между двумя нуклонами, в котором роль полевых квантов иг-
играют пионы и который инвариантен относительно изоспина.
Изоспин при электромагнитных и слабых взаимодействиях.
Поскольку изоспиновая инвариантность провозглашает экви-
эквивалентность состояний частиц, отличающихся электрическим
зарядом, она явным образом нарушается в электромагнитных
взаимодействиях. Далее, так как распад нейтрона связан с из-
изменением величины /3 (лептопы не обладают изоспином), мы
видим, что слабые взаимодействия тоже не сохраняют изоспина.
Таким образом, гамильтонианы электромагнитных и слабых
взаимодействий должны иметь ненулевые коммутаторы с изо-
спиновыми операторами. Концепцию изоспина можно приме-
применить и к таким взаимодействиям и определить точную форму
таких коммутаторов.
Формула F.3) показывает, что электрический заряд равен
сумме компоненты /3 изовектора I и величине —'ДУ, которая
имеет одно и то же значение для всех компонент данного изо-
спинового мультиплета, а потому коммутирует со всеми изоспи-
новыми преобразованиями, т. е. является изоскаляром. Таким
образом, гамильтониан электромагнитных взаимодействий Яет
имеет следующую структуру:
tfem = ?/elA = e(/0 + -WY, F.35)
где фу — поле фотона, а электромагнитный ток /ет представлен
в виде суммы изоскаляра /° и компоненты изоспинового три-
триплета с /3 = 0 {Jlm: m = 0, ±1}.
Пример 4. Радиоактивный распад. Мезоны р~, р°, р+ обра-
образуют изоспиновый триплет. Одна из редких мод распада этих
мезонов связана с испусканием фотона и превращением р-ме-
зона в пион. Так как гамильтониан электромагнитных взаимо-
взаимодействий пропорционален малому параметру е, такие распады
следует рассматривать в первом порядке теории возмущений;
тогда для амплитуды процесса р+—>-я+ + Т получаем (прене-
(пренебрегая кинематическим фактором) следующее выражение:
М+ = (я^|Яет|р+) = е<п+|/еш|р+). F.36)

325 Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
Вводя обозначения |р 1 тпу и |л 1 ni) для состояний |р//3>, из
теоремы Вигнера — Эккарта (стр. 204) получаем
(я 1 m | /° I p 1 m) = A m I 0 0, 1 m)(я || J° || p) == (я || /° || p>,
(я 1 m | /»„ IP 1 m) = < 1 m | 1 0, 1 m> (я || /' || p).
Таким образом, используя значения коэффициентов Клебша
Гордана из приложения III, получаем
ЛГ0 == <лп | /от | р°> = <я || /° || р>,
М_ = (я'\ /еш | р~> = <я || Я В р) = д/т <я 'IР I' P>-
Следовательно, мы видим, что три рассматриваемые амплитуды
связаны простым соотношением
М+ + М_ = 2М0. F.37)
Слабые взаимодействия адронов и лептонов можно описать
с помощью следующего эффективного гамильтониана:
Я w = ^'/еьЧь. (б-38)
где /Ch — так называемый заряженный слабый ток, равный сум-
сумме некоторого числа слагаемых, включая следующее слагаемое
для лептонного тока:
/iep = e+ve + ц+v^ + T+vt> F.39)
а также слагаемое /'_, которое является компонентой того же
изоспинового триплета, к которому принадлежит электромаг-
электромагнитный оператор /'о- Третья компонента этого триплета /'+ вхо-
входит в выражение для /Ch+. Слагаемые /iep+/'_ и J[+Jiev в гамиль-
гамильтониане Нк ответственны за процессы ядерного р-распада, в
частности за процессы, изображенные слева и справа на рпс. 6.1.
Гамильтониан электромагнитных взаимодействий 1]офу ответ-
ответствен за 7"РаспаД> изображенный в центре па рис. 6.1. Таким
образом, три процесса на рис. 6.1 связаны с тремя компонен-
компонентами одного и того же изовектора и управляются одним и тем
же редуцированным матричным элементом (см. задачу 11).
Этот факт в конечном счете привел к появлению объединенной
теории электрослабых взаимодействий, которая обсуждается в
§ 6.7.
Примечательно, что все слабые процессы независимо от
того, какие частицы в них участвуют (адроны, лептоны или и те

§ 6.2. Странность
и другие], можно описать с помощью единственной константы
связи gw'. Этот факт называют универсальностью слабых вза-
взаимодействий.
§ 6.2. Странность
Квантовое число «странность» было открыто у частиц, которые
рождаются при столкновениях космических лучей с земным ве-
веществом. Космические лучи представляют собой потоки глав-
главным образом обычных ядер, которые первоначально находятся
где-то вне пределов Солнечной системы и прилетают па Зем-
Землю с огромными энергиями; когда эти ядра сталкиваются с яд-
ядрами атомов и молекул земной атмосферы, из-за большой энер-
энергии происходят микровзрывы с последующим рождением огром-
огромного количества вторичных частиц. Частицы, приведенные в
табл. 6.1, первоначально были обнаружены в этих микровзры-
микровзрывах, вызываемых космическими лучами. В частности из барио-
нов это были частицы Л°, 2* и дублет частиц S, а из мезопов—
два дублета К- Все эти частицы нестабильны и распадаются в
следующих процессах:
Лп->М + л, E±-*N + n, Е->Л + я; F.40)
К-^2я, К-*Зл, К-*я + / + *ь F.41)
где N — нуклон и I — лептон (е± или \к±). Времена жизни ука-
указанных частиц порядка 10~10—10~8 с. Это вполне достаточное
время, чтобы частица могла оставить видимый трек (длиной не-
несколько сантиметров) в фотографической эмульсии или, если
частица нейтральна, создать заметный промежуток между точ-
точкой ее рождения и точкой распада. Такой временной масштаб
характерен для слабых взаимодействий.
Большое число таких частиц появляется в столкновениях
космических лучей с ядрами, так как вероятность их рождения
велика. Это означает, что гамильтониан, управляющий про-
процессами рождения, имеет большие матричные элементы. Ско-
Скорость рождения частиц находится в согласии с предположе-
предположением, что их рождением управляет гамильтониан сильных вза-
взаимодействий. Как представлялось вначале, этот факт противо-
противоречит тому, что распад частиц управляется гамильтонианом
слабых взаимодействий. В большинстве процессов распада
участвуют частицы, подверженные сильным взаимодействиям,
поэтому можно ожидать, что процессы распада управляются
сильным взаимодействием и, следовательно, должны иметь ха-
характерные для сильных взаимодействий времена жизни поряд-
порядка 10~23 с (частицы, участвующие в первичных процессах ро-
рождения новых частиц, выступают в качестве виртуальных про-

328
Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
межуточных состояний). Такое поведение этих частиц выглядит
странно.
Разрешение этой загадки предложили Пайс, Гелл-Манн и
Нишиджима в 1952 г. Они объяснили причину того, что рас-
распады не связаны с сильными взаимодействиями, тем, что в них
происходит изменение некоторой величины, которая сохраняет-
сохраняется при сильных взаимодействиях. Этой величиной обладают
странные новые частицы, но не обладают все другие, обычные
частицы (нуклоны, пионы и лептоны); таким образом, распад
странной частицы может произойти только в результате дейст-
действия сил слабого взаимодействия, которые не сохраняют значе-
значение странности. Рождение странных частиц, напротив, проис-
происходит в результате действия сил сильного взаимодействия; не-
необходимо только предположить, что странность может прини-
принимать как положительные, так и отрицательные значения подоб-
подобно электрическому заряду и другим квантовым числам, а так-
также, что странные частицы рождаются парами с суммарной
странностью, равной нулю. Проведенные специальные экспе-
эксперименты подтвердили, что странные частицы действительно ро-
рождаются парами и концепция странности верна.
Значения странности, приписываемые различным частицам,
приведены в табл. 6.3. Все барионы имеют странность одного
Частица
Странность
Таблица 6.3
j
Л
— 1
Значения странности частиц
S
—2
К0. К+
+1
к0, кг
J
N
0
я
0
знака (условно принятую отрицательной; их античастицы ха-
характеризуются положительными значениями странности). Один
из К-мезонных дублетов имеет странность 1, а другой — стран-
странность — 1. При умеренных значениях энергии в процессах ро-
рождения появляются странный барион вместе с имеющим поло-
положительную странность К-мезоном, как, например, в процессе
р + р-^п + Б+ + К+. F.42)
Для рождения К-мезона с отрицательной странностью требует-
требуется больше энергии, так как этот процесс должен сопровождать-
сопровождаться рождением частицы (либо другого К-мезона, либо антиба-
риона), которая не может быть получена из нуклона. Поэтому
мезон К"" встречается реже, чем мезон К+; в этом смысле ча-
частицы К+ и К0 вместе с нуклонами и другими барионами сле-
следует причислить к «материи», а частицы К"~ и К0—к «анти-
ма герии».

§ 6.2. Странность
329
При распадах F.40), F,41), в которых странность частиц
не сохраняется, полная странность изменяется в каждом про-
процессе скачком на единицу. Таким образом, частицы Н со стран-
странностью 5 = —2 должны распасться дважды, чтобы превратить-
превратиться в нестранные частицы. Поэтому частицу S иногда называют
«каскадной». Пример двухстадийного процесса распада анти-
античастицы S~ приведен на рис. 6.2.
К"+р—>Н
Рис. 6.2. Двухстадийный процесс распада частицы Н+ ( = Е~) (снимок
ЦЕРН'а).
Странность является свойством всего изоспинового мульти-
плета (все компоненты мультиплета имеют одно и то же зна-
значение странности). В этом отношении странность подобна ба-
рионному числу. Эти два квантовых числа и гиперзаряд мульти-
мультиплета связаны соотношением: как видно из табл. 6.1 и 6.3,
Y = B + S. F.43)
Как отмечалось в гл. I, странность теперь объясняют ха-
характерным свойством третьего кварка s, который тяжелее и- и
d-кварков. Частицы Б и Л, а также Кг и К0, содержат по од-
одному s-кварку; частицы Н содержат по два s-кварка, а частицы
К0 и К+ содержат по одному антикварку s.

330 Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
Распады странных частиц можно объяснить с помощью рас-
распадов странного кварка:
s->u + W" и s->u + W+, F.44)
за которыми следуют процессы рождения пары частиц из ча-
частицы W. Если в процессе рождается пара кварк — антикварк,
то в результате возникает множество кварков и аптикварков,
которые затем объединяются в элементарные частицы. Было
найдено, что с хорошей точностью в процессах рождения новых
частиц изменение значения полного изоспина всех участвую-
участвующих в реакции частиц равно 1/2. Такие процессы должны опи-
описываться эффективным гамильтонианом, который преобразует-
преобразуется как компонента изоспинового дублета. Таким образом, при
распаде Л—vN-f-.n конечным состоянием будет комбинация со-
состояний |пл°> и | рл~> с полным изоспином 1/2, т. е. комбина-
комбинация дЛ/3 I njt°}-f- V2/3 рл~) (учитывая значения коэффициен-
коэффициентов Клебша — Гордана). Следовательно,
Г (Л° -у р + я~): Г (Л° -*• п + я0) = 2 : 1. F.45)
Экспериментально измеренное значение этого отношения рав-
равно 64 :36.
Это правило А/ = 1/2, очевидно, не выполняется для рас-
распада К+->-п++я0. Так как все частицы бесспиновые, двух-
пионное состояние с нулевым относительным орбитальным уг-
угловым моментом находится в симметричном спин-орбитальном
состоянии, а следовательно, должно также иметь симметричное
изоспиновое состояние. Значит полный изоспин должен быть
равен 0 или 2; но h = 1, поэтому 1 = 2. Так как К-мезон имеет
изоспин 1/2, изоспин, характеризующий гамильтониан, должен
быть равен А/= 3/2 или 5/2, т. е. слагаемое в гамильтониане
с А/=1/2 должно быть строго равно нулю. Но правило А/ =
= 1/2 успешно выдерживает экспериментальную проверку, не-
несмотря на это исключение, так как данный распад К-частицы
намного медленнее, чем распад К0—>-2.тт°, который подчиняется
правилу А/= 1/2, причем экспериментальное значение отно-
отношения скоростей равно 1 : 138. Это доказывает, что члены га-
гамильтониана, связанные с изменением изоспина А/ =1/2, на-
намного больше других его членов. Именно в этом смысле следует
понимать правило А/ = 1/2.
Полулептонные распады странных частиц, например послед-
последний распад в F.41). типа
A°-vp + e-+ve «5.46)
можно объяснить в точности так же, как fS-распад, с помощью
гамильтониана взаимодействия двуу токов F.38). (Чисто ад-

в.2. Странность 331
ронные распады не укладываются столь просто в рассм;чрпвае-
мую схему.) Полулептонные распады можно учесть, добавляя
в слабый ток слагаемое, изменяющее странность, вида
/i/2_ = Л+р + (л°)+К++ • ... F-47)
Как показывают обозначения, ток Jl>'2__ преобразуется как ком-
компонента дублета при изоспиновых преобразованиях. Как леп-
топный ток F.39), рассматриваемый ток F.47) изменяет элек-
электрический заряд; он также изменяет странность па ту же вели-
величину. Таким образом, для всех распадов вида ((ЗЛО) изменения
заряда и странности адронов равны:
AS-=AQ. F.48)
В гамильтониан взаимодействия двух токов нужно ввести еще
одно изменение. Взаимодействие, ответственное за распад
F.46) и другие подобные распады с изменением странности
слабее, чем взаимодействие, ответственное за р-распад, при-
примерно в 20 раз; таким образом, гамильтонианы, описывающие
эти распады, должны быть вида gw'Jl-J\ep и gw"J[/2-J\eP с
fi"w' ?= gw". При этом теряется свойство универсальности слабых
взаимодействий. Данную ситуацию можно учесть, положив фор-
формально
//w" = gwSin9c F.49)
и взяв полный слабый ток в виде
/w = /L cos 6c + /1/2_ sin ec + /1ер. F.50)
В таком случае адронный ток оказывается суперпозицией двух
токов /'_ и /1/2_, которые следует считать ортогональ-
ортогональными друг другу. Угол &с называется углом Кабиббо; его зна-
значение примерно равно arcsin@,23). Гамильтониан /w/w+, по-
построенный с помощью тока F.50), отличается от гамильтониана
F.38) в описании нестранных частиц. Вместо единственной уни-
универсальной константы связи различные члены нового гамильто-
гамильтониана имеют константы связи gwcos28c, gwcos6c и gw. Но по-
поскольку cos Ос ~ 1, такое различие не очень велико. Экспери-
Эксперименты подтверждают, что формула F.50) действительно пред-
представляет слабый ток.
Нейтральные К-мезоны. Странность не является единствен-
единственной величиной, сохраняющейся при рождении странных частиц
и не сохраняющейся при их распаде. Так же ведет себя обыч-
обычная четность, что можно проиллюстрировать на примере К-ме-
зонов. В процессах рождения каонов, а также в процессах рас-
рассеяния каонов на адронах четность сохраняется, если считать,
что внутренняя четность каонов равна —-1. Этого значения чет-

332 Гл. в. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
ности каона можно ожидать также, исходя из его кваркового
состава, если применить к нему в точности те же рассуждения,
что и для пиона (стр. 211). Но при распаде К->2л конечное
состояние двух пионов имеет четность (—1)', где / — относи-
относительный орбитальный угловой момент, так как все пионы имеют
одно и то же значение внутренней четности. Так как пионы и
каоны лишены спина, то / = 0, поэтому четность конечного со-
состояния равна -{-I- Таким образом слабые взаимодействия не
сохраняют четности и, следовательно, не инвариантны при зер-
зеркальных отражениях.
Предположим, что слабые взаимодействия инвариантны от-
относительно комбинированной операции СР, т. е. что имеется
симметрия между частицами и их зеркально-отраженными ан-
античастицами. Если это так, то в частности можно вывести от-
отсюда интересное следствие в отношении нейтральных каонов
К0 и К0, которые в совокупности обозначим (КH-
Единственное отличие между частицей К0 и ее античастицей
К0 состоит в разном значении странности. Так как странность
не сохраняется, ее оператор не коммутирует с полным гамиль-
гамильтонианом, и собственные состояния странности S для системы
(КH не обязательно должны быть собственными состояниями
гамильтониана. Таким образом, частицы К0 и К0 могут не быть
стационарными состояниями. Если бы система была инвариант-
инвариантна относительно операции СР, то стационарные состояния бы-
были бы собственными для оператора СР (точнее должна была
бы существовать полная система одновременных собственных
состояний гамильтониана Я и оператора СР). Если рассмо-
рассмотреть состояния покоящейся системы (КH, то операция СР,
действуя на состояние каона К0, будет переводить его в каон
К0, и можно так выбрать фазовые множители у векторов со-
состояний, чтобы не появлялось фазовых множителей в следую-
следующих формулах:
СР|К°> = 1К°>, СР|К°) = |К°). F.51)
Тогда собственные состояния операции СР будут иметь следую-
следующий вид:
I Ks°> = л/4- (I К°> -Ы К0», IKl°)= лДAК°)-|К°» F.52)
и будут обладать собственными значениями -|-1 и —1 соответ-
соответственно.
Рассмотрим теперь распады (К)°-»-2я. Любое состояние
двух пионов с нулевым полным зарядом должно быть собствен-
собственным для операции СР с собственным значением +1, так как
действие СР сводится к перестановке частиц (Р — для орби-
орбитальных состояний, а С — для зарядовых состояний) и пионы

§ 6.2. Странность 333
являются бозонами. Следовательно, если СР сохраняется, то
распадаться на два пиона может только собственное состояние
Ks° с собственным значением -f-1. Другое собственное состоя-
состояние должно распадаться на три пиона или на пион и два леп-
тона. Фактор фазового объема много больше для распада на
2л, чем на Зя, так что распад на 2л происходит с большей ско-
скоростью, причем эта скорость больше, чем скорость альтерна-
альтернативного трехчастичного распада /(-->-я+ / +v*. Следовательно,
собственное состояние Ks° с собственным значением -f-1 должно
иметь более короткое время жизни, чем собственное состояние
Kl° с собственным значением —1.
Это заключение подтверждается экспериментом. Экспери-
Экспериментально наблюдаются два нейтральных каона: короткоживу-
щий Ks°, который распадается на два пиона с временем жизни
ts = Fs = 9-101 с, и долгоживущий Kl°, время жизни кото-
которого tl = Fl-' = 5-1(Н с.
Существование в природе суперпозиций F.52) наглядно де-
демонстрирует основные принципы квантовой механики. Каоны
рождаются (в результате сохраняющих странность сильных
взаимодействий) в определенных собственных состояниях стран-
странности. Как указывалось выше, в процессах столкновений при
умеренных энергиях в основном рождаются каоны К0 с поло-
положительной странностью. Последние отличаются от К0 Другим
характером взаимодействия с обычным веществом: каоны К0
рассеиваются упруго или с перезарядкой:
К° + п^К°+п, К° + Р^К+ + п, F.53)
в то время как каоны К0 могут поглощаться:
К°+р-^Л° + я+ F.54)
(т. е. ведут себя как частицы антивещества). Грубо говоря, ве-
вещество прозрачно для каонов К0 и непрозрачно для каонов К0-
Частица К0 представляет собой суперпозицию частиц Ks° и
Kl° с равными коэффициентами. Поэтому она с одинаковой ве-
вероятностью быстро распадается на 2я и медленно распадается
на Зя. Таким образом, в пучке частиц К0 через непродолжи-
непродолжительное время останется примерно половина ') частиц, которые
все будут частицами Kl°, распадающимися только па Зя. Каоны
Kl° являются суперпозициями частиц К0 и К0 с равными коэф-
коэффициентами, так что если теперь пучок пропустить через слой
вещества, то половина его частиц будет вести себя как К0, а
другая будет поглощена (хотя ни одна из частиц пучка не вела
себя так сразу после своего рождения). Частицы, выходящие
') Точнее на 1/2, а 1/2 [ехр (- TLt) + ехр (- Vst)], но TLt мало, a Tst
велико.

334 Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
из слоя вещества, будут каонами К0, и снова половина из них
распадется на 2я. Частицы Ks° получаются из пучка каонов
Kl°.
Такое поведение полностью аналогично поведению поляри-
поляризованного света, проходящего через скрещенные поляроиды
(рис. 6.3). Каоны К0 и К0 аналогичны свету, поляризованному
в направлениях «север — юг» и «восток — запад», в то время
1
а
Нет
Вещест-
Вещество
6
Рис. 6.3. Поляризованный свет и пучок нейтральных К-мезоиов: а — по-
поляризованный свет; б — пучок К-мезонов.
как каоны Кх° и Ks° аналогичны свету, поляризованному в на-
направлениях СВ — ЮЗ и СЗ — ЮВ. Слой вещества действует
как поляроид с осью, направленной на север, в то время как
аналогом прохождения света через поляроид, ориентированный
в направлении СВ, является операция ожидания в течение ко-
короткого времени, порядка времени жизни. Система (КH, рас-
распадающаяся на 2я, аналогична свету, проходящему через поля-
поляроид, ориентированный на СЗ. Тот факт, что слой вещества
вновь создает частицы Ks°, что служит причиной новых 2я-рас-
падов в пучке, аналогичен тому факту, что свет не может прой-
пройти через два скрещенных поляроида, ориентированные на СВ
и СЗ, но если между ними поместить третий поляроид, ориен-
ориентированный на С, то некоторая доля света через них пройдет.

§ 6.2. Странность 335
Оставить систему (КH, чтобы она могла свободно эволюцио-
эволюционировать,— значит как бы провести для нее измерение наблю-
наблюдаемой СР и тем самым заставить ее перейти в одно из соб-
собственных состояний |Kl°> или |Ks°>; осуществить рассеяние ча-
частиц ядрами — это как бы провести эксперимент по измерению
странности и заставить систему перейти в одно из собственных
состояний |К°> или |К°>-
Рассмотрим подробнее временную эволюцию частиц К0 по-
после их рождения. Если эти частицы покоятся, то собственные
значения гамильтониана для них равны mLc2 и т^с2, где mL и
/ns — массы частиц Ki.° и Ks°. Следовательно, учитывая рас-
распады этих частиц (и полагая ft —с=1), временную эволюцию
частиц К0 можно представить следующей функцией:
| V\ . М /II/ 0\ I I I^qON^ I If {/\\
= л/i !~ехр (~ т Гь{ ~lntLt)' Kl'^ +
+ exp(-i-rs/-/ms0IKs°>. F.55)
Поэтому вероятность того, что частица будет вести себя как
К0 спустя время t равна
| / cos (bmt)\ F.56)
где А/те = mL— ms. Таким образом, рассматриваемая система
осциллирует с частотой Am, причем период осцилляции порядка
короткого времени жизни ts и его легко измерить эксперимен-
экспериментально. Так измеряем разность масс Am удивительно малой
величины порядка КН1 МэВ. Это обстоятельство делает
систему (КH очень чувствительным детектором для исследова-
исследования тонких физических эффектов, включая гравитационные эф-
эффекты.
Нарушение СР-иниариантности. По иронии судьбы частица
Kl°, существование которой было установлено, исходя из СР-
инвариантности, стала причиной открытия нарушения СР-инва-
риантности. В 1964 г. было обнаружено, что каон Ki.° распа-
распадается на 2я. Таким образом, либо каон Kl° не является соб-
собственным состоянием четности СР (тогда операция СР не ком-
коммутирует с гамильтонианом системы (КH, либо К0 является
таким собственным состоянием, и операция СР не сохраняется
при распаде К|°->2я В обоих случаях СР-штариаптнопь на-
нарушается. Этот эффект очень «ял ¦; до сих пор не объяснен

336 Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
§ 6.3. Восьмеричный путь
Изоспиновые преобразования адронов можно построить из фун-
фундаментальных преобразований F.4), которые переводят кварки
и и с! в их линейные комбинации. Эти преобразования дейст-
действуют на входящие в состав адронов кварки и и d; при этом
другие кварки остаются неизменными. Очевидно можно рассмо-
рассмотреть и более общие преобразования типа F.4), включающие
другие кварки. Начнем с того, что добавим к кваркам и и d
странный кварк s; тогда будем иметь преобразования вида
F.57)
матрицы коэффициентов которых принадлежат к группе SUC).
Преобразования кварков порождают определенную группу пре-
преобразований адронных состояний, которая так и называется
группой SUC).
Если сильные взаимодействия трех кварков u, d, s одина-
одинаковы, то следует предположить, что гамильтониан их взаимо-
взаимодействий коммутирует со всеми приведенными SUC) -преобра-
-преобразованиями и адроны образуют мультиплеты, составленные из
частиц одинаковой массы, являющиеся носителями представ-
представлений группы SUC). Но это предположение не совсем верно,
поскольку s-кварк существенно массивнее и- и d-кварков, так
что по крайней мере гамильтониан свободных частиц должен
быть не инвариантным относительно SUC) -преобразований.
Тем не менее SUC)-мультиплеты могут существовать; необхо-
необходимо только не учитывать различие масс частиц, входящих
в мультиплеты.
Чтобы определить вид таких мультиплетов, необходимо рас-
рассмотреть математические свойства группы SUC) и ее пред-
представлений. Как и в случае группы вращений, для этого лучше
всего изучить соответствующую группе SUC) алгебру Ли. Ал-
Алгебра Ли группы SUC) состоит из антиэрмнтовых матриц типа
3X3 с нулевым следом (см. стр. 153). Чтобы построить из них
эрмитовы генераторы, необходимо каждую из этих матриц ум-
умножить на i. Система эрмитовых генераторов, являющихся мат-
матрицами типа 3X3, образует девятимериое вещественное (не
комплексное) векторное пространство (надо иметь три вещест-
вещественных числа для задания диагональных элементов матрицы и
шесть вещественных чисел для задания трех независимых ком-
комплексно-сопряженных элементов). Условие равенства нулю сле-
ч'1 матрицы исключает одно измерение, поэтому группа SUC)
чмеет восемь независимых эрмитовых генераторов. Стандартная

§ 6.3. Восьмеричный путь
337
система указанных генераторов имеет следующий вид:
F.58)
Это так называемые Х-матрицы Гелл-Манна. Они удовлетво-
удовлетворяют условиям
/) = 26
г/.
F.59)
Легко убедиться, что матрицы Гелл-Манна имеют следующие
коммутационные соотношения:
г л л  с);с i /? СЛ\
[Л^, А;\ ¦ Л11 I/feAfe. \\J.\J\J)
(Здесь, как во всех остальных формулах настоящего парагра-
параграфа, индексы г, /, k принимают значения от 1 до 8, и использует-
используется обычное правило суммирования по повторяющимся индек-
индексам.) Константы, входящие в коммутационные соотношения
F.60), являются структурными константами группы SUC) (в
рассматриваемом базисе); очевидно fuk = —fijk, причем вслед-
вследствие условий F.59) имеем
= - I / tr (kkKtK, -
= fkli. F.61)
Таким образом, величины /,,/г полностью антисимметричны. Они
играют ту же роль для группы SUC), как константы ець для
группы SUB).
Генераторы F.58) выбраны с таким расчетом, чтобы сде-
сделать математическую структуру группы SUC) более явной.
Матрицы ?.ь Я-2 и Х3 являются а-матрицами Паули, которые
окаймлены нулями; они образуют генераторы подгруппы груп-
группы SUC), изоморфной группе SUB). Обращаясь к исходным
преобразованиям кварков F.57), видим, что генераторы %и %2,
X'i фактически действуют в подпространстве, натянутом па век-
векторы | и) и |d>. Эти генераторы порождают изоспиновую (или

338
Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
1-спиновую) подгруппу группы SUC). Матрицы Х6 и "К-,- вместе
с матрицей
0 0 О'
1 ,/5~
F.62)
О 1 О
- О 0 -1 J
2
-1
0
-0
0
0
0
(J-
0
1
1
2
A3-
, Уз~
г 2
порождают другую SU B) -подгруппу рассматриваемой группы,
которая действует в пространстве, натянутом на состояния |d>
и |s>; она называется U-спиновой подгруппой. Третью SUB)-
подгруппу, действующую в подпространстве, натянутом на со-
состояния |и> и |s>, порождают матрицы %А, %s и матрица
F.63)
она называется V-спиновой подгруппой группы SUC).
Физическая SUC) -группа представляется группой унитар-
унитарных операторов, действующих в пространстве всех адронных со-
состояний. Ее эрмитовыми генераторами являются восемь эрми-
эрмитовых операторов F\, . . . , Fs, которые связаны с матрицами
Гелл-Маипа так же, как изоспиновые операторы I\, I2, h с мат-
матрицами Паули. Операторы Fi, . .., Fs удовлетворяют следую-
следующим коммутационным соотношениям:
[Ft, F,] = ifttkFk. F.64)
При а=\, 2, 3 имеем Fa= Ia. Остальные две SU^^под-
SU^^подгруппы группы SU C) имеют своими генераторами Ub U2, U3
(соответствующие матрицам Я5, Я6, ц3) и Vb V2, V3 (соответ-
(соответствующие матрицам КА, — Я5, — v3). Таким образом, получаем
/ р
__ ' р р
— 2~ 3
V3
F.65)
Повышающие и понижающие операторы для указанных под-
подгрупп имеют следующий вид:
I± = Fl±iF2, U± = F6±iFJt V± = Fi + iFs. F.66)
Рассмотрим теперь, как повышающие и понижающие опера-
операторы действуют в рамках группы SUC). При этом мы получим в
более наглядной форме коммутационные соотношения F.64).
Среди матриц F.58) имеются две (^3 и Kg), которые комму-
коммутируют Друг с другом, причем ни одна из остальных матриц не
коммутирует с этими двумя матрицами. Следовательно, опера-
операторы F3 и /-',ч образуют полную сип ему коммутирующих опера-
операторов в любом представлении группы SU{3); поэтому состояния

§ 6.3. Восьмеричный путь 339
продет-in.ic-iiufl можно нумеровать одновременными собствен-
собственными значениями указанных операторов.
Операторы /± действуют как повышающий и понижающий
операторы в отношении оператора F3, и они коммутируют с
оператором F3. Таким образом, на одновременные собственные
состояния [г, л> операторов F3 и Ря операторы /..-_ действуют
следующим образом: ,
l±\r, s)^\r±\, s). F.67)
Числа ('', s1) будем считать "
компонентами двумерного век- \ ', /
тора 1 и одновременные еобсг- \\/ ¦,
вегшыг состоянии \r,s) обо- ~~ --^—-— <- —%.
значим кратко |1>; гогда фор- / \ f\
мулу F.67) можно .чаписагь v/ \
в виде
/±|l) = |l±i), F.68) '•
Рис. 6.4. Корневые векторы группы
где i = (l,0). Действие опера- SU C)
тороз U-- аналогично. Они дей-
действуют как повышающий и понижающий операторы в отноше-
отношении оператора U3 — — '/г^з + (д/з/2) fs и коммутируют с орто-
ортогональной линейной комбинацией (л/з/2) F3 -\- l/2Fs; состояние
1> является собственным состоянием для оператора U3 с соб-
собственным значением и • 1, где и = ( —1/2, -\/3/2), так что опе-
операторы U± действуют следующим образом:
U±\l) = \l±u). F.69)
Аналогично получаем, что
l/±|I) = |l± v), F.70)
где V —(—1/2, —д/з/2). Вектор 1 одновременных собственных
значений операторов ^з и Fs называют весом, а одновременный
собственный вектор |1> — весовым вектором. Так как опера-
операторы ]±, U±, V+ сдвигают весовые векторы на плоскости, мы
называем их сдвиговыми операторами.
Алгебру Ли группы SUC) (т. е. коммутационные соотноше-
соотношения операторов Р\, . . . , F&) можно описать теперь следующим
образом. Она характеризуется шестью векторами ±i, ±u, ±v,
расположенными па плоскости R2 (рис. 6.4), которые называют-
называются корневыми векторами группы SUC). Для каждого корневого
вектора а имеется свой сдвиговый оператор ?(а) (например,
?(—u) = U~). Примем, что ?(а) =0, если вектор а не равен
ни одному из шести приведенных корневых векторов. Пусть
Н = (F3, Fh), а а и b — любые два двухкомпонентных вектора;

340 Гл. (>, Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
тогда, согласно F.64), имеем следующие коммутационные соот-
соотношения:
[а-Н, Ь-Н] = 0, F.71а)
[Н, ?(а)] = а?(а), F.716)
(—а)] = 2а-Н, F.71в)
?(а + Ь). F.71г)
Соотношение F.71а) следует из того, что операторы F$ и Fi<
коммутируют между собой; соотношение F.716) показывает,
что Е(а) являются сдвиговыми операторами; (б.17в)—комму-
(б.17в)—коммутационные соотношения алгебры SUB), в которой операторы
?(±а) играют роль операторов /+. Соотношение F.71 г) сле-
следует из тождества Якоби; действительно
[Н, [Я (а), ?(Ь)]] = [[Н, ?(а)], Е (Ь)] + [Е (а), [Н, ?(b)J] =
= (а + Ь)[Я(а), Е(Ъ)\; F.72)
сравнивая F.72) с F.716), видим, что коммутатор [Е(а.), Е(Ъ)]
действительно должен быть пропорционален оператору Е(& + Ь).
Заметим, что
/3 = i-H, ?/3=u-H, l/3 = v-H. F.73)
Любое представление группы SUC) можно описать с по-
помощью задания соответствующих ему пар одновременных соб-
собственных значений операторов Fz и F&, возможных для дан-
данного представления. Таким образом, представление можно изо-
изобразить диаграммой, составленной из некоторого числа точек
на плоскости с декартовыми прямоугольными координатными
осями, на которых откладываются собственные значения опера-
операторов F3 и Fa- Каждая такая точка представляет одновремен-
одновременный собственный вектор операторов Fs и F&. Такая диаграмма
называется весовой диаграммой рассматриваемого представле-
представления. Она обладает тем свойством, что ее соседние точки можно
связать друг с другом одним из корневых векторов, изображен-
изображенных на рис. 6.4. Вследствие симметрии векторов i, u и v в струк-
структуре алгебры Ли, которая объясняется симметричной ролью
рассматриваемых трех подгрупп группы Sf/C), весовая диа-
диаграмма любого представления группы SUC) должна быть
симметричной относительно вращений на 120° вокруг начала
координат. Ниже мы ограничимся рассмотрением лишьпесколь-
ких представлений группы SUC), которые важны в физике
элементарных частиц.
Фундаментальное представление трехмерно; в этом пред-
представлении каждый элемент группы SUC) представляется своей
собственной матрицей. Пространство этого представления об-

§ 6.3. Восьмеричный путь
341
разуют комплексные векторы-столбцы типа 3X1- Операторы
F$ и F& представляются диагональными матрицами Х3 и kg, а их
собственные значения — диагональными матричными элемен-
элементами этих матриц. Весовая диаграмма фундаментального пред-
представления изображена на рис. 6.5, а. Точки диаграммы обозна-
обозначены символами кварков, которые являются собственными со-
состояниями преобразований F.57).
Сопряженным представлением называют трехмерное пред-
представление, сопряженное рассмотренному фундаментальному; в
нем каждый элемент U группы Sf/C) представляется своей
A,-4-/A.
Л4-/А5
A, + i'A
Рис. 6.5. Весовые диаграммы представлений группы SU C); а — фундамен-
фундаментального, б — сопряженного, в — самосопряженного.
комплексно-сопряженной матрицей U. Эрмитовы генераторы
этого представления можно вычислить по формуле
(s) |s=0 = - [i -^ U (s)] = -X,
F.74)
где X — эрмитов генератор фундаментального представления,
соответствующий некоторой непрерывной последовательности
U (s) элементов группы. Таким образом, собственные значения
генераторов сопряженного фундаментального представления
являются собственными значениями генераторов фундаменталь-
фундаментального представления, взятыми с обратным знаком, а весовая
диаграмма сопряженного представления строится путем инвер-
инверсии диаграммы фундаментального представления (рис. 6.5, а)
относительно начала кородинат (рис. 6.5,6). Получаемые та-
таким образом собственные значения операторов Fs и Fs являют-
являются квантовыми числами античастиц для кварков, изображен-
изображенных на рис. 6.5, а.
Если считать, что фундаментальное представление р дей-
действует в некотором трехмерном пространстве состояний, подоб-
подобном кварковому пространству с базисом |u>, |d>, |s>, которое
мы рассмотрели в начале этого параграфа, то сопряженное ему
представление р будет действовать в пространстве соответствую-
соответствующих бра-состояний следующим образом (см. задачу 19):
г+. F.75)

342 Гл. в. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
Самосопряженное представление восьмпмерпо. Оно дейст-
действует в пространстве матриц А типа 3X3, обладающих нуле-
нулевым следом, следующим образом:
= p{U)A. F.76)
Эрмитовы генераторы этого представления даются формулами
А~>1^[и(з)Аи(зГ'1^^[Х, А], F.77)
где Л' — операторы из F.74). Операцию взятия коммутатора
с генератором X обозначим символом ас!Л'. Таким образом, гене-
генераторы Fz и Fs для рассматриваемого самосопряженного пред-
представления имеют следующий вид:
У-'з — ad А3) /'а == acl А„. F.78)
Веса представления являются парами собственных значений
этих операторов. Из коммутационного соотношения F.71 г) сле-
следует, что, как и в любом представлении, коммутатор оператора
adH со сдвиговым оператором Е(а) равен произведению по-
последнего на корневой вектор а. Положив Н = (Аз, As), заклю-
заключаем отсюда, что каждый корневой вектор является парой соб-
собственных значений операторов ad Аз, ad A8; пара @, 0) встре-
встречается дважды как пара собственных значений, причем для нее
собственными векторами являются сами матрицы Аз и As. Та-
Таким образом, веса самосопряженного представления изобра-
изображаются восемью точками диаграммы, приведенной на рис. 6.5, в.
Самосопряженное представление можно также описать ина-
иначе. Учитывая коммутационные соотношения F.64) для генера-
генераторов алгебры Ли, видим, что можно рассматривать восьми-
восьмимерное пространство, натянутое на базисные состояния \vf)
(i = 1, . . . , 8), на которые эрмитовы генераторы самосопряжен-
самосопряженного представления действуют следующим образом:
X,\v,) = iftlk\vk). F.79)
Рассмотренные три представления группы SUC) называют
триплетным, антитриплетным и октетным и обозначают симво-
символами 3, 3 и 8 соответственно. Синглетным представлением 1 на-
называют тривиальное одномерное представление, в котором эле-
элементы группы SU{3) представляются кратными единичного опе-
оператора, а все эрмитовы генераторы равны нулю.
Триплетное представление — одно из серии представлений,
изображаемых треугольными весовыми диаграммами; диаграм-
диаграммы для двух следующих в этой серии за триплетным представ-
представлений— секстетного и декаплетного — показаны на рис. 6.6.
Представления данной серии можно построить следующим об-
образом. Представление А„, весовая диаграмма которого дается

§ 6.3. Восьмеричный путь
343
треугольником со сторонами, в п раз большими сторон треуголь-
треугольника фундаментального представления, показанного па
рис. 6.5, а, действует в пространстве антисимметризованных
произведений векторов, взятых в пространстве, в котором дей-
действует фундаментальное представление; таким образом, про-
странством-носителем представления А„ является пространство
Т V Т V • ¦ ¦ V У (Т берется п раз). Весовые векторы пред-
представления А„ имеют следующий вид: S(|li>... |1«>), где \\, ...
..., 1„ — набор весов фундаментального представления; имеем
по одному весовому вектору для каждого неупорядоченного на-
набора и весовых векторов I,-, причем вес приведенного весового
. « 4 »_
Рис. 6.6. Секстстное и декаплетное представления.
вектора равен Ь + ••• + !«• Весовые векторы представления Ал
можно построить из произведения |1о>|1о>-.. |Ь>. где 10 — пра-
правый верхний весовой вектор диаграммы, изображенной на
рис. 6.5, а, в котором надо заменить до п раз приведенные ве-
весовые векторы 10 на один из двух остальных весовых векторов
диаграммы на рис. 6.5, а. Вес каждого такого весового вектора
получаем соответственно из вектора п\0 путем сдвигов по п раз
звеньев этого вектора вдоль одного из направлений — i или v.
В результате получается треугольная диаграмма представле-
представления Ал.
Начиная с сопряженного фундаментального представления,
можно построить аналогичную последовательность треугольных
представлений. В этом случае мы получим перевернутые тре-
треугольники, подобные изображенному на рис. 6.5, б.
Мы уже рассматривали диаграммы, изображенные на
рис. 6.5,в и 6.6,6, в гл. 1 (см. рис. 1.4 и 1.5, где показано, как
адронные частицы группируются в мультиплеты, соответствую-
соответствующие представлениям группы SUC)). Самые легкие барионы
(имеющие нулевые очарование, красоту и истинность и распа-
распадающиеся только в результате действия сил слабого взаимо-
взаимодействия) образуют октет (см. рис. 1.4 и 6.7, а), подобный изо-
изображенному на рис. 6.R. г. л педующие более тяжелые барио-

344
Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
ны, которые нестабильны (за одним исключением, к которому
мы еще вернемся) и распадаются в результате действия сил
сильного взаимодействия, образуют декаплет, подобный изо-
изображенному на рис. 6.6,6 (см. рис. 1.5 и 6.7,6). Мезоны тоже
объединяются в 5^/C)-мультиплеты (октеты и синглеты). Эти
х-
(940)
A115)
-A190)
A320)
в
K°
•
i
i
•
к-
i
к*
•
•
•
К"
D95)
E50)
A40)
D95)
Фп-
к»-
» A232)
• A385)
1° X*
• A530)
A672)
(892)
A020)
G70)
(892)
Рис. 6.7. 5?/C)-мультиплеты: а—барионы Р = 1/2+ с временем жизни
~10-10 с; б — барионы Р = 3/2+ с временем жизни <~10-23 с; в — мезоны
Jp = 0~ с временем жизни от К)-8 до К)-10 с; г — мезоны ]р = \~ с вре-
временем жизни ~10~22 с; д-—мезон Jp = 0~ с временем жизни ~10~20 с;
е — мезон 1Р = 1- с временем жизни ~10-22 с.
мезонные мультиплеты показаны на рис. 6.7,8 — 6.7, е. Экспе-
Экспериментальные данные о распадах всех указанных барионов и
мезонов приведены в табл. 6.4.
Кварковое строение частиц. Посмотрим, как элементарные
частицы, принадлежащие различным 5?/C)-мультиплетам ме-
мезонов и барионов, могут быть описаны с помощью составляю-
составляющих их кварков. Кварки u, d и s образуют фундаментальный
5^/C)-мультиплет, изображенный на рис. 6.5, а. Пусть Q —
трехмерное пространство линейных комбинаций состояний ука-
указанных кварков, a Q — пространство состояний их античастиц,
так что Q и Q — пространства, в которых действуют представ-
представления 3 и 3 группы SUC). Состояния пар кварк — антикварк
образуют базис пространства двухчастичных состояний Q<S)Q.
Собственные значения операторов F$ и F%, действующих в этом
двухчастичном пространстве, получаются путем сложения соб-
собственных значений соответствующих операторов, действующих

