Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и z-преобразования - Дёч Г.

Автор: Дёч Г.
Теги: алгебра математика
Год: 2006
Похожие
Все решения к "Сборнику задач по общему курсу физики"
Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2 томах. Том 2
Дифференциальные уравнения и краевые задачи: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB
Сборник задач по теории колебаний. Часть 1
Текст
                    Ф И 3 И К 0-
Математическая
Библиотека
Инженера
Г. ДЁЧ
РУКОВОДСТВО
К ПРАКТИЧЕСКОМУ
ПРИМЕНЕНИЮ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ЛАПЛАСА
И Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
С ПРИЛОЖЕНИЕМ ТАБЛИЦ,
СОСТАВЛЕННЫХ Р. ГЕРШЕЛЕМ
ПЕРЕВОД С ТРЕТЬЕГО НЕМЕЦКОГО ИЗДАНИЯ
Г. А. ВОЛЬПЕРТА
с предисловием Я. 3. ЦЫПКИНА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Scan by Hi-Copy
МОСКВА 1971 2006

517.2
D 39
УДК 512.98
ANLEITUNG
ZUM PRAKTISCHEN GEBRAUCH
DER LAPLACE-TRANSFORMATION
UND DER Z-TRANSFORMATION
VON
GUSTAV DOETSCH
ord. Professor an der Universitat Freiburg i. B.
MIT EINEM TABELLENANHANG VON
RUDOLF HERSCHEL
Dritte, neu bearbeitete Auflage
R. OLDENBOURG, MONCHEN, WIEN 1967
Густав Дёч
Руководство к практическому применению преобразования Лапласа
и Z-преобразования
(Серия «Физико-математическая библиотека инженера»)
М„ 1971 г., 288 стр. с илл.
Редакторы Я. М. Овчинникова, Л. #. Цлаф
Техн. редактор К. Ф. Брудно
Корректор Я. Д. Дорохова
Сдано в набор 1/11 1971 г. Подписано к печати 14/VII 1971 г. Бумага бОХЭО'/и*
Физ. печ. л. 18. Условн. печ. л. 18. Уч.-изд. л. 17,21. Тираж 18 500 экз.
Цена книги 1 р. 40 к. Заказ 1021
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР» Измайловский проспект, 29.
2-2-3
63-71

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому переводу 7
Из предисловия автора ко второму изданию 8
Предисловие автора к третьему изданию 9
Глава 1. Определение преобразования Лапласа 11
§ 1. Спектральное представление функций посредством ряда Фурье
и интеграла Фурье 11
§ 2. Интеграл Лапласа и его физический смысл 25
§ 3. Некоторые свойства функций, получаемых из интеграла Лап-
Лапласа. Примеры 28
§ 4. Интеграл Лапласа как преобразование 33
Глава 2. Правила выполнения операций при преобразовании Лапласа . 38
§ 5. Отображение операций 38
§ 6. Линейные подстановки 39
§ 7. Дифференцирование 41
§ 8. Интегрирование .44
§ 9. Умножение и свертывание 45
Глава 3. Обыкновенные дифференциальные уравнения 50
§ 10. Дифференциальное уравнение первого порядка 50
§ 11. Дифференциальное уравнение второго порядка 54
§ 12. Неоднородное дифференциальное уравнение п-то порядка с
начальными значениями, равными нулю 61
§ 13. Отклики на специальные виды возбуждения 70
1. Отклик на единичный скачок (переходная функция) ... 70
2. Отклик на импульсное возбуждение 74
3. Частотная характеристика 76
§ 14. Однородное дифференциальное уравнение п-то порядка с про-
произвольными начальными значениями. Собственные колебания 80
§ 15. Нормальная система совместных дифференциальных уравне-
уравнений с любыми выполнимыми начальными условиями .... 85
§ 16. Аномальная система совместных дифференциальных уравне-
уравнений с выполнимыми начальными условиями 95
§ 17. Аномальная система совместных дифференциальных уравне-
уравнений с невыполнимыми начальными условиями. Решение по-
посредством распределений 99
§ 18. Приведение системы дифференциальных уравнений к одному
уравнению для одной неизвестной путем исключения осталь-
остальных неизвестных (способ, принятый в технике) 103
§ 19. Система дифференциальных уравнений со структурой, различ-
различной в отдельных интервалах 106

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 20. Система уравнений для электрической цепи ПО
§ 21. Начальные значения для аномального случая уравнений
электрической цепи .116
§ 22. Нелинейные дифференциальные уравнения 123
Глава 4. Уравнения в частных производных 127
§ 23. Общие указания о применении преобразования Лапласа к
уравнениям в частных производных 127
§ 24. Уравнение теплопроводности 132
1. Начальная температура равна нулю, граничные температу-
температуры произвольны 135
2. Начальная температура произвольна, граничные температу-
температуры равны нулю 139
§ 25. Система уравнений для двухпроводной электрической линии с
распределенными параметрами 141
Глава 5. Интегральные уравнения и интегральные соотношения . . .152
§ 26. Интегральные уравнения типа свертки 152
§ 27. Интегральные соотношения 156
Глава 6. Вычисление оригинала по изображению 159
§ 28. Комплексный интеграл, осуществляющий обратное преобразо-
преобразование Лапласа 159
§ 29. Разложение в ряды 163
1. Разложение в степенные ряды 164
2. Разложение в ряды по показательным функциям . . . .166
3. Разложение в ряды по любым функциям 172
§ 30. Численное определение оригинала 176
§ 31. Определение максимума оригинала по известному изображе-
изображению 179
Глава 7. Асимптотическое поведение функций и исследование
устойчивости 182
§ 32. Некоторые теоремы о предельных значениях 182
§ 33. Общие понятия об асимптотическом представлении и асимп-
асимптотическом разложении функций 184
§ 34. Асимптотическое разложение изображения 187
§ 35. Асимптотическое разложение оригинала 189
§ 36. Исследование устойчивости 195
Глава 8. 3-преобразование и его применения 200
§ 37. Переход от преобразования Лапласа через дискретное пре-
преобразование Лапласа к 3-преобразованию 200
§ 38. Правила выполнения операций при 3-преобразовании . . . 206
§ 39. Две теоремы о предельных значениях 208
§ 40. Общий случай линейного разностного уравнения 209
§ 41. Разностное уравнение второго порядка 214
§ 42. Краевая задача для разностного уравнения второго порядка 217
§ 43. Система совместных разностных уравнений с начальными или
граничными условиями (цепочная схема) 218
§ 44. Получение последовательности при помощи импульсного эле-
элемента. Исследование прерывных процессов посредством 8- и
^-преобразований 225
§ 45. Импульсные системы 234

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
Добавление. Распределения и их преобразование по Лапласу . . . 247
I. Функционал, определяемый функцией 248
II. Распределение 250
III. Преобразование распределений по Лапласу 255
Приложение. Таблицы для преобразования Лапласа 261
1. Операции 261
2. Рациональные функции 264
3. Иррациональные функции 271
4. Трансцендентные функции 272
5. Кусочно-гладкие оригиналы 276
6. Распределения как оригиналы 286
7. Функции и обозначения, встречающиеся в таблицах .... 286
Предметный указатель 287
ОБОЗНАЧЕНИЯ
/ — мнимая единица;
z — х + )у, х = Re z, у = Im z;
z = ге'ф, r = | z |, ф = arc z;
z = x — jy = ге~'ф — сопряженная с z комплексная величина1);
[а] — наибольшее целое число < а\
/К — знак предостережения.
Для облегчения набора в некоторых местах книги дроби обозначены не
посредством горизонтальной черты, а посредством косой. Для правильного
понимания такого обозначения необходимо иметь в виду следующее правило:
если посредством скобок не предусмотрен иной порядок действий, то сначала
выполняется умножение, затем деление и только после умножения и деления
производится сложение или вычитание. Примеры:
а/bc = -т— , а + b/c = a -]— ,
ос с
a/b + C — -T- + с, a/bc + d = -т— + d.
о ос
Выражение -г записывается в виде (а/6)с, а выражения:
в виде а/(Ь + с), ^. ,. в виде а/b (с + d),
в виде (a + b)'c, , « в виде a/(bc-rd).
с ос "г а
1) В дальнейшем следует иметь в виду, что основание натуральных лога-
логарифмов обозначается прямой буквой е, а напряжение в пространстве ориги-
оригиналов — курсивной буквой е. В таблице соответствий (стр. 265—290) для
обозначения основания натуральных логарифмов сохранена курсивная бук-
буква е. (Прим. перев.)

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ
Предлагаемая вниманию советского читателя книга при-
принадлежит крупному математику профессору Фрейбургского уни-
университета Густаву Дёчу, принимающему в течение многих лет
непосредственное участие в развитии теории преобразования
Лапласа и в широком применении его для решения разнообраз-
разнообразных задач математики и техники. Густав Дёч является также
автором фундаментального трехтомного руководства по преоб-
преобразованию Лапласа *) и обстоятельного учебника по теории и
применению преобразования Лапласа2). Эти книги пользуются
широкой известностью и являются, пожалуй, единственными
в мировой литературе по полноте и глубине изложения.
Настоящая книга предназначена для инженеров. Она не со-
содержит деталей доказательств, порой опускаются и сами дока-
доказательства, но зато методы применения преобразования Лап-
Лапласа к различным задачам изложены здесь с исчерпывающей
полнотой3). Автор очень бережно относится к формулировке
теорем и правил и во многих местах наглядно иллюстрирует,
как неточная, расплывчатая формулировка того или иного пра-
правила приводит при применении его к ошибочным результатам.
Несмотря на сравнительно небольшой объем книги, в ней
излагается материал, обычно не содержащийся даже в более
подробных и полных книгах по преобразованию Лапласа. От-
Отметим изложение 3-преобразования и его применения к им-
импульсным системам, численного метода определения оригинала
по изображению, способа определения максимума оригинала
О Doetsch G., Handbuch der Laplace-Transformation. Том первый:
Theorie der Laplace-Transformation, Birkhauser Verlag, Basel — Stuttgart, 1950,
581 стр. Том второй: Anwendungen der Laplace-Transformation (первый раз-
раздел), Birkhauser Verlag, 1955, 436 стр. Том третий: Anwendungen der Laplace-
Transformation (второй раздел), Birkhauser Verlag, 1956, 300 стр.
2) Doetsch G., Einfuhrung in Theorie und Anwendung der Laplace-
Transformation, Birkhauser Verlag, 1958, 304 стр.
3) Все доказательства имеются в учебнике Г. Дёча, цитированном в пре-
предыдущей сноске. На русском языке почти все доказательства можно найти
в книге: Гарднер М. Ф. и Бэрнс Дж. А., Переходные процессы в линей-
линейных системах, перев. с англ., Физматгиз, Москва, 1963.

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ 7
по изображению и т. д. Читатель встретит в книге много инте-
интересных замечаний по поводу неточных подходов, часто встре-
встречающихся в технической литературе при решении систем
дифференциальных уравнений, при использовании спектральных
представлений, при исследовании устойчивости.
Большую помощь при решении конкретных задач окажет
весьма продуманно составленная Р. Гершелем таблица соответ-
соответствий.
Книга Г. Дёча завоевала большую популярность. Ее первое
издание A956) было переведено на русский A958), француз-
французский A959) и японский A959) языки, а второе издание A961),
переработанное и дополненное, — на английский A961), поль-
польский A964) и русский A965) языки.
Предлагаемый вниманию читателя русский перевод сделан
с третьего издания A967), которое существенно переработано
и дополнено автором. Использование теории обобщенных функ-
функций или, по терминологии автора, теории распределений позво-
позволило значительно проще и строже изложить способы решения
систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Большое
внимание уделено методу 3-преобразования для решения раз-
разностных уравнений. Изложению этого метода и его применений
посвящена отдельная глава. Автору удалось без заметного уве-
увеличения объема книги изложить в простой и доступной форме
многие вопросы преобразования Лапласа и 3-преобразования.
Без сомнения, эта книга окажет большую помощь всем, кто
пожелает не только получить представление о преобразовании
Лапласа, но и сделать его действенным инструментом в своей
работе.
Научные работники, инженеры, аспиранты, студенты найдут
много интересного и полезного в этой книге.
#. 3. Цыпкин

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Для применения преобразования Лапласа к решению техни-
технических задач необходимо знать ряд теорем, относящихся к этому
преобразованию. В значительной части случаев доказательства
этих теорем далеко не простые, а в некоторых случаях даже до-
довольно кропотливые. При том большом объеме математических
знаний, который необходим для современного инженера, от не-
него нельзя требовать, чтобы он изучал также все доказательства.
Часто ему не остается ничего другого, как просить математика
только привести необходимые теоремы в абсолютно безупреч-
безупречной формулировке и гарантировать возможность их доказа-
доказательства. Абсолютно безупречная формулировка теорем осо-
особенно важна, так как любая расплывчатость или недоговорен-
недоговоренность, умалчивающая о части допущений, лежащих в основе
той или другой теоремы, таит в себе опасность ее ошибочного
применения.
Именно такими соображениями я руководствовался при со-
составлении настоящей книги. Поэтому теоремы, необходимые для
выполнения основных операций, постоянно применяемых на
протяжении всей книги, собраны во второй главе в виде ясных
и точно сформулированных «правил» и не сопровождаются ни-
никакими доказательствами. Некоторые другие теоретические по-
положения, необходимые для понимания излагаемого материала,
приводятся, по мере необходимости в соответствующих местах
книги в виде точно сформулированных теорем, выделенных курси-
курсивом для того, чтобы читатель имел возможность сразу обнару-
обнаружить их среди остального текста. Те из допущений, которые, как
показывает опыт, при применении преобразования Лапласа часто
оставляются без внимания, что приводит иногда к серьезным
ошибкам, отмечены на полях посредством знака предостережения.
Конечно, некоторые положения в книге все же доказывают-
доказываются. Сделано это в тех случаях, когда без доказательств изло-
изложение осталось бы непонятным или когда таких доказательств
нельзя найти в других книгах.
Разгрузка изложения от теоретических рассуждений позво-
позволила выдвинуть на передний план методы применения преобра-

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ 9
зования Лапласа и пояснить их на большом количестве числен-
численных примеров. При этом я стремился выделить на первый план
наиболее существенные особенности. Если какая-либо техни-
техническая задача математически сформулирована в виде, напри-
например, системы дифференциальных уравнений, то преобразование
Лапласа указывает совершенно однозначный путь решения этой
задачи независимо от того, какой физический смысл имеют ве-
величины, входящие в уравнения. Это означает, что технические
задачи, совершенно не похожие одна на другую по содержанию,
но приводящие после математической формулировки к одним и
тем же уравнениям, могут быть решены одинаковым способом.
Во втором издании учтена связь преобразования Лапласа
со спектральным представлением функций (§1), поскольку спек-
спектральный подход к исследованию ряда задач особенно бли-
близок инженеру. Преобразование Лапласа включает в себя идеи
спектрального представления, однако выходит далеко за рамки
этих идей. Подлинное значение преобразования Лапласа за-
заключается в том, что оно преобразует функцию времени в ана-
аналитическую функцию, которую можно рассматривать как рас-
распространение спектральной плотности на комплексную плос-
плоскость. Кроме того, эта аналитическая функция передает
свойства функции времени значительно более совершенным об-
образом, чем спектральная плотность, которая, кстати, для многих
встречающихся на практике функций вообще не существует.
Фрейбург Густав Дёч
в области Брайс
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Новое издание отличается от предыдущего, если не считать
многочисленных отдельных изменений, прежде всего использо-
использованием теории распределений, к чему меня побудили неодно-
неоднократные просьбы инженерных кругов. Теория распределений,
краткие сведения о которой даны в добавлении в конце книги,
позволяет в первую очередь строго рассмотреть понятия им-
импульса и его производных, понятия, необходимые для техники,
но не укладывающиеся в рамки классической математики. Кро-
Кроме того, использование теории распределений неизбежно при
решении систем совместных дифференциальных уравнений в том
наиболее частом для практики случае, когда заданные началь-
начальные условия несовместимы со структурой рассматриваемой си-
системы, и поэтому полученные решения не могут удовлетворять
этим условиям.
Во втором издании настоящей книги такой случай был
исследован лишь настолько, насколько это было возможно в

Ю ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
рамках классической математики. Излагаемый теперь метод,
о котором я впервые сообщил на заседании Научного общества
авиации и космонавтики, состоявшемся 21—25 октября 1963 г.
в Брауншвейге, дает возможность получать окончательные ре-
решения указанных выше систем совместных дифференциальных
уравнений и притом такие решения, которые не оставляют ни-
никаких сомнений в их правильности, в то время как раньше по-
получаемые решения приводили к многочисленным дискуссиям
в инженерной литературе. Использование понятия распределе-
распределения потребовало полной переработки третьей главы, посвящен-
посвященной обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Следующее изменение касается так называемого 3 преоб-
преобразования, которому в предыдущем издании, при рассмотре-
рассмотрении разностных уравнений и импульсных систем, было уделено
сравнительно мало внимания. Между тем в последние годы
применение 3~пРе°бразования в технике значительно возросло,
в связи с чем в настоящем издании оно выделено в специаль-
специальную главу как самостоятельный метод, причем кое-что удалось
изложить проще и нагляднее, чем это было сделано раньше.
Из чисто внешних изменений особо следует упомянуть, что
в новом издании я присоединился к ставшей широко распро-
распространенной записи функций времени малыми буквами, а отве-
отвечающих им функций, пол>ченных в результате преобразования
Лапласа, — соответствующими большими буквами (раньше я
поступал наоборот).
Г. Дёч
Фрейбург
в области Брайс

ГЛАВА 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
§ 1. Спектральное представление функций
посредством ряда Фурье и интеграла Фурье
Инженеры, а также физики особенно охотно пользуются та-
такими математическими понятиями, которые можно связать с
каким-либо наглядным представлением. К числу таких поня-
понятий принадлежит, в частности, так называемый интеграл Ла-
Лапласа
ОО
F(s)=je-«f(t)dt.
Для того чтобы выяснить, какой физический смысл можно
придать этому интегралу, рассмотрим известное разложение
вещественной функции /(/), имеющей период 2я, в ряд Фурье
ОО
/ (*) = ао + 2 2 {ап cos nt + bn sin nt), A.1)
коэффициенты которого определяются формулами
f {t) cos nt dt,
), 1,2, ...)• A.2)
-Я
Если функция /(/) удовлетворяет определенным условиям, на-
например условиям Дирихле, т. е. если она на каждом конечном
интервале имеет конечное число экстремумов и конечное число
разрывов первого рода (рис. 1.1), то ряд A.1) в точках непре-
непрерывности функции /(/) сходится к значению функции, а в точ-
точках разрыва — к среднему арифметическому предельных значений

12 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛШЛАСА
функции слева и справа, т. е. к значению
/(/ — 0)
Введя обозначения
[ГЛ 1
ап = rn cos фП1 bn = rn sin ф„,
A.3)
где
мы приведем ряд A.1) к виду
2 гп
п-1
A.4)
Если переменная ? означает время, то эту формулу можно на-
наглядно толковать как разложение периодического явления f(t)
(например, отклонения материальной точки, движущейся вдоль
f(t-O)
71
Зп
Рис. 1.1. Периодическая кусочно-непрерывная и кусочно-моно-
кусочно-монотонная функция.
прямой, от некоторого центра, расположенного на этой же
прямой) на сумму гармонических колебаний с целочисленными
круговыми частотами я = 1, 2, ... Из этих составляющих коле-
колебаний м-е по счету имеет амплитуду 2гп и начальную фазу — фп.
Функции, с которыми приходится иметь дело в физике, в
большей части случаев удовлетворяют определенным диффе-
дифференциальным уравнениям, следовательно, при вычислениях
должны быть найдены производные этих функций. Однако ря-
ряды A.1) и A.4), рассматриваемые с этой точки зрения, обла-
обладают свойствами, усложняющими вычисления: при их диффе-
дифференцировании косинусы превращаются в синусы, и наоборот.
Можно избежать этих усложнений, если воспользоваться за-
записью ряда Фурье в комплексной форме, т. е. в виде
/@= 2
A.5)

§ 1] СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ 13
Коэффициенты сп этого ряда Фурье вычисляются по формуле *)
c" = i J /We-^Л (п-0, ±1, ±2, ...). A.6)
-Я
Обе записи A.1) и A.5) в математическом отношении пол-
полностью эквивалентны, если функция /(/) вещественная. В са-
самом деле, в этом случае коэффициент с0 также вещественный,
а коэффициент с_п = сп, следовательно,
- cne~jnt) = c0 + 2 2j Re (Cnefnt)-
Положив в этом ряде
с0==а0, cn = an-jbn (n=l, 2, ...), A.7)
мы получим
оо
/ (/) = а0 + 2 2 (#я cos az/ + bn sin n/),
причем, согласно формуле A.6),
an = Recn = ± f f (t)cosntdt,
—п
+я
6rt = —Imcn = -gj- J / @ si
sin ntdt.
Таким образом, при условиях A.7) формулы A.5) и A.6) рав-
равносильны формулам A.1) и A.2).
Ряду Фурье и его комплексной форме A.5) можно придать
вид, аналогичный ряду A.4). Для этой цели используем равен-
равенства A.7) и A.3). Из них следует, что
^о= го> Фо= 0'»
сп = rn (cos qpft ~ / sin qpj = гле~/ф« (п = 1, 2, ...).
Далее, мы имеем
1) Обратим внимание на следующее обстоятельство. В ряде A.5) сумми-
суммирование производится в отличие от ряда A.1) не от 1 до оо, а от —оо до
+ оо. Это связано с тем, что функции cos nt и sin nt с положительными цело-
целочисленными значениями п ¦» 0, 1, 2, ... образуют в промежутке (—я, +л)
полную ортогональную систему, в то время как ортогональная система для
функции &nt будет полной только в том случае, когда п пробегает все
целочисленные значения, т. е. не только положительные, но и отрицательные.

14
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАС\
[ГЛ 1
Так как г_п = гп, а ф_„ = —ф?», то с_п = г_п
/@= 2 г^'С1'-"»).
/ф '
и мы получим
A.8)
Ряды A.5) и A.8) для дифференцирования удобнее рядов
A.1) и A.4), однако они менее наглядны, чем последние, так
как дают f(t) в виде суммы ком-
'nejnt=rnej!nt~*n) плексных функций и потому не
позволяют непосредственно ви-
видеть построение этой функции из
вещественных гармонических ко-
колебаний. Вместо этого прихо-
приходится прибегать к графическому
построению в комплексной
плоскости (рис. 1.2). Величина
cnelnt = rnef (п'-фя) определяет
в этой плоскости вектор, исходя-
исходящий из нулевой точки, имею-
имеющий длину гп и образующий с
положительной вещественной
Рис. 1.2. Представление функ- 0СЬЮ угол nt — фп. Конец ЭТОГО
ции cnefnt в комплексной пло- вектора при возрастании t
скости, описывает окружность радиуса гп,
причем при положительном п —
в направлении положительного вращения, а при отрицатель-
отрицательном п — в направлении отрицательного вращения. Функция f(t)
получается посредством сложения всех этих векторов.
Однако можно вернуться опять к вещественным колебани-
колебаниям 2rn cos (nt — фп), если каждый раз два вектора cnejnt и
c-nz~dnt, из которых второй представляет собой зеркальное отра-
отражение первого относительно вещественной оси, складывать в
один вектор, т. е. поступать так же, как мы это один раз уже
сделали выше при доказательстве эквивалентности рядов A.1)
и A.5). Тогда мы получим
спеш + с_„е-/п' = 2 Re (cneint) = 2 Re (rne
! (п'~
= 2rn cos (nt - Фя).
Эта операция сводится по существу к проектированию векто-
векторов 2cne!nt и 2с_ле~'/г/ на вещественную ось. Если концы С и
D обоих таких векторов ОС и OD (рис. 1.3) будут описывать
окружность радиуса 2гп в противоположных направлениях, то
точка F пересечения прямой, соединяющей концы С и D век-
векторов ОС и OD, с вещественной осью будет совершать колеба-
колебания между точками +2гп и —2гп по закону 2rncos (nt — ф^.

§ 1]
СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
15
Таким образом, складывая векторы cn&nt не в произвольном
порядке, а всегда только попарно, один с индексом +м, а дру-
другой с индексом —п, мы приходим опять к представлению о ве-
вещественных колебаниях. Более того, связывая колебания точки
F вдоль вещественной оси с движением точек С и D вдоль
окружности в противоположных направлениях, мы получаем
F=A+B=2rncos(nt-<pn)
Рис. 1.3. Сложение двух векторов О А и ОБ, являющихся
зеркальным отражением один другого относительно
вещественной оси, в вещественный вектор OF.
более наглядное представление о явлении, изображаемом функ-
функцией f(t), чем только при рассмотрении самих колебаний вдоль
вещественной оси. В самом деле, в то время как при прямоли-
прямолинейном движении точки вдоль вещественной оси зависимость
движения от времени наглядно не видна, при движении по
окружности переменная nt— cpn наглядно наблюдается в виде
угла или дуги окружности, причем точки С и D на окружности
движутся с постоянной скоростью. Движение связанной с ними
точки F на вещественной оси происходит с переменной ско-
скоростью, зависящей от наклона относительно вещественной оси
той дуги окружности, по которой в рассматриваемый момент
времени движется точка С или D.
Формуле A.5) можно дать и другое наглядное толкование,
не связанное с представлением о колебаниях. Для этой цели
поступим следующим образом. Совместим прямую, на которой
располагаются значения функции f(/), т. е. ту прямую, вдоль
которой — если говорить на языке физики — движется матери-
материальная точка, с вещественной осью комплексной плоскости и
используем в качестве составляющих, из которых складывает-
складывается функция /(/), не колебания cos nt и sin nt, происходящие

16 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. I
вдоль прямой, а функции ejnt (п = 0, ±1, ±2, ...). Эти функ-
функции представляют в комплексной плоскости движение точки
е«?п< по периферии единичного круга с круговыми частотами
п = О, ±1, ±2, ... Следовательно, точка e^nt обегает периферию
единичного круга п раз в течение 2я единиц времени, причем в
направлении положительного вращения, если частота положи-
положительная, и в направлении отрицательного вращения, если ча-
частота отрицательная.
Такое движение вокруг нулевой точки, совершаемое вдоль
периферии единичного круга, можно рассматривать как ком-
комплексное колебание с положительной или отрицательной
круговой частотой, в зависимости от направления движения
(в электротехнике при расчетах переменного тока методом ком-
комплексных амплитуд понятие комплексного колебания исполь-
используется уже давно). Подчеркнем, что отрицательные круговые
частоты, не имеющие никакого смысла при колебаниях, совер-
совершающихся вдоль прямой, имеют вполне определенный смысл
при комплексных колебаниях. Под амплитудой комплексного
колебания следует понимать радиус окружности, а под началь-
начальной фазой — угол, под которым движущаяся по окружности
точка видна в момент времени / = 0. Следовательно, член
cn&nt ряда Фурье A.5), где сп = гпе~/ф/г, означает комплексное
колебание с круговой частотой п, амплитудой гп и начальной
фазой —фп, т. е. для этого колебания
амплитуда = |с„|, начальная фаза = агссп. A.9)
Из представления о комплексных колебаниях вытекает, что
последовательность значений сп можно назвать спектром функ-
функции f(t). Эти значения указывают, какие круговые частоты фак-
фактически входят в функцию f(t) (сп = 0 означает, что колебание
с круговой частотой п выпадает) и каковы амплитуды и началь-
начальные фазы составляющих колебаний. При таком толковании фор-
формулы A.5) функция f(t) не обязательно должна быть веще-
вещественной; теперь она может принимать также комплексные зна-
значения.
В дальнейшем мы всегда будем пользоваться представле-
представлением о комплексных колебаниях с положительными и отрица-
отрицательными круговыми частотами, так как такие колебания
значительно удобнее для оперирования, чем вещественные ко-
колебания. Все сказанное выше мы можем теперь подытожить
следующими словами:
Для функции f(t), заданной в промежутке (—я, +п) и пе-
периодически продолженной за пределы этого промежутка, ее
спектр сп относительно совокупности колебаний e^nt (n = 0,
±1, ±2, ...) определяется интегралом A.6). Знание спектра
может полностью заменить знание самой функции f(t), так как

§ 11 СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ \J
последняя может быть построена по ее спектру посредством
формулы A.5). Разложение на колебания дает наглядное пред-
представление о характере физического явления, описываемого
функцией /(/).
Если рассматриваемое физическое явление не периодиче-
периодическое, следовательно, если функция /(/) как-либо задана для
всех / (—оо < / < +оо), то для ее представления вместо ряда
Фурье используется при определенных условиях интеграл
Фурье
/(О- J F(y)eMdy9 A.10)
— JO
причем функция F(y), стоящая под знаком интеграла, опреде-
определяется через f(t) формулой:
Р{У) = -^ \ f(t)e-iy'dt. A.11)
— оо
Для такого представления достаточно, чтобы интеграл
-f-oo
J \f{t)\dt
— оо
сходился, а сама функция /(/) удовлетворяла условиям Дирих-
Дирихле (см. стр. 11). В точках разрыва функции f(t) интеграл A.10)
сходится, как и в случае ряда Фурье, к значению
Формулы A.10) и A.11) построены так же, как и формулы
A.5) и A.6). Функция F(y) соответствует коэффициенту сп> но
теперь вместо индекса я, пробегающего только целочисленные
значения, имеется непрерывно изменяющаяся переменная у, и
поэтому функция /(/) определяется не суммой, а интегралом.
Это означает, что фукция /(/) уже не может быть построена из
колебаний только с целочисленными круговыми частотами; те-
теперь для ее построения необходимы колебания всех частот.
Однако функцию F(y) в отличие от сп уже нельзя понимать
как коэффициент при ем*, непосредственно определяющий амп-
амплитуду и начальную фазу колебания е^, т. е. как спектр функ-
функции f(t). В самом деле, теперь отдельное колебание не обладает
конечной амплитудой, так как функция F(y) под знаком инте-
интеграла умножается на бесконечно малую величину dy. Предста-
Представление о колебании с бесконечно малой амплитудой, возможно,
вызовет затруднение, поэтому для лучшего уяснения такого

18 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. 1
представления обратимся к другой аналогии из механики, легче
воспринимаемой. Вообразим, что вдоль оси у распределена мас-
масса с плотностью F(y). Очевидно, что каждой отдельной точке не
будет соответствовать никакая конечная масса. Линейный эле-
элемент dy будет иметь бесконечно малую массу F(y)dy. Конечной
массой будет обладать всегда лишь конечный промежуток оси у.
Следовательно, массу, рассматриваемую как функцию от у,
можно определить только для промежутка оси у. Можно, на-
например, ввести как функцию от у массу промежутка (—оо, у)у
т. е. положить
у
$ F(г$ di\= G (у). A.12)
В математике такую функцию называют функцией распределе-
распределения, в данном случае — массы1).
Из формулы A.12) следует, что
^L=-F(y)y или F(y)dy = dG(y). A.13)
Функция распределения, понимаемая как масса промежутка,
имеет наглядный смысл. Однако плотность, отнесенную к от-
отдельной точке, можно рассматривать только как предельное
понятие, а именно как предел отношения приращения массы
к приращению у.
Если мы будем понимать спектр функции f(t) только что ука-
указанным образом, т. е. как распределение массы, то функцию
G(y), определяемую равенством A.12), можно назвать спект-
спектральным распределением. Она представляет собой «сумму» бес-
бесконечно малых составляющих спектра для промежутка частот
от —оо до у. Функцию F{y) можно назвать плотностью спек-
1) В проблеме моментов интеграл
+ ОО
J ynF (у) dy
— оо
называется п-м моментом функции F (относительно нулевой точки). И здесь
в основе лежит представление о распределении вдоль оси у массы с плот-
плотностью F(y). Так же как и выше, функция G(y) определяемая этим интегра-
интегралом, называется функцией распределения. В теории вероятностей интеграл
J F(y)dy
у>
определяет вероятность того, что величина у, которая может принимать зна-
значения между —оо и +оо, окажется в интервале (УиУ2). Функция F(y) назы-
называется плотностью вероятности, а функция G(y) —распределением вероят-
вероятности.

§ 1] СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ]9
трального распределения при частоте у или короче спектраль-
спектральной плотностью. Спектральное представление функции f(t)
можно выразить либо через спектральную плотность в виде
A.10), либо через спектральное распределение в виде
+ ОО
/@= f eiy'dG(y). A.14)
— оо
Представим комплексную величину F(y) в виде
F(y) = r (у) е~& {у\
где
Тогда вместо формулы A.10) мы будем иметь
+ ОО
/@= { г(у)е1<У{-^У»с1у, A.15)
откуда следует, что колебание с частотой у имеет бесконечно
малую амплитуду f(y)dy=\F(y)\dy и начальную фазу
— ф(у) = SiTcF(y). Это дает основание называть величину
r(y)=\F(y) | плотностью амплитуды. Таким образом,
плотность амплитуды =| F(y) |, начальная фаза = arc F(y). A.16)
Примеры
1. Рассмотрим прямоугольную функцию времени
[А при | / К/о>
'«-{o.J.m>C (M7)
Ее спектральной плотностью будет
Следовательно, F(y) представляет собой вещественную функ-
функцию и может принимать как положительные, так и отрицатель-
отрицательные значения (рис. 1.4). Плотность амплитуды равна абсолют-
абсолютному значению F(y), начальная фаза равна нулю при F(y)>0
и равна л при F(y)<0. Спектральное распределение опреде-
определяется формулой
у Uy
А Г sin /оЛ j А Г sin и ,

20
или
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПР1 ОБРАЗОВ \\ 1ПЯ ЛАПЛАСА
G (у) = -? (я + si toy) == -? (-J -+ S i
[ГЛ. 1
A.19)
если ввести, как это принято в математике, интегральные си-
синусы
оо X
Г sin и 1 о* Г sin м * . , я /л ллч
si х = — I —j-d«, Six= I ——du^sx x-h-j. A.20)
* о
2. Рассмотрим функцию времени
Ее спектральной плотностью будет (рис. 1.5)
= — e~' cos yt dt
Следовательно, функция F(y) при всех значениях у положи-
положительна, т. е. совпадает с плотностью амплитуды. Начальная
\f(t)
2л п
to 'o
6к
п
п
T, 17
Рис. 1.4. Прямоугольная функция времени и соответствующая спек-
спектра пьная плотность.
Рис. 1.5. Функция времени, сначала возрастающая по показа-
показательному закону, а затем уменьшающаяся по такому же
закону, и соответствующая спектральная плотность.
фаза всех отдельных колебаний равна нулю. Спектральное рас-
распределение определяется формулой
G(y) = i

§ 1] СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ 21
В рассмотренных примерах функция /(/) при /—»±оо столь
сильно убывает, что интеграл, определяющий F(y), сходится,
следовательно, спектральная плотность существует. Однако,
если во втором примере мы определили бы функцию f(t) при
К 0 и /> 0 не двумя различными величинами (величиной е*
при КО и величиной е~' при />0), а одной-единственной
величиной е~* для всех значений /, то интеграл, определяю-
определяющий спектральную плотность, расходился бы, так как е~г при
t—>—оо стремится к бесконечности. Такой же результат полу-
получается и для особенно частого на практике случая, когда f(t)
представляет собой колебание с круговой частотой со, т. е. когда
f(t) = е№. В самом деле, в этом случае интеграл
F(y) = ^ f e-Mel«»dt=1^ J е'**-»* dt, A.21)
определяющий спектральную плотность, расходится при любом
у. Поскольку в технической литературе этот случай рассматри-
рассматривается всегда довольно нечетко и математически некорректно,
остановимся на нем подробнее и покажем, каким образом и для
такой функции времени можно получить спектральное представ-
представление.
Очевидно, что для функции е*®' спектральное разложение
имеет особенно простой вид, а именно, для нее существует
только одна-единственная «спект-
«спектральная линия», т. е. одно-единст-
одно-единственное колебание с круговой часто-
частотой со и амплитудой, равной единице.
Все колебания с другими частотами —
имеют амплитуды, равные нулю.
Т. е. вообще не встречаются. Но оче- Рис. 1.6. Спектральное распре-
видно также И ТО, что такое «спек- деление функции времени е/@/.
тральное разложение» не может
быть представлено интегралом Фурье A.10). В самом деле,
в интеграле Фурье каждой круговой частоте соответствует
только бесконечно малая «масса» F(y)dy, между тем как в на-
нашем случае круговой частоте со соответствует конечная масса,
равная единице. Следовательно, теперь теряет смысл также
понятие спектральной плотности F{y)y что и объясняет, по-
почему интеграл, определяющий F(y), расходится. Однако понятие
спектрального распределения G(y) в рассматриваемом случае
сохраняет смысл. В самом деле, G(y) есть полная масса про-
промежутка (—оо,#); когда у возрастает, начиная от — оо, и при-
приближается к точке со слева, масса G(y) все время равна нулю,
так как частотам в промежутке (—оо,со) не соответствует ни-
никакая масса, но в тот момент времени, когда у достигает точки

22 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. I
со, масса G(y) скачкообразно переходит от значения нуль к зна-
значению, равному единице, так как в точке со сконцентрирована
конечная масса, равная единице. Когда у продолжает увеличи-
увеличиваться дальше, принимая значения, большие со, функция G(y)
остается постоянной и равной единице, так как при у > со
масса не увеличивается. Таким образом,
{О при и < со.
1 при у>*. «**>
График функции G(y) изображен на рис. 1.6.
Спектральная плотность F(y)y рассматриваемая как произ-
производная от G(y) по у [см. равенство A.13)], в точке у = со те-
теряет, очевидно, смысл, так как функция G(y) в этой точке не
дифференцируема. Можно сказать самое большее только то, что
Пт г = lim -г,
т. е. левосторонняя производная функции G(y) в точке со равна
оо. Это вполне согласуется и с физическим представлением, так
как массе, равной единице и сконцентрированной в одной-един-
ственной точке, должна соответствовать в этой точке беско-
бесконечно большая плотность.
В технической литературе из создавшейся ситуации обычно
пытаются выйти следующим образом. Говорят, что на основании
формулы A.21) интеграл Т7 (со) равен
-t-o
=2^ J
и затем утверждают, что интеграл от функции
е/ (©-у) * = cos (со - у) t + / sin (со - у) /,
взятый в пределах от —оо до +оо при у ф со, равен нулю, так
как площади, ограниченные соседними полуволнами синусоиды
или косинусоиды, попеременно положительны и отрицательны,
следовательно, в сумме дают нуль. Однако, если даже согла-
согласиться с этим неточным представлением, не совместимым с ма-
математическим понятием сходимости интеграла, полученную та-
таким способом плотность
{оо ПОИ У = (й,
п -^ A23)
0 при уф® '
нельзя использовать для спектрального представления A.10)
функции /(/), так как такая функция F(y) не является функ-

§ 1] СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ 23
цией в обычном смысле и поэтому не может быть подставлена
в интеграл, определяющий функцию f(t).
В физике для таких случаев, часто встречающихся в прило-
приложениях, введено понятие импульсной функции, или ^-функции
Дирака. Эта функция, не являющаяся с точки зрения классиче-
классического анализа обычной функцией, обладает следующими свой-
свойствами: при всех значениях у, не равных нулю, она равна нулю,
а при у = 0 принимает бесконечно большое значение1) и притом
такое, что для любой непрерывной на всей оси у функции h(y)
имеет место равенство
J h{y)b{y)dy = h{0). A.24)
— оо
Смысл этого равенства заключается в том, что б-функция ста-
ставит в соответствие каждой функции h(y), непрерывной на оси
у, число /i@).
Положив в нашем случае F(y) = б (у —со), мы приведем фор-
формулу A.10) к виду
-foo
j A.25)
Таким образом, мы сохранили для функции е*°* ее представле-
представление через интеграл Фурье.
Несмотря на то, что такой прием придания осязаемости
спектральному разложению функции &®г ясен также с физиче-
физической точки зрения, не следует забывать при этом, что, вводя
б-функцию, мы покидаем твердую почву математики и попадаем
в условия, в которых при использовании интеграла A.25) обыч-
обычные математические правила (например, интегрирование по ча-
частям, подстановка нового переменного и т. д.) могут оказаться
недействительными.
Эти трудности преодолены современной теорией распределе-
распределений (см. Добавление, стр. 247—255). Распределения включают
в себя не только все (интегрируемые) функции, но и такие по-
понятия, как б-функция Дирака и другие аналогичные понятия,
введенные в физике, но не охватываемые классическим матема-
математическим анализом. В теории распределений показывается, что
этими понятиями можно оперировать так же строго, как и обыч-
обычными функциями в классическом анализе. Однако в рамках
*) В механике аналогичным образом интерпретируется понятие удара,
а в электротехнике — понятие импульса тока и импульса напряжения. Отсюда
и происходят термины импульсная функция и ударная функция (первый из
них введен Хевисайдом).

24 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. I
этой теории интеграл
называемый преобразованием Фурье, а также интеграл
+ ОО
/@= j F(y)eiy'dt,
являющийся обращением преобразования Фурье, не имеют
смысла, так как интегралы Римана, а также интегралы Лебега
могут быть составлены только для обычных функций. Преобра-
Преобразование Фурье для распределений должно быть сформулировано
по-иному и при этом, конечно, так, чтобы оно приводило к тому
же результату, как и классическое преобразование Фурье в том
случае, когда распределение является обычной функцией. Мы
не будем приводить здесь довольно длительных пояснений, не-
необходимых для формулировки преобразования Фурье в приме-
применении к распределениям, так как для нас преобразование Фурье
представляет интерес только как средство для определения по-
понятия спектра и в дальнейшем для целей настоящей книги оно
нигде не используется1). Поэтому мы ограничимся только кон-
констатацией того, что преобразованием Фурье функции е**', пони-
понимаемой как распределение, является распределение б (у — со).
Следовательно, в теории распределений поясненная выше лишь
наглядно связь между 6 (у — со) и е^г приобретает полную за-
законность.
Подытожим полученные результаты. Мы всегда можем по-
получить спектральное представление, во-первых, для функций
времени f(t), заданных в промежутке (—оо, +оо), удовлетво-
удовлетворяющих условиям Дирихле (стр. 11) и притом таких, для
которых интеграл
j \f(t)\dt
сходится, и, во-вторых, для колебаний e^f. Однако такие функ-
функции времени, как, например, затухающие или нарастающие ко-
колебания е<а+^*, не допускают представления посредством инте-
]) Легко понятное изложение теории распределений можно найти в сле-
следующих книгах: Zemanian A. H., Distribution theory and transform analy-
analysis, McGraw-Hill, New York, 1965 (гл. 7); Schwartz L., Methodes mathema-
tiques pour les sciences physiques, Hermann, Paris, 1965 (гл. V) имеется рус-
русский перевод: Шварц Л., Математические методы для физических наук,
«Мир», 1965; см. также Гельфанд И. М. и Шилов Г. Е., Обобщенные
функции и действия над ними, Физматгиз, Москва, 1958. (Прим. перев.)}

§ 2\ ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА И ЕГО ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ 25
грала Фурье, так как интеграл A.11), определяющий F(y),
в случае положительного а расходится при / = +оо, а в случае
отрицательного а — расходится при / = —оо. Таким образом,
для подобного рода функций времени не дает результатов и
теория распределений *).
В следующем параграфе мы увидим, как эту трудность мож-
можно преодолеть, если ввести в рассмотрение интеграл Лапласа.
§ 2. Интеграл Лапласа и его физический смысл
До сих пор мы молча предполагали, что время / изменяется
в промежутке (—оо, +оо), между тем как в практических усло-
условиях вряд ли могут наблюдаться процессы, длящиеся от t = —оо
до /= +оо. Обычно какой-либо процесс начинается в конечный
момент времени, который мы можем принять за нулевую точку,
а затем продолжается в течение длительного промежутка вре-
времени, теоретически до t= +oo. Следовательно, в практических
условиях приходится иметь дело с промежутком времени
0^/<оо, т. е. только с односторонне бесконечным промежут-
промежутком. Но такой случай мы можем включить в случай двусторонне
бесконечного промежутка, произвольно положив функцию f(t)
равной нулю при всех / < 0. Тогда нижним пределом интеграла
A.11), определяющего спектральную плотность, надо будет
взять нуль, т. е. положить
j B.1)
о
следовательно, спектральным представлением функции /(/) [ра-
[равенство A.10)] теперь будет2)
B.2)
при /<0.
Теперь имеется возможность обойти затруднение, возникаю-
возникающее в том случае, когда интеграл B.1) расходится. Введем для
1) В рамках теории распределений Л. Шварца, положенной в основу на-
наших рассуждений, преобразование Фурье может быть определено только для
распределений с «медленным возрастанием», между тем как распределение
е(а+/со)* таким не является. Об обобщении преобразования Фурье на любые
распределения см. первую из книг (стр. 202), упомянутых в сноске на
стр. 24 [и указанную там же книгу И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова. (Прим,
перев.)].
2) Интеграл Фурье A.10) в точках разрыва равен, как и ряд Фурье,
среднему арифметическому от предельных значений слева и справа от точки
разрыва, следовательно, в рассматриваемом случае при t = 0 он равен сред-
среднему арифметическому от предельного значения 0 слева и от предельного
значения /(+0) справа, т. е. /(+0)/2,

26 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. I
этого вместо функции f(t) затухающую функцию e~xtf(t) с пара-
параметром х>0и составим для последней спектральную плотность,
которая теперь, конечно, будет зависеть от х. Обозначив ее по-
поэтому через Fx(y), мы будем иметь
. B-3)
Очевидно, что вследствие очень быстрого убывания множителя
е"~** при t—> +00 интеграл B.3) сходится для всех ограниченных
функций /(/), причем даже для таких, которые возрастают
в бесконечности так же, как показательная функция еа*(а>0),
если только выбрать х > а1). Следовательно, вводя вместо функ-
функции f(t) функцию e~xtf(t), мы устраняем расходимость интеграла
B.1) для всех практически встречающихся функций. Спектраль-
Спектральное представление A.10) будет иметь теперь следующий вид:
^ B-4>
при /<0.
Перепишем формулы B.3) и B.4) в несколько ином виде:
B.5)
B.6)
при f<0.
Мы видим, что в эти формулы параметр х и частота у входят
только в комбинации х + jy. Следовательно, сама собой появи-
появилась комплексная переменная, для обозначения которой можно
использовать только одну букву. Взяв для этой цели, как это
принято в математике, букву s2), мы будем иметь
1) Умножение функции f(t) на е~ж* в случае первоначального промежут-
промежутка —оо < t < +00 не привело бы к желательной цели, так как множитель
е-*' при t->—00 резко возрастает и поэтому даже ухудшает сходимость
интеграла при t = —00.
2) В технической литературе часто вместо s применяется буква р. Это
обозначение заимствовано из исчисления Хевисайда, которое при его приме-
применении к дифференциальным уравнениям приводит к такому же формализму,
как и преобразование Лапласа. Однако у Хевисайда буква р означает не
переменную, а дифференциальный оператор D. Хевисайд взял букву р вмес-
вместо D для того, чтобы избежать путаницы с диэлектрическим смещением, обо-
обозначавшимся им буквой D. Так как в математике при одновременном рас*
смотрении двух переменных принято применять для их обозначения две со-

§ 2] ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА И ЕГО ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ 27
Очевидно, что функция Fx(y) зависит от этой комплексной пе-
переменной, поэтому целесообразно ввести обозначение
Конечно, переменную s следует ввести вместо у также в фор-
формулу B.6) в качестве переменной, по которой производится ин-
интегрирование. Так как в формуле B.6) у изменяется от —оо
до -f-oo, в то время как х остается постоянным, то s = х-\-jy
будет изменяться от х — /оо до х + /оо. Такому изменению пе-
переменной 5 соответствует в комплексной плоскости перемещение
вдоль вертикальной прямой с абсциссой х
(рис. 2.1).
Наконец, с целью обычного в математи-
математике нормирования заменим функцию f(t) sf~r
функцией 2nf(t). Тогда, имея в виду, что t
= / dy, мы можем переписать формулы
B.5) и B.6) в следующем окончательном
виде:
оо
( B.7)
if ( f(t) при t>0y
-~- etsF{s)ds = { ' Л B.8) Рис. 2.1. Комплексная
2jt/ J 10 При ?<0. переменная s = x + jy.
Интеграл в левой части формулы B.7) представляет собой не
что иное, как интеграл Лапласа. Формула B.8), если отвлечься
от ее смысла как спектрального представления, называется об-
обращением интеграла Лапласа.
Из сказанного выше вытекает следующий физический смысл
совокупности формул B.7) и B.8).
Если в функции F(s), определяемой интегралом Лапласа
B.7), рассматривать аргумент s как комплексную переменную
E = х + jy), то F(x + jy) при постоянном х будет спектральной
плотностью затухающей функции времени erxtf(t), для которой
круговой частотой является переменная у1). Функцию времени
седние буквы алфавита (например, хну или и и v), то для обозначения
аргумента функции F естественно взять букву s, поскольку аргумент функ-
функции / обозначается буквой t. Пользоваться из исторических соображений бук-
буквой р тем более нецелесообразно, что теперь ее обычно применяют для обо-
обозначения положительной постоянной.
1) В технической литературе переменную 5 иногда называют комплекс-
комплексной частотой, что с физической точки зрения не имеет никакого смысла и
только затемняет действительную сущность этой переменной. В самом деле,
во всех случаях может идти речь только о вещественных частотах, которые
определяются значением Im s = у. Величина же Re s = x представляет собой
параметр, определяющий затухание е~х* функции f(t)%

28 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. 1
/(/) можно построить по спектральной плотности F(s) при по-
помощи формулы B.8). Однако если эту формулу понимать как
спектральное представление, то ее следует переписать в виде
J
2ne~xtf(t) при
{\1
т. е. рассматривать как спектральное представление функции
2ne~xtf(t) (дополненное нулем для отрицательных значений вре-
времени).
Перенеся множитель е*' в левую часть, мы получим
B.10)
Эту формулу, являющуюся спектральным представлением функ-
функции 2nf(t), можно понимать как суперпозицию нарастающих
колебаний exteiyt, что, однако, менее наглядно1).
§ 3. Некоторые свойства функций,
получаемых из интеграла Лапласа. Примеры
Если при каком-либо значении Хо параметра х спектральная
плотность затухающей функции e-x>ff(t) существует, то из фи-
физических соображений очевидно, что она подавно существует и
при более сильном затухании х > х0. Математически это озна-
означает следующее: если интеграл B.7) при 5 = х0 -f jy сходится,
то он сходится также при s = х + jy, где х > х0. Отсюда можно
вывести заключение, что точной областью сходимости интеграла
B.7) является полуплоскость Res>p, так называемая полу-
полуплоскость сходимости. Следовательно, функция F(s) = F(x + jy)
представляет собой бесконечно большое число спектральных
плотностей, а именно бесконечно большое количество функций
e~xtf(t), для которых х > р.
В физических приложениях функция /(/) часто бывает ве-
вещественной (но не всегда — вспомним, например, функцию
f(t) = eJC0f). В таком случае
оо оо
F (s) = J e-«f @ dt = J e-*7@ dt~F{s),
1) В электротехнической литературе иногда утверждается, что формулы
B.8) и соответственно B.10) представляют функцию f(t) как суперпозицию
затухающих колебаний. Такое утверждение было бы правильным только в том
случае, если бы параметр х был отрицательным. Но тогда не было бы ника-
никакой необходимости вводить интеграл Лапласа, так как при отрицательном х
сходился бы уже первоначальный интеграл B.1).

§ 3] СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, ПОЛУЧАЕМЫХ ИЗ ИНТЕГРАЛА ЛАПЛАСА 29
т. е. значениям переменной s, являющимся взаимным зеркаль-
зеркальным отражением относительно вещественной оси, соответствуют
значения функции, также являющиеся взаимным зеркальным
отражением относительно вещественной оси.
Если отвлечься от физического смысла функции F(s) как
спектральной плотности и рассматривать ее с чисто математи-
математической точки зрения, то прежде всего необходимо отметить сле-
следующее: если F(s) вообще существует, то всегда в одной поло-
половине комплексной плоскости. Наиболее важное ее свойство за-
заключается в том, что в этой полуплоскости она является анали-
аналитической функцией, т. е. ее, как комплексную функцию, можно
любое число раз дифференцировать. Производные от функции
F(s) вычисляются путем дифференцирования под знаком инте-
интеграла:
оо
F{n) (S) = (- If J e'8ttnf (t) dt. C.1)
о
Следовательно, к функции F(s) применимы мощные методы тео-
теории функций комплексного переменного. Из получаемых таким
путем результатов, касающихся функции F(s), можно вывести
интересные следствия о функции времени /(/), для исследова-
исследования которой не существует общих методов.
Прежде чем перейти к изложению этих идей, вычислим для
некоторых функций времени соответствующие функции F(s).
Предварительно подчеркнем, что функцию /(/) достаточно
определить только для значений t > 0. Является ли функция
f(t) определенной также для КО и как именно, для вычисле-
вычисления интеграла Лапласа безразлично. Если же Евести в рассмо-
рассмотрение также значения t < 0, как это, например, сделано в фор-
формуле B.8) обращения интеграла Лапласа, то при этом необхо-
необходимо помнить, что при /<0 функция /(/) всегда равна нулю
(в смысле, разъясненном в § 2).
1. Пусть функцией времени будет f(t)= 1. С этой функцией
мы неоднократно будем встречаться в дальнейшем, причем вы-
выяснится, что практически целесообразно дополнить ее значением,
равным нулю для всех t < 0. Будем называть ее функцией еди-
единичного скачка или просто единичным скачком и обозначим че-
через u(t). Таким образом,
( 1 при />0,
"(/Иопри/<О. C'2)
Вопрос об определении функции u(t) в точке разрыва / = 0 оста-
оставим открытым, так как при вычислении интеграла Лапласа без-
безразлично, какое значение имеет u(t) при t = 0. В некоторых
случаях будет целесообразно принимать и@) = 0> а в других —
полагать и@)= 1 или 1/2.

30 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. 1
Вычислим для функции u(t) спектральную плотность; она
равна
,-je-.'a
— S
C.3)
S
причем тогда и только тогда, когда e~st —>0 при /—>оо, т. е. если
Re 5 > 0. Следовательно, мы получили подтверждение сказан-
сказанному выше, а именно, что областью сходимости функции F(s)
является полуплоскость (к такому же результату мы придем
и в следующих примерах). Таким образом, для функции вре-
времени 2ne~xtu(t) спектральной плотностью будет 1/5= l/(x + jy)y
а плотностью амплитуды 1/(х2 + у2)\ Выполнив обращение
формулы C.3), мы получим
Х+ /оо
1 Г ts\ - | 1 при ОО,
— J e"Tds = a@=| Q ,<Q C.4)
X-joo
или в форме спектрального представления
+ ОО
C.5)
+ ОО
I
Сам единичный скачок u(t) не имеет спектральной плотно-
плотности и поэтому не допускает спектрального представления
в смысле формулы A.10) 1). Если мы подставили бы в формулу
C.5) х = 0, то получили бы интеграл
-t-oo
Г t 1
который расходится, так как функция 1/у при у = 0 не интегри-
интегрируема.
В этой связи упомянем еще об одной часто используемой
формуле для u(t). Подстановка значения х = 0 в формулу C.5)
означает, что в интеграле C.4) путь интегрирования следует
выбрать вдоль мнимой оси. Однако при интегрировании по та-
такому пути возникает трудность: в особой точке s = 0 интеграл
*) Это обстоятельство необходимо особо подчеркнуть, так как в техниче-
технической литературе иногда встречается противоположное утверждение. Только
в том случае, если рассматривать u(t) как распределение, преобразование
Фурье приводит к результату, который можно понимать как спектральную
плотность (см. стр. 24). Однако этой спектральной плотностью будет отнюдь
не \Цу% а некоторое распределение, пояснение которого завело бы нас слиш-
слишком далеко.

