Контактные задачи теории оболочек и стержней - Моссаковский В.И., Гудрамович В.С., Макеев Е.М.

Автор: Моссаковский В.И. Гудрамович В.С. Макеев Е.М.
Теги: авиация и космонавтика летательные аппараты ракетная техника космическая техника общее машиностроение машиноведение инженерия машиностроение промышленное строительство технология машиностроения издательство машиностроение
Год: 1978
Похожие
Контактные задачи в машиностроении
Контактные задачи нелинейной теории оболочек вращения
Проблемы проектирования пассажирских самолётов
Полет космических аппаратов: примеры и задачи
Текст
                    в. и. моссаковскии, в. с. гудрамович,
Е. М. МАКЕЕВ
КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
И СТЕРЖНЕЙ
ИНВ №• 33 \
НЕ БОЛЕЕ 1Й КНИГИ В j
ОДНИРУХИИ2ХВДР? \
вшвяшкугт*
КОЛОХЗА
Москва
«МАШИНОСТРОЕНИЕ»
1978

ББК 34.42
М83
УДК 629.7.023.001.2
Рецензент чл.-корр. АН УССР д-р физ.-мат. иаук проф. В. Л. Рвачев
Моссаковский В. И. и др.
М83 Контактные задачи теории оболочек и стерж-
стержней/В. И. Моссаковский, В. С. Гудрамович, Е. М. Ма-
Макеев. — М.: Машиностроение, 1978. — 248 с, ил.
В пер.: 95 к.
В книге излажены результаты исследований напряженно-деформирован-
напряженно-деформированного состояния н несущей способности тонкостенных оболочечных систем при
локальных нагружениях и контактных взаимодействиях. Приведены решения
многочисленных задач коитактиэго взаимодействия оболочечных конструкций
с упругими и нелинейно-упругими опорными основаниями (ложементами). Рас-
Рассмотрены задачи деформирования составных оболочечных систем при слож-
сложном локальном нагруженни и контактном взаимодействии. Изложены резуль-
результаты исследования устойчивости н несущей способности с учетом пластиче-
пластических деформаций оболэчечных конструкций при локальном нагружении.
Книга предназначена для инженерно-технических н научных работников
различных отраслей машиностроения и промышленного строительства.
„ 31808-340
М -340-78
038@1 )-78 ББК 34.42
6П5.1
1/, Издательство «Машиностроением 1978 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящей книге изложены вопросы теории и расчета тонко-
тонкостенных оболочечных конструкций при локальных нагрузках и кон-
контактных взаимодействиях. Эти вопросы тесно связаны с интенсив-
интенсивным развитием многих отраслей современного машиностроения, в
которых применяются тонкостенные конструкции. Для таких конст-
конструкций указанные нагружения определяют работоспособность их
в основных режимах эксплуатации. Возникающие при этом задачи
своеобразны и сложны. Они относятся к наиболее актуальным раз-
разделам теории оболочек, пластин и стержней и строительной меха-
механики тонкостенных конструкций. Такие задачи получили название
«контактных задач».
В развитие теории и решение конкретных задач значительный
вклад внесли многие исследователи. Обстоятельная библиография,
посвященная различным аспектам этой проблемы, приведена в ра-
работах B7, 30, 58, 76]. Общие вопросы теории рассмотрены в извест-
известных монографиях по теории оболочек В. 3. Власова, А. Л. Гольден-
Гольденвейзера, В. В. Новожилова, К. Ф. Черных и др.
Настоящая книга обобщает в основном результаты, полученные
авторами. Основные работы авторов, использованные при написа-
написании книги, приведены в списке литературы.
В круг вопросов, рассмотренных в книге, входят:
— задачи контактного взаимодействия составных оболочечных
конструкций с упругими и нелинейно-упругими опорными основа-
основаниями;
— задачи деформирования составных оболочечных систем при
сложном локальном нагружении и контактных взаимодействиях;
— задачи устойчивости и несущей способности оболочечных кон-
конструкций при указанном нагружении.
В гл. 1 даны краткие сведения о соотношениях теории тонких
оболочек и круговых стержней, необходимые для изложения ре-
результатов в последующих главах. Рассмотрена составная оболочеч-
ная конструкция, состоящая из оболочек вращения, подкрепленных
кольцом. Для нее в матричной форме записаны общие соотно-
соотношения, связывающие перемещения кольца и параметры произволь-
произвольной внешней локальной нагрузки. Авторы отказались от традицион-
традиционного для подобных книг подробного изложения известных
положений теории оболочек. Основы и методы теории изложены в
упомянутых монографиях и некоторых других работах. Приведен-
Приведенные в главе сведения кратки и даны в основном без выводов.
В гл. 2 рассмотрены задачи, возникающие при контактном взаи-
взаимодействии составных оболочечных конструкций и упругих круго-
41 3

вых оснований — ложементов. Приведены общие методы решения
задачи в тригонометрических рядах для произвольных оболочек,
подкрепленных кольцами, и оснований с одним или несколькими
участками контакта. Численный анализ многих примеров, где
построены распределения контактного давления для различных
оболочек, взаимодействующих с ложементами, дал возможность
сделать качественные выводы о влиянии на законы изменения кон-
контактного давления параметров конструкции и ложементов. В слу-
случае взаимодействия бесконечной цилиндрической оболочки и сплош-
сплошного или с симметричным вырезом ложемента решение контактных
задач получено в замкнутом виде. Приведено решение задач кон-
контактного взаимодействия кругового кольца и нелинейного кругово-
кругового основания. Рассмотрена контактная задача для дискретно под-
подкрепленного кольца, взаимодействующего с основанием.
В гл. 3 рассмотрены задачи контактного взаимодействия оболо-
оболочечных конструкций и оснований-ложементов в случае отхода обо-
оболочек от основания (переменные зоны контакта). Рассмотрено кон-
контактное взаимодействие упругого кольца и жесткого ложемента.
В этом случае кольцо отходит от ложемента, соприкасаясь с ним в
• угловых точках и на некоторой площадке контакта, и система кон-
контактных усилий заранее задана. Рассматривается деформация кру-
кругового шпангоута на податливом одностороннем круговом основа-
основании. Рассмотрена задача контактного взаимодействия соосно сопря-
сопряженных через упругую прокладку круговых колец, взаимодейству-
взаимодействующих с ложементом. Приведены результаты экспериментальных
исследований. Исследован случай контактного взаимодействия свя-
связанных, через упругую прокладку кругового шпангоута и незамкну-
незамкнутого кругового стержня (накладки). Дан приближенный подход к
решению контактной задачи в случае взаимодействия шпангоута с
некруговым упругим основанием. Проводится учет при решении
контактных задач для кругового шпангоута и упругого ложемента
тангенциальных сил сцепления и сил трения скольжения.
, Гл. 4 посвящена определению упругого напряженно-деформиро-
напряженно-деформированного состояния в элементах составных оболочечных конструк-
конструкций.при различных случаях локального нагружения и контактных
взаимодействий. Рассмотрена конструкция, состоящая из произ-
произвольных осесимметричных оболочек вращения, состыкованных пос-
посредством упругих колец, при локальном нагружении последних.
Рассмотрено напряженно-деформированное состояние подкреплен-
подкрепленной цилиндрической оболочки, взаимодействующей с круговыми
ложементами при произвольном поперечном нагружении. Учтены
та.киё факторы, как наличие заполнителя, несимметричность наг-
нагружения. С помощью введения понятий эквивалентных нагрузок и
жесткостей расчетные схемы для сложных оболочечных конструк-
конструкций существенно упрощены. Исследуется напряженно-деформиро-
напряженно-деформированное состояние элементов конструкции при контактном взаимо-
взаимодействии цилиндрических оболочек и опорного кольца (бандажа)
и контактном взаимодействии соосно сопряженных цилиндрических
оболочек, при поперечном локальном нагружении. Методы второй

главы распространены на случай контактного взаимодействия тор-
торца цилиндрической оболочки и опорного основания при осевом на-
гружении. Приведены общие схемы упругого расчета составной обо-
лочечной конструкции при произвольном поперечном нагружении.
Предыдущие главы посвящены задачам прочности упругих обо-
лочечных конструкций при локальных нагрузках и контактных вза-
взаимодействиях. В последних трех главах рассмотрены некоторые за-
задачи несущей способности таких конструкций.
В гл. 5 и 6 рассмотрены вопросы устойчивости упругих оболо-
чечных конструкций при локальном нагружении.
Гл. 5 посвящена исследованию устойчивости конструкций при
равномерном локальном нагружении. Рассмотрена устойчивость
кругового шпангоута, подкрепляющего произвольную систему обо-
оболочек вращения, при равномерной радиальной нагрузке. Подход к
решению указанной задачи применен к исследованию устойчивости
цилиндрической оболочки конечной длины, нагруженной равномер-
равномерным внешним давлением на части длины. Приведены результаты
экспериментальных исследований. Рассматривается также устойчи-
устойчивость цилиндрической оболочки при поперечном локальном (поясо-
вом) нагружении. При этом учитываются различные возможные
особенности конструкции.
В гл. 6 освещены вопросы устойчивости оболочечных систем при
неоднородных напряженных состояниях, вызванных действием ло-
локальных нагрузок. Рассмотрена устойчивость сферического сегмен-
сегмента, подкрепленного опорным кольцом, к которому приложены про-
произвольные локальные нагрузки в его плоскости. При проведении
исследований применялся модифицированный метод локальных ва-
вариаций. Решение основано на минимизации функционала энергии,
составленного с учетом вида нагружения и конструктивных особен-
особенностей системы. В качестве примера рассмотрены задачи устойчи-
устойчивости сферы при нагружении двумя радиальными силами и упру-
упругим ложементом. Приведены результаты экспериментального ис-
исследования устойчивости и прочности сферических сегментов —
сплошных и с отверстиями — и прочности колец при локальных
нагрузках. Исследования проведены на специальной установке для
исследования несущей способности оболочек при локальном нагру-
нагружении. Получены кинограммы процесса потери устойчивости сис-
системы. Рассмотрена задача динамической устойчивости цилиндриче-
цилиндрической оболочки при импульсном нагружении подкрепляющего
кольца. Материал оболочки и кольца принят упругим или нелиней-
нелинейно-упругим. Рассмотрено взаимодействие симметричных и изгибных
колебаний системы с построением областей динамической устойчи-
устойчивости.
В гл. 7 изложены решения задач несущей способности оболо-
оболочечных конструкций при пластических деформациях. Известна ак-
актуальность этих вопросов для конструкций из материалов с выра-
выраженными пластическими свойствами, находящихся в условиях по-
повышенной нагруженности. Приведены некоторые сзедения теории
деформирования и несущей способности неупругих оболочечных
5

конструкций. На основе теории предельного равновесия рассмотре-
рассмотрены задачи несущей способности составных оболочечных конструк-
конструкций из идеального жестко-пластического материала при симметрич-
симметричном комбинированном нагружении и осевом сжатии, силовых колец
при различных видах локальных нагрузок, цилиндрической оболоч-
оболочки при действии радиальной сосредоточенной силы. Исследование
пластического разрушения этих систем основано на изучении кине-
кинематики образования местных пластических зон — пластических
шарниров, приводящих к превращению системы в механизм.
Изложение методов, приведенных в книге, и решения многочис-
многочисленных задач напряженно-деформированного состояния и несущей
способности тонкостенных оболочечных систем при различных ло-
локальных нагрузках и контактных взаимодействиях иллюстрируют-
иллюстрируются разнообразными результатами численного анализа.
Книга является коллективным трудом авторов и обобщает ре-
результаты их многолетней совместной работы.

ГЛАВА 1
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ
ТОНКОСТЕННЫХ ОБОЛОЧЕЧНЫХ СИСТЕМ
Рассмотренные в книге контактные задачи относятся к тонко-
тонкостенным конструкциям, представляющим набор оболочек, связан-
связанных круговыми кольцами. Общей теории оболочек и стержней и
различным прикладным вариантам теории, применяемым в тех или
иных ситуациях (в зависимости от класса оболочек, вида нагруже-
ния, конструктивных особенностей оболочечных систем, требований
к точности расчета и т. д.), посвящены многие исследования [10, 13,
62, 63, 75]. Огромная библиография по теории оболочек содержит-
содержится, в частности, в упомянутых монографиях, а также в работах
[11, 14, 45] и др. В этой главе приведены основные соотношения тео-
теории оболочек и стержней, используемые в книге. Эти сведения при-
приведены без подробных комментариев и носят конспективный харак-
характер.
1.1. СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК
И КРУГОВЫХ СТЕРЖНЕЙ
1.1.1. Геометрия оболочки
Оболочка — трехмерное тело, два размера которого существен-
существенно больше третьего (толщины). Данное свойство является опреде-
определяющим при выводе основных соотношений теории оболочек из об-
общих соотношений трехмерного деформируемого тела. Деформиро-
Деформирование оболочки вполне можно описать, зная поведение ее средин-
срединной поверхности. В монографиях по теории оболочек, как правило,
излагаются основные положения теории поверхностей, на которых
основывается теория деформирования оболочек. В целях сокраще-
сокращения записи используем в некоторых случаях тензорную символику.
Выписанные соотношения приводятся в ряде работ по теории обо-
оболочек. (Библиография дана, например, в работе [11]).
В криволинейной ортогональной системе координат а,- компонен-
компоненты деформации трехмерного твердого тела имеют вид
где Rt=—j- —базисные векторы; /?(<z*)—вектор точки тела;
U — вектор перемещения.
Производные dU/da1 определяются соотношениями
A.2)
7

где $j — базисный вектор;
— ковариантная производная от
щ по координатам начального состояния.
Из выражения A.1) следуют общие соотношения для деформа-
деформаций твердого тела
(Vb + V«+V«*Vj«*), A.3)
где V<, Vj — ковариантные производные от и по координатам на-
начального состояния. В случае малых перемещений выражения для
yij отличаются от выражения
A.3) отсутствием последнего
слагаемого.
Для оболочки вводится сис-
система ортогональных координат
а». Система криволинейных ко-
координат аь аг характеризует
срединную поверхность, коор-
координата аз=2 отсчитывается по
нормали к срединной поверх-
поверхности. Положение произволь-
произвольхарактеризуется радиусом-век-
радиусом-векРис. 1.1.
ной по толщине оболочки точки А
тором
где г — радиус-вектор точки Ао пересечения перпендикуляра, опу-
опущенного из А и срединной поверхности; п — орт нормали, проходя-
проходящей через точку Ло; z= \АоА\ (рис. 1.1). _^
В пространстве координат щ вектор перемещения U, разложен-
разложенный по направлениям гь г2, п, имеет вид
О=илгл-\-и3п,
A.5)
где u«, u3 — функции координат точки на срединной поверхности
координаты z.
Выражая производные компонент перемещений и используя из-
известные операции тензорного анализа, приходим к зависимостям
для тонкостенных оболочек
Y«e = y(e«P
Считая перемещения иа меняющимися по толщине по закону

имеем
; A.7)
где
*a3 — компоненты метрического тензора.
Сведение трехмерных краевых задач теории упругости к двух-
двухмерным краевым задачам теории оболочек — один из основных воп-
вопросов в теории оболочек. При выводе соотношений для деформаций
тонкой оболочки часто применяется гипотеза Кирхгофа—Лява, сог-
согласно которой: а) прямые волокна оболочки, нормальные к коор-
координатной поверхности оболочки, остаются прямыми и нормальны-
нормальными к ней и после деформации; б) нормальные к срединной поверх-
поверхности волокна не испытывают удлинения.
Используются также другие гипотезы. Для менее жесткой гипо-
гипотезы Тимошенко (основанная на ней теория применяется, напри-
например, для оболочек из анизотропных материалов, в частности, поли-
полимерных) при том же условии «б» условие «а» ослаблено: считается,
что после деформации указанные волокна остаются прямыми, но не
перпендикулярными к срединной поверхности. Посредством этих
гипотез трехмерная задача деформирования в теории оболочек сво-
сводится к двухмерной.
Для гипотезы Кирхгофа—Лява выражения A.6) существенно
упрощаются. В этом случае пренебрегаем влиянием деформации
поперечного сдвига и изменением толщины:
Y^=-y^aP + epa + e"e^;
Ya3=0;Y33=0. (L8)
Для оболочек с постоянными главными кривизнами, которые будут
рассматриваться в дальнейшем, связав ортогональную систему ко-
координат с линиями главных кривизн, вводя выражения для переме-
перемещений и, v, w, обозначив
получим выражения для деформаций удлинения и сдвига в оболоч-
оболочке. Для гипотезы Кирхгофа—Лява
%+%', A.9)

(Запятая означает частное дифференцирование по соответству-
соответствующей координате).
1.1.2. Усилия в оболочке. Уравнения равновесия
Рассматривая элемент поверхности оболочки, заменим напряже-
напряжения, действующие на нормальный элемент длиной dS, их главным
вектором и главным моментом
= j [oji\dSztdz;
A.10)
Усилиями и моментами в оболочке назовем составляющие глав-
главного вектора и главного момента (на единицу длины срединной
линии нормального элемента).
Разлагая вектора 7\ и Ж, по ортам, получим
^ ' A.11)
где Т„, T4t, 7\„-— нормальное, касательное и перерезывающее уси-
усилия; УИ„, Mvt — изгибающий и крутящий моменты. Рассматривая
элемент, ограниченный координатными линиями aj = const, полу-
получим следующие значения усилий и моментов:
А
2 О22
_*l«2eJ A.12)
А Л
2 / ч с ля \ 2
1 1 — 7 11' У 2—¦* 22>
!^ ' A.13)
~2 ~2
М! = ЖП; ^2=^22-
В дальнейшем сдвигающее усилие Т\2 будем обозначать через
5, перерезывающую силу Tin через Qj. Отметим, что несмотря на
равенство 012=021, закон парности для S и Мц не имеет места:
При выводе уравнений равновесия используем принцип возмож-
возможных перемещений. Для истинного состояния оболочки имеет место
соотношение
ЪЭ — 8W=0, A.14)
10

где 8Э — вариация потенциальной энергии деформации; bW — сум-
сумма элементарных работ внешних сил.
Вариацию потенциальной энергии деформации оболочки запи-
запишем в виде
1 0-15)
Выполняя интегрирование по 2, получим
.2121 ^
где 5 = Tn — R2lM2x^= T2l — RTxMn; H=—(Ml2-\-M3l) (полусумма
крутящих моментов).
Сумма работы внешних сил
где р, т — приведенные к срединной поверхности главный вектор и
главный момент внешней нагрузки, отнесенные к единице площади
срединной поверхности; So — граница области срединной поверхно-
поверхности. После преобразований
bW = f (Г
-|- иргЪи+рфъ-^-р^чю + тЗЪх+щЪЪъ) A1A2daidai. A.18)
Проводя соответствующие операции интегрирования с использова-
использованием формул Остроградского, получим общую систему уравнений
равновесия оболочки и статические граничные условия
+ve («
^ ^0; A.19)
= 0; A.20)
Смысл некоторых операций и обозначений в A.10) — A.20), не рас-
расшифрованных ранее, см. [11, 75].
Уравнения равновесия, вводя усилия Тл$ и моменты ЛГ.р, за-
запишем в виде
11

где рх, 9, тж — компоненты внешней распределенной нагрузки.
Система A.21) в дальнейшем конкретизируется для разных част-
частных случаев.
Запишем соотношения между усилиями и деформациями.
В дальнейшем нами рассматриваются в основном упругие задачи.
Некоторые соображения о деформировании и несущей способ-
способности оболочек при пластических деформациях и методах решения
соответствующих задач изложены в гл. 7.
Связь между напряжениями и деформациями в линейно-упру-
линейно-упругом теле можно записать в виде
Оа? = ?>арт«8т8) ¦ A.22)
где Е — тензор упругости.
Для изотропного тела соотношение A.22) имеет вид
A.23)
Х= ^ ; 0=-^ параметры Ляме;
(l+tf(l2n) 2 (l+iO
(+tf(n) (i
0 — объемное расширение; Е — модуль упругости; \к — коэффици-
коэффициент Пуассона.
Усилия и моменты, используя A.22), можно определить сле-
следующим образом (с — компоненты дискриминантного тензора,
k -— коэффициент сдвига):
A.24)
12

Подставляя A-24) в A.21) и выражая деформации в A.24) через
перемещения, получим уравнения равновесия в перемещениях
-. A-25)
(А?-fk\-ftykfa) w + y (*i -f P*a) «&+у
A l»)
Приведем часто используемый при решении задач теории оболочек упрощен-
упрощенный вариант нелинейной теории, основаииый на гипотезе Кирхгофа—Лява (урав-
(уравнения типа Кармана).
Усилия и моменты в оболочке
Ti •= j~^ {*'* ~hw+1" "f*+4v* -k2w+т •?» ]);
^{ у «ft +
5 = ~~2 "(I^JI)(ы>» + v'x + w'*w^' (! • 26)
0, = -d №w),x, (?2 = -
^fi = — D (w,xx + fiw.jrj,); M2 = -
12A-^2)'
13

Уравнения равновесия в усилиях
Thx + S,y + Рх = 0;
hxx + 2Н,ху + М2,у + *ХГ, +k2T2+
+ Sw,y),x + (Sw,x + T2w,y\y + q = 0.
Уравнения равновесия в перемещениях
+ "у A — М-) и,уу +-?A+Р) v,xy — i
+ W,xW,xx + —(l+^)WtyW,yy + —
A+ M-) u,xy + v,y
+ у О + rt »,*
,« + у
,yW,yy
- rt »,»»,« + -^- (i - м-2) p* = 0;
to
—
— (*i + V-h) w] + у A — |
w] + у A -(
Py — U>,x [UlX
+ v,x)j — I o-.y l^u,x + v,y —
i •28)
Уравнения совместностн деформаций
*x,yy + *y,xx — Уху,ху = wjxy — ЩххЩуу — h*>,yy ~ hw,xx- A-29)
Введеиие функции напряжений Ф дает возможность записать уравнение
A.29) в виде
—
= _— I (W,W) —
«II = Ф.уу] «22 = Ф,ХХ, «12 = -Ф,ху
а систему A.27) —в виде
A.30)
14

1.1.3. Соотношения для круговых стержней
Рассмотрим круговой стержень-кольцо постоянного поперечно-
поперечного сечения. Принимаем следующие допущения: контур поперечного
сечения не деформируется; центр жесткости и центр тяжести сече-
сечения совпадают. Рассмотрим элемент кольца, ограниченный лини-
линиями ф; ф + Лр. Действующие в сечении усилия и моменты показаны
на рис. 1.2.
Выражения для деформаций кольца без учета депланации по-
поперечного сечения в линейном приближении имеют вид
+»'). A-32)
где w, v, и — радиальное, касательное и осевое перемещения; ¦& —
угол поворота; ег-, щ — удлинение и кривизна. Здесь и в дальней-
дальнейшем штрих означает дифференцирование по ф.
При рассмотрении равновесия элемента кольца используем
принцип возможных перемещений. Вариация внутренней энергии
деформации
83 = J {№г2 + МXUX + МгЪ*2-fМУ8х12) Rdf. A.33)
Элементарная работа внешних сил равна
[
A.34)
Вариационное уравнение при этом имеет вид
83 — 8V^=0. A.35)
После известных преобразований из A.35) получим дифферен-
дифференциальные уравнения равновесия, характеризующие деформацию
кольца в плоскости (система /) и из плоскости (система //):
(I)
^O; (H) A-36)
J
Исключив Qi и Q2 из уравнений A.36), получим следующую сис-
систему:
N' — R~lM'x -f Rx + mx = 0;
15

При этом
-^-mi; Qx = M'xR~l
При деформации кольца в системе оболочек условия совместности
кольца и каждой из оболочек, соединенных с иим, записаны ниже,
в разд. 1.2.
Соотношения, связывающие внутренние усилия кольца с его
перемещениями,
R R A.38)
M.=J± (W'-Rb); My=-^f (Rb' + u).
В уравнениях A.33) — A.38): R, F, Ix, Iz, IP — радиус, площадь по-
поперечного сечения, осевые и полярный моменты инерции сечения
кольца. Положительные направления усилий и перемещений вид-
видны из рис. 1.2.
1.1.4. О методах решения задач
для оболочечных конструкций
Одним из наиболее универсальных и распространенных анали-
аналитических методов решения задач теории оболочек и пластин явля-
является метод тригонометрических рядов. Особенно удобно применять
его к составным осесимметричным оболочечным конструкциям.
В этом случае решение на основании его сводится к следующему.
Все функции, определяющие внешние усилия на систему, и напря-
напряженно-деформированное состояние в оболочках и подкрепляющих
кольцах представляются в виде разложений по соэлф и sinn<p.
Применяя для этих функций собирательное обозначение г| (ф), по-
получим
00
) 2 (^я cos ЙСР + тЬл sin п^- A ¦ 39>
Равенство коэффициентов при ticn, f\sn в левой и правой частях
уравнений дает систему алгебраических уравнений для определе-
определения коэффициентов Фурье искомых функций. В книге метод триго-
тригонометрических рядов применен к решению многих задач для обо-
оболочечных конструкций при локальных нагрузках и контактных вза-
взаимодействиях.
Широкое распространение в настоящее время получили многие
численные методы решения задач теории оболочек, пластин, стерж-
стержней и соответствующих задач строительной механики тонкостенных
16

оболочечных конструкций. Их развитие связано с совершенствова-
совершенствованием современной вычислительной техники, что открывает большие
возможности в решении сложнейших задач механики деформиру-
емого твердого тела. Для этих методов характерна универсальность
расчетов, а широкое их использование и внедрение ведет к созда-
созданию автоматизированных систем расчета прочности сложных обо-
оболочечных конструкций в различных режимах эксплуатации.
Более подробно останавливаться на этих вопросах, которым пос-
посвящено большое количество исследований, здесь не имеет смысла.
Сошлемся на монографию [45], характерную для обсуждаемого
подхода к расчетам на прочность (в ней приведена обширная биб-
библиография) и др. Вместе с тем следует указать на то, что автома-
тизация расчетов не снимает с повестки дня необходимости разви-
развития аналитических методов, позволяющих достаточно быстро про-
провести прочностные расчеты, дать их качественный анализ. Такие
методы полезны и при выборе эффективных подходов к численным
исследованиям; в ряде случаев они позволяют предварительно оп-
определить наиболее эффективный подход при их проведении или
упростить соответствующий анализ. Кроме того, исключается необ-
необходимость решения трудных известных вопросов, связанных с при-
применением численных методов и ЭВМ (погрешности счета, ограни-
ограниченность ряда методов, ограниченные возможности некоторых ЭВМ
и т. д.). Вместе с тем, известна и ограниченность таких подходов.
Отметим, что в гл. 6 применен численный метод решения вариа-
вариационных задач — метод локальных вариаций.
Коротко упомянем о весьма эффективном численном методе, по-
получившем большое распространение в последнее время, — методе
конечных элементов [34, 64]. В основе метода, являющегося, по сути
дела, одним из вариационных методов, лежит идея дискретизации.
В настоящее время он применяется к решению разнообразных за-
задач механики сплошной среды. На основе его проведены многочис-
многочисленные исследования задач прочности оболочечных систем. Следу-
Следует отметить, что первые работы по методу конечных элементов
были осуществлены исследователями в области строительной меха-
механики.
1.2. СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ СОСТАВНОЙ ОБОЛОЧЕЧНОИ
КОНСТРУКЦИИ
Рассмотрим составную оболочечную конструкцию, основными
элементами которой являются кольцо-шпангоут и скрепленные с
ним оболочки вращения.
Выразим общие соотношения в матричной форме, связывающие
перемещения шпангоута в системе оболочечной конструкции и па-
параметры внешней нагрузки.
Рассматривая совместное деформирование оболочек и шпангоу-
шпангоута, пренебрегаем размерами площадки контакта (считаем, что соп-
сопряжение происходит по линии, совпадающей с нейтральной осью
шпангоута). При учете эксцентриситета приложения усилий вво-
627654 Г библиотека \ и

дятся дополнительные моменты, что вносит в схему решения не-
непринципиальные уточнения.
Следуя схеме метода тригонометрических рядов, представим
компоненты внешней нагрузки, приложенной к кольцу, и перемеще-
перемещения его оси в виде рядов по координате ф. Усилия в шпангоуте так-
также выразятся в виде рядов.
Данные разложения можно записать в виде
00
а (<Р)=2 (аепcos я?+asn sin дар);
0 A.40)
00
2
о
где через а(<р) обозначены функции р, q, m3, w, •&, и, Мх, Mz, N; че-
через b (ф) — функции t, mu т2, v, My.
Для осесимметричных составляющих нагрузок уравнения равно-
равновесия шпангоута дают
Q10=/n10=— Rx; Q20=—m20;
A.41)
—
Ьг C.I z
где Ль Л2 соответствуют смещению кольца как жесткого целого.
Для л=1 система краевых сил статически самоуравновешена
на поперечном сечении, напряженно-деформированное состояние
определяется формулами A.41), куда вместо нулевых входят пер-
первые гармоники внешних усилий (балочное решение)
Qn=— Afti sin ср; Л^ = — Rp1 cos «p, • • •
Рассмотрим циклическую деформацию системы под действием
самоуравновешенных нагрузок я>1. Пусть перемещения оси шпан-
шпангоута представлены в виде четырехмерного вектора X(Xi), где через
Хи •. ¦,xi обозначены соответственно коэффициенты Фурье wn, vn,
ип, Rbn, а внешние усилия, приложенные к кольцу, представлены
в виде шестимерного вектора У (г/г), где через уи У2,._^.,Уб обозна-
обозначены коэффициенты рп, Хп, tnln, qn, m2n, т^п- Вектор X — линейная
функция усилий у г. Из системы A.37) с использованием A.38) на-
находим
X=AY, A.42)
где А — матрица размера 4X6, элементы которой а^(/=1,..., 4;
/=1,..., 6) равны
а12=а21=±апг\п; аи= + anR~^{n?~ 1);
a^ -ynvnR-'; A.43)
18

ew=0 для i=l,2; 7=4,5,6 и t = 3,4; /= 1,2,3.
Л* ч Я4 . „ Я3
а„= ; ?„ — ; у„ = "
Здесь и в дальнейшем верхние знаки соответствуют первому
члену разложения, в A.40) нижние — второму. Рассмотрим шпан-
шпангоут, подкрепляющий т оболочек вращения (см. рис. 1.2).
Краевые перемещения и усилия оболочек, связанных со шпанго-
шпангоутом, также выразим в виде тригонометрических рядов.
Представим краевые перемещения каждой из оболочек в виде
четырехмерных векторов Х0(*г0) (через хД х20, х3°, х40 обозначены
коэффициенты Фурье соответствующих перемещений), а краевые
усилия — в виде четырехмерных векторов У°(</г°) (через Ц\°,..., у а0
обозначены коэффициенты Фурье Qn*, Sn, Т„, MnR~l; Qn* — при-
приведенные по Кирхгофу поперечные усилия). Тогда существует связь
A.44)
Элементы bih(i, k=l, 2, 3, 4) матрицы В симметричны в силу зако-
закона взаимности. Они определяются соотношениями применяемых ва-
вариантов теории оболочек. Отметим, что в ряде работ построены
такие соотношения. (Например, в [50] матрицы В определены для
различных оболочек вращения на основе моментной теории поло-
пологих оболочек В. 3. Власова). Укажем, что после стандартных опе>
раций из A.44) можно получить также обратные матрицы вида
Х°—СУ°. A.45)
Через г/,0 определяются контактные усилия взаимодействия меж-
между шпангоутом и оболочками со стороны каждой из m оболочек.
При этом суммарные величины этих усилий равны
^, A.46)
где v=cosy; tl=r
Условия совместности деформаций шпангоута и краев оболочек
записываются в виде
Пусть внешние нагрузки на шпангоут представлены в виде вектора
Z{Zi), где через Zi, z2 z& обозначены соответственно рп, тп, Щп,
Яп, min, пг3п- Из соотношений A.42), A.44), A.47) после ряда пре-
преобразований получим уравнение
"" =AZ, A.48)
19

где Н — матрица размера 4X4 с элементами Сц\ А — матрица раз-
размера 4X6 с элементами Щи, определяемыми по A.43), A.45).
4 = «lI*I4V + «11*33^ —«12*24;
V ¦ Щ
— «22*22);
C23 = «22*12!* — «22*23^ + «12*13 (v2 — Ц2) + «12*33V|A;
<?24 = Cl12b14y + «12*34^ — «22*24!
C31 = ^34*13 (V2 — Jl2) -fa34 (*33 — *п) V{* +^36*44^ +«36*34^:
— «34*23V "~ «36*245
2 — «34*11^+ «36*14!* —
С 34 = «34*I4.a — «34*34V — «36*441
^41 = «44*13 (V2 - ^) +«44 (*33 — *
C42 = «44*12^ — «44*23^ — «45*24!
C43 == 2a44*13v!x — a44*33v2 + «44*11^+«46*i# —
C44 = 1 + («44*34V — «44*14!* ~ «46*44)-
Здесь произведения коэффициентов а^, b^ суммируются, число
членов суммы при этом равно т.
Определив из A.48) коэффициенты Фурье перемещений, а через
них значения краевых усилий и моментов в оболочках, можно иай-
ти все компоненты напряженно-деформированного состояния в лю-
любом сечении по меридиану оболочек [10].
Приведенные соотношения определяют усилия и деформации в
элементах рассматриваемой оболочечной тонкостенной конструк-
конструкции.
1.3. ПРИКЛАДНЫЕ ТЕОРИИ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК
И КОНСТРУКЦИЙ
Сложность общих соотношений теории оболочек приводит к не-
необходимости их упрощения. Эти упрощения проводятся в зависимо-
зависимости от класса задач. Анализ вида нагружения, конструктивных
схем, привлечение некоторых результатов численного анализа поз-
позволяют провести определенные разумные упрощения в расчетах
оболочечных конструкций при локальных нагрузках и контактных
взаимодействиях, выбрать те или иные варианты прикладной тео-
теории оболочек.
Существенно упрощаются общие уравнения при использовании
соотношений основного напряженного состояния или безмоментной
теории оболочек. Известно, что применение этих теорий дает наи-
наибольшую погрешность при определении уснлнй и деформаций обо-
20

лочек в районе приложения локальных нагрузок. Подкрепляющие
кольца-шпангоуты, которые обычно ставятся в местах приложения
локальных нагрузок, в значительной мере выравнивают неоднород-
неоднородность напряженного состояния. Однако применение указанных ва-
вариантов теории оболочек в районе расположения шпангоутов так-
также приводит к существенной погрешности при определении усилий
и деформаций.
Вместе с тем отметим, что_для тонких оболочек зона действия
краевого эффекта мала ~у/?Л, а вне этой зоны указанные упро-
упрощенные теории дают удовлетворительную точность. Следует отме-
отметить еще один фактор. Для часто применяемых материалов с выра-
выраженными пластическими свойствами в случае неоднородного
напряженного состояния переход в пластическую область связан с
перераспределением напряжений, с замедлением их роста и тенден-
тенденцией к постепенному их выравниванию. Эти обстоятельства делают
концентрацию напряжений в пластической области не столь опас-
опасной. Об этом говорит также анализ многих экспериментов для обо-
лочечных конструкций из материалов, обладающих выраженными
пластическими свойствами (например, алюминиевых сплавов).
Рассматрнваемые нами тонкостенные оболочечные конструкции
состоят из цилиндрических, сферических и конических оболочек.
При определении напряженно-деформированного состояния (н. д.
с.) различных оболочек рассматриваем однородные уравнения (в
случае отсутствия внешней нагрузки). На решение однородного
уравнения должно накладываться частное решение, получаемое в
зависимости от поверхностного нагружения оболочек. Вопросы по-
получения частных решений нами здесь не рассматриваются (см.
[10, 13, 63, 75] и др.).
1.3.1. Цилиндрическая оболочка
Пользуясь операторным методом, систему уравнений в переме-
перемещениях для цилиндрической оболочки приведем к одному уравне-
уравнению восьмого порядка относительно потенциальной функции [13]
A.50)
В соответствии со схемой метода тригонометрических рядов пред-
представим Ф в виде
sinmp). A.51)
21

Тогда для различных fn получим уравнения для определения коэф-
коэффициентов Фурье (индекс «п» опущен)
/0=Л + Л? + Л? + -^3 + Ив cos 60$ + Л6 sin Ьй%) е-*е + A.52)
Первые четыре члена соответствуют симметричной деформации,
четыре последних характеризуют затухающее н. д. с. типа краевого
эффекта
A.53)
чЛо 4/"i ..9
+{BjCOSt
Постоянным 5i_4 соответствует н. д. с. оболочки как балки при из-
изгибе, четыре последних характеризуют н. д. с. типа краевого
эффекта.
Для л>1 используем приближенные методы, основанные на
асимптотической оценке корней характеристического уравнения
для A.50). При п<^.а~112 корни разделяются на большие и малые,
которым, по терминологии [13], соответствует основное напряжен-
напряженное состояние и краевой эффект, описываемые соответственно урав-
уравнениями
A.54)
При этом для каждого из этих уравнений [для A.54) введен индекс
«1», для A.55) — индекс «2»] ;
6)« sin *li2 ?) е~6ь2? _|_ (CC,7)« cos
sin bU2\) №; Ь1п=Ц- n Vrf=
Напряженно-деформированное состояние типа краевого эффек-
эффекта характеризуется быстрым затуханием от краев оболочки и име-
имеет значение в зонах, близких к месту приложения локальных наг-
нагрузок (сопряжения оболочки с кольцом). Во многих задачах с
достаточной степенью точности н. д. с. оболочки можно опреде-
определить уравнениями основного напряженного состояния. Перемеще-
22

ния и усилия в оболочке выражаются через соответствующие про-
производные Ф и имеют в этом случае вид (приведены коэффициенты
Фурье)
ип=п41 {[-С1л (cos b& + sin btf + С2л (cos b&- sin 6$] e-»«« +
+ [С3л (sin b& — cos 6$ — Cin (sin 6t? -f cos 6$] e*'«;
г>„ = /г3 [(С1л cos ^+C2 sin Ь?) e-»«e+(Cte cos b?+Cin sin b$ e»««];
sin *1|-С2лсов61|)е-»«е + (-Сая sin
—cos 6$—C2n(sin ft^
(sinM-cos^)]e*^}; A.57)
Qu= -Eha? B-i*) [r A -1*)]-1»6*! {[Cln (cos b&+ sin
+ C2n (cos ftii- sin ^)] e-*«« -f [C3n (cos 6^- sin
+ sin 6,1))-С2„ B6?(sin bx%-\-cos 6t5)-j-a2 A +(х)-!/г4(cos 6^-
- sin bil))] e-»«« -f [С3л (-26? (cos 6tE -f sin b$ - a2 A + ^)~l X
Xn4(sin6il — cos'61|))~C4n B6? (cos 6^— sin 6^) +
Начиная с и«4 уравнение A.54) можно заменить более прос-
простым
д?4 ' 1 — [Д.2 д<(8 •
Тогда в A.56) 61я=(/2/2) /г2 ^а2/( 1 —ц2) ^0,39/г2 ]/Л/т (при ц=0,3).
При оценке краевого эффекта коэффициенты Фурье перемещений и
усилий имеют вид
sin
= 4625г-1 {[-С5я (cos Ь2% + sin 62|) -f C6 (cos 62| - sin Ь&)\ t~b^ -f
+ [С7л (cos 62|- sin 62|)+С8л (cos 62E-(- sin b?)\ e»««};
= 8ЯЛ A -(x2)-ia266 [(С6л sin b2l-C6n cos 62?) e-»^ -f
250e^]; A-59)
- cos 62E) - n2 (cos 62| -f sin 62E)) -f С6л B62 A - (x)-i x
X (cos b& -f sin 62|) -f я2 (cos b& - sin 62E))] e~»^ +
23

¦+ [C7n( -%b\ A -|i)-»(cas *2$+ sin ^)+/i2(cas b&- sin
+ CteBU2(l -?) (cos 62$- sin й$+ла(сое 62$+sin b&))] X
x e»««};
S«=2Ehr~lnbl {[CSn (sin b& - cos 62s + 2a2 A + (x)-i nb2 X
X (cos 62$+ sin ^))-C6n(sin ^ + соб^-2а2A +(x)-^2 x
X (cas b2l — sin b&))] e~*«« + [C7rt(cos b& + sin 62S —
— 2a2 A -f (x)-1 62 (cos 62S — sin b2l)) + C8n (sin b2\ — cos *2$ -f
+2a2 A + (x)-i 62 (cos 62t - sin b2\))] e»««].
В A.57), A.59) приведены перемещения и усилия в оболочке, даю-
дающие основной вклад в н. д. с. соответствующего типа, применяемые
при постановке граничных условий; Qi* = Qi—r-[H,v; S* =
=S—r~lH — приведенные по Кирхгофу усилия.
1.3.2. Сферическая оболочка
Для сферической оболочки н. д. с. также разделяется на безмо-
ментное и н. д. с. краевого эффекта.
Для безмоментного н. д. с. уравнения равновесия можно приве-
привести к системе
r(sindyy,ft + l/,,,=O; I/,»-r (sin &)-!?/,,=0. A.60)
Усилия выражаются через функции U и V
T1=:U(r sin4)~H Т2=-Ти 5=F(rsin»). A.61)
В соответствии со схемой решения в тригонометрических рядах
для коэффициентов Фурье из A:60), A.61) получим
Т1п= -Т2п= -А= -(г sin2»)"» Arttg»ft/2. A.62)
Система уравнений для определения перемещений безмоментной
сферической оболочки после представления их в тригонометриче-
тригонометрических рядах запишется в виде
= A.63)
t а
2
Решая уравнения A.63), находим
и„ (Ь) = D2n (Ь)+?>3„ (»); vn (Ь) = - D2n (Ь) + Dzn (»);
2 C"W>
)cas2ft/2-|-2cas4&/2== A.64)
24

= я (я + cos ft) — 1/2 sin2ft;
«„=/>,«(« + cos »)tg* ft/2.
Для и. д. с. краевого эффекта решения соответствующих уравнений
теории оболочек дают следующие зависимости {63]:
йл=ТЙA+|1)а~1[" (АА+АА) cos M« +
+(АА-АА) s^ ft*wle-*ie";
¦»«==Y ^ A+1*) я («2 sin »)-»[ — An cos 62aa +
cos b2aa + D6n sin
Tln= ~ a-* {[{D5nb2 + D6nb}) cos ^a - (DSn6, - D6nb2) x
X sin бгаа] ctg Ь -\-n2 (a sin2 ft) [ — An cos b&a +
^2n=(An cos ^а -f D6n sin Ьфа + — л2 (a sin ft) X
X An cos b2aa — D5n sin b&a]} e~biaa;
5n=— л (a sin ft) [(AA +AA) cos б^а -
-(ДЛ + D6nb2) sin b&a] e'0"; (l. 65)
/m==Y ra~2 JD6n cos^a - DSn sin b&a—1- A — jj.) л2 х
X (a sin ft) (DSn cos b^a+D^ sin б^а)} e~*iea;
=у ^«~2 {(^ (Ал cos бгаа - Д„ sin b&a) + -i- A -|i)«2 X
X(a sin ft)~2(An cos b&a+D^ sin 62aa)} e~*'a".
A
А
&1 _D6n62) cos бгаа-
- (ДА+A»*.) sin 62аа] е-6'Ла;
1 у2 ILV
У2 (Li ^ 64a4sin4»0
25

1.3.3. Коническая оболочка
При определении напряженно-деформированного состояния ко-
конической оболочки ограничимся безмоментным состоянием. Урав-
Уравнения моментной теории и методы их решения весьма громоздки,
здесь мы их опускаем.
Уравнения равновесия
7V+*-i7\ + #-iSi9*=0; б
S,x-{-2x-1S=Q; Т2=0; r=x cos Ьк.
Применяя метод тригонометрических рядов, получим
Sn=Elnx~>; Tln=E2nx-i + nEln(x*casbK)-\ A.67)
где Е{ — постоянные интегрирования.
Для граничных условий (см. рис. 1.3) Sn = Sn; ТХп = Ты при
in-nS°n(cosbK)-'(l~^)]> A-68)
Для перемещений оболочки имеем систему
eft
При условиях A.68) из A.69) получим
= Г-L П2 I sin2 ft )-1 _ 1 _ J fi f± _ ^0 (Sin & )~1 X
. A.70)
Условие un — vn=0 при л;=л:1 дает
x1) + /i(x1sin&K)-i-J?13n. A-71)
Используем условия сопряжения оболочки с шпангоутами на уз-
узком крае х=х0 (краевые перемещения оболочки обозначены вверху
26

индексом «О») и на широком крае jc=Xi (краевые перемещения
обозначены вверху индексом «1») ¦
u°n=unlco&bK-wnlsinbK; nv°n=wnl; .
u-n ; = ^2cas»K-wn2sin»K; nvV—wn2,
где индексами «1» и «2» внизу обозначены перемещения шпангоута,
сопряженного соответственно с узким и широким краями оболочки.
После определения EZn, Ein получим следующие выражения, связы-
связывающие коэффициенты Фурье краевых усилий оболочки и соответ-
соответствующих перемещений оси шпангоута:
; A.73)
sin ак+л-^Ыа- (*i sin ^ + «-^3) ®«i +
где
<}»! = a22A-b, 4»2= Д-1 [a22 — a12 A — q)];
^=*5в5 Ф7=[«12+ацA -Q)] sin»K(n
u=lnQ; a12=Q—lne—1;
Д=аО а
1.3.4. Деформация шпангоута с учетом
упругости оболочек
Рассмотрим шпангоут (рис. 1.3), подкрепляющий систему обо-
оболочек, н. д. с. которых описывается упрощенными уравнениями (ос-
(основное напряженное состояние для цилиндрической, безмоментное
н. д. с. для сферической и конической). Считая шпангоут нагружен-
нагруженным в плоскости, введем кинематическое ограничение (u=v = 0).
Оценка такого ограничения показывает, что оно приводит к незна-
незначительной погрешности при определении н. д. с. системы и может
быть использовано для широкого диапазона параметров конструк-
конструкции. Используя условие нерастяжимости оси, для коэффициентов
27

Фурье в разложении прогиба шпангоута
равновесия
1-
получим из уравнений
EF
A.74)
Коэффициенты pn при сопряжении оболочек рассмотренного
класса (см. рис. 1.3) (индексы «1», «2», «3» относятся соответствен-
соответственно к цилиндрической, сферической, конической оболочкам) имеют
следующий вид:
рю=[3 A -^
№)
Рис. 1.3.
Условия сопряжения (ит(-
декс «О» вверху относится к
оболочке): ып° = ип = 0; v„° =
= уп = зупп-1. Коэффициен-
Коэффициенты /„ учитывают граничные
условия на другом краю обо-
оболочки |=?'~1=?i и имеют
вид соответственно для:
а) защемления (u=v~Q);
б) свободного края {Т\ —
= S=0); свободного опира-
ния (fi = y=0) для 1[1]
— 2)
+2exp2»flei sin
ех
+ 2 exp »,& (cos 26^1 + 2) + 1
A.76)
ex
+ 2 exp 26n5i (cos 2bh^ — 2) + 1
Для осесимметричного нагружения (га=0) коэффициенты fo
имеют аналогичную A.76) структуру для: защемления (йУ=ф=0);
свободного края (Mi = Q1 = 0), шарнирного опирания (w = M1 = Q)
с заменой bn[bln из A.56)] на
»/1-^г3п
В A.75) и в дальнейшем черта над Е означает, что берется от-
отношение модуля упругости материала соответствующей оболочки к
модулю упругости материала шпангоута. Данные обозначения ха-
характерны для задач контактного взаимодействия оболочек и шпан-
шпангоутов (см. также гл. 4).
28.

При &?->-оо (случай бесконечной длинной оболочки) fn-»-l
Условия сопряжения в этом случае wn°=wnsin fto + ^ncos fto; vn°=
= vn = wnn-u, ы„ = 0 (•©¦с — сферическая координата края сфериче-
сферического сегмента)
sin^
Условия сопряжения на «широком» краю х—х\\
¦ и°а=ип cosbK-wn sin ftK; v°n=vn=wnn-1.
Для второго края (х=Хо) положено ып°=уп°=0.