§ 6.3. Восьмеричный путь
345
Таблица 6.4. Основные моды распада частиц, приведенных на рис. 6.7
AS-=
Слабые
о
± 1
распады (время
жизни
n.ipiiomibiii октет L
n -> p + e~ +
Л"^> N + я
E-> A- + я
Ve
частиц
я"~
К"
от 10 до
Мезонный
->,- + V
-> 2я, Зя
10"е
октет
Зя
с)*
0"
Барионный декаплет: й -> 3 + я, й ~> Л + К"
Электромагнитные распады (время жизни частиц ~ 10 20 с) *
Барионный октет
Мезонный октет 0~
я° ->;2y
tj^2V
T]->3r
Мезонный синглет 0"
Ц' -> Р° + Y
tj' -> г) + 2я
Сильные распады (время жизни частиц -^ 10
Барионный декаплет
2* -> 2 + я, Л + я
S* -> S + я
Мезонный октет 1
р ->2я
Ф^- К + К, Зя
К* -> К + я
Мезонный
синглет 0~
со ->- Зл
• Время жизни нейтрона исключительно велико из-за малости фактора фазового
объема.
** Вопрос о том, как наблюдать частицы с таким малым временем жизни, обсу-
обсуждается в § 6.4.
в пространстве кварка и в пространстве антикварка; каждый
вес для пространства Q<S)Q равен векторной сумме весов для
пространства Q и пространства Q. Следовательно, весовая диа-
диаграмма для пространства Q&Q состоит из трех копий весо-
весовых диаграмм для Q, каждая из которых помещается в одном
из узлов весовой диаграммы для Q. Таким образом, получает-
получается октетпая диаграмма с одной дополнительной центральной

34C
Гл. в. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
точкой (рис. (>.У). Следовательно, диаграмма для
?? распадается на октет и синглет:
3 ® 3 = 8 © 1.
F.80)
Алгебраически указанное геометрическое разложение мож-
можно объяснить следующим образом. Если Q—пространство кет-
состояний, то Q можно рассматривать как пространство бра-
состояний. Тогда пространство Q®Q (изоморфное #<?>О
натянуто на линейные комбинации произведений |^Xi|)), т. е.
на операторы, действующие в Q. Эти
произведения состояний преобразуются
при действии SUC) -преобразований, со-
согласно F.75), следующим образом:
'Г1 F.81)
Рис. 6.8. Разложение пря-
прямого произведения пред-
пред(поскольку оператор U унитарен), т. е.
в полном согласии с F.78). Простран-
Пространство октетного представления, образо-
образованное операторами с нулевым следом,
является подпространством этого про-
проставлений з®з = 8Ф1. странства Q&Q. Ортогональное ему
одномерное подпространство является
подпространством, образованным кратными единичного опера-
оператора, которое инвариантно при преобразованиях F.78) и по-
поэтому образует синглетное представление.
Требование SUC) -инвариантности фиксируют кварковый
состав трех нейтральных нестранных мезонов л°, ц и tj'. Если
считать, что частица ц' является SUC) -синглетом, то она дол-
должна соответствовать единичному оператору
действующему в пространстве Q. Так как каждый бра-вектор
для пространства Q преобразуется как соответствующее апти-
кварковое состояние, получаем
\Ц)
Уз"
F.83)
т. е. |tj'> представляет собой нормированное кварк-антиквар-
ковое синглетное состояние. Октетные частицы л° и ц должны
соответствовать операторам с нулевым следом, действующим
в пространстве Q, т. е. линейным комбинациям кварк-анти-
кварковых состояний вида
3
Е
q-
F.84)

§ 6.3. Восьмеричный путь 347
гДе Xat'aa = O- Здесь qi = u, q2 = d, q3 = s. Мезон л° имеет
изоспин L, так что он должен быть составлен из комбинаций
u, u и d, d частиц с пзосшшом 1/2. Нейтральная комбинация их
с / ~ 1 имеет следующий вид:
I «°>=д/4- с i u">—i d3>)» F-85)
поскольку, согласно F.14), антикварковый изоспиновый дублет
образуют состояния (i|u>, —i|d>), причем фазовый множитель
i можно не учитывать. Мезон ц должен описываться состоя-
состоянием, ортогональным обоим состояниям F.83) и F.85); по-
поэтому
I -П> = л/4" (I иП> -+- | dd> — 2 I si>). F.86)
Полная система девяти линейных комбинаций кварк-аити-
кварковых состояний называется нонетом. На рис. 6.7 приведены
два таких нонета, один с Jp = 0~ (который можно идентифи-
идентифицировать с системой кварк-антикварковых состояний с 1 = 0 и
s = О, поскольку кварк и антикварк имеют противоположные
внутренние четности) и другой с Jp = \~ A = 0, s = 1). В каж-
каждом нонете имеются два изоспиновых синглетных состояния:
5?/C)-синглет, подобный F.83), и 5?/C)-октетное состояние,
подобное F.86). Состояния, экспериментально наблюдаемые
как элементарные частицы, оказываются линейными комбина-
комбинациями указанных состояний, так как SUC) -инвариантность не
является строгой. Оказывается (см. [73], § 5.4), что в нонете 0~
наблюдаемые частицы ц и т|' очень близки к 5?/C)-октетному
и 5?/C)-синглетному состояниям, но для нонета 1- это не так,
и соответствующие частицы лучше описываются как следующие
состояния:
/J F.87)
Барионы являются состояниями трехкварковой системы.
Чтобы понять их состав, рассмотрим сначала двухкварковое
пространство состояний Ct<g)Ct. Процедура, иллюстрируемая
на рис. 6.8, приводит к весовой диаграмме, показанной на
рис. 6.9, а. Очевидно рассматриваемое представление должно
содержать секстетное представление, так как оно действует в
симметричном подпространстве Q V Q пространства Gl®Q-
Если это представление выделить, как это показано на
рис. 6.9, б, то останется антитриплетпое представление. Таким
образом,
3 ® 3 = 6 ф 3. F.88)

348
Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
Чтобы построить весовые диаграммы для трехкварковых со
стояний, нужно наложить кварковую весовую диаграмму на
диаграммы для представлений 6 и 3 так, как это показано на
рис. 6.8 и 6.9. Мы знаем, что должен получиться декаплет, ко-
который соответствует симметричному трехчастичному простран-
пространству состояний Q V Q V Gt\ он должен появиться в прямом
а 6
Рис. 6.9. Разложение прямого произведения представлений 3 ® 3 = 6 ® 3.
произведении 6 <8> 3, которое должно содержать также и октет.
Таким образом, получаем
3 ® 3 ® 3 = F ф 3) ® 3 = F ® 3) + C ® 3) = 10 ф 8 © 8 © 1. F.89)
Мы видим, что трехкварковые состояния должны описываться
декаплетом и октетом, которые действительно наблюдаются как
мультиплеты барионов.
Как и следовало ожидать, элементарные частицы, объеди-
объединяемые в такие SU C) -мультиплеты, имеют разные массы.
В барионном декаплете, например, масса каждого изоспино-
вого мультиплета больше, чем масса предыдущего мультиплета
примерно на 145 МэВ. Поскольку частицы в каждом следую-
следующем изоспиновом мультиплете содержат на один s-кварк боль-
больше, чем частицы в предыдущем мультиплете, то это различие
масс легко объяснить тем, что s-кварк имеет большую массу,
чем и- и d-кварки. Аналогично можно объяснить различия масс
в барионных и мезонных октетах. Количественное различие
масс изоспиновых мультиплетов в SUC) -мультиплете удовле-
удовлетворительно объясняется на основе предположений об опреде-
определенных SUC) -трансформационных свойствах гамильтониана
(см. задачу 22).
Частица Q-, расположенная на дне барионного декаплета
состоит из трех s-кварков и имеет странность S = —3. Состоя-
Состояние с такой странностью нельзя создать для наборов частиц
с полной массой, меньшей, чем масса Q~. Следовательно, рас-
распад этой частицы должен сопровождаться изменением стран-
странности, поэтому он должен быть слабым процессом. Таким обра-

§ 6.3. Восьмеричный путь
349
зом, время жизни частицы Q- должно быть порядка характер-
характерного времени слабого взаимодействия 10~8 с. Когда появилась
теория SUC) -симметрии, частица Q~ не была еще открыта,
хотя остальные частицы декаплета были уже известны. Откры-
Открытие в 1964 г. этой долгоживущей частицы со сравнительно боль-
большей массой явилось серьезным подтверждением идеи SUC)-
Рис. 6.10. Рождение и распад частицы й~ (снимок ЦЕРН'а).
симметрии. Так возникла удивительная аналогия с ситуацией,
разыгравшейся в свое время с периодической системой элемен-
элементов Менделеева, для которой тоже впоследствии были открыты
первоначально в ней отсутствовавшие химические элементы. На
рис. 6.10 приведена фотография треков частиц в пузырьковой
камере, на которой зарегистрированы акт рождения и акт рас-
распада частицы Q-.
Операторы с определенными SUC) -трансформационными
свойствами можно образовывать из полей мультиплетов частиц
в точности так же, как в случае изоспинп. Пусть матрица Y ти-
типа 3X3 обозначает некоторый элемент группы SUC) и пусть
И{Y)—соответствующий этой матрице унитарный оператор,

350 Гл. в. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
действующий в полном пространстве состояний; тогда если
фа — набор полей кваркового триплета, рассматриваемых как
вектор-столбец Ф, то этот вектор-столбец преобразуется сле-
следующим образом:
U (У)Ф[и (?)]-' = ?Ф,
, ,, F.9и)
(DfYf
Инфинитезимальная форма этих формул имеет вид
Набор операторов
F.92)
образует октетный оператор, т. е. оператор, компоненты кото-
которого удовлетворяют следующим коммутационным соотноше-
соотношениям:
[Ft,V,] = ift,kVk. F.93)
Вообще, если </>ь ..., <pN — поля произвольного SU C)-иулъ-
типлета частиц, объединенные в один вектор-столбец Ф, и если
ti — матрицы типа Ny(_N, являющиеся генераторами представ-
представления группы SUC) для этого мультиплета, то операторы
Ф+/(-Ф являются компонентами некоторого октетного операто-
оператора. Октетный оператор является точным SUC) -аналогом рас-
рассмотренного в § 6.1 SUB)-векторного оператора F.31).
Если Vi и Wi — октетные операторы в смысле определения
F.93), то оператор V,W,- будет SUC) -скаляром, а оператор
fnkVjWk — другим октетным оператором. Имеем SUC)-аналоги
скалярного и векторного произведений двух SUB) -векторных
операторов.
SUC) -Аналог гамильтониана Юкавы — Кеммера F.34)
можно построить, если рассмотреть самосопряженный октет ча-
частиц, т. е. октет, в котором частицы, занимающие диаметрально
противоположные узлы весовой диаграммы, являются антича-
античастицами друг для друга. Примером самосопряженного октета
является октет мезонов, показанный на рис. 6.7, в. Самосопря-
Самосопряженный октет описывается эрмитовыми полями аи образую-
образующими октетный оператор, имеющий в точности такую же диа-
диаграмму, как на рис. 6.5, в (например, согласно рис. 6.7, в,
имеем Фк+= а4 +га5). Частицы рассматриваемого самосопря-
самосопряженного октета можно взять в качестве полевых квантов для
SUC) -симметричных сил взаимодействия, действующих в про-
пространстве частиц произвольного SUC) -мультиплета. Таким об-

§ 6.3. Восьмеричный путь
351
разом, аналогом гамильтониана Юкавы — Кеммера является
следующий гамильтониан:
Я' = Ф%Ф • а/( F.94)
где Ф — вектор-столбец полей взятого 5^/C)-мультиплета.
Группы симметрии Sf/D), SUE) и SI/F). Идею симметрии
кварков можно, конечно, успешно расширить, включив в рас-
рассмотрение кварки с, b и t, кроме кварков u, d, s. Тогда придем
к группам симметрии SUD), SUE) и SUF) соответственно,
Рис. 6.11. Самосопряженное представление группы St/D). Толстыми зам-
замкнутыми ломаными линиями показаны SU{i) -мультиплеты.
которые так же, как группы SUB) и SU{3), можно использо-
использовать для классификации элементарных частиц с помощью соот-
соответствующих мультиплетов и для получения отношений скоро-
скоростей различных мод распадов частиц. Представления произ-
произвольной группы SU(n) можно описать с помощью (я—1)-
мерных весовых диаграмм. На рис. 6.11 показан пример такой
диаграммы для самосопряженного представления группы
SUD). Диаграмма имеет 15 точек и образует трехмерную гео-
геометрическую фигуру (кубоктаэдр). Мы видим, что должен су-
существовать мультиплет мезонов 0~, соответствующий этой диа-
диаграмме, составленной из SUC) -октета, 51/C)-синглета,5?/C)-
триплета и SUC) -антитриплета. Каждый такой мезон должен
состоять из одного кварка и одного антикварка, как это пока-
показано на рис. 6.11. На этом рисунке по осям пространственной

352 Гл. в. Квантовые числа (свойства элементарных чисгиц)
прямоугольной декартовой системы координат отложены /3)
странность S и очарование С. Соотношение между компонентой
изоспина /з и электрическим зарядом частицы теперь выглядит
немного по-другому для частиц с очарованием и другими вы-
высокими ароматами. Общее соотношение дается формулой F.3),
но в пей теперь гиперзаряд определяется выражением
Y = B + S + C — B'+T, F.95)
где В — барионное число, S — странность, С — очарование,
В' — красота и Т — истинность.
Так как различия масс кварков становятся все больше и
больше, симметрия кварков оказывается все менее отчетливой,
если рассматривать кварки с высокими ароматами, поэтому ра-
разумнее классифицировать частицы просто с помощью указания
их кваркового состава вместо объединения их в SU (п)-шультш-
плеты. Различия масс элементарных частиц объясняются сте-
степенью различия их кваркового состава, что хорошо иллюстри-
иллюстрирует пример полностью нейтральных мезонов п°, ц и ц'. Три
кварка u, d, s и их античастицы, казалось бы, должны образо-
образовывать три полностью симметричных нейтральных мезона uu,
dd и ss. Но в действительности ввиду симметрии кварков и и d
наблюдаемый мезон л° является равной суперпозицией состоя-
состояний uu и dd и, как показывают формулы F.83) и F.86), осталь-
остальные два мезона должны быть тоже суперпозициями. Но так как
SUC) -симметрия не точная, наблюдаемые элементарные ча-
частицы на самом деле являются не точно указанными суперпо-
суперпозициями, а некоторыми их линейными комбинациями, так что
мезон ц по составу ближе к ss, а мезон ц~— к комбинации
uu + dd. Для октета мезонов 1~ такая тенденция выявляется
еще более отчетливо. Наблюдаемый </>-мезон почти точно имеет
состав ss. Для более тяжелых кварков эта тенденция еще более
усиливается, и полностью нейтральные мезоны, образованные
из тяжелых кварков, имеют состав ее, bb и it.
§ 6.4. Адронная спектроскопия
Поскольку теперь известно, что адроны (барионы и мезоны) со-
состоят из кварков, основной целью исследований адронов стало
изучение характера сил взаимодействия, действующих между
отдельными кварками. Существуют уже прецеденты. Достаточ-
Достаточно вспомнить исследования составных систем более высокого
уровня — молекул, атомов и ядер.
В квантовой механике силы взаимодействия частиц описы-
описываются гамильтонианом, важнейшие свойства которого заклю-
заключены в его спектре — совокупности энергетических уровней си-
системы. Эти энергетические уровни в случае атомов и молекул

§ 6.4. Адронная спектроскопия 353
доступны непосредственному эксперименту, так как их разности
равны частотам испускаемого атомами и легко регистрируемого
электромагнитного излучения. Б атомной и молекулярной спек-
спектроскопии основным информативным событием является рас-
распад возбужденного состояния системы с одновременным испу-
испусканием фотона.
Кроме энергии перехода при распаде возбужденного со-
состояния проявляется также и другая характеристика (точнее
характеристика большего числа актов распада)—время жизни
возбужденного состояния. Время жизни непосредственно не из-
измеряется .(обычно оно порядка 10~l!'c), а выводится из еще од-
одной экспериментальной характеристики испускаемого излуче-
излучения— ширины излучаемой системой спектральной линии. Из-
Излучение отдельной спектральной линии возбужденным атомом
(связанное с переходом между двумя его энергетическими уров-
уровнями) не испускается точно с одной определенной частотой.
Оно распределено в узком частотном интервале около основ-
основной частоты, так что линия спектра атома, наблюдаемая в спек-
спектрометре, не бесконечно тонкая, а имеет некоторую конечную
ширину. Этого следовало ожидать, согласно общей теории рас-
распадов квантовых систем, изложенной в § 3.5; нестабильное воз-
возбужденное состояние, не являющееся стационарным, представ-
представляет собой суперпозицию энергетических собственных состоя-
состояний с коэффициентами р(Е), которые для экспоненциального
распада даются формулой Брейта — Вигиера
После того как фотон испущен, взаимодействием, приведшим
к распаду, можно полностью пренебречь и считать, что энер-
энергия системы равна сумме энергий атома и фотона. Так как
энергия атома фиксирована и известна, полную энергию си-
системы можно измерить, измеряя частоты фотонов, которые рас-
распределены по закону F.96).
Чтобы атом мог испустить фотон, распадаясь из своего воз-
возбужденного состояния, его нужно сначала возбудить. Один из
способов это сделать—заставить атом поглотить другой фотон.
Полный процесс, состоящий из процессов поглощения и испу-
испускания двух фотонов, можно рассматривать как столкновение
фотона с атомом, при котором фотон рассеивается на атоме,
так как в общем случае фотон испускается не в том направле-
направлении, в котором летел поглощенный фотон. Если атом возвра-
возвращается в то же состояние, в котором он находился до столкно-
столкновения, то испущенный фотон будет иметь ту же энергию, что
и падающий; такое рассеяние называют упругим. Временная
теория возмущений показывает, что такое рассеяние происхо-

354
Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
дит при условии, что собственные значения гамильтониана Яо
до и после рассеяния почти одинаковы, так что можно приме-
применить закон сохранения энергии, т. е. просто сложить энергии
атома и фотона (когда атом и фотон находятся далеко друг от
друга, потенциальной энергией их взаимодействия можно пре-
пренебречь). Таким образом, при упругом рассеянии испущенный
фотон имеет ту же энергию, что и поглощенный, и она распре-
распределена согласно формуле F.96). Если атом в рассматриваемом
процессе не возвращается в исходное состояние, а переходит
в другое возбужденное состояние, то такой процесс называют
неупругим рассеянием фотона на атоме:
Х + у->Х' + у. F.97)
В этом случае также энергии поглощенного и испущенного фо-
фотонов распределены согласно формуле Брейта — Вигнера
F.96).
Если интенсивность рассеянного света откладывать на гра-
графике в зависимости от энергии падающих фотонов, то кривая
будет иметь некоторое число пиков, соответствующих энергиям
Энергия
Рис. 6.12. Резонансы.
возбужденных состояний атома, как это схематически показано
на рис. 6.12. Это так называемый спектр испускания. Если пу-
пучок света проходит сквозь слой вещества и происходит рассея-
рассеяние фотонов на атомах, а прошедший в направлении первона-
первоначального светового пучка свет регистрируется спектрометром,
то пики, подобные изображенным на рис. 6.12, появляются как
темные линии в спектре. В таком случае наблюдается спектр
поглощения.
Вообще для любого процесса рассеяния, в котором пучок
частиц определенного типа рассеивается на мишени из частиц
другого типа, можно построить график зависимости интенсив-
интенсивности рассеянных частиц от полной энергии, получаемой сложе-

§ 6.4. Адронная спектроскопия 355
нием энергии одной частицы пучка и энергии одной частицы
мишени. «Величина рассеяния» при этом количественно харак-
характеризуется отношением
число рассеянных частиц в единицу времени ,а поч
0 = rz ¦, (О.Уо)
число частиц мишени X поток в первоначальном пучке
где под потоком в пучке понимают число частиц, пересекающих
единичную площадку в единицу времени. Величина а имеет
размерность площади и называется сечением рассеяния. Каж-
Каждую частицу мишени можно представить себе в виде некоторой
площадки, которую частица пучка должна поразить, чтобы
быть рассеянной; формула F.98) дает величину этой площад-
площадки. (Если фиксировать направление рассеяния и формулу
F.98) отнести к среднему числу частиц, рассеянных в единицу
телесного угла в данном направлении, то в результате полу-
получим величину, которая называется дифференциальным сече-
сечением рассеяния da/du; полное сечение о равно интегралу от
дифференциального сечения, взятому по всем направлениям.)
Формулу F.98) можно использовать также для определе-
определения сечения любого процесса рассеяния с перестройкой, т. е.
процесса, при котором частицы могут превращаться в другие
частицы, например для процесса
A+B->C + D + E+ .... F.99)
В числитель формулы F.98) нужно подставить среднее число
частиц пучка (А или В), которые инициируют рассматриваемый
процесс.
Пики на кривой зависимости сечения рассеяния от полной
энергии называют резонансами; если их можно приближенно
описать формулой F.96) с заданными некоторой энергией Ео
и некоторой величиной Г, то величину Г называют шириной ре-
резонанса.
Подведем итог нашему краткому обсуждению рассеяния фо-
фотонов на атомах:
наблюдение резонанса в сечении рассеяния при энергии Ео
с шириной Г служит указанием на то, что существует воз-
возбужденное состояние мишени с энергией Ео и временем жиз-
жизни г-1.
В неупругом процессе рассеяния фотона на атоме F.97)
участвуют два возбужденных состояния: одно, в которое атом
переходит при поглощении падающего фотона, и другое, в ко-
котором он оказывается в результате распада из первого возбу-
возбужденного состояния. Это второе возбужденное состояние тоже
распадается, и конечный результат имеет вид
X + Y^X + 2Y; F.100)

356 Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
этот процесс в полном виде можно представить следующим об-
образом:
X + у - -»¦ X" -> X' + у
I F.101)
Если оба промежуточных распада происходят столь быстро,
что наблюдается только результирующий процесс F.100), то
оба возбужденных состояния рассматривают как резонансы.
Первый резонанс (X") проявляется в виде пика в полном се-
сечении поглощения фотонов (в данном контексте слово «рассеян-
«рассеянный» в определении F.98) следует заменить словом «погло-
«поглощенный»). Этот процесс называют процессом образования ре-
резонанса. Второе возбужденное состояние (X') можно детекти-
детектировать только при наблюдении фотонов, испущенных при его
распаде; если энергию фотона сложить с энергией конечного
основного состояния атома, то получим большое количество пар
Ху с энергиями, близкими к энергии возбужденного состояния
К', распределенными около энергии состояния X' согласно ре-
резонансной формуле F.96). Этот процесс называют процессом
рождения резонанса X'.
Приведенные рассуждения можно отнести не только к атом-
атомной спектроскопии испускания и поглощения, исследующей про-
процессы рассеяния фотонов на атомах. Они относятся и к другим
типам атомного рассеяния. Действительно, атом может перей-
перейти в возбужденное состояние также и при столкновении с дру-
другим атомом, ионом или электроном. Рассеянные атомами пучки
ионов и электронов дают большую полезную информацию об
их возбужденных состояниях. Оказывается, атомные возбуж-
возбужденные состояния могут иногда распадаться с испусканием
электронов; такие возбужденные состояния называют автоиони-
автоионизационными. Автоионизационное состояние атома X, которое
распадается на электрон и ион Х+, проявляется как резонанс в
экспериментах по рассеянию электронов на ионах Х+; такой ре-
резонанс представляет собой уже не возбужденное состояние ми-
мишени, а связанное состояние мишени и частицы пучка.
Таким образом, известно много процессов рассеяния вида
F.99), которые дают полезную информацию о возбужденных
состояниях атомов и молекул. Известно также большое число
аналогичных процессов рассеяния и поглощения в ядерной фи-
физике. Возбужденные состояния ядер исследуют, например, про-
проводя многочисленные эксперименты по рассеянию на ядрах, в
которых ядра бомбардируют а-частицами, протонами и нейтро-
нейтронами.
В физике элементных частиц тоже изучают столкновения
различных частиц друг с другом, но эти столкновения происхо-
происходят при столь больших энергиях, что отдача мишени оказы-

§ 6.4. Адронная спектроскопия 357
вается существенной и ее приходится учитывать, используя
формулы специальной теории относительности. Например, в
процессе типа F.99), в котором две первоначальные частицы
образуют промежуточное состояние X, последнее следует ха-
характеризовать не энергией (зависящей от скорости движения
состояния X, т. е. от скорости центра масс частиц Аи В), а
массой покоя тх частицы X, определяемой формулой
mxV = ?х2 - р/с2 = mjc* = (EA + EBf- (рд + pRf с\ F.102)
где использован закон сохранения энергии и импульса. В экс-
экспериментах по рассеянию элементарных частиц существенна
именно величина m.,\B, представляющая собой энергию центра
масс, или инвариантную массу частиц А и В. Образование резо-
резонанса проявляется как пик на кривой зависимости интенсивно-
интенсивности рассеяния от инвариантной массы тАв. Рождение резонан-
резонанса, который затем распадается на С -f- D, наблюдается в виде
аналогичного пика на кривой зависимости числа образовавших-
образовавшихся пар CD от инвариантной массы /Псо-
Все «частицы», упоминавшиеся в настоящей главе, имеют
времена жизни порядка 10~23 с, характерные для сильных вза-
взаимодействий, и наблюдаются только как резонансы. Так
А-мультиплет изоспина 3/2 является на самом деле совокуп-
совокупностью четырех резонансов, образующихся при пион-нуклон-
ном рассеянии. Остальные нестабильные частицы в барионном
декаплете, а именно триплет Б* и дублет Н*, рождаются как
резонансы Ел и Ел и наблюдаются по конечным продуктам
распада-в антикаон-нуклонном рассеянии
K + N-^В' + К + я
I F.104)
х—>S + л.
Эти частицы можно наблюдать только в экспериментах по ро-
рождению резонансов. В экспериментах по образованию резонан-
резонансов они не появляются, так как их массы слишком малы, чтобы
они могли образоваться в антикаон-нуклонном рассеянии.
Наблюдаются много барионных резонансов с массами в об-
области от 1 до 3 ГэВ и с значениями спина до 15/2 и возможно
даже больше. Все они имеют те же изоспин и странность, как
одна из частиц N, 2, Л, S и А, которые мы уже рассмотрели.
Для обозначения таких резонансов используют символы этих
частиц с указанием в скобках массы частицы. Например,
БA670) обозначает триплет резонансов с изоспином 1, стран-
странностью — 1 и массой 1670 МэВ. Наиболее четкие барионные ре-

358
Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
зонансы приведены на рис. 6.13, где по осям отложены спин и
масса.
Наблюдается также очень много мезонных резонансов,
включая нонет 1~, о котором мы уже говорили в § 6.3. Значе-
Значения изоспина и странности для этих резонансов такие же, как
NNA
Д Z Л N
NN ГЛЛ Z
Л I AN? ГЛ-iN Л
Л I E AN N AN
Масса, МзВ
900 1000 1200 1400 1600 1*00 2000 2200 2400 2600
Рис. 6.13. Барионные резонансы.
для мезонов я, К, К и ц. Большая часть этих мезонных резо-
резонансов наблюдалась в реакциях рождения, подобных реакции
я
FЛ05)
Аналогичная реакция наблюдалась для мезона г\, являющегося
компонентой / = О мезонного октета 0~, остальные компоненты
которого живут столь долго, что оставляют видимые треки в
пузырьковой камере.
Кроме того, имеется класс мезонных резонансов, а именно
полностью нейтральные резонансы Jp = 1~, которые наблю-
наблюдаются в процессах образования резонансов в электрон-пози-
тронном рассеянии. Например, мезоны р°, со и ф наблюдались
как резонансы в сечениях рассеяния процессов
е- + е+-*я + я+ или я~ + я+ + я0. F.106)
Весь имеющийся экспериментальный материал о резонансах
барионов и мезонов подтверждает предположение, что адроны
состоят из кварков, причем каждый барион является связанным
состоянием трех кварков, а каждый мезон — связанным состоя-
состоянием кварка и антикварка. Значения изоспина и странности для
барионов N, 2, А, Е, А и й в точности равны получающимся

§ 6.4. Адронная спектроскопия
359
при сложении соответствующих величин для трех кварков, ко-
которые могут быть кварками типов_ u, d и s. Значения изоспина
и странности для мезонов я, К, К и ц в точности равны полу-
получаемым для кварк-антикварковых комбинаций из кварков ука-
указанных трех типов. Таким образом, частицы, которые были пер-
Рис. 6.14. Кварковые диаграммы для распадов резонансов. Последний про-
процесс подавлен в соответствии с правилом Цвейга.
воначально обозначены указанными символами, _по-видимому,
являются основными состояниями систем 3q и qq. Резонансы
являются возбужденными состояниями этих систем, которые
распадаются в свои основные состояния. Значения масс резо-
резонансов с заданными зарядом и странностью образуют спектры,
подобные спектру энергий возбужденных состояний атома. Эти
спектры дают полезную информацию о силах, действующих ме-
между кварками. Спектр масс, представленный на рис. 6.13, сле-
следует сопоставить со спектром энергии атома водорода или гар-
гармонического осциллятора (рис. 4.6).

360 Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
Рассматриваемые возбужденные состояния барионов, изо-
изображенные на рис. 6.13, распадаются с. испусканием пионов и
каонов. Здесь нет аналогии с распадами возбужденных состоя-
состояний атомов, испускающих фотоны. При распадах возбужденных
барионных состояний рождаются пары кварков и антикварков,
как это иллюстрируется рис. 6.14, где приведены диаграммы
для распадов частиц Дч+ и ф. Пары кварк-антикварк в этих
процессах рождаются при распадах виртуальных глюонов, яв-
являющихся квантами межкварковых сил. Глюоны имеются вну-
внутри адронов в том же смысле, как фотоны внутри атомов.
На рис. 6.14,в представлена диаграмма моды распада ме-
зонного резонанса ф, которая встречается гораздо реже чем
мода, изображенная на рис. 6.14,6. Правило Цвейга утвер-
утверждает, что любой процесс, проходящий через промежуточное
состояние, состоящее только из глюонов, сильно подавлен, т. е.
имеет очень малую скорость по сравнению с процессами, подоб-
подобными показанному на рис. 6.14,6, для которых имеются квар-
ковые линии, непрерывно соединяющие начальное и конечное
состояния.
Очарование, красота и истинность. Образование нейтраль-
нейтральных мезонных резонансов в электрон-позитронном рассеянии
можно объяснить с помощью фейнмановской диаграммы, пред-
представленной на рис. 6.15. Кварк и антикварк в полностью ней-
нейтральном мезоне должны быть анти-
античастицами друг для друга, так что они
могут аннигилировать и рождать (вир-
(виртуальный) фотон; наоборот, эта пара
кварк — антикварк может рождаться
из фотона в одном из основных эле-
Рис. 6.15. Рождение ней- ментарных процессов электромагнит-
трального мезонного резо- ного взаимодействия. Вероятность
нанса 1-. рождения такой пары резонансным об-
образом увеличивается при энергии,рав-
энергии,равной энергии связанного состояния кварка и антикварка. Такое свя-
связанное состояние должно иметь тот же угловой момент и чет-
четность, что и фотон, а именно Jp = 1~. Связанные состояния
кварка и антикварка могут распадаться с рождением адронов
(с рождением других кварк-антикварковых пар, как это пока-
показано на рис. 6.14) или они могут аннигилировать, рождая дру-
другой виртуальный фотон, который затем рождает либо электрон-
позитронную пару, либо пару )ц-)и+. Таким образом, рождение
нейтральных 1~-мезонных резонансов экспериментально прояв-
проявляется как одновременное появление пиков в сечениях следую-
следующих процессов: е~ -+- е+ -> адроны (подобных F.106)), е~ +

§ 6.4. Адронная спектроскопия
361
+ е+->-[х~+^ и в процессе упругого рассеяния е~-|-е+->-
-> е- + е+.
Последний процесс дал одно из первых свидетельств суще-
существования очарованного кварка. В 1974 г. был эксперименталь-
экспериментально обнаружен очень узкий резонанс в рассеянии е~е+ с массой
3100 МэВ на СЛАК'е (Станфорд, США). Этот резонанс наблю-
наблюдался одновременно в экспе- с
риментах по рождению в Брук -
хейвене, в которых при столк-
столкновениях протонов высокой
энергии с ядрами бериллия
рождались пары е~е+; наблю-
наблюдался пик при инвариантной
массе 3100 МэВ. Такое двой-
двойное открытие привело к двой-
двойному названию этого резонан-
резонанса, который теперь известен
как частица J/ip.
Ширина резонанса J/ф ока-
оказалась равна 0,06 МэВ. Эта
ширина гораздо меньше ши-
ширины других резонансов и со-
соответствует времени жизни,
примерно равному Ю-20 с, ха-
рактерному 'скорее для элек-
электромагнитных, чем для силь-
сильных взаимодействий. Если
предположить, что этот резо-
резонанс состоит из кварков u, d
и s, то он должен распадать-
распадаться на пионы и каоны и его
Z)
Рис. 6.16. Процессы распада частицы
J/ij) (глюонные линии не показаны).
ширина должна быть порядка 10—100 МэВ, как и для других
подобных резонансов. Но она, как сказано выше, равна
0,06 МэВ. Ситуация напоминает ситуацию с наблюдениями
странно больших времен жизни частиц, содержащих s-кварк,
объясненную в свое время с помощью введения квантового чис-
числа странности. Малую ширину резонанса J/ifi оказалось воз-
возможным объяснить с помощью предположения, что J/ф являет-
является связанным состоянием четвертого кварка с и его антикварка
с, причем этот кварк переносит новое квантовое число— очаро-
очарование. В случае странных частиц s-кварк и s-антикварк ро-
рождаются в результате сильных взаимодействий и не могут уни-
уничтожаться, так как находятся в разных разлетающихся друг от
друга адронах. В случае частицы J/i|) аннигиляция кварка с и
антикварка с запрещена не физическим разделением частиц, а

362 Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
правилом Цвейга, которое позволяет частице J/i|) распадаться
только в таком процессе, как, например, процесс, диаграмма ко-
которого показана на рис. 6.16, а. Невозможность быстрых распа-
распадов частицы J/ф легко объясняется, если предположить, что все
мезоны с ненулевым очарованием (подобные cd и cd) обладают
массами, большими половины массы частицы J/ifi. Впоследствии
было обнаружено, что именно так и обстоит дело. Таким обра-
образом, частица J/ф может распадаться только в процессе, пока-
показанном на рис. 6.16, б, который является электромагнитным, и
в процессе, показанном на рис. 6.16, в, для которого нарушается
правило Цвейга, а потому скорость сравнима со скоростью элек-
электромагнитного процесса.
Теоретическое предсказание существования очарованного
кварка было подтверждено вскоре с открытием D-мезонов. Они
группируются в два изоспиновых дублета (D°, D+) и (D~, D°)
и являются очарованными аналогами К-мезонов. Их кварковый
состав следующий: (cu, cd) и (dc, uc). Эти мезоны имеют вре-
время жизни порядка 1СН2 с (подобно каонам они могут распа-
распадаться только в результате действия сил слабого взаимодейст-
взаимодействия). Были открыты также очарованные барионы Лс+ (изоспи-
новый синглет, состоящий из с-, и- и d-кварков), 2С (изоспино-
вый триплет), а также странный очарованный мезон Ds = cs.
Представление частицы J/ifi как связанного состояния части-
частицы и античастицы было подтверждено последующими спектро-
спектроскопическими данными. Было открыто несколько других резо-
нансов в окрестности J/ф (некоторые из них образовывались
при аннигиляции е~е+, некоторые рождались при распадах этих
последних резонансов), которые можно было объяснить как воз-
возбужденные состояния системы ее. Вместо того, чтобы классифи-
классифицировать их с помощью спина и четности (/р), полезно попы-
попытаться их объяснить, исходя из значений относительного орби-
орбитального углового момента L и полного спина 5 системы, со-
составленной из кварка и антикварка. Эти значения хорошо со-
согласуются с экспериментально наблюдаемыми значениями /р
для рассматриваемых резонансов, как показано на рис. 6.17, а.
Для сравнения на рис. 6.17,6 приведены стационарные состоя-
состояния позитрония. (Это уточненный вариант диаграммы энергети-
энергетических уровней атома водорода рис. 4.5, а с учетом эффектов
специальной теории относительности и магнитных взаимодей-
взаимодействий электрона и позитрона, которые приводят к расщеплению
вырожденных собственных значений нерелятивистского, т. е.
спиново-независимого гамильтониана, рассматриваемого в
§ 4.4.) Сходство структуры энергетических уровней настолько
очевидно, что не остается сомнений, что резонансы J/ф действи-
действительно являются связанными состояниями системы частицы и

§ 6.4. Адроннпя спектроскопия
363
античастицы, подобной позитронию. Именно из-за сходства с
позитронием систему ее назвали чармонием1). Разности энер-
энергетических уровней для чармония больше (в 107 раз), чем для
позитрония. Это показывает, что силы, ответственные за связы-
связывание друг с другом кварков с и с, обусловлены не электромаг-
электромагнитным, а сильным взаимодействием, которое много больше, но
так же зависит от расстояния, как электромагнитное взаимо-
взаимодействие.
Открытие пятого b-кварка привело к таким же последст-
последствиям, как открытие с-кварка. Экспериментально был обнару-
обнаружен резонанс в инвариантной массе для пары е~е+, рожденной
5 =
•7=1 )X
• 7 = 0
0 0
0 1
1 1
0 1
о о
0 I
Рис. 6.17. Семейство ^-частиц (а) и позитроний (б).
в столкновениях протонов с ядрами урана. Резонанс имел мас-
массу 9460 МэВ и ширину 0,04 МэВ. Обнаруженная частица, на-
названная Г (греческая буква ипсилон), была интерпретирована
как связанное состояние кварка b и его античастицы Ь. Частица
Г наблюдалась также в электрон-позитронном рассеянии, ко-
которое также дало спектр близких резонансов, очень похожий на
спектр позитрония. Система bb называется бьютионием или (ча-
(чаще) боттомонием 2). Экспериментально наблюдались также па-
пары частиц с ненулевыми значениями квантового числа В' (кра-
(красоты). Это пары частиц: (В, В+) = (db, ub) и (В- В0) = (bu.bd).
Последовательность 1~-резонансов р°, ю (являющихся линей-
линейными комбинациями состояний uu и dd), </>(ss)> J/Ф и Y дает
простой прямой метод вычисления масс кварков. Предполагая,
что эти состояния близки к пределу пулевой энергии связи, по-
получаем
т.,
1
390 МэВ,
т.,
1
1600 МэВ, пц
« 500 МэВ,
5000 МэВ.
F.107)
') От английского слова charm — очарование. — Прим. перев.
2) От английских слов beauty — красота и bottom — дно. — Прим. перев.