13]
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, ПОЛУЧАЕМЫХ ИЗ ИНТЕГРАЛА ЛАПЛАСА
31
C.4) расходится. Для того чтобы устранить это затруднение,
следует обойти нулевую точку справа по полуокружности
(рис. 3.1). Тогда мы получим правильную формулу
при
при
/<0,
C.6)
которую, однако, нельзя рассматривать как спектральное пред-
представление функции u(t), так как на взятой полуокружности
функция ets не является ни колебанием е^', ни затухающим
колебанием e~**ew* с постоянным х.
,1 г
u(t-a)
Рис. 3.1. Путь
интегрирования
с обходом осо-
особой ТОЧКИ 5 = 0.
Рис. 3.2. Функция единич-
единичного скачка со скачком
в точке а.
2. Пусть теперь единичный скачок происходит не в момент
времени / = 0, а в момент / = а > 0. В таком случае он описы-
описывается функцией u(t — а) (рис. 3.2), для которой спектральной
плотностью будет
F(s)
оо оо
J е-"и (t-a)dt=j e~si dt = ~- при Re 5 > 0. C.7)
Следовательно, «запаздыванию» функции времени на промежут-
промежутке а соответствует умножение спектральной плотности на мно-
множитель e"as. К этому результату мы придем еще раз ниже
из совершенно общих соображений.
3. Пусть функцией времени будет еа* (а — произвольное
комплексное число) или, точнее говоря, функция, равная еа*
при />0и нулю при t < 0. Такую функцию можно обозначить
через
u{t)eat.
Если a = a + /со, то эта функция при со ф 0 и a = 0 означает
комплексное колебание, при со=?0 и a < 0 — затухающее

32 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. 1
колебание, при ш^О и ст > О— нарастающее колебание, а при
со = 0 —апериодическое (восходящее или нисходящее) движе-
движение. Спектральной плотностью будет
-<*-о)/лв_1_ При Re 5 > Re a. C.8)
о о
4. Пусть функцией времени будет cosco* или, точнее, функ-
функция u(t)cos(ot, т.е. вещественное колебание. Мы можем рассма-
рассматривать ее— в смысле сказанного в § 1 —как сумму двух ком-
комплексных колебаний. Тогда, применив к каждому из этих коле-
колебаний формулу C.8), мы получим
оо оо
J е~5/ cos at dt = ~ J e~st (e'®' + e-^9 dt =
о о
= 4 *
2 \s-y
yco
Этот интеграл сходится, если Res > Re (/to) и одновременно
Res>Re(—/со), т. е. при Res>0.
5. Для функции времени sin со/ аналогичным образом полу-
получаем
оо оо
J e~s' sin wtdt^-щ J е-" (е** - е-'*) dt =
о о
ПРИ ReS>°- {ЗЛ0)
6. Пусть функцией времени будет ta, т. е. степенная функция
(а — вещественное число). Для существования интеграла Лап-
Лапласа при t = 0 необходимо, чтобы было а > —1. Положив st = т,
мы получим
Для того чтобы переменная т была вещественной и чтобы полу-
получившийся интеграл представлял собой гамма-функцию Эйлера,
переменная s должна быть вещественной и, кроме того, должно
быть 5 > 0. Тогда мы будем иметь
оо
C.11)

§ 4] ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА КАК ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 33
Так как интеграл Лапласа представляет собой аналитическую
функцию, то формула C.11) справедлива также для комплекс-
комплексного s при условии, что Re 5 > 0.
Для tn (п = 0, 1, 2, ...) формула C.11) принимает вид
оо
J
при Res>0. C.12)
7. Пусть функцией времени будет tneat (п = 0, 1, ... ;
а — произвольное комплексное число). Для этой функции инте-
интеграл Лапласа, как это следует из формулы C.12) после замены
в ней s на s — а, равен
оо
f
e-{s-a)ttndt = ^—г при Res>Rea. C.13)
(s-a)»+1
§ 4. Интеграл Лапласа как преобразование
Мы видели, что каждой определенной при / > 0 функции вре-
времени /(/), для которой интеграл
при достаточно большом хо сходится, соответствует спектраль-
спектральная плотность
F(s) = F(x-t-jy),
определенная при х > х0. Следовательно, каждой такой функции
f(t) соответствует функция F(s)y связанная с f(t) соотношением
оо
F(s)=\e-s*f(t)dt. D.1)
о
Соотношение D.1) можно рассматривать также, как преобра-
преобразование, понимая под этим переход от функции f(t) к функции
F(s), осуществляемый посредством интеграла D.1). Это преоб-
преобразование принято называть преобразованием Лапласа. Пред-
Представление о преобразовании является типично математическим
представлением, позволяющим к ранее сделанному физическому
толкованию интеграла Лапласа добавить новое толкование, ко-
которое, как мы увидим ниже, окажется очень плодотворным.
С представлением о соответствии или преобразовании тесно свя-
связано представление об отображении. Подобно тому как фотогра-
фотографическая камера позволяет получать из оригинала изображение,
так и преобразование Лапласа переводит функцию-оригинал
/(/) в функцию-изображение F(s) или короче оригинал f(t) —
2 Г. Дёч

34 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ 1
в изображение F(s). Эта терминология особенно наглядна.
В настоящее время она прочно привилась, и мы также будем
ею пользоваться. Совокупность всех /(/) называют также про-
пространством оригиналов, а совокупность всех F(s)—простран-
F(s)—пространством изображении (происхождение этих терминов связано
с принятым в настоящее время в математике представлением
о множествах функций как абстрактных пространствах).
В дальнейшем мы будем обозначать оригиналы по возмож-
возможности всегда малыми буквами, а отвечающие им изображения —
соответствующими большими буквами, например f(t) и F(s),
y(t) и Y(s). Некоторые авторы применяют вместо этих обозна-
обозначений противоположные, т. е. F(t) и /(s); другие обозначают
оригиналы и изображения одной и той же буквой, но отмечают
изображение черточкой сверху [/(О» /E)]> что в ряде случаев
может привести к путанице, поскольку черточка сверху приме-
применяется также для обозначения сопряженного комплексного
значения. Встречаются также обозначения /(/) и f{s). В техни-
технической литературе иногда применяется обозначение и ориги-
оригинала, и изображения одной и той же буквой, но с указанием
в скобках аргументов ( и s; такое обозначение следует признать
совершенно недопустимым, так как часто переменные t и s при-
приходится заменять другими, в результате чего можег возникнуть
полная путаница.
Понятие преобразования или отображения имеет большое
сходство с понятием функции. В самом деле, в основе понятия
функции также лежит соответствие, а именно соответствие меж-
между двумя переменными, например z и w. Подобно тому как для
обозначения обычной функции применяют не слова «до есть функ-
функция г», а символ функции, например о> = <р(г), так и для обо-
обозначения связи, устанавливаемой преобразованием Лапласа,
вводят символ S и пишут
Читается эта запись так: F(s) есть функция, полученная из f(t)
посредством преобразования Лапласа [или короче: F(s) есть
?-изображение функции f(t)].
Формулу B.8), дающую спектральное представление функ-
функции f(t) через спектральную плотность F (s) и названную выше
обращением формулы D.1), также можно рассматривать как
преобразование, только не функции /(/) в F(s), а наоборот,
функции F(s) в /(/):
X+foo
1^ | e"F(s)ds при *>0. D.2)
X — /о©

§ 4| ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА КАК ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 35
Будем называть это преобразование обращением преобразова-
преобразования Лапласа или обратным преобразованием Лапласа и обо-
обозначать символом 8:
Связь между f и F называется также соответствием и обозна-
обозначается посредством знака соответствия ©-• следующим образом:
fV)*-*F(s) или F(s)-of(t).
Преобразования 2 и 8 отличаются одно от другого с точки
зрения их однозначности. Совершенно очевидно, что каждому
оригиналу / соответствует одно-единственное изображение F.
Но если мы рассмотрим все изображения F(s), полученные по-
посредством формулы D.1), то увидим, что каждое изображение
F(s) может быть получено из бесконечно большого числа ори-
оригиналов f(t). В самом деле, если мы изменим определение функ-
функции f(t) в конечном числе точек, то, поскольку такое изменение
не влияет на результат интегрирования интеграла D.1), изо-
изображение не изменится. Однако совокупность всех оригиналов
f(t), соответствующих какому-либо изображению F(s), легко
выявить: все они отличаются одно от другого на так называе-
называемые нулевые функции n(t), т. е. на функции, обладающие свой-
свойством
f п (т) d% = 0 при всех / ^ 0.
Если среди всех оригиналов f(t), соответствующих заданному
изображению F(s), имеется один, являющийся непрерывной
функцией, то других таких оригиналов не существует. Так как
в приложениях оригиналы часто с самого начала предпола-
предполагаются дифференцируемыми, а потому и подавно непрерывными
функциями, то только что указанное свойство оригиналов по-
позволяет определить оригинал по заданному изображению в боль-
большей части случаев однозначно. Следовательно, если оригиналы,
которые отличаются один от другого только на нулевые функ-
функции, не рассматривать как различные (как это обычно принято
в математике), то обратное преобразование Лапласа также все-
всегда будет однозначным.
Придав интегралу Лапласа смысл преобразования вместо
прежнего смысла спектральной плотности F(s) = F(x + jy), со-
соответствующей функции e~xtf(t)y мы вступили на совершенно
другой путь, который, как увидим ниже, для приложений ока-
окажется особенно плодотворным Мы подробно рассмотрели спек-
спектральное представление с целью показать, что интеграл

33 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА [ГЛ. 1
Лапласа не является одним только абстрактным математиче-
математическим понятием и что он, наоборот, допускает вполне наглядное
толкование.
Понимание преобразования Лапласа как спектрального пред-
представления особенно близко образу мыслей инженера, для кото-
которого это представление часто является вполне реальным, как,
например, в теории электрических фильтров. Однако преобразо-
преобразование Лапласа применимо также к функциям, для которых спек-
спектральное представление не имеет реального смысла. Более того,
преобразование Лапласа вообще выходит далеко за пределы
такой узкой постановки вопроса — попытки придания какой-либо
функции вполне определенного наглядного смысла. Пока по
этому поводу мы можем сделать только следующие предвари-
предварительные замечания.
Функции, с которыми приходится иметь дело инженеру, яв-
являются всегда решениями функциональных уравнений — диф-
дифференциальных, разностных и интегральных, следовательно, над
этими функциями должны производиться определенные опера-
операции, такие, как дифференцирование, составление разностей, ин-
интегрирование. Подлинное значение преобразования Лапласа за-
заключается в том, что оно имеет характер отображения, заме-
заменяющего функции из пространства оригиналов и производимые
здесь над ними операции функциями и операциями в простран-
пространстве изображений, в котором и изображения функций, и выпол-
выполняемые над ними операции значительно проще и нагляднее.
Это приводит к тому, что изображения указанных функциональ-
функциональных уравнений также получаются более простыми, чем исход-
исходные уравнения в пространстве оригиналов, и решаются эти ото-
отображенные уравнения значительно проще. Отображениями опе-
операций, совершаемых над функциями, мы займемся в следующей
главе.
Преобразование Лапласа обладает еще одним важным свой-
свойством, на которое было уже указано в § 3, а именно: изображе-
изображения, получаемые в результате 2 -преобразования, представляют
собой аналитические функции, к которым можно применять
мощные методы теории функций комплексного переменного. Так,
например, формулу D.2), выражающую функцию f(t) через F(s)y
можно понимать как интеграл от аналитической функции etsF(s),
взятый вдоль прямой, лежащей в комплексной плоскости. Если
заменить этот путь интегрирования на основании теоремы Коши
другими кривыми, то таким способом можно выявить интерес-
интересные свойства функции f(t), например, ее асимптотическое по-
поведение.
То обстоятельство, что переменная 5 изменяется в комплекс-
комплексной плоскости, всегда будет оказываться выгодным. Для того
чтобы привести простой пример, иллюстрирующий эту выгоду,

§ 4] ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА КАК ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 37
напомним, что решения линейных однородных дифференциаль-
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами представляют
собой линейные комбинации функций вида ?"еа*, где а в общем
случае есть комплексное число. Изображением функции такого
вида является, как мы видели в примере 7 из § 3, рациональная
функция n\f(s — a)n+1. Подлинное поведение такой функции
можно выявить только в том случае, если рассматривать ее
в комплексной плоскости как аналитическую функцию с полю-
полюсом а, имеющим кратность п + 1.

ГЛАВА 2
ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ ОПЕРАЦИЙ
ПРИ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ЛАПЛАСА
§ 5. Отображение операций
При практическом применении преобразования Лапласа
операции ведутся не над заданными функциями, а над их изо-
изображениями, подобно тому как при умножении вычисления ве-
ведутся часто не над самими числами, а над их логарифмами, что
приводит к замене умножения более простой операцией — сло-
сложением. Весь процесс преобразования Лапласа можно пред-
представить себе как перевод с одного языка на другой. При таком
переводе каждому слову одного языка соответствует определен-
определенное слово другого языка. Совершенно так же при преобразо-
преобразовании Лапласа каждой функции пространства оригиналов со-
соответствует определенная функция в пространстве изображений.
Роль словаря, необходимого для перевода с одного языка на
другой, при преобразовании Лапласа играет таблица соответ-
соответствий между оригиналами и изображениями. Несколько самых
необходимых соответствий мы привели в § 3, в значительно боль-
большем количестве они даны в приложении, помещенном в конце
книги. Но для того, чтобы перевести с одного языка на другой
целое предложение, т. е. некоторую последовательность связан-
связанных между собой слов, недостаточно знать перевод отдельных
слов; необходимо еще знать, как грамматические образования
одного языка (например, изменение отдельных слов или связы-
связывание нескольких слов в одно более сложное понятие) пере-
передаются на другом языке. В применении к случаю преобразова-
преобразования Лапласа это означает следующее: если над функцией, на-
например, в пространстве оригиналов производится какая-либо
операция, например, дифференцирование или интегрирование, то
в пространстве изображений этой операции должна отвечать
вполне определенная другая операция. Аналогичным образом,
если в пространстве оригиналов несколько функций комбини-
комбинируются одна с другой, например перемножаются, то в простран-
пространстве изображений такой комбинации должна отвечать вполне
определенная другая комбинация.

§61
ЛИНЕЙНЫЕ ПОДСТАНОВКИ
39
Таким образом, необходимо знать не только отображение
(или перевод) отдельных функций, но и правила отображения
выполняемых над ними операций. Именно в этом смысле и сле-
следует понимать приводимые ниже «грамматические правила»
преобразования Лапласа (в § 6—9 указаны только самые важ-
важные из этих правил, необходимые во всех случаях; дальнейшие
правила можно найти в разделе I Приложения).
Как эти правила используются для решения некоторых ма-
математических задач, будет показано в гл. 3—51).
§ 6. Линейные подстановки
В этом параграфе мы рассмотрим операции, представляю-
представляющие собой линейные преобразования аргумента в оригинале или
в изображении.
Правило I (теорема подобия)
или
Следовательно, умножение аргумента оригинала (изображения)
на некоторое число приводит к делению аргумента изображе-
изображения (оригинала) и одновременно самого изображения (ориги-
(оригинала) на то же число, т. е. к подобному изменению изображений
(оригинала).
Правило 11 (первая теорема смещения)
u(t-a) f (t-a)o-* e~asF (s)
l) Мы рекомендуем читателю для лучшего понимания механизма этих
правил вывести самостоятельно некоторые из них. Для примера приведем
вывод первого правила:
:— е
—it i ,s
17 a \ a
Кроме того, читателю, желающему усвоить исключительно «технику» преоб-
преобразования Лапласа, мы рекомендуем при первом чтении ограничиться только
запоминанием формул, выражающих правила (эти формулы заключены
в рамки), к чтению же пояснительного текста вернуться лишь после того, как
он встретится с применением правил на примерах в гл. 3—5.

40
ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ ОПЕРАЦИЙ
1ГЛ
Оригинал f(t — a) умножен на функцию единичного скачка
u(t — a), определяемую формулой C.2), с целью показать, что
функцию f{t) при отрицательных значениях t следует принять
равной нулю (см. стр. 29). При t<a аргумент t — a отрица-
отрицателен, поэтому
f(t-a) = O.
Следовательно, график функции f(t — a) получается из графика
функции /(/) смещением последнего вправо на расстояние а и
одновременным дополнением его в промежутке между 0 и а от-
отрезком оси t (рис. 6.1,а).
f(t-a)
Jft+a)
о) б)
Рис. 6.1. Смещение графика функции вправо и влево.
Правило II играет особо важную роль для процессов, проис-
происходящих с отставанием (например, при регулировании с запаз-
запаздыванием).
Если правило II читать справа налево, т. е. переходить от
изображения к оригиналу, то не следует забывать, что ориги-
оригинал f(t — а) при t<a должен быть равен нулю.
Так, например, если в результате вычислений получилось
изображение
то при
нуль.
е s2 + 1 '
оригиналом будет sin(/—1), а при
Правило III (вторая теорема смещения)

§ 7] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 41
Это правило противоположно правилу II в том смысле, что
теперь график функции /(/) смещается на отрезок а не вправо,
а влево (рис. 6.1,6). Такое смещение приводит к тому, что на-
начальный кусок графика, соответствующий участку оси / от О
до а, пропадает, так как новая функция по-прежнему может
рассматриваться только при значениях /^>0. Очевидно, что изо-
изображение F(s) не может быть связано непосредственно с новой,
усеченной функцией f(t + a). Именно поэтому и появляется
в правой части соответствия «конечный» интеграл Лапласа, со-
содержащий значения функции f(t) при значениях аргумента
0<t<a.
Правило III играет важную роль при решении разностных
уравнений, в которые наряду с /(/) входят значения f(t + a),
f(t + 2a), ...
Правило IV (теорема затухания)
е~а// (/) о-# F (s + а) (а — произвольное комплексное число)
Действительное затухание оригинала происходит, конечно,
только в том случае, когда а представляет собой положитель-
положительное вещественное число, а функция f(t) —ограниченная,
§ 7. Дифференцирование
В предыдущем параграфе мы привели правила для простей-
простейших элементарных операций. В этом и следующем параграфах
мы рассмотрим более сложные операции — дифференцирование
и интегрирование, а также умножение.
Правило V (теорема дифференцирования для оригинала)
Если производная /' обладает изображением, то обладает
изображением и первообразная функция /. Однако обратное
имеет место не всегда. Например, функция In/ обладает изобра-
изображением, т. е. ?{1п/} существует, но производная от In/, равная
1//, изображением не обладает, т. е. 8{1//} не существует, так
как функция \jt при i = О неинтегрируема. Поэтому при приме-
применении правила, которое сейчас будет сформулировано, всегда
необходимо предполагать, что наивысшая встречающаяся про-
производная существует при t > 0 и обладает изображением; тогда
из этого предположения автоматически будет следовать, что
производные более низких порядков, включая первообразную

42 ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ ОПЕРАЦИЙ [ГЛ. 2
функцию, также обладают изображениями и что предельные
значения справа /( + 0), /'( + ()), ... существуют.
f'(t)o-sF{s)-f{ + 0)
f"(t)*-s2F(s)-f(+0)s-f'(+0)
Для практических приложений это правило является самым
важным. Оно выражает собой в высшей степени примечатель-
примечательное обстоятельство: дифференцирование, которое в пространстве
оригиналов представляет собой трансцендентный процесс, заме-
заменяется в пространстве изображений совершенно элементарным
действием — умножением изображения на степень аргумента s
с одновременным добавлением многочлена, коэффициентами ко-
которого являются «начальные значения» оригинала. Включение
в изображение этих начальных значений оказывается особенно
ценным при применении правила V к дифференциальным урав-
уравнениям.
Примечания
1. Обратим внимание на следующее. «Начальные значения»
обозначены в формулах, выражающих правило V, не через /@),
/'(О), ..., а соответственно через /( + 0), f( + 0), ... Это сделано
с целью подчеркнуть, что имеются в виду не значения, которые
функции /, /', ... имеют при t = 0, а предельные значения, к ко-
которым стремятся f, /', ..., когда / стремится к нулю справа.
Можно сказать и наоборот, а именно, что имеются в виду зна-
значения, от которых функции /, f\ ... начинают свое непрерывное
изменение вправо. Так, например, рассмотренная в примере 1
§ 3 функция u(t), т. е. единичный скачок, может иметь при
t = 0, смотря по обстоятельствам, вообще любое значение w@).
Но предельное значение и( + 0) совершенно однозначно равно
единице. Так как при / > 0 производная u'(t) = 0, то %{и'} = 0,
и так как ? {и} = 1/5, то правило V дает
Это равенство соблюдается только для значения и(+0) = 1.
Для других значений ы@), отличающихся ог а(-ЬО), оно было
бы неправильным.

§ 7J ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 43
Разница между «значением функции в точке» и «предельным
значением при приближении к этой точке» играет особо важную
роль при решении уравнений в частных производных.
2. Правило V предполагает, что наивысшая встречающаяся
производная /(п) существует в каждой точке />01). Покажем
на примере, что если не учитывать это обстоятельство, то при-
применение правила V может привести к неверному результату.
Для единичного скачка u(t — а), рассмотренного в примере 2
§ 3 и происходящего в момент времени / = а >0, мы имеем
Предельное значение функции u(t — а) при t, стремящемся
к нулю справа, равно нулю. Применив неосторожно правило V,
мы получим
Z{u'(t~a)} = e~as. G.1)
Если же мы вычислим это изображение, т. е. %{uf(t — а)}, пря-
прямым путем, т. е. составим сначала производную и'(t — а) и
только затем выполним преобразование Лапласа, то получим
совсем другой результат. В самом деле, мы имеем
О при гфау
Г G.2)
не определяется при t =¦- а.
Следовательно,
2К(/-а)} = 0, G.3)
так как очевидно, что интегрирование функции, равной нулю
всюду, за исключением одной-единственной точки, дает такой
же результат, как и интегрирование функции, равной нулю
всюду.
1) При t = 0 п-я производная не обязательно должна существовать. Та-
Такой случай встречается довольно часто. Для п =*= 1 примером может служить
функция f(t)=t с производной /' (/) = — /"~1/2. Для этой функции мы
имеем
г (А
и правило V приводит к верному результату:
s3/2

44
ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ ОПЕРАЦИЙ
[ГЛ 2
Несовпадение результатов, даваемых формулами G.1) и G.3),
объясняется тем, что функция u(t— а) дифференцируема не
при всех /, а именно в точке t = а она не только не имеет про-
производной, но даже не непрерывна. Следовательно, к такой функ-
функции правило V применять было нельзя.
О другой интерпретации формулы G.2) и другом смысле
формулы G.1) см. Добавление, стр. 258, пример 2.
Правило VI (теорема дифференцирования для изображения)
В § 3 мы упомянули, что изображение является всегда ана-
аналитической функцией, следовательно, обладает всеми производ-
производными. Эти производные легко получить путем дифференциро-
дифференцирования под знаком интеграла, что приводит к следующему пра-
правилу:
Мы видим, что, как и в случае дифференцирования оригинала,
сложная операция дифференцирования изображения заменяется
в пространстве оригиналов совсем тривиальной операцией —
умножением оригинала на независимую переменную, взятую
с отрицательным знаком.
§ 8. Интегрирование
Правило VII (теорема интегрирования для оригинала)
Дифференцированию оригинала соответствует в простран-
пространстве изображений, если не считать прибавления постоянной,
умножение изображения на s. Интегрированию оригинала от
нуля до переменной точки t соответствует в пространстве изо-
изображений деление изображения на 5:
В основе этого правила лежит предположение, что функция
f(t) обладает изображением. При таком предположении авто-
автоматически обладает изображением и интеграл от функции /(/).

§ 9] УМНОЖЕНИЕ И СВЕРТЫВАНИЕ 45
Правило VIII (теорема интегрирования для изображения)
Как мы видели в предыдущем параграфе, дифференцирова-
дифференцированию изображения соответствует умножение оригинала на — t.
Интегрированию изображения соответствует обратное дей-
действие— деление оригинала на —t, при условии что в качестве
постоянной начальной точки интегрирования берется точка
о ^>
5 = оо. Поэтому, заменив Г на — ,
мы получим
Это правило основано на предположении, что функция f(t)/t
обладает изображением, следовательно, функция /(/) и подавно
имеет изображение. В качестве пути интегрирования при вычис-
оо
лении интеграла j можно взять любой исходящий из точки 5
луч, образующий с вещественной осью острый угол.
Правило VIII в противоположность остальным правилам
применяется крайне редко и приводится здесь только ради пол-
полноты.
§ 9. Умножение и свертывание
До сих пор мы занимались операциями, производимыми над
одной функцией. Теперь рассмотрим операции над комбина-
комбинациями нескольких функций.
Сумме конечного числа оригиналов отвечает сумма соответ-
соответствующих изображений. Этот факт настолько очевиден, что мы
не будем формулировать его в виде особого правила 1). Следую-
Следующей наиболее простой комбинацией является произведение. Нач-
Начнем с произведения изображений.
Правило IX (теорема свертывания)
Произведению изображений Fi(s)-F2(s) соответствует свое-
своеобразная интегральная комбинация функций fi(t) и /г(/), часто
1) Конечно, для бесконечно большого числа слагаемых такое соответствие
имеет место не всегда См. по этому поводу § 29.

4б ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ ОПЬРАЦИр] [ГЛ. 2
встречающаяся в физике1), а именно
t
i(*)f2(t-%)dx. (9.1)
Эта интегральная комбинация называется сверткой функций fi
и /2 и символически обозначается через fi*/2 (читается: функ-
функция fu свернутая с функцией /г). Таким образом,
Указанный символ свертки, напоминающей символ произведе-
произведения, практически удобен потому, что свертка ведет себя так же,
как и произведение. А именно, она обладает свойством коммута-
коммутативности, т. е.
или в раскрытом виде
t t
I П (т) h {t-x)dx = \ U W /, (/ - т) dx (9.2)
О О
и свойством ассоциативности, т. е.
(f f \ f —— f (f f \ /Q *-^\
Следовательно, свертка нескольких функций
/l * /2 * • • • * //г
всегда дает одинаковый результат независимо от того, в каком
порядке выполняется свертывание.
Итак, мы имеем следующее правило, устанавливающее со-
соответствие между сверткой оригиналов и произведением изо-
изображений
(9.4)
Это правило основано на предположении, что существуют инте-
интегралы Лапласа от функций fi и fz и что по крайней мере один
]) Если, например, в течение времени, длящегося от т = 0 до т = t, дей-
действуют некоторые факторы /i(x), то их суммарный эффект в простейшем
случае равен /i (т) dx. Но если каждому фактору приписать весовой коэф-
о
фициент /г, зависящий от промежутка времени, прошедшего между момен-
моментом т возникновения фактора и моментом / наблюдения, следовательно,
от / — т, то суммарный эффект всех факторов будет определяться интегра-
интегралом (9.1).

§ 9] УМНОЖЕНИЕ И СВЕРТЫВАНИЕ 47
из них абсолютно сходится1). В таком случае интеграл Лап-
Лапласа от свертки /i */г сходится автоматически.
Правило IX является после правила V важнейшим для при-
приложений.
Правило X (теорема комплексного свертывания)
Произведению двух' оригиналов соответствует «комплексная
свертка» изображений. Если предположить, что при двух фик-
фиксированных вещественных значениях Xi и х2 интегралы
~2V!fv@l2^ (v = l,2) (9.5)
сходятся, то при всех 5, для которых Res>*i + x2y имеет место
соответствие
О—•
1
или
1
2я/
с
I
X — 1 оо
X-f/oo
с
I
X — joo
Л
(o)F2(s-
(s-o)F2
о) da
(a) da
при .Vj^a;
при jc2<J*
<Re s — x2
^Res — Xi
(9.6)
Если абсциссы х прямых, вдоль которых производится инте-
интегрирование, будут выбраны так, как указано, то .переменные,
входящие в функции /ч и F2, будут перемещаться в полупло-
полуплоскости абсолютной сходимости интегралов Лапласа 2{f}
и ?{f2}.
1) Интеграл е stf (t) dt называется абсолютно сходящимся, если схо-
о
дится интеграл
Это соблюдается для всех функции, которые мажорируются показательной
функцией \ f(t) \ < A eat при условии, что Re s > a.

48
ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ ОПЕРАЦИЙ
[ГЛ 2
Предположение (9.5) сохранится, если заменить ^ на
Функции /г соответствует изображение
со оо
8 tf2} - J е-"М0 dt = J е-«/2 (О Л = f^ij.
Заменим в первом из соответствий (9.6) /г на /2 и /^(s) на F2{s)
и примем, что s = Xi + х2 и х = Х\. Тогда, заменив знак соответ-
соответствия явным выражением интеграла Лапласа, мы получим
оо
J e-<
J F, (о)
/
x2-a)da,
J
JC,~/oo
ли,
с
0
положив а
оо
= *,-
) Х\
— оо
1У-
\(xl + ly)Fi^ + iy)dy
(9.7)
Это соотношение называется обобщенным равенством Парсе-
Парсеваля для преобразования Лапласа. Оно справедливо, если вы-
выполняются условия (9.5).
При f 1 = ft = f и Xi = х2 = л: соотношение (9.7) принимает
вид
(9.8)
которое называется равенством Парсеваля и справедливо, если
сходятся интегралы
оо оо
je-**\f(t)\dt, \e-™\f{t)fdt. (9.9)
О О
Если положить х — 0, следовательно, предположить, что схо-
сходятся интегралы
оо оо
J If @1 Л, J If (OP Л, (9.10)
о о
то равенство Парсеваля примет вид
(9.11)

§ 9] УМНОЖЕНИЕ И СВЕРТЫВАНИЕ 49
Это соотношение находит широкое применение в технических
приложениях. Если, например, f(t) есть ток на выходе электри-
электрической цепи, то равенство (9.11) определяет выраженную через
плотность амплитуды \F(jy)\ полную энергию, необходимую
для преодоления сопротивления, равного одному ому. Если f(t)
есть регулируемая величина системы регулирования, то ин-
интеграл
\\f{t)fdt
представляет собой так называемый квадратичный критерий
качества регулирования. Один из способов оптимизации в тех-
технике регулирования состоит в придании этому критерию мини-
минимального значения. Так как в этом случае функция f(t) веще-
вещественная, то F(jy) =F(—jy), и равенство (9.11) принимает вид
+ОО /
] ± J F(a)F{-a)da. (9.12)
—/оо
Если F (s) есть дробно-рациональная функция, то комплексный
интеграл в правой части этого равенства можно определить пу-
путем вычисления вычетов. Результат будет зависеть от конечного
числа постоянных, определяющих дробно-рациональную функ-
функцию, и может быть сделан минимальным при помощи методов
дифференциального исчисления путем подходящего выбора по-
постоянных.
В следующих главах будет показано, как при помощи пре-
преобразования Лапласа и изложенных выше правил, можно ре-
решать некоторые типы функциональных уравнений со значи-
значительно меньшей затратой усилий, чем при помощи классических
методов.

ГЛАВА 3
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 10. Дифференциальное уравнение первого порядка
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка
с постоянными коэффициентами, но с произвольной возмущаю-
возмущающей, или возбуждающей, функцией /(/):
A0.1)
Обозначая отдельные члены этого уравнения малыми буквами,
мы подчеркиваем, согласно принятому ранее условию, что урав-
уравнение задано в пространстве оригиналов. До сих пор мы приме-
применяли преобразование Лапласа только к функциям. Применим
его теперь непосредственно к уравнению A0.1) и будем гово-
говорить, что для заданного исходного уравнения мы ищем изобра-
изображающее уравнение. Очевидно, что для этого прежде всего сле-
следует умножить обе части исходного уравнения на e~s' и проин-
проинтегрировать от 0 до оо. Однако для более быстрого приобрете-
приобретения навыка в выполнении преобразования Лапласа следует
вместо явного введения интеграла Лапласа пользоваться только
его символом 2; тогда мы будем иметь
Второй и важнейший шаг преобразования состоит в том, что
применяется правило V и %{у'\ выражается через %{у), причем
одновременно вводятся вместо малых букв большие. В резуль-
результате мы получаем
sY (s) -y( + 0) + c0Y(s) = F(s). A0.3)
Конечно, после некоторых упражнений можно не прибегать к
записи уравнения A0.2) и вместо этого переходить от урав-
уравнения A0.1) непосредственно к уравнению A0.3), говоря при
этом: «Я преобразую исходное уравнение в изображающее урав-
уравнение» или «я отображаю исходное уравнение в пространство
изображений».
В изображающем уравнении (ЮЗ) бросаются в глаза две
его особенности: во-первых, оно является линейным алгебраи-

§ 10] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОЮ ПОРЯДКА 51
ческим уравнением относительно Y(s), т. е. представляет собой
в математическом отношении нечто несравненно более простое,
чем первоначальное дифференциальное уравнение; во-вторых,
оно содержит в себе значение у( + 0). Последняя особенность,
как мы сейчас увидим, для нас особенно выгодна. В самом деле,
для того чтобы из бесконечно большого числа решений диффе-
дифференциального уравнения отобрать вполне определенное решение,
необходимо задать значение функции y(t) в какой-либо точке.
В приложениях это делается обычно для начальной точки / = 0,
и поэтому соответствующее значение у(-гО) функции y{t) на-
называется начальным значением. При этом имеется в виду, что
переход от начального значения к соседним значениям функ-
функции y(t) совершается непрерывно или, наоборот, что это началь-
начальное значение является предельным значением, к которому не-
неограниченно приближается функция y(t), когда в решении пе-
переменная t стремится к нулю справа. Следовательно, мы имеем
здесь дело именно со значением */( + 0), т. е. с тем начальным
значением, которое входит в правило V (см. в связи с этим
примечание 1 на стр. 42).
Возвращаясь к уравнению A0.3), мы видим, что начальное
значение, необходимое для придания определенности решению
дифференциального уравнения, вошло в изображающее уравне-
уравнение само собой и поэтому учитывается в дальнейшем автома-
автоматически. Это обстоятельство придает методу решения диффе-
дифференциальных уравнений посредством преобразования Лапласа
значительное преимущество перед классическим методом, при
использовании которого сначала отыскивается так называемое
общее решение, зависящее от произвольной постоянной, а затем
эта постоянная определяется так, чтобы функция y(t) при t-+0
приняла предписанное значение. [Конечно, можно сказать, что
при применении преобразования Лапласа также появляется по-
постоянная; однако эта постоянная уже заранее определенным
образом связана с решением, а именно, она равна у( + 0).]
Решение изображающего уравнения A0.3) получается сразу
и имеет вид
Таким образом, изображение Y(s) искомой функции y(t) най-
найдено, и остается только найти соответствующий этому изобра-
изображению оригинал. Для этой цели можно было бы воспользовать-
воспользоваться формулой обращения, т. е. комплексным интегралом B.8).
Однако такого способа определения оригинала следует по воз-
возможности избегать и вместо этого поступать так же, как это
делается при необходимости вычислить какой-либо интеграл.
Известно, что в таких случаях не производят вычисления

52 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ 3
интеграла на основании его определения как предела суммы.
Вместо этого обращаются в таблице заранее вычисленных инте-
интегралов, и если это сразу не ведет к цели, то пытаются так раз-
разложить или преобразовать подынтегральное выражение, чтобы
можно было свести вычисление к известным интегралам. Совер-
Совершенно аналогично поступают и в нашем случае: обращаются
к таблице соответствий между изображениями и оригиналами
(см. Приложение в конце книги) и отыскивают в ней для най-
найденного изображения соответствующий оригинал. Если же в таб-
таблице найденное изображение отсутствует, то делают попытку
построить оригинал из имеющихся в таблице функций путем ис-
использования «грамматических правил» преобразования Лапласа,
изложенных в гл. 2.
В случае изображения A0.4) оригинал отыскивается очень
просто. А именно, изображение 1/E + Со) имеется в таблице со-
соответствий под № 35 и ему соответствует оригинал е~с*'. Та-
Таким образом, для второго слагаемого решения Y(s) оригинал
находится сразу. Что касается первого слагаемого, то оно пред-
представляет собой произведение двух изображений, поэтому ему
соответствует, согласно правилу IX, свертка оригиналов. Обоим
слагаемым вместе соответствует оригинал
что и представляет собой решение дифференциального уравне-
уравнения A0.1) при заданном начальном значении функции y(t).
Подчеркнем, что мы сразу нашли решение неоднородного
уравнения (с возмущающим членом /), в то время как при поль-
пользовании классическим методом сначала решается однородное
уравнение (с /=0) и только затем, путем вариации постоянных,
отыскивается решение неоднородного уравнения.
Рассмотренный метод решения можно наглядно изобразить
в виде следующей схемы1):
Схема
Пространство
оригиналов: дифференциальное уравнение решение
+ начальное условие
., t
^-преобразование С -преобразование
Пространство i
изображений: алгебраическое уравнение —> решение
]) Решение путем преобразования Лапласа других функциональных урав-
уравнений изображается такой же схемой.

§ 10] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПБРВОГО ПОРЯДКА 53
Эта схема показывает, что непосредственное решение диф-
дифференциального уравнения, заданного вместе с начальным усло-
условием в пространстве оригиналов, заменяется косвенным реше-
решением в пространстве изображений, а именно: сначала от задан-
заданного дифференциального уравнения мы переходим посредством
прямого преобразования Лапласа к изображающему уравнению,
которое является алгебраическим уравнением, а затем, решив
изображающее уравнение, переходим посредством обратного
преобразования Лапласа назад в пространство оригиналов и
получаем при этом решение первоначальной задачи.
Из формулы A0.5) мы видим, что изображение F(s) возму-
возмущающей функции f(t) понадобилось нам только для вывода
результата, сам же результат, т. е. решение y(t), получается
без предварительного нахождения изображения F(s). Тем не
менее во многих случаях практически выгоднее вместо вычис-
вычисления свертки, т. е. интеграла в формуле A0.5), найти изобра-
изображение F(s), а затем, рассматривая выражение F(s)/(s + с0)
как единое изображение, перейти от него посредством обратного
преобразования Лапласа назад в пространство оригиналов.
Пусть, например, f(t)=u(t), следовательно,
F(s)
Это изображение имеется в таблице соответствий под № 40 и
ему соответствует оригинал
Результат получается так же просто и в тех случаях, когда
f (t) представляет собой степенную или показательную функцию.
Остановимся подробнее на случае, когда возбуждающей функ-
функцией /(/) является синусоидальное колебание ej4°'. На основании
примера 3, рассмотренного в § 4, мы имеем
v ' s + со (s - /со) (s + Co) '
Это изображение значится в таблице соответствий под № 44 и
ему соответствует оригинал
Со + ;со

51 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3
Для того чтобы найти решение для случая /(/) s= cos и)/ или
sin со/, представим это выражение в виде
cl~'j(i (cosсо/ +1 sin со/ - е-*')
со + ш
и разложим его на вещественную и мнимую части; мы получим:
вещественная часть = -^ ~- [со sin со/ + с0 (cos со/ — е~с°0]>
мнимая часть = -^ [с0 sin со/ — со (cos со/ — е~с°0]-
Cq + CO"
Для получения полного решения остается добавить член
у(+0)е~с»*. При положительном Со члены полного решения,
содержащие е~с**, с увеличением / затухают до нуля и остается
только гармоническое колебание с такой же круговой часто-
частотой со, как у возмущающего колебания, но с другими амплиту-
амплитудой и фазой.
§11. Дифференциальное уравнение второго порядка
Для дифференциального уравнения второго порядка
ус1У' + Соу = /(/), A1.1)
коэффициенты которого будем предполагать вещественными1),
изображающим уравнением, согласно правилу V, будет
В него входят два начальных значения, а именно, начальное
значение самой функции у и начальное значение ее производ-
производной у'. Именно столько значений и должно быть задано для того,
чтобы решение дифференциального уравнения второго порядка
было однозначно определено. Изображающее уравнение опять
является линейным алгебраическим уравнением. Его решение
получается сразу и имеет вид
A1.2)
Хотя оригиналы, соответствующие отдельным слагаемым
этого решения, можно взять прямо из таблицы соответствий, мы
все же покажем, как их можно вычислить, так как это послу-
1) Мы разделили все члены уравнения на коэффициент при у", поэтому
коэффициент при высшей производной стал равным единице. Это облегчит
дальнейшие вычисления.

§ 11] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 55
жит хорошим упражнением для решения дифференциального
уравнения любого порядка. Дроби, входящие в формулу A1.2),
суть рациональные функции, в которых степень числителя ниже
степени знаменателя. Такие функции могут быть разложены на
так называемые простейшие дроби совершенно так же, как это
делается в интегральном исчислении при интегрировании дроб-
дробно-рациональных функций. Для этого прежде всего найдем
нули а\ и 0&2 многочлена, входящего в знаменатель функций,
т. е. представим этот многочлен в виде произведения двух ли-
линейных множителей:
р (s) = s2 + c{s + с0 = (s - a,) {s - а2).
Дальнейшие вычисления будут различными в зависимости
от того, будет ли cti Ф а2 или oci = ot2.
Первый случай: а\Фа2
В этом случае дробно-рациональные функции, входящие в
формулу A1.2), могут быть разложены на сумму двух дробей:
dx , d2
s-a{ ~* "s-a2 '
из которых каждая содержит в знаменателе только один линей-
линейный множитель. Применим такое разложение сначала к первой
дробно-рациональной функции из формулы A1.2) и напишем
Для определения пока неизвестных коэффициентов d\ и d% сло-
сложим обе дроби в правой части равенства1):
1 (d\ + d2) s — (did2 + d2ct\)
P (s) (s —a^ (s — a2)
Приравняв множители при одинаковых степенях 5 в числителях
слева и справа, мы получим для определения коэффициентов d\
и d2 уравнения
d\ + d2 = 0, а2с
из которых найдем
1 а! — а2 (Xi — a2
Так как для каждой из полученных простейших дробей ориги-
оригиналы известны, то оригиналом всей дробно-рациональной
'•) В § 12 мы познакомимся с более изящным способом определения этих
коэффициенте.

56 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3
функции (П.З) будет
причем ai и «2 в явном виде равны соответственно
где
есть дискриминант уравнения s2 + C\S + с0 = 0.
Если D < 0, т. е. если
то k—Y—D есть вещественное число, и
g (/) = ^-е-^/2 (е*' - e-fe0 = \е~^2 sh «, A1.5)
следовательно, движение, определяемое функцией g(t), есть апе-
апериодическое движение.
Если же D > 0, т. е. если
4 ^ со»
то нули ai и аг суть комплексно-сопряженные числа, и поэтому
функция g(/) записывается в комплексной форме. Однако в дей-
действительности функция g(t) представляет собой вещественную
функцию. В самом деле, положив |/ — D =co/, мы получим
в 4" e~Ci//2 sin
В этой вещественной форме функцию g(t) можно получить
также непосредственно, если преобразовать выражение G(s) =
= \/p(s) к виду
q (s\ = ! = ! -- !
W (s + cxj2f + (с0 - с2/4) (s + с,/2J + D (s + c{j2f + со2
и затем воспользоваться соответствием
1
s* + or (о
> — sincof
(см. таблицу соответствий, № 38). Применив это соответствие
к нашему случаю, мы на основании правила IV (теорема

§ 11] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 57
затухания) найдем
G (s)*-o-^-e-^2 sin со/ = g (t).
Таким образом, движение, определяемое функцией g(t) в случае
D > О, есть периодическое колебание, которое вследствие нали-
наличия множителя e~Clt/2 либо затухает, либо нарастает.
Если с2/4<с0, то из практических соображений целесооб-
целесообразнее взять эти коэффициенты с самого начала в виде
с, =26, со = 62 + 02, (П.7)
т. е. придать дифференциальному уравнению A1.1) вид
y" + 26y' + (t? + tf)y = f(t). A1.8)
Тогда мы будем иметь D = со2, и
G(s) = ^*-o^e-6<sinco/. A1.9)
Следовательно, в этом случае запись дифференциального урав-
уравнения A1.8) сразу указывает круговую частоту со и затуха-
затухание б, соответствующие функции ?_(/)• Кроме того, для отноше-
отношения двух последовательных экстремальных амплитуд затухаю-
затухающего колебания получается постоянное значение е~пб/0). Так
называемый коэффициент затухания 6/со позволяет сразу судить
о затухании колебаний.
Перейдем к отысканию оригинала для второй дробно-рацио-
дробно-рациональной функции из изображения A1.2). Представив ее в виде
суммы простейших дробей, мы получим
d2 _ (dx-\-d2) s-
p(s) s - a, ^ s - a2 p (s)
и для определения коэффициентов d\ и d2 будем иметь урав-
уравнения
d{ + d2=: I, a2d{ + a1d2s= — cu
откуда, имея в виду, что —С\ = а\ + а2, найдем
1 а2-ах аг-а! * 2 а2 - а.\ а2 - а! *
следовательно,
^^^(с^-а.е^ЫО. (НЛО)
Если для случая D > 0 использовать запись коэффициентов
Ci и Со в виде A1.7), то обратный переход в пространство
оригиналов осуществляется особенно просто (см. таблицу

58 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3
соответствий, № 38 и 48, а также правило IV). А именно, мы
получим
s + 26 s + 6
s2 + 26s + б2 + со2 (s + бJ + со2 "^
о2 -° е~" CQS "' + 4- е~6' Sin *' а
+ со2
Второй случай: ai = a2 (D = 0)
В этом случае
«1 = а2 = - -у
и, согласно таблице соответствий, № 42, мы имеем
A1.12)
01-13)
Итак, мы нашли оригиналы g(t) и gi(/), соответствующие
дробно-рациональным функциям, входящим в формулу A1.2).
Теперь остается применить к первому члену правой части фор-
формулы A1.2) правило IX (теорему свертывания), и мы получим
решение дифференциального уравнения A1.1) в следующем
виде:
A1.14)
В практических расчетах выведенные здесь общие формулы
не должны применяться; вместо этого следует каждый раз
вновь выполнять указанные выше отдельные шаги решения.
Так поступать следует потому, что вычисление свертки f*g,
определяемой интегралом (9.1), представляет собой очень не-
неудобную операцию, между тем часто ее можно избежать путем
явного определения изображения F(s) и последующего перевода
функции F(s)/p(s) в ее «комплектном» виде из пространства
изображений в пространство оригиналов. В самом деле, в прак-
практически наиболее частых случаях возбуждающая функция f(t)
имеет один из следующих видов: u(t), ea/, tneaty cosa)/ и sin со/.
Во всех этих случаях изображение F(s) представляет собой
дробно-рациональную функцию, поэтому такой же функцией
является и изображение F(s)/p(s), следовательно, соответст-
соответствующий оригинал можно определить непосредственно путем раз-
разложения F(s)/p(s) на простейшие дроби. Рассмотрим числен-
численный пример, иллюстрирующий этот способ.

§ 11] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 59
Численный пример
Пусть дано дифференциальное уравнение
у" + Юу'+ 74у = 28 sin 4t
с начальными условиями
Изображающим уравнением будет
-2+ 10sY
" s2+16 •
Решив это уравнение, мы получим
У= 112 ,
(s2 + 16) (s2 + 10s + 74) ^ s2 + 10s + 74 *
Рассмотрим сначала второе слагаемое и найдем корни урав-
уравнения
52+105+ 74 = 0.
Они равны
а, = — 5 + 7/, а2 = - 5 — 7/,
следовательно, мы должны принять, что
1 _ dx + d2
s2+10s + 74 s + 5-7/ ' s + 5 + 7/ *
Приравняв множители при одинаковых степенях s в числителях
слева и справа, мы получим уравнения для определения коэф-
коэффициентов d\ и d2:
dx л- d2 = 0,
из которых найдем
1 14/ г 14/
Изображению
1 1
__ 14/ 14/_
s2+10s + 74 s + 5-7/ s + 5 + 7/
соответствует оригинал
g (t) = -J- (e(-5+7/) t _ e(-5-7/> t) = |. е-б/ sin 7/.
При достаточном навыке в вычислениях к этому результату
можно прийти, минуя комплексные величины. В самом деле, не-
нетрудно видеть, что
117
7 (s + 5J + 49 '

60 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3
На основании примера 5 из § 3 мы имеем
7
Применив теперь теорему затухания, мы сразу получим функ-
функцию g(t).
Оригинал, соответствующий первому слагаемому изображе-
изображения У, можно было бы вычислить на основании теоремы свер-
свертывания. Однако поскольку это слагаемое, включающее в себя
в явном виде изображение F(s) возмущающей функции /(/),
представляет собой дробно-рациональную функцию, целесооб-
целесообразно воспользоваться опять разложением на простейшие дроби.
Знаменатель имеет четыре различных нуля:
4/, -4/, -5 + 7/, -5-7/,
поэтому разложение на простейшие дроби должно иметь вид
112 _ dx , d2 , db , d4
(s2+16)(s2+10s + 74) s-4/ ' s + 4j ' s + 5-7/ ' 5 + 5 + 7; *
Приведя к общему знаменателю правую часть этого равенства,
мы получим в числителе
йх (s + 4y) (s2 + 105 + 74) + d2 (s - 4/) (s2 + 10s + 74) +
+ d3 (s2 + 16) E + 5 + 7]) + d4 (s2 + 16) (s + 5 - 7/) =
+ s2 [A0 + 4y) rf, + A0 - 4/) d2 + E + 7/) d3 + E - 7/) d4] +
+ s [G4 + 40/) dx + G4 - 40/) d2 + 16d3 + Ш4] +
+ [296/d, - 296/d2 + (80 + 112/) d3 + (80 - 112/) d4],
следовательно, db d2, ^з и d4 должны удовлетворять линейным
уравнениям
d{+ d2+ d3+ d4 = 0,
A0 + 4j)dx+ A0 - 4/) d2 + E + 7/) d3 + E - 7/) d4 = 0,
G4 + 40/) dx + G4 - 40/) d2 + 16d3 + 16d4 = 0,
296/di - 296/rf2 + (80 + 112/) d3 + (80 - 112/) d4 = 112.
Решив эти уравнения, мы найдем
B0 + 29^ *B0-29/),
W

$ 12] НЕОДНОРОДНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ П-ГО ПОРЯДКА 61
Таким образом, первому слагаемому изображения У соответ-
соответствует оригинал
<20 + 29^ е4/' B0
W <20 + 29^ е/ - W
+
C5 + 4/) е<+7/) / + -^ C5 - 4у) е*-*-
е~5' [35 (е7" + е~7») + 4/ (е7" - е~7»)] =
"" "" 1241 ^
Сложив с этим оригиналом ранее вычисленный оригинал для
второго слагаемого изображения, мы получим полное решение.
Выполняя в рассмотренных примерах разложение дробно-ра-
дробно-рациональной функции на простейшие дроби, мы применяли каж-
каждый раз примитивный способ: складывали дроби и, приравнивая
затем множители при одинаковых степенях s в числителях слева
и справа, получали систему линейных уравнений для определе-
определения коэффициентов du d2,... Решение такой системы уравнений
при большом числе неизвестных требует много времени и весьма
утомительно, поэтому в следующем параграфе мы покажем на
примере дифференциального уравнения любого порядка, как
можно выполнять разложение на простейшие дроби значительно
более простым способом.
§ 12. Неоднородное дифференциальное уравнение л-го порядка
с начальными значениями, равными нулю
Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение/7-го
порядка
(как и в ранее рассмотренных примерах, мы принимаем, что
коэффициент при высшей производной равен единице; это не
только упрощает последующие вычисления, но делает их, как
показывает опыт, более надежными с точки зрения предохране-
предохранения от случайных ошибок). Для однозначной определенности
решения уравнения A2.1) необходимо задать п начальных зна-
значений, т. е. значения
У(+О)> /( + 0), */"(+0), ..., у{п~1)(+0).
Для упрощения записи будем обозначать их в дальнейшем про-
просто через у@), у'@) и т. д. Таким образом, нам необходимо

62 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3
решить так называемую задачу с начальными значениями (за-
(задачу Коши) для дифференциального уравнения A2.1). Для боль-
большей обозримости решения разобьем эту задачу на два этапа.
Сначала предположим, что дифференциальное уравнение неодно-
неоднородное, т. е. возбуждающая функция f (t) не равна тождественно
нулю, но зато все начальные значения равны нулю (на практике
такой случай встречается чаще всего). Затем в § 14 мы рассмот-
рассмотрим однородное дифференциальное уравнение, т. е. случай,
когда f(/)=0, но начальные значения примем произвольными.
Сложив оба найденные решения, мы получим решение общей
задачи, т. е. решение неоднородного дифференциального урав-
уравнения с произвольными начальными значениями.
Итак, рассмотрим дифференциальное уравнение A2.1) с на-
начальными условиями
У'(О)= ... =у(»-»@) = 0. A2.2)
Тогда изображающим уравнением на основании правила Убудет
snY + cn-xsn-lY + .. . -f cxsY -f cQY = F (s). A2.3)
Его решение, если ввести для сокращения записи обозначение
sn -f cn^sn~l + ... + cxs + c0 = p (s), A2.4)
имеет вид
Y(s) = ^F(s). A2.5)
Найдя теперь оригинал для изображения
w ^~ Pis)
и применив затем теорему свертывания, мы сразу получим иско-
искомое решение y(t) заданного дифференциального уравнения.
Отыскание оригинала для изображения G(s) выполним, как
и в ранее рассмотренных случаях, посредством разложения
функции G(s) на простейшие дроби. Для этого прежде всего
определим нули оы, «2, ..., схп многочлена p(s)y т. е. предста-
представим p(s) в виде произведения линейных множителей1)
р (s) = (s - a,) (s - а2) . . (s - ая). A2.6)
Определение нулей при больших значениях п посредством
классического метода требует чрезвычайно много времени.
1) Определение нулей является первым шагом также в классическом
методе решения дифференциального уравнения A2.1). Уравнение p(s)= О,
получающееся при пользовании этим методом, называется характеристиче-
характеристическим уравнением.

Ъ \?\ И! ОДНОРОДНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ Я-ГО ПОРЯДКА 63
Однако если в распоряжении имеется электронно-цифровая
вычислительная машина, то даже при п = 20 или 30 нули мо-
могут быть вычислены с большой точностью в течение немногих
минут 1).
Уже при рассмотрении дифференциального уравнения вто-
второго порядка (п = 2) выяснилось, что наличие равных нулей
требует особого подхода; поэтому и здесь мы рассмотрим этот
случай отдельно.
Первый случай: все нули av различны
При неравных ccv разложение функции G(s) на простейшие
дроби имеет вид
p (s) s — ax ' s-a2 ' s~an
A2.7)
Оно показывает, что функция G(s) имеет простые полюсы аь
сс2, . • •, ап. Коэффициенты db d2, ..., rfrt (вычеты полюсов) мо-
могут быть найдены значительно проще, чем это было сделано
в § 11 при рассмотрении частных случаев, следующим образом.
Умножим равенство A2.7) на 5 — oti; тогда первое слагаемое
в правой части будет состоять только из коэффициента di, в то
время как все остальные слагаемые будут содержать множи-
множитель s — оы. Если мы будем приближать s к оц, то все слагаемые
в правой части, кроме первого, исчезнут, т. е. в правой части
останется только коэффициент dx без всякого множителя. Най-
Найдем теперь предел, к которому стремится левая часть
Имея в виду, что р(а\) =0, мы получим
Л P(s)-p(a,)
s — ai
следовательно,
Аналогичным образом мы найдем остальные коэффициен-
коэффициенты d2, ..., dn:
l 1
2~~ р' (а2) ' '''» rt~~
l) M u 11 e r D. E., A method of solving algebraic equations using an auto-
automatic computer, Math. Tables Aids Сотр. 10 A956), 208—215; Frank W. L.,
Finding zeros of arbitrary functions, Journ. of the Association for Computing
Machinery 5 A958), 154—160. Методы, изложенные в этих работах, с успехом
используются, например, в Космической технологической лаборатории в Re-
dondo Beach, California (письменное сообщение).

64 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ 3
и разложение функции G(s) на простейшие дроби будет иметь
вид
Таким образом, для разложения функции G(s) на простейшие
дроби следует составить производную многочлена p(s) и вы-
вычислить значения //(aY), что гораздо проще решения системы
линейных уравнений с п неизвестными.
Для практических вычислений иногда удобно использовать
следующие формулы. Согласно правилу дифференцирования
произведения, мы имеем
-a^ .. . (s-ajH-
следовательно,
pf (aj) = (a, - a2) (a! - a3) ... {a{ - art),
= («2 ~ <*i) («2 — схз) • • • («2 - ал)
и т. д. Таким образом, определение коэффициентов db ..., dn
сводится к вычислению произведений.
Применим эти формулы к численному примеру, рассмотрен-
рассмотренному в § 11. Мы имели там
поэтому
jf (a{) = 8/ E - 3/) E + 11/) = - 320 + 464/,
1 1 -320-464/ _ -20-29/
р'(а,) "~ -320 + 464/ "" 3202 + 4642 ~ 19 856 '
Так как в том примере при функции \/p(s) был еще множи-
множитель 112, то только что вычисленный коэффициент необходимо
умножить на 112, после чего мы получим то же значение
для du что и на стр. 60, но со значительно меньшей затратой
времени на вычисления.
Вернемся к формуле A2.8). Изображению G(s) соответствует
оригинал
п
A2.9)
Оригинал y(t)9 соответствующий изображению A2.5), т. е. ре-
решение дифференциального уравнения A2.1) при начальных
условиях A2.2), мы можем представить теперь в следующем

§12] НЕОДНОРОДНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ П ГО ПОРЯДКА 65
простом виде:
y(t)-=g(t)*f(t) A2.10)
Таким образом, практическое применение полученных
результатов разбивается на следующие операции: 1) вычисле-
вычисление нулей функции p(s); 2) определение оригинала g(t) по фор-
формуле A2.9); 3) вычисление свертки A2.10). Последней опера-
операции, как было показано в примере, разобранном на стр. 59—61,
иногда можно избежать, если найти в явном виде изображе-
изображение F(s), а затем перевести решение F(s)/p(s), рассматриваемое
как единое целое, из пространства изображений в пространство
оригиналов. Еще один пример такого рода мы приведем на
стр. 71—73.
В электротехнике для функций /(/) и y(t) применяются на-
названия, сразу подсказывающие их роль в рассматриваемом фи-
физическом процессе. Если дифференциальное уравнение описы-
описывает электрическую цепь, то функция f(t) может означать,
например, напряжение, приложенное к входным зажимам, а
функция y(t)—ток на выходе, в связи с чем в этом, а также
в других случаях возбуждающую функцию f{t) называют вход-
ной функцией, а функцию y(t)—выходной функцией. Иногда
функцию f(t) называют также возбуждением, а функцию y(t) —
откликом на возбуждение. Эти названия переносят также в про-
пространство изображений и называют F(s) входной функцией
или возбуждением, a Y(s)—выходной функцией или откликом
на возбуждение. В пространстве изображений связь между вход-
входной и выходной функциями имеет особенно простой вид:
Y(s)=G(s)F(s) A2.11)
По этой причине при всех расчетах физической системы, описы-
описываемой дифференциальным уравнением, остаются возможно
дольше в пространстве изображений и переходят в пространство
оригиналов только после того, как возникает необходимость в
получении численных данных о выходной функции y(t). Ниже
мы неоднократно встретимся с примерами подобного рода.
Функция G(s), зависящая от постоянных сп_ь ..., с0, т. е.
от внутренней структуры физической системы, и связывающая
функции F(s) и Y(s) в формуле A2.11), называется коэффициен-
коэффициентом передачи, или передаточной функцией. Соответствующая
функция в пространстве оригиналов, т. е. g(t), называется в
математике функцией Грина для рассматриваемой задачи, а в
электротехнике — весовой функцией (см. в связи с этим сноску
на стр. 46).
3 Г. Деч

66
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 3
Связь между функциями F, Y и G нагляднее всего изобра-
изображается при помощи следующей блок-схемы:
G
Физическая система представлена в этой схеме блоком, обозна-
обозначенным буквой G. Величина G является единственной, которую
необходимо знать о рассматриваемой физической системе; по-
последняя полностью характеризуется этой величиной. Функция F
«входит» в блок, функция У «выходит» из блока.
Блок-схема особенно удобна в случае нескольких физических
систем, соединенных между собой. Так, например, если выход-
выходная функция первой системы с передаточной функцией G служит
входной функцией второй системы с передаточной функцией Gu
то при помощи блоков такая связь изображается схемой
G
-> G,
В этом случае
следовательно,
поэтому обе системы могут быть заменены одной системой с пе-
передаточной функцией GG\:
GGX
Применение блок-схем в пространстве изображений приводит
к очень наглядным соотношениям, особенно в случае автомати-
автоматических систем с обратными связями. Поясним это на простом
GH4
_Jt
Рис. 12.1. Система с обратной связью.
Рис. 12.2. Блок-схема для
системы с обратной связью.
примере (рис. 12.1). Пусть выходная функция Y\ блока G пи-
питает блок Я, лежащий на линии обратной связи и создающий
на своем выходе функцию Y2- Эта функция подводится к эле-
элементу Z), к которому подается также входная функция F и ко-
который создает разность F—Y2 (иногда также сумму F+ Y2).

* 12] НЬОДПОГОДНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ П -ГО ПОРЯДКА 67
Эта разность попадает в виде входной функции в блок G
(рис. 12.1). Следовательно,
Исключив из этих соотношений У2, мы получим
Y - G F
Таким образом, всю систему можно изобразить в виде одного-
единственного блока с надписью G/(GH + 1) (рис. 12.2). Рас-
Рассматриваемая система с обратной связью обеспечивает деление
передаточной функции G на GH + 1.
Второй случай: среди нулей av имеются равные
В этом случае некоторые нули являются кратными. Если обо-
обозначить различные нули через ось <хг, ..-, ат, то каждому нулю
av следует приписать кратность kv, и разложение многочлена
p(s) на линейные множители будет иметь вид
Теперь при разложении функции G(s) = l/p(s) на простейшие
дроби нулю av будет соответствовать не одна-единственная дробь
с величиной s — av в знаменателе, а kv дробей с величинами
s — av, (s — av)~, ..., (s~-av)v в знаменателе. В результате мы
будем иметь
-f
р (s) s — ax (s — ajJ (s — aO*1
л„
. A2.13)
Этому изображению соответствует оригинал
g @ = е-' (di» + d? -fj- + ... + rff'1 -j^
02.14)
(см. пример 7 в § 3). Имея этот оригинал, мы получим искомое
решение дифференциального уравнения A2.1) опять в
виде A2.10).

68 ОЬЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ 3
Для определения коэффициентов йф служит формула
[]) A2Л5)
в которой rv(s) означает функцию, получаемую делением мно-
многочлена A2.12) на множитель (s — av)\ т. е.
г (А -= Р (S)
rv \s) — ь *
(s-avp
Однако на практике часто проще пользоваться не этой форму-
формулой, а приемом, изложенным в следующем примере.
Численный пример
Пусть определение нулей привело к следующему разложе-
разложению многочлена p(s) на множители:
т. е. кратность нуля 2 равна 3, а кратность нулей —5 и —7 рав-
равна 1. Из этого сразу следует, что
рB) = р'B) = р"B) = 0, р'"B)Ф09
Разложение на простейшие дроби должно иметь вид
=
7) (s~2K
Для того чтобы изолировать коэффициент g3, умножим обе ча-
части этого равенства на (s — 2K; мы получим
Положив здесь s = 2, найдем
1
7-9
Перенеся теперь известный член g$/(s— 2K в левую часть раз-
разложения, придадим ей следующий вид:
1 1 63-(s + 5)(s + 7)
" 63(s-2K 63 (s-2K (s + 5) (s + 7) f

$ 12] НЕОДНОРОДНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ П ГО ПОРЯДКА 69
Числитель полученной дроби равен
- 52 - 125 + 28 = -E - 2) E + 14),
т. е. он содержит множитель (s — 2), на который можно со-
сократить дробь, после чего последняя приобретет вид
-E+14)
63(s-2J(s + 5)E + 7) *
Приравняв эту дробь оставшейся правой части разложения p(s),
будем иметь
-E+14) = g2 gl h ¦ k
63 E - 2J E + 5) E + 7) (s - 2J "• 5 - 2 ' 5 + 5 "^ 5 + 7 *
(Из этого равенства ясно, почему числитель в левой части дол-
должен был содержать до сокращения множитель s — 2; в самом
деле, в знаменатель правой части последнего равенства множи-
множитель s — 2 входит в степени не выше второй, следовательно, то
же самое должно иметь место и для левой части; но исчезнове-
исчезновение в знаменателе левой части одного из множителей s—2 могло
произойти только вследствие наличия такого же множителя в
числителе )
Теперь, умножив обе части последнего равенства на E — 2J,
мы выделим коэффициент g2:
h(s-2)> Hs-2)*
+
Положив s = 2, получим
16
63-7-9 в2'
Перенеся член g2/(s — 2J в левую часть, мы придадим ей вид
-E+ 14) . 16 _ - 63 E + 14) + 16 E + 5) E + 7)
63 (s - 2J E + 5) E + 7) ~*~ 632 E - 2J 632 E - 2J (s + 5) E + 7) '
Числитель этой дроби равен
16s2 + 1295 - 322 = E - 2) A6s + 161),
поэтому ее можно сократить на s — 2. Опять приравняв эту ле-
левую часть оставшейся правой части разложения p(s)> мы по-
получим
16 s+I6i gx , h . k
¦ + •
632 E - 2) (s + 5) (s + 7) s - 2 * 5 + 5 ' 5 + 7 '
Умножив эго равенство на 5 — 2 и положив 5 = 2, найдем
коэффициент g\:
193 _
632-7-9 ~Sl'

70 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3
Перенеся член g\/(s — 2) в левую часть, будем иметь
16s + 161193 63 A6s + 161) - 193 (s + 5) (s + 7)
632(«-2)(s + 5)(s + 7) 633(s-2) " 633 (s - 2) (s + 5) (s + 7)
Числитель этой дроби равен
- 193 s2 - 1308 5 + 3388 = - (s - 2) A93 s + 1694),
следовательно, ее можно сократить на 5 — 2, после чего мы по-
получим
193 s+1694 h . k
633 (s + 5) (s + 7) s + 5 1 s + 7 '
Умножив это равенство на s + 5 и положив s = —5, мы найдем
коэффициент п:
Подставив это значение в предыдущее равенство, получим
193 s+1694 729 . k
633 (s + 5) (s + 7) 633-2(s + 5) "*" s + 7 *
Наконец, положив s = О, найдем коэффициент k:
Итак, разложение функции l/p(s) на простейшие дроби имеет
вид
1 1 16
" 7«9(s-2K 72*92(s-2J
193 1,1
73-93(s-2) 73-2(s + 5) + 93-2(s + 7) #
§ 13. Отклики на специальные виды возбуждения
О поведении физической системы можно получить хорошее
представление, если определить ее отклики на некоторые воз-
возбуждения специального вида (так называемые проверочные воз-
возбуждения), легко осуществимые также технически. В качестве
таких возбуждений используют функцию единичного скачка u(t)t
импульс 6(t) и синусоидальное колебание е*°*.
Как и в § 12, будем предполагать, что начальные значения
равны нулю,
1. Отклик на единичный скачок (переходная функция)
Решение дифференциального уравнения A2.1), соответствую-
соответствующее возбуждению f(t) ==u(t), называется откликом yu(t) наеди*
ничный скачок или, по более старой терминологии, переходной
функцией системы (последнее название объясняется тем, что эта

§ 13] ОТКЛИКИ НА СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ ВОЗБУЖДЕНИЯ 71
функция показывает, как система под влиянием скачкообразного
возбуждения переходит из состояния покоя в новое состояние).
Согласно формуле A2.10), мы имеем
откуда находим простую связь между откликом на единичный
скачок и весовой функцией:
Еще проще связь между соответствующими функциями в
пространстве изображений. В самом деле, имея в виду, что
g{w) = 1/s, из формулы A2.11) находим
J J A3.2)
Так как l/p(s) есть дробно-рациональная функция, то такой
же функцией является и l/sp(s). Поэтому для вычисления ре-
решения yu(t) отнюдь не следует прибегать к применению фор-
формулы A3.1), т. е. к определению функции g{t) с последующим
ее интегрированием. Вместо этого достаточно произвести раз-
разложение дробно-рациональной функции l/sp(s) на простейшие
дроби и затем перевести эти дроби в пространство оригиналов.
Особенно простая формула для yu(t) получается в том случае,
когда многочлен p(s) имеет различные нули, ни один из кото-
которых не исчезает (последнее означает, что с0ф0). Тогда будут
различными и все нули 0, аь ..., ап функции sp(s), и поэтому
разложение на простейшие дроби будет иметь вид
1 __ d0 . dx . dn
s ** s - a "*"
sp(s) s ' s - a, ~ s - an *
откуда
n
I ^ .
s) °
v-1
следовательно,
l
u°~ p@) '
Далее из соотношения
s — av __ I
sp(s) "" o p(s)-p (av) в
... +dv+ ...

