А С АНТОНОВ
Доц.. канд. техн, паук
ТЕОРИЯ
ГУСЕНИЧНОГО
ДВИЖИТЕЛЯ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МАШИНОСТРОИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1949
В книге систематизированы вопросы теории
прямолинейного движения гусеничных машин;
рассмотрены кинематика, динамика, внешние
и внутренние сопротивления в гусеничном дви-
жителе, а также вопросы проходимости его по
мягким грунтам.
Книга предназначается для инженеров-кон-
структоров тракторных заводов, преподавателей
и студентов автотракторных втузов как посо-
бие при изучении теории гусеничных машин.
Рецензент канд. техн, наук И. И. Трепененков
Редактор проф. М, К. Кристи
Главная редакция
автомобильной и тракторной литературы
Главный редактор инж. В. В. БРОКШ
ПРЕДИСЛОВИЕ
Гусеничный ход, изобретенный в 30-х годах
прошлого столетия Дмитрием Загряжским, за послед-
ние десятилетия находит все более широкое примене-
ние в технике. В настоящее время гусеничный движи-
тель применяется в сельскохозяйственных и транс-
портных тракторах, в транспортерах, в рабочих до-
рожных машинах, в гусеничных мотоциклах и т. д.
Гусеничный движитель является более универсальным
средством передвижения, чем колесный. Он дает воз-
можность движения по бездорожью, по глубоким сне-
гам, по болотам, там, где применение колесного дви-
жителя исключено.
Несмотря на широкое применение гусеничного дви-
жителя, он пока еще остается крайне несовершенным.
Механический коэфициент полезного действия его при
движении по дорогам значительно ниже к. п. д. ко-
лесного движителя. Гусеничный движитель значительно
сложнее, дороже и менее надежен, чем колесный. По-
вышение экономичности и надежности, а также
проходимости по рыхлым грунтам является основным
вопросом дальнейшего развития гусеничного движи-
теля. Этот вопрос в настоящее время не может ре-
шаться одними конструктивными мероприятиями и
требует углубленного теоретического исследования.
Только на базе теоретического исследования возможно
в настоящее время дальнейшее развитие гусеничного
движителя.
В настоящей книге мы не исчерпываем всех
вопросов теории гусеничного движителя. Так, нами
♦	з
опущены вопросы, связанные с поворотом, как тре-
бующие специального изучения. В книге рассматри-
вается лишь работа гусеничного движителя при пря-
молинейном движении машины, причем особое внима-
ние уделено взаимодействию гусениц с грунтом. Этот
вопрос имеет прямое отношение к проходимости гусе-
ничных машин по мягким грунтам, т. е. к их основ-
ному ходовому качеству.
Считаем нужным отметить, что разработка теории
гусеничного движителя впервые начата в СССР.
В разработке теории принимали участие советские
ученые проф. Львов, проф. Медведев, проф. Кристи,
д-р техн, наук Крживицкий, канд. техн, наук Вержбиц-
кий и др., трудами которых мы пользовались в данной
работе.
Автор приносит глубокую благодарность проф.
М. К. Кристи, взявшему на себя труд редактирования
книги.
Автор
Глава I
КИНЕМАТИКА ГИБКОГО ЛЕНТОЧНОГО ОБВОДА
§ 1. Гусеничный движитель
Гусеничный движитель — это механизм, предназна-
ченный для передвижения транспортных или рабочих
машин посредством двух замкнутых, параллельно
вращающихся гусениц.
Фиг. 1. Гусеничный движитель:
/ — поддерживающие катки; 2 — опорные катки; 3 — исправляющие
колеса (ленивцы); 4 — ведущие колеса; 5 — гусеницы.
Гусеничный движитель (фиг. 1) состоит из двух
замкнутых гусениц, двух направляющих и двух веду-
щих колес, опорных и поддерживающих катков. При
опорных катках большого диаметра поддерживающих
катков может и не быть (фиг. 2). Иногда поддержи-
вающие катки заменяются полозьями.
Гусеницы представляют собой замкнутые гусенич-
ные цепи или ленты. Цепи состоят из шарнирно свя-
5
занных между собой металлических звеньев равного
шага. Ленты бывают резиновые или резино-металли-
ческие.
В тяжелых и средних гусеничных машинах, а также
в сельскохозяйственных тракторах применяются только

Фиг. 2. Гусеничный движитель без поддерживающих
.катков.
гусеничные цепи. Гусеничные ленты находят примене-
ние лишь в машинах малого веса: гусеничных мото-
циклах, снегоходах и т. д.
§ 2. Гусеничный обвод
Под гусеничным обводом будем понимать замкну-
тую гусеницу, имеющую определенную форму, завися-
щую от взаимного расположения колес и катков.
Гусеничный обвод может быть цепным или ленточным.
Ленточный обвод является частным случаем цепного
обвода, когда шаг звеньев цепи бесконечно мал. В этой
главе будет рассмотрен только ленточный обвод, изу-
чение которого имеет не только самостоятельное зна-
чение, но и является первым приближением к изуче-
нию цепного обвода.
Введем следующие наименования ветвей обвода
(фиг. 3): свободная ветвь — часть гусеницы, сво-
бодно провисающая между колесами (катками); дуго-
вая ветвь —часть гусеницы, лежащая на колесах
или катках; опорная ветв ь — часть гусеницы, опи-
рающаяся на грунт.
Таким образом, обвод состоит из свободных дуго-
вых и опорных ветвей. Если обвод свободный,
т. е. не опирается на грунт (машина условно припод-
нята над грунтом), опорная ветвь делается свободной
ветвью и провисает, а обвод в этом случае состоит
только из свободных и дуговых ветвей.
Свободную ветвь, растянутую тяговым усилием,
будем называть рабочей ветвью. При заднем
(5
расположении ведущего колеса рабочей ветвью будет
задняя наклонная ветвь, при переднем — тяговым уси-
лием будут растянуты, кроме того, верхние свободные
ветви; все они будут одновременно и рабочими вет-
вями. Свободные ветви могут провисать по некоторой
кривой, кривизна ее характеризуется радиусом кри-
визны р. Дуговые ветви имеют постоянный радиус
кривизны р = R. Если ветвь условно спрямлена,
то р = со, и кривизна ветви радна нулю.
Фиг. 3. Ленточный гусеничный обвод.
Условимся различать три вида гусеничного обвода:
гибкий, простой и упругий.
В гибком обводе отсутствуют внутренние силы
трения й силы упругости. В простом обводе
действуют силы кулонова трения, зависящие от растя-
гивающих обвод усилий. В упругом обводе, кроме
внутренних сил трения, действуют также и упругие
силы, зависящие от кривизны обвода.
Корпусом обвода будем называть ограничен-
ную плоскость, на которой центры дуговых ветвей
остаются неподвижными. Обвод может двигаться по
отношению к корпусу (относительное движение
обвода) и вместе с корпусом (переносное движение
обвода).
Примем следующие допущения:
1)	обвод имеет нулевую толщину;
2)	форма обвода неизменна и определяется в каждой
точке постоянным радиусом кривизны р;
3)	обвод нерастяжим и, следовательно, имеет
постоянный периметр;
4)	все точки обвода лежат в одной плоскости, со-
впадающей с плоскостью его корпуса;
7
5)	корпус обвода может двигаться только прямо-
линейно и параллельно плоскости дороги и не имеет
вращательного движения в своей плоскости.
§ 3. Принцип движения гусеничной машины
Рассмотрим движение гусеничного движителя,
состоящего из двух обводов, корпусы которых парал-
лельны между собой и жестко связаны.
При движении на каждый обвод могут действовать
внешние силы, лежащие в плоскости обвода и к нему
перпендикулярные. Если силы лежат в плоскости
Фиг. 4. Силы, действующие на гусеничный
движитель при прямолинейном движении.
обвода и их вертикальные составляющие взаимно
уравновешиваются, то движение корпуса обвода пря-
молинейно и параллельно плоскости дороги, при этом
предполагается, что начальные скорости корпуса
обвода параллельны плоскости дороги, а плоскость
дороги в свою очередь горизонтальна. Если, кроме
того, действуют силы, перпендикулярные плоскости
обвода, то корпус получает сложное вращательное
движение. Рассмотрим только прямолинейное движе-
ние корпуса. Так как оба обвода параллельны друг
другу, задача является плоскостной.
Пусть движитель имеет заднее ведущее колесо,
к которому приложен со стороны корпуса крутящий
момент М (фиг. 4). Под действием этого момента
задняя рабочая ветвь обвода натягивается усилием
п м
Р = -^- и стремится вытянуть опорную ветвь из-под
опорных катков. Так как опорная ветвь прижата
к дороге весом машины G, то между дорогой и опор-
ной ветвью возникают силы трения и зацепления,
равнодействующая которых, если пренебречь потерями
Я
Фиг. 5. Силы натяжения, действую-
щие в обводе при заднем ведущем
колесе.
на трение в обводе, равна силе Р. Касательную реак-
цию дороги, действующую на опорную ветвь и на-
правленную в сторону движения обвода, будем назы-
вать силой тяги обвода. Сила тяги по отноше-
нию к обводу является внешней силой. Она уравно-
вешивается силой сопротивления качению обвода R.
Сила R возникает вследствие лобового сопротивле-
ния /?0, действующего
под некоторым углом
к опорной поверхности
гусениц.
Приложим к оси
ведущего . колеса две
равные и противопо-
ложно направленные
силы Р (фиг. 5). Одна
из них вместе с силой
натяжения рабочей
ветви создает пару сил,
момент которой равен
величине крутящего
момента М. Другая
сила может быть раз-
ложена по двум перпендикулярным направлениям —
параллельно плоскости дороги и перпендикулярно
ей (Р’ и Р"). Сила Р' является силой, толкающей кор-
пус вперед. С другой стороны, на задний опорный
каток действует сила натяжения ветви Р и сила тяги Р.
Равнодействующая их также создает силу Р\, толкаю-
щую корпус вперед. Определим силы Р’ и Р\. Из
фиг. 5 следует:
Р' =•= Р cos а;
Pt = Р — Pcos а,
или сумма обеих сил будет:
Р' + Р[ =* Р cos а -|- Р — Pcosa = Р,
отсюда следует, что равнодействующая толкающих
сил равна силе тяги обвода.
Допустим теперь, что ведущее колесо переднее.
Приложим, как и предыдущем случае, к оси ведущего
колеса две равные и противоположно направленные
силы Р = (фиг. 6). Тогда одна из этих сил с силой
9
натяжения верхней ветви создаст пару, которая урав-
новесится крутящим моментом М. Другая сила будет
действовать на корпус. Ее горизонтальная, составляю-
щяя равна Р" и направлена против движения машины.
Растягивающие усилия верхней ветви и задней наклон-
ной ветви при отсутствии трения на оси направляю-
щего колеса равны друг другу. Тогда из фиг. 6 можно
Фиг. 6. Силы натяжения, действующие,- в обводе при переднем
ведущем колесе.
определить горизонтальные составляющие сил, дей-
ствующих на корпус:
Р" =—Pcosp,
Р' = PcosS + Pcoso,
Р\ — Р — Р cos х.
Складывая эти силы, получим:
Р' + Р'+ р; = -Pcos? + Pcos? +
4- Р cos а 4- Р — Pcos а - Р,
т. е. и при переднем расположении ведущего колеса
равнодействующая толкающих сил также равна силе
тяги обвода.
Таким образом, равнодействующая толкающих
корпус сил не зависит от расположения ведущего
колеса и при отсутствии трения между обводом и
корпусом равна силе тяги обвода. Этот вывод упро-
щает решение задач на движение обвода, так как
вместо сил натяжения в обводе позволяет рассматри-
вать единственную внешне приложенную к обводу
силу — силу тяги Р.
§ 4. Скорость, траектория и ускорение точек обвода
Возьмем на какой-нибудь ветви произвольную точку а
(Фиг. 7). Если корпус обвода движется с некоторой
постоянной поступательной скоростью v, параллельной
ю	I
оси XX осей координат X—Y, то точка а участвует
в двух движениях: в относительном движении обвода
относительно его корпуса со скоростью v0 и в пере-
носном движении вместе с корпусом со скоростью v.
Скорость т>0 направлена по касательной к обводу, ско-
рость v параллельна оси XX. Отсчитывая угол наклона
вектора скорости от положительного направления
оси XX, можем написать общую формулу абсолютной
скорости точки:
vа = ]/" ф2 4- vl -f- 2w0 cos ? .	(1)
Для разных точек обвода угол имеет различное
значение. Если верхняя ветвь условно спрямлена
и горизонтальна, то <р = 0 для ее любой точки. Тогда
cos<? = 1 и va = v + ъй. Для опорной ветви ср = 180°,
или COS <р = — 1, и
va^v — v0.	(2)
При v — получим для верхней горизонталь-
ной ветви t»rt = 2vo, для опорной ветви х»в = 0. Или,
если относительная скорость обвода равна посту-
пательной скорости корпуса, то точки, принадле-
жащие опорной ветви, в каждый данный момент
неподвижны, а точки, принадлежащие верхней гори-
зонтальной ветви, движутся с удвоенной скоростью
поступательного движения корпуса.
Если скорость относительного движения обвода г»0
не равна скорости поступательного движения его кор-
пуса v, то согласно формуле (2) опорная ветвь про-
11
скальзывает. Величину проскальзывания опорной ветви
характеризуют коэфициентом буксования
В самодвижущемся обводе может иметь место
только ‘VO>'V, в буксируемом обводе или обводе, дви-
жущемся по инерции, va В первом случае имеет-
Фиг. 8. Графическое построение траек-
тории точки обвода.
ся проскальзывание
опорной ветви, на-
правленное против
движения корпуса и
называемое бук со-
ванием. Во вто-
ром случае — отри-
цательное буксова-
ние, называемое
юзом. Если изве-
стны относительная
скорость обвода ’у# и
коэфициент буксо-
вания а, то скорость
корпуса обвода
ф = (1 — а)ф„. (4)
Траектория движения точки обвода. Примем, что
обвод состоит из спрямленных свободных ветвей р=со
и дуговых ветвей постоянного радиуса р = /?. Тогда
для свободных ветвей <р — const; при г»0 = const и v -
= const, т. е. точка, лежащая на свободной ветви,
движется с постоянной абсолютной скоростью va,
а следовательно, описывает прямолинейную траекто-
рию. Точка, лежащая на дуговой ветви, очевидно,
описывает циклоиду (при а = 0). Траектория точки
в этом случае состоит из отрезков прямой и циклоид.
На фиг. 8 показано графическое построение траекто-
рии точки. Так как точка участвует в двух движе-
ниях: относительном и переносном, причем скорости
v0 и v равны, то отрезок 1Г равен дуге окружности 01,
отрезок 22' равен сумме длины дуги 01 и отрезка 12,
или:	__
11' = 01,
22' = 01 + 12
12
й т. Д- Если обвод имеет буксование—отрезок 11*
меньше дуги 01 на величину буксования. То же и для
других отрезков. Если же обвод имеет юз, то отре-
зок И' больше дуги 01 на величину юза. На фиг. 9
показаны траектории движения точек: при отсутствии
проскальзывания опорной ветви, при буксовании и при
юзе. При полном буксовани и, когда а= 1, точка спи
сывает траекторию, копирующую форму обвода. При
полном юзе, когда скорость относительного движения
обвода v0 = 0, точка обвода движется прямолинейно,
параллельно горизонтальной оси.
Абсолютное ускорение точки. Проекция абсолют-
ной скорости на ось X—X и Y—Y (фиг. 7) будет
vax = V + cos
•Vay = Sin ?.
Диференцируя эти выражения по времени при v =
const и 1/,, = const, получим:
dva.	. dz
J * ~ ~3t~ ~
/y-V0COS'f^ .
13
Н°Л=1/ j'x+jv
Подставляя сюда /, и jy, получим:
Если в данной точке обвода радиус кривизны р,
а — угловая скорость поворота касательной, про-
„	d е
веденной через данную точку, то т>0 = р--т- , или
^ = -у-. Тогда
at р
v0
= <э'
Но это есть центростремительное ускорение точки. Для
спрямленных свободных ветвей р — оо и, следовательно,
v6
/а = 0. Для дуговых ветвей р = /?. Тогда ja — —r-
В точках сопряжения свободных и дуговых ветвей
кривизна обвода претерпевает разрыв непрерывности,
а следовательно, разрыв непрерывности претерпевает
и ускорение в этих точках. Это явление сопрово-
ждается мягким ударом, а следовательно, потерей не-
которой энергии. Мягким ударом в отличие от жесткого
удара в механике называют явление, сопровождающее
разрыв непрерывности ускорения. Потеря энергии при
мягком ударе ничтожна и составляет величину второго
порядка малости по сравнению с потерей энергии при
жестком ударе, когда разрыв непрерывности претер-
певает скорость.
Глава 11
ДИНАМИКА ГИБКОГО ЛЕНТОЧНОГО ОБВОДА
§ 5.	Кривая провисания свободных ветвей
Определим кривую провисания свободных ветвей
обвода, движущегося с постоянной скоростью vQ = v.
Так как равномерное поступательное движение никак
не может сказаться на характере провисания ветвей,
Фиг. 10. Силы, действующие на весомую
движущуюся ветвь.
то будем считать, что обвод имеет только относитель-
ную скорость движения v0, а в переносном движении
он не участвует.
Выделим на свободной ветви бесконечно малую
Дугу ds (фиг. 10) и рассмотрим ее равновесие под
действием приложенных к ней внешних сил. На дугу
Действуют силы:
1.	Сила натяжения P-}-dP со стороны верхней
части ветви.
15
2.	Сила натяжения Р со стороны нижней части
ветви.
3.	Сила веса dQ = qds, где q—вес, приходящийся
на единицу длины ветви.
..	> mvo 4 ( ds \ ,
4.	Центробежная сила а К = —— — ]vo~
— -jj-Vod®, где dp — изменение угла касательной, про-
веденной в крайних точках дуги ds.
Спроектируем силы, действующие на дугу ds, на
ось X и Y.
Проекция сил наось X:
(Р + dP) cos (ср + dp) —Pcos ср + sin (ср 4-	= 0.
Проекция сил на ось Y-.
(Р + dP) sin (ср + dcp) — Р sin ср — dK cos (ср 4-	= rfQ.
Пренебрегая бесконечно малыми второго порядка,
получим:
— Р sin ? <Zcp + dP cos ср -|- dK sin ср = 0;
P cos ср  dp 4- dP sin cp — dKcosp = c/Q.
Подставляя сюда rfQ — qds и dK = Porfcp, полу-
чим
— P sin cp cfcp 4- t/Pcoscp 4—d<p sin cp - 0;
qvn
Pcos cp dp 4- dPsin p-dp cos cp = qds.
Левые части этих уравнений представляют производ-
ные по rfcp от функции (р— -%-f)coscp и(р—|-^sin ср,
в чем нетрудно убедиться непосредственным диферен-
цированием. Тогда:
^ [( Р —) COS ~ 0’	(6)
d [( P~~g Sin ?] = qds’	-7)
Из уравнения (6) имеем:
(р—-ч- cos ср — С= const.	(8)
16
Умножив левую и правую части на tg<p = ^-, будем
иметь:
( Р —) sin <р = С .
\ g °/	dx
Заменив в уравнении (7) выражение, заключенное
в квадратную скобку, через С-~, получим:
Диференциал дуги может быть выражен через ди-
ференниалы dx и dy,
или	__________
ds = У dx2 + dy2 = |/" 1 +	]2dx,
или
Интегрируем это выражение, тогда
или
Но это уравнение можно представить в виде пока-
зательной функции:
Возьмем обратную величину:
17
числитель и знаменатель правой части умножим на
~ 57 + /”* 1 + (4г)21 тогда П0ЛУчим:
- (*+с,>
е с
£-+/+ш-
(б)
Вычтем правую и левую части выражения (б) из
выражения (а), получим
(v+Ct) -^-(х+С,) d
ес —е с = 2-^-.
dx
Интегрируя это выражение, найдем:
£±£1	_ .г+С,
У=-т(е а + е “ ) + С*>	(9)
где а = -у-.
Это есть уравнение цепной линии.
Таким образом., свободные ветви, весомого гусенич-
ного обвода, движущегося с постоянной относитель-
ной скоро.стью^ провисают поденной линии. ‘
г+С, _ ж+С,
Разложим функции е ° не "в ряд:
,	х+С,	,	(х + С1)«	J	(X + Q3 , (X + GH	,
е ~ +	а	“I 2 ! аа	I- 3 ! а»	"г 4!
1	x + G	,	(х + С,Г	(х + Ci)3	, (х + С,р	_
а	'	2! о2	3! а»	•“ 4! а*	' "
Пренебрегая членами четвертой степени и выше,
получим:
,..[! + ^tS>!]+C,.
Выбираем оси координат так, чтобы при х = 0, у = О
(фиг. 10), тогда:
v = 2CjX±x=	(|0)
Это есть уравнение параболы. Следовательно,
приближенно можно считать, что свободные ветви
обво\{а провисают по параболе.
1R ’>.
Определим постоянные интегрировании Сх и а. Для
этого нам должны быть известны (заданы) какие-ни-
будь два параметра, характеризующие кривую прови-
сания. Такими параметрами могут быть: положения
двух точек кривой 0—1 или положение одной точки
и угол наклона касательной, проведенной в этой точке
или в другой точке, заданной координатой х. Нако-
нец, могут быть заданы два угла наклона касательных
в двух точках или силы натяжения в какой-нибудь
точке и т. д. Пусть для примера нам задан угол
наклона касательной, проведенной к кривой в начале
координат <р0 и натяжение в этой точке Ра. Продифе-
реннируем уравнение (10):
dx а	'
dy
но = tg ? для произвольной точки, заданной коор-
динатами х, у. При х = 0 Или находим:
tg ?о =		(в)
Воспользуемся уравнением (8):
Р--------- -Го) cos ср = С = ад
при 'р = <?0, Р = Ро, или
(Ро—fo)cos?0 = ад.
(г)
Решая совместно уравнения (в) и (г), найдем по-
стоянные интегрирования а и СР Если заданы геоме-
трические параметры, например, координаты (хх, х2, уп
У 2) двух точек или координаты одной точки (xxjx) и
угол касательной <рх, то, пользуясь формулами
(Ю) и (11), найдем два уравнения, при решении кото-
рых найдем постоянные интегрирования а и Сх.
§ 6. Натяжение в обводе
Натяжение в свободных ветвях обвода. Натяже-
ния, действующие в различных ветвях обода, различны.
1ак» в свободных ветвях натяжение определяется
силами предварительного натяга, центробежными си-
лами, силами веса ветви; в рабочих ветвях к этим силам
*	19
. добавляется сила рабочего натяжения ветви; в опор-
ной ветви натяжение будет определяться, кроме того,
касательными и нормальными силами, действующими
]на ветвь со стороны дороги и опорных катков.
Определим натяжение свободных ветвей, пренебре-
гая трением на осях поддерживающих катков. Рас-
тягивающее усилие в точках сопряжения свободных
и дуговых ветвей 7—2,3—4 равны между собой (фиг 11),
так как в противном случае дуговые ветви не будут
Фиг. И. Натяжение свободных ветвей обвода.
уравновешены. Если крайние точки свободной ветви
лежат на горизонтальной прямой, то растягивающие
усилия в крайних, точках 2 и 3 равны между собой.
Из тех же соображений усилие в точке 4 равно уси-
лию в точке 5, а последнее, если пренебречь весом
дуги 5—6, равно растягивающему усилию в точке 6.
Усилие в точке 7 будет несколько меньше усилия
в точке 6, так как на точку б действует вес ветви 6—7.
Определим усилие в горизонтальной ветви 2—3.
Величина провисания ветви определяется относитель-
ной стрелой провисания /0 = у. Расположим оси коор-
динат, как указано на фиг. 11.
Подставив в формулу (10)х = у и у = —/, полу-
чим:
— Sfa = 4lCi + P.	(а)
Из формулы (11) имеем
а^=С. + х.	(б)
20
pj0 4У = tg<p, где ?— угол касательной в точке, опре-
tlx	i
деляемой координатой х. При х = ? касательная па-
раллельна оси Х-, по формуле (б) имеем:
О = 2G + I.	(в)
Решая совместно уравнения (а) и (в), найдем по-
стоянные интегрирования для горизонтальной ветви:
(12)
________1_
а~ 8/ “ 8/0 ’
г  _____L
Ci-	2 .
(13)
Из формулы (8) имеем
( Р---cos ср = С = const,
но С — ац, где q — вес единицы длины обвода. Отсюда:
(г)
Р = ^-+Ч
cos<p g
Натяжение меняется по длине ветви. Наименьшее
значение натяжения Pmin будет при х = когда cos О
имеет наибольшее значение, и наибольшее значе-
ние Ртах— при х = 0, когда cos с?0 имеет наименьшее
значение. Определим, насколько различаются натяже-
ния Ртах и Ртщ между собой. Из формулы (11) имеем:
dy__, Cj 4*
fv = tg<p=-l±-
при х==0, <р = <р0,
или
t<r ф = —
1ъ ?о — а •
Из тригонометрии известно, что
1
COS Ф =  	—
V 1 + tg2 ? ’
отсюда
1 1
COS ср0 =	--------=	.
+	Vi4-(4/o)2
21
Подставляя значение cos ср0 в формулу (г), получим:
Pmax = a^/l+(W + ^o2-
Из формулы (г)
Pmin = a? + |-4
или
Р max
^inin
aqVl + (4/o)2+fvo
9 2
a9 + g »o
Наибольшее значение это отношение получает
при т>0 = 0, т. е. при неподвижном обводе. Тогда:
^=/1 + (4/0)2 .
'min
Обычно в выполненных конструкциях f0= <0,05.
Р
Тогда наибольшее значение < 1,02, или Ртах
'min
меньше чем на 2°/0 отличается от Ршт. Отсюда при-
ближенно можно считать натяжение свободной ветви
по всей длине одинаковым. Подставляя в формулу (г)
величину а из формулы (12) и принимая, ввиду мало-
сти угла <р, cos ср = 1, будем иметь натяжение в свобод-
ной горизонтальной ветви:
<|4>
Здесь второй член определяет влияние цен-
тробежных сил. Из фиг. 12 видно, насколько значи-
тельно это влияние по сравнению с влиянием пред-
варительного натяга и веса ветви. График построен
для следующих данных: q = 150 кг1м,1 = 1,5 м, /0 = 0,05.
Из графика следует, что динамическое натяжение цепи
на ходовых скоростях (30—50 км час) в 3—7 раз пре-
вышает статическое натяжение. Динамическое натя-
жение при 80 км час превышает статическое натяже-
ние в 15 раз.
Центробежные силы, поскольку они приложены по
нормалям в точках обвода, не меняют формы обвода,
22
а следовательно, и не оказывают влияния на характер
провисания свободных ветвей Ч Таким образом, стати-
ческое и динамическое провисание ветвей будет оди-
наковым. Это позволяет замерять стрелу провисания
на неподвижном гусеничном обводе. При этом должно
быть ,выбрано“ провисание рабочих ветвей обвода.
Для этого машину трогают с места и, когда задняя
наклонная ветвь подтянется, ее затормаживают, после
чего замеряется стрела провисания /. Так как влияние
веса свободных ветвей незначительно по сравнению
с влиянием центробежных сил и сил предварительного
натяжения, межно считать, что натяжение в точке 7.
обвода (фиг. 11) равно натяжению в точке 6. При-
ближенно можно считать, что натяжение в любой,
свободной, ветви, горизонтальной или наклонной, оди-
наково и определяется формулой (14) для одной из
горизонтальных ветвей. При этом, если f определить
нельзя (например, при расчете вновь проектируемой
машины), задаются /0. Для выполненных конструкций
гусеничных обводов /0 = 0,03 — 0,05 (при подтянутой
задней ветви).
1 См. Hiitte, т. I, стр. 225, изд. 13.
23
Натяжение в рабочих ветвях обвода. К натяжению,
определенному по формуле (14), в рабочих ветвях
добавляется рабочее натяжение. Величина рабочего
натяжения равна силе сопротивления движению об-
Фиг. 13. Касательные реакции дороги, действующие на опорную
ветвь при отсутствии буксования ее.
вода /?0, или силе тяги обвода, равной половине силы
тяги машины. Тогда:
Pp = P + Ro,	(15)
где Р — определяется по формуле (14);
— определяется из условий движения машины
Натяжение в опорной ветви обвода. Натяжение
в опорной ветви определяется силами натяжения
в передней и задней наклонных ветвях. В задней ра-
Фиг. 14. Касательные реакции дороги, действующи* на опорную
ветвь в случае ее буксования.
бочей ветви действует натяжение Рр = Р-\-Р<) (фиг. 13),
в передней наклонной ветви — натяжение F. Чтобы
ветвь находилась в равновесии, к ней должны быть
приложены касательные реакции грунта Они мо-
гут быть как положительны (^Л),таки отрицательны
(2^1- Равнодействующая этих реакций должна ра-
вняться силе /?0. Производился следующий опыт.
24
Опорная ветвь разъединялась между двумя передними
опорными катками. Машина медленно двигалась впе-
ред почти до того момента, когда разрыв ветви под-
ходил к заднему опорному катку. При движении ма-
шины величина разрыва ветви не увеличивалась. Это
доказывает, что касательные реакции грунта уравно-
вешивают силы Рр и Р не на всей длине опорной ветви,
а лишь на ее небольшом участке. Остальной участок
ветви свободен от касательных реакций грунта, а
следовательно, не натянут. При увеличении натяже-
ния Рр и Р касательные реакции распространяются по
всей длине опорной ветви и при буксовании ее они на-
правлены в одну сторону (фиг. 14). В этом случае ветвь
полностью натянута, причем часть силы Рр, равная Р,
непосредственно передается через опорную ветвь как
сила ее натяжения.
Глава III
ПОТЕРЯ ЭНЕРГИИ В ПРОСТОМ ЛЕНТОЧНОМ
ОБВОДЕ И К. П. Д. ОБВОДА
§ 7. Потеря энергии в свободных ветвях
Потеря энергии в простом ленточном обводе опре-
деляется потерями на трение внутри ленты1. Работа
сил трения в единицу времени, или мощность, будет
равна моменту трения в данной точке обвода, умно-
женному на скорость относительного углового пере-
мещения двух соседних сечений ленты, находящихся
на бесконечно близком расстоянии от рассматривае-
мой точки.
Если кривизна ленты по ее длине не меняется, то
сечения одно относительно другого не получают угло-
вых перемещений, а следовательно, нет и потери энер-
гии. В свободных ветвях, провисающих по цепной ли-
нии, кривизна меняется вдоль ветви. Следовательно,
в каждой точке ветви имеется потеря энергии. Вы-
делим на кривой свободно провисающей ветви две
смежных малых дуги As (фиг. 15). Средняя кривизна
дуги As будет:
где Д<р — угол между касательными, проведенными
в крайних точках дуги As;
Рс — средний радиус кривизны ленты на участке
дуги As.
Аналогично для второй дуги будем иметь:
Ao I- А'-у = I___	(б)
As рс
1 Потерей энергии на мягкий удар и потерями на проскальзыва-
ние ленты в дуговых ветвях пренебрегаем.
26
Вычитая из равенства (б) равенство (а) и делая
преобразования, получим:
, ДрсД$
? ~ Рс (Рс — дРс) ’
здесь Д2<? — есть приращение малого угла Д<? или из-
менение угла между касательными. Обозначим Д’<р =
= Да. Величина эта будет второго порядка малости.
Тогда:
Фиг. 15. Определение изменения кривизны
свободно провисающей ленты.
Поделим левую и правую части равенства на
время М, за которое точка, лежащая на ветви, про-
ходит путь As. Тогда
Да Дрг Д$
Ы ~ Рс (Рс - 4Рс) ’	’
Если Д$ стремится к нулю, тоПт ^7) ~s —евть
скорость изгиба кривой в данной точке^ lira = v0 —
относительная скорость ленты. 11m рс = р— радиус кри-
визны в данной точке. Um (Ape) = dp— диференциал ра-
диуса кривизны. Um (рс — ДрД = р—радиус кривизны,
тогда:
27
Элементарная мощность, которая тратится на тре-
1ие в данной точке:
dN = sM,
где М — момент внутреннего трения в точке.
Согласно определению простого обвода этот мо-
мент зависит от натяжения ветви Р. Или М — у-Р,
где |л — некоторый коэфициент внутреннего трения,
величину которого мы принимаем постоянной (см. § 10).
Р—сила натяжения ветви, для рабочей ветви Р—
= Рр- Приближенно Р можно считать также величи-
ной постоянной. Тогда:
^V = s|xP=^Pt/0.
Проинтегрируем полученное выражение dN в пре
делах от р0 до рх.	*
Получим
но — 0о и = есть кривизна в крайних точках
кривой провисания, или
N = V.Pv^0-^).	(16)
Таким образом, потеря энергии вдоль свободной
ветви определяется разностью кривизны в крайних
точках кривой провисания.
“* Для любой кривой кривизна определяется по фор-
муле
(Ру
6-------—---г.	(17)
[,+ШГ
Уравнение цепной линии согласно формуле (9)
будет:
28
Отсюда можем найти первую
и вторую производные;
d*y — 1
dx* ~~ 2а
Определим значения этих производных для край-
них условий x = 0, x=Xj (фиг. 15), или:
Подставляя эти выражения в формулу (17) и делая
преобразования, получим:
8°= 7~сГ _ Cjx 2 ’	(В)
а)
~ Г х, + С, х, + еГ?2 •	'	(Г)
а\е а +е а )
Определим теряемую мощность в горизонтальной
ветви. Для этого случая мы имели формулы (12 и 13)
§ 6, гл. II:
Л_z.г__I
8/0 ’ С1 2 •
Примем *1 =	• Тогда:
а	32/о
ао- /(eV» + e-V„)2 •
61
29
Мы определили кривизну в точках, ограничиваю-
щих половину длины ветви. Для всей длины ветви
полученную разность (60 —О,) следует умножить
на 2. Потерянная мощность во всей ветви
К = ~Г- [(/Л + е~~^ ~ Р^’
где/o^-j—относительная стрела провисания ветви.
Если приближенно принять /о = 0,05, то формула
получит более простой вид:
ЛГ % 0,03-^Pv0.	(19)
Оценим численно полученное значение теряемой
мощности. Зададимся р- = 0,002 м, I — 1,5 м. Из фиг. 12
при vo=5O км/час (13,9 м 'сек) Р = 3500 кг. По фор-
муле (19) получим:
N' = 0,03	• 3500 • 13,9 = 1,96 кгм ’сек,
’1,5	’	’	’
или
N' = 0,026 л. с.
Теряемая в свободных ветвях мощность незначи-
тельна и ею в практических расчетах можно пре-
небрегать.
§ 8.	Потеря энергии в точках сопряжения
свободных и дуговых ветвей
Если принять свободную ветвь спрямленной, то
кривизна в точке сопряжения свободной и дуговой
Л	1
ветви теоретически меняется мгновенно от 0 до-^ .
Угловая скорость сечения до рассматриваемой
точки равна 0, после рассматриваемой точки она
равна угловой скорости дуговой ветви <о, или угло-
вая скорость сечения изменяется от 0 до “• Тогда
средняя угловая скорость сечения
30
Момент трения М = const. Тогда средняя
мощность, теряемая в точке сопряжения свободной
и луговой ветви,
=	(21)
Сравним полученную формулу с формулой (19).
Так как каждая свободная ветвь имеет две точки
сопряжения, то
^=0034-
R 1	,
В выполненных конструкциях <у , или N' со-
ставляет менее 1% от N. Из формулы (21) следует,
что теряемая в обводе мощность тем больше, чем
меньше радиус кривизны дуговой ветви. Кроме того,
мощность зависит от натяжения обвода, его относи-
тельной скорости и коэфициента внутреннего трения ц.
§ 9.	Коэфициент полезного действия простого
обвода
Коэфициент полезного действия обвода опреде-
ляется как отношение полезно используемой мощности
к мощности, подводимой к обводу. Полезно исполь-
зуемая мощность есть мощность внешних сопротивле-
ний, которые преодолевает обвод при движении. Если
суммарное сопротивление движению обвода обозна-
чить /?0 и принять, что проскальзывание опорной
ветви по грунту отсутствует, то полезная мощность
будет
Подводимая к обводу мощность равна:
/?о^о + 2Х
где УУ( — мощность, теряемая на внутреннее трение
в точках сопряжения свободных и дуговых ветвей
обвода (остальными потерями мы пренебрегаем).
Тогда в общем виде к. п. д. обвода выразится
формулой:
31
Подставляя сюда значение /V,- из формулы (21)
и сокращая числитель и знаменатель на Rovo, будем
иметь:
Здесь знак 2 относится ко всем точкам со-
пряжения обвода. Р— натяжение в / ветви об-
вода. Если/ — ветвь свободная, то Р,- определяется
по формуле (14, § 6, гл. П). Если / — ветвь рабочая,
то Р~ Рр и определяется по формуле (15).
Из формулы (23) следует, что к. п. д. простого
обвода тем выше, чем больше радиус дуговых ветвей
и чем меньше натяжение свободных ветвей. В свою
очередь натяжение свободных ветвей зависит от ква-
драта скорости обвода и веса единицы длины обвода q.
Кроме того, к. п. д. зависит от предварительного
натяжения. Из формулы следует, что к. п. д. также
зависит от суммарной силы сопротивления движе-
нию /?о или силы тяги обвода. Чем больше сила тяги,
тем экономнее расходуется мощность, тем выше
к. п. д. обвода.
§ 10.	Трение в шарнирной точке и коэфициент
трения и
Всякую простую (не упругую) ленту гусеничного
обвода можно условно рассматривать как состоящую
из звеньев малого шага, соединенных между собой
малыми простыми шарнирами, которые мы будем на-
зывать шарнирными точками. Под простым
шарниром мы понимаем обычный шарнир трения,
состоящий из двух колец, внутри которых свободно
помещен круглый диск (фиг. 16). Кольца шарнира
жестко связаны со звеньями. Шарниры обычных цеп-
ных гусениц являются простыми шарнирами. Здесь
роль промежуточного диска выполняет палец.
Кольца шарнира заменяются цилиндрическими поверх-
ностями проушин траков. Так как диаметр проушин
всегда больше диаметра пальца, то промежуточный
диск всегда имеет диаметр меньше диаметра колец.
Вследствие этого в простом шарнире всегда имеются
зазоры.
32
Рассмотрим работу простого шарнира, находяще-
гося на колесеи вращающегося вместе с колесом
с угловой скоростью <о (фиг. 17). При набегании
цепи на колесо звенья цепи получают некоторые
угловые и линейные перемещения.. В результате
этого кольца и промежуточный диск шарнира
также получают угловые и линейные перемещения.
Так как нас интересуют относительные, а не абсо-
лютные перемещения звеньев, то можно рассматри-
вать движение одного звена относительно другого
Фиг. 17. Перемещение шарнира
при набегании звеньев на колесо.
Фиг. 16. Простой шарнир.
соседнего, считая это последнее звено неподвижным,
или рассматривать движение двух соседних звеньев
относительно диска шарнира, принимая в этом случае
диск неподвижным. В последнем случае решение за-
дачи значительно упрощается. В дальнейшем будем
рассматривать движение двух соседних звеньев отно-
сительно неподвижного диска шарнира..
Так как диаметр колец шарниров больше диаметра
диска, то, считая элементы шарнира абсолютно жест-
кими, следует принять, что кольца шарниров могут
соприкасаться с дисками только в одной точке. До-
пустим, что кольца и диск в точках соприкосновения
не имеют трения. Это можно себе представить, если
предположить, что между кольцами и диском
имеется тонкая пленка смазки, не обладающая
вязкостью.
Рассмотрим равновесие промежуточного диска
шарнира. Если на поверхности диска не действуют
силы трения, то на диск могут действовать только
силы, нормально приложенные к его окружности,
а следовательно, проходящие через его центр. Так
как каждое кольцо соприкасается с диском в одной
точке, то нормальные силы приложены в двух точках.
3 А. С. Антонов 843	33
Чтобы диск находился в равновесии, эти точки должны
располагаться по [концам диаметра диска (фиг. 18),
а силы Р натяжения звеньев должны действовать
взаимно противоположно. Допустим, что одно из
колец шарнира обкатывается по неподвижному диску
без проскальзывания. Тогда звено цепи, принадлежащее
данному кольцу, повер-
нется на некоторый угол?,
а точка касания кольца
с диском переместится из
Фиг. 19. Положение звеньев
при отсутствии проскальзыва-
ния в шарнире.
Фиг. 18. Силы, действую-
щие на промежуточный
диск шарнира при отсут-
ствии трения.
положения I в положение 2 (фиг. 19). Так как равно-
весие диска возможно только при симметричном рас-
положении точек касания, то точка касания Г вто-
рого кольца переместится в положение 2', а второе
звено повернется на тот же угол, что и первое. Отно-
сительного углового перемещения оба звена иметь не
будут. Таким образом, без проскальзывания
в шарнире не может быть углового Пере-
мещения звеньев.
Допустим теперь, что кольца шарнира проскаль-
зывают, причем направление проскальзывания обоих
колец противоположное. Тогда точки соприкоснове-
34
Фиг. 20. Положение звеньев при нали-
чии проскальзывания в шарнире.
Направление проскальзывания
\ Верхнего звена
2^ Направлвние'проскальмвфм
нижнего эбена
ния / и 2 .могут оставаться на месте, а звенья повора-
чиваются навстречу одно другому, т. е. в сторону
проскальзывания колец (фиг. 20). Таким образом,
в случае проскальзывания в шарнире воз-
можно угловое перемещение звеньев.
Выше было принято, что трение между внутрен-
ними поверхностями колец и диском отсутствует.
В действительности
оно всегда имеется.
При наличии сил тре-
ния равновесие ди-
ска шарнира может
быть и при смещен-
ных точках сопри-
косновения (фиг. 21).
Действительно,если
р а в нодействующие
сил нормального да-
вления Nn касатель-
ной силы трения Т
равны и действуют
по хорде, то они
взаимно уравнове-
шиваются. Следова-
тельно, диск нахо-
дится в равновесии. В этом случае взаимный поворот
звеньев навстречу друг другу на угол 2а происходит
без скольжения в шарнире: кольца обкатываются по
диску.
Остановимся на этом вопросе подробнее.
Рассмотрим силы, действующие на диск шарнира,
при различном угле поворота колец звеньев. Так как
положение колец определяется положением точек
касания (фиг. 22), можно сами кольца не рассматри-
вать.
При повороте звеньев навстречу одно другому
точки касания последовательно занимают положения
2, 3 и Т1 д (соответственно для другого кольца Г,
2 > 3' и т. д. ). В положении когда точки касания
лежат на концах диаметра (начальное положение —
звенья спрямлены), силы, действующие на диск, не
Дают касательную силу трения. При перемещении
т°чек касания в положение 2—2' появляется каса-
тельная сила трения Т.
*
В положении 3—3' касательная сила трения уве-
личивается. Угол р (см. фиг. 21) между нормальной
силой и равнодействующей есть угол трения. Его
предельное значение определяется согласно закону
Фиг. 21. Равновесие сил в шарнире
при наличии трения.
Кулона из равенства
= tgpo =
где |*' — коэфициент
трения поверхностей
колец и диска.
Таким образом, сме-
щение точек касания
Фиг. 22. Изменение
величины силы трения
в зависимости от пе-
ремещения точки
сания.
возможно только до определен-
ного угла- Ро> после чего насту-
пает проскальзывание колец по диску.
ка-
Это
значит, что до определенного угла поворота звеньев
в шарнире имеется трение качения, потом наступает
проскальзывание поверхностей и связанное с этим
трение скольжения.
Установим связь между положением точки касания
и углом поворота кольца (а следовательно, и звена).
Обозначим этот угол а (фиг. 21).
Представим, что окружность а малого радиуса
перекатывается без скольжения по неподвижной окруж-
ности 3 большого радиуса (фиг. 23).
Если точка касания перешла из положения 1 в по-
ложение 2, пройдя дугу s, то окружность а поверну-
,,,	s г?'
лась на угол а = 3 —где угол 1	•
36
Равнодействующая сил трения Т и нормальной
ы jv параллельна оси диска, так как точки касания
Сиска с кольцами (2 и 2) смещаются на одинаковую
дугу Поэтому угол >' = ?. Следовательно,
й = 0 — и)
При = arc tg р' получим предельное значение
угла поворота звена при отсутствии проскальзывания
a0 = (l-^-)arc tgp.
Угол а0 есть угол по-
ворота одного звена. Для
обоих звеньев угол отно-
сительного смещения ра-
вен 2«'о-
Из последней фор-
мулы следует, что угол
поворота звеньев (2*0)
зависит от коэфициента
трения скольжения р' и
отношения радиусов шар-
г u к	Фиг. 23. Качение внутренней
нира Чем больше КО- окружности по внешней окруж-
эфициент трения, тем ности "Ри отсутствии проскаль-
больше предельный угол
поворота звеньев без проскальзывания в шарнире. При
р'=0, ао = о, т. е. в шарнире происходит чистое
скольжение (см. выше). То же будет, если в шарнире
отсутствует зазор, т. е. r = R.
В действительности всегда имеется неравенство
Я <1- Следовательно, 0 < а0< Если принять р'=0,2,
= 0,8, то ао = О,О4 рад = 2,3°. Или общий угол по-
ворота звеньев 200 = 4,6°. Таким образом, при при-
нятых данных простой, шарнир может работать как
шарнир качения примерно в пределах до 5°.
В гусеничном обводе шарниры работают в пре-
делах 15—25°. Поэтому в шарнирах имеется преиму-
щественно трение скольжения.
Если рабочая поверхность звена представляет не
Цилиндр, а плоскость (фиг. 24), тоR=oo. Тогда а0—?о—
37
Фиг. 24. Шарнир с чистым
трением качения.
углу трения. Это дает наибольшее значение угла 2а0
поворота звеньев при отсутствии проскальзывания.
При р.' = 0,2 угол поворота звеньев без проскальзывания
может достигать 2а0 = 24°, т. е. необходимого в обводе
угла поворота звеньев.
Для определения коэфициента трения в шарнирах
производился следующий опыт. Одно из звеньев гу-
сеничной цепи закрепля-
лось неподвижно, а к дру-
гому подвешивался груз.
Груз приводился в коле-
бательное движение и
по затуханию колебаний
определялся коэфициент
трения в шарнире. Как
показал опыт, коэфи-
циент трения в простом
шарнире зависит от угла
поворота звеньев. При
малых углах поворота
(по опыту до 8°) он зна-
чительно меньше, чем
при больших углах. На-
чиная примерно с 8° и
больше, коэфициент тре-
ния имеет максимальное
значение и остается по-
стоянным. Это подтвер-
ждает сделанные выше
выводы о наличии в простом шарнире трения качения
и трения скольжения.
Шарнир действительной гусеницы не является
идеальным шарниром. На трение в шарнире оказывают
влияние неровности его рабочих поверхностей, мате-
риал шарнира (сорт стали), термическая обработка,
характер трения (с абразивом или без абразива) и т. д.
Так, шарниры из стали Г-12 (ввиду ее склонности к на-
клепу, а следовательно, к повышению твердости рабо-
чих поверхностей) дают значительно меньший коэфи-
циент трения, чем, например, шарниры из простой
углеродистой стали. В табл. 1 приведены опытные
данные по коэфициенту у/ для некоторых типов шар-
ниров. Данные получены при испытании шарнира
маятниковым методом.
38
Таблица 1 *
Коэфициент трения в простых шарнирах
	Тип шарнира	H’iniii 1 	I	I ‘Umax
Игольчатый .			|	0,022	0,022
Обычный из	стали Г-12 		!	0,100	0,330
Обычный из	углеродистой стали ....	i — i	i	0,665 i
• Приведенные данные являются ориентировочными.
Как следует из таблицы, коэфициент р' колеблется
в широких пределах в зависимости от устройства
шарнира, материала пальца и угла поворота звеньев
Ртах И |*mln. ДЛЯ ИГОЛЬЧЭТОГО Шарнира КОЭфиЦИвНТ р'
не зависит от угла поворота
звеньев, так как здесь имеется
чистое качение. Величина коэфи-
циента р' от 5 до 15 раз меньше,
чем для шарнира из стали Г-12
При определении потерь в
гусеничном обводе принимался
коэфициент внутреннего трения
м
р-,
(25)
Фиг. 25. Силы трения,
действующие в шарнире.
где М — момент трения в шарнирной точке;
Р—растягивающее ветвь усилие.
Согласно этой формуле коэфициент р имеет размер-
ность длины. Выразим его через коэфициент трения
скольжения р'. Согласно выводам предыдущего пара-
графа, скольжение на диске шарнира направлено во
взаимно противоположную сторону. Тогда в противо-
положные стороны должны быть направлены и силы
трения Т (фиг. 25). Определим работу сил трения,
каждая из сил трения производит работу:
W - Tsf
Тогда”" ПУТЬ движения скользящей точки, равный