364 Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
Шестой кварк t экспериментально открыт совсем не так, как
предыдущие. Он рождается в результате действия сил не силь-
сильного, а слабого взаимодействия при распаде W-бозона:
W-->t + b. F.108)
Об этом говорится в § 6.6. Масса t-кварка точно не определена,
но вероятнее всего
пц ~ 40 ГэВ. F.109)
§ 6.5. Цветные силы
Цвет. Имеется ряд экспериментальных данных, на основании
которых можно считать, что каждый кварк обладает еще одной
новой характеристикой, которая может принимать три возмож-
возможных значения. Поэтому пространство состояний кварков с раз-
разными ароматами (u, d, s, с, b и t) на самом деле не является
обычным спин-орбитальным пространством состояний Ж ® 9, а
является пространством Ж ® 9 ® f7, где ЯЗ — некоторое абстракт-
абстрактное трехмерное пространство. Укажем два экспериментальных
доказательства существования этой дополнительной степени
свободы кварков, которую называют цветом.
Первое доказательство\существования цвета дает барион-
ная спектроскопия. Значения спина, четности и изоспина (а
также принадлежность определенному 5(УC)-мультиплету) для
барионных резонансов, состоящих из u-, d- и s-кварков, очень
хорошо соответствуют предположению о полностью симметрич-
симметричных состояниях трех частиц, каждая из которых имеет спин 1/2
и принадлежит к SUC) -триплету частиц, занимающих состоя-
состояния в поле некоторого центрального потенциала, аналогичного
потенциалу гармонического осциллятора или потенциалу атома
водорода (характерная особенность последних потенциалов со-
состоит в том, что их собственные состояния распадаются на
мультиплеты по орбитальному угловому моменту). Например,
Д-дмультиплет со спином 3/2 и изоспином 3/2 является симме-
симметричной комбинацией трех частиц со спином 1/2 и изоспином
3/2, каждая из которых имеет орбитальный угловой момент
1 = 0 (аналогично построен декаплет C/2)+, который представ-
представляет собой симметричную комбинацию частиц трех SUC) -три-
-триплетов); Д-мультиплеты со спинами 1/2, 3/2, 5/2, 7/2 с масса-
массами, примерно равными 1900 МэВ (см. рис. 6.13) можно объяс-
объяснить как симметричные комбинации, в которых две частицы
имеют / = 1 и одна I = 0. Но так как кварки имеют значение
спина 1/2, они должны быть фермионами и поэтому образовы-
образовывать только антисимметричные комбинации. Таким образом, у
кварков должна существовать еще какая-то дополнительная

§ 6.5. Цветные силы 365
степень свободы, чтобы обеспечить антисимметричность комби-
комбинированных состояний. Если считать, что кварковые состояния
содержат множитель, принадлежащий цветному пространству
%', то состояния нескольких кварков могут быть симметричными
по пространственной координате, спину и пзоспину, но антисим-
антисимметричными по цвету.
Второе доказательство существования цвета дают экспери-
эксперименты по рождению адронов при электрон-позитронной анниги-
аннигиляции. Выше отмечалось, что резонансы, наблюдаемые в этих
экспериментах, получаются в результате рождения кварк-анти-
кварковых связанных состояний, как показано на рис. 6.15. Ког-
Когда энергия фотона не равна энергии связанного состояния, фо-
фотон все равно может рождать пару из кварка и антикварка, ко-
которые затем разлетаются и комбинируют с другими кварками
и антнкварками, рожденными из вакуума, как в процессах, по-
показанных на ркс. 6.14, причем получается множество адропных
состояний. При энергии, сильно отличающейся от энергии резо-
резонанса, виртуальный фотон с равной вероятностью может ро-
рождать любую пару частица — античастица с данным зарядом
при условии, что он имеет достаточную энергию. Вероятность
рождения конкретной пары частица — античастица пропорцио-
пропорциональна квадрату заряда частицы (и античастицы). (Заряд вхо-
входит множителем в слагаемое гамильтониана, описывающее вер-
вершину фотон — частица — античастица, поэтому он входит мно-
множителем и в амплитуду процесса; последнюю надо возвести в
квадрат, чтобы получить вероятность.) Таким образом, при
каждой заданной энергии Е можно сравнить полную вероят-
вероятность процесса рождения пары кварк — антикварк, приводя-
приводящего в конечном счете к адронным состояниям, с вероятностью
процесса рождения пары \\г\а+, который не приводит к образо-
образованию адронов:
^f^^ Y?, F.110)
R{E) = ^f^^
Г (е е ->ц П )
где qi — заряд 1-го кварка и суммирование проводится по всем
кваркам с массой меньше х 1%Е.
Экспериментально найденная функция R(E) приведена на
рис. 6.18. Видно ступенчатое повышение уровня каждый раз,
когда энергия достигает значения, при котором может рождать-
рождаться пара кварк — антикварк очередного типа; ступени (пороги)
сопровождаются резонансами, свидетельствующими о рождении
связанных состояний при энергии, немного меньшей (вследствие
ненулевой энергии связи), чем энергия, при которой кварк и ан-
антикварк могут разделяться. Все это качественно подтверждает
картину, согласно которой элементарными составными частями
адронов в порядке увеличивающихся масс являются кварки и,

366
Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
d, s, с и b (порог для кварка t экспериментально еще не достиг-
достигнут). Но значения R оказываются не такими, которых можно
было бы ожидать исходя из этой картины. Вместо того, чтобы
иметь значение B/3J + (—1/3J == 5/9 в низкоэнергетической
области, где имеются только и- и d-кварки, оно оказывается
ближе к значению 5/3 и дальше остается каждый раз примерно
в 3 раза больше предсказываемого. Поэтому представляется,
J L
1
pi ш> [
Рис. 6.18. Отношение R —
5 6 7 8
Энергия, ГэВ
Г(е+~~
9 10
Т
(е+е
ад
роны)
T(eV
1+И )
что каждое значение q2 в сумму F.110) входит по три раза;
другими словами, имеется по три различных кварка типов и,
d, ... .
Хотя мы располагаем доказательствами, что существует три
различных цветных состояния каждого кварка, мы не можем
ничего сказать о том, чем эти состояния отличаются друг от
друга; они не проявляются ни в каких экспериментально детек-
детектируемых различиях наблюдаемых частиц. Отсюда можно выве-
вывести два важных следствия. Во-первых, законы физики должны
быть строго инвариантны относительно перестановок трех раз-
различных цветов; другими словами, в природе должна существо-
существовать еще одна группа симметрии. В отличие от изоспиновой и
SUC)-симметрии (ароматовой симметрии), которая провозгла-
провозглашает приближенную эквивалентность элементарных частиц, ко-
которые детектируются как различные частицы, эта цветная сим-
симметрия точная. Все состояния в трехмерном цветном простран-
пространстве эквивалентны друг другу в силу указанной симметрии. Та-
Таким образом, операции цветной симметрии состоят из всех ли-

§ 6.5. Цветные силы 367
нейных преобразований состояний, которые сохраняют основ-
основные квантовомеханические свойства линейности и внутреннего
произведения. Как и в случае ароматовой симметрии получаем
группу унитарных преобразований, но теперь цветного про-
пространства. Отбрасывая преобразования, кратные единичному
(которые соответствуют симметрии состояний относительно ум-
умножения па произвольные фазовые множители и не имеют отно-
отношения к цветной симметрии), получаем еще одну группу сим-
симметрии элементарных частиц с математической структурой
группы SUC).
Во-вторых, так как цветные различия состояний ненаблю-
даемы, все физические состояния элементарных частиц не дол-
должны изменяться при цветных преобразованиях. Это не озна-
означает, что такие преобразования не имеют смысла, так как они
действуют только на кварковые состояния и свободные кварки
никогда не наблюдались; физические состояния частиц являют-
являются состояниями систем нескольких кварков. Цветные преобра-
преобразования действуют на такие состояния согласно представлениям
цветной SUC) -группы в точности так же, как описанные в § 6.3
преобразования ароматовой SUC) -группы. В результирующем
представлении все цветные преобразования действуют как еди-
единичное преобразование. Таким образом, второе следствие нена-
ненаблюдаемости цвета заключается в том, что все физические со-
состояния принадлежат синглетному представлению цветной
S U C)-группы.
Последнее обстоятельство объясняет, почему существуют
кварк-антикварковые комбинации (мезоны) и трехкварковые
комбинации (барионы), но нет двухкварковых комбинаций.
Каждый кварк принадлежит к триплетному представлению
цветной SUC) -группы, каждый антикварк — к антитриплетно-
му представлению; комбинация кварка и антикварка приводит
к синглету (см. F.80)). Комбинация двух триплетов не содер-
содержит синглета (см. F.88)), но комбинация трех триплетов со-
содержит такой синглет (см. F.89)). Кроме того, последний синг-
лет является антисимметричной комбинацией трех триплетов,
как и должно быть, так как цвет должен восстанавливать анти-
антисимметрию кварков в барионе.
Глюоны. Восемь эрмитовых генераторов цветной SU C) -груп-
-группы представляют наблюдаемые, которые сохраняются вслед-
вследствие наличия цветной симметрии. Эти наблюдаемые называют
цветными зарядами. В данном случае название «наблюдаемые»
не совсем верно, так как значения этих величин различают
цветные состояния, а последние ненаблюдаемы. Тем не менее
цветные заряды физически очень важны, так как они являются
источниками сильного взаимодействия, действующего между

368 Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
кварками, в том же смысле, в каком электрический заряд яв-
является источником электрического поля.
Каждый из восьми цветных зарядов связан со своим бозо-
бозоном, т. е. квантом поля, создаваемого этим зарядом, в том же
смысле, в каком электрический заряд связан с фотоном (под-
(подробности см. в § 7.4). Эти бозоны называют глюонами. Глюоны
образуют октетное самосопряженное представление цветной
SUC)-группы (античастицей глюона является другой глюон,
принадлежащий тому же октету). Как указано на стр. 350, та-
такой октет описывается набором эрмитовых полей yi. Соответ-
Соответствующий гамильтониан кварк-глюонного взаимодействия, опи-
описывающий связанное с цветной симметрией взаимодействие
этих частиц, имеет вид
у„ F.111)
где as — константа связи, характеризующая интенсивность
взаимодействия, а Ф+= ('?#% фв*, <?у+) — набор полей для цвет-
цветного триплета кварков (скажем, «красного», «синего» и «жел-
«желтого»). Этим набором цветов обладает каждый кварк данного
аромата (например, u-кварк). Полный гамильтониан сильного
взаимодействия с учетом кварков всех ароматов имеет следую-
следующий вид:
#' = asCjYf, F.112)
где
с Iя = ? &№№,
причем сумма берется по всем ароматам / = u, d, s, c,b, t. При-
Приведенный гамильтониан обладает точной SUF) -симметрией по
отношению к всевозможным линейным преобразованиям аро-
ароматов (константа связи as имеет одно и то же значение для
всех ароматов). В отличие от цветной симметрии ароматовая
симметрия не является точной симметрией полного гамильто-
гамильтониана; она нарушается из-за различия масс в кварковых трех-
частичных состояниях.
Операторы С,-'в F.112) называют компонентами кваркового
цветного тока; каждый из них можно представить в виде
СIя = ? («А+ + аМ* + atat + atat*), F.113)
где а,- и а^ — операторы уничтожения и рождения кварка в
определенном цветном состоянии, являющемся собственным со-
состоянием i-ro цветного заряда; операторы at и а^ относятся к
антикварку; суммирование в F.113) ведется по всем арома-
ароматам. Таким образом, цветной ток С,-*7 изображается линиями
фейнмановских диаграмм, вдоль которых течет t-й цветной за-

§ 6.5. Цветные силы 369
ряд в точности так же, как электрический заряд течет вдоль
электрон-позитронных линий обычных электромагнитных фейн-
мановских диаграмм. Линии глюонов i связаны с указанными
линиями фейнмановских диаграмм в точности так же, как ли-
линии фотонов связаны с электрон-позитронными линиями обыч-
обычных фейнмановских диаграмм.
Так как глюоны, как и кварки, тоже переносят цветные за-
заряды, они должны испытывать действие цветных сил и поэтому
должны давать вклады в полный цветной ток. Вклад глюонов
в цветной ток описывается выражением
С,« = Г+/,Г, F.114)
где Г--восьмикомпонентный вектор-столбец, составленный из
глюонных полей ус, a tc— матрица типа 8X8, представляющая
i-й эрмитов генератор группы SUC). Последние даются фор-
формулами F.58). Учитывая эти формулы, а также тот факт, что
глюонные поля ус эрмитовы, получаем
Cie = if tlky,yk. F.115)
Если бы каждый глюон обладал только одним состоянием, то
цветной глюониый ток Ci8 обращался бы в пуль, так как струк-
структурные константы (ср. антисимметричны. Но глюоны являются
частицами со спином 1, и учет различных спиновых состояний
приводит к ненулевому результату в формуле F.115). Таким
образом, получаем дополнительное слагаемое в гамильтониане
F.112), которое имеет следующий вид:
(у/ХУк), F.116)
где глюонные поля со спином 1 рассматриваются как некото-
некоторые операторы группы вращений. Такой векторный характер
глюонных полей играет определяющую роль в теории цветных
сил и делает эту теорию калибровочной теорией, как это объ-
объяснено в гл. 7.
Слагаемое F.116) в гамильтониане кварк-глюонных взаимо-
взаимодействий описывается трехглюонными вершинами фейнманов-
фейнмановских диаграмм: глюоны, обладающие цветными зарядами, сами
могут испускать и поглощать другие глюоны. В гамильтониан
F.116) входят структурные константы. Это связано с тем, что
группа SUC) является неабелевой. Калибровочная теория тре-
требует также рассмотрения четырехглюонного слагаемого в га-
гамильтониане, имеющего следующий вид:
Н8" = а*С,вС{в. F.117)
Так как глюоны притягиваются друг к другу благодаря
сильному взаимодействию, описываемому трехглюонными и че-
тырехглюонными вершинами, разумно предположить, что они

370 Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
могут образовывать глюонные связанные состояния. Поскольку
произведение двух 5 UC) -октетов содержит синглет, связанное
состояние двух глюонов может существовать как наблюдаемая
физическая частица. Такую гипотетическую частицу назвали
глюболом. Существуют один или два мезонных резонанса, ко-
которые могут быть кандидатами в глюболы, но неопровержимых
доказательств, что глюболы существуют в природе, пока нет.
Асимптотическая свобода и конфайнмент. Динамические
следствия калибровочной квантовополевой теории не могут
быть подробно рассмотрены в этой книге. Мы сформулируем
здесь только основные выводы этой теории. Учесть вклады от
сложных фейнмановских диаграмм в скорость данного физиче-
физического процесса довольно просто. Сумма этих вкладов равна
вкладу от самой простой соответствующей данному процессу
диаграммы, в котором, однако, константу связи as следует за-
заменить на некоторую функцию, зависящую от импульсов уча-
участвующих в процессе частиц. Например, в случае процесса
двухчастичного рассеяния А+ В-^-С+ D константу as следует
заменить функцией, которая зависит от передачи импульса
где рд и Ра' — 4-векторы энергии-импульса частицы до и после
столкновения, а квадрат обозначает лоренц-инвариантный квад-
квадрат 4-вектора (см. приложение 1). Зависимость константы
связи as от д2 можно также интерпретировать как зависимость
константы связи от расстояния между частицами, причем боль-
большим значениям q2 соответствуют малые расстояния и наоборот.
Тот факт, что квантовая хромодинамика является калибровоч-
калибровочной квантовополевой теорией, приводит к важным следствиям
в отношении вида зависимости константы связи as от передачи
импульса q2.
Было доказано, что as обращается в нуль при больших q2,
так что кварки на малых расстояниях ведут себя как свобод-
свободные частицы. Этот факт, называемый асимптотической свобо-
свободой, объясняет результаты экспериментов по высокоэнергетиче-
высокоэнергетическому электрон-позитронному рассеянию (адронный аналог ре-
зерфордовских экспериментов по рассеянию электронов на яд-
ядрах). В этих экспериментах электроны, которые отклонялись
на большие углы, а потому передавали кваркам большие им-
импульсы (величина q2 была большой), рассеивались кварками
упруго1), как если бы кварки были свободными частицами.
') Заметим, однако, что происходит «глубокое неупругое рассеяние»,
т. е. энергия, передаваемая кварку, затем используется для разрушения
адрона, которому принадлежал кварк; при этом образуется большое число
вторичных адронов, как это объясняется ниже.

§ 6.5. Цветные силы 371
Точнее кварки ведут себя как слабо связанные частицы, нахо-
находящиеся в слабом потенциале, подобно электронам в атоме.
Высказывают догадки, что константа связи as велика при
малых значениях q2, соответствующих большим расстояниям.
Такое свойство, называемое конфайнментом, объяснило бы
сразу причину того, что свободные кварки экспериментально
не наблюдаются и все физически наблюдаемые в природе со-
состояния являются цветными синглетами. Наряду с конфайн-
конфайнментом кварков надо рассматривать и конфайнмент глюонов;
глюоны, являясь цветными объектами, не могут уйти беско-
бесконечно далеко от своих кварковых источников (несмотря на то
;
« «q—».q#-
6
Рис. 6.19. Конфайнмент цветных силовых линий (а) и образование струй (б).
что они безмассовые и как фотоны переносят силы бесконечно
большого радиуса действия). Силовые линии глюонного поля
должны всегда начинаться и заканчиваться на кварках, обра-
образуя силовые трубки, подобные показанным на рис. 6.19, а. По-
Получаем силы взаимодействия между кварками, зависящие от
расстояния. Количество энергии, требуемое для разведения
кварков на определенное расстояние, пропорционально этому
расстоянию, и при достижении определенного расстояния вся-
всякий раз происходит рождение из вакуума новой пары кварк —
антикварк.
Если кварк и антикварк обладают очень высокими энер-
энергиями, например, когда они только что образовались из фо-
фотона, возникшего в электрон-позитронном рассеянии, то в си-
системе их центра масс они разлетаются друг от друга с очень
большими импульсами. При этом силовая трубка между квар-
кварком и антикварком растягивается до тех пор, пока не родится
новая пара кварк — антикварк, как это показано на рис. 6.19, б.
Такое рождение пар будет происходить непрерывно, пока не
будет рождено множество новых адронов. Если такие кварк-
антикварковые пары рождаются всякий раз, когда в силовой

372
Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
трубке достаточно для этого
энергии, то относительные
скорости образовавшихся
кварков будут малыми. В ча-
частности, новые кварки и анти-
антикварки на рис. 6.19,6 имеют
малую скорость в направле-
направлении, перпендикулярном на-
начальной силовой трубке,поэто-
трубке,поэтому две новые трубки имеют
импульсы примерно в том же
направлении, что и первона-
первоначальные две частицы. Если эти
последние силовые трубки в
свою очередь растянутся и при
этом родятся новые частицы,
то импульсы по-прежнему бу-
будут иметь первоначальное на-
направление. На основе этих ин-
гуитивных чисто классических
представлений была высказа-
высказана догадка, что адроны, рож-
рождаемые в описываемом процес-
процессе рождения кварк-антикварко-
вой пары, объединяются в две
струи частиц, причем в каж-
каждой струе импульсы всех час-
частиц ориентированы прибли-
приближенно в направлении движе-
движения первоначальных кварка и
антикварка. Можно также
ожидать, что адронная струя
появляется и в том случае,
когда кварк испускает высоко-
высокоэнергетический глюон.
Адроны, рождающиеся в
электрон-позитронных столк-
столкновениях, действительно обра-
образуют струи (рис. 6.20). Экс-
Экспериментально наблюдаются
события с двумя и тремя
струями.
Представления об асимпто-
асимптотической свободе и конфайн-
менте кварков подтверждаются спектроскопией тяжелых кварко-
вых систем чармония и боттомония. Возбужденные состояния этих
Рис. 6.20. Струи, рожденные в про-
протон-антипротонном столкновении
(снимок ЦЕРН'а).

§ 6.6. Электрослабое взаимодействие 373
систем можно объяснить, приняв потенциал взаимодействия ме-
между кварками следующего вида:
V(r) = ^ + $r, F.119)
где а « 1/2. Малость константы связи аналогичного кулонов-
скому слагаемого а/г объясняет эффект асимптотической сво-
свободы. Линейное слагаемое в потенциале приводит к конфайн-
менту.
Правило Цвейга. Мезоны ф, J/i|) и X типа 1~ представляют
собой связанные состояния кварка и антикварна. Они могут
распадаться при взаимной аннигиляции пар кварков, но ско-
скорость такого распада чрезычайпо мала. Общая структура
квантовой хромодинамики вместе с правилом, согласно кото-
которому все физические состояния представляют собой цветные
синглеты, объясняет такую малую скорость распада.
Закон сохранения цвета запрещает кварку и антикварку
взаимно аннигилировать в один глюон. Если бы кварк и анти-
антикварк аннигилировали с рождением двух глюонов, последние
должны были бы находиться в SUC) -синглетном состоянии,
имеющемся в произведении двух октетов. Это синглетное со-
состояние было бы симметричной комбинацией (как любой
SUC) -скаляр, этот синглет можно представить скалярным
произведением V,-Wi). Следовательно, двухглюонное состояние
должно было бы иметь четность зарядового сопряжения, рав-
равную + 1, так как операция зарядового сопряжения в этом пол-
полностью нейтральном состоянии состоит просто в перестановке
двух глюонов. Мезоны ф, J/ф и Т, о которых здесь идет речь,
рождаются из фотонов и поэтому имеют отрицательную чет-
четность зарядового сопряжения. Таким образом, в каждом из
рассматриваемых процессов распада должны участвовать по
крайней мере три вершины qqg фейнмановских диаграмм, и
амплитуда процесса распада должна быть пропорциональна
css3. Поскольку на таких расстояниях константа связи as мала,
вероятности данных процессов очень малы.
§ 6.6. Электрослабое взаимодействие
Несохранение четности. Прежде чем приступить к обсужде-
обсуждению объединенной теории слабого и электромагнитного взаи-
взаимодействий, опишем кратко свойства слабого взаимодействия.
Первое из них, которое уже отмечалось выше при обсужде-
обсуждении нейтральных К-мезонов, состит в том, что слабое взаи-
взаимодействие не сохраняет четности. Явное экспериментальное
доказательство этого факта дают нейтрино, которые не уча-

374
Гл. в. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
ствуют ни в каких взаимодействиях, кроме слабого н гравита-
гравитационного. Нейтрино всегда левые (имеют спиральность —1/2);
поэтому оператор четности Р, который должен был бы пере-
переводить левые нейтрино в правые нейтрино, движущиеся в про-
противоположном направлении, не определен в пространстве со-
состояний одного нейтрино. (Антинейтрино всегда правые, по-
поэтому комбинированная операция СР определена.)
Отсутствие симметрии слабых взаимодействий относительно
пространственных отражений экспериментально продемонстрн-
Рис. 6.21. Нарушение закона сохранения четности.
ровала Ц. С. By в 1957 г. Наблюдались электроны, испущен-
испущенные при р-распаде ядер кобальта
e- + ve. F.120)
Ядра 60Со, имеющие спин 5, помещались в сильное магнитное
поле В. В результате появлялось добавочное слагаемое —цЛ-В
в гамильтониане этого ядра (обладая спином J, ядро имеет
магнитный момент |iJ); таким образом, если магнитное поле
направлено вдоль оси г, основное состояние ядра будет соб-
собственным состоянием оператора Jz с собственным значением 5.
(Как стрелка компаса спин ядра направлен вдоль магнитного
поля.) В описываемых экспериментах Ц. С. By было обна-
обнаружено, что электроны, рождающиеся при распадах F.120),
имели следующее угловое распределение:
= 1 -у cosB,
F.121)
где N(Q)dQ — число электронов со скоростью v, испущенных в
направлениях с углами от В до 0 -f- с/0 по отношению к на-
направлению магнитного поля. Таким образом, в направлении,
противоположном направлению спина ядра, испускалось боль-
больше электронов, чем в направлении этого спина. Рис. 6.21 пока-

§ 6.6. Электрослабое взаимодействие 375
зывает, что ситуация не симметрична относительно отражения
в зеркале, поверхность которого параллельна спину ядра.
Асимметрию, продемонстрированную в указанных экспери-
экспериментах, можно качественно объяснить с помощью предполо-
предположения, что электроны обладают отрицательной спиральностью.
Ядро 60Ni имеет спин 4, так что ядро 60Со теряет самое мень-
меньшее угловой момент AJ = 1 (так как AJ2 = /(¦/ -j— 1) и / ^ 1),
причем изменение z-компоненты углового момента 8JZ ^ 1.
Угловой момент ядра 60Ni равен сумме спинов электрона и
антинейтрино, их орбитального углового момента и углового
момента ядра 60Со. Не будем
пока учитывать орбитальный „}ч t ^ „
угловой момент и рассмот- Д J
рим электроны, испускаемые Л в
точно в z-направлениях @ = 0
или 8 = л). Электроны, ис-
испускаемые вверх (9 = 0), име- \ -. • ] ^
ют z-компоненту спина sz = ' />
= —1/2 (по предположению), А а
так что они не могут создавать Рис 622 СпиралЫ10СТЬ электро„а;
треоуемое значение Д/г; та- электрон левый в системе отсчета, в
кое Д/г могут создать только которой А покоится, и правый в си-
электроны, испускаемые вниз «еме отсчета, в которой В покоится.
(sz= 1/2), сопровождаемые ле-
летящим вверх антинейтрино (для таких антинейтрино проекция
спина sz = 1/2, так как они правые). Таким образом, если не
учитывать орбитальный угловой момент, все электроны будут
испускаться в направлении 9 = я. Эффекты орбитального угло-
углового момента одинаковы для обоих указанных направлений, так
что будет чистый избыток электронов, испущенных в направле-
направлении 8 = я, описываемый формулой F.121).
Предположение, что все электроны, рожденные при |3-рас-
паде, левые, противоречит специальной теории относительно-
относительности, так как, если электрон левый в одной системе отсчета, он
должен быть правым в системе отсчета, движущейся быстрее
электрона в том же направлении (рис. 6.22). Таким образом,
следует предположить, что электрон, рожденный при р-распаде,
находится в следующем спиновом состоянии:
где |+> — состояния со спиральностью ±1/2, a v — скорость
электрона.
В § 7.2 показано, что утверждение F.122) релятивистски-
инвариантно. Электрон в состоянии |L> имеет большую ве-

376 Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
роятность быть левым, чем правым, и эта вероятность стано-
становится достоверностью при v —>• с.
Ортогональное к |L> состояние имеет вид
Это правильное состояние античастицы для частицы, находя-
находящейся в состоянии |L>. Позитроны, рождаемые при слабых
взаимодействиях, находятся в состоянии |R>.
Так как состояние |L> превращается в состояние с отрица-
отрицательной спиральностью |—> при v = с, мы заключаем, что
как электрон, так и нейтрино находятся в состоянии |L>, когда
они рождаются при слабых взаимодействиях, а их античастицы
находятся в состоянии |R>. Такое заключение справедливо
для всех фермионов (лептонов и кварков) и показывает, что
силы слабого взаимодействия оказываются левыми силами. Но
при учете закона сохранения полного углового момента это за-
заключение следует немного видоизменить: конечные состояния
фермионов, находившихся в состояниях | L> и |R>, следует прое-
проецировать на подпространство с угловым моментом, равным
угловому моменту начального состояния.
Пример: распад пионов. Заряженные пионы распадаются
преимущественно в мюоны и соответствующие нейтрино. Вслед-
Вследствие универсальности слабого взаимодействия амплитуды рас-
распадов пионов в электроны и мюоны должны быть равны. Сде-
Сделав это предположение, вычислим отношение скоростей двух
следующих распадов:
п~ —>• ц~ + vp и п~ —>e~ + ve. F.124)
Гамильтониан W, описывающий указанные распады, пере-
переводит начальное состояние п~ в следующую суперпозицию элек-
электронного и мюонного состояний с одинаковыми коэффициен-
коэффициентами:
r|n-> = gn|(i-,L>|v R) + ?lI|e-,L>|Ve,R>, F.125)
где g— константа связи, а П — проекционный оператор на со-
состояние с начальным угловым моментом. В рассматриваемом
случае, поскольку пион не имеет спина, то взяв его в состоянии
покоя, в качестве оператора П следует использовать оператор
проецирования на состояние с нулевым угловым моментом.
В силу закона сохранения импульса получающиеся при рас-
распаде пиона лептон и антинейтрино обладают противополож-
противоположными импульсами. Так как антинейтрино имеет спиральность
+ 1/2, лептон должен иметь спиральность —1/2, чтобы компо-
компонента полного углового момента в направлении движения была
равна нулю. Таким образом, оператор П проецирует лептон-

§ 6.6. Электрослабое взаимодействие 377
пое состояние | L> на состояние с положительной спиральностью
|+>; поэтому, согласно F.122), получаем
(Г*, | W | я~> = g Д/4 A - v,/c) , F.126)
где / = е или ц, a vi — скорость лептона I. Как в § 3.5, из реля-
релятивистской кинематики распада получаем для энергии и им-
импульса лептона следующие формулы:
m 2 + tn,2 m 2 — tn,2
Е = ** p-Ve
шт V FЛ27)
так что
v, рс mj* — in,2
^^ <6Л28>
рс mj* —
Используя формулу C.200) (считая в ней, что А — лептон, а
В — антинейтрино, так что Еа=Е[ и Ев = рс), для факто-
фактора фазового объема получаем следующее выражение:
Таким образом, отношение скоростей рассматриваемых распа-
распадов равно
F.130)
Как видим, распады пионов в электроны сильно подавлены,
так как они могут происходить только с правыми электронами,
а силы слабого взаимодействия предпочитают рождение левых
электронов. Это предпочтение проявляется сильнее для более
легких электронов, чем для тяжелых мюонов. Данное сообра-
соображение перевешивает то обстоятельство, что распады пионов в
электроны энергетически более выгодны, чем распады их в
мюоны.
Гамильтониан Салама—Вайнберга. Рассмотренный только
что пример показывает, что электрон в состоянии |L> и элек-
электронное нейтрино (в своем единственном состоянии спираль-
ности) образуют естественную пару частиц при действии сил
слабого взаимодействия. Они рождаются в виде пары ча-
частица— античастица при р-распаде и при распадах пионов.
Третье состояние спиральности лептонов электронного типа, а
именно состояние |R> для электрона, никак не затрагивается
силами слабого взаимодействия. В теории слабых взаимодей-
взаимодействий Салама— Вайнберга рассматривается 5?/B)-группа пре-
преобразований, называемая группой слабых изоспиновых преобра-

378 Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
зований, которая смешивает друг с другом первые два состоя-
состояния спиральностн и переводит ее третье состояние само в себя.
Таким образом, имеем слабый изосшгаовый дублет ei., Ve и
синглет eR. Остальные лептоны по слабой изоспиновой группе
классифицируются аналогично и образуют дублеты j.iL, v^ и tl,
vT и синглеты ц.к и tr.
Кварки тоже объединяются в левые дублеты и правые
синглеты относительно слабых изоспиновых преобразований. Но
здесь ситуация немного сложнее, так как u-кварк объединяется
и с d-кварком (например, при р-распаде, при котором один из
d-кварков в нейтроне превращается в u-кварк), и с s-кварком
(например, при полулептонном распаде F.46) бариона Л°, при
котором s-кварк в Л°-барионе превращается в u-кварк). Так
как коэффициенты при составляющих адронного слабого тока,
сохраняющей странность и не сохраняющей странность, дают-
даются углом Кабиббо 8с, то в качестве компоненты слабого изо-
сшшового дублета, содержащего состояние |u, L>, должна
браться следующая суперпозиция состояний:
|d', L> = |d, L>cos9c + |s, L)sin9c. F.131)
Ортогональную ей суперпозицию
|s', L> = |s, L) cos 9с-| d, L) sin 9C F.132)
следует использовать как компоненту дублета, содержащего
очарованное кварковое состояние |с, L>. Третий кварковый
дублет содержит левые состояния t- и b-кварков. Компонента
b представляет собой суперпозицию с примесью d- и s-кварко-
вых состояний; соответственно d'- и s'-состояния должны содер-
содержать небольшую примесь b-состояния. Все указанные недиа-
недиагональные члены в суперпозициях, по-видимому, очень малы и
для простоты мы ими пренебрежем, но они существуют, так
как в противном случае b-кварк был бы стабильным.
Для каждой из упомянутых частиц, за исключением ней-
нейтрино, имеем по два возможных состояния, поэтому для каж-
каждой такой частицы имеются по два оператора уничтожения и
по два оператора рождения. Из этих четырех операторов мож-
можно построить по два полевых оператора, которые мы обозна-
обозначим символами частиц, снабженными индексами L и R. Таким
образом, например, для электрона имеем два поля
I / \ + (О. lOO)
Образуем из этих полей векторы-столбцы, соответствующие
слабым изоспиновым мультиплетам частиц (см. табл. 6.5).Для

§ 6.6. Электрослабое взаимодействие 379
каждого такого мультиплета электрический заряд определяет-
определяется формулой
Q = h+jy, FЛ34)
где /3 — генератор слабой нзоспиновой группы, а у— число, ха-
характеризующее свойство мультиплета, называемое слабым ги-
гиперзарядом. Значения у приведены в табл. 6.5.
Пусть W — двухкомпонентный вектор-столбец только что
рассмотренных полей. Тогда можно образовать слабый нзовек-
тор Ч^+тЧ11, где т—вектор из матриц Паули. Полный слабый
ток определяется суммой всех операторов:
Jw= I w,+tw,+ E ExVt44 FЛ35)
/ = е, [г, г я = а, с, t t = l
(второе суммирование во втором слагаемом ведется по трем
цветам кварков г). В теории Салама— Вайнберга постулирует-
постулируется существование бозонов Wr±, W°, образующих слабый изо-
спииовый векторный триплет полей, которые можно рассмат-
рассматривать как изовекторный оператор W (см. F.30)). Эти бозоны
вместе с рассмотренным слабым током Jw входят в основной
гамильтониан теории Салама — Вайнберга, который является
гамильтонианом взаимодействия юкавско-кеммеровского типа.
Теория Салама — Вайнберга постулирует также существование
еще одного бозона В0, который является слабым изоспиновым
синглетом и комбинируется в гамильтониане со слабым изо-
скалярным оператором
/о = ? уЧ?№ + ? уФгЩ, F.136)
где первое суммирование ведется по всем дублетам (левым)
полей 4f, а второе — по всем синглетам (правым) полей Ф; у —
слабый гпперзаряд. Таким образом, полный гамильтониан элек-
электрослабого взаимодействия в теории Салама — Вайнберга
имеет следующий вид:
tfew = SJw • W + g'J0B, F.137)
где g и gf — две независимые константы связи.
Четыре бозона в теории Салама — Вайнберга соответствуют
четырем генераторам группы
F.138)
где [SL/B)]W — группа слабых изоспиновых преобразований,
a [t/ A) ] у — однопараметрическая группа, единственный гене-
генератор которой является оператором слабого гиперзаряда. Груп-
Группа [?/(!)]</ изоморфна группе комплексных чисел с модулем,

380
Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
равным единице; элемент е'в этой группы представляется опе-
оператором U (в), который действует на состояние со значением у
слабого гиперзаряда, умножая его на множитель е'"9, где
п = Зу. Классификация состояний по слабому изоспину и сла-
d
cos».
-5"*
stn
п
-и
л
Рис. 6.23. Слабые процессы: a — и --> p + e~ + ve; б — Л° ->• p + e~ + ve;
в — Л° -> p + я""; г — K~->n~+n°; д — я+->ц,+ + v^; <г - А+ -> А°+К++я";
ж — D0 -> К"" + я + ; 3-D0 ~> К+ + л".
бому гиперзаряду эквивалентна разбиению их по неприводи-
неприводимым представлениям группы Gew.
Покажем теперь, как гамильтониан F.137) описывает од-
одновременно и слабые, и электромагнитные взаимодействия.
Каждое слагаемое этого гамильтониана, содержащее бозоны
W*, дает вершину фейнмановской диаграммы, в которую линия
одного из компонентов слабого изодублета входит, а другая
такая линия из нее выходит, причем одновременно испускается
или поглощается частица W±. Эти вершины позволяют описать

§ 6.6. Электрослабое взаимодействие 381
все рассмотренные нами до сих пор процессы слабого взаимо-
взаимодействия. Примеры таких процессов приведены на рис. 6.23.
Заметим, что дублеты, содержащие d' и s', появляются в про-
процессах, содержащих d и s, для которых амплитуды умножают-
умножаются на cos 6с или sin 6c в каждой отдельной вершине. Так, на-
например, отношение скоростей распадов очарованного мезона
D0, диаграммы для которых показаны на рис. 6.23, ж и з, равно
r(D°->K+n-) |sin2ec|2 . ,
rw-r^-TJifr"^'0 "'•"'• <fU39)
Заметим, что, согласно D.194), в предельном случае очень мас-
массивных бозонов W* низкоэнергетическую часть гамильтониана
F.140)
(/зар = /\у+> /зар+ = /w-; индекс «зар» означает заряженный)
можно заменить следующим эффективным гамильтонианом:
Яэфф = ^/зар+/зар, F.141)
описывающим процессы второго порядка, подобные тем, диа-
диаграммы для которых показаны на рис. 6.23. Получаем в точ-
точности гамильтониан F.38).
Остальные слагаемые в гамильтониане F.137) описывают
слабые процессы с участием нейтральных бозонов W0 и В'0
H^Tp = gJ3W3 + g'J0B. F.142)
Для слабого изодублета хУ = (фь ^г)Т имеем
л1/+Ч' 1 фМ 1 фЦ ? Шф F.143)
= фМ ф2Ц2
к
следовательно,
/з = I vFf+VFf = E 2iai>Mk, F.144)
f к
где вторая сумма берется по всем отдельным нолям в дублетах
и может включать также и поля синглетов, поскольку для них
k = 0. Согласно F.136), ток /0 можно записать тоже в виде
суммы по отдельным полям; таким образом, получаем
Янейтр = I ФкЧк Bgi3W° + g'yB), F.145)
к 1
(поскольку третьей компонентой изовектора W является иоле
W0).
Поля, входящие в формулу F.145), являются собственными
состояниями слабого изоспина, поэтому они создают поверну-
повернутые на угол Кабиббо состояния d', s', а не состояния физиче-
физических частиц d и s. Но так как эти смешанные состояния имеют

382 Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
те же значения t3 и у, что и состояния d и s, и являются орто-
ортогональными друг к Другу суперпозициями d и s, то в гамиль-
гамильтониан поля они входят в виде следующей комбинации:
d'+d' + s'V = rf+rf + s+s. F.146)
Таким образом, в конечном счете можно считать, что в га-
гамильтониан входят поля, относящиеся к физическим части-
частицам.
Предположим теперь, что
W° = Z cos Bw + A sin Bw,
F.147)
? = -ZsinBw +
где
= ^- F.148)
Тогда получим следующее выражение для нейтрального сла-
слабого гамильтониана:
#нейтР = Z е О3 + Т у) $ьЧкА +
к
+ ?eB/3ctgew-Y^gew)^+-^, F.149)
к
где
e = 2gsin6w. F.150)
Так как сумма /з + '1г\) является электрическим зарядом
частицы в единицах заряда электрона, то первое слагаемое в
формуле F.149) представляет собой гамильтониан электромаг-
электромагнитного взаимодействия, если е — заряд электрона, а А — поле
фотона. Второе слагаемое в формуле F.149) описывает новое
взаимодействие, переносимое нейтральной частицей Z0, при ко-
котором частицы, обменивающиеся ею, сохраняют свою индиви-
индивидуальность; это слагаемое, например, ответственно за силы,
действующие на нейтрино, которые проявляются в процессах
упругого рассеяния нейтрино на ядрах. Эти силы называются
силами, связанными со слабым нейтральным током; до появ-
появления теории Салама — Вайнберга существование таких сил
отрицали.
Если бы поле d' не было сбалансировано полем s', гамиль-
гамильтониан содержал бы слагаемое
йГ+ d'z == [d^d cos2 Вс + (d^s + s*d) cos 9C sin 9C + s+s sin Bc] Z,
F.151)
которое приводило бы к процессам, в которых кварки изменяли
бы свою индивидуальность; s-кварк мог бы превратиться в

§ 6.6. Электрослабое взаимодействие 383
d-кварк с испусканием 2°-частицы. Такой изменяющий стран-
странность нейтральный ток в природе не существует. Если бы он
существовал, то, например, нейтральные каоны могли бы рас-
распадаться на пары |х+ -f- цг подобно процессам распадов пионов
(рис. 6.24). Именно необходимость отбрасывания слагаемых в
F.151), пропорциональных d^s, объясняемая наличием фор-
формулы типа F.146), привела в свое время Глэшоу, Илиопулоса
и Майани к гипотезе, что должен существовать с-кварк, яв-
являющийся изоспиновым партнером кварка s'. Спустя четыре
Рис. 6.24.
года после этого предсказания с-кварк был обнаружен экспе-
экспериментально. Процедуру отбрасывания изменяющего стран-
странность нейтрального тока, производимую описанным способом,
называют механизмом ГИМ.
Как и квантовая электродинамика, теория Салама — Вайн-
берга является калибровочной теорией; важность этого обстоя-
обстоятельства объясняется в гл. 7. В отличие от глюонов квантовой
хромодинамики бозоны W±, Z° и у ароматодинамики не все без-
безмассовые. Мы увидим, что последнее обстоятельство связано
с тем фактом, что слабый изоспин в отличие от цвета не яв-
является точной симметрией.
Экспериментальное подтверждение теории Салама — Вайн-
берга. События, в которых мюонные нейтрино взаимодейство-
взаимодействовали с протонами без превращения в мюоны, были зарегистри-
зарегистрированы в 1974 г. Примером такого события является процесс
vM + p-*n + n+ +V F.152)
Этот процесс наблюдения нейтрального тока проще всего мо-
может быть объяснен, исходя из предположения, что существует
Z-бозон.
Бозоны W* и Z были открыты в ЦЕРН'е в 1983 г. Они рож-
рождались в высокоэнергетических протон-антипротонных соударе-
соударениях, в которых образующиеся кварк и антикварк превраща-
превращались в такой бозон в соответствии с фейнмановской диаграм-
диаграммой, представленной на рис. 6.25. Бозоны детектировались по

384 Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
их последующим распадам в лептоны в следующих процессах:
W+-^e+ + ve, W-->e- + ve) Z°^e+ + e-, F.153)
а также по распадам в аналогичных процессах с участием не
электронов, а мюонов. Характерной особенностью всех таких
процессов, свидетельствующей о существовании бозонов VJ± и
Z, является появление в этих процессах электронов и позитро-
позитронов очень высоких энергий. Масса W-частицы равна 81 ГэВ
(в 162 000 раз больше массы электрона), а масса Z-частицы
равна 93 ГэВ, причем эти массы полностью преобразуются в
энергию лептонов. Частицы W* и Z распадаются также на
пары кварк — антикварк с рождением двух адронных струй.
Рис. 6.25. Рождение W- и Z-бозонов.
Угол Git? называют углом Вайнберга. Его значение опреде-
определяется величиной константы связи g, которую можно получить
из значения иизкоэнергетической эффективной константы сла-
слабой связи, если известна масса Ш—частицы. В результате полу-
получаем
sin 6W «* 0,48. F.154)
§ 6.7. Последующее развитие теории
Великое объединение. Успех теории Салама — Вайнберга в
уменьшении числа независимых фундаментальных взаимодей-
взаимодействий с трех до двух, вдохновил многих на попытки про-
продолжить этот процесс объединения и развить универсальную
теорию, которая объединила бы электрослабые силы с цвет-
цветными и гравитационными силами. Гравитация занимает особое
место ввиду ее уникальной связи с геометрией пространства-
времени, провозглашенной общей теорией относительности.
Вследствие этого до сих пор остается проблематичным даже
вопрос о том, что теорию гравитации можно согласовать удов-
удовлетворительным образом с квантовой механикой. Поэтому пред-
представляется, что наиболее обещающее направление атаки — по-
попытаться объединить сначала электрослабые и цветные силы.
Можно предположить, что бозоны цветных и электрослабых
сил соответствуют генераторам следующей группы:
= («/C))с X (SUB))w X (?/(!))„ F.155)

§ 6.7. Последующее развитие теории 385
(цвет X слабый изоспинХ слабый гиперзаряд). Тогда будем
иметь три независимые константы связи вследствие наличия
трех коммутирующих между собой подгрупп в группе. При
этом объединенную теорию с единственной константой связи
можно построить, погрузив группу Gcew в какую-нибудь алгеб-
алгебраически простую группу Gut (не имеющую фактор-подгрупп),
генераторы которой соответствовали бы бозонам объединенной
теории, а представления позволили бы классифицировать все
известные состояния элементарных частиц. Простейшая воз-
возможная группа, которая была предложена Джоржи и Глэшоу,
имеет вид
St/E); F.156)
она обладает указанными выше подгруппами, причем матрицы
типа 5X5 из группы SUE) можно разбить по принципу C +
-\- 2)Х C + 2) следующим образом:
U 0 1 Пз 0 1
j B))[ J F.157)
е2;е13 0
0 e-«e,
В теории великого объединения SUE) частицы распадают-
распадаются на семейства. В каждом семействе имеется по 15 пар фер-
мионных состояний, образованных левыми состояниями частиц
и правыми состояниями соответствующих им античастиц.
Имеется по одному полевому оператору на каждую пару ча-
частица— античастица. В первом семействе левые состояния, упо-
упорядоченные по представлениям группы Gcew, имеют следующий
вид1):
(ur, uy> ub, dr, dy, db)L = 3X2(«=l);
(ur, uy, ub)L = 3XH« = —4);
(dr, dy, db)L = 3 X 1 {n = 2); F.158)
(ve, e-)L = lX3(rt = -3);
Здесь латинские индексы обозначают цветные состояния квар-
кварков (красный, желтый и голубой); полужирные цифры обозна-
обозначают представления произведения групп (S?/C))CX (S?/B))w,
например, шесть состояний первого мультиплета принадлежат
') Здесь индексы г, у, b — первые буквы английских слов red — красный,
yellow — желтый, blue — голубой. Индексы L и R — первые буквы английских
слов left — левый и right — правый. — Прим. перев.