ГЛАВА 2
КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ СОСТАВНЫХ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИИ
И КРУГОВЫХ ОСНОВАНИЙ —ЛОЖЕМЕНТОВ
В данной главе рассмотрены методы решения контактных задач
для конструкций, состоящих из нескольких оболочек вращения,
сопряженных с помощью круговых колец-шпангоутов, при нагруже-
нии их круговым опорным основанием—ложементом.
2.1. КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ СОСТАВНОЙ ОБОЛОЧЕЧНОЙ КОНСТРУКЦИИ,
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЙ С УПРУГИМИ ЛОЖЕМЕНТАМИ
Рассмотрим систему т произвольных оболочек вращения, стык
которых подкреплен шпангоутом, скрепленным с оболочками по
всему контуру. На шпангоут действует круговое опорное основа-
основание— ложемент. Ложемент может иметь произвольно расположен-
расположенРис. 2.1.
ные один или несколько вырезов. Рассматриваем основание с ли-
линейной характеристикой (модель винклерова основания).
Для определенности рассмотрим основание с двумя участками
контакта (рис. 2.1).
Прогиб шпангоута и радиальную нагрузку, определяемую в ре-
результате решения контактной задачи, представим в виде тригоно-
тригонометрических рядов
cos
sin
B.1)
B.2)
Контактное давление для принятой модели основания 5(ф) =
30

= сш(ф) или 5(ф)=р(ф)—(у(ф) (<7(<р) —внешняя нагрузка, при-
приложенная в месте сопряжения шпангоута и оболочек; с — коэффи-
коэффициент податливости).
Каждому члену разложения рсп и рап соответствует определен-
определенное напряженно-деформированное состояние в кольце и оболочках.
Для плоской деформации кольца (см. гл. 1)
(+2) /л(л1)Л + 2Р«)Г. B>3)
В B.2) pcl=ps[ = 0, так как главный вектор сил, приложенных
в сечеции, равен нулю. Коэффициенты {5„ определяются при учете
упругости оболочек. Решения соответствующих контактных задач
сопряжения оболочек и шпангоута изложены в гл. 1 и 4. Нагруже-
ние оболочек внешней поверхностной нагрузкой может быть учтено
корректировкой коэффициента рп-
Рассматриваем основание с произвольно расположенным несим-
несимметричным вырезом. Для свободных участков и участков контакта
имеем соответственно
во
%B.4)
2
Ро + 2 ^™ cos nf + Л» sin
2
о»
wsn sin n<f)=q{у).
Умножим обе части B.4), B.5) на cos fop, sin fop. Интегрируя в
соответствующих пределах и складывая, получим следующее ин-
интегральное уравнение:
2ic m t, 2к
Г . COS Щ ^Л г . COS #<р , <• . COS fop , .Q .
J sin fop Jmk J sin fop J sin fop
Ядро данного интегрального уравнения — нормируемое [47].
Следовательно, по теореме разложения решение B.6) существует
и может быть представлено в виде B.1), B.2).
Полагая fo=0, 1, 2..., выполняя интегрирование с учетом того,
что
2ic 2ic
с «. , г • • / , |0 (п Ф k)
\ cosrtcp cos йсрдср= \ sin щ sin k<pd<D=l v ' '
J oJ 1я (я=»Л)
COS Жр Sin fopflf(p= 0,
31

замечая, что интеграл в правой части B.6) дает коэффициенты
Фурье для внешней нагрузки, получим бесконечные системы ли-
линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов
Фурье рсп, р$п, Wei, ws\. Последние два характеризуют смещение
контура как жесткого целого
... +aknpcn
B.8)
+ cklwcl + • • ¦
Для случая одного произвольно расположенного выреза коэффици-
коэффициенты а,], Ьц, сц, dij имеют вид
Лоо=2л+?«0 Bср0 — ь + 9а);
ао1=сB sin сро — sin <pi + sin ерг);
аОя = саял~1 B sin л<Ро— sin «?i+ sin n<?2);
«10=^00 B sincp0— sincpi+sin<p2);
au= 1 /2cf2cp0 — <pi+<p2+ 1/2B sin2cp0— sin2cp1-fsin2(p2)];
а1я= 1/2 са„{(л— I) [2 sin (я — 1) <p0— sin (л — 1)<pt + sin (я — 1) <p2]-)-
r1[2sin(
B sin&p0
42sin(A+J)9o-sin(A+l)91+sin(A+J)9j>;
ам= \/2cak [2<ро — <Pi+(P2"b0>5A~1 B sin 2&ро— sin fepi~b sin
+ (я + k)~l [2 sin (я + *) 9o — si" {"¦ + k) 9i + sin in + k) 9a]}!
frol = C (COSfpj — COS<p2))
bOn=cann~1 (cos я<р! — cos я<р2);
bn =1/4 с (cos 2<pt — cos 2<p2);
*1я=1/2сая{(я-1Г1[со8(я-1)(р1-соб(я-1)(р2Ц-
-Oip! —coe(A—
bhk = 1 /4 ckr1 (cos 2k<fx — cos!
bkn= 1 /2 can {(я — A) [cos (я — A) <pt — cos (я — k) <p2] +
32

o=caQ (cos tp! — cos tp2);
= 1/4 с (cos 2tp! — cos 2cp2);
— (ft— I) [cos (ft— l)tpi — cos(ft— l)tp2]};
ckO=caok-1 (cos Atpt — cos &p2);
вивлио^ая
КОЛОХЗА
ОСКОР^А
+ (*+l)-1[cos(*+l)Tl-co6(*+l)?2]>;
cka= l/2can {(n +A) [cos (я + A) cpt - cas (ft + A) cp2] -
— (n — &)-1 [cos (ft — *) tpj — cos (ft — k) tp2]};
c*ft— 1/4 caft*-1 (cos 2&pi—cos 2^cp2);
rfM= 1/2 с {(?- I) [2 sin [k— 1) cp0- sin (A- 1) <p, + sin (A-1)<?2] —
-(A+ I) [2 sin (*+ l)cp0- sin (A+ 1)?1 + sin (A+ 1)%]};
fifftft= l/2caft [2cPo-cPl -cp2- 1/2A-» B sin 2&p0-
— sin 2Acp! + sin 2&p2)] +я;
dkn = 1/2 can {(n—k)-1 [2 sin (n—k) tp0— sin (д — k) cpi+sin (n—k) <p2] —
?cft> ?sft — коэффициенты Фурье внешней нагрузки.
Полученные решения могут быть несложно обобщены на случай не-
нескольких вырезов (несколько участков контакта).
Наибольший практический интерес представляют контактные
задачи для сплошного или с симметричным вырезом кругового ос-
основания.
Для симметрично расположенного выреза (см. рис. 2.1) следует
положить ф2= —фь В этом случае решение разделяется на симмет-
симметричное и несимметричное, и для определения рсп, wcl и psn, ws\
получим раздельные системы уравнений.
B.10)
B. It)
Коэффициенты a{]' и dff получаются из соответствующих ко-
коэффициентов aih dtj систем B.7), B.8) путем замены ф2 на — <pi.
Так, например,
B.12)
a(on==cann~1(s[n Щъ— sin /itpi);
«11)==<? Гть —T1+-5- (sin2?0 - sin2?1)l;
2 41
4 HE БОЛЕЕ 1Й КНЙГЙТГi
^одййтйиизгвдвЕ)

X[sin (я + 1)(р0- sin (л
— can{{n — k)-l[sin (л —*)(p0 — sin (л — A)<Pi] + (n-\-k)~lx
— c Г<Ро —?i—i- (sin 2<p0—sin2cPl)l;
i]} = can{{n — A) [sin (л — k)<p0— sin (л — ?)<Pi] — (я + АО^х
X[sin (л+А)ср0— sin («+?)?!]}.
Коэффициенты ^cft, 9sft определяются по B.9).
В случае сплошного кругового основания ф1=ф2=0. Здесь так-
также получим две раздельные системы уравнений для определения
Pen, Wen, Psn, Wsn
B.13)
B. 14)
Приведем коэффициенты систем B.12), B.13) ввиду практической
важности контактной задачи для сплошного основания
) = 2c sin cp0; 4"} = 2са„л-1 sin n%,
а|оГ)^ = 2са0 sin cp0; a(u0 = c (<p0— 1/2 sin 2%);
а{^ = сап[(п- 1)-» sin (Я_ lj^ + ^+l)-» sin (л+ 1)%];
aioI) = 2ca()A~'1 sin &p0;
аЙ1) = с [(A— I) sin (A— l)?0 + (A+ I) sin (A+ l)<poj;
2A(po)+n; B. 15)
sin (л — А)(ро+(л-f Apsi ]
i"^са„[(я-1)-» sin (л-1)%-(/»+I) sin (л+1)9о];
rf^^po / sin
dilnl) = сan[(n-k)~l sin (n-k)tfa-in+k)-1 sin (n+k)<f0].
Приведенные уравнения позволяют определить коэффициенты
Фурье нагрузки, действующей на оболочечную конструкцию в мес-
месте контактного взаимодействия с ложементом, и прогиба в зависи-
.34

мости от параметров конструкции (ссо, ап), кругового основания
(с, w0, фь ф2) и внешней нагрузки.
При численной реализации необходимо редуцировать систему.
Число уравнений я* можно выбрать, например, из условия
?
где Pn*{v) и /W-iOp) соответствующие суммы при числе уравнений
п* и п*—1; е — наперед заданное малое число. Возможны и другие
критерии. Нагрузка р(ф) и контактное давление определяются по
формулам
Отметим, что контактное давление более удобно определять по
формуле
О
так как ряд для w(q>) сходится существенно быстрее (а>„~рпя-4).
О регулярности систем уравнений
При -решении систем уравнений B.7) — B.14) проводится редуцирование их,
т. е. ограничиваемся числом уравнений. Такое решение справедливо, если беско-
бесконечная система уравнений регулярна. Следуя [44], назовем систему
(* = 0, 1,2,...) B.19)
регулярной, если 2 \fkn\ < 1» и вполне регулярной, если 2 \fbn\ < 1 — *-
о о
Имеет место следующая теорема [44]. Решение регулярной системы (оно являет-
является единственным) со свободными членами, удовлетворяющим условию ifft<
< ATQ/ { Q/ = 1 — 2 \fbn\ . К — постоянная I может быть найдено методом редукции
\ о /
(с любой степенью точности), т. е. если Х%*—решение конечной системы
п*
Хь = 2 /*л^л
л=0
то limAPJ* = ^Jk. B.20)
Указанные условия накладывают определенные ограничения на параметры
оболочечной конструкции и ложемента.
Рассмотрим случай сплошного ложемента при симметричном иагружении
(рп, = Ш1,=0). Вводя обозначения
Ро = Хо; cwl=Xl; А = Х2\... рп = Хп; сс0 = R2/EF; а = R4/EI,
систему уравнений B.13), полученную для данного случая, запишем в виде
2* 35

B.19). Коэффициенты /&„ при этом определяются из B.15) следующим образом.
Для сокращения знак 2 при fln< в B.3) опущен
/о,о = о;
sin
'; go =
ас sin
= yo + -ysin
—l
sin (я — l)y0 sin (я + l)yo
+
(Л2_ 1JA +ря) [ „_1 л + 1
¦]'
/so
z
B. 21)
fkn = —"
— l)y0
М) Уо 1
[sin (я —
л —
— *)Уо , sin (л +?)уо
л +
c« (yp +
sin
Рассматривая раздельно случаи &=0,1; k^2, приведем оценку соответствую-
соответствующих сумм, входящих в B.19):
а) при ? = 0
, \fkn
Я=0
ас sin
sin
+ ася
I
sin пу0
= я-' |sin yo + аеуц (уо)|; B. 22)
¦41Ы =
ЯС?0 fO
- ~J~~ ~& ~ sin
б) шрн k=\
ъ
! I/J =
2a0c sin
,—I
Г sin(n + l)y0 sin(n—1)у0 11
Х[ л + 1 + л-1 Л
(Л2- 1JA +р„)
2а0с sin - "~1
X
B. 23)
11
sin(n + l)y0
sin (л— 1)ч>о 11
(Я2_1J(л —1) Л*
Проведем оценку тригонометрических сумм, входящих в B.23):
sin 2y0
36

sin (я-1)90
Тогда
о 4 5
sin (п— 1)9о Ф4?о я2Уо Я!Ро ^р_
(л—1M " 90 ~ 36 48 240'
' B.24)
2 sin
где
sin
=(?о + 1/2 sin
f0
J
240 48
Я* я2\ яУр У0 / Яг\
,90 6 /~ 4 12 \ 3 /
sin 2<роП
0,15
0,10
0,05
-0,05
1,0
¦0,5
-О
1
г
ц
S
\
\
\ 9°
1Г Я 1Г Я 5Ж\%_
12 6 4 J 12 \2
в) при /г = 2, 3...
sin
Рис. 2.2.
1Г sin (ft— l)9o , sin (ft + 1)90
ft-1 ft+1
я=0
(Л2_
[sin (w —
Л-
sin (л +ft)9o
л + ft
-II
2a0c
_,f sin (ft—l)9o , sin (ft + 1) 9q 1
sinfepo + Yft | Г—i ¦*" ft + 1 J
VI Г sin
^ [(л_
2
ft—1
sin (я —ft)9o ът(п
Л)(я2_1J
*)To 11
-1J Л'
B. 25)
Проведем оценку сумм, входящих в B.25),
VI sin (л +
cos n<(o .
Л4 '
37

2A(n — ft) («2—1J
Тогда
cos
¦
— sin
cos «<po
1)фп i sin (jfe—
^—
+ 2ОСЯ Л, (cpo)| < 2n-i| aoc + 2/3 + асЛ, (?0)|.
Графики функций г), приведены на рис. 2.2.
Выпишем полученные приближенные оценки сумм:
B.26)
(sin
(tpo)|;
B. 27)
Регулярность бесконечной системы обеспечивается, когда 50^lr
Так как S0<cSu, следует ограничиться двумя последними нера-
неравенствами. Условия B.27) дают оценки ограничений на параметры
системы R2/F; R;i/I; cjE. При этом совокупность свободных членов
системы ограничена сверху, т. е. можно записать
B. 28)
Отметим, что для многих функций, выражающих внешнюю на-
нагрузку, коэффициенты Фурье q*. либо постоянны (сосредоточенные
силы), либо стремятся к нулю при ?-»-оо как 0A/&) (распределен-
(распределенная равномерно на участке, косинусоидальная нагрузка и др.).
Анализ распределений контактного давления
при контактном взаимодействии оболочек
и ложемента
Рассмотренные выше общие методы дают возможность пост-
построить распределения контактного давления для различных оболо-
чечных систем и выяснить влияние на него параметров конструкции,
ложемента и вида внешней нагрузки. Ниже приведены некоторые
численные результаты решений соответствующих контактных задач
на основании рассмотренных выше методов.
На рис. 2.3 представлены графики распределения контактногс
давления в случае контактного взаимодействия длинных цилиндри-
38

Рис. 2.3.
39

ческих оболочек, подкрепленных шпангоутом, и ложемента (сплош-
(сплошного или с.симметричным вырезом). Коэффициенты ап, Рп в урав-
уравнениях определялись по формулам
b=cRVEI; а=^3A-^2)р3/4?;1Л3г/-11/г7^ B.29)
Варьировались параметры а, Ь и углы фо, фь При выборе числа
я* использовались возможности ЭВМ (расчеты проводились на
ЭВМ типа М-220 и БЭСМ-4). Анализ показал, что в большинстве
случаев приемлемая точность достигается при числе уравнений
10—20. В ряде случаев использовался критерий B.16).
В левой части рисунка приведено распределение контактного
давления для а=2, при этом слева от вертикальной оси дано рас-
пределение для 6 = 50, справа 6=1500. В правой части рисунка
приведено распределение давления для а=0,5; слева от оси 6=1,
справа 6 = 500. При этом углы выреза для фО=9О°, <pt = 18°; 36°;
для фо=60°; ф! = 18°, 36°, 54°, для фо=30°, ф1 = 9°, 25°; для фо=45\
?1 = 9°;35°.
На рис. 2.4 представлены графики распределения контактного
давления в случае контактного взаимодействия сопряженных ци-
цилиндрической и сферической оболочек, стык которых подкреплен
шпангоутом, и ложемента.
При этом (см. гл. 1)
1 п(п2_1)Ся(»с)
- J_ ?c/t/?3 B>30)
2 A+tf/
Отметим, что для широкого диапазона параметров p
Так, при #=1 м, Iii — h2=2-10~3 м; ¦до = 45° получим рП2/Рл1 =
= 7-103 (л = 2); 5,5-Ю2 (л=10); 1,62-Ю2 (л==20).
Таким образом, в расчетах можно ограничиться рП2- Для цилин-
цилиндрических оболочек малой длины, края которых защемлены, должна
быть учтена жесткость обеих оболочек. Некоторые оценки влияния
длины оболочки даны в разд. 2.2.
На рис. 2.4 углы выреза те же, что и на рис. 2.3. Параметры 6V
6 указаны.
На рис. 2.5—2.6 показано влияние жесткости основания на рас-
распределение контактного давления при взаимодействии оболочек и
сплошного ложемента. На рис. 2.5 для цилиндрической оболочки
а = 0,5; 2 сплошные линии дают распределение для параметра 6 =
= 50, пунктирные для 6 = 500. На рис. 2.6 для сферической оболочки
F = 2500) сплошные линии дают распределение для жесткости
6 = 50; пунктирные — для 6=1000. На рис. 2.7 приведено сравне-
сравнение распределения контактного давления для бесконечной цилинд-
цилиндрической и сферической оболочек при одной и той же жесткости ло-
40

Acoscp
26,20
10,66
41

жемента с=5-10« Н/м* (Л=1 м; /г1=/г2=2- 10~з м; ц=0,3; Оо=45°;
/=3-10-7 м4).
На рис. 2.8 приведено распределение давления при контактном
взаимодействии конической оболочки, подкрепленной шпангоутом,
и ложемента. Использовались соотношения моментной теории обо-
¦
1
г,
-
- 1
1
/
/ 30
-1**
/
15° I
I
1
1
1
о]
г
1
1
1
1
1
/
i /
^?~
76°
90°
>
/
^75°у
О
Рис. 2.5.
60
лочек. При определении р„ использовалась формула, полученная
для условия плоской деформации шпангоута {26]
1/2 (
cos &
cos &
- (rfj, cos &K
sin &K
cos &K-
cos
, = —=300; a2 = EK
B.31)
Параметры y,j, о(,5- определены по B6, 50].
На рисунках слева от вертикальной оси дано распределение для
6=1, справа — для 6=1500. Углы вырезов для фО=9О°, qpi = 30°;
Фо = 75°, Ф1 = 25°; 37,5°; ф0 = б0о; <pi = 20°, 30°; ф0=45о; ф1 = 15°.
На рис. 2.9 приведено распределение давления при контактном
взаимодействии эллипсоидного днища, подкрепленного шпангоу-
шпангоутом, с ложементом. Коэффициент р„ определялся по формуле B.31),
где ai = 300; «2=100; #k=y=45°; отношение полуосей эллипса
42

7i=qp~l = 0,l. Слева от вертикальной оси отложено давление для
Ь=\, справа — для ?=1500. Углы выреза — те же, что и на рис.
2.8. Сравнение распределения контактного давления для эллипсои-
эллипсоидального днища и сферического сегмента (в этом случае qp~x—\)
одинаковой толщины при одинаковых 0^ = 300, й2=Ю4 (рис. 2.10)
показывают, что давление практически одинаково.
30
Рис. 2.6.
Рис. 2.7.
Определение контактного давления проводилось для нагрузки
q(q,)=A cos <p (Л=105 Н/м2); контактное давление на рис. 2.2—2.9
приведено в НУм2.
Анализ полученных многочисленных численных результатов для
оболочек различного класса и различных параметров систем поз-
позволяет сделать некоторые общие выводы. Изменение параметров
жесткости оболочек а, ах, а2, б влияет на распределение контактно-
контактного давления в меньшей степени, чем жесткости ложемента. С ростом
жесткости ложемента давление существенно перераспределяется,
возрастая на краях площадки контакта. При двух участках кон-
контакта с увеличением выреза возрастает отношение давления в зо-
зонах, близких к краям выреза, к давлению на краях ложемента.
Увеличение жесткости ложемента в ряде случаев приводит к появ-
появлению зон «отрицательного» давления, что может быть связано с
«отходом» конструкции от ложемента. Данные вопросы более под-
подробно рассмотрены в гл. 3. С уменьшением жесткости ложемента
распределение контактного давления становится близким к коси-
43

нусоидальному. К такому же эффекту приводит увеличение жест-
жесткости конструкции в месте взаимодействия ее с ложементом. Анало-
Аналогичные эффекты дает увеличение угла конусности оболочки. Для
S,9t
малых углов конусности распределение практически такое же, как
для цилиндрической оболочки
Явление Возрастания контактного давления на краях площадок
контакта подтверждается экспериментальными данными, получен-
полученными на моделях ложементов методами фотоупругости [31]. Это же
подтверждается экспериментальными исследованиями локальной
44

Рис. 2.9.
Ч/P'V
Рис. 2.10.
45

устойчивости моделей сферических оболочек при локальном нагру-
жении ложементами (см. гл. 6).
Отметим,, что выводы о возрастании контактного давления в
краевых зонах площадок контакта, приводящем к нагрузкам на
оболочки, близким к сосредоточенным, имеют существенное значе-
значение при оценке прочности соответствующих оболочечных конструк-
конструкций. Рост контактного давления может привести к местному раз ¦
рушению или потере устойчивости оболочек.
2.2. КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК,
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С УПРУГИМИ ЛОЖЕМЕНТАМИ
В разд. 2.1 рассмотрены общие методы решения контактных за-
задач для оболочечных конструкций, взаимодействующих с ложемен-
ложементами. Эти методы позволяют построить решение для произвольных
систем оболочек при произвольном нагружении. Решение при этом
построено в виде тригонометрических рядов.
Однако для частного случая взаимодействия бесконечных ци-
цилиндрических оболочек с ложементом структура исходных соотно-
соотношений такова, что возможно получение решения задачи в замкну-
замкнутом виде. Такое решение может быть осуществлено для сплошного
и с симметричным вырезом ложемента.
Замкнутые решения данных задач представляют интерес также
с точки зрения оценки точности метода решения в рядах, являюще-
являющегося общим.
Интерес при этом представляет оценка влияния длины оболоч-
оболочки при различных граничных условиях на распределение контакт-
контактного давления. Такое исследование может быть выполнено на осно-
основе приведенных в гл. 1 соотношений, позволяющих учесть различ-
различные краевые условия для оболочки.
2.2.1. Контактная задача
для бесконечной цилиндрической оболочки
и сплошного упругого ложемента
Рассмотрим бесконечную цилиндрическую оболочку, взаимодей-
взаимодействующую с упругим сплошным круговым ложементом. В месте
взаимодействия находится шпангоут, к которому приложена нагруз-
нагрузка <7(<P)=/4coscp (Рис- 2.11). Подобную нагрузку можно считать
своего рода «фильтром» при определении контактного давления,
так как она позволяет исключить влияние эффектов, связанных с
изгибом кольца внешней нагрузкой (нагрузка A cos <p не вызывает
изгиба кольца, смещая его как жесткое целое). Отметим, что вве-
введение других законов распределения внешней нагрузки не приве-
приведет к значительному усложнению решения.
Нагружение является симметричным, поэтому в разложениях
присутствуют только члены, содержащие cos тр.
46

Граничные условия для свободного участка и участка контакта
имеют соответственно вид
B.32)
cos
^" cos щ=л cas ?-
Для бесконечной цилиндрической оболочки, применяя прибли-
приближенное уравнение основного напряженного состояния (см. гл. 1),
коэффициент рп запишем в виде
fr/h. B.34)
Рис. 2.11.
Система B.32) —B.33) примет вид
00
Ф„ [A - п-2J+ап-Ц cos жр= Л cos ср - р0;
B.35)
-/?o; B-36)
Ф^АЛП-я^+шг*]; b=cR*/E/\ B=A-cwx.
00
Введем функцию Ф («р) = V Фяга~4 сое щ.
2
Тогда граничные условия B.32), B.33) запишутся в виде
1У п B.37)
-д,. B.38)
Решения уравнений B.37), B.38) запишем в виде
B.39)
1. B-40)
где Ф], 2 —'решения однородного уравнения B.37); Ф3,4 — решения
47

однородного уравнения B.38), симметричные относительно верти-
вертикальной оси:
COS
Ф1 = {ехра1(я-ср)±ехр[-а1(я-<р)]} . [&(*-?)]; B.41)
2 sin
cos
Фз=[ехр од ± ехр [ - од)] р2<Р. B.42)
4 sin
Через си, рь аг, fb обозначены соответственно действительные и
мнимые части решений характеристических уравнений для соот-
соответствующих однородных уравнений
а, = 1/2 У а; р, = /1-1/4л;
Т+b-\/2B-a); р,=
B.43)
Используя B.41), B.42), получим выражения для функции Ф вне
участка контакта и на участке контакта
Ф1 (<р) = 2Cj ch aj (я — ср) cos Pj (я — <р) -j-
+ 2С2 sh dj (я — ср) sin р, (я — <р) + Ла~1 cos <р — /?0; B.44)
Фп (cp)=2C3cha2<pcasj32cp-j-2C4sha2<p sin
. • B.45)
Постоянные Ci_4 находятся из условия непрерывности функции
Ф(ф) и ее первых трех производных в сечении ф== ±<р0. Функция
Ф(<р) имеет коэффициенты Фурье, убывающие столь же быстро,
как и эти коэффициенты для ау(<р); непрерывность же w(q>) и пер-
первых трех производных означает непрерывность прогиба, угла пово-
поворота и силовых фактов. При ф=сро
<&, = <&„; Ф} = ф!,; ф!! = ф11; ф!" = ф!!!. B.46)
Производные функции Фг, Фп, через которые выражаются гранич-
граничные условия, имеют вид
ф{ (9)=2Cj [ — ct! sh ai (я — tp) cos ^ (я — «p) + Pi ch сц (л — <p) sin px X
X (я — <p)] — 2C2 К ch aj (я — <p) sin ^ (я — p) +
+p, sh at (я — <p) cos Pj (я — <p)J — -4a sin f, ,
Фи (<р)=2С3 (аз sh a2<p cos p2?—fa ch c^tp sin p2<p) +2C4 (c^ ch
X sin p2?+?2Sh O2<p cosp2<p) — В {a-\-b)~l sin <p;
Ф" (<p) = 2Ci [{al-$)ch at (я-<p) cos pt (я —<p) — 2O& sh
x(«-<p)sinp1(n-<p)J + 2C2[(oi-pi)sho1(«-<p)sinp,x
X (я — <p) +2ajp! ch a! (я — <p) cos ^ (я — <p)] — Aa~l cos <p;
Ц (<p)=2C3 [(ai - pi) ch O2<p cos p2cp - 2<z2p2 sh a^f sin p2<p] + B.47)
+ 2C4[(a2 — p|)shсад sin pf2ph osp]
48

— В(а + Ь)-*со&%
Ф\П(9) = 2С1 l[2o$-O, (of-tf)] 8Н«1(Я-<р)СО8р1 (Я-
+ [2<z?ft + ft (о? - ??)] ch at (я - <р) sin ft (л - ?)}+
+ 2C2{[2o1p?-o1(ai-??)]cho1(n-<p)sinft(n-
— [2a?ft + ft (си — p?)] sh щ (я — cp) cos ft (я—<р)+Ла~' cos <p;
<C (<р) = 2С8 1[а2(а1-Й)-2о2Й sh a2cp cos ftcp - [ft [a| —pi) -j-
+ 2alft] ch од sin ?2<p} +2C4 {[02@2 —ps) -2aji]ch a& sin
+ [ft @2-^2) +2aift] sha2<pcos ftcp + 5{a + Й) sin cp}.
Постоянные р0 и В определяются из условия, что разложение
функции Ф(ф) не имеет членов Фо и Ф] соэф, т. е.
f «№<р=2^ Ф„</«р+2 f <M<p=O; B.48)
6 6 Vo
2х <ро ic -
f Ф costpflTtp=2 Г Фп coscpf/cp-j-2 Г Ф, coscpufcp=0. B.49)
60 <р0
Условия B.48), B.49) можно получить непосредственным интег-
интегрированием B.44), B.45), однако это приводит к весьма громозд-
громоздким вычислениям. Применим упрощенный прием. Рассмотрим урав-
уравнение B.49). Применяя интегрирование по частям, первый интеграл
запишем в виде
f Ф сазсрй?ср=Ф sin cp I -J- Ф coscp I — Г Ф11 cos cprfcp. • B.50)
О 0 0 0
Аналогично
Гф" cascPaf<p=<i>IIsincP I -j-Ф1" cascp | _J Ф1У cos<prf«p. B.51)
При вычислении 1-го интеграла в B.49) используем граничное
условие на участке контакта B.33). Рассмотрим выражение
Г [ф{,у + B-а)Ф!! + A+й)Ф11] cas<pi/<p=f(Scoe<p-p0)cps<prf<p.
G О
B.52)
Преобразуем левую часть B.52), используя B.50), B.51):
<Ро Г fi ft "I
|>ФпУсозсраГср-)-B—а) (ф" sincp + Фм' coscp)| — f ФпУ cos сраГ? -f
Г ?о
|(фн sincp-j^ucoscp — Фп sincp —Фи'собср) I +
L о
49

-f-f ф[У castpaftp =[A— а)(Фи sin<p-f^!icostp)-f-^n sin <p-f-
f+(a + *)f*ncos<prf<p. B.53)
<J 15
Из B. 52) получим
| —A — a)x
f Ф11
х(Фц sin<p-HX>iicos<p) — (фЦэт <р + Фп'costp)| I. B.54)
о о J
Для нахождения 2-го интеграла в B.49) используем граничное ус-
условие вне участка контакта B.37). Проводя преобразования, ана-
аналогичные приведенным выше, получим
a-'i U A coscp — /?0) cos cpdcp — A— а)а~1(Ф1 sincp-j-
тс iz
-\-ф\ coscp) | -а-1(фГ51пср + ф!псо5(р)|. B.55)
?о То
Суммируя B.54) и B.55) с учетом условий сопряжения, уравне-
уравнение B.49) после ряда преобразований окончательно запишем ь
виде
1С
= (l — а)[Ф(<р0) з1пср0 + Ф1 11
(ср0) coscp0+/?0 sin cpo + 1/2^-1 (<po+ 1/2 sin 2
-f-1 /2 (а + 6) &-1 (я — ср0 — 1 /2 sin 2cp0) А—О. B.56)
В данном выражении учтено, что для функции ф(ф) =фх(ф)+
+Фп(<р) в силу ее непрерывности и симметрии относительно верти-
вертикальной оси в сечениях <р = 0, я первая и третья производные рав-
равны нулю.
Рассмотрим уравнение B.48). При вычислении первого и второ-
второго интегралов используем граничные условия на участке и вне уча-
участка контакта. Проводя интегрирование в соответствующих преде-
пределах, с учетом равенства нулю первой и третьей производных в се-
сечениях ф=0; я получим
]/>0=0. B.57)
Условия B.46), B.56), B.57) дают систему шести линейных ал-
алгебраических уравнений для определения постоянных С^, В и ро>
50

необходимых для решения задачи. Из B.37), B.38) получим
р(9)=Ф]У(9)-\-B-а)Фи(<?) + Ф(<?)-\-р0; B.58)
на участке контакта
B.59)
Контактное давление
-А) сов ь B.60)
где Фц(ср) —аналитическое выражение функции Ф(ср) в области
контакта.
Окончательно получим
S (<?)=—2b (C3ch <z2<p cos p2<p 4* Ct sh <z2 sin
После ряда громоздких преобразований ур^вдений B.46), B.56),
B.57) с введением ряда обозначений получюй>«истему уравнений
для определения шести неизвестных постоянных. Элементы матри-
матрицы системы представлены в табл. 2.1, в которой обозначено:
M1 = sh а{ (я — ср0) cos ^ (л — <р0); 7V1 = sh a2<f>0 cas р2ср0;
//f2 = cha, (я — ср0) sin pt (я — ср0); 7V2 = cha2cp0sin p2cp0;
M3=cha1{n — <р0) cos flj (л — <р0); N3=cha2<pocasp2cpo; B.62)
¦M4=sha10"r —cpo) sin ^(л — ср0); 7V4=sha2cp0 sin p2cp0;
K1 = fi-a\; АГ2=р1—al; л1 = 2
/п, =а(C?12 — а?); т2=
Вид ai,2; Pi, 2; а; Ь; В определяется по B.34), B.36), B.43). При-
Приведенное построение дает решение контактной задачи для бесконеч-
бесконечной цилиндрической оболочки, взаимодействующей с упругим
сплошным ложементом, в замкнутом виде. Входящие в систему ко-
коэффициенты зависят от параметров оболочки, ложемента и шпан-
шпангоута (в случае отсутствия шпангоута приближенное решение зада-
задачи можно получить, заменяя его «кольцом» из оболочки единичной
ширины). В этом случае /=Vi2 h3.
Полученное решение можно использовать для оценки точности
общего метода решения подобных задач в рядах Фурье, так как
рассмотренная выше задача может быть решена при соответствую-
соответствующем задании коэффициента рп и использовании общей системы
уравнений для сплошного ложемента, полученной в разд. 2.1.
Приведем соответствующий пример расчета.
Параметры а и Ъ образовались из соответствующих параметров
оболочки, шпангоута и ложемента и равны соответственно: а =
= 0,84226, Ь= 1428,57; жесткость ложемента с=5-106 Н/м2, А =
= 105Н/м2.
51

аст
В"
вая
а
с
о
о.
03
О
СО
о
о
о
1
ч
о
э-
C0S
*¦
~Ь
^,
«С
О
Э-
сО
О
т
«
>
со
3=
со
3=
Т
8-
П
'й
о
о
8-
П
|
-о
-|-
>
t
CD-
в"
ч,
ОХ
т
СО
О
О
о
Э-
сп
о
а
СО
1
с"
t
"Г
=?
со
|
8-
i sin
1
о
о
э-
'я
i
I
2-
-
+
I
=€
a.
to
s"
i
о
a-
X .5
+ j~.
¦^ x
T
+
*
'Й
1
о
о
|
I-*
1
en.
i
¦**
x ^
Э-
(Л
~ x x 7
to
о
8-
X ?
¦в, d.
4 —
СЧ -r
—i О
8-
X
о
о
Iх i x
^1L + i -
^ ^ э- — я; с
| CO
, 1 X
- ^>
3 , i V
~* ¦** s
; U x
X
52

1. Решение проводилось на основании общего метода на ЭВМ.
В системе B.13)
Контактное давление определялось по формуле
<p; wn=anpn.
При решении использовались стандартные программы решения
систем алгебраических уравнений. При этом ставилось условие схо-
сходимости
< 0,001,
выполнение которого требовалось по всем ф от ф=0 до ф=<р0. При
расчетах можно ограничиться максимально ' возможным числом
уравнений (исходя из возможностей ЭВМ).
Значение контактного давления выдавалось на печать через
интервал 0,1 фо.
2. Решение проводилось по методу, рассмотренному в данном
разделе. Рассматривалась система из 6 уравнений, контактное
давление определялось по формуле B.61). Значение 5(ф) также
выдавалось на печать через 0,1 фо.
В табл. 2.2 приведены значения величины контактного давле-
давления, полученные двумя указанными методами для сплошного
ложемента с углами охвата 30° и 150°.
Решение по второму методу можно считать точным. Сравнение
значений контактного давления по табл. 2.2 показывает хорошее
совпадение точного решения и решения в тригонометрических ря-
рядах.
Таблица 2.2
Решение в рядах
?°
0
1.5
3
4,5
6
7,5
9
10,5
12
13,5
15
S(f)-10-5
Н/м2
0,077464
0,257973
0,800103
1,705469
2,976110
4,613518
6,617363
8,984050
11,70536
14,76751
18,15078
?°
0
7,5
15
22,5
30
37,5
45
52,5
60
67,5
75
ТН/М2
1,777054
1,756742
1,710636
1,620980
1,473805
1,252776
1,057110
1,032993
1,498151
2,917370 •
5,455035
Решение по методу 2
?°
0
1,5
3
4,5
6
7,5
9
10,5
12
13,5
15
S(<p)-10-5
Н/М2
0,07510
0,256255
0,800061
1,707426
2,979456
4,616844
6,619013
8,983012
11,702177
14,764541
18,151020
?°
0
7,5
15
22,5
30
37,5
45
52,5
60
67,5
75
Н/м2
1,771149
1,758696
1,715367
1,625422
1,472222
1,259795
1,052439
1,027538
1,510409
2,914323
5,455361
53

2.2.2. Контактная задача для бесконечной
цилиндрической оболочки и упругого ложемента
с симметричным вырезом
Рассмотрим бесконечную цилиндрическую оболочку, взаимодей-
взаимодействующую с упругим круговым ложементом, имеющим симметрич-
симметричный вырез. Нагрузка <7(<р) та же, что и в случае сплошного ложе-
ложемента. В данной задаче граничные условия для свободных участков
и участков контакта записываются в виде
Л>+2 Рп cos щ = A cos <p; B.63)
озр. B.64)
Проводя выкладки аналогично проведенным ранее, граничные
условия B.63), B.64) запишем в виде
1Уи B.65)
/?0. B.66)
Решения уравнений B.65), B.66) имеют вид
Ф1((р)=С1Ф1 + С2Ф2 + Ла-1созср—р0; B.67)
фп (?) = С5Ф5 + С6Ф6 + С7Ф7 + С8Ф8 + В (а + b)~i cos ср - A + 6)~у0;
B.68)
Ф„1(?) = С8Фз + С4Ф4 + .4а-1соз?-/»0. B.69)
Здесь Oi,2, Фз, 4 — решения однородных уравнений B.65) соответст-
соответственно на участках I и III, симметричные относительно вертикаль-
вертикальной оси, Ф5-8 — решения однородного уравнения B.66) на участке
контакта II (рис. 2.11).
Постоянные интегрирования Cj_8 определяются из условия, что
Фг и Фц и их три производные непрерывны при ф=ф0, а Фп и
Фш и их три производные непрерывны при <p=«pi. Постоянные Ро и
В определяются из условия, что ряд не имеет членов Фо и ©icos <p,
т. е.
2х . 2т.
Г ф^(р==О; f Ф cos(pflf<p=0;
Ф = Ф, | +Фц | +ФШ
Данные уравнения после ряда преобразований, аналогичных
проведенным для сплошного ложемента, запишутся в виде
54

¦\-B A +6)-1 (sin ср0 — sin <pt) — Л (sin <p0 — sin ^) —
-[я + *A+*)->(?,-<Pb)I/»o=O; B.71)
2*
Ф cos(pflf(p=(l -а) [Ф(?1) sin <Р! + Ф' (?i) cos<p,]-(l -а) [Ф (%) sin
+ Ф1 (?0) cos (po] + ФИ Ы sin ?i — Ф" (%) sin «рь + Ф1П Ы cos <Pi -
- Ф1" (?0) cos (p0 + /»0 (sin ?i - sin %) + 1 /2 air1 [^ — % +
+1/2( sin 2?! - sin 2<p0)] В - 1 /2 (a + b) й [я + ?1 - % +
+ l/2(sin2(p1-sin2<p0)]Л=0. B.72)
В формулах B.67) — B.69)
COS
Ф1 = {ехра!(л —<p) ±exp[ —aj(n—<p)]} [^ (я —<p)];
2 sin
COS
Фз=[exp a2<p + exp (— a2<p)] ?2<p; B. 73)
4 sin
cos
а3(<р-(р1)]} [Р8(«р —«pOJ;
Sin
COS
Ф7={ехра3((р-(р1)-ехр[-а3((р —(pj)]} . [P3(«p-«Pi)].
8 Sin
Через а^ и р,- обозначены действительные и мнимые части кор-
корней соответствующих характеристических уравнений
p1 = p2= 1/2 КФ^а;
B-а); B.74)
Окончательно после громоздких вычислений, подобных прове-
проведенным для сплошного основания, получим систему уравнений для
определения 10 неизвестных Ci_8, р0, В, элементы матрицы которой
представлены в табл. 2.3, где обозначено:
Мj = sh ctj (я — ср0) cos 3j (я — <р0); М2—<±ах (я — <р0) sin 6j (я — <р0);
Mz — ch ах (я — ср0) cos 3j (я — <р0); Ж4=sh щ (я — <р0) sin ^ (я — <р0);
cosB^j; N2—c
B.75)
55

Таблица 2.3
0
0
0
0
Мз
(M*a-M*i)
(пхМз — ntiM4)
*A+*)-15!Х
X (aiM1 + p2M2)
{-[A_я + я1)А<8+
+ щМ^] sin ф0 —
- [axMx (Si — 1) +
+P2^2Ei + l)]cos?0}
c2
0
C3
^3
0 | (O2//l - P2-V2)
0
0
M4
- (oiAf2 + PiAfi)
(П!/И4 + /»iAf3)
(YiMz-XjAiO
6A +6)-i52X
X(ajM2 —pjyMj)
{[(П1 + 1-а)^4+
+miM!] sin ф0—
— [E!-1)а2^2-
-Ei + l)?iAli]x
X cosfo}
(n2N3 — miN4)
(Y2^i +Х2Л^2)
0
0
0
0
6A +ft)-iS2X
X (a2^j + р2ЛГ2)
{[(п2 + 1-а)Л^3-
— «г-М}] sin фо —
-[E2-1H2^ +
+ (S2 + l)p2tf3]X
X costpi}
N4
(a27V2 + p2^i)
(«2^4 + '«гЛ^з)
(Y2iV2 —ХгЛ^О
0
0
0
0
6A +b)-iS2X
Х(а2ЛГ2 —P2^i)
{[(п2+1-в)Л^4+
+ «гЛ^з] sin »o —
-[(S2-l)a2^2-
-(S2 + l)p2^i]X
X cos?!}
Продолженне табл. 2.3
Сь
-Кг
(hN2-a3N3)
(/П3К4—П3К3)
— (У3К1 + I3K3)
- Кз
— (С&3*\ 1 — гЗ*^2/
— C^2*V3 — ^3*V4/
(.УзК\ + х3а;2)
0
0
Се
-К2
-(а3К2-?зКз)
-а:4
-(озАГг + РзАГ!)
— (П3К2—^з^О —(пзК\ + гпзКз)
-(УзК4-13Кз)
-К2
-(Ys^-XsATO
-а:4
Cs
-Кх
-(азКз-foKi)
-{пзК1-т3К2)
— (Y3AT3 + Х3АГ4)
-Ki
— (/?з^С2 ~Н ?пъК\)
(Y3A4 — '\Ч*^3/
¦— {.пзК4 + шзКз)
— (Я3АГ1 — П13К2)
(У3К2 — hKi) j (УзАГз.+Х3/С4)
0 1 0
0
0
0
0
56

Продолжение табл. 2.3
2D
— cos 9i (a + b)~i
sin 91 (в + b)—l
cos 9i (a -J- b)— l
— sin 9j (a + 6)—1
— cos 9o (a + A)~l
sin 9o (a +*)-!
cos 9o (a + A)"
sin 9o (a + b)-i
(sin 9o— sin 9i)(a+A) '
1 Г 1
у ^-1^-90+ — X
X (sin 290— sin29!)]
-b(l+b)-l
0
0
0
-A(l+*)-l
0
0
0
a (sin 9o— sin 91)
— — cos 91a"
1
—¦ sin cpja-i
— cos 9ia~i
— — sin 9ia—1
— — cos 9Ge~1
— sin 90a-l
1
— cos cpoa-l
— sin <роа-1
1 |(a+*) sin 9o sin 91 
2 [ a(a+b) a \
7(«+»)Hx
4
X Ui—?о-Нл+—(sin 290—
— sin.9d)] +—a-1X
X(sin 91— sin <po)
57

2 = a\ — pf;
Используя B.67) — B.69), контактное давление запишем в виде
5(<p)=-*®n((p) + E--4)cos<p. B.76)
Преобразуя выражение для Ф(ф), получим
5((р)=—2*[Cscha3(<p —<pi)cosp3(<p —<Pi)+C6cha3((p —(рОх
Xsinp3((p —cp^ + Cjshag^ —cpO sinp3((p —cpi) + C8sha3 (<p —<j>i)X
X cos & (T-Tl) + [a*(a+ *)-»-Л] cos <p + />0*(l+*)-*. B.77)
Как видно из B.77), для определения контактного давления не-
необходимо знать шесть постоянных С5_8, Л и р0- Параметры жестко-
жесткости оболочки, шпангоута и упругого ложемента входят в коэффи-
коэффициенты а и b (соответственно в аи Pi).
Отметим, что рассмотренная задача может быть решена также
общим методом в тригонометрических рядах, приведенным в
разд. 2.1.
2.2.3. Оценка влияния длины цилиндрической оболочки
Выше получено замкнутое решение контактной задачи для бес-
бесконечной цилиндрической оболочки. Проведем оценку влияния на
распределение контактного давления длины цилиндрической обо-
оболочки. Решение проведено на основе общего метода решения кон-
контактной задачи в тригонометрических рядах с введением соответ-
соответствующих коэффициентов, учитывающих различные граничные ус-
условия по формулам, приведенным в гл. 1. Коэффициент р„,- имеет
вид
р„=а«2(я2-1)-2(/я1 + /я2), B.78)
где коэффициенты fni учитывают длину оболочки каждой из полу-
полуоболочек и для случая шарнирного опирания, защемления и сво-
свободного краев приведены в гл. 1.
При определении контактного давления используем соответст-
соответствующие системы уравнений из разд. 2.1. Нагрузка Лсозф(Л =
= 105Н/м2).
На графиках рис. 2.12, 2.13 приведены некоторые результаты
исследования влияния условий на краях цилиндрических оболочек
на распределение контактного давления. Расчеты проведены на
ЭВМ. Параметры системы таковы: /?=1 м; E — Ei=6,86• 1010 Н/м2;
/=3-10-7 м4; h{ = h2=2-10~3 м; ц = 0,3; с = 5-106 Н/м2.
На рис. 2.12 приведены распределения для g = L/2/?:=0,5 и |=4
для оболочки с защемленными краями. Пунктирные линии соот-
соответствуют бесконечной оболочке, сплошные — оболочке конечной
длины. Соответственно на рис. 2.13 дано сравнение распределения
'58

s
P.
59

контактного давления для защемленных оболочек различной дли-
длины (сплошные линии — для ?=4, штрихпунктирные для ?=0,5).
Анализ других полученных численных результатов показывает,
что в случае свободных краев распределение получается практи-
практически таким же, как для бесконечной оболочки. Для защемленной
оболочки уменьшение длины увеличивает жесткость системы.
В этом случае распределение становится близким к равномерному
или косинусоидальному.
В случае, когда один край оболочки свободен, а второй защем-
защемлен, эпюры контактного давления практически совпадают с эпюрой
для одной оболочки с защемленным краем [25].
2.3. СЛУЧАЙ НЕЛИНЕЙНОГО КРУГОВОГО ОСНОВАНИЯ
Выше при построении методов расчета контактного давления
предполагалось, что основание обладает линейной характеристи-
характеристикой (реакция основания линейно зави-
зависит от перемещения). Рассмотрим слу-
случай нелинейного основания, реакция
которого зависит от знака и величины
перемещения.
В разд. 2.1 и 2.2 при определении
контактного давления для оболочеч-
ной конструкции, взаимодействующей с
круговым основанием, по сути дела,
рассматривалось кольцо, жесткость ко-
которого определенным, довольно слож-
сложным образом, уточнена с учетом жест-
жесткости конструкции. Таким образом,
схему с круговым кольцом можно счи-
считать основной при определении контактного давления. Рассмотрим
круговое кольцо под действием радиальной и тангенциальной на-
нагрузок, нагруженное в плоскости начальной кривизны круговым ло-
ложементом с нелинейной характеристикой при двух площадках кон-
контакта (рис. 2.14). Радиальное перемещение кольца определяется
из дифференциального уравнения
Рис. 2.14.
«V
w
4-
,&\
Aaz
Рис. 2.15.
Аз
А*
60

)wl = a(ql — x), B.79)
где a=R*/EI; Ф(до) = A + а) (c+wc,w)—в зоне контакта (сн^
^<р^аг); Ф (до) = 1 — вне зоны.
Предполагаем, что кривая c(w) .может быть аппроксимирова-
аппроксимирована ступенчатой функцией (рис. 2.15). На рис. А+ и Д_— максималь-
максимально допустимые перемещения основания соответственно при растя-
растяжении и сжатии; Дг_ь Д, — величины перемещений, ограничиваю-
ограничивающие зоны основания, где коэффициенты податливости постоянны и
равны Ci, т. е.
сA1))=с\ при Д/_,<ги<Д/, 1=\, 2,..., т. B.80)
Ступенчатая аппроксимация реакции нелинейного основания
является достаточно общей.
Она справедлива и для одно-
одностороннего нелинейного основа-
основания. Величина участков, на ко-
которые разбивается кривая,
очевидно зависит от «плавнос-
«плавности» характеристики основания.
Для крутой характеристики
число таких участков увеличи-
увеличивается.
Не уменьшая общности ис-
исследования, рассмотрим на-
нагрузки, действующие симмет-
симметрично на кольцо в его плоско-
плоскости. Представим разложения
соответствующих факторов в тригонометрические ряды.
Пусть при действии нагрузок р(<р), т(<р) кольцо деформируется
таким образом', что на участках кольца, ограниченных углами <р^ и
<Pi, j+i, радиальное перемещение Дц^икСД*. Здесь г — номер зо-
зоны, в которой коэффициент податливости основания равен Си i=
= 1, 2,..., 2v, — номер угла, ограничивающего i-зону; v» — количе-
количество зон. Диаграмма «реакция основания — прогиб» для случая
линейно-переменного коэффициента податливости показана на рис.
2.16.
Реакция основания в i-зоне имеет вид
S(f)=Si_1-{-ci(w-\l_1) при Д/_1<«;<Дг, B.81)
о
Рис. 2.16.
где Si-i — значение реакции основания при перемещении Д*_ь
Суммарная радиальная нагрузка вне зоны контакта и в зоне
контакта ±ai^<p=?^ ±a2 запишется в виде
" p{<9):=q{(?). p(<f) = q(<t)-S(V). B.82)
Умножая обе части равенств B.82) на cos kxp, интегрируя в со-
соответствующих пределах, складывая левые и правые части, полу-
получим интегральное уравнение
f p (<p) cos &роГср + 2 f 5 (ср) сое fcpflfep = ( q (<p) cos %jfcp. B.83)
6 «, о
61

Внося в уравнение B.83) выражения р(<р), S(<p) по B.81), пред-
представляя w в виде ряда, полагая k=0, 1, 2... и интегрируя, полу-
получим бесконечную систему уравнений относительно ph, wk.
Из уравнения равновесия кольца следует: pj -|-ti = 0. Используя
связь между коэффициентами рп и wn, запишем данную систему в
виде
л=0
B.. 84)
з«
l[q (<p) cos
¦ о
~x sin **
яг 2v(.
Ограничиваясь конечным числом уравнений, решая систему,
находим коэффициенты Фурье wn, через которые определяются пе-
перемещения кольца, изгибающий момент в его сечениях и контакт-
контактное давление. Анализ системы показывает, что диагональные чле-
члены матрицы ahk с возрастанием k возрастают, а' недиагональные
а-kn при этом ограничены. Коэффициенты bk также ограничены.
Можно найти такое п%, при котором ahh^>ahn, и, следовательно,
при k
Порядок редуцированной системы зависит от соотношения
жесткостных характеристик кольца и опорного основания. Чем
жестче кольцо и мягче основание, тем меньше /г*.
Таким образом, если известны зоны контакта кольца с круговым
основанием (углы <p,j) и диаграмма 5—w (значения с*), определе-
определение контактного давления проводится на основании системы B.84).
Однако углы q>,-j следует определить заранее. Применим для их
отыскания метод последовательных приближений. За нулевое при-
62

ближение принимаем решение системы с постоянным коэффициен-
коэффициентом податливости с=0 при Д+^О)^Д_, т. е. решение системы
B.84) при i=2; v, = 0; v2 = 2; vs= . . . = vm = 0:
^ = 0,; «рЙ^од ч48)=-а2; <$=-*. B.85)
Определив перемещения w(<p) в первом приближении, находим
зоны основания с соответствующими реальными значениями коэф-
коэффициента Cf. Соответствующие этим зонам углы (рФ будут исход-
исходными данными для построения следующего приближения. После
подстановки углов <?№ и значений с\ в коэффициенты системы опре-
определяется перемещение кольца в первом приближении до(п(<р) и т. д.
Процесс приближений заканчивается, когда углы последующего
<pW и предыдущего <р*у-1) приближений будут отличаться на ма-
малую, заранее заданную величину, т. е. |ср<0 —cp^-^JO. Описанный
алгоритм решения задачи контактного взаимодействия кольца с
нелинейным опорным основанием реализован на ЭВМ.
В качестве примера рассмотрим контактную задачу для коль-
кольца, подкрепляющего бесконечную цилиндрическую оболочку, взаи-
взаимодействующего с круговым ложементом с переменными коэффици-
коэффициентами постели c(w) (см. рис. 2.16). Диаграмма с—до разбита на
четыре участка. Приведенные характеристики кольца с учетом уп-
упругости оболочки приближенно имеют значения (использованы со-
соотношения гл. 1, 4; [х=0,3)
(EF)* = EF + 1,56?\Л
\EI)* = EI+QMEiRh2VR~h {kV?^l)-\ B.86)
где F, I — площадь и момент инерции сечения изолированного
кольца; R, h — радиус, толщина оболочки; Е,Еи ц, — модули упру-
упругости материала кольца и оболочки и коэффициент Пуассона обо-
оболочки.
В данном примере приняты следующие значения параметров:
/=¦=15-10-* м2; /=10-6 м4; R=\ м; /г = 3-10 м; Ег = Е =
= 6 • 107 кН/м2; си = ±90°; а2= ±180° (сплошной ложемент);
с{ (i=l ...4) равны соответственно @; 1,47; 5,88; 19,6) -103 кН/м2;
Д2=Ю-2м; Д3= 1,5-Ю-2 м; Д4 = 2- Ю м.
На кольцо действует внешняя радиальная нагрузка Q, равно-
равномерно распределенная на участке 2фО=4°.
Система B.84) решалась на ЭВМ методом Гаусса. Углы, огра-
ограничивающие зоны основания с различными коэффициентами посте-
постели, определялись методом секущих. Программа позволяла решать
систему из 70 уравнений. Однако, как показывают расчеты, для
данной конструкции можно ограничиться 15 членами ряда. Для
достижения точности е=10~4 достаточно четырех приближений.
На рис. 2.17 кривые /, 2 изображают законы изменения относитель-
относительной величины контактного давления S* =nSBQ)~l соответственно
при Q=49 кН и 98 кН. Для сравнительной оценки влияния нели-
нелинейности основания проведен расчет для ложемента с линейной
63

характеристикой с=5,88-103 кН/м2, (кривая 3) при Q=98 кН.
Пунктирной линией показано распределение контактного давления
в случае жесткого кольца и «мягкого» основания S*=cos<p.
1
О Ж/Ч
Рис. 2.17.
ff/2
Результаты расчета, приведенные на рисунке, а также другие
расчеты показывают, что, тип основания влияет на распределение
контактного давления. При нелинейном основании величина внеш-
внешней нагрузки существенно влияет на распределение контактного
давления.
2.4. КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИСКРЕТНО
ПОДКРЕПЛЕННЫХ КРУГОВЫХ КОЛЕЦ И ЛОЖЕМЕНТОВ
Выше рассмотрены контактные задачи в случае взаимодействия
оболочечной конструкции (в месте расположения подкрепляющего
кольца-шпангоута) и кругового ложемента. В данном случае обо-
оболочки являются для шпангоута некоторым упругим основанием,
учет влияния которого может быть в конечном итоге проведен вве-
введением некоторых эквивалентных жесткостей. При дискретном под-
подкреплении кольца требуется учет локальности включения подкреп-
подкрепляющих элементов, что значительно усложняет задачу. Рассмот-
Рассмотрим круговое кольцо, шарнирно скрепленное в нескольких точках с
плоской упругой системой (рамой или фермой), опертое на круго-
круговое опорное основание (ложемент) (рис. 2.18).
Обозначим через <р, координаты г-х узлов связи (общее число
узлов 2т); Ri — неизвестная реактивная сила в i-u узле; ух — угол
между нормалью к оси кольца и направлением Rf, ?/< — суммарное
перемещение оси кольца в точках <р* в направлении Ri.
Считая реактивные сосредоточенные силы /?, внешними нагруз-
нагрузками на кольцо, общие уравнения контактной задачи перепишем в
виде
11
I* p (<p) cos
6
с f w
f q (9) cos k? —
0
64