39
или для двух сил:
Г-=2И/'-2Т??,и.
Угол поворота обоих звеньев <? = 2<р'.
Тогда
W = Тугш.
Если имеется трение скольжения, то
Т = y-'N.
Приближенно можно считать N—P.
Тогда
IV = р'/Лр^,.
Это есть работа трения в простом шарнире при отно-
сительном повороте звеньев на угол <р. Если считать
р' = const (как некоторую среднюю величину), то
= м = р'Рги/.
<р
Но из формулы (25) М = рР.
Тогда
р = р'л«,	(26)
где р'—коэфициент трения скольжения в шарнире
определяется опытным путем;
гш— радиус шарнира (радиус пальца).
Из формулы (26) следует, что коэфициент р зависит
от коэфициента р', который для малых углов поворота
звеньев не является величиной постоянной. Поэтому
и коэфициент р до некоторого предела величина не-
постоянная. Однако для практических расчетов можно
принимать его среднее значение. Согласно табл. 1
Р можно принять равным 0,2 для простых шарниров
скольжения. Для шарниров качения (игольчатые шар-
ниры) коэфициент р следует принимать 0,02, т. е.
в 10 раз меньше, чем для шарнира скольжения. Это
примерно соответствует отношению коэфициентов тре-
ния качения и скольжения, принимаемых в общем
машиностроении.
40
§ 11. Числовой пример на определение н.п.д.
гусеничного обвода
В первом приближении цепной гусеничный обвод можно рас-
сматривать как ленточный обвод, состоящий из бесконечно малых
звеньев, связанных между собой шарнирными точками. Как будет
показано ниже, цепной обвод все же имеет существенное отличие
от ленточного обвода. Это отличие заключается в наличии удар-
ных потерь в цепном обводе и периодическсго изменения натяже-
ний свободных ветвей, иногда достигающего значительней вели-
чины и вызывающего дополнительные потерн в обводе. Все эти
потери зависят в первую очередь от шага звеньев и растут с уве-
личением шага. Для мелкозвенчатых цепей в первом приближении
этими потерями можно пренебречь.
Примем следующие данные обвода. Радиус шарнира г1и = 0,01 м,
вес звена G = 25 кг, шаг звена z = 0,165 м, пролет горизонтальной
ветви 1=1,5 л; относительная стрела провеса свободной ветви
yos=O,O3. Обвод имеет четыре дуговые ветви, каждая из них имеет
две точки сопряжения. Потерями на поддерживающих катках можно
пренебречь. Тогда обвод будет состоять из двух дуговых ветвей,
соответствующих переднему и заднему колесам, н двум дуговым
ветвям, соответствующих крайним опорным каткам.
Примем = /?2 = 0,25 м, R3 =	= 0,125 м. Пусть обвод
имеет заднее ведущее колесо. Тогда под рабочим натяжением
будут работать две шарнирные точки.
Пусть обвод движется по дороге, сопротивление которой
/?о = 15ОО кг. Определим к. п. д. обвода при скоростях движения
V1 = 15 км)час, v2 = 30 км, час, v3 = 50 км час.
Расчет. Приближенно можно считать
G 25
ч~ Z “о,16= 151’5'
Принимаем |/ = 0,2, или по формуле (26)
р. = р.'гш = 0,2-0,01 = 0,002.
Для свободных ветвей согласно формуле (14) имеем:	
Р,- '	. ?г2_ 1.5-151,5	, 151,5 152
	1			 — 1 ООП
8/о?+ g 1	8-0,03	Г 9,81	3,(-,2 ~ 1220 2
'1,5-151,5	151,5	зо*
8-0,03 + 9,81 ’	3 Q2 = 2020 кг,
1,5-151,5	151,5	502
Иа~ 8-0,03 + 9,81 ’	
	2 02 — оУои кг.
Для рабочей ветви согласно формуле (15):
PPl = Р, + R0= 1220 + 1500 = 2720 лгг,
РР1 = pi + #о = 2020 -I- 1500 = 3520 кг,
Рр, = Ра + /?0 = 3930 + 1500 = 5430 кг.
41
Тогда для свободных ветвей:
(2	= 1220 Coir + -оЖ) = 34 200
(2 )2 = 2020 ("W" + w) = 56 500 кг'м’
j/i\~ 3930 ( 0,25 + 6Д25О ~ 110000 кг/'м-
Для рабочей ветви:
(2 7>/)i = 2720 ( о,25 + 0,125 ) = 32 600 кг1м-
“ 3520 ( 0,25 + '0J25 ) = 42 200 кг1м'
= 5430 (“ЙГ + -0725 ) = 65 100 **/*•
или по формуле (23) определяем к. п. д.
f,i = ---0002-----------------= °’97’
1 +So(34 200 + 32 600)
Тй =-----0002----!-------------- °’95’
1 + f^7in (56 500 + 42 200)
1•1OUU
Ъ =------0002----!------------°’89'
1 +TTW(110 000 + 65100)
Таким образом, на максимальной скорости движения, соответ-
ствующей 50 км/час, 11% от подведенной мощности тратится
в гусеничном обводе. На к. п. д. обвода оказывает большое влияние
член
свободных ветвей. При скорости обвода 50 км/час

почти в 2 раза больше, чем для рабочих ветвей. Даже на
низшей скорости движения в 15 км/час этот член больше, чем для
рабочих ветвей. Это объясняется большим числом точек сопряже-
ния у свободных ветвей, чем у ветвей рабочих.
Глава IV
КИНЕМАТИКА ГИБКОГО ЦЕПНОГО ОБВОДА
Определения. Под цепным обводом будем понимать
замкнутую гусеничную цепь, состоящую из звеньев
равного шага, связанных между собой шарнирно, и
образующую некоторый контур, все точки которого
лежат в одной плоскости.
Цепной обвод может быть гибкий, простой
и упругий. В гибком цепном обводе в шарнирах не
действуют силы трения, в простом обводе в шарнирах
действуют силы трения, величина которых пропор/
циональна натяжению звеньев и не зависит от угла
их изгиба. В упругом обводе, кроме внутренних сил
трения, действуют пары сил упругости, величина ко-
торых пропорциональна углу изгиба звеньев и не За-
висит от их натяжения.
Цепной обвод, как и ленточный обвод, состоит из
дуговых и свободных ветвей. Под дуговыми ветвями
в цепном обводе будем понимать правильный много-
угольник, образованный звеньями, лежащими на ободе
колеса или катка. Свободными ветвями будем на-
зывать участки обвода, свободно провисающие между
дуговыми ветвями. Шарниры, одновременно принадле-
жащие свободной и дуговой ветви, будем называть
шарнирами сопряжения.
В остальном определения, данные для ленточного
обвота, полностью относятся и к цепному обводу.
§ 12. Сведение свободного цепного обвода
к системе четырехзвенников. Угловая скорость
шарниров сопряжения
При движении цепного обвода звенья его участвуют
в переносном движении вместе с корпусом обвода и
относительном движении относительно корпуса. Если
ринять движение корпуса прямолинейным и равно-
43
мерным, то переносное движение будет прямолиней-
ным и равномерным. В этом случае переносное движе-
Фиг. 26. Движение звеньев по дуго-
вой ветви обвода.
ние никак не сказы-
вается на силах инер-
ции, действующих в
обводе. Последние вы-
званы относительным
движением обвода. По-
этому' ниже рассма-
тривается только отно-
сительное движение
при неподвижном кор-
пусе обвода. При этом
допускаем, что веду-
щее колесо обво-
да вращается с
постоянной угло-
вой скоростью О).
Рассмотрим движе-
ние какого-нибудь зве-
на обвода при набега-
нии или сбегании его
на одно из колес
обвода. Звенья, лежа-
щие на колесе, можно считать расположенными сим-
метрично, т. е. касающимися колеса в средней
точке и образующими правильный многоугольник
Фиг. 27. Сведение цепного обвода к системе четырехзвен-
ников.
(фиг. 26). При вращении колеса шарниры звеньев
дуговой ветви движутся по окружности радиуса R'.
При этом для свободного обвода можно считать, что
звенья как одно относительно другого, так и по
44
отношению к колесу не меняют своего положения.
Тогда движение дуговой ветви определяется движе-
нием по окружности ее двух крайних шарниров
/ и 2. Если принять приближенно, что свободные
ветви обвода спрямлены и растянуты, то обвод
может быть представлен в виде системы жестких
четырехзвенников abed, a'b'c'd', a'b”c"d", a"b"'c"'d"
(фиг. 27). Здесь звенья а и с заменяют дуговые ветви,
Фиг. 28. Кинематика четырехзвенника.
звенья b — свободную ветвь, звено d—неподвижно
и заменяет корпус обвода. В четырехзвенниках рабо-
тают только угловые шарниры, связывающие звенья
а и b, b и с. Эти шарниры являются шарнирами
сопряжения дуговых и свободных ветвей. Рассмотрим
кинематику одного четырехзвенника (фиг. 28). Пусть
начальное положение звеньев определяется углами 0я,
О*, 0с. Дадим звену а малое угловое перемещение Д0я.
Тогда малые угловые перемещения получат звенья b и с.
Эти перемещения будут ДО* и Д0г. Составим уравне-
ния проекций крайних точек звеньев на оси X и Y;
a cos (6Я + Д6Я) + b cos [tv - - (0* + АО*)] +
+ с cos [- — (6С + A0J] - d,
a sin (6Я + Д6Я) — b sin [ж — (б* + ДО*)] -
— с sin [к — (6С + ДО^)] =0.
Выражая sin и cos суммы углов через sin и cos самих
углов и принимая cosAOa= 1, sin Д0я = Дбя, cos ДО* = 1,
sinA6* = A9ji) и т. Дм получим:
(a cos 0я — b cos 0* — с cos 0с) — a sin 0яД6Я +
+ b sin 0*Д0* + с sin 0cA6f = d.
45
Здесь выражение в круглых скобках равно d. Это сле-
дует из начальных условий.
Тогда будем иметь:
— a sin 9а • Д9а + b sin 96Д9й + с sin 9CA9C = 0.	(а)
Поступая аналогично в отношении второго уравнения
проекций, получим:
a cos 9аД6а — b cos Д94 — с cos 6СД9С •• 0.	(б)
Фиг. 2Р. Начальное положение звеньев.
Умножим уравнение (а) на cos9c, а уравнение (б) —на
sin 9С. Складывая оба уравнения, получим
Afi — £ siH(0c — 0а)	/271
~ b sin (9С - е»)	( °
Умножим уравнение (а) на cos9ft, а уравнение (б) —на
sin9d. Складывая уравнения (а) и (6), получим:
<28,
Отсюда следует, что угловые перемещения звеньев
b и с зависят от начального положения четырехзвен-
ника. Начальные углы 9а и 9с (фиг. 29) должны всегда
лежать в одном квадранте, так как углы <ра и <fc должны
быть меньше 180°. Только в этом случае звено b будет
натянуто. Кроме того, чем меньше шаг звеньев цепи
обвода по отношению к радиусу колес, тем меньше
разница между углами 9а и 9С. В пределе, когда цепь
превращается в ленту, углы 9^ и 9С становятся рав-
ными. Для мелкозвенчатых гусениц можно прибли-
женно считать 9дяа9е. Тогда из формул (27) и (28)
ПОЛУЧИМ
Д9Й = 0,	(29)
Д9С = ^Д9,.	(30)
46
Фиг. 30. Угловая скорость враще-
ния шарнира сопряжения набе-
гающей ветви.
Из уравнения (29) следует, что свободные ветви
обвода (звено b четырехзвенника) при движении не
получают угловых перемещений и, следовательно, дви-
жутся поступательно. Отсюда нетрудно заметить, что
угловые перемещения замыкающих шарниров четырех-
звенника, соответствующие шарнирам сопряжения сво-
бодных и дуговых ветвей, имеют те же угловые пере-
мещения, а следовательно, и те же угловые скорости,
что и соответствующие им боковые звенья или колеса
обвода, т. е. Д<ра - Д6а и
д<рг = Дбс.
Скорость вращения
шарнира сопряжения
равна скорости дуговой
ветви а>:
(31)
Если скорость дуговой
ветви постоянна, то по-
стоянна и скорость вра-
щения шарнира сопряже-
ния. Так как шарнир 1
(фиг. 30), двигаясь по
свободной ветви, имеет
угловую скорость, равную нулю, а с’ того момента,
как он начинает работать, его скорость равна постоян-
ной скорости дуговой ветви, то изменение скоро-
сти вращения шарнира происходит мгно-
венно. Рассмотрим движение шарнира 7 (фиг. 30)
с момента, когда он еще находится на спрямленной
набегающей свободной ветви. Свободная ветвь
движется поступательно; шарнир 1 не работает; звено а
последовательно занимает положения а', а", а ", соот-
ветственно шарнир 1 занимает положения 7', 7", 7'".
При положении а" звено приходит в соприкосновение
с ободом колеса—происходит удар. С этого момента
угловая скорость в шарнире получает сразу конечное
значение, равное угловой скорости колеса. Если шар-
нир принадлежит сбегающей ветви, то происходит
аналогичное явление, с той только разницей, что удара
в сбегающем звене не происходит. При рассмотрении
теории ленточного обвода угловая скорость изгиба
ленты в точках сопряжения принималась равной неко-
торой средней скорости, которая в свою очередь
47
равнялась у. В цепном обводе угловая скорость шар-
ниров сопряжения в два раза выше, чем угловая ско-
рость точек сопряжения в ленточном обводе. Отсюда
больше и потери в цепном обводе^
.Неравномерность движения цепного обвода.
7 Коэфициент неравномерности р
Поступательной скоростью обвода, или просто
скоростью обвода, будем называть проекцию скорости
его корпуса на плоскость грунта. В цепном обводе
Фиг. 31. Окружная скорость шарнира
сопряжения.
можно говорить лишь о средней скорости движения
обвода, так как движение его неравномерное. Если
рассматривать свободный обвод как систему четырех-
звенников, то из фиг. 31 можем написать для крайнего
шарнира а дуговой ветви:
.У = Я'sin?,	(а)
х = R' cos ©.
Так как замыкающее звено b четырехзвенника
(фиг. 29) движется поступательно, то все точки сво-
бодной ветви движутся так же, как точка а. Тогда
для свободной ветви можно рассматривать только
48
движение одной точки а. Диференцируя уравнения (а)
(б)
(в)
по времени, получим:
— R' cos ср • ад,
vox — — R' sin 'р <в.
Отсюда
/2	2
Х’о = У V„.r 4- voy •
или
— R'w.
(32)
Свободная ветвь в относительном движении пере-
мещается поступательно с постоянной скоростью,
равной окружной скорости крайнего шарнира. Дуго-
вые ветви движутся по окружности.
Определим скорость движения корпуса обвода.
Если считать, что ‘опорная ветвь не проскальзывает
по грунту, то скорость поступательного движения
ветви равна скорости ее относительного движения и
направлена в обратную сторону. Составляющая ско-
рости относительного движения, направленная вдоль
оси х, будет vox=—R sin <р • ш. Тогда скорость пере-
носного движения или скорость обвода
v = R' sin ср • ш.
Как следует из этой формулы, скорость корпуса есть
величина переменная, зависящая от угла ср. Угол ср
изменяется от <р0 до срх (фиг. 31). При значениях угла <?,
равных ср0 или <рх, функция v получает наименьшие
значения. Наибольшее значение функция v получает
при <р=90°. Но <ро=9О° — где сртах —центральный
угол многоугольника дуговой ветви. Тогда
“Утах “ R
ГУ ^тах
^т!п — г\ COCOS 2~
Но R' cos^’1 =R— радиус вписанной окружности или
радиус катка. Тогда umIn=/?«. Неравномерность дви-
[1ИЯ корпуса обвода будем характеризовать коэфи-
Ч ентом неравномерности
о vmax _ R
? “ "min R ’
4
А. С. Антонов
843
49
Выразим R' через шаг звена z, т. е.
R’ - ]//?’ +
Тогда коэфициент неравномерности
<33’
Таким образом, неравномерность движения корпуса
гусеничного обвода определяется отношением радиусов
описанной и вписанной окружностей дуговых ветвей.
Как следует из формулы (33), коэфициент неравно-
мерности зависит от шага звена и радиуса колеса.
Чем меньше шаг звена и чем больше радиус колеса,
тем равномернее ход обвода (машины).
Обычно для мелкозвенчатых обводов коэфициент 0
лежит в пределах 1,015—1,04, в крупнозвенчатых обво-
дах он иногда достигает 1,3. Такая высокая неравно-
мерность объясняется малым диаметром опорных кат-
ков и большим шагом звеньев. Коэфициент неравно-
мерности не пропорционален отношению шага звена
к колесу. В результате этого изменение отноше-
ния. , например, в четыре раза дает иногда изме-
нение неравномерности почти в 15 раз.
Коэфициент неравномерности характеризует не-
равномерность хода машины и динамические нагрузки
на движитель и моторно-трансмиссионную уста-
новку машины. В результате неравномерности движе-
ния фрикционные механизмы трансмиссии пробуксо-
вывают, а трансмиссия и двигатель получают пере-
грузку.
Из формулы (33) можно определить отношение
шага звена цепи к радиусу ведущей зубчатки Q0, если
задаться коэфициентом неравномерности.
Если мы хотим получить коэфициент неравномер-
ности движения < р0, то из формулы (33) будем иметь
Выберем отношение таким, чтобы неравно» 1
ность движения была меньше 2%. Тогда, приник я
50	J
•j =1,02 из формулы (33), получим ^<0,4.Отсюдасле-
ет чт0 неравномерность движения обвода (машины)
будет допустимой ( < 2’/0J, если радиус колеса больше
в два раза превышает ша.г гусеницы.
Из всего вышесказанного следует, что мелкозвен-
чатость гусениц определяется не шагом звена,
а отношением шага к радиусу колеса.
Фиг. 32. Движение задней ветви цепного обвода.
В несвободном обводе, когда опорная ветвь
располагается на плоскости грунта, особенно при
крупнозвенчатых гусеницах, явление неравномерности
движения протекает значительно сложнее.
Для исследования вопроса неравномерности дви-
жения корпуса обвода достаточно рассмотреть кине-
матику его задней рабочей ветви.
Допустим, что обвод движется по абсолютно жест-
кому грунту.
При движении корпуса обвода заднее звено гусе-
ничной цепи, лежащее на грунте, приподнимается
(фиг. 32). В положении 1 задняя свободная ветвь
имеет два звена. Начиная с положения 2, к свободной
ветви добавляется еще одно звено. Переход крайнего
звена к свободной ветви сопровождается перекаты-
ванием катка по звену и, следовательно, условие
свободного обвода — неподвижность звеньев относи-
тельно колеса — не соблюдается.
Рассмотрим кинематику задней ветви обвода.
*	51
Пусть корпус обвода движется с некоторой ско-
ростью v относительно грунта. Если рассматривать
движение обвода относительно корпуса, то послед-
ний можно считать неподвижным. Тогда механизм
задней ветви сводится к дезаксиальному механизму
(фиг. 33). Здесь звено а имеет вращательное движе-
ние с угловой скоростью ®, звено с — поступательное
движение со скоростью, равной скорости корпуса
обвода v, но имеющей обратное направление.
Фиг. 33. Дезаксиальный механизм задней
ветви цепного обвода.
Установим связь между угловой скоростью дуго-
вой ветви ® и скоростью поступательного движения
корпуса v.
Составим уравнение проекций отрезков на ось X — Х-.
х = d 4- a sin ср — & cos у,
но	____________
Y b2 — (h — a cos t)2
COS f -  ----J—,------— ,
ИЛИ	_b _	______
х = d 4- a sin ср — У b- — (h — a cos cp)2.
Диференцируя это выражение по времени t, по-
лучим:
dx - а с л q ю • a (h ~а COS ?) Sln ?
— a C’js ф », а -----------------—	*1 f
dt	' dt	У№— (h — a cos ?)2
dx dy
но — =v, -jj- = и; окончательно получим:
(h a cos ф) sin ф 1
v — cos ф----~~	- — a<o.
У b2 — (fi — a cos cp)2 ]
52
Обозначим:
/(?)= [cos Ф
(h — a cos ?) sin 9 1
|/ b2 — (fi — a cos <p)2 J
(a)
Тогда v = /(?)•<“•
Так как величина /(с?) есть функция угла поворота
луговой ветви, следовательно, величина переменная,
то при w = const скорость корпуса — величина пере-
менная. Наоборот, при v - const угловая скорость ду-
говой ветви есть величина переменная. Таким образом
f является характеристикой неравномерности дви-
жения гусеничного обвода. Изменение угла <р происхо-
дит в некотором интервале от <рг до <р2. /(<р) — есть
убывающая функция. Она имеет некоторое минимальное
и максимальное значение.
Обозначим:
,,, _ f (?)tnax .
7 ('P)mln
Тогда р' будет коэфициент неравномерности движе-
ния обвода в рассматриваемом случае. Чтобы опреде-
лить {!', надо знать начальное и конечное значение
угла и <р2, а также величины a, h, d, b. Наиболее
просто углы <рх и <р2, как и величины a, A, d, опреде-
ляются из чертежа гусеничного обвода рассматривае-
мой машины.
Для примера определим коэфициент неравномерно-
сти для машины, имеющей = 30°, <ра = 55°, а = 390 мм,
А = 540 мм, d = 350 мм, b = 600 мм.
Подставляя в формулу (а) величины a, h, d и b и
задаваясь углами <р в пределах 30—55°, получим сле-
дующие значения /(<р):
<Р	30°	35°	40е	45°	50°	55°
f(<f)	27,3	23,4	19,1	14,0	8,2	2,3
Отсюда следует, что /(<₽) есть убывающая функция.
Й™/(т,-“=27А/(”-=2А
а- _ Н?)тах _ 27,3	„
•	/(?)т1п “ 2,3 Х 1Z-
СТ <“ = const v падает в 12 раз. В действительно-
и, конечно, такого падения скорости не будет, так
к корпус машины обладает большой инерцией. Кроме
53
того, выше было принято, что крайнее звено цепи ле-
жит неподвижно все то время, пока опорный каток
катится по этому звену. В действительности звено будет
выворачиваться, так как опорный каток подрессорен,
а грунт не абсолютно жесткий. Поэтому коэфициент Р'
имеет лишь относительное значение как коэфициент
сравнительной оценки цепных обводов. Из анализа
функции /(<?) нетрудно заметить, что неравномерность
движения будет тем меньше, чем меньше угол на-
клона у задней ветви и чем меньше шаг звена цепи.
На неравномерность хода большое влияние оказы-
вает диаметр задних опорных катков. Чем больше диа-
метр задних опорных катков, тем равномернее ход
машины. В некоторых машинах диаметры крайних опор-
ных катков делают больше, чем средних. В этом случае
равномерность хода машины повышается.
§ 14. Средняя скорость движения обвода
Пусть ведущее колесо обвода за один оборот пе-
рематывает k звеньев. Тогда за п оборотов оно пере-
мотает kn звеньев. Все эти звенья выстилаются на
Фиг. 34. Цевочное заце-
пление.
пление.
Фиг. 35. Гребневое заце-
дороге. Следовательно, за п оборотов обвод пройдет
путь:
s — kzn.
Пусть п — число оборотов ведущего колеса в ми-
нуту, г— шаг звена в м. Тогда s выражает путь, прой-
54
денный корпусом обвода в минуту. Скорость движения
в км/час будет
V — О.Об&г-л.	(34)
При буксовании опорной ветви по грунту:
v 0,06 (1 — a) kzn,	(34')
где 0 — коэфициент буксования обвода.
По этим формулам определяется скорость движе-
ния гусеничной машины.
В гусеничных машинах встречаются два вида заце-
пления ведущих колес: цевочное (фиг. 34) и греб-
невое (фиг. 35). Для цевочного зацепления величина k
равна числу зубьев ведущего колеса, если цепь входит
в зацепление с каждым зубом зубчатки, или вдвое
меньше, если она входит через один зуб. Для гребне-
вого зацепления k равно числу роликов, ведущих цепь,
при условии, если все звенья имеют гребни. Если
гребни располагаются через одно звено, как на фиг. 35,
число роликов надо умножить на 2.
Глава V
ДИНАМИКА ГИБКОГО ЦЕПНОГО ОБВОДА
§ 15. Провисание гибкой цепи
Рассмотрим равновесие какого-нибудь звена k сво-
бодно провисающей цепи. Пусть звено провисает под
углом а.к к горизонтальной оси X (фиг. 36).
Фиг. 36. Силы, действующие на звено свободной
ветви.
На звено действуют следующие силы: О — вес звена,
Рк, Р'к— горизонтальные реакции шарниров, Qk,Qk—
вертикальные реакции шарниров.
Составим уравнения равновесия звена.
Уравнение проекций на горизонтальную ось:
Рh Рк^О.	(а)
Уравнение проекций на вертикальную ось:
Qk-G-Q'k = 0.	(б)
Уравнение моментов относительно правого шарнира:
Qkz cos ак — Pkz sin — G у cos aft = 0.	(в)
Из уравнения (а) следует, что горизонтальная соста-
вляющая натяжения цепи одинакова для всех шарниров.
56
Развернем уравнение (б) для последовательного
ряда п звеньев. Обозначим через Qo силу для крайнего
левого шарнира. Тогда можем написать:
Qi ”= Qo G>
Q2 = Q1 - О;
Qa — Qi— О
Заменяя Qj второго равенства из первого равенства,
Q' третьего равенства иа преобразованного второго
и т. д., получим:
Qi = Qn —G;
(?2= Q0-2O;
Qa= Qo-3G.
Или для Л-го звена правого шарнира получим
Qi = Qo - kG.	(35)
Из уравнения (в) найдем для &-го звена:
Qkz cos аА — Phz sin аА — G * cos xk = 0.
Заменяя здесь Pk = Ром Qk = Q'k_ i = Qo—(k — 1) G
и сокращая на z, найдем:
[Qo — (^ — 1) G] cos ak — Рй sin a* — cos аЛ = 0.
Отсюда
tg k~ PQ
Пусть ветвь имеет n свободно провисающих звеньев.
Тогда Qo = или окончательно:
=	ев)
Подставляя в уравнение (35)Q0 = y> получим:
(37)
57
В формуле (37) значение Q'k получаем для правого
шарнира &-го звена. Если число звеньев четное, напри-
мер п — 4 (фиг. 37, а), то из формулы (37) получаем
для k — 2:
Если число звеньев нечетное, например п = 5
(фиг. 37, б), то для среднего звена (k = 3) получим:
Знак минус показывает, что усилие направлено вверх.
Фиг. 37. Провисание цепи с четным
и нечетным числом звеньев.
Из формулы (36) для и = 5, Л = 3 получим:

Следовательно, звено горизонтально.
Исследуем характер провисания неподвижной го-
ризонтальной цепи. Выберем оси координат, как ука-
зано на фиг. 37, а. Тогда координаты осей шарниров
будут определяться по формулам
хк — z (cos ах 4- COS а2 + ... 4- cos аД
V* — z (sin «j 4- sin а2 4- • • • + sin аД
Плавную кривую, проходящую через оси шарниров,
будем называть кривой провисания цепи. Под-
58
(38)
считывая углы а,, «2 и т. д. по формуле (36) и под-
ставляя их в формулу (38), определяем координаты
кривой провисания.
Подсчитаем координаты кривой провисания цепи и сравним
ее с кривой провисания гибкой ленты (цепной линией).
Примем следующие данные для цепи:	160 мм» л«= 10, G =»
ж: 25 кг» Р=^ 1000 кг. Тогда из формулы (36) найдем углы наклона
звеньев: ai==6°25', а2 = 5°00', ^З^б', а4 = 2°9', аб = 0с43'.
Координаты точек кривой провисания будут в мм.
хх — 158,992;	= 318,384; х8 - 478,080;
17,888;	31,834;	у2- 41,800.
х4 = 637,968;	- 797,952 ;
у4=э .47,619;	49,669;
Подсчитаем координаты цепной линии. Уравнение цепной ли*
нии будет (§ 5):
х 4- Сх _ X + Сх
“ +е “ ) + С,.
Здесь at Cit С2 — постоянные интегрирования. Определим их
значения для данного случая. Продиференцируем у по х:
/	х + С,	_ х 4- С,\
dy а I х + С] а х -р С] а )
dx~ 2 \ а е	а е J'
I dy
Прих^р^ = 0, где /—длина пролета цепи. Отсюда
с,=Ч-
Из формулы (8) при v0»0, имеем:
Р cos ср ж С = aq.
Если известно Р и ср в начале осей координат Fo и то:
Fo cos
а.^ я
уравнения цепной линии имеем при х = 0 и
*) + Са.
Кроме того, из
(£1
еа + е
Подставляя сюда полученные значения а и будем иметь:
/ ld _ и \
п Fq COS сро |	Фо . 2Ft coi Фо I
С2*~~27“ \/	+ е	/ •
59
Так как I =* 2хь, то Сх — — хь = — 797,952. Равнодействующая
вертикальной и горизонтальной составляющих
Л> = /Qu + 'Po.
и Pq “= Ю00 кг.
Тогда Fq = 1007,8 кг. Cos ?0 определяется через tg<p0:
Qo 125 Л _
*И¥о — р0- юоо — °’125-
Л	25
Отсюда cos ?0 = 0,9922, q =	=0,1562 кг/мм.
Тогда а = 6400, С2= — 6448.
Или уравнение цепной линии получим в таком виде:
х - 797,952 .V - 797.952
у = 3200 (е 6400	6400	) - 6448.
Подставляя сюда значения х2 и г. д., найдем:
у1 = 16 мм, у'2 ~ 29 мм, у'3 = 42 мм, у4 = 46 мм, уь = 48 мм.
Сравнивая значения ординат цепной линии с данными, полу-
ченными для цепи, можно сделать вывод, что шарниры свободной
гибкой цепи располагаются по кривой, близкой к цепной линии.
§ 16. Натяжение гибкой цепи
Полученные в предыдущем параграфе формулы по-
зволяют определить натяжение горизонтальной ветви
гибкой цепи. Так как углы наклона звеньев цепи малы,
то можно принять:
,	.	/ л + 1	. \ G
tg«ft=sinaft = (—----Aj-p-.
Определим наибольшую стрелу провисания цепи /.
Из формулы (38) имеем:
.Утах =f = z (sin a, + Sin a2 + . . . 4- sin ak max),
где £max есть номер среднего звена. Для четного числа
звеньев Атах=у, для нечетного числа звеньев яп>ах=-2_
Нетрудно убедиться, что для любого числа звеньев Ашах
может быть выражено следующей формулой:
Атах - -2-Я-~1+(~ V" .	(39)
60
Тогда можем написать сумму синусов в следующем
виде:
‘“^тах
Ssin
2
или:
*-*тах
max
Здесь выражение в круглых скобках есть сумма Лтах
членов арифметической прогрессии:
'max
'max,
ИЛИ
i—k
max
Sc.	_	^max) ^max G
Sin a( - j	p- .
I — 1
Подставляя сюда значение Лта]£ из формулы (39),
получим после преобразования:
,_4л»-[1-(-1)л]« GZ
32	’ Ро ’
HO
[1 -(— ])«]»= 1 — 2(— 1)я + (— l)2n—2 (1—(—1)"].
Тогда
2Я2- l+(-l)”Gz •
7	16 Ро ’
Отсюда горизонтальная составляющая силы натя-
жения:
п 2л* — 1 + (—1)я Gz
------------------------16-----т	(40)
вид^₽И п четном — 11)”=0, формула (40) примет
61
Для мелкозвенчатых гусениц при достаточной длине
пролета можно в расчет принимать только четное
число звеньев. Тогда формула (41) будет общей фор-
мулой для определения горизонтальной составляющей
натяжения ветви.
Полная сила натяжения в крайних шарнирах

Или подставляя сюда значение Роиз формулы (41),
получим общее натяжение ветви:
(42)
Однако Го практически мало отличается от Ро,
поэтому можно пользоваться более простой форму-
лой (41).
Если в формуле (14) натяжения ленточного обвода
принять т>0=0, то
где/о-у: Т0ГДа
62
Из последней формулы может быть получена фор-
мула (41), если вместо I подставить nz, а вместо q—
тогда получим:
г	р _ nWG n*Gz
Отсюда следует, что обе формулы равноценны,
т. е. гибкую цепь можно заменить гибкой лентой.
В большинстве случаев в этом нет необходимости,
провисания гусеничной цепи
(при q = 35,4 кг/м).
Фиг. 39. Опытная и расчетная кри-
вая
следующие величины: стрела
’а>
конец к динамометру,
а за другой конец на-
гружалась при помо-
щи нагрузочного винта
(фиг. 38). Замерялись
провисания f и соответствующая ей координата ха
а также растягивающее усилие Ра. Высота Л и длина
пролета цепи I оставались примерно постоянными.
В результате получена зависимость Р как функция /
(сплошная кривая, фиг. 39). Для тех же данных была
построена кривая по формулам гибкой цепи (пунктир-
ная кривая). На участке, где /0 >0,01, обе кривые
совпадают. На участке, где /0 < 0,01, они расходятся.
•Здесь на провисание цепи оказывает влияние трение
в шарнирах. Для цепных гусеничных обводов обычно
/о >0,01. Поэтому трением в шарнирах можно прене-
брегать и определять натяжение по приведенным выше
формулам гибкой цепи. При /0 < 0,01 —по стреле про-
«сания натяжение вообще определено быть не мо-
ниРахСЛеДСТВНе сильного влияния сил трения в шар-
цеп АВИжУи*емся с постоянной окружной скоростью
ном обводе, кроме растяжения, вызванного пред-
63
варительным натягом, действует еще натяжение, вы-
званное центробежными силами. С достаточной для
практических расчетов точностью можно считать, что
натяжение от действия центробежных сил в цепи
определяется так же, как и для ленты, т. е.:
р « S- v2
“ч g и) 
„	G "
Заменим здесь ?-т,
Тогда
~ gz v°
Полное натяжение движущейся свободной ветви
цепного обвода
или окончательно
Р“(¥-+г?)0'	(42>
Для рабочей ветви:
Рр = Р + R»,	(43)
где /?0 — суммарное сопротивление движению обвода.
Глава VI
УПРУГИЙ ЦЕПНОЙ ОБВОД
§ 17. Определения и основные положения
Под упругим обводом будем понимать
обвод, в шарнирах которого действуют
силы упругости, моменты которых пропор-
циональны углу скр]
направлены обратно
ему.
Если обозначить угол
скручивания шарнира <р, то
согласно определению мо-
мент упругих сил,действую-
щих в шарнире, будет:
М = - Ь, (44)
чивания шарнира и
Фиг. 40. Углы, характеризую-
щие положение звеньев одно
относительно другого.
где k — коэфициент пропорциональности, который
в дальнейшем будем называть жесткостью шар-
нира и принимать одинаковым для всех звеньев
обвода.
У гол ср будем называть углом упругой закрутки
шарнира. В свободном состоянии, когда в шарнире
не действуют силы упругости, звенья, соединенные
шарниром, могут находиться одно относительно дру-
гого под некоторым углом <р0> который будем
называть углом предварительного изгиба
звеньев.
Пусть два звена а я б (фиг. 40) изогнуты одно от-
носительно другого под углом а. При рассмотрении
с На будем отсчитывать углы а и <р0 от соседнего
совой звена а' Причем, если углы направлены по ча-
ес о® стрелке, то будем считать их отрицательными,
против, то положительными.
А- С. Антонов 143
65
Угол упругой закрутки будет определяться по фор-
муле
? = а —?о-	(45)
Угол <р может иметь как положительное, так и от-
рицательное значение.
Допустим условно, что звено а закреплено, т. е.
неподвижно. Приложим к рассматриваемому звену б
внешнюю силу так, чтобы звено из свободного поло-
жения 1 перешло в положение 2. Тогда в шарнире, со-
прягающем оба звена, возникнут силы упругости. Мо-
Фиг. 41. Углы предварительного изгиба
гусеничной цепи.
мент упругих сил, действующих со стороны шарнира
на рассматриваемое звено б, будет равняться согласно
предыдущему М — — fop.
Докажем теперь следущие положения.
Положение 1. Если угол предварительного изгиба
одинаков для всех звеньев обвода (фиг. 41/ то он не
влияет на величину суммарного момента упругих
сил, действующих на рассматриваемое звено со сто-
роны сопряженных с ним звеньев.
При равенстве углов предварительного изгиба <р0
все звенья цепи изогнуты в одну сторону. В этом слу-
чае нетрудно убедиться, что ср0 для левого шарнира (7)
всегда противоположен по знаку <г0 для правого шар-
нира (2). Из формул (44 и 45) имеем:
/И] = — k (at -|- <р0),
ТИ2 ~ -• k (02	'р0).
Складывая и М2, получим суммарный момент
упругих сил, действующих на звено:
Л4 =	+ Af2 = - k («! + a2).	(46)
Таким образом, положение / доказано.
66
противоположно
Фиг. 42. Суммарный
момент упругих сил,
действующих на
звенья дуговой ветви,
равен нулю.
Следствие. Из положения 1 следует, что при, опре-
делении суммарного момента упругих сил, действую-
щих на звено, угол предварительного изгиба может
быть принят равным нулю.
Положение 2. Если звено имеет углы изгиба с со-
пряженными Звеньями a-равные и
направленные, то суммарный мо-
мент упругих сил, действующих
на рассматриваемое звено, равен
нулю.
Это положение непосредственно
слецует из формулы (46), если при-
нять <*! = — аг.
Следствие. Суммарный момент
упругих сил, действующих на
звенья дуговой ветви, равен нулю.
Из фиг. 42 следует, что углы
и а2 равны и противоположны
по знаку. Тогда согласно второму
положению Л4«=0.
В дальнейшем рассматривается
упругий обвод с равными углами
предварительного изгиба. Поэтому
в отношении его справедлива формула (46), которой
мы и будем пользоваться. Упругие гусеничные цепи
обычно имеют равные углы предварительного изгиба.
§ 18. Провисание свободной горизонтальной
ветви
Возьмем какое-нибудь звено свободно провисаю-
щей ветви упругого обвода и составим для него усло-
вия равновесия.
Пусть это будет звено т, если считать звенья от
крайнего левого звена ветви (фиг. 43). На звено дей-
ствуют следующие силы:
G —вес звена, приложенный в его центре тяжести
Р' р (цо седине звена);
— горизонтальные составляющие растягивающих
Q. усилий;
вертикальные составляющие растягивающих
усилий.
67
Кроме того, на звено действует пара упругих сил,
момент которой
М = — k (ат\ + am2).	(а)
Составим уравнения равновесия звена.,
Уравнение проекций на горизонтальную ось.
Рт = Рт-	(б)
Фиг. 43. Силы, действующие на звено свободной цепи.
Уравнение проекций на вертикальную.ось:
Q'm=Qm — G.	(в)
Уравнение моментов:
Qmz cos am — Pmz sin am - О cos am - M = 0,	(r)
где z —длина звена,
<xm — угол наклона звеньев к горизонтальной оси;
примем его для всех звеньев левой половины ветви
величиной положительной.
Из уравнения (б) следует, что силы Р во всех шар-
нирах звеньев равны между собой. Обозначим гори-
зонтальную составляющую силы натяжения ветви, при-
ложенную к крайнему левому шарниру Ро. Тогда лю-
бая из сил, действующих в шарнирах (Р{) по абсолютной
величине равна силе Ро, т. е.
Л = Р0-
(д)
68
Ha основании уравнения (35) можем написать для
от-го звена:
Q. = Q.-^a,
Qm_ i = = Qo—(m —1) о,
Pm = P0
Из фиг. 43 следует:
== — 1 —
или согласно формуле (а)
М = — k («я, _ 1 — 2ага	г ь
(е)
(ж)
(з)
(и)
Подставляя значение величин Qm, Pm и Л4 из фор-
мул (ж), (з) и (и) в уравнение моментов (г), получим
для /п-го звена:
(Qo — (т — 1) O]-zcos лт — Рог sin чт — G у cos а„ +
4* k (ат —1 — 2аст am + 1) — О-
Можно приближенно принять cos ат= 1, sin ат = ат.
Тогда получим:
[Qo - ( т — О z — (Рог + 2k) ат +
+ k (am-i + am+l ) = 0.
Для первого звена т = 1 и угол am _ i = а0 и
жение (к) примет вид:
(Qo — -у) г — (Рог + 2k) <*! + kfa + а2) =0.
(к)
вира-
(Л)
Звено с индексом 0 уже не принадлежит свобод-
ной ветви, но продолжает воздействовать на нее си-
лами упругости в шарнире. Угол «0, постепенно умень-
шаясь, принимает отрицательные значения. Найдем
предельную величину его. Для этого представим, что
ервое звено свободной ветви в рассматриваемый мо-
ент находится в положении 1 (фиг. 44). При повороте
Дуговой ветви (против часовой стрелки) звено перей-
это И3 положения ? в положение допустим, что
сан Положение бесконечно близко к положению ка-
ин звена с ободом колеса. Так как касания нет, звено
69
попрежнему принадлежит свободной ветви. В этом
положении угол между звеньями в шарнире сопряже-
ния будет равен центральному углу многоугольника
ДУГОВОЙ ВетВИ <рШах.
Фиг. 44. Положение крайнего звена
свободной цепи.
С другой стороны,
?тах с* ао
Подставляя «0 в выражение (л), получим:
(<?0— -у) г — {PfjZ + k.) di + k (ершах + 0tt) =0.	(m)
Фиг. 45. Силы, действующие на первое
звено свободной ветви.
В рассматриваемом предельном случае (фиг. 45)
согласно принятому выше правилу знаков <ртах < 0.
Пусть t-Q звено цепи имеет наибольшее прови-
сание (фиг. 46). Тогда для t звеньев можно написать
70
систему из линейных уравнений. Согласно уравнениям
(м) и (к) для последовательного ряда звеньев, начиная
с первого, будем иметь:
(Qo — 4) Z ~~	+ *0 ai + А С?™* + “«) = °>
Qo— | z — (Poz 4- 2k) а4 + k («! + а3) = О,
Qo— у Op - (Poz 4- 2k) а84- k (а2 4- а4) = 0, .
(н)
|Qo- (t-у) °] г - (poz + 2^) а, 4-
4* k (az_i 4- а<+1) «= 0.
Наиболее провисающее звено может находиться
в положении (а) (фиг. 46) или в положении (б), или
в каком-нибудь промежуточном положении. Если звено
Фиг. 46. Провисание свободной цепи.
находится в положении б,то согласно положению 2
(§ 17) суммарный момент упругих сил, действующих
а звено, равен нулю. Если звено t находится в поло-
к ении то угол а, + ] = — а,. Так как угол а, близок
нулю, то мы можем считать, что звено t всегда на-
ДИтся в положении б, т. е. горизонтально. В этом
7!
случае угол «< _ i= — ъ + i, угол at = 0. Последнее урав-
нение системы будет иметь вид:
(47>
В уравнение (47) неизвестные углы а не входят.
Таким образом, система уравнений (н) имеет t—1 урав-
нение. Последнее уравнение этой системы будет:
Z— (Л)2 + 26)ar i + ka.t-2 = 0.
Если ветвь горизонтальна, то Qo есть вертикальная
реакция от веса ветви. Пусть ветвь имеет п звеньев.
Тогда
Qo-(r-l—J-) 0
Подставляя это выражение в систему уравнений (н),
окончательно получим:
(л — 1) Z — (/%£ + k) «! + k Cfmax + Л») = 0;
(п — 3) ~ Z — (Poz + 2k) ot2 + k (a] + a8) = 0;
(n — 5) -2- z — (Po« + 2k) a3 4- k (a2 + a4) = 0;
(48)
— yjjGz - (Poz-f-2Л) a,-2 +
+ k (a/ -3 +	1) = 0,
- - (t - -)
2	\	2 /
Gz — (PQz + 2k) a,_i + kat__2 — 0.
Эта система имеет (t—1) уравнение с/—1 неиз-
вестными углами а. Все остальные величины должны
быть заданы.
Числовой пример. Будем считать силу Ро величиной заданной
(она будет определена в следующем параграфе). Пусть Ро = 1-000 кг,
п = 10, G = 25 кг, <?шах = — 0,5 рад, k=25 кгм, z — 0,16 м.
Определим из уравнения (47) номер наиболее провисающего
звена. Подставляем в формулу Qo ss . Тогда
, = 1+!	5.5.
72
Так как такого номера звена быть не может, мы округляем t
до целой меньшей величины, или t = 5. Таким образом, пятое
звено имеет наибольшее провисание, Согласно принятому допу-
щению, что наибольшее провисающее звено горизонтально, мы из
системы (48) должны взять четыре уравнения:
(п I) ~2~ 2 (PoZ + k) otJ + k (^pmax + Зз) e 6 J
(П - 3) z - (Po* + 2Л) aa + k 0ч + a8) ~ 0;
(л — 5) -y- z — (Pqz + 2k) a8 + k (aa + 04) о 0;
(Л - 7)-у * - (Po* + 2*) «4 +	— 0.
Четвертое уравнение будет последнее уравнение системы (48)
при t» 5.
Фиг. 47. Примерный график провисания
упругой цепи.
Подставляя сюда известные величины <pmax, п, Gt z, Ро и Л,
получим следующую систему уравнений:
185ц — 25а9 — 5,5 «= 0,
25ц — 210ц + 25ц + 14 = 0,
25а2 - 210ав + 25а4 4-10 = 0,
25а3 — 210ц 4-6 = 0.
Решая эту систему, найдем:
ц = 0,04 рад,
i3 0,07 рад,
i3 = 0,04 рад,
ц = 0,03 рад.
Ординаты осей шарниров определяются по формулам:
Vi =	= 0,04-160 — 6,4 мм;
у2 “ У1 +	= 6,4 + 0,07• 169 = 17,6 мм;
v3 = у2 + аыг = 17,6 + 0,04-160 = 24,0 мм;
y4^y:i + а4г = 24,0+ 0,03-160 = 28,8 мм.
73
На фиг. 47 приведена примерная кривая провисания упругой
цепи. Как видно из фигуры, вначале цепь изгибается на угол
меньший угла а2. Это объясняется влиянием момента упругих сил
в шарнире сопряжения.
Замечание. При большой жесткости шарниров цепи или ее
малой длине первые звенья могут получить обратный изгиб, т. е.
угол 04 будет иметь отрицательное значение.
§ 19. Натяжение свободной горизонтальной ветви
Допустим, что свободная горизонтальная ветвь
имеет некоторый изгиб (фиг.48). Отсечем условно правую
часть ветви в месте ее наибольшего провисания. Пусть
стрела провисания ветви /. В шарнире О действуют
силы Ро и Qo и пара сил упругости шарнира, момент
которой 7И0. В шарнире а действуют сила Ра, Qa и
пара сил упругости, момент которой Ма. Допустим,
что угол предварительного изгиба звеньев % = 0. Со-
ставим уравнение равновесия рассматриваемого участка
ветви. Для этого возьмем уравнение моментов отно-
сительно шарнира а:
Qo* (COS otj + cos а2 + . . . + 1) — Pof—
— Oz
у 4» f 1 4 у COS а,) + f 1 + cos og 4 1 cos aj 4
4 /1 4 COS a5 + cos a4 4 1 cos a, j + . .

Ввиду малости углов a можно принять cosax=l,
cos03=1, cosa8 = l и т. д. Тогда (cosa14-cosa2-|-
4-. .. 4*1) = t, где t — число звеньев рассматриваемого
участка ветви. Выражение, заключенное в квадратные
скобки, может быть представлено в таком виде:
1(1 +3 + 5...),
здесь 1-|-3+ 5+... есть сумма членов арифмети-
ческой прогрессии, разность которой d = 2. Тогда
j^l + (1 + у cos о,-j 1 + cos я- + 1 COS +
4^1+ cos a5 + cos a4 + у cos a3j + . . . j
= |4l2 + ’ 1)2] =1,
74
5
или:
Qo^-Po/- -^^-(Ч + Мв)=О. (а)
Если, как мы приняли выше, угол предварительного
изгиба ?о = О, то ввиду малости угла аа (фиг. 48)
Ма~0, момент Мо = — fopmax. Тогда уравнение (а) пере-
пишется в таком виде:
Допустим теперь, что '-Ро^О. Примем (р0 = <ршах-
Тогда Л4о = О. Так как угол а,~0, то Ма =— Л<ртах,
т. е. и в этом случае мы получим уравнение (б). Таким
образом, на натяжение ветви угол предварительного
изгиба влияния не оказывает. Если ветвь имеет п
звеньев, то согласно предыдущему можно принять:
Приближенно можно считать ветвь симметричной
и ее максимальный провис посредине. Тогда t= у.
Подставляя Qo и t в уравнение (б), окончательно по-
лучим формулу для определения горизонтальной со-
ставляющей натяжения свободной ветви:
Ро	•	(49)
Из формулы (49) можно получить формулу для
«тяжения гибкого обвода (формула 41), если принять
«есткость обвода А = 0.
75
Формула (49) показывает, что натяжение ветви за-
висит от сил упругости. Чем больше упругость ветви,
тем меньше требуется при данной стреле провиса f
сила натяжения Ра. Это положение не очевидно, по-
этому требует разъяснения.
Допустим, что упругая ветвь, представленная на
фиг. 48, потеряла упругость. В этом случае М0 — О, и
звенья ветви опустятся. Следовательно, увеличится
стрела провисания f. Чтобы получить прежнюю стрелу
провисания, ветвь придется подтянуть. Можно пред-
Фиг. 49. Провисание свободной ветви при
большой жесткости.
ставить себе, что жесткость шарниров —
подставляя в формулу (49), получим Р0 = О. При та-
кой жесткости цепь вообще не требует горизонталь-
ного натяжения. При этом стрела провисания будет
иметь нулевое значение (фиг. 49). Правда, ветвь в этом
случае получает изгиб вверх, так что провис факти-
чески остается, но отсчитывается от другой
оси (/')• Этот случай мы не рассматриваем, так как
в гусеничных системах он не имеет места благодаря
малой жесткости упругого гусеничного обвода.
В движущемся обводе к статическому натя-
жению (Ро) добавляется натяжение от центробежных
( Gvo\ т.
сил Тогда натяжение движущейся горизонталь-
ной ветви будет определяться формулой
р__ n*Gz , ^?max I Gvo
8/ + f zg -
Замечание. Мы принимали свободную ветвь сим-
метричной, т. е. радиусы крайних дуговых ветвей
76
(50)
равными. Если радиусы не равны, то наибольшее
провисание цепи не будет по середине ветви, а бу-
дет несколько смещено в сторону дуговой ветви боль-
шего радиуса. Это объясняется тем, что моменты уп-
ругих сил в шарнирах сопряжения свободной с дуго-
выми ветвями не будут равны. Чтобы соблюдалось
условие равновесия правой и левой частей ветви,
силы тяжести должны давать неравные моменты. При-
чем там, где момент упругих сил больше, часть ветви
должна быть длиннее.
При несимметричной цепи следует определять не
только стрелу провисания /, но и число звеньев до
максимально провисающего звена t. Зная t, определим
Q^ — Ot. Подставляя в уравнение (б), получим:
ОгР-Ро/- °-^+^?шах=0.
л
Отсюда находим:
р _ Gzta .
Г'о - 2f	'	f
(51)
Величина t, как и f, определяется непосредственным
замером на обводе. Если Ро определяется расчетом и /
задаются, то t может быть подсчитано. Зная общее
число звеньев свободной ветви, находят, что для пра-
вой части ветви число свободно провисающих звеньев
будет п — t. Подставляя в формулу (51) вместо t ве-
личину п— t и вместо ершах величину — <fmax (для пра-
вой дуговой ветви предельный изгиб крайнего звена
в обратную сторону), получим:
Р ___ Gz(fl — t)a ^fmax
-	2?	~ •
t
Приравнивая это выражение к выражению форму»
Лы (51), получим:
f = Т — ^'*('-?<пах + ?тах)'	<52)
Здесь t отсчитывается от дуговой ветви, централь-
Ый угол которой (ртах-
77
Числовой пример. Пусть радиусы вписанных окружностей
дуговых ветвей будут = 0,25 м и /?2 = 0,12 м, z = 0,16 лг, п =» 10,
G = 25 кг, k = 25 кгм. Определяем углы ?гаах и ср^ах:
. ^тах Z Q> 16 л АЛ
,g —
. ^тах z 0,16	, qq
,g-— =	=W = 1,33-
Отсюда ?max « -1.14; ?„ax = +1,81
Tot" -T-Trfeaff(-i.h+i.sd-s-o.42.
Как видим, изменение t по сравнению с < = Д незначительно,
. п
поэтому в практических расчетах можно принимать t = у 
§ 20. Определение жесткости упругой цепи
Определим жесткость k упругого шарнира, пред-
ставляющего собой
Фиг. 50. Определение касательных
напряжений в скручивающейся
резиновой втулке.
скручивающуюся резиновую
втулку (фиг. 50).
Пусть к внутреннему
слою резиновой втулки
приложен момент Ма.
Такой же момент, но на-
правленный в обратную
сторону, возникнет и на
внешнем слое резины.
Очевидно, в любом дру-
гом слое скручивающий
момент равен моменту
Ма. Возьмем слой, рас-
положенный на радиусе г.
В этом слое возникнут
касательные напряже-
ния т. Выделим элемен-
тарную дугу dS. Тогда
касательная сила, действующая на эту дугу, будет
равна:
dT = xdSl,
где / — длина втулки. Или момент этой силы
но dS  rd^.
78
d№ = dTr = ~fldS,
Отсюда:
dM = -гг1й\.
Проинтегрируем это выражение в пределах у=0,
2л.
Тогда
2к
Ма = J tr^dy = 2~-сг2/.
о
Фиг. 51. Скручивание резиновой втулки.
Отсюда напряжение:
Согласно этой формуле, касательные напряжения
во втулке будут распределяться вдоль радиуса, как
показано на фигуре: тШ|П будет на внешнем слое, тта1—
на внутреннем слое втулки. Установим связь между
моментом Ма и углом скручивания втулки ср.
Возьмем на втулке два концентрических слоя, на-
ходящихся один от другого на расстоянии dr, где г—
радиус внутреннего слоя (фиг. 51). При скручивании
втулки один слой относительно другого сдвинется на
величину dS = rfrtg9, но
'	te»=i.	(в)
Где х — касательное напряжение слоя;
О — модуль сдвига резины.
79
Угол сдвига 6 можно выразить ;через центральный
угол Действительно:
dS — dr tg 6 = (г -f" dr) dy.
Отсюда tg9 = r </?; или, пренебрегая dr в чи-
слителе, получим:
tg Ь = r^r .	(в)
Из формул (а), (б) и (в) получим:
Здесь 2S7j = const
Тогда
Ма С dr Ма I 1	1 \
г’ = 2it/Gl r2
Отсюда найдем значение момента М„:
(53)
Г\ Г2
ИЛИ
ь ZnlG	...
k == -j---Г •	(84)
Глава VII
ПОТЕРЯ ЭНЕРГИИ В ЦЕПНОМ ОБВОДЕ
И К. П. Д. ОБВОДА
В простом цепном обводе общая потеря энергии
складывается из следующих потерь:
1) на трение в шарнирах цепи; 2) на удар звеньев
об обод колеса; 3) на проскальзывание звеньев в ве-
дущем колесе; 4) на удар в зубьях ведущего колеса;
5) на осях дуговых ветвей.
В упругом обводе вместо потерь энергии на тре-
ние в шарнирах появляются потери в шарнирах на
упругий гистерезис. Остальные потери остаются те же,
что и в простом обводе.
Рассмотрим каждую из этих потерь и определим
к. п.д. обвода.
§ 21. Потеря энергии на трение в шарнирах
простого обвода
Как было показано выше, мелкозвенчатая гибкая
Цепь провисает по кривой, близкой к цепной линии.
Кроме того, потеря энергии в промежуточных шарни-
рах свободно провисающей ветви ленточного обвода
ничтожно мала (см. § 7. гл. Ш). Этот вывод можно
с Допустимым приближением перенести и на гусенич-
ную цепь. Поэтому потерями в шарнирах свободных
етвей мы пренебрегаем. Остаются потери на тре-
ветВевй шаРнирах сопряжения свободных и дуговых
нира°аЛаСН0 Ф°рмуле (31) скорость вращения шар-
2 — о>,
где « — угловая скорость вращения дуговой ветви.
А- С. Лнтоноп Я43	81
Момент трения, действующий в шарнире, равен:
М~?Р,
где у —коэфициент трения (величина, имеющая раз-
мерность длины);
Р—растягивающее усилие
Если принять ш и Р величинами постоянными, то
мощность, теряемая в шарнире сопряжения, будет:
N = MQ,
или
.V = (И)Р.
Заменяя ч = ?’гш , <о ,
К
получим:
V „	.	/55)
Эта мощность будет тратиться в каждой точке со-
пряжения обвода. Тогда для всех точек сопряжения
потерянная мощность составит
Ni= p'rm •	(56)
Здесь Pi — натяжение произвольной ветви (свобод-
ной или рабочей).
Для свободных ветвей согласно формуле (42)
р =-= ( п2г д. с,
p‘~\~Sf+ -gi) °
Для рабочих ветвей согласно формуле (43) натяже-
ние равно
Рр = Р + /?«•
Ориентировочно у/ можно принять из табл. 1 как
некоторую среднюю величину между р.тах и ymin.
§ 22.	Потеря энергии на удар звена об обод колеса
В § 12 было показано, что при набегании свобод-
ной ветви на колесо происходит мгновенная потеря
радиальной составляющей скорости звена и, следо-
вательно, потеря энергии на удар звена об обод ко-
леса. Явление удара в цепном обводе представляет
физически сложное явление, некоторые параметры ко-
82
торого неизвестны; так, неизвестно, какая масса сво-
бодной ветви участвует в ударе. Действительно, кроме
массы звена, непосредственно взаимодействующего
с ободом колеса при ударе, какая-то часть всей массы
свободной ветви также участвует в ударе. Часть
энергии непосредственно расходуется на удар, а часть —
на колебательное движение звеньев цепи. Энергия
колебательного движения гасится трением в шарни-
рах свободных звеньев. Кроме того, неизвестно, какая
часть энергии удара является обратимой и какая без-
возвратно тратится в цепи.
Фиг. 52. Удар в набегающей ветви цепного обвода.
Обозначим через с часть массы, участвующей
в ударе. Масса, участвующая в ударе, будет выра-
жаться формулой:
т — с ~ ,
£
(а)
где Q — вес звена.
Если в ударе участвует одно звено, то с =• 1. Явление
удара набегающего звена об обод колеса легко пред-
ставить себе на примере уже разобранного выше
четырехзвенника. Если боковое звено а четырехзвен-
ника вращается с постоянной угловой скоростью «>
(фиг. 52), то замыкающее звено Ь, как мы видели выше,
Движется со скоростью крайнего шарнира 1 поступа-
тельно. При повороте звена а окружная скорость шар-
нира меняет свое направление, и в момент касания
веном Ь обода колеса (положение 2) она имеет ко-
радиус* ВеЛНЧИНУ 10 И напРавлена перпендикулярно
По® м°мент касания происходит удар звена об обод.
нойерянна« ПРИ Ударе скорость равна Д® — вертикаль-
Мгн составляющей скорости ш R'. После удара звено
венно отделяется от звена b четырехзвенника и
83
в дальнейшем вращается вместе с колесом как одно
целое.
Определим потерянную при ударе скорость Д®.
Обозначим центральный угол многоугольника дуговой
ветви ершах. Тогда
bv — R'<d cos 90° —j — R'a sin 1 *2”1 >
но
sin
?max
~~2~
Z
Ж ’
ИЛИ
А® —
2ш
т •
Потерянная при ударе скорость прямо пропор-
циональна шагу звена цепи и угловой скорости ко-
леса. Согласно теореме Карно потерянная при ударе
живая сила равна живой силе потерянных скоростей.
Тогда потерянная живая сила будет равна:
w с g 2 ’
или
8g '
Заменим ® через относительную скорость движения об
вода v0.
где R — радиус вписанной окружности дуговой ветви
или радиус колеса. Тогда