386
Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
триплету (SUC))C и дублету (SUB))W; представления группы
(U(l))y обозначены значениями числа п = Зу (см. табл. 6.5).
У = -2
0=1/3
0 = 4/3
У = -2/3
Таблица 6.5.
eR
«R
4
Слабые изоспиновые мультиплеты *
)
*c = (s')L
CR
SR
TR
^t=(b)
• Здесь d'=d cos 9C + s sin 8C, s'= - d sin 9C + s cos 9C.
Группа SU(b) имеет фундаментальное пятимерное представ-
представление (носителем которого являются пятикомпонентные векто-
векторы иа) и десятимерное представление (образованное антисим-
антисимметричными тензорами второго ранга ta$). Эти два представле-
представления распадаются на представления подгрупп SUC) XS?/B) X
X U(l) следующим образом:
5 = ЗХ1(л = 2)©1Х2(я = -3), F.159)
10 = ЗХ2(я=1)®ЗХ1(« = -4)®1 Х1(я = 6). F.160)
Таким образом, два указанных представления группы SUE)
включают левые фермионные состояния любого семейства. Так
как подгруппа слабого гиперзаряда (U(l))y является подгруп-
подгруппой простой группы и коммутирует, будучи абелевой подгруп-
подгруппой, с чем угодно, теория представлений групп требует, чтобы
собственные значения гиперзаряда квантовались (аналогично
теория представлений группы вращений, базирующаяся на ком-
коммутационных соотношениях операторов углового момента, тре-
требует, чтобы собственные значения оператора /г были квантова-
квантованы). Таким образом, рассматриваемая теория объясняет кван-
квантование электрического заряда. Из F.157) непосредственно за-
заключаем, что генератор гиперзаряда имеет одинаковое соб-
собственное значение для компонент любого цветного мультиплета
и сумма его собственных значений для любого 5U E) -мульти-
-мультиплета должна быть равна нулю. Поэтому теория объясняет так-
также, почему электрические заряды цветных триплетов (кварков)
кратны 1/3 заряда цветных синглетов (лептонов).
Группа SUE) имеет 52—1=24 генератора. Поэтому тео-
теория, базирующаяся на этой группе, должна иметь 24 бозона,

§ 6.7. Последующее развитие теории 387
переносящих силы взаимодействия между фермионами. Из них
12 бозонов — это фотон, W*- и 2°-частицы и глюоны. Осталь-
Остальные 12 бозонов соответствуют эрмитовым матрицам типа 5X5,
элементами которых являются недиагональные блоки в разбие-
разбиении F.157). Такие бозоны X, Y должны связывать кварки с леп-
тонами таким же образом, как Ш—бозоны связывают u-, d- и
s-кварки между собой. Другими словами, в рассматриваемой
теории возможны вершины фейнмановских диаграмм, подоб-
подобные показанным на рис. 6.26. Аналогично несохранению стран-
странности в слабых взаимодействиях, которые переносятся W-части-
цами, процессы, в которых участвуют Х-частицы, не сохраняют
Рис. 6.26. Вершины фейнмановских диаграмм в теориях великого объеди-
объединения.
барионное число. Такие процессы должны приводить к распа-
распадам протонов на лептоны. Время жизни протона должно состав-
составлять около 1033 лет (для сравнения укажем, что время жизни
всей нашей Вселенной составляет 1010 лет). Эксперименты по
обнаружению распада протонов в настоящее время производят-
производятся, но до сих пор надежных данных, свидетельствующих о том,
что протон нестабилен и распадается, не получено.
Тот факт, что группа SU(B) простая, означает, что в теории,
основанной на этой группе, может быть только одна константа
связи. Таким образом, в этой теории две константы связи g и g'
(эквивалентные е и &w) электрослабой теории и константа свя-
связи as квантовой хромодинамики должны быть связаны друг с
другом с помощью чисто теоретико-групповых множителей. Рас-
Расчет этих множителей осложняется тем, что константа связи в
полной теории должна изменяться с расстоянием подобно то-
тому, как это наблюдается в случае цветных сил (см. § 6.5). Учи-
Учитывая это обстоятельство, можно рассчитывать угол Вайнберга 0w
в теории великого объединения SUE). Результаты такого рас-
расчета довольно хорошо согласуются с экспериментом.
Массы новых бозонов X и Y можно оценить на основе дан-
данных о зависимости электрослабых и цветной констант связи от
расстояния. Расчеты показывают, что эти константы становят-
становятся равными на расстоянии порядка 10~30 м, которое соответст-
соответствует огромной массе 1015 ГэВ. Крайне маловероятно, чтобы та-
такой массы можно было достичь в экспериментах на ускорите-

388 Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
лях; таким образом, если теория великого объединения верна,
не следует ожидать каких-либо интересных экспериментов в фи-
физике элементарных частиц в области от достигнутых в настоя-
настоящее время энергий порядка сотен ГэВ, характерных для элек-
электрослабого взаимодействия, до гигантской энергии 1015 ГэВ тео-
теории великого объединения.
Суперсимметрия. При поисках теории единого описания эле-
элементарных частиц очевидна важность групп внутренней симме-
симметрии— от изоспиновой группы SUB) до группы SUE) вели-
великого объединения. Однако существуют фундаментальные огра-
ограничения пределов, до которых элементарные частицы могуг
быть объединены, будучи собранными в мультиплеты, согласно
представлениям какой-либо группы симметрии. Все мультипле-
мультиплеты частиц, которые мы рассматривали выше, содержат только
частицы с одним и тем же значением спина (и пространствен-
пространственной четности. — Перев.). Но спиновые состояния любой части-
частицы образуют представление группы вращений R, поэтому, если
имеется мультиплет частиц для какого-то представления °11
группы внутренней симметрии G и все частицы этого мульти-
плета имеют одинаковый спин s, то их спиновые состояния при-
принадлежат пространству °ll ® 3)s, которое является носителем
представления произведения групп G X R- Чтобы построить
мультиплеты, содержащие частицы с разными значениями спи-
спина, надо иметь группу, которая содержала бы группу вращений
в качестве своей подгруппы менее тривиальным образом, чем
здесь описано (см. задачу 31).
Вообще спин-орбитальные состояния частицы в теории, учи-
учитывающей требования специальной теории относительности,
должны быть носителями некоторого представления более ши-
широкой группы, которая включает в себя вращения, трансляции
и преобразования Лоренца. Такую группу называют группой
Пуанкаре и обозначают символом Р. Неприводимые представ-
представления группы Р, которые определяются значениями двух пара-
параметров m и s, действуют в пространстве состояний частицы с
массой m и спином s. Теорема Коулмена — Мандулы утвер-
утверждает, что при определенных физически разумных предполо-
предположениях любая группа симметрии, которая содержит группу
Пуанкаре в качестве своей подгруппы, должна быть произве-
произведением групп G X Р- Это означает, что невозможно построить
симметрию, связывающую частицы с разными спинами.
Идея рассмотрения суперсимметрии состоит в том, чтобы
преодолеть препятствие, выдвинутое этой теоремой, путем рас-
расширения самого понятия симметрии. Представления группы
симметрии находят путем отыскания представлений ее алгебры
Ли, являющейся математической структурой, определенной ком-

§ 6.7. Последующее развитие теории
мутаторами генераторов группы. В теории суперсимметрии ал-
алгебра Ли заменяется супералгеброй Ли, которая представляет
собой расширенную математическую структуру, определяемую
заданием коммутаторов и антикоммутаторов. Точное определе-
определение этой алгебры следующее: супералгеброй Ли L называют
прямую сумму L=L0©Li двух векторных пространств, снаб-
снабженную антисимметричным билинейным отображением [X, Y]
из Lo X Lo в Lo, которое делает пространство Lo обычной алгеб-
алгеброй Ли, а также билинейным отображением [X, Y] из Lo X L\
в Li и симметричным билинейным отображением {X, Y] из
L\ X L\ в Lo, причем должны выполняться следующие условия:
[ [X, Y], Z] = [X, [Y, Z)} - [Y, [X, Z] ] (XJe Lo; Z e= I,),
[X,{y,Z)] = ([X, Y],Z}+{Y, [X, Z]} (X^L,;Y,Z^LX), F.161)
[{X, Y], Z] + [{Y, Z), X] + \{Z, X}, Y] = 0 (X,Y,Ze= L,).
Пространство Lo называют четной составляющей суперал-
супералгебры, а пространство L\ — нечетной составляющей.
Представлением супералгебры Ли L называют любую про-
процедуру приписывания определенных операторов р{Х) элемен-
элементам X супералгебры, которая удовлетворяет следующим усло-
условиям:
p([X,Y]) = [р(X), р(Y)] (X <= Lo; Y e Lo или L,),
р ({X, Y}) = (р (X), р (Y)} (X, Y s L,), (Ь' 2)
где квадратные и фигурные скобки в правых частях обозначают
обычные коммутатор и антикоммутатор операторов.
Можно указать примеры супералгебр Ли, в которых алгеб-
алгебра Ли и группа Пуанкаре комбинируют друг с другом нетри-
нетривиальным образом и супералгебра обладает неприводимыми
представлениями, составленными из частиц с разными значе-
значениями спина. Здесь мы опишем только нерелятивистский ва-
вариант такого объединения, чтобы проиллюстрировать саму идею
(релятивистский вариант объединения см. в задаче 7.4).
Пусть Lo обозначает алгебру Ли, натянутую на операторы
углового момента /,-, операторы координат хи операторы ком-
компонент импульса pi и оператор энергии Я системы из одной сво-
свободной частицы; включим также в эту систему операторов еди-
единичный оператор. Скобки Ли для алгебры Lo даются основны-
основными коммутационными соотношениями, приведенными в форму-
формулировке теоремы 3.10, а также соотношениями
[Я, Yt] = [Я, Pi] = 0, [Я, xt] - Pifm, F.163)
где пг — масса частицы. Пусть L\ обозначает четырехмерное
пространство с базисными элементами Qa, Qa+ (a=l, 2), в ко-

390 Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
тором скобки определены следующим образом:
Ui, Qa] = - У2 @Г,)„р Qp, [/„ Qa+] = '/2 ЫаЭ Qp+,
[Я ИЛИ Р; ИЛИ Xt, Qa ИЛИ Qa+] = 0, F.164)
{Qa, Qp} = {Qa+, Qp+=0, {Qa, Qp+} = m6ap,
где Oi — матрица Паули и подразумевается суммирование по
повторяющимся греческим (спиновым) индексам.
Алгебра Ли Lo имеет неприводимые представления, харак-
характеризующие отдельные частицы, причем эти представления дей-
действуют в пространствах вида W®3)s, где Ж—пространство
волновых функций частицы, а 3)s — спиновое Bs + 1)-мерное
ее пространство. Нечетная составляющая супералгебры удовле-
удовлетворяет антикоммутационным соотношениям, совпадающим с
соотношениями для операторов рождения и уничтожения фер-
миона, обладающего двумя состояниями. При заданном собст-
собственном значении гамильтониана Н эти соотношения имеют
представление, образованное из следующих четырех состояний:
вакуумного, двух одиочастичных и антисимметричного двухча-
двухчастичного состояния. Представление р полной супералгебры,
подчиняющееся условию «унитарности» p(Qa+) = [p(Qa)]+, можно
просто построить, взяв рассматриваемое представление алгебры
Lo и заменив каждое собственное состояние гамильтониана Н
указанными четырьмя состояниями. Тогда приходим к следую-
следующему заключению. Если представление алгебры Lo описывает
состояние частицы со спином s, то соответствующее ему пред-
представление супералгебры описывает четыре частицы со спинами
s, s, s—1/2 и s+ 1/2 (когда s = 0, остаются только три ча-
частицы со спинами 0, 0 и 1/2).
Чтобы учесть другие внутренние симметрии, можно постро-
построить другую супералгебру. Характерная ее особенность будет со-
состоять в том, что ее представления содержат частицы со спи-
спинами, отличающимися друг от друга на 1/2.
Таким образом, идея суперсимметрии вселяет надежду на
возможность единого описания фермионов и бозонов. Из-за тес-
тесной связи суперсимметрии с преобразованиями пространства-
времени появляется также надежда на построение квантовой
общей теории относительности, а следовательно, на объедине-
объединение гравитации с остальными типами фундаментальных взаимо-
взаимодействий. Но чисто экспериментальные прогнозы в этом отно-
отношении пока не очень утешительны. Суперсимметрия требует, в
частности, чтобы гравитон со спином 2 принадлежал к мульти-
плету, который содержал бы также безмассовые фермионы со
спином 3/2, называемые гравитино, а также чтобы глюоны и
W* и 20-бозоны имели своими партнерами частицы со спином
1/2, называемые глюино, вино и зино. Кроме того, кварки и

Рекомендуемая литература 391
лептоны должны сопровождаться частицами со спином 0, назы-
называемыми кокварками и колептонами. Пока ни один из этих ти-
типов предсказываемых суперсимметрией частиц не идентифици-
идентифицирован ни с каким из типов экспериментально обнаруженных
частиц.
Субструктура. Имеющиеся диаграммы семейств кварков и
лептонов естественным образом наводят на мысль, что все эти
частицы — составные объекты. Но нет никаких динамических
свидетельств в пользу существования какой-либо внутренней
структуры указанных частиц. Составной характер частицы, по-
подобной протону, означает, что электрический заряд в ней рас-
распределен в некоторой протяженной области, так что ее электро-
электродинамическое поведение отлично от поведения точечного заря-
заряда; поэтому составные частицы не описываются той формой
квантовой электродинамики, которая пригодна для точечных
частиц (см. § 7.3). Но лептоны с высокой степенью точности ве-
ведут себя электродинамически как совершенные точечные ча^
стицы. Для них экспериментальные пределы отклонений от по-
поведения, характерного для точечных частиц, свидетельствуют,
что пространственные размеры лептонов меньше 10~22 м или,
другими словами, что энергия, необходимая для выделения со-
составляющих их частиц, больше 106 ГэВ.
Обзор составных моделей частиц, в котором обсуждаются
экспериментально установленные пределы размеров частиц, со-
составлен Лайонсом [64].
Рекомендуемая литература
Материал этой главы полнее изложен в учебниках Перкинса
[73] и Халзена и Мартина [50]. Менее систематично материал
изложен, следуя «устной традиции», популярной в физике эле-
элементарных частиц, Готфридом и Вайскопфом [48].
Более подробное изложение концепции изоспина и симмет-
симметрии можно найти в книге Гибсона и Полларда [41]. Адронная
спектроскопия рассмотрена в гл. 8—12 книги Лидера и Пре-
дацци [61]. Читатель, который хотел бы глубже познакомиться
с электромагнитными взаимодействиями без предварительного
детального изучения квантовой теории поля, может обратиться
к книге Эйчисона и Хея [3]. Суперсимметрии хорошо изложены
в книге Весса и Беггера [100].
Популярное изложение вопросов, которые здесь рассмотрены
слишком бегло или вообще опущены, можно найти в следую-
следующих статьях журнала «Сайентифик америкен»: [15] (адронная
спектроскопия), [43, 88, 62, 66] (очарование и красота), [55,
81] (цветные взаимодействия), [67, 83] (конфайнмент квар-

392 Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
ков), [57] (протон-протонное рассеяние и струи), [96] (элек-
(электрослабые взаимодействия), [74] (тяжелые лептоны), [22]
(эксперименты с W±- и Z-частицами), [39, 98] (великое объ-
объединение), [37] (супергравитация) и [51] (субструктуры). Не-
Некоторые из этих статей собраны в книге Кауфмана [60]. Реко-
Рекомендуем также познакомиться с нобелевскими речами Вайн-
берга, Салама и Глэшоу A980 г.) и со статьями журнала «Нью
сайентист», собранными в книге Саттона [92].
Задачи к главе 6
1. Мезон р°, принадлежащий к изоспиновому триплету р~, р°,
р+, распадается на два пиона в результате действия сил силь-
сильного взаимодействия. Каковы заряды образующихся пионов?
Покажите, что спин мезона р° нечетный целый и его четность
отрицательная.
2. Нейтральная частица Х°, являющаяся компонентой изо-
спинового триплета, распадается на два р-мезона. Считая, что
при этом распаде изоспин сохраняется, покажите, что спин ча-
частицы Х° равен по меньшей мере 1.
3. Мезон со является изоспиновым состоянием со спином 1.
Объясните, почему он распадается преимущественно на три (а
не на два) пиона.
4. Покажите, что в процессе п -{- р -> я+ + я0, в котором со-
сохраняются изоспин и четность, относительный угловой момент
обеих образующихся частиц нечетный, а угловой момент ней-
нейтрона и антипротона четный. Выведите отсюда, что нейтрон и
антипротон имеют параллельные спины. Рассмотрите также
процессы р -\- р -> я+ + п~ и р -+- р ->¦ я0 -f- я0.
5. Частица N A470) является связанным состоянием двух
частиц п* и р* с квантовыми числами, равными квантовым чис-
числам нейтрона и протона. Эти частицы распадаются на Д-барио-
ны и я-мезоны в результате взаимодействия, сохраняющего изо-
изоспин. Найдите отношения скоростей распадов р*-> А++ + я~,
р*->Д++л° ир*_^до_^л;+-
6. Частицы A,", АД Ai+, Ai++, Д2~, А2°, А2+, А2++ являются
компонентами двух изоспиновых барионных мультиплетов. Ча-
Частицы второй группы распадаются в частицы первой группы в
процессах А;2->А + п, сохраняющих изоспин. Найдите отно-
отношения скоростей распадов А9++ —*¦ Ai+ + я+, А2+ —> Ai+ + n° и
Д2+-*Д1° + я+.
7. Выразите амплитуды процессов я+ -\- п —v я0 + р, я+ + п->
_».я+ + п и я+ + р—*-я+-|-р через две изоспиновые амплитуды
при / = 1/2 и при 1 = 3/2 и найдите соотношение между этими
амплитудами.

Задачи к главе 6 393
8. Рассмотрите операторы CUC, где С — оператор зарядо-
зарядового сопряжения, и выведите отсюда, что в пространстве само-
самосопряженного изоспинового мультиплета оператор С действует
как отражение в плоскости A3).
9. Покажите, что собственное значение G-четности для ком-
компонент самосопряженного изоспинового мультиплета равно
(—1)'11с, где / — значение изоспина мультиплета, а цс — соб-
собственное значение оператора зарядового сопряжения для ней-
нейтрального компонента мультиплета.
10. Магнитный момент элементарной частицы дается сред-
средним значением оператора, обладающего теми же изоспиновыми
свойствами, что и электромагнитный гамильтониан. Покажите,
что магнитные моменты ц (А) компонент Д-мультиплета связаны
друг с другом соотношением
IX (А0) = 2ц (Д+) - v. (Д++) = 1ц (Д-) +1 |х (Д+).
11. Найдите отношения времен жизни ядер 14С, 14N* и 14О,
распадающихся в процессах, показанных на рис. 6.1. (Исполь-
(Используйте формулы первого порядка теории возмущений.)
12. Предположим, что нейтральная частица Х° со спином 1
распалась на два нейтрона в результате сильного взаимодей-
взаимодействия. Покажите, что эта частица должна была иметь отрица-
отрицательную четность и что должны существовать две другие ча-
частицы с теми же свойствами, что и частица Х°, отличающиеся от
нее величиной электрического заряда. Как распадаются эти ча-
частицы?
13. Существуют частицы со спином вплоть до 11/2. Почему
пет частиц с изоспином, большим 3/2? (Под «частицей» мы
здесь понимаем объект с барионным числом 0 или ±1.)
14. Предполагая, что в процессах распада 2+—>-р + я0,
S+ ->n -\- я+ и 2~ —>п + я~ выполняется правило Д/ = 1/2, най-
найдите линейное соотношение между амплитудами этих процес-
процессов, рассчитанными в первом порядке теории возмущений.
15. Используя правило Д/=1/2, рассчитайте отношение
времен жизни барионов Е~ и В0.
16. Используя правило А/= 1/2, объясните следующие зна-
значения энергетических ширин распадов: Г (К+ —>-Jt°jt+) = 1,711 X
ХЮ7 с, Г (Ks°-* я+л-) = 7,689 • 109 с, Г (Ks° -> я°я°) =
= 3,942- 109 с.
17. Приведите пример процесса, в котором могут рождаться
мезоны К~.
18. Покажите, что при распадах К~>3я четность сохра-
сохраняется.
19. Покажите, что сопряженное представление р группы
SUC), определенное выражением F.75), дается матрицами,

394 Гл. 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц)
комплексно-сопряженными матрицам фундаментального пред-
представления р.
20. Выпишите формулы, показывающие, как генераторы дей-
действуют на весовые векторы треугольного представления группы
Sf/C) и сопряженного ему представления.
21. Выразите электрический заряд и гиперзаряд через
SUC)-операторы i-H, u-H и v-H. Выведите отсюда, что элек-
электрический заряд одинаков для компонент {/-спиновых мульти-
плетов.
22. Предположим, что гамильтониан сильных взаимодей-
взаимодействий имеет вид #st = #о + #8, гДе оператор Яо коммутирует
со всеми SUC) -преобразованиями, а оператор Я8 является
восьмой компонентой октетного оператора. Покажите, что га-
гамильтониан #st является суммой ^/-спинового скаляра и треть-
третьей компоненты ^/-спинового вектора. Выведите отсюда, что мас-
массы (являющиеся средними значениями гамильтониана #st) рас-
расположены эквидистантно по величине в любом ^/-спиновом
мультиплете. Отсюда: 1) воспроизведите предсказанную Гелл-
Манном массу частицы Q~, исходя из известных масс других
частиц декаплета; 2) докажите формулу Гелл-Манна и Окубо
1/2(fnffJr mB) = x/i{m?, + 3mA) для масс барионного октета.
(При этом потребуется идентифицировать комбинацию | 2°(/>
частиц |2°> и |Л°> с компонентой ?/3 = 0 ^/-спинового трип-
триплета.)
Сопоставьте теоретические предсказания с эксперименталь-
экспериментальными данными (приложение II). Насколько хорошо работает
формула Гелл-Манна — Окубо в случае мезонного октета? По-
Попытайтесь подставить в нее т2 вместо т.
23. Составьте для группы симметрии SUC) гамильтониан
Юкавы — Кеммера F.94), используя изоспиновые мультиплеты.
24. Предложите способ измерения времени жизни барио-
на 2°.
25. Квантовые числа странности, очарования, красоты и ис-
истины можно интерпретировать как «число s-кварков», «число
с-кварков» и т. д. Как интерпретировать «число u-кварков» и
«число d-кварков»?
26. Рассмотрите гипотетическое взаимодействие частиц, счи-
считая, что каждая частица имеет по одному состоянию и гамиль-
гамильтониан взаимодействия имеет видК = Т^ + Wf, где W=f<?A+<?B+
+ Фс^Фъ) фа. Покажите, что во втором порядке теории воз-
возмущений амплитуда процесса A + B->C + D> становится бес-
бесконечной при Ек-\-Еъ = Еа. Покажите также, что если энер-
энергию Еа заменить на Е% Ц- iT, то вероятность перехода будет
иметь брейт-вигнеровскую форму, если рассматривать ее как
функцию от Е = Е,\ -\- Ец. (Тем самым установите, каким обра?

Задачи к главе 6 395
зом резонансное поведение связано с определенным типом
фейнмановской диаграммы.)
27. Определите понятие «левый».
28. Докажите формулу F.129).
29. Для каждого из приведенных ниже наборов процессов
распадов укажите кварковый состав участвующих в процессах
частиц и постройте кварк-лептонные диаграммы, объясняющие
указанные распады. Не учитывая кинематические факторы,
найдите отношение скоростей распадов в каждом из наборов
процессов с использованием значения угла Кабиббо.
1) п~> р + е- + ve, 2) S- -> А0 + е" + ve,
5) D°^K~ + e~+ ve,
n~ ->я0 + e~ + ve;
и —> я -\- К -\~ я ; L)s —> к, ~г К. .
30. Найдите отношения скоростей распада в каждом из
приведенных ниже наборов процессов распада. (Отношение
скоростей равно произведению множителя Кабиббо и фактора
фазового пространства. Используйте значение sin 6C = 0,23 и
значения масс частиц из приложения II.)
1) rt"->H~ + V 2H°->К~ + я+,
K"-»-H~ + V D°->K~ + K+,
D —> я -4- я .
31. Докажите разложения представлений в прямые суммы
произведений представлений F.159), F.160).
32. Пусть G X R обозначает прямое произведение группы G
и группы вращений R. Покажите, что каждое неприводимое
представление группы G X R можно представить в виде 2Dq ®
®2)r, где 2Da — неприводимое представление группы G, a D
неприводимое представление группы R.

Глава 7
Квантовые поля
Теоретический формализм, необходимый для полного изложе-
изложения идей, кратко рассмотренных в гл. 6, дает квантовая теория
поля. В данной главе ставится цель сообщить читателю ввод-
вводные сведения из этой теории. Ее можно читать сразу после
гл. 4, в которой изложены общие теоретические положения
квантовой механики. Содержание этой главы (вплоть до § 7.4)
не зависит от содержания гл. 5 и 6. В § 7.4 требуется понятие
изоспина, введенное в § 6.1. В § 7.5 и § 7.6 дается обзор квап-
товополевых аспектов цветного и электрослабого взаимодей-
взаимодействий (квантовой хромодинамики и квантовой ароматодина-
мики).
В настоящей главе от читателя требуется более глубокое
знание специальной теории относительности, чем в остальных
главах этой книги. В частности мы предполагаем, что читатель
знаком с формализмом 4-векторов (см. приложение I). Тре-
Требуется также знание классической электродинамики.
§ 7.1. Полевые операторы
В § 4.6 введено понятие редуцированного квантового поля, ко-
которое использовано далее в гл. 6. Рассмотрим теперь понятие
полного поля. Мы подойдем к понятию полного поля с двух
разных сторон: во-первых, рассматривая его как квантовый
аналог классического поля и, во-вторых, развивая идеи § 4.6
для систем с неопределенным числом частиц.
а. Электромагнитное поле
В классической теории электромагнитного поля рассматривают
два векторных поля: электрическое поле E(r, t) и магнитное поле
В (г, t), которые (в отсутствие электрической и магнитной поля-
поляризации среды) удовлетворяют уравнениям Максвелла
G.1)
G.2)
G.3)
G.4)
V
V
V
V
•Е
• В
X
X
=
Е
В
г
;
На
= о,
=
ав
dt
M-oJ +
1
с2
<5Е
dt

§ 7.1. Полевые операторы 397
где р и j — плотность электрического заряда и плотность элек-
электрического тока электрически заряженного вещества, которые
порождают электрическое и магнитное поля, ео и ц0 — безраз-
безразмерные константы, причем с = (еоЦо)~'/2— скорость света в пу-
пустоте. Выберем такие единицы электрического заряда, длины
и времени, что е0 = Цо = 1 (а следовательно, с=1); будем
также продолжать считать, что %=1.
Из уравнений Максвелла следует, что должны существовать
скалярное поле ф(г,г) и векторное поле А (г, t), через которые
поля Е и В выражаются с помощью следующих формул:
Е — — v<? — — G 4)
B = VXA, G.6)
и которые удовлетворяют уравнениям
Jg- + V.A = O, G.7)
-Sf-V2</> = P, G.8)
¦ — V2A = j. G.9)
Поля ф и А называют электромагнитными потенциалами.
Рассмотрим теперь электромагнитное поле как динамиче-
динамическую систему. Так как поля Е и В выражаются через потен-
потенциалы ф и А, то можно сосредоточить свое внимание только
на значениях потенциалов ф и А в различных точках г. Зна-
Значение ф в данной точке г изменяется со временем, и это изме-
изменение следует находить из решения дифференциального урав-
уравнения второго порядка G.8). Таким образом, значение ф в точ-
точке г можно уподобить одной координате qi классической меха-
механической динамической системы. То же самое можно сказать
в отношении значений компонент потенциала А (г) в точках г.
Таким образом, множество всех значений (ф(г), A(r): reR3}
в данный момент времени t можно считать множеством коор-
координат (<7Ь ..., qn), определяющих конфигурацию механической
системы; при этом координаты г пространственной точки иг-
играют роль индекса, подобного индексу I для координаты qi. Пе-
Переходя от классической системы к соответствующей квантово-
механической системе, координаты q-t следует считать операто-
операторами qi, нумеруемыми тем же индексом i. Таким образом, кван-
квантовая механика электромагнитного поля имеет дело с операто-
операторами ф(г) и А (г), нумеруемыми координатой г. Такие опера-
торнозначные функции точки пространства называются кван-
квантовыми полями.

398 Гл. 7. Квантовые поля
Предположим теперь, что р = 0 и j = 0, т. е. рассмотрим
само электромагнитное поле. «Уравнение движения» G.8) для
ф(т) включает значения ф в соседних с г точках, так как в
него входит V2^. Но можно получить расщепленные уравне-
уравнения, каждое из которых описывает только одну изменяющуюся
величину, если произвести фурье-преобразование функции ф:
Ф (г> 0 = 7^з/Г \ Р (к- О *'"- d3k. G.10)
В каждый момент времени значения величин p(k, t) полностью
задают поле ф{г,^. Рассмотрение |3(к) вместо ф(г) подобно
переходу к другим обобщенным координатам в случае меха-
механической динамической системы. К сожалению, различные ве-
величины |3(к) не совсем независимы: так как функция ф{г) дей-
действительна (ф = ф), должно выполняться соотношение
д р(-к). G.11)
Используя уравнение G.8) (при р = 0) и совершая обратное
фурье-преобразование, получаем уравнение
^ 0( G.12)
которое показывает, что величина |3(к) удовлетворяет уравне-
уравнению простого гармонического осциллятора с угловой частотой
jk|.
Аналогично можно произвести фурье-преобразование век-
векторного потенциала
А (г, () = ~-^\а(к, t)e*-'d*k, G.13)
причем теперь имеем дополнительное условие
a (k, /) = o(-k, t). G.14)
Далее из уравнения G.9) заключаем, что каждая компонента
векторной величины а (к) осциллирует по простому гармониче-
гармоническому закону с угловой частотой |к|.
Итак, электромагнитное поле, рассматриваемое как динами-
динамическая система, ведет себя подобно набору бесконечного числа
независимых осцилляторов. Соответствующее квантовомехани-
ческое пространство состояний представляет собой тензорное
произведение пространств состояний бесконечно большого чис-
числа гармонических осцилляторов, по одному независимому
осциллятору на каждую из величин а,(к) и р(к). Из теоремы
4.12 следует, что такое пространство состояний изоморфно про-
пространству системы с переменным числом бозонов, которые в
рассматриваемом случае интерпретируются как фотоны. Таким

§ 7.1. Полевые операторы 399
образом, существование фотонов (и тот факт, что они являют-
являются бозонами) есть прямое следствие квантовой механики элек-
электромагнитного поля.
Потенциалы ф и А определяются неоднозначно по задан-
заданным физическим наблюдаемым величинам Е и В. Для поля
излучения (в отсутствие зарядов и токов) потенциалы можно
взять такими, чтобы они удовлетворяли дополнительным усло-
условиям
ф = у.А = 0, G.15)
Т 6
P(k) = k-o(k) = 0. G.16)
При таком выборе потенциалов получается очень простое вы-
выражение для полной энергии электромагнитного поля. Как это
доказывается в классической электродинамике, эта энергия
дается выражением
±\2 + B2)dV. G.17)
Используя уравнения G.5), G.6), убеждаемся, что фурье-об-
разы полей Е и В имеют следующий вид:
G-18)
> t)eik'rd3k-
где точкой обозначено дифференцирование по t. Отсюда, ис-
используя теорему Планшереля (задача 2.13), получаем
G-19)
(следует писать |v|2 = v-v, если v — вектор с комплексными
компонентами). Пусть а\ и a-i — две компоненты вектора a(k)
вдоль некоторых двух направлений, перпендикулярных вектору
к. Тогда в силу G.16) и G.19) получаем формулу
Н = ~ \ (| U! Р + к21 а, |2 + | а2 р + к21 а212) d3k. G.20)
Сравнивая эту формулу с формулой для энергии гармониче-
гармонического осциллятора
Н = ±тх2 + ±та>2х2 G.21)
и учитывая условие G.14), убеждаемся, что энергия электро-
электромагнитного поля для каждой пары векторов (к, —к) равна
сумме четырех гармонических осцилляторных слагаемых (по
одному на действительную и мнимую части каждой из двух

400 Гл. 7. Квантовые поля
величин «1 и аг), причем масса каждого осциллятора пг = 2,
а угловая частота со=|к|. Каждый осциллятор соответствует
определенному состоянию фотона, имеющего два поляриза-
поляризационных состояния для каждого направления распростране-
распространения. Энергия фотонного состояния равна кванту энергии соот-
соответствующего осциллятора, а именно (полагая снова %ф\)
ha> = hv, где v = 2ясо — частота осциллятора. Таким образом,
формула Планка Е = hv тоже естественно получается в кван-
квантовой механике электромагнитного поля.
Приведенные соображения относятся только к разностям
энергий; увеличение энергии, связанное с добавлением одного
фотона, равно кванту энергии соответствующего осциллятора.
Но полная энергия системы осцилляторов не равна энергии си-
системы фотонов, так как надо учитывать еще нулевую энергию
осцилляторов, соответствующую 1/2 в формуле (/г+1/2) ft©
для собственных значений энергии осциллятора. Для системы
из бесконечного числа осцилляторов получаем бесконечную ну-
нулевую энергию, которая, однако, постоянна и поэтому не имеет
физического смысла. Эту бесконечную энергию можно исклю-
исключить, если записать гамильтониан каждого осциллятора не
в виде 1/2 (а+а + аа+) со, а в виде а+аю. В этом состоит один из
способов устранения неоднозначности, которая неизбежно воз-
возникает при попытках отыскания квантовомеханических анало-
аналогов классических выражений вследствие необходимости пра-
правильного упорядочения операторных множителей. Такое упоря-
упорядочение множителей называется нормальным: при нем все опе-
операторы рождения стоят слева от операторов уничтожения.
Чтобы избавиться от двух направлений распространения
поля к и —к, удобнее использовать гейзенберговскую, а не
шредингеровскую картину. В гейзенберговской картине опера-
оператор А, представляющий данную динамическую величину, зави-
зависит от времени и удовлетворяет дифференциальному уравне-
уравнению
1^- = [А,Н] G.22)
(см. уравнение C.170)). Поэтому понижающий оператор а гар-
гармонического осциллятора, для которого
[Я, а] = — (оа, G.23)
где со — частота осциллятора (см. D.129)), удовлетворяет гей-
гейзенберговскому уравнению движения
~ = - im, G.24)
так что
а@ = е-ыа@). G.25)

§ 7.1. Полевые операторы 401
Для повышающего оператора а+ имеем аналогичную фор-
формулу
а+@ = е'»'а+@). G.26)
Действительная и мнимая части фурье-компонент osi(k) и
а2(к) являются динамическими переменными, аналогичными
координате гармонического осциллятора. В квантовой теории
их можно выразить через понижающие и повышающие опера-
операторы. Пусть aR+ и ai+ — повышающие операторы, взятые при
t = 0 и соответствующие действительной (R) и мнимой (I) ча-
частям величины а(к). Тогда, согласно D.126), можно написать
G.27)
a(k) = ^ + if-^4
2i Vl к I V 21 Vl k
Используя очевидные соотношения
*v=JLw1-- a+(-k)=^rI- G-28)
получаем
G.29)
так что формулы G.25), G.26) приводят (в гейзенберговской
картине) к следующей формуле:
a(k, 0 = -7=i={e'|k"a+(k)+e-'|k|'a(—к)}. G.30)
V 2 | к |
Заметим, что
[а (к, 0]+ = о(-к, t), G.31)
что является квантовым аналогом соотношения G.14).
Фурье-разложение векторного потенциала А можно теперь
представить в следующем виде:
G.32)
где /:=|к| — энергия фотона с импульсом к. Эта формула для
квантовополевой величины, в которую входят операторы рож-
рождения и уничтожения частиц, типична для квантовой теории
поля.
Релятивистская формулировка. Придадим теперь разложе-
разложению G.32) форму, явно инвариантную относительно преобра-
преобразований Лоренца, перейдя к рассмотрению соответствующих
4-векторов. Пусть х (с компонентами х*1) обозначает 4-вектор

402 Гл. 7. Квантовые поля
точки в пространстве-времени, т. е. x = (t,r). Тогда экспоненты
в формуле G.32) можно представить в простом виде e~ik'x,
где k=(ko,k) — 4-вектор, для которого ko = ±\k\, a k-x — ло-
ренц-инвариантное внутреннее произведение двух 4-векторов;
4-вектор k очевидно удовлетворяет соотношению
62 = V-|kl2 = 0. G.38)
Если ko > 0, то k можно считать 4-импульсом безмассовой ча-
частицы (фотона).
Используя соотношение G.33) и свойство б-функций (см.
задачу 2.14), получаем
1 |)}. G.34)
Таким образом, формулу G.32) можно записать в следующем
простом виде:
^\ G.35)
где
( B! к | I/2 а+ (к) при А50 = | к |,
| B|к|I/2а(—к) при ko=-\k\, G-36)
0 при к2ф 0.
Таким образом, функция
с (k) = b (*) б (k2) G.37)
является четырехмерным фурье-образом функции А (л:).
Коммутационные соотношения для компонент векторных
операторов а (к) и а+(к) в точности такие же, как для опера-
операторов рождения и уничтожения:
[а, (к), а, (к')Ч = (а<7 - ktkj/\ к |2) б (к - к'). G.38)
Для компонент векторного оператора c(k) зависящих от 4-век-
тора k, последние коммутационные соотношения приводят к со-
соотношениям
[ct (k), с, (?')] = (бг/ - ktkt/\ к |2) б (k2) б (k + k') e (k0), G.39)
где e(ko)=±l обозначает знак ko, который инвариантен при
преобразованиях Лоренца.
Соотношения G.35) и G.39), взятые вместе, показывают,
что разделение 4-векторов х и к на пространственные и вре-
временные компоненты, использованное при написании формулы
G.32), не существенно. Важно только то, что А (л;) (а потому
а (к) и Ь(к)) является 3-вектором, а не 4-вектором; это обстоя-
обстоятельство придает теории нерелятивистскую форму. Причина та-
такой ситуации заключается в использовании специального вы-

§ 7.1. Полевые операторы 403
бора G.15) потенциалов, который связан с определенной систе-
системой отсчета. В произвольной системе отсчета оба потенциала
Ф и А отличны от нуля и вместе образуют 4-вектор А^ = (ф, А).
Уравнение G.7) лоренц-инвариантно, так как его можно запи-
записать в виде
д^ = 0, G.40)
где djl = d/dxii=^(d/dt, V). Таким образом, чтобы теория вы-
выглядела одинаково во всех системах отсчета, 3-вектор c{k),
удовлетворяющий условию к-с = 0, следует заменить 4-векто-
ром С|л(/г), удовлетворяющим условию k^Cy, = 0, так что вектор
Сц на самом деле имеет три независимые компоненты, даже с
учетом того обстоятельства, что он описывает только два неза-
независимых физических состояния (два состояния поляризации
фотона). Ненужную третью компоненту можно исключить, на-
наложив какое-нибудь дополнительное требование, например
условие со = 0, выполняющееся в определенной системе от-
отсчета, соответствующее условию G.15). Общепринятого спо-
способа наложения такого дополнительного требования не суще-
существует; при его формулировке необходимо ссылаться на опре-
определенную систему отсчета. Процедура наложения дополнитель-
дополнительного условия типа ду1А^ = 0 называется процедурой выбора ка-
калибровки. Свобода в выборе последней является очень важной
особенностью электромагнитной теории и мы еще вернемся к
ее обсуждению в § 7.3.
Условие &^Сц = 0, хотя оно и лоренц-инвариантное, пол-
полностью аналогично условию с0 = 0, и его следует ослабить,
если мы хотим коммутационные соотношения G.39) предста-
представить в ковариантном виде, а именно в виде
[с„ (k), cv (k')] = - Slxv6 (k») 6 (k + k') e (kQ). G.41)
Для каждого k 4-вектор с^{к) теперь имеет четыре незави-
независимые компоненты, но только две из них описывают незави-
независимые физические состояния.
Подводя итог, приходим к формулировке следующей тео-
теоремы.
Теорема 7.1. Электромагнитное поле описывается в гейзен-
гейзенберговской картине 4-векторным квантовым полем А^(х) (опе-
раторнозначной функцией точек пространства-времени), фурье-
компоненты которого Сц(&), определенные фурье-разложением
G.42)
дают операторы рождения и уничтожения фотонов. При
ko > 0 оператор cVL(k) есть оператор рождения фотона с 4-им-
пульсом k\ при ko <Z 0 Cn(k) есть оператор уничтожения фо-
фотона с 4-импульсом •—k. m

404 Гл. 7. Квантовые поля
Исходя из соотношений G.41), легко получить коммута-
коммутационные соотношения для полей А^(х), которые имеют сле-
следующий вид:
[А»(х), Av(x')] = gilvb(x-xf), G.43)
где
Л w=w" \ eik'xb {k2) е {ko) d'k- {1М)
Таким образом, поля обладают следующим свойством.
Теорема 7.2. (локальный характер электромагнитного поля).
Справедливо следующее коммутационное соотношение:
[Лй(х), Л„ (*')] = 0 при (х = х'J<0. G.45)
Доказательство. Исходя из соотношения G.43), имеем
А(х) = -А(-х), G.46)
а из ковариантного вида интеграла G.44) заключаем, что
Д(х), G.47)
где Л — произвольное преобразование Лоренца. Если х2 < 0,
то имеется преобразование Лоренца Л, изменяющее х на —х,
поэтому из G.46) и G.47) следует, что А(х) = 0 при х2 ¦< 0. Ш
Согласно теореме 5.4, доказанное коммутационное соотно-
соотношение означает, что измерение компоненты поля Лр, в событии
X не может влиять на результат измерения компоненты поля
Лц в событии х', если (х — лг'J<0; в противном случае сиг-
сигнал должен был бы распространяться от х до х' со скоростью
больше скорости света. Таким образом, теория подчиняется
требованию причинности, которое налагает на нее теория отно-
относительности.
Мы развили теорию в гейзенберговской картине. Шредин-
геровская картина не подходит для явного релятивистского
описания квантового поля, так как ее зависящие от времени
состояния требуют явного разделения пространственных и вре-
временных координат, а следовательно, фиксирования определен-
определенной системы отсчета. Тот факт, что гейзенберговская картина,
примененная при построении квантовой механики электромаг-
электромагнитного поля, дает удовлетворительную релятивистскую тео-
теорию, позволяет сделать вывод, что теория поля является есте-
естественным формализмом релятивистской квантовой механики.
Покажем теперь, как теория поля естественным образом возни-
возникает, если исходить из квантовой механики многих частиц.
б. Вторичное квантование
Рассмотрим систему из бесконечного числа частиц, каждая из
которых является простой частицей, движущейся в трехмерном
пространстве. Если частицы являются бозонами, то простран-

§ 7.1. Полевые операторы 405
ство состояний имеет вид
qi = r®w®y2yr®..., G.48)
где У — одномерное вакуумное пространство, a W — простран-
пространство волновых функций (см. D.153)). В пространстве °U дей-
действуют операторы уничтожения и рождения а^ и а^, опреде-
определенные для произвольной волновой функции г|з е W. Пусть
Hi...^> = S(l^>>...|^» G-49)
обозначает типичное n-частичное состояние, в котором S — опе-
оператор симметризации из B.142). Тогда оператор уничтожения
а$ по определению действует на это n-частичное состояние со-
согласно формуле
G.50)
(см. D.157)). Такое определение оператора а$ пригодно не
только для произвольной волновой функции г|з е If, но также
и для любого бра-состояния <-ф ]; в частности, можно принять,
что (г|з | — FГ |. Тогда будем иметь оператор уничтожения ^>(г),
который определяется формулой
Ф (г) IЬ ¦ ¦ ¦ г|>„> = - «-1/2 tt>i (г) I я|>2 • ¦ ¦ *»> +
(г) Н^з--. *»>+••.}, G-51)
где г — радиус-вектор определенной пространственной точки.
Таким образом, ф является операторнозначной функцией точки,
т. е. квантовым полем.
В квантовой механике числовые величины классической ме-
механики, подобные координате частицы, характеризуются опе-
операторами. В одночастичной квантовой механике мы имели
с-числовые величины, а именно значения волновой функции.
Теперь волновая функция сама становится оператором ^>(г),
определенным G.51). Поэтому рассматриваемая теория, возни-
возникающая в многочастичной квантовой механике, называется вто-
вторичным квантованием.
В § 2.5 мы убедились, что в случае бесконечномерных про-
пространств состояний не каждое бра-состояние соответствует
вектору состояния. В качестве самого простого примера можно
указать (бг |, соответствующие б-функциям. Аналогично и в
многочастичной квантовой механике не для каждого оператора
уничтожения частиц в бесконечномерном пространстве имеется
эрмитово сопряженный оператор. Оператор </>(г) как раз такой,
так как если бы для него существовал сопряженный оператор

406 Гл. 7. Квантовые поля,
[Ф (г)]+. то вакуумное состояние |0> можно было бы определить
с помощью условия
+ G.52)
справедливого для каждого состояния I1?"). Это условие тре-
требует, чтобы состояние [ф (r)]+1 0) было одночастичным состоя-
состоянием, внутреннее произведение которого с любым другим одно-
частичным состоянием вычисляется по формуле
<^l[^(r)]+|0) = f(F); G.53)
другими словами, состояние [</>(г)]+|0) должно быть несуще-
несуществующим кет-состоянием, соответствующим бра-состоянию
(бг |. Как объяснено в § 2.5, удобно считать, что такое кет-со-
стояние все же существует и составлять для него соответствую-
соответствующие равенства с использованием «б-функций» бг(г') = б(г' — г)
для сокращенной записи сложных равенств, содержащих соот-
соответствующие интегралы. Аналогично этому удобно считать, что
существует оператор [ф (г)]+, хотя формулы, в которые он вхо-
входит, приобретают реальный смысл только после умножения на
гладкую функцию и интегрирования. Оператор
)изт G.54)
является истинным оператором рождения частицы в состоянии,
описываемом волновой функцией f; квантовое поле [ф (г)]+
можно представить себе как оператор рождения частицы в
идеализированном состоянии, когда она точно локализована в
точке г. Аналогично можно рассмотреть собственные бра-со-
бра-состояния импульса (вк |, аналогичные (бг |. Определим оператор
уничтожения а (к) следующим образом:
а (к) |-ф, ... 1>п) = п-ч* Z <вк I Ч>*> IЬ ¦ ¦ ¦ 4>i-i ...*»> G.55)
и рассмотрим фиктивный эрмитово-сопряженный оператор
[а(к)]+, понимая последний как оператор рождения частицы в
фиктивном собственном состоянии импульса с волновой функ-
функцией Bit)~3/2e'k'r. Операторы а (к) и ^>(г) связаны друг с дру-
другом следующим образом. Из G.55) имеем
*ф (r) | ф, . . . t|,n>. G.56)

§ 7.1. Полевые операторы 407
Следовательно,
^^(r)e"ikrrf3r- G-57)
т. е. оператор а (к) является фурье-образом оператора ф(г).
Производя обратное фурье-преобразование, получаем
G-58)
(см. задачу 7.2).
Рассмотрим теперь операторы а (к) и ф(т) в гейзенбергов-
гейзенберговской картине. Операторы ф(г) следует заменить зависящими
от времени операторами <j>(r,t), удовлетворяющими дифферен-
дифференциальному уравнению
1%- = [ф,Н). G.59)
Предположим, что гамильтониан нерелятивистский и описы-
описывает частицы, движущиеся в заданном потенциале V, так что
часть этого гамильтониана, действующая в «-частичном под-
подпространстве, имеет вид
Я« = -Ё+ ••• +^ + У(г,)+...+У(гп). G.60)
В подпространстве одночастичных волновых функций имеем
оператор
^ = Яф == — ^ У2"Ф + Кф. G.61)
Таким образом,
i
(Г) |
i
= Г — V2 + V (r)l ф (г) | i|)i ... г|з„), G.62)
так что
г — = V ?" ~~т~ ' т- G.bo)
Мы видим, что во вторично квантованной теории полевые опе-
операторы ф(т, t) удовлетворяют в точности тому же уравнению
Шредингера, что и волновые функции в одночастичной теории.