-?/) cos
B.87)
sin
= f
sin kydy —
-к т
f 2
Здесь р(ф), т(ф) —суммарные радиальные и касательные на-
нагрузки на кольцо; <7(<р), /(ф) —соответственно внешние нагрузки;
б(ф—фг) —дельта-функция Дирака;
B. 88)
=Rt sin
Рис. 2.18.
Представив распределенные и сосредоточенные нагрузки и пе-
перемещения оси кольца в виде тригонометрических рядов, систему
B.87), используя B.88), с учетом условия нерастяжимости оси
кольца при изгибе можно свести к бесконечной системе линейных
алгебраических уравнений
2а
в-о
=Лй; *=(), 1, 2,...;
[
[я»
Y л (дк -\-tkk-*) - Х\ Rir-1 (cos у, cos ИЪ -у B.89)
-\-krl sin Y, sin bf,)]i A=mrl
41
65

1 J
it
f
cos
tk = я
, = \ cos k<f eos n<fd<f,
¦s>) sin
Здесь радиус шпангоута обозначен через г.
Данная система отличается от полученных ранее наличием в
Ak неизвестных сил Ri. Выразим эти силы через перемещения оси
кольца в точках <р,- Условия совместной деформации в узлах связи
имеют вид
/=t/' ('=1. 2,..., m),
B.90)
где Ui — упругие перемещения подкрепляющей системы от дейст-
действия единичного усилия /?,-=1. Коэффициенты 6ц для стержневых
систем определяются по формулам Мора. Запишем систему B.90)
в матричной форме
AR=Bt B.91)
где
А=
Из B.91)
5=
=1, 2,..,, ш,
B.92)
где ai; = c,j(detЛ)-1 — алгебраическое дополнение /-го элемента
/-го столбца матрицы, полученной из матрицы А путем замены
/-го столбца столбцом свободных членов системы B.91); deti4 —
определитель матрицы А.
Подставляя B.92) в правые части системы B.87) и учитывая,
что
=w0 cos y,-
n (cos yjcos Щ)+^-1 sin Yy sin л«ру), B. 93)
после несложных преобразований получим бесконечную систему
линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов
Фурье
, 1, 2,...
B.94)
д-о

^ 2 а" (C0S Y' C0SпЪ + п~* sin У] sin nti)X
X (cos Y/ cos fop^-^ sin Y/ sin &p;); 5*=— яс (?ft-f-4*).
Характерной особенностью матрицы системы уравнений B.94)
является то, что жесткостные параметры дискретно подкрепляю-
подкрепляющей системы входят во все члены матрицы bun, а не только в диаго-
диагональные члены bhh, как в случае сплошного подкрепления кольца.
Таким образом, для получения уравнений контактной задачи для
кольца и кругового ложемента с учетом жесткости дискретно под-
подкрепляющей системы нужно предварительно построить матрицу по-
податливости (матрицу единичных перемещений) подкрепляющей уп-
упругой системы А, с помощью которой определяются связи /?*. Пост-
Построение матрицы А проводится на основе результатов расчета на
жесткость системы прн единичных воздействиях в узлах сопряже-
сопряжения.
Ограничиваясь конечным числом уравнений в системе B.94), оп-
определяем коэффициенты Фурье радиального перемещения кольца,.
и строя соответствующие тригонометрические ряды, находим ком-
компоненты напряженно-деформированного состояния кольца.
В случае, когда кольцо сопряжено с оболочкой вращения, в ко-
коэффициентах bun системы B.94) для учета упругости прилегающих
оболочек вместо EF и EI можно брать их приведенные значения
(см. гл. 4), при отходе кольца от одностороннего основания зоны
контакта (углы г^.г) определяются итерационными методами (см.
гл.3).
Приведем пример расчета силового шпангоута длинной цилинд-
цилиндрической оболочки, подкрепленного в двух диаметрально противо-
противоположных точках <Рз=±зх/2 горизонтальным стержнем, жесткость
которого ECFC, и взаимодействующего с круговым упругим ложе-
ложементом (см. рис. 2.19).
Для такой схемы подкрепления при m=l, i=j—\, Yj=O из
уравнения совместной деформации шпангоута и стержня B.91) по-
получим следующее выражение для реактивной радиальной силы в
узлах сопряжения:
(C0S ПП/2) ' B> 95)
Для случая, когда на кольцо действует внешняя нагрузка в виде по-
потока касательных усилий ?(q>) = Q/jx/?• sin <p, система B.94) пред-
представляется в виде
во
2 **«««=?*: ?=0,1,2,...;
0
2
я=0
&01=sin <J»2— sin фх; ftOn=/t"I(sin wfe— sin n^-^E^F^cr1)^ cos ля/2;
3»

B0=0; *„=<!>,-<!>!+1/2 (sin 2<fc-sin 2<W); B1=l/2Q(cr)-*;
л>2; 2*1Я = (л—1)-» sin (я— 1)ф2 + (я+
-(«- I)-1 sin (л- 1)<|»1-(л+ 1Г1 sin (л
2**я = (л-А)-1 sin (л-А)«|>2 + (л + А)-» sin (л + *)<|>2-(л-*)-» х
X sin (л — A) to - (л+A) sin (л + A) <h +-j ECFC (cr2)~i x B.96)
X совяя/2 cos Ал/2;
- sin
X
-^-Y; Bk = 0 (л,А>2);
?i, [x — модуль упругости и коэффициент Пуассона материала обо-
оболочки; п, Л — радиус и толщина оболочки; Ei = EiE~l.
Анализ системы B.96) показывает, что коэффициенты bhn с не-
нечетными номерами /г и А не зависят от жесткости подкрепляющего
стержня и, следовательно, стержень, установленный в точках
<р=±я/2, оказывает влияние только на величину амплитудных
значений четных гармоник.
В расчете принимались следующие значения параметров рас-
рассматриваемой конструкции: /v—2= 1,5-10~~3; /г~4^=10~6; ^/^=500
Рис. 2.19.
0-"; <|»,=0; ^=-^-я; ±я; -±- л.
\Z О о
Численное решение системы
B.96) проводилось на ЭВМ.
Кривые 1—3 на рис. 2.19 изо-
изображают законы изменения от-
относительной величины контакт-
контактного давления 5*= (nRS)IQ
для углов 1|52=<Ро= 0/12)я;
A/6) я; A/3) я. Пунктирной ли-
линией показано распределение"
контактного давления при от-
отсутствии горизонтального
стержня. Из сравнения кри-
кривых видно влияние подкрепля-
подкрепляющего стержня на характер
распределения давления при
контактном взаимодействии
кольца и ложемента.
68

ГЛАВА 3
КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ЭЛЕМЕНТОВ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ ЗОНАХ КОНТАКТА
В рассмотренных в гл. 2 задачах контактного взаимодействия
оболочечных конструкций и ложементов предполагается осуществ-
осуществление контакта по всему периметру ложемента. При определенных
параметрах системы возможен отход конструкции от ложемента.
Зоны контакта при этом заранее не известны.
В настоящей главе приведены решения соответствующих задач
контактного взаимодействия при переменных зонах контакта. Дана
'также оценка влияния сил трения между конструкцией и ложемен-
ложементом.
3.1. КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА
ДЛЯ ПОДКРЕПЛЯЮЩЕГО
ЦИЛИНДРИЧЕСКУЮ ОБОЛОЧКУ УПРУГОГО ШПАНГОУТА,
НАГРУЖЕННОГО ЧЕРЕЗ ЖЕСТКИЙ КРУГОВОЙ ЛОЖЕМЕНТ
Рассмотрим контактную задачу для подкрепляющего цилиндри-
цилиндрическую оболочку упругого шпангоута, нагруженного через жест-
жесткий круговой ложемент с углом охвата 2ф0 (рис. 3.1). Эксперимен-
1
Рис. 3.1.
тальные исследования контактного взаимодействия кругового коль-
кольца с жестким ложементом показали, что на участках q>i<qT<<ро
кольцо отходит от ложемента, соприкасаясь с ним только в точках
Ф= ±<ро и на участке ф1><р>—<Pi> величина которого заранее не
69

известна. Поставленную задачу решаем при следующих предполо-
предположениях.
1. Жесткость подкрепляющего шпангоута велика по сравнению
с жесткостью оболочки. В этом случае вполне допустимо при зада-
задании усилий, действующих со стороны оболочки на шпангоут, прене-
пренебречь деформациями последнего.
2. Ложемеит является абсолютно жестким, поэтому кривизна
шпангоута не изменяется на участке контакта и на его границах
возможно появление сосредоточенных сил.
Итак, на шпангоут со стороны ложемента действуют неизвест-
неизвестные радиальные сосредоточенные силы Pi и Р% и равномерно рас-
распределенная радиальная нагрузка <7о, а со стороны оболочки на
участке q>>q>i— касательные усилия r=tosin<p, где to=/7(n/?)~1;
F — суммарная поперечная нагрузка, передаваемая на оболочку че-
через ложемент; R — радиус шпангоута.
Решая уравнение изгиба кругового кольца в его плоскости и
применяя метод начальных параметров, для заданной схемы нагру-.
жения получим следующие выражения для компонентов напряжен-
напряженно-деформированного состояния кольца (полагаем <ро=—Р, q>i =
= -«):
на участке —а<<р< —р
«i (<р)=% сов (<Р + а) + «"о sin (<Р + а) + Wo [ 1 — cos (<Р+аI —
+ 2 cos (<р +.о) - 2] —1 ^f3 [(т + а) cos (<р + а) + 2 (<р + а) -
z с.1
C.1)
на участке —р<<р<0
C.2)
Здесь vo, Wo, fto, Mo, Qo, No — значения перемещений и усилий в се-
сечении ф= —a; EI— изгибная жесткость шпангоута.
Из условий vi = wl = bl — Ml=0; QI=/32; j/Vj=^0/? при <р=—a
находим
vo=— ^a2 sin a; wo=—— ^Ba sin a-(-a2 cos a);
8 EI 8 EI
^(sina+2acosa); Q0=P2 +-LXoRE sin a +
4 EI 4
+2a cos a); Mo=— хо1^13 cos a — 2a sin a);
4
0=q0R + —10/?G cos a-2a sin a). . C.3)
70

Из условия симметричности прогиба шпангоута w(q>) относи-
относительно вертикальной оси и равенства нулю прогиба при <р= —р
получим систему четырех уравнений для определения неизвестных
нагрузок Pi, Р2, <7о и угла а
Y (sin а+2а cos а) — ау C cos а—2а sin а) -\-Ш°а-\-ау G cos а—
— 2asina) —4Q° —YEsina + 2acosa) —4Я°=0;
Ya2 sin a cos a —Y sin a Ba sin a-}-a2cosa) — 2y cos a (sin a-f-
-|-2acosa)-|-2Y sin a C cos a —2a sina)-f-4Q°(a sin a +
-f-2cosa)+YE sin a + 2a cos a) (a sin a-f-2 cos a)+
-f4iV°(acoisa —3 sin a)-f-YGcasa-f-2a sin a) (a cos a —
-3sina)+4P°(PsinP + 2cosP)=0; C.4)
Q°cqs a — № sin a+Pocasp= 1/2;
—Ya2 sin a sin (a—P)-}-YBa sin a-f-a2 cos a) cos (a — P)-f-
-f-2v(sina + 2acosa) sin (a — p) — 2yC cos a — 2a sin a) x
X[l-cos(a-P)]+4Q°[(a-P)cos(a-p)-sin(a-P)] +
+Y E sin a-f-2a cos a) [(a —P) cos (a — P) — sin (a—p)] +
+4iV0[2-(a-p)sin(a-p)-2cas(a — p)]+YGcosa-
— 2a sin a)[2 —(a —p) sin(a — P) — 2cos(a — p)]+ ':
Y=(a— l/2sin2a)~l.
Из системы C.4), последовательно исключая неизвестные, полу-
получим трансцендентное уравнение относительно a (P — угол охвата
ложемента)
— a2 sin a sin (а — Р) — a cos (а — р)B sin a -f-a cqs a) -f- 2 sin (а--Р) х
X (sin a -f- 2а cos а) — 2 C cos а — 2а sin а) [ 1 — cos (а — Р)] -\-
+ 8-'[cospsina(l+2a2)—acosa][(a—P)cos(a—P)—sin (a—^)]-{-
I [A sin и cos а — 4а + 2а sin^ a) (cos Р — cos a) + «^
apcosa sin Р + sina(J —p sin р) +
^ + a sin2 a cos Р A + 2а2) — sin сС cos р (а2 + р) cos а + ^ ,« сх
... «С _> ... о. 01
^ — cosp)X
^ +(cosa-2aSin«)apcoSasinp] 8-i(acQSp_ sin а) х
X (й sin a + cos ct)
X[(a-P)cos(a-P)-sin(a-P)]+2-(a-P)sin(a-pj-
=cosp — cos a.
Результаты решения системы уравнений C.4) для жесткого ло-
жемеита с различными углами охвата представлены в табл. 3.1.
71

Анализ результатов числовых расчетов показывает, что при
^140° (ложемент с углом охвата 2ф0<80°) шпангоут отходит от
ложемента полностью, контактируя с ним только в точках <р—
= ±<ро (система контактных усилий в этом случае сводится к двум
радиальным сосредоточенным силам Pi, приложенным на краях
ложемента).
Таблица 3.1
—а°
P2F-\
q*RF-1
90
113°24'
0,2593
0,0495
0,5234
• 100
127°
0,2989
0,0577
0,5176
ПО
140°46'
0,3495
0,0669
0,5197
120
154°55'
0,4135
0,0777
0,5258
130
169°35'
0,4912
0,0901
0,5293
Упругость оболочек в данной задаче приближенно может быть
учтена следующим образом.
Представим прогиб шпангоута, находящегося под действием ра-
радиальных нагрузок Pi, P2, qo, в виде тригонометрического ряда
El
ЧпЯп<
C.6)
где
2/V . 2Р2
=—-*- cosmpo-| -f
Я/? Я/?
sin
¦ — коэффициенты Фу-
я п
рье разложения суммарной радиальной йагрузки, действующей
на шпангоут. Коэффициент ап приближенно учитывает упругость
оболочек при изгибе шпангоута (см. 1.3). Из условия равновесия"
радиальных и касательных нагрузок, приложенных к шпангоуту, и
деформационных условий, налагаемых на шпангоут ложементом
в зонах контакта до(ф1)=0; до(фо)=О, ш!(ф1) +v{щ) =0, получим
разрешающую систему относительно неизвестных Pi, P2, <?<> и ф!
в виде
0;
0;
C.7)
sin?i=
72

Здесь
X/ ая cos n<pi cos дур
""" («2-1J
_ VI «„ sin я yi cos ncpo .
- > „(„2-1J '
n=2
[(„2-1J
ая sin Л91 cos
V^ ая cos ncpo sin n<fi
C.8)
ЧГ1 ая cos n<f i sin nyi . %1 ая sin 2 nyt
При решении системы C.7) в выражениях ац ограничиваемся
конечным числом членов ряда. Точность решения зависит от этого
числа.
3.2. ДЕФОРМАЦИЯ КРУГОВОГО ШПАНГОУТА
НА ОДНОСТОРОННЕМ УПРУГОМ КРУГОВОМ ОСНОВАНИИ
Рассмотрим симметричный изгиб кругового шпангоута, лежа-
лежащего на одностороннем круговом упругом основании винклеровско-
'21
Рис. 3.2.
го типа с коэффициентом податливости с (рис. 3.2, а). Так как
шпангоут не скреплен с опорным основанием, в процессе его де-
деформации под действием произвольной системы поперечных нагру-
73

зок возможен на некоторых участках отход шпангоута от основа-
основания, при этом зоны контакта заранее не известны.
Пусть после деформации шпангоут имеет с упругим основанием
2т зон контакта, причем f-я зона контакта имеет координаты
tp2t-i, ч|>2*. /= 1, 2,..., т (рис. 3.2, б). Такая схема контактного взаи-
взаимодействия шпангоута с односторонним круговым основанием пол-
полностью совпадает со схемой деформирования шпангоута на упругом
ложементе с несколькими симметричными вырезами, эквивалентны-
эквивалентными с зонами отхода шпангоута от одностороннего основания
C»|>2i-i<<p<'»|>2i). Разрешающая система для рассмотренной кон-
контактной задачи принимает вид (см. 2.1)
2 «*««.=**. * = 0, 1,2 C.9)
Л = 2
где
т $
Ьо=пс~%; h=±- лс-1 (qk -\-tkk-x); qk=2л ^ q cos
= 2л-
?sir
Углы г|Jг-1, г|Jг, ограничивающие зоны контакта, заранее не из-
известны. Для их определения применим метод последовательных
приближений. При этом для построения последующего приближе-
приближения используется схема, полученная в предыдущем приближении.
На каждом этапе приближений решается линейная задача и вы-
выполняется принцип суперпозиции.
В нулевом приближении считаем, что шпангоут имеет двусто-
двустороннюю связь с опорным основанием. Для этого в C.9) полагаем
m=l; i}?i=<pi; ¦ф2=ф2- В следующем приближении рассматриваем
шпангоут, имеющий двустороннюю связь с основанием только на
тех участках, где получились отрицательные прогибы в предыду-
предыдущем приближении, а на участках с положительными прогибами по-
полагаем, что основание отсутствует (имеются вырезы). Процесс при-
приближений продолжается до тех пор, пока разности величины зон
контакта двух соседних приближений не будут отличаться на за-
заданное малое число.
В качестве примера рассмотрим деформацию кольца, имеющего
внутри упругое основание (заполнение), под действием двух сосре-
сосредоточенных сил Q. Результаты расчета на ЭВМ приведены на рис.
3.3 и 3.4.
74

На рис. 3.3 даны графики распределения прогиба шпангоута на
каждом этапе приближений для отношения жесткостей основания
^4,3 и Q=4-104 Я (кривая / — нулевое
первое и второе приближения).
На рис. 3.4 приведены графики распределения прогиба шпанго-
шпангоута с отношением жесткостей основания и шпангоута т)=7,3>103
w-103,M
н шпангоута
приближение, кривая 2
Рис. 3.3.
Рис. 3.4.
для различных значений силы Q (кривые 1,3 к 4 соответствуют
значениям Q=l,5-105 H; Q=105 Н и Q = 5-104 H). Кривая 2 пред-
представляет собой распределение прогиба шпангоута для тех же жест-
костных параметров шпангоута и основания, но при двусторонней
их связи и Q=l,5-105 H.
Из анализа полученных результатов можно сделать следующие
выводы.
Процесс последовательных приближений быстро сходится, при
этом необходимо 2—6 приближений для практически полного сов-
совпадения границ зон контакта предыдущего и последующего приб-
приближений. Число приближений зависит от отношения жесткости
шпангоута и основания.
Зоны контакта зависят от величины i\ и не зависят от величины
внешней нагрузки. Аналогичный результат получен для балок на
одностороннем упругом основании.
Для различных значений ц получаются разные расчетные
схемы. Так, для ti = 7,3-103 под действием двух сосредоточенных
сил образуются четыре участка контакта, а для т| =4,3 — два уча»
стка.
75

3.3. КОНТАКТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СООСНО
СОПРЯЖЕННЫХ КРУГОВЫХ КОЛЕЦ,
ЛЕЖАЩИХ НА ЛОЖЕМЕНТЕ
Рассмотрим контактную задачу для упругой системы, состоя-
состоящей из двух соосных круговых колец с односторонней упругой прок-
прокладкой между ними, опирающихся на одностороннее круговое ос-
основание (ложемент) (рис. 3.5). Кольца испытывают произвольное
нагружение в своей плоскости соответственно радиальными Р1,г(ф)
и касательными ^(ф) усилиями (индекс «1» относится к внешнему
(,№)
Рис. 3.5.
Рис. 3.6.
кольцу, индекс «2» — к внутреннему). Данная система и нагрузки
симметричны по отношению к вертикальной оси. Относительно ос-
основания и прокладки предполагаем, что они упругие и их нормаль-
нормальные реакции пропорциональны перемещениям
р=1 О (Д<0),
Пусть под действием внешних нагрузок pi,2(<p), А,2(ф)> реакций
прокладки и основания упругая система, представленная на рис.
3.5, деформируется, в результате чего внутреннее и внешнее коль-
кольца имеют (S! зон контакта, а внешнее кольцо с ложементом имеет
s2 зон контакта (рис. 3.6).
Запишем условия нагружения для внешнего кольца. На участке
Os^<ps^<pi на кольцо действует радиальная и касательная нагрузки,
равные внешним нагрузкам
На участке
отпора прокладки
i
кроме внешних нагрузок действует реакция
76

где с2 — коэффициент податливости прокладки; w\, w2 — радиаль-
радиальные перемещения соответственно внешнего и внутреннего кольца.
На участке ipi<:<p^l<P2 к силам, действующим на предыдущем
участке, добавляется реакция ложемента
А(?)=Л(?) — с2(Щ — w2)-\-c1w1; t1(<p)=/f1(<p), C.12)
а на участке ф1^ф^а|52
р\ (?)=Р\ (?)+CiWi5 ti (?)=/i(<p) hjt. Д. C.13)
Здесь Ci — коэффициент податливости ложемента.
Для S2-ro и Si-ro участков контакта
Для внутреннего кольца граничные условия принимают анало-
аналогичный вид:
C.15)
где /?ь i?2 — радиусы внешнего и внутреннего колец.
Умножая каждое из соотношений C.10) — C.15) на cos fop и
sin fop, интегрируя в соответствующих пределах и суммируя, полу-
получим систему интегральных уравнений
(«р) cqs 2
/=1,3,...^
2i, ф;+1 2it
rf- C.16)
2 it
cos k<fd<f — RiRT c2 2 j (w2 — Wi) cos fydy=
f /72
0
2it 2ic 2ic
= Г /72 (<p) cos k<pd<p, f tlj2 sin k<fd<?= f ^1,2 sin
Решения интегральных уравнений представим в виде сходящих-
сходящихся рядов
77

2
л=0
Подставляя выражения C.17) в C.16), давая номеру k значе-
значения 0, 1,2,... и учитывая связи между амплитудными значениями
нагрузок и перемещений колец и условия равновесия действующих
нагрузок, приходим в конечном итоге к бесконечной системе линей-
линейных алгебраических уравнений относительно амплитудных значе- •
ний прогибов колец
C.18)
Здесь ?=0,1,2,...; а^
-2?i; ftn = -Pi —Yi!
2s,
1 4^ ( \\l\ sin(fe— "
t2j( ] L ^=^
<*>ь
78

причем ?1,2, Fit2, /1,2 — модули упругости материала, площади и мо-
моменты инерции поперечного сечения колец; Pjh, tjh (/=1, 2) — коэф-
коэффициенты разложения в ряд Фурье внешних нагрузок.
Заметим, что для соосных колец, сопряженных упругой прок-
прокладкой с двусторонней связью (прокладка жестко скреплена с
кольцами), ahn='bhn=dhn = O при пфк и бесконечная система
C.18) переходит в систему двух уравнений для каждой гармоники
разложения внешних нагрузок:
для k=0
/3 _
C.20)
откуда при отсутствии внешних нагрузок на внутреннее кольцо
p2k=t2h=0 получим следующие выражения для искомых значений
радиальных перемещений колец:
Г c^i I.
[ "T" fi,/,(ft2_l)l J '
где
C2tt=c2 /1 — 11 -|—-2-\ (A2— IJ1 1— приведенные значения жест-
[ i c2/?i/?2 J J
кости прокладки (с учетом податливости внутреннего кольца) со-
соответственно при осесимметричной и циклической деформациях.
Если внутреннее кольцо абсолютно жесткое, то C20=C2ft=c2, a
для гибкого внутреннего кольца с2о=с2й==О. Полученные выраже-
выражения перемещений внешнего кольца с учетом жесткостей двусторон-
двусторонней прокладки и внутреннего соосного кольца можно записать в
компактной форме:
где F\=F (
79

— приведенные значения площади и момента инерции поперечно-
поперечного сечения внешнего кольца.
Для прокладки с односторонней связью амплитудные значения
перемещений колец W\n, w2n определяем в результате решения бес-
бесконечной системы C.18) методом редукции, а путем суммирования
рядов вычисляем перемещения колец
0,5л, 0,5л,
2 2
2
где /г#-Ь1 —число уравнений в редуцированной системе C.18).
Величины контактного давления на известных участках контак-
контакта в опорном основании и прокладке находим по формулам
Углы ф,-, i|};, ограничивающие зоны контакта, заранее не извест-
известны. Для их определения применим метод последовательных приб-
приближений.
За нулевое приближение принимаем решение для рассматривае-
рассматриваемой упругой системы при условии двусторонней связи основания и
прокладки с кольцами, т. е. решение системы C.18) при
5<»>=1;4°> = 2;?50> = 0;/> = 2л;
tf°> = о,; tf °> = «2; ?гЩ = 2* - о,; ф$0) = 2* - о,.
В результате решения системы C.18) при условии C.22) путем
суммирования определяем перемещения колец в нулевом прибли-
приближении
0,5л* 0,5л,
да!°> = 2 «С cos nr, ^0)=2 $
л=0 л=0
Затем находим участки, на которых
На этих участках контакта, ограниченных углами «pi1} и Ф^» воз-
возникают реактивные усилия в опорном основании и прокладке. Уг-
Углы <р/ ' и ф|1} являются исходными данными для построения пос-
последующего приближения. Подставляя «pj1* и ф/2) в C.18) и решая
полученную систему, находим амплитудные значения перемещений
колец w\J, «4л\ а путем суммирования — перемещения следую-
следующего (первого) приближения
0,5л» 0,5л,
я=-0 я-0
Следующие приближения строятся аналогично. Процесс закан-
заканчивается тогда, когда участки зон контакта последующего прибли-
приближения <pim и <j»^m> будут сколь угодно мало отличаться от участков
30

зон контакта предыдущего приближения
В качестве примера проведем расчет системы двух колец, соос-
но сопряженных с помощью резиновой прокладки и нагруженных
двумя сосредоточенными силами Q, приложенными к внешнему
кольцу (рис. 3.7). Параметры системы: Ri=zl,07R2;
F,=F2; /, = /2; Е2=ЪЕХ\ с1=0, c2=l,7-l0r*E1.
Расчет на основании описанной выше схемы проведен на ЭВМ.
В системе C.18) бралось 40 уравнений. Как показали вычисления,
для достижения точности е=0,0001 достаточно 5—6 приближений.
Для оценки влияния параметров системы на распределение кон-
контактного давления дополнительно проведен расчет изолированно-
изолированного внешнего кольца. Результаты расчета представлены на рис. 3.8 и
3.9.
На рис. 3.8 приведены графики распределения контактного дав-
давления между кольцами для двух случаев связи колец с прокладкой
(кривая / — для двусторонней связи, кривая 2 — для односторон-
односторонней связи). На рис. 3.9 кривые 1, 2 иллюстрируют деформацию
внешнего кольца соответственно для двусторонней и односторон-
односторонней связи. Из рассмотренного примера видно, что характер связи
между кольцами (односторонняя или двусторонняя) существенно
влияет на распределение контактного давления и величину дефор-
деформаций колец.
На рис. 3.8 и 3.9 кружками и крестиками отмечены эксперимен-
экспериментальные значения давлений и перемещений, полученные при испы-
испытаниях рассмотренной системы соосных колец с резиновой проклад-
прокладкой (кружки соответствуют значениям давления и перемещений при
двусторонней связи, крестики — при односторонней связи) *.
Анализ полученных экспериментальных данных и сравнение их
с результатами расчетов позволяет сделать вывод о приемлемости
полученного решения контактного взаимодействия соосно сопряжен-
сопряженных колец.
3.4. КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ШПАНГОУТА
И НЕЗАМКНУТОГО КРУГОВОГО СТЕРЖНЯ (НАКЛАДКИ)
При оценке прочности оболочечных конструкций возникают за-
задачи расчета силовых элементов от действия локальных нагрузок,
передаваемых на конструкцию через различного рода подкрепляю-
подкрепляющие накладки конечной жесткости.
Рассмотрим круговой шпангоут, на котором установлена криво-
криволинейная накладка в виде незамкнутого кругового стержня посто-
постоянного сечения. Между накладкой и шпангоутом имеется нелиней-
нелинейно-упругий слой (прокладка) с односторонней связью. Система
шпангоут—накладка испытывает нагружение в виде уравновешен-
уравновешенной системы радиальных /?i,2 (<p) и касательных А(<р) сил н краевых
Эксперимент проведен Е. В. Ивчеико.
81

Q
J
Рис. 3.8.
-0,5
~\
Vac. 3.9.
82

нагрузок No, Mo, Qo (индекс «1» относится к шпангоуту, индекс
«2» — к накладке) (рис. 3.10, с, б). Здесь <ро, <Pi — угловые коорди-
координаты прокладки и края накладки.
Относительно нелинейной прокладки предполагаем, что ее свой-
свойства описываются соотношениями и зависимостями, приведенными
в разд. 2.3.
Рис. 3.10.
Уравнение изгиба кругового стержня, находящегося под дейст-
действием радиальной нагрузки рг'(<р)> имеет вид
C.23)
где R2 — радиус кругового стержня (накладки); ?2^2 — его изгиб-
ная жесткость.
Представляя рг'(ф) в виДе ряда по круговой координате <р на
участке —
Pi (?)=Р20 + У Pin cos алср,
C.24)
общее решение уравнения C.23) можно записать следующим обра-
образом:
C.25)
л=1
где
C.26)
83

В случае, когда по краям кругового стержня (накладки) дей-
действуют изгибающий момент Мо, поперечная и продольная силы Qo,
No, граничные условия при <p=<pi принимают вид
IV
:<P, ?2/2
После подстановки C.24) и C.25) в C.27) подучим соотношения
Qo4 п3
2 ?2/2sm9l E2l2
2
2
Для замкнутого кругового стержня (шпангоута) <р1=я и соот-
соотношения C.24), C.25) принимают вид
2
я-0
причем
Ао=~г-«ю; А«=-|г-(л2-1J^1Л. (я>2); А1=-^„. C.30)
Рассмотрим совместную деформацию шпангоута и накладки.
Пусть под действием внешних нагрузок и реакции прокладки шпан-
шпангоут и накладка деформируются таким образом, что на каждом
i-u участке контакта, ограниченном углами <pt> j, ф*_ j+u нелинейная
прокладка получит радиальное перемещение Д=до2—W\ (Де[Д^_1,,
Ai]) и ее реакция будет пропорциональна этому смещению
^(ср) = (С/_1-Сг)Д/_,+С/Д, Дг_,<Д<Д,. C.31)
(Здесь обозначения те же, что и в разд. 2.3).
Условия нагружения контактируемых элементов представим
следующим образом:
для шпангоута
Pi (?)=Л (?)+Р (?) %2%Т\ 0 < <р < <р0;
А(?)=А(?). ?о<?<«; C.32)
T((p) = if1((p)] 0<(р<я;
для накладки
) = Л (?) —
84
3 33^
Умножая левые и правые части равенств C.32) и C.33) соот-

ветственно на cos&cp и cos с^ф, складывая и интегрируя в соответ-
соответствующих пределах, получим интегральные уравнения
я <Ро я
f p[ (<p) cos k<fd<? — R2RT1 [ Р (?) cos /fetprf? = f А (?) cos &<pd<p;
6 00
f /?2 (<p) cos ak<fd<f -\-[ p(f) cos akfd9 = f /j2 (?) cos ak<pd<p', C.34)
rf 6J rf
f t (<p) sin kfdvf= f /1 (?) sin &pfl?<p.
0 6
Подставив формулы C.24), C.25), C.28) в C.34) с учетом
C.31), систему C.34), запишем в виде
2 J Аи cosя<р cos fop — ^2^2 2 1 |a-i+c/X
Я-0 0 /=1}-1 ?и \
X и»21 cos 9-\-w2\<f sin ?-(-^1 (w2n cos a.<p—win cos щ)—Д/—111 x
L П J)
cqs kydy == I /?i (9) cqs fecprfcp;
C.35)
2 j />2« cos а„(р cqs aft<pd<p + 2 2 j (Л-i+ci x
я=0 0 1 = 1 ;'=1 <p;y I
г . ^ n^
XI iiJ\ cos ?-)-'аУ21? sin tp-j" 7 (^л cos ал?—wu cos л?)— A/-i IX
L n Jl
X casaft<pd<p=j/j2 (<p) cos afttprf(p; ttt=/l4.
Выполняя интегрирование и учитывая связи C.26), C.28) и
C.30), получим бесконечную систему алгебраических уравнений
ОТНОСИТеЛЬНО Wln, Т2>2л> да21 -
2 (e*.«u+^+^=^; C-36)
0
2
Я-0
85

Здесь
?=0,1,2,...; akn=y(k,n),
= -Y(l, ft); akn = -y(n, at); \п==У(ак, а„);
=Y @,0)+
Л =
cos a
-о @,0)+ 0@,0);
2 E-Ji sin 9i
-«(aft, 0) + 9 (aA, 0);
l-lj-l
m si
2
i
ft); w (*)=2 2
l
sin'cos
-y (fi-f^ + ^-^Msin 2ft?,- sin 2k'b)tt=k;
—$'m(n
rsin(n—k)f 1—sin(n—ky?j sin(n
I; пфк.
Решая_систему C.36) методом редукции, находим wlQ,wn,wn,~-
..., wUt, w2u W21, w20,..., ^2/i«, а путем суммирования определяем
радиальные перемещения шпангоута и накладки
86

л*
л=2 _ C.37)
w<in cos ая<р;
изгибающие моменты в сечениях шпангоута и накладки
Mi=-^г- >) (ft2 -!) wi*cos ft<p;
М2=-S?L 2w21 cos «р _ у (ой -1) да2я cos а„<р . C.38)
.ая<р I
Для определения неизвестных углов q><(,j может быть применен ме-
метод последовательных приближений по схеме, рассмотренной в
разд. 2.3.
Заметим, что из полученной разрешающей системы C.36) как
частные случаи следуют решения контактных задач, рассмотрен-
рассмотренных выше, в гл. 2 и в разд. 3.2, 3.3. Так, если в C.36) положим
?2/2=00, то получим разрешающую систему контактной задачи
для кругового шпангоута и нелинейного основания (ложемента).
Для фо=<р1 = я получим систему, описывающую контактное взаимо-
взаимодействие соосно сопряженных колец.
В качестве примера приведем расчет шпангоута, на который
через круговую накладку действует сосредоточенная радиальная
сила Q, приложенная в точке ф=0 (рнс. 3.11).
В расчетах примем такие значения параметров конструкций:
/?,/?2-»=0, 9; /,/?r4=5-10-7; /•1/?Г2=2-10-3; ?,=?¦а=б,9.10» Н/м2;
Фо=Ф1 = я/12. Прокладку считаем односторонней (?i=0, Ai = 0) со
следующими значениями характеристик на сжатие: C2=0,7-l(H?'i;
Cs-1.5-1<H?,; с4=2.1(Н?,; Д2=0,4.10-2/?,; Д,= 1,6-HH/fi;
A4=4«l(H/?i. Расчеты проводились на ЭВМ при Q=105 H. Число
приближений ограничивалось точностью 8=0,0001. При решении
системы C.36) принималось а>и=0 (условие отсутствия перемеще-
перемещения шпангоута как жесткого целого).
Результаты расчета приведены на рнс. 3.12 и 3.13 в виде кривых,
изображающих изменение контактного давления под накладкой
p*=pR\Q~1 н изгибающего момента в сечениях шпангоута
Ж=~щ~ %{п? ~1} Щп cos щ
в районе действия сосредоточенной нагрузки @^<Р^~5") ПРН раз-
различных значениях изгнбной жесткости накладки E2h^Y.Eili. Кри-
Кривые / соответствуют значению х=10; кривые 2 — х=1,0; кривые
3 — х=0,1; кривые 4 — х=0,01; кривая 5 — х=0.
87

Q
8,0
6,0
4,0
2,0
\
\
\
— —
'/
•
60
го
2L
72
Рис. 3.11.
Рис. 3.12.
9,рад
Рис. 3.13.
88

Полученные кривые наглядно иллюстрируют влияние изгибной
жесткости подкрепляющей накладки на закон распределения кон-
контактного давления и напряженное состояние шпангоута оболочки.
С увеличением изгибной жесткости накладки контактное давление
концентрируется вблизи краев накладки, величина изгибающего
момента в шпангоуте уменьшается (в основном под накладкой).
3.5. КОНТАКТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ШПАНГОУТА
И УПРУГОГО ЛОЖЕМЕНТА НЕКРУГОВОГО ОЧЕРТАНИЯ
Рассмотрим круговой шпангоут, лежащий на упругом основании
произвольного очертания, контур которого описывается радиусом-
вектором <Г(ф), и испытывающий внешнее нагружение в своей плос-
плоскости радиальными /?(<р) и касательными t(<p) силами (рис. 3.14),
Здесь А(<р) =е(<р) — Ro — зазор между шпангоутом и ложемен-
PW
Рис. 3.14.
том до деформации; си, ct2— угловые координаты ложемента; Ro—
внешний радиус шпангоута.
В процессе деформации и контактного взаимодействия с ложе-
ложементом на шпангоут в его плоскости действуют суммарные ради-
радиальные и касательные нагрузки
р'(ч)=р(9)+р(ч); *(?)=*(?); C-39)
реактивную нагрузку р(ц>), действующую со стороны ложемен-
ложемента, представим в виде
О, (ад-J-Д) !> О (вне зоны контакта);
/>(?)=
—c(w-\-k),
(в зоне контакта).
C.40)
Применяя рассмотренные выше схемы расчета, с помощью
соотношений C.39) и C.40) получим интегральные уравнения рас-
рассматриваемой контактной задачи

?2/
f p' (<p) cos &pd(p + c 2 f (w + A) cos &pd(p = J /? (<p) cos
' l^-1 C.41)
f т (<p) sin fafdy= f
т (<p) sin fafdy= f * (<p) sin
где ф2<-ь Ф2г — углы, ограничивающие t-й участок контакта шпан^
гоута с основанием; 2т — общее число участков контакта.
Представляя решения системы и действующие внешние нагруз-
нагрузки в виде тригонометрических рядов, после интегрирования и неко-
некоторых преобразований с использованием зависимостей между амп-
амплитудными значениями нагрузок и радиального перемещения кру-
кругового кольца получим разрешающую систему в виде
2 *»«».= **. *=0,1,2,..., C.42)
R-0
где
nc~1
Анализ системы уравнений C.42) и сравнение ее с ранее полу-
полученными разрешающими уравнениями контактных задач для кру-
кругового шпангоута и кругового ложемента того же радиуса показы-
показывают, что наличие зазора между шпангоутом и ложементом экви-
эквивалентно действию в зоне контакта некоторой фиктивной нагрузки,
значение которой зависит от величины отклонения очертания ложе-
ложемента от контура шпангоута до деформации. Напомним, что подоб-
подобная особенность имеет место в случае нелинейности характеристик
ложемента (см. разд. 2.3).
Итак, зная поперечное очертание ложемента, находим выраже-
выражение для зазора Д(<р) и вычисляем входящие в правые части системы
C.42) значения 8k- В дальнейшем решение задачи сводится к реше-
решению полученной системы линейных алгебраических уравнений с
использованием метода последовательных приближений для опре-
определения заранее неизвестных участков контакта (углов .фад_1, <рг»)
и их числа т. -
90

2,5
2,0
%S
%0
Ofi
ж
6
я
ч
Для конкретной оценки влияния очертания ложемента на харак-
характер распределения контактного давления проведем расчет системы,
изображенной на рис. 3.14, при
следующих значениях параметров
шпангоута и ложемента: FR-2 —
=2-10-3; //?-4=210-6; c = 9i(H?;
а1 = я/6; аг=л/2; A=asin (ф—ai).
На шпангоут действует радиаль-
радиальная нагрузка Q, равномерно рас-
распределенная на участке 2фо=л/18.
Результаты расчета, проведен-
проведенного на ЭВМ для €=0,0001 и я*=
= 20, представлены на рис. 3.15.
Здесь приведены графики измене-
изменения контактного давления между
шпангоутом и ложементом при
различных значениях зазора (ве-
(величины а). Кривые 1—3 изобра-
изображают значения контактного дав-
давления соответственно при a/R = 0-
0,025; 0,05.
Сравнительный анализ полу-
полученных данных показывает, что
наличие предварительного зазора
между шпангоутом н ложементом
оказывает существенное влияние
на величину зоны контакта и за-
закон распределения контактных
усилий. Следует заметить, что даже относительно малые отклоне-
отклонения контура ложемента от контура шпангоута влекут за собой
уменьшение зоны контакта и, следовательно, возрастание величины
контактного давления.
V'
3
\
\
1Г
3
Рис. 3.15.
12
1Г <Р,рад
3.6. УЧЕТ СИЛ ТРЕНИЯ В КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧАХ
ДЛЯ КРУГОВОГО ШПАНГОУТА И УПРУГОГО ЛОЖЕМЕНТА
До сих пор в контактных задачах для кругового шпангоута и
опорного основания (ложемента, кольца) с односторонней проклад-
прокладкой мы полагали, что касательные контактные связи (усилия) меж-
между ними отсутствуют. Однако если прокладка имеет ненулевую
сдвиговую жесткость н неидеальную поверхность, то при взаимо-
взаимодействии шпангоута с опорным основанием в зонах их контакта за
счет треиия возможно также появление тангенциальных сил взаи-
взаимодействия.
Ниже представим решения некоторых контактных задач для
кругового шпангоута с учетом трения.
I. Рассмотрим круговой шпангоут, лежащий иа упругом ложе-
ложементе произвольного очертания н находящийся под действием ра-
радиальных и касательных сил р(<р), *(<р) и изгибающих моментов
91

(p) (см. рис. 3.14). Здесь кроме обычных обозначений введем
величину е — эксцентриситет шпангоута. Считаем, что упругая про-
прокладка односторонняя; нормальные контактные усилия пропорцио-
пропорциональны радиальным смещениям, а касательные усилия в районе
контакта при наличии трения возникают за счет сцепления (в об-
области малых сдвиговых смещений) и за счет кулоновского трения
скольжения (при относительно больших сдвиговых смещениях).
В этой связи зоны контакта разделим на участки сцепления, где
контактные касательные усилия пропорциональны касательным
смещениям, и участки скольжения, где касательные контактные
усилия пропорциональны нормальному давлению.
В соответствии с принятой схемой контактного взаимодействия
на шпангоут в процессе деформации действуют суммарные нагруз-
нагрузки: р'(<р)=р(<р) +р{ц>); т(ф) = *(ф) +т(<р) —радиальная и каса-
касательная погонные нагрузки; ц(ф)=/Я1(ф)+т(ф)е— погонный изги-
изгибающий момент. Реактивные радиальные и касательные нагрузки
р(<р) и т(ф), действующие со стороны ложемента, равны
0. (
C.43)
О, (да + Д)>0;
v'
*(?)=
Здесь ср, сх — коэффициенты жесткости основания (прокладки)
соответственно на сжатие и сдвиг; А (ф) — зазор между шпангоутом
и основанием; v/=v + eR~1(vll+v) —касательное перемещение то-
точек шпангоута, находящихся на расстоянии е от его оси; /i — коэф-
коэффициент трения скольжения; vst. = f1cpc71(w-^A)=f2(w-^ii). Ус-
Условие v'=v# в зоне контакта определяет границу между участка-
участками сцепления и скольжения. Коэффициент /2=/icp?7 назовем
коэффициентом сцепления. От величин коэффициентов fu cp, сх
зависят размеры участков сцепления и скольжения в зонах контак-
контакта. Так, с увеличением коэффициента трения увеличиваются /г и
г>* и тем самым зона сцепления возрастает, а зона скольжения
уменьшается. При увеличении жесткости прокладки на сдвиг вели-
величины /2 и у* уменьшаются и поэтому область сцепления сужается,
а область скольжения расширяется.
Введем следующие обозначения: q>2i-i> фг* — углы, ограничиваю-
ограничивающие 1-ю зону контакта шпангоута с ложементом, где (ш+А) <С0;
Yi — количество зон контакта; -фгг—i» tya — углы, ограничивающие
участок сцепления шпангоута с основанием, в пределах которого
t>'^y*; V2 — количество зон сцепления; од-*, ©г, — углы, ограничи-
ограничивающие участок скольжения, в пределах которого v'>v*; \3— ко-
количество зон скольжения.
Контактную задачу для рассматриваемой схемы взаимодейст-
взаимодействия сведем к следующей системе интегральных уравнений:
92

2»
(®+A) sin Лр</<р=
Г р' (ф) cos kfdy -j- с 4j f (о/ -j- Д) cos fopafcp = i" /? (<p) cos fopcfcp;
б t?\ 4-i о
f t (ф) sin ^cpaf ф -J— с -с \* f i)'sin ^cpaftp — /jc
о ^1
* * Г *• Фо/
= \ t (ф) sin k<pd<p', \ Iх (<p) sin «tpaftp -J- e I ct Л I ij si
" rf rf L r.iH
ffl2i-l
' sin
• 21 I
~/iCp2 f (® + A) sin fopaftp == Г OTj (tp) sin fopafy. C.44)
« = 1 ^/—j J 0
После представления решений этих уравнений н внешних нагру-
нагрузок в виде тригонометрических рядов и интегрирования систему
C.44) приведем к виду
- 45)
2Pft"'y"~SYft"By'1 Г7я^
где
\ bk = 2cpn ^ f
/-1 4P2?
v, %l , *• ffl2»
2 sin tt<p Sin 212 j
oJj. «
f cps л<р sin^afcp; pk = 2n~l \ pfa) cosk<?d<?',
\
J
Умножая второе уравнение на krl, третье на (l—k2)!(kR) н
суммируя левые н правые части уравнений системы C.45) с учетом
известных связей между амплитудными значениями нагрузок и ра-
радиальных перемещений
EF
w P[+X 0
93

C.46)
получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений
относительно амплитудных значений радиального перемещения
шпангоута
jjoww^ft», *=0, 1,2,... C.47)
и-о
Здесь
йоо=-^—ha00; «Ол = аОл; akO=akO—ykOek\
Ь0=п(р0-ь0); ^у
В отличие от ранее полученных разрешающих соотношений кон-
контактных задач для кругового шпангоута система C.47) учитывает
одновременно наличие тангенциальных контактных связей (сцеп-
(сцепление шпангоута с основанием и скольжение шпангоута относи-
относительно основания) и возможные отклонения ложемента от кругово-
кругового очертания. Кроме того, здесь учтен эксцентриситет шпангоута
(несовпадение линии контакта с нейтральной осью шпангоута).
В результате решения бесконечной системы C.47) методом
редукции определяем амплитудные значения перемещения шпан-
шпангоута wn, а путем суммирования вычисляем его радиальные и ка-
касательные перемещения
«* «*
w — \^wncosn<f, v'=^j?wnen sin щ. C.48)
л-=0 л-1
Поскольку углы, ограничивающие зоны контакта, сцепления и
скольжения <р;-, i|>j, ©j, заранее не. известны, для их определения
применяем метод последовательных приближений. В качестве ну-
нулевого приближения может быть принято решение .для двусторон-
двустороннего основания с полным сцеплением, без проскальзывания, т. е. ре-
решение при q>2i-i = i|Ji-i = ai; q>2i=i|>2i=cu2i = ^-1 = 02; vi=v2=l,
v3=0.
В каждом последующем приближении по найденным значениям
перемещений C.48) предыдущего приближения уточняем границы
контакта, области сцепления и скольжения (углы щ, i|>j, a>j). Про-
Процесс приближений заканчиваем тогда* когда углы s-ro приближе-
94

ния будут отличаться от углов предыдущего (s—1)-го приближе-
приближения на заданную малую величину е
В качестве примера проведем расчет системы, изображенной
на рис. 3.14, со следующими относительными параметрами шпан-
шпангоута и ложемента:
2^2-Ю-3; //?-4=2-10-5, ср=.-9 10-5Е; <7т=310~5?;
/1==0,5; Е=6,9-№ Н/м2; *=0; тх = 0\
ах=л/6; а2=я/2; A=asin(<p —аО; e=0,03R.
f~n f.paa
Рис. 3.16.
Рис. 3.17.
Результаты расчета, проведенного по описанному выше алго-
алгоритму на ЭВМ для е = 0,0001 и л^=20, приведены на рис. 3.16—
3.19.
На рис. 3.16, 3.17 представлены графики радиальных p(q>) и ка-
касательных т(ф) контактных усилий и изгибных радиальных пере-
мещений шпангоута wH = V да„ cosmp при нагружеиии внешней
Л =2
радиальной нагрузкой Q=105H, равномерно распределенной иа
участках 2<ро=л (кривые /) и 2сро=л/18 (кривые 2) для случая,
когда шпангоут установлен на круговом ложементе без зазора
(а=0). Штриховыми линиями здесь показаны р{ц>) и о>„(ф), вы-
вычисленные без учета трения между шпангоутом и ложементом
(fi-0). ...
95

На рис. 3.18 изображены графики распределения контактных
усилий в случае действия внешней радиальной нагрузки Q=105H,
равномерно распределенной на участке 2фо=л/18 при различных
значениях величины а. Здесь кривые /—3 изображают значения
нормального контактного давления, а кривые 4—6 — значения ка-
касательных контактных усилий соответственно при a/R = 0,05; 0,025;
&%;&%,
Рис. 3.18.
Рис. 3.19.
0. Штриховыми линиями показаны распределения нормального
контактного давления при отсутствии трения (/i = 0).
На рис. 3.19 представлена зависимость углов, характеризующих
участки контакта Aq>i=q>2—q>i, сцепления Ai|)i=i|J-A|ji и скольже-
скольжения A(ui = ft>2—<вь от величины внешней радиальной нагрузки Q,
равномерно распределенной на участке 2фО=л/18 при (а//?=0,05).
Анализ полученных результатов расчета показывает, что нали-
наличие трения и зазора между шпангоутом и ложементом оказывает
существенное влияние на величину зоны контакта, законы распре-
распределения контактных усилий и напряженно-деформированное сос-
состояние шпангоута.
Учет трения приводит к значительному снижению концентра-
концентрации радиального контактного давления вблизи края ложемента
(более плавному распределению нормального давления в зоне кон-
контакта) и в некоторых случаях нагружения — к существенному
уменьшению изгибных деформаций шпангоута. Зоны контакта с
учетом тангенциальных связей изменяются и иногда довольно зна-
значительно.
Как показали вычисления, учет эксцентриситета шпангоута, ве-
величина которого находится в пределах 0<е<0,05/?, практически
96

не оказывает влияния на величину и характер распределения кон-
контактных усилий между шпангоутом и ложементом.
2. Рассмотрим контактное взаимодействие кругового шпангоута
и опорного кольца (бандажа), соосно сопряженных с помощью од-
односторонней прокладки, с учетом трения (рис. 3.20).
В соответствии с принятой выше схемой работы прокладки при
наличии трения суммарные нагрузки, действующие на шпангоут и
бандаж на участках их_контакта, представим в виде_
/i(«p)=a(<p)-A2(?); P2{f)—P2(?)+RiR2 ^Mi C.49)
()
(?(?M (?(?
Здесь индекс «1» относится к бандажу, индекс «2» — к шпанго-
шпангоуту; pi2(<P) =—cp(w2—W\)— ра-
радиальные контактные усилия,
действующие на б
()
у
у бандаж;
h2 (q>) — касательные контакт-
контактные усилия, равные —cz(v2—vi)
при (v2—vi)<v* (на участке
сцепления) и ficp(w2—W\) при
(v2—i>i) ^f # (на участке сколь-
скольжения) ;эксцентриситеты шпан-
шпангоута и бандажа не учитываем
(е1 = (?2=0).
Контактная задача для рас-
рассматриваемой схемы взаимо-
взаимодействия- сводится к следую-
следующей системе четырех интеграль-
интегральных уравнений
Рис. 3.20.
j № (?)
T
/-1
J (wa - «i) cos kydy=
it
= f P2 (?) cos
б
f
0
T2(<p) sin
2/
/-1
0
* Г '2*
1 r
Wj) Sin ^cpfifcp |== I
J о
sin tyd*? —
sin
C.50)
— t»i)coskfdf —
cos
4
— Wj) sin
sin
41
97

где v — число зон контакта шпангоута с бандажом; ф2<-1, Фгг —
углы, ограничивающие Мо зону контакта, где (w2—aii)<0; ifci-i,
¦ф2г — углы, ограничивающие в i-й зоне контакта участок сцепления,
в пределах которого разность сдвиговых смещений не превосходит
предельного значения (v2—V\<.v%)\ согг-ь «>2г — углы, ограничива-
ограничивающие в i-й зоне участок скольжения, где {v2—vi) ^*v*.
Представляя решения этих уравнений и внешние нагрузки в
виде бесконечных рядов и учитывая условия равновесия и связи
между коэффициентами Фурье нагрузок и перемещений для круго-
кругового кольца, после некоторых преобразований и интегрирования
из систем C.50) получим бесконечную систему линейных алгебраи-
алгебраических уравнений для определения коэффициентов Фурье радиаль-
радиальных перемещений шпангоута w2n и опорного кольца (бандажа)
C.51)
2(^2Л+4Л,)=А> *=0, 1, 2,...,
л-о
где
akk=
cos *? cos й?^?! Р*л=2 i sin
9
2
sinA«pcas»prf<p; B0=n
1
'=lffl2/-l
5ft = -i-я/?2/?г' (Р2к +t2kk-'); D0=npwi Dk=-1 я (A
В отличие от ранее полученной в разд. 3.3 разрешающей систе-
системы для соосно сопряженных колец, в системе C.51) дополнительно
учтены сдвиговая жесткость прокладки и с помощью коэффициента
трения — состояние поверхностей контактируемых элементов.
Систему C.51), как и подобные ей бесконечные системы, реша-
решаем методом редукции, а заранее неизвестные углы <pj=i|>j+(Oj, ха-
характеризующие зоны контакта (сцепления и скольжения), находим
путем последовательных приближений.
98 • (. .

