/
Автор: Полянин А.Д. Дильман В.В.
Теги: основы химической технологии химия задачи по химии химическая технология издательство химия
ISBN: 5-7245-0106-6
Год: 1988
Текст
В. В. Дильман, А.Д Полянин
МЕТОДЫ
МОДЕЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
И АНАЛОГИЙ
в химической
технологии
МОСКВА «ХИМИЯ»
1988
Р е ц е н з е н т ы: д-р техн, наук В. А. Бесков,
д-р техн.наук Н. Н. Кулов
УДК 66.011
Методы модельных уравнений и аналогий в химической
технологии/В. В. Дильман, А. Д. Полянин. — М.: Химия,
1988. — 304 с.
ISBN 5-7245-0106-6
Изложены новые приближенные аналитические методы химической
технологии, гидродинамики, теории массотеплопереноса (методы анало-
гий, асимптотической коррекции, модельных уравнений, алгебраический
и др.) и решены многочисленные конкретные задачи. Получены формулы,
обладающие повышенной информативностью, позволяющие описать целый
ряд задач сходного типа.
Предложен новый простой метод обработки экспериментальных дан-
ных, основанный на использовании асимптотических координат; эффектив-
ность его иллюстрируется путем обработки опытных данных.
Для научных и инженерно-технических работников, специализирую-
щихся в области химической технологии, гидродинамики, массотеплопе-
реноса. Может быть полезна преподавателям, аспирантам и студентам
соответствующих специальностей вузов.
Табл. 9. Ил. 50. Библиогр.: 198 назв.
Д
2801000000-043 л _
--------------43-88
050(01)-88
ISBN 5-7245-0106-6
© Издательство «Химия», 1988
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ...................................................... 6
Введение.......................................................... 1
В.1. Классификация теоретических методов.......................... 7
В.2. Теория размерности и подобия................................ 12
В.З. Основные уравнения и граничные условия химической гидродина-
мики .............................................................14
Глава 1. Метод асимптотической коррекции..........................20
1.1. Описание метода..............................................20
1.2. Конвективный массоперенос к капле произвольной вязкости при
больших числах Пекле.........................................23
1.3. Конвективный массоперенос, осложненный объемной химической ре-
акцией произвольного порядка......................................27
1.4. Некоторые обобщения и замечания..............................29
Глава 2. Принцип аналогии.........................................35
2.1. Аналогия и моделирование . 36
2.2. Точный пример сохранения аналогии (модельная задача с поверх-
ностной химической реакцией)......................................40
2.3. Массоперенос в окрестности передней критической точки капли 44
2.4. Использование принципа аналогии для построения приближенных
формул, обладающих повышенной информативностью (нестационар-
ная диффузия к капле и твердой частице)...........................49
2.5. Массообмен капель и частиц с потоком, осложненный объемной хи-
мической реакцией.................................................54
2.6. Среднее число Шервуда для частицы произвольной формы . . 58
2.7. Безразмерные параметры, асимптотические координаты и принцип
аналогии..........................................................61
2.8. Некоторые обобщения (сопротивление тела вращения, произвольно
ориентированного в пространстве)..................................65
Глава 3. Метод модельных уравнений................................67
3.1. Описание метода..............................................68
3.2. Диффузия к движущейся частице при протекании на ее поверхности
химической реакции с произвольной кинетикой.....................71
3.3. Конвективный массоперенос к капле или твердой частице при про-
текании в жидкости объемной химической реакции с произвольной
кинетикой.........................................................80
3.4. Нестационарный конвективный массо- и теплоперенос к капле или
твердой частице.................................................88
3.5. Построение приближенных формул для числа Шервуда при боль-
ших числах Пекле во всем диапазоне изменения вязкостей фаз 93
3.6. Диффузия к капле или твердой частице при любых числах Пекле 99
3.7. Многокомпонентная диффузия к реагирующей частице (неизотерми-
ческий случай).................................................102
3.8. Получение приближенных соотношений для локального диффузион-
ного потока....................................................105
3
Глава 4. Алгебраический метод......................................109
4.1. Описание метода для стационарного случая......................109
4.2. Решение стационарных задач химической гидродинамики . . 115
4.3. Описание алгебраического метода для анализа нестационарных за-
дач. Основные правила действия алгебраического метода ... 122
4.4. Решение нестационарных задач химической гидродинамики (массо-
перенос, осложненный объемной химической реакцией) . 130
4.5. Нестационарный конвективный теплоперенос при произвольной за-
висимости коэффициента теплопроводности от температуры . . 138
4.6. Пространственные задачи нестационарного пограничного слоя 147
4.7. Тепло- и массообмен при турбулентном режиме течения на входном
участке трубы......................................................153
4.8. Получение приближенных соотношений, основанное на оценке чле-
нов дифференциального уравнения....................................158
4.9. Область применимости (и возможные ограничения) алгебраического
метода.............................................................164
Глава 5. Метод асимптотической интерполяции........................171
5.1. Описание метода . 171
5.2. Массо- и теплообмен капель, частиц и пузырей с поступательным и
сдвиговым потоком..................................................174
5.3. Модификации метода асимптотической интерполяции (коэффициент
сопротивления пузыря).....................................178
5.4. Построение приближенных формул с помощью сдвигов по коорди-
натам .............................................................183
Глава 6. Метод асимптотической экстраполяции...............186
6.1. Описание метода.......................................186
6.2. Построение приближенных формул в задачах конвективного массо-
переноса с поверхностными или объемными химическими реакциями 189
6.3. Модификации метода асимптотической экстраполяции .... 194
6.4. Использование метода в задачах химической гидродинамики (мас-
соперенос к телу вращения, произвольно ориентированному в по-
токе) .............................................................196
Глава 7. Метод осреднения..........................................202
7.1. Линеаризация осреднением . 202
7.2. Осреднение уравнений в задачах с объемной химической реакцией 203
7.3. Учет зависимости коэффициента диффузии от концентрации в зада-
чах конвективного массопереноса .................................. 205
7.4. Осреднение граничных условий в задачах с поверхностными хими-
ческими реакциями..................................................213
Глава 8. Традиционные приближенные методы..........................216
8.1. Метод Галеркина и его модификации.............................216
8.2. Абсорбция химически активного компонента в ламинарной пленке
жидкости (упрощенная модель).......................................222
4
8.3. Учет зависимости коэффициента диффузии от концентрации . . 230
8.4. Задачи с необратимой реакцией произвольного порядка . . . 232
8.5. Расчет процесса абсорбции при реальном профиле скорости . 234
8.6. Растворение пластины ламинарной пленкой жидкости .... 239
8.7. Ламинарное движение потока в плоском канале с пористыми стен-
ками 240
8.8. Дисперсия динамически пассивной примеси в цилиндрической трубе
(задача Тейлора)..............................................243
8.9. Использование интегрального метода в задачах с граничными усло-
виями третьего рода (распространение алгебраического метода на
этот случай)..................................................248
8.10. Асимптотическая коррекция коэффициентов дифференциальных
уравнений, выведенных интегральным методом....................259
8.11. Метод «проноса» интегральных преобразований...............271
Глава 9. Обработка экспериментальных данных с помощью асимптотиче-
ских координат 277
9.1. Модельный пример...........................................277
9.2. Описание метода (классификация экспериментальных кривых про-
стейшего вида)................................................281
9.3. Примеры обработки экспериментальных данных (турбулентное те-
чение, псевдоожиженный слой)..................................285
Основные условные обозначения...........................295
Библиографический список................................296
ПРЕДИСЛОВИЕ
Для резкого повышения эффективности многих технологических процессов в
химической, нефтехимической, металлургической и других отраслях промыш-
ленности требуется изучение явлений переноса импульса и массы в сочетании
с физико-химическими превращениями. Из-за наличия в реальных задачах
большого числа характерных параметров часто невозможно эффективно ис-
пользовать существующие методы исследования. Поэтому важное значение
имеют разработка и развитие приближенных аналитических методов расчета,
базирующихся на общих представлениях о механизме рассматриваемых явле-
ний и процессов.
В настоящей монографии описаны перспективные теоретические и экспе-
риментальные методы исследования процессов химической гидродинамики и
химической технологии, а также нетрадиционные принципы построения при-
ближенных (инженерных) формул, позволяющие получать искомые зависимо-
сти в простой аналитической форме (в виде конечных формул или алгебраиче-
ских уравнений).
Особенностью полученных этими методами формул является их высокая
информативность, что позволяет использовать одну и ту же формулу для
описания задач, явлений или процессов сходного типа (различающихся фор-
мой и видом реагирующей поверхности, геометрией течения и т, п.).
Большинство рассматриваемых методов основано на исследовании
сравнительно простых модельных процессов (или уравнений) и последующем
применении принципа аналогий, что обеспечивает достаточно высокую точ-
ность конечных результатов. Эти методы могут быть успешно использованы
для исследования задач химической технологии, макрокинетики, гидродина-
мики, конвективного массо- и теплопереноса, а также других задач, при ре-
шении которых возникает необходимость построения различных приближен-
ных формул (в частности, получены число Шервуда для капли и твердой
частицы при произвольней кинетике объемной или поверхностной химической
реакции; коэффициент массообмена движущейся в жидкости частицы любой
формы; зависимость числа Шервуда от времени для капли или твердой части-
цы; коэффициент сопротивления тел вращения, произвольно ориентированных
в потоке; формула для диффузионного потока при турбулентном течении на
входном участке трубы; уравнения, описывающие распространение динамиче-
ски пассивной примеси в потоке). Предлагаемые методы имеют широкий
спектр практических приложений при описании и расчете процессов и аппара-
тов химической и нефтехимической технологии.
В книге изложена методика обработки экспериментальных данных с
помощью «асимптотических координат», пользуясь которой можно единым
образом интерпретировать сходные процессы в различных промышленных
аппаратах.
Многочисленные примеры, иллюстрирующие применение приближенных
аналитических методов исследования (методы аналогий, асимптотической
коррекции, модельных уравнений, асимптотической интерполяции, асимптоти-
ческой экстраполяции и др.), охватывают практически все элементарные про-
цессы в двухфазных средах, характерные для химико-технологических си-
стем.
Материал в книге изложен по принципу «от простого к сложному», что
существенно облегчает его восприятие.
В книге принята двойная нумерация формул для раздела каждой главы;
ссылки на формулы из других глав оговариваются специально.
Авторы надеются, что книга привлечет внимание широкого круга чита-
телей, работающих в области химической технологии, химической механики,
макрокинетики, гидродинамики, тепломассопереноса и других областей науки
и техники.
ВВЕДЕНИЕ
ВЛ. КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
Используемые в насюящее время теоретические методы исследования раз-
личного рода прикладных задач (в том числе задач химической гидродина-
мики и химической технологии) условно можно разделить на четыре класса:
точные, асимптотические, численные и приближенные [54]. Естественно, что
указанная классификация достаточно схематична и не единственна. При ре-
шении конкретных задач нередко приходится использовать сочетание не-
скольких методов различных классов. Кроме того, иногда объединяют точ-
ные и численные (а также асимптотические и приближенные) методы в одну
более широкую группу. Предлагаемая здесь классификация весьма удобна,
она основана на использовании ряда характерных черт и отличительных
признаков каждого класса. Ниже дано краткое описание методов каждого
класса, указаны их основные достоинства и недостатки.
Точные методы. Под точными здесь понимают математические методы,
позволяющие получать искомые величины в аналитическом виде (например,
в виде конечных формул, интегралов и рядов). При этом в процессе реше-
ния не допускаются какие-либо упрощения исходной задачи.
В настоящее время точные методы применяют преимущественно для
решения некоторых линейных задач, описываемых уравнениями в частных
производных сравнительно невысокого порядка в областях простой геомет-
рии; наибольшую пользу они приносят при исследовании линейных уравне-
ний с постоянными коэффициентами. Наиболее распространенными метода-
ми, используемыми для решения линейных задач, являются: метод разделе-
ния переменных, метод характеристик, различные интегральные преобразо-
вания (например, преобразования Лапласа и Фурье) и некоторые другие
[21, 79, 125, 153].
При необходимости исследования нелинейных уравнений основной целью
и большим достижением, как правило, считается уже получение частных
решений (поскольку известные нелинейные уравнения в частных производ-
ных второго и более высокого порядков, которые могут быть аналитически
полностью, т. е. для любых начальных и граничных условий, проинтегриро-
ваны, можно буквально пересчитать «по пальцам»). Используемые для этого
методы обычно основаны на различного рода преобразованиях зависимых и
независимых переменных, что позволяет в случае успеха свести исходную
задачу к эквивалентной — более простой модельной задаче, решение которой
известно. Успех процедуры отыскания точного решения зависит, в первую
очередь, от существования такой эталонной задачи, что встречается очень
редко. Кроме того, даже если такая задача существует, возникает второй,
не менее важный, вопрос — определение такого преобразования искомых
функций и координат, которые приводят исходную задачу к эталонной.
Наиболее известные преобразования в нелинейных задачах основаны на
введении автомодельных переменных, позволяющих вместо сложных урав-
нений в частных производных рассматривать более простые — обыкновенные
дифференциальные уравнения. В некоторых случаях явный вид автомодель-
ных переменных можно установить с помощью методов теории размерностей
и подобия [12, 39, 40, 119]. Практически единственным достаточно регуляр-
ным методом отыскания таких (и более общих) преобразований является
метод теории групп Ли (или его обобщение — метод Ли — Бэкланда), поз-
воляющий получать дифференциальные уравнения для новых переменных
Из сказанного ясно, что в подавляющем большинстве задач химической
гидродинамики и химической технологии не удается получить точные анали-
тические решения. Основные причины, затрудняющие получение точных ре-
шений, обусловлены, как правило, нелинейностью уравнений или граничных
условий, зависимостью коэффициентов уравнений от координат, сложной
7
формой границ и т. п. Более того, даже в тех случаях, когда точное решение
некоторой задачи найдено в явном аналитическом виде, оно может оказать-
ся неудобным, а иногда и вообще бесполезным для физической либо мате-
матической интерпретаций или численных расчетов (типичными наиболее
простыми примерами такого рода служат многие интегралы, зависящие от
параметра при его больших значениях — см., например, [128]). Поэтому для
получения необходимой информации об исследуемом явлении или процессе
приходится прибегать к разного рода упрощениям в математической форму-
лировке соответствующей задачи, к различным приближениям и аппроксима-
циям, численным методам или к тем и другим одновременно.
В то же время следует отметить, что частные точные решения нели-
нейных уравнений (в том числе и те, которые не имеют ясного физического
смысла и не соответствуют реальным явлениям и процессам) играют важ-
ную роль «тестовых задач» при проверке корректности и оценке точности
различных численных, асимптотических и приближенных методов. Кроме то-
го, допускающие точные решения модельные задачи служат основой для
разработки новых численных, асимптотических и приближенных методов, ко-
торые, в свою очередь, позволяют исследовать более сложные задачи, не
имеющие аналитического решения.
Асимптотические методы. Изучение любого нового явления начинают с
определения его основных закономерностей, которые обычно формулируют
далее с помощью соответствующей системы уравнений. Второй этап иссле-
дования состоит в решении этих уравнений. Получаемые при этом задачи
часто настолько сложны, что возникает необходимость построения упрощен-
ных (модельных) уравнений, без которых невозможны выявление соответст-
вующего физического механизма, адекватная интерпретация и ясное понима-
ние явления.
Характерным и очень важным примером построения приближенных
уравнений такого рода являются уравнения пограничного слоя. Переход от
исходных уравнений к уравнениям пограничного слоя позволило сформули-
ровать законы подобия (например, в аэрогидродинамике и теории конвектив-
ного массо- и теплопереноса), которые невозможно выявить при более точ-
ной постановке задачи. Авторы ранних работ при выводе приближенных
уравнений обычно руководствовались интуицией, но постепенно выяснилось,
что надежнее и лучше пользоваться асимптотическими методами (методами
возмущений), совершая предельный переход по одному или нескольким
(малым или большим) параметрам.
Помимо выяснения качественных закономерностей изучаемого явления,
упрощение описывающих его уравнений открывает путь и к количественно-
му решению задачи. На этом этапе исследования значение асимптотических
методов значительно возрастает — асимптотические разложения позволяют не
только получить первое приближение, но и формализованным образом по-
строить высшие. Эти методы помимо простого и наиболее известного случая
регулярных разложений допускают также различные более сложные моди-
фикации, к которым относятся, например, методы сращиваемых асимптоти-
ческих разложений, двухмасштабных разложений, усреднения [22, 67, 84].
Асимптотические решения представляются в виде одного или нескольких
рядов, каждый член которых удовлетворяет более простому, чем исходное,
уравнению в частных производных. Возникающие при решении неизвестные
постоянные и структура асимптотического разложения (т. е. зависимость
членов асимптотической последовательности от малого или большого пара-
метра) определяются с помощью процедуры сращивания. Чтобы выявить
все существенные черты изучаемой задачи и дать хорошее численное при-
ближение к искомому точному решению, как правило, нужно знать лишь не-
сколько первых членов разложения. Несмотря на то, что методы возмуще-
ний возникли сравнительно недавно, с их помощью уже сделано множество
открытий в различных областях знания.
Важно подчеркнуть, что наличие малого или большого параметра во
многих случаях обусловлено постановкой задачи, а не желанием исследова-
теля получить тот или иной аналитический результат. Например, практиче-
ски во всех задачах о конвективной диффузии в жидкостях имеется боль-
8
шой безразмерный параметр — число Шмидта (это связано с характерными
для жидкости значениями физических констант), что приводит к появлению
диффузионного пограничного слоя и диффузионного следа за реагирующей
частицей [20, 30, 76]. В сингулярно-возмущенных задачах такого рода су-
ществуют узкие пространственно-временные области, в которых решение бы-
стро меняется. Структура, протяженность и число этих областей, как прави-
ло, заранее не известны. Это сильно затрудняет непосредственное использо-
вание конечно-разностных численных методов, которые обычно основаны на
априорном представлении о качественном поведении решения.
. Строгое математическое обоснование асимптотических методов в настоя-
щее время находится еще в сравнительно зачаточном состоянии. Однако не-
противоречивость результатов и имеющийся огромный опыт практического
применения этих методов дают основание считать их весьма плодотворными
и наиболее общими из всех существующих аналитических методов.
Получающиеся при использовании методов возмущений асимптотические
ряды очень часто расходятся или крайне медленно сходятся. Кроме того,
как правило, удается вычислить лишь несколько (обычно не более двух или
трех) первых членов возмущённого разложения. Указанные обстоятельства
не позволяют оценить поведение решения при промежуточных (конечных)
значениях параметра или координаты и накладывают существенные ограни-
чения. на использование асимптотических формул для расчетов непосредст-
венно в инженерной практике. Это — наиболее существенный недостаток
методов возмущений.
Для улучшения асимптотических рядов применяли преобразования
Шенкса и Эйлера, приближения рациональными дробями, выбор естествен-
ных (оптимальных) координатных или параметрических разложений и дру-
гие приемы (см., например, [22, 192]). К сожалению, указанные преобразо-
вания и приемы, несмотря на их полезность, не обладают общностью. Обыч-
но их приходится использовать интуитивно, без понимания соответствующе-
го механизма. Кроме того, для успешного применения всех перечисленных
методов необходимо иметь достаточно большое число членов исходного
асимптотического разложения (которые, как правило, заранее не известны,
а получение их обычно сопряжено со значительными трудностями).
Несмотря на перечисленные недостатки, в настоящее время — время бы-
строго развития вычислительной техники — методы возмущений отнюдь не
утрачивают своего значения. Они представляют собой одно из наиболее
мощных средств современной прикладной математики и служат для выяс-
нения принципиально важных закономерностей и качественных особенностей
весьма сложных линейных и нелинейных краевых задач, для получения
асимптотик и анализа решений в окрестности особых точек, для построения
«тестовых» решений, а в ряде случаев являются также основой для разра-
ботки вычислительных методов. Следует отметить, что в тех задачах, где
асимптотические методы весьма эффективны, численные, как правило, стано-
вятся малопригодными.
Численные методы. Неудобство прямого использования результатов
асймптотического анализа непосредственно в инженерной практике в зна-
чительной мере может быть преодолено путем применения численных мето-
дов с использованием ЭВМ. Эти методы основаны на замене любых диф-
ференциальных соотношений соответствующими приближенными конечно-
разностными аппроксимациями, что позволяет для решения уравнений в
частных производных использовать различные численные алгоритмы, содер-
жащие большое число только алгебраических и логических операций. Точ-
ность и скорость вычислительного процесса зависят от способа аппроксима-
ции дифференциальных величин; от способа выбора, геометрии и плотности
системы дискретных точек, в которых вычисляются искомые величины и их
производные; от способа организации численного алгоритма, управляющего
всеми алгебраическими и логическими операциями [25, 81, 114, 117].
Численные методы обладают большой универсальностью и позволяют
эффективно получать решения различного рода задач для промежуточных
значений параметра и координаты, т. е. в той области, где не могут быть
использованы асимптотические методы. Стремительное вторжение ЭВМ в
9
разные области человеческой деятельности привело к довольно распростра-
ненному мнению о всесильности численных методов. Это, в свою очередь,
способствует тому, что многие исследователи все чаше предпочитают обра-
щаться к ним, пренебрегая другими теоретическими методами.
Несмотря на очевидную полезность и общность численных методов, их
порой необоснованно переоценивают. К недостаткам численных методов мож-
но отнести следующие.
1. Отсутствие приближенной аналитической формы решения (приближен-
ные формулы часто более удобны, чем таблицы и графики; кроме того, на-
личие большого числа характерных параметров задачи и широкий диапазон
их изменения, как правило, делают результаты численных расчетов нена-
глядными и неудобными для их интерпретации и практического использо-
вания).
2. Трудоемкость и большие затраты времени (по сравнению с прибли-
женными аналитическими методами).
3. Необходимость дополнительного привлечения асимптотических мето-
дов для получения решения в областях с большими градиентами решения,
а также при исследовании задач в геометрически протяженных областях и в
областях с неоднородной микроструктурой.
4. Отсутствие «локальной» универсальности: при изменении геометриче-
ской формы области, типа течения, кинетики реакции и т. п. в аналогичных
задачах приходится каждый раз (и порой значительно) перестраивать со-
ответствующую программу для ЭВМ (глобальные программы, учитывающие
одновременно многие факторы, пока очень редки; в то же время аналити-
ческие результаты порой без особого труда позволяют сразу учесть указан-
ные возможности модификации задачи).
5. Наличие различного типа сингулярностей и особых точек в коэффици-
ентах дифференциальных уравнений, что вынуждает прибегать к дополни-
тельному аналитическому исследованию, которое обычно нельзя осуществ-
лять в рамках численных методов. Следует помнить также о больших ма-
териальных затратах: каждый час работы на ЭВМ стоит довольно дорого.
Один из наиболее существенных недостатков, которым часто просто пре-
небрегают (ввиду малой информированности, а также неправильного пони-
мания и неудачного употребления термина «точный метод» применительно к
численным методам), состоит в том, что для гарантированной уверенности
в адекватности и точности результатов численного расчета искомому реше-
нию в случае достаточно сложной задачи вычисления следует проводить
сразу пс нескольким принципиально различным схемам. Такое дублирование
часто необходимо даже тогда, когда первое из полученных численных реше-
ний приводит к внешне разумным и хорошо интерпретируемым резуль-
татам.
Указанная ситуация обусловлена тем, что для подавляющего большин-
ства сложных нелинейных задач отсутствуют строгое обоснование той или
иной вычислительной процедуры и пригодные для непосредственной провер-
ки известные тестовые решения. Кроме того, практика показывает, что рас-
хождение публикуемых в печати данных разных авторов, исследовавших
одну и ту же задачу различными (а иногда и идентичными) численными
методами, как правило, весьма значительно и составляет 5—15%. Известны
случаи, когда это отличие было существенно больше и приводило даже к
качественно разным результатам [170] (ср. данные работ [19, 69, 70, 164]
по внутренней задаче массо- и теплопереноса).
Отмеченные обстоятельства в значительной мере усугубляются тем, что
публикуемые численные результаты во многом остаются лишь на совести
авторов (так как их практически невозможно проверить даже рецензенту;
с аналогичными трудностями приходится сталкиваться также эксперимента-
торам).
Несмотря на указанные недостатки, численные методы в настоящее вре-
мя играют определяющую роль в развитии научно-технического прогресса,
являясь основным аппаратом исследования технических и экономических
задач, связанных в первую очередь с планированием, оптимизацией, управ-
лением и проектированием устройств и технологических процессов.
10
Приближенные методы. До сих пор сохраняют свое значение разнооб-
разные и во многом опирающиеся на чисто интуитивные соображения при-
ближенные инженерные методы, к которым относятся, например, однопара-
метрические интегральные методы в теории ламинарного и турбулентного
пограничного слоя; метод равнодоступной поверхности, пленочная и пенетра-
ционная модели в задачах массопереноса с химическими реакциями; различ-
ные модификации метода линеаризации уравнений или граничных условий
и др. (см., например, [8, 20, 41, 73, 134]). Использования этих простых ме-
тодов во многих случаях оказывается вполне достаточно для практических
целей. К сожалению, мода на численные методы за последние годы привела
к тому, что приближенные методы часто недооцениваются.
Многие приближенные методы основаны на глубоком и неформальном
понимании физической сущности явления. Конкретные представления о ме-
ханизме рассматриваемого явления или процесса, которые черпаются непо-
средственно из повседневной практической деятельности или эксперимента
и неявно заложены в приближенный метод, нередко позволяют получать
искомые зависимости, успешно конкурирующие с результатами соответству-
ющего численного анализа. Более того, в ряде случаев приближенные фор-
мулы значительно более удобны для проведения конкретных расчетов, чем
любые вычисления с привлечением ЭВМ. Это обычно происходит тогда, ког-
да одна и та же формула, полученная тем или иным разумным приближен-
ным методом, дает возможность в прсстом аналитическом виде учесть сра-
зу довольно много различных факторов.
Поясним сказанное на примере. Известны простые общие формулы (ко-
торые могут быть использованы непосредственно в инженерной практике),
позволяющие приближенно вычислять средние числа Шервуда для любой
кинетики объемной или поверхностной химической реакции, произвольного
типа течения и формы частицы (т. е. исходная постановка задачи помимо не-
скольких обычных безразмерных параметров дополнительно содержала про-
извольные функции) [51, 53, 102, 103, 180, 181]. Подобные результаты прин-
ципиально не могут быть получены численными методами: можно посчитать
лишь много различных частных случаев (с фиксированной кинетикой, гео-
метрией течения и формой частицы) и для каждого из них определить ис-
комые зависимости в виде таблиц или графиков. При этом представляется
маловероятным дать какие-либо рекомендации общего характера (напри-
мер, для произвольной кинетики химической реакции), аналогичные приведен-
ным в [51, 52, 102, 103, 180, 181]. Из сказанного ясно, что актуальная про-
блема получения любых достаточно общих приближенных соотношений не
может быть исчерпана применением численных методов.
Важно подчеркнуть, что имеющиеся в настоящее время опытные дан-
ные для численных значений многих физико-химических постоянных в хими-
ческой механике’ и химической технологии (например, константы скорости
объемных и поверхностных химических реакций) имеют очень невысокую
(«порядковую») точность. Это дополнительно говорит в пользу того, что в
такого рода задачах уместно использовать апробированные приближенные
методы, точность которых, как правило, выше точности определения исход-
ных констант, входящих в уравнения.
Приближенные методы необходимы и очень удобны для получения до-
статочно грубых оценок на предварительном этапе любого исследования, а так-
же тогда, когда результат должен быть получен сравнительно быстро. При-
ближенные методы нередко играют большую роль в формировании качест-
венного понимания того или иного явления или процесса.
Общие и хронические недостатки всех приближенных методов инженер-
ного типа — их сравнительно невысокая точность и отсутствие корректной
математической обоснованности. Оценка точности используемых приближен-
ных методов обычно проводится на примере частных случаев, для которых
уже имеются необходимые для проверки точные, численные или асимптоти-
ческие результаты. При этом обычно считают, что если на типичных «тесто-
вых» задачах определенного класса данный метод работает достаточно
хорошо, то он с успехом может быть использован и для решения других
задач этого класса. Принципиальным ограничением приближенных методов
11
является то, что они не могут быть использованы при необходимости полу-
чения большой точности.
Комбинирование теоретических методов. Из сказанного выше следует, что
все перечисленные методы исследования имеют свои характерные достоинст-
ва и недостатки. При этом очень важно то, что все теоретические методы
полностью не перекрывают друг друга. Поэтому, как уже отмечалось ра-
нее, при решении конкретных задач часто приходится прибегать к сочетанию
нескольких методов различных классов. Приведем несколько конкретных при-
меров.
Введение автомодельных переменных (что соответствует использованию
точных методов для анализа уравнений в частных производных и сущест-
венно упрощает исходную, краевую задачу) нередко приводит к обыкновен-
ным дифференциальным уравнениям, решение которых нельзя получить в
замкнутом аналитическом виде. Поэтому на втором этапе исследования это
дифференциальное уравнение решают либо численными, либо приближенны-
ми методами. Типичным примером такого рода является гидродинамический
пограничный слой на плоской пластинке (интересно отметить, что исходные
уравнения пограничного слоя, в свою очередь, являются результатом при-
менения асимптотических методов).
Наличие сингулярных свойств коэффициентов дифференциальных урав-
нений, точное решение которых отсутствует, вынуждает исследователя снача-
ла «раскрывать» все особенности аналитически, а затем применять числен-
ные методы. Кроме того, известно много случаев, когда уравнение для
главного члена асимптотического разложения приходится решать численно.
Простейший пример сочетания асимптотических и численных методов — вы-
числение достаточно сложных несобственных интегралов.
Весьма перспективно комбинирование асимптотических и приближенных
методов [53, 102, 180, 181]. Оно позволяет, с одной стороны, получить окон-
чательные результаты в простом аналитическом виде, а с другой — устранить
возможные наиболее существенные недостатки приближенных формул, свя-
занные с их неточным поведением в некоторых предельных случаях. При
этом, как правило, существенно повышается точность приближенных фор-
мул и нередко значительно возрастает их информативность, что позволяет
для расчета ряда сходных задач использовать одну и ту же формулу [103,
180]. Известные комбинированные методы такого типа подробно описаны и
проиллюстрированы конкретными примерами в данной монографии.
Из сказанного следует, что ошибочно противопоставлять друг другу
различные теоретические методы. Гораздо вернее считать, что все теорети-
ческие методы (точные, асимптотические, численные и приближенные) взаимно
дополняют друг друга. Более того, для получения необходимой информации
о реальных явлениях и процессах, помимо известных классических методов
исследования, нужно разрабатывать новые нетрадиционные подходы и ме-
тоды решения соответствующих задач (см., например, [10, 13]). Большое
внимание также следует уделять принципам и методам построения прибли-
женных инженерных формул, удобных для практического использования.
При этом основными требованиями, предъявляемыми к приближенным мето-
дам и формулам, являются простота, хорошая точность, общность и инфор-
мативность.
В.2. ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТИ И ПОДОБИЯ
При любых практических расчетах и обработке экспериментальных данных,
результаты которых представляются в виде совокупности чисел, характери-
зующих исследуемые стороны явлений или процессов, встречается два типа
величин. Величины, численное значение которых зависит от используемой
системы единиц измерения, называют размерными. Величины, численные зна-
чения которых не зависят от применяемой системы единиц, называют без-
размерными.
Для успешной постановки и обработки экспериментов, результаты кото-
рых позволили бы установить общие закономерности и могли бы быть при-
12
ложены к другим случаям, где эксперимент не производился непосредствен-
но, очень >ажно правильно выбрать характерные безразмерные параметры.
Число их должно быть минимальным, и они должны в наиболее удобной
форме отражать основные эффекты. Надлежащий выбор системы определя-
ющих параметров помогает установить теория размерностей и подобия
[12, 39, 40, 119]. Методы теории размерности и подобия весьма просты и
удобны; они играют большую роль при моделировании различных явлений.
Комбинирование теории подобия с выводами, полученными из эксперимента
или математического исследования соответствующих уравнений, нередко мо-
жет приводить к довольно существенным и нетривиальным результатам.
Напомним кратко основные элементы теории размерности и подобия
(подробнее см., например, [119]).
Различные размерные (механические, физико-химические и другие) ве-
личины связаны между собой определенными соотношениями. Поэтому, при-
няв некоторые из этих величин за основные и установив для них фиксиро-
ванные единицы измерения, получим, что единицы измерения всех остальных
величин будут определенным образом выражаться через единицы измерения
основных величин. Принятые для основных величин единицы измерения на-
зывают основными (первичными), а все остальные — производными (вторич-
ными). Выбранная система основных единиц измерения должна обладать
свойствами полноты.
При изучении подавляющего большинства явлений и процессов химиче-
ской механики и химической технологии достаточно ввести три независимые
основные единицы измерения — длины, массы и времени. Выражение произ-
водной единицы измерения через основные называют размерностью. Раз-
мерность записывают символически в виде формулы, в которой принято
обозначать символ единицы длины L, единицы массы М, единицы времени Т;
для обозначения размерности любой производной величины А используют
символ [Я]. Естественно, о размерности можно говорить только примени-
тельно к определенной фиксированной системе единиц измерения.
В общем случае формула размерности любой физической величины А
(в системе единиц измерения СИ или СГС) имеет вид степенного одночлена
(4] = £аД? Г7,
где а, р, 7 — некоторые постоянные. Такая простая структура формулы раз-
мерности с необходимостью определяется следующим физическим условием:
отношение двух численных значений любой производной величины не должно
зависеть от выбора масштабов для основных единиц измерения.
Основное содержание теории подобия и размерности составляет л-теоре-
ма, которая формулируется следующим образом. Пусть имеется некоторая
функциональная зависимость между размерными величинами f(Ai, Я2, ...,
Ап)=0 (некоторые из этих величин в рассматриваемом процессе могут быть
переменными, другие — постоянными; кроме того, здесь мы не выделяем за-
висимые и независимые переменные). Пусть максимальное число этих раз-
мерных величин с независимыми размерностями равняется k(k^.n—1). Тогда
исходная связь между п размерными величинами, выражающая собой неко-
торый физический закон и независимая от выбора системы единиц измерения,
может быть представлена как соотношение между п—k безразмерными вели-
чинами, каждая из которых имеет вид степенного одночлена, состоящего из
£4-1 размерных величин.
Из сказанного следует, что всякое физическое соотношение между раз-
мерными величинами можно переформулировать как соотношение между
меньшим числом безразмерных величин. В этом, собственно, и заключается
источник полезных приложений метода теории размерностей к исследованию
различного рода задач и явлений. В частности, при k=n—1 из п размерных
параметров можно образовать только одну безразмерную комбинацию, по-
этому, в силу л-теоремы, исходная функциональная зависимость может быть
представлена в следующем простом виде:
А/”1 A2™2... Af^n = const,
13
где показатели mb ..тп легко определяются с помощью формул размер-
ности, а неизвестную безразмерную постоянную можно найти либо из экс-
перимента, либо теоретически, решая соответствующую математическую за-
дачу. Из этого частного случая, например, следует, что уравнение Клапей-
рона можно рассматривать как следствие одной-единственной гипотезы, за-
ключающейся в том, что давление, плотность, температура и теплоемкость
газа независимо от других характеристик связаны между собой некоторым
соотношением, имеющим физический смысл [119].
Из л-теоремы следует очень важный вывод о том, что обработку экспе-
риментальных данных нужно производить в безразмерных переменных, со-
кращая тем самым число измеряемых и варьируемых величин. Кроме того,
использование безразмерных параметров позволяет успешно моделировать
различные явления и процессы, которые непосредственно нельзя осуществить
в лабораторных условиях.
Несмотря на ее безусловную полезность теория размерностей по существу
ограничена, так как не позволяет получить явный вид функциональных со-
отношений между безразмерными величинами (она выявляет только струк-
туру этих зависимостей, и число безразмерных параметров). Искомые функ-
циональные зависимости, описывающие рассматриваемое явление или про-
цесс, могут определяться как из эксперимента, так и теоретически, путем
привлечения существующих методов исследования.
Для задач, которые формулируются математически в виде соответствую-
щих уравнений и граничных условий, роль методов теории размерности и
подобия чаще всего носит вспомогательный характер.
В следующем разделе для наглядности и лучшего восприятия материала
основные уравнения и граничные условия сначала записываются в размер-
ной форме, а затем приводятся к безразмерному виду. Во всех последующих
главах монографии для удобства анализа и большей компактности изложе-
ния рассматриваемые конкретные задачи формулируются сразу в безразмер-
ных переменных.
В.З. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
ХИМИЧЕСКОЙ ГИДРОДИНАМИКИ
Опишем кратко основные уравнения и граничные условия, которые часто
встречаются в данной книге при математической формулировке конкретных
задач химической гидродинамики. Более детальное изложение данных вопро-
сов, связанных с выводом и установлением области применимости этих урав-
нений и граничных условий, конкретные физические постановки соответству-
ющих многочисленных задач, а также различные прикладные аспекты исполь-
зования результатов полученных решений содержатся, например, в моногра-
фиях [3, 4, 8, 16, 20, 24, 27, 30, 41, 56, 58, 73, 74, 76, 85, 86, 88, 89, 129].
Уравнение конвективного массопереноса. В декартовой системе коорди-
нат X, Y, Z процесс переноса растворенного в жидкости вещества описывает-
ся уравнением
дС дС дС „ дС
~дГ + Vx ~дХ + Vy dF + Vz dZ =
d2C . d2C t d2C \
= £>(d№ J|" dY2 + dZ2
где C — концентрация; D — коэффициент диффузии; Vx, Vy, Vz— компоненты
вектора скорости жидкости.
Уравнение (3.1) отражает тот факт, что перенос вещества в движущей-
ся среде обусловлен двумя различными физическими факторами: во-первых,
при наличии разности концентраций в жидкости или газе идет процесс моле-
кулярной диффузии; во-вторых, частицы растворенного вещества увлекаются
движущейся средой и переносятся вместе с ней. Совокупность обоих процес-
сов часто называют конвективной диффузией [76, 129].
14
Для завершения формулировки задачи уравнение (3.1) необходимо до-
полнить йдчальным и граничными условиями. В качестве начального усло-
вия выбир^тся исходный профиль концентрации в потоке. Граничные усло-
вия, как правило, задаются на поверхности реакции и вдали от нее, в толще
раствора. Последнее условие соответствует заданию невозмущенного значе-
ния концентрации Со, на бесконечности:
UС -------------------->0^, (3.2)
где — расстояние, отсчитываемое по нормали от межфазной поверхности.
В задачах о растворении твердых веществ обычно невозмущенное зна-
чение концентрации в потоке равно нулю, т. е. Соо = 0.
Граничные условия на поверхности реакции могут быть*разными в за-
висимости от конкретной физической постановки задачи. В частном случае
«бесконечно быстрой» поверхностной химической реакции соответствующее
граничное условие имеет вид
£* = 0, С = 0. (3.3)
и означает, что на межфазной поверхности происходит полное поглощение
реагента. Такую простейшую ситуацию часто называют также диффузион-
ным режимом реакции.
Если на межфазной поверхности протекает гетерогенная химическая ре-
акция, скорость которой конечна, вместо (3.3) следует записать более слож-
ное граничное условие:
дС
^ = 0, D-^ = KSFS(C), (3.4)
где Ks — константа скорости поверхностной реакции; KSFS — скорость хими-
ческой реакции.
Конкретный вид зависимости FS = FS(C) определяется кинетикой поверх-
ностной химической реакции. В частности, для реакции порядка п имеем:
Fs = Cn (гдеп>0). (3.5)
В задачах о растворении на межфазной поверхности выставляется гра-
ничное условие постоянства концентрации.
Пусть рассматриваемая задача имеет характерный масштаб длины а
(например, радиус частицы или трубы) и характерный масштаб скорости U
(например, невозмущенная скорость потока вдали от частицы или скорость
жидкости на оси трубы). Тогда уравнение конвективного массопереноса (3.1)
удобно представить в безразмерной форме следующим образом. Введем без-
размерные переменные
х = Х/а, y = Y/a z~Z[a, x — Dt/a\ (3.6)
vx=Vx/U, vy=VY/U, v2=Vz/U, c=(CM-C)/C„.
и подставим их в уравнение (3.1). Получим:
дс [ дс дс дс \ д2с д2с д2с
дх е fдх +vy ду +Vz dz j ~~ дх2 + ду2 + дг2 ’ (3.7)
где число Пекле Pe=aU!D — безразмерный параметр, характеризующий меру
отношения конвективного переноса растворенного в жидкости вещества к
диффузионному.
В новых переменных (3.6) граничное условие вдали от поверхности (3.2)
принимает вид:
I ----> со, с ---------> 0, (3.8)
где % =
Аналогичным образом для диффузионного режима на межфазной поверх-
15
ности (3.3) с учетом (3.6) имеем граничное условие:
5 = 0, с—1. (3.9)
В случае конечной скорости гетерогенной химической реакции граничное
условие (3.4) в безразмерных переменных (3.6) формулируется следующим
образом:
дс
а = °, --5g- = ws(c), (з.ю)
/
, ___ р /с \ f / \ _ Fs (О _ СС 1 1 \
где ks — DC^ ^°°) ’ fs(c) — ps (с ) > c — 'Cqq * (3 • )
В частном случае поверхностной химической реакции Л-го порядка (3.5)
с учетом выражений (3.11) безразмерное граничное условие на межфазной
поверхности (3.10) принимает вид:
дс
5 = 0, = (3.12)
где ks = aKsCoon^ID — безразмерная константа скорости реакции.
Устремляя в граничном условии параметр k8 к бесконечности, приходим
к предельному граничному условию (3.9), соответствующему диффузионному
режиму реакции. Указанный предельный переход хорошо иллюстрирует
смысловое значение термина «бесконечно быстрая реакция», который исполь-
зовался ранее.
Для компактности уравнение конвективной диффузии (3.7), как это при-
нято, часто будем обозначать следующим образом:
дс ->
”37 + Ре (^- V) с = Дс, (3.13)
где Д — оператор Лапласа; V — оператор Гамильтона; явный вид их в де-
картовой системе координат х, у, z определяется путем сопоставления (3.7)
и (3.13).
Для решения многих конкретных задач часто удобнее использовать вме-
сто декартовых координат х, у, z сферические г, 0, ф или цилиндрические
р, <р, z. Дифференциальные операторы, входящие в уравнение (3.13), в этих
системах координат при наличии осевой симметрии (все величины не зависят
от угловой координаты ф) имеют вид:
в сферической системе координат
д д
1 д ( . д \ 1 д / . лд \
Д— г2 dr dr J + r2sin0 д0 (Sln 0 d0 ) • (3-14)
в цилиндрической системе координат
-* ч д д А 1 д / д х д2
(v-V) =vp др +кг дг , д= р др Др dp j + dz2"- <3J5>
Массоперенос» осложненный объемной химической реакцией. При проте-
кании в объеме движущейся среды гомогенной химической реакции уравне-
ние конвективной диффузии несколько усложняется и может быть записано
в форме
дС дС дС „ дС
/ д2С д2С д2С \
— £ \ дХ2 + dY2 + dZ2 ) KvFu (С), (3.16)
16
где Kv — константа скорости объемной химической реакции; KvFv— скорость
химической реакции.
Вид функции FV=FV(C) зависит от кинетики реакции. В научной лите-
ратуре наиболее часто встречается реакция n-го порядка, описываемая [8,
41] выражением
Fv — Cn. (3.17)
Для уравнения (3.17) задается граничное условие в набегающем потоке:
> оо, С --------->0. (3.18)
Физический смысл этого условия состоит в том, что диффундирующее от по-
верхности веществе? должно полностью прореагировать по мере его удаления
в толщу химически активной среды.
Во многих практически важных случаях на межфазной поверхности вы-
полняется условие постоянства концентрации:
£* = 0, C = CS. (3.19)
Как и ранее, целесообразно записать уравнение (3.16) и граничные ус-
ловия (3.18), (3.19) в безразмерном виде. Для этого введем новые перемен-
ные
х = Х/а, y — Y/a, z—Z/a, T~Dt/a\
(3.20)
vx = Vx/U, vu=VyIU, vz=Vz/U, c = C/Cs,
которые отличаются от переменных (3.6) лишь способом определения безраз-
мерной концентрации.
Подставляя (3.20) в (3.16), приходим к уравнению
дс ->
1 fa “Ь Ре (v* V) с = Дс— £t/o(c), (3.21)
при записи которого использованы те же обозначения, что и в (3.13). Вели-
чины, стоящие в правых частях размерного и безразмерного уравнений
(3.16) и (3.21), связаны следующим образом:
. ... MQ _________________с_
k°~ DCS ’ FO(CS) • c~ Cs • <3,22>
В частном случае объемной химической реакции n-го порядка (3.17) в
уравнении (3.21) следует положить
fv = (^, (3.23)
Граничные условия (3.18) и (3.19) в безразмерных переменных (3.20)
принимают вид:
£ ---> оо, с ------> 0; £ = 0, с = 1, (3.24)
где В = — безразмерное расстояние от межфазной поверхности.
Уравнение теплопереноса. Уравнение переноса тепла в движущейся среде
аналогично уравнению конвективной диффузии (3.1) и имеет вид
эт, , v эг dTt дТ.
dt + дХ + dY dZ ~
! d2?. d2T„ d2T, \ „
= dX2 + dY2 “I" dZ2 )’ (3.25)
где T* — температура, x— коэффициент температуропроводности.
При решении нестационарных задач должно быть задано распределение
температуры в потоке в начальный момент времени.
2—1391
17
Вдали от межфазной поверхности обычно выполняется условие постоян-
ства температуры в объеме движущейся среды:
U > оо, П-------------->^00. (3.26)
При анализе процессов теплообмена тела со средой, когда температура
поверхности тела поддерживается постоянной, второе граничное условие за-
писывается следующим образом:
U ---> о, Т„ ----------> Tt. (3.27)
Использование новых безразмерных величин
х = Х/а, y = Y/a, z = Z/a, x = %t/a2, PeT = aU/%>
(3.28)
vx=Vx/U, vy = VYIUt vz=Vz!U, T=(TOO~.T#)/(TOO-TS).
позволяет представить уравнение (3.25) и граничные условия (3.26), (3.27)
в виде
дТ
-gr+Per(y.v)T = AT; (3.29)
5 = 0, Т=1; 5-----> оо, Т -----> 0. (3.30)
Видно, что задача о теплообмене тела со средой (3.29), (3.30) с мате-
матической точки зрения полностью аналогична задаче о массообмене ча-
стицы с потоком в случае диффузионного режима реакции на ее поверхно-
сти (3.13), (3.8), (3.9).
Уравнения движения. Компоненты вектора скорости жидкости Vx, Vy,
Vz в левых частях уравнений конвективного массо- и теплопереноса (3.1),
(3.16), (3.25) должны определяться из решения соответствующей гидродина-
мической задачи.
В общем случае установившееся движение вязкой несжимаемой жидко-
сти (при отсутствии массовых сил) описывается системой уравнений
V , v dVx •- и dVx
Vx dX + Vy dY + Vz dZ =
1 дР , ( d2Vx , d2Vx f d2vx
~ p dX ф v dX2 + dr2 + dZ2 ) ’
dVy_ dvY dvy
Vx dX + dY + V2 dZ ~
1 dP / d2Vy , d2Vy , d*Vy \
-----p dY +v ( dX2 + дГ2 + dZ2 J ’
v , у dVx
Vx dX + Vy dY +Vz dZ ~
1 dP 7 d2Vz d2Vz d2Vz \
- “ p dZ +v dX2 + dY2 + dZ2 )’
WX dVy dVz
dX + dY + dZ =0>
(3.31)
(3.32)
где P — давление; p — плотность жидкости; v — кинематическая вязкость.
Уравнения (3.31) называют уравнениями Навье — Стокса, уравнение
(3.32) —уравнением неразрывности.
Как и ранее, введение новых независимых и зависимых переменных
х, у, z и ух, Уу, yz по формулам (3.6) позволяет записать систему уравне-
18
ний (3.31), (3.32) в безразмерном виде:
(J. V)T= — VP+ (3.33)
dvx dvu dvz
divt)==_^ + _jL + _^ = 0( (3-34>
где Re = aU/v— число Рейнольдса; p = P/(pU2)—безразмерное давление;
v=(vXf vy, vz)—вектор скорости жидкости; Vp=(dpldxf др/ду, dp/dz)—
градиент давления. Векторное уравнение (3.33) эквивалентно трем скаляр-
ным уравнениям (3.31).
Систему (3.33), (3.34) дополняют граничными условиями. Для твердых
поверхностей задается условие прилипания
& = 0, vx = Vy = vz = 0. (3.35)
Условия вдали от обтекаемой поверхности формулируются по-разному,
в зависимости от конкретной ситуации. В случае однородного поступатель-
ного течения вектор скорости жидкости стремится к постоянной (векторной)
величине при бесконечном удалении от поверхности тела.
Основные безразмерные параметры. Диффузионное и тепловое числа
Пекле в уравнениях конвективного массо-теплопереноса (3.21) и (3.29)
связаны с числом Рейнольдса в правой части уравнений Навье — Стокса
(3.33) следующими соотношениями:
Ре = Re Sc, PeT = RePr. (3.36)
Здесь Sc=v/D (число Шмидта) и Pr=v/% (число Прандтля)—безразмерные
величины, зависящие только от физических свойств рассматриваемой сплош-
ной среды.
Для обычных газов коэффициенты диффузии и кинематической вязкости —
величины одного порядка, что соответствует значениям чисел Шмидта по-
рядка единицы (Sc~l). В жидкостях типа воды коэффициент кинематиче-
ской вязкости на несколько порядков превышает коэффициент диффузии
(Sc~ 103). В очень вязких жидкостях (типа глицерина) число Шмидта до-
стигает значений порядка 106.
Число Прандтля изменяется в более узких пределах, чем число Шмидта.
В газах типа воздуха Pr~ 1, в жидкостях типа воды Рг~10. Только в очень
вязких жидкостях (типа глицерина) число Прандтля имеет порядок 103.
Число Рейнольдса (Re=a(7/v) не является физической постоянной среды
и зависит от геометрических и кинематических факторов. Поэтому диапазон
его изменения может быть любым.
Из рассмотренных примеров с учетом, соотношений (3.36) следует, что
в задачах химической гидродинамики числа Пекле могут принимать различ-
ные значения.
Учитывая, что диффузионные процессы в жидкостях характеризуются
очень большими значениями чисел Шмидта, особо следует подчеркнуть, что
в задачах конвективного массопереноса в жидких средах число Пекле так-
же велико, начиная с малых чисел Рейнольдса (Re~Ю^-НО”1), при кото-
рых реализуется стоксовый («ползущий») закон течения.
2*
Глава 1
МЕТОД АСИМПТОТИЧЕСКОЙ КОРРЕКЦИИ
Процедура асимптотической коррекции позволяет путем использования
точных асимптотик исходной краевой задачи эффективно улучшать различ-
ного рода приближенные формулы, полученные ранее как из теоретических
соображений, так и по экспериментальным данным. Метод асимптотической
коррекции весьма прост и универсален в употреблении и с успехом может
применяться для исследования задач химической технологии, макрокинетики,
массо- и теплопереноса, гидродинамики и других областей науки и техники,
где возникает необходимость в построении приближенных (инженерных) фор-
мул. Метод иллюстрируется на конкретных примерах, представляющих прак-
тический интерес.
Метод асимптотической коррекции является первоосновой для понимания
и формулировки других более сложных приближенных аналитических мето-
дов, которые излагаются далее в третьей и четвертой главах монографии.
1.1. ОПИСАНИЕ МЕТОДА
На практике часто применяют различные инженерные форму-
лы, полученные эмпирически или путем приближенного реше-
ния соответствующих задач. Область применимости такого рода
формул, как правило, ограничена и устанавливается отдельно
в каждом конкретном случае. Ниже предлагается простой уни-
версальный способ эффективного улучшения приближенных ин-
женерных формул, основанный на использовании точных асимп-
тотик исходной краевой задачи [53, 102, 180].
Пусть для искомой величины S получено приближенное
выражение
3 = 3(£,р), (1.1)
которое правильно отражает качественное поведение S в зави-
симости от изменения определяющих параметров задачи k и р
(здесь и далее для простоты считаем, что таких параметров
два, причем 0<^<оо, 0<р<оо). Пусть главные члены асимпто-
тик приближенного выражения (1.1) в предельных случаях,
когда &->оо (р = const) и р—-оо (k — const), имеют вид:
k-----» оо, S----Р --------------> ос, 5 ---► 3*Лоо; (1.2)
S*a>p = S*„p(k,p)-, S*kx=S*llm(k,p). (1.3)
Вместо (1.2) могут рассматриваться любые другие предельные
случаи — см. примеры далее.
Если известны аналогичные точные асимптотики решения
исходной задачи
k---» оо, s---► S„p; р--------> оо, 3 —> 3^,0, (1.4)
то приближенную формулу (1.1) можно, как правило, улучшить
следующим простым способом. Исключим из выражений (1.3)
параметры k и р через S*h<x> и S*Xp (считается, что соответст-
20
вующее преобразование не вырождено) и подставим их в фор-
мулу (1.1). Получим:
5 = Ф ($*«>₽, S*feoo), (1.5)
где Ф (S^p (k, р), 5*Лоо (k, р)) = S (k, р).
Подставив в это выражение вместо асимптотик (1.3) при-
ближенной формулы (1.1) соответствующие асимптотики точ-
ного решения исходной задачи (1.4), получим формулу
5 = 0(5^,$^), (1.6)
которая, в отличие от (1.1), помимо правильного качественного
•описания величины S обычно обеспечивает точный результат
в предельных случаях k-^oo и р->оо.
Следует отметить, что если формула (1.1) является точной,
то точной будет и формула (1.6), т. е. предлагаемая процедура
не ухудшает исходного результата. Более того, нетрудно убе-
диться, что если формула (1.1) произвольным растяжением па-
раметров k и р (k-+ak, р-*фр; аф = const) отличается от точной
(т. е. «испорчена» растяжением), то указанная процедура под-
становки известных точных асимптотик полностью ее восста-
навливает и делает точной. Этот результат является следстви-
ем того, что растяжение параметров в исходной формуле (1.1)
приводит к соответствующему (точно такому же) растяжению
этих параметров в асимптотиках (1.2), (1.3), в силу чего про-
цедура исключения растянутых параметров через 3*«>рр и
S*akoo приводит к тому же самому выражению (1.5). Следует
добавить, что существуют и другие преобразования, после ко-
торых предложенная процедура также восстанавливает «испор-
ченную» формулу (например, преобразование вида k-+akn,
р-+$рт\ п, т>0).
Указанная процедура асимптотической коррекции проста и
удобна. Ее с успехом можно использовать для улучшения раз-
личных инженерных формул, полученных как приближенными
аналитическими и численными методами, так и эмпирически,
путем обработки экспериментальных данных. Важно подчерк-
нуть, что улучшенное выражение (1.6), как правило, может
быть использовано для приближенного описания гораздо более
широкого круга явлений или процессов, чем исходная формула
(1.1); в этом смысле можно говорить, что формулы типа (1.6)
обладают повышенной информативностью. Последнее обстоя-
тельство обусловлено тем, что функциональная связь (1.6) для
достаточно широкого класса аналогичных задач остается одной
и той же, а модификации и различия (тип течения, форма ча-
стицы и т. п.) этих задач учитываются только соответствующи-
ми асимптотическими параметрами SooP и (подробнее см.
гл. 2).
Отметим также, что исходное выражение (1.1) и конечный
результат (1.6) могут быть записаны и в неявной форме в виде
алгебраического уравнения для величины S — см., например,
21
формулы (2.3) и (2.6). Кроме того, в ряде случаев аналогич-
ную процедуру с успехом можно использовать для улучшения
коэффициентов приближенных дифференциальных уравнений,
полученных из исходных более сложных уравнений с помощью
различных упрощений (конкретные примеры приведены в гл. 8).
Необходимо также подчеркнуть, что в выражениях (1.3) и
(1.4) можно использовать сразу несколько главных членов со-
ответствующих асимптотических разложений.
Опишем теперь важную модификацию метода асимптотиче-
ской коррекции, позволяющую улучшать приближенные форму-
лы, зависящие от одного параметра. Рассмотрим приближен-
ную зависимость
5 = ф(р). (1.7)
Как и ранее, будем считать, что выражение (1.7) хорошо опи-
сывает качественное поведение величины 5 в зависимости от
параметра р. Пусть главные члены асимптотических разложе-
ний формулы (1.7) при малых и больших значениях аргумента
имеют вид:
р----> О, S-----> So*; р-------> оо, S-----> Soo*, (1-8>
где
V = So* (р), 5*00 = 5*00 (р). (1.9)
Учитывая зависимости асимптотик S*o и S*oo от параметра
р и используя формулу (1.7), запишем отношения
5 _ ф(р) 5*^ _ S*oo (р)
50* “ 50* (Р) ’ 50* “ So* (р) *
Исключая параметр р (предполагается, что выполнено усло-
вие S*oo/S*0^const), получим выражение
S/So* = Ф (S*oo/50*), (1.10)
которое явно не зависит от р: подстановка зависимостей ср =
= ф(р), S*o=S*o(P)> 5*oo=S*oo(p) из (1.7) и (1.9) обращает
(1.10) в тождество.
Если теперь в формулу (1.10) вместо асимптотик (1.9) при-
ближенной зависимости (1.7) подставить соответствующие
асимптотики точного решения рассматриваемой задачи
5о = 5 о (р), Sqq = 5^ (р)
(Р --> О, S ----> So; р------> оо, S ----> Soo), (ЕН)
получим искомое выражение:
S/So = Ф (5оо/50). (1.12)
Формула (1.12) не только правильно отражает качествен-
ное поведение решения, но и обеспечивает точный результат
в предельных случаях при р->0 и р->оо, в отличие от исходного
приближенного выражения (1.7). В частности, если асимптота -
22
ки (1.9) имеют степенной вид
$0* = Лра, S*0O=Bp|i, (1.13)
то искомую зависимость (1.12) можно представить следующим
образом:
Описанную процедуру с успехом можно использовать также
для улучшения приближенных формул, зависящих сразу от
нескольких параметров. Для этого нужно выделить один из
параметров, например р, и проводить коррекцию исходя из
асимптотик S при р->0 и р->оо; при этом остальные параметры
следует рассматривать как обычные постоянные.
Проиллюстрируем предложенный метод на примерах, пред-
ставляющих самостоятельный интерес в теории конвек1ивного
массотеплопереноса и химической технологии.
Для удобства и более ясного понимания метода асимптотической кор-
рекции исходные математические постановки рассматриваемых краевых задач
в этой главе не приводятся, а дается лишь краткое словесное описание ис-
следуемого физико-химического процесса с необходимыми ссылками на ори-
гинальную литературу и последующие главы, где приведены соответствующие
уравнения и граничные условия. Кроме того, в качестве исходной информа-
ции будем указывать лишь конкретную приближенную формулу (1.1) и точ-
ные асимптотики (1.4) искомой величины, без подробного изложения ис-
пользуемых Д/./i их вывода приближенного и асимптотического методов.
На протяжении чсей книги в тех случаях, когда при уточнении при-
ближенной формулы (1.1) используются асимптотики только по одному из
параметров задачи (например, при и £->оо для р=const), для сокраще-
ния обозначений вместо величин Srop и SOp будем писать просто Soo и So
(т. е. иI текс «р» опускается).
1.2. КОНВЕКТИВНЫЙ МАССОПЕРЕНОС К КАПЛЕ
ПРОИЗВОЛЬНОЙ ВЯЗКОСТИ ПРИ БОЛЬШИХ
ЧИСЛАХ ПЕКЛЕ
Известно [76], что при анализе массообмена сферической кап-
ли с поступательным стоксовым потоком [распределение скоро-
стей жидкости вне капли определяется функцией тока (5.4)
в гл. 3] в приближении диффузионного пограничного слоя ана-
литическое решение соответствующей краевой задачи [форму-
лировка которой приведена далее — см. формулы (5.1), (5.2)
гл. 3] может быть получено лишь в предельных случаях срав-
нительно малых и бесконечно больших значений отношения
вязкостей капли и окружающей жидкости р. Это обстоятельст-
во обусловлено тем, что асимптотические разложения концен-
трации и среднего числа Шервуда по большому числу Пекле
Pe=aUoo/D (а — радиус капли, 17оо — невозмущенная скорость
потока на бесконечности, D — коэффициент диффузии) для кап-
ли не являются равномерно пригодными по параметру р.
23
В частности, асимптотические значения среднего числа Шерву-
да при Ре^>1 для капли умеренной вязкости р = О(1) и твердой
сферы £ = оо имеют вид:
£ = 0(1), Sh = Shp; £------► оо, Sh----->Sh00;
(2.1)
[2Ре I1/*
Зл(£ + 1) j ’ Sh0O=0,624Pei/a.
Здесь и далее среднее число Шервуда для частиц, капель и пу-
зырей сферической формы всегда определяется по их радиусу;
значение £ = 0 в формуле (2.1) соответствует газовому пузырю.
Следствием неравномерности результатов (2.1) по парамет-
ру £ являются свойства Shao^g^ ShB=0.
Область применимости полученных в приближении диффу-
зионного пограничного слоя формул для капель Sh = ShB (2.1)
ограничена сверху по параметру £ неравенством £<О(Ре1/3)
[31, 33]. Эта оценка следует, например, из выведенного [33]
двучленного разложения среднего числа Шервуда по числу
Пекле в пределе при Ре-»-оо(£ = const):
г 2Ре IV» /з \
Sh = [ Зл (£ + 1) ] +°>413^—£ + 1J. (2.2)
Погрешность формулы (2.2) имеет порядок Ре-1/2. Учет
того, что первый член разложения (2.2), совпадающий с Shu
(2.1), должен быть намного больше второго члена, приводит
к указанному выше искомому неравенству: £<О (Ре1/3).
В работе [45] указанная задача о массообмене капли ис-
следовалась приближенным интегральным методом на всем
интервале изменения вязкости капли 0<£<оо. При этом при-
влекались дополнительные физические соображения, непосред-
ственно не связанные с уравнением конвективной диффузии.
Покажем, как с помощью предложенной в разд. 1.1 процеду-
ры асимптотической коррекции могут быть улучшены результа-
ты работы [45], где для среднего числа Шервуда было получе-
но следующее приближенное кубическое уравнение:
Ре
Sh8 ~ Тб In 2 (£ + 1) (2Sh + 3£+l) = 0. (2.3)
Для среднего числа Шервуда, определяемого уравнением
(2.3), имеются две основные асимптотики
£ = 0(1), Sh = Sh₽*: £ ---► оо, Sh ---> Sh*«,;
(2.4)
Г Ре ]i/2 / ЗРе \V»
Sh₽* = [ 8 In 2 (£ + 1) ] * Sh*“ = \ 16 In 2 ) ’
соответствующие капле умеренной вязкости £ = 0(1) и твердой
сфере £ = °о; при выводе (2.4) учитывалось, что число Пекле
велико (Ре^>1).
24
Видно, что полученные приближенные выражения (2.4) от-
личаются от асимптотически точных значений среднего числа
Шервуда (2.1) лишь числовыми множителями.
Выразим из соотношений (2.4) параметры 0 и Ре через
Sh*₽ и Sh*<». Получим
2 Sh *8 16
Р=тХгг~1’ Ре=“ln2Sh»*8-
Подставляя эти величины в (2.3), приходим к уравнению
Sh8— Sh₽*2(Sh— l)-Shoo*3 = 0. (2.5)
Соответствующие (2.4) точные асимптотики решения исходной
задачи приведены выше и имеют вид (2.1).
Учитывая, что при больших числах Пекле справедливы не-
равенства Sh^>l и Sh—l«==Sh и заменяя в (2.5) параметры
Sh*e и Sh*oo на Shs и ShTO из (2.1) (это и есть асимптотическая
коррекция), получим приближенное уравнение для определения
среднего числа Шервуда
Sh3 - Sh^Sh — Sh^ = 0, (2.6)
которое правильно отражает качественное поведение Sh и при-
водит к точному асимптотическому результату в предельных
случаях — при р = О(1) и 0 = оо (Ре»1).
Среднее число Шервуда, соответствующее (2.6), может быть
представлено в следующем более удобном для анализа виде
Sh = Sh₽x(Q), Q = Sh^/ShB = const-Ре-1/в(р +1)1/2, (2.7)
где Q — параметр подобия; x=x(Q)—корень кубического урав-
нения xs — х — Q3=0.
Далее будет показано, что уравнение (2.6) с успехом может
быть использовано для приближенного определения среднего
числа Шервуда для капли произвольной вязкости, обтекаемой
линейным сдвиговым потоком.
На рис. 1.1 приведено сопоставление корня приближенного
уравнения (2.6) (сплошные
линии) с имеющимися асимп-
тотическими (2.1), (2.2) и чис-
ленными [198] решениями
(штриховые и штрих-пунктир-
ные линии соответственно)
рассматриваемой задачи о
массообмене капли при Ре =
= 500 (нижние кривые) и
Ре = 5000 (верхние кривые).
Рис. 1.1. Зависимость числа Шерву-
да от отношения вязкостей капли и
окружающей жидкости при больших
числах Пекле:
/ — по уравнению (2.6); 2 — по данным
(198]; 3 —по уравнению (2.1); 4 — по урав-
нению (2.2)
25
Видно, что приближенное уравнение (2.6) хорошо описывает
поведение среднего числа Шервуда при больших числах Пекле
во всем диапазоне изменения отношения вязкостей капли и ок-
ружающей жидкости. При Ре = 500 результаты использования
уравнения (2.6) и данные [198] практически совпадают и на
рис. 1.1 представлены одной сплошной линией.
Некоторое различие между корнем уравнения (2.6) и чис-
ленными результатами [198] при малых значениях параметра
[} и Ре=5000 обусловлено неудачным выбором шага конечно-
разностной сетки в работе [198]. Это видно, в частности, из ка-
чественного сопоставления асимптотически точной формулы
(2.2) с результатами [198]: из (2.2) следует, что при р«0 и
Ре—>-оо истинная кривая должна быть расположена несколько
выше, чем решение Sh = Sh? (2.1), а не ниже, как получено в
[198]. Более детально этот вопрос обсужден в разд. 3.5, где
уравнение (2.6) выведено другим методом.
Из рис. 1.1 видно, что область применимости двучленной
асимптотической формулы (2.2) по параметру р ограничена
интервалом
0<₽<₽(Ре), (2.8)
где предельное значение р(Ре) определяется из уравнения
<dSh/d^=F(Pe) = °- <2’9)
и соответствует минимальному значению среднего числа Шер-
вуда (2.2) при Ре = const. __
С учетом соотношений (2.2) и (2.9) для |J(Pe) получим:
Р='Р(Ре) = 0,82Ре1/3—1. (2.10)
Из этой формулы, в частности, следует, что область примени-
мости формулы (2.2) для Ре = 500 и Ре = 5000 задается интер-
валом (2.8) при f} = 5,5 и 13,0 соответственно.
Отметим, что в работе [189] задача о массообмене капли
произвольной вязкости при больших числах Пекле решалась
интегральным методом Кармана — Польхгаузена путем введе-
ния фиктивной толщины пограничного слоя и выбора профиля
концентрации в виде полинома четвертой степени по радиаль-
ной координате. Там же было получено похожее на (2.6) при-
ближенное кубическое уравнение для среднего числа Шервуда.
Сопоставление формулы (2.6) с результатами работы [189]
проведено далее, в разд. 8.10.
1.3. КОНВЕКТИВНЫЙ МАССОПЕРЕНОС, ОСЛОЖНЕННЫЙ
ОБЪЕМНОЙ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИЕЙ
ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА
Рассмотрим еще один пример, когда предложенная выше про-
цедура позволяет существенно улучшить приближенную фор-
мулу. В работе [46] исследовалась стационарная конвективная
диффузия, осложненная объемной химической реакцией произ-
вольного порядка п (подробная постановка задачи будет при-
ведена далее, в разд. 3.3). Для среднего числа Шервуда, соот-
ветствующего поступательному стоксовому обтеканию сфери-
ческой капли [течение Адамара — Рыбчинского, функция тока
(5.4) гл. 3], было получено выражение
(1 Ре 2k \т/2
8 In 2 р+ 1 + n-f-1 ) ’
где kv — безразмерная константа скорости объемной химичес-
кой реакции. При выводе формулы (3.1) использовали инте-
гральный метод и предполагали, что Ре^>1. Далее за парамет-
ры, по которым будет проводиться улучшение приближенной
формулы (3.1), выбраны величины kv и Ре.
При kv-^oo (Ре = const) приближенное выражение (3.1) пра-
вильно описывает асимптотическое поведение среднего числа
Шервуда, а в другом предельном случае имеем:
kv ---> 0, Sh------> Sh0 = PeV2[81n2(P+1)1"1/а. (3.2)
Здесь и далее звездочка сверху у соответствующих асимптотик
приближенного решения будет опускаться; Sho = Sh(O, Ре). Вы-
разим теперь с помощью (3.2) число Пекле через Sho и подста-
вим его в (3.1). Получим следующее выражение:
Sh = [Sh0« + 2kv/(n + 1 )]V\ (3.3)
При использовании этой формулы для Sho следует выбирать
точное значение среднего числа Шервуда, соответствующее
диффузионному режиму без химической реакции (kv = 0). Не-
обходимо отметить, что область применимости улучшенной
формулы (3.3) существенно шире, чем исходной приближенной
формулы (3.1); ее можно использовать для приближенного оп-
ределения среднего числа Шервуда для капли и твердой части-
цы любой формы при произвольном обтекании в случае боль-
ших чисел Пекле. В частности, для поступательного обтекания
твердой сферы в выражении (3.3) следует положить Sho=Shoo,
где Sh«> определено в (2.1).
Заметим, что в данном случае не исключали параметр kv
через асимптотику приближенной формулы (3.1) при ^-^-оо, по-
скольку эта асимптотика совпадала с соответствующей точной
асимптотикой.
В случае поступательного стоксова обтекания сферической
капли для реакции порядка п=1 сопоставление приближенной
27
Рис. 1.2. Зависимость числа Шервуда от
константы скорости объемной реакции при.
обтекании капли поступательным потоком*.
/ — по формуле (3.3) при л=1; 2 — по данным
[26, 68]
формулы (3.3) с результатами чис-
ленного интегрирования [26] выра-
жения для локального диффузион-
ного потока [68], полученного ра-
нее в приближении диффузионного
пограничного слоя, приведено на
рис. 1.2. Видно, что в этом случае
максимальная погрешность форму-
лы (3.3) во всем диапазоне изме-
нения безразмерной константы ско-
рости объемной химической реакции kv составляет около 7%.
Аналогичное сопоставление с результатами численного ана-
лиза, проведенного [165] для реакции дробного порядка (п =
=1/2) в случае поступательного стоксова обтекания сфериче-
ской капли малой (£=0,01) и большой (£=10) вязкости при
больших числах Пекле, показывает, что максимальная погреш-
ность формулы (3.3) в этом случае составляет около 5%. Сле-
дует отметить, однако, что в работе [165] конвективные члены
в уравнении диффузии учитывались полностью (без линеари-
зации функции тока), а вместо оператора Лапласа, соответст-
вующего молекулярной диффузии, бралась только его сфериче-
ская часть; при этом на оси потока в окрестности точки нате-
кания выставлялось неправильное граничное условие, которое
«силовым образом» сносилось из бесконечности. Нетрудно по-
казать, что в такой постановке задачи концентрация на оси по-
тока, в отличие от [165], не является тождественно постоянной
(задаваемой своим значением на бесконечности), а с необходи-
мостью должна определяться решением некоторого обыкновен-
ного дифференциального уравнения (приведено в работе
[180]), являющегося точным следствием рассмотренного в
[165] уравнения в частных производных.
Указанная типичная и весьма распространенная ошибка
(вызванная, по-видимому, неправильным пониманием часто
употребляемого неудачного оборота о «необедненной концент-
рации в передней точке» [76]), естественно, могла внести зна-
чительные погрешности в результаты численного анализа [165].
Следует отметить, что в случае отсутствия объемной химиче-
ской реакции (при kv=0) правильное граничное условие на оси
потока выставлялось в работе [189] (см. также разд. 3.3).
Покажем, как могут быть улучшены результаты работы
[45], полученные для массопереноса к твердой сферической ча-
стице, обтекаемой поступательным стоксовым потоком, в объе-
ме которого происходит гомогенная химическая реакция про-
23
извольного порядка. В этом случае при больших числах Пекле
для среднего числа Шервуда было выведено кубическое урав-
нение
2kv 3
Sh’-Tfrsh-TOTPe=°. (3.4)
Это уравнение правильно описывает поведение среднего числа
Шервуда при kv-^°o (Pe=const). В другом предельном случае
из уравнения (3.4) имеем асимптотику
/3 \ V»
0» Sh Sha= ( ip2 j i (3.5)
которая числовым множителем отличается от точного резуль-
тата [76].
Исключая отсюда число Ре через асимптотику Sh0 и под-
ставляя его далее в формулу (3.4), приходим к искомому ал-
гебраическому уравнению для среднего числа Шервуда:
Sh8 — Sh^Sh —Sh03 = 0; (3.6>
Sb* = [2kB/(n + 1 )]V2, Sh0 = Sh0 (Pe),
где Sho соответствует диффузионному режиму массообмена
сферы с окружающей средой и определяется равенством Sho =
= 0,624 Ре‘/з [76].
Интересно отметить, что если в качестве Sho в (3.6) взять
среднее число Шервуда, полученное для массообмена реагиру-
ющей в диффузионном режиме сферической капли умеренной
вязкости в поступательном стоксовом потоке, т. е. положить
Sho=Shf), где Shp определяется выражением (2.1), то корень
приближенного уравнения (3.6) будет отличаться от результа-
тов [26, 68] менее чем на один процент.
1.4. НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ И ЗАМЕЧАНИЯ
При необходимости асимптотическую коррекцию можно прово-
дить по одному или обоим параметрам несколько раз. В каче-
стве иллюстрации покажем, как таким образом можно улуч-
шить полученную ранее формулу (3.3).
Приближенное выражение (3.3) обеспечивает правильный
асимптотический результат в следующих трех предельных слу-
чаях:
kB---> 0 (Ре = const); kB ► оо (Ре = const);
Ре --> оо (kB = const). (4.1)
Однако еще в одном предельном случае, при Ре->0 (что со-
ответствует покоящейся частице в неподвижной жидкости),
оказывается, что формула (3.3) уже не является асимптотиче-
ски точной. В частности, с учетом того, что для частицы сфери-
ческой формы выполняется равенство Sho-»-l при Ре->-0,
29-
для объемной химической реакции первого порядка (п=1) из
приближенной формулы (3.3) следует:
Ре ---> 0, Sh--------> УГ+i;. (4.2)
Нетрудно показать, что соответствующий точный результат
для среднего числа Шервуда имеет вид [51]:
Sh(*o,0) = l+vX. (4.3)
Сопоставление выражений (4.2) и (4.3) показывает, что при
Ре = 0 максимальная погрешность формулы (3.3) наблюдается
при kv=\ и составляет 41,4%. Отсюда следует, что область
применимости приближенной формулы (3.3), вообще говоря,
ограничена большими числами Пекле. Это обстоятельство не-
трудно понять, если учесть, что исходное выражение (3.1) было
получено [46] путем исследования уравнения диффузионного
пограничного слоя, которое также справедливо лишь при
Ре»1.
Тем не менее формулу (3.3) можно легко уточнить, чтобы
она обеспечивала правильный асимптотический результат во
всех возможных предельных случаях (при больших и малых
значениях kv и Ре). Для этого достаточно повторно провести
асимптотическую коррекцию. А именно, полагая в (3.3) Ре = 0,
получим выражение
Sh = [l + 2V(n+l)]1/2. (4.4)
Исключая затем из соотношений (3.3) и (4.4) параметр
kv, с учетом равенств Sho=Sh (0, Ре) и Sh = Sh (kv, 0) прихо-
дим к следующей приближенной формуле для среднего числа
Шервуда:
Sh (k0, Ре) = [Sh2 (0, Ре) + Sh2 (k0, 0) — lp/2. (4.5)
Выражение (4.5) позволяет по известным величинам
Sh (0, Ре) и Sh(& у, 0) (соответствующим предельным случаям
конвективного массопереноса к частице без химической реакции
и протеканию химической реакции в неподвижной жидкости)
приближенно определять среднее число Шервуда при любых
значениях kv и Ре. Формула (4.5) уже во всех предельных слу-
чаях больших и малых значений kv и Ре (в том числе при Ре =
= 0) дает правильный асимптотический результат для объем-
ной химической реакции произвольного порядка. Это легко по-
казать, используя соотношения
lim Sh (0, Ре) = оо, lim Sh (kVt 0) = оо, Sh (0, 0) = 1,
Ре—>оо
Sh (ky. Ре) _ Sh(£p,Pe) _
рХ Sh (0, Ре) Sh (kv, 0) - 1 •
Приближенной формулой (4.5) следует пользоваться в тех
случаях, когда известна зависимость вспомогательного среднего
числа Шервуда Sh (kv, 0) от параметра k0. В частности, в ли-
30
нейном случае при п=\ (для реакции первого порядка) для ве-
личины Sh (kVi 0) в (4.5) нужно использовать равенство (4.3).
Следует отметить, что асимптотическую коррекцию исходной
приближенной формулы (1.1), вообще говоря, можно проводить
независимо по любой из шести пар асимптотик:
(•^00 р, ^оо)> (^оор, •$&)), (^оор, *$ор),
(4.6>
(•^Ор , «$Лсо) > (^ОР, •$&)) , (^эд , Sfco) >
соответствующих всем возможным комбинациям предельных
случаев больших и малых значений параметров k и р (возмож-
ны и более сложные предельные переходы, когда параметры
задачи k и р удовлетворяют некоторой функциональной связи;
см., например, разд. 6.1, 6.2). В общем случае это приведет
к шести различным «улучшенным» приближенным формулам,
которые будут давать правильный асимптотический результат
в двух предельных случаях, соответствующих выбранной паре
корректирующих величин. Поэтому возникает вопрос, какую из
указанных пар асимптотик следует использовать для улучше-
ния приближенных формул.
Сначала заметим, что требование невырожденности преоб-
разования исходных параметров k и р к соответствующей паре
корректирующих асимптотик значительно сокращает их воз-
можный выбор (в частности, из рассмотрения сразу следует
исключить все пары, у которых хотя бы одна из асимптотик
тождественно постоянна). Кроме того, на практике часто ока-
зывается, что один из исходных определяющих параметров яв-
ляется «связанным» — например, большим или малым. Указан-
ная ситуация типична для задач диффузионного пограничного
слоя, где число Ре = р велико. Это накладывает очень жесткое
ограничение на выбор корректирующих асимптотик, оставляя
свободной лишь одну пару (Soop, Sop), соответствующую пре-
дельным большим и малым значениям другого параметра за-
дачи — k. В задаче о массообмене капли с поступательным по-
током (разд. 1.2) таким параметром было отношение вязкостей
капли и окружающей жидкости (& = р), а в задаче с объемной
химической реакцией (разд. 1.3)—безразмерная константа
скорости объемной химической реакции (k=kv).
По построению ясно, что любая из возможных пар (4.6) хо-
рошо подходит для корректировки приближенных формул в об-
ласти, непосредственно прилегающей к используемым для этого
предельным значениям параметров k и р. На рис. 1.3 заштри-
хована область применимости двух пар асимптотик.
В ряде типичных случаев, когда имеется некоторая допол-
нительная информация о качественном поведении искомой ве-
личины, можно указать наиболее целесообразное правило вы-
бора корректирующей пары. В частности, если известно, что
для точной S = S (k, р) и приближенной S* = S* (k, р) зависи-
ЗГ
Рис. 1.3. Общая область применимости
в методе асимптотической коррекции
двух пар асимптотик, используемых
lim S = oo,
k~*<X>
lim
/?—>oo
мости выполняются следующие предельные соотношения:
lim S = оо, lim S* = оо , lim S* = оо , (4.7)
р—>оо k—>оо р—»оо
S(k,p) ,. S(k,p) S*(k,p)
S(k,O) -p‘™ S(O.P) S*M -
S(0,0) = S*(0, 0) # 0, (4,9)
то можно показать, что для улучшения приближенной формулы
(1.1) в качестве асимптотической корректирующей пары следу-
ет выбирать
(S*0P,S*A0). (4.10)
Прямой проверкой нетрудно убедиться, что использование
выражений (4.10) (путем представления параметров k и р че-
рез асимптотики S*oP и с последующей их подстановкой
в (1.1) позволяет получить приближенную формулу, которая
обеспечивает правильный асимптотический результат во всех
возможных предельных случаях при больших и малых значени-
ях параметров k и р.
В тех случаях, когда выполнены свойства (4.7) и (4.8) и не
выполнено условие (4.9), исходную формулу (1.1) следует
предварительно несколько подправить, делая сдвиг, например,
по любому из аргументов 5*, k, р. В первом случае в правую
часть выражения (1.1) добавляем величину A=S(O,O) —
S*(0, 0), т. е. вместо (1.1) в качестве исходной рассматриваем
формулу
S* = S*(fe,p)+S(O,O)— S*(0,0), (4.11)
которая уже обладает всеми перечисленными выше свойствами
j(4.7) — (4.9). Другая аналогичная простая возможность под-
52
править формулу (1.1) дается выражением
S* = $*(*+6, р), (4.12)
где параметр б выбираем из условия S(0,0) =S*(6, 0). Естест-
венно, что вместо сдвига по параметру k в (4.12) можно сде-
лать сдвиг и по параметру р или по обоим параметрам одно-
временно.
Проиллюстрируем сказанное на примере приближенной
формулы (3.1), где р = Ре, k = kVt S = Sh. Прямой проверкой
можно убедиться [51], что в исследуемом случае выполняются
свойства (4.7), (4.8) и не выполняется условие (4.9), так как
Sh(O,O) = 1, Sh*(O,O) = O, т. е. Sh (0, 0) Sh* (0, 0).
Поэтому подправим сначала формулу (3.1) по первому спо-
собу (4.11), т. е. рассмотрим далее вместо (3.1) выражение
/ 1 Ре 2kv V/2
Sh(^-Pe) = [8iKTT+r+ттг) +1- <4-13)
Используя теперь корректирующую пару (4.10) и полагая
в (4.13) последовательно Ре = 0 и kv = 0, в результате получим:
/ 2k0
Sh(^°) = (7rrr) +1*
/ 1 Ре \V»
SMO.Pe^TOT-p+r) +1- <414)
Подстановка параметров kv и Ре, выраженных из (4.14), че-
рез Sh (0, Ре) и Sh (kv, 0) в (4.13) приводит к приближенной
формуле
Sh (kVt Ре) = 1 + {[Sh (0, Ре) — I]2 + [Sh (kVt 0) - l]2}1^ (4.15)
обеспечивающей правильный асимптотический результат во
всех возможных предельных случаях.
Посмотрим, что произойдет, если подправить формулу (3.1)
по второму способу, с помощью сдвига по любому из парамет-
ров kv и Ре. С учетом (4.12) в этом случае нетрудно показать,
что вместо (3.1) в качестве исходного выражения следует взять
зависимость
(1 Ре 2k„ \ V1
8Й2-ггт + тгг + 1) <4-16>
Полагая, как и ранее, kv = 0 и Ре=0, из (4.16) получаем
вспомогательные соотношения
( 1 ре \ i/«
Sh (0. Ре) = ( 8ЙГ2 Тн+1) ’
(9Ь_, \ 1/2
+ • (417)
Исключая из выражений (4.16), (4.17) параметры kv и Ре,
3—1391
33
приходим к приближенной формуле
Sh (k„, Ре) = [Sh2 (0, Ре) + Sh2 (kv, 0) — I]1'2, (4,18)
которая также обладает требуемыми асимптотическими свойст-
вами. Интересно отметить, что формула (4.18) в точности со-
впадает с выведенной ранее другим способом формулой (4.5)
и несколько отличается от (4.15). Последнее обстоятельство
вполне естественно и не противоречит здравому смыслу. Оно
является следствием очевидного факта — точная зависимость
(которая, как правило, неизвестна), безусловно, одна, а соот-
ветствующих ей приближенных (аппроксимационных) формул
можно построить сколь угодно много.
При больших числах Пекле для реакции произвольного по-
рядка с учетом свойств вспомогательных параметров
Sh (0, Ре) > 1 при Ре^> 1,
/ 2k0 \1/а
Sh (kv, о) = i + ) + ®n (*«>) >
8n (0) = en (оо) = 0, | 8n К const;
нетрудно показать, что формулы (4.15) и (4.18) асимптотически
стремятся к одному и тому же выражению (3.3). Это служит
объяснением того факта, что расхождение формул (3.3), (4.15),
(4.18) и результатов работ [26, 68], полученных в приближении
диффузионного пограничного слоя для реакции первого поряд-
ка в случае поступательного стоксова обтекания сферической кап-
ли во всех трех случаях приблизительно одинаково и состав-
ляет около 7%.
Для объемной химической реакции первого порядка в пер-
вом случае с учетом выражений (4.3) и (4.15) имеем следую-
щую простую зависимость:
Sh (й0, Ре) = 1 + V[Sh (0, Ре) — I]2 + k0. (4.19)
Далее (см. разд. 6.2) будет показано, что приближенная
формула (4.19), помимо указанных предельных свойств и хо-
рошего совпадения с результатами расчета [26, 68], обладает
еще одним замечательным качеством: она оказывается также
асимптотически точной (с точностью до двух главных членов
разложения) в сложном предельном переходе при Ре—>-0 и
kv = O (Ре2). Это обстоятельство вынуждает отдать предпочте-
ние формуле (4.15) [по сравнению с выражением (4.18)].
В тех случаях, когда отсутствует какая-либо дополнитель-
ная информация о свойствах различных «улучшенных» формул
(например, по первому или второму способу), предпочтение
следует отдавать наиболее простому выражению. Иными слова-
ми, простота — один из основных показателей качества прибли-
женной формулы.
Не останавливаясь на рассуждениях общего характера и
многочисленных второстепенных деталях, Подчеркнем, что хоро-
34
шее понимание и эффективное использование широких возмож-
ностей метода асимптотической коррекции, как и вообще любо-
го другого аналитического или численного метода, приходит
лишь в результате его неоднократного практического примене-
ния для решения различных конкретных задач. В соответствии
с этим в последующих трех главах, где излагаются новые при-
ближенные аналитические методы, основанные на процедуре
асимптотической коррекции, будет рассмотрено большое число
иллюстративных примеров, представляющих самостоятельный
интерес в химической технологии, химической гидродинамике и
теории конвективного массо- и теплопереноса.
Метод асимптотической коррекции позволяет простыми
средствами, буквально «на пальцах» (путем улучшения резуль-
татов использования любого разумного приближенного метода
исследования), получать искомые приближенные зависимости.
При этом устраняются основные недостатки приближенных и
асимптотических методов, что позволяет, с одной стороны,
улучшать точность аппроксимационных формул, полученных
приближенными методами, а с другой — использовать резуль-
таты асимптотических исследований непосредственно в инже-
нерной практике.
В гл. 3 и 4 излагаются предназначенные для вывода или
улучшения различного рода приближенных формул бинарные
аналитические методы, которые по существу представляют со-
бой синтез двух методов различного типа, примененных после-
довательно: сначала используют некоторый приближенный ме-
тод исследования, а затем результат его подправляют с по-
мощью известных асимптотик, полученных любой из
модификаций метода возмущений. Метод асимптотической
коррекции является тем необходимым связующим звеном, кото-
рое и осуществляет такой синтез инженерного и асимптотиче-
ского подходов.
Глава 2
ПРИНЦИП АНАЛОГИИ
Многие задачи качественно схожего типа обладают также и некоторы-
ми весьма похожими количественными свойствами. Это обстоятельство дает
возможность сформулировать принцип аналогии, который открывает новый
чрезвычайно простой путь для построения различных приближенных формул.
Важной отличительной чертой полученных этим методом приближенных фор-
мул является их высокая информативность, что позволяет использовать одну
и ту же формулу для описания целого ряда задач, явлений или процессов,
которые различаются лишь геометрическими характеристиками (например,
формой и типом реагирующей поверхности, структурой течения, а также
другими аналогичными сопутствующими факторами).
Принцип аналогии использован для формулировки новых приближен-
ных аналитических методов в гл. 3 и 4.
Развитие науки и техники немыслимо без использования понятий об
аналогии и подобии различных объектов. Под аналогией обычно понимают
3* 35
сходство предметов, явлений, процессов и т. д. в каких-либо присущих им
свойствах. При использовании аналогии знание, полученное из рассмотрения
некоторого объекта (модели), переносится на другой, менее изученный (ме-
нее доступный для исследования, менее наглядный) объект. По отношению
к конкретным объектам выводы, получаемые по аналогии, носят, как правило,
лишь правдоподобный (вероятностный) характер; они являются одним из
основных источников научных гипотез, эмпирических законов, индуктивных
рассуждений и играют весьма важную роль в научных открытиях.
Многие точные и эмпирические закономерности, полученные путем экс-
периментальных и теоретических исследований, были найдены лишь благода-
ря установлению разного рода аналогий относительно рассматриваемых объ-
ектов. Например, аналогия с волнами на поверхности воды помогла выяс-
нению законов распространения звука и света. Определенное сходство меж-
ду строением атомного ядра и солнечной системы привело Н. Бора к созда-
нию планетарной модели атомного ядра. Аналогией с отбором в скотоводст-
ве воспользовался Ч. Дарвин при создании теории естественного отбора.
Аналогия играла большую роль в создании таких наук, как аналитическая
геометрия, математическая логика, квантовая механика.
2.1. АНАЛОГИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ
С понятием аналогии неразрывно связано моделирование,
представляющее собой общий метод изучения объектов позна-
ния на их моделях. Возможность моделирования, т. е. переноса
результатов, полученных в ходе построения и исследования
моделей, на оригинал, основана на том, что модель в опреде-
ленном смысле отображает (воспроизводит) какие-либо его
стороны. Моделирование наиболее тесно связано с эксперимен-
том.