408 Гл. 7. Квантовые поля
Для свободных частиц (V = 0) можно явно определить вре-
временную зависимость операторов а (к) в гейзенберговской кар-
картине. Подставляя в волновое уравнение G.63) фурье-интеграл
G.58), получаем
~j-a(k, /)e'k-rd3k = $-|^-a(k, t)eik'd% G.64)
так что имеем простую формулу
a (k, t)==a(k)e~iEi, G.65)
где
Е = ^. G.66)
Таким образом, для свободных нерелятивистских частиц имеем
Ф (г, t) = -^ 5 а (к) е--'«+/кт d3k> G.67)
где Е = Е(к) — кинетическая энергия частицы с импульсом к.
Формулы, подобные приведенной для оператора f(r,t), выра-
выражающей его через не зависящие от времени операторы унич-
уничтожения, требуют для взаимодействующих частиц предвари-
предварительного решения уравнения Шредингера G.63).
Объясним теперь, как задачи квантовой динамики многих
частиц можно сформулировать с помощью полей ф. В шредин-
геровской картине типична следующая задача: «При t = 0 од-
ночастичная волновая функция равна -фо- Какой будет эта вол-
волновая функция в момент t?» Ответ можно представить в виде
матричного элемента
Ф(г, О=<бг|е-"1>о>. G-68)
Используя шредингеровские полевые операторы ^>s(r) = ^>(r, 0),
отсюда получаем
* (г, 0 = <0 I ^>S (г) е~1Ш \ [% (г')]+ А' | 0>, G.69)
где |0> — вакуумное состояние. Последнее имеет нулевую энер-
энергию и поэтому одинаково в шредингеровской и гейзенбергов-
гейзенберговской картинах:
е-ни|0) = |0). G.70)
Таким образом, используя гейзенберговские операторы
ф(г, t) = e-m<!>s(r)eim, G.71)
для волновой функции в момент времени t получаем оконча-
окончательную формулу
of (r, t) = J d3r'% (r') @ | ф (г, t) [ф (г', 0)]+1 0), G.72)

§ 7.1. Полевые операторы 409
которая показывает, что вакуумное среднее значение (О\ф(г, t)
ff(r', 0) [ О) является функцией Грина для уравнения Шре-
Шредингера G.61): это ядро интегрального оператора, который
преобразует начальную функцию г|)о(г) в решение дифферен-
дифференциального уравнения ty(r,t), рассматриваемое в момент вре-
времени t.
Уравнение Клейна—Гордона. Нерелятивистское уравнение
Шредингера для свободной частицы получается из нереляти-
нерелятивистского соотношения между энергией и импульсом (см. со-
соотношение G.66)), если в последнем произвести замены
E~+id/dt, k->-iV. G.73)
Обе эти формулы можно представить в виде
G.74)
если использовать обозначения № = (?,к)— (контравариант-
ный) 4-вектор энергии-импульса и д^ = д/дх^ — (ковариантные)
производные по пространственно-временным координатам. Та-
Таким образом, очевидный способ сделать нерелятивистскую кван-
квантовую механику релятивистской состоит в том, чтобы сохра-
сохранить указанную подстановку, но взять в качестве исходного не
соотношение G.66), а релятивистское соотношение
? = + Ук2 + /п2, G.75)
где m — масса покоя частицы. Но из-за появления в послед-
последнем соотношении квадратного корня мы не можем получить
из G.75) сразу дифференциальное уравнение. Чтобы получить
его, необходимо соотношение G.75) предварительно возвести
в квадрат. Тогда с помощью замены G.73) получаем диффе-
дифференциальное уравнение
5r-V^ = -m^, G.76)
которое называется уравнением Клейна — Гордона. Дифферен-
Дифференциальный оператор в левой части этого уравнения инвариантен
относительно преобразований Лоренца и обычно обозначается
символом П2:
°2=|^-у2==а!Ч- G.77)
Уравнение Клейна — Гордона нельзя рассматривать как вол-
волновое уравнение одночастичной теории, подобно уравнению
Шредингера в нерелятивистской теории, так как оно имеет ре-
решения с отрицательными энергиями, как следствие использо-
использованной при его выводе процедуры возведения в квадрат соот-

410 Гл. 7. Квантовые поля
ношения G.75). Общее решение уравнения Клейна — Гордона
имеет вид
ф(т, t) = -^[{a(k)e-iEt + a'(k)eiFt}e*-<d% G.78)
где а (к) и а'(к)— произвольные функции, Е — энергия, давае-
даваемая формулой G.75). Если считать, что слагаемые а' (к) eik'TeiEt
в формуле G.78) описывают волновую функцию в шрединге-
ровской картине, то мы получим, что волновая функция имеет
отрицательную энергию. Однако если ф обозначает не волно-
волновую функцию, а квантовое поле, то формула G.78) имеет фи-
физический смысл. Она существенно отличается от формулы G.67)
для нерелятивистского квантового поля. Сравнивая эту фор-
формулу с формулой G.32), видим, что дополнительные слагае-
слагаемые в G.78) (с отрицательной энергией) аналогичны слагае-
слагаемым, связанным с фотонными операторами рождения а+(—к).
Таким образом, в формуле G.78) величину а'(к) следует
интерпретировать как оператор рождения частицы в состоянии
с импульсом —к:
а' (к) = 6+ (- к). G.79)
В случае электромагнитного поля величина а'(к) равна а+(—к),
но так получается потому, что электромагнитное поле А эрми-
эрмитово (оно связано с наблюдаемыми Е и В). В общем случае
нет оснований считать любое квантовое поле эрмитовым. Дру-
Другими словами, частица, рождаемая оператором й+, может от-
отличаться от частицы, уничтожаемой оператором а. Можно толь-
только утверждать, что эти две частицы являются античастицами
одна по отношению к другой.
Заменяя к на —к во втором слагаемом в формуле G.78),
получаем окончательную формулу
ф{г> /) = * fa(k)e-'(«-k-r>d3k+L
_ fa(k)edk+—L-
BяK/2 J BяK/2
= Ф+ (г, *) + [ф_ (г, t)]\ G.80)
где ф+— оператор уничтожения частицы, описываемой данным
полем [см. G.67)], а </>_+ — оператор рождения ее антича-
античастицы. В этом состоит оправдание введенных в § 4.6 «редуци-
«редуцированных квантовых полей».
§ 7.2. Уравнение Дирака
Уравнение Дирака является релятивистским уравнением в ча-
частных производных первого порядка в том смысле, что оно,
как и уравнение Клейна — Гордона, основывается на реляти-
релятивистском соотношении G.75) между энергией и импульсом, но

§ 7.2. Уравнение Дирака 411
вместе с тем является уравнением первого порядка по времен-
временной производной. Уравнение Дирака имеет следующий вид:
1у»д„$ = /т!р, G.81)
где символы имеют следующий смысл:
1) dfi = д/дх^, где x>x=(t,T) — 4-вектор координат точки в
пространстве-времени;
2) у»— набор четырех матриц типа 4X4, удовлетворяю-
удовлетворяющих антикоммутационным соотношениям
yiiyvjryvyii==2g»v, G.82)
где g^v = diag(l,—1,—1,—1) — метрический тензор специаль-
специальной теории относительности и в правых частях соотношений
G.82) подразумевается единичная матрица 4X4; ниже мы бу-
будем всегда рассматривать следующий набор матриц у^:
1 0 ] , Г 0
Г 1 0 ] , Г 0 о{1
причем последние матрицы составлены из блоков типа 2X2,
a Gi — матрицы Паули типа 2X2; заметим, что у^— фикси-
фиксированные матрицы и не изменяются при переходе от одной си-
системы отсчета к другой;
3) ty(x)— четырехкомпонентная волновая функция, которая
не является 4-вектором; вместе с тем эту функцию удобно рас-
рассматривать как вектор-столбец 4X1 при рассмотрении произ-
произведений с ^"Матрицами (здесь число 4 не связано с размер-
размерностью пространства-времениI); четырехкомпонентная волно-
волновая функция называется дираковским спинором; для обозначе-
обозначения дираковских спиноров обычно используют символ г|), хотя
они и являются другим типом объектов, чем однокомпонентная
волновая функция, входящая в уравнение Шредингера; ниже
всюду г|) обозначает только дираковские спиноры;
4) т — масса покоя частицы, состояние которой описывает-
описывается спинором г|).
Докажем теперь важнейшее свойство уравнения Дирака и
матриц yv-.
Теорема 7.3. Из уравнения Дирака следует уравнение Клей-
Клейна — Гордона, т. е.
^П2г1з = — т2^. G.84)
Доказательство. Если спинор г|) удовлетворяет уравнению
Дирака, то он удовлетворяет также и уравнению
(Yv<?v) ф = - itn (у^д^) 1|з:=- тЧ- G.85)
') Если бы пространство-время имело размерность 2п, то спинор г|) имел
бы 2" компонент.

412 Гл. 7, Квантовые поля
Но из соотношения G.82) имеем
(v5) (W + Г
y + ГУ11) <?Л == g^d, = П2.
Следовательно, уравнение G.85) показывает, что каждая ком-
компонента спинора г|) удовлетворяет уравнению Клейна — Гор-
Гордона. ¦
Компоненты дираковского спинора ф должны зависеть от
системы отсчета, в противном случае уравнение Дирака не
могло бы иметь одинаковый вид во всех системах отсчета. Если
в результате лоренцева преобразования Л мы переходим от
одной системы отсчета к другой, так что пространственно-вре-
пространственно-временные координаты преобразуются по формулам
/->? = AV G.86)
(приложение I), то соответствующее изменение спинора г|) оп-
определяется следующей теоремой:
Теорема 7.4. Для каждого преобразования Лоренца Л суще-
существует матрица 5(Л) типа 4X4, удовлетворяющая условию
V. G-87)
Если г|/ — спинорная волновая функция, определенная форму-
формулой
г|/(х') = 5(ЛЖ*), G.88)
где х' дается формулой G.86), то функция г|/ удовлетворяет
уравнению
iyv-д'^' = /m|/, G.89)
где д^ = д/дх^.
Доказательство. Условие того, что Л обозначает матрицу
лоренцева преобразования, имеет вид
^ G.90)
Если Л(Х) — непрерывная последовательность лоренцевых пре-
преобразований, характеризуемых вещественным параметром X,
причем Л1\)@)= б^, и генератор для этой последовательности
G.91)
то из условия G.90) заключаем
«V + «V = °- G-92)
Наоборот, если co^v удовлетворяют последнему условию и Q
обозначает (векторную) матрицу типа 4X4 с матричными эле-
элементами cotlv, то матрицы
Л"\, (I) = (ела)% G.93)

§ 7.2. Уравнение Дирака 413
образуют непрерывную последовательность лоренцевых преоб-
преобразований, так как
-^ (Л^Лцр) = со^Л^Л^ + Л%ша0Л°р = (а>ио + (oaii) Л^Л1^ = 0.
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения
rfyV-
¦^- = c#v.^ G.94)
имеет вид
я?(Х) = А\(к)ху@). G.95)
В частном случае, когда ©о,- = 0 и со,-/ = гцьП/г, где п — не-
некоторый 3-вектор, система дифференциальных уравнений G.94)
принимает вид
1 = °> 1 = »Хг. G.96)
Сравнивая последнее уравнение с уравнением C.129), видим,
что в рассматриваемом частном случае е%а — матрица враще-
вращения на угол (Х вокруг оси п. С другой стороны, если со,-/ = 0 и
со0г = пи система дифференциальных уравнений G.94) прини-
принимает вид
если (m-n) = 0. Решением последней системы уравнений слу-
служат функции
t = t0 ch Я + n • r0 sh Я,
n • r = ^o sh A, + n • r0 ch Я,
m • r = m • r0, G.98)
если m-n=0. Получаем буст в направлении п со скоростью
th К. Таким образом, вращения и бусты являются примерами
лоренцевых преобразований, представимых в виде еш.
Построим теперь спинорную матрицу, соответствующую мат-
матрице Л = е%а, имеем
[jp] G.99)
где
Таким образом,
) 4p, /]S(A). G.100)

414 Гл. 7. Квантовые поля
Но согласно G.82)
Нр, y4 = t[^> Yp], УЧ=т^. (Ур> Г}}-^{\р, {Yv> Y^}} =
= gWyV _ gHVyf>_ G.101)
Таким образом, уравнение G.100) можно записать в следую-
следующем виде:
^ ([5 (Л)] y»S (Л)) = со% [S (Л)]" y-S (Л). G.102)
Сравнивая полученное уравнение с G.93), G.94), убеждаемся,
что
как это и утверждалось.
Так как х* = A*\,a:v, то djl — Л/dv, поэтому
Вместе с тем
A//S (Л) = A/A^S (Л) Yp = 5 (Л) у\
согласно G.90). Следовательно,
iy^dW = iS (A) yv<5v^ = 5 (Л) mi); = mty''. ¦
Теперь можно использовать постулат VII и определить угло-
угловой момент системы, векторами состояния которой являются
спинорные волновые функции ty(x). В рамках одночастичной
теории пространство состояний образовано произвольными до-
достаточно хорошо себя ведущими спинорными функциями про-
пространственного вектора положения г (как и в уравнении Шре-
дингера четвертая пространственно-временная координата t
описывает изменение вектора состояния в этом пространстве
состояний). В этом пространстве состояний унитарный опера-
оператор, представляющий вращение R, действует следующим об-
образом:
= S(R)q{R-lr), G.103)
где S(R) — спинорная матрица типа 4X4, соответствующая
вращению R, понимаемому как лоренцево преобразование, со-
согласно теореме 7.4. Пусть R — вращение вокруг оси п на угол
К. Тогда компонента углового момента n-J на эту ось действует
на спинорные волновые функции следующим образом:
) + i-^^(R-lr). G.104)

§ 7.2. У равнение Дирака 415
Второе слагаемое следует преобразовать так же, как в § 3.3;
оно принимает обычный для орбитального углового момента
вид —т-(гХ^'Ф)- Для преобразования первого слагаемого
воспользуемся формулой G.99), в которой положим соо(= О,
со,; = Zijktik; тогда получим iaijOijty (r). Следовательно,
J = s + rXp, G.105)
где
«* = -2-"*</*<!//= -8-"^ЛY/. Y/1- G.106)
Используя явный вид G.83) матриц у и правила умножения
а-матриц Паули D.39), получим
Sk
1 V ак 0 1
-Но А GЛ07)
Отсюда видно, что пространство состояний системы распадает-
распадается в прямую сумму пространств 9>\@9>2, в которой оба про-
пространства 9*\ и 9*ъ изоморфны пространству состояний одной
частицы со спином 1/2: пространство 9*\ состоит из спиноров,
у которых нижние две компоненты равны нулю, а пространство
9*2 — из спиноров, у которых верхние две компоненты равны
нулю.
Чтобы проиллюстрировать важность указанных двух под-
подпространств, рассмотрим собственные состояния импульса с
собственным значением 0. Они даются спинорными волновыми
функциями г|з (х), удовлетворяющими уравнению Vi|j = 0, так
что функция г|) зависит только от времени t. Уравнение Дирака
превращается тогда в обыкновенное дифференциальное урав-
уравнение
ifd±^m^ GЛ08)
Когда матрица у0 дается формулой G.83), пространство SP\
является собственным пространством матрицы у0 с собствен-
собственным значением 1. Поэтому спинор г|з, принадлежащий Sf\ и
удовлетворяющий уравнению G.108), имеет энергию т (как и
следовало ожидать в случае покоящейся частицы, обладающей
массой покоя т). Но если спинор ф принадлежит 9^2, он яв-
является собственным вектором матрицы -у0 с собственным значе-
значением — 1; поэтому из G.108) заключаем, что он имеет энер-
энергию —т. Таким образом, уравнение Дирака, как и уравнение
Клейна — Гордона, тоже имеет решения с отрицательной энер-
энергией.
Четность. Из спинорных матриц 5(Л), фигурирующих в фор-
формулировке теоремы 7.4, можно построить матрицу для произ-
произвольного преобразования Лоренца, которую можно представить

416 Гл. 7. Квантовые поля
в виде произведения вращений и бустов. Такие матрицы обра-
образуют проективное представление подгруппы группы Лоренца,
элементы которой называют собственными, лоренцевьши преоб-
преобразованиями. Пространственная инверсия Р, которая переводит
точку t, т в точку t, —г в пространстве-времени, тоже является
лоренцевым преобразованием, удовлетворяющим условию
G.90). Но это преобразование не принадлежит к указанной
подгруппе. Пространственную инверсию следует представить
спинорной матрицей S(P) — у'0, так как тогда, согласно основ-
основным коммутационным соотношениям G.82), имеем формулы
S(P)y°[S(P))~l = y0, S(P)yi[S(P)]-1=yi, G.109)
аналогичные формулам G.87).
Билинейные комбинации спиноров. Волновая функция, удо-
удовлетворяющая уравнению Шредингера, порождает выражение
для плотности вероятности и тока вероятности (см. C.43)).
Аналогичные величины можно составить и для дираковских
спиноров.
Теорема 7.5. Существует эрмитова матрица ?, удовлетво-
удовлетворяющая условиям t,2 = 1 и
№ = №)*• G.110)
Введем обозначение ty = г|)+?; тогда можно утверждать, что ijn|j
является лоренцевым скаляром, a tyy^ty и ^д^ являются ло-
ренцевыми 4-векторами.
Если спинорная функция г|э удовлетворяет уравнению Ди-
Дирака, то
$ 0. G.111)
(Точный смысл этих утверждений состоит в следующем. Пусть
г|/ обозначает спинор, полученный из спинора ^ лоренцевым
преобразованием Л по формуле G.88). Тогда утверждения, что
-ф-ф — скаляр и ¦ф'у'Мр — 4-вектор, означают, что
^Y = ^ и •фУУ = AVt>Y> G.112)
при всех лоренцевых преобразованиях Л.)
Доказательство. Хотя существование матрицы ? можно
доказать, непосредственно исходя из антикоммутационных со-
соотношений G.82) для 7"м^триц, мы здесь ограничимся только
тем, что просто укажем матрицу ? для нашего специального
выбора уматриц G.83). Так как при таком выборе матрица
у° эрмитова, а матрицы у' антиэрмитовы, то условие G.110)
будет определенно удовлетворено, если положить в нем I = V0.

§ 7.2. Уравнение Дирака 417
Теперь имеем (используя условие ?? = 1) соотношения
= -^№, Yvf = - (o^)*. G.113)
так что, если Л = еш является бустом или вращением, то
SS (Л) I = I ехр (со^а^) g = exp (©„„go^g) =
= ехр [- К„<^L = ([S (Л)]"'Г. G.114)
Если матрица Л соответствует пространственной инверсии, то
обе части равенства G.114) равны у0. Тогда это равенство
можно обобщить на любое произведение бустов, вращений и
пространственных отражений. Таким образом, если Л обозна-
обозначает любое такое произведение, то
i|j/ = S(A)i|)) G.115)
. G.116)
Отсюда непосредственно заключаем, что
^'г|/ = фг|, G.117)
и
aj/YV = ф [S (Л)] y^S (Л) гр = Л^уЧ G.118)
согласно G.87). Кроме того, поскольку ди = Л,ЛЭу, то
$%$ ^ ' (Л) $ = А^д^. G.119)
Формулы G.117) — G.119) показывают, что величины фф, ^у^ф
и tyd^ty представляют собой скаляр, контравариантный 4-век-
тор и ковариантный 4-вектор соответственно.
Предположим теперь, что спинорная функция г|з удовлетво-
удовлетворяет уравнению Дирака
1у»д^ = П1^. G.120)
Тогда очевидно
-id^(y»)\ = m^. G.121)
Умножая уравнение G.120) слева на -ф и G.121) справа на г|)
и вычитая второе уравнение из первого, получаем
Пусть /i = ipY14l и У° = р; тогда уравнение G.121) можно
представить в виде уравнения непрерывности
dp/dt+ V-j = 0, G.122)

418 Гл. 7. Квантовые поля
полностью совпадающего с уравнением непрерывности C.42).
Вследствие существования этого уравнения 4-вектор /^ назы-
называется сохраняемым током1). Временную компоненту р можно
интерпретировать как плотность некоторой субстанции, ско-
скорость перетекания которой характеризуется трехмерным векто-
вектором тока j. Фактически имеем
р = $у\ = г|5+ (y°J Ф = ф+ф G.123)
(так как ? = y°)> поэтому величина р положительно опреде-
определена. Первоначально р интерпретировалось как плотность ве-
вероятности, но во вторично квантованной теории, необходимость
которой обусловлена наличием решений уравнений Дирака с
отрицательной энергией, величина р получает другую физиче-
физическую интерпретацию.
Другие важные билинейные комбинации спиноров можно
построить, используя матрицу
Y5 = «yVyV. G-124)
Так как различные матрицы у антикоммутируют друг с дру-
другом, матрицу 75 можно записать в следующем виде:
iYvYpYa. G.125)
где e^v-pa — полностью антисимметричный тензор, для которого
80123 = 1. Исходя из выражения G.125), получаем формулу
для преобразования матрицы у5 при лоренцевых преобразова-
преобразованиях
S (Л) Ys [S (Л)] = ~ в^рХаЛ^Л^Л\yVyV = (det Л) у5.
G.126)
Таким образом, матрица у5 инвариантна при собственных пре-
преобразованиях Лоренца, но изменяет знак при отражениях. Та-
Такой объект называют псевдоскаляром. Аналогично объект y^Vs
называют псевдовектором:
5 (Л) y^Ys [S (Л)Г1 = (det Л) y^Ys- G.127)
Перечислим важнейшие свойства матрицы ys-
Теорема 7.6. Матрица у$ обладает следующими свойствами:
A)Y52=1; G.128)
B) у^ = -\^у5; G.129)
C) y^Ys = ^vYs - у №\хУ*У*", G-130)
D) SY5? = -Y5+; G.131)
Правильнее было бы назвать его сохраняющим током.

§ 7.2. Уравнение Дирака 419
E) величина ¦фУо'Ф является псевдоскаляром, величины
^\'5\1М"Ф и Ч'Уз'Зц'Ф являются псевдовекторами;
F) если i|) (х) = и (р)е~-*Р'х—решение уравнения Дирака,
описывающее плоскую волну, то оператор спиралыюсти дей-
действует на него следующим образом:
ftft-Sfaivrt. G.132,
Доказательство. Свойства A) и B) легко установить, ис-
используя определение G.124) и тот факт, что матрицы у^ анти-
коммутируют друг с другом. С другой стороны, используя фор-
формулу G.125) для 75 и повторно используя антикоммутационные
соотношения G.82), находим
Y^Ys = YsYv + J «vp«xYp yV, G.133)
так что
4W. G-134>
Таким образом, матрица yvy5 является произведением трех мат-
матриц у!-1 с [I # v. Следовательно, матрицы у>* при j_i Ф v комму-
коммутируют с матрицами уууь- Прибегая к аналогичным рассужде-
рассуждениям, исходя из равенства G.134) и используя соотношения
G.82), получаем
Y^YVY5 = - YVY5\'^ - ^ayV, G.135)
так что при ц, Ф v имеем
\ У"\\ G-136)
а при IX = v получаем
Y(tYvY5==g^5. G.137)
Формулы G.136) и G.137), взятые вместе, приводят к формуле
G.131).
Свойство D) следует из условия G.110), согласно кото-
которому
SYoS = iY°V ' Y2tY3t = (- WyV)' = - Ya*.
так как матрицы у11 антикоммутируют и обращение порядка
следования матриц есть четная перестановка четырех объектов.
Свойство E) устанавливается таким же образом, как при
доказательстве теоремы 7.5. Вследствие формулы G.126) по-
получаем, вводя обозначение i|/ = 5(Л)-ф, что
)*Y5^, G.I38)
?YoYV = (det Л) Auv*Ysy4. G-139)

420 Гл. 7. Квантовые поля
а также
?Y5 <W = (det Л) V'^Ys д^. G.140)
Наконец, если ty(x)= u(p)e~ipx — решение уравнения Ди-
Дирака, так что
гддт|) = рдф и рду»ф = тф, G.141)
то, согласно определению G.106), имеем
р- J^ = p- (8-ЬгХр)* = -4-(р,%УуЧ
Далее из свойства B) непосредственно следует
1ЬцкЧ1Чк = — 'e?jfeY'V = 2yV Ys = 2у5 = 2y5y'V>
так что окончательно
р . Ц-, = 1 YsYo (P/Yi) яр = ~ y5y° (m - PoYQ) Ф == ^ Ys ('»Y° — Ро)
YsY (P/Y) яр =
Заметим, что если /« = 0, то функция г|) является решением
уравнения Дирака с положительной энергией, так что ра =
= |р| и оператор спиральности равен просто —'Ат»- Свойство
быть собственным спинором оператора 75 инвариантно отно-
относительно собственных преобразований Лоренца, так как, со-
согласно G.127), имеем
(А) яр == 5 (Л) Ys-Ф = е5 (Л) Ц). G.142)
Таким образом, утверждение, что безмассовая частица обла-
обладает отрицательной спиральностью, является лоренц-инвариапт-
ным (но не инвариантным в отношении четности), так как
чтобы перейти к системе отсчета, в которой частица обладала
бы противоположной спиральностью, необходимо догнать ча-
частицу и посмотреть на нее с другой стороны, как на рис. 6.22,
что невозможно, если частица движется со скоростью света.
Это объясняет, почему нейтрино могут быть только левыми ча-
частицами; нейтрино описываются дираковским спинором, удов-
удовлетворяющим двум следующим уравнениям:
= 0, y:A = i- G.143)
В случае частицы с отличной от нуля массой покоя урав-
уравнение Дирака не совместно с уравнением у$ = гр, в чем легко
убедиться, если представить его решение в виде суммы
где
tL=4A+Y5)^. ^=yA-Y5H<; G.114)

§ 7.2. Уравнение Дирака 421
то! да из уравнения Дирака получаем
Спиноры -фь и iJ3r являются левыми и правыми векторами со-
состояний, введенными в § 6.6. Они не являются собственными
состояниями оператора спиралыгости, но являются собствен-
собственными состояниями оператора —'/гТб и превращаются в соб-
собственные состояния оператора спиральности, когда скорость
частицы стремится к скорости света с (см. свойство F) из тео-
теоремы 7.6; когда v -v с, имеем ро/\р\-*-1 и т/|р|-»-0).
Заметим, что, согласно свойству D) из теоремы 7.6, полу-
получаем
*l = *l? = y1'+A + Y5)+?=4*A-Y5)
и аналогично
*R = y*(l+Y5). GЛ46)
Поскольку ye2 = 1, отсюда следует, что
VI>L = VI>R = °- GЛ47)
Вторичное квантование. Как и в случае уравнения Клейна —
Гордона, существование решений уравнения Дирака с отрица-
отрицательными энергиями создает проблему, которую можно разре-
разрешить только в том случае, если поле можно представить опе-
операторами в гейзенберговской картине. Следуя рассуждениям,
приводящим к формулам G.32), G.80), можно записать
(х) = J {«(р) в-'^-1-') + р* (Р) e'<"-P-'>} rf3p> G.148)
где р° = + -ур" + tn2, a а(р) и |3+(р) — дираковские спиноры,
компоненты которых являются операторами уничтожения и
рождения соответственно. Чтобы характеризовать а и р более
полно, определим для каждого р базисные функции {«+(р),
v±(p)} для пространства дираковских спиноров следующим об-
образом:
/ (Р) = ± и± (р), р^и± (р) = ти± (р),
)
где р^ = (р°, р), a s'3 — оператор третьей компоненты спина
в системе покоя для вектора р&. Возьмем преобразование
Лоренца Л, для которого Anvpv = {т, 0), и определим оператор
г'з = S(A~l) s3S (А), где s3 обозначает спиновую матрицу из
G.107). Другими словами, пусть и±(р) обозначают спиноры с
положительной энергией и v±(p) — спиноры с отрицательной

422 Гл. 7. Квантовые поля
энергией (явные выражения для этих спиноров даются в за-
задаче 7.7). Таким образом, можно записать
а (р) = а_ (р) и+ (р) + а+ (р) и (р),
, , , G.15U)
Pf(p) = b+Up)v+ (p) + 6_f(p)i»_(p)-
Если \f> обозначает электронное поле, то а+(р) — операторы
уничтожения электронов, а 6±+(р) — операторы рождения по-
позитронов. Использованные индексы правильно указывают спи-
спиновые свойства состояний, в которых рассматриваемые опера-
операторы рождают и уничтожают электроны и позитроны. В этом
легко убедиться, если рассмотреть преобразования поля я|з(л;)
при вращениях, т. е. преобразования
1 (i) G.151)
где U(R) — унитарный оператор, действующий в пространстве
состояний и представляющий вращение R, a S(R) — спинорная
матрица из формулировки теоремы 7.3 (при Л = R). Таким
образом, приходим к спиновой наблюдаемой S, удовлетворяю-
удовлетворяющей коммутационным соотношениям
[2, я|> (*)] = sip (*), G.152)
где s — спиновые матрицы G.106). Соотношению G.152)
должны также удовлетворять операторы а(р) и рк (р), если их
подставить вместо я|з(#). Так как и± и v± являются собствен-
собственными спинорами оператора s3, то получаем
[23. а± (р)] = ± а± (р), G.153)
IX,6±f(p)] = ±6±+(p). G.154)
Второе из этих уравнений показывает, что операторы Ъ± рож-
рождают позитроны в состояниях со спином вверх и вниз соответ-
соответственно (s = ±l/2). Эрмитово-сопряженное соотношение для
G.153) имеет вид
[2з, а
оно показывает, что операторы а± тол<е имеют правильные
нижние индексы.
Все это означает, что в левых и правых полях -фь и -фи,
определенных формулами G.144), частицы и античастицы об-
обладают противоположными спиралыюстями. Спинор -фь равен
сумме оператора уничтожения левого электрона и оператора
рождения правого позитрона.
Так как уравнение Дирака описывает частицы со спином
1/2, последние должны быть фермионами и их операторы рож-
рождения и уничтожения должны подчиняться антикоммутацион-
антикоммутационным соотношениям. Как было объяснено в § 4.6, все сказанное

§ 7.2. Уравнение Дирака 423
можно отнести и к античастицам. Результаты можно подыто-
подытожить с помощью коммутационных соотношений, аналогичных
G.39). Введем в рассмотрение функцию
2/Лх (р) при р° > О,
о Oo+V , о ' G.155)
2р Р (— р) при р < 0.
Пусть %(р) = ц(р)8(р2— т2); тогда %{р) является четырех-
четырехмерным фурье-образом функции ip(x), удовлетворяющим сле-
следующим антикоммутационным соотношениям
Г / \ '+ / /\1 X X / 2 2\ X / Л G.156)
{%г (Р), Л (Р )} == 6rs6 (р2 - т2) б (р — рО-
Из этих соотношений непосредственно получаются соотношения
), /Ф(я/)} = 0 при всех х, х',
¦)} = 0 при(,-^<0. GЛ57)
Как и в случае коммутационных соотношений для электромаг-
электромагнитного поля, последние антикоммутационные соотношения ха-
характеризуют свойство локальности рассматриваемого фермион-
ного поля.
Наконец, рассмотрим сохраняющийся ток -ф-^ф. Сохраняю-
Сохраняющейся величиной, связанной с этим током,является простран-
пространственный интеграл от нулевой компоненты; при t = 0 из
G.148) с использованием теоремы Планшереля (задача 2.13)
получаем
• (г) ф (г) d3r = 5 {а+ (р) + р (- р)} {а (р) + pf (- p)} d3p. G.158)
Учтем, что спиноры v+(—р) удовлетворяют уравнению
Pn'y^v = — mv, где р/(г = (р°, — р).
Используя свойства матрицы у0, получаем
так что
Вместе с тем спиноры и±(р) удовлетворяют уравнению
о±+(-р)и±(р) = 0.
Таким образом, правую часть уравнения G.154) можно преоб-
преобразовать к следующему виду:
\ V (г) ф (г) d3r = \ ? {а; (р) аг (р) + br (р) br" (р)} d3p.