72
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 3
при 5->av находим
1
av// (av) "v
Таким образом, решением Yu(s) в пространстве изображений
будет
Y (?) - * 1 1 У 1 1
1 и КЬ) р @) s ^ jU avp' (av) s - av '
v=l
йереведя которое в пространство оригиналов, мы получим
A3.3)
В электротехнике эта формула известна под названием разло-
разложения Хевисайда. Если все нули av имеют отрицательные ве-
вещественные части, то yu(t) при возрастании t стремится к по-
постоянной 1//?@), т.е. система, приведенная скачкообразным
возбуждением в довольно нерегулярное состояние (определяе-
(определяемое совокупностью собственных колебаний, см. стр. 82), при-
приближается к новому равновесному состоянию 1//?@) = 1/со.
Впрочем, этот результат получается также непосредственно из
самого дифференциального уравнения A2.1). В самом деле,
если функция у сглаживается, то производные у\ ..., у(п>> стре-
стремятся к нулю и остается только член соу « 1.
Так как формула A3.3) часто применяется в технике, то
еще раз подчеркнем, что она справедлива только в том случае,
когда все начальные значения равны нулю, а все корни функции
p(s) различны и отличны от нуля. Впрочем, при численных рас-
расчетах нарушения этих условий обнаруживаются автоматически.
В самом деле, если нуль av кратный, то //(av) = 0, если же
av = 0, то р@) = 0. В обоих случаях формула A3.3) становится
бессмысленной.
Если отклик на единичный скачок определен численно или
экспериментально (например, при помощи осциллографа), то
можно определить отклик y(t) на любое возбуждение f(t). В са-
самом деле, согласно формуле A2.10), y(t) = g */, а согласно фор-
формуле A3.1), В = у'и, следовательно,
A3.4)
y(t)=y'u*f
(формула Дюамеля) или на основании теоремы B6.1) (см.
стр. 154)
A3.5)
dt

§ 13J ОТКЛИКИ НА СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ ВОЗБУЖДЕНИЯ 73
Численный пример
Будем искать отклик на единичный скачок, или переходную
функцию системы, описываемой дифференциальным уравнением
y"+10y' + 74y = u(t)
(левая часть этого уравнения такая же, как и уравнения, при-
веденного на стр. 59) с начальными условиями
Мы имеем
p(s) = s2 + 105 + 74, p'(s) = 2s+10,
<Х! = — 5 + 7/, а2 = — 5 — 7/,
поэтому
р@) = 74, р'(а,)=14/, р/(о2)="Н/.
Согласно формуле A3.3), переходной функцией будет
Уп\Ч 74
е(/ ! e(/)
74 ^ (-5 + 7/) 14/ е (-5-7/) (-14/)
Второе и третье слагаемые суть комплексно-сопряженные вели-
величины, следовательно, их сумма равна удвоенной вещественной
части:
Х= — e~5t Re (~5 ~7/) (•" /) е7/* _
Ре е< = e Re е/
К (-5 + 7/I4/е 14 е Ке 25 + 49 е ~
= у^ е~5/ Re (- 7 + 5/) (cos It + j sin 7t) =
= ~ j^j e-5/ G cos 7^+5 sin 70.
Окончательно мы получаем
У"(/) = 74 [1 - 1 e~5t G cos 7t + 5 sin 7/>]'
Производные переходной функции равны
у'и @ = | е-5^ sin 7/, ^ @ = j e~5t G cos It - 5 sin 70.
Подставив найденные значения уы@> ^@ и ^@ в заданное
дифференциальное уравнение, мы увидим, что оно действитель-
действительно удовлетворяется переходной функцией yu{t), и при этом
При ?-*оо производные у'и и у"и стремятся к нулю, а сама
функция уи — к значению 1/74, как это и должно быть на осно-
основании заданного дифференциального уравнения.

74 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3
2. Отклик на импульсное возбуждение
Если в качестве возбуждения используется импульс б(/), то
решение дифференциального уравнения A2.1) называется от-
откликом у6 на импульс. Понятие импульса мы ввели наглядным
образом уже в § 1. Импульс описывает возбуждение, которое
во все моменты времени t ф О равно нулю, а в момент времени
t = О принимает скачкообразно бесконечно большое значение.
Импульс б (точнее, импульс с напряженностью, равной единице)
можно понимать как идеализацию возбуждения s8, которое в не-
небольшой окрестности е точки t = О имеет величину порядка 1/е,
а при всех других значениях t равно нулю, т. е.
— при 0</<б,
О при / <0 и t>e,
следовательно, интеграл от sB равен единице. Для того чтобы
освободиться от произвольности в выборе величины е, совер-
совершают предельный переход е->0*). Полученный в результате
такого перехода «предел» есть именно то, что физически пони-
понимается под единичным импульсом. Однако этот предел не
является функцией в обычном смысле, и поэтому понятие импуль-
импульса выходит за рамки классического математического анализа.
Как уже было сказано в § 1, с импульсом б можно связать
точное математическое понятие только в рамках теории распре-
распределений. Краткое представление об этой теории дано в Добав-
Добавлении к настоящей книге, к которому мы и отсылаем читателя,
в частности к формулам E), (8), A7) и A9).
Если возбуждение, следовательно, правая часть дифферен-
дифференциального уравнения представляет собой распределение б, то и
левая часть уравнения должна быть распределением. Это озна-
означает, что решение у6 также должно быть распределением. Для
того чтобы наглядно отметить это обстоятельство, перепишем
уравнение A2.1), заменив в нем обычные производные на обоб-
обобщенные производные; мы получим
DnVt + cn-xDn-xtjb + ... + cxDy6 + соУб = б. A3.6)
Прежнему условию о том, что дифференциальное уравнение рас-
рассматривается только в промежутке t ^ О, теперь соответствует
условие,что распределениеуь принадлежит пространствуiZ)+,т.е.
что носитель распределения лежит на полуоси />0. Применим
*) Аналогичным образом для того, чтобы освободиться от произволь-
произвольности в выборе промежутка времени, совершают предельный переход от
средней скорости в некотором промежутке времени к мгновенной скорости
в данный момент времени,

§ 13] ОТКЛИКИ НА СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ ВОЗБУЖДЕНИЯ 75
к уравнению A3.6) преобразование Лапласа. Для определения
решения &{yfi}= Y6 мы получим, применив правило дифферен-
дифференцирования (см. Добавление, правило V/) и учтя, что 2{б}= 1,
уравнение
p(s)Ke-l,
откуда найдем
?^ш=0{8)- A3J)
Следовательно, 8 -изображение распределения уь имеет такой же
вид, как и 2-изображение весовой функции g(t). Но в то время
как раньше g(t) было обычной функцией, теперь у6 = g(t) сле-
следует рассматривать как распределение, при дифференцировании
которого вместо обычных производных следует составлять обоб-
обобщенные производные. Для функции такого вида, как g(/), т.е.
имеющей производные во всех точках, за исключением одной,
в которой производные имеют только предельные значения слева
и справа, обобщенные производные и обычные производные свя-
связаны между собой соотношениями вида (Доб. 12). Из равенств
A4.4) (стр. 81) видно, что g(t), g'(t), . , g(n~2>@ имеют при
t-*+0 предельные значения, равные нулю, в то время как для
g(n~V(t) предельным значением при t-++0 будет единица. Так
как g(t), рассматриваемое как распределение в пространстве
0+, при / < 0 равно нулю, то предельные значения всех произ-
производных g(t) при t-+—0 равны нулю. Таким образом, мы имеем
D*-«f'(O. D2g = g"«), ..., Dn-]g = g{n~l)(t), A3.8)
но
Dng = gW(t) + 6. A3.9)
Согласно соотношению A4.3) (см. стр. 81), функция g(t) удо-
удовлетворяет дифференциальному уравнению с правой частью,
равной нулю:
&n4t) + cn-ig{n-l)(t)+ •¦• + clg'(t) + cQg{t) = O. A3.10)
Внеся выражения A3.8) и A3.9) в уравнение A3.10), мы по-
получим
следовательно, g(t), рассматриваемое как распределение, дей-
действительно удовлетворяет уравнению A3.6).
Таким образом, мы пришли к следующему результату: от-
отклик у6 на импульсное возбуждение равен весовой функции g(t),
если последнюю рассматривать как распределение, п-я обобщен-
обобщенная производная которого отличается от n-й обычной производ-
производной на импульс б. Этот импульс б появляется потому, что л— 1-я
производная функции g(t), равная при t < 0 по определению

76
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 3
нулю, в точке t = 0 имеет скачок высотой в единицу. На рис. 13.1
такой отклик на импульсное возбуждение показан для случая
л = 4.
Пример. Колебания механического осциллятора (например,
маятника на длинной нити) описываются известным дифферен-
дифференциальным уравнением второго
порядка. Если в начальный
момент времени осциллятор на-
находится в покое, то у(Ь) =
= г/@) =0. Пусть в этот мо-
момент осциллятор получает крат-
кратковременный, но очень сильный
удар. Тогда скорость #'(/) скач-
скачкообразно возрастет от нуля до
некоторого положительного
значения, следовательно, уско-
ускорение теоретически будет рав-
равно бесконечности, но координа-
координата, определяющая положение
осциллятора, т. е. сама функ-
функция y(t), будет изменяться, на-
начиная от нуля, непрерывно.
В технической литературе
принято полностью отождеств-
отождествлять понятия отклика на им-
импульсное возбуждение и весо-
весовой функции. Однако это не
\fito
Рис. 13.1. Отклик на импульсное
возбуждение и его производные для
случая п = 4.
совсем правильно, но, правда,
безопасно до тех пор, пока речь
идет только об области вре-
времени / > 0. Разница между
обоими указанными понятиями существенна лишь в точке
Совпадение отклика уь на импульсное возбуждение и весовой
функции g(t) открывает возможность экспериментального опре-
определения весовой функции g(t). Для этого на входе в систему
прикладывается импульс б, осуществляемый в виде сильного
удара, а затем измеряется выходная функция, например, при
помощи осциллографа.
3. Частотная характеристика
Особый интерес для практики представляет возбуждение, вы-
выражаемое функцией /(/) = е^*. Этим возбуждением пользуются
в тех случаях, когда необходимо выяснить, как рассматриваемая
система реагирует на возбуждающие колебания различной кру-
круговой частоты.

§ 13] ОТКЛИКИ НА СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ ВОЗБУЖДЕНИЯ 77
При расчетах переменного тока такое исследование выпол-
выполняется следующим образом. Хотя в действительности возбужде-
возбуждение, получаемое системой, влечет за собой возникновение,
начиная с момента времени / = 0, переходного процесса с опре-
определенными начальными условиями, тем не менее будем предпо-
предполагать, что рассматриваемая физическая система находится все
время, от / = —оо до / = +оо, в установившемся состоянии. Так
как возбуждение представляет собой колебание, то примем, что
отклик системы на это возбуждение также является колебанием
с той же круговой частотой, но с другими амплитудой и началь-
начальной фазой. Следовательно, предположим, что отклик системы на
возбуждение f(t) = ej(ut выражается функцией
где Я (со) есть комплексная величина, зависящая от со. Подста-
Подставив выражение y(t) в дифференциальное уравнение A2.1) спра-
справой частью /(/) = е*°*, мы получим
+ с{Н (со) (/со) е/с" + с0Н (со) е/(й' = е/(а'
ения записи исполь
Я (со) е^р (/со) = е'®',
Таким образом,
или, если для сокращения записи использовать такое же обо-
обозначение, как и A2.4),
откуда
# (со) =_L_8»G(/©).
v } р (/со) Vi '
A3.11)
Функция G(/co), представляющая собой отношение
отклик на возбуждение е^ __ у (t)
возбуждение е/о)/ ~" е/(й* '
называется частотной характеристикой физической системы.
Представив G(/co) в виде
G (/со) = | G(/co) |e^<°»,
мы можем назвать |G(/co)| амплитудной характеристикой, а
г|?(со)—фазовой характеристикой.
Из полученного результата следует, что частотная характе-
характеристика есть не что иное, как значение передаточной функции
G(s) (см. стр. 65) на мнимой оси1).
1) В электротехнической литературе частотной характеристикой иногда на-
называют также функцию G(s), что следует считать неправильным, так как смысл
величины G(s) как передаточной функции значительно шире смысла вели-
величины G(/G)) как частотной характеристики.

78 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3
Предыдущий вывод, который привел нас к понятию частот-
частотной характеристики, основан на интуиции и опыте. Для матема-
математически строгого вывода понятия частотной характеристики сле-
следует прибегнуть к преобразованию Лапласа. По-прежнему
будем считать, что начальные значения равны нулю. Тогда вы-
выходной функцией */ш@ для входной функции ejco', согласно фор-
формуле A2.10), будет
t
У At) = g(t)* e/ft" = е'и< J e-'^g(r)dx. A3.12)
О
Сделаем теперь существенное допущение, а именно предполо-
предположим, что изображение G(s)= %{g) сходится также на мнимой
оси, что равносильно предположению, что полюсы av дробно-
рациональной функции G(s) лежат слева от мнимой оси. В та-
таком случае интеграл
о
существует, и равенству A3.12) можно придать вид
{оо оо Л
J e-'™g (т) dx - J е-/™? (т) dx =
о / >
оо
= G (/со) е'<* - е'«< J e-/WTg (т) dr. A3.13)
t
При /~>оо второе слагаемое в правой части стремится, очевид-
очевидно, к нулю, и остается только первое слагаемое, тождественно
совпадающее с выражением A3.11). Этому слагаемому соответ-
соответствует установившееся состояние системы, к которому система
приходит через достаточно большой промежуток времени после
возбуждения. Обозначим это установившееся состояние через
ya>(t) и запишем
A3.14)
В тех случаях, когда не требуется знать значений функции
г/(о(/) при малых t, т.е. когда не требуется знания переходного
процесса, решение A3.14) вполне достаточно для практических
целей, хотя оно, не будучи полным решением, передает только
асимптотическое поведение системы.
Полученный результат особенно интересен потому, что он
дает возможность определить установившееся состояние систе-
системы непосредственно по изображению G(s), не прибегая к пере-
переводу последнего в пространство оригиналов.

§ 13] ОТКЛИКИ НА СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ ВОЗБУЖДЕНИЯ 79
Необходимо, однако, иметь в виду, что формулой A3.14)
можно пользоваться только в том случае, когда полюсы функ-
функции G(s) имеют отрицательные вещественные части. Это озна-
означает, что собственные колебания системы (см. стр. 82) при
возрастании / затухают. Следовательно, рассматриваемая физи-
физическая система является «пассивной», т. е. не обладает внутрен-
внутренними источниками энергии и поэтому сама собой не может
начать раскачиваться. Добавим к сказанному, что формула
A3.14) описывает установившееся состояние также в том слу-
случае, когда начальные значения не равны нулю. В самом деле,
ненулевые начальные значения добавляют к полученному реше-
решению только сложную совокупность собственных колебаний,
которые при возрастании t затухают до нуля (см. § 14).
Связь между частотной характеристикой
и откликом на единичный скачок
Технически частотную характеристику можно измерить обыч-
обычно легче и точнее, чем отклик на единичный скачок. Поэтому
целесообразно определять этот отклик путем вычисления из ча-
частотной характеристики, конечно, при условии, что последняя
существует, для чего необходимо, чтобы полюсы дробно-рацио-
дробно-рациональной функции G(s) имели отрицательные вещественные ча-
части. Если выразить частотную характеристику G(/co) через ее
модуль и фазу, т. е. положить
то можно вывести следующую формулу:
). A3.15)
Если же разложить G(ja)) на вещественную и мнимую части,
т. е. положить
G (/©) = ?/(©) +/У (©),
то будут иметь место формулы
A3.16)
J^cos/rf A3.17)
о

80 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3
Эти формулы особенно примечательны тем, что каждая из
них позволяет вычислить yu{t) только по одной из составляю-
составляющих U и V.
Так как y'u(t) = g{t), то формулы A3.16) и A3.17) позво-
позволяют вычислить по частотной характеристике также весовую
функцию g(t).
§ 14. Однородное дифференциальное уравнение /i-го порядка
с произвольными начальными значениями.
Собственные колебания
Если не имеется никакого возбуждения, следовательно, если
физическая система предоставлена самой себе, то она описы-
описывается однородным дифференциальным уравнением
^я> + ся-1у(я-1)+ ... +сху' + соу = О. A4.1)
Если все начальные значения для такого уравнения равны нулю,
то имеется только тривиальное решение y(t) s= 0. Поэтому будем
решать дифференциальное уравнение A4.1) в предположении,
что заданы произвольные начальные значения
которые для облегчения записи будем обозначать через #@), ...
..., ^-^(О). Применив правило V, составим для уравнения
A4.1) изображающее уравнение; мы получим
snY - y@)sn-1 - y'@)sn-2 - ... -y(n-2)(O)s-y(n-lHO) +
+Cl[sY-y@)]
+ c0Y = 0.
Его решением будет
s"""+c"-s";2(+s)--+c25+ci
A4.2)
где по-прежнему для сокращения записи введено обозначение
sn + cn^{sn-l+ ... +cls + c0 = p(s).
У всех дробно-рациональных функций, входящих в это решение,
степень числителя ниже степени знаменателя, поэтому все они

§ 14] ОДНОРОДНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ /2-ГО ПОРЯДКА 81
могут быть разложены на простейшие дроби и затем переведе-
переведены в пространство оригиналов. Однако если порядок дифферен-
дифференциального уравнения A4.1) высок, то практичнее пользоваться
следующим способом.
Пусть заданы начальные значения
Тогда решением изображающего уравнения будет
Y (s) = —J-г = G (s),
v ' р (s) х п
а решением заданного дифференциального уравнения —
Это означает, что весовая функция g(t) обладает следующим
важным и часто используемым свойством: g(t) удовлетворяет
однородному дифференциальному уравнению
и имеет начальные значения
g( + 0) = g'( + 0) = ... =g(rt-2)(+0) = 0, g(*-D(.f0) = 1. A4.4)
Отсюда, на основании правила V, получаем
- I
A4.5)
Следовательно, оригиналы, соответствующие множителям при
*/@), ^@), ... в равенстве A4.2), можно составить из производ-
производных весовой функции g(t), которые очень просто вычисляются.
В результате мы получим
... +C2g(t)]
A4.6)
Для определения самой весовой функции g(t) следует раз-
разложить G(s), как это было показано в § 12, на простейшие

82 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3
дроби, а затем перевести эти дроби в пространство оригиналов.
В результате получится сложное выражение, составленное из
функций ettv^, умноженных, если нули av имеют кратность &v,
на t, t2, ..., А. Производные от g(t) имеют такой же вид.
Следовательно, y(t) представляет собой линейную комбинацию
таких функций с коэффициентами, составленными из начальных
значений и коэффициентов cv. Таким образом, если система не
получает никакого внешнего возбуждения, то в решение y(t)
входят только функции
а,* . а,* А-1р<М. р<М t*2t
V , *с , . . ., i с , с , *с , . . .,
которые называются собственными колебаниями системы. Такая
система, предоставленная самой себе при произвольных на-
начальных значениях, совершает движение, складывающееся ли-
линейно из ее собственных колебаний.
Численный пример
На стр. 59 и 64 мы рассмотрели случай, когда
р (s) = (s2 + 16) (s2 + 10s + 74) = 54 + 10s3 + 90s2 + 160s + 1184.
Такой функции p(s) соответствует однородное дифференциаль-
дифференциальное уравнение четвертого порядка
tJiv + юу»' + щ» + ту, + 1184 = 0.
На стр. 61 мы нашли, что
g (/) = - -^g- B0 cos At - 29 sin 40 + -^щ e~5t C5 cos It - 4 sin It)
(напомним, что там у функции \/p(s) был множитель 112, ко-
который здесь отсутствует). Следовательно,
g'(t) =-2^2 B0 sin 4/+ 29 cos 40-
1 ¦ е-5' B03 cos It -t- 225 sin 70,
17 374
(Ad ™o Ai _ К
1241
g» @ = -JL. D0 cos \t - 58 sin 40 -
- шг е~5'B80 cos 7t -1273 sin 7t)>
g"' @ = - ^J— A60 sin At + 232 cos 40 +
-54l0 311 cos It - 4405 sin It).
Из этих функций можно составить оригиналы дробно-рацио-
дробно-рациональных функций, входящих в решение изображающего урав-

§ 14] ОДНОРОДНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ П ГО ПОРЯДКА 83
нения и имеющих в качестве множителей начальные значения
У( + 0), /( + 0), у"{ + 0) и /"( + 0). Не выполняя вычислений,
напишем эти оригиналы:
при у( + 0): g'"{t) + c,g"{l) + c2g'{t) + cxg{t) =
= g'" @ + 10g" (t) + 90g' @ + 160? @,
при */'( + 0): g"(t) +c3g'(t) +c2g(t) = g"(t)
при y"( + 0): g>(t) +ctg(t) =g'(t)
при /"( + 0): g(t) =g(t).
Предлагаем читателю убедиться на этом примере, что дей-
действительно имеют место равенства g@) = g'@) = g"@) и
g"'@)=l.
В связи с некоторыми неясностями, встречающимися в лите-
литературе по преобразованию Лапласа, еще раз напомним, что на-
начальными значениями, входящими в изображающее уравнение,
являются числа #( + 0), уг'( + 0), ... В самом деле, изображаю-
изображающее уравнение получается в результате применения правила V,
а в это правило входят предельные значения справа. Как эти
начальные значения практически возникают, это уже вопрос
другого порядка. Естественно, что в физических системах они
возникают из прошедшего системы (так, например, положение
и скорость линейного осциллятора в момент времени / = 0 яв-
являются неизбежным следствием его движения в предшествую-
предшествующее время). Физическая система подходит к нулевому моменту
времени слева с некоторыми значениями у(—0), у'(—0), ..., и
единственное требование заключается в том, чтобы с этими же
значениями система вступила в область значений / ^ 0. Это
требование всегда может быть выполнено, так как полученное
выше решение y(t), как нетрудно убедиться путем проверки,
всегда удовлетворяет предписанным начальным значениям,
совершенно независимо от того, как они заданы ц какой вид
имеет возбуждающая функция (последняя может не иметь ни-
ничего общего с возбуждающей функцией, существовавшей до
момента времени / = 0). С иным положением вещей мы встре-
встретимся при решении систем дифференциальных уравнений; там
начальные значения не всегда могут быть заданы произвольно
(см. § 16 и 17).
Еще раз сформулируем
преимущества метода преобразования Лапласа
1. При решении дифференциального уравнения классическим
методом сначала находится общее решение, а затем его по-
постоянные определяются так, чтобы найденное решение удовле-
удовлетворяло начальным условиям. Определение постоянных требует

84 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3
дополнительного решения системы линейных алгебраических
уравнений с п неизвестными, что для случая я>3 представляет
собой громоздкую задачу. При решении же дифференциального
уравнения посредством преобразования Лапласа начальные зна-
значения учитываются с самого начала и вводятся в решение авто-
автоматически. Это обстоятельство выгодно также потому, что поз-
позволяет ясно видеть влияние начальных значений заранее, т. е.
до нахождения решения. Следовательно» такой метод особенно
удобен для решения задачи Коши. Наиболее частый на прак-
практике случай нулевых начальных значений при классическом ме-
методе решения не приводит к какому-либо облегчению вычисле-
вычислений и не освобождает от решения упомянутой системы линейных
алгебраических уравнений. Наоборот, при применении преобра-
преобразования Лапласа нулевые начальные значения обеспечивают
исключительно простой ход вычислений.
2. В то время как при классическом методе сначала решает-
решается однородное уравнение и только затем, путем вариации по-
постоянных, неоднородное уравнение, применение преобразования
Лапласа позволяет сразу решить неоднородное уравнение, прак-
практически более важное.
Замечание о составлении дифференциального уравнения
В § 10—14, если подходить к их содержанию с практической
точки зрения, мы имели дело каждый раз с физической систе-
системой, характеризуемой одной-единственной функцией времени
y(t), удовлетворяющей одному-единственному дифференциаль-
дифференциальному уравнению. Однако в практических условиях приходится
иметь дело также с такими физическими системами, поведение
которых определяется несколькими функциями времени, удовле-
удовлетворяющими нескольким дифференциальным уравнениям, при-
причем в эти уравнения входят все или только некоторые характе-
характеризующие систему функции времени (системы совместных диф-
дифференциальных уравнений). В таких случаях в технических
расчетах часто исключают все неизвестные функции времени,
кроме одной, представляющей в рассматриваемых условиях
наибольший интерес, и таким путем получают для оставшейся
неизвестной функции одно-единственное дифференциальное
уравнение, которое в общем случае имеет более высокий поря-
порядок, чем первоначальные уравнения. Но тогда сразу же возни-
возникает весьма затруднительный вопрос о начальных значениях
для производных более высоких порядков в оставшемся един-
единственном уравнении. Этот вопрос, который для дифференциаль-
дифференциальных уравнений, рассмотренных в § 10—14, не возникал, мы по-
подробно исследуем в § 18. Мы^ особо подчеркиваем это обстоя-
обстоятельство потому, что некоторые инженеры иногда считают, что

§ 15] НОРМАЛЬНАЯ СИСТЕМА СОВМЕСТНЫХ ДИФФЕРЕНЦ УРАВНЕНИЙ 85
всякое дифференциальное уравнение с порядком более высоким,
чем два, получается не иначе, как путем исключения всех неиз-
неизвестных функций, кроме одной, из системы дифференциальных
уравнений, имеющих самое большее второй порядок. Между
тем существуют задачи, например, в теории упругости, когда
физическая система определяется одной-единственной функцией,
удовлетворяющей дифференциальному уравнению порядка выше
второго.
На практике случай, когда физическая система описывается
несколькими совместными дифференциальными уравнениями,
встречается наиболее часто. Тем не менее мы рекомендуем чита-
читателю, интересующемуся только такими физическими системами,
тщательно ознакомиться с рассуждениями, изложенными в
§ 10—14 и относящимися к одному-единственному дифферен-
дифференциальному уравнению, так как это облегчит понимание даль-
дальнейших сведений о решении систем совместных дифференциаль-
дифференциальных уравнений.
§ 15. Нормальная система совместных дифференциальных
уравнений с любыми выполнимыми начальными условиями
Мы уже видели, что применение преобразования Лапласа
существенно упрощает вычислительную работу по сравнению
с классическим методом уже при решении одного-единственного
дифференциального уравнения с порядком более высоким, чем
два. Однако в полной мере преимущества преобразования Лап-
Лапласа перед классическим методом проявляются только при ре-
решении систем дифференциальных уравнений. В этом случае
классический метод практически невыполним из-за необходи-
необходимости громоздких вычислений, между тем как применение пре-
преобразования Лапласа не только существенно сокращает вычис-
вычислительную работу, но одновременно дает значительно большую
обозримость решения.
Для получения ясного представления о формальной стороне
решения систем дифференциальных уравнений рассмотрим сна-
сначала систему трех дифференциальных уравнений первого по-
порядка. Во всех уравнениях выпишем все теоретически возмож-
возможные члены, хотя в практических условиях часть этих членов
обычно отсутствует, следовательно, коэффициенты при них дол-
должны быть приняты равными нулю. Итак, рассмотрим систему
(апу\ + Ьпух) + (а12у'2 + bl2y2) + (аиу'3 + bl3y3) = /,
К»1 + Ь21У l) + К</2 + Ь22У2) + КзУз + Ь2зУз) = U
(a3ly[ + b3ly{) + (а32у'2 + Ь32у2) + (а33^ + Ь33у3) = /3

86 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3
Выполнив преобразование Лапласа, мы получим изображающие
уравнения
*и [sY{ - у{ ( + 0)] + bnY{ + al2[sY2 - у2(+0)] + bl2Y2 +
(hi [sYt - ух ( + 0)] + b2lYx + a22[sY2- y2{ + 0)] + b22Y2 +
+ а2г [sY3 - y3 (+ 0)] + &23У3 = F2 (s),
031 [sY{ - yx ( + 0)] + Ь31У, + а32[*У2- */2( + 0)] + &32У2 +
+ «аз [«Уз - Уз (+ 0)] + бзз^з = ^з E).
Введя для сокращения записи обозначения
aiks + bik = pik{s),
мы сумеем переписать изображающие уравнения в следующем
более обозримом виде:
Pn^i + P12Y2 + Pi3^3 = Fx + апу{ ( + 0) + al2y2 ( + 0) + а13у3 ( + 0),
+ P22Y2 + Р2з^з = ^2 + a2Xyx (+ 0) + a22r/2 (+ 0) + a23y3 (+ 0),
+ Р32У2 + Рзз^з = ^з + о>ъ\У\ (+ 0) + a32y2 (+ 0) + a33y3 (+ 0).
A5.1)
Если были бы заданы дифференциальные уравнения не первого,
а второго порядка, то вместо линейных многочленов pih(s) по-
получились бы квадратичные, а правые части изображающих
уравнений содержали бы кроме начальных значений #i( + 0), ...
также начальные значения у[( + 0), ... Но принципиально изо-
изображающие уравнения для системы дифференциальных уравне-
уравнений любого порядка имеют один и тот же вид: они образуют
систему линейных алгебраических уравнений для неизвестных
Yi, У2, Уз. Подобного рода системы теоретически решаются изящ-
изящнее всего по правилу Крамера посредством определителей;
практически же предпочтительнее прибегать к последователь-
последовательному исключению неизвестных или, при большом количестве
уравнений, к одному из многочисленных известных способов ре-
решения систем линейных уравнений.
Поскольку сейчас нас интересует формальная сторона мето-
метода, воспользуемся решением посредством определителей. В пра-
правой части каждого изображающего уравнения имеется изобра-
изображение Fi(s) входной функции и численная постоянная, завися-
зависящая от начальных значений. Для сокращения записи введем
для суммы этих постоянных обозначения
а для определителя системы, составленного из коэффициентов
) и представляющего собой в раскрытом виде в общем слу-

§ 15] НОРМАЛЬНАЯ СИСТЕМА СОВМЕСТНЫХ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЙ
87
чае многочлен третьей степени относительно 5 (об исключениях
см. § 16), — обозначение D(s). Применив правило Крамера, мы
найдем
Fx + rx
F2 + r2
Fa + r^
Pl2
P22
P32
Pis
P23
Рзз
Y2 = ~D
Pu Ft
P21 F2
P13
P23
Раз
,= ... A5.2)
Для того чтобы яснее показать, как решения У4, У2, Уз зависят
от возбуждающих функций и начальных значений, заменим г\
их явными выражениями и разложим каждый определитель на
сумму четырех определителей (по слагаемым, которые входят
в столбец, содержащий возбуждающие функции); для Yi мы
получим
п11У1 ( + 0) + 01202 ( + 0) + «13^3 ( + °) Pl2 Pl3
F2 + Я2115/1 ( + °) + а22У2 ( + 0) + а23у3{ + 0) р22 р23 =
+ а32у2{ + 0) + а33у3( + 0) р32 р33
+
Pl2
Р22
Р32
0)
Pis
Р23
Рзз
+ УЛ+0)
012 Pl2 Pl3
а22 Р22 Р23
а32 Р32 РЗЗ
+ Уз
ан 1
^21 1
031 1
( + 0)
012 Pl3
^22 Р23
^32 РЗЗ
013 Pl2
023 Р22
033 Р32
+
Рп
Р23
Рзз
A5.3)
Элементы первых столбцов второго, третьего и четвертого опре-
определителей представляют собой постоянные, а элементы второго
и третьего столбцов — многочлены первой степени, следователь-
следовательно, все эти определители в раскрытом виде дают многочлены
второй степени. После деления на D(s) получаются дробно-
рациональные функции, в которых числители име^от меньшие
степени, чем знаменатели. Разложив эти функции одним из ука-
указанных ранее способов на простейшие дроби, мы сумеем отобра-
отобразить их назад в пространство оригиналов. Определитель, содер-
содержащий в себе изображения Fu может быть представлен в виде
F\ P12 Pis
F2 P22 Р23
^3 Р32 РЗЗ
-F
Р22
Р32
Р23
Рзз
-F2
Р12
Р32
Pis
Рзз
Pl2
Р22
Pis
Р23
A5.4)
Определители второго порядка после деления на D(s) опять
дают дробно-рациональные функции. Применив к произведению
этих функций на множители F{ теорему свертывания, мы перей-
перейдем назад в пространство оригиналов.

88 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3
Из сказанного вытекают следующие
преимущества метода преобразования Лапласа
1. Для решения системы дифференциальных уравнений ме-
методом преобразования Лапласа необходимо решить только одну-
единственную систему алгебраических уравнений, а именно си-
систему, определяющую изображения У* искомых функций.
2. Начальные значения входят в эту систему с самого начала
и поэтому учитываются автоматически, в то время как при при-
применении классического метода предварительно необходимо най-
найти сначала общие решения (для систем уравнений это весьма
сложно) и затем подобрать постоянные интегрирования так,
чтобы были удовлетворены начальные условия, что приводит к не-
необходимости решения еще одной системы линейных уравнений.
Часто встречающийся на практике случай нулевых начальных
значений приводит при применении преобразования Лапласа
к особенно простым вычислениям, между тем как при примене-
применении классического метода он не дает никакого облегчения.
3. Наконец, важное преимущество заключается в том, что
каждая неизвестная функция может быть вычислена сама по
себе, независимо от вычисления остальных неизвестных функ-
функций, что при пользовании классическим методом при заданных
начальных условиях в общем случае невозможно. Это преиму-
преимущество особенно ценно в тех случаях, когда практический инте-
интерес представляет определение только одной-единственной неиз-
неизвестной, вычисление же остальных неизвестных необязательно.
Теперь легко понять, как следует поступать в общем случае.
Пусть задана система из m линейных дифференциальных урав-
уравнений п-го порядка, определяющих га неизвестных функций
yi(t), ..., ym(t). Введем многочлены
и применим символическую запись
Тогда рассматриваемую систему уравнений можно будет запи-
записать в следующем виде:
РП (¦§) У\ + Р\2 Di) У2 + ¦¦¦ +РШ (¦%) Ут = /l (t),
A5.5)
Pml Di) У1 + Pna {-Jf) У2+ ¦¦¦ +Pmm Df) Ут = fm (*)¦
Если для каждой функции yu{t) заданы п начальных значений
Ук@), У'Н{О), ..., yf-»(O) (*- 1, 2, ..., т), A5.6)

§ 15] НОРМАЛЬНАЯ СИСТЕМА СОВМЕСТНЫХ ДИФФЕРЕНЦ УРАВНЕНИЙ 89
то в результате преобразования Лапласа системы A5.5) мы по-
получим систему линейных алгебраических уравнений с т неиз-
неизвестными
Эта система аналогична системе A5.1), только теперь много-
многочлены pih(s) будут не первой степени, а степени я, а в правые
части изображающих уравнений войдут кроме функций Fh(s) =
— %{fk(t)} многочлены rz(s) степени п— 1, зависящие от началь-
начальных значений A5.6). Решения системы A5.5) будут иметь вид,
аналогичный решениям A5.2), и так же, как и раньше [см. ра-
равенства A5.3) и A5.4)], могут быть представлены в виде суммы
определителей. Порядок определителя
D(s) = det\\pik(s)\\
равен т. Множителями при Fk{s) будут миноры этого опреде-
определителя порядка т—1. Множителями при начальных значениях,
если развернуть определитель D(s) по элементам п{к, &г&, ...
первых столбцов, также будут миноры порядка т— 1.
В этом параграфе мы введем следующее существенное пред-
предположение: определитель, составленный из коэффициентов а^
при старших производных дифференциальных уравнений, не ра-
равен нулю, т. е.
,fc ||^=0. A5.7)
Будем называть такой случай нормальным случаем.
Из предположения A5.7) вытекают три важных следствия:
1. Если развернуть определитель D (s), перемножив для
этого многочлены pth(s), то коэффициентом при наивысшей сте-
степени smn будет det ||at-ft||. Следовательно, D(s) есть многочлен
степени пгп. Определители, входящие в правую часть равенства
A5.3), после их развертывания будут многочленами относи-
относительно s самое большее степени (tn— \)п. Поэтому после деле-
деления определителей, входящих в правую часть равенства A5.3),
на D будут получаться рациональные функции, числители ко-
которых будут иметь степени более низкие, чем знаменатели. Сле-
Следовательно, эти рациональные функции обладают оригиналами,
которые можно вычислить посредством разложения на простей-
простейшие дроби.
2. Члены, содержащие Fi{s) [см. равенство A5.4)], дают при
обратном преобразовании в пространство оригиналов интегралы
типа свертки, составленные из /г@ и оригиналов рациональных
функций. Эти интегралы непрерывны даже в том случае, если
/г@ обладают разрывами. Следовательно, отклики #&(/) не со-
совершают скачков вместе с возбуждениями fi(t) (если последние
такие скачки совершают). Это означает, что соответствующая

90 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3
физическая система не обладает способностью совершать скачки
и действует стабилизирующим образом.
3. Можно убедиться1), что решения yu(t) действительно
принимают заданные тп начальных значений A5.6) совершенно
независимо от того, как эти начальные значения выбраны. Сле-
Следовательно, в нормальном случае имеется полная свобода вы-
выбора начальных значений.
В случае системы совместных дифференциальных уравнений,
не подходящей под категорию нормального случая, сформули-
сформулированные следствия не выполняются, что всегда необходимо
иметь в виду.
Можно сказать, что решения системы дифференциальных
уравнений в нормальном случае ведут себя в точности так же,
как решение отдельного дифференциального уравнения.
Вообще рациональные функции, на которые умножаются на-
начальные условия [см. равенство A5.3)], дают при обратном пре-
преобразовании Лапласа показательные функции, иногда умножен-
умноженные на степенные функции, причем в степени показательных
функций входят нули определителя D(s). Этот определитель
в рассматриваемом случае играет такую же роль, как многочлен
p(s) в случае отдельного дифференциального уравнения. Ука-
Указанным множителям при начальных значениях соответствуют
собственные колебания физической системы, совершаемые ею
при отсутствии возбуждений, т. е. такие колебания, которые фи-
физическая система совершает, будучи предоставлена самой себе.
Для нормальной системы совместных дифференциальных
уравнений можно ввести такие же понятия, как и для отдель-
отдельного дифференциального уравнения. Если все начальные значе-
значения A5.6) равны нулю, то из системы дифференциальных урав-
уравнений A5.5) после преобразования Лапласа получается система
линейных алгебраических уравнений:
A5.8)
Pmx (s) У i (s) + ... + Pmm (s) Ym (s) = Fm (s). J
Предположим, что все функции в правых частях уравнений, за
исключением одной, тождественно равны нулю. Пусть этой не
равной нулю функцией будет Flx(s). Решения, соответствующие
этому частному случаю, обозначим через У1д, ..., Утд. Для их
вычисления воспользуемся правилом Крамера. С этой целью
вычеркнем в определителе |ы-ю строку и v-й столбец, вычислим
получившиеся миноры D^v(s) и составим выражения
^^ A5.9)
1) См. Doetsch G., Handbuch der Laplace-Transformation, т. II,
стр. 315, Birkhauser, Basel und Stuttgart, 1955.

§ 15] НОРМАЛЬНАЯ СИСТЕМА СОВМЕСТНЫХ ДИФФЕРЕНЦ УРАВНЕНИЙ 91
Если ввести обозначение
I' D(s) e°i*vW' A5Л0)
то решения Kvn(s) примут вид
(v-1 т\ A5.11)
аналогичный решению A2.11). Как уже было отмечено выше,
миноры D^is), будучи многочленами относительно s, имеют
степень более низкую, чем определитель D(s), так как в нор-
нормальном случае D(s) имеет самую высокую степень, равную
тп. Это означает, что для каждой рациональной функции
G^(s) существует оригинал gHV@• Таким образом, в том част-
частном случае, когда все возбуждения, за исключением /ц@> отсут-
отсутствуют, мы получим после перевода уравнений A5.11) в про-
пространство оригиналов решения рассматриваемой системы диф-
дифференциальных уравнений в виде
(v = l, ..., m), A5.12)
аналогичном решению A2.10) отдельного дифференциального
уравнения.
В общем случае, когда имеются произвольные возбуждения,
решения системы вследствие ее линейности получаются сумми-
суммированием по |ы решений A5.11) или A5.12).
Как и в случае отдельного дифференциального уравнения,
выражения G^{s) называются передаточными функциями (или
коэффициентами передачи), а выражения g^it) — весовыми
функциями, цричем теперь имеется в виду действие \х-то входа
на v-й выход. Всего для системы из пг дифференциальных урав-
уравнений имеется т2 передаточных функций и т2 весовых функций
(i )
Так же как и в случае отдельного дифференциального урав-
уравнения, в практике важную роль играют отклики на некоторые
специальные возбуждения (см. § 13). Если ji-m возбуждением
является импульс б, в то время как остальные возбуждения от-
отсутствуют, то в качестве отклика на v-м выходе получается
V.6 = ^v@, A5.13)
причем под gnv(t) следует понимать, как и в п. 2 § 13, распре-
распределение, полагая при этом gliv(t) = O пРи ^ < 0» вследствие чего
(п— 1)-я производная получает в точке / = 0 скачок высотой в
единицу.
Возбуждениям M') = w@ соответствуют отклики на еди-
единичный скачок.

92 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3
Если \х-ы возбуждением является колебание е>ш и если все
нули многочлена D(s) лежат в левой полуплоскости Res<0,
то Уц\@ пРи t—+oo стремится к установившемуся состоянию
V, ш (О =<V (/<*) е/и', A5.14)
которое можно назвать откликом на колебательное возбужде-
возбуждение (откликом на v-м выходе на синусоидальное возбуждение
на |ы-м входе). Картина изменения передаточной функции
G^is) на мнимой оси, т. е. картина изменения функции
Gnv(/<°), представляет собой частотную характеристику. Для
системы из m дифференциальных уравнений существует пг2
частотных характеристик.
Конечно, указанные понятия имеют смысл только в том слу-
случае, когда система допускает свободное варьирование возбуж-
возбуждений. Однако, как показывает приводимый ниже пример нор-
нормальной системы, это бывает не всегда.
Пример из механики
Решим следующую задачу. Пусть материальная точка бро-
брошена из какого-нибудь пункта над поверхностью Земли под
углом к горизонту с некоторой начальной скоростью. Найдем
траекторию движения этой частицы с учетом влияния вращения
Земли и в предположении, что сопротивление воздуха отсутст-
отсутствует. Введем систему координат, жестко связанную с земным
шаром. Начало О этой системы координат поместим в точку, из
которой начинается движение материальной частицы. Ось х на-
направим на юг, ось у —на восток, а ось z совместим с направле-
направлением ускорения свободного падения, т. е. с вертикалью (кото-
(которая лишь незначительно отклоняется от направления радиуса
земного шара). Если точка О расположена на географической
широте р, то уравнениями движения материальной частицы (не-
(независимо от ее массы), как известно, будут
A5.15)
где со есть угловая скорость вращения Земли. Введем для со-
сокращения записи обозначения
cosp = a, sin p = 6
и перепишем уравнения движения в таком же виде, как
у" = - 2оо (*' sin р + zr cos p),

§ 15] НОРМАЛЬНАЯ СИСТЕМА СОВМЕСТНЫХ ДИФФЕРЕНЦ УРАВНЕНИЙ
93
уравнения A5.5). Мы получим
(*" + Ох' + Ох) + {Оу" - 2а>Ьу' + Оу) + (Oz" + Oz' + Oz) = О,
{Ox" + 2<obx' + Ox) + (у" + Oy' + Оу) + {Oz" + 2v>az' + Oz) = 0,
(Ox" + Ox' + Ox) + (Oy" - 2«>ay' + Oy) + (z" + Oz' + Oz) = - g.
A5.16)
Определитель из коэффициентов при старших производных
равен
1 0 О
О 1 О
О 0 1
= 1,
т. е. не равен нулю, следовательно, перед нами нормальный
случай. Поэтому могут быть заданы любые начальные значе-
значения, и полученные затем решения будут удовлетворять этим
начальным значениям. Так как начальное положение матери-
материальной частицы совпадает с точкой О, то
*@) = 0, */@) = 0, z@) = 0.
Составляющими начальной скорости пусть будут
*'(()) = и, y'@) = vy z'{0) = w.
После преобразования Лапласа система дифференциальных
уравнений A5.16) перейдет в систему линейных алгебраических
уравнений
- s2Y - v + 2coasZ = 0,
- 2aasY + s2Z-w~ -j-
или
s2X-2«>bsY
2absX + s2Y-
- 2u>asY
Определитель D(s) равен
= y,
A5.17)
s2 - 2co&5 0
(ubs s2 2coas
0 - 2©as s2
или, так как a2 + b2 = 1,

94
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 3
Согласно правилу Крамера, мы имеем
и -
D{s)X(s) =
V
2(oas
— — — 2coas s2
S
откуда
s (s2 + 4co2)
4(x>2ab
Аналогичным образом мы получим
¦ — w
20 а
2(oa
2(oa
A5.19)
/ 1 . 4@262 \ / 1 . 4(o2^2 \
U2 + 4ю2 + s2 (s2 + 4co2) j 8 [s (s2 + 4co2) + s3 (s2 + 4co2) j *
Имея в виду, что
4со2
1
s3 (s2 + 4оJ)
5 (s2 + 4со2) f
найдем оригиналы, отвечающие изображениям ^(s), F(s), ZE),
в таблице соответствий под № 38, 54, 83 и ИЗ и окончательно
получим
х (t) = JL (a2. 2(о/ + б2 sin 2©f) + -^ 6 sin2 со/ -
- ^ a& B(o/ - sin 2©0 + -^ ab ((о2/2 - sin2 ©0, A5.21)
u(t)= —— & sin2 (о/ + -т^- sin 2(o/ —— a sin2 ш/ +
^v ; со ' 2со со
+ 1f?aB(o<-sin2(oO, A5.22)
z(t) = -^ ab {2Ы - sin 2e»0 + -j- a sin2 со/ +
+ ^- (б2 • 2(o/ + a2 sin 2©0 - -^- F2co2/2 + a2 sin2 ©0- A5.23)
При (о-»0, т. е. в случае, когда Земля принимается непо-
неподвижной, получим обычные уравнения движения материальной
частицы в поле тяготения Земли:
x(t) = ut, \

§ 16] АНОМАЛЬНАЯ СИСТЕМА СОВМЕСТНЫХ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИИ 95
§ 16. Аномальная система совместных дифференциальных
уравнений с выполнимыми начальными условиями
Если коэффициенты при старших производных системы сов-
совместных дифференциальных уравнений удовлетворяют условию
det\\aik\\ = O, A6.1)
то такую систему будем, называть аномальной. Аномальная си-
система обладает совсем иными свойствами, чем нормальная си-
система (см. п. 1—3 на стр. 89 и 90). А именно, определитель
D(s) = det||/>„(*) II
при допущении A6.1) является многочленом относительно s
степени, меньшей тп, поэтому при составлении дробей в реше-
решениях в пространстве изображений могут получаться рациональ-
рациональные функции, числитель которых имеет одинаковую или даже
большую степень, чем знаменатель. Таким рациональным дро-
дробям соответствуют в пространстве оригиналов не обычные функ-
функции, а обобщенные функции [см. Добавление, формулу A9)],
вследствие чего решения обладают свойствами иными, чем
в нормальном случае. Далее в аномальном случае заданные
начальные значения, если им действительно должны удовлетво-
удовлетворять решения, должны подчиняться определенным условиям,
следовательно, они не могут быть выбраны совершенно произ-
произвольно. Если начальные значения, требуемые физической по-
постановкой задачи, не удовлетворяют этим условиям, то постав-
поставленная задача в традиционном математическом смысле нераз-
неразрешима. Однако с таким результатом практика не может
примириться, так как даже при подобного рода начальных зна-
значениях физическое явление все же должно как-то протекать.
Как мы увидим ниже, теория распределений указывает выход
из этого положения.
Сказанное проще всего пояснить на частном примере, по-
позволяющем проследить за решениями во всех деталях. Рассмот-
Рассмотрим следующую систему двух совместных дифференциальных
уравнений с двумя неизвестными функциями:
y'{ + y{ + 2y2 = f{t), A6.2)
у? + Ьух + Щ = 0. A6.3)
Относительно возбуждения f(t) предположим, что оно непре-
непрерывно, за исключением изолированных точек, в которых оно из-
изменяется скачкообразно, следовательно, обладает предельными
значениями слева и справа. В частности, должно существовать
предельное значение f( + 0) (что, например, в случае возбужде-
возбуждения f{t) = t~l/2 не соблюдается). Так как в уравнения A6.2)

96 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3
и A6.3) входят и первая и вторая производные от у\, но только
первая производная от у2, то может идти речь лишь о началь-
начальных значениях ^( + 0), у\{ + 0) и у2( + 0). Определитель, со-
составленный из коэффициентов при старших производных у'[ и
у%, равен
0 0
1 0 =0'
Следовательно, перед нами аномальный случай.
Сразу видно, что указанные три начальных значения, если
потребовать, чтобы они были совместимы со структурой уравне-
уравнений A6.2) и A6.3), не могут быть выбраны произвольно. В са-
самом деле, в уравнение A6.2) входят только величины, для ко-
которых должны быть заданы начальные значения, вторые же
производные в нем отсутствуют. Приближая в уравнении A6.2)
/ к нулю, мы получим
A6.4)
Если начальные значения действительно должны приниматься
решениями системы уравнений A6.2) и A6.3), то они должны
удовлетворять соотношению A6.4).
Заметим, что такого рода связи между начальными значе-
значениями существуют для любой аномальной системы. Если для
системы A5.5) определитель /л-го порядка det Ца^Ц, составлен-
составленный из коэффициентов при высших производных, равен нулю,
то ранг1) этого определителя будет г < т. В этом случае, как
известно из линейной алгебры, можно из т — г уравнений пол-
полностью исключить высшие производные. Следовательно, в этих
уравнениях будут содержаться только такие производные, кото-
которым можно задать начальные значения A5.6). Если в этих
уравнениях мы будем приближать t к нулю, то получим опре-
определенные соотношения, которым должны удовлетворять только
что указанные начальные значения. При определенных усло-
условиях, именно когда такой метод допускает повторение, могут
существовать и другие соотношения, которым также должны
удовлетворять начальные значения.
В рассмотренном примере нам не пришлось прибегать
к исключению высших производных, так как одно из уравнений
системы с самого начала не содержало вторых производных.
С учетом того, что нам понадобится в следующих парагра-
параграфах, введем обозначения
1) Рангом определителя называется число строк (или столбцов) в наи-
наивысшем не равном нулю миноре.

§ 161 АНОМАЛЬНАЯ СИСТЕМА СОВМЕСТНЫХ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЙ 97
и предположим, что а, 6, с действительно удовлетворяют соот-
соотношению
Это соотношение будет выполнено, если мы, например, примем,
что а = Ъ = с = f( + 0) = 0.
Применив к системе уравнений A6.2) и A6.3) преобразова-
преобразование Лапласа, мы получим для определения функций Y{(s) и
Y2(s) в пространстве изображений систему линейных алгебраи-
алгебраических уравнений
(s+l)Yl(s) + 2Y2(s) = F{s) + a, 1
(sz + 5)Yl(s) + 3sY2(s) = as + b + Sc. J U '
Определитель D(s) равен
s2 + 3s- 10 = (s-2)(s + 5).
Следовательно, решениями в пространстве изображений будут
Y' ^ = -щг)Cs
Путем разложения на простейшие дроби мы получим
Перейдя в пространство оригиналов, мы найдем для функции
y\(t) выражение
Ух @ - у / @ * Fе2< + 15е~50 + j {а - Ь - Зс) e2t +
j ~5t. A6.8)
Функция ij\(t) по своему характеру ничем не отличается от
функций, полученных в качестве решений в нормальном случае.
Совершенно иной характер имеет решение #г@» В реше-
решении ^(s), полученном в пространстве изображений, множитель
при F(s) представляет собой рациональную функцию, числитель
которой имеет такую же степень, как и знаменатель, следова-
следовательно, оригинал, соответствующий этой функции, будет распре-
распределением. Однако перевод решения Y2(s) в пространство ориги-
оригиналов можно осуществить также элементарным путем. Для этого
при разложении множителя при F(s) на простейшие дроби сле-
следует выделить из него постоянную часть, после чего останется
рациональная функция с числителем, степень которого будет ниже
4 Г. Дёч

98 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Э
степени знаменателя. Выполнив такое разложение, мы получим
t 9/7 3Q/7 \ 3 -а + Ь + Зс . 2 5а + 2Ь + 6с
A6.9)
Переведя это решение в пространство оригиналов, мы найдем
решение @
У2 @ = - / @ - у / @ * (9е2' - 30е~50 +
+ у (- а + Ь + Зс) е2' + \ Eа + 2Ь + 6с) е"«. A6.10)
Мы видим, что теперь в противоположность нормальному слу-
случаю возбуждение /(/) входит в решение г/г(О не только под
интегралом типа свертки, который остается непрерывным даже
в случае прерывного возбуждения /(/), но также в качестве
отдельного слагаемого. Следовательно, решение y2(t) имеет те
же разрывы, что и возбуждение f(t). Если возбуждение в ка-
какой-нибудь точке изменяется скачкообразно, то такой же скачок
совершает и решение уг(О- Таким образом, в случае аномаль-
аномальной системы среди откликов на возбуждения могут быть скачко-
скачкообразные отклики. Для нормальной системы это невозможно.
Для того чтобы выяснить, какие начальные значения имеют
решения, составим сначала производную у\. Воспользовавшись
теоремой 26.1, мы получим
+ у (а - Ь - Зс) e2t - у Eа 4- 2Ь Л- 6с) е~5'. A6.11)
Следовательно,
уЛ+0) = а,
tf(+0H3/( + 0)-3a-2&-6*, | A6.12)
%(+0) =-f( + 0) + a + b + 3c.
Так как а, 6, с должны удовлетворять соотношению A6.5), то
т. е. решения действительно принимают заданные начальные
значения.
Примечание. Начальные значения можно найти также
непосредственно по изображениям Y](s) и Y2{s), если восполь-
воспользоваться теоремой 32.2 о начальных значениях.

§ 171 СИСТЕМА С НЕВЫПОЛНИМЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ 99
§ 17. Аномальная система совместных дифференциальных
уравнений с невыполнимыми начальными условиями.
Решение посредством распределений
Случай, когда начальные значения не удовлетворяют усло-
условиям, требуемым структурой аномальной системы дифферен-
дифференциальных уравнений, встречается особенно часто именно на
практике. Это легко понять, если вспомнить сказанное на
стр. 83 об отдельном дифференциальном уравнении. Начальные
значения, задаваемые при решении какой-либо задачи, описы-
описывают то состояние физической системы в момент времени t = О,
коюрое определяется прошлым системы. Следовательно, на-
начальные значения — это те значения, с которыми функции
подходят от отрицательных / к нулевой точке. Поэтому их целе-
целесообразно называть предельными значениями слева и обозна-
обозначать через у(—0), у'(—0) и т. д. Требование, чтобы они совпа-
совпадали с предельными значениями справа, т. е. с #( + 0), у'{ + 0)
и т. д., определяемыми функциями при t > 0 (именно эти пре-
предельные значения требуются при преобразовании Лапласа) в
общем случае, очевидно, невыполнимо. В самом деле, это тре-
требование означает, чтобы будущее состояние (t > 0) непрерывно
смыкалось с прошедшим состоянием. Но с физической точки
зрения нельзя ожидать непрерывного смыкания прошедшего
с будущим, так как прошедшее состояние является откликом на
какие-то неизвестные бывшие возбуждения, в то время как
будущее состояние зависит от заданных возбуждений f(t), ко-
которые совсем не должны быть связаны с прежними возбужде-
возбуждениями. Только в том случае, когда начальные значения, обус-
обусловленные прошедшим (/<0), и возбуждения, действующие
при t > 0 и связанные с начальными значениями условиями
совместности [в которые входят те и другие, см. соотношение
A6.5)], согласованы между собой, возможен непрерывный пе-
переход от прошедшего к будущему1).
Мы видим отсюда, что с физической точки зрения не оправ-
оправдано одираться на классическое математическое представление
и требовать, чтобы функции при /—> +0 непрерывно переходили
в начальные значения, т. е. требовать, чтобы эти начальные зна-
значения представляли собой предельные значения справа. При
1) Как уже было подчеркнуто на стр. 83, в случае отдельного дифферен-
дифференциального уравнения всегда происходит непрерывное смыкание прошедшего
с будущим. Причина этого заключается в том, что для отдельного диффе-
дифференциального уравнения определитель det||a,ft|| состоит только из коэффициен-
коэффициента при */<п), который всегда не равен нулю, и, следовательно, всегда имеет
место нормальный случай.

100 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3
таком подходе решение аномальной системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений в общем случае невозможно.
Если же ввести в рассмотрение также прошедшее, т. е. зна-
значения t < 0, и понимать под начальными значениями предель-
предельные значения слева, то рассматриваемые функции и их про-
производные будут иметь в нулевой точке скачки, т. е. разности
между у(—0) и #( + 0), между у'{—0) и /( + 0) и т. д. Вслед-
Вследствие этого теряется дифференцируемость в классическом смыс-
смысле, та дифференцируемость, которая является необходимым
допущением для каждого дифференциального уравнения. Эта
трудность отпадает, если решения дифференциальных уравне-
уравнений рассматривать не как обычные функции, а как распределе-
распределения, и в соответствии с этим заменить обычные производные на
обобщенные производные [см. Добавление, формулу A1)], так
как обобщенные производные имеют смысл также для функций
со скачками. Такой подход позволяет получать математическое
описание безусловно существующих физических явлений также
в тех случаях, когда на основе классического анализа это совер-
совершенно невозможно. Далее выяснилось, что понятие распределе-
распределения допускает применение преобразования Лапласа, хотя на
первый взгляд это кажется невозможным вследствие незнания
правосторонних начальных значений.
Разобьем решение системы совместных дифференциальных
уравнений с невыполнимыми начальными условиями посред-
посредством теории распределений на два этапа.
1. Начальные значения равны нулю
Достаточно рассмотреть одно из решений системы. Обозна-
Обозначим его через y(t). Если все начальные значения A5.6), кото-
которые теперь мы будем рассматривать как предельные значения
слева 4(<v)(—0) (v = 0, 1,...,п—1), равны нулю, то это равно-
равносильно допущению, что функция y(t), следовательно, и ее про-
производные, а также возбуждения при t < 0 равны нулю. В таком
случае функция y(t) определена в промежутке —оо < t < оо.
Будем рассматривать теперь y(t) как распределение из про-
пространства ?%+ (см. Добавление, раздел III), элементы которого
как раз обладают свойством быть равными нулю при t < 0 (точ-
(точнее, регулярному распределению, равному нулю). В соответ-
соответствии с этим обычные производные следует заменить обобщен-
обобщенными производными, которые существуют и в том случае, когда
вследствие неравенства нулю правосторонних производных
(предварительно неизвестных) в точке t = 0 имеются скачки.
Конечно, возбуждения следует рассматривать теперь так же как
распределения.