Моделирование обязательно предполагает использование
процедур абстрагирования и идеализации. Эта черта моделиро-
вания особенно существенна в том случае, когда предметом ис-
следования являются сложные системы, поведение которых за-
висит от большого числа взаимосвязанных факторов различной
природы. В ходе познания такие системы отображаются в раз-
ных моделях, дополняющих друг друга.
Моделирование глубоко проникает в теоретическое мышле-
ние и практическую деятельность. Это не только одно из могу-
чих средств отображения явлений и процессов реальности, но
и критерий проверки научных знаний, осуществляемой непо-
средственно или путем установления отношений рассматривае-
мой модели к другой модели или теории, адекватность которой
считается практически обоснованной. Применяемое в органи-
ческом единстве с другими методами моделирование служит
углублению познания.
Покажем, как выявление определенной аналогии между ис-
комыми количественными характеристиками различных задач,
описывающих качественно сходные процессы, может привести
к полезным результатам. Возможный ход рассуждений в таких
ситуациях поясним на примере задачи о массообмене плоской
стенки с неподвижной средой, в объеме которой протекает го-
могенная химическая реакция.
36
Рассмотрим сначала наиболее простой случай объемной хи-
мической реакции первого порядка. В безразмерных перемен-
ных соответствующая краевая задача для распределения кон-
центрации имеет вид:
| = 0, с = 1; £-----> оо, с----------> 0,
(1.1)
(1.2)
где c = C!Cs — безразмерная концентрация; С$ — концентрация
на поверхности стенки; kv — безразмерная константа скорости
объемной химической реакции.
Решение задачи (1.1), (1.2) дается формулой
с=ехр(—V^).
(1.3)
В такого рода задачах основной характеристикой процесса,
представляющей наибольший практический интерес, является
локальный диффузионный поток вещества на поверхность стен-
ки, который определяется выражением
7 дс \
(1.4)
Исследуем теперь более сложную нелинейную задачу о мас-
сообмене стенки со средой при протекании объемной химиче-
ской реакции произвольного порядка. В этом случае поле кон-
центрации описывается уравнением
— kvfV (с) •
(1.5)
с граничными условиями (1.2), где конкретный вид функции
fv=fo(c) определяется кинетикой реакции. В частности, для
реакции порядка п имеем:
/₽ (с) = с".
(1.6)
Введением новой переменной u=dcld% с учетом тождества
d2cldi,2=uduldc уравнение второго порядка (1.5) приводится
к обыкновенному дифференциальному уравнению первого по-
рядка, которое легко интегрируется. Поэтому решение задачи
(1.5), (1.2) может быть представлено в следующей неявной
форме:
-1/а
de'.
(1.7)
с 0
Следует выделить два качественно различных случая, в за-
висимости от величины |о = |(О), которую принято называть
глубиной проникновения. Если £o = °°, то гомогенная химиче-
ская реакция идет во всем объеме среды. При |0<°° объемная
реакция протекает лишь в строго локализованной области, при-
37
мыкающей непосредственно к стенке а при все
растворенное в жидкости вещество уже успело полностью про-
реагировать, и с = 0 при Для объемной химической реак-
ции произвольного порядка (1.6) первый случай реализуется
при п>1 (£о = °°), а второй — при 0<п<1 (|о<°°)-
Соответствующий решению (1.7) локальный поток имеет
вид:
1
(1.8)
о
Из сопоставления выражений (1.4) и (1.8) следует, что
объемную химическую реакцию произвольного порядка, напри-
мер порядка п, можно моделировать более простой химической
реакцией первого порядка, если ввести эффективную константу
скорости реакции
А^СэФ) = </„>. (1.9)
В этом случае решение линейного обыкновенного дифферен-
циального уравнения
d2c
^ = kv^c (1.10)
с граничными условиями (1.2) приводит к точному значению
для локального потока (1.8).
Указанное простое соответствие (1.9) по аналогии можно
распространить и на существенно более широкий класс задач —
конвективный массоперенос, осложненный объемной химичес-
кой реакцией. Рассмотрим задачи химической гидродинамики
и химической технологии, в которых наряду с объемной реак-
цией действуют такие факторы, как движение жидкости, гео-
метрия поверхности и т. п. Подобные процессы массопереноса
будут описываться существенно более сложными, чем (1.1) и
(1.5), уравнениями в частных производных, зависящими от пара-
метров kv, Ре,... и кинетики реакции fv(c), точное аналитиче-
ское (или численное) решение которых в подавляющем боль-
шинстве случаев неизвестно.
Предположим, что решение соответствующей наиболее про-
стой линейной задачи для объемной химической реакции пер-
вого порядка получено и приводит к следующему выражению
для локального потока:
j = F (kVt Ре,...) (реакция 1 -го порядка), (1.11)
где для сокращения записи зависимость потока от продольных
координат г] и % на поверхности £ = 0, а также другие безраз-
мерные параметры опускаются.
Если теперь требуется исследовать задачу с другой более
сложной (вообще говоря произвольной) кинетикой, то для при-
ближенного вычисления локального потока по аналогии с ранее
38
рассмотренным простейшим случаем можно использовать ту же
самую эффективную константу скорости реакции (1.9), подста-
новка которой в формулу (1.11) (при kv=kv^) для локально-
го диффузионного потока дает
/ = F (2kv (fv), Ре,...) (произвольная объемная реакция), (1.12)
где F — та же функция, что и в (1.11).
В задачах о конвективном массообмене твердых частиц, ка-
пель и пузырей с потоком, в объеме которого протекает хими-
ческая реакция, интегрирование соответствующих выражений
(1.11) и (1.12) приводит к следующим формулам для среднего
числа Шервуда:
Sh = F (kVi Ре,...) (реакция первого порядка); (1.13)
Sh = F (2kv (fv), Ре,...) (произвольная объемная реакция). (1.14)
Естественно, что достаточно строгого обоснования прибли-
женные формулы (1.12) и (1.14) не имеют. Поэтому на данном
этапе к ним следует относиться как к правдоподобной «рабо-
чей гипотезе», которую далее следует проверить путем деталь-
ного исследования некоторых типичных случаев. Необходимо
подчеркнуть, что по построению в линейном случае (при fv = c)
и при kv = 0 приближенные выражения '(1.12) и (1.14) всегда
обеспечивают точный результат.
Покажем теперь, как полученные соотношения могут быть
использованы для расчета коэффициентов массопереноса (и
попутно проверим их пригодность) в конкретных ситуациях.
Ранее для конвективного массообмена сферических частиц, ка-
пель и пузырей с потоком при больших числах Пекле в случае
объемной химической реакции первого порядка для среднего
числа Шервуда была выведена приближенная формула
Sh (kVt Ре) = VSh2 (0, Ре) + kv , (1.15)
полученная из (3.3) подстановкой значения п=1.
В общем случае объемной химической реакции с произволь-
ной кинетикой с учетом соответствия между (1.13) и (1.14) для
среднего числа Шервуда имеем
Sh (kv, Ре) = VSh2 (0, Ре) + 2^ </у>. (1.16)
В частности, для реакции порядка п (1.6) ввиду равенства
2<fv> = l/(n+1) формула (1.16) переходит в выражение (3.3).
Далее в разд. 3.3, 4.2, 4.4, 4.6 будет показано, что приближен-
ная зависимость (1.14) [а также (1.12) или (1.16)] носит до-
статочно общий характер и с успехом может применяться для
расчета среднего числа Шервуда во многих стационарных и не-
стационарных задачах конвективного массообмена, осложненно-
го объемной химической реакцией.
Данный пример показывает, что из очень простых соображе-
ний на основе использования аналогии были получены иско-
мые приближенные зависимости. Отметим, что в основу приве-
39
денного рассуждения были положены точные решения двух
простейших модельных вспомогательных задач (1.1), (1.2) и
(1.5), (1.2). Метод аналогий допускает различные усложнения
и модификации; некоторые из них изложены в разд. 2.2—2.4.
К сожалению, принципы аналогии в настоящее время недо-
оценивают и практически не применяют для построения различ-
ного типа приближенных (инженерных) формул.
Цель изложения в данной главе — сформулировать и проил-
люстрировать некоторые принципы аналогии, позволяющие ве-
сьма просто выводить новые приближенные формулы и зависи-
мости. Основная идея предлагаемого здесь подхода состоит в
использовании следующего довольно правдоподобного и есте-
ственного факта: многие задачи, явления и процессы качествен-
но схожего типа обладают также некоторыми весьма похожими
количественными свойствами.
Дальнейшее изложение материала ведется в соответствии
с результатами работ [103, 180].
2.2. ТОЧНЫЙ ПРИМЕР СОХРАНЕНИЯ АНАЛОГИИ
(МОДЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА С ПОВЕРХНОСТНОЙ
ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИЕЙ)
Прежде чем перейти непосредственно к формулировке прин-
ципа аналогии, который открывает новый путь для построения
различных приближенных формул, для наглядности и более яс-
ного понимания рассмотрим сначала несколько простых кон-
кретных примеров, выявляющих некоторые аналогичные функ-
циональные зависимости, существующие между основными
характеристиками в различных задачах химической механики.
Исследуем сначала следующую нелинейную краевую задачу
для обыкновенного дифференциального уравнения:
d2c Ре de
₽+ 1 =0: (2,1)
g --► оо, с -----> 0; (2.2)
Е = °, -#- = -*/*(<), (2.3)
где Ре, р, ks — параметры, a fs=fs(c) — произвольная задан-
ная функция искомой величины с.
Задача (2.1) — (2.3) имеет ясный физический смысл.
А именно, она определяет распределение концентрации в окре-
стности передней критической точки (точки натекания) сфери-
ческой капли, обтекаемой поступательным стоксовым потоком
при больших числах Пекле Ре, в случае протекания на ее по-
верхности гетерогенной химической реакции с произвольной
(конечной) скоростью. Предполагается, что функция fs, опреде-
ляемая кинетикой реакции, удовлетворяет обычным условиям
А(1) = 0, /,(0) = 1, d/s/dc<0. (2.4)
40
Более подробное описание и физический смысл входящих в
уравнение и граничные условия (2.1) — (2.3) параметров и
функции fs для наших целей здесь малосущественно и поэтому
будет приведено далее в разд. 3.2 — там, где это необходимо
по смыслу. Отметим лишь, что для поверхностной реакции
и-го порядка функция fs имеет вид fs= (1—с)п.
Общее решение дифференциального уравнения (2.1), удов-
летворяющее уравнению (2.1) и граничному условию на беско-
нечности (2.2), определяется выражением
С~Аerfc (р 2(0 + 1) V’
(2.5)
где неизвестная постоянная А находится путем решения
браического (трансцендентного) уравнения
А
- 2Ре I1/2
л (04-1) J = VsH),
алге-
(2.6)
полученного подстановкой формулы (2.5) в граничное условие
на поверхности капли (2.3).
В задачах конвективного массопереноса одной из наиболее
важных характеристик процесса является безразмерный диффу-
зионный поток на поверхность капли, который с учетом выра-
жения (2.5) имеет вид
de \ Г 2Ре 1V3
(2.7)
Исключая параметр А из соотношений (2.6), (2.7), приходим
к следующему уравнению для диффузионного потока /:
/ = Vs (/ Ул(04-1)/[2Ре]). (2.8)
Устремляя теперь параметр ks к бесконечности, с учетом
свойств функции fs (2.4), из уравнения (2.8) найдем величину
предельного диффузионного потока, соответствующего част-
ному случаю бесконечно большой скорости поверхностной хими-
ческой реакции [чисто диффузионный режим реакции; опреде-
ляется путем предельного перехода при ka-+oo в (2.3), что соот-
ветствует простейшему граничному условию на реагирующей
поверхности: £ = 0, с=1]
/• = У2Ре/[л (0 4- !)]• (2.9)
Выражая отсюда число Пекле через предельный диффузион-
ный поток и подставляя его далее в уравнение (2.8), получаем
следующую функциональную связь между / и /«,:
/ = Vs (///«,). (2.Ю)
Оказывается, что из алгебраического уравнения для локаль-
ного потока (2.10) можно извлечь гораздо больше полезной
информации, чем из исходного уравнения (2.8).
41
В целях иллюстрации этого важного обстоятельства рас-
смотрим теперь новую краевую задачу, описываемую обыкно-
венным дифференциальным уравнением
сРс 3 de
— + — ре£2 =0 (2.11)
1 2 5 dt, v '
с теми же граничными условиями (2.2), (2.3).
Уравнение (2.11) отличается от (2.1) более сложным квад-
ратичным по независимой переменной £ множителем при пер-
вой производной (в уравнении (2.1) соответствующий множи-
тель был линеен по |). Задача (2.2), (2.3), (2.11) определяет
поле концентраций в окрестности передней критической точки
твердой сферы, обтекаемой поступательным стоксовым потоком
при больших числах Пекле в случае произвольной химической
реакции на ее поверхности (подробности см. в разд. 3.2). Дру-
гими словами, задачи (2.1) — (2.3) и (2.2), (2.3), (2.11) не-
смотря на некоторое различие имеют весьма похожий физиче-
ский смысл.
Общее решение уравнения (2.11), удовлетворяющее условию
однородности решения на бесконечности (2.2), имеет вид:
00
с = В J ехр —-g-PetsjdT. (2.12)
5
Параметр В является корнем алгебраического уравнения
/1 { 1 \/ 2 \V3 \ / 1 \
В = Vs (-3-Г I—) (^1 В], Г I-3-I =2,682..., (2.13)
полученного из граничного условия (2.3) с учетом (2.12);
Г(х) —гамма-функция.
Из формулы (2.12) находим следующую простую связь
между параметром В и диффузионным потоком j = B. Подстав-
ляя это соотношение в выражение (2.13), приходим к уравне-
нию для диффузионного потока
/ 1 I 1 \ / 2 \vs \
/ = Vs("3"r ( 3 J ( ре ) ij- (2.14)
Переходя теперь, как и ранее, к пределу при £s->oo, с уче-
том свойств функции fs (2.4) для предельного диффузионного
потока в передней критической точке сферы имеем
/„ = ЗГ-1 (1/3) (Pe/2)Vs. (2.15)
Подставляя это выражение в (2.14), получаем функциональ-
ную связь между / и /<», в точности совпадающую с (2.10).
Данный пример показывает, что, несмотря на различие рас-
смотренных задач (2.1) — (2.3) и (2.2), (2.3), (2.11), искомая
функциональная связь для них одна и та же.
4 2
Кроме того, можно исследовать и более общую краевую за-
дачу, описываемую уравнением
d?c de
-j£F + Pe^)-dj-=O. (2.16)
с граничными условиями (2.2), (2.3), где и(£) —любая непре-
рывная неотрицательная функция координаты £ (u^feO). В этом
случае можно показать [51, 180], что для диффузионных пото-
ков справедлива та же связь (2.10).
Из сказанного ясно, что процедуру вычисления диффузион-
ного потока в данном случае можно свести к двум последова-
тельным этапам:
1) решается одна наиболее простая задача для уравнения
с постоянными коэффициентами (2.16) при
*G) = 1, (2.17)
по решению которой устанавливается далее искомая функцио-
нальная зависимость (2.10) между диффузионными потоками;
2) для любой конкретной зависимости о = о(|) рассматрива-
ется линейная задача (2.16), (2.2), в частности (2.1), (2.2),
с простейшим граничным условием на реагирующей поверхно-
сти
g = 0, с=1, (2.18)
по решению которой вычисляется соответствующее предельное
значение диффузионного потока / ОО-/оо (Ре), подставляемое за-
тем в полученное на первом этапе алгебраическое уравнение
(2.10).
Необходимо подчеркнуть, что обе сформулированные выше
задачи, которые приходится последовательно решать при полу-
чении искомого алгебраического уравнения для диффузионного
потока, проще исходной краевой задачи (2.1) — (2.3).
Нетрудно показать, что уравнения вида (2.16) описывают
распределение концентрации в окрестности критических точек
и линий натекания, расположенных на поверхностях капель, ча-
стиц и пузырей любой формы, обтекаемых произвольным (не-
обязательно поступательным) потоком вязкой, идеальной и лю-
бой другой несжимаемой жидкости, при больших числах Пекле
для произвольного режима гетерогенной химической реакции.
При этом искомая функциональная зависимость между диффу-
зионными потоками для всех этих, вообще говоря-, различных
задач, отличающихся указанными геометрическими факторами,
остается одной и той же. Это обстоятельство на исследуемом
частном случае иллюстрирует принцип аналогии, а именно,
разные задачи качественно схожего типа (имеющие одинако-
вый физический смысл) обладают также и некоторыми весьма
похожими количественными свойствами. В данном примере для
диффузионных потоков наблюдается полная аналогия, так как
43
зависимость (2.10) выполняется тождественно для всего рас-
сматриваемого семейства задач.
Описываемую наиболее простым дифференциальным урав-
нением с постоянными коэффициентами задачу (2.2), (2.3),
(2.16), (2.17), решение которой используется на первом этапе
для получения искомой функциональной связи (2.10), будем
называть модельной (эталонной) для семейства задач, соответ-
ствующих уравнению (2.16) с различными зависимостями
v = v(g).
Следует отметить, что алгебраическому уравнению для диф-
фузионного потока можно придать следующий несколько более
привычный вид:
i/ikn=fs(iM, (2.19)
где использованы обозначения
/Лос = Нт /. /оор = Нт /; k = ks, р = Ре.
р—>оо /г—»оо
Выражение (2.19) получено в результате подстановки пара-
метра ks в (2.10) путем использования равенства ks=jk<x>, кото-
рое является следствием предельного перехода в (2.10) при
Ре->-оо с учетом свойств функции fs (2.4) и предельного соотно-
шения lim /«(Ре) =оо.
Ре-»оо
2.3. МАССОПЕРЕНОС В ОКРЕСТНОСТИ ПЕРЕДНЕЙ
КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ КАПЛИ
Рассмотрим теперь еще один конкретный пример, когда реше-
ние двух различных исходных задач приводит в конечном итоге
к одному и тому же функциональному соотношению для диф-
фузионных потоков. Исследуем сначала линейную краевую за-
дачу для обыкновенного дифференциального уравнения
Td2c Г 1 Зв 4-2 1 de
^+Ре[ттг^+^Т1Г^^-=0 (3J>
с граничными условиями
g = 0, с=1; £--> оо, с —► 0, (3.2)
которая определяет поле концентрации в окрестности передней
критической точки капли, обтекаемой поступательным стоксо-
вым потоком. Граничные условия (3.2) соответствуют диффу-
зионному режиму на поверхности капли и однородной концен-
трации вдали от нее. При записи уравнения (3.1) предполага-
лось, что число Пекле велико, и вместо точного выражения для
скорости жидкости на оси потока взято его двучленное квадра-
тичное разложение вблизи поверхности капли. Поле течения и
общая формулировка задачи о распределении концентрации
в потоке вне капли будут описаны далее в разд. 3.5.
44
При малых и умеренных значениях отношения вязкостей
капли и окружающей жидкости р<1 с учетом исходного пред-
положения Ре^>1 прямой проверкой нетрудно убедиться, что
в уравнении (3.1) достаточно ограничиться лишь первым ли-
нейным слагаемым в квадратной скобке, т. е. вместо (3.1) мож-
но рассматривать более простое уравнение (2.1). В другом пре-
дельном случае твердой сферы (при р = оо) уравнение (3.1) пе-
реходит также в более простое уравнение (2.11). Из сказанного
следует, что учет второго (квадратичного) слагаемого в (3.1)
необходим для получения искомых соотношений, равномерно
пригодных по параметру 0 (во всем диапазоне изменения 0<
<р<оо) при больших числах Пекле.
Решение задачи (3.1), (3.2) имеет вид:
Г Г Ре / V , ₽ +2/3
J Р[ — 2 р+1 + р+1
Г Ре / g2 0+2/3
ехр[~ 2 \ Р+1 + Р+1
(3.3)
Локальный диффузионный поток в передней критической
точке капли /=—(dc/d£)s=o, соответствующий решению (3.3),
определяется выражением
. ((* Г Ре ( V . ₽ + 2/3
1 = (J ехр [ ~ 2 Р + 1 + Р + 1
о
(3.4)
Для более удобного анализа зависимости диффузионного
потока от параметров задачи р и Ре сделаем в интеграле (3.4)
замену переменной по формуле х = Ре1/2[2(р +1)]-1/2£. В ре-
зультате получим
О
(3.5)
где у(р) = (р + 2/3)/(р+1).
Асимптотический анализ выражения (3.5) показывает, что
при больших числах Пекле Ре>1 (на самом деле здесь пред-
полагается выполненным несколько более сильное условие
Ре1/3>1) следует выделить три различных характерных случая,
в зависимости от значения параметра р:
1)0<р«Ре1/з, 2) Ре1'««р<оо, 3)P~PeVs.
В первом случае, который соответствует капле умеренной
вязкости, вторым (кубическим) слагаемым под знаком экспо-
ненты в подынтегральном выражении (3.5) можно пренебречь,
45
что приводит к следующей простой формуле:
' = V 2 (₽ + 1) 0 e~X*dx) =
о
ДтШ (OCPCW). <3.6>
В другом предельном случае, соответствующем твердой сфе-
ре или очень вязкой капле, первым квадратичным слагаемым
в подынтегральном выражении (3.5) можно пренебречь. В ре-
зультате имеем
ОО
О
(1 \ / ре \ !/з
— (PeV»«p<oo). (3.7)
При выводе формулы (3.7) было учтено, что при больших
числах Пекле в рассматриваемом диапазоне изменения пара-
метра р в силу неравенств р»Ре1/3^>1 справедливы предельные
соотношения р +1~р, f(p)«l.
Для промежуточной ситуации, когда р~Ре1/3, в интеграле
(3.5) следует учитывать уже оба слагаемых в квадратной
скобке. Возможность некоторого упрощения обусловлена боль-
шими значениями параметра р, что как и ранее является след-
ствием больших чисел Пекле. В этом случае для диффузионно-
го потока имеем
0° ____
/ = IJехр (—*2—тг •*’)dx] ф ~ре1/8)-
о
(3.8)
Из сопоставления полной формулы (3.5) с предельными со-
отношениями (3.6) — (3.8) нетрудно усмотреть, что при боль-
ших числах Пекле локальный диффузионный поток практически
не зависит от конкретного вида функции y = y(P), а определя-
ется лишь ее предельным значением при р = оо. Другими сло-
вами, выражение (3.5) при Ре->оо и 0<р<оо оказывается
асимптотически эквивалентным формуле
оо
. 1/ Рё (С Г 9 т/2(Р + 1)8
1 = У '2ф—1)1) е*Р Н2-У —Ре
о
dxf
(3.9)
полученной формальной заменой коэффициента у(р) в (3.5) на
7(оо) = 1. Здесь и далее функции fi(p, Ре) и f2(P, Ре) будем
называть асимптотически эквивалентными при Ре->оо, если во
всем диапазоне изменения параметра р выполняется равенство
lim(f1/f2) = l.
Ре->оо
46
Указанную интересную особенность решения можно было
обнаружить и непосредственно из исходного дифференциально-
го уравнения (3.1) путем введения новой независимой перемен-
ной x=Pe1/2[2([J+1)]~1/2£ с последующей оценкой всех членов
уравнения в описанных ранее трех возможных предельных слу-
чаях. Из такого анализа можно заключить, что при Ре->оо
уравнение (3.1) асимптотически эквивалентно уравнению, кото-
рое получается в результате замены коэффициента при втором
слагаемом в квадратной скобке (3.1) на его предельное значе-
ние при р = оо.
В соответствии с двумя основными предельными случаями,
используя формулы (3.6), (3.7), введем следующие обозначе-
ния для локальных диффузионных потоков на каплю умерен-
ной вязкости (р~1) и твердую сферу (р = <х>) при Ре—>-оо:
₽ ~ 1,. /---> /р = (2Pe)V’ [л (₽ + 1)]-V’;
(З.Ю)
р = оо, / -----> j„ = 3-2-V3r-i (1/3) Ре1/».
Из асимптотических соотношений (3.10) выразим парамет-
ры р и Ре через /е и /«, и подставим их в формулу (3.9); получим
00
77 = ^(|ехр[~*2_<т(1г) ’ (311)
2Г (1/3) 5
где а== ^023-
3 у л
Покажем, что зависимость (3.11) носит достаточно общий
характер. Рассмотрим несколько более общее, чем (3.1), урав-
нение
d?c de
-5p-+2Pe[X1(P)^ + ^(P)^2l-d|-=0 (3-12)
с граничными условиями (3.2). Здесь коэффициент 2 перед чис-
лом Пекле выбран в целях сохранения единства обозначений
(см. разд. 3.5). Будем считать, что коэффициенты уравнения
Xi(p) и %а(Р) при О^р^оо удовлетворяют условиям
0<М₽)<°°. HmX1(P)=O.
Р~>ОО
(3.13)
(<д1/«/р<о, dK2/dp>0).
В остальном на зависимость величин и 1г от параметра р не
накладывается никаких ограничений. В частности, при
МР) = 3/(Р + 1), М₽)=3(4Р +!)/(₽ 4-1), Ре = aaG/D (3.14)
уравнение (3.12) определяет поле концентрации в окрестности
передней критической точки сферической капли, обтекаемой
осесимметричным линейным сдвиговым стоксовым потоком
(G — коэффициент интенсивности сдвига); подробнее см. в
разд. 3.5.
47
Опуская промежуточные выкладки и рассуждая аналогично
тому, как это делалось ранее для задачи (3.1), (3.2), можно
показать, что при Ре-*оо, во-первых, уравнение (3.12) асимп-
тотически эквивалентно несколько более простому уравнению
d2c de
-5^+2Ре[Х1(РН + М°°П21^|-=0; (3.15)
во-вторых, решения задач (3.12), (3.2) и (3.15), (3.2) приводят
к следующим асимптотически эквивалентным выражениям для
диффузионных потоков:
оо
/ = lAi (Р)Ре ехР —*2
и
оо
/--------f С 2А-О (оо) , / 1
/' = TAj (Р) Ре IJ exp xs — g у
6
(3.16)
(3.17)
в-третьих, две главные асимптотики любой из формул (3.16)
или (3.17) при Ре->оо имеют вид:
Р~1, /—/—>/«;
(3.18)
/в = [4Хх (₽) Ре/л]1/«, = ЗГ-1 (-j-j [2Х, (оо) Pe/3]V*.
Исключая теперь из формулы (3.17) параметры р и Ре че-
рез асимптотики и /«> (3.18), приходим к той же зависимости
между диффузионными потоками (3.11), которая была получе-
на ранее для частного случая сферической капли, обтекаемой
поступательным стоксовым потоком. Этот факт говорит о том,
что в рассматриваемой ситуации также выполняется принцип
аналогии: уравнение (3.12) с граничными условиями (3.2) опи-
сывает семейство сходных задач, определяющих поле концент-
рации в окрестности (передней) критической точки или линии
натекания капли произвольной вязкости (0<р<оо). При этом
разные типы течения и форма поверхности капли обусловлива-
ют различные зависимости коэффициентов %i(p) и %2(Р) от па-
раметра р. Несмотря на указанные отличия, наиболее важно
то, что основная характеристика процесса массопереноса —
диффузионный поток — для всего рассматриваемого семейства
задач в целом описывается одним и тем же (инвариантным)
выражением (3.11).
Следует отметить, что, в отличие от результатов разд. 2.2,
где аналогия была полной, а уравнение (2.10) —точным, в дан-
ном случае наблюдается более слабая асимптотическая анало-
гия для семейства задач (3.12), (3.2) (при Ре->оо), которая
является следствием использования вместо точной формулы
для диффузионных потоков (3.16) асимптотически эквивалент-
ного выражения (3.17).
48
Подчеркнем, что инвариантные результаты (не зависимые
от рассматриваемой конкретной задачи и справедливые одно-
временно для всех задач исследуемого семейства) получены
в разд. 2.2, 2.3 путем записи искомого выражения через
асимптотические переменные типа /р, /«>, jo, которые определя-
ются из исходной зависимости в результате соответствующего
предельного перехода.
2.4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИНЦИПА АНАЛОГИИ
ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ ФОРМУЛ,
ОБЛАДАЮЩИХ ПОВЫШЕННОЙ ИНФОРМАТИВНОСТЬЮ
(НЕСТАЦИОНАРНАЯ ДИФФУЗИЯ К КАПЛЕ
И ТВЕРДОЙ ЧАСТИЦЕ)
В качестве естественного обобщения результатов разд. 2.2, 2.3
сформулируем теперь достаточно универсальное правило для
получения различного рода приближенных формул, пригодных
для описания целого семейства сходных задач, явлений и про-
цессов, которые отличаются лишь геометрическими характери-
стиками (в задачах химической механики и химической техно-
логии, например, формой и типом реагирующей поверхности,
структурой течения, а также другими аналогичными сопутст-
вующими факторами). В основу предлагаемого здесь метода
положим те инвариантные свойства решений, которые были об-
наружены ранее в этой главе при исследовании двух модель-
ных семейств задач.
Пусть имеется некоторое семейство задач, отличающихся
друг от друга только геометрическими характеристиками и
зависящих (для простоты) от двух безразмерных параметров
k и p(0^k, р^оо). Предполагается также, что для какого-ли-
бо одного конкретного частного случая фиксированной (наибо-
лее простой) геометрии известна зависимость основной интере-
сующей нас величины S от определяющих параметров.
S = S(k,p). ~ (4.1)
Возникает важный вопрос: можно ли выражение (4.1) ис-
пользовать для оценки величины S, соответствующей уже реше-
нию других задач этого же семейства? Для ответа на этот во-
прос в соответствии с [103] перепишем формулу (4.1) через
«асимптотические координаты», аналогично тому, как это де-
лалось ранее при исследовании конкретных задач в разд. 2.3.
А именно, пусть главные члены асимптотик выражения (4.1)
в предельных случаях Л->оо (р=const) и р->оо (£=const) име-
ют вид:
► оо, S --► Sxp', р ----> оо, S ---»• Skx', (4.2)
Sap “ Sap (£, Р), Ska ~ Sfya (^, Р) • (4.3)
Вместо (4.2) могут рассматриваться также другие предельные
случаи.
4—1391
49
Исключим из соотношений (4.3) параметры k и р через
асимптотики Sxp и SAoo и подставим их в исходную формулу
(4.1). В результате приходим к следующей зависимости:
S = <D(SaP,SAw). (4.4)
Принцип аналогии заключается в том, что полученное выра-
жение (4.4), как правило, может быть использовано для при-
ближенного расчета аналогичных характеристик уже дл$} до-
статочно широкого семейства задач, описывающих качественно
сходные явления или процессы, которые отличаются геометри-
ческими факторами. Для этого после получения зависимости
(4.1) для какого-либо одного конкретного (например, наиболее
простого) случая процедура вычисления величины S для дру-
гой задачи этого же семейства сводится к определению ее
асимптотик в тех же предельных случаях, что и в (4.2), с по-
следующей подстановкой их в формулу (4.4).
Предложенный здесь простой и достаточно общий метод
расчета является приближенным и сформулирован из эвристи-
ческих соображений. Основной наводящей'идеей метода послу-
жили некоторые инвариантные свойства решений, полученные
при анализе рассмотренных ранее простейших модельных за-
дач. Естественное разумное обоснование этого метода (как и
подавляющего большинства всех используемых приближенных
методов в целом)—его практическая проверка, основанная на
сравнении с уже известными результатами. Так как семейство
однотипных задач обладает качественно подобными свойствами,
приближенные формулы, полученные путем применения прин-
ципа аналогии, будут давать точный асимптотический результат
в тех же предельных случаях (4.2), которые использовались
при выводе универсальной зависимости (4.4). Указанное обстоя-
тельство является весьма ценной характерной особенностью
описанного выше простого метода построения приближенных
формул.
Проведенное далее (в этой и последующих главах моногра-
фии) сопоставление полученных указанным образом формул
с целым рядом конкретных характерных случаев (для которых
уже имеются необходимые для проверки точные, численные,
приближенные и асимптотические выражения) показывает хо-
рошую точность и большие возможности предложенного спосо-
ба расчета. Это обстоятельство обусловлено тем, что конечная
функциональная связь (4.4) интересующей нас величины S с ее
асимптотиками для достаточно широкого семейства однотипных
задач остается одной и той же (точнее, слабо меняется), а кон-
кретные модификации и геометрические различия (форма по-
верхности, структура течения и т. п.) этих задач в полной мере
учитываются лишь соответствующими асимптотическими пара-
метрами типа Sa* и Skoo. Другими словами, область примени-
мости конечной формулы (4.4) существенно шире, чем исходной
формулы (4.1). В этом смысле можно говорить, что формулы
60
типа (4.4), в отличие от исходной (4.1), обладают повышенной
информативностью.
Проиллюстрируем сказанное на конкретном примере. В ра-
боте [34] в приближении диффузионного пограничного слоя
(Ре^>1) получена следующая зависимость среднего числа Шер-
вуда от времени t на сферический пузырь радиуса а, обтекае-
мый установившимся осесимметричным линейным сдвиговым
стоксовым потоком с коэффициентом сдвига G:
Sh = У(ЗРе/л) cth (ЗРет), Pe = a2G/£>, T, = Dtl&. (4.5)
Формулировка соответствующей (4.5) нестационарной краевой
задачи дается уравнением, начальным и граничным условиями
(4.1), (4.2) в гл. 3 с учетом того, что распределение скоростей
жидкости вне пузыря определяется функцией тока (5.5) гл. 3
при р = 0.
Формулу (4.5) можно переписать в более удобном виде, ес-
ли использовать асимптотическое значение среднего числа
Шервуда, отвечающее установившемуся процессу диффузии:
т >00, Sh --------> Shst = д/зрё/л. (4.6)
Исключая в (4.5) число Пекле Ре через Shst из (4.6), получим:
Sh/Shst = Д/cth (nShst2x). (4.7)
.Если теперь «забыть», что коэффициент Shst в (4.7) задается
асимптотикой формулы (4.5) при т-*оо, а определять его не-
посредственно из решения соответствующей стационарной зада-
чи о конвективном массо- и теплообмене при больших числах
Пекле, то выражение (4.7) с успехом может быть использовано
для приближенного описания нестационарных процессов диф-
фузии к поверхностям капель, частиц и пузырей любой формы
в случае произвольного обтекания. В частности, прямой про-
веркой можно показать, что подстановка значения
приводит к правильному результату, полученному в приближе-
нии диффузионного пограничного слоя для нестационарного
массообмена капли умеренной вязкости О<р<0(1) с осесим-
метричным сдвиговым потоком.
Сопоставление приближенной формулы, полученной подста-
новкой в (4.7) соответствующего стационарного значения
Г 2Ре IV»
Shst = I Зя (Р+1) I • Ре = -гГ. (4-9)
с результатами работ [77, 148, 188] показывает, что в случае
нестационарного массообмена сферической капли с установив-
шимся поступательным стоксовым потоком максимальная по-
грешность выражения (4.7), (4.9) составляет менее 1%:
4*
51
Sh2stT 0,0424 0,1273 0,2122 0,4244 0,8484
Sh/Shst
поданным [188] 2,745 1,619 1,305 1,066 1,002
по формулам (4.7), (4.9) 2,748 1,622 1,310 1,072 1,005
Погрешность, % 0,11 0,19 0,37 0,61 0,24
Соответствующие (4.7), (4.9) и [77, 148, 188] кривые на
рис. 2.1 практически не различаются и даны одной сплошной
линией. Напомним, что результаты [77, 148, 188] для среднего
числа Шервуда выражаются в виде достаточно сложного инте-
грала, который не может быть представлен в удобной простой
аналитической форме типа (4.7).
Подставляя теперь в (4.7) величину
ShSf = 0,624Ре1/8, Pe = aU„/D, (4.10)
приходим к приближенной формуле для расчета среднего числа
Шервуда в случае нестационарного массопереноса к твердой
сферической частице, обтекаемой установившимся поступатель-
ным стоксовым потоком. Максимальное различие между выра-
жением (4.7), (4.10) и аналогичными численно-аналитическими
результатами [150, 166] составляет около 4,5% (на рис. 2.1
данные [166] показаны штриховой линией). Следует отметить,
что максимальное отличие формулы (4.7) и расчета [166] на-
блюдается как раз в той области, где авторы [166] не получи-
ли точного решения, а предлагали лишь использовать некото-
рую «силовую» интерполяцию своих результатов, справедливых
лишь при небольших временах. По-видимому, это говорит о
том, что выражение (4.7) несколько более точное, чем резуль-
таты [166].
Аналогичным образом можно получить приближенные фор-
мулы и для других нестационарных задач. Например, исполь-
зование вспомогательной величины
Shst= l,22PeV», Pe = a2G/D. (4.11)
в выражении (4.7) позволяет описать процесс установления
массопереноса к поверхности твердой сферической частицы,
обтекаемой осесимметричным линейным сдвиговым стоксовым
потоком. Кроме того, подстановка в
(4.7) вспомогательного значения
среднего числа Шервуда Shst =
= (2Ре/л)1/2, соответствующего ста-
ционарному процессу диффузии к
сфере, обтекаемой потенциальным
поступательным потоком идеаль-
Рис. 2.1. Зависимость числа Шервуда от
времени в задачах по массообмену капель
и частиц с потоком:
1 — по формуле (4.7) и по данным [34, 77, 148,
188]; Я —по данным [150, 166]
52
Таблица !. Максимальная погрешность формулы (4.7) для различных
видов обтекания сферических капель, пузырей, частиц
Тип частиц Поток Метод решения Пог- реш- ность, % Литература
Капля, пузырь Осесимметричный сдви- Аналитический, 0 [30,34] говый стоксовый ПДПГ Капля, пузырь Поступательный стоксо- Аналитический, 0,7 [ 77,148,188] вый ПДПС Пузырь Ламинарный поступа- Аналитический, 0,7 [148,188] тельный, большие Re ПДПС Частица Поступательный, идеаль- Аналитический, 0,7 [148,188] пая (невязкая) жидкость ПДПС Частица Поступательный стоксо-Разложение в 4,5 [150,166] вый ряд Капля, пузырь Трехмерный сдвиговый Аналитический, 1,8 [Ю7] стоксовый ПДПС Капля, пузырь Стоксовый, сформиро- Аналитический, 0 Данные ав- ванный электрическим ПДПС торов, полем [173] Частица Поступательный стоксо- Конечно-раз- 4 [2,20] вый ностный чис- ленный (при Ре=500) /
ной (невязкой) жидкости, приводит к очень незначительной по-
грешности (менее одного процента) по сравнению с точными
результатами [148, 188], Число конкретных примеров такого
рода можно существенно увеличить (см., например, [107, 173]).
В табл. 1 приведено сопоставление результатов расчета
среднего числа Шервуда по формуле (4.7) с данными других
авторов для различных случаев обтекания сферических капель,
пузырей и твердых частиц (для сокращения записи «приближе-
ние диффузионного пограничного слоя» обозначено ПДПС).
Следует отметить, что в формуле (4.7) не проводилась про-
цедура исключения безразмерного времени т через асимпто-
тику выражения (4.5) при т—<-0. Это обусловлено тем, что при
малых временах формула (4.7) всегда обеспечивает правиль-
ный асимптотический результат 8Ь->-(лт)-1/2 при т->-0 незави-
симо от формы частицы и геометрии потока, В случае капель,
частиц и пузырей несферической формы необходимо учесть,
что при использовании выражения (4.7) среднее число Шерву-
да следует определять как отношение безразмерного полного
(интегрального) диффузионного потока к безразмерной площа-
ди поверхности частицы в соответствии с формулой (3.13) гл. 3.
Естественно, что принцип аналогии может быть использован
также для расширения области применимости достаточно хоро-
ших приближенных формул, которые получены любыми разум-
ными приближенными аналитическими или численными метода-
53
ми, а также эмпирически — путем обработки эксперименталь-
ных данных (см. главу 9).
Из сопоставления результатов первой и второй глав книги
нетрудно усмотреть простую и чрезвычайно важную связь меж-
ду методом асимптотической коррекции и принципом аналогии.
А именно, если в качестве исходной приближенной формулы
(1.1) гл. 1, соответствующей искомой характеристике некоторой
конкретной задачи асимптотики которой известны, выбрать,
результат точного решения какой-либо другой качественно по-
хожей задачи, то полученная методом асимптотической коррек-
ции конечная улучшенная приближенная формула (1.6) гл. 1
будет в точности совпадать с выражением (4.4), фигурирующем
в формулировке принципа аналогии. С другой стороны, если
при использовании принципа аналогии, в качестве исходной:
формулы (4.1) вместо точной взять какую-либо приближенную^
зависимость, то окончательная искомая формула будет совпа-
дать с результатом применения метода асимптотической кор-
рекции.
Поэтому ясно, что полученная методом асимптотической
коррекции конечная функциональная зависимость (1.5) гл. 1
между искомой величиной и ее асимптотиками носит гораздо
более общий характер, чем любая исходная формула типа (1.1)
гл. 1 и может служить для приближенного описания целого се-
мейства задач, соответствующих качественно сходным явлени-
ям или процессам. В частности, выведенные в первой главе
формулы (2.6) и (3.3) с успехом могут быть использованы так-
же для расчета среднего числа Шервуда в случае произвольного
обтекания капель, частиц и пузырей любой формы (подроб-
нее см. разд. 3.3, 3.5).
Из вышесказанного также следует, что в целях общности
конечные результаты любого аналитического, численного и
экспериментального исследования значительно более предпоч-
тительно обрабатывать в «асимптотических координатах» тако-
го же типа, которые использовались ранее для коррекции фор-
мул (например, Shp, Shoo, Sho, Shst и т. п.; см. также обозначе-
ния осей на рис. 1.1, 1.2, 2.1), чем исходные безразмерные па-
раметры задачи (например, Ре, ks, kv, и т. д.). Это обуслов-
лено тем, что записанные в «асимптотических координатах»
соответствующие зависимости, полученные для некоторой фик-
сированной конкретной задачи, можно уже непосредственно ис-
пользовать для приближенного расчета и моделирования цело-
го ряда сходных задач и процессов.
2.5. МАССООБМЕН КАПЕЛЬ И ЧАСТИЦ С ПОТОКОМ,
ОСЛОЖНЕННЫЙ ОБЪЕМНОЙ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИЕЙ
Проиллюстрируем широкие возможности принципа аналогии
в задачах о массообмене капель и частиц с потоком при нали-
чии объемной химической реакции первого порядка.
54
В безразмерных переменных в сферической системе коорди-
нат г, 0, ф, неподвижно связанной с центром сферической ча-
стицы радиуса а, процесс массопереноса в сплошной фазе опи-
сывается уравнением
Дс = Ре (у- V) с 4- kvc (5.1)
с граничными условиями
г = 1, с = 1; г ---> оо f с --> 0. (5.2)
Здесь безразмерные функции и параметры связаны с исходны-
ми размерными величинами соотношениями
с = С/С5, r = r*lat Ре = aU/D, kv = a2Kv/Dt
где С и Cs — концентрация в потоке и на поверхности частицы,
г# — радиальная координата, Kv — константа скорости объем-
ной химической реакции, U — характерная скорость потока.
В уравнении (5.1) распределение скорости жидкости v счита-
ется известным из решения соответствующей гидродинамиче-
ской задачи.
Для решения стационарных задач о конвективном массооб-
мене капель и частиц с жидкостью при протекании объемной
химической реакции первого порядка удобно использовать ре-
зультаты решения соответствующих нестационарных задач без
объемной реакции. Действительно, рассмотрим уравнение
дс
_}_pe(t,.v)c = Дс (5.3)
с начальным и граничными условиями
т = 0, ?=0; г=1, бГ=1; г -------> оо, с-----> 0. (5.4)
Применяя к (5.3), (5.4) преобразование Лапласа — Карлсо-
на (с действительным параметром kv)
оо
с= kv ехр (—kvi)'cdx, (5.5)
6
приходим к задаче с объемной химической реакцией первого по-
рядка (5.1), (5.2). Из формулы (5.5) следует, что среднее число
Шервуда Sh, соответствующее решению задачи с объемной ре-
акцией (5.1), (5.2), может быть выражено через вспомогатель-
ное число Шервуда Sh, которое определяется путем решения
нестационарной задачи (5.3), (5.4):
со
Sh = ^0Jexp(—Vc)S>hdT. (5.6)
о
Важно отметить следующее обстоятельство. Пусть Sh —
среднее число Шервуда, соответствующее точному решению
55
вспомогательной задачи (5.3), (5.4), a Shap — приближенное
выражение для числа Шервуда, погрешность которого равна б,
т. е.
| Sh — Shop К 6. (5.7)
Применяя к разности Sh—Shop преобразование Лапласа —
Карлсона с учетом (5.7) получим неравенство
оо
Sh — Shflp = kv J exp (-—&от) (Sh — Shup) dx <
о
oo
^d£0Jexp(—kDi)dt = d, (5.8)
0
где Sh и Shop — точное и приближенное значения среднего чис-
ла Шервуда, соответствующие решению стационарной задачи
с объемной химической реакцией первого порядка (5.1), (5.2).
Оценка (5.8) показывает, что имея достаточно хорошую
приближенную зависимость для вспомогательного числа Шер-
вуда в нестационарной задаче (5.3), (5.4), путем преобразова-
ния Лапласа — Карлсона можно получить хорошее приближен-
ное выражение (с той же точностью) для среднего числа
Шервуда в стационарной задаче с объемной химической реак-
цией первого порядка.
Учитывая сказанное, воспользуемся данными разд. 2.4, где
приведены результаты решения нестационарных задач диффу-
зионного пограничного слоя.
В качестве вспомогательного числа Шервуда используем
выражение (4.7), которое является точным для осесимметрич-
ного сдвигового обтекания капли и приближенно описывает
нестационарный массообмен сферической капли (б<1%) и
твердой частицы (б <4,5) в поступательном стоксовом потоке,
капли — в трехмерном сдвиговом потоке (б<1,8%), а также
некоторые другие случаи — подробнее см. табл. 1.
Применяя к формуле (4.7) (в которой для удобства сделано
переобозначение Shst~>Sho) преобразование Лапласа — Карл-
сона, получим приближенное решение ряда соответствующих
стационарных задач с объемной химической реакцией первого
порядка (5.1), (5.2) в виде
Sh/Sh0 = Ф (Zr0/Sh0«), (5.9)
где
ОО
Ф (х) = X j* exp (—xg) Veth (ng) dg,
b
где Sho — среднее число Шервуда при отсутствии объемной хи-
мической реакции (kv=Q).
56
Рис. 2.2. Зависимость чис-
ла Шервуда от константы
скорости объемной реакции
для осесимметричного сдви-
’ гового обтекания сфериче-
ской капли:
1 —• с помощью интеграла (5.9):
2 — по формуле (5,10); J — по
данным [26]
На рис. 2.2 показана зависимость (5.9). Точки соответству-
ют решению задачи о массообмене сферической капли с посту-
пательным стоксовым потоком, полученному в работе |[26].
Важно отметить, что выражение (5.9) отличается от точного
решения трехмерной задачи о диффузии к сферической капле
в сдвиговом потоке менее чем на 1,8%; для осесимметричного
сдвигового потока формула (5.9) является точной в приближе-
нии диффузионного пограничного слоя.
Таким образом, во всех перечисленных в табл. 1 случаях
массообмена капель, частиц и пузырей с потоками различного
типа для объемной химической реакции первого порядка при
больших числах Пекле максимальная погрешность формулы
(5.9) не превышает 4,5%. Поэтому можно утверждать, что в
задачах рассмотренного типа выполняется принцип аналогии.
Для приближенного расчета среднего числа Шервуда можно
использовать зависимость
Sh = V^cth(VX/Sh0), (5.10)
изображенную на рис. 2.2. штриховой линией. Видно, что мак-
симальное отличие выражения (5.10) от формулы (5.9) состав-
ляет около 2,5%. Кроме того, число Шервуда можно находить
путем решения кубического уравнения
Sh3—^oSh — Sh0* = 0, (5.11)
которое является частным случаем выведенного далее из дру-
гих соображений приближенного уравнения (3.13) в гл. 3.
Зависимость (5.11) на рис. 2.2 не показана, так как различие
между формулами (5.9) и (5.11) составляет менее одного
процента.
Может создаться неправильное впечатление, что для эффек-
тивного применения принципа аналогии необходимо иметь ис-
ходное выражение, зависящее по меньшей мере от двух безраз-
мерных параметров. Однако это не так. В разд. 2.7 исследована
общая ситуация при наличии одного единственного параметра.
Примеры такого рода рассмотрены в разд. 2.6.
57
2.6. СРЕДНЕЕ ЧИСЛО ШЕРВУДА ДЛЯ ЧАСТИЦЫ
ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ
Твердая частица. Выведем теперь приближенную формулу для
расчета числа Шервуда на твердую частицу произвольной фор-
мы, обтекаемую поступательным стоксовым потоком. Для этого
рассмотрим сначала более простую задачу о массообмене сфе-
рической частицы с поступательным стоксовым потоком. Реше-
ние указанной вспомогательной задачи с помощью конечно-
разностных численных методов было получено в работах [2,
144]. Для определения среднего числа Шервуда на сферическую
частицу удобно использовать приближенную зависимость
Sh = 0,54- (0,125 + 0,243Ре)1/», (6.1)
предложенную в [150]. Максимальное отличие интерполяцион-
ной формулы (6.1) от данных работ )[2, 144] во всем диапазоне
изменения числа Пекле составляет около 2%.
Представим теперь выражение (6.1) в более удобной форме,
которая не зависит от способа определения чисел Пекле и
Шервуда. Напомним, что при записи среднего числа Шервуда
и числа Пекле в формуле (6.1) в качестве характерного масшта-
ба длины выбирался радиус частицы. Зависимость (6.1) изме-
нится, если за масштаб длины взять диаметр частицы или
какую-нибудь другую аналогичную величину.
Учтем, что асимптотика среднего числа Шервуда при боль-
ших числах Пекле имеет вид:
Sh» = 0,624Ре1/8 (ре--> оо). (6.2)
Эта формула является следствием (6.1) и совпадает с резуль-
татами [20, 76], полученными методом диффузионного погра-
ничного слоя.
Из равенства (6.2) выразим число Пекле Ре через Shoo.
В результате находим Ре = 4,12 Sh3oo. Подставляя это соотно-
шение в формулу (6.1), приходим к зависимости
Sh = 0,5+(0,125+Sh»8)1/®. (6.3)
Выражение (6.3) пока еще зависит от способа выбора сред-
него числа Шервуда, которое определяется с точностью до по-
стоянного множителя. Нетрудно показать, что искомая зависи-
мость, инвариантная относительно определения среднего числа
Шервуда, получается из (6.3) формальной заменой величин Sh
и Shoo на отношения Sh/Sho и Shoo/Sho, где Sho — среднее число
Шервуда на частицу в неподвижной жидкости при Ре = 0.
В результате вместо (6.3) можно записать
Sh = 0,5Sho + (0,125Sh0® + Sh»8)1/8. (6.4)
Формулу (6.4) уже с успехом можно использовать для рас-
чета среднего числа Шервуда на частицу произвольной формы
(согласно принципу аналогии) в поступательном стоксовом по-
токе. При этом в качестве вспомогательных величин Sho и
58
Shoo следует выбирать главные члены асимптотик среднего чис-
ла Шервуда при малых и больших числах Пекле соответст-
венно.
В работе [169] с помощью конечно-разностных численных
методов исследовалась осесимметричная задача о массообмене
эллипсоидальной частицы с поступательным стоксовым пото-
ком. Рассматривались два случая, когда длина ориентирован-
ной вдоль потока полуоси частицы была в пять раз больше и в
пять раз' меньше длины полуоси, направленной поперек тече-
ния. Из результатов численного решения {169} следует, что
максимальная погрешность формулы (6.4) для эллипсоидаль-
ной частицы в указанных случаях не превосходит 10% (такое
сопоставление было проведено в [150]).
Сказанное дает основание полагать, что при продольном
обтекании тел вращения достаточно гладкой формы поступа-
тельным стоксовым потоком погрешность (в %) формулы для
среднего числа Шервуда (6.4) можно оценить так:
( 2а/Ь при bt
о = <
[ 2Ь/а при а bt
где а и b — максимальные продольный и поперечный размеры
частицы.
Для частицы заданной формы величины Sho и Shoo, входя-
щие в выражение (6.4), можно определить как теоретическим,
так и экспериментальным путем. В последнем случае параметр
Sh0 находится из опыта по диффузии к частице в неподвижной
жидкости. (Необходимо отметить, что значение Sho соответст-
вует безразмерной емкости тела, электростатический способ
измерения которой в настоящее время широко применяется в
электротехнике.) Асимптотика среднего числа Шервуда при
Ре->оо для твердой частицы имеет вид ShOo=>lPe1/3, где А —
некоторая постоянная [30]. Поэтому для определения парамет-
ра А достаточно поставить единственный эксперимент при боль-
ших числах Пекле (большие числа Пекле при низких числах
Рейнольдса Re<0,5 легко достигаются в водных растворах
глицерина). Таким образом, двух достаточно простых экспери-
ментов вполне хватает для отыскания величин Sho и Shoo.
Напомним также, что большое число конкретных выражений
для Sho и Shoo, полученных с помощью теоретических методов,
приведено в книгах {20, 30, 76, 150].
Формулу (6.4) можно вывести из других соображений сле-
дующим простым способом. Учитывая, что среднее число Шер-
вуда определяется с точностью до постоянного множителя (в
зависимости от выбора характерного масштаба длины) умно-
жим правую часть равенства (6.1) на %, где X—произвольная
постоянная. В результате имеем
Sh = 0,5Х + (0,125Х3 + 0,243Х3 Ре)1^. (6.5)
Переходя далее в выражении (6.5) к пределу при малых и боль-
59
ших числах Пекле, находим две асимптотики:
Sh0 = X (Ре ---> 0); (6.6)
Sh* =0,624лРе1/з (Ре --> оо). (6.7)
Исключая из формулы (6.5) параметры % и Ре с помощью
соотношений (6.6), (6.7), приходим к искомой зависимости
(6.4).
Покажем теперь, что формулу (6.4) с успехом можно ис-
пользовать также для расчета среднего числа Шервуда на ча-
стицу при умеренных числах Рейнольдса. Напомним, что исход-
ная зависимость (6.1), послужившая основой для вывода фор-
мулы (6.4), получена в стоксовом приближении при Re = 0.
После обработки результатов численного решения задачи о
конвективном массообмене сферической частицы в поступа-
тельном потоке при промежуточных числах Рейнольдса (1^
Re^200) в диапазоне чисел Пекле 1^Ре^2000 для сред-
него числа Шервуда была предложена [150] приближенная
зависимость
Sh = 0,5 -|- 0,527Re’.°” (1 + гРе)1/», (6.8)
погрешность которой составляет около 3%. В данном случае
асимптотика среднего числа Шервуда, входящая в формулу
(6.4), зависит от числа Рейнольдса:
Sh* = A (Re) Ре1/» (Ре-► оо). (6.9)
Для вычисления параметра А в выражении (6.9) при Re = 5
поступим следующим образом. Полагая в формуле (6.8) Re = 5,
Ре = 2000 получим Sh = 9,97. Подставляя значение Ре=2000
в асимптотику (6.9), имеем Shoo=12,6 А. Приравнивая Sh = Sh<x>,
находим коэффициент Л = 0,791. Учитывая сказанное и исполь-
зуя выражения (6.4) и (6.9), для среднего числа Шервуда
можно записать:
Sh = 0,5 -f- (0,125 + ОЛЭбРе)1/». (6.10)
Максимальное расхождение между формулами (6.8) и (6.10)
при Re=5 и 1^Ре^2000 составляет 3,5%. Следует отметить,
однако, что выражение (6.10) обеспечивает правильный резуль-
тат в предельном случае Ре=0, в то время как ошибка форму-
лы (6.8) в этом случае составляет 9,7%.
Приравнивая аналогичным образом правые части соотно-
шений (6.8) и (6.9) при Ре=2000, получим зависимость Л =
=+(Re) при 1^Re^200 в следующем виде:
A (Re) = 0,04 + 0,664Re°,°77. (6.11)
Подставляя асимптотику (6.9) с учетом (6.11) в формулу
(6.4), приходим к приближенному выражению для среднего
числа Шервуда, максимальное отличие которого от формулы
(6.8) при 1^Re^200, 1^Ре^:2000 наблюдается для Re=200,
Ре = 2000 и составляет менее 5,8%.
60
Проведенное сопоставление еще раз подтвердило важный
вывод о том, что область применимости формулы (6.4) сущест-
венно шире, чем исходной зависимости (6.1).
Пузырь и капля. Получим формулу среднего числа Шервуда
для поверхности движущегося в жидкости пузыря. В качестве
исходной зависимости будем использовать выражение [20]
Sh= 1 + l.OTPe1.7* (1 + З.ЗгРе1!22)-1, (6.12>
которое с точностью до 2—3% аппроксимирует результаты чис-
ленного решения задачи о диффузии к сферическому пузырю,
движущемуся в жидкости с постоянной скоростью при малых
числах Рейнольдса Re»0.
При больших числах Пекле из (6.12) находим асимптотику
Sh*, =0,461 1/Рё (Ре----► оо), (6.13>
которая совпадает с результатами решения соответствующей за-
дачи, полученными в приближении диффузионного погранич-
ного слоя.
Выразим число Пекле из (6.13) через Shoo и подставим его
в (6.12). Получим:
Sh = Sh*,’.44 (0,065 + Sh*,2.44)-1 + 1. (6.14>
Выражение (6.14) уже можно использовать для расчета
среднего числа Шервуда на пузырь сферической формы при
умеренных числах Рейнольдса. Величина Shoo в этом случае
определяется аналогичным образом и зависит от числа Рей-
нольдса. В частности, при Re^40 для асимптотики Shoo в (6.14)
можно использовать выражение
погрешность которого по данным [150] составляет менее 7%.
Для пузырей несферической (например, эллипсоидальной)
формы среднее число Шервуда следует рассчитывать по фор-
муле (6.14), в которой предварительно сделана формальная
замена величин Sh и Shoo на Sh/Sh0 и Shoo/Sh0 соответственно.
При этом, как обычно, считается, что Sho — среднее число Шер-
вуда при Ре=0. Зависимость (6.14) с успехом можно исполь-
зовать также для определения интенсивности массообмена дви-
жущихся в жидкости сферических капель при р<1.
2.7. БЕЗРАЗМЕРНЫЕ ПАРАМЕТРЫ, АСИМПТОТИЧЕСКИЕ
КООРДИНАТЫ И ПРИНЦИП АНАЛОГИИ
Рассмотренные в данной главе конкретные примеры наглядно
продемонстрировали важность использования асимптотических
координат типа Sho и Shoo для построения универсальных при-
ближенных зависимостей, обладающих повышенной информа-
тивностью. Указанное обстоятельство выгодно отличает асим-
61
птотические координаты от обычных безразмерных параметров
и переменных (типа Re, Ре, Sh, Nu и т. д.), которые повсемест-
но встречаются в настоящее время в теоретических и экспери-
ментальных работах. Остановимся на этом подробнее.
Как отмечалось во введении, использование безразмерных
параметров и переменных имеет несколько безусловных преи-
муществ по сравнению с размерными величинами. Во-первых,
в отличие от размерных величин значения безразмерных пара-
метров не зависят от выбора конкретной системы единиц изме-
рения. Во-вторых, введение безразмерных величин позволяет
сократить число определяющих параметров, характеризующих
исследуемый процесс.
С другой стороны, многие безразмерные параметры имеют
один хронический недостаток, который обычно просто игнори-
руется: безразмерные параметры зависят от способа их опреде-
ления. Поясним сказанное на простом примере. Для этого рас-
смотрим число Пекле, которое определяется обычным образом:
Ре = £(//£>, (7.1)
тде L — характерный масштаб длины; U — характерная ско-
рость потока; D — коэффициент диффузии. Для конкретности
будем иметь в виду процесс массообмена сферического пузыря
радиуса а с поступательным стоксовым потоком, невозмущенная
скорость на бесконечности которого равна Ux.
Посмотрим теперь, какие величины можно выбрать в каче-
стве L и U в формуле (7.1). В качестве масштаба длины в дан-
ном случае обычно используются радиус пузыря L = a или его
диаметр L = 2a. Кроме того, за L можно принять величину
L=ys, где S=4na2— площадь поверхности пузыря или L =
=fSi, где Si = na2 — площадь миделева сечения. Не запреща-
ется также положить L=y V, где У=4ла3/3— объем пузыря
или выбрать L каким-либо иным способом. В качестве харак-
терной скорости можно взять U=UX. Кроме того, U нередко
определяется как скорость жидкости в миделевом сечении на
поверхности пузыря t/=t/oo/2. Нетрудно указать и другие воз-
можные способы выбора величины U. Поэтому конкретное
значение числа Пекле (7.1) варьируется в самых широких пре-
делах и зависит от способа задания характерных масштабов.
Из сказанного ясно, что одна и та же физическая связь
между безразмерными величинами будет выглядеть совершенно
по разному в зависимости от способа определения безразмерных
величин.
Указанный недостаток можно преодолеть путем использо-
вания асимптотических координат, которые встречались ранее
в этой главе при анализе конкретных задач химической гидро-
динамики.
Опишем теперь достаточно общий метод построения соотно-
шений, инвариантных относительно способа определения вхо-
-62
дящих безразмерных величин. Полученные таким образом вы-
ражения обладают повышенной информативностью и с успехом
могут -использоваться также для анализа целого класса каче-
ственно сходных явлений и процессов.
Рассмотрим зависимость
S = F(p), (7.2>
где F—некоторая известная функция Пусть главные члены
асимптотических разложений величины S при малых и больших
значениях безразмерного параметра р имеют вид:
S/So---->1 (р-------->0);
S/S„ ---> 1 (р------> оо),
где So и Soo известным образом зависят от р
30 = ф(р), S»=i|>(p)
(7.3)
и определяются путем анализа выражения (7.2). Далее предпо-
ложим, что выполнено условие <р/ф=# const.
Наличие в формуле (7.2) лишь одного параметра р не поз-
воляет здесь использовать результаты разд. 2.4, где анализиро-
вались функции, зависящие сразу от двух параметров. Эту
трудность, однакоЛ можно обойти, если вспомнить, что безраз-
мерная величина S, как указывалось выше,_может определяться
по разному. Учитывая сказанное, вместо S рассмотрим одно-
параметрическое семейство аналогичных величин 3, связанных
между собой следующим простым образом:
S = iS, (7.4).
где Л — численный коэффициент, фиксированное значение ко-
торого конкретизирует способ определения величины S.
Введение дополнительного параметра X с помощью (7.4)
позволяет рассматриваемую ситуацию свести к случаю, под-
робно изученному в разд. 2.4. Подставляя выражение (7.4) в
формулу (7.2), имеем
S = %f(p). (7.5).
Аналогичным образом учитывая соотношения (7.3) и (7.4), по-
лучим асимптотики функции S при малых и больших значени-
ях параметра р:
S0 = ^(p), 500 =И(р), (7.6)
при записи которых использованы обозначения So=XSo и:
Исключая теперь 1 с помощью выражений (7.5) и (7.6)
приходим к следующей параметрической зависимости функции
S от ее асимптотик So и Soo:
_S___F(p) S^ (р) (77.
So ф(Р) ’ So ф(р) ’ 1 ‘ ’
63--
Выражая далее из второго уравнения параметр р и под-
ставляя его в первое равенство (7.7) можно найти явный вид
функции S. Как следует из (7.6), в общем случае структура
этой зависимости имеет вид:
S/S0 = G(SjSa). (7.8)
Видно, что формула (7.8) остается инвариантной относи-
тельно способа определения безразмерной величины S, в отли-
чие от исходного выражения (7.2). Более того, легко установить,
что выражение _(7.8) остается неизменным, если вместо исход-
ной величины S рассматривать сразу двухпараметрический
класс функций вида S = ‘kp"S. Можно указать и более об-
щий класс функций, относительно которых инвариантна фор-
мула (7.8).
Принцип аналогии заключается в том, что зависимость (7.8)
можно использовать также для приближенного определения
аналогичной величины S для целого ряда качественно сходных
задач и явлений. В конкретных задачах меняются только
асимптотики So и S^, а вид функции G практически остается
неизменным (точнее слабо меняется). Указанный подход от-
крывает новый перспективный путь для приближенного моде-
лирования качественно аналогичных объектов, различающихся
геометрической формой и физико-химическими свойствами.
Рассмотрим теперь некоторые конкретные зависимости
асимптотик (7.3), которые наиболее часто встречаются в тео-
рии массо- и теплопереноса и химической гидродинамики.
Пусть одна из асимптотик, например So, является постоян-
ной величиной, отличной от нуля, а другая степенным образом
зависит от параметра р, т. е. справедливы соотношения
So = 4 (р---->0); (7.9)
Sc0 = Bp" (р--> оо), (7.10)
где А, В и п — некоторые постоянные.
В этом случае входящие в (7.3) функции имеют вид <р=Л,
ф=Врп. Подставляя эти формулы в (7.7), находим:
S/So = F (р)/А, S„ /So = Bp"/А.
Исключая отсюда параметр р, получим зависимость
Частные случаи формулы (7.13) при л=1/3 и п=1/2 встре-
чались ранее в разд. 2.6.
При So — Bpn, ЁОО=А в выражении (7.11) следует поменять
местами величины So и S^.
64
Пусть теперь асимптотика S при малых значениях р опре-
деляется равенством (7.9), а в другом предельном случае имеет
вид
Sw = Вехр (—ар) (р-► оо). (7.12)
Прямой проверкой можно убедиться, что при а>0 указан-
ная ситуация заменой p=a-1ln(pi +1) с точностью до очевид-
ных переобозначений сводится к рассмотренному выше случаю
(7.9), (7.10) при п=—1.
Важно подчеркнуть, что принцип аналогии с успехом мож-
но и нужно широко использовать при обработке эксперимен-
тальных данных, что позволит установить новые универсальные
зависимости в различных областях науки и техники.
2.8. НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ (СОПРОТИВЛЕНИЕ ТЕЛА
ВРАЩЕНИЯ, ПРОИЗВОЛЬНО ОРИЕНТИРОВАННОГО
В ПРОСТРАНСТВЕ)
Один из наиболее известных и плодотворных путей формирова-
ния представлений о качественной стороне сложных явлений
или процессов, которые допускают формализованное математи-
ческое описание с помощью дифференциальных уравнений и
граничных условий, заключается в следующем. Сначала реша-
ется ряд наиболее простых модельных задач, которые отражают
какую-нибудь одну сторону исследуемого объекта (таким об-
разом происходит обучение студентов соответствующих специ-
альностей). Полученная информация позволяет установить
основные закономерности и развивает интуицию у исследовате-
ля. Выявленные на первом этапе характерные особенности по
аналогии переносятся далее и на более сложные ситуации,
позволяя делать качественные выводы достаточно общего ха-
рактера.
Такую же логическую схему действия имеет и принцип ана-
логии, который дает возможность предсказывать количествен-
ные характеристики целого класса схожих задач путем реше-
ния одной модельной задачи.
В ряде случаев принцип аналогии, понимаемый в более ши-
роком смысле, чем это было описано в этой главе, по-видимому,
с успехом может применяться также в качестве основы для
построения приближенных формул и в совершенно различных
физических явлениях (которые описываются разными уравне-
ниями) путем установления качественно аналогичных характе-
ристик. Поясним сказанное на некоторых конкретных приме-
рах.
Из результатов разд. 6.4 (см. также [111]) следует, что при
малых и умеренных числах Рейнольдса (0^Re^50) коэффи-
циент сопротивления сферической капли, обтекаемой поступа-
тельным потоком вязкой несжимаемой жидкости, хорошо описы-
5—1391
65
вается следующей приближенной зависимостью:
сх (Р, Re)-Сх (ОО, Re) + jqrj-C, (0, Re). (8.1)
По этой формуле при заданных коэффициентах сопротивле-
ния твердой сферы Сх(оо, Re) и газового пузыря Сх(0, Re)
можно определить коэффициент сопротивления капли произ-
вольной вязкости.
В процессах конвективного тепло- и массопереноса аналогом
числа Рейнольдса является число Пекле, а аналогом коэффи-
циента сопротивления — среднее число Нуссельта (Шервуда).
Поэтому естественно предположить, что в задаче о тепло- и мас-
сопереносе сферической капли произвольной вязкости с посту-
пательным потоком при малых и умеренных числах Пекле
имеет место аналогичная (8.1) зависимость
Nu(₽, Pe) = -p-L-Nu(~,Pe) + -p7p-Nu(O, Ре), (8.2)
полученная из (8.1) формальной заменой Cx->Nu, Re->-Pe.
Сопоставление с имеющимися асимптотическими и числен-
ными результатами показывает (подробнее см. в разд. 6.4, а
также [20, 181]), что полученная из таких простых соображений
приближенная формула (8.2) вполне пригодна для практиче-
ского использования в диапазоне О^Ре^ЮО.
Рассмотрим теперь конвективный массоперенос к телу вра-
щения любой формы, произвольно ориентированному в посту-
пательном потоке вязкой несжимаемой жидкости. В работе
[181] для среднего числа Шервуда было получено следующее
выражение:
Sh = Sh^ cos2 со -pSh^sin2 со, (8.3)
где ® — угол между осью тела вращения и направлением набе-
гающего потока, a Sh,, и Shj. — средние числа Шервуда, соот-
ветствующие параллельному и перпендикулярному расположе-
нию тела вращения в потоке. Формула (8.3) асимптотически
точна при малых числах Пекле (с точностью до членов порядка
РеЧпРе включительно) и дает возможность по известным значе-
ниям Sh,, и Sh± приближенно определять среднее число Шер-
вуда для любой ориентации тела вращения в поступательном
потоке при малых и умеренных числах Пекле.
Формулу (8.3) можно использовать в качестве основы для
построения соответствующей приближенной зависимости в за-
даче о гидродинамическом обтекании тела вращения, произ-
вольно ориентированного в поступательном потоке вязкой
несжимаемой жидкости. А именно, аналогом среднего числа
Шервуда в гидродинамической задаче является коэффициент
сопротивления тела вращения Сх= (F-i) (-^-p(72ooS*)_I (F— пол-
—►-
ная сила сопротивления тела, i — единичный направляющий
66
вектор скорости жидкости на бесконечности, р — плотность
жидкости, Uoo — невозмущенная скорость потока на бесконеч-
ности, S* — размерная площадь поверхности тела), определен-
ный по величине проекции силы сопротивления тела на направ-
—>
ление набегающего потока (F-i). С учетом этого замена в (8.3)
Sh на Сх приводит к выражению
СХ = С cos2 to-j-С sin2 to, (8.4)
х Х|| 1 v
где СХц и Сх± — коэффициенты сопротивления, соответствующие
параллельному (<в = 0) и перпендикулярному (<в=л/2) распо-
ложению тела вращения в потоке.
В стоксовом приближении (при Re=0) формула (8.4) явля-
ется точной для частиц произвольной формы; кроме того, для
сферической частицы соотношение (8.4) выполняется тождест-
венно для любых чисел Рейнольдса. Поэтому следует ожидать,
что приближенное выражение (8.4) будет давать хорошие ре-
зультаты не только при малых, но и умеренных числах Рей-
нольдса (во всяком случае для частиц, форма которых не слиш-
ком сильно отличается от сферической).
Следует подчеркнуть, что предложенный в данной главе
простой приближенный метод расчета, как и все изложенные
в гл. 1—6 новые приближенные аналитические методы, полезно
использовать также в тех случаях, когда уже имеются числен-
ные результаты решения соответствующей краевой задачи. Это
позволяет получить зависимость основных искомых характери-
стик от безразмерных параметров в простом явном аналитиче-
ском виде (что в подавляющем большинстве случаев гораздо
удобнее, чем имеющиеся таблицы и графики).
Принцип аналогии будет положен далее в основу формули-
ровки новых приближенных аналитических методов, а также
вывода новых формул, представляющих практический интерес
в химической технологии, химической гидродинамике и теории
массо- и теплопереноса.
Глава 3
МЕТОД МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В данной главе излагается простой приближенный аналитический метод
исследования задач химической механики — метод модельных уравнений.
Этот метод позволяет находить основные интегральные характеристики слож-
ных нелинейных и линейных краевых задач, описываемых уравнениями в
частных производных, на основе исследования существенно более простых
модельных вспомогательных обыкновенных дифференциальных уравнений с
последующим применением принципа аналогии. Рассмотрен ряд конкретных
примеров, иллюстрирующих возможности метода модельных уравнений.
В частности, получено выражение для среднего числа Шервуда на поверх-
ность капли или твердой частицы любой формы в случае произвольной ки-
нетики объемной или поверхностной химической реакции.
5*
67
3.1. ОПИСАНИЕ МЕТОДА
Изложенная в гл. 1 процедура асимптотической коррекции
позволяет простыми средствами получать искомые приближен-
ные зависимости. Однако для возможности применения метода
асимптотической коррекции необходимо иметь сначала исход-
ную приближенную зависимость (1.1) гл. 1. Неизбежно возни-
кает важный вопрос: что делать, если такая зависимость зара-
нее вообще не известна? Естественно, что в таких случаях мож-
но попытаться построить формулу (1.1) гл. 1, воспользовавшись
любым из существующих приближенных методов. По-видимому,
одним из наиболее простых и перспективных является основан-
ный на использовании принципа аналогии метод модельных
уравнений [51, 53, 102, 180].
Очевидно, что при построении приближенной формулы (1.1)
гл. 1 целесообразно исходить из анализа максимально простых
частных задач, соответствующих идеализированным (модель-
ным) явлениям или процессам, протекающим в элементарных
условиях в областях простейшей геометрии. Указанные сооб-
ражения послужили основой для формулировки метода модель-
ных уравнений, где в качестве исходной приближенной зависи-
мости (1.1) гл. 1 предлагается использовать результат решения
существенно более простой, чем исходная, модельной вспомо-
гательной задачи. Перейдем теперь к подробному изложению
метода модельных уравнений, который можно трактовать дву-
мя способами.
В большинстве встречающихся задач основной практический
интерес обычно представляет не само полное решение задачи,
а лишь некоторые его средние интегральные характеристики S
(например, при массо- и теплообмене частиц с потоком основ-
ными характеристиками процесса являются средние числа
Шервуда и Нуссельта, в то время как непосредственное опре-
деление полей концентраций и температур часто оказывается
второстепенной и малосущественной информацией). Ниже из-
ложен достаточно общий метод построения приближенных фор-
мул для величины S, основанный на рассмотрении существенно
более простой, чем исходная, вспомогательной задачи.
Пусть имеется сложная нелинейная краевая задача описы-
ваемая уравнением в частных производных и зависящая для
простоты лишь от двух безразмерных параметров — k и р (на-
пример, число Дамкелера и число Пекле). Предположим, что
получить полное точное решение исходной задачи нельзя, и
требуется построить приближенные формулы для интегральной
характеристики S=S(k, р); O^k, р<оо.
Рассмотрим сначала простейший вариант метода. Считаем,
что при k = co (или k = 0) исходная задача упрощается (напри-
мер, становится линейной) и может быть решена, т. е. известна
величина
S» = (р) =S(co,p).
(Ы)
68
Предположим, что при k = co задача не вырождается, сохра-
няет свой тип, и ее решение нетривиально (т. е. не является
тождественно постоянным). Для построения приближенного
решения задачи вместо исходного уравнения в частных произ-
водных рассмотрим его одномерный аналог (модельное урав-
нение), который описывается уже обыкновенным дифференци-
альным уравнением. Строим решение модельного уравнения и
получаем для него аналог s=s(k, р) интегральной характери-
стики S (например, S— среднее число Шервуда на частицу,
s — локальный диффузионный поток). Полагая &->оо, получим
Soo=«оо (p)=s(<x>, р). Исключая далее из соотношений
s = s(k, р) и Soo -Soo (р) параметр р, приходим к зависимости
О(5,5оог^) = 0. (1.2)
Используем теперь принцип аналогии: будем считать, что
функциональная зависимость соответствующих средних инте-
гральных характеристик исходной задачи S и Soo аналогична
зависимости (1.2) для локальных характеристик модельной за-
дачи s и Soo, т. е. справедлива формула
G(S, 5», А) = О, (1.3)
где Soo=Soo(р) определяется из (1.1). Искомая величина
S=S(k, р) находится путем решения алгебраического уравнения
(1.3). Из построения приближенного уравнения (1.3) видно,
что при k-+co его решение совпадает с точным (1.1).
Описанный вариант метода сформулирован на эвристиче-
ском уровне, однако основные идеи метода могут быть перефор-
мулированы, и ему без труда можно придать существенно бо-
лее общее и формализованное описание. Сначала для построе-
ния приближенного решения задачи вместо исходного уравнения
в частных производных рассматриваем его одномерный аналог
(модельное уравнение), который описывается существенно бо-
лее простым обыкновенным дифференциальным уравнением.
Построив далее решение модельного уравнения, определяем по
нему зависимость локального аналога средней интегральной
характеристики s (локальный диффузионный поток) от пара-
метров k и р. Полученное выражение s = s(k, р) берем за исход-
ную приближенную формулу (1.1) гл. 1, (т. е. s «отождествля-
ется» с S), которую следует улучшить методом асимптотической
коррекции, изложенным в гл. 1 в предположении, что известны
две точные асимптотики полной исходной задачи (в описанном
выше простейшем варианте метода использовалась коррекция
лишь по одной асимптотике).
Для более ясного понимания основных идей метода модель-
ных уравнений на рис. 3.1 приведена принципиальная схема его
использования.
Модельные уравнения можно строить независимо двумя раз-
личными способами:
69
Рис. 3.1. Принципиальная схема использования метода модельных уравнений
1) путем формальной замены всех дифференциальных опе-
раторов в уравнении в частных производных их одномерными
аналогами (например, оператор Лапласа Д заменяется на
d2/</x2); при этом конвективный член аппроксимируется его
значением на бесконечности для наиболее простого поступатель-
ного потока, т. е. (v-V) заменяется на const-d/dx точно так
же, как это делается в линеаризованной теории Озеена для
гидродинамической задачи об обтекании сферической частицы;
2) путем изучения поля концентрации в окрестности перед-
ней критической точки капли или твердой частицы для какой-
либо одной конкретной задачи рассматриваемого семейства
(соответствующее обыкновенное дифференциальное уравнение
выводится в приближении диффузионного пограничного слоя).
Второй из указанных способов построения модельных урав-
нений приводит к несколько более сложному обыкновенному
дифференциальному уравнению — с зависящим от координаты
переменным коэффициентом при конвективном члене (в первом
способе дифференциальная часть уравнения содержит лишь
сумму производных, взятых с не зависимыми от координаты
постоянными множителями), однако иногда конечная прибли-
женная зависимость (1.2) существенно проще, чем аналогичная
формула, полученная по первому способу. Кроме того, более
конкретные физические соображения, заложенные в уравнение,
полученное по второму способу, как правило, приводят к не-
сколько более точному конечному результату (особенно при
решении погранслойных задач, когда основной массоперенос
сосредоточен непосредственно вблизи передней критической точ-
ки в лобовой части поверхности капли или частицы).
Следует отметить, что в некоторых задачах, где важно знать
качественную структуру поля течения, первый способ построе-
70
ния модельных уравнений (ввиду максимально возможного уп-
рощения конвективного члена) может вообще оказаться непри-
менимым (см. разд. 3.5).
С другой стороны, для нелинейных уравнений, описывающих,
например, массоперенос, осложненный объемной химической
реакцией, наличие дополнительной зависимости от координаты
при втором способе получения модельных уравнений может
чрезмерно усложнить ситуацию. (Более того, до сих пор неиз-
вестно точное аналитическое решение линейной задачи, описы-
ваемой уравнением (2.11) гл. 2 с дополнительным членом kc
в правой части и граничными условиями (2.2), (2.18) гл. 2 и
соответствующей массопереносу в окрестности передней крити-
ческой точки твердой сферической частицы, обтекаемой посту-
пательным стоксовым потоком, при протекании в жидкости
объемной химической реакции первого порядка.) В таких слу-
чаях, естественно, следует прибегать к первому способу пост-
роения модельных уравнений.
Из отмеченной ранее тесной связи метода модельных урав-
нений с принципом аналогии (в работах [51, 53, 102, 180] для
подчеркивания этой связи метод модельных уравнений назван
даже методом модельных уравнений и аналогий; в данной
монографии для удобства использовано более короткое назва-
ние) следует, что конечную функциональную зависимость (1.3)
между величиной S и ее асимптотикой (1.1) можно использо-
вать для приближенного описания целого семейства однотипных
задач, характеризующих качественно сходные явления или про-
цессы, отличающиеся лишь геометрическими характеристика-
ми— формой и типом (твердая или жидкая) реагирующей
поверхности, структурой течения и т. п.
Проиллюстрируем возможности метода модельных уравне-
ний в задачах о конвективном массо- и теплообмене частиц с
потоком при наличии поверхностной или объемной химической
реакции.
3.2. ДИФФУЗИЯ К ДВИЖУЩЕЙСЯ ЧАСТИЦЕ
ПРИ ПРОТЕКАНИИ НА ЕЕ ПОВЕРХНОСТИ
ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ
КИНЕТИКОЙ
Рассмотрим конвективную диффузию к реагирующей твер-
дой или жидкой сферической частице, обтекаемой ламинарным
потоком вязкой несжимаемой жидкости, при протекании на ее
поверхности изотермической химической реакции, скорость ко-
торой произвольным образом зависит от концентрации.
Распределение концентрации активного компонента в потоке
в сферической системе координат г», 0, <р, связанной с центром
частицы, описывается безразмерными уравнениями (2.1) с гра-
71
личными условиями (2.2) и (2.3):
—>
Дс = Ре (у - V) с;
г ---> оо, с --------> 0;
дс
г = 1, -57 = —Vs (с) •
(2.1)
(2.2)
(2.3)
Связь между исходными размерными и введенными безраз-
мерными переменными и параметрами осуществляется по фор-
мулам
С = (С„ - C)/Cx, Ре = aU/D, ks = aKsFs (C„)/(DCa),
(2.4)
fs (C) = Fs (p)/Fs (Cx>) > r — r*/at
где С и Coo — концентрация в потоке и на бесконечности; а —
радиус частицы; U — характерная скорость потока (для посту-
пательного потока принимается U=UX,, vps — невозмущен-
ная скорость течения жидкости на бесконечности); Ks — кон-
станта скорости поверхностной химической реакции; Ws=
— KsFs — скорость поверхностной реакции; v — безразмерный
вектор скорости жидкости (предполагается известным из реше-
ния соответствующей задачи о гидродинамическом обтекании —
см. далее в этом разделе). Вид функции FS(C) определяется
конкретным механизмом гетерогенной химической реакции.
В частности, для реакции произвольного порядка Fs—Cn.
В общем случае предполагаются выполненными естественные
условия Г8(0)=0 и dFgldC^b, имеющие ясный физический
смысл: при отсутствии реагента химической реакции нет; ско-
рость химической реакции возрастает с увеличением концентра-
ции реагента. Следствием этих условий являются описанные
ранее свойства функции fs (2.4) гл. 2.
Параметрами k и р в этой задаче являются
k = ks, р= Ре,
а искомой интегральной величиной S — среднее число Шервуда
по поверхности сферы Г:
Sh = —Тл"] (а7)г=/Г = ~~ fsine(^)r-id0’ (2'5)
г о
Предельный переход в задаче (2.1) — (2.4) при А8->0 приво-
дит к тривиальному решению с=0, не пригодному для исполь-
зования метода. Другой предельный переход в (2.3) при ke-+oo,
в силу свойства /8(1) =0, показывает, что вспомогательная функ-
ция Shoo=Shoo (Ре) (1.1) должна определяться из решения
задачи (2.1), (2.2) с простейшим граничным условием на по-
верхности сферы
Г=1, с=1, (2.6)
72
Рис. 3.2. Картина обтекания
сферической частицы поступа-
тельным потоком
соответствующим диффу-
зионному режиму реак-
ции (или, что то же са-
мое, бесконечно большой
скорости химической ре-
акции, означающей, что
все растворенное в жид-
кости химически активное вещество, подошедшее к частице,
мгновенно успевает прореагировать на ее поверхности).
Отметим, что задача (2.1), (2.2), (2.6) линейна и существен-
но проще исходной нелинейной (2.1) — (2.3). В настоящее вре-
мя имеется достаточно большое число решений задачи (2.1),
(2.2), (2.6), полученных для различных случаев обтекания кап-
ли твердой частицы численными, асимптотическими или приб-
лиженными методами (см., например, [20, 30, 150]). В качестве
функции Shoo могут использоваться также эмпирические форму-
лы, полученные в результате обработки экспериментальных
данных. Ниже считается, что функция Shoo = Shoo (Ре) известна;
для некоторых конкретных случаев зависимости Shoo (Ре) при-
ведены в разд 5.2.
Простейшим одномерным аналогом уравнения (2.1) явля-
ется обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянны-
ми коэффициентами (2.7) и граничными условиями (2.8) и
(2.9):
d2c de
dp" + Ре “df =0;
g ----► °0, с -----------*• 0;
de
= 0, ~ kJs (с) •
(2.7)
(2.8)
(2.9)
Уравнение (2.7) получено аппроксимацией коэффициентов ис-
ходного уравнения в частных производных с переменными ко-
эффициентами (2.1) их значениями на бесконечности в случае
-> —> ->
поступательного потока (ц->—i, где i —орт оси x=rcos9;
угол 0 отсчитывается от передней критической точки сферы
против направления набегающего потока, как на рис. 3.2) с по-
следующей «заменой» криволинейной поверхности сферы r= 1
касательной плоскостью х=1 в точке натекания и дальнейшей
заменой g=x—1.
Общее решение обыкновенного дифференциального уравне-
ния (2.7), удовлетворяющее условию (2.8), имеет вид:
с = Аехр (—Peg). (2.10)
Подстановка этого выражения в граничное условие (2.9) приво-
73
дит к следующему уравнению для определения коэффициен-
та А:
Ре А = Vs (А). (2.11)
Аналогом среднего числа Шервуда (2.5) в модельной зада-
че (2.7)—(2.9) является локальный диффузионный поток
j=s(ks, Ре) =—(с/)5=о. Используя выражения (2.10), (2.11)
для /, получим уравнение
/ = Vs(//Pe). (2.12)
Устремляя в этом уравнении ks к бесконечности, с учетом
свойства fs(l)=0, получим
/»=Ре. (2.13)
Исключая Ре из соотношений (2.12) и (2.13), приходим к выра-
жению
/ = Vs (///«>) (/ = S, /«О = s«) • (2.14)
Отсюда в силу принципа аналогии получаем искомое алге-
браическое (трансцендентное) уравнение для определения сред-
него числа Шервуда:
Sh = Vs(Sh/Sh00). (2.15)
Покажем, что в случае твердой частицы и капли (пузыря)
сферической формы, обтекаемых потоком произвольной геомет-
рии (течение жидкости может быть вязким, идеальным, фильт-
рационным), уравнение для среднего числа Шервуда (2.15)
дает правильный асимптотический результат во всех предель-
ных случаях (при больших и малых значениях параметров ks
и Ре) для любой кинетики поверхностной химической реакции,
т. е. для любой функции fs, удовлетворяющей условиям (2.4)
гл. 2.
При ks=0 решение задачи (2.1) — (2.3) тривиально (с=0),
что соответствует нулевому значению среднего числа Шервуда
из (2.5). Это же значение получаем из формулы (2.15), полагая
в ней k$=0.
При ks-*-<x> уравнение (2.15) по построению дает правиль-
ный асимптотический результат [что является следствием пер-
вого свойства (2.4) гл. 2], соответствующий решению линейной
вспомогательной задачи (2.1), (2.2), (2.6) для диффузионного
режима реакции на поверхности частицы.
При Ре = 0 (в сферически симметричном случае) общее ре-
шение уравнения (2.1), затухающее на бесконечности (2.2), име-
ет вид
с = ?г-\ (2.16)
где постоянная q определяется из граничного условия (2.3) пу-
тем решения алгебраического уравнения
<7 = *Л(4). (2.17)
74
Используя то, что в этом случае, с учетом выражений (2.5)
и (2.16), имеется связь между параметром q и средним числом
Шервуда (Sh = <?), из формулы (2.17) окончательно получаем:
Sh = Vs(Sh) (Ре = 0). (2.18)
Точное такое же алгебраическое уравнение выводится из
приближенного уравнения (2.15) с учетом того, что справедливо
равенство Shoo(Pe=0) = 1, которое является следствием реше-
ния вспомогательной задачи (2.1), (2.2), (2.6) при Ре=0. Это
решение дается формулой (2.16) при <7=1, что в силу (2.5)
соответствует limSh<»=l.
Ре-»0
При Ре->оо, &s=const на всей поверхности частицы наблю-
дается режим, близкий к кинетическому (см. например, {35,
106]), когда концентрация в потоке практически постоянна и
определяется ее значением на бесконечности. Среднее число
Шервуда при этом вычисляется простым интегрированием гра-
ничного условия (2.3) с учетом того, что в правой части вели-
чину [fs(c)]r=i можно приближенно заменить на /з(с|г-<») =
=fs(0). В результате имеем
Sh = kJ, (0) (Ре ->- оо). (2.19)
V
Такое же выражение получаем из приближенного уравнения
(2.15) путем предельного перехода при Ре->-оо с учетом типич-
ного свойства вспомогательного среднего числа Шервуда:
limShoo = co. (Считается, что на поверхности частицы имеются
Ре->оо
особые критические точки торможения потока, обусловливаю-
щие существование диффузионного пограничного слоя при боль-
ших числах Пекле; вырожденные ситуации типа '[136, 160, 176]:,
когда частицу окружает область с полностью замкнутыми ли-
ниями тока и не формируется диффузионный пограничный слой
при Ре->-оо, здесь не рассматриваются.)