W = c
Это есть энергия, теряемая за цикл, т. е. за время
работы одного звена.
Цикл равен
Приближенно можно считать <ртах = 4-
84
 Тогда Д/о=^; отсюда средняя мощность, затрачивае-
мая на удар на дуговой ветви, будет:
для всего обвода
<58>
Здесь знак £ распространяется на число дуговых
ветвей обвода. Из этой формулы следует, что ио-
терянная на удар мощность зависит от шага звена
й квадрата радиуса колеса-, кроме того, она зависит
от куба относительной скорости обвода.
§ 23.	Потери на проскальзывание цепи по ободу
ведущего колеса
Шаг гусеничной цепи не равен шагу ведущего ко-
леса. Это объясняется тем, что цепь по мере работы
изнашивается в шарнирах, и ее шаг постепенно уве-
личивается. Поэтому в некоторых случаях заранее
делают шаг ведущего колеса несколько больше шага
цепи. В результате этого цепь ведет всегда один зуб
ведущего колеса (см. фиг. 34). Между остальными
зубьями колеса и цевками цепи имеется все увеличи-
вающийся зазор. Когда ведущий зуб выходит из за-
цепления с цевкой цепи, ведущее колесо проскальзы-
вает относительно цепи на величину зазора, равного
разности шагов колеса и цепи
Д = z' — z.
Величина Д составляет для различных цепей от 1
Ао 5*/о От длины звена цепи, или
Д = (0,01-г-0,05) в.	(59)
о5 ^Сли ведущее колесо имеет k зубьев, то за один
Цеп^°Т ведУщее колесо проскользнет относительно
и на величину й-k, а за п оборотов на величину й-kn
85
Если п— число оборотов ведущего колеса в единицу
времени, то ййп есть скорость скольжения в еди-
ницу времени. В гл. IV была установлена зависимость
между скоростью движения обвода и величинами k, z, п.
v =	= kzn.
Отсюда можем записать среднюю скорость скольже-
ния ведущего колеса относительно цевки:
Фиг. 53. Натяжение дуго-
вой ветви при заднем
расположении ведущего
колеса.
<lt>o
Обозначим	—относитель-
ную величину разности шагов,
тогда
v' = Лог'о, (60)
или скорость проскальзывания
равна относительной, разности
шагов ведущего колеса и цепи,
умноженной на относительную
скорость обвода.
Из формулы (59) До составляет
от 1 до 5°/0. Следовательно,
скорость проскальзывания также составляет от 1
до 5% от скорости цепи. При проскальзывании
между ободом колеса и звеньями, лежащими на ко-
лесе, вэзникают силы трения, на преодоление кото-
рых тратится мощность двигателя. Величина потерян-
ной мощности легко подсчитывается, если известно
натяжение цепи, а следовательно, сила, прижимающая
звенья дуговой ветви к ободу колеса. Если ведущее
колесо заднее, то рабочим натяжением Рр (фиг. 53)
натянута только задняя наклонная ветвь обвода.
Верхняя ветвь (горизонтальная) натянута усилием
предварительного натяга. В момент скольжения цепи
веаущий зуб выходит из зацепления, и связь между
колесом и цепью осуществляется только посредством
сил трения, величина рабочего натяжения в этом слу-
чае будет:
P + R0>P’p>P-
Пусть трение между звеньями цепи и ободом колеса
определяется коэфициентом трения скольжения
еб
Тогда по формулам гибкой нити можно написать:
P'f » pe""' t
где «— Угол охвата цепи (фиг. 53);
е — основание натурального логарифма.
Момент пары сил, прикладываемой к ведущему
колесу, равен:
М - (Р'р — Р) R = («?“"’ - 1) PR.
Угловая скорость проскальзывания будет:
, V
ш -- 
R
Или мощность, теряемая на проскальзывание,
N' - М «Г.
Подставим сюда значения М и получим
Ar-A0(Z’	(61)
Здесь Р — сила статического натяга, определяемая
по формуле
р ж Ог .
8/
Из формулы (61) следует, что мощность, теряемая
на проскальзывание в ведущем колесе, зависит от
относительной разности шагов, статического натяга
цепи и относительной скррости обвода.
Определим в качестве примера N' для До = О,О2,
а = к, |Л" — о2) t>0 = 13,9 м/сек (50 км/час), п = 6, 0 =
=>25 кг, г = 0,16 .и, /=0,04 м.
N" = 0,02 (2,72°’’ •3,14 - 1) 450 • 13,9 =
= 110 кгм1сек=Л,5 л.с.
Как видим, N' — величина относительно малая, кото-
рой в практических расчетах можно пренебречь.
87
§ 24.	Потери на удар в зубьях ведущего колеса
Как указано в § 23, в момент выхода из зацепле-
ния зуба ведущего колеса связь между цепью и ко-
лесом осуществляется только через силы трения на
ободе колеса. За время проскальзывания появляется
разность скоростей между звеньями дуговой ветви
и обода колеса. Следующий зуб .догоняет* цевку.
В момент входа в зацепление нового зуба происхо-
дит удар его о цевку. Скорости цевки и зуба срав-
ниваются. Формула (60) дает значение средней ско-
рости скольжения. Действительная скорость скольже-
ния есть величина переменная, изменяющаяся от 0
до vmax. Если принять, что скорость цепи не меняется,
Ршах будет скорость в момент удара. Ее приближенно
можно определить как удвоенную среднюю скорость.
При этом предполагается, что закон изменения ско-
рости скольжения линейный. Тогда потерянная при
ударе скорость будет v^ax = 2Д0ц0. Согласно теореме
Карно энергия, потерянная при ударе, будет
Р	т( 2Д0 Vo)1
с =	-
Эта энергия теряется за один цикл Д£о. Тогда сред-
няя мощность, теряемая за цикл, будет
так как согласно предыдущему (§ 22) Д/о =	> то
М" 2т*г° ,,3
/V » —-—	•
Здесь т — масса, участвующая в ударе. Величина этой
массы может быть значительной, она определяется
массой ведущего колеса и связанных с ним шестерен
трансмиссии до первого фрикционного элемента.
Масса шестерен за этим фрикционным элементом, оче-
видно, в ударе не участвует, так как фрикционный
элемент пробуксовывает. При этом происходят по-
тери энергии на пробуксовку. Эти потери относятся
к потерям в трансмиссии, а не в движителе, поэтому
на них мы здесь не останавливаемся. Пусть масса
всех деталей, участвующих в ударе, приведена к оси
8в
ведущего колеса и выражается некоторым приведен-
ным моментом инерции Jo. Мы можем определить
угловую скорость ведущего колеса, соответствующую
окружной скорости . Она будет
l’m»x 2^0 Vo
” R
Тогда в момент удара маховая масса, вращающаяся
на оси ведущего колеса, теряет угловую ско-
рость —Потерянная живая сила этой массы
будет Г2 р v°y • Приравняем ее энергии, теряемой
за один цикл Е, тогда
Или окончательно формула мощности, теряемой на
удар в зубьях, будет
(62)
В первом приближении J9 можно принимать равным
моменту инерции ведущего колеса.
Примем Jo = 1 кгм1сек*.
/? = 0,25 м, До=О,О2, z = 0,16>k,	= 13,9 м:сек.
Тогда
N =-----Л л'у: ,д	= 215 кгм сек = 2,9 л. с.
Отсюда следует, что потеря на удар в зубьях веду-
щего колеса — величина небольшая даже на макси-
мальных скоростях (до 50 км[час). В практических
расчетах ею можно пренебрегать так же, как и по-
терями на проскальзывание, тем более, что при рацио-
нальном профилировании зубчатки впадина зуба опи-
сывается радиусом, большим радиуса цевки. В этом
случае выход из зацепления происходит при плавной
передаче нагрузки на следующий зуб и потери на удар
таким образом сводятся к нулю.
• Отсюда главными потерями в цепном гусенич-
н°м обводе являются потери на трение в шарни-
89
pax сопряжения и потери на удар звена об обод
колеса. Остальные потери в расчет могут не прини-
маться. Пренебрегаем также и потерями на осях ду-
говых ветвей.
§ 25. Коэфициент полезного действия
простого обвода
Подставляя в формулу (22)
24-- М + N>,
где
' V Л \Г	V 1
и деля числитель и знаменатель на получим
н' гш VI Pj Gzvo VI _1_
Ru Ri r C agR0 h
§ 26. Потеря энергии на гистерезис
в упругом обводе

Фиг. 54. Остаточная дефор-
мация упругого шарнира
при гистерезисе.
В упругом обводе шарнир представляет собой
скручивающуюся резиновую втулку. При периодиче-
ском скручивании втулки часть энергии тратится на
гистерезис в резине.
Рассмотрим подробнее
явление гистерезиса. Предста-
вим себе шарнир, связываю-
щий звено а и б (фиг. 54).
Закрепим звено а, а к звену б
приложим момент М. Допу-
стим, что звено б повернется
на угол <р и перейдет из
положения 1 в положение 2.
Если теперь освободить звено, то при абсолютной
упругости шарнира звено должно бы было занять по-
ложение /. В действительности оно займет поло-
жение 3, т. е. угол изгиба звеньев <р не равен углу
возвращения <?'. Одно полное движение звена будем
называть циклом. Тогда за цикл тратится энергия,
величина которой определяется площадью, эаключен-
90
ной между кривыми нагрузки и разгрузки звена
(фиг. 55). Каждый повторный цикл требует затраты
энергии. Энергия гистерезиса идет на нагрев резины.
При большой частоте циклов
нагрев резины может быть очень
значительным. Вследствие на-
грева резина должна терять свои
физические свойства. При этом
возможно появление остаточных
деформаций.
При испытании резиновых
образцов из синтетического кау-
чука на периодическое сжатие
(твердость резины по Шору
30—70, удельный вес 1,01 — 1,24,
модуль сдвига на 1 см толщины
Фиг. 55. Потерянная за
цикл энергия на упругий
гиетерезис.
3,36—11,62 в кг1смг) были полу-
чены следующие данные: потеря
энергии за цикл 16,1—77,3%,
уменьшение амплитуды дефор-
мации 8,5—52,4®/0. С увеличением жесткости резины
потеря энергии увеличивается. Испытание резиновых
подвесок также показывает большую потерю энергии
на гистерезис, составляющую 15—25°/0 от ее потен-
циальной энергии.
Рассмотрим ра-
боту упругого шар-
нира сопряжения
свободной и дуго-
вой ветвей. Каждая
дуговая ветвь имеет
два шарнира сопря-
жения на набегаю-
щей и сбегающей ча-
сти ветви (фиг. 56).
Если принять
Ф“Г- “ P,S™»“oTX So ST>^
<р0 =0, то в шар-
нире а (набегающей ветви) и в шарнире б (сбегаю-
щей ветви) будут действовать моменты упругих сил
Ма И Мд, противоположно направленные. По мере по-
ворота дуговой ветви угол <?а увеличивается, а угол <р«
уменьшается на величину угла поворота дуговой ветви.
91
Тогда в шарнире а накапливается потенциальная энер-
гия упругих сил. Если бы явление гистерезиса отсут-
ствовало, то эта энергия полностью возвращалась бы
в шарнире б.
Действительно, при повороте дуговой ветви за
цикл на угол <рШах шарнир а накапливает потенциаль-
ную энергию, максимальная величина которой равна:
Wa = k •
При этом шарнир а закручивается на угол «ртах.
Шарнир б за цикл раскручивается также на величину
угла ершах- Энергия, которую он отдает, равна
Таким образом, Wa = Wg.
Так как циклы для шарнира а и б обычно сме-
щены по времени, то в данный момент энергия, на-
капливаемая в шарнире а, может быть и не равна
энергии, отдаваемой в шарнире б. Смещение циклов
вызывает пульсацию натяжения свободных ветвей,
в результате чего энергия упругих сил может не
полностью возвращаться. Действительно, составляя
уравнение моментов внешних сил для дуговой ветви
(фиг. 56), получим:
PgRg - PaRa + Mg-Ma=0.
Приближенно можно считать Ra — Rg = R'.
В свою очередь
Ма = Mg = — k’fg ,
следовательно
(Ре—Ра) R' + k(<?a+ <fg) = 0.
По мере поворота дуговой ветви отрицательный
угол увеличивается, а угол <?g уменьшается, следо-
вательно, сумма <fa + <fg уменьшается, но тогда должна
увеличиваться разность (Рб—Ра).
Это может происходить только за счет изменения
сил натяжения Рв и Р«.
92
Определим теперь потерю энергии в точке сопря-
жения дуговой и свободной ветви на гистерезис.
Обозначим потенциальную энергию закручивающегося
шарнира Е, коэфициент, характеризующий потери на
гистерезис н- Тогда потерянная на дуговой ветви
энергия составит:
ЬЕ - н" Е•
Если принять линейную зависимость между абсо-
лютными значениями момента, закручивающего шарнир,
и углом закрутки:
М — kv>,
где k — жесткость шарнира, то при максимальном
угле закрутки сршах, равном центральному углу дуговой
ветви, будем иметь выражение затраченной энергии
при полной закрутке шарнира:
р Мтят *?тхх
2
Подставляя сюда Л4тах — #?тах, получим
р ^fmax
Г- “ ~2 ’
ИЛИ
Кр /"Мтах
ДЕ------— •
Деля это выражение на цикл (§ 22), получим
среднюю мощность, теряемую на дуговой ветви,
7У = —=
v ДГо 2
Учитывая ® И «ртах =	, ПОЛуЧИМ
(64>
Здесь 2 распространяется на все дуговые ветви.
Ориентировочно можно принять р" = 0,15—г—0,25.
Более точно р" должен определяться эксперимен-
тально в зависимости от свойств данной резины.
93
Из формулы (64) следует что мощность, теряемая
на дуговой ветви на упругий гистерезис, зависит от
сорта применяемой резины р", жесткости шар-
нира k9 шага звена цепи г и квадрата радиуса ду-
говой ветви R.
Пример. Определим потерю энергии на дуговой ветви, если
длина упругой втулки шарнира I = 25 см, внутренний радиус
втулки =1,2 см, наружный радиус втулки г2=1,7см, шаг
звена z = 16 см, радиус колеса /?=22 см.
Обвод движется со скоростью vo«50 км час. Жесткость k
определяется по формуле (54):
----г
Зададимся модулем сдвига мягкой резины G = 3,35 кг[см*.
Тогда
2-3,14.25.3,36 1С1Л
k — —j-----------— 15Ю кгсм * |.\1 кгм.
Задаемся наименьшим значением а"'-.0,16.
В этом случае:
.. 0,15.15,1.0,16.13,9
N в-------2^0 22»-----“ °2 кгм сек “ °»69 л-
Для простого обвода потеря энергии в одной точке сопря-
жения определяется по формуле (21)
Для двух точек дуговой ветви эта мощность составит
Сравним теряемую на трение мощность в дуговой ветви
в случае упругого и простого обвода
N _ ^kzv^R	kz
Ni 2R^PvQ e ,u ’ 2RP
Здесь р, — коэфициент трения шарнира, согласно формуле (26)
р,= примем р.' = 0,2 (коэфициент трения скольжения),
ги1 = 0,0125 м.
94
При скорости движения обвода ио=5О клцчас сила натяжения
свободных ветвей определяется главным образом центробежными
силами. Поэтому ориентировочно можно принять:
£
Если q = 70 кг/м, то
п 70-13,92 .,вп
Р=-^дГ-= 1380 кг.
Тогда
W _	0,15-2-15,1-0,16	„
N1 ~ 0,2.0.025-2-0,22- 1380 '
т. е. энергия, затрачиваемая на дуговой ветви упругого обвода,
в четыре раза меньше энергии, затрачиваемой на дуговой ветви
простого обвода.
Даже если принять у/" хе 0,25 (верхний предел), то и в этом
случае упругий обвод на высоких скоростях движения экономичнее
простого обвода.
/V
Отношение vy- зависит от силы натяжения Р; с уменьшением
/Vi
скорости движения обвода сила натяжения Р снижается. При-
чем Р зависит от квадрата скорости. Так, при скорости
v0 = 25 км/час
п 7Q'72 Э’П
Р”9,81
Тогда при сохранении всех прежних данных ^---0,99,
потери энергии в упругом и простом обводе почти равны. Если
учесть сделанное замечание в отношении коэфициента р'", то на
низких скоростях движения упругий обвод может оказаться менее
экономичным, чем простой обвод.
§ 27. Коэфициент полезного действия
упругого обвода
К. п. д. упругого обвода определяется по тем же
формулам, что и к. п. д. простого обвода, с той
только разницей, что вместо потерь на трение в про-
стых шарнирах сопряжения принимают потери на
Упругий гистерезис. Потери на удар звеньев об
°®од колеса остаются те же, что и для простого
06вода.
95
Тогда в каждой дуговой ветви общие потери энергии
будут:
у!" kz VI 1
N -—7J-
потери на удар:
л/=	у j_
8^ 2d /?2
Общие потери:

К. п. д. упругого обвода:
Г>У' , ,	* I '"А I О „ 2\V 1
+ 2/?0 k + CVe)Zj R?
(65)
Глава VIII
ТЕОРИЯ КАЧЕНИЯ ОПОРНОГО КАТКА
§ 28. Качение абсолютно жесткого катка
по абсолютно жесткой плоскости
В гусеничных машинах применяются опорные катки
двух типов: опорные катки с жестким стальным бан-
дажом и катки с упругим резиновым бандажом. По-
верхность, по которой катится каток (гусеница), может
быть жесткой (стальной) и упругой (обрезиненной).
Поверхность гусеницы,состоящей из отдельных звеньев,
не является ровной, так как между звеньями нахо-
дятся шарниры, а на самих звеньях — отверстия, сде-
ланные для облегчения гусеницы. Кроме того, сам
каток не представляет собой строго цилиндрического
тела. Все это при качении катка создает динамические
нагрузкй как на каток, так и на гусеницу, и связан-
ные с этим потери энергии. Чтобы выявить основные
явления, происходящие в катке при качении, примем
следующие допущения.
Каток считаем абсолютно жестким телом,
представляющим собой круглый диск. По-
верхность, по которой катится каток, есть
абсолютно жесткая плоскость. Эту пло-
скость будем называть опорной пло-
скостью.
Задачу рассматриваем как плоскостную.
Кинематика катка
Точка обода катка а участвует в двух движениях:
в °Тносительном движении относительно осн катка и
переносном вместе с осью (фиг. 57).
Обозначим 1*0 — относительную скорость точки,
v — переносную скорость; примем ее
»	постоянной величиной.
7 А. С. Аптонов Я13	97
Если допустить, что обод катка не проскальзывает
по опорной плоскости, то мгновенный центр враще-
ния катка лежит в точке б касания окружности катка
с опорной плоскостью. Абсолютная скорость движе-
ния точки а направлена перпендикулярно отрезку аб
и равна геометрической сумме относительной и пере-
носной скоростей.
Фиг. 57. Скорости движения точки обода
-катка.
Проектируем скорость v и vn на оси координат X
и У.
Тогда:
v = v. vv = 0;
t'o.v = т’о cos t; voy — — sin
или
Vax = v + v0 cos	(a)
-VoSincp,	(6)
где vax и vay—проекции абсолютной скорости va
точки а на оси координат X и Y; окончательно будем
иметь	________________________________
va = V2ax+ v2ay= ]/%2 + v} + 2z/-U0COS<p. (66)
В точке б ® = 180°, тогда:
va = v — г»0.	(67)
При отсутствии проскальзывания катка va=0-
Отсюда v-*v0, т. е. относительная скорость равна
переносной.	*
98
Ускорение точки при v^v0 = const найдем, дифе-
ренцируя выражения (а) и (б) по времени:
dvnr	. dv
----
dvnv	dv
Здесь = o> — угловая скорость катка,
Фиг. 58. Траектория движения точки обода
катка-циклоида.
или
Но v0 = «г, тогда
Ja - г<	(68)
9то есть центростремительное ускорение точки.
Определим траекторию движения точки а (фиг. 58).
•Vax = -%T = ‘vo(1 +cos<p);
dy
Vay=dT =—^osm <р.
СИтВыРазим Угол ?» определяющий направление отно-
сдедуеНОЙ СКОРОСТИ чеРез Угол е- Из фиг. 67 и 58
99
Подставив <р = г 4-9, получим
4г = V0(l — cos 9);
-^- = ^osin6; dt--=^-^^~,
dt V	co co
или, учитывая, что « = -у-, получим диференциаль-
ные уравнения:
dx=r(l — cos 9)rf0;
dy=r sin 9d9.
Интегрируя, найдем:
x=r9 — r sin 9+cji
у — — rcos 94-са
при 9=0, x=0, y=Q. Тогда cx=0, c,=r; окончательно
получим уравнение циклоиды
x=r(9 — sin 9),
y=r(l — cos 9).	(69)
Силы, действующие на каток
Если к оси катка приложен момент сопротивления,
каток будем называть ведомым, если приложен ве-
дущий момент — будем называть каток ведущим.
Рассмотрим силы, действующие на ведомый ка-
ток при качении абсолютно жесткого катка по абсо-
лютно жесткой плоскости. В этом случае можно счи-
тать, что момент сопротивления качению равен нулю.
Пусть к оси катка приложен некоторый момент со-
противления Мс (фиг. 59). Кроме того, к оси катка
приложена сила Q, нормальная к опорной плоскости,
и толкающая сила Р — параллельная опорной плоско-
сти. В точке касания катка должны возникнуть реак-
ции Q' и Р', равные и противоположно, направленные
силам Q и Р. Это следует из уравнения проекций сил
на горизонтальную и вертикальную оси. Сила Р’ может
быть только силой трения в точке касания.
Ее максимальное значение определяется величиной
коэфициента трения ц, т. е.
10 )
Из уравнения моментов при равномерном движе-
нии имеем:
ни	Рг = Мс.	(в)
Так как Р-=Р', то Pmax=PmaX=jiQ и Affmax = v-Qr.
Если момент сопротивления Мс меньше максимально
допустимого момента Affmax> то сила трения Р' меньше
максимальной силы трения /эта1, определяемой коэфи-
циентом трения ц. В этом случае в точке касания
абсолютная скорость катка должна равняться нулю,
следовательно, имеет место чистое качение катка по
плоскости.
Фиг. 59. Силы, действую-
щие на ведомый каток
при равномерном дви-
трения от скорости скольжения
железнодорожных колес по рель-
сам.
жении.
Если момент сопротивления Мс равен максимально
допустимому моменту Affinax, то сила трения Р1 полу-
чает свое предельное значение
В теории трения различают коэфициент трения по-
коя и коэфициент скользящего трения р.
Последний з а в и с и т от скорости скольжения
и уменьшается с увеличением скорости. На-
сколько значительна зависимость коэфициента трения
от скорости, показывает кривая (фиг. 60), полученная
по опытам со стальными железнодорожными колесами,
катящимися по стальным рельсам1.
Рассмотрим теперь явление торможениякатка.
Пусть момент сопротивления на оси кат^а
и момент pQr=const; тогда согласно второму закону
Ньютона
______ (г)
н й 11 е, т. 1, стр. 303.
101
где J—момент инерции катка относительно его оси;
^ — угловое ускорение катка, направленное в сторону
момента Мс. Каток замедляет свое вращение. При
этом скорость поступательного движения катка может
оставаться прежней или меняться в зависимости от
по величине толкающая
сила Р или нет. Если
P=const и меньше Pmaj
(при торможении), то
п' r> dv
Ртч — Р ТП »
где т — масса катка,
dv
—ускорение поступа-
тельного движения катка,
направленное в ту же
сторону, что и сила P'alv
т. е. замедляющее дви-
жение катка. В этом слу-
того, может ли изменяться
Ч'иг. 61. Проскальзывание катка.
чае торможение катка
будет одновременно и
торможением машины;
Если	то скорость поступательного движе-
ния v не меняется, хотя каток и замедляет свое вра-
щение. Машина тормозиться не будет. Первый случай
соответствует движению машины по инерции, когда
все катки являются ведомыми. Второй случай, — когда
часть катков является ведущими и с помощью их под-
держивается постоянное значение толкающей силы
при торможении катка.
Если скорость переносного движения (скорость оси
катка при торможении) оставалась постоянной (•u=const),
то согласно формуле (67) скорость в точке касания:
Va = v — v0 > О,
♦л. е. в этом случае точка касания проскальзывает
по опорной плоскости. Мгновенный центр качения
катка перемещается из точки а в точку б (фиг. 61).
С появлением скорости проскальзывания сила трения
упадет. Если при этом момент Мс на оси катка оста-
нется неизменным, то должен возрасти инерционный
момент М}, т. е. увеличится отрицательное угловое
1Я2
ускорение катка. Каток будет замедлять свою относи-
тельную угловую скорость быстрее, чем если бы коэ-
фициент трения не зависел от скорости проскальзы-
вания. Если момент Мс создается на оси катка при
помощи тормозов, то с уменьшением угловой скорости
катка <о момент Мс должен возрастать, так кай умень-
шается скорость проскальзывания между тормозным
барабаном и тормозными колодками. Это поведет
к еще большему притормаживанию катка. Таким обра-
зом, зависимость коэфициента трения ц от скорости
проскальзывания увеличивает эффект торможения
катка, т. е, уменьшает время, потребное на полное
его торможение (? = 0).
При 4fr>p.Qr каток прекратит свое относительное
движение, и в дальнейшем наступит чистое проскаль-
зывание катка, т. е. он будет двигаться поступательно
с переносной скоростью х». Отсюда следует, что в рас-
сматриваемом нами случае может быть либо чистое
качение катка (Мс < y-Qr), либо его частичное про-
скальзывание (Ме > |*Qr). Частичное проскальзывание
является лишь промежуточным состоянием, ограни-
ченным по времени.
Потеря энергии на качение. В дальнейшем мы не
будем рассматривать промежуточное состояние катка,
т. е. его частичное проскальзывание, которое является
явлением временным; рассмотрим лишь крайние слу-
чаи качения катка.
Если Мс < Qr, то скорость в точке касания катка
равна нулю и, следовательно, потеря энергии может
быть только на оси катка. Рассматривая равномерное
движение катка и принимая Мс = const, получим мощ-
ность, которая расходуется на оси катка:
W = Мс ш.
Так как проскальзывание катка отсутствует, то
^==^0-
Но vQ = «г,
отсюда
W = Я 7 >	(70)
где v — скорость оси катка (скорость корпуса ма-
шины).
103
Согласно формуле (в)-у£- = Р (толкающая сила).
Или
N-Pv,	(71)
или мощность, затрачиваемая на качение катка, равна
произведению толкающей силы, приложенной к оси
катка на скорость оси.
Если Afc>tiQr, то, как мы видели выше, через
некоторое время после начала торможения наступает
полное проскальзывание катка. Так как в этом случае
угловое ускорение отсутствует, то инерционный момент
равен нулю, но тогда момент сопротивления на оси
катка должен равняться моменту от силы трения, или
Ме = p.Qr.
Здесь значение у. соответствует согласно фиг. 60
скорости оси катка. Так как угловая скорость относи-
тельно оси равна нулю, то потери мощности на оси
нет. Мощность будет тратиться только в точке каса-
ния катка с опорной плоскостью
N ~ Ршах ,
так как Рш»х = hQ, то
N — y-Qv.	(72)
Так как коэфициент р. зависит от скорости и умень-
шается с увеличением скорости, то между N и v,
строго говоря, нет линейной зависимости.
м
Заменим в приведенной формуле pQ на
тогда
/V = AL->
с г
но эта формула аналогична формуле (70).
Таким образом, формулу (70) можно считать общей
формулой мощности, затрачиваемой на качение ведо-
мого катка.
а. Рассмотрим теперь ведущий каток.
В случае ведущего катка скорость поступательного
движения в общем случае не остается постоянной:
она может как увеличиваться, так и уменьшаться.
Пусть с осью катка связана некоторая поступательно
движущаяся масса, в которую мы включим и массу
104
катка. Обозначим эту массу т. Пусть, кроме того,
к оси катка приложено сопротивление движению
катка /?0, величина которого постоянна. Кроме этих
сил, на каток действуют силы, нормальные к опорной
плоскости Q и Q' (фиг. 62) и касательная Р (сила
трения), а также ведущий момент М,. Силу Р будем
называть силой тяги. Если движение катка не рав-
номерно, а например,ускорен-
ное, то на него действуют
силы инерции поступательного
движения, равнодейстующая
которых Rj приложена к оси
катка, и инерционный мо-
мент М}. Согласно принципу
Даламбера эти силы будут
приложены, как указано на
фиг. 62. Теперь мы можем рас-
сматривать каток как находя-
щийся в статическом равно-
весии.
Фиг. 62. Силы, действующие
на ведущий каток в общем
случае движения.
Составим уравнение проекций сил на горизонталь-
ную ось и уравнение моментов относительно центра
катка:
Р-/?у-/?о=О,
Me — Mj — Pr — Q.
Так =	=	=
то получим
(д)
№-Рг-4^=°	<е)
Здесь J — момент инерции катка относительно его
оси. В этих уравнениях нам неизвестны три величины
% и v. Таким образом, задача является статически
неопределимой. Примем следующее условие, которое
^Дет нам недостающее уравнение для решения задачи.
Пусть сила тяги P<|*Q. Тогда проскальзывание катка
в точке касания отсутствует, или согласно формуле (67)
v = ии
(Ж)
105
Теперь система уравнений (д), (е), (ж) может быть
решена. Исключаем из уравнений (д) и (е) силу тяги Р
и заменяем т0 равной ей величиной v. Согласно урав-
нению (ж) получим диференциальное уравнение каче-
ния ведущего катка при отсутствии проскальзывания
его:
dv =	dt.	(73)
rm + —
Примем М, = const. Тогда, интегрируя, получим:
v „	+ c
rm Н---
г
Если принять, что в момент ^«0, v—v', то c = v',
или
V = V’ + M>-R» r t.
rm Н---
г
При Me>Rbr имеем равноускоренное движение
катка. При Мв »/?ог — равномерное движение (движе-
ние по инерции), при Мв < /?0 г — равнозамедленное
движение.
Допустим теперь, что сила тяги P=hQh имеет
место проскальзывание катка. Тогда, подставляя вы-
ражение силы тяги в уравнения (д) и (е), получим ди-
ференциальные уравнения качения ведущего катка в
случае его проскальзывания:
V-Q — Ro — m-^ =0;
Me — pQr~ — ^- = 0.	(74)
в r г dt
Принимая I*, Ма и Ro постоянными и интегрируя
уравнение (74), получим:
m	«I»
106
Пусть при t = 0 v — v' и V(, — v'j, тогда сх «= v',
или окончательно:
'П-г''+^=Г^Л	(75)
M>-~j^rt.	(76)
Из этих уравнений следует, что поступательное
и вращательное движения являются равноускорен-
ными или равнозамедленными движениями: Причем,
поступательное движение катка не зависит от вра-
щательного движения. Так, при /?0=jiQ поступатель-
ное движение катка равномерное, а вращательное —
ускоренное или замедленное в зависимости от того
> pQr или Мв < pQr.
Так как второй член в правой части формулы (76)
обычно значительно больше второго члена формулы
(75), то поступательная скорость меньше вращатель-
ной скорости. Каток буксует. Явление это часто можно
наблюдать в автомобилях, когда при недостаточном
сцеплении ведущих колес с грунтом последние быстро
вращаются, в то время как машина медленно продви-
гается вперед.
§ 29. Кинематика абсолютно упругого катка,
катящегося по абсолютно жесткой плоскости
Считаем обод катка абсолютно упругим, а опорную
плоскость абсолютно жесткой. Это примерно соответ-
ствует качению опорного обрезиненного катка по
стальной гусенице. Рассмотрим кинематику ведомого
катка. В этом случае примем скорость поступатель-
ного перемещения оси x>=const. Будем рассматривать
установившееся движение, когда угловая скорость катка
<о = const.
Для удобства решения задачи будем считать ось катка
неподвижной, а опорную плоскость движущейся со
скоростью v, где v— скорость движения оси относи-
тельно неподвижной плоскости.
Пусть под действием вертикальной силы, прило-
женной к оси катка, каток сдеформировался (фиг. 63, а).
107
Рассмотрим движение какой-нибудь точки сопри-
косновения обода катка с опорной плоскостью, напри-
мер точку а. Будем ее называть опорной точкой.
При вращении катка каждая опорная точка имеет
движение вдоль опорной плоскости. Пусть при пово-
роте колеса на бесконечно малый угол dO точка из
положения а перешла в положение а', пройдя путь dx
(фиг. 63, б). Положение точек на плоскости опреде-
ляется радиусом р и р' и углом 0 и 0 — dO.
Фиг. 63. Качение упругого катка
по жесткой плоскости.
Можем записать:
dx = р sin 6 — р' sin (0 — d6),
здесь р'= р — dp. Подставляя р' и раскрывая синус
суммарного угла, получим:
dx — р sin 6 — (р — dp) (sin 6 cos de — cos 0 sin dO);
принимая
sin </6 = d6; cosd6 = 1
и пренебрегая бесконечно малыми второго порядка,
будем иметь:
dx = р cos ede -|- sin Odp.
Но р =	; диференцируя это выражение, получим:
COS1* □
Тогда

cos’6
108
Поделим левую и правую часть на бесконечно ма-
лое время dt.
Тогда
dx _ Гр dfl
dt ~ cos’ft dt ’
dx
но = vt есть скорость движения точки вдоль пло-
скости. Если принять, что каток имеет только радиаль-
ные деформации, т. е. линии, соединяющие опорную
точку с центром катка, остаются прямыми, то
dft
^==ш— угловая скорость вращения катка.
Или
т/i = -"гй- <•»•	(а)
1 cos’ ft	v ’
Разложим эту скорость на две составляющие
(фиг. 63, a): v’ — перпендикулярную радиусу р — окруж-
ная скорость точки и Vя—направленную вдоль радиуса—
скорость радиальной деформации обода. Окружная
скорость
V' = рш — Vi cos 6,
(б)
радиальная скорость
v" = Vi sin 6.
Подставляя сюда	а>,
получим выражение радиальной скорости:
т," =	ш.
cos- О
Из формул (а) и (б) следует, что скорости v' и v“
есть функции угла 0, который определяет положение
рассматриваемой точки относительно вертикальной
оси. Причем скорость v± меняется по величине, но не
меняется по направлению для-f-0 и —в. Скоростью"
меняется как по величине, так и по направлению. Так
Для-(-6 скорость v" направлена к центру катка и
является скоростью сжатия обода, для — 9 скорость v"
направлена в противоположном направлении (от центра)
и является скоростью распрямления обода. Так как
скорость всех точек опорной плоскости есть величина
постоянная, равная v (считая, что обод не растяги-
вается), а скорость точки, принадлежащей ободу, —
109
величина переменная, зависящая от положения точки
в данный момент, томеждуопорнойплоскостью
и ободом имеет место проскальзывание.
Величина скорости проскальзывания равна:
Дт/ = т>! — v,	(в)
если г»! >v, то скорость Дг» имеет направление то же,
что и скорость г»!, т. е. противоположно поступатель-
ной скорости катка v. В этом случае имеем буксова-
ние в точке. Если — юз, т. е. точка проскаль-
зывает в направлении поступательной скорости катка.
В точке, лежащей на вертикальной оси катка, скорость
= rOtu-	(О
Введем коэфициент проскальзывания катка, которым
будем характеризовать величину относительного про-
скальзывания средней опорной точки относительно
опорной плоскости
(77)
Если г0о> = 1>, то 8=1 и проскальзывание в этой
точке отсутствует. Если r0<o < v, то 8 < 1 и = гош < v,
тогда согласно формуле (в) в точке имеет место юз.
г2
Заменяя в формуле (а) r0<i> = 8v и cos2 0 = -х—2—,
'о + *2
где х — координата рассматриваемой точки от верти-
кальной оси катка, получим:
го + хг -
=------------------------я—ъф.
гп
Тогда согласно формуле (в)
( г;? + х’ .	\	f	xi \
Av -=(----------j-— 8 — llv = (o—
\ го	/	\	Г0
(78)
Исследуем эту формулу. При 8 = 1 будем иметь
л *2
Av = —5- V.
г0
Для всех значений х 0, Av — положительно, т. е. на-
правлено в противоположную сторону v— поступатель-
ной скорости катка (буксование). При х=0, Av=0, т. е.
средняя опорная точка не проскальзывает. На фиг. 64
но
приведена эпюра скоростей буксования опорных точек
для 6 = 1 (а). Кривая изменения скоростей является па-
раболой. Возьмем теперь 8 < 1, но близкое к единице»
например, 6 = 0,9. Для малых значений х<г
т. е. для точек, близко расположенных к средней
опорной точке Дг* — отрицательно (юз). Для осталь-
ных значений х, At’ попрежнему положительно. Таким
Фиг. 64. Скорости проскальзывания точек
опорной поверхности катка при а) В» 1
и б) Ь< 1.
образом, при 6 < 1, но незначительно отличающемся
от единицы, скорости скольжения опорных точек
меняют знак: в средней области опорной поверхности
имеет место юз, в крайних областях — буксование,
(фиг. 64, б).
§ 30. Силы трения, действующие на опорную
поверхность ведомого упругого катка
При качении ведомого катка на него действуют
следующие силы (фиг. 65): Q, Q'—нормальные к опор-
ной плоскости силы; Р—толкающая сила; М, —мо-
мент сопротивления на оси катка;Р' —равнодействую-
щая сил трения на опорной поверхности катка.
Рассмотрим подробнее элементарные силы трения,
возникающие на опорной поверхности катка, равно-
действующая которых равна Р'. Допустим, что про-
скальзывание катка отсутствует (8—1), т. е. средняя
Ш
Фиг. 65. Силы, действующие
при качении на ведомый
упругий каток.
опорная точка не проскальзывает по опорной пло-
скости. Как мы видели выше (§ 29), во всех точках
опорной поверхности катка, кроме средней точки,
имеет место положительное проскальзывание (фиг. 64,а),
но тогда в этих точках воз-
никают силы трения, напра-
вленные противоположно ско-
ростям проскальзывания. Ве-
личина этих сил определяется
нормальной нагрузкой, прихо-
дящейся на данную точку (Ду),
умноженной согласно закону
Кулона на коэфициент трения
скольжения ц (фиг. 66), или
ДТ = р.Ду.
Так как скорости точек ме-
няются незначительно, то
здесь и ниже коэфициент р принимается постоянным.
Во всех точках опорной поверхности, за исключе-
нием средней точки, элементарные силы трения будут
направлены по направлению движения катка. Так