§ 171 СИСТЕМА С НЕВЫПОЛНИМЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ \Q\
Система дифференциальных уравнений A6.2) и A6.3), рас-
рассмотренная на стр. 95, в новом понимании принимает вид
A7Л)
Применив к этим уравнениям преобразование Лапласа в смысле
теории распределений, мы получим в пространстве изображений
на основании правила V (см. Добавление, раздел III) следую-
следующую систему алгебраических уравнений:
(s+l)Yl(s) + 2Y2(s)=-F(s),
Так как эта система совпадает с системой A6.6), если в по-
последней положить а = b = с = 0, то мы получим решения Уь У2
и соответствующие оригиналы у и Уь положив а = Ь =с = 0 так-
также в уравнениях A6.7) — A6.10), но при этом будем понимать
уи у2 как распределения из пространства <?>+•
Мы видим, что, отвлекаясь от этого нового толкования, мы
могли бы получить тот же самый результат, если бы применили
преобразование Лапласа к первоначальным дифференциальным
уравнениям, но вместо правосторонних начальных значений
использовали бы заданные левосторонние начальные значения
(равные нулю).
Выясним, какие правосторонние начальные значения имеют
решения системы A7.1). Эти начальные значения можно полу-
получить из ранее вычисленных значений A6.12), если в последние
подставить а = Ъ = с = 0. Тогда мы получим
У,( + 0Н0, #( + 0) = 3/( + 0), //2( + 0)=-/( + 0). A7.3)
Следовательно, решение y\(t) примыкает непрерывно к значе-
значению у\{—0) =0, но зато, если /( + 0)=^=0, производная ^( + 0)
имеет в точке ^ = 0 скачок 3/( + 0), а решение #г@ в той же
точке t = 0 имеет скачок —f( + 0).
Небезынтересно выяснить, каким образом решения, рассмат-
рассматриваемые как распределения, удовлетворяют системе уравне-
уравнений A7.1). Для этого воспользуемся формулой A2) из Добав-
Добавления. Если левосторонние предельные значения равны нулю,
то формула A2) принимает вид
A7.4)
С учетом равенств A7.3) мы получим

102 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. 3
где величины со штрихами представляют собой обычные произ-
производные для значений t > 0. Подставив эти выражения в урав-
уравнения A7.1), мы будем иметь
у'[ + 3/ ( + 0) б + Ъу{ + Ъу\ - 3/ ( + 0) 6 = 0.
Члены, содержащие б, взаимно уничтожаются и остается си-
система уравнений A6.2) и A6.3), которая действительно удов-
удовлетворяется обычными функциями.
2. Произвольные начальные значения
Если не все заданные начальные значения у(—0), у'(—0), ...
равны нулю, то решение у при t < 0 не может быть тождествен-
тождественно равно нулю. Следовательно, теперь нельзя рассматривать у
^ак распределение из пространства ?D'+ и пользоваться для
обобщенных производных формулой A7.4). Вместо этой фор-
формулы теперь следует взять формулу A2) из Добавления в ее
полном виде:
0)]6. A7.5)
Это означает, что правую часть соотношения A7.4) надо до-
дополнить выражением, учитывающим левосторонние производные,
следовательно, заменить #<v> не просто через Dv, а через
A7.6)
Таким путем в рассмотрение вводится прошедшее состояние и
учитываются не равные нулю левосторонние предельные значе-
значения. Только после такого изменения дифференциальных урав-
уравнений они будут математически правильно описывать физиче-
физическое явление. С наглядной точки зрения эта процедура вполне
понятна: для значений t > 0 дифференциальные уравнения со-
совершенно не изменяются, так как б, б7 и т. д. при t > 0 равны
нулю, но зато скачкообразные изменения производных в нуле-
нулевой точке описываются правильно.
Заменив в рассматриваемой системе уравнений все произ-
производные выражениями вида A7.6) и выполнив преобразование
Лапласа в смысле теории распределений, мы получим, на осно-
основании правила V7 (Добавление, раздел III) и формулы A9)
Добавления, из каждого выражения вида A7.6) выражение
s*Yis)-zy(-0)sv->~ ... -^-'Ч-О). A7.7)

§ 18] ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ К ОДНОМУ УРАВНЕНИЮ ЮЗ
В точности такое же выражение мы получили бы и в том
случае, если бы правильно применили к первоначальной произ-
производной y(v> правило V для обычных функций и вместо получаю-
получающихся при этом правосторонних начальных значений подставили
заданные левосторонние начальные значения.
Вывод. Таким образом, при преобразовании Лапласа в лю-
любом случае, даже если система аномальная, следует применять
прежнее правило V и в качестве начальных значений брать
заданные начальные значения. Однако полученные решения сле-
следует рассматривать как распределения из пространства ЗУ+9 что
для значений t > О не играет никакой роли, но зато приводит
к математически правильному описанию скачкообразного по-
поведения функций и их производных в нулевой точке.
Применяя сказанное к системе уравнений A6.2) и A6.3),
мы получим при совершенно произвольных начальных значе-
значениях а, Ьу с решения A6.8) и A6.10). Правосторонние началь-
начальные значения определяются формулами A6.12), а скачки в точ-
точке / = 0 — формулами
Если выполняется условие A6.5), то скачки равны нулю. Так
как значения а, &, с определяются прошедшим состоянием, то
отсюда видно, что скачки являются следствием несоответствия
между значением f( + 0) и значениями а, Ь, с. В этом случае
переход функций от начальных значений к их дальнейшим зна-
значениям, предписываемым дифференциальными уравнениями,
может осуществляться только посредством скачков.
§ 18. Приведение системы дифференциальных уравнений
к одному уравнению для одной неизвестной
путем исключения остальных неизвестных
(способ, принятый в технике)
В технической литературе даже в настоящее время иногда
применяется способ решения системы дифференциальных урав-
уравнений, хотя и использующей в конечном счете преобразование
Лапласа, но основанной на процедуре, ведущей свое начало из
тех времен, когда еще не знали непосредственного решения си-
систем дифференциальных уравнений при помощи преобразования
Лапласа. Так как классический метод решения задачи Коши
для систем дифференциальных уравнений, указываемый в чисто
математической литературе, практически невыполним, то выход
находят в приведении системы к одному-единственному диффе-
дифференциальному уравнению для одной неизвестной, что достигается

104
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 3
исключением остальных неизвестных. Этот способ требует вве-
введения допущений, часто невыполнимых, и, кроме того, связан
с трудностями, касающимися начальных значений. Покажем это
на примере системы второго порядка с двумя неизвестными
функциями, но только с одной не равной нулю возбуждающей
функцией. Итак, пусть задана система
A8.1)
где
причем предполагается, что система нормальная, что, впрочем,
для хода дальнейших рассуждений несущественно. Далее, пусть
заданы начальные значения
У х@), у[{0)\ у2@),
A8.2)
Путем исключения из заданной системы функции у2 получим
одно-единственное дифференциальное уравнение для определе-
определения функции tj\. В некоторых частных случаях это выполняется
очень просто, однако это можно всегда сделать и в общем слу-
случае, если рассматривать операторы pik(d/dt) как коэффициенты
перед неизвестными и затем применить к системе A8.1) пра-
правило Крамера. Тогда мы будем иметь
P"Dt) Pn(lf
P2l(jf) P22(jf
fd) pJ4r
о P22(i)
A8.3)
Развернув определители, мы получим слева многочлен четвертой
степени, а справа многочлен второй степени относительно d/dt,
следовательно, уравнение для определения у\ будет иметь вид
-& Ух
Ух
2-^ Ух
-^ ух + аоу{
A8.4)
При выводе этого дифференциального уравнения молча пред-
предполагается, что функция f(t) дважды дифференцируема, что
на практике часто не оправдывается, например, в тех случаях,
когда /(/) имеет скачки. (В таких случаях следовало бы заме-
заменить обычные производные на обобщенные производные; тогда
в уравнение вошли бы б-импульс и его обобщенные производ-
производные*) Однако некоторые инженеры, не задумьшаясь над этим

§ 18] ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ К ОДНОМУ УРАВНЕНИЮ 105
обстоятельством, применяют к уравнению A8.4) преобразование
Лапласа. Для выполнения этого преобразования требуются на-
начальные значения /@), /'(О) возмущающей функции f(t), ко-
которые следует считать известными, так как функция f(t)
задана; кроме того, для функции у\ требуется знать началь-
начальные значения ух @), у\ @), у" @), у[" @), из которых известны
только два первых. Можно было бы определить недостающие
начальные значения, положив в уравнениях A8.1) t = 0, и та-
таким путем дополнительно к четырем начальным значениям
A8.2) вычислить значения у" @) и у" @), а затем, продиффе-
продифференцировав уравнения A8.1), вычислить #"'@). Однако такое
вычисление требует очень много времени и на практике никогда
не производится. Вместо этого ограничиваются случаем, когда
физическая система возбуждается из состояния покоя, следо-
следовательно, все начальные значения A8.2) принимаются равными
нулю. Затем, не долго думая, принимают, что равны нулю так-
также начальные значения у" {0) и ^"(О) и, кроме того, пола-
полагают, что /@) = /'(О) = 0, после чего, применив к уравнению
A8.4) преобразование Лапласа, получают изображающее урав-
уравнение
(а454 + а353 + a2s2 + a{s + а0) Yx (s) = (b2s2 + bxs + bQ) F (s), A8.5)
откуда вычисляют Y\(s). Однако такой вывод изображающего
уравнения, очевидно, неправилен, так как из уравнений A8.1),
если принять начальные значения A8.2) равными нулю, в об-
общем случае совсем не следует, что равны нулю также у"@) и
у\"{0). Кроме того, предположение, что /@) = /'(О) = 0, в общем
случае также не выполняется.
Несмотря на эту ошибку, полученное уравнение A8.5) при
равных нулю начальных значениях A8.2) случайно оказывается
правильным. В самом деле, применив преобразование Лапласа
при нулевых начальных значениях непосредственно к системе
A8.1), мы получим
= F(s), 1
^09 J
что формально совпадает с системой A8.1), если в последней
заменить оператор d/dt на 5, а вместо малых букв уи ft и /
подставить большие. Поэтому для решения системы уравнений
A8.6) относительно Y\ достаточно произвести такую же замену
малых букв на большие и в уравнениях A8.3) и A8.4), в ре-
результате чего получается опять уравнение A8.5). Так как те-
теперь это уравнение получено безупречно правильным путем,
то отсюда следует, что в частном случае равных нулю начальных

Юб ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3
значений способ исключения всех неизвестных, кроме одной, при-
приводит к правильному результату, но незаконным путем.
К такому же результату можно прийти и более сложным
путем, если неизвестные начальные значения у" @) и */"'(())
вычислить так, как было указано выше, и затем при преобразо-
преобразовании Лапласа уравнения A8.4) подставить эти начальные зна-
значения в изображающее уравнение. Тогда окажется, что допол-
дополнительные члены, которые появятся в изображающем уравнении
от этих начальных значений, и члены, в которые войдут на-
начальные значения возмущающей функции /(/), взаимно уничто-
уничтожатся. Однако при этом следует предполагать, что функция
/(/) допускает многократное дифференцирование.
Если заданные начальные значения A8.2) не равны нулю,
то изложенный незаконный путь, т. е. приведение системы диф-
дифференциальных уравнений к одному-единственному уравнению
с последующим преобразованием Лапласа, конечно, не приводит
к цели. Между тем непосредственное применение преобразова-
преобразования Лапласа к заданной системе дифференциальных уравнений
представляет собой безупречный способ решения, применимый
в любом случае и требующий наименьшей затраты времени.
Поэтому следует предостеречь от пока еще широко распростра-
распространенного способа решения системы дифференциальных уравне-
уравнений путем приведения ее к одному-единственному уравнению
для одной неизвестной.
Некоторые авторы — инженеры считают дифференциальное
уравнение вида A8.4), в котором слева и справа применяется
к искомым и заданным функциям один и тот же оператор, «пра-
«правильным» уравнением и посвящают ему подробные исследова-
исследования, между тем как при по-настоящему правильном подходе
к решению системы дифференциальных уравнений уравнение
A8.4) вообще не появляется.
§ 19. Система дифференциальных уравнений
со структурой, различной в отдельных интервалах
Как мы неоднократно видели, одним из преимуществ пре-
преобразования Лапласа по сравнению с классическим методом
решения дифференциальных уравнений является автоматиче-
автоматический учет начальных значений. Это преимущество особенно вы-
выгодно проявляется, например, в тех случаях, когда постоянные
системы и возбуждающие функции не универсальны, т. е. не
остаются неизменными для всех t > 0, а скачкообразно изме-
изменяются, как только одна из неизвестных становится больше или
меньше некоторых определенных значений. Так происходит, на-
например, в случае системы регулирования, обладающей зоной
нечувствительности, внутри которой регулируемая величина мо-

§ 19] УРАВНЕНИЯ СО СТРУКТУРОЙ, РАЗЛИЧНОЙ В ОТД. ИНТЕРВАЛАХ Ю7
жет изменяться, не вызывая включения регулятора. Интегриро-
Интегрирование уравнений, описывающих такую систему, следует выпол-
выполнять только до того состояния, при котором соответствующая
неизвестная достигает своего критического значения; затем,
определив здесь значения неизвестных и приняв их за новые
начальные значения, надо продолжить интегрирование до сле-
следующего критического состояния и т. д.
Проиллюстрируем этот способ на примере, взятом из прак-
практики расчета системы регулирования с зоной нечувствительно-
нечувствительности1). Пусть исследуемая система описывается двумя диффе-
дифференциальными уравнениями с двумя неизвестными y{(t) и @
0 при I
~У\+ (sign^)Ti при \ух\>г\,
где б есть мера затухания, а со — круговая частота. Начальные
значения пусть равны
01 (+0) = 0, у2(+0) = 0.
Первое уравнение имеет обычный вид и содержит в правой ча-
части возбуждающую функцию, равную кратному от единичного
скачка. Второе же уравнение иного рода: оно предписывает,
чтобы производная у2 была равна нулю до тех пор, пока функ-
функция y\(t) изменяется в промежутке от —г) до +г), и станови-
становилась равной —?/i(/)±r], как только y\{t) выходит из границ
указанного промежутка, причем знак перед величиной ц должен
совпадать со знаком величины y\{t).
Так как */i( + 0) = 0, то вначале безусловно будет |yi|<r],
следовательно, у[2 (t) = 0, а потому на основании условия
i/2(+ 0) = 0 функция y2(t) в течение некоторого промежутка вре-
времени равна нулю. Таким образом, первое уравнение для неко-
некоторого промежутка времени справа от / = 0 приводится к урав-
уравнению
Предположим, что это уравнение имеет место для всех / > 0,
и применим преобразование Лапласа, что не помешает нам за-
затем использовать полученное решение только до определенного
значения / = Т\. Изображающее уравнение вследствие условия
1) Описание этой системы регулирования, вывод ее уравнений и. после-
последующий расчет см. в статье: Oldenbourg R., Anwendung der Laplace-
Transformation bei abschnittsweise linearen Regelvorgongen, помещенной в кни-
книге: Die Laplace-Transformation und ihre Anwendung in der Regebungstechnik
(приложение к журналу «Regelungstechnik»), стр. 104—114, Oldenbourg-Ver-
lag, Munchen, 1955.

108 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
= 0 имеет вид
[ГЛ 3
Его решению
1 s(s + 26) 26 \ s 5 + 267
соответствует оригинал
Для 6 > 0 эта функция возрастает монотонно от нуля до зна-
значения с/26. Если
(рис. 19.1), то всегда будет y\(t)<y\, и во втором дифферен-
дифференциальном уравнении всегда надо брать для правой части пер-
первую строку. Это означает, что функция у\{1) имеет только что
найденное выражение, а
функция f/2 @ = 0 при
всех / > 0. Если же
;
0
0
г,
х
N. I
то имеется такое значе-
значение / = Ти при котором
функция yi(Ti) становит-
становится равной т). Это значе-
значение 7\ определяется урав-
уравнением
откуда имеем
с-2дц *
Рис. 19.1. Графики регулируемой и регули-
_ _ . . . Выберем теперь мо-
рующей величин для системы регулирова- времени Т, за на-
ния с зоной нечувствительности. р 2 „
чальную точку новой шка-
шкалы времени tu положив для этого t = U + Т\. Штрихи, отмечаю-
отмечающие дифференцирование, теперь будут означать дифференциро-
дифференцирование по tu Так как, начиная с момента времени Гь функция
У\^"г\, то теперь во втором дифференциальном уравнении сле-
следует взять для правой части вторую строку, и система примет
вид
у\ + 2 Ъух - (б2 + со2) у2 = си (Тх + tx)t
Ух + У 2в П»

§ 19] УРАВНЕНИЯ СО СТРУКТУРОЙ, РАЗЛИЧНОЙ В ОТД ИНТЕРВАЛАХ Ю9
причем начальными условиями будут
(так как до момента времени Т{ функция у2 все время была
равна нулю). Опять предположим, что эта система имеет ме-
место для всех моментов времени t\ > 0, и выполним преобразо-
преобразование Лапласа; мы получим изображающие уравнения
sY{ - т) + 2 6Yl - (б2 + со2) Y2 = -j,
из которых найдем
У
JL 9 —
2 6ц-с
Для обратного перехода в пространство оригиналов восполь-
воспользуемся соответствиями № 47 и 48 из таблицы в конце книги
и правилами IV и V:
___
__^_е-^ silicon,
со cos
•-о 1 — е-6'1 cos co/j — — e"'1 sin <ot{.
Выполнив вычисления, мы получим
_б_
СО
уг
Г,) =
- e~6/l D"sin и^ + cos
Мы видим, что функция #1, имея в момент времени t\ = 0 зна-
значение т], в дальнейшем изменяется как затухающая синусоида,
следовательно, сначала возрастает, а затем уменьшается, вновь
достигая значения ц в некоторый момент времени t\ = T2. Этот
момент времени, определяемый из уравнения sin ыТ2 = 0 и
равный

ЦО ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3
мы опять примем за начальную точку новой шкалы времени t2.
Начиная с момента времени t\ = Т2, т. е. с t2 = 0, во втором
дифференциальном уравнении следует взять для правой части
опять первую строку, так как теперь у\ < т|. Новыми началь-
начальными значениями будут
Так как у'2, начиная с момента времени t2 = 0, равно нулю,
то у2 сохраняет при t2 > 0 найденное постоянное начальное зна-
значение, а функция у\ определяется из уравнения
у\ + 2ЬУ[- (б2 + со2) у2 (Г, + Т2) = си (Г, + Т2 + t2).
Из предыдущего ясно, как этот процесс должен быть продолжен
дальше.
§ 20. Система уравнений для электрической цепи
При определении токов и напряжений в электрических цепях
получается система функциональных уравнений, очень похожая
на систему дифференциальных уравнений, рассмотренную в § 15,
но в одном отношении существенно от нее отличающуюся. Вслед-
Вследствие важной роли, которую в современной технике играет тео-
теория электрических цепей, выполним решение этой системы при
помощи преобразования Лапласа.
Рассмотрим сначала одиночный замкнутый электрический
контур с сосредоточенными параметрами: индуктивностью L,
активным сопротивлением R и емкостью С. В этом контуре на-
находится генератор, создающий переменное во времени напряже-
напряжение e(t), которое вызывает в контуре ток /(/). Падение напря-
напряжения равно Ldi/dt на индуктивности, Ri — на сопротивлении и
-~ f /(x)dT— на емкости. Согласно закону Кирхгофа, сум-
— оо
марное падение напряжения в контуре равно приложенной
электродвижущей силе e(t), следовательно, имеет место урав-
уравнение
t
+Rl + J*WdT e(/) B0.1)
Это интегро-дифференциальное уравнение, определяющее ток
i(t), можно преобразовать в дифференциальное уравнение вто-
второго порядка
L4F+K4r+lTk = eW, B0.2)

§ 20] СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ 111
если в качестве новой переменной ввести заряд конденсатора
t
k(t)= \i{x)dx
— oo
или если продифференцировать уравнение по t. Последний
прием возможен только в том случае, когда функция e(t) диф-
дифференцируема, но именно этого часто не бывает, например, если
e(t) является разрывной функцией. Однако для применения
преобразования Лапласа нет никакой необходимости заменять
уравнение B0.1) дифференциальным уравнением. В самом деле,
положив
t t о t
J /(T)dT= J t(x)dx + | i(x)dx = J i(x)dx + y
— oo 0 — oo 0
и применив к левой части этого соотношения правило VII, мы
получим
после чего сразу сумеем перевести уравнение B0.1) в простран-
пространство изображений.
В дальнейшем в целях лучшей обозримости вычислений при-
примем, что контур в момент времени / = 0 находился в состоянии
покоя, т. е. что
0 при *<0,
следовательно, у = 0. Тогда для уравнения B0.1) соответствую-
соответствующим ему изображающим уравнением будет
Lsl (s) + /?/ (S) + J- / (s) = E (s).
Введя для сокращения записи обозначение
Ls + R + -^- = Z(s), B0.20
мы получим
Z(s)I(s) = E(s). B0.3)
В § 12 мы ввели для функций f(t) и y(t) в пространстве
оригиналов названия «входная функция» и «выходная функция»
и затем перенесли эти названия на соответствующие функции
в пространстве изображений. Поступим так же и здесь и на-
назовем функцию I(s) током, а функцию E(s) —напряжением.

112
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ 3
L
о
ZtsHs
+R+
1
Тогда на языке пространства изображений уравнение B0.3)
будет выражать не что иное, как закон Ома, если только функ-
функцию Z(s) назвать сопротивлением. Однако вместо этого назва-
названия для функции Z(s) принят термин импеданс. Обратное зна-
значение импеданса, т. е. Y(s) = 1/Z(s), характеризует проводи-
проводимость и называется адмитансом. Итак, мы видим, что замкнутый
электрический контур, обладающий
индуктивностью, сопротивлением
и емкостью и описываемый в про-
пространстве оригиналов интегро-диф-
ференциальным уравнением B0.1),
в пространстве изображений заме-
заменяется контуром, обладающим толь-
только сопротивлением Z(s) и подчи-
подчиняющимся закону Ома. Поэтому для
схематического изображения конту-
контура в пространстве изображений не
требуется отмечать на схеме условными знаками индуктив-
индуктивности L, сопротивления R и емкости С (рис. 20.1, а). Вместо
этого достаточно начертить блок и вписать в него выражение
функции Z(s) (рис. 20.1, б), т. е. поступить так же, как было
сделано раньше с передаточной функцией G(s) при исследовании
системы, описываемой одним дифференциальным уравнением.
С
а) б)
Рис. 20.1. Контур с индуктив-
индуктивностью L, сопротивлением R и
емкостью С и эквивалентный
импеданс.
Рис. 20.2. Импедансы при последовательном и па-
параллельном включении.
Если два контура с импедансами Zx и Z2 соединены после-
последовательно, то получается контур с импедансом Z = Z\ -f Z2
(рис. 20.2, а). Если два контура с адмитансами Y{ = l/Z\ и
У2 = 1/Z2 соединены параллельно, то получается контур с адми-
адмитансом Yx + Y2 (рис. 20.2,6).
Описание связей на языке пространства изображений осо-
особенно оправдывается в тех случаях, когда несколько контуров
соединены в цепь, так как переход из пространства оригиналов
в пространство изображений приводит к замене сложных диф-
дифференциальных и интегральных соотношений линейными алгеб-
алгебраическими соотношениями. Покажем это на примере цепи,

. 20]
СИСТЕМА УРАВНЕНИИ ДЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
113
изображенной на рис. 20.3. Эта цепь имеет два входных и два
выходных зажима, следовательно, представляет собой четырех-
четырехполюсник. На входе имеется
генератор с напряжением е^\
требуется найти напряже-
напряжение е0 на выходе.
Прежде всего отметим
в каждом контуре величи-
величину /v(/) протекающего в нем
тока и произвольно устано-
установим положительное направ-
направление тока (на схеме — вез-
везде по движению стрелки
часов). Затем к каждому
контуру применим закон
Кирхгофа. При этом учтем,
что в контуре, отмеченном через ii, ток в С4 равен fa — fa; в кон-
контуре, отмеченном через fa, ток в L2 равен fa — h и т. д. Следова-
Следовательно, уравнения Кирхгофа будут иметь вид
t
Ci J l dt
о
t t
L2-jr{h~ '4) + т~ (i2 - /3) dx + #2*2 + ~^~ ('2 ~ h) dx = Q
0 0
t
if..
Аз*з + "тт- (*з — h) dx = 0
^2 J
Рис. 20.3. Электрическая цепь из пяти
контуров.
Применим к этим уравнениям преобразование Лапласа. Учтя,
что, согласно сделанному выше предположению, цепь до мо-
момента времени t = 0 находилась в состоянии покоя, мы получим
в пространстве изображений следующую систему линейных
алгебраических уравнений:
ClS
ClS
U2s 4- R2
1 \
C2s
C2s
/3 - L2s/4
/?4) /4

114 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3
(в каждом уравнении мы расположили отдельные члены в по-
порядке неизвестных величин /v и Ео).
При достаточном опыте в вычислениях нет нужды выписы-
выписывать интегро-дифференциальные уравнения. Можно сразу со-
составить соответствующие им изображающие уравнения, посту-
поступив для этого следующим образом: для каждого контура взять
протекающие в нем токи, для каждого из этих токов выписать
соответствующий ему импеданс, перемножить соответственные
токи и импедансы и, наконец, сложить полученные произведения
с учетом направления тока.
В рассматриваемом случае токи /v являются лишь вспомо-
вспомогательными величинами, и интерес для нас представляет только
напряжение Ео. Его можно вычислить при помощи правила Кра-
Крамера независимо от величин /v. Для этой цели в определителе
системы изображающих уравнений следует заменить последний
столбец (пустые места в нем заполняются нулями), т. е. чис-
числа 0, ..., О, —1 величинами, стоящими справа от знаков ра-
равенства, т. е. величинами Е\, 0, ..., 0, и затем разделить новый
определитель на первоначальный определитель. Тогда мы полу-
получим искомое напряжение Ео в виде рациональной функции от s,
разложив которую на простейшие дроби, найдем оригинал е0.
Если цепь в момент времени / = 0 не была в состоянии покоя,
то правые части изображающих уравнений следует дополнить
членами, зависящими от начальных значений токов tv и от ве-
величин y (см. стр. 111).
В общем случае источники напряжения содержатся не толь-
только в первом и последнем контурах, но и в других контурах.
Следовательно, в случае п контуров система изображающих
уравнений будет иметь вид
Zn (s) /, (s) + ... + Zln (s) In (s) = Ex (s)9
Z2x (s) /i (s)+ ... + Z2n (s) In (s) = E2 (s),
Zal(s)Il{s)+ ... +Znn(s)In{s)-En(s),
B0.4)
где /v(s) есть ток, приписываемый v-y контуру, a Z^is) —импе-
—импеданс, соответствующий току /v в jui-м контуре (если v-й и \1-и
контуры не имеют общей ветви, то Z^v = 0).
Если требуется определить токи /v(s), то для упрощения не-
необходимых вычислений целесообразно принять все напряжения
?n(s), кроме одного, равными нулю. Тогда, сложив п получен-
полученных таким путем частных решений, мы получим общее решение.
Сначала выпишем то из частных решений, которое соответствует
случаю Ei Ф 0, Е2 = Е3 = ... = Еп = 0. Искомое решение обо-
обозначим через № (s). Определитель системы уравнений B0.4)

§20]
СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
115
равен
D(s) =
'1/1
B0.5)
В развернутом виде он представляет собой сумму произведений
функций вида B0.2'). Для вычисления тока /v(s) в v-м контуре
при помощи правила Крамера заменим величины v-ro столбца
величинами, стоящими в правых частях уравнений B0.4), т. е.
величинами Е{Ф0, Е2 = Е3 = ... = Еп = 0. Развернув новый
определитель по элементам v-ro столбца, мы получим умножен-
умноженное на (—lI+v произведение напряжения ?"i(s) на минор
-я v+1
который получается из определителя D(s) вычеркиванием пер-
первой строки и v-ro столбца. Разделив это произведение на перво-
первоначальный определитель D(s), мы найдем искомый ток
Если теперь мы примем не равным нулю произвольное на-
напряжение Ell(s)y остальные же E(s) положим равными нулю, то
аналогичным образом получим
> = (-!)'
D(s)
B0.6)
где минор D^y, получается из определителя D вычеркиванием
ц-й строки и v-ro столбца.
Введя обозначение
(-D1
rW
D(s)
мы придадим формуле, определяющей 1^\ вид
B0.7)
». B0.8)
Так же как и в § 12, функция GwvE) называется передаточной
функцией системы, однако теперь в отличие от того, что было
в § 12, приходится иметь дело с п2 такими функциями.
Определив токи № (s) при сделанных частных допущениях,
мы получим токи /v(s) для произвольных напряжений ЕиЕ2, ...
,.., Еп в виде суммы
%
B0.9)

116 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3
Если в качестве напряжения (действительного, а не преобра-
преобразованного) в jm-м контуре взять импульсную функцию
то ток /^} @ в v-м контуре следует назвать откликом на им-
импульсное возбуждение. В этом случае ?V(s) = 1, следовательно,
/8° W-6^(s),
т. е. передаточная функция G^v(s) является 2-изображением от-
отклика v-ro контура на импульсное возбуждение в [i-м контуре.
Пусть оригинал, соответствующий изображению G^v(s), ра-
равен guvit)', тогда, выполнив перевод уравнения B0.8) в прост-
пространство оригиналов, мы увидим, что действительный ток в v-m
контуре при наличии напряжения только в ji-m контуре равен
^ @ = ^@*^@- B0.10)
Следовательно, величину g"^v@ можно назвать весовой функ-
функцией для воздействия ji-ro контура на v-й контур (см. в связи
с этим стр. 65 и сноску на стр. 46).
§ 21. Начальные значения для аномального случая уравнений
электрической цепи
Если в уравнения электрической цепи ввести, как это было
сделано в § 20 [см. уравнение B0.2)], вместо токов заряды кон-
конденсатора, то система интегро-дифференциальных уравнений за-
заменится системой дифференциальных уравнений. В § 20 мы
молчаливо предположили, что для этой системы имеет место
нормальный случай (см. § 15). В соответствии с этим мы при-
приняли, что числители всех встречавшихся там рациональных пе-
передаточных функций G^(s) имели меньшую степень, чем знаме-
знаменатели, и поэтому соответствующие весовые функции g\iv(t)
были обычными функциями. Кроме того, мы без всяких сомне-
сомнений считали, что решения уравнений электрической цепи удов-
удовлетворяют заданным начальным значениям. Между тем и для
уравнений электрической цепи может иметь место аномальный
случай (§ 16, 17), и притом даже довольно часто. Так, например,
для электрической цепи, рассмотренной на стр. 113 и 114, ток /3
входит в уравнения либо сам, либо под знаком интеграла, по-
поэтому при введении зарядов конденсатора ни в одном из уравне-
уравнений не может появится вторая производная заряда конденса-
конденсатора. Это означает, что определитель A6.1), составленный из
коэффициентов при высших производных, имеет в одной из строк
только нули, следовательно, он равен нулю, и поэтому рассмат-
рассматриваемая система аномальна.

г 21]
АНОМАЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
117
Для того чтобы наглядно пояснить, какие соотношения воз-
возникают в таком случае, рассмотрим пример более простой, чем
на стр. 113, а именно электрическую цепь, состоящую только из
двух контуров (четырехполюсник
с индуктивностью, сопротивлением
и емкостью, рис. 21.1). Пусть до мо-
момента времени /= 0 электрическая
цепь находится в состоянии покоя,
т. е. в ней до этого момента нет ни
тока, ни напряжения, ни заряда.
В момент времени t = О на входе
цепи прикладывается напряжение
e(t). Требуется найти напряжение
eo(t) на свободном выходе. Обозна-
Обозначим через i и i0 контурные токи; тог-
тогда, согласно сказанному в § 20 и с учетом того, что *(/) =
= io(t) = 0 при / < 0, уравнения Кирхгофа будут иметь вид
t
г d /. . \ , 1
Рис. 21.1. Четырехполюсник с
индуктивностью L, сопротйвле-
нием # и емкостью С.
о
L ~17 ('о ~~ 0
B1.1)
где для сокращения записи величина \/С (обратная емкость)
обозначена через 5 (по американской терминологии — эластанс).
Так как второй контур открытый, то io(t) =0. Следовательно,
мы имеем только две неизвестные функции i и во, определяемые
одним интегро-дифференциальным и одним дифференциальным
уравнениями:
LV + RI + S $ i (т) dx =e (/),
о
B1.2)
Заменим эту систему с входящим в нее интегро-дифференциаль-
интегро-дифференциальным уравнением системой дифференциальных уравнений. Для
этой цели введем в качестве новой переменной заряд конденса-
конденсатора
Тогда мы получим систему дифференциальных уравнений вто-
второго порядка
Lk" + Rk'+Sk =e @,

118 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3
В эту систему неизвестная е0 входит только сама, без своих про-
производных. Следовательно, определитель A6.1) равен нулю, т. е.
полученная система аномальна.
Поэтому мы должны считаться с возможностью, что искомые
функции в момент времени t = О изменяются скачкообразно,
причем при / < О эти функции равны нулю. В этом случае целе-
целесообразно искать решение системы B1.2) среди распределений
из пространства 2)'+ и соответственно этому заменить обычные
производные обобщенными, а интеграл — сверткой. Мы получим
LDi + Ri + Si*l =e(t),
L Di ~eo = O.
Применив правила V и IX' (см. Добавление), мы перейдем
к изображающим уравнениям1)
Ы-Е.-0. } BL3>
Lsl - ?0 = О,
или
решениями которых будут
Хотя ток /(/) нас не интересует, все же вычислим его. В уравне-
уравнении B1.4) множитель A(s) перед E(s) имеет в числителе сте-
степень, меньшую чем в знаменателе, поэтому для него существует
оригинал a(t). После перевода уравнения B1.4) в пространство
оригиналов мы получим
/ @ = а @ •*(*)¦ B1.6)
Так как при /<0 ток i(t) был равен нулю, то, рассматривая
i(t) как обычную функцию, а не как распределение, мы должны
считать для i(t) заданным начальное условие
/(-0) = 0. B1.7)
Далее, уравнение B1.6) показывает, что
0, B1.8)
1) Такие же изображающие уравнения мы могли бы получить, если бы
к уравнениям B1.2) применили правила V и IX для обычных функций и, кро-
кроме того, вместо правостороннего предельного значения t( + 0), необходимого
при преобразовании Лапласа производной Г, использовали бы левостороннее
предельное значение i(—0), равное нулю.

§21] АНОМАЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ Ц9
следовательно, i( + 0) = i(—0). Таким образом, ток подходит
к своему начальному значению непрерывно.
Множитель перед E(s) в уравнении B1.5) имеет числитель,
степень которого равна степени знаменателя, следовательно,
этому множителю соответствует распределение. Для того чтобы
избежать оперирования с распределением, разложим множитель
перед E(s) на два слагаемых:
Ls2 1 Rs + S
Ls2
1 _ R
L
Слагаемое B(s) обладает оригиналом, следовательно, после пе-
перевода уравнения B1.5) в пространство оригиналов мы получим
eo(t) = e(t)-b(t)*e(t). B1.9)
Так как в это соотношение e(t) входит не только под знаком ин-
интеграла типа свертки, но также изолированно, то напряжение на
выходе повторяет все скачки напряжения, которые возможны на
входе. Таким образом, четырехполюсник представляет собой си-
систему, допускающую скачкообразные изменения напряжения
(см. § 16).
Из уравнения B1.9) следует, в частности, что1)
ео(+О) = е( + О). B1.10)
Так как четырехполюсник при / < 0 был в состоянии покоя, то
ео(-О) = О. B1.11)
Итак, мы пришли к выводу, что правостороннее начальное зна-
значение напряжения не совпадает с левосторонним начальным
значением [за исключением того частного случая, когда е( + 0) =
= 0], следовательно, напряжение eo(t) изменяется при t = 0
скачкообразно от нуля до значения е( + 0).
Таким образом, аномальная система уравнений электрической
цепи ведет себя в отношении начальных значений в точности так
же, как аномальная система дифференциальных уравнений.
А именно, при включении напряжения в электрическую цепь,
находившуюся до этого в состоянии покоя и, следовательно,
имевшую нулевые левосторонние начальные значения токов и
напряжений, правосторонние начальные значения ни в коем слу-
случае не должны быть все равны нулю. С математической точки
зрения этот результат после сказанного в § 16 и 17 не является
неожиданным. Однако в технической литературе он дал повод
к дискуссиям — к попытке увидеть за этим результатом какую-
то проблему, хотя в действительности никакой проблемы здесь
1) Это соответствует физически наглядному представлению. В самом
деле, поскольку конденсатор был без заряда, входное напряжение сразу пере-
передается на выход.

120
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 3
нет. Кажущаяся проблема возникает только в том случае, если
исследование электрической цепи производится математически
некорректно. А именно, вместо того, чтобы заданную систему
уравнений электрической цепи непосредственно подвергнуть пре-
преобразованию Лапласа, поступают так же, как это иногда делают
при решении системы дифференциальных уравнений (см. § 18):
путем исключения оставляют из заданной системы одно-единст-
одно-единственное уравнение для той неизвестной, которая представляет
наибольший интерес для проводимого исследования.
Покажем для наглядности на конкретном примере, к чему
приводит такой некорректный прием. Возьмем систему
= e(t),
Будем рассматривать операторы при неизвестных как обычные
коэффициенты и вычислим неизвестные путем исключения, при-
применив, например, правило Крамера. Для е0 мы получим урав-
уравнение
Llt+R
±
dt
-1
eo(t)
г
dx e (t)
dt
или в развернутом виде
L -ft eQ(t) + Reo(t) +
eo(x) dx = L-§fe(t), B1.12)
причем молча предполагается, что функция e(t) дифференцируе-
дифференцируема, что в действительности часто не выполняется [например, если
e(t) имеет скачки].
Для применения к уравнению B1.12) преобразования Лапла-
Лапласа требуется знать начальное значение ео( + О), которое неизве-
неизвестно, и начальное значение е( + 0), которое известно, так как e(t)
задано. После преобразования получим изображающее уравне-
уравнение
\ B1.13)
B1Л4)
Решением его будет

§ 21] АНОМАЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ 121
Сравнив это решение с правильным результатом B1.5), мы
увидим:
1. Результат B1.14) правилен только в том случае, если
ео( + О) =е( + 0). Однако о возможности такого равенства при
примененном способе решения заранее знать нельзя.
2. Если отождествить ?о( + О) со значением ео(—0), которое
равно нулю, то получится неверный результат, за исключением
того частного случая, когда е( + 0) =0.
3. Если, как иногда не долго думая, приравнивают неизвест-
неизвестное начальное значение ео( + О) начальному значению ео(—0),
равному нулю, и, кроме того, полагают равным нулю также из-
известное начальное значение е( + 0), что противоречит физической
сущности явления, за исключением частного случая, когда
е( + 0) =0, то случайно получают верное уравнение для опре-
определения Eq(s). Но тогда из уравнения B1.14) после перехода
в пространство оригиналов получают для функции времени eo(t)
выражение B1.9), из которого тотчас же следует, что предполо-
предположение о равенстве нулю начального значения ео( + О) было не-
неверным [см. равенство B1.10)]. Это противоречие между выво-
выводом и результатом, дававшее иногда повод к дискуссиям, просто
разъясняется, если учесть, что две последовательно сделанные
ошибки компенсируют одна другую. В самом деле, если в выра-
выражении ео( + О)—е( + 0) ошибочно положить ео( + О)=О и
е( + 0) = 0, то эффект получится таким же, как если бы пра-
правильно принять, что ео( + О) = е( + 0).
Таким образом, вывод правильного уравнения на основе дей-
действий, изложенных в пункте 3, незаконен и, кроме того, основан
на предположении о дифференцируемости функции e(t)y что не
всегда имеет место. Поэтому следует избегать решения системы
уравнений электрической цепи путем приведения к одному урав-
уравнению для одной неизвестной.
Электрическая цепь находится под током еще до* момента
времени t = 0
Если четырехполюсник в момент времени / = 0 не находится
в состоянии покоя, т. е. по нему уже проходит ток, то в общем
случае i(—0) =?0. Теперь уже нельзя рассматривать i как рас-
распределение из пространства 2D'+: необходимо еще заменить
в уравнениях электрической цепи производную -^ i на Di—
— i{—0N [см. выражение A7.6)], чтобы таким путем математи-
математически учесть прерывное изменение тока от значения i(—0) до
значения /( + 0). Тогда после преобразования Лапласа вместо
sl(s) мы получим в соответствии с выражением A7.7)

122 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3
т. е. такое же выражение, какое получилось бы после преобразо-
преобразования дифференциального оператора -г? i как функции с ис-
использованием значения i(—0) вместо /( + 0). Кроме того, в соот-
соответствии с уравнением B0.1) следует заменить
t
о
t t 0 t
J i{x) dx = J i(x)dx + J l(x)dx = J i(x)dx-±-y.
— oo 0 — oo 0
В качестве начальных условий теперь необходимо задать оп-
определяемые прошедшим значения i(—0) и у> где у есть началь-
начальное значение k(—0) заряда конденсатора
на
— oo
Следовательно, уравнениями электрической цепи будут
i-i (-0N)
которые после преобразования Лапласа перейдут в изображаю-
изображающие уравнения
L(s/-/(-O)) + J?/ + s(l + i) -/?<s)f I
L(s/~/(-0)) -?0 = 0. J
Отсюда мы найдем
с / \ ?s2 я (л L (Rs + S) . ( nv LSs /01 17ч
Первый член правой части совпадает с правой частью равенства
B1.5), следовательно, ему соответствует напряжение, определяе-
определяемое равенством B1.9). Коэффициенты при i(—0) и у представ-
представляют собой рациональные функции с числителями, степень кото-
которых ниже степени знаменателей, поэтому этим функциям соот-
соответствуют некоторые оригиналы p(t) и q(t). Таким образом, для
напряжения eo(t) мы получаем формулу
Y«(O. B1.18)

§ 22J НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 123
Так как на основании этой формулы значение ео( + О) сущест-
существует, то его можно вычислить из равенства B1.17) как предел
lim sE0{s) при помощи теоремы 32.2 о начальном значении.
S->oo
В результате мы найдем
е0( + 0) = е( + 0)-Д/(-0)-5у. B1.19)
Изложенный выше способ решения системы уравнений путем
приведения ее к одному уравнению для одной неизвестной в рас-
рассматриваемом случае совершенно непригоден.
§ 22. Нелинейные дифференциальные уравнения
Для нелинейных дифференциальных уравнений не существуем
общих, всегда применимых методов интегрирования; не сущест-
существует также формул, дающих решение в замкнутом виде. Кроме
того, в общем случае решения не могут быть выражены через
классические трансцендентные функции. Поэтому приходится
удовлетворяться приближенными методами. При применении
приближенных методов может оказаться полезным преобразова-
преобразование Лапласа, хотя оно, будучи линейным преобразованием, есте-
естественно, «приспособлено» к линейным задачам. Конечно, способ
применения преобразования Лапласа к нелинейным уравнениям
иной, чем к линейным уравнениям.
Обычно левая часть нелинейного дифференциального урав-
уравнения состоит из линейной части такого же вида, как и в § 12,
и из нелинейной части Ф(*/, у\ ..., у{т)), следовательно, урав-
уравнение имеет вид
S cvy™ + Ф (у, у', ..., у^) = / (/). B2.1)
В случае электрического контура в левой части вместо линейного
дифференциального выражения может стоять интегро-дифферен-
циальное выражение вида B0.1). Применив к уравнению B2.1)
преобразование Лапласа и введя для сокращения записи обозна-
обозначение
мы получим изображающее уравнение
p(s)Y(s)-q(s,y@),y'@)f .... ^-'> @)) + 8{Ф(у, ...)}-F(s), B2.2)
где q есть многочлен относительно 5, зависящий от начальных
значений (см. § 14). Решив уравнение B2.2) относительно Y(s)
и введя для сокращения записи обозначения
w = G{s)> F{s)+q{s>у@)>yf @)' • • • ¦ y{n~l) {0))=HE)>

124 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3
мы будем иметь
Y(s)=G (s) H(s)-G (s) 2 {Ф (у, ...)}. B2.3)
Изображению Y(s) соответствует в пространстве оригиналов
функция
g(t)*h(t)-g(t)*<b(y, ...) =
t
, ...)dx, B2.4)
где h (t) есть оригинал, отвечающий известному изображению
H(s).
Уравнение B2.4), определяющее y(t), представляет собой
нелинейное интегральное уравнение, которое можно решить
обычным образом путем последовательных приближений. Если
пренебречь нелинейным членом Ф, то в первом приближении по-
получается решение линейной задачи, уже известное из § 12 и 14,
а именно:
Введя эту функцию в правую часть уравнения B2.4), мы найдем
второе приближение:
Повторив эту операцию п раз, мы получим
t
Уп @ = Уо @ - J 8 V - т) Ф (Уп-i (т), ...)dx. B2.5)
О
Если функция Ф достаточно регулярная, то решение y(t) полу-
получится как lim yn(t). На практике ограничиваются вычислением
/1->оо
лишь нескольких приближений и затем выясняют, приближаются
ли они к предельной функции, что, конечно, может иметь место
только в некотором промежутке O^,t^to. Такой метод, при-
пригодный для расчета переходного процесса, не позволяет сделать
никаких выводов об устойчивости системы (о ее асимптотиче-
асимптотическом поведении).
Рассмотренный процесс аппроксимации можно упростить,
если прибегнуть к преобразованию Лапласа. Применив это пре-
преобразование к уравнению B2.5) и использовав теорему сверты»
вания, мы будем иметь
Yn (s) = Yo (s) - 2 {g} S {Ф (ya-u ...)}. B2,6)

§22] НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 125
Возвратимся в пространство оригиналов, но уже без применения
теоремы свертывания; тогда мы получим
u ...)}}• B2.7)
Если для изображения G(s) %{Ф(уп-и • •)} легко определить со-
соответствующий ему оригинал, то вычисление функции yn(t) по
формулам B2.6) и B2.7) осуществляется значительно проще,
чем по формуле B2.5), так как отпадает необходимость труд-
трудного интегрирования.
Поясним этот способ на конкретном примере.
Пример
Исследование одной системы регулирования привело к нели-
нелинейному уравнению1)
y" + B + atf)y'-\ A+Ьу2)у = 0.
Выделив линейную и нелинейную части, перепишем это уравне-
уравнение в таком же виде, как и уравнение B2.1):
(#" + 2/ + у) + (atfy' + by*) = 0. B2.8)
Выполнив преобразование Лапласа2), мы получим изображаю-
изображающее уравнение
откуда найдем
Y(s)= И0). + /у 2,@)
Предположим, что начальными значениями будут
#@) = 0, у'@) = сФ0.
Тогда
*) Описание этой системы см. в статье Matuschka H, Nichtlineari-
taten im Regler zur Verbesserung der Regelgute, помещенной в книге Re-
gelungstechnik, Moderne Theorien und ihre Verwendbarkeit (Bericht uber die
Tagung in Heidelberg, 1956), Oldenbourg Verlag, 1957, стр. 172—177. В этой
статье нелинейное дифференциальное уравнение заменено разностным урав-
уравнением, решение которого выполнено численным путем для различных зна-
значений параметра. Полученные результаты представлены в виде кривых.
2) Решение этого уравнения посредством преобразования Лапласа дано
в статье N о w а с k i P. J., Die Behandlung von nichtlinearen Problemen in
der Regelungstechnik, Regelungstechnik 8 A960), стр. 47—50. В этой работе
полученные первые приближения для отрезка 0 ^ t ^ 1,5 изображены в виде
кривых и сравнены с результатами, найденными посредством исчисления ко-
конечных разностей.

126 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3
Отбросив второй член справа, мы получим первое приближение
которому в пространстве оригиналов соответствует приближение
Получив это приближение, вычислим нелинейную часть урав-
уравнения B2.8). Мы имеем
следовательно,
аУ2Х + ЬУ\ = с" № + {Ъ-а) Р) е~3',
или, после выполнения преобразования Лапласа,
2а 1 6<*-fl
1
+ 3K^ E + 3L
Таким образом, вторым приближением в пространстве изобра-
изображений будет
У , v _ с 2ас^ 6 (Ь - а) с3
Соответствующий оригинал yi(t) мы найдем способом, изложен-
изложенным в § 12, после разложения дробно-рациональной функции на
простейшие дроби. Для сокращения необходимых вычислений
примем, что Ь = а, вследствие чего последний член в правой ча-
части отпадет. Тогда после разложения на простейшие дроби мы
получим
У
I
3/16
1 1 1
2 ^ s + З ^ E + 3J ^ (s+3K
Оригиналом для этого изображения будет
\
При вычислении следующих приближений мы получим, очевидно,
ряд по показательным функциям, умноженным на многочлены
относительно t l).
]) Другой приближенный метод, также основанный на использовании
преобразования Лапласа, см. в статье: Наумов Б. Н. Приближенный ме-
метод вычисления переходных процессов в системах автоматического регулиро-
регулирования, содержащих нелинейные элементы, помещенной в книге, цитированной
в сноске 1 на стр. 125. Краткое изложение этого метода можно найти в статье
Новацкого, цитированной в сноске 2 на стр. 125. О различных способах, поз-
позволяющих получать с помощью преобразования Лапласа решения нелинейных
дифференциальных уравнений в смысле теории возмущений в виде рядов по
степеням некоторого параметра, см. в книге: Pipes L. A., Operational me-
methods in nonlinear mechanics, Dover Publications, New York, 1965.

ГЛАВА 4
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
§ 23. Общие указания о применении преобразования Лапласа
к уравнениям в частных производных1)
В уравнении в частных производных неизвестной является
функция нескольких независимых переменных. Мы рассмотрим
здесь только случай двух независимых переменных, которые
обозначим через х и /; неизвестную функцию обозначим через
и(х, /). Для уравнения в частных производных всегда необхо-
необходимо заранее указать область определения функции u(xf t), т. е.
ту область плоскости xtt внутри которой должна быть опреде-
определена неизвестная функция. Для уравнений которые мы будем
a b x о х х
Рис. 23.1. Различные области определения функции.
рассматривать в этой главе, введем следующее принципиальное
условие: примем, что переменная / изменяется на полупрямой
0-^/<оо, а переменная х — в конечном или бесконечном про-
промежутке. Следовательно, в зависимости от того, изменяется ли
х в конечном промежутке, на полупрямой или на всей прямой,
областью определения функции и(х, t) в плоскости xt будет либо
полуполоса, либо четверть плоскости, либо полуплоскость
(рис. 23.1).
1) Читателю, совершенно незнакомому с материалом настоящей главы,
рекомендуется прочитать § 23 сначала только бегло, затем разобрать пример,
решенный в § 24, и только потом вновь вернуться к § 23 для его тщатель-
тщательного изучения.

1 28 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. 4
Для того чтобы из бесконечного множества функций, удов-
удовлетворяющих уравнению в частных производных, выбрать впол-
вполне определенную, необходимо задать на границах области опре-
определения искомой функции некоторые условия. На практике
встречаются условия двух родов: либо задаются значения са-
самой функции или некоторых ее частных производных, либо за-
задаются некоторые соотношения, связывающие между собой эти
величины. Сказать что-либо общее о числе и виде этих условий
заранее нельзя. Однако для уравнений в частных производных,
встречающихся на практике, всегда можно указать, исходя из
физических особенностей рассматриваемой задачи, какие усло-
условия могут и должны быть предписаны для того, чтобы сущест-
существовало однозначное решение.
Если переменной t является время, то условия, существую-
существующие на горизонтальной границе t = О области определения (т. е.
вдоль промежутка на оси х), называются начальными условия-
условиями, а условия на вертикальных границах (если таковые сущест-
существуют) — граничными условиями.
Если мы хотим применить к уравнению в частных производ-
производных преобразование Лапласа, то мы должны выполнить его для
функции и(х, t) и для всех ее производных, входящих в урав-
уравнение. Но так как преобразование Лапласа представляет собой
интегрирование по одной-единственной переменной, то, применяя
его к функции и(х, t), мы должны выполнить его только для
одной независимой переменной, оставляя другую независимую
переменную неизменной. Выберем в качестве переменной, отно-
относительно которой производится преобразование Лапласа, пере-
переменную t\ именно поэтому мы с самого начала предположили,
что она изменяется от 0 до сю, т. е. в том промежутке, в кото-
котором берется интеграл Лапласа. Переменную х будем считать
при выполнении преобразования неизменной. Это означает, что
каждому определенному значению х соответствует свое изобра-
изображение функции и(ху /). Следовательно, это изображение зависит
не только от s, как было раньше, но также от ху т. е. оно яв-
является функцией от s и от х:
оо
8 {и (х, /} = J e~stu (x, t) dt « U (x, s). B3.1)
о
Подвергая преобразованию Лапласа частные производные
по /, мы можем применять правило V, но при этом мы должны
каждый раз оставлять переменную х неизменной. Таким путем
мы получим
J^L^OJ sU {Xf s) _ u {Xy +0)f B3 2)
} s)-u(xt+0)s- ut (x9 + 0), B3.3)

§ 23] ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ О ПРИМЕНЕНИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 129
где ut = du/dt. Что касается частных производных по х, то для
возможности применения к решению уравнения преобразования
Лапласа необходимо принять, что операция составления таких
производных и операция составления интеграла Лапласа могут
меняться местами. Так, например, необходимо принять, что
-« С. + 01. B3.5)
Мы видим, что при преобразовании частных прозводных по-
появляются значения и(х, + 0), ut(x, + 0), ... Следовательно, не-
необходимое количество этих «начальных значений» должно быть
задано в качестве начальных условий. Здесь мы опять встре-
встречаемся с тем же преимуществом, с которым уже встречались
при решении обыкновенных дифференциальных уравнений: на-
начальные значения входят в изображающее уравнение сами со-
собой и поэтому учитываются автоматически.
Так как в результате преобразования Лапласа частные про-
производные по / устраняются, то в изображающем уравнении
остаются только частные производные по х. Это означает, что
изображающее уравнение представляет собой обыкновенное
дифференциальное уравнение. Решение такого уравнения яв-
является несравненно более простой задачей, чем решение урав-
уравнения в частных производных. Следовательно, применение пре-
преобразования Лапласа к уравнению в частных производных чрез-
чрезвычайно упрощает задачу интегрирования. Отсюда становится
ясным, что посредством преобразования Лапласа можно решать
много задач, которые при применении других методов либо со-
совсем не могут быть решены, либо могут быть решены только
с очень большим трудом.
Остается сказать несколько слов о граничных условиях на
вертикальных границах области определения искомой функции
(если только эти границы имеются). Пусть, например, х = а есть
левая граница промежутка изменения х и пусть на этой границе
задано значение функции и(х, t)> т. е. u(ayt). По этому поводу
необходимо сразу же оговорить, что такое граничное значение
следует понимать в точности так же, как мы в свое время по-
понимали начальные значения для обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений, т. е. рассматривать его в смысле предельного
значения. Иными словами, это означает следующее: если обо-
обозначить функцию, заданную на границе х = а и зависящую
здесь только от /, через a(t), то должно быть
lim u(x, t) = a(t), или короче u(a + 09 t) = a(t). B3.6)
х->а+0
Для уравнений в частных производных такое понимание
5 г. Дёч

130
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
[ГЛ. 4
граничных значений еще важнее, чем для обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений. В самом деле, в большей части задач
решение при х = а вообще не имеет смысла, поэтому значение
и(а, t) даже и нельзя определить. Единственное требование, ко-
которое может быть реализовано, заключается в том, чтобы пре-
предельное значение для х-+а (и притом справа, поэтому мы пи-
пишем х-+а + 0) существовало и имело заданное значение.
Примем теперь, что операция предельного перехода х-+а + 0
и операция составления интеграла Лапласа могут меняться
местами. Тогда мы будем иметь
lim U(x,s)= lim 8 {и (*,/)} = 2 i lim и (*, t) » ia (/)} = A (s)9
+0 U-*a+0 I
следовательно,
lim U (jc, s) = A (s).
B3.7)
A(s) Ulx.s)
a(t) (/fat)
Это означает, что в качестве граничного значения изображения
U(x, s) при х = а следует взять изображение граничного зна-
значения a(t). Это можно представить наглядно на рис. 23.2, из
которого видно, что предельный переход от U(x, s) к A(s) мож-
можно заменить предельным переходом от и(х, t) к a(t) и после-
последующим преобразованием функции a(t)
в ее изображение A(s) (преобразование
исходных функций в соответствующие
изображения на вертикалях х и х = а
совершается одинаково). Если имеется
также правая граница х = b промежутка
изменения х, то все сказанное о гранич-
граничном значении для левой границы следует
отнести и к правой границе. Таким обра-
образом, граничное значение изображения
U(xt s) получается путем преобразования
Лапласа граничного значения исходной
функции и(ху t).
В том, что применение преобразова-
преобразования Лапласа к решению уравнений в
частных производных требует введения
некоторых допущений (а именно возмож-
возможности перемены местами операции преобразования Лапласа,
с одной стороны, и операций дифференцирования и предельного
перехода х-*а + 0 — с другой), нет ничего удивительного. В са-
самом деле, без введения допущений не обходится ни один метод.
Правда, очень часто допущения вводятся не явно, а скрыто,
например, принимается, что решение должно иметь определен-
определенный вид, может быть разложено в ряд и т. д. В связи с этим
после выполнения решения всегда следует проверить, действи-
Рис. 23.2. 8-преобразова-
ние функции и (*, t) при
постоянном х.

§ 23] ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ О ПРИМЕНЕНИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 131
тельно ли найденная функция удовлетворяет заданному урав-
уравнению в частных производных, а также граничным и начальным
условиям ]).
Представим намеченный ход решения уравнения в частных
производных посредством преобразования Лапласа в виде сле-
следующей схемы:
Схема
{уравнение в частных производных
+ начальные условия решение
+ граничные условия Т
^-преобразование 8" ^преобразование
Ф
Пространство | обыкновенное дифференциальное |
изображений: \ уравнение+граничные условия J "* решение
Таким образом, прямое решение уравнения в частных произ-
производных при заданных начальных и граничных условиях заме-
заменяется косвенным решением: посредством преобразования Лап-
Лапласа совершается переход из пространства оригиналов в про-
пространство изображений; это приводит к замене уравнения в
частных производных обыкновенным дифференциальным урав-
уравнением и притом таким, которое уже содержит в себе заданные
начальные условия, вследствие чего они учитываются в даль-
дальнейшем автоматически; граничные же условия исходного уравне-
уравнения переходят в граничные условия изображающего уравнения.
После решения изображающего уравнения, т. е. обыкновенного
дифференциального уравнения, производится обратное преобра-
преобразование Лапласа, которое и приводит к решению первоначаль-
первоначальной задачи.
Если переменная х изменяется в промежутке 0^х<оо, то
изображающее уравнение может быть подчинено каким-то усло-
условиям только на левой границе х = 0, следовательно, эти условия
имеют характер начальных условий. В таком случае к получен-
полученному изображающему уравнению можно опять применить пре-
преобразование Лапласа (на этот раз относительно переменной х).
В результате для изображения получится алгебраическое урав-
уравнение, которое легко можно решить. Для решения первоначаль-
первоначальной задачи необходимо дважды применить обратное преобразо-
преобразование Лапласа2).
1) О сущестовании решений, не удовлетворяющих допущениям излагае-
излагаемого здесь метода, см. D о е t s с h G., Einfuhrung in Theorie und Anwendung
der Laplace-Transformation, Birkhauser Verlag, Basel, 1958, стр. 269.
2) Более подробные сведения о «двумерном» преобразовании Лапласа,
которым мы воспользуемся ниже, на стр. 143, для решения одного примера,
можно найти в книге: Voelker D. und Doetsch G., Die zweidimensionale
Laplace-Transformation (Eine Einfuhrung in ihre Anwendung zur Losung von

132 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. 4
Если неизвестная функция, определяемая уравнением в част-
частных производных, зависит от трех переменных, т. е. если
и = и(х, у, /), где t изменяется в промежутке OKt < оо, а х и
у — в некоторой области плоскости хуу то, применив преобразо-
преобразование Лапласа, мы опять освободимся от частных производных
по t и останутся только частные производные по х и у. Следо-
Следовательно, мы получим уравнение в частных производных с дву-
двумя независимыми переменными, решение которого представляет
собой опять значительно более простую задачу, чем решение
уравнения в частных производных с тремя независимыми пере-
переменными.
Наиболее трудным шагом при решении уравнения в частных
производных посредством преобразования Лапласа является
обычно определение оригинала для решения, найденного в про-
пространстве изображений. Если имеющиеся таблицы соответствий
недостаточны для этого определения, то можно воспользоваться
способами, указанными в гл. 6 и в § 35.
На практике чаще всего встречаются уравнения в частных
производных второго порядка, которые подразделяются на сле-
следующие три типа (в скобках указаны наиболее важные пред-
представители каждого типа):
эллиптический тип (уравнение Лапласа *^"+-^г = 0J >
гиперболический тип (волновое уравнение -^t~--^f = 01,
параболический тип /уравнение тепло- -^—^Г^О].
\проводности х J
При решении уравнений в частных производных эллиптического
типа посредством преобразования Лапласа возникают большие
трудности, поэтому на этом типе мы останавливаться не будем.
Из двух других типов сначала рассмотрим параболический тип
на примере уравнения теплопроводности, так как для этого типа
применение преобразования Лапласа особенно эффективно.
§ 24. Уравнение теплопроводности
Уравнение теплопроводности
дх2 dt
ди B4.1)
Randwertproblemen nebst Tabellen von Korrespondenzen), Birkhanser Verlag,
Basel, 1950. [См. также Диткин В. А. и Прудников А. П., Операцион-
Операционное исчисление по двум переменным и его приложения, Физматгиз, Москва,
1958 (Прим перев.)]