Для количественной оценки влияния трения на контактное взаи-
взаимодействие шпангоута и бандажа проведем числовой расчет для
двух вариантов бандажа: ?'1F1= lOE^F^, Eifi=lO3E2/z, /?i= 1,1^2
(жесткий бандаж); ElFl=0,l E2F2, ?'1/1=0,001?'2/2; /?i=/?2 (гиб-
(гибкий бандаж) при следующих геометрических и жесткостных пара-
пара2 ? *
метрах:
031
2= 1,8• Ю-3;
=* 1,8• 10-6; с = 0,9- 10~*Е2, с,=
(m/qr,)-w
р 2 ,2К ,; 2
=0,3-10-4?;/i=0,5. Внешняя нагрузка Q на бандаж (внешнее
кольцо) состоит из двух каса-
касательных сил ti = il2Q, сосредото-
сосредоточенных в точках ф= ±л/2, урав-
уравновешенных потоком касатель-
касательных усилий t2 — Q.{nRi)-1 sin<p,
действующим на шпангоут.
-0,6 ^s
Рис 3.21.
Рис. 3.22.
Расчеты проведены на ЭВМ; число уравнений в системе C.51)
принималось равным 50 и полагалось, что au2i=0.
Результаты расчета представлены на рис. 3.21 и 3.22.
На рис. 3.21 кривые/, 2 изображают изменения радиального
контактного давления J5i2(q>) соответственно для жесткого и гибко-
гибкого бандажа, а кривые 3, 4 соответственно представляют касатель-
касательные контактные усилия ti2(y). Штриховыми линиями показаны рас-
распределения радиального контактного давления />i2(<p) при отсутст-
отсутствии тангенциальных связей (/i = 0).
На рис. 3.22 построены эпюры изгибающих моментов
(Л2— l)W2nCOS/*cp,
возникающих в сечениях шпангоута при различных значениях же-
жесткостных параметров бандажа (обозначения кривых те же, что и
на рис. 3.21).
Сравнительный анализ полученных результатов расчета позво-
позволяет сделать, в частности, такие выводы.
4* OQ

Законы распределения контактных усилий между шпангоутом и
бандажом и напряженно-деформированное состояние шпангоута
при заданной схеме нагружения существенно зависят от величины
изгибной жесткости бандажа.
Наличие между ними тангенциальных связей за счет трения мо-
может значительно изменять величину и характер распределения ра-
радиального контактного давления, однако в рассматриваемом слу-
случае его влияние на напряженно-деформированное состояние шпан-
шпангоута мало.
При отсутствии трения между гибким бандажом и круговым
шпангоутом радиальное контактное давление для широкого диа-
диапазона параметров близко к равномерному. На основании прове-
проведенных исследований можно рекомендовать при расчетах подобных
систем считать поперечную нагрузку, передаваемую через гибкую
ленту, равномерной.

ГЛАВА 4
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
СОСТАВНЫХ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
ПРИ ЛОКАЛЬНОМ НАГРУЖЕН И И
И КОНТАКТНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯХ
4.1. напряженно-деформированное состояние
составной оболочечнои конструкции
при произвольном локальном нагружении
Рассмотрим тонкостенную конструкцию, состоящую из несколь-
нескольких оболочек вращения, подкрепленных в местах их стыка и на
торцах силовыми кольцами—шпангоутами. На систему сопряжен-
сопряженных в единый конструктивный узел цилиндрических, сферических и
конических оболочек действуют приложенные к шпангоутам внеш-
Рис. 4.1.
ние нагрузки: радиальные /?г(ф)> касательные Мф)> осевые <7»(ф)>
силы, а также изгибающие тн(ц>) и крутящие m2,(q>) моменты
(рис. 4.1). Цилиндрическая оболочка может иметь внутри упругий
заполнитель, а к ее поверхности приложена распределенная ра-
радиальная нагрузка р(х, <р). Определим напряженно-деформиро-
напряженно-деформированное состояние подкрепляющих шпангоутов и оболочек от дейст-
действия заданной системы внешних нагрузок с учетом упругости и ха-
характера нагружения всех элементов рассматриваемой оболочечнои
конструкции.
Обшее решение дайной задачи является весьма громоздким.
Введем в общую расчетную схему рассматриваемой оболочечнои
конструкции ряд упрощающих предположений, позволяющих по-
получить достаточно простые и вместе с тем удовлетворяющие прак-
практической точности расчетные соотношения. Будем считать, что оси
шпангоутов при изгибе нерастяжимы; поведение цилиндрических
101

оболочек описываем схемой полубезмоментной, а сферических и
конических оболочек безмоментной теории. Компонентами напря-
напряженно-деформированного состояния типа краевого эффекта в обо-
оболочках пренебрегаем как малыми в энергетическом смысле. (Оцен-
(Оценка влияния моментности оболочек проведена, например, в [6, 78]
и др.).
При рассмотрении совместного деформирования оболочек и
шпангоутов размерами площадок контакта пренебрегаем (см.
разд. 1.2).
Применяем метод тригонометрических рядов. При представлении
внешних нагрузок в виде рядов по <р расчет шпангоутов и оболочек
разбивается на три задачи: осесимметричную (от действия осесим-
метричных нагрузок ро> Яо, /Иго), балочную (при п=\) и неосесим-
/ - и (CO|S Я<р)
метричную (от действия циклических нагрузок типа ап, оп\ т I
(sin щ)
при п > 2).
Методы расчета оболочечных конструкций при осесимметричном
нагружении достаточно хорошо разработаны, а балочное решение
общеизвестно. Остановимся на расчете шпангоутов и оболочек при
действии циклических нагрузок.
В дальнейшем ограничимся получением решений от действия
симметричных периодических нагрузок pnc cos n <p, q»c cos n <p,
tnssin пц>, minssinnф и m2necos/i<p. Для антисимметричных на-
нагрузок pns sin n ф,..., rri2ns sin n ф решение может быть несложно
получено аналогичным путем.
Под действием внешних циклических нагрузок и реактивных уси-
усилий со стороны оболочки ось шпангоута получает радиальные, каса-
касательные и осевые перемещения, коэффициенты Фурье которых рав-
равны (см. гл. 1):
wn=vnn=[p*n-(pn+t'nn-1)] Кхп, D ^
где Рп=Рп+tnn~x — ЩпЯ'1 (л2 - 1) я: Яп=Яп+ЩпЯГ~1п2 {1 +rf) X
X (п2+«0~1 — эквивалентные (суммарные) коэффициенты Фурье со-
соответственно радиальных (действующих в плоскости шпангоута) н
осевых (действующих из плоскости шпангоута) внешних нагрузок;
рп, qn, t» — коэффициенты Фурье реактивных усилий со стороны
прилегающей оболочки;
,, /?4 ^ /?4 n2,+ tf . , Elz
ХП ?/ж(п2_1J' *" ?/г(п2_1J П2 ' Qlp
Выражения для эквивалентных поперечных рп* и осевых qn*
нагрузок для некоторых схем нагружения шпангоута в плоскости и
из плоскости приведены в табл. 4.1.
Для шпангоута, взаимодействующего с упругим основанием и
испытывающего действие равномерной распределенной радиальной
нагрузки ро в своей плоскости,
wn=\Pn—a[cwn + p0R-1{n2--l)]—(~pn+~tnn~l)}Kxn, D.2)
102

Таблица 4.1
Вид нагрузки
Л.
Ж-
% (<р) =
X cos (<pi
sin (<pi — <р);
tc
т
Коэффициенты разложения в ряд Фурье
Р
Ро~ 2яЯ
Я
Рпс = —г- соэ и?!
Я/ч
я/?
7"
'л* = —7J~ sin n<pi
^ = —— cos n<pi
Яа
ftiins = —~ sin n<pi
mine = —— cos n<P[
я/?
103

Продолжение
Вид нагрузки
Коэффициенты разложения в ряд Фурье
sin <
Рас ¦
Я sin
nR n sin i
Я = 2paR sin <p0
A. 1<р1<<РоГ
o, i<p| > <po;
я
(= sin <p;
nR
Рас-
тР
т — число сил Р
Ро
<Р0
Рпс =
nR 3 [sin <p0 — 2/<р0(sin <po/<Po — cos <p0)]
Я sin n<po/n — 2/n2<p0(sin n<fc/n<fo— cos n<po)
nR sin <p0 — 2/<p0 (sin <po/<Po — cos <p0)
°. l<Pl > <Po
\<f\
Я
104

Вид нагрузки
Продолжение
Коэффициенты разложения в ряд Фурье
A1
О,
.('-?)
.*>
sin
Рй =
<Ро
nR 3(sin<po/<Po—<"°s<Po)
P l/n2(sin n<po/n<Po— cos n<Po)
nR sin <po/<po — cos <po
P = 4/>a# (sin <po/<po — cos <po)/<po
Pa
0,
[<P I2
1-— , 0<<p«p0
<Po J
Г <? I2
1 + —I ,—vo^^^O
1 <Po J
l<p| > <Po
Pnc =
. 6A— sin<po/<po)
sin п<ро/п<ро)
Я/?
1 — Sin <ро/<рО
= 0 .
—sin
105

Продолжеиие
Вид нагрузки
Коэффициенты разложеиия в ряд Фурье
л/? cos <p0
Рпс=-
cos
4/>
4/?
я/?
я
2
я л
~~2' П==2^
4/> (-1)'
-, л — четное;
Л л
Рпс=—, Л =
рал/? cos
\ш-
я
т(Ф)
О,
< <Ро
= —sin,
^ <Ро
_2_
л
я/? sin <р0 _ 2<р0 cos <р0
1 —
Г, 2<Ро'
2n<p0cos п
Р sin
Я Sin П<Рп 1 —
Л2
я/? n sin <р0
1 —-
cos <
я sin <рп 1 —
<Ро
106

Продолжение
Вид нагрузки
Коэффициенты разложеиия в ряд Фурье
• cos a
• P I 1 \
Pnc = ~Б Cos а cos n<Pi + — sin a sin n <pi I
Яд \ П J
X cos а + [0,5 +
+ cos(<pi — у)] sing}
* P I
Pns = "^ I
я ft \
1
cos а s'n n<Pi sin a cos n<pi
n
\
I
I
/>(<p) =
>aCOS<p,
<pi-<Po <<P<<Pi+<Po
0. <Pi-<Po><P><Pi+<Po
sin<f>0
sin
Я sin
Ряс =
2 cos <pq
n sin
1 +
cos m
sin 2<p0
X
sin n<p0 cos <pq
Pns —
X
«2—1
sin n«p0
COS n<fi
2 cos <po
1 +
sin 2<p0
X
n sin <pq cos n«po
sin n<p0 cos <p0
n2 — l
при <fo= —
2,
-sin n<pi
Pnc= —
Pns= —
\P 2
ЛЩ «2-1
ля
4Я "Т
Л2_ 1
cos n<pi
sin n<pi
1G

Продолжение
Вид нагрузки
2Т . , . .
% (о) = Sin <pi Sin <р
лR
Коэффициенты разложения в ряд Фурье
* Mi I . cos л<Р(Д .
р — — ¦ 1 ctg <рп sin я<ро — 1 sin пчц
лR2 \ п J
* Mi j COS n<fo\
p - = 1 ctg <Pn sin щп — 1 cos n<fi
" Я/?2 \ П I
Mi = 2PR sin <p0
* 2У, Г е Л sin n"<pi
лс ~ [я/? L Л J n
» Я sinn<po_
( , . sin пщ sin «pi Г е 11
X|cos n cos nTi|-U ^ ^ |^1 - («2 _ l) —jj
108

Продолжение
Вид нагрузки
Тv
4Г
АтЛ
sin <pi sin <f
Коэффициенты разложения в ряд Фурье
* IT sin Щ\ Ye 1
/- *R n A ^"^L1 /?( 1}J
y0 = Q/2.t/?
Q sin Л(р0
Япс —- „ • - cos n(pi
Я/? П(р0
Q sin п(р0 .
«¦л* — n sin n(pi
Я/? Л(р0
Q = 2/?<p0?a
109

Продолжеиие
Вид нагрузки
d
Е1г
GIP
—-\
Коэффициенты разложения в ряд Фурье
Qi Г 1 1 е 1
Яо~ 2яЛ I1 ' r\
Q Г «2(i+rf) .1
Q Г «2A+ Ю в "I
*«-я*11+ «2 + rf /г JeIU "VI
*°~2Я/г
mQ
Чпс~ nR
qns = o
m — число сил Q
M2
m2°-2nR
M2
Mine ~ —Г" COS П«1
Я/?
M2
M2ns = — Sin «<p!
no

где с — коэффициент податливости упругого основания (среды);
а — ширина поперечного сечения шпангоута.
Внося в D.1) и D.2) значения реактивных усилий со стороны
оболочки рп, qn, tn, выраженные с помощью условий совместной
деформации через перемещения оси шпангоута wn, un, получим сис-
систему двух линейных алгебраических уравнений относительно коэф-
ftm
Po
L
h.
r
Рис. 4.2.
фициентов Фурье радиального и осевого перемещений. Для оболо-
чечной конструкции, имеющей т шпангоутов, разрешающая систе-
система будет содержать 2т уравнений для каждой n-й гармоники раз-
разложения внешних нагрузок в ряд Фурье.
Разрешающее уравнение для оболочечной конструкции при ее
произвольном локальном нагружении получим, используя основные
зависимости прикладных теорий оболочек вращения и круговых
колец (см. гл. 1). Ниже приведем соотношения для использованного
варианта прикладной теории цилиндрических оболочек —полубез-
моментной теории.
Дифференциальные уравнения равновесия и соотношения упру-
упругости для полубезмоментной ортотропной цилиндрической оболочки,
нагруженной внутренним равномерным давлением и содержащей
упругий заполнитель, скрепленный с оболочкой (рис. 4.2), имеют
вид
D.3)
Tl=Elhu,x; T2=E2h{viV-\-w)r-\
12A-
111

где ро — внутреннее давление; г, h, Еи ?2, м-ь М-2—-радиус, толщина,
модули упругости и коэффициенты Пуассона материала оболочки
в продольном и кольцевом направлении; р{х, <р) —радиальная по-
поверхностная нагрузка.
Решая систему D.3) с учетом цикличности нагруженйя и гео-
геометрических гипотез (о нерастяжимости и об отсутствии сдвига
срединной поверхности оболочки при изгибе), получим разрешаю-
разрешающее уравнение полубезмоментной оболочки относительно коэффи-
коэффициента Фурье касательного перемещения оболочки vn:
У D-4)
где
12A-
|=л;л~1 — безразмерная координата в продольном направлении.
Амплитудные значения остальных компонентов напряженно-
деформированного состояния оболочки определяем через каса-
касательные перемещения vn(l) по формулам
D 5)
Общее решение уравнения D.4) имеет вид
vn {%) = d sh X$ sin X? + С2 sh X$ cos
+ C3ch Xe sin X$ + С4 ch X$ cos XJ -j- v*n, D.6)
где Ci — постоянные интегрирования, подлежащие определению из
граничных условий; vn ¦— частное решение.
Если оболочка по торцам подкреплена упругими шпангоутами,
то граничные условия в этом случае имеют вид
*>п (°)="ол=««I»; «я (Si)=«л=«V1;
«я@) = йЯ1; e«(Ei) = e»a.
где о„ь uni, у„2, ы„2 — амплитудные значения перемещений торце-
торцевых шпангоутов; ll = lr-i; I — длина оболочки.
Для данных граничных условий находим
Ci=- - /о (Oi) vnX - /j (а,) лХ-1ил2+/3 (а,) vn2 - /4 (
/(а)«
у Х-»яя1; D.7)
3=«X-!«nl-C2; С4=г1я1; -ил1 = г)Л1 + г;л;
112

Здесь введены следующие обозначения:
, , . ch a sh a + sin а cos а
Л (а)
Л (а)
ch а sin а — sh а cos а
- sin2 а
_ sh а ch а— sin а cos а
sh2a — sin2 a
sin2a
/з(а) =
sh2a — sin2 a
2 sh a sin a
— sin2<z
ch a sin a 4- sh a cos a
sh2<z — sin2a
D.8)
sh2a— sin2<z
Таблица 4.2
a
0,05
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,50
2,00
2,50
oo
/o(a)
1200
300
75
33,34
18,76
12,03
8,37
6,17
4,75
3,78
3,1
1,58
1,13
1,02
1,0
/i(«)
24000
3000
375,07
111,22
47,02
24,28
14,1
9,01
6,15
4,45
3,37
1,435
1,08
1,01
1,0
20,0
10,0
4,99
3,33
2,499
1,99
1,66
1 42
1,24
1 10
0,98
0,62
0,400
0,234
0
/3(«)
1200
300
74,997
33,32
18,74
11,98
8,31
6,09
4,65
3,65
2,94
1,20
0,53
0,2
0
A(a)
40,0
20,0
10,0
6,667
5,0
4,002
3,337
2,863
2,509
2,236
2,019
1,39
1,13
1,03
1,0
/s(a)
24000
299,99
374,97
111,07
46,82
23,93
13,81
8,65
5,75
4,0
2,87
0,70
0,155
0,030
0
Значения функций /г(а) при некоторых значениях параметра a
приведены в табл. 4.2.
Из анализа этих функций и соотношений D.6) следует, что при
a>2,5 /i = ^4—> 1, /2=/з=/5—*0 и цилиндрическая оболочка в этом
случае может считаться полубесконечной.
С помощью D.5) —D.7) амплитудные значения меридиональ-
меридиональных и касательных усилий в оболочке в месте стыка ее со шпан-
шпангоутом 1 выразим через перемещения торцевых шпангоутов
7*,=
S°n = ^ [valfx (а,) - vn2f5 (a,)+-L «Х-. х
/2Ы]- D.9)
Внутренние тангенциальные усилия в оболочке на произволь-
произвольном расстоянии от края |=0 (при рп=0):
113

Tu (|) = -^- {Fl (i) ttnX-1\ (|) йл2+Хя-1 [F8 (|) vnl-F4 ft) г>л2)>; _
@^^(У ^+«x-i [F(O«+T(S)«
Здесь введены обозначения:
Ft E)=/4 (aj) ch X| cos X* _ /6 (Ol) (sh X| cos X| -f ch X| sin X|) — sh X| cos X|;
Л (9 = /i (ai) ch X| cos X| - i- /0 (Ol) (sh X| cos X| - ch X| sin \%) -
— — (ch X| sin X|+sh X| cas Щ;
F2 (I) = /2 (<*i) ch X| cos X| + -j- /3 (a,) (sh X| cos X? + ch X? sin Xs);
Л (S) = /5 («i) ch X| cos X| - i-/8 (aO (sh X| cos X| - ch X| sin XQ; D. 11)
^з Ш = /0 (ai) ch X| cos X|+sh X| sin Ц—/х (a,) (sh X| cos X|+ch X| sin Xf);
~Ръ (O=/o («1) ch X| cosX6-sh X| sin X| + /4 (Ol)x
X(chX|sinX|-shXscosX|);
Fi& = fz(ai)chX|cosX|-/5 (ax)(chX| sin a| + shX|cosX|);
T4 (I) = /3 (щ) ch X| cos X| — /2 (ai) (ch X| sin X| — sh Ц cos X|).
При i=ii(A,|i=-«i) имеем:
4.1.1. Расчет узла сопряжения цилиндрической
и сферической оболочек
Рассмотрим конструкцию, представляющую собой длинную
цилиндрическую оболочку, один из торцов которой замкнут сфери-
сферическим днищем. В месте стыка цилиндрической оболочки и сфери-
сферического днища расположен, шпангоут, к которому приложена про-
произвольная система локальных нагрузок (рис. 4.3).
Суммарные реактивные нагрузки, действующие в этом случае
на шпангоут со стороны оболочек, имеют вид
D.12)
где Tin, S°n — меридиональные и касательные усилия в цилиндри-
цилиндрической оболочке; Т1пс — меридиональные усилия в сферической
оболочке в месте стыка со шпангоутом.
Подставляя сюда значения краевых усилий Т\п, S% из D.9) и
Tine (см. гл. 1) и проводя сравнительную оценку коэффициентов
114

при wa=nvn и ия, получим, что величиной Si можно пренебречь
по сравнению с Т°пс, а в выражении для Т\п можно пренебречь сла-
слагаемым, зависящим от wn.
Тогда после подстановки D.12) в D.1) и некоторых преобразо-
преобразований получим следующие выражения для коэффициентов Фурье
перемещений оси шпангоута:
Рис. 4.3.
внутренних усилий в шпангоуте (продольной оси и изгибающих
моментов)
— tnlanR~l;
D.14)
и краевых усилий в оболочках
1лс:
Рп
па„
1 + Ш„Л3 1 + П COS 6С
I 1л— ¦
D.15)
Здесь введены обозначения:
я ros вс
115

anr= . . . ; апг=-
С„ (9С) = /г (и + cos бс) - ±- si
[см. формулу A.64)];
Окончательно получим следующие расчетные формулы для
определения:
а) перемещений оси шпангоута
Л*_V —Р-*— [I —ая,A
Л-2
D.16)
X [ 1 - anz A + «„ft3)] cos ft<p;
б) нормальной силы и изгибающих моментов в сечениях шпан-
шпангоута
N=K% (Po+Pi cos <p) + 2 ЛГ„ cos mp;
мх=м°х—r2 у Т/!°5/"Р„„; D-17)
(Л2—1)A +<вЛл3)'
П-2
где A'jv0—коэффициент, учитывающий упругость оболочек враще-
вращения при осесимметричной деформации; Мх°, Mz° — изгибающие мо-
моменты в изолированном кольце при заданном локальном нагруже-
иии {66];
в) меридиональных усилий в цилиндрической и сферической
оболочках
со *
ц„ cos я<р
"п=2
X
116
fl-—^
V 1 + (й„л

Tle= V — sin-2 9 tg« — cas tvf, D. 18)
я=2
где Q, M — суммарная осевая сила и изгибающий момент, дейст-
действующие в рассматриваемом сечении цилиндрической оболочки.
Формулы D.16) — D.18) для определения усилий в шпангоуте
и оболочках удобны для инженерных расчетов. Их анализ показы-
показывает, что напряженно-деформированное состояние шпангоута от
действия локальных нагрузок, определенное с учетом упругости
прилегающих оболочек,, существенно отличается от этого состоя-
состояния изолированного кольца.
На величину внутренних усилий в шпангоуте и в цилиндричес-
цилиндрической оболочке значительное влияние оказывает упругость сферичес-
сферической оболочки. Однако степень этого влияния зависит от соотноше-
соотношения действующих радиальных и осевых внешних нагрузок и соот-
соотношения изгибных жесткостей сечения шпангоута. Величины мери-
меридионального усилия в цилиндрической оболочке Т\ и изгибающего
момента в шпангоуте Mz с учетом упругости сферической оболоч-
оболочки тем меньше, чем больше радиальная нагрузка рг*. Если же
радиальная нагрузка отсутствует (р„*—0), то влияние сферичес-
сферической оболочки определяется величиной ип, которая при средних
значениях угла 6С в основном зависит от величины отношения из-
изгибных жесткостей сечения шпангоута в плоскости и из плоскости
IjcIJ . Если Ix-^ih, то величина хп и, следовательно, аПг малы.
Поэтому влиянием упругости сферической оболочки в этом случае
можно пренебречь и в расчетах пользоваться более простой фор-
формулой для меридионального усилия в цилиндрической оболочке
со »
Тх= — Q (яг)-1 + М (яг2)-1 cos <р + V Чп C0S "* е~х& сое Xg. D.19)
2
Если нагрузки рп* и qn* одного порядка, но Ix<g.Iz, то выше при-
приведенные расчетные формулы могут быть также упрощены путем
пренебрежения ип по сравнению с единицей. В этом случае
-1 «. ~ 2П+МЛг (я2-1)С(бс)
, ш„ =^— _____ .
При действии нагрузок в плоскости шпангоута и при отсутствии
осевых нагрузок (^п*=0) расчетные формулы для шпангоута н
сферического днища при Ix<.h представим в виде
D'20)
D-21)
117

Pn
1 + шпп3 1 + n cos 9C sin2 6
,±\n
' 2/
COS Щ.
По формулам D.20) с использованием ЭВМ построены графи-
графики для определения внутренних усилий в шпангоуте с учетом упру-
упругости сферического днища при некоторых, видах сосредоточенных
нагрузок, действующих в плоскости шпангоута (радиальных и
тангенциальных сил и изгибающих моментов). При этом варьиро-
варьировались параметры 0С и 8= _ ' х . Графики приведены на
рис. 4.4—4.7 для 0с=я/4 и различных б (табл. 4.3). На этих же
рисунках для сравнения приведены значения внутренних усилий
118
Рис. 4.4.

для изолированного кольца (кривые с индексом «О»), На рисунках
применены обозначения
К
РФ
Таблица 4.3
Номер
кривой
Изолированное
кольцо
0,01
0,005
0,004
0,003
0,002
0,001
0,0005 0,0001
Вычисления показали, что изменение параметра 6С незначи-
незначительно сказывается при определении до, N и Мх в шпангоуте (для
диапазона углов 6с=я/6-=-я/3), а с уменьшением угла 6С влияние
сферы возрастает.
Из рис. 4.4—4.7 видно, что сферическая оболочка в значитель-
значительной мере изменяет напряженно-деформированное состояние под-
подкрепляющего шпангоута. Изгибающие моменты, играющие основ-
основную роль при вычислении напряжений в шпангоуте, и радиальные
прогибы шпангоута значительно уменьшаются (прогиб в десятки
раз, изгибающий момент в несколько раз). Нормальная сила в
шпангоуте перераспределяется, возрастая вблизи точек приложе-
приложения сосредоточенных нагрузок.
Подобные графики для шпангоутов, подкрепляющих длинную
цилиндрическую оболочку, приведены в [83].
Следует заметить, что формулами D.20), D.21) можно поль-
¦ зоваться не только при /ж-С/*, но и в более широком диапазоне
изменения 1Х, в том числе и при 1х~1г- Главное условие использо-
использования этих формул — наличие цилиндрической оболочки, так как
наличие ее жесткости в осевом направлении практически достаточ-
достаточно для принятия гипотезы о недеформировании шпангоута из сво-
своей плоскости (при нагружении его в плоскости).
4.1.2. Расчет узла сопряжения цилиндрической
и конической оболочек
Рассмотрим конструкцию, состоящую из сопряженных между
собой с помощью кругового шпангоута длинной цилиндрической
и усеченной конической оболочек. На шпангоут в его плоскости
действуют радиальная р(<р), касательная t{cp) силы и изгибающий
момент mi(cp) (рис. 4.8). Будем полагать, что стыковочный шпан-
шпангоут при нагружении в своей плоскости не выходит в процессе де-
деформации из своей плоскости за счет достаточно большой жест-
жесткости цилиндрической оболочки в осевом направлении.
Суммарные реактивные нагрузки, действующие на шпангоут в
его плоскости со стороны прилегающих оболочек, имеют вид
D.22)
119
=7ix\ cos BK>in=S0nK+2S°n,

Рис. 4.5.
120

0,006'
0,00k
2
0,002
Kw
0,005
0
\
\
o\
<
\ 60 9
30 Г"
\
-&00Я.
\l5
0
„>-
0 15 JO U5 60 75 V
Рис. 4.6.
121

15 30 45 60 75
-1,5
ы
1
ТТЛ
f
аооц
OflO2
0,01
0
1
r
f?
\
\
ч
60S
\
60 75 4>°
Рис. 4.7.
h
r
&
M
T,
u
P(cp)
I
Рис. 4.8.
122

где Т\пк, SnK — меридиональные и касательные усилия в коничес-
конической оболочке, Sn°—касательные усилия в цилиндрической обо-
оболочке в месте стыка со шпангоутом.
Из D.9) для бесконечно длинной цилиндрической оболочки и
усеченной конической оболочки с жестким узким' краем имеем
5о==_4?1Ш топк= Bkhk sin 6K f 2 s.n
гп3 г
= ?А^п6" rQr-\W7 sin 9К + ЧГвЛ-1) «,„. D. 23)
Подставляя D.22) с учетом D.23) в D.1) после некоторых преоб-
преобразований, получим следующее выражение для коэффициента
Фурье радиального перемещения силового шпангоута
где
О _ 8li/tX3/3 . _ Ёк/3^к Sin3 6K ДцЯ4+2д12Я2 —Д22
1/г~2J^' 2п~~ BJ \
Здесь Й1п учитывает жесткость цилиндрической оболочки, a Qin —
жесткость конической оболочки; Ек=ЕкЕ-А.
Сравнительная оценка показывает, что при больших углах ко-
конусности Q2n~^>Qin, а следовательно, влиянием упругости цилинд-
цилиндрической оболочки можно пренебречь и D.24) представить в виде
р4
Wn= 12- (lH-^to). ' D-25)
" ?/B 1J V ' 2л; V
Дальнейшее упрощение выражения для радиального переме-
перемещения шпангоута с учетом упругости конической оболочки полу-
получим, проводя числовую оценку членов в выражении для Q
Вычисления показывают, что
поэтому выражение для радиального перемещения шпангоута с
учетом упругости конической оболочки большой конусности можно
представить в виде
gi=-gLVj 2 Pn°°S Щ , D.26)
* П=2
QEyf^hv sin3 вь
Коническая оболочка с малым углом конусности @к<я/18) мо-
может рассматриваться как цилиндрическая оболочка.
123

Сравнение формул D.20) и D.26) с выражением для радиаль-
радиального перемещения изолированного кольца
Elx AJL («2-1J
Я—2
показывает, что радиальный прогиб подкрепляющего шпангоута
с учетом упругости прилегающих к нему сферической и конической
оболочек может быть представлен как прогиб изолированного
кольца с эквивалентной изгибной жесткостью для каждого п-го
члена разложения внешней нагрузки в ряд Фурье
Efx=E{/x + Ixe + IXK), D.27)
где
XZ~ 2
. 1 ?c/-3/tc(l + «Cos 6СJ
XZ~ 2 (
, __ ~ЁуГъК sin3 6К fl ч я
'XV Г ' К^ Q
XV.
Г
(„2_ 1J
r0
I г„ ~ , 0„ <
[3A^)]3/4/Я2^Т " 18
Данная форма представления изгибной жесткости шпангоута
в некоторых' случаях существенно упрощает расчет силовых эле-
элементов оболочечной конструкции, находящейся в условиях слож-
сложного локального нагружения, путем эквивалентной замены ряда
элементов одним.
4.1.3. Напряженно-деформированное состояние
подкрепленной цилиндрической оболочки
нерегулярного строения при локальном нагружении
Рассмотрим ортотропную цилиндрическую оболочку, подкреп-
подкрепленную т шпангоутами, имеющими различные жесткости и нахо-
находящимися на произвольных расстояниях друг от друга. Оболочка
в общем случае испытывает нагружение в виде локальных ради-
радиальных pi (<p), осевых <7*(ф) и касательных ^(<р) сил и моментов
ти((р), m2i(<p), приложенных непосредственно к шпангоутам,
внутреннего давления /50 и имеет внутри упругий заполнитель с ко-
коэффициентом податливости с (рис. 4.9). Оболочка в пределах
одного отсека (между двумя соседними шпангоутами) имеет пос-
постоянную толщину (толщины в отсеках могут быть различны).
Рассмотрим совместную деформацию i-ro шпангоута и приле-
прилегающих к нему г-н и (/—1)-й оболочек (рис. 4.10). На рассматри-
. ваемый шпангоут действуют заданные внешние нагрузки и суммар-
суммарные усилия со стороны прилегающих отсеков оболочки
?„=Т°ш - Г?„, ,_i; /„=S°nl - S°n,,_,; ря=0, D.28)
124

где Tut, Snt — коэффициенты Фурье меридионального и касатель-
касательного усилий в i-м отсеке оболочки в месте стЫка ее с i-м шпан-
шпангоутом.
Выражения для коэффициентов Фурье осевого и радиального
перемещений i-ro шпангоута согласно D.1) и D.28) имеют вид
И/п = Kzn {gin + Tint — Tin, l-l)» м 29)
Рис. 4.9.
Входящие сюда реактивные усилия со стороны отсеков оболоч-
оболочки, примыкающих к шпангоуту слева и справа, могут быть следу-
следующим образом выражены через перемещения i-ro и соседних с ним
(i—1)-го и (i+l)-ro шпангоутов:
i-i
Рис. 4.10.
X [/о К-) wni - /3 (а,) да., |+1]);
125

X [/3 (o,_!) wa%,_! + /0 (o,_
{/s (a,_j) «„, ,_i - /1 (о,_0 «я, -
l i_i
- -i- ^Xrii [/3 (a,_,) и„,,_, + /0 (a,.,) йлг]}; D.30)
X(. = -L [3 A - ^2)pL ^JL [E2iEu\ Ь
лг= 12A -^2,)f-
?2.(П2_1J ^ I'
?i,t, ?'2i> ^i, /< — модули упругости, толщина и длина i-го отсека
оболочки; си pot — коэффициент жесткости заполнителя и величина
внутреннего давления в г-м отсеке оболочки.
Подставляя D.30) в D.29) для каждого шпангоута оболочки,
получим систему из двух уравнений относительно коэффициентов
Фурье осевого и радиального перемещений трех соседних i-го, (i—•
—1) -го и (/+ 1)го шпангоутов:
Pi.1-1/2 (a,_i) «„;,_! + [ 1 + Ры-1/4 (о,-,) +
(a,-)
- Vi,АГ7о (a,-)]«« —5- «2Y,, АГ^з (a,) ««.i+i - Yu-1/5 (a/-i) X
X «„,!
Для оболочки, подкрепленной т шпангоутами, разрешающая
система будет состоять из 2т уравнений относительно радиальных
и осевых составляющих перемещения шпангоутов. Полученная
система уравнений решается для каждой n-й гармоники. Такое ре-
решение легко осуществляется с помощью ЭВМ. Зная амплитудные
значения wnu "m, путем суммирования определяем изгибные пере-
перемещения t-ro шпангоута
2 2
я-2 я-2
126

внутренние усилля в его сечениях
D-32)
Nt =К% (Ро -\- Pi cos cp) R —
Et'xl
¦ n2{n2-\)wnl-pniRi-nmln\ cosщ
и внутренние усилия в оболочке в местах их стыка со шпангоутом
t°u=yq< {*r)~l+Mt (лг2Г! cos ?+ У1 ^cos жр;
D-33)
Я =2
где Тш и 5?„ вычисляются с помощью D.30); Q,-, Р,-, М, — сум-
суммарные осевая и поперечная силы и изгибающий момент в i-м се-
сечении оболочки.
Если шпангоуты нагружены только в своей плоскости (qn* = Q)
и в процессе деформации не выходят из своей плоскости (unj=O,
j=i—1, i, i+l), то система D.31) существенно упрощается и при-
принимает вид
Xwnl-yu/5(al)wnii+l=p*niKixn, *=1, 2,..., m. D.34)
Система D.31) также существенно упростится, если шпангоуты
в процессе нагружения системой осевых сил (рп*=0) не изгиба-
изгибаются в своей плоскости (wnj=0, j=i—1, i, i+l). В этом случае
D.31) приобретает вид
Pm-i/2 (a,-,) Ki-x +11 + Pi ./-1/4 (a,-i) + Р/,,/4 Ы\ X
/а(в|)ия./+1=^«, » = 1. 2 /п. D.35)
Для бесконечно длинной цилиндрической оболочки (cii>2,5),
подкрепленной одним шпангоутом (т=1), система D.31) разби-
разбивается на два независимых уравнения
127

IS IS
un=—- ; wn=—- , D.37)
откуда следует
где
1г(п2— IJ П2 ' """
Из сравнения D.37) с выражением для изгнбных перемещений
изолированного кольца следует, что шпангоут, связанный с беско-
бесконечно длинной цилиндрической оболочкой, работает как изолиро-
изолированное круговое кольцо, имеющее следующие значения изгибных
жесткостей для каждого я-го члена разложения внешней нагрузки
в ряд Фурье:
D.38)
' („2— 1J „2 J
Отметим, что эти формулы могут быть использованы также
для шпангоута, связанного с конической оболочкой малой конус-
конусности (Э„<л/18).
4.1.4. Напряжеиио-деформироваииое состояние
составной оболочечиой конструкции
при поперечном локальном нагружеиии.
Метод эквивалентных нагрузок и жесткостей
Рассмотрим оболочечную конструкцию, выполненную в виде
ортотропиой цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоута-
шпангоутами. К некоторым шпангоутам подсоединены сферические и кони-
конические диафрагмы. Цилиндрическая оболочка испытывает локаль-
локальное поперечное нагружение в виде радиальных нагрузок /М<р), ка-
касательных сил ti{<p) и изгибающих моментов /пи(ф),приложенных
к шпангоутам или непосредственно к оболочке на некоторых участ-
участках малой протяженности а{ (рис. 4.11). Отсеки цилиндрической
оболочки, заключенные между диафрагмами, в общем случае
находятся под действием внутреннего давления и содержат упру-
упругий заполнитель, скрепленный с оболочкой.
Получим расчетные зависимости для оценки напряженно-де-
напряженно-деформированного состояния элементов цилиндрической оболочки
при заданном поперечном нагружении с учетом различных конст-
конструктивных и силовых факторов (податливости шпангоутов, жест-
жесткости диафрагм, характера внешнего нагружеиия, жесткости
упругого заполнителя, наличия внутреннего давления).
Для решения задачи воспользуемся методом эквивалентных
нагрузок и жесткостей. Суть данного метода состоит в том, что
при составлении расчетной схемы для рассматриваемой оболочеч-
128

ной конструкции заданная система поперечных нагрузок ри U,
заменяется эквивалентной системой радиальных нагрузок pi*, a
жесткости диафрагм и заполнителя, примыкающих к шпангоутам
и цилиндрической оболочке, и внутреннее давление включаются
в изгибные жесткостные характеристики шпангоутов и оболочки.
В результате введения эквивалентных нагрузок и жесткостей рас-
расчет сложной составной оболочечной конструкции при поперечном
локальном нагружении сводится к расчету подкрепленной шпанго-
шпангоутами цилиндрической оболочки от действия радиальных локаль-
локальных нагрузок, т. е. к расчету более простой конструкции, учитыва-
учитывающей вместе с тем особенности реальной конструкции.
Р(Ч>)
РС9}
Рис. 4.11.
В случае действия внешней поперечной локальной нагрузки
непосредственно на небольшую по сравнению с общей длиной часть
цилиндрической оболочки нагруженный ее участок (длиной ui<Ch)
может рассматриваться как шпангоут с площадью Ft = aihi и мо-
моментом инерции поперечного сечения Ixi — aih3/l2.
Деформированное состояние сложной оболочечной конструкции
характеризуется не только жесткостью основных ее элементов, но
и такими особенностями, как наличие упругого заполнителя и внут-
внутреннего давления; видом действующих нагрузок; местом их при-
приложения и взаимным влиянием; жесткостью подкрепляющих шпан-
шпангоутов и упругостью диафрагм (сферических или конических обо-
оболочек, связанных со шпангоутами). Введение понятий «эквивалент-
«эквивалентная жесткость» и «эквивалентная нагрузка» значительно упрощает
схему расчета сложной оболочечной конструкции.
Конструкцию, изображенную на рис. 4.1 J, разбиваем на ряд
элементов: отсеки цилиндрической оболочки, содержащие упругий
заполнитель и находящиеся под действием внутреннего давления;
подкрепляющие шпангоуты; нагруженные участки оболочки; шпан-
шпангоуты с диафрагмами. Для каждого выделенного элемента опре-
определяем его эквивалентную жесткость.
Из анализа общего уравнения изгиба цилиндрической оболоч-
оболочки D.4) следует, что учет влияния упругого заполнителя и внут-
41
J29

реннего давления на деформацию оболочки может быть проведен
с помощью эквивалентного модуля упругости в кольцевом направ-
направлении
Е'а=Е3+ 12A— |х,|х2)г%-з [с> + Я(«2 — 1)] (я2- I)-2, D.39)
входящего в выражение параметра, характеризующего жесткость
ортотропной оболочки
^ fWrf • D-40)
Р(<Г)
tD>)
Щ(<Р)
Рис. 4.12.
При нагружеыии сферической к конической оболочек равно-
равномерным внутренним давлением ро на их краях возникают равномер-
равномерно распределенные радиальные усилия
Vctg6; P P(l -ror-2)tg9K. D.41)
Для шпангоута, опирающегося на упругий заполнитель, к кото-
которому присоединены сферическая и коническая оболочки (диафраг-
(диафрагмы), испытывающие действие внутреннего давления (рис. 4.12), вы-
выражение коэффициента Фурье радиального перемещения может
быть представлено в форме
wn=-
D-42)
где /х=/xo-\-Ixc-f-/jк — эквивалентная изгибная жесткость шпан-
шпангоута в своей плоскости;
,* _ , , acRi
— 1J
130

i*xz=Ixz— —
¦ cos 9C;
D.43)
На основе изложенных соображений принимаем следующую
расчетную схему оболочечной конструкции, представленной на
рис. 4.11. Рассматривается свободная от заполнителя и поверх-
костного давления цилиндрическая оболочка, подкрепленная нере-
нерегулярной системой круговых шпангоутов и испытывающая только
* Pi-г
т
F*
* Eri
РГ
?2,1-1
„ (Н)
i-b ' 1-3 L-l H
Ч*г
Е* I
C2.L*t\
El,.
Ег1*г
l III i+Z
Pi*,
Рис. 4.13.
заданное локальное нагружение (рис. 4.13). Наличие в конструк-
конструкции диафрагм, заполнителя и внутреннего давления учитывается
в эквивалентных жесткостях подкрепляющих шпангоутов и обо-
оболочки. «Шпангоутами» считаем также и загруженные участки ци-
цилиндрической оболочки. Пронумеруем шпангоуты и отсеки, на ко-
которые шпангоуты разбивают оболочку, как показано на рис. 4.13
(i — номер шпангоута, (i) —номер отсека оболочки).
Составляя для каждого шпангоута и участка нагружения урав-
уравнения D.34), получим для л-й гармоники систему алгебраических
уравнений
,//i (аг)] X
D.44)
-l)] X
где
131

_ AByhjfy* , (f)_ Ri
YlJ пЦп2 - 1J EI*xl ' Лх" E,I*xl{tf-lJ'
u, m—общее число шпангоутов;
/=1, 2 m; y=l, 2,..., (m-1).
Решая систему D.44), получим выражение для коэффициента
Фурье радиального перемещения г-го шпангоута в виде
где
, Y/+i,/+i/5(a;+i)(l +Л./+1) * / * \-i
A2i=— ——г—-—Pn,i+i\Pn,i) ;
1 + Yi+lJ+l/l («Л-l) + ^2,1 + 1
J2(a>j);, ji I, *,
7 sha^chay + sin aycosa/
Л n == Лт2=5U=Bm2=0.
Здесь выражения Ли, Л2», 5н, В2г учитывают влияние на дефор-
деформацию г'-ro шпангоута нагружения и податливости соседних шпан-
шпангоутов (Ли, В,{— слева; А2и B2i — справа).
Применяя рассмотренный выше подход для элементов оболо-
чечной конструкции при осесимметричном нагружении, получим
выражение для радиального перемещения шпангоута с учетом
упругости прилегающих оболочек и жесткости заполнителя в виде
D.46)
где
+ [3A -^
— эквивалентная жесткость сечения шпангоута при равномерном
132

сжатии—растяжении; со1—жесткость заполнителя при осесиммет-
ричной деформации.
Внутренние усилия в сечениях шпангоутов, имеющих эквива-
эквивалентные жесткости EiFi*, Е{1Х*, от заданной системы нагрузок
определяем по формулам
j
п\
cos дер;
D.47)
-^~ COS Дер.
В качестве примера проведем расчет цилиндрической оболочки,
подкрепленной по торцам сферическими сегментами и имеющей
внутри упругую среду с коэффициентом податливости с. Оболочка
испытывает радиальное локальное нагружение на участке лгХа,
отстоящем на произвольных расстояниях от торцов оболочки
(рис. 4.14). Нагрузка по длине оболочки (на длине а) распределе-
распределена равномерно, а в окружном направлении либо равномерно, либо
по косинусоидальному закону.
Представляем нагрузку в виде тригонометрического ряда
где
—
—
я
р s[nnY
nr n
— для равномерного закона распределения
Рз(Ч>)
Рис. 4.14.
133

— для косинусоидального закона рг(ф).
Здесь Р — равнодействующая поперечной нагрузки.
Для действия осесимметричных и кососимметричных составля-
составляющих разложения внешней нагрузки выражение для радиального
прогиба определим по формуле
+ Picos У)г2 D 48)
При действии циклических нагрузок р2п cos ncp система D.44)
принимает вид (при pnil = pn>3=0)
[ 1 + Yi,i/i (a,)] «„,, - Yi,i/s К) wni2=0;
X wna - Y2,2/5 M 1е>п.з=РпяК™; D.49)
[ I + Y3,2/i (a2)] ^л;3 - Y3,2/5 (as) ^„,2=0,
где twn,i, wn,3 — коэффициенты Фурье радиального перемещения
торцевых шпангоутов с диафрагмами; до„,2 — амплитудное значе-
значение радиального перемещения участка оболочки, находящейся под
радиальной нагрузкой Р.
Решение этой системы относительно шП|2 (при одинаковых тор-
торцевых шпангоутах и подкрепляющих их сферических диафрагмах)
дает
Л,2 = Рп,2 [-^J- («2 - I J + Си + —-f- X
X [/, (a,) + /, (q.) - /, (a,) - ^^ j} D. 50)
L I + Yi.i/i (ai) U
где
/*_/ _| 1 Ic/-3ftc(l +WCOS6CJ
x— xT 2
—IJ
— момент инерции торцевого шпангоута с учетом упругости сфе-
сферической диафрагмы.
Полное радиальное перемещение оболочки под нагрузкой полу-
получим путем суммирования решений от всех гармоник D.48) и D.50).
Результаты расчета при г//г = 250; /гс=1,7/г; Ei=E2=Ec; /i = /2=
= 2,5 г; Эс=л/4; /жг-4—10~7 и различных значениях коэффициента
постели упругой среды приведены на рис. 4.15 и 4.16 в виде графи-
графиков изменения относительного радиального прогиба оболочки
134

t;
"¦С
С
hi
I
IN
I
135

в районе действия внешней нагрузки Р, распределенной равномер-
равномерно (рис. 4.15) и по косинусоидальному закону (рис. 4.16).
Кривые 1—5 соответствуют следующим значениям коэффициен-
коэффициента жесткости упругой среды: кривая 1 — для ?=0; кривая 2 — для
С/--—4-10-6 Е; кривая 3 — для сг=8-10г6 Е; кривая 4 — для сг=
= 4-Ю~5 Е; кривая 5 — для cr=4-10~4 E.
Анализ полученных результатов расчета показывает, что^ на
деформированное состояние цилиндрической оболочки в районе
радиального локального нагружения могут существенно влиять
как закон распределения внешней нагрузки, так и жесткость за-
заполняющей ее среды. Деформация оболочки при равномерном рас-
распределении радиальной нагрузки на площадке пгХа в 2—3 раза
больше, чем деформация при косинусоидальном законе распреде-
распределения той же нагрузки. Увеличение жесткости упругой среды в
10 раз дает уменьшение деформации оболочки более чем в 2,5 раза.
4.2 НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ОПЕРТОЙ НА КРУГОВЫЕ
ЛОЖЕМЕНТЫ, ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ НАГРУЖЕНИИ
Рассмотрим подкрепленную шпангоутами цилиндрическую обо-
оболочку, опирающуюся на ряд круговых опор (ложементов). Обо-
Оболочка испытывает поперечное нагружение в виде поверхностного
давления <7(<р), радиальных Pi(<p), касательных ^(<р) сил и изгиба-
н
P{(V)
п)
iiffi
1*1
Рис. 4.17. .
'/S////7///Y/77/77777.
ющих моментов Шц(ц>), приложенных к шпангоутам, и реакций со
стороны ложементов Р, (рис. 4.17).
Система поперечных нагрузок, действующих на конструкцию,
удовлетворяет условию равновесия
т { то
где Pj — суммарная опорная реакция со стороны /-го ложемента:
т, то — соответственно число шпангоутов в конструкции и число
ложементов.
136

Исследование напряженно-деформированного состояния
(н. д. с.) подобной конструкции предусматривает решение двух за-
задач— определение контактного давления между конструкцией и
ложементом; расчет н. д. с. шпангоутов и оболочки от заданной
системы действующих и контактных нагрузок. Эти задачи взаимо-
взаимосвязаны, так как, не зная закона распределения контактного дав»
ления, нельзя рассчитать н. д. с. элементов конструкции и, наобо-
наоборот, без знания податливости элементов всей конструкции невозмо-
невозможен расчет контактного давления между ложементом и конструк-
конструкцией.
Будем считать, что характеристика ложемента линейная (вин-
клеровское двустороннее основание). Учет трения, нелинейности
и односторонности основания может быть дополнительно осуществ-
осуществлен с помощью результатов, полученных в гл. 2 и 3. Предполагаем,
что шпангоуты деформируются только в своей плоскости.
Для t-ro шпангоута, установленного в месте опирания конст-
конструкции на /-й ложемент, можно записать следующие условия кон-
контактного взаимодействия:
f p\ (<p) cos kfd<p -j- Cj f wt (<p) cos А<ря?<р =[pi (<p) cas
0 9iy 0
1t 1С
ft^tp) s'mk<fd<f= f tt (<p) sin kydy; D.51)
j rriu (<p) sin &рд?<р= \ mu (cp) sin kydy,
где pt, %i, mu' — суммарные нагрузки на t-й шпангоут; с,- — коэф-
коэффициент податливости основания для /-го ложемента; <pij, q>2j —
углы, ограничивающие /-Й ложемент.
Следуя схеме метода тригонометрических рядов, представим
радиальные перемещения /-го шпангоута и действующие нагруз-
нагрузки в виде
cos Л<Р; Pi=2Pni cosщ\ Pi^^Pm cos л<р;
я-1 я-1 я-1
2
Я-0
Из условия равновесия шпангоута и соотношений D.34), D.46),
описывающих деформацию t-ro шпангоута с учетом упругости обо-
оболочки и соседних (i—1)-го и (t+l)-ro шпангоутов, получим связь
между &-ми коэффициентами Фурье нагрузок на шпангоут и его
перемещений в виде
к*
137