Из формулы (2.19) видно, что при конечной скорости по-
верхностной химической реакции с увеличением числа Пекле
среднее число Шервуда стремится к постоянному значению,
равному ksfs(O). Это явление может быть названо насыщением
диффузионного потока и объясняется тем, что с увеличением
Ре диффузионный поток увеличивается до тех пор, пока лими-
тирующей стадией процесса диффузии не становится поверхност-
ная реакция.
Оценим точность приближенного уравнения (2.15) путем со-
поставления его решений с известными точными, приближен-
ными и асимптотическими результатами при различных числах
Пекле.
Малые числа Пекле. В работах [97, 99, 179] алгебраическое
уравнение для среднего числа Шервуда (2.15) выведено путем
исследования исходной краевой задачи (2.1)—(2.3) методом
сращиваемых асимптотических разложений по малому числу
Пекле. Из результатов этих работ (см. также [36, 95]) непос-
75
редственно следует, что приближенное уравнение (2.15) явля-
ется асимптотически точным и позволяет получить в случае
поступательного стоксова обтекания сферической частицы (и
капли) по крайней мере три правильных первых члена соот-
ветствующего разложения по малому числу Пекле для любой
кинетики поверхностной химической реакции (т. е. для любой
функции fs) во всем диапазоне изменения безразмерной кон-
станты скорости реакции ks [97, 99, 179]. Для произвольного
линейного сдвигового потока алгебраическое уравнение (2.15)
обеспечивает по крайней мере четыре первых члена асимптоти-
ческого разложения для среднего числа Шервуда при Ре->0
[95, 97, 179]. В общем случае обтекания сферической частицы
несжимаемым потоком любой геометрии приближенное урав-
нение будет давать не менее двух первых членов асимптотиче-
ского разложения при малых числах Пекле [95, 179].
Промежуточные числа Пекле. Пригодность приближенного
уравнения (2.15) при промежуточных числах Пекле в случае
поступательного обтекания сферы вязкой несжимаемой жидко-
стью проверялась путем сравнения с известными результатами
численного решения соответствующей задачи для гетерогенной
реакции первого порядка ;[FS(Q = C] при Ре=10, 20, 50 [2,
20]. Поле течения также определялось из уравнений Навье —
Стокса конечно-разностным методом; при этом указанные чис-
ла Пекле соответствовали Re=10, 20, 0,5. Из таблицы, приве-
денной в работе [2] (см. также [20]), следует, что использова-
ние приближенного уравнения (2.15) в этом случае приводит
к очень хорошим результатам (ошибка не превосходит
1,5%).
Большие числа Пекле. При больших числах Пекле (в приб-
лижении диффузионного пограничного слоя) для реакций по-
рядка n=l/2; 1; 2 i[Fs = Cn, fs= (1—с)п] пригодность интерполя-
ционного уравнения (2.15) проверяли во всем диапазоне изме-
нения параметра ks=aKsD-iCn-'0O путем сравнения его корня
Sh с точными результатами, полученными численным интегри-
рованием уравнений для локального диффузионного потока
в случае поступательного стоксова обтекания сферы [105, 106,
182], кругового цилиндра ;[37], капли и пузыря [35]. За ха-
рактерный масштаб длины выбирали радиус сферы, цилиндра
и капли а, а за характерную скорость — скорость потока на
бесконечности СЛо. Результаты сопоставления точных и прибли-
женных значений среднего числа Шервуда показывают, что мак-
симальное отклонение корня уравнения (2.15) от точного зна-
чения [35, 37, 105, 106, 182] не превышает 12%.
Результаты сравнения точных {35, 37, 182]> и приближенных,
рассчитанных по уравнению (2.15), значений среднего числа
Шервуда приведены на рис. 3.3 на примере реакции второго по-
рядка (п=2), так как при п=1/2 и п=1 точность уравнения
(2.15) выше, чем при п—2. Видно, что в этом случае максималь-
ная погрешность уравнения наблюдается при &s/Shoo~0,5—5,0
76
Рис. 3.3. Зависимость чис-
ла Шервуда от константы
скорости для поверхностной
химической реакции второ-
го порядка:
1 — по формуле (2.15); 2 — по
данным [105, 182]; 3 — по дан-
ным [37]; 4 — по данным [35]
и не превышает 6% для твердой сферы, 8% — для кругового
цилиндра и 12% — для сферической капли (пузыря).
Указанные сопоставления показывают хорошую точность и
широкие возможности приближенного уравнения (2.15). По
аналогии с поступательным течением в случае обтекания сфе-
рической частицы осесимметричным линейным сдвиговым<цток-
совым потоком следует ожидать, что погрешность уравнения
(2.15) не превышает 10%; в качестве вспомогательного сред-
него числа Шервуда Shoo здесь следует воспользоваться значе-
нием Shoo, которое определено формулой (5.11).
Модельную задачу, соответствующую (2.1) — (2.4), можно
построить, помимо (2.7) — (2.9), и другим способом, исходя из
указанных ранее конкретных соображений. Считая число Пек-
ле большим, в качестве модельной задачи используем задачу о
распределении концентрации в окрестности передней критиче-
ской точки (точки натекания, 0»О) сферической капли, обте-
каемой поступательным стоксовым потоком [течение Адама-
ра — Рыбчинского, формула (5.4)]. Для вывода соответствую-
щего модельного уравнения учтем следующие обстоятельства:
1) при больших числах Пекле в диффузионном пограничном
слое, расположенном вблизи поверхности капли, тангенциаль-
ным переносом вещества можно пренебречь по сравнению с
радиальным, т. е.
Дс = <Э«с/<Эга; (2.20)
2) на оси потока выполняется очевидное условие симметрии
6 = 0, дс/д0 = О, (2.21)
причем вместо (2.21) достаточно выставить и существенно бо-
лее слабое условие ограниченности решения на оси потока: 0 = 0,
С<оо;
3) компоненты скоростей жидкости вблизи оси потока удов-
летворяют следующим порядковым соотношениям:
ve ~ 6, vr ~ 1 (при 0 иО). (2.22)
Заменяя в уравнении (2.1) оператор Лапласа выражением
77
(2.20) и устремляя 0->О, с учетом предельного равенства
, I дс va дс \ дс
lim (y.V)c=hm [vr-^ +~ (г, 0),
которое является следствием свойств (2.21), (2.22), окончатель-
но получим
d2c de
-^-Pev^r.O)-^ =0. (2.23)
9
Здесь для удобства д/дг заменено на d/dr. Введем обозначе-
ние £ = г—1 и используем явный вид радиальной составляющей
скорости на оси потока, который определяется функцией тока
(5.4). Для капли умеренной вязкости при р°°1, ограничиваясь
в пограничном слое старшим членом разложения vr по степе-
ням t, прямой проверкой нетрудно убедиться, что уравнение
(2.23) переходит в (2.1) гл. 2. Для твердой сферы при £=;оо
уравнение (2.23) приводится к (2.11) гл. 2. При выводе урав-
нения (2.23) нигде не использовался явный вид функции тока,
поэтому оно справедливо для любого осесимметричного обтека-
ния капли, частицы и пузыря сферической формы (в частности,
для линейного осесимметричного сдвигового потока). В общем
случае произвольного обтекания капли или частицы любой
формы аналогичным образом можно показать, что при больших
числах Пекле уравнение вида (2.23) описывает распределение
концентрации в окрестности критической точки или линии нате-
кания на ее поверхности. В этом случае г в (2.23) имеет смысл
координаты, отсчитываемой по нормали к поверхности, а 0 —
вдоль поверхности; значение 0=0 соответствует точке натека-
ния.
Как было показано ранее, в разд. 2.2, решение двух модель-
ных задач второго типа для поля концентрации в окрестности
передней критической точки сферической капли и твердой ча-
стицы [а также аналогичная задача для более общего уравне-
ния (2.16) гл. 2 или, что то же самое, для уравнения (2.23)],
приводит к точно такому же алгебраическому уравнению для
локального диффузионного потока (2.14). Это, в свою очередь,
в силу принципа аналогии дает то же приближенное уравнение
для среднего числа Шервуда (2.15). Иными словами, в данном
случае оба типа модельных задач приводят к одинаковому ре-
зультату.
Как уже отмечалось, уравнение (2.15) хорошо «работает»
для капель (пузырей) и твердых частиц сферической формы.
Улучшим уравнение (2.15) методом асимптотической коррек-
ции так, чтобы его можно было использовать и в более общем
случае — для капель и частиц произвольной формы. Для этого
устремим в (2.15) число Пекле к нулю и из полученного выра-
жения и исходного уравнения (2.15) исключим параметр ks.
В результате получим
Sh MSh/sh„)
Sh*o ~ ^(ShWShooo) ’ (Л24)
78
При записи уравнения (2.24) были использованы обозначения
Sh=Shftp = Sh(Zj, р), где k=ks и р=Ре.
В рлучае поверхностной химической реакции первого поряд-
ка (fs= 1—с) уравнение (2.24) может быть переписано в следу-
ющем эквивалентном виде:
Sh’ = 'Sh^ + sh^'-'Sh^'- (2>25)
Важно подчеркнуть, что уравнения (2.24) и (2.25) инвари-
антны относительно способа определения среднего числа Шер-
вуда. Это важное свойство является следствием того, что урав-
нение (2.24) не меняется при замене Sh на ASh (где А — про-
извольная постоянная; естественно, что на нее умножаются все
числа Шервуда). Исходное уравнение (2.15) таким свойством
не обладает — в нем среднее число Шервуда обязательно долж-
но определяться по формуле (2.5).
Для проверки указанной процедуры расчета конвективного
массообмена частиц произвольной формы рассмотрим аналити-
ческое решение задачи для поверхностной реакции первого По-
рядка при малых числах Пекле, полученное [32] для однород-
но-поступательного потока методом сращиваемых асимптотиче-
ских разложений:
Sh = Sh*» + 4" Sh%oPe + -у- Sh2*0f Pea In Ре + О (Ре2). (2.26)
Здесь F — безразмерная сила гидродинамического сопротивле-
ния частицы при данной ее ориентации в потоке (равная раз-
мерной силе, деленной на стоксову силу сопротивления эквива-
лентной по объему сферы радиуса а).
Используя формулу (2.26), с точностью до членов порядка
Ре2 имеем:
sir= sib--r‘>'--rFP','"p'- <2-27)
Устремляя в этом выражении параметр k к бесконечности,
получаем
яЬ= 5’Ре—2"FPe*lnPe- <2-2»)
Исключая теперь из формул (2.27) и (2.28) число Пекле,
приходим к тому же соотношению (2.25).
Используя результаты [179], аналогичным образом можно
показать, что выражение (2.25) является асимптотически точ-
ным при малых числах Пекле для частицы любой формы, об-
текаемой произвольным линейным сдвиговым потоком.
Отметим, что для сферической частицы приближенная фор-
мула (2.15) первоначально была предложена в работе [182]
из чисто интуитивных соображений. Для частицы произвольной
формы выражение (2.24) было приведено в [38]..
79
3.3. КОНВЕКТИВНЫЙ МАССОПЕРЕНОС К КАПЛЕ
ИЛИ ТВЕРДОЙ ЧАСТИЦЕ ПРИ ПРОТЕКАНИИ
В ЖИДКОСТИ ОБЪЕМНОЙ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ
С ПРОИЗВОЛЬНОЙ кинетикой
Рассмотрим задачу о стационарном массопереносе к сфериче-
ской капле или твердой частице радиуса а, обтекаемой лами-
нарным потоком вязкой несжимаемой жидкости. Считаем, что
на поверхности частицы концентрация постоянна и равна Cs,
а в объеме жидкости протекает гомогенная химическая реакция
с конечной скоростью WV = KVFV(C), где Kv— константа скоро-
сти объемной химической реакции. Функция FV—FV(C) опре-
деляется кинетикой химической реакции, в частности для реак-
ции п-го порядка Fv — Cn. Ниже вид функции Fv не конкретизи-
руем и считаем лишь, что она обладает свойствами Fv(0)=0 и
dFv/dC^0.
В безразмерных переменных, в сферической системе коорди-
нат, неподвижно связанной с центром частицы, соответствую-
щая нелинейная краевая задача формулируется следующим об-
разом:
Дс = Ре (с- V) с + kjo (с); (3.1)
г=1, с = 1; г --------► оо, с ---> 0, (3.2)
где безразмерные параметры и функции связаны с исходными
размерными величинами соотношениями
С
с- cs ’
nv - DCi
<c) - Fo (Cs) • (3-3>
Остальные параметры введены так же, как и в разд. 3.2.
Характерными постоянными k и р в этой задаче являются
й = й0, р = Ре, (3.4)
а аналогом S — среднее число Шервуда, определяемое форму-
лой (2.5). Отметим, что безразмерные концентрации в задачах
с поверхностной и объемной химической реакцией введены
по-разному в соотношениях (2.4) и (3.3). Вспомогательная
функция Sho=Sho(Pe) находится путем решения линейной за-
дачи (3.1) — (3.3) при kv=0 [или (2.1), (2.2), (2.6)] и соответ-
ствует диффузионному режиму. Далее, как и в разд. 3.2, считаем,
что функция Sho известна; отметим, что одна и та же зависи-
мость Sho=Sho(Pe) обозначена по-разному в разд. 3.2 и 3.3,
что соответствует разным предельным переходам по парамет-
рам ks и kv.
Простейшим одномерным аналогом задачи (3.1), (3.2) яв-
ляется задача
d2c de
~d^ + "3g” = ^vfv (3.5)
g-0, с-1; g--------- сс, с --> 0. (3.6)
80
Модельное уравнение (3.5) построено по первому способу,
описанному в разд. 3.1 аналогично тому, как это делалось в
разд. 3.2 для случая поверхностной химической реакции. В от-
личие от уравнения (2.7), общее решение уравнения (3.5)
получить не удается.
Для построения искомой функциональной связи между ло-
кальными диффузионными потоками (1.2) воспользуемся приб-
лиженным методом интегрирования уравнения (3.5) [51]. Вве-
дем новую переменную u=dcld^. Тогда уравнение (3.5) может
быть записано в виде du2+2Peudc=2kvfv(c)dc. Проинтегриро-
вав его по с от нуля до с с учетом того, что при £->оо и->0,
получим:
с с
иг = —2Ре j udc + 1k0 J /„ (c) de. (3.7)
0 0
Решение интегрального уравнения (3.7) для и=и(с) будем
искать методом итераций по формуле
с с
/С с \1/2
ип = —I—2Ре I un-idc 4- 2kv I fv (c) de I , n=l,2,... (3.8)
0 0
где за начальный профиль uo=Uo(c) можно выбрать любую
отрицательную функцию.
Ограничиваясь в (3.8) одной итерацией и полагая £ = 0,
с учетом равенств с(0) = 1 и /=—м(1) приходим к следующему
выражению для локального потока:
1 1
/Г Г W2
/ = I —2Ре I и0 (с) de-f- 2£0 I f„ (с) del . (3.9)
О о
Устремляя теперь параметр kv к нулю, из формулы (3.9)
получаем величину локального потока для диффузионного ре-
жима:
1
/о2 = —2Ре С и0 (с) de, j0 = lim / (kv, Ре). (3.10)
J *„-»o
Исключая число Пекле из выражений (3.9) и (3.10), находим
связь между j и /0:
I
/ Г \1/2
/ = (/о* + 2ft» J fv (с) dej
о
(З.П)
Отсюда, в силу принципа аналогии (1.2), (1.3), получаем
искомую приближенную формулу для среднего числа Шервуда:
1
Sh = (Sh02 + 2kv f A, (c) de. (3.12)
о
6—1391
81
Исследуем поведение приближенного выражения для сред-
него числа Шервуда (3.12) в предельных случаях — при боль-
ших и малых значениях числа Пекле и параметра kv.
Как отмечалось ранее, в разд. 3.1, при kv—0 формула (3.12)
по построению дает точный результат Sh0(Pe).
При Ре—>оо (kv~\) вторым членом в правой части уравне-
ния (3.1) можно пренебречь, поэтому главный член асимптоти-
ки Sh совпадает с Sho; это же предельное соотношение получа-
ется и из формулы (3.12), так как при Ре->оо Sho-*oo.
При kv-*oo (Ре = const) первым членом правой части урав-
нения (3.1) можно пренебречь. В этом случае введение в (3.1)
новой «растянутой» переменной z=^kv(r—1) с последующим
выделением главных членов разложения по большому парамет-
ру kv приводит к уравнению (3.5) при Ре=0 и 1- = г—1. Инте-
грирование полученного обыкновенного дифференциального
уравнения приводит к квадратному уравнению для и (3.7) при
Ре=0. В этом предельном случае локальный поток не зависит
ют угловой координаты 0 и совпадает со средним числом Шер-
вуда j=Sh. С учетом сказанного сопоставление главного члена
разложения (3.12) при kv-+<x> и формулы (3.7) при Ре = 0
показывает, что приближенная формула (3.12) дает правиль-
ный асимптотический результат при &„->оо.
В частном случае степенной зависимости скорости объемной
химической реакции от концентрации fv(c) = cn формула (3.12)
переходит в выражение (3.3) гл. 1, полученное ранее совсем
другим способом. Из проведенного в разд. 1.3 сопоставления
формулы (3.12) с результатами численных расчетов для неко-
торых частных случаев, а также из указанных выше предель-
ных свойств Sh следует, что приближенное выражение (3.12)
с успехом может быть использовано для вычисления среднего
числа Шервуда при больших числах Пекле во всем диапазоне
изменения безразмерной константы скорости объемной хими-
ческой реакции kv.
Формулу (3.12) можно использовать также для расчета
конвективного массообмена капель и частиц произвольной фор-
мы. В этом случае среднее число Шервуда следует определять
по формуле
Sh = -^-, l = 2=^ldr, (3.13)
г г
где / и S — безразмерные интегральный диффузионный поток и
площадь поверхности частицы; Г — поверхность частицы. За
характерный масштаб длины а, который используется при вве-
дении безразмерных величин (3.3), можно выбрать, например,
радиус эквивалентной по объему сферы. При таком определе-
нии среднего числа Шервуда приближенное выражение (3.12)
обеспечивает правильный асимптотический результат в предель-
ных случаях kv-*-0 (Ре=const); kv-+oo (Ре=const); Ре—>оо (kv —
= const).
S2
Формулой (3.12) можно также пользоваться и при расчете
массообмена капель и частиц при больших числах Пекле в по-
токах сложной геометрии, когда распределение скоростей жид-
кости на бесконечности не является однородным. В частности,
в случае обтекания твердой сферической частицы осесимметрич-
ным линейным сдвиговым потоком в выражении (3.12) следует
положить Sho=Shoo, где Shoo определено в (5.11).
Как уже отмечалось, приближенная формула (3.12) обеспе-
чивает хорошие результаты только при больших числах Пекле.
Следует отметить, однако, что выражение (3.12) легко уточнить,
если еще раз воспользоваться методом асимптотической кор-
рекции. Для этого положим в (3.12) Ре = 0. Исключая из полу-
ченного таким образом соотношения и из формулы ,(3.12)
параметр kv (аналогично тому, как это делалось ранее, в
разд. 1.4, для частного случая объемной химической реакции
произвольного порядка), получим то же приближенное выра-
жение среднего числа Шервуда (4.5) гл. 1, которое в случае
капли (частицы) сферической формы дает правильный асимп-
тотический результат для любой функции fv(c) и всех пре-
дельных значений параметров kv и Ре.
Приближенную формулу (3.12) можно улучшить и другими
способами, описанными в разд. 1.4. В частности, из нее можно
вывести выражение
Sh (kv, Ре) = Sh (0, 0) +
+ V[Sh (0, Ре) - Sh (0, О)]2 + [Sh (й0, 0) — Sh (0, О)]2, (3.14)
которое в случае капли или частицы сферической формы
Sh(O, 0) = 1 переходит в формулу (4.15) гл. 1. Нетрудно полу-
чить и несколько иную зависимость, которая для частиц про-
извольной формы дается формулой (4.18) гл. 1, где единицу
в правой части подкоренного выражения следует заменить на
Sh(0,0).
Следует подчеркнуть, что формула (3.14) инвариантна отно-
сительно способа определения среднего числа Шервуда. В слу-
чае частицы (капли) сферической формы для объемной хими-
ческой реакции первого порядка она переходит* в формулу
(4.19) гл. 1, где среднее число Шервуда должно вычисляться
в соответствии с (2.5).
Необходимо отметить, что знание точных асимптотик реше-
ния задачи (3.1), (3.2) при kv, Ре=0 и kv, Ре=оо недостаточно
для построения приближенных формул, хорошо описывающих
процесс при произвольных значениях параметров kv и Ре. На-
пример, вместо формулы (4.5) гл. 1 можно предложить и суще-
ственно более простую формулу
Sh (kv, Ре) = Sh (kv, 0) + Sh (0, Ре) — 1,
которая для капель и частиц сферической формы во всех пре-
дельных случаях также обеспечивает правильный асимптотиче-
ский результат. Однако сопоставление этой формулы для
6*
83
реакции первого порядка с результатами работ [26, 68], полу-
ченными в приближении диффузионного пограничного слоя для
поступательного стоксова обтекания капли, показывает ее
полную неудовлетворительность, так как погрешность в этом
случае составляет более 50% I[напомним, что максимальная
погрешность формул (4.5), (4.3) гл. 1 составляет около 7%].
Предложенный и используемый в данной монографии метод
модельных уравнений и аналогий помимо правильных асимпто-
тик «ухватывает» еще и внутреннюю структуру решения, что
обеспечивает в задачах о конвективном массо- и теплообмене
частиц с поверхностными и объемными реакциями достаточно
точный результат во всем диапазоне изменения характерных
параметров kv и Ре (при произвольной кинетике химической
реакции).
Оценим точность использованного здесь приближенного ите-
рационного метода решения интегрального уравнения (3.7),
которое является следствием исходного модельного дифферен-
циального уравнения (3.5). Для этого рассмотрим подробнее
модельную задачу (3.5), (3.6) для наиболее простого линейного
случая, соответствующего объемной химической реакции перво-
го порядка fv(c) = c. Ее решение имеет вид:
с = ехр — — у —— + (3.15)
Используя это выражение для локального потока, получим:
Ре 1 Г Ре2
] = — +у—4- + Ъ. (3.16)
Полагая в формуле (3.16) ^ = 0, для диффузионного режима
реакции имеем:
/0 = Ре. (3.17)
Исключая далее число Пекле из выражений (3.16) и (3.17),
находим
/=-у-+F 2г+^- (3.18)
Отсюда, в силу принципа аналогии, для среднего числа Шер-
вуда окончательно получим:
Sh(^, Pe) = -ySh(0, Ре) +Sh2<°-Ре) + ^- (3.19)
Формула (3.19) обеспечивает правильный асимптотический
результат в предельных случаях (Ре=const) ;Л„->оо (Ре=
= const); Ре-><х> (kv — const) и значительно отличается от фор-
мулы (3.12) (при <fv> = 1/2), полученной итерационным мето-
дом. Нетрудно показать, что максимум отношения правых ча-
стей формул (3.19) и (3.12) (соответственно числитель и знаме-
натель) наблюдается при &V/Sh2o=2 и равен 2/уЗ~ 1,15. Поэто-
.84
му максимальное различие между выражениями (3.12) и (3.19)
будет около 13%. Кроме того, из сопоставления с результатами
[26, 68]| следует, что погрешность (3.19) составляет около 20%.
Это, в свою очередь, означает, что формула (3.12) является
более точной, чем (3.19), т. е. погрешность метода итераций
в данном случае частично скомпенсировала погрешности метода
модельных уравнений.
Покажем, как приближенную формулу (3.12) можно полу-
чить из других более конкретных соображений. Для этого мо-
дельную задачу, соответствующую (3.1) — (3.3), сформулируем
по второму способу, предложенному в разд. 3.1: считая число
Пекле большим, исследуем поле концентрации в окрестности
передней критической точки сферической капли или твердой
частицы, обтекаемой поступательным стоксовым потоком. Мо-
дельное уравнение в этом случае может быть записано в виде
едя "Ь Ре 5W = Wo (с) • (3.20)
Здесь для сокращения записи числовой множитель при вто-
ром члене уравнения не выписывается, что фактически соответ-
ствует перенормировке числа Пекле (для капли комплекс
Ре/(^+1) был переобозначен через Ре, а для твердой сферы
величина ЗРе/2 заменена на Ре) и совершенно не отражается
на конечных результатах. Параметр т в (3.20) принимает для
капли значение т=1, а для твердой частицы — т=2; попутно
для сравнения результатов используемого далее приближенно-
го метода будет рассматриваться также значение /п = 0.
Приближенное решение задачи (3.20), (3.6) получим инте-
гральным методом (подробное описание его см. в гл. 8). Для
этого проинтегрируем уравнение (3.20) с учетом граничных
условий (3.6) по £ от нуля до бесконечности, приняв, что при
>оо концентрация экспоненциальным образом стремится
к нулю. В результате получим:
оо
-(“S’) -Ре/<'”>=й0 ffp(c)dg, (3.21)
к /g-о J
1
где /<о)=1, /('”> = tn cd%
о
Зададимся теперь какой-либо монотонно убывающей функ-
цией <р=<р(Х), удовлетворяющей условиям <р(0) = 1, dqldx<Q
и обладающей свойством ф<const «-?* р>0 (откуда, в частно-
сти, следует ф(оо)=0). Для построения приближенного реше-
ния задачи (3.20), (3.6) воспользуемся интегральными тож-
дествами (3.21). При этом распределение концентрации ищем
в виде
с = Ф (5/8).
(3.22)
85
где функция <р задана, а параметр б (толщина диффузионного
пограничного слоя) определяется подстановкой выражения
(3.22) в равенство (3.21). В результате описанной процедуры
после введения в подынтегральных выражениях новой перемен-
ной интегрирования х=£/б получим
1 / dcp \
6 ( dx )х.
оо
о- Ре Sm 7<m> = М J f0 (<p (х)) dx,
О
оо
где /<») = 1, = т j х171"1 ср (х) dx (т & 0).
о
(3.23)
Используя затем связь между локальным диффузионным
потоком / и толщиной пограничного слоя б
которая является следствием выражения (3.22), из (3.23) нахо-
дим алгебраическое уравнение для локального потока:
/2 - ЛтРе у1-”1 = Bkv, (3.25)
где постоянные Ат и В определены соотношениями
оо
Ят = 7(т)(--$-Г , B=[fv(<f(x))dx. (3.26)
\ ал Jx=Q J
0
Устремим теперь параметр kv в уравнении (3.25) последо-
вательно к нулю и к бесконечности. В результате, решая соот-
ветствующие простые предельные уравнения, нетрудно получить
iop = (4mPe)V(m+i), jnp = (B*„)V2. (3.27)
Исключим из выражений (3.27) параметры kv и Ре через
/ор и /.op, подставив их в уравнение (3.25). Это позволяет уста-
новить следующую связь между локальными диффузионными
потоками:
Р - ioPm+1P~m - Рюр = 0. (3.28)
Отсюда, в силу принципа аналогии, для средних чисел Шер-
вуда получаем
Sh2 — Shopm+1Sh1-m — Sh2<oP = 0. (3.29)
Поскольку при произвольной объемной химической реакции
асимптотика среднего числа Шервуда при Л„->оо определяется
выражением Sh«>p= (2&B<f0>)1/2, с учетом (3.29) приходим к
следующему приближенному алгебраическому уравнению для
расчета интенсивности массообмена капель и частиц с потоком:
Sh2 — Shom+1Sh1“m — 2АР (/„> = 0. (3.30)
Здесь величина ShossShOp = Sh(O, Ре) отвечает диффузионному
режиму реакции и считается известной.
86
При т = 0, что соответствует простейшей модельной задаче
первого типа (3.5), (3.6), решение квадратного уравнения (3.30)
определяется формулой (3.19), где параметр kv следует заме-
нить более сложным в общем случае выражением 2&t><fv>.
Поэтому в случае объемной химической реакции первого поряд-
ка (fv = c), когда имеет место равенство </„> = 1/2, решение приб-
лиженного уравнения (3.30), выведенного при помощи инте-
грального метода, совпадает с точным решением (3.19), полу-
ченным непосредственно из анализа линейной задачи (3.5), (3.6)
(или (3.20), (3.6) при т = 0).
При т=1 решение квадратного уравнения (3.30) приводит
к построенной ранее совсем другим способом приближенной
формуле (3.12). Это обстоятельство позволяет прояснить, поче-
му интерполяционное выражение (3.12) обладает большей точ-
ностью, чем формула (3.19), хотя оно получено приближенным
итерационным методом, а формула (3.12) является следствием
точного решения одной и той же модельной задачи первого типа
(3.5), (3.6). Указанный факт обусловлен тем, что формулы
(3.19) и (3.12) определяются также и решением уравнения
(3.30) при т = 0 и т=1 соответственно. Вспоминая, наконец,
что в работах [26, 68] (с данными которых проводилось сопо-
ставление) исследовалось поле концентрации вокруг сфериче-
ской капли, обтекаемой поступательным стоксовым потоком, а
исходное модельное уравнение (3.30) при zn=l описывает
распределение концентрации в окрестности передней критиче-
ской точки для этой же задачи, нетрудно понять, почему резуль-
тат решения имеющего ясный физический смысл модельного
уравнения (3.30) при т=1 оказывается лучше, чем результат
анализа более абстрактного уравнения (3.30) при т=0.
При т=2 из выражения (3.30) получаем приближенное
кубическое уравнение для среднего числа Шервуда
Sh8 — 2й0 </0> Sh — Sh08 = 0. (3.31)
Прямое сопоставление показывает, что максимальное раз-
личие между значением Sh, вычисленным по формуле (3.12),
и корнем уравнения (3.31) наблюдается при Sho(2^i)<ft)>)-1/2=
= 0,8 и составляет 7,1%. Кроме того, использование (3.31) при-
водит к более низким значениям среднего числа Шервуда, чем
формула (3.12). Сравнение с результатами [26, 68], полученны-
ми в приближении диффузионного пограничного слоя, показы-
вает, что для объемной химической реакции первого порядка
максимальная погрешность приближенного кубического урав-
нения (3.31) не превышает 1%.
На рис. 3.4 приведено сравнение корня приближенного алге-
браического уравнения (3.30) при т — 0, 1, 2 — формулы (3.19),
(3.12), (3.31) соответственно. Точками обозначены данные
работы [26], полученные для объемной химической реакции
первого порядка. Видно, что в данном случае результаты ре-
шения уравнения (3.30) при т=1 и т=2 (второй тип модель-
87
Рис. 3.4. Сравнение корня
приближенного алгебраи-
ческого уравнения (3.30):
/п=0; 1; 2 — по формулам (3.19),
(3.12), (3.31) соответственно;
точки — данные [26]
ной задачи) имеют
весьма хорошую точ-
ность; значительно
большая погрешность
получается при исполь-
зовании первого типа
модельной задачи
(3.30) при /п=0.
Следует отметить,
что конечные резуль-
таты применения интегрального метода (после использования
процедуры асимптотической коррекции), во-первых, привели к
точному выражению при т=0 и, во-вторых, не зависят от кон-
кретного выбора профиля концентрации <р = <р(х), вследствие
чего в исходном уравнении для локального потока (3.25) обе
константы Ат и В можно положить равными единице.
3.4. нестационарный конвективный массо-
И ТЕПЛОПЕРЕНОС К КАПЛЕ ИЛИ ТВЕРДОЙ ЧАСТИЦЕ
Рассмотрим нестационарный конвективный массоперенос к ре-
агирующей в диффузионном режиме твердой или жидкой сфе-
рической частице, обтекаемой установившимся ламинарным
потоком несжимаемой (вязкой или идеальной) жидкости. В без-
размерных переменных уравнение конвективной диффузии и
граничные условия (в предположении полного поглощения
растворенного в потоке вещества на поверхности частицы и по-
стоянства концентрации вдали от нее) имеют вид:
дс —
-^- + Pe(v.V)c = Ac; (4.1)
г = 1, с = 1; г---> оо, с 0; (4.2)
с=(С00-С)/С00; % = D//a».
При записи краевой задачи считалось, что при /<0 (t — вре-
мя) концентрация в окружающей жидкости была постоянна и
равна Св» а потом внезапно (скачком) началась реакция на
поверхности капли или частицы.
Для анализа задачи (4.1), (4.2) применим метод модельных
уравнений. В качестве одномерного аналога исходной краевой
задачи используем следующие уравнения и граничные условия:
дс п *т дс д*с
дт —Ре£ ~ д? ;
т = 0, с = 0; g = 0, <•=!; £---> оо, с---► 0. (4.4)
т = 0, с = 0;
(4.3)
88
При т=0 уравнение (4.3) является абстрактным модель-
ным уравнением первого типа. При т=1 и т=2 уравнение
(4.3), с точностью до очевидных переобозначений (см., напри-
мер, разд. 3.3), описывает распределение концентрации в ок-
рестности передней критической точки соответственно сфери-
ческой капли и твердой частицы, обтекаемых поступательным
стоксовым потоком при больших числах Пекле (что отвечает
модельным уравнениям второго типа).
Построим сначала приближенное решение задачи (4.3), (4.4)
интегральным методом. Для этого проинтегрируем уравнение в
частных производных (4.3) по координате £ от 0 до :оо.
В результате получим
со
(дс \ / ч (* дс
(4-51
о
где коэффициент определен в (3.21). Распределение кон-
центрации ищем в виде
с = ф(£/6), 6 = 6(т), (<р(0) = 1, ф(оо) = 0; 6 (0) = 0), (4.6)
где функция <р=ф(х) задана, а зависимость толщины диффу-
зионного пограничного слоя от времени б=б(т) должна опре-
деляться в ходе решения задачи.
Подстановка выражения (4.6) в интегральное тождество
(4.5) после элементарных преобразований приводит к следую-
щему обыкновенному дифференциальному уравнению для S (т):
46
6-5Г=-ЛгоРе6"»+1 + В, 6(0) = 0. (4.7)
Здесь константы Ат и В вычисляются по формулам
. 7(w) д_ 1 ldfp\
Лт~ /(1) ’ а~ 7(1) I dx I •
‘ \ >х=0
где интегралы Z(TO> (m=0, 1, 2) определяются по (3.23).
При т=0 решение задачи (4.7) может быть представлено
в неявном виде:
~ХРё“ (ЛтРе)« 1п(1“-1 8)=т- (4.8)
При т=1 для решения задачи (4.7) имеем:
о ! В л1/2
8 = ) f1 ~ ех₽ (-2ЛтРе т)11/8 •
(4.9)
При т=2 решение задачи (4.7) весьма громоздко и здесь
опускается.
Рассмотрим сначала наиболее важный случай — ти=1. Ис-
пользуя выражение (4.9), с учетом соотношения (3.24) полу-
89
чаем следующую формулу для локального диффузионного
потока:
/ = Е У₽е [1 — ехр (—2ДтРе т)]"1/2,
Устремляя теперь т к бесконечности, из (4.10) для соответ-
ствующего стационарного значения имеем
/st = £,yPc, (/st = lim /). (4.И>
Т->оо
В другом предельном случае (т->0) из формулы (4.10) нахо-
дим
/о = Е I/Рё (2ЛП!Ре t)-V2 (Т -> 0). (4.12>
Исключая теперь из асимптотик (4.11) и (4.12) число Ре и
время т через jst и /0 и подставляя их далее в выражение (4.10),
получаем связь между локальными потоками:
///st = [1 - exp (-/2st//o2)]-1/2 • (4.13)
Отсюда, в силу принципа аналогии, приходим к следующей
формуле для среднего числа Шервуда:
Sh/Shst = [1 - exp (-Sh2st/Sh02)]~V2 (Shst = lim Sh). (4.14)
Т—оо
Учтем теперь, что при т->0 вторым (конвективным) членом
в левой части исходного уравнения в частных производных
(4.1) можно пренебречь, а лапласиан в правой части уравне-
ния приблизительно можно заменить на Д«д2/дг2. Решение
полученного таким образом «укороченного» уравнения хорошо
известно и дает следующую асимптотику для среднего числа
Шервуда:
Sh0 = l/VivF, (т----->0). (4.15)
Используя то, что асимптотика (4.15) справедлива для кап-
ли и твердой частицы любой формы ([среднее число Шервуда
в этом случае следует определять по формуле (3.13)] и под-
ставляя ее в выражение (4.14), окончательно имеем:
Sh/Shsf = [1 — ехр (—nShst2T)]-1/2 (при т = 1). (4.16)
«Обрабатывая» теперь другую исходную формулу для ло-
кального потока [(4.8), соответствующую приближенному ре-
шению модельного уравнения первого рода (4.3) при /п = 0]
аналогично тому, как это делалось при выводе выражения
(4.16), для среднего числа Шервуда получим
— nShst2 [-sr-+ 1п (! SF’)] = T (пРит = °)- (4.17)
Следует подчеркнуть, что конечные формулы (4.16) и (4.17),
как и ранее, не зависят от коэффициентов Ат и В, т. е. инва-
90
риантны относительно выбора профиля концентраций (4.6) или,
иными словами, для любых функций ф=ф(х) конечный резуль-
тат один й тот же. Сказанное означает, что коэффициенты диф-
ференциального уравнения толщины диффузионного погранич-
ного слоя (4.7), как и коэффициенты алгебраических уравнений
(4.8) и (4.9), для простоты без ущерба можно было положить
равными единице (Ат=В=\). То же в равной степени относит-
ся к алгебраическому уравнению для локального диффузион-
ного потока (4.10).
Нетрудно построить и точное решение модельной задачи
(4.3), (4.4) при /п=0— см. формулу (4.45) гл. 4. Однако конеч-
ные результаты в этом случае настолько громоздки и неудоб-
ны, что соответствующую приближенную формулу для средне-
го числа Шервуда не представляется целесообразным исполь-
зовать для практических целей.
Покажем теперь, как можно найти точное решение модель-
ной задачи второго рода (4.3), (4.4) при т=\. Решение урав-
нения (4.3), как и прежде, ищем в виде (4.6), где обе функции
ф=ф(х) и 6 = 6(т) подлежат определению в ходе решения за-
дачи. В результате подстановки выражения (4.6) в уравнение
(4.3) после элементарных преобразований имеем
Неизвестную функцию 6=6 (т) выбираем так, чтобы она
удовлетворяла обыкновенному дифференциальному уравнению
первого порядка
6-^--}-Ре6’ = 2, (4.19)
где вместо числа 2 в правой части можно взять любую другую
положительную константу. Учитывая, что левая часть уравне-
ния (4.19) совпадает с выражением, стоящим в круглой скобке
в левой части (4.18), для определения функции ф получаем
следующее обыкновенное дифференциальное уравнение второго
порядка:
Из начальных и граничных условий (4.4) с учетом пред-
ставления (4.6) следует, что неизвестные функции ф и 6 долж-
ны удовлетворять условиям
<р(0) = 1, ф(4-оо) = 0, 6(0) = 0. (4.21)
Решение уравнений (4.19), (4.20) с граничными и началь-
ными условиями (4.21) определяет нестационарное распределе-
ние концентрации в окрестности передней критической точки
капли (/п=1) в виде
c = erfc(£/6), 6 = (2/Pe)V2[l—ехр(—2Рет)р/а. (4.22)
91
Из этой формулы находим зависимость локального диффу-
зионного потока от времени:
/ = (2Ре/л)!/2 [1 — exp (—2Ре t)]-V«. (4.23}
Исключение асимптотик при т->-0 и т-из этого выраже-
ния приводит в конечном итоге к формуле для среднего.числа
Шервуда (4.16), выведенной ранее приближенным интеграль-
ным методом с последующим применением принципа аналогии.
Это нетрудно понять, если учесть, что приближенное решение
искалось в том же виде, что и точное (4.6) (в первом случае
профиль концентрации задавался произвольно, а во втором на-
ходился в процессе решения задачи), и окончательный резуль-
тат не зависит от выбора профиля <р = ф(х). Поэтому подстанов-
ка в частном случае точного профиля <p = erfcx при т=1 в ин-
тегральное тождество (4.5) приводит к тому же конечному вы-
ражению.
Приближенная зависимость (4.16) среднего числа Шервуда
от времени носит достаточно общий характер и может быть ис-
пользована для расчета нестационарного массо- и теплообмена
твердых частиц, капель и пузырей любой формы [в общем слу-
чае среднее число Шервуда определяется по формуле (3.13)]
в потоках различной геометрии при больших числах Пекле.
На рис. 3.5 приведено сопоставление приближенного выра-
жения (4.16) (сплошная’ линия) с результатами, полученными
[34, 77, 148, 166, 188] в приближении диффузионного погранич-
ного слоя для случая сферической капли умеренной вязкости,
обтекаемой поступательным [77, 148, 188] и осесимметричным
линейным сдвиговым потоком [34] (соответствующие результа-
ты очень слабо различаются и представлены одной штриховой
линией), а также для поступательного стоксова обтекания твер-
дой сферической частицы [166] (штрих-пунктирная линия).
В выражении (4.16) вспомогательное стационарное значение
среднего числа Шервуда Shst для поступательного потока дает-
ся равенствами Shst=Shs (для капли) и Shst = Shoo (для твердой
сферы), где величины Shs и Sh«, определены в формуле (2.1)
гл. 1. Для осесимметричного линейного сдвигового обтекания
капли или твердой сферы в форму-
ле (4.16) следует принять Shst=
= Sh9 или Shst = Sh«,, где парамет-
ры Shs и Shoo даются равенствами
(5.11). Из рис. 3.5 видно, что мак-
симальная погрешность приближен-
ной формулы (4.6) в этих случаях
составляет около 10%.
Необходимо подчеркнуть, что, в
Рис. 3.5. Зависимость числа Шервуда от
времени:
/ — по формуле (4.16); 2 — по данным [34, 77, 148,
188]; 3 — по данным [166]
92
отличие от формулы (4.16), результаты [77, 148, 166, 188] не
представляются в простой аналитической форме, удобной для
непосредственного практического использования. Для практиче-
ских целей в рассматриваемых здесь и аналогичных нестацио-
нарных задачах при вычислении среднего числа Шервуда сле-
дует пользоваться более точной приближенной формулой (4.7)
гл. 2 (выведенной ранее на основе соответствующей асимпто-
тической обработки результатов работы [34]), погрешность
которой составляет менее 4,5%.
3.5. ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ФОРМУЛ
ДЛЯ ЧИСЛА ШЕРВУДА ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ ПЕКЛЕ
ВО ВСЕМ ДИАПАЗОНЕ ИЗМЕНЕНИЯ ВЯЗКОСТЕЙ ФАЗ
Рассмотрим стационарную конвективную диффузию к поверх-
ности сферической капли радиуса а, обтекаемой поступатель-
ным стоксовым потоком со скоростью Ux. Считается, что на по:
верхности капли происходит полное поглощение растворенного
в жидкости вещества, концентрация которого вдали от капли
постоянна и равна С». В безразмерных переменных, в сфериче-
ской системе координат г, 0, связанной с каплей, соответствую-
щая краевая задача имеет вид:
Ре / 5ф дс dty дс \ дгс
sine \ 59 +"дГ de)=5|2’ * = г —1; (5.1)
^ = 0, с=1; 5----► оо, с---► 0; 0 = 0, 5с/50 = О; (5.2)
Ф = 1МР)£ + ^ (р) 52]sin2 0;
1 ЗР+ 2
= 2 (Р + 1) ’ = 4 (Р + 1) : <5,3>
с=(С„-С)/С„; Ре = aUK!D.
Последнее граничное условие в (5.2) является следствием осе-
вой симметрии задачи; угол 0 отсчитывается от передней крити-
ческой точки поверхности капли по направлению потока.
Здесь вместо точного выражения для функции тока ф, соот-
ветствующего решению Адамара — Рыбчинского [162]
= [г~4~ р+1 (1 + ~7~) sin29, (5,4)
взято его двучленное квадратичное разложение по £ вблизи по-
верхности капли (5.3). Предельный переход при £->-оо в (5.4)
приводит к формуле Стокса, описывающей течение вокруг твер-
дой сферы.
Решения, полученные в приближении диффузионного погра-
ничного слоя (Ре^>1) в [76], соответствуют значениям М =
=М(Р), %2 = 0 (для капли умеренной вязкости ^ = 0(1)) и М = 0,
%2 = 3/4 (для твердой сферы 0 = оо). Ввиду того, что %i(fi) ->-0
93
при 0->-оо учет второго члена в разложении тока (5.3) необхо-
дим для получения искомых соотношений, равномерно-пригод-
ных по параметру 0 при больших числах Пекле Ре>1. Точное
аналитическое решение задачи (5.1) — (5.3) отсутствует.
В случае линейного осесимметричного сдвигового потока для
аналогичной стационарной задачи распределение концентрации
вне капли описывается уравнением (5.1) и граничными усло-
виями (5.2); функция тока имеет вид [30]:
/ 1 58 4-2 3 0 1 \
,|’=(г8~Т 0 + 1 + ~2 “0+Т ~Г)sin20cos0~
~ (М + ^sV) sin2 0 cos 0; (5.5)
*1 = 3/(0+1), = 3 (40 + 1)/(0 + 1), Pe = a!G/D, £ = г-1,
где G — коэффициент сдвига. В уравнении (5.1) следует исполь-
зовать квадратичное разложение функции тока по £ вблизи по-
верхности капли, приведенное в (5.5); там же выписана и пол-
ная функция тока, полученная Тейлором. Видно, что в этом слу-
чае коэффициенты разложения обладают теми же свойствами,
что и для поступательного потока: Ига М(0) =0 и О<Хг(0)<
р->оо
-<оо при О^0^оо. Из этого следует, что для получения фор-
мул, позволяющих вычислять среднее число Шервуда во всем
диапазоне изменения отношения вязкостей капли и окружаю-
щей жидкости здесь также необходимо учитывать оба члена в
разложении функции тока при £->-0, см. (5.5).
Покажем сначала, что задачи (5.1) — (5.3) и (5.1), (5.2),
(5.5) имеют параметр подобия. Для этого, введя новую про-
странственную переменную
r = [X1(0)Pep/2g, (5.6)
перепишем задачи (5.1) —(5.3) и (5.1), (5.2), (5.5) в следую-
щем эквивалентном виде:
1 / dip дс dtp дс \ d2c .
‘siTTo' \ “ "W + W ~дв / = аг2 ’
У = 0, с=1; Г --------->-00, с --->- 0; (5.7)
f = (Y + QK2) f (0), Q = 12 (0) [V (0) Pe]-V2>
[ sin2 0—для поступательного потока,
I sin2 0cos 0—для сдвигового потока.
Коэффициенты %i(0) и Хг(0) для поступательного и сдвигового
потоков определены соответственно в выражениях (5.3) и (5.5).
Из уравнения (5.7) с учетом (5.6) следует, что безразмер-
ный локальный диффузионный поток на поверхность капли и
среднее число Шервуда могут быть представлены в форме
j = - (dctdl). 0 = ]/Х1(0) РеЙ0, Q);
5 (5.8)
Л
Sh = j* sin 0/d0 = “04 (0) Ре Sh (Q).
b
*94
Из выражений (5.8) видно, что распределения локального
потока по поверхности капли и средние числа Шервуда, харак-
теризующиеся различными значениями 0 и Ре, при одинаковых
значениях параметра Q оказываются подобными.
Покажем теперь, что решение задачи (5.1) — (5.3), а также-
(5.1), (5.2), (5.5}, слабо зависит от вида функции %2=МР)-
Действительно, так как в рассматриваемом случае Ре^>1, то-
при значениях р^Ре'/3, которым соответствует @<С1, вторым
членом разложения функции тока по | в уравнении (5.7) мож-
но пренебречь. Это приводит к известному погранслойному ре-
шению для капли умеренной вязкости [76], которое вообще не-
зависит от коэффициента %г(Р). Необходимость учета членов,,
включающих зависимость от %2> т. е. от параметра Q, появляет-
ся лишь при больших значениях р: р~Ре1/3 или р;>Ре1/3 (т. е.
при Q~1 или Q 1), когда, как следует из явного вида зави-
симости Хг(Р) [см. формулы (5.3) и (5.5)], оказывается спра-
ведливым соотношение %2(Р) »%2(°°)• _
Из сказанного ясно, что для параметра подобия Q, фигури-
рующего в формулах (5.8), можно использовать выражение
Q = M~)[W)Pel-1/2, (5.9>
которое отличается от (5.7) заменой коэффициента Хг(Р) на
%2(°°), что соответствует такой же замене %2(Р) на %2(°°) в ис-
ходных двучленных разложениях функций тока вблизи поверх-
ности частицы (5.3) и (5.5).
Выражения (5.8), (5.9) выявляют простую связь между
средними числами Шервуда Sh = Sh(p, Ре)
ShlPe^PQ Г Р^1 (1 + Ра) 11/2 ти Pei1/8 _ Ре218]
Sh(Pea,₽2) -[Ре,(1 + ₽1) J Р1+1 “₽*+!’ ( ’ '
справедливую как для поступательного, так и для сдвигового-
потока.
Точное аналитическое решение задач (5.1) — (5.3) и (5.1),
(5.2), (5.5) при О^р^оо отсутствует^ В предельных случаях
капли умеренной вязкости р <С Ре1/3 (Q 0) и твердой сферы
р = оо (()->-оо) асимптотические решения этих задач были по-
лучены в работах [76, 28]. Для поступательного стоксова пото-
ка соответствующие средние числа Шервуда даются формула-
ми (2.1) гл. 1, а для осесимметричного линейного сдвигового-
течения — выражениями [28]
Р = О(1), Sh---► Shp; р -----> оо, Sh ---Sh«,; (5.11>
Г ЗРе I1/8 , a2G
%=[МГПГ] : Sh^ = 1,22 Ре1/8; Ре = —.
Для получения приближенного аналитического решения за-
дач (5.1) —(5.3) и (5.1), (5.2), (5.5) воспользуемся методом мо-
дельных уравнений. Будем рассуждать следующим образом.
В окрестности передней критической точки капли 0~О*
в силу равенств ф(£, 0)=0 и (дс/дв)в=о=0 вторым членом в ле-
95-
вой части уравнения (5.1) можно пренебречь. При этом (5.1)
вырождается в обыкновенное дифференциальное уравнение
(2.25), и соответствующая задача записывается в следующей
форме:
de d2c
-2Ре [Хх (£) £ + X, Ш21 -rff = jp-. (5.12)
5 == 0, с=1; £ --> ооt с -> 0.
Коэффициенты Л1(£) и Лг(£) для поступательного потока опре-
делены в выражении (5.3), а для сдвигового течения — в фор-
муле (5.5). Решение задачи (5.12), как и исходных краевых
задач (5.1) — (5.3) и (5.1), (5.2), (5.5), слабо зависит от вида
параметра %2=А.2(£).
Естественно за модельное уравнение, соответствующее урав-
нению в частных производных (5.1), выбрать имеющее анало-
гичные предельные свойства по параметрам £ и Ре обыкновен-
ное дифференциальное уравнение (5.12), положив в нем
М₽)~М~). (5.13)
Задачи (5.12), а также (5.12), (5.13) подробно исследованы
ранее, в разд. 2.3. Там же получена связь (3.11) гл. 2 между
локальным диффузионным потоком / и его асимптотиками /s и
joo, соответствующими предельным случаям — £ = 0(1) и £ = оо.
Для получения искомого приближенного выражения сред-
него числа Шервуда на поверхность капли, как обычно, вос-
пользуемся принципом аналогии. Будем считать, что функцио-
нальная зависимость среднего числа Шервуда Sh от вспомога-
тельных чисел Shp и Shoo, которые определяются асимптотиче-
скими решениями исходной краевой задачи (5.1) — (5.3) или
(5.1), (5.2), (5.5) при £ = 0(1) и £ = оо (Ре^>1), аналогична
зависимости (3.11) гл. 2 для локальных диффузионных пото-
ков, соответствующих модельной задаче (5.12), (5.13), т. е.
справедлива формула
Sh Ул
ShR “ 2
со
j exp (—х2 — oQ3x3) dxj »
0
«—sip
(5.14)
Для поступательного потока в это выражение следует под-
ставлять асимптотики (2.1) гл. 1, а для сдвигового — асимпто-
тики (5.11). На рис. 3.6 сплошной линией показана зависимость
нормированного среднего числа Шервуда Sh/Shs от параметра
Q = Sh«>/Shs, полученная вычислением интеграла (5.14)
Из сопоставления (5.9) и (5.11) _нетрудно увидеть простую
связь между параметрами подобия Q = £>(£,Ре) и Q = Q(£,Ре):
У = const-Q3,
96
Рис. 3.6. Зависимость числа Шервуда от
параметра подобия:
/—с помощью интеграла (5.14); 2 — по уравне-
нию (2.6) первой главы
где константа не зависит от £ и
Ре. Более того, из приближенной
формулы (5.14) следует точное со-
отношение (5.10)—оно соответст-
вует точному решению погранслой-
ных задач (5.1) — (5.3) и (5.1),
(5.2), (5.5).
Приближенное выражение
(5.14) хорошо отражает поведение
среднего числа Шервуда во всем
диапазоне изменения параметра £: 0<£<оо. В частности, в пре-
дельных случаях при £=О(1) или £->со (Ре>1) для поступа-
тельного обтекания капли формула (2.1) гл. 1, где асимптоти-
ки Shs и Shro даны в (5.11), переходит в результаты [76], а для
сдвигового потока из формулы (5.14), (5.11) получаем данные
[28].
В работе [198] анализ погранслойного уравнения проведен
численным методом без линеаризации функции тока. Следует
учесть, однако, что для получения заданной точности при боль-
ших числах Пекле шаг сетки должен выбираться и существен-
но зависеть от параметров £ и Ре. При этом в соответствии со
сказанным выше о свойствах уравнения (5.1) при численном
исследовании задачи (5.1), (5.2), (5.4) в случае Ре»1 и 0<:
^£^оо параметр подобия Q необходимо положить в основу
выбора шага сетки (это не было сделано в работе [198], что и
привело к соответствующим погрешностям в расчете — см.
разд. 1.2). Формулы (5.10) в этом случае могут служить крите-
рием точности расчета.
Покажем теперь, как путем приближенного решения модель-
ного уравнения (5.12), (5.13) интегральным методом с после-
дующим использованием принципа аналогии можно получить
формулу (2.6) гл. 1, выведенную ранее другим способом. Для
этого проинтегрируем уравнение (5.12), (5.13) по £ от нуля до
бесконечности, считая, что величина с и все ее производные
экспоненциально стремятся к нулю при £->оо. В результате
после некоторых преобразований получим:
2 Ре
ОО
С ( de \
) [*! (£) + 2Х2 (оо) а а% = -
о
(5.15)
Как обычно, решение интегрального тождества (5.15) ищем
в виде (3.22), где профиль <р=<р(х) выбирают произвольно, а
постоянная б, соответствующая толщине диффузионного погра-
ничного слоя в передней критической точке капли, определяет-
7—1391 97
ся путем решения уравнения
*=о
(5.16)
где = т 1 хт_1ф (х) dx (т = 1,2)
Учитывая теперь, что локальный диффузионный поток / и
толщина диффузионного пограничного слоя 6 связаны соотно-
шением (3.24), т. е. локальный поток определяется правой
частью (5.16), приходим к следующему кубическому уравне-
нию для /:
j3 — 2Ре (Р) j — 2Ре а2Х2 (оо) =0,
= /(*) (—dcp/dx)"?x=0 - (5.17)
При Ре->оо из уравнения (5.17) имеем асимптотики
₽ = О(1),
/ -----► Jp = [2Ре ajXj (P)]i/2;
(5.18)
/ ---> =[2РеаЛ(оо)р/».
Р -----> оо,
Выражая из соотношений (5.18) параметры р и Ре через
/» и /к, и подставляя их в (5.17), получаем уравнение для ло-
кального диффузионного потока:
У3 —/₽*/ —Л» =0. (5.19)
Используя теперь для (5.19) принцип аналогии, приходим
к приближенному уравнению для среднего числа Шервуда
(2.6) гл. 1.
Следует подчеркнуть, что окончательный результат — фор-
мула (2.6) гл. 1 или уравнение (5.19) —не зависит от конкрет-
ного выбора профиля концентраций <р = <р(х) (3.22). Отметим
также, что из приближенного выражения (2.6) гл. 1 следует
точное соотношение для средних чисел Шервуда (5.10). Кроме
того, приближенное уравнение (2.6) гл. 1 или (5.14) можно ис-
пользовать для расчета массообмена капель несферической фор-
мы (например эллипсоидальной) произвольной вязкости при
больших числах Пекле.
Приближенная зависимость нормированного среднего числа
Шервуда Sh/Shs от параметра Q = Shoo/Shfi, полученная путем
вычисления интеграла (5.14), совпадает с корнем кубического
уравнения (2.6) гл. 1 с точностью до 1% (на рис. 3.6 эти кри-
вые практически сливаются в одну).
Если в модельном уравнении (5.12) не учитывать соотноше-
ние (5.13), то процедура построения приближенного решения
остается той же и на промежуточных этапах (5.15) — (5.17) со-
ответствует замене коэффициента Х2(°°) на 1г(Р)- Окончатель-
ное кубическое уравнение для среднего числа Шервуда при
98
этом несколько отличается от уравнения (2.6) гл. 1 и имеет
вид:
Sh« - Sh’₽Sh - Sh3M = 0. (5.20)
Следует отметить, что для поступательного стоксова обтека-
ния капли уравнение (5.20) было выведено похожим способом
в работах [189, 190]. Из приведенных ранее рассуждений ясно,
что уравнения (2.6) гл. 1 и (5.20) обладают одинаковой точ-
ностью. Уравнение (5.20) менее удобно для использования, так
как зависит от коэффициента Лг(р) и поэтому имеет разный вид
для поступательного и сдвигового потоков, а также для других
более сложных течений, т. е. обладает значительно меньшей
общностью, чем уравнение (2.6) гл. 1.
3.6. ДИФФУЗИЯ К КАПЛЕ ИЛИ ТВЕРДОЙ ЧАСТИЦЕ
ПРИ ЛЮБЫХ ЧИСЛАХ ПЕКЛЕ
Диффузия к капле (пузырю). Рассмотрим массообмен сфериче-
ского пузыря или капли умеренной вязкости с поступательным
стоксовым потоком. Математическая формулировка соответст-
вующей краевой задачи о распределении концентрации в сплош-
ной фазе описывается уравнением (3.1) при kv = Q с граничны-
ми условиями (3.2). Для компонент скорости жидкости вне кап-
ли следует использовать формулы Адамара — Рыбчинского
[162].
При выборе модельного уравнения необходимо учесть два
обстоятельства, которые имеют место в действительности.
Во-первых, ввиду условия непротекания радиальная компонен-
та скорости жидкости обращается в нуль на поверхности капли,
а ее производная отлична от нуля, т. е. справедливо соотно-
шение
vr = O(r—1) при г-----► 1. (6.1)
Во-вторых, вдали от капли скорость жидкости постоянна, что
записывается в виде
vr = O(l) при г----► оо. (6.2)
Простейшей функцией, удовлетворяющей условиям (6.1) и
(6.2), является функция
vr=(r — 1)/г. (6.3)
Потребуем также, чтобы модельное уравнение обеспечива-
ло правильный асимптотический результат в предельном слу-
чае малых чисел Пекле.
Учитывая сказанное и используя зависимость (6.3), получим
простейшее модельное уравнение
7* )
решение которого должно удовлетворять граничным условиям
г — 1, с ~ 1; г ------------------> оо, с----> 0. (6.5)
В правой части (6.4) стоит сферическая составляющая опе-
ратора Лапласа, поэтому при Ре=0 модельная задача (6.4),
(6.5) описывает распределение концентрации вне сферы в не-
подвижной среде, что соответствует точному результату.
Модельное уравнение (6.4) можно получить также следую-
щим образом. Сначала в уравнении конвективной диффузии при
сохранении конвективных членов пренебрегаем тангенциальным
диффузионным переносом по сравнению с диффузией в ради-
альном направлении (т. е. от оператора Лапласа сохраняется
только сферическая часть). В оставшемся укороченном уравне-
нии положим 0 = л, т. е. рассмотрим его в окрестности линии на-
текания (угол 0 отсчитывается от задней критической точки)
и учтем свойство (ve)e=«=0. В результате приходим к уравне-
нию (6.4), в левой части которого стоит радиальная компонен-
та скорости на оси потока, соответствующая формуле Адама-
ра — Рыбчинского для газового пузыря.
Замена w = r‘2dc!dr после однократного интегрирования (6.4)
позволяет получить
de
г2 — Аг^ ехр (—Ре г), А = const.
Повторное интегрирование этого выражения с учетом граничных
условий (6.5) приводит к следующей зависимости:
оо оо
с = J г V* 2 ехр (—Ре г) dr IJ г Ре 2 ехр (—Ре г) dr.
г 1 1
(6.6)
Дифференцируя формулу (6.6), находим локальный поток
__Ре Г (*— Ре—2 ~ — ,—) 1
е н I г ехр (—Ре г) dr
(6.7)
Произведя замену | = Рег в подынтегральном выражении
(6.7), локальный поток можно представить в следующем экви-
валентном виде:
реРе—1 е—Ре
>= Г (Ре — 1, Ре) ’ (6-8)
ОО
где Г (а, х)= f — неполная гамма-функция. При малых
X
числах Пекле формула (6.8) обеспечивает правильный резуль-
тат /0=1, а при больших имеет асимптотику
j<o=~^2Pe/n (Ре -----> оо). (6.9)
100
Исключая из выражений (6.8) и (6.9) параметр Ре и заме-
няя / на Sh (согласно принципу аналогии), получим искомую
приближенную зависимость
(6.10)
Зависимость (6.10) изображена на рис. 3.7 штриховой лини-
ей (численные значения неполной гамма-функции определялись
с помощью таблиц [91]). Сплошная линия соответствует рас-
четам по формуле (6.14) гл. 2, которая с хорошей точностью
коррелирует результаты численного решения полной краевой
задачи о массообмене сферического пузыря с поступательным
стоксовым потоком. Видно, что максимальное различие между
выражением (6.10) и формулой (6.14) гл. 2 составляет менее(
4,5%. Отметим, что в области Sh2oo^6,5 отличие между (6.10)'
и (6.14) гл. 2 менее 3,6% и монотонно уменьшается с увеличе-
нием параметра Sh«>.
Формулу (6.10) можно использовать также для определе-
ния среднего числа Шервуда на сферическую каплю умеренной
вязкости 3<1, движущуюся в жидкости при малых числах Рей-
нольдса.
Массоперенос к твердой частице. Исследуем теперь диффу-
зию к твердой сферической частице в поступательном стоксовом
потоке. Для выбора подходящего модельного уравнения необ-
ходимо учесть, что ввиду условия прилипания радиальная
компонента скорости жидкости квадратичным образом зависит
от расстояния вблизи поверхности сферы:
vr = O((r—1)2) при г —»- 1. (6.11)
Вдали от частицы (г—>-оо) должно выполняться условие (6.2).
Наиболее простая зависимость, обладающая свойствами
(6.2) и (6.11), имеет вид:
vr = ((r-l)/r)2. (6.12)
[Сравни формулы (6.3) и (6.12).]
Учитывая сказанное и рассуждая аналогично тому, как это
делалось ранее в случае пузыря, получим модельное уравнение
/г — 1 \2 de
( г j dr
—Ре
_1_____£
r2 dr
г2
(6.13)
de \
dr J ’
которое следует дополнить граничными условиями (6.5).
В предельном случае малых чисел Пекле модельная задача
(6.13), (6.5) обеспечивает правильный асимптотический ре-
зультат. Решение этой задачи может быть представлено в сле-
101
дующей форме:
сю оо
С— 2(Ре—1) Г _ /— 1 \ “I - / Г— 2(Ре—1) ч
с = I г ехр —Ре I г — — I dr / I г X
7 *
Г /- 1 \1 __
X ехр —Ре I г —-Гт-J dr. (6.14)
Дифференцируя формулу (6.14), находим локальный поток:
оо
( (’ 2(Ре П I / 1X1—)“^
/ = I г 1 ехр —Ре [ г------=И dr . (6.15)
IJ |_ \ г /J )
1
Асимптотика этого выражения при больших числах Пекле
имеет вид:
Q2/3
Jco = -f(1/3) Ре1/8 0,776 PeV3. (6.16)
Отметим, что формулу (6.16) проще всего вывести непосредст-
венно из анализа задачи (6.13), (6.5) при Ре->оо.
Исключая число Пекле из равенств (6.15), (6.16) с после-
дующей заменой величин / и /«, на Sh и Shoo, получим следую-
щую формулу для среднего числа Шервуда:
Sh = {Jr2(2,I4Sh3"~1)exp|—2,145Ь8да (г — -у-) \ (6.17)
I
Сопоставление с результатами численного решения полной
задачи о диффузии к сфере в поступательном стоксовом потоке
[20, 150] показывает, что максимальная погрешность прибли-
женного выражения (6.17) составляет около 9%.
3.7. МНОГОКОМПОНЕНТНАЯ ДИФФУЗИЯ
К РЕАГИРУЮЩЕЙ ЧАСТИЦЕ (НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИЙ
СЛУЧАЙ)
Метод модельных уравнений и аналогий можно успешно ис-
пользовать и в более сложных задачах, описываемых системой
уравнений в частных производных. В качестве примера рас-
смотрим многокомпонент-
ную конвективную диф-
фузию к обтекаемой ла-
минарным потоком жид-
кости реагирующей час-
тице при протекании на
ее поверхности неизотер-
Рис. 3.7. Число Шервуда для
пузыря в поступательном по-
токе:
1 — по формуле (6.14) гл. 2; 2 — по
формуле (6.10)
102
мической химической реакции, скорость которой произвольным
образом зависит от температуры и концентрации. Предполага-
ется, что частица нетеплопроводна, а реагирующие компоненты
присутствуют в достаточно малых концентрациях, так что на-
личие поверхностной химической реакции не влияет на пара-
метры потока и частицы; не учитывается также влияние термо-
и бародиффузии и т. п.
Безразмерные уравнения конвективной диффузии и тепло-
проводности, а также граничные условия, выражающие одно-
родность температуры и концентраций вдали от частицы, «за-
кон реакции» и баланс тепла на ее поверхности имеют вид:
Pem • V) cm = где m = 1,2,..., M; (7.1)
PeT (v-'V) T = ДТ; (7.2)
Г > oo, cm ► 0, T ► 0; (7.3)
Г = 1, — kmsfms (T, Clt . .., Cm) , (7.4)
M
r = 1, or v dcm dr - m dr • zn=l (7.5)
Здесь связь
размерными
формулам
между
переменными
исходными размерными и введенными без-
осуществляется по
и параметрами
С’т» Ст
ст — р ,
и/Поо
Рет = -г-,
Л
Т„ -Т„
Т*> ’
. __ „ РтРт«>
пт — “т ну
а[/
Рет — п
ит
Т =
ktnJmslJ'> ci, • • •> см) = р q Fms(TОь• • • , См)»
где Ст и Т* — концентрации реагентов и температура в потоке;
Ст<х> и Too — невозмущенные концентрации и температура на бес-
конечности; Рег и Рет — тепловое и диффузионные числа Пек-
ле; Dm — коэффициенты диффузии; к и % — коэффициенты тем-
пературопроводности и теплопроводности смеси; Нт и kmsFms —
теплота и скорость реакции т-го компонента; М — число ве-
ществ, участвующих в реакции; а — радиус частицы; U — ха-
рактерная скорость потока.
Соответствующая (7.1) — (7.5) модельная задача первого
рода имеет вид:
d2cm „ dcm „ d2T „ dT
dl2 +Pem dl ~0’ d%2 + Pe7’ dg =0; <7-6)
§ ---► 00, Cm ----------> О, T --------► 0; (7.7)
M
6 = 0, -^-kmsfmstT.C!,...,^), <7-8)
103
Решение уравнений (7.6), удовлетворяющих граничным ус-
ловиям на бесконечности (7.7), дается выражениями
Ст = Ат ехр (—РеотЭ, Т = В ехр (—Рег|). (7.9)
Неизвестные постоянные Ат и В определяются из граничных
условий «на поверхности частицы» (7.8):
м
РетАт = kmsfms(B> А1г..Ам), В Рву = ДтРет. (7.10)
т— 1
Из формул (7.9) получим выражения для локальных диффу-
зионных и теплового потоков:
/т = ЛтРет, /г = ВРег. (7.11)
Учтем, что значения Ат=В=1 в (7.9) соответствуют чисто
диффузионному (тепловому) режиму реакции на «поверхности
частицы», т. е. решению уравнений (7.6) с граничными условия-
ми на бесконечноети (7.7) и простейшими линейными гранич-
ными условиями при £=0:
g = 0, ст=1, Г=1. (7.12)
Решение задачи (7.6), (7.7), (7.12) в этом случае распадается
на решение (Л<+1) независимых однотипных задач, которые
различаются лишь величиной параметров Рет и Рег. Полагая
в формулах (7.11) значения Лт=В = 1, для чисто диффузионно-
го режима получаем:
/т«о=Рет, /Тоо=РеТ- (7.13)
Исключая теперь из выражений (7.10) путем использования
равенств (7.11) и (7.13) постоянные Ат, В и величины Рет,
Рег, приходим к следующим уравнениям для локальных по-
токов:
1т— iT •
\ jTqo Jiao
1м
JMqo
M
iT = ^hmjm. (7.14)
m=l
Отсюда, в силу принципа аналогии, получаем систему ал-
гебраических (трансцендентных) уравнений для определения
средних чисел Шервуда и Нуссельта:
о. . , / Nu Sht Sh^ \
Sbm-Nlloo , sh100 ’•••’ SbM<J’ («»-
(7.15)
м
Nu = 2AmShm.
m—l
Следует отметить, что для определения вспомогательных чи-
сел Шервуда Shmoo и Нуссельта Nu«> в (7.15) достаточно знать
решение одной линейной краевой задачи (2.1), (2.2), (2.6) во
всем диапазоне чисел Пекле 0^Ре<оо; при этом величины
104
Shmoo и Nuoo вычисляются по формуле (2.5) при Ре = Рет и
Ре = Per соответственно.
Из результатов работ [97, 99, 179] следует, что система
(7.15) является асимптотически точной при малых числах Пек-
ле для поступательного [99, 179] и сдвигового [97, 179] обте-
кания сферической частицы (для любых функций fms).
3.8. ПОЛУЧЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ СООТНОШЕНИИ
ДЛЯ ЛОКАЛЬНОГО ДИФФУЗИОННОГО ПОТОКА
Метод модельных уравнений с успехом может быть использо-
ван также и для вывода приближенных выражений для распре-
деления локального потока по поверхности тела. Для этого сле-
дует слегка модифицировать описанную в разд. 3.1 схему на
заключительном этапе после получения выражения (1.2) путем
решения соответствующей модельной задачи. А именно, ис-
пользуем теперь принцип аналогии в локальной форме — т. е.
будем считать, что функциональная зависимость локальных
диффузионных потоков j=j(t); k, р) и /оо=/(л; о®, р) (где г| —
продольная координата, отсчитываемая вдоль поверхности тела)
аналогична зависимости (1.2):
С(/,/»,*) = 0. (8.1)
Отметим, что интегрирование формулы (8.1) по поверхности
частиц приводит к вообще говоря отличному от выражения
(1.3) результату для среднего числа Шервуда. Так как прибли-
женная формула (1.3) носит чисто алгебраический характер и
сразу приводит к искомой зависимости, то в задачах о конвек-
тивном массообмене капель, частиц и пузырей, ее предпочти-
тельнее использовать по сравнению с выражением (8.1), кото-
рое требуется далее дополнительно интегрировать, что порой
значительно усложняет выкладки.
Указанную разновидность метода модельных уравнений сле-
дует применять в тех задачах, когда краевые условия выставля-
ются на неограниченной поверхности. Такие ситуации возника-
ют, например, при массообмене плоской пластинки с потоком
или течении в трубе.
Проиллюстрируем сказанное на примере массопереноса к
плоской пластинке, продольно обтекаемой поступательным по-
током вязкой несжимаемой жидкости при больших числах Рей-
нольдса (течение Блазиуса), при протекании на ее поверхности
гетерогенной химической реакции произвольного порядка. Со-
ответствующая нелинейная краевая задача описывается урав-
нением и граничными условиями (2.1) — (2.4) при г=£—1,
где £ — поперечная координата. Учтем, что необходимое для
дальнейшего распределение безразмерного локального диффу-
зионного потока для диффузионного режима реакции дается
выражением [76]
=0.339Rei/2ScV»n-i/2, (8.2)
105
где Re=at/«,/v— число Рейнольдса; Sc=v/D — число Шмидта;
Ux — скорость невозмущенного потока на бесконечности; v —
кинематическая вязкость жидкости; т)=х/а (х— расстояние,
отсчитываемое вдоль пластинки от передней кромки; а — вели-
чина, имеющая размерность длины, которая в данном случае
может быть выбрана произвольно).
В качестве модельной вспомогательной задачи, фигурирую-
щей в методе модельных уравнений, используем задачу о рас-
пределении концентрации в окрестности передней критической
точки капли или твердой частицы, которая подробно была рас-
смотрена ранее в разд. 2.2. В обоих случаях после исключения
числа Пекле через асимптотику /«, для локального потока имело
место одно и то же алгебраическое уравнение (2.10) гл. 2. Учи-
тывая принцип аналогии после подстановки формулы (8.2) в
выражение (2.10) гл. 2 для поверхностной химической реакции
произвольного порядка получаем уравнение
/ = ^(1—/-Г, ks=-^-C^-\ (8.3)
где Ks — константа скорости поверхностной реакции; С«, — не-
возмущенная концентрация вдали от пластинки; зависимость
/со от продольной координаты определяется выражением (8.2).
Распределение безразмерной поверхностной концентрации с$ =
= (С/С<х>)б=о пересчитывается по формуле
с$=1—(8.4)
Рассмотрим теперь конвективный массоперенос внутри круг-
лой трубы (течение Пуазейля), на поверхности которой проис-
ходит гетерогенная химическая реакция. В качестве модельной
вспомогательной задачи, как и ранее, используем задачу о рас-
пределении концентрации в окрестности передней критической
точки частицы. Это приводит к тому же алгебраическому урав-
нению для локального диффузионного потока (8.3), где для
предельного потока /то имеем [168]:
= О.бГвРе!/»,)-!/», ре = а£/0/О, (8.5)
Здесь а — радиус трубы; Uo= (a2Ap)/(4p,L)—максимальная
скорость в центре трубы; Др — перепад давления на длине L;
р, — динамическая вязкость жидкости; т\=х/а, х — расстояние от
начала трубы.
Интересно отметить, что точно такие же приближенные урав-
нения для локального диффузионного потока (8.2), (8.3) и
(8.3), (8.5) можно вывести при помощи метода локальной рав-
нодоступной поверхности, предложенного в [129]. Следует под-
черкнуть, однако, что метод модельных уравнений является
значительно более общим и позволяет решать существенно бо-
лее широкий класс задач, чем метод равнодоступной поверхно-
сти, который предназначен исключительно для приближенного
анализа стационарных задач с поверхностной химической ре-
акцией.
106
В монографии [129] было проведено сопоставление прибли-
женных формул (8.2), (8.3) и (8.3), (8.5) с результатами точно-
го решения соответствующих погранслойных задач (которые
сводятся к интегральным уравнениям для поверхностной кон-
центрации согласно [137, 147]) для поверхностной химической
реакции порядков п= 1/2 и п=2. Из табл. 4 [129] следует, что
при п=1/2 максимальная погрешность приближенных формул
(8.2) — (8.5) для случая плоской пластинки по локальному
диффузионному потоку достигает 16,5% (по относительной кон-
центрации на поверхности (8.4) погрешность еще больше и со-
ставляет около 22,5%), а для трубы — около 12% (по относи-
тельной концентрации около 8,5%). При п=2 соответствующие
приближенные формулы были несколько более точными. Из
указанных сопоставлений следует, что точность локального ме-
тода равнодоступной поверхности, а также метода модельных
уравнений (точнее, его локальной модификации) сравнительно
невысока.
Необходимо отметить, что в задачах конвективного массо-
и теплообмена реагирующих капель и частиц с потоком исполь-
зование локальной модификации метода модельных уравнений
приводит к значительно более точным результатам при вычис-
лении среднего числа Шервуда. Это обстоятельство обусловле-
но тем, что хотя максимальная погрешность для локального
диффузионного потока сравнительно велика, соответствующая
«средняя» погрешность, возникающая в результате интегриро-
вания локального потока по поверхности частицы, значительно
меньше.
Проиллюстрируем сказанное на примере численного реше-
ния задачи конвективного массообмена твердой частицы с по-
ступательным потоком при наличии гетерогенной химической
реакции первого порядка, которое было проведено в работе [2].
В табл. 2 сопоставлены результаты расчета среднего числа
Таблица 2. Сопоставление точных и приближенных значений
относительного числа Шервуда r) = Sh (&$, Pe)/Sh (оо, Ре)
для массообмена твердой сферы с поступательным потоком
в случае поверхностной химической реакции первого порядка
Ре Re Sh (оо, Ре) ks Точный расчет [2] По формуле (8.3) По формуле (2.15)
Ч погреш- ность, % Ч погреш- ность, %
10 10 2,14 10 0,829 0,821 0,97 0,824 0,60
10 10 2,14 5 0,707 0,701 0,85 0,700 0,95
10 10 2,14 2,5 0,544 0,542 0,37 0,539 0,96
10 10 2,14 1 0,321 0,320 0,31 0,318 0,79
20 20 2,68 2 0,432 0,435 0,69 0,427 1,08
50 0,5 2,69 5 0,659 0,640 2,88 0,650 1,34
50 0,5 2,69 2 0,432 0,418 3,24 0,426 1,29
50 0,5 2,69 1 0,274 0,267 2,55 0,271 1,09
107
Шервуда по конечно-разностному методу решения соответст-
вующей краевой задачи о распределении концентрации в по-
токе и результаты применения приближенных формул (8.3)
[где локальный поток для диффузионного режима реакции /<»
также определяли численным методом [2], а среднее число
Шервуда вычисляли интегрированием предварительно разре-
шенного относительно / выражения (8.3) (при п=1) по поверх-
ности сферы] и (2.15) [где /« = 1—с, а величину Sh(oo, Ре) бра-
ли из табл. 2]. Видно, что локальная модификация метода мо-
дельных уравнений в данном случае дает очень хорошие ре-
зультаты для среднего числа Шервуда, погрешность которых,
впрочем, несколько больше, чем при использовании обычного
«усредненного» варианта. Данный пример показывает, что в за-
дачах о конвективном массо- и теплообмене реагирующих ка-
пель и частиц с потоком, по-видимому, более целесообразно
применять обычную схему метода модельных уравнений, кото-
рая была описана в разд. 3.1, так как она несколько точнее и
значительно проще соответствующей локальной модификации.
Для построения приближенных распределений локального
диффузионного потока по поверхности частицы можно исполь-
зовать также следующий простой прием. Пусть для какой-либо
одной конкретной задачи из рассматриваемого класса задач,
описывающих качественно сходные явления или процессы, по-
лучена зависимость среднего числа Шервуда, представленная
через его асимптотики, например (1.6) гл. 1. Если теперь в этой
формуле везде формально заменить SssSh на j, придем к при-
ближенному выражению для диффузионного потока, где соот-
ветствующие предельные локальные потоки /„р и /*«>, как всег-
да, следует определять путем асимптотического исследования
исходной краевой задачи при £->-оо и р^-оо (естественно, что
могут встретиться и другие предельные случаи).
Покажем теперь, как работает этот способ, на примере кон-
вективного массопереноса к плоской пластинке или круглой тру-
бе, осложненного объемной химической реакцией произвольно-
го порядка. Для построения приближенной зависимости ло-
кального диффузионного потока от продольной координаты т) и
безразмерных параметров задачи п, Ре воспользуемся ре-
зультатами разд. 1.3. В качестве исходного возьмем алгебраи-
ческое уравнение для среднего числа Шервуда (3.6) гл. 1, вы-
веденное для массообмена сферической частицы с ламинарным
поступательным потоком, в объеме которого протекает гомо-
генная химическая реакция n-го порядка. Заменяя в соответст-
вии с вышесказанным в (3.6) гл. 1 Sh на /, для локального диф-
фузионного потока получаем кубическое уравнение
<8-6)
в котором предельный поток у», соответствующий диффузион-
ному режиму массопереноса, для плоской пластинки следует
108
определять по формуле (8.2), а для круглой трубы — по фор-
муле (8.5). При выводе приближенного уравнения (8.6) было
учтено, что асимптотика локального потока j^p в рассматривае-
мых задачах определяется решением уравнения (1.5) гл. 2 с
граничными условиями (1.2) из гл. 2 при fv(c) =сп и дается вы-
ражением (1.8) гл. 2, где l/(n+1).
Приближенное уравнение для локального диффузионного
потока (8.6) справедливо и для произвольного обтекания твер-
дой поверхности любой формы ламинарным потоком при боль-
ших числах Пекле в случае объемной химической реакции /г-го
порядка. Для объемной химической реакции первого порядка
(и=1) уравнение (8.6) будет получено совершенно другим
способом в разд. 4.7.
Глава 4
АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МЕТОД
Известно, что решение линейных обыкновенных дифференциальных уравне-
ний с постоянными коэффициентами произвольного порядка подстановкой
у=е^х (где у — зависимая, а х — независимая переменная) сводится к реше-
нию алгебраических уравнений того же порядка для определения экспонен-
циального показателя Л. Такое однозначное соответствие между указанными
типами дифференциальных и алгебраических уравнений наводит на мысль об
использовании схожих идей для приближенного анализа существенно более
сложных нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэф-
фициентами.
В данной главе предлагается простой и эффективный аналитический ме-
тод исследования линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных
уравнений с переменными коэффициентами (а также уравнений с частными
производными), основанный на решении вспомогательных алгебраических
уравнений с последующим применением процедуры асимптотической коррек-
ции. Описан прием, позволяющий в уме выводить указанные вспомогатель-
ные уравнения. Предлагаемый метод получения приближенных соотношений
имеет достаточно стройную логическую основу: существует глубокая не-
формальная связь между этим методом и комбинацией методов асимптоти-
ческой коррекции и интегрального.
Алгебраический метод ввиду простых и формализованных правил дей-
ствия по существу является своеобразным «приближенным операционным
методом», по внешним признакам аналогичным тому, который широко при-
меняется для решения линейных дифференциальных уравнений с использо-
ванием интегрального преобразования Лапласа.
В книге метод иллюстрируется на примерах решения различных задач,
представляющих интерес в химической технологии, гидродинамике и теории
массо- и теплопереноса.
4.1. ОПИСАНИЕ МЕТОДА ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЯ
Прежде чем перейти к непосредственному изложению алгебраи-
ческого метода вывода приближенных соотношений, приведем
сначала некоторые достаточно простые соображения, послу-
жившие основой для его формулировки.
109
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Известно, что
решение линейных обыкновенных дифференциальных уравне-
ний с постоянными коэффициентами, например уравнения вто-
рого порядка
d2u dy ,, , v
+ = ° (₽,<7 = const), (1.1)
ищется в виде
у = ехр (—lx), (1.2)
что приводит к алгебраическому (квадратному) уравнению для
определения экспоненциального показателя X:
X2 — рХ+<? = 0. (1.3)
Корни уравнения (1.3) задают два линейно-независимых реше-
ния исходного уравнения (1.1).
Допустим, что выполняется условие q<0 и уравнение (1.1)
решается при следующих граничных условиях:
</(0) = 1, у(+~) = 0. (1.4)
Решение задачи (1.1), (1.4) дается выражением (1.2), где
Л — положительный корень квадратного уравнения (1.3). Ло-
кальный поток в точке х=0 в этом случае имеет вид
/’ = ~(dyldx)x=*<j = X. (1.5)
Из этого равенства следует, что алгебраическое уравнение (1.3)
по существу является уравнением для определения локального
потока.
Переформулируем теперь двухточечную краевую задачу
(1.1), (1.4) эквивалентным образом как задачу на собственные
значения. Для этого сначала сделаем растяжение независимой
переменной в уравнении (1.1) по формуле
Х = 1х. (1.6)
В результате получим
d2y „ dy
l*-^r + pl-^ + qy = 0. (1.7)
Решение уравнения (1.7), зависящего от параметра Л, ищем с
граничными условиями (1.4) и дополнительным условием типа
нормировки
Х = 0, dy/dX = — 1. (1.8)
Задача (1.7), (1.4), (1.8) эквивалентна (1.1), (1.4) и по су-
ществу (по внешним признакам) представляет собой задачу на
собственные значения. В ней помимо решения у=у(х) требует-
ся одновременно находить и собственное значение X, при кото-
ром это решение возможно, т. е. решение задачи существует
лишь при единственном, вполне определенном значении X. При
такой трактовке, в силу условия (1.8), локальный поток / бу-
110
дет в точности совпадать с этим собственным значением X из
Для иллюстрации основной идеи метода далее будем услов-
но считать, что точное решение задачи (1.7), (1.8), (1.4) неиз-
вестно. Кроме того, как всегда, будем полагать, что основной
подлежащей определению искомой характеристикой является
локальный поток, т. е. собственное значение %.
Для приближенного определения собственного значения X
можно поступить следующим простым способом, не решая диф-
ференциального уравнения (1.7). Проинтегрируем уравнение
(1.7) по X от нуля до бесконечности, предположив, что все ин-
тегралы сходятся. В результате получим
XM2 + Xp^ + ^o==O. (1.9)
Здесь функционалы Ат даются выражениями
ОО \
Ат = Ат (У) — j ( dXm 1 m ~ 0,1,2, (1.10)
где по определению d°y/dX°=y. Приближенное алгебраическое
уравнение для определения собственного значения к найдем из
интегрального тождества (1.9), (1.10), полагая в нем у=
— у(Х), где у — некоторая фиксированная заданная (пробная)
функция, удовлетворяющая граничным условиям (1.4), (1.8).
После этого вычисляем конкретные значения коэффициентов
Ат по формулам (1.10), и выражение (1.9) становится квадрат-
ным уравнением для получения искомого параметра К. Коэф-
фициенты этого приближенного уравнения далее следует уточ-
нить путем асимптотической коррекции, используя решения бо-
лее простых, чем исходная, вспомогательных задач (1.7), (1.8),
(1.4) в каких-либо двух предельных случаях (например, при
р—>0 и р—>оо).
Очевидно, что в рассматриваемом случае линейного уравне-
ния с постоянными коэффициентами указанная процедура при-
ближенного определения собственного значения % приведет к
точному результату (1.3).
Выделим два важных момента, которые нам понадобятся да-
лее. Из сопоставления дифференциального (1.7) и алгебраиче-
ского (1.9) уравнений следует, что последнее может быть полу-
чено формальной заменой всех дифференциальных членов и не-
известных функций некоторыми константами. Учтем, что ко-
нечный результат использования метода асимптотической кор-
рекции не зависит от конкретных значений коэффициентов Ат,
которые поэтому без потери точности можно не вычислять по
формулам (1.10) при заданном у=у(Х), а для простоты при-
нять равными Ат— ± 1.
Описанный простой способ вывода приближенного алгебраи-
ческого уравнения для локального потока (или, что то же са-
мое, собственного значения X) без труда обобщается на сущест-
111
венно более сложные нелинейные обыкновенные дифференци-
альные уравнения с переменными коэффициентами, точное ре-
шение которых неизвестно. Алгебраическое уравнение для ло-
кального потока может быть получено сразу из исходного диф-
ференциального уравнения путем следующей простой формаль-
ной процедуры. Вводится замена независимой переменной по
формуле (1.6), после чего все безразмерные определяющие па-
раметры задачи (для уравнения (1.1)—это р и q) и величина
1=/ фиксируются на своих местах, а остальные множители
(производные, функции и «растянутые» координаты) заменяют-
ся константами, которые без ограничения общности можно при-
нять равными единице.
Эта простая принципиальная схема позволяет существенно
экономить время и в уме выводить искомое приближенное ал-
гебраическое уравнение для локального потока. Она является
простым следствием интегрирования, полученного после растя-
жения (1.6) дифференциального уравнения по координате X в
пределах от нуля до бесконечности с последующим заданием
некоторого фиксированного распределения у=у(Х) и исполь-
зованием асимптотической коррекции найденного таким обра-
зом алгебраического уравнения. Погрешности, вносимые при та-
ком приближенном подходе, обусловлены тем, что точное реше-
ние исходной краевой задачи, полученной после замены (1.6),
вообще говоря, зависит не только от растянутой координаты X,
но и от безразмерных параметров задачи: у=у(Х; р, q).
В конкретных задачах химической механики и конвективно-
го массо- и теплопереноса, как обычно, для независимой пере-
менной будем использовать старое обозначение 1-=х(с=у),
и растяжение (1.6) будем проводить по формуле
6 = С//, (КП)
где уже учтена связь (1.5). При переходе от растянутого диф-
ференциального уравнения к алгебраическому все координаты,
функции и производные заменяем на +1, за исключением пер-
вой производной dyldt„ которую для удобства заменяем значе-
нием —1, что соответствует физическому смыслу, так как при
граничных условиях (1.4) справедливо неравенство d«//d£<0.
На рис. 4.1 показана схема использования описанного ме-
тода на примере уравнения (3.20) гл. 3, рассмотренного в
разд. 3.3. Из рисунка видно, что приближенное алгебраическое
уравнение для локального потока совпадает с уравнением
(3.25) гл. 3 при Ат = В=1. Процедура асимптотической коррек-
ции приводит оба уравнения к одному и тому же виду (3.28)
гл. 3, где асимптотики jOp и /«>₽ находятся (без труда) из реше-
ния исходного дифференциального уравнения в предельных
случаях kv -> 0 и -> оо.
Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение (5.12)
гл. 3, в котором Хг(^) заменено на К2(оо). Делая замену (1.11),
112
Рис. 4.1. Схема использования алгебраического метода (задача о массопе-
реносе в окрестности передней критической точки капли или твердой части-
цы, осложненным объемной химической реакцией)
получаем следующее уравнение:
(d2c) (de } 1 ( de 1
/2 + 2Ре Х1 (₽) (с + 2Ре (оо) -р J = 0. (1.12)
Заменяя теперь все члены этого уравнения в фигурных скоб-
ках на ± 1 (напомним, что первая производная заменяется на
—1), после умножения на / имеем алгебраическое уравнение
для локального потока
/»— 2Ре (Р) / — 2Ре (оо) = 0, (1.13)
совпадающее с (5.17) гл. 3 при ai = «2=l. После асимптотиче-
ской коррекции выражения (1.13) приходим к тому же куби-
ческому уравнению (5.19) гл. 3. Приведенное в разд. 3.5 со-
поставление корня приближенного уравнения (5.19) гл. 3 сточ-
ным решением показывает, что погрешность алгебраического
метода вывода приближенных соотношений в данном случае не
превышает одного процента.
Отметим важное обстоятельство: результаты исследования
уравнений (3.20) и (5.12) гл. 3, полученные в разд. 3.3 и 3.5 ин-
тегральным методом с последующим применением метода
асимптотической коррекции для уточнения коэффициентов,
в конечном итоге в точности совпадают с алгебраическими урав-
нениями для локального потока, выведенными описанным здесь
простым способом. Этот факт не случаен, так как в подавляю-
щем большинстве случаев алгебраический метод вывода при-
ближенных соотношений оказывается эквивалентным комбина-
8—1391 113
ции интегрального метода с методом асимптотической коррек-
ции (подробнее см. в разд. 4.3).
Далее (см. разд. 4.7) будет указан другой интересный гпо-
соб интерпретации алгебраического метода получения прибли-
женных соотношений, основанный на прямых оценках каждого
члена дифференциального уравнения, которые проводятся ана-
логично тому, как это делается в задачах гидродинамического
пограничного слоя.
Уравнения в частных производных. В тех случаях, когда не-
обходимо исследовать стационарные задачи пограничного
слоя, описываемые уравнениями в частных производных, пред-
ложенная процедура вывода приближенных алгебраических
уравнений для определения интегральных средних характери-
стик практически не меняется и остается такой же, как для
обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом случае
растяжение направленной по нормали к поверхности тела по-
гранслойной координаты | следует производить по формуле
(1.11), где локальный поток / в силу принципа аналогии можно
сразу заменить средним числом Шервуда, т. е. вместо (1.11)
положить g = £/Sh. После указанного преобразования оставляем
на местах безразмерные параметры задачи и искомую величи-
ну /, а остальные члены, как и ранее, формально полагаем рав-
ными ±1 (в зависимости от их знака). В итоге приходим к при-
ближенному алгебраическому уравнению для искомой величи-
ны Sh (или /), которое необходимо улучшить методом асимпто-
тической коррекции. Следует подчеркнуть, что здесь при выво-
де алгебраического уравнения дополнительная зависимость ко-
эффициентов уравнения и дифференциальных операторов от
продольных координат, направленных вдоль по поверхности
тела, не учитывается; утерянная таким образом информация
будет частично скомпенсирована далее в результате использо-
вания процедуры асимптотической коррекции, что приведет к
уточнению коэффициентов искомого приближенного уравнения
для коэффициентов массо- и теплопереноса.
Описанный применительно к уравнениям в частных произ-
водных алгебраический метод вывода приближенных соотно-
шений в ряде случаев эквивалентен последовательному выпол-
нению трех этапов: 1) формулируется вырожденная вспомога-
тельная задача о распределении концентраций (поля скоростей)
в окрестности особой критической точки натекания, описываемая
обыкновенным дифференциальным уравнением (т. е. по существу
на первом этапе рассматривается модельная задача второго
рода, см. разд. 3.1); 2) вспомогательная задача решается инте-
гральным методом; 3) полученная на промежуточном этапе
приближенная зависимость для локального потока переписы-
вается надлежащим образом через асимптотики, что при ис-
пользовании принципа аналогии приводит к искомому прибли-
женному уравнению для среднего числа Шервуда.
414
Следует отметить, что алгебраический метод вывода прибли-
женных соотношений с успехом может быть использован также-
для анализа нестационарных задач пограничного слоя и вообще
любых уравнений (и систем) в частных производных параболи-
ческого типа. Далее (см. разд. 4.3) предложены и обсуждены
применительно к исследованию нестационарных задач две воз-
можные модификации этого метода, приводящие к различным
качественным и количественным результатам.
Замечание. При получении приближенных алгебраических уравнений,
можно не учитывать знак первой производной. Иными словами, все опущен-
ные в исходном дифференциальном уравнении члены можно заменять только-
единицей (т. е. нет необходимости загружать память дополнительной инфор-
мацией). Последующая процедура асимптотической коррекции все равно ав-
томатически приведет к правильному результату. Например, опустив члены
дифференциального уравнения (1.12), стоящие в фигурных скобках, вместо
выражения (1.13) получим кубическое уравнение
j3 + 2РеX], (р) / + 2РеХ2 (оо) = 0. (1.14>
Здесь знак первой производной уже не учитывался. Устремляя в этом урав-
нении параметр р к бесконечности, получим
j\ = —2Ре Х2 (оо) (0 -> оо). (1.15}
В другом предельном случае при 0=0(1) с учетом неравенства Ре>1 при-
ходим к асимптотике
/р’ = -2РеХ1(Р) (₽ = О(1)). (1.16}
Исключая из выражений (1.15), (1.16) параметры Ре и р через величины /«,
и /, и подставляя их далее в формулу (1.14), получаем то же кубическое
уравнение (5.19) из гл. 3.
Для более ясного понимания деталей и возможностей алгеб-
раического метода вывода приближенных соотношений рас-
смотрим несколько примеров, представляющих практический
интерес.
4.2. РЕШЕНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ
ХИМИЧЕСКОЙ ГИДРОДИНАМИКИ
Массоперенос, осложненный объемной химической реакцией, при
турбулентном течении жидкости. Рассмотрим сначала следую-
щую краевую задачу для нелинейного обыкновенного диффе-
ренциального уравнения второго порядка с переменными коэф-
фициентами:
d Г de 1
dr[<1+^")-d|-]-Vz-(c) = 0; (2.1)
£ = 0, с=1; £---> оо, с ---> 0. (2.2)
При п=3 уравнение (2.1) описывает массоперенос, ослож-
ненный объемной химической реакцией, при турбулентном те-
чении жидкости вблизи стенок трубы [116, 189]. В этом част-
ном случае безразмерные параметры и переменные, фигурирую-
8*
115
щие в задаче (2.1), (2.2), вводятся посредством формул
. _ У „ _ _£_ . _ a2^(Cs) . . . _ Л>(0
ё- а ’ Cs > DCS ' 'v(c) ~ FV(CS) ’
где а — радиус трубы; у — расстояние, отсчитываемое от стенки
трубы; С и Cs — концентрации реагента в потоке и на поверхно-
сти трубы; — константа скорости объемной химической ре-
акции; Wv = KvFv — скорость объемной реакции; D — коэффи-
циент диффузии; DT — коэффициент турбулентной диффузии;
то — сдвиговое напряжение на стенке трубы; р и v — плотность
и кинематическая вязкость жидкости; ут— некоторая эмпири-
ческая постоянная.
Далее не будем конкретизировать значение параметра п,
считая лишь, что выполняется условие 1<п<оо. Точное реше-
ние задачи (2.1), (2.2) неизвестно, поэтому для ее анализа ис-
пользуем предложенный в разд. 4.1 простой приближенный ал-
гебраический метод.
Продифференцируем в уравнении (2.1) выражение, стоящее
в квадратных скобках, и в соответствии с изложенным методом
сделаем растяжение координаты £ по формуле (1.11). В резуль-
тате получим
( d2c ) ( d2c de )
/’ р? J + V ~d?+ Ч"_1 / ~kv {fo (с)} = °' (2l3)
Заменяя выражения в фигурных скобках с учетом их знака зна-
чениями ±1, приходим к следующему алгебраическому уравне-
нию для локального потока:
/а_7/-2-п_^=0. (2.4)
Полагая в (2.4) у = 0 и Л»=0, находим асимптотики величины
7=/(ъМ:
/ (0, kv) = Vka, j (у, 0) = . (2.5)
Исключая из формул (2.5), как обычно, параметры ko и у че-
рез /(0, kv) и /(f, 0), перепишем уравнение для локального по-
тока (2.4) в следующем виде:
Is (V, kv) —jn (у, 0) /2-« (у, kv)-р (0, kv) = 0. (2.6)
Чтобы получить искомое конечное алгебраическое уравне-
ние для величины /, необходимо из исходного дифференциаль-
ного уравнения (2.1) с учетом граничных условий (2.2) опре-
делить точные значения асимптотик /(у,0) и j(Q,kv) и подста-
вить их в соотношение (2.6).
В предельном случае при kp=0 решение задачи (2.1), (2.2)
дается выражением
оо оо
c=f i+гё* IS i+^n (*°=о)’ (2-7)
I о
116
приводящим к следующему вспомогательному значению для ло-
кального диффузионного потока
ОО
•» ч f м л / \ Л . (I dx "1 п эт
/(V, 0) =yVnQ(n), Q(n)==p___j = —sin—. (2#8)
о
В предельном случае при у = 0 решение задачи (2.1), (2.2)
было получено ранее, в разд. 3.3. Поэтому для локального по-
тока имеем:
1
/ (0, kv) = (2kv (fv) )i/s, (f) - j* f (c) de. (2.9)
о
Подстановка выражений (2.8), (2.9) в уравнение (2.6) дает
возможность вывести следующее искомое приближенное алгеб-
раическое уравнение для локального потока:
sin—J (2.10)
Для частного случая объемной химической реакции первого
порядка (что соответствует линейному уравнению (2.1) при
fv = c} кубическое уравнение (2.10) при п=3 и <Д>> = 1/2 полу-
чено в работе [190]. Проведенное там сопоставление корня это-
го приближенного уравнения с данными прямого численного
интегрирования полной исходной двухточечной краевой задачи
(2.1), (2.2) при и=3 и fv — c показало хорошее совпадение ре-
зультатов для локального потока (максимальное различие не
превышает 5%).
Массообмен пузыря с ламинарным потоком жидкости при
больших числах Рейнольдса при протекании объемной химиче-
ской реакции. Покажем, как действует предложенная процеду-
ра при анализе уравнений в частных производных. Для этого
рассмотрим задачу о массообмене сферического пузыря, обте-
каемого ламинарным поступательным потоком вязкой несжи-
маемой жидкости при больших числах Рейнольдса (гидродина-
мика этой задачи в точности определяется поступательным по-
тенциальным течением идеальной невязкой жидкости вне сфе-
ры). Предположим, что в окружающей жидкости протекает
объемная химическая реакция с произвольной кинетикой. В при-
ближении диффузионного пограничного слоя соответствующая
нелинейная краевая задача в безразмерных переменных имеет
вид:
Ре 3£cos 0-d|-+ "2~sin 0-^g- g = 0, с=1; 5 > С с= Cs ’ Р D ' . МО М0- FO(CS) ’ J— d£2 —W»(c); (2.H) ОО, c ► 0; (2.12) “ DCS £ = r-1,
117
где все используемые размерные параметры и переменные опи-
саны ранее (см. разд. 3.3).
В уравнении (2.11) сделаем растяжение погранслойной ко-
ординаты | по формуле
g = C/Sh, (2.13)
полученной простой заменой в (1.11) / на Sh (это небольшое
отличие отмечалось в разд. 4.1 и экономит одну промежуточную
операцию, так как нет необходимости далее использовать прин-
цип аналогии между величинами / и Sh). В результате получим:
( дс 3 дс 1 ( д2с )
Ре 3£cosO-^ + -^sin0—j = Sh2|d£5-j—(2.14)
Заменяя выражения, стоящие в фигурных скобках, постоянны-
ми, приходим к алгебраическому уравнению для среднего чис-
ла Шервуда:
Sh2 —Ре —^ = 0.
Асимптотическая коррекция коэффициентов этого квадратного
уравнения в предельных случаях и kv-*~<x> проводится
аналогично тому, как это делалось ранее в разд. 3.3, и приво-
дит к формуле
Sh = [(2/л) Ре + 2kv </0)]V2. (2.15)
Отметим, что в аналогичной задаче о масеообмене сфериче-
ской капли в поступательном стоксовом потоке при наличии
объемной химической реакции для приближенного определения
среднего числа Шервуда можно использовать формулу (2.15),
в которой следует положить Pe=at/TO[3Z)(p+I)]-1 (где — от-
ношение вязкостей капли и окружающей жидкости).
Конвективная диффузия к эллипсоидальной частице в посту-
пательном потоке. Рассмотрим теперь другой, несколько более
сложный пример, иллюстрирующий возможности алгебраиче-
ского метода: исследуем задачу о конвективной диффузии к
твердой эллипсоидальной частице, обтекаемой однородным по-
ступательным стоксовым потоком. В системе координат сплюс-
нутого эллипсоида вращения £, 1], <р, которая вводится по фор-
мулам
z=ftshgcosr], р = l/x2 + р2 = Л ch g sin г]; h2 = 1 — (а/6)2, (2.16)
= ht (cha g — sin2 ii), gw = Л2 ch2 £ sin2 я,
(где x, у, z — декартова система координат; g{5, gm, gw— ком-
поненты метрического тензора), поверхность частицы дается
уравнением
5 = go, £o = arcth(a/6). (2.17)
Здесь а и b — полуоси эллипсоида, ориентированные вдоль и по-
перек набегающего потока (рис. 4.2); при записи безразмер-
ных выражений (2.16), (2.17) и далее за характерный масштаб
длины выбрана большая полуось Ь.
118
Тис. 4.2. Схема обтекания сплюсну-
того по потоку эллипсоида враще-
.ния (а) и тонкого кругового дис-
ка (б)
Поле скоростей жидкости, соответствующее поступательно-
му стоксовому обтеканию эллипсоидальной частицы, представ-
-ляется в виде
,h ’mwJi sh gch2 g0 ch-2 g(1 — sh2 g0) arcctg (sh g) I
2 h ch g jl- sh g0(1 — sh2 g0) arcctg (sh g0) fsinT1’
/ёц dip dip
~g~ W1 u’)= V ~S~ ~dT’ = (2-18)
где гр — функция тока; и — компоненты скоростей жидко-
сти в системе координат сплюснутого эллипсоида вращения.
В приближении диффузионного пограничного слоя запишем
безразмерное уравнение стационарной конвективной диффузии
и граничные условия в предположении постоянства концентра-
ции вдали от частицы и полного поглощения на ее поверхности:
/ dip дс dip дс \ Vg5 д2с .
Ре at, + dg dr] ) = ag2 ’ (2J9)
g = go, c=l; I ---► оо, с--> 0; (2.20)
с = (^00—С)/С<о, Pe = bUx/D, g = g^gr)i)gtpq>-
Здесь верхним индексом «нуль» обозначены величины, взятые
на поверхности тела, т. е. А°= [А]5=Ео. При формулировке
уравнения (2.19) было учтено представление компонент скоро-
стей жидкости через функцию тока (2.18), при этом в левой
части уравнения стоит точная (нелинеаризованная) величина
fF(tT-V)c.
Учитывая, что числа Пекле велики (Ре> 1), в конвективном
члене уравнения (2.19) можно ограничиться следующими двумя
первыми членами разложения функции тока вблизи поверхно-
сти частицы, которые получаются из формулы (2.18) при
t = К (У (I -У2 + а3 (&>) а - ёо)3] sin2 ч: (2.21)
а2 (У = Л2 sh go [Sh go + (1 - Sh2 go) arcctg (sh go)]-1,
аз go) = ~FA2 ch-1 <2ch2 So - О [sh go + (1 -sh2 go) arcctg (sh go)]*1.
Отсюда видно, что в предельном случае бесконечно тонкого
119
диска выполняются соотношения
lim а3 = 0, lim а3 = 2/(Зл). (2.22)
5о-»о 5О-»о
Следовательно, имеет место ситуация, аналогичная той, ко-
торая встречалась ранее (см. разд. 3.5) при анализе массооб-
мена капли с поступательным стоксовым потоком во всем диа-
пазоне изменения отношения вязкостей капли и окружающей
жидкости. Первое предельное равенство в (2.22) означает, что
при исследовании задачи (2.19), (2.20) на всем интервале из-
менения параметра O^go^°° (где значения go=O и |0=оо от-
вечают предельным случаям бесконечно тонкого диска и сфе-
рической частицы соответственно) помимо первого квадратич-
ного члена разложения функции тока вблизи поверхности час-
тицы необходимо учитывать также следующий кубический член.
Это и было сделано при записи выражения (2.21).
Основными определяющими безразмерными параметрами
задачи являются число Ре и параметр g0 (О^Во^°°)> который
выражается через отношение полуосей эллипсоида по формуле
(2.17).
Получим теперь с помощью алгебраического метода прибли-
женное уравнение для среднего числа Шервуда, соответствую-
щего решению задачи (2.19) — (2.21). Для этого используем це-
почку равенств
Vs*/£°K — VsVp = Л ch So sin Т] = sin ц (Л = ch"1 У,
которая является следствием соотношений (2.16), (2.17), и с
учетом формулы (2.21) приведем уравнение (2.19) к более
удобному виду
[_ _ дс — — дс 1 д2с
—2 cos т) (a2g2 + a3g8) -^|- + sin я (2a2g + 3a3g2) , (2.23)
где для сокращения записи введено обозначение g = g—go- Сде-
лаем теперь растяжение поперечной координаты по формуле
(2.13) с соответствующей заменой £ на g. Следует отметить, что
в данном случае расстояние от поверхности частицы в диффу-
зионном пограничном слое определяется не просто разностью
g = g—go, а более сложным выражением ^g°^, где дополнитель-
ный множитель отвечает за обусловленное преобразовани-
ем (2.16) растяжение координат вдоль поверхности частицы;
это обстоятельство, однако, не будет менять конечного резуль-
тата ввиду того, что Яон=£ои(т1)—величина, зависящая лишь
от продольной координаты г)- В результате получим
Ре 2 C0ST) + 2 sinT) “In } +
+ Ре '"sh2") 2C0STi+ 3sinTt^2 "Irf} = Sh2 <2-24>
120
Опуская теперь выражения в фигурных скобках по общему
правилу, после элементарных преобразований приходим к сле-
дующему алгебраическому уравнению для среднего числа Sh:
Sh* — Ре а2 (g0) Sh — Pea8(go)=O. (2.25)
Рассуждая аналогично тому, как это делалось ранее в
разд. 2.3 и 3.5, с учетом предельных свойств коэффициентов as
и аз (2.22) нетрудно показать, что при Ре->-оо уравнение (2.25)
асимптотически эквивалентно следующему несколько более про-
стому алгебраическому уравнению четвертого порядка:
Sh* — Pea2(&))Sh — Pea8(0)=0. (2.26)
Учитывая, что число Пекле велико, для уточнения коэффи-
циентов уравнения (2.26), как обычно, используем метод асимп-
тотической коррекции.
При умеренных и больших значениях параметра g0>l и
больших значениях Ре^>1 последним членом уравнения (2.26)
можно пренебречь, что дает выражение для среднего числа
Шервуда
5,^1» Sh6 = [a,(5o)Pe]V», (2.27)
в котором использовано обозначение ShjBsSh5o>
В другом предельном случае, при g0->-0, с учетом первого
свойства (2.22) второй член уравнения (2.6) обращается в нуль;
и тогда для вспомогательного числа Шервуда имеем:
go = O, Sho = [а, (0) Pe]V4. (2-28)
Выражая теперь из формул (2.27), (2.28) параметры go и
Ре через асимптотики Sh5 и Sho и подставляя их далее в урав-
нение (2.26), получим
Sh* — Sh’6Sh — Sh*o = 0. (2.29)
Для приближенного определения среднего числа Шервуда во
всем диапазоне изменения отношения полуосей сплюснутого по
потоку эллипсоида вращения (т. е. при O^go^oo) следует ис-
пользовать алгебраическое уравнение (2.29), где вспомогатель-
ные средние числа Шервуда Shs и Sho соответствуют точным
асимптотическим решениям исходной краевой задачи (2.19) —
(2.21) в предельных случаях go>l и go-И) (при Ре->оо) и
имеют вид [30, 104]:
/ 4 \V8 А,2_ 1)1/3 г X2—2 , ,______J-V3
Sf4=(—) • yVT - [1+^^Г- arctg(Vx2-l)J Sh^;
Sh0 = 0,49PeV*, (2.30)
где x=b/a, Pe = fe(/oo/D, Shoo = 0,624 Pe1'3.
Другие конкретные примеры применения алгебраического
метода получения приближенных соотношений приведены далее
(см. разд. 4.3—4.8).
121
4.3. ОПИСАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МЕТОДА
ДЛЯ АНАЛИЗА НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ.
ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДЕЙСТВИЯ
АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МЕТОДА
Алгебраический метод с успехом можно применять также для:
решения нестационарных задач, когда все зависимые перемен-
ные и основные искомые интегральные средние характеристики
процесса существенным образом меняются со временем. В этом
случае основная формальная схема использования метода до-
пускает две различные модификации. Опишем сначала кратко-
каждую из них, а затем проанализируем и сравним результаты
решения ряда конкретных нестационарных тестовых задач обо-
ими методами.
Необходимо отметить, что на предварительном этапе как в-
первой, так и во второй модификациях производится растяже-
ние поперечной (погранслойной) координаты £ по правилу (1.11)
или (2.13) с последующей фиксацией всех безразмерных пара-
метров задачи и среднего числа Шервуда (или локального по-
тока, в зависимости от конкретной постановки задачи) на своих
местах и заменой остальных членов, содержащих производные
по координатам и функции зависимых и независимых перемен-
ных значениями ±1, согласно их знаку, аналогично тому, как:
это делалось ранее в стационарных задачах. Отличие предла-
гаемых далее подходов состоит только в способе замены неста-
ционарного члена, содержащего частную производную по вре-
мени д/дх (где т — безразмерное время). В предельном случае
т->оо обе указанные модификации приводят к одинаковому ре-
зультату, соответствующему решению одной и той же стацио-
нарной задачи.
Первая модификация алгебраического метода. Эта модифи-
кация состоит в том, что частная производная по времени в
дифференциальном уравнении формально заменяется алгебраи-
ческим соотношением по следующему правилу:
Далее при уточнении коэффициентов полученного таким об-
разом алгебраического уравнения путем использования метода
асимптотической коррекции безразмерное время считается уже
новым дополнительным параметром (т. е. при улучшении ал-
гебраического выражения могут использоваться точные асимп-
тотики исходной краевой задачи в предельных случаях т->0 и
Т->-оо).
Другими словами, первая модификация алгебраического ме-
тода заключается в последовательном выполнении трех опера-
ций: 1) в дифференциальном уравнении производная д/дх за-
меняется по правилу (3.1); 2) делается растяжение погранслой-
ной координаты £ по формуле (1.11) или (2.13); 3) все исход-
122
ные безразмерные параметры задачи и дополнительные вели-
чины Sh и т фиксируются на своих местах, а остальные сомно-
жители заменяются на ±1. Простое физическое объяснение воз-
никновения этого формального способа получения приближен-
ных алгебраических уравнений для числа Шервуда будет при-
ведено в конце этого раздела (см. замечание 2). В разд. 4.8
будет изложен фактически эквивалентный метод, основанный на
прямых оценках каждого члена записанного в размерных пере-
менных исходного дифференциального уравнения.
Вторая модификация алгебраического метода. Эта модифи-
кация является несколько более сложной и заключается в фор-
мальной замене частной производной по времени комплексом,
содержащим обычную «прямую» производную
дс 1 dj
дт — / dx ’
(3.2)
где вместо локального потока / в зависимости от постановки за-
дачи может стоять и среднее число Шервуда Sh.
Такое довольно сложное на первый взгляд правило (3.2)
легко объяснить, если вспомнить упомянутую в разд. 4.1 пол-
ную тождественность между алгебраическим методом и комби-
нацией интегрального метода с методом асимптотической кор-
рекции применительно к многим стационарным задачам, опи-
сываемым обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Если потребовать дальнейшего выполнения эквивалентности
упомянутых методов также и на более сложные нестационар-
ные задачи, которые формулируются уже для уравнений в
частных производных, то можно показать, что это требование
с необходимостью приведет к записанному выше соответствию
(3.2).
Действительно, в интегральных методах решение нестацио-
нарных задач ищется в виде с=<р(|/6), где 6 = 6(т) —толщина
пограничного слоя, которая зависит уже от времени. Интегри-
рование нестационарного члена по | в пределах от 0 до оо при-
водит к следующей цепочке равенств:
оо оо оо
С дс д Г / I \ d С
.)_ЭГ^ = 'дГ] <P(T/^='dr6J <p(x)dx =
0 0 6
где учтена связь j=const-6-1. Остальная часть уравнения пред-
ставляет собой сумму членов вида f (c)£n(d'nc/dg'n), которые
преобразуются по формулам
со оо
С дтс Л С dm(D const
j f (с) J xnf (ф (x)) dx = —р (j™-"). (3.4)
о о
123
Сопоставление выражений (3.3) и (3.4) с учетом изложен-
ного в разд. 4.1 метода, основанного на растяжении (1.11) для
стационарных задач, а также использование того факта, что
при применении метода асимптотической коррекции конкрет-
ные значения постоянных, фигурирующих в исходной прибли-
женной формуле, несущественны, приводит к правилу (3.2).
Следует отметить, что в начале разд. 4.8 указан особый случай,
когда вторая модификация алгебраического метода не эквива-
лентна комбинации методов асимптотической коррекции и инте-
грального; конкретным примером такого рода служит рассмот-
ренная ранее задача (2.1), (2.2), где при применении инте-
грального метода полностью «теряется» информация о члене с
множителем у, которую далее уже невозможно восстановить
при помощи асимптотической коррекции.
Из сказанного ясно, что вторая модификация алгебраиче-
ского метода получения приближенных соотношений состоит из
трех этапов: 1) нестационарный член уравнения в частных про-
изводных заменяется дифференциальным членом по правилу
(3.2); 2) делается растяжение поперечной координаты по фор-
муле (1.11) или (2.13); 3) все безразмерные параметры задачи
и величины j и dj/dx фиксируются на своих местах, а остальные
сомножители заменяются константами, равными ±1. В резуль-
тате приходим к обыкновенному дифференциальному уравне-
нию первого порядка для локального потока (или среднего чис-
ла Шервуда)
dj/dx = Ф(/); /(0) = ~,
(3.5)
где Ф — известная функция, которая в рассматриваемой обла-
сти принимает неположительные значения (Ф^О) и представ-
ляет собой, как правило, отношение некоторого полинома к ве-
личине /' (Z^O); при записи уравнения (3.5) зависимость функ-
ции Ф от параметров задачи не указывалась.
При т->оо решение задачи (3.5) выходит на стационарный
режим; соответствующее ему предельное значение локального
потока определяется путем вычисления корня алгебраического
уравнения
Ф (/«,) = 0 (/w=lim/).
(3.6)
Учитывая, что правая часть уравнения (3.5) не зависит явно
от времени т, нетрудно получить точное решение задачи (3.5)
в виде неявной зависимости
(* dj
J ф(/) ~
(3.7)
Далее выражение (3.7), согласно общим правилам, уточня-
ется методом асимптотической коррекции, где время т рассмат-
ривается уже на тех же правах, что и исходные безразмерные
124
параметры задачи. Отметим, что аналогичным образом можно
уточнять непосредственно коэффициенты дифференциального
уравнения (3.5).
Сопоставление и свойства двух модификаций алгебраическо-
го метода. Из сопоставления выражений (3.1) и (3.2) следует,
что переход от первой модификации алгебраического метода ко
второй (на конечном этапе его применения вплоть до асимпто-
тической коррекции коэффициентов) осуществляется путем сле-
дующего простого соответствия:
Поэтому первая модификация алгебраического метода вме-
сто обыкновенного дифференциального уравнения (3.5) приво-
дит к алгебраическому уравнению для локального потока, ко-
торое записывается в виде
-,Л = Ф(/), (3.9)
где ф(у) —та же функция, что и в (3.5).
Из выражения (3.9) видно, что при т->-оо решение алгеб-
раического уравнения для локального потока выходит на ста-
ционарный режим, который определяется корнем уравнения
(3.6). Отсюда следует, что при т->оо обе модификации алгеб-
раического метода приводят к одинаковому результату.
При т->0 решение задачи (3.5) может быть представлено
в виде
j = At~a, а>0 (т--------► 0), (3.10>
где параметры Лиа определяются подстановкой выражения
(3.10) в уравнение (3.5). При этом получаем левую часть диф-
ференциального уравнения (3.5) в виде
—Дат-06-1. (3.11>
Аналогично ищется и асимптотика решения алгебраического
уравнения (3.9) при т-*-0. При этом подстановка формулы
(3.10) в левую часть уравнения (3.9) дает:
—Дх-*-1. (3.12)
Подстановка выражения (3.10) в правые части уравнений
(3.5) и (3.9) приводит к идентичному результату. Из сопостав-
ления соотношений (3.11) и (3.12) следует, что при т->0 обе-
модификации алгебраического метода должны привести к
асимптотике (3.10) с одинаковым показателем а и разными зна-
чениями множителя А. Однако последующее уточнение коэф-
фициентов алгебраического (3.9) и дифференциального (3.5)
уравнений с помощью метода асимптотической коррекции при
т->-0 в конечном итоге приведет к одинаковому результату.
Другими словами, решения, полученные обеими модификация-
ми алгебраического метода при т->0, также совпадают.
125-
Несмотря на то что две разные модификации приводят к
одинаковому асимптотическому результату в обоих предельных
случаях (при т->0 и т->оо), они имеют одно существенное ка-
чественное отличие: решение алгебраического уравнения (3.9),
соответствующее первому способу, имеет степенной характер
установления решения при т->оо:
/— У» <Сconst0<у<1, (3.13)
а решение дифференциального уравнения (3.5) в подавляющем
'большинстве случаев затухает существенно быстрее по экспо-
ненциальному закону:
/ — /^ <const-e GT, а>0. (3.14)
Докажем теперь свойства (3.13) и (3.14) в предположении, что правые
части уравнений (3.5) и (3.9) содержат достаточно гладкую в точке /=/оо
•функцию Ф(/), удовлетворяющую условию Ф(0)=й0 (т. е. /оо^О).
Для этого линеаризуем оба уравнения (3.5) и (3.9) в окрестности ста-
ционарного решения, приняв
/ = /«> + /', /'«1. (3.15)
Рассмотрим сначала более сложное дифференциальное уравнение (3.5).
Подставляя выражение (3.15) в уравнение (3.5) и ограничиваясь лишь глав-
ными членами разложения для определения флуктуации /', получаем линей-
ное дифференциальное уравнение
dj' / ЭФ \
-4?-=-*/'’ a=-hrL (а>0)- (3J6)
Решение этого уравнения приводит к неравенству (3.14). Единственный
случай отличия от закона экспоненциального затухания (3.14) реализуется
при условии (ЭФ/dj);=5да =0, что следует непосредственно из уравнения
<3.16). В этом специальном вырожденном случае при условиях
f dm® \ / ЭМ+1Ф\
I ^;т I —0; m=l,...,Af; I I =А0. (3.17)
\ h—ico \
вместо уравнения (3.16) аналогичным образом нетрудно получить нелиней-
ное дифференциальное уравнение
dj’ ,,m+i 1 ( dM+l®\
dx-----— (ЛЦ-1)! ( ,М+1 . . > <3-18)
\ а1 // = /оО
решение которого определяет степенной закон затухания в виде
/' = const (3.19)
Рассуждая аналогично в невырожденном случае (d<b/dj) 3=3 ф =/=0, не-
трудно убедиться, что решение линеаризованного в результате подстановки
(3.15) алгебраического уравнения (3.9) дается формулой
Г = /оо (а^)-1» (3.20)
где постоянная о определена в уравнении (3.16). В вырожденном случае
(3.17) решение уравнения (3.9), соответствующего первой модификации ал-
гебраического метода, приводит к выражению
/' = const (3.21)
Учитывая формулы (3.20) и (3.21), приходим к требуемому неравенст-
ву (3.13).
126
Из сопоставления выражений (3.13) и (3.14), а также (3.19)
и (3.21) следует, что во всех случаях первая модификация ал-
гебраического метода обеспечивает значительно более медлен-
ное затухание приближенного решения, чем вторая. При этом
наиболее существенно расхождение в невырожденном случае,
когда первая модификация приводит к степенному закону
уменьшения решения (3.13) при 7=1, а вторая дает значи-
тельно более быстрый экспоненциальный режим затуха-
ния (3.14).
Известные к настоящему времени точные решения нестацио-
нарных погранслойных задач (некоторые из них описаны, на-
пример, в разд. 2.4) имеют экспоненциальный характер убыва-
ния при т->оо. Это дает основание полагать, что вторая моди-
фикация алгебраического метода приводит к более точным ре-
зультатам. Тем не менее, как показано далее в разд. 4.4 и 4.5,
первая модификация метода в ряде случаев дает весьма удов-
летворительные результаты, которые могут быть использованы
непосредственно в инженерной практике.
Отметим, что в некоторых задачах может встретиться опе-
рация интегрирования искомой функции по поперечной коорди-
нате (пример такого рода приведен в разд. 4.5)
S
(3.22)
о
поэтому следует определить правила действия с такими выра-
жениями. Растяжение переменной g по формуле (1.11) в интег-
рале (3.22) дает:
s Ч7 г
Jcdg'= f cd|' = -j-jcdr. (3.23)
об о
Видно, что интегрирование искомой функции по погранслой-
ной координате g в результате преобразования (1.11) приводит
к аналогичному интегралу по новой переменной ?, деленному
на / (напомним, что при дифференцировании растяжение
по формуле (1.11) приводит к умножению соответствующей ве-
личины на /).
Если исходить из интегрального метода, задавая профиль
концентрации в виде с=<р(£/6), то интегрирование выражения
(3.22) по | от 0 до оо позволяет записать цепочку равенств
оо £ оо £ оо £/б
f j' с (^) =j j ф (-у) =6 у [ ф w =
О 0 0 0 0 0
оо Z
П const / 1 \
<р (х) dxdz = const• 62 = —— I — ]• (3.24)
о о
127
Таблица 3. Сводная таблица основных правил действия алгебраического метода
Операция в исход-
ном дифференци-
альном уравнении
Правило замены
при выводе алгеб-
раического уравне-
ния
Операция в исход-
ном дифференци-
альном уравнении
Правило замены
при выводе алгеб-
раического уравне-
ния
дс
дх
дс
дх
1
Т
(первая модифи-
кация)
__
j dx
(вторая модифика.
ция)
/(С)
j-m
1
дпс
д^п
6
и
о
(Ч)п
/
Примечание. После получения приближенного алгебраического уравнения для ло-
кального потока / его следует обработать методом асимптотической коррекции.
Сопоставление формул (3.3), (3.4) и (3.24) показывает, что
алгебраический и интегральный методы в этом случае также
обеспечивают одинаковый конечный результат: операция ин-
тегрирования в исходном уравнении при выводе приближенно-
го алгебраического уравнения заменяется операцией деления
на /.
Учитывая сказанное и используя результаты разд. 4.1 и
4.3, нетрудно построить сводную таблицу основных правил дей-
ствия алгебраического метода (табл. 3), позволяющую ф°Р-
мальным образом очень быстро выводить искомые алгебраиче-
ские уравнения для локального потока /. Для этого следует
каждый член исходного (дифференциального) уравнения, пред-
ставляющий собой некоторую комбинацию выражений, стоя-
щих в левой колонке таблицы, заменить соответствующей вели-
чиной, расположенной в правой части таблицы. Полученное в
результате такой процедуры алгебраическое (для первой мо-
дификации алгебраического метода) или дифференциальное
(для второй модификации) уравнение локального потока сле-
дует затем обработать обычным образом с помощью метода
асимптотической коррекции. •
Видно, что алгебраический метод содержит всего пять пра-
вил действия (а по существу всего два, так как первые четы-
ре— прямое следствие одной операции растяжения по формуле
(1.11) поперечной координаты £) и поэтому является своеобраз-
ным «приближенным операционным методом», по простоте и
-формализму аналогичным тому, который широко применяется
для решения линейных дифференциальных уравнений путем
использования интегрального преобразования Лапласа.
128
Замечание 1. Алгебраический метод не всегда эквивалентен комбинации
интегрального метода с методом асимптотической коррекции. Действительно,
пусть исследуемое дифференциальное уравнение содержит член вида
д дс
-3|-(l+Y^n)-af + ...=0. (3.25)
Прямой проверкой можно убедиться, что при интегрировании (3.25) по
толщине пограничного слоя пропадает всякая информация о функции ^п.
Иначе говоря, использование интегрального метода приводит к одинаковым
результатам для исходного уравнения (3.25) и более простого уравнения
д^с
5|г + ...=о, (3.26)
в котором точками обозначены те же слагаемые, что и в (3.25).
Поэтому приближенное (алгебраическое) уравнение, полученное из
(3.25) с помощью интегрального метода, не зависит от параметра 7. Ясно, что
последующая асимптотическая коррекция не может восстановить потерянную
информацию. В отличие от сказанного применение алгебраического метода
согласно правилам, описанным в табл. 3, позволяет вывести из (3.25) при-
ближенное выражение, зависящее от параметра 7.
В общем случае можно показать, что алгебраический метод эквивален-
тен комбинации метода моментов с методом асимптотической коррекции.
(Метод моментов характеризуется тем, что все члены рассматриваемого
дифференциального уравнения предварительно умножаются на gm, а затем
интегрируются по £ от 0 до оо. Параметр т может принимать любые неот-
рицательные значения, за исключением некоторого конечного числа точек.
В частном случае, при т=0, метод моментов совпадает с интегральным ме-
тодом, использованным ранее в этом разделе).
Замечание 2. Выскажем теперь некоторые соображения, послужившие
основой для формулировки первой модификации алгебраического метода.
Считаем, что с помощью метода моментов получено уравнение для толщины
пограничного слоя б. Пусть величина б ограничена при больших временах
Птб<оо. (3.27)
Т-*оо
В силу начального условия 6(0) = 0 при малых временах для производ-
ной dtydx справедливо приближенное равенство
С другой стороны, в силу (3.27) отношение б/т и производная dd/dx при боль-
ших временах имеют одинаковую асимптотику
J6 Л 6
_ ------->0, — ----->0 (Т ------> 00).
Учитывая, что в предельных случаях при т->0 и т->оо величины dtydx
и б/т ведут одинаково, заменим в уравнении для толщины пограничного
слоя дифференциальный член алгебраическим по правилу
d6 б
(3.28)
Используя связь между толщиной пограничного слоя и диффузионным
потоком б=const//, из (3.28) имеем
dj
dx т *
(3.29)
9—1391
129
Соответствие (3.29), которое аналогично (3.8), позволяет перейти от вто-
рой модификации алгебраического метода к первой. Поэтому первая моди-
фикация алгебраического метода эквивалентна последовательному использо-
ванию метода моментов, приближенной замены производной по правилу
(3.28) и метода асимптотической коррекции.
Проиллюстрируем возможности обеих модификаций алгеб-
раического метода при исследовании некоторых конкретных
задач, представляющих интерес для химической технологии,
теории конвективного тепло- и массопереноса и гидродинамики.
4.4. РЕШЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ХИМИЧЕСКОЙ
ГИДРОДИНАМИКИ (МАССОПЕРЕНОС, ОСЛОЖНЕННЫЙ
ОБЪЕМНОЙ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИЕЙ)
Нестационарный массообмен стенки с неподвижной средой,
в объеме которой протекает гомогенная химическая реакция.
Рассмотрим сначала нестационарную нелинейную краевую за-
дачу, описываемую следующим безразмерным уравнением,
а также начальным и граничными условиями:
дс д2с
дт ~ v (с) > (4.1)
т = 0, с = 0; £ = 0, с=1; £---->оо, с----► 0, (4.2)
где x=Dtla2 — безразмерное время; t — размерное время;
остальные безразмерные параметры и переменные введены
так же, как ранее в разд. 3.3.
Задача (4.1), (4.2) описывает процесс установления ста-
ционарного режима массообмена стенки с неподвижной средой,
сопровождающийся объемной химической реакцией с произ-
вольной кинетикой.
В соответствии с первой модификацией алгебраического ме-
тода сделаем сначала растяжение координаты £ по формуле
(1.11). В результате получим
дс ( д2с )
"дт" ~ (4.3)
Заменяя теперь величины в фигурных скобках единицей,
а частную производную по времени величиной 1/т, согласно
правилу (3.1), получим алгебраическое уравнение для опреде-
ления зависимости локального диффузионного потока от вре-
мени:
l/r = f-V (4.4)
Уточним коэффициенты уравнения (4.4) методом асимптоти-
ческой коррекции. Для этого устремим сначала т к бесконеч-
ности (как уже отмечалось, безразмерное время т считается
теперь таким же равноправным параметром, как безразмерная
константа скорости объемной химической реакции kv), а затем
130
к нулю. Получим следующие соотношения:
(т—► (4.5)
/о=1/Ут’ (т—>0). (4.6)
Выражая теперь параметры kv и т через вспомогательные
локальные потоки /оо и /0 (4.5), (4.6) и подставляя их в урав-
нение (4.4), приходим к следующей простой формуле:
/2 = /о2 + /2». (4.7)
Получим теперь асимптотики решения исходной краевой
задачи (4.1), (4.2) при малых и больших т. При т->-0 вторым
членом в правой части уравнения (4.1) можно пренебречь, что
с учетом начальных и граничных условий (4.2) приводит к хо-
рошо известному распределению концентрации
c = erfc(g/2/V?). (4.8)
Из этого выражения для локального потока получим
/0=(лт)-1/2. (4.9)
При т->-оо левая часть уравнения (4.1) несущественна, и соот-
ветствующая асимптотика для / дается следующей формулой
(см. также выражение (3.9) гл. 3 при Ре=О):
/» = (2М/В>)1/2- (4.10)
Подставляя соотношения (4.9), (4.10) в формулу (4.7), полу-
чаем следующее выражение для локального диффузионного по-
тока:
1
, 1 \ 1/2 С
/= + (4.11)
о
Посмотрим теперь, каким будет конечный результат иссле-
дования нестационарной задачи (4.1), (4.2) в случае примене-
ния второй модификации алгебраического метода. При этом
наиболее простой и экономичный способ вывода соответствую-
щего дифференциального уравнения для локального потока за-
ключается в использовании соответствия (3.8) с учетом соотно-
шения (4.4). Указанная процедура сразу приводит к дифферен-
циальному уравнению
=/2_^0; /(0) = ОО. (4.12)
Нелинейное уравнение (4.12) заменой x=j~2 сводится к ли-
нейному дифференциальному уравнению с постоянными коэф-
фициентами. Его решение имеет вид
i = W [1 — ехр (- 2*ar)]-i/2. (4.13)
Для уточнения коэффициентов этого выражения используем
метод асимптотической коррекции. При т->оо из формулы
9* 131
(4.13) приходим к тому же стационарному значению, которое
получалось в результате применения первой модификации ал-
гебраического метода (4.5); это обстоятельство носит общий
характер и отмечалось в разд. 4.3. При т->-0 из (4.13) имеем:
/o = (2t)-V\ (4.14)
Исключая теперь параметры kv и т из формулы (4.13) с
помощью предельных соотношений (4.5) и (4.14), приходим к
следующему выражению:
/ = /оо И - exp (—J8»//о3). (4.15)
При вычислении зависимости локального потока от времени
в этой формуле следует использовать точные значения предель-
ных локальных потоков, которые даются теми же соотношения-
ми (4.9) и (4.10). В результате описанной процедуры получим
/ = (2^ В - exp (-2яЛ„ </„> . (4.16)
Структура приближенных формул для локального потока
(4.7) и (4.15) или (4.11) и (4.16) существенно различается.
При этом из формулы (4.15), соответствующей второй модифи-
кации алгебраического метода, помимо более быстрого убыва-
ния видна также весьма сильная взаимосвязь между скоростью
затухания и значением параметра kv, а именно: декремент за-
тухания решения (4.16) прямо пропорционален константе ско-
рости объемной химической реакции.
Получим теперь точное решение исходной краевой задачи
(4.1), (4.2) в наиболее простом случае объемной химической
реакции первого порядка, что соответствует линейному уравне-
нию (4.1) при fv(c)=c. Такое тестовое решение позволит оце-
нить точность приближенных формул (4.11), (4.16).
При построении решения учтем следующее достаточно общее
свойство линейных уравнений параболического типа. Пусть име-
ется линейная краевая задача вида
-£ = L<m>c-kc-, L(m) (4.17)
т = 0, с = 0; £ --► оо, с------> 0; (4.18)
д^с
5 = 0, с = ф0, —=ipz; 1=1,..., т-2, (4.19)
°1
где ф/ (/ = 0, 1.т—2) —некоторые фиксированные постоян-
ные; т^2 — любое .
Помимо уравнения (4.17) рассмотрим также более простое
уравнение
=/.('«) с, (4.20)
дх
которое получается из (4.17) при k=0, с теми же начальным и
граничными условиями (4.Г8), (4.19) (с соответствующей за-
меной с на с).
132
Прямой проверкой нетрудно убедиться, что решение более
сложной задачи (4.17) — (4.19) может быть выражено через
решение вспомогательной задачи (4.20), (4.18), (4.19) в виде
X
с (g, т) = k J e~kx~c(l, т) dx + e~ln'c (£, т). (4.21)
о
Эта связь справедлива также и для более общего уравне-
ния, когда оператор L(m)— произвольный многомерный нели-
нейный дифференциальный оператор порядка иг по перемен-
ным £i, ..., (п — размерность оператора £(п1)), который, на-
пример, при т=2 определяется следующим образом:
П Л2 П А
£(”= + Т=&,...Лп). (4.22)
/,/=1 1 «=1
Уравнениями типа (4.17), (4.20), в частности, описываются
задачи конвективного массопереноса, осложненные объемной
химической реакцией первого порядка.
При /п=2, дифференцируя выражение (4.21) по £ и полагая
далее |=0, получаем простую связь между локальными пото-
ками:
X
j (т) = k j e~kX~i (т) dx + e~kt~j (x). (4.23)
0
Аналогичная зависимость для средних чисел Шервуда получа-
ется из формулы (4.23) путем замены j на Sh. Отметим, что
формулы (4.21) и (4.23) обобщают результаты работы [154].
В рассматриваемом случае объемной химической реакции
первого порядка решение вспомогательной задачи (4.20),
(4.2) при L(^=dildxi, которая получается из уравнения (4.1)
при kv=0, с точностью до переобозначений с на с дается форму-
лой (4.8). Учитывая теперь соотношения (4.9), (4.23) (/ss/o)
для локального диффузионного потока, соответствующего точ-
ному решению линейной задачи (4.1), (4.2), получим
/ = УМ + (лт)-1/2ехр (—kvx) (fv (с) = с). (4.24)
Из этой формулы видно, что локальный диффузионный по-
ток экспоненциальным образом выходит на стационарный ре-
жим, и декримент затухания пропорционален безразмерной кон-
станте скорости объемной химической реакции kv, т. е. наблю-
дается хорошее качественное соответствие точного решения
(4.24) и приближенной формулы (4.16), полученной второй мо-
дификацией алгебраического метода; при этом выражения
(4.24) и (4.11) ведут себя качественно различным образом.
На рис. 4.3 показано сопоставление приближенных (4.11),
(4.16) формул (сплошные линии) и точной (4.24) зависимости
133
Рис. 4.3. Сопоставление приближенных
(сплошные линии) и точной (штриховая
линия) зависимостей диффузионного пото-
ка от времени для реакции первого поряд-
ка. Штрихпунктирная линия — среднее
арифметическое локальных потоков, вычис-
ленных по формулам (4.11) и (4.16)
(штриховая линия) для реакции
первого порядка (цифры 1 и 2 со-;
ответствуют модификациям алгеб-
раического метода). Видно, что
приближенное выражение (4.11),
полученное путем использования
первой модификации алгебраичес-
кого метода, приводит к завышенным результатам по сравне-
нию с точным выражением (4.24), что и .следовало ожидать,
учитывая сравнительно медленный степенной характер убыва-
ния кривой, построенной по формуле (4.11). Максимальное от-
личие приближенного соотношения (4.11) от точного (4.24) на-
блюдается при и составляет чуть более 10%. Прибли-
женное выражение (4.16), построенное по второй модификации
алгебраического метода, как следует из рис. 4.3, дает несколько
заниженные значения по сравнению с точным результатом
(4.24). Погрешность в этом случае составляет всего около 4%.
Отметим, что погрешность среднего арифметического локаль-
ных потоков, вычисленных по формулам (4.11) и (4.16), также
составляет менее 4%.
Проведенное сопоставление показывает, что хотя точность
результатов применения второй модификации алгебраического
метода значительно выше, чем первой (более чем в два с по-
ловиной раза), тем не менее формулу (4.11) также вполне до-
пустимо использовать для проведения практических расчетов.
Следует отметить, что в частных случаях объемной химиче-
ской реакции первого и второго порядков приближенное выра-
жение (4.11) было выведено в работе [190].
Нестационарный конвективный массоперенос в окрестности
передней критической точки капли или твердой частицы. Срав-
ним теперь точность обеих модификаций алгебраического мето-
да еще на одной конкретной задаче, точное асимптотическое
решение которой известно. Для этого рассмотрим нестационар-
ный конвективный массоперенос в окрестности передней крити-
ческой точки капли или твердой частицы, реагирующей в диффу-
зионном режиме. В безразмерных переменных соответствующая
нестационарная погранслойная краевая задача имеет вид
дс дс д2с
——_ре^_—- = . (4.25)
ат ъ а{- def ' ’
т = 0, с = 0; | = 0, с=1; §----► оо, с----> 0, (4.26)
где значение т=1 соответствует капле, а т = 2 — твердой час-
134
тице; все безразмерные переменные введены так же, как в
разд. 3.4. Далее без ограничения общности будем считать, что
т^О.
Для анализа этой задачи используем сначала первую моди-
фикацию алгебраического метода. В результате растяжения
пространственной координаты £ по формуле (1.11) из уравне-
ния (4.25) получим
дс ( дс \ (д2с 1
— Ре jx-n = р (4.27)
Заменяя далее нестационарный член по правилу (3.1) и
опуская величины в фигурных скобках, приходим к следующе-
му алгебраическому уравнению:
т-1 + Ре/1~т =/2. (4.28)
Уточним коэффициенты этого уравнения, используя процеду-
ру асимптотической коррекции. Устремляя параметр т к беско-
нечности, для стационарного случая имеем:
/да == Рех/<"»+х) (т ->- оо ); (4.29)
в другом предельном случае с учетом неотрицательности пара-
метра т из уравнения (4.28) получим:
/0=1/у7 (т------> 0). (4.30)
Выражая параметры Ре и т из соотношений (4.29) и (4.30)
через вспомогательные величины и /о и подставляя их да-
лее в формулу (4.28), приходим к следующему приближенно-
му алгебраическому уравнению для определения локального
потока:
/2-/«т+1/1-'"-/о2 = 0. (4.31)
При практических расчетах в выражении (4.31) необходимо
использовать точные значения асимптотик, которые должны
определяться путем исследования соответствующих предельных
случаев из исходной краевой задачи (4.25), (4.26). При т->0
вторым членом в левой части уравнения (4.25) можно прене-
бречь, что приводит к формуле (4.8) для распределения кон-
центрации и к формуле (4.9)—для локального потока. В дру-
гом предельном стационарном случае нужно решить следующее
обыкновенное дифференциальное уравнение с граничными ус-
ловиями:
d2c de
dV +Pe?m ^- = °; (4.32)
£ = 0, с = 1; £ -> оо t с --> 0.
Решение задачи (4.32) имеет вид:
оо оо
С / Ре \ IС / Ре \
с = J ехр ехр - — Г1) dt. (4.33)
t о
135
Используя выражение (4.33), для локального потока в ста-
ционарном случае получим:
/«о =
т 1
(т + 1) Ре
(4.34)
г 1
т + 1 / _
Подстановка соотношений (4.9) и (4.34) в формулу (4.31)
приводит к искомому алгебраическому уравнению:
г / 1 \ T-«-i 1
р-(т+1)«|г Нг+т) Ре/1-'п-ТГ = °- (4-35>
В частных случаях /п=0 и т=1 решения этого уравнения
имеют вид:
Ре / Ре2 1 \V2
= ~2 I" \ 4 лт j
(т = 0);
/ 2Ре
~ ( л
1 у/2
лт I
(т= 1).
(4.36)
(4.37)
При использовании второй модификации алгебраического
метода в силу соответствия (3.8) с учетом выражения (4.28)
приходим к следующему дифференциальному уравнению для
локального потока:
—+ = i(0) = ~. (4.38)
Это уравнение заменой j=l/6 с точностью до постоянных
коэффициентов приводится к рассмотренному уравнению (4.7)
гл. 3. Поэтому в результате решения дифференциального урав-
нения (4.38) после процедуры асимптотической коррекции, ко-
торая проводится аналогично тому, как это делалось в разд. 3.4
(см. формулы (4.13) и (4.17) в гл. 3), для локального потока
можно получить:
2 Г Ре / Ре \ "1
-w|“F+ln | = т (т = °); (4.39)
/ = (2Pe/n)V2 [1 — ехр (—2Рет)]-1^ (т = 1). (4.40)
Зависимость /=/(т) при т = 0 записана в неявном виде (4.39).
Для сопоставления формул (4.36), (4.37) и (4.39), (4.40)
найдем теперь точное решение исходной краевой задачи (4.25),
(4.26).
При т=0 для решения уравнения (4.25) сделаем интеграль-
ное преобразование Лапласа — Карлсона по формуле
оо
с = Р J е ₽TcdT,
о
(4.41)
где р — комплексный параметр. В результате вместо уравнения
в частных производных (4.25) приходим к обыкновенному диф-
136
ференциальному уравнению с постоянными коэффициентами
-g- + pe-S—рТ=О; (4.42)
g = О, с = 1; 5 --► оо, с ► 0.
Решение задачи (4.42) имеет вид:
7= ехр[-(>/2Ре + VV^ + p) 5L (4.43)
Отсюда для образа локального потока получим
7= х/аРе + У^Ре’+р. (4.44)
Используя обратное преобразование Лапласа — Карлсона,
с помощью таблиц [55] приходим к следующему выражению
для локального диффузионного потока:
При т=1, как следует из результатов разд. 3.4, формула
(4.40) является точной. Это весьма приятное обстоятельство
носит гораздо более общий характер: можно показать, что вто-
рая модификация алгебраического метода всегда приводит к
точному результату, когда решение нестационарной краевой за-
дачи автомодельно и может быть представлено в виде с—
=<р(|/6), где б=б(т) —некоторая функция времени.
На рис. 4.4 приведено сопоставление точного (4.45) и при-
ближенных (4.36) и (4.39) выражений для локального диффу-
зионного потока, соответствующих решению задачи (4.25),
(4.26) при т=0 (цифрами указаны модификации алгебраиче-
ского метода). Видно, что приближенная формула (4.36), по-
лученная путем использования первой модификации алгебраи-
ческого метода, дает завышенные значения по сравнению с точ-
ной (4.45). Максимальная погрешность в этом случае состав-
ляет 5,5%. Отличие приближенного выражения (4.39), которое
является следствием применения второй модификации алгеб-
раического метода, от точного в данном случае более значи-
тельно (около 10%). Отметим, что погрешность среднего ариф-
метического локальных потоков, вычисленных по формулам
(4.36) и (4.39), составляет менее 3,5%.
На рис. 4.5 показана зависимость локального потока от
времени, соответствующая приближенной формуле (4.37), вы-
веденной по первой модификации алгебраического метода; там
же приведена кривая (4.40), полученная в результате исполь-
зования второй модификации. Как отмечалось ранее, в данном
случае выражение (4.40) совпадает с точным решением. Из
рис. 4.5 видно, что максимальное отличие приближенного вы-
ражения (4.40), приводящего к завышенным значениям, до-
137
Рис. 4.4. Сопоставление точного (штриховая линия) и приближенных (сплош-
ные линии) диффузионных потоков при т=0. Штрихпунктирная линия —
среднее арифметическое локальных потоков, рассчитанных по формулам
(4.36) и (4.39)
Рис. 4.5. Зависимость локального потока от времени, полученная по первой
[формула (4.37), кривая 1] и второй [формула (4.40), кривая 2] модифи-
кациям алгебраического метода при т=1; точный результат совпадает с
кривой 2
вольно значительно — около 14%. Погрешность среднего ариф-
метического локальных потоков (4.37) и (4.40) (на рис. 4.5 не
показано) составляет около 7%.
4.5. НЕСТАЦИОНАРНЫЙ КОНВЕКТИВНЫЙ
ТЕПЛОПЕРЕНОС ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ
КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ
Рассмотрим модельную нелинейную нестационарную краевую задачу
дТ дТ д дТ
д% “~Pe£w ag = dg ;
т = 0, Т = 0; g = 0, T=l; g --------> оо, Т --> 0, (5.2)
описывающую нестационарный конвективный теплоперенос в окрестности
передней критической точки капли (т=1) или твердой частицы (ги=2) при
больших числах Пекле. Здесь Т — безразмерная температура; Х=Х(Г)—без-
размерный коэффициент теплопроводности, введенный таким образом, что
выполняется условие X (1) = Г, Ре — тепловое число Пекле.
При т=1 подробная постановка соответствующей полной задачи о про-
странственном распределении температуры в потоке, основные предположе-
ния, а также способ введения безразмерных переменных приведены далее,
в разд. 4.6. Здесь будем считать, что параметр m может принимать любые
неотрицательные значения.
Для получения приближенной зависимости локального теплового потока
от времени воспользуемся алгебраическим методом. Растяжение координат £
по формуле (1.11) приводит уравнение (5.1) к виду
дТ ( дТ } ( д дТ }
_ _ ре/1-m , р х (Г) —(5.3)
138
Опуская члены в фигурных скобках и учитывая правило (3.1), прихо-
дим к алгебраическому уравнению
T-i + Peji-m = Д (5.4)
соответствующему первой модификации алгебраического метода. Видно, что
уравнение (5.4) в точности совпадает с уравнением (4.28), поэтому его
асимптотики при малых и больших временах даются формулами (4.29) и
(4.30), а последующая процедура исключения параметров Ре и т через /0 и
joo позволяет переписать уравнение (5.4) в виде
j* — — /о2 = 0 (Jx = lim j, j0 = lim j). (5.5)
T-»oo T->0
В соответствии с методом асимптотической коррекции коэффициенты
этого алгебраического уравнения /0 и /<» должны определяться путем асим-
птотического исследования исходной краевой задачи (5.1), (5.2) при т->0
и т—>оо.
При т->0 вторым членом в левой части уравнения (5.1) можно прене-
бречь, что приводит к следующей вспомогательной задаче для поля темпе-
ратуры на начальной стадии процесса:
дТ д Л _ дТ
дг ~ ’ (5-6)
т = 0, Т = 0; £ = 0, T=l; £------------»• оо, Т-----> 0.
Уравнение, начальное и граничные условия (5.6) не меняются при одно-
временном растяжении (или сжатии) независимых переменных т и £ по
правилу
т----> Д2Т> g---------> Л£, (5J)
где Л>0— произвольная постоянная. Это означает, что если функция 7=
==Т(т, 5) является решением задачи (5.6), то и новая функция Та =
==7’(Л2т, Л£) также будет решением этой задачи. Учитывая сказанное,
а также то, что решение задачи (5.6) единственно, приходим к тождеству
Т (А2х, Л^Т(тД). (5.8)
Продифференцируем сначала выражение (5.8) по параметру А, а затем
положим Л=1. В результате получим следующее линейное уравнение в част-
ных производных первого порядка для определения функции Г:
дТ дТ Л
2т1Г + ^ = °- (5-9)
Соответствующее (5.9) характеристическое уравнение и его общее ре-
шение имеют вид:
£/VT = const. (5.11)
Поэтому решение уравнения (5.9) представляется в форме
T=T(l/VT), (5.12)
где T=T(z) —произвольная функция.
Подставляя выражение (5.12) в уравнение и граничные условия (5.6),
приходим к следующей задаче для определения функции Т:
+ (5-13)
z = 0, У1 = 1; z-----> оо, Т ------> 0.
139
Рис. 4.6. Зависимость R=R (х) [185]
Рассмотрим случай
сти от температуры
Обыкновенное дифференциальное урав-
нение (5.13) существенно проще исходного
уравнения в частных производных (5.6).
Задача (5.38) являлась предметом много-
численных исследований в нелинейной тео-
рии теплопроводности и фильтрации (см.,
например, [79, 93]).
Приведем наиболее существенные из-
вестные аналитические результаты реше-
ния уравнения (5.13) для некоторых конк-
ретных зависимостей Л=Х(Т). Отметим,
что в линейном случае при постоянном ко-
эффициенте теплопроводности %=1 реше-
ние уравнения (5.13) имеет вид Т=
=erfc(z/2).
линейной зависимости коэффициента теплопроводно-
Ь(Т) = 1+хТ (—1<х).
(5.14)
Выражение (5.14) с высокой точностью аппроксимирует коэффициент
теплопроводности для подавляющего большинства жидкостей и газов при
обычных условиях (см., например, [73]). Заменой
u = l-t-KT, x = z/2. (5.15)
задача (5.13), (5.14) сводится к следующей:
d / du \ du
+2x“dT = 0; н(0) = 1+*> и (оо) = 1. (5.16)
Введением новой переменной [93]
параметрическом виде
dx
« = «(н)=-щг.
решение (5.16) можно представить в
(р) =
(5.17)
х = х
и
J
О
где функция х(р.) является решением вспомогательной задачи
d*x л d2x
dp8 + 2х dp2
= 0;
(5.18)
х (0) = 0;
’ dx \ .
ц=о
Задача (5.18) часто встречается в теории гидродинамического погранич-
ного слоя. При х=—1 ее решение получено Блазиусом [143] (см., также,
[78, 134]). Случай х>—1 рассматривался в работе [185].
Для практических целей наибольший интерес представляет формула для
теплового потока. Используя выражение (du/dx)xe0= (uV*zm)m—о и резуль-
таты [185], получаем
(dT 1
= (5J9)
Здесь функция /?=/?(х) определена равенством х"щ*(0) = — /?(х), обладает
свойствами R(—1)=—0,332, /?(0)==0 и показана на рис. 4.6. При х«0 для
140
определения функции Р следует пользоваться асимптотическим уравнением
[1S5] _
0.59R2 + Д/л"(1 + x)s/«Z? = х (1 + х)2. (5.20)
Отметим, что задача (5.16) исследовалась численными и приближенны-
ми аналитическими методами в [93, 153].
Рассмотрим случай гиперболической аппроксимации коэффициента тепло-
проводности в виде
X (Т) = (1 — хТ)-1 (0<х<1). (5.21)
Отметим, что аналогичная зависимость встречается также в концентрацион-
ных задачах, связанных с адсорбцией.
В силу [79, 161] решение задачи (5.13), (5.21) может быть записано в
следующей форме:
w
Е = Е (w,P)= (w2 — Р In w2)-1!2 dw-
b
P = P(1 — x);
(1 W oo) .
(Зависимости T=T(w)t z=z(w) от и; в (5.22) параметрически определяют
вид функции T=f(z)\ при этом значение параметра Р=Р(х) должно опре-
деляться решением трансцендентного уравнения
1п(1—х) = —2£(1,Р) (Р(1)=0). (5.23)
На рис. 4.7 показана зависимость Р=Р(х), соответствующая уравнению
(5.23).
Учитывая, что поверхность частицы z=0 задается значением параметра
эд=1, для локального теплового потока получим
. __ Г 2(1—х) yJ*
1[ Х2Р (х) J •
(5.24)
В работе [161] построено точное аналитическое решение задачи (5.13)
для следующей зависимости коэффициента теплопроводности от температуры
(см. также [79]):
Х(Т) = (1 + хТ + vT2)-1.
В случае степенной зависимости коэффициента теплопроводности от тем-
пературы
Х(Т) = ТЛ (п>0). (5.25)
решение задачи (5.13), (5.25) имеет вид (см., например, [80, 118]):
(1 — х)пр (х, п) р-1 (0, п)
О
(5.26)
х = 2»/Д(п) ’ Р (х. п) = 2 акХ*’ 4 (л) = [Л₽П (° ’л)]-1/2:
1 1 + 0,50, (6л2 +п — 3)
0,-1, а1 —— 2n(n +1) • а, ——а, 3(2п+1)
141
Oft
о
зе
0,8
'.4 In P
В работе [153] детально описана
Рис. 4.7. Зависимость Р=Р(х), полу-
ченная решением трансцендентного
уравнения (5.23)
Функция (5.26) является обоб-
щенным решением задачи (5.13),
(5.26) и имеет разрывную производ-
ную при х=1; при этом поток
h(T)dT[dz остается непрерывным;
<7(1)==1,143.
методика численного интегрирования
уравнения (5.13), а также ее результаты для случая экспоненциальной зави-
симости коэффициента теплопроводности от температуры %(Т) =ехр(хТ).
В случае произвольной зависимости коэффициента теплопроводности от
температуры можно пользоваться численными или приближенными аналити-
ческими методами решения задачи (5.13) [65, 79, 153]. В частности, для ре-
шения уравнения (5.13) можно использовать приближенный метод по следу-
ющей схеме:
ОО Z
С / 1 С xdx \ dz
J \ 2 J Ъп-i (х) / (2)
Т'т (2) = ~ z
Г I 1 С xdx \
J Р \ 2 J ^m-i W ] ^т-i (2)
О О
^m-i (2) — к (Тт-i (2)) •
(5.26)
Здесь в качестве начального приближения То выбирается решение, соот-
ветствующее постоянному коэффициенту теплопроводности To=erfc(z/2)
(^1). Использование формулы (5.26) при одной итерации (ги=1) приво-
дит к неплохим результатам при небольших значениях производной \dK/dT\<^.
<1 (O^T^l).
Кроме того, учитывая ограниченность коэффициента температуропровод-
ности на всем интервале изменения температуры Т (O^T^l), можно в за-
висимости от вида функции Х=Х(Т) аппроксимировать ее формулами (5.14)
или (5.21) путем подходящего выбора свободного параметра х.
Далее для определенности будем считать, что решение вспомогательной
задачи (5.13) получено и, в частности, известно значение производной в
нуле:
(dTldz)z=Q — ос
(а = а (X) > 0).
(5.27)
В линейном случае (что соответствует Х=1) для коэффициента а име-
ем а=1/Ул. Из формул (5.12), (5.27) для предельного локального теплового
потока на начальной стадии процесса получим
/о = а/Ут’ (т ---► 0). (5.28)
Стационарный случай описывается обыкновенным дифференциальным
уравнением и граничными условиями
d dT dT
аГМЛ-^+Ре^-5Г = 0; (5.29)
6 = 0, T=l; g > оо, T --------> 0,
которые являются следствием исходной краевой задачи (5.1), (5.2) при
Т—>оо.
142
При zn==O решение задачи (5.29) может быть представлено в неявном
виде
t __ * С (Л /г- оПх
ъ— ре j Т а™ • (5.30)
т
Продифференцируем сначала это выражение по g, а потом положим
S = 0. С учетом равенства Х(1) = 1, которое является результатом способа
введения безразмерной функции Л(Т), для локального теплового потока
получим
/ао=Ре (т ------> оо; т = 0). (5.31)
Из формулы (5.31) видно, что в данном случае значение предельного
стационарного теплового потока не зависит от коэффициента теплопровод-
ности Х(Т). Выражение (5.31) можно непосредственно вывести и из диф-
ференциального уравнения (5.29) при т=0 путем интегрирования его по
переменной 5 в пределах от 0 до оо с учетом граничных условий и естест-
венного предположения, что dT/d^-^Q при
Подставляя точные асимптотики (5.28) и (5.31) в уравнение (5.5), при-
ходим к следующей формуле для теплового потока:
j = i/2P« + VViPe* + аЧ-1 (т = 0). (5.32)
В линейном случае при Х=1 (что соответствует значению а=1/Ул) вы-
ражение (5.32) переходит в формулу (4.36).
При т=1 задача (5.29) введением новых переменных
приводится к уравнению и граничным условиям (5.13). Поэтому ее реше-
ние может быть представлено в виде
Т = Т(% Угр?), (5.33)
где функция T=T(z) является решением (5.13).
С учетом выражений (5.27) и (5.33) для предельного локального теп-
лового потока в стационарном случае имеем
(т---->оо;т=1). (5.34)
Подставляя асимптотики (5.28) и (5.34) в уравнение (5.5), получаем
следующую формулу для локального теплового потока:
j = а (2Ре + t-1)V2 (m = 1). (5.35)
Для постоянного коэффициента теплопроводности Л=1 выражение
(5.35) переходит в (4.37).
Исследуем нелинейную краевую задачу (5.1), (5.2) при помощи второй
модификации алгебраического метода. В этом случае ввиду соответствия
(3.8) вместо алгебраического уравнения (5.4) приходим к дифференциально-
му уравнению
1 di
“ т Л + Ре ' = i ’ i (°) = °° • (5.36)
Искомую зависимость локального теплового потока от времени получа-
ем в результате последовательного выполнения следующих четырех опера-
ций: 1) решаем уравнение (5.36); 2) находим асимптотики этого решения
/о и /оо в предельных случаях т->0 и т->оо; 3) исключаем в решении пара-
метры т и Ре через /0 и /оо; 4) подставляем в полученное таким образом
выражение /=/(7о, /оо) точные асимптотики исходной краевой задачи (5.1),
143
(5.2), которые даются формулами (5.28), (5.31), (5.34). Опуская промежу-
точные выкладки, которые проводятся аналогично тому, как это делалось
ранее в разд. 3.4 и 4.4, для локального потока получаем следующие соотно-
шения:
2а2 I Ре
Ре2 |~7"
+ In
j == (2Ре а2)1/2 [1 — ехр (—2Ре т)]-1'2
(/п = 0);
(/п= 1).
(5.37)
(5.38)
Из формул (5.32) и (5.37) видно, что при т=0 нелинейность задачи
(5.1), (5.2) наиболее сильно сказывается на начальной стадии процесса и
довольно слабо — на заключительной стадии. При этом скорость выхода на
стационарный режим существенным образом зависит от значения параметра
а=а(Л) и, следовательно, от вида функции Х=%(Т). При т=1 из анализа
выражений (5.35) и (5.38) приходим к следующим выводам: во-первых,
значение локального теплового потока в течение всего процесса прямо про-
порционально параметру а и поэтому сильно зависит от степени нелиней-
ности задачи; во-вторых, скорость затухания решения одинакова для лю-
бых функций Л = Л(Т), т. е. не зависит от вида нелинейности в исходном
уравнении (5.1).
Из сопоставления с результатами работ [96, 178] следует, что формула
для локального теплового потока (5.38) оказывается точной для произволь-
ной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры Х=Х(Г)«
Другими словами, использование второй модификации алгебраического ме-
тода в данном случае опять привело к абсолютно правильным искомым со-
отношениям. Погрешность приближенной формулы (5.35), полученной путем
применения первой модификации алгебраического метода, составляет око-
ло 10%.
Задача о нестационарном гидродинамическом пограничном слое вблизи
критической линии разветвления потока. Рассмотрим задачу об установлении
гидродинамического пограничного слоя в окрестности критической линии раз-
ветвления потока. Считаем, что сначала (при /<0) тело обтекалось безвих-
ревым потоком идеальной невязкой жидкости, а потом (при t=Q) внезапно
«включились» вязкие силы, которые описываются уравнениями Навье — Сток-
са. При больших числах Рейнольдса поле течения в окрестности точки раз-
ветвления потока разбиваются на две области: внешнюю, где остаются спра-
ведливыми уравнения идеальной жидкости, и внутреннюю, примыкающую к
поверхности тела, где происходит развитие гидродинамического пограничного
слоя. В этом случае в окрестности критической линии на поверхности тела
распределение скоростей жидкости во внешней (невязкой) области схемати-
чески показано на рис. 4.8 и задается выражением
м = ?= —yyt (5.39)
где 7>0 — некоторая постоянная, зависящая от геометрии тела и потока.
Отметим, что формулы (5.39) записаны в размерных переменных.
Нестационарное распределение скоростей жидкости в области гидроди-
намического пограничного слоя, соответствующее стационарному внешнему
полю течения (5.39), в безразмерных переменных описывается следующими
Рис. 4.8. Линии тока в окрестности кри-
тической точки поверхности тела во
внешней (невязкой) области течения
144
уравнениями и граничными условиями (подробнее см., например, [78, 134]):
ди (ди ди \ д2и
dT+Re (“*F + t'_dr) = ReT»+'dF: (5.40)
ди dv
~д^+^ =0: (5.41>
т = 0, u = t\, v = 0; (5.42)
g = 0, u = v = 0; (5.43)
£ ► оо, и ► Г], V > —V. (5.44)
т] = 0, и = 0. (5.45)
Здесь безразмерные параметры и величины введены по формулам
Ts=v//a2, £ = г//а, т) = л:/а, и=~и(и9
Re = aU/v, U = ay,
где a — характерный размер тела; U — характерная скорость потока; у—
кинематическая вязкость жидкости.
Решение задачи (5.40)—(5.45) ищем в виде
« = ПФ(?,Т), = (5.46)
Подставляя выражения (5.46) в уравнения и граничные условия
(5.40)—(5.45), приходим к нестационарной краевой задаче для определения
функции Ф:
£
дФ / дФ \ д2Ф Г
—+ Re^D2 + t>—j = Re + -^-, 0 = ф^; (5.47)
о
т = 0, Ф=1; g = 0, Ф = 0; g ------------> оо, Ф -----> 1, (5.48)
где представление нормальной составляющей скорости v через Ф в (5.47)
является следствием уравнения неразрывности (5.41) и граничных условий
на поверхности тела (4.43); граничные условия на бесконечности (5.44) в
этом случае удовлетворяются автоматически.
Для получения приближенной зависимости местного коэффициента со-
противления, обусловленного силами вязкости, используем алгебраический
метод. Учтем, что безразмерный коэффициент сопротивления выражается че-
рез производную на поверхности тела (дФ/д^)^ следующим образом:
( ди \ / дФ \
тр=\ Л-о=т)
Введем обычное обозначение /е= (дФ/д£)6в0 и сделаем в уравнении
(5.47) растяжение погранслойной координаты £ по формуле (1.11). В ре-
зультате получим
С
дФ ( дФ С ) (д2Ф )
_+Ке|ф»—— j = (5.49)
о
Опуская теперь члены в фигурных скобках с учетом соответствия (3.1),
имеем квадратное уравнение
т-1 + Re = у2, (5.50)
соответствующее первой модификации алгебраического метода.
10—1391
145
Асимптотики уравнения (5.50) даются выражениями:
/о=1/Ут (т------->0); /м=У^е (т-----------------► ос). (5.51)
Исключая параметры т и Re из формул (5.51) через /0 и /оо и подстав-
ляя их далее в (5.50), приходим к следующему квадратному уравнению:
Р = ]02+]\. (5.52)
В соответствии с алгебраическим методом вспомогательные величины /0
и /оо должны определяться путем асимптотического анализа исходной крае-
вой задачи (5.47), (5.48) в предельных случаях при т->0 и т->оо соответст-
венно.
При т->0 вторым и третьим членами в левой части, а также первым
членом в правой части уравнения (5.47) можно пренебречь. Это приводит к
обычному линейному параболическому уравнению с постоянными коэффици-
ентами, решение которого, с учетом граничных условий (5.48), позволяет
получить следующее выражение:
/0=(лт)-1/2. (5.53)
При т—>оо нужно исследовать стационарную задачу
/ йФ \ d2<D г
Ке(ф2 + с'“ЗГ) =Re + “lF> у = (5.54)
о
£ = 0, Ф = 0; g ---------> оо, ф ------> 1,
которая заменой <D = d(p/dg сводится к обыкновенному дифференциальному
уравнению третьего порядка для функции <р. Решение соответствующей зада-
чи хорошо известно (см., например, [78, 134]) и приводит к следующему
значению,искомого вспомогательного параметра:
/«=oVRe, а= 1,23. (5.55)
Подставляя асимптотики (5.53) и (5.55) в формулу (5.52), для коэффи-
циента локального трения имеем
FTp ss ty = Г) [(пт)-1 + a2Re]i/2 . (5.56)
Использование второй модификации алгебраического метода вместо
квадратного уравнения (5.50), в силу соответствия (3.8), позволяет вывести
дифференциальное уравнение
1 dj
—-j—4-Re =/*; /(0) = оо, (5.57)
/ ат
которое с точностью до переобозначения Re на kv совпадает с уравнением
(4.12). Поэтому решение этого уравнения после обычной дальнейшей обра-
ботки методом асимптотической коррекции с учетом точных асимптотик
(5.53) и (5.55) приводится к виду
/ = о (Re)1/2 [1 — ехр (—jto2Rex)]-1/2 (FTp = ту). (5.58)
На рис. 4.9 приближенные выражения (5.56), (5.58) (сплошные линии;
номер кривой соответствует используемой модификации алгебраического ме-
тода) сопоставлены с двучленным разложением (штриховая линия)
/ = (пт)-1/2 + 0,804Rex1/2, (5.59)
приведенным в [78, 134] и справедливым при т->0 с точностью до О(т3/2).
Из рис. 4.9 видно, что, как и ранее, первая модификация алгебраического
метода дает несколько завышенные результаты, а вторая приводит соот-
ветственно к заниженным значениям.
Й46
Рис. 4.9. Сопоставление приближен- j/feVRe)
ных выражений (5.56) и (5.58) 2ft
(сплошные линии) с двучленным
асимптотическим . разложением при
малых временах (5.59). Номер кри-
вой соответствует используемой мо-
дификации алгебраического метода
1,5
Из характера поведения кривых
(5.56), (5.58) и (5.59) можно за-
ключить, что область применимости
двучленной формулы (5.59) ограни-
чена интервалом OcxcRe-1; отме-
тим, что минимум выражения (5.59) ifl
имеет место при т*= 1,42 Re-1. ; QJ ot2 Oft 1ft 62Rez
4.6. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОГО
ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Нестационарный конвективный массообмен капли с поступатель-
ным потоком, сопровождающийся произвольной объемной хи-
мической реакцией. Рассмотрим сначала нестационарный мас-
соперенос к поверхности сферической капли, медленно движу-
щейся в жидкости при больших числах Пекле. Считаем, что на
поверхности капли концентрация постоянна, а в объеме окру-
жающей жидкости протекает объемная химическая реакция с
конечной скоростью. В приближении диффузионного погранич-
ного слоя перенос вещества к поверхности капли описывается
следующими безразмерными уравнением с начальным и гранич-
ными условиями:
дс ( дс 1 дс \ д2с
5 coS & dg + “2" sin G “dg- J = Wv (c) *, (^.1)
T=0, c=0; 5 = 0, r=l; 5 >00, c----------> 0, (6.2)
где x=Dtla2—безразмерное время; Vtft = aUX1D~x (j} +1)-1 — мо-
дифицированное число Пекле; p— отношение вязкостей капли и
окружающей жидкости.
Краевая задача (6.1), (6.2) с точностью до переобозначений
является естественным обобщением стационарной задачи
(2.11), (2.12) на нестационарный случай.
Уравнение (6.1) после растяжения погранслойной координа-
ции £ по формуле (2.13) принимает вид
— | ^v[fv(c)} • (6.3)
Опуская теперь члены в фигурных скобках, с учетом соот-
ветствия (3.1) для среднего числа Шервуда по первой модифи-
кации алгебраического метода получим квадратное уравнение
T-1 + Pep = Sh2 — kv. (6.4)
10»
147
В этом уравнении, в отличие от обычной ситуации, содер-
жится три безразмерных параметра — т, Ре и kv (до сих пор
мы ограничивались случаями, когда таких параметров было
только два). Это обстоятельство практически не усложняет
процедуры асимптотической коррекции выражения (6.4).
Устремим сначала в уравнение (6.4) параметр т к бесконеч-
ности. В оставшемся укороченном уравнении, соответствующем
стационарному случаю, фигурируют только два безразмерных
параметра — Ре₽ и kv. Это вполне соответствует привычной
стандартной ситуации. Процедура уточнения коэффициентов
уравнения (6.4) в стационарном случае проводится обычным
образом и приводит к уравнению
г-» + Shp2 (Ре) + 2kv </0> = Sh*, (6.5)
где величина She(Pe) дается формулой (2.1) гл. 1 и соответст-
вует диффузионному режиму реакции на поверхности капли в
стационарном случае (т. е. при т=оо и kv = 0). В приближен-
ном уравнении (6.5) пока еще не проводилась асимптотическая
коррекция при т->-0.
Процедура уточнения оставшегося коэффициента в уравне-
нии (6.5) полностью совпадает с использованной для анало-
гичного уравнения (4.4). Это позволяет сразу получить следую-
щее окончательное выражение для среднего числа Шервуда:
Sh = [Shp* +2^ (М + (лт)-1]1/«. (6.6)
В результате применения второй модификации алгебраиче-
ского метода вместо квадратного уравнения (6.5) с учетом со-
ответствия (3.8) имеем дифференциальное уравнение
1 dSh
-"ST —+ Shp* + 2fe0<f0)₽Sh*, (6.7)
тде уже проведена коррекция коэффициентов по двум парамет-
рам Рев и kv.
Видно, что уравнение (6.7) с точностью до переобозначений
Sh-»-/, (Shs2+2^<fi>))-»-^B совпадает с уравнением (4.12). Это
обстоятельство дает возможность сразу записать решение диф-
ференциального уравнения (6.7), которое после коррекции по
параметру т приводит к следующей формуле для среднего чис-
ла Шервуда:
Sh = (Sh₽* + 2^ <f0))V3 {1 - exp [-лт (Sh₽* + 2k„
Нестационарный конвективный массообмен твердой частицы
с поступательным потоком, осложненный объемной химической
реакцией. Исследуем динамику процесса диффузии к по-
верхности твердой сферы, обтекаемой поступательным стоксо-
вым потоком. Считаем, что в объеме жидкости протекает объ-
емная химическая реакция с произвольной кинетикой. В без-
размерных переменных в приближении диффузионного погра-
148
яичного слоя соответствующая нелинейная краевая задача име-
•ет вид
дс /3 дс 3 дс \ д2с
+ Ре I — ~~2~ £2 cos 9 “Ь "2” 9 дО ) = "df* (с) I (6.8)
т = 0, с = 0; 5 = 0, с = 1; % ---> ею, с ----> 0. (6.9)
Растяжение поперечной координаты по формуле (2.13) поз-
воляет записать уравнение (6.8) в форме
дс Рэ ( 3 . „ дс 3 _ . „ дс )
"5т" + Sh" (-2" cos 0-0g-+ -2-? sin 9 |-
( d2c 1
= Sh8 | {fv (c)} •
(6.Ю)
Опуская выражения в фигурных скобках с учетом соответ-
ствия (3.1), для среднего числа Шервуда получим алгебраиче-
ское уравнение
т-1 + PeSh-1 = Sh2 — kv, (6.11)
которое является результатом использования первой модифика-
ции алгебраического метода.
Устремим теперь параметр т к бесконечности. При этом
оставшееся укороченное стационарное уравнение (6.11) с точ-
ностью до очевидных переобозначений совпадает с кубическим
уравнением (3.25) гл. 3 при /и=2. Указанный факт дает воз-
можность сразу уточнить два коэффициента и вместо (6.11)
рассматривать уравнение
т-1 + Sh^Sh-i = Sh2 - 2Л0 </„>, (6.12)
где величина Shoo приведена в формуле (2.1) гл. 1.
Коррекция последнего коэффициента, которая проводится
аналогично тому, как это делалось ранее для уравнения (6.5),
позволяет вывести следующее кубическое уравнение для опре-
деления зависимости среднего числа Шервуда от времени:
Sh» - [2£0 </0> + (лт)-1] Sh - Sh»w = 0. (6.13)
Использование второй модификации алгебраического мето-
да ввиду соответствия (3.8) вместо кубического уравнения
(6.12) приводит к дифференциальному уравнению
1 dSh Sh » .. , ,
Sh dr + Sh — Sh (6.14)
Уравнение (6.14) является частным случаем более общего
дифференциального уравнение (3.5), поэтому его решение мо-
жет быть представлено в неявном виде (3.7).
Покажем теперь, как, не решая непосредственно уравнения
(6.14), можно уточнить его по параметру т. Для этого перепи-
149
шем (6.14) в виде
Sh dx + Sh ~ Sh2— 2k0(fvy, (6.15)
где значение коэффициента А выбирается из условия, чтобы
приближенное дифференциальное уравнение (6.15) давало точ-
ный асимптотический результат при т->0.
При т->0 вторыми членами в обеих частях уравнения (6.8)
можно пренебречь, что приводит к формуле (4.8) для распре-
деления концентрации. Локальный диффузионный поток в этом
предельном случае определяется выражением (4.9), что в силу
(2.5) гл. 3 соответствует следующему вспомогательному сред-
нему числу Шервуда:
Sh0=(nT)-1/2 (т---> 0). (6.16)
Подстановка асимптотики (6.16) в уравнение (6.15) с по-
следующим предельным переходом при т->0 позволяет найти
искомое значение параметра А:
Л=2/л. (6.17)
Указанный способ непосредственного уточнения коэффици-
ентов дифференциального уравнения (до его решения), выве-
денного путем использования второй модификации алгебраиче-
ского метода, является весьма общим приемом, который с успе-
хом может применяться при исследовании и любых других не-
стационарных задач.
Решение уравнений (6.15), (6.17) довольно громоздко, по-
этому здесь опускается.
Конвективный теплообмен сферы в жидкости при произ-
вольной зависимости коэффициента теплопроводности от тем-
пературы. Исследуем нестационарный конвективный теплооб-
мен сферы, поступательно движущейся со скоростью t/st, в иде-
альной жидкости (потенциальное течение) при больших числах
Пекле. Предполагаем, что сначала (при t<0) температура
частицы и окружающей среды постоянна и равна Тх, а в на-
чальный момент времени (при /=0) температура поверхности
сферы внезапно скачком изменилась до температуры Ts, кото-
рая далее поддерживается постоянной в течение всего процесса.
Считаем также, что коэффициент теплопроводности жидкости
X* произвольным образом зависит от ее температуры Т*,
а удельная теплоемкость ср и плотность р жидкости постоянны.
В безразмерных переменных в сферической системе коорди-
нат g, 9 (£ = г—О соответствующая нелинейная нестационарная
погранслойная краевая задача имеет вид:
дТ ( дТ 3 . дТ \ д . дТ
дт + у 35 cos 0 4- 2 sin® Э0 ) = ^5 ’ (®-1®)
т = 0, Г = 0; 5=0, Т=1; 5---> оо, Т ----> 0, (6.19)
где безразмерные переменные и параметры были введены по
150
«формулам
= Tn-Ts
К (Ts) t
срраа ’
Ре
виверр
~ К (Ts) ’
%(Т) =
К (Л.)
К (Л) *
При записи конвективного слагаемого в уравнении (6.18)
учитывался лишь старший член разложения функции тока
вблизи поверхности сферы. Отметим, что аналогичным образом
формулируется задача о теплообмене сферической капли, обте-
каемой установившимся поступательным стоксовым потоком со
скоростью t/ooj в этом случае в уравнении (6.18) следует поло-
жить
Ре = aUx [3D (₽ + l)]-i.
В тепловых задачах основной характеристикой, представля-
ющей наибольший практический интерес, является среднее чис-
ло Нуссельта
Л
Nu = — -j- J*sin 0
О
л
дТ ] If / дТ \
‘dt- L=od0 = —"2" J sine('5r’)t_od0, <6,20)
6 J 6-
При записи этого выражения было использовано равенство
[Х(Т)]5=о=1, которое является следствием граничного условия
на поверхности тела и способа определения безразмерной функ-
ции %(?’).
Для получения приближенной зависимости среднего числа
Нуссельта от времени воспользуемся алгебраическим методом.
Растяжение погранслойной координаты £ по формуле (2.13),
в которой произведена замена Sh на Nu, приводит уравнение
(6.18) к следующему виду:
дТ ( дТ 3 дТ 1 ( д дТ
-^Г + Ре (-ЗСcos0 -g^ + ~2-«in0-^-j = Nu2 (6.21)
Используя соответствие (3.1) и опустив члены, заключен-
ные в фигурные скобки, имеем
т-1 + Ре = Nu2. ' (6.22)
Для уточнения коэффициентов этого квадратного уравне-
ния, как обычно, применим метод асимптотической коррекции.
Переходя последовательно к пределам при т->оо и т->0
в выражении (6.22), для вспомогательного числа Нуссельта
получим следующие асимптотики:
NuM = 1/рё (т -->00); (6.23)
Nu0=l/VF (т----->0). (6.24)
С учетом формул (6.23) и (6.24) квадратное уравнение
151
(6.22) может быть записано в более симметричном виде:
Nu« = Nu024-Nue)«. (6.25)
Для того чтобы эту формулу можно было использовать в
конкретных расчетах, необходимо определить точные значения
асимптотик Nuo и Nu<» путем соответствующего анализа исход-
ной нестационарной нелинейной краевой задачи (6.18), (6.19).
Для вычисления параметра Nu» нужно решить следующую
стационарную задачу:
г дТ 3 дТ \ д дТ
Ре 3£cos 0 + 2 s*n ® 50 J = 5g > (6.26)
£ = 0, 7=1; |-->оо, Т -----> 0. (6.27)
По аналогии с линейным случаем (Х=1) в уравнении (6.26)
сделаем замену переменных по правилу [76]:
G, 0) —> (t, 6), t = sin2 0, (6.28)
где ф— функция тока, линеаризованная вблизи поверхности
сферы. В результате получим
дТ 3 д дТ
Р® 50 =“2"sinS0 jq, МГ) . (6.29)
Введение новой переменной
о
3 1с 1/3 1 \
<0 = "р£~ J sin8 050 = •р£-| 1 — ~2~ cos 0 + -у cos8 01. (6.30)
приводит уравнение (6.29) и граничные условия (6.27) к виду
дТ д дТ
д<л ~ 5ф ^^6ф“: (6.31)
й = 0, 7 = 0; ф = 0, 7=1; ф---------> оо, 7-----> 0.