Фиг. 66. Элементарные
силы трения, действую-
щие на точки опорном
поверхности катка в слу-
чае b = 1.
Фиг. 67. Элементарные
силы трения, действую-
щие на точки опорной
поверхности катка в слу-
чае & < 1.
как в средней точке сила может быть лишь
ничтожно мала, то равнодействующая сил трения
2ДУ направлена в сторону движения катка. Но
этого, очевидно, не может быть, так как в этом слу-
чае не будет соблюдаться условие равновесия силы Р'
с толкающей силой Р (фиг. 65). Таким образом, при
112
отсутствии проскальзывания средней опорной точки
качение упругого катка невозможно.
Допустим теперь, что8<1. Тогда согласно пре-
дыдущему в средней области опорной поверхности
имеет место проскальзывание точек, скорость сколь-
жения которых (Дт) направлена по направлению дви-
жения катка (фиг. 67).
Если 8 мало отличается от единицы, то в крайних
областях опорной поверхности скорости скольжения
попрежнему будут направлены в сторону, противопо-
ложную направлению движения катка. Тогда в средней
части опорной поверхности силы трения направлены
противоположно направлению движения катка, а по
краям — по направлению движения катка. Если сумма
отрицательных сил трения	по абсолютной
величине больше суммы положительных сил трения
2 (+ДУ), то равнодействующая Р' будет иметь отри-
цательное значение.
В этом случае будет выполняться условие равно-
весия сил Р и толкающей силы Р (фиг. 65).
Итак, качение упругого катка возможно только
при условии, если коэфициент проскальзывания катка 3
меньше единицы, т. е. имеет место частичный юз
катка.
§ 31. Определение коэфициента проскальзывания
упругого катка 3
Допустим, что удельное давление на опорную
плоскость распределяется по закону q=f (х) (фиг. 68).
•Элементарная сила трения, приходящаяся на длину dx,
будет:
dT = ^bf(x)dx,
где Ь — ширина обода катка.
Согласно предыдущему силы трения на участках
опорной поверхности 1—2 и 3—4 должны быть меньше
сил трения на участке 2—3 (фиг. 68). В интегральной
Форме это условие запишется так:
.гэ	°	®
8 А. С. Антонов 84g	ИЗ
Если считать величиной постоянной, то
17 (х) dx + J f(x) dx<jf (х) dx +	(х) dx.
Допустим, что удельное давление q = const.
Тогда из (а) получим:
(Xj — Х2) + (х4 — Х3) < Х3 + Xi.
(aj
(б)
Здесь Xi, х2 и т. д. — абсолютные значения коорди-
нат точки, т. е. сумма отрезков 1 2-\-3 4 должна
быть меньше отрезка 2 3.
Из формулы (78)
Л f Ло+Х2
AV= —2—
\ г0
принимая Дг/=О, найдем значе-
ния х2 и х3:
давлений на опор-
поверхность катка.
Фиг. 68. Эпюра нормаль-
ных
ную

Хз = Г0у -L-1 ;
в неравенство
как
координат, то:
Х2 = — г0 у 4" ~ 1 •
Так как 8<1, то величина
под радикалом действительна,
п *	z ,
Пусть х1 = х4 = ^, где /—длина
опорной поверхности катка. Так
(б) входят абсолютные значения
-1.
Х2 = ГО }/ 4- - 1 >
или будем иметь:
/	2г0	~	< 2г0
Отсюда найдем значение коэфициента про-
скальзывания:
о
1
Из этой формулы следует, что чем больше длина
опорной поверхности I и чем меньше радиус гй, тем
114
меньше коэфициент 8, тем больше проскальзывание
катка.
В табл. 2 приведены опытные данные по значениям I
и г0, полученные для обрезиненного опорного катка
с массивной шиной для различных нормальных нагру-
зок на ось катка Q. Здесь удельное давление q при-
нималось как среднее удельное давление, т. е.
где S—площадь отпечатка катка на жесткую сталь-
ную площадку.
Таблица 2
Значения I и г0 (при г — 15 см)
Q в кг	<7 в кг)см2	b в см	''о в см	/	1 в см
200	7,6	4,8	14,75	5,5
280	9,0	4,9	14,66	6,4
360	10,3	5,0	14,59	7,0
480	12,0	5,1	14,46	8,0
Из этой таблицы могут быть определены крайние
начения величины
^- = 0,093-4-0,138.
Тогда для этого случая коэфициент проскальзы-
ания будет
8 <(0,9914 -4-0,9808).
Или проскальзывание средней опорной точки может
вставлять более 1—2% в зависимости от нормаль-
ой нагрузки, приходящейся на ось катка. С увели-
°нием нагрузки проскальзывание увеличивается.
'ы определили только один верхний предел коэфи-
иента 8. Определим теперь его нижний предел.
Составим уравнение моментов внешних сил, дей-
гвующих на каток относительно оси катка (см. фиг. 65):
Р'г0 - Мс - /(?' = 0.
Отсюда
pi — Me + /Q
г0
115
Здесь f—смещение реакции Q' относительно верти-
кальной оси.
f есть коэфициент трения второго рода, или коэ-
фициент трения качения. Размерность его — в единицах
длины. Физический смысл коэфициента трения качения
иной, чем коэфициента трения скольжения. На этом
вопросе мы остановимся ниже. Здесь будем считать /
величиной заданной. Если также задан Мс — момент
трения на оси катка, то делается известно и значение
силы трения Р':
Р' = ( \dT4- \dT ) | T + Ur).
\6	6	/	\.r,	.V,	/
Примем, как мы это делали выше, удельное да-
вление q = const.
Тогда:
I dt — pbqx3;
6
А'а
f dt = pbqx*;,
6
j dt = pbq (*! — x2);
X.J
f dt -- \>-bq (x4 - x3),
P' ?bq [Оз + x2) (Xt x2 + xi - x3)| -=
= pbq (2x, + 2xs - Xt - x4);
здесь координаты x, положительны; x( = x4
Г I----
x2 = x3 = r0 у у - 1 ;
тогда:
приравнивая (г), найдем значение коэфициента про-
скальзывания:
_________L________
/. •
1 . I ___±*£го
+ \	4г0 ' /
116
Заменив в этой формуле
с. </ = 4.
получим окончательно
(80)
Из формулы следует, что с увеличением сопротивле-
ния качению катка (с увеличением Мс и f) проскаль-
зывание увеличивается. Чем больше коэфициент тре-
ния скольжения и, тем меньше проскальзывание.
Из формулы также следует, что проскальзывание за-
висит от нагрузки катка Q.
При малых значениях величины Мс (каток на шари-
ковых подшипниках), которой можно пренебречь,
влияние Q на о будет через I, но с увеличением
Q — I увеличивается. Таким образом, с увеличением
нагруеки проскальзывание увеличивается.
Если пренебречь в формуле (80) сопротивлением
качению катка (7Ис = 0, /=0), то формула полу-
чит тот же вид, что и формула (в). Таким образом,
формула (в) определяет коэфициент проскальзывания
катка при отсутствии сопротивления качению.
Оценим приближенно влияние на коэфициент о
сопротивления качению.
Считаем, что каток установлен на шариковых под-
шипниках. Момент сопротивления подшипника будет
Мс =f’Q,
здесь /'—коэфициент трения качения для шарикового
подшипника. Он лежит в пределах от 0,0005 до 0,001 см.
Возьмем верхний предел, тогда Мс = 0,001 Q.
Коэфициент трения качения для катка с резиновым
бандажом можно принять/= 0,1 см (наибольшее зна-
чение). Коэфициент трения скольжения резины по стали
примем н = 0,5. Остальные величины возьмем из табл. 2
Для Q = 480 кг, г0 = 14,46 см, I — 8,0 см.
Определим в формуле (80) значение члена
M. + /Q _0.001+0,1 _ПП14
uQro 0,5-14,46
117
По сравнению с единицей эта величина мала.
Поэтому влиянием сопротивления качению
на коэфициент проскальзывания можно
пренебрегать. Тогда проскальзывание ведомого
катка может определяться по приближенной формуле
Отсюда следует, что проскальзывание ведомого
катка в первую очередь определяется его деформа-
цией: чем больше деформация катка, тем больше
его проскальзывание. Жесткий каток будет про-
скальзывать меньше, чем мягкий.
Проскальзывание катка является причиной его из-
носа.
§ 32. Действительное и среднее удельное давление
упругого катка
Выше мы принимали, что удельное давление на
опорную плоскость распределяется в виде прямо-
угольника. В действительности это не совсем так.
Проводился следующий опыт. На жесткую стальную
площадку укладывался лист бумаги, густо смазанный
краской. Опорный каток с резиновым бандажом уста-
навливался на площадку и нагружался силой Q. На
листе бумаги получался отпечаток разных тонов: более
светлый там, где краска выдавливалась большим да-
влением, и более темный там, где давление было
меньше (по краям отпечатка). Поэтому, строго говоря,
давление на опорную плоскость не распределяется
по прямоугольнику.
Воспользуемся формулой Герца, определяющей
напряжение на наружной поверхности цилиндрических
тел. Согласно формуле Герца наибольшее напряжение
сжатия в середине отпечатка
q2 = 0,29-^ — ,	(82)
“max ’ Ь а ’
1 / 1 , 1 \
где р = 2	+ я J — мера средней кривизны цилиндров;
a = U ^г- + ^г1 —средний коэфициент удлинения ма-
териала;
Е— модули упругости цилиндров.
118
Длина отпечатка I определяется из выражения
(т)!=0'294т	<83>
Для рассматриваемого нами случая (цилиндр и пло-
скость) имеем Rx = r и /? = сю-
Так как жесткость стали по сравнению с резиной
велика, то можно принять £ = оо. Тогда получим сле-
дующие формулы	___
=	(84)
И
/ = 2,15]Л^.	(85)
После преобразования формулы (85) определим
£ = __ОТ—
‘Ш’
Подставляя сюда значения I, взятые из табл. 2,
получим для данного сорта резины следующие значе-
ния модуля упругости: Ех = 95,5 кг1см2, Е3 = 96,6 кгсм2,
£3=102 кг1см2, £4 = 102 кг!см2.
Приближенно модуль упругости можно принимать
постоянным, равным 100 кг/см2. Тогда
<7.пах= 5,4	(86)
I = 0,215	.	(87)
В табл. 3 приведены данные, подсчитанные по
формулам (86) и (87) и определенные из опыта. Здесь
I' — длина отпечатка, подсчитанная по формуле (87);
I—длина-отпечатка, полученная из опыта.
\	Таблица 3
Расчетные и опытные данные удельных давлений и деформаций
катка чс резиновым ободом (при г = 15 см)
Q в кг	b в см	/ в см	Г в см	Я в кгсм2	Ят&х в кг[см*
200	4,8	5,5	5,4	7,6	9,0
280	4,9	6,4	6,3	9,0	10,5
360	5,0	7,0	7,1	10,3	11,8
480	5,1	8,0	8,1	12,0	13,5
119
Из табл. 3 следует, что среднее удельное давление q
составляет примерно 0,85—0,89 от максимального
удельного давления. Следовательно, э п ю р а действи-
тельных нормальных давлений близка
к прямоугольнику.
Определим эпюру нормальных давлений. Для этого
примем удельное давление в точке опорной поверх-
Фиг. 69. Эпюра нормаль-
ных давлений для катка
с резиновым ободом.
ности как некоторую степенную
функцию:
Здесь х — координата опор-
ной точки.
Если считать эпюру симме-
тричной, то достаточно опреде-
лить qx для положительных зна-
чений х.
Определим показатель сте-
пени п.
Если qx — удельное давление,
то сила, действующая на элемен-
тарную площадку bdx, будет
rfQ = bqxdx,
или
dQ = bqmax [ 1 — (dx;
при данной нагрузке Q величины b, qmax и l постоянны.
Тогда
но = q — среднему удельному давлению. Тогда
<7тах « + 1
Из табл. 3 можно принять ^~=“0,86 как среднее
значение. Тогда л = 6,1.
120
Отсюда
-л-Ч1- (тЛ-
По этой формуле построена эпюра нормальных
давлений фиг. 69. Как видим, она мало отличается
от прямоугольной эпюры.
§ 33.	Сопротивление качению катка и искажение
эпюры нормальных давлений
Выше указывалось, что при качении упругого катка
реакция опорной плоскости Q' (см. фиг. 65) смещается
от оси катка в сторону движения его на величину
коэфициента трения качения /. В этом случае эпюра
нормальных давлений не бу-
дет симметричной. Опыты с
обрезиненными катками пока-
зывают, что при качении катка
Фиг. 70. Искажение эпю-
ры нормальных давлений
при качении катка.
Фиг. 71. Силы, сжимаю-
щие каток, больше .сил
упругости, восстанавли-
вающих каток.
в его передней части образуется выпуклость. Задняя
часть катка также искажается (фиг. 70).
Выше мы видели, что в передней части опорной
поверхности действуют силы трения, направленные
вперед по движению катка (фиг. 67). Эти силы и вы-
пучивают поверхность катка. В задней части опорной
поверхности силы трения мешают восстановлению
материала катка. Кроме того, вследствие физических
свойств материала катка он не может восстанавливать
свою форму мгновенно. В результате этого и проис-
ходит смещение вперед и искажение эпюры нормаль-
121
ных давлений. В упругом катке имеет место явление
упрогого гистерезиса. Оно заключается в том,
что силы, сжимающие материал катка, больше сил,
его восстанавливающих. Это наглядно можно себе
представить, если заменить материал катка пружин-
ками, работающими с трением (фиг. 71). На сжатие
пружинки в положении а требуется большая сила.
Фиг. 72. Нарастание температуры
в резиновом бандаже при скорости
катка 34 км час и удельном давле-
нии 14 кг/см2.
чем сила упругости, которая восстанавливает пру-
жинку в положении б.
Отсюда нормальное
давление в положе-
нии а будет больше
нормального давления
в положении б.
В результате этого
и происходит смеще-
ние равнодействующей
нормальных реакций Q'
(фиг. 70). Благодаря
упругому гистерезису
в упругом катке про-
исходит потеря энер-
гии, которая выде-
ляется в виде тепла.
В обрезиненных катках
с массивными шинами
выделение тепла очень значительно. Так, на фиг. 72
показано нарастание температуры t° С в обрезинен-
ном бандаже катка в зависимости от времени t. Каток
имел скорость 34 км/час и среднее удельное давление
<7 = 14 кг:см2.
Через 1 ч. 30 м. после начала опыта температура
внутри резины достигла 220° С, и резиновый бандаж
катка разрушился.
§ 34.	Потеря энергии в ведомом упругом катке
Мощность, которая затрачивается на
качение ведомого катка, равна произве-
дению толкающей силыРна скорость по сту-
пательного движения катка v.
Действительно, Pv есть мощность, подводимая
к катку. Так как движение катка равномерное (v =
= const), то эта мощность расходуется на потери
122
в катке. Толкающая сила равна силе трения Р', разви-
вающейся между опорными поверхностями. Согласно
формуле (г) (§31)
= Mc+fQ'
Заменим Q' равной ей силой Q и r0 = J/ г2 —	•
Здесь I по формуле (85) равно 2,15 j/"округляем
величину 2,15 до 2. Тогда r0 = j/ г2—
Мощность, затрачиваемая на трение
упругого катка:
(88)
F г“~~ье
или приближенно, принимая = О,
V.	(89)
Из формулы (88) следует, что чем больше жест-
кость катка Е, тем меньше его сопротивление каче-
нию. Мощность М затрачивается на упругий гистере-
зисов катке, на трение в оси катка и на проскальзы-
вание катка.
§ 35.	Качение упругого ведущего катка
На фиг. 73 представлена схема сил, действующих
на ведущий каток:
здесь: /И,'— момент, приложенный к оси катка;
— сопротивление движению катка, прило-
женное к его оси;
Р—сила тяги катка (равнодействующая ка-
сательных сил трения);
Q — сила, прижимающая каток к опорной пло-
скости;
Q' — реакция опорной плоскости.
Так как при качении каток испытывает сопроти-
вление качению, реакция Q' смещена от оси катка на
Расстояние /, которое мы, как и для ведомого катка,
123
Фиг. 73. Силы, действую-
щие при качении на ве-
дущий упругий каток.
будем называть коэфициентом качен и я. Физи-
ческий смысл его тот же, что и для ведомого катка
(§ 33).
Составим уравнение равновесия сил, действующих
на каток. Уравнение проекций сил на вертикальную ось
Q = Q'	(90)
Уравнение проекций сил на
горизонтальную ось
Р = /?о-	(91)
Уравнение моментов относи-
тельно оси катка
Мв-Рг0 Q'f = O. (92)
Эти уравнения являются
общими уравнени ями ка-
чения ведущего катка.
Они в одинаковой мере справедливы как для равно-
мерного, так и неравномерного движения катка. Дей-
ствительно, согласно принципу Даламбера задачу ди-
намики можно свести к задаче статики, если к дви-
жущемуся телу приложить силы инерции.
Рассматривая момент М„ как суммарный момент
сил, приложенных к оси катка, и сил инерции, а /?0 —
как равнодействующую внешних сил, приложенных
к оси, и сил инерции поступательно движущихся масс
самого катка и масс, связанных с осью, мы можем рас-
сматривать приведенные уравнения (90), (91), (92) как
общие уравнения динамики катка. В даль-
нейшем мы будем рассматривать равномерное движе-
ние катка, поэтому силы, приведенные на схеме,
являются реальными силами, действующими на каток.
Сила тяги Р является равнодействующей сил тре-
ния А Г, возникающих между опорными поверхностями.
Так как сила Р всегда направлена по направлению
движения катка, то эпюра скоростей проскальзыва-
ния Ди может быть односторонней (фиг. 74). В слу-
чае а каток не имеет проскальзывания в своей сред-
ней опорной точке. В случае б каток пробуксовывает,
т. е. проскальзывает назад во всех своих точках.
Однако возможен и третий случай в, когда в сред-
ней области эпюра меняет знак, т. е. имеет место
юз ведущего катка.
124
Юз будет при /?о~О. В этом случае (фиг. 74, в)
ведущий момент уравновешивается моментом сопро-
тивления качению
Мв = fQ',
а силы трения ввиду того, что
Фиг. 74. Эпюра скоростей проскальзывания для
ведущего колеса.
должны взаимно уравновеситься, что может быть
лишь при наличии в средней точке проскальзывания
вперед.
Принципиальное отличие ведомого катка от веду-
щего заключается в том, что к его оси всегда прило-
жена толкающая сила, в то время как у ведущего
катка эта сила может отсутствовать. Поэтому равно-
действующая элементарных сил трения ведомого
катка всегда больше нуля и направлена противопо-
ложно направлению движения катка, а в ведущем
катке она в частном случае может равняться нулю.
125
§ 36. Качение опорного катка в направляющих
(спадание гусеничных цепей)
Опорные катки гусеничной машины катятся по не-
подвижной опорной ветви обвода. Для направления
движения катков цепь имеет направляющие гребни
(фиг. 75): однорядные а или двухрядные б.
При определенных условиях, когда на каток дей-
ствует поперечная сила, направленная вдоль его оси
Фиг. 75. Направляющие гребни
гусеницы.
вращения, каток может
накатиться на направляю-
щие гребни и соскочить
с цепи. Вопрос этот
имеет важное практиче-
ское значение. Исследуем
условия, при которых
возможно это спадание
Фиг. 76. Поперечная сила, дей-
ствующая на каток.
гусениц. Пусть каток катится по неподвижной бего-
вой дорожке, причем продольная ось опорной ветви
лежит в плоскости качения катка (фиг. 76).
Приложим к катку силу F, направленную вдоль
его оси. Как бы ни была мала эта сила, она вызовет
боковое смещение катка. Причина этого смещения ле-
жит в законах трения, согласно которым сила трения,
действующая на опорную точку, всегда направлена
противоположно абсолютней скорости скольжения этой
точки. Действительно, как мы видели выше, опорные
точки катка всегда проскальзывают на опорной пло-
скости с некоторой абсолютной скоростью Дт>. В ре-
зультате этого на опорные точки действуют силы
трения ДГ, направленные противоположно скоростям
проскальзывания Дт> (фиг. 77).
Если на каток параллельно его оси вращения дей-
ствует поперечная сила F, то она вызовет поперечные
силы трения Д7"', направленные противоположно силе F.
126
Складывая силу АГ и АТ' по правилу параллелограма,
получим равнодействующую этих сил &Т0. Согласно
указанному выше закону трения эта равнодействующая
должна быть направлена	,
противоположно скорости	р-----
скольжения. Но это может	“	.s'
быть только в случае,если
опорная точка получает по-
перечное скольжение со
скоростью Дг»'. Из фиг. 77
следует, что направление
поперечного скольжения
зависит только от напра-
вления силы F и не зависит
от направления скорости
(вперед или назад). Таким
образом, если накаток дей-
ствует поперечная сила F,
Фиг. 77. Скорости и силы тре-
ния, действующие на опорную
точку катка при поперечной
то каток смещается по	» силе.
беговой дорожке и прихо-
дит в соприкосновение с направляющими гребнями
гусеницы. При этом совершенно не важно, какой ве-
личины поперечная сила F, только бы она была
фиг. 78. Соприкосновение опорного
катка с направляющим гребнем.
отлична от нуля.
Пусть катящийся
каток пришел в сопри-
косновение с гребнем
гусеницы. Если про-
дольная ось гусеницы
не параллельна пло-
скости качения катка,
то каток коснется
гребня в одной точке а
(фиг. 78). Выберем на-
правление осей коор-
динат параллельно на-
правлению действую-
щих на каток трех
взаимно перпендику-
лярных сил: Q, Р и F.
Расположим начало
осей координат в точке касания а (фиг. 79). Тогда
плоскость QP параллельна плоскости качения катка.
Проведем через точку а плоскость, касательную
127
к профилю гребня гусеницы (плоскость t). Поло-
жение этой плоскости определяется углом ? линии
пересечения плоскости t и PF и углом а нормали,
проведенной в точке а. Если рассматривать момент,
когда каток оторвался от опорной поверхности гу-
сеницы, то на точку а, принадлежащую катку, дей-
ствуют следующие силы: сила Q, сила F и толкающая
каток сила Р. Так как каток катится, а плоскость t
неподвижна, то в точке а возникает трение скольже-
ния. Сила Т трения должна лежать одновременно
в двух плоскостях: в плоскости качения катка QP и
в плоскости t, касательной к профилю гребня. Тогда
сила трения Т должна лежать на линии ab пересече-
ния обеих плоскостей. Обозначим угол наклона ли-
нии ab с осью Q через 7. Сила трения
Т = v-N.
где [1 — коэфициент трения скольжения;
N—нормальная реакция гребня на каток.
Силы Т и N в сумме дают реакцию гребня на ка-
ток в точке а. Итак, на каток действуют силы F, Q,
Р, которые уравновешиваются силами Т и N. Из
128
фиг. 79 можем написать следующие условия равнове-
сия точки а:
Р = Wcos х sin 'р -- Тsin 7;
Q — Wsin а-|- Тcos у /V(sina -j- a cos 7);
F = N cos a cos >.
Из последних двух уравнений, исключая N, получим
F __ COS a COS р
Q ~~ sin а 4- р- cos 7 '
Выразим угол т через углы а и
Из фиг. 80 можем написать
h = a cos 7,
h = b ctg a,
b = c sin
a2 = c2 -|- hl.
Отсюда
Фиг. 80. Опре-
деление угла 7
через углы а и р.
Подставляя в формулу (8), получим
F
Q
cos
Sin a 4-
Отсюда у с л о в и е неспадания гусеницы:
F
Q
(93)
Из формулы (93) можно сделать следующие выводы:
Чем больше коэфициент трения р, тем для спадания
гУсеницы требуется меньшая боковая сила, т. е.
больше вероятность спадания.
Так, если металлический гребень соприкасается
с резиновым ободом катка, то вероятность спадания
больше, чем в случае, когда обе поверхности трения
9 А. С. Антонов 843	1 29
металлические. На спадание гусениц оказывают влия-
ние углы « и S: чем больше угол а, т. е. чем больше
наклон касательной плоскости t, тем больше вероят-
ность спадания гусеницы. Такое же влияние оказывает
и угол встречи катка с гребнем р. Между углами а ц
Р имеется связь, которая определяется через радиус
катка и высоту точки касания. Определим эту связь.
Пусть каток касается гребня в точке а (фиг. 81, а).
Проведем через эту точку касательную плоскость абв
(фиг. 81, б). Если поверхность гребня представляет
собой цилиндрическую поверхность, то образующая
Фиг. 81. Определение положения точки касания катка
с направляющим гребнем.
цилиндра, проходящая через точку а, будет парал-
лельна следу плоскости бв. Линия бв наклонена под
углом встречи р к продольной оси качения катка.
Опустим из точки а перпендикуляр на эту ось. Тогда
высота h будет определять положение точки по вер-
тикали.
Из фиг. 81, б можно получить следующие зависи-
мости:
h — г(1 —cos 9),
или
COS 6 ~ 1--— ;
угол 0 = 90° — 7.
Так как
130
то
sin 6
1
Возводя в квадрат выражение для cos 0 и sin 0 и
складывая их, получим после преобразования следую-
щее выражение
Это выражение устанавливает связь между углами
а и р.
Фиг. 82. Поверхности направляющего гребня.
Будем считать профиль гребня состоящим из двух
поверхностей: боковых поверхностей, предста-
вляющих собой плоскости, наклоненные под углом а=а0
(фиг. 82), и верхней цилиндрической по-
верхности. При соприкосновении катка с гребнем
в зависимости от углов а и Р точка касания может
находиться или на боковой плоскости, или на цилин-
дрической поверхности. Посмотрим, при каких усло-
виях это может быЧь.
Пусть боковая плоскость вертикальна, ао = О, а
Угол р 0. Предполагаем, что точка касания лежит на
боковой плоскости. Тогда из формулы (94) следует, что
Отсюда находим h—r. Но это не может быть, так
как h всегда меньше г. Следовательно, если боковая
плоскость гребня вертикальна (ао=О), точка касания
не может лежать на этой плоскости, а лежит на цилин-
дрической поверхности, но в этом случае а =# 0. Точка
касания может лежать на боковой плоскости только
в случае, если а0 #= 0, т. е. если боковая плоскость
наклонна.
Обычно угол р нам задан. Обозначим его через рт.
Пусть нам также известен профиль гребня (фиг. 83).
Обозначим через а — высшую точку боковой плоско-
вертикальную коор-
динату. Подставляя
а0 и ha в формулу
(94), найдем угол рв.
Если
05)
то точка к а с а-
ниялежит на бо-
ковой плоско-
сти. В этом случае
известен угол а = а0
и ?=?«•
Подставляя эти
углы в формулу (93), получим условие неспада-
ния гусеницы.
Если
8а <
(96)
то точка касания лежит на цилиндрической поверх-
ности. В этом случае угол а неизвестен. Чтобы его
определить, подставляем в формулу (94) Р=Рт. Мето-
дом подбора непосредственно на профиле определяем
угол ла и h/j, при которых удовлетворяется формула (94).
Приближенно можно считать высоту hs—h^ — полной
высоте гребня, так как на цилиндрической поверх-
ности высота h положения точки меняется незначи-
тельно. Тогда из формулы (94) получим