X I1+Y/(o)+Y/(O)KU \l~l ' '
1j?-L /s (*t) w*,i+i + ?ы-1^ГЛ [/i (o,_!) - /2(a,_i)] -f
+ft.,V[/i(a,)-/8(al)], D.53)
где
Подставляя D.52) в D.51), производя интегрирование и ряд
преобразований с учетом D.53) для каждого шпангоута, опертого
на ложемент, получим бесконечную систему линейных уравнений
&4/ = *i°; *=°. 1. 2,... D.54)
где
— sin л<ру); a$=2^ (sin <p2/ — sin tp^)
— sin 2<Piy): 4o) = 2 (^(рг/) (sin foe — sin
j cos A<p cos«<prf<p; a$= 1 + 1 /2 (^«pay)" (sin 2k^2] —
(О / si*. *я^ьг-1*г-1^?—i * , ,
^ /s (a,) «*,,+! - ^.i-i»- [/i («i-i) - /5(a,-i)] (c/pa^-i)-1-
+ ^
-^*.> [/1 (a,) - /8 (a,)] (c
Поскольку в bi входят неизвестные значения перемещений
соседних шпангоутов Wh,i-\, Ш,<+и Для решения системы D.54)
необходимо к ней добавить (т—(/и0) уравнений
Hl) + Y/,;/i (a,)] wktJ -
(<»/-i)—/e («/-i)]-
// У-jfri. D.55)
138

Совместное решение систем уравнений D.54) и D.55) дает зна-
значения коэффициентов Фурье прогибов всех шпангоутов оболочки
wOi, wu, w2i,..., wn,i(i=l, 2...m), где
л*— порядок редуцированной системы D.54).
Так как при а/>2,5 значения fi(aj)-*l, /5(ау)—*0, можно
считать, что для k > k^ ш 2,5 УТЩ yr/kj системы D. 54) и D. 55)
становятся независимыми. Если в системе D. 54) ограничиться ко-
конечным числом уравнений к=п = п^, то совместная система D.54)
и D.55) будет содержать (nit.-\-\)m(t^-(kif—\){m — mQ) уравнений
относительно wni(n=0, 1, 2 п%) и, кроме того, (я* — ?* — 1)
соотношений
A +Yy.y-i + Ш)Wkj^lPh-r(fcj-i^i + fc.^1)!##. UФО
для «свободных» шпангоутов (неконтактируемых с ложементами).
Решая совместно системы D.54) и D.55), находим коэффици-
коэффициенты Фурье радиальных перемещений шпангоутов и путем сумми-
суммирования определяем все компоненты их н. д. с. по формулам, по-
полученным в разд. 4.1.
Применим полученные выше для подкрепленной цилиндричес-
цилиндрической оболочки соотношения к расчету цилиндрической емкости при
некоторых видах нагружения и опирания на круговые ложементы.
4.2.1. Контактная задача для цилиндрической емкости,
лежащей на ложементах
Рассмотрим емкость (рис. 4.18), изготовленную в виде цилинд-
цилиндрической оболочки, подкрепленной по торцам шпангоутами со
сферическими или коническими диафрагмами (днищами). Емкость
заполнена жидкостью и опирается на ложементы.
Рис. 4.18.
Участки оболочки, непосредственно контактирующие с ложе-
ложементами, рассматриваем при расчете как шпангоуты с характерис-
характеристиками поперечного сечения Fi=a.ih; Ixi=l/l2ciih3, где а,- — протя-
протяженность ложемента в осевом направлении (ширина ложемента).
Торцевые шпангоуты с днищами заменяем в расчетной схеме шпан-
139

гоутами с эквивалентной изгибной жесткостью (для k-то коэффи-
коэффициента Фурье)
Ff*—E\l A 1 ?cr3ftc(l+*cos6cJ
x~ [ ^ 2 A +
где /ж — собственный момент инерции торцевого шпангоута в плос-
плоскости; .Ес, (Хс, Лс, 9С, ?к, Лк. бк — характеристики днищ.
При такой расчетной схеме для цилиндрической емкости, час-
частично заполненной жидкостью {q{qi)—x\r (cos qp—cos <po)) и ле-
лежащей на двух одинаковых (<pu=<pi2> q>2i = q>22, Cj = c2) и симмет-
симметрично расположенных ложементах, разрешающая система D.54) с
учетом двух уравнений типа D.55), сопоставленных для торцевого
шпангоута и участка оболочки в месте расположения ложемента,
принимает вид
где
2*А=**> *=0. 1, 2,... , D.56)
я=0
J C<p2r2
-1 (sin 2<p2— sin
(sin 2% - sin
;
J
+Yi.
)-1 [/! (Ol)+Л @2)-/5 (Ol) -/5 @2)];
—sin<p0); ^=l/2T|r(sin<p0cos<p0 —<p0);
=-r— (sin <p0 cos Л(р0 — kr1 cos <p0 sin &p0);
Я2— 1
= ± [3 A
140

t] — удельный вес жидкости; <p0 — угол, характеризующий уро-
уровень заполнения емкости жидкостью. Остальные коэффициенты
системы D.56) имеют тот же вид, что и коэффициенты системы
D.54).
К решению системы D.56) сводится также контактная задача
для рассмотренной емкости с одной опорой (/2=0), отстоящей в
общем случае на произвольных расстояниях l\, U от торцов. Отличие
состоит в том, что в этом случае
_ Г AV) /зУз) 11
1 L l+Yi,i/i(ai) l + Yi,i/i(a3) Jl
При установке ложементов по торцам оболочки, где находятся сфе-
сферические или конические днища,
где Е1Х* — эквивалентная изгибная жесткость торцевых шпангоу-
шпангоутов; a=ZA/; L — длина оболочки. В этом случае диагональные
элементы матрицы системы D.56) имеют порядок
а ~ я Echc (*2-l)(i+* cos 6CJ
*" «Р2 СГ kCk(%c)
и для нежестких ложементов (с<с?) при k^2 akk^akn- При этом
решение системы D.56) дает
и контактное давление в ложементе распределяется по закону
, , Р cos ф
р (ш) = CW ~ 1 .
г In + 1/2 (sin 2<р2 — sin 2<P!)]
Таким образом, при опирании цилиндрической емкости по торцам,
имеющим жесткие днища, контактное давление распределяется по
закону, близкому к косинусоидальному.
В качестве примера проведем'расчет контактного давления р=
= cw для цистерны, полностью заполненной жидкостью (^=0)
и лежащей на двух симметричных ложементах с геометрическими
и жесткостными характеристиками: r/h=250, ftc=0,75ft, q>i = 0;
<р2=2я/9, вс=5я/18; a=0,2r; 1хг-*=5-1(И; Е1=Е2=ЕС=Е.
Результаты расчета представлены на рис. 4.19 в виде графиков
относительной величины контактного давления
p=cw B<р2+ sin 2<p2) гО^1,
где Go — вес емкости с жидкостью.
Кривая 1 построена для c-1?=4-l02, /i=0,5r; fe=3,5r; кривая
2 — для с~1?=4-102; /1==0,5r; /2=3,5r; ftc = 0 (отсутствие днища);
141

кривая 3 — для Ес~1 = 4-\03; /i = /2=3,5r; кривая 4 — при опиранип
•емкости по торцам (/> = cos <р).
Сравнение приведенных кривых позволяет сделать следующие
выводы.
Наличие на торцах емкости сфериче-
сферических днищ существенно ужесточает обо-
оболочку, и по мере приближения опор к тор-
торцам распределение контактного давления
251 1 и приближается <к косинусоидальному (кря-
. г п п выеу,5,4).
Отсутствие жестких диафрагм (или
их ееучет) приводит к значительной кон-
2iq\ 1 f|j центрации контактного давления в райо-
районе краев ложемента (кривая 2).
Возрастание .контактного давления на
«раях ложемента характерно для длин-
длинных оболочек; для оболочек средней дли-
длины с жесткими днищами распределение
контактного давления может не та,к зна-
значительно отличаться от косинусоида л ьно-
Ю\ _.-Ок // /I го (Кривые 1, 4).
0,5
\
ц
/
Рис. 4.19.
-5
V рад
4.2.2. Цилиндрическая оболочка,
лежащая на упругих ложементах,
при несимметричном поперечном нагружении
Рассмотрим цилиндрическую оболочку (рис. 4.20), подкрепленную
по торцам шпангоутами со сферическими днищами, на поверхности
которой действует постоянное по длине и произвольное по пери-
периметру давление <7(ф)- Оболочка на участках малой протяженности
опирается на два одинаковых в общем случае несимметричных от-
относительно вертикальной оси ложемента, отстоящих на одинако-
одинаковых расстояниях от торцов. Ниже введены следующие обозначе-
обозначения: Р — результирующая поперечная нагрузка (опорная реакция),
действующая на оболочку со стороны ложемента; 2<pi — угол охва-
тз ложемента; cti—^угол, характеризующий несимметричность
ложемента относительно вертикальной оси у; аг—угол, характе-
характеризующий несимметричность поперечного нагружения, т. е. угол
142

отклонения главного вектора опорной реакции Р от оси симметрии
ложемента г/'; ф' — угол, отсчитываемый от оси у'; cpi = <Pi — ai! ?i=
= <Pi + ai; Py^P cos a2; PZ, = P sin a2.
Радиальную нагрузку, действующую на оболочку со стороны
ложемента р(ц>), поверхностное давление <7(ф)> радиальное пере-
перемещение оболочки с учетом особенностей задачи представим в ви-
виде следующих тригонометрических рядов:
Р (<р)=А> +
cos
sin л<р);
=?о + 2 (?« cos л <р+?л sin жр);
D.58)
2
я-1
Z'
Рис. 4.20.
Условия совместной деформации отдельных участков оболочки
(в месте контакта с ложементом и вне его) и торцевых шпангоутов
со сферическими днищами дают для заданной схемы опирания обо-
оболочки следующие зависимости:
Vm/sCi)
l-bYi,i/i(ai)
D.59)
1 ?cr3Ac(l+ifecos9cJ
2 A-
143

Вид связи между psn и w$n для k~^4 аналогичен. Из условия рав-
равновесия части оболочки под опорой следует, что
рС1 = -Ру{пгГН рл=*-Р,'(лг)-\ D.60)
Уравнения контактной задачи для оболочки в месте опирания на
упругий круговой ложемент при несимметричном нагружении
имеют вид
2к 9i 2*
{p(<p)coek<pd<p-{-c \ w(ff)cosk<?d<?=a\q(<p)coiskfd<p', D.61)
J J v
О -9, О
2it <р, 2*
Г/»(cp) sin k<?d<?-\-c С w(f) sin k<?d<?=a f ^(<p) sin&prf<p. D.62)
6 —if, 0
После подстановки D.58) в D.61) и D.62) с учетом D.59) и D.60)
после интегрирования получим две независимые бесконечные сис-
системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффи-
коэффициентов Фурье радиального перемещения оболочки под ложемен-
ложементом wcn, wsn (индексы «с» и «s» опущены):
для симметричной деформации
2я*Л=Л, Л=0, 1, 2,..., D.63)
где
для кососимметричной деформации
2
я-о
144

где
_ sin (л — k)yi sin(n + k)fi . .
Ц,. _--— —, „. ». — .—_ Пии === I
W Я2'/-1 + а f ?(<p) sincpafcp ;
L i J
2*
(?) sin ЛраГт-^гХ-» [/! (aO + /i (a2) -
Редуцируя системы D.63), D.64), определяем шсс, wc\, wc%—',
wsi, wS2,... и затем путем суммирования величины, характеризую-
характеризующие н. д. с. оболочки в месте контакта с ложементом:
полное радиальное перемещение
я*
w (^) = tdq -\- ^ (wcn cos яср -(- wsn sin щ)',
Я=1
радиальное перемещение оболочки за счет сжатия и изгиба
(Pyl cos <р + Pz, sin <p) r
nE2ah {1 4- 2 [3 A — мю)] 4 Д К^А}
wxn cqs лср -j- wsn sin лср);
я,
У]
Я-2
2
Я-2
кольцевой изгибающий момент
я,
] (- >) (wcn cos л<р+юм sin щ).
Я-2
Здесь (га*+1)—число уравнений в редуцированных системах
D.63) и D.64).
Для исследования влияния несимметричности поперечного на-
гружения на распределение контактного давления проведем расчет
емкости, полностью заполненной жидкостью (^=0) и опирающей-
опирающейся на симметричные ложементы (ai=0). В этом случае правые час-
части в системах D.63) и' D.64) запишутся в виде
Ье0= — 2пг\га (сер,); bcl = P(c^r)-1 cos OjA — яг\гЧ);
bsi=P{c<iir)-ls\na2{\—nr\r4)\ bck=bsk—Q.
При a<^2/!+/2 bcl сы P(cvs)-1 cos a2; bsl^i P{с^г)~1 sin Oj;
*0
В расчетах приняты следующие значения геометрических и жест-
145

костных параметров емкости: r/h=200, h = C,5r; /2=0,5r hc — 0,7h;
6с=я/4; /яг-4=10-7; a=0,2r; <p, = n/3; ?c-»= 1,25-103.
Варьировался коэффициент несимметричности x=PzP~1 = tga2:
Результаты расчета приведены на рис. 4.21 в виде графиков от-
относительной величины контактного давления
р (ср)=cw Bcp, -f sin 2cpx)
Коэффициент х изменялся в пределах от 0 до 0,5, при этом
/>,=const, Р=РУУ\-\-у?.
Рис. 4.21.
Анализ результатов расчета показывает, что с увеличением ко-
коэффициента х контактное давление возрастает вблизи одного из
краев ложемента и начиная с х=0,2 происходит уменьшение зоны
контакта оболочки с ложементом в связи с отходом ее от ложемен-
ложемента в районе другого края.
Для учета возможного отхода оболочки от ложемента исполь-
используем метод последовательных приближений, заключающийся в сле-
следующем. Сначала решается задача для двустороннего основания.
Если в результате решения получается зона отрицательного давле-
давления (отставание), характеризуемая углом 1|з<°>, то в следующем при-
приближении решается задача с несимметричным ложементом, харак-
характеризуемым углом ai@)=l/2 *|з@). Составляющие опорных реакций
принимают вид
p^ = Pcos(a2-a{0)); Рг, = Р sin (a2-a(,0)); а^=а2-а\0).
При этих значениях параметров cpj1*, отрешаются системы D.63),
D.64), в результате чего находится следующее приближение угла
ф('> и т. д. Процесс заканчивается тогда, когда угол фМ последую-
последующего приближения будет мало отличаться от угла Щ*-1) данного
приближения. Следует отметить быструю сходимость процесса. Как
правило, достаточно 2—3 приближений.
146

4.2.3. Напряженно-деформированное состояние
цилиндрической оболочки с заполнителем
в районе круговых опор
Рассмотрим ортотропкую цилиндрическую оболочку, подкреп-
подкрепленную по торцам шпангоутами с диафрагмами в виде сферических
или конических днищ. Оболочка опирается на два симметрично рас-
расположенных упругих ложемента (см. рис. 4.18). В«утри оболочки
имеется заполнитель в виде упругого цилиндра, скрепленного по
всей внешней поверхности с оболочкой.
. На основании решения задачи для упругого цилиндра с внут-
внутренним каналом коэффициент упругости заполнителя для различ-
различных гармоник имеет вид [42]
?A2), (/г=0; 1); D.65)
где v=ror~l; a=]/2(l — (jl3) n; E3, (i3 — соответственно модуль уп-
упругости и коэффициент Пуассона материала заполнителя; г, го —
соответственно радиусы оболочки и отверстия в заполнителе.
Для цилиндрической оболочки с заполнителем, свободной от по-
поверхностной нагрузки, при заданной схеме опирания, соотношения
D.59),связывающие коэффициенты Фурье радиального перемеще-
перемещения оболочки и контактного давления в районе опор, имеют вид
, = />(яг)
"»;
, 4Я1АХз \s,\,f,\ s , л Yi.i/5(«i) 11
r№ I 1 +Y/(a) JJ
где
¦ __ 12A— [xi[x2) сйН . „ _/
* ?A3(*21J
/J=(l/2)G0 — суммарная величина поперечной опорной реакции
для одного ложемента; Go — вес емкости.
147

Используя соотношения D.66) для решения контактной задачи
для оболочки с заполнителем и упругого ложемента, получим раз-
разрешающую систему в виде
л=1
л-2
D.67)
пфк
где
4" (М-1 (sin 2Apj- sin 2*9,)+— —
1 92 С
Yi.i/I(ai)
Остальные коэффициенты в системе D.67) такие, как и в D.54),
D.56).
К решению системы D.67) сводится также расчет цилиндричес-
цилиндрической оболочки с заполнителем, опертой на один ложемент, отстоя-
отстоящий на расстояниях 1Х и /2 от торцов. При этом,
X
D-68)
i(ai) l+Yi,i
Р=Оо-
Остальные коэффициенты те же, что и в D.G7).
После определения из редуцированной системы D.67) коэффи-
коэффициентов Фурье прогиба оболочки под ложементом до,, путем сумми-
суммирования определяем:
полное радиальное перемещение оболочки под опорой
D.69)
Л-2
148

поверхностное давление на оболочку под ложементом
радиальное перемещение оболочки за счет сжатия и изгиба
Pr cos <p
кольцевой изгибающий момент
Wn CO|S П%
12/-2
(л2— ])wnc<*5n<p;
D.70)
D.71)
D. 72)
кольцевые напряжения
+
nha(l+y0) ah
изгибные кольцевые напряжения
'(л2— 1)да„
полные кольцевые напряжения
о • и
2 = 02 -)-02.
дап cos Лср»
D. 73)
D.74)
D.75)
Для оценки влияния параметров конструкции на напряженно-
деформированное состояние оболочки в районе ложемента прове-
проведен числовой расчет емкости при <pi = O; г/Л=200; Ег=Е2\ уц =
= И2=0,3; 0с = я/3; a=0,3r. Остальные параметры конструкции
варьировались для различных вариантов они приведены в табл. 4.4.
Результаты расчета, проведенного с помощью ЭВМ для л*=70,
представлены в виде графиков на рис. 4.22—4.24, где номера кривых
соответствуют номерам расчетных вариантов в табл. 4.4.
Таблица 4.4
Номер
варианта
1
2
3
4
5
6
6,25
25
25
6,25
6,25
6,25
0,8
0,425
0.425
0.8
0.8
0.8
92
я/3
я/6
(e/?).10S
1.25
1,25
1.25
12,25
12,25
1,25
hjh
1
1
1
0
1
1
(EaJE)-lW
1,25
1,25
0
1,25
1,25
1,25
149

Здесь введены следующие обозначения:
0,9
0,7
0,5
0,3
1,78
3,78
5~
зХ
12
Рис. 4.22.
f 4>,рад
мг-тг
0,9
0,6
0,3
/V
f\ X
\
4
J
K*
A
л Ml
2,0<t
\
\
\
~ \
Рис. 4.23.
По данным, приведенным на указанных рисунках, можно судить
о степени влияния.основных конструктивных параметров на рас-
распределение контактного давления и н. д. с. оболочки с упругим за-
заполнителем в районе ложемента.
4.2.4. Контактное взаимодействие
цилиндрической емкости и кругового ложемента
с нелинейно-упругой прокладкой
Рассмотрим цилиндрическую оболочку (рис. 4.25), подкреплен-
подкрепленную по торцам шпангоутами с коническими (или сферическими)
днищами и опирающуюся на круговой ложемент с нелинейно-упру-
нелинейно-упругим слоем (прокладкой). Считаем, что нелинейная зависимость
«радиальная нагрузка — перемещение» для прокладки p~wможет
быть аппроксимирована кривой, состоящей из m линейных участ-
участков (рис. 4.26):
/> = Л-1-сЛД/-1-«»). D.76)
где At-i^ffi)<At; Аи Ai-i — величина перемещений, ограничиваю-
ограничивающих зону, для которой коэффициент постели принят постоянным и
равным cl=
=p'~~Pi~l;
; ph pt_x —значения радиальных нагрузок
соответственно на перемещениях Л,-, Ы-и w — перемещение про-
прокладки, равное радиальному перемещению оболочки; i — номер зо-
зоны; /=1, 2, ..., т. Основное уравнение контактной задачи для обо-
оболочки и кругового ложемента, имеющего нелинейное основание с
характеристикой типа D.76), имеет вид
150

62w~
1,6
0,8
О
-0,8
Г
Jl
в
{/ ?
.3
У
г- '
f f.pad
'/У//////////
Рис. 4.25.
Рис. 4.26.
151

2«
f p' (<
a
cos %/<p+221 lPl~l ~ °l ^1~г ~ W^ COS kffd^==
щ
2к
1
= f p (cp) cos A<prfcp, D. 77)
где ф,-, j, ф<, j-+i — углы, ограничивающие участки ложемента, где
Ai-i^w<Ai\ /=1, 2,..., 2sj — номер угла, ограничивающего i-ую
зону; S{ — количество i-x зон; р(ф)—внешняя радиальная
нагрузка, действующая на оболочку в месте опирания на
ложемент.
Представляя решения интегрального уравнения D.77) в виде
тригонометрических рядов, интегрируя и используя связи типа
{4.59) или D.66),получим бесконечную систему линейных алгебра-
алгебраических уравнений относительно коэффициентов Фурье прогиба
оболочки в месте контакта с ложементом
2 *=0,1,2,..., D.78)
где
х
т
а L
(„-*) + С-.-.) I'
2* 2*
cos k<?d<f, bi == Pr~l -\-\ p(<p) cos cpocp;
2+^ ад-1 {л («.
'4 1 +Yi,i/i(«i) ^ 1 bYi,
[,l/l («t2)
152

Здесь
r* г | Шкг^К sin3 eK
1 x — l x-\
приведенная величина момента инерции сечения торцевого шпан-
шпангоута (с учетом упругости конического днища с параметрами ЕКг
Ак, 6К).
Анализ системы D.78) показывает, что наличие нелинейности в
прокладке ложемента эквивалентно действию дополнительной на^
грузки на оболочку Wa, знак и величина которой зависит от типа
прокладки (вида кривой p~w) и степени ее нелинейности. Для вы-
выпуклой кривой p~w (tf{_i>Ci) дополнительная нагрузка WK поло-
положительна, а для вогнутой кривой p~w (с*_1<с,) дополнительная
нагрузка WK — отрицательна. Для линейно-упругой прокладки
d-i = Ci, 4^=0, <р,-, j=<pi, <рг, j+i=<P2 и система D.78) полностью сов-
совпадает с ранее полученными разрешающими системами для упру-
упругих круговых оснований D.56), D.67).
Редуцируя систему D.78) и используя для определения заранее
неизвестных углов ф^- метод последовательных приближений (см.
гл. 2), находим коэффициенты Фурье прогиба оболочки в месте опи-
рания на ложемент и путем суммирования по формулам D.69)—
D.75) вычисляем все компоненты напряженно-деформированного
состояния оболочки в районе ложемента.
Для оценки влияния характера зависимости р~хю нелинейной
прокладки ложемента на закон распределения контактного давле-
давления и деформации сжатия и изгиба оболочки в районе ложемента
проведем расчет цилиндрической емкости, изображенной на рис.
4.25, с параметрами: r//t=250; a=0,125r; /i=/2= l,5r; /^ = 0,8/1;
6к=л/4; /яг-4=10-7; ?,=?,=?; Р!=р2=0.
Емкость полностью заполнена жидкостью и опирается на ложе-
ложемент с параметрами q>i = 0; фг = я/3. Опорная реакция Р=
12106?2Н
В расчете приняты два варианта нелинейной односторонней про-
прокладки (см. рис. 4.26):
вариант 1: с, = Ы(Н?; с2=2,5-10-5?; с3 = 5-10-5?; Д,=
=0,375- 10~2г; Д2= 1 • 10~2r; m=3 (вогнутая кривая /);
вариант 2: С! = 5-10-5?; с2=2,5-1()-5?; с3=Ы(Н?; Д1 =
= 0,375- 10-V; Д2= 1 • 10-V; m=3 (выпуклая кривая 2).
За нулевое приближение принимаем решение для линейной про-
прокладки с коэффициентом податливости с=сь т. е. решение систе-
системы D.78) при VF^Ojcpft'-cp,; ср$ = ср2; ?$ = -?,; <p$ = -W m=l;
s, = 2;' s2=s3=0.
Число уравнений в системе D.78) принималось равным 50, а
число приближений для е=0,0001 оказалось равным четырем.
Результаты расчета, проведенного на ЭВМ, приведены на рис.
4.27 и 4.28, где соответственно изображены графики распределения
контактного давления р(<р)=3/4р(ф)гР-1 и радиального переме-
153

щения оболочки да* (номера кривых соответствуют вариантам про-
прокладки). s
Сравнительный анализ представленных кривых позволяет зак-
заключить, что тип нелинейной прокладки (характер ее диаграммы
p
1,0
0,8
0,6
0?
2"
V
0,50
1Г
Т2
Рис. 4.27.
-0,50
-1,00
2
f г lf I
Щрад
"
Рис. 4.28.
р-~да) заметно влияет на закон распределения контактного давле-
давления и н. д. с. оболочки в месте контакта с ложементом. Для обеспе-
обеспечения местной прочности и жесткости цилиндрической емкости вы-
выгоднее на круговых опорных основаниях устанавливать нелинейные
прокладки с вогнутой характеристикой (вариант 1).
4.3. КОНТАКТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ
ОБОЛОЧКИ И СООСНОГО ОПОРНОГО КОЛЬЦА (БАНДАЖА)
ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ НАГРУЖЕНИИ
Рассмотрим взаимодействие подкрепленной цилиндрической
оболочки и соосного кругового кольца (бандажа), контактирующих
между собой через упругий слой (прокладку). В свою очередь,
опорное кольцо нагружено посредством кругового упругого основа-
основания (ложемента). Оболочка испытывает поперечное нагружение в
виде локальных радиальных р»(ф), касательных ^(ф) сил и изгиба-
изгибающих моментов ти(ф), приложенных к подкрепляющим шпанго-
шпангоутам (рис. 4.29). Предполагаем, что коэффициенты податливости
прокладки и кругового основания ложемента при растяжении с± и
сжатии с2 в общем случае различны. Если упругий слой не скреп-
скреплен с контактирующими элементами, то коэффициент податливости
при растяжении принимаем равным нулю (ci = 0).
Рассмотрим совместную деформацию 1-го шпангоута оболочки
с бандажом. Пусть в результате действия внешних нагрузок, реак-
реакций оболочки и упругих прокладок деформации шпангоута и бан-
бандажа таковы, что число растянутых зон в прокладке S\, а сжатых
154

Р(Я>)
t-
Рис. 4.29.
Рис. 4.30.
155

S2. Углы, ограничивающие сжатые и растянутые зоны в проклад-
прокладке, обозначим соответственно через <рь <рг. • • •. фгв/, грь $2, • • -, ч\>2а,.
Аналогичные обозначения введем для ложемента. Число растяну-
растянутых и сжатых зон для него обозначим через si и $2, а углы, ограни-
ограничивающие эти зоны, — через <рь <рг, • • •> ^Рь %. • • • (рис. 4.30).
В соответствии с введенными обозначениями и на основании ре-
результатов исследования взаимодействия соосно сопряженных колец,
полученных в разд. 3.3, уравнения контактной задачи для рассмат-
рассматриваемой системы представим в виде
f pi (?) cos fofd<f -RRi1 \c2 2 j'+1{t» - да,
0 L /-1,3,... 9t
]2,
-I
/7 (?) COS &?rf? -J- С2 7 \
-|-c, V f (да — да,) cos &?uf? -(- c2 V f wi c°!s *?af<p +
2n
— W[) COS)fe?flf? |= j /7;(?)COS)
7^1,3,... .J
D.79)
24,—1 ^ ^
я'""'~—да,) cos
J да cos ^f = J
-^ 0
где р/(<р), р'(<Р)> Рг(ф), р(ф) —суммарные и внешние радиальные
нагрузки, действующие соответственно на 1-й шпангоут оболочки и
бандаж; Ri, R, wif w — радиусы и радиальные перемещения i-ro
шпангоута оболочки и бандажа; с,-, с3- — коэффициенты податливо-
податливости прокладки и ложемента при растяжении и сжатии (/=1, 2).
Представим неизвестные радиальные перемещения и суммар-
суммарные нагрузки в виде рядов
во
cos пч'' w=2 ^л cos ncf'
p'i=2 p'mcois«?; ?=2^cos щ-
«=0 л=0
Подставим D.80) в D.79) и проинтегрируем, полагая &=0, 1,
2 Для &-й гармоники получим
- RRF1
2
"=0
D.81)
2
я-0
156

где а=2л при k—О; а=л при ?> 1;
л.
V4
Iftn^P*»(?/. ?/. «i. *». ^1. «s); A*=«
Из условия совместной осесимметричной деформации шпангоу-
шпангоута и оболочки следуют соотношения
И5Г p'o=-^-wo, D.82)
где
2„ = 1 + [3 A - !х1(х2)]™ (fjfilO (A, V^A) + A,_, V"hZ);
Fi, F, Ei, E<—площади поперечных сечений и модули упругости
материала /-го шпангоута и бандажа соответственно.
-Из условия равновесия i-го шпангоута оболочки
Pit*=-Pt{nRi)-l\ Л=0. D.83)
Изгибная деформация г'-го шпангоута в своей плоскости с учетом
упругости прилегающей оболочки и податливости соседних
(г—1)-го (г+1)-го шпангоутов может быть описана соотношением
-Уи-ifs (<x/-i) w.,,-1 + [1 + Vu-Ji (a/-i) + Yi,//i (а,)] ®я, -
- Y/.//5 (a/) »..,+!=[Д,, Н-^я - «ii^r1 («2 - 1) я] ^, D.84)
где
Для оболочки, подкрепленной т шпангоутами, с помощью
D.84) можно составить систему из т уравнений, решение которой
относительно коэффициента Фурье суммарной радиальной нагруз-
нагрузки на t-й шпангоут дает для k^2 зависимость
1) А, D.' 85)
где Qkh ?ikj — величины, зависящие от геометрических и жесткост-
ных параметров оболочки и подкрепляющих шпангоутов; р^, tki,
157.

m[? - коэффициенты Фурье внешних нагрузок, действующих на
/-й шпангоут. Для длинной оболочки, подкрепленной тремя шпанго-
шпангоутами (т = 3) (см. рис. 4.29), где цилиндрические отсеки (/+1) и
(/—2) считаются полубесконечными (условия на торцах не влияют
на н. д. с), имеем
D.86)
'-I)*, D.87)
При a(->2,5 получим
Для бандажа
где ^Гж — изгибная жесткость бандажа.
После подстановки D.82), D.83), D.85), D.87) в D.81) полу-
получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений для
определения коэффициентов Фурье радиальных перемещений /-го
шпангоута оболочки и бандажа
D. 88)
л=0
где
А=0.1,2,...; v,=
158

Если оболочка в месте контакта с бандажом не подкреплена
шпангоутом, то вместо Fiy Ixi можно ввести площадь и момент инер-
инерции сечения части оболочки, непосредственно контактируемой с
опорным кольцом, Fi=ahit IXj = l/i2ahi, где а — ширина баидажа;
hi — толщина оболочки под бандажом.
Решая редуцированную систему D.88), находим величины ко-
коэффициентов Фурье перемещений t-ro шпангоута оболочки wOi,
Wu, Wa wnti и путем суммирования определяем компоненты
его н. д. с:
радиальное перемещение за счет сжатия и изгиба
Л = 2
изгибающий момент и продольное усилие в сечениях шпангоута
Итак, если известны зоны контакта оболочки с бандажом (углы
ц>и ipj) и бандажа с ложементом (углы <рг, -ф^), то задача о контакт-
контактном взаимодействии оболочки с бандажом сводится к решению бес-
бесконечной системы уравнений D.88). Однако углы <р,-, <рг, tyi, tyi зара-
заранее не известны и, в свою очередь, подлежат определению. Для их
определения применим метод последовательных приближений. За
нулевое приближение примем решение системы D.88) при условии,
что прокладка и основание в ложементе одномодульные (двусто-
(двусторонние), т. е. решение при
с^с2; ~Cl=~c2; «pi°>=0; «pi°>=2«; ?°> = а1; ^0) = а2; ^=-ч~^=-.
= _а1; Ь = Ъ=О.
Имея распределение радиальных перемещений оболочки и бан-
бандажа в нулевом приближении w\°\ w, определим участки, где
таК°>>0, (да(°) — ^О))>0; •а;(°)<0, (<а><°> — да,)<0. Соответствую-
Соответствующие этим участкам углы <?(*\ $\ lf\l), ty^ являются исходными дан-
данными для построения следующего приближения. После подстанов-
подстановки найденных значений углов первого приближения f/1', <f\1\ Ф/1',
Ф/Х) и реальных значений коэффициентов жесткости Ci|2, CiJ ^ ко-
коэффициенты системы D.88) определим перемещениям (у) и
159

в первом приближении. Второе и последующие приближения
строим аналогично первому. Процесс приближений заканчиваем
тогда, когда участки контакта данного приближения ч\'\ <f\' , $ \
ф!'* будут отличаться от участков контакта предыдущего прибли-
приближения q^''» f/''» Ф/'', ф/'' на наперед заданную величину е.
Для оценки влияния различных параметров конструкции на кон-
контактное взаимодействие оболочки и бандажа и н. д. с. системы при-
приведем результаты некоторых расчетов, проведенных на ЭВМ с ис-
использованием вышеописанного алгоритма.
4.3.1. Контактное взаимодействие
цилиндрической оболочки и бандажа
при различных опираниях на упругий ложемент
Проведем расчет оболочки, изображенной на рис. 4,29, для двух
вариантов упругого опирания: 1) а1 = 0,98я, аг=я (опирание на
ложемент с малым углом охвата); 2) а1 = 5/6я; аг = я (опирание на
ложемент с углом охвата я/3) и при следующих значениях осталь-
остальных параметров конструкций; r/h=200; R=l,07Ri;
~IX=2,5/Xi;
/
где E — модуль упругости материала конструкции.
Крайние шпангоуты нагружены радиальными силами 1/2Р, рав-
равномерно распределенными на участках —я/36 г^ф^ я/36. Число
уравнений в системе D.88) принималось равным 40.
Результаты расчета приведены на рис. 4.31 в виде графиков рас-
распределения контактного давления между оболочкой и бандажом
Р' (?) = P~lc2 (w — wt) nr.
Кривые 1, 2 соответствуют первому варианту опирания оболоч-
оболочки на ложемент; кривая / построена для односторонней связи про-
прокладки, кривая 2 — для двусторонней связи (с1=с2). При втором
варианте опирания оболочки «а ложемент кривая 3 соответствует
случаю односторонней связи, а кривая 4 — двусторонней связи.
Полученные кривые наглядно иллюстрируют влияние вида свя-
связи упругой прокладки (бандажа) с оболочкой и характера нагру-
жения бандажа на распределение контактных усилий между обо-
оболочкой и бандажом.
4.3.2. Контактное взаимодействие
цилиндрической оболочки и бандажа
конечной изгибной жесткости
Проведем расчет конструкции, изображенной на рис. 4.32. В от-
отличие от предыдущей задачи здесь бандаж не опирается на ложе-
160

p'
$
4
1
в
Ч
i
-2
Кг
i
Л
I
Ак
А*
7'it ir -1Г 2Ж у Л
/Т ? 2 3 ' \
У
Рис. 4.31.
1
•P
1
Рис. 4.32.
f) 41
161

мент, а нагружается двумя касательными сосредоточенными сила-
силами 1/2Р, приложенными в точках ф= ±я/2. Внешние поперечные
нагрузки на торцевые шпангоуты прикладываются в виде радиаль-
радиальных сил, равномерно распределенных на участках я/2^ф^3/2я.
Расчеты проведены для двух вариантов жесткости бандажа: EF=
10?Л
(mjpr,) юг
E7x=lQPElIxl', v,= 1,1 (жесткий бандаж), EF=WriEtF,; ЁТХ=
= 10~3?'i/xi; v/== 1 (гибкий.бандаж) — при следующих геометрических
и жесткостных параметрах оболо-
оболочки и односторонней упругой про-
кладки:
0,75
0,50
9,25
1 = Л2=Л; Г/Л—400;
1
2
К
ж
6
тг
J
Рис. 4.33.
f V.pad
Рис. 4.34.
rl=Fl_1=Fl+l; /V-2=l,8-10-3; Ixl=Ix<l-x=Ix<l+i\
Ixlr~*= 1,8-10-6; Cl = o; c2=9-10-5^.
В системе D.88) число уравнений принималось равным 50 и
Wi=0 (равенство нулю перемещения бандажа как жесткого цело-
целого).
Результаты расчета представлены на рис. 4.33, 4.34. На рис. 4.33
кривые 1, 2 изображают законы изменения относительного контакт-
контактного давления
~р' ((f)= \/2P-lvT1c2(w — wl) яг
соответственно для жесткого и гибкого бандажа. На рис. 4.34 пост-
построены изгибающие моменты
25
162

в сечениях среднего шпангоута оболочки для тех же параметров
изгибной жесткости бандажа (обозначения кривых те же, что и на
рис. 4.33).
Анализ полученных данных показывает, что закон распределе-
распределения контактного давления между оболочкой и бандажом и н. д. с.
силового шпангоута оболочки существенно зависят от жесткости
бандажа, причем контактное давление для гибкого бандажа и для
данной схемы нагружения с достаточной степенью точности можно
считать равномерно распределенным, а для жесткого бандажа — по
закону, близкому к косинусоидальному.
4.3.3. Напряженно-деформированное состояние
цилиндрической оболочки при контактном взаимодействии
с жестким бандажом (соосной кольцевой опорой—ложементом)
Проведем расчет конструкции (рис. 4.35), состоящей из гладкой
ортотропной цилиндрической оболочки, контактируемой с кольце-
кольцевой опорой (жестким бандажом) шириной а. По торцам оболочка
подкреплена шпангоутами со сферическими диафрагмами (днища-
Рис. 4.35.
ми). Оболочка имеет внутри однородную упругую среду с коэффи-
коэффициентом податливости с, скрепленную с оболочкой, и испытывает
поперечное нагружение в виде радиальных нагрузок Pi и Р3, рав-
равномерно распределенных на участках —л/2^ф^л/2 и приложен-
приложенных к торцевым шпангоутам.
Часть оболочки, непосредственно контактируемую с опорой, рас-
рассматриваем как шпангоут с параметрами Ri = r, /ri = aft; /*,=
й3/12 2
Для данной конструкции основная система D.88) упрощается
и принимает вид, характерный для оболочки, лежащей на упругом
ложементе с углом охвата 2л
=0, 1,2...;
D.89)
л-0
163

а величины, входящие в выражения для аь„, Ah, имеют следующие
выражения:
A2A-
?2ft3 (?2_1J
- Yi i sin k —
2 p _ 2 Г pi/s(«i) | ^3/5 (aa) 1
3
Allrh
1'1~*4(*2_ 1J/*j ' Y2<1
В расчетах приняты такие значения параметров конструкции:
а = 0,1г; г/А = 330; /xlr-4= 10; F,r-2 = 5-l(H; /, + /2=4r; hc = 0,7h;
0с = я/4; Р2 = Р1 + Рз=2-105Н. Модуль упругости материала элемен-
элементов оболочки ?=2-1011 Н/м2. Для исследования напряженно-де-
напряженно-деформированного состояния оболочки в районе опирания ее на коль-
кольцевую опору варьировались такие параметры, как место располо-
расположения опоры Aи к), жесткость упругой среды (с) и жесткость од-
односторонней прокладки (с2).
Результаты расчета приведены на рис. 4.36—4.43.
На рис. 4.36—4.39 изображены графики изменения прогиба
да!(.(ф) и изгибающего момента М2(ф) в сечениях оболочки, нахо-
находящихся под опорой, в случае отсутствия упругой среды внутри
оболочки (с = 0) при различных положениях кольцевой опоры по
длине оболочки: U = k = 2r (рис. 4.36, 4.37) и 1\ = 2>г, 12 = г (рис.
4.38, 4.39). Здесь кривые /—3 соответствуют следующим значени-
значениям жесткости прокладки при сжатии: с2=1,5-lO^f; 3,6-\0~&E;
2,5-10-4?.
На рис. 4.40—4.43 приведены графики изменения прогиба и из-
изгибающего кольцевого момента в оболочке в месте контакта с опо-
опорой для случая, когда оболочка имеет внутри упругую среду с ко-
коэффициентом податливости с = 2-10~6 Н/м3 при различных положе-
положениях кольцевой опоры: Ii = l2=2r (рис. 4.40, 4.41) и 1\ = Ъг, 12 — г
(рис. 4.42, 4.43).
Сравнительный анализ полученных данных наглядно иллюстри-
иллюстрирует, что н. д. с. оболочки значительно уменьшается с увеличением
жесткости прокладки и упругой среды, а также по мере приближе-
приближения кольцевой опоры к жесткому торцу оболочки.
Результаты проведенного расчета показывают, что области кон-
контакта оболочки с кольцевой опорой и законы распределения кон-
контактного давления в этой области для всех рассмотренных случаев
различны. Однако эти различия для данного диапазона изменения
164

— 4
CM
\
--
—¦
_
/i
f Г
r
41
165

, и.— -^
J
г
\ \
о
CO
-3*
i
V
1 ¦—
^=
==55
=====
1 -—.
——
z=>—
s °
I I
3
166

\ \-
i
———
L ==
V
I
r
к
>-. сч
if
\
л
^Ko
V
J
)
f
«3-
16?

0,08
0,04
-ОМ
~ш
/
У
/
г/
\ 2 /I
6 з \
2^-
2
1 I* I^'P"9
0,3
0,2
0,1
О
-0,1
-0,2
Рис. 4.42.
(
\1
к
\ ?
7 XIITW
2
1 3
2 1
jir 9,Рад
Рис. 4.43.
168

жесткости прокладки незначительны. Приближенно можно считать,
что область контакта находится в пределах 0,45я<<р^Ся и кон-
контактное давление в этой области распределяется по закону, подоб-
подобному косинусоидальному (см. рис. 4.33, кривая /).
4.4. КОНТАКТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ И НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИ-
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ СООСНО СОПРЯЖЕННЫХ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ НАГРУЖЕНИИ
Рассмотрим конструкцию, состоящую из двух подкрепленных
цилиндрических оболочек разного диаметра, соосно сопряженных с
помощью упругого кольцевого пояса, ширина которого равна ши-
ширине (или соизмерима с нею) силовых шпангоутов, установленных
в оболочках в месте их сопряжения. Оболочки испытывают дейст-
действие локальных поперечных нагрузок pi, t{, ти, приложенных к под-
подкрепляющим шпангоутам. Силовые шпангоуты внутренней оболоч-
оболочки могут иметь диафрагмы в виде конических или сферических
днищ. Кольцевой пояс, через который контактируют оболочки,
представляет собой сплошную по контуру упругую прокладку с од-
односторонней связью и коэффициентом податливости при сжатии с'.
Внешняя оболочка в месте сопряжения с внутренней оболочкой опи-
опирается на круговое одностороннее упругое основание (ложемент) с
коэффициентом податливости с" или испытывает заданное попе-
поперечное нагружение.
Ставится задача — определить напряженно-деформированное
состояние силовых шпангоутов сопряженных оболочек с учетом их
контактного взаимодействия (величины жесткости кольцевой про-
прокладки и ложемента, жесткостных параметров оболочек и схемы
нагружения).
Для рассматриваемой тонкостенной конструкции введем следу-
следующие обозначения: индекс штрих (') соответствует параметрам
прокладки между оболочками, внутренней оболочки (собственно
оболочке и подкрепляющим ее кольцам) и действующим на нее
внешним поперечным нагрузкам; индекс (") — параметрам внешне-
внешнего опорного основания (ложемента), внешней оболочки и действу-
действующим на нее нагрузкам. Отсутствие индексов ('), (") означает, что
соотношения справедливы для обеих оболочек.
Рассмотрим совместную деформацию элементов узла контакта
сопряженных оболочек конструкции. Основными элементами такого
узла являются два силовых шпангоута, соосно сопряженных меж-
между собой через упругую одностороннюю прокладку и взаимодейст-
взаимодействующих с упругим ложементом.
Для этих шпангоутов из условия их контактного взаимодейст-
взаимодействия можно записать соотношения, аналогичные D.81)
D.90)
2
169
2
п=0

где wn, ph, Ph — коэффициенты Фурье радиального перемещения,
.суммарных и внешних поперечных нагрузок; & = 0, 1, 2 аь=2я
при k=0; uk=n при k\
5', s" ¦— число сжатых зон соответственно в прокладке и ложемен-
ложементе; срь срг,• • •, ч>2*'—углы, ограничиващие сжатые зоны в прокладке;
?ь ?2!-••, ?25* — углы, ограничивающие сжатые зоны в ложементе.
Из условий равновесия сопряженных шпангоутов и их совмест-
совместной работы с прилегающими оболочками имеем (см. D.82), D.83)
и D.85)]:
D.91).
- m'lkj (R")-
Здесь P', P" — перерезывающие силы в оболочках в месте их
контакта; т', т" — число шпангоутов, подкрепляющих внутреннюю
и внешнюю оболочки.
После подстановки D.91) в D.90) получим бесконечную систе-
систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов Фурье
радиальных перемещений контактируемых шпангоутов соосно соп-
сопряженных оболочек
D.92)
Л-0
170

где
*=0, 1, 2,...; a00=vP
2nElFl
'iRT1; B0=2np;
Решая редуцированную систему D.92) с использованием метода
последовательных приближений для определения заранее неизвест-
неизвестных углов q/j, ф/', находим Woi, %„..., WnJ, Щ1, Wit,---, Wnti
и путем суммирования определяем радиальные перемещения шпан-
шпангоутов
w'i = V w'ni cos »ср, Wi=V 'й'п/ cos й(р;
n=0 n-0
изгибающие моменты в их сечениях
S(я2 ~1} w"'cos щ;
Я-2
реакции прокладки и ложемента
Для оценки влияния различных параметров конструкции на
контактное взаимодействие и напряженно-деформированное состо-
состояние силовых шпангоутов проведем расчет соосно сопряженных ци-
линдрических оболочек для двух схем нагружения: а) внешняя
171

оболочка в месте ее контакта с внутренней оболочкой опирается
на ложемент (см. рис. 4.29); б) в районе соосного сопряжения обо-
оболочек ложемент отсутствует. Средние отсеки оболочек имеют ко-
конечные длины, а крайние считаем полубесконечными. Внешние наг-
нагрузки приложены к крайним шпангоутам в виде радиальных наг-
нагрузок, распределенных равномерно на полуокружности (нагруже-
ние через гибкий бандаж).
1 1 - /
1
/
У'
\
X
Ж.
б
3
ж.
2
Рис, 4,44,-
Для оболочек данной конструкции
D.93)
m-i/i (at-i)+Vt,tfi («/)•
В расчетах примем следующие значения параметров контакти-
руемых оболочек:
r'/h' = 270; г'/А"=330; г' = 0,8/"; /,._,=/,.^5г;
lt-2=lt+i = °°'> h^^h^ht-^h; йс' = 2/ЗЛ'; ес=л/4;
Ix ,. = 5-10-'г4; /?, = 1,5-10-3/а; а,=0,66я; а2=0,68я; <Г=7-\0г*Е.
Модуль упругости материала конструкции Е положим равным
6,8-1010 Н/м2. Коэффициент жесткости кольцевого пояса (проклад-
(прокладки) с1 варьируем в пределах от 1,4-lChfE до 1,4-10-3.Е. В расчетах
также изменяем толщину среднего днища внутренней оболочки /i</.
При решении системы D.92) с помощью ЭВМ число уравнений
п% принималось равным 24, т. е. решалась система из 50 линейных
уравнений. Для достижений точности 8=0,0001 оказалось необхо-
необходимым 3—6 приближений в зависимости от жесткости прокладки.
Результаты расчета приведены на рис. 4.44, 4.45 в виде графиков
172

изменения относительных величин контактного давления и изгиба
ющих моментов в шпангоутах, находящихся в месте сопряжения
оболочек при различных схемах нагружения и значениях варьиру-
варьируемых параметров. Здесь «а» и «б» обозначают соответствующие
схемы нагружения, а цифры /, 2-величины, относящиеся соответ-
соответственно к внутреннему и внешнему силовым ^"^Гп^ствчет
ные линии соответствуют случаю, когда среднее днище отсутствует
(Л Й°рис 4 44 изображены графики изменения контактного давле-
давления действующего на шпангоут внутренней оболочки при с —
= 1*4 1(Н? Здесь ~Р=С {w"-W) (/w)"', где /w - макси-
максимальное значение давления при нагружении узла по схеме «б»-и
с'=1 4-10-4?- пунктирной линией изображен косинусоидальныи
закон изменения контактного давления, характерный для «мягкой»
прокладки и любой схемы поперечного нагружения.
На рис. 4.45 показана зависимость максимальных значении из
гибающих моментов в шпангоутах от величины жесткости проклад-
прокладки. Здесь введены обозначения
Жх^М'хтаАМ'охУ1; Мх=.
где ML М"йх — максимальные величины изгибающих моментов в
шпангоутах при с'= 1,4-10^ (для «мягкой» прокладки) и нали-
^аГитгЗнализ представленных кривых показывает что
контактное давление между оболочками и напРяженН0;удреФ°РнмаИг^"
ванное состояние шпангоутов существенно зависят от схемы нагу.
жения оболочек, жесткости прокладки и внутренней оболочки. Кон-
Контактное давление при малых значениях коэффициента податливо-
податливости прокладки распределяется по закону, близкому к косинусои-
дальному С увеличением жесткости прокладки закон контактного
давления отличается от косинусо-
идального (степень отличия для
схемы «а» больше, чем для схе-
схемы «б»); значительно возрастает
изгиб шпангоута внутренней обо-
лочки — в зоне контакта оболочек
при нагружеиии по схеме «а» и
вне зоны их контакта (в зоне от-
отхода оболочек друг от друга) при
иагружении по схеме «б». Однако
при нагружении по схеме «б» в
случае отсутствия среднего днища
максимальные значения изгибаю-
изгибающего момента в шпангоуте внут-
внутренней оболочки практически не
зависят от величины коэффициен-
коэффициента податливости опорного пояса.
Изгибные напряжения в сечениях
шпангоута внешней оболочки с
173
10
о
Рис. 4.45.

увеличением жесткости прокладки для обеих схем нагружения
существенно уменьшаются (в несколько раз).
Из анализа полученных данных следует, что при расчете соосно
сопряженных оболочек необходимо учитывать их контактное взаи-
взаимодействие. Приближенное решение контактной задачи (представ-
(представление контактного давления между оболочками в виде косинусои-
дального закона и неучет жесткости прокладки и оболочек и реаль-
реальной схемы нагружения) может привести к существенным
погрешностям в оценке н.д.с. контактируемых оболочек, а именно,
к завышению компонентов н.д.с. внешней оболочки и занижению
или завышению их для внутренней оболочки.
4.5. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ЛОКАЛЬНОМ
ОСЕВОМ НАГРУЖЕНИИ И КОНТАКТНОМ
ВЗАИМОДЕЙСТВИИ С ОПОРНЫМ ОСНОВАНИЕМ
Рассмотрим ортотропную цилиндрическую оболочку средней
длины, подкрепленную по торцам шпангоутами. На одном торце
оболочка опирается на односторонне упругое основание в виде не-
нескольких осевых опор различной
протяженности и податливости, а на
втором нагружена распределенной
осевой нагрузкой <7г(ф)- Такая на-
нагрузка статически эквивалентна осе-
осевой сжимающей силе Q и изгибаю-
изгибающему моменту М (рис. 4.46). Пред-
Предполагаем, что торцевые шпангоуты
оболочки при осевом нагружении не
деформируются в своей плоскости.
Такое допущение справедливо при
большой изгибной жесткости шпан-
шпангоутов в своей плоскости или при на-
наличии на торцах оболочки жестких
диафрагм.
Специфика расчета цилиндричес-
цилиндрической оболочки при осевом нагруже-
нагружении с учетом жесткости опорного ос-
основания, так же как и в рассмотрен-
рассмотренных выше случаях поперечного на-
нагружения, состоит в том, что распре-
распределение контактного осевого давле-
давления на оболочку и область контакта
ее с опорным основанием заранее не
известны и в общем случае зависят
от схемы нагружения, жесткости элементов конструкции, схемы
расположения опор и их параметров. В связи с этим решению за-
задачи о напряженно-деформированном состоянии оболочки должно
предшествовать решение контактной задачи дли цилиндрической
174
Рис. 4.46.