Задача (6.31) с точностью до переобозначений совпадает с
(5.6). Поэтому ее решение может быть записано следующим
образом:
7=7(ф/]/й"), (6.32)
где функция T=T(z) определяется путем решения обыкновен-
ного дифференциального уравнения (5.13). Дифференцируя
формулу (6.32), с учетом равенства (5.27) для локального теп-
лового потока имеем
/ дТ\ 3asin20
/ = -^ 5£ Д_о= 2Д/МГ •
Интегрируя далее это выражение по поверхности сферы, для
среднего числа Нуссельта в стационарном случае получаем
Л
Nu^ = ^2“ Jsm 6/(0) = а (т ---> оо). (6.33)
О
152
При т-И) конвективные члены не существенны, и асимптоти-
ка задачи (6.18), (6.19) находится из решения более простого
уравнения (5.6). Поэтому, используя соотношения (5.12),
(5.13), (5.27), приходим к следующему выражению для пре-
дельного числа Нуссельта:
Nue = a/yV« (6.34)
Подстановка асимптотик (6.33) и (6.34) в формулу (6.25)
дает искомую приближенную зависимость среднего числа Нус-
сельта от т и Ре.
Использование второй модификации алгебраического мето-
да, в силу соответствия (3.8), вместо квадратного уравнения
(6.22) приводит к дифференциальному уравнению
I dNu
“ NiT "dr+Pe = Nu*: Nu(0) = oo. (6.35)
Решение этого уравнения с последующей асимптотической кор-
рекцией позволяет для среднего числа Нуссельта получить за-
висимость
где вспомогательные величины Nu«> и Nuq определены выраже-
ниями (6.33) и (6.34); напомним, что в линейном случае Х=1
в этих формулах следует положить а= 1/Ул.
Из сопоставления с точными результатами решения исходной
нестационарной нелинейной краевой задачи (6.18), (6.19), [96,
178] следует, что погрешность приближенной формулы (6.36)
составляет около 10%.
4.7. ТЕПЛО- И МАССООБМЕН ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ
РЕЖИМЕ ТЕЧЕНИЯ НА ВХОДНОМ УЧАСТКЕ ТРУБЫ
Рассмотрим стабилизированное турбулентное течение несжи-
маемой жидкости с постоянными физическими свойствами в
круглой трубе.
Пусть концентрация примеси в начальном сечении трубы
при Х=0 равна нулю (С=0), а на стенке трубы при г=а она
постоянна и равна С«; движение рассматривается в цилиндри-
ческих координатах X, г.
Для определенности в дальнейшем будем говорить о пере-
носе вещества, имея в виду, что все сказанное справедливо и
для случая переноса тепла (при малых тепловых потоках).
Уравнение стационарной диффузии для средней по времени
концентрации С при сделанных выше предположениях запи-
шется следующим образом:
- ас д Г дС ——1 1 д Г / дс ——
мх(0 дХ ~ дХ Р дХ ~Ux С ] + г dr [r р дг ~игс /]’
(7.1)
153
где штрихом обозначены пульсации мгновенных величин ско-
рости и концентрации относительно их средних значений.
В общем анизотропном случае связь между турбулентными
потоками примеси и градиентами средней концентрации при-
нимается в следующем виде [83]:
---- дс дС _____________________ дС дС
их'С = -К XX ДХ К-ХГ ДТ ’ U/C = ----Krx~QX--Krr~Q^~’ (7.2)>
где коэффициенты тензора турбулентной диффузии Кц зависят
от координат X, г.
Для завершения формулировки задачи дополним уравнение
(7.1) граничными условиями
Л = 0, С=0; r = a, C = CS; г=0, дС/дг = 0. (7.3>
При больших числах Шмидта основное сопротивление мас-
сопереносу сосредоточено в тонком диффузионном погранич-
ном слое, прилегающем к поверхности трубы. В этой области в
правой части уравнения (7.1) производными по X можно пре-
небречь по сравнению с производными по радиальной коорди-
нате г. В результате уравнение (7.1), (7.2) упрощается и при-
нимает вид
дС д дС
—дГ^ + ^г)^ (7.4>
Учтем теперь, что в пристеночном слое (при г-hz) распре-
деление скоростей жидкости можно считать линейным [83,
134]:
_ а — г _ > Л X
их ——а—и* = <“х>У ~8’ (7-5>
где <йж> — средняя по сечению скорость жидкости, X — коэффи-
циент гидродинамического сопротивления.
Аналогичным образом компоненту тензора турбулентной
диффузии Кгг вблизи поверхности трубы можно описать первым
членом разложения [83]
Krr = vb[(a-r)u./v]m, (7.6>
где v — кинетическая вязкость жидкости; b, ш — коэффици-
енты, известные из экспериментов.
Для дальнейшего анализа удобно перейти к безразмерным
переменным по формулам
с £_ - (а —г) и* А /7 7v
с~ Cs • , 6- v ’ х~ Sc а • (1‘,)
где Sc=v/Z) — число Шмидта; ReM = aM*/v — модифицированное
число Рейнольдса.
154
Подставим зависимости (7.5), (7.6) в уравнение (7.4) и вы-
разим старые переменные через новые (7.7). Получим
дс д дс
5‘дГ = _дГ<1+'гё'")“дГ’ где Y=fcSc- (7.8)
Подставляя переменные (7.7) в (7.3), находим граничные
условия для уравнения (7.8):
х=0, с = 0; £ = 0, с=1; g -------> со, с ---> 0. (7.9)
При выводе последнего граничного условия (7.9) учитыва-
лось неравенство Rcm> 1 и принимался во внимание факт, что
концентрация в ядре потока равна ее невозмущенному значе-
нию на входе в трубу.
Отметим, что задача (7.8), (7.9) правильно описывает рас-
пределение концентрации в области, где толщина диффузион-
ного пограничного слоя много меньше радиуса трубы.
Точное решение уравнения (7.8) получить не удается. По-
этому для приближенного анализа задачи (7.8), (7.9) исполь-
зуем алгебраический метод.
Уравнение (7.8) после подстановки £ = £// принимает вид:
дс ( 1 <Э2с ] (15 дс 1
jm-s— —1 + ?|_ J. (7Л0)
В рассматриваемой задаче аналогом времени является про-
дольная координата х. Поэтому в соответствии с первой моди-
фикацией алгебраического метода заменим производную dcfdx
величиной 1/х и опустим члены в фигурных скобках. В резуль-
тате получим приближенное алгебраическое уравнение для ло-
кального потока
ym-»/jc = ym + T> (7.11)
Учитывая, что /п>0, из выражения (7.11) находим асимпто-
тики j при малых и больших значениях х:
io = x~1ia (х—>0); (7.12)
Lm = -y (х—►«>). (7.13)
Исключая в формуле (7.11) величины х и у с помощью
асимптотик (7.12), (7.13) приходим к искомому алгебраическому
уравнению для локального потока
/о8Г-з = (7.14)
В соответствии с используемым подходом в уравнение
(7.14) вместо величин /о и /«> следует подставить точные асимп-
тотики решения исходной задачи (7.8), (7.9) при х->0 и х->-оо.
При х—>-оо левой частью уравнения (7.8) можно пренебречь.
Решение соответствующей «укороченной» задачи получено ра-
нее в разд. 4.2 и дается выражением (2.7). Поэтому для пре-
155
дельного локального потока имеем
/оо =^m-^-sin (т>1). (7.15>
Можно показать, что при малых значениях х второй член
правой части уравнения (7.8) мал по сравнению с первым. По-
этому для определения искомой асимптотики следует рассмот-
реть уравнение
* дс д2с
* дх = д? •
с граничными условиями (7.9). Решение этой задачи хорошо'
известно и дается формулой
с= Г (1/3) г(т> "tr)’ (7.16>
где Г (%, т]) = J r]-^3e-’ldr} — неполная гамма-функция; Г(1/3) =
л
= Г(1/3,0)«2,68.
Дифференцируя выражение (7.16) по £ и полагая |=0, вы-
числим локальный поток
31/S 1
i»= Г (1/3) х1/з (7J7>
Подставляя точные асимптотики (7.15) и (7.17) в формулу
(7.14), приходим к искомому алгебраическому уравнению для
потока:
3 1 / т я \т
=°- <7-18>
Воспользуемся теперь второй модификацией алгебраиче-
ского метода. Заменяя производную дс)дх в уравнении (7.10)
согласно правилу (3.2) и опуская члены в фигурных скобках,
получим обыкновенное дифференциальное уравнение:
-^- = -/ч-Т/4-'п. (7.19)
При больших значениях х левой частью (7.19) можно пре-
небречь. В этом случае сохраняется связь (7.13) между пре-
дельным потоком /оо и параметром у. Для малых х асимптотика
решения уравнения (7.19) имеет вид:
)0 = (3x)-vs (х—>0). (7.20)
При выводе этой формулы учитывалось условие j(0)=oo.
Выражения (7.13) и (7.20) позволяют записать уравнение
(7.19) в следующей форме:
/o4-^ = /4-/o0'V-m. (7.21)
156
Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию j/jo->l
при дается формулой
оо
р du i i 3
z=3 где y=f~, г = (7.22)
J У У /оо /О
У
Для проведения дальнейших расчетов необходимо знать по-
казатель степени т. Вопрос о его значении является в настоя-
щее время предметом дискуссии; обсуждаются значения т=3
и /п=4. Обзор работ, в которых исследуется интенсивность за-
тухания турбулентных пульсаций вблизи твердой поверхности,
приведен в монографии [83]. В статье [59] дается: таблица
предлагавшихся различными авторами значений т и отмеча-
ется, что статистически наилучшее соответствие с эксперимен-
тальными данными по теплопередаче в трубах при больших
числах Прандтля имеют корреляции, предложенные в работе
[42] и основанные на значении т=3.
Числовой коэффициент, фигурирующий в уравнении (7.8)
для параметра к, оценивается величиной Ь«10-3 [60]. Это зна-
чение хорошо соответствует экспериментальным результатам
[42], основанным на аккуратном измерении скорости и темпе-
ратуры в окрестности нагретой стенки трубы.
При /п=3 решение кубического уравнения (7.14) можно за-
писать в виде
0=(1+г-1)‘М, где у = ///„, z = (7.23)
Интегрирование (7.22) при /п = 3 после несложных преобразо-
ваний приводит к зависимости
у=(1 — е-2)-1/». (7.24)
На рис. 4.10 показаны результаты расчетов по формулам
(7.23) и (7.24), полученным на основе соответственно первой и
второй модификации алгебраического метода.
Отметим, что в работе [60] построено приближенное реше-
ние задачи (7.8), (7.9), основанное на идеях метода Галеркина.
Рис. 4.10. Массообмен на
входном участке трубы при
больших числах Рейнольдса и
Шмидта:
1 — по формуле (7.23); 2 —по фор-
муле (7.24); /о и Jog — асимптотиче-
ские значения потока при малых и
больших расстояниях от входа в
трубу
157
4.8. ПОЛУЧЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ СООТНОШЕНИЙ,
ОСНОВАННОЕ НА ОЦЕНКЕ ЧЛЕНОВ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Автором [186, 187, 189, 190] разработан и использован метод
получения приближенных соотношений, основанный на непо-
средственной оценке величины каждого члена исследуемого
дифференциального уравнения. Все оценки проводят аналогич-
но тому, как это делается в теории гидродинамического погра-
ничного слоя, с привлечением широко распространенного пред-
ставления о толщине слоя 6. После этого каждый член диффе-
ренциального уравнения заменяют его характерным значением
(полученным в результате оценки), умноженным на некоторую
константу. В результате указанной процедуры исходное диффе-
ренциальное уравнение заменяется алгебраическим уравнением
для определения толщины пограничного слоя. Неизвестные по-
стоянные, фигурирующие в алгебраическом уравнении, вычис-
ляют далее на основе дополнительного асимптотического иссле-
дования исходной краевой задачи в некоторых предельных слу-
чаях.
Проиллюстрируем описанный метод на решении некоторых
конкретных задач. В этом разделе все исходные уравнения фор-
мулируются в размерных переменных.
Рассмотрим сначала нестационарный массоперенос между
стенкой и неподвижной средой, сопровождающейся объемной
химической реакцией первого порядка. Соответствующая неста-
ционарная краевая задача, определяющая поле концентрации,
имеет вид
дС д2С
-dT = D^-^c< <8-’>
/ = 0, С=0; у=0, C = CS; у -----> со, С --> 0. (8.2)
Оценим каждый член дифференциального уравнения (8.1),
учитывая, что характерное изменение концентрации по толщи-
не диффузионного пограничного слоя б дается величиной АС=
= CS. В результате получим
дС С. д2С С,
-di----г- <8-3>
Заменяя теперь все члены уравнения (8.1) их характерными
значениями (8.3), умноженными на произвольные постоянные,
после сокращения на Са приходим к следующему алгебраиче-
скому уравнению для определения величины б:
(4/0 + BKs = D/62. (8.4)
Локальный диффузионный поток вычисляем по формуле
J = DCs/S = Cs [D (4 + BKst)/t]42. (8.5)
Постоянные А и В в выражениях (8.4) и (8.5) должны нахо-
диться решением исходной краевой задачи (8.1), (8.2) в двух
158
предельных случаях — при Д« = 0 и £->оо (т. е. dfdt=0). В пер-
вом случае (/G = 0) решение уравнения
дС д*С
dt '~D dtp •
(8.6)
с граничными условиями (8.2) приводит к следующему пре-
дельному значению локального потока:
Jc = CSDV» (л/)-1/2 « k0Cs, (8.7)
где feo—коэффициент массообмена для случая нестационарной
диффузии без объемной химической реакции.
Во втором случае (f = oo) решение стационарной задачи
d2C
D~d^~==K<‘C' у = 0' c = cs: у----► С-------->0 (8.8)
позволяет определить предельный локальный диффузионный по-
ток в виде
=Cs(KsD)V2sfe00Cs, (8.9)
где k<x> — коэффициент массообмена для случая стационарной
диффузии, осложненной объемной химической реакцией.
Переходя теперь последовательно к пределу при Ks->0 и
f->oo в выражении (8.5), с учетом точных асимптотик (8.7) и
(8.9) для коэффициентов А и В получаем
Я = 1/У?Г, в=1, (8.10)
Подстановка значений (8.10) в формулу (8.5) приводит к
следующей искомой приближенной зависимости для локального
потока:
J — Cs
D I1/2
^-(1+л^/) ==kCs.
(8.Н)
Используя асимптотики (8.7) и (8.9), выражение (8.11) мо-
жно переписать в виде
*=(V+V)1/2 или J=(V + Ao2)1/2. (8.12)
Эти соотношения эквивалентны формуле (4.7), которая была
впервые выведена в разд. 4.4 для общего случая произвольной
кинетики объемной химической реакции.
Рассмотрим теперь теплоперенос к поверхности плоской
пластинки, обусловленный одновременным воздействием двух
различных факторов — вынужденной и свободной конвекции
жидкости. Считаем, что пластина расположена в вертикаль-
ной плоскости и обтекается снизу поступательным потоком вяз-
кой несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса.
Скорость невозмущенного потока и температура вдали от пла-
стинки равны соответственно U<x, и Т<х>; на поверхности пластин-
ки компоненты скоростей жидкости равны нулю, а температура
поддерживается постоянной, равной Ts. Свободная конвекция
159
возникает за счет объемного расширения жидкости и вызыва-
ется наличием разности температур AT=7’g—Тм и силой тяже-
сти g, направленной параллельно стенке против потока. При
•больших числах Прандтля распределение температуры в жид-
кости описывается следующим уравнением и граничными усло-
виями:
дТ дТ* д2Т
(“1 +«2) ~дГ+(г,1 + г,^~дГ = Н'~д^~- (8-13)
х = 0, Г. = 7’а); у = 0, Т* = Та-
у---->00, г* ------(8.14)
где Г. — температура; ui и tn — продольная и поперечная ком-
поненты скорости жидкости, обусловленные чисто вынужденной
конвекцией (другими словами, щ и t»i соответствуют хорошо
известному решению Блазиуса); и2 и v2— компоненты скоро-
сти, возникающие за счет свободной конвекции; и — коэффи-
циент температуропроводности жидкости.
Вообще говоря, зависимость ы2 и v2 от координат х и у
должна определяться путем решения погранслойных уравне-
ний
ия + vi = v дуз + P# (Л.— (8-15)
с соответствующими граничными условиями, которые здесь
•опускаются; р — коэффициент объемного расширения; v — кине-
матическая вязкость жидкости.
Так как компоненты щ и щ известны, а температура 7* од-
новременно входит в оба уравнения (8.13) и (8.15), то для оп-
ределения величин «г, v2 и Т* необходимо решать сразу всю
систему трех уравнений (8.13), (8.15), (8.16), которая, к сожа-
лению, не распадается на более простые. Указанная задача
трудна для исследования и поэтому здесь ограничимся прибли-
женными выражениями для величин и2 и v2, полученными ре-
шением более простой системы трех уравнений, два из которых
уже выписаны— (8.15), (8.16), а третье имеет вид:
дТ\ дТ„ д2Тл
+ = (8Л7)
Уравнения (8.15) — (8.17) описывают гидродинамику и рас-
пределение температуры для свободного конвективного движе-
ния жидкости в окрестности плоской пластинки. Решение этой
задачи известно [76].
Задачу (8.13), (8.14) при заданных указанным образом ве-
личинах Ui и Vi (i=l, 2) по существу можно считать первой
итерацией для определения поля температуры Т^1\ подстанов-
ка которой в правую часть уравнения (8.15) (Т* = 7’*(1)) приво-
160
дит к определению первой итерации для компонент скоростей
жидкости u2u) и t>2(1)- Подставляя далее выражения и2(1) и
о2(1) в уравнение и граничные условия (8.13), (8.14), получаем
задачу для нахождения второй итерации температуры Т*<2>
и т. д.
Следует отметить, что уравнение (8.13) хорошо описывает
качественную сторону процесса: оно обеспечивает правильный
асимптотический результат в двух предельных случаях Rex->0
и Rax->0, где
Ra,= ^Pr. Pr-^-. (8.18)
Здесь Rex и Rax — локальные числа Рейнольдса и Релея; Рг —
число Прандтля.
При больших числах Прандтля в прилегающей к поверхности
пластинки области диффузионного пограничного слоя для ком-
понент скоростей жидкости Ui и Vi можно ограничиться глав-
ными членами разложения решения Блазиуса [78, 134, 143]:
1.33 и*12и 1.33
U1 = ~~4~ Vl/2Xl/2 ’ U1=^6 vl/2X3/2 • (8J9>
Аналогичным образом, используя результаты [76], для ком-
понент ы2 и v2 можно записать
, / дРДТ \з/4 ,
«2 = 1,92v Рг-IM 1-^-1 х^у,
/ аКДТ \»/4
v2 - -0.24РГ-1/41-^2— j х-8/4^2. (8.20)
Оценки каждого члена уравнения (8.13) с учетом формул
(8.19), (8.20) имеют вид
д2Т* ДТ
ду2 ~ 6а >
где ci и 02 — некоторые постоянные.
Заменяя теперь каждый член дифференциального уравне-
ния (8.13) соответствующими выражениями (8.21), умноженны-
ми на константы, получим алгебраическое уравнение для опре-
деления толщины теплового пограничного слоя
и 3/2 х z «вдт \*/4 х
л2отг+^Рг’1/4(-^-) <8-22>
где постоянные А и В будут определены далее из анализа
различных предельных случаев.
11—1391
161
Используя соотношения (8.18), уравнение (8.22) можно
представить в следующей более удобной форме
A Re*8/«Pr + В Rax»/4 = Nu*8, (8.23)
где Nux=x/6 — локальное число Нуссельта.
Учтем теперь, что в предельном случае вынужденной кон-
векции (что соответствует Иаж = 0) точная асимптотика локаль-
ного числа Нуссельта имеет вид
Nu*j = О.ЗЗЭРе*1/2?^/8 (Ra*-► 0). (8.24)
В другом предельном случае (при Rex->0) свободного кон-
вективного движения жидкости для числа Нуссельта получаем
Мижп = O.SOSRa^M (Re*---->-0). (8.25)
Сопоставление выражений (8.23) — (8.25) позволяет опре-
делить постоянные А и В:
А = (0.399)8, В=(0,503)8. (8.26)
Используя формулы (8.23) — (8.26), уравнение (8.23) можно
записать в следующей симметричной форме:
Nu8* = Nu8*j + Nu8*>n. (8.27)
В работе [191] получено точное решение исходной краевой
задачи (8.13), (8.14), (8.19), (8.20) путем введения новой ав-
томодельной переменной t==ylX(x), где функция Х(х) опреде-
лялась в ходе решения задачи. Сопоставление с результатами
[191] показывает, что максимальная погрешность формулы
(8.27) составляет около 8%.
Интересно отметить, что приближенное выражение (8.27)
первоначально было эмпирически предложено в работе [149]
на основе обработки многочисленных экспериментальных дан-
ных. Описанный выше аналитический способ вывода уравнения
(8.27) изложен в [186].
Исследуем теперь стационарную конвективную диффузию к
поверхности плоской пластинки, обтекаемой поступательным
потоком вязкой несжимаемой жидкости при больших числах
Рейнольдса. Предполагается, что массоперенос осложнен гомо-
генной химической реакцией первого порядка. В приближении
диффузионного пограничного слоя соответствующая краевая
задача о распределении концентрации в объеме жидкости фор-
мулируется следующим образом:
u^ + ^-W=D^--K0C-, (8.28)
х = 0, С = 0; у = 0, C = Cs-t
у » оо, С ------► 0, (8.29)
где компоненты скоростей жидкости Wi и Vi определяются
асимптотикой решения Блазиуса вблизи поверхности пластин-
162
ки (8.19). С учетом соотношения (8.19) оценка каждого члена
дифференциального уравнения (8.28) дает
дС u„»/2cs дс
U1 дх ~ vi/2xs/2 ’ V1 ду ~ vi/2xs/2 ’
д2С DCS
D-Q-i------gA K£~KSCS. (8.30)
Используя описанную процедуру и оценки (8.30), заменяем
дифференциальное уравнение (8.28) алгебраическим
A8Uxs/2/(v1/2x2/2) + BKS = D/82, (8.31)
которое может быть представлено в более удобной форме
A Re^Sc + В Dax (х/6) = (х/8)8, (8.32)
где локальное число Рейнольдса Rex, число Шмидта Sc и ло-
кальное число Дамкелера Dax определяется формулами
Rex = и Mx/v, Sc = v/D, Dax = K^/D.
Учитывая далее, что локальный коэффициент массопереноса
дается выражением kx=D[8, а безразмерный локальный диф-
фузионный поток представляется в виде
lx = kxx/D = х/8, (8.33)
алгебраическое уравнение (8.32) можно записать следующим
образом:
A Re?/2Sc + В Daxjx = //. (8.34)
Неизвестные постоянные А и В могут быть вычислены пу-
тем дополнительного исследования предельных случаев К8=0 и
U ОО - 0. Первый случай соответствует простому растворению
плоской пластинки, обтекаемой потоком Блазиуса; второй слу-
чай описывает массообмен между пластинкой и неподвижной
жидкостью, в объеме которой протекает гомогенная химическая
реакция первого порядка. При Ks=0 решение задачи (8.28),
(8.29) приводит к предельному диффузионному потоку
jxl = 0,339Re//2ScVs (y<s = 0). (8.35)
В другом предельном случае решение вспомогательной зада-
чи (8.8) дает
jx,t = (^x2/D)V2 s Da?/2 (U„ = 0). (8.36)
Сопоставление выражений (8.34) — (8.36) позволяет опреде-
лить коэффициенты Л=(0,339)3, В = 1 и переписать уравнение
(8.34) в виде
/%1 4-/2х,2/ = /8. (8-37)
Уравнение (8.37) выведено ранее для общего случая произ-
вольного обтекания твердой поверхности для объемной химиче-
11*
163
ской реакции любого порядка (см. уравнение (8.6) гл. 3 и за-
мечание в конце разд. 8.7).
Ограничиваясь здесь тремя приведенными примерами ис-
пользования метода получения приближенных соотношений на
основе прямых оценок каждого члена дифференциального урав-
нения, необходимо отметить следующие два обстоятельства:
для стационарных задач метод совпадает с алгебраическим;
для нестационарных задач метод оценок эквивалентен первой
модификации алгебраического метода.
В работах [187, 188, 189, 191] метод оценок использовался
весьма непоследовательно: в одних погранслойных задачах при
выводе искомого приближенного алгебраического уравнения
учитывалась зависимость коэффициентов исходного дифферен-
циального уравнения от поперечной координаты х (как во вто-
ром и третьем примерах этого раздела), а в других этой зави-
симостью пренебрегали (например, в задаче о массообмене кап-
ли в поступательном стоксовом потоке при больших числах Пек-
ле и произвольном отношении вязкостей капли и окружающей
жидкости пренебрегали зависимостью коэффициентов уравне-
ний от угловой координаты 0; см. [189, 190]).
4.9. ОБЛАСТЬ ПРИМЕНИМОСТИ (И ВОЗМОЖНЫЕ
ОГРАНИЧЕНИЯ) АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МЕТОДА
Алгебраический метод с успехом может быть использован для
исследования весьма сложных линейных и нелинейных обык-
новенных дифференциальных уравнений, а также уравнений в
частных производных параболического типа, точные аналитиче-
ские решения которых неизвестны. Коэффициенты уравнений
могут быть переменными и зависеть от координат. В обыкновен-
ных дифференциальных уравнениях зависимость коэффициен-
тов от координаты £ должна представляться в виде некоторого
«полинома»
0<?0<?1<..., (9.1)
п=0
где “fn — необязательно целые числа. Аналогичную структуру
должны иметь коэффициенты уравнений в частных производ-
ных, где £ — погранслойная поперечная координата, направлен-
ная по нормали к поверхности, а коэффициенты ап в этом слу-
чае, вообще говоря, являются произвольными функциями дру-
гих продольных координат. В обоих случаях коэффициенты ап
могут зависеть также и от искомой функции. В задачах диф-
фузионного пограничного слоя выражения типа (9.1) появля-
ются естественным образом при разложении коэффициентов
исходного полного уравнения вблизи реагирующей (поглощаю-
щей) поверхности.
164
Область применимости алгебраического метода в задачах
химической технологии и физико-химической гидродинамики су-
щественно шире возможностей обычного интегрального метода
по следующим основным причинам.
1. Алгебраический метод за счет уточнения коэффициентов
искомого приближенного алгебраического уравнения обеспечи-
вает правильный асимптотический результат в соответствующих
предельных случаях, поэтому он значительно точнее интеграль-
ных методов.
2. Алгебраический метод приводит к точному результату для
обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными ко-
эффициентами, а также во всех задачах, описываемых уравне-
ниями в частных производных, когда решение автомодельно и
может быть представлено в виде с=<р(£/6), где <р=<р(х) и
6=6 (т)—некоторые функции (имеется в виду вторая модифи-
кация алгебраического метода; конкретные примеры такого
рода приведены ранее в разд. 4.5).
3. При использовании алгебраического метода отсутствует
проблема выбора подходящего исходного профиля, поэтому он
экономичнее интегральных методов.
4. Алгебраический метод дает возможность учитывать зави-
симость коэффициентов переноса от координат и искомой функ-
ции, т. е. позволяет избавиться от самого распространенного и
существенного хронического недостатка интегрального
метода.
Поясним сказанное в п. 4. Зависимость членов дифферен-
циального уравнения вида
от функции при интегрировании по толщине пограничного
слоя полностью пропадает, так как в соответствующем интег-
ральном тождестве этот член заменяется на —(<577д£)5=о (счи-
тается выполненным условие нормировки Х(0) = 1), а остальные
слагаемые имеют обычный вид (т. е. в интегральных методах
полностью теряется исходная информация о функциональной
зависимости Х=Л(Т) и полученное приближенное решение бу-
дет одинаковым для любых функций А,=Х(Т), где Х(0) = 1;
очевидно, что такой нелепости на самом деле быть не может).
Алгебраический метод путем уточнения коэффициентов искомо-
го алгебраического уравнения при помощи асимптотической
коррекции частично восстанавливает эту потерянную информа-
цию; более того, в некоторых случаях использование второй
модификации алгебраического метода может привести даже к
абсолютно точному результату (см. разд. 4.5).
Аналогичное замечание справедливо и для членов диффе-
ренциального уравнения вида
д Г дТ 1
-Э|-[(1 + гёя)-а|-] («>0),
165
интегрирование которых в пределах пограничного слоя также
приводит к потере информации о втором слагаемом (алгеб-
раический метод в данном случае эквивалентен комбинации
метода моментов с методом асимптотической коррекции и по-
зволяет учесть указанное обстоятельство; см., например,
разд. 4.2).
Из сказанного ясно, что алгебраический метод обладает ря-
дом преимуществ (и весьма значительных) по сравнению с ин-
тегральными.
К недостатку алгебраического метода можно отнести, во-
первых, его узкую направленность: он позволяет получить при-
ближенное выражение непосредственно для коэффициентов
массо- и теплопереноса (средних чисел Шервуда и Нуссельта,
локальных потоков и т. п.) и не дает сведений о распределении
концентрации и температуры в потоке; во-вторых, он предна-
значен для исследования задач с простейшим граничным усло-
вием первого рода при постоянной концентрации или темпера-
туре на поверхности и не позволяет рассматривать более слож-
ные граничные условия третьего рода типа (2.3) гл. 2 (далее
в разд. 8.9 будет указано возможное обобщение алгебраическо-
го метода, позволяющее исследовать задачи с граничными ус-
ловиями третьего рода).
Из результатов решения конкретных нестационарных задач
в разд. 4.4—4.6 следует, что первая модификация алгебраиче-
ского метода приводит к несколько завышенным значениям для
локального диффузионного потока или среднего числа Шерву-
да, а вторая, наоборот, дает соответственно заниженные значе-
ния (см., например, рис. 4.3 и 4.4). Это весьма полезное обстоя-
тельство можно использовать, если в качестве приближенного
значения среднего числа Шервуда выбирать полусумму средних
чисел Шервуда, вычисленных по первой и второй модификаци-
ям алгебраического метода. Погрешность такого способа рас-
чета всегда меньше общей максимальной погрешности, получен-
ной по обеим модификациям алгебраического метода, и, как
правило, меньше погрешности каждой из модификаций в от-
дельности (см. описание к рис. 4.3 и 4.4).
Отметим, что, хотя во всех многочисленных рассмотренных в данной гла-
ве задачах погрешность второй модификации алгебраического метода была
меньше, чем первой, за исключением задачи (4.25), (4.26) при т=0, можно
привести пример обратной ситуации. Для этого исследуем нестационарную
нелинейную краевую задачу для уравнения Бюргерса:
ди ди дги , п
“зГ ~ аи ~д$ = aF: (9-
т = О, « = 0; g = 0, U = l; 5 --------------> ОО, и ------>0, (9.3)
где а^О — некоторый параметр.
Уравнение (9.2) имеет самостоятельное значение и являлось предметом
интенсивного изучения в нелинейной акустике, теории распространения волн
166
в диссиапативных средах, нелинейной оптике, радиофизике, физике плазмы и
других областях науки (см., например, [115, 127]).
Уравнение (9.2) после растяжения координаты g по формуле (1.11)
принимает вид
ди . ( ди ] ( д2и )
"^7 — aJ (9.4)
Заменяя нестационарный член согласно правилу (3.1) и опуская члены в
фигурных скобках, приходим к следующему квадратному уравнению для ло-
кального потока:
r-i+a/ = /2, (9.5)
которое соответствует первой модификации алгебраического метода.
Асимптотики этого уравнения при больших и малых т имеют вид:
/оо = а (т ----► оо); (9.6)
/о=1/Ут (т ------->0). (9.7)
С учетом предельных формул (9.6) и (9.7) уравнение для локального
потока (9.5) можно переписать следующим образом:
/2-/оо/-/о2=0. (9.8)
При расчетах по этому квадратному уравнению в качестве вспомогатель-
ных параметров /«> и /0 следует использовать точные асимптотики, получен-
ные решением исходной нестационарной краевой задачи (9.2), (9.3) при
т->0 и т—>оо. При т->0 вторым слагаемым в левой части уравнения (9.2)
можно пренебречь, поэтому соответствующая асимптотика локального пото-
ка будет определяться формулой (4.9). В стационарном случае при т->оо
следует решить обыкновенное дифференциальное уравнение с граничными
условиями:
d2u
~au ~d£ <9*9>
£ = 0, и = 1; § ---> оо , и ----> 0.
Решение задачи (9.9) имеет вид:
w = 2/(ag+2). (9.10)
Дифференцируя это выражение по g, для предельного локального по-
тока находим
/00=а/2 (т ----► оо). (9.11)
Подставляя значения (4.9) и (9.11) в формулу (9.8), приходим к сле-
дующему квадратному уравнению для определения искомой временной за-
висимости:
= °- (9.12)
Используя вторую модификацию алгебраического метода, с учетом соот-
ветствия (3.8) вместо квадратного уравнения (9.5) имеем дифференциальное
уравнение
1 di
~Т ~sr+a>=l ' /(0)=~, (9.13)
которое с точностью до переобозначения параметра а на Ре совпадает с
уравнением (4.38). Поэтому в результате решения дифференциального урав-
нения (9.13) с последующей обработкой методом асимптотической коррекции,
167
которая проводится с учетом точных предельных значений (4.9) и (9.11),
получим следующую неявную зависимость локального потока от времени:
а / а \ л
— + 1П^_ —а2т. (9.14)
Для оценки точности приближенных выражений (9.12) и (9.14) постро-
им точное решение исходной краевой задачи (9.2), (9.3). Введение новой пе-
ременной w по формуле [151, 163]
2 д 2 dw
и=т ~dTlnw=^ ~дГ <9-15)
приводит нелинейное уравнение (9.2) к обычному линейному параболическо-
му уравнению с постоянными коэффициентами:
dw d2w
(9.16)
Граничное условие первого рода (9.3) при 5 = 0 в силу замены (9.15) пре-
образуются к более сложному линейному граничному условию третьего
рода
Л 1
5== 0, ~ == 2 апу>
(9.17)
а начальное и граничное условия на бесконечности (9.3) принимают вид
т = 0, w = 1;
5 —> °°, —> 1.
(9.18)
В силу однородности преобразования (9.15) по w, которое не меняется
при замене w на Aw (где А — произвольная постоянная), с учетом того, что
и=0 при o/=const, для удобства предельное значение для w при 5->о° в
(9.18) выбрано равным единице.
Локальный поток, согласно (9.15), должен вычисляться по формуле
( du \ 2 Г 1 d2w / 1 dw \2~[
к"дГД=-о= ~ \ "W) ]^о
2 / 1 д8и> \ а
= ~~а\~йГ Д=0 + -2’’
(9.19)
полученной с учетом граничного условия (9.17).
Для решения задачи (9.16) — (9.18) используем преобразование Лапла-
са — Карлсона. В результате приходим к следующему обыкновенному диф-
ференциальному уравнению для образа w:
p(w—1)=0; (9.20)
dw 1 _______ —
1 = 0, g ---► оо, w-----> 1.
Решение задачи (9.20) имеет вид
w = l —--, от/-.ехр( —УрЕ). (9.21)
Из (9.21) получаем необходимые выражения для образов при 5 = 0:
(“')^о=
21/р _
«4-2 1/р
d2w
~dg~
ар
1=0
а + 2
Р
168
Используя далее обратное преобразование Лапласа — Карлсона, нахо
дим соответствующие прообразы [55]:
/а2 \ / а \
(^=0 = ехР I ~ т ) erfc \”2~ Vх Ь
/ d2w \ а 1 а2 / а2 \ / а _ \
ЬгА-о= - т унт+—“Ц— (т V’}.
подстановка которых в формулу (9.19) приводит к следующей искомой
зависимости локального диффузионного потока от времени
• — 1 ехР (~-1/4а2'Т)
1 "|/лтГ erfc (т/2а Д/т)
(9.22)
Сопоставление приближенных выражений (9.12) и (9.14) с точным ре-
зультатом (9.22) показано на рис. 4.11. Видно; что погрешность формулы
(9.12) составляет 18%, что значительно меньше погрешности выражения
(9.14), которое дает расхождение порядка 5,2%. Другими словами, в дан-
ном случае использование первой модификации алгебраического метода при-
вело к более точному результату, чем применение второй.
Указанное весьма неожиданное обстоятельство можно пояснить следую-
щим образом. Разложение выражения (9.22) при т->оо дает
/“-F+-ST+-” <т---------->0°)- (9.23)
Видно, что в данном случае затухание решения на бесконечности носит
степенной характер. Такое асимптотическое поведение решения не встреча-
лось в задачах, рассмотренных ранее, где локальный поток всегда экспонен-
циальным образом (т. е. существенно быстрее) выходил на стационарный
режим.
Приближенное уравнение (9.12), соответствующее первой модификации
алгебраического метода, при т->оо приводит к весьма похожему на (9.23)
разложению
а 2 1
' = T + V£r+-” —* °°)-
Приближенная формула (9.14), выведенная путем применения второй моди-
фикации алгебраического метода, как обычно, задает экспоненциальный ха-
рактер убывания локального потока при т->оо с декрементом затухания
ла2/8.
Попробуем разобраться в причине та-
кой нестандартной ситуации. Известно, что
уравнение Бюргерса (9.2) обладает рядом
замечательных качеств, не присущих обыч-
ным уравнениям параболического типа. В
частности, оно имеет свойство, характер-
ное для уравнений гиперболического типа:
существуют точные решения уравнения
(9.2) типа уединенной бегущей волны, не
меняющей своей формы и движущейся с
постоянной скоростью [127]. Кроме того,
стационарный аналог уравнения Бюргерса
Рис. 4.11. Сопоставление приближенных
выражений для локального потока (9.12) и
(9.14) (сплошные линии) с точным резуль-
татом (9.22) (штриховая линия) для урав-
нения Бюргерса
169
(9.9) имеет особенности при 5~>оо ввиду граничного условия на бесконечно-
сти. Последнее приводит к тому, что решение вспомогательной задачи (9.9)
носит степенной характер затухания на бесконечности, а само стационарное
решение (9.10) не интегрируемо в пределах пограничного слоя. Во всех
рассмотренных ранее нестационарных задачах соответствующая стационар-
ная асимптотика имела экспоненциальный характер затухания при £->°о,
поэтому все несобственные интегралы сходились. Степенной характер убыва-
ния стационарного решения вспомогательной задачи при 5“*°° является
тем фактором, который приводит к очень слабому затуханию решения пол-
ной нестационарной задачи при т->оо.
Следует отметить, что если коэффициенты соответствующей нестационар-
ной краевой задачи не имеют особенностей (т. е. не обращаются в нуль или
бесконечность) во всём диапазоне изменения зависимых и независимых пе-
ременных (область изменения искомой величины задается ее значениями на
границах при 5 = 0 и 5->°°, которые известны из постановки задачи; в ис-
пользуемых в данной монографии безразмерных переменных это соответст-
вует отрезку [0, 1]), то решение будет определять экспоненциальный харак-
тер затухания локального потока при т->оо при условии /оо=#0. Сказанное
не относится к задаче (9.2), (9.3), где коэффициент при втором члене левой
части уравнения (9.2) обращается в нуль на границе интервала изменения
искомой величины и, так как В некоторых задачах, рассмотренных
ранее, коэффициенты уравнения имели особенности в области определения
независимой переменной (см., например, уравнение (4.25) при т=1, в кото-
ром коэффициент при первой производной по пространственной координате
f имеет две особенности при 5 = 0 и 5 = °°) и тем не менее там наблюда-
лось экспоненциальное убывание решения при т->оо. Это обусловлено тем,
что соответствующая стационарная задача имела экспоненциальный харак-
тер убывания решения при 5_>00’, Для уравнения и граничных условий
(9.2), (9.3) такой задачей является (4.32).
Из сказанного можно вывести следующие простые рекомен-
дации для проверки характера поведения решения нестационар-
ной задачи при т->оо, необходимые для правильного выбора
первой или второй модификации алгебраического метода (сте-
пенной характер затухания отвечает первой, а экспоненциаль-
ный — второй модификации):
1) если коэффициенты рассматриваемого дифференциально-
го уравнения не содержат особенностей и /оо=И=0, то локальный
поток экспоненциальным образом убывает при т->оо;
2) если коэффициенты уравнения имеют особенности (что
сразу должно насторожить исследователя), следует проверить
характер поведения решения соответствующей стационарной
задачи при 5_>оо> который и будет определять аналогичную
(степенную или экспоненциальную) структуру асимптотики ис-
ходной нестационарной задачи при т->оо.
Важно подчеркнуть, что в задачах химической технологии,
химической гидродинамики, макрокинетики и теории конвектив-
ного массо- и теплопереноса практически не встречаются урав-
нения типа Бюргерса (9.2), поэтому здесь несколько предпочти-
тельнее использовать вторую модификацию алгебраического
метода, приводящую к более точным результатам и лучше от-
ражающую качественную сторону процессов.
Алгебраический метод ввиду простых и формализованных
правил действия является, по существу, своеобразным прибли-
женным «операционным методом».
170
Глава 5
МЕТОД АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
В данной главе предлагается простой метод построения приближенных
формул — метод асимптотической интерполяции, основанный на использова-
нии известных двусторонних асимптотик решения соответствующей задачи,
что позволяет применять результаты асимптотических исследований непо-
средственно в инженерной практике. Изложение ведется на примере задач
химической технологии, конвективного массо- и теплообмена и гидродинами-
ки. Получены формулы для расчета интенсивности массо- и теплообмена
частиц, капель и пузырей с потоками различного типа. Приведены выраже-
ния, позволяющие определять коэффициенты сопротивления капель и пузы-
рей, движущихся в жидкости.
5.1. ОПИСАНИЕ МЕТОДА
Один из основных аналитических методов исследования слож-
ных линейных и нелинейных краевых задач — метод возмуще-
ний по малому или большому характерному безразмерному
параметру задачи, имеющий различные модификации (методы
растянутых координат, сращиваемых асимптотических разло-
жений, двухмасштабных разложений и др. [22, 67, 84]). Полу-
ченное этим методом решение, как правило, представляется
несколькими первыми членами асимптотического ряда и при-
менимо лишь в достаточно узком диапазоне изменения большо-
го или малого параметра (получающиеся асимптотические раз-
ложения очень часто расходятся или крайне медленно сходят-
ся). Указанные обстоятельства не позволяют оценить поведение
решения при промежуточных (конечных) значениях параметра
и накладывают существенные ограничения на использование
асимптотических формул для проведения расчетов непосредст-
венно в инженерной практике.
Для улучшения сходимости асимптотических разложений
применялись преобразования Шенкса и Эйлера, приближения
рациональными дробями, выбор естественных координат и др.
(см., например, [22, 193]). К сожалению, все перечисленные
методы весьма неуниверсальны и трудоемки; кроме того, для
их использования необходимо иметь достаточно большое число
членов асимптотического ряда (обычно не менее трех или четы-
рех), которые, как правило, заранее неизвестны. Поэтому в по-
давляющем большинстве случаев исследователи пытались ин-
терполировать асимптотическое решение на промежуточную
область, привлекая дополнительную информацию (которая, на-
пример, может быть получена путем численного решения рас-
сматриваемой задачи). Никаких рекомендаций достаточно об-
щего характера для проведения такого интерполирования до
сих пор, по-видимому, высказано не было.
В этой главе излагается простой и довольно универсальный
способ, позволяющий на основе асимптотических формул (без
привлечения какой-либо другой дополнительной информации)
171
получать приближенные выражения, которые могут быть ис-
пользованы непосредственно в инженерной практике. Изложе-
ние ведется на примере задач конвективного массо- и теплооб-
мена и гидродинамики.
Основой для построения дальнейших приближенных (инже-
нерных) формул являются двусторонние асимптотические раз-
ложения средних чисел Шервуда (Нуссельта) при малых и
больших числах Пекле, полученные для различного рода ситуа-
ций конвективного массо- и теплообмена частиц, капель и пу-
зырей с потоком.
Наиболее простые приближенные формулы, позволяющие
приближенно определять средние числа Шервуда во всем диа-
пазоне чисел Пекле 0^Ре<оо, как правило, можно получить,
взяв сумму главных членов асимптотик среднего числа Шерву-
да при малых и больших числах Пекле:
Sh/Sh0 ► 1 (Ре ----► 0); (1.1)
Sh/Sh0 > ВРе"1 (Ре -----> оо). (1.2)
В этом случае возникают интерполяционные формулы вида
Sh/Sh0 = 1 +BPem, (1.3)
где Sho — среднее число Шервуда, соответствующее массооб-
мену неподвижной частицы с окружающей средой при Ре=0.
В частности, для поступательного стоксова обтекания твердой
сферической частицы выражение (1.3) переходит в формулу
[20]
Sh = 1 + 0,624Ре1/*. (1.4)
Видно, что приближенное выражение (1.3) обеспечивает пра-
вильный асимптотический результат в предельных случаях
Ре-»-0 (1.1) и Ре->-оо (1.2). Однако, как показывает сравнение
с известными численными результатами, такой способ построе-
ния интерполяционных формул обычно дает значительную по-
грешность и малопригоден для практического использования.
Это обстоятельство обусловлено тем, что параметр т, соответ-
ствующий асимптотике Sh на бесконечности (1.2) принимает
значения 0<т<1, где соответствует вязкому обтеканию
капель и пузырей, а также невязкому обтеканию тел идеальной
жидкостью; т=1/з — вязкому обтеканию твердых частиц глад-
кой формы; m=xli — вязкому обтеканию тел плохообтекаемой
формы (см., например, [20, 76, 104]). Неравенство 0<т<1
приводит к бесконечной производной в нуле для указанной вы-
ше приближенной зависимости (1.3):
(d Sh/d Ре)ре=0 = оо.
Точное же значение, соответствующее производной от истинной
величины Sh, как правило, ограничено. Указанное различие и
является основной причиной того, что двучленные приближен-
ные формулы, состоящие из суммы главных членов асимптотик
172
Рис. 5.1. Число Шервуда для сферической Sh
частицы в поступательном потоке: 1,8
/ — по данным [6, 10]; 2 — по формуле (2.5); 3 —
по формуле (1.4)
1,6
среднего числа Шервуда (1.3), да-
ют сильно завышенные значения
при умеренных числах Пекле Ре=
= 0,2—5,0. На рис. 5.1 показано 1>2
поведение истинной (сплошная ли-
ния) и приближенной (1.4) (штри- ,0
ковая линия) зависимости среднего
числа Шервуда в области малых и умеренных чисел Пекле для
твердой сферической частицы, обтекаемой поступательным
стоксовым потоком. Видно, что погрешность формулы (1.4)
составляет около 35,5%.
Для построения интерполяционных формул применим здесь
другой существенно более точный способ, заключающийся в бо-
лее полном использовании имеющейся асимптотической инфор-
мации о среднем числе Шервуда. Идея метода была изложена
в работах [101, 181] и заключается в следующем. Пусть асимп-
тотика среднего числа Шервуда при малых числах Пекле с точ-
ностью до о(Реп) определяется выражением
Sh/Sh0 = 1 + А Ре” (Ре -------> 0), (1.5)
где параметры А и п зависят от формы и вида (твердая, жид-
кая или пузырь) частицы и типа течения (поступательный или
сдвиговый поток и т. п.).
Искомую приближенную зависимость среднего числа Шер-
вуда от числа Пекле естественно искать в виде формулы
Sh/Sho =1 + 4 Ре”Ф (Ре), Ф (0) = 1, (1.6)
которая сохраняет тот же порядок точности при Ре->0, что и
двучленная асимптотика (1.5).
Функция Ф(Ре) задается априорно из различных соображе-
ний и, как правило, зависит от нескольких параметров, которые
подбираются далее из условия, чтобы приближенная формула
(1.6) с заданной точностью давала правильный асимптотиче-
ский результат в другом предельном случае при Ре->оо. В част-
ном случае, когда известен только старший член асимптотики
среднего числа Шервуда при больших числах Пекле (1.2) в ка-
честве такой функции Ф можно взять Ф=(1+ЕРе*)’, которая
при q=—1 в результате предельного перехода при Ре->-оо в
(1.6) и последующего сопоставления выражений (1.2) и (1.6)
приводит к следующей наиболее простой интерполяционной
формуле для среднего числа Шервуда
Sh А Ре”
Sh0 “ 1 + 1 + (A/В) Ре»-”» • <1 -7>
173
Эту формулу уже можно использовать для практических
целей во всем диапазоне изменения числа Пекле 0^Ре<оо при
выполнении условий
Д>0; В>0; п>т>0, (1.8)
из которых первые два являются следствием очевидного факта,
что среднее число Шервуда монотонно возрастает с увеличени-
ем числа Пекле (dSh/dPe)>0; последнее условие означает,
что скорость роста среднего числа Шервуда должна умень-
шаться при возрастании числа Пекле (d2 Sh/dPe2<0).
По построению приближенное выражение (1.7) обеспечивает
правильный асимптотический результат в предельных случаях
малых (1.5) и больших (1.2) чисел Пекле. Из сопоставления
соотношений (1.5) и (1.7) следует также, что формула (1.7)
дает точное значение производной dSh/dPe при Ре=0.
Это обстоятельство должно привести к заметному улучшению
точности интерполяционной формулы (1.7) по сравнению с дву-
членом (1.3) в области умеренных чисел Пекле (0,2 Ре ^5,0).
5.2. МАССО- И ТЕПЛООБМЕН КАПЕЛЬ, ЧАСТИЦ
И ПУЗЫРЕЙ С ПОСТУПАТЕЛЬНЫМ И СДВИГОВЫМ
потоком
Проиллюстрируем использование интерполяционной формулы
(1.7) для некоторых конкретных ситуаций, имеющих практиче-
ский интерес. Попутно в тех случаях, когда это представляется
возможным, проведем сопоставление полученных результатов с
уже имеющимися точными или приближенными выражениями,
что позволит оценить точность и область применимости интер-
поляционной формулы (1.7). Для простоты пока ограничимся
случаем реагирующих в диффузионном режиме частиц, капель
и пузырей сферической формы, что соответствует значению
Sh0=l в (1.1) — (1.7) (здесь и далее при записи безразмерных
величин Ре, Re, Sh, Nu и т. д. за характерный масштаб длины,
как всегда, выбран радиус сферы а).
Пузырь и капля умеренной вязкости в поступательном по-
токе. Для сферического пузыря, обтекаемого поступательным
стоксовым потоком, первые два члена асимптотического разло-
жения среднего числа Шервуда при малых числах Пекле опре-
деляются формулой [145]
Sh=l + 1/2Pe (Ре -> 0), (2.1)
что соответствует значениям Л = ’/г и п=1 в выражении (1.5).
При больших числах Пекле из данных [76] имеем
(2ре \1/а
=0,461PeV2 (Ре --------> оо), (2.2)
что приводит к значениям В=0,461 и т=х12 в соотношении
(1.2).
174
Рис. 5.2. Зависимость числа Шервуда от числа Пекле для поступательного
обтекания:
а — пузыря; / — по формуле (2.3); 2 — по данным [1]; 3 — по данным [174]; 4 — асимп-
тотики при малых и больших числах Пекле, формулы (2.1) и (2.2) соответственно;
б — твердой сферы; / — по формуле (2.5); 2 — по данным [144]; 3— по данным [2]; 4 —
асимптотики при малых и больших числах Пекле, формулы (2.1) и (2.4) соответственно
Используя формулу (1.7), с учетом явного вида асимптотик
(2.1) и (2.2) получаем искомую интерполяционную зависимость
среднего числа Шервуда от числа Пекле:
О 5Ре aU
sh=1+rft^’ Ре=~^* (2-3)
где 1/оо — невозмущенная скорость потока на бесконечности;
D — коэффициент диффузии. Здесь и далее все числовые коэф-
фициенты в окончательном выражении типа (2.3) будут округ-
ляться только до двух значащих цифр.
Пригодность приближенного выражения (2.3) при промежу-
точных значениях чисел Пекле проверялась путем сравнения
(2.3) с приведенными в [1, 174] результатами численного ре-
шения соответствующей задачи о массообмене сферического
пузыря. Результаты этого сопоставления показаны на рис. 5.2, а.
Видно, что максимальная погрешность формулы (2.3) состав-
ляет 10—12%. Необходимо отметить, что погрешность модифи-
цированной формулы (2.3), в знаменателе которой отброшено
первое слагаемое (и которая при Ре->0 дает правильно только
один старший член разложения (1.1) и соответствует сумме
главных членов асимптотик среднего числа Шервуда при малых
и больших числах Пекле), будет значительно больше и состав-
ляет 18%.
Выражение (1.7) при Л = 72, n=l, В—0,46(0 +1)~1/2, т=
= ’/2 (0— отношение динамических вязкостей капли и окружа-
ющей жидкости; значение 0=0 соответствует пузырю, формула
(2.3)) можно использовать для расчета массообмена капли
умеренной вязкости О^0^1; при этом погрешность прибли-
женной формулы постепенно увеличивается с ростом парамет-
ра 0 достигая 13—15% при 0=1.
175
Твердая сфера в поступательном потоке. В случае твердой
сферы (р=<ю) при малых числах Пекле остается справедливой
двучленная формула (2.1). При больших числах Пекле глав-
ный член асимптотики среднего числа Шервуда определяется
выражением
Sh = 0,624Ре1/» (Ре--► оо). (2.4)
Сопоставляя (1.2), (1.5) и (2.4), (2.1) для параметров разло-
жения получаем следующие значения: Л = '/2, В=0,624, п=1,
лг=1/з. Подставляя эти постоянные в формулу (1.7), приходим
к приближенной зависимости для среднего числа Шервуда
Sh = 1 + 0,5Ре (1 + 0, вРе2/»)-1. (2.5)
Из сравнения с результатами численного решения соответст-
вующей задачи о массообмене твердой сферы [2, 144] следует
(см. рис. 5.2, б), что максимальная погрешность формулы (2.5)
во всем диапазоне изменения числа Пекле не превосходит 11—
13% (погрешность соответствующей приближенной формулы
(1.4), которая дается суммой старших членов асимптотик при
малых и больших числах Пекле в данном случае очень велика
и составляет более 35%, см. рис. 5.1).
Твердая сфера в простом сдвиговом потоке. Рассмотрим мас-
сообмен реагирующей в диффузионном режиме твердой сфери-
ческой частицы, свободно взвешенной в линейном сдвиговом
потоке, поле скоростей которого вдали от частицы в декартовой
системе координат Xi, х2, х3 имеет вид
г ► ОО, v1==Gx8, v2 = v3 = 0 (г = Ух124- x224-xs2), (2.6)
где G — коэффициент сдвига. Отметим, что формула (2.6) за-
писана в размерных переменных.
В стоксовом приближении решение гидродинамической за-
дачи об обтекании частицы простым линейным сдвиговым по-
током (2.6) получено в работе' [152]. Асимптотика среднего
числа Шервуда при малых числах Пекле задается формулой
[160]
Sh= 1 + 0,257PeV2 (Ре---► 0), (2.7)
что соответствует значениям А = 0,257 и п=у/3 в соотношении
(1.5). При больших числах Пекле имеет место следующее пре-
дельное свойство [136]:
Sh = 4,5 (Ре --->- оо), (2.8)
которое задает параметры В=4,5 и т=0 в соотношении (1.2).
Ограниченность среднего числа Шервуда при Ре->оо обуслов-
лено наличием в данном случае целиком окружающей частицу
области течения с полностью замкнутыми линиями тока, что
существенно снижает интенсивность процесса массопереноса.
Как и ранее, приближенную зависимость для Sh ищем, исполь-
зуя выражение (1.7), что с учетом приведенных ранее асимпто-
176
тик позволяет получить следующую приближенную формулу
для среднего числа Шервуда:
Sh=l+0,26PeV2(l+0,057PeV2)-i> Pe = a2G/D. (2.9>
Следует подчеркнуть, что в рассмотренном случае вообще
нельзя построить двучленную интерполяционную формулу типа
(1.3), основанную лишь на сумме главных членов асимптотик
среднего числа Шервуда при малых и больших числах Пекле.
Твердая сфера в произвольном деформационном линейном
сдвиговом потоке. В случае произвольного деформационного
линейного сдвигового течения поле скоростей жидкости вдали
от частицы определяется выражением
Г ---► оо, vi = (2.10)
где Gij и vi — компоненты тензора сдвига и вектора скорости
жидкости в декартовой системе координат %i, х2, Хз; здесь и
далее по повторяющимся индексам i, /=1, 2, 3 ведется сумми-
рование. Величины Gi/ удовлетворяют условиям
Gij = Gji, Gjj 4- G22 + G33 = 0, (2.11)
где равенство суммы диагональных элементов нулю является
следствием условия несжимаемости жидкости div о=0.
При построении приближенной формулы для среднего числа
Шервуда, соответствующего массопереносу к твердой сфере, об-
текаемой линейным сдвиговым потоком (2.10), (2.11), восполь-
зуемся результатами работы [140], где были получены следу-
ющие асимптотики при малых и больших числах Пекле:
Sh = 1 + О.ЗбРе1/2 (Ре -► 0), (2.12)
Sh = 0,9Pe1/s (Ре -> оо). (2.13)
С учетом представления (1.7) и выражений (2.12), (2.13), ко-
торые определяют значения параметров .4 = 0,36; «=’/2; В=
=0,9; /п=*/з, приходим к искомой формуле
Sh = 1 + 0,36PeVa (1 4- 0,4PeVe)-i; Ре = a2 (Gifi^lD. (2.14)
Выражения (2.9), (2.14) позволяют приближенно вычислять
среднее число Шервуда на реагирующую в диффузионном ре-
жиме твердую сферическую частицу, обтекаемую линейными
сдвиговыми течениями различного типа, во всем диапазоне
изменения числа Пекле 0^Ре<оо. К сожалению, в настоящее
время отсутствуют какие-либо численные результаты, позво-
ляющие оценить точность предложенных формул. По аналогии
с поступательным потоком следует ожидать, что максимальная
погрешность этих приближенных выражений составляет около
10%.
Массоперенос к плоскому диску, ось которого направлена
вдоль по потоку. Нетрудно построить также аналогичные при-
ближенные формулы для среднего числа Шервуда в случае
частиц несферической формы. В частности, для плоского диска,
12-1391
177
ось которого направлена вдоль потока, можно использовать
асимптотические результаты [104, 145], справедливые соответ-
ственно при малых и больших числах Пекле:
Sh/Sh0 = 1 + 1/2Sh0Pe, Sh0 = 2/я (Ре -----► 0), (2.15)
Sh = 0,49PeV<i (ре ---> оо). (2.16)
При записи безразмерных выражений (2.15), (2.16) за харак-
терный масштаб длины выбирался радиус диска.
Опуская промежуточные выкладки, которые проводятся с
учетом формул (2.15), (2.16) (значение параметра В определя-
ется путем деления обеих частей равенства (2.16) на Sho) и
представления (1.7), для среднего числа Шервуда в этом слу-
чае получим
Sh
Sho
O,5ShpPe
+ 1 4-O,65ShoPe3/4’
Sho = ^-~O,64. (2.17)
Безразмерный полный диффузионный поток на поверхность
диска пересчитывается по формуле /=4nSh.
5.3. МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА АСИМПТОТИЧЕСКОЙ
ИНТЕРПОЛЯЦИИ (КОЭФФИЦИЕНТ СОПРОТИВЛЕНИЯ
ПУЗЫРЯ)
Рассмотрим теперь несколько конкретных примеров построения
приближенных формул, которые «на прямую» не укладываются
в изложенную в разд. 5.1 схему, но могут быть выведены путем
некоторой модификации описанного метода.
Коэффициент сопротивления сферического пузыря. Исполь-
зуем теперь предложенный выше метод построения интерполя-
ционных формул для получения приближенной зависимости
коэффициента сопротивления сферического пузыря Сх от числа
Рейнольдса Re=a(7oo/v (v — коэффициент кинематической вяз-
кости). При малых числах Рейнольдса для коэффициента со-
противления имеем [196]:
Сх = 8Re-i + 1 (Re -> 0). (3.1)
Здесь, как всегда, приведено только два главных члена соот-
ветствующего разложения. В другом предельном случае (при
Re->oo) получим [172]:
Cx = 24Re-i (Re -► оо). (3.2)
Из формул (3.1), (3.2) следует, что коэффициент сопротив-
ления уменьшается при увеличении числа Рейнольдса, т. е. име-
ет место ситуация, обратная той, которая наблюдается при
конвективном массо- и теплообмене частиц с потоком, где сред-
нее число Шервуда монотонно увеличивалось при увеличении
числа Пекле. Ясно, что данный случай не укладывается в схе-
му, описанную в разд. 5.1. Тем не менее нетрудно указать не-
значительную модификацию метода асимптотической интерпо-
178
ляции, позволяющую получить искомую приближенную зави-
симость коэффициента сопротивления от числа Рейнольдса.
Выделяя комплекс
У = VARe, (3.3}
асимптотики (3.1), (3.2) можно записать в более удобном виде:
7=1+ VgRe (Re -----> 0); у = 3 (Re -----> оо),
что позволяет непосредственно использовать выражение (1.7),
в котором следует положить
Sh/Sh0 = y, А = 1/8, я=1, В=3, т = 0. (3.4)
В результате описанной процедуры, с учетом соотношений
(1.7), (3.3), (3.4) приходим к интерполяционной формуле
8 1
Сх= Re + 1+VuRe ’ (3-5>
позволяющей вычислить коэффициент сопротивления сфериче-
ского пузыря во всем диапазоне изменения чисел Рейнольдса.
На рис. 5.3 показано сопоставление формулы (3.5) с приве-
денными в [111] результатами численного решения соответст-
вующей задачи об обтекании пузыря. Видно, что максимальная
погрешность приближенной формулы (3.5) составляет менее
4,5%.
Массообмен сферического пузыря в произвольном деформа-
ционном линейном сдвиговом потоке. Получим теперь интерпо-
ляционную формулу для среднего числа Шервуда при произ-
вольном деформационном линейном сдвиговом обтекании пузы-
ря сферической формы. Распределение скоростей жидкости
вдали от пузыря в этом случае задается выражениями (2.10),
(2.11). При малых числах Пекле двучленная асимптотика
среднего числа Шервуда, как и ранее, дается выражением
(2.12).
Расширяя предложенное в [140] представление о характер-
ной скорости деформационного линейного сдвигового обтекания
твердых частиц на капли и пузыри, с учетом соответствующих
результатов для случая осесимметричного сдвигового обтекания
капли [28], можно получить [100] формулу
Ре1/» а» (GhGh)1/»
sh = 0,62.(p+----.., Pe = -L%^_ (Ре—>00), (3.6)
позволяющую при больших числах Пекле приближенно вычис-
лять среднее число Шервуда для реагирующей в диффузион-
ном режиме сферической капли умеренной вязкости (О^0<: 1),
обтекаемой произвольным деформационным линейным сдвиго-
вым стоксовым потоком. Случай пузыря соответствует значе-
нию р=0 в (3.6).
Из выражения (2.12) видно, что асимптотика среднего чис-
ла Шервуда при малых числах Пекле определяется значением
12*
179
Рис. 5.3. Зависимость коэффициента
сопротивления сферического пузыря
от числа Рейнольдса:
/ — по формуле (3.5); 2 — по данным [111];
3 — асимптотики (3.1) и (3.2)
п=72. С другой стороны из
формулы (3.6) следует, что
среднее число Шервуда при
больших числах Пекле имеет
порядок Ре1/2 и т=1/2. Под-
становка параметров п=т =
= 1/г в формулу (1.7) приво-
дит к выражению, которое не
обеспечивает правильный
асимптотический результат в обоих предельных случаях при
Ре->0 (2.12) и Ре->оо (3.6). Это означает, что в соотношении
(1.6), где Ф(Ре) = (1+£Ре')-1, уже нельзя подобрать констан-
ту Е так, чтобы одновременно выполнялась двучленная асимп-
тотика при малых числах Пекле (2.12) и одночленная асимпто-
тика— при больших (3.6). Поэтому в данном случае для по-
строения искомой приближенной зависимости среднего числа
Шервуда от числа Пекле понадобится несколько большая, чем
обычно, предварительная информация.
Для дальнейшего воспользуемся результатами работы [135],
полученными при малых числах Пекле:
Sh= 1 4-0,36Pei/»+0,13Pe (Ре---> 0). (3.7)
Здесь выписаны только три главных члена соответствующего
асимптотического разложения. Отметим, что выражение (3.7)
уточняет формулу (2.12).
В рассматриваемом здесь случае массообмена сферического
пузыря с произвольным линейным деформационным сдвиговым
потоком за основу построения соответствующей приближенной
формулы для среднего числа Шервуда возьмем трехчленное
разложение при малых числах Пекле (3.7) с множителем
(1+£ Ре*)-1 при третьем члене. Удовлетворяя условию совпа-
дения главного члена асимптотики приближенного выражения
при Ре->оо с результатом (3.6), определяем постоянные Е=
=0,5 и 1=х1г, что приводит к следующей интерполяционной
формуле для среднего числа Шервуда:
, 0,13Ре a2(G?Ai)1/4
Sh=l+0,36PeV» + ^5p-.-> ре = -^Х.-, (3.8)
Конвективный массоперенос к сферической капле или твер-
дой частице при протекании на ее поверхности гетерогенной хи-
мической реакции первого порядка. Исследуем сначала массо-
обмен капли или твердой частицы сферической формы с посту-
пательным стоксовым потоком, осложненный поверхностной
химической реакцией первого порядка.
180
В этом случае соответствующее двучленное асимптотическое
разложение среднего числа Шервуда при малых числах Пекле
имеет вид
Sh = <? + 4- <?2Ре; (3.9)
4 = *s-М » kt = <Ре *0)’
где Ks — константа скорости поверхностной химической реак-
ции. При больших числах Пекле вся поверхность частицы ра-
ботает в кинетическом режиме, что приводит к следующему
значению среднего числа Шервуда (см. разд. 3.2):
Sh = £s (Ре----► оо). (3.10)
Видно, что асимптотики (3.9) и (3.10) для капли и твердой
частицы совершенно одинаковы. Отсюда следует, что прямое
.использование метода асимптотической интерполяции также не
даст никакого различия для этих случаев, что ни в коей мере
не соответствует действительности. Отсюда можно сделать со-
вершенно неправильный вывод о бесполезности метода асимп-
тотической интерполяции в данной ситуации.
Покажем теперь как последовательное использование мето-
да асимптотической интерполяции в комбинации с методом
асимптотической коррекции позволяет вывести весьма точную
приближенную формулу для среднего числа Шервуда.
Учитывая, что асимптотики (3.9) и (3.10) соответствуют
значениям A=q1l<l, B=ks, п=1, т=0 в выражении (1.7), для
среднего числа Шервуда в результате применения процедуры
асимптотической интерполяции получим
О2Ре ke
Sh = ?+ 2 + 9fes-ipe ’ q= ks+1 •
Формула (3.11) обеспечивает правильный асимптотический
результат в трех предельных случаях:
ks----► 0 (Ре = const); Ре-----► 0 (ks = const);
Ре----► оо (ks = const). (3.12)
В оставшемся предельном случае при ks-+oo из выражения
(3.11) имеем:
She = 1 + х/2Ре (ks----> «>), (3.13)
что не соответствует действительности.
Выражая теперь из формулы (3.13) число Пекле Ре через
вспомогательное число Шервуда Shoo и подставляя его далее
в (3.11), после элементарных преобразований приходим к сле-
дующей интерполяционной формуле:
Sh = ^sShe>/(As4-Sh00), Sh» = Sh» (Ре). (3.14)
Если теперь, как всегда, «забыть», что величина Shoo опре-
деляется выражением (3.13), а вычислять ее путем решения
181
соответствующей краевой задачи для чисто диффузионного ре-
жима реакции на поверхности капли или твердой частицы (в
частности, для случая пузыря в качестве вспомогательного
числа Шервуда можно использовать формулу (2.3), где следует
положить ShsShoo, а для твердой сферы — выражение (2.4)),
то конечная зависимость (3.14) будет существенно более точ-
ной, чем промежуточная формула (3.11). Это обусловлено сле-
дующим: во-первых, выражение (3.14) обеспечивает правиль-
ный асимптотический результат уже во всех предельных слу-
чаях больших и малых значений параметров ks и Ре; во-вторых,
формула (3.14) уже приводит к различным результатам для
капли и твердой частицы (за счет зависимости Sh«,= Sh оо (Ре),
различной для этих случаев), в отличие от (3.11). Следует под-
черкнуть, что на последнем этапе при переходе от выражения
(3.11) к (3.14) использовалась процедура асимптотической кор-
рекции по параметру ks.
Отметим, что приближенная формула (3.14) получена ранее
совсем другим способом в разд. 3.2. Из приведенных там сопо-
ставлений с результатами численных расчетов следует, что
максимальная погрешность выражения (3.14) составляет менее
5%.
Рассмотрим теперь конвективный массоперенос к сфериче-
ской капле или твердой частице, обтекаемой произвольным де-
формационным линейным сдвиговым потоком, поле скоростей
жидкости вдали от частицы определяется выражениями (2.10),
(2.11). Как и ранее, считаем, что на поверхности частицы про-
текает гетерогенная химическая реакция первого порядка. При
малых числах Пекле для среднего числа Шервуда в этом слу-
чае имеем [95]
Sh = q -|- aq2 Д/рё',
а = 0,36, ? = М^+1) (Ре ---->0). (3.15)
Отметим, что эта формула при ks-+oo переходит в (2.11).
В другом предельном случае соответствующая асимптотика да-
ется выражением (3.10).
Используя формулу (1.7), с учетом соотношений (3.10) и
(3.15) в результате применения асимптотической интерполяции
для среднего числа Шервуда получим
Sh = <? + a92VP^(l Н-ос^-1 УРё)’1- (3.16)
Предельный переход при fes->-oo в этом выражении дает
Sh00=14-aype. (3.17)
Исключая теперь число Пекле из формул (3.16) и (3.17),
приходим к тому же конечному результату, что и в случае по-
ступательного потока (3.14).
182
5.4. ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ФОРМУЛ
С ПОМОЩЬЮ СДВИГОВ ПО КООРДИНАТАМ
Опишем еще один простой способ построения приближенных
зависимостей, основанный на сдвигах по зависимой и независи-
мой координатам в главном члене асимптотического разложе-
ния искомой величины при больших значениях характерного
параметра задачи. Константы сдвигов подбираем из условия
совпадения двух первых членов разложения полученного выра-
жения с точным асимптотическим результатом при малых зна-
чениях характерного параметра. Изложение будем вести на
примере задач конвективного массо- и теплопереноса, рассмот-
ренных в разд. 5.1.
Пусть для среднего числа Шервуда известны одночленная
асимптотика при больших числах Пекле и двучленная — при
малых
Sh=BPem (Ре-----► оо); (4.1)
Sh = l+APe (Ре ---> 0). (4.2)
Здесь, в отличие от соответствующих выражений (1.3) и (1.5),
для простоты считаем, что Sho= 1, п=1.
В формуле (4.1) сделаем сдвиги по обоим параметрам:
Sh->Sh+const, Ре->Ре+const. В результате получим выраже-
ние
Sh = В (Ре + а)т + р, (4.3)
асимптотика которого при больших числах Пекле совпадает с
(4.1), а постоянные аир, будут определены далее.
При малых числах Пекле из (4.3) имеем:
Sh = р + Ват + znBam-1Pe + ... (4.4)
Потребуем теперь совпадения приближенной асимптотики
(4.4) с точным результатом (4.2). Эти условия приводят к
уравнениям для неизвестных постоянных аир:
р, + Ва"1 = 1, тВ<зт-1 = А,
решение которых имеет вид:
а = (тВ/А)М1-т), р = 1 - В (тВ/А)^1-^.
Подставляя эти выражения в (4.3), получаем приближен-
ную формулу для среднего числа Шервуда
Sh = B(Pe+a)«+ 1 — Ват, где а= (тВ/А)Ч^-т>, (4.5)
обеспечивающую правильный асимптотический результат при
больших и малых числах Пекле (4.1) и (4.2).
Продемонстрируем теперь эффективность предложенного
метода построения приближенных зависимостей на конкретных
примерах.
Диффузия к пузырю в поступательном потоке. Для сфери-
ческого пузыря в поступательном стоксовом потоке асимптоти-
183
ки среднего числа Шервуда при больших и малых числах Пек-
ле даются формулами (2.2) и (2.1), что соответствует значе-
ниям /п=1/2, В=0,461, Л = ’/2 в выражениях (4.1) и (4.2).
Подставляя эти параметры в формулу (4.5), приходим к при-
ближенной зависимости для среднего числа Шервуда
Sh = 0,46 (Ре+0,21)1/2 + 0,79, (4.6)
где все числовые коэффициенты округлены до двух значащих
цифр.
Сопоставление с результатами численного решения соответ-
ствующей задачи на ЭВМ [1, 20, 174] показывает, что макси-
мальная погрешность формулы (4.6) во всем диапазоне изме-
нения числа Пекле составляет менее 7,5%.
Массообмен сферической частицы в поступательном потоке.
Для сферической частицы, обтекаемой поступательным стоксо-
вым потоком, среднее число Шервуда при больших числах Пек-
ле имеет асимптотику (2.4), а при малых числах Пекле спра-
ведливо разложение (2.1). Поэтому параметры, входящие в
выражения (4.1) и (4.2), равны А = Чг, В=0,624, т=1/з. Под-
ставляя эти значения в (4.5), получаем простую приближенную
формулу для среднего числа Шервуда:
Sh = 0,62 (Ре + 0.27)1/8 + 0,6. (4.7)
Из результатов численных расчетов [2, 20, 144] следует,
что максимальная погрешность выражения (4.7) менее 8%.
Важно подчеркнуть, что приближенные зависимости (4.6)
и (4.7) являются более точными (примерно в 1,5 раза), чем
аналогичные формулы (2.3) и (2.5), выведенные ранее другим
способом в разд. 5.1.
Рассмотрим теперь более сложный случай, когда асимпто-
тика среднего числа Шервуда при больших числах Пекле оста-
ется прежней (4.1), а соответствующее двучленное разложение
при малых числах Пекле имеет вид
Sh=l + 4Pe", п>0 (Ре------> 0). (4.8)
Этот случай заменой Р=Реп с точностью до очевидных пере-
обозначений сводится к рассмотренной ранее более простой
ситуации (4.1), (4.2) с параметрами разложений А=А, В=В,
т=т/п. Учитывая сказанное и воспользовавшись выражением
(4.5), нетрудно получить следующую приближенную зависи-
мость для среднего числа Шервуда:
/ nA \fHlm-n)
Sh = В (Ре" + а)"1/" + 1— Вот1п, где а= . (4.9)
Эта формула приводит к правильным асимптотическим ре-
зультатам (4.1), (4.8) при больших и малых числах Пекле и в
частном случае п= 1 совпадает с выражением (4.5).
Воспользуемся теперь формулой (4.9) для вывода новой
приближенной зависимости, представляющей практический ин-
терес.
184
Диффузия к частице в произвольном деформационном сдви-
говом потоке. В общем случае обтекания твердой сферы произ-
вольным деформационным сдвиговым течением асимптотики
среднего числа Шервуда даются формулами (2.12) и (2.13).
Поэтому параметры разложения, которые конкретизируют пре-
дельные соотношения (4.1) и (4.8), будут равны Л = 0,36; В=
= 0,9; «=*/2; гп=1/з- Подставляя эти значения в выражение
(4.9), для среднего числа Шервуда имеем:
Sh = 0,9 (Ре1/2 -f-4,6)2/8 —1,5. (4.10)
По аналогии с поступательным потоком следует ожидать,
что максимальная погрешность формулы (4.10) составляет 8—
10%.
Укажем еще один возможный способ получения приближен-
ных формул, основанный на использовании двучленного асимп-
тотического разложения искомой величины при больших значе-
ниях характерного параметра. Для конкретности рассмотрим
следующую задачу. ’
Диффузия к сферической частице в поступательном потоке.
В работе [138] получено двучленное разложение среднего чис-
ла Шервуда на сферическую частицу в поступательном стоксо-
вом потоке при больших числах Пекле
Sh = 0,624PeV» +0,461 (Ре -► оо). (4.11)
Приближенная формула (4.11) не удовлетворяет асимпто-
тическому условию в предельном случае малых чисел Пекле,
где среднее число Шервуда должно стремиться к единице. Вы-
ражение (4.11) нетрудно подправить с помощью простого сдви-
га по числу Пекле Ре->Ре+const, выбирая постоянную так,
чтобы в результате такой процедуры модифицированная фор-
мула уже обеспечивала правильный результат при Ре->0. Ука-
занный способ позволяет получить следующую приближенную
зависимость для среднего числа Шервуда:
Sh = 0,62(Pe+0,65)V8-|-0,46. (4.12)
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что два пер-
вых члена разложения (4.12) при Ре->оо совпадают с (4.11);
кроме того, по построению при Ре->0 из (4.12) получим Sh->-l.
Сопоставление с результатами численного решения соответ-
ствующей задачи [20, 144, 150] показывает, что максимальная
погрешность приближенной формулы (4.12) во всем диапазоне
изменения числа Пекле составляет около 4%.
Замечание. Попробуем теперь использовать упрощенную схему получе-
ния интерполяционных формул, учитывающих лишь главные члены разложе-
ний среднего числа Шервуда при больших и малых числах Пекле (при та-
ком подходе второй член разложения в (4.2) полностью игнорируется).
С помощью сдвига Sh->Sh+const в асимптотике (4.1) после надлежаще-
го выбора произвольной постоянной приходим к формуле (1.3) при Sho=l,
которая, как указывалось ранее, дает значительную погрешность (более
35%) при вычислении среднего числа Шервуда при промежуточных значениях
чисел Пекле.
185
Делая сдвиг по независимой переменной Ре->Ре+const в асимптотике
(4.1) и выбирая далее постоянную из условия Sh—при Ре->0, получим дру-
гую приближенную формулу для среднего числа Шервуда:
Sh = B(Pe + o)m, где а = . (4.13)»
Для сферического пузыря в поступательном стоксовом потоке с учетом
асимптотики (2.2) из выражения (4.13) имеем
Sh = 0,46 (Ре + 4,7)1/2. (4.14>
В соответствии с данными [1, 174] погрешность этой формулы при
5^Ре^10 значительна — более 27%.
Таким образом, точность приближенной зависимости (4.6), учитывающей'
второй член разложения среднего числа Шервуда при малых числах Пекле,
почти в четыре раза выше точности соответствующей формулы (4.14), при*
выводе которой этот член не учитывался.
Для твердой сферической частицы, обтекаемой поступатель-
ным стоксовым потоком, с учетом асимптотики (2.4) в формуле
(4.13) следует положить: В = 0,62; о=4,2; т=7з. Из сопостав-
ления с результатами [20, 144] следует, что погрешность полу-
ченного выражения превышает 21%.
Рассмотренные примеры наглядно показывают, что формулу
(4.13) можно использовать лишь для грубых предварительных
оценок.
Из сказанного ясно, что учет второго члена разложения в
(4.2) при малых числах Пекле позволяет существенно (в не-
сколько раз) увеличить точность интерполяционных формул
при промежуточных числах Пекле.
Глава 6
МЕТОД АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ
В данной главе описывается приближенный аналитический метод (метод,
асимптотической экстраполяции), позволяющий существенно расширить диа-
пазон применимости асимптотических формул. Метод базируется на процеду-
ре «исключения» малого или большого параметра, что дает возможность ис-
пользовать результаты асимптотических исследований непосредственно в ин-
женерной практике.
Изложение ведется на примере задач химической технологии и теории
массо- и теплопереноса. В частности, рассмотрен конвективный массообмен
частиц с потоком, сопровождаемый поверхностной или объемной химической
реакцией.
6.1. ОПИСАНИЕ МЕТОДА
В тех случаях, когда известна только односторонняя (напри-
мер, при Ре->-0) асимптотика искомой величины, часто оказы-
вается возможным использовать метод асимптотической экстра-
поляции, благодаря которому область применимости асимпто-
тических формул может быть существенно увеличена. Как и
ранее, изложение будет вестись на примере задач химической
технологии и конвективного массо- и теплообмена.
186
Будем предполагать, что помимо малого или большого па-
раметра Ре, по которому проводится возмущение, в задаче име-
ется еще один характерный (конечный) параметр k. Наличие
такого свободного невозмущенного параметра k и позволяет из
исходной асимптотической формулы различными способами
«исключить» малый параметр Ре, что, в конечном счете, дает
возможность получать разного рода асимптотически-аппрокси-
мационные формулы, которые уже могут быть использованы
для практических вычислений в значительно более широком
диапазоне изменения числа Пекле. Описание метода проведем
сначала для наиболее простой ситуации (см., также, разд. 6.3).
Изложение будем вести на основе результатов работ [50,
181].
Пусть методом возмущений по малому (большому) пара-
метру Ре для среднего числа Шервуда Sh получено двучленное
разложение вида
Sh(Z?, Ре) = Д (fe)е (Ре) В (fe) (lim е (Ре) = 0). (1.1)
Ре->0
Здесь и далее будут выписываться только два первых члена
асимптотического разложения, а члены порядка о(е) опуска-
ются.
Положим в формуле (1.1) k = 0 (вместо значения k = 0 мо-
жет использоваться также k=oo)
Sh (0, Ре) = Д (0) + е (Ре) В (0), Д (0) = Sh (0, 0). (1.2)
Предполагая теперь, что В(0)=^0, исключим малый пара-
метр е(Ре) из соотношений (1.1), (1.2). В результате прихо-
дим к формуле
Sh (k, Ре) = A (k) + [Sh (0, Ре) — Sh (0, 0)]. (1.3)
Если теперь «забыть», что коэффициент Sh(O, Ре) в выра-
жении (1.3) задается равенством (1.2), а определять его непо-
средственно из решения исходной задачи при k=Q, Pe=const
(решение задачи в частном случае k=0 может быть сущест-
венно проще, чем при отметим также, что в ряде случаев
величина Sh(O, Ре) может определяться непосредственно и из
эксперимента), то выражение (1.3) может быть использовано
для приближенного определения среднего числа Шервуда в су-
щественно более широком диапазоне чисел Пекле, чем исход-
ная асимптотическая формула (1.1). Это обусловлено тем, что
формула (1.3) помимо правильного описания решения при
Ре—>0 дает также точный результат и в другом предельном
случае при 6=0 (последним свойством исходная асимптотиче-
ская формула (1.1) не обладает). Поэтому приближенное вы-
ражение (1.3) по существу является экстраполяцией асимпто-
тической формулы (1.1) на область малых значений параметра
k (где Ре — любое), что в свою очередь, как правило, сущест-
венно расширяет ее область применимости.
187
Предлагаемая процедура легко обобщается и на более об-
щий случай, когда известны более двух членов асимптотическо-
го ряда. А именно, пусть для среднего числа Шервуда известно.
(V-членное асимптотическое разложение по малому
числу Пекле
n-i
Sh(fe,Pe) = y еп(Ре)Л„(/г) ( lim = 0). (1.4>
кре^° " '
Полагая в этой формуле &=0, имеем
N— 1
Sh (0, Ре) = 2МРе) Л„(0). (1.5>
п=0
Исключая теперь малый параметр Ре из (1.5), через
Sh(O, Ре) и подставляя его в (1.4), приходим к формуле
Sh (k, Pfe) = Ф (k, Sh (0, Ре)), (1,6>
которая может быть использована в более широком диапазоне
чисел Пекле, чем асимптотическая формула (1.4); для этого
опять следует забыть, что величина Sh (0, Ре) дается выраже-
нием (1.5), а определять ее путем решения исходной задачи
при k=0.
Метод асимптотической экстраполяции допускает различные
усложнения и модификации. В частности, может встретиться
ситуация, когда асимптотическое решение исходной задачи при
Ре->0 или Ре->-оо (&=const) получить не удается. Если при
этом, однако, можно найти асимптотическое решение задачи в
пределе (Чг = Чг(Ре)—некоторая известная функция парамет-
ра Ре)
Ре-----► 0, й = Т(Ре)£, £=О(1), (1.7)
то сначала следует в соответствующем разложении для Sh
АГ-1 .
Sh = V S„ (Ре) Вп ©, lim = 0. (1.8)
Ре-*0 °"
п=0
выразить £ через k (£=&ЧГ~1), а потом к полученному выра-
жению применить изложенную во второй главе монографии
процедуру асимптотической коррекции по обоим параметрам
Ре и k одновременно (см. примеры в разд. 6.2).
Следует отметить, что в описанных ситуациях метод асимп-
тотической экстраполяции по существу является важным част-
ным случаем более общего метода — асимптотической коррек-
ции (см. разд. 1.1). Эти методы совпадают, если в качестве
исходной приближенной формулы, которая нуждается в улуч-
шении методом асимптотической коррекции, выбирают отрезок
188
асимптотического ряда типа (1.1) или (1.4) и (1.8). В разд. 6.5
будет описана модификация метода асимптотической экстрапо-
ляции, которая не сводится к методу асимптотической коррек-
ции. Проиллюстрируем сказанное на конкретных примерах.
6.2. ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ФОРМУЛ
В ЗАДАЧАХ КОНВЕКТИВНОГО МАССОПЕРЕНОСА
С ПОВЕРХНОСТНЫМИ ИЛИ ОБЪЕМНЫМИ
ХИМИЧЕСКИМИ РЕАКЦИЯМИ
Конвективный массоперенос к частице, осложненный поверх-
ностной химической реакцией. Рассмотрим конвективную диф-
фузию к твердой сфере, обтекаемой ламинарным поступательным
потоком вязкой несжимаемой жидкости. Предполагается, что-
на поверхности частицы происходит гетерогенная химическая
реакция первого порядка. В безразмерных переменных соот-
ветствующая краевая задача имеет вид
—>- дс
Ре (v-V) с = Дс; г = 1, -^-=ks{c— 1);
г --► оо, с ---► 0, (2.1).
где с= (С»—С)/Соо, ks=aK,s/D, Pe.—aUx/D, С и С«>— кон-
центрация в потоке и на бесконечности; — константа ско-
рости поверхностной химической реакции.
При малых числах Пекле Pe<tCl асимптотический анализ
(2.1) был проведен в работах [29, 195], что привело к следую-
щему выражению для среднего числа Шервуда:
Sh(*s, Pe)=<? + 4-^Pe, (2.2).
1
1 С / дс \
где Sh = —-у I 1-^-1 сф. ц = со80.
—1
При ks=0 решение задачи (2.1) тривиально с=0 и соот-
ветствует нулевому значению вспомогательного числа Шервуда.
Sh(0, Ре)=0, которое также следует и из формулы (2.2). По-
этому вместо ks=0 в (2.2) следует положить ks=oo, что соот-
ветствует Sh(oo, Ре) = 1+0,5 Ре. Выражая из этого равенства
Ре через Sh(oo, Ре) и подставляя его в (2.2), приходим к сле-
дующему выражению, аналогичному (1.3):
Sh(*s,Pe)=? + ?2[Sh(oo,Pe) —1]. (2.3)<
Из сопоставления с результатами соответствующего числен-
ного решения задачи (2.1), проведенного в [2] (поле скоростей
потока v в цитируемой работе также определялось путем чис-
ленного решения соответствующей гидродинамической задачи
об обтекании сферы вязкой несжимаемой жидкостью; при со-
189-
Таблица 4. Сопоставление точных и приближенных значений относительного
числа Шервуда T)=Sh (ks, Pe)/Sh (оо, Ре) для химической реакции
первого порядка на поверхности сферы, обтекаемой поступательным потоком
Ре Re Sh (оо, Ре) ks По данным [2] По форму- ле (2.2) По форму- ле (2.3) По форму- ле (3.14) гл. 5
Л погреш- ность, % Л 3^ 8.2 о о С К Л погреш- ность, %
10 10 2,14 10 0,829 2,36 148 0,865 4,34 0,824 0,60
10 10 2,14 5 0,707 2,01 185 0,759 7,40 0,700 0,95
10 10 2,14 2,5 0,544 1,53 180 0,606 11,3 0,539 0,96
10 10 2,14 1 0,321 0,817 155 0,367 14,3 0,318 0,79
20 20 2,68 2 0,432 1.91 341 0,527 22,1 0,427 1,08
50 0,5 2,69 5 0,659 6,76 926 0,746 13,2 0,650 1,34
50 0,5 2,69 2 0,432 4,38 913 0,527 22,0 0,426 1,29
50 0,5 2,69 1 0,274 2,51 815 0,343 25,2 0,271 1,09
Прим е ч а н и е. Данные [2] получены численным методом, формулы (2.2) и (2.3) -
методом асимптотической ской интерполяции. экстраполяции, формула (3.14) гл. 5- - методом асимптотиче-
поставлении значение Sh(oo, Ре) в выражении (2.3) бралось
по данным [2]) следует, что точность приближенной формулы
(2.3) более чем на целый порядок превышает точность исход-
ной асимптотической формулы (2.2) (см. табл. 4). В частности,
выражение (2.3) вполне можно использовать при умеренных
числах Пекле в диапазоне O^Pes^lO (максимальная погреш-
ность (2.3) в этом случае составляет около 14%), тогда как
•область применимости исходной асимптотической формулы
(2.2) ограничена малыми числами Пекле 0Ре<;0,5.
Конвективный массоперенос к капле или частице, осложнен-
ный объемной химической реакцией. Рассмотрим теперь стацио-
нарный конвективный массообмен сферической капли или твер-
дой частицы с поступательным стоксовым потоком при проте-
кании в жидкости объемной химической реакции первого
порядка. В безразмерных переменных соответствующая краевая
задача имеет вид
Ре (v-v)с = Дс; (2.4)
г = г4 (0, <р), с=1; г ---► оо, с ---> 0, (2.5)
тде c=C/Cs, kv=a2Kv/D, r=rs(0, <р)—уравнение поверхности
частицы; Cs — концентрация на поверхности частицы; —
константа скорости объемной химической реакции. Поле скоро-
стей жидкости v в уравнении (2.4) должно определяться путем
решения соответствующей гидродинамической задачи об обте-
кании частицы.