(97)
Зная а.—а.б и Р=Р„ по формуле (93), находят условия
неспадания гусениц.
132
Угол встречи гребня с катком определяется
гибом гусениц между двумя опорными катками
яг. 84, а). Для гусениц с простым шарниром этот
эл определяется зазорами в шарнирах звеньев
иг. 84, б). Для одного шарнира (двух звеньев) угол
гиба будет равен
_2(D-rf)
b
(98)
е D — диаметр проушины; d — диаметр пальца;
-ширина звена.
Фиг. 84. Изгиб цепи в плане.
Если между двумя опорными катками находится k
рниров, то наибольший угол изгиба цепи, а следо-
тельно, и наибольший угол набегания катка на гре-
нь будет
= М,	(99)
е А определяется по формуле (98).
Последовательность вычисления величин, опреде-
ющих неспадание гусениц, будет следующая. Зная
зор в одном шарнире (или задаваясь им), опреде-
ем величину А. Подставляя А и k в формулу (99),
лучим Определяем положение точки касания и
зависимости от полученного, неравенства (95) или
>) находим, как указано выше, значение угла а.
1ая а и в, подставляем их в формулу (93). Здесь
133
отношение q должно быть известно из условий дви-
жения машины.
При движении машины на опорные поверхности ее
гусениц могут действовать поперечные реакции
грунта. Это будет во всех случаях движения с боко-
вым креном, при повороте и даже при прямолиней-
ном движении, когда местное препятствие (камень,
Фиг. 85. Боковая сила, действующая на опорные
катки при движении машины на косогоре.
кочка) могут вызвать поперечную реакцию на гу-
сеницу. В результате действия поперечных сил
гусеница прогнется, и появится угол Р = ?т, а следо-
вательно, вероятность спадания гусениц. Определе-
ние силы F, поперечной силы, действующей на каток,
представляет наибольшие трудности, так как задача
эта статически неопределима. Точность решения за-
дачи зависит от допущений, которые принимают при
определении силы F. Рассмотрим два конкретных слу-
чая, чтобы показать возможные пути решения задачи.
Случай 1. Спадание гусениц при движении машины
с боковым креном. Пусть машина движется с боковым
креном, характеризуемым углом ср (фиг. 85). На опор-
ные катки в этом случае действует поперечная сила F.
Обозначим:
В —расстояние между опорными катками:
Н — высоту центра тяжести машины;
О— вес машины.
134
Суммарная поперечная сила, действующая со сто-
роны корпуса машины на катки, равна Gsin<?. До-
пустим, что она распределяется поровну на все катки.
Тогда
р_______________________ sin ?
~	2«	’
где п— число катков одного борта.
Определим нормальные реакции грунта и За-
считаем, что на катки одного борта действуют рав-
ные силы. Составляя уравнение моментов относительно
точек а и б, получим:
QG Iwsv Н ,	\
*=v(-2- - 7Fsin
наибольшее значение получим для правой гусе-
ницы, так как Q2 < QP Тогда будем иметь:
^ = ~ctgv- ™ ’	(100)
Оценим зазор в шарнирах
D — d = 2 мм.
Пусть ширина гусеницы b = 400 мм и число шар-
ниров между двумя соседними катками k = 7. Тогда
из формулы (99) получим
2.2-7
=0,07, или йт = 4,г.
h 1
Пусть угол а0 = 5° и -у- =-§-• Из формулы (91) найдем
= 0,097,
или ? = 5,5°.
Так как	то точка касания лежит на боко-
вой плоскости.
135
Подставляя в формулу (93) а = 5°, 3 = 4,1° и |i=«
= 0,5 (резина по стали), найдем:
F	cos5°cos4,l°	с
Q Sin 5* +-------	----
yf i + f Jg£\
' ^sin 4,Гу
Подставим -^ = 2,38 в формулу (100), найдем угол
наклона машины
.	Q , 2Н
ctg? — р + в •
Ориентировочно -g-=0,8. Тогда
ctg 'jf — -yjjjF 0’8 = 1’22, или 'f ~ 39°-
Это справедливо только при условии, что все
катки нагружены одинаковой поперечной силой F.
В действительности отдельные катки, объезжаю-
щие местные препятствия, могут получить значитель-
ную поперечную перегрузку. Тогда спадание гусеницы
станет возможным при меньшем угле <р.
Случай 2. Спадание гусениц при повороте. В тео-
рии поворота доказывается, что суммарный момент
сопротивления для обеих гусениц в простейшем слу-
чае равномерного поворота равен
где |i0 — некоторый коэфициент пропорциональности,
который называют коэфициентом сопроти-
вления повороту!;
L — опорная длина гусениц;
G — вес машины.
Здесь момент сопротивления повороту относится
к обеим гусеницам. На одну гусеницу действует мо-
мент М' = Будем считать, что нагрузки ^одинаковы
для всех опорных катков машины. Если допустить, что
между опорной поверхностью и грунтом действуют
только силы трения, то эпюра поперечных сил, дей-
ствующих на гусеницу, приближенно представится
в виде двух симметричных прямоугольников (фиг. 86).
1 Обычно этот коэфнциеш обозначают через tx.
136
Момент от сил трения равен М'с. Тогда =
-j-F2/2ЛЛ 4'или в общем виде
. 2^4 - М'с.
В отношении боковых сил, действующих на катки,
задача статически неопределима. Примем в первом
приближении, что Fl = Fi = F3-= ... = F.
Фиг. 86. Поперечные силы, действующие при
повороте в простейшем случае поворота.
Тогда будем иметь F24 или
_ |л0О£
8^ ’
Так как выше было принято, что 2Q« = G, то
С PoQ^-n
или
Если опорные катки расположены на одинаковом
расстоянии I один от другого, то L = (п— 1)/; с другой
стороны для четного числа катков
о
Для нечетного числа катков
^4 = -?1 4	(г)
подставляя L и 24 в формулу (б), получим отноше-
г .
137
Для четного числа катков
w-r
(д)
Для нечетно го ч и с л а катков
F
Подставляя из формулы (д) и (е) в фор-
мулу (93), получим условие неспадания гусе-
ниц при повороте. Если угол а = а0 приближенно
принять равным 0 (фиг. 82), то для четного числа
катков:
COS? > Ц|Х„(1 — *(101)
Для нечетного числа катков:
cos > > — --
(Ю1')
п
Из этих формул может быть определен угол р, при
котором возможно спадание гусениц. Примем и = 0,5;
значение коэфициента при крутом повороте может
достигать 0,8. Примем п = 5. Тогда
cos ? >	> или < 7Q°
Такой изгиб гусеницы иметь не могут. Следовательно,
спадание гусениц при принятых допущениях исклю-
чено.
Из опыта известно, что как при боковом крене,
так и при повороте гусеницы обычно спадают в мо-
мент, когда плоскость опорной поверхности гусеницы
получает перекос относительно плоскости качения
катка, т. е. плоскости становятся не перпендикуляр-
ными (фиг. 87, а). В этом случае к углу а0 наклона
боковой плоскости гребня добавляется угол наклона
местности ф (фиг. 87, б),
или
а - а„+
Этот угол и следует подставлять в формулу (93).
138
Максимальное значение угла в случае короткого
препятствия определяется величиной зазора между
пальцами и проушинами траков, т. е. возможностью
скручивания части опорной ветви гусеницы, лежащей
между катками.
Угол фтах определяется из тех же соображений,
что и угол (формула 99).
Фиг. 87. Боковой крен, при котором возможно спадание
гусениц.
Пусть угол смещения двух траков будет А. Если
между двумя опорными катками находится k шарни-
ров, то наибольшее возможное скручивание цепи
будет
Фтах ™	(102)
Зададимся зазором в шарнире D — d = 2 мм. При ши-
рине цепи b = 400 мм и числе шарниров k == 7 полу-
чим
-Ь.пах -	= 0,07, ИЛИ ?шах = 4,1°.
Как видим, для принятого нами числа шарниров
k~7 при данной ширине гусениц и зазоре в шарни-
рах, угол возможного скручивания <ртах невелик, поэ-
тому для гусениц, имеющих малые зазоры
в шарнирах (резино-металлические шарниры, иголь-
чатые шарниры), спадание гусениц при пе-
реходе коротких препятствий малове-
роятно.
Глава IX
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ОПОРНЫХ ВЕТВЕЙ ГУСЕНИЦ
С ГРУНТОМ ПРИ ПРЯМОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ
§ 37.	Грунт и его свойства
Грунт является той средой, с которой взаимодей-
ствуют гусеницы машины и свойства которой опре-
деляют ее ходовые качества. Без знания свойств
грунта и характера его взаимодействия с гусеницами
немыслимо знание основных законов движения машины.
В инженерно-строительном деле под грунтом пони-
мают естественное основание, на котором возводится
инженерное сооружение. В широком смысле слова
грунтами называют верхние слои земли, составляю-
щие кору выветривания горных пород. При этом не
делают различия между почвой и грунтом, включая
в понятие грунт также и почву, являющуюся смесью
обломков горных пород с остатками растительных и
животных организмов. Грунты бывают скальные,связ-
ные, сыпучие и органические.
1.	Скальные грунты (граниты, песчаники, из-
вестняки) обладают высокой прочностью и связностью.
Их отличительной особенностью является наличие мо-
лекулярных сил сцепления, которые в первую очередь
и определяют связность грунта. При разрушении
скальных грунтов последние не восстанавливаются.
2.	Связные грунты (глина) характеризуются
наличием сил сцепления, зависящих от влажности грунта
и восстанавливающихся в случае нарушения сплош-
ности грунта. С уменьшением влажности силы сце-
пления увеличиваются. Связные грунты пластичны,
т. е. обладают способностью изменять свою форму,
не изменяя объема и не нарушая сплошности.
3.	Сыпучие грунты (песок) в сухом состоянии
не обладают сцепными качествами, а при увлажнении
ыо
обладают малыми сцепными качествами, которыми
в расчетах пренебрегают.
4.	Органические грунты (илы, торфы) состоят
частично или полностью из разложившихся животных
или растительных тканей. Их сцепные качества обла-
дают переменной величиной, зависящей от склеиваю-
щих свойств органических веществ и сопротивления
волокон разрыву.
Грунт представляет собой сложное тело, состоящее
из минеральных и других частиц, поры между кото-
рыми заполнены водой, воздухом и паром. В зависи-
мости от содержания воды в порах грунты обладают
теми или иными сцепными качествами, которые опре-
деляются силами капиллярного натяжения воды. Чем
мельче твердые частицы грунта, тем больше проя-
вляются силы капиллярного натяжения. В глинах, ве-
личина твердых частиц которых меньше 0,005 мм,
силы сцепления могут достигать десятков килограммов
на квадратный сантиметр. Поэтому грунты классифи-
цируются по размерам твердых частиц:
Наименование частиц	Размер частиц
в мм
Галька (камни)......................... Более 20
Гравелистые частицы (гравий при округ-
ленной форме, хрящ при угловатой) . .	20—2
Песок: крупный ........................ 2-1
средний ....	.	1 -0,25
мелкий............... 0,25 -0,05
Пылевато-илистые частицы:
пыль................... ..............0,05—0,01
ил........................... .	. 0,01-0,005
Глина..................................Менее 0,005
Так как сцепные свойства грунту придают глини-
стые частицы, как наиболее мелкие, то грунты также
классифицируют по содержанию глинистых частиц
(гранулометрическая классификация)-.
Содержание гли-
нистых частиц
Наименование грунта	диаметром мень-
ше 0,005 мм в *7п
по весу *
Глинистый грунт..................... .	. Более 30
Суглинок.................................... 30—10
Супесок..................................... 10—3
Песок.......................................Меньше	3
* Глинистые частицы чешуеобразные. Условно их размер опре-
деляют диаметром шара, описанного вокруг чешуйки.
141
Размеры частиц грунта определяют гранулометри-
ческим (механическим) анализом: просеиванием грунта
через сито и отмучиванием его.
Физические характеристики грунта.
Грунт характеризуется двумя основными физическими
свойствами: пористостью и влажностью. Для
сравнительной оценки грунтов вводятся коэфициенты
физического состояния грунта. Причем различают
грунты с естественной ненарушенной структурой,
определяемой в условиях полевых испытаний, и грунты,
полученные в условиях лаборатории. Между теми и
другими грунтами может быть значительное различие,
которое отражается на физических, а следовательно,
и механических свойствах грунта. Число параметров,
характеризующих физическое состояние грунта, может
быть очень большим (до 24). Остановимся только на
главных из них:
объемный вес грунта 7 — отношение его пол-
ного веса к его полному объему;
весовая влажность грунта тт — отношение
веса воды, содержащейся в грунте, к весу сухого грунта;
удельный вес твердых частиц грунта
или просто удельный вес грунта — Д.
Эти три коэфициента определяют опытом. Для этого
в грунте берут образец единичного объема и взвеши-
вают его. Полученная величина и будет объемным
весом грунта. Влажность грунта определяется просу-
шиванием его при 105°. После чего образец взвеши-
вается. Отношение веса образца с естественной влаж-
ностью к весу просушенного образца даст величину
весовой влажности. Удельный вес грунта определяется
специальным прибором (пикнометром). Для наиболее
распространенных грунтов удельный вес колеблется
в незначительных пределах (2,5—2,8). В среднем его
можно принимать 2,65.
Кроме этих экспериментально получаемых коэфи-
циентов, определяют производные коэфициенты:
Объемный вес скелета грунта
Пористость грунта — отношение объема пор
к полному объему грунта
«=1-у.	(б)
142
-<-1.
о
Коэфициент пористости — отношение объе-
ма пор к объему скелета
п
г п
Полная влагоемкость — отношение объема
пор к весу твердого вещества
1 1
?---
(г)
Коэфициент насыщенности
»/>
(А)
Последний коэфициент дает характеристику насы-
щенности грунта водой. Если 0 = 0, то вода в грунте
отсутствует. Это имеет место для крупнозернистых
грунтов (песок), лежащих выше грунтовых вод. Если
0=1, то все поры грунта заполнены водой, при 1>
>О>0 в порах грунта имеется как вода, так и воздух.
В зависимости от значения коэфициента насыщен-
ности (0 = 0; 0 = 1, или 1 >О>0) к грунтам приме-
няют различные теории. Так для 0 = 0 применяют
теорию сыпучих тел, для 0 = 1 гидродинамическую
теорию, учитывающую взаимодействие твердого ске-
лета грунта и воды, и наконец, при 1>О>0 учиты-
ваются силы капиллярного натяжения, определяющие
механические свойства грунта.
Кроме перечисленных здесь основных коэфициен-
тов, характеризующих физическое состояние грунта,
вводятся коэфицвенты, характеризующие взаимодей-
ствие грунта с приложенными к нему силами. К этим
коэфициентам относятся: коэфициент сжимае-
мости; коэфициент водопроницаемости;
коэфициент внутреннего трения и коэфи-
циент у п ру г о с т и г ру н т а.
Здесь мы хотим подчеркнуть особое значение влаж-
ности при изучении механических свойств грунта осо-
бенно при действии переменных нагрузок, каковыми
являются, например, действие гусениц на грунт. При
приложении к грунту сил вода в порах грунта филь-
труется, перетекая из одних пор в другие, сжимая
находящийся в порах воздух и выдавливаясь наружу.
Причем скорость фильтрации, а следовательно и на-
143
пряжения, развивающиеся в грунте, зависят от вре
или времени их изменения,
грунта зависит от времени.
Чем кратковременнее
приложение сил, тем
большей жесткостью
обладает грунт. Таким
образом, между сила-
ми, действующими на
грунт, и влажностью
грунта имеется опре-
деленная зависимость.
С увеличением на-
грузки на грунт влаж-
ность, грунта падает.
При этом пористость
грунта также падает—
грунт уплотняется
(фиг. 88). Если снять
с грунта нагрузку, то
грунт будет обратно впитывать в себя вытесненную
при сжатии воду (набухать). При этом пористость
" I показывают, что оба
мени приложения сил
Отсюда и деформация
Фиг. 88.
ности и
Кривая зависимости влаж-
пористости грунта от удель-
ного давления.
будет восстанавливаться. Опыты
процесса — процесс уменьшения
пористости и процесс ее восста-
Фиг. 89. Компрессионная кри-
вая:
I — кривая уплотненил; 2 - кривая
набухания.
Фиг. 90. Компрессионные
кривые эквивалентных
грунтов:
/ — глины с естественной струк-
турой и 2-искусственной сме-
си песка и слюды.
новления — необратимы, т. е. восстановление пори-
стости будет лишь частичное. На фиг. 89 приведена
так называемая компрессионная кривая, харак-
144
теризующая зависимость между нагрузкой на грунт и
его коэфициентом пористости. Для грунтов естествен-
ной структуры компрессионные кривые отличаются от
компрессионных кривых грунтов нарушенной струк-
туры. Грунты естественной структуры обладают мень-
шей сжимаемостью, чем грунты нарушенной струк-
туры.
Однако в условиях лаборатории можно создать
грунты с нарушенной структурой, эквивалентные
грунтам с еотественной структурой. Для этого компрес-
сионные кривые обоих грунтов должны иметь одина-
ковое изменение коэфициента пористости. На фиг. 90
приведены компрессионные кривые для глин с есте-
ственной структурой и эквивалентные им кривые смеси
песка со слюдой.
Компрессионные кривые являются ос-
новной характеристикой у пругихсвойств
грунта.
§ 38. Основы механики грунта
Компрессионная кривая характеризует сжима-
емость грунта под действием внешних сил (при невоз-
можности расширения грунта в стороны). Если
дадим давлению р малое
приращение Др, то коэфи-
циент пористости умень-
шится на величину Де. Тан-
генс угла наклона компрес-
сионной кривой в данной
точке tga (фиг. 91) будет
выражать степень сжимае-
мости грунта. Поэтому его
называют коэфициен-
том сжимаемости. Обо-
значим tga = а. Тогда	Фиг. 91. Приращение коэфи-
циента пористости в зависимо-
сти от приращения давления,
г/р
Эта формула выражает следующее:
Относительное изменение объема пор
гРунта связано прямой зависимостью с
изменением давления на грунт. Знак минус
показывает, что увеличению давления соответствует
Уменьшение коэфициента пористости грунта.
Ю А. С. Антонов 813	145
Компрессионная кривая близка к логарифмической
кривой. В грунтоведении ее иногда определяют по
формуле
1п 1)
е
Здесь е — коэфициент пористости при нагрузке
р>1 кг/см2;
е, — коэфициент пористости при р = 1 кг см2-,
• А — постоянный коэфициент.
В определенных пределах давлений (1—4 кг/сл2)
логарифмическую кривую можно заменить прямой
линией. Тогда для прямолинейного отрезка будем
иметь
ei = 6o —A-tga'	004)
Здесь е0 — отрезок на оси ординат, отсекаемый секу-
щей (фиг. 91);
а — угол наклона секущей.
§ 39. Сдвиг грунтов и сопротивление сдвигу
При приложении грунту внешней нагрузки
в грунте возникают нормальные и касательные напря-
жения. Если мысленно представить себе, что в грунте
расположена под произвольным углом некоторая пло-
щадка, то на нее будет действовать нормальная сила,
приложенная перпендикулярно ее плоскости, и каса-
тельная сила, лежащая в плоскости площадки. Сила,
отнесенная к площади, дает соответственно нормаль-
ные « и касательные t напряжения в грунте (фиг. 92).
Касательные напряжения вызывают сдвиг грунта
или его срез. Сопротивление сдвигу складывается
из двух видов сопротивлений —сопротивления
сцепления и сопротивления внутреннего
трения, причем последнее появляется, когда имеет
место скольжение в грунте. Сцепление в грунте
является результатом сил молекулярного сцепления
в точках контакта частиц и сил капиллярного сцепле-
ния, которое является результатом поверхностного
натяжения воды.
Внутреннее трение возникает вследствие относи-
тельного смещения частиц, оно является функцией
нормального давления твердых частиц грунта друг на
146
друга. Если грунт влажный, то нормальное давление
частично передается на воду и внутреннее трение
уменьшается. Для крупнозернистых сыпучих грунтов
(пески) насыщенность пор влагой незначительна, а
следовательно, незначи-
тельно и сцепление в
грунте. В таких грунтах
действуют только силы
внутреннего трения, ко-
торые и препятствуют
сдвигу грунта. Скелет
песчаных грунтов состоит
из твердых частиц. Да-
вление на скелет пол-
ностью равно внешне Фиг. 92. Нормальные и касатель-
прИЛОЖенному давлению ные напряжения в грунте.
Наоборот, глинистые
грунты состоят из мелких упругих чешуек, поры между
которыми частично или полностью заполнены водой.
Давление на такой грунт частично передается на воду,
частично на упругие чешуйки. Поэтому внутреннее
трение в таких грунтах ниже, чем в песчаных грунтах.
С увеличением влажности оно падает. Если выждать
время пока частицы грунта сблизятся вследствие вы-
давливания из пор
воды, то трение увели-
чится. Таким образом,
мелкозернистые упру-
гие грунты (глины)
имеют переменную ве-
личину внутреннего
трения, которое зави-
сит от времени осадки
грунта. Для крупно-
зернистых грунтов
(пески)трение в грунте
не зависит от времени
фиг. 93. Прибор для определения
внутреннего трения в сыпучих грун-
тах.	осадки грунта, так как
давление на твердый
скелет грунта передается весьма быстро.
Коэфициент внутреннего трения и сцепления. Ис-
пытания грунта на срез производят на специальных
пРиборах. Один из этих приборов для испытания песча-
Ных грунтов представлен на фиг. 93. Грунтукладывается
147
Фиг. 94. Кривая зависимости между
касательными (срезающими) и нор-
мальными (сжимающими) напряжениями
в грунте.
между двумя зубчатыми вкладышами, сделанными из
пористой массы для фильтрации воды и воздуха.
Нижний вкладыш помещается на тележке, верхний
вставляется в неподвижные направляющие. К верхнему
вкладышу прикладывается внешняя нагрузка в виде
гири. Усилие, требующееся на передвижение тележки,
будет равно усилию среза грунта. На фиг. 94 приве-
Зевисимости между
касательными и нор-
мальными напряже-
ниями в грунте. Как
видим, кривая со-
стоит из двух участ-
ков: участка с боль-
шой кривизной и
почти прямолиней-
ного участка. Кри-
вая начинается с
точки а, соответ-
ствующей нулевому
нормальному давле-
нию. Положение
этой точки исклю-
чительно опреде-
ляется силами молекулярного сцепления частиц грунта.
Тангенс у>ла наклона ф касательной к кривой^—з
называют коэфициентон внутреннего трения грунта.
Как следует из кривой фиг. 94, коэфициент внутрен-
него трения вначале является величиной переменной
потом делается величиной постоянной (для глин, начи-
ная с а = 0,5—0,7; для песков с • = !) ф. Обозначим
коэфициент внутреннего трения.
/==tg?.	.	(105)
Для различных грунтов значение коэфициента / раз-
ное. Ниже приведены опытные (средние) данные коэ-
фициента f для различных грунтов:
Коэфициенты внутреннего трения
Наименование грунта	Коэфициент /
Ил........................................0,23—0.28
Жирные глины.............................0,25—0,40
Песчанистые глины ........................0,40—0,50
Песок средней крупности (сухой или на-
сыщенный водой)..........................0,60—0,65
148
Эти данные показывают порядок значений коэфи-
циента внутреннего трения. Коэфициент внутреннего
трения зависит от плотности грунта и давления на
грунт. На фиг. 95 показана эта зависимость. Из при-
веденных кривых следует, что: 1) с увеличе-
нием дзвления на грунт коэфициент трения падает;
начиная с давления 1 кг!см\ он делается постоянным;
2) сыпучие грунты (пески) обладают большим коэфи-
циентом трения, чем грунты
связные (глины).
Для прямолинейного участ-
ка кривой t — а (фиг. 94)
можно установить связь ме-
жду касательными и нормаль-
ными напряжениями. Эта
связь будет выражаться фор-
мулой
' = \ +	(Ю6)
Фиг. 95. Зависимость коэфи-
циента внутреннего трения
от давления:
/ — пленный песок; 2 — рыхлый
песок; 3 — глина.
Здесь т, — начальный пара-
метр прямой. Формула (106)
выражает закон Кулона, ко-
торый формулируется так:
сопротивление грунтов сдвигу
выражается линейной зависимостью от нормального
давления.
Для сыпучих грунтов прямая t — о (фиг. 94) про-
ходит почти через начало координат. Поэтому тоя^О,
и закон Кулона будет
(Ю7)
Или сопротивление сыпучих грунтов сдвигу зависит
от сопротивления трения, которое прямо пропорцио-
нально нормальному давлению.
Для связных грунтов зависимость между хи» опре-
деляется более сложно. В связных грунтах, кроме сил
трения, действуют еще силы сцепления. Последние,
как мы уже отмечали выше, зависят от молекулярного
сцепления частиц грунта и капиллярного сцепления.
Капиллярное сцепление будет тем выше, чем ниже
влажность грунта. Чтобы влажность грунта достигла
величины, соответствующей данной статической на-
гРузке, следует выждать пока закончится осадка
грунта под действием нормальных и касательных сил,
140
т. е. наступит равновесие в грунтовом массиве. По-
этому при проведении эксперимента с связными грун-
тами выжидают полного затухания осядки грунта под
действием приложенных сил.
Связь между касательными и нормальными напря-
жениями в грунте в механике грунтов выражается
следующей формулой:
Фиг. 97. Прибор для опре-
деления сопротивления
сдвигу связных грунтов
(глин).
Фиг. 96. Прибор для опре-
деления компрессионной
кривой (одометр).
грунту, соответствующее данной влажности (или пори-
стости) грунта в месте его сдвига;
х — коэфициент сцепления.
хи / должны определяться экспериментально. Для
этого поступают следующим образом. Сперва опреде-
ляется компрессионная кривая. Грунт помещают в спе-
циальный прибор (одометр) (фиг. 96) и подвергают
сжатию. После каждого сжатия определяется влаж-
ность грунта и вычисляется коэфициент пористости е.
Таким образом строится компрессионная кривая
(фиг. 89). Далее тот же грунт помещается в прибор,
аналогичный только что рассмотренному прибору, но
имеющий выдвижное кольцо (фиг. 97). Грунт подвер-
150
гается сжатию вертикальной нагрузкой. Приклады-
вая к выдвижному кольцу горизонтальную силу, опре-
деляют усилие сдвига. Поделив эту силу на площадь
сдвига, находят касательные напряжения х.
Нормальные напряжения о определяются как отно-
шение приложенной к поршню нагрузки к площади
поршня. Нагрузки даются ступенями. После каждого
испытания на данной ступени нагрузки определяется
влажность грунта в области сдвига. По влажности
Фиг. 98. Диаграмма сдвига для глины.
грунта определяется коэфициент пористости е и по
компрессионной кривой давление, соответствующее
данному коэфициенту пористости. Это давление и будет
уплотняющим давлением ps. Зная в и х, строят
диаграмму сдвига.
Согласно формуле (108) она будет представлять
собой линейную зависимость между ~ и ~ (фиг. 98).
Из формулы (108) следует, что при з=«=0 х = ^-. Тогда
из диаграммы сдвига коэфициент сцепления х будет
равен х- начальной точки прямой, лежащей на оси
Ps
ординат. Из диаграммы определяется коэфициент вну-
треннего трения f как тангенс угла наклона прямой <р.
Из фиг. 98 следует, что
х = 0,1, /--tg21°20' = 0,391*
* Более подробно с испытаниями грунтов можно ознакомиться
в специальной литературе. См., например, Цытович, „Механика
грунтов-, Лукашев. „Грунтоведение-, и др.
В заключение приведем опытные данные по коэфи-
циентам трения и сцепления в различных грунтах.
Заметим, что значения коэфициентов могут значительно
колебаться в зависимости от состояния грунта: уплот-
нения, степени влажности, температуры, грунты с ес-
тественной и нарушенной структурой и т. д. и раз-
меров исследуемого образца.
Таблица 4
Коэфициенты внутреннего трения и сцепления
Наименование грунта	Коэфициент внутреннего трения /	Коэфициент сцепления х
Мелкий песок, уплотненный, сухой	0,649		
Крупный песок, рыхлый, сухой . . Крупный песок, сильно уплотнен-	0,570	—
ный, сырой	 . . Валунная глина, смотря по содер-	0,620	—
жанию камня	 ...	0,420	——
	0,680	—
Мягкая желтая глина	  .	0,360	0,050
Китайский лесс 		0,308	0,040
Жирная серая глина 		0,185	0,050
Серая глина	•		0,323	0,025
Плотная глина с i рослойками песка	0,270	0,050
Серая песчанистая глина 		0,465	—
Серая жирная глина		0,340	0,100
Из таблицы видно, что коэфициент сцепления для
связных грунтов (лесс, глина) в 5—7 раз меньше коэ-
фициента внутреннего трения. Для песчаных грун-
тов коэфициент сцепления равен нулю.
§ 40. Распределение напряжений в грунтах
Вопрос о распределении напряжений в грунтах
имеет не только теоретическое, но и практическое
значение при изучении явлений сопротивления движе-
нию и проходимости гусеничных машин.
Несущая способность грунта, особенно мягкого
(снег, болото, торф), определяется распределением
напряжений в грунте, и зависит как от самого грунта,
ИЮ
его характера и влажности, так и от формы гусе-
ницы (сплошные гусеницы и гусеницы с отверстиями).
Сопротивление движению гусениц зависит от дефор-
маций грунта, а последние также зависят от распре-
деления напряжений потолще грунта. Механика грун-
тов изучает вопросы напряжений и деформаций, при-
нимая допущение о статических напряжениях в грунте
и линейную зависимость между напряжениями и де-
формациями. Кроме того, допускается, что грунт одно-
роден и находится в упруго-уплот-
ненном состоянии. В этом случае
допустимо применение к грунтам
формул теории упругости. Реаль-
ные грунты могут давать значи-
тельные отклонения от принятых
допущений. Так, между нормаль-
ными напряжениями в грунте и
его деформациями зависимость
имеет линейный характертолькодо
определенного предела (фиг. 99).
Выше этого предела зависимость
делается не линейной: незначи-
тельное увеличение напряжений
Фиг. 99. Зависимость
между нормальным
напряжением в грунте
и его деформацией.
вызывает значительные деформации (грунт „течет*).
Решение задачи еще более усложняется, если на
грунт действуют подвижные или динамические на-
грузки. Как мы видели выше, осадка связных грунтов
происходит во времени. Следовательно, во времени про-
исходит и распространение напряжений в толще
грунта. Механика грунтов ставит своей задачей изу-
чение закончившихся статических процессов. Поэтому,
строго говоря, нельзя переносить выводы механики
грунтов на явления, связанные с действием подвиж-
ных нагрузок. Однако для сравнительной оценки явле-
ний выводы механики грунтов вполне допустимы.
Весь вопрос в степени приближения к реальной кар-
тине явлений.
В дальнейшем будем рассматривать только те вы-
воды механики грунтов, которые могут найти теоре-
тическое и практическое приложение к изучению во-
просов взаимодействия гусениц с грунтом.
Распределение напряжений при действии сосредо-
точенной силы. Пусть на грунт действует сосредо-
точенная сила Р (фиг. 100). Примем оси координат,
153
как представлено на фиг. 100. Положение точки Л/
в грунте, кроме координат х, у и г, определим поляр-
ными координатами R и ?. Проведем через точку М
площадку, перпендикулярную радиусу R. От действия
силы Р эта площадка будет перемещаться. Наиболь-
шие перемещения будут при и = 0; наименьшие
(нулевые) —при ? - 90°. Отсюда можно принять сле-
дующий закон переме-
щений:
5 = А .	(а)
Здесь 5— радиальное
перемещение площадки;
А — коэфициент про-
порциональности.
Рассмотрим теперь
точку Мъ находящуюся
на расстоянии dR от
точки М. Ее перемеще-
ние под действием силы Р
будет:
Фиг. 100. Радиальные деформации
грунта.
= А
COS Р
R + dR ‘
Тогда относительное сжатие отрезка dR будет
. _____________ S — $i _ Л cos р
Kr ” ~~dR R^+RdR '
Пренебрегая величиной RdR, будем иметь:
cos '>
Принимая линейную зависимость между деформа
циями и напряжениями, можем написать:
= В ^Tcos£,	(в)
где В — коэфициент пропорциональности (В = const)
В этой формуле нам неизвестны коэфициенты А
и В. Определим их следующим образом. Проведем
в грунте сферу радиуса R (фиг. 101). Выделим на
этой сфере элементарный шаровой пояс площадью:
dP 2к (/? • sin $)(Rdi).
154
Напряжения oR, действующие на этот пояс, можно
считать постоянными. Проектируя вектор напряжения
на ось силы Р, получим
зр ~ 3₽cos;j,
тогда элементарная сила, действующая на пояс и на-
правленная параллельно оси Р, запишется:
Фиг. 101. Определение
напряжений в грунте при
действии сосредоточен-
ной силы.
dP'
Фиг. 102. Площадка, перпенди-
кулярная радиусу сферы (FR)
и параллельная плоскости
грунта (f).
Суммарная сила, действующая на полусферу,
будет:
2	2	2
Р’ = J dP' = 2кДВ J cos2 sin = - ±кАВ.
о	о
Но из условия равновесия действующих сил
Р + р' = о,
или
АВ = 4^-	(г)
Тогда радиальное напряжение будет
=* = 4-^cos^	(,09)
155
Это напряжение действует на площадку, перпен-
дикулярную радиусу R. Отнесем его к площадке парал-
лельной свободной плоскости грунта (фиг. 102):
^RSR = F°R'
НО
fr
~ =cos3.
Тогда
3ft = 3/?cos^ = 4^cos^-	О10)
Это будет выражение для радиального напряжения,
отнесенного к горизонтальной площадке. Проектируя
напряжение a'R на направления, параллельные осям
координат, получим:
3z = apcos(o^);
-О. -^cos (з^);
'zx =- COS (я^х),
где
COS(a^)=-J,
cos(a^) - y-R
cos (я^х) = 4 •
Или окончательно будем иметь выражения для на-
пряжений в грунте, отнесенные к площадке, парал-
лельной свободной плоскости грунта (фиг. 103):
_ 3 _Р «»
’-	2 « ’ Я» ’
_ 3 Р х&
~гх~
Эти формулы известны в грунтоведении йак фор-
мулы Буссинеска.
Заметим, что в эти формулы не входят физиче-
ские постоянные, характеризующие грунт. Следова-
156
тельно, эти формулы одинаково справедливы для лю-
бого однородного грунта. Таким образом, напряже-
ния в грунте зависят только от величины прило-
женной силы и координат рассматриваемой точки
и не зависят от физических постоянных грунта,
характеризующих его упругость (модуль Юнга, коэ-
фициент Пуассона).
Фиг. 103. Составляющие напряжений
в грунте.
Фиг. 104. Определение сжи-
мающих напряжений
в грунте.
Вычислим напряжение о, для следующих данных:
Р = 2000 кг, z — 20 см\ i\ — 0 и г2 = 50 см (фиг. 104).
Из формулы (111) имеем:
3 _Р_
~ 2 г. № •
Для точки 1 Ri = z = 20 см, для точки 2
R2 = /г2 + г' = /20а + 502 = 54 см.
Тогда
3-2000 203 о	.
°-’' — 2-3.14-205 ~ Кг СМ ’
3-2000-20» пп,_ .
2-3.14-546	0,017 кг см .
Как видим, наибольшие напряжения будут на оси
действия силы Р. В сторону от этой оси они быстро
уменьшаются.
На фиг. 105 приведена эпюра сжимающих напря-
жений для одной сосредоточенной силы, на фиг. 106—
линии одинаковых напряжений (изобары) для трех со-
средоточенных сил. Если принять линейный
157
закон деформаций, то напряжения в дан
ной точке грунта определяются как сумма
напряжений, вызванныхдействием отдель-
ных сил. Для нелинейных деформаций это положе-
Фиг. 106. Линии постоянных
напряжений в грунте (изо-
бары).
Фиг. 105. Сжимающие напряжения
в грунте, вызванные действием
сосредоточенной силы.
ние несправедливо. Поэтому суммирование напряже-
ний можно производить лишь на некоторой глубине
грунта, где деформации не велики.
§ 41. Сжимающие напряжения в грунте, вызванные
гусеницами
При движении гусеничной машины в грунте воз-
никают сжимающие напряжения как результат дей-
ствия опорных катков на опорную ветвь гусеничного
обвода. От величины и распределения напряжений за-
висят сопротивление движению машины и ее про-
ходимость на мягких грунтах (снег, болото, сыпучие
пески и т. д.). К сожалению, вопрос этот почти совер-
шенно не изучен. Механика грунта не дает решения
этой сложной динамической задачи. Отметим те
особенности, которые характеризуют движение гусе-
ничной машины и в результате которых затрудняется
исследование физических явлений, происходящих
в грунте. Как мы видели выше (гл. I, § 3), при движе-
нии гусеничного обвода его задняя наклонная ветвь
нагружена тяговым усилием. В результате этого про-
исходит поджатие рессоры заднего катка. Кроме того,
158
крайние катки обвода (передний и задний) поджаты
усилием предварительного натяга. Опорная ветвь обвода
имеет некоторый изгиб, обращенный выпуклостью
к грунту (фиг. 107). В результате этого эпюра нор-
Фиг. 107. Влияние натяжения гусениц на эпюру
нормальных давлений на грунт.
мальных давлений на грунт при движении машины
будет отличаться от эпюры нормальных давлений
в статическом состоянии (сравните фиг. 108, а и б).
Определить расчетом эпюру нормальных давлений
крайне трудно, а следовательно,затрудняется и опре-
деление напряжений в грунте.
Фиг. 108. Эпюра нормальных давлений на грунт:
а — в статическом состоянии; б - при движении.
Во-вторых, опорная ветвь обвода состоит из же-
стких звеньев конечной длины, связанных между со-
бой шарнирно и натянутых частично или полностью
(при буксовании) растягивающим усилием. Если ма-
шина движется по твердому грунту, то давление со
стороны катков передается только лежащим под катками
159
и частично соседним с ними звеньям и распределяется
как рассредоточенная нагрузка на эти звенья. Осталь-
ные звенья в передаче давления на грунт не участвуют
(фиг. 109, а). На некоторых упругих мягких грунтах
опорная ветвь обвода может выпучиваться между кат-
ками. При этом звенья, лежащие под опорными кат-
ками, погружаются глубже, чем промежуточные звенья.
Тогда небольшая часть нагрузки передается и через
Фиг. 109. Эпюры удельных давлений на грунт:
а — жесткий грунт; б - упругий грунт.
промежуточные звенья. Эпюра давлений получается
несколько сглаженной (фиг. 109, б).
В-третьих, при движении опорных катков лежащие
под ними звенья получают вращательное движение.
Это приводит к перераспределению нггрузок на грунт,
а следовательно, меняет и напряжение в грунте. На-
пряжения зависят также от скорости движения машины-
В-четвертых, звенья имеют выступы и впадины.
В результате этого создаются непосредственно под
звеньями местные напряжения, вызывающие нелиней-
ные деформации грунта.
Наконец, движение машины сопровождается коле-
баниями ее корпуса, что в свою очередь меняет
эпюру нормальных давлений на грунт.
Только перечисленные здесь явления, сопрово-
ждающие движение гусеничной машины, показывают,
насколько затруднено решение в общем виде поста-
вленной задачи. Поэтому мы ограничимся только
160
частными решениями, Имеющими, однако, прикладное
значение в теории гусеничных машин.
Заменим опорную ветвь гусеничной цепи абсолютно
гибкой нерастяжимой лентой, на которую с одинако-
вой силой давят опорные катки.
Давление катков через ленту будет передаваться
на грунт и деформировать его (фиг. 110).
Фиг. ПО. Распределение давления на грунт при погру-
жении опорной ветви в грунт.
Из механики грунтов известно, что на достаточной
глубине грунта распределение напряжений не зависит
от распределения нагрузок по поверхности, а только
от величины и положения равнодействующей внешней
нагрузки.
Все это позволяет нам принять внешние нагрузки
на грунт как сосредоточенные силы, приложенные под
осями опорных катков. В первом приближении будем
считать эти силы равными между собой, т. е. опорные
катки одинаково нагруженными.
Пусть к грунту приложены три сосредоточенные
силы Q (фиг. 111). Определим суммарное напряжение
от этих сил в произвольной точке грунта М, распо-
ложенной на глубине z. Согласно предыдущему сум-
марное напряжение будет равно
где з2. — напряжение, вызванное одной из сил и опре-
деляемое формулой (111)
3 Q г"
2	’
ИЛИ
г~ 2 .^5
И А. С. Антонов 843
161
Обозначим расстояние от odh катка i до точки л?
через г,. Тогда:
/?, - /F+ rf =	1 +	.
1
Фиг. 111. Суммирование сжимающих на-
пряжений от сосредоточенных сил.
или окончательно:
3Q V 1
аг — 2itz« р	,2)
Полученная формула позволяет вычислять напря-
жения в любой точке грунтового массива.
Числовой пример. Определим сжимающие напряжения в грунте
для точек, расположенных в плоскости опорных катков и находя-
щихся на глубине г, = 6 см и z2 = 20 см. Вес машины 30 т. Рас-
положение катков показано на фиг. 112. В первом приближении
будем считать, что нагрузки на все кптки одинаковые. Тогда:
30 000
Q = -^-г.— = 2500 кг.
2*0
Обозначим в формуле (112) выражение:
тогда
п
^=42^	(из)
162
Вычислим напряжение для точек 7, 2, 3 и т. д., указанных
на фиг. 112.
Покажем последовательность вычисления для одной точки,
например /. Здесь =с 10 см, г2 = 80-f- 10 = 9Э см, г3= 10-Ь
-f- 80 + 60 = 150 см и т. д.
21 = 12 = 1,67, — = ^-=15ит. д.
6	*1 О
Фиг. 112. Эпюра сжимающих напряжений в грунте
на глубину 20 см\
Пунктирная кривая —расчетная; сплошная кривая — опытная (машина
медленно движется).
Тогда:
^ =-----------------— = 0,0171,
1	2« [1-f-1,67»] 3
kt =----------—— = 0,00000065.
8	2к[1 + 152)’
Отсюда следует, что влияние уже второго катка на напряже-
ние в точке 1 ничтожно мало. Поэтому можно считать, что на-
пряжение в ней определяется только давлением крайнего катка
*°гда напряжение в точке 1 будет:
01 = Д-k. = Д?--0,0171 = 1,19 кг см*
х	1	00
*
163
Аналогично определим напряжение в точке 2, для котором
г2 — 0. Тогда
-- =	= О и k = 0,4775,
Zi 6
ИЛИ
з. = -^--0,4775 = 33,2 кг см2.
л оо
При таком напряжении ipynr .течет* и, следовательно, фор-
мулы (111) неприменимы. Действительные напряжения, как мы
увидим ниже, будут значительно меньше (примерно 5—6 кг/см2).
Определим напряжения для z-> = 20 см. Для точки 1 будем
иметь:
21.	= 12. = 0,5, к - 0,2733,
2*2 2и
-12-	= ^. = 4,5, k. = 0,0002.
Z2 20
Влиянием остальных катков пренебрегаем. Тогда из фор-
мулы (112) получим:
0/1 = -^-0,2735 = 1,65 кг см2.
Для точки 2 будем иметь
г. = 0, тогда — = 0 и kr = 0,4775,
1	z2
г, = 80 см, тогда у = 4 и /?2 = 0,0003.
Влиянием остальных катков йренебрегаем. тогда
<гг, = 2^-0,4778 = 2,99 кг1см2.
Аналогично вычисляются напряжения и в остальных точках.
На фиг. 112 приведена эпюра сжимающих напряжений в грунте
на уровне г = 20 см (эпюра, ограниченная пунктирной кривой).
Опытные данные. На фиг. 112 приведена эпюра
сжимающих напряжений, полученная опытным путем,
и расчетная эпюра (см. пример). Опыты проводились
на влажном супесчаном грунте. В грунт на глубину
z — 20c.it закладывались месдозы. Машина медленно
продвигалась. Давление в грунте определялось при по-
мощи осциллографа. Из сравнения обеих эпюр сле-
дует, что на глубине в 20 см еще имеет место разли-
чие между расчетными и действительными напряже-
ниями. Это следует объяснить тем, что во влажном
грунте при напряжениях порядка 3 кг 'см2 деформации
164
имеют уже нелинейный характер. В результате этого
действительные напряжения меньше расчетных.
Однако разница в напряжениях менее значительна,
чем на глубине 6 см (фиг. 113).
Заметим, что напряжение под крайними катками,
особенно под задним, где действует рабочее натяже-
ние, меньше, чем под средними катками.
На фиг. 112 обозначены крестиком полученные опы-
том напряжения под катками для неподвижной машины.
го
30
зинвчжигах
-1-I-1-1-v- г-1 -~i-I---1-1-f-
я *2.
°z смг
Фиг. 113. Эпюра сжимающих напряжений в грунте
на । лубине 6 см. Расчетная и опытная эпюры.
Как следует из фигуры, напряжение для неподвижной
машины примерно одинаково под всеми катками. Под
задним катком оно даже несколько больше, чем под
остальными. Вследствие движения машины напряже-
ния под крайними катками упали, а под средними
возросли. Это показывает, что произошло перерас-
пределение давлений на грунт.
Мы определяли напряжение в грунте, считая, чю
на грунт действуют сосредоточенные силы. В действи-
тельности, как мы видели выше, силы, действующие
на грунт со стороны звеньев опорной ветви, рас-
средоточенные.
Определим напряжение в грунте для этого случая.
Примем следующее допущение.
Пусть сила, действующая на звенья опорной ветви,
передается на грунт в виде постгянной рассредоточен-
ной нагрузки qc.
Для определения напряжений в грунте поступим
следующим образом. Разобьем площадку нагрузки
на п равных прямоугольников площадью F и в центре
165
каждого прямоугольника приложим сосредоточенную
силу
Р = Fqc.
Тогда сжимающее напряжение в произвольной точке
грунта будет определяться по формулам (111)
(см. выше).
Определим напряжение в грунте на глубине гх =
= 20 см и г2 — 6см под площадкой одного звена опор-
ной ветви, имеющего размеры 20X11 см (фиг. 114).
Пусть число элементарных площадок будет п = 9.
Обозначим номера площадок, как показано на фигуре.
Пусть Q = 2500 кг. Поступаем так же, как мы посту-
пали выше для случая сосредоточенных сил.
Для напряжений под площадками 0, 1, 2 и 3 имеем:
го = 0,	-^- = 0,	£0 = 0,4775, — =0,	£„=0,4775, ,
Z1	Z2
= 3,67,	=	0,18,	£х = 0,4409,	= 0,61,	£х = 0,2165,
Z1	z2
r2 = 7,60,	=	0,38,	k, = 0,3408,	= 1,27,	k2 = 0,0433,
Z1	z2
r.3 - 6,66,	-----	0,33,	£s = 0,3687,	= 1,11,	k3 = 0,0641.
166
Из симметрии площадок следует
^2 == ^2 —" ^2 — ^2*	^3’
для z = 20 см\
9
#f- = А?о -f- 2&i	4^2 + 2&3 = 3,4620,
1
ДЛЯ Z = 6 СМ\
9
2 k = k0 + 2&1 + 4£а + 2Z?3 = 1,2119,
1
ИЛИ	2500 Q ЛСО О л 2
= -дугдо -3,462 = 2,4 кг см2,
2500	1 о 1 1 л па	о
=~а д* • 1,2119 -- 9,2 кг см2.
В этом случае нами получены напряжения, уже мало
отличающиеся от действительных (опыт-
ных) даже на малой глубине грунта.
Однако и этот метод определения напряжений
является лишь приближенным. Здесь предполагается,
что силы Р, действую-
щие на элементарные
площадки, смещают их
независимо одна от
другой.В действитель-
ности площадки свя-
заны между собой в
одно звено и, следо-
вательно, деформации
грунта под звеном бу-
дут одинаковыми для
всех площадок. Меха-
ника грунта показы-
вает, что для жестких
и гибких фундаментов
разница в напряже-
ниях грунта на глу-
бине ширины фундамента (в
гусеницы) не существенна, а
луторной ширины фундамента распределение напря-
жений вообще не зависит от характера распреде-
ления нагрузок, приложенных к грунту.
Практически это означает, что колесная и гусенич-
ная машины при одинаковой нагрузке на колеса и
167
10
20
30
40
so
гем
5 ю 15 ‘ гок„/см
о,ьб кг/см*
Фиг. 115. Распреде-
ление максималь-
ных сжимающих
напряжений
в грунте по глу-
бине. Пунктирная
кривая получена
из опытов.
данном случае ширины
для глубины больше по-
катки вызывают в грунте, начиная с некоторой глу-
бины, равные напряжения. В верхних слоях грунта
напряжение для колесной машины будет значительно
больше, чем для гусеничной.
Заметим, что внецентренность приложения нагрузки
к звену опорной ветви также сказывается только на
глубинах меньше полуторной ширины гусеницы. На
больших глубинах она неощутима.
Мы определяли напряжение в грунте на глубине
20 см непосредственно под осью катка (площадка О
фиг. 114). В сторону от этой оси напряжения будут
меньше, так как меньше влияние соседних нагрузок.
Отсюда определенные нами напряжения
являются максимальными. На фиг. 115 приве-
дено распределение максимальных напряжений в грунте
по глубине для рассмотренного примера рассредото-
ченной нагрузки <7^.= 11,5 кг'см2 (пунктирная кривая
получена из опытов).
Из сравнения обеих кривых следует, что на глу-
бине, несколько большей ширины гусеницы, напряже-
ния, полученные расчетом по формулам (111) и
из опыта, совпадают.
§ 42. Несущая способность рыхлых грунтов
Проходимость гусеничной машины по рыхлым грун-
там определяется несущей способностью грунта, т. е.
его способностью выдерживать вертикальные нагрузки
без значительных деформаций (осадки) грунта. Чем
больше деформация грунта, тем больше сопротивле-
ние качению обвода, тем требуется большая сила тяги.
Рыхлый грунт не может обеспечить достаточную силу
тяги вследствие недостаточного сцепления. Гусеницы
буксуют, разрушая грунт, и машина все более погру-
жается в грунт, пока не „сядет" на него днищем и
не потеряет окончательно сцепление с грунтом. Так
как на рыхлых грунтах (болотистые грунты, сыпучий
песок) движение машины происходит на низших пере-
дачах, и скорость оказывает сравнительно малое влия-
ние не деформации грунта, мы будем рассматривать
нагрузки как статические.
Если грунт подвергается сжатию местной нагруз-
кой, то, как было показано выше, в нем возникают
нормальные и касательные напряжения. При определен-
ной нагрузке на грунт касательные напряжения до-
168
тигают такой величины, что в грунте происходит
вление сдвига, т. е. его боковое выдавливание.
Выдавливание грунта зависит от внутреннего тре-
ия в грунте и его сцепных свойств. Чем больше
нутреннее трение в грунте и его сцепление, тем
еньше вероятность бокового выдавливания грунта.
)бщее погружение опорной ветви в грунт будет опре-
еляться сдавливанием относительно тонкого слоя
рунта непосредственно под опорной ветвью Aj и
Фиг. 116. Изобары напряжений в грунте под опорной ветвью
гусеницы.
плотнением всей остальной толщи грунта h до твер-
ого подстилающего слоя (фиг. 116). Выравнивание
агрузки вдоль опорной поверхности происходит для
ягкого грунта при сравнительно небольшом углубле-
ии опорной ветви. Этой величиной можно пренебречь
считать, что нагрузка на опорную ветвь распреде-
ена равномерно и определяется средним удельным
авлением qc.
В этом случае можно приближенно считать, что
зобары напряжений на участке, расположенном не-
осредственно под опорной ветвью, представляют
трезки прямых, параллельных плоскости приложен-
ой нагрузки.
Выделим в грунте призму с единичной площадью
ечения и определим ее сжатие, полагая, что боковое
асширение грунта отсутствует.
Под действием приложенной нагрузки qc грунтовая
ризма сожмется.
169
Если начальная высота призмы была h, а после
сжатия h', то сжатие призмы будет равно
s = h — h'.
Сжатие грунта произошло за счет уменьшения по-
ристости грунта при неизменном объеме его скелета
(твердых частиц). Если обозначить через п объем пор
грунта в 1 см,3, то согласно § 37 [формула (в)] коэфи-
п
циент пористости е = ——.
Отсюда
тогда объем твердых частиц грунта в 1 см3 будет
.	1
т = 1 — п	+ _ •
Для призмы высотой h и площадью поперечного
сечения 1 смг получим
где ех — коэфициент пористости для несжатого грунта.
Так как объем скелета при сжатии не меняется, то
где е2 —коэфициент пористости сжатого грунта,
или сжатие грунта будет
Здесь величины st и еа могут быть определены из
компрессионной кривой (фиг. 117).
*2 =- si — Р tg а,
но tga = а — средний коэфициент сжимаемости грунта.
Или
г2 =. е, — аР,
подставляя в формулу (а), получим
где Р — сила, сжимающая грунт.
170
Разобьем призму высотой h на п призм высотой
фиг. 118). Пусть известно распределение напряжения
по высоте призмы. Тогда определим среднее напря-
жение и т. д., как указано на фигуре.
Сжатие грунта будет определяться как сумма сжа-
тия элементарных призм.
«1 h , Л ,	. ап h
s ~ п (1 +'<) 3/1	л(1 + е,)	+ • • • + П(1 +»1) 3™’
Для однородного грунта ком-
прессионную кривую можно за-
менить прямой линией.
Фиг. 118. Средние сжи-
мающие напряжения
в грунте.
Фиг. 117. Компрессионная кривая.
Тогда а2 = а8 = . .. = а, и
п
ah V
s ~ 7Г(Г+ S1)2j 3*ь
1
(115)
где ех — начальный коэфициент пористости; a = tg«c —
коэфициент сжимаемости, равный тангенсу угла се-
кущей, проведенной к компрессионной кривой через
точки Pj = 0 и P = qc (фиг. 117).
В табл. 5 приведены опытные данные по коэфи-
Циенту пористости ех и коэфициенту сжимаемости а
Для различных грунтов.
Для ила ориентировочно можно принять ej = 0,60,
а = 0,35.
Напряжения в грунте для различных по глубине
точек могут быть определены по формуле
=	(116)
171
Таблица .5
Коэфициент пористости и коэфициент сжимаемости
(по опытам Цытовича)
1	Наименование грунта i	_	\	г1	
Насыпной грунт	•	. . • . .	0,910	! 0,283 1
Песок тонкозернистый 	  .	0,589	; o,oi4 ।
Песок тонкозернистый, заиленный ....	0,733	0,014 1
Песок средний	•	.	; o,76i I	1 0,006
СупеСь легкая 		;	0,668	!	0,302
Суглинок средний •		:	0,852	1	0,167
Глина пластическая 		0,718 i	0,082 ।
где qc — среднее удельное давление гусеницы на грунт;
kQ — коэфициент, вычисленный по формулам (111),
когда нагрузка распределена равномерно по длине
гусениц.
Значение коэфициента k0 представлено на фиг. 119.
Здесь по оси абсцисс отложено значение коэфи-
циента k0, по оси ординат — значение относительной
глубины. погружения у, где г—ордината точки грунта,
b — ширина гусеницы. Коэфициент k0 зависит от отно-
шения длины опорной ветви L к ширине гусеницы Ь.
обычно
4 = 7+10.
О
Подсчитаем осадку двух машин весом 50 т и ве-
сом 10 т. Удельное давление обеих машин: qc =
= 0,78 кг/см2 и qCj = 0,70 кг!см2', ширина гусениц 6, =
= 60 см и Ь2 = 27 см.
 Тогда ^ = 7 и 4= Ю.
и	Ь2	’
Глубина мягкого грунта до твердого подстилаю-
щего слоя h = 200 см.
Характеристика илистого грунта: «, = 0,60, а = 0,35.
Определим напряжение для слоев, находящихся на
глубине zx = 20 см, z2 = 40 см, г, = 60 см и т. д.
172
Относительные глубины этих
вой машины:
.	т-=0,
слоев будут для пер-
— ?£__Л QQ
60“
£»= — =1 и т
Л, 60
Л1ь=12 = 0,6Т,
I)] оО
д.;
= 0 74	— =148
b2 27	1э:0’
для второй машины:
*о _л £1 =20
Ь2 ' Ь2 27
Z2 60 Л ЛЛ
-Г = ^ = 2,22 и т. д. •
По фиг. 119 определяем значение k0 для слоев, начи-
ная с поверхности грунта. Тогда для первой машины:
kQ = 1, Л01 = 0,85, 6оа = 0,70, ^оа = 0,49 и т. д.;
Для второй машины:
Ло=1, Л01 = 0,57, Ао2 = О,37, Лоз = 0,27 и т. д.
173
Соответственно напряжения в этих слоях будут
определены по формуле (116) для первой машины:
зг„ =	= 0,78 кг'см2, = 0,85 • 0,78 = 0,66 кг см2,
— 0,7 • 0,78 = 0,55 кг см2 и т. д.;
для второй машины:
= kQqc, =0,70 KitCM2, =0,57 • 0,7 = 0,4 кгсм2,
а/а =0,37 • 0,7 =0,26 кгсм2 и т. д.
Средние значения напряжений будут:
0,78 + 0,66	„_п	. ,	0,66 + 0,55 пс , ,
=-----2----=0,72 кг см2-, зЛ = -—— = 0,6кг,см.2
и т. д.;
=	2	=0,55 кгсм2-, = ’-Т	=0,33 кг! см2
и т. д.
Или для первой машины:
10
= 0,72 + 0,6 + 0,46 + 0,33 4-0,27 + 0,21+0,16 +
1
+ 0,14 + 0,12 + 0,12 = 3,13 кгсм2-,
для второй машины:
10
2» zi = 0,55 + 0,33 + 0,22 + 0,16 + 0,11+0,08 + 0,07 +
1
_|_0,07+ 0,07+ 0,07= 1,73 кг,см2.
Подставляя полученные значения в формулу (115),
будем иметь осадку первой машины:
п
ah V 0,35 - 200 о , „	, „ -
51 ~п(1 +	~ 10(1 +0,6) ‘ 3>13 — 13>7 см'>
второй машины:
е _ 0,35-200	7о_7 е
Si ~ ю (1+0,6)	— 7,5 см.
Отсюда следует, что, несмотря на то, что удельные
давления обеих машин отличаются на 100/о, осадка
изменяется почти вдвое. Так как для всех классов
гусеничных машин удельные давления лежат в узких
пределах 0,7—1,0 кг'см*, т. е. можно считать, что они
174
одинаковы, то осадка на мягких грунтах зависит
от веса машины. Чем тяжелее машина, тем больше
ее осадка.	,
Увеличение осадки тяжелой машины происходит
вследствие уширения ее гусениц, что в свою очередь
приводит к увеличению общей нагрузки на грунт,
а следовательно, большим напряжениям в грунте.
Кроме того, ширина гусениц также оказывает влияние
на осадку машины. Остановимся на этом вопросе по-
дробнее.
Пусть две машины одинакового веса имеют ширину
гусеницы —60 см и д2 = 90 см, при этом длина
опорной ветви одинакова для обеих машин. Тогда
средние удельные давления второй и первой машины
относятся как |з=1,5. Пусть ^с1 = 0,78 кг см2, тогда
<7са = О,52 кг^см2.
Определим осадку обеих машин. Возьмем тот же
грунт, который мы брали в только что рассмотрен-
ном примере. Тогда осадка первой машины составит
= 13,7см. Подсчитаем осадку для второй машины.
Будем иметь
-4- = °,	4- = = °-22- 4- = S- = о-44.
Ь2	Ь2 90	Ь2 90	’
^"8	60	d'J
V = 90 = °’67 И Т- Д-
*0=1,	^01=0-92,	*02 = 0,79, *03 = 0,65 и т. д.
°г0 = 0,52, aZi = 0,48,	=0,41, <jZ1 = 0,34 и т. д.;
средние напряжения будут:
<+ = 0,50, аЛ, = 0,45, а. -•= 0,37 и т. д.
ю
5^. = 0,50 + 0,45 + 0,37 + 0,30 + 0,26 + 0,23 +
4-0,20 4-0,17+ 0,14+ 0,13=-- 2,75 кг/см2.
Тогда осадка второй машины будет
0,35 • 200 о _с , о
s2= kjV j 6--2,75 = 12 СИ.
Сравнивая осадку первой и второй машины, мы
видим, что при уменьшении среднего удельного да-
вления в полтора раза осадка уменьшилась всего
«« /4°0.
175
Уменьшим теперь удельное давление за счет удли-
нения опорной ветви гусениц при сохранении преж-
ней ширины b = 60 см. Пусть длина опорной ветви
увеличивается в полтора раза. Тогда удельное давле-
ние составит qe = 0,52 кг/см1, при этом -^изменитсяот7
до 10,5. Согласно графику фиг. 119 это не окажет
сколько-нибудь заметного влияния на значение коэфи-
циента kn.
Тогда будем иметь уже вычисленные выше коэ-
фициенты:
kn = 1, &01 = 0,85, Ао2 = 0,70, &03 = 0,49 и т. д.
Напряжения будут:
<з2а =0,52, aZi =0,85-0,52 =0,44,	=0,36 и т. д.,
средние напряжения:
=0,48, ъг =0,40, аг., =0,27 и. т. д.
V а., = 1,95 кг см2.
Осадка будет
Следовательно, при удлинении опорной ветви
в полтора раза и при сохранении ширины гусениц
осадка также уменьшается примерно в полтора
раза.
Нетрудно показать, что осадка обратно пропорцио-
нальна удлинению опорной ветви гусениц. Действи-
тельно, обозначим в формуле (115) выражение
п (1 + ч)
тогда
1
176
заменяя здесь через k^qc согласно формуле (116),
будем иметь:
2 \ = -о - Ц1 + *«,) + (1 + £01 + м +•••].
1
Выражение в квадратных скобках при изменении
длины гусеницы (при неизменной ширине) остается
примерно величиной постоянной. Обозначим ее бук-
вой С. Тогда	АС s = —rqc.
но	__ G
	Яс 2bL ’>
или	о _..	1 •S 	.* j 1 46 L
здесь	ACG 4В = const.
Тогда	const S~ 1.
Таким образом, чтобы получить уменьшение осадки
на 14%, можно или увеличить ширину гусеницы на 50%,
или удлинить опорную ветвь на 14%.
Осадка грунта зависит от свойств самого грунта
и от сжимающих напряжений, развивающихся в грунте.
Последние определяются величиной (интенсивностью)
Удельной нагрузки и характером ее приложения: отно-
шением
и
Если лежит в пределах 6 < ^ < ос, то, как мы
видели выше, значение коэфициента %, а следова-
тельно, и напряжения зависят только от глубины поло-
жения точки и не зависят от длины опорной поверх-
ности нагрузки. Иначе говоря, если интенсивность
нагрузки (удельное давление я) не меняется и неиз-
менной остается ширина опорной поверхности, то
А. С. Антонов 843	177
при изменении длины опорной поверхности напряже*
ние в грунте будет оставаться постоянным (фиг. 120),
Фиг. 120. Удлинейие равномерной на-
грузки практически не сказывается на
сжимающих напряжениях в грунте, на-
чиная с определенного предела.
разной ее ширины.
Как видим, с увеличением ширины нагрузки увели-
чиваются напряжения в грунте. Этим и объясняется
увеличение осадки
с увеличением ширины
опорной поверхности
гусениц при прочих
равных условиях. Фи-
зически это явление
можно объяснить сло-
жением напряжений в
грунте вследствие дей-
ствия нагрузки в со-
седних по ширине точ-
ках. Рассмотрим на-
пряжение в какой-ни-
будь точке грунта а
(фиг. 122).
Проведем в гори-
зонтальной плоскости
окружность, внутри
которой нагрузка, при-
ложенная в произволь-
ной точке Ь, оказывает заметное влияние на напряже-
ние в точке а. Тогда нагрузка, приложенная в точке с,
а следовательно, не
будет меняться и
осадка грунта; на-
оборот, изменение
ширины нагрузки
значительно сказы-
вается на напряже-
ниях, и тем самым
на деформациях
грунта (осадке его).
На фиг. 121 приве-
дены кривые изме-
нения напряжений
в грунте для оди-
наковой интенсив-
ности нагрузки и
Фиг. 121. Сжимающие напряжения
в грунте при разной ширине опор-
ной поверхности нагрузки:
кривая а — для одинарной и кривая б - для
двойной ширины нагрузки.
никакого влияния на напряжение в точке а не ока-
178
жет. Таким образом, удлиняя опорную поверхность
нагрузки за пределы окружности, мы не меняем на-
пряжения в точке а.
Если расширить опорную поверхность нагрузки,
взяв точку d, то напряжение в точке а увеличивается.
Этим и объясняется влияние ширины и длины гусениц
на напряжение, а следова-
тельно, и на осадку грунта.
Заметим, что здесь мы
пока не касались во-
просов сопротивления
качению и сцепления
гусениц с грунтом, ко-
торые непосредственно
связаны с вопросами
проходимости гусеничных
машин. На этих вопросах
остановимся ниже.
Фиг. 122. Влияние длины и
ширины нагрузки на напря-
* жение в точке а.
§ 43. Несущая способность снега
Снег и его свойства. Снег состоит из кристаллов
льда, между которыми находится воздух. При сжатии
снега происходит его уплотнение, кристаллы сбли-
жаются и, кроме того, деформируются. При этом по-
вышается плотность снега. Хотя снег и более одно-
родная среда, чем грунт, явления, в нем происходя-
щие, не менее сложны, чем в грунте.
Плотность снега зависит от его температуры.
Как показывают опыты Академии наук СССР \ с по-
вышением температуры жесткость снега увеличивается.
Так, при температуре —1,5° С и давлении 1 кг’см* она
составляет 0,513 г)см3, при —21° С и той же нагрузке —
0,462 г/см3-, на плотность снега оказывает влияние
кроме температуры, также и время: кристаллы льда,
соприкасаясь друг с другом, сращиваются. На это
требуется время.
В свою очередь сращивание кристалов зависит от
перемешивания снега, в результате чего увеличивается
число точек соприкосновения отдельных кристаллов.
1 Физико-механические свойства снега и их использование
в «аэродромном и дорожном строительстве", Академия наук
Союза ССР, 1945.
179
Поэтому, например, слежавшийся снег обладает
большей плотностью, чем только что выпавший. Ниже
приведены ориентировочные данные плотности снега
Характер снега	Плотность в г сма
Пушистый снег сухой.....................0,01—0,03
Оседающий снег..........................0,07—0,19
Осенний снег . :........................0,20—0,50
Талый весенний снег......................0,60—0,70
Таким образом, плотность снега колеблется в ши-
роких пределах от 0,01 до 0,7.
Чем плотнее снег, тем он тверже, тем выше его
несущая способность.
В табл. 6 приведены опытные данные по плотности
и твердости снегового покрова. Твердость определя-
лась вдавливанием шарика площадью сечения 3,3 см2.
За величину твердости принято максимальное напря-
жение, при котором шарик вдавливается в снеговой
покров.
Таблица 6
Плотность и твердость снегового покрова по данным
Академии наук СССР
Наи.енование дороги	Толщина покрова в см	Плотность в г!см^	Твердость в кг/см*
Зимняя автодорог . . .	38	1 0,625	14.0
Гужевая дорога		35	0,467	;	7,0
Пешеходная тропа . . Снеговой наст, верхний	41	0,462	1 !	4,6
слой	 Снеговой наст на всю	6	0,458 i । 1	4,2
толщину .......	43	0,243	2,2
Определение твердости снегового покрытия произ-
водят при помощи штампов (фиг. 123). Штампы могут,
быть плоские, сферические или конические. Твердость
определяется как отношение силы, приложенной
к штампу, к проекции поверхности отпечатка на пло-
скость, перпендикулярную действующей нагрузке (для
всех видов штампов). Опыты показывают, что плоский
штамп, наиболее распространенный, не удовлетворяет
задачам определения твердости покрытия, так как
180
в случае плоского штампа твердость зависит от раз-
меров штампа.
Так, если применить штамп размерами 3x3 см, то
для погружения его в снег на глубину 3 см требуется
удельное давление 9,4 кг^см2. Если на ту же глубину
погружать штамп размером 20 X 20 см, то требуется
удельное давление только 0,83 кг, см2, т. е. в 11 раз
меньше. Таким образом, малый штамп показывает
большую несущую способность снега, чем большой
штамп. Это происходит
согласно
твердость ос-
постоянной
при геометри-
подобии эле-
фо р м ы внед-
тела и рас-
вследствие нарушения за-
конов подобия,
которым
т а ет с я
только
че с к о м
ментов
р я е м о г о
положения точек при-
ложения действую-
щих сил. Теория подобия
устанавливает, что этому
условию больше всего
Фиг. 123. Типы штампов.
удовлетворяет конический
штамп. Опыты Виккерса показали, что для кониче-
ского штампа с углом раскрытия 136° твердость для
одного и того же материала сохраняет постоянную
величину в очень широком диапазоне (от нескольких
граммов до 150 кг).
Хотя между плотностью снега и его твердостью,
строго говоря, нет однозначной зависимости, будем
пользоваться плотностью снега как параметром оценки
его несущей способности, так как плотность снега
определяет осадку машины, а следовательно, и ее про-
ходимость.
Несущая способность снега. Определим осадку
машины, если на снег действует равномерно распре-
деленная нагрузка интенсивностью qc. Пусть слой снега
имеет глубину до твердого подстилающего слоя h.
Разобьем этот слой на равные элементарные слои АЛ
и выделим элементарную призму с площадью основа-
ния F и высотой АЛ (фиг. 124). Пусть на эту призму
действует среднее сжимающее напряжение аг Под
действием этого напряжения снег уплотнится. Обо-
181
значим плотность снега начальную р0 и после сжатия рь
где i — индекс произвольно взятой элементарной
призмы. Тогда вес снега в объеме призмы до сжатия
G = Ро FM
и после сжатия
G =piF^h,1
отсюда
№ = _Ро. .
ДЛ
ДЛ
ДЛ
Л ~т
Дл
д/?
Фиг. 124. Разбивка
снежного слоя на
элементарные
слои.
ДЛ
Д/>