§241
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
133
ao(t)
и(хЛ)
У///////////)
a,(t)
представляет интерес не только для инженера-теплотехника, но
и для инженера-электрика, так как в электротехнике тепловые
явления часто играют большую роль (так, например, транзи-
транзисторы могут эксплуатироваться только до вполне определенной
максимальной температуры, после превышения которой полу-
полупроводник либо меняет свои свойства, либо разрушается). Меж-
Между прочим, уравнение B4.1) известно также в электротехнике
под названием уравнения кабеля Томсона. В те годы, когда
впервые был проложен подводный
телеграфный кабель между Европой
и Америкой, решение телеграфного
уравнения еще не было известно.
Между тем это уравнение, если пре-
пренебречь индуктивностью и утечкой,
переходит в уравнение теплопровод-
ности. Решение последнего было
давно известно, и Томсон использо-
использовал его в качестве приближенного
решения для расчета подводного
телеграфного кабеля.
Покажем, как выполняется ре-
решение уравнения B4.1) посред-
посредством преобразования Лапласа, при-
причем будем пользоваться языком тео-
теории теплопроводности. В таком случае u(x,t) будет температу-
температурой линейного проводника тепла (или пространственного, но
такого, температура которого зависит только от одной коорди-
координаты, т. е. остается постоянной на площади каждого отдельного
сечения тела). Пусть проводник тепла простирается от х = О до
х = /. Переменная / означает время, которое изменяется от t = О
до t = оо. Следовательно, областью определения искомой функ-
функции u(x,t) в плоскости xt является полуполоса, если / конечно,
и четверть плоскости, если / = оо (рис. 24.1).
Пусть в момент времени t = О проводник имеет определен-
определенную температуру, которая может зависеть от х\ обозначим ее
через Uq(x). Она представляет собой «начальное значение»
функции u(xyt) в смысле, разъясненном в § 23, т. е. функция
и(х, t) должна удовлетворять условию
У////////.
О ио(х) I
Рис. 24.1. Граничные и началь-
начальные значения функции и (х, t).
и(х,
B4.2)
Из физических соображений можно предвидеть —и дальнейший
ход решения это подтвердит, — что в рассматриваемой задаче
мы можем обойтись одним-единственным начальным условием;
следовательно^ начальные значения ut(x, + 0), ... нам не пона-
понадобятся. Причина этого заключается, конечно, в том, что

134 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. 4
уравнение в частных производных B4.1) является уравнением
первого порядка относительно /.
Пусть оба конца проводника х = О и х = I соединены с не-
некоторыми источниками тепла, поддерживающими температуру
концов на определенных уровнях, которые могут зависеть от
времени. Следовательно, должны иметь место условия (см.
рис. 24.1)
и (+0, /) = а0 @ и (/ - О,*) = а{ @, B4.3)
которые и представляют собой «граничные условия» в смысле,
разъясненном в § 23. Конечно, эти условия не являются един-
единственно возможными; при других физических допущениях гра-
граничные условия будут иными. Например, если на одном конце
проводника тепло излучается в окружающую среду, то там бу-
будет иметь место линейная связь между и и ди/дх.
Составим теперь для уравнения B4.1) при начальном усло-
условии B4.2) и граничных условиях B4.3) изображающее уравне-
уравнение. Положив %{и(х, t)} = U(x,s) и приняв во внимание началь-
начальное условие B4.2), мы получим
-|р} = *?/(*, s)-u{x, + 0) = sU(x, s)-uo(x).
Далее, так как принимается, что дифференцирование по х и пре-
преобразование Лапласа можно менять местами, то мы будем иметь
Так как после перехода в пространство изображений остается
только частная производная по х, то мы можем заменить ее
обыкновенной производной, после чего изображающее уравнение
примет вид
?? B4.4)
В этом уравнении переменая s играет роль параметра, от кото-
которого зависит решение U\ именно поэтому мы и ввели для него
обозначение U(x, s).
Применим теперь преобразование Лапласа к граничным
условиям B4.3); мы получим
0}~2{oo@} = A>(s), W-0, 0} =
следовательно, с учетом равенства B3.7) граничными условиями
для изображающего уравнения B4.4) будут
[/(+0, s) = AQ(s), С/(/-0, s) = A{(s). B4.5)
Заданное начальное условие B4.2) вошло в изображающее
уравнение и, следовательно, учитывается в дальнейшем автома-

§ 24J УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 135
тически, что представляет собой важное преимущество рассмат-
рассматриваемого метода решения по сравнению с классическим ме-
методом.
Дифференциальное уравнение вида B4.4) при заданных гра-
граничных условиях интегрируется обычно следующим образом.
Сначала решается однородное уравнение при произвольных гра-
граничных значениях; это означает, что член ио(х), делающий за-
заданное уравнение неоднородным, т. е. начальная температура,
предполагается равным нулю. Затем решается неоднородное
уравнение для равных нулю граничных значений A0(s) и Ai(s);
это равносильно тому, что граничные температуры ao{t) и а4(/)
принимаются равными нулю. Сумма обоих решений дает, оче-
очевидно, решение заданного уравнения.
1. Начальная температура равна нулю, граничные
температуры произвольны
Решение однородного уравнения
d*U
dx2
sU B4.6)
выполняется обычным способом: делается подстановка U = еах,
которая приводит к характеристическому уравнению а2 = s. Оба
решения
этого уравнения дают частные интегралы
из которых получается общий интеграл в виде суммы
e~xVT
Постоянные й и Сг следует определить так, чтобы были удовле-
удовлетворены граничные условия B4.5). Проще всего сначала соста-
составить два частных решения, из которых одно имеет на левой гра-
границе значение 1, а на правой — значение 0, второе же решение
имеет на левой границе значение 0, а на правой — значение 1.
Такими решениями будут
uixs)

136 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. 4
Введя эти функции, мы можем придать искомому решению изо-
изображающего уравнения следующий вид:
U {х, s) = Ао (s) U0 {х, s) + А{ (s) Ux (х, s).
Теперь остается определить оригинал, соответствующий изобра-
изображению U(x, s). Сначала рассмотрим предельный случай /= оо.
При / —> оо функция Ui(x, s) равна нулю, а для функции
Uo(x, s) мы получим
Следовательно, в пространстве изображений решение имеет
вид
U(xt 5)-Л0E)е-*^. B4.7)
Из соответствия
(см. таблицу в конце книги, соответствие № 167I) и теоремы
свертывания (правило IX) мы имеем
u(x9t) = ao{t№(x,t). B4.9)
Переписав правую часть этого равенства в явном виде, мы по-
получим
и (*, t) - ^ J a,{t - т) ^- dx. B4.10)
Мы видим отсюда, насколько было оправдано формулировать
граничное условие в виде предельного соотношения
lim u(x, t) = ao{t),
*->+о
а не в виде и@, t) =ao(t). В самом деле, если мы подставим
в выражение под знаком интеграла просто х = 0, то для т = 0
интеграл вследствие наличия знаменателя т3/а будет расходиться.
Но и в том случае, если бы он имел вполне определенное значе-
чение, то все же вследствие множителя х он получился бы рав-
равным не ао(/), а нулю. С другой стороны, путем несколько длин-
длинных рассуждений можно доказать, что функция B4.10) при
х-+0 имеет предельное значение ao(t)y если только функция по
непрерывна в точке /.
1) Здесь t|) означает функцию, называемую в теории теплопроводности
функцией двойного источника. Ниже на стр. 143 мы встретимся с функцией х,
которую принято называть функцией источника.

§24] УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 137
В том, что начальное условие и(х, + 0) удовлетворяется, мы
убеждаемся непосредственно.
В случае, когда длина / конечна, оригиналы uQ(x,t), a{(x,t),
соответствующие изображениям UQ(x, s), U\(x,s), можно взять
в готовом виде из таблицы в конце книги (соответствия № 186
и 185). Если бы такой таблицы не было, то следовало бы попы-
попытаться определить оригиналы путем разложения изображений
в ряды (см. § 29). Так, например, для изображения Uo(xf s) мы
имеем
2 2
п=*0 /г=»0
оо оо
= 2 e-^nl+x)VT — 2 e-<2rt/~*)v^. B4.11)
При 0 < х < I имеют место неравенства
(az = O, 1, ...) и 2nl-x>0 (л=1, 2, ...),
следовательно, применимо соответствие B4.8). Далее с помощью
теоремы 29.4 можно доказать, что в данном случае допустимо
поменять местами суммирование и вычисление интеграла Лап-
Лапласа (см. стр. 175). В результате мы получим
оо оо
«о (*, 0 = 2 Ф B«/ + *, 0 - 2 ФBп/ - х, t),
п—0 /1=1
ИЛИ
Щ(х, 0= S *Bл/ 4- JC, 0, B4.12)
/1 = — оо
так как на основании формулы B4.8)
— -ф B/г/ — а:, /) = ф (— 2/г/ + а:, /).
В рассмотренном выше случае проводника бесконечной длины/
в правой части равенства B4.12) остается только член, для ко-
которого /г = 0.
Аналогичным образом найдем оригинал, соответствующий
изображению Ui(x> s):
и{(х, 0= 2 фBл/ + /-*, *). B4.13)

138 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. 4
Оба ряда B4.12) и B4.13) пригодны для практических вы-
вычислений при малых t, так как тогда множители е-<2гг/+*J/4^
входящие в каждый член обоих рядов, малы. При больших t
для вычислений более удобны выражения оригиналов, указан-
указанные в конце книги в таблице соответствий под №№ 186 и 185.
Определив функции щ и и\> мы получим оригинал, соответ-
соответствующий изображению U(x,s), в следующем виде:
и(х, t) = uQ(x, t)*ao(t) + u{(x, t)*a{(t). B4.14)
Частные случаи граничных значений
Приведем решения уравнения теплопроводности для случаев,
когда на правом конце проводника тепла температура ai(/)=0,
а температура ао(/) на левом конце изменяется по законам, вы-
выражаемым некоторыми простыми, часто встречающимися функ-
функциями.
1. Пусть ao(t) = 6(/) = импульсу, следовательно, A0(s) = 1.
Тогда при бесконечной длине / проводника мы будем иметь
и (х, t) = ф (х, t),
а при конечной длине /
и(х, t) = uo(x, t).
В рассматриваемом случае граничная функция 6(/) дает идеа-
идеализированное описание теплового взрыва в точке х = 0 в момент
времени / = 0. Функцию Грина г|) или соответственно функцию и0
можно понимать как распределение температуры, возникающее
вследствие этого взрыва.
2. Пусть ao(t)=u(t), следовательно, A0(s) = l/s. Тогда при
бесконечной длине проводника изображение U(x, s) равно
U(x, 5)=^е~*/Г-
Этому изображению соответствует оригинал
и(х, O = erfc—*=- (*>0, *>0) B4.15)
(см. соответствие № 168 в таблице в конце книги).
При конечном / изображением U(x, s) на основании равен-
равенства B4.11) будет
оо оо
U (х, s) - j U0 (х, s) = S Т е"B" +х) YJ ~ S 7 е" {2nl-x
)VJ

§ 24] УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 139
следовательно,
/ j.\ С X , \Ч Г г 2п1 + X г 2fll — X 1 /с\ л т\
U(X,t) = ttfc-^r+ 2j[erfc^7T~erfcTFrJ- B4Л6)
3. Пусть ao(t) = ej(Ot. Тогда при бесконечной длине провод-
проводника решением будет
и {х, t) = е^*-ф (х, t) = e№ J е-^ф (х, т) dr. B4.17)
о
Установившееся состояние, к которому стремится и(х, t) при
/-»оо, можно определить аналогично тому, как мы это сделали
в § 13 при рассмотрении частотной характеристики. Так как
изображение 2{i|?(jc, /)} при s = /со сходится, то
J е- К»ХЪ (х, т) d% - J е- I*xq> (x} т) d% =
о * )
{ОО v
J
Второе слагаемое в скобках при ?->оо стремится к нулю, сле-
следовательно, установившееся состояние определяется функцией
п(х, 0 = е-*<'»>1/2е'»', B4.18)
или
й (х, t) = e-^'e' to-/©/2*)f B4.19)
так как
/ = е^2, у1/2 = е№ = COS-J + / sin -J = Щ- A + у).
Таким образом, функция и представляет собой колебание с та-
такой же круговой частотой, как у граничной функции, но с амп-
амплитудой и начальной фазой, зависящими от х и со. Множитель
может быть назван, как и в § 13, частотной характеристикой
температуры в бесконечно длинном проводнике тепла.
2. Начальная температура произвольна,
граничные температуры равны нулю
Теперь необходимо решить неоднородное уравнение B4.4)
при граничных условиях
[/( + 0, s) = 0, t/ (/ — 0, 5) = 0.
Если у читателя не имеется под руками какой-либо книги по

140
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
[ГЛ. 4
дифференциальным уравнениям, из которой он мог бы взять ре-
решение этой краевой задачи в готовом виде, то для отыскания
решения можно поступить следующим образом. Найдем посред-
посредством преобразования Лапласа решение уравнения
при заданных начальных условиях U@) = 0 и Ux@) и затем
подставим в это решение х = I. Мы получим соотношение меж-
между Ux@) и ?/(/), которое позволит выразить Ux@) через U(l).
Подставив это значение Ux@) в найденное решение, мы будем
иметь
U{x, s)=
где
sh(l-x)Vs
sh*yTsh(/-g) VI
VJ sh / V7
при
при
B4.20)
B4.21)
Рассмотрим сначала случай / = оо, для которого Г принимает
вид
У s
V s
при
ПРИ
B4.22)
Выразив гиперболический синус через показательные функции и
использовав соответствие
. 0
B4.23)
(см. таблицу в конце книги, соответствие № 169), мы найдем
для изображения Г оригинал
, t)], B4.24)
который в противоположность изображению имеет во всем про-
промежутке @, оо) одинаковый вид. Наконец, заменив в интеграле
B4.20) верхний предел на оо и перейдя в пространство ориги-
оригиналов, мы получим
оо
и (х, t) = i- J [% A - x, t) - % (I + x, /)] м0 (I) d\. B4.25)

§ 25] СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ДВУХПРОВОДНОЙ ЛИНИИ 141
Если ио(х) при jc->oo имеет предельное значение, то этот ин-
интеграл сходится при х > О, / > 0.
В случае конечной длины проводника поступим так же, как
и на стр. 136. Заменим в выражении Г(х, g; s) гиперболические
синусы показательными функциями, развернем получившееся
выражение в ряд и применим к каждому члену этого ряда об-
обратное преобразование Лапласа. Тогда в качестве оригинала
для изображения Г мы найдем
+ ОО
Y (х, |; 0 = у 2 [Х <2п/ + * " & 0 - X Bл/ + * + !,*)], B4.26)
м = —оо
следовательно, решением краевой задачи будет
(*. ?;<)M!)di. B4.27)
Выражение для y в виде B4.26) особенно удобно при малых t.
При больших t лучше пользоваться для у другим выражением,
указанным во второй строке соответствия № 188 из таблицы
в конце книги. Функции v(*>5»0» "o(*»O и щ(х, t) могут быть
выражены также через тета-функцию О3, известную из теории
эллиптических функций.
§ 25. Система уравнений для двухпроводной электрической
линии с распределенными параметрами
Если электрическая линия настолько длинная, что ее пара-
параметры (сопротивление и т. д.) не могут рассматриваться со-
сосредоточенными в отдельных точках, то в такой линии напря-
напряжение е и ток / зависят
не только от времени /, но ifot)
и от координаты х, изме-
измеряющей длину, следова-
следовательно, ЯВЛЯЮТСЯ фуНК- ifajj
циями е(х, t) и i(xy t). -^zn,
Если линия состоит из х
двух параллельных про- Рис. 25.1. Электрическая двухпроводная
ВОДОВ, ТО ТОКИ i(X9 t) В ТОЧ- линия с распределенными параметрами,
ках обоих проводов с оди-
одинаковой координатой х равны по величине, но направлены в про-
противоположные стороны. Функция e(xft) определяет разность
потенциалов между проводами в точке х.
Пусть R есть сопротивление, L — индуктивность, С — емкость,
G — утечка из одного провода в другой (рис. 25.1), причем
все эти величины отнесены к единице длины. Тогда для

142 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. 4
рассматриваемой двухпроводной линии имеет место следующая
система уравнений в частных производных первого порядка:
B5.1)
Для того чтобы привести эту систему к одному уравнению в
частных производных второго порядка для функции е(х, /),
перепишем уравнение B5.1) в виде
-?-(**¦+«)'•
Продифференцировав первое уравнение по х, мы найдем
Подставив сюда di/dx из второго уравнения, мы получим так
называемое телеграфное уравнение
или
Такое же уравнение получится и для тока i(x% t). При R = G =
= 0 телеграфное уравнение переходит в волновое уравнение
а при L = G = 0 — в уравнение теплопроводности
(уравнение кабеля Томсона, см. § 24).
Однако для дальнейшего исследования мы будем пользовать-
пользоваться не уравнением B5.2), а системой уравнений B5.1), причем
предположим, что в момент времени t = 0 двухпроводная ли-
линия была в покое1), т. е. примем, что
е(х, +0) = /(x, +0)-0. B5.3)
1) Полное решение для случая произвольного начального состояния беско-
бесконечно длинной линии можно найти в книге: V о е 1 к е г D. und D о е t s с h G.,
Die zweidimensionale Laplace-Transformation, Birkhauser Verlag, Basel, 1950,
стр. 74, а также в книге: D о e t s с h G., Handbuch der Laplace-Transformation,
т. 3, Birkhauser Verlag, Basel, 1956, стр. 49.

§ 25] СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ДВУХПРОВОДНОЙ ЛИНИИ 143
Применив к уравнению B5.1) преобразование Лапласа, мы по-
получим изображающие уравнения
dE(f:s) + Lsl (x, s) + RI (x, s) = О,
dU+ CsE (x> s) + GE (*' s) e °*
Это есть система обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка, которую мы можем решить, применив еще раз
преобразование Лапласа (на этот раз по *), при условии, что
начальные значения ?@, s) и /@, s) можно рассматривать как
известные. Это означает, что соответствующие им оригиналы
е@, t) и /@, /), т. е. напряжение и ток, в начале линии заданы.
Введем обозначения
оо оо
J e-v*E (x, s) dx = Е, (у, s), J e"»*/ (x, s) dx == /, (у, s).
о о
Применив теперь к системе B5.4) преобразование Лапласа под;,
мы получим следующую систему линейных алгебраических
уравнений:
уЕ1 (у, s)-E @, s) + (Ls + R) /, (у, s) = 0, I
yIl{y,s)-I(O,s) + (Cs+G)El(y,s)-O, I K ''
из которой легко найдем
_ E@,S)y-l@,s)(Ls + R)
- '
Введем для сокращения записи обозначение
{Ls + R)(Cs+G) = h2(s) B5.7)
и перейдем от изображения с переменной у к оригиналу с пе-
переменной х. Воспользовавшись соответствиями № 49 и 39 из
таблицы в конце книги, мы получим
Е {х, s) = E @, s) ch xh (s) -1 @, s) Ц~- sh xh (s), B5.8)
/ (*, s) = / @, s) ch xh (s) - E @, s) ^ sh xh (s). B5.9)
Величина
7 ( \= Ls + R __ h(s) _ f Ls + Ж
^ ' ~~~ h(s) ~~ Cs + G ~~ V Cs + G
называется характеристическим импедансом линии. Получен-
Полученные формулы B5.8) и B5.9) и являются решением системы

144 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. 4
уравнений B5.4), если считать, что ?@, s) и /@, s) известны,
следовательно, функции е@, /) и /@, t) заданы. Если линия
имеет конечную длину /, то обычно вместо одной из этих функ-
функций задается значение е или i на конце линии х = /. Рассмотрим
случай, когда заданы напряжения в начале и конце линии, т. е.
е(б, t) и еA, /), причем будем считать, что e(l, t) = 0, т. е. что
конец линии коротко замкнут. Выполнив вычисления при таком
частном предположении, мы из полученного решения найдем
сначала путем замены х на / — х решение для е@, /) = 0 и
произвольного еA, /), а затем путем сложения обоих решений —
общее решение.
Для того чтобы исключить из равенства B5.8) /@, s), а вза-
взамен ввести ?@, s), подставим в равенство B5.8) х= I и ?(/, s) =
= 0; мы получим
0 = Е @, s) ch lh (s) - / @, s) -^±^ sh Ih (s),
откуда найдем
Внеся это значение в уравнение B5.8) и применив правило сло-
сложения гиперболических синусов, мы получим
E(x9s) = E(O9 s) ShC^(ys) • B5.10)
Аналогичным образом из равенства B5.9) с учетом равен-
равенства B5.7), определяющего h(s), найдем
l(x,s)-t(i)9s)y U + R ^щ-^ . B5.11)
Прежде чем приступить к переводу изображений Е{х, s) и
I(xy s) в пространство оригиналов, рассмотрим частный случай.
Линия без искажений
Полученные формулы значительно упрощаются, когда h(s)
является линейной функцией. Так как
2—) +[LC/JG-( 2
то такой случай будет иметь место тогда и только тогда, когда
LG-RCY п
) 0
т. е. при соблюдении соотношения
LG = RC, B5.12)

§ 25] СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ДВУХПРОВОДНОЙ ЛИНИИ 145
Использовав это соотношение, мы получим
h(s) = {LC)~m (LCs + LG + *C) = (LCrm(LCs + RC) =
следовательно,
/ r ч 1/2 / г \ 1/2
A (s) = (¦?-) (Ls + fl) = (¦§•) (Cs+G) B5.13)
и далее
Cs + G _ G _ ^_
Ls + R ~~ R ~~ L '
Положив для сокращения записи
= а B5.14)
и имея в виду соотношение B5.12), мы получим вместо ра-
равенств B5.10) и B5.11) следующие:
= E @, s) *hllld{tl?R)R) = Е (°> *) Vo (^ 5)> B6.15)
г- /п \ ch а (I —х) (Ls +R) /ое 1ОЧ
= E@, s)a slial(;j+R) ¦ B5.16)
Решение уравнения теплопроводности привело нас к функ-
функции Uo{x, s) (см. стр. 137), в которую входило такое же отно-
отношение двух гиперболических синусов, как и теперь в функ-
функцию Vq(x, 5), только там вместо линейной функции Ls + R был
радикал Ys. Там это отношение представляло собой ?-изобра-
?-изображение, что позволило нам при переходе в пространство ориги-
оригиналов воспользоваться теоремой свертывания. Теперь функ-
функция Vq(x, s) не является 2-изображением, поэтому для опреде-
определения соответствующего ей оригинала необходимо применить
другой способ. Преобразуем функцию V0{x, s) следующим обра-
образом:
„a (t-x)(Ls+R) A-a (t-x)(Ls+R) ^-ax (Ls+R) _ -aBl-x) (Ls+R)
V 0\Х, S)= eaHLs+R)_ e~al(Ls+R) ~ j _ e~2al (Ls+R) •
B5.17)
и рассмотрим сначала случай / = оо, для которого функция
V0(jc, s) принимает простой вид
V0(x, s) = е-««••+».
Подставив это выражение в равенство B5.15), применив затем
правило II и приняв во внимание равенство B5.14), мы получим
е-жс/х.»1/2*^, t-(CL)U2x) при t^(CL)U2x,
0 при 0<К {CL)mx.
B5.18)

146 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. 4
Это решение показывает, что происходит распространение вход-
входного напряжения е@, /) в направлении возрастающих значе-
значений х со скоростью (CL)~1/2.B самом деле, напряжение е@, ^0),
возникшее в момент времени t0 в точке х = О, достигает точ-
точки #(>0) в момент времени /, удовлетворяющий соотношению
следовательно, для прохождения пути х этому напряжению тре-
требуется время / — tOy и поэтому
¦(CL)
-1/2
До момента времени ^о == 0, когда напряжение впервые дости-
достигает точки х (to = O)y проходит время / = (CL)l/2xy следова-
следовательно, до этого момента времени в точке х напряжение e(xyt) =
= 0. Такое состояние соответствует второй строке реше-
решения B5.18). При распространении напряжения по проводу оно
затухает вследствие наличия множителя е-д(с/ьI/2*.
В фиксированную точку линии в определенный момент вре-
времени доходит только одно-единственное входное напряжение,
следовательно, в этой точке не происходит наложения этого на-
напряжения на предшествующие напряжения, как это имеет
место в линии с произвольными параметрами (см. стр. 149).'
Именно по этой причине линия, удовлетворяющая условию B5.12),
называется линией без искажений.
Для получения решения в случае линии конечной длины /
разложим функцию B5.17) в ряд; мы получим
у /^ Л = e-ax(Ls+R) _ e-aBl-x)(Ls+R)^ e~2nta(Ls+R) _.
0
П =-0 rt2=»l
Умножив все члены этого ряда на ?@, s) и выполнив для каж-
каждого члена обратное преобразование Лапласа, мы найдем ори-
оригинал, соответствующий изображению B5.15):
e(x> t) = 2j €
ОО
_ 2 e-aw^^'-Mo, t-(CL)mBn2l-x)), B5.19)
причем для значений /<0 следует положить е@, /) =0. По-
Поэтому при фиксированной паре значений ху t каждая из обеих
сумм содержит только конечное число слагаемых. Определен-
Определенное входное напряжение e(O,to) появляется в точках ху t, для

.25]
СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ДВУХПРОВОДНОЙ ЛИНИИ
147
которых
с положительным знаком, а в точках х, t> для которых
t-(CL)mBn2l-x) = t0,
с отрицательным знаком. Этим уравнениям соответствуют в пло-
плоскости xt прямые, расположенные в виде зшзагов в полосе
0<х</ (рис. 25.2). Следовательно, входное напряжение рас-
распространяется от х = 0 до х = /, где отражается, меняя при этом
t
ucir
о
I
Рис. 25.2. Распростране-
Распространение граничного возбу-
возбуждения.
0 I x
Рис. 25.3. Граничные воз-
возбуждения, достигающие точ-
точки х в один и тот же момент
времени.
знак (скачок фазы на я), затем распространяется назад до
х = 0, где опять отражается с переменой знака, и т. д. При этом
происходит затухание входного напряжения, возрастающее про-
пропорционально пройденному пути. В точке х, t налагаются одно
на другое все значения входного напряжения, вносимые обоими
зигзагообразными полигонами, проходящими через точку х, t,
причем знак определяется числом отражений (рис. 25.3). Анало-
Аналогичным образом вычисляется по изображению B5.16) ток i(x,t).
Линия с произвольными параметрами
Пусть теперь LG ф RC. Рассмотрим сначала случай / = оо,
когда изображение Е(ху s), определяемое формулой B5.10),
принимает более простой вид:
Е {х, s) = E @, s) e~xh{s) = Е @, s) e~*/*•+*>(*+*). B5.20)

148 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ 4
Для обратного перехода в пространство оригиналов восполь-
воспользуемся формулой, связанной с модифицированной функцией
Бесселя
п\(п+ 1I '
а именно:
e-xYas2+bs+c = e-(b/2Va)x e~Vaxs _|_
Vax
где d=[-7f) —ас. В этой формуле мы должны положить
RC, c = RG, d = (LG - RCJ/4.
Введя для сокращения записи обозначения
придадим формуле B5.200 более простой вид:
оо
B5.21)
Первое слагаемое в правой части, умноженное на ?@, 5), обу-
обусловливает в пространстве оригиналов смещение напряжения
е@, t). Второе слагаемое представляет собой 8-изображение
функции
@ при 0</<ах,
ft, /, (р2 у/2-а2*2) B5.22)
-Pl* У 1 при />ад: v ;
//2а2^2 F
Следовательно, к произведению этого слагаемого на E@,s)
можно применить теорему свертывания. В результате мы
1) Интеграл, входящий в правые части формул B5.21) и B5.23), можно
выразить через (протабулированные) цилиндрические функции от двух мни-
мнимых переменных; см. Кузнецов П. И., О представлении одного контурного
интеграла, ПММ, 1947, № 2. (Прим. ред.)

§ 25] СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ДВУХПРОВОДНОЙ ЛИНИИ 149
получим 1)
e(x, t) = \
0 при 0</<са,
, i-ax) +
t
у2х [e@,t-r)e-^lA^a^dx при
( &
B5.23)
Первый член второй строки правой части формулы B5.23) соот-
соответствует распространению входного напряжения вправо, причем
происходит затухание, увеличивающееся по мере возрастания х.
Второй член представляет собой сумму всех входных напряже-
напряжений, поступивших в точку х до момента времени t, т. е. напря-
напряжений, начиная от е@, 0) и кончая е@, t — ах), умноженных
при этом каждое на некоторую весовую функцию. Эти напряже-
напряжения вызывают искажение передачи.
В случае линии конечной длины / расчет ведется в точности
так же, как и для аналогичного случая линии без искажений,
а именно: разлагают множитель при E@,s) в формуле B5.10)
в ряд и переводят этот ряд почленно в пространство оригиналов.
Отдельные члены ряда получаются такими же, как и в фор-
формуле B5.23), но с заменой х на 2nJ + x и соответственно на
2пг/ — х. Как и в случае, рассмотренном на стр. 147, это озна-
означает, что входные напряжения распространяются по линии и
постоянно отражаются от ее концов, оставляя каждый раз в
точке х некоторый «остаток». Все эти «остатки» суммируются
и дают в результате интеграл такого же вида, как и в фор-
формуле B5.23).
Электрическая линия с источником питания
и нагрузкой на концах
Выше мы предполагали, что напряжения на входе и выходе
заданы и что конец линии коротко замкнут. Это означает, во-
первых, что непосредственно между входными зажимами имеет-
имеется разность потенциалов (электродвижущая сила) e(t), следо-
следовательно, е@, t)=e(t) и, во-вторых, что еA, /) = 0. Однако на
практике напряжение подается к входным зажимам в общем
случае из сети, которая содержит в себе источник электродви-
электродвижущей силы e(t) и состоит из одного или нескольких контуров
с сопротивлениями, индуктивностями и емкостями. Аналогичным
образом к выходным зажимам в общем случае присоединена
сеть из нескольких контуров.
1) Этот результат можно вывести несколько короче при помощи распреде-
распределения б, использовав для этого соответствие № 260 из таблицы в конце книги.

150 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. 4
Источник питания (сеть при входе) и объект потребления
(сеть при выходе) могут быть охарактеризованы посредством
импедансов Z0(s) и Z/(s). Если E(s) есть ?-изображение элект-
электродвижущей силы e(t) и к входным зажимам присоединен источ-
источник питания так, как показано на
рис. 25.4, то в пространстве изобра-
изображений на концах линии мы будем
иметь вместо значений ?@, 5) =
= E(s) и ?(/, s) = 0 значения *)
Тд ~ ?@, sH?(s)-Z0 ($)/@, s), B5.24)
Рис. 25.4. Электрическая двух- Е (Л s)= ^/EO(/, 5). B5.25)
проводная линия с источни- „
ком питания и нагрузкой на Для определения этих граничных
концах. значений мы можем использовать
прежние результаты. Подставив
в равенства B5.8) и B5.9) х = / и введя полученные выражения
для E(l,s) и 1A, s) в равенство B5.25), мы найдем
Е @, s) [ch Ih {s) + Ц- sh Ih (s)] - / @, s) [Z sh Ih (s) + Zt ch Ih (s)] = 0.
Присоединив уравнение B5.24), мы получим систему из двух
уравнений для определения двух неизвестных ?"@, 5) и /@, s).
Определитель этой системы равен
D (s) = (Zo + Zt) ch Ih (s) + Z°Z/Z+Z2 sh Ih (s),
и решениями будут
E @, s) - -^ [Z sh /A (s) + Z, ch /Л (s)] E (s),
I @, 5) = -^y [ch /A (s) + -f- sh /A E)] E (s).
Подставив эти выражения в уравнение B5.8), мы получим
Е (х9 s) - -щ^- [Z sh Ih (s) ch xh (s) + Z, ch Ih (s) ch xh (s) -
- Z ch /A (s) sh ^A E) - Zt sh /A (s) sh xh (s)} E (s)
Z E) sh (/ - x) h (s) + Z{ (s) ch (l-x)h (s)
j
E (s).
(Zo {s) + Zt (s)) ch ih (s) + -^y (Zo (s) Z/ (s) + Z2 E)) sh /Л (s)
B5.26)
Таким образом, мы определим S -изображение напряжения e(x,t).
Для перевода этого изображения в пространство ори-
оригиналов целесообразно заменить гиперболические функции
]) Если источник электродвижущей силы находится во внутренней ветви
питающей сети, то соотношения B5.24) и B5.25) могут иметь несколько
иной вид.

§25] СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ДВУХПРОВОДНОЙ ЛИНИИ 15!
показательными; тогда мы будем иметь
у (Z + Z,)e<M,(z,Z|)e()W
**• S) * (Z + Zo) (Z + Z,) е/л<*> - (Z - Zo) (Z - Z/) e~m^ K >
Z(S) ' ri— -E(s), B5.27)
где
_Z(s)-Zp(s)
)» P<E) ~ Z (s) + Zt (s)
суть так называемые коэффициенты отражения1).
Дальше можно поступить так же, как было сделано при пе-
переходе от формулы B5.17) к формуле B5.19), т. е. разложить
Е(х, s) в ряд и затем почленным переходом из пространства
изображений в пространство оригиналов получить искомый ори-
оригинал е(ху tJ).
Интересный частный случай получается при Zt(s) = Z(s).
Тогда коэффициент отражения pi(s) = 0, и изображение напря-
напряжения принимает вид
Е <*• S) - i
Это означает, что если линия на стороне потребления тока на-
нагружена характеристическим импедансом, то возникает распро-
распространение напряжения без отражений. Однако в общем случае
функция Z(s) не является дробно-рациональной и поэтому не
может быть точно реализована посредством электрической цепи.
Рассмотренные примеры показывают, что преобразование
Лапласа дает возможность легко и автоматически свести крае-
краевую задачу и задачу Коши для уравнения в частных производ-
производных от двух независимых переменных с постоянными коэффи-
коэффициентами к краевой задаче для обыкновенного дифференциаль-
дифференциального уравнения. Последняя задача обычно легко решается.
Трудность возникает только при переходе от решения в про-
пространстве изображений к решению в пространстве оригиналов.
Способы такого перехода, проиллюстрированные на рассмотрен-
рассмотренных примерах и заключающиеся в использовании таблиц и раз-
разложений в ряды, могут быть применены также к решению мно-
многих других задач. Другие способы определения оригиналов по
известным изображениям будут изложены в гл. 6.
1) Обе формулы B5.26) и B5.27) получены в работе Di Pasquanto-
nio F., Applicazione della teoria delle distribution! all'analisi dei transiton
delle linee elettriche. I. Problema della linea tnizialmente a riposo. Alta Fre-
quenza 34 A965), стр. 707—738 [формулы C.3.20), C.3 16)].
2) Выполнение этой операции см. в работе, цитированной в предыдущей
сноске (стр. 719).

ГЛАВА 5
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
СООТНОШЕНИЯ
§ 26. Интегральные уравнения типа свертки
В физике часто встречаются интегральные уравнения следую-
следующих типов:
t
j k(t-x)f(x)dx=g(t), B6.1)
(t-%)f(T)dx, B6.2)
где /(/) есть искомая функция, a k(t) и g(t) —заданные функ-
функции. Уравнение B6.1) называется интегральным уравнением пер-
первого рода, а уравнение B6.2)—интегральным уравнением
второго рода. Так как интегралы, входящие в эти уравнения,
представляют собой свертку, то оба уравнения называются инте-
интегральными уравнениями типа свертки.
Рассмотрим сначала интегральное уравнение второго рода,
так как оно проще с точки зрения возможности решения. Если
интеграл %{k) абсолютно сходится, то преобразование Лапласа
переводит свертку k * / на основании теоремы свертывания (пра-
(правило IX) в алгебраическое произведение изображений, которые
мы будем обозначать, как всегда, соответствующими большими
буквами. Следовательно, уравнение B6.2) после преобразования
перейдет в изображающее уравнение
решением которого будет
T3$S- B6.3)
В этом виде функция F(s) не допускает непосредственного при-
применения обратного преобразования Лапласа. Но если придать

§ 26] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА СВЕРТКИ 153
ей вид
F(s)=G (s) + 1 *^|g) G E), B6.4)
то можно показать, что функции
yisj \-K{s)
всегда соответствует оригинал q(t). Следовательно, решение
B6.4) легко перевести назад в пространство оригиналов, после
чего мы будем иметь
q(t)*g{t). B6.5)
Перенеся свертку q*g в другую часть равенства, мы придадим
соотношению B6.5) вид
сходный с первоначальным интегральным уравнением, но с пе-
переменой ролей функций f и g и с заменой ядра k(t) на взаимное
ядро —q(t).
Для вычисления оригинала q(t) можно воспользоваться его
представлением в виде бесконечного ряда. В самом деле, из ра-
равенства
следует, что
<7@=fU(T' B6.6)
где k*{ = k, k (О*2 = k{t)*k (t) и вообще
*n = k*k* ...*k (/i = 2, 3, ...).
В теории интегральных уравнений ряд B6.6) называется рядом
Неймана.
Иногда удается найти для изображения Q(s) соответствую-
соответствующий оригинал непосредственно. Если, например, ядро k(t) пред-
представляет собой многочлен
OQ + axt+ ... +arf
(или аппроксимируется таким многочленом), то
v(e\— a° _lJ1^L_i_ , r\ar
и, следовательно,
п / ч _ X(s) QOsr+ lfa1sr-1 + ... +r\ar
sr+l-~aosr-UalSr-1

154 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ [ГЛ. 5
т. е. изображение Q(s) представляет собой дробно-рациональ-
дробно-рациональную функцию, числитель которой имеет степень, меньшую сте-
степени знаменателя. Отыскание для такого изображения соответ-
соответствующего оригинала поризводится одним из способов, указан-
указанных в § 12.
Интегральное уравнение первого рода допускает решение
только в некоторых специальных случаях, в общем же виде его
решение невозможно. Изображающее уравнение для уравнения
B6.1) имеет вид
K(s)F(s)-G{s).
Его решение
f(s)=lHf B6.7)
нельзя перевести назад в пространство оригиналов посредством
теоремы свертывания, так как функция l/K(s) не является 2-
изображением4 Однако в некоторых случаях интегральное урав-
уравнение первого рода можно преобразовать в интегральное урав-
уравнение второго рода. Для этого можно воспользоваться следую-
следующей теоремой:
Теорема 26.1. Пусть функция fi(t) при / >0 дифференци-
дифференцируема и при t = О непрерывна; далее, пусть /!(/) и f2(t) в каж-
каждом промежутке О ^ t ^ T абсолютно интегрируемы и в каждом
промежутке 0КТ\4ЦКТ2 ограничены. В таком случае в каж-
каждой точке t > 0, где функция f2 справа (слева) непрерывна,
свертка f(t) = fi * f2 справа (слева) дифференцируема, и произ-
производная f'(t) равна
Если fi @) = 0, то допущение о непрерывности функции f2 из-
излишне.
(В такой весьма общей формулировке приведенная теорема
используется, например, в теории обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений в тех случаях, когда возбуждающая функция об-
обладает точками разрыва.)
Если функции k(t) и g(t) дифференцируемы и k@) =?0, то,
продифференцировав уравнение B6.1), мы получим интеграль-
интегральное уравнение второго рода
k(O)f(t)+
которое можно решить указанным выше способом. Если
но

§ 26] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА СВЕРТКИ 155
то после (п + 1)-кратного дифференцирования уравнения B6.1)
мы будем иметь
kln) @) / (/) + J fc(n+n (t - х) f (т) dx = g<n+l) (/),
0
т. е. опять интегральное уравнение второго рода.
Однако указанный способ решения уравнения B6.1) не дает
результата, если ядро k{t) при / = 0 недифференцируемо. При-
Примером такого ядра может служить
В этом случае иногда приводит к цели следующий способ. Поло-
Положим
t
J/(T)dT~q>@.
о
Так как, согласно правилу VII,
фE)
то решение B6.7) принимает вид
В то время как функция MK(s) никак не может быть 2-изобра-
2-изображением, функция \/sK(s) может быть таким изображением и,
следовательно, в этом случае допустимо применение теоремы
свертывания.
Такой случай имеет место, например, для интегрального урав-
уравнения Абеля
t
j(t-x)-af(x)dx = g(t) @<<z<l), B6.8)
о
встречающегося во многих областях физики. Положив
f • 1 — Ф(о
и имея в виду соответствие
мы получим для Ф(з) изображающее уравнение

156 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ [ГЛ. 5
решением которого будет
N/ T(\-a)s(
Так как
G(s).
a w
sa Г (а)
то изображению Ф($) соответствует оригинал
(Обратим внимание на то, что при прямом преобразовании мы
приняли a < 1, а при обратном преобразовании a > 0, следова-
следовательно, в целом 0 < а < 1.)
Так как, согласно известной формуле,
1 sin ал
Г(а)ГA-а) я >
то явным выражением для функции ср(/) будет
t
, ,ч sin ая Г „ , /, ч *
ф(/) = 1 g(t — т) ат.
я j
о
Отсюда на основании теоремы 26.1 и при условии, что функция
g(t) дифференцируема и при / = 0 непрерывна, следует
Г г 1
= Фг @ = -^ U @) ^ + J та-У(* - т) rfr L B6.9)
§ 27. Интегральные соотношения
В § 26 мы исходили из уравнения для неизвестной функции,
в состав которого входил интеграл типа свертки, и переводили
это уравнение посредством преобразования Лапласа в алгебраи-
алгебраическое уравнение. Теперь поступим наоборот: будем исходить из
алгебраического уравнения для известных функций и переведем
его посредством обратного преобразования Лапласа в соотноше-
соотношение, содержащее интегралы типа свертки. Такой прием позво-
позволяет просто получать некоторые важные интегральные соотноше-
соотношения для функций, встречающихся в физике, в то время как вы-
вывод таких соотношений прямым путем иногда крайне труден.
Приведем несколько примеров.

§ 27] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 157
В теории теплопроводности приходится иметь дело с функ-
функцией двойного источника
[см. формулу B4.8)]. Для нее мы имеем соответствие
Применив к равенству
е-*, /7 . е-*2 Y7 = е-<*.+*«> vT (Vj > q, x2> 0)
обратное преобразование Лапласа, мы получим для функции
интегральное соотношение
^2, t), B7.1)
которое в явной записи имеет довольно сложный вид. Если мы
попытаемся получить это соотношение прямым вычислением его
левой части, то увидим, что для этого понадобится весьма кро-
кропотливая работа.
Для функции Бесселя
л-0
часто встречающейся в физике, мы имеем соответствие
Разложим изображение на множители следующим образом:
1 _ 1 1
Тогда, приняв во внимание, что
и применив теорему свертывания, мы будем иметь
о
t

158 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ [ГЛ.5
или после подстановки x = tu
1
о
J
о
1
Положив
следовательно, приняв
— 2 '
мы получим формулу
-t»2)-172^, B7.2)
-1
которая после подстановки
у — cos ф, 1 — v2 = sin2 ф
переходит в так называемый интеграл Пуассона
л я/2
/0 (о=4" Jе//С08ф rf(p=4 Jcos
о о
Приведенные примеры достаточно убедительно показывают,
что глубоко скрытые свойства некоторых функций часто могут
быть очень просто и наглядно обнаружены посредством преоб-
преобразования Лапласа.

ГЛАВА 6
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ
§ 28. Комплексный интеграл, осуществляющий обратное
преобразование Лапласа
Решение функциональных уравнений (дифференциальных,
разностных, интегральных) посредством преобразования Лапла-
Лапласа производится всегда таким образом, что заданное уравнение
отображается из пространства оригиналов в пространство изо-
изображений, а затем решается изображающее уравнение. Послед-
Последний и обычно самый трудный шаг состоит в вычислении ориги-
оригинала, соответствующего найденному изображению. Важнейшим
средством для вычисления оригинала по изображению является
комплексный интеграл B.8)
a+jY
-Hm^JL J efF{s)ds (/>0), B8.1)
где а есть абсцисса в полуплоскости абсолютной сходимости ин-
интеграла Лапласа 8{/}. Правда, для непосредственного вычисле-
вычисления функции f(t) формула B8.1) мало пригодна, так как она
требует знания функции F(s) для комплексных значений 5 =
= а + jy (—°° < У < +°°). Но поскольку она представляет со-
собой интеграл от аналитической функции, взятый по пути инте-
интегрирования в комплексной плоскости, ее можно преобразовать,
применив для этого методы, известные из теории функций комп-
комплексного переменного, например изменение пути интегрирования,
вычисление вычетов и т. п. Такого рода преобразования иногда
позволяют вскрыть важные свойства функции, определяемой
комплексным интегралом.
Поясним использование формулы B8.1) на следующем при-
примере. Пусть проводник тепла, рассмотренный в § 24 и прости-
простирающийся от х = О до х = оо, имеет начальную температуру,
равную нулю, и пусть на его конце х = 0 граничная температура
изменяется по закону cos со/. В таком случае формула B4.9) для
температуры в сечении х в момент времени t примет вид
и {х, t) = cos со/ * -ф (*, /).

160
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ
[ГЛ. 6
Эта формула внешне очень изящна, однако она не позволяет по-
получить никакого представления о поведении функции и(ху t).
Поэтому вернемся к изображению B4.7), которое вследствие со-
соответствия
s
cos (at <
U(x, s) =
принимает вид
Подставив это изображение в комплексный интеграл B8.1), мы
получим
и (х, t) = lim
У-»оо
т J e's
ds.
B8.2)
а-/У
Изображение U(x,s) имеет вследствие наличия в подынтеграль-
подынтегральном выражении знаменателя
52 + со2 простые полюсы в точках
s — ±/со и, кроме того, вследствие
наличия показателя степени Vs ~~
точку разветвления в s = 0. В ка-
качестве абсциссы а можно взять
любое вещественное число, боль-
большее нуля.
Рассмотрим изображенный на
рис. 28.1 замкнутый контур К,
состоящий из вертикальной пря-
прямой, проходящей через точку s =
= а, из трех дуг двух окружно-
окружностей, имеющих радиусы е и R и
общий центр в нулевой точке, и
из двух горизонтальных отрезков,
проходящих выше и ниже отри-
отрицательной вещественной оси. Вну-
Внутри этого контура функция U(x,s)
остается однозначной и аналити-
аналитической всюду, за исключением полюсов s = ± /со; поэтому, соглас-
согласно теореме Коши о вычетах, мы имеем
-трг etsU {x, s)ds = сумме вычетов функции etsU {x, s)
в точках 5 ~ ± /со.
Вычисление этих вычетов производится на основании следую-
следующей теоремы:
Рис. 28.1. Контур, внутри которого
функция U (x, s) остается одно-
однозначной и аналитической всюду,
за исключением полюсов s=±yco.

§ 28] КОМПЛЕКСНЫЙ ИНТЕГРАЛ 161
Теорема 28.1. Пусть функции Fx(s) и F2(s) в окрестности
точки So аналитические и пусть Fi(s0) =?0, в то время как F2(s)
имеет в s0 простой нуль; тогда вычет функции F\(s)/F2(s) в точ-
точке So равен
Л (so)
Представив функцию etsU(xys) в виде
Ae~* v7 Л (s)
s2 + со2 F2 (s) '
мы будем иметь: Fi (s) = 25, следовательно, ее вычеты будут
равны
-—Щ^ в точке 50=^/со,
^Цук в точке 5о = - /®.
Таким образом,
-щ J etsU (x, s)ds = j
Так как
V — 1 = COS / Sin — = —7=^ э
то полученный результат можно представить в более простом
виде:
-^ J e/J?/ (x,
cos (со/ - * /со/2 ). B8.3)
Будем теперь устремлять е к нулю, а /? к бесконечности. Оче-
Очевидно, что при этом интеграл B8.3), если его взять только по
пути АВ, будет стремиться на основании формулы B8.2) ku(xJ).
Для того чтобы выяснить поведение этого интеграла на обеих
круговых дугах CD и G#, воспользуемся следующей теоремой,
очень часто с успехом применяемой при подобного рода иссле-
исследованиях.
Теорема 28.2. Пусть при г->оо функция F(s) = F(rei(v) стре-
стремится в левой полуплоскости Re 5 <С 0 (т. е. при я/2 -< ср <1 Зя/2)
равномерно относительно ср к нулю. В таком случае, если ф есть
полуокружность радиуса г, имеющая центр в точке О и располо-
расположенная в левой полуплоскости, то при условии, что t > 0,
6 Г. Дёч

162 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ (ГЛ 6
интеграл
J etsF (s) ds -> 0 при г ~> оо.
То же самое имеет место и в том случае, если вместо полной по-
полуокружности взять какую-либо ее дугу, но при этом при изме-
изменении г оставлять неизменным центральный угол1).
Если точка s расположена в левой полуплоскости, то точка
Ys лежит в правой полуплоскости, следовательно, Re j/s ^0 и
Далее, для больших \s\ мы имеем
5 J_
s2 + со2 ~ s 9
и поэтому функция U(x,s) в левой полуплоскости при |s|-voo
равномерно стремится к нулю относительно ср. Таким образом,
на основании сформулированной теоремы интегралы, взятые
вдоль дуг CD и G#, при /?—>оо стремятся к нулю, если только
t > 0, что в нашем случае и имеет место.
На дугах ВС и НА функции ets и e~x^s ограничены, а мно-
множитель s/(s2 + со2) обеспечивает равномерное стремление подын-
подынтегрального выражения к нулю. Длина самих дуг ВС и НА при
R-+oo остается ограниченной. Поэтому интеграл B8.3), взятый
вдоль каждой из этих дуг, при /?->оо стремится к нулю.
На круговой дуге EF все подынтегральное выражение
ограничено, а длина пути интегрирования стремится к нулю
при е-^0, следовательно, интеграл B8.3), взятый вдоль дуги EF,
также исчезает.
Таким образом, в левой части равенства B8.3) остаются
только: интеграл, взятый вдоль проходящей через точку а вер-
вертикальной прямой и равный u(x,t), и два интеграла, взятые
вдоль горизонтальных лучей. Эти два последних интеграла сле-
следует заменить теперь интегралами, взятыми вдоль верхнего и
нижнего берегов отрицательной вещественной оси. Перенеся их
в правую часть равенства B8.3), мы будем иметь
и (х, t) = е-* у<^ cos (со* - х У^) -
1) Эта теорема, часто называемая леммой Жордана, конечно, не является
самоочевидной. В самом деле, хотя функция еи в левой полуплоскости
при t > 0 остается ограниченной и поэтому подынтегральное выражение рав-
равномерно стремится к нулю, но зато неограниченно возрастает длина пути
интегрирования.

§ 29] РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ 163
Внеся s — reJ'rt в интеграл, взятый вдоль верхнего берега отрица-
отрицательной вещественной оси, и s = ге~^л — в интеграл, взятый
вдоль нижнего берега этой оси, мы получим
— о
J
о
<?U (х, s)ds=-\ е-<г^^е-/*Y7dr,
eisU (*, s) ds =
о
и формула B8.3) примет следующий окончательный вид:
и(х, Q-e-'fay^jF^
B8.4)
Эта форма решения, выведенная путем использования комплекс-
комплексного интеграла B8.1), позволяет получить о поведении функции
и (x,t) значительно более глубокое представление, чем форма
решения, найденная в § 24. Интеграл, входящий в правую часть
формулы B8.4), представляет собой интеграл Лапласа, только
в нем 5 заменено на /, а / — на г. При /->• оо он стремится к нулю
(см. теорему 32.1), следовательно, изображает затухающий
с увеличением времени переходный процесс, поведение которого
можно описать, как будет показано в § 34, еще более точно по-
посредством асимптотического разложения. Таким образом, функ-
функция и(х, t) определяется в основном своим первым членом, кото-
который показывает, что температура в точке х > 0 колеблется так
же, как температура на границе х = 0, но со сдвигом фазы
х |Ло/2 и с амплитудой, равной е"*^2. (См. в связи с этим
результат B4.19), при выводе которого переходный процесс изо-
изображался интегралом, взятым от t до оо.)
Аналогичным способом можно получить практически удобное
выражение для оригинала и во многих других задачах.
§ 29. Разложение в ряды
Другим, очень часто применяемым на практике способом для
получения функции f(t) из функции F(s)y т. е. для обратного
преобразования Лапласа, является разложение функции F(s)
в ряд

164 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ [ГЛ. б
члены которого Fn(s) представляют собой 8-изображения, т. е.
с последующим применением к каждому Fn(s) обратного пре-
преобразования Лапласа. Таким путем получается ряд
в пространстве оригиналов. Очевидно, что такой способ будет
давать правильный результат не всегда. В самом деле, суть
этого способа сводится по существу к перемене местами сум-
суммирования бесконечного ряда и вычисления интеграла (к тому
же несобственного). Однако имеются некоторые виды рядов,
для которых почленный переход из пространства изображений
в пространство оригиналов может выполняться без всяких опа-
опасений.
1. Разложение в степенные ряды
Теорема 29.1. Если изображение F(s) может быть разло-
разложено в ряд
расположенный по понижающимся степеням s1) и сходящийся
при \s\ > Ry то возможен почленный переход в пространство
оригиналов, в результате чего получается ряд
сходящийся при всех вещественных и комплексных t.
Эта теорема применима только к очень специальному клас-
классу функций. В самом деле, для осуществления разложения B9.1)
изображение F(s) должно представлять собой аналитическую
функцию, обращающуюся в нуль при s = оо, а оригинал f(() —
целую функцию экспоненциального типа, т. е. функцию, до-
допускающую оценку вида
!) Обратим внимание на то, что этот ряд начинается с члена, содержа-
содержащего по крайней мере 1/5, следовательно, в нем отсутствует член, свободный
от s Причина этого заключается в том, что любая функция, представляющая
собой результат преобразования Лапласа, при s->+oo должна обязательно
стремиться к нулю (см. теорему 32.1).

§29] РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ 165
Примером может служить функция Бесселя /о(О, рассмотрен-
рассмотренная на стр. 157. Ее изображение можно разложить в ряд
-±\ 1
следовательно,
BпУ '
Так как
 \ 2M 2/ '" \ "^2; = (- \)n-\ -3-.- B/i-l)
то полученный ряд можно представить также в виде
Теорема 29.1 может быть обобщена на степенные ряды с неце-
нецелочисленными показателями.
Теорема 29.2. Если изображение F(s) можно разложить в аб-
абсолютно сходящийся при \s\ > R ряд
оо
где %п представляет собой любую возрастающую последователь-
последовательность чисел 0 < Ко < A,i < • • • -> оо, то возможен почленный пе-
переход от этого ряда к ряду
в пространстве оригиналов. Этот ряд сходится при всех вещест-
вещественных и комплексных значениях ty не равных нулю.
Теорема 29.2 применима, например, к функциям Бесселя
/v(/) любого порядка v > —1/2. Мы имеем
2 [л, ml - г Bv + ° { г Bv + ° {
ГBу+1) V / -v—5-

166 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ [ГЛ. 6
откуда путем почленного перехода в пространство оригиналов
найдем
-1
п\Т
2. Разложение в ряды по показательным функциям
Если изображение F(s) представляет собой дробно-рацио-
дробно-рациональную функцию
/E) = Zii?
v ' r2(s) у
числитель которой М5) имеет степень, меньшую степени знаме-
знаменателя а*2 (s), то эту функцию можно представить в виде суммы
конечного числа простейших дробей. Если знаменатель имеет
простые нули ось аг, ..., ап, т. е. если
r2(s) = (s-a,) ••• (s-an),
то коэффициентами такого разложения будут вычеты функции
F(s) в ее полюсах av. Согласно теореме 28.1, эти вычеты равны
r\ (av)
[Если ri(av) =0, то числитель ri(s) содержит также множитель
s — av, следовательно, дробь ri(s)/r2(s) сокращается на этот
множитель; это означает, что точка av не является полюсом и
поэтому для нее не получается никакого вычета.] Таким обра-
образом, изображение F(s) может быть представлено в виде ряда
B9.5)
Так как этот ряд содержит только конечное число членов, то
можно выполнить почленный переход в пространство оригина-
оригиналов; в результате мы получим ряд
ja< B9.6)
Если имеются кратные нули, то показательные функции необ-
необходимо умножить на степенные многочлены относительно t
[см. формулу A2.14)]. С выражениями вида B9.6) мы неодно-

§ 29] РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ 167
кратно встречались при решении обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений и систем таких уравнений (см. § И и 12 и рас-
рассмотренные там примеры).
При решении уравнений в частных производных вместо дроб-
дробно-рациональных функций часто появляются мероморфные
функции, которые, подобно дробно-рациональным функциям,
являются аналитическими во всей плоскости, за исключением
изолированных полюсов. Число этих полюсов может быть ко-
конечным или бесконечным. Так, например, при решении уравне-
уравнения теплопроводности (стр. 136) мы получили функцию Uq(x, s),
которая, если положить I = я, имеет вид
е(я-*) V7 _ е-(я-х) YT
U0 (х, s) = т= 7= .
enVs _е-л Vs
В окрестности точки s — 0 эта функция отнюдь не двузначная,
как это может показаться на первый вгляд из-за наличия по-
показателя Ys в степенях. В само_м деле, после одного обхода
точки 5 = 0, т. е. после замены |/s на — Ys , функция U0(x, s)
становится равной
е-(п-х) /7 _ е(п-х) VT е(я~л) ^ - е~(
т. е. принимает свое первоначальное значение.
Единственными особыми точками являются простые нули
знаменателя. Из равенства
или
е2Я VT
следует, что
2n|/s" = v-2n/ (v = 0, ±1, ±2,...),
т. е.
5 = — v2.
Так как отрицательные v дают для 5 те же значения, что и по-
положительные v, то первые можно не учитывать. Далее, npHS=*
= 0 обращается в нуль также числитель функции U0(x, s), сле-
следовательно, точка 5 = 0 не является особой. Таким образом, мы
должны учитывать только полюсы
av=-v2 (v=l, 2, ...).

168 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ [ГЛ. 6
Вычет функции Uq(x, s) в точке av, согласно теореме 28.1,
равен
e(n-x)Ys __e-{n-x)Ys
Л_ (e*v/ + e-itv/)
2/ sin (я — x) v 2
_J 1 ?— — — v sln vx
n я
—г cos nv
V/
Следовательно, так называемой главной частью функции U0(x, s)
в полюсе av = —v2 будет простейшая дробь
При чисто формальном мышлении можно было бы думать,
что мероморфная функция U0(x9 s) может быть построена,
подобно дробно-рациональной функции, из простейших дробей
только что указанного вида и, следовательно, может быть пред-
представлена в виде ряда
1^r, B9.7)
V=l
который после почленного обратного преобразования Лапласа
переходит в ряд
щ(х, /) = 4^]vsinvxe-v2', B9.8)
V=l
определяющий оригинал. Такой способ вычисления оригинала
часто встречается в технических публикациях. Между тем в рас-
рассмотренном случае он приводит к правильному результату слу-
случайно, в других же случаях он может давать неверные резуль-
результаты. В самом деле, прежде всего является сомнительным само
разложение B9.7), относительно которого можно сказать толь-
только следующее: если из функции Uo(x, s) вычесть все главные
части, то останется функция, не имеющая особых точек, т. е.
целая функция. Однако определение этой целой функции, ко-
которая в рассмотренном случае случайно равна нулю, обычно
представляет собой очень сложную задачу.
Может случиться, что такая целая функция представляет
собой важнейшую составную часть изображения. Если изобра-
изображение содержит в качестве слагаемого конечное 8-изображе-
8-изображение, например,

§29]
РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ
169
(эта функция является аналитически определенной также при
s = 0), то это слагаемое представляет собой целую функцию
и поэтому не имеет никаких особенностей в конечной области.
Следовательно, присутствие такой функции в составе изображе-
изображения при рассмотренном выше способе вычисления оригиналов
остается совершенно неучтенным.
Сомнительность разложения на простейшие дроби становит-
становится особенно очевидной в том случае, когда мероморфная функ-
функция имеет только конечное число полюсов, не будучи в то же
время рациональной функцией, что, вообще
говоря, может иметь место. Если в таком
случае просто составить разложение на
простейшие дроби, то из этого следовало
бы, что рассматриваемая функция пред-
представляет собой рациональную функцию.
Наконец, сомнительным является, как об
этом уже было упомянуто в начале этого
параграфа, переход от ряда B9.7) к ря-
ряду B9.8) путем почленного обратного пре-
преобразования Лапласа.
Тем не менее рассмотренный способ
можно поставить на твердое основание, если
воспользоваться комплексным интегралом,
осуществляющим обратное преобразо-
преобразование Лапласа. При этом выясняется, что
разложение функции Uo(x, s) на простей-
простейшие дроби, понадобившееся выше только
как промежуточная стадия, вообще не иг- Рис. 29.1. Вспомога-
рает никакой роли, так как сразу полу- те-льные кривые (?т
чается разложение вида B9 8). Для'получе- Га^ТГ^юсы
ния этого разложения надо воспользоваться <хь а2, ..., ап.
теорией вычетов Коши, поступив следую-
следующим образом. После того как оригинал и(х, t) представлен в
виде
и(х, t)= Wm-^-r f e'sU(x,s)ds,
a-jY
B9.9)
следует провести слева от вертикали, определяемой абсциссой
а (рис. 29.1), вспомогательные кривые Si, E2, ..., начинающие-
начинающиеся в точках Yu Y2, ... вертикали над вещественной осью и за-
заканчивающиеся в точках —Yu —Y2i ... вертикали под веще-
вещественной осью. Эти кривые (ими могут быть полуокружности,
прямоугольники и т. д.) необходимо расположить так, чтобы
между каждой из них и вертикальной прямой был расположен

G0 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ [ГЛ. 6
один полюс cxi, 0C2, ... . Тогда мы будем иметь
a+!Yn
~x-r etsU (x, s) ds + -^т etsU {x, s) ds = сумме вычетов
функции etsU (x, s) в полюсах а{, ..., ап.
Если функция U(xys) обладает в av простым полюсом, то ее
главная часть имеет вид
s — av '
причем bv зависит от х, а вычет функции etsU(xys) равен
Если функция U(x,s) обладает в av кратным полюсом, напри-
например, третьего порядка, то ее главная часть имеет вид
by I Су . dy
s — av (s — avJ "•" (s —avK '
а вычет функции etsU(x, s) равен
А.
2!
Для упрощения последующих записей предположим, что все
полюсы функции U(x, s) простые. Тогда мы будем иметь
ТП п 1
JL- J e"U(x, s)ds = ^bv(x)ea-t-^j] etsU (x, s)ds. B9.10)
а-/Уя v-l
Если при возрастании п будет Уп-*оо, а
то на основании формулы B9.9) мы получим
оо
и(х, 0=S ft,(x)e4 B9.12)
v-l
Итак, мы нашли искомое разложение оригинала. Однако
применять это разложение можно только в том случае, когда
выполняется условие B9.11). При этом многое зависит от то-
того, как выбраны кривые (§п- Они должны соответствовать ха-
характеру изменения функции U(x,s) в том смысле, чтобы изме-

.29]
РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ
171
ОСС,
нение U(x, s) вдоль выбранных кривых было легко обозримым.
Так, например, для разложения B9.8) выполнение условия
B9.11) доказывается легче всего, если в качестве кривых Sn
выбрать параболы1). Конечно, не всегда удается доказать, что
условие B9.11) выполняется. В этих случаях правильность
разложения B9.12) остается под сомнением.
Существует видоизменение рассмотренного метода. Прохо-
Проходящую через точку а прямую, вдоль которой производится ин-
интегрирование, последовательно заменяют другой вертикальной
прямой с перемещающейся влево абсциссой и притом таким об-
образом, чтобы эти прямые проходили между полюсами (рис. 29.2).
Это можно сделать в тех случаях,
когда при перемещении s вверх или
вниз функция U(x, s) в полосах, за-
заключенных между каждой из вновь
проведенных прямых и первоначальной
прямой, равномерно стремится к нулю.
Тогда в качестве «остаточного члена»
получится интеграл, для которого путь
интегрирования расположен между
n-м и (я+1)-м полюсами. Для того
чтобы разложение B9.12) было обес-
обеспечено, указанный интеграл при/г->оо
должен стремиться к нулю.
Изложенный метод применим толь-
только при условии, что функция U (к, s)
однозначная, так как иначе нельзя
пользоваться теоремой Коши о вычетах. Если среди особых
точек функции U(x, s) имеются особые точки неоднозначного
характера, то необходимо либо изменить путь интегрирования
примерно так, как это было сделано в § 28, либо воспользо-
воспользоваться способом, который будет изложен ниже в § 35.
Ввиду ограниченного объема книги мы не приводим спе-
специальных примеров, иллюстрирующих рассмотренный метод.
Читателей, желающих ознакомиться с применением этого ме-
метода в более сложных случаях, отсылаем к литературе, ука-
указанной в сноске на этой странице.
1) См по этому поводу: D о е t s с h G , Handbuch der Laplace-Transfor-
Laplace-Transformation, т. 1, Birkhauser Verlag, Basel, 1950, стр. 277—281. Пример, в котором
в качестве кривых (?п выбраны круговые дуги, рассмотрен в книге:
Doets ch G., Einffihrung in Theorie und Anwendung der Laplace-Transforma-
Laplace-Transformation, Birkhauser Verlag, 1958, стр. 169 Другие примеры можно найти в книгах:
С а г s I a w H. S. and Jaeger J. С, Operational methods in applied mathe-
mathematics, OxfQrd University Press, 1941 [имеется русский перевод: Карл-
слоу X. и Егер Дж., Операционные методы в прикладной математике, ИЛ,
Москва, 1948 (прим. перев.)] и Churchill R. V., Operational mathematics,
McGraw-Hill Book Company, New York, 1958.
Рис. 29.2. Замена пути ин-
интегрирования параллельны-
параллельными прямыми.