Задачу (2.4), (2.5) не представляется возможным исследо-
вать асимптотическими методами при Pe->0, kv=const (или
190
при Ре->оо, &0=const). Тем не менее оказывается, что для
обтекания капли или твердой частицы произвольной формы по-
ступательным потоком вязкой несжимаемой жидкости можно
провести асимптотический анализ задачи (2.4), (2.5) в пределе
при
Ре ---> 0, й0 = Ре2^, £=>О(1), (£=const). (2.6>
Случай (2.6) соответствует малости обоих параметров Ре
и kv одновременно (см. формулу (1.7) при Чг(Ре)=Ре2).
Из результатов работ [50, 177] следует, что двучленное
асимптотическое разложение среднего числа Шервуда, опреде-
ляемое путем решения задачи (2.4), (2.5) при условии (2.6),
имеет вид
Sh = Sh0 + 1/2Ре Sh02 (1 + 4£)V2, (2,7>
где Sho — среднее число Шервуда, соответствующее массооб-
мену частицы с неподвижной средой при отсутствии объемной
химической реакции; погрешность формулы (2.7) имеет поря-
док Ре2 In Ре [177].
Внесем теперь число Пекле под знак корня и выразим па-
раметр £ через k0 путем использования соответствующей меж-
ду ними связи (2.6). В результате приходим к следующему
выражению для среднего числа Шервуда:
Sh(^,Pe) = Sh0 + l/2(Pe2 + 4^)i/2Sh02, где Sho = Sh(0,0). (2,8).
В случае отсутствия объемной химической реакции kv=0
(5=0) формулы (2.7), (2.8), с точностью до о (Ре), переходят
в результаты работы [145].
Следуя процедуре, описанной ранее в разд. 6.1, и полагая по-
следовательно в выражении (2.8) kv — 0 и Ре=0, получим со-
отношения
Sh(O, Pe) = Sb0 + 1/aPeSh02; Sh (kv, 0) = Sh0+ V%Sh02. (2.9>
Выражая отсюда параметры kv и Ре и подставляя их далее
в (2.8), приходим к следующей приближенной формуле:
Sh (k0, Ре) = Sh0 + {[Sh (0, Ре) — Sh0]2 + [Sh 0) — Sho]2}1/2. (2. Ю>
Далее, как всегда, будем считать, что параметры Sh(O, Ре)
и Sh(& v, 0), фигурирующие в (2.10), теперь уже определяются
путем решения соответствующих вспомогательных краевых за-
дач (2.4), (2.5) при &а=0 и Ре=0 соответственно (т. е. далее
соотношения (2.9) «забываются»).
По построению формула (2.10) дает точный результат в пре-
дельных случаях &а=0 (Pe=const) и Pe=0 (&a=const). Бо-
лее того, ввиду следующих свойств вспомогательных чисел
Шервуда: Sh(O, Ре)->оо при Ре->оо (здесь рассматриваются,
только те случаи, когда на поверхности частицы есть особые-
критические точки торможения потока, и не исследуются вы-
рожденные ситуации типа [136], когда частица окружена об-
191
ластью течения с полностью замкнутыми линиями тока) и
Sh(&0,0)->оо при й0->оо, из выражения (2.10) получаем пре-
дельные равенства Ре->-оо (&0=const), Sh(&0, Pe)->-Sh(O, Ре)
и ktr^-oo (Pe=const), Sh(£v, Pe)->Sh(Ar, 0), которые как нетруд-
но проверить, являются асимптотически точными и для исход-
ной краевой задачи (2.4), (2.5). Другими словами, приближен-
ная формула (2.10), полученная из асимптотического выраже-
ния (2.7), которое было выведено в предположении малости
обоих параметров kv и Ре одновременно (2.6), оказывается
пригодной во всех возможных предельных случаях больших и
малых значений параметров kv и Ре.
Частный случай сферической капли или твердой частицы
соответствует значениям Sh0=l и Sh(£a, 0) = 1 +^kv в выра-
жении (2.10), что приводит к следующей формуле:
Sh(*p,Pe)= l + {[Sh(0,Pe) —1]2 + М1/2. (2.11)
При использовании этой формулы для Sh(O, Ре) следует
выбирать точное значение среднего числа Шервуда, соответст-
вующее чисто диффузионному режиму массообмена капли или
твердой частицы с потоком без химической реакции (kv=0).
Сопоставление приближенного выражения (2.11) с резуль-
татами [26, 68], полученными в приближении диффузионного
пограничного слоя Ре^>1 для стоксова обтекания сферической
капли приведено ниже:
5 2 1 0,5 0,3 0,2 0,1
rSh (kv, Ре) по данным [26, 68] 226 147 112 90,0 81,0 75,5 70,5
по формуле (2.11) 232 156 120 96,5 85,4 79,2 72,5
.Погрешность, % 2,7 6,1 7,1 7,2 5,4 4,9 2,8
Видно, что в этом случае максимальная погрешность фор-
мулы (2.10) во всем диапазоне изменения безразмерной кон-
станты скорости объемной химической реакции 0^.kv<oo со-
ставляет всего около 7%. Здесь еще раз подчеркнем, что
«область применимости исходной асимптотической формулы
(2.7) была ограничена малыми значениями обоих параметров
kv и Ре одновременно: 0^^а«Ре2<сРе<1.
Следует отметить, что выражение (2.11) было выведено ра-
нее совсем другим способом в первой главе монографии (см.
формулу (4.19) гл. 1).
Нестационарный тепло- и массоперенос к капле или твердой
частице, обтекаемой установившимся поступательным потоком.
Рассмотрим теперь нестационарный конвективный тепло- и мас-
соперенос к (реагирующей в диффузионном режиме) твердой
или жидкой сферической частице, обтекаемой стационарным
поступательным потоком вязкой несжимаемой жидкости. Счи-
тается, что при /<0 температура в потоке и на поверхности
частицы была постоянна и равна Too, а при 1=0 температура
192
частицы внезапно («скачкообразно») изменилась до постоян-
ного значения Ts, которое далее поддерживается неизменным
в течение всего процесса. В безразмерных переменных соответ-
ствующая нестационарная краевая задача формулируется
следующим образом:
дТ -»
^r + Pe(y.v)7’ = AT; (2.12)
т = 0, Т = 0; г=1, Т=1; г ----► оо, Т ----> 0, (2.13)
где Т= (Too—Т^)/(ТХ— Ts), т=^/а2, Pe^aUoo/%, Г* —тем-
пература в потоке; t — время; % — коэффициент температуро-
проводности жидкости.
Применим к уравнению, начальному и граничным условиям
(2.12), (2.13) преобразование Лапласа — Карлсона
оо
f = p J е_рт Tdx.
о
В результате получим:
рТ H-Pe^.v) т = ДТ; (2.14)
г=1, Т=1; г -----» оо, Т-----► 0.
Задача (2.14) с точностью до переобозначений p-+kv, Т-+с
совпадает с (2.4), (2.5). Поэтому в пределе
Ре---->0, р = Ре»£, |^| =0(1) (2.15)
с учетом того, что для сферической частицы Nuo=l можно
получить аналогичное (2.7) (двучленное) асимптотическое раз-
ложение для образа среднего числа Нуссельта
Nu = 1 + х/2 (Ре2 + 4p)Va. (2.16)
Сложный предельный переход (2.15) соответствует малым
числам Пекле и большим характерным временам процесса
Ре-2.
Полагая теперь в формуле (2.16) последовательно Ре=0
и р=0 и поступая далее аналогично тому, как это делалось
ранее в задаче о массообмене с объемной химической реакцией,
с учетом равенств Nu(p, 0) = 1+Ур и Nu(0, Ре) =Nu(0, Ре) при-
ходим к следующему выражению:
Nu (р, Ре) = l+{[Nu(0, Ре)—Ц’+рр/г. (2.17)
Делая обратное преобразование Лапласа — Карлсона, из
формулы (2.17) находим искомую зависимость среднего числа
Нуссельта от времени:
Nu = -7= ехр (—£4) + £, erf (| Д/т) 4-1; (2.18)
у лт
Nu = Nu (т, Ре), g = Nu (оо, Ре) — 1.
13—1391
193
[Nu(t)]l[Nu(<»)] Рис. 6.1. Зависимость числа Нуссель-
та от времени для капель, частиц и
пузырей в потоках различной геомет-
рии:
/ — по формуле (2.18); 2 — по данным [2J;
3 — по данным [166]
Приближенная формула
(2.18) обеспечивает правиль-
ный результат во всех пре-
дельных случаях при больших
и малых значениях параметра
Ре и безразмерного времени т.
Приближенная зависимость
среднего числа Нуссельта от
времени носит достаточно общий характер и может быть ис-
пользована для расчета нестационарного тепло- и массообме-
на твердых частиц, капель и пузырей сферической формы в по-
токах различной геометрии при любых числах Пекле. На рис.
6.1 приведено сопоставление приближенного выражения (2.18)
(сплошные линии) с результатами работы [2], полученными
путем численного решения задачи (2.12), (2.13) методом сеток
для случая поступательного стоксова обтекания твердой сферы
при Ре=0,5, 5, 50, 500 (штриховые линии). На рис. 6.1 штрих-
пунктирная линия построена для Ре=500 по данным работы
[166], в которой задача нестационарного переноса (2.12), (2.13)
исследовалась при больших числах Пекле в приближении диф-
фузионного пограничного слоя. Видно, что максимальное отли-
чие формулы (2.18) от результатов [2] при Ре^50 (О^т^оо)
составляет менее 10% (напомним, что исходная асимптотическая
формула (2.16) была выведена в следующих предположениях:
Ре<<1 и т~Ре2).
6.3. МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА АСИМПТОТИЧЕСКОЙ
ЭКСТРАПОЛЯЦИИ
Укажем теперь некоторые возможные модификации метода
асимптотической экстраполяции, основанные на несколько иных
соображениях, чем те, которые были высказаны ранее в разд.
6.1. Для простоты ограничимся задачами, которые зависят
только от двух безразмерных параметров k и Ре.
Пусть методом возмущений по малому (большому) пара-
метру Ре для среднего числа Шервуда получено двучленное
асимптотическое разложение вида
Sh(ft.Pe) = A (k) + в (Ре) В (k) (lim е (Ре) = 0). (3.1)
Ре->0
Считая, что коэффициенты A (k) и B(k) во всем диапазоне
изменения параметра k ограничены, положим в формуле (3.1)
k=0 и k=<x>. В результате получим
Sh (0, Ре) = А (0) + е (Ре) В (0),
Sh (оо, Ре) = А (оо) + е (Ре) В (оо). (3.2)
194
Используя эти соотношения, представим теперь среднее чис-
ло Шервуда Sh (k, Ре) в виде линейной комбинации вспомога-
тельных чисел Шервуда Sh(O, Ре) и Sh(oo, Ре):
Sh (k, Ре) = <р (k) Sh (0, Ре) +ф (k) Sh (оо, Ре). (3.3)
Подставляя в это выражение формулы (3.1) — (3.2) и при-
равнивая члены при одинаковых степенях малого параметра,
определяем множители «риф:
... A (k) В (<х>) — В (k) А (со)
А (0) В (оо) — В (0) А (оо)>
,h/M А (0) В (k) — A (k) В (0)
1₽^!=Л(0)В(оо)-Л (оо)В(0)-
Выражение (3.3) уже не содержит в явном виде параметра
8(Ре). Если теперь «забыть», что коэффициенты Sh(O, Ре) и
Sh(oo, Ре) в формуле (3.3), (3.4) задаются равенствами (3.2),
а вычислять их непосредственно из решения исходной задачи
при k=Q, Ре=const и k=oo, Ре=const (решения вспомога-
тельных задач в частных случаях k=Q и k=oo могут быть
существенно проще, чем при 0<Л<оо; в ряде случаев величи-
ны Sh(O, Ре) и Sh(oo.Pe) могут быть определены непосредст-
венно из эксперимента или вычислены), то выражение (3.3),
где коэффициенты q>(k) и ф(&) определены в (3.4), может быть
использовано для приближенного расчета среднего числа Шер-
вуда уже в существенно более широком диапазоне чисел Пекле.
Это обусловлено тем, что формула (3.3), (3.4), помимо пре-
дельного случая Ре->0, обеспечивает также правильный ре-
зультат при £->-0 (Pe=const — любое фиксированное число)
и k-+<x> (Pe=const); последними двумя свойствами исходная
асимптотическая формула (3.1) не обладает.
Представление (3.3), (3.4) справедливо при условии
Д(0)В(оо)—Д (оо)В(0) У=0. Рассмотрим важный частный слу-
чай разложения (3.1) при B(k) =aA(k), а=const, для кото-
рого нельзя непосредственно использовать формулу (3.3), (3.4).
Полагая в (3.4) В=аД + б и устремляя 6->0, в этом случае
вместо (3.3), (3.4) получаем:
. , „ , A (k) - А (оо) А (0) — A (k)
sh<*>Ре> = тго)-д(оо) sh(°.Ре) + 4(0)-д(оо) shр₽); <3-5>
В (/?) — a A (k), а = const.
Следует отметить, что формулы (3.3), (3.4) и (3.5) спра-
ведливы также и в более общем случае, когда для среднего
числа Шервуда при малых числах Пекле имеет место (W+1)-
членное разложение вида
N—1
Sh (k, Ре) = 4 (k) 2 8п (Ре) qn + В (k) eN (Ре); (3.6)
п=0
lim (еп+1/8„) = 0, qn = const, N > 1.
Ре-+0
13*
195
Нефбходимо подчеркнуть, что в данном случае уже нельзя
применять метод асимптотической коррекции к выражению
(3.1), так как не удается выразить параметры k и Ре через
величины Sh(O, Ре) и Sh(oo, Ре) из соотношений (3.2).
Проиллюстрируем использование формул (3.3), (3.4) и (3.5)
на некоторых конкретных примерах, представляющих самостоя-
тельный интерес.
6.4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА В ЗАДАЧАХ
ХИМИЧЕСКОЙ ГИДРОДИНАМИКИ (МАССОПЕРЕНОС
К ТЕЛУ ВРАЩЕНИЯ, ПРОИЗВОЛЬНО
ОРИЕНТИРОВАННОМУ В ПОТОКЕ)
Для дальнейшего понадобится следующее трехчленное асимп-
тотическое разложение среднего числа Шервуда [145]:
Sh = Sh0 + ^Ре Sh02 + In Ре Sh02 (f-T) (Ре -> 0), (4.1)
соответствующее массообмену реагирующей в диффузионном
режиме твердой или жидкой частицы произвольной формы, об-
текаемой поступательным стоксовым потоком. Здесь f — без-
размерный вектор, равный отношению силы сопротивления
данной частицы к стоксовой силе сопротивления твердой экви-
валентной по объему сферы радиуса a; i — единичный направ-
ляющий вектор скорости жидкости на бесконечности.
Массообмен сферической капли произвольной вязкости.
В случае сферической капли, обтекаемой стоксовым потоком,
среднее число Шервуда определяется формулой (4.1), где
[145]:
Sh0 = 1, (ГТ) = (2 + ЗР)/(3 + 3₽). (4.2)
Подстановка (4.2) в выражение (4.1) приводит к трехчлен-
ному разложению (3.6), коэффициенты которого имеют вид
1 2 4-38
Й = Р, W = 2, 4=1, B = -g- . (4.3)
Использование формулы (3.3), (3.4) с учетом (4.3) в этом
случае дает
1 8
Sh (Р, Ре) =Sh (0, Ре)-|-Sh (оо, Ре), (4.4)
где Sh(O, Ре) и Sh(oo, Ре)—средние числа Шервуда для газо-
вого пузыря (Р=0) и твердой сферы (р=оо) соответственно.
Если теперь коэффициенты Sh(O, Ре) и Sh(oo,Pe) в выра-
жении (4.4) определять из решения полной диффузионной за-
дачи без предположения о малости числа Пекле (в частности,
значения параметров Sh(O, Ре) и Sh(oo,Pe) в (4.4) можно вы-
числять по формулам (2.3) и (2.5) гл. 5), то формула (4.4)
196
Рис. 6.2. Тело вращения в поступательном
потоке (случай произвольной ориентации)
может быть использована для при-
ближенного вычисления среднего чис-
ла Шервуда в существенно более ши-
роком диапазоне чисел Пекле, чем
исходное асимптотическое разложе-
ние (4.1), (4.2).
Следует отметить, что формула
(4.4) эмпирически была предложена
ранее в [2, 20] для приближенного
описания зависимости среднего числа
Шервуда от числа Пекле на интервале 0,5 Ре 500. Из при-
веденного выше способа получения выражения (4.4), а так-
же из проделанного в [2, 20] сопоставления этой же формулы
с известными численными результатами следует, что она с ус-
пехом может применяться в диапазоне чисел Пекле OsgPe^
^500 (при этом ее максимальная погрешность составляет око-
ло 15%).
Формулу (4.4), по-видимому, также можно использовать и
для вычисления среднего числа Шервуда в случае произволь-
ного деформационного линейного сдвигового обтекания сфери-
ческой капли; при этом в качестве параметров Sh(O, Ре) и
Sh(oo, Ре) следует использовать выражения (3.8) и (2.14)
гл. 5.
Тепло- и массоперенос к телу вращения, произвольно ориен-
тированному в поступательном потоке. Покажем теперь как из
асимптотической формулы (4.1) можно получить другую нетри-
виальную информацию относительно массообмена тел враще-
ния, произвольно ориентированных в поступательном потоке.
Считаем, что ось тела вращения составляет угол <в с направ-
лением скорости потока на бесконечности (рис. 6.2). Направ-
ляющий вектор скорости жидкости v может быть представлен
следующим образом через направляющий вектор тела враще-
ния т и единичный вектор п, лежащий в плоскости вращения
тела:
i = т cos <в -|- п sin <о.
(4.5)
Для решения полной гидродинамической задачи об обтека-
нии тела вращения рассмотрим две вспомогательные задачи,
которые соответствуют отдельным слагаемым в (4.5) и опре-
деляются следующими граничными условиями на поверхности
тела и на бесконечности:
r = rs(0, ф), ~и = 0; II —> г — —> оо , —> —> и И = т cosco; —> —> (4.6)
r = rs(0,<p), v =0; 1 г — -> ОО 9 if = и sin о. (4.7)
197
Уравнения движения и неразрывности здесь опускаются.
В стоксовом приближении уравнения движения линейны и ре-
шение полной задачи будет определяться суперпозицией реше-
ния вспомогательных задач с граничными условиями (4.6) и
(4.7). Из результатов [130] следует, что в стоксовом прибли-
жении направление сил сопротивления тела, соответствующих
решению (4.6) и (4.7), совпадает с направлением векторов т
и п. Из сказанного ясно, что безразмерная полная сила сопро-
тивления тела может быть представлена в следующем виде:
—>- ——>•
f = f пт cos<оsin со, (4.8)
где fn и fj_ — значения безразмерной силы сопротивления тела
вращения в случае параллельного (®=0) и перпендикулярно-
го (<в=л/2) его расположения в поступательном потоке.
Использование выражений (4.5) и (4.8) позволяет вычис-
лить скалярное произведение
(НГ = f „cos2 <о + f±sin2 co. (4.9)
Подстановка (4.9) в формулу (4.1) приводит к трехчленно-
му разложению (3.6) со следующими коэффициентами:
й = а>, N = 2, 4=1, В = f и cos2 <в -|- f sin2 а>. (4.10)
Использование выражения (3.3), (3.4), в котором значение
оо следует заменить на л/2, с учетом (4.10), дает возможность
представить среднее число Шервуда в виде
Sh = Sh^cos2 ш + Sh± sin2 co, (4.11)
где Sh,, и Shx — средние числа Шервуда, соответствующие па-
раллельному и перпендикулярному расположению тела враще-
ния в поступательном потоке. Формула (4.11) позволяет прибли-
женно определять среднее число Шервуда для любой ориента-
ции тела вращения в потоке (и любых чисел Пекле). Так как
для частицы сферической формы равенство (4.11) выполняется
тождественно для любых чисел Пекле, то следует ожидать, что
для частиц, форма которых близка к сферической, приближен-
ная формула (4.11) будет давать хорошие результаты не толь-
ко для малых, но и для промежуточных и больших чисел Пек-
ле.
Из результатов работы [32] следует, что формулы (4.4) и
(4.11) могут использоваться также и для случая гетерогенной
химической реакции первого порядка, протекающей на поверх-
ности реагирующей капли или частицы.
Следует отметить, что основой для построения приближен-
ных формул (4.4) и (4.11) послужила зависимость логарифми-
ческого члена в асимптотических разложениях (4.1), (4.2) и
(4.1), (4.9) по малому числу Пекле от второго конечного пара-
198
метра задачи (0 и ©). Это обстоятельство имеет определенный
интерес в связи с тем, что при непосредственном использовании
исходных асимптотических выражений типа (4.1), (4.2) и (4.1),
(4.9) логарифмические члены не представляют практической
важности до тех пор, пока не вычислен следующий алгебраи-
ческий член разложения (см., например, [22]). Такое положе-
ние обусловлено двумя причинами: во-первых, изменение вели-
чины возмущения переносит константу логарифмического члена
в следующий за ним алгебраический и, во-вторых, логарифми-
ческие члены имеют ярко выраженный немонотонный характер
(при OsSjPe^l). В этом смысле оба предыдущих примера по-
строения приближенных формул (4.4) и (4.11) являются неко-
торой своеобразной «реабилитацией» логарифмических членов
в асимптотических разложениях.
Сила сопротивления капли произвольной вязкости. В работе
[196] для коэффициента сопротивления сферической капли
произвольной вязкости, обтекаемой поступательным потоком
при малых числах Рейнольдса, было получено следующее
асимптотическое разложение:
(4.12)
которое с точностью до очевидных переобозначений соответст-
вует случаю А=В в двучленном выражении (3.1) (или трех-
членном (3.6)). Поэтому, воспользовавшись формулой (3.5),
где следует положить
Sh = Cx, fe=0, Pe=Re, А = (30 + 2)/(0 + 1),
выражение (4.12) можно переписать в следующем эквивалент-
ном виде:
Cx(P,Re)=-p^T ^(O.Rel+y^-j-CH^.Re), (4.13)
где Сх(0, Re) и Cx(oo,Re)—коэффициенты сопротивления для
пузыря и твердой сферы соответственно.
Формула (4.13) чисто интуитивно предложена в работе
[111]; там же показано, что ее погрешность составляет менее
5% при 0^Re^50. Следует отметить, что решение вспомога-
тельных задач для определения коэффициентов Сх(0, Re)
и Cx(oo,Re) существенно проще, чем решение исходной задачи
при О<0<оо (так как в предельных случаях 0=0 и 0=оо
рассматривается лишь внешняя область течения, тогда как при
О<0<оо— и внешняя, и внутренняя области течения одновре-
менно).
Формулы (3.3), (3.4) и (3.5) соответствовали случаю ли-
нейной экстраполяции асимптотических результатов на проме-
жуточную область. В некоторых случаях представляется воз-
199
можным также эффективно использовать нелинейную экстра-
поляцию, которую проиллюстрируем на следующем примере.
Массообмен частицы, на поверхности которой протекает про-
извольная химическая реакция. Рассмотрим теперь массообмен
сферической частицы, обтекаемой поступательным и сдвиговым
стоксовым потоком, на поверхности которой протекает химиче-
ская реакция с произвольной скоростью KSFS(C) (С — концент-
рация). В работах [99, 179] было показано, что в этих случаях
при малых числах Пекле среднее число Шервуда определяется
путем решения следующего алгебраического (трансцендентно-
го) уравнения (С«> — невозмущенная концентрация на беско-
нечности) :
(Sh \ аКч
г«е Vs W s(Coo (1 — *))• (4.14)
Здесь вспомогательное число Шервуда Shoo соответствует диф-
фузионному режиму реакции на поверхности сферы, которое
в случае поступательного потока определяется разложением
(4.1) при Sh0=l, (f-i) — 1, а в случае произвольного линейно-
го сдвигового течения имеет вид
ShM = 1 + а Ре1/2 + а2Ре + а3Ре2/2, а = а (00), (4.15)
где а — числовой коэффициент, зависящий от конкретного типа
сдвигового течения (т. е. от матрицы коэффициентов сдвига
Gii)-
Общее выражение для определения коэффициента а=
=a(Gi/) приведено в [140]; в частности, для осесимметричного
линейного сдвигового потока а=0,36.
Если теперь «забыть», что параметр Shoo в (4.14) задается
асимптотическими разложениями (4.1) и (4.15), а определять
его непосредственно путем решения полной задачи о массооб-
мене сферы, реагирующей в диффузионном режиме при конеч-
ных числах Пекле, то приближенной формулой (4.14) можно
пользоваться при промежуточных и даже при больших числах
Пекле.
Проведенное в разд. 6.2 (см. также [179, 180]) соответст-
вующее сопоставление выражения (4.14) с известными числен-
ными результатами показывает, что погрешность интерполяци-
онной формулы (4.14) для Fs=Cn (n=*/2, 1, 2) составляет
6—9% во всем диапазоне изменения числа Пекле 0^Ре<оо.
Следует отметить, что в случае поступательного и деформа-
ционного сдвигового обтекания твердой сферы параметр Shoo=
= Sh,»(Ре), фигурирующий в выражении (4.14), можно вычис-
лять путем использования формул (2.5) и (2.14) гл. 5 соответ-
ственно.
Конвективный теплообмен частицы в случае произвольной
зависимости коэффициента теплопроводности от температуры.
Рассмотрим теперь конвективный теплообмен частицы любой
формы с потоком в случае произвольной зависимости коэффи-
200
циента теплопроводности жидкости от температуры Х*=Х*(Т*).
Соответствующая нелинейная краевая задача имеет вид:
где
Ре =
Ре (v-V) Т = div (ХХ7Г);
r = rs(Q, <р), Т=1
aUcpp
К
Л = %(Т) =
; г -->- оо, Т---> О,
~ та-т, •
(4.16)
р и ср — плотность и удельная теплоемкость жидкости; U —
характерная скорость потока, в случае поступательного течения
равная Uoo, а в случае сдвигового — a(G(/G//)1/2. При записи
(4.16), как обычно, предполагалось выполнение условия срр=
=const.
В работах [94, 177] было показано, что при малых числах
Пекле соответствующее решению задачи (4.16) среднее число
Нуссельта определяется формулой
1
Nu (X, Ре) = <Х> Nu (1, Ре), (К> = J k (Г) dT, (4.17)
о
где вспомогательное число Нуссельта Nu(l,Pe) находится из
решения аналогичной линейной задачи (4.16) при %=1 (Х*=
= const) и в случае поступательного потока для частицы про-
извольной формы дается разложением (4.1), а в случае просто-
го сдвига для твердой сферы — формулой (2.7) гл. 5.
Формула (4.17), по-видимому, может использоваться также
для приближенного вычисления среднего числа Нуссельта
Nu(X, Ре) в существенно более широком диапазоне чисел Пек-
ле, если величину Nu(l,Pe) определять путем решения линей-
ной вспомогательной задачи (4.16) при %=1 и Ре=0(1).
Можно показать, что для сферической частицы, свободно
взвешенной в простом линейном сдвиговом течении, прибли-
женная формула (4.17) оказывается асимптотически точной
также и в другом предельном случае — при Ре=оо. Это дает
основание полагать, что в этом случае выражение (4.17) по-
зволяет приближенно вычислять среднее число Нуссельта при
всех числах Пекле О^Ре^оо; при этом параметр Nu(l,Pe),
в частности, можно рассчитывать по формуле (2.9) гл. 5, гдеБЬ
следует заменить на Nu(l, Ре).
Подытоживая сказанное, отметим, что сопоставление полу-
ченных в данной главе результатов с целым рядом частных ха-
рактерных случаев, для которых уже имелись необходимые для
проверки точные или приближенные формулы, показывает хоро-
шую точность и широкие возможности метода асимптотической
экстраполяции.
Глава 7
МЕТОД ОСРЕДНЕНИЯ
Сложность математических постановок задач химической гидродинамики,
как правило, исключает возможность получения точных аналитических ре-
шений. Однако часто возникают ситуации, когда основной интерес представ-
ляют не сами точные решения (они могут оказаться громоздкими и неудоб-
ными для практического использования), а приближенные аналитические за-
висимости, которые правильно отражают качественное влияние основных
параметров на исследуемый процесс. Такое положение обусловлено прежде
всего тем, что измерения в реальных процессах, как правило, не могут быть
воспроизведены точно. В данной главе излагаются основанные на осредне-
нии уравнений или граничных условий приближенные аналитические методы
решения нелинейных краевых задач конвективного массотеплопереноса и хи-
мической гидродинамики, которые могут быть использованы в инженерной
практике.
7.1. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ОСРЕДНЕНИЕМ
При исследовании задач химической гидродинамики с гранич-
ными условиями первого рода (считается, что искомая вели-
чина принимает постоянные значения на границах) часто ока-
зывается полезным следующий простой приближенный метод,
основанный на замене любой нелинейной монотонной функции
ф=ф(с) подходящей линейной функцией Ф* по правилу
Ф (с) => Ф* (с) = А + Вс, (1.1)
где постоянные коэффициенты А и В определяются из условия
интегрального равенства Ф и Ф* в среднем
1
Л+4В = <Ф>, <Ф) = j Ф (С) de (<Ф> = <Ф*>). (1.2)
о
Здесь для простоты считается, что область изменения иско-
мой функции с сосредоточена на отрезке [0, 1] (для диффузи-
онных задач это всегда можно сделать за счет соответствую-
щего выбора безразмерной концентрации с). Для определения
коэффициентов А и В следует добавить еще одно соотношение,
аналогичное (1.2), которое можно задать, исходя из различных
соображений. Далее будем использовать наиболее простой и
естественный выбор постоянных А и В, определяющих функцию
Ф* (1.1) и сохраняющих основные особенности исходной функ-
ции Ф. А именно, если исходная функция Ф = Ф(с) не обра-
щается в нуль на отрезке [0, 1] и Ф = 0(1), то будем аппрок-
симировать ее постоянной величиной
Ф» = <Ф> (А = <Ф>, В = 0). (1.3)
Если Ф обращается в нуль в некоторой точке сое[0,1]
Ф(Со)=О, то потребуем, чтобы и аппроксимирующая функция
202
(1.1), (1.2) обращалась в нуль в этой же точке Ф*(со)=О.
В частности, при со=0 последнее условие совместно с (1.2)
приводит к выражению
Ф* = 2(Ф>с (А = О, В=2<Ф». (1.4)
Точность указанного приближенного метода, естественно,
следует оценивать по среднему числу Шервуда, которое также
является интегрально средней величиной. Проиллюстрируем
предложенный метод на некоторых конкретных задачах, рас-
смотренных в работе [52].
7.2. ОСРЕДНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧАХ С ОБЪЕМНОЙ
ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИЕЙ
Рассмотрим стационарную конвективную диффузию к капле или
твердой частице при протекании в жидкости объемной химиче-
ской реакции, скорость которой произвольным образом зависит
от концентрации. В безразмерных переменных соответствующая
краевая задача имеет вид:
Pe(£v)c = Ac-kjo(c) (fv(0) = 0, dfJdc^O)-, (2.1)
г = 1, с = 1; г -► оо, с-► 0, (2.2)
где с — C/Cs, k^j = (PK.VFv (Cs)/(DCS) , fv (c) = Fv (C)/Fv (Cs).
Здесь r — безразмерный радиус (радиус, отнесенный к ра-
диусу частицы а); С8 — концентрация на поверхности частицы;
С — концентрация в объеме жидкости; — константа объемной
химической реакции; KVFV — скорость химической реакции; D —
коэффициент молекулярной диффузии; Pe=aUID — число Пек-
ле; U — характерная скорость потока.
Функция fv, фигурирующая в правой части уравнения (2.1),
обращается в нуль при с = 0. Это отвечает второму случаю ап-
проксимации (1.1), (1.4) при со=О и <b = kvfv, что приводит к
приближенной краевой задаче
Ре (tT-V) с= &с— 2kv(f0)c; (2.3)
г=1, с=1; г-------► оо, с----------► 0, (2.4)
соответствующей (2.1), (2.2).
Сравним поведение среднего числа Шервуда, соответствую-
щего решению точной (2.1), (2.2) и приближенной (2.3), (2.4)
задач в некоторых предельных случаях. Сначала заметим, что
в случае объемной химической реакции первого порядка fv (с) =
= с уравнение (2.3) при любых значениях параметров Jiv и Ре
совпадает с (2.1) и поэтому, естественно, дает точный результат.
При kv = 0 (Ре = const) решение приближенного уравнения дает
точный результат. В другом предельном случае kv-^°o (Ре =
= const) среднее число Шервуда, соответствующее (2.1), (2.2),
203
определяется формулой
1
/ г \1/2
Sh = (2kv I fv (c) del = (2kv<f0»i/« (2.5)
о
(kv --> oo, Pe = const),
которая была выведена в разд. 3.3.
Видно, что выражение (2.5) не меняется при одновременной
замене kv-^2kv<Jvy и f0(c)->c. Это означает, что использование
приближенного уравнения (2.3) и в этом случае приводит к
правильному асимптотическому результату для среднего числа
Шервуда для любой скорости объемной химической реакции
W»(c) (следует отметить, что, несмотря на совпадение средних
чисел Шервуда, асимптотические решения задач (2.1), (2.2) и
(2.3), (2.4) при kv-*-<x> различаются).
При Ре->оо (kv = const) полученные в приближении диффузи-
онного пограничного слоя решения точной (2.1), (2.2) и прибли-
женной (2.3), (2.4) задач совпадают. Некоторое расхождение
результатов, соответствующих (2.1), (2.2) и (2.3), (2.4) будет
наблюдаться только в предельном случае малых чисел Пекле
Ре-И) (£0~1).
Из сказанного ясно, что хороших результатов от использо-
вания приближенного уравнения (2.3) следует ожидать при
больших (и умеренных) числах Пекле во всем диапазоне изме-
нения параметра kv для любой кинетики объемной химической
реакции fv=fv(c).
Если теперь среднее число Шервуда, которое определяется
решением линейной задачи (2.1), (2.2) при fv = c, обозначить че-
рез J=J(kv, Ре), то решение соответствующей приближенной за-
дачи (2.3), (2.4) в случае произвольной зависимости fv=fv(c)
задает среднее число Шервуда в виде Sh=/(2^0<fv>, Ре). Зави-
симость Ре) можно получить, например, путем числен-
ного решения задачи (2.1), (2.2) для объемной химической ре-
акции первого порядка при fv = c.
Интересно отметить, что аналогичные выводы из других со-
ображений были сделаны ранее в разд. 2.1; они подтвержда-
ются результатами исследования конкретных задач, рассмот-
ренных в разд. 1.3; 3.3; 4.2.
Учитывая сказанное и выбирая в качестве основы формулу
(5.10) гл. 2, предложенную для расчета коэффициента массооб-
мена на каплю или твердую частицу при протекании в сплош-
ной фазе объемной химической реакции первого порядка, для
среднего числа Шервуда в случае произвольной скорости хими-
ческой .реакции получим следующее приближенное выражение:
Sh = V2fe0 (/„> cth (1/2^ </o>/Sh0), (2.6)
Здесь Sho — среднее число Шервуда на частицу при отсутствии
объемной химической реакции, т. е. при kv = 0.
204
В линейном случае f0 = c по построению формула (2.6) пе-
реходит в (5.10) гл. 2.
7.3. УЧЕТ ЗАВИСИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТА ДИФФУЗИИ
ОТ КОНЦЕНТРАЦИИ В ЗАДАЧАХ КОНВЕКТИВНОГО
МАССОПЕРЕНОСА
Обычно считается, что коэффициент диффузии не зависит от
концентрации. Однако экспериментальные данные [18, 112, 133,
139, 155, 184, 197] показывают, что коэффициенты диффузии в
жидкостях часто существенно изменяются с изменением кон-
центрации. Например, растворение в одном литре воды двух
граммов поваренной соли уменьшает коэффициент диффузии на
10%. Во многих случаях коэффициент диффузии линейным об-
разом уменьшается при увеличении концентрации диффундиру-
ющего вещества (сахароза, рафиноза и др.) в водном растворе
[18]. При растворении в воде ряда одновалентных солей (NaCl,
КС1 и др.) зависимость коэффициентов диффузии от концентра-
ции (прис^ОД моль/л) описывается выражением
D/Do= 1 —0,5751/7, (3.1)
где Do — коэффициент диффузии при бесконечном разбавлении;
с — мольная концентрация.
Для гемоглобина и серого альбумина, диффундирующих в
растворах солей, имеем [112, 139]
D/Do = (1 -7)М, (3.2)
где с — мольная доля растворенного вещества.
Растворение в воде КМпО4 в количестве от 0 до 2-10-4
моль/л снижает коэффициент диффузии на 25%. Очень сильное
изменение коэффициента диффузии наблюдается в водных рас-
творах метиленового голубого (молекулярная масса т = 317),
введение которого в количестве 6-Ю-4 моль/л при температуре
7= 18 °C в два раза снижает коэффициент диффузии.
Отметим также, что в некоторых системах (например, при
растворении в воде ацетона, этанола или метанола) с увеличе-
нием концентрации коэффициент диффузии сначала уменьшает-
ся, а затем возрастает [18, 133, 184].
Рассмотренные примеры наглядно показывают, что при рас-
творении ряда веществ даже в очень малых количествах (де-
сятые доли процента) необходимо учитывать изменение коэф-
фициента диффузии. При этом изменением вязкости и плотно-
сти смеси от концентрации диффундирующего вещества, как
правило, можно пренебречь. Например, из данных [18] следу-
ет, что для разбавленных растворов одновалентных солей от-
носительное изменение коэффициента диффузии на два поряд-
ка превышает относительное изменение вязкости раствора.
205
Учитывая сказанное, рассмотрим теперь конвективный мас-
сообмен капли или твердой частицы с жидкостью при произ-
вольной зависимости коэффициента диффузии от концентрации
D=D(C). Считаем, что концентрация у поверхности частицы и
вдали от нее принимает постоянные значения, равные С8 и С<х>
соответственно (С8#=С«>). Предполагаем также, что неоднород-
ность концентрации не влияет на параметры потока. В безраз-
мерных переменных исследуемая нелинейная задача имеет вид
Ре (у. v) с= div (£>Х7с); (3.3)
г = rs (0, <р), с = 1; г -->• оо, с----► 0, (3.4)
Cv—C _ _ D(C) „ aU
где с~ Cx-Cs' D-D(c) = D(CX) ’ Pe~ D(C„) :
r=r8(0, ср) — уравнение поверхности тела.
_ В задачах типа (3.3), как правило, выполняется условие
D~1 при O^c^l. Это соответствует первому случаю аппрок-
симации (1.1), (1.3) при Ф = £> и приводит к приближенному
уравнению
Ре (о- v)с= (D) Ас, (3.5)
которое необходимо дополнить граничными условиями (3.4).
В отличие от нелинейной краевой задачи (3.3), (3.4) реше-
ния осредненной линейной задачи (3.5), (3.4) во многих конк-
ретных случаях в настоящее время уже получены. Следует от-
метить, что при постоянном коэффициенте диффузии уравнение
(3.3) становится линейным и совпадает с уравнением (3.5).
В работе [94] показано, что при малых числах Пекле при-
ближенная задача (3.5), (3.4) дает правильный асимптотиче-
ский результат для среднего числа Шервуда при любой форме
частиц и произвольной зависимости коэффициента диффузии от
концентрации.
Определим среднее число Шервуда, соответствующее реше-
нию нелинейной краевой задачи (3.3), (3.4), следующим обра-
зом:
- 1 с - дс
Sh = Sh (D, Ре) = — | D (с) dS, (3.6)
5
где д/дп — производная по нормали к поверхности частицы S.
Тогда в предельном случае при Ре->-0, получим
1
Sh (Ь, 0) = (D>Sh (1,0), (D) = D (с) de. (3.7)
о
При больших числах Пекле нелинейная краевая задача (3.3),
(3.4) в настоящее время практически не исследована. Остано-
вимся здесь лишь на нескольких конкретных ситуациях, когда
можно получить точное асимптотическое решение задачи (3.3),
206
(3.4) при Ре-х». Осесимметричный и плоский случаи будем
рассматривать одновременно.
При анализе используем ортогональную криволинейную си-
стему координат т], X, связанную с частицей. Координату т)
направим вдоль по поверхности частицы, а | — по внешней нор-
мали к ней. Считаем, что поверхность частицы задается нуле-
вым значением координаты |, а значение т] = 0 соответствует
критической точке натекания. В осесимметричном случае азиму-
тальная координата % изменяется в пределах от 0 до 2л, а в
плоском случае — от 0 до 1; при этом концентрация и вектор
скорости жидкости не зависят от X.
При больших числах Пекле основной массоперенос проис-
ходит в диффузионном пограничном слое, который расположен
вблизи поверхности капли или твердой частицы. В этой обла-
сти диффузией растворенного в жидкости вещества вдоль по-
верхности частицы можно пренебречь по сравнению с диффу-
зией по нормали; при этом необходимо учесть также конвектив-
ный перенос, обусловленный движением среды.
Безразмерное уравнение диффузионного пограничного слоя
и граничные условия в системе координат г], % имеют вид:
дс ии дс 1д_ дс
= ~дГ°(с)~дГ’ (3-8)
g = 0, с = 1; £----► оо, с ---> 0, (3.9)
где компоненты скорости жидкости и могут быть выраже-
ны через функцию тока ф следующим образом:
1 1 дф
*1’ (3J0)
Здесь gw и gu — компоненты метрического тензора, взятые на
поверхности частицы; при записи уравнения (3.8) и соотноше-
ний (3.10) для простоты предполагалось, что значение | опре-
деляет расстояние от поверхности частицы в пограничном слое
(т. е. gEE=l при £ = 0).
При вязком обтекании на поверхности твердой (жидкой)
частицы должно выполняться условие прилипания (непротека-
ния), поэтому функцию тока вблизи поверхности тела можно с
учетом (3.10) представить в виде
Ф = 5по(п) (5—>0), (3.11)
где значение п = 1 соответствует каплям и пузырям, а п = 2 —
твердым частицам.
Для решения задачи (3.8) — (3.11) введем новые переменные
по формулам
ч
х = Pei/ln+il^i/n, = V f Vinnmо11п (П) Л). (3.12)
b
207
которые использовались в работе [30] для анализа линейной
задачи с постоянным коэффициентом диффузии-
Замена (3.12) приводит к следующему уравнению и гранич-
ным условиям:
= (3.13)
т = О, с = 0; х = 0, с = 1; х-------> оо, с-----> 0. (3.14)
Введение новой автомодельной переменной
2 = жС-1/(п+1) (3.15)
приводит задачу (3.13), (3.14) к обыкновенному дифференци-
альному уравнению с граничными условиями
d Г— 4с "I гп de , „ , „,
1Г|+ л+1 1Г = 0: (ЗЛ6)
2 = 0, с = 1; z ------> оо, с ---> 0.
Уравнение (3.16) при п=1 встречается в задачах нелиней-
ной теплопроводности [79] и фильтрации [93], где рассматри-
вались следующие зависимости:
£) (s) = 1 4-осс, D (с) = (1 + °^+ Pc2)"1, D (с) = ехр (ас).
Оценим теперь, какую ошибку может внести процедура ос-
реднения коэффициента диффузии при вычислении среднего
числа Шервуда. Для этого исследуем модельную ситуацию при
D(c) = l — с, п=1. (3.17)
Учтем, что <Z5(c)>= 1/2. Поэтому решение осредненной задачи
(3.16), полученной в результате замены функции D(c) на 1/2,
дается формулой
сt= erfc (z/2). (3.18)
Дифференцируя это выражение по z, для локального потока
имеем
/ = -<£> = <%- = о,399. (3.19)
С другой стороны, решение точной задачи (3.16), (3.17) при-
водит к следующему значению [93]:
J = — о = 0,332. (3.20)
Сопоставление формул (3.19) и (3.20) показывает, что ос-
реднение коэффициента диффузии в данном случае приводит к
погрешности в 20%. Следует отметить, однако, что функция D
(3.17) обращается в нуль при z=l. Поэтому здесь нарушается
основное условие применимости процедуры осреднения. В ре-
208
Рис. 7.1. Линии тока в зазоре между ци-
линдрической поверхностью и вращающим-
ся круговым цилиндром
альных ситуациях, когда D~\, const >Д\
ошибка использования приближен- з if ХТПЧ \\ t
ного уравнения может быть значи- 3 1 / f(Т* | | Е
тельно меньше. 4 А \ / / F
Из результатов работ [96, 98, А \ \ JJ ь
178] следует, что аналогичная по- "X
грешность наблюдается и при ос- х'"-----
реднении соответствующих более
сложных нестационарных задач 'птттгтп'
диффузионного пограничного слоя.
В частности, при аппроксимации поля течения в окрестности
поверхности капли или пузыря старшим членом разложения
функции тока вида ф = |о(т, т]) существует замена переменных
[178], которая позволяет нестационарную задачу (3.8), (3.9)
(с дополнительным членом dcldx в левой части уравнения (3.8)
и начальным условием с=0 при т=0) свести к обыкновенному
дифференциальному уравнению (3.16) при п=1.
Опишем теперь те задачи (3.3), (3.4), в которых процедура
осреднения коэффициента диффузии является асимптотически
точной при больших числах Пекле (для среднего числа Шерву-
да). А именно, покажем, что уравнение (3.5) дает правильный
асимптотический результат, во-первых, в двусвязных областях
с полностью замкнутыми линиями тока (рис. 7.1) и, во-вто-
рых, во всех внешних задачах, когда к поверхности тела примы-
кает область с полностью замкнутыми линиями тока
(рис. 7.2). Второй случай реализуется, например, при движении
свободно взвешенной сферической частицы или кругового ци-
линдра в простом сдвиговом потоке [146, 160].
Рассмотрим сначала первый случай. Для анализа помимо
сферической (цилиндрической) системы координат г, 0, % вве-
дем еще ортогональную систему координат ф, ср, X, связанную
с линиями тока. При этом фиксированные кривые ср = const ор-
тогональны линиям тока i|)=const; зависимость <р=<р(г, 0, %) оп-
ределяется путем решения уравнения (Vi|>-V(p)=0; как и ра-
нее, рассматривается только плоский или осесимметричный слу-
чай, где все величины не зависят от Л. В такой системе коорди-
нат уравнение (3.3) принимает вид:
Ре дс 1 [ д Г ~]/g — дс 1 , д
VF ^Ф~ = Vi' D (с) "дф”
|/g — (С
(3.21)
р = (0, г'<р, 0), = Vg<₽<p/g>
g = g^gwgM. (Ф1 < Ф < Ф2. 0 < Ф Фо).
14—1391
209
В плоском случае gu=l, в осесимметричном — gfu=/'2sinz0.
Уравнение (3.21) должно быть дополнено граничными усло-
виями на предельных линиях тока:
4’ = 4’i, c=l; = с = 0. (3.22)
Безразмерная концентрация с в (3.21), (3.22) была введена
аналогично тому, как это делалось в (3.3), с соответствующей
заменой Cs на Csi и С«> на Cs2 (где Csi и Cs2 — значения кон-
центрации на поверхностях ф1 и ф2) •
Решение задачи (3.21), (3.22) при Ре-*-оо ищем в виде ре-
гулярного асимптотического разложения по обратным степеням
числа Пекле:
с = с0-|-Ре-1с1 + •••, с0/с1=О(1). (3.23)
Подставляя (3.23) в уравнение и граничные условия (3.21),
(3.22) и выделяя члены при одинаковых степенях числа Пекле,
для старших членов разложения получим
дс0
-^— = 0; ф = ф1( с0 = 1; 1|>«=К со = О; (3.24)
____________д Vg - дс0 1 д [ ~|/g п дс„
д<? “_______[ g^ ( о) J+ L W J
ip = ip1, q = 0; ф = ф2, сх = 0.
(3.25)
Из уравнения (3.24) следует, что нулевой член разложения
зависит только от функции тока:
с® = Со(4’). (3.26)
При этом граничных условий (3.24) оказывается недостаточно
для определения концентрации Со. Для получения необходимой
дополнительной информации о нулевом члене разложения
(3.23), (3.26) воспользуемся процедурой, которая часто встре-
чается при применении метода растянутых координат и метода
многих масштабов с последовательным исключением вековых
(растущих) членов [67, 84].
Учитывая, что функция с периодична по координате <р с пе-
риодом фо
с(1’,ф) = с(’Ф,ф+фо), ф) =с((ф, ф + фо); 1=0,1,..., (3.27)
проинтегрируем уравнение (3.25) для следующего члена разло-
жения Cj по-ф: О^ф^фо. В результате для с0 получим обык-
новенное дифференциальное уравнение
d den 1
] = 0; (3.28)
'Ф = 4’1. с0=1; = ф2, со = 0,
где функция Г(ф) определяется следующим образом:
Г (ф) = ф dtp fdq J /—любая функция). (3.29)
о
510
Решение задачи (3.28), записанное в неявной форме, дается
выражениями
^0 М?2
j D (с) de = <D> , Л (ф2, ф) = j , (З.зо>
О
а соответствующее ему среднее число Шервуда имеет вид:
Sh(D, oo) = <D>Sh(l, оо), Sh (1, оо) == 1/Д (ф2, ф2). (3.31)
Аналогичным образом нетрудно показать, что асимптотиче-
ское решение осредненной задачи (3.5), (3.4) при больших чис-
лах Пекле задается формулой (3.30) при D = <Z>> = 1. Соответ-
ствующее ему среднее число Шервуда определяется интегриро-
ванием безразмерного локального диффузионного потока, умно-
женного на <JD>, по периоду <ро и приводит к тому же самому
выражению (3.31). Другими словами, здесь осредненное урав-
нение (3.5) дает точный асимптотический результат для сред-
него числа Шервуда.
Следует отметить, что формулы (3.30), (3.31) обобщают ре-
зультаты работ [160, 175], где рассматривалось линейное урав-
нение с постоянным коэффициентом диффузии.
Во втором случае (см. рис. 7.2) выставляются граничные ус-
ловия на поверхности тела и на бесконечности. Нетрудно пока-
зать, что при больших числах Пекле распределение концентра-
ции в потоке здесь также описывается обыкновенным дифферен-
циальным уравнением и граничными условиями (3.28), где зна-
чение соответствует поверхности тела, а ф=ф2 — предель-
ной линии тока, которая отделяет область с замкнутыми линия-
ми тока от области с разомкнутыми и на которую «сносится»
граничное условие из бесконечности (т. е. в области с разомк-
нутыми линиями тока концентрация постоянна и равна своему
невозмущенному значению на бесконечности). Рассматривае-
мый случай реализуется, например, при обтекании незакреплен-
ного кругового цилиндра в простом сдвиговом потоке, когда по-
ле скоростей жидкости на бесконечности в декартовой системе
—>-
координат Xi, Х2, Хз может быть записано в виде v—{Gx2, 0,0},
где G — коэффициент сдвига. На рис. 7.2 показаны линии тока
ф=const, где
ф = (г2 — 1) — -у- (г2 — 2 + г-2) cos 20;
1 <?ф <5ф
Vr ~ г дв ’ Vq ~ ~ дг •
(3.32)
Эти линии соответствуют сдвиговому обтеканию кругового ци-
линдра при малых числах Рейнольдса [146, 160] (цилиндр вра-
щается с постоянной угловой скоростью). За характерный мас-
штаб скорости при записи (3.32) принята величина U=aG,
где а — радиус цилиндра.
14* 211
Рис. 7.2. Линии тока в окрестности сво-
бодно взвешенного кругового цилиндра
в простом сдвиговом потоке
Предельная линия тока, разгра-
ничивающая области с замкну-
тыми и разомкнутыми линиями
тока, определяется равенством
ф2=1/4 в (3.28).
Асимптотическое решение за-
дачи (3.3), (3.4) при Ре-*оо во
втором случае (рис. 7.2) также задается формулами (3.30).
При этом средние числа Шервуда по поверхности тела, соот-
ветствующие решению точной (3.3), (3.4) и осредненной (3.5),
(3.4) задач совпадают и определяются формулой (3.31).
Следует отметить, что в частном случае массопереноса к
поверхности незакрепленного кругового цилиндра в простом
сдвиговом потоке (3.32) при больших числах Пекле и любом
законе изменения коэффициента диффузии от концентрации
для определения среднего числа Шервуда следует пользоваться
формулой (3.31), где Sh(l, оо) =2,87 [160] (безразмерный ин-
тегральный поток равен 2nSh(l, оо)). В случае диффузии к сфе-
ре, свободно взвешенной в простом сдвиговом потоке (трехмер-
ное поле течения), в выражении (3.31) следует положить
Sh(l,oo)=4,5 [136].
Из рассмотренных сопоставлений с точными асимптотиче-
скими результатами ясно, что осредненное уравнение (3.5) с
успехом может быть использовано для приближенного опреде-
ления среднего числа Шервуда.
Ранее в работе [94] проводился асимптотический анализ не-
линейной краевой задачи (3.3), (3.4) при малых числах Пекле
в случае поступательного и произвольного сдвигового потока
для капель и частиц любой формы. Для среднего числа Шерву-
да была получена формула
1
Sh(D, Pe) = (D)Sh(l, Ре), <5>=^D(c)dc, (3.33)
о
которая позволяет определить в случае поступательного потока
три, а в случае сдвигового — два первых члена асимптотическо-
го разложения по малому числу Пекле. Здесь Sh(l,Pe) —сред-
нее число Шервуда, соответствующее линейной ^адаче (3.3),
(3.4) при постоянном коэффициенте диффузии D=l, которое
для поступательного и сдвигового обтекания частицы получено
в работах [145] и [140] соответственно.
Из сопоставления выражений (3.31) и (3.33) следует, что
формула (3.33) с успехом может использоваться для прибли-
женного определения среднего числа Шервуда во всем диапа-
зоне чисел Пекле при любой зависимости коэффициента диф-
212
фузии от концентрации для широкого класса течений (во вся-
ком случае при обтекании сдвиговым потоком свободно взве-
шенных частиц).
7.4. ОСРЕДНЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИИ В ЗАДАЧАХ
С ПОВЕРХНОСТНЫМИ ХИМИЧЕСКИМИ РЕАКЦИЯМИ
В нелинейных краевых задачах, описываемых линейными урав-
нениями в частных производных с нелинейными граничными ус-
ловиями на поверхности тела (нелинейные граничные условия
третьего рода), часто оказывается полезным для приближенно-
го определения интегральных тепловых и диффузионных потоков
на поверхность частицы использовать простой приближенный
метод, который основан на удовлетворении граничных условий
на поверхности частицы «в среднем» [124]. Основные идеи ме-
тода проиллюстрируем на следующем примере, имеющем само-
стоятельный интерес.
Рассматривается конвективная диффузия к реагирующей
твердой или жидкой сфере, обтекаемой ламинарным потоком
жидкости при протекании на ее поверхности неизотермической
химической реакции, скорость которой произвольным образом
зависит от температуры и концентраций. Предполагается, что
частица нетеплопроводна, а реагирующие компоненты присут-
ствуют в достаточно малых концентрациях, так что наличие по-
верхностной химической реакции не влияет на параметры пото-
ка и частицы. Не учитывается также влияние термо- и баро-
диффузии и т. п.
Безразмерные уравнения конвективной диффузии и тепло-
проводности, а также граничные условия, выражающие одно-
родность температуры и концентрации вдали от частицы, «закон
реакции» и баланс тепла на ее поверхности, имеют вид:
Реш (и-v) ст = Дст; т = 1,2,..., М; (4.1)
PeT(T-V) Т = ДТ; (4.2)
г ---> оо, ст------------► О, Т ----------► 0; (4.3)
r = 1 > Qr — finl?", clt..., см); (4.4)
дТ 40 дст
г — 1, дг - hm dr • I4-5)
nv=\
Здесь Ст — Crnao (1 Сщ)> 7’# — T'oo О ^), — aUDm"1 >
Рет = at/o-i, hm = DmCmx Hm (KT„) ->,
fm (T, C],..., См) — а (Pnfimn) (T#, ,..., C M) ,
где Cm — концентрации реагентов; T* — температура в потоке;
Стаа и Too — концентрации и температура на бесконечности; Рет
и Рет — тепловое и диффузионное числа Пекле; Dm — коэффи-
213
циенты диффузии; о и X — коэффициенты температуропроводно-
сти и теплопроводности жидкости; Нт и Fm — теплота и ско-
рость реакции т-го компонента; М — число реагентов, участвую-
щих в реакции.
Получить эффективное решение задачи (4.1) — (4.5) даже в
простейшем случае одного уравнения при т=1 с линейным гра-
ничным условием на поверхности (при произвольных числах
Пекле 0^Ре<оо) не удается. Поэтому построим приближенное
решение (4.1) — (4.5) следующим образом. Возьмем (Af-J-l) —
параметрическое семейство функций ст и Т, удовлетворяющих
уравнениям (4.1), (4.2) и граничным условиям на бесконечно-
сти
ст — Атит, Т = Bw,
Ат = const,
um = E(r,Pem), tt>=3(r,PeT); (4.6)
В = const (т = 1,..., М).
Здесь функция S=S(r, Ре) является решением следующей
вспомогательной линейной краевой задачи:
Pe(v-v)S = A3; (4.7)
г = 1, 3 = 1; г --->- оо, Е ---► О,
а произвольные постоянные Ат и В будут определены далее в
ходе решения задачи.
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что функ-
ции ст=Атит и T=Bw (4.6), (4.7) при любых постоянных
Ат и В удовлетворяют уравнениям (4.1), (4.2) и граничным ус-
ловиям на бесконечности (4.3). Неизвестные постоянные Ат и
В определим из условия равенства нелинейных граничных усло-
вий (4.4), (4.5) в среднем по поверхности частицы (г=1):
Подставляя в эти формулы выражения (4.6), с учетом (4.7)
и меняя далее местами в правой части последнего равенства
(4.8) знаки суммирования и интегрирования для определения
параметров Ат и В получаем следующие трансцендентные (ал-
гебраические) уравнения:
м
Shm = /m(B, 4It...,4M), Nu = 2 (4.9)
m=l
Shm = —-4^-ds, Nu = —“4?Г J’aT dS; m= 1
s s
Учтем также, что в силу (4.6), (4.7) между средними числами
214
Шервуда и Нуссельта и параметрами Ат, В существует простая
•связь:
— Am Sh/noo > Nu — В Nu^;
<4jo>
s s
где величины Shm0o и Nuoo соответствуют диффузионному (теп-
ловому) режиму реакции на поверхности сферы (4.7).
Исключая из соотношений (4.10) параметры Ат и В и под-
ставляя их далее в выражения (4.9), получаем следующую си-
стему трансцендентных уравнений для определения средних чи-
сел Шервуда и Нуссельта:
с. г ( Nu Shi ShM ) _ . ..
shm-An^NUoo. sh10O ’•••’ ShMoo )’ m~l......M'
(4.П)
M
Nu = 2^mShm.
zn=l
Следует отметить, что для определения вспомогательных чи-
сел Шервуда Shm0o и Нуссельта Nu«>, которые фигурируют в си-
стеме (4.11), достаточно знать решение только одного линейно-
го уравнения (4.7) во всем диапазоне чисел Пекле 0<Ре<
<оо. Как уже отмечалось, в настоящее время имеется доста-
точно большое число решений задачи (4.7), полученных для
различных обтеканий капли или частицы численными, аналити-
ческими или приближенными методами [20,30,150]. Некоторые
конкретные зависимости вспомогательного числа Шервуда Shm<»
от числа Пекле Ре были приведены в гл. 5.
В изотермическом случае при Af=l пригодность приближен-
ного уравнения (4.11) в различных типичных ситуациях прове-
рялась в разд. 1.3 и 3.2, где было показано, что максимальное
отклонение корня приближенного уравнения (4.11) от точного
среднего числа Шервуда наблюдается при больших числа Пек-
ле (Ре->оо) и не превосходит, как правило, 7—9%.
Следует отметить, что приближенная система трансцендент-
ных уравнений (4.11) является асимптотически точной при ма-
лых числах Пекле
Ре----> О, Pem = PeQm, Qm = О (1) (m = 1,..., М, Т).
и позволяет при средних числах Шервуда и Нуссельта получить
для поступательного потока три [99], а для произвольного ли-
нейного сдвигового потока — четыре [97] первых члена соот-
ветствующего асимптотического разложения по малым числам
Пекле.
Глава 8
ТРАДИЦИОННЫЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
Традиционным и хорошо разработанным приближенным методом реше-
ния задач химической технологии и гидродинамики является интегральный
метод, допускающий различные обобщения и модификации. Этот метод име-
ет ряд характерных особенностей. В классическом случае искомая величина
ищется в виде некоторой комбинации двух функций. Одна из них задается
априорно, исходя из известных представлений о качественной стороне про-
цесса, и определяет профиль приближенного решения. Эта функция должна
удовлетворять граничным условиям рассматриваемой задачи. Другая функ-
ция заранее неизвестна и отвечает за вид автомодельной переменной. Она
находится из решения обыкновенного дифференциального уравнения, кото-
рое является следствием исходного уравнения в частных производных, про-
интегрированного поперек пограничного слоя.
Указанный приближенный подход хорошо зарекомендовал себя, напри-
мер, в теории ламинарного и турбулентного пограничного слоя [78, 134]„
а также задачах конвективного массотеплопереноса [73].
Данная глава посвящена описанию интегрального метода и других клас-
сических приближенных методов (методы Галеркина, коллокаций, момен-
тов) решения линейных и нелинейных задач химической технологии и теории
массотеплопереноса. Рассмотрено большое число конкретных примеров,
представляющих интерес для приложений.
8.1. МЕТОД ГАЛЕРКИНА И ЕГО МОДИФИКАЦИИ
Рассмотрим сначала методы, в которых для получения прибли-
женного решения вместо исходного дифференциального уравне-
ния используются его различные интегральные следствия. Бу-
дем рассматривать линейные стационарные задачи.
Начнем описание с метода Галеркина, частным случаем ко-
торого являются интегральный, моментов, коллокаций и др.
(см., например, [14, 65, 66, 157—159]).
1. Метод Галеркина. Суть этого метода заключается в сле-
дующем. Пусть ищется приближенное решение уравнения
Lc — f = Q. (1.1)
с однородными граничными условиями. Здесь L—линейный
дифференциальный оператор: с(х,у, z) —искомая функция;
f(x,y,z) —некоторая заданная непрерывная функция.
Выберем какую-либо последовательность линейно-независи-
мых элементов фг-(х,у, z), удовлетворяющих тем же граничным
условиям, что и функция с. Будем искать приближенное реше-
ние (1.1) в виде линейной комбинации
w
сы = ^аю((х, у, г), (1.2)
£=1
где коэффициенты а, подлежат определению в ходе решения за-
дачи.
Конечную сумму (1.2) называют аппроксимирующей функци-
ей. Остаток Rn, полученный в результате подстановки конеч-
216
ной суммы (1.2) в левую часть уравнения (1.1), имеет вид
RN*=LcN-f. (1.3)
Если остаток Rn тождественно равен нулю, то cN (1.2) бу-
дет точным решением (1.1). В общем случае RN^Q.
Для определения коэффициентов разложения а, в сумме
(1.2) возьмем другую последовательность линейно-независимых
функций
Wj = Wj (х, у, г) (j = 1,2,..., N). (1.4)
Умножим обе части (1.3) на W/ и проинтегрируем по обла-
сти V, в которой ищется решение уравнения (1.1). Потребуем
теперь, чтобы соответствующие интегралы обращались в нуль.
В результате получим систему линейных алгебраических урав-
нений для коэффициентов
^WjRNdV = 0 (/=1,2.....N). (1.5)
v
Равенства (1.5) означают, что аппроксимирующая функция
(1.2) удовлетворяет уравнению (1.1) «в среднем» (интеграль-
но) с весовыми элементами W/.
Если определить скалярное произведение любых двух функ-
ций g и h по формуле {g, h)= £ ghdV, то уравнения (1.5) мож-
но трактовать как условия ортогональности остатка Rn к взве-
шивающим ФУНКЦИЯМ Wj.
Метод Галеркина позволяет решать не только задачи со
стационарным распределением искомой величины (температу-
ры, концентрации, скорости и т. д.) по пространству, но и не-
стационарные задачи с начальными условиями (см. п*. 8). Этот
метод может быть применен также в задачах, когда ищутся
собственные числа и собственные функции (процессы тепломас-
сопереноса). В частности, к задаче о собственных числах мож-
но прийти, положив в (1.1) f=kc (где Л — постоянная вели-
чина).
Метод Галеркина может использоваться и для решения бо-
лее сложных нелинейных задач.
2. Метод Бубнова — Галеркина. При приближенном реше-
нии конкретных уравнений методом Галеркина координатные
последовательности {ф/} и {о»/} можно выбирать различными
способами. В частном случае, когда обе координатные последо-
вательности одинаковы
а>; = <Р/, (1.6)
указанный метод принято называть методом Бубнова — Га-
леркина.
Если бесконечная последовательность элементов ф/ (/=1,
2, ...) является полной, то приближенное решение cn (1.2) при
ряде достаточно общих предположений сходится к точному ре-
шению уравнения (1.1) при 2V->oo [61].
217
Доказательство сходимости и обоснование применимости ме-
тода Галеркина к краевым задачам, как правило, являются
весьма трудными вопросами. Обычно требуется специальное-
рассмотрение с учетом конкретных условий задачи. Некоторые
результаты по затронутым вопросам можно найти в специаль-
ной литературе [61, 65, 82].
3. Метод моментов. Если в качестве взвешивающей функции'
в (1.4) выбрать величины
Wj = x!, (1.7)-
то принято говорить о методе моментов.
Иногда элементы Wj выбирают по элементам ф/ при помощи
равенств
= (/=1,2,...), (1,8).
где L — дифференциальный оператор, входящий в уравнение
(1.1).
Эту разновидность метода Галеркина называют методом
наименьших квадратов.
4. Метод коллокаций. В методе коллокаций взвешивающая
функция выбирается в виде дельта-функции Дирака
wj = 6(x — X], y — yj, z—2j), (1.9>
т. е., во-первых, w/ = Q во всех точках рассматриваемой области,
за исключением точки (X/, у/, Zj), и, во-вторых, интеграл от W/
по любой области, захватывающей точку (х/, z//, Z/), равен еди-
нице. Поэтому в этих точках остаток должен обращаться в
нуль:
т?№<> (Х = Х], y = yJt 2 = 2}). (1.10>
Точкам (х/, у/, Zj), в которых остаток Rn принимается рав-
ным нулю, придается наибольшее значение при решении зада-
чи. Число коллокационных точек N выбирается в соответствии
с порядком полинома (1.2), что позволяет получить замкнутую
систему линейных уравнений для определения неизвестных ко-
эффициентов at.
При выборе коллокационных точек имеется определенная
свобода и могут быть использованы различные соображения,
связанные с особенностями задачи (симметрия, неравноценная
роль отдельных частей области и пр.). Выбор точек коллока-
ции оказывает влияние на результаты решения, особенно при
невысоких степенях полинома.
В методе коллокаций не требуется вычисления интегралов,
что особенно ценно при решении нелинейных задач. Например,
в теории реакторных процессов [58, 121] зависимость констан-
ты скорости химической реакции от температуры Т задается
обычно экспоненциальным членом вида аехр^/Т), где а, —
некоторые постоянные.
Интегрирование выражений, содержащих функции такого
рода, является весьма неблагодарной задачей. В методе колло-
218
каций такой операции нет — необходимо лишь приравнять к ну-
лю остаток в точках коллокаций (1.10).
5. Интегральный метод. В интегральном методе берется
только одна взвешивающая функция w, которая принимается
равной единице во всей рассматриваемой области:
U>=1. (1.11)
При этом приближенное решение удовлетворяет дифферен-
циальному уравнению (1.1) лишь в среднем и строится исходя
из простейшего интегрального соотношения
J₽A,dy = O. (1.12)
v
Равенство (1.12) накладывает только одно ограничение на
коэффициенты аппроксимирующей функции (1.2). Поэтому для
определения параметров at необходимо добавить еще N—1 ус-
ловий. Эти условия выбираются из различных соображений,
связанных с априорными качественными представлениями о
структуре решения, и должны учитывать граничные условия.
Интегральный метод решения краевых задач получил ши-
рокое распространение в теории пограничного слоя [134], где
его часто называют методом Кармана — Польгаузена.
6. Метод разделения области. Естественным обобщением ин-
тегрального метода является метод разделения области. Такое
название метода обусловлено тем, что вся рассматриваемая
область V разбивается на N подобластей. Выбор границ под-
областей V/ диктуется специфическими особенностями задачи и
в общем случае может быть произвольным. Так, например, сум-
ма подобластей V/ может и не заполнять всю область V, а от-
дельные подобласти V/ и V* могут перекрывать друг друга. Об-
щим для каждой подобласти V/ является правило выбора зна-
чения взвешивающей функции:
( 1 в области V,
Wj= 1 (1.13)
( 0 вне области Vj.
Если Vj—V и j=N=l, то метод разделения области перехо-
дит в интегральный метод в его классическом представлении.
Очевидно, что с увеличением N остаток Rn будет равен нулю
для все большего числа подобластей V/. Это позволяет рассчи-
тывать на то, что с увеличением числа членов в аппроксимиру-
ющей функции (1.2) приближенное решение будет приближать-
ся к точному.
7. Метод квадратичной ошибки. Иногда для определения
параметров at аппроксимирующей функции (1.2) используется
метод квадратичной ошибки, основанной на минимизации функ-
ционала
► min. (1.14)
v
219
При заданных элементах ф; в (1.2) функция Ф является квадра-
тичным полиномом относительно коэффициентов а,. Необхо-
димые условия минимальности (1.14) в этом случае имеют вид
дФ/да, = 0 (t = 1,2,..., IV). (1.15)
и представляют собой систему алгебраических уравнений для
определения а,-.
Условие (1.14) можно использовать также для отыскания
зависимости автомодельной переменной от времени в неста-
ционарных задачах.
8. Нестационарные задачи. Описанные методы с успехом
можно использовать для приближенного решения нестацио-
нарных задач с начальными условиями. Отличие заключается
в том, что функциональные последовательности {<₽»}, {wi} и
коэффициенты аппроксимирующей функции а,- в этом случае
будут дополнительно зависеть и от времени т.
Для лучшего понимания практической стороны вопроса
рассмотрим конкретный пример. Пусть ищется распределение
концентрации в жидкости, движущейся в трубе (внутренняя
задача), или в потоке, обтекающем растворяющуюся частицу
(внешняя задача). Безразмерное уравнение нестационарного
конвективного массопереноса имеет вид
дс
-^-+Ре(У.?)с = ДС. (1.16)
Это уравнение должно быть дополнено начальным и гра-
ничными условиями, которые здесь опускаются. '
Возьмем аппроксимирующую функцию в виде
N
CfJ = 2az(T) ФИ*, У, z, Т). (1.17)
i=i
В качестве базисных элементов удобно выбирать функции,
которые не зависят от времени: ф1=ф/(х, у, г). Классическая
формулировка метода Галеркина в применении к линейным
краевым задачам предлагает в качестве базиса принимать соб-
ственные функции стационарной краевой задачи. Это обеспе-
чивает выполнение краевых условий и приводит к хорошим ре-
зультатам.
Остаток, получающийся после подстановки в уравнение
(1.16) аппроксимирующей функции (1.17), равен
^ = -^- + Pe(^-V)cw-AcAi. (1.18)
Умножаем обе части (1.18) на весовые множители w, и
проинтегрируем по всему пространству. Приравнивая осред-
ненные значения нулю, приходим к уравнениям (1.5).
Если все элементы последовательностей {ф,} и {о»/} не за-
висят от времени, то система (1.5) представляет собой линей-
220
ную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с по-
стоянными коэффициентами для определения искомых функ-
ций ai=ai(r).
Приближенное решение (1.17) должно удовлетворять на-
чальным и граничным условиям, что накладывает дополни-
тельные ограничения на функции <р, и а,-.
9. Выбор аппроксимирующей функции. Выбор вида ап-
проксимирующей функции не является формальным вопросом.
Ведь от успеха на этой стадии зависит число членов ряда, ко-
торым можно ограничиться для описания рассматриваемого
явления и достижения требуемой точности аппроксимации,
т. е. в конечном итоге эффективность метода.
Обычно члены последовательности <р,- выбирают в виде по-
линомов. Например, в задачах с одной пространственной ко-
ординатой часто используются функции
<pz(x) = x‘-i (1=1,2,...). (1.19>
Простейшие элементы (1.19) служат основой для построе-
ния более сложных последовательностей, обладающих удобны-
ми ортогональными свойствами (см., например, полиномы Ле-
жандра, Якоби и др. [66]).
Если решение ищется на отрезке O^x^l и обладает свой-
ством симметрии относительно х=0, то целесообразно принять
аппроксимирующую функцию в виде c=a0+a2*2+tf4*4+. •
т. е. воспользоваться разложением в ряд, членами которого бу-
дут только четные степени пространственной координаты.
В задачах, обладающих цилиндрической или сферической
симметрией, представление <р/ в виде (1.19) не дает хорошего
результата. Это связано с тем, что решения, найденные на ос-
нове (1.19), при больших временах не стремятся к предельно-
му значению стационарного состояния. В случае центральной
симметрии приращение объема не остается одинаковым для
равных значений приращения радиуса, что имеет место в пло-
ских задачах. В случае цилиндрической симметрии в качестве
элементов аппроксимирующей функции авторы [14] предла-
гают выбирать
<Pf = (ры + Ь^Г + -(- • • •) 1п г.
В задачах со сферической симметрией стационарное реше-
ние пропорционально 1/г, поэтому рациональной формой эле-
ментов последовательности <р, являются функции
<Pz ₽= (Pot + ьцг + +•••)/'’.
Из сказанного ясно, что вид аппроксимирующей функции и
ее параметры должны выбираться в соответствии с конкретны-
ми условиями задачи. Этот вопрос достаточно полно освещен
в литературе [14] и будет отчасти рассмотрен при решении
конкретных задач в последующих параграфах. Заметим лишь,
что в теории диффузии и теплопроводности нашли применение
приближенные аналитические методы, основанные на понятии
22 Г
глубины проникновения. Предполагается, что подводимый по-
ток вещества (тепла) лишь постепенно проникает в область
пространства V. Толщина диффузионного слоя в нестационар-
ных задачах растет со временем 8(t), в стационарных —
в направлении движения конвективного потока 6(z) и только
через определенный отрезок времени /* (или в определенном
сечении канала z*) вещество распространяется по всему объ-
ему V. В этот момент начинается новый упорядоченный ре-
жим, характеризуемый участием в процессе всего объема V.
Как будет показано ниже, выбор в качестве аргумента ап-
проксимирующей функции <р( автомодельной координаты, зави-
сящей от глубины проникновения, является весьма эффектив-
ным приемом при описании процесса на его начальном (инер-
ционном) участке. Однако предположение о конечной скоро-
сти диффузии, позволившее сформулировать понятие о глуби-
не проникновения не согласуется с допущением о бесконечной
скорости распространения вещества (тепла), положенным в ос-
нову законов Фика и Фурье. Поэтому упрощенный подход, ос-
нованный на понятии глубины проникновения требует осторож-
ности.
Изложенные в данном разделе приближенные методы и
связанные с ними вопросы будут проиллюстрированы путем
исследования ряда конкретных задач. При подборе иллюстра-
тивного материала там, где это возможно, сопоставлены точные
и различные приближенные решения (в том числе и полученные
численными методами). Рассмотренные ниже задачи имеют
также самостоятельный интерес для теории процессов и аппа-
ратов химической технологии.
8.2. АБСОРБЦИЯ ХИМИЧЕСКИ АКТИВНОГО
КОМПОНЕНТА В ЛАМИНАРНОЙ ПЛЕНКЕ ЖИДКОСТИ
(УПРОЩЕННАЯ МОДЕЛЬ)
Рассмотрим изотермический процесс абсорбции химически ак-
тивного компонента в ламинарной пленке жидкости.
Предполагается, что растворяющееся в жидкости вещество
не влияет на динамику течения, т. е. ведет себя как динамиче-
ски пассивная примесь. В таком приближении рассмотрены
многие задачи физико-химической гидродинамики [30, 76].
Аналогичный подход применяется при изучении простой физиче-
ской абсорбции [110], хемосорбции [8, 41], растворении твер-
дых веществ [30].
Круг задач, связанных с движением ламинарно стекающей
пленки жидкости, достаточно широк и большинство из них не
имеют точного аналитического решения, что вынуждает обра-
щаться к приближенным методам. Как будет показано ниже,
применение метода Галеркина и его различных модификаций
к этим задачам не приводит к громоздким вычислениям. Кро-
222
Рис. 8.1. Ламинарный безволновый ре-
жим движения пленки по наклонной
плоскости
ме того, рассматриваемые задачи имеют определенное приклад-
ное значение и ранее были исследованы недостаточно полно.
Для гладкой ламинарной пленки жидкости в случае уме-
ренных скоростей относительного движения фаз распределение
скорости [72, НО] имеет форму полупараболы с максималь-
ной скоростью «о на свободной поверхности, в полтора раза
превосходящей среднерасходную скорость й:
и = 0,275 (ygsin a)1/8 Re2/8 (u0=l,5u). (2.1)
Здесь g — ускорение свободного падения; v — кинематическая
вязкость жидкости: Re = 4<?/v— число Рейнольдса для пленки
жидкости; q = Q]h — объемная плотность орошения; Q — объ-
емный расход жидкости; h — средняя толщина пленки; а —
угол наклона поверхности к горизонту.
Средняя толщина пленки определяется соотношением
h = 0,908xReV3, (2.2>
где %= (y2lgY13 — приведенная толщина пленки.
Гладкая поверхность пленки жидкости сохраняется в
обычных условиях только при весьма малых плотностях оро-
шения, примерно до Re = 20—30 [76], однако при добавлении
в жидкость поверхностно-активных веществ удается сохранить
гладкую поверхность вплоть до Re=1200, после чего наступает
турбулентный режим течения [72, НО, 156].
Профиль скорости гладкой пленки при ламинарном режи-
ме движения описывается уравнением
и = и0 (1 — х2), л = Л/й. (2.3>
Здесь X — ось координат, ориентированная по нормали к по-
верхности пленки (рис. 8.1).
Предположим, что в сечении Z=0 стабилизированный поток
жидкости вступает в контакт с газом, так что на свободной
поверхности (Х=0) устанавливается постоянная концентрация
поглощаемого компонента C=CS, а поступающая на орошение
жидкость не содержит растворяющегося вещества. Кроме того,
будем считать, что твердая поверхность, по которой стекает
жидкость, непроницаема. Эти условия формулируются следу-
ющим образом:
Z = 0, С = 0 (0^Х<й);
Х = 0, C = CS (Z>0); (2.4).
X=h, дС/дХ = 0 (Z>0).
223.
В теории хемосорбции рассматривается процесс абсорбции,
сопровождающийся необратимой химической реакцией произ-
вольного порядка, скорость которой дается выражением
W = K£n, (2.5)
где Kv — константа скорости; п — порядок химической реак-
ции.
Дифференциальное уравнение, описывающее при указанных
выше условиях процесс растворения химически активного ком-
понента, имеет вид
дС ЭГ дС 1
“W 1Г = -дХ -0(с> Ж +^с"- <2-6)
В общем случае коэффициент молекулярной диффузии за-
висит от концентрации растворяющегося компонента D(C), что
и нашло свое отражение при записи уравнения (2.6)
Рассмотрение вопроса начнем с простейшей задачи о физи-
ческой абсорбции (Ко = 0) газа при постоянном коэффициенте
молекулярной диффузии (Z)=const). Кроме того, опустим
квадратичный член в выражении для скорости (2.3), т. е. по-
ложим и = «о = const. С учетом сделанных допущений уравнение
(2.6) и граничные условия (2.4) можно записать следующим
•образом:
z = 0, с = 0; л=0, с=1; х=1, дс/дх = 0. (2.8)
Здесь приняты следующие обозначения безразмерных ве-
личин:
x = X/h. z^ZD/iuJi*), c = C/Cs. (2.9)
Решение ищется в области O^x^l, z^Q.
Уравнение (2.7) имеет частный интеграл
c(x,z) =erfcr|; т]=х/6(г); 6 = 2}/Г. (2.10)
В этом нетрудно убедиться подстановкой (2.10) в (2.7). Од-
нако функция (2.10) не дает решения задачи (2.7), (2.8), так
как не согласуется с условием непроницаемости
я=1, дс/дх~0 (z>0). (2.11)
Остальные условия (2.8) выполняются.
Функция (2.10) является точным решением автомодельной
задачи (2.7), (2.8), в которой условие на стенке (2.11) заменя-
ется условием на бесконечности
х ---► оо, дс/дх ----► 0 (z>0).
Таким образом, эта функция с ростом х монотонно убывает
ют значения с=1 на межфазной границе до с=0 на бесконеч-
ности.
:224
Указанные свойства функции (2.10) позволяют надеяться,
что с ее помощью может быть найдено приближенное решение
задачи, по крайней мере в тех областях, где производная
^Н=Г_ уЬ’ехр(“‘4^)' (2,12)
мала. Видно, что значение производной на стенке резко убыва-
ет с уменьшением z.
Вопрос о возможности аппроксимации решения задачи с по-
мощью (2.10) связан с той ролью, которую играет условие не-
проницаемости в распределении концентрации по толщине
пленки.
Задача (2.7), (2.8) имеет точное решение, которое может
быть получено методом разделения переменных в виде беско-
нечного ряда [62]
с (х, г) = 1 + — 2"2«~Г х
п=0
X ехр (2n-t- I)2 zj cos (2л + 1) (1 — х) . (2.13)
Данные расчетов распределения концентрации по длине
пленки при х=0,5 (координата, соответствующая половине
толщины пленки) показывают, что при г^0,1 значения кон-
центраций по формулам (2.10) и (2.13) совпадают с точностью
до второго знака после запятой. При z=0,17 (S=l) концентра-
ция, рассчитанная по (2.10), лишь на 6% ниже ее точного зна-
чения, а при z= 1 ошибка достигает 25%.
То, что решение (2.10) не удовлетворяет условию на стен-
ке (2.11), ограничивает область его применения не только по
координате z, но и по координате х. Очевидно, что значение
концентрации, вычисленное по формуле (2.10), будет тем точ-
нее, чем меньше х.
Используем теперь методы, описанные в разд. 8.1, для при-
ближенного решения задачи (2.7), (2.8). Будем исходить из
следующих упрощенных представлений о поле концентрации.
Введем в рассмотрение величину S = 6(z), которую называют
глубиной проникновения (или толщиной пограничного слоя).
Эта величина характеризуется тем, что в объеме жидкости при
x>6(z) не происходит диффузии растворенного вещества. Та-
ким образом вся область течения разбивается на две подоб-
ласти с различным механизмом массопереноса. В одной из под-
областей, примыкающей к входному сечению, концентрация
постоянна и равна нулю. В другой области, по аналогии с
(2.10), решение ищется в виде функции, зависящей только от
одной автомодельной переменной.
Учитывая сказанное, для распределения концентрации ис-
пользуем выражение
( с (ч) при 0 < п < 1
С = )
( 0 при 1 т],
(2.14)
15—1391
225
где новая координата г| определяется следующим образом:
П = х/6(г). (2.15)
Здесь толщина диффузионного пограничного слоя 6 = 6 (z) —
неизвестная функция, которая должна находиться в ходе ре-
шения задачи.
Из физических соображений ясно, что толщина погранич-
ного слоя не может превышать толщину пленки. Указанное
обстоятельство накладывает ограничение на величину 6 (0^
^6^1). Поэтому по достижении в сечении z0 значения 6(z0) =
= 1 далее в выражении для автомодельной переменной (2.15)
при z^z0 следует подставлять 6 = 1.
Учитывая сказанное, переформулируем граничные условия
(2.8) для искомой функции с=с(т]). В результате получим
[158]:
Т) = 0, с 1; т]=1, с — 0; q = 1, df/dq = 0. (2.16)
Используя формулы (2.14), (2.16) вычислим частные про-
изводные
дс 1 ^чч ,9 17,
дг----6 сч°г. дх ~ Ь ' дх? ~ 62 •
Здесь точка соответствует производным по z, а штрих — про-
изводным ПО 1).
Аппроксимирующая функция с(т|) не является точным ре-
шением задачи. Поэтому подстановка соотношений (2.17) в
уравнение (2.7) приводит к появлению отличного от нуля ос-
татка
«1 = _б2«(я,г) = т1с'л662 + с’т)л. (2.18)
Возьмем аппроксимирующую функцию в виде
с = (1 -т])2 (1 + ОСТ] + Ря2), (2.19)
удовлетворяющем граничным условиям (2.16).
Подставляя (2.19) в (2.18) и принимая в качестве точек
коллокации значения т] = 0, т)=1, т. е. полагая
^?1ч=о = О> |г)—1 = 0,
приходим к двум алгебраическим уравнениям для определения
коэффициентов а = 0 и р=—1. Таким образом, имеем:
с = (1 - г|)2 (1 - т]2). (2.20)
Подставляя (2.20) в (2.18) и принимая в качестве точки
коллокации значение tj= 1/2, т. е. полагая
R 1ч=1/2 = о.
приходим к дифференциальному уравнению
<56z = 6; 6(0)=0. (2.21)
226
Решение уравнения (2.21) приводит к формуле, определя-
ющей глубину проникновения
6 = 3,46/г
(2.22)
Финлайсон нашел [158] приближенное решение задачи
(2.7), (2.8) с помощью полинома третьей степени:
с = (1 — г|)3;
й = 41/2
(2.23)
Это решение можно получить с помощью полинома (2.19),
полагая в нем £=0 и используя для определения двух неиз-
вестных постоянных а и Л = 66г точки коллокации
/?1п=1/2 = 0.
Учитывая, что 6^1, получим из формул (2.22) и (2.23)
ограничения по координате z: для полинома третьей степени
(2.23) z^0,084; для полинома четвертой степени (2.20) z^
^0,063.
Сравнение результатов приближенных расчетов с точным
значением концентрации показано на рис. 8.2. Как видно, при-
ближенные решения, построенные на основе автомодельной пе-
ременной т) с выбранными точками коллокации, весьма близко
совпадают с точной кривой; наилучшее совпадение наблюдает-
ся для кривой, построенной по формуле (2.10).
При выводе соотношений (2.20) и (2.23) был использован
метод коллокаций. По этому методу взвешивающая функция
принимается в виде 6-функции: а) = 6(т|—т)*)» где И* — точки
коллокации. Нетрудно заметить, что здесь имеется сильная за-
висимость результатов решения
от выбора г)*, так что решения,
вообще говоря, могут сколь
угодно различаться между со-
бой. Удовлетворительные резуль-
таты, продемонстрированные на
рис. 8.2, объясняются удачным
выбором коллокационных точек,
а как указывалось выше, мы не
располагаем общим правилом
такого выбора. В связи с этим
представляет интерес исследо-
вать роль взвешивающей функ-
Рис. 8.2. Распределение концентрации в
сечении z=0,06, полученное с помощью
различных аппроксимирующих функций:
1 — С=(1-Г))’; 2 -.{-(НМ-Л 3 — с=
«епст); 4 — с=“(1—т))2; точки — точные значе-
ния, формула (2.13)
15*
227
ции. В качестве аппроксимирующей функции возьмем теперь
полином второй степени
с=(1- ф2, (2.24)
который получается из (2.19) при а = [}=0. Подставляя (2.24)
в (2.18), находим остаток:
—б2Я = 2 —2г)(1 — г))б6г. (2.25)
Для нахождения глубины проникновения б потребуем
1
J^1te>(n)dT] = O. (2.26)
о
Начнем с метода коллокации, взяв в качестве точки колло-
кации ti* = i/2> как это было сделано выше, в приближениях
полиномами третьей и четвертой степени. Подставляя в (2.26)
значение из (2.25) и и»(г))=6(т)—,/г), найдем при условии
6(0) = 0 следующее выражение:
6 = 2,82^7. (2.27)
Рис. 8.2 дает представление о соответствии точной кривой
и приближенных решений, полученных методом коллокаций с
помощью полиномов второй, третьей и четвертой степени.
Видно, что с ростом порядка полинома достигается лучшее со-
гласие и что все они в качественном отношении неплохо со-
гласуются с точным решением.
Воспользуемся теперь интегральным методом. Полагая
®(ц) = 1, выводим из (2.25) и (2.26) дифференциальное урав-
нение
66z = 6, (2.28)
решение которого при условии 6(0) =0 дает
6 = 3,461/7. (2.29)
По методу Бубнова — Галеркина взвешивающая функция
принимается такой же, как и аппроксимирующая, т. е. в рас-
сматриваемом примере w — (1—ц)2. Таким образом, имеем:
i
J [2 — 2ti (1 —-и) (1 — и)2 dn = 0-
о
Из этого соотношения при условии 6(0) =0 получаем
6 = 3,651/7. (2.30)
Из формул (2.27), (2.29) и (2.30) видно, что выбор взвешива-
ющей функции не изменяя характер функциональной зависи-
мости 6~]/z влияет на коэффициент пропорциональности.
228
Рис. 8.3. Распределение концентра-
ции в сечении z=0,06 при аппрокси-
мирующей функции ' с= (1— Т))2 и
различных взвешивающих функ-
циях:
1 — ^=^(4—0,5); 2 — а>-1; 3 — w»(l— Т))2;
точки — точные значения
Рис. 8.3 иллюстрирует рас-
хождение приближенных ре-
шений, полученных при раз-
личных взвешивающих функ-
циях, и степень отличия от
точного решения. Из этого ри-
сунка видно, что наибольшее
расхождение с точным реше-
нием дает метод коллокаций.
Однако если аппроксимиро-
вать решение полиномом бо-
лее высокой степени, то чув-
ствительность решения к вы-
бору коллокационных точек
снижается.