Осадка призмы будет
As,. = ДА — ДА' = ДА /1 -
или
As, = ДАН - -^1.
Если считать, что плотность снега по всей глубине
одинаковая, то общую осадку снежного слоя А можно
определить как сумму осадок элементарных призм,
т. е.
п
S = Е As,.
п
У. fl —
г*и
р/
здесь /I — число слоев,
настил.
на которые разбит снеговой
182
Величина
Окончательно формула осадки снега будет
(Н7)
де
Фиг. 125. Плотность снега в зависимости
от нагрузки и температуры:
а — при температуре t = —1,3° С; б — при температуре
t---------------------10.8 С.
Функция f (р) должна быть определена из опыта-
Опытные данные. В приведенной выше работе
.кадемии наук получены опытные данные, которые
югут быть использованы для определения функции f (р).
)тметим основные результаты испытаний, предста-
ляющие для нас интерес. На фиг. 125 приведена за-
исимость между удельным давлением на снег q и его
ютностью р при различных температурах (кривые
и б). Опыты производились в полевых условиях
плоскими штампами размером 100 см,г. Как следует
з кривых, плотность снега увеличивается с повыше-
ием температуры. До некоторого предела давлений
лотность резко увеличивается, потом сохраняется
очти постоянной. Для удобства определения /(р)
редставим кривую р — q (фиг. 125) в виде кривой 1— q
183
(фиг. 126) и получим зависимость между удельным
объемом снега и удельным давлением.
Выше было показано, что формула (111) для опре-
деления сжимающих напряжений справедлива для
любого однородного грунта и не зависит от его фи-
зических констант. Поэтому ее можно приложить
и к снегу. Тогда определятся сжимающие напряжения
по глубине снежного настила.
Фиг. 126. Определение осадки снежного покрова:
а — соответствует t = —1,3° С; б— t - —10,Б3 С.
В качестве примера возьмем следующие данные:
среднее удельное давление гусениц qc = 0,8 кг/см2,
ширина гусеницы 6 = 60 см, отношение длины опор-
ной ветви к ширине примем ~=оо. Глубина снеж-
ного настила 6 = 70 см, п = 7 (число элементарных
слоев). Тогда согласно фиг. 119 может быть построена
кривая распределения напряжений в грунте зг (фиг. 126).
Теперь легко определить /(р). Для этого опре-
деляем, какой величине соответствует среднее на-
пряжение первого, второго, третьего и т. д. слоев.
Возьмем кривую б. Тогда сносим точку 1 на данную
кривую (точка /') и определяем соответствующую
этой точке величину так как в пределах напряже-
184
ний 0,4—0,8 кривая 6 почти горизонтальна, то для
всего диапазона сжимающих напряжений будем иметь
постоянную величину 7 = 2,5 см* г. Тогда
/(?)- ,L+~ Ь- + • -2,5п.
/1	/2	/3
Из графика фиг. 125 находим ро=О,15. Подставляя
значения Л=70 см, р0 =0,15, п—7, /(р)=2,5 п в фор-
мулу (117), найдем полную осадку снега
s = 70(l— 0,15-2,5)= 43,8 си.
Просвет между днищем машины и поверхностью
грунта обычно составляет 25—45 см; таким образом,
в зависимости от величины просвета машина будет
„садиться" днищем на грунт или двигаться с некото-
рым зазором.
Замечания: 1. Мы принимали, что снег одинаково
уплотнен по всей глубине. В действительности это
не так. Нижние слои, в особенности при температу-
рах наружного воздуха, близких к температуре таяния,
уплотнены всегда больше, чем верхние. Это происхо-
дит вследствие давления верхних слоев на нижние
под действием собственного веса. Поэтому начальная
плотность р0 изменяется в зависимости от глубины
слоя, возрастая с увеличением глубины.
2. Согласно кривым фиг. 125 чем выше темпера-
тура снега, тем выше его плотность, но по фор-
муле (117) осадка зависит от плотности сжатого снега
[/(р)], причем чем больше плотность, тем меньше
функция /(р), тем больше осадка.
Таким образом, увеличение р уменьшает осадку,
а уменьшение /(р) ее увеличивает.
Упрощенная формула для определения осадки
снега. Для снежного настила глубиной до 1 м можно
считать плотность снега одинаковой по всей глубине
настила и равной плотности, соответствующей сред-
нему удельному давлению qc опорной ветви гусениц.
Обозначим эту плотность через р„.
Тогда
/ы=^ + .-+-Н
п
р?
185
Подставляя в формулу (117), будем иметь
$ = (1 _ h
\ ?q J
Академией наук СССР предложена эмпирическая
формула для определения плотности снега в зависи-
мости от удельного давления, действующего на снег,
и температуры снега1
„ _n 10 , 0,0038^ (96-1)
Эта формула не является универсальной, так как
она получена из опытов с плоским штампом. Поэтому
мы ее можем считать приближенной.
Подставляя в выражение для $ значения ро=0,18
и р7, получим
0,18
0,0038 (96 — 0
0,08 +
(Н8)
для рассмотренного нами примера (=10,8, ^=0,8 кг/см*,
Л=70.
0,18
0,18 +
0,0038-85,2
0,08 + 0.8	’
70 = 43,4сл/.
Полученное значение осадки снега мало отличается
от полученного значения осадки более сложным
методом.
Анализ формулы (118). Из формулы следует,
что глубина осадки прямо пропорциональна глубине
снега й. Выше было указано, что значение h не должно
превосходить 1 м. Действительно, при больших глу-
бинах начинают оказывать влияние на осадку сжима-
ющие напряжения <з2.
Причем согласно фиг. 125 и 126 для более низких
температур это влияние делается заметным на боль-
ших глубинах. Иначе говоря, чем ниже температура
снега, тем для бб!ыпих значений h справедлива фор-
мула (118).
Согласно фиг. 126 при температуре снега —10,8° С
для удельного давления 0,2, у = 2,7 и удельного да-
1 См. сноску на стр. 179.
186
влениг: 0,8, у = 2,5, т. е. разница величин ~ соста-
вляет 1О°/о. Сжимающему напряжению <зг = 0,2 кг) см*
соответствует глубина слоя примерно 1,3 м (для рас-
смотренного примера b=60 см, qc=0,8 кг, см*).
Осадка зависит от среднего удельного давления qc.
Чем больше среднее удельное давление, тем больше
Фиг. 127. Зависимость осадки снега от сред-
него удельного давления при Г = —10,8* С.
от удельного давления qc при /= — 10° С (в долях от
глубины h снежного покрова). Как следует из кривой,
удельное давление оказывает малое влияние на вели-
чину осадки. Так, при изменении удельного давления
от 0,8 до 0,4 кг) см* осадка уменьшается всего на 3°/0.
Заметное влияние на осадку оказывает удельное
давление, начиная с 0,1 кг см2 и ниже.
Явление это объясняется характером кривой дефор-
мации снега. Как следует из фиг. 125, при малом
удельном давлении, меньшем 0,1 кг!см2, плотность снега
резко увеличивается, а следовательно, увеличивается
и осадка. Начиная с значения удельного давле-
ния 0,1 кг) см2 (для кривой б), увеличение удельного
давления мало влияет на плотность р.
Таким образом, осадка снега в первую очередь
зависит от глубины Снежного покрова и почти не зави-
сит от среднего удельного давления (в пределах
0,4—0,8 кг]см2).
187
Следовательно, изменение удельного давления
в пределах 0,4—0,8 кг'см* почти не влияет на прохо-
димость машины по снегу. А. А. Крживицкий в своей
книге .Тяговые свойства трактора на транспорте”
высказывает следующие соображения по поводу трак-
тора-снегохода:
.Так как наиболее желательным надо считать такой
трактор-снегоход и такие колесные или гусеничные
прицепки и сани, которые могут двигаться по снегу,
как передвигается по нему человек на лыжах, то наи-
выгоднейшее удельное давление на снег от трактора
и прицепок не должно превышать удельного давле-
ния лыжника”.
Удельное давление лыжника среднего веса (75 кг)
при лыжах, так называемых „raqutte” около 0,1 кгхм1',
на этих лыжах возможно движение главным образом
по снегу, покрытому легкой коркой (настом).
Чтобы двигаться по любому снегу, удельное давле-
ние должно быть не более 0,05 кг',см2.
Эти соображения полностью подтверждаются кри-
вой фиг. 127. Действительно, начиная с удельного
давления 0,1—0,05 кг; см2, осадка резко уменьшается.
В тяжелых гусеничных машинах удельное давление
значительно выше (0,6—1,0 кг,'см2). Поэтому проходи-
мость их по снегу в первую очередь определяется
глубиной настила.
Практически глубина настила не должна превосхо-
дить полутора просвета машины, что составит при-
мерно 600 мм при просвете в 400 мм. При уплотнен-
ном снеге эта величина может быть несколько увели-
чена, но не выше двух просветов.
§ 44. Сопротивление качению опорного колеса
по деформирующемуся грунту
При качении колеса по грунту последний дефор-
мируется (уплотняется), в результате чего образуется
колея уплотненного грунта. На образование колеи
затрачивается энергия сопротивления качению колеса.
Если силу, прижимающую колесо к грунту, обоз-
начить Q, а силу, толкающую колесо, F, то равнодей-
ствующая этих сил должна быть равна и противопо-
ложно направлена равнодействующей реакций грунта
(фиг. 128). При равномерном качении колеса и при
188
отсутствии трения в подшипниках оси реакция R
должна проходить через ось колеса.
В противном случае не будет соблюдаться равенство
нулю моментов, действующих на колесо внешних сил.
Разлагая силу R' на вертикальную и горизонтальную
составляющие, получим силу сопротивления -качению
колеса R. Эта сила должна равняться толкающей
силе F Или условие качения колеса в общем виде
будет
F > R.	(119)
Фиг. 129. К определению
сопротивления качению.
Фиг. 128. Силы, действующие на
колесо при качении его по де-
формирующемуся грунту.
р
Отношение р = /называют коэфициентом сопротивле-
ния качению колеса.
Рассмотрим подробнее природу коэфициента каче-
ния. Для этого примем следующие допущения: 1) колесо
считаем абсолютно жестким; 2) грунт неупругим;
3) трение между ободом колеса и грунтом отсутствует.
Обозначим через q удельную реакцию грунта на
дугу соприкосновения (фиг. 129), А —глубину колеи.
Очевидно, чем глубже точка дуги погружается
в грунт, тем она испытывает большую реакцию
грунта. Пусть зависимость между глубиной погруже-
ния точки и реакцией грунта будет выражаться фор-
мулой
<7=с(Л—>),	(а)
где с — некоторый коэфициент, характеризующий
механические свойства грунта; (Л — у) глубина погру-
жения точки.
189
Сила, действующая на элементарную дугу, будет
dR' = qbrdy = cbr (А — у)
где b — ширина обода колеса.
Но. rdy = ds — элементарная дуга. Проекция дуги
dx
dx = ds cos о. Тогда dR' -cb(h—y) --- .
Проектируя силы dR’ на вертикальную ось, получим
Л о	-Vo
Q= У dR'cos? = b I c(h — y) dx',
6	0
Из фиг. 129 можно написать
х2 = г2 — (г — у)2 — 2 гу —у2;
пренебрегая величиной у2 как величиной малой, получим
х2 = 2 гу.
Диференцируя это выражение, получим
xdx — rdy,
или
г	г
dx — — dy —	 dy.
х * yr2ry У
Тогда
Л	dy
О
Будем считать с — const. Тогда интегрируя получим
0 = 4- be V2r-h3 ‘.
и
Отсюда глубина колеи
<120>
Из этой формулы следует, что на глубину колеи
оказывают влияния два констру ктивных параметра —
ширина колеса и радиус колеса, причем ширина колеса
оказывает большее влияние, чем радиус.
190
Для определения толкающей силы составим урав-
нение проекций на горизонтальную ось. Тогда будем
иметь
F = Ьс /(Л —у) dy =	>
или
(121)
Толкающая сила F равна силе сопротивления каче-
нию R.- Из формулы (121) следует, что наибольшее
Фиг. 130. Определение сопротивления качению.
влияние на сопротивление качения оказывает радиус
колеса г.
Выше мы определяли коэфициент сопротивления
качению f как отношение . Тогда
f=i =7) =	<122)
Этот коэфициент зависит не только от грунта и
от геометрических размеров колеса, но и от нагрузки,
приходящейся на колесо Q. Обычно в тяговых расче-
тах его принимают для данного грунта величиной
постоянной, что, конечно, неяерчо.
На одном и том же грунте машины, различного
веса с различными опорными колесами будут иметь
разные коэфициенты сопротивления качению
Опытны еданные по определению сопро-
тивления качению. Сопротивление качению опре-
деляется следующим образом (фиг. 130). Груженая
повозка через динамометр протягивается с небольшой
скоростью трактором (или лебедкой). Зная вес по-
191
возки, определяют общий коэфициент сопротивления
качению
, /•
' ~ G '
где F — толкающая сила, замеренная динамометром;
G — вес повозки.
При этом повозка не должна двигаться по следу
трактора, так как последний уплотняет грунт своим
движителем, а следовательно, уменьшает сопротив-
ление качению повозки.
Коэфициент /, определенный таким способом,
является некоторым' средним коэфициентом качения
отдельных колес, так как задние колеса имеют меньшее
сопротивление качению, чем передние.
Действительно, задние колеса частично или пол-
ностью движутся по уплотненной передними коле-
сами колее. Если нагрузка Q, приходящаяся на задние
колеса, меньше, чем нагрузка, приходящаяся на перед-
ние колеса, то задние колеса фактически не участвуют
в уплотнении грунта. Если, наоборот, задние колеса
имеют большую нагрузку, то грунт частично уплот-
няется передними колесами и доуплотняется задними
колесами.
Если считать, что сопротивление качению опреде-
ляется только образованием колеи, то сопротивление
качению многоколесной машины будет определяться
сопротивлением качению наиболее нагруженных колес.
В действительности сопротивление испытывают все
колеса, так как, кроме потери энергии на образование
колеи, имеет место еще потеря энергии на проскаль-
зывание обода колеса по грунту, на уплотнение осы-
пающегося грунта, на преодоление сил прилипания
обода колеса к грунту и др. На мягких уплотняющихся
грунтах (глинистые грунты, снег) наибольшее влияние
на сопротивление качению оказывает первый вид потерь.
На твердых упругих грунтах (дорога с твердым
покрытием или укатанные дороги) явление качения
протекает следующим образом. Под действием колеса
грунт деформируется. Так как деформации упругие,
то за колёсами грунт восстанавливается, а следова-
тельно, колея не образуется. Если бы грунт восста-
навливался мгновенно, то на деформацию грунта ни-
какой энергии не затрачивалось бы.
192
Фиг. 131. Качение колеса по
упругому грунту.
В действительности имеет место неекоторое отста-
вание в востановлении грунта за колесом (фиг. 131).
В результате этого колесо испытывает сопротивление
качению аналогично тому, как это имело место при
качении колеса по неупругому грунту. Кроме того,
колесо проскальзывает по грунту, на что также затра-
чивается энергия качения.
При качении колесной
повозки имеют место оба
вида сопротивления каче-
нию за счет упругих и оста-
точных деформаций грунта.
Практически разделить их
трудно. Поэтому опытным
путем определяют общий
коэфициент сопротивления
качению.
Ниже приведены опытные данные по коэфициентам
сопротивления качению гладких стальных колес в
различных условиях движения (по данным проф.
Е. Д. Львова):
Характер грунта	t
Асфальт......................•	. . . .	0,01
Хорошее сухое шоссе . . ................. 0,03
Каменная мостовая........................ 0,01
Твердая сухая грунтовая дорога........... 0,05
Плотный сухой глинистый грунт........	0,06
Средний грунт ........................... 0,08
Легкий, сухой, супесчаный	грунт .	. .	0,12
Влажный глинистый........................ 0,16
Рыхлый песчаный................... .	.	0,18
Вязкий глинистый......................... 0,20
Вспаханное поле......................0,18—0,22
Культивированное пою...................0,20—0,25
Отсюда между прочим следует: чем мягче грунт,
тем больше сопротивление качению колесной по-
возки.
Анализ формулы (121) представляет не только
теоретический, но и практический интерес, так как
формула устанавливает зависимость между сопроти-
влением качению и устройством движителя, т. е. позво-
ляет влиять на конструкцию машины. В общем коэфи-
циенте сопротивления качению / влияние конструкции
никак не проявляется.
1^ А. С. Антон н К13	193
Рассмотрим опытный коэфициент с.
В табл. 7 приведены опытные данные проф. Мар-
тини по определению глубины колей колес двух раз-
меров и различно нагруженных на одном и том же
мягком грунте.
Таблица 7
Глубина колеи колес по опытным данным
Г в см	Глубина колеи в см при различных нагрузках на колесо (Q) и различной ширине обода колеса (5)		
	Q = 4000 кг		Q = 2000 кг	
	b = 20 см | b = 40 см	b = 20 см	b = 40 см
55	|	14,85	1	.9,36	9,36	5,90
ПО |	11,80	7,4.3 1	।	7,43	4,70
Пользуясь данными табл. 7, можно из формулы (120)
определить значение коэфициента с:
3Q
С - ---•
2Ь УТгк ”
Подставим сюда значения; Q = 4000 кг, ft = 20 см,
г =55 см и h = 14,85 см. Тогда
3-4000
с --=------------л- —0,5 кг см3.
2-20 /110-14,85/з
Подставляя в формулу (120) значение с = 0,5, для
остальных данных таблицы получим расчетную глу-
бину колеи (табл. 8).
Таблица 8
Глубина колеи, определенная по формуле (120)
! Г В СМ I	Глубина колеи			
	Q = 4000 кг	J		Q = 2000 кг	
	Ь = 20 см	Ь — 40 см |	b = 20 см	b = 40 см
55	14,85	9,34	9,34	5 90 j
ПО	11,80	7,42	7,42	4,67 i :	i
194
Сравнивая данные табл. 7 и 8, видим, что получен-
ие из опыта величины совпадают с. расчетными.
А. А. Крживицкий приводит следующие опытные
(энные для общего коэфициента сопротивления наче-
ши» для двухскатной колесной повозки (табл. 9).
Таблица 9
Опытные данные по общему коэфициенту качения
колесных повозок (по А. А. Крживицкому)
Нагрузка на колесо в кг		Размер колеса в см				Коэфициелт сопротивле- ния качению на раз- личных дорогах			
		г		ь					
Переднее | 	 ।	Заднее j	1 Переднее j 	1	Заднее	Переднее	Заднее	Шоссе среднего качества	Сильно песчаная дорога	Пашня	Болоти- стый луг
850 800	1040 1060	59 40	70 43	11 10	! 11 12	0,04 | 0,05 ।	0,16 0,17	0,20	0,35
По этим данным также может быть подсчитано
начение коэфициента с, характеризующее качество
рунта, но при следующих допущениях:
1. Общее сопротивление качению повозки опреде-
гяется сопротивлением наиболее нагруженных колес.
Тогда коэфициент сопротивления качению одного
:олеса
f=0,54 1Z
г согг
>тсюда
г 0.157
/з br>
(а)
де f—общий коэфициент сопротивления качению.
Чодставляя в формулу (а) данные табл. 9, получим
начение величины с.
Результаты подсчета сведены в табл. 10.
2. Каждый каток катится по несдеформирован-
юму грунту. Таким образом, принимая это допущение,
редполагаем, что перед передними и задними катками
рунт не деформирован.
195
Т а 6 л и ц а 10
Коэфициенты с (подсчитанные по данным табл. 9)
Нагрузка на колесо в кг	Размеры ко- леса в см		Коэфициент с для различных дорог			
	г	b	Шоссе среднего качества	Сильно песчаная дорога	Пашня	Болоти- стый луг
1040	70	11	47	0,74	0,38	0,07
1060	43	12	60	1,53	—	
Тогда	 _________________
/((?„ + <?з) = 0,54	’
\Г cbnr^ V cb3r3!
ИЛИ
Г_ 0,157	(1/ <?«,{/Оз j
С ~/3(<2л + Фз) \r V?, У VP
Результаты подсчетов сведены в табл. 11
Таблица 11
Коэфициент с
Нагрузка на колеса в кг	Размеры колес в см		Коэфициент с для различных дорог			
	г	b	Шоссе среднего качества	Сильно песчаная дорога	1 Пашня	1 Болоти- стый луг
1890 I860	59 70 40 43 ।	11 11 10 12 	z		51 61	0,89 0,56	0,41	0,08
Из сравнения данных табл. 10 и 11 следует, что
при обоих допущениях порядок величин остается
примерно одинаковым.
196
§ 45. Сопротивление качению гусеничного
обвода
Сопротивление качению гусеничного обвода, как
и сопротивление качению колеса, является результа-
том деформаций грунта и трения проскальзывания
гусениц по грунту.
Если предположить, что все катки одинаково на-
гружены, а гусеница представляет гибкую ленту, то
явление качения можно представить следующим обра-
зом (фиг. 132).
Фиг. 132. Реакции грунта, действующие на гусеницу.
Передний каток через гусеницу деформирует грунт
на глубину Л'. За катком грунт частично восстанавли-
вается и снова деформируется следующим катком. При
этом восстановление грунта несколько запаздывает,
в результате чего реакция отпора грунта за кат-
ком R" меньше упорной реакции перед катком R'.
Таким образом, сопротивление качению испытывают
все катки, причем наибольшее сопротивление испы-
тывает передний каток. Если пренебречь явлением
проскальзывания, то общее сопротивление качению
будет выражаться равенством:
r = (я01 sin ?; - я; sin <р;) + 2 (я; sin ?; - я; sin ?;),
i ~ 2
где Ям — упорная реакция грунта на передний каток.
Второй член равенства представляет сопротивление,
вызванное запаздыванием восстановления грунта.
Если пренебречь упругими деформациями грунта
(мягкий грунт, снег), то сопротивление качению будет
определяться только реакцией Яоь т. е.
Я =Яо, sin?;.
197
На твердых упругих грунтах сопротивление каче-
нию испытывают все катки. Тогда
R = 2 (R'i sin — /?; sin ,
i - 1
здесь Ri и Ri' — реакции грунта, вызванные действием
упругих сил.
С некоторым приближением мелкозвенчатую гусе-
ничную цепь можно заменить гусеничной лентой.
Тогда между сопротивлением качению колесной и гусе-
ничной машины принципиально не будет никакой раз-
ницы. Как в том, так и в другом случае сопротивление
качению вызывается деформацией грунта. Однако ко-
личественная разница в сопротивлениях качению обоих
типов машин может оказаться весьма значительной.
На мягких грунтах глубина колеи гусеничной
машины h меньше глубины колеи колесной машины
вследствие меньшего удельного давления гусениц на
грунт. Здесь в первую очередь влияет ширина гусе-
ницы и большое число катков. На мягких грунтах
имеют значение участки опорной ветви гусеницы, на-
ходящиеся между катками и перераспределяющие на-
грузку на грунт по всей длине опорной ветви. На
твердых грунтах гусеничная машина с точки зрения
сопротивления качению не имеет никаких преимуществ
перед колесной машиной.
Ниже приведены опытные данные по определению
коэфициента сопротивления качению гусеничных машин.
Как и для колесной машины, коэфициент сопротивле-
ния качению определяется из выражения
где R— сила сопротивления качению на горизонталь-
ном участке пути; Q — вес машины.
Метод определения f тот же, что и для колесных
машин (см. фиг. 130).
Характер дороги	значения /
Асфальтовое шоссе......................0,05—0,06
Булыжно щебенчатое шоссе . . .... 0,06—0,07	/
Проселочная дорога.....................0,07—0,10
Каменисто-песчаное дно брода............ 0,15—0,20
Снежная целина с погружением гусениц
на 300—700 мм..........................0,15—0.25
Заболоченная местность с погружением
гусениц до 200 мм......................0,20—0,25
198
Следовательно, чем мягче грунт, тем больше
сопротивление качению. На очень мягких грунтах
сопротивление качению может достигать до 25°/0 от
веса машины.
Коэфициент общего сопротивления качению/пред-
полагает независимость сопротивления качению от
? конструктивных параметров движителя. В действитель-
I ности сопротивление качению зависит от устройства
гусениц, числа и размеров опорных катков, веса
машины. К сожалению, по этому вопросу нет почти
никаких экспериментальных данных, которые позво-
лил бы установить эту зависимость. Мы можем дать
только качественную оценку этих зависимостей.
Как указывалось выше, между качением гусенич-
ного обвода и колеса нет принципиальной разницы.
Поэтому к гусеничному обводу с некоторым прибли-
жением может быть применима формула (121), отне-
сенная к переднему катку:
'- 0 54 Г'^	(124)
где b — ширина гусеницы;
Q — нагрузка на передний каток;
г—радиус дуговой ветви переднего катка.
Из формулы (124) следует, что сопротивление каче-
нию тем меньше, чем больше радиус переднего опор-
ного катка и ширина гусеницы. На некоторых маши-
нах устанавливались разные опорные катки: крайние
катки большего диаметра, чем средние. Из фор-
мулы (124) следует, что радиус переднего опорного
катка, а следовательно, и соответствующая ему дуго-
вая ветвь, оказывает большее влияние на сопроти-
вление качению, чем ширина гусеницы. Выше, рас-
сматривая осадку машины на мягких грунтах, было
показано, что глубина погружения опорной ветви
гусеницы зависит не только от ширины гусеницы, но
и от ее длины. Там же мы отмечали, что на умень-
шение осадки большее влияние оказывает удлинение
опорной ветви* гусеницы, чем ее уширение. Так как
сопротивление качению является прямой функцией
осадки, то все выводы, касающиеся осадки, можно
перенести и на сопротивление качению обвода. Тогда
можно сделать следующие выводы.
194
Чем меньше среднее удельное давление, тем меньше
сопротивление качению. Однако уменьшение среднего
удельного давления за счет уширения гусеницы тео-
ретически менее выгодно (для мягких грунтов, когда
деформируется вся толща грунта), чем уменьшение
его за счет удлинения опорной ветви.
Это положение наглядно иллюстрируется следую-
щим примером. Представим себе две гусеницы, одну
очень узкую, но имеющую большую опорную длину,
другую широкую, но имеющую короткую опорную
длину. Пусть удельное давление в обоих случаях оди-
наковое. При движении обвода с узкой гусеницей
след, оставленный на грунте, будет значительно уже,
чем след, оставленный широкой гусеницей. Так как
глубина следа в обоих случаях одинаковая вследствие
одинакового удельного давления, то объем сжатого
грунта будет меньше для узкой гусеницы, следовательно,
будет меньше и затраченная на его деформацию работа,
а следовательно, для обвода с узкой гусеницей будет
меньше и сопротивление качению.
Таким образом, может оказаться, что для обвода
с длинной опорной ветвью при большем удельном
давлении сопротивление качению будет меньше, чем
для обвода с широкой опорной ветвью и меньшим
удельным давлением.
На сопротивление качению оказывает влияние число
опорных катков. Чем больше опорных катков, тем
меньшая нагрузка приходится на передний опорный
каток, тем, следовательно, меньше сопротивление
качению обвода.
Увеличение числа опорных катков связано с умень-
шением их радиусов, если все катки одинаковые.
Поэтому увеличение числа опорных катков следует
производить за счет уменьшения размеров средних
катков, оставляя крайние катки большего радиуса.
Влияние внутренних сил в движителе на
сопротивление качению. Представим себе ведо-
мое колесо, к оси которого приложен некоторый
момент сил трения Мт (фиг. 133). Если бы на оси
катка трение отсутствовало, то реакция грунта про-
шла бы через ось катка. В результате действия
момента трения реакция отклонится на некоторое
плечо а, так что
R'a --Мт.
200
Очевидно, только в этом случае соблюдается урав-
нение равновесия сил. Чем больше момент сопроти-
вления на оси катка, тем больше отклоняется реак-
ция, тем больше сила сопротивления качению R катка.
Аналогичное явление происходит и в гусеничном
обводе (фиг. 134).
Допустим, что сред-
ний опорный каток дви-
жущегося обвода затор-
можен внутренними си-
лами трения. В резуль-
тате этогона внутреннюю
поверхность опорной
ветви гусениц будет дей-
ствовать сила, направлен-
Фиг. 133. Под действием сил тре-
ния на оси катка реакция грунта
отклоняется.
ная в сторону движения
машины Если гусеница
натянута (зазоры в шарни-
рах траков отсутствуют),
то эта сила будет уравновешиваться натяжением вегви.
В этом случае внутреннее сопротивление в движителе
не вызывает внешнюю реакцию грунта, а потери на
внутреннее сопротивление должны быть отнесены
к к. п. д. движителя. Если опорная ветвь не натянута,
то силы, действующие на внутреннюю поверхность
опорной ветви, могут уравновеситься только реакци-
Фиг. 134. Внутреннее трение в движителе вызывает
внешнюю реакцию сопротивления качению.
ями грунта, которые будут направлены противопо-
ложно движению машины и войдут в общее сопроти-
вление качению. В последнем случае сопротивление
качению каткдв непосредственно сказывается на вели-
чине внешних сил сопротивления качению обвода
(фиг. 134). Так как сопротивление качению опреде-
ляется методом буксировки, то в получаемые значения
коэфициентов сопротивления входят и потери в кат-
ках (а также потери на холостое перематывание
201
гусениц). Поэтому вне зависимости от того, натянута
ли опорная ветвь или нет, потери в катках не входят
в к. п. д. обвода, а условно учитываются в сопротивле-
нии качению. Практически это сказывается на опре-
делении силы тяги, значение которой получают не-
сколько преувеличенным (в случае натянутой опор-
ной ветви).
§ 46. Сцепление опорной ветви обвода с грунтом
Фиг. 135. Сцепление опорной
ветви с грунтом.