172 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ [ГЛ. б
В технических публикациях изложенный метод иногда при-
применяется для изображений, представляющих собой дробно-ра-
дробно-рациональную функцию, что, однако, совершенно нецелесообраз-
нецелесообразно, так как в этом случае изображение просто разлагается на
конечное число простейших дробей и затем почленно перево-
переводится в пространство оригиналов. Если изображение представ-
представляет собой мероморфную функцию, то доказательство выпол-
выполнения условия B9.11) обычно весьма затруднительно, поэтому
в технической литературе этим доказательством часто прене-
пренебрегают. Обычно ограничиваются тем, что выполняют только
первые шаги метода, доходя до уравнения B9.10) включитель-
включительно, а самое главное — проверку условия B9.11) не выполняют.
Но в таком случае результат B9.12) имеет только эвристиче-
эвристический смысл. Без доказательства выполнения условия B9.11)
рассмотренный метод не точнее, чем более простой прием, из-
изложенный на стр. 168 и основанный на разложении изображе-
изображения в бесконечный ряд простейших дробей (на сумму главных
частей) с последующим почленным переводом этого ряда в
пространство оригиналов. Если нет возможности или желания
доказать выполнение условия B9.11), то бессмысленно приме-
применять тонкий аппарат теории вычетов, так как достигаемая при
этом большая точность не реальная, а только кажущаяся.
Так как всегда может случиться, что условие B9.11), сле-
следовательно, и равенство B9.12) вообще не выполняются, то те,
кто почему-либо не доказывают условие B9.11), должны пом-
помнить, что изложенный метод обеспечивает нужный результат
только в том случае, когда выполнение условия B9.11) может
быть доказано.
3. Разложение в ряды по любым функциям
Рассмотренные выше разложения относятся к функциям
специального вида, а именно к степенным и показательным
функциям. Приведем теперь две теоремы, касающиеся разло-
разложения по любым функциям и находящие применение во мно-
многих практических случаях.
Теорема 29.3. Пусть функцию F(s) можно представить в
полуплоскости Re 5 > х0 в виде бесконечного ряда, членами
которого являются %-изображения
F(s)=%oFn(s), Fn(s)-°fn(t).
Конечно, при этом должны существовать все интегралы
оо
г

§ 29] РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ 173
в общей полуплоскости Re s ^> xQ. Пусть, далее, выполняются
еще два условия:
а) интегралы
-st\fn{t)\dt~(bn(s) (л = 0, 1,...)
также существуют в полуплоскости Re s
б) д
2
сходится.
В таком случае ряд
2 МО
м=-0
сходится, и притом даже абсолютно, стремясь к f(f) почти для
всех /^>0, причем
т. е.
п=*0 /1=0
Выражение «почти все /», взятое из теории интеграла Ле-
Лебега, означает следующее: для всех /, за исключением, быть
может, некоторого множества меры нуль, т. е. множества, точ-
точки которого можно покрыть счетной системой интервалов с про-
произвольно малой суммой длин. В практических случаях получен-
полученный ряд сходится обычно для всех /.
Покажем применение этой теоремы не на каком-либо от-
отдельном ряде, а на целом классе рядов.
Важный класс рядов образуют так называемые факториаль-
ные ряды, имеющие вид
оо
S,(.Mnnnl /.х„1- B9.13)
п-0
С этими рядами часто приходится иметь дело при интегриро-
интегрировании дифференциальных и разностных уравнений. Каждый
член факториального ряда может рассматриваться как изобра-
изображение, полученное в результате преобразования Лапласа.
В самом деле,

1/4 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ [ГЛ. б
Так как соответствующий оригинал положителен, то
оо оо
J e~s/1 U (t) I dt = J e~" | an\ A - е-')" Л =
n!
Условие б) сформулированной выше теоремы требует, чтобы
ряд
сю
1 пп\ nl /OQ И)
Q И)
-о (хо + 1) • • • (хо + п) К^ЛЪ)
м = 0
сходился при некотором значении х0 > 0. Но этот ряд совпа-
совпадает с рядом B9.13) при 5 = Хо > 0 после замены в последнем
CLn на \ап\. Существует весьма общая теорема, согласно кото-
которой факториальный ряд, подобно интегралу Лапласа, всегда
сходится в полуплоскости Яе s > к (если только он вообще
имеет точку сходимости) и, более того, сходится абсолютно по
крайней мере для Re s > к + 1. Если выбрать значение х0 так,
чтобы оно было не только больше нуля, но и больше к + 1, то
для ряда B9.14) условие б) будет выполнено. Следовательно,
факториальный ряд B9.13) всегда можно рассматривать как
8-изображение (если только он где-либо сходится), и соответ-
соответствующий этому ряду оригинал почти везде равен
SMl-e-')". B9.15)
tt = 0
Но это есть степенной ряд относительно 1 — е~г. Если какой-ли-
какой-либо степенной ряд
сходится при zo>O, то он подавно сходится и при
Так как
при 0 •</•</(), то из сходимости ряда B9.15) при t0 > 0 следует
его сходимость при O^tKtQ. Таким образом, ряд B9.15) схо-
сходится для всех t, а не только для почти всех /.
Всякое 2-изображение можно разложить при весьма общих
допущениях в факториальный ряд. Коэффициенты этого ряда
определяются следующим образом:
sF(s)->a0, -Ls(s+l)[F(s)-lf\->au
>а2, ... при s->oo.

§291 РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ 175
Если эти коэффициенты легко вычисляются, то ряд B9.15) дает
удобную формулу для определения оригинала.
Этот способ, играющий в теории преобразования Лапласа
важную роль1), заслуживает применения и в практике, где, од-
однако, он до настоящего времени почти не используется.
Теорема 29.4. Пусть изображения ?{/i} = F{(s) и 2 {/2} =
= F2(s) абсолютно сходятся. Далее пусть q>(z\,z2) есть функция
двух переменных, аналитическая в окрестности Z\ = z2 = 0 и рав-
равная нулю в Z\ = z2 = 0, т. е. функция
оо
ф(г„ 2g) = 2 а г**» (где а00 = 0)
сходится при \z\ \<r, |z2|<r. В таком случае функция
<p(F](s), F2(s)) представляет собой 2-изображение, оригинал ко-
которого получается почленным переводом в пространство ориги-
оригиналов ряда
S anMsFFtis)*.
«1, П2—0
Аналогичная теорема имеет место и в том случае, когда функ-
функция ф зависит от одной или от более чем двух переменных.
Теорема 29.4 позволяет чрезвычайно просто доказать, на-
например, правильность разложения B4.12) для функции Uo(x,t),
с которой мы встретились при решении уравнения теплопровод-
теплопроводности. В § 24 мы имели изображение
Uq(X'S) sh/1/7 eiV!_e-iY-7 i-e~2lV7
Положив
Fx (s) = e~xV79 F2(s) = e-W
мы представим это изображение в виде
,(J(
Примем теперь, что
оо
Я-0
(причем I z{z2\ < 1).
J) Cm. Doetsch G., Handbuch der Laplace-Transformation, т. 2, гл. IT,
Birkhauser Verlag, Basel, 1955.

176 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ [ГЛ б
Эта функция удовлетворяет условиям теоремы 29.4. Следова-
Следовательно, Uo{x, s) представляет собой такое 2-изображение, ко-
которое, будучи разложено в ряд
2 [^е"пi2l~x)^ — е~пх
п-0
может быть переведено в пространство оригиналов почленным
преобразованием этого ряда, причем в результате получится
ряд B4.12).
§ 30. Численное определение оригинала
Способы определения оригинала по изображению, изложен-
изложенные в § 29, основаны на предположении, что изображение пред-
представляет собой функцию, теоретически настолько известную, что
можно, например, определить ее особенности или разложить ее
в ряд определенного вида. Тогда для оригинала можно полу-
получить выражение в общем виде, пригодном, например, для таких
теоретических целей, как исследование поведения оригинала
при малых или больших /. Однако во многих случаях требуется
знать только численные значения оригинала в некоторых про-
промежутках. Конечно, результаты, полученные в § 29, можно ис-
использовать также для численных расчетов, но такой путь яв-
является с точки зрения практики окольным, поэтому нерацио-
нерациональным. Наиболее рациональным путем является численное
определение оригинала /(/) непосредственно по некоторому ко-
количеству численных значений изображения F(s) при помощи
некоторой стандартной схемы. Однако необходимо отдавать
себе отчет, что такое вычисление оригинала связано с ненадеж-
ненадежностью. В самом деле, небольшим изменениям изображения
F(s) может соответствовать значительное изменение оригинала
f(t) (обращение преобразования Лапласа не обладает свой-
свойством «устойчивости»). В этом можно убедиться из следующего
примера. Оригиналу /@ = sin со/ соответствует изображение
«{sin со/} = ^
Очевидно, что |F(s)|<l/co при s > 0, поэтому изображение
F(s) при со->оо стремится равномерно к нулю. Напротив, ори-
оригинал /(/) = since/ при со~*оо колеблется все быстрее и быстрее,
сохраняя при этом неизменной свою амплитуду, равную еди-
единице. Следовательно, если изображению при большом со сооб-
сообщается малое возмущение, то оригинал sin со/ может получиться
сильно искаженным,

§ 30] ЧИСЛЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА 177
Предложено столь много способов численного определения
оригинала по изображению, что нет возможности всем им уде-
уделить внимание. Мы ограничимся изложением только одного из
них, довольно быстро дающего пригодное для практических це-
целей численное выражение оригинала f(t) и требующего для
своего применения только обычного математического аппа-
аппарата *).
Этот способ основан на следующих двух допущениях, не
ограничивающих, однако, его общности: 1) Предполагается,
что изображение F(s) существует при Res>0. Этого всегда
можно достичь, если вместо изображения F(s) рассматривать
изображение F(s + а) при достаточно большом а, что равно-
равносильно умножению оригинала /(/) на e~at. 2) Предполагается,
что /( + 0) = 0. Если это не имеет места, то следует определить
/( + 0), пользуясь теоремой 32.2, и вычесть это значение из /(/),
что равносильно замене изображения F(s) изображением
F(s)-f( + 0)/s.
Рассматриваемый способ дает для оригинала f(t) выраже-
выражение, для вычисления которого требуются только значения изо-
изображения F(s) при равноотстоящих значениях s = Bn-bl)a,
где а есть произвольное число, большее нуля, а п = 0, 1, ...2).
Прежде всего преобразуем интеграл Лапласа
оо
F(s)= je-stf(t)dt
о
посредством подстановки
e-ff/ = cos ft, f (t) = / (- i In cos ft) = ф (ft), C0.1)
в интеграл
л/2
oF (s) = [ (cos ®)s/o-] sin О <p(ft) d». C0.2)
0
Тогда мы будем иметь
я/2
a (F B/1 + 1) а) = J cos?" ft sin ft <p(ft) dft. C0.3)
1) Этот способ предложен А. Папулисом; см Papoulis A., A new
method of inversion of the Laplace transform, Quarterly of applied mathematics
14 A957), стр. 405—414. В этой же статье даны еще два способа численного
определения оригинала, основанные на разложениях по функциям Лежандра
и Лагерра. По поводу таких разложений см., например, Doe t sen G., Hand-
buch der Laplace-Transformation, т. I, Birkhauser Verlag, Basel, 1950, стр. 301.
2) Для однозначного определения С -изображения достаточно задать его
значения в последовательности равноотстоящих одна от другой точек, рас-
расположенных вдоль прямой, параллельной вещественной оси..

178 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ [ГЛ. 6
Такой вид интеграла наводит на мысль представить функцию
ф@) в виде разложения в ряд Фурье по функциям sinBv +1H,
образующим в промежутке @, я/2) полную ортогональную си-
систему:
оо
Ф (О) = 2 cv sin Bv + 1) О. C0.4)
В самом деле, ядро интеграла C0.3) может быть представлено
в виде линейной комбинации функций sinBv+ 1H:
cos2nOsinO =
[(;)(Д)], причем (!И,) = 0. C0.5)
Внесем выражения C0.4) и C0.5) в интеграл C0.3). Так как
Т ( 0 При jLl^V,
Г sinBn+l)OsinBv+l)OdO= ,л
J 7 I я/4 при \i = v>
то при фиксированном п останутся только члены, для которых
v = п — k (k = 0,..., п), т. е.
или
C0.6)
Подставив в это равенство последовательно п = 0, 1, ... , мы
получим линейную рекуррентную систему уравнений
с0 = - oF (a),
42
С0+С1 = — aFCa),
2c0 + 3c, + c2 = — aF Ea),
позволяющую легко вычислить величины cv. В таблице 30.1
даны значения коэффициентов при Со, ..., сп для п = 0, 1,
2, .... 6*).
*) Таблица взята из статьи А. Папулиса, цитированной в сноске 1 на
стр. 177. А. Папулис приводит значения коэффициентов при cv для значе-
значений п до 10 включительно. В статье А. Папулиса для коэффициента при Со,
соответствующего значению п = 4, дано неправильное значение 19 (вместо 14).

31] ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСИМУМА ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ 179
Таблица 30.1. Значения коэффициентов при cv из уравнения C0.6)
п
0
1
2
3
4
5
6
Со
1
1
2
5
14
42
132
1
3
9
28
90
297
с2
1
5
20
75
275
1
7
35
154
Са
1
9
54
Съ
1
11
с6
1
Взяв конечное число коэффициентов cv, мы получим частич-
частичную сумму ряда C0.4), следовательно, приближенное значение
функций ф('О). Если требуется знать оригинал /(/) для некото-
некоторых значений /, то следует вычислить ф(О) для значений
Ф = arccos e~Gt. Выбор значения а обусловливается величиной
промежутка, внутри которого необходимо вычислить значения
оригинала /(/); а именно, следует выбирать а для малых / боль-
большим, а для больших t, наоборот, малым, так как при /-*0 пе-
переменная s~>oo, а при ^->оо, наоборот, s->0 (см. теоремы
32.2 и 32.3).
§ 31. Определение максимума оригинала
по известному изображению
В некоторых случаях представляет интерес не все поведение
функции времени f(t) в том или ином промежутке, а только ее
абсолютный максимум. В качестве примера можно указать на
случай, когда требуется выяснить, не превышает ли напряжение
некоторого допустимого предела. В связи с этим возникает за-
заманчивая задача определения максимума оригинала непосред-
непосредственно по изображению, т. е. без вычисления оригинала. Од-
Однако эта задача достаточно трудная и поэтому нет ничего
удивительного в том, что она до настоящего времени не ре-
решена. Даже если известно явное выражение функции /(/),
заданной на отрезке, то и в этом случае невозможно сразу опре-
определить абсолютный максимум. Сначала необходимо по прави-
правилам дифференциального исчисления определить нули производ-
производной f'(t), затем найти те значения t, в которых производная не
существует, и, наконец, вычислить значения функции /(/) при
найденных значениях t н на концах отрезка. Наибольшее из
всех этих значений f(t) и будет абсолютным максимумом.
Можно поставить более узкую задачу: по известному
2-изображению F(s) определить те значения t, при которых

ISO ВЫЧИСЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ [ГЛ. 6
оригинал /(/) имеет относительные экстремумы. Эта задача мо-
может быть решена, если воспользоваться следующей теоремой1).
Теорема 31.1. Пусть f(t) есть вещественная функция, п раз
меняющая знак при значениях t > 0. В таком случае производ-
производные FW(s) для всех достаточно больших k имеют в точности п
вещественных нулей. Если функция f(t) меняет знак при tOt то
производная FW(s) имеет нуль Sk, причем
Hm-f- t0.
Необходимо иметь в виду, что для непрерывной функции
значение аргумента, при котором происходит перемена знака,
всегда является нулем, в то время как при нуле функция не
обязательно должна менять знак.
Для наших целей применим эту теорему не к самой функции
f(t), а к ее производной /'(/). Мы имеем
причем начальное значение fD-0) может быть определено со-
согласно теореме 32.2 по изображению F(s) как lim sF (s). Сле-
S->oo
довательно, функцию Fi(s) можно считать известной. Теперь
мы должны вычислить некоторое число производных F\k) (s) и
для каждой производной найти нули s^\ ..., s{?\ Тогда пре-
предельные значения отношений k/s{l\ ..., k/s%] дадут значения
tu ..., tn, при которых производная f'(t) меняет знак, т. е.
имеет нули, а функция f(t) обладает относительным максиму-
максимумом или минимумом. (Точек перегиба с горизонтальной каса-
касательной при этих значениях tu ..., tn не может быть.) Сами
значения функции /(/) могут быть вычислены, например, спосо-
собом, указанным в § 30.
Изложенный метод определения относительных экстремумов
требует большой вычислительной работы и для некоторых функ-
функций представляет собой очень медленно сходящийся процесс.
Однако имеются и такие функции, для которых сходимость по-
получается хорошей. Для примера рассмотрим функцию
Производная //@ = е"/A — t) сразу показывает, что единствен-
единственный максимум имеется при /о=1. Если бы было известно
только 8-изображение функции f(t), т. е.
(s+\J
1) Доказательство можно найти в статье: W i d d е г D. V., The inversion
of the Laplace integral and the related moment problem, Trans. Amer. Math.
Soc. 36 A934), стр. 107—200 (стр. 156).

§ 31] ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСИМУМА ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ 181
но не сама функция f(t), то прежде всего следовало бы опре-
определить
и затем рассмотреть функцию
Согласно правилу Лейбница,
Так как
то
F\k) = s{-l)k(k+ 1)! E + l)~(*+2) + k (-1)* k\ {s + I]
= {-\)k~xk\ g^m-
Следовательно, каждая й-я производная имеет единственный
нуль Sh = k, и поэтому k/Sk= 1. Таким образом, в рассматри-
рассматриваемом случае все приближения дают точные значения

ГЛАВА 7
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЙ
И ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
§ 32. Некоторые теоремы о предельных значениях
Часто решение y(t) дифференциального уравнения в явном
виде, т. е. полная картина исследуемого процесса, не представ-
представляет особого интереса для практики. Вместо такого решения
практику достаточно знать только некоторые свойства функции
y{t)y например, ее поведение вблизи / = 0, т. е. непосредственно
после «включения», или вблизи / = оо, т. е. для больших ty когда
в особенности важно выяснить, устойчиво или неустойчиво со-
состояние системы. Естественно, что было бы весьма желательно
выявлять подобного рода свойства функции y(t) только на
основе рассмотрения ее изображения, т. е. без составления яв-
явного выражения функции y(t). С примером возможности такого
определения свойства оригинала мы уже встретились в § 28,
когда в результате вычисления комплексного интеграла B8.1)
путем деформирования пути интегрирования получили формулу
B8.4); в состав этой формулы вошел интеграл Лапласа, кото-
который позволил получить представление о поведении оригинала
при больших значениях аргумента. Наоборот, могут быть и та-
такие случаи, когда желательно установить свойства изображения
непосредственно из поведения оригинала.
В переводе на математический язык сказанное выше озна-
означает следующее: можно ли на основании свойств некоторой
функции судить об асимптотическом поведении другой функции,
связанной с первой прямым или обратным преобразованием
Лапласа, при приближении аргумента последней функции к ну-
нулю или к бесконечности. Прежде чем заняться этим вопросом,
приведем несколько простых теорем, часто очень полезных
в практических применениях.
Теорема 32.1. Все ^-изображения F(s) обладают следующим
общим свойством: они стремятся к нулю, когда переменная s,
пробегая вещественные значения, стремится к +оо; это свой-
свойство сохраняется даже в том случае, когда s стремится к оо

§ 32] НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ 183
вдоль луча комплексной плоскости, образующего с положитель-
положительной вещественной осью угол, по абсолютному значению мень-
меньший тс/2.
Сформулированная теорема дает необходимое условие, ко-
которому должно удовлетворять каждое 8-изображение; часто она
позволяет непосредственно установить, что та или иная функ-
функция не может представлять собой результат преобразования
Лапласа какой-либо исходной функции. Так, например, сразу
можно сказать, что постоянная с Ф О или степень sa с положи-
положительным а не могут быть 8-изображениями никаких исходных
функций.
Однако условие F(s)->0 при s-> + 00 ни в коем случае не
является достаточным для того, чтобы функция F(s) представ-
представляла собой 2 -изображение. Так, например, функция e"s стре-
стремится к нулю на каждом луче, наклоненном к положительной
вещественной оси на угол, меньший я/2, но тем не менее она не
является 8-изображением никакой исходной функции.
Теорема 32.2 (теорема о начальном значении). Если \\my(t)
f-»0
существует, то
lim у (*) = lim sY (s).
t->0 5->oo
Эта теорема дает возможность, зная только изображение
У E), определить lim y(t) = y(+ 0), но только в том случае,
*0
когда заранее известно, что у(Н-О) существует [хотя само зна-
значение у( + 0) неизвестно]. /|\
Однако возможны случаи, когда существует lim sY (s), но / '
не существует \\my(t). Например, оригиналу
соответствует изображение
Очевидно, что lim sY(s) = 0, но \\my(t) не существует.
Теорема 32.3 (теорема о конечном значении) Ее пи lim y(t)
t->oo
существует, то
lim у (t) = lim sY(s).
t->oo 0
Эта теорема позволяет, имея изображение Y(s), определить
\\my(t) = y(+ оо), если только заранее известно, что у( + оо)
t-*oo
существует.

184 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 7
лч При пользовании этой теоремой необходимо соблюдать ту
|\ же предосторожность, как и при пользовании теоремой 32.2. На-
Например, оригиналу
у (/) = sin t
соответствует изображение
Очевидно, что limsy(s) = 0, но у( + оо) не существует.
Q
§ 33. Общие понятия об асимптотическом представлении
и асимптотическом разложении функций
Если функция ф(г) при приближении к точке г0 (которая
может быть также бесконечно удаленной точкой) стремится
к предельному значению /, то можно сказать, что она ведет
себя вблизи г0 как постоянная /. Однако часто возникает необ-
необходимость еще более точного описания функции ф(г). Так, на-
например, sine стремится к нулю при г —>О, но значительно важ-
важнее то обстоятельство, что sine при г-*0 изменяется так же,
как и г, т. е. что
z->0
Иногда функция ф(г) вообще не имеет предельного значения
при г—>2о, но, несмотря на это, ее поведение здесь может быть
описано другой, более простой функцией. Так, например,
функция
2z2 + 3z + 4
при z->oo не имеет предельного значения, но она изменяется
здесь так же, как функция 2г/5 (ведет себя при приближении
к бесконечности как 2г/5), т. е.
t. 2z2 + 3z-f4 . 2 ,
lim —ё—?— -if z= 1.
Вообще говорят, что функция ф(г) ведет себя при z-+z0 так
же, как функция сравнения \|)(г)> или> иначе, что функция
ф(г) при z-+Zo представляется асимптотически функцией ф(г),
если имее! место соотношение
Ф (z) 1
-|^-->1 при z-+z0.
Записывается это следующим образом:
ф(г)~\|>(г) при

§ 33] ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 185
В некоторых случаях возможно подобрать для функции ф(г)
не одну функцию сравнения, а последовательность функций
сравнения, имеющих вид
Фо (г), Чъ (z) + ф1 (z), г|>0 (г) + ф, (г) + г|>2 (г),
и представляющих с возрастанием числа членов функцию ф(г)
все «лучше и лучше». Точнее, это означает следующее. Если со-
составление функций сравнения доведено до п членов, т. е. до
S*v(z),
то разность между ф(г) и этой суммой изменяется так же, как
ближайший следующий член г|)п(г) (в смысле определения, сде-
сделанного выше), т. е.
/г-1
Ф B) - S I|>v (*) ~ *п B) При 2 -»20. C3.1)
Достигнув определенной степени приближения посредством
функции 2 'tv (г) и получив таким путем «остаток», т. е. раз-
ность между заданной функцией и функцией сравнения, мы мо-
можем искать для остатка свою функцию сравнения, чтобы ис-
использовать ее затем для следующего улучшения приближения.
Соотношение C3.1) можно переписать в следующем виде:
п-\
Ф (*) - 2 ^v (г)
¦я (*)
ИЛИ
/1-1
Ф B) - 2 *v (-г)
¦я B) гЫ*) "'
откуда
п
ТО~ >°- C3-2)
Пусть отношение \\{z)fti(z) стремится к нулю; запишем это
в виде равенства
которое должно означать, что порядок величины функции f\(z)
меньше, чем функции /2B). Применив такую запись для

186 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ 7
соотношения C3.2), мы получим
п
ф (*) - 2 *v(г) = о(фп (г)) при г->г0. C3.3)
v=0
Следовательно, порядок величины «остатка», или «ошибки», воз-
возникающей при замене функции ф(г) суммой членов г|)у(г),
меньше, чем порядок величины последнего использованного
члена tyn(z).
Если можно найти сколь угодно большое число функций
•фу(г), обладающих свойством C3.1) или C3.3), то говорят, что
функция ф(г) имеет при z->z0 асимптотическое разложение
S
v=0
что записывается следующим образом:
ф(г)~ 2 яЫ*) при z->20*
v=0
Примерами наиболее часто встречающихся асимптотических
разложений могут служить: для конечного г0— ряды по воз-
растающим степеням z — z0 с любыми, в том числе и не цело-
целочисленными показателями:
оо
<p(z)~S Mz-z/v (-,V<A0<A,< ... -> + оо); C3.4)
для z0 = оо — ряды по убывающим степеням z с любыми пока-
показателями:
оо
2 1< ... -> + оо). C3.5)
Для таких рядов особенно отчетливо видно, какой смысл
имеет асимптотическое разложение. Так, например, в случае
разложения C3.5) мы имеем
или
-o z

§ 34] АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ 187
Последнее соотношение показывает, что ошибка
не просто стремится к нулю, но стремится столь сильно, что
даже ее произведение на г%п также стремится к нулю.
Теорема 33.1. Если ряды C3.4) и C3.5) абсолютно сходятся
внутри и соответственно вне некоторого круга, то они являются
одновременно и асимптотическими разложениями.
К числу основных свойств преобразования Лапласа принад-
принадлежат следующие: асимптотическому разложению оригинала
при / = О соответствует некоторое асимптотическое разложение
изображения при s —> оо и, наоборот, асимптотическому разло-
разложению изображения при конечном s0 соответствует некоторое
асимптотическое разложение оригинала при /—>оо1). Рассмот-
Рассмотрению этих свойств посвящены два следующих параграфа.
В практических применениях обычно бывает так, что исходный
ряд дает не только асимптотическое разложение, но, кроме
того, является даже сходящимся. В связи с этим при формули-
формулировке приводимых в § 34 и 35 теорем мы ограничимся только
таким случаем.
§ 34. Асимптотическое разложение изображения
Начнем с составления асимптотического разложения для
изображения, поскольку такое составление осуществляется осо-
особенно просто.
Теорема 34.1. Пусть изображение &{f} = F(s) где-либо схо-
сходится. Если оригинал f(t) может быть разложен в окрестности
точки t = 0 в абсолютно сходящийся ряд вида
2 / (o, )
v=0
то изображение F(s) имеет при s-*oo асимптотическое разло-
разложение
v=o s
Ряд для F(s) получается почленным переходом от ряда/(/)
путем преобразования Лапласа (см. пример 6 в § 3). В связи
1) Теоремы 32.3 и 32.4 являются простейшими следствиями этого свойства.
В самом деле, обе эти теоремы можно сформулировать в терминах настоя-
настоящего параграфа следующим образом: из 'j(t)~ I при t -* 0 (t-+<x>) вытекает,
что Y(s) ~ //5 при s->oo (s->0)

188 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 7
с этим возникает вопрос, всегда ли возможен такой почленный
переход от ряда в пространстве оригиналов к ряду в простран-
пространстве изображений. Если рассматривать ряды только с точки
зрения их сходимости, то уже простейшие примеры показы-
показывают, что такой почленный переход возможен не всегда. Так, на-
например, для функции
интеграл Лапласа существует во всей плоскости s, и степенной
ряд
сходится при всех /. Однако если мы применим к этому ряду
преобразование Лапласа и выполним его для каждого члена
в отдельности, то получим ряд
nv Bv!) I
v-0
который не сходится ни для какого s, так как абсолютные зна-
значения его членов увеличиваются, начиная с определенного но-
номера для любого s. Тем не менее полученный ряд не является
совсем бессмысленным. В самом деле, на основании сформули-
сформулированной выше теоремы он представляет собой асимптотиче-
асимптотическое разложение изображения F(s) при s-*oo. Заметим кстати,
что функция
оо
F (s) = e<s/2>2 J е-*2 dx
5/2
часто встречается в приложениях.
Приведем пример, показывающий целесообразность асимпто-
асимптотического разложения изображения. В § 28 мы вычислили комп-
комплексный интеграл, осуществляющий обратное преобразование
Лапласа, изменив надлежащим образом путь интегрирования,
и получили формулу B8.4). Эта формула представляет собой
разложение температуры проводника тепла на установившиеся
колебания с той же частотой, как у косинусоидального коле-
колебания, приложенного к границе проводника, и на затухающие
колебания, определяемые интегралом Лапласа и выражаемые
посредством формулы
оо
±lL C4.1)

§ 35] АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ОРИГИНАЛА 189
На основании теоремы 32.1 мы знаем, что F(s) стремится к нулю
при s-*oo. Если необходимо знать более точно, как сильна
сходимость функции F(s) к нулю, то следует воспользоваться
теоремой настоящего параграфа. Мы имеем
/ / 1
/2 + ©2 со2 { ( t\2 JUK ч и>2п+2
V /_ ]\п ±
иг
-в - ... при
sin x Vt = ~ tm - -у- tm + ^п - ... при всех t,
поэтому
-sinх \ft =
|/|<(о. C4.2)
Выполнив необходимые вычисления, мы получим асимптотиче-
асимптотическое разложение изображения F(s) при s->oo в следующем
виде:
5!co2 J
C4.3)
Это разложение позволяет видеть такие свойства функции F(s),
которые нельзя обнаружить из ее определения C4.1), а именно:
функция F(s) стремится к нулю так же, как величина const/s5'2;
ошибка, возникающая при замене функции F(s) функцией срав-
сравнения, стремится к нулю так же, как величина const/s7/2, и т. д.
§ 35. Асимптотическое разложение оригинала
Необходимость определения оригинала по изображению воз-
возникает значительно чаще, чем обратная задача. Объясняется это
тем, что при решении всех функциональных уравнений посред-
посредством преобразования Лапласа решается всегда сначала изо-
изображающее уравнение, а уже затем для полученного изобра-
изображения отыскивается оригинал. Задачей определения оригинала
по изображению мы подробно занимались в гл. 6. Если методы,
указанные там, не приводят к результату, то не остается ниче-
ничего другого, как удовлетвориться по крайней мере асимптоти-
асимптотическим разложением оригинала. Впрочем, во многих случаях
практик даже и не заинтересован в том, чтобы иметь полное
решение; вместо этого ему вполне достаточно знать, как ведет

190
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. 7
себя решение при больших t, например, остается ли оно при та-
таких t ограниченным, т. е. имеет ли место устройчивость. В слу-
случае более сложных изображений, получающихся, например,
при решении краевых задач для уравнений в частных производ-
производных, приводимая ниже теорема, основанная на сравнительно
простых допущениях, часто является единственным средством
для получения некоторого представления о решении. Этрй тео-
теоремой следовало бы пользоваться в практических расчетах зна-
значительно чаще, чем это делается в современной литературе.
Если желательно получить представление об оригинале у (t)
по изображению Y(s), то прежде всего необходимо выразить
y(t) через Y(s) посредством формулы обращения
JC + /CO
y(t)=lim-f-r Г e**Y{s)ds. C5.1)
Пусть это сделано. Функция Y(s) как результат преобразования
Лапласа является аналитической функцией в правой полуплос-
полуплоскости, в которой проходит также путь инте-
интегрирования. Все особые точки функции Y(s)
лежат в левой полуплоскости. Пусть из
всех особых точек точка ао расположена
наиболее далеко вправо (сначала мы
будем предполагать, что имеется только
одна такая точка, т. е. что не существует
нескольких особых точек с наибольшей ве-
вещественной частью).
Допустим, что можно изменить прямо-
прямолинейный путь интегрирования, определяе-
определяемый абсциссой х, угловым путем E, со-
состоящим из двух лучей, образующих с
положительной вещественной осью углы
±Ф(я/2 < 0<я), и из круговой дуги, оги-
огибающей особую точку ао справа (рис. 35.1).
Такую замену безусловно можно сделать,
"Pup огт i Яямрня *> 1/ / \ **
прямолинейного пу?и если изображение Y(s) в области между
интегрирования угло- старым и новым путями интегрирования
вым путем. равномерно стремится к нулю при s—юо.
В самом деле, вообразим, что оба пути
интегрирования соединены один с другим двумя большими
круговыми дугами сверху и снизу; так как в ограниченной та-
таким образом области функция e/s7(s) аналитическая, то инте-
интеграл от нее, взятый по замкнутому контуру, равен нулю. Если
мы теперь будем стремить радиус проведенных круговых дуг
к бесконечности, то на основании теоремы 28.2 интегралы,
взятые вдоль этих дуг, будут стремиться к нулю. В результате

§ 35] АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ОРИГИНАЛА 191
у нас останется только равная нулю сумма интеграла, взятого
вдоль старого пути интегрирования снизу вверх, и интеграла,
взятого вдоль нового пути интегрирования сверху вниз. Но это
означает, что оба эти интеграла, если в каждом из них путь
интегрирования пробегается снизу вверх, равны один другому.
На основании этого результата будем считать, что для опре-
определения оригинала y(t) можно пользоваться вместо формулы
C5.1) также формулой
?j)ds. C5.2)
В таком случае можно сформулировать следующую теорему:
Теорема 35.1. Если изображение Y(s) можно разложить в
окрестности точки ао в абсолютно сходящийся степенной ряд
оо
У (s) = 2 cv{s - ао)х* (- N < Хо< Я, < ... -^ оо) C5.3)
с произвольными показателями (не обязательно целочислен-
целочисленными), то оригинал y(t), определяемый формулой C5.2), мож-
можно представить при /—юо в виде асимптотического разложения
T^_r-v-11 C5.4)
v=0
в котором необходимо положить
1
•О,
когда Kv принимает значения О, 1, 2, ... [как известно, Г@) =
= Г(—1) = Г(— 2) = ...= оо].
Следовательно, те члены ряда, представляющего изображе-
изображение Y(s), которые имеют положительные целочисленные пока-
показатели, ничего не вносят в асимптотическое разложение ориги-
оригинала y(t). Такая роль этих членов объясняется тем, что они
в своей совокупности представляют аналитическую функцию,
не влияющую как-либо на поведение функции Y(s) в окрест-
окрестности особой точки ао [именно это свойство функции Y(s) в
точке ао и является источником асимптотического поведения
функции y{t)].
Первые показатели степени Xv могут быть отрицательными.
Для них мы имеем соответствие

192
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЙ
(ГЛ. 7
Для положительных Яу, которые нас главным образом и ин-
интересуют, это соответствие не имеет места, так как функция
t~~K*~l при / = О неинтегрируема. Если же считать, что указан-
указанное соответствие формально применимо и для положительных
?iv, то тогда на ряд C5.4) можно смотреть как на результат
почленного перехода от ряда C5 3) в пространство
оригиналов.
В приложениях показатели Лу чаще всего равны
кратному от 1/2. В этом случае с целью облегчения
вычисления коэффициентов разложения C5.4) можно
воспользоваться для Xv = v— 1/2 формулой
W, C5.5)
Рис. 35.2.
Угловой
путь ин-
тегриро-
тегрирования
скольких
особых
точек.
Рассмотрим теперь случай, когда наибольшей ве-
вещественной частью обладают несколько особых точек
функции Y(s), например точки ао, аь «2. Прежде
всего необходимо выяснить, можно ли заменить
в формуле C5.1) прямолинейный путь интегрирова-
интегрирования угловым путем, состоящим из двух наклоненных
один к другому лучей и трех небольших круговых
дуг, обходящих особые точки справа (рис. 35.2).
Конечно, как и прежде, для возможности такой заме-
чии^не- ны Д°статочно> чтобы изображение Y(s) равномерно
стремилось к нулю при 5-+оо в области между обои-
обоими путями интегрирования. Если изображение Y(s)
можно разложить в окрестности точки ао в ряд по
степеням s — ао, в окрестности точки ai — в ряд по
степеням s — ai и в окрестности точки аг—в ряд по степеням
s — аг, то для получения асимптотического разложения ори-
оригинала y(t) при /—* оо следует к каждому m трех перечислен-
перечисленных рядов применить почленно обратное преобразование Лап-
Лапласа и затем полученные результаты наложить один на другой.
При этом следует иметь в виду, что показательные множители
ea°', eai', ea', стоящие перед рядами, хотя и различны, но все
имеют одно и то же абсолютное значение, так как
Re a0 = Re a{ = Re a2.
Эти показательные множители при t-+ + oo возрастают или убы-
убывают в зависимости от того, больше или меньше нуля Reao, и
притом значительно быстрее возрастания или убывания степе-
степеней t~Kv~l (возрастание имеет место для A,v <—1, а убыва-
убывание— для Ху, >—1). Следовательно, показательные множители
eao^ ea,*f ea2* оказывают решающее влияние на поведение ори-
оригинала y(t).

* 15] АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ОРИГИНАЛА 193
Если изображение Y(s) имеет еще другие особенности, ле-
лежащие дальше влево, то для асимптотического разложения
оригинала y(t) при /-> +оо они не играют никакой роли1).
Для иллюстрации изложенного метода рассмотрим опять
односторонне бесконечно длинный проводник тепла, на конце ко-
которого приложена температура cosco^. На основании формулы
B8.2) температура в точке х в момент времени t равна
а + /.оо
J 7Т5Г ds
a—foo
Если мы вырежем около отрицательной вещественной оси из
плоскости s узкий угол, то при х > 0 функция e~xVs во всей
остальной плоскости будет_ равномерно стремиться к нулю при
s—>оо, так как там Re V^s >0. Второй множитель s/(s2 + со2)
стремится равномерно к нулю во всей плоскости. Следователь-
Следовательно, можно без всяких сомнений заменить прямолинейный путь
интегрирования угловым путем, состоящим из двух наклонен-
наклоненных один к другому лучей и трех небольших круговых дуг, об-
обходящих справа три особые точки: оба полюса s = ±/со и точку
разветвления s = 0. Все эти точки имеют одинаковую вещест-
вещественную часть, равную нулю. В окрестности каждой из этих то-
точек изображение Y(s) можно разложить в степенной ряд. Рас-
Рассмотрим сначала полюс s = /о и представим изображение Y(s)
в виде
у (я\ — s J5 *
~ S-/CD 5 + /С0 е 5-/CD ^ W*
Тогда функция Z(s) в окрестности точки s =/со будет анали-
аналитической и поэтому ее можно разложить здесь в ряд Тэйлора
После деления этого ряда на 5 — /со [это необходимо для полу-
получения функции Y(s)] все члены, начиная с третьего, будут иметь
целочисленные показатели, большие нуля, а второй член будет
иметь показатель, равный нулю. Все такие члены при переходе
к ряду вида C5.4) выпадут, следовательно, необходимо учиты-
учитывать только первый член, равный
— /(О /0 + /СО 5 — /СО 2 (S — /Сд) *
1) В технической литературе иногда ошибочно утверждается противопо-
ложное.
7 г. Дёч

194 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ 7
Так как для этого члена Хо = —1, то соответствующий оригинал
равен
|е-^^е/й/< C5.6)
Аналогичным образом разложение изображения в ряд в окрест-
окрестности точки s = —/со и последующий переход в пространство
оригиналов дают
^e-xV4Ze-'*<9 C5.7)
В точке разветвления s = О мы имеем (ср. со сказанным на
стр. 189)
S S S^_ , _?^ _
" ^2 ^4 "Т "^б ""•••>
следовательно,
г— \ v v2 V3
"" со2 S 1!(о2 S Ч 2! со2 & 3!со2 S
к 4' со2 со4,
При почленном переходе в пространство оригиналов выпадают
все члены с целочисленными показателями и получается асимп-
асимптотическое разложение
X 1 ,—5/2 X 1 7/2
-"Шй2"^? зТ ~"зГ^" ' ~*
И)
которое, если воспользоваться формулой C5.5), можно предста-
представить в виде
Наложив одно на другое асимптотические разложения C5.6),
C5.7) и C5.8), мы получим полное асимптотическое разложе-
разложение оригинала u(x,t) при ?->оо. Функции C5.6) и C5.7) мож-
можно объединить так же, как и на стр. 161, в одну функцию веще-
вещественного переменного
В результате мы получим для решения и(х, t) такую же форму-
формулу, как и ранее выведенную формулу B8.4) с заменой в послед-
последней интеграла Лапласа его выражением C4.3). Однако тепе-
теперешний вывод значительно более цельный и более простой,

§ 36] ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ 195
§ 36. Исследование устойчивости
Если физическая система описывается некоторыми функцио-
функциональными уравнениями (дифференциальными, разностными или
комбинацией таких уравнений), то во многих отраслях знания,
например в технике регулирования, на первом плане стоит во-
вопрос* является ли решение уравнений устойчивым, т. е. стремится
ли оно при возрастании времени t к какому-либо конечному пре-
предельному значению или по крайней мере остается ли оно огра-
ограниченным. Ответ на этот вопрос дает асимптотическое поведе-
поведение функции, определяющей решение, при /—> оо. Если задача
решается посредством преобразования Лапласа, то всегда же-
желательно получить представление об асимптотическом поведе-
поведении оригинала непосредственно по изображению, т. е. не прибе-
прибегая к явному определению оригинала. Для этой цели весьма по-
полезна теорема 35.1, приведенная в предыдущем параграфе.
Вообще можно было бы просто сослаться на эту теорему, но
поскольку в литературе исследование устойчивости на основе
свойств изображения выполняется часто довольно беззаботно,
приведем здесь несколько дополнительных соображений.
Если физическая система описывается обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнением, то никаких сложностей при исследо-
исследовании устойчивости вообще не возникает. Примем для большей
определенности, что система вначале находится в покое, т. е. что
все начальные значения #( + 0), #'( + 0), ..., у(п~1)( + 0) равны
нулю. Кроме того, предположим, что возбуждающей, или вход-
входной, функцией является единичный скачок u(t), следовательно,
решением будет отклик на единичный скачок, или переходная
функция. Согласно формуле A3.2), решение изображающего
уравнения имеет вид
где p(s) есть многочлен, определяемый равенством A2.4). Функ-
Функция Y(s) представляет собой дробно-рациональную функцию,
которую можно разложить на простейшие дроби. Если все нули
многочлена p(s) простые, то таким разложением будет
если же имеются нули кратности /v, то мы будем иметь
C,2,

196 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 7
Представив решение изображающего уравнения в таком виде,
мы можем сразу перевести его в пространство оригиналов, где
получим
2Д
или соответственно
Решение y{t) принято называть устойчивым, если оно при
t-+oo стремится к своему начальному значению, равному нулю
(собственная устойчивость), или к какому-либо другому по-
постоянному значению (несобственная устойчивость) или, наконец,
если оно колеблется в конечных границах (квазиустойчивость).
В противном случае оно называется неустойчивым. Решающее
влияние на поведение решения y(t) имеет нуль а0 с наибольшей
вещественной частью (будем сначала считать, что имеется толь-
только один такой нуль). В самом деле, в таком случае
|eV|<|eV| при v?=0y
и решение y(t) будет:
при Rea0>0 неустойчивым;
при Rea0<0 устойчивым;
при Reao^O в случае аэ = 0 несобственно устойчивым,
если нуль а0 простой,
неустойчивым, если нуль а0
кратный;
в случае 1тао=т^О квазиустойчивым, если нуль а0
простой,
неустойчивым, если нуль Oq
кратный.
Аналогичным образом определяется поведение решения
y(t) ив том случае, когда несколько нулей многочлена имеют
одинаковую наибольшую вещественную часть. А именно, реше-
решение y(t) только тогда будет устойчивым (в указанном выше
смысле), когда ни один из нулей знаменателя функции Y(s),
т. е. ни один из полюсов функции Y(s), не лежит в правой полу-
полуплоскости, а нули, расположенные на мнимой оси, являются
простыми.

§ 36] ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ 197
Для того чтобы обнаружить все эти свойства решения у(/),
совсем не требуется иметь явное выражение функции y\t)\
вполне достаточно знать только изображение Y(s).
Совершенно так же обстоит дело и в том сучае, когда фи-
физическое явление описывается системой обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений, так как, согласно сказанному в § 15,
и здесь решение изображающего уравнения определяется толь-
только дробно-рациональными- функциями (при условии что вход-
входными функциями являются единичные скачки).
Однако кроме указанных простых случаев встречаются и бо-
более сложные, когда решением Y(s) изображающего уравнения
является не дробно-рациональная, а мероморфная функция,
а иногда — например, в случае уравнения в частных производ-
производных— даже многозначная функция (см. примеры, разобранные
в гл. 4). Впрочем, трансцендентные функции появляются так-
также при решении обыкновенных дифференциальных уравнений.
Так получается, например, для систем регулирования, реагирую-
реагирующих на отклонение не мгновенно, а только по прошествии неко-
некоторого промежутка времени. В этих случаях в технической ли-
литературе для исследования устойчивости часто применяют тот
же критерий, который был применен выше для случая дробно-
рациональной функции Y(s): определяют особую точку знаме-
знаменателя p{s), имеющую наибольшую вещественную часть, и но
положению этой точки относительно мнимой оси судят об устой-
устойчивости оригинала. В основе такого неосторожного приема ле-
лежит то же самое наивное представление, о котором мы говорили
уже на стр. 168, а именно, предполагается само собой очевид-
очевидным, что решение Y(s) изображающего уравнения можно пред-
представить в виде ряда из простейших дробей, позволяющего сразу
видеть все полюсы, и затем совершить почленный переход к по-
показательному ряду в пространстве оригиналов. На стр; 168 мы
уже подчеркнули, что к ряду из простейших дробей в общем
случае может прибавляться еще целая функция. Такая функция
является аналитической во всей плоскости за исключением бес-
бесконечно удаленной точки, где она имеет особенность, обычно
трудно исследуемую* причем свойства этой особенности могуг
сильно влиять на асимптотическое поведение решения y(t).
Для иллюстрации приведем один характерный пример. Мож-
Можно показать, что оригиналу
y(t) = sinta (а>1) C6.5)
соответствует изображение K(s), представляющее собой целую
функцию, следовательно, не обладающее в конечности никакими
особенностями. При а ф_2 изображение Y{s) не может быть

193 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 7
выражено через классические функции. При а = 2 мы имеем
s/2 s/2
У E) = у 1/ "У "¦ cos "lj cos х2 rfx — sin-^- I si
о о
Интегралы в правой части этого соотношения известны под на-
названием интегралов Френеля.
Далее, оригиналу
tny (t) = tnsinta (n = 1, 2, ...) C6.6)
соответствует, согласно формуле C.1), изображение
(—1)ПУ(П)($). Так как изображение Y(s) представляет собой
целую функцию, то такой же функцией является и изображение
Y^(s). Таким образом, изображение, соответствующее функции
tn sin tay принимающей при t -> оо сколь угодно большие значе-
значения и, следовательно, описывающей неустойчивое явление, не
обладает в конечности никакими особенностями.
Очевидно, что для такой функции приведенный выше крите-
критерий устойчивости становится совершенно обманчивым. В самом
деле, если при решении какой-нибудь задачи получено изобра-
изображение, содержащее такого рода функцию в качестве слагаемого,
то остальные слагаемые, если они обладают только полюсами
с отрицательной вещественной частью, будут создавать види-
видимость устойчивости, в то время как неустойчивость, вызываемая
первым слагаемым, останется совершенно незамеченной.
Заметим кстати, что функция C6.5) интересна с физической
точки зрения тем, что если выбрать а очень близким к еди-
единице, то sin ta в произвольно большом промежутке будет сколь
угодно мало отличаться от sin/, для которого 2-изображение
равна
8{sinfl
следовательно, имеет особые точки s = ±/.
Применение разложения на простейшие дроби особенно
опасно в тех случаях, когда для изображения Y(s) получается
многозначная функция, как это было, в частности, в примере,
рассмотренном в § 35. Этот пример отнюдь не является наду-
надуманным упражнением, а представляет собой математическую
формулировку конкретной физической задачи. В подобного рода
задачах нельзя пользоваться разложением изображения Y(s)
на простейшие дроби и тем более нельзя представлять оригинал
y(t) в виде показательного ряда.
Во всех случаях, когда изображение не является дробно-
рациональной функцией, для уверенного суждения об асимпто-

§ 36] ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ 199
тическом поведении, следовательно, и об устойчивости пригод-
пригодны лишь теоремы такого же типа, как и теорема C5.1) 4). Та-
Таким образом, устойчивость решения определяется не только
поведением изображения Y(s) в его особых точках, лежащих
в конечности, но и поведением Y(s) в бесконечности, так как
именно от последнего поведения зависит, можно или нельзя
заменить в формуле обращения прямолинейный путь интегри-
интегрирования угловым путем, составленным из двух наклоненных
один к другому лучей и круговых дуг.
') Существуют и другие теоремы такого типа, относящиеся к более слож-
сложным особенностям. См. по этому поводу: D о е t s с h G., Handbuch der Laplace-
Transformation, т. 2, гл. 6 и 7.

ГЛАВА ft
3-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
§ 37. Переход от преобразования Лапласа
через дискретное преобразование Лапласа
к 3-преобразованию
В приложениях часто вместо функции времени f(t) задается
последовательность значений fn(n = 0, 1, ...), измеренных че-
через определенные промежутки времени, например, в моменты
времени / = О, 1, ... Преобразование Лапласа применимо к
функциям, а не к последовательностям. Тем не менее это преоб-
преобразование можно применять и к последовательностям /п, если
последние заменять ступенчатой функцией /о(О> определенной
условиями
Ы'Н/и при /г</<л+1 (/г = 0, 1, ...)
(рис. 37.1). Так как функция /о (О кусочно-постоянная, то ее
8-изображение можно вычислить следующим образом:
tl™0 fl
l-e~s
C7Л)
Каждый раз, когда составляется такая ступенчатая функция и
выполняется соответствующее преобразование Лапласа, появ-
появляется множитель A —e~s)/s. Можно упростить запись, если от-
отбросить этот множитель. Тогда в правой части соотношения
C7.1) останется только сумма
2/
я-0
как результат непосредственного преобразования последователь-
последовательности fn. Такое преобразование обозначается символом Ф и на*

') 37]
ПЕРЕХОД К 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЮ
201
зывается дискретным преобразованием Лапласа1). Итак мы
имеем
2
/1=0
0
C7.2)
^-преобразование можно рассматривать так же, как 8-пре-
образование, но не функции, а распределения. В самом деле, по-
последовательность fn = f(nh выделенная из непрерывно заданной
I
О / 2 п \п+7 \п+2 n+r \
i t+1 t+r
Рис. 37.1. Замена последовательности ступен-
ступенчатой функцией.
функции /(/), может рассматриваться как результат действия
импульсов 8(t — n)y извлекающих из f(t) в моменты времени
/ = п значения f(n). Иными словами, совокупность этих импуль-
импульсов, представляемая распределением
модулируется посредством функции /(/), в результате чего по-
получается соотношение
где /*(/) есть распределение [см. формулу A0) в Добавлении].
Применив к распределению f*(t) преобразование Лапласа, мы
получим, согласно формуле A8) Добавления,
2()
n=-0
Следовательно,
п=0
C7.3)
1) Это название введено Я. 3. Цыпкиным; см. его книгу: «Переходные
и установившиеся процессы в импульсных цепях» (Госэнергоиздат, Москва,
1951), в которой можно найти доказательства приводимых ниже теорем. [См.
также Цыпки н Я. 3., Теория линейных импульсных систем, Физматгиз,
Москва, 1963. (Прим. перев.)]

202 3-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ [ГЛ. 8
Такое физически понятное толкование ^-преобразования как
2-преобразования некоторого распределения играет важную роль
в теории импульсных элементов (§ 44).
Итак, задачи, возникающие в связи с исследованием после-
последовательностей, могут решаться либо применением преобразо-
преобразования Лапласа к соответствующим ступенчатым функциям, либо
более кратким путем, посредством дискретного преобразования
Лапласа самих последовательностей. Однако вычисления ста-
становятся еще более простыми, если вместо переменной s ввести
новую переменную z посредством подстановки es = z. Тогда ряд
C7.2) переходит в ряд по понижающимся степеням г, и пре-
преобразование принимает вид
Г(г)=?/(л)г-» = 3{и. C7.4)
/1=0
Мы присвоили этому преобразованию символ 3, поскольку в тех-
технической литературе, где оно стало применяться примерно с
1950 г., его принято называть z-преобразованием (по букве г,
выбранной для обозначения переменной). Правда, такое назва-
название противоречит существующему обычаю называть часто при-
применяемые преобразования по имени ученого, но поскольку оно
укоренилось, его уже трудно изменить1). В дальнейшем мы бу-
будем говорить о нем, как о 3-преобразовании, применяя для обо-
обозначения готическую букву в соответствии с тем, как это при-
принято для 8-преобразования и ф-преобразования.
3 -преобразование переводит последовательность-оригинал
fn в изображение F*(zJ). И в этом случае вместо записи
%{fn}=F*(z) мы иногда будем пользоваться знаком соответ-
соответствия
Три преобразования 8, 3) и 3 связаны между собой важными
соотношениями
2 {f} ~ © {fn} = 3 {/„ W = F* (eO- C7.5)
Как известно из теории аналитических функций, ряд C7.4)
сходится вне некоторого круга в комплексной плоскости, т. е.
при |г| > R ^ 0 (рис 37.2). Необходимым и достаточным усло-
условием существования такого круга (т. е. чтобы его радиус R не
*) Было бы более уместным называть г-преобразование преобразованием
Лорана, так как ряд C7.4) представляет собой не что иное, как ряд Лорана,
в котором коэффициенты при положительных степенях z равны нулю.
2) Так как при некоторых исследованиях 8 -преобразование применяется
наряду с 2 -преобразованием, а при последнем изображение обозначается
буквой Т7, то во избежание путаницы принято обозначать изображение при
8-преобразовании символом F*,

§37]
Переход к 3-преобразованию
203
был равен бесконечности) является наличие двух таких положи-
положительных постоянных К и й, что
\L\<Kkn.
C7.6)
Изображение F* представляет собой при |г|>/?, включая
z = оо, аналитическую функцию,
поэтому все ее особенности ле-
лежат внутри круга |z|^C/?.
Пример:
при |z|>eRea.
Отсюда, ПОЛОЖИВ a = 0, МЫ полу- рис. 37.2. Область сходимости
чим изображение для последо- изображения F*(z).
вательности fn = 1; далее, путем
линейных комбинаций мы найдем изображения для последова-
последовательностей cos an, chan и т. д. (см. таблицу 37.1 на стр. 204).
Каждой последовательности fn, удовлетворяющей условию
C7.6), однозначно соответствует функция F*(z), аналитическая
во внешности круга |г| > /?, включая сю (но при этом R^k).
Обратно, каждая такая функция однозначно *) определяет
последовательность fn, которую можно найти одним из следую-
следующих способов.
1) В технической литературе иногда утверждается противоположное. Так,
например, в книге: Т г и х а 1 J. G , Automatic feedback control system synthesis,
MacGraw-Hill, New York, 1955 [имеется русский перевод: Траксел Дж.,
Синтез систем автоматического регулирования. Машгиз, Москва, 1959 (Прим.
перев.)] можно прочитать, что изображению zj(г—1) соответствует не только
последовательность fn = 1, но также последовательность импульсов
Это ошибочное утверждение является следствием отождествления двух раз-
различных преобразований. Правильным будет, согласно соотношению C7.5),
равенство
Следовательно, если в дроби z/(z— 1) заменить переменную z на е8 и резуль-
результат рассматривать как изображение совсем другого С-преобразования, то
величина d* будет оригиналом.

204
3-ПРЕОБРАЗОЁАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
Таблица 37. 1. Соответствия при ^преобразовании
[ГЛ. 8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
F*(z)
Z
z- 1
z
z+ 1
z
(г-О2
2B+1)
(г-IK
z
z— a
z
(z-aY
z
(z-l)*+1
az sin т
z2 — 2аг cos т + а2
z (z — a cos t)
г2 - 2az cos т + а2
z (z — 2a cos t) sin т
z2 — 2az cos т + а2
az shT
г2 - 2az ch т + a2
г(г~аспт)
z2 - 2az ch т + a2
z(z — 2a ch t) sh т
z2 - 2az ch т + a2
z(z-x)
г*-2хг+'\
1
П z— 1
2+1
1
n
«2
/Z
n
/га" l
о
a" sin /гт
a" cos /it
— ал sin (/г— 1) т
a" sh пт
a" ch /zt
i* oil ^'t * / »
У/i (*)= cos (n arc cos x)
(полином Чебышева, ср. с № 9)
/о-a /n—j (и>1)
f о f ^')n г„>п
/0 e 0, /л = ^ (Л ^ 1)
"«Г

§ 37] ПЕРЕХОД К 3-ПРЕОБРАЗОВЛНИЮ 205
Обращение ^-преобразования
1. Согласно формуле для коэффициентов ряда Лорана, мы
имеем
L = ^-- / Г (г) z»-« rfz (n = 0, 1,...), C7.7)
причем интеграл следует взять по окружности радиуса г > R
или по эквивалентной кривой, содержащей внутри себя все осо-
особенности функции F*(z) (см. рис. 37.2 на стр. 203).
Формулу C7.7) можно получить непосредственно, если вме-
вместо F*(z) подставить степенной ряд C7.4) и затем почленно
проинтегрировать его, что допустимо, поскольку этот ряд схо-
сходится равномерно. Так как
при всех v, кроме v = — 1, то остается только один член
все же остальные отпадают.
2. Положив в формуле C7.7) z = ге^, мы получим
^ = ¦? J Г(ге'Ф) e/WP d* (« = 0, 1,...), C7.8)
где fn/rn суть коэффициенты Фурье функции F*(reto).
3. Так как F*(z~{) представляет собой ряд по возрастающим
степеням г, то, согласно формуле Тэйлора, мы имеем
f В1Г^И] (n==0 ! v
4. В практических расчетах F*(z) часто представляет собой
рациональную функцию, т. е. отношение двух многочленов:
F*{z)-P{z)
Q(z) '
где степень многочлена Р(z) равна самое большее степени мно-
многочлена Q(z)y так как функция F*(z) при z = оо должна быть
аналитической. Если разделить многочлен P(z) одним из обыч-
обычных способов на Q{z), то хотя это и не даст общего выражения
для /п, но зато позволит элементарным численным путем опре-
определить сколь угодно большое число значений \п.
5. Еще один способ определения последовательности по
изображению F*(z) дает теорема 39.1.