В практическом отношении важной интегральной характе-
ристикой процесса является среднерасходная концентрация
жидкости, которая при поршневом течении вычисляется по
формуле
1 1
(с) = с (х, г) dx Idx. (2*31)
о о
Подставляя (2.13) в (2.31), находим
8 °° 1 г яа 1
(с) = 1 — ”^2* 2 (2я+ I)2 ехР I — ~4~ + I)2 2 [• (2.32)
п=о *
Для приближенного решения, основанного на автомодель-
ной переменной (2.15), формула (2.31) упрощается:
1
<с> = 6 Jc(t)) dir (2.33)
о
Полученные выше приближенные зависимости функции
с(т|) позволяют с помощью выражения (2.33) вычислить зна-
чение среднерасходной концентрации, которая получается рав-
ной
<с> = А УГ. (2.34)
Постоянная А зависит от рассматриваемого приближения,
но, как показано далее, изменяется в сравнительно узком ин-
тервале.
229
Другой важной характеристикой процесса является диффу-
зионный поток на межфазной поверхности
J = (2>35)
Определим безразмерную величину диффузионного потока
по формуле
Jh_______( дс \
1 DCS ( дх /ж<=о*
(2.36)
Точное значение величины / может быть получено с по-
мощью (2.13) и приводит к бесконечному ряду
VI Г п8 1
/ = 2 2ехР| — ~4~ (2«+l)8z . (2.37)
п=0
Если для построения приближенной зависимости концент-
рации-от пространственных координат использовалась автомо-
дельная переменная, то для потока имеем:
1 = _±(°Ц
' 8 k=o
(2.38)
В этом случае диффузионный поток выражается формулой
/ = В/у7, (2.39)
где постоянная В зависит от рассматриваемого приближения.
Ниже приведены значения постоянных А и В для средней
концентрации и диффузионного потока:
Профиль концентрации (2.24) (2.23) (2.20) (2.10)
А в формуле (2.34) 0,939 1,00 1,04 1,03
В в формуле (2.39) 0,71 0,75 0,58 0,56
Видно, что постоянная В сильнее зависит от выбора профи-
ля концентраций, чем А.
8.3. УЧЕТ ЗАВИСИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТА ДИФФУЗИИ
ОТ КОНЦЕНТРАЦИИ
Рассмотренная в предыдущем разделе задача простой заменой аргумен-
та г на т сводится к задаче о нестационарной диффузии растворяющегося
газа в слое неподвижной жидкости с постоянным коэффициентом молекуляр-
ной диффузии
дс д2с
дх = дх2 •
(3.1)
Безразмерные время т и координата х связаны с параметрами задачи соот-
ношениями
х — Dt/h2, x = X/h, c = C/CSt (3.2)
где размерные величины описаны в разд. 8.2.
230
В реальных условиях химико-технологических процессов в ряде случаев
необходимо учитывать концентрационную зависимость коэффициента моле-
кулярной диффузии, оказывающую заметное влияние на скорость процесса.
Однако исследование этого влияния осложняется тем, что нет единой корре-
ляции, которая всегда была бы удовлетворительной для учета влияния кон-
центрации на коэффициенты диффузии в жидкости [4, 112]. Финлайсон
[157] рассматривал зависимость
D = Do ехр (ис), (3.3)
не указывая конкретные системы, для которых она пригодна. Подобной кор-
реляцией при х=3,83 и Dq=0,109-10”5 см2/сек можно описать коэффициент
взаимной диффузии для системы ацетон — вода при 25 °C в диапазоне кон-
центраций 0,45—1,0 мольной доли ацетона [133].
Согласно (3.3) коэффициент молекулярной диффузии растет с увеличе-
нием концентрации. Однако, при малых концентрациях (диффузия в разбав-
ленных растворах) наблюдается качественно иная зависимость. Например,
значения коэффициентов диффузии для сильно разбавленных растворов име-
ют вид
£> = Do(l-BoVc’)- (3.4)
Зависимость (3.4) экспериментально подтверждается для солей NaCl,
КС1, KJ, LiCl, коэффициенты диффузии которых, измеренные различными ав-
торами [92, 112], не подвергаются сомнению. Значения коэффициентов диф-
фузии КМПО4 также хорошо описываются уравнением (3.4).
Воспользуемся соотношением (3.4) и запишем условия задачи в виде
(В=ВоУС.):
дс д Г/ _____________. дс
-ч— = (1 —B1/D-3- ; (3.5)
дх дх ’ дх J’ k • 7
т = 0, с=*0; х = 0, с = 1; х=1, дс/дх = 0. (3.6)
Возьмем аппроксимирующую функцию в виде полинома третьей степени,
получающегося из (2.19) при р=0:
с (Г)) = (1 — Tj)2 (1 + аг)), Г|!=х/6(т). (3.7)
Нетрудно видеть, что функция (3.7) удовлетворяет граничным условиям
(3.6). Подставляя (3.7) в (3.5), получим остаток R=— 6”2Ri, где
га л ч • В (1—п) (а — 2 —ЗатО2
/?1 = Т] (1 — Т]) (а — 2 - Зап) S6T-----------------+
+ 2[1-В(1-п) УГ+ап1[1 + аП-2а(1-т])]. (3.8)
Громоздкое выражение (3.8) затрудняет какой-либо иной выбор взвешива-
ющей функции, кроме дельта-функции. Приняв точку коллокации т) = 1 (см.
замечание к (2.23)), находим из условия Ri|n=i = 0 постоянную а——1. Под-
ставляя это значение в уравнение (3.8), приведем его к виду
• 21
/?, = — Зп(1-п)2б6т+6(1-п)-— В(1—п)®/2. (3.9)
Функцию 6(т) определяем из условия /?i|n=i/2=0, что приводит к диф-
ференциальному уравнению
•^—16 + 71/25=0; 6 (0) = 0 (3.10)
и его интегралу
6 = у (16 - 7'1/2'В) т. (3.11)
231
Выражение бо=4/т соответствует значению В=0 в формуле (3.11) и
определяет глубину проникновения при постоянном коэффициенте молеку-
лярной диффузии. Различие в диффузионных потоках, происходящее вслед-
ствие учета зависимости коэффициента молекулярной диффузии от концент-
рации можно охарактеризовать величиной
6/60 = V1—0,62В. (3.12)
Из (3.12) видно, что при В~0,5 (эта величина характерна для ряда прак-
тически важных случаев [18]) имеем 6/60=0,83. Таким образом, неучет кон-
центрационной зависимости коэффициента молекулярной диффузии завыша-
ет диффузионный поток примерно на 17%.
8.4. ЗАДАЧИ С НЕОБРАТИМОЙ РЕАКЦИЕЙ
ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА
В теории хемосорбции рассматривается уравнение нестационарной диффузии
с Источниковым членом, который учитывает протекание химической реакции
в объеме жидкости
дс д2с
Для завершения формулировки задачи дополним уравнение (4.1) началь-
ным и граничными условиями
т = 0, с = 0; xs=O, с=1; х------------------>оо, с -----> 0. (4.2)
Приближенное решение (4.1), (4.2) ищем в виде простейшего полино-
ма второй степени
с = (1 - Т])2, П==*/б(тЬ (4.3)
Функция (4.3) удовлетворяет условиям
Т] = 0, с— 1; т)=1, с = 0; т]=1, dc/dx] = 0,
которые являются «интуитивной переработкой» условий (4.2) [157]. Как и
ранее, считается, что концентрация равна нулю при т]^1.
Подставляя (4.3) в (4.1), находим остаток
= —62Я = 2 — 2т] (1 — rtf 66т — £06а (1 — П)2Л. (4.4)
Для определения 6(т) потребуем
1
J Z?iai(Ti)dn = O. (4.5)
о
Рассмотрим различные варианты выбора взвешивающей функции w(r])
(табл. 5). Подставляя (4.4) в (4.5) и решая дифференциальное уравнение
первого порядка при условии 6(0) =0, имеем выражение для квадрата глу-
бины проникновения:
62 = ар-1 [1 — ехр (—р%)]. (4.6)
Безразмерная величина диффузионного потока на межфазной границе
определяется по формуле (2.38). Подставляя туда выражение для распре-
деления концентрации (4.3), находим
/ = 2/е. (4.7)
Значения параметров аир, полученных по различным приближенным
методам, приведены в табл. 5.
232
Таблица 5. Параметры аир, полученные с помощью
различных приближенных методов
Метод Взвешивающая функция а Р
Коллокаций да=<5(»]—’/2) 8 kv2W-n>
Интегральный w= 1 12 2л + 1
Бубнова — Галеркина W= (1—Т])2 13,4 2л+ 3
Таблица 6. Сравнение точных (1) и приближенных (2—4) значений
концентрации с для реакции первого порядка при kv=l
с при т=0,1 с при т—1,0
* 2/7 1 1 2 1 3 4 1 2 3 4
0,05 0,94 0,93 0,94 0,94 0,90 0,91 0,91 0,90
0,1 0,88 0,86 0,88 0,88 0,81 0,83 0,83 0,79
0,2 0,76 0,73 0,76 0,76 0,65 0,68 0,68 0,61
0,3 0,65 0,61 0,67 0,67 0,52 0,54 0,54 0,45
0,6 0,38 0,32 0,41 0,41 0,25 0,22 0,22 о,п
1,0 0,15 0,08 0,14 0,14 0,08 0,01 0,02 о,о
Примечание. 1 — точное значение, полученное по формуле (4.8); 2—4 — прибли-
женные значения, полученные с помощью методов коллокаций (2), интегрального (3) и
Бубнова — Галеркина (4).
Рассматриваемая задача имеет точное решение при п=1:
1 ( s / X ч
с = -у |ехр (хТ/%) erfc ( 2дд- + УМ) +
+ ехр(—хУХ>) erfc (~2^f----|• (4.8)
Дифференцируя эту формулу по х и полагая х=0, найдем выражение
для диффузионного потока
j <= — ехр (—k0%) + У^ erf У^т. (4.9)
у лт
Сравнение приближенных значений концентраций с точными для реак-
ции первого порядка при kv = l дано в табл. 6. В табл. 7 приведено сопо-
ставление результатов расчета диффузионного потока по точной формуле
(4.9) с соответствующими значениями, полученными по формуле (4.6) для
реакции первого порядка с помощью различных приближенных методов.
Из приведенных таблиц видно, что интегральный метод дает весьма
близкое совпадение с точными значениями концентрации.
Дальнейшее усложнение модели (4.1) связано с учетом зависимости ко-
эффициента молекулярной диффузии от концентрации (3.5). В этом случае
имеем уравнение
233
Таблица 7. Сравнение точных и приближенных значений нормированного
диффузионного потока j/]/kv для реакции первого порядка
М Точные значения по (4.9) Приближенные значения по методу kv 1 Точные значения по (4.9) Приближенные значения по методу
колло- каций интег- рально- му Бубнова- Галеркина колло- каций интег- рально- му Бубнова- Галеркина
0,001 17,9 22,4 18,3 17,3 0,25 1,40 1,50 1,30 1,37
0,005 8,03 10,0 8,18 7,77 0,30 1,33 1,39 1,21 1,31
0,01 5,70 7,09 5,80 5,52 0,40 1,22 1,23 1,Ю 1,22
0,05 2,64 3,20 2,65 2,57 0,50 1,17 1,13 1,03 1,18
0,10 1,96 2,29 1,92 1,90 1 1,05 0,889 0,878 1 1,10
0,15 1,67 1,89 1,60 1,63 оо 1 0,707 0,816 i 1,09
0,20 1,51 1,66 1,42 1,47
которое рассмотрим с начальным и граничными условиями (4.2).
Как и ранее, приближенное решение ищем в виде простейшего полинома
(4.3). Подставляя выражение (4.3) в уравнение (4.10) находим остаток
/?! = — д*Я = — 2т] (1 — т]) 66т — 4В (1 -П)-М2 (1 -П)2"+ 2. (4.П)
Неизвестную функцию 6=6(т) определим с помощью интегрального ме-
тода, показавшем хорошие результаты при исследовании процесса хемосорб-
ции с необратимой реакцией произвольного порядка в предположении по-
стоянства коэффициента молекулярной диффузии. Подставляя (4.11) в ра-
венство (4.5) при ш=1 и производя интегрирование, получим следующее вы-
ражение:
2 Г / 6ЛпТ V
=>-^- (1 - В) (1 + 2п) р - ехр -гйт)]’ (4-12)
при выводе которого использовалось условие 6(0) =0.
В предельном случае при kv-*-0 из формулы (4.12) имеем 62=12(1—В)х.
8.5. РАСЧЕТ ПРОЦЕССА АБСОРБЦИИ ПРИ РЕАЛЬНОМ
ПРОФИЛЕ СКОРОСТИ
Рассмотренная в разд. 8.2 модель течения, основанная на за-
мене реального профиля скорости постоянным значением, рав-
ным скорости на поверхности пленки, является наиболее про-
стой, но не соответствует действительной картине движения
вязкой жидкости. Поэтому представляет интерес выяснить, ка-
кое влияние на процесс переноса вещества оказывает парабо-
лическая зависимость скорости жидкости от поперечной коор-
динаты (2.3). С этой целью исследуем уравнение
дс д2с
(, — **) ~дГ = ~д& • (5>1)
с граничными условиями (2.8).
Воспользуемся автомодельной переменной t]=x/6(z) и бу-
дем искать приближенное решение в виде (2.14). Как и ранее,
234
на функцию с = с(т]) наложим ограничения
4 = 0, с=1; 4=1, с = 0; 4=1, dc/dr\ — 0. (5.2)
Представим концентрацию в виде полинома порядка М =
=М+2, удовлетворяющего граничным условиям (5.2):
(n \
l + (5-3)
i=i /
В простейшем случае при М = 0 выражение (5.3) принимает
вид
с(4) = (1 —4)2. (5.4)
В этом приближении аппроксимирующая функция полностью
определена.
При#=1 (второе приближение) из (5.3) получаем:
с (4) = 1 — (2 — «1) 4 + (1 — 2ai) 42 + ах48- (5.5)
Наличие свободного параметра ai позволяет добиться лучшего
согласия полинома с дифференциальным уравнением (5.1).
Заметим, что с увеличением N в (5.3) растет и число про-
извольных коэффициентов ряда; так, в третьем приближении
(N=2) имеется два произвольных коэффициента и т. д.
Подставим в (5.1) значения производных (2.17) и приведем
выражение для остатка к виду
= -627? = 4(1- 4а6а) ббгс'п + . (5.6)
Здесь
• db de d2c .
6z = "dT’ c'*’= ’ C"’in =
Выберем взвешивающую функцию в виде 6 — функции:
6(4—4*), а число точек коллокаций k в соответствии со сте-
пенью полинома (5.3). В результате получим систему алгеб-
раических уравнений
*1^ = 0; k = 1,2,..., У, (5.7)
позволяющую определить коэффициенты at аппроксимирую-
щей функции (5.3). Соответствующие расчеты для глубины
проникновения можно представить в виде
62 = 4— 4Д/1 — 6г. (5.8)
В табл. 8 приведены значения коэффициентов b для поли-
номов различной степени M=N-\-2 (5.3). Там же указаны при-
нятые в расчетах точки коллокации.
Сопоставим приближения, полученные с помощью полино-
мов различной степени Af. Ниже приведены значения глубины
235
проникновения б для z=0,0001
=0,05 (глубина проникновения
ки, б« 1):
(входной участок, 6<С1) и z =
соизмерима с толщиной плен-
Z М=2 м=з М=4
0,0001 0,028 0,040 0,035
0,05 0,650 0,950 0,808
Как видно, приближения при М=2 дают резко заниженные
результаты как при малых, так и при больших г; приближе-
ния при М=3 и М—4 дают достаточно близкие результаты.
Ниже приведены значения концентрации с при т) = 0,1 и 0,8
(заметим, что с увеличением т] повышается чувствительность
расчета к принятому порядку приближения):
п М=2 м=з М=4
0,1 0,810 0,729 0,802
0,8 0,040 0,008 0,014
Приведенные выше данные иллюстрируют тот факт, что
при расчете интегральных характеристик (например, глубины
проникновения) результаты приближений более быстро сходят-
ся к пределу, чем это имеет место в расчетах локальных
свойств явления (например, концентрации в заданной точке
пространства). Так, значение глубины проникновения по
третьему приближению отличается от соответствующей величи-
ны четвертого приближения примерно на 16%, тогда как зна-
чения концентраций для этих же приближений в точке т) = 0,8
различаются в 1,8 раза.
Быстрое стремление результатов к постоянным значениям
с ростом номера приближения, хотя и является обнадежива-
ющим фактором, но отнюдь не свидетельствует о правильности
найденных решений. В самом деле, точность результата зави-
сит не только от числа точек коллокаций (номера приближе-
ния), но и от расположения этих точек в пространстве. Ска-
занное можно проиллюстрировать простым примером.
Таблица 8. Коэффициент Ь, определяющий глубину проникновения
для различных профилей концентрации с
Степень поли- нома М Полином Точки колло- кации Коэффициент Ь в формуле (5.8)
2 с=(1-ц)’ 1/2 4
3 С=(1—Т))* 1/2; 1 8
4 с=(1-П)2(1-П2) 0; 1/2; 1 6
236
Рис. 8.4. Расчет абсорбции и десорбции СО2 и О2 водой:
кривые lt 2 — с помощью полиномов 4-й и 3-й степени; точки — опытные данные [156]
Для квадратичного полинома (5.4) глубина проникновения
в зависимости от значения точки коллокации т]* определяется
формулой
А.,). (5.9)
Па\ “ 1 —Па /
Из соображения симметрии в качестве точки коллокации
была взята точка тр=1/2, что и привело к зарисимости, приве-
денной в табл. 8.
При малых z из выражения (5.9) следует, что 62«
»2х/{т)л(1—па)}- Из этой формулы видно, что глубина про-
никновения изменяется в несколько раз за счет выбора па при
ОД^Пь^ОД Сказанное означает, что результаты весьма чув-
ствительны к выбору точек коллокации.
На рис. 8.4 приведено сопоставление расчетной кривой и
опытных точек, характеризующих скорость массопередачи в
пленочных колоннах для процесса абсорбции (десорбции) ди-
оксида углерода водой и абсорбции кислорода водой при чис-
лах Рейнольдса в диапазоне 75—500. Опытные точки заим-
ствованы из статьи [156]. По оси абсцисс на рис. 8.4 отложе-
на величина 1/z, по оси ординат — Hlz, где Н — высота единиц
переноса [ИО], связанная со среднерасходной концентрацией
1 1
(с) = J (1—х*) с (х, г) dx| (1 — х2) dx (5.10)
о 6
формулой
Н 1 '
г----1п(1 — <с» • (5,П)
237
Для полинома 4-й степени (5.3) среднерасходная концент-
рация равна
<с) = (0,45 — 0.035762) S. (5.12)
Кривая 1 на рис. 8.4 построена с помощью формул (5.11),
(5.12) и (5.8), т. е. для полинома 4-й степени (Af=4), кри-
вая 2 — с помощью полинома 3-й степени (это приближение
было получено в работе [158]). Как видно, приближение поли-
номом более высокой степени лучше согласуется с опытными
точками, хотя различие сравниваемых кривых невелико.
Выбор аппроксимирующей функции в виде полинома (5.3)
не имеет теоретического обоснования и связан с соображения-
ми простоты расчетов. Можно использовать и другие аппрок-
симирующие функции, например
м
*(П) = 2‘^-Ч (5.13)
i=i
При Л4=3 коэффициенты ряда, получающегося из (5.13),
полностью определяются условиями (5.2), что приводит к вы-
ражению
c(t]) <= 0,34е~п — 1184е-2’’+ 2,бе-3”. (5.14)
Подставляя (5.14) в (5.6) и выбирая взвешивающую функ-
цию в виде 6(т)—’/г)> находим
62 = 4-41/1 —9,6г. (5.15)
Сравнение графиков распределения концентрации с при
z==0,04, построенных по различным приближениям, приведено
на рис. 8.5.
Рис. 8.5. Распределение концентрации по толщине пленки в сечении z = 0,04:
/ — аппроксимирующая функция — экспонента; 2, 3, 4 — аппроксимирующая функция —
полином, порядок которого соответствует номеру кривой
238
8.6. РАСТВОРЕНИЕ ПЛАСТИНЫ ЛАМИНАРНОЙ
ПЛЕНКОЙ жидкости
Процесс растворения пластины ламинарно стекающей пленкой жидкости
удобно рассматривать в системе координат у, z (см. рис. 8.1), в которой на-
чало совмещено с поверхностью пластины. Переход из системы координат
х, z в систему координат у, z совершается путем замены переменной х—
— 1—у. При этом уравнение (5.1) и граничные условия (2.8) принимают вид
дс д2с
(2у — у2) (6.1)
г —0, с = 0; z/ = 0, с=1; У=1, дс/ду = О, (6.2)
Для приближенного решения задачи (6.1), (6.2) воспользуемся автомо-
дельной переменной r\=y/d(z) и ищем функцию с(т]) в виде многочлена
с(г)) = 1 — (2 — — 2а2) т) + (1 — 2ах — За^ т)2 + ахт)8+a2n4, (6.3)
удовлетворяющего граничным условиям (5.2).
Из уравнения (6.1) с помощью соотношений (2.17), в которых перемен-
ную х следует заменить на у получим выражение для остатка
=,= -62/? = Т] (2т|6 - п2б2) 6Vn + А]Т]. (6.4)
Подставляя (6.3) в (6.4), имеем:
Ях = n2626z (2 - Т)6) [—2 + + 2аа + 2 (1 - 2ах - За2) п +
+ Захт)2 + 4ад3] + 2 (1 - 2ах — За2) + бад + 12а2г|2. (6.5)
Выбирая, как и в разд. 8.5, взвешивающие функции в виде 6-функций и
принимая точки коллокации T]i=0 и 142= 1, из (6.5) получим систему урав-
нений для неизвестных постоянных а\ и а2:
1 — 2ах — За2 = 0, ах + 2а2 = 0.
Отсюда следует: ai=2, а2=—1. Подставляя найденные коэффициенты в
(6.5) и выбирая в качестве дополнительной точки коллокации т)з=1/2, прихо-
дим к уравнению
(6 —1/462) 662 —6 = 0; 6 (0) = 0, (6.6)
решение которого имеет вид
36* — 1663 + 288z = 0. (6.7)
Принимая во внимание ограниченность величины 6 (6^1) получаем из
(6.7) ограничение по координате 0,045.
Решая уравнение (6.7) приближенно, находим значения 6 при различ-
ных z:
z 0 0,01 0,02 0,03 0,04
6 0 0,587 0,748 0,863 0,957
Подставляя найденные значения ai=2, а2=—1 в (6.3), получим следу-
ющее выражение:
С(П) = 1—2т) + 2т13 —П4, (6.8)
которое совпадает с полиномом четвертой степени в разд. 8.5. Уравнения
(6.7), (6.8) позволяют определять распределение концентрации по сечению
пленки.
239
Зависимость (6.7) неудобна для использования, так как представляет
собой уравнение четвертой степени, корни которого могут быть определены
лишь приближенно. Нетрудно найти корреляционную зависимость, опреде.
ляющую глубину проникновения в интервале 0,01 г 0,04:
6 =з 2,98г0»353. (6.9)
Безразмерная величина диффузионного потока определяется по форму-
ле (2.38). Подставляя в нее (6.9), получим
у = 2/6 = 0,671г-0»353. (6.10)
Иногда, ввиду малой толщины диффузионного слоя в коэффициенте перед
производной dcjdz пренебрегают величиной у2 (процесс диффузии происходит
на малых расстояниях от стенки, где у2<^2у), В таком приближении, на-
пример, была решена задача о диффузии в ламинарном потоке, текущем в
трубе [76].
Вопрос о погрешности, возникающей в связи с пренебрежением квадра-
тичным членом в распределении скорости вблизи стенки поддается неслож-
ной оценке. Опуская в уравнении (6.1) член у2 и соответствующий ему член
т]262, стоящий в круглых скобках в уравнении (6.4), приходим к выражению
6*=2,62z1/3 вместо полученного выше (6.9). Найдем отношение 6/6* =
= 1,14 г0»0196. В диапазоне 0,01^2^0,04 имеем: 1,04^6/6*^1,07. Отсюда
видно, что ошибка растет с ростом z, но не превышает 10%.
Результаты разд. 8.6 показывают, что в процессе абсорбции (десорбции)
газа стекающей пленкой жидкости учет реального профиля жидкости слабо
сказывается на величине диффузионного потока: квадратичное распределение
скорости (2.3) можно заменять скоростью движения межфазной поверхности.
8.7. ЛАМИНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПОТОКА В ПЛОСКОМ
КАНАЛЕ С ПОРИСТЫМИ СТЕНКАМИ
В технических приложениях находят применение различного
рода устройства, в которых газ или жидкость, текущие по ка-
налу, по мере движения расходуются через его стенки. Сюда
относятся различного рода оросители, трубчатые или рукавные
фильтры, с.борные и распределяющие трубопроводы, каналы
для подвода и отвода газа в каталитических реакторах ради-
ального типа [15, 120].
Движение с отсосом осуществляется также и при мембран-
ных методах выделения кислорода из воздуха, водорода и ге-
лия из природного газа. В таких установках движение потока
часто осуществляется при ламинарном режиме. Классическое
исследование ламинарного потока в плоском канале с пористы-
ми стенками выполнено Берманом [142]. Им рассмотрено дви-
жение потока в канале прямоугольного сечения, одна сторона
которого (высота канала, представляющая расстояние между
пористыми стенками) много меньше другой (ширина канала).
Это условие позволяет рассматривать данное течение плоским.
Предполагается одинаковая проницаемость стенок канала, а
скорость истечения постоянной его длине.
Течение предполагается стационарным, жидкость несжимае-
мой, а движение происходящим вне действия поля внешних
сил.
240
Примем декартову систему координат с началом в центре
канала: осью X, направленной по нормали к пористым стен-
кам, и осью Z — по оси канала. Пусть расстояние между пори-
стыми стенками равно 2h, а длина канала равна L. Течение
жидкости описывается уравнениями
ди ди 1 др ( д2и д2и \
u~dZ~+v~dX =~~~р~ ~dZ~ + v[~dZr + ~dXr)'’ (7<1>
dv dv 1 др f d2v d2v \
u~dZ~ + v дх у ~dX' + v\dZr + ~dXr)‘ <7<2>
Условием несжимаемости является
ди dv
y+dT = 0- (7-3>
Граничные условия задачи формулируются следующим об-
разом:
и (Z, ±h) = 0 (условие прилипания); (7.4)
/ ди \
v (Z, 0) = 0, I "Уу" I = 0 (условия симметрии течения); (7.5)
\ ил Jx—o
v (Z, ±/i) t= vw = const (заданная скорость отсоса). (7.6)
Функция тока, определяющая решение задачи (7.3) — (7.6),
ищется в виде
ф (Z, X) = [hu (0) - vwZ] f (X/h), (7.7)
где й(0) средняя по сечению канала компонента продольной
скорости жидкости при Z=0.
Принимая во внимание выражения для компонент скорости
через функцию тока
dip dip
“ = дХ ’ v = — dZ •
(7.8)
можно после несложных преобразований уравнений (7.1) и
(7.2) получить дифференциальное уравнение и граничные ус-
ловия для определения функции f(x):
Re tf'2 — ff") + f" = k-, (7.9)
f (0) =/'(1) (0) = 0, f(l)=l. (7.10)
Здесь Re = uw/i/v — число Рейнольдса, составленное по скоро-
сти отсоса, k — постоянный коэффициент, подлежащий опреде-
лению в ходе решения задачи, x=X/h. Заметим, что необходи-
мость четырех условий (7.10) для получения однозначного ре-
шения дифференциального уравнения третьего порядка (7.9)
обусловлена тем, что нам неизвестна величина постоянной k.
В работе [142] построено асимптотическое решение задачи
(7.9), (7.10) методом регулярных разложений по малому пара-
метру Re.
16-1391 241
В первом приближении по этому параметру получены сле-
дующие выражения:
1 Re
f(x) = -^-x(3-x2) +-^.(3хз_2х-хг); (7.11)
Л = -34-“|§-Re. (7.12)
Используем для решения задачи о ламинарном движении
потока в плоском канале с пористыми стенками метод колло-
каций. Приближенное решение уравнения (7.9) ищем в виде
полинома четвертой степени
f(x) = а4х + V2 + а3х8 + а4х*, (7.13)
при записи которого учтено условие f (0) =0.
Используя оставшиеся три граничных условия (7.10) полу-
чим три соотношения для коэффициентов
f (1) = ai 4" 2д2 4- 3og 4- 4в4 = 0;
Г (0) =2^ = 0; (7.14)
f (1) = ai 4" аг 4- аз 4* а4 = 1.
которые позволяют представить искомую функцию в виде
/ = (3/2 — 1/2а4) % — (1/2-j-8/2а4) %’4-л4%4- (7.15)
Определяя производные функции f(x) и подставляя их в урав-
нение (7.9), находим остаток
R «= Re {1/4 [3 — а4 — 3 (1 4- За4) х2 4- 8а4%’]2 +
+ (1 4- За4 - 4а4%) [3 - а4 - (1 4- Зо4) %2 4- 2а4х*]} 4-
4-2404% — 3(14- 3a4) — k. (7.16)
Принимаем в качестве точки коллокации х=0, в которой,
в силу симметрии задачи, функция f принимает экстремальное
значение. Появившееся условие (R = 0 при х=0) позволяет
представить постоянную k в виде
k = i/4Re (3 -а4)2 -3 (1 4- Зо4). (7.17)
Для определения коэффициента а4 примем в качестве вто-
рой коллокационной точки значение х=1/2. Это позволяет для
частного случая Re=l найти величину а4=—0,004. В резуль-
тате для функции (7.15) получим
f= 1,502% — 0,494%’ — 0,004%4. (7.18)
Подставляя в выражение (7.16) значение постоянной k из
(7.17) и полагая Re=l, имеем
R = (2%’ — 9%6 4- 4%*) а42 4- (24% — 6%’ — 3%’) а4. (7.19)
Выбираем теперь взвешивающую функцию а>=1, т. е. вос-
пользуемся интегральным методом. В этом случае замыкаю-
242
Таблица 9. Значения функции f(x) в формуле (7.7)
(к задаче о ламинарном движении потока при Re«l
в плоском канале с пористыми стенками)
Решение x-Xfh
0.2 | 0.4 | 0.6 | 0.8 | 1
По формуле (7.11)
По формуле (7.18) — метод коллокаций
По формуле (7.21)—интегральный метод
0,295 0,566 0,790 0,944 1,00
0,297 0,570 0,796 0,952 1,01
0,296 0,568 0,792 0,944 1,00
щим соотношением, позволяющим определить неизвестный ко-
эффициент а4 является
1
J/?dx = O. (7.20}
о
Подставляя в подыинтегральное выражение (7.20) значение
из (7.19) и производя интегрирование, приходим к квадратно-
му уравнению За42—70а4 = 0, корни которого равны: 70/3; 0.
Первое значение корня приводит к нереальному решению, так
как определяет отрицательное значение функции f(x) при х>
>0. При а4 = 0 из уравнения (7.15) находим
/(х) = %х~^8* (7.21 >
Сравним результаты приближенных решений, полученных
различными методами (табл. 9).
Из таблицы видно хорошее совпадение между собой значе-
ний функций /(х), вычисленное по различным методам; в об-
ласти высоких значений х решение Бермана лежит в промежу-
точной области. Как видно, при высоких х метод коллокаций
приводит к слегка завышенным значениям функции, а интег-
ральный метод — к заниженным, по сравнению с решением
[142].
8.8. ДИСПЕРСИЯ ДИНАМИЧЕСКИ ПАССИВНОЙ
ПРИМЕСИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЕ
(ЗАДАЧА ТЕЙЛОРА)
До сих пор в этой главе рассматривались только плоские зада-
чи. Однако в технических приложениях очень часто осуществ-
ляют различного рода процессы в цилиндрических каналах,
в частности, в трубах. Нестационарная диффузия пассивной
примеси при ламинарном движении жидкости в трубе описы-
вается уравнением [193, 194]
дс дс 1 д ( дс \
+ = (8Л>
g = 0, <?с/д5 = 0; 5=1, дс/д5 = 0; (8.2)
т = Dt/a2, 5 = г/а, г= ZD/(a2u^.
16*
243
Здесь t — время; г, Z — радиальная и продольная цилиндри-
ческие координаты; «о — скорость в центре трубы; D — коэф-
фициент молекулярной диффузии; а — радиус трубы.
Начальные условия по t задаются в соответствии с конкрет-
ной задачей и здесь опускаются.
Формулировка задачи (8.1), (8.2) предполагает наличие
осевой симметрии и то, что диффузия происходит в условиях
стабилизации гидродинамического течения с пуазейлевским
профилем скорости [134].
В практическом и теоретическом отношении интересно знать
закономерность рассеивания вещества по продольной коорди-
нате и, в частности, знать зависимость средней концентрации
ё от г [24, 56]:
1
7=2 (8.3)
о
Здесь c(z, £, т)—концентрация вещества, изменение которой в
пространстве и времени подчиняется уравнению (8.1), в кото-
ром, в общем случае, в правой части следует записать еще и
член d^cjdz2, учитывающий осевую молекулярную диффузию.
Как показывает опыт [193], изменение средней концентрации
с по оси канала подчиняется диффузионному уравнению, но
наблюдаемое рассеивание примеси происходит намного интен-
сивнее, чем это может быть объяснено молекулярной осевой
диффузией. (Тейлор при исследовании этого явления предло-
жил вообще не рассматривать молекулярную диффузию вдоль
оси канала.) Точное аналитическое решение задачи до сих пор
не получено. Тейлор на основании физической интуиции пока-
зал расчетным путем и затем подтвердил экспериментально,
что диффузия средней по сечению концентрации c(z, т) описы-
вается уравнением параболического типа
дс 1 д2с
~дх=~т д?~' (8-4>
Согласно уравнению (8.4), концентрация метящего вещест-
ва изменяется таким образом, как если бы скорость потока на
каждом радиусе равнялась средней скорости потока й = и012.
В то же время учитывается диффузия вдоль оси, характеризуе-
мая коэффициентом эффективной диффузии, размерная вели-
чина которого выражается формулой
Оэф = аЧа/(192Р). (8.5)
Таким образом, наблюдаемая диффузия тем больше, чем
меньше коэффициент диффузии. Физическое объяснение этого
неожиданного явления состоит в следующем. Частицы пассив-
ной примеси из-за молекулярной диффузии совершают хаоти-
ческое движение вдоль радиуса трубы. (Подобным перемеще-
нием в осевом направлении, как уже отмечалось выше, можно
244
пренебречь по сравнению с конвективным переносом.) Рас-
смотрим процесс в системе координат, движущейся со средней
скоростью потока. Попадая в ядро потока, частицы примеси
переносятся конвективным движением в положительном нап-
равлении, а в пристенной области — в отрицательном направ-
лении. Таким образом, хаотическое движение в плоскости, нор-
мальной к оси трубы, приводит к хаотическому одномерному
движению по потоку и против него в осевом направлении. Яс-
но, что увеличение коэффициента молекулярной диффузии ве-
дет к уменьшению интервалов времени, в течение которых ча-
стицы пассивной примеси находятся в центре трубы и у ее
стенки и, следовательно, к уменьшению продольной дисперсии.
(Хаотическое осевое смещение частиц пропорционально ука-
занным интервалам времени.) Рассмотренный механизм каче-
ственно объясняет явление тейлоровской диффузии. Ввиду
приближенности полученного Тейлором [194] уравнения (8.4)
и большой важности вопроса для химической технологии [43,
47, 48, 113] исследуем задачу (8.1), используя для этого ме-
тод Галеркина.
Запишем уравнение (8.1) в системе координат, движущейся
со средней скоростью потока
дс , / 1 „ \ дс \ д (дс \ 1
дх +( 2 — дх ~ I <5? д$ x-z-^-x. (8.6)
Умножим левую и правую части уравнения (8.6) на 2|d]j
и проинтегрируем по £ в пределах от £=0 до £=1. В резуль-
тате получим
дс dj
7й + 1Г = °- <8-7)
Здесь с — средняя концентрация, вычисляемая по уравнению
(8.3), а
1
7= [ 2с 0--(8.8)
о
— средний поток вещества через плоскость, нормальную к оси
трубы и движущуюся со средней скоростью потока й/«о=1/2.
Для получения одномерного описания продольной дисперсии
вещества необходимо найти выражение для J через с; так
как имеющееся в нашем распоряжении уравнение (8.7) содер-
жит две неизвестные, то для решения задачи надо иметь еще
одно уравнение.
Будем искать решение в следующем виде:
с(*Л, t) =7(х, T)-f-q(x, g, т), (8.9)
где с(х, т)—средняя по сечению трубы (8.3) концентрация
пассивной примеси; сДх, £, т) — поправка, учитывающая зави-
симость концентрации от радиальной координаты.
245
По определению среднего очевидно, что
1
2 JcM=0. (8.10)
о
Считая функцию с(х, т) известной будем искать ci(x, £, т)
в виде ряда по целым степеням £ с коэффициентами, завися-
щими от х и т. Такая форма решения подсказывается видом
уравнения (8.6) после подстановки в него (8.9)
dq ,f_L _ 1 д К дсЛ
дх Т- \ 2 6 J дх ~~ g dl д1
I дс 1 дс \ дс
= + (8J1>
В самом деле, в правой части (8.11) содержится два первых
члена полинома (£2)”* с коэффициентами: первый (т = 0),
а,= I— +— )и второй (т=1) а2=—.зависящими только
\ дх 2 дх / дх
от переменных хит.
Вид ряда устанавливается таким, чтобы выполнялись гра-
ничные условия по £ (8.2) и удовлетворялось условие (8.10).
Этим ограничениям, в частности, удовлетворяет ряд
q (*, L t) = 2 (*. *) [^2 (т+1) ~ <т+ 0 ?т +TZT2]- <8Л2>
т==1 -»
Принятая форма решения в виде ряда (8.12)—лишь одно из
возможных представлений искомой величины. Ограничимся
первым членом ряда (8.12), полагая
q (X, L Т) = а (х, х) (£« - 2£» + 2/3). (8.13)
Подставляя (8.13) в (8.11), получим уравнение, которому
можно придать вид остатка:
/ 2 \ да / 1 \ t 2 \ да
Я(х, Lт) = (v-2^ + v) -аг + (--?) +-з)~дГ~
дс { 1 \ дс
-8(2^-Da+^ + ^-g»^. (8.14)
Напомним, что решение (8.9) является приближенным. По-
этому величина остатка /?(х,£,т) не может быть равной нулю
во всей области определения искомой функции (иначе мы бы
имели дело с точным решением).
Основываясь на идеях метода Галеркина, потребуем равен-
ства нулю интеграла
1
J/?(x,g,i)w(g)dg = O. (8.15)
о
246
Здесь w — «взвешивающая» функция. В ранее рассмотрен-
ных задачах этой главы мы подходили к вопросу о выборе ви-
да этой функции в определенном смысле формальным обра-
зом. Однако этому могут способствовать и соображения, ос-
нованные на физической стороне явления.
В рассматриваемой задаче ищется поток, определяемый по
уравнению (8.8). Очевидно, что величина вклада в ; областей
с различным удалением от оси трубы (различными |) пропор-
циональна скорости конвективного переноса и площади попе-
речного сечения трубы с данным радиусом. Поэтому естествен-
но в качестве взвешивающей функции принять (см. подынтег-
ральное выражение (8.8)):
ш = 5(1-2£’). (8.16)
Подставим в (8.15) остаток /?(х, £, т) из (8.14) и о»(£) из
{8.16). В результате имеем связь между величинами а и с:
да 1 да дс
Л-+П5-^Г + 16а = -^-* <8-17)
Внося в правую часть формулы (8.8) значение с из (8.9)
нри Ci равном (8.13), получим
7"= а (х, т)/12. (8.18)
Исключая из (8.17), (8.18) функцию а(х, т) находим урав-
нение, связывающее среднюю концентрацию с и конвективный
поток J
dj 1 di - 1 дс
-ЭГ + Тб- ^-+16/ = —12--^- <8-19)
Уравнения (8.7) и (8.19) представляют собой замкнутую
систему уравнений, решающих в приближенном виде (но дру-
гим методом, чем в работе [194]) задачу о дисперсии средней
концентрации примеси в ламинарном потоке, текущем по круг-
лой трубе.
Система уравнений (8.7), (8.19) отличается от известных
результатов Тейлора [194] наличием первых двух членов в
уравнении (8.19) и описывает распространение примеси не с
бесконечной (как у Тейлора), а с конечной скоростью, что
лучше соответствует физике явления. Результат Тейлора полу-
чается из уравнения (8.19), если пренебречь в нем первыми
двумя членами. Тогда, исключая из указанным образом преоб-
разованного уравнения (8.19) и уравнения (8.7) поток веще-
ства, приходим к уравнению (8.4). Таким образом, уравнение
(8.19) является обобщением тейлоровской зависимости между
дисперсионными потоком и градиентом средней концентрации.
Как показано в работах [47, 48], обобщение касается учета
«наследственных» явлений и имеет важное значение при ис-
следовании процессов диффузии, осложненных быстрыми хи-
мическими реакциями в объеме жидкости.
247
Рассмотрим теперь более общую задачу, когда диффунди-
рующая в потоке примесь может вступать в химическую реак-
цию первого порядка. В этом случае уравнение (8.6) должно
быть дополнено членом типа «источника»:
дс ( 1 \ дс 1 д / дс \
дх + ^~2” = dg dg ] ~ ^с- (8.20)
и рассматриваться совместно с граничными условиями (8.2).
Величина kv—Kva2ID представляет собой безразмерную кон-
станту скорости химической реакции и является мерой отноше-
ния времени диффузионного процесса tA=a2ID и характерного
времени химической реакции tx=A[Kv (Kv — константа объем-
ной химической реакции первого порядка).
Как и ранее, будем искать решение в виде суммы двух сла-
гаемых (8.9), полагая в первом приближении, что функция
Ci(x, т) задается формулой (8.13). Опуская промежуточные
выкладки, запишем искомую приближенную систему уравне-
ний:
дс di _
3r + -aF+V = °; (8.21)
дТ 1 дТ 1 дс
-дГ+ТГ 1Г + -Т2- -д?+(16 + *о)у=0, (8.22)
к которой с учетом указанных предположений может быть све-
дено уравнение (8.20). Система (8.21), (8.22) описывает рас-
пространение примеси с конечной скоростью, чем принципиаль-
но отличается от обычно используемых в таких случаях диффу-
зионных моделей.
8.9. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО МЕТОДА
В ЗАДАЧАХ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ТРЕТЬЕГО
РОДА (РАСПРОСТРАНЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО
МЕТОДА НА ЭТОТ СЛУЧАЙ)
Интегральный метод может также применяться для исследова-
ния краевых задач с произвольными линейными и нелинейны-
ми граничными условиями третьего рода, которые нередко по-
являются, например, при математическом описании процессов
химической технологии, осложненных поверхностными химиче-
скими реакциями (см., в частности, граничное условие (2.3)
в гл. 3). Для этого его необходимо несколько модифицировать
с учетом следующих дополнительных обстоятельств, которые
отсутствовали в рассмотренных ранее задачах с граничными
условиями первого рода:
1) в задачах с граничными условиями третьего рода зара-
нее неизвестно значение искомой величины на границе, которое
может быть определено лишь в результате решения полной ис-
ходной задачи;
248
2) локальный поток в этом случае зависит не только от
толщины пограничного слоя, но и от характерного значения
искомой функции на границе.
Наличие такого заранее неизвестного параметра приводит
к необходимости учесть этот дополнительный фактор при рас-
пространении интегрального метода на указанный тип задач.
Для лучшего понимания возникающей ситуации рассмотрим
сначала наиболее простые задачи, описываемые обыкновен-
ными дифференциальными уравнениями, а потом уже более
сложные задачи для уравнений в частных производных. Основ-
ные свойства указанной модификации интегрального метода
перенесем далее на алгебраический метод, что позволит ис-
пользовать последний для решения задач с граничными усло-
виями третьего рода.
Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных
уравнений. Напомним, что в задачах с граничными условиями
первого рода исходный профиль концентрации (температуры,
компонент вектора скорости жидкости и т. п.) в наиболее про-
стом случае обыкновенного дифференциального уравнения за-
давался в виде (3.22) гл. 3. При этом функция ф=ф(х) выби-
рается таким образом, что обеспечивает точное значение кон-
центрации на границе, которое известно из постановки задачи.
Интегрирование исходного дифференциального уравнения по
поперечной координате с последующей подстановкой в полу-
ченное таким образом тождество выражения (3.22) гл. 3 по-
зволяет получить алгебраическое (в данном простейшем слу-
чае) уравнение для определения толщины диффузионного по-
граничного слоя б. В краевых задачах с граничными условия-
ми третьего рода, где концентрация на реагирующей поверх-
ности заранее неизвестна, имеются уже две основные искомые
величины: толщина пограничного слоя б и поверхностная кон-
центрация cw, совместное знание которых дает возможность
вычислять локальный диффузионный поток вещества. Ясно, что
поскольку в данном случае имеются две подлежащие опреде-
лению величины, необходимо для них сформулировать соответ-
ствующую систему из двух уравнений.
При выборе профиля концентрации будем исходить из не-
которых точных свойств краевых задач, описываемых линей-
ными дифференциальными уравнениями. Для этого рассмотрим
следующее дифференциальное уравнение с граничными усло-
виями:
+ = (9.1)
I ---> оо, с ---> 0; (9.2)
de
%= 0 > s (c), (9*3)
где p, q и fs могут быть любыми функциями соответствующих
аргументов (отметим, что множитель — ks в последнем гранич-
249
ном условии (9.3) выделен для сохранения далее единых обо-
значений). Указанная постановка задачи (9.1)—(9.3) являет-
ся наиболее общей для линейных дифференциальных уравне-
ний второго порядка с произвольным граничным условием
третьего рода (9.3), которое может быть как линейным, так:
и нелинейным, в зависимости от вида функции fs.
Помимо задачи (9.1) — (9.3), будем рассматривать также
линейную вспомогательную задачу, описываемую уравнением
(9.1), граничным условием (9.2) и простейшим граничным ус-
ловием первого рода
5 = 0, с=1, (9.4),
соответствующим диффузионному режиму реакции. Допустим,
что решение вспомогательной задачи (9.1), (9.2), (9.4) извест-
но и дается выражением
с = Ф(5) (ф (0) = 1, Ф (оо) == 0), (9.5>
что приводит к следующему значению для «предельного» ло-
кального диффузионного потока:
/да=-(4Ф/45)6-о. (9.6>
Решение исходной полной краевой задачи (9.1) — (9.3) ищем
в виде
с = с«,Ф (5), (9.7)
где функция Ф(|) является решением вспомогательной задачи
(9.1), (9.2), (9.4), а постоянный сомножитель cw подлежит оп-
ределению в ходе решения задачи и имеет физический смысл
поверхностной концентрации (в силу свойства Ф (0) = 1). Вид-
но, что выражение (9.7) при произвольном параметре cw удов-
летворяет уравнению (9.1) и граничному условию на бесконеч-
ности (9.2). В результате подстановки формулы (9.7) в гранич-
ное условие третьего рода (9.3) с учетом равенства (9.6) полу-
чаем алгебраическое (трансцендентное) уравнение для коэффи-
циента Cw
Cwln s O-ai) • (9.8)'
Решение этого алгебраического уравнения (считается, что
вспомогательная величина /оо известна) позволяет найти точ-
ное решение исходной краевой задачи (9.1) — (9.3), которое да-
ется выражениями (9.7), (9.8).
Представим теперь уравнение (9.8) в более удобном виде.
Для этого учтем, что локальный поток, соответствующий ре-
шению (9.7) определяется формулой
j — Cwjoo • (9.9)
Исключая поверхностную концентрацию cw из выражения
(9.9) и подставляя ее далее в (9.8) приходим к следующему
алгебраическому уравнению для локального потока:
(9.10)
250
Подчеркнем, что уравнение (9.10) является точным и спра-
ведливо для любых краевых задач (9.1) — (9.3) с произволь-
ными функциями р, q и fs. Видно, что для определения локаль-
ного потока j достаточно решить вспомогательную линейную
задачу с граничным условием первого рода (9.1), (9.2), (9.4);
вычислить далее предельный локальный поток /'«>, а потом ис-
комая характеристика j находится из алгебраического уравне-
ния (9.10). Другими словами, решение линейного дифференци-
ального уравнения с граничными условиями третьего рода
всегда элементарным образом выражается через решение со-
ответствующей вспомогательной задачи с граничными условия-
ми первого рода.
Отметим, что необходимым условием для вывода алгебраи-
ческого уравнения (9.10) и представления (9.7) является ли-
нейность исходного дифференциального уравнения (9.1), хотя
граничное условие (9.3) может быть и нелинейным. Естествен-
но, что в более общем случае нелинейных дифференциальных
уравнений такой простой функциональной зависимости между
локальными потоками j и /оо уже не существует.
Учтем теперь, что прямым аналогом выражения (9.5), со-
ответствующим граничному условию первого рода, в интег-
ральном методе является формула (3.22) гл. 3 для профиля
концентрации. Поэтому для задач с граничными условиями
третьего рода полагая в точном представлении (9.7) Ф = <р(|/б)
получим наиболее простой и естественный однопараметриче-
ский профиль концентрации, который позволяет вывести замк-
нутую систему алгебраических уравнений для толщины погра-
ничного слоя 6 и поверхностной концентрации cw-
с = М>(5/в), с^(Ск-С)/С„, (9.11)
где на функцию <р (которая как всегда задается априорно из
различных соображений и удовлетворяет условию однородно-
сти концентрации на бесконечности <р(оо)=0) для удобства
накладываются еще два дополнительных условия типа норми-
ровки
<р (0) = 1, (dq>/dx),-o«-l. (9.12)
Безразмерный локальный диффузионный поток с учетом со-
отношений (9.11), (9.12) вычисляется по формуле
/ = -^/Ф5-о = *<Л. (9.13)
Выражения (9.11), (9.12) зависят от двух искомых безраз-
мерных параметров 8 и cw, которые должны определяться в
ходе решения задачи. Первое алгебраическое уравнение для
этих величин получается в результате подстановки формулы
(9.11) в интегральное тождество, которое выводится путем ин-
тегрирования исходного дифференциального уравнения по по-
перечной координате £ в пределах от нуля до бесконечности.
Второе дополнительное уравнение, связывающее параметры 6
и cw находится из граничного условия третьего рода. Решение
251
этой системы уравнений позволяет определить толщину по-
граничного слоя и поверхностную концентрацию, а следова-
тельно и вычислить локальный поток (9.13). Полученные вы-
ражения, как всегда, следует уточнить далее методом асимп-
тотической коррекции.
Проиллюстрируем сказанное на примере задачи о массопе-
реносе в окрестности критической точки капли или твердой ча-
стицы, осложненном поверхностной химической реакцией, ско-
рость которой конечна и произвольным образом зависит от
концентрации.
В безразмерных переменных соответствующая краевая за-
дача описывается обыкновенным дифференциальным уравне-
нием
d2c de
dp-+PeBm^- = O. (9.14)
с граничными условиями (9.2), (9.3).
Интегрирование уравнения (9.14) по g (O^g^oo) с уче-
том обычного предположения об экспоненциальном характере
затухания решения на бесконечности (здесь условно считает-
ся, что точное решение задачи (9.14), (9.1), (9.2) неизвестно)
дает
(de \ . ч
—— Ре 1(т) _ о
<%> Л-о
(9.15)
ОО
(/<0)^1; /(m) = mj m-jfro).
О
Подставляя в это интегральное тождество выражение
(9.11), (9.12), получаем первое алгебраическое уравнение для
определения параметра S
— 1/6 + Fe6m/('n) = О
(9.16)
СО
= 1; 1^т') — т хт-1 ф (х) dx, т =£ 0 j ,
о
которое не зависит от поверхностной концентрации cw в силу
линейности исходного дифференциального уравнения (9.14).
Второе алгебраическое уравнение выводится из нелинейного
граничного условия третьего рода (9.3) с учетом представле-
ния для концентрации (9.11) и условий нормировки (9.12) и
имеет вид
Сш/6 — 3 (Сц>). (9.17)
Выражая теперь параметр 6 из первого уравнения (9.16)
через число Пекле и подставляя его далее во второе уравнение
252
(9.17), в котором предварительно поверхностная концентрация:
была исключена при помощи равенства cw=j8, являющегося,
следствием формулы (9.13), приходим к следующему алгебраи-
ческому (трансцендентному) уравнению для определения ло-
кального диффузионного потока:
j = ksfs(-----1 , ). (9.18).
у [Ре/<'”)] m+1 /
Для уточнения этого уравнения используем метод асимпто-
тической коррекции. Устремляя параметр ks к бесконечности
в (9.18), с учетом свойства функции fs (fs(l)=O) имеем:
1
/оо=[Ре/(т)]'п+1 (*S = TO). (9,19).
Исключая число Пекле из выражений (9.18), (9.19), полу-
чим то же алгебраическое уравнение для локального потока
(9.10). В соответствии с основным принципом метода асимпто-
тической коррекции при вычислении искомой величины / из
этого уравнения для вспомогательной зависимости /оо=/»(Ре)
следует использовать результат точного решения дифференци-
ального уравнения (9.14), (9.2) с граничным условием первого
рода (9.4) (т. е. формула (9.19) «забывается»), соответствую-
щим диффузионному режиму реакции. Из этого следует, что-
в данном случае выбор исходного профиля концентраций в ви-
де (9.11) при использовании интегрального метода в комбина-
ции с методом асимптотической коррекции приводит к точному
результату.
Отметим важное обстоятельство, которое носит достаточно-
общий характер. В задачах, описываемых линейными обыкно-
венными дифференциальными уравнениями, алгебраическая
система двух уравнений для определения величин бис» рас-
щепляется, аналогично тому, как это было в модельной задаче
(9.14), (9.2), (9.3). При этом первое уравнение, которое явля-
ется следствием интегрального тождества, позволяет сразу най-
ти толщину пограничного слоя б независимо от поверхностной
концентрации cw. Так как величина 1/6 в этом случае вследст-
вие выражений (9.11) — (9.13) точно соответствует предельному
потоку для диффузионного режима реакции на поверхности те-
ла (1/б=/оо), то формулу (9.13) можно переписать в форме
(9.9). Учтем далее, что граничное условие (9.3) при произ-
вольной функции fs представляет собой наиболее общее гра-
ничное условие третьего рода для обыкновенных дифференци-
альных уравнений. Поэтому второе алгебраическое уравнение
(9.17) для искомых величин б и cw, которое является следст-
вием граничного условия (9.3) и выражения для концентрации
(9.11), (9.12), справедливо также и в общем случае. Исполь-
зуя равенство б-1=/оо и исключая с учетом сказанного поверх-
ностную концентрацию cw из выражений (9.9), (9.17), опять-
258-
приходим к приближенному алгебраическому уравнению для
локального потока (9.10). Последнее означает, что использова-
ние предложенной модификации интегрального метода в ком-
бинации с методом асимптотической коррекции (при ks-*-oo)
приводит к точному результату для всех краевых задач, опи-
сываемых произвольными линейными обыкновенными диффе-
ренциальными уравнениями с граничными условиями третьего
рода (9.3).
В случае нелинейных дифференциальных уравнений такого
простого способа вычисления локального потока уже не суще-
ствует, так как здесь уже в первом алгебраическом уравнении
(которое получается из интегрального тождества) толщина
диффузионного пограничного слоя оказывается «завязанной» с
поверхностной концентрацией б = 6(са)).
Проиллюстрируем этот более сложный случай на следую-
щей модельной краевой задаче для нелинейного обыкновенно-
го дифференциального уравнения:
-^г + Р^-2|- = ^ (п>0); (9.20)
g----> ОО, с------► 0; (9.21)
?=0, = (9.22)
•соответствующей конвективному массопереносу в окрестности
передней критической точки капли, осложненным одновремен-
ным воздействием сразу двух конкурирующих факторов: объ-
емной и поверхностной химических реакций. Считаем, что на
поверхности капли происходит химическая реакция порядка
т, в результате которой образуется некоторое активное ве-
щество, которое вступает далее в химическую реакцию поряд-
ка и в объеме окружающей среды.
Подстановка выражения для профиля концентрации
(9.11) — (9.13) в граничное условие (9.22) и интегральное тож-
дество, которое получается в результате интегрирования урав-
нения (9.20) по | от 0 до оо, приводит к следующей системе
алгебраических уравнений для определения величин 6 и сш:
-у — Л Ре 6 = BVa>n-16; (9.23)
-y- = *s(l-ca))”1, (9.24)
тде константы А и В даются выражениями
оо оо
А = (р (х) dx, В = | фп (х) dx.
о о
Устремляя в уравнении (9.24) £s->oo, для диффузионного
режима реакции получим ^=1, что в силу (9.23) соответству-
254
ет предельному локальному потоку на поверхности капли:
=ЯРе + ВЛ0. (9.25)
Уточняя коэффициенты этого квадратного уравнения мето-
дом асимптотической коррекции с учетом явного вида асимп-
тотик вспомогательной краевой задачи (9.20), (9.21), (9.4) в
предельных случаях Ла->-0 и kv-+oo для параметров Л и В по-
лучим:
А = 2/л, В = 2/(л + 1). (9.26)
Выражая теперь толщину диффузионного пограничного слоя
из равенства (9.13) и подставляя ее далее в уравнения (9.23),
(9.24) имеем
=/2=о + -^г CV1-1-!); / = *5(1-Сш)т. (9.27)
В случае линейного дифференциального уравнения (9.20),
что соответствует значениям ko=0 или п = 1 в первом алгеб-
раическом уравнении (9.27), исключение поверхностной кон-
центрации cw приводит к уравнению для локального потока
(9.10) при fs=(l—с)т. В общем нелинейном случае (при /го=/=0,
п=тМ) такой простой функциональной зависимости между ве-
личинами / и joo уже нет. Выражая параметр cw из второго
уравнения (9.27) через j и ks и подставляя его далее в пер-
вое уравнение системы приходим к следующему алгебраичес-
кому уравнению:
tfx™ _ (1 _Х)2 {ft, + [(1 1]| 0, (9.28)
/ / \1/т
где X — -Е- ,
\ Rs /
решение которого позволяет приближенно определять локаль-
ный диффузионный поток для любых порядков объемной и по-
верхностной химических реакций п и т соответственно.
К сожалению не представляется возможным проверить точ-
ность приближенного уравнения (9.28) при п=/=1 ввиду отсут-
ствия необходимого для этого точного аналитического или чис-
ленного тестового решения исходной краевой задачи (9.20) —
(9.22).
Краевые задачи для уравнений в частных производных. Ин-
тегральный метод может использоваться также для прибли-
женного решения краевых задач, описываемых дифференци-
альными уравнениями в частных производных с граничными
условиями третьего рода. В этом случае помимо поперечной
(погранслойной) координаты g в исходное уравнение могут
входить еще время т и продольная координата г); в трехмер-
ных задачах пограничного слоя вместо одной будут две про-
дольные координаты т) и Л. При решении этих задач интег-
ральным методом будем опять исходить из выражения для
255.
профиля концентрации (9.11), (9.12), где толщина погранично-
го слоя б и поверхностная концентрация cw являются уже не-
которыми функциями времени и продольных координат
6 = 6(т, т]), cw = cw (т, т]), (9.29)
явный вид которых должен определяться непосредственно в
процессе решения задачи.
Первое дифференциальное уравнение для б и cw, как всег-
да, выводится путем интегрирования исходного уравнения в
частных производных по поперечной координате £ от нуля до
бесконечности с последующей подстановкой в полученное та-
ким образом интегральное тождество выражения для концент-
рации (9.11), (9.12). Второе уравнение будет уже алгебраиче-
ским и является следствием граничного условия третьего
рода и представления (9.11); в частности, для нелинейного гра-
ничного условия (9.3) это алгебраическое уравнение в точно-
сти совпадает с уравнением (9.17). Решение этих двух урав-
нений различного типа проводится в такой последовательно-
сти. Сначала из второго алгебраического уравнения выража-
ется поверхностная концентрация cw через толщину погранич-
ного слоя б (или наоборот) и подставляется далее в первое
дифференциальное уравнение. В результате приходим к диф-
ференциальному уравнению только для величины б, которое в
нестационарных задачах следует решать с начальным усло-
вием
6 = 0 при тс=0. (9.30)
После определения толщины пограничного слоя из этого
дифференциального уравнения поверхностная концентрация
cw уже элементарным образом находится из второго алгебраи-
ческого уравнения. Далее локальный диффузионный поток
вычисляется по формуле (9.13), а среднее число Шервуда —
интегрированием полученной зависимости /=/(т, л) по поверх-
ности тела.
Продемонстрируем описанную модификацию интегрального
-метода на примере следующей модельной нестационарной
краевой задачи с граничным условием третьего рода:
дс д2с “дт"=др’: (9.31)
т = 0. с = 0; £ > оо, с > 0; (9.32)
5 = о, дс (9.33)
Интегрирование уравнения (9.31) по £ приводит к интег-
ральному тождеству (4.5) гл. 3 при Ре=0. Подставляя далее
в это тождество и граничное условие (9.33) выражение для
лрофиля концентрации (9.11), (9.12), где бис® являются
.256
функциями времени т, получаем систему
оо
А~£г (Са,8) = ~ТГ (Л==УФ (-x)dx
о
(9.34)
(9.35)
g с= ks (1 Cw) ,
где уравнение (9.34) — дифференциальное, а (9.35) — алгеб-
раическое.
Выражая из (9.35) поверхностную концентрацию cw через
толщину диффузионного пограничного слоя 6 и подставляя ее
в (9.34), приходим к следующему обыкновенному дифференци-
альному уравнению:
/26-4- ks& \ d6
А ( 1 + М ) dx ~ 1 •
(9.36)
Решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному ус-
ловию (9.30), имеет вид
(62 6 1 „)
А [~ + тг~ 1у1п(1+^6)) = т- (9.37)
Используя выражение (9.13), с учетом уравнения (9.35) не-
трудно получить связь между локальным потоком и толщиной
пограничного слоя:
1- s 1 + fes6 •
(9.38)
Исключая из формулы (9.37) параметр б с помощью этого
соотношения, находим зависимость локального диффузионного
потока от времени
А (1пт) =т- (9-39>
Значение неизвестной постоянной А вычислим путем при-
менения метода асимптотической коррекции. Для этого уст-
ремим параметр ks к бесконечности в выражении (9.39). В ре-
зультате для локального потока получим /оо=УД/(2т). С дру-
гой стороны, решение соответствующей краевой задачи с гра-
ничным условием первого рода (9.31), (9.32), (9.4) дает /оо =
= (лт)“1/2. Из сопоставления этих формул для константы А
имеем
А == 2/л.
(9.40)
Неявную зависимость локального потока от времени (9.39),
(9.40) можно переписать следующим образом:
х~2 — 1 + 2 In х = шо;
х = j/kSt со = %ks2.
(9.41)
(9.42)
257
17—1391
Для оценки точности приближенного выражения (9.41) по-
лучим теперь точное решение исходной нестационарной краевой
задачи с граничным условием третьего рода (9.31)— (9.33).
Применение интегрального преобразования Лапласа — Карлсо-
на приводит уравнение, начальное и граничные условия (9.31) —
(9.33) к следующему обыкновенному дифференциальному урав-
нению для образа концентрации:
ClC _ —
£ = о, -d|- = *s(c-i); &—* °0- с—>0-
Решение этой задачи может быть представлено в форме
ехр(—v^)> (9-44>
ks+VP
а соответствующий образ локального потока имеет вид:
de \ _ T/p^s
Д=о ks + Vp
(9.45)
Используя обратное преобразование Лапласа — Карлсона,
из выражения (9.45) находим точную зависимость локального
потока от времени:
х = е“ erfc 1/<о , где х = jjks, oj = tPs2. (9.46)
Сопоставление точной (9.46) (сплошная линия) и прибли-
женной (9.41) (штриховая линия) формул для локального по-
тока показано на рис. 8.6. Видно, что погрешность выражения
(9.41) очень невелика и составляет всего 4,5%. Это указывает
на то, что предложенная модификация интегрального метода
приводит к весьма неплохим приближенным результатам в
краевых задачах, описываемых уравнениями в частных произ-
водных с граничными условиями третьего рода.
Изложенную процедуру
вывода приближенного урав-
нения для локального потока
нетрудно перенести на язык
алгебраического метода (см.
гл. 4). А именно, представле-
ние для концентрации (9.11)
эквивалентно одновременному
растяжению погранслойной
координаты g по формуле
Рис. 8.6. Сопоставление точной (9.46)
(сплошная линия) и приближенной
(9.42) (штриховая линия) формул
для локального потока, полученных
путем решения задачи (9.31)—(9.33)
258
(1.11) гл. 4 и самой искомой функции с по формуле
с = Сц,ф. (9.47)
в рассматриваемом дифференциальном уравнении и граничном
условии третьего рода, в которых далее все исходные безразмер-
ные параметры задачи, а также новые дополнительные величи-
ны j и cw фиксируются на своих местах, а остальные члены
опускаются аналогично тому, как это делалось ранее в гл. 4
для краевых задач с граничными условиями первого рода. По-
лученная таким образом для стационарных задач система двух
алгебраических (трансцендентных) уравнений позволяет опреде-
лить величины j и cw. Локальный диффузионный поток в этом
случае дается произведением
J = cwi, (9.48)
где / — вспомогательный локальный поток, который для линей-
ных уравнений соответствует чисто диффузионному режиму ре-
акции j—joo — ср. выражения (9.9) и (9.48). Полученные резуль-
таты, как всегда, необходимо уточнить методом асимптотиче-
ской коррекции. В задачах с граничными условиями первого
рода, (которые в выбранных безразмерных переменных записы-
ваются в виде: с=1 при £=0) в формулах (9.47) и (9.48) сле-
дует положить Cw = 1.
Аналогичным образом с учетом результатов разд. 4.3 можно
обобщить алгебраический метод на нестационарные задачи с
граничными условиями третьего рода.
8.10. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ КОРРЕКЦИЯ
КОЭФФИЦИЕНТОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ,
ВЫВЕДЕННЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫМ МЕТОДОМ
Как уже отмечалось в разд. 1.1, процедура асимптотической
коррекции помимо улучшения приближенных алгебраических и
трансцендентных уравнений (или формул) применима также
для уточнения коэффициентов дифференциальных уравнений,
выведенных тем или иным приближенным методом. Проиллю-
стрируем сказанное на примере решения стационарной задачи
о массообмене капли с поступательным стоксовым потоком при
больших числах Пекле. Изложение будет вестись следующим
образом: сначала для вывода исходного приближенного диффе-
ренциального уравнения для локального диффузионного потока
(толщины диффузионного пограничного слоя) будет использо-
ван интегральный метод, а потом коэффициенты этого диффе-
ренциального уравнения будут уточнены при помощи метода
асимптотической коррекции.
Распределение концентрации в диффузионном пограничном
слое капли или твердой частицы сферической формы, в безраз-
мерных переменных в сферической системе координат г, 0, свя-
17*
259
занной с центром капли, описывается уравнением и граничными
условиями:
дс дс 1 1 д / дс \
°' ~d7 + -Г ЯГ= РГ -дг(г2-дГ)’ (’О-1)
г=1, с = 1; г оо, с -------------> 0. (10.2)
Отметим, что в уравнении (10.1) пока отброшена только
тангенциальцая составляющая молекулярной диффузии (т. е.
от лапласиана в правой части (10.1) оставлена только его сфе-
рическая часть), а конвективные члены в левой части взяты
полностью без линеаризации вблизи поверхности капли.
Учтем, что для несжимаемой жидкости (например, вязкой
или идеальной) компоненты скоростей vr и удовлетворяют
уравнению неразрывности
д д
(vrr2 sin 0) + (v&r sin 0) = 0,
и, следовательно, могут быть выражены через функцию тока ф
по формулам
1 0ф 1 0ф
Vr^ г2 sin 0 00 ’ °9 = rsinO dr *
(10.3)
Используя (10.3), конвективную часть уравнения (10.1)
можно переписать в следующем эквивалентном виде:
дс । дс 1 Г д I ЭД \ , д /ЭД \1 ,,пм
Vr dr + ~Г 06 в г2sin0 dr [ 00 CJ + 00 dr ]• (10,4)
Уравнение (10.1) приводится при этом к более удобной для
применения интегрального метода форме
d / dip \ ( д j дф \ 1 д / о дс \
~ dr ( 00 с) ' 00 ( dr с)= Ре dr (r dr )• (105)
Введя новую переменную %=г—1, проинтегрируем уравне-
ние (10.5) по £ от нуля до бесконечности. Используя граничные
условия (10.2) и свойство функции тока ф(| = 0, 0)=const, ко-
торое является следствием непротекания жидкости через по-
верхность капли (vr)r=i = 0, а также предполагая, что концент-
рация с и ее производные экспоненциально стремятся к нулю
при £—»-оо, в результате получим
оо
Ре д С дф [ дс \
sin0 ~00" J 0Г Cd^ = ~ \W)6-о’ (10’6)
о
При построении приближенного решения задачи вместо ис-
ходного уравнения (10.1) будем рассматривать интегральное
тождество (10.6). Как всегда, зададимся некоторым профилем
концентрации <р(х) и решение (10.6) ищем в виде с=<р(£/б)» где
толщина диффузионного пограничного слоя зависит от угла 0
260
(и числа Ре) и определяется непосредственно в ходе исследова-
ния. Учтем, что для поступательного стоксова обтекания капли
в диффузионном пограничном слое достаточно ограничиться дву.
мя первыми членами разложения функции тока вблизи поверх-
ности при £->0 (5.3) гл. 3. Подставляя выражение (3.22) гл. 3
в тождество (10.6) и используя связь между би/ (3.24) гл. 3,
получаем обыкновенное дифференциальное уравнение для ло-
кального диффузионного потока:
Ре
sin0
d
dQ
sin2 0
(10.7)
/;
1 . Зр + 2
1- 2(₽ + 1) : 4(₽+ I) •
Am = т
<р (х) dx.
Уравнение (10.7) может быть записано в следующем более
привычном виде:
dj j (2Ре cos 0 [Xi (?) Лх/ + К2 (?) Л2] - /»}
dQ ~ Ре sin 0 (Р) Лх/+ 2Х2 (Р) Л2] ’ '
Видно, что уравнение (10.8) имеет особенность при 0=0
(и 0=я). Поэтому для того, чтобы локальный поток был огра-
ничен в окрестности передней критической точки (0—>-0),
должно выполняться равенство
/о’ _ 2Ре Хх (Р) - 2Ре Х2 (?) Л2 = 0 (/„ = lim /). (10.9)
е->о
Решение кубического уравнения (10.9) определяет обычное
начальное условие для дифференциального уравнения (10.8):
0 = 0, / = /0. (10.10)
Для численного расчета (10.8) условия (10.10) оказывается
недостаточно ввиду наличия сингулярной особенности в правой
части уравнения при 0—*-0. Поэтому необходимо получить не-
которую дополнительную аналитическую информацию о пове-
дении локального диффузионного потока вблизи передней кри-
тической точки. Нетрудно показать, что при малых значениях
угла решение уравнения (10.8) может быть представлено в
виде ряда по четным степеням 0:
. . V ан ________Pe^xAi/'o + ^gAg)____ ...
1 - к,+ 2*а$ I ai =2РеЛ1Л1(1 —/0) —3/02 — 4РеХ2Л2 • <10-И)
i=»l
При численном решении уравнения (10.8) следует несколько
отступить от передней критической точки и положить в разло-
жении (10.11) (где можно ограничиться двумя выписанными
старшими членами ряда) 0 = 0, где 0 — достаточно малая вели-
261
чина. Полученное таким образом из (10.11) значение j следует
взять в качестве начального условия /=/ при 0=0 для уравне-
ния (10.8)д_ которое далее интегрируется обычным образом на
интервале 0^0^л.
Из уравнения (10.8) видно, что локальный диффузионный
поток обращается в нуль в задней критической точке капли:
j = 0 при 0 = л.
Отметим, что для вывода дифференциального уравнения
(10.8) можно использовать также и широко распространенное
упрощенное представление о конечности толщины диффузионно-
го пограничного слоя, когда считается, что все изменение кон-
центрации происходят в тонком слое вблизи поверхности капли
при О<£<6(0) и с==0 при £>6(0). В этом случае распределе-
ние концентрации ищется в виде (3.22) гл. 3, где профиль кон-
центрации <р=ф(х) задается весьма произвольно, а интегриро-
вание уравнения (10.5) ведется по £ в пределах от нуля до 6(0).
Нетрудно понять, что этот подход уже содержится в описанной
ранее аналогичной процедуре, когда предполагалось, что кон-
центрация асимптотически (плавно) стремится к нулю вдали от
частицы при £—»-оо. Для этого следует в качестве исходного
профиля концентрации формально выбрать убывающую функ-
цию, удовлетворяющую условиям
ф (0) = 1, ф (1) = 0, (d<f/dx)x=1 = 0; ф = 0прих>1.
Соответствующее такому способу интегральное тождество
получается из (10.6) заменой в интеграле верхнего предела оо
на 6. Окончательное дифференциальное уравнение для локаль-
ного диффузионного потока отличается от (10.7), (10.8) лишь
коэффициентами Л1 и Лг, которые вычисляются согласно форму-
лам (10.7) после замены во всех интегралах бесконечного верх-
него предела на единицу. Хотя в первом случае плавный асимп-
тотический выход концентрации при £—>оо на свое предельное
значение правильно отражает механизм переноса, а конечность
толщины пограничного слоя во втором случае соответствует не-
сколько упрощенным представлениям о физике процесса, в ко-
нечное приближенное уравнение для локального диффузионного
потока (10.8) заложена одинаковая информация. Указанное
обстоятельство является следствием того, что за счет надлежа-
щего выбора профиля концентрации <р(х), как в первом, так и
во втором случае можно получить произвольные положительные
наперед заданные значения коэффициентов Л1 и Лг- Поэтому
для получения хороших результатов при использовании инте-
грального метода весьма важно удачно выбрать профиль кон-
центрации или, другими словами, правильно подобрать значения
коэффициентов Л1 и Лг (в подавляющем большинстве исследо-
ваний наибольший практический интерес представляет собой
вычисление диффузионного потока и среднего числа Шервуда,
в то время как непосредственное определение поля концентра-
ции является второстепенной и малосущественной задачей).
262
Учитывая сказанное не будем делать особого различия меж-
ду описанными выше двумя возможными модификациями ин-
тегрального метода. Исходное уравнение всегда будем интегри-
ровать по | от нуля до бесконечности, а в тех случаях, когда
следует выделить второй способ, при выборе профиля концент-
рации будем дополнительно указывать, что <р=0 при х>1.
Если в соответствии с методом Кармана — Польхгаузена для
профиля концентрации выбрать полином четвертой степени
<р (х) = 1 — 2х 4- 2х3 — х4 при 0 х < 1; ф (х) = О при х 1,
то для коэффициентов уравнения (10.8) получим
At = 3/5, Д2 = 8/15. (10.12)
При %2=0 (что формально соответствует предельному слу-
чаю капли умеренной вязкости) приближенное уравнение
(10.8), (10.12) существенно упрощается и может быть решено
(локальный диффузионный поток в этом случае лишь числовым
множителем отличается от асимтотически точного [76]); при
этом вычисление среднего числа Шервуда приводит к выра-
жению
7 Ре U/3
Sh = 0,447 1 р+ ]) (₽~1). (10.13)
При Xi = 0, А,2=3/4> что соответствует другому предельному
случаю твердой сферы, приближенное уравнение (10.8) было
решено в работе [3]. Локальный поток здесь также числовым
множителем отличается от точного результата [76], а для сред-
него числа Шервуда имеем
Sh = 0,648Ре1/з. (10.14)
Из сопоставления приближенных (10.13), (10.14) и точных
(2.1) гл. 1 формул для среднего числа Шервуда следует, что
выбор полиномиального профиля концентрации по Карману —
Польхгаузену является весьма удачным и приводит для пре-
дельного случая капли умеренной вязкости к занижению точно-
го результата на 3,0%, а для твердой сферы превышает точное
значение на 3,9%.
Продемонстрируем теперь как наилучшим образом можно
подобрать коэффициенты дифференциального уравнения (10.8)
А1 и Лг- Для этого потребуем выполнение очевидного условия:
коэффициенты Л1 и Лг выбираются так, чтобы уравнение (10.8)
в предельных случаях капли умеренной вязкости (Р~1) и
твердой сферы (р = оо) приводило к известному точному (асимп-
тотическому) результату [76]. При этом значения коэффициен-
тов Л1 и Лг можно получить независимо из двух различных со-
ображений. Опишем их вкратце.
Точные решения задачи (5.1) — (5.3) из гл. 3 для распреде-
ления концентрации, соответствующие предельным случаям кап-
263
ли и твердой сферы, могут быть записаны в следующей общей
форме [30]:
1 l Cn+1 \ 1
c=w(v’v т v=^+t; (10J5a>
6
£ = Pe''-ф1 /n; т = J sin 0 [Лп (Р) sin2 0] l'n d0; i|> = (P) sin2 0;
0
oo
f* v—1
Г (v, x) = I e~xx dx\ Г (v) = Г (v, 0),
X
где значение n=l соответствует капле, a n=2 — твердой сфере.
Используя эти формулы для локального диффузионного потока,
получим
/ = vll-n) v Г-1 (v) [Л,п (р) sin2 0]1/" T~v (0) Pev. (10.156)
Подстановка точного значения локального диффузионного
потока (10.156) при п=1 в приближенное дифференциальное
уравнение (10.8) при %2=0 позволяет определить величину ко-
эффициента Ль значение Л2 вычисляется аналогичным образом
путем подстановки выражения (10.156) при п—2 в уравнение
(10.8) при %i = 0 (такая процедура существенно проще, чем по-
следовательное решение приближенного уравнения (10.8) сна-
чала при Х2=0 и произвольном значении Ль а потом при %i = 0
и любом Л2 с последующим сопоставлением с точной формулой
(10.-156)). В результате указанной процедуры для коэффициен-
тов Л] и Л2 получаем
2 9
Л1 = 7Г’ Лз,= [г(1/з)]» • (Ю.16)
Другой способ определения коэффициентов Л1 и Л2 основан
на использовании кубического уравнения для локального диф-
фузионного потока в передней критической точке (10.9). Урав-
нение (10.9) может быть переписано через асимптотики /₽ и /»
в виде (5.19) гл. 3, где
/&2 = 2Ре %! (Р) Лх, /»„ = 2Ре Х2 (р) Л2.
Подставляя сюда точные значения локального диффузионно-
го потока в передней критической точке, соответствующие кап-
ле умеренной вязкости и твердой частице [76]
Г 2Ре у/2 ЗРе1/3
/₽ = [ М₽ + О J ’ = 2»/»г (1/3) ’
которые могут быть найдены также непосредственно из фор-
мул (10.156), приходим к тем же коэффициентам (10.16).
Полученное таким образом приближенное дифференциальное
уравнение (10.8), (10.16) уже обеспечивает правильный асимп-
264
тотический результат в предельных случаях капли умеренной
вязкости и твердой сферы. Данный пример в полной мере ил-
люстрирует возможности и принципы использования метода,
асимптотической коррекции для уточнения коэффициентов диф-
ференциальных уравнений, выведенных тем или иным (необя-
зательно интегральным) методом из более общих точных урав-
нений.
Нетрудно указать возможные профили концентраций, кото-
рые приводят к равенствам (10.16). Для этого, например, доста-
точно положить ф(х) = (1+Ах+Вх2)е~х, где коэффициенты А-
и В подбираются с учетом определения Ат (т=Л, 2) (10.7)
так, чтобы удовлетворялись соотношения (10.16). Другой до-
пустимый профиль может быть получен путем использования,
функции <р(х) = (1+Лх)_<?л:, где константы А и q находятся ана-
логичным образом.
Отметим, что в работах [187, 189, 190] фигурировало урав-
нение (10.8), (10.12) (точнее, там было выписано соответствую-
щее дифференциальное уравнение для толщины диффузионно-
го пограничного слоя) при
1 38 4-1 3
(₽) = 2 (Р + 1) ’ ® ~ 4 (р -|- 1) ~4~ (Р)» (10.17)-
полученное интегральным методом для полиномиального про-
филя концентраций Кармана — Польхгаузена. Из сопоставления
с результатами предшествующего анализа видно, что уравнение
(10.8), (10.12) отличается от выведенного в [187, 189, 190]
уравнения величиной коэффициента Хг(Р)—сравни выражения
(10.7) и (10.17). Такое несоответствие обусловлено тем, что в
работах [187, 189, 190] была неправильно линеаризована кон-
вективная часть уравнения диффузионного пограничного слоя.
(10.1). Там исходили из явного вида компонент скоростей жид-
кости vr и ов, которые далее были правильно линеаризованы,
вблизи поверхности капли (как и в данной монографии, удер-
живались два главных члена разложения при £—>0). Однако-
помимо компонент скоростей жидкости в левую часть уравне-
ния (10.1) в качестве множителя перед вторым слагаемым вхо-
дит еще переменная величина 1/г, которую также следовало
разложить вблизи поверхности капли 1/г«1—|. Это не было
сделано в работах [187, 189, 190] (там 1/г заменяли единицей)
и, в свою очередь, привело к указанной ранее неточности при:
записи коэффициента %г(Р) в конечном уравнении для локаль-
ного потока (10.8), (10.12), (10.17).
Следует обратить внимание на то, что предельные значения
полученных здесь и в цитируемой работе коэффициентов Хз(Р)
при р—>оо совпадают и равны 3/4. Это означает, что при боль-
ших числах Пекле (Ре—>оо) дифференциальное уравнение
(10.8), (10.12) асимптотически эквивалентно уравнению, выве-
денному в [187, 189, 190]; этот факт является следствием более-
общего замечания, сделанного в конце разд. 3.5. Указанное
265.
счастливое случайное обстоятельство говорит о том, что конеч-
ные выводы [189] приводят к достаточно хорошим практиче-
ским результатам.
Покажем теперь, как, используя данные для среднего числа
Шервуда [189], полученные при одном значении числа Пекле
Ре = 500 (0<р<оо) и соответствующие численному интегриро-
ванию приближенного уравнения (10.8), (10.12) с неправиль-
ными коэффициентами (10.17), можно построить аналогичную
зависимость уже для уточненного с помощью асимптотической
коррекции уравнения (10.7), (10.12) при любых (достаточно
больших) числах Пекле. Для этого, считая коэффициенты A.i(p),
Л.2(Р), Л1 и Лг произвольными, сделаем «растяжение» локаль-
ного диффузионного потока в дифференциальном уравнении
(10.7) по формуле
j = AJ, (10.18)
После элементарных преобразований получим
1 <1 ( . , ДРеМЙЛ! 1 , Ре Х2 (р) Л2 1 Д ,
sinO dQ fin A2 J + 4» J2]]--'
Постоянную А выбираем так, чтобы коэффициент при 1//
в квадратных скобках обращался в единицу. Это позволяет оп-
ределить постоянную растяжения (10.18)
А = [Ре (Р) AJi/a. (10.19)
и переписать уравнение для локального потока в более компакт-
ном и удобном для исследования виде:
1 г . / 1 В \i
sin 0 d0 |sln Д J + J2 Д “ J’
„ я = . Р^-<Р)У . (Ю.20)
|Ре 1, (Ц) Л,1» ’
Из уравнения (10.20) следует, то при двух совершенно раз-
ных наборах пяти независимых параметров Ре^1’, %i(1), %2(1), Ai(1),
Аг(1) и Ре<2>, V2), W2), Ai(2), Лг(2), удовлетворяющих одному един-
ственному условию B(O = B(2) (значение соответствует под-
становке во все величины, фигурирующие в определении коэф-
фициента В (10.20), индекса i сверху), в силу представления
(10.18), локальные диффузионные потоки, а следовательно и
средние числа Шервуда, пропорциональны = Sh<1>/Sh<2) =
=А(2)/А(|). Из сказанного с учетом явного вида коэффициентов
А и В (10.19), (10.20) получаем два соотношения для пересчета
среднего числа Шервуда:
' Ре<2) X/2) (Р) Л/2> I1/2
Ped) X/D (р) Л/1» J
Sh(2> =
Sh’1»,
Ре<2> У2» (Р) Л2<2> Ped) Х2(1> (Р) A/D
[Ре<2> Л,/2) (Р) Л/2>]3/2 “ [Pe<D X./D (р) Л/1’]3/2 '
Далее индексом i=2 будем обозначать искомые результаты,
соответствующие решению уравнения с улучшенными коэффи-
циентами (10.7), (10.16), в котором параметр Х2(р) заменен его
266
предельным значением Л2(оо)=3/4. Это удобно для сопоставле-
ния с результатами разд. 2.2, 3.5, где для среднего числа Шер-
вуда получены приближенные алгебраические соотношения;
кроме того, как уже неоднократно подчеркивалось ранее, нет
смысла учитывать зависимость коэффициента %2 от параметра р,
так как уравнения (10.7), (10.16) в обоих случаях —А,2([}) или
Л2(оо) — асимптотически эквивалентны при больших числах
Пекле (Ре—*-оо). Индекс i=l приписывается данным работы
[189], соответствующим численному интегрированию задачи
(10.8), (10.12), (10.17) при Ре(1) = 500.
В результате указанной процедуры для пересчета нормиро-
ванного среднего числа Шервуда Sh/Shp от параметра подобия
Q = Shoo/Shs получим:
Sh _ Sh(1> ShM _ З1/^2/3 (3 — 4Xi)Vs
shp ~ 10 У2Х[ ’ Shp ~ 51/3 21’/® "[/Х7 ’
= 2(Я-~’ (1°-21)
Здесь для наглядности индекс (2) у среднего числа Шерву-
да опущен, а вспомогательные средние числа Шервуда Shs и
Sh» даются выражениями (2.1) гл. 1.
В работе [189] построена зависимость ShO)=ShO> (Xi)
(0<Л1<0,5). Давая различные значения М и снимая по ним
согласно цитируемой работе величину Sh(1> по формулам (10.21)
можно получить искомую функциональную связь Sh/Shp=
= F(Shoo/Shp), которая изображена на рис. 8.7 штриховой
линией. Из рис. 8.7 видно, что результаты численного решения
дифференциального уравнения для локального диффузионного
потока очень хорошо согласуются с выведенным ранее более
простым способом кубическим уравнением для среднего числа
Шервуда (2.6) гл. 1 (сплошная линия), а также интегралом
(5.14) гл. 3; максимальное различие не превышает 8%.
При выводе приближенного уравнения (10.7), (10.16) была
использована известная информация о распределении локально-
го потока в предельных случаях капли умеренной вязкости и
твердой частицы [76]. Однако име-
ются еще некоторые дополнитель-
ные соображения, которые приведут
к дальнейшему улучшению свойств
исходного дифференциального урав-
нения (10.7). В разд. 2.3 и 3.5 было
показано, что при больших числах
Пекле во всем диапазоне изменения
отношения вязкостей капли и окру-
Рис. 8.7. Зависимость среднего числа Шер-
вуда от параметра подобия:
/ — по уравнениям (10.7), (10.16); 2 — по уравне-
нию (2.6) гл. 1
жающей жидкости (О^р^оо) локальный диффузионный поток
в передней критической точке капли определяется интегралом
(3.4) гл. 2. Это обстоятельство также можно учесть при выводе
приближенного уравнения для локального диффузионного пото-
ка. Покажем теперь каким образом это может быть сделано.
При построении приближенного решения задачи вместо пол-
ного уравнения (10.1) как и ранее будем использовать интег-
ральное тождество (10.6).
При выборе вида профиля концентрации с (%, 0; р, Ре) при-
мем во внимание известные точные решения задачи (10.1) в
предельных случаях р = О(1), р = оо, определяемые формулами
(10.15а), а также дополнительную информацию о локальном
диффузионном потоке при 0 = 0 (3.4) гл. 2.
Будем искать решение (10.6) в виде
1 г, / , Г £ 1,ЛЧ
c=T0Tr(v>v2[-6-] )’
6 = 6(0; Р, Ре), v = v(p, Ре), (10.22)
где функции б и v определятся в ходе решения задачи. Отметим,
что при выборе профиля концентрации в форме (10.22) учиты-
валась структура известных точных решений в предельных слу-
чаях капли умеренной вязкости и твердой сферы (10.15а). Сле-
дует подчеркнуть, что в отличие от общепринятого способа
применения интегрального метода профиль концентрации
(10.22) не является «закрепленным», а будет меняться в зави-
симости от величины параметров задачи р и Ре; указанной
перестройкой поля концентрации здесь управляет параметр
v=v(P, Ре).
Подставляя выражение (10.22) в тождество (10.6), получим
следующее уравнение для б:
{sin* 0 [v-2v Г (2v) X, (р) 6 +
(10.23)
При выводе (10.23) были использованы соотношения
f _________1 Г[у(*-|-2)] _
Л + 1 Г (v) - v2v <*+’> ’ * — 0,1,2...
о
Учитывая связь между локальным диффузионным потоком /
и толщиной пограничного слоя б; j=v2v-1[r(v)6]"'1, вытекаю-
щую из формулы (10.22), вместо (10.23) получим
Ре d (. . „[Г (2v) Xi (р) 1 , Г (Зу) Х2 (р) 1 р ,
sin0 d0 [sin уГ2 (у) / "Г у2Г8 (у) j2 JJ ’’
у = у(Р,Ре). (10.24)
268
Из условия ограниченности решения при 0—>0 из дифферен-
циального уравнения (10.24) получаем кубическое уравнение
для локального потока в передней критической точке капли:
/0» — 2Ре v-ir-2 (v) Г (2v) (р) /0 — 2Ре v-2r-« (v) Г (3v) Х2 (р) = 0. (10.25)
Кроме того, потребуем, чтобы решение приближенного урав-
нения (10.25) для локального диффузионного потока при 0 = 0
совпадало с точным решением (3.4) гл. 2, которое может быть
представлено в следующем виде
оо
/о = {I ехр |-Ре %, (Р) £2 - ре Х2 (р) 1. (10.26)
b
Соотношения (10.24) — (10.26) позволяют определить функ-
ции v(p, Ре), /(0; р, Ре) и, следовательно, найти приближенную
форму распределения концентрации (10.22) в пограничном слое
при любых значениях параметров р и Ре.