Рассматривая движение гусеничной машины, мы
видели, что со стороны грунта на опорные ветви
гусениц действует реакция, горизонтальная составля-
ющая которой есть
сила тяги машины. Та-
ким образом, при дви-
жении гусеничного об-
вода грунт противо-
действует смещению
опорной ветви назад,
удерживая ее на ме-
сте. Сцепление опор-
ной ветви с грунтом
происходит за счет
цепи и грунтом и за счет
действующих на шпоры
сил трения между звеньями
упорных реакций грунта,
звеньев (фиг. 135). Тогда сила тяги
где 2^— равнодействующая сил трения;
2^-равнодействующая сил зацепления.
Так как упор шпор гусениц в грунт может проис-
ходить только при полном использовании трения, т. е.
когда имеет место скольжение гусеницы о грунт, то
где и—коэфициент трения скольжения поверхности
гусеницы о грунт;
2Q/ — сумма нормальных нагрузок на катки.
Равнодействующая упорных реакций грунта 2 4i
есть функция уплотнения грунта шпорами. Рассмо-
трим это явление подробнее.
202
Пусть по условиям движения сила натяжения
опорной ветви Р' (фиг. 136) равна силе тяги Р, но
направлена ей противоположно, будет больше равно-
действующей сил трения, т. е.
р’ > 2 Л-
Тогда опорная ветвь начнет проскальзывать назад,
пока равнодействующая упорных реакций У qt не ока-

Фиг. 136. Буксование гусеницы.
жется достаточной, чтобы совместно с силами
уравновесить натяжение ветви. Пусть смещение шпор
при этом равно Л' (фиг. 136, 7). В следующий момент,
когда задняя шпора выйдет из грунта, а передняя
только войдет в него, равновесие будет нарушено.
Вследствие этого опорная ветвь снова переместится
на какую-то другую величину Д"<Д', пока грунт не
создаст достаточный упор для передней шпоры. Равно-
весие восстановится (фиг. 136,2). При этом передняя
шпора получит смещение Д", а все остальные Д' + Д".
То же явление будет происходить и дальше
(фиг. 136,5,4), пока не стабилизируется величина Д.
При этом перед задними шпорами образуются ячейки
по величине больше, чем перед передними шпорами (4).
В случае увеличения силы натяжения Р' смещение Л
будет больше и в результате возможен срыв грунта
203
задней шпорой. При этом равновесие будет нарушено
и уже не может быть восстановлено. С этого момента
наступит полное буксование гусениц. Частичное бу-
ксование гусениц за счет смещения Л определяется
коэфициентом буксования. Коэфициент буксования
3 = 7-, где /0—расстояние между шпорами. Между
силой тяги и частичным буксованием может быть
определена связь. Обычно ее устанавливают экспе-
риментально. Для этого с испытуемой машиной
Фиг. 137. Экспериментальное определение зависимости между
силой тяги и буксованием.
через динамометр соединяют динамометрическую
тележку (фиг. 137). Последняя позволяет плавно из-
менять силу тяги на крюке испытуемой машины. Из
условий равновесия горизонтальных сил, действующих
на машину, можно написать
P = R0+Rt,	(а)
где Р — сила тяги;
/?0 — сопротивление качению;
Rk—сопротивление на крюке,
кроме того
г — sd
3 = ~ У
где sT—теоретический путь, который должна пройти
машина, если буксование отсутствует (А = 0);
s()— действительный (замеряемый) путь, проходи-
мый машиной.
Величина Rk и So определяются замером. Сила со-
противления качению R—fG, st — определяется по
числу оборотов ведущих колес при помощи специально
установленных счетчиков. На фиг. 138 представлена
>04
зависимость между силой тяги и коэфициентом буксо-
вания. Для твердых уплотненных грунтов кривая начи-
нается с некоторой отличной от нуля ординаты jPT),
которая характеризует предельное значение сил тре-
ния между гусеницами и грунтом. Далее кривая воз-
растает, что объясняется уплотнением грунта шпо-
рами. При некотором значении коэфициента буксова-
ния наступает сразу пол-
ное буксование гусениц,
и величина силы тяги па-
дает.
Наибольшее значение
силы тяги называют силой
тяги по сцеплению •
В практических расчетах
принимают, что сила тяги
по сцеплению прямо про-
порциональна нормальной
нагрузке на грунт. Так как
испытания производятся
Фиг. 138. Примерная зависи-
мость между силой тяги (Р) и
коэфициентом буксования (а).
на горизонтальном участке
пути, то равнодействующая нормальных сил равна
весу машины. Тогда
=	(125)
где « — коэфициент сцепления.
Ниже приведены коэфициенты сцепления для раз-
личных дорог (опытные данные). При этом звенья
гусениц не имели дополнительных шпор.
Характер дороги	?
Асфальт летом ..."....................0,30 -0,40
Асфальт, покрытый мокрым укатанным
снегом ................................0,40—0,59
Обледенелый грунт со снежным покро-
вом 50—100 мм........................•	0,25—0,30
Снег плотный глубиной 300 мм..........0,50—0,60
Твердый грунт с дерновым покровом
(целина)...............................0,60 -0,70
Уплотненный суглинистый грунт (грун-
товая дорога).......................... 0,60
Коэфициент сцепления зависит главным образом
от: 1) характера грунта, 2) наличия шпор на звеньях
гусениц, 3) скорости движения машины. Влияние двух
последних факторов наглядно видно из данных табл. 12.
205
Т а б л н ц а и
Влияние шпор и скорости движения машины на коэфициент
сцепления гусениц с грунтом
(по А. А. Крживицкому)
Название трактора	Характер дороги	Ско- рость		
			со шпо- рами	без шпор
1" 		  —	 j „Большевик*	Проселок с пес- чаной почвой	I	0,85	0,35
То же	То же	11	0,74	0,28 :
„Коммунар"	V	1	1	0,80	0,60 |
1	То же i	1			0,56	0,43 ।
Из таблицы следует, что коэфициент сцепления за-
висит от скорости движения. Чем больше скорость,
тем меньше коэфициент сцепления.
Наличие шпор на низких скоростях движения оказы-
вает значительное влияние на коэфициент сцепления.
Гусеницы быстроходных машин обычно значительно
отличаются по форме своих звеньев от гусениц сельско-
хозяйственных тракторов. Это объясняется тем, что
к гусеницам быстроходных машин предъявляются тре-
бования не только обеспечения хорошего сцепления
с грунтом, но и недопустимости порчи дорог. Поэтому
шпоры на этих гусеницах ниже, чем на тракторных.
Вследствие этого и коэфициент сцепления ниже
и обычно не превосходит 0,7—0,8. В тракторных гу-
сеницах он достигает иногда величины 1—1,2. Заметим,
что наличие высоких шпор на быстроходной машине
оказывает вредное влияние на ее динамику—увеличи-
ваются сопротивление качению и неравномерность хода,
а следовательно, и динамические нагрузки, действую-
щие на машину на твердых грунтах. Поэтому на быстро-
ходных машинах если и применяются иногда шпоры,
то съемные, которыми пользуются только в случае
необходимости при движении на мягких грунтах.
В табл. 13 приведены опытные данные по коэфи-
циенту сцепления для тракторов, полученные д-ром
техн, наук А. А. Крживицким для различных условий
движения трактора. Эти данные характеризуют поря-
док величин коэфициента сцепления и влияние на него
трех основных факторов (грунт, шпоры, скорость).
).
Таблица
Коэфициенты сцепления для тракторов
(по данным А. А. Крживицкого)
Характер дороги	Скорости на различных передачах в км/час			Примечание
	I 3—4	II 4-5	III 5-7	
Мостовая и шоссе . . Твердый глинистый	0,71	1	! 0.08	1 0,52	Без шпор
грунт 		1,00 ।	0,90	0,81	То же
Грунтовая дорога с песчаной подпочвой Песок с твердым под-	0,85	! 0,74		»
	! I 0,81			
грунтом 	 Лесной проселок с		0,81	;		Со шпорами
				
песчаноглинистой подпочвой ....	! i.oo	1,00 ।		То же
Лесная песчаная до-				
ро>а	• Сильно песчаная до-	1 <\90	0,81	—	»
рога 	 Сыпучий прибрежный	0,70 0,74	0,71 0,65			
песок .......				
Влажный луг и пашня Болотистый луг с коч-	।	0,93	0,87		
ками 		0,56	0,51 ।	—	i »
Снежный путь ....	0,17 ;	0,10 I	0,09	Без шпор
То же	....	0,47 | 1	0,18 ।	0,11	Со шпорами
Анализ явления буксования.1 Рассмотрим
подробно явление буксования и установим основные
зависимости, которые характеризуют связь между бу-
ксованием и конструктивными параметрами машины.
Обозначим через Д — единичный сдвиг шпоры. Если
опорная ветвь имеет i шпор, то путь, который прой-
дет машина, будет
Ъ = L — ДЛ
где/,—длина опорной ветви обвода. Теоретический
путь будет Sr
1 Проф. Карельс к и х и проф. Кристи, Теория, конструк-
ция и расчет тракторов и Б. Н. С е р е денко, Тип гусеничной
цепи для сельскохозяйственного трактора, Н—Т. Сборник СМИ,
(Сталинград 1940).
207
Тогда коэфициент буксования согласно формуле (б)

4Л
(”)
Определим значение Л.
Под воздействием шпоры грунт получает горизон-
тальное сжатие. Зависимость между силой сжатия
Фиг. 139. примерная зависимость
между деформацией грунта и напря-
жением.
Молотова, между деформацией
и уплотнением грунта подчиняется основному закону
деформации грунта, согласно которому относительное
изменение объема пор
грунта прямо пропор-
ционально изменению
давления на грунт. Точ-
ная зависимость между
давлением и уплотне-
нием грунта устана-
вливается по компрес-
сионной кривой.
В общем случае
эта зависимость неиз-
вестна. Поданным ла-
боратории сельскохо-
зяйственных машин
МИМ и ЭСХ имени
грунта s и его напря-
жением а имеется зависимость, представленная на
фиг. 139. До точки а между напряжением сжатия
и деформацией может быть принята линейная зави-
симость. Начиная с точки а, грунт „течет". Ниже при-
ведены пределы пропорциональности для различных
грунтов при вдавливании плунжера (по данным лабо-
ратории сельскохозяйственных машин МИМ и ЭСХ
им. Молотова).
Предел
Характер грунта	пропорциональности
в кг'см11
Клеверище и залежь..............................8—9
Овсяное поле....................................7-8
Ржаное жнивье . ............................. 6 7
Торфяно-луговая почва....................  .	4—5
Песок слабо утрамбованный.....................1,5
Песок сильно утрамбованный.....................2,25
Таким образом, до предела пропорциональности
справедливо уравнение сжатия
•з — CS.	(г)
208
где с — коэфициент пропорциональности;
s— деформация грунта.
Значение коэфициента с приведено ниже (по данным
лаборатории сельскохозяйственных машин МИМ и
ЭСХ им. Молотова)
С
Характер грунта	в кгсм9
Клеверище................... 10—16
Овсяное ноле.............................. .	3—15
Ржаное поле............................. ...	8—13
Залежь......................... ....	9—20
Торфяно-луговая почва	....	...	9—12
Песок в ящике . .	. . . .	... 3—5
Теперь мы можем определить реакции грунта, дей-
ствующие на шпоры опорной ветви обвода
^qi = Fc{\ + 2 + 3+ .•• + /) +
здесь F—проекция шпоры на вертикальную плоскость.
Выражение в скобках есть сумма членов арифме-
тической прогрессии. Тогда
2». -^ ‘МАЧ
но

где р — коэфициент трения гусеницы о грунт; Q — нор-
мальное давление гусеницы на грунт, или
д _ 2(р-^)
Ас(1 -НН ’
(Д)
Подставляя значение Л в фор,мулу (в), будем иметь
зависимость между силой тяги обвода и коэфициен-
том буксования
2(P-uQ)
(126)
Из этой формулы следует, что чем больше площадь
шпоры и число шпор, тем меньше коэфициент буксо-
вания. Коэфициент буксования уменьшается с уве-
личением длины опорной ветви обвода.
Определим предельное значение силы тяги обвода Р.
Предельная сила тяги Ртах определяется из условий
работы грунта, срезаемого последней шпорой
(фиг. 140, а). Если расстояние между шпорами /0, то
длина последнего грунтового кирпича /0—tA.
14 А. С. Антонов 843	209
Согласно § 39 сдвигающее напряжение сыпучих
грунтов подчиняется закону- Кулона (формула 107)
т =Д
где /—коэфициент внутреннего трения;
• — нормальное напряжение.
Предельная сила, сдвигающая грунтовой кирпич,
Чп = Ъ —
где b— ширина гусеницы;
з — можно принять равным среднему удельному
Фиг. 140. Работа шпор гусеницы:
а - срез грунта последней шпорой; б - нормальные и касательные силы,
действующие на грунтовой кирпич.
давлению на грунт р (фиг. 140, б). Тогда для послед
него грунтового кирпича
qn — b (1й — /Д) fp.
Так как
о , L
Р ~t>L' а ’ i
то
но срезающая сила равна силе сжатия грунта послед
ней шпорой FcM,
или
^=/(1-^2.
210
подставляя сюда А из формулы (д), получим предель-
ное значение силы тяги
Рmax = Н Q 4“
(1+0/Q
2'(1+w)
\ cFL/
(127)
Отсюда можем найти коэфициент сцепления

/1 J- п f
(128)
При достаточно большом значении i (i до 20), можно
принять 1 Тогда коэфициент сцепления не зави-
сит от числа шпор. Из формулы (128) следует, что
коэфициент сцепления зависит от грунта (f, ц, с),
площади шпоры (F), опорной длины гусеницы (£)
и веса машины (Q =	 С увеличением веса коэфи-
циент сцепления падает.
Подставляя значение Ршах в формулу (126), получим
максимальный коэфициент буксования
°™ = тЧтгг	(129>
V + /Q )1
Из этой формулы следует, что максимальный коэ-
фициент буксования зависит от числа шпор и умень-
шается с их увеличением', чем больше вес машины,
тем больше з1Пах.
Коэфициент сцепления зависит от коэфициента тре-
ния стали о грунт р. Значения этого коэфициента
приведены ниже (по данным Зелинского)
Характер	грунта	р-
Супесок......................................0,34
Глинистый песок................................0,36
Песчаная глинисто-известковая почва . .	. . 0,52
Известковая почва ......................... .	0,78
Чернозем...................................  0,87
Определим коэфициент сцепления и максимальный
коэфициент буксования для следующих данных (пес-
чаный уплотненный грунт) f — 0,65, и = 0,35, с = 5 кг}см\
F = 250 см\ L = 350 см, i - 20, Q = 25 000 кг.
*
211
Тогда по формуле (128)
«г ।	21 *0,65	_л 7.
'р — о,3а ф -	0,65-25000 \ ~ 0,7’
2'20(,1 + 5-250-350 J
по формуле (129)
1Ю0	_ |7о
5-250-350 \	°'
1 + 0,65-25000 ) 20
Так как величина в формуле (128) малая, ею
можно пренебречь. Тогда коэфициент сцепления будет
равен
i 	(130)
Или коэфициент сцепления опреде-
ляется в первую очередь коэфициентом
трения стали о грунт у- и коэфициентом
внутреннего трения грунта /.
Отсюда сцепление гусениц с грунтом в первую
очередь зависит от свойств самого грунта и для сы-
пучего грунта является величиной постоянной. Таким
образом, шпоры увеличивают коэфициент сцепления
на половину величины коэфициента внутреннего трения.
Коэфициент внутреннего трения не превосходит
величины 0,65. Коэфициент р может достигать вели-
чины 0,87.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава /. Кинематика гибкого ленточного обвода .	. . 5—14
!1. Гусеничный движитель	...	.5
2.	Гусеничный обвод................	6
3.	Принцип движения гусеничной машины........ 8
4.	Скорость, траектория и	ускорение	точек обвода	.	10
Глава II. Динамика гибкого ленточного обвода .	. . 15—25
§ 5.	Кривая провисания свободных ветвей ...	15
§ 6.	Натяжение в обводе............................. 19
Глава III, Потеря энергии в простом ленточном обводе
и к. п. д. обвода...................................26—42
§ 7.	Потеря энергии в свободных ветвях.............. 26
§ 8.	Потеря энергии в точках сопряжения свободных и
дуговых ветвей.................................... 30
§ 9.	Коэфициент полезного действия простого обвода. 31
§ 10.	Трение в шарнирной точке и коэфициент трения р. 32
§ 11.	Числовой пример на определение к. п. д. гусенич-
ного обвода . . .	......................... 41
Глава IV, Кинематика гибкого цепного обвода .	.43—55
§ 12.	Сведение свободного цепного обвода к системе
четырехзвенников. Угловая скорость шарниров со-
пряжения ........................................... 43
§ 13.	Неравномерность движения цепного обвода. Коэфи-
циент неравномерности ₽............................. 48
§	14.	Средняя скорость движения	обвода	54
Глава	У. Динамика гибкого цепного	обвода.........56-64
§ 15.	Провисание гибкой цепи...........................56	1
§ 16.	Натяжение гибкой цепи...........................60
Глава VI. Упругий цепной обвод...........	. .	65—80
§ 17.	Определения и основные положения .....	.65
§ 18.	Провисание свободной горизонтальной ветви . .	67
8 19	. Натяжение свободной горизонтальной ветви . .	74	1
§ 20.	Определение жесткости упругой цепи............. 78
213
Глава VII. Потеря энергий в цепном обводе й к. п. д. обвода 81—ЭД
§ 21. Потеря энергии на трение в шарнирах простого
обвода . . .................................... 81
§ 22.	Потеря энергии на удар звена об обод колеса . 82
§ 23.	Потери на проскальзывание цепи по ободу веду-
щего колеса.........................................85
§ 24.	Потери на удар в зубьях ведущего колеса ... 88
§ 25.	Коэфициент полезного действия простого обвода . 90
§ 26.	Потеря энергии на гистерезис в упругом обводе . 90
§ 27.	Коэфициент полезного действия упругого обвода , 95
Глава VIII. Теория качения опорного катка..........97—139
§ 28.	Качение абсолютно жесткого катка по абсолютно
жесткой плоскости ................................ 97
§ 29.	Кинематика абсолютно упругого катка, катящегося
по абсолютно жесткой плоскости..................	107
§ 30.	Силы трения, действующие на опорную поверхность
ведомого упругого катка..............•............111
§ 31.	Определение коэфициента проскальзывания упру-
гого катка 5......................................113
§ 32.	Действительное переднее удельное давление упру-
гого катка . .1 . .  .............................118
§ 33.	Сопротивление качению катка и искажение эпюры
нормальных давлений...............................121
§ 34.	Потеря энергии в ведомом упругом катке .	122
§ 35.	Качение упругого ведущего катка............. 123
§ 36.	Качение опорного катка в направляющих (спадание
гусеничных цепей) ................................126
ГлаваIX. Взаимодействие опорных ветвей гусенице грун-
том при прямолинейном движении................ . . 140—212
§ 37.	Грунт и его свойства.......	........140
§ 38.	Основы механики грунта ......	145
§ 39.	Сдвиг грунтов и сопротивление сдвигу ... 146
§ 40.	Распределение напряжений в грунтах..........152
§ 41.	Сжимающие напряжения в грунте, вызванные гусе-
ницами ............................................158
§ 42.	Несущая способность рыхлых	грунтов...........168
§ 43.	Несущая способность снега ...................179
§ 44.	Сопротивление качению опорного колеса по де-
V	формирующемуся грунту.........................188
Сопротивление качению гусеничного	обвода .	197
§ ^Сцепление опорной ветви обвода с грунтом .	. 202
Технический редактор Л. Т. Зубко
Корректоры О. И. Семенова и Н. Г. Гончаров
Обложка художника А. В. Петрова
Сдано в произв. 29/VII 1949 г. Подписано к печати 10 XI 1949 г. Тираж 2300 экз
А12306. Печ. лист. 13,5. Уч.-изд. лист 11,5. Бумага 84х 1О8‘/за. Заказ /4 843.
1-я типография Машгиза. Ленинград, ул. Моисеенко, 10
tlu a Z p. 35 к.
.HUI .13, ‘Л зг. ьГ, ". p . "<Се€|-”Й np(K il, 1.
а .с. а;-.то но
IF © IP iM
ГУСЕНИЧНОГО
ДВИЖИТЕ/’Я
л ууАд7* » к
МЛИ1ГИЗ -1049