206 В ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ [ГЛ. 8
§ 38. Правила выполнения операций при ^-преобразовании
Как и при преобразовании Лапласа, так и при 3-преобразо-
вании для приложений важнее всего знать, какие операции в
пространстве изображений соответствуют определенным опера-
операциям над последовательностями-оригиналами, и наоборот. До-
Доказательства приводимых ниже грамматических правил 3-преоб-
разования весьма простые и совершенно элементарные.
Смещение
1. Первая теорема смещения:
kF*(z) при 6 = 0, 1, 2, ..., C8.1)
и при условии, что при п — k < 0 принимается fn-h = 0.
2. Вторая теорема смещения:
при 6=1, 2, ... C8.2)
Составление разностей
Составлению разностей
(m'/J (m=l, 2, ...;
в пространстве оригиналов соответствуют операции
Afno-(z-l)F'(z) -/„г,
AHn^»(z-lJF'(z)-foz(z-l) + AfQz, C8.3)
в пространстве изображений.
Суммирование
,*-Т=Т^(г)- C8.4)
Затухание
a~nfn o-« F* (az) (a ф 0 — произвольное C8.5)
комплексное число).
Дифференцирование изображений
nfn~-z«^. C8.6)

§381 ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ ОПЕРАЦИЙ ПРИ 3-ПРЕОБРАЗОВАНИИ 207
Свертывание и умножение
1. Свертке двух оригиналов-последовательностей соответ-
соответствует умножение изображений
v=0
C8.7)
Это соотношение представляет собой не что иное, как выраже-
выражение произведения двух степенных рядов в смысле Коши. Сумма
в левой части соотношения называется сверткой последователь-
последовательностей fn и gn.
2. Произведению двух оригиналов-последовательностей соот-
соответствует комплексная свертка изображений:
?-. C8.8)
Если радиусы кругов сходимости изображений F* и G* суть со-
соответственно RF и Rg, to правая часть соотношения предста-
представляет собой изображение, определенное для \z\ > RfRg- Инте-
Интеграл следует взять по окружности радиуса г, причем этот ра-
радиус должен удовлетворять условию
(при RG = 0 это условие принимает вид: RF < г < оо). Тогда
вследствие соотношений
изображения F* (?) и G* (~\ будут определены.
Интеграл в правой части соотношения C8.8) называется
комплексной сверткой изображений Т7* и G* потому; что после
подстановок г = е\ ? = еа и с учетом того, что
F* (es) — F (я) G* (es) — G (я)
он принимает вид комплексной свертки в обычном смысле (см.
правило X в § 9), а именно:
Этот интеграл следует взять вдоль вертикального отрезка, про-
простирающегося от In г — /я до 1пг + /я (этот отрезок после пре-
преобразования ? = еа, а^1п? переходит в дугу окружности or
re~jJl до +jt)

208 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ [ГЛ. 8
Для доказательства правильности соответствия C8.8) *)
учтем, что
ч» <?•(!) г1=
п, т=0
причем в последнем ряде вследствие его абсолютной сходимости
можно произвольно переставлять и объединять его члены. Если
проинтегрировать этот ряд вдоль окружности радиуса г почлен-
почленно (что допустимо вследствие его равномерной сходимости), то
исчезнут все члены, за исключением только тех, для которых
т — п—1=—1, т. е. т = п [ср. с доказательством формулы
C7.7)].Эти члены после деления на 2л/ дают сумму
оо
2 fngnZ-"*
которая и является изображением последовательности fngn.
§ 39. Две теоремы о предельных значениях
Для 3"пРе°бразования существуют теоремы, аналогичные
теоремам 32.2 и 32.3, имеющим место для преобразования Лап-
Лапласа.
Теорема 39.1 (теорема о начальном значении). Если изобра-
изображение F*(z) = 3{M существует, то
причем z может стремиться к бесконечности либо вдоль веще-
вещественной оси, либо вдоль произвольного пути, так как функция
F*(z) при z = оо аналитическая.
Из этой теоремы вытекает способ обращения 3-преобразо-
вания (см. § 37). Очевидно, что ряды
и т. д. также представляют собой 3-изображения; поэтому, после
того как начальное значение f0 будет определено на основании
!) Доказательство, имеющееся в книге J u r i E. I., Theory and application
о! the z-transform method, Wiley, New York, 1964, стр. 142—145, 167—168,
в высшей степени трудное и без принятия дополнительных допущений вообще
незаконное,

§ 40] ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ЛИНЕЙНОГО РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ 209
теоремы 39.1, мы получим
И Т. Д.
Теорема 39.2 (теорема о конечном значении). Если \imfn
существует, то
Нт/Я= lim (z-l) F* {г).
10
При помощи этой теоремы можно вычислить lim/n по изоб-
ражению, но только в том случае, когда можно утверждать, что
это предельное значение существует, хотя и остается неизвест-
неизвестным. В самом деле, сформулированная теорема необратима.
Так, например,
следовательно,
Hm (z
z-И+О
существует и равен нулю. Однако lim (— 1)л не существует.
§ 40. Общий случай линейного разностного уравнения
В то время как для решения дифференциальных уравнений
удобным инструментом является преобразование Лапласа, для
решения разностных уравнений более эффективно 3-преобра-
зование.
Линейное разностное уравнение порядка г с постоянными
коэффициентами, содержащее в левой части линейнуйэ комбина-
комбинацию искомой последовательности уп и ее разностей Дг/П, ...
..., Агуп> а в правой части заданную последовательность /п,
можно путем перехода к явным выражениям разностей привести
к виду
Уп+r-l cr-lyn+r-l+ ... +cxyn+l + c$n = fn (n = 0, 1, ...). D0.1)
Коэффициент сг при наивысшей разности уп+г целесообразно
принять, как и в случае дифференциальных уравнений, равным
единице. Для того чтобы решение уравнения D0.1) получилось
вполне определенным, должны быть заданы начальные значения
Уо, У и •••> Уг-ь Тогда, положив в уравнении D0.1) п = 0, мы
сумеем вычислить из него следующее за yr-i значение уг. Далее,
положив в уравнении D0.1) п = 1 и имея значения уи ..., #г,

210 3-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ [ГЛ. 8
мы найдем значение yr+i и т. д. Следовательно, все значения уп
можно вычислить последовательно, поэтому уравнение D0.1)
называется также рекуррентным уравнением. Однако мы пойдем
по другому пути — выведем для уп общую формулу. Проще
всего это сделать при помощи 3-преобразования.
Согласно второй теореме смещения C8.2), разностное урав-
уравнение D0.1) после 3-преобразования переходит в изображаю-
изображающее уравнение
гЧП*)-^-^-1- ... -Уг-^-Сг-О] + ... + с{г[Г{г)-у0] +
где Y*(z) = 3{#n} и F*(z) = 3{fn}- Как и при решении дифферен-
дифференциальных уравнений посредством преобразования Лапласа, так
и теперь в изображающее уравнение входят, а потому автома-
автоматически учитываются начальные значения, что является боль-
большим преимуществом по сравнению с классическим методом ре-
решения разностных уравнений.
Введя обозначение
мы получим решение изображающего уравнения в виде1)
г-1 г
Г & = 775) Г {Z) + tW S У' 2 '***"' & = D. D0.2)
1) Здесь становится ясным, почему при переходе от ^-преобразования
к 8-преобразованию мы ввели подстановку z = es, а не z — e~s, хотя послед-
последняя приводит к ряду
с положительными показателями степени, который на первый взгляд проще
ряда с отрицательными показателями степени. Для такого ряда с положитель-
положительными показателями, который можно было бы назвать преобразованием Тэй-
лора 2{#п}, вторая теорема смещения выражается соотношением
k-\ I
v=0 J
Следовательно, коэффициентом при ц(г) в изображающем уравнении разност-
разностного уравнения будет
z~r + cn^iz"r+l + ... + cxz~x + с0 = р (z~x)>
т. е. не целый многочлен, а дробно-рациональная функция. Из-за этого об-
обстоятельства все расчеты становятся кропотливее, чем при 8-преобразовании,
так как всюду, где при 8-преобразовании получается г, при 4-преобразова-
нии будет получаться г.

§40] ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ЛИНЕЙНОГО РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ 211
Входящие в это решение функции г»/р(г) (jli = 0, 1, ..., г) —
аналитические вне круга, содержащего особенности многочлена,
причем также в бесконечности, следовательно, представляют
собой изображения. Соответствующие им оригиналы-последова-
оригиналы-последовательности изящнее всего определить следующим образом.
В частном случае /п = 0 мы имеем однородное разностное урав-
уравнение
С0уп^09 D0.3)
поэтому F*(z) = 0. Пусть заданы начальные значения
#o = #i= ••• =#r-2 = 0> #r-i = l- D0.4)
Тогда искомой последовательности уп соответствует, согласно
формуле D0.2), изображение
п*)=ш- D0-5)
С другой стороны, искомое решение уп можно определить в яв-
явном виде на основе результатов, полученных для дифферен-
дифференциальных уравнений. В самом деле, положив, как и в § 14,
4t=G(s),
p(s) w>
мы найдем, что в области преобразования Лапласа оригинал
g(t), названный тогда весовой функцией, обладает в соответ-
соответствии с равенствами A4.3) и A4.4) свойствами1):
gV (t) + cr-lg<r-» (t) + ...+ clB' (t) + cog (t) = 0, D0.6)
g @) = g' @) = ... = gr<'-2> @) = 0, gb-1) @) - 1. D0.7)
Если мы продифференцируем уравнение D0.6) п раз и затем
положим t = 0, то получим
= О. D0.8)
Это соотношение означает следующее: если рассматривать
g(n)@) как последовательность, зависящую от индекса п (ины-
(иными словами, мысленно опустить верхний индекс вниз), то эта
последовательность будет удовлетворять разностному уравне-
уравнению D0.3). Далее, равенства D0.7) показывают, что эта после-
последовательность имеет начальные значения D0.4). Так как реше-
решение задачи Коши единственно (это следует из упомянутого выше
рекуррентного характера вычислений), то g"(n)@) есть решение
разностного уравнения D0.3) с начальными условиями D0.4),
причем относительно этого решения мы знаем, что ему
1) Раньше мы обозначали порядок уравнения через п. Теперь мы приме-
применяем букву г, так как в исчислении конечных разностей буква п используется
в качестве индекса для последовательностей.

212 3-ПРЕОБРЛЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ [ГЛ. 8
соответствует изображение D0.5). Следовательно, при 3-преоб-
3-преобразовании имеет место соответствие
-rfa—*8{n)@). D0.9)
Эта на первый взгляд, может быть, непривычная форма ори-
оригинала-последовательности обладает большим преимуществом:
она имеет совершенно общий характер и совершенно не зависит
от того, являются ли все нули многочлена p(z) разными или же
среди них встречаются кратные. К этому обстоятельству мы вер-
вернемся в следующем параграфе.
Для обратного перевода решения D0.2) изображающего
уравнения в пространство оригиналов необходимо найти ориги-
оригиналы-последовательности, соответствующие изображениям
\/р(г) и z^lp(z) (jli = 1, ..., г). Согласно первой теореме сме-
смещения C8.1), мы имеем
т**-1 ir®-***-"®' D0Л0>
при условии если при //— 1 <0 принять ^п"*)@) = 0, т.е. по-
положить g^1>@) = 0. Далее, согласно второй теореме смещения
C8.2),
[Ц-2
¦^y~S ^(v)(O)e~v L-og0.+»i-i)@) 0г = 2, 3, ... г).
Так как O^v-^Cjx — 2^г — 2, то на основании равенств D0.7)
все g(v)@) = 0, следовательно,
J
причем прежде всего при ц = 2, ..., г, но затем на основании
соответствия D0.9) также при jut = 1 э а на основании соответ-
соответствия D0.10) также при \i = 0, если принять, что g(-1)@) = 0.
Таким образом,
>@) при |х —0э 1, ...,г (g(-i>@) = 0). D0.11)
Применив к первому члену изображения D0.2) теорему свер-
свертывания [соответствие C8.7)], мы получим
v-0
Однако суммирование следует вести только от индекса v = г до
п, так как g'(-i)@) = 0 и, кроме того, на основании равенств
D0.7) g(v-i)(o) = 0 при v = 1, ..., г— 1: при п = 0, 1, ..., г— 1

или, если положить k — i— 1 = /,
$ 40] ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ЛИНЕЙНОГО РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ 213
указанная сумма равна нулю. Окончательно обратный перевод
решения D0.2) изображающего уравнения в пространство ори-
оригиналов приводит к результату1)
2
i
D0.12)
Если нули многочлена p(z) известны, то функцию g(t) =
= i~*{lfp(s)} можно вычислить одним из способов, указанных
в § 12. Если все нули аь ..., аг различные, следовательно, про-
простые, то, согласно формуле A2.9),
¦eV,
поэтому
В этом случае решение имеет вид
D0.13)
Первая часть этой формулы дает решение неоднородного раз-
разностного уравнения, если все начальные значения равны нулю,
т. е. когда система, описываемая разностным уравнением, вы-
выходит из состояния равновесия под влиянием внешнего воздей-
воздействия. Вторая часть формулы дает решение однородного разно-
разностного уравнения, когда система, не подверженная внешним
воздействиям, при каких-то начальных значениях свободно пре-
предоставляется самой себе. В этом случае решение уп представ-
представляет собой линейную комбинацию «собственных решений» а"
В то время как в случае дифференциальных уравнений вопрос
об асимптотическом поведении собственных колебаний при
t -> оо решает вещественная часть величины ад, в случае
*) Сравнив эту формулу с формулами A2.10) и A4.6), мы увидим, что
последовательность g(n)@) играет для разностного уравнения такую же роль,
какую функция g(t) для соответствующего дифференциального уравнения.

214 ^ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ [ГЛ. 8
разностных уравнений эту роль играет абсолютное значение вели-
величины «д. В самом деле а* при я-*оо либо стремится к нулю,
либо стремится к бесконечности, либо колеблется в зависимости
от того, будет ли |а^|< 1 или > 1 или = 1.
§ 41. Разностное уравнение второго порядка
На практике приходится иметь дело чаще всего с разност-
разностными уравнениями второю порядка, т. е. со случаем г = 2. По-
Поэтому выполним решение для этого случая еще раз, и при этом
полностью. Для перевода изображения в последовательность-
оригинал используем способ разложения на простейшие дроби.
Этот способ применим и к разностным уравнениям более высо-
высоких порядков, однако тогда необходимо особо рассматривать
случай, когда многочлен p(z) имеет кратные нули. Кроме того,
этот способ покажется некоторым читателям более легким, чем
способ, изложенный в предыдущем параграфе.
Разностное уравнение второго порядка имеет вид
Уп+2 + схуп+{ + соуп = /„. D1 Л)
В качестве начальных значений пусть заданы у0 и у{. Изобра-
Изображающим уравнением на основании второй теоремы смещения
будет
z2 [Г (г) - у0 - y{z^\ + схг [Г (г) - у0] + c0Y* (г) = Г (г).
Введя для сокращения записи обозначение
мы получим в качестве решения изображающего уравнения
г &-Шг B) + ^?Й+ "D1
Пусть
и пусть ни один из нулей а4 и аг не равен нулю, так как иначе
было бы с0 = 0, и уравнение D1.1) свелось бы к уравнению пер-
первого порядка для уп+1. Выполним разложение на простейшие
дроби сначала для множителя при уи Мы получим
Р(г)

г 41]
РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
215
Согласно таблице 37.1, № 5 и 6, мы имеем
х? — а?
при
-a2
при а! = а2
D1.3)
Так как <7о = 0, то на основании второй теоремы смещения
C8.2)
а на основании первой теоремы смещения C8.1)
ш=г~хш^С1п-ь D1-5)
при условии что 9-i принимается равным нулю. Тогда на осно-
основании теоремы свертывания C8.7) оригиналом-последователь-
оригиналом-последовательностью для изображения D1.2) будет
v=0
v-Jn-v + Уо (Яп
qn) + yxqn.
D1.6)
Так как q-i = qo = 0, то суммирование в действительности сле-
следует произвести только от индекса v = 2 до п. При п = 0 и п = 1
эта сумма равна нулю. В раскрытом виде решение D1.6) при
ai ф яг имеет вид
V-2
Если учесть, что d = —(ai + аг) и aia2 = Со, то для случая,
когда ai =^= аг, вместо этой формулы мы получим более простую:
п
v«=2
Аналогичным
V
~v a,-
образом
п
~2
«Г1
i/j 0
0&2
для cci = a
-.к--.
М~~ 1 ft ~
Uj 1*2
а,-ая
,2 найдем
Г С/7 — П
-1
о»
^ О,-О,
-2+(/1Шп-1
D1.7)
D1.8)
В случае разностного уравнения второго порядка обратное
преобразование решения из пространства изображений в про-
пространство оригиналок можно осуществить, не прибегая к разло-
разложению на простейшие дроби [так же, как это было сделано для

216
3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
[ГЛ.8
дифференциального уравнения второго порядка, см. формулы
A1.6) — A1.9)]. При этом, однако, нет смысла рассматривать
случай cti = 0С2, имеющий место при с0 —с2/4 = 0, так как он не
допускает дальнейшего упрощения формулы D1.8). Предполо-
Предположим, что аФО и shx=?0, и воспользуемся соответствиями №11
и 13 из таблицы 37.1, которые перепишем в следующем виде:
д" shT" Г41 <))
п sh т ' ^[*>
• од"
п
z(z-2achx)
+ a2 п sh т ' ^l.lUj
На основании второй теоремы смещения C8.2) из соответствия
D1.9), если его правую часть при п = О положить равной нулю,
получаем
* h(l)
sh т
[при п = 1 правая часть соответствия D1.9) сама собой равна
нулю]. Знаменатели в соответствиях D1.10) и D1.11) совпадут
с многочленом p{z), если положить
-2achT = ??lf a2 = c0. D1.12)
Тогда мы будем иметь
С
-~- ==а2A -
= —a2sh2r.
Так как с0—
ФО (случай а\фа2), то также shx^O, по-
поэтому формулы D1.7) — D1.9) имеют смысл. Теперь решению
D1.2) изображающего уравнения соответствует в пространстве
оригиналов последовательность
Уп
1
sht
f П
-~УФп
sh
ы
т
1)
n"!sh
хп
}
D1.13)
причем а и т в соответствии с равенством D1.12) должны быть
выражены через коэффициенты с0 и с{. Формула D1.13) более
удобна для численных расчетов, чем формула D1.6), особенно
в тех случаях, когда коэффициенты с0 и с{ суть комплексные
числа, что может иметь место, например, в случае задачи, ко-
которой посвящен § 42. Гиперболические функции табулированы
также для комплексных аргументов.
Соответствия D1.9)—D1.11) применимы также для разно-
разностных уравнений с порядком выше второго, если при разложе-

§ 42] КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ РАЗНОСТНОГО УР-НИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 217
нии на простейшие дроби кроме линейных знаменателей полу-
получаются также квадратичные знаменатели, как это имеет место,
например, при объединении сопряженных комплексных линей-
линейных множителей многочлена p(z) в один квадратичный множи-
множитель.
§ 42. Краевая задача для разностного уравнения
второго порядка
В приложениях часто бывает, что значения неизвестной по-
последовательности уп, определяемой разностным уравнением,
требуются не для всех я^О, а только для конечного числа ин-
индексов 0 ^ ti^Z N. В таких случаях, для того чтобы сделать
решение разностного уравнения определенным, обычно задают
не начальные значения, а другие. В наиболее часто встречаю-
встречающемся случае, когда порядок разностного уравнения равен
двум, задают, как правило, два значения у0 и yNy т. е. гранич-
граничные значения, вследствие чего рассматриваемая задача реше-
решения разностного уравнения называется краевой задачей. Од-
Однако могут быть и другие возможности; например, в теории
цепочных схем, составленных из четырехполюсников, иногда
задается линейное соотношение между у0 и */i и такое же соот-
соотношение между yN-i и yN.
Рассмотрим следующую задачу. Дано разностное уравнение
второго порядка
Уп+2 + С\Уп + \ + СоУп = fn D2.1)
и два граничных значения уо и yN (конечно, должно быть
N ^ 2). Будем считать, что нули ai и аг многочлена
р (z) = z2 + cxz + cQ
различные (случай одинаковых нулей проще, и на нем мы не
будем останавливаться). Для решения этой задачи не тре-
требуется каких-либо новых приемов, достаточно использовать об-
общее решение D1.7) задачи Коши, которое для случая cci ф ссг
принимает вид
п v_j ^ v_j
а? — а? а!} — п1}
с,-а,
В это решение мы должны ввести вместо неизвестного значения
*/i заданное значение yN. Для этого подставим в равенство
D2.2) n — N. Тогда мы получим соотношение между */о, */i и ук,

218 3-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
из которого определим у\ в зависимости от уо и уя\
[ГЛ. 8
Внеся это значение z/i в формулу D2.2), мы будем иметь
а,
1
' Л
1
1
-а2
1
Т N
2
п
::_
<-
-{Уо
а2
(afo
yv
?(«! «2 ) AT-V +
D2.3)
Это решение справедливо прежде всего для 2 ^ п ^с; yv, однако
правильный результат получится также для л = 0 и /г = 1, если
только первую сумму для д = 0 и п = 1 заменить нулем.
Конечно, полученное решение имеет смысл только в том слу-
случае, если
а"-о"Ф 0.
Если заданная длина промежутка N так связана с постоян-
постоянными, входящими в разностное уравнение, что а^~ а^ = 0, то
рассматриваемая краевая задача в общем случае не имеет ре-
решения. В этом случае в полной аналогии с известными соот-
соотношениями, получающимися при решении дифференциальных
уравнений, появляются собственные значения и собственные
решения, которые представляют интерес также для практики,
но на которых здесь мы не имеем возможности останавли-
останавливаться.
§ 43. Система совместных разностных уравнений
с начальными или граничными условиями (цепочная схема)
Предварительное замечание
Продолжим исследование электрических цепей, начатое
в § 20. Там мы рассмотрели сначала отдельный контур и соста-
составили интегро-дифференциальное уравнение B0.1) для опреде-
определения тока /(/), вызванного включением напряжения e(t) со-

§43] СИСТЕМА СОВМЕСТНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 219
вершенно произвольного вида. Для связи между изображе-
изображениями E(s) и /(s) мы получили линейное алгебраическое
уравнение B0.3). При расчетах переменного тока методом
комплексных амплитуд ограничиваются специальным случаем
переменного напряжения e(t) =Ее№ и принимают, что такое
напряжение вызывает переменный ток с той же частотой, т. е.
полагают, что /(/) = /е^' (здесь Е и / суть комплексные по-
постоянные, определяющие амплитуду и начальную фазу). Строго
говоря, это возможно только для установившегося состояния
(—оо</<+оо).В том же случае, когда происходит вклю-
включение напряжения, т. е. когда возникает переходный процесс
@-С/<оо), установившееся состояние достигается только
спустя достаточно длительный промежуток времени (выра-
(выражаясь математически, включение напряжения вызывает асимп-
асимптотическое поведение, см. в связи с этим § 13).
Продифференцировав уравнение B0.1) по /, мы получим
Подставив сюда i(t) = Ie^f и e(t) = Е е^\ будем иметь1)
(/соJ + /?/© + -i-) ef«* = ?/юе'ю\
или
( )-Е. D3.1)
Введя импеданс Z(s)y определенный равенством B0.2), мы при-
приведем это уравнение к виду
Z (/©)/ = ?, D3.2)
где
^ D3.3)
Уравнение D3.2) формально совпадает с уравнением B0.3),
связывающим между собой 8-изображения I(s) и E(s) произ-
произвольного тока /(/) и произвольного напряжения e(t), т. е. таких
тока и напряжения, которые выражаются функциями общего
вида. Только теперь в уравнение вместо I(s) и E(s) входят по-
постоянные / и ?, которые принято называть комплексными током
и напряжением, а вместо импеданса Z(s) общего вида —его
!) Если мы подставили бы e(t) = Ee^ непосредственно в уравнение
t
B0.1), то получили бы в нем расходящийся интеграл

220 3-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ [ГЛ. 8
специальное значение Z(/(o). В случае тока i(t) общего вида
мы должны были от изображения I(s) = E(s)/Z(s) перейти
к оригиналу /(/). Теперь же при расчете переменного тока ме-
методом комплексных амплитуд вычисления заканчиваются на со-
составлении уравнения D3.2), так как единственной неизвестной
является комплексная постоянная /, которая зависит от частоты
о и для которой из уравнения D3.2) получается значение
Z (/со) '
Метод комплексных амплитуд может быть распространен
на электрические цепи типа, рассмотренного в § 20. Только те-
теперь за напряжение в v-м контуре следует принять не про-
произвольную функцию ev(t), а функцию специального вида
ev(t) = ?уе*°'э следовательно, частота во всех контурах будет
одинаковая. В установившемся состоянии токи в контурах будут
представлять собой колебания с одной и той же частотой, т. е.
будут выражаться функциями вида /v(/) = /vej@*. Легко видеть,
что при подстановке этих выражений для тока и напряжения
в интегро-дифференциальные уравнения электрической цепи по-
получается система линейных алгебраических уравнений, которая
формально совпадает с системой B0.4), полученной для 8-изо-
бражений токов и напряжений произвольного вида. В самом
деле, теперь мы имеем
= E >
D3.4)
Поэтому все, что было сказано в § 20 в связи с уравнениями
B0.4) —B0.8), можно перенести на комплексные напряжения
и комплексные токи. Решение системы уравнений D3.4) пол-
полностью решает задачу описания поведения электрической цепи,
находящейся, при наличии в ней синусоидальных колебаний
одинаковой частоты, в установившемся состоянии1).
1) Некоторые авторы, выступающие в технической литературе и выну-
вынужденные с целью более глубокого проникновения в исследуемые ими задачи
прибегать к преобразованию Лапласа, тем не менее используют, в силу ста-
старых привычек, в качестве возбуждения не произвольные функции, а функцию
ег0)' (в технике это называют «спектральным подходом») и рассматривают
уравнения B0.3) и B0.4), в которые входит переменная s, только как «фор-
«формальное обобщение» уравнений D3.2) и D3.4), содержащих вместо s вели-
величину /оз. Другие авторы идут еще дальше, а именно переносят уравнения
D3.2) и D3.4) в комплексную плоскость s, делая это весьма «просто»: без
достаточной мотивировки и не применяя преобразования Лапласа, заменяют
в уравнениях D3.2) и D3.4) чисто мнимую переменную /со комплексной пере-
переменной s, а затем, чтобы сделать эту не особенно приятную для них ком-
комплексную переменную более привлекательной для инженера, дают ей хорошо
звучащее, но бессмысленное название «комплексной частоты». Такие некоррект-

§43]
СИСТЕМА СОВМЕСТНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
221
Мы начали с этого предварительного замечания потому, что
в этом параграфе мы рассмотрим специальный вид электриче-
электрической цепи, исследование которой выполняется особенно просто
методом комплексных амплитуд. При этом мы используем из-
изложенную выше теорию разностных уравнений.
Цепочной схемой называется электрическая цепь, в которой
все контуры (за исключением, быть может, первого и послед-
последнего) имеют одинаковую структуру и расположены один за дру-
другим так, что каждый предшествующий имеет общую ветвь с по-
последующим (рис. 43.1). У каждого из контуров, образующих
г, z, z,
Рис. 43.1. Цепочная схема из Т-образных четырехполюсников.
такую цепочную схему, в верхней продольной ветви имеется по
два одинаковых импеданса Zb а в поперечной ветви — один
импеданс Z2; нижняя продольная ветвь импедансов не содержит.
Нашей целью является определение только установившегося
состояния цепочной схемы: поэтому для вычислений мы можем
ности объясняются, очевидно, тем, что требуется некоторое время, прежде
чем новые, улучшенные представления вытеснят старые, неточные, но ставшие
привычными представления. До тех пор пока преобразование Лапласа не
было введено в электротехнику, при расчете электрических цепей не остава-
оставалось иного выхода, как пользоваться возбуждениями и откликами на них
только вида е/с^. Между тем преобразование Лапласа позволяет с самого
начала рассматривать совершенно произвольные возбуждения и отклики и
дает возможность получать полное решение, охватывающее как переходный
процесс, так и установившееся состояние. Однако роль преобразования Лап-
Лапласа на этом не заканчивается: оно позволяет выявлять глубокие свойства
часто весьма сложных решений по значительно более простым 8 -изображе-
-изображениям этих решений (в гл. 6 и 7 мы познакомились с примерами такого вы-
выявления свойств оригинала по изображению) Метод комплексных амплитуд,
применяемый при расчете переменного тока, является составной частью тео-
теории преобразования Лапласа и находит в последней свое обоснование (см.
§ 13). Если возбуждения изменяются синусообразно и при этом все имеют
одинаковую частоту, то метод комплексных амплитуд дает некоторую часть
точного решения, получаемого при помощи преобразования Лапласа, именно
ту часть точного решения, которая определяет асимптотическое поведение рас-
рассматриваемой системы, или, выражаясь языком техники, ее установившееся
состояние. Однако все это справедливо только при условии, что нули много-
многочлена \/G(s) [в случае системы уравнений — нули определителя B0.5)] имеют
отрицательные вещественные части. Если рассматривается только переменный
ток и определяется только установившееся состояние, то при сделанном пред-
предположении относительно нулей можно спокойно применять метод комплексных
амплитуд, поскольку он сокращает вычислительную работу.

<¦
222 Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ [ГЛ. 8
применить метод комплексных амплитуд. Мы могли бы вос-
воспользоваться уравнениями D3.4), составленными для электри-
электрической цепи. Однако для упрощения вычислений заменим
контуры, образующие цепочную схему, так называемыми Т-образ-
Т-образными четырехполюсниками (рис. 43.2). При этом для еще боль-
большего упрощения вычислений целесообразно
Z7 z1 дополнить начало и конец цепочной схемы
о-н i—|—I |-о до полных Т-образных четырехполюсников,
вследствие чего там окажется только по
половине контура. Число четырехполюсни-
четырехполюсников пусть равно N, текущий номер четы-
четырехполюсника будем обозначать буквой п.
Пусть комплексное напряжение на выходе
из n-го четырехполюсника и, следователь-
Рис. 43.2. Т-образный но> одновременно на входе в (п + 1)-й
четырехполюсник. четырехполюсник равно Еп, а соответствую-
соответствующий комплексный ток пусть равен /п.
Приняв во внимание направления контурных токов, отмеченные
на рис. 43.1 стрелками, мы получим для левой и правой поло-
половины (п + 1)-го четырехполюсника следующие уравнения Кирх-
Кирхгофа:
(Z{ + Z2)rn -Z2In+{ = En, \
7 Г G + 7W F (/1 = 0, 1,..., tf-1). D3.5)
Таким образом, мы имеем 2N линейных уравнения, связываю-
связывающих между собой 2N 4- 2 величины /0, ..., /„, ?0, ..., Еп. Если
две из этих величин заданы, то остальные 2N величии могут
быть вычислены.
Вместо того чтобы выполнить такое решение обычным прие-
приемом при помощи определителей, поступим следующим образом:
будем рассматривать оба уравнения D3.5), справедливые для
любого индекса п — 0, 1, ..., JV— 1, как систему двух разност-
разностных уравнений первого порядка с двумя неизвестными последо-
последовательностями Еп и /п, причем будем различать две возможные
постановки задачи решения этой системы, а именно задачу
Коши и краевую задачу.
1. Задачи Коши
Так как оба уравнения системы D3.5) первого порядка, то
для каждой неизвестной необходимо задать одно начальное
значение, в нашем случае Ео и /0. Задача Коши соответствует
следующей технической задаче: заданы напряжение и ток на
входе цепочной схемы, требуется найти напряжение и ток на
выходе из произвольного контура цепочной схемы.

f 43]
СИСТЕМА СОВМЕСТНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
223
Обозначим 3-из°бражения последовательностей Еп, К че-
через ?*(г), /*(г) и применим к уравнениям D3.5) вторую тео-
теорему смещения C8.2); мы получим
(Z, + Z2) Г (z) - Z2z [Г (z) - /0] = Е* (z),
Z2V (z) - (Z{ + Z2) z [Г (z) - /0] = z [?• (z) - ?0],
или
?* (г) - (Z, + Z2 - Z2z) /* (г) = /0Z22:, 1
-I (Z +Z)z J ^ '
zE* (z) - (Z2 - (Z, + Z2) г) Г (г) =
Определитель этой системы уравнений, линейной относительно
?* и /*, равен
/)(г) = - [Z2-{Z{ + Z2)z] + (Z{ + Z2-Z2z)z =
- - Z2z2 + 2 (Z, + Z2) г - Z2. D3.7)
Для того чтобы коэффициент при старшем члене это определи-
определителя в дальнейшем был равен единице, разделим при вычисле-
вычислении ?* и /* числитель и знаменатель на —Z2. В результате мы
получим
_2(Jl+1)
2+1
Г (г)'
D3.8)
Так же, как и в § 41, введем величину т посредством соотношения
= 4*-+1. D3.9)
Тогда, воспользовавшись соответствиями № 11 и 12 из табли-
таблицы 37.1 (положив в них а=1), найдем последовательность-
оригинал
отвечающую изображению E*(z). Множитель при —/0 можно
преобразовать следующим образом:
Таким образом, окончательно для Еп и 1п мы получим
Еп = ? ch TAi — /0Z2 sh т sh хп,
1 sh
D3.10)

224 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ [ГЛ. 8
Вряд ли можно было бы вывести эти изящные формулы реше-
решением системы 2N уравнений D3.5) при помощи определителей.
В формулах D3.10) букву п можно рассматривать либо как
текущий индекс, либо как индекс N последнею контура цепоч-
цепочной схемы. В последнем случае Еп и 1п будут представлять со-
собой комплексное напряжение на выходе и комплексный ток на
выходе. Формулы D3.10) удобны для численных расчетов. Ве-
Величины Zx = Z1(/co) и Z2 = Z2(/(o) суть комплексные числа, сле-
следовательно, т также представляет собой комплексное число. Для
гиперболических функций комплексного аргумента существуют
подробные таблицы.
Отметим, что определитель системы уравнений D3.10)
ch xn — Z2 sh т sh xn
sh xn
chw
= ch2 xn — sh2 xn
Z2 sh т
равен единице. Этим свойством обладают все пассивные четы-
четырехполюсники.
Как было отмечено выше, решения D3.10) относятся к слу-
случаю, когда входное напряжение и входной ток изменяются по
закону синуса и отыскивается только установившееся состояние.
Если же рассматривается цепочная схема (первоначально на-
находящаяся в состоянии покоя) с произвольными входными на-
напряжением и током и требуется найти полное решение (вклю-
(включая и переходной процесс), то в формулах D3.10) следует за-
заменить Еп, Iny Zi(/a>), Z2(j(u) на En(s), In(s), Zx(s), Z2(s) и для
полученных таким путем функций s определить последователь-
последовательности-оригиналы посредством преобразования Лапласа.
II. Краевая задача
Предположим, что цепочная схема состоит из N четырехпо-
четырехполюсников, причем N есть фиксированное число. Пусть теперь
заданы не начальные значения, а для одной переменной — на-
начальное значение и для нее же или другой переменной — конеч-
конечное значение. Другими словами, пусть заданы два граничных
значения, например Ео и EN или Ео и IN. Ограничимся рассмот-
рассмотрением технически наиболее важного случая, когда правое гра-
граничное значение равно нулю.
Первый подслучай: Ео произвольное, EN = 0.
Это означает, что цепочная схема на выходе коротко замк-
замкнута. Используем формулы D3.10), в которых для сокращения
записи положим
Z2shr= W (волновое сопротивление).

§ 44] ПОЛУЧЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ 225
Для того чтобы исключить из этих формул неизвестное значе-
значение /0, подставим в первую формулу п = N и EN = 0; мы по-
получим
O = EochNx-IoWshNx.
Отсюда найдем
I F
У°~ ^° WshNx »
и формулы D3.10) примут вид
п г, , с ch Nx 1 п sh (jV — п) х
chNx и г? ch W-n)i
D3.11)
Второй подслучай: Ео произвольное, IN = 0.
Это означает, что цепочная схема на выходе разомкнута.
Подставив во вторую из формул D3.10) n = N и IN = 0, мы
получим
0= - Eo-^rshNx + IochNx,
откуда
Внеся это значение в формулы D3.10), мы будем иметь
о nil г. sh ЛЧ i n ch (N — n) т
EQ = Eochnx- EQWJfFsbnT = EQ—-^—,
1 . . n shNx
§ 44. Получение последовательности при помощи
импульсного элемента. Исследование прерывных
процессов посредством 8- и 3~пРе°бразований
В некоторых областях техники в последние десятилетия по-
получили большое значение прерывные процессы. При таких про-
процессах проявляют себя только некоторые дискретные значения
функции времени, а не все ее поведение в целом, следовательно,
вместо функций приходится рассматривать последовательности.
Для исследования этих процессов 3-пРе°бразование играет та-
такую же роль, как 2-преобразование для исследования непре-
непрерывных процессов.
На практике дискретные значения функций получаются при
помощи так называемого импульсного элемента.
8 Г. Деч

226
3-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
[ГЛ. 8
Импульсный элемент представляет собой приспособление,
преобразующее непрерывную входную функцию f{t) в ступен-
ступенчатую функцию следующим образом: значения функции /(/)
отсчитываются в дискретные моменты времени пТ (п = 0, 1,...),
т. е. периодически, умножаются на постоянную величину k
(усиливаются) и затем каждое отсчитанное значение удержи-
удерживается на постоянном уровне в течение промежутка времени О
<). В оставшиеся промежутки времени функция f(t)
67
/ft)
27 ЗТ
S7 67
Рис. 44.1. Преобразование непрерывной функ-
функции в ступенчатую посредством периодиче-
периодического импульсного элемента.
не отсчитывается совсем, т. е. принимается равной нулю. Сле-
Следовательно, выходной функцией импульсного элемента является
ступенчатая функция (рис. 44.1)
/(')¦
kf(nT)
О
при
при
D4.1)
(при #= Т вторая строка делается излишней). Величина Т на-
называется периодом повторения импульсов, Ъ — длительностью
импульса и k — коэффициентом усиления импульсного элемента.
Если ввести в рассмотрение функцию единичного скачка ы (t)t
то ступенчатую функцию f(t) можно представить в виде
Г@ « * S / (пТ) [и (t -nT)-u{t-nT- О)]. D4.2)
п—о

§ 44] ПОЛУЧЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ 227
Применив к этой функции преобразование Лапласа, мы получим
1=0 пТ
wi'j
следовательно,
оо
' - ° s ^ -птзш D4.3)
При k = I, Г = 1 и О = 1 ступенчатая функция /(/) имеет вид,
изображенный на рис. 37.1.
Площадь, ограниченная ступенчатой функцией f(t) и осью t,
состоит из последовательности прямоугольников. Если k и О вы-
выбраны так, что &Ф = 1, то площадь отдельного прямоугольника
равна
следовательно, в этом случае отсчитанное импульсным элемен-
элементом значение f(nT) можно рассматривать как площадь ступени.
Такое представление окажется очень удобным для понимания
дальнейшего.
На практике обычно выбирают длительность импульса О ма-
малой, а коэффициент усиления k большим. Для того чтобы сде-
сделать математическое исследование не зависящим от специаль-
специального выбора значений Ь и k, идеализируют соотношения, возни-
возникающие вследствие такого выбора значений -0 и kf посредством
предельного перехода Ф-^0, следовательно, &->оо. Тогда функ-
функция lim/@> получающаяся в результате этого предельного пе-
перехода, будет равна оо при значениях аргумента пТ и нулю при
всех остальных значениях аргумента, однако при этом площадь
отдельных прямоугольников в окрестности точек t = пТ должна
сохранять свое прежнее значение f(nT), или на языке матема-
математики: интеграл от предельной функции при переходе через зна-
значения пТ должен изменятся скачкообразно на значение f(nT).
Следовательно, функция \imf(t) совпадает с введенным в § 37
распределением /*@> получающимся в результате модулиро-
модулирования последовательности импульсов
л-0

228 3-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ [ГЛ. 8
функцией f(t) (в § 37 было Т = 1), т. е.
Иго 7(t) = r(t) = f(t)Ii6(t-nT)=%f{nT)b(t-nT). D4.4)
Осуществление предельного перехода Ф->0, ?->оо можно
рассматривать как математическое описание физического про-
процесса, посредством которого от функции f(t) в моменты вре-
времени пТ берутся мгновенные отсчеты («выборки»).
2-изображение распределения f*(t), согласно формуле A8)
Добавления, равно
мы получим
2{f @} =
а в виду,
2ПпТ)е
л-0
ЧТО
3{/(«7
2{Г@)
-пГв-3{/(яГ)}г.ег„
)W(z),
= F*(ers)
D4.5)
D4.6)
D4.7)
Это же соотношение можно вывести из равенства D4.3) пу-
путем предельного перехода. Так как k'b = 1 и
то
оо
limg{f(/)}= HmF(s)= 2 f (пТ) e~nTs = F* (eTs). D4.8)
Из соотношений D4.7) и D4.8) следует, что
lim 2 {/"(/)} = 2 {/*(/)}• D4.9)
0>0
Этот результат имеет важное значение для того случая, когда
непрерывная физическая система должна приводиться в дей-
действие путем подачи дискретных значений f(nT), создаваемых
импульсным элементом. Так как для расчета процессов, проис-
происходящих на выходе та'кои физической системы необходимо при-
применять преобразование Лапласа, то такому же преобразованию
следует подвергать и входные функции. Между тем на вход си-
системы поступают не функции, а дискретные последовательности,
применять к которым преобразование Лапласа бессмысленно.
Эту дилемму можно разрешить следующим путем. Заменяют
последовательность f(nT) сначала ступенчатой функцией f(t),
причем такой, для которой^&в1 = 1, и составляют й-изображение
этой функции, т.е. 2{f} = F{s). Для того чтобы вновь вернуться

§ 44] ПОЛУЧЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ 229
к последовательности, совершают предельный переход lim/ =
= /* и такой же переход по формуле D4.9) от lim 2{/} к 8{f*}.
Это сводится к тому, что последовательность f(nT) в целях воз-
возможности применения преобразования Лапласа заменяется рас-
распределением f(nT)8(t — пТ) 1).
После появления импульсной техники слово импульс приоб-
приобрело, к сожалению, двойной смысл. Во-первых, это слово уже
давне используется для бесконечно сильного удара, длящегося
бесконечно малый промежуток
времени, т. е. для явления,
описываемого распределением
б(/ — пТ). В этом смысле
слово импульс применялось Хе-
висайдом. Во-вторых, в настоя-
настоящее время под словом импульс
стали понимать явление, при
котором какое-то значение
функции отсчитывается и затем
удерживается неизменным в
течение конечного промежутка
времени О. Такой импульс на-
называют иногда прямоугольным импульсом. В последнее время
рассматривают также случай, когда отсчитанное значение функ-
функции f(nT) в течение промежутка времени f} не остается по-
постоянным, а изменяется по закону, определяемому некоторой
функцией г|)(/ — пТ) (рис. 44.2). Для того чтобы отличать один
от другого оба смысла слова импульс, можно импульс, для-
длящийся бесконечно малый промежуток времени, называть мгно-
мгновенным импульсом, а импульс, длящийся конечный промежуток
времени, — длительным импульсом (в американской литературе
длительный импульс называют пульсом, мгновенный импульс —
просто импульсом2)).
Импульсный элемент, создающий мгновенные импульсы, про-
прообразует входную функцию f(t) в выходную функцию f*(t).
Импульсный же элемент, создающий длительные прямоуголь-
прямоугольные импульсы, преобразует входную функцию f{t) в выходную
функцию f(t). Выясним, как связаны между собой функ-
функции f*(t) и f(t). В пространстве изображений эта связь очень
Рис. 44.2. Длительный импульс не-
непрямоугольной формы.
1) В основе этой операции лежит перемена местами предельного перехода
и интеграла Лапласа: _ __
8 {Mm ПО) = lim 8 [f (/)}.
Эта замена, которая в рамках классического анализа бессмыслена, так как
f(t) не является обычной функцией, в теории распределений становится за-
законной.
2) Автор также пользуется этой терминологией, одца&а мы сочли, более
целесообразным сохранить прежнюю терминологию. (Прш* i

230 В ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ [ГЛ. 8
простая, а именно:
1-е"»'
Г(еГ5). D4.10)
S
Множитель при изображении F*(eTs), т. е. величину
D4.11)
можно понимать как передаточную функцию Gfl(s) цепи, вклю-
включенной между входом /*(/) и выходом f(t) (см. блок-схему на
Импульс-
Импульсный
элемент
F*(ers)
s
Фиксирующая цель
F(s)
Рис. 44.3. Преобразование мгновенного им-
импульса в длительный импульс.
рис. 44.3). Так как эта цепь в течение промежутка времени Ф со-
сохраняет неизменным значение функции f(nT), даваемое функ-
функцией /*@> то она называется фиксирующей цепью или удлини-
удлинителем импульсов. Оригиналом, соответствующим изображе-
изображению Gfiis), является весовая функция g$(t) цепи, определяемая
формулой
•-k[u(t)-u(t-Q)]. D4.12)
График этой функции изображен на рис. 44.4. Применив теперь
теорему свертывания для преобразования Лапласа, мы найдем
искомую связь между функциями /
и /* в виде соотношения
5?«@*Г@- D4.13)
Если вычислить интеграл, выражаю-
0 д щий свертку, в явном виде, то для
Рис. 44.4. Весовая функция Н1) получится ранее выведенная
фиксирующей цепи. формула D4.2). Изображение G$(s)
не является дробно-рациональной
функцией, поэтому удлинитель импульсов может быть реали-
реализован посредством электрической цепи только прибли-
приближенно.
Так как функция f*(t) однозначно определяется функцией/ (/)
(но не наоборот), то должна существовать также возможность
для вычисления изображения %{f*(t)} = F* (eTs) по изображе-
изображению %{f{t)} = F(s). Прежде чем выполнить это вычисление,
сделаем еще один шаг в отношении мгновенных отсчетов зна-
значений функции f{t), а именно произведем эти мгновенные от-

§44] ПОЛУЧЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ 231
счеты не только в моменты времени пТ, но и в промежуточные
равноотстоящие один от другого моменты пТ + т, где т имеет
фиксированное значение, причем 0Кх< Т. Каждое фиксирован-
фиксированное значение т дает последовательность f (пТ + т), а совокуп-
совокупность этих последовательностей при переменном т дает все зна-
значения функции f(t). Последовательности f(nT + x) соответствует
3-изображение 1)
Для функций
S ( %)z~\ D4.14)
л-0
-изображениями будут
определенных допущениях имеют место следующие соот*
ношения:
D4.15)
D4.16)
В литературе можно встретить различные выводы этих фор-
формул. Однако в большей части случаев не оговариваются уело*
вия, при которых эти выводы возможны. В некоторых же слу*
чаях предлагаемые выводы математически просто бессмысленны.
1) Некоторые авторы называют изображение F*(z,t) «модифицированным
8-изображением» (см., например, цитированную в сноске на стр. 208 книгу
Э. Джури), причем вместо т используют величину (т—1)Г @<т<1),
Так как F*(z, т) есть не что иное, как настоящее 3 -изображение последова-
последовательности f(nT -f т), то указанное выше название имеет смысл только в том
случае, когда объектом преобразования является не последовательность, а
функция.

232 3-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ [ГЛ. 8
Приведем особенно простой вывод этих формул, разъясняющий
одновременно их смысл.
Согласно формуле обращения преобразования Лапласа B.8),
мы имеем
*+/«> +0о x+/Bm+l)
f(nT) = -±j- J e»r«F(s)rfs--^- S J enTsF(s)ds
/ +/ Bl)
m--oo x+J Bm-l)
при n^ 1.
Подставив s = a + /m-~, мы получим
пт --!- У Х+1(Т
m=« — oo , я
откуда, имея в виду, что enm2jl^ = 1, и обозначив переменную
интегрирования снова через s, найдем
x+ljr
+00
^=2*7 S J e"r^E + /m^)ds. D4.17)
2я/
m=*-oo
Если ряд
+ 00
D4.18)
m=«-oo
в промежутке U —/у, * + /-jH равномерно сходится, то в
равенстве D4.17) можно переменить местами суммирование и
интегрирование; тогда мы будем иметь
л
+оо
Это равенство справедливо при п>1. Согласно сноске2) на
стр. 25, формула обращения дает при / = 0 не /@), а /@)/2.
Следовательно,
. я
J
«-/у
ПпТ) при л

§ 44] ПОЛУЧЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ 233
Далее, имея в виду, что s = х + jy, мы найдем
'«Т -Г
-ф- при я-0,
2 D4.20)
_i_
( 0 при
Сложив равенства D4.19) и D4.20), мы получим равенство
гТ [ +0° 1
"&Г J enTs\T—2 I" -J F[s + Jm-frUds**f(nT), D4.21)
, я I m — — oo J
x~lT
справедливое при всех п^-0. Согласно формуле обраще-
обращения C7.7),
причем интеграл следует взять вдоль окружности радиу-
радиуса г (z = re^, —л;<(р<>л). После подстановки z = eTs окруж-
окружность переходит в вертикальный отрезок, расположенный в пло-
плоскости 5 на расстоянии х= In г/Т от оси у и имеющий ордина-
ординатами своих конечных точек ±/-=-. В результате мы получим
/
D4.22)
Левая часть каждого из равенств D4.21) и D4.22) представляет
собой не что иное, как выражение для коэффициентов Фурье.
В самом деле, имея в виду, что s = х + jy, мы можем предста-
представить левую часть, например, последнего равенства в виде
+т
Т J QnTsF'(eTs)ds=s_T_. J
. я
x-ljr
На основании теоремы единственности для рядов Фурье из ра-
равенства коэффициентов Фурье вытекает равенство функций,

234 3-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ [ГЛ.8
представляемых этими рядами1). Следовательно,
но это есть не что иное, как равенство D4.15). Аналогичным
образом выводится и равенство D4.16), причем в него значе-
значение /@) не входит и поэтому при /2 = 0 указанное выше ослож-
осложнение не возникает2).
Равенство D4.17) можно понимать как представление функ-
функции f(nT) в виде изображения, полученного в результате пре-
преобразования Фурье. Поэтому из приведенного вывода следует,
что изображения, получаемые в результате преобразования
Фурье из некоторой функции при целочисленных значениях ее
аргумента, представляют собой коэффициенты Фурье другой
функции.
§ 45. Импульсные системы
Перейдем к рассмотрению систем, представляющих собой со-
сочетание периодических импульсных элементов с электрическими
цепями или, в более общем случае, с линейными системами. На-
Напомним, что линейная система характеризуется своей передаточ-
передаточной функцией G(s) или соответственно своей весовой функцией
g{t), причем символически передаточная функция изображается
блоком, внутри которого помещается надпись G(s). Напомним
также, что выходная функция Y(s) [или y(t) в пространстве
оригиналов], соответствующая входной функци F(s) [в простран-
пространстве оригиналов — функции /(/)]» определяется при нулевых на-
начальных значениях в пространстве изображений формулой
Y(s)=G(s)F(s),
1) Если две непрерывные функции имеют одинаковые коэффициенты
Фурье, то эти функции тождественны. Изображение F*(eTs), представляя
собой степенной ряд относительно еТ8, непрерывно. Ряд D4.18) мы предполо-
предположили равномерно сходящимся, и так как его члены являются непрерывными
функциями, то и сам этот ряд также представляет собой непрерывную
функцию.
2) Приведенное доказательство основано на определенном допущении от-
относительно ряда D4.18), следовательно, и относительно функции F(s). Если
для доказательства применить формулу суммирования Пуассона, то в отно-
отношении функции f(t) необходимо сделать следующие допущения: 1) функция
f(t) имеет в каждом конечном промежутке ограниченную производную;
2) изображение 2 {\f 1} существует. См. D о е t s с h G., Der Zusammenhang
zwischen den Laplace-transformierten einer Funktion und der zugeordneten
Treppenfunktion, Regelungstechnik 5 A957), стр. 86—88

§45]
ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
235
а в пространстве оригиналов — формулой
[см. соотношения A2.10), A2.11), A5.11), A5.12), B0.8) и
B0.10)].
Линейные системы рассчитываются при помощи преобразо-
преобразования Лапласа, в то время как для исследования импульсных
элементов наиболее удобным инструментом является 3-преоб-
3-преобразование; поэтому для расчета импульсных систем приме-
применяются одновременно оба преобразования.
Из большого числа возможных комбинаций линейных си-
систем и периодических импульсных элементов рассмотрим только
основные.
I. Импульсный элемент, создающий мгновенные импульсы
1. Импульсный элемент расположен до линейной системы
(рис. 45.1).
Входная функция F(s) разбивается на импульсы; система,
характеризуемая передаточной функцией G(s), возбуждается
выходной функцией F* (eTs) импульсного элемента [см. сказан-
сказанное на стр. 228 по поводу формулы D4.9)]. Следовательно, на
f(s)
Г(ет$)
G(s)
Y(s)
Рис. 45.1. Импульсный элемент до линейной системы.
языке преобразования Лапласа выходная функция Y(s) системы
определяется формулой
Y(s)=G(s)F*(eTs)
D5.1)
или в явном виде
оо оо
Y(s)=G (s) 2 / (пТ) e-"rs = 2 f (nT) [e~"TsG (s)].
0 0
На основании первой теоремы смещения для преобразования
Лапласа изображению Y(s) соответствует оригинал
-S f(nT)g(t-nT),
o
причем g(t—nT)=0 при nT>t. Следовательно, члены с
п > t/T отпадают, и поэтому в пространстве оригиналов мы

236
имеем
8 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
У @-2 f(nT)g(t-nT)
[ГЛ. 8
D5.2)
Эту формулу можно вывести также следующим образом.
Согласно сказанному в п. 2 § 13, отклик на импульс мощностью
в единицу, происходящий в момент времени / = 0, равен g(t)\
следовательно, отклик на импульс мощностью в f{nf)i происхо-
происходящий в момент времени / = пТ, равен
f{nT)g(t-nT).
До момента времени / импульсы возникают в моменты О, Г,
2Г, ..., [t/T]T. Весовая функция g{t) есть отклик на единичный
скачок, следовательно, g@) = 0, и поэтому выходная функция
y(t) непрерывна также при переходных значениях / = пТ, так
как при этих / весовая функция g(t — nT) = g@).
Описание рассмотренного процесса на языке 3-преобразова-
ния — см. на стр. 237 в конце подпункта 3.
2. Синхронно работающие импульсные элементы,
расположенные до и после линейной системы (рис. 45.2)
Импульсный элемент, расположенный после линейной систе-
системы, приводит к тому, что выходная функция y(t) отсчитывается
F(s)
F*(eTs)
G(s)
Y(s)
Y*(z)
Y*(eTs)
Рис. 45.2. Синхронно работающие импульсные элементы
до и после линейной системы.
не непрерывно, как в предыдущем случае, а только в моменты
времени / = пТ. Формула D5.2) принимает вид
D5.3)
Положив
Ъу{пТ)г-* = Г(г), 2 / (лГ) *-» - Г (г), 2 g(nT)z~» = G* (г),
П-0 п-0 п-0
мы получим из формулы D5.3) после применения теоремы свер-
свертывания C8.7) для 3-преобразования соотношение
Y* (z) = F* (г) G* (г) D5.4)

§ 45] ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ 237
Это соотношение, выведенное с помощью 3-преобразования,
дает очень простое описание процесса в том случае, когда он
происходит прерывно и на входе, и на выходе1). Оно является
аналогом соотношения Y(s) = F(s)G(s)} имеющего место для
непрерывного процесса, в связи с чем функцию G*(z) можно
назвать передаточной функцией для случая синхронно работаю-
работающих импульсных элементов.
Если известно, что у(пТ) при п—>оо стремится к установив-
установившемуся состоянию
lim у (пТ) = у (оо),
П->оо
то можно применить теорему 39.2, и мы получим
у(оо)= lim (z-l)Fm(z)G*(z). D5.5)
l0
3. Несинхронно работающие импульсные элементы,
расположенные до и после линейной системы
От входной функции импульсы берутся в моменты вре-
времени пТу а от выходной функции — в моменты времени пТ + т
@<т<Г). И в этом случае можно использовать результат,
полученный в подпункте 1. Достаточно подставить в соотноше-
соотношение D5.2) / = пТ + т; тогда мы будем иметь
D5.6)
Введя по образцу формулы D4.14) 3-изображения
S у (пТ + т) г-» = Г (г, т), S g (пТ + т) z~» = G* (г, т),
мы получим из равенства D5.6) на основании теоремы сверты-
свертывания C8.7) соотношение
D5.7)
Мы видим, что описание процесса на языке 3 -преобразования
получается особенно простым. Функцию G*(z, т) можно рас-
рассматривать как передаточную функцию для случая несинхронно
работающих импульсных элементов.
Варьируя т от нуля до Г, мы получим описание случая 1
на языке 3-преобразования. Такое описание целесообразно для
процессов, протекающих частично непрерывно, а частично пре-
прерывно.
1) В литературе соотношение D5.4) доказывается иногда очень сложным
путем, например, на основе равенства D4.15).

238
3-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
[ГЛ 8
4. Импульсный элемент расположен между двумя
линейными системами (рис. 45.3)
Пусть обе системы характеризуются своими весовыми функ-
функциями gi{t) и g2(t) или соответственно передаточными функ-
функциями G\(s) и G2(s). Если входная функция h(t) [или H(s)]
F(s)
G,(s)
H(s)
/-_
Yfs)
Рис. 45.3. Импульсный элемент между двумя линейными
системами.
поступает через импульсный элемент в систему g2 (или G2), то
выходной функцией будет: в пространстве оригиналов, согласно
формуле D5.2),
WT)
*/(/)= 2 h(nT)g2(t-nT)9
а в пространстве изображений, согласно формуле D5.1),
оо
Y (s) - G2 {s) H* {eTs) = Go (s) S h (nT) e~nTs.
В нашем случае функция h(t) [или H(s)] является выходной
функцией из системы gi (или Gi), следовательно,
, H(s)=Gl(s)F(s).
Таким образом,
y(t) =
WT)
a,
§2(t-nl
oo
n=0
0
0
(пГ-тШт)Л
D5.8)
D5.9)
Примечание. Как мы видим, основным является случай, рас-
рассмотренный в подпункте 1. Из него простым путем получаются
остальные комбинации.