424 Гл. 7. Квантовые поля
Так как коммутатор операторов Ьг и 6Г+ есть с-число, пра-
правая часть последней формулы имеет вид
iUp)ar(p)-bUp)br(p)}d3p G.159)
с точностью до (бесконечного) с-числа, аналогичного беско-
бесконечной нулевой энергии в случае электромагнитного поля, ко-
которым мы здесь пренебрегаем, используя аналогичные сообра-
соображения. Так как операторы а± рождают электроны, а опера-
операторы 6±+ рождают позитроны, интеграл G.159) равен разности
полного числа электронов и полного числа позитронов. Таким
образом, величина tyy°\\- представляет собой плотность вели-
величины, которая принимает противоположные значения для элек-
электронов и позитронов. Умножив G.159) на заряд электрона е,
приходим к идентификации величины е-ф^ф как 4-вектора
плотности электрического тока.
§ 7.3. Динамика полей
Выше мы рассмотрели три различных квантовых поля: ска-
скалярное ^(д:), спинорное ¦ф(лг) и 4-векторное Ау.(х). Каждое из
них является операторпозначной функцией координат точки и
(в гейзенберговской картине) зависит также от времени. Мы
показали, как эти поля строятся из соответствующих не зави-
зависящих от времени операторов рождения и уничтожения: каж-
каждая компонента 6 любого из этих полей может быть представ-
представлена в виде
а (р) е ' -\- b (р) е } d p, G.160)
где а(р)—оператор уничтожения частицы в состоянии с 4-им-
пульсом pv- (р° является функцией от р), а 6+ (р) — оператор ро-
рождения соответствующей античастицы. Можно (хотя мы этого
и не делали) получить коммутационные соотношения для опе-
операторов уничтожения и рождения а, а+, b и 6+. Принимая во
внимание, что выраженный через операторы рождения и уни-
уничтожения гамильтониан имеет вид, сходный с гамильтонианом
гармонического осциллятора, можно выразить этот гамильто-
гамильтониан поля в виде интеграла от суммы произведений полей (см.
G.20) и задачу 7.8). Как и для произвольного оператора в гей-
гейзенберговской картине для рассматриваемой компоненты поля
справедливо соотношение
6(г, t) = e-lHtQ{r, 0)em. G.161)
Используя выражение G.160), любое состояние квантовопо-
левой системы, составленной из тождественных частиц, можно

§ 7.3. Динамика полей 425
представить как результат действия некоторого произведения
полевых операторов на вакуумное состояние. Как и в формуле
G.72), амплитуду перехода из одного такого состояния (в мо-
момент времени / = 0 в картине Шредингера) в любое другое со-
состояние в момент времени t можно представить как вакуумное
среднее от произведения полевых операторов (рассматривае-
(рассматриваемых в гейзенберговской картине). Таким образом, чтобы выяс-
выяснить характер динамического поведения системы, не обязатель-
обязательно знать явный вид гамильтониана; достаточно иметь лишь ин-
информацию о том, как зависят от времени полевые операторы.
Их временную зависимость следует отыскивать, решая оператор-
операторные дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют
квантовые поля. Эти уравнения имеют такой же вид, как урав-
уравнения движения для очисел, которым удовлетворяют классиче-
классические поля или поля, получаемые при первоначальном кванто-
квантовании (например, уравнения Максвелла или уравнение Шре-
Шредингера). Таким образом, динамическое поведение системы пол-
полностью описывается уравнениями квантовой теории поля.
В классической теории поля (в классической механике) урав-
уравнения поля часто выводят из принципа наименьшего действия.
Действие для системы с конечным числом степеней свободы оп-
определяется как интеграл \Ldt, в котором лагранжиан L яв-
является заданной функцией обобщенных координат qt и обоб-
обобщенных скоростей cji. В классической и в квантовой теории по-
поля под «координатами» понимают значения полей в различ-
различных точках пространства, скажем значения 6(г). Лагранжиан,
который является в таком случае функцией от бесконечного
числа переменных, следует представить тогда интегралом вида
?[e(r), ve(r), e(r)Kr, G.162)
где величина S, называемая плотностью лагранжиана, есть
некоторая заданная функция, зависящая от значений полей и
их производных, взятых в тех же точках пространства, что и
поля. С учетом выражения G.162) действие можно представить
следующим интегралом:
S= J Ldt= \SP(Q, dfi)dAx, G.163)
где х обозначает координаты точки пространства-времени, т. е.
х = (г, t). Принцип наименьшего действия состоит в требова-
требовании, чтобы четырехкратный интеграл G.163) был стационар-
стационарным при произвольных вариациях ноля, которые обращаются

426 Гл. 7. Квантовые поля
в нуль на границах области интегрирования. Этот принцип поз-
позволяет получить следующие уравнения Эйлера — Лагранжа:
+ д
(см. [46] и задачу 7.9). Последние уравнения иногда записы-
записывают в виде
выражение, стоящее слева, называют функциональной произ-
производной интеграла 5 по функции б(л'). Значение этой функцио-
функциональной производной в точке х, грубо говоря, характеризует из-
изменение интеграла S при изменении функции 9 только в беско-
бесконечно малой окрестности точки х (имеет вид б-функции).
Когда рассматривается система нескольких полей, плот-
плотность лагранжиана S является функцией всех этих полей, при-
причем для каждого из полей имеется уравнение вида G.164).
Уравнения G.163), G.164) показывают, что лагранжев фор-
формализм намного удобнее для учета требований специальной
теории относительности, т. е. релятивистской инвариантности,
чем гамильтонов формализм. Основная величина 5 дается ин-
интегралом по пространству-времени, поэтому в лагранжевом
формализме не требуется проводить раздельное рассмотрение
пространственных и временных координат. Формула для дей-
действия 5 одинаково выглядит во всех системах отсчета, причем
подынтегральная функция S является релятивистским скаля-
скаляром. В получаемых из принципа наименьшего действия уравне-
уравнениях движения пространственные и временные координаты вы-
выступают на равных основаниях, потому уравнения явным обра-
образом инвариантны относительно преобразований Лоренца. В от-
отличие от этого в гамильтоновых уравнениях классической меха-
механики и классической теории поля в уравнении Шредингера
квантовой механики производные по времени выделены, и вре-
временной координате приписывается особая роль. Сам гамильто-
гамильтониан, представляющий собой полную энергию, не является ре-
релятивистским скаляром, а лишь временной компонентой 4-век-
тора; поэтому он различен в разных системах отсчета. (В тео-
теории поля гамильтониан представляется интегралом по про-
пространству от плотности гамильтониана, которая еще менее по-
похожа на скаляр, чем гамильтониан, так как является компонен-
компонентой @, 0) тензора ГцУ.)
В контексте теории поля фейнмановская формулировка
квантовой механики оказывается наиболее естественной. Эта
формулировка позволяет рассматривать квантовые системы,
имеющие классические аналоги. Траекториям классической си-

§ 7.3. Динамика полей 427
схемы, определенным с помощью понятия классических коор-
координат, сопоставляются по определенным правилам квантовые
амплитуды. Хотя с первого взгляда представляется невозмож-
невозможным приложить фейнмановскую формулировку к таким суще-
существенно квантовым величинам, как спин и изоспин, ее тем не
менее можно успешно применить и в этих случаях. Нужно толь-
только использовать в качестве классического аналога первично
квантованную теорию. Например, спин электрона и позитрона
описывается с помощью дираковского спинора тр. В квантовой
теории поля ty (х) следует считать оператором. Тем не менее
мы можем взять в качестве исходной для построения квантовой
теории поля теорию уравнения Дирака для с-числового поля г|5,
построить соответствующее действие S, а затем применить
фейнмановский постулат, чтобы получить выражение для ам-
амплитуды перехода конфигурации поля в начальный момент вре-
времени в другую конфигурацию в более поздний момент времени.
Теорему 3.14 можно обобщить и доказать, что ее обобщенный
вариант эквивалентен следствию из постулата VI, который
имеет дело с гамильтонианом.
По всем указанным причинам плотность лагранжиана 9? сле-
следует рассматривать как наиболее фундаментальную величину
в квантовой теории поля. Ее часто называют просто «лагран-
«лагранжианом».
Уравнения квантовых свободных полей, которые мы выше
рассмотрели, можно получить из следующих лагранжианов.
Для уравнения Клейна—Гордона следует взять лагран-
лагранжиан
2'=у(з/-^-/пУ^); G.166)
тогда
так что соответствующее уравнение Лагранжа — Эйлера в точ-
точности совпадает с уравнением Клейна — Гордона.
Для уравнения Дирака следует взять лагранжиан
\ - <Эдф • yW?) - тЩ, G.167)
который часто записывают в виде
3? = Щ
Компоненты поля i|) комплексные, их вещественные и мнимые
части изменяются независимым образом, так что для каждой
компоненты получаем два уравнения Эйлера — Лагранжа, ко-
которые являются вещественной и мнимой частями одного комп-

428 Гл. 7. Квантовые поля
лексного уравнения движения. Но любую функцию f(x, у) двух
вещественных переменных можно представить как функцию
g(z, z) одной комплексной переменной z = x-\-iy, причем ве-
вещественные частные производные функции / можно объединить
в производную по комплексной переменной:
dJL=V+ijf. G.l68)
последняя производная вычисляется в предположении, что чис-
числа z и z формально рассматриваются как независимые вели-
величины и дифференцирование производится только по перемен-
переменной z. (В случае вещественной функции / вторая производная
dg/dz является просто величиной, комплексно-сопряженной
производной dg/dz.) Таким образом, уравнения Эйлера — Ла-
гранжа для лагранжиана G.167) можно записать в следующем
виде:
который в точности совпадает с уравнением Дирака.
Для уравнений Максвелла лагранжиан имеет вид
2 (дА д
j „ р G.169)
тогда
д^)^^д^1 G.170)
так что уравнения Эйлера — Лагранжа сводятся к уравнениям
Максвелла в пустоте
д^ = 0, G.171)
где рр,ч = дцАч — д^Ар. Тензор F^x называется тензором элек-
электромагнитного поля (FOi = Ei и Fn==e,ijkBk, где Е и В — на-
напряженность электрического и индукция магнитного полей).
Получаем совсем не те уравнения для электромагнитного поля
П2Ар. — 0, из которых мы исходили выше, если не добавить к
ним условие д^А^ = 0. Последнее условие, конечно, всегда мо-
можно добавить к уравнению для А^, так как имеется произвол
в выборе потенциала Лр,. Удобнее считать однако, что на поле
Ац не наложено никаких дополнительных условий. Но при этом
нужно помнить, что физической величиной является тензор
электромагнитного поля F^, а не потенциал Ар,. Как увидим в
следующем параграфе, то обстоятельство, что теория электро-

§ 7.3. Динамика полей 429
магнитного поля должна формулироваться в виде G.171), имеет
важные физические следствия.
Заметим, что отсутствие массы у фотона следует из того
факта, что лагранжиан построен только из производных кван-
квантовых полей и не содержит члена типа ф2, который входит в вы-
выражение G.166) для лагранжиана уравнения Клейна — Гордо-
Гордона и ответствен за массу частиц.
Инвариантности и сохраняющиеся величины. Обсуждение
свойств инвариантности и сохраняющихся величин, проведен-
проведенное в § 3.2, основывалось на использовании гамильтониана в
качестве фундаментальной величины, описывающей динамику
системы. Чтобы перенести основные результаты этого обсужде-
обсуждения на квантовую теорию поля, надо сначала вернуться к ее
истокам, лежащим в лагранжевой классической механике.
В классической механике системы с конечным числом сте-
степеней свободы, описываемой обобщенными координатами
qu ..., qn и лагранжианом L(qu ..., рп, qu ..., qn), теорема
Нётер утверждает, что если имеется семейство преобразований
<7г-><7,(<7lt ..., qn, а) (причем q'i = qt при а = 0), оставляющих
лагранжиан системы инвариантным, т. е. L(qr,q') = L{q,q)
при всех а, то величина
1 G.172)
A = 0
Z
dq. da
является константой движения. Докажем два следующих об-
обобщения этой важной теоремы, возникающие в классической
лагранжевой теории поля.
Теорема 7.7а (первая теорема Нётер). Пусть ^F,, ..., 0„,
<5цбь •••> дцЕу — плотность лагранжиана, инвариантная при
преобразованиях
ед^^е^е,^) ев(*), а), G.173)
для которых а — некоторый вещественный параметр и 6/ = 8,-
при а = 0. Тогда из уравнений поля G.164), получаемых для
такой плотности &, следует, что d^fr = 0, где
f w =
(<э в)
a=0
G.174)
Доказательство. Вводя сокращенное обозначение 9= Fi,...
. .., 6„), имеем условие инвариантности
2 F' (9, a), dfl F, a)) = 2 F, д„В), G.175)

430 Гл. 7. Квантовые поля
справедливое при всех а. Дифференцируя его по а, получаем
^ + _^7_fMl} = 0. G.176)
В\ да д (д^) да J
При а = 0 уравнения поля дают
д9> д& д / дЗ?
Кроме того, очевидно
д , ,, д (ае, \ д% (д%[ \
т
Таким образом, полагая а = 0, из G.176) получаем
т. е. дцГ = О. ¦
Уравнение дцр является уравнением непрерывности (см. ура-
уравнение G.122) и замечание, сделанное по его поводу). Когда
величины jyi(x) обращаются в нуль на пространственой беско-
бесконечности, можно утверждать, что интеграл
Q=\j°(r,()d2r G.177)
не зависит от времени. Это сохраняющаяся величина называет-
называется зарядом, связанным с инвариантностью 9? —>G^ и «сохраняю-
«сохраняющимся» током.
В качестве примера применения теоремы Нётер рассмотрим
преобразования дираковского поля, заключающиеся в умноже-
умножении поля на произвольный фазовый множитель:
i|)'(i|), а) = е~/еагф, G.178)
где е в показателе экспоненты — заряд электрона. Лагран-
Лагранжиан G.167) остается инвариантным при рассматриваемых
преобразованиях. Как было объяснено выше в тексте
после формулы G.167), можно величину i|v и комплекс-
комплексно-сопряженную величину tyr считать независимыми перемен-
переменными; чтобы еще больше упростить алгебраические преобра-
преобразования, можно перейти от переменных -фг (компонент спинора
я|з+) к переменным *флг5 (компонентам спинора я|)). Тогда получим
. =/еф, G.179)
да
— гсФ, т
а=о да

§ 7.3. Динамика полей 431
так что формула G.174) с лагранжианом SS, определяемым
формулой G.167), даст величину
¦а дЗ? ,..,,. т дЗ?
ity
которая является 4-вектором электрического тока. Таким обра-
образом, сохраняющейся величиной, связанной с инвариантностью
дираковского поля при фазовых преобразованиях G.178), ока-
оказывается полный электрический заряд.
Фазовые преобразования, аналогичные G.178), можно рас-
рассмотреть для любого аддитивного квантового числа А. Поле ча-
частицы, для которой А = а (для античастицы А=—а), при
этом преобразуется следующим образом:
я|/->'ф'(а) = е-'<м'ф. G.180)
Эти преобразования мы назовем фазовыми преобразованиями
для квантового числа А. Таким образом, имеем фазовые пре-
преобразования для барионного числа, для лептонных чисел, для
гиперзаряда и т. д.
Теорема 7.7а о существовании сохраняющейся величины,
связанной с определенной инвариантностью лагранжиана, на
первый взгляд отличается от соответствующей теоремы из
§ 3.2 о существовании сохраняющейся величины в нереляти-
нерелятивистской квантовой механике, использующей в качестве основ-
основной динамической величины системы гамильтониан. Вместе с
тем легко показать, что на самом деле в обеих теоремах речь
идет об одном и том же соотношении между инвариантностью
и сохраняющейся величиной. Действительно, всегда можно по-
построить унитарный оператор U(а), удовлетворяющий условию
l /x), а), G.181)
и рассмотреть связанную с ним величину
т. е. эрмитов генератор семейства преобразований 0->-8Л Если
мы рассмотрим преобразования, зависящие от нескольких пара-
параметров и образующих некоторую группу Ли G, то увидим, что
различные связанные с ними сохраняющиеся величины удовле-
удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Ли группы G.
Преобразования G.173) не затрагивают координат точек про-
пространства-времени, поэтому они не могут описывать «внешних»
симметрии, подобных инвариаитностям относительно вращений
и трансляций. Разумеется, плотность лагранжиана 9?(Q, дф) не

432 Гл. 7. Квантовые поля
инвариантна при преобразованиях 6->6(х + а). Но по анало-
аналогии с механическими системами, обладающими конечным чис-
числом степеней свободы, можно ожидать, что теорема Нётер оста-
останется справедливой также и для таких преобразований, так как
полный лагранжиан L—\3?dAx при этом инвариантен, если SB
не зависит явно от х. Докажем соответствующую теорему для
частного случая трансляций; по поводу доказательства тео-
теоремы для вращений и преобразований Лоренца см. задачу 7.11.
Теорема 7.76 (теорема Нётер для трансляций). Пусть
SBFЬ ..., 8„, дц&и ..., д$п)— плотность лагранжиана, кото-
которая не зависит явно от х. Тогда из уравнений поля G.164) сле-
следует, что
C^ = 0, G.183)
где
П
д^&^- GЛ84)
1=1
Доказательство. Поскольку SB не зависит явно от х, то
dx <39г- d (dfjQA
d3S \ , „ , d3S
причем последнее равенство мы получили с использованием
уравнений поля. Следовательно, д^Т^ = 0. В
При фиксированном v четыре величины T^v (ц = 0, 1, 2, 3)
можно рассматривать как компоненты 4-вектора сохраняюще-
сохраняющегося тока. Тогда связанный с ними заряд
'0Vr G.185)
является сохраняющейся величиной. Так как его существова-
существование обусловлено инвариантностью относительно трансляций в
пространстве и во времени, то величины Pv следует отождест-
отождествить с компонентами полного 4-вектора энергии-импульса.
В частности, формулы G.184), G.185) позволяют построить
гамильтониан Н = Р° для рассматриваемого лагранжиана.
Дискретные операции пространственной инверсии, обраще-
обращения времени и зарядового сопряжения связаны между собой в
квантовой теории поля так называемой СРТ-теоремой, которая
утверждает, что всякая лоренц-инвариантная лагранжева тео-
теория, поля которой удовлетворяют локальным коммутационным

§ 7.3. Динамика полей 433
пли антнкоммутацнопиым соотношениям, должна быть инва-
инвариантной относительно комбинированной операции СРТ (дока-
(доказательство см. в книге [56]).
Квантовая электродинамика. Каждый из трех лагранжианов,
приведенных на стр. 427, содержит один тип поля и приводит
к уравнениям поля, описывающим соответствующую свобод-
свободную частицу. Посмотрим теперь, как можно изменить указан-
указанные лагранжианы, чтобы получить уравнения поля, описываю-
описывающие частицы, которые действуют друг на друга с определен-
определенными силами, т. е. рассмотрим взаимодействие полей.
Парадигмой теории взаимодействующих полей является
квантовая электродинамика, т. е. теория электронов и позитро-
позитронов, взаимодействующих с электромагнитным полем. Электро-
Электроны и позитроны образуют 4-вектор плотности заряда и тока />*,
который следует ввести в уравнения Максвелла. Последние при
этом запишутся в следующем полном виде:
d^lv = f. G.186)
В § 7.2 показано, что 4-вектор плотности тока электронов и по-
позитронов дается формулой jv- = е-фу^-ф, так что уравнения элек-
электромагнитного поля G.186) окончательно принимают следую-
следующий вид:
Ч- GЛ87)
Правую часть этих уравнений можно рассматривать как вели-
величину, описывающую силы, действующие на фотоны.
С другой стороны, разумеется, электроны и позитроны тоже
испытывают силы, действующие со стороны электромагнитного
поля. Чтобы понять, как их ввести в уравнение для дираковского
поля "Ф, рассмотрим сначала классическое уравнение движения
одной заряженной частицы, находящейся в электрическом поле
Е и в магнитном поле В, т. е. уравнение
m-^- = eE + e-g-XB, G.188)
Если в этом уравнении поля выразить Е и В через потенциалы
ф и А с помощью формул G.5), G.6), то оно станет эквивалент-
эквивалентным уравнению Гамильтона C.5) с гамильтонианом следую-
следующего вида:
Я (г, р) = Bm)" [p -- eh (г, t)f + еф (г, t) G.189)
(см. задачу 7.12). Совершая в этом гамильтониане замену #->
-> id/dt и р ->- —гТ, приходим к нерелятивистскому уравнению
Шредингера

434 Гл. 7. Квантовые поля
которое можно получить также и из уравнения Шредингера для
свободной частицы, если в последнем сделать замену
i-§F~>i'W~e^ -':v^-^-eA. G.191)
Это наводит на мысль, что релятивистское уравнение для про-
простой частицы, помещенной в электромагнитное поле, должно
получаться из уравнения Клейна — Гордона с помощью указан-
указанной замены, которую удобно представить теперь в 4-векторной
форме
id^id^-eA». G.192)
(Заметим, что Л'1 = (ф, А), поэтому Лм,= (ф, —А.) Релятивист-
Релятивистское уравнение для частицы со спином 1/2, помещенной в элек-
электромагнитное поле, тоже должно получаться с помощью такой
подстановки в уравнение Дирака:
у»{Ш^~ eAv)^ = m^. G.193)
В первично квантованной теории одного электрона уравне-
уравнение G.193) следует считать уравнением для функции ty(x), ко-
которую следует интерпретировать как волновую функцию элек-
электрона, находящегося в заданном электромагнитном поле Л11(х),
Во вторично квантованной теории, как в этом мы убедились на
примере уравнения Шредингера G.63), функция \\>(х) стано-
становится операторной фукцией, продолжающей удовлетворять тому
же уравнению. Если мы хотим построить полное кваптовомеха-
ническое описание, электромагнитное поле Лд(#) в G.193) то-
тоже надо заменить соответствующей операторной функцией.
Таким образом, уравнения G.187) и G.193) следует рас-
рассматривать как систему двух зависимых уравнений, составлен-
составленную для квантовых полей А^(х) и ty(x). Эти уравнения можно
получить как уравнения Эйлера — Лагранжа из следующего ла-
лагранжиана:
\ 4 ^ ^^, G.194)
который равен сумме лагранжианов G.167) и G.169) для сво-
свободных фотонов и свободных электронов, причем в электрон-
электронном лагранжиане произведена замена производной id^ на ком-
комбинацию idfx — еЛи, которую мы использовали выше при полу-
получении уравнения Дирака для частицы со спином 1/2 в элек-
электромагнитном поле.
Лагранжиан G.194), согласно теореме Нётер 7.76, приво-
приводит к следующему тензору плотности энергии-импульса:
д(дА) " д(д$)

§ 7.3. Динамика полей 435
При вычислении гамильтониана мы можем заменить первый
член выражением —FWFV(I — !V'AV, где 'f = ефу^р, так как
разность между компонентами @, 0) есть полная дивергенция,
которая при интегрировании обращается в нуль (мы прини-
принимаем, что поля обращаются в нуль на пространственной беско-
бесконечности). Тогда получаем гамильтониан
Я = J 7-°°d3r =
= \ {1 (Е2 + В2) + /ф (у% + У • VH - >пЩ ~ е \ ^Adh. G.196)
H
Первый интеграл в этом гамильтониане обусловлен суммой ла-
лагранжианов G.167) и G.169), описывающих свободное движе-
движение электронов и фотонов соответственно; второй интеграл опи-
описывает взаимодействие между электронами и фотонами. Если
поля в гамильтониане G.196) выразить через соответствую-
соответствующие операторы уничтожения и рождения, получаемые после
фурье-преобразования полей, то легко убедиться, что первый
интеграл в гамильтониане // в точности равен свободному га-
гамильтониану D.183) упрощенной теории, приведенной в § 4.6.
Второй интеграл содержит операторы уничтожения и рожде-
рождения электронов, позитронов и фотонов в комбинациях вида
aeaeArayf, как в формуле D.184), и описывает процессы взаимо-
взаимодействия, изображаемые фейнмановскими диаграммами, о ко-
которых говорится в § 4.6.
Перенормировка. Описание результатов конкретных расче-
расчетов, основанных на гамильтониане G.196) (или эквивалентном
ему лагранжиане G.194) выходит за рамки данной книги. Мы
лишь упомянем об одной уди-
удивительной и важной процеду-
ре, используемой при этих r-
расчетах. А
Одна из основных фейнма-
новских диаграмм для гамиль- Рис. 7.1. Фейнмановская диаграмма
тониана G.196) показана на Для собственной энергии электрона,
рис. 7.1. Она описывает про-
процесс, в котором начальное и конечное состояния являются состоя-
состояниями одного электрона. Следует ожидать, что вклад такого про-
процесса правильно описывается теорией одного электрона (т. е.
уравнением Дирака). Но амплитуда перехода, соответствующего
этой диаграмме, неэквивалентна амплитуде, даваемой уравнени-
уравнением Дирака, т. е. слагаемым лагранжиана G.194), соответствую-
соответствующим свободному электрону. Она равна амплитуде для уравне-
уравнения Дирака с измененной массой частицы т -f- 8т. Другими

436 Гл. 7. Квантовые поля
словами, параметр ш, входящий в свободный лагранжиан, не
равен измеряемой в эксперименте массе электрона.
Получаемые для лагранжиана G.194) поправки теории воз-
возмущений для добавки к массе 8т содержат расходящиеся ин-
интегралы. Чтобы провести вычисления эффектов взаимодействия
электронов и фотонов, приходится предположить, что началь-
начальная масса т электрона в членах лагранжиана G.194), описы-
описывающих свободные электроны, бесконечно велика; только тогда
наблюдаемая масса та — т-\-Ьт имеет конечное значение. Та-
Такие бесконечности можно не учитывать, так как в окончатель-
окончательные результаты входит только масса т0.
При расчетах вероятностей различных электромагнитных
процессов в теории возмущений появляются и другие расходя-
расходящиеся интегралы, но от них можно тоже избавиться, если пере-
переопределить исходный заряд электрона <?, заменив его на заряд
<?о = Ке и предположив, что константа К бесконечна. При этом
первоначальный параметр е следует считать бесконечно малым.
Как и в случае с массой, в окончательный результат входит
только величина е<\. Такая процедура перехода от величин т и
е к величинам т0, <?0 называется перенормировкой. Помимо
массы и заряда в расчетах по теории возмущений подобную
процедуру следует применять и в отношении нормировочных
констант волновых функций частиц. Если произвести процедуру
перенормировки, результаты всех вычислений по теории возму-
возмущений оказываются конечными и согласующимися с экспери-
экспериментом (с точностью до 11 значащих цифр), что делает кван-
квантовую электродинамику самой точной из всех существующих
физических теорий.
Тот факт, что бесконечности, появляющиеся при решении с
применением теории возмущений, можно устранить путем вве-
введения конечного числа перенормировочных констант, характе-
характерен для квантовой электродинамики. Говорят, что она является
перенормируемой теорией. Большинство других теоретических
лагранжианов приводит к теориям, лишенным этого свойства,
которые содержат бесконечное число существенно различных
типов расходящихся интегралов.
§ 7.4. Калибровочные теории
Лагранжиан квантовой электродинамики G.194), как и лагран-
лагранжиан свободных электронов G.167), инвариантен относительно
фазовых преобразований 4р-+e-'erh!p. Сохраняющийся ток, да-
даваемый теоремой Нётер, при этом в точности такой же, как для
свободных электронов, а именно он дается выражением jv- —
— -ф7^Ф Для 4-вектора электрического тока.
Лагранжиан G.194) инвариантен также относительно более

§ 7.4. Калибровочные теории 437
широкого класса так называемых локальных фазовых преоб-
преобразований
\\> (х) -> г|/ (х) = е~ <е« W ф (Л:)) G.197)
где фаза а является функцией точки пространства-времени, при
условии, что одновременно производится следующее преобразо-
преобразование электромагнитного потенциала:
Это известное преобразование классической электромагнитной
теории, означающее переход к другому возможному выбору по-
потенциалов; при этом потенциалы А и А' дают один и тот же
тензор электромагнитного поля:
^v=дЛ - дЛ = дЛ - дЛ- G-1")
Выбор определенного вида электромагнитных потенциалов на-
называется их калибровкой, а преобразование G.198)—калибро-
G.198)—калибровочным преобразованием.
Лагранжиан свободных электронов G.167) не инвариантен
относительно локальных фазовых преобразований. Он инва-
инвариантен только относительно глобальных фазовых преобразо-
преобразований, при которых а является константой. Переход от гло-
глобальной к локальной инвариантности производится путем за-
замены д^ следующей величиной:
Dv, = dll + ieAll] G.200)
при этом электромагнитный лагранжиан принимает вид
^ ^%^; G.201)
при этом величины Dy$, в отличие от d^ty, преобразуются при
локальных фазовых преобразованиях G.197), G.198) в точно-
точности так же, как дираковское поле:
= e-*'a W D^. G.202)
Величины Dpty называются ковариантными производными по-
поля -ф.
Итак, существование фотонного поля А^, преобразующегося
согласно G.198), можно рассматривать как следствие инва-
инвариантности системы заряженных частиц относительно локаль-
локальных фазовых преобразований. Фотонное поле называется ка-
калибровочным полем для рассматриваемых преобразований.
Теория Янга — Миллса основывается на сходных соображе-
соображениях, примененных к системе произвольных свободных частиц,
обладающих симметрией другого типа, обобщающей только что
описанную симметрию относительно локальных фазовых преоб-

438 Гл. 7. Квантовые поля
разований. Рассмотрим, например, как это сделали Янг и
Миллс в своей первоначальной работе, теорию с изотопической
симметрией. Предположим, что имеем пару частиц со спином
1/2, образующих дублет с изоспином 1/2, например протон и
нейтрон; их можно описать с помощью двух дираковских спи-
норных полей -фр, грп, которые можно объединить в одно изо-
спинорное поле W:
Лагранжиан свободных частиц для такой системы можно взять
в виде
g^iWy^W, G.204)
т. е. просто в виде суммы двух свободных лагранжианов для
рассматриваемых двух частиц, обладающих одинаковой мас-
массой. Приведенный лагранжиан инвариантен относительно (изо-
спиновых) SUB) -преобразований:
Ч' -> ЧГ = ?/? = е^хЧ, G.205)
где g — константа связи, аналогичная электрическому заряду в
G.197), а матрица ?/ = е'«ат типа 2X2 является произволь-
произвольным элементом группы SUB), который может быть записан с
помощью трех матриц Паули Ть тг, т3 и трех вещественных па-
параметров а=(аь а2, аз)- Каждый из этих параметров может
играть роль параметра а в теореме Нётер. Полагая а= (а, 0, 0)
и используя теорему Нётер, построим сохраняющийся ток
/i1*. Аналогично можно построить сохраняющиеся токи /2^ и j3v-.
Эти три тока образуют изовектор
. G.206)
Рассмотрим теперь локальные SUB) -преобразования, при-
приняв, что параметры аи а потому и элементы U группы SUB)
зависят от координат х точки пространства-времени:
ЧГ-^Чг' = и(х)ЧГ = е{е*<Чг. G.207)
Лагранжиан G.204) не инвариантен относительно этих локаль-
локальных преобразований; но он будет инвариантным относительно
них, если производные др, (действующие на изоспинор х?) заме-
заменить в нем на ковариантные производные
dVL + igAil, G.208)
где Ац — набор нз трех 4-векторных полей (подобных фотон-
фотонному полю Ар). Этот набор образует изоспиновый триплет, из-
изменения которого при локальных SU B) -преобразованиях
G.207) проще всего описать с помощью преобразований мат-

§ 7.4. Калибровочные теории 439
риц Лц = Ац-т:
Л -> Al = U (x) A^ [U (х)]-1 + ig~[ (d^U) U'1. G.209)
Тогда ковариантные производные преобразуются следующим
образом:
/^->(/уЮ'^М/уГ. G.210)
Таким образом, гарантируется инвариантность слагаемого
Ч^Д^ + mWW = &$ G.211)
в лагранжиане. Преобразования G.207) и G.209) называют
SUB) -калибровочными преобразованиями, поле Ац — SUB)-
калибровочным полем, а частицы, описываемые этим полем,—
S U B) -калибровочными бозонами.
Лагранжиан рассматриваемых теорий должен содержать
слагаемое, описывающее также и свободное поле A(i, аналогич-
аналогичное слагаемому —l/iF^vF^ в электромагнитном лагранжиане.
В электромагнитной теории такое слагаемое калибровочпо-ин-
вариантно, так как тензор электромагнитного поля F^ инва-
инвариантен относительно калибровочных преобразований, как это
следует из выражения G.199). В рассматриваемом случае
S?/B)-калибровочной теории при таком определении поля F^
мы не получим калибровочно-инвариантного слагаемого из-за
появления в формуле преобразования полей Ар, однородных
членов (первое слагаемое в G.209)), связанных с вращениями
изовектора А^ в изоспиновом пространстве. Соответствующий
SUB)-аналог поля F^, можно построить, использовав то об-
обстоятельство, что в электромагнитной теории тензор F^v яв-
является коммутатором ковариантных производных:
[D^D^^ieF^. G.212)
Обобщая этот результат на SU B) -теорию, Янг и Миллс полу-
получили формулу
[DD]4 iFJ?, G.213)
где Fv.v обозначает следующую эрмитову матрицу типа 2X2:
Filv = dllAv-dvAVi + ig[All, Av]. G.214)
Чтобы установить, как величины F^v преобразуются при SUB)-
преобразованиях, заметим, что если Ф — любой изоспинор, пре-
преобразующийся как W (т. е. согласно G.207)), то величина О^Ф
будет преобразовываться так же (см. G. 210)). В частности, мож-
можно считать Ф равным DVXV и получить отсюда, что величина
D^DyW преобразуется таким же образом. Так же преобразуется
и величина DvD^F: следовательно,

440 Гл. 7. Квантовые поля
откуда получаем
liv = U(x)l'\lv[U(x)r[. G.215)
Отсюда следует, что слагаемое
-\lr{F^F^) = S?A, G.216)
которое надо включить в лагранжиан рассматриваемой теории,
инвариантно при SUB) -калибровочных преобразованиях. Пол-
Полный калибровочно-инвариантный лагранжиан равен сумме ла-
лагранжианов G.211) и G.216).
Поскольку поле F^ представляется эрмитовой матрицей
тина 2X2, можно положить, что F^v = F,iv• т, где изовектор
Рис. 7.2. Вершины фейнмановских диаграмм в калибровочной теории Янга —
Миллса.
F^y поворачивается в изоспиновом пространстве при преобразо-
преобразованиях G.215). Слагаемое G.216) лагранжиана с помощью изо-
вектора F^. можно записать в более простом виде —'AF^v'F^',
т. е. в виде суммы трех слагаемых, подобных имеющимся
в свободном электромагнитном лагранжине, по одному слагае-
слагаемому на каждую компоненту SUB) -калибровочного поля А^.
Вместе с тем из-за наличия дополнительного слагаемого с ком-
коммутатором в выражении G.214) для поля F^ слагаемое 9?а ла-
лагранжиана содержит произведения трех или четырех полей А
и их производных. Это приводит к появлению взаимодействий
мел-еду частицами, которые изображаются фейнманозскими диа-
диаграммами, приведенными на рис. 7.2.
Таким образом, в противоположность электромагнитной тео-
теории SUB) -калибровочные бозоны являются квантами поля,
которые действуют такими же силами и на самих себя, так как
эти бозоны имеют ненулевые заряды (а именно изоспины), с ко-
которыми связаны эти силы. Эти заряды появляются из-за наличия
ненулевого коммутатора в формуле G.214), определяющей по-
поле F^v, т. е. потому, что калибровочная группа Si/B) является
неабелевой.

§ 7.4. Калибровочные теории
Подобно фотону калибровочные бозоны, описываемые
SU B) -калибровочным нолем /1ц, с лагранжианом G.216), без-
безмассовые. Если бы массы этих бозонов были ненулевыми, то
появилось бы еще одно слагаемое in2A^A^ в лагранжиане (ана-
(аналогичное члену 1п2ф2 в лагранжиане G.166) для уравнения
Клейна — Гордона). Но так как калибровочные преобразова-
преобразования G.209) неоднородны, такой член не инвариантен относи-
относительно калибровочных преобразований.Из требования калибро-
калибровочной инвариантности следует, что калибровочные бозоны дол-
должны быть безмассовыми.
Калибровочную квантовую теорию поля типа Янга — Милл-
са можно построить для произвольной группы Ли. Общий спо-
способ ее построения следующий. Пусть G— группа Ли, образо-
образованная из матриц типа иХяи пусть матрицы Т\, ..., Tt типа
тХш образуют базис алгебры Ли группы G. Если группа ком-
компактна, то эти матрицы можно взять такими, чтобы они удовле-
удовлетворяли соотношениям
Ъ(Т{Т,)Щ, G.217)
с некоторой константой >». Пусть р — «-мерное представление
группы G (так что для каждого Q e G имеем матрицу p(Q)
типа яХя) с генераторами Xi = p(Ti) (i = 1, ..., /). Калиб-
Калибровочным полем является набор 4-векторных полей Aip,(x) (i =
= 1, ..., /), из которых можно образовать матрицы
А» (х) = Z AlVL (х) Tlf
G.218)
элементами которых являются поля. Тензором интенсивности
поля называют матричное поле
/> (х) = д,А - аИд + Щ [\, Av]. G.219)
Остальными полями в рассматриваемой общей теории могут
быть либо поля Дирака, либо поля Клейна — Гордона. Пусть
Ч/"(х) обозначает «-компонентный вектор-столбец, состоящий из
полей Дирака, а Ф(х) —такой же столбец, состоящий из полей
Клейна — Гордона. Для полей обоих типов ковариантная произ-
производная определяется выражением
DVL = dVi + ig[p(A)]il. G.220)
Калибровочное преобразование задается функцией Q(x),
зависящей от точки пространства-времени, значениями которой
являются элементы группы G:
, G.221)
G.222)

442 Гл. 7. Квантовые поля
Правая часть формулы G.222) является элементом алгебры Ли
группы G; формула показывает, как преобразуются поля Ацх,.
Результат соответствующего преобразования матрицы [(
типа /гХ п имеет вид
G.223)
Итак, приходим к следующей теореме.
Теорема 7.8. При калибровочных преобразованиях G.221),
G.222) интенсивность поля F^v и ковариантные производные
?>цФ и Z),/F преобразуются следующим образом:
FVL-^Q(x)FiiV[Q(x)rl, G.224)
D^V-^piQix^D^V G.225)
(и аналогично для О^Ф). Произвольная функция от величин
F^, Ф, Чг, ОдФ и D^F, инвариантная относительно преобра-
преобразований, связанных с элементами G, также инвариантна отно-
относительно калибровочных преобразований; в частности, лагран-
лагранжиан
S = - >/4 Я tr (F^F•") + W^DJP + V2 (/уР^Ф - т2Ф+Ф)
G.226)
калибровочно инвариантен. Если лагранжиан калибровочно ин-
инвариантен, то калибровочные бозоны безмассовые. ¦
Фотон является единственным известным безмассовым бозо-
бозоном (впрочем, по-видимому, существует также гравитон). Тем
не менее многие теоретики считают, что сильные и электросла-
электрослабые взаимодействия тоже описываются калибровочными тео-
теориями. Основная причина состоит в том, что, как было доказано,
калибровочные теории являются перенормируемыми (это един-
единственный пример полевых теорий, которые обладают указан-
указанным свойством, т. е. единственный пример непротиворечивых
теорий). Способы, которыми объясняется отсутствие безмассо-
безмассовых бозонов для калибровочных теорий сильных и электросла-
электрослабых взаимодействий, различны.
Квантовая хромодинамика — квантовополевая теория силь-
сильных взаимодействий получается, если в качестве группы G
взять группу SU C) (цветную группу). При этом должны быть
восемь калибровочных бозонов, соответствующих восьми гене-
генераторам группы SU C); это глюоны, описанные в § 6.6. В каче-
качестве базиса Ti можно взять матрицы Гелл-Манна Я,-, которые
удовлетворяют соотношениям G.217) с а = 3. Тогда калибро-
калибровочное поле Лц состоит из эрмитовых матриц типа 3x3. Ос-
Остальные поля являются цветными трипилетами W;, составлен-

§ 7.5. Скрытая симметрия 443
ными из полей кварков, по одному триплету на каждый аромат
/ = u, d, s, с, b, t. Лагранжиан рассматриваемой теории имеет
вид
S = ~ 12 tr (F^F^ + Z WfV»<[VVf + nf%-Vf). G.227)
f
Этот лагранжиан обладает той особенностью, что все частицы
в нем (кварки и глюоны) не могут наблюдаться как свободные
частицы. (Как сказано в § 6.5, кварки, как и атомные ядра, на-
наблюдаются только в связанном виде.) Считают, что это являет-
является следствием цветной 5f/C) -калибровочной симметрии: силы,
представляемые этой симметрией, возрастают с увеличением рас-
расстояния и препятствуют выходу кварков и глюонов из соеди-
соединений с другими кварками и глюонами. Эту идею подтвер-
подтверждают специально проведенные численные расчеты, в которых
пространственно-временной континуум заменялся дискретной
решеткой точек.
Объяснение отсутствия безмассовых бозонов в калибровоч-
калибровочной теории электрослабых сил требует дальнейшего развития
общей калибровочной теории, которым мы сейчас займемся.
§ 7.5. Скрытая симметрия
Поле с самодействием. В предыдущем параграфе мы уже упо-
упомянули фейнмановские диаграммы, в вершинах которых встре-
встречаются по три или четыре линии, представляющие бозонные по-
поля одного типа. Такие вершины обусловлены слагаемыми ла-
лагранжиана, которые содержат произведения трех или четырех
полей и их производных. Рассмотрим теперь подробнее такие
необычные вершины, ограничиваясь простым случаем одного
скалярного поля ф, которое, будучи свободным, удовлетворяет
уравнению Клейна — Гордона. Предположим, что самодей-
самодействие возникает от слагаемых в лагранжиане, содержащих
только само поле ф, а не его производные. Добавляя такие члены
самодействия в лагранжиан G.166) для уравнения Клейна —
Гордона, получаем следующий полный лагранжиан:
2?=^(д»Ф)Ш)-У(ф), G.228)
где V — некоторая скалярная функция скалярной переменной.
Рассмотрим квантовополевую теорию, которую можно постро-
построить, исходя из лагранжиана G.228) с функцией V общего вида.
Единственное предположение, которое мы сделаем, состоит в
том, что функция У два лады дифференцируема.
Уравнение поля, полученное из такого лагранжиана, имеет
вид
П2ф= — У'(ф). G.229)

444 Гл. 7. Квантовые поля
Считая функцию V дважды дифференцируемой, можно пред-
представить это уравнение в виде
G.230)
где а и Ъ — постоянные (а — V'@), b = V"(O)), a R — функция
от ф, удовлетворяющая условиям R@) = R @) = 0. Совершим
фурье-преобразование поля ф и получим следующее уравнение
движения для фурье-компонент ф (к, t):
-^гф(к, 1)^~-{к2 + т2)ф{к, t) + R$), G.231)
где R(i>) обозначает члены более высокие, чем линейный член.
Как видим, получается уравнение гармонического осциллятора
(позволяющее интерпретировать поле как набор частиц) с до-
дополнительными членами В(ф) описывающими взаимодействие.
Но такая простая картина не верна, если постоянные а и Ъ в
G.230) не удовлетворяют условиям
а = 0, й<0, G.232)
обеспечивающим наличие минимума функции У(ф) при <? — 0.
В общем случае физической переменной будет не ф, а
Ф — фо, где фо — значение ф, при котором функция У{ф) мини-
минимальна. Это легко понять, если рассмотреть соответствующий
гамильтониан, который, согласно G.184), G.185), имеет вид
Я = \ {ф2 + (ЧфJ + V (</>)} dh. G.233)
В классической теории с-числового поля Ф(х), удовлетворяю-
удовлетворяющего уравнению G.229), формула G.233) дает энергию поля.
Она минимальна, когда функция ф(х) принимает значение фо,
не зависящее от х. В рассматриваемой квантовой теории со-
состояние с минимальной энергией является вакуумным, поэтому
поле ф(х) — ф0 описывает отклонения от вакуумного состояния.
Именно это поле в квантовой теории должно быть интегралом
от операторов уничтожения и рождения вида G.80). Таким об-
образом, вектор состояния [ф(х) — <?о]|0> ортогонален |0>, по-
поэтому
ф\ф(х)\0) = ф0. G.234)
Это точный квантовый аналог классического утверждения, что
для вакуума поле ф(х) принимает значение </>0.
Когда минимальное значение функции V(<j>) достигается при
двух различных значениях ф\ и ф2, вакуумное состояние не оп-
определено однозначно. В соответствующей классической теории
обе конфигурации ноля ф{х) = ф{ и ф(х) = ф2 можно взять в
качестве вакуумных, так как для них поле имеет меньшую

§ 7.5. Скрытая симметрия
445
энергию, чем в любом другом близком состоянии. В квантовой
теории оба отклонения ф(х)— ф\ и Ф(х) — ф2 можно представить
в виде интегралов от операторов уничтожения и рождения. Оба
набора операторов уничтожения при этом, скажем операторы
ai(k) и #2(к), уничтожают различные вакуумные состояния 101>
и |02>. Легко показать, что эти состояния ортогональны друг
к другу, как и состояния с конечным числом частиц {а^)п | Oi) и
(а2+)" 102), построенные на этих вакуумных состояниях. Та-
Таким образом, два минимума потенциала У(ф) приводят к двум
ортогональным мирам, которые не связаны друг с другом, если
пользоваться теорией возмущений.
Глобальная симметрия. Голдстоуновские бозоны. Рассмо-
Рассмотренная только что ситуация с несколькими минимумами воз-
возникает, когда имеется какая-нибудь операция симметрии, кото-
которая не изменяет потенциала У(ф), но смещает положение его
а ¦ 6
Рис. 7.3. Потенциал: а — для одного поля, б — для двух полей.
минимума фо. В этом случае операция симметрии переводит
значение фо поля в другое значение поля ф, которое тоже обес-
обеспечивает минимум потенциала V. Например, рассмотрим функ-
функцию
= K (ф2 - а2J
G.235)
(рис. 7.3, а). Она инвариантна относительно отражений ф^> ф,
и ее минимумы достигаются при двух значениях ф = ±й, кото-
которые не инвариантны при отражении, а переводятся друг в друга
этой операцией. Чтобы построить соответствующую квантовую
теорию поля, следует работать с одним из полей ф ± а, скажем
с полем &(х) = ф(х)—а. Соответствующим пространством со-
состояний будет пространство &*+ многочастичных состояний, по-
построенное для соответствующего вакуумного состояния |0+>,
а именно того, для которого
0+> = 0. G.236)

446 Гл. 7. Квантовые поля
Лагранжиан при этом принимает вид
3S = ~ (ад6) (&Ъ) - ЯF2 + 2абJ; G.237)
он инвариантен относительно рассматриваемой операции сим-
симметрии, теперь сводящейся к замене 0 —* 0 — 2а. Соответ-
Соответствующая операция симметрии переводит вакуумное состояние
|0+> во второе вакуумное состояние |0_>, которое удовлетво-
удовлетворяет условиям
@_ | ф (х) | 0_) = - а, <0_ | в (jc) | 0_> = — 2а. G.238)
В пространстве состояний 9*+ с вакуумным состоянием |0+> не
существует унитарного оператора, представляющего рассмат-
рассматриваемую операцию симметрии. Такая операция, которая остав-
оставляет лагранжиан инвариантным, но не оставляет инвариант-
инвариантным вакуумное состояние, называется скрытой симметрией или
спонтанно нарушаемой симметрией. Операцию, которая остав-
оставляет инвариантными и лагранжиан, и вакуумное состояние, на-
называют открытой (или ненарушаемой) симметрией.
Если имеется не одно поле ф, то может возникнуть непре-
непрерывное множество минимумов потенциала У{ф) и соответствен-
соответственно непрерывное множество вакуумных состояний (ортогональ-
(ортогональных друг другу). Например, предположим, что имеются два
поля, образующих двумерный вектор-столбец Ф = (^1—</>2)т, и
потенциал имеет вид
V (ф) = X (фтф _ а2J = X (фг - </>22 - а2J. G.239)
Этот потенциал показан на рис. 7.3,6; его минимумы образуют
окружность ф\2 + </>22 = а2 на плоскости Ф. Рассматриваемый
потенциал инвариантен относительно следующих вращений:
(Ф\> Фг) -> (Ф\ cos а -\- ф2 sin а, — ф1 sin а -f ф2 cos а), G.240)
но ни одна из отдельных точек Фо, обеспечивающих какой-либо
минимум функции ^(Ф), не остается на месте при указанных
преобразованиях. Интерпретация поля в виде частиц, которую
дает квантовая теория поля, должна основываться на какой-
либо одной точке Фо окружности и должна оперировать с полем
в (х) = Ф (х) - Фо, G.241)
которое позволяет преобразовать лагранжиан к виду
& = Y (дцв)т (д*в) - л (втв + 2втФ0)'2. G.242)
Пусть 6i и 62 —компоненты поля в в направлении Фо и в пер-
перпендикулярном направлении, т. е. 9i = ит 92 = vT, где и и v —
векторы, удовлетворяющие условиям
uru = vrv = 1. uTv = 0, и = Фо/а. G.243)