оболочки, взаимодействующей с односторонним дискретным упру-
упругим основанием.
Введем обозначения: E0lIzU EvJii, G0Jpi,G02l'p2 — изгибные из
плоскости и крутильные жесткости торцевых шпангоутов (индексы'
«1», «2» относятся соответственно к опорному и верхнему шпангоу-
шпангоутам); ф — круговая координата, отсчитываемая от оси z—z против
часовой стрелки; <p2t-i» Ф2г — углы, характеризующие протяжен-
протяженность t-й опоры; Ci — коэффициент жесткости упругого основа-
основания на сжатие в пределах г-й опоры; 2т — число осевых опор,
расположенных симметрично относительно оси z—z; %, 2j-i. %, a —
углы, характеризующие /-ю зону контакта оболочки с опорным ос-
основанием в районе t-й опоры; /= 1,2,..., s4; s< — число зон контак-
контакта в t-й опоре.
Осевые нагрузки <7;(ф), действующие на торцевые шпангоуты
оболочки, и осевые перемещения шпангоутов (в направлении оси
х) представим в виде рядов
оо
2 2
Л=0 Л=0
где
/=1,2; ^ao=-^o=
qt (cp) cos n<fd<f. {n > 2).
При циклической деформации из условия совместной деформа-
деформации торцевых шпангоутов и полубезмоментной оболочки получаем
связи между коэффициентами Фурье осевых перемещений шпангоу-
шпангоутов utn и действующих нагрузок qtn (см. разд. 4.1)
=?и?; D
P2,i/2(a)«ln + [l+?2,i/4(a)l и2п=д1пКЦ\
где
_. 1J
4(А/гJ (fjff1L «1/F^ а=Дяг->.
Меридиональные усилия в оболочке в местах сопряжения ее со-
соответственно с нижним (опорным) и верхним шпангоутами имеют
вид
> I К l/л (<*) Щп + /а («) «ml cos «ср. D. 96)
175

Закон изменения контактного давления на опорный шпангоут в
общем случае неизвестен. Поэтому расчет оболочки с помощью со-
соотношений D.95) и D.96) является неопределенным. Необходимо
решить задачу о контактном взаимодействии кругового шпангоута,
подкрепляющего оболочку, и дискретно упругого основания.
Рассмотрим нагружение опорного шпангоута, непосредственно
контактирующего своей плоскостью на нескольких участках по пе-
периметру с односторонним упругим основанием.
Нагрузка, действующая на опорный шпангоут qi(q>), вне опор и
вне зон контакта с основанием будет
<7i(?)=0; D.97)
в пределах зон контакта if>{, гы^Ф^'ф!", а
?i(<p)=-c,«i. D.98)
Умножая обе части равенств D.97) и D.98) на cos &<p, интегри-
интегрируя в пределах изменения аргумента ф и складывая левые и пра-
правые части, получим следующее интегральное уравнение:
« т *i *i,2j
^(9H08*^ + 22 с, 1 «i(<P)cos*<prf?=0- D-")
О /=iy=l Ф/.2/-1
Подставив выражение D.94) в D.99), после интегрирования с
учетом равенств
?10= - 1/2Q (яг)->; ?„= - М (л^)->
и на основании D.95) для k~^2
, Г j ШЫ 1
^ г * L K l+P2/(a)l
Ргл/2 (и)
Ч
^ 1 + Ря.1/4 (а) Ч2к
получим для определения коэффициентов Фурье осевого перемеще-
перемещения опорного шпангоута бесконечную систему линейных алгебраи-
алгебраических уравнений
2аЛ=Л, * = 0, 1, 2 D.100)
где
m si
sin (л — k) 4i,2) sin (л
n—k ' n+k
sin (n — k) ф/,2/ l
176

X(sin 2k\v — sin 2^Jy-_i]; Ло=
л, = —
2 " l +P2,i/4(«.
В результате решения системы D.100) методом редукции опре-
определяем коэффициенты Фурье осевого перемещения опорного шпан-
шпангоута «in, а затем его полные перемещения
M1==2]«incos«<p; D.101)
л=0
контактное давление в опорах д=с{щ; меридиональное усилие в
оболочке вблизи опорного шпангоута
Тх @) = — Q (яг) + М (яг2) cos
X п YW^\uln +-ЙаЁиЛМ.) cos яср; D.102)
1 + Р2.1/4 (a) J
изгибающий момент в опорном шпангоуте
м hd.^ пцП2-1) 4 3
2 Л2 ^ «2+^
Здесь п* + 1 — число уравнений в редуцированной системе D.100).
Углы i|)f, 2j-i, ifi, 2j. определяющие границы зон контакта оболоч-
оболочки с опорным основанием, находим методом последовательных при-
приближений, аналогичным примененным в рассмотренных выше кон-
контактных задачах при поперечном нагружении.
За нулевое приближение примем y\%-i=<p3t-il $м—Ъ1* st=\.
Для оценки влияния жесткости опорного основания на напря-
напряженно-деформированное состояние цилиндрической оболочки про-
проведем расчет оболочки, подкрепленной по торцам одинаковыми
шпангоутами, имеющими в своей плоскости жесткие диафрагмы.
Оболочка нагружена равномерно распределенной по верхнему тор-
торцу осевой силой Q, нижний торец ее опирается на четыре одинако-
одинаковые опоры, симметрично расположенные относительно осей у—у,
г—z (см. рис. 4.46).
177

В расчете принимаем следующие значения параметров конст-
конструкции /7/1=330; /=3г; /21#-»=5- Ю-7; di = 6,5; ?01 = ?1 = ?2 =
=2-1011 Н/м2; т=2; щ = я/6; ф2=л/3; <р3=2/3я; <р4 = 5/6я.
Величину коэффициента жесткости опор с варьируем в преде-
пределах 5-10-5? .. .5-10-2?.
Результаты расчета приведены на рис. 4.47—4.49.
На рис. 4.47 представлены графики распределения контактного
давления в опорах
q=2/3nrcalQ-1
при с=5-10~5?; 5-10-3?; 2,5-10~2?; 5 • 10~2? (соответственно кри-
кривые 1—4).
Кривые 1—3 на рис. 4.48 изображают осевые усилия в оболочке
вблизи опорного шпангоута
вычисленные соответственно для равномерного закона распределе-
распределения осевых нагрузок в опорах и с учетом жесткости опорного ос-
основания при с~5-Ю~3Е и с=5-10~2?. На рис. 4.49 построены изги-
изгибающие моменты в опорном шпангоуте
для с=5-10~5? (кривая 1); с = 5-10-3? (кривая 2) и с = 5-10-2?
(кривая 5).
Анализ полученных данных показывает, что для «мягкого» ос-
основания характер изменения контактного давления в опорах бли-
близок к равномерному закону (кривая 1). С увеличением коэффици-
коэффициента податливости опорного основания закон изменения контактно-
контактного давления в опорах отличается от равномерного и давление в
пределах опоры распределяется так, что у края опоры оно значи-
значительно возрастает, а в середине снижается. Напряженно-деформи-
Напряженно-деформированное состояние в оболочке и опорном шпангоуте при достаточ-
достаточно жестких опорах также существенно отличается от н. д. с,
определенного без учета контактного взаимодействия. Следователь-
Следовательно, при расчете цилиндрической оболочки, контактирующей при
осевом, нагружении с опорным основанием, следует учитывать сте-
степень осевой податливости опор (их осевую жесткость). Прибли-
Приближенный расчет (без решения контактной задачи) и представление
опорной реакции в виде равномерной нагрузки при достаточно жест-
жестком опорном основании может привести к неправильной оценке
н. д. с. оболочечной конструкции.
4.6. ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ОБЩЕЙ СХЕМЕ РАСЧЕТА ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ
КОНСТРУКЦИИ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ НАГРУЖЕНИИ
Реальные тонкостенные конструкции, выполненные в виде кар-
касированных цилиндрических оболочек, в некоторых сечениях
могут иметь локальные включения в виде различного рода диаф-
диафрагм, податливых опор, местных подкреплений и т. п.
178

1—- .
1
**.
О
s
Р.
\
1
с-
j
р.
к
*- Q

На основании полученных выше решений задач локального на-
гружения и контактного взаимодействия элементов оболочечных
конструкций расчет подкрепленной цилиндрической оболочки при
действии произвольных поперечных нагрузок сводится в конечном
итоге к решению бесконечной системы линейных алгебраических
уравнений относительно коэффициентов Фурье радиального пере-
перемещения шпангоута.
Эта система в матричной форме имеет вид
AW=B, D.104)
где А={аъ.п} — квадратная матрица, элементы которой зависят от
параметров оболочки и дискретно сопряженных с ней конструктив-
конструктивных включений; B=\bh\ —матрица-столбец, элементы которой за-
зависят от вида и величины внешних поперечных нагрузок, степени
нелинейности характеристик опорных оснований (ложементы, опор-
опорные пояса и др.); №=|доп|—матрица-столбец искомых величин
(коэффициентов Фурье радиального перемещения шпангоута).
Характерной особенностью матрицы жесткости конструкции А
является то, что ее диагональные элементы а^н, кроме ац, зависят
от жесткости силового шпангоута при растяжении—сжатии и изги-
изгибе (с учетом жесткости элементов конструкции), геометрических и
жесткостных параметров сопряженных с оболочкой локальных
включений и элементов, связывающих их с конструкцией, а недиаго-
недиагональные элементы акп{кфп) и ац зависят.только от параметров
локальных включений и связывающих элементов.
В общем случае элементы матриц А и В можно представить в
виде
akn=akn-\-a'kn\
где
О {кфп, k=n=l);
-° \eF*/R~2 (Л = д=О);
l'xlR-*(&—\y (Л=л>2),
?F*, EIX* — приведенные жесткости шпангоута.
Вид слагаемых а'ы определяется в зависимости от схемы кон-
контактного взаимодействия оболочки и опорного основания, типа ос-
оснований (линейных и нелинейных, с трением или без трения).
Слагаемые ф* и б& в выражении для Ьъ характеризуют влияние
степени нелинейности оснований и наличие зазоров между конст-
конструкцией и основанием. Для случая линейных связей фк=О, а при
отсутствии зазоров бь=О. В случае односторонних связей области
контакта конструкции и основания, а следовательно, и элементы
матриц А и В заранее не известны и определяются методом после-
последовательных приближений.
180

Анализ системы D.104) показывает, что диагональные элемен*
ты матрицы А существенно возрастают с ростом номера k, а неди-
недиагональные а.ъ.п не возрастают. В связи с этим бесконечная система
может быть заменена с достаточной степенью точности конечной
(редуцированной). Порядок редуцированной системы (число п*)
зависит от соотношения жесткостей оболочки и опорных основаннй.
Чем выше поперечная жесткость конструкции, тем меньше требует-
требуется уравнений в редуцированной системе.
При непрерывной (по всему периметру) двусторонней линейной
связи локального включения с оболочкой недиагональные элемен-
элементы dkn — 0 и бесконечная система D.104) распадается на независи-
независимые уравнения типа
a^wk=bk, k=0, 2, 3,.... D.106)
Поэтому локальные включения типа днищ, сопряженных со шпан-
шпангоутами оболочки по всему периметру, или опорных кольцевых по-
поясов с двусторонними линейными связями приводят бесконечную»
разрешающую систему к конечным соотношениям. Разрешающие
соотношения в виде бесконечных систем линейных алгебраических
уравнений получаются только при дискретных связях (в том числе
и двусторонних).
Следует отметить, однако, что если число дискретных линейных:
двусторонних связей достаточно большое и они расположены по-
периметру оболочки достаточно равномерно, то их можно «разма-
«размазать», заменив тем самым дискретные связи непрерывными линей-
линейными связями. Это существенно упрощает расчет цилиндрической
конструкции, поскольку бесконечная система уравнений D.104) за-
заменяется одним уравнением D.106), справедливым для каждого из
членов разложения внешних нагрузок в ряд Фурье.
Расчет подкрепленной цилиндрической оболочки с учетом жест-
жесткости различного рода конструктивных локальных включений с
дискретными связями может быть проведен с помощью единых раз-
разрешающих соотношений, имеющих матричную форму, удобную для
использования современной вычислительной техники (матричных
алгоритмов). Все возможные конструктивные особенности оболочки,
влияющие на напряженно-деформированное состояние ее элемен-
элементов, учитываются в элементах матриц А и В. Элементы этих матриц
для различных включений и видов связи могут быть определены с
помощью соотношений, полученных в данной главе и гл. 1—3.

ГЛАВА 5
УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
ПРИ РАВНОМЕРНОМ ЛОКАЛЬНОМ НАГРУЖЕНИИ
5.1. УСТОЙЧИВОСТЬ КРУГОВОГО КОЛЬЦА,
ПОДКРЕПЛЯЮЩЕГО СИСТЕМУ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ,
ПРИ ВНЕШНЕМ РАДИАЛЬНОМ НАГРУЖЕНИИ
Рассмотрим конструкцию, состоящую из оболочек вращения,
подкрепленных системой круговых колец (шпангоутов). К одному
из них приложена радиальная нагрузка ро (рис. 5.1). Исследуем ус-
устойчивость силового шпангоута в его плоскости с учетом упругости
прилегающих оболочек вращения и податливости всей конструк-
Ро
Рис. 5.1.
ции. (Вопросы, связанные с пространственной формой потери ус-
устойчивости кольца, сопряженного с тонкой оболочкой, рассмотрены,
например, в [4]).
В момент потери устойчивости шпангоута по форме w=
= wn cos «ф на него действуют внешняя нагрузка р0 и реакции со
стороны оболочки: радиальное усилие pw=—v,nwncosnq> и каса-
касательное усилие x<I) = Pn^n sinmp (рис. 5.2).
Суммарную нагрузку представим в виде
= Рл sin щ,
E.1)
где an, pn — коэффициенты жесткости оболочки вращения в ради-
радиальном и касательном направлениях при циклической деформации.
Дифференциальное уравнение устойчивости кругового шпанго-
шпангоута в его плоскости имеет вид
где El — изгибная жесткость шпангоута; R — радиус шпангоута.
После подстановки w=wncosri(p и E.1) в E.2) получим выра-
выражение для критической нагрузки
й}. E-3)
182

plP={n2— 1) EIIR\ piy^Rin2— I) (a,
где
Если шпангоут сопряжен с т оболочками, то E.3) можно пред-
представить в виде
E.4)
В E.3) и E.4) первое слагаемое pip представляет критическую
нагрузку для изолированного шпангоута, а второе слагаемое Ркр
учитывает влияние упругости примыкающих оболочек. Составляю-
Составляющая критической нагрузки
для шпангоута, обусловлен-
обусловленная упругостью оболочек,
пропорциональна коэффи-
коэффициентам податливости края
оболочки в радиальном и ка-
касательном направлениях.
Определим коэффициен-
коэффициенты а„ и р„ для различных
оболочек вращения с учетом
граннчмых условий «а вто-
втором крае оболочки. Для их
нахождения необходимо
иметь выражение для ра-
радиальных и касательных
усилий на краю оболочйсн Рис 5.2.
через заданные перемещения
шпангоута. Воспользуемся соотношениями между краевыми усили-
усилиями и перемещениями в оболочках вращения при циклической де-
деформации, приведенными в гл. 1 и разд. 4.1 для различных условий
на втором крае.
Будем предполагать, что шпангоуты, установленные на втором
крае оболочки, деформируются только в своей плоскости.
Для полубезмоментной цилиндрической оболочки выражения
для реактивных краевых усилий в месте стыка со шпангоутом име-
имеют вид
) = Q°ia cos л<р=О;
(a)-w°nfs (<*)],
E.5)
где
/А/г; а^Аг"'
радиальное
Qin— перерезывающая сила на краю оболочки; ш„° —
перемещение шпангоута на втором крае оболочки.
Из соотношений, описывающих деформацию шпангоута в своей
183

плоскости с учетом упругости оболочки и соседнего шпангоута, на- ¦
ходим ¦;
E.6) •:]
где
Eoh — изгибная жесткость шпангоута, установленного на втором
крае цилиндрической оболочки.
После подстановки E.6) в E.5) окончательно имеем
-0; т =-i^[Ma)-T^7^)\w"smn'?- E-7)
Для полубе<;конеч)ной цилиндрической оболочки (/i (а) = 1;
fe(a)=»O)
для оболочки с жестким шпангоутом «а «тором крае
Ря /1 ()
для оболочки со свободным вторым краем (Е01а = 0)
?e=2a^|/l(a)-:?l
В общем случае коэффициент податливости края цилиндриче-
цилиндрической оболочки представим в виде произведения коэффициента по-
податливости полубесконечной оболочки на некоторую функцию tj(ci),
зависящую от граничных условий на втором крае,
Для безмоментной конической оболочки краевые меридиональ-
меридиональные усилия имеют вид (см. гл. 1)
Из сравнения E.7) с E.1) следует, что интересующие нас ко-
коэффициенты податливости края полубезмоментной цилиндрической ;
оболочки с учетом податливости второго края имеют вид
г. _п. я _ 4?i**3 s , , Yi,i/5(a) /с оч ¦
E. 10)
in 8 + VFi)
где ?K, /iK, 0K — параметры конической оболочки; *?{ — функции,
зависящие от геометрических размеров конической оболочки.
184

Из условия совместной работы конической оболочки и подкреп-
подкрепляющих шпангоутов находим
° ~yf2 , E.11)
- EKhKt% sin 8K
/?i=Df,ein 6K-f «V*) sin 6K-«Df7 sin 8K-f «V»)X
Х[1-г0г-1и-2(я2-1)];
/^(^i sin 9,-ЧГзЯ-1) sin 0к+я (ЧГ8 sin 8K-»P5«-i)x
С учетом E.11) реактивные усилия, действующие на силовой
шпангоут со стороны конической оболочки в месте их сопряжения,
представляем в виде
(О т-0 • с EKhK Sin3 6К
г п22 п
(I) оО • ?КАК sin3 8K ui9 — a.iiti~2 „
l" = 5„ Sin й<р = —— — Q2wn Sin Л<р»
/•« ЙЙ — а12
где S = 1 ^2 sin 8К + щп-i yhlF2
1 чгЛ-1 чг Sin 6 I+y
^_ 1 , W7 si
2 ' Wsi
sin 8K
W3sin8K-W5«-i l+Yi.i/'l
— функции, учитывающие податливость в радиальном направлении
второго края конической оболочки (торцевого шпангоута). Для за-
защемленного края (?о^о=°°) Qi=&2=l.
Из сравнения E.12) и E.1) находим выражения для коэффи-
коэффициентов податливости края конической оболочки в радиальном и
касательном направлениях:
EKhK sin3BK д12п-2 — д22
? ™1'
Г ЯцЯ22—«12
«2.
EKhK sin3 8K «12 —
Р„2 2
ГЛ ЯЦЯ22—«12
Для безмоментного сферического сегмента краевые меридио-
меридиональные и касательные усилия имеют вид
Г? = 7^ cos я<р, 5°=5° sin жр, E.14)
где
7 41 185

Реактивные усилия, действующие со стороны сферической обо- >¦
лочки на силовой шпангоут в его плоскости, будут
= Т° cos 8С=Г?„ cos 0C cos iuf, j ,g lg.
=-50=71,, sin я?. I ;
Следовательно, коэффициенты податливости края безмоментной ¦
сферической оболочки равны ;;
J fl*c (я» J
После подстановки значений коэффициентов ап и р„ из E.8), ;
E.13), E.16) в E.3) получим для различных оболочек вращения ;
следующие выражения для Ркр' *
для цилиндрической оболочки i;
E.17)
для конической оболочки
(I) ?KftKsin38K
/V = 'п2—\
для сферической оболочки
пС„ (8С)
Критическую нагрузку для шпангоута с учетом упругости при-
прилегающих оболочек вращения определяем либо путем минимизации
по п, либо путем последовательного вычисления суммы р*к?-{-р$
при п=2, 3,... За расчетное значение критической нагрузки при-
принимаем минимальное значение этой суммы
Для сравнительной оценкн влияния упругости оболочек на кри-
критические нагрузки проведем расчет на устойчивость шпангоута,
подкрепляющего узел сопряжения оболочек вращения, прн /гк = яс =
= й, R=r, 6с=(л/2)—9„, /=r, Xi—xQ=tfcosQK, EK=EC = E1 = E2 = E,
IR~*=2-IO-5; r//i = 200 н различных условиях на торцах оболочек
(рис. 5,3).
Результаты расчета приведены в табл. 5.1. Здесь в первой стро-
строке приведены относительные значения критических нагрузок
а во второй — соответствующие им значения числа волн п.
186

Таблица 5.1
Цилиндрическая
Изолиро-
Изолированное
кольцо
1,0
2
J
'5°
8
?7
оболочка
о
2,0
2
8
13,5
5
Усеченная коническая оболочка
6К=5°
8
t
1355
8к=10°
о
t
31,8
7
О
33,3
7
1
35,0
' 7
в,
о
t
84
11
,=30°
'I
88
11
8-
90
11
Сферическая
оболочка
11
25
7
И
55
8
ft
135
11
Ро
Анализ расчетных данных позволяет сделать, в частности, та-
такие выводы.
Жесткость прилегающих к шпангоуту оболочек вращения зна-
значительно повышает величину
критической напрузки шпан-
шпангоута (наибольшее влияние
оказывают сферическая и ко-
коническая оболочки). Радиаль-
Радиальная жесткость края цилиндри-
цилиндрической оболочки при меосесим-
метричной деформации суще-
существенно зависит от длины обо-
оболочки и условий иа вторам ее
крае (от (величины изгибиой
жесткости торцевого шпангоу-
шпангоута). Величина радиальной
жесткости конической оболоч-
оболочки с большей конусностью р 53
(9к>я/18) слабо зависит от ис. . .
условий на втором крае и имеет тот же порядок, что и жесткость
сферического сегмента, «пйсаиного в данный конус 6С= (я/2) —8К.
Радиальная жесткость конической оболочки, с малой конусностью
Fк<я/18) имеет тот же порядок, что и жесткость эквивалентной
цилиндрической оболочки (той же длины и при тех же граничных
условиях). '
5.2. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ,
НАГРУЖЕННОЙ РАВНОМЕРНЫМ ВНЕШНИМ ДАВЛЕНИЕМ
НА ЧАСТИ ЕЕ ДЛИНЫ
Рассмотрим цилиндрическую оболочку, нагруженную внешним
равномерным давлением р на некотором участке ее длины а. На-
Нагруженный участок оболочки отстоит от ее краев на расстояниях
U и h (рис. 5.4). Для определения величины давления р, при кото-
котором возможна потеря устойчивости оболочки, частично нагружен-
нагруженной по длине, воспользуемся результатами, полученными выше.
Рассматриваем нагруженную часть оболочки длиною я как
шпангоут радиуса R=r н с моментом инерции поперечного сечения
7*
187

/ __
«A3
12A
В
сопряженный с двумя цилиндрическими обо-
дочками. В этом случае погонную критическую нагрузку на выде-
выделенную часть оболочки можно представить в виде
{ра)
-D
.21)
12A —i^) V r j ' л(Я2_1)
где pi1'. Й2) — коэффициенты жесткости цилиндрических оболо-
оболочек, примыкающих соответственно слева и справа к нагруженному
участку оболочки длиной а.
Коэффициенты податливости рл'' на основании формулы E.9)
запишем как произведение коэффициента жесткости бесконечно
р _^
±Щ
Рис. 5.4.
длинной оболочки и некоторой функции, зависящей от граничных
условий на втором крае оболочки
ГПЛ
л Ы,
E.22)
где ai = liXr~1; U — расстояния нагруженного участка от торцов.
Функция ч](<и) для защемленного, свободно опертого и свобод-
свободного края оболочки соответственно имеет следующие выражения:
sh2tf + sin2ot p 2(sh2a + cos2 a) # sh2 a' + sin2 a .g „qn
2(sh2a—sin2a)' sh2a'—sin2a' ' 2(sh2<x+cos2a) '
Для оболочки, имеющей на краю шпангоут с конечной изгибной
жесткостью в своей плоскости Е010, имеем
Yu/52(«/)
+ Yl.l/l <ai)
E.24)
где
JL v
4 у E2EV Yfi/rlir-
Критическое внешнее давление для частично нагруженной обо-
оболочки окончательно запишем в виде
.h K ,
E.25)
188

Таким образом, критическое давление для локально нагруженной
оболочки представляется в виде суммы двух слагаемых, из которых
первое выражает критическую нагрузку для кольца единичной ши-
ширины, вырезанного из оболочки посредине нагруженного участка, а
второе слагаемое учитывает жесткость прилегающих к нему обо-
оболочек, причем оно тем больше, чем меньше участок нагружения а.
Для оболочки, нагруженной равномерным давлением на сред-
среднем участке а, равноудаленном от торцов оболочки {k = l2), полу-
получим
-T|(a,). E.26)
"K1J 12A-
Так как
a1 = (l/4)[3(l— №)] 4 У ЕгЕГ1 V'h/rlr^n /л2- 1
и для оболочек средней длины при л2^>1, пУ п2
«2=4a, [3 A -7
то формула E.26) имеет вид
Ар= 1/2 [aj + т| (at) ?a~4 />2р=ш (a:) p°Kp. E.27)
Здесь
pi = 2 [3 A - f*,^)]" 1^?\Й (A/rJ rZ-i -
— критическое давление для оболочки средней длины, равномерно
загруженной внешним давлением при шарнирном опирании торцов.
Здесь формула идентична известной формуле П. Ф. Папковича [66]
и незначительно отличается от нее коэффициентом, который в ука-
_ 3
занной формуле равен п 1/6/9A—[*2)~4. При ц=0,3 этот коэф-
коэффициент равен 0,92; в нашем случае он равен 0,94.
Коэффициент
можно рассматривать как коэффициент повышения критического
давления при локальном действии радиальной нагрузки по сравне-
сравнению с критическим давлением при равномерном нагружении по
всей поверхности оболочки. Минимальная величина критического
давления при локальном нагружении определяется при минимиза-
минимизации этого коэффициента.
С помощью E.23) находим, что при Larl>\,b минимум ю.(<ц)
приближенно получается для защемленных краев оболочки при
ai = 2, а для шарнирно опертых при ai=l. Следовательно, форму-
формулу E.27) можно представить в простой форме:
189

для шарнирно опертых краев оболочки
pKP=\/2p°Kp(\+La-^ E.28)
для защемленных краев оболочки
pKP=P°Kp(l + V2La-*). E.29)
При l,5>La-'>l критическое давление достигает минимума для
защемленных и шарнирно опертых краев соответственно при а\ =
= 1,6 и «i= 1,1» а для a^L при шарнирном опирании краев pKV—
=р°р и ркр=1,5р°р при жестком защемлении краев.
Из формулы E.27) можно получить предельным переходом вы-
выражение для критической погонной нагрузки, действующей вдоль
окружности оболочки (a-vO)
Ар=[3 A - [^"J^ji h (А/гO л Vtf^Tn (a,). E.30)
Для бесконечно длинной оболочки (L-*-oo, п=2) критическую по-
погонную нагрузку получим равной
ркр= 1/2 [3 A -№)]"У/?1^А (А/гO E. 31)
Если афО, то для бесконечно длинной оболочки из E.27) при
п=2 и r\ (cii) = 1 следует, что
E.32)
При агЦу
Дф «(/3/4) р%1д-*=0,41 ^?,?1 (h/rfra-1, E.33)
т. е. для длинной оболочки, нагруженной внешним давлением на
участке а, критическое давление в два с лишним раза меньше, чем
для шарнирно опертой и равномерно нагруженной оболочки дли-
длиной а.
При несимметричном расположении участка нагружения отно-
относительно торцов оболочки выражение для критического давления
при произвольных граничных условиях и при п23>1 формула E.25)
может быть представлена в виде
й,=A/4) A <Ur-i +Ler' [ч (а,) + ч (nj]>, E.34)
где щ=(,,+±
Индекс «1» относится к левому торцу оболочки, а индекс «2» — к
правому.
В том случае .когда нагрузка действует на участке, примыкаю-
примыкающем к одному из торцов (/i=0; 12=L—а), формула E.34) при оди-
одинаковых граничных условиях на краях принимает вид
/>KP=Y^{ai+1/2h(ai)~H \^f^a^La-\ E.35)
190

Если a<.L, то т] (ai) > Ti BLa a
поэтому при минимизации суммы, стоящей в квадратных скобках,
можно считать, что
Тогда E.35) представим в виде
Ар= 1/2/4@, +1/2[1 +т| (a,)]}la-i. E.36)
Если а«?, то из E.35) следует, что
А„= 1/2А К + Л (а,)] ^а-1. E, 37)
Для защемленной по краям оболочки минимум рщ, достигается
при ai=l, 2,... 1,6 и
5%a-* при a«I; E^
1 при a^Z..
Если края оболочки шарнирно оперты, то минимум рщ, получа-
получается при ai=l ... 1,1 и
pKf=p°KpLa-K E.39)
Отсюда следует, что если оболочка нагружена давлением вбли-
вблизи одного из опертых или защемленных краев, то критическое дав-
давление для такой оболочки равно критическому давлению оболочки
длиной а при равномерном внешнем нагружении. Для консольной
цилиндрической оболочки, нагруженной давлением, действующим
на участке а, который расположен на расстоянии d от свободного
края, критическое давление представляется в виде E.34), где
¦л (а ) = sh2ct» + sin2a:» .
Ц " 2(sh2cA-sin2a1)'
, ^ _Sh2a^+_sin2_O2_
[ ' 2(ch2 a2 + cos2 a2) '
Минимум рКр получается при ai = 2; аг=2й{Ь—d)~l
При
°(^) E.42)
Для случая, когда участок нагружения примыкает к защемлен-
защемленному краю консольной оболочки (d=L—а), формула E.41) при-
принимает вид
/7кр=A/2/?кр{1 + 1/2[1+*1(а2)]}/'а~1, E.43)
где aj=2(Z,— а)а~1.
При a^Z,(rf-»0) ftp=C/4)/4. E.44)
1О1

Если в формуле E.43) не учитывать влияние жесткости ненагру-
женного участка оболочки, т. е. положить т)(а2)=0, то критическое
давление определяется как для консольной оболочки длиной L—d.
Приведем результаты экспериментального исследования устойчи-
устойчивости цилиндрических оболочек при локальном нагружении внеш-
внешним давлением и сравнение расчетных и экспериментальных дан-
данных.
Экспериментальные исследования несущей способности цилинд-
цилиндрической оболочки при нагружении равномерным внешним давле-
давлением на некотором участке ее длины проводились на специальной
установке, состоящей из набора цилиндрических кожухов, комби-
комбинации которых позволяли проводить нагружение оболочки внешним
давлением в виде пояса различной ширины и на любом участке ее
длины. Испытания проводились на оболочках длиной L=320 мм и
диаметром 2/-= 148 мм, изготовленных из листовой стали толщиной
/i=0,4 мм. Всего было изготовлено и испытано 120 оболочек двух
типов: 42 оболочки с двумя торцевыми шпангоутами и 78 консоль-
консольных оболочек (с одним торцевым шпангоутом). Нагружение осуще-
осуществлялось сжатым воздухом от сети высокого давления. Резуль-
Результаты испытаний для различных схем нагружения представлены на
рис. 5.5—5.10.
На оболочках с двумя торцевыми шпангоутами испытания на
локальное внешнее давление проводились для двух случаев нагру-
нагружения: нагружение на участке, равноудаленном от торцевых шпан-
шпангоутов (см. рис. 5.5), и нагружение на участке, примыкающем к од-
одному из торцевых шпангоутов (см. рис. 5.6). При этих испытаниях
относительная длина участка нагружения aL~l выбиралась равной
0,1; 0,2; 0,3; 0,5.
Консольные оболочки испытывались по следующим трем схе-
схемам:
а) нагружение со стороны свободного края на участках aL~l,
равных 0,1; 0,2; 0,3; 0,5 (см. рис. 5.7);
б) нагружение на участках, непосредственно примыкающих к
торцевому шпангоуту и равных 0,lL; 0,5L (см. рис. 5.8);
в) нагружение на участке, удаленном на некотором расстоянии
d от свободного края; при этом протяженность нагруженного участ-
участка а составляла 0.1L (см. рис. 5.9) и 0,2L (см. рис. 5.10), а величи-
величина aL~l соответственно равнялась 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 и 0,1; 0,2; 0,4; 0,6.
Кроме того, оболочки обоих типов испытывались на равномер-
равномерное внешнее давление, действующее по всей длине оболочки.
На рис. 5.5—5.10 введены условные обозначения: О — величина
критического давления, зафиксированная при испытаниях один раз;
• ¦— два, Л — три, ? — четыре раза.
При испытаниях оболочек потеря устойчивости сопровождалась
хлопками с образованием вмятин.
Для оболочек с двумя торцевыми шпангоутами вмятины появ-
появлялись не только на нагруженном участке, но и захватывали часть
ненагруженного, причем зона распространения вмятин при потере
192

Ркр'Ю*.
1
л
\\
6(^6N(^N^6) 5D
¦— ¦ —
¦ 1—
j
5A*5)
ол
Рис. 5.5.
0,8 аС
10A2) 9(9) 7G) 6F) 5E)п
Ркр
2,0
Х5
1,0
0,5
1
о
г
г
Ркр
6
5
А
3
2
1
¦105,Н/м
8
0
\
\
\
0,8 аГ
ОЛ
0,8 а С
Рис. 5.7.
Рис. 5.8.
Ркр-10s, Н/м
—\—
ОЛ
Рис. 5.9.
/-/
2,5
2,0
1,5
<
/
0
У
/о
о
Рис
<
(
5.Ю.
•/
у
У
ас*
193

устойчивости в ненагруженную часть оболочки увеличивалась с рос-
ростом длины участка нагружения.
При испытаниях консольных оболочек распространение вмятин
в ненагруженную зону, примыкающую к торцевому шпангоуту,
происходило в меньшей степени, чем для оболочек с двумя шпанго-
шпангоутами. Однако при нагружении со стороны свободного края неболь-
небольших длин ненагруженного участка @.2L—0.3L) при потере устой-
устойчивости вмятины захватывали всю оболочку. Следует отметить, что
при испытаниях консольных оболочек в момент, непосредственно
предшествовавший потере устойчивости, наблюдалась значитель-
значительная деформация контура свободного края.
Для сравнительной оценки полученных теоретических зависимо-
зависимостей с результатами проведенных экспериментов были вычислены
по полученным расчетным формулам величины критических давле-
давлений для всех вариантов нагружения испытанных оболочек. Расче-
Расчеты проведены для среднего значения толщины /г = 0,38 мм, найден-
найденной по данным замеров всех оболочек, при следующих значениях
механических характеристик, определенных на образцах для дан-
данной партии материала ?=1,94-10" Н/м2, ар=890-106 Н/м2.
Результаты расчетов даны в виде графиков на рис. 5.5—5.10.
Сплошные линии на рис. 5.5, 5.6 соответствуют шарнирному опира-
нию краев оболочки, а пунктирные — защемленным краям. На рис.
5.9, 5.10 сплошные линии обозначают критические давления, опре-
определенные с учетом жесткости ненагруженного участка. На рис. 5.5,
5.6 выше оси абсцисс для различных вариантов нагружения ука-
указано количество волн (в окружном направлении) п, зафиксирован-
зафиксированное при испытаниях, а в скобках приведено количество волн, под-
подсчитанное по полученным формулам. Из сопоставления их видно,
что количество вмятин (волн), зафиксированных при испытаниях в
случае, когда нагрузка действует у одного из краев, хорошо согла-
согласуется с расчетными данными, полученными для случая шарнирно-
шарнирного опирания краев.
Если нагрузка действует на среднем участке, то из расчетных за-
зависимостей вытекает, что количество волн п слабо зависит от вели-
величины участка нагружения и для рассматриваемых оболочек нахо-
находится в пределах 4—6 в зависимости от граничных условий. Необ-
Необходимо отметить, что и по результатам проведенных испытаний
число волн изменялось в очень узких пределах: 5—6 при изменении
а в широком диапазоне @,1 — \)L.
Из полученных экспериментальных данных видно, что разброс
результатов испытаний для зон нагружения, больших 0.2L, весьма
незначителен. Наибольший разброс получается при a=0,lL. Оче-
чевидно, в этом случае моментное состояние оболочки, предшеству-
предшествующее потере устойчивости, сказывается сильнее. Этим, по-видимо-
по-видимому, объясняется тот факт, что при малых значениях длины загру-
загруженного участка (a=0,lL) расчетная кривая резко уходит вверх,
а экспериментальные точки лежат ниже этой кривой.
На основании теоретических и экспериментальных исследова-
исследований и анализа их результатов можно сделать такие выводы.
194

Критическое внешнее давление для частично нагруженной обо-
оболочки выше, чем для полностью загруженной оболочки, и величина
коэффициента повышения не зависит от геометрических парамет-
параметров оболочки и определяется величиной отношения длины загру-
загруженного участка ко всей длине оболочки, местом расположения заг-
загруженного участка и характером граничных условий. Чем меньше
участок нагружения и чем ближе он располагается к торцевому
шпангоуту оболочки, тем выше критическое давление.
Эффект резкого повышения критического давления для частич-
частично нагруженной оболочки наблюдается в том случае, когда участок
нагружения меньше половины длины оболочки. Если же длина наг-
нагруженного участка больше половины длины оболочки, то с неболь-
небольшой погрешностью можно определять критическое давление по
формулам для полностью загруженной оболочки.
При расчете на устойчивость консольных оболочек, нагружен-
нагруженных на некотором расстоянии от свободного края, жесткость сво-
свободного от нагрузки участка оболочки можно не учитывать, если
его длина мала по сравнению с длиной нагруженного участка.
Полученные приближенные расчетные формулы дают результа-
результаты, удовлетворительно согласующиеся с результатами проведенных
экспериментальных исследований.
5.3. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ,
ВХОДЯЩЕЙ В СИСТЕМУ ТОНКОСТЕННОЙ КОНСТРУКЦИИ,
ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ЛОКАЛЬНОМ (ПОЯСОВОМ) НАГРУЖЕН И И
Рассмотрим оболочечную конструкцию, в состав которой входит
цилиндрическая оболочка, подкрепленная рядом круговых колец с
диафрагмами (днищами), имеющая внутри упругую среду и испы-
испытывающая равномерное внутреннее давление (рис. 5.11).
При действии локальной радиальной нагрузки, равномерно рас-
распределенной по всему периметру оболочки и приложенной к сило-
силовому шпангоуту (или на части цилиндрической оболочки длиной а),
возникает задача об устойчивости круговой формы конструкции в
месте приложения внешней поясовой нагрузки.
Устойчивость оболочки и всей конструкции в целом оцениваем
устойчивостью нагруженного шпангоута (или части оболочки дли-
195

ной а) с эквивалентной изгибной жесткостью в его плоскости Е01*
(см. разд. 4.1), лежащего на упругом основании, которым служит
прилегающая к нему цилиндрическая оболочка с эквивалентной
кольцевой жесткостью Е2* (с учетом жесткости упругой среды и
действия внутреннего давления). За расчетную схему конструкции
принимаем подкрепленную цилиндрическую оболочку нерегуляр-
нерегулярной структуры при действии ряда поясовых радиальных нагрузок.
Подставим в уравнение устойчивости кругового кольца E.1) ра-
радиальные перемещения нагруженного i-ro шпангоута оболочки и ре-
реактивные усилия со стороны прилегающих (i—1)-го и i-го отсеков
оболочки
wt = -wn,icosп% р{у)=0\ t(tp) = ES,/_i + 5«,/)sin«(p, E.45)
где 5Я|/_1, Snii — касательные усилия на краях отсеков оболочки,
прилегающих к i-му шпангоуту; они выражаются через радиальные
перемещения соседних шпангоутов
.,)]; E.46)
В результате получим соотношения, связывающие перемещение
i-ro шпангоута, находящегося под действием равномерной радиаль-
радиальной сжимающей нагрузки po,i, с перемещениями соседних (i—1)-го
и (i+1)-го шпангоутов
— Y/.i/б («/) «'«.1+1 = 0. E.47)
где Еы, /,-* — эквивалентная изгибная жесткость t-ro шпангоута,
-1J Eotl]
Составляя уравнения типа E.47) для каждого шпангоута оболо-
чечной конструкции (/=1, 2,...,т), получим систему алгебраиче-
алгебраических линейных уравнений для определения коэффициентов Фурье
радиальных перемещений шпангоутов конструкции
|l + Yi,i/(ai) ?'' ' U/,.i-Yi.i/s(«i)«'fl,2=0.
-Y2.1/5 (oi)we,i+ l +Y2.1/1 (ai) + Y2l2/i (a2) - ,?'2„2 wm2 -
E.48)
196

мЛ?
У "
X
Из условия равенства нулю определителя системы E.48) вычис-
вычисляем величину критической нагрузки на г-й шпангоут
E.49)
где
+yi-i,/
+ i*;.,
4+1,2
V + 1
.+ А,
/s(a)=
sin2 a -r sin 2rt
—— H -
sh ach a + sin a cos a'
Здесь в выражениях А,ь -4;Bучитывается влияние жесткости при-
прилегающей оболочки и соседних шпангоутов, а также их нагружение
на величину радиальной критической нагрузки для /-го шпангоута.
/
\
1
f t t f f | f H
V
Mi
tf
a
2
¦
3
\ tic
T
Ро
Рис. 5.12.
Подставляя в E.49) п=2,3..., получим ряд значений po,i{n).
Наименьшее из них принимаем за величину критической нагрузки,
при которой возможна потеря устойчивости круговой формы обо-
оболочки.
197

Следует отметить, что из формулы E.49) как частные случаи
могут быть получены известные решения задач устойчивости глад-
гладких и подкрепленных цилиндрических оболочек.
В качестве примера проведем расчет цилиндрической оболочки
со сферическими диафрагмами по торцам, испытывающей действие
внешней радиальной нагрузки, распределенной равномерно по кон-
контуру и на участке длиной а, отстоящем на расстояниях 1\, /г от
торцов. Внутри оболочки действует давление q и находится упругая
среда с коэффициентом податливости с (рис. 5.12).
Формула E.49) для данной конструкции и данной схемы нагру-
жения принимает вид
* V(l+4+W+xJ> E-50)
12A-
где
12A — p?)q( г \3 s 12A —|J-2)cr Z1 г \3
— ?(Л2-1) UJ; ^ ?(«2-1J {-Jj ;
1 + Y3.2/1
=-1-[3A-1
1— 1
n cos6cJ
1 "qi< cos I
2
0 0,5 1,0 Щ/Е)-106
Рис. 5.13.
A+Мл(л»-1)С„(ве)
В расчетах принимались следующие
значения параметров конструкции:
г/А=270; а =-0,65 г; /г~4= 1,4-10~4;
ес=я/4; ЛС=1,8Л; /i=3,5r; /2=2,lr;
материалы шпангоутов и оболочек оди-
одинаковы.
Результаты расчета приведены на
рис. 5.13, где показано влияние на зна-
значение критической нагрузки величины
внутреннего давления q (кривая / )и
жесткости упругой среды с (кривая 2).
Полученные расчетные зависимости
позволяют достаточно просто прово-
проводить проверку на устойчивость цилинд-
цилиндрической конструкции при сложном по-
поперечном локальном (поясовом) нагру-
жении.

ГЛАВА 6
УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
ПРИ НЕОДНОРОДНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
6.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ. МЕТОД РЕШЕНИЯ
В данной главе рассмотрены некоторые вопросы устойчивости
оболочечных систем при неоднородных напряженных состояниях,
вызванных локальными нагрузками и контактными взаимодействи-
взаимодействиями.
Анализ поведения тонкостенных оболочечных систем, находя-
находящихся при указанном нагружении, в том числе анализ многочис-
многочисленных экспериментальных данных, показывает, что исчерпание не-
несущей способности может произойти вследствие локальной потери
устойчивости. Это относится, в частности, к конструктивным эле-
элементам в виде сферических сегментов. Такие элементы часто исполь-
используются для придания жесткости конструкциям, состоящим из ци-
цилиндрических или конических оболочек, в местах действия больших
локальных нагрузок (круговые опорные основания — ложементы,
бандажи, накладки и др.). Нагружение сферических сегментов про-
происходит при этом в опорной плоскости. Если соображения нормаль-
нормального функционирования системы не накладывают на сферические
диафрагмы требований сплошности, последние могут иметь отвер-
отверстия, существенно снижающие их массу и также приводящие к не-
неоднородности исходного напряженного состояния.
Исследование локальной устойчивости оболочек при неоднород-
неоднородных состояниях представляет особый интерес. Такие состояния мо-
могут возникнуть не только вследствие действия локальных нагрузок.
Для реальных конструкций неоднородные напряженно-деформиро-
напряженно-деформированные состояния (даже в случае расчетной схемы однородного
нагружения) возникают вследствие неизбежных начальных несо-
несовершенств формы, отклонения граничных условий от идеальных,
неравномерности приложения нагрузки, что приводит к необходи-
необходимости учета краевых эффектов, моментности состояния и т. д.
«Расчет реальных конструкций требует изучения несущей спо-
способности оболочек, находящихся под действием локальных нагру-
нагрузок, имеющих существенные начальные несовершенства и вообще
оболочек, которые с самого начала находятся в моментном напря-
напряженном состоянии» [9].
Основные результаты по устойчивости оболочек при существен-
существенно неоднородных напряженных состояниях получены для цилиндри-_
ческих оболочек [14].
В литературе имеются ссылки на некоторые исследования за-
задач устойчивости сферических оболочек при неоднородных напря-
напряженных состояниях. Один из приближенных приемов связан с опре-
199

делением напряженно-деформированного состояния и последующим
сравнением максимальных напряжений с критическими напряже-
напряжениями потери устойчивости при равномерном нагружении. В работе
[1] для подсчета таких напряжений принимается полуэмпириче-
полуэмпирическая формула ei:—Q,2Efi/R.
Недостаточность подобных подходов, дающих заниженные зна-
значения критических усилий, очевидна.
В G0] отмечено, что при исследовании устойчивости сфе-
сферического сегмента под действием радиальных сосредоточенных
сил, приложенных к подкрепляющему шпангоуту, применен метод
конечных разностей.
Отметим, что математические трудности решения задач устойчи-
устойчивости оболочек при неоднородных состояниях делают наиболее
целесообразным применение численных методов, в частности, ко-
конечно-разностного метода, метода конечных элементов или метода
локальных вариаций.
В данной главе приведены результаты теоретического и экспе-
экспериментального исследования устойчивости оболочечной конструк-
конструкции, основным несущим элементом которой является сферический
сегмент, при локальных нагрузках и контактных взаимодействиях.
Теоретические исследования основаны на применении модифи-
модифицированного метода локальных вариаций — численного метода ре-
решения вариационных задач. Сущность метода, его особенности в
применении к указанным задачам описаны ниже.
Эксперименты проведены на специально разработанной установ-
установке. Испытывались кольца, сплошные сегменты и сегменты с круго-
круговыми отверстиями. Исследованы некоторые вопросы динамической
устойчивости цилиндрической оболочки при импульсном локаль-
локальном нагружении подкрепляющего кольца.
Метод локальных вариаций ядляется одним из эффективных чис-
численных методов решения вариационных задач. Систематическое
изложение метода, вопросы теории и характеристика некоторых
решенных задач содержится в [77]. Метод локальных вариаций
(МЛВ) — один из вариантов методов вариаций в фазовом прост-
пространстве, развитых в работах Н. Н. Моисеева и др. [56], в которых
в основу положена вариация фазовых компонент траектории.
Характерной особенностью этих методов является простота уче-
учета различных ограничений в фазовом пространстве. В отличие от
других данные методы (если они реализуются) дают не локальный,
определяемый выбором начального приближения, а глобальный
минимум. Однако это преимущество носит формальный характер,
как показано в [72, 77], из-за большого объема вычислений . При
решении многочисленных вариационных задач используются упро-
упрощенные варианты методов: метод локальных вариаций и метод
трубки. МЛВ позволяет отыскать локальные минимумы функцио-
функционалов.
В задачах устойчивости сферической оболочки при существен-
существенно неоднородных напряженных состояниях решение основано на
200

минимизации функционала энергии. При этом реализуется некото-
некоторая модификация МЛВ.
Пусть задана непрерывная функция
F=F(xux2,...).
Производится дискретизация: каждому аргументу Хг присваиваются
все допустимые для него значения в виде массива g(gn, gi2---gic),
состоящего нз с{ чисел, упорядоченных в смысле порядка их воз-
возрастания. Требуется определить допустимую комбинацию значений
аргументов, функция F для которых минимальна. Для алгоритма
применена двумерная дискретизация по сферическим координатам.
Массив допустимых для g{ значений ограничен
<?(. FЛ)
Процесс поиска состоит из проводимых один за другим просчетов,
каждый со своим множеством шагов (Аь h2,..., Ы,..., hn)-. При
первом просчете центр обыска находится в середине сетки дискре-
дискретизации. Вычисляется F в окрестности центра в точках (zi + kih^,
Z2 + k2h2;.. .Zi + kihu ... zn + knhn) сетки, находящихся в ограничен-
ограниченной эллипсоидом области
&+?+...+tf+...kl<M. F.2)
Здесь ki (компоненты вектора К) — целые числа, положитель-
положительный параметр М задает тщательность поиска.
Если обнаруживается точка, где функция меньше, чем в рас-
рассматриваемом центре, центр обыска сдвигается и исследуется ок-
окрестность этой точки. Уменьшение времени счета может быть дос-
достигнуто путем предварительного выбора направления шага варьи-
варьирования. (Об этом будет более подробно сказано ниже).
Выбор МЛВ для решения поставленной задачи не случаен. Со-
Сопоставляя данный метод с другими численными методами, следует
отметить его строгую физическую наглядность и минимальные тре-
требования к объему памяти используемых ЭВМ.
В памяти ЭВМ помимо программы хранится только очередное
приближение для каждой точки сетки, используемое на этом этапе
(значения предыдущих приближений хранить не обязательно). Та-
Таким образом, в памяти ЭВМ находится некоторый массив чисел,
который непрерывно улучшается.
Метод МЛВ имеет преимущества по сравнению с другими чис-
численными методами [72]. Отметим некоторые из них. С точки зрения
потребностей памяти ЭВМ МЛВ оказывается примерно вдвое эко-
экономичнее градиентного, хотя уступает градиентным методам в ско-
скорости счета. Методы динамического программирования уступают
МЛВ как по числу операций при счете, так и по объему хранимой
информации. Метод Ньютона, успешно используемый при удачно
выбранных начальных приближениях, для задач устойчивости с су-
существенно неоднородным докритнческнм напряженно-деформиро-
напряженно-деформированным состоянием недостаточно эффективен. Широко использу-
используемый метод конечных разностей становится неэффективным прн
201