§ 45] ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ 239
II. Импульсный элемент, создающий длительные импульсы
1. Импульсный элемент расположен до линейной системы
Импульсный элемент создает функцию F(s), определяемую
формулой D4.4). Эта функция возбуждает систему. Выходная
функция системы на языке преобразования Лапласа имеет вид
Y (s) = k —-— G (s) F* (er5) D5.10)
S
Функция
представляет собой 8-изображение длительного импульса
изображенного на рис. 44.4. Следовательно,
есть 8 -изображение отклика r(t) системы на длительный им-
импульс gf>(t), рассматриваемый как возбуждение. Из равенства
D5.10), переписанного в виде
y(t)-I,f(nT)r(t-nT)
получаем для выходной функции в пространстве оригиналов
формулу
WT]
D5.11)
сходную с формулой D5.2).
Отклик r(t) системы на длительный импульс можно выра-
выразить также через более привычный отклик на единичный скачок
системы, который раньше мы обозначали через Uu{t), а теперь
будем обозначать через h(t). Так как
*[и(О-ы(/-Ф)], причем a(f-0) = O при /-f}<0,
то
г(/) = k [h (t) - h (t - f>)l, причем А(/-Ф) = 0 при /-*<0.
Следовательно, в равенстве D5.11) следует заменить r(t — пТ)
на
h{t-nT)-h{t-nT-#).
Положив в последнем члене п = [t/T], мы получим
при / —[i
1 * 1 * ' <0 при t — \

240
3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
[ГЛ 8
Так как функция h при отрицательных значениях аргумента
равна нулю, то последний член суммы при t — [t\<b дает толь-
только слагаемое kf([t])h(t — [/]). Следовательно, окончательно мы
будем иметь
urn
k 2 f (nT) [h (t -nT)-h(t-nT- 0)]
при t —
[UT]-\
n-0
f {nT) [h {t -nT)-h{t-nT- 0)] +
-kf([t])h(t-[t]) при f-[/]<*
D5.12)
2. Синхронно работающие импульсные элементы,
расположенные до и после линейной системы
В этом случае выходная функция в формуле D5.11) отсчи-
тывается только в моменты времени / = пТ и в течение длитель-
длительности импульса О сохраняется постоянной. Обозначив ее через
y(t), мы будем иметь
y(nT
0
n
)-Sf(v
V=0
r)r((n-v)r)
при
при
С f < (n +
1)
Т
D5.13)
Если учесть только значения у(пТ) и составить 3-изображе-
ния посчедовательностей, получившихся в результате действия
импульсных элементов, то после применения теоремы свертыва-
свертывания мы получим из первой строки формулы D5.13) соотношение
Г (г)-Г (*)*•(*)
D5.14)
Это соотношение, представляющее собой описание процесса на
языке 3-пРе°бразования, аналогично соотношению D5.4), только
теперь "в правую часть вместо 3-изображения G*(z) отклика на
мгновенный импульс входит 3-изображение R*(z) отклика на
длительный импульс.
От соотношения D5.14) можно перейти к преобразованию
Лапласа. Для этой цели сделаем подстановку z = eTs и одно-
одновременно умножим обе части соотношения D5.14) на G^(s); мы
получим
Gt (s) У (е") = Go (s) Г (ег*) R* (е^),

§ 45] ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
откуда, имея в виду равенство D4.10), найдем
241
D5.15)
Это есть описание процесса на языке 2 -преобразования. Вели-
Величина /?* (eTs) играет роль передаточной функции линейной си-
системы, если входная функция F до входа и выходная функция Y
после выхода преобразуются в длительные импульсы.
3. Несинхронно работающие импульсные элементы,
расположенные до и после линейной системы
Если от входной функции длительные импульсы берутся в мо-
моменты времени пТ, а от выходной функции — в моменты време-
времени пТ + т @ < т < Г), причем те и другие импульсы с длитель-
длительностью $, то получается ступенчатая функция. Обозначим ее
через y(t, т). Подставив в равенство D5.11) / = пТ + т, мы бу-
будем иметь
Положив
D5.16)
м-0
г»= Г (z, т), S г (пТ + т)z-" = RT(г, т),
0
мы получим из соотношения D5.16) описание процесса на языке
3-преобразования:
Г(г,х)-Г(гI?(г,т)
D5.17)
Варьируя в этом равенстве т, мы получим описание случая I
на языке 3~пРе°бразования.
III. Длительные импульсы непрямоугольной формы
Формулы для такого случая лишь незначительно отличаются
от формул, полученных для импульсного элемента, создающего
прямоугольные импульсы. Пусть искажение прямоугольных
импульсов осуществляется посредством произвольной функции

242 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ [ГЛ 8
\|?(/), определенной в промежутке 0</< 7\ Тогда функция вре-
времени f(t) преобразуется в последовательность длительных им-
импульсов
= f(nT)$(t-nT) при лГ <*<(«+1O\ D5.18)
которые будем называть г|)-импульсами (рис. 44.2 на стр. 229).
Прямоугольные импульсы соответствуют случаю
Мы имеем
В правую часть
\
оо
оо
Л-0
оо
п=0
/г при 0
0 при Ф
(n + 1) T
) е /1
пТ
т
0
f(nT)e~nTs
входит «конечное» ?
т
• < / < г.
(лГ)Н)(/-яГ)
>/(лГ)ф(т)Л
г
0
-изображение
о
Обозначив его через ?(«), мы получим
F (s) = f(sJf (яГ) е-»7"* = W (s) F* (е^). D5.19)
Таким образом, единственная разница по сравнению со случаем
прямоугольных импульсов состоит в том, что функция G()
заменяется функцией ^()
1. Импульсный элемент расположен до линейной системы
Выходная функция системы равна
Y (s) = G E) F (s) = Ч {s) G (s) F (eTs)
Введем обозначение
x?(s)G(s) = R(s). D5.20)

§45]
ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
243
Соответствующий оригинал равен
г @ = *(/)
причем при /> Г следует положить г|)(/) = 0; поэтому
\^{x)g{i-x)dx при /<7\
- x) dx при / > Г.
D5.21)
В пространстве 2-изображений процесс описывается соотно-
соотношением
= R(s)F*(eTs)
D5.22)
откуда, как и в случае формулы D5.2), вытекает, что оригинал
равен
D5.23)
Из сказанного по поводу формулы D5.7) следует, что рас-
рассматриваемый процесс можно описать также посредством соот-
соотношения
D5.24)
D5.25)
или на языке 3-преобразования
2. Импульсные элементы расположены до и после
линейной системы
Все рассуждения остаются в точности такими же, как и в
случае прямоугольных импульсов, только функцию R(s) =
= G${s)G(s) следует заменить функцией R(s) = 4f(s)GE).
Формулы D5.13) — D5.15), если иметь в виду новый смысл
функции R(s) или соответственно r(t), остаются неизменными.

244
3-ПРЕОБРАЗОВАПИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
[ГЛ 8
Пример к подпункту 1
Пусть цепь представляет собой /-систему (интегрирующее
звено) с передаточной функцией G(s) = a/s. В этом случае
r(t) = a
а J ф {х) dx = аф (/) при / < Г,
о
т
a ty{x) dx = аф(Г) при t^T.
Согласно равенству D5.23), мы имеем
v-0
п-\
a<t(T)f(nT)
(при п = 0, т. е. при 0-< ^ < Г, сумма не существует).
fa
ФШ
т о
2Т
ST
Рис. 45.4. Длительные импульсы входной функции
/(/) = /0, искаженные посредством функции ф (/).
В частном случае, когда f(t)=fQi мы получим «отклик на
скачок»
Если в качестве функции г|э, осуществляющей искажение прямо-
прямоугольных импульсов, выбрать функцию
(рис. 45.4), то для ф(т) и ф(Г) мы будем иметь выражения
следовательно (рис. 45.5),
у (пТ + т)

§45]
ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
245
Различные изображения для рассматриваемого частного случая
имеют вид
г
1 1 1-е"5
D t\ - ( l l '~е
* w - а [-J ~ т 7*
2Т -f 2
Описанием явления в пространстве изображений на языке
й-преобразования, согласно равенству D5.22), будет
а на языке 3-преобразования, согласно равенству D5.25),—
Если исходить не из готовых формул D5.23) и D5.24), то необ-
необходимо перевести в пространство оригиналов изображение Y(s)
или У*(г, т). В таком случае для У*
следует воспользоваться соответ-
соответствиями
z л z
* — П2
+-ОП.
В результате получится такое же вы-
выражение, как выше. Для перевода в
пространство оригиналов изображения
У необходимо воспользоваться приво-
приводимой ниже теоремой, полезной во всех
задачах импульсной техники, в кото-
которых
F* (eTs) ¦
1-е
-Ts
Рис. 45.5. Выходная функция
/-системы при возбуждении
посредством длительных им-
импульсов, изображенных на
рис. 45.4.
следовательно, f(t)= 1.
Теорема 45.1. Пусть функция ф(/), определенная при значе-
значениях 0 ^ / < Г, периодически продолжена с периодом Т, в ре-
результате чего получается функция г|5Р(/), определенная при

246 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ [ГЛ 8
значениях t ^ 0, и пусть
Т оо
V (s) = J е-Ч (/) Л, ?, (s) = J е-^р (О Л.
о о
В таком случае
Отсюда вытекает, что изображению Y(s) соответствует ори-
оригинал
= «/о J
причем y\)P(t) есть периодическое продолжение функции^ l — t/T,
следовательно, тождественно совпадает с функцией /(/) (см.
рис. 45.4). Это означает, что y(t) совпадает с ранее полученным
выражением для у(пТ + т), так как
т х

ДОБАВЛЕНИЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ПО ЛАПЛАСУ
Понятие распределения, введенное примерно в 1945 г. фран-
французским математиком Лораном Шварцем, представляет собой
обобщение понятия функции. Это новое понятие оказалось весь-
весьма плодотворным в инженерных науках и позволило придать
точный математический смысл некоторым противоречивым об-
образам, встречающимся в физике и технике, например функции
Дирака б. Кроме того, теория распределений дала возможность
избавиться от многих трудностей, накопившихся в классическом
математическом анализе.
Понятие распределения легче всего пояснить, если сначала
рассмотреть классическое понятие функции с новой точки зре-
зрения. При обычном понимании под функцией y = f(x) имеют в
виду соответствие между отдельными значениями у и отдель-
отдельными значениями х. Такому пониманию отвечает физическое
представление о возможности установления точного значения
переменной величины у, например напряжения для каждого от-
отдельного момента времени. Между тем то, что в действитель-
действительности определяется измерением, является не самим напряже-
напряжением, а его воздействием на измерительную аппаратуру. Каж-
Каждое измерение дает лишь среднее или средневзвешенное значе-
значение величины по некоторому промежутку, содержащему данную
точку, причем весовая функция <p(x) и промежуток измерения
зависят от измерительной аппаратуры. Функции у(х) мы будем
называть в дальнейшем основными. Таким образом, измерения
дают значения интегралов
jf(x)v(x)dx9
распространенных на подходящие (большие или малые) проме-
промежутки. При таком интегрировании играют роль не отдель-
отдельные значения /(*), а весь ход изменения значений /(#), иными

248 ДОБАВЛЕНИЕ
словами «распределение» f(x) над всеми х. Поэтому совокуп-
совокупность указанных интегралов называют распределением. После
такого упрощенного определения понятия распределения перей-
перейдем к точному математическому определению1).
I. Функционал, определяемый функцией
Пусть функция f(x) определена на всей оси — оо < jt < оо,
которую для краткости будем обозначать через RK Для того
чтобы все последующие утверждения были верны в общем виде,
предположим, что функция f(x) интегрируема по Лебегу в каж-
каждом конечном промежутке, или, как принято говорить, локально
интегрируема в смысле Лебега. Это предположение вводится
только ради построения общей теории; функции, встречающиеся
в технических приложениях, всегда интегрируемы в смысле Ри-
мана и поэтому инженеру не следует пугаться введения более
общего понятия.
Основные функции ф(х) выбираются так, чтобы операции
над ними не вызывали никаких трудностей. Для этого вводится
предположение, что каждая функция ф(*), хотя и определена
на всей оси /?*, но вне некоторого конечного промежутка (кото-
(который для разных функций ф может быть различным) равна нулю.
Далее, функция ф(х) принимается бесконечно дифференцируе-
дифференцируемой. Отсюда вытекает существенное для дальнейшего след-
следствие: функция ф(*) и все ее производные равны нулю на кон-
концах конечных промежутков, на которых ф определена, так как
в этих точках равны нулю «внешние» производные. Совокуп-
Совокупность всех этих ф составляет так называемое пространство функ-
функций ф, которое будем обозначать через -®.
Вследствие предположения, сделанного о функции ф, ин-
интеграл
+ 00
J f(x)cf,(x)dx
— оо
в действительности следует распространить только на конечный
промежуток, поэтому не возникает никаких трудностей в отно-
отношении сходимости в бесконечности, следовательно, интеграл су-
существует для всякой функции / и для всякой функции ф из про-
пространства ЗЬ. Этот интеграл можно понимать как «внутреннее
произведение» / и ф, что позволяет воспользоваться обычной
1) Оригинальные работы Л. Шварца предназначены для чистых матема-
математиков и требуют для своего понимания довольно больших математических
знаний. Доступное введение в теорию распределений содержится в книге:
Zemanian A. H., Distribution theory and transform analysis, McGraw-Hill,
New York, 1965, 371 стр.

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПО ЛАПЛАСУ 249
символикой и ввести обозначение
+ ОО
Таким образом, если функция / фиксирована, то каждой функ-
функции ф из пространства 3) можно сопоставить некоторое число.
Это обстоятельство выражают словами: функция / определяет
на пространстве 3) функционал (/, ср). Этот функционал обла-
обладает свойством линейности, т. е.
(f> Ф1 + Ф*>-</. Ф1> + </, Ф2>. (О
Основная идея теории Шварца состоит в представлении
функции f значениями функционала (f, <p). К сколь глубоким
последствиям приводит эта идея, сразу видно из того, что она
позволяет указать производную для каждой локально интегри-
интегрируемой функции f(x), даже если эта функция недифференци-
руема. В самом деле, если функция f(x) обладает локально ин-
интегрируемой производной f'(x) в классическом смысле, то, со-
согласно сказанному выше, эта производная представляется функ-
функционалом
-t-oo
if, ф)= J р(*)ф (*)<**.
— оо
Если преобразовать этот интеграл посредством интегрирования
по частям, то вклады, даваемые концами промежутков, отпадут,
так как там ф исчезает, и остается только
+ ОО
(/'. Ф)=- J f(xL>'(x)dx=-(f,4>').
— оо
Правая часть этого равенства имеет для каждой локально ин-
интегрируемой функции / вполне определенный смысл и представ-
представляет собой функционал на пространстве 3). Поэтому сама собой
напрашивается мысль приписать каждой такой функции f обоб-
обобщенную производную. Для того чтобы отличать обобщенную
производную от обычной (классической) производной, будем
обозначать ее через D. Таким образом, мы можем написать
(D/, <р>--</, Ф'>. B)
Обратим внимание на то, что введение такого условия только
устанавливает, какое значение Df сопоставляется с каждой
функцией ф. Следовательно, обобщенная производная Df в отли-
отличие от классической производной f'(x) не имеет смысла числа.

250 ДОБАВЛЕНИЕ
Пример. Пусть f(x) есть функция единичного скачка, т. е.
0 при х<^0,
1 при х > 0.
В классическом смысле эта функция недифференцируема, так
как в точке х = 0 она претерпевает разрыв. По-другому обстоит
дело с точки зрения теории распределений. В самом деле,
-т-оо ро
(Du, ф) = - (и, ф') = - J и (х) ф' (х) их = - J ф' (х) dx = ф @). C)
— оо 0
Следовательно, функционал, представляющий обобщенную про-
производную Du, имеет для каждой функции ф из пространства SD
значение ф@). Что это означает, станет ясно из дальнейшего.
Повторяя указанный процесс, мы придем к определению
k-й обобщенной производной Dk функции /:
<0*/,Ф>-(-1)*</,Ф<»> (*=1, 2,...) D)
Каждая локально интегрируемая функция сколь угодно раз
может быть дифференцируема в обобщенном смысле.
Пример:
(Dku, Ф> = (— 1)*(и, ц>{к))=*{—1)
Новое понятие дифференцируемости охватывает старое по-
понятие, т. е. если функция f{x) имеет k-ю производную /(ft)(x), то
эта производная определяет тот же функционал, что и обобщен-
обобщенная производная Dhf.
II. Распределение
Предыдущие объяснения имели своей целью подготовить пе-
переход от классического анализа к современной теории распре-
распределений. Исходя от частного случая — от функционала, опреде-
определяемого функцией / и сопоставляющего каждой функции ф из
пространства 3) значение (/, ф), рассмотрим теперь абстрактный
функционал Г, сопоставляющий каждой функции ф из 55 число,
которое будем обозначать через (Г, ф). При этом потребуем,
чтобы этот функционал был линейным [определение такое же,
как и выше; см. соотношение A)] и непрерывным. Последнее
свойство требует специального определения. Будем ориентиро-
ориентироваться при этом на определение непрерывности обычной функ-
функции g{x). Последняя называется непрерывной в точке х, если
для каждой сходящейся к х последовательности хп (п = 0,
1, .,.) имеет место равенство
lim g(xn) ~ g(x).
П->оо

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПО ЛАПЛАСУ 25!
Смысл выражения «хп при п-*оо сходится к х или в символи-
символической записи lim хп = х» должен быть известен читателю из
классического анализа. Что же касается смысла выражения
lim ф„-=ф в пространстве 3), то, конечно, сначала необходимо
определить этот смысл. Введем следующее определение.
Последовательность фп из пространства 3) сходится при
п -> оо к ф из пространства 3), если все фп, лежащие вне фикси-
фиксированного отрезка /, равны нулю и если для каждого отдельного
k = О, 1, ... выполняется условие: Ф^ при п—*оо стремится на
отрезке / равномерно к ф(/г)(лс).
Для того чтобы четко различать это понятие сходимости от
понятия хп->х классического анализа, будем писать
lim (Ф) Фл = Ф.
Теперь, аналогично понятию непрерывности обычной функ-
функции g(x), мы можем ввести определение:
Функционал Т называется непрерывным в элементе ф из про-
пространства 3), если для каждой сходящейся к ф последователь-
последовательности фп имеет место равенство
»т <7\ Фя> = (Г, ф).
П-»оо
Теперь мы имеем все необходимое для следующего опреде-
определения:
Определенный над пространством 3) функционал Г, линей-
ный и во всех элементах ф пространства 3) непрерывный, на-
называется распределением.
Приведем конкретный пример этого абстрактного понятия.
Можно доказать1), что функционал (/, ф), определенный ло-
локально интегрируемой функцией f(x)y представляет собой рас-
распределение. Будем называть такое распределение регулярным
распределением и обозначать его через /, а в тех случаях, когда
надо отличить его от функции / в классическом смысле, — че-
через ш.
Множество всех распределений можно рассматривать как
пространство, которое будем обозначать через 3)' (пространство,
двойственное по отношению к пространству 3)). Это простран-
пространство содержит все регулярные распределения, но безусловно
также другие элементы, как сейчас мы это покажем на кон-
конкретном примере. Выше [см. формулу C)] мы установили, что
1) В этом месте необходимо предположение об интегрируемости функ-
функции f(x) по Лебегу, так как интегрируемости по Риману в общем случае не-
недостаточно для доказательства непрерывности.

252 ДОБАВЛЕНИЕ
обобщенная производная единичного скачка и(х) обладает свой-
свойством
(Du, ф)-ф(О).
Du есть функционал, так как он сопоставляет каждому ср чис-
число, а именно ф@). Очевидно, что функционал Du не только ли-
линейный, но и непрерывный, так как когда фп в определенном
выше смысле сходится к ф, то фп@) тривиальным образом стре-
стремится к ф@). Следовательно, Du есть распределение. Будем
обозначать его буквой 6. Для этого распределения справедливы
соотношения:
б = Du, E)
(б, ф) = ф@). F)
Тем не менее б безусловно не является регулярным распределе-
распределением. В самом деле, если бы б представляла собой функцию
6(х), то должно было бы соблюдаться равенство
+ ОО
J G)
Однако не существует локально интегрируемой функции
которая обладала бы таким свойством1).
Теперь понятно, почему мы обозначили распределение, опре-
определенное равенством F), буквой 6, т. е. той буквой, которой
уже давно принято обозначать образ, введенный Дираком. Этот
образ должен был иметь именно то свойство, которое выра-
выражается соотношением G), хотя было ясно, что такой образ не
мог существовать в виде функции в классическом понимании.
Этот образ представляли себе в виде предельного понятия, как
об этом было разъяснено в § 1 и в п. 2 § 13. Естественно, что
когда этим в действительности не существующим образом опе-
оперировали по правилам классического анализа как функцией, то
покидали твердую почву точной математики. Напротив, пони-
понимая б как распределение, которому можно было бы дать и ста-
старое название «импульс», мы получаем в наше распоряжение
непротиворечивый математический объект, позволяющий дости-
достигать именно того, чего раньше напрасно ожидали от «функции»
б (л:). «Выведение» значения ф@) из функции ф(х) теперь сле-
следует понимать в смысле равенства F), причем, однако, образ
(б, ф) нельзя понимать как интеграл.
Равенство E) совершенно точно выражает и другое свой-
свойство, которое раньше приписывалось «функции» Дирака б,
1) См., например, книгу: Г е л ь ф а н д И. М. и Шилов Г. Е., Обобщен-
Обобщенные функции и действия над ними, Физматгиз, Москва, 1958, гл. I, § 1. (Прим.
перев.)

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПО ЛАПЛАСУ 253
а именно, б является «производной» от функции и(х), причем
эта «производная» равна нулю всюду, кроме точки х = О,
а в точке х = О она равна бесконечности. «Производную» те-
теперь следует понимать в смысле обобщенной производной.
Обобщением распределения б является распределение бл,
определяемое равенством
(бл, Ф) = ф(Л). (8)
Распределение бд соответствует постулированному в прежнее
время понятию импульса, действующего не в точке х = О,
а в точке х = h (сдвиг б-функции).
Вернемся к общей теории. Кроме сложения распределений,
определяемого посредством равенства
(Т{ + Г2, ф) = <Г„ Ф) + (Г2, ф),
нас интересует умножение двух распределений. Специально для
регулярных распределений оно должно было бы определяться
равенством
+ ОО
(/1/2, ф) = j U (*) /2 (*) ф (х) dx.
Однако этот интеграл имеет смысл не всегда, так как произве-
произведение двух локально интегрируемых функций не всегда является
локально интегрируемым (пример: хг{1**хгх1* = хгх). Поэтому
произведение двух распределений не допускает определения в
общем виде. Приходится ограничиваться случаем, когда одно
из распределений является функцией.
Произведение распределения Т на функцию а(х), бесконеч-
бесконечно дифференцируемую на R\ определяется равенством
<а(*O\ Ф> = <7\ аФ>. (9)
Обратим внимание на следующее: поскольку а(х) предпола-
предполагается принадлежащей пространству 3), то этому же про-
пространству принадлежит и аф, и в частном случае, когда Т = /,
определение произведения сводится к тривиальному равенству
4-оо + оо
[«(*) / (х)] <?(x)dx= J / (jc) [а (*) q> (*)J dx.
— oo —oo
В частном случае, когда Т = 6, мы получаем
(а (х) 6, ф) - (б, аф) = а @) ф @) - (а @) б, ф
следовательно,
A0)
)
Это соотношение раньше считалось для «функции» Дирака б
само собой понятным и притом для каждой функции а(х).

254 ДОБАВЛЕНИЕ
Для того чтобы на основе понятия о распределении можно
было построить соответствующий анализ, необходимо, естествен-
естественно, ввести для распределений понятие дифференцирования. Это
можно сделать на базе соотношения D). Хотя это соотношение
установлено для функций, оно сразу допускает распространение
на случай распределений.
Производная k-го порядка распределения Т определяется
равенством
<D*7\q>(*))-(-l)*<7\ Ф<*>(*)>. (П)
При таком определении производной каждое распределение
может быть сколь угодно раз продифференцировано.
Пример. Для Т = б, согласно формуле F), мы имеем
(D% ф(х)> = (-1)* F, Ф<*> (*)> = (- 1)*Ф(« @).
Таким образом, мы получили точное определение производных
распределения б, тех производных, которые раньше влачили не-
неопределенное существование (под названием диполя и т. п.).
В общем случае мы будем обозначать производные симво-
символом D. Однако для производных распределения б будем поль-
пользоваться— в виде уступки обычаю, принятому в физике в те-
течение десятилетий, — обозначением, принятым для обычных про-
производных, т. е. посредством верхнего индекса, причем иногда
одновременно будем указывать в скобках и соответствующую
переменную на R1, например 6(х), 6<ft)(x) или 6@, №k)(t). Соот-
Соответственно этому будем писать 6(х — А) вместо 6h-
Если функция f(x) k раз дифференцируема на всей оси R1,
то регулярное распределение, определяемое k-й производ-
производной fik)(x) (в предположении ее локальной интегрируемости),
совпадает с обобщенной производной Dhf, в чем легко убедиться,
если записать (/W, ф) в виде интеграла и k раз проинтегриро-
проинтегрировать этот интеграл по частям. Важно отметить, что между fW(x)
и Dkf также существует связь, если имеет место следующий,
часто встречающийся в приложениях случаи.
Пусть функция f(x) имеет одну-единственную особую точку а,
в которой fW(Jt) не существует, в то время как f(x) при х<а
и х > а обладает производными до &-го порядка включительно;
далее, пусть f(x), f'(x), ..., рк~1Цх) имеют в точке х = а только
разрывы первого рода, следовательно, они имеют слева и справа
от х = а предельные значения:
/(а-0), Г(я-О), ..., /<*-»(а-0);
Как уже было сказано, flk)(x) обозначает ^-ю производную
функции f(x), существующую везде, кроме как в точке х = а.

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПО ЛАПЛАСУ 255
В таком случае имеет место соотношение
Dkf = [/(*) (Х)] + [/(ft-D (а + 0) - /<*-'> (а - 0)] б (х - а) +
Н- [/<*~2) (а + 0) - /<*~2> (а - 0)] 6' (х - а) + ...
+ [/ (а + 0) - / (а - 0)] в<*-1' (х - а). A2)
В первой части мы применили для [f(k)(x)] полное обозначение
с целью четко показать, что в обе части соотношения входят
только распределения. В самом деле, распределение может
быть равно только распределению. Правда, иногда для крат-
краткости говорят, что распределение в открытом промежутке/равно
функции. Под этим подразумевается следующее.
Распределение (Т, ф) равно (/, <р) для каждого ср, равного
нулю вне промежутка /. В этом смысле можно, например, ска-
сказать: распределение б равно функции нуль в промежутках
—оо < * < 0 и 0<x<oo. В самом деле, если ф, например, вне
промежутка —оо<л;<0, т. е. в промежутке (X^v < <х>, равно
нулю, то (б, ф) = ф@) =0. С другой стороны, @, ф) = 0, следо-
следовательно, (б, ф) = @, ф), т. е. б = 0 в промежутке —оо < х < 0.
(См. в связи с этим сказанное в разделе III по поводу «носителя».)
III. Преобразование распределений по Лапласу
Классическое преобразование Лапласа применимо к функ-
функциям, определенным только при t^-0. Если же рассматривать
функции на всей оси / (что целесообразно, например, при ис-
использовании комплексного интеграла, осуществляющего обрат-
обратное преобразование Лапласа), то при / < 0 их следует принять
равными нулю. Что касается преобразования по Лапласу рас-
распределений, то в соответствии со смыслом этого преобразования
оно возможно только для таких распределений, которые обла-
обладают аналогичным свойством. Для точной формулировки этого
свойства необходимо ввести следующие понятия.
Носителем непрерывной на R1 функции ф(х) называется
наименьшее замкнутое множество, содержащее в себе точки х,
для которых ф(х) =?0, т. е. он представляет собой множество
значений х, удовлетворяющих условию ф(д:) =?0, дополненное
предельными точками. Иными словами, носителем функции ф(#)
является наименьшее замкнутое множество, вне кото-
которого ц)(х) = 0.
Для того чтобы сформулировать аналогичное понятие для
распределений, прежде всего необходимо найти для распреде-
распределения аналог понятия о равенстве нулю функции.
Распределение принимается равным нулю на открытом мно-
множестве /, если (Г, ф) = 0 для всякой функции ф, носитель кото-

256 ДОБАВЛЕНИЕ
рой лежит в /. Введение такого понятия позволяет сформулиро-
сформулировать определение:
Носителем распределения Т является наименьшее замкнутое
множество, вне которого Т = 0.
Пример. Распределение (б, ф) =ф@) равно нулю для всех ф,
носители которых лежат на открытом множестве \х\ > 0, так как
в этом случае ф@) = 0. Следовательно, б = 0 на открытом мно-
множестве |*| >0. Дополнительным множеством к |х|>0 яв-
является точка х = 0. Она представляет собой наименьшее замк-
замкнутое множество, вне которого 6 = 0. Таким образом, б имеет
в качестве носителя единственную точку к = 0. То же самое
имеет место и для 6(fe).
Распределение определено всегда на всей оси R{, но преоб-
преобразование Лапласа возможно только для таких распределений,
носители которых лежат на полуоси 0</ < оо1). Пространство
этих распределений обозначается через 2D + . Этому пространству
принадлежат те понимаемые как распределения функции, кото-
которые при / < 0 равны нулю.
8 -изображение распределения можно определить различ-
различными способами, каждый из которых пригоден для некоторого
подпространства пространства 2)+. Мы выберем такое определе-
определение, которое применимо к распределениям конечного порядка.
Так называются распределения Г, которые являются обобщен-
обобщенной производной конечного порядка k непрерывной на R1 функ-
функции А@, т. е. T = Dkh(tJ).
Пример. Как мы знаем, б = Du. Однако этою равенства не-
недостаточно, чтобы считать распределение б имеющим конечный
порядок, так как функция u(t) не непрерывна. Необходимо со-
составить еще интеграл h(t) от функции #(/), причем
h{t) = O при /<0э
h (t) = t при / > 0.
Эта функция на R1 непрерывна. В точке t = 0 она недифферен-
цируема, но зато существует Dh. В самом деле,
оо оо
{Dh, ф>= - (А, Ф')= ~ J W(t)dt= - t<p(t) |~ + J
о
о
u(t)(f(t)dt = (u, ф).
о
+оо
1) Начиная отсюда мы будем обозначать переменную на R1 вместо х че-
через t, т. е. так, как это принято при преобразовании Лапласа.
2) Согласно довольно трудно доказываемой теореме, каждое распределе-
распределение на каждом конечном промежутке / (т. е. если в (Г, ф) допускаются
только такие основные функции, носители которых лежат в /) является k-ii
обобщенной производной непрерывной функции.

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПО ЛАПЛАСУ 257
поэтому Dh = u(t) и, следовательно, на основании формулы E)
D2h = Du = 6. A3)
Таким образом, распределение б имеет конечный порядок.
Из распределений конечного порядка выберем подпро-
подпространство i% которое входит в состав пространства &)'+ и эле-
элементы которого удовлетворяют условиям:
Функции h(t)y определяющие рассматриваемые распределе-
распределения, равны нулю при t < О, т. е.
h @ = 0 при *<0, A4)
и, кроме того, для этих функций
2 {/*(/)} существует при Res>a. A5)
Если распределение Т принадлежит к 3)о и T = Dkh(t)f то
?-изображение этого распределения определяется равенством
2 {Г} = 5*8 {А (<)}. A6)
Правая часть существует при Re s > а и представляет там ана-
аналитическую функцию F(s).
Примеры. Как мы уже знаем, распределение б имеет конеч-
конечный порядок, причем б = D2A, где h есть функция из предыду-
предыдущего примера, удовлетворяющая условиям A4) и A5). Следо-
Следовательно, распределение б имеет 2-изображение, которое равно
?{6} = s4 {h} = s4{t) = 52-~ = 1. A7)
Очевидно, что б(^ — to) = D2h(t — /о), следовательно,
2 {6 (/ - /0)} = 522 {h (t - /0)} = 52е-**8 {Л (/)} = е"Ч A8)
Далее, мы имеем
2 (ЬЩ = 2 {Dfe+2A @) = sk+2i {h} = 5fe. A9)
Появление степеней s с неотрицательными целыми показа-
показателями в качестве изображений распределений особенно приме-
примечательно, так как в классическом преобразовании Лапласа
встречаются только степени с отрицательными показателями.
Правила выполнения преобразования Лапласа
для распределений
Важнейшим правилом отображения операций при классиче-
классическом преобразовании Лапласа является теорема дифференци-
дифференцирования (правило V). Аналогичное правило для распределений
гласит:
Правило V. Если 2{Т} = F(s) существует, го
9 г.

258 ДОБАВЛЕНИЕ
Доказательство Если Т = Dkh(t), то DnT = Dn+hh(t), поэтому
8 {Т} = F (s) = s*8 {h} и 8 [DnT] = 5Я+Л8 (Л),
следовательно,
Правило V7 отличается от классического правила V отсут-
отсутствием начальных значений, которые для распределения, впро-
впрочем, не имели бы никакого смысла, так как распределение в
каком-либо месте не имеет определенного значения. Тем не ме-
менее правило V в том случае, когда Т является функцией /(/),
совпадает с правилом V. В самом деле, f(t) как распределение
из ЗУ+ при t < 0 определяется как нуль, поэтому все левосто-
левосторонние значения /, /',... в точке t = 0 равны нулю. С другой
стороны, если /, /',... при / > 0 существуют в обычном смысле
и имеют при t-+ + 0 предельные значения /( + 0), /7( + 0)> ..., то,
согласно формуле A2),
/O-/(лЧ/(п~1)(+0)б+ ... + /(+0)в(""~1). B0)
Если 8{/(г7)}, следовательно, и ?{/} существуют в классическом
смысле, то они существуют и в смысле теории распределений.
Поэтому, применив к равенству B0) преобразование Лапласа
и приняв во внимание равенства A7) и A9), мы получим на
основании правила V
т. е. такой же результат, как и при применении правила V.
Примеры. 1. Пусть T = u(t), следовательно, DT = 6. Пра-
Правило Vх дает
что совпадает с ранее полученным результатом A7).
2. Пусть Т = u(t — t0), следовательно, DT = 6(t — to). На
стр. 44 уже было отмечено, что правило V к функции u(t — to)
неприменимо, так как эта функция в точке /0 недифференци-
руема. Однако если понимать u(t — to) как распределение и
применить правило V7, то получится правильный результат:
? {Du {t - /0» = ^ {6 (/ - tQ)} = si {и (t - t0)}« 5 -^ = е-Ч
В приложениях наряду с правилом дифференцирования
важную роль играет также правило свертывания. Естественно,
что было бы желательно иметь такое правило также для распре-
распределений. Однако для распределений правило свертывания можно
сформулировать только довольно сложным образом. Кроме

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПО ЛАПЛАСУ 259
того, свертка распределений существует не во всех случаях, а
правило свертывания также не носит общего характера. Однако
для распределений конечного порядка из пространства ?&о по-
понятие свертки можно определить простым образом и в соответ-
соответствии с этим определением можно сформулировать и правило
свертывания.
Определение свертки
Пусть Т{ = Dk^hx{t) и Т2 = Dkoh2(t) суть два распределения из
пространства 3)'о. Для таких распределений их свертка опреде-
определяется равенством
Tx*T2 = Db+b [A, @* МО]. B1)
в котором выражение h\ * h2 следует понимать в классическом
смысле, а именно:
t
hi*fi2= \hx (т) h2 (t - т) dr. B2)
6
Такая свертка распределений существует всегда и совпа-
совпадает с классической сверткой в том случае, когда Тх и Т2 опре-
определяются локально интегрируемыми функциями f\ и /г, равными
нулю при /<0 (следовательно, принимается T\ = \f{\, Г2 = [/2]).
Для доказательства составим функции
t t
Они непрерывны при всех I и равны нулю при t < 0. Для после-
последующего нам потребуется следующая общая теорема:
Пусть g(t) есть локально интегрируемая функция, опреде-
определенная при всех t. Тогда для
t
G@ =
имеет место соотношение1) DG = g, где g понимается как рас-
распределение [g].
В самом деле,
(DG, Ф) = - (G, ф') = - J G (т) ф' (т) Л.
!) Если интеграл понимается в смысле Лебега, как это и необходимо в
теории распределений, то обычная производная от G существует «почти вез-
везде» и «почти везде» равна g Если же интеграл понимать в смысле Римана,
то утверждение, что G' = g, в общем случае возможно только при условии
непрерывности g.
9*

260 ДОБАВЛЕНИЕ
Применим к интегралу обобщенное интегрирование по ча-
частям1). Имея в виду, что ф(/) равно нулю вне некоторого ко-
конечного интервала, получим
+ ОО
(DG, ф>= J g(x)(f(x)dx = (g, <p>, т.е. DG = g.
— оо
Согласно этой теореме,
Dh{ = fu Dh2 = f2t
следовательно, на основании определения B1) и доказанной
теоремы
Т{ * Т2 = D2 (А, * h2) = D2 (f{ * 1 * f2 * 1) = D2 (f j ¦ /2 ¦ 1 • 1) = /, ¦ /2.
Применив к свертке B1) преобразование Лапласа, мы полу-
получим на основании правил V' и IX:
Т2) - sfe'+4> {Л! * Л2} = s*«+*г {А,}
Таким образом, мы доказали следующую теорему:
Правило IX7 (теорема свертывания). Если Тх и Т2 суть рас-
распределения из пространства 3)о и 2{?"i} = ^i (s), %{T2} = F2(s),
то имеет место соответствие 7*! * T2o-*F{ (s) • F2(s).
Пример. Пусть распределение Т принадлежит к простран-
пространству дУ0, тогда 2{Г*б} = 2{71}.й{6} = 2{71}-1=2{Г}, следова-
следовательно
Т * б = Г, B3)
т. е. б играет при свертывании роль «единичного элемента».
В частности, б * б = б.
!) Кроме обычного правила интегрирования по частям
Ь Ь
J U (т) V (т) Л = UV \ьа - J V (т) V (т) rfT
а а
существует обобщение этого правила. Пусть
t t
U(t)= J u(x)dxt V(t)= J v(x)dx.
a a
Тогда
b b
J U (x) v (x) dx = U (x) V (x)\ba- J и (x) V (x) dx.

ПРИЛОЖЕНИЕ
ТАБЛИЦЫ ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ЛАПЛАСА
I. ОПЕРАЦИИ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
F(s)
F(as) (a>0)
F(s-a)
F(s + a)
F (as — P) (a > 0, p — комплексное число)
±lF(.-,a)-F(. + laI
2
2
2
e~asF (s)
-K& a F {—•) (a» b>0)
fit)
a \ a J
eatfit)
e-atf(t)
a \ a )
f (t) sin at
f (t) cos at
f (t) sh at
f (t) ch at
( f(t-a) при />a>0,
\ 0 при t<a
f(at — b) при /> —,
0 при t<-j

262
1. ОПЕРАЦИИ
F(s)
fit)
It
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
v=o
rf^ (s)
dsn
}(kU+o) «"-*-'
oo \ П
{ do) F (o)
5
(a>0)
причем
при и
-tf(t)
(-t)nf(t)
df(t)
dt
dnf(t)
dtn
fit)
fit)
Г f(x)
dx
dx
(/
/(т)

1. ОПЕРАЦИИ
263
F(s)
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
Fl(s)-F2(s)
X + foo
-щ J Fl(o)F2(s-o)do
ДС-/00
F(lns)
-jF(\ns)
MO-MO
f sin B V~t
J
J0{2V(t-x)x)f(x)dx
Jwf(T)dT
e-atf{t)

264
2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
№
4s)
fit)
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
1
s — a
1
1 + as
s2
1
s{s — a)
1
s A + as)
1
(s-aJ
A -fasJ
1
1
s2 + cxs
47
48
1
s2 + 26s + F2 + со2)
s
6@
eat
— e
a
t
sin at
sh at
a
1-е
Arte
eat-
a-
t
e a
a
Vm
I
CO
CO
cos at
ebt
-b
— e
-b
e 2
/ sin
t
b
— "T" t
t
sin со/
CO/

2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
265
F(s)
fit)
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
(s-aJ
s
(\+asJ
s
(s-a)(s-b)
A + as)(\ +bs)
1
s2(s-a)
1
s2 A4- as)
1
s(s-aJ
1
s A + asJ
1
s{s — a) (s — b)
1
s(l+as)(l +bs)
1
(s-a)(s-6)(s-c)
1
(\+as)(l + bs)(\+cs)
1
(s-a)(s-bJ
1
ch at
(\+at)ea
aeat
a
ae
-
-
t
b
bebt
b
-be
t
a
ab(a-b)
ae~~° +t-a
±[\ +(at-\)eat]
i — -^——— &
a
j_ 6e<" _ aebt
ab ab(a-b)
t t
1 +
ae a -be
b-a
(c - b) eat + (a - c) ebt + F - a)
(a-b)
t
a(b-c)e a
(a
+
\ — c
b(c
)(c-
— a)e
b)
t
b
+ c
b)e
t
с
(a-b)(a-c)(b-c)
eat-[\+(a-b)t]ebt
(a-bJ
t_ t__
abe a -[ab + (a-b)t]e b
b(a- bf

266
2 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
F(s)
1
(s-aK
1
A 4-asK
1
s (s2 + a2)
1
s (s2 - a2)
5
(s-a)(s-b)(s-
s2
(s-a)(s-b)(s-
s
(l+as)(\+bs)(\
s2
(\+as)(\+bs)(l
s
(s-a)(s-by
s2
(s-a)(s-by
s
(l+as)(l+bsy
sJ
(l+os)(l+6sJ
e)
c)
+ cs)
+ cs)
fit)
1 A_cosa/)
a2 x* vvc> ***'
1
a2
a(b-c) eat + b(c-a)ebt + c(a- b) ecl
(a-b){b-c)(a-c)
a2(b - c) eaf + b2(c- a) ebt -he2 (a- b) ect
(a-b)(b-c)(a-c)
t t t
(c-b)e a +(a-c)e b+(b-a)e c
(a-b)(b-c)(a-c)
t t t
bc(b-c)e a +ac(c-a)e b +ab(a-b)e c
abc (a — b)(b — c) (a — c)
aeai -[a + b{a-b)t] ebt
(a-bJ
a2eat-[2ab-b2 + b2(a-b)t]eht
(a-bJ
t t
-b2e a + [b2 + (a-b)t]e b
b2(a-bJ
t t
Ьъе а +[ab(a-2b)-(a-b)at]e b
аЬъ (a - bJ

2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
267
F(s)
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
(s-aK
s2
(s -aK
A-1-asK
s2
(i+asK
s2 + 2a2
s (s2 + 4a2)
s2 - 2a2
s (s2 - 4a2)
2a2
s (s2 + 4a2)
2a2
s (s2 - 4a2)
as2
s4 + a*
a3
a2s
s4-a4
as2
s3
s4-a4
a3 2a4
~aT~"aT
cos2 at
sin2 a*
sh2a/
V2 \ /2
/2
sin
/2 /2
/2 /2
1 / a
7=- I COS -7=r
^2 I /2
t sh —r=r ^ + sin . / ch
/2 VT
/2
7-0
K2 /
cos—r=- / ch -_
/2 /2
~ (sh a/ — sin a/)
-r- (ch a/ — cos a/)
— (sh a/ + sin at)
~ (ch at + сое a/)

268
2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
No.
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
F(s)
2a2s
s4 + 4a4
a (s2 - 2a2)
s4 + 4a4
a (s2 + 2a2)
s3 + 4a4
s3
s4 + 4a4
a3
as
as2
(s2 + a*y
s3
(s2 + a2J
a3
(s2 - aJ
as
(s2-a2J
as2
(s2 - a2J
i(t)
sin at sh at
cos a/ sh at
sin a/ ch at
cos a/ ch a/
¦7Г- (sin a? — a/ cos a/)
— sin a/
— (sin a/ 4- a/ cos at)
. at . ,
pno /7/ Sin /7Г
— (at ch a/ — sh at)
jsh at
— (sh at + at ch a/)

2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
269
F(s)
fit)
104
105
106
107
108
109
ПО
111
112
113
114
115
116
117
(s2-a2J
ab
(s2 + a2) (s2 + b2)
s
(s2 + a2) (s2 + b2)
s2
(s2 + a2) (s2 + b2)
s3
(s2 + a2) (s2 + b2)
ab
(s2 - a2) (s2 - b9-)
s
(s2 - a2) (s2 - b2)
s2
(s2 - a2) (s2 - b2)
s3
(s2 - a2) (s2 - b2)
a2
s2 (s2 + a2)
a2
s2 (s2 - a2)
s(s2-a2J
a2b2
ch at + — sh at
a sin bt
a2
cos bt —
a2-
a sin at
a2
a2 cos ai
a2
b sh at -
a2-
ch at -
a2-
a sh a/-
a2-
a2 ch a/
— 6 sin at
-b2
cos a^
b2
— b sin 6^
-b2
t — 62 cos bt
-b2
- a sh bt
-b2
ch bt
b2
-bshbt
-b2
- b2 ch bt
a2-b2
t sin at
a
— shat-t
a
— cos at —— sin at
1 — ch at + — sh at
s (s2 + a2) (s2 + b2)
1 +
b2 cos at — a2 cos bt
a2-b2

270
2 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
F(s)
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
a2b2
s(s2-
(s2
(s2
(s2
(s2
(s2
a5
+ a
ah
+ a
ah2
+ a
a5
— a
ah
— a
ah2
a
2)
2)
2)
2)
2)
2) (s2 - 62)
3
3
3
3
3
(s2-a2)
~n (n>®> целое число)
„«+1
(-1
n+l
1
s (as + 1) • • • (as
s sin b + a cos 6
s cos b — a sin b
1
P(s)
1
sp(s)
8 is)
P(s)
fit)
все ак различны
(s-an)y
1 1
1 ^
8"
/
8~
1
"8"
1
8
/
8
~S
(n
e
1
sin
cos
n
S
z
n
I
b2 ch at — a2
[C-a2/2)sin
chW
a/ — 3a/ cos at]
(sin at — at cos at)
[A +a2/2)sin
22
[( +a f )s
(a/cha/~sh
-1)! '
t
2Ln(t)
1 ' \"
(at + b)
(at + b)
1 1 akt
n
1 ^
1 P ^a/5^
at — at cos a/]
a/-3a/с at]
at)
1 Ла&^

3 ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
271
№
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
1
1
s + а
1
Ys + a
VY*2 + a2-s
I s2 + a2
/ Ys* + U2 + S
'' s2 + a2
-| / s — l^52 — a2
^ s2 - a2
V 52-a2
1
I7 s2 + 1
(*.Гг(„4)
^ я ^s -г- а )
1
sv
1
snYs'
1
(s + a)v
/@
1
2|/"-l
l+2a/
Yn~t
Ynt
2ty nt
sin a^
/ 2
1/ -^ sin a/
\ nt
у —г cos at
Ylt sh«<
/Acha.
/o(O
MO (Rev>-1)
-щ (Rev>0)
t e~at

272
4. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ
№
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
F(s)
In s
s
-yj (In4s + C)
(Ins)»
s
1
In s
In 5~a
s
in
s-6
1 n
s —a
s2 + a2
s2
, s + a
ln «*+**
e-as
s
a2
e 4s
s
•a2
av ^ 4s
fit)
Int С
Int
VT
(ln/ + CJ ^
oo
Г tx-1 л
J Г (т) dx
0
1-e^
e&/ - eat
t
2
— sh at
2
-— A — cos aO
2
— (cos bt — cos at)
6(t-a)
U(t-a)
0 «
V
/2/v(a/7) (Rev>-I)

4. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ
273
F(s)
fit)
163
164
165
166
167
168
169
170
X (a.
а|) (а, s)
.-аУТ
.-аУТ
« ,-а/Г
171
172
1
-a Ys
(b+Vs)
—е
cos a
VT
maVt
sin
"ф (а, О
erfc -==-
\ t [ а \
— erfc -z=r —
b \2yt I
0 при 0 < * < Ya x,
— xe
-{b/2a)t
- ал:2
при

274
4 ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ
173
174
176
177
178
179
180
181
182
1ЯЧ
184
1 . a
/s s
1 / a
. j COS
s/2s V s
1 a
Vs s
1 / a
1 cos —
sV2s \ s
1 _h«
.— sn
/s s
1 ~ha
- _ sn
sy s s
1 ch*
/:_¦ СП
Vs s
1 cha
~LL СП
s /s s
a
arctg s
2as
arctg s'-a>
ab
arctg —,r •
& s2 — as
chBo-l)/
/s"sh/F
F(s)
4- sin
— sin
+ 62
s
i)
t)
/@
sh /2a7 sin /2o7
/я?
ch/2a7sin/2a/
Van
ch /2a7 cos /2a/
/S7
sh/2aTcos/2a7
/ojT
ch2/a7-cos2/a/
2/S7
sh 2 /a? - sin 2 /a/
2/шГ
ch 2 Vat + cos 2 /a/
2/S7
sh2/a7+sin2/a7
2/ST
sin af
t
2
-— sin a^ cos bi
pat — 1
в,(о,0

4. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ
275
м
185
sh x /s
sh//7
i
186
187
188
189
sh(/-*)V
sh//s
1 -x
Vs~ C
shg/7
Vs
sh xVs~
Vs
V* (?)'
2
(-/
T
кг
sh«-
sh/K
sh(/-
sh/K
<a: <+/)
_
s~
DVT
1
2
,
" n
=
fit)
6 Q(l-x
dx 6 \ 2/ '
+ 00
= У^ -фBп/
П = — 00
00
1 a /»
/ax 312/'
+00
= 2 ¦
00
_ 2n V
[x(:.fc0.x
-f-oo
=—00
-x
00 Jl2 .
2 V "n "F
/2 j
+ / - x, 0 =
1 sin n -r xe
I2)
Bл/ + *,/) =
я ""
sin n-r xe
ix + tm
Bnl + x + |,
sin « у x sin
X
01-
я .
«yi

276
5. КУСОЧНО ГЛАДКИЕ ОРИГИНАЛЫ
F(s)
fit)
190
fit)
191
1 -
f(t)
192
fit)
a b
193
(\-e-asJ
-1 -
fit)
2a
194
-I
fit)
a 2a a
3b t
195
(\-e~as?
s2
fit)
a 2a
196
j
b-a
fit)
a
/
га
/]\
a+b
\
2b
t

5. КУСОЧНО ГЛАДКИЕ ОРИГИНАЛЫ
277
197
198
199
200
201
202
F(s)
be-as
s(s + b)
e~as
as b>
s2
1 — e~as
s2
e-as + as_{
as2
a[\-e a )
1 ¦
{
\
a
fit)
0 яри 0<t<a,
\-e-b(t-a) при a<t
0 при 0<t<at
e-b(t-a) при a<t
)
/I
X i
S 1
a b t
Jit
/
I
A
a r
1
i
1 -
[
¦
a
w
\ ra \ JZnftt
3t\JJt \J a
sin at при 0</< ,
0 при < /

278
5. КУСОЧНО ГЛАДКИЕ ОРИГИНАЛЫ
F(s)
f(t)
203
/ 2nns
Al-e~ '
-1
fit)
ч
cos at при 0</< ,
л 2яя ^ .
О при <t
204
IP (s> " i -e~
fit)
a 2a 3a
205
1-е a
fit)
ЛЛАЛЛ/.
7t
a
I sin at |
206
a 1
s2 + a2
_JL s
1-е a
fit)
АЛ_Л.
а ~Ж а
sin at при < t <
а
0 „рн Bn+l)n<t<BnJ_2U

5. КУСОЧНО-ГЛАДКИЕ ОРИГИНАЛЫ
279
207
208
209
210
211
212
F(s)
a 1
s2 + а2 л
ea S 1
1
s{l+e-as)
e~as + as-\
as2(\-e-as)
1
5A +eas)
a
1-е v
s(\-e-as)
\-e-as
s(\+e as)
i
1
fft)
I
i
0
— sin at
i
1
i 1
1 •
if
fft)
1 s^
*(t)
ft)
I
Ut
* m
Id)
A A
t 2Л
7 a
2
при —
при ('
n
зл к
a q
nn
a
In + I)
X
<-<
я
a
= 0, I, ...
a 2a 3a
a Zc Ja
a 2a 3a
П П
a a+% 2a Za-
)
a
' 3a
A
2/i+I
:t<
a
Ac<
г
to
"a
r
In+ 2) л
a
t
?
t
П.
da t
t

280
5. КУСОЧНО-ГЛАДКИЕ ОРИГИНАЛЫ
F(s)
fit)
213
214
e-as-
s(\+e~as)
\-e-
5A + eas)
/
-/
fit)
a
Za
3a
ka
t
1
-/
fit)
a
2a
3a
4a
t
215
4-e-
Kt)
a 2a 3a
, 1
ПРИ na<t<(n
216
\-e-as
-1
fit)
п п п
a 2a 3a ba ha
и
217
as
218
s([-e~as)
\-e~as
as2(\ +e~as)
-J
f(t)
П ..П . П , П
, о а
Jit)
о 2c 3a 4a i

5. КУСОЧНО-ГЛАДКИЕ ОРИГИНАЛЫ
281
fit)
219
(i-e-asY
as2(\~e~4as)
fit)
a 2a
6a t
220
2v
(-.-*)¦
as2(l-e-"s)
fit)
л л
kr(c)
/ -
221
as2(\-e-2as)
SL а
За
222
as2(\-e-4a*)
fit)
у га
6a t
223
2v
__^?_ Bii—\)as _O5\
l_e 2Vti_e 2VJ» +g vj
a g_ a.
.Z.
Za t
224
v(v-
as
v
225
v(v-
as
v
fit)
Л. а 2а За t

282
5. КУСОЧНО-ГЛАДКИЕ ОРИГИНАЛЫ
F(s)
226
as2(v-\)(\-e-as)
f(t)
o_ a_ a
V& A
2a t
227
as + 1 - eas
as2(\-eas)
fit)
a 2a За fa
228
\-(\ + as)e-a
as2 A - e-2as)
fit)
/1 Л Л /
a 2a 3a
229
v — (v + as) e
as2 (I -e~as)
f(t)
A A A
v и у
га
230
- ase~as
aixs2(\-e-a6)
/Л/Л/
л А А
^7
231
f(t)
/л
О-в 2а За 4а t
232
[ive VM> — ase
as
v
a\is2(\~-e~as)
УП Л Л
JL Q.
у/г у

5. КУСОЧНО-ГЛАДКИЕ ОРИГИНАЛЫ
283
F(s)
233
2 —as-B-has) e~
as2(\-e~as)
fit)
2a
3a
234
-as(\+e-as]
a\is2(\ -e~as)
-I
fit)
Л Л А
t
a\ / 2a\ / 3a
/ i / i /
235
2(\-e~as) 1
as2(\+e~as) s
fit)
.л^А
г
236
\(e *
n+1
as —-—as
-e 2^
as2(\+e~as) \is
fit)
' A . Л /:
j"
Ja / 3a \4a / 5a t
f(t)
237
1
s(es-\)
-M

284
5. КУСОЧНО-ГЛАДКИЕ ОРИГИНАЛЫ
м
238
239
240
241
242
243
244
F(s)
1
1
s(l-e~s)
1
s(\-e~as)
1
es-\ 1
s es — a
es-\ 1
^ (e* - пJ
fit)
3
2
1
3
2
f
nit-
fit)
i
a 2a 3a ka t
У
г
\f(t)
f 2 3
if(t)
-
f
a 2a За t
0
6a
3a
a
t+l) t
2
a da t
aM-1
a-l

5. КУСОЧНО ГЛАДКИЕ ОРИГИНАЛЫ
28ь
F(s)
245
246
247
248
е*
es
es
—
s
s
—
1
¦I
1
(es
(es
e
1
-aK
1
-a)(e*-p)
'-(a + P)
es-\
(p(z) = zr + cr-lzr~1+ ... + c0)
249
250
251
252
253
254
255
256
/2=0
es - 1 es + 1
5 (es — \y
es — 1 e5 + a
es
es
es
es
—
s
—
s
_
—
s
—
1
1
1
1
1
(c-d)es-(c$-da)
(es — a) (es — P)
sinP
e2S - 2es cos p + 1
es - cos p
e2s __ 2es cos p + 1
asin p
e2S — 2(xes cos p + a2
e5 — a cos P
s e2S - 2ae5 cos p + a2
у [/] (M -
a —
VV
sin p [t]
cos p [*]
a[t] sin
a cos P [<]

286
6. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КАК ОРИГИНАЛЫ
F(s)
257
258
259
260
1
sn (л-1, 2, ...)
e~Ts (Г>0)
-x Yas2+bs+c
f(t)
6@
6м (t)
6(t-T)
Y1
V a
xe
~(b/2a)t щ
*-ax*
где d = F/2J - ac
7. ФУНКЦИИ И ОБОЗНАЧЕНИЯ ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ В ТАБЛИЦАХ
U(t)-
b(t)-
0 при t < 0
1 при t > 0
•функция Дирака, импульс-
импульсная функция
/о @ ==
D)!*
1)
'(v + k+l)
ft0
Лагерра)
1)!
" и
а
•е-
t) « 1 + 2
?"
' cos
erf с л: =
oo
2 Г -ы>
f/] — наибольшее целое число ^ /
С = 0,577 ... (постоянная Эйлера)

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адмитанс 112
Амплитуда гармонического колебания 12
— комплексного колебания \Ь
Блок-схема 66
Метод комплексных амплитуд 219 220, 221
Напряжение комплексное 219
Носитель непрерывной функции 255
— распределения 256
Взрыв тепловой 138
Возбуждение 65
Вычет функции 160
Гамма функция 32
Длительность импульса 226
Задачи Коши 62
для разностного уравнения 222
— краевая для разностного уравнения 217,
224
Значения начальные 42, 51, 83, 129, 209
— собственные 218
Изображение (функция) 33
Импеданс 112
Импульс 229
— длительный 229
— мгновенный 229
— непрямоугольный 229, 241
— прямоугольный 229, 239
Интеграл комплексный, осуществляющий
обратное преобразование Лапласа 158
— Лапласа 11. 27, 33
— —, его обращение 27
• , его физический смысл 27
— — как преобразование 33
— Пуассона 158
— Френеля 198
— Фурье 17, 25
Источник 136
— двойной 136, 157
Квазиустойчивость 196
Колебание гармоническое 12
— комплексное 1-6
Колебания собственные 82, 90
Контур электрический 110, 218
Коэффициент затухания 57
— передачи 65, 91
— усиления импульсного элемента 226
Критерий квадратичный качества peiyin
рования 49
Область определения функции 127
Обращение интеграла Лапласа 27
— преобразования Лапласа 35
Фурье 24
— ^-преобразования 205
Оршинал (функция) 33
Отклик на возбуждение 65
— на единичный скачок 70, 79, 91
— на импульсное возбуждение 74, 116
— на колебательное возбуждение 92
Отображение операций 38
Парсеваля равенство 48
обобщенное 48
Период повторения импульсов 226
Плотность амплитуды 19
— вероятности 18
— массы 18
— спектральная 19
— спектрального распределения 19
Поведение функции асимптотическое 182
Подпространство 3>^ 257
Полуплоскость сходимости 28
Последовательность 200
Правила грамматические для преобразова-
преобразования Лапласа 39
для 6 преобразования 206
Представление функции асимптотическое
184
Преобразование Лапласа 33
двумерное 131
дискретное 201
для распределений 255
, его обращение 35
как отображение 34, 36
обратное 35
— Лорана 202
— Тэйлора 210
— Фурье 24
— —, его обращение 24
Производная обобщенная 74. 100, 249
Пространство S> 248
— &>! 251
— 3>\ 251
— изображений 34
— оригиналов 34
Лемма Жордана 162
Линия электрическая двухпроводная 141
Равенство Парсеваля 48
обобщенное 48

288
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Разложение в ряды по любым функциям
172
¦ по показательным функциям 1ЬЬ
— в степенные ряды 1Ь4
— на простейшие дроби 55
— функции асимптотическое 184, 187, 189
— Хевисайда 72
Распределение 23, 247, 248, 251
— вероятности 18
— конечного порядка 256
— регулярное 251
— спектральное 18
Решение неустойчивое 196
— устойчивое 196
Решения собственные 218
Ряд Лорана 202
— Неймана 153
— факториальный 173
— Фурье 11, 12
, его коэффициенты 11, 12
Свертка 46
— комплексная 207
— последовательностей 207
— распределений 259
Система импульсная 234
— совместных дифференциальных уравне
ний, аномальный случай 95, 99
, нормальный случай 89
• , приведение к одному уравне
нию 103
со структурой, различной в от
дельных интервалах 106
¦ разностных уравнений 218
— уравнений для двухпроводной электри
ческой линии 141
Скачок единичный 29, 31
Сложение распределений 253
Соотношения интегральные 156
Спектр функции 16
Схема цепочная 221
Таблица соответствий для преобразования
Лапласа 261—286
для .8 преобразования 204
Теорема дифференцирования для изобра
жения 44
для оригинала 41
—- интегрирования для изображения 45
для оригинала 44
— Коши о вычетах 1Ю
— о конечном значении 183, 209
— о начальном значении 183, 208
— подобия 39
— свертывания 45
— — комплексного 47
— смещения вторая 40
для •* преобразования 206
первая 39
для Я преобразования 206
Теория распределений 23. 247—261
Ток комплексный 219
Удлинитечь импульсов 230
Умножение распределений 253
Уравнение вочновое 132, 142
— дифференциальное второго порядка М
нелинейное 123
«го порядка однородное 80
. неоднородное 61
— — первого порядка 50
— изображающее 50, 51
— интегральное 155
Уравнение интегральное второго рода 152
первою рода 152, 154
— кабеля Томпсона 133, 142
— Лапласа 132
— разностное второго порядка 214
, общий случай 209
— рекуррентное 210
— телеграфное 142
— теплопроводности 132, 142
Уравнения в частных производных 127
— дифференциальные совместные аио
мальная система 95, 99
, нормальная система 85
— Кирхгофа 113
— электрической цепи ПО, 116
Условия, граничные для уравнений в ча-
частных производных 128, 129
— Дирихле 11
— начальные для уравнений в частных
производных 128
Устойчивость ее исследование 195
— несобственная 196
— собственная 196
Фаза начальная гармонического котеба
ния 12
— — комплексного колебания 16
Формула Дюамеля 72
Функционал 249
— абстрактный 250, 251
Функция аналитическая 29, 36
— Бесселя 157, 1Ь5
— весовая 65, 81, 91, 116, 247
— возбуждающая 50, 65
— возмущающая 50
— входная 65, 111
— выходная 65, 111
— Грина 65
— двойного источника 136 157
— единичного скачка 29, 250
— импульсная 23
— источника 136
— мероморфная 167, 169, 172, 197
— нулевая 35
— основная 247
— передаточная 65, 77, 91 115
— переходная 70
— распредечения 18
— сравнения 184
— ступенчатая 200
— ударная 23
— целая 168, 197
Характеристика амплитудная 77
— фазовая 77
— частотная 77, 79, 92
Цепь фиксирующая 230
— электрическая 110, 221
Частота «комплексная» 220
Часть функции главная 168
Четырехполюсник Т образный 222
Эластанс 117
Элемент импульсный 226
, создающий длительные импульсы
239
— М1новенные нмпульсы 235
непрямоугольные импульсы
241
, — прямоугольные импульсы 239
Ядро интегрального уравнения 153