§ 7.5. Скрытая симметрия 447
Тогда лагранжиан можно выразить через поля 9i и 8г и пред-
представить в виде
% = ~ ад) (д'%) - 4Ла-'е/ +1 (айе2) {д%) + / (е„ е2), G.244)
где функция f(9i,02) содержит члены третьего и четвертого по-
порядков и описывает взаимодействие между частицами, перено-
переносимое полями 6i и 9г- Остальные слагаемые в приведенном лаг-
лагранжиане описывают процессы, в которых поле 6i рождает
частицу с массой 2ал/х, а поле Q2 рождает безмассовую ча-
частицу.
Заметим, что 9г — компонента поля в, тангенциальная к ок-
окружности минимумов потенциала V, т. е. в направлении, в ко-
котором операция вращательной симметрии перемещает точку Ф.
Появление безмассовой частицы как проявление непрерывной
скрытой симметрии является общим положением квантовой тео-
теории поля, как об этом свидетельствует следующая теорема.
Теорема 7.9 (теорема Голдстоуна). Рассмотрим лагранжиан
2 =4 <бйф)Т (^ф) - v (ф)> (
где Ф — п-компонентный вектор-столбец, составленный из ве-
вещественных полей, причем в пространстве векторов-столбцов
действуют преобразования Ф^р(B)Ф некоторого ортогональ-
ортогонального представления р группы Ли G, и K:R"->~R — функция, ин-
инвариантная при этих преобразованиях. Пусть функция V прини-
принимает свое минимальное значение на таком й-мерном многооб-
многообразии М с; R" любые две точки которого могут быть связаны
преобразованием группы G, и Фо е М. Тогда поле в(л') =
= Ф(х)—Фо рождает п взаимодействующих частиц, из кото-
которых k частиц безмассовые.
Соответствующая квантовая теория поля обладает группой
симметрии Н, которая является подгруппой группы G с размер-
размерностью dim G — in.
Доказательство. Поскольку функция V достигает минимума
при ф = ф0, все ее частные производные при Ф = Ф0 обра-
обращаются в нуль. Таким образом, разлагая функцию V в ряд
Тейлора около точки Ф = Фо, получаем
V (Ф) = V (Фо) + ^6Т1/" (Фо) в + W (в), G.246)
где ^(Фо)—матрица вторых производных функции V при
Ф = ф0, a W(@) — члены третьего и более высоких порядков.
Так как матрица У"(Фо) симметрична, она имеет п взаимно

448 Гл. 7. Квантовые поля
ортогональных собственных векторов щ. Таким образом,
п
? t w ^е) ^ - w
где 6,-= втиг, а т,-2 — собственные значения матрицы У"(Ф0),
которые неотрицательны, так как функция V имеет при Ф = Фо
минимум.
Поскольку множество минимумов М имеет размерность k,
через точку Ф = Фо можно провести k кривых <t>(s) с незави-
независимыми касательными векторами в точке Ф = Фо, вдоль кото-
которых функция У(Ф(х)) постоянна. При этом параметр s можно
выбрать так, что (b"(s) = O при Ф = Фо. Дифференцируя
дважды функцию У(Ф(х)) по s получаем соотношение
[Ф' (s)]T V" (Фо) Ф' (я) = 0. G.248)
Так как *матрица У'(Фо) имеет нулевые собственные значения,
отсюда видим, что каждое Ф'(s) должно быть собственным век-
вектором матрицы У'(Фо), соответствующим собственному значе-
значению, равному нулю. Таким образом, k собственных значений
nii2 должны быть равны нулю, поэтому k из всех п частиц, по-
порождаемых полями 0j, безмассовые.
Пусть теперь Я обозначает подгруппу группы G, которая
оставляет Фо неизменным:
H^{Q<=G: рЮ)Фо = Фо}. G.249)
Тогда для каждого элемента Q е Н можно указать такой уни-
унитарный оператор U(Q), который действует в многочастичном
пространстве, построенном для вакуумного состояния |0>, для
которого <0| Ф(лг) |0> = Фо и который удовлетворяет условиям
?/(Q)|0) = |0) при всех Q^H, G.250)
l . G.251)
Так как операторы U(Q) оставляют вакуум неизменным, под-
подгруппа Я будет группой симметрии в рассматриваемой теории.
Чтобы убедиться, что dim Я = dim G — dimM, рассмотрим
некоторую окрестность N элемента Фо в многообразии М и для
каждого ФеЛ1 возьмем элемент Qo^G, для которого
р(фф)Фо = Ф. Тогда если элемент Q^G достаточно близок к
единице, его можно представить в виде Q = QoR, где Ф е N,
R е Я. Таким образом, локально группа G подобна произведе-
произведению Му^Н, так что dim M + dim Я. ¦
Теорема 7.9 сформулирована и доказана только для веще-
вещественных полей, но ее легко обобщить на комплексные поля,

§ 7.5. Скрытая симметрия 449
если вещественные и мнимые части комплексных полей рас-
рассмотреть по отдельности.
Такие k безмассовых частиц называют голдстоуновскими
бозонами.
Скрытая локальная симметрия: механизм Хиггса. Выше мы
познакомились с двумя интересными теоретическими идея-
идеями, которые ограничивают рамки любой теории фундамен-
фундаментальных сил, действующих между элементарными частицами:
первая касается калибровочных теорий, которые являются пе-
перенормируемыми квантовыми теориями поля, а вторая — скры-
скрытых симметрии, которые демонстрируют возможность включе-
включения в теорию симметрии, которые хотя и реалистичны, но не
являются точными в их экспериментально наблюдаемых прояв-
проявлениях. Но обе идеи страдают одним общим недостатком при
сопоставлении с экспериментом: они требуют существования
безмассовых бозонов, которые экспериментально не обнару-
обнаружены. Покажем теперь, что если эти две идеи соединить вместе,
то такие два типа безмассовых бозонов магически исчезают.
Теорема 7.10 (механизм Хиггса). Если теория, сформулиро-
сформулированная в теореме 7.9, инвариантна относительно локальных
преобразований ф(х)-+р(С}(х))Ф(х), то существует калиб-
калибровка, в которой поля голдстоуновских бозонов оказываются
равными пулям и равное им число калибровочных полей рож-
рождают частицы с ненулевой массой.
Доказательство. Сделаем лагранжиан G.245) калибровоч-
ио-инвариантным. Для этого введем в него / дополнительных
калибровочных полей Л,-ц(/ = 1, ..., /), где / = dim G, соответ-
соответствующую матрицу полей типа п X п [р{А)]\х (см. G.218)) и
заменим производные д^Ф ковариантными производными
G.220). Тогда получим лагранжиан
2 = - DАГ1 tr (VUV) + у (О»Ф)Т (^ф) - V (Ф). G.252)
Как и при доказательстве теоремы 7.9, пусть Фо — некоторая
точка, в которой V достигает минимума, и 0 = Ф--Фо. Тогда
/ур^в + ^НЛ^Фо, G.253)
так что выраженный через поля 0 лагранжиан принимает вид
2 = - DАГ1 tr {F^F*") + у (Dflf (Z/0) - V (Фо + в) +
+ ig (^ (в))г ([р (А)]„ Фо) - g2 ([р (A)f Ф0)т ([р (АI Фо), G.254)
где использовано то обстоятельство, что генераторы X-h а сле-
следовательно, и матрицы полей [р(Л)]|Х антисимметричны, так
как представление р ортогонально.

450 Гл. 7. Квантовые поля
В калибровочной теории всегда можно подобрать опреде-
определенные значения полей Ф{х) с помощью выбора калибровоч-
калибровочного преобразования, которое переводит Ф(х) в р((^)(х))Ф(х).
Если группа G компактна, то можно взять такое [QM], ко-
которое обеспечит максимум функции fx: G->-R, где
fx(Q) = l®(x)Vp(Q)%- G.255)
Пусть R(s)— семейство элементов группы G, зависящих от од-
одного вещественного параметра s, причем R@) равно единич-
единичному элементу группы G. Тогда кривая Q(s) = [Q(x)]~1 R{s)
проходит через максимум функции fx при s = 0, так что
¦37 /* (Q (s)) = 7 [(в (*»Т Р ( ^ МГ1 R is))] Фо = 0. G.256)
Но так как р является ортогональным представлением, имеем
[р (Q (*)) в (х)У -^ [р (R (s)) Фо] Uo = 0. G.257)
Так как, согласно условиям теоремы 2.9, кривая <D(s) =
= p(/?(s))CDo образована из точек, лежащих в множестве мини-
минимумов М функции ^(Ф), причем любую такую кривую можно
получить описанным способом; следовательно, 'Ф'(О) является
нулевым вектором матрицы У"(ф0) и преобразованное калиб-
калибровочным преобразованием поле в* (х) = p(Q(x) )&(x) удовлет-
удовлетворяет условию
F*)т щ = 0, G.258)
где щ — k собственных векторов матрицы У'(Фо), соответ-
соответствующих нулевым собственным значениям, существование ко-
которых доказывается теоремой 7.9. Комбинации 6/= втмг- взяты
в качестве полей голдстоуновских бозонов; таким образом, дей-
действительно существует калибровка, в которой эти поля обра-
обращаются в нуль.
Если поле в* (х) удовлетворяет условию G.258) при всех
значениях х, то оно ортогонально многообразию М в точке
Ф = ф0. Поскольку это многообразие инвариантно при преоб-
преобразованиях p(Q) и последние ортогональны, поле p(QN* тоже
ортогонально многообразию М, а следовательно, такими яв-
являются и поля Xi&*, где Xi — генераторы представления р, так
так любой генератор получается дифференцированием p(Q(s))
по семейству Q(s) элементов группы. Кроме того, вектор Х;Ф0
касается многообразия М, так как кривая p(Q(s))®0 располо-
расположена в М. Следовательно, в калибровке, в которой голдстоу-
новские поля исчезают, получаем
()ТФо = О. G.259)

§ 7.6. Квантовая ароматодинамика 451
Рассмотрим теперь последнее слагаемое в лагранжиане
G.254). Существует базис Х\, ..., Xi, последние / — k элемен-
элементов которого образуют базис алгебры Ли подгруппы Н. Для
этого базиса Х,Ф0 = 0, так как р(B)Фо = Фо, если Qeff. Но
Х,Фйф() при t = l, ..., k. Таким образом, последнее слагае-
слагаемое в лагранжиане G.254) можно представить в виде
-Е^-ЧИА где т,2 = ^№Фо)Т№Фо). G-260)
если считать, что генераторы Xi выбраны так, что Фо1Х/гл7Фо =
== 0 при 1ф\. Получаем ненулевые массы для й-калибровоч-
ных полей, соответствующих k голдстоуновским бозонам. Ш
В полной калибровочной квантовой теории поля можно до-
доказать, что временные компоненты 4-векторных полей А^
можно исключить, если воспользоваться остающейся свободой
в выборе калибровочных преобразований. После этого у каж-
каждого поля останется только по три компоненты, что является
правильным числом компонент для массивных частиц со спи-
спином 1. Имеющаяся свобода выбора калибровочных преобра-
преобразований позволяет исключить еще одну компоненту и оставить
только две компоненты, т. е. правильное их число (спираль-
ность равна +1) в случае безмассовых частиц. Настаивая на
использовании калибровки, удовлетворяющей условиям G.258),
мы отказываемся от такой возможности и сохраняем по три
компоненты поля. При калибровочном преобразовании, при ко-
котором работает механизм Хиггса, по выражению Коулмена,
«калибровочные бозоны съедают голдстоуновские бозоны и ста-
становятся тяжелыми».
§ 7.6. Квантовая ароматодинамика
Теперь мы можем изложить основы теории Салама — Вайн-
берга электрослабых взаимодействий. Последняя является ка-
калибровочной теорией со спонтанно нарушенной симметрией,
основанной на группе
Gew=S?/B)Xtf@, G.261)
подгруппами которой является группа SUB) слабых изоспино-
вых преобразований и группа UA) (мультипликативная груп-
группа комплексных чисел, по модулю равных 1) преобразований
слабого гиперзаряда. Калибровочные преобразования дей-
действуют на фермионные поля лептонов и кварков, а также на
хиггсовы поля, которые следует рассматривать отдельно.
Классификация кварковых и лептонных состояний с по-
помощью слабого изоспина дана в табл. 6.5. Состояния с левой

452 Гл. 7. Квантовые поля
спиральпостью образуют некоторое число дублетов, а состоя-
состояния с правой сппральностыо образуют синглеты. Если гр—-про-
гр—-произвольное дпраковское поле, то, согласно G.144), поля, кото-
которые уничтожают частицы в левых и правых состояниях, имеют
следующий вид:
Таким образом, для произвольного слабого изосшшового дуб-
дублета, например для кваркового дублета u, d, можно рассмот-
рассмотреть поля
1 /, , ч . -I , 1
' G.262)
которые преобразуются при локальных слабых изоспиновых
преобразованиях следующим образом:
?L->*-'/.<««м-'Ч^, l>ttR-4w %*-+%* G-263)
где g—константа связи.
Математическая структура группы Gew, являющейся пря-
прямым произведением групп, позволяет для двух подгрупп ввести
разные константы связи; таким образом, слабые гиперзарядо-
гиперзарядовые фазовые преобразования можно определить следующим
образом:
'/i'{)R G-264)
для левых или правых полей i|)l/r с гиперзарядом у (который
имеет разные значения для полей tjjl и tJjr, как это видно из
табл. 6.5). Заметим, что произведение g'y (константа связи,
умноженная на целое число, кратное 1/6) играет роль электри-
электрического заряда, рассмотренного для электромагнитных фазовых
преобразований G.197); электрический заряд кварка или леп-
тона является произведением константы связи е и целого числа,
кратного 1/3.
Группа Gew имеет четыре генератора, и чтобы построить на
се основе калибровочную теорию, необходимо рассмотреть че-
четыре калибровочных поля. Ими являются компоненты слабого
изовектора W,j,, соответствующие генераторам группы SUB),
и слабый изоскаляр В^, являющийся генератором группы U(\).
При этом ковариантные производные даются формулами
АА = К + ~ igr • w, + -i ig'yBa) wL,
• G.265)

§ 7.6. Квантовая ароматодинамика 453
для дублетов 4;l и синглетов i}5R. Поля W^ и В^ можно объеди-
объединить в матрицу типа 2X2:
^ = W11-t + filil, G.266)
из которой можно образовать следующую полевую матрицу:
/> = ^Wv - dyW^ + ig [W», Wv]. G.267)
Калибровочно-инвариантный лагранжиан для свободных ка-
калибровочных полей и фермиопов имеет вид
2>0 = - i- tr (F^) + ? iUY&l
где суммирования ведутся по всем левым дублетам Wl и всем
правым синглетам \|;R. Так как симметрия не нарушена, калиб-
калибровочные поля безмассовые. Кроме того, инвариантность тео-
теории относительно преобразований, которые левые и правые ком-
компоненты фермиониых полей преобразуют по-разному, требует,
чтобы фермионы тоже были безмассовые. Действительно, сла-
слагаемое в лагранжиане, описывающее массу фермионов, можно
представить в виде
тЩ: = т (\ + %) (ipL + %) =- т (qLqR + ^R^L), G.269)
если воспользоваться условием G.147). Учитывая, что поле i[-R
является скаляром при слабых изоспиповых преобразованиях,
а поле \pL является компонентой дублета, мы видим, что слагае-
слагаемое G.269) не инвариантно, если тфО.
Механизм Хиггса приводит к появлению ненулевых масс
фермионов и калибровочных полей. Имеется четыре поля Хиггса
¦/ч. • • •, i>4, являющихся вещественными и мнимыми частями
двухкомпонентного вектора
ф= Г1 ?- , G.270)
1Фз+ 1Ф4}
который преобразуется при преобразованиях SUB)'X,U(l)
G.263), G.264) следующим образом:
Ф —ге~У21еа{х)'хФ, ф->г'г'"A)Ф. G.271)
Имеем ортогональные преобразования вещественного вектора
(фиф2,фз,ф4) с обычным определением внутреннего произведе-
произведения, которое для комплексных векторов Ф записывается в виде
(Ф1,Ф,) = Не(Ф^Ф2). G.272)
Ковариаитная производная комплексного векторного поля Ф
дается выражением
¦ г + igBJ Ф. G.273)

454 Гл. 7. Квантовые поля
Потенциал Хиггса У(Ф) может иметь только квадратичные
и четверные члены в перенормируемой теории. Можно считать,
что У(Ф) является функцией от Ф+Ф=]С</>Д которая имеет
минимум при ненулевом значении у2 ее аргумента, так что мно-
многообразие минимумов в Ф-пространстве является сферой
Ф+Ф = v~. Выберем точку отсчета Фо в этом многообразии
в виде вектора @, v)г и рассмотрим соответствующее разложе-
разложение полей
[ ] G.274)
при этом мы пишем % вместо 83, так как это компонента, кото-
которая не может получиться в результате действия преобразова-
преобразований группы SUB)X U(I) и должна входить в теорию как поле
самостоятельной частицы. Механизм Хиггса из теоремы 7.10
уничтожает остальные компоненты и одновременно наделяет
массами соответствующие компоненты калибровочных полей.
Массовое слагаемое в лагранжиане (последнее слагаемое в
G.254)) при этом принимает вид
-Re[<V<Do4; G.275)
здесь
Ф0|Х = ?>дФи = (igWp ¦ х + ig'B») Фо =
= »Y iWlvW? + W2V.W2») + v2y%Z», G.275)
где y2 = g2 + g'2, Z» = W3ll cos 9W — B» sin 9W и tg 9W = g'/g, как
в формулах F.147), F.148). Таким образом, механизм Хиггса
приводит к появлению массовых бозонов W* и Z0 с отношением
масс
^-=i- = cosew. G.276)
Последний голдстоуновский бозон, который остается без-
безмассовым, описывается калибровочным полем Ар, = W3p, sin 9W +
+ 5klcos8w. Он связан с подгруппой группы 5t/B)X^(l).
оставляющей состояние Фо неизменным. Эта подгруппа состоит
из преобразований
Ф -*[0 { |Ф = ехр[-^/еA+Тз)]Ф G.277)
и поэтому является одномерной подгруппой с генератором
72A + Т3).

§ 7.6. Квантовая ароматодинамика 455
Выражения для коварнантиых производных фермионных
полей имеют вид
*№ = |ай + ig (^,т, + W2To) + -i- ieZ^ (ctg 9wx3 - i tg ew) +
+ у«Л^ + т3)}ч'1„ G.278)
где e = gsin 0w. Формула для дублета Wl применима и для
хиггсова поля Ф с г/= 1. В этом проявляется его связь с без-
безмассовым калибровочным полем А^ с генератором 'ДО + тз),
как в G.277). Так как электрический заряд в единицах заряда
электрона е равен г/2у + k, где j3 — собственное значение мат-
матрицы 'Дта для компонент дублета и 0 для синглета, то фор-
формулы G.278) показывают, что безмассовое калибровочное поле
А^ является электромагнитным полем.
Наконец, отметим, что массы фермионов получаются как
результат взаимодействия фермионов с хиггсовыми полями. Рас-
Рассмотрим сначала лептоны. В каждом их семействе имеется
один массивный летон / и одно безмассовое левое нейтрино v,
так что всего имеются три поля ijj'l, i|)'r, i|)vl, которые по сла-
слабому изоспину классифицируются как дублет Wl с у = —1 и
синглет с у = —2 (см. табл. 6.5). Из этих трех полей вместе
с полем хиггсова дублета Ф и у = 1 можно составить лептон-
ный лагранжиан
который не изменяется при преобразованиях группы [SUB)] w X
Х[^A)]»- Разлагая поле Ф около точки минимума Фо, как в
G.274), и выбирая такую калибровку, в которой 9i = 02 = 04 =
= 0, из G.279) с использованием G.269) получаем
G.280)
где
nil =агу.
Таким образом, рассматриваемый лагранжиан 5? приписывает
массу заряженному лептону и оставляет нейтрино безмассо-
безмассовым. Он описывает взаимодействие между заряженным лепто-
ном и хиггсовой частицей, поле которой обозначено %.
Рассмотрим теперь кварки. Кварки каждого поколения об-
образуют левый дублет WL с у =1/3 и два синглета о|з+к и т|э-к
с у = 4/3 и у = —2/3 соответственно. Различие слабых гипер-
гиперзарядов для Wl и i|)R такое же, как для лептонов, поэтому
можно использовать аналогичный прием построения кварковых

456 Гл. 7. Квантовые поля
массовых членов лагранжиана. Так получаем массы и-, с- и
t-кварков. Массовый член для d-, s- и b-кварков можно по-
построить следующим образом:
%С = «ч+ Й% det (Ф, ?L) + det (ф+, 4>L) q+R}, G.281)
где det^, Wl) — определитель матрицы типа 2X2, столбцы
которой образуют Ф и x?l, a det(^+, vFl) — определитель ана-
аналогичной матрицы, составленной из строк Ф' и 4j'l-
Итак, полный лагранжиан электрослабой теории имеет сле-
следующий вид:
i?ew = 20 + j (?)ЙФ+) (i/ф) + V (Ф) +
где суммирования ведутся по всем соответствующим семей-
семействам; 3?0 калибровочно-инвариантный лагранжиан G.268), ко-
который содержит члены кинетической энергии для калибровоч-
калибровочных бозонов и фермионов, а также члены, ответственные за ка-
калибровочные взаимодействия между этими частицами. Второе
слагаемое содержит член кинетической энергии для хиггсова
поля, массовые члены для калибровочных полей и члены, опи-
описывающие взаимодействие между соответствующими полям ча-
частицами. Третье слагаемое У(Ф) описывает массу хиггсова бо-
бозона и его собственную энергию. Последние три слагаемых в
G.282) описывают массы кварков и лептонов и их взаимодей-
взаимодействия с хиггсовым бозоном (лагранжиан j?q- имеет ту же
структуру, что и лептонный лагранжиан 3?i).
Произвольными параметрами теории являются электромаг-
электромагнитная константа связи е и угол Вайнберга 0W, хиггсово ваку-
вакуумное среднее v и массы хиггсова бозона и фермионов. Все
остальные параметры теории можно выразить через эти пара-
параметры следующим образом:
W-фермионная константа связи: g = e cosec8\y,
Z-фермионная константа связи: g' sin 9v = e tgQw,
масса W-бозона: niw = ev cosec9w,
масса Z-бозона: mz = 2ev cosec 29w,
константа связи хиггсовой частицы с фермионами:
v~l X масса фермиона.
Основные положения главы 7
Теорема 7.1. Квантование электромагнитного поля 403
Теорема 7.2. Локальность электромагнитного поля 404
Теорема 7.3. Связь уравнений Дирака и Клейна — Гордона
411

Задачи к главе 7 457
Теорема 7.1. Лоренцено преобразование дпраковекпх спино-
спиноров 412
Теорема 7.5. Билинейные комбинации спиноров 416
Теорема 7.6. Свойства матрицы 75 418
Теорема 7.7. Теорема Нётер 429, 432
Теорема 7.8. Преобразование ковариантных производных и
интенсивное!ей полей 442
Теорема 7.9. Теорема Голдстоуна 447
Теорема 7.10. Механизм Хштса 449
Рекомендуемая литература
Читателю, желающему серьезно изучить квантовую теорию
поля, рекомендуем книги Мандла и Шоу [65] и Райдера [85].
Альтернативный подход к теории поля, основанный на фейнма-
иовской формулировке квантовой механики, изложен в книге
Рэмонда [82]. В книге Ициксона и Зюбера [56] дается исчер-
исчерпывающее изложение теории поля. Калибровочные теории хо-
хорошо описаны в книге Айчисона [2]; их применения в кванто-
квантовой хромодинамике и квантовой ароматодинамике изложены в
книге Лидера и Предаццп [61]. Изложение отдельных вопро-
вопросов квантовой теории поля без использования полного матема-
математического аппарата дано в книге Айчисона н Хея [3]. Реше-
Решеточный метод расчетов в квантовой хромодинамике описан
Кройцем [23а]; элементарное изложение его дано в книгах
Ребби [83] и Уоллеса [94]. Калибровочные теории имеют ин-
интересные математические аспекты (теория расслоения про-
пространств), которые описал Атья [6]; см. также статью Берн-
штейна и Филлипса [12]. О космологических применениях по-
полей Хиггса см. статью Гута и Стейнхарда [49].
Задачи к главе 7
1. Докажите формулу G.19).
2. Докажите формулу G.58), начиная с определения G.51)
и производя для каждого гр,- фурье-преобразование.
3. Покажите, что группа Лоренца имеет генераторы М^ =
= —Мур., удовлетворяющие коммутационным соотношениям
[Л*nv, Мра] = g^M^ - g^M^ - g^Myp + g4aMw,
и что указанным коммутационным соотношениям удовлетво-
удовлетворяют матрицы a^v = 'AIVn. Yv] •
4. Покажите, что группа Пуанкаре (состоящая из группы
Лоренца и преобразований трансляции в пространстве и вре-
времени) имеет генераторы М^, Pv, где генераторы М^ удовлет-

458 Гл. 7. Квантовые поля
воряют коммутационным соотношениям задачи 3.4, а также со-
соотношениям
Ш^, Рр] = gwPv - gW(,Pv, [Рц, Pv] = 0.
Супералгебра группы Пуанкаре состоит из алгебры Ли La
группы Пуанакаре, только что описанной, и восьмимерного про-
пространства L\ с базисом г|)а, \§а (а = 1, ..., 4). Скобки опреде-
определяются следующим образом:
[М^, 1|>„] = (а^)„Чр) f Afwv, фа] = - я|)р (аЙУ)ра,
[Рц, Фа] = 0 = [я^, $°], {я|)а, г|)р} = 0 = {$„, $р},
Покажите, что при таком определении скобок выполняются все
условия F.161), которым должна удовлетворять супералгебра
Ли.
5. Покажите, что если -ф(лг) — дираковский спинор, то вели-
величина •фу^и'Ф является лоренцевым скаляром.
6. Для любого 4-вектора рй пусть П (р) ^= !/г A—fn~ ЧйРц)
обозначает (спинорную) матрицу типа 4X4. Покажите, что
[П(р)]2 = (р2-т2)/4т2+П(р), П (р) П (- р) = (р2 - m2)/m и
П(р) = П(—р)=1. Выведите отсюда, что любой спинор можно
представить в виде суммы и(р) -\- v(p), причем и{р)е~1р'х и
v{p)eip'x обозначают некоторые решения уравнения Дирака.
Покажите, что матрицы П(р) коммутируют с матрицами
S(A~')s;S(A), где s,- — спиновые матрицы G.107), а А — мат-
матрица преобразования Лоренца, для которого A^vpv = (т, 0).
Выведите отсюда существование базиса м±(р), v±(p), задавае-
задаваемого формулами G.149).
7. Найдите спинорную матрицу 5(А), представляющую пре-
преобразование Лоренца А, являющееся бустом в направлении п
со скоростью th К. Действуя этой матрицей на собственные спи-
спиноры матрицы s3, получите явные выражения для спиноров
и±(р) и v±(p).
8. Покажите, что если операторы рождения для поля Клей-
Клейна— Гордона взяты в виде ?1/2а+(к) и ?1/26+(к), то гамильто-
гамильтониан гармонического осциллятора (после процедуры нормаль-
нормального упорядочения) имеет вид
Я = 1
покажите, что этот гамильтониан совпадает с гамильтонианом,
полученным при применении теоремы Нётер к лагранжиану
G.166).

Задачи к главе 7 459
9. Пусть S [0] обозначает интеграл G.162), вычисленный
для некоторой функции 9 (г, t) и пусть S [9 + ет|] = S[9] с точ-
точностью первого порядка по е для всех непрерывных функций
г) (г, t). Покажите, что в этом случае функция G (г, t) удовлетво-
удовлетворяет уравнениям Эйлера — Лагранжа G.164).
10. Докажите теорему Нётер для системы, обладающей ко-
конечным числом степенен свободы (см. стр. 429).
11. Пусть ? (ф, Лц, д^ф, дрАу) — плотность лагранжиана,
зависящая от скалярного поля ф, 4-векторного поля Л^ и их
производных, но не зависящую явно от х. Пусть эта плотность
лоренц-инвариантна в том смысле, чго 9? {ф', А'х, д'^ф', d^Av) =
= 2{ф, Лй, д^ф, д»Ау), где А^ = \^А„, д^ = \^ф, d'^A'v =
= Aм,pЛvolЗpЛa для любого преобразования Лоренца Л. Положив
Л = ет и продифференцировав последнюю формулу по К, по-
покажите, что из уравнений поля следует, что дцБ^Р = 0, где
cnvp лр д& Av dS , „vrnp
о == А д --,—т-т А ¦ д , д—-г—.:—\- X 1
12. Покажите, что уравнения движения G.188) в случае од-
одной заряженной частицы в электромагнитном поле, характери-
характеризуемом потенциалами ф(т,1) и А (г, t), можно получить как
уравнения Гамильтона для гамильтониана GЛ89).
13. Покажите, что трансляционные операторы преобразуют
квантовое поле ty(x) следующим образом:
и объясните, чем эта формула отличается от формулы C.75),
описывающей изменение волновой функции при трансляциях.
14. Составьте уравнение, заменяющее уравнение Клейна —
Гордона в случае заряженной релятивистской частицы в элек-
электромагнитном поле, и покажите, как изменяется лагранжиан
G.166) для уравнения Клейна — Гордона в рассматриваемой
ситуации. Покажите, что такой измененный лагранжиан инва-
инвариантен при локальных электромагнитных фазовых преобразо-
преобразованиях. Найдите формулу для 4-вектора электрического тока.

Приложение I
Алгебра 3-векторов и 4-векторов
3-векторы. Компоненты вектора и относительно конкретной си-
системы координатных осей, обозначим ui. Неопределенный ин-
индекс i пробегает значения 1, 2, 3 (если компоненты вектора и
записываются в виде и\, и2, «з) или значения х, у, z (если ком-
компоненты вектора и записывают в виде их, иу, иг). Правило сум-
суммирования по повторяющимся индексам состоит в следующем:
если имеется произведение компонент, в котором встречается
два одинаковых неопределенных индекса, то подразумевается
суммирование этого произведения по всем значениям повто-
повторяющегося индекса. Например, скалярное произведение двух
векторов можно записать в виде
U-\ = UfVt, A.1)
что означает
з
и • v= 2 ui°i-
Если повторяются два (или больше) индекса, то имеем двой-
двойную (или большей кратности) сумму.
Символы с двумя или большим числом индексов обозна-
обозначают компоненты тензоров. Обычно они, как и компоненты век-
векторов, различны в разных системах координатных осей. Но
имеются два особых тензора, компоненты которых одинаковы
во всех системах координатных осей:
1 при 1 = 1,
О при 1ф]\ К '
О, если хотя бы два индекса /, /, k равны,
Н 1, если (*,/,*) = A, 2,3), B,3, 1), C, 1,2), A. 3)
-1, если (/, /, k) = B, 1, 3), A, 3, 2), C, 2, 1).
Другими словами, etjh обозначает четность перестановки, перево-
переводящей A,2,3) в (i,j, k). Тензор гцк можно полностью характери-
характеризовать, указав что он полностью антисимметричен и удовлетво-
удовлетворяет условию 8123=1- Правило суммирования по повторяю-

Приложение 1. Алгебра 3-векторов и 4-векторов 461
щимся индексам распространяется на выражения, содержащие
произведения тензорных компонент. Например, формула
ta = Siik4 A-4)
заменяет шесть следующих равенств:
/12 = «2> ^2 3 = "l. ^3 1=Ы2> _
(L. О)
/2 1 = — «з, 42==: — uli h 3 == — М2-
Тензоры б,-/ и егу/е связаны между собой простым соотношением
которое эквивалентно векторному тождеству
аХ(ЬХс) = (а-с)Ь-(а-Ь)с. A.7)
4-векторы (используются только в гл. 7). Контравариантный
4~вектор х состоит из двух физических величин: скаляра s
и 3-вектора и, которые принимают определенные значения в
каждой системе отсчета, причем значения этих величин в раз-
разных системах отсчета связаны друг с другом преобразова-
преобразованиями Лоренца. Пусть F и F'— две системы отсчета с общей
начальной точкой пространства-времени, пусть система F' дви-
движется относительно системы F со скоростью и в направлении,
характеризуемом вектором п, и пусть вектор х имеет компо-
компоненты (s, и) в системе отсчета F и компоненты (s', u') в си-
системе отсчета F'. Тогда (полагая с=1) имеем формулы пре-
преобразования
s'— y(s — vu • n), u' • n = y(u • n— vs), u'± = u_l, A.8)
где у = A — У2)~1/2 и uj_ и u± — составляющие 3-векторов и'
и и, перпендикулярные вектору п. Например, координаты (t, r)
некоторого события составляют контравариантиый 4-вектор.
Компоненты контравариантного 4-вектора х обозначим x)l
(|л = 0, 1, 2, 3), причем х!а=\, х1 = т. Если у — другой кон-
контравариантный 4-вектор, составленный из скаляра t и 3-век-
3-вектора v, внутреннее произведение этих двух векторов, по опре-
определению равное
х • y = st — u • v, A.9)
является лоренцевым скаляром, т. е. величиной, которая имеет
одно и то же значение во всех системах отсчета. Это внутрен-

462 Приложение I. Алгебра 3-векторов и 4-векторов
нее произведение можно записать в виде
(МО)
(используя правило суммирования), где g^v = 0 при (г =ф= v,
goo= 1 и g11=g22 = g33=— 1-
Ковариантный 4-вектор состоит из скаляра s и 3-вектора w,
которые в комбинации (s, —w) образуют контравариантный
4-вектор. Компоненты ковариантного 4-вектора обозначим
символом Хц. Если х^— компоненты контравариантного 4-век-
4-вектора, то компоненты соответствующего ковариантного 4-век-
4-вектора равны
Для краткости мы говорим «х^ — контравариантный 4-вектор»
и «х^ — ковариантный 4-вектор».
Пусть х^ — некоторый контравариантный 4-вектор, а у^—
ковариантный 4-вектор, тогда х^у^— лоренцев скаляр. Вообще,
для того чтобы некоторое уравнение сохраняло свой вид во
всех инерциальных системах отсчета, необходимо потребовать,
чтобы правило суммирования по повторяющимся индексам вы-
выполнялось только для таких пар индексов, из которых один
верхний, а другой нижний.
Обратим формулу (I. 11) и получим
где компоненты g^v имеют в точности те же числовые значения,
что и компоненты g^. Формулы (I. 11) и A.12) служат приме-
примерами процедуры поднятия и опускания индексов, которую мож-
можно применять к величинам с любым числом индексов, из кото-
которых одни верхние, а другие нижние. Поднимая или опуская ин-
индекс 0, мы не изменяем компоненты; поднимая или опуская
индекс i= 1, 2, 3, мы изменяем знак компоненты. В частности,
поднимая индекс \i у g\iv, получаем g>\ = 6>\>, т. е. обычный
кронекеровский б-символ, определенный в A.2).
Общее лоренцево преобразование является линейным пре-
преобразованием 4-векторов, характеризуемым матрицей A^v типа
4X4:
я?^х'» = А\х\ A.13)
так что
х'-у' = х-у A.14)
для любых двух контравариантных 4-векторов х и у. Из (I. 10)
непосредственно следует, что матрица A^v удовлетворяет уело-

Приложенир 1. Алгебра 3-векторов и 4-векторов 463
ВИЯМ
?^Л>Л = ?ра) A.15)
т. е.
Символ e^vpa обозначает полностью антисимметричную ве-
величину, для которой Eoi23 = +1- Следовательно, эта величина
обращается в нуль, если в ней любые два из индексов (л, у, р, а
равны друг другу, причем при i, j,k = \, 2, 3 имеем
= eij0k == — eijk0 — Sijk- (l- *7)

Приложение II
Свойства элементарных частиц
Название
Масса,
Мэа
Время
жизни, с
Спни
Чет-
Четность
Электри-
Электрический
заряд
Изо-
спнн
Другие
характеристики
Основные моды
распада
Калиб ровочные бозоны
Фотон у
w+
W"
Z°
0
81000
93 000
ОО
> 0,6-104
0,5-104
1
1
1
—
—
0
+1
— 1
0
e ve, Ц- Vm,
e~ve, H~Vm,
e+e", ц V
Пептоны
Электрон е~
Мюон ц~
т
Нейтрино ve
+ античастицы
0,511
106
1784
0
2-10
-6
•>-13
1/2
1/2
1/2
1/2
+
+
+
— 1
— 1
— 1
e~vevT,
адроны
Мезоны
я0
л±
К*
Ks
D° D0
Ds, Ds
В*
В0
В»
135
140
494
498
498
549
1869
1865
1971
5271
5274
8,3-
2,6-
1,2-
5,2-
8,9-
4,7-
9,2-
4,4-
1,9-
1,4-
1,4-
10
10~
10""
10"
10""
10"
10"
10"
10"
10"
10"
17
8
s
8
11
18
13
13
13
12
12
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
0
±1
±1
0
0
0
±1
0
±1
±1
0
1
1
1/2
1/2
1/2
0
1/2
1/2
0
1/2
1/2
Странность
Очарование
Очарование
Странность
Очарование
Красота ± 1
Красота ±1
±1
±1
±1
±1
±1
2Y
11=4. Я±Я0
3Jt, JT Ц Vm , Jt 6 V
я+я", я°я°
2у, Зя
е*л>е + адроны
К* + пионы
К°К~° + пионы
пионы
D0 + пионы
e±ve + адроны
Барионы
Протон р
Нейтрон п
Л°
2 +
2°
v~
Н°
Е
Q~
К
+ античастицы
938,3
939,6
1116
1189
1192
1197
1315
1321
1672
2282
> 1032 лет
2,6-10
8,0-10"
5,8-10
1,5- 10
2,9-10
1,6-10
8,2-10
2,3-10
-ш
-20
-10
-10
-10
-11
-13
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
1/2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ 1
0
0
+ 1
0
— 1
0
—1
1
+1
1/2
1/2
0
1
1
1
1/2
1/2
0
0
Странность —1
Странность —1
Странность —1
Странность —1
Странность —2
Странность —2
Странность —3
Очарование +1
ре ve
ря~, пп°
ря°, пя+
nit~
Л°я°
Л°я-
Л°К-, Н°я", 3-я"
Л + пионы, рКя
') Таблица свойств частиц составлена по данным, взятым из Review of Particle Properties (Particle Data Group 1984).

Приложение II
Свойства элементарных частиц
Название
Масса,
Мэв
Время
жизни, с
Спни
Чет-
Четность
Электри-
Электрический
заряд
Изо-
спмн
Другие
характеристики
Основные модр>г
распада
Калибровочные бозоны
Фотон у
W +
W"
z°
о
81000
93 000
> 0,6-10
-24
0,5-10
-24
1
1
1
—
—
0
+1
— 1
0
е+е~, ц
Лептоны
Электрон е~
Мюон ц~
X
Нейтрино ve
+ античастицы
0,511
106
1784
0
оо
2-10~6
3- 10" 13
ОО
1/2
1/2
1/2
1/2
+
— 1
— 1
— 1
e~vev-i:, M-^v^v-r;, адроаы
Мезоны
я0
п±
К*
K°L
к°5
1
D*
D°, D0
В*
В0
В»
135
140
494
498
498
549
1869
1865
1971
5271
5274
8,3-10 17
2,6-10~8
1,2 • 10~8
5,2- 10~8
8,9-КГ11
4,7- 108
9,2-10"3
4,4- 10"3
1,9- 10~13
1,4-10~12
1,4-102
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
0
±1
±1
0
0
0
±1
0
±1
±1
0
1
1
1/2
1/2
1/2
0
1/2
1/2
0
1/2
1/2
Странность ±1
Очарование ±1
Очарование ±1
Странность ± 1
Очарование ±1
Красота ±1
Красота ±1
2Y
ц%, Я±Я°
Зя, я±ц+-Уд, я±ету
+ - 0 0
я я , я я
2у, Зя
е*л>е + адроны
К* + пионы
К°К~° + пионы
пионы
D0 + пионы
e±ve + адроны
Барионы
Протон р
Нейтрон п
Q
+ античастицы
938,3
939,6
1116
1189
1192
1197
1315
1321
1672
2282
> 1032 лет
2,6-10
8,0-10
5,8-10
1,5- 10
2,9-10
1,6-10"
8,2-10"
2,3-10
-ш
-л
-20
-10
-10
-13
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
1/2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ 1
0
0
+ 1
0
— 1
0
—1
1
+1
1/2
1/2
0
1
1
1
1/2
1/2
0
0
Странность —1
Странность —1
Странность —1
Странность —1
Странность —2
Странность —2
Странность —3
Очарование +1
ря~, пп°
о +
ря , nit
nit~
Л°я°
Л°я-
Л°К-, 5°я-, 3-я"
Л + пионы, рКя
') Таблица свойств частиц составлена по данным, взятым из Review of Particle Properties (Particle Data Group 1984).

Приложение III
Коэффициенты Клебша — Гордана !)
Каждая таблица дает значения коэффициентов (JM\j\tni,
при определенных значениях ]\, /2 и М.
2 '
М—\
ЛГ =
+ '/2 +72
/
1
1
+ 72
-72
Шг
-72
+ 72
У
У
1
77
/
0
У
-V
72
72
mi m2
-72 -72
1
1
/i = 1, /s = y
1 72
7
3
2
1
1
0
-72
+ 72
3
2
VtT
V2/3
V
-V
77
0
—i
-72
+ 72
3
2~
Vv7
i
~2
-V2/3
AI —т
-1 -7г

1
') Таблицы взяты из Review of Particle Properties (Particle Data Group
1984).