.остаточно малом шаге при дискретизации рассматриваемых тон-
остенных систем. Получаемая после дискретизации система алге-
раических уравнений имеет большую размерность. Решение таких
истем может проводиться на ЭВМ с большим объемом памяти.
Отметим, что решения, основанные на МЛВ, дают возможность
ассмотреть различные случаи нагружения и граничные условия, а
акже сложные модельные ситуации реальных конструкций (под-
репленные оболочки, оболочки переменной жесткости, оболочки с
'Тверстиями произвольной формы и т. д.).
Следует специально отметить, что большую эффективность при
ешении задач устойчивости при неоднородных состояниях может
.ать получивший распространение в последнее время метод конеч-
ых элементов [34, 64]. Этот вопрос требует специальных исследо-
аний.
6.2. УСТОЙЧИВОСТЬ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
ПРИ СУЩЕСТВЕННО НЕОДНОРОДНОМ НАПРЯЖЕННОМ
состоянии
Рассматриваем сферический сегмент, подкрепленный шпангоу-
ом, к которому приложена произвольная нагрузка. Общее решение
;ля сферической оболочки, нагруженной краевой нагрузкой, может
>ыть получено путем наложения двух решений: безмоментного ре-
1ения и краевого эффекта. Основные соотношения для оболочки и
ругового кольца и условия их сопряжения рассмотрены в гл. 1,
>азд. 1.3. Уравнение в векторной форме, связывающее пере-
гещения оси шпангоута и усилия, действующие на шпангоут с уче-
ом реактивных усилий со етороны оболочки, имеет вид
! = /&. F.3)
Усилия со стороны оболочки имеют вид (v=siriY, [i=cosy;
— угол между осью оболочки и касательной к ее поверхности)
p=-Qv-7>; x = S; q^Ty-Qp; щ=М. F.4)
Условия совместности деформации шпангоута и сферического
:егмента (обозначены индексом °)
ze;°=— (w\-\-up); v°~v; u°—uv — w\>.; Ь°=Ь. F.5)
выражения для перемещений сферической оболочки приведены в
л. 1. Векторное уравнение F.3) с учетом граничных условий дает
истему уравнений для определения четырех произвольных посто-
[нных, входящих в соотношения для оболочки, через которые оп-
1еделяются все компоненты напряженно-деформированного состоя-
[ия сферического сегмента. Несложно могут быть получены соот-
1етствующие соотношения для сферического сегмента с централь-
[ым отверстием. В этом случае число постоянных (соответственно
шсло уравнений) увеличивается до восьми.
Рассмотрим вопрос об устойчивости сферического сегмента. При
;остижении нагрузкой некоторого критического значения наряду с
02

состоянием, описанным в соответствии с приведенными выше сооб-
соображениями, становятся возможными бесконечно близкие к исход-
исходной форме равновесия. При этом возникает добавочное деформи-
деформированное состояние. Добавочные удлинения, сдвиг, изменения кри-
кривизны запишем в виде
*i = и,а °')
a2=(v,9 -\-uB,a)
2e12=Bv,a+м,р — vB,a
B=r sin ft; A., = Ara = r-». F.6)
Им соответствуют дополнительные усилия и моменты
7-12=/f(l-|i)e12; ^^DCxj + pxj); F.7)
В состоянии безразличного равновесия наряду с известными об-
общими уравнениями равновесия должны удовлетворяться и доба-
добавочные уравнения
Уравнения F.7) эквивалентны вариационному уравнению
ЬЭ = 8 f {rlze;,!-
0, F.9)
где
В уравнениях F.6) — F.8) ц — коэффициент Пуассона; запятая
означает частное дифференцирование по соответствующей коорди-
координате. Индекс «1» означает, что данная величина характеризует
докритическое напряженное состояние; индекс «О» соответствует
начальному деформированному состоянию, связанному с наличи-
наличием начального прогиба до0. Интегрирование проводится по всей по-
поверхности сферического сегмента а.
При решении задачи устойчивости при существенно неоднород-
неоднородном состоянии применяется МЛВ. Соответствующие схемы расчета
основаны на определении полей перемещений и, v, до, доставляю-
доставляющих экстремальное значение функционалу -9. Интеграл заменяется
203

приближенной суммой по ячейкам, принадлежащим о. При числен-
численной реализации метода важное значение имеет выбор начального
приближения (задание формы и расположения вмятины). Район
расположения вмятин соответствует зоне максимальных сжимаю-
сжимающих напряжений. При решении данного вопроса в сложных случаях
нагружения целесообразно привлекать экспериментальные данные.
Задачи устойчивости сферических оболочек
при действии локальных нагрузок
Рассмотрим характерные задачи устойчивости сферического сег-
сегмента, подкрепленного шпангоутом при действии локальных нагру-
нагрузок, приложенных к шпангоуту. Здесь рассмотрены две задачи:
1) нагружение двумя радиальными силами Р, приложенными на
площадках 2^?фо (сжимающими или растягивающими); 2) нагруже-
нагружение симметричным ложементом конечной жесткости (рис. 6.1). При
описании докритического напряженно-деформированного состоя-
состояния применены общие соотношения теории оболочек, при этом счи-
считается, что напряженно-деформированное состояние состоит из сум-
суммы безмоментного и моментного. Решение контактной задачи соп-
сопряжения используется при построении функционала энергии обо-
оболочки Э. Разложение внешней нагрузки, приложенной к шпангоу-
шпангоуту, имеет вид
о
/(?J ^Рсп cos лср+л«sin лср)-
о
В случае «1»
_ 2Р sin /гу0 . ..__ Pfa . „ — От- п —п —П
Реп— г, . ' РсО— г, . ' '* — ~'"> PsO— Psn —u>
nR n sin 9q nR sin <p0
В случае «2» pcn, wci определяются при решении соответствующих
контактных задач (см. гл. 2). Для первой задачи — в случае дейст-
действия растягивающих сил потеря устойчивости происходит от дейст-
действия сжимающих напряжений в кольцевом направлении, для второй
задачи р(ф) определяется при решении задач о контактном взаимо-
взаимодействии оболочек и ложементов (см. гл. 2). При- этом возможны
две постановки задачи: определение критического значения внеш-
внешней силы, приложенной к ложементу при заданных параметрах
оболочки, шпангоута и ложемента, или критической жесткости ос-
основания при фиксированной внешней нагрузке.
Применение МЛВ в рассматриваемых задачах имеет ряд осо-
особенностей.
При минимизации функционала энергии проводится дискретиза-
дискретизация по криволинейным координатам О и <р.
Расстояние между двумя бесконечно близкими стыками на сфе-
сфере определяется следующим образом:
afS=(r2A&2 + /?2A<p2I/2. F. 10)
В результате дискретизации любая функция / и ее производные,
заданные на поверхности сферы, могут быть аппроксимированы в
узлах сетки выражениями
204

1 fij+l - f 1,1-1
2
г\Ъ
; =
: (
//-L/ + 1 + fl+l.j-1 — f i-\,j-\ + //+1.У+1
Рис. 6.2.
где Ri=r sin ¦& — радиус i-й параллели. Интеграл Э заменяется
суммой по ячейкам, принадлежащим области а
>„, F.12)
/=0 /-0
где 5tj — приближенное значение интеграла по ячейке с координа-
координатами вершин (<р„ &/); (<р(, &/_i); (<p/-i. *y-i); (Ъ-и */)•
Следует отметить, что в процессе расчета с применением описан-
описанной сетки в вершине сферы имеем особенность (Нш/?Д<р —> 0). Одна-
ко для рассматриваемых задач трудность соответствующего расче-
расчета устраняется, так как вмятины при потере устойчивости системы
локализуются вблизи стыка сегмента со шпангоутом, где сетка ре-
регулярна. Размеры сетки nAQ и /?*Д<р могут дробиться при уменьше-
уменьшении шагов варьирования h до выполнения условий тах(ГгДФ;
/?1-Дф)-*-0; ЛД-'-^О, Д=тт(гД'&, Л^Дф), что необходимо для сходи-
сходимости метода.
Нами применен модифицированный МЛВ, для которого в про-
процессе поиска экстремума меняется величина ячейки и направление
поиска заранее выбирается из определенных соображений. В осно-
основу такого выбора положены соображения, аналогичные приведен-
приведенным в работе [61].
Варьируемыми величинами при решении рассматриваемой зада-
задачи являются перемещения и, v, w. В функционал Э входят также
205

первые и вторые производные {и, v, w}^; {a, v, w}^; w,aa; w,^. За-
Задача сводится к определению узловых перемещений, удовлетворя-
удовлетворяющих краевым условиям сопряжения и доставляющих минимум
функционалу энергии.
В результате решения задачи определяется величина критиче-
критического усилия, а также форма локальной вмятины. Границы вмяти-
вмятины определялись из условия смены знака радиального перемеще-
перемещения. На рис. 6.2 показана полученная при расчете для параметров:
г=0,0935 м; #с=45°; 7=3,2-Ю-'1 м4 форма вмятины в случае дей-
действия на шпангоут двух растягивающих сил (в силу симметрии при-
приведена четверть сегмента). Здесь же приведена координатная сетка.
Программа расчета критических усилий реализована на
АЛГОЛ-60.
Укажем, что разработанные на основе МЛВ алгоритмы позволя-
позволяют рассмотреть задачи устойчивости сферических сегментов посто-
постоянной и переменной жесткости, с отверстиями произвольной формы,
подкрепленных при различных других случаях нагружения.
6.3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
СФЕРИЧЕСКИХ СЕГМЕНТОВ ПРИ ЛОКАЛЬНЫХ НАГРУЗКАХ
Постановка экспериментальных исследований по несущей способ-
способности оболочечных систем при локальных нагрузках связана со зна-
значительными техническими трудностями. Несмотря на актуальность
соответствующих задач, таких исследований проводится недостаточ-
недостаточно. В литературе описаны эксперименты по исследованию деформи-
деформированного состояния в системе оболочка — кольцо при локальных
нагрузках. Наиболее характерные способы осуществления нагрузки
на конструкцию в эксперименте даны в [16, 57, 71, 79, 87, 88] и др.
Исследования устойчивости оболочек, описанные в [57], осущес-
осуществлялись с помощью резиновых жгутов, пропускаемых через отвер-
отверстия сквозь оболочку и связанных через блоки с нагружающим уст-
устройством. При исследованиях, описанных в работе [71], нагружение
осуществлялось посредством гибких тросиков, передающих усилия
на заданные точки оболочек.
Ниже описаны результаты экспериментального исследования ус-
устойчивости сферических сегментов (сплошных и с вырезами) и изо-
изолированных колец при действии различных локальных нагрузок,
приложенных к подкрепляющему опорному кольцу в его плоскости.
Эксперименты проводились на специально разработанной установ-
установке для создания локальных нагрузок на оболочечные конструкции.
Она позволяет получать имитацию широкого класса сжимающих и
растягивающих нагрузок и дает возможность проводить испытания
по различным программам.
Установка состоит из установочного кольца со сверлениями, в
которые вводятся тяги, шарнирно связанные двухзвенными парал-
лелограммными механизмами через опорные шайбы с силовозбу-
дителем. Испытываемая конструкция закрепляется в установочном
206

кольце. Усилие, прикладываемое к торцевым шайбам, передается
посредством двухзвенных параллелограммных механизмов на тягн,
которые взаимодействуют с исследуемой конструкцией. Наличие ус-
установочного кольца, торцевых шайб и нескольких параллелограм-
параллелограммных механизмов позволяет применить в качестве силовозбудите-
лей стандартные испытательные ма-
машины типа УММ, МУП и др.
На рис. 6.3 показана установка с
испытанным сферическим сегментом.
К преимуществам и особеннос-
особенностям разработанной установки мож-
можно отнести: а) возможность осу-
осуществлять локальное, нагружение
тонкостенных конструкций различ-
различного вида (оболочки различного
класса, подкрепленные кольцами; их
различные комбинации; фермы и
т. д.; конструкции могут быть сим-
симметричны и несимметричны относи-
относительно плоскости приложения сил);
б) возможность осуществлять на-
нагружение растягивающими и сжи-
сжимающими нагрузками различного
вида и расположения; в) возмож-
возможность проводить испытания по раз-
различным программам: определение
и. д. с. с применением тензодатчиков;
определение разрушающих нагрузок
и критических усилий потери устойчивости; определение жесткости
оболочечных конструкций при локальных нагрузках.
На описанной установке проведен цикл экспериментальных ис-
исследований устойчивости сферических сегментов (сплошных и с
отверстиями) при локальных нагрузках, передаваемых через ложе-
ложементы с разными углами охвата, и прочности колец при локальных
нагрузках.
Испытания изолированных колец. Кольца вытачи-
вытачивались из трубы из материала АМг-бМ (наружный, внутренний диа-
диаметры и ширина равны соответственно 0,198; 0,182; 0,016 м). Заме-
Замеры радиальных перемещений проводились индикатором часового
типа (цена деления 10~5 м). Нагружение осуществлялось тремя и
четырьмя силами. Экспериментальные значения прогиба практиче-
практически совпадают с расчетными. Прогиб под силой при этом
{
Рис. 6.3.
(я —число сил).
207

Эксперименты показали, в частности, недостаточность испыта-
испытаний кольца на действие трех сил по схеме «1» на рис. 6.4. На рис.
6.4 показаны зависимости w0 от Р. Кривая / получена при испыта-
испытании по схеме «1», кривая 2 — при испытании на установке по схеме
«2». Нелинейность участка / объясняется наложением перемещения
кольца как жесткого целого, нелинейность участков III, V— влия-
влиянием физической нелинейности материала. Форма разрушения коль-
кольца после нагружения двумя силами показана на рис. 6.5.
1
1
-м-
—г
а
.Л—
2
\
—-г
i
1
Ms
У1
Рис. 6.4.
Рис. 6.5.
Испытания сплошных сферических сегментов.
Сферические сегменты изготавливались из листового материала
АМг-бМ и АД-1 методом холодной штамповки и методом взрывной
штамповки на машине «Удар-12». Проводился отбор оболочек по ре-
результатам обмера. При этом максимальные отклонения при обме-
обмере сегментов составляют: по толщине 6i= ±0,(Ш, от сферической
формы 62= ± 0,002г. Обмер осуществлялся с помощью специаль-
специальных устройств; типичная методика обмера описана, например в ра-
работе [90]. Готовые сферические сегменты стыковались с опорными
кольцами из АМг-бМ при помощи синтетического клея на основе
эпоксидной смолы ЭД-5. Испытывались оболочки с параметрами
r/h=400 ... 800; #с = 45... 60°. Испытания проводились на описан-
описанной установке. Нагружение опорного кольца осуществлялось в его
плоскости ложементами, изготовленными из стали, с резиновой про-
прокладкой и без нее. Изучалось влияние параметров сегментов,
опорного кольца и ложемента на величину критической нагрузки.
Испытывались также сферические сегменты из триацетатных пле-
пленок, изготовленные путем горячей формовки на матрице. Известно,
что данный материал обладает свойствами абсолютной упругости,
что позволяет проводить повторное нагружение оболочек. Это необ-
необходимо при отладке различной испытательной аппаратуры. Всего
было испытано 63 оболочки. В табл. 6.1 приведены значения безраз-
безразмерных критических усилий ш*=Р* (Eh2)-1 в зависимости от угла
ложемента 2<р0 с прокладкой oi* и без прокладки ш2* Отметим, что
с изменением угла ложемента менялась форма волнообразования
208

при потере устойчивости. При малых углах <р0 образовывалась одна
вмятина; с увеличением угла — две вмятины в зонах, близких к кра-
краям площадки контакта. Это является качественным подтверждени-
подтверждением полученных в гл. 2 выводов о возрастании контактного давле-
давления вблизи краев ложемента для определенных параметров систе-
системы. В табл. 6.2 приведены значения о* в зависимости от параметра
жесткости шпангоута i= (r sin &)~Ч, а в табл. 6.3 — в зависимости
от сферической координаты края сегмента. Типичные формы волно-
волнообразования при локальной потере устойчивости приведены на рис.
6.5.
Таблица 6.1
15°
226; 206
222; 200
212
223;214
219;196
208
50°
253
249
238
232
228
214
90°
266
260
242
264
255
244
120°
262
257
249
272
276
289
Таблица 6.2
Таблица 6.3
i
33,5
268
274
275
280
285
65
225
230
236
238
242
90
196
208
214
217
221
143
151
168
168
179
181
9с
45°
222
214
204
202
196
50°
208
204
202
191
183
55е
196
191
179
172
183
При экспериментальных исследованиях проводилась высокоско-
высокоскоростная киносъемка. Основной задачей ее явилось получение дан-
данных о развитии формы вмятины в процессе потери устойчивости
оболочек при локальном нагружении. На первом этапе решались
вопросы построения кадра, освещения, экспонометрии. По резуль-
результатам киносъемки предварительных испытаний на сегментах из
триацетатной пленки определялся масштаб, схема освещения и точ-
точка съемки, частота съемки. При выборе частоты полагалось, что
для сегментов из АМг-бМ процесс потери устойчивости происходит
на порядок быстрее, чем для триацетатных пленок. Применялись
две высокоскоростные кинокамеры с различными ракурсами съем-
съемки. Оси их действия располагались в плоскости опорного кольца и
под 45-° к этой плоскости. Для съемок использовались камеры СКС-
1М, обладающие широким диапазоном частоты съемки C00—
4000 кадр/с). Для автоматизации процесса высокоскоростной съем-
съемки применялся специально разработанный пульт ПИК-73 [22]. При-
Прибор позволяет питать электродвигатели кинокамер, автоматически
209

включать их по заданной программе, записывать временные метки
от вмонтированного кварцевого генератора импульсов.
С целью синхронизации работы кинокамер с процессом потери
устойчивости проводились предварительные испытания для опреде-
определения критической нагрузки, соответствующей моменту хлопка. На
рис. 6.6 показана временная диаграмма. Линии /—3 характеризу-
характеризуют время работы первой и второй кинокамер и осветительной аппа-
аппаратуры. Пунктирная линия характеризует предполагаемую величи-
величину критического усилия. Линия 4 характеризует плавное нараста-
нарастание нагрузки. Команда на
включение киносъемочной
аппаратуры выдавалась от
силоизмерителя испытатель-
испытательной машины АММ-10 на
пульт ПИК-73, с помощью
которого работа киносъемоч-
киносъемочной аппаратуры проходила
автоматически по заданной
программе. После отработки
цикла электродвигатели и
отметчики кинокамер авто-
~fo ТГс матически выключались.
Такая схема позволила
исключить субъективные
Рис- 6-6- факторы и обеспечить мак-
максимальную вероятность син-
синхронизации процесса потери устойчивости с работой кинокамер.
При анализе высокоскоростных фильмов и покадровой дешиф-
дешифровке определялась продолжительность хлопка и развитие закри-
тической деформации оболочек. При испытаниях сегментов из
триацетатных пленок (парметры сегментов: /г=4-10~4 м; г=0,13 м,
#с = 45°) при достижении сжимающей нагрузкой величины Р* за вре-
время ^«0,045 с образуется вмятина, близкая к круговой, затем за
время ?г«0,35 с вмятина развивается, контуры ее приобретают
форму эллипса. При уменьшении нагрузки происходит обратный
выхлоп за время /3=0,45 с. Для сегментов из сплава AMr-бМ (па-
(параметры: Л=2,7-10-4 м; г=0,13 м; ttc=45°) потеря устойчивости
происходит характерным хлопком (/«0,0024 с), образуется вмя-
вмятина, близкая к круговой, которая за время /^0,14 с развивается,
принимая серповидную форму. Обратного выхлопа при снятии на-
нагрузки не происходит.
На рис. 6.7 приведены кадры из кинограммы потери устойчиво-
устойчивости сегмента. При временном анализе проводился визуальный по-
поиск кадров с изображением начала появления хлопка и окончания
процесса закритической деформации. Отметим, что правильность
разграничения фаз зависит от ряда технических причин (фотогра-
(фотографические качества кадров, точка и масштаб съемки и др.). Отсня-
Отснятые фильмы имели удовлетворительное качество, что позволило
выбрать с большой точностью кадры, зафиксировавшие процесс по-
210

тери устойчивости и закритической деформации. Запись временных
меток проводилась с помощью кварцевого генератора пульта ПИК-
73, что позволило привязать каждый кадр по времени с высокой
точностью, недостижимой при использовании других генераторов
временных пультов.
Рис. 6.7.
Высокоскоростная киносъемка в описанных экспериментальных
исследованиях ярилась эффектнвным средством исследования. Она
позволила получить даниые о развитии формы вмятины при быстро-
протекающем процессе локальной потери устойчивости, а также
0,3
0,2
0,1-
0J5
P.2S
-
с
>
о
1 7
i
(
o2
i
40 45 SO 55
5
Рис. 6.8.
60
mi
фиксировать время, характеризующее тот или иной момент про-
процесса.
На рис. 6.8 дано сравнение экспериментальных данных с теоре-
теоретическими расчетами, проведенными на основании разработанных
алгоритмов. Кривые / и 2 характеризуют теоретическую зависи-
211

мость безразмерного критического параметра о)н. = Рн.(?/г2)-1 для
сплошных сферических сегментов от Ос и L Нанесены эксперимен-
экспериментальные точки (осреднение соответственно 14 и 25 испытаний).
Экспериментальные данные качественно подтверждают теоретиче-
теоретические расчеты. Значения Р* примерно в 1,2—1,4 раза ниже расчет-
расчетных. Такое расхождение можно оправдать повышенной чувстви-
чувствительностью моделей оболочек к неизбежным несовершенствам и
погрешностям эксперимента при локальном нагружении.
Испытания сферических сегментов с отверсти-
отверстиями. Сферические сегменты с опорными кольцами изготавлива-
изготавливались по технологии, описанной выше. Круговые отверстия в оболоч-
оболочках получены путем химического фрезерования. При этом проводи-
проводилась разметка поверхности, 40%-ным раствором щелочи снимался
плакировочный слой материала оболочки и в соответствии с конту-
контурами разметки наносился защитный слой лака Х85179. После суш-
сушки наносилось второе покрытие слоем лака К4-767. Травление осу-
осуществлялось раствором щелочи, а защитный слой с готового сегмен-
сегмента удалялся растворителем. При испытаниях исследовалось влия-
влияние отверстия на вид разрушения (устойчивость или прочность) и
форму волнообразования — при потере устойчивости; влияние пара-
параметров системы на величину критических нагрузок; выяснялась ве-
величина диаметра центрального отверстия, при котором критические
нагрузки для сегментов, сплошных и с отверстием, одинаковы.
Всего испытано 84 оболочки. Нагружение осуществлялось ложе-
ложементами с углами 3 и 90°.
При потере устойчивости форма волнообразования менялась в
зависимости от величины диаметра отверстия, при этом образовы-
образовывались вмятины или у края отверстия, или в зонах, близких к мес-
месту стыка с опорным кольцом.
В табл. 6.4 и 6.5 приведены результаты экспериментального ис-
исследования прочности и устойчивости сферических сегментов с от-
отверстиями. В таблицах приняты следующие обозначения р* =
— Р*{Е№)~1 — безразмерный критический параметр при потерг
устойчивости; ft=F^(Eh2)'~1— безразмерный критический пара-
параметр при «поломке» системы кольцо — сегмент; g=O!lMOZ^ Q=
=dD~l; P% — критическое усилие локальной потери устойчиво-
устойчивости; F^ — усилие при поломке системы; Gn.o, GK.C — соответствен-
соответственно веса сегмента с отверстием и без отверстия; Е — модуль
упругости материала оболочки; d, D — соответственно диаметр
центрального отверстия и наружный диаметр сегмента. Обозна-
Обозначения I, II, III соответствуют разрушению путем образования плас-
пластических деформаций и последующего складывания системы; поте-
потере устойчивости с образованием выпучин у края отверстия; потере
устойчивости с образованием выпучин в зонах максимальных сжи-
сжимающих усилий (в районе стыка).
В случае III для ложемента с углом охвата 3° образовалась од-
одна вмятина, а для угла охвата 90° — две вмятины в зонах, близких
к краям площадок контакта.
212

Таблица 6.4
Диаметр
d, мм
185
140
125
115
100
90
80
75
70
60
50
40
30
0
Угол охвата 3°
Q
1
0,757
0,676
0,622
0,540
0,488
0,433
0,405
0,378
0,325
0,270
0,216
0,162
0
g
0,47
0,58
0,65
0,74
0,79
0,83
0,85
0,87
0,90
0,93
0,9S
0,97
1
Р*
0,153
0,157
0,160
0,160
0,160
0,162
0,164
0,164
0,167
0,165
0,175
0,178
0,182
0,182
0,192
0,196
0,190
0,198
0,200
0,200
/*
0,042
0,040
0,042
0,091
0,090
0,120
0,116
0,142
0,138
0,149
0,142
0,146
0,144
0,146
I
I
I
I
I
I
I
II
I
I
II
II
II
II
II
III
III
III
III
III
Угол охвата 90°
Р*
0,167
0,165
0,167
0,165
0,172
0,172
0,178
0,176
0,181
0,180
0,187
0,200
0,198
0,203
0,204
0,204
0,210
0,210
0,210
0,212
/*
0,047
0,048
0,048
0,107
0,109
0,136
0,133
0,135
0,159
0,152
0,163
0,158
I
I
I
I
I
II
II
II
II
II
II
III
III
III
III
III
213

Таблица 6.5
В таблицах приведены соответственно экспериментальные дан-
данные для ложемента 3° и 90°. В табл. 6.5 приведены эксперименталь-
экспериментальные данные для оболочек с нецентрально расположенным от-
отверстием; контур отверстия прохо-
проходит через центр сегмента (рис,
6.10). Обозначения а, б, в соот-
соответствуют расположению отвер-
отверстия по линии действия равнодей-
равнодействующей силы и с углами л/4 и
я/2 к этой линии. При этом несу-
несущая способность сегмента с не-
нецентральным отверстием диамет-
диаметра d близка к несущей способнос-
способности сегмента с центральным отвер-
CTneiM диаметра 2d. В зависимости
от расположения нецентрального
отверстия существенно меняется
форма волнообразования. Типичные формы локальной потери ус-
устойчивости сферических сегментов с отверстиями (центральным и
нецентральным) показаны на рис. 6.9.
С
0,333
0,250
0,167
Р*
а
0,124
0,120
0,155
0,151
0,187
0,182
б
0,135
0,135
0,160
0,158
0,189
0,180
в
0,144
0,139
0,164
0,160
0,188
0,184
или
На рис. 6.10 приведена зависимость параметра х, равного
с—1
3-1
где Р
„.о,
—несущая способность сплошного сег-
сегмента, и параметра %, равного
где F0K — несущая способ-
способ*, 0K у
ность изолированного кольца — от q (соответственно кривые / и 2).
Для ложемента с углом 3° — сплошные, с углом 90° — пунктирные
линии.
'"Х&^-'^-'^^Шй?1'1. ; :".. \:¦¦::.:'?'г ¦ \ '-" '¦ '.¦'¦?>%'' ¦ '. ¦
':«у:-%- Л ¦....:.">¦¦ -:Л ¦-¦ ¦¦:~~'к ¦ }[ .¦"»¦;'
Рис. 6.9.
Проведенные исследования показывают, что сферические сег-
сегменты с отверстиями придают системе цилиндрические (кониче-
(конические) оболочки — сферический сегмент значительную жесткость при
небольшом увеличении веса (по сравнению с «изолированным» под-
подкрепляющим кольцом) при сопротивлении локальным нагрузкам.
При испытаниях и соответствующих расчетах может быть уста-
214

0,75
0,50
0,25
¦Ц
-5,0
-2,5
^
— —
\
v \
0 0
0,25 0,50 0,75 p
Рис. 6.10.
новлен диаметр центрального отверстия, при котором запасы по
устойчивости соответствующих сферических сегментов одинаковы.
Для оболочек указанной серии отношение такого диаметра к диа-
диаметру кольца составляет
«0,5. Это отношение, как
и другие эмпирически ус-
установленные характерис-
характеристики, может меняться в х л
зависимости от материа- 1
ла и вида нагружения, од-
однако диапазоны парамет-
параметров, для которых соответ-
соответствующие характеристики
примерно одинаковы, до-
довольно широки. Форма
волнообразования меня-
меняется в зависимости от диа-
диаметра отверстия. Для
«больших» отверстий вмя-
вмятины образуются у краев
отверстия. С уменьшени-
уменьшением диаметра отверстия
картина меняется. Форма
волнообразования стано-
становится такой же, как для
сплошной оболочки. Под-
Подкрепленные отверстия су-
существенно повышают несущую способность системы.
При испытаниях в зависимости от диаметра центрального отвер-
отверстия существенно меняется вид разрушения. Для изолированного
кольца или кольца, подкрепленного диафрагмой с большим диамет-
диаметром отверстия, несущая способность определяется «поломкой» сис-
системы. Для пластичных материалов этому предшествуют местные
пластические деформации. Начиная с определенного диаметра от-
отверстия несущая способность определяется потерей устойчивости
сферической оболочки.
6.4. ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ИМПУЛЬСНОМ НАГРУЖЕНИИ
ПОДКРЕПЛЯЮЩЕГО КОЛЬЦА
Выше нами рассматривались задачи локальной устойчивости
оболочечных конструкций при действии статических нагрузок. Из-
Известно, что изучение динамического поведения конструкций пред-
представляет особый интерес: в настоящем разделе рассматривается
одна из задач, относящихся к данной проблеме. Исследуем динами-
динамическую устойчивость подкрепленной кольцом цилиндрической обо-
оболочки конечной длины под действием радиального импульса, близ-
близкого к равномерному, приложенного к кольцу (рис. 6.11). Возника-
Возникающее после приложения к кольцу импульса движение состоит из
215

осесимметричных колебаний, связанных с неизбежными отклонени-
отклонениями импульса от равномерного [81, 85].
Исследуем взаимодействие осесимметричных и изгибных форм
колебаний, приводящее к возникновению неустойчивых форм дви-
движения. Оболочка для кольца является некоторым упругим основа-
основанием, препятствующим его движению. Влияние оболочки при рас-
рассмотрении движения кольца под действием импульсного давления
учитывается введением контактных усилий взаимодействия, опре-
определяемых при решении соответ-
соответствующих контактных задач со-
сопряжения (см. гл. 4).
В работе [86] аналогичный
подход использован для иссле-
исследования динамической устойчи-
устойчивости цилиндрической оболоч-
оболочки с упругим заполнителем.
Рис. 6.11. для цилиндрической оболочки
применим уравнение основного
напряженного состояния с рассмотрением различных граничных
условий. Уравнение движения запишется в виде
Штрихами и точкой здесь обозначено дифференцирование по <р и
безразмерному времени т.
R ' El ' R ' Со
где go — плотность материала; N*— окружное усилие в кольце; р—
реакция на кольцо со стороны оболочки; t — время.
Если рассматривать кольцо как полоску толщины h и единич-
единичной ширины, то /=Л3/12; о2=й2/12/?2. Решение F.14) ищем в виде
(t)s\nn9. F.15)
2
Член ряда с п=\, характеризующий перемещение кольца как жест-
жесткого целого, здесь опущен. Контактное усилие
/»=*о«о + 2, *«й« (*•*)• FЛ6)
2
Коэффициенты k0, kn равны
k0 - 2 A - i^-'/W VmE (/,0+/20) = «„?;
Коэффициенты /,-„ учитывают граничные условия для каждой из
оболочек, присоединенных к кольцу (см. гл. 1). В случае располо-
расположения кольца посередине f\n=Un- Для бесконечных оболочек
/tn=l.
Невозмущенная симметричная форма колебаний определяется
из уравнения
216

где Si= M
с начальными условиями ыс=0, uo=vo(ca)-1 при т=0 (v0 — ско-
скорость движения кольца внутрь, обусловленная импульсом дав-
давления);
U0=v0(caio0)~1 sin «)ot; u>0=a~2-{-k0E~1.
Выпучивание кольца связано с возникновением неустойчивых
форм изгибных колебаний. Для определения их после подстановки
F.15) в F.14) получим для Ьп и с„ известное в теории динамиче-
динамической устойчивости уравнение Матье
Ьп+Р„(х)Ь„=0, F.18)
где /»я(*) = (я2-1) (я2-*2 sin e>ot)+A^(?/)-» = /»„! (t) + ^a(t).
Отрицательное значение рп(г) определяет диапазон гармоник
для которых движение неустойчиво. В этом случае соответствую-
соответствующее решение уравнения содержит е*т, что приводит к резкому воз-
возрастанию прогиба с ростом т. При исследовании изгибных форм ко-
колебаний величина s2 может рассматриваться в первом приближении
как функция «о, определяемого решением уравнения F.17).
Приведенные соотношения дают возможность построить области
неустойчивости, характеризующие неустойчивые решения уравнения
F.18) для оболочки конечной длины.
На рис. 6.12 построены области неустойчивости для бесконечной
цилиндрической оболочки с параметрами г/Л= 100,125, 150 (кривые
1, 2, 3). Для времени т=0,48-10~2 заштрихованы области динами-
динамической устойчивости, определяемые условием pni(t)>pn2(r) для
г/Л =100 (знаком ( + ) указана область динамической устойчиво-
устойчивости, знаком (—) область, где движение неустойчиво). Здесь же
для отношения г/Л=125 построены области для оболочки со сво-
свободными краями (кольцо — посредине оболочки). Цифрами 4, 5, 6
обозначены кривые для оболочек безразмерной длины |=1, 2, 3
(|=L/2r). Как видно, здесь длина оказывает незначительное вли-
влияние на вид областей устойчивости. На рис. 6.13 для г/Л =125 пост-
построены области устойчивости для защемленной оболочки. Кривая 2
характеризует область устойчивости для бесконечной оболочки,
кривые 7, 8, 9 — для защемленных оболочек безразмерной длины
| = 1, 2, 3. В данном случае длина оболочки играет существенную
роль при построении областей динамической устойчивости. С умень-
уменьшением длины эти области уменьшаются, что связано с резким уве-
увеличением жесткости системы. Для времени t = 0,4810~2 для % — 2 со-
соответствующие области заштрихованы. Для ?=1 во всем диапазоне
чисел п Pni(t)>Pn2(t), т. е. движение оболочки при заданном нм-
пульсе устойчиво. При расчетах принято: ? = 6,6 • 1010 Н/м2; с=
— 5-103 м/с-1; vo = 7 м/с-1; /=2,81 ¦ 10~7 м4 (кольцо прямоугольного
сечения единичной ширины высотой 0,015 м); /?=0,75 м; ц = 0,3.
В приведенных построениях не учтена инерционность оболочки,
которую можно приближенно учесть введением присоединенной к
кольцу длины оболочки, выбираемой из определенных соображений.
8 41 217

В (86] при изучении динамической устойчивости оболочки с запол-
заполнителем инерционностью последнего также пренебрегалось.
Используя известные реше-
решения для различных оболочек,
можно обобщить рассмотрен-
рассмотренные выше решения на случай
действия импульсного давле-
давления на кольцо, подкрепляю-
подкрепляющее систему оболочек. Опу-
Опуская стандартные выкладки,
приведем некоторые резуль-
результаты численного анализа. На
рис. 6.14 построены области
устойчивости для системы
сферическая оболочка — коль-
кольцо. Кривые 1, 2, 3 соответ-
ствуют #С = 45О, 5СР, 55°.
Рассмотрим случай нели-
нелинейно-упругого материала.
Примем, как и в [86], что свойства.материала за пределами упру-
упругости описываются касательным модулем, зависящим только от
напряжений в срединной поверхности, меняющимся с изменением
деформаций.
Схема взаимодействия кольца и оболочки — такая же, как в уп-
упругом случае. При определении контактных усилий со стороны обо-
оболочки рассмотрены два предельных случая: а) упругое поведение
оболочки (такое допущение при кратковременном действии импуль-
импульса большой интенсивности можно связать с явлением запаздывания
текучести); б) поведение оболочки характеризуется непрерывно ме-
меняющимся с изменением деформаций касательным модулем. Такие
схемы решения позволяют построить верхнюю и нижнюю границы
Рис. 6.12.
Рп ьг''
3
2
1
//
/
1
V
л
\
2
-
ГС
\
\
в 10
Рис. 6.13.
Рис. 6.14.
218

областей неустойчивого движения. Уравнение движения записыва-
записывается в виде
2u "=0, F.19)
где a=NF~i; p=E'E~*; E' = d°ldt.
Остальные обозначения те же, что в F.14), прогиб и контактное
давление записываются ib фор1ме F.15). Коэффициенты ko, kn в слу-
случае упругого сопротивления имеют вид F.16), в случае касатель-
но-модульного сопротивления имеют аналогичную структуру с за-
заменой Е на Е'. На первой стадии движения уравнения симметрич-
симметричных колебаний для случаев «а» и «б» имеют вид
F.20)
F.21)
В дальнейшем, как и в работах [81, 85, 86], принимаем, что в
первом приближении для малых изгибных колебаний из F.17) мо-
может быть оценено время до момента выпучивания (из условия
и(т)=0).
Применим известные аппроксимации диаграммы деформирова-
деформирования материала, которые при соответствующем задании входящих в
них параметров позволяют с большой точностью описать диаграм-
диаграммы or*—ег- для широкого класса материалов: степенной ряд
' 1
парабола, касательная в точке os, es к «упругой» прямой
Рассматриваем уравнение F.20). Для F.22) при интегрирова-
интегрировании получим
-1 2 " Г -1 \ т+1 Т~1/2
Чо L 1 J
л
1
где г|0, Tii — перемещение и скорость в конце упругого участка дви-
движения; те — время «упругого» движения
Для расчетов удобно использовать разложение A—2г)-1/г =
= 1 + A/2)г+ C/8)г2..., позволяющее получить выражение F.22) в
виде быстро сходящегося ряда. При использовании F.23) получим
0, F.25)
219

После интегрирования F.25) определим
-1/2az; F.26)
x=— 2(X4-fX2X3);
^=1*! -2Х2Х4; ^ = 4? -J-4/3X! (Tio-
Интеграл F.26) путем известных преобразований сводится к
сумме эллиптических интегралов 2-го и 3-го рода.
Рассматриваем уравнение F.21).
Для F.22) при интегрировании получим
1—1/2
и Г Я -1
. L 1 .1
где »2=
Для некоторых /тс* интеграл F.27) также сводится к сумме
эллиптических интегралов.
Используя F.23), получим уравнение
«••+ei(«-Q2I/2+e3(«-e2)-1'2+e4=o. F.28)
где й = [2?A)р»?1(»+12*) Х
Из F.28) после интегрирования найдем
, T-te = J2z(a2z3 + *2Z2+?2Z+^)-1/2^; F.29)
ч»
22=и— е2; «2=—D/3)ql; 62=—2q4; c2=4q3; ^2=1*2 —
Интеграл F.29) путем известных преобразований также сво-
сводится к сумме эллиптических интегралов 2-го и 3-го рода.
Изгибные колебания, возникающие вследствие неизбежного от-
отклонения импульса от равномерного, определяют неустойчивое дви-
движение оболочки. Для коэффициентов Ь„ и с„ получим уравнения
типа уравнений Матье, определяющие области неустойчивого дви-
движения системы
Ь'п + Рп (t) *„=0; рп (т) = qn (т) + К,
Условие /7п(т)<0 определяет диапазон чисел п, при которых
движение неустойчиво. В случае «a» kn постоянно, в случае «б» оно
зависит от и.
Приведем результаты численного анализа.
220

На рис. 6.15 построены области динамической устойчивости при
использовании аппроксимации F.23). Расчеты проведены по фор-
формулам F.26), F.29) с использованием работы [7]. Взяты парамет-
параметры сгв=13-107 Н-м-2; ?=6,6-1010 Н • м~2; §=0,834 (это характерно
для сплава АМг-бМ); г/Л=1О0; 50, уо='2О м-с-1. Кривая / соответ-
соответствует упругой реакции оболочки и дает верхнюю границу области
динамической устойчивости. Кривая 2, соответствующая касатель-
но-модульной реакции оболочки, дает нижнюю границу области.
Кривые 8—7 для gn(t) построены для одного и того же прогиба
соответственно A9,8; 25; 35; 48) 10". Время движения для каждого
из случаев «а» и «б» различно. Кривая 3 характеризует конец упру-
упругого движения те= 0,275-10~2, кривая 7— конец пластического дви-
движения для F.26) (п = 2,35-10~2), кривая 8 для F.28) (ti =
= 2,4Ы0-2).
15 18 п
12 15 18 п
Рис. 6.15.
Рис. 6.16.
На рис. 6.16 построены области устойчивости для оболочек со
свободными краями для безразмерных длин 1 = 0,5; 1; 2 (кривые2,
3,4) и с защемленными краями (? = 0,5; /; 2 — кривые 5. 6, 7). Для
упрощения анализа принят случай «а» (несложно провести соот-
соответствующие построения для случая «б»). Видно, что в случае за-
защемления краев длина играет существенную роль. Анализ показы-
показывает, что с ростом номеров гармоник влияние длины уменьшается
(fn-1).
Отметим, что динамическое поведение неупругих цилиндриче-
цилиндрических оболочек при кольцевом радиальном нагружении обычно рас-
рассматривается на основе модели идеального жестко-пластического
тела. Рассмотренный выше подход дает приближенную оценку не-
несущей способности системы при учете упрочнения материала. В пос-
последнее время отмечается необходимость такого учета.
221

ГЛАВА 7
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ СОСТАВНЫХ ОБОЛОЧЕЧНЫХ
КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ
7.1. О ДЕФОРМИРОВАНИИ И НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ
НЕУПРУГИХ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Тонкостенные оболочечные конструкции во многих отраслях
машиностроения относятся к сложным системам, основные качест-
качественные характеристики которых связаны с решением прочностных
проблем. Упругий расчет оболочечных конструкций при контактных
взаимодействиях и локальных нагрузках является необходимым
при решении широкого класса задач прочности. Однако для совре-
современных машиностроительных конструкций, работающих в слож-
сложных режимах нагружения, исследование напряженно-деформиро-
напряженно-деформированного состояния и в особенности несущей способности должно
быть связано с учетом неупругой области деформирования матери-
материала. Роль физически нелинейных теорий при разработке эффектив-
эффективных методов расчета прочности тонкостенных конструкций значи-
значительно возросла.
Теория пластичности, получившая широкое развитие в послед-
последнее время, относится к актуальнейшим разделам нелинейной меха-
механики деформируемого твердого тела [41, 68]. Методы теории находят
в настоящее время широкое применение в прочностных расчетах
различных оболочечных конструкций. Учет пластических свойств
материала позволяет выявить новые резервы веса и установить ре-
реальные запасы прочности. В особой мере важна для современной
строительной механики тонкостенных конструкций разработка эф-
эффективных подходов к оценке несущей способности, которая явля-
является основной прочностной характеристикой элементов конструкции.
Известные методы упруго-пластического анализа позволяют оп-
определить «. д. с. на всех этапах напружения (конструкций, дефор-
деформирующихся в пластической области. Методы упругих решений,
сводящие решение упруго-пластических задач к решению последо-
последовательности упругих задач (методы дополнительных нагрузок, пе-
переменных параметров упругости, последовательных нагружений,
дополнительных деформаций), сыграли большую роль в разработ-
разработке методов упруго-пластического анализа [8, 40, 82].
Большие возможности в решении сложнейших вопросов такого
анализа открывает широкое применение численных методов, среди
которых особое значение в последнее время приобрел метод конеч-
конечных элементов [34, 64]. В указанных методах используется обычно
деформационная теория или теория течения. Известная ограничен-
ограниченность первой теории (она справедлива для простого нагружения
222

или путей иагружеиия, близких к простому) окупается сравнитель-
сравнительной (с другими теориями пластичности) простотой соответствую-
соответствующих расчетных схем. На ее основе получены обширные результаты
упруго-пластического анализа тонкостенных оболочечиых систем.
Применяется и теория течения, приводящая к более сложным схе-
схемам расчета.
В последнее время используются и другие теории пластичности,
позволяющие рассмотреть сложные пути иагружеиия. Характерные
особенности применяемых методов, исследование ряда специаль-
специальных вопросов (в частности, сходимости итерационных процессов,
лежащих в их основе), а также-многочисленные решения задач уп-
упруго-пластического деформирования тонкостенных систем рассмот-
рассмотрены в обширной специальной литературе и здесь, естественно, рас-
рассмотрены быть не могут. Укажем на некоторые работы обзорного
характера [41, 65].
Определение несущей способности при упруго-пластическом ана-
анализе связано с так называемыми «локальными» критериями проч-
прочности, при которых максимальные интенсивности напряжений а,-
или деформаций е, сравниваются с допустимыми [55, 73]. Одним из
аспектов такого подхода, распространенным в практике проектиро-
проектирования многих отэетственных машиностроительных конструкций, яв-
является назначение несущей способности исходя из допустимых сг*,
Другой подход связан с определением предельной нагрузки для
системы на основании построения зависимости характерного проги-
прогиба от нагрузки. (В случае комбинированного нагружения такие за-
зависимости характеризуются некоторой поверхностью в пространстве
обобщенных усилий [20]).
Несущая способность определяется на основе анализа н. д. с.
часто с применением понятия расходимости итерационных процес-
процессов, лежащих в основе упруго-пластических расчетов. Один из под-
подходов предполагает применение шагового метода с построением за-
зависимости прогиб — нагрузка [74].
Отметим значительные возможности при решении задач дефор-
деформирования и несущей способности оболочечиых систем при сложных
случаях иагружения метода последовательных иагружений в соче-
сочетании с методами упругих решений на каждом этапе иагружения
120].
1. В качестве примера решения задачи н. д. с оболочечных систем с учетом
физической нелинейности рассмотрим осесимметрйчлое деформирование двух соп-
сопряженных через распорный шпангоут оболочек произвольной формы при конеч-
конечных прогибах [48]. Граничные условия для оболочек заданы в перемещениях.
Применены соотношения деформационной теории с учетом сжимаемости матери-
материала, принята гипотеза Кирхгофа—Лява.
Уравнения равновесия оболочек (действует давление p((t)), геометрические и
физические соотношения задачи имеют вид
= 0;
м?]1, = Р- G. о
223

A A
2 1
С С
2 2
G. 2)
2M-]-i; Ф = -|- —. G.3)
цс — коэффициент Пуассона в упругой области; запятая обозначает производную
по координате.
Используя G.1)—G.3), получим
Aie = /i-e + />р + /г*« + /J*p; (o^P); G.4)
Л/2 А/2
/*¦= j №<1 — н-М—* аг****-; /J = j |i№(i-rt]-i2r*d2r.
-А/2 -А/2
При решении методом последовательных приближений геометрически нели-
нелинейная составляющая в выражении для е„ линеаризуется так (N — номер при-
приближения)
1/2 [»(*>]*= 1/2^-D (ЯГ1Ц_ Л-1.,). G. 5)
Применяя метод переменных параметров упругости в сочетании с методом
конечных разностей, соотношения G.4) запишем в виде
1 1
п=1
Начало координат по меридиану находится в точке сопряжения, по образу-
образующей равномерно с шагом Н расположены узловые точки. Параметры Ляме в
224

точке I будут At = l, Bi=rt (г— радиус параллели). Введены обозначения
Конечно^азностная форма уравнений равновесия
5
2 ^n—2 + cl,i&2l+n) = 0;
2
G.7)
2 di,r&2i-2+n + «/,/t?2i+a + f l,i&2i+n+2 = Л-
Выражение для внутренних усилий кольца приведены к эквивалентным им
радиальной силе t н моменту т
(/•„ — радиус центра тяжести кольца), которые с учетом совместности деформа-
деформаций кольца и оболочек имеют вид
з з
л=1 «=1
,2 = 6/-.Г2 {[(''I) rKsinf 1 -e>el] /,_!,»+ *l,i
ex\ e,j — проекции эксцентриситета присоединения оболочки к кольцу.
Уравнения равновесия кольца .в перемещениях
5
V /л1 е1 _i_ л1 е1 л.//11 с11 _i_ яп с11 ^ — Т ¦
2j (al,n,l?« + el,n,2«n+2 + el,n,l5« + а1,п,2*а+2) — ' х,
i
Здесь 7Х, Ту, Мх — усилия и момент, приложенные к кольцу; верхние индексы
«I», «II», соответствуют оболочкам I и II; ai,n,j> ai,n,j (*> /=1> 2> 3)—функ-
3)—функции коэффициентов, выражаюших Na; Ta (усилия взаимодействия между
кольцом и оболочкой) в конечно-разностной форме.
Система уравнений G.7)—G.10) и граничные условия в перемещениях на
внешних контурах оболочек дают замкнутую систему нелинейных уравнений, ко-
которая решается методом последовательных приближений. Каждое приближение
основало иа решении системы линейных уравнений, полученной при линеариза-
линеаризации G.9)—'G.10) путем определения коэффициентов, зависящих от неизвестных
перемещении, с помощью значений перемещений предыдущего приближения.
Процесс продолжается до получения заданной малой разности между соседними
приближениями. Зависимость ff.(ej) задается таблично, параметры /я определя-
определяются численным интегрированием. В рассмотренном решении в отличне от некото-
некоторых аналитических решений подобных задач [65] принято, что кольцо может де-
деформироваться в уйругой области и учтена сжимаемость материала в пластиче-
пластической области. Отметим, что аналогичные задачи на основе метода дополнитель-
дополнительных нагрузок рассмотрены в работе [45].
На рис. 7.1 приведены результаты расчета деформированного состояния обо-
лочечной системы сферическое днище — цилиндр — распорное кольцо (сплав
АМг-бМ) при нагружении внутренним давлением и результаты эксперимента
225

(кружки). Кривые А к В показывают изменение деформации в точках А, В коль-
кольца с ростом давления. Разрушение конструкций здесь произошло при р—
= 186-104 Н/м2 при отрыве цилиндрической оболочки от кольца.
2. В качестве примера построения зависимости прогиб — нагрузка рассмот-
рассмотрим иеупругое поведение кольца
под действием двух радиальных
сил [18J. Решение системы уравне-
уравнений равновесия кольца при проце-
процедуре метода переменных парамет-
параметров упругости осуществлялось ме-
методом конечных разностей для
2000
1500
-0,4
12 Р-10~?Н/мг
2,5-10~3 5,0-10'*' 7,5W~310!w,n
Рис. 7.1. Рис. 7.2.
типичной зависимости a;(et) для алюминиевого сплава АМг-бМ, заданной в таб-
табличном виде. На рис. 7.2 показаны зависимости прогиб — сила в сечениях под
силой для кольца прямоугольного поперечного сечения с отношением радиуса
к высоте 10; 12,5; 16; 17,5; 20 (кривые соответственно 1, 2, 3, 4, 5). Пунктирные
линии дают упругие решения. Заштрихованная область показывает зону пласти-
пластического деформирования.
Значительный прогресс в решении сложных задач определения
несущей способности тонкостенных оболочечных конструкций свя-
связан с применением теории предельного равновесия (ТПР). В осно-
основе ее лежит модель идеального упруго- или жестко-пластического
тела.
Большие возможности ТПР отмечались неоднократно. Основан-
Основанный на ее положениях предельный анализ конструкций дает в ря-.
де случаев надежный подход к исследованию пластического разру-
разрушения и определению разрушающих нагрузок системы. Вместе с
тем теория имеет ряд ограничений. Современное состояние вопроса,
характеристика решений конкретных задач предельного анализа
конструкций содержится в ряде обзоров [12, 65].
Не останавливаясь на эволюции основных понятий ТПР, отме-
отметим теоремы, лежащие в ее основе (они доказаны А. А. Гвоздевым
и Хиллом для жестко-пластических тел, Дракером, Прагером, Грин-
Гринбергом — для упруго-пластических), а также попытки получения не-
некоторых вариационных принципов в ТПР, математически эквива-
226