Построение приближенного решения сводится к отысканию
зависимости v=v(p, Ре) из трансцендентного уравнения, полу-
чающегося в результате подстановки (10.26) в (10.25), и далее
к определению функции j(Q; р, Ре) из обыкновенного диффе-
ренциального уравнения первого порядка (10.24) с граничным
условием (10.25). При численном интегрировании уравнения
(10.24) следует сначала получить двучленное разложение ло-
кального потока при малых углах 0,_аналогичное (10.11). Далее
положив в этом разложении 0=0 (0 — малая величина) нужно
вычислить значение j, которое и будет выставляться в качестве
граничного условия для уравнения (10.24): /=/ при 0=0.
Найденное приближенное решение дает точное значение ло-
кального диффузионного потока в передней критической точке
(10.26) и в предельных случаях при р = О(1) и р = оо совпадает
с точным решением (10.15а) для капли и твердой частицы со-
ответственно.
Используя результаты работы [189] аналогично тому как
это делалось ранее для уравнения (10.7), (10.16) нетрудно
получить зависимость среднего числа Шервуда от параметров £
и Ре, соответствующую решению уравнений (10.24) — (10.26).
Максимальное различие между средними числами Шервуда, ко-
торые определяются путем решения дифференциальных уравне-
ний (10.7), (10.16) и (10.24) — (10.26) составляет около одного
процента. Преимущество решения второго несколько более
сложного уравнения компенсируется возможностью найти весь-
ма правдоподобный профиль концентрации в виде (10.22).
В заключение укажем еще один путь получения приближен-
ного дифференциального уравнения для локального диффузион-
ного потока, учитывающий максимальное количество известной
аналитической информации о свойствах решения исходной крае-
269
вой задачи (10.1), (10.2). Для этого, используя интегральное
тождество (10.6), зададим профиль концентрации в виде
с =
сю
]'е«р
у/Ъ
2 1
-РеМ₽) V-~3-PeM0) В3
ОО S
( I 2 1
j ехр I-Ре К, (0) V - т Ре (0) I dt,
о
6 = 6(0; 0,Ре). (10.27)
Из сопоставления этого выражения с формулой (3.3) гл. 2
следует, что приближенное решение (10.27) правильно описы-
вает поле концентрации в предельных случаях капли умерен-
ной вязкости 0 = 0(1) и твердой частицы 0 = оо, а также допол-
нительно дает точный профиль концентрации на оси потока (при
0 = 0) во всем диапазоне изменения вязкостей фаз (О<0<оо)
и, следовательно, обеспечивает точное значение локального диф-
фузионного потока в передней критической точке.
Подстановка выражения (10.27) в интегральное тождество
(10.6) в конечном итоге также приводит к обыкновенному диф-
ференциальному уравцению первого порядка для /=/(0; 0, Ре),
где коэффициенты Ai и Лг вычисляются согласно (10.7) при
<р = с и будут в этом случае зависеть от обоих параметров 0
и Ре (как уже неоднократно указывалось ранее, число опреде-
ляющих параметров задачи можно свести к одному параметру
подобия Q). Есть основание полагать, что соответствующая за-
висимость среднего числа Шервуда от параметров задачи очень
слабо отличается от полученной ранее при численном интегри-
ровании уравнения (10.8), (10.16).
Отметим, что из трех перечисленных выше способов вывода
дифференциального уравнения для локального диффузионного
потока, обладающего некоторыми точными предельными свой-
ствами, наиболее простым является первый способ, приводящий
к уравнению (10.7), (10.16). В этом случае численные значения
коэффициентов Л1 и Лг вычисляются сразу (см. формулу 10.16))
и не зависят от параметров 0 и Ре; кроме того, нет необходи-
мости вообще знать профиль концентраций. Второй и третий
способы прежде всего основаны на удачном выборе профиля
концентраций в виде (10.22) и (10.27) соответственно; в этих
случаях коэффициенты уравнения (10.7) Л, и являются
функциями параметров 0 и Ре и определяются либо путем ре-
шения трансцендентного уравнения, либо путем вычисления до-
вольно громоздкого двойного интеграла (в последних двух слу-
чаях для получения зависимостей Лг=Л, (0, Ре) (i=l, 2) необ-
ходимо прибегать к использованию ЭВМ). Все три способа при-
водят к приблизительно одинаковому результату для среднего
числа Шервуда, которое хорошо аппроксимируется кубическим
уравнением (2.6) гл. 1 или интегралом (5.14) гл. 3.
270
8.11. МЕТОД «ПРОНОСА» ИНТЕГРАЛЬНЫХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
При решении линейных задач часто используются различные
интегральные преобразования искомой функции (преобразова-
ния Лапласа — Карлсона, Меллина, Бесселя и др. [55]), кото-
рые условно можно записать в виде
u = L*c, (11.1)
где с — искомая функция (прообраз); L — некоторый интеграль-
ный оператор; и — образ.
В частности, преобразование Лапласа — Карлсона определя-
ется так:
оо
и = р J ё~рх cdx, (Н.2)
о
где р— комплексный параметр.
В ряде случаев преобразование типа (11.1) с успехом мож-
но использовать и для приближенного анализа нелинейных
краевых задач, «пронося» преобразование под знак функции по
правилу [53, 102]
£»/(с) <=> f (L*c) (и), (11.3)
где f=f(c)—некоторая нелинейная функция аргумента с.
Область применимости приближенной операции (11.3) в
каждом конкретном случае следует устанавливать отдельно.
Следует отметить однако, что в нестационарных задачах, реше-
ние которых стабилизируется при т—>-оо, указаный подход при-
водит к правильному асимптотическому результату при больших
временах. Кроме того, этот метод обеспечивает выполнение
начального и граничных условий, а также дает точный резуль-
тат для линейных задач.
Проиллюстрируем теперь применение метода «проноса» ин-
тегральных преобразований на конкретных примерах, представ-
ляющих самостоятельный интерес. Как всегда, основное внима-
ние уделено выводу формул для диффузионных потоков.
Массоперенос при произвольной зависимости коэффициента
диффузии от концентрации. Рассмотрим нестационарную зада-
чу о массообмене стенки с неподвижной средой при произволь-
ной (нелинейной) зависимости коэффициента диффузии D от
концентрации С.
Распределение концентрации описывается нелинейным урав-
нением
дс д — дс
-dV^-dTD^~dT- (Ч-4)
271
при следующих начальном и граничных условиях:
т = 0, с = 0; х = 0, с=1; х-------► оо, с----► 0. (11.5)
Здесь безразмерные переменные выражаются через размерные
с помощью соотношений
Примем к уравнению (П.4), начальному и граничным усло-
виям (11.5) преобразование Лапласа — Карлсона (11.2). Внося
преобразование под знак функции D по правилу (11.3), имеем:
d — du
Pu--dTD^~d7’
и = 1; х-----> оо, и --> 0. (11.7)
обыкновенное дифференциальное уравнение
явно от х, понизим его порядок с помощью
(Н.6)
х = 0,
Учитывая, что
(11.6) не зависит
стандартной замены
du d d
dx I dx du
(П.8)
В результате получим
и —
PU=W~dU^D “’!•
(П.9)
Прямой проверкой нетрудно убедиться, что общее решение
этого уравнения имеет вид
и
2р I D (и) udu = [D (и) ш]2 + А,
(П.Ю)
о
где А — произвольная постоянная.
Из граничного условия на бесконечности (11.7) следует, что
w = du/dx—>0 при х—>оо. Поэтому переходя к пределу при
х—>оо в выражении (11.10), что соответствует значениям
u = w = 0, находим константу Л = 0.
Учитывая сказанное, перепишем (11.10) следующим образом:
du
и
I D (и) udu.
(11.11)
Выведем теперь формулу для_расчета безразмерного диффу-
зионного потока на стенку /=—D( 1) (<Эс/дх)ж=о- Для этого под-
ставим х=0 в обе части равенства (11.10), что в силу первого
граничного условия (11.7) соответствует значению и=1. Исполь-
зуя далее обратное преобразование Лапласа — Карлсона прихо-
272
дим к искомому приближенному выражению для потока
$D(c)cdc. (11.12)
Эта формула дает точный результат для постоянного коэф-
фициента диффузии. Оценим ее точность для некоторых зависи-
мостей коэффициента диффузии от концентрации. Рассмотрим
сначала нелинейную задачу (11.4), (11.5) при
75(c) = 1—с. (11.13)
Ее решение [93] приводит к следующему выражению для
диффузионного потока:
/^о.ззгт-1^, (п.14)
С другой стороны, подставляя (11.13) в формулу (11.12),
получим
/= 1/УЗлГхО,326/Ут. (11.15)
Из сопоставления зависимостей (11.14) и (11.15) следует,
что погрешность предложенного приближенного метода в дан-
ном случае составляет менее 2%.
Возьмем теперь экспоненциальную зависимость коэффици-
ента диффузии от концентрации
3(с) = ехр {Р (с—1)). (11.16)
Решение задачи (11.4), (11.5), (11.16), полученное числен-
ным методом, приведено в книге [153]. Там же для диффузи-
онного потока предложена формула
0,564 1
i= 1+0.177Р д/7 • (11.17)
которая хорошо «работает» в области— 1,5.<р<3,5.
Подставляя (11.16) в подынтегральное выражение (11.12),
имеем:
1 = (п-18)
На рис. 8.8 сопоставлены зави-
симости (11.18) и (11.17)—сплош-
ная и штриховая линии соответст-
венно. Видно, что максимальное от-
личие этих формул составляет
около 4%.
Рис. 8.8. Влияние параметра £ на диффу-
зионный поток для экспоненциальной зави-
симости коэффициента диффузии от кон-
центрации:
формуле (11.17) соответствует штриховая линия,
формуле (11,18) — сплошная
18—1391
273
Важно отметить, что к уравнению и граничным условиям
(11.4), (11.5) приводится внешняя задача (как стационарная,
так и нестационарная) о массообмене капель и пузырей с по-
током при больших числах Пекле в случае произвольной зави-
симости коэффициента диффузии от концентрации (см. разд. 7.3)
и работы [96, 98, 178]). Полученные выше результаты позволя-
ют вывести следующую 'приближенную формулу для расчета
среднего числа Шервуда на капли и пузыри:
(11.19)
Здесь Sh(Z>)—среднее число Шервуда при произвольной
зависимости коэффициента диффузии от концентрации D=D(c),
Sh(l)—среднее число Шервуда при постоянном коэффициенте
диффузии D= 1.
Нестационарный массоперенос, осложненный объемной хи-
мической реакцией. Рассмотрим теперь массообмен между стен-
кой и неподвижной средой, в объеме которой протекает химиче-
ская реакция со скоростью W70=K0F0(C). В безразмерных пере-
менных соответствующая нестационарная задача формулирует-
ся следующим образом:
дс д2с
~ kvf v (с)» (11.20)
т t= 0, с = 0; х = 0, с — 1; х ----------------> оо, с -----> 0;
С Dt a2KvFv(Cs) FV(C)
с~ Cs х~ а? > DCS ’ ‘v(c>- FV(CS) •
Для приближенного решения этой нелинейной задачи исполь-
зуем преобразование Лапласа — Карлсона (11.2). Пронося ин-
тегральный оператор под знак функции fv согласно правилу
(11.3), получим обыкновенное дифференциальное уравнение
= PU + ^vf V (U) >
x = 0, и ~ 1; x ------------> оо, и -------> 0. (11.22)
Введение новой переменной w по формуле (11.8) позволяет
понизить порядок уравнения (11.21). В результате приходим к
уравнению с разделяющимися переменными, интеграл которо-
го имеет вид
и
2 j* [ри + kvfv («)] du = t4i2,
о
du
w = —.
dx
(11.23)
При выводе этого выражения было учтено граничцое усло-
вие на бесконечности (11.22).
274
Используя (11.23) и граничное условие (11.22) при х=0, вы-
числим производную на поверхности стенки
р + 2^ j fv(u)du.
b
(11.24)
(11.25)
Применяя теперь обратное преобразование Лапласа — Карл-
сона к обеим частям формулы (11.24), находим диффузионный
поток /=—(dc/dx)x=0:
е~& - С
, = П7= +Vlerf (VF). £ = 2*Л
I/ лт j
о
Нетрудно проверить, что приближенная зависимость (11.25)
дает точный асимптотический результат при малых и больших
значениях безразмерного времени т. В двух других предельных
случаях (kv—>0 и kv—>оо) выражение (11.25) также приводит
к правильному ответу. Кроме того, для реакции первого поряд-
ка fv=c формула (11.25) является точной.
Нестационарная диффузия, осложненная поверхностной хи-
мической реакцией. Исследуем нелинейную задачу о нестацио-
нарном массообмене неподвижной жидкости со стенкой, на по-
верхности которой протекает гетерогенная химическая реакция
со скоростью WS = KSFS(C). Считается, что в начальный момент
времени концентрация в объеме жидкости была
равна С»,. Соответствующее уравнение, начальное
условия для концентрации записываются в виде
дс д2с
дх ~ дх2 ’
дс
т = 0, с = 0; х = 0, = — ksfs (с); х ►
постоянна и
и граничные
(11.26)
(11.27)
где безразмерные переменные введены следующим образом:
Dt X
т = х = — •
f
ts{C)~ FS(CX) •
c^-c
c — C »
° 00
aK,Fs (CJ
Rs ~ DCX
Применяя преобразование Лапласа — Карлсона (11.2), с уче-
том правила (11.3) приходим к обыкновенному дифференциаль-
ному уравнению с нелинейным граничным условием:
d2u
(11.28)
du
и ----> 0. (11.29)
ОО ,
18*
275
Общее решение уравнения с постоянными коэффициентами
(11.28), удовлетворяющее условию затухания на бесконечности
(11.29), дается формулой
и = us ехр ( — ~\/рх), (11.30)
где us — Us(p)—образ поверхностной концентрации, которую
требуется найти в ходе решения задачи.
Подставляя выражение (11.30) в граничное условие (11.29)
при х=0, получим нелинейное алгебраическое уравнение для
определения us:
’VpUs = ksfs(Us). (11.31)
Используя обратное преобразование Лапласа — Карлсона
[55], из (11.31) с учетом соответствия (11.3) f(ns)=>L*fs(cs) вы-
водим интегральное уравнение для поверхностной концентрации
d С cs (X) Л
dF) <1L32>
о
Это уравнение можно проинтегрировать численно по схеме
[30]. Диффузионный поток пересчитывают через поверхностную
концентрацию по формуле
/ = Vs(cs), (И.ЗЗ)
которая является следствием нелинейного граничного условия
(11.27) на поверхности стенки при х=0. .
Важно отметить, что нелинейное интегральное уравнение
(11.32), полученное с помощью приближенного метода, являет-
ся точным для произвольной зависимости fs = fs(c). Докажем это
утверждение.
Применяя преобразование Лапласа — Карлсона к линейно-
му уравнению (11.26) с учетом начального условия (11.27),
приходим к уравнению для образа (11.28). Решение этого урав-
нения, затухающее на бесконечности, дается формулой (11.30).
Отсюда для диффузионного потока имеем
(S’) =-VF«s. (Н.34)
\ ал jx=Q
Действуя обратным преобразованием Лапласа — Карлсона
на обе части этого равенства, найдем связь между производной
на стенке и поверхностной концентрацией:
cs(K)d\ (11.35)
V дх )х=0 dx J ут-%
о
Исключая теперь с помощью этого выражения величину
(дс/дх)х=о из нелинейного граничного условия на поверхности
стенки (11.27), получим уравнение (11.32), что и требовалось
доказать.
276
Глава 9
ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
С ПОМОЩЬЮ АСИМПТОТИЧЕСКИХ
КООРДИНАТ
Обычно экспериментальные данные рекомендуется обрабатывать, ис-
пользуя соответствующие безразмерные параметры [39, 40, 119]—такие,
как числа Рейнольдса, Пекле, Дамкеллера, Марангони и др. В данной главе
показано, что в целях общности конечные результаты экспериментальных
исследований во многих случаях более предпочтительно обрабатывать в
специальных асимптотических координатах (аналогичных тем, которые при-
менялись в гл. 1—4 для вывода и улучшения различных приближенных за-
висимостей)*. Этот простой способ обработки экспериментальных данных
часто позволяет выявлять универсальные зависимости, эффективно модели-
ровать и заранее прогнозировать качественно аналогичные явления и про-
цессы, протекающие в сходных условиях.
Рассмотрен ряд конкретных примеров применения предложенного спосо-
ба для анализа некоторых экспериментальных результатов в химической тех-
нологии и гидродинамике. Изложение ведется на основе результатов ра-
бот [7, 108].
9.1. МОДЕЛЬНЫЙ ПРИМЕР
Положим, что имеется некоторая искомая величина F, завися-
щая от двух (безразмерных) параметров р и q (O^.p,q<oo).
В условиях эксперимента будем задавать определенные значе-
ния параметра q=qi, qt, ... и измерять зависимость F от р
(т. е. в плоскости р, F для различных значений q построим се-
рию кривых). Пусть вид кривых в плоскости р, F носит качест-
венно аналогичный характер (см. далее, например, рис. 9.1а,
9.3а, 9.4а, 9.5—9.8).
Большинство исследователей анализируют эксперименталь-
ные данные непосредственно по кривым, изображенным в пло-
скости р, F: устанавливаются интервалы монотонности величи-
ны F от параметров р и q; производится сопоставление с дру-
гими теоретическими и экспериментальными данными и т. п.
Следует отметить, что в настоящее время известно мало работ,
в которых приводятся приближенные аналитические зависимо-
сти F=F(p, q), удовлетворительно описывающие эксперимен-
тальные результаты. Здесь имеется в виду, что зависимость
F=F(p, q) получена только из рассмотрения серии кривых в
плоскости р, F, без привлечения другой дополнительной инфор-
мации.
Такой поверхностный анализ, как правило, позволяет
вскрыть лишь самые простые (зачастую тривиальные) законо-
мерности исследуемого процесса или явления. При этом совер-
шенно без внимания остаются наиболее важные общие законо-
мерности, присущие целому классу качественно сходных явле-
* Эта глава может читаться независимо от других глав.
277
ний и процессов, которые могут быть установлены лишь при бо-
лее детальном исследовании экспериментальных результатов.
Данная глава посвящена изложению основных принципов та-
кого детального анализа и классификации типичных эксперимен-
тальных кривых простейшего вида, часто встречающихся в хи-
мической технологии, макрокинетике, гидродинамике, энергети-
ке и других областях науки и техники.
Рассматриваемый здесь способ исследования эксперимен-
тальных данных основан на подробном изучении качественного
поведения кривых в плоскости р, F в некоторых характерных
предельных случаях (обычно при р—>-0 и р—><х>). Такой ана-
лиз позволяет установить вид новых, «асимптотических», коор-
динат, с помощью которых следует провести обработку опыт-
ных данных. Использование асимптотических координат дает
возможность во многих случаях исследуемую сложную двумер-
ную экспериментальную поверхность F=F(p, q) в трехмерном
пространстве описать с помощью нескольких существенно более
простых плоских кривых.
Предлагаемый способ обладает рядом преимуществ по срав-
нению с традиционными методами обработки эксперименталь-
ных данных. Во-первых, представление искомой двумерной по-
верхности F=F(p, q) с помощью плоских кривых сразу позво-
ляет построить приближенную аналитическую формулу (это
связано с тем, что интерполяция плоских кривых не представ-
ляет трудностей и может быть осуществлена, например, с по-
мощью метода наименьших квадратов), с достаточной точ-
ностью описывающую экспериментальные результаты. (Отме-
тим, что простые приближенные формулы, как правило, более
удобны для интерпретации и практического использования,
чем таблицы и графики). Во-вторых, что еще более важно,
построенная в асимптотических координатах плоская кривая
часто носит универсальный характер и пригодна для описания
широкого класса качественно аналогичных процессов и явлений,
протекающих в сходных условиях. Например, ряд основных па-
раметров течения и тепло-массопереноса в круглых трубах и
трубах квадратного сечения после надлежащего пересчета в
асимптотических координатах будет ложиться на одну и ту же
экспериментальную кривую. Этот факт весьма полезно исполь-
зовать для моделирования и прогнозирования различных про-
цессов, прямое экспериментальное исследование которых связа-
но с большими материальными затратами или практически
трудноосуществимо.
Прежде чем перейти непосредственно к классификации наи-
более часто встречающихся экспериментальных кривых и опи-
санию соответствующих им «асимптотических» координат, по-
лезно рассмотреть следующий простейший пример, который на-
глядно позволяет пояснить все основные черты, присущие пред-
ложенной выше достаточно общей схеме обработки эксперимен-
тальных данных. Пусть в плоскости р, F имеется серия кривых,
278
Рис. 9.1. Простейшая схема обработки экспериментальных данных:
а —серия исходных кривых, состоящих из двух прямолинейных участков; б —зависи-
мость вспомогательных функций F0=F(Q, q) и Foo=/7(O°, q) от параметра q; в —кривая
в плоскости f, в которую перешла серия исходных кривых
состоящих из наклоненных под разными углами к оси р пря-
молинейных участков на интервале [0, р*] и состыкованных с
ними прямых линий, параллельных оси р при р.<р (рис. 9.1а).
(Отметим, что аналогичный вид имеют кривые псевдоожижения
полидисперсного катализатора окисления (см. [9], рис. III. 17,
с. 159), которые проходят через начало координат).
Построим сначала зависимость функции F от второго пара-
метра q для двух характерных значений параметра р (0 и р*).
В результате будут известны функции
<p = <p(<?)==F(O, <?), $==ty(q)=F (p*,q)t=F(co,q), (1.1)
схематически показанные на рис. 9.1 б.
Прямой проверкой- нетрудно убедиться, что если вместо
функции F ввести новую вспомогательную функцию f=f(p, q)
по формуле
f _ f _ F (Р> fi — F $ < 1
Г- ~F(p.,q)-F(O,q) ’
а вместо координаты p использовать нормированную перемен-
ную 1=р!р„ то все кривые на рис. 9.1а перейдут в одну-един-
ственную кривую, проходящую через точки (0,0) и (1,1), кото-
рая изображена на рис. 9.1 в.
Таким образом, показано, что в данном случае серию кри-
вых в плоскости р, F на рис. 9.1а удается описать с помощью
трех плоских кривых, приведенных на рис. 9.1 б, в.
По графикам рис. 9.16 нетрудно построить приближенную
аналитическую зависимость вспомогательных функций <р и ф
от параметра q. Это можно сделать совершенно по-разному
многими способами, лишь бы погрешность используемых для
этого аппроксимационных выражений не превышала погреш-
ность экспериментальных данных (конкретные примеры пост-
роения такого рода приближенных формул будут рассмотрены
далее в разд. 9.3). Отметим, что одним из основных критериев
качества приближенных зависимостей является простота и
компактность соответствующих им аналитических выражений.
279
Учитывая теперь, что функция f, согласно рис. 9.1 в, имеет
вид
( Р/Р, при
₽ I 1 при р„ sg р
• (1.3)
и используя связь (1.2) для исходной функции F, получаем сле-
дующее аналитическое выражение:
F( м = ( Ф (fl) + 1Ф (fl) — Ф (fl)] (Р/Р*) приО<р<р,
’ I Ф(fl) при р,<р.
Для дальнейшего важно подчеркнуть, что вспомогательные
функции, показанные на рис. 9.16 и в, играют совершенно раз-
личную роль в описании экспериментальной серии кривых на
рис. 9.1а. Наиболее важной характеристикой является зависи-
мость (1.3), изображенная на рис. 9.1 в. Действительно, вид
кривой на рис. 9.1 в полностью сохраняет структуру и характер-
ные особенности исходной серии кривых в плоскости р, F
(рис. 9.1а). Более того, она совершенно не меняется (иными
словами, остается инвариантной) при рассмотрении любых дру-
гих серий кривых, имеющих качественно сходный характер.
Поэтому плоская кривая на рис. 9.1 в обладает повышенной ин-
формативностью и имеет существенно более широкий диапазон
применимости, чем исходная экспериментальная серия кривых
на рис. 9.1а (в этом смысле уместно говорить об универсально-
сти кривой на рис. 9.1 в).
Вспомогательные функции ф и ф на рис. 9.16 играют роль
«граничных» условий для серии кривых на рис. 9.1а и будут
различными для других серий кривых, имеющих качественно
аналогичный характер (поэтому они не обладают универсаль-
ностью) .
Далее новые переменные вида (1.2) будем называть «асимп-
тотическими координатами». Такое название очень удобно, так
как оно напоминает о том, что эти переменные вводятся с по-
мощью предельных (т. е. асимптотических) значений исходной
величины F (в данном случае при р—М) и р—>-оо).
Рассмотрим еще одну, несколько более сложную, модельную
ситуацию (рис. 9.2). Здесь все экспериментальные кривые так-
же состоят из двух прямолинейных участков, однако граница
области, где функция F зави-
сит только от q и не зависит от
параметра р, криволинейна (на
рис. 9.1а эта граница пред-
ставляла собой прямую линию,
которая задавалась значением
Рис. 9.2. Серия экспериментальных
кривых, состоящих из двух прямоли-
нейных участков, точки пересечения
которых расположены сложным об-
разом
280
р=р*). Покажем, что эту серию кривых простым растяжением
по координате р можно привести к рассмотренному ранее более
простому случаю, показанному на рис. 9.1 а. Действительно, вве-
дем новую вспомогательную функцию со = а»(<7), которая строит-
ся следующим образом: при заданном значении параметра q
функция со определяется значением координаты р точки состы-
ковки прямолинейных участков на рис. 9.2.
Используя теперь вместо р новую координату
6 = Р/®(9), (1.4)
приходим к ситуации, изображенной на рис. 9.1а при р*=1,
которая была подробно проанализирована выше. Отметим, что
в данном случае серию экспериментальных кривых на рис. 9.2
удается описать с помощью четырех плоских кривых. Основные
свойства рассмотренных здесь модельных примеров во многих
случаях можно перенести и на более сложные серии эксперимен-
тальных данных, которые реально встречаются на практике.
9.2. ОПИСАНИЕ МЕТОДА (КЛАССИФИКАЦИЯ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ КРИВЫХ
ПРОСТЕЙШЕГО ВИДА)
Опишем теперь * некоторые типичные серии кривых, которые
часто возникают в экспериментальных работах.
Будем считать, что все кривые в плоскости р, F, соответст-
вующие различным значениям второго независимого парамет-
ра q, монотонно возрастают (или убывают) с ростом параметра
р (Оср, q<oo). Как и ранее, предполагается также, что эти
кривые имеют качественно аналогичную форму. Классификацию
такого рода экспериментальных кривых будем проводить на ос-
нове изучения предельного (асимптотического) поведения этих
кривых в плоскости р, F при больших и малых значениях па-
раметра р.
Случай 1. Рассмотрим сначала весьма распространенную
ситуацию, которая характеризуется условиями
lim F — Fo (q) оо и lim Р = Fx (q) =£ оо. (2.1)
р—>0 р-*оо
Вместо функций <р и ф (см. разд. 9.1) для наглядности здесь
использованы более удобные обозначения Fo и F<», подчерки-
вающие предельный характер этих вспомогательных функций.
Типичная серия экспериментальных кривых, удовлетворяю-
щая условиям (2.1) при dFidp^Q, изображена на рис. 9.3 а.
На рис. 9.36 показаны графики функций F0=F0(q) и F0O=F<X){q),
построенные по данным на рис. 9.3 а.
По аналогии с результатами, полученными ранее для мо-
дельного примера в разд. 9.1, вместо функции F введем здесь
новую вспомогательную функцию f=f(p, q) по формуле
f_ _ F(P,4)~F(0,q) „
Г~ Fn~F0 ~ P(~,q)-F(O,q) ‘ (2-2)
281
F F F'-lF-F^KF^-F,!
Рис. 9.3. Общая схема обработки экспериментальных данных:
а — серия исходных кривых, проходящих через начало координат; б — зависимость функ-
ций Го и F^ от параметра q; b — зависимость функции f, принимающей одинаковые зна-
чения при больших и малых значениях аргумента
На рис. 9.3 в показана зависимость величины f (2.2) от па-
раметров р и q. Видно, что функция f (2.2) для любых значе-
ний параметра q обладает следующими полезными свойствами:
f = 0 при р = 0; f = 1 при р е= оо.
Поэтому нередко оказывается, что кривые в плоскости р, f
(построенные по данным, представленным на рис. 9.3 а) доста-
точно плотно «прилегают» друг к другу (см. рис. 9.3 в). В таких
случаях для функции f удобно использовать приближенную за-
висимость, показанную штриховой линией на рис. 9.3 в. Други-
ми словами, здесь искомую сложную двумерную поверхность
F=F(p, q) в трехмерном пространстве удается описать всего
тремя плоскими кривыми, изображенными на рис. 9.36 и в.
Этот способ описания экспериментальных результатов приго-
ден для анализа серии кривых, которые выходят на асимптоту
примерно при одинаковом значении параметра р.
При более сложном выходе функции F на предельное зна-
чение при р—>оо сначала следует в плоскости р, F подходящим
образом растянуть переменную р с тем, чтобы осуществлялся
одновременный выход кривых на асимптоту (такой прием был
использован в разд. 9.1 при рассмотрении второго модельного
примера, изображенного на рис. 9.2). Таким образом, получим
более простой случай, рассмотренный выше.
Другой возможный способ обработки экспериментальных
данных заключается в следующем. После перехода к новой ко-
ординате (2.2) в плоскости р, f будем иметь ситуацию, показан-
ную на рис. 9.4а. Пусть Pi=x(qi) —координата точки пересече-
ния кривой с «номером» qt и прямой, параллельной оси р,
которая задается уравнением f=xlz. Значения этих координат
для различных qt (t=l, 2, ...) определяют функцию
xt=x(q), где f (х (<?),<?) ss 1/2,
показанную на рис. 9.46.
Введем теперь вместо р новую растянутую переменную
5 = р/*(<?) (2.3)
282
Рис. 9.4. Общая схема обработки экспериментальных данных (продолжение):
а — серия кривых, проходящих через начало координат и имеющих одинаковую асимпто-
ту при б — вспомогательная функция х=х(<7); в — зависимость функции f от растя-
нутой координаты £
и изобразим кривые, представленные на рис. 9.4 а, в плоскости
g, f (рис. 9.4в). Видно, что все экспериментальные кривые для
любых значений параметра q обладают предельными свойства-
ми f=0 при |=0 и f—>-1 при £—>-оо. Кроме того, они проходят
через одну и ту же точку с координатами £=1, f = */г-
Последнее важное обстоятельство (которое не имело места для
кривых в плоскости р, f) обычно приводит к тому, что экспери-
ментальные кривые в плоскости g, f достаточно плотно «прижа-
ты» друг к другу и могут быть приближенно заменены единст-
венной линией (показана штриховой линией на рис. 9.4в).
Из результатов разд. 9.1 следует, что любое ограниченное по
F семейство слабо деформированных кривых в плоскости р, F
указанным методом преобразуется в серию кривых, занимаю-
щих узкую область в плоскости р, f (или g, f) и, следовательно,
хорошо аппроксимируется одной плоской кривой.
Отметим, что приближенную зависимость на рис. 9.3 в в ря-
де случаев с достаточной точностью удается описать следующи-
ми простыми формулами:
f = рп/(а + рп) или /=1—ехр(—Ьрт), (2.4)
где параметры а, Ь, п, т вычисляются по экспериментальным
данным. Следует иметь в виду также, что уравнение кривой на
рис. 9.3 в иногда более удобно записать в виде неявного выра-
жения
р = а//(1-—/)", (2.5)
где а, п — подходящие числовые параметры.
Для приближенного описания функции f можно использо-
вать также более сложные трехпараметрические выражения,
которые получаются возведением в некоторую степень I правых
частей формул (2.4), (2.5).
Покажем теперь, как можно проанализировать некоторые
экспериментальные кривые другого типа путем сведения их с
помощью простых преобразований к случаю 1.
283
Случай 2. Рассмотрим теперь серию экспериментальных кри-
вых, удовлетворяющих условиям
lim F = Fo (<?) Ф оо и limF=oo (Fa=£ty. (2.6)
р—>0 р—>оо
Типичное поведение соответствующих кривых в плоскости р,
F показано на рис. 9.5 а. Данная ситуация наиболее просто ана-
лизируется путем использования вместо F новой переменной
Ot=l/F, (2.7)
что позволяет свести ее к изученному ранее первому случаю
При Фоо = 0.
Случай 3. Пусть справедливы условия
lim F = оо и lim F с= Fm (q) оо. (2.8)
р—*0 р—*со
Типичная серия экспериментальных кривых, обладающих свой-
ствами (2.8), показана на рис. 9.56.
Используя вместо функции F новую переменную Ф=1/Р,
вновь приходим к рассмотренному выше первому случаю при
Фо=0.
Случай 4. Исследуем теперь ситуацию, которая показана на
рис. 9.5 а и реализуется при условиях
limF=oo и lim/? = O. (2.9)
р—*0 р—>оо
Введение вместо F новой вспомогательной функции G по
формуле
G^l/fF + l) (2.10)
дает возможность свести эту ситуацию к случаю 1.
Случай 5. При выполнении условий
lim F = 0 и lim F — оо (2.11)
р-*0 р—>оо
имеем серию кривых, изображенных на рис. 9.5 г.
Использование вместо F новой переменной
H = F/(F+1) (2.12)
позволяет вновь прийти к изученному ранее случаю 1.
Существуют и другие более сложные ситуации, которые мо-
гут быть рассмотрены аналогичным образом (зависимость F
от параметров р и q не обязательно должна быть монотонной).
В частности, нетрудно показать, что предложенный метод всег-
да позволяет выявить автомодельный характер эксперименталь-
ных результатов (если, конечно, он имеет место). Более того,
с его помощью полностью описывается также и следующая бо-
лее общая функциональная зависимость вида
F(р, <?) = «(<?) + ₽(<?)/ ("iV)’ (2,13)
где а, 0, х, f — произвольные функции.
284
Используя изложенный выше метод исследования, присту-
пим теперь к анализу некоторых конкретных эксперименталь-
ных данных в химической технологии и гидродинамике.
9.3. ПРИМЕРЫ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ
ДАННЫХ (ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ,
ПСЕВДООЖИЖЕННЫЙ СЛОЙ)
Электрохимический метод измерения турбулентности в жидко-
стях. В работах [126, 171] описан электрохимический метод, ко-
торый использовался для измерения флуктуаций скорости и
концентрации в турбулентном потоке жидкости.
В качестве рабочего элемента применялся никелевый элект-
род, на поверхности которого происходят химические реакции.
Прикладывание напряжения способно уменьшать концентра-
цию реагирующих компонентов на поверхности электрода до
нуля. Такой электрод может интерпретироваться как аналог
термоанемометра, работающего в режиме постоянной темпера-
туры (в том смысле, что концентрация на поверхности электро-
да поддерживается постоянной, а ток в цепи зависит от интен-
сивности массообмена).
На рис. 9.6 а показана зависимость изменения тока / от на-
пряжения В при различных значениях Re [126, 171].
С помощью известных формул [126] можно рассчитать ко-
эффициент массообмена между иоцами ферроцианида в раство-
ре и на катоде. Это, в свою очередь, дает возможность опреде-
лить среднюю и пульсационную составляющие градиента
скорости турбулентного потока (указанные характеристики те-
чения связаны линей-
ными соотношениями с F
коэффициентом массо-
обмена).
Все кривые на рис.
9.6 а выходят из начала
координат, т. е. вы-
полняется условие
/о=7о (Re, 0) =0. По-
этому в соответствии с
результатами разд. 9.2
для более удобной ин- F
а
Рис. 9.5. Серии экспери-
ментальных кривых:
а — становятся неограниченными
при б— становятся неог-
раниченными при р->0; в—стре-
мятся к нулю при и стре-
мятся к бесконечности при р~>0;
s —стремятся к нулю при р-*0
и к бесконечности — при р->оо
286
терпретации полученных экспериментальных результатов в ка-
честве новой переменной следует использовать отношение ///□<> =
= Z(Re, B)/Z(Re, оо),
На рис. 9.66 показана зависимость величины ///«> от пара-
метра В при различных значениях Re. Видно, что все экспери-
ментальные данные (см. рис. 9.6 а) хорошо описываются одной-
единственной универсальной зависимостью. Из рис. 9.6 в сле-
дует, что предельное значение тока насыщения /оо линейным об-
разом зависит от числа Рейнольдса.
Таким образом, все опытные данные [126, 171] полностью
описываются двумя плоскими кривыми, изображенными на
рис. 9.66, в.
Приближенное аналитическое выражение для нормирован-
ного тока насыщения строим на основе первой формулы (2.4)
при п=3/2. В результате получим зависимость
1 (В/ВЛ3/3
= . У *> Где в - 0,003b. 3.1)
/ю 1 4- (В/В*)3!3 * v ’
Прямая на рис. 9.6 в описывается выражением
= a Re + р, где а = 0,007 мА, р = 70 мА. (3.2)
Формулы (3.1) и (3.2) являются аналитическим представ-
лением экспериментальных результатов на рис. 9.6 а.
Массообмен частиц в псевдоожиженном слое. В работе
[183] экспериментально исследовался процесс массопереноса
от свободнодвижущейся частицы нафталина диаметра
(2<dp<20 мм) в псевдоожиженном слое, состоящем из стек-
лянных сфер с диаметром dn (100<dn<700 мм). Псевдоожиже-
ние осуществлялось потоком нагретого воздуха при температуре
65 °C. Коэффициент массопереноса определялся по изменению
массы нафталиновой частицы как функции двух характерных
размеров; dn и dp. При этом скорость потока воздуха в два ра-
за превышала минимальную скорость псевдоожижения.
Рис. 9.6. Зависимость тока I от напряжения В при различных числах Рей-
нольдса:
а — исходная серия экспериментальных кривых; б — зависимость нормированного тока
///оо от напряжения В; в — зависимость тока насыщения от числа Рейнольдса
286
Ряс. 9.7. Зависимость коэффициента массопереноса k от диаметров шариков
псевдоожиженного слоя dn и частицы нафталина dp:
а —исходная серия экспериментальных кривых; б — зависимость нормированной обрат-
ней величины коэффициента массопереноса от dp и dn
Этот эксперимент имеет большое практическое значение в
связи с моделированием процесса сгорания частиц угля в реак-
торах.
На рис. 9.7 а показана зависимость измеренного коэффици-
ента массопереноса k от диаметра частицы нафталина dp при
различных размерах частиц псевдоожиженного слоя dn.
Кривые на рис. 9.7 а при стремлении параметра dp к нулю
становятся неограниченными. Поэтому в данном случае перей-
дя от функции k—k(dp, dn) к функции ®=k<x,(dp, dn)/k(dp, dn),
опять приходим к случаю, описанному в разд. 9.2 (см. рис. 9.6).
На рис. 9.76 показана зависимость функции Ф от размеров
частиц нафталина и твердой фазы псевдоожиженного слоя, ко-
торая построена по данным рис. 9.7 а. Нетрудно убедиться, что
для всех значений параметра dn все экспериментальные точки
хорошо ложатся на одну кривую (выделена сплошной линией).
Изменение нормированного коэффициента массопереноса в
зависимости от диаметра частицы (см. рис. 9.76) точностью до
5% может быть описано второй формулой (2.4):
Ф =
fepp (4р, rfn)
(^Р> <^п)
= 1 — ехр
где = 2 мм.
(3.3)
Гидравлическое сопротивление шероховатых труб. Известно
[73], что гидравлическое сопротивление шероховатых труб
оказывается таким же, как и у гладких труб до тех пор, пока
толщина вязкого подслоя 6 больше высоты выступов шерохо-
ватости h. После того как выступы шероховатости попадают в
турбулентную область потока, около них начинается вихреоб-
разование, и вязкое трение перестает заметно влиять на про-
филь скоростей течения в основной массе жидкости. При дос-
287
Рис. 9.8. Зависимость коэффициента сопротивления технических стальных
труб £ от числа Рейнольдса при различных значениях параметра б/А:
а — исходная серия экспериментальных кривых; б — график вспомогательной функции
со=<о(д/Я); в — зависимость нормированной обратной величины коэффициента сопротив-
ления от растянутой координаты x=Re/co
таточно значительных числах Рейнольдса Re в шероховатых
трубах имеет место независимость коэффициента сопротивле-
ния от этого критерия.
В эксплуатационных условиях шероховатость труб весьма
неоднородна, вследствие чего переход к области, в которой £
не зависит от Re, осуществляется постепенно.
На рис. 9.8 а показана зависимость коэффициента сопротив-
ления технических стальных труб | от числа Re при различных
значениях отношения б/Л, приведенная в работе [73].
На рис. 9.85 изображена вспомогательная функция
(о = (о(б/й), которая строилась следующим образом. При задан-
ном значении параметра б/h функция <в определяется значением
Re — координаты точек перехода кривых на рис. 9.8 а к прямо-
линейному участку (штриховая линия на рис. 9.8 а).
Используя процедуру, описанную в разд. 9.1 и 9.2, введем
новую координату по формуле (1.4) x = Re/o)(6//i). На рис. 9.8 в
построена зависимость обратной величины коэффициента гид-
родинамического сопротивления £<»/£ от х. Видно, что для лю-
бых значений параметров б, ft, Re и £ опытные данные с высо-
кой степенью точности «ложатся» на одну кривую в плоскости
(X, «)•
Представленные на рис. 9.86, в две плоские кривые дают
полное описание представленных в [73] экспериментальных ре-
зультатов. Здесь и далее в целях экономии места для плоских
кривых не приводятся соответствующие им приближенные ана-
литические выражения, которые могут быть построены, напри-
мер, с помощью надлежащего выбора параметров в формулах
(2.4)-(2.6).
Распределение частиц и смешение в центробежном псевдо-
ожиженном слое. В работе [167] приводились результаты экс-
периментальных исследований псевдоожиженного слоя, состоя-
щего из стеклянных частиц. Экспериментальная установка со-
288
Рис. 9.9. Зависимость концентрации с от времени t при различных значениях
минимальной скорости псевдоожижения vm:
а — исходная серия экспериментальных кривых; б — зависимость нормированной кон-
центрации от параметра t/x(vm)
стояла из цилиндрического сосуда, вращающегося вокруг своей
вертикальной оси, дно которого покрывалось на 80% белыми
стеклянными частицами и на 20% красными. Диаметр частиц
составлял 0,44 мм. Заданное в начальный момент времени рас-
пределение частиц осуществлялось с помощью картонных пере-
городок, убирающихся после достижения вращающимся сосу-
дом заданной угловой скорости вращения <в. Через дно сосуда
подавался воздушный поток с различными скоростями. Изме-
рение весовой концентрации частиц различного цвета около
стенок сосуда проводилось с помощью взвешивания частиц, по-
павших в стандартные ловушки, находящиеся в верхней крыш-
ке цилиндра.
Зависимости концентрации с от времени t при различных
значениях минимальной скорости псевдоожижения vm приведе-
ны на рис. 9.9 а. Как видно из представленных графиков, выход
кривых на предельное значение (Соо=0,20) при £->оо осу-
ществляется достаточно сложно (см. также рис. 9.4 а). В дан-
ном случае произведем растяжку переменной t с помощью ме-
тода, описанного в разд. 9.2 (случай 3). Проведем прямую, па-
раллельную оси t, которая задается уравнением с = Соо/2 = 0,1,
и пусть ti — координаты точек пересечения кривых c=c(t, vm)
с этой прямой. Значения этих координат для различных vm оп-
ределяют функцию x=x(vm), которая здесь не показана.
Введем теперь растянутую переменную 4=t/x(vm) и изобра-
зим экспериментальные кривые, представленные на рис. 9.9 а
в координатах f — Coo/c и у (рис. 9.96). По построению для
функции f будут выполняться соотношения f(0)=0, f(l) = l/2,
f(oo) = l. Видно, что все экспериментальные данные для любых
значений параметра vm достаточно «плотно» прижаты друг к
другу и приближенно могут быть заменены одной-единственной
сплошной линией на рис. 9.96.
Гидродинамические характеристики трехфазного псевдоожи-
женного слоя. Эксперименты по изучению гидродинамических
19—1391
289
Рис. 9.10. Зависимость минимальной скорости псевдоожижения vm от вяз-
кости жидкости и скорости газа vg:
а — экспериментальные данные в плоскости Ц, vm; б — зависимость вспомогательной
функции (3.4) от параметров ц и vg
с плот-
1), вве-
(3.4)
характеристик трехфазного псевдоожиженного слоя (газ —
жидкость — твердая фаза) были описаны в работе [141]. Цель
работы состояла в исследовании зависимости минимальной ско-
рости псевдоожижения vm от скорости газа vg, плотности р и
размера частиц твердой фазы d, а также от вязкости жидко-
сти ц. (Для измерения локальных концентраций твердой, жид-
кой и газообразной фаз использовали метод электропровод-
ности) .
На рис. 9.10 а показан пример полученных зависимостей
минимальной скорости псевдоожижения vm от вязкости жидко-
сти ц, и скорости газа vg, при фиксированных значениях рис?.
Эксперименты проводились со стеклянными частицами
ностью р=2,24 г/см3 и диаметром 4,6 мм.
Согласно процедуре, описанной в разд. 9.2 (случай
дем новую вспомогательную функцию f по формуле
. . Vm (Vg, и)
1 vm(0, |х) »
при записи которой учтено, что vm(oo, р.) =0.
На рис. 9.106 показана зависимость величины f от парамет-
ров vg и р. Видно, что и в этом случае все экспериментальные
данные удается описать одной кривой.
Использование фотохромных соединений в эксперименталь-
ной гидродинамике. В последнее время успешно используется
метод визуализации гидродинамических течений, основанный на
применении фотохромных соединений. С помощью направлен-
ного излучения определенной длины волны в растворах полу-
чают окрашенные треки, протяженность которых зависит от
типа фотохромного соединения, его концентрации, интенсивно-
сти активирующего излучения и других параметров. Регистра-
ция положений трека в последовательные моменты времени
дает возможность изучать структуру потока жидкости и обте-
кание тел различной формы [6, 11].
290
В работе [6] исследовалась зависимость длины окрашенной
трассы / от энергии Е импульсного лазерного излучения и кон-
центрации с фотохромного вещества в растворе. Эксперименты
проводились в кварцевой кювете с водным раствором спиропи-
рана 11, на который воздействовали сфокусированным импуль-
сным лазерным излучением с длиной волны Х=3473 А. Получен-
ные окрашенные трассы в жидкости фиксировались с помощью
фотоаппарата.
На рис. 9.11а представлена экспериментальная зависимость
длины трассы I от энергии активирующего излучения Е для
четырех различных концентраций спиропирана с=6-10-4,
12-10~4, 18-10-4, 24-10-4 %, которые определялись отноше-
нием массы фотохромного вещества к массе растворителя. Ис-
пользуемый оптический квантовый генератор позволял получать
одиночные импульсы с энергией 0,01 <£<0,04 Дж. Для уве-
личения длины окрашенной трассы применялось многоимпуль-
Рис. 9.11. Зависимость длины окрашенной трассы I от энергии активирую-
щего излучения Е при различных концентрациях ФХВ:
« — исходная серия экспериментальных кривых; б — зависимость нормированной длины
Z//TO от в — зависимость предельной длины трека от концентрации с
19*
291
сное воздействие на раствор с максимально возможной величи-
ной энергии. При этом количество импульсов в одной серии
менялось от двух до шести. Время между отдельными импуль-
сами в одной серии составляло КУ^-г-Ю-0 с. На рис. 9.11а, б
значения £=0,08, 0,12, 0,16 Дж соответствуют двух-, трех- и че-
тырехимпульсной активации жидкости.
Из приведенных зависимостей следует, что увеличение энер-
гии активации до значений больших 0,12 Дж не приводит к за-
метному росту длины трассы I и для каждого значения кон-
центрации с с увеличением Е длина окрашенной трассы I стре-
мится к некоторому предельному значению /«>. (За /«> принима-
лась величина I при £=0,24 Дж, что соответствовало шестиим-
пульсному воздействию на раствор). Поэтому при обработке
экспериментальных данных целесообразно перейти к безраз-
мерной длине трека ///«>.
На рис. 9.116 сплошной линией показана зависимость 1/1м
от £, построенная по данным, представленным рис. 9.11 а. Видно,
что независимо от концентрации с все экспериментальные точки
хорошо укладываются на одну универсальную кривую. Штрихо-
вая линия соответствует результатам расчета по формуле
1/1п =1— (£*/£), где £*=0,01 Дж, (3.5)
которая хорошо описывает экспериментальные данные.
На рис. 9.11 в изображена полученная с помощью рис. 9.11 а
экспериментальная зависимость величины 1//то от концентра-
ции с. Все опытные точки располагаются вблизи прямой линии,
уравнение которой можно записать в виде
1/1ю=ас4-Р, где а=10мм-1, 0 = 0,005 мм-1. (3.6)
Таким образом, при использовании в гидродинамических
экспериментах метода фотохромной визуализации для водных
растворов спиропирана 11 концентрацией 5- 10~4<с<30-10-4%
длину окрашенной метки можно вычислять по формулам (3.5),
(3.6). Следует ожидать, что выражения (3.5), (3.6) с иными
значениями постоянных £*, а и 0 окажутся пригодными также
для расчета длины окрашенной трассы в растворах других фо-
тохромных веществ с различными растворителями.
Термокапиллярное движение жидкости. Известно, что нали-
чие градиента температуры на поверхности жидкости приводит
к появлению градиента сил поверхностного натяжения и дви-
жению жидкости под действием этих сил (эффект Марангони).
В работе [5] приведены данные о термокапиллярном движении
жидкости, которое вызвано локальным нагревом межфазной по-
верхности с помощью импульса ультрафиолетового излучения.
В экспериментах со спиртовыми фотохромными растворами
было отмечено, что в зоне прохождения инициирующего окрас-
ку излучения через жидкость на ее поверхности наблюдается
интенсивное радиальное движение. Это явление обусловлено
тем, что при достаточно мощном облучении образуется прости-
292
Рис. 9.12. Зависимость радиуса окрашенного пятна Я от времени t:
а —исходная серия экспериментальных кривых; б — зависимость от высоты слоя
жидкости //; в — зависимость RIR^ от /; г — зависимость RIR^ от t при различных
значениях Е
рающийся от поверхности раздела фаз столб нагретой и окра-
шенной жидкости. Появление градиента температуры вызывает
радиальное от оси луча движение верхнего слоя жидкости,
а окраска активированного раствора позволяет регистрировать
это движение.
При постановке экспериментов были получены фотографии
расплывания окрашенного пятна на свободной поверхности
раствора в круглой кювете в последовательные моменты вре-
мени. Варьировались высота слоя жидкости Н, концентрация
фотохромного вещества с и энергия импульсного лазерного из-
лучения Е.
На рис. 9.12 а показана зависимость радиуса внешней грани-
цы окрашенного пятна R от времени t при с=0,2 г/л и Е—
= 0,08 Дж. Кривые 1—5 соответствуют высоте слоя жидкости Н,
равной 0,5; 1; 2; 3; 4 мм (пятно инициировалось в центре круг-
лой кюветы радиусом 50 мм). Видно, что при /->оо сущест-
вует конечное предельное значение для радиуса R, зависящее
от высоты Н. Следует отметить, что влияние дна кюветы на
движение поверхностного слоя жидкости при Я>4 мм практи-
чески не сказывается (т. е. соответствующие кривые при
Н>4 мм фактически сливаются).
Перейдя к безразмерной величине /?//?«, где за прини-
мались значения R в момент времени /=1 с, получим зави-
293
симость, показанную на рис. 9.12 в. Видно, что при любой высо-
те столба жидкости Н все опытные данные хорошо ложатся на
одну кривую (сплошная линия на рис. 9.12 в). На рис. 9.12 6
изображен график функции 7?«>eiRoo(/7), построенный с по-
мощью рис. 9.12 а.
Важно подчеркнуть, что измерения радиуса окрашенного
пятна R в спиртовом растворе проводились при различных зна-
чениях концентрации с и энергии Е. Независимо от этих пара-
метров все экспериментальные данные, обработанные в пере-
менных E/Roc и t, хорошо описываются одной универсальной кри-
вой, представленной на рис. 9.12 г. (Напомним, что величина 7?»
меняется при различных значениях И и Е).
Структура фронта ударной волны в различных газах. В кни-
ге [23] на с. 441—445 приведены экспериментальные данные по
изучению структуры фронта ударной волны в двенадцати га-
зах (аргон, азот, кислород, метан и т. д.). Методика исследова-
ния состояла в измерении оптической отражательной способно-
сти фронта ударной волны в зависимости от интенсивности вол-
ны М и от параметра a=pA/(pocos0), где к — длина волны
света; 0 — угол падения; pi—начальная плотность; р0 — плот-
ность при нормальных условиях (1 ат, 296 К).
Обработка экспериментальных данных [23] путем введения
вспомогательной функции f по формуле (2.2) показала, что для
каждого газа при фиксированных значениях а независимо от
интенсивности волны М максимальное отклонение величины f
от среднеарифметического значения не превышает 15%.
Гидравлическое сопротивление барботажного слоя. Экспери-
ментально установлено (данные В. М. Щедро), что в испыта-
ниях на системе воздух — вода гидравлическое сопротивление
модифицированной провальной тарелки зависит от трех пере-
менных: скоростей жидкости и газа и свободного сечения тарел-
ки. При выбранной геометрии тарелки серия эксперименталь-
ных кривых зависимости гидравлического сопротивления от
скорости газа расслаивается по значениям скорости жидкости
и имеет одинаковые предельные свойства. Схема обработки
опытов (см. рис. 9.4) позволяет свести эту серию кривых к
двум — вспомогательной зависимости характерной скорости
газа от скорости жидкости (рис. 9.4 6) и зависимости гидрав-
лического сопротивления от растянутой координаты (рис.9.4в).
Аналогичным приемом можно получить универсальную зави-
симость гидравлического сопротивления от свободного сечения
тарелок.
Замечание. Описанный в разд. 9.1 и 9.2 метод обработки эксперимен-
тальных данных в «асимптотических координатах» может быть полезен при
моделировании различных качественно схожих явлений и процессов. Хоро-
шим подтверждением сказанного может служить рис. 8.6 в книге [126], где
наблюдается слабый разброс экспериментальных и теоретических значений
нормированного напряжения трения для турбулентных течений в круговой
и плоской струе, а также осесимметричном следе.
ОСНОВНЫЕ УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
а — характерный размер частицы (для сферической частицы
и кругового цилиндра в качестве характерного размера
выбирается радиус);
С — концентрация;
Cs — концентрация у поверхности частицы;
Соо — концентрация вдали от частицы;
D — коэффициент диффузии;
Ks — константа скорости поверхностной химической реакции:
Kv — константа скорости объемной химической реакции;
ks=aKsCoon-i/D — безразмерная константа скорости поверхностной химиче-
ской реакции порядка п\
kv—a2KvCsn^/D — безразмерная константа скорости объемной химической
реакции порядка п;
Nu —среднее число Нуссельта;
/г —порядок поверхностной или объемной химической реак-
ции;
Pt=aU/D — число Пекле;
Re=at7/v — число Рейнольдса (v — кинематическая вязкость жидко-
сти) ;
Sc=v/D — число Шмидта;
Sh — среднее число Шервуда;
t — время;
U — характерная скорость потока;
17<ю — скорость поступательного потока (вдали от частицы);
Р — отношение динамических вязкостей капли и окружающей
жидкости;
6 — толщина (безразмерная) диффузионного или гидродина-
мического пограничного слоя
т — безразмерное время (в задачах массопереноса принима-
ют %=Dtja2)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Абрамзон Б. М., Фшибейн Г. А. Некоторые задачи конвективной диффу-
зии к сферической частице при Ре<1000//Инж.-физ. журн. 1977. Т. 32,
№ 6. С. 1053—1058.
2. Абрамзон Б. М., Ривкинд В. Я-, Фшибейн Г. А. Нестационарный массооб-
мен с гетерогенной химической реакцией при ламинарном обтекании сфе-
ры.//Инж.-физ. журн. 1976. Т. 30, № 1. С. 73—-79.
3. Аксельруд Г. А., Молчанов А. Д. Растворение твердых веществ. М.: Хи-
мия, 1977. 272 с.
4. Александров И. А. Массопередача при ректификации и абсорбции мно-
гокомпонентных смесей. Л.: Химия, 1975. 320 с.
5. Альварес-Суарес В. А., Рязанцев Ю. С. О термокапиллярном движении,
вызванном локальным нагревом жидкости импульсом ультрафиолетового
излучения.//Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. 1986. № 6. С. 165—
168.
6. Альварес-Суарес В. А., Полянин А, Д., Рязанцев Ю. С. Исследование за-
кономерностей окрашивания фотохромных растворов, используемых в экс-
периментальной гидродинамике.//Прикл. мех. и техн, физика. 1987. № 1.
С. 12—15.
7. Альварес-Суарес В. А., Дильман В. В., Полянин А. Д., Рязанцев Ю. С.
Об одном новом способе обработки экспериментальных данных.//Докл.
АН СССР. 1986. Т. 290, № 3. С. 669—672.
8. Астарита Дж. Массопередача с химической реакцией. Л.: Химия, 1971.
224 с.
9. Аэров М. Э., Тодес О. М. Гидравлические и тепловые основы работы ап-
паратов со стационарным и кипящим зернистым слоем. Л.: Химия, 1968.
512 с.
10. Бабенко Ю. И. Тепломассообмен. Метод расчета тепловых и диффузион-
ных потоков. Л.: Химия, 1976. 144 с.
11. Барачевский В. А., Манджиков В. Ф., Рязанцев Ю. С. и др. Фотохромный
метод визуализации гидродинамических потоков.//Прикл. мех. и тех. фи-
зика. 1984. № 5. С. 73—76.
12. Баренблатт Г. И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптоти-
ка. Л.: Гидрометеоиздат, 1982. 256 с.
13. Бартман А. Б., Перельман Т. Л. Новый асимптотический метод в анали-
тической теории переноса. Минск: Наука и техника, 1975. 120 с.
14. Беляев Н. М., Рядно А. А. Методы теории теплопроводности. М.: Высшая
школа, 1982. Ч. I — 328 с.; ч. II — 300 с.
15. Бесков В. С., Абаев Г. Н. Аэродинамика промышленных реакторов с не-
подвижным слоем катализатора.//Хим. пром. 1982. № 8. С. 33—35.
16. Брагинский Л. Н., Бегачев В. И., Барабаш В. М. Перемешивание в жид-
ких средах. Л.: Химия, 1984. 336 с.
17. Брандт Б. Б., Дильман В. В. Приближенный метод расчета процессов пе-
реноса в ламинарном пограничном слое//ТОХТ. 1969. Т. 3, № 3. С. 339—
343.
18. Бретшнайдер С. Свойства газов и жидкостей (инженерные методы расче-
та). Л.: Химия, 1966. 536 с.
19. Броунштейн Б. И., Ривкинд В. Я. Внутренняя задача массо- и теплообме-
на с замкнутыми линиями тока при больших числах Пекле//Докл. АН
СССР. 1981. Т. 260, № 6. С. 1323—1326.
20. Броунштейн Б. И., Фишбейн Г. А. Гидродинамика, массо- и теплообмен
в дисперсных системах. Л.: Химия, 1977. 280 с.
21. Бутковский А. Г. Характеристики систем с распределенными параметра-
ми. М.: Наука, 1979. 224 с.
22. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967.
312 с.
23. Газодинамика и теплообмен при наличии химических реакций: Сб. ста-
тей/Пер. с англ, под ред. В. П. Мотулевича, В. П. Ионова. М.: Иностр,
литер., 1962. 552 с.
296
24. Гельперин Н. И., Пебалк В. Л., Костанян А. Е. Структура потоков и эф-
фективность колонных аппаратов химической промышленности. М.: Химия,
1977. 262 с.
25. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука, 1973. 400 с.
26. Головин А. М„ Живот ягин А. Ф. Влияние объемной химической реакции
на массоперенос внутри капли при больших числах Пекле//Вестник МГУ.
Сер. математики и механики. 1979. № 4. С. 77—83.
27. Гольдштик М. А. Процессы переноса в зернистом слое. Новосибирск:
ИТФ, СО АН СССР, 1984. 164 с.
28. Гупало Ю. П., Рязанцев Ю. С. Диффузия к частице в случае сдвигового
течения вязкой жидкости. Приближение диффузионного пограничного
слоя//Прикл. мат. и мех. 1972. Т. 36, № 3. С. 475—479.
29. Гупало Ю. П., Рязанцев Ю. С. О массо- и теплообмене сферической части-
цы в ламинарном потоке вязкой жидкости//Прикл. мат. и мех. 1971.
Т. 30, № 1. С. 73—79.
30. Гупало Ю. П., Полянин А, Д., Рязанцев Ю. С. Массотеплообмен реагирую-
щих частиц с потоком. М.: Наука, 1985. 336 с.
31. Гупало Ю, П., Рязанцев Ю. С., Сергеев Ю. А. Диффузионный поток на
деформированный газовый пузырь при больших числах Рейнольдса//Изв.
АН СССР. Мех. жидкости и газа. 1976. № 4. С. 70—76.
32. Гупало Ю. П., Рязанцев Ю. С., Сысков Ю. Н. Диффузия к обтекаемой
реагирующей частице произвольной формы//Изв. АН СССР. Мех. жидко-
сти и газа. 1975. № 2. С. 99—106.
33. Гупало Ю. П., Полянин А. Д., Полянин В. Д., Рязанцев Ю. С. Об асимп-
тотике решения задачи о конвективной диффузии к капле при больших
числах Пекле и конечных числах Рейнольдса//Прикл. мех. и тех. физика.
1978. № 1. С. 99—103.
34. Гупало Ю. П., Полянин А. Д., Прядкин П. А., Рязанцев Ю. С. О неста-
ционарном массообмене капли в потоке вязкой жидкости// Прикл. мат.
и мех. 1978. Т. 42, № 2. С. 441—449.
35. Гупало Ю. П., Полянин А. Д., Рязанцев Ю. С., Сергеев Ю. А. Конвектив-
ная диффузия к капле при произвольных условиях поглощения. Прибли-
жение диффузионного пограничного слоя//Изв. АН СССР. Мех. жидкости
и газа. 1979. № 6. С. 464—469.
36. Гупало Ю. П., Полянин А. Д., Рязанцев Ю. С., Сергеев Ю. А. Конвектив-
ная диффузия к твердой частице в потоке газа при нелинейной кинетике
гетерогенной химической реакции//Докл. АН СССР. 1977. Т. 237, № 1.
С. 86—89.
37. Гупало Ю. П., Полянин А. Д., Рязанцев Ю. С., Сергеев Ю. А. Конвектив-
ная диффузия к частице при нелинейной кинетике в случае трехмерного
обтекания вязкой жидкостью//Докл. АН СССР. 1979. Т. 245, №3. С. 547—
550.
38. Гупало Ю. П., Полянин А. Д., Рязанцев Ю. С., Сергеев Ю. А. Макрокине-
тика поверхностных реакций в потоке жидкости или газа. Приближенный
метод расчета реагирующих частиц//Инж.-физ. журн. 1981. Т. 41, № 2.
С. 214—219.
39. Гухман А. А. Введение в теорию подобия. М.: Высшая школа, 1963.
254 с.
40. Гухман А. А. Применение теории подобия к исследованию процессов теп-
‘ло-массообмена. М.: Высшая школа, 1967. 302 с.
41. Данкверте П. В. Газожидкостные реакции. М.: Химия, 1973. 296 с.
42. Дилъман В. В. К теории тепло- и массообмена при турбулентном тече-
НИИ//ТОХТ. 1967. Т. 1, № 4. С. 438—445.
43. Дильман В. В. Некоторые вопросы моделирования и расчета газожидко-
стных реакторов//ТОХТ. 1975. Т. 9, № 6. С. 844—852.
44. Дилъман В. В. Роль гидродинамики в оптимизации реакторов//Хим.
пром. 1985, № 4. С. 53—58.
45. Дильман В. В., Брандт Б. Б. Диффузионный поток на движущуюся
каплю//Инж.-физ. журн. 1967. Т. 12, № 5. С. 662—665.
46. Дильман В. В., Брандт Б. Б. Приближенный метод расчета массопередачи,
осложненный химической реакцией/'/ТОХТ. 1971. Т. 5, № 2. С. 326—
329.
297
47. Дильман В. В., Кронберг А. Е. О продольной дисперсии при ламинар-
ном движении жидкости в круглой трубе//Изв. АН СССР. Мех. жидкости
и газа. 1984. № 1. С. 81—86.
48. Дильман В. В., Кронберг А. Е. Релаксационные явления при продольном
перемешивании//ТОХТ. 1983. Т. 17, № 5. С. 614—629.
49. Дильман В. В., Кронберг А. Е. Соотношение временных масштабов про-
цесса и моделирование химических реакторов//Хим. пром. 1983. № 8.
С. 16—22.
50. Дильман В. В., Полянин А. Д. Метод асимптотической экстраполяции в
задачах конвективного массо- и теплопереноса//ТОХТ. 1983. Т. 17, № 4.
С. 435—440.
51. Дильман В. В., Полянин А. Д. Метод модельных уравнений и аналогий
в задачах о конвективном массообмене частиц с поверхностными и объем-
ными реакциями//Хим. пром. 1983. № 4. С. 238—243.
52. Дильман В. В., Полянин А. Д. Метод «осреднения» в задачах конвектив-
ного массотеплопереноса//Инж.-физ. журн. 1984. Т. 47, № 2. С. 205—
215.
53. Дильман В. В., Полянин А. Д. Новые приближенные аналитические ме-
тоды химической механики//Докл. АН СССР. 1983. Т. 271, № 6. С. 1444—
1448.
54. Дильман В. В., Полянин А. Д. Теоретические методы химической техно-
логии//Хим. пром. 1984. № 8. С. 460—463.
55. Диткин В. А., Прудников А. П. Справочник по операционному исчисле-
нию. М.: Высшая школа, 1965. 466 с.
56. Закгейм А. Ю. Введение в моделирование химико-технологических процес-
сов. М.: Химия, 1982. 288 с.
57. Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике. М.:
Наука, 1983. 280 с.
58. Иоффе И. И., Письмен Л. М. Инженерная химия гетерогенного катализа.
Л.: Химия, 1972. 462 с.
59. Кадер Б. А., Аронов А. Р. Статистический анализ экспериментальных ра-
бот по тепло- и массоотдаче при больших числах Прандтля//ТОХТ. 1970.
Т. 4, № 5. С. 637—652.
60. Кадер Б. А., Дильман В. В. Тепло- и массообмен на входном участке при
турбулентном режиме течения и Рг>1//ТОХТ. 1973. Т. 7, № 1. С. 210—
222.
61. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа.
М.: Физматгиз, 1962. 708 с.
62. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964.
488 с.
63. Кафаров В. В., Дорохов Н. Н. Системный анализ процессов химической
технологии. М.: Наука, 1976. 500 с.
64. Кишеневский М. X. Некоторые результаты современных теоретических
работ в области абсорбции, осложненной химическими реакциями//ТОХТ.
1967. Т. 1, № 6. С. 759—775.
65. Коздоба Л. А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. М.:
Наука, 1975. 226 с.
66. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1984. 832 с.
67. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972.
274 с.
68. Крылов В. С. Диффузионный пограничный слой на поверхности движу-
щейся капли при наличии объемной химической реакции//Изв. АН СССР.
Мех. жидкости и газа. 1967. № 1. С. 146—149.
69. Крылов В. С., Сафонов А. И., Гомонова К. В. Особенности диффузионного
пограничного слоя внутри движущейся сферической капли//ТОХТ. 1977.
Т. 11, № 6. С. 916—919.
70. Крылов В. С., Сафонов А. И., Гомонова К. В. Теоретический анализ мас-
сопередачи в сферических каплях при больших числах Пекле//ТОХТ. 1979.
Т. 13, № 4. С. 518—522.
71. Кулов Н. И., Малюсов В. А. Массопередача в трубке с орошаемой стен-
кой при перемешивании жидкой пленки//ТОХТ. 1967. Т. 1, № 2. С. 213—
223.
298
72. Кулов Н. Н., Муравьев М. Ю., Малюсов В. А., Жаворонков Н. М. Профи-
ли скорости в стекающих пленках жидкости//ТОХТ. 1982. Т. 16, № 4.
С. 499—509.
73. Кутателадзе С. С. Основы теории теплообмена. М.: Атомиздат, 1979.
416 с.
74. Кутателадзе С. С., Накоряков В. Е. Тепломассообмен и волны в газо-жид-
костных системах. Новосибирск: Наука, 1984. 302 с.
75. Карапетьянц М. X. Химическая термодинамика. М.: Госхимиздат, 1953.
612 с.
76. Левин В. Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Физматгиз, 1959.
670 с.
77. Левин В. Г., Крылов В. С., Воротилин В. П. К теории нестационарной
диффузии из движущейся капли//Докл. АН СССР. 1965. Т. 161, № 3.
С. 648—652.
78. Лойцянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой. М.: Физматгиз, 1962.
480 с.
79. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600 с.
80. Мартинсон Л. К. Плоская задача конвективного теплопереноса в нели-
нейной среде//Прикл. мат. и мех. 1980. Т. 44, № 1. С. 181—185.
81. Марнук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. 456 с.
82. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука,
1970. 512 с.
83. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Ч. I. М.: Наука,
1965. 640 с.
84. Найфэ А. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 456 с.
85. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. М.: Наука, 1987.
86. Нигматулин Р. И, Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978.
336 с.
87. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.:
Наука, 1978. 400 с.
88. Олевский В. М., Рунинский В. Р. Роторно-пленочные тепло- и массообмен-
ные аппараты. М.: Химия, 1977. 208 с.
89. Основы жидкостной экстракции/Ягодин Г. А., Каган С. 3., Тарасов В. В.
и др.; Под ред. Г. А. Ягодина. М.: Химия, 1981. 400 с.
90. Очистка технологических газов/Под ред. Т. А. Семеновой и И. Л. Лейте-
са. М.: Химия, 1977. 488 с.
91. Пагурова В. И. Таблицы неполной гамма-функции. М.: Выч. центр АН
СССР, 1963. 238 с.
92. Перри Дж. Справочник инженера-химика. Т.1. Л.: Химия, 1969. 640 с.
93. Полубаринова-Конина П. Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука,
1977. 664 с.
94. Полянин А. Д. Асимптотический анализ некоторых нелинейных задач о
массо- и теплообмене частиц с потоком при малых числах Пекле//Докл.
АН СССР. 1982. Т. 264, № 6. С. 1322—1326.
95. Полянин А. Д. Диффузия к частице в сдвиговом потоке газа при произ-
вольной кинетике поверхностной реакции/Прикл. мат. и мех. 1981. Т. 45,
№ 4. С. 763—766.
96. Полянин А. Д. Об интегрировании нелинейных нестационарных уравнений
конвективного тепло- и массообмена//Докл. АН СССР. 1980. Т. 251, №4.
С. 817—820.
97. Полянин А. Д. О конвективном массо- и теплообмене реагирующей части-
цы при малых числах Пекле//Докл. АН СССР. 1982. Т. 262, № 2. С. 292—
296.
98. Полянин А. Д. О решении некоторых нелинейных погранслойных задач
нестационарной диффузии (теплопроводности)//Докл. АН СССР. 1980.
Т. 254, № 1. С. 53—56.
99. Полянин А. Д. О химической реакции с выделением тепла на поверхности
движущейся в газе теплопроводной частицы//Прикл. мех. и тех. физика.
1982. № 1. С. 34—40.
100. Полянин А. Д. Трехмерные задачи диффузионного пограничного слоя//
Прикл. мех. и тех. физика. 1984. № 4. С. 71—81.
299
100а. Полянин А. Д., Дилъман В. В. Алгебраический метод исследования за-
дач химической технологии//ТОХТ. 1987. Т. 21, № 4. С. 435—447.
101. Полянин А. Д., Дильман В. В. Асимптотическая интерполяция в задачах
массо- и теплопереноса и гидродинамики//ТОХТ. 1985. Т. 19, № 1. С. 3—
И.
102. Полянин А. Д., Дильман В. В. Новые приближенные аналитические мето-
ды исследования задач физико-химической механики//Инж.-физ. журн.
1984. Т. 46, № 3. С. 415—424.
103. Полянин А. Д., Дилъман В. В. Формулы повышенной информативности
в химической механике//Докл. АН СССР. 1984. Т. 277, № 1. С. 150—
153.
104. Полянин А. Д., Прядкин П. А. О двух задачах конвективной диффузии
к поверхностям плохообтекаемых тел//Изв. АН СССР. Мех. жидкости и
газа. 1978. № 6. С. 104—109.
105. Полянин А. Д„ Сергеев Ю. А. Конвективная диффузия к частице в жидко-
сти при нелинейной кинетике//Прикл. мат. и мех. 1979. Т. 43, № 1.
С. 65-74.
106. Полянин А. Д., Сергеев Ю. А. О диффузии к поглощающей частице при
смешанной кинетике//Прикл. мат. и мех. 1977. Т. 41, № 4. С. 667—
677.
107. Полянин А. Д., Шевцова В. М. О нестационарном массообмене капли
(пузыря) в трехмерном сдвиговом потоке//Изв. АН СССР. Мех. жидкости
и газа. 1986, №~6. С. 111—119.
108. Полянин А. Д., Альварес-Суарес В. А., Дильман В. В., Рязанцев Ю. С.
Метод асимптотической интерполяции экспериментальных данных//ТОХТ.
1986. Т. 20, № 5. С. 584—593.
109. Протодьяконов И. О., Богданов С. Р. Статистическая теория явлений
переноса в процессах химической технологии. Л.: Химия, 1983. 398 с.
110. Рамм В. М. Абсорбция газов. М.: Химия, 1976. 656 с.
111. Ривкинд В. Я., Рыскин Г. М., Фишбейн Г. А. Обтекание сферической кап-
ли в переходной области чисел Рейнольдса//Прикл. мат. и мех. 1976.
Т. 40, № 4. С. 741—745.
112. Рид Р., Праусниц Дж., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей. Л.: Хи-
мия, 1982. 592 с.
113 Розен А. М., Крылов В. С. Проблемы теории массопередачи//Хим. пром.
1966. № 1. С. 51—57.
114. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 616 с.
115 Руденко О. В., Солуян С. И. Теоретические основы нелинейной акустики.
М.: Наука, 1975. 288 с.
116. Рукенштейн Э, Влияние химической реакции на перенос массы в турбу-
лентно перемещающейся жидкости внутри трубки//Журн. прикл. химии.
1965. Т. 38, № 6. С. 1421—1424.
117. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.
118. Самарский А. А., Соболь И. М. Примеры численного расчета температур-
ных волн//Журн. выч. мат. и мат. физики. 1963. Т. 3, № 4. С. 702—
719.
119. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука,
1981. 448 с.
120. Сергеев С. П., Дильман В. В. Радиальные каталитические реакторы с
неподвижным зернистым слоем//Хим. пром. 1982. № 8. С. 21—22.
121. Слинько М. Г. Моделирование химических реакторов. Новосибирск: Нау-
ка, 1968. 96 с.
122. Соколов В. Н., Доманский И. В. Газожидкостные реакторы. Л.: Машино-
строение, 1976. 216 с.
123. Струминский В. В. Основные пути повышения эффективности технологи-
ческих процессов.//Аэродинамика в технологических процессах. М.: Нау-
ка, 1981. С. 7—13.
124. Супоницкий А. М. О расчете скорости переноса вещества в ламинарном
потоке жидкости при гетерогенных химических реакциях со смешанной
кинетикой// Прикл. мех. и тех. физика. 1960. № 2. С. 74—77.
125. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.:
Наука, 1972. 736 с.
300
126. Турбулентность. Принципы и применение: Пер. с англ./Под ред. У. Фроста..
М.: Мир, 1980. 536 с.
127. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 624 с.
128. Федорюк, М. В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. 368 с.
129. Франк-Каменецкий Д. А. Диффузия и теплопередача в химической кине-
тике. М.: Наука, 1967. 492 с.
130. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса.
М.: Мир, 1976. 632 с.
131. Хейфец Л. И., Неймарк А. В. Многофазные процессы в пористых средах.
М.: Химия, 1982. 320 с.
132. Холпанов Л. П., Малюсов В. А., Жаворонков Н. М. Гидродинамика и
тепломассообмен в пленке жидкости при наличии газового потока или
градиента поверхностного натяжения//ТОХТ. 1982. Т. 16, № 3. С. 291—
297.
133. Шервуд Т., Пигфорд Р., Уилки Ч. Массопередача. М.: Химия, 1982.
696 с.
134. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 711 с.
135. Acrivos A. A note on the rate of heat or mass transfer from a small particle
freely suspended in linear shear field//J. Fluid Meeh. 1980. V. 98, N 2.
P. 299—304.
136. Acrivos A. Heat transfer at high Peclet number from small sphere freely
rotating in a simple shear field//J. Fluid Meeh. 1971. V. 46, N 2. P. 233—
240.
137. Acrivos A., Chambre P. L. Laminar boundary layer flows with surface
reactions//Ind. Eng. Chem. Fundam. 1957. V. 49, N 6. P. 1025—1029.
138. Acrivos A., Goddard J. D. Asymptotic expansions for laminar forced-convec-
tion heat and mass transfer. Part 1. Low speed flows//J. Fluid Meeh. 1965.
V. 23, N 2. P. 273—291.
139. Anderson J. L. Prediction of the concentration dependence of macromolecu-
lar diffusion coefficients//Ind. Eng. Chem. Fundam. 1973. V. 12, N 4.
P. 488—490.
140. Batchelor G. K. Mass transfer from a particle suspended in fluid with a
steady linear ambient velocity distribution//J. Fluid Meeh. 1979. V. 95, N 2.
P. 369—400.
141. Begovich J. M., Watson J. S. Hydrodynamic characteristics of three-phase-
fluidized beds//Fluidization. Proc. II Engineering Fundation Conference.
Cambridge: Univ. Press, 1978. P. 190—195.
142. Berman A. S. Laminar flow in channels with porous walls//J. Appl. Phy-
sics. 1953. V. 24, N 9. P. 1232—1235.
143. Blasius H. Grenzschichten in Flussigkeiten mit kleiner Reibung//Z. Math,
und Phys. 1908. Bd. 56, Ht. 1. S. 1—77.
144. Brauer H., Schmidt-Traub H. Kopplung von Stoftransport und chemischer
Reaction and Platten und Kugeln sowie in Poren//Chemic Ingenieur Tech-
nik, 1973. V. 45, N 5. P. 341—344.
145. Brenner H. Forced convection heat and mass transfer at small Peclet num-
bers from a particle of arbitrary shape//Chem. Eng. Sci. 1963. V. 18, N 2.
P. 109—122.
146. Bretherton F. P. Slow motion round a cylinder in a simple shear.//J. Fluid'
Meeh. 1962. V. 12, N 4. P. 591—613.
147. Chambre P. L., Acrivos A. On chemical surface reactions in laminar boun-
dary layer flows//J. Appl. Phys. 1956. V. 27, N 11. P. 1322—1328.
148. Chao В. T. Transient heat and mass transfer to translating droplet//Trans.
ASME. Ser. C. J. Heat Transfer, 1969. V. 91, N 2. P. 273—291.
149. Churchill S. W. A comprehensive correlating equation for laminar, assisting,,
forced and free convection//AIChE Journal. 1977. V. 23, N 1. P. 10—16.
150. Clift R., Grace J. R., Weber M. E. Bubbles, drops and particles. New York-
San Francisco-London: Acad. Press, 1978. 380 p.
151. Cole J. D. On a quasilinear parabolic equation occuring in aerodynamics//
Quart. Appl. Math. 1951. V. 9, N 3. P. 225—236.
152. Cox R. G., Zia I. Y. S., Mason S. G. Particle motion in sheared suspensions.
301?
XXV. Streamlines around cylinders and spheres//.!. Colloid Interface Sci.
1968. V. 27, N 1. P. 7—18.
153. Crank J. The mathematics of diffusion. Oxford: Claredon Press, 1975.
405 p.
154. Danckwerts P. V. Absorption by simultaneous diffusion and chemical reac-
tion into particles of various shapes and into falling drops//Trans. Faraday
Soc. 1951. V. 47, N 9. P. 1014—1023.
155. Dullien F. A. L. Statistical test of Vigners correlation of liquid-phase diffu-
sion coefficients//Ind. Eng. Chem. Fundam. 1971. V. 10, N 1. P. 41—49.
156. Emmert R. E., Pigford R. L. A study of gas absorption in falling liquid
films//Chem. Eng. Progr. 1954. V. 50, N 2. P. 87—93.
157. Finlayson B. A. Applications of the method of weighted residuals and varia-
tional method. I//British Chem. Eng. 1969. V. 14, N 1. P. 53—57.
158. Finlayson B. A. Applications of the method of weighted residuals and
variational methods. II//British Chem. Eng. 1969. V. 14. N 2. P. 179—
182.
159. Finlayson B. A., Scriven L. E. The method of weighted residuals//Appl.
mech. rev. 1966. V. 19, N 9. P. 735—747.
160. Frankel N. A., Acrivos A. Heat and mass transfer from small spheres and
cylinders freely suspended in shear flow//Phys. Fluids. 1968. V. 11, N 9.
P. 1913—1918.
161. Fujita H. The exact pattern of a concentration-dependent diffusion in a semi-
infinite medium//Textile Res. J. 1952. V. 22, N 11. P. 757—760.
162. Hadamard J. S. Mouvement permanent Lent d’une sphere liquide et visque-
use dans un liquide visqueux//Compt. Rend. Acad. Sci. Paris. 1911. V. 152,
N 25. P. 1735—1739; 1912. V. 154, N 3. P. 109.
163. Hopf E. The partial differential equation u/+uUx=H«xx//Comm. Pure Appl.
Math. 1950. V. 3, N 3. P. 201—230.
164. Johns L. E., Beckman R. B. Mechanism of dispersed-phase mass transfer in
viscous, single-drop extraction systems//AIChE Journal. 1965. V. 12, N 1.
P. 10—16.
165. Klinzing G. E., Byrne G. D.t Leaf G. K., Minkoff M. Mass transfer with Nth
order chemical reaction around spheres in the presence of surfactants//
Chem. Eng. Sci. 1980. V. 35, N 7. P. 1667—1676.
166. Konopliv N., Sparrou E. M. Unsteady heat transfer and temperature for
Stokesian flow about a sphere//Trans. ASME, Ser. C. J. Heat Transfer.
1972. V. 45, N 5. P. 341—344.
167. Kroger D. G., Abdelnour G., Levi E. K, Chen J. C. Particle distribution and
mixing in a centrifugal fluidized bed//Fluidization. New York, London:
Plenum Press, 1980. P. 349—356.
168. Leveque M. A. Les lois de la transmission de chaleur par convection//Ann.
des Mines. 1928. V. 13. P. 201—239.
169. Masliyah J. H., Epstein N. Numerical solution of heat and mass transfer
from spheroids in steady axisymmetric flow//Progress Heat Mass Transfer.
1972. V. 6. P. 613—632.
170. Mihail R., J ordache C. Performances of some numerical techniques used for
simulation of fixed bed catalytic reactors//Chem. Eng. Sci. 1976. V. 31,
NLP. 83—86.
171. Mitchell J. E., Henratty R. J. A study of turbulence at a wall using an
electrochemical wall shear stress meter//J. Fluid Mech. 1966. V. 26, N 1.
P. 199—221.
172. Moore D. W. The boundary layer on a spherical gas bubble//!. Fluid Mech.
1963. V. 16, N 2. P. 161—176.
173. Morrison F. A. (Tr.) Transient heat and mass transfer to a drop in an
electric field//Trans. ASME. Ser. C. J. Heat Transfer. 1977. V. 99, N 2.
P. 269—274.
174. Oellrich L„ Schmidt-Traub H., Brauer H. Theoretische Berechnung des Stoff-
transport in der Umgebung einer Einzelblase//Chem. Eng. Sci. 1973. V. 28,
N 3. P. 711—721.
.302
175. Pan У. F.t Acrivos A. Heat transfer at high Peclet number in regions ofi
doused streamlines//Int. J. Heat Mass Transfer. 1968. V. 11, N 3. P. 439.
176. Poe G. G., Acrivos A. Cloused streamline flows past small rotating partic-
les: heat transfer at high Peclet numbers//Int. J. Multiphase Flow. 1976.
V. 2, N 4. P. 365—377.
177. Polyanin A. D. An asymptotic analysis of some non-linear boundary value
problems of convective mass and heat transfer of reacting particles with the
flow//Int. J. Heat Mass Transfer. 1984. V. 27, N 2. P. 163—189.
178. Polyanin A. D. Method for solution of some non-linear boundary value
problems of a non-stationary diffusion — controlled (thermal) boundary
layer//Int. J. Heat Mass Transfer. 1982. V. 25, N 4. P. 471—485.
179. Polyanin A. D. On nonisothermal chemical reaction at the particle surface
in laminar flow//Int. J. Heat Mass Transfer. 1982. V. 25, N 7. P. 1031—
1042.
180. Polyanin A. D.t Dil’man V. V. New methods of the mass and heat transfer
theory. — I. The method of asymptotic correction and the method of model,
equations and analogies//Int. J. Heat Mass Transfer. 1985. V. 28, N L
P. 25—43.
181. Polyanin A. D„ Dil’man V. V. New methods of the mass and heat transfer
theory. — II. The methods of asymptotic interpolation and extrapolation//
Int. J. Heat Mass Transfer. 1985. V. 28, N 1. P. 45—58.
182. Polyanin A. D., Sergeev Yu. A. Convective .diffusion to a reacting particle in
a fluid. Nonlinear surface reaction kinetics//Int. J. Heat Mass Transfer.
1980. V. 23, N 9. P. 1171—1182.
183. Prins IF., Casteleijn T. P., Draijer W., Van Swaaij W. P. Mass transfer from
a freely moving single sphere//Chem. Eng. Sci. 1985. V. 40, N 3. P. 481.
184. Rao S. S., Bennett C. O. Steady state technique for measuring fluxes and
diffusivities in binary liquid systems//AIChE Journal. 1971. V. 17, N 1.
P. 75—81.
185. Robillard L. On a series solution for the laminar boundary layer along a
moving wall//Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Meeh. 1971. V. 38, N 2.
P. 550—552.
186. Ruckenstein E. Interpolating equations between two limiting cases for the'
heat transfer coefficient//AIChE Journal. 1978. V. 24, N 5. P. 940—941.
187. Ruckenstein E. Mass or heat transfer coefficient equations//Revue de Phy-
sique (Roumaine). 1962. V. 7, N 2. P. 153—164.
188. Ruckenstein E. Mass transfer between a single drop and continuous phase//
Int. J. Heat Mass Transfer. 1967. V. 10, N 12. P. 1785—1792.
189. Ruckenstein E. On mass transfer in the continuous phase from spherical
bubbles or drops//Chem. Eng. Sci. 1964. V. 19, N 2. P. 131—146.
190. Ruckenstein E. Prediction of rates of heat or mass transfer in complex situa-
tions by interpolating between simpler limiting cases//Chem. Eng. Sci.
1982. V. 37, N 10. P. 1505—1511.
191. Ruckenstein E. Transport equations in transfer coordinates//Chem. Eng.
Sci. 1964. V. 19, N 2. P. 131—140.
192. Shanks D. Non-linear transformations and slowly convergent sequences//
J. Math, and Phys. 1955. V. 34, N 1. P. 1—42.
193. Taylor G. I. Conditions under which dispersion of solute in a stream of
solvent can be used to mesure molecular diffusion//Proc. Roy. Soc. Ser. A.
1954. V. 225, N 1163. P. 473—477.
194. Taylor G. I. Dispersion of soluble matter in solvent flowing slowly through
a . tube//Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1953. V. 219, № 1137. P. 186—203.
195. Taylor T. D. Mass transfer from single spheres in Stokes flow with surface
reactions//Int. J. Heat Mass Transfer. 1963. V. 6, N 11. P. 993—994.
196. Taylor T. D., Acrivos A. On the deformation and drag of falling viscous
drop at low Reynolds number//!. Fluid Meeh. 1964. V. 18, N 3. P. 466.
197. Vignes A. Diffusion in binary solutions//Ind. Eng. Chem. Fundam. 1966.
V. 5, N 2. P. 189—199.
198. Wellek R. M., Huang С. C. Mass transfer from spherical gas bubbles and
liquid droplets moving through power-law fluids in the laminar flow
regime//Ind. Eng. Chem. Fundam. 1970. V. 9, N 3. P. 480—488.
Научное издание
ДИЛЬМАН Виктор Васильевич,
ПОЛЯНИН Андрей Дмитриевич
МЕТОДЫ
МОДЕЛЬНЫХ
УРАВНЕНИИ
И АНАЛОГИИ
В ХИМИЧЕСКОЙ
ТЕХНОЛОГИИ
Редактор Р. Е. Миневич
Художник А. К» Малкин
Художественный редактор Л. А. Леонтьева
Технический редактор Б. М. Молодцов
Корректор М. В. Черниховская
ИБ № 2119
Сдано в набор 30.10.87. Подп. в печ. 03.02.88. Т 04982. Формат
60X90716. Бумага тип. № 1. Гарнитура литературная. Печать
высокая. Усл. печ. л. 19,0. Усл. кр.-отт. 19,0. Уч.-изд. л. 20,24.
Тираж 3150 экз. Заказ 1391. Цена 4 р. 40 к.
Ордена «Знак Почета> издательство «Химия>.
107076, Москва, Стромынка, 21, корп. 2.
Московская типография № 11 Союзполиграфпрома при Госу-
дарственном комитете СССР по делам издательств, полигра-
фии и книжной торговли.
113105, Москва, Нагатинская ул., д. 1.