Прилоокение 111. Коэффициенты Клебша — Гордана
467
Af =1
mi m2
3/2 72
/
2
1
Af = —1
nil m.
3/2 -72
7> 72
1
2 1
72 -y/47
V3/2 -72
nil
-72
-3/2
m.
-72
72
V
9
72
j
1
1
-V5
/2
/2
ra, mi
72 -72
-72 72
/
2 1
л/ТГ VtT
V'/* ~V'/2
111, nil
-72 -72
2
1
/, = 2, /2 = -
,, 5
tTt\ ttli
2 72
j
5
2
1
M--=-
mi m2
2 —'/a
1 V2
/
5 3
2 2
VtT V477
V4/6 -V'/s
M =
0
-72
72
V
V
5
9
77
V6
/
3
2
V
-V
75
M = ¦
0
—1
m2
-72
V
V
5
2"
77
2/5
/
3
2
V
-V
377
mi
— 1
—2
-72
72
5
"9*
VV7
VtT
/
3
2
V7T
-V4/5

468
Приложение III. Коэффициенты Клебша — Гордана
Af—T
-2 -'/2
j
5
0
1
= 1, /2= 1
mi m>
i i
2
1
1
0
0
1
V
У
2
77
v«
I
1
V
-V
72
Vs
mi
1
0
1
m>
1
0
1
V
V
V
2
77
7з
'/.
У
1
V77
0
-л/77
V
-V
V
0
77
7з
7з
м="
mi
0
1
-1
m2
1
0
V
У
2
77
72
/
V
-V
1
77
7г"
—1 —1
2
1
/.=-2- /2 =
mi mj
3/г 1
5
2
1
mi
3/?
72
m2
0
l
V
V
5
2
V7
ЧГ
1
3
2
-V277
mi
3/2
72
-72
"h
— 1
0
l
V
V
V
5
~2
ЧГ
3/,o
V
V
-V
277
Vl5
8/>5
1
2
V1
-V1
V
/2
/з
/б

Приложение 111. Коэффициенты Клебша — Гордана
469
М--;
nil
72
— 72
3/
/2
m2
_,
0
1
5
~2
V37-
vt7
V7.o
/
3
2
VTTs
-V77
-У77
1
"
V77
- л/7з
V72
-72
-3/2
_,
0
V
V
5
377
77
л
3
2
/77
-7S -72
у
5
2
1
/,=2, /2=1
2 1
7
3
1
m,
2
1
m,
0
1
V
V
3
77
73
i
2
V
-V
7з
7з
м =
mi
2
1
0
= 1
/.•.=
— 1
0
1
V
V
V
3
77
7,5
v8
V
V
-V
У
)
77
7e
72
i
V77
-л/ЧГо
-л/7.о
:—1
fftl
1
0
— 1
m-
— 1
0
1
V
V
V
3
77
75
7e
V
-V
77
0
77
V
-V
V
1
377о
75
7.о
пи
0
— 1
2
т2
-1
0
1
V
V
V
3
77
77
7.5
У
2
V77
-л/7б
-л/7з
V
-V
V
7ю
7.о
75

470
Приложение III. Коэффициенты Клсбша — Гоодана
М — —3
m,
— 1
— 2
m2
— 1
0
V
V
3
7s
2
-л/ЧТ
пи т2
2 1
1
3
1

Ответы и указания к задачам
Глава 1
1. 6,03- 1026 кг~!.
2. 9 • 1СГ31 кг.
3. 5,68- 10~12 В.
5. Полная энергия Е и импульс р не могут удовлетворять соот-
соотношению Е = \р\с.
Глава 2
1
. Покажите, что К ф^> dV 2 < (jj | ф |2 dv) (\ | -ф |2 d
2. Используйте теорему 2.1. Собственные состояния ? с резуль-
результатом а даются собственными векторами оператора Ра, со-
соответствующими собственному значению 1.
4. Собственные значения равны ±25, собственные состояния
имеют вид 3Д|«о> + 4Ai|ai>, 4А| Яо> — 3Дг| «i>- Вероятность
равна 337/625.
5. Пусть \ао) и |ai> — собственные состояния наблюдаемой А.
Если a|ao> + P|ai> — одно собственное состояние наблюдае-
наблюдаемой В, то другое собственное состояние должно иметь вид
Р | | ||4 |Р|4
ру
Р | ао) — a|ai>, и вероятность всегда равна
П \ф А | й
а|
Р | ) |>, р р || + |Р|
6. Положите \ф) = А |я|з> и используйте неравенство (ф\ф} ^ 0.
8. Рассуждение с использованием теории вероятностей: из
АЛ = 0 =Ф- А следует, что А с определенностью имеет значе-
значение <Л>. Рассуждение с использованием алгебраических вы-
выкладок: рассмотрите состояние \ФУ — A\ty) — <Л>|я|з>.
9. cos2 9 sin2 Э.
11. Рассмотрите состояние \ф} = Ах |я|з> + zB\ |я|з>, где А{ и
б] — операторы из теоремы 2.5, a z — произвольное число
(или примените неравенство Коши — Шварца к состояниям
ЛЦ>ЯЦ»
,Ц>1Ц»
13. Используйте формулу B.111).
15. Ах = а/2.
16. Используйте тождество B.80).
17. Докажите, что [D, хД — — ihxt и [D, Pi] = itipi\ затем вос-
воспользуйтесь тождеством B.80).

472 Ответы и указания к задачам
18. Положите в B.123) \ф) = \ф1) + \ф2) и | ф) = \ <?,)+ i \ ф9).
( п\
19. В случае фермиона размерность равна I I; в случае
(п+г—\\ ( (п\
бозона — , I символы обозначают число
V п— 1 ) \ \г )
выборов г предметов из п предметов с учетом повторений 1.
Глава 3
1. cos4 (РГ) + sin4 фТ).
2. а) -^-sin2 G2со/), б) jg sin2 (l/2®t), где со = (/и, — m2) c~/1i.
3. При любом xcos(x/n)-^ 1 при я->-оо, так что рп-+Ро-
5. Используйте теоремы 2.5 и 3.1.
6. Используйте теорему 3.1 и вычислите производную d/dt (A/1).
7. (nh2/2ma2)(P -f- tn2 -(- п2), где /, m, и — целые положитель-
положительные числа.
8. г|з (д:, /) = я-V4(од + iht/maormехр {— а-2 (а02 - 2itit/m)~1}.
9. Нет. При k ф k' проявляется квантовая интерференция.
10. Соотношение |Л|2^|б|2+|СJ свидетельствует о сохране-
сохранении вероятности.
13. Относительная вероятность равна '/г A + k2/K2) + DКа}~~1 X
X A - k2/K2) sin B/Са), где /г2 = 2/те?//г2, /С2 = 2т (Е - V0)/h.
В пределе Й->-0 получаем '/2A + ^2), где X — классиче-
классическое отношение.
14. Дг)= С/г (С —константа), E = h2k2/2m, ] = {C2%k/mru)v.
Это невозможно в случае стационарного состояния для об-
области вблизи начала координат, так как вероятность найти
частицу около начала координат должна непрерывно умень-
уменьшаться.
15. <л:> = 1/2а, (АхJ = {а2/12) A — 6/п2я2). В случае класси-
классической частицы, которая может равновероятно находиться
в любой точке, (АхJ = а2/12.
16. Используйте, что (d/dk) f (A,n) = n • V/, где /(а) = ?/(Га).
18. U(Ta)V[U(Ta)Y' = V', где V (г) = V (г - а).
Нет; в классической механике движение частицы иод дей-
действием постоянной силы инвариантно относительно транс-
трансляций.
20. Плоскость поляризации вращается с угловой скоростью
(?+-?_)/2ft.
24. Продифференцируйте соотношение U(X) \U(X)]-] = 1.
25. См. доказательство теоремы 3.6.
27. co = e~'Mv'a; эрмитовы операторы —AIR (М - - полная мас-
масса, R — вектор положения центра масс).

Ответы и указания к задачам 473
28. Воспользуйтесь ассоциативным законом.
29. Для X, У e L (генераторы представления U) и и, v e? V,
скобки Ли [А', У] определяются как в L, [X,v] = Xv и
[u,v] = 0.
32. я|зй = {2/аI/2 sin (knx/a); V — — еЕх; вероятность равна
B10e2B2m2a6k2r-/n8li'iu5) sin2 (u.%2li2t/4ma2), где u = k~~t2.
33. Р (t) = 4
34. e.,<^,y
, где а±=
Глава 4
1. / = 2, m = 0; fe = (/+J^20--(-V + «»2.
3. Вращение /? можно заменить аа /?5, где S — вращение во-
вокруг оси z; при этом U(R)\jm) и d'mn{R) умножаются на
некоторый фазовый множитель.
4. cos2 (8/2): sin2 (8/2).
7. 2/+1, если 0</</; 3/-/+1, если /</<3/.
8. G-о>_.,: (Гг,}_1: {То)о: (Го);: (Го), = 2 : -1 : -2 : -1:2 (<7-0\==
= <т|Г0|т)^<2 т|2 0, 2 гп)).
9- D|2|т):DИ4>=-5:7; <^=^)=°-
12. Используйте решение задачи 1 и запишите z2 с помощью
г2 и оператора спинового типа 2.
13. Р_!:Р0:Р, = 3:4:3.
15. / = 0, 1, 2; вероятность равна 1/3.
22. Стационарные состояния \nlrn) (одновременные собствен-
собственные состояния операторов Яо, L2 и L2) имеют энергии Еп +
(
23. А/= 0, ±1 в силу закона сохранения углового момента; А/
нечетно в силу закона сохранения четности.
24. Воспользуйтесь временной теорией возмущений для
V = ama>2x. Pt = Xt {ma>a2/h) sin2 G2со/), где А0 = 2, Я2 = 4.
25. exp(-4|zo|2sin2G2(D/)).
32. -2e2 ['dt2 {'
Jo
o
Глава 5
5.
7. Используйте теорему 5.4.

474 Ответы, и указания к задачам
9. Вероятность равна cos2 6. Неравенство sin2 </> ^ cos2 9 +
+ cos2 (9+ </>).
12. Подмножество X ¦*-> высказывание ,tel
13. (хь х2) V (г/ь t/2) = (xi V г/i, х2 V г/2); то же самое для Л.
14. Если z принадлежит центру решетки S, то 2? — прямая
сумма множеств {х : 0 ^ х} и {х : х ^ z'}.
Глава 6
1. я+я~ (антисимметричное изоспиновое состояние).
2. Ни один из процессов рр не может произойти, так как р и р
имеют антипараллельные спины; процесс 2я° не может
произойти, если р и р имеют четный относительный угло-
угловой момент.
5. Г(р*-*Д++р):Г(р*->Д+я0):Г(р*->Д°я+) = 3:2: 1.
6. Г(А2"г+-^А,+л;+):Г(А2+^А1+я0):Г(А2+->А10я+) = 6: 1 : 8.
7. У 2 (я°р | е~т | я+п) + (я+п | e~im \ я+п) = (я+р | e~tm \ я+р).
8. С1{С = — /,, С12С = /2, С13С = - /3.
11. х A4С): х A4N*): х A4О) = е2: ^w2: е2.
12. Х+-^п + р, Х++^р + р.
13. Не существует изотопического аналога орбитального угло-
углового момента.
14. л/2 <ря° | Я12+> + <пя+ | Я 12+> = <пя" | Я 12").
15. т C~): х (В0) = 1 :2.
17. Например, я" + р^-п + К+ + К".
20. /31 п10 — г\ + s\) = '/2 (п — 2г — s) 1 я10 — ri -f sv), /±|и10—ri+
+ sv) = Vr {n — r — s± l/2) | nl0 — (r ± 1) i + sv) и аналогич-
аналогичные формулы для U3, U±, V3, V±.
21. r = 2/3(u-v)-H, Q = 2/s_(i-v)-H.
22. 2)|Sl/°) = — у|2°)+ д/-||Л°). Причина лучшего соот-
соответствия формулы Гелл-Манна — Окубо для масс мезон-
ного октета с квадратами масс пока до конца не понятна.
23. Число u-кварков равно /3 + 1/2(ЗВ-{- S — С — В' — Г); число
d-кварков равно - /3+ l/2(SB + S -С- В'- Т).
29. Для 1, 2, 3 и 5 распадов имеем ctg2 9С для 4 распада tg2 0c,
для 6 и 7 распадов ctg4 6С : ctg2 0с : 1.
30. 1) 9,43, 2) 321 : 13,4 : 15,6: 1.
Глава 7
6. П(±р) являются проекционными операторами на собствен-
собственные пространства оператора р^Уц.

Ответы и указания к задачам
Alb
7.
ch (Л/2) sh (Л/2) п • a
sh (Л/2) n • a ch (Л/2)
X
X
1
VPa —
2|р|
¦р-а
Vpo — 1
2|р| н " 2
столбцами этой матрицы.
14.
; u±{p) и v± (p) являются
, где Д„ = ^

Литература
1. Aharanov Y., Vardi M. Meaning of an individual «Feynman path».—
Phys. Rev., 1980, v. D 21, p. 2235—2240.
2. Aitchison 1. I. R. An Informal Introduction to Gauge Field Theories. —
Cambridge: University Press, 1982.
3. Aitchison I. I. R., Hey A. J. G. Gauge Theories in Particle Physics.—
Bristol: Hilger, 1982.
4. Andrade e Silve J., Lochak G. Quanta. — London: Weidenfeld & Nichol-
Nicholson, 1969.
5. Aspect A., Dalibard /., Roger- G. Experimental test of Bell's inequalities
using time-varying analyzers. —Phys. Rev. Lett., 1982, v. 49, p. 1804—1807.
6. Atiyah M. F. Geometry of Yang — Mills Fields. — Pisa: Accademia Na-
zionale dei Lincei Scuola Normale Superiore, 1979.
7. Ballentine L. E. The statistical interpretation of quantum mechanics. —
Rev. Mod. Phys., 1970, v. 42, p. 358—381.
8. Belinfante F. I. A Survey of Hidden-Variable Theories. — Oxford: Perga-
mon, 1973.
9. Bell J. S. Introduction to the hidden-variable question. — In: Foundation
of Quantum Mechanics, ed. B. d'Espagnat. — Reading, Mass.: Addison-
Wesley, 1971, p. 171 — 181.
10. Bell J. S. On the impossible pilot wave. — Foundations of Physics, 1982,
v. 12, p. 989—999.
11. Bell J. S. Beables for quantum field theory. — In: Quantum Implications,
p. 227.— London: Routlcdge and Kegan Paul, 1987.
12. Bernstein H. J., Phillips A. V. Fibre bundles and quantum theory.—
Scientific American, 1981, July, p. 95—109.
13. Berofsky B. (ed.). Free Will and Determination. — New York: Harper
and Row, 1966.
14. Birknoff G., von Neumann J. The logic of quantum mechanics.—Annals
of Mathematics, 1936, v. 37, p. 823—843. Перепечатано в книге von Neu-
Neumann J. Collected Works, vol. IV. — Oxford: Pergamon, 1962.
15. Bloom E. D., Feldman G. J. Quarkonium. — Scientific American, 1982,
May, p. 42—53.
16. Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров Н. Т. Основы аксиоматиче-
аксиоматического подхода в квантовой теории поля, — М.: Наука, 1969.
17. Bohtn A. The Rigged Hilbert Space and Quantum Mechanics. — Berlin:
Springer- Verlag, 1978.
18. Bohm D. Quantum Theory. — Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1951. (Име-
(Имеется перевод: Б ом Д. Квантовая механика. — М.: Наука, 1965.)
19. Bchr N. Quantum physics and philosophy — causality and complementa-
complementarity.— In: Essays 1958/62 on Atomic Physics and Human Knowledge.—
New York: Wiley, 1958, 1963. (Имеется перевод: Бор Н. Атомная физика
и человеческое познание. — М.: ИЛ, 1961.)
20. Borges J. L. The Garden of Forking Paths. — In: Fictions. — London:
Calder, 1941; 1965.
21. Clauser I. F., Shinomy A. Bell's theorem: experimental tests and impli-
implications. — Report on Progress in Physics, 1978, v. 41, p. 1881 — 1927.

Литература 477
22. Cline D. В., Rubbia С, van tier Meet- S. The search for intermediate
vector bosons. — Scientific American, 1982, March, p. 38—49.
23. Cornwell J. F. Group Theory in Physics. — London: Academic Press, 1984.
23a. Creutz H. Quarks, Gluons and Lattices.— Cambridge: Cambridge Univer-
University Press, 1983. (Имеется перевод: Кройц М. Кварки, глюоны и ре-
шеткн. — М: Мир, 1986.)
24. d'Espagnat В. Conceptual Foundations of Quantum Mechanics Bnd ed.).—
Reading, Mass.: Benjamin, 1976.
25. d'Espagnat B. The quantum theory and reality. — Scientific American,
1979, May, p. 158—181.
26. Daneri A., Loinger A., Prosperi G. M. Quantum theory of measurement
and ergodicity conditions. — Nuclear Phys., 1962, v. 33, p. 297—319. (Пе-
(Перепечатано в книге [102].)
27. Davies P. С. W. The Forces of Nature. — Cambridge: Cambridge Univer-
University Press, 1979.
28. DeWitt B. S., Graham N. (eds.). The Many-Worlds Interpretation of
Quantum Mechanics. — Princeton: University Press, 1973.
29. Dick P. K. The Man in the Nigh Castle. — Harmondsworth: Penguin,
1962; 1965.
30. Dirac В. А. М. The Principles of Quantum Mechanics. — Oxford: Claren-
Clarendon Press, 1930; 4th ed. 1958. (Имеется перевод: Дирак П. А. М. Осно-
Основы квантовой механики.—М.: Физматгиз, 1960.)
31. Dodd J. E. The Ideas of Particle Physics. — Cambridge: Cambridge Uni-
University Press, 1984.
32. Einstein A., Infeld L. The Evolution of Physics. — Cambridge: Cambridge
University Press, 1938. (Имеется перевод: Эйнштейн А., Инфельд Л.
Эволюция физики.—М.: ГИТТЛ, 1956.)
33. Everett H. «Relative state» formulation of quantum mechanics. — Rev.
Mod. Phys., 1957, v. 29, p. 454—462. (Перепечатано в книге [102].)
34. Feynman R. P., Hibbs A. P. Quantum Mechanics and Path Integrals. —
New York: McGraw-Hill, 1965. (Имеется перевод: Фейнмани Р., Хиббс А.
Квантовая механика и интегралы по траекториям. — М.: Мир, 1968.)
35. Feynman R. P., Leighton R. В., Sands M. The Feynman Lectures on Phy-
Physics.— Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1965. (Имеется перевод: Фейп-
мановские лекции по физике. — М.: Мир, 1968—1969.)
36. Fonda L., Chirardi G. С, Rimini A. Decay theory of unstable quantum
systems. — Reports on Progress in Physics, 1978, v. 41, p. 587—631.
37. Feedman D. Z., van Nieuwenhuizen P. Supergravity and the unification
of the laws of nature. — Scientific American, 1978, February, p. 126—138.
38. Gell-Mann M. What are the building blocks of matter? — In: The Nature
of the Physical Universe, cd. D. Huff, O. Prewett. — New York, Wiley,
1979.
39. Georgi H. A unified theory of elementary particles and forces. — Scien-
Scientific American, 1981, April, p. 40—55.
40. Ghirardi G. C, Omero C, Rimini A., Weber T. The stechastic interpreta-
interpretation of quantum mechanics. — Rivista del Nuovo Cimento 1978 v 1,
No. 3.
41. Gibson W. M., Pollard B. R. Symmetry Principles in Elementary Particle
Physics. — Cambridge: Cambridge University Press, 1976.
42. Gilmore R. Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Application —
New York: Wiley, 1974.
43. Glashow S. L. Quarks with color and flavor. — Scientific American
1975.— October, p. 38—50.
44. Glashow S. L. Towards a unified theory: threads in a tapestry — Rev
Mod. Phys., 1980, v. 52, p. 539—543.
45. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей.—М.: Наука, 1969.

478 Литература
46. Goldstein H. Classical Mechanics, 2nd ed. — Reading, Mass: Addison-
Wesley, 1980.
47. Gottfried K- Quantum Mechanics, vol. 1: Fundamentals. — New York:
Benjamin, 1966.
48. Gottfried K-, Weisskopf V. F. Concepts of Particle Physics, vol. 1.—
Oxford: University Press, 1984. (Имеется перевод: Готтфрид /С, Вай-
скопф В. Концепции физики элементарных частиц. — М.: Мир, 1988.)
49. Guth A. H., Steinhardt P. J. The inflationary universe. — Scientific Ame-
American, 1984, May, p. 90—102.
50. Halzen F., Martin A. D. Quarks and Leptons. — New York: Wiley, 1984.
51. Harari H. The structure of quarks and leptons. — Scientific American,
1983, April, p. 48—60.
52. Heisenberg W. The Physical Principles of the Quantum Theory. — New
York: Dover, 1930, 1949. (Имеется перевод: Гейзенберг В. Принципы
квантовой теории.—М.: ГИТТЛ, 1932; Гейзенберг В. Философские
проблемы атомной физики. — М.: ИЛ, 1953.)
53. Heisenberg W. Physics and Philosophy. — London: Allen & Unwin, 1959.
54. Hughes R. I. G. Quantum /ogic. — Scientific American, 1981, October,
p. 146—157.
55. Ishikawa K- Gluenballs.—Scientific American, 1982, November, p. 122—135.
56. Itzykson C, Zuber J. B. Quantum Field Theory. — New York: McGraw-
Hill, 1980. (Имеется перевод: Ициксон К., Зюбср I{.-Ь. Квантовая тео-
теория поля, т. 1 и 2.—М.: Мир, 1984.)
57. Jacob M., Landshoff P. V. The inner structure of the proton. — Scientific
American, 1980, March, p. 66—75.
58. Jammer M. The Philosophy of Quantum Mechanics. — New York: Wiley,
1974.
59. Jauch J. M. Foundations of Quantum Mechanics. Reading, Mass.: Addi-
son-Wesley, 1968.
60. Kaufmann W. J. (ed.). Particles and Fields. — San Francisco: Freeman,
1980.
61. Leader E., Predazzi E. Gauge Theories and the «New Physics». Cambrid-
Cambridge: Cambridge University Press, 1982.
62. Lederman L. M. The upsilon particle. — Scientific American, 1978. Octo-
October, p. 60—68.
63. Lighthill M. J. Fourier Analysis and Generalised Functions. — Cambridge:
Cambridge University Press, 1958.
64. Lyons L. An introduction to the possible substructure of quarks and
leptons. — Progress in Particle and Nuclear Physics, 1983, v. 10,
p. 227—304.
65. Mandl F., Shaw G. Quantum Field Theory. — Chishester: Wiley, 1984.
66. Mistry N. В., Poling R. A., Thorndike E. H. Particles with naked beauty.—
Scientific American, 1983, July, p. 98—107.
67. Nambu У. The confinement of quarks. — Scientific American, 1976, No-
November, p. 48—60.
68. Nelson K- Quantum Fluctuations. — Princeton: University Press, 1985.
69. O'Brien F. The Third Policeman. — London: Pan., 1974.
70 Particle Data Group Review of particle properties. — Rev. Mod. Phys.,
1984, v. 56, No 2, part 2.
70a. Паули В. Общие принципы волновой механики.—М.: ГТТЛ, 1947.
71. Peres A. Nonexponential decay.—Annals of Physics, 1980, v. 129,
p. 33—46.
72 Peres A. What is a state vector? — Amer. Journ. Phys., 1984, v. 52,
p. 644—650.
73. Perkins D. H. Introduction to High Energy Physics. — Reading, Mass.:
Addison-Wesley, 1982. (Имеется перевод первого издания: Перкинс Д.
Введение в физику высоких энергий. — М.: Мир, 1975.)

Литература 479
74. Perl M. L., Kirk W. Т. Heavy leptons. — Scientific American, 1978, March,
p. 50—57.
75. Piron С Foundations of Quantum Physics. — Reading, Mass.: Benjamin,
1976.
76. Polkinghorne J. C. The Particle Play. — London: Freeman, 1979.
77. Polkinghorne J. C. The Quantum World. — London: Longman, 1984.
78. Primas H. Chemistry, Quantum Mechanics and Reductionism. — Berlin:
Springer-Verlag, 1981.
79. Putnam H. A philosopher looks at quantum mechanics. — In: Mathema-
Mathematics, Matter and Method. — Cambridge: Cambridge University Press, 1965,
1975.
80. Putnam H. The logic of quantum mechanics. — In: Mathematics, Matter
and Method.— Cambridge: Cambridge University Press, 1968, 1975.
81. Quigg C. Elementary particles and forces. — Svientific American, 1985,
April, p. 64—75.
82. Ramond P. Field Theory: A Modern Primer. — Reading, Mass.: Benjamin/
Cummings, 1981.
83. Rebbi С The lattice theory of quark confinement. — Scientific American,
1983, February, p. 36—47.
84. Reichenbach H. Philosophic Foundations of Quantum Mechanics. — Ber-
Berkeley: University of California Press, 1944.
85. Ryder L. Quantum Field Theory. — Cambridge University Press, 1985.
(Имеется перевод: Райдер Л. Квантовая теория поля.—М.: Мир, 1988.)
86. Salam A. Gauge unification on fundamental forces. — Rev. Mod. Phys.,
1980, v. 52, p. 525—538.
87. Schiff L. I. Quantum Mechanics.—Tokyo: McGraw-Hill, Kogakusha, 1968.
(Имеется перевод первого издания: Шифф Л. И. Квантовая механи-
механика. — М.: ИЛ, 1957.)
88. Schwitters R. F. Fundamental particles with charm. — Scientific American,
1977, October, p. 56—70.
89. Scully M. 0., Sargent M. The concept of the photon. — Physics Today,
1978, March, p. 38—47.
90. Stapp H. P. The Copenhagen interpretation. — Amer. Journ. Phys., 1972,
v. 40, p. 1098—1116.
91. Sudbery A. The observation of decay.—Annals of Physics, 1984, v. 157,
p. 512—536.
92. Sutton С (ed.). Building the Universe. — Oxford: Basil Blackwell, 1985.
93. ter Haar D. (ed.). The Old Quantum Theory. — Oxford: Pergamon, 1987.
93a. von Neumann J. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. —
Princeton: University Press. 1932, 1955 (Имеется перевод: Нейман
фон Дж. Математические основы квантовой механики.— М.: Наука, 1964.)
94. Wallace D. J. Computing the strong force. — In: Building the Universe.—
Oxford: Basel, Blackwell, 1985.
95. Wallace Garden R. Modern Logic and Quantum Mechanics. — Bristol:
Hilger, 1984.
96. Weinberg S. Unified theories of elementary-particle interaction. — Scien-
Scientific American, 1974, July, p. 50—59.
97. Weinberg S. Conceptual foundations of the unified theory of weak and
electromagnetic interactions. — Rev. Mod. Phys., 1980, v. 52, p. 515—524.
98. Weinberg S. The decay of the proton. — Scientific American 1981, June,
p. 52—63.
99. Weinberg S. The Discovery of Subatomic Particles. — New York: Scienti-
Scientific American. 1983. (Имеется перевод: Вапнберг С. Открытие субатом-
субатомных частиц. — М.: Мир, 1986.)
100. Wess J., Bagger J. Supersymmetry and Supergravity.— Princeton: Uni-
vcrsity Press, 1983. (Имеется перевод: Весе И., Бсггср Док. Суперсим-
Суперсимметрия и супергравитация. — М.: Мир, 1986.)

480 Литература
101. Weyl H. The Theory of Groups and Quantum Mechanics. — New York:
Dover, 1928, 1950. (Имеется перевод: Вейль Г. Теория групп и кванто-
квантовая механика. — М.: Наука, 1986.)
102. Wheeler J. A., Zurek W. H. (ed.). Quantum Theory and Measurement.—
Princeton: University Press, 1983.
103. Wigner E. P. Group Theory, —New York: Academic Press, 1959. (Име-
(Имеется перевод: Вигнер Э. Теория групп.—М.: ИЛ, 1961.)
104. Wigner E. P. Interpretation of quantum mechanics. — In: Quantum Theory
and Measurement. — Princeton: University Press, 1983.
105. Zukav G. The Dancing Wu Li Masters. — London: Hutchinson, 1979.

Предметный указатель
Аддитивные квантовые числа 21, 111
Адроны 29
Активные преобразования 1-М, М5
Алгебра Ли 148
Алгебраическая формулировка кван-
квантовой механики 277
ос-лучи 16
ос-частицы 14
Амплитуда вероятности 166
— волны 59
Антикоммутатор операторов 213
Антикоммутационные соотношения
227
Антилипепный оператор 138
Антинейтрино 20
Антипротон 21
Антисимметричное состояние 104
Антиунитарный оператор 138
Ароматы 30
Асимптотическая свобода 370
Атом водорода 212—218
Атомы 12
Атомная теория 12
Атомный помер 16
Барионное число 24
Барионы 23
Белла неравенство 272—276
— постулат 296
— теорема 275
Бозоны 48, 105, 107
Боттомоний 363, 372
Бра-вектор 82, 83
Брейта — Вигнера формула 353, 354
Брейт-вигнеровское распределение
Броуновское движение 12
Внутренняя четность 197
Волна-пилот 270
Волновая функция 60
Волновой пакет 98, 99
Восьмеричный путь 336—352
Время жизни ядра 17
Вторичное квантование 405, 421
Вып\-клое множество 247
Галилея группа 152, 183
Гамильтона уравнения 116, 155
Гамильтониан 115, 116
Гармонический осциллятор 219
— — трехмерный 221
Гейгеровские счетчики 32
Гейзенберговская картина 154
Гейзенберговское уравнение двнже
ния 155
Гелл-Манна Х-матрицы 337
Генератор 147
Глизона теорема 286
Глобальная симметрия 445
Глэшоу — Илиопулоса — Майани ме
ханизм 383
Глюболы 54
Глюино 390
Глюоны 368, 369
Голдстоуна теорема 447
Голдстоуиовские бозоны 449
Гравитино 390
Гравитон 48
Грина функция 409
Группа вращений 148
— инвариантности 153
— Ли 147
— симметрии 153
Группы операций 132, 146
Векторное представление 194
Векторы состояний 67
Весовая диаграмма 340
Вигнера теорема 138, 181
— Эккарта теорема 203, 204
Виртуальные фотоны 45
Внутреннее произведение 69
Двойное лучепреломление 72
Действие 172
Дейтрон 317
6-функция Дирака 95
Дирака уравнение 410—422, 427
Дифракция 38
-- электронов 58

482
Предметный указа i ело
d-кварк 28
Донери — Лойнжера — Проспери
теорема 263
Евклидова группа 152
Закон сохранения барионного числа
24
— — лептонного числа 24
Зарядовое сопряжение 320—322
Зеемана эффект 242
Излучение абсолютно черного тела
35
Изовекторный оператор 323
Изоскалярный оператор 323
Изоспин 312—326
Изоспиновые преобразования 314
Изоспиновый мультиплет 315, 317
Изотопы 18
Импульсная волновая функция 97
Инвариантная масса 357
Индетерминизм 289, 290
Интерпретация квантовой механики
292
— ¦ буквальная 295
использующая ансамбли 300
— — — квантово-логическая 304
— • минимальная 292
— — — объективная 296
относитель- д-числа
— оперирующая
ным состоянием 302
— — множеством миров 302
— — — со скрытыми переменными
306
— стохастическая 307
— — •— эпистемная 299
Интерференция 38
Инфинитезимальный оператор 129
Ионы 16
Иордана алгебра 278
Искровая камера 31
Истинность 30
— хромодииамика 54, 442
— электродинамика 54, 433
Квантовые ноля 397
Кварки 28—30, 344
Кварковое строение частиц 344—350
Кет-вектор 82, 83
Кинетическая теория 11
Классическая логика 287
— механика 245
Клебша — Гордана коэффициенты
203
Клейна — Гордона уравнение 409—
412, 427
Ковариантнып 4-вектор 462
Когерентная волна 38
— суперпозиция 118, 260
Кокварки 391
Колептоны 391
Комбинированные системы 253
Коммутатор операторов 87
Коммутационные соотношения 97,
143, 144
канонические 97
— — основные 144
Коммутирующие операторы 80
Комптоновское рассеяние 40, 58
Константа движения 130
Континуальный интеграл 173
Контравариантный 4-вектор 461
Конфайнмент кварков и глюонов 54,
371
Коулмена—Мандулы теорема 388
Красота 30, 360, 363
Левые частицы 198
Ленца вектор 213
Лептонное число 24
Лептонный ток 326
Лептоны 23
Ли алгебра 148, 390
— группа 147
— супералгебра 389
Лоренцев скаляр 461
Лоренцево преобразование 462
Кабиббо угол 331
Калибровка 437
Калибровочные бозоны 55
Канонические коммутационные соот-
соотношения 97
Картина взаимодействия 157
Квант энергии 36
Квантовая ароматодинамика 54, 451
— логика 280, 287
Максвелла уравнение 396
Масса покоя 18
Матрица плотности 248
Матрицы 80
Мезоны 29
Метасостояние 246, 285, 287
Молекулы 11
Мультипликативные квантовые чис-
числа 141

Предметный указатель
483
Мюон 25
Мюонное нейтрино 25
— число 26
Наблюдаемые 78
Нарушение СР-инвариантпоети 335
Нейтрино 19, 21
Нейтрон 18
Некогерентная суперпозиция 118,
260
Неопределенность наблюдаемой 84
Неприводимая система операторов
204
Неприводимый изоспиновый оператор
322
Несепарабельность 291
Ветер первая теорема 429
— теорема для трансляций 432
Неупругое рассеяние 354
Нечетная перестановка 106
Нормальное упорядочение 400
Нормированная волновая функция
61
Нормированный вектор состояния 70
Нуклон 313
Нуклон-нуклонное рассеяние 318
Нулевой вектор 68
Обращение времени 137—139
Объединение 281
Оператор обмена 104
Операторы рождения и уничтожения
225
Операционализм 289
Орбитальное состояние 206, 210
Орбитальный угловой момент 189
Ортогональная группа 152
Ортогональное дополнение 283
Ортонормированная система 70
Очарование 30, 360, 361
Паровоздушная камера 31
Парциальный след 254
Пассивные преобразования 144, 145
Паули матрицы 192, 193
— принцип 108
Перенормировка 435, 436
Пересечение 281
Периодическая система элементов 12,
13, 217
Пионы 52
Плотность лагранжиана 425
— состояний 93
Повышающий оператор 186
Позитивизм 288
Позитрон 20
Позитроний 232
Поколения частиц 30
Полностью антисимметричный вектор
состояния 105, 106
— симметричный вектор состояния
105, 106
Поляроид 61
Понижающий оператор 186
Постоянная Планка 36
Правила суперотбора 286
Правило А/ = 1/2 330
— спина и статистики 192
— суммирования по повторяющимся
индексам 460
Правые частицы 198
Прагматизм 289
Приведенная масса системы 207
Принцип верификации 288
— наименьшего действия 173
— неопределенности 42, 43
— суперпозиции 69, 70
Проективное пространство 280
Проективный постулат 76, 255, 291,
292
Проекционный оператор 75
Пространственная инверсия 136
Пространство состояний 68
Протон 17
Прямая сумма решеток 286
Пуанкаре группа 388, 389
Пуассона скобки 155
Пузырьковая камера 31
Радиоактивность 16, 58
Радиоактивный распад 325
Радиус действия сил 35, 51
Размерность пространства состояний
71
Редуцированные матричные элемен-
элементы 205
Резонансы 355
Решетка 281
— атомная 285
— неприводимая 285
— ортокомплиментарная 283
Рождения оператор 225
Салама — Вайнберга гамильтониан
377
теория 377—384
— — — экспериментальное подтвер-
подтверждение 383
Самосопряженное представление 342

484
Предметный указатель
Самосопряженный мультиплет 321,
322
Свобода воли 290
Связанное состояние 215
Семейства частиц 30
Сечение рассеяния 355
Сильное взаимодействие 34
Симметричное состояние 104
Скобки Ли 148
Скорости распадов 319
Скрытая симметрия 446
Скрытые переменные 266
Слабое взаимодействие 34
Слабый нейтральный ток 382
Слетеровский детерминант 106
Сложение угловых моментов 199—
205
Смешанное состояние 247, 249
Собственное состояние системы 73
Собственные значения 78
Совместные наблюдаемые 85
Соотношение неопределенностей 88,
98
Сопряженное представление 341
Состояние квантовой системы 67
Спектр атома 15
— испускания 354
— поглощения 354
Спин 191
Спиновое состояние 206, 208
Спинор 193
Сшшорные волновые функции 193
Спиральность частиц 198
Спонтанно нарушаемая симметрия
446
Среднее значение наблюдаемой 84
Статистика Бозе — Эйнштейна 108
— Ферми — Дирака 108
Статистический оператор 248
Стоуна — фон Неймана теорема 98
Странность 26, 327—335
Струи частиц 372
Субструктура 391
Супералгебра Ли 389
Суперсимметрия 388—390
Сщштилляциошше счетчики 31
с-числа 80
Угловой момент 134, 135, 185—193
внутренний 207
орбитальный 189—203
сложение 199—205
Угол рассеяния 14
Универсальность слабых взаимодей-
взаимодействий 327
Унитаритарная операция 128
Унитарный оператор 128
Уничтожения и рождения операторы
224, 225
Упругое рассеяние 353
Уравнение неразрывности 122, 271
Уравнения движения 114, 115
Фазовое пространство 245
Фактор фазового объема 163
Фейнмана постулат 174
Фейнмановская формулировка кван-
квантовой механики 172
Фейнмаиовские диаграммы 41
Фермионы 105, 107
Фотоны 37
Фотоэлектрический эффект 36
Фотоэмульсии 31
Фундаментальное представление 340
Фурье-образ 91
Хиггса механизм 449—454
— потенциал 454
Хронологическое произведение 167
Цвейга правило 373
Цвет 29, 364
Чармоний 363
Частица J/i|) 361, 362
Черенковские счетчики 32
Четная перестановка 106
Четность 136
— зарядового сопряжения 231
Чистое состояние 247, 249
Таблица истинности 287
Тау-лептон 26
Тензор интенсивности поля 441
Тензорное произведение 102, 103
Теория с псабелевой калибровкой 51
Тождество Якобы 88
Ток вероятности 123
Тритий 18
Ширина резонанса 355
Шредингера уравнение временное 115
стационарное 119
Шредингеровская картина 154
Шредиигеровский парадокс 257—259
Штерна—-Герлаха эксперимент 188,
189

Пред .па ный указатель
485
Эйлера теорема 149
Эйнштейна — Подольского — Роза-
Розана парадокс 267
Эксперимент с двумя щелями 39
Экстремальная точка 247
Электромагнитные потенциалы 397
Электронное нейтрино 2G
— число 26
Электрослабое взаимодействие 373 -
383
— — несохранение четности 373
— — распад ппопоп 37G
Электрослабые силы 35, 50
Эмпиризм 288
Энергия связи 17
Эренфеста теорема 121
Эрмитов генератор 134
— оператор 78, 81
Эрмитово сопряжение 81, 82
Ядро 15
Янги — Ми.ыса теория 437

Оглавление
Предисловие переводчика 5
Предисловие автора 7
Глава 1. Частицы и силы взаимодействия 11
А. Анализ вещества 11
§ 1.1. Молекулы и атомы 11
§ 1.2. Электроны, протоны и нейтроны 13
§ 1.3. Нейтрино 18
§ 1.4. Античастицы; барионы и лептоны 20
§ 1.5. Кварки и лептоны 25
§ 1.6. Экспериментальное наблюдение частиц 31
Б. Анализ сил 32
§ 1.7. Типы сил 32
§ 1.8. Частицы, переносящие силы разных типов 35
Рекомендуемая литература 55
Задачи к главе 1 55
Глава 2. Квантовая статика 57
§ 2.1. Несколько примеров 58
§ 2.2. Пространство состояний 66
§ 2.3. Результаты экспериментов 71
§ 2.4. Наблюдаемые 78
§ 2.5. Наблюдаемые для простой частицы, движущейся в про-
пространстве 89
§ 2.6. Комбинированные системы 100
Приложение: свойства эрмитовых и унитарных операторов . . . 108
Основные положения главы 2 110
Рекомендуемая литература 111
Задачи к главе 2 111
Глава 3. Квантовая динамика 114
§ 3.1. Уравнения движения 114
§ 3.2. Инвариантности и константы движения 127
§ 3.3. Группы операций 146
§ 3.4. Гейзенберговская картина 154
§ 3.5. Временная теория возмущений . 156
§ 3.6. Фейнмановская формулировка квантовой механики . . . 172
Основные положения главы 3 177
Рекомендуемая литература 178
Задачи к главе 3 178
Глава 4. Конкретные квантовые системы 185
§ 4.1. Угловой момент 185
§ 4.2. Сложение угловых моментов 199

Оглавление 487
§ 4.3. Двухчастичные системы 206
§ 4.4. Атом водорода 212
§ 4.5. Гармонический осциллятор 219
§ 4.6. Операторы уничтожения и рождения 224
Основные положения главы 4 239
Рекомендуемая литература 239
Задачи к главе 4 239
Глава 5. Квантовая метафизика 245
§ 5.1. Вероятностные формулировки классической и квантовой
механик 245
§ 5.2. Квантовая теория процесса измерения 254
§ 5.3. Скрытые переменные и локальные теории 266
§ 5.4. Альтернативные формулировки квантовой механики . . . 276
§ 5.5. Интерпретации квантовой механики 288
Основные положения главы 5 307
Рекомендуемая литература 308
Задачи к главе 5 308
Глава 6. Квантовые числа (свойства элементарных частиц) 312
§ 6.1. Изоспин 312
§ 6.2. Странность 327
§ 6.3. Восьмеричный путь 336
§ 6.4. Адронная спектроскопия 352
§ 6.5. Цветные силы 364
§ 6.6. Электрослабое взаимодействие 373
§ 6.7. Последующее развитие теории 384
Рекомендуемая литература 391
Задачи к главе 6 392
Глава 7. Квантовые поля 396
§ 7.1. Полевые операторы 396
§ 7.2. Уравнение Дирака 410
§ 7.3. Динамика полей 424
§ 7.4. Калибровочные теории 436
§ 7.5. Скрытая симметрия 443
§ 7.6. Квантовая ароматодинамика 451
Основные положения главы 7 456
Рекомендуемая литература 457
Задачи к главе 7 457
Приложение I. Алгебра 3-векторов и 4-векторов 460
Приложение II. Свойства элементарных частиц 464
Приложение III. Коэффициенты Клебша — Гордана . . ...... 466
Ответы и указания к задачам 471
Литература 476
Предметный указатель 481