лентных всей совокупности уравнений теории [92]. Существенное
внимание в последнее время уделяется разработке методов ТПР на
основе линейного и нелинейного программирования [84, 89].
Применение ТПР предполагает деформации малыми при отсут-
отсутствии геометрических изменений конструкции.
Большое внимание в настоящее нремя привлечено к задачам ис-
исследования поведения идеально-пластических оболочек при геомет-
геометрически нелинейных соотношениях. Данная постановка в задачах
несущей способности может использоваться при изучении послекри-
тического поведения при пластическом выпучивании тонкостенных
систем.
Теория предельного равновесия приводит к весовому совершен-
совершенствованию статически неопределимых тонкостенных систем. Досто-
Достоинством методов предельного анализа, исключающего необходи-
необходимость использования громоздких методов упруго-пластического
расчета, является их сравнительная простота.
При решении задач несущей способности на основе ТПР для
оболочечных конструкций плодотворным является кинематический
подход. Он эффективен, когда для системы из определенных сооб-
соображений (анализа возможных схем разрушения или эксперимента)
можно назначить небольшое число кинематических схем пластиче-
пластических механизмов разрушения.
Одним из основных вопросов в ТПР для оболочечных систем яв-
является построение конечных соотношений между силовыми факто-
факторами в предельном состоянии. Для условия Мизеса этот вопрос наи-
наиболее полно рассмотрен в работе {40]. Общее уравнение граничной
поверхности
F(Q<,Qm,Qtm)=o,
F(Q,Qm,Qtm) = 0y
***+* + 3&; Q m?m1m2 +от'+3от?а; ? и)
j-f 3/12/п12;
где Qt, Qm, Qtm—квадратичные формы безразмерных усилий и
моментов. Однако полученные соотношения весьма громоздки и в
дальнейшем упрощались при решении конкретных задач [29, 80, 69},
Определенные упрощения достигаются при использовании трехслой-
трехслойной модели оболочки [67].
Теория предельного равновесия является в ряде случаев эффек-
эффективным инструментом исследования несущей способности оболочеч-
оболочечных конструкций. Отметим, что целесообразность применения ТПР
к исследованию несущей способности оболочечных систем опреде-
определенного класса при некоторых видах нагружения подтверждается
экспериментальными данными.
В настоящей главе на основе теории предельного равновесия рас-
рассмотрен ряд задач несущей способности неупругих конструкций,
состоящих из оболочек и подкрепляющих шпангоутов, нагруженных
227

комбинированными и локальными нагрузками. Соответствующие
упругие задачи рассмотрены в других главах книги.
7.2. НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ СИММЕТРИЧНО
НАГРУЖЕННЫХ СОСТАВНЫХ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Рассмотрим задачи предельного анализа ряда составных оболо-
чечных конструкций при комбинированном симметричном нагру-
жении.
Использована модель идеального жестко-пластического тела,
деформации считаются малыми. При выборе схем пластического
разрушения привлечены некоторые экспериментальные данные.
Рис. 7.3.
1. Состыкованные сферическая и цилиндрическая оболочки
при комбинированном напружении внутренним давлением и ло-
локальной .погонной нагрузкой в .месте стыка (стык может быть
подкреплен распорным шпангоутом) (рис. 7.3). Следуя идее
кинематического иримципа, анализируем кинематику образо-
образования местных пластических зон — кольцевых шарниров, приводя-
приводящих к разрушению (превращению системы в кинематически изме-
изменяемый механизм). Используем следующий вариант предельного
соотношения между силовыми факторами для оболочек [69]:
В пространстве ти tu ti G.12) дает граничную поверхность вто-
второго порядка. Предполагая, что при разрушении система превра-
превращается в кинематический механизм при образовании трех кольце-
кольцевых пластических шарниров, найдем зависимость между скоростя-
скоростями перемещений оболочки Д и со и через них выразим скорости уг-
углов перелома <рь фг:
?i=p/ .АС0&а° г? ?2=Д*~1; »=Atgl/2(o+ao) G.13)
R(sin a—sin a0)
[смысл параметров, входящих в G.13), ясен из рис. 7.3].
Мощность работы внешних сил равна
A=pnFpu-PaR{a-\-b)L-\-q2aRL. G.14)
228

Скорость диссипации внутренней энергии определяется по фор-
формуле
G.15}
Здесь индексы «1» и «2» относятся к сфере и цилиндру. Прирав-
Приравнивая G.14) и G.15), получим следующее уравнение:
^. cos <zo(sin a— sin ао)~х-\-тЧ2)к1Ъ~1-\-
0) G.16)
где v=p(a^2)~1; K=g{aji2)~l; черта вверху означает, что соответ-
соответствующая величина отнесена к радиусу вместе стыка R; для сокра-
сокращения записи принято, что материал обеих оболочек одинаков:
asA)=(rsB)=(rs; в случае применения различных материалов соот-
соответствующие уточнения могут быть легко проведены.
Предполагаем, что при действии погонной нагрузки q добавоч-
добавочное усилие Т\ в оболочках не возникает и 7\ определяется только
давлением р. (Это дает незначительную расчетную погрешность).
Тогда из G.12) получим
GЛ7)
=fi2(hl coisa).
Проводя минимизацию G.16) по а и Ь, получим систему урав-
уравнений для определения этих параметров. После подстановки а и Ь
с учетом G.17) получим уравнение, связывающее параметры внеш-
внешней нагрузки v и Л в предельном состоянии; это уравнение характе-
характеризует область неразрушения данной оболочечной конструкции.
В случае подкрепления стыка оболочек распорным шпангоутом
в выражение G.15) добавится слагаемое 2л(Т8Д/г (где F — площадь
сечения шпангоута).
Опуская промежуточные выкладки, приведем результаты чис-
численного анализа, проведенного на ЭВМ. На рис. 7.4 приведены за-
зависимости предельного значения параметра v для различных соот-
соотношений толщин и углов ао в случае действия одного внутреннего
давления. Кривые _/, 2, 3 соответствуют А, = Л2= 1/300; 3/2 й4=
=^2—1/300; 2hi=h2= 1/300. Пунктирные линии соответствуют на-
наличию распорного шпангоута с / = F^~2=0,001. На рис. 7.5 постро-
построены области разрушения для различных углов ао для h1=h2=
==1/300. На рис. 7.6 построены области при наличии шпангоута с
/=0,001. Штрихпунктирные кривые дают границы областей для
ао=190 при /=0,0005 (кривая 1) и при /=0,00025 (кривая 2). Из
рисунков видно, что наличие распорного шпангоута существенно
увеличивает несущую способность конструкции. Согласно кинема-
кинематическому подходу при предельном анализе выбирается форма раз-
разрушения, дающая минимальное значение предельной нагрузке.
229

Рассмотрим схему разрушения в виде пяти кольцевых пластических
шарниров (см. рис. 7.3). Приравнивая мощность работы внешних
усилий и ^скорость диссипации энергии, получим систему четырех
уравнений для определения параметров а, Ь, с, d, дающую возмож-
/
0,5
ч
\
V
>
4^
\
2
0,5
----^
—
¦—— ""
^?3° ^
~lFy~
V \
¦ •
— —.
ч
\
\
ч \
Л
1S 30 Ь5 60
Рис. 7.4.
0,05 0,1
Рис. 7.5.
ность построить области неразрушения. Опуская громоздкие вык-
выкладки, приведем результаты расчета. На рис. 7.6пунктирной линией
ограничены эти области для соответствующих углов ао. Как видно
из этих построений, рассмотренная схема дает более (высокие зна-
значения предельных нагрузок.
2. Состыкованные коническая и ци-
цилиндрическая оболочки при комбиниро-
комбинированном нагружении осевой силой и ло-
локальной погонной нагрузкой в месте сты-
стыка (возможно подкрепление стыка шпан-
шпангоутом) (рис. 7.7).
0,6
\
^ \
>ч>
V
У;
Л
\
?ч
NX
к
0,0k 0,08 0,12 0,16 JU
Рис. 7.6.
Рис. 7.7.
Киньматический анализ данной системы проводится так же, как
в случае 1. Имеем следующую связь между скоростями перемеще-
перемещений Д и (о а углами ф1, <р2:
-1. G.18)
230

Зависимость между силовыми факторами в предельном состоя-
состоянии принята в виде G.12). При этом из условия равновесия зои
(принимаем, что условие Т2 постоянно на участках а и Ь)
Ty = tr{Rv>sbK)-i;T2=\l2qR. G.19)
Приравнивая выражения для мощности работы внешних сил и
скорости диссипации энергии, получим
(cos ft,)-*--9-
v K 16
#2 2/3 L 8
X [2 (a cos &КГ - tg ftj + \
—
остальные обозначения такие же, как и в случае 1.
Определяя а и Ъ из условия минимума G.20), после стандарт-
стандартных выкладок из G.20) получим уравнение, связывающее парамет-
параметры внешней нагрузки тих для различных ®к в предельном состоя-
состоянии. Jia рис. 7.8 построены области неразрушения системы при
Ъу = Ъч= 1/175. Штриховыми линиями показаны рбласти неразруше-
неразрушения в случае подкрепления стыка шпангоутом (/=0,001).
В приведенных построениях размерами поперечного сечения
шпангоута пренебрегалось. Однако конфигурация сечения шпанго-
шпангоута может внести изменения в кинематическую схему разрушения
системы. Так, в случае шпангоута треугольного сечения, как пока-
показано на рис. 7.9, анализируется схема, при которой кольцевые шар-
шарниры образуются в сечениях А, В стыка шпангоута с оболочками и
в одном из сечений С[ или С2. Данный анализ следует проводить
для оболочечных систем, рассмотренных в п. 1 и в п. 2. В качестве
внешней нагрузки на систему может действовать опрокидывающий
л
5,0
\
V
А
«А
ч
\
\
. \
1 \ \ \
\
20
60
В
**\
сг
1
1
1
Рис. 7.8.
Рис. 7.9.
231

момент т, возникновение которого связано с эксцентриситетом при-
приложения погонной нагрузки q. Типичные поверхности неразрушения
в этом случае для оболочечной схемы, рассмотренной в п. 1, пока-
показаны на рис. 7.10 в координатах v, к, n=m(ash2R)-1. Поверхности
1, 2, 3 соответствуют углам ао,равным 15°, 30°, 45°.
3. Цилиндрические и конические оболочки, подкрепленные тор-
торцевым шпангоутом, при осе-
осевом сжатии.
Предположим, что пла-
пластическое разрушение, свя-
связанное с образованием коль-
кольцевых пластических шарни-
шарниров в оболочке и в месте
Рис. 7.10.
Рис. 7.11.
стыка оболочки и шпангоута, происходит при развороте сечения
шпангоута. На рис. 7.11 пунктиром показано деформированное
состояние системы.
Параметры системы таковы, что исключается потеря устойчиво-
устойчивости. Отметим, что недопустимость других видов разрушения — од-
одно из основных требований, лежащих в основе ТПР.
Мощность работы внешних усилий (верхний знак берется в слу-
случае конуса, для которого стык осуществляется по меньшему основа-
основанию)
A^Tbdy + Xitga), G.21)
Скорость диссипации внутренней энергии для шпангоута
Д=2я/?а,A) Н
у (х) w (х)
j,(*)w(jc)/?-»flr.*j , G.22)
где у(х) —ширина сечения; w(x) —скорость радиального переме-
перемещения. При развороте шпангоута на угол fti скорость w=$ix и ско-
скорость диссипации равна (S — статический момент половины сече-
сечения)
Xl X,
Dx=AnosbS\ S—^y(x) xdx = \ у (х) xdx. G.23)
о о
232

Скорость перемещения стыка оболочки и шпангоута и угла раз-
разворота оболочки определяются соотношениями w=$iXi; #2=
В месте стыка угол разворота равен сумме ui и ¦fh- Скорость
диссипации энергии оболочки
D2=asi2)nbx1hb+2nMs [R {^ +2&2) + 6&2tg a]. G.24)
Минимизация дает b—YRft. Полная скорость диссипации сис-
системы равна
Окончательно получим следующее значение предельной осевой '
силы (в безразмерной форме): _ _
fllv = Tnv К/?2)-1=я (yjf х tg a) X
X [45 + bxji +1 /2Л2 A + 2xJ>~1) +1 ffixi tg а]. G.25)
В выражение G.25) входят безразмерные параметры, представ-
представляющие собой отношение соответствующих величин к R, S=SR~3.
При выводе G.25) предполагалось, что сечение шпангоута пол-
полностью находится в пластической области. В действительности плас-
пластическая зона распространяется от места стыка оболочки и шпан-
шпангоута по мере увеличения угла разворота шпангоута. Учет этого
обстоятельства позволяет уточнить расчетные схемы определения
предельных нагрузок. Угол разворота меняется от величины, соот-
соответствующей началу пластических деформаций, до конечной вели-
величины, определяемой деформацией разрушения sa{$B=sBRx7 )¦ Тог-
Тогда для шпангоута
»в /х, хг \
Д = 2яо,A) у \ y[x)xdx+\ у [х) xdx\db. G.26)
При вычислении скорости диссипации энергии оболочки, учиты-
учитывая, что xs=EpR$-1 — ®pb®-i, получим
D2=D3+1/2 яа^2) h2Rb A Л-хф'1 ± х^-1 tg а);
»в ь
D3=2ncss{2)h j ^xdxdb=nasi2)RhbzB(l-zpeB-1J. G.27)
4. Состыкованные конические оболочки (стык подкреплен шпан-
шпангоутом) при осевом сжатии (рис. 7.12).
Предположим, что пластическое разрушение системы, соответ-
соответствующее превращению ее в кинематически изменяемый механизм,
происходит при развороте сечения шпангоута и образовании коль-
кольцевых пластических шарниров в оболочках и в местах стыка шпан-
шпангоута и оболочек.
При развороте сечения на угол Ь скорости деформаций оболо-
оболочек и углов поворота оболочек вокруг шарниров равны
j-1; Ъ2=Ъх2{асоъа2)-1,
G.28)
233

где w\, w2 — скорости перемещения краев оболочек в месте стыка.
При данной схеме разрушения мощность работы осевой силы Т
составит А = Ти, где и — скорость осевого перемещения, определя-
определяемая по формуле
а=та»! tg щ + х02 tg <*2- С- 29)
Скорости диссипации внутренней энергии шпангоута и оболочек
равны
R R1 + bhR-1 -f-
ri\}. G.30)
Рис. 7.12.
После стандартных выкладок получим предельное значение осевой
силы (в безразмерной форме)
+F2'% (cos a2
-1/2 + Л? [1/2+л, (Л, cas ai)~1/2] +
(^2cosa2)-1/2]}, G.31)
где S=SR~3, а остальные величины отнесены к i?.
Отметим, что расчетные значения разрушающей осевой силы
при рассмотренных в пп. 3, 4 схемах пластического разрушения на-
находятся в хорошем соответствии с некоторыми экспериментальными
данными для модельных оболочечных конструкций из алюминиевых
сплавов.
7.3. НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ КРУГОВЫХ КОЛЕЦ
ПРИ ЛОКАЛЬНЫХ НАГРУЗКАХ
Рассмотрим задачи предельного анализа круговых рам — шпан-
шпангоутов при действии различных локальных нагрузок. Исследование
предельного состояния связано с последовательностью образования
пластических шарниров. При этом определяются нижняя и верхняя
границы коэффициента запаса (статический и кинематический
анализ).
1. Система самоуравновешенных m радиальных сил (рис. 7.13).
Рассмотрим статически допустимое поле усилий, определяя таким
образом нижнюю границу коэффициента запаса. Изгибающий мо-
момент в сечениях шпангоута
234

ttl
G.32)
При Я=^/,(^Жпв1/?)Чгде ^ш^Гctg
Wp — пластический момент сопротивления) образуется т пласти-
пластических шарниров под силами. Система становится статически опре-
определяемой и разделяется на т участков. При дальнейшем росте
нагрузки образуется т шарниров между силами. Предельное зна-
значение сил получим, приравнивая момент в точке С значению (—Мр)
Pnp=4Afp[(sin 0/2)-1—ctg #/2]~1./?-1 = 4Mp./?-1ctg# /4. G.33)
Рис. 7.13.
При Р=ЯЩ) система превращается в кинематический механизм,
превышение ЯПр приводит к разрушению («складыванию») шпанго-
шпангоута. Рассмотрим кинематически допустимое поле скоростей пере-
перемещений. Скорости удлинения и угла поворота определяются соот-
соотношениями
ei={v'-\-w)R-i; :^ = R-1(w1 — v), G.34)
где w, v — скорости радиального и тангенциального перемещений.
Полагаем, что дуга сектора между шарнирами поворачивается
на угол p = const, а скорость удлинения равна нулю. Тогда из
G.34) получим
s2^R~^(w"-\-w) = Q. G.35)
Решение G.35) имеет вид
w = i4sin(<p + ?); v = A cos (<р + Я) + С. G.36)
Определяя постоянные интегрирования из условия
хг) = Д, г> —0 при <р = 0; г> = 0 при ср=— ,
получим
Р=—A/T'ctg »/4. G.37)
Приравнивая мощность работы внешних сил A/2ЯД) скорости дис-
диссипации энергии (—2Мрр), получим
ctg »/4. G.38)
235

В данной задаче верхняя и нижняя границы коэффициента запа-
запаса совпадают. При расчете по допустимым напряжениям [а] пре-
предельная нагрузка P°nv=[o]W (ДмтахЯ) (№— упругий момент
сопротивления).
Применение ТПР повышает несущую способность системы в /i
раз
^ G-39)
Для 2, 4, 6, 8 и 12 сил а равно соответственно 1,27; 1,31; 1,32;
1,33; 1,33. Для прямоугольного кругового и ромбовидного
кольца Wp-W-1 равно 1,5; 1,33; 2. Некоторые экспериментальные
данные для этого случая нагружения приведены в работе [16].
2. Радиальная сила, уравновешенная потоком касательных уси-
усилий со стороны оболочки x=P/nR sin <p (рнс. 7.14). Рассмотрим
статически допустимое поле усилий. Изгибающий момент в сечени-
сечениях шпангоута
1/2 cos <?)=КMPR. G.40)
Первый шарнир образуется под силой при Pi=Mp(Kmтах#)~' =
=4,2MpR~l. При дальнейшем нагружении в силу симметрии обра-
образуются два шарнира при ф = ±ф2 и при Р=Р2. Изгибающий мо-
момент на участке АВ
Мх {у)=Мр— \/2PR sin <р + NR(l — cos <р) —
ч
-PRn~l jsin<|>[l —casfo —<|>)]rf|; G.41)
о
N=P{\/2 sincpj-l-n" [1 — cas«p2— l/2costp2 sin2<p2 —
-1- sin ?1 (<fe- y sin 2cp2j j - 2ЛуГ*} A - cos cp2)->.
После образования трех шарниров система становится статиче-
статически определимой, шпангоут разделяется на три участка. Рассматри-
Рассматривая равновесие участка АВ, имеем
N—a sin cp2-(-6cascp2; Q—a castp2 — b sincp2; G.42)
а=П/2Я[1 — я (<р2—1/2 sin 2<p2)]; b=N — у- л-ф sin<p2,
а изгибающий момент на участке ВСВ' равен
— Я7? [cos tp2 — cos <p -f 1/4 cos <p (cos 2<p — cos 2^) —
— 1/2 sincp(<p —T2— 1/2 sin2<p-f 1/2 sin 2<p2)]. G.43)
Значение предельной силы Рпр, при которой образуется четвертый
236

шарнир, в сечении ф=я, дает предельную нагрузку для шпангоута.
Условие М2{п) =МР дает
1 {1/2A -cos<p2) sin<p2[1 _я-1(„_ 1/2 sin 2%)] +
cos<p2){1/2 этерг + я^ — cos<p2— l/2cos<p2 sin^ —
—1/2 sin % (<p2— 1/2 sin 2<p2)]>— 1/2 я sin4^ —
. G.44)
Строя зависимость PRMp-1 от ф, получим, что минимальное
значение разрушающей силы
?-1 при <р2—64°.
Рис. 7.14.
Рассмотрим кинематически допустимое поле скоростей переме-
перемещений. Для участка 1 @<ф<ф]) решение уравнений G.35) име-
имеет вид G.36). Постоянные интегрирования определим из условий:
гг)](О)==г»1(О)=О; гг),(<р,) = Д. Тогда да1 = А sin<p(sin ср,);
*>,= — ДA- cosy) (sin «и)-»; p,=A(/?sin<Pl)-1.
Для участка 2 («pi<<p<n) постоянные в G.36) определим из
условий: ¦ау2(<р2) = Д; v2 (<Pi) = «, (<p,)= — Atg -^-; -02(я)=О.
Получим:
да2 = Л2 sin (cp + ^2); lu=^2cos(<p + 52) + C2;
-1; G.45)
Мощность работы внешних сил и скорость диссипации энергии
внутренних усилий будут
¦ А=
Г t (<р) г»!^с?<р+ f t (ep) v2Rdf>
(Pi и Р
D дает
G-46)
— углы поворота в сечениях А, В). Условие равенства А и
237

PB?=2nMpR-l[sln (?1-
sin ft] {sin (ft
X
x
fl —cos?1 —— sin2 9J +sin срг Гсов/?Л— sin2 91 — 1
+ -J- (*-?, +у sin г
cos
ft j -f
G.47)
Строя зависимость PR-Mp~l от <р (сплошная линия на рис.
7.16), определим угол <рг, которому соответствует Рщ,.
Расчеты дают практически те же значения ф2 и Рщ,, что и в ста-
статическом решении. Верхняя и нижняя границы коэффициента запа-
запаса здесь также совпадают. Применение ТПР повышает несущую
Р/2 Р/2 Р/2
Рис. 7.15.
способность по сравнению с расчетом по допускаемым напряжени-
напряжениям в /2 = 1,65-ф раз.
3. Касательные силы, уравновешенные потоком касательных
усилий со стороны оболочки (рис. 7.15). Изгибающий момент в се-
сечениях шпангоута в этом случае равен
G.48)
Исследуя функцию М(<р) на экстремум, получаем угол ф1 =
= 66F>46/, характеризующий сечение, где образуется пластический
шарнир (в силу симметрии эпюры М (ф) четыре шарнира при Pi =
= ЛГр(/Смтах^)~1 = 69ЛГр/?-1). Система при этом становится стати-
статически определимой. Предельное значение силы получим, приравни-
приравнивая момент в сечениях ф=0, я величине Mp(Pnp=78MpR-1). Несу-
Несущая способность повышается в /з=1,13г|) раз.
Для кинематически допустимого поля скоростей перемещений,
применяя уравнения G.36) и используя условия: при ф=ф1 ско-
скорость w=A; при ф=0 скорость w=v=0, а также фиксируя точку
Л, получим значения w, v для участка /:
¦а>1 = Д sin <$>(sinft); vt= — ДA — cos<j>)(sin ft)". G.49)
Для участка 2 (ф1<ф<фз) постоянные интегрирования опреде-
определим с точностью до параметра С2=йД из условий: при ф=ф1 ско-
скорость йУ = Д, v= —Atg ф1/2. Получим
w2 = Ai sin <?-\-B2 cos ft- ii2=A2 ccxs<f — B2 si
=cas<pi — Y sin
50)
238

Для участка 3 (<р3<ф<п) постоянные определим из условий:
G.51)
Мощность работы внешних усилий и скорость диссипации внут-
внутренней энергии
р /
A=-—v2\±
9'
xvaRd<t
G.52)
6,90
/
60
62
6k
6Б 4>,град
Рис. 7.17.
Рис. 7.16.
где Ьх — углы поворота недеформируемых участков /, 2, 3. Оконча-
Окончательно получим Рпр = т1(ф)Л1р/?-1 (выражение т](ф) ввиду громозд-
громоздкости опускаем). Условие dP/dk = 0 дает
^=(costp1tg(p1/2— sinepi) A+costpj)", G.53)
а построение зависимости Рпр(ф) (пунктирная линия на рис. 7.16)
определяет PnPmin=88,68 MpR~l при ф1 = 64о30'. Здесь применение
ТПР повышает несущую способность в /ч=1,28г|з раз по сравнению
с расчетом по допускаемым напряжениям.
4. Нагружение жестким ложементом (рис. 7.17). Реакция ложе-
ложемента уравновешена потоком касательных усилий т(ф) =
(/ji?)siq>.
Рассмотрим кинематически допустимое поле перемещений. Об-
Образование пяти шарниров, как показано на рисунке, превращает
систему в механизм.
Решение уравнения G.35) запишем в виде
w=A sin <?-\-B cos <p; v= A cos<j> — В sin<p+C. G.54)
Постоянные интегрирования определяются для участков /
@<ф«х); 2 (а<Ф<р) и 3 (р<ф<я)
из условий:
@) @)
() @)
щ{а)=т1(а)\
v2(a)=vl(a)
239

Окончательно для участков /, //, /// скорости перемещений опреде-
определятся по G.54), где постоянные помечены соответствующим индек-
индексом:
A=A(sina)-1; #i=0; Сх==—Д2 (/? sin a)~i;
Л=Д A — В2 cos a) (sin a); B2=Д A — cos Р) (cos a —cos p sin2 a);
G.55)
C2=-AM2(/?casp)-b Л3=0; B3=A2tg$ + B2; C3=0.
Мощность работы внешних сил и скорость диссипации внутренней
энергии определяются по формулам
= -Я-да (л)+ 2 Г
я
Г
+ 1/4я Л! Dcos a — cos 2a — 3) -f A2 [A/4) (cqs 2a — cos 2ft) -f
+ (cos p - cos a) (cos p)-i] - A/2) 5j (p - a + A/2) sin 2a -
G.56)
Условие их равенства дает
РП? = 2М„(Ytf sin o)-4l-(cosp)~'fl-- 0-«»P)«»o )] > G57)
L \ cos a — cosPsin2a/J
Проводя минимизацию G.57) по параметру а, получим уравне-
уравнение для его определения и минимальное значение предельной наг-
нагрузки. Предельный случай {5=180° соответствует сосредоточенной
силе и дает Рщ> = &,ШМрЯ-\ На рис. 7.18 показана зависимость
коэффициента предельной нагрузки %=Р/^М^Х (кривая /) и
угла а (кривая 2) от угла ложемента 8.
0f°
130
60
40
20
О
МО
\
\
2
100
р
110
90
по
Рис. 7.18.
180
70
Рис. 7.19.

7.4. О НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
ПРИ ЛОКАЛЬНОМ НАГРУЖЕНИИ РАДИАЛЬНОЙ СИЛОЙ *
Для локального поперечного нагружения оболочек применение
ТПР связано со значительными трудностями. Краткий обзор подоб-
подобных исследований дан в работах [29, 58]. Отметим, что в [28] полу-
получены верхние оценки предельной нагрузки для оболочек положи-
положительной и отрицательной кривизны.
Рассмотрим один из приближенных подходов к задаче предель-
предельного равновесия цилиндрической оболочки при действии радиальной
сосредоточенной силы, основанных на кинематическом методе. Схе-
Схема разрушения выбрана из физических соображений и из наблю-
наблюдений возможного разрушения оболочки при указанном нагруже-
нии в эксперименте (рис. 7. 19).
Предполагаем, что при разрушении часть оболочки превращает-
превращается в кинематически допустимый механизм. Деформируемая по-
поверхность представляет совокупность сосредоточенных деформаций
вдоль линий излома и жестких участков поверхности оболочек, ог-
ограниченных этими линиями. Поле скоростей перемещений для уча-
участков поверхности определим из условия e2=xi=K2=>«i2=«=0;
82, Хг — скорости кольцевых деформаций и кривизн, и — скорость
осевого перемещения
w=(bx -f-er) cos 9 — {ах -\- /г) sin 9;
v=(ax-\-fr)co&4-\-{bx-\-er) sin 9; G.58)
у—a cos9~f-^ sin 9;
&!=a sin9 —?cos9; &2=c,
где Y.fri — скорости сдвига и углов поворота; w, v — скорости пе-
перемещений; а, Ь, с, d, e, f — постоянные, определяемые из гранич-
граничных условий (начало координат в месте приложения силы):
при х=1 ¦а>=г>=0;
при ;с=0 да=Д; w^) = 0; v(Q)=v($)=0. G.59)
Тогда для участков /, 2, 3
а1 = 0; Ь1= — М~1; et=br-1;
?! — /1=e1ctga — c2sin(P — a) (sin a);
a2=b2=0; c2=^(cosatga/2— sin a) X G.60)
[br1
e3=e1 — c1 sin a; /3=2сг sin2 -|- ;
«3= — f3rl~h, b3^=—e3rl-u, c3=0;
здесь А — скорость прогиба под силой.
Линиями излома являются кольцевые пластические шарниры
при *=0, *=/; пластические шарниры вдоль образующих при
<р=0, р между сечениями *=0, х=1; линии перелома первого и
третьего, второго и третьего участков поверхности. Параметры /, а,
• Написано совместно с В. П Герасимовым.
241

5 определяются из условия минимума предельной нагрузки, а урав-
гения линий перелома участков 1, 2, 3 (их границы) определяются
[з условия равенства радиальных перемещений на этих линиях
?13=йУг ((=1,2). Тогда получим
r(«j-«a)co5T-(/,-/3)sinT. i=h 2. G.61)
Мощность работы внешней силы А = РА.
Скорость диссипации внутренней энергии в кольцевых пластиче-
:ких шарнирах
(\ ) G. 62)
\ d<? + J !М3)
Скорость диссипации в шарнирах, направленных по образующим,
А=-шЖ1I+№2I). G-63)
Скорость диссипации в шарнирах, направленных по наклонным
шниям,
о J
))(eil)-^>)
G.64)
]
dS2=[
Скорость диссипации на участках, ограниченных шарнирами, за-
шсит от сдвиговых деформаций:
)fl()|l. G.65)
формулах G.62) — G.65) обозначено:
!начение предельной радиальной силы определяется из условия
4
Д=0. G.66)
Линимизируя G.66) по а, Р и /, определим эти параметры. В дан-
(ой задаче проводилась численная минимизация ввиду существен-
юй сложности исходных соотношений.
В одном из примеров расчета для параметра r/h=50 получено
( = 8,5°; р = 32о; //-" = 0,3; JP = Pnp(as/j2)-1 = 21.
В заключение отметим сложность и определенную новизну воп-
юсов определения несущей способности оболочечных конструкций
[ри их неупругом поведении. Приведенные в гл. 7 решения задач
[редельного анализа являются иллюстрацией возможностей теории
!редельного равновесия для анализа тонкостенных конструкций
фи локальных и комбинированных нагрузках.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Авдоиии А. С. Прикладные методы расчета оболочек и тонкостенных кон-
конструкций. М., «Машиностроение», 1969, 402 с.
2. Андреев Л. В., Макеев Е. М. Об устойчивости цилиндрической оболочки,
нагруженной равномерным внешним давлением иа части ее длины. — В ки.: Тру-
Труды VI Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин. М., «Наука», 1966,
с. 69—75.
3. Андреев Л. В., Макеев Е. М. Экспериментальное исследование устойчивости
цилиндрической оболочки при локальном нагружении внешним давлением.—
«Прикладная механика», 1969, т. 5, № 4, с. 123—127.
4." Антонов А. С, Чижов В. Ф. Пространственная устойчивость колец, связан-
связанных с тонкими оболочками. — В кн.: Теория оболочек н пластин. Труды VIII Все-
Всесоюзной кюнф. по теории оболочек и пластин. М., «Наука», 1973, с. 217—221.
• 5. Балабух Л. И., Галкин С. И. Приближенная теория основного напряженно-
напряженного состояния цилиндрической оболочки, подкрепленной упругими шпангоутами. —
«Труды IV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок (Баку,
1966)», М., «Наука», 1966, с. 147—155.
• 6. Балабух Л. И., Шаповалов Л. И. Контактные задачи сопряжения безмо-
ментных оболочек вращения с упругим кольцом. ¦— «Изв. АН СССР, ОТН, Меха-
Механика и машиностроение», 1962, № 4, с. 61—66.
7. Беляков В. М., Кравцов В. М., Раппопорт М. Г. Таблицы эллиптических
интегралов, тт. 1, 2. М., Изд-во АН СССР, 1963, 285 с.
8. Биргер И. А. Общие алгоритмы решений задач теорий упругости, пластич-
пластичности и ползучести. — В кн.: Успехи механики деформируемых сред. М., «Наука»,
1975, с. 51—73.
9. Болотии В. В., Григолюк Э. И. Устойчивость упругих и неупругих сис-
систем. — В кн.: Механика в СССР за 50 лет, т. 3, М., «Наука», 1974, с. 325—363.
10. Власов В. 3. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. М., Гос-
техиздат, 1949, 756 с.
11. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок н оболочек. М., «Наука»,
1972, 432 с.
12. Гвоздев А. А., Проценко А. М. Перспективы приложения теории предель-
предельного равновесия для оболочек.—В кн.: Труды VII Всесоюзной конференции по
теории оболочек и пластин. М., «Наука», 1970, с. 736—748.
13. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. М., ГИТТЛ, 1953,
542 с.
14. Григолюк Э. И., Кабанов В. В. Устойчивость круговых цилиндрических
оболочек. Итоги науки, 1967, Механика твердого тела. М., «Наука», 1969, 348 с.
15. Гудрамович В. С. К расчету цилиндрических оболочек, находящихся под
гидростатическим давлением. — «Строительная механика и расчет сооружений»,
1971, № 4, с. 32—35.
16. Гудрамович В. С. Несущая способность шпангоутов при действии сосредо-
сосредоточенных сил. — «Изв. ВУЗов. Авиационная техника», 1972, № 1, с. 125—128.
17. Гудрамович В. С. Пластическое выпучивание цилиндрической оболочки ко-
конечной длины при импульсном локальном нагружеиии. — В ки.: Теория оболочек
и пластин. Труды VIII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин.
М., «Наука», 1973, с. 125—130.
18. Гудрамович В. С. О несущей способности конструкций летательных аппа-
аппаратов. — В кн.: Космические исследования на Украине, Киев, «Наукова думка»,
1976, вып. 9, с. 78—85.
19. Гудрамович В. С, Герасимов В. П. Несущая способность силовых колец
при локальных нагрузках. — В кн.: Контактная прочность пространственных кон-
конструкций. Киев, «Наукова думка», 1976, с. 163—173.
243

20. Гудрамович В. С, Деменков А. Ф. Об изгибе и несущей способности не-
неупругих цилиндрических оболочек с начальными несовершенствами формы и оста-
остаточными напряжениями. — Доклады АН УССР, сер. А, 1977, № 1, с. 29—33.
21. Гудрамович В. С, Дисковский И. А. О локальной устойчивости сфериче-
сферических оболочек. — Доклады АН СССР, 1977, т. 232, 6, с. 1285—1288.
22. Гудрамович В. С, Дисковский И. А., Коновалов Н. А. Применение высо-
высокоскоростной киносъемки при экспериментальном исследовании процесса локаль-
локальной потери устойчивости оболочек. — «Журнал научной и прикладной фотогра-
фотографии и кинематографии АН СССР», 1977, № 6, с. 58—65.
23. Гудрамович В. С, Моссаковский В. И. Контактная задача для упругого
кольца, подкрепляющего цилиндрическую оболочку. — «Изв. АН СССР, ОТН. Ме-
Механика и машиностроение», 1961, № 2, с. 153—il56.
24. Гудрамович В. С, Моссаковский В. И. Общий случай плоской контактной
задачи для распорного кольца — «Прикладная механика», 1966, т. 2, вып. 6, 3—10.
25. Гудрамович В. С, Новопашии А. А., Пурель А. А. и др. Контактная зада-
задача для подкрепленной цилиндрической оболочки конечной длины, лежащей на
круговом основании. — В кн.: Гидроаэромеханика и теория упругости. Межвузов-
Межвузовский сбори. Харьков, Изд. ХГУ, 1968, вып. 8. с. 97—105.
26. Гудрамович В. С, Пурель А. А. Контактные задачи для произвольной сис-
системы оболочек вращения и кругового основания. — В кн.: Теории оболочек и
пластин. Труды VIII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. М.,
«Наука», 1973, с. 665—669.
27. Даревский В. М. Контактные задачи теории оболочек. — В кн.: Труды VI
Всесоюзи. конф. по теории оболочек и пластин. М., «Наука», 1966, с. 540—551.
28. Дехтярь А. С, Тютюииик А. М. О предельной сосредоточенной нагрузке
на оболочку—«Прикладная механика», 1975, том II, № 10, с. 36—43.
29. Ерхов М. И. Вопросы прочности идеально-пластических оболочек. — В кн.:
Строительные конструкции. Вып. 4. Исслед. прочности конструкций иеупругих ма-
материалов. ЦНИИСК, М., 1969, с. 74—164.
30. Ж ига л ко Ю. П. Расчет упругих цилиндрических оболочек на локальные
нагрузки (методы, результаты). — В кн.; Исследования по теории оболочек и пла-
пластин, Казань, изд-во КГУ, вып. 4, с. 5—27.
31. Загубижеико П. А., Гашко А. А., Литвииеико Ю. Л. К вопросу о давлении
цилиндрического резервуара иа опорные ложементы. — В кн.: Гидроаэромеханика.
Изд. ХГУ, Харьков, 1965, вып. 2, с. 46—51.
32. Зайденберг А. И., Ивченко Е. В., Макеев Е. М. Контактная задача для
круговой цилиндрической оболочки и незамкнутого кругового стержня. — «Проб-
«Проблемы прочности», 1977, № 4, с. 58—62.
33. Зайдеиберг А. И., Макеев Е. М. К расчету цилиндрической оболочки при
осевом иагружении и локальном взаимодействии с опорным основанием. — «Проб:
лемы прочности», 1977, № 8, с. 38—44.
34. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., «Мир», 1975, 542 с.
35. Ивченко Е. В., Макеев Е. М. Контактная задача для цилиндрической обо-
оболочки и соосной кольцевой опоры. — В кн.: Труды X Всесоюзной коиф. по теории
оболочек и пластин. Тбилиси, «Мецниереба», 1975, т. I, с. 142—152.
36. Ивчеико Е. В., Макеев Е. М. Контактное взаимодействие соосиых колец с
односторонним круговым упругим основанием. — «Прикладная механика», 1976,
т. 12, № 1, с. 57—62.
37. Ивчеико Е. В., Макеев Е. М. Исследования прочности цилиндрической
оболочки при локальном взаимодействии с нелинейным круговым основанием. —
«Проблемы прочности», 1976, № 10, с. 26—'31.
38. Ивченко Е. В., Макеев Е. М. К расчету кольца иа круговом нелинейном
основании. — «Строительная механика и расчет сооружений», 1976, № 5, с. 35—68.
39. Ивчеико Е. В., Макеев Е. М. Исследование контактного взаимодействия
кругового кольца и упругого ложемента произвольного очертания с учетом тре-
трения. — «Прикладная механика», 1977, № 12, с. 87—92.
40. Ильюшин А. А. Пластичность, М.—Л. Гостехиздат, 1948, 375 с.
41. Ильюшин А. А. Основные направления развития проблемы прочности и
пластичности. — В кн.: Прочность и пластичность, М., «Наука», 1971, с. 5—>18.
42. Кан С. Н., Строительная механика оболочек. М., «Машиностроение», 1966,
505 с.
244

43. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
М., «Наука», 1965.
44. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа.
М., Физматгиз, 1962, 708 с.
45. Кармншнн А. В., Лясковец В. А., Мяченков В. И. и др. Статика н дина-
динамика тонкостенных оболочечных конструкций. М., «Машиностроение», 1975, 375 с.
46. Качанов Л. М. Основы теории пластичности. М., «Наука», 1968, 420 с.
47. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М., «Наука», 1968, 832 с.
48. Курннный Ю. И., Никитин П. И. Нелинейная деформация распорных ко-
колец — «Прикладная механика», 1974, т. 10, вып. 2, с. 33—39.
49. Лукьяненко П. П., Макеев Е. М., Тонконоженко А. М. Исследование нап-
ряженио-деформированного состояния цилиндрической оболочки с заполнителем
в районе круговых опор (ложементов).—В кн.: Надежность и прочность техни-
технических систем. Киев, «Наукова думка», 1976, с. 147—160.
50. Львин Я. Б. Сопротивление оболочек вращения краевым циклическим наг-
нагрузкам. — В кн.: Расчет пространственных конструкций. М., Стройяздат, 1962,
вып. 7., с 78—89.
51..Макеев Е. М. Об устойчивости кругового кольца, подкрепляющего оболоч-
оболочку вращения, при внешней радиальной нагрузке. — В кн.: Контактная прочность
пространственных конструкций. Киев, «Наукова думка», 1976, с. 151—162.
52. Макеев Е. М., Семененко В. П. Прочность, жесткость и устойчивость сос-
составной оболочечиой конструкции при поперечном локальном нагружении. — В кн.:
Надежность и прочность технических систем. Киев, «Наукова думка», 1976,
с 132—146.
53. Макеев Е. М., Семененко В. П. Напряженно-деформированное состояние
цилиндрической емкости при поперечном локальном нагружении. —В кн.: Косми-
Космические исследования на Украине, Киев, «Наукова думка», 1976, вып. 9, с. 91—97.
54. Макеев Е. М., Феднй С. П. Контактная задача для цилиндрической емко-
емкости, лежащей на круговых упругих опорах, — «Прикладная механика», 1976, т. 12,
№ 8, с. 16—22.
55. Межлумян Р. А. Определение несущей способности тонкостенной конст-
конструкции с учетом упрочнения материала. — ПММ, 1951, т. 15, № 2, с. 1G5-—-182.
56. Моисеев Н. Н. Численные методы теории оптимальных управлений, исполь-
использующие вариации в пространстве состояний. — «Кибернетика», 1966, № 1, с. 3—10.
57. Моссаковскнй В. И., Андреев Л. В., Ободан Н. И. и др. О локальной ус-
устойчивости цилнндричских оболочек, нагруженных сосредоточенной силой. —
«Доклады АН СССР», 1975, т. 225, № 3, с. 517—519.
58. Моссаковскнй В. И., Гудрамович В. С. Контактные задачи теории оболо-
оболочек. — В кн.: Контактная прочность пространственных конструкций, Киев, «Нау-
«Наукова думка», 1976, с. 3—40.
59. Моссаковскнй В. И., Гудрамовнч В. С, П у рель А. А. и др. Контактная за-
задача для подкрепленной цилиндрической оболочки, лежащей на круговом осно-
основании (ложементе). — В кн.: Расчет пространственных конструкций М., Стройиз-
дат, 1967, вып. 11, с. 53—72.
60. Моссаковскнй В. И., Макеев Е. М. Расчет кругового кольца и сопряжен-
сопряженных с ним цилиндрической и сферической оболочек на действие сосредоточенных
нагрузок. — В кн.: Расчет пространственных конструкций М., Стройиздат, 1969,
вып. 12, с. 96—111.
61. Мухамеднев Ш. А., Никитин Л. В., Юнга С. Л. Применение модифициро-
модифицированного метода локальных вариаций к задачам нелинейной механики разруше-
разрушения. — «Изв.» АН СССР, МТТ», 1976, № 1, с. 76-i83.
62. Муштарн X. М., Галнмов К. 3. Нелинейная теория упругих оболочек. Ка-
Казань, Таткнигоиздат, 1957, 431 с.
63. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л., Судпромгиз, 1951, 344 с.
64. Оден Д. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.,
«Мир», 1975, 464 с.
65. Ольшак В., Савчук А. Неупругое поведение оболочек. М., «Мир», 1969,
144 с.
66. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трех томах. Под общей
редакцией И. А. Биргера и Я- Г. Паиовко, М., «Машиностроение», 1968, т. 1, 832 с.
245

67. Работнов Ю. Н. Приближенная техническая теория упруго-пластических
оболочек. — ПММ, 1951, т. 15, № 2, с. 167—174.
68. Работнов Ю. Н. Механика твердого тела и пути ее развития. — «Изв. АН
СССР, ОТН, Механика и машиностроение», 1962, № 2, с. 3—.10.
69. Рождественский В. В. Состояния предельного равновесия сопряжений обо-
оболочек вращения. — «Научн. сообщ. ЦНИИСК», М., 1957, вып. I, с. 3—37.
70. Сальков С. Г. Устойчивость сферических оболочек при неосесимметричном
нагружении. — «Изв. АН СССР, МТТ, Семинары, Тезисы», 1973, № 4, с. 189.
71. Трофимов В. В. Некоторые задачи устойчивости цилиндрических оболочек
и колец при неоднородном напряженном состоянии. Автореферат канд. диссерта-
диссертации.—МВТУ, М., 1971, 21 с.
72. Федореико Р. П. Приближенные методы для современных вариационных
задач. Автореферат докт. диссертации. Математ. ин-т АН СССР им Стеклова, М.,
1971, 28 с.
73. Феодосьев В. И. Прочность теплонапряженных узлов жидкостных ракет-
ракетных двигателей. М., Оборонгиз, 1963, 212 с.
74. Феодосьев В. И., Черияков С. М. О передаче сосредоточенных сил на
тонкостенную оболочку. — Инженерный журнал, МТТ., 1966, № 6, с. 57—63.
75. Черных К. Ф. Линейная теория оболочек. Л., Изд. ЛГУ, ч. I, 1962, 274 с,
ч. II; 1964, 396 с.
76. Чернышев Г. Н. О контактных задачах в теории оболочек. — В кн.: Тру-
Труды VII Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. Днепропетровск, 1969, М.,
«Наука», 1970, с. 898—903.
77. Черноусько Ф. Л., Баиичук Н. В. Вариационные задачи механики и управ-
управления. М., «Наука», 1973, 238 с.
78. Чижов В. Ф. Методы решения контактных задач теории оболочек н стер-
стержней. — В кн.: Труды X Всесоюзной конференции по теории оболочек н пластин.
Тбилиси, «Мецниереба», 1975, т. I, с. 305—313.
79. Чижов В. Ф., Кулемии В. Б. Экспериментальное исследование прочности
шпангоута, связанного с тонкой цилиндрической оболочкой.—Изв. ВУЗов. «Ма-
«Машиностроение», 1970, № 12, с. 7—12.
80. Шапиро Г. С. О поверхностях текучести для идеально пластических обо-
оболочек.— В кн.: Проблемы механики сплошной среды. М., Изд-во АН СССР, 1961,
с. 314—319.
81. Abrachamson С. R., Goodier J. N. Dynamic plastic flow buckling of a cy-
cylindrical shell from uniform radial impulse. Proc. 4th. U. S. National Congr. AppL
Mech., 1962, 939-950.
82. Argyris J. H., Scharpf D. W. Methods of elastoplastic analysis, Institut fur
Statik und Dynamik der Luft und Raumfahrtkonstuktionen. Univ. of Stuttgart.
Stuttgart, 1971, Rep. N 105, p. 3—42.
83. Beskin L. Local Stress distribution in Cylindrical Shells. Journ. of Appl,
Mech., 1946, vol. 13, N 2, p. 34—83.
84. Kooptnan D. C. A., Lance R. H. On linear programming and plastic limit
analysis. Journ. of the Mechanics and Physics of Solids, 1965, N 13, N 2 p. 77—87.
85. Lindberg H. E. Buckling of a very thin cylindrical shell due to an impul-
impulsive pressure. Journ. Appl. Mech., 1964, vol 31. N 2, p. 267—272.
86. Linderg H. E. Dynamic plastic buckling of a thin cylindrical shell contai-
containing an elastic core. Journ. Appl. Mech., 1965, vol. 32, N 4, p. 803—812.
87. Mizoguchi K., Shiota H., Sharakawa K- Deformation and stress in a cylin-
cylindrical shell under concentrated loading. Bull, of 1SME, 1968, vol. 11, N 45.
p. 393—403.
88. Nardo S. V. Experimental investigations. Reissner anniversary volume,
J. W. Edwards, Ann Arbor, Michigan, 1940, p. 321—332.
89. Palmer A. C. Limit analysis of cylindrical shells by dynamic program-
programming. International Journ. of Solids and Structures, 1969, N 5, p. 289—302.
90. Penning F. A. Experimental Buckling Modes of Clamped Shallow Shells
Under Concentrated Load. Journ. of Appl. Mechanics, 1966, N 2, p. 26—46.
91. Then Wah. Dynamic buckling of thin circular rings. Int. J. Mech. Sci. 1970,
vol. 12, p. 143—155.
92. Tsien Ling-hi, Tsoon Wan-Shia. A generalized variational principle for the
limit analysis in solid mechanics Scientia sinica, 1964, vol. 13, N 11, p. 1763—1772.
246

ОГЛАВЛЕНИИ
Стр.
Предисловие 3
Глава 1. Основные соотношения теории тонкостенных оболочечных систем 7
1.1. Соотношения теории упругих оболочек и круговых стержней . 7
1.2. Соотношения для составной оболочечной конструкции ... 17
1.3. Прикладные теории упругих оболочек и конструкций .... 20
Глава 2. Контактные задачи для составных оболочечиых конструкций и
круговых оснований — ложементов 30
2.1. Контактные задачи для составной оболочечной конструкции, взаи-
взаимодействующей с упругими ложементами 30
2.2. Контактные задачи для цилиндрических оболочек, взаимодейству-
взаимодействующих с упругими ложементами 46
2.3. Случай нелинейного кругового основания 60
2.4. Контактные задачи для дискретно подкрепленных круговых колец
' и ложементов 64
Глава 3. Контактные задачи для элементов оболочечных конструкций прн
переменных зонах контакта 69
3.1. Контактная задача для подкрепляющего цилиндрическую оболочку
упругого шпангоута, нагруженного через жесткий круговой ложе-
ложемент 69
3.2. Деформация кругового шпангоута на одностороннем упругом кру-
круговом основании 73
3.3. Контактное взаимодействие соосно сопряженных круговых колец,
лежащих на ложементе 76
3.4. Контактная задача для шпангоута и незамкнутого кругового стерж-
стержня (накладки) 81
3.5. Контактное взаимодействие шпангоута и упругого ложемента не-
некругового очертания 89
3.6. Учет сил трения в контактных задачах для кругового шпангоута
и упругого ложемента 91
Глава 4. Напряженно-деформированное состояиие составных оболочечных
конструкций при локальном иагружении и контактных взаимо-
взаимодействиях 101
4.1. Напряженно-деформированное состояние составной оболочечной
конструкции при произвольном локальном нагружении . . . 101
4.2. Напряженно-деформнроваииое состояиие цилиндрической оболочки,
опертой на круговые ложементы, при поперечном нагружении . 136
4.3. Контактное взаимодействие цилиндрической оболочки и соосного
опорного кольца (бандажа) при поперечном нагружении ... 154
4.4. Контактное взаимодействие и напряженно-деформированное сос-
состояиие соосно сопряженных цилиндрических оболочек при попереч-
поперечном нагружении 169
4.5. Напряженно-деформированное состояние цилиндрической оболочки
прн локальном осевом нагружении и контактном взаимодействии с
опорным основанием 174
4.6. Замечания об общей схеме расчета цилиндрической конструкции
прн поперечном нагружеиии 178
247

Стр.
Глава 5. Устойчивость оболочечных конструкций при равномерном локаль-
локальном нагруженин 182
5.1. Устойчивость иругового кольца, подкрепляющего систему оболочек,
вращения, при внешнем радиальном нагруэкеяни 182
5.2. Устойчивость цилиндрической оболочки, нагруженной равномерным
внешним давлением на части ее длины 187
5.3. Устойчивость цилиндрической оболочки, входящей в систему тонко-
тонкостенной конструкции при поперечном локальном (поясовом) иагру-
жении 196
Глава 6. Устойчивость оболочечных конструкций прн неоднородном нап-
напряженном состоянии 199
6.1. Вводные замечалия. Метод решения 199
6.2. Устойчивость сферических оболочек при существенно неоднородном
напряженном состоянии 202
6.3. Экспериментальные исследования устойчивости сферических сегмен-
сегментов при локальных нагрузках 206
6.4. Динамическая устойчивость цилиндрической оболочки при импуль-
импульсном нагружении подкрепляющего кольца 215
Глава 7. Несущая способность составных оболочечных конструкций прн
пластических деформациях . 222
7.1. О деформировании и несущей способности иеупругих оболочечных
конструкций 222
7.2. Несущая способность симметрично нагруженных составных оболо-
чечдых конструкций- 228
7.3. Несущая способность круговых колец при локальных нагрузках 234
7.4. О несущей способности цилиндрической оболочки при локальном
нагружении радиальной силой 241
Список литературы 243
ИБ № 1303
Владимир Иванович Моссаковский, Вадим Сергеевич Гудрамович,
Евгений Матвеевич Макеев
КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК И СТЕРЖНЕЙ
Редактор Г. Ф. Лосева Переплет художника Л. Г. Прохорова
Технический редактор Н. Н. Скотникова Корректор В. Е. Блохина
Сдано в набор 9.01.78. Подписано в печать 22.03.78. Т-03264
Формат 60Х90'/и Бумага типографская № 2. Литературная гарнитура. Высокая печать.
Усл. печ. л. 15,5 Уч.-изд. л. 16,43
Тираж С000 экз. Зак. -41 Цена 95 к.
Издательство «Машиностроение», 107885, Москва, Б-78, 1-й Басманный пер., 3.
Московская типография № 8 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Хохловский пер., 7.

Рис. 6.3.

Рис. 6.7.

Рис. 